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目录 2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） 3 [2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标） 32](\l) [2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版） 59](\l) [2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） 82](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 104](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 110](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试 116](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 123](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 129](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 136](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 139](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 144](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 173](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文史类 188](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 200](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 214](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 227](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 235](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 241](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 250](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 258](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 269](\l) [2011年上海高考数学试题（理科）答案 280](\l) [2011年上海高考数学试题（文科）答案 284](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 287](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 300](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 310](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 321](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 328](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 335](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 340](\l) [2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 346](\l) [2011江苏高考数学试卷 353](\l) 2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） -------------------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）** 1．（5分）复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image1.png){width="0.3819444444444444in" height="0.3680555555555556in"}的共轭复数是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image2.png){width="0.3402777777777778in" height="0.3680555555555556in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image3.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3680555555555556in"} C．﹣i D．i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可． 【解答】解：复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image1.png){width="0.3819444444444444in" height="0.3680555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image4.png){width="1.0555555555555556in" height="0.3680555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image5.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}=i，它的共轭复数为：﹣i． 故选：C． 【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型． 　 2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（　　） A．y=2x^3^ B．y=\|x\|+1 C．y=﹣x^2^+4 D．y=2^﹣\|x\|^ 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用． 【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数． 【解答】解：对于A．y=2x^3^，由f（﹣x）=﹣2x^3^=﹣f（x），为奇函数，故排除A； 对于B．y=\|x\|+1，由f（﹣x）=\|﹣x\|+1=f（x），为偶函数，当x＞0时，y=x+1，是增函数，故B正确； 对于C．y=﹣x^2^+4，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C； 对于D．y=2^﹣\|x\|^，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，当x＞0时，y=2^﹣x^，为减函数，故排除D． 故选：B． 【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题． 　 3．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image6.png){width="1.7708333333333333in" height="3.576388888888889in"} A．120 B．720 C．1440 D．5040 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】5K：算法和程序框图． 【分析】执行程序框图，写出每次循环p，k的值，当k＜N不成立时输出p的值即可． 【解答】解：执行程序框图，有 N=6，k=1，p=1 P=1，k＜N成立，有k=2 P=2，k＜N成立，有k=3 P=6，k＜N成立，有k=4 P=24，k＜N成立，有k=5 P=120，k＜N成立，有k=6 P=720，k＜N不成立，输出p的值为720． 故选：B． 【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题． 　 4．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image7.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image8.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果． 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件数是3×3=9种结果， 满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组， 由于共有三个小组，则有3种结果， 根据古典概型概率公式得到P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11.png){width="0.375in" height="0.3680555555555556in"}， 故选：A． 【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目． 　 5．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（　　） A．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} B．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} 【考点】GS：二倍角的三角函数；I5：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值． 【解答】解：根据题意可知：tanθ=2， 所以cos^2^θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4236111111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17.png){width="0.75in" height="0.4236111111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}， 则cos2θ=2cos^2^θ﹣1=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}﹣1=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}． 故选：B． 【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题． 　 6．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19.png){width="1.7222222222222223in" height="1.0625in"} A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20.png){width="0.6597222222222222in" height="0.7708333333333334in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21.png){width="0.6597222222222222in" height="0.7708333333333334in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22.png){width="0.7916666666666666in" height="0.7708333333333334in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23.png){width="0.7916666666666666in" height="0.7708333333333334in"} 【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有 【专题】13：作图题． 【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图． 【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体， 是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成， ∴侧视图是一个中间有分界线的三角形， 故选：D． 【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题． 　 7．（5分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A，B两点，\|AB\|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．2 D．3 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】不妨设双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26.png){width="0.7430555555555556in" height="0.4930555555555556in"}，焦点F（﹣c，0），由题设知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27.png){width="0.7430555555555556in" height="0.4930555555555556in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4236111111111111in"}，由此能够推导出C的离心率． 【解答】解：不妨设双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26.png){width="0.7430555555555556in" height="0.4930555555555556in"}， 焦点F（﹣c，0），对称轴y=0， 由题设知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27.png){width="0.7430555555555556in" height="0.4930555555555556in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image29.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4236111111111111in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image30.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4236111111111111in"}， b^2^=2a^2^， c^2^﹣a^2^=2a^2^， c^2^=3a^2^， ∴e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image31.png){width="0.4513888888888889in" height="0.3680555555555556in"}． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用． 　 8．（5分）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image32.png){width="1.1736111111111112in" height="0.3680555555555556in"}的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（　　） A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数． 【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a ∴1+a=2 ∴a=1 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image33.png){width="1.2013888888888888in" height="0.4236111111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34.png){width="1.2013888888888888in" height="0.4236111111111111in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36.png){width="0.9305555555555556in" height="0.4236111111111111in"} ∴展开式中常数项为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image37.png){width="0.6875in" height="0.4236111111111111in"}的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image38.png){width="0.4097222222222222in" height="0.3680555555555556in"}的系数和 ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image37.png){width="0.6875in" height="0.4236111111111111in"}展开式的通项为T~r+1~=（﹣1）^r^2^5﹣r^C~5~^r^x^5﹣2r^ 令5﹣2r=1得r=2；令5﹣2r=﹣1得r=3 展开式中常数项为8C~5~^2^﹣4C~5~^3^=40 故选：D． 【点评】本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 　 9．（5分）由曲线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image39.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image40.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"} B．4 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image41.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"} D．6 【考点】69：定积分的应用．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image42.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解． 【解答】解：联立方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image43.png){width="0.5416666666666666in" height="0.4375in"}得到两曲线的交点（4，2）， 因此曲线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image42.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为： S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image44.png){width="3.0208333333333335in" height="0.4930555555555556in"}．故选C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image45.png){width="2.7569444444444446in" height="2.5208333333333335in"} 【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题． 　 10．（5分）已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image46.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image47.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P~1~：\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image46.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image47.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|＞1⇔θ∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image48.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}）；P~2~：\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image46.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image49.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|＞1⇔θ∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image50.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}，π\]；P~3~：\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image51.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image49.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|＞1⇔θ∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image52.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}）；P~4~：\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image51.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image49.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|＞1⇔θ∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image52.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}，π\]；其中的真命题是（　　） A．P~1~，P~4~ B．P~1~，P~3~ C．P~2~，P~3~ D．P~2~，P~4~ 【考点】91：向量的概念与向量的模；9B：向量加减混合运算；9E：向量数乘和线性运算．菁优网版权所有 【分析】利用向量长度与向量数量积之间的关系进行转化求解是解决本题的关键，要列出关于夹角的不等式，通过求解不等式得出向量夹角的范围． 【解答】解：由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image53.png){width="0.7708333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image54.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，又θ∈\[0，π\]，故可以得出θ∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image55.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}，π\]，故P~3~错误，P~4~正确． 由\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image56.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image57.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ＞﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image54.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，又θ∈\[0，π\]，故可以得出θ∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image58.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}），故P~2~错误，P~1~正确． 故选：A． 【点评】本题考查三角不等式的求解，考查向量长度不等式的等价转化，考查向量数量积与向量长度之间的联系问题，弄清向量夹角与向量数量积的依赖关系，考查学生分析问题解决问题的思路与方法，考查学生解题的转化与化归能力． 　 11．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image59.png){width="1.5069444444444444in" height="0.3680555555555556in"}的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（　　） A．f（x）在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image60.png){width="0.6736111111111112in" height="0.3680555555555556in"}单调递减 B．f（x）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image61.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image62.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}）单调递减 C．f（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image63.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}）单调递增 D．f（x）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image61.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image62.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}）单调递增 【考点】H5：正弦函数的单调性；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有 【专题】57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选． 【解答】解：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image64.png){width="1.3958333333333333in" height="0.3680555555555556in"}， 由于该函数的最小正周期为T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image65.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}，得出ω=2， 又根据f（﹣x）=f（x），得φ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image66.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image67.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}+kπ（k∈Z），以及\|φ\|＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image67.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}，得出φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image66.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}． 因此，f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image68.png){width="1.4236111111111112in" height="0.3680555555555556in"}cos2x， 若x∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image69.png){width="0.6736111111111112in" height="0.3680555555555556in"}，则2x∈（0，π），从而f（x）在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image69.png){width="0.6736111111111112in" height="0.3680555555555556in"}单调递减， 若x∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image66.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image70.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}），则2x∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image71.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image72.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}）， 该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确． 故选：A． 【点评】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型． 　 12．（5分）函数y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image73.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}的图象与函数y=2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【考点】57：函数与方程的综合运用．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列． 【分析】函数y~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image73.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}与y~2~=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，利用数形结合思想能求出结果． 【解答】解：函数y~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image74.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}， y~2~=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0）， 作出两个函数的图象，如图， 当1＜x≤4时，y~1~＜0 而函数y~2~在（1，4）上出现1.5个周期的图象， 在（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image75.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）和（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image76.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image77.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）上是减函数； 在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image75.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image76.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）和（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image77.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，4）上是增函数． ∴函数y~1~在（1，4）上函数值为负数， 且与y~2~的图象有四个交点E、F、G、H 相应地，y~1~在（﹣2，1）上函数值为正数， 且与y~2~的图象有四个交点A、B、C、D 且：x~A~+x~H~=x~B~+x~G~=x~C~+x~F~=x~D~+x~E~=2， 故所求的横坐标之和为8． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image78.png){width="2.4930555555555554in" height="1.9791666666666667in"} 【点评】本题考查两个函数的图象的交点的横坐标之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用． 　 **二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）** 13．（5分）若变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image79.png){width="0.9583333333333334in" height="0.4166666666666667in"}，则z=x+2y的最小值为[　﹣6　]{.underline}． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z=x+2y变化为y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image80.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image81.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值． 【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域， 得到的图形是一个平行四边形， 目标函数z=x+2y， 变化为y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image80.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image81.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}， 当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大， 当直线过A点时，z取到最小值， 由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5） ∴z=4+2（﹣5）=﹣6 故答案为：﹣6． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image82.png){width="4.041666666666667in" height="2.9444444444444446in"} 【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值． 　 14．（5分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F~1~F~2~在x轴上，离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image83.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}．过F~l~的直线交于A，B两点，且△ABF~2~的周长为16，那么C的方程为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image84.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}[+]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image85.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}[=1　]{.underline}． 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】根据题意，△ABF~2~的周长为16，即BF~2~+AF~2~+BF~1~+AF~1~=16，结合椭圆的定义，有4a=16，即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得c的值，进而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程． 【解答】解：根据题意，△ABF~2~的周长为16，即BF~2~+AF~2~+BF~1~+AF~1~=16； 根据椭圆的性质，有4a=16，即a=4； 椭圆的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image83.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image86.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image83.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，则a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image87.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}c， 将a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image87.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}c，代入可得，c=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image87.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则b^2^=a^2^﹣c^2^=8； 则椭圆的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image88.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image89.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1； 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image88.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image89.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1． 【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可． 　 15．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image90.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则棱锥O﹣ABCD的体积为[　8]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image90.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积． 【解答】解：矩形的对角线的长为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image91.png){width="1.3819444444444444in" height="0.2708333333333333in"}，所以球心到矩形的距离为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image92.png){width="0.9861111111111112in" height="0.2708333333333333in"}=2， 所以棱锥O﹣ABCD的体积为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image93.png){width="1.1388888888888888in" height="0.3680555555555556in"}=8![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image94.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：8![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image94.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【点评】本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型． 　 16．（5分）在△ABC中，B=60°，AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image94.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则AB+2BC的最大值为[　2]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image95.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】设AB=c AC=b BC=a利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得． 【解答】解：设AB=c AC=b BC=a 由余弦定理 cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image96.png){width="0.8194444444444444in" height="0.4236111111111111in"} 所以a^2^+c^2^﹣ac=b^2^=3 设c+2a=m 代入上式得 7a^2^﹣5am+m^2^﹣3=0 △=84﹣3m^2^≥0 故m≤2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image97.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 当m=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image97.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}时，此时a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image98.png){width="0.3402777777777778in" height="0.3819444444444444in"}，c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image99.png){width="0.3402777777777778in" height="0.3819444444444444in"}符合题意 因此最大值为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image97.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 另解：因为B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°， 由正弦定理，有 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image100.png){width="0.3819444444444444in" height="0.3680555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image101.png){width="0.3819444444444444in" height="0.3680555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image102.png){width="0.3819444444444444in" height="0.3680555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image103.png){width="0.6319444444444444in" height="0.3819444444444444in"}=2， 所以AB=2sinC，BC=2sinA． 所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120°﹣A）+4sinA =2（sin120°cosA﹣cos120°sinA）+4sinA =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image104.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cosA+5sinA =2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image105.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（A+φ），（其中sinφ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image106.png){width="0.3402777777777778in" height="0.4097222222222222in"}，cosφ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image107.png){width="0.3402777777777778in" height="0.3819444444444444in"}） 所以AB+2BC的最大值为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image105.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image105.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．涉及了解三角形和函数思想的运用． 　 **三、解答题（共8小题，满分70分）** 17．（12分）等比数列{a~n~}的各项均为正数，且2a~1~+3a~2~=1，a~3~^2^=9a~2~a~6~， （Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）设b~n~=log~3~a~1~+log~3~a~2~+...+log~3~a~n~，求数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image108.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}}的前n项和． 【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a~3~^2^=9a~2~a~6~，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a~1~+3a~2~=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可； （Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a~n~}的通项公式代入设bn=log~3~a~1~+log~3~a~2~+...+log~3~a~n~，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b~n~的通项公式，求出倒数即为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image109.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image109.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}}的前n项和． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{a~n~}的公比为q，由a~3~^2^=9a~2~a~6~得a~3~^2^=9a~4~^2^，所以q^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image110.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}． 由条件可知各项均为正数，故q=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image111.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}． 由2a~1~+3a~2~=1得2a~1~+3a~1~q=1，所以a~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image111.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}． 故数列{a~n~}的通项式为a~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image112.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}． （Ⅱ）b~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image113.png){width="0.4375in" height="0.2986111111111111in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image114.png){width="0.4375in" height="0.2986111111111111in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image115.png){width="0.4375in" height="0.2986111111111111in"}=﹣（1+2+...+n）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image116.png){width="0.5486111111111112in" height="0.3680555555555556in"}， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image117.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image118.png){width="0.5486111111111112in" height="0.3680555555555556in"}=﹣2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image119.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image120.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}） 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image121.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image122.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image123.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}=﹣2\[（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image124.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image124.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image125.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）+...+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image126.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image127.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}）\]=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image128.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}， 所以数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image123.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}}的前n项和为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image128.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}． 【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题． 　 18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD． （Ⅰ）证明：PA⊥BD； （Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image129.png){width="1.9861111111111112in" height="1.3541666666666667in"} 【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题；15：综合题；31：数形结合；35：转化思想． 【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image130.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD； （Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image131.png){width="0.9375in" height="0.22916666666666666in"}，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可． 【解答】（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image130.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}， 从而BD^2^+AD^2^=AB^2^，故BD⊥AD 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD 所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD （Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长， 射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则 A（1，0，0），B（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image132.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），C（﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image132.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），P（0，0，1）． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image133.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image132.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image134.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image132.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，﹣1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image135.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，0，0）， 设平面PAB的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image136.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y，z），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image137.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"} 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image138.png){width="0.8541666666666666in" height="0.4513888888888889in"}， 因此可取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image139.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image140.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image140.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}） 设平面PBC的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image141.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y，z），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image142.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}， 即：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image143.png){width="0.75in" height="0.4236111111111111in"} 可取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image141.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（0，1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image144.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image145.png){width="0.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image146.png){width="0.6319444444444444in" height="0.4513888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image147.png){width="0.3402777777777778in" height="0.3819444444444444in"} 故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image148.png){width="0.3402777777777778in" height="0.3819444444444444in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image149.png){width="2.111111111111111in" height="1.6041666666666667in"} 【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力． 　 19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表 ------------ ------------ ------------ ------------- -------------- -------------- 指标值分组 \[90，94） \[94，98） \[98，102） \[102，106） \[106，110\] 频数 8 20 42 22 8 ------------ ------------ ------------ ------------- -------------- -------------- B配方的频数分布表 ------------ ------------ ------------ ------------- -------------- -------------- 指标值分组 \[90，94） \[94，98） \[98，102） \[102，106） \[106，110\] 频数 4 12 42 32 10 ------------ ------------ ------------ ------------- -------------- -------------- （Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； （Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image150.png){width="1.2083333333333333in" height="0.6944444444444444in"} 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率） 【考点】B2：简单随机抽样；BB：众数、中位数、平均数；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；15：综合题． 【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值． （II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值． 【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image151.png){width="0.7430555555555556in" height="0.3680555555555556in"} ∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3． 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image152.png){width="0.9027777777777778in" height="0.3680555555555556in"} ∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42； （Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间 \[90，94），\[94，102），\[102，110\]的频率分别为0.04，0.54，0.42， ∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42， 即X的分布列为 --- ------ ------ ------ X ﹣2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 --- ------ ------ ------ ∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题 　 20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image153.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image154.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image155.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image156.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image157.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image158.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，M点的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值． 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；15：综合题；33：函数思想；36：整体思想． 【分析】（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）并代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image157.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image159.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image155.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image156.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image160.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image161.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，即可求得M点的轨迹C的方程； （Ⅱ）设P（x~0~，y~0~）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值． 【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）． 所![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image162.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣x，﹣1﹣y），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image160.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，﹣3﹣y），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image163.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（x，﹣2）． 再由题意可知（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image164.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image163.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=0，即（﹣x，﹣4﹣2y）•（x，﹣2）=0． 所以曲线C的方程式为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image165.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3680555555555556in"}﹣2． （Ⅱ）设P（x~0~，y~0~）为曲线C：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image166.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3680555555555556in"}﹣2上一点，因为y′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image167.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}x，所以l的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image167.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}x~0~， 因此直线l的方程为y﹣y~0~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image167.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}x~0~（x﹣x~0~），即x~0~x﹣2y+2y~0~﹣x~0~^2^=0． 则o点到l的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image168.png){width="0.9027777777777778in" height="0.6041666666666666in"}．又y~0~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image169.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3680555555555556in"}﹣2， 所以d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image170.png){width="0.6319444444444444in" height="0.6944444444444444in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image171.png){width="1.6319444444444444in" height="0.5in"}≥2， 所以x~0~^2^=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2． 【点评】此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力． 　 21．（12分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image172.png){width="0.3819444444444444in" height="0.3680555555555556in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image173.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image174.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image175.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，求k的取值范围． 【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想． 【分析】（I）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a，b值． （II）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数k分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数k的范围． 【解答】解：由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1） （Ⅰ）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image176.png){width="1.8958333333333333in" height="0.625in"} 由于直线x+2y﹣3=0的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image177.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3680555555555556in"}，且过点（1，1），故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image178.png){width="0.9305555555555556in" height="0.5902777777777778in"} 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image179.png){width="0.7291666666666666in" height="0.5902777777777778in"}解得a=1，b=1． （Ⅱ）由（Ⅰ）知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image180.png){width="0.9791666666666666in" height="0.3680555555555556in"}，所以 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image181.png){width="3.1944444444444446in" height="0.4791666666666667in"}）． 考虑函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image182.png){width="1.875in" height="0.4236111111111111in"}（x＞0），则 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image183.png){width="1.875in" height="0.4791666666666667in"}． （i）设k≤0，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image184.png){width="1.9791666666666667in" height="0.4791666666666667in"}知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）=0，故 当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image185.png){width="1.0208333333333333in" height="0.4236111111111111in"}； 当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image186.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4236111111111111in"}h（x）＞0 从而当x＞0，且x≠1时，f（x）﹣（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image187.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image188.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）＞0，即f（x）＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image189.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image188.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}． （ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image190.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}）时，（k﹣1）（x^2^+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而 h（1）=0，故当x∈（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image190.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}）时，h（x）＞0，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image191.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4236111111111111in"}h（x）＜0，与题设矛盾． （iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image191.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4236111111111111in"}h（x）＜0，与题设矛盾． 综合得，k的取值范围为（﹣∞，0\]． 【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率、考查构造函数，通过导数研究函数的单调性，求出函数的最值、考查了分类讨论的数学思想方法． 　 22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x^2^﹣14x+mn=0的两个根． （Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆； （Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image192.png){width="2.125in" height="1.375in"} 【考点】N7：圆周角定理；NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题． 【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x^2^﹣14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论． （II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小． 【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， AD×AB=mn=AE×AC， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image193.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3680555555555556in"} 又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB ∴C，B，D，E四点共圆． （Ⅱ）m=4，n=6时，方程x^2^﹣14x+mn=0的两根为x~1~=2，x~2~=12． 故AD=2，AB=12． 取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH． ∵C，B，D，E四点共圆， ∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH． 由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image194.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}（12﹣2）=5． 故C，B，D，E四点所在圆的半径为5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image195.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image196.png){width="2.125in" height="1.3958333333333333in"} 【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题． 　 23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image197.png){width="0.9583333333333334in" height="0.4097222222222222in"}（α为参数）M是C~1~上的动点，P点满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image198.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image199.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，P点的轨迹为曲线C~2~ （Ⅰ）求C~2~的方程； （Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image200.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}与C~1~的异于极点的交点为A，与C~2~的异于极点的交点为B，求\|AB\|． 【考点】J3：轨迹方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C~1~的方程即可求出曲线C~2~的方程； （II）根据（I）将求出曲线C~1~的极坐标方程，分别求出射线θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image200.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}与C~1~的交点A的极径为ρ~1~，以及射线θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image201.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}与C~2~的交点B的极径为ρ~2~，最后根据\|AB\|=\|ρ~2~﹣ρ~1~\|求出所求． 【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image202.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image203.png){width="0.1388888888888889in" height="0.375in"}）．由于M点在C~1~上， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image204.png){width="1.0138888888888888in" height="0.8055555555555556in"}即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image205.png){width="0.9583333333333334in" height="0.4097222222222222in"} 从而C~2~的参数方程为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image205.png){width="0.9583333333333334in" height="0.4097222222222222in"}（α为参数） （Ⅱ）曲线C~1~的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C~2~的极坐标方程为ρ=8sinθ． 射线θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image201.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}与C~1~的交点A的极径为ρ~1~=4sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image206.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}， 射线θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image206.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}与C~2~的交点B的极径为ρ~2~=8sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image206.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}． 所以\|AB\|=\|ρ~2~﹣ρ~1~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image207.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题． 　 24．设函数f（x）=\|x﹣a\|+3x，其中a＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集 （Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x\|x≤﹣1}，求a的值． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论． 【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为\|x﹣1\|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可． （Ⅱ）由f（x）≤0得\|x﹣a\|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为 \|x﹣1\|≥2． 由此可得x≥3或x≤﹣1． 故不等式f（x）≥3x+2的解集为 {x\|x≥3或x≤﹣1}． （Ⅱ）由f（x）≤0得 \|x﹣a\|+3x≤0 此不等式化为不等式组 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image208.png){width="0.875in" height="0.3958333333333333in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image209.png){width="0.875in" height="0.3958333333333333in"} 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image210.png){width="0.5069444444444444in" height="0.5902777777777778in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image211.png){width="0.5902777777777778in" height="0.5902777777777778in"} 因为a＞0，所以不等式组的解集为{x\|x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image212.png){width="0.4097222222222222in" height="0.3680555555555556in"}} 由题设可得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image213.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}=﹣1，故a=2 【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型． 　 **\ ** 2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标） -------------------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）** 1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用集合的交集的定义求出集合P；利用集合的子集的个数公式求出P的子集个数． 【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}， ∴P=M∩N={1，3} ∴P的子集共有2^2^=4 故选：B． 【点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n个元素，则其子集的个数是2^n^． 　 2．（5分）复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image214.png){width="0.3819444444444444in" height="0.3680555555555556in"}=（　　） A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i^2^用﹣1 代替即可． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image215.png){width="1.5416666666666667in" height="0.3680555555555556in"}=﹣2+i 故选：C． 【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数． 　 3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（　　） A．y=2x^3^ B．y=\|x\|+1 C．y=﹣x^2^+4 D．y=2^﹣\|x\|^ 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用． 【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数． 【解答】解：对于A．y=2x^3^，由f（﹣x）=﹣2x^3^=﹣f（x），为奇函数，故排除A； 对于B．y=\|x\|+1，由f（﹣x）=\|﹣x\|+1=f（x），为偶函数，当x＞0时，y=x+1，是增函数，故B正确； 对于C．y=﹣x^2^+4，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C； 对于D．y=2^﹣\|x\|^，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，当x＞0时，y=2^﹣x^，为减函数，故排除D． 故选：B． 【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题． 　 4．（5分）椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image216.png){width="0.5486111111111112in" height="0.4375in"}=1的离心率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image217.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image218.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image219.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image220.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"} 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】根据椭圆的方程，可得a、b的值，结合椭圆的性质，可得c的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案． 【解答】解：根据椭圆的方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image221.png){width="0.5486111111111112in" height="0.4375in"}=1，可得a=4，b=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image222.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 则c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image223.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image222.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； 则椭圆的离心率为e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image224.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image225.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}， 故选：D． 【点评】本题考查椭圆的基本性质：a^2^=b^2^+c^2^，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分． 　 5．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image226.png){width="1.7708333333333333in" height="3.576388888888889in"} A．120 B．720 C．1440 D．5040 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】5K：算法和程序框图． 【分析】执行程序框图，写出每次循环p，k的值，当k＜N不成立时输出p的值即可． 【解答】解：执行程序框图，有 N=6，k=1，p=1 P=1，k＜N成立，有k=2 P=2，k＜N成立，有k=3 P=6，k＜N成立，有k=4 P=24，k＜N成立，有k=5 P=120，k＜N成立，有k=6 P=720，k＜N不成立，输出p的值为720． 故选：B． 【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题． 　 6．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image227.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image228.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image229.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image230.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果． 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件数是3×3=9种结果， 满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组， 由于共有三个小组，则有3种结果， 根据古典概型概率公式得到P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image231.png){width="0.375in" height="0.3680555555555556in"}， 故选：A． 【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目． 　 7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（　　） A．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image232.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} B．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image233.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image233.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image232.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} 【考点】GS：二倍角的三角函数；I5：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值． 【解答】解：根据题意可知：tanθ=2， 所以cos^2^θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image234.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4236111111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image235.png){width="0.75in" height="0.4236111111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image236.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}， 则cos2θ=2cos^2^θ﹣1=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image237.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}﹣1=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image238.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}． 故选：B． 【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题． 　 8．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image239.png){width="1.7222222222222223in" height="1.0625in"} A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image240.png){width="0.6597222222222222in" height="0.7708333333333334in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image241.png){width="0.6597222222222222in" height="0.7708333333333334in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image242.png){width="0.7916666666666666in" height="0.7708333333333334in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image243.png){width="0.7916666666666666in" height="0.7708333333333334in"} 【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有 【专题】13：作图题． 【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图． 【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体， 是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成， ∴侧视图是一个中间有分界线的三角形， 故选：D． 【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题． 　 9．（5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，\|AB\|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．48 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】44：数形结合法． 【分析】首先设抛物线的解析式y^2^=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径\|AB\|=2p，求出p，△ABP的面积是\|AB\|与DP乘积一半． 【解答】解：设抛物线的解析式为y^2^=2px（p＞0）， 则焦点为F（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image244.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，0），对称轴为x轴，准线为x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image245.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} ∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点， 又∵AB⊥x轴 ∴\|AB\|=2p=12 ∴p=6 又∵点P在准线上 ∴DP=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image245.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}+\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image246.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3680555555555556in"}\|）=p=6 ∴S~△ABP~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image247.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}（DP•AB）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image247.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}×6×12=36 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image248.png){width="2.451388888888889in" height="2.013888888888889in"} 【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法． 　 10．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e^x^+4x﹣3的零点所在的区间为（　　） A．（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image249.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image250.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}） B．（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image249.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，0） C．（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image249.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}） D．（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image250.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image251.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}） 【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有 【专题】52：导数的概念及应用． 【分析】根据导函数判断函数f（x）=e^x^+4x﹣3单调递增，运用零点判定定理，判定区间． 【解答】解：∵函数f（x）=e^x^+4x﹣3 ∴f′（x）=e^x^+4 当x＞0时，f′（x）=e^x^+4＞0 ∴函数f（x）=e^x^+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为f（0）=e^0^﹣3=﹣2＜0 f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image252.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image253.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣1＞0 f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image254.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image255.png){width="0.25in" height="0.2361111111111111in"}﹣2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image255.png){width="0.25in" height="0.2361111111111111in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image256.png){width="0.3333333333333333in" height="0.2361111111111111in"}＜0 ∵f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image257.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）•f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image258.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）＜0， ∴函数f（x）=e^x^+4x﹣3的零点所在的区间为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image258.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image257.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}） 故选：A． 【点评】本题考察了函数零点的判断方法，借助导数，函数值，属于中档题． 　 11．（5分）设函数，则f（x）=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image259.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}）+cos（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image259.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}），则（　　） A．y=f（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image260.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}）单调递增，其图象关于直线x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image259.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}对称 B．y=f（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image260.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}）单调递增，其图象关于直线x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image261.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}对称 C．y=f（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image261.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}）单调递减，其图象关于直线x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image262.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}对称 D．y=f（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image261.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}）单调递减，其图象关于直线x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image261.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}对称 【考点】H5：正弦函数的单调性；H6：正弦函数的奇偶性和对称性．菁优网版权所有 【专题】57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image262.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}）+cos（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image262.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image261.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}）单调性，即可得到答案． 【解答】解：因为f（x）=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image262.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}）+cos（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image262.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image263.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image264.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image265.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos2x．由于y=cos2x的对称轴为x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image266.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}kπ（k∈Z），所以y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image265.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos2x的对称轴方程是：x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image267.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}（k∈Z），所以A，C错误；y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image265.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image268.png){width="1.2638888888888888in" height="0.3680555555555556in"}（k∈Z），函数y=f（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image264.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}）单调递减，所以B错误，D正确． 故选：D． 【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型． 　 12．（5分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈\[﹣1，1\]时 f（x）=x^2^，那么函数y=f（x）的图象与函数y=\|lgx\|的图象的交点共有（　　） A．10个 B．9个 C．8个 D．1个 【考点】3Q：函数的周期性；4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；31：数形结合． 【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通过计算函数值估算即可． 【解答】解：作出两个函数的图象如上 ∵函数y=f（x）的周期为2，在\[﹣1，0\]上为减函数，在\[0，1\]上为增函数 ∴函数y=f（x）在区间\[0，10\]上有5次周期性变化， 在\[0，1\]、\[2，3\]、\[4，5\]、\[6，7\]、\[8，9\]上为增函数， 在\[1，2\]、\[3，4\]、\[5，6\]、\[7，8\]、\[9，10\]上为减函数， 且函数在每个单调区间的取值都为\[0，1\]， 再看函数y=\|lgx\|，在区间（0，1\]上为减函数，在区间\[1，+∞）上为增函数， 且当x=1时y=0； x=10时y=1， 再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image269.png){width="4.895833333333333in" height="1.1666666666666667in"} 故选：A． 【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题． 　 **二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）** 13．（5分）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image270.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image271.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与向量k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image270.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image271.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}垂直，则k=[　1　]{.underline}． 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出k值． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image272.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image273.png){width="0.5in" height="0.20833333333333334in"} ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image274.png){width="0.8958333333333334in" height="0.22916666666666666in"}垂直 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image275.png){width="1.3541666666666667in" height="0.20833333333333334in"} 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image276.png){width="1.6597222222222223in" height="0.2708333333333333in"} ∴k=1 故答案为：1 【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方． 　 14．（5分）若变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image277.png){width="0.9583333333333334in" height="0.4166666666666667in"}，则z=x+2y的最小值为[　﹣6　]{.underline}． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z=x+2y变化为y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image278.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image279.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值． 【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域， 得到的图形是一个平行四边形， 目标函数z=x+2y， 变化为y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image278.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image279.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}， 当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大， 当直线过A点时，z取到最小值， 由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5） ∴z=4+2（﹣5）=﹣6 故答案为：﹣6． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image280.png){width="4.041666666666667in" height="2.9444444444444446in"} 【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值． 　 15．（5分）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image281.png){width="0.4236111111111111in" height="0.3819444444444444in"}[　]{.underline}． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】先利用余弦定理和已知条件求得BC，进而利用三角形面积公式求得答案． 【解答】解：由余弦定理可知cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image282.png){width="0.8541666666666666in" height="0.4236111111111111in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image283.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}， 求得BC=﹣8或3（舍负） ∴△ABC的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image283.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}•AB•BC•sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image283.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}×5×3×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image284.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image281.png){width="0.4236111111111111in" height="0.3819444444444444in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image281.png){width="0.4236111111111111in" height="0.3819444444444444in"} 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在求三角形面积过程中，利用两边和夹角来求解是常用的方法． 　 16．（5分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image285.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image286.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}[　]{.underline}． 【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值． 【解答】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π，圆锥的底面半径为：2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image287.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； 由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形 由此可以求得球心到圆锥底面的距离是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image288.png){width="1.1736111111111112in" height="0.2708333333333333in"}， 所以圆锥体积较小者的高为：4﹣2=2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6； 所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image286.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image286.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} 【点评】本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型． 　 **三、解答题（共8小题，满分70分）** 17．（12分）已知等比数列{a~n~}中，a~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image286.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，公比q=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image286.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}． （Ⅰ）S~n~为{a~n~}的前n项和，证明：S~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image289.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4236111111111111in"} （Ⅱ）设b~n~=log~3~a~1~+log~3~a~2~+...+log~3~a~n~，求数列{b~n~}的通项公式． 【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】15：综合题． 【分析】（I）根据数列{a~n~}是等比数列，a~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image290.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，公比q=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image290.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，求出通项公式a~n~和前n项和S~n~，然后经过运算即可证明． （II）根据数列{a~n~}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b~n~}的通项公式． 【解答】证明：（I）∵数列{a~n~}为等比数列，a~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image290.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，q=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image290.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} ∴a~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image290.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image291.png){width="0.5763888888888888in" height="0.4236111111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image292.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}， S~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image293.png){width="1.3958333333333333in" height="0.8194444444444444in"} 又∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image294.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4236111111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image295.png){width="0.4513888888888889in" height="0.625in"}=S~n~ ∴S~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image294.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4236111111111111in"} （II）∵a~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image296.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"} ∴b~n~=log~3~a~1~+log~3~a~2~+...+log~3~a~n~=﹣log~3~3+（﹣2log~3~3）+...+（﹣nlog~3~3） =﹣（1+2+...+n） =﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image297.png){width="0.5486111111111112in" height="0.3680555555555556in"} ∴数列{b~n~}的通项公式为：b~n~=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image297.png){width="0.5486111111111112in" height="0.3680555555555556in"} 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质． 　 18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD． （Ⅰ）证明：PA⊥BD （Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image298.png){width="2.1805555555555554in" height="1.5347222222222223in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题；15：综合题． 【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image299.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD； （II）要求棱锥D﹣PBC的高．只需证BC⊥平面PBD，然后得平面PBC⊥平面PBD，作DE⊥PB于E，则DE⊥平面PBC，利用勾股定理可求得DE的长． 【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image299.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}， 从而BD^2^+AD^2^=AB^2^，故BD⊥AD 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD 所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD． （II）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD， 则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD， ∴BC⊥BD． 故BC⊥平面PBD，BC⊥DE， 则DE⊥平面PBC． 由题设知PD=1，则BD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image300.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，PB=2． 根据DE•PB=PD•BD，得DE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image301.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}， 即棱锥D﹣PBC的高为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image301.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}． 【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距离，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力． 　 19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表 ------------ ------------ ------------ ------------- -------------- -------------- 指标值分组 \[90，94） \[94，98） \[98，102） \[102，106） \[106，110\] 频数 8 20 42 22 8 ------------ ------------ ------------ ------------- -------------- -------------- B配方的频数分布表 ------------ ------------ ------------ ------------- -------------- -------------- 指标值分组 \[90，94） \[94，98） \[98，102） \[102，106） \[106，110\] 频数 4 12 42 32 10 ------------ ------------ ------------ ------------- -------------- -------------- （Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； （Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image302.png){width="1.2083333333333333in" height="0.6944444444444444in"} 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率） 【考点】B2：简单随机抽样；BB：众数、中位数、平均数；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；15：综合题． 【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值． （II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值． 【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image303.png){width="0.7430555555555556in" height="0.3680555555555556in"} ∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3． 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image304.png){width="0.9027777777777778in" height="0.3680555555555556in"} ∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42； （Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间 \[90，94），\[94，102），\[102，110\]的频率分别为0.04，0.54，0.42， ∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42， 即X的分布列为 --- ------ ------ ------ X ﹣2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 --- ------ ------ ------ ∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题 　 20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x^2^﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上． （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值． 【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程； 法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数， （Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值． 【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y=x^2^﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image305.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），（3﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image305.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有3^2^+（t﹣1）^2^=（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image305.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）^2^+t^2^，解得t=1，故圆C的半径为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image306.png){width="1.1111111111111112in" height="0.25in"}，所以圆C的方程为（x﹣3）^2^+（y﹣1）^2^=9． 法二：圆x^2^+y^2^+Dx+Ey+F=0 x=0，y=1有1+E+F=0 y=0，x^2^ ﹣6x+1=0与x^2^+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2， 即圆方程为x^2^+y^2^﹣6x﹣2y+1=0 （Ⅱ）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），其坐标满足方程组 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image307.png){width="1.7222222222222223in" height="0.4652777777777778in"}，消去y，得到方程2x^2^+（2a﹣8）x+a^2^﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a^2^＞0． 在此条件下利用根与系数的关系得到x~1~+x~2~=4﹣a，x~1~x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image308.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4236111111111111in"}①， 由于OA⊥OB可得x~1~x~2~+y~1y2~=0，又y~1~=x~1~+a，y~2~=x~2~+a，所以可得2x~1~x~2~+a（x~1~+x~2~）+a^2^=0② 由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a^2^＞0．故a=﹣1． 【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型． 　 21．（12分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image309.png){width="0.3819444444444444in" height="0.3680555555555556in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image310.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image311.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}． 【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想． 【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值． （II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式． 【解答】解：（I）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image312.png){width="1.9791666666666667in" height="0.625in"}． 由于直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image313.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，且过点（1，1） 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image314.png){width="0.75in" height="0.5902777777777778in"} 解得a=1，b=1 （II）由（I）知f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image315.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3680555555555556in"} 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image316.png){width="2.2916666666666665in" height="0.4791666666666667in"} 考虑函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image317.png){width="1.7916666666666667in" height="0.4236111111111111in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image318.png){width="2.576388888888889in" height="0.4791666666666667in"} 所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0， 当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image319.png){width="1.0208333333333333in" height="0.4236111111111111in"}； 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image320.png){width="3.375in" height="0.4236111111111111in"} 从而当x＞0且x≠1时， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image321.png){width="1.9791666666666667in" height="0.3680555555555556in"} 【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立． 　 22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x^2^﹣14x+mn=0的两个根． （Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆； （Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image322.png){width="2.125in" height="1.375in"} 【考点】N7：圆周角定理；NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题． 【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x^2^﹣14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论． （II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小． 【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， AD×AB=mn=AE×AC， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image323.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3680555555555556in"} 又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB ∴C，B，D，E四点共圆． （Ⅱ）m=4，n=6时，方程x^2^﹣14x+mn=0的两根为x~1~=2，x~2~=12． 故AD=2，AB=12． 取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH． ∵C，B，D，E四点共圆， ∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH． 由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image324.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}（12﹣2）=5． 故C，B，D，E四点所在圆的半径为5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image325.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image326.png){width="2.125in" height="1.3958333333333333in"} 【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题． 　 23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image327.png){width="0.9583333333333334in" height="0.4097222222222222in"}（α为参数）M是C~1~上的动点，P点满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image328.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image329.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，P点的轨迹为曲线C~2~ （Ⅰ）求C~2~的方程； （Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image330.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}与C~1~的异于极点的交点为A，与C~2~的异于极点的交点为B，求\|AB\|． 【考点】J3：轨迹方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C~1~的方程即可求出曲线C~2~的方程； （II）根据（I）将求出曲线C~1~的极坐标方程，分别求出射线θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image330.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}与C~1~的交点A的极径为ρ~1~，以及射线θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image331.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}与C~2~的交点B的极径为ρ~2~，最后根据\|AB\|=\|ρ~2~﹣ρ~1~\|求出所求． 【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image332.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image333.png){width="0.1388888888888889in" height="0.375in"}）．由于M点在C~1~上， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image334.png){width="1.0138888888888888in" height="0.8055555555555556in"}即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image335.png){width="0.9583333333333334in" height="0.4097222222222222in"} 从而C~2~的参数方程为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image335.png){width="0.9583333333333334in" height="0.4097222222222222in"}（α为参数） （Ⅱ）曲线C~1~的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C~2~的极坐标方程为ρ=8sinθ． 射线θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image331.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}与C~1~的交点A的极径为ρ~1~=4sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image331.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}， 射线θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image331.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}与C~2~的交点B的极径为ρ~2~=8sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image336.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}． 所以\|AB\|=\|ρ~2~﹣ρ~1~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image337.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题． 　 24．设函数f（x）=\|x﹣a\|+3x，其中a＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集 （Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x\|x≤﹣1}，求a的值． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论． 【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为\|x﹣1\|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可． （Ⅱ）由f（x）≤0得\|x﹣a\|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为 \|x﹣1\|≥2． 由此可得x≥3或x≤﹣1． 故不等式f（x）≥3x+2的解集为 {x\|x≥3或x≤﹣1}． （Ⅱ）由f（x）≤0得 \|x﹣a\|+3x≤0 此不等式化为不等式组 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image338.png){width="0.875in" height="0.3958333333333333in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image339.png){width="0.875in" height="0.3958333333333333in"} 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image340.png){width="0.5069444444444444in" height="0.5902777777777778in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image341.png){width="0.5902777777777778in" height="0.5902777777777778in"} 因为a＞0，所以不等式组的解集为{x\|x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image342.png){width="0.4097222222222222in" height="0.3680555555555556in"}} 由题设可得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image343.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}=﹣1，故a=2 【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型． 　 **\ ** 2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版） -------------------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）** 1．（5分）复数z=1+i，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image344.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"} 为z 的共轭复数，则z•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image344.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}﹣z﹣1=（　　） A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image345.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=1﹣i，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image346.png){width="0.5625in" height="0.1875in"}=（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i 故选：B． 【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型． 　 2．（5分）函数y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image347.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}（x≥0）的反函数为（　　） A．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image348.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}（x∈R） B．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image349.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}（x≥0） C．y=4x^2^（x∈R） D．y=4x^2^（x≥0） 【考点】4R：反函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）． 【解答】解：∵y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image350.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}（x≥0）， ∴x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image351.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}，y≥0， 故反函数为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image352.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}（x≥0）． 故选：B． 【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域． 　 3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（　　） A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a^2^＞b^2^ D．a^3^＞b^3^ 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有 【专题】5L：简易逻辑． 【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项． 【解答】解：a＞b+1⇒a＞b； 反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1， 故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件． 故选：A． 【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法． 　 4．（5分）设S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，若a~1~=1，公差d=2，S~k+2~﹣S~k~=24，则k=（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先由等差数列前n项和公式求得S~k+2~，S~k~，将S~k+2~﹣S~k~=24转化为关于k的方程求解． 【解答】解：根据题意： S~k+2~=（k+2）^2^，S~k~=k^2^ ∴S~k+2~﹣S~k~=24转化为： （k+2）^2^﹣k^2^=24 ∴k=5 故选：D． 【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题． 　 5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image353.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image354.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} B．3 C．6 D．9 【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】函数图象平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image355.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果． 【解答】解：f（x）的周期T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image356.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}，函数图象平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image355.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image357.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3680555555555556in"}，k∈Z．令k=1，可得ω=6． 故选：C． 【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型． 　 6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image358.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image359.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image360.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"} D．1 【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；13：作图题；35：转化思想． 【分析】画出图形，由题意通过等体积法，求出三棱锥的体积，然后求出D到平面ABC的距离． 【解答】解：由题意画出图形如图： 直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足， 若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离转化为三棱锥D﹣ABC的高为h， 所以AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image361.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，CD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image362.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image361.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 由V~B﹣ACD~=V~D﹣ABC~可知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image363.png){width="2.375in" height="0.3680555555555556in"} 所以，h=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image364.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"} 故选C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image365.png){width="2.4583333333333335in" height="1.5833333333333333in"} 【点评】本题是基础题，考查点到平面的距离，考查转化思想的应用，等体积法是求解点到平面距离的基本方法之一，考查计算能力． 　 7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（　　） A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 【考点】D3：计数原理的应用．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】本题是一个分类计数问题，一是3本集邮册一本画册，让一个人拿一本画册有4种，另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C~4~^2^种，根据分类计数原理得到结果． 【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题， 一是3本集邮册一本画册，从4位朋友选一个有4种， 另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册C~4~^2^=6种， 根据分类计数原理知共10种， 故选：B． 【点评】本题考查分类计数问题，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，也可以出现在解答题目的一部分中． 　 8．（5分）曲线y=e^﹣2x^+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image366.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image367.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image368.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} D．1 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可． 【解答】解：∵y=e^﹣2x^+1∴y\'=（﹣2）e^﹣2x^ ∴y\'\|~x=0~=（﹣2）e^﹣2x^\|~x=0~=﹣2 ∴曲线y=e^﹣2x^+1在点（0，2）处的切线方程为y﹣2=﹣2（x﹣0）即2x+y﹣2=0 令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image368.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} ∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image367.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}×1×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image369.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image370.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} 故选：A． 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线垂直的应用等有关问题，属于基础题． 　 9．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image371.png){width="0.5069444444444444in" height="0.3680555555555556in"}=（　　） A．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image372.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} B．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image373.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image373.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image374.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} 【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由题意得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image375.png){width="0.5069444444444444in" height="0.3680555555555556in"}=f（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image374.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} ）=﹣f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image374.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}），代入已知条件进行运算． 【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image375.png){width="0.5069444444444444in" height="0.3680555555555556in"}=f（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image374.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} ）=﹣f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image374.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）=﹣2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image374.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} （1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image376.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} ）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image376.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}， 故选：A． 【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值． 　 10．（5分）已知抛物线C：y^2^=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image377.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image378.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image379.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3680555555555556in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image380.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3680555555555556in"} 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】根据已知中抛物线C：y^2^=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，我们可求出点A，B，F的坐标，进而求出向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image381.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image382.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的坐标，进而利用求向量夹角余弦值的方法，即可得到答案． 【解答】解：∵抛物线C：y^2^=4x的焦点为F， ∴F点的坐标为（1，0） 又∵直线y=2x﹣4与C交于A，B两点， 则A，B两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image381.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，﹣2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image382.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（3，4）， 则cos∠AFB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image383.png){width="0.8888888888888888in" height="0.4513888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image384.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image385.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，其中构造向量然后利用向量法处理是解答本题的重要技巧． 　 11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（　　） A．7π B．9π C．11π D．13π 【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积． 【解答】解：∵圆M的面积为4π ∴圆M的半径为2 根据勾股定理可知OM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image386.png){width="0.3125in" height="0.1875in"} ∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N ∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image387.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} ∴圆N的半径为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image388.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} 则圆的面积为13π 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image389.png){width="1.0625in" height="1.0555555555555556in"} 【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题． 　 12．（5分）设向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image390.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image391.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image392.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image390.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image391.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image393.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image394.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image395.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image396.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image397.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image396.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞=60°，则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image396.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|的最大值等于（　　） A．2 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image398.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image399.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．1 【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】利用向量的数量积求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image400.png){width="0.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image401.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}最大值． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image402.png){width="0.8541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image403.png){width="0.6319444444444444in" height="0.3680555555555556in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image400.png){width="0.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}的夹角为120°， 设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image404.png){width="0.9791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image405.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image406.png){width="0.6041666666666666in" height="0.20833333333333334in"}；![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image407.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image408.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"} 如图所示 则∠AOB=120°；∠ACB=60° ∴∠AOB+∠ACB=180° ∴A，O，B，C四点共圆 ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image409.png){width="0.6041666666666666in" height="0.20833333333333334in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image410.png){width="1.5625in" height="0.2708333333333333in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image411.png){width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"} 由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image412.png){width="0.9027777777777778in" height="0.3680555555555556in"} 当OC为直径时，模最大，最大为2 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image413.png){width="1.2569444444444444in" height="1.3263888888888888in"} 【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理． 　 **二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）** 13．（5分）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image414.png){width="0.7430555555555556in" height="0.25in"}的二项展开式中，x的系数与x^9^的系数之差为[　0　]{.underline}． 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数分别取1，9求出x的系数与x^9^的系数；求出值． 【解答】解：展开式的通项为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image415.png){width="1.3541666666666667in" height="0.4375in"} 令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image416.png){width="0.3263888888888889in" height="0.3680555555555556in"}得r=2；令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image417.png){width="0.3263888888888889in" height="0.3680555555555556in"}得r=18 ∴x的系数与x^9^的系数C~20~^2^，C~20~^18^ ∴x的系数与x^9^的系数之差为C~20~^2^﹣C~20~^18^=0 故答案为：0 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 　 14．（5分）已知α∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image418.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}，π），sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image419.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，则tan2α=[　﹣]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image420.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}[　]{.underline}． 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用题目提供的α的范围和正弦值，可求得余弦值从而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2α． 【解答】解：由α∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image418.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}，π），sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image419.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，得cosα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image421.png){width="0.3402777777777778in" height="0.3819444444444444in"}，tanα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image422.png){width="0.4652777777777778in" height="0.3680555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image423.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3680555555555556in"} ∴tan2α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image424.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4236111111111111in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image425.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} 故答案为：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image425.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} 【点评】本题考查了二倍角的正切与同角三角函数间的基本关系，是个基础题． 　 15．（5分）已知F~1~、F~2~分别为双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image426.png){width="0.7430555555555556in" height="0.4375in"}的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F~1~AF~2~的平分线，则\|AF~2~\|=[　6　]{.underline}． 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题． 【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径． 【解答】解： 不妨设A在双曲线的右支上 ∵AM为∠F~1~AF~2~的平分线 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image427.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image428.png){width="0.9444444444444444in" height="0.4791666666666667in"} 又∵\|AF~1~\|﹣\|AF~2~\|=2a=6 解得\|AF~2~\|=6 故答案为6 【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义． 　 16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的棱BB~1~、CC~1~上，且B~1~E=2EB，CF=2FC~1~，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image429.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}[　]{.underline}． 【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合． 【分析】由题意画出正方体的图形，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是：∠BPE，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值． 【解答】解：由题意画出图形如图： 因为E、F分别在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的棱BB~1~、CC~1~上，且B~1~E=2EB，CF=2FC~1~， 延长CB、FE交点为S连接AS，过B作BP⊥AS连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是∠BPE，因为B~1~E=2EB，CF=2FC~1~， 所以BE：CF=1：2 所以SB：SC=1：2， 设正方体的棱长为：a，所以AS=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image362.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}a，BP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image430.png){width="0.3402777777777778in" height="0.3819444444444444in"}，BE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image431.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，在RT△PBE中，tan∠EPB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image432.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image433.png){width="0.375in" height="0.7847222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image434.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image434.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image435.png){width="2.3819444444444446in" height="1.9791666666666667in"} 【点评】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力． 　 **三、解答题（共6小题，满分70分）** 17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image436.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}，a+c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image437.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b，求C． 【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由A﹣C等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image436.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}得到A为钝角，根据诱导公式可知sinA与cosC相等，然后利用正弦定理把a+c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image437.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b化简后，把sinA换为cosC，利用特殊角的三角函数值和两角和的正弦函数公式把左边变为一个角的正弦函数，给方程的两边都除以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image437.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}后，根据C和B的范围，得到C+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image438.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}=B或C+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image439.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}+B=π，根据A为钝角，所以C+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image439.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}+B=π不成立舍去，然后根据三角形的内角和为π，列出关于C的方程，求出方程的解即可得到C的度数． 【解答】解：由A﹣C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image440.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}，得到A为钝角且sinA=cosC， 利用正弦定理，a+c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image441.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b可变为：sinA+sinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image441.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinB， 即有sinA+sinC=cosC+sinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image441.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（C+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image439.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image441.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinB， 又A，B，C是△ABC的内角， 故C+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image442.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}=B或C+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image442.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}+B=π（舍去）， 所以A+B+C=（C+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image443.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}）+（C+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image442.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}）+C=π， 解得C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image444.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}． 【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、特殊角的三角函数值以及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题．学生做题时应注意三角形的内角和定理及角度范围的运用． 　 18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立． （Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； （Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望． 【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】（Ⅰ）首先求出购买乙种保险的概率，再由独立事件和对立事件的概率求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，然后求该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率即可． （Ⅱ）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率均相等，故为独立重复试验，X服从二项分布，由二项分布的知识求概率即可． 【解答】解：（Ⅰ）设该车主购买乙种保险的概率为P，则P（1﹣0.5）=0.3，故P=0.6， 该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2， 由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8 （Ⅱ）甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，X～B（100，0.2） 所以EX=100×0.2=20 【点评】本题考查对立事件独立事件的概率、独立重复试验即二项分布的期望等知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力． 　 19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1． （Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB； （Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image445.png){width="1.9305555555555556in" height="1.1805555555555556in"} 【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题． 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可 （Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image446.png){width="1.8333333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image447.png){width="1.1666666666666667in" height="0.22916666666666666in"}为锐角时，所求的角即为它的余角；当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image448.png){width="1.1666666666666667in" height="0.22916666666666666in"}为钝角时，所求的角为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image449.png){width="1.1527777777777777in" height="0.3680555555555556in"} 【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中， ∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1 ∴AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image450.png){width="1.1736111111111112in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image451.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} ∵侧面SAB为等边三角形，AB=2 ∴SA=2 ∵SD=1 ∴AD^2^=SA^2^+SD^2^ ∴SD⊥SA 同理：SD⊥SB ∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB ∴SD⊥平面SAB （Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系 则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0）， 作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image452.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，从而解得SM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image453.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，故可得S（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image454.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image455.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}） 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image456.png){width="3.0833333333333335in" height="0.3819444444444444in"} 设平面SBC的一个法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image457.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"} 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image458.png){width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image459.png){width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"} 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image460.png){width="1.2083333333333333in" height="0.8888888888888888in"} 取x=0，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image461.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，z=1 即平面SBC的一个法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image462.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}=（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image461.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，1） 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image463.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，2，0） cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image464.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image465.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image466.png){width="0.8888888888888888in" height="0.4513888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image467.png){width="0.2361111111111111in" height="0.4097222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image468.png){width="0.3263888888888889in" height="0.3819444444444444in"} ∴＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image464.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image465.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞=arccos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image469.png){width="0.3263888888888889in" height="0.3819444444444444in"} 即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image469.png){width="0.3263888888888889in" height="0.3819444444444444in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image470.png){width="2.2916666666666665in" height="1.6041666666666667in"} 【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题． 　 20．（12分）设数列{a~n~}满足a~1~=0且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image471.png){width="1.25in" height="0.4236111111111111in"}． （Ⅰ）求{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image472.png){width="0.9444444444444444in" height="0.4652777777777778in"}，记![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image473.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，证明：S~n~＜1． 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式；8K：数列与不等式的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】（Ⅰ）由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image474.png){width="0.625in" height="0.4236111111111111in"}是公差为1的等差数列，知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image475.png){width="1.8611111111111112in" height="0.4236111111111111in"}，由此能求出{a~n~}的通项公式． （Ⅱ）由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image476.png){width="0.9444444444444444in" height="0.4652777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image477.png){width="0.625in" height="0.6041666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image478.png){width="0.75in" height="0.3819444444444444in"}，能够证明S~n~＜1． 【解答】解：（Ⅰ）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image479.png){width="0.625in" height="0.4236111111111111in"}是公差为1的等差数列， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image480.png){width="1.8611111111111112in" height="0.4236111111111111in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image481.png){width="0.6041666666666666in" height="0.3680555555555556in"}（n∈N^\*^）． （Ⅱ）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image482.png){width="0.9444444444444444in" height="0.4652777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image483.png){width="0.625in" height="0.6041666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image484.png){width="0.75in" height="0.3819444444444444in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image485.png){width="2.5069444444444446in" height="0.3819444444444444in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image486.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3819444444444444in"}=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image487.png){width="0.4097222222222222in" height="0.3819444444444444in"}＜1． 【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意裂项求和法的合理运用． 　 21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image488.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image489.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的直线l与C交于A、B两点，点P满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image490.png){width="0.9791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}． （Ⅰ）证明：点P在C上； （Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image491.png){width="1.5in" height="1.4097222222222223in"} 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想． 【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image492.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}，根据已知中过F且斜率为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image493.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的直线l与C交于A、B两点，点P满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image494.png){width="0.9791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，我们求出点P的坐标，代入验证即可． （2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可． 【解答】证明：（Ⅰ）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~） 椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image495.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}①，则直线AB的方程为：y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image493.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}x+1 ② 联立方程可得4x^2^﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image493.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}x﹣1=0， 则x~1~+x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image496.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，x~1~×x~2~=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image497.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} 则y~1~+y~2~=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image498.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}（x~1~+x~2~）+2=1 设P（p~1~，p~2~）， 则有：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image499.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（x~1~，y~1~），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image500.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（x~2~，y~2~），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image501.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（p~1~，p~2~）； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image499.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image500.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（x~1~+x~2~，y~1~+y~2~）=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image502.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，1）；![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image503.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（p~1~，p~2~）=﹣（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image504.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image505.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}）=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image506.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，﹣1） ∴p的坐标为（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image506.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上． （Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上． 设线段AB的中点坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image507.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4236111111111111in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image508.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4375in"}），即（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image509.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image510.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）， 则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image510.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image511.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image509.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}），即y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image511.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image512.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}；③ ∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点， 则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image513.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}x④； ③④联立方程组，解之得：x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image514.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image515.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} ③④的交点就是圆心O~1~（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image514.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image515.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）， r^2^=\|O~1~P\|^2^=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image513.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}﹣（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image516.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}））^2^+（﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image517.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image518.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"} 故过P Q两点圆的方程为：（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image516.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}）^2^+（y﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image517.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image518.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}...⑤， 把y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image519.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}x+1 ...②代入⑤， 有x~1~+x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image520.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，y~1~+y~2~=1 ∴A，B也是在圆⑤上的． ∴A、P、B、Q四点在同一圆上． 【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键． 　 22．（12分）（Ⅰ）设函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image521.png){width="1.4097222222222223in" height="0.3680555555555556in"}，证明：当x＞0时，f（x）＞0． （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p，证明：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image522.png){width="1.25in" height="0.4236111111111111in"}． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；16：压轴题． 【分析】（Ⅰ）欲证明当x＞0时，f（x）＞0，由于f（0）=0利用函数的单调性，只须证明f（x）在\[0，+∞）上是单调增函数即可．先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案． （Ⅱ）先计算概率P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image523.png){width="0.4583333333333333in" height="0.5347222222222222in"}，再证明![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image523.png){width="0.4583333333333333in" height="0.5347222222222222in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image524.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4236111111111111in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image525.png){width="0.9722222222222222in" height="0.4236111111111111in"}，即证明99×98×...×81＜（90）^19^，最后证明![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image526.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4236111111111111in"}＜e^﹣2^，即证![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image527.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4236111111111111in"}＞e^2^，即证19ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image528.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}＞2，即证ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image528.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image529.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}，而这个结论由（1）所得结论可得 【解答】（Ⅰ）证明：∵f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image530.png){width="2.4166666666666665in" height="0.4791666666666667in"}， ∴当x＞﹣1，时f′（x）≥0， ∴f（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数， ∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0． 即当x＞0时，f（x）＞0． （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，连续抽取20次，则抽得的20个号码互不相同的概率为P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image531.png){width="0.4583333333333333in" height="0.5347222222222222in"}，要证P＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image532.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4236111111111111in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image533.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}． 先证：P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image531.png){width="0.4583333333333333in" height="0.5347222222222222in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image534.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4236111111111111in"}，即证![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image535.png){width="1.3055555555555556in" height="0.4236111111111111in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image536.png){width="0.9722222222222222in" height="0.4236111111111111in"} 即证99×98×...×81＜（90）^19^ 而99×81=（90+9）×（90﹣9）=90^2^﹣9^2^＜90^2^ 98×82=（90+8）×（90﹣8）=90^2^﹣8^2^＜90^2^... 91×89=（90+1）×（90﹣1）=90^2^﹣1^2^＜90^2^ ∴99×98×...×81＜（90）^19^ 即P＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image534.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4236111111111111in"} 再证：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image534.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4236111111111111in"}＜e^﹣2^，即证![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image537.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4236111111111111in"}＞e^2^，即证19ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image538.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}＞2，即证ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image538.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image539.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"} 由（Ⅰ）f（x）=ln（1+x）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image540.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}，当x＞0时，f（x）＞0． 令x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image541.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，则ln（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image542.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image543.png){width="0.3541666666666667in" height="0.7638888888888888in"}=ln（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image542.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image544.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}＞0，即ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image545.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image544.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"} 综上有：P＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image546.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4236111111111111in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image547.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"} 【点评】本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等，考查运算求解能力，函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识．通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力． 　 **\ ** 2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） -------------------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）** 1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁~U~（M∩N）=（　　） A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{1，4} 【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先根据交集的定义求出M∩N，再依据补集的定义求出∁~U~（M∩N）． 【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则∁~U~（M∩N）={1，4}， 故选：D． 【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集的方法． 　 2．（5分）函数y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image548.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}（x≥0）的反函数为（　　） A．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image549.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}（x∈R） B．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image550.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}（x≥0） C．y=4x^2^（x∈R） D．y=4x^2^（x≥0） 【考点】4R：反函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）． 【解答】解：∵y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image551.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}（x≥0）， ∴x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image552.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}，y≥0， 故反函数为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image549.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4236111111111111in"}（x≥0）． 故选：B． 【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域． 　 3．（5分）设向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image553.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image554.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image553.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image554.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image553.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image554.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image555.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image556.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image557.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=（　　） A．.![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image558.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image559.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image560.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．.![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image561.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image562.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image563.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image564.png){width="0.8055555555555556in" height="0.2916666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image565.png){width="1.2638888888888888in" height="0.2916666666666667in"}，代入已知可求 【解答】解：∵\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image562.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image563.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image562.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image563.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image566.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}， \|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image567.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image568.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image569.png){width="0.8055555555555556in" height="0.2916666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image570.png){width="1.2638888888888888in" height="0.2916666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image571.png){width="0.8541666666666666in" height="0.1875in"} 故选：B． 【点评】本题主要考查了向量的数量积 性质的基本应用，属于基础试题 　 4．（5分）若变量x、y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image572.png){width="0.7916666666666666in" height="0.6736111111111112in"}，则z=2x+3y的最小值为（　　） A．17 B．14 C．5 D．3 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合． 【分析】我们先画出满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image573.png){width="0.7916666666666666in" height="0.6736111111111112in"}的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标函数的最值． 【解答】解：约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image573.png){width="0.7916666666666666in" height="0.6736111111111112in"}的平面区域如图所示： 由图可知，当x=1，y=1时，目标函数z=2x+3y有最小值为5 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image574.png){width="2.2847222222222223in" height="2.3541666666666665in"} 【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键． 　 5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（　　） A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a^2^＞b^2^ D．a^3^＞b^3^ 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有 【专题】5L：简易逻辑． 【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项． 【解答】解：a＞b+1⇒a＞b； 反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1， 故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件． 故选：A． 【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法． 　 6．（5分）设S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，若a~1~=1，公差d=2，S~k+2~﹣S~k~=24，则k=（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先由等差数列前n项和公式求得S~k+2~，S~k~，将S~k+2~﹣S~k~=24转化为关于k的方程求解． 【解答】解：根据题意： S~k+2~=（k+2）^2^，S~k~=k^2^ ∴S~k+2~﹣S~k~=24转化为： （k+2）^2^﹣k^2^=24 ∴k=5 故选：D． 【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题． 　 7．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image575.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image576.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} B．3 C．6 D．9 【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】函数图象平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image575.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果． 【解答】解：f（x）的周期T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image577.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}，函数图象平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image578.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image579.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3680555555555556in"}，k∈Z．令k=1，可得ω=6． 故选：C． 【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型． 　 8．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（　　） A．2 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image580.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image581.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．1 【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得AC⊥CB，△ACB为直角三角形，利用勾股定理可得BC的值；进而在Rt△BCD中，由勾股定理可得CD的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，可得AC⊥面β， 则AC⊥CB，△ACB为Rt△，且AB=2，AC=1， 由勾股定理可得，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image582.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； 在Rt△BCD中，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image582.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，BD=1， 由勾股定理可得，CD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image583.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image584.png){width="2.2083333333333335in" height="1.75in"} 【点评】本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图形，进而构造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解． 　 9．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（　　） A．12种 B．24种 C．30种 D．36种 【考点】D3：计数原理的应用．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有C~4~^2^种结果，余下的两个人各有两种选法，共有2×2种结果，根据分步计数原理得到结果． 【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题， ∵恰有2人选修课程甲，共有C~4~^2^=6种结果， ∴余下的两个人各有两种选法，共有2×2=4种结果， 根据分步计数原理知共有6×4=24种结果 故选：B． 【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这件事一共有几步，每一步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果． 　 10．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image585.png){width="0.5069444444444444in" height="0.3680555555555556in"}=（　　） A．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image586.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} B．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image587.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image587.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image586.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} 【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由题意得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image588.png){width="0.5069444444444444in" height="0.3680555555555556in"}=f（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image589.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} ）=﹣f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image589.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}），代入已知条件进行运算． 【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image588.png){width="0.5069444444444444in" height="0.3680555555555556in"}=f（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image589.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} ）=﹣f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image589.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）=﹣2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image589.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} （1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image589.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} ）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image589.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}， 故选：A． 【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值． 　 11．（5分）设两圆C~1~、C~2~都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离\|C~1~C~2~\|=（　　） A．4 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image590.png){width="0.3125in" height="0.1875in"} C．8 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image591.png){width="0.3125in" height="0.1875in"} 【考点】J1：圆的标准方程．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），（b，b），利用条件可得a和b分别为x^2^﹣10x+17=0 的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离\|C~1~C~2~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image592.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image593.png){width="0.6319444444444444in" height="0.25in"}的值． 【解答】解：∵两圆C~1~、C~2~都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内， 设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a），（b，b），由于两圆都过点（4，1）， 则有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image594.png){width="1.2361111111111112in" height="0.25in"}=\|a\|，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image595.png){width="1.2361111111111112in" height="0.25in"}=\|b\|， 故a和b分别为（x﹣4）^2^+（x﹣1）^2^=x^2^ 的两个实数根， 即a和b分别为x^2^﹣10x+17=0 的两个实数根，∴a+b=10，ab=17， ∴（a﹣b）^2^=（a+b）^2^﹣4ab=32，∴两圆心的距离\|C~1~C~2~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image596.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image597.png){width="0.6319444444444444in" height="0.25in"}=8， 故选：C． 【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基础题． 　 12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（　　） A．7π B．9π C．11π D．13π 【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积． 【解答】解：∵圆M的面积为4π ∴圆M的半径为2 根据勾股定理可知OM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image598.png){width="0.3125in" height="0.1875in"} ∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N ∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image599.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} ∴圆N的半径为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image600.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} 则圆的面积为13π 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image601.png){width="1.0625in" height="1.0555555555555556in"} 【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题． 　 **二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）** 13．（5分）（1﹣x）^10^的二项展开式中，x的系数与x^9^的系数之差为：[　0　]{.underline}． 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数分别取1；9求出展开式的x的系数与x^9^的系数；求出两个系数的差． 【解答】解：展开式的通项为T~r+1~=（﹣1）^r^C~10~^r^x^r^ 所以展开式的x的系数﹣10 x^9^的系数﹣10 x的系数与x^9^的系数之差为（﹣10）﹣（﹣10）=0 故答案为：0 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题． 　 14．（5分）已知a∈（π，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image602.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}），tanα=2，则cosα=[　﹣]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image603.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}[　]{.underline}． 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先利用α的范围确定cosα的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系，求得cosα的值． 【解答】解：∵a∈（π，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image602.png){width="0.2986111111111111in" height="0.3680555555555556in"}）， ∴cosα＜0 ∴cosα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image604.png){width="0.875in" height="0.4513888888888889in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image603.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"} 故答案为：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image603.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"} 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．解题的关键是利用那个角的范围确定三角函数符号． 　 15．（5分）已知正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E为C~1~D~1~的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image605.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}[　]{.underline}． 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合；35：转化思想． 【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果． 【解答】解：连接DE，设AD=2 易知AD∥BC， ∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角， 在△RtADE中，由于DE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image606.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AD=2，可得AE=3 ∴cos∠DAE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image607.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image608.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image608.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image609.png){width="1.9027777777777777in" height="1.5069444444444444in"} 【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想． 　 16．（5分）已知F~1~、F~2~分别为双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image610.png){width="0.7430555555555556in" height="0.4375in"}的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F~1~AF~2~的平分线，则\|AF~2~\|=[　6　]{.underline}． 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题． 【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径． 【解答】解： 不妨设A在双曲线的右支上 ∵AM为∠F~1~AF~2~的平分线 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image611.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image612.png){width="0.9444444444444444in" height="0.4791666666666667in"} 又∵\|AF~1~\|﹣\|AF~2~\|=2a=6 解得\|AF~2~\|=6 故答案为6 【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义． 　 **三、解答题（共6小题，满分70分）** 17．（10分）设等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~，已知a~2~=6，6a~1~+a~3~=30，求a~n~和S~n~． 【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】设出等比数列的公比为q，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前n项和的公式即可． 【解答】解：设{a~n~}的公比为q，由题意得： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image613.png){width="1.25in" height="0.5763888888888888in"}， 解得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image614.png){width="0.4930555555555556in" height="0.4652777777777778in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image615.png){width="0.4930555555555556in" height="0.4652777777777778in"}， 当a~1~=3，q=2时：a~n~=3×2^n﹣1^，S~n~=3×（2^n^﹣1）； 当a~1~=2，q=3时：a~n~=2×3^n﹣1^，S~n~=3^n^﹣1． 【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题． 　 18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image616.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}asinC=bsinB， （Ⅰ）求B； （Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c． 【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B． （Ⅱ）利用两角和公式先求得sinA的值，进而利用正弦定理分别求得a和c． 【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得a^2^+c^2^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image617.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}ac=b^2^， 由余弦定理可得b^2^=a^2^+c^2^﹣2accosB， 故cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image618.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，B=45° （Ⅱ）sinA=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image619.png){width="0.5486111111111112in" height="0.3819444444444444in"} 故a=b×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image620.png){width="0.3819444444444444in" height="0.3680555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image621.png){width="0.5486111111111112in" height="0.4097222222222222in"}=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image622.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} ∴c=b×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image623.png){width="0.3819444444444444in" height="0.3680555555555556in"}=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image624.png){width="0.2708333333333333in" height="0.8055555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image625.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用． 　 19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立． （Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； （Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． 【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（I）设该车主购买乙种保险的概率为P，由相互独立事件概率公式可得P（1﹣0.5）=0.3，解可得p，先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案． （II）该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买，是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率，代入公式得到结果． 【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为p， 根据题意可得p×（1﹣0.5）=0.3，解可得p=0.6， 该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2， 由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8 （II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，则该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率P=C~3~^1^×0.2×0.8^2^=0.384． 【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率，考查对立事件的概率公式，是一个综合题目． 　 20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1． （Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB； （Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image626.png){width="1.9305555555555556in" height="1.1805555555555556in"} 【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题． 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可 （Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image627.png){width="1.8333333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image628.png){width="1.1666666666666667in" height="0.22916666666666666in"}为锐角时，所求的角即为它的余角；当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image628.png){width="1.1666666666666667in" height="0.22916666666666666in"}为钝角时，所求的角为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image629.png){width="1.1527777777777777in" height="0.3680555555555556in"} 【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中， ∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1 ∴AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image630.png){width="1.1736111111111112in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image631.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} ∵侧面SAB为等边三角形，AB=2 ∴SA=2 ∵SD=1 ∴AD^2^=SA^2^+SD^2^ ∴SD⊥SA 同理：SD⊥SB ∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB ∴SD⊥平面SAB （Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系 则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0）， 作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image632.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，从而解得SM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image633.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，故可得S（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image632.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image633.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}） 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image634.png){width="3.0833333333333335in" height="0.3819444444444444in"} 设平面SBC的一个法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image635.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"} 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image636.png){width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image637.png){width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"} 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image638.png){width="1.2083333333333333in" height="0.8888888888888888in"} 取x=0，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image639.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，z=1 即平面SBC的一个法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image640.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}=（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image641.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，1） 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image642.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，2，0） cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image642.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image643.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image644.png){width="0.8888888888888888in" height="0.4513888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image645.png){width="0.2361111111111111in" height="0.4097222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image646.png){width="0.3263888888888889in" height="0.3819444444444444in"} ∴＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image647.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image648.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞=arccos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image646.png){width="0.3263888888888889in" height="0.3819444444444444in"} 即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image646.png){width="0.3263888888888889in" height="0.3819444444444444in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image649.png){width="2.2916666666666665in" height="1.6041666666666667in"} 【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=x^3^+3ax^2^+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R） （Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）； （Ⅱ）若f（x）在x=x~0~处取得极小值，x~0~∈（1，3），求a的取值范围． 【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）在x=0处的导数和f（0）的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程； （Ⅱ）f（x）在x=x~0~处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的a的大致取值范围，然后通过极小值对应的x~0~∈（1，3），解关于a的不等式，从而得出取值范围 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x^2^+6ax+3﹣6a 由f（0）=12a﹣4，f′（0）=3﹣6a， 可得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=（3﹣6a）x+12a﹣4， 当x=2时，y=2（3﹣6a）+12a﹣4=2，可得点（2，2）在切线上 ∴曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2） （Ⅱ）由f′（x）=0得 x^2^+2ax+1﹣2a=0...（1） 方程（1）的根的判别式 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image650.png){width="2.9444444444444446in" height="0.25in"} ①当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image651.png){width="1.3125in" height="0.1875in"}时，函数f（x）没有极小值 ②当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image652.png){width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image653.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}时， 由f′（x）=0得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image654.png){width="2.9166666666666665in" height="0.2777777777777778in"} 故x~0~=x~2~，由题设可知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image655.png){width="1.5347222222222223in" height="0.25in"} （i）当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image656.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}时，不等式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image655.png){width="1.5347222222222223in" height="0.25in"}没有实数解； （ii）当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image657.png){width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}时，不等式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image658.png){width="1.5347222222222223in" height="0.25in"} 化为a+1＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image659.png){width="0.7430555555555556in" height="0.25in"}＜a+3， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image660.png){width="1.2361111111111112in" height="0.3680555555555556in"} 综合①②，得a的取值范围是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image661.png){width="1.0694444444444444in" height="0.3680555555555556in"} 【点评】将字母a看成常数，讨论关于x的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于a的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高． 　 22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image662.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image663.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的直线l与C交于A、B两点，点P满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image664.png){width="0.9791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}． （Ⅰ）证明：点P在C上； （Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image665.png){width="1.5in" height="1.4097222222222223in"} 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想． 【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image666.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}，根据已知中过F且斜率为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image667.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的直线l与C交于A、B两点，点P满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image668.png){width="0.9791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，我们求出点P的坐标，代入验证即可． （2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可． 【解答】证明：（Ⅰ）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~） 椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image666.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}①，则直线AB的方程为：y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image667.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}x+1 ② 联立方程可得4x^2^﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image667.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}x﹣1=0， 则x~1~+x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image669.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，x~1~×x~2~=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image670.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} 则y~1~+y~2~=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image671.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}（x~1~+x~2~）+2=1 设P（p~1~，p~2~）， 则有：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image672.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（x~1~，y~1~），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image673.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（x~2~，y~2~），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image674.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（p~1~，p~2~）； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image672.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image673.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（x~1~+x~2~，y~1~+y~2~）=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image675.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，1）；![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image676.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（p~1~，p~2~）=﹣（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image677.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image678.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}）=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image679.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，﹣1） ∴p的坐标为（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image679.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上． （Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上． 设线段AB的中点坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image680.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4236111111111111in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image681.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4375in"}），即（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image682.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image683.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）， 则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image683.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image684.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image682.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}），即y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image684.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image685.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}；③ ∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点， 则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image686.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}x④； ③④联立方程组，解之得：x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image687.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image688.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"} ③④的交点就是圆心O~1~（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image687.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image688.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）， r^2^=\|O~1~P\|^2^=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image686.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}﹣（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image687.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}））^2^+（﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image688.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image689.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"} 故过P Q两点圆的方程为：（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image690.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}）^2^+（y﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image691.png){width="0.1388888888888889in" height="0.3680555555555556in"}）^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image689.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3680555555555556in"}...⑤， 把y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image692.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}x+1 ...②代入⑤， 有x~1~+x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image693.png){width="0.2361111111111111in" height="0.3819444444444444in"}，y~1~+y~2~=1 ∴A，B也是在圆⑤上的． ∴A、P、B、Q四点在同一圆上． 【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键． 　 2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） -------------------------------------------- **数学（理科）试题参考答案** 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分. （1）A （2）C （3）A （4）B （5）D （6）C （7）D （8）B （9）C （10）B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分25分. （11）15 （12）0 （13） （14） （15）①③⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （16）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系求解一元二次不等式等基本知识，考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力 解：对求导得 ① （Ⅰ）当时，若，则，解得 结合①，可知 --- ---- -------- ---- -------- ---- x \+ 0 \_ 0 \+ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ --- ---- -------- ---- -------- ---- 所以，是极小值点，是极大值点 （Ⅱ）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a\>0，知 在R上恒成立，因此，由此并结合a\>0，知. （17）本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力 （Ⅰ）（综合法） 证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点，由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以OB∥,OB=,OG=OD=2 同理，设G′是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG′=OD=2，又由于G和G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合 在△GED和△GFD中，由OB∥,OB=和OC∥, OC=,可知B,C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF. **（向量法）** 过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q，连QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED,以Q为坐标原点，为x轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系 由条件知E(，0,0)，F（0,0，），B（，-，0），C（0，-，） 则有，， 所以，即得BC∥EF. （Ⅱ）**解**：由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知S~EOB~=,而△OED是边长为2的正三角形，故S~OED~=,所以S~OBED~=S~EOB~+S~OED~= 过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F-OBED的高，且FQ=，所以V~F-OBED~=FQ·S~OBED~= **（18）**本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，创新思维能力和运算求解能力 解：（Ⅰ）设构成等比数列，其中，则 ① ② ①×②并利用，得 （Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知 另一方面，利用 得 所以 （19）本题考查不等式的性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形和推理论证能力 证明：（Ⅰ）由于x≥1,y≥1，所以 将上式中的右式减左式，得 既然x≥1,y≥1，所以，从而所要证明的不等式成立 （Ⅱ）设，由对数的换底公式得 于是，所要证明的不等式即为 其中 故由（Ⅰ）立知所要证明的不等式成立 （20）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识 解：（Ⅰ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于 （Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，随机变量X的分布列为 --- --- --- --- X 1 2 3 P --- --- --- --- 所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是 EX=++ = （Ⅲ）（方法一）由（Ⅱ）的结论知，当甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时， EX= 根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值 下面证明：对于的任意排列，都有 （＊） 事实上， 即（＊）成立 （方法二）（ⅰ）可将（Ⅱ）中所求的EX改写为，若交换前两人的派出顺序，则变为由此可见，当时，交换前两人的派出顺序可减少均值 （ⅱ）也可将（Ⅱ）中所求的EX改写为，若交换后两人的派出顺序，则变为由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序也可减少均值 综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当=时，EX达到最小即完成任务概率大的人优先派出，可减少所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的 （21）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养 解：由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x,y),Q(x,y~0~),M(x,x^2^),则,即 ① 再设，由，即，解得 ② 将①式代入②式，消去，得 ③ 又点B在抛物线上，所以，再将③式代入，得 整理得 因，两边同除以，得 故所求点P的轨迹方程为 2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） -------------------------------------------- 数学（文科）参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分. （1）A （2）B （3）C （4）B （5）D （6）B （7）A （8）C （9）D （10）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分25分. （1）－3 （12）15 （13）（－3，2） （14） （15）①，③ 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分）本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用正弦定理或余弦定理解三角形，以及三角形的边与角之间的对应大小关系，考查综合运算求和能力. 解：由，得 再由正弦定理，得 由上述结果知 设边BC上的高为h，则有 （17）（本小题满分13分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力. 证明：（I）反证法，假设是*l*~1~与*l*~2~不相交，则*l*~1~与*l*~2~平行，有k~1~=k~2~，代入k~1~k~2~+2=0，得 此与k~1~为实数的事实相矛盾. 从而相交. （II）（方法一）由方程组 解得交点*P*的坐标为 而 此即表明交点 （方法二）交点*P*的坐标满足 整理后，得 所以交点*P*在椭圆 （18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力. 解：对求导得![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image804.wmf){width="1.6111111111111112in" height="0.5in"} ① （I）当![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image805.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}，若 综合①,可知 -- ---- -------- ---- -------- ---- \+ 0 － 0 \+ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ -- ---- -------- ---- -------- ---- 所以,是极小值点,是极大值点. （II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a\>0，知 在R上恒成立，因此由此并结合，知 （19）（本小题满分13分）本题考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力. ![](./data/image/media/image823.png){width="2.625in" height="1.7333333333333334in"} （I）证明：设*G*是线段*DA*与*EB*延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以 ∥，OG=OD=2， 同理，设是线段DA与FC延长线的交点，有 又由于G和都在线段DA的延长线上，所以G与重合. 在△GED和△GFD中，由∥和OC∥，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF. （II）解：由OB=1，OE=2，，而△OED是边长为2的正三角形，故 所以 过点F作FQ⊥DG，交DG于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F---OBED的高，且FQ=，所以 （20）（本小题满分10分）本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法，数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力. 解：（I）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下： -------------- ------ ------ --- ---- ---- 年份---2006 －4 －2 0 2 4 需求量---257 －21 －11 0 19 29 -------------- ------ ------ --- ---- ---- 对预处理后的数据，容易算得 由上述计算结果，知所求回归直线方程为 即 ① （II）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为 （万吨）≈300（万吨）. 21．（本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力. 解：（I）设构成等比数列，其中则 ① ② ①×②并利用 （II）由题意和（I）中计算结果，知 另一方面，利用 得 所以 2011年普通高等学校招生全国统一考试 ---------------------------------- 数学（理）（北京卷）参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）D （5）A （6）D （7）C （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10）1 （11）---2 （12）14 （13）（0，1） （14）②③ 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为 > 所以的最小正周期为 > > （Ⅱ）因为 > > 于是，当时，取得最大值2； > > 当取得最小值---1. > > （16）（共14分） > > ![](./data/image/media/image864.png){width="1.8333333333333333in" height="1.71875in"} 证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形， > > 所以AC⊥BD. > > 又因为PA⊥平面ABCD. > > 所以PA⊥BD. > > 所以BD⊥平面PAC. > > （Ⅱ）设AC∩BD=O. > > 因为∠BAD=60°，PA=PB=2, > > 所以BO=1，AO=CO=. > > 如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O---xyz，则 > > P（0，---，2），A（0，---，0），B（1，0，0），C（0，，0）. > > 所以 > > 设PB与AC所成角为，则 . （Ⅲ）由（Ⅱ）知 设P（0，－，t）（t\>0）， 则 设平面PBC的法向量, 则 所以 令则 所以 同理，平面PDC的法向量 因为平面PCB⊥平面PDC, 所以=0，即 解得 > 所以PA= （17）（共13分） > 解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， > > 所以平均数为 > > 方差为 > > （Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件"Y=17"等价于"甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵"所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）= > > 同理可得 > > 所以随机变量Y的分布列为： --- ---- ---- ---- ---- ---- Y 17 18 19 20 21 P --- ---- ---- ---- ---- ---- > EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21× > > =19 （18）（共13分） > 解：（Ⅰ） > > 令，得. > > 当k\>0时，的情况如下 --- ---- --- ------ --- ---- x () (,k) k \+ 0 --- 0 \+ ↗ ↘ 0 ↗ --- ---- --- ------ --- ---- > 所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是当k\<0时，的情况如下 --- ----- --- ------ --- ----- x () (,k) k --- 0 \+ 0 --- ↘ 0 ↗ ↘ --- ----- --- ------ --- ----- > 所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是 > > （Ⅱ）当k\>0时，因为，所以不会有 > > 当k\<0时，由（Ⅰ）知在（0，+）上的最大值是 > > 所以等价于 > > 解得. > > 故当时，k的取值范围是 （19）（共14分） > 解：（Ⅰ）由已知得 > > 所以 > > 所以椭圆G的焦点坐标为 > > 离心率为 > > （Ⅱ）由题意知，. > > 当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为 > > 此时 > > 当m=－1时，同理可得 > > 当时，设切线l的方程为 > > 由 > > 设A、B两点的坐标分别为，则 > > 又由*l*与圆 > > 所以 > > 由于当时， > > 所以. > > 因为 > > 且当时，\|AB\|=2，所以\|AB\|的最大值为2. （20）（共13分） > 解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A~5~ > > （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A~5~） > > （Ⅱ）必要性：因为E数列A~5~是递增数列， > > 所以. > > 所以A~5~是首项为12，公差为1的等差数列. 所以a2000=12+（2000---1）×1=2011. 充分性，由于a2000---a1000≤1， a2000---a1000≤1 ...... a2---a1≤1 所以a2000---a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因为a1=12，a2000=2011, 所以a2000=a1+1999. 故是递增数列. 综上，结论得证 （Ⅲ）令 因为 ...... 所以 因为 所以为偶数, 所以要使为偶数, 即4整除. 当 时，有 当的项满足， 当不能被4整除，此时不存在E数列An， 使得 2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） -------------------------------------------- 数学（文）**参考答案** 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）D （2）A （3）D （4）D （5）B （6）C （7）B （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9） （10）2 （11）1 （12）2 （13）（0，1） （14）6 6，7，8， 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为 所以的最小正周期为 （Ⅱ）因为 于是，当时，取得最大值2； 当取得最小值---1． （16）（共13分） > 解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， > > 所以平均数为 > > 方差为 > > （Ⅱ）记甲组四名同学为A~1~，A~2~，A~3~，A~4~，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B~1~，B~2~，B~3~，B~4~，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是： （A~1~，B~1~），（A~1~，B~2~），（A~1~，B~3~），（A~1~，B~4~）， （A~2~，B~1~），（A~2~，B~2~），（A~2~，B~3~），（A~2~，B~4~）， （A~3~，B~1~），（A~2~，B~2~），（A~3~，B~3~），（A~1~，B~4~）， （A~4~，B~1~），（A~4~，B~2~），（A~4~，B~3~），（A~4~，B~4~）， 用C表示："选出的两名同学的植树总棵数为19"这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A~1~，B~4~），（A~2~，B~4~），（A~3~，B~2~），（A~4~，B~2~），故所求概率为 （17）（共14分） 证明：（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点， > 所以DE//PC > > 又因为DE平面BCP， > > ![](./data/image/media/image970.png){width="1.6041666666666667in" height="1.6770833333333333in"}所以DE//平面BCP > > （Ⅱ）因为D，E，F，G分别为 > > AP，AC，BC，PB的中点， > > 所以DE//PC//FG，DG//AB//EF > > 所以四边形DEFG为平行四边形， > > 又因为PC⊥AB， > > 所以DE⊥DG， > > 所以四边形DEFG为矩形 > > （Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下： > > 连接DF，EG，设Q为EG的中点 > > 由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG. > > 分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN > > 与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q， > > 且QM=QN=EG， > > 所以Q为满足条件的点. （18）（共13分） 解：（Ⅰ） 令，得． 与的情况如下： --- -------- --- ---- x （） （ ------ 0 \+ ↗ ↗ --- -------- --- ---- 所以，的单调递减区间是（）；单调递增区间是 （Ⅱ）当，即时，函数在\[0，1\]上单调递增， 所以（x）在区间\[0，1\]上的最小值为 当时， 由（Ⅰ）知上单调递减，在上单调递增，所以在区间\[0，1\]上的最小值为； 当时，函数在\[0，1\]上单调递减， 所以在区间\[0，1\]上的最小值为 （19）（共14分） 解：（Ⅰ）由已知得 解得 又 > 所以椭圆G的方程为 > > （Ⅱ）设直线*l*的方程为 > > 由得 > > 设A、B的坐标分别为AB中点为E， > > 则 > > 因为AB是等腰△PAB的底边， > > 所以PE⊥AB. > > 所以PE的斜率 > > 解得m=2 > > 此时方程①为 > > 解得 > > 所以 > > 所以\|AB\|=. > > 此时，点P（---3，2）到直线AB：的距离 > > 所以△PAB的面积S= （20）（共13分） 解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一具满足条件的E数列A~5~. （答案不唯一，0，---1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，±1，0，---1，---2；0，±1，0，---1，\ ---2，0，±1，0，---1，0都是满足条件的E的数列A~5~） （Ⅱ）必要性：因为E数列A~5~是递增数列， 所以． 所以A~5~是首项为12，公差为1的等差数列． 所以a2000=12+（2000---1）×1=2011． 充分性，由于a2000---a1000≤1， a2000---a1000≤1 ...... a2---a1≤1 所以a2000---at≤19999，即a2000≤a1+1999． 又因为a1=12，a2000=2011, 所以a~2000~=a~1~+1999． 故是递增数列． 综上，结论得证. （Ⅲ）对首项为4的E数列A~k~，由于 > ...... > > ...... > > 所以 > > 所以对任意的首项为4的E数列A~m~，若 > > 则必有. > > 又的E数列 > > 所以n是最小值是9. 绝密☆启用前 2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） -------------------------------------------- **数学（理工农医类）** ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1023.png){width="6.875in" height="7.208333333333333in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1024.png){width="6.625in" height="3.7916666666666665in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1025.png){width="6.625in" height="6.652777777777778in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1026.png){width="6.875in" height="3.625in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1027.png){width="6.75in" height="6.611111111111111in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1028.png){width="6.875in" height="4.270833333333333in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1029.png){width="6.75in" height="6.840277777777778in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1030.png){width="6.75in" height="1.7291666666666667in"} 2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） -------------------------------------------- ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1031.png){width="7.0in" height="3.576388888888889in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1032.png){width="7.0in" height="2.2152777777777777in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1033.png){width="7.131944444444445in" height="3.076388888888889in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1034.png){width="7.0in" height="4.277777777777778in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1035.png){width="7.013888888888889in" height="2.0625in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1036.png){width="7.0625in" height="1.9791666666666667in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1037.png){width="6.590277777777778in" height="3.5in"} 2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） -------------------------------------------- **数学（理科）**参考答案 **一、选择题** ----------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- **题 号** **1** **2** **3** **4** **5** **6** **7** **8** **答 案** **B** **C** **D** **A** **C** **D** **B** **A** ----------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- **二、填空题** **９.　； 10.　84； 11.　10； 12.　2； 13.　185；** **14.　； 15.　；** **三、解答题** 16．解：(1); (2)，，又，， ，， 又，， . 17．解：（1）乙厂生产的产品总数为； （2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为； （3）， ，的分布列为 -- --- --- --- 0 1 2 -- --- --- --- 均值. 18.解：(1) 取*AD*的中点*G*，又*PA*=*PD*，， 由题意知Δ*ABC*是等边三角形，， 又*PG*, *BG*是平面*PGB*的两条相交直线， ， ， ， \(2\) 由（1）知为二面角的平面角， 在中，；在中，； 在中，. 19．解：（1）两圆半径都为2，设圆*C*的半径为*R*，两圆心为、， 由题意得或， ， 可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则 ，所以轨迹L的方程为． （２）∵，仅当时，取＂＝＂， > 由知直线，联立并整理得解得或，此时 所以最大值等于2，此时． 20．解（１）法一：，得， 设，则， （ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列， 即，∴ （ⅱ）当时，设，则， 令，得，， 知是等比数列，，又， ，． 法二：（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列， 即，∴ （ⅱ）当时，，，， 猜想，下面用数学归纳法证明： ①当时，猜想显然成立； ②假设当时，，则 ， 所以当时，猜想成立， 由①②知，，． （２）（ⅰ）当时， ，故时，命题成立； （ⅱ）当时，， ， ，以上n个式子相加得 ， ．故当时，命题成立； 综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立． 21．解：（１）， 直线*AB*的方程为，即， ，方程的判别式， 两根或， ，，又， ，得， ． （２）由知点在抛物线*L*的下方， ①当时，作图可知，若，则，得； 若，显然有点； ． ②当时，点在第二象限， 作图可知，若，则，且； 若，显然有点； ． 根据曲线的对称性可知，当时，， 综上所述，（\*）； 由（１）知点*M*在直线*EF*上，方程的两根或， 同理点*M*在直线上，方程的两根或， 若，则不比、、小， ，又， ；又由（１）知，； ，综合（\*）式，得证． （３）联立，得交点，可知， 过点作抛物线L的切线，设切点为，则， 得，解得， 又，即， ，设，， ，又，； ，， ． 2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） -------------------------------------------- 数学（文科）参考答案 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，共10小题，每小题5分，满分50分 A卷：1---5DBCBA 6---10CADCB 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共5小题，每小题5分，满分20分，其中14---15题是选做题，考生只能选做一题 11．2 12．-9 13．0.5，0.53 14． 15．7：5 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16．（本小题满分12分） 解：（1） ； （2） 故 17．（本小题满分13分） 解：（1） ， （2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法： {1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}， 选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法： {1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}， 故所求概率为 18．（本小题满分13分） 证明：（1）中点， ![](./data/image/media/image1219.png){width="3.09375in" height="2.09375in"} 连接BO~2~ 直线BO~2~是由直线AO~1~平移得到 共面 （2）将AO~1~延长至H使得O~1~H=O~1~A，连接 由平移性质得=HB 19．（本小题满分14分） 解：函数的定义域为 当的判别式 ①当有两个零点， 且当内为增函数； 当内为减函数； ②当内为增函数； ③当内为增函数； ④当 在定义域内有唯一零点， 且当内为增函数；当时，内为减函数 的单调区间如下表： -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- （其中） 20．（本小题满分14分） 解：（1）由 令 当 ①当 ②当时， （2）当 只需 综上所述 21．（本小题满分14分） 解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q， 因此即 ① 另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧） ![](./data/image/media/image1289.png){width="3.8194444444444446in" height="1.6041666666666667in"} MQ为线段OP的垂直平分线， 又 因此M在轴上，此时，记M的坐标为 为分析的变化范围，设为上任意点 由 （即）得， 故的轨迹方程为 ② 综合①和②得，点M轨迹E的方程为 （2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E~1~和E~2~两部分组成（见图3）： ![](./data/image/media/image1305.png){width="2.8472222222222223in" height="2.9583333333333335in"} ； 当时，过Ｔ作垂直于的直线，垂足为，交E~1~于 再过H作垂直于的直线，交 因此，（抛物线的性质） （该等号仅当重合（或H与D重合）时取得） 当时，则 综合可得，\|HO\|+\|HT\|的最小值为3，且此时点H的坐标为 （3）由图3知，直线的斜率不可能为零 设 故的方程得： 因判别式 所以与E中的E~1~有且仅有两个不同的交点 又由E~2~和的方程可知，若与E~2~有交点， 则此交点的坐标为有唯一交点，从而表三个不同的交点 因此，直线的取值范围是 试卷类型：A 2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（理工类） > 本试卷三大题21小题，全卷满分150分考试用时120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： > 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、准考证号填写在试题卷和答题卡上并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置在用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑 > > 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效 > > 3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色墨水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内答在试题卷、草稿纸上无效 > > 4．考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，请将本试题和答题卡一并交上 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1334.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.18055555555555555in"}为虚数单位，则![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1335.wmf){width="0.6805555555555556in" height="0.5138888888888888in"}= A．- ![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1334.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.18055555555555555in"} B．-1 C．![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1334.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.18055555555555555in"} D．1 2．已知![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1336.wmf){width="3.1944444444444446in" height="0.4722222222222222in"},则![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1337.wmf){width="0.3472222222222222in" height="0.2638888888888889in"}= A．![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1338.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.4305555555555556in"} B．![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1339.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.4722222222222222in"} C．![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1340.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.2777777777777778in"} D．![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1341.wmf){width="1.0416666666666667in" height="0.4305555555555556in"} 3．已知函数，若![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1343.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.2222222222222222in"}，则*x*的取值范围为 A．![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1344.wmf){width="2.1666666666666665in" height="0.4722222222222222in"} B．![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1345.wmf){width="2.3333333333333335in" height="0.4722222222222222in"} C．![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1346.wmf){width="2.2222222222222223in" height="0.4305555555555556in"} D．![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1347.wmf){width="2.4027777777777777in" height="0.4305555555555556in"} 4．将两个顶点在抛物线![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1348.wmf){width="1.125in" height="0.25in"}上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则 A．n=0 B．n=1 C． n=2 D．n ![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1349.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.16666666666666666in"}3 5．已知随机变量![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1350.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.2222222222222222in"}服从正态分布![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1351.wmf){width="0.7361111111111112in" height="0.3055555555555556in"}，且Ｐ（![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1350.wmf){width="0.125in" height="0.2222222222222222in"}＜4）＝![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1352.wmf){width="0.25in" height="0.19444444444444445in"}，则Ｐ（0＜![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1350.wmf){width="0.125in" height="0.2222222222222222in"}＜2）＝ Ａ．0．6 B．0．4 C．0．3 D．0．2 6．已知定义在R上的奇函数![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1353.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.2777777777777778in"}和偶函数![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1354.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.2777777777777778in"}满足![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1355.wmf){width="1.8055555555555556in" height="0.2777777777777778in"}（![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1356.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}＞0,且![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1357.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}）．若![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1358.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.2777777777777778in"}，则![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1359.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.2777777777777778in"}= A．2 B．![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1360.wmf){width="0.2222222222222222in" height="0.4305555555555556in"} C． ![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1361.wmf){width="0.2222222222222222in" height="0.4305555555555556in"} D．![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1362.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.2222222222222222in"} 7．如图，用K、![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1363.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}、![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1364.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}三类不同的元件连接成一个系统当![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1365.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.18055555555555555in"}正常工作且![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1363.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}、![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1364.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1363.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}、![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1364.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为 ![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1366.png){width="3.986111111111111in" height="0.875in"} A．0．960 B．0．864 C．0．720 D．0．576 8．已知向量a=（*x*+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥  b．若*x*,*y*满足不等式![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1367.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.2777777777777778in"}，则z的取值范围为 A．\[-2，2\] B．\[-2，3\] C．\[-3，2\] D．\[-3，3\] 9．若实数a,b满足![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1368.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.2222222222222222in"}且![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1369.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.19444444444444445in"}，则称a与b互补，记，那么![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1371.wmf){width="0.7777777777777778in" height="0.2777777777777778in"}是a与b互补的 A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要的条件 10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1372.wmf){width="1.0416666666666667in" height="0.375in"}，其中M~0~为t=0时铯137的含量已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M（60）= A．5太贝克 B．75In2太贝克 C．150In2太贝克 D．150太贝克 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其中答案按先后次序填写答错位置，书写不清，模棱俩可均不给分 11．![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1373.wmf){width="0.8472222222222222in" height="0.5277777777777778in"}的展开式中含![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1374.wmf){width="0.2361111111111111in" height="0.2222222222222222in"}的项的系数为 [ ]{.underline} （结果用数值表示） 12．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为 [ ]{.underline} （结果用最简分数表示） 13．《九章算术》"竹九节"问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 [ ]{.underline} 升 ![](./data/image/media/image1375.png){width="1.3229166666666667in" height="1.0104166666666667in"}14．如图，直角坐标系![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1376.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2222222222222222in"}所在的平面为![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1377.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1527777777777778in"}，直角坐标系![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1378.wmf){width="0.375in" height="0.25in"}（其中![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1379.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}轴一与![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1380.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"} > 轴重合）所在的平面为![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1381.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}，![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1382.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.2222222222222222in"} > > （Ⅰ）已知平面![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1381.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}内有一点![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1383.wmf){width="0.75in" height="0.2638888888888889in"}，则点![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1384.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.20833333333333334in"}在平面![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1385.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1527777777777778in"}内的射影![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1386.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}的 > > 坐标为 [ ]{.underline} ； > > （Ⅱ）已知平面![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1381.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}内的曲线![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1387.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.2222222222222222in"}的方程是![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1388.wmf){width="1.6111111111111112in" height="0.2638888888888889in"}，则曲线![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1387.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.2222222222222222in"}在平面![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1377.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1527777777777778in"}内的射影![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1389.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19444444444444445in"}的方程是 [ ]{.underline} 15．给![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1390.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}个自上而下相连的正方形着黑色或白色当![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1391.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示： ![](./data/image/media/image1392.png){width="2.861111111111111in" height="1.875in"} > 由此推断，当![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1393.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 [ ]{.underline} 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 [ ]{.underline} 种，（结果用数值表示） 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） > 设的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1395.wmf){width="1.4722222222222223in" height="0.4305555555555556in"} > > （Ⅰ）求的周长 > > （Ⅱ）求![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1397.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.2777777777777778in"}的值 17．（本小题满分12分） > 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度*x*（单位：辆/千米）的函数当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1398.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.19444444444444445in"}时，车流速度v是车流密度*x*的一次函数． > > （Ⅰ）当![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1399.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.19444444444444445in"}时，求函数![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1400.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2777777777777778in"}的表达式; > > （Ⅱ）当车流密度![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1401.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1402.wmf){width="1.0in" height="0.2777777777777778in"}可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时） 18．（本小题满分12分） > 如图，已知正三棱柱![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1403.wmf){width="1.0in" height="0.19444444444444445in"}的各棱长都是4，![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1404.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}是![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1405.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.19444444444444445in"}的中点，动点![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1406.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.18055555555555555in"}在侧棱![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1407.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.19444444444444445in"}上，且不与点![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1408.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19444444444444445in"}重合． > > （Ⅰ）当![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1409.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.19444444444444445in"}=1时，求证：![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1410.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.18055555555555555in"}⊥![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1411.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.19444444444444445in"}； > > ![](./data/image/media/image1412.png){width="1.3333333333333333in" height="1.2916666666666667in"}（Ⅱ）设二面角![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1413.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.19444444444444445in"}的大小为![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1414.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}，求![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1415.wmf){width="0.375in" height="0.19444444444444445in"}的最小值． 19．（本小题满分13分） > 已知数列![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1416.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.2777777777777778in"}的前![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1417.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}项和为![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1418.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.19444444444444445in"}，且满足：![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1419.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.1527777777777778in"}![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1420.wmf){width="0.5in" height="0.2222222222222222in"}，![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1421.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.19444444444444445in"} ![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1422.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.2222222222222222in"}N^\*^，![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1423.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.2222222222222222in"}． > > （Ⅰ）求数列![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1416.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.2777777777777778in"}的通项公式； > > （Ⅱ）若存在![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1424.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.19444444444444445in"} N^\*^，使得![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1425.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.19444444444444445in"}，![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1426.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.19444444444444445in"}，![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1427.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.19444444444444445in"}成等差数列，是判断：对于任意的![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1428.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.1527777777777778in"}N^\*^，且![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1429.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.19444444444444445in"}，![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1430.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.1527777777777778in"}，![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1431.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.1527777777777778in"}，![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1432.wmf){width="0.375in" height="0.1527777777777778in"}是否成等差数列，并证明你的结论． 20．（本小题满分14分） > 平面内与两定点![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1433.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.2222222222222222in"}，![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1434.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.2222222222222222in"}![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1435.wmf){width="0.5in" height="0.2222222222222222in"}连续的斜率之积等于非零常数![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1436.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.1527777777777778in"}的点的轨迹，加上![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1437.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.18055555555555555in"}、![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1438.wmf){width="0.2222222222222222in" height="0.18055555555555555in"}两点所成的曲线![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1439.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19444444444444445in"}可以是圆、椭圆成双曲线． > > （Ⅰ）求曲线![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1440.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19444444444444445in"}的方程，并讨论![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1441.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19444444444444445in"}的形状与![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1442.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.1527777777777778in"}值得关系； > > （Ⅱ）当![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1443.wmf){width="0.5in" height="0.19444444444444445in"}时，对应的曲线为![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1444.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.3611111111111111in"}；对给定的![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1445.wmf){width="1.3472222222222223in" height="0.2222222222222222in"}，对应的曲线为![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1446.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}，设![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1447.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.3611111111111111in"}、![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1448.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.25in"}是![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1449.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的两个焦点试问：在![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1450.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.3611111111111111in"}撒谎个，是否存在点![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1451.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.19444444444444445in"}，使得△![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1447.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.3611111111111111in"}![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1451.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.19444444444444445in"}![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1448.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.25in"}的面积![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1452.wmf){width="0.6944444444444444in" height="0.25in"}若存在，求![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1453.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.18055555555555555in"}![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1447.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.3611111111111111in"}![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1451.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.19444444444444445in"}![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1448.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.25in"}的值；若不存在，请说明理由 21．（本小题满分14分） > （Ⅰ）已知函数![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1454.wmf){width="1.1944444444444444in" height="0.2222222222222222in"}，![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1455.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.2222222222222222in"}，求函数![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1456.wmf){width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}的最大值； > > （Ⅱ）设![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1458.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.2222222222222222in"}...，![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1459.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.2222222222222222in"}均为正数，证明： > > （1）若![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1460.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}...![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1461.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.25in"}![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1462.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.16666666666666666in"}![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1463.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}...![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1464.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}，则； > > （2）若![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1463.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}...![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1464.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}=1，则![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1466.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}![北京英才苑，http://ycy.com.cn](./data/image/media/image1467.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.16666666666666666in"} 参考答案 一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分 AABCCBBDCD 二、填空题：本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分 11．17 12． 13． 14．（2，2）， 15．21，43 三、解答题：本大题共6小题，共75分 16．本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力（满分10分） 解：（Ⅰ） 的周长为 （Ⅱ） ，故A为锐角， 17．本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力（满分12分） 解：（Ⅰ）由题意：当；当 再由已知得 故函数的表达式为 （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200； 当时， 当且仅当，即时，等号成立 所以，当在区间\[20，200\]上取得最大值 综上，当时，在区间\[0，200\]上取得最大值 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时 18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力（满分12分） 解法1：过E作于N，连结EF （I）如图1，连结NF、AC~1~，由直棱柱的性质知， 底面ABC侧面A~1~C 又度面侧面A，C=AC，且底面ABC， 所以侧面A~1~C，NF为EF在侧面A~1~C内的射影， > 在中，=1， > > 则由，得NF//AC~1~， > > 又故 > > 由三垂线定理知 > > （II）如图2，连结AF，过N作于M，连结ME > > 由（I）知侧面A~1~C，根据三垂线定理得 > > 所以是二面角C---AF---E的平面角，即， > > 设 > > 在中， > > 在 > > 故 > > 又 > > 故当时，达到最小值； > > ，此时F与C~1~重合 > > 解法2：（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得 > > 于是 > > 则 > > 故 > > （II）设， > > 平面AEF的一个法向量为， > > 则由（I）得F（0，4，） > > ，于是由可得 > > 取 ![](./data/image/media/image1534.png){width="3.7291666666666665in" height="1.6458333333333333in"} 又由直三棱柱的性质可取侧面AC~1~的一个法向量为， 于是由为锐角可得， 所以， 由，得，即 故当，即点F与点C~1~重合时，取得最小值 19．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想（满分13分） 解：（I）由已知可得，两式相减可得 即 又所以r=0时， 数列为：a，0，...，0，...； 当时，由已知（）， 于是由可得， 成等比数列， ， 综上，数列的通项公式为 （II）对于任意的，且成等差数列，证明如下： 当r=0时，由（I）知， 对于任意的，且成等差数列， 当，时， 若存在，使得成等差数列， 则， 由（I）知，的公比，于是 对于任意的，且 成等差数列， 综上，对于任意的，且成等差数列 20．本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想（满分14分） 解：（I）设动点为M，其坐标为， 当时，由条件可得 > 即， > > 又的坐标满足 > > 故依题意，曲线C的方程为 > > 当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆； > > 当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆； > > 当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆； > > 当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线 > > （II）由（I）知，当m=-1时，C~1~的方程为 > > 当时， > > C~2~的两个焦点分别为 > > 对于给定的， > > C~1~上存在点使得的充要条件是 > > 由①得由②得 > > 当 > > 或时， > > 存在点N，使S=\|m\|a^2^； > > 当 > > 或时， > > 不存在满足条件的点N， > > 当时， > > 由， > > 可得 > > 令， > > 则由， > > 从而， > > 于是由， > > 可得 > > 综上可得： > > 当时，在C~1~上，存在点N，使得 > > 当时，在C~1~上，存在点N，使得 > > 当时，在C~1~上，不存在满足条件的点N 21．本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想（满分14分） 解：（I）的定义域为，令 当在（0，1）内是增函数； 当时，内是减函数； 故函数处取得最大值 （II）（1）由（I）知，当时， 有 ，从而有， 得， 求和得 即 （2）①先证 令 则于是 由（1）得，即 ②再证 记， 则， 于是由（1）得 即 综合①②，（2）得证 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1652.png){width="5.583333333333333in" height="9.5in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1653.png){width="5.583333333333333in" height="9.319444444444445in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1654.png){width="5.583333333333333in" height="9.409722222222221in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1655.png){width="5.583333333333333in" height="9.625in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1656.png){width="5.583333333333333in" height="9.51388888888889in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image1657.png){width="5.583333333333333in" height="9.395833333333334in"} 2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） -------------------------------------------- 数学（理工农医类） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分 参考公式：（1），其中为两个事件，且， （2）柱体体积公式，其中为底面面积，为高 （3）球的体积公式，其中为求的半径 一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的 1.若，为虚数单位，且，则（ ） A． B． C． D． 答案：D 解析：因![](./data/image/media/image1673.wmf){width="1.5555555555555556in" height="0.2222222222222222in"}，根据复数相等的条件可知![](./data/image/media/image1674.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.2222222222222222in"} 2.设，，则""是""则（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：A 解析：因""，即，满足""，反之""，则，或，不一定有"" 3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 答案：B 解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积![](./data/image/media/image1686.wmf){width="2.138888888888889in" height="0.4305555555555556in"} 4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： -------- ---- ---- ------ 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 -------- ---- ---- ------ 由算得 附表： -- ------- ------- -------- 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 -- ------- ------- -------- 参照附表，得到的正确结论是（ ） A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为"爱好该项运动与性别有关" B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为"爱好该项运动与性别无关" C．有以上的把握认为"爱好该项运动与性别有关" D．有以上的把握认为"爱好该项运动与性别有关" 答案：C 解析：由![](./data/image/media/image1693.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}，而![](./data/image/media/image1694.wmf){width="1.5555555555555556in" height="0.25in"}，故由独立性检验的意义可知选C. 5.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 答案：C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知 6\. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ） A． B．1 C． D． 答案：D 解析：由定积分知识可得，故选D 7\. 设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 答案：A 解析：画出可行域，可知在点取最大值，由解得 8.设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（ ） A．1 B． C． D． 答案：D 解析：由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小即 二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上 > 一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9.在直角坐标系中，曲线C~1~的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为 [ ]{.underline} 答案：2 解析：曲线，，由圆心到直线的距离，故与的交点个数为2. 10.设,则的最小值为 [ ]{.underline} 答案：9 解析：由柯西不等式可知 ![](./data/image/media/image1750.jpeg){width="1.3229166666666667in" height="1.1041666666666667in"}11.如图2，是半圆周上的两个三等分点，直径， ,垂足为D, 与相交与点F，则的长为 [ ]{.underline} 答案： 解析：由题可知，，,得,， 又，所以. > 二、必做题（12\~16题） 12、设是等差数列的前项和，且，则 答案：25 解析：由可得，所以 ![](./data/image/media/image1771.png){width="1.84375in" height="3.1055555555555556in"} 13、若执行如图3所示的框图，输入，则输出的数等于 [ ]{.underline} 答案： 解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差， 则 14、在边长为1的正三角形中，设，则 答案： 解析：由题，， 所以 ![](./data/image/media/image1782.png){width="1.1354166666666667in" height="1.3104166666666666in"}15、如图4， 是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件"豆子落在正方形内"，B表示事件"豆子落在扇形（阴影部分）内"，则 （1）；（2） 答案：（1）；（2） 解析：（1）由几何概型概率计算公式可得； （2）由条件概率的计算公式可得 16、对于，将表示为，当时，，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：故）则 （1） （2） 答案：（1）2；（2） 解析：（1）因，故； （2）在2进制的位数中，没有0的有1个，有1个0的有个，有2个0的有个，......有个0的有个，......有个0的有个故对所有2进制为位数的数，在所求式中的的和为： 又恰为2进制的最大7位数，所以 三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足. （I）求角的大小； （II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小． 解析：（I）由正弦定理得 因为所以 （II）由（I）知于是 取最大值2． 综上所述，的最大值为2，此时 18\. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据： ---------------- --- --- --- --- 日销售量（件） 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 ---------------- --- --- --- --- 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率 (Ⅰ）求当天商品不进货的概率； （Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望 解析：（I）P（"当天商店不进货"）=P（"当天商品销售量为0件"）+P（"当天商品销售量1件"）= （II）由题意知，的可能取值为2，3. ； 故的分布列为 -- --- --- 2 3 -- --- --- 的数学期望为 19.（本题满分12分）如图5，在圆锥中，已知的直径的中点． ![](./data/image/media/image1846.png){width="2.5208333333333335in" height="2.1979166666666665in"}（I）证明： （II）求二面角的余弦值． 解：（I）连接，因为,为的中点，所以. 又因为内的两条相交直线，所以而，所以 （II）在平面中，过作于，由（I）知，,所以又所以. 在平面中，过作连接,则有， 从而，所以是二面角的平面角． 在 在 在 在,所以 故二面角的余弦值为 20\. 如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时![](./data/image/media/image1888.png){width="2.0555555555555554in" height="1.7222222222222223in"} （Ⅰ）写出的表达式 （Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少 解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为， 故. （II）由(I)知，当时， 当时， 故 (1)当时，是关于的减函数.故当时， \(2\) 当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时， 1. ![](./data/image/media/image1907.png){width="2.8020833333333335in" height="2.3847222222222224in"}(本小题满分13分） 如图7，椭圆![ ](./data/image/media/image1908.wmf){width="1.75in" height="0.4583333333333333in"}的离心率为![ ](./data/image/media/image1909.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.4722222222222222in"}，![ ](./data/image/media/image1910.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}轴被曲线![ ](./data/image/media/image1911.wmf){width="0.9722222222222222in" height="0.2569444444444444in"} 截得的线段长等于![ ](./data/image/media/image1912.wmf){width="0.1875in" height="0.25in"}的长半轴长 （Ⅰ）求![ ](./data/image/media/image1912.wmf){width="0.1875in" height="0.25in"}，![ ](./data/image/media/image1913.wmf){width="0.2013888888888889in" height="0.25in"}的方程； （Ⅱ）设![ ](./data/image/media/image1913.wmf){width="0.2013888888888889in" height="0.25in"}与![ ](./data/image/media/image1914.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}轴的交点为M，过坐标原点O的直线![ ](./data/image/media/image1915.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.2013888888888889in"}与![ ](./data/image/media/image1913.wmf){width="0.2013888888888889in" height="0.25in"}相交于点A,B,直线MA,MB分别与![ ](./data/image/media/image1912.wmf){width="0.1875in" height="0.25in"}相交与D,E. （i）证明：![ ](./data/image/media/image1916.wmf){width="0.75in" height="0.18055555555555555in"}； (ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线![ ](./data/image/media/image1915.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.2013888888888889in"},使得![ ](./data/image/media/image1918.wmf){width="0.22916666666666666in" height="0.4652777777777778in"}=![ ](./data/image/media/image1919.wmf){width="0.25in" height="0.4375in"}? 请说明理由 解析：（I）由题意知，从而，又，解得 故![ ](./data/image/media/image1912.wmf){width="0.1875in" height="0.25in"}，![ ](./data/image/media/image1913.wmf){width="0.2013888888888889in" height="0.25in"}的方程分别为 （II）（i）由题意知，直线![ ](./data/image/media/image1915.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.2013888888888889in"}的斜率存在，设为，则直线![ ](./data/image/media/image1915.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.2013888888888889in"}的方程为. 由得， 设，则是上述方程的两个实根，于是 又点的坐标为，所以 故，即![ ](./data/image/media/image1916.wmf){width="0.75in" height="0.18055555555555555in"} （ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为 又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为. 于是 由得， 解得或，则点的坐标为； 又直线的斜率为，同理可得点的坐标 于是 因此 由题意知，解得 或 又由点的坐标可知，，所以 故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和 22.（本小题满分13分） 已知函数() =，g ()=+ （Ⅰ）求函数h ()=()-g ()的零点个数，并说明理由； （Ⅱ）设数列满足，，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有≤ . 解析：（I）由知，，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点 解法1：，记，则 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点记此零点为，则当时，；当时，； 所以， 当时，单调递减，而，则在内无零点； 当时，单调递增，则在内至多只有一个零点； 从而在内至多只有一个零点综上所述，有且只有两个零点 解法2：，记，则 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点因此在内也至多只有一个零点， 综上所述，有且只有两个零点 （II）记的正零点为，即 （1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：下面用数学归纳法证明： ①当时，显然成立； ②假设当时，有成立，则当时，由 知，，因此，当时，成立 故对任意的，成立 （2）当时，由（1）知，在上单调递增则，即从而，即，由此猜测：下面用数学归纳法证明： ①当时，显然成立； ②假设当时，有成立，则当时，由 知，，因此，当时，成立 故对任意的，成立 综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有. 2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）文史类 -------------------------------------------------- 本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 参考公式（1）柱体体积公式![](./data/image/media/image2038.wmf){width="0.5in" height="0.19444444444444445in"}，其中![](./data/image/media/image2039.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.19444444444444445in"}为底面面积，![](./data/image/media/image2040.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}为高． （2）球的体积公式![](./data/image/media/image2041.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.4305555555555556in"}，其中![](./data/image/media/image2042.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}为球的半径． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集![](./data/image/media/image2043.wmf){width="3.0in" height="0.25in"}则![](./data/image/media/image2044.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.19444444444444445in"}（ ） A．![](./data/image/media/image2045.wmf){width="0.5in" height="0.2222222222222222in"} B．![](./data/image/media/image2046.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.2222222222222222in"}　　　Ｃ．![](./data/image/media/image2047.wmf){width="0.5in" height="0.2222222222222222in"}　　　 Ｄ．![](./data/image/media/image2048.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.2222222222222222in"} 答案：B 解析：画出韦恩图，可知![](./data/image/media/image2044.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.19444444444444445in"}![](./data/image/media/image2046.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.2222222222222222in"} ２．若![](./data/image/media/image2049.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.2222222222222222in"}为虚数单位，且![](./data/image/media/image2050.wmf){width="0.9444444444444444in" height="0.2222222222222222in"}，则 Ａ．![](./data/image/media/image2051.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.2222222222222222in"}　　　Ｂ．![](./data/image/media/image2052.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.2222222222222222in"}　　Ｃ．![](./data/image/media/image1674.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.2222222222222222in"}　　Ｄ．![](./data/image/media/image2053.wmf){width="0.9305555555555556in" height="0.2222222222222222in"} 答案：C 解析：因![](./data/image/media/image1673.wmf){width="1.5555555555555556in" height="0.2222222222222222in"}，根据复数相等的条件可知![](./data/image/media/image1674.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.2222222222222222in"} ３．![](./data/image/media/image2054.wmf){width="1.2361111111111112in" height="0.2361111111111111in"}的 A．充分不必要条件　　　　Ｂ．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：A 解析：因![](./data/image/media/image2055.wmf){width="1.2638888888888888in" height="0.2222222222222222in"}，反之 ![](./data/image/media/image2056.wmf){width="1.8333333333333333in" height="0.2361111111111111in"}，不一定有![](./data/image/media/image2057.wmf){width="0.5in" height="0.19444444444444445in"} ４．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A．![](./data/image/media/image2058.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.19444444444444445in"}　　　Ｂ．![](./data/image/media/image2059.wmf){width="0.6111111111111112in" height="0.19444444444444445in"} Ｃ．![](./data/image/media/image2060.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.4305555555555556in"}　　Ｄ．![](./data/image/media/image2061.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.4305555555555556in"} 答案：D 解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积![](./data/image/media/image1686.wmf){width="2.138888888888889in" height="0.4305555555555556in"} 5．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： -------- ---- ---- ------ 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 -------- ---- ---- ------ 由![](./data/image/media/image2062.wmf){width="5.013888888888889in" height="0.4861111111111111in"} 附表： ---------------------------------------------------------------------------------------------------- -------- -------- --------- ![](./data/image/media/image2063.wmf){width="0.7361111111111112in" height="0.25in"} 0．050 0．010 0．001 ![](./data/image/media/image2064.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"} 3．841 6．635 10．828 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- -------- -------- --------- 参照附表，得到的正确结论是（ ） A. 有99%以上的把握认为"爱好该项运动与性别有关" B. 有99%以上的把握认为"爱好该项运动与性别无关" C. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为"爱好该项运动与性别有关" D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为"爱好该项运动与性别无关" 答案：A 解析：由![](./data/image/media/image1693.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}，而![](./data/image/media/image1694.wmf){width="1.5555555555555556in" height="0.25in"}，故由独立性检验的意义可知选A. 6．设双曲线![](./data/image/media/image2065.wmf){width="1.25in" height="0.4583333333333333in"}的渐近线方程为![](./data/image/media/image2066.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.2222222222222222in"}则![](./data/image/media/image2067.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 答案：C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为![](./data/image/media/image1698.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.4305555555555556in"}，故可知![](./data/image/media/image1699.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"} 7．曲线![](./data/image/media/image2068.wmf){width="1.375in" height="0.4305555555555556in"}在点![](./data/image/media/image2069.wmf){width="0.625in" height="0.4305555555555556in"}处的切线的斜率为（ ） A．![](./data/image/media/image2070.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.4305555555555556in"} B．![](./data/image/media/image2071.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"} C．![](./data/image/media/image2072.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.4722222222222222in"} D．![](./data/image/media/image2073.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.4722222222222222in"} 答案：B 解析：![](./data/image/media/image2074.wmf){width="4.083333333333333in" height="0.4583333333333333in"}，所以 ![](./data/image/media/image2075.wmf){width="1.9305555555555556in" height="0.6388888888888888in"} 8．已知函数![](./data/image/media/image2076.wmf){width="2.25in" height="0.25in"}若有![](./data/image/media/image2077.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.2222222222222222in"}则![](./data/image/media/image2078.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}的取值范围为 A．![](./data/image/media/image2079.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.2638888888888889in"} B．![](./data/image/media/image2080.wmf){width="1.1111111111111112in" height="0.2638888888888889in"} C．![](./data/image/media/image2081.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2222222222222222in"} D．![](./data/image/media/image2082.wmf){width="0.3472222222222222in" height="0.2222222222222222in"} 答案：B 解析：由题可知![](./data/image/media/image2083.wmf){width="1.2083333333333333in" height="0.25in"}，![](./data/image/media/image2084.wmf){width="2.5in" height="0.25in"}，若有![](./data/image/media/image2077.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.2222222222222222in"}则![](./data/image/media/image2085.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.2222222222222222in"}，即![](./data/image/media/image2086.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.2222222222222222in"}，解得![](./data/image/media/image2087.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.2361111111111111in"} 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题解分，共青团员5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． （一）选做题（请考生在第9，10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分） 9．在直角坐标系![](./data/image/media/image2088.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2222222222222222in"}中，曲线![](./data/image/media/image2089.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.25in"}的参数方程为![](./data/image/media/image2090.wmf){width="1.6805555555555556in" height="0.5555555555555556in"}．在极坐标系（与直角坐标系![](./data/image/media/image2088.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2222222222222222in"}取相同的长度单位，且以原点![](./data/image/media/image2091.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19444444444444445in"}为极点，以![](./data/image/media/image2092.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}轴正半轴为极轴）中，曲线![](./data/image/media/image2093.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的方程为![](./data/image/media/image2094.wmf){width="1.5555555555555556in" height="0.2222222222222222in"}则![](./data/image/media/image2089.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.25in"}与![](./data/image/media/image2093.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的交点个数为 [ ]{.underline} ． 答案：2 解析：曲线![](./data/image/media/image2095.wmf){width="1.0416666666666667in" height="0.4583333333333333in"}，曲线![](./data/image/media/image2096.wmf){width="1.0972222222222223in" height="0.25in"}，联立方程消![](./data/image/media/image2097.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}得![](./data/image/media/image2098.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}，易得![](./data/image/media/image2099.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.19444444444444445in"}，故有2个交点 10．已知某试验范围为\[10，90\]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是 [ ]{.underline} ． 答案：40或60（只填一个也正确） 解析：有区间长度为80，可以将其等分8段，利用分数法选取试点：![](./data/image/media/image2107.wmf){width="1.7777777777777777in" height="0.4305555555555556in"}，![](./data/image/media/image2108.wmf){width="1.4722222222222223in" height="0.25in"}，由对称性可知，第二次试点可以是40或60 (二)必做题（11-16题） 11．若执行如图2所示的框图，输入![](./data/image/media/image2109.wmf){width="1.7916666666666667in" height="0.25in"}则输出的数等于 [ ]{.underline} ． 答案：![](./data/image/media/image2110.wmf){width="0.2222222222222222in" height="0.4305555555555556in"} 解析：由框图功能可知，输出的数等于![](./data/image/media/image2111.wmf){width="1.6805555555555556in" height="0.4305555555555556in"} 12．已知![](./data/image/media/image2112.wmf){width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}为奇函数，![](./data/image/media/image2113.wmf){width="2.4027777777777777in" height="0.2361111111111111in"} [ ]{.underline} ． 答案：6 解析：![](./data/image/media/image2114.wmf){width="2.4305555555555554in" height="0.2361111111111111in"}， 又![](./data/image/media/image2112.wmf){width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}为奇函数，所以![](./data/image/media/image2115.wmf){width="1.2916666666666667in" height="0.2222222222222222in"} 13．设向量![](./data/image/media/image2116.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.2638888888888889in"}满足![](./data/image/media/image2117.wmf){width="1.3194444444444444in" height="0.2638888888888889in"}且![](./data/image/media/image2118.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.25in"}的方向相反，则![](./data/image/media/image2119.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.2361111111111111in"}的坐标为 [ ]{.underline} ． 答案：![](./data/image/media/image2120.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.2222222222222222in"} 解析：由题![](./data/image/media/image2121.wmf){width="1.2222222222222223in" height="0.2916666666666667in"}，所以![](./data/image/media/image2122.wmf){width="1.2916666666666667in" height="0.2638888888888889in"} 14．设![](./data/image/media/image2123.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.2222222222222222in"}在约束条件![](./data/image/media/image2124.wmf){width="0.6805555555555556in" height="0.7777777777777778in"}下，目标函数![](./data/image/media/image1714.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.2222222222222222in"}的最大值为4，则![](./data/image/media/image2125.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.1527777777777778in"}的值为 [ ]{.underline} ． 答案：3 解析：画出可行域，可知![](./data/image/media/image1714.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.2222222222222222in"}在点![](./data/image/media/image1715.wmf){width="0.9444444444444444in" height="0.4305555555555556in"}取最大值为4，解得![](./data/image/media/image2126.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.19444444444444445in"} 15．已知圆![](./data/image/media/image2127.wmf){width="1.0972222222222223in" height="0.25in"}直线![](./data/image/media/image2128.wmf){width="1.0555555555555556in" height="0.2222222222222222in"} （1）圆![](./data/image/media/image2129.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19444444444444445in"}的圆心到直线![](./data/image/media/image2130.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.19444444444444445in"}的距离为 [ ]{.underline} ． \(2\) 圆![](./data/image/media/image2129.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19444444444444445in"}上任意一点![](./data/image/media/image2131.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}到直线![](./data/image/media/image2130.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.19444444444444445in"}的距离小于2的概率为 [ ]{.underline} ． 答案：5，![](./data/image/media/image2132.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.4305555555555556in"} 解析：（1）由点到直线的距离公式可得![](./data/image/media/image2133.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.4722222222222222in"}； （2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即![](./data/image/media/image2134.wmf){width="1.0416666666666667in" height="0.25in"}与圆相交所得劣弧上，由半径为![](./data/image/media/image2135.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为![](./data/image/media/image2136.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.4305555555555556in"}，故所求概率为![](./data/image/media/image2137.wmf){width="0.8194444444444444in" height="0.625in"}. 16、给定![](./data/image/media/image2138.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.2222222222222222in"}，设函数![](./data/image/media/image2139.wmf){width="0.875in" height="0.25in"}满足：对于任意大于![](./data/image/media/image2140.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}的正整数![](./data/image/media/image2141.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}，![](./data/image/media/image2142.wmf){width="0.8611111111111112in" height="0.2222222222222222in"} （1）设![](./data/image/media/image2143.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.19444444444444445in"}，则其中一个函数![](./data/image/media/image2144.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}在![](./data/image/media/image2145.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.19444444444444445in"}处的函数值为 [ ]{.underline} ； （2）设![](./data/image/media/image2146.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}，且当![](./data/image/media/image2147.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}时，![](./data/image/media/image2148.wmf){width="0.8611111111111112in" height="0.2222222222222222in"}，则不同的函数![](./data/image/media/image2144.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}的个数为 [ ]{.underline} 答案：（1）![](./data/image/media/image2149.wmf){width="1.0in" height="0.2361111111111111in"}，（2）16 解析：（1）由题可知![](./data/image/media/image2150.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.25in"}，而![](./data/image/media/image2143.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.19444444444444445in"}时，![](./data/image/media/image2151.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.19444444444444445in"}则![](./data/image/media/image2152.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}，故只须![](./data/image/media/image2153.wmf){width="0.6805555555555556in" height="0.25in"}，故![](./data/image/media/image2154.wmf){width="1.4583333333333333in" height="0.2361111111111111in"} （2）由题可知![](./data/image/media/image2146.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}，![](./data/image/media/image2155.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}则![](./data/image/media/image2156.wmf){width="1.1944444444444444in" height="0.25in"}，而![](./data/image/media/image2157.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}时，![](./data/image/media/image2148.wmf){width="0.8611111111111112in" height="0.2222222222222222in"}即![](./data/image/media/image2158.wmf){width="0.8611111111111112in" height="0.2222222222222222in"}，即![](./data/image/media/image2159.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.2222222222222222in"}，![](./data/image/media/image2158.wmf){width="0.8611111111111112in" height="0.2222222222222222in"}，由乘法原理可知，不同的函数![](./data/image/media/image2144.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}的个数为![](./data/image/media/image2160.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.2222222222222222in"} 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在![](./data/image/media/image2161.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.19444444444444445in"}中，角![](./data/image/media/image2162.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}所对的边分别为![](./data/image/media/image2163.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.2222222222222222in"}且满足![](./data/image/media/image2164.wmf){width="1.1388888888888888in" height="0.19444444444444445in"} （I）求角![](./data/image/media/image1825.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19444444444444445in"}的大小； （II）求![](./data/image/media/image1826.wmf){width="1.4722222222222223in" height="0.4305555555555556in"}的最大值，并求取得最大值时角![](./data/image/media/image1827.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2222222222222222in"}的大小． 解析：（I）由正弦定理得![](./data/image/media/image1828.wmf){width="1.6388888888888888in" height="0.19444444444444445in"} 因为![](./data/image/media/image1829.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.2222222222222222in"}所以![](./data/image/media/image1830.wmf){width="4.305555555555555in" height="0.4305555555555556in"} （II）由（I）知![](./data/image/media/image1831.wmf){width="0.8194444444444444in" height="0.4305555555555556in"}于是 ![](./data/image/media/image1832.wmf){width="4.333333333333333in" height="1.3194444444444444in"} ![](./data/image/media/image1833.wmf){width="0.8611111111111112in" height="0.4305555555555556in"}取最大值2． 综上所述，![](./data/image/media/image1826.wmf){width="1.4722222222222223in" height="0.4305555555555556in"}的最大值为2，此时![](./data/image/media/image1834.wmf){width="1.0694444444444444in" height="0.4305555555555556in"} 18．（本题满分12分） 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5；已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160． （I）完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表 -------- ------------------------------------------------------------------------------------- ----- ------------------------------------------------------------------------------------- ----- ----- ------------------------------------------------------------------------------------- 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 ![](./data/image/media/image2165.wmf){width="0.25in" height="0.4305555555555556in"} ![](./data/image/media/image2166.wmf){width="0.25in" height="0.4305555555555556in"} ![](./data/image/media/image2167.wmf){width="0.25in" height="0.4305555555555556in"} -------- ------------------------------------------------------------------------------------- ----- ------------------------------------------------------------------------------------- ----- ----- ------------------------------------------------------------------------------------- （II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率． 解：（I）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为 -------- ------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------- 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 ![](./data/image/media/image2165.wmf){width="0.25in" height="0.4305555555555556in"} ![](./data/image/media/image2168.wmf){width="0.25in" height="0.4305555555555556in"} ![](./data/image/media/image2169.wmf){width="0.25in" height="0.4305555555555556in"} ![](./data/image/media/image2170.wmf){width="0.25in" height="0.4305555555555556in"} ![](./data/image/media/image2168.wmf){width="0.25in" height="0.4305555555555556in"} ![](./data/image/media/image2167.wmf){width="0.25in" height="0.4305555555555556in"} -------- ------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------- （II）![](./data/image/media/image2171.wmf){width="3.5972222222222223in" height="0.9583333333333334in"} ![](./data/image/media/image2172.png){width="2.7083333333333335in" height="2.96875in"}故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为![](./data/image/media/image2173.wmf){width="0.2222222222222222in" height="0.4305555555555556in"}． 19．（本题满分12分） 如图3，在圆锥![](./data/image/media/image1843.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.19444444444444445in"}中，已知![](./data/image/media/image1844.wmf){width="0.9722222222222222in" height="0.2638888888888889in"}的直径![](./data/image/media/image2174.wmf){width="2.888888888888889in" height="0.2777777777777778in"}的中点． （I）证明：![](./data/image/media/image2175.wmf){width="1.1805555555555556in" height="0.2361111111111111in"} ![](./data/image/media/image1846.png){width="2.5208333333333335in" height="2.1979166666666665in"}（II）求直线和平面![](./data/image/media/image2176.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}所成角的正弦值． 解析：（I）因为![](./data/image/media/image2177.wmf){width="2.6944444444444446in" height="0.2361111111111111in"} 又![](./data/image/media/image2178.wmf){width="3.2777777777777777in" height="0.2361111111111111in"}![](./data/image/media/image1856.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.2222222222222222in"}![](./data/image/media/image1857.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.19444444444444445in"}内的两条相交直线，所以![](./data/image/media/image2175.wmf){width="1.1805555555555556in" height="0.2361111111111111in"} （II）由（I）知，![](./data/image/media/image2179.wmf){width="1.1805555555555556in" height="0.2361111111111111in"}又![](./data/image/media/image2180.wmf){width="1.1805555555555556in" height="0.2361111111111111in"}所以平面![](./data/image/media/image2181.wmf){width="1.2777777777777777in" height="0.2361111111111111in"}在平面![](./data/image/media/image2182.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.19444444444444445in"}中，过![](./data/image/media/image1869.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19444444444444445in"}作![](./data/image/media/image2183.wmf){width="1.0138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}则![](./data/image/media/image2184.wmf){width="1.1805555555555556in" height="0.2361111111111111in"}连结![](./data/image/media/image2185.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.19444444444444445in"}，则![](./data/image/media/image2185.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.19444444444444445in"}是![](./data/image/media/image2186.wmf){width="1.1111111111111112in" height="0.2222222222222222in"}上的射影，所以![](./data/image/media/image2187.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.19444444444444445in"}是直线![](./data/image/media/image2188.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.19444444444444445in"}和平面![](./data/image/media/image2189.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}所成的角． 在![](./data/image/media/image2190.wmf){width="3.25in" height="0.875in"} 在![](./data/image/media/image2191.wmf){width="2.4305555555555554in" height="0.4722222222222222in"} 20．（本题满分13分） 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%． （I）求第n年初M的价值![](./data/image/media/image2192.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.25in"}的表达式； （II）设![](./data/image/media/image2193.wmf){width="1.4861111111111112in" height="0.4305555555555556in"}若![](./data/image/media/image2194.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新． 解析：（I）当![](./data/image/media/image2195.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}时，数列![](./data/image/media/image2196.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.25in"}是首项为120，公差为![](./data/image/media/image2197.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.19444444444444445in"}的等差数列． ![](./data/image/media/image2198.wmf){width="2.111111111111111in" height="0.25in"} 当![](./data/image/media/image2199.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}时，数列![](./data/image/media/image2196.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.25in"}是以![](./data/image/media/image2200.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}为首项，公比为![](./data/image/media/image2201.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}为等比数列，又![](./data/image/media/image2202.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.25in"}，所以 ![](./data/image/media/image2203.wmf){width="1.1111111111111112in" height="0.4305555555555556in"} 因此，第![](./data/image/media/image2204.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}年初，M的价值![](./data/image/media/image2205.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.25in"}的表达式为![](./data/image/media/image2206.wmf){width="2.5555555555555554in" height="0.6944444444444444in"} (II)设![](./data/image/media/image2207.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.25in"}表示数列![](./data/image/media/image2196.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.25in"}的前![](./data/image/media/image2208.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}项和，由等差及等比数列的求和公式得 当![](./data/image/media/image2209.wmf){width="0.5972222222222222in" height="0.19444444444444445in"}时，![](./data/image/media/image2210.wmf){width="3.4027777777777777in" height="0.25in"} 当![](./data/image/media/image2211.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}时，![](./data/image/media/image2212.wmf){width="5.166666666666667in" height="1.0555555555555556in"} 因为![](./data/image/media/image2196.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.25in"}是递减数列，所以![](./data/image/media/image2213.wmf){width="0.3472222222222222in" height="0.25in"}是递减数列，又![](./data/image/media/image2214.wmf){width="4.944444444444445in" height="0.625in"} 所以须在第9年初对M更新． 21．已知平面内一动点![](./data/image/media/image2215.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}到点F（1，0）的距离与点![](./data/image/media/image2215.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}到![](./data/image/media/image2216.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}轴的距离的等等于1． （I）求动点![](./data/image/media/image2215.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}的轨迹![](./data/image/media/image2217.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19444444444444445in"}的方程； （II）过点![](./data/image/media/image2218.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.18055555555555555in"}作两条斜率存在且互相垂直的直线![](./data/image/media/image2219.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.25in"}，设![](./data/image/media/image2220.wmf){width="0.125in" height="0.25in"}与轨迹![](./data/image/media/image2221.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19444444444444445in"}相交于点![](./data/image/media/image2222.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2222222222222222in"}，![](./data/image/media/image2223.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.25in"}与轨迹![](./data/image/media/image2221.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19444444444444445in"}相交于点![](./data/image/media/image2224.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"}，求![](./data/image/media/image2225.wmf){width="0.625in" height="0.2222222222222222in"}的最小值． 解析：（I）设动点![](./data/image/media/image2226.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}的坐标为![](./data/image/media/image2227.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.2222222222222222in"}，由题意为![](./data/image/media/image2228.wmf){width="1.5277777777777777in" height="0.3055555555555556in"} 化简得![](./data/image/media/image2229.wmf){width="1.0694444444444444in" height="0.25in"} 当![](./data/image/media/image2230.wmf){width="2.1527777777777777in" height="0.25in"}、 所以动点P的轨迹C的方程为![](./data/image/media/image2231.wmf){width="1.9722222222222223in" height="0.25in"} （II）由题意知，直线![](./data/image/media/image2232.wmf){width="0.125in" height="0.25in"}的斜率存在且不为0，设为![](./data/image/media/image2233.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}，则![](./data/image/media/image2232.wmf){width="0.125in" height="0.25in"}的方程为![](./data/image/media/image2234.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.2222222222222222in"}． 由![](./data/image/media/image2235.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.5in"}，得![](./data/image/media/image2236.wmf){width="1.7777777777777777in" height="0.25in"} 设![](./data/image/media/image2237.wmf){width="1.3055555555555556in" height="0.25in"}则![](./data/image/media/image2238.wmf){width="0.375in" height="0.25in"}是上述方程的两个实根，于是 ![](./data/image/media/image2239.wmf){width="1.625in" height="0.4305555555555556in"}． 因为![](./data/image/media/image2240.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，所以![](./data/image/media/image2241.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.25in"}的斜率为![](./data/image/media/image2242.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.4305555555555556in"}． 设![](./data/image/media/image2243.wmf){width="1.3472222222222223in" height="0.25in"}则同理可得![](./data/image/media/image2244.wmf){width="1.6944444444444444in" height="0.2638888888888889in"} 故![](./data/image/media/image2245.wmf){width="2.6527777777777777in" height="2.0277777777777777in"} 当且仅当![](./data/image/media/image2246.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.4305555555555556in"}即![](./data/image/media/image2247.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.19444444444444445in"}时，![](./data/image/media/image2225.wmf){width="0.625in" height="0.2222222222222222in"}取最小值16． 22．（本小题13分） 设函数![](./data/image/media/image2248.wmf){width="1.8888888888888888in" height="0.4305555555555556in"} (I)讨论![](./data/image/media/image2249.wmf){width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}的单调性； （II）若![](./data/image/media/image2249.wmf){width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}有两个极值点![](./data/image/media/image2250.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.25in"}，记过点![](./data/image/media/image2251.wmf){width="1.7083333333333333in" height="0.25in"}的直线的斜率为![](./data/image/media/image2252.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}，问：是否存在![](./data/image/media/image2253.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}，使得![](./data/image/media/image2254.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.19444444444444445in"}若存在，求出![](./data/image/media/image2255.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}的值，若不存在，请说明理由． 解析：（I）![](./data/image/media/image2249.wmf){width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}的定义域为![](./data/image/media/image2256.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.2222222222222222in"} ![](./data/image/media/image2257.wmf){width="2.0833333333333335in" height="0.4583333333333333in"} 令![](./data/image/media/image2258.wmf){width="1.9027777777777777in" height="0.25in"}![](./data/image/media/image2259.wmf){width="0.6944444444444444in" height="0.2222222222222222in"} (1) 当![](./data/image/media/image2260.wmf){width="1.6527777777777777in" height="0.2361111111111111in"}故![](./data/image/media/image2261.wmf){width="1.0in" height="0.2361111111111111in"}上单调递增． (2) 当![](./data/image/media/image2262.wmf){width="1.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}的两根都小于0，在![](./data/image/media/image2263.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}上，![](./data/image/media/image2264.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}，故![](./data/image/media/image2261.wmf){width="1.0in" height="0.2361111111111111in"}上单调递增． (3) 当![](./data/image/media/image2265.wmf){width="1.4166666666666667in" height="0.2222222222222222in"}的两根为![](./data/image/media/image2266.wmf){width="2.2916666666666665in" height="0.4861111111111111in"}， > 当![](./data/image/media/image2267.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}时， ![](./data/image/media/image2264.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}；当![](./data/image/media/image2268.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.25in"}时， ![](./data/image/media/image2269.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.2222222222222222in"}；当![](./data/image/media/image2270.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.25in"}时， ![](./data/image/media/image2264.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}，故![](./data/image/media/image2271.wmf){width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}分别在![](./data/image/media/image2272.wmf){width="1.0277777777777777in" height="0.25in"}上单调递增，在![](./data/image/media/image2273.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}上单调递减． > > （II）由（I）知，![](./data/image/media/image2274.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}． > > 因为![](./data/image/media/image2275.wmf){width="3.3194444444444446in" height="0.4722222222222222in"}，所以 > > ![](./data/image/media/image2276.wmf){width="2.9305555555555554in" height="0.4722222222222222in"} > > 又由(I)知，![](./data/image/media/image2277.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.25in"}．于是![](./data/image/media/image2278.wmf){width="1.4305555555555556in" height="0.4722222222222222in"} > > 若存在![](./data/image/media/image2279.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}，使得![](./data/image/media/image2280.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.19444444444444445in"}则![](./data/image/media/image2281.wmf){width="1.0277777777777777in" height="0.4722222222222222in"}．即![](./data/image/media/image2282.wmf){width="1.3611111111111112in" height="0.25in"}．亦即![](./data/image/media/image2283.wmf){width="1.9861111111111112in" height="0.4722222222222222in"} > > 再由（I）知，函数![](./data/image/media/image2284.wmf){width="1.2083333333333333in" height="0.4305555555555556in"}在![](./data/image/media/image2263.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}上单调递增，而![](./data/image/media/image2285.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，所以![](./data/image/media/image2286.wmf){width="2.25in" height="0.4722222222222222in"}这与![](./data/image/media/image2287.wmf){width="0.2361111111111111in" height="0.2222222222222222in"}式矛盾．故不存在![](./data/image/media/image2288.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}，使得![](./data/image/media/image2289.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.19444444444444445in"} **绝密★启用前** 2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） -------------------------------------------- **理科数学** 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分第I卷1至2页第Ⅱ卷3 至4页，满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后， **考试注意**： 1. 答题前，考生在答题卡上务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核对答题卡上粘贴的条形码的"准考证号、姓名、考试科目"与考试本人的准考证号、姓名是否一致. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，.第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并交回 **参考公式：** 样本数据（![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2290.wmf){width="0.375in" height="0.2361111111111111in"}**），（**![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2291.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.2361111111111111in"}**），\...，（**![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2292.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}**）**的线性相关系数 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2293.wmf){width="2.0972222222222223in" height="0.9722222222222222in"} 其中 > ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2294.wmf){width="1.3194444444444444in" height="0.4305555555555556in"} > > ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2295.wmf){width="1.3611111111111112in" height="0.4305555555555556in"} > > 锥体的体积公式 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2296.wmf){width="0.625in" height="0.4305555555555556in"} 其中![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2297.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.19444444444444445in"}为底面积，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2298.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}为高 **第Ⅰ卷** 1. **选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.** ```{=html} <!-- --> ``` 1. 若![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2299.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4305555555555556in"},则复数![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2300.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.2916666666666667in"}= ( ) A.![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2301.wmf){width="0.4444444444444444in" height="0.19444444444444445in"} B. ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2302.wmf){width="0.4444444444444444in" height="0.19444444444444445in"} C. ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2303.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.19444444444444445in"} D.![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2304.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.19444444444444445in"} 答案：C 解析： ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2305.wmf){width="2.1666666666666665in" height="0.4583333333333333in"} 2. 若集合![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2306.wmf){width="2.7916666666666665in" height="0.4305555555555556in"},则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2307.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.18055555555555555in"}= ( ) A.![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2308.wmf){width="1.0in" height="0.2222222222222222in"} B.![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2309.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.2222222222222222in"} C.![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2310.wmf){width="0.9305555555555556in" height="0.2222222222222222in"} D.![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2311.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.2222222222222222in"} 答案：B 解析：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2312.wmf){width="3.9027777777777777in" height="0.2361111111111111in"} 3. 若![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2313.wmf){width="1.1944444444444444in" height="0.6527777777777778in"},则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2314.wmf){width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}的定义域为 ( ) A. (![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2315.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.4305555555555556in"},0) B. (![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2315.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.4305555555555556in"},0\] C. (![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2315.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.4305555555555556in"},![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2316.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.1527777777777778in"}) D. (0,![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2316.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.1527777777777778in"}) 答案： A 解析： ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2317.wmf){width="2.0972222222222223in" height="0.8611111111111112in"} 4. 若![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2318.wmf){width="1.4444444444444444in" height="0.25in"},则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2319.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}的解集为 ( ) A. (0,![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2316.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.1527777777777778in"}) B. (-1,0)![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2320.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.1388888888888889in"}(2,![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2316.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.1527777777777778in"}) C. (2,![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2316.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.1527777777777778in"}) D. (-1,0) 答案：C 解析：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2321.wmf){width="2.4722222222222223in" height="0.6944444444444444in"} 5. 已知数列![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2322.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.25in"}的前![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2323.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}项和![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2324.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.25in"}满足:![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2325.wmf){width="0.9861111111111112in" height="0.25in"},且![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2326.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.2361111111111111in"},那么![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2327.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.25in"} ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55 答案：A 解析： ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2328.wmf){width="1.9027777777777777in" height="1.0in"} 6. 变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2329.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.2361111111111111in"}表示变量Y与X之间的线性相关系数,![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2330.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.2361111111111111in"}表示变量V与U之间的线性相关系数,则 ( ) A.![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2331.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.2361111111111111in"} B. ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2332.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.2361111111111111in"} C.![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2333.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.2361111111111111in"} D. ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2334.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.2361111111111111in"} 答案：C 解析： ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2335.wmf){width="2.0277777777777777in" height="0.9722222222222222in"} 第一组变量正相关，第二组变量负相关 7. 观察下列各式:![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2336.wmf){width="2.4027777777777777in" height="0.25in"}则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2337.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.2222222222222222in"}的末四位数字为 ( ) A.3125 B. 5625 C.0625 D.8125 答案：D 解析：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2338.wmf){width="5.291666666666667in" height="0.5in"} 8. 已知![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2339.wmf){width="0.625in" height="0.25in"}是三个相互平行的平面,平面![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2340.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.2361111111111111in"}之间的距离为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2341.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.2361111111111111in"},平面![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2342.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.25in"}之间的距离为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2343.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.2361111111111111in"}.直线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2344.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.19444444444444445in"}与![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2339.wmf){width="0.625in" height="0.25in"}分别交于![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2345.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.25in"}.那么![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2346.wmf){width="1.0694444444444444in" height="0.25in"}是![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2347.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.2361111111111111in"}的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案：C ![](./data/image/media/image2348.png){width="2.2597222222222224in" height="2.4680555555555554in"}解析：平面![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2349.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.25in"}平行，由图可以得知： 如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2350.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.25in"} 如果![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2350.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.25in"}，同样是根据两个三角形全等可知![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2351.wmf){width="0.5in" height="0.2361111111111111in"} 9. 若曲线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2352.wmf){width="1.375in" height="0.25in"}与曲线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2353.wmf){width="1.5138888888888888in" height="0.2361111111111111in"}有四个不同的交点,则实数![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2354.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.1527777777777778in"}的取值范围是 ( ) A. ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2355.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.4722222222222222in"} B. ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2356.wmf){width="1.3055555555555556in" height="0.4722222222222222in"} C. ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2357.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.4722222222222222in"} D. ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2358.wmf){width="1.5555555555555556in" height="0.4722222222222222in"} 答案：B 曲线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2359.wmf){width="1.0972222222222223in" height="0.25in"}表示以![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2360.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.2361111111111111in"}为圆心，以1为半径的圆，曲线![](./data/image/media/image2361.png){width="2.6041666666666665in" height="1.7819444444444446in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2362.wmf){width="1.2083333333333333in" height="0.2361111111111111in"}表示![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2363.wmf){width="1.5555555555555556in" height="0.2361111111111111in"}过定点![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2364.wmf){width="0.4444444444444444in" height="0.2361111111111111in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2365.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.2222222222222222in"}与圆有两个交点，故![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2366.wmf){width="1.0138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2367.wmf){width="1.375in" height="0.4722222222222222in"}，由图可知，m的取值范围应是![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2368.wmf){width="1.4027777777777777in" height="0.5555555555555556in"} ![](./data/image/media/image2369.png){width="1.3944444444444444in" height="1.1333333333333333in"} 2. 如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这 样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( ) ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2370.png){width="5.763888888888889in" height="1.7986111111111112in"} 答案：A ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2370.png){width="1.4652777777777777in" height="1.4305555555555556in"}解析：根据小圆 与大圆半径1：2的关系，找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此M点的轨迹是个大圆，而N点的轨迹是四条线，刚好是M产生的大圆的半径 **第II卷** **二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.** 6. 已知![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2371.wmf){width="0.7361111111111112in" height="0.3611111111111111in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2372.wmf){width="1.3888888888888888in" height="0.2777777777777778in"}，则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2373.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.25in"}与![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2374.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.25in"}的夹角为 [ ]{.underline} . 答案：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2375.wmf){width="0.25in" height="0.2222222222222222in"}（![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2376.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.4305555555555556in"}） 解析：根据已知条件![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2377.wmf){width="1.4861111111111112in" height="0.3333333333333333in"}，去括号得：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2378.wmf){width="0.125in" height="0.2361111111111111in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2379.wmf){width="3.0833333333333335in" height="0.5in"}， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2380.wmf){width="1.2916666666666667in" height="0.4305555555555556in"} （PS：这道题其实2010年湖南文科卷的第6题翻版过来的，在我们寒假班的时候也讲过一道类似的，在文科讲义72页的第2题 此题纯属送分题！） 7. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若 此点到圆心的距离大于![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2381.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2382.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 [ ]{.underline} . 答案：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2383.wmf){width="0.2222222222222222in" height="0.4305555555555556in"} 解析：方法一：不在家看书的概率=![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2384.wmf){width="3.1944444444444446in" height="0.7222222222222222in"} 方法二：不在家看书的概率=1---在家看书的概率=1---![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2385.wmf){width="1.625in" height="0.7361111111111112in"} （PS: 通过生活实例与数学联系起来，是高考青睐的方向，但在我们春季班讲义二第一页的第五题已经做过类似题型，那么作为理科生，并且是上过新东方春季班课程的理科生，是不是应该作对，不解释） 13.下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2386.png){width="5.763888888888889in" height="0.8888888888888888in"} 10\. 解析：s=0,n=1;带入到解析式当中，s=0+(-1)+1=0，n=2; s=0+1+2=3, n=3; S=3+(-1)+3=5, n=4; S=5+1+4=10,此时s\>9,输出 （PS:此题实质是2010江苏理科卷第7题得翻版，同时在我们寒假题海班，理科讲义的第200页的第6题也讲过相似的所以童鞋们再次遇到，应该也是灰常熟悉的并且框图本来就是你们的拿手菜，所以最对也不觉奇怪） 10. 若椭圆![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2387.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.4583333333333333in"}的焦点在x轴上，过点![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2388.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.4305555555555556in"}作圆![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2389.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 [ ]{.underline} . 答案：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2390.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.4583333333333333in"} 解析：设过点（1，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2391.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}）的直线方程为：当斜率存在时，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2392.wmf){width="1.0694444444444444in" height="0.4305555555555556in"}， 根据直线与圆相切，圆心（0,0）到直线的距离等于半径1可以得到k=![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2393.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.4305555555555556in"},直线与圆方程的联立可以得到切点的坐标（![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2394.wmf){width="0.3472222222222222in" height="0.4305555555555556in"}），当斜率不存在时，直线方程为：x=1，根据两点A：（1,0），B：（![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2394.wmf){width="0.3472222222222222in" height="0.4305555555555556in"}）可以得到直线：2x+y-2=0,则与y轴的交点即为上顶点坐标（2,0）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2395.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.19444444444444445in"}，与x轴的交点即为焦点![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2396.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.19444444444444445in"}，根据公式![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2397.wmf){width="1.7916666666666667in" height="0.2638888888888889in"}，即椭圆方程为：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2390.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.4583333333333333in"} （PS:此题可能算是填空题，比较纠结的一道，因为要理清思路，计算有些繁琐但是，是不是就做不出来呢，不是的，在我们寒假题海班的时候讲过一道与此相似的题型，也就在理科教材第147页第23题所以最纠结的一道高考题也不过如此，你们还怕什么？） **三.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按做的第一题评阅计分.本题共5分.** 15（1）.（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2398.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.2222222222222222in"}，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则改曲线的直角坐标方程为 [ ]{.underline} . 答案：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2399.wmf){width="1.4166666666666667in" height="0.25in"}解析：做坐标系与参数方程的题，大家只需记住两点：1、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2400.wmf){width="1.75in" height="0.2222222222222222in"}，2、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2401.wmf){width="0.8611111111111112in" height="0.25in"}即可根据已知![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2402.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.2222222222222222in"}=![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2403.wmf){width="3.2222222222222223in" height="0.4583333333333333in"} 所以解析式为：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2378.wmf){width="0.125in" height="0.2361111111111111in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2399.wmf){width="1.4166666666666667in" height="0.25in"} 15 (2).(不等式选择题）对于实数x，y，若![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2404.wmf){width="0.5972222222222222in" height="0.2777777777777778in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2405.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.2777777777777778in"}，则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2406.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.2777777777777778in"}的最大值为 [ ]{.underline} . 2. 此题，看似很难，但其实不难，首先解出x的范围，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2407.wmf){width="0.625in" height="0.19444444444444445in"}，再解出y的范围，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2408.wmf){width="0.5972222222222222in" height="0.2222222222222222in"}，最后综合解出x-2y+1的范围![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2409.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.2361111111111111in"}，那么绝对值最大，就去5 （PS: 此题作为最后一题，有失最后一题的分量，大家从解题步骤就可看出所以高考注重的还是基础+基础！） 3. **本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.** ```{=html} <!-- --> ``` 16. （本小题满分12分） 某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设次人对A和B两种饮料没有鉴别能力. A. 求X的分布列； B. 求此员工月工资的期望. 解答：（1）选对A饮料的杯数分别为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2410.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.19444444444444445in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2411.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.18055555555555555in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2412.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.18055555555555555in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2413.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.19444444444444445in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2414.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.18055555555555555in"}， 其概率分布分别为： ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2415.wmf){width="1.2777777777777777in" height="0.5in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2416.wmf){width="1.25in" height="0.5in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2417.wmf){width="1.3055555555555556in" height="0.5in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2418.wmf){width="1.2638888888888888in" height="0.5in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2419.wmf){width="1.2916666666666667in" height="0.5in"} （2）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2420.wmf){width="4.263888888888889in" height="0.4722222222222222in"} 17. （本小题满分12分） 在△ABC中，角![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2421.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}的对边分别是![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2422.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.2222222222222222in"}，已知![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2423.wmf){width="1.625in" height="0.4305555555555556in"}. 3. 求![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2424.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}的值； 4. 若![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2425.wmf){width="1.4166666666666667in" height="0.25in"}，求边![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2426.wmf){width="0.125in" height="0.1527777777777778in"}的值. 解：（1）已知![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2427.wmf){width="1.6666666666666667in" height="0.4305555555555556in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2428.wmf){width="4.027777777777778in" height="0.4305555555555556in"} 整理即有：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2429.wmf){width="4.763888888888889in" height="0.4722222222222222in"} 又C为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2430.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.19444444444444445in"}中的角，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2431.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.4305555555555556in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2432.wmf){width="5.819444444444445in" height="0.5138888888888888in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2433.wmf){width="2.236111111111111in" height="0.4305555555555556in"} （2）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2434.wmf){width="1.6111111111111112in" height="0.25in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2435.wmf){width="0.125in" height="0.2361111111111111in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2436.wmf){width="4.777777777777778in" height="0.2638888888888889in"} 又![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2437.wmf){width="1.9027777777777777in" height="0.4722222222222222in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2438.wmf){width="2.4583333333333335in" height="0.2777777777777778in"} 18. （本小题满分12分） 已知两个等比数列![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2439.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.25in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2440.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.25in"}，满足![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2441.wmf){width="3.0555555555555554in" height="0.25in"}. 1. 若![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2442.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}=1，求数列![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2439.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.25in"}的通项公式； 2. 若数列![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2439.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.25in"}唯一，求![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2442.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}的值. .解：（1）当a=1时，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2443.wmf){width="2.4305555555555554in" height="0.25in"}，又![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2444.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}为等比数列，不妨设![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2445.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.25in"}公比为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2446.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.2361111111111111in"}，由等比数列性质知： ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2447.wmf){width="2.2916666666666665in" height="0.2777777777777778in"}，同时又有![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2448.wmf){width="5.847222222222222in" height="0.2777777777777778in"}所以：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2449.wmf){width="1.4861111111111112in" height="0.3194444444444444in"} （2）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2445.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.25in"}要唯一，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2450.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1388888888888889in"}当公比![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2451.wmf){width="0.4444444444444444in" height="0.2361111111111111in"}时，由![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2443.wmf){width="2.4305555555555554in" height="0.25in"}且![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2452.wmf){width="0.9027777777777778in" height="0.2777777777777778in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2453.wmf){width="3.638888888888889in" height="0.2569444444444444in"}， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2454.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.19444444444444445in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2455.wmf){width="1.7222222222222223in" height="0.2569444444444444in"}最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根） ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2456.wmf){width="2.7083333333333335in" height="0.2638888888888889in"}，此时满足条件的a有无数多个，不符合 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2450.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1388888888888889in"}当公比![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2457.wmf){width="0.4444444444444444in" height="0.2361111111111111in"}时，等比数列![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2445.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.25in"}首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2458.wmf){width="3.638888888888889in" height="0.2569444444444444in"}，可推得![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2459.wmf){width="1.125in" height="0.4305555555555556in"}符合 综上：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2460.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4305555555555556in"} 19. （本小题满分12分） 设![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2461.wmf){width="1.7916666666666667in" height="0.4305555555555556in"} 1. 若![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2462.wmf){width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2463.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.4305555555555556in"}上存在单调递增区间，求![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2442.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}的取值范围； 2. 当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2464.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.19444444444444445in"}时，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2462.wmf){width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2465.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.2361111111111111in"}上的最小值为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2466.wmf){width="0.3472222222222222in" height="0.4305555555555556in"}，求![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2462.wmf){width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}在该区间上的最大值. 解：（1）已知![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2467.wmf){width="1.8055555555555556in" height="0.4305555555555556in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2468.wmf){width="1.5555555555555556in" height="0.25in"}，函数![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2469.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2361111111111111in"}在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2470.wmf){width="0.5972222222222222in" height="0.4722222222222222in"}上存在单调递增区间，即导函数在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2471.wmf){width="0.5972222222222222in" height="0.4722222222222222in"}上存在函数值大于零的部分，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2472.wmf){width="2.8194444444444446in" height="0.5in"} （2）已知0\<a\<2, ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2469.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2361111111111111in"}在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2473.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.2361111111111111in"}上取到最小值![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2474.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.4305555555555556in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2435.wmf){width="0.125in" height="0.2361111111111111in"}，而![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2475.wmf){width="1.4305555555555556in" height="0.25in"}的图像开口向下，且对轴![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2476.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2477.wmf){width="2.0277777777777777in" height="0.25in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2478.wmf){width="2.361111111111111in" height="0.25in"} 则必有一点![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2479.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}使得![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2480.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.2638888888888889in"}此时函数![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2469.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2361111111111111in"}在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2481.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.25in"}上单调递增，在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2482.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}单调递减，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2483.wmf){width="2.2222222222222223in" height="0.4305555555555556in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2484.wmf){width="3.1805555555555554in" height="0.4305555555555556in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2485.wmf){width="2.361111111111111in" height="0.4305555555555556in"} 此时，由![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2486.wmf){width="3.1666666666666665in" height="0.2777777777777778in"}，所以函数![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2487.wmf){width="1.4027777777777777in" height="0.4305555555555556in"} 1. （本小题满分13分） ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2488.wmf){width="1.2638888888888888in" height="0.25in"}是双曲线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2489.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2490.wmf){width="1.6388888888888888in" height="0.4583333333333333in"}上一点，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2491.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.2222222222222222in"}分别是双曲线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2489.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}的左、右定点，直线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2492.wmf){width="0.625in" height="0.2222222222222222in"}的斜率之积为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2493.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.4305555555555556in"}. 7. 求双曲线的离心率； 8. 过双曲线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2489.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2494.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2222222222222222in"}两点，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2495.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19444444444444445in"}为坐标原点，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2496.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19444444444444445in"}为双曲线上的一点，满足![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2497.wmf){width="1.1388888888888888in" height="0.25in"}，求![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2498.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.19444444444444445in"}的值. 解：（1）已知双曲线E：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2499.wmf){width="1.6666666666666667in" height="0.4583333333333333in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2500.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.25in"}在双曲线上，M，N分别为双曲线E的左右顶点，所以![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2501.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.2361111111111111in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2502.wmf){width="0.5in" height="0.2361111111111111in"}，直线PM，PN斜率之积为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2503.wmf){width="4.208333333333333in" height="0.5277777777777778in"} 而![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2504.wmf){width="0.9444444444444444in" height="0.4722222222222222in"}，比较得![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2505.wmf){width="3.3333333333333335in" height="0.4722222222222222in"} （2）设过右焦点且斜率为1的直线L：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2506.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}，交双曲线E于A，B两点，则不妨设![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2507.wmf){width="1.2916666666666667in" height="0.2361111111111111in"}，又![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2508.wmf){width="2.611111111111111in" height="0.2777777777777778in"}，点C在双曲线E上： ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2509.wmf){width="5.722222222222222in" height="0.2638888888888889in"}\*（1） 又 联立直线L和双曲线E方程消去y得：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2510.wmf){width="1.75in" height="0.2222222222222222in"} 由韦达定理得：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2511.wmf){width="1.1111111111111112in" height="0.4583333333333333in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2512.wmf){width="3.4444444444444446in" height="0.4583333333333333in"}代入（1）式得：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2513.wmf){width="3.6180555555555554in" height="0.4236111111111111in"} 21. ![](./data/image/media/image2514.png){width="2.678472222222222in" height="1.7020833333333334in"}（本小题满分14分） （1）如图，对于任一给定的四面体![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2515.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，找出依 次排列的四个相互平行的平面 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2516.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.25in"}，使 得![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2517.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}（i=1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间 的距离都相等； （2）给定依次排列的四个相互平行的平面![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2518.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.25in"}，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2515.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}的四个顶点满足：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2517.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}（i=1,2,3,4），求该正四面体![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2515.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}的体积. 解： （1）将直线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2519.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2361111111111111in"}三等分，其中另两个分点依次为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2520.wmf){width="0.4444444444444444in" height="0.25in"},连接![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2521.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.25in"},作平行于![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2522.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.25in"}的平面，分别过![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2522.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.25in"}，即为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2523.wmf){width="0.4444444444444444in" height="0.25in"}同理，过点![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2524.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.2361111111111111in"}作平面![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2525.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.2361111111111111in"}即可的出结论 （2）现设正方体的棱长为a,若![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2526.wmf){width="1.4027777777777777in" height="0.2361111111111111in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2527.wmf){width="0.6944444444444444in" height="0.4305555555555556in"}， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2528.wmf){width="2.0in" height="0.4722222222222222in"}，由于![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2529.wmf){width="1.7638888888888888in" height="0.2361111111111111in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2378.wmf){width="0.125in" height="0.2361111111111111in"}得，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2530.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.25in"}， 那么，正四面体的棱长为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2531.wmf){width="1.0555555555555556in" height="0.25in"}，其体积为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2532.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.4722222222222222in"}（即一个棱长为a的正方体割去四个直角三棱锥后的体积） **绝密★启用前** 2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） -------------------------------------------- **文科数学** 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟． **考生注意**： > 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的"准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致． > > 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． > > 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． > > **参考公式：** > > 样本数据的回归方程： > > 其中， 锥体体积公式 > > 其中为底面积，为高 > > **第I卷** **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．** 1.若，则复数=（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析： 2.若全集,则集合等于（ ） A. B. C. D. 答案：D 解析： ,,, 1. 若，则的定义域为( ) A. B. C. D. 答案：C 解析： 4.曲线在点A（0,1）处的切线斜率为（ ） A.1 B.2 C. D. 答案：A 解析： 5.设{}为等差数列，公差d = -2，为其前n项和.若，则=（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B 解析： 6.观察下列各式：则，...，则的末两位数字为（ ） A.01 B.43 C.07 D.49 答案：B 解析： ![](./data/image/media/image2577.jpeg){width="2.90625in" height="1.75in"}7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（ ） A. B. C. D. 答案：D 解析：计算可以得知，中位数为5.5，众数为5所以选D 8.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： ----------------- ----- ----- ----- ----- ----- 父亲身高x（cm） 174 176 176 176 178 儿子身高y（cm） 175 175 176 177 177 ----------------- ----- ----- ----- ----- ----- 则y对x的线性回归方程为 A.y = x-1 B.y = x+1 C.y = 88+ D.y = 176 答案：C 解析：线性回归方程，， ![](./data/image/media/image2589.png){width="1.8736111111111111in" height="0.8902777777777777in"} 9.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ） ![3](./data/image/media/image2590.jpeg){width="5.284722222222222in" height="0.9375in"} 答案：D 解析：左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案 ![](./data/image/media/image2591.png){width="1.1944444444444444in" height="1.25in"} 10.如图，一个"凸轮"放置于直角坐标系X轴上方，其"底端"落在原点O处，一顶点及 中心M在Y轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. ![4](./data/image/media/image2592.jpeg){width="4.354166666666667in" height="1.2222222222222223in"} 今使"凸轮"沿X轴正向滚动前进，在滚动过程中"凸轮"每时每刻都有一个"最高点"，其中心也在不断移动位置，则在"凸轮"滚动一周的过程中，将其"最高点"和"中心点"所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ） ![5](./data/image/media/image2593.jpeg){width="5.555555555555555in" height="1.5833333333333333in"} 答案：A 解析：根据中心M的位置，可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M的位置会先变高，当C到底时，M最高，排除CD选项，而对于最高点，当M最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B ,选A **第II卷** **注意事项：** 第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. **二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.** 3. 11．已知两个单位向量，的夹角为，若向量，，则=\_\_\_. 答案：-6. 解析：要求\*，只需将题目已知条件带入，得： \*=（-2）\*（3~+~4![](./data/image/media/image2605.wmf){width="0.1875in" height="0.3263888888888889in"}）= 其中=1，==1\*1\*=，， 带入，原式=3\*1---2\*---8\*1=---6 （PS: 这道题是道基础题，在我们做过的高考题中2007年广东文科的第四题，以及寒假题海班文科讲义73页的第十题，几乎是原题考查的就是向量的基本运算送分题(\*\^\_\_\^\*) ） C. 若双曲线的离心率e=2，则m=[\_­­\_\_\_]{.underline}. 答案：48. 解析：根据双曲线方程：知， ，并在双曲线中有：， 离心率e==2=, m=48 (PS: 这道题虽然考的是解析几何，大家印象中的解几题感觉都很难，但此题是个非常轻松的得分题你只需知道解几的一些基本定义，并且计算也不复杂在2008年安徽文科的第14题以及2009福建文科的第4题都见过所谓认真听课，勤做笔记，有的就是这个效果！) 13.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是[\_­­\_\_\_]{.underline}. ![6](./data/image/media/image2623.jpeg){width="6.138888888888889in" height="0.6875in"} 答案：27. 解析：由框图的顺序，s=0,n=1,s=(s+n)n=(0+1)\*1=1,n=n+1=2,依次循环 S=(1+2)\*2=6,n=3,注意此刻3\>3仍然是否，所以还要循环一次 s=(6+3)\*3=27,n=4，此刻输出，s=27. (PS: 程序框图的题一直是大家的青睐，就是一个循环计算的过程2010天津文科卷的第3题，考题与此类似) 11. 已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=\_\_\_\_\_\_\_. 答案：---8. 解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角= （PS:大家可以看到，步骤越来越少，不就意味着题也越来越简单吗？并且此题在我们春季班教材3第10页的第5题，出现了一模一样怎么能说高考题是难题偏题） 15．对于，不等式的解集为[\_­­\_\_\_\_­­\_\_]{.underline} 答案： 解析：两种方法， 方法一：分三段， 当x\<-10时， -x-10+x-2, 当时， x+10-x+2, 当x\>2时， x+10-x+2, x\>2 方法二：用绝对值的几何意义，可以看成到两点-10和2的距离差大于等于8的所有点的集合，画出数轴线，找到0到-10的距离为10，到2的距离为2，，并当x往右移动，距离差会大于8，所以满足条件的x的范围是. （PS: 此题竟出现在填空的最后一道压轴题，不知道神马情况更加肯定考试考的都是基础，并且！！在我们除夕班的时候讲过一道一摸一样，只是换了数字而已的题型，在除夕教材第10页的15题太强悍啦！！几乎每道都是咱上课讲过的题目\~\~所以，亲爱的童鞋们，现在的你上课还在聊Q, 睡觉流口水吗？？） **三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．** 16.(本小题满分12分） 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5 杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3 杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力． 1. 求此人被评为优秀的概率； 2. 求此人被评为良好及以上的概率． 解：（1）员工选择的所有种类为，而3杯均选中共有种，故概率为. （2）员工选择的所有种类为，良好以上有两种可能：3杯均选中共有种； ：3杯选中2杯共有种故概率为. 解析：本题考查的主要知识是排列组合与概率知识的结合，简单题 17.(本小题满分12分） 在中，的对边分别是，已知. （1）求的值； (2)若，求边的值． 解：（1）由 正弦定理得： 及：所以 （2）由 展开易得： 正弦定理： 【解析】本题考查的主要知识三角函数及解三角形问题，题目偏难第一问主要涉及到正弦 定理、诱导公式及三角形内角和为180°这两个知识点的考查属于一般难度；第二 问同样是对正弦定理和诱导公式的考查但形势更为复杂 18.(本小题满分12分） > ![](./data/image/media/image2664.png){width="2.8319444444444444in" height="2.3208333333333333in"}如图，在交AC于 点D,现将 （1）当棱锥的体积最大时，求PA的长； （2）若点P为AB的中点，E为 解：（1）设，则 令 则 -- ---------- -------- ---------- 单调递增 极大值 单调递减 -- ---------- -------- ---------- 由上表易知：当时，有取最大值 证明： 5. ![](./data/image/media/image2684.png){width="2.795138888888889in" height="2.4569444444444444in"}作得中点F，连接EF、FP 由已知得： 为等腰直角三角形， 所以. 19.(本小题满分12分） > 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且． （1）求该抛物线的方程； （2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值． 解析：（1）直线AB的方程是 所以：，由抛物线定义得：，所以p=4， 抛物线方程为： 8. 、由p=4，![](./data/image/media/image2704.wmf){width="1.3263888888888888in" height="0.25in"}化简得，从而,从而A:(1,),B(4,) 设=，又，即8（4），即，解得 20.(本小题满分13分） 设. （1）如果在处取得最小值，求的解析式； （2）如果，的单调递减区间的长度是正整数，试求和 的值．(注：区间的长度为） 解：（1）已知， 又在处取极值， 则，又在处取最小值-5. 则 （2）要使单调递减，则 又递减区间长度是正整数，所以两根设做a，b即有： b-a为区间长度又 又b-a为正整数，且m+n\<10,所以m=2，n=3或，符合 21.(本小题满分14分） （1）已知两个等比数列，满足， 若数列唯一，求的值； （2）是否存在两个等比数列，使得成公差为 的等差数列？若存在，求 的通项公式；若存在，说明理由． 解：（1）要唯一，当公比时，由且， ，最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根） ，此时满足条件的a有无数多个，不符合 当公比时，等比数列首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由，可推得符合 综上： （2）假设存在这样的等比数列，则由等差数列的性质可得：，整理得： 要使该式成立，则=或此时数列，公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列 2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） -------------------------------------------- **数 学（供理科考生使用）** **参考答案** **评分说明：** > **1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.** > > **2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.** **3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.** **4．只给整数分数，选择题不给中间分.** **一、选择题** **1---5 BACDB 6---10 CADDB 11---12 BC** **二、填空题** **13．2** **14．0.254** **15．** **16．** **三、解答题** **17．解：** **（I）设等差数列的公差为*d*，由已知条件可得** **解得** **故数列的通项公式为 ..................5分** **（II）设数列，即，** **所以，当时，** **所以** **综上，数列 ..................12分** **18．解：** > ![](./data/image/media/image2769.png){width="1.75in" height="1.1770833333333333in"}**如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为*x*轴的正半轴建立空间直角坐标系D---xyz.** **（I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.** **则** **所以** **即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.** **故PQ⊥平面DCQ.** **又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. ............6分** **（II）依题意有B（1，0，1），** **设是平面PBC的法向量，则** **因此可取** **设m是平面PBQ的法向量，则** **可取** **故二面角Q---BP---C的余弦值为 ..................12分** **19．解：** **（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且** **即X的分布列为** ![](./data/image/media/image2781.png){width="2.451388888888889in" height="0.6597222222222222in"} **..................4分** **X的数学期望为** **..................6分** **（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：** **..................8分** **品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：** **..................10分** > **由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.** **20．解：（I）因为C~1~，C~2~的离心率相同，故依题意可设** **设直线，分别与C~1~，C~2~的方程联立，求得** **..................4分** **当表示A，B的纵坐标，可知** **..................6分** **（II）t=0时的*l*不符合题意.时，BO//AN当且仅当BO的斜率*k*~BO~与AN的斜率*k*~AN­~相等，即** > **解得** > > **因为** > > **所以当时，不存在直线*l*，使得BO//AN；** > > **当时，存在直线*l*使得BO//AN. ..................12分** **21．解：** **（I）** **（i）若单调增加.** **（ii）若** **且当** **所以单调增加，在单调减少. ..................4分** **（II）设函数则** **当.** **故当， ..................8分** **（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，** **故，从而的最大值为** **不妨设** **由（II）得** **从而** **由（I）知， ..................12分** **22．解：** ![](./data/image/media/image2816.png){width="1.2083333333333333in" height="1.1770833333333333in"} **（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.** > **因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.** > > **故∠ECD=∠EBA，** > > **所以CD//AB. ............5分** **（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC** **从而∠FED=∠GEC.** **连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，** **又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.** **所以∠AFG+∠GBA=180°.** **故A，B，G，F四点共圆 ............10分** **23．解：** **（I）C~1~是圆，C~2~是椭圆.** **当时，射线*l*与C~1~，C~2~交点的直角坐标分别为（1，0），（*a*，0），因为这两点间的距离为2，所以*a*=3.** **当时，射线*l*与C~1~，C~2~交点的直角坐标分别为（0，1），（0，*b*），因为这两点重合，所以*b*=1.** **（II）C~1~，C~2~的普通方程分别为** **当时，射线*l*与C~1~交点A~1~的横坐标为，与C~2~交点B~1~的横坐标为** > **当时，射线*l*与C~1~，C~2~的两个交点A~2~，B~2~分别与A~1~，B~1~关于*x*轴对称，因此，** > > **四边形A~1~A~2~B~2~B~1~为梯形.** > > **故四边形A~1~A~2~B~2~B~1~的面积为 ............10分** **24．解：** **（I）** **当** **所以 ..................5分** **（II）由（I）可知，** **当的解集为空集；** **当；** **当.** **综上，不等式 ............10分** 2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） -------------------------------------------- **数 学（供文科考生使用）** **参考答案** **评分说明：** > **1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.** > > **2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.** **3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.** **4．只给整数分数，选择题不给中间分.** **一、选择题** **1---5 DADAB 6---10 ACBCC 11---12 BB** **二、填空题** **13．** **14．0.254** **15．---1** **16．** **三、解答题** **17．解：（I）由正弦定理得，，即** **故 ..................6分** **（II）由余弦定理和** **由（I）知故** **可得 ............12分** **18．解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形** **因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.** **又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.** **在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD** **所以PQ⊥平面DCQ. ..................6分** **（II）设AB=*a*.** **由题设知AQ为棱锥Q---ABCD的高，所以棱锥Q---ABCD的体积** **由（I）知PQ为棱锥P---DCQ的高，而PQ=，△DCQ的面积为，** **所以棱锥P---DCQ的体积为** **故棱锥Q---ABCD的体积与棱锥P---DCQ的体积的比值为1.............12分** **19．解：（I）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，** **令事件A="第一大块地都种品种甲".** **从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；** **（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.** **而事件A包含1个基本事件：（1，2）.** **所以 ..................6分** **（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：** **..................8分** **品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：** **..................10分** > **由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.** **20．解：（I） ............2分** **由已知条件得** **解得 ..................5分** **（II），由（I）知** **设则** **而 ..................12分** **21．解：（I）因为C~1~，C~2~的离心率相同，故依题意可设** **设直线，分别与C~1~，C~2~的方程联立，求得** **..................4分** **当表示A，B的纵坐标，可知** **..................6分** **（II）t=0时的*l*不符合题意.时，BO//AN当且仅当BO的斜率*k*~BO~与AN的斜率*k*~AN­~相等，即** > **解得** > > **因为** > > **所以当时，不存在直线*l*，使得BO//AN；** > > **当时，存在直线*l*使得BO//AN. ..................12分** **22．解：** ![](./data/image/media/image2816.png){width="1.2083333333333333in" height="1.1770833333333333in"} **（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.** > **因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.** > > **故∠ECD=∠EBA，** > > **所以CD//AB. ............5分** **（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC** **从而∠FED=∠GEC.** **连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，** **又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.** **所以∠AFG+∠GBA=180°.** **故A，B，G，F四点共圆 ............10分** **23．解：** **（I）C~1~是圆，C~2~是椭圆.** **当时，射线*l*与C~1~，C~2~交点的直角坐标分别为（1，0），（*a*，0），因为这两点间的距离为2，所以*a*=3.** **当时，射线*l*与C~1~，C~2~交点的直角坐标分别为（0，1），（0，*b*），因为这两点重合，所以*b*=1.** **（II）C~1~，C~2~的普通方程分别为** **当时，射线*l*与C~1~交点A~1~的横坐标为，与C~2~交点B~1~的横坐标为** > **当时，射线*l*与C~1~，C~2~的两个交点A~2~，B~2~分别与A~1~，B~1~关于*x*轴对称，因此，** > > **四边形A~1~A~2~B~2~B~1~为梯形.** > > **故四边形A~1~A~2~B~2~B~1~的面积为 ............10分** **24．解：** **（I）** **当** **所以 ..................5分** **（II）由（I）可知，** **当的解集为空集；** **当；** **当.** **综上，不等式 ............10分** 2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） -------------------------------------------- **理 科 数 学** ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2857.jpeg){width="5.860416666666667in" height="8.205555555555556in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2858.jpeg){width="6.527777777777778in" height="9.6875in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2859.jpeg){width="6.368055555555555in" height="9.23611111111111in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2860.jpeg){width="6.458333333333333in" height="9.006944444444445in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2861.jpeg){width="6.409722222222222in" height="9.777777777777779in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2862.jpeg){width="6.173611111111111in" height="9.416666666666666in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2863.jpeg){width="6.513888888888889in" height="9.409722222222221in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2864.jpeg){width="6.229166666666667in" height="9.118055555555555in"} 2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） -------------------------------------------- 文科数学 参考答案 一、选择题 ADDCABBBCCAD 二、填空题 13．16 14．68 15． 16．2 三、解答题 17．解： （I）由正弦定理，设 则 所以 即， 化简可得 又， 所以 因此 （II）由得 由余弦定得及得 所以 又 从而 因此b=2 18．解：（I）甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示； 乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为： （A，D）（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F）共9种 从中选出两名教师性别相同的结果有：（A，D），（B，D），（C，E），（C，F）共4种， 选出的两名教师性别相同的概率为 （II）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为： （A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F）， （C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种， 从中选出两名教师来自同一学校的结果有： （A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（D，F），（E，F）共6种， 选出的两名教师来自同一学校的概率为 19．（I）证法一： 因为平面ABCD，且平面ABCD， ![](./data/image/media/image2885.png){width="1.8125in" height="1.0729166666666667in"}所以， 又因为AB=2AD，， 在中，由余弦定理得 ， 所以， 因此， 又 所以 又平面ADD~1~A~1~， 故 证法二： ![](./data/image/media/image2896.png){width="1.84375in" height="0.9583333333333334in"}因为平面ABCD，且平面ABCD， 所以 取AB的中点G，连接DG， 在中，由AB=2AD得AG=AD， 又，所以为等边三角形 因此GD=GB， 故， 又 所以平面ADD~1~A~1~， 又平面ADD~1~A~1~， ![](./data/image/media/image2907.png){width="2.15625in" height="1.1770833333333333in"}故 （II）连接AC，A~1~C~1~， 设，连接EA~1~ 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以 由棱台定义及AB=2AD=2A~1~B~1~知 A~1~C~1~//EC且A~1~C~1~=EC， 所以边四形A~1~ECC~1~为平行四边形， 因此CC~1~//EA~1~， 又因为EA平面A~1~BD，平面A~1~BD， 所以CC~1~//平面A~1~BD 20．解：（I）当时，不合题意； 当时，当且仅当时，符合题意； 当时，不合题意 因此 所以公式q=3， 故 （II）因为 所以 21．解：（I）设容器的容积为V， 由题意知 故 由于 因此 所以建造费用 因此 （II）由（I）得 由于 当 令 所以 （1）当时， 所以是函数y的极小值点，也是最小值点 （2）当即时， 当函数单调递减， 所以r=2是函数y的最小值点， 综上所述，当时，建造费用最小时 当时，建造费用最小时 22．（I）解：设直线， 由题意， 由方程组得 ， 由题意， 所以 设， 由韦达定理得 所以 由于E为线段AB的中点， 因此 此时 所以OE所在直线方程为 又由题设知D（-3，m）， 令x=-3，得， 即mk=1， 所以 当且仅当m=k=1时上式等号成立， 此时 由得 因此 当时， 取最小值2 （II）（i）由（I）知OD所在直线的方程为 将其代入椭圆C的方程，并由 解得 又， 由距离公式及得 由 因此，直线的方程为 所以，直线 （ii）由（i）得 若B，G关于x轴对称， 则 代入 即， 解得（舍去）或 所以k=1， 此时关于x轴对称 又由（I）得所以A（0，1） 由于的外接圆的圆心在x轴上，可设的外接圆的圆心为（d，0）， 因此 故的外接圆的半径为， 所以的外接圆方程为 2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） -------------------------------------------- 数学（理工农医类） 1. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1\. 设![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2987.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.2222222222222222in"}是向量，命题"若![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2988.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.19444444444444445in"}，则∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2989.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}∣= ∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2990.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}∣"的逆命题是 （ ） （A）若![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2991.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.19444444444444445in"}，则∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2989.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2992.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1527777777777778in"}∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2990.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}∣ （B）若![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2993.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}，则∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2989.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2992.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1527777777777778in"}∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2990.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}∣ （C）若∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2989.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2992.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1527777777777778in"}∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2990.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}∣，则∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2989.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2992.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1527777777777778in"}∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2990.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}∣ （D）若∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2989.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}∣=∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2990.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}∣，则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2989.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}= -![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2990.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"} 2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2994.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.19444444444444445in"}，则抛物线的方程是 （ ） （A）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2995.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.25in"} （B）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2996.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.25in"} (C) ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2997.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.25in"} (D) ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2998.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.25in"} 3.设函数![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2999.wmf){width="0.8472222222222222in" height="0.2222222222222222in"}满足![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3000.wmf){width="2.0972222222222223in" height="0.2222222222222222in"},则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3001.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.2222222222222222in"}的图像可能是（ ） ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3002.png){width="5.763888888888889in" height="1.5in"}4. ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3003.wmf){width="0.6875in" height="0.2569444444444444in"}（x∈R展开式中的常数项是 （ ） （A）-20 （B）-15 （C）15 （D）20 3. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） ```{=html} <!-- --> ``` 9. ![](./data/image/media/image3004.png){width="2.091666666666667in" height="1.9916666666666667in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3005.wmf){width="0.5069444444444444in" height="0.4375in"} 10. ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3006.wmf){width="0.3819444444444444in" height="0.4375in"} 11. 8-2π 12. ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3007.wmf){width="0.3263888888888889in" height="0.4375in"} ```{=html} <!-- --> ``` 3. 函数f(x)=![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3008.wmf){width="0.2569444444444444in" height="0.25in"}---cosx在\[0，+∞）内 （ ） ```{=html} <!-- --> ``` 1. 没有零点 （B）有且仅有一个零点 （C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点 6. 设集合M={y\|![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3009.wmf){width="0.3125in" height="0.2222222222222222in"}x---![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3010.wmf){width="0.2986111111111111in" height="0.2222222222222222in"}x\|,x∈R}, N={x\|\|x---![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3011.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.4375in"}\|\<![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3012.wmf){width="0.2569444444444444in" height="0.22916666666666666in"},i为虚数单位，x∈R},则M∩N为（ ） (A)(0,1) (B)(0,1\] (C)\[0,1) (D)\[0,1\] 7. 右图中，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3013.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.25in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3014.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3015.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3013.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.25in"}=6，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3014.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}=9，p=8.5时，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3015.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}等于 （ ） ![](./data/image/media/image3016.png){width="1.8666666666666667in" height="2.9in"}(A)11 (B)10 (C)8 (D)7 9.设（![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3017.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3018.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}），（![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3019.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3020.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.25in"}），...，（![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3021.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3022.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.25in"}）是变量![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3023.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}和![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3024.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}的![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3025.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}个样本点，直线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3026.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.19444444444444445in"}是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是【D】 ![](./data/image/media/image3027.png){width="1.8541666666666667in" height="1.3645833333333333in"}（A）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3028.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}和![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3029.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}的相关系数为直线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3026.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.19444444444444445in"}的斜率 （B）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3028.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}和![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3029.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}的相关系数在0到1之间 （C）当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3030.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}为偶数时，分布在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3026.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.19444444444444445in"}两侧的样本点的个数一定相同 （D）直线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3026.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.19444444444444445in"}过点![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3031.png){width="0.6180555555555556in" height="0.2222222222222222in"} 10.甲乙两人一起去游"2011西安世园会"，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是【D】 （A）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3032.wmf){width="0.2361111111111111in" height="0.4305555555555556in"} （B）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3033.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.4305555555555556in"} （C）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3034.wmf){width="0.2361111111111111in" height="0.4305555555555556in"} （D）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3035.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.4305555555555556in"} 11.设![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3036.png){width="2.638888888888889in" height="0.7291666666666666in"}若![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3037.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.2222222222222222in"}，则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3038.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}= [1]{.underline} 12.设![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3039.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.25in"},一元二次方程![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3040.wmf){width="1.0138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}有正数根的充要条件是![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3041.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}= [3或4]{.underline} 13.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ...... 照此规律，第![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3042.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}个等式为 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3043.wmf){width="2.888888888888889in" height="0.25in"} 14.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为[2000]{.underline}（米） 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） ![](./data/image/media/image3044.jpeg){width="2.2708333333333335in" height="1.1875in"}A．（不等式选做题）若关于![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3045.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}的不等式![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3046.wmf){width="1.2222222222222223in" height="0.2777777777777778in"}存在实数解，则实数![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3047.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}的取值范围是![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3048.wmf){width="1.2222222222222223in" height="0.2222222222222222in"} B．（几何证明选做题）如图，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3049.wmf){width="2.2916666666666665in" height="0.25in"}，且![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3050.wmf){width="1.6805555555555556in" height="0.2222222222222222in"}，则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3051.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.18055555555555555in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3052.wmf){width="0.3472222222222222in" height="0.2361111111111111in"} C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3053.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.18055555555555555in"}中，以原点为极点，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3054.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3055.jpeg){width="2.1805555555555554in" height="0.7430555555555556in"}（![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3056.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}为参数）和曲线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3057.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.25in"}上，则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3058.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2777777777777778in"}的最小值为 [3]{.underline} 三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分） ![](./data/image/media/image3059.jpeg){width="4.364583333333333in" height="1.3333333333333333in"}如图，在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3060.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.19444444444444445in"}中，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3061.wmf){width="2.0833333333333335in" height="0.25in"}是![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3062.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.19444444444444445in"}上的高，沿![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3063.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.18055555555555555in"}把![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3060.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.19444444444444445in"}折起，使![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3064.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.2222222222222222in"} （Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ  ⊥平面ＢＤＣ； ![](./data/image/media/image3065.png){width="2.03125in" height="1.5in"}（Ⅱ ）设Ｅ为ＢＣ的中点，求![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3066.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.19444444444444445in"}与　![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3067.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.19444444444444445in"}夹角的余弦值 解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高， ∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ， 又DB![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3068.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.1388888888888889in"}ＤＣ＝Ｄ， ∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ， ∵AD 平面![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3069.png){width="0.2569444444444444in" height="0.1875in"}平面BDC. ![](./data/image/media/image3070.png){width="1.84375in" height="1.1458333333333333in"}（Ⅱ ）由∠ ＢＤＣ＝![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3071.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.19444444444444445in"}及（Ⅰ）知DA，ＤＢ，DC两两垂直，不防设![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3072.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2777777777777778in"}=1，以D为坐标原点，以![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3067.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.19444444444444445in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3073.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.20833333333333334in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3074.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.19444444444444445in"}所在直线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3075.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.18055555555555555in"}轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3076.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}），E（![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3077.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3078.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}，0）， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3079.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.19444444444444445in"}=![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3080.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.4722222222222222in"}， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3081.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.19444444444444445in"}=（1，0,0,）， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3082.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.19444444444444445in"}与![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3083.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.19444444444444445in"}夹角的余弦值为 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3084.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.1527777777777778in"}＜![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3085.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.19444444444444445in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3086.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.19444444444444445in"}＞=![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3087.wmf){width="1.1805555555555556in" height="0.5138888888888888in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3088.wmf){width="1.1944444444444444in" height="0.875in"}. 17.（本小题满分12分） 如图，设P是圆![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3089.wmf){width="0.8611111111111112in" height="0.25in"}上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3090.wmf){width="0.9583333333333334in" height="0.4305555555555556in"} （Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3091.png){width="1.3819444444444444in" height="1.375in"} （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3092.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}的直线被C所截线段的长度 解：（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）P的坐标为（x~p~,y~p~） > 由已知 x~p~=x > > ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3093.wmf){width="0.6111111111111112in" height="0.4305555555555556in"} > > ∵  P在圆上， ∴   ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3094.wmf){width="1.1527777777777777in" height="0.5138888888888888in"}，即C的方程为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3095.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.4583333333333333in"} > > （Ⅱ）过点（3，0）且斜率为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3096.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}的直线方程为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3097.wmf){width="0.875in" height="0.4305555555555556in"}， > > 设直线与C的交点为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3098.wmf){width="1.3472222222222223in" height="0.2777777777777778in"} > > 将直线方程![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3097.wmf){width="0.875in" height="0.4305555555555556in"}代入C的方程，得 > > ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3099.wmf){width="1.1388888888888888in" height="0.5in"} 即![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3100.wmf){width="0.9861111111111112in" height="0.2222222222222222in"} > >  ∴   ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3101.wmf){width="1.7916666666666667in" height="0.4722222222222222in"}  ∴   线段AB的长度为 > > ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3102.wmf){width="4.694444444444445in" height="0.5277777777777778in"} 注：求AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分 18.（本小题满分12分） 叙述并证明余弦定理 > 解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍或：在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3103.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}ABC中，a,b,c为A,B,C的对边，有 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3104.wmf){width="1.5833333333333333in" height="0.2222222222222222in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3105.wmf){width="1.5972222222222223in" height="0.2222222222222222in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3106.wmf){width="1.6111111111111112in" height="0.2222222222222222in"} 证法一 如图![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3107.png){width="2.1805555555555554in" height="1.1111111111111112in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3108.wmf){width="0.9583333333333334in" height="0.2361111111111111in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3109.wmf){width="1.7361111111111112in" height="0.2638888888888889in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3110.wmf){width="1.7222222222222223in" height="0.2638888888888889in"} > ![](./data/image/media/image3111.wmf)\ > ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3112.wmf){width="1.375in" height="0.2222222222222222in"} 即![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3113.wmf){width="1.5833333333333333in" height="0.2222222222222222in"} 同理可证![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3105.wmf){width="1.5972222222222223in" height="0.2222222222222222in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3106.wmf){width="1.6111111111111112in" height="0.2222222222222222in"} > 证法二 已知![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3103.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}ABC中A,B,C所对边分别为a,b,c,以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则 > > ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3114.png){width="2.1875in" height="1.1041666666666667in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3115.wmf){width="1.7361111111111112in" height="0.2222222222222222in"}, ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3116.wmf){width="2.638888888888889in" height="0.3055555555555556in"} ![](./data/image/media/image3117.wmf)![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3118.wmf){width="2.5555555555555554in" height="0.2222222222222222in"} > 同理可证![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3105.wmf){width="1.5972222222222223in" height="0.2222222222222222in"} ![](./data/image/media/image3119.wmf)\ 19.（本小题满分12分）如图，从点P~1~（0,0）作x轴的垂线交于曲线y=e~x~于点Q~1~（0,1），曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P~2~再从P~2~作x轴的垂线交曲线于点Q~2~，依次重复上述过程得到一系列点：P~1~，Q~I~；P~2~，Q~2~...P~n~，Q~n~，记![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3120.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}点的坐标为（![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3121.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}，0）（k=1,2，...，n） （Ⅰ）试求![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3121.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}与![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3122.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.25in"}的关系（2≤k≤n）； （ Ⅱ）求![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3123.wmf){width="2.1805555555555554in" height="0.2777777777777778in"} 解（Ⅰ）设![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3124.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.25in"}，由![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3125.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.25in"}得![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3126.wmf){width="1.0in" height="0.2638888888888889in"}点处切线方程为 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3127.wmf){width="1.5555555555555556in" height="0.2638888888888889in"} 由![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3128.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.2222222222222222in"}得![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3129.wmf){width="1.5138888888888888in" height="0.25in"} （ Ⅱ）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3130.wmf){width="1.3611111111111112in" height="0.25in"}，得![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3131.wmf){width="0.8611111111111112in" height="0.25in"}， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3132.wmf){width="1.3055555555555556in" height="0.2777777777777778in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3133.wmf){width="2.5in" height="0.2777777777777778in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3134.wmf){width="2.9444444444444446in" height="0.4583333333333333in"} 20.（本小题满分13分） 如图，A地到火车站共有两条路径L~1~和L~2~，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表： ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3135.png){width="2.1041666666666665in" height="0.75in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3136.png){width="5.534722222222222in" height="1.1666666666666667in"} 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站 （Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望 解 （Ⅰ）A~i~表示事件"甲选择路径L~i~时，40分钟内赶到火车站"，B~i~表示事件"乙选择路径L~i~时，50分钟内赶到火车站"，i=1,2.用频率估计相应的概率可得 P(A~1~)=0.1+0.2+0.3=0.6，P(A~2~)=0.1+0.4=0.5， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3137.wmf){width="0.25in" height="0.2152777777777778in"} P(A~1~) ＞P(A~2~), ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3138.wmf){width="0.2847222222222222in" height="0.24305555555555555in"}甲应选择L~i~ P(B~1~)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P(B~2~)=0.1+0.4+0.4=0.9， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3137.wmf){width="0.25in" height="0.2152777777777778in"} P(B~2~) ＞P(B~1~), ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3138.wmf){width="0.2847222222222222in" height="0.24305555555555555in"}乙应选择L~2.~ （Ⅱ）*A,B*分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3139.wmf){width="1.5416666666666667in" height="0.2222222222222222in"},又由题意知，*A,B*独立， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3140.png){width="4.055555555555555in" height="0.8055555555555556in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3141.wmf){width="3.1944444444444446in" height="0.2222222222222222in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3142.png){width="5.256944444444445in" height="1.0555555555555556in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3143.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2916666666666667in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3144.wmf){width="2.611111111111111in" height="0.19444444444444445in"} 21.(本小题满分14分) 设函数![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3145.wmf){width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}定义在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3146.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}上，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3147.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.2222222222222222in"}，导函数![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3148.wmf){width="2.0972222222222223in" height="0.4305555555555556in"} （Ⅰ）求![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3149.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"}的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3149.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"}与![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3150.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.4305555555555556in"}的大小关系； （Ⅲ）是否存在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3151.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.25in"}，使得![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3152.wmf){width="1.2083333333333333in" height="0.4305555555555556in"}对任意成立？若存在，求出![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3153.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}的取值范围；若不存在，请说明理由. 解 （Ⅰ）由题设易知![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3154.wmf){width="0.7777777777777778in" height="0.2222222222222222in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3155.wmf){width="1.0277777777777777in" height="0.4305555555555556in"}， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3156.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1388888888888889in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3157.wmf){width="0.875in" height="0.4305555555555556in"}，令![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3158.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.2222222222222222in"}得![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3159.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.19444444444444445in"}， 当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3160.wmf){width="0.5972222222222222in" height="0.2222222222222222in"}时，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3161.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.2222222222222222in"}，故（0,1）是![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3162.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"}的单调减区间， 当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3163.wmf){width="0.7361111111111112in" height="0.2222222222222222in"}时，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3164.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.2222222222222222in"}，故![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3165.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.2222222222222222in"}是![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3162.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"}的单调增区间， 因此，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3166.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.19444444444444445in"}是![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3162.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"}的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3167.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.2222222222222222in"}. （Ⅱ）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3168.wmf){width="1.1388888888888888in" height="0.4305555555555556in"}， 设![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3169.wmf){width="2.2916666666666665in" height="0.4305555555555556in"}，则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3170.wmf){width="1.1527777777777777in" height="0.4583333333333333in"}， 当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3166.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.19444444444444445in"}时，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3171.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.2222222222222222in"}，即![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3172.wmf){width="0.8611111111111112in" height="0.4305555555555556in"}， 当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3173.wmf){width="1.2222222222222223in" height="0.2222222222222222in"}时![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3174.wmf){width="0.625in" height="0.2222222222222222in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3175.wmf){width="0.5972222222222222in" height="0.2222222222222222in"}， 因此，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3176.wmf){width="0.3472222222222222in" height="0.2222222222222222in"}在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3177.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}内单调递减， 当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3178.wmf){width="0.5972222222222222in" height="0.19444444444444445in"}时，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3179.wmf){width="1.0138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}，即![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3180.wmf){width="0.8611111111111112in" height="0.4305555555555556in"}， 当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3181.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.19444444444444445in"}时，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3182.wmf){width="1.0138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}，即![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3183.wmf){width="0.8611111111111112in" height="0.4305555555555556in"}. （Ⅲ）满足条件的![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3184.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.1527777777777778in"}不存在. 证明如下： 证法一 假设存在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3185.wmf){width="0.4444444444444444in" height="0.25in"} ，使![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3186.wmf){width="1.2222222222222223in" height="0.4305555555555556in"} 对任意![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3187.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"} 成立， 即对任意![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3188.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}，有 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3189.wmf){width="1.4444444444444444in" height="0.4305555555555556in"} ，（\*） 但对上述![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3190.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}，取![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3191.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.2638888888888889in"}时，有 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3192.wmf){width="0.8472222222222222in" height="0.25in"}，这与(\*)左边不等式矛盾， 因此，不存在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3185.wmf){width="0.4444444444444444in" height="0.25in"} ，使![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3186.wmf){width="1.2222222222222223in" height="0.4305555555555556in"} 对任意![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3187.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}成立 证法二 假设存在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3185.wmf){width="0.4444444444444444in" height="0.25in"}，使 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3186.wmf){width="1.2222222222222223in" height="0.4305555555555556in"} 对任意的![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3187.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}成立 由（Ⅰ）知，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3193.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"} 的最小值为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3194.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.2222222222222222in"} 又![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3195.wmf){width="1.0138888888888888in" height="0.4305555555555556in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3196.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.19444444444444445in"}，而![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3197.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.19444444444444445in"}时，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3198.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.19444444444444445in"}的值域为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3199.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}， ∴ ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3200.wmf){width="0.3472222222222222in" height="0.19444444444444445in"} 时，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3201.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"} 的值域为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3202.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.2222222222222222in"}， 从而可取一个![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3203.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.25in"}，使 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3204.wmf){width="1.1388888888888888in" height="0.25in"}， 即![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3205.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.25in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3206.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1111111111111111in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3207.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3208.wmf){width="0.2361111111111111in" height="0.18055555555555555in"}，故 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3209.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3210.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.4722222222222222in"}，与假设矛盾 ∴ 不存在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3185.wmf){width="0.4444444444444444in" height="0.25in"} ，使![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3186.wmf){width="1.2222222222222223in" height="0.4305555555555556in"} 对任意![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3187.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}成立 B卷选择题答案 1.C 2.C 3.D 4.B 5.A 6.C 7.B 8.B 9.D 10.A 2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） -------------------------------------------- **文科数学** 2. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1\. 设![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2987.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.2222222222222222in"}是向量，命题"若![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2988.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.19444444444444445in"}，则∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2989.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}∣= ∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2990.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}∣"的逆命题是【D】 （A）若![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2991.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.19444444444444445in"}，则∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2989.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2992.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1527777777777778in"}∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2990.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}∣ （B）若![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2993.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}，则∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2989.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2992.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1527777777777778in"}∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2990.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}∣ （C）若∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2989.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2992.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1527777777777778in"}∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2990.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}∣，则∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2989.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2992.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1527777777777778in"}∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2990.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}∣ （D）若∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2989.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}∣=∣![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2990.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}∣，则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2989.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}= -![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2990.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"} 2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2994.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.19444444444444445in"}，则抛物线的方程是 【C】 （A）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2995.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.25in"} （B）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2996.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.25in"} (C) ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2997.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.25in"} (D) ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image2998.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.25in"} 3.设![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3211.wmf){width="0.625in" height="0.19444444444444445in"}，则下列不等式中正确的是 【B】 （A） ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3212.wmf){width="1.2083333333333333in" height="0.4305555555555556in"} （B）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3213.wmf){width="1.3472222222222223in" height="0.4305555555555556in"} （c）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3214.wmf){width="1.3472222222222223in" height="0.4305555555555556in"} (D) ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3215.wmf){width="1.3472222222222223in" height="0.4305555555555556in"} 4\. 函数![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3216.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.3611111111111111in"}的图像是 【B】 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3217.png){width="5.902777777777778in" height="1.2847222222222223in"} 4. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是【A】 ```{=html} <!-- --> ``` 13. ![](./data/image/media/image3004.png){width="2.091666666666667in" height="1.9916666666666667in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3218.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.4305555555555556in"} 14. ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3219.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.4305555555555556in"} 15. 8-2π 16. ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3220.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.4305555555555556in"} 6.方程![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3221.wmf){width="0.6805555555555556in" height="0.2777777777777778in"}在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3222.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.2777777777777778in"}内【C】 (A)没有根 (B)有且仅有一个根 \(C\) 有且仅有两个根 （D）有无穷多个根 7.如右框图，当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3223.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3224.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.2222222222222222in"}时，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3225.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}等于 【B】 \(A\) 7 (B) 8 (C)10 （D）11 8.设集合M={y\|![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3009.wmf){width="0.3125in" height="0.2222222222222222in"}x---![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3010.wmf){width="0.2986111111111111in" height="0.2222222222222222in"}x\|,x∈R},![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3226.png){width="2.9166666666666665in" height="3.576388888888889in"} N={x\|\|x---![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3011.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.4375in"}\|\<![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3012.wmf){width="0.2569444444444444in" height="0.22916666666666666in"},i为虚数单位，x∈R},则M∩N为【C】 (A)(0,1) (B)(0,1\] (C)\[0,1) (D)\[0,1\] 9.设![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3227.wmf){width="1.0694444444444444in" height="0.25in"}··· ，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3228.wmf){width="0.5347222222222222in" height="0.25in"}是变量![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3229.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}和![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3230.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}的![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3231.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}次方个样本点，直线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3232.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.2013888888888889in"}是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ） \(A\) 直线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3232.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.2013888888888889in"}过点![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3233.wmf){width="0.4097222222222222in" height="0.2569444444444444in"} （B）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3234.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}和![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3235.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}的相关系数为直线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3232.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.2013888888888889in"}的斜率 （C）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3234.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}和![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3235.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}的相关系数在0到1之间 （D）当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3236.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}为偶数时，分布在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3232.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.2013888888888889in"}两侧的样本点的个数一定相同 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3237.png){width="1.7638888888888888in" height="1.2708333333333333in"} 10.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ） （A）(1)和（20） （B）(9)和（10） (C) （9）和（11） (D) （10）和（11） 2. **填空题（ 共5道小题，每小题5分，共25分）** ```{=html} <!-- --> ``` 11. 设f(x)= lgx,x\>0, 则f(f(-2))=\_\_\_\_\_\_. > ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3238.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.2222222222222222in"},x≤0， 12. ![](./data/image/media/image3239.png){width="1.875in" height="1.1416666666666666in"}如图，点（x,y)在四边形ABCD内部和边界上运动， 那么2x-y的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_. 13. 观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第五个等式应为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 14. 设n∈![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3240.wmf){width="0.25in" height="0.25in"},一元二次方程![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3241.wmf){width="0.8541666666666666in" height="0.2222222222222222in"}有整数根的充要条件是n=\_\_\_\_\_. ```{=html} <!-- --> ``` 15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A.（不等式选做题）若不等式![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3242.wmf){width="1.1527777777777777in" height="0.2708333333333333in"}对任意![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3243.wmf){width="0.3958333333333333in" height="0.19444444444444445in"}恒成立，则a的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ B.（几何证明选做题）如图， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3244.wmf){width="2.298611111111111in" height="0.25in"} 且AB=6，AC+4，AD+12，则AE=\_\_\_\_\_\_\_. ![](./data/image/media/image3245.png){width="1.8229166666666667in" height="1.03125in"} C. （坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B分别在曲线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3246.wmf){width="1.1875in" height="0.5in"} （![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3247.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}为参数）和曲线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3248.wmf){width="0.6458333333333334in" height="0.25in"}上，则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3249.wmf){width="0.3263888888888889in" height="0.2708333333333333in"}的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_. 3. **解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）** ```{=html} <!-- --> ``` 16. （本小题满分12分） 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90° ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3250.png){width="2.7291666666666665in" height="0.8888888888888888in"} （Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ  ⊥平面ＢＤＣ； （Ⅱ ）设BD=1，求三棱锥D---ＡＢＣ的表面积 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3251.png){width="2.9444444444444446in" height="2.4652777777777777in"} 解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高， ∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ， 又DB![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3068.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.1388888888888889in"}ＤＣ＝Ｄ， ∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ， ∵AD 平面![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3069.png){width="0.2569444444444444in" height="0.1875in"}平面BDC. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3252.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.18055555555555555in"},![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3253.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.19444444444444445in"},![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3254.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.19444444444444445in"}, ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3255.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1388888888888889in"}DB=DA=DC=1， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3256.wmf){width="0.24305555555555555in" height="0.2152777777777778in"}AB=BC=CA=![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3257.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.2361111111111111in"}, ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3258.wmf){width="2.486111111111111in" height="0.4305555555555556in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3259.wmf){width="2.3333333333333335in" height="0.4722222222222222in"} 表面积：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3260.wmf){width="1.6666666666666667in" height="0.6666666666666666in"} 17.（本小题满分12分） 设椭圆C: ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3261.wmf){width="1.5277777777777777in" height="0.4583333333333333in"}过点（0，4），离心率为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3262.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.4305555555555556in"} （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3263.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}的直线被C所截线段的中点坐标 解（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3264.wmf){width="0.4444444444444444in" height="0.4305555555555556in"}  ∴b=4 又![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3265.wmf){width="0.6805555555555556in" height="0.4305555555555556in"} 得![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3266.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.4583333333333333in"} 即![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3267.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.4305555555555556in"}，  ∴a=5  ∴C的方程为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3268.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.4583333333333333in"} （ Ⅱ）过点![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3269.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.2777777777777778in"}且斜率为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3270.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}的直线方程为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3271.wmf){width="0.875in" height="0.4305555555555556in"}， 设直线与Ｃ的交点为Ａ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3272.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.2777777777777778in"}，Ｂ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3273.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.2777777777777778in"}， 将直线方程![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3271.wmf){width="0.875in" height="0.4305555555555556in"}代入Ｃ的方程，得 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3274.wmf){width="1.1388888888888888in" height="0.5in"}， 即![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3275.wmf){width="0.9861111111111112in" height="0.2222222222222222in"}，解得 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3276.wmf){width="0.875in" height="0.4722222222222222in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3277.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.4722222222222222in"}， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3278.wmf){width="0.2222222222222222in" height="0.19444444444444445in"} AB的中点坐标![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3279.wmf){width="1.0277777777777777in" height="0.4305555555555556in"}， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3280.wmf){width="2.25in" height="0.4305555555555556in"}， 即中点为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3281.wmf){width="0.625in" height="0.4722222222222222in"} **注：**用韦达定理正确求得结果，同样给分 18.（本小题满分12分） 叙述并证明余弦定理 解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3282.wmf){width="1.5833333333333333in" height="0.2222222222222222in"}， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3283.wmf){width="1.5833333333333333in" height="0.2222222222222222in"}， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3284.wmf){width="1.6111111111111112in" height="0.2222222222222222in"}. **证法一 如图，** ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3285.png){width="3.1805555555555554in" height="1.5833333333333333in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3286.wmf){width="0.5972222222222222in" height="0.2361111111111111in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3287.wmf){width="1.7638888888888888in" height="0.3333333333333333in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3288.wmf){width="1.7222222222222223in" height="0.2777777777777778in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3289.wmf){width="2.2222222222222223in" height="0.3611111111111111in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3290.wmf){width="1.375in" height="0.2222222222222222in"} 即 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3282.wmf){width="1.5833333333333333in" height="0.2222222222222222in"} 同理可证 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3283.wmf){width="1.5833333333333333in" height="0.2222222222222222in"}， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3284.wmf){width="1.6111111111111112in" height="0.2222222222222222in"} 证法二 已知![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3291.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.19444444444444445in"}中![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3292.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}所对边分别为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3293.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.2222222222222222in"}，以![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3294.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}为原点，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3295.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.18055555555555555in"}所在直线为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3296.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}轴建立直角坐标系，则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3297.wmf){width="1.7361111111111112in" height="0.2222222222222222in"}， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3298.png){width="5.895833333333333in" height="1.3888888888888888in"} 19.（本小题满分12分） 如图，从点![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3299.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.25in"}做x轴的垂线交曲线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3300.wmf){width="0.4444444444444444in" height="0.25in"}于点![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3301.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.25in"}曲线在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3302.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.25in"}点处的切线与x轴交于点![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3303.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}，再从![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3303.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}做x轴的垂线交曲线于点![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3304.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}，依次重复上述过程得到一系列点：![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3305.wmf){width="1.7083333333333333in" height="0.25in"}记![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3306.wmf){width="0.2361111111111111in" height="0.25in"}点的坐标为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3307.wmf){width="1.3472222222222223in" height="0.25in"}. （Ⅰ）试求![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3308.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}与![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3309.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.25in"}的关系![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3310.wmf){width="0.75in" height="0.2222222222222222in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3311.png){width="2.5in" height="1.6388888888888888in"} （ Ⅱ）求![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3123.wmf){width="2.1805555555555554in" height="0.2777777777777778in"} 解（Ⅰ）设![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3124.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.25in"}，由![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3125.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.25in"}得![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3126.wmf){width="1.0in" height="0.2638888888888889in"}点处切线方程为 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3127.wmf){width="1.5555555555555556in" height="0.2638888888888889in"} 由![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3128.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.2222222222222222in"}得![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3129.wmf){width="1.5138888888888888in" height="0.25in"} （ Ⅱ）![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3130.wmf){width="1.3611111111111112in" height="0.25in"}，得![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3131.wmf){width="0.8611111111111112in" height="0.25in"}， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3132.wmf){width="1.3055555555555556in" height="0.2777777777777778in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3133.wmf){width="2.5in" height="0.2777777777777778in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3134.wmf){width="2.9444444444444446in" height="0.4583333333333333in"} ![](./data/image/media/image3312.png){width="1.625in" height="1.0625in"}20.（本小题满分13分） 如图，A地到火车站共有两条路径L~1~和L~2~，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下： ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3313.png){width="5.902777777777778in" height="1.2708333333333333in"} （Ⅰ）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率; （Ⅱ ）分别求通过路径L~1~和L~2~所用时间落在上表中各时间段内的频率; （Ⅲ ）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的 路径 解（Ⅰ）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3314.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1388888888888889in"}用频率估计相应的概率为0.44. （Ⅱ ）选择L~1~的有60人，选择L~2~的有40人， 故由调查结果得频率为： ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3315.png){width="5.902777777777778in" height="1.1875in"} （ Ⅲ ）A~1~，A~2~，分别表示甲选择L~1~和L~2~时，在40分钟内赶到火车站； B~1~，B~2~分别表示乙选择L~1~和L~2~时，在50分钟内赶到火车站 由（Ⅱ）知P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6 P(A~2~)=0.1+0.4=0.5， P(A~1~)\>P(A~2~) ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3316.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1388888888888889in"}甲应选择L1 P(B~1~) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8 P（B~2~）=0.1+0.4+0.4=0.9，P（B~2~）＞P（B~1~）， ∴ 乙应选择L~2~. 21.（本小题满分14分） 设![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3317.wmf){width="2.111111111111111in" height="0.2222222222222222in"} （Ⅰ）求![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3318.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"}的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3318.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"}与![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3319.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.4305555555555556in"}的大小关系； （Ⅲ）求![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3320.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}的取值范围，使得![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3321.wmf){width="0.8194444444444444in" height="0.2222222222222222in"}＜![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3322.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}对任意![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3323.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}＞0成立 解（Ⅰ）由题设知![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3324.wmf){width="1.8055555555555556in" height="0.4305555555555556in"}， ∴![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3325.wmf){width="0.9305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}令![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3326.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.2222222222222222in"}0得![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3327.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}=1， 当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3327.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}∈（0，1）时，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3328.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.2222222222222222in"}＜0，故（0，1）是![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3329.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"}的单调减区间 当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3327.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}∈（1，+∞）时，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3328.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.2222222222222222in"}＞0，故（1，+∞）是![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3329.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"}的单调递增区间，因此，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3327.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}=1是![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3329.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"}的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3330.wmf){width="0.5972222222222222in" height="0.2222222222222222in"} (II)![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3331.wmf){width="1.0972222222222223in" height="0.4305555555555556in"} 设![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3332.wmf){width="2.2222222222222223in" height="0.4305555555555556in"}，则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3333.wmf){width="1.1527777777777777in" height="0.4583333333333333in"}， 当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3334.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.19444444444444445in"}时，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3335.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.2222222222222222in"}即![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3336.wmf){width="0.8611111111111112in" height="0.4305555555555556in"}， 当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3337.wmf){width="1.2222222222222223in" height="0.2222222222222222in"}时![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3338.wmf){width="0.5972222222222222in" height="0.2222222222222222in"}， 因此，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3339.wmf){width="0.3472222222222222in" height="0.2222222222222222in"}在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3340.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}内单调递减， 当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3341.wmf){width="0.5972222222222222in" height="0.19444444444444445in"}时，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3342.wmf){width="1.0138888888888888in" height="0.2222222222222222in"} 即![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3343.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.4305555555555556in"} （III）由（I）知![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3344.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"}的最小值为1，所以， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3345.wmf){width="1.0972222222222223in" height="0.4305555555555556in"}，对任意![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3346.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}，成立![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3347.wmf){width="1.1111111111111112in" height="0.4305555555555556in"} 即![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3348.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.2222222222222222in"}从而得![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3349.wmf){width="0.625in" height="0.19444444444444445in"} B卷试题答案 1.D 2.B 3.C 4.C 5.A 6.B 7.C 8.B 9.A 10.D 2011年上海高考数学试题（理科）答案 ---------------------------------- 一、填空题 1、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3350.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.4305555555555556in"}；2、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3351.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.2222222222222222in"}；3、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3352.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.19444444444444445in"}；4、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3353.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}或![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3354.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4305555555555556in"}；5、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3355.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.4722222222222222in"}；6、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3356.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.25in"}；7、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3357.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.4722222222222222in"}； 8、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3358.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.4722222222222222in"}；9、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3359.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.18055555555555555in"}；10、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3360.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}；11、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3361.wmf){width="0.2222222222222222in" height="0.4305555555555556in"}；12、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3362.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.19444444444444445in"}；13、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3363.wmf){width="0.5972222222222222in" height="0.2222222222222222in"}；14、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3364.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} 二、选择题 15、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3365.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.18055555555555555in"}；16、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3366.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}；17、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3367.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}；18、![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3368.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.18055555555555555in"} 三、解答题 19、解： ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3369.wmf){width="1.2916666666666667in" height="0.25in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3370.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3371.wmf){width="0.625in" height="0.25in"}..................（4分） 设![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3372.wmf){width="1.1527777777777777in" height="0.25in"}，则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3373.wmf){width="2.6666666666666665in" height="0.25in"}，..................（12分） ∵ ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3374.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，∴ ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3375.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.25in"} ..................（12分） 20、解：⑴ 当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3376.wmf){width="0.7777777777777778in" height="0.2222222222222222in"}时，任意![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3377.wmf){width="1.1388888888888888in" height="0.25in"}，则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3378.wmf){width="2.6944444444444446in" height="0.2638888888888889in"} ∵ ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3379.wmf){width="2.2083333333333335in" height="0.25in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3380.wmf){width="2.1527777777777777in" height="0.25in"}， ∴ ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3381.wmf){width="1.1944444444444444in" height="0.25in"}，函数![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3382.wmf){width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3383.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}上是增函数 当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3384.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.2222222222222222in"}时，同理，函数![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3382.wmf){width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}在![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3383.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}上是减函数 ⑵ ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3385.wmf){width="2.3194444444444446in" height="0.25in"} 当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3386.wmf){width="0.7777777777777778in" height="0.2222222222222222in"}时，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3387.wmf){width="0.8194444444444444in" height="0.4305555555555556in"}，则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3388.wmf){width="1.0694444444444444in" height="0.4305555555555556in"}； 当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3389.wmf){width="0.7777777777777778in" height="0.2222222222222222in"}时，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3390.wmf){width="0.8194444444444444in" height="0.4305555555555556in"}，则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3391.wmf){width="1.0694444444444444in" height="0.4305555555555556in"} 21、解：设正四棱柱的高为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3392.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"} ![](./data/image/media/image3393.emf){width="2.0520833333333335in" height="2.2291666666666665in"}⑴ 连![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3394.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.25in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3395.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.25in"}底面![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3396.wmf){width="0.625in" height="0.25in"}于![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3397.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"}，∴ ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3398.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.25in"}与底面![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3396.wmf){width="0.625in" height="0.25in"}所成的角为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3399.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.25in"}，即![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3400.wmf){width="0.8472222222222222in" height="0.25in"} ∵ ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3401.wmf){width="0.7361111111111112in" height="0.25in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3402.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.25in"}为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3403.wmf){width="0.3472222222222222in" height="0.25in"}中点，∴![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3404.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.25in"}，又![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3405.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}， ∴ ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3406.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.25in"}是二面角![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3407.wmf){width="0.9027777777777778in" height="0.25in"}的平面角，即![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3408.wmf){width="0.8611111111111112in" height="0.25in"} ∴ ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3409.wmf){width="1.1388888888888888in" height="0.4722222222222222in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3410.wmf){width="2.0833333333333335in" height="0.4722222222222222in"} ![](./data/image/media/image3411.emf){width="1.8333333333333333in" height="2.1458333333333335in"}⑵ 建立如图空间直角坐标系，有![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3412.wmf){width="2.5972222222222223in" height="0.25in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3413.wmf){width="3.0277777777777777in" height="0.2777777777777778in"} 设平面![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3414.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.25in"}的一个法向量为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3415.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.2638888888888889in"}， ∵ ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3416.wmf){width="1.7222222222222223in" height="0.5833333333333334in"}，取![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3417.wmf){width="0.3472222222222222in" height="0.18055555555555555in"}得![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3418.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.2638888888888889in"} ∴ 点![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3419.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19444444444444445in"}到平面![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3420.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.25in"}的距离为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3421.wmf){width="2.111111111111111in" height="0.5138888888888888in"}，则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3422.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"} 22、⑴ ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3423.wmf){width="1.9305555555555556in" height="0.25in"}； ⑵ ① 任意![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3424.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.2222222222222222in"}，设![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3425.wmf){width="2.75in" height="0.25in"}，则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3426.wmf){width="0.6944444444444444in" height="0.19444444444444445in"}，即![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3427.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.25in"} ② 假设![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3428.wmf){width="1.7083333333333333in" height="0.25in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3429.wmf){width="0.2361111111111111in" height="0.16666666666666666in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3430.wmf){width="1.0694444444444444in" height="0.4305555555555556in"}（矛盾），∴ ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3431.wmf){width="0.6805555555555556in" height="0.25in"} ∴ 在数列![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3432.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.25in"}中、但不在数列![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3433.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.25in"}中的项恰为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3434.wmf){width="1.0972222222222223in" height="0.25in"} ⑶ ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3435.wmf){width="2.361111111111111in" height="0.25in"}， ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3436.wmf){width="0.9027777777777778in" height="0.25in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3437.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3438.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.25in"} ∵ ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3439.wmf){width="2.138888888888889in" height="0.19444444444444445in"} ![](./data/image/media/image3440.emf){width="2.125in" height="1.5104166666666667in"}∴ 当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3441.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.19444444444444445in"}时，依次有![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3442.wmf){width="2.236111111111111in" height="0.25in"}，...... ∴ ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3443.wmf){width="2.2777777777777777in" height="1.0in"} 23、解：⑴ 设![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3444.wmf){width="0.7361111111111112in" height="0.2222222222222222in"}是线段![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3445.wmf){width="1.6805555555555556in" height="0.2222222222222222in"}上一点，则 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3446.wmf){width="3.611111111111111in" height="0.4861111111111111in"}，当![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3447.wmf){width="0.375in" height="0.19444444444444445in"}时，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3448.wmf){width="1.4722222222222223in" height="0.2777777777777778in"} ⑵ 设线段![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3449.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.19444444444444445in"}的端点分别为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3450.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2222222222222222in"}，以直线![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3451.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.18055555555555555in"}为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3452.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}轴，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3451.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.18055555555555555in"}的中点为原点建立直角坐标系， 则![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3453.wmf){width="1.0694444444444444in" height="0.2222222222222222in"}，点集![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3454.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.18055555555555555in"}由如下曲线围成 ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3455.wmf){width="2.236111111111111in" height="0.25in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3456.wmf){width="3.5972222222222223in" height="0.2638888888888889in"} 其面积为![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3457.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.19444444444444445in"} ⑶ ① 选择![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3458.wmf){width="2.138888888888889in" height="0.2222222222222222in"}，![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3459.wmf){width="1.25in" height="0.2222222222222222in"} ② 选择![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3460.wmf){width="2.236111111111111in" height="0.2222222222222222in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3461.wmf){width="5.513888888888889in" height="0.25in"} ③ 选择![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3462.wmf){width="2.0277777777777777in" height="0.2222222222222222in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3463.wmf){width="3.3472222222222223in" height="0.2222222222222222in"} ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image3464.wmf){width="4.152777777777778in" height="0.25in"} ![](./data/image/media/image3465.emf){width="1.9583333333333333in" height="2.6979166666666665in"}![](./data/image/media/image3466.emf){width="1.90625in" height="2.40625in"} ![](./data/image/media/image3467.emf){width="1.5833333333333333in" height="2.53125in"} 2011年上海高考数学试题（文科）答案 ---------------------------------- 一、填空题 1、；2、；3、；4、；5、；6、或；7、； 8、；9、；10、；11、；12、；13、；14、 二、选择题 15、；16、；17、；18、 三、解答题 19、解： ..................（4分） 设，则，..................（12分） ∵ ，∴ ..................（12分） ![](./data/image/media/image3483.emf){width="2.1354166666666665in" height="2.4895833333333335in"}20、解：⑴ 连，∵ ， ∴ 异面直线与所成角为，记， ∴ 异面直线与所成角为 ⑵ 连，则所求四面体的体积 21、解：⑴ 当时，任意，则 ∵ ，， ∴ ，函数在上是增函数 当时，同理，函数在上是减函数 ⑵ 当时，，则； 当时，，则 22、解：⑴ ，椭圆方程为， ∴ 左、右焦点坐标为 ⑵ ，椭圆方程为，设，则 ∴ 时； 时 ⑶ 设动点，则 ∵ 当时，取最小值，且，∴ 且 解得 23、解：⑴ 三项分别为 ⑵ 分别为 ⑶ ，，， ∵ ∴ 绝密★启用前 2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) ------------------------------------------ **数 学(理工类)** 本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3520.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3521.png){width="2.7777777777777776e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B) =P(A)+P(B) ![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3522.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.2222222222222222in"} 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3520.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}径 P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3523.wmf){width="0.125in" height="0.19444444444444445in"} ![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3524.wmf){width="0.6944444444444444in" height="0.4305555555555556in"} 在n次独立重复试验中事![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3521.png){width="1.3888888888888888e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 ![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3525.wmf){width="2.513888888888889in" height="0.2638888888888889in"} 第一部分（选择题 共60分） 注意事项： 1.选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上 2.本部分共12小题，每小题5分，共60分 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3520.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： \[11.5，15.5) 2 \[15.5,19.5) 4 \[19.5，23．5) 9 \[23.5,27.5) 18 \[27.5，31.5) 1l \[31.5，35.5) 12 \[35.5．39.5) 7 \[39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在\[31.5，43.5)的概率约是 (A)![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3526.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.4375in"} (B)![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3527.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.4375in"} (C)![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3528.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"} （D）![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3529.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4375in"} 答案：B 解析：从![](./data/image/media/image3530.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.19444444444444445in"}到![](./data/image/media/image3531.wmf){width="0.3472222222222222in" height="0.19444444444444445in"}共有22，所以![](./data/image/media/image3532.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.4305555555555556in"} 2、复数![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3533.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}= (A)![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3534.wmf){width="0.2847222222222222in" height="0.1875in"} （B）![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3535.wmf){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"} （C）0 （D）![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3536.wmf){width="0.1875in" height="0.1875in"} 答案：A 解析：![](./data/image/media/image3537.wmf){width="1.3194444444444444in" height="0.4305555555555556in"} 3、![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3538.wmf){width="0.125in" height="0.25in"}，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3539.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.25in"}，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3540.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.25in"}是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (A)![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3541.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3542.wmf){width="0.4375in" height="0.25in"}![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3543.wmf){width="0.5486111111111112in" height="0.25in"} （B）![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3544.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3545.wmf){width="0.375in" height="0.25in"}![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3546.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3547.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}\[来源:Zxxk.Com\] (C)![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3548.wmf){width="0.6041666666666666in" height="0.25in"}![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3549.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.16666666666666666in"} ![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3538.wmf){width="0.125in" height="0.25in"}，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3539.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.25in"}，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3540.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.25in"}共面 （D）![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3538.wmf){width="0.125in" height="0.25in"}，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3539.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.25in"}，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3540.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.25in"}共点![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3549.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3538.wmf){width="0.125in" height="0.25in"}，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3539.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.25in"}，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3540.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.25in"}共面 答案：B 解析：A答案还有异面或者相交，C、D不一定 ![](./data/image/media/image3550.png){width="1.0569444444444445in" height="0.8868055555555555in"}4、如图，正六边形ABCDEF中，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3551.wmf){width="1.0208333333333333in" height="0.24305555555555555in"}=\[来源:Zxxk.Com\] (A)0 (B)![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3552.wmf){width="0.2569444444444444in" height="0.22916666666666666in"} (C)![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3553.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.22916666666666666in"} (D)![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3554.wmf){width="0.2847222222222222in" height="0.24305555555555555in"} 答案D 解析：![](./data/image/media/image3555.wmf){width="4.069444444444445in" height="0.2361111111111111in"} 5、5函数，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3556.wmf){width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在点![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3557.wmf){width="0.4375in" height="0.25in"}处有定义是![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3556.wmf){width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}在点![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3557.wmf){width="0.4375in" height="0.25in"}处连续的 (A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件 答案：B 解析：连续必定有定义，有定义不一定连续 6.在![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3558.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1875in"}ABC中．![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3559.wmf){width="2.2847222222222223in" height="0.22916666666666666in"}.则A的取值范围是 (A)(0，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3560.wmf){width="0.1875in" height="0.4375in"}\] (B)\[ ![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3560.wmf){width="0.1875in" height="0.4375in"}，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3561.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1527777777777778in"}) (c)(0，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3562.wmf){width="0.1875in" height="0.4375in"}\] (D) \[ ![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3563.wmf){width="0.1875in" height="0.4375in"}，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3561.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1527777777777778in"}) 答案：C 解析：由题意正弦定理 ![](./data/image/media/image3564.wmf){width="5.402777777777778in" height="0.4583333333333333in"} 7．已知![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3565.wmf){width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}是R上的奇函数，且当![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3566.wmf){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}时，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3567.wmf){width="1.0416666666666667in" height="0.4375in"}，则![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3568.wmf){width="0.375in" height="0.22916666666666666in"}的反函数的图像大致是 ![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3569.jpeg){width="5.763888888888889in" height="1.6527777777777777in"} 答案：A 解析：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域 当![](./data/image/media/image3570.wmf){width="2.013888888888889in" height="0.4305555555555556in"}，故选A 8.数列![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3571.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2847222222222222in"}的首项为![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3572.wmf){width="0.125in" height="0.2013888888888889in"}，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3573.wmf){width="0.3263888888888889in" height="0.2847222222222222in"} 为等差数列且![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3574.wmf){width="1.4652777777777777in" height="0.25in"} .若则![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3575.wmf){width="0.5347222222222222in" height="0.25in"}，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3576.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.25in"}，则![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3577.wmf){width="0.3263888888888889in" height="0.25in"} （A）0 （B）3 （C）8 （D）11 答案：B 解析：由已知知![](./data/image/media/image3578.wmf){width="1.9444444444444444in" height="0.25in"}由叠加法 ![](./data/image/media/image3579.wmf){width="5.361111111111111in" height="0.25in"} 9.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3580.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}地至![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3581.png){width="1.3888888888888888e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}少72吨的货![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3581.png){width="1.3888888888888888e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 （A）4650元 （B）4700元 （C）4900元 （D）5000元 答案：C 解析：由题意设派甲，乙![](./data/image/media/image3582.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.18055555555555555in"}辆，则利润![](./data/image/media/image3583.wmf){width="1.125in" height="0.2222222222222222in"}，得约束条件![](./data/image/media/image3584.wmf){width="1.0277777777777777in" height="1.2777777777777777in"}画出可行域在![](./data/image/media/image3585.wmf){width="0.8611111111111112in" height="0.5in"}的点![](./data/image/media/image3586.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.5in"}代入目标函数![](./data/image/media/image3587.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.19444444444444445in"} 10.在抛物线![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3588.wmf){width="1.4583333333333333in" height="0.25in"}上取横坐标为![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3589.wmf){width="0.5347222222222222in" height="0.25in"}，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3590.wmf){width="0.4930555555555556in" height="0.2986111111111111in"}的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3591.wmf){width="1.0138888888888888in" height="0.25in"}相切，则抛物线顶点的坐标为 （A）![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3592.wmf){width="0.5763888888888888in" height="0.2222222222222222in"} （B）![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3593.wmf){width="0.4652777777777778in" height="0.2222222222222222in"} （C）![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3594.wmf){width="0.4930555555555556in" height="0.2222222222222222in"} （D）![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3595.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.2222222222222222in"} 答案：A 解析：由已知的割线的坐标 ![](./data/image/media/image3596.wmf){width="2.2222222222222223in" height="0.2222222222222222in"},设直线方程为![](./data/image/media/image3597.wmf){width="1.0694444444444444in" height="0.2222222222222222in"}，则![](./data/image/media/image3598.wmf){width="1.1388888888888888in" height="0.4861111111111111in"}又![](./data/image/media/image3599.wmf){width="3.138888888888889in" height="0.5277777777777778in"} 11.已知定义在![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3600.wmf){width="0.5347222222222222in" height="0.2847222222222222in"}上的函数![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3601.wmf){width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}满足![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3602.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.2222222222222222in"}，当![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3603.wmf){width="0.6319444444444444in" height="0.2847222222222222in"}时，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3604.wmf){width="1.1111111111111112in" height="0.25in"}.设![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3601.wmf){width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}在![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3605.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.2847222222222222in"}上的最大值为![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3606.wmf){width="0.7777777777777778in" height="0.25in"}，且![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3607.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2847222222222222in"}的前![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3608.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}项和为![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3609.wmf){width="0.2013888888888889in" height="0.25in"}，则![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3610.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.2986111111111111in"} （A）3 （B![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3581.png){width="1.3888888888888888e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}）![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3611.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4236111111111111in"} （C）2 （D）![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3612.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4236111111111111in"} 答案：D 解析：由题意![](./data/image/media/image3613.wmf){width="1.2083333333333333in" height="0.4305555555555556in"},在![](./data/image/media/image3614.wmf){width="0.7777777777777778in" height="0.2222222222222222in"}上， ![](./data/image/media/image3615.wmf){width="6.097222222222222in" height="0.8333333333333334in"} 12.在集合![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3616.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.2847222222222222in"}中任取一个偶数![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3617.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}和一个奇数![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3618.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.2013888888888889in"}构成以原点为起点的向量![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3619.wmf){width="0.6736111111111112in" height="0.2222222222222222in"}.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3620.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}，其中面积不超过![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3621.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.18055555555555555in"}的平行四边形的个数为![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3581.png){width="1.3888888888888888e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3622.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.1527777777777778in"}，则![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3623.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.4236111111111111in"} （A）![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3624.wmf){width="0.2222222222222222in" height="0.4236111111111111in"} （B）![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3625.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.4236111111111111in"} （![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3581.png){width="1.3888888888888888e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}C）![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3626.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4236111111111111in"} （D）![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3627.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4236111111111111in"} 答案：D 基本事件：![](./data/image/media/image3628.wmf){width="3.6944444444444446in" height="0.2638888888888889in"}其中面积为![](./data/image/media/image3629.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.18055555555555555in"}的平行四边形的个数![](./data/image/media/image3630.wmf){width="2.0972222222222223in" height="0.2222222222222222in"}其中面积为![](./data/image/media/image3631.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.18055555555555555in"}的平行四边形的个数为![](./data/image/media/image3632.wmf){width="1.4166666666666667in" height="0.2222222222222222in"}其中面积为![](./data/image/media/image3633.wmf){width="0.125in" height="0.19444444444444445in"}的平行四边形的个数![](./data/image/media/image3634.wmf){width="1.375in" height="0.2222222222222222in"}其中面积为![](./data/image/media/image3635.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.18055555555555555in"}的平行四边形的个数![](./data/image/media/image3636.wmf){width="2.125in" height="0.2222222222222222in"}其中面积为![](./data/image/media/image3637.wmf){width="0.125in" height="0.19444444444444445in"}的平行四边形的个数![](./data/image/media/image3638.wmf){width="1.4861111111111112in" height="0.2222222222222222in"}；其中面积为![](./data/image/media/image3639.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"}的平行四边形的个数![](./data/image/media/image3640.wmf){width="0.7777777777777778in" height="0.2222222222222222in"}![](./data/image/media/image3641.wmf){width="0.125in" height="0.19444444444444445in"}其中面积为![](./data/image/media/image3642.wmf){width="0.125in" height="0.19444444444444445in"}的平行四边形的个数![](./data/image/media/image3643.wmf){width="0.6944444444444444in" height="0.2222222222222222in"}其中面积为![](./data/image/media/image3644.wmf){width="0.125in" height="0.19444444444444445in"}的平行四边形的个数![](./data/image/media/image3645.wmf){width="0.75in" height="0.2222222222222222in"} 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13.计算![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3646.wmf){width="1.5in" height="0.4583333333333333in"} [ ]{.underline} . 答案：![](./data/image/media/image3647.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.19444444444444445in"} 解析：![](./data/image/media/image3648.wmf){width="2.7222222222222223in" height="0.4583333333333333in"} 14.双曲线![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3649.wmf){width="3.9027777777777777in" height="0.4583333333333333in"}P到左准线的距离是 [ ]{.underline} . 答案：![](./data/image/media/image3650.wmf){width="0.2361111111111111in" height="0.4305555555555556in"} 解析：![](./data/image/media/image3651.wmf){width="1.2222222222222223in" height="0.2222222222222222in"}，点![](./data/image/media/image3652.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}显然在双曲线右支上，点![](./data/image/media/image3652.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}到左焦点的距离为14，所以![](./data/image/media/image3653.wmf){width="1.4722222222222223in" height="0.4305555555555556in"} 15.如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 [ ]{.underline} . 答案：![](./data/image/media/image3654.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.2222222222222222in"} 解析：![](./data/image/media/image3655.wmf){width="3.2777777777777777in" height="0.3194444444444444in"}时， ![](./data/image/media/image3656.wmf){width="2.4444444444444446in" height="0.4722222222222222in"}，则![](./data/image/media/image3657.wmf){width="1.4722222222222223in" height="0.2222222222222222in"} ![](./data/image/media/image3658.png){width="1.1270833333333334in" height="1.7236111111111112in"}16.函数![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3659.wmf){width="0.4236111111111111in" height="0.2013888888888889in"}的定义域为A，若![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3660.wmf){width="1.875in" height="0.25in"}时总有 ![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3661.wmf){width="1.3263888888888888in" height="0.25in"}为单函数.例如，函数![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3662.wmf){width="0.4236111111111111in" height="0.2013888888888889in"}=2x+1（![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3663.wmf){width="0.4236111111111111in" height="0.18055555555555555in"}）是单函数.下列命题： 1. 函数![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3664.wmf){width="0.4236111111111111in" height="0.2013888888888889in"}=![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3665.wmf){width="0.2013888888888889in" height="0.20833333333333334in"}（x![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3666.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1388888888888889in"}R）是单函数； 2. 若![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3664.wmf){width="0.4236111111111111in" height="0.2013888888888889in"}为单函数，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3667.wmf){width="2.875in" height="0.25in"} 3. 若f：A![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3668.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.1527777777777778in"}B为单函数，则对于任意b![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3669.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1388888888888889in"}B，它至多有一个原象； 4. 函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数. 其中的真命题是 [ ]{.underline} .（写出所有真命题的编号） 答案：②③④ 解析 ：①错，![](./data/image/media/image3670.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.25in"}，②③④正确 三、解答题 17、 已知函数![](./data/image/media/image3671.wmf){width="2.736111111111111in" height="0.4305555555555556in"} (1)求![](./data/image/media/image3672.wmf){width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}的最小正周期和最小值； （2）已知![](./data/image/media/image3673.wmf){width="3.4027777777777777in" height="0.4305555555555556in"}，求证：![](./data/image/media/image3674.wmf){width="1.0694444444444444in" height="0.25in"} 解析：![](./data/image/media/image3675.wmf){width="4.111111111111111in" height="1.1527777777777777in"} ![](./data/image/media/image3676.wmf){width="1.4722222222222223in" height="0.25in"} （2）![](./data/image/media/image3677.wmf){width="3.4305555555555554in" height="1.5833333333333333in"} ![](./data/image/media/image3678.wmf){width="2.1527777777777777in" height="0.2638888888888889in"} 18、本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）有人独立来该租车点则车骑游各租一车一次设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3679.wmf){width="0.3472222222222222in" height="0.4305555555555556in"}；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3680.wmf){width="0.3472222222222222in" height="0.4305555555555556in"}；两人租车时间都不会超过四小时 （Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量![](./data/image/media/image3681.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.2222222222222222in"}，求![](./data/image/media/image3681.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.2222222222222222in"}的分布列与数学期望![](./data/image/media/image3682.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.2222222222222222in"}； 解析： （1）所付费用相同即为![](./data/image/media/image3683.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.2222222222222222in"}元设付0元为![](./data/image/media/image3684.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.4305555555555556in"}，付2元为![](./data/image/media/image3685.wmf){width="0.9305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}，付4元为![](./data/image/media/image3686.wmf){width="1.0in" height="0.4305555555555556in"} 则所付费用相同的概率为![](./data/image/media/image3687.wmf){width="1.3888888888888888in" height="0.4305555555555556in"} (2)设甲，乙两个所付的费用之和为![](./data/image/media/image3688.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.2222222222222222in"}，![](./data/image/media/image3689.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.2222222222222222in"}可为![](./data/image/media/image3690.wmf){width="0.6944444444444444in" height="0.2222222222222222in"} ![](./data/image/media/image3691.wmf){width="2.3333333333333335in" height="2.236111111111111in"} 分布列 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------- ![](./data/image/media/image3692.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.2222222222222222in"} ![](./data/image/media/image3693.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"} ![](./data/image/media/image3694.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.18055555555555555in"} ![](./data/image/media/image3695.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.18055555555555555in"} ![](./data/image/media/image3696.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.19444444444444445in"} ![](./data/image/media/image3697.wmf){width="0.125in" height="0.19444444444444445in"} ![](./data/image/media/image3698.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"} ![](./data/image/media/image3699.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.4305555555555556in"} ![](./data/image/media/image3700.wmf){width="0.2222222222222222in" height="0.4305555555555556in"} ![](./data/image/media/image3700.wmf){width="0.2222222222222222in" height="0.4305555555555556in"} ![](./data/image/media/image3701.wmf){width="0.2222222222222222in" height="0.4305555555555556in"} ![](./data/image/media/image3702.wmf){width="0.2222222222222222in" height="0.4305555555555556in"} ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------- ![](./data/image/media/image3703.wmf){width="1.5694444444444444in" height="0.4305555555555556in"} 19．(本小题共l2分) 如图，在直三棱柱AB-A~1~B~1~C~1~中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA~1~ =1．D是棱CC~1~上的一点，P是AD的延长线与A~1~C~1~的延长线的交点，且PB~1~∥平面BDA． (I)求证：CD=C~1~D： (II)求二面角A-A~1~D-B的平面角的余弦值； (Ⅲ)求点C到平面B~1~DP的距离． ![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3704.jpeg){width="2.1875in" height="1.625in"} 解析：（1）连接![](./data/image/media/image3705.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.25in"}交![](./data/image/media/image3706.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.25in"}于![](./data/image/media/image3707.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19444444444444445in"},![](./data/image/media/image3708.wmf){width="1.0416666666666667in" height="0.25in"},![](./data/image/media/image3709.wmf){width="2.6944444444444446in" height="0.25in"} ![](./data/image/media/image3710.wmf){width="0.8194444444444444in" height="0.25in"},又![](./data/image/media/image3711.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19444444444444445in"}为![](./data/image/media/image3712.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.25in"}的中点， ![](./data/image/media/image3713.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.2222222222222222in"}中点，![](./data/image/media/image3714.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.25in"},![](./data/image/media/image3715.wmf){width="1.2777777777777777in" height="0.25in"}![](./data/image/media/image3716.wmf){width="0.8611111111111112in" height="0.25in"},D为![](./data/image/media/image3717.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.25in"}的中点 （2）由题意![](./data/image/media/image3718.wmf){width="2.6944444444444446in" height="0.25in"},过B 作![](./data/image/media/image3719.wmf){width="0.7361111111111112in" height="0.18055555555555555in"},连接![](./data/image/media/image3720.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.18055555555555555in"}，则![](./data/image/media/image3721.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.18055555555555555in"},![](./data/image/media/image3722.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.18055555555555555in"}为二面角![](./data/image/media/image3723.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}的平面角在![](./data/image/media/image3724.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.25in"}中，![](./data/image/media/image3725.wmf){width="1.9583333333333333in" height="0.4722222222222222in"},则![](./data/image/media/image3726.wmf){width="3.5972222222222223in" height="0.9166666666666666in"} (3)因为![](./data/image/media/image3727.wmf){width="1.0277777777777777in" height="0.2638888888888889in"}，所以![](./data/image/media/image3728.wmf){width="1.7361111111111112in" height="0.4305555555555556in"},![](./data/image/media/image3729.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.25in"} ![](./data/image/media/image3730.wmf){width="2.3194444444444446in" height="0.4305555555555556in"}, 在![](./data/image/media/image3731.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.25in"}中，![](./data/image/media/image3732.wmf){width="4.756944444444445in" height="0.8333333333333334in"}， ![](./data/image/media/image3733.wmf){width="2.4027777777777777in" height="0.4722222222222222in"} 20．(本小题共12分) 设![](./data/image/media/image3734.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.19444444444444445in"}为非零实数，![](./data/image/media/image3735.wmf){width="4.111111111111111in" height="0.4305555555555556in"} (1)写出![](./data/image/media/image3736.wmf){width="0.5972222222222222in" height="0.25in"}并判断![](./data/image/media/image3737.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}是否为等比数列若是，给出证明；若不是，说明理由； (II)设![](./data/image/media/image3738.wmf){width="1.2777777777777777in" height="0.2638888888888889in"}，求数列![](./data/image/media/image3739.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.25in"}的前n项和![](./data/image/media/image3740.wmf){width="0.19444444444444445in" height="0.25in"}． 解析：（1） ![](./data/image/media/image3741.wmf){width="0.9444444444444444in" height="0.7638888888888888in"} ![](./data/image/media/image3742.wmf){width="3.3472222222222223in" height="1.0277777777777777in"} 因为![](./data/image/media/image3743.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.19444444444444445in"}为常数，所以![](./data/image/media/image3744.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.25in"}是以![](./data/image/media/image3743.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.19444444444444445in"}为首项，![](./data/image/media/image3745.wmf){width="0.3472222222222222in" height="0.19444444444444445in"}为公比的等比数列 （2）![](./data/image/media/image3746.wmf){width="4.25in" height="0.8055555555555556in"} ![](./data/image/media/image3747.wmf){width="4.347222222222222in" height="0.2638888888888889in"} （2）![](./data/image/media/image3748.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1111111111111111in"}（1）![](./data/image/media/image3749.wmf){width="4.25in" height="0.4861111111111111in"} ![](./data/image/media/image3750.wmf){width="1.6666666666666667in" height="0.2638888888888889in"} 21．(本小题共l2分)\[来源:学,科,网Z,X,X,K\] 椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3581.png){width="1.3888888888888888e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}，0)，过其![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3581.png){width="6.944444444444444e-3in" height="2.0833333333333332e-2in"}焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q． (I)当\|![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3581.png){width="1.3888888888888888e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}CD \| = ![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3751.wmf){width="0.3819444444444444in" height="0.4236111111111111in"}时，求直线l的方程； (II)当点P异于A、B两点时，求证：![](./data/image/media/image3752.wmf){width="0.5972222222222222in" height="0.2638888888888889in"} 为定值 ![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3753.jpeg){width="3.0in" height="2.263888888888889in"} 解析：由已知可得椭圆方程为![](./data/image/media/image3754.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.4583333333333333in"}，设![](./data/image/media/image3755.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.19444444444444445in"}的方程为![](./data/image/media/image3756.wmf){width="1.1805555555555556in" height="0.2222222222222222in"}为![](./data/image/media/image3755.wmf){width="9.722222222222222e-2in" height="0.19444444444444445in"}的斜率 则![](./data/image/media/image3757.wmf){width="5.180555555555555in" height="0.9166666666666666in"} ![](./data/image/media/image3758.wmf){width="4.708333333333333in" height="0.4861111111111111in"} ![](./data/image/media/image3759.wmf){width="0.2361111111111111in" height="0.19444444444444445in"}的方程为![](./data/image/media/image3760.wmf){width="0.9027777777777778in" height="0.2638888888888889in"} 22．(本小题共l4分) 已知![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3581.png){width="1.3888888888888888e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}函数![](./data/image/media/image3761.wmf){width="1.7916666666666667in" height="0.4305555555555556in"} (I)设函数![](./data/image/media/image3762.wmf){width="1.3194444444444444in" height="0.2222222222222222in"}，求![](./data/image/media/image3763.wmf){width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}的单调区间与极值； (Ⅱ)设![](./data/image/media/image3764.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.19444444444444445in"}，解关于![](./data/image/media/image3765.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}的方程![](./data/image/media/image3766.wmf){width="3.2777777777777777in" height="0.4305555555555556in"} (Ⅲ)试比较![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3767.wmf){width="1.5902777777777777in" height="0.4652777777777778in"}与![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3768.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.4236111111111111in"}的大小. 解析： （1）![](./data/image/media/image3769.wmf){width="1.4027777777777777in" height="0.4305555555555556in"}， ![](./data/image/media/image3770.wmf){width="1.2083333333333333in" height="0.4722222222222222in"} 令![](./data/image/media/image3771.wmf){width="1.6111111111111112in" height="1.3333333333333333in"} 所以![](./data/image/media/image3772.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.4305555555555556in"}是其极小值点，极小值为![](./data/image/media/image3773.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.4305555555555556in"}![](./data/image/media/image3774.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"}是其极大值点，极大值为![](./data/image/media/image3775.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"} （2）![](./data/image/media/image3776.wmf){width="1.4444444444444444in" height="0.4305555555555556in"}； ![](./data/image/media/image3777.wmf){width="2.75in" height="0.5in"} 由![](./data/image/media/image3778.wmf){width="5.097222222222222in" height="0.4444444444444444in"} ![](./data/image/media/image3779.wmf){width="2.361111111111111in" height="0.4305555555555556in"} ![](./data/image/media/image3780.wmf){width="1.8611111111111112in" height="0.25in"}时方程无解 ![](./data/image/media/image3781.wmf){width="1.8888888888888888in" height="0.25in"}时![](./data/image/media/image3782.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19444444444444445in"} ![](./data/image/media/image3783.wmf){width="1.875in" height="0.25in"}方程的根为![](./data/image/media/image3784.wmf){width="2.111111111111111in" height="0.2777777777777778in"} (3)![](./data/image/media/image3785.wmf){width="1.5in" height="0.4305555555555556in"}，![](./data/image/media/image3786.wmf){width="2.4444444444444446in" height="0.4722222222222222in"} 绝密★启用前 2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) ------------------------------------------ **数 学(文史类)** > 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第1部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案打在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 参考公式： 如果事件*A*、*B*互斥，那么 球是表面积公式 如果事件*A*、*B*相互独立，那么 其中**R**表示球的半径 球的体积公式 如果事件*A*在一次试验中发生的概率是*P*，那么 *n*次独立重复试验中恰好发生*k*次的概率 其中**R**表示球的半径 第一部分（选择题 共60分） > 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． > > 2．本大题共12小题，每小题5分，共60分． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的． 1．若全集，，则 （A） （B） （C） （D） 答案：B 解析：∵，则，选B． 2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： > \[11.5，15.5) 2 \[15.5，19.5) 4 \[19.5，23.5) 9 \[23.5，27.5) 18 > > \[27.5，31.5) 1l \[31.5，35.5) 12 \[35.5，39.5) 7 \[39.5，43.5) 3 根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占 （A） （B） （C） （D） 答案：B 解析：大于或等于31.5的数据共有12+7+3=22个，约占，选B． 3．圆的圆心坐标是 （A）(2，3) （B）(－2，3) （C）(－2，－3) （D）(2，－3) 答案：D 解析：圆方程化为，圆心(2，－3)，选D． 4．函数的图象关于直线*y*=*x*对称的图象像大致是 ![3](./data/image/media/image3807.png){width="5.451388888888889in" height="1.3055555555555556in"} 答案：A > 解析：图象过点，且单调递减，故它关于直线*y*=*x*对称的图象过点且单调递减，选A． 5．"*x*＝3"是"*x*^2^＝9"的 （A）充分而不必要的条件 （B）必要而不充分的条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要的条件 答案：A 解析：若*x*＝3，则*x* ^2^＝9，反之，若*x* ^2^＝9，则，选A． 6．，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 （A）， （B）， （C），，共面 （D），，共点，，共面 答案：B 解析：由，，根据异面直线所成角知与所成角为90°，选B． ![](./data/image/media/image3833.png){width="1.0472222222222223in" height="0.9152777777777777in"}7．如图，正六边形*ABCDEF*中， （A）**0** （B） （C） （D） 答案：D 解析：，选D． 8．在△*ABC*中，，则*A*的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 答案：C 解析：由得，即， ∴，∵，故，选C． 9．数列{*a~n~*}的前*n*项和为*S~n~*，若*a*~1~=1，*a~n~*~+1~ =3*S~n~*（*n* ≥1），则*a*~6~= （A）3 ×  4^4^ （B）3 ×  4^4^+1 （C）4^4^ （D）4^4^+1 答案：A > 解析：由*a~n~*~+1~ =3*S~n~*，得*a~n~* =3*S~n~*~－1~（*n* ≥ 2），相减得*a~n~*~+1~－*a~n~* =3(*S~n~*－*S~n~*~－1~)= 3*a~n~*，则*a~n~*~+1~=4*a~n~*（*n* ≥ 2），*a*~1~=1，*a*~2~=3，则*a*~6~= *a*~2~·4^4^=3×4^4^，选A． 10．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往地至![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3581.png){width="1.3888888888888888e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}少72吨的货![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3581.png){width="1.3888888888888888e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为 （A）4650元 （B）4700元 （C）4900元 （D）5000元 答案：C > 解析：设派用甲型卡车*x*（辆），乙型卡车*y*（辆），获得的利润为*u*（元），，由题意，*x*、*y*满足关系式作出相应的平面区域，在由确定的交点处取得最大值4900元，选C． 11．在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为 （A） （B） （C） （D） 答案：A > 解析：令抛物线上横坐标为、的点为、，则，由，故切点为，切线方程为，该直线又和圆相切，则，解得或（舍去），则抛物线为，定点坐标为，选A． 12．在集合中任取一个偶数*a*和一个奇数*b*构成以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为*n*，其中面积等于2的平行四边形的个数为![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3581.png){width="1.3888888888888888e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}*m*，则 > （A） （B） （![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3581.png){width="1.3888888888888888e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}C） （D） 答案：B > ![](./data/image/media/image3880.png){width="1.2868055555555555in" height="1.4013888888888888in"}解析：∵以原点为起点的向量有、、、、、共6个，可作平行四边形的个数个，结合图形进行计算，其中由、、确定的平行四边形面积为2，共有3个，则，选B． 第二部分（非选择题 共90分） 注意事项： 1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3581.png){width="1.3888888888888888e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}． 2．本部分共10小题，共90分． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．的展开式中的系数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（用数字作答） 答案：84 解析：∵的展开式中的系数是． 14．双曲线上一点*P*到双曲线右焦点的距离是4，那么*P*到左准线的距离是\_\_\_\_． 答案：16 答案：16 > ![](./data/image/media/image3893.png){width="1.1416666666666666in" height="1.1416666666666666in"}解析：离心率，设*P*到右准线的距离是*d*，则，则，则*P*到左准线的距离等于． 15．如图，半径为4的球*O*中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是\_\_\_\_\_\_\_\_\_． 答案：32π 解析：如图，设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，圆柱侧面积＝，当时，*S*取最大值，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为． 16．函数的定义域为*A*，若且时总有，则称为单函数．例如，函数=2*x*+1()是单函数．下列命题： ①函数（*x***R**）是单函数； ②指数函数（*x***R**）是单函数； ③若为单函数，且，则； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（写出所有真命题的编号） 答案：②③④ > 解析：对于①，若，则，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件． 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题共l2分） > 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为、；两人租车时间都不会超过四小时． （Ⅰ）分别![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3520.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率． > 本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件*A*、*B*，则 ，． 答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为、． （Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件*C*，则 ． 答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为 18．（本小题共l2分） 已知函数，*x***R**． （Ⅰ）求的最小正周期和最小值； （Ⅱ）已知，，．求证：． > 本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想． （Ⅰ）解析： ，∴的最小正周期，最小值． （Ⅱ）证明：由已知得， 两式相加得，∵，∴，则． ∴． 19．（本小题共l2分） ![](./data/image/media/image3939.png){width="1.761111111111111in" height="1.2763888888888888in"}如图，在直三棱柱*ABC*－*A*~1~*B*~1~*C*~1~中，∠*BAC*=90°，*AB*=*AC*=*AA*~1~=1，延长*A*~1~*C*~1~至点*P*，使*C*~1~*P*＝*A*~1~*C*~1~，连接*AP*交棱*CC*~1~于*D*． （Ⅰ）求证：*PB*~1~∥平面*BDA*~1~； （Ⅱ）求二面角*A*－*A*~1~*D*－*B*的平面角的余弦值； > 本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力． 解法一： （Ⅰ）连结*AB*~1~与*BA*~1~交于点*O*，连结*OD*， ∵*C*~1~*D*∥平面*AA*~1~，*A*~1~*C*~1~∥*AP*，∴*AD*=*PD*，又*AO*=*B*~1~*O*， ∴*OD*∥*PB*~1~，又*OD*⊂面*BDA*~1~，*PB*~1~⊄面*BDA*~1~， ∴*PB*~1~∥平面*BDA*~1~． ![](./data/image/media/image3940.png){width="1.6152777777777778in" height="1.1701388888888888in"}（Ⅱ）过*A*作*AE*⊥*DA*~1~于点*E*，连结*BE*．∵*BA*⊥*CA*，*BA*⊥*AA*~1~，且*AA*~1~∩*AC*=*A*， ∴*BA*⊥平面*AA*~1~*C*~1~*C*．由三垂线定理可知*BE*⊥*DA*~1~． ∴∠*BEA*为二面角*A*－*A*~1~*D*－*B*的平面角． 在Rt△*A*~1~*C*~1~*D*中，， 又，∴． 在Rt△*BAE*中，，∴． 故二面角*A*－*A*~1~*D*－*B*的平面角的余弦值为． 解法二： 如图，以*A*~1~为原点，*A*~1~*B*~1~，*A*~1~*C*~1~，*A*~1~*A*所在直线分别为*x*轴，*y*轴，*z*轴建立空间直角坐标系*A*~1~－*B*~1~*C*~1~*A*，则，，，，． ![](./data/image/media/image3952.png){width="1.90625in" height="1.5in"}（Ⅰ）在△*PAA*~1~中有，即． ∴，，． 设平面*BA*~1~*D*的一个法向量为， 则令，则． ∵， ∴*PB*~1~∥平面*BA*~1~*D*， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面*BA*~1~*D*的一个法向量． 又为平面*AA*~1~*D*的一个法向量．∴． 故二面角*A*－*A*~1~*D*－*B*的平面角的余弦值为． 20．（本小题共12分） 已知是以*a*为首项，*q*为公比的等比数列，为它的前*n*项和． （Ⅰ）当、、成等差数列时，求*q*的值； （Ⅱ）当、、成等差数列时，求证：对任意自然数*k*，、、也成等差数列． 本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力． 解：（Ⅰ）由已知，，因此，，． 当、、成等差数列时，，可得． 化简得．解得． （Ⅱ）若，则的每项，此时、、显然成等差数列． 若，由、、成等差数列可得，即． 整理得．因此，． 所以，、、也成等差数列． 21．（本小题共l2分） ![](./data/image/media/image3992.png){width="1.5777777777777777in" height="1.1729166666666666in"}过点*C*(0，1)的椭圆的离心率为，椭圆与*x*轴交于两点、，过点*C*的直线*l*与椭圆交于另一点*D*，并与*x*轴交于点*P*，直线*AC*与直线*BD*交于点*Q*． （I）当直线*l*过椭圆右焦点时，求线段*CD*的长； （Ⅱ）当点*P*异于点*B*时，求证：为定值． 本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力． 解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以椭圆方程为． 椭圆的右焦点为，此时直线的方程为 ，代入椭圆方程得 ，解得，代入直线的方程得 ，所以， 故． （Ⅱ）当直线与轴垂直时与题意不符． 设直线的方程为．代入椭圆方程得． 解得，代入直线的方程得， 所以*D*点的坐标为． 又直线*AC*的方程为，又直线*BD*的方程为，联立得 因此，又． 所以． 故为定值． 22．（本小题共l4分） 已知![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image3581.png){width="1.3888888888888888e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}函数，． （Ⅰ）设函数*F*(*x*)＝18*f*(*x*)－*x*^2^\[*h*(*x*)\]^2^，求*F*(*x*)的单调区间与极值； （Ⅱ）设，解关于*x*的方程； （Ⅲ）设，证明：． 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力． 解：（Ⅰ）， ． 令，得（舍去）． 当时．；当时，， 故当时，为增函数；当时，为减函数． 为的极大值点，且． （Ⅱ）方法一：原方程可化为， 即为，且 ①当时，，则，即， ，此时，∵， 此时方程仅有一解． ②当时，，由，得，， 若，则，方程有两解； 若时，则，方程有一解； 若或，原方程无解． 方法二：原方程可化为， 即， ![](./data/image/media/image4066.png){width="1.2625in" height="1.4034722222222222in"}①当时，原方程有一解； ②当时，原方程有二解； ③当时，原方程有一解； ④当或时，原方程无解． > （Ⅲ）由已知得， > > ． > > 设数列的前*n*项和为，且（） > > 从而有，当时，． > > 又 > > ． 即对任意时，有，又因为，所以． 则，故原不等式成立． 2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） -------------------------------------------- 数学理科 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分. BABDCDCB 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分. 9．12 10． 11． 12． 13． 14．5 三、解答题 15．本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分. （I）解：由， 得. > 所以的定义域为 > > 的最小正周期为 （II）解：由 得 整理得 因为，所以 因此 由，得. 所以 16．本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分. （I）（i）解：设"在1次游戏中摸出i个白球"为事件则 （ii）解：设"在1次游戏中获奖"为事件B，则，又 且A~2~，A~3~互斥，所以 （II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2. 所以X的分布列是 --- --- --- --- X 0 1 2 P --- --- --- --- X的数学期望 17．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分. 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点. ![](./data/image/media/image4114.png){width="2.0208333333333335in" height="1.5104166666666667in"} 依题意得 （I）解：易得， 于是 所以异面直线AC与A~1~B~1~所成角的余弦值为 （II）解：易知 设平面AA~1~C~1~的法向量， 则即 不妨令可得， 同样地，设平面A~1~B~1~C~1~的法向量， 则即不妨令， > 可得 > > 于是 > > 从而 > > 所以二面角A---A~1~C~1~---B的正弦值为 （III）解：由N为棱B~1~C~1~的中点， 得设M（a，b，0）， 则 由平面A~1~B~1~C~1~，得 即 解得故 因此，所以线段BM的长为 方法二： （I）解：由于AC//A~1~C~1~，故是异面直线AC与A~1~B~1~所成的角. 因为平面AA~1~B~1~B，又H为正方形AA~1~B~1~B的中心， 可得 ![](./data/image/media/image4147.png){width="1.875in" height="1.15625in"}因此 所以异面直线AC与A~1~B~1~所成角的余弦值为 （II）解：连接AC~1~，易知AC~1~=B~1~C~1~， 又由于AA~1~=B~1~A~1~，A~1~C~1~=A~1~=C~1~， 所以≌，过点A作于点R， 连接B~1~R，于是，故为二面角A---A~1~C~1~---B~1~的平面角. 在中， 连接AB~1~，在中， ， 从而 所以二面角A---A~1~C~1~---B~1~的正弦值为 （III）解：因为平面A~1~B~1~C~1~，所以 取HB~1~中点D，连接ND，由于N是棱B~1~C~1~中点， 所以ND//C~1~H且. 又平面AA~1~B~1~B， 所以平面AA~1~B~1~B，故 又 所以平面MND，连接MD并延长交A~1~B~1~于点E， 则 由 得，延长EM交AB于点F， 可得连接NE. 在中， 所以 可得 连接BM，在中， 18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分. （I）解：设 由题意，可得 > 即 > > 整理得（舍）， > > 或所以 > > （II）解：由（I）知 > > 可得椭圆方程为 > > 直线PF~2~方程为 > > A，B两点的坐标满足方程组 > > 消去y并整理，得 > > 解得 得方程组的解 > 不妨设 > > 设点M的坐标为， > > 由 > > 于是 > > 由 > > 即， > > 化简得 > > 将 > > 所以 > > 因此，点M的轨迹方程是 19．本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分. （I）解：， 令 当x变化时，的变化情况如下表： -- ---- -------- ---- \+ 0 \- 极大值 -- ---- -------- ---- 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 （II）证明：当 由（I）知在（0，2）内单调递增， 在内单调递减. > 令 > > 由于在（0，2）内单调递增， > > 故 > > 取 > > 所以存在 > > 即存在 > > （说明：的取法不唯一，只要满足即可） > > （III）证明：由及（I）的结论知， > > 从而上的最小值为 > > 又由，知 > > 故 > > 从而 20．本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分. （I）解：由 可得 > 又 > > （II）证明：对任意 > > ① > > ② > > ③ > > ②---③，得 ④ > > 将④代入①，可得 > > 即 > > 又 > > 因此是等比数列. > > （III）证明：由（II）可得， > > 于是，对任意，有 > > 将以上各式相加，得 > > 即， > > 此式当k=1时也成立.由④式得 > > 从而 > > 所以，对任意， > > 对于n=1，不等式显然成立. > > 所以，对任意 2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） -------------------------------------------- 数学（文史类） 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分 1---4ADCC 5---8BBAB 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分 9．3 10．4 11．110 12．18 13． 14．5 三、解答题 （15）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式的等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力，满分13分 （Ⅰ）解：4，6，6 （Ⅱ）（i）解：得分在区间内的运动员编号为从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有： > ， ，共15种 （ii）解："从得分在区间内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50"（记为事件B）的所有可能结果有：，共5种 所以 （16）本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分13分 （Ⅰ）解：由 所以 （Ⅱ）解：因为，所以 所以 （17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力满分13分 （Ⅰ）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB//MO因为平面ACM，平面ACM，所以PB//平面ACM （Ⅱ）证明：因为，且AD=AC=1，所以，即，又PO平面ABCD，平面ABCD，所以，所以平面PAC （Ⅲ）解：取DO中点N，连接MN，AN，因为M为PD的中点，所以MN//PO，且平面ABCD，得平面ABCD，所以是直线AM与平面ABCD所成的角，在![](./data/image/media/image4298.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.19444444444444445in"}中，![](./data/image/media/image4299.wmf){width="1.1111111111111112in" height="0.4305555555555556in"}，所以![](./data/image/media/image4300.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.4722222222222222in"}，从而， 在，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为 （18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13分 （Ⅰ）解：设，因为， 所以，整理得（舍） 或 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，可得椭圆方程为，直线FF~2~的方程为 A，B两点的坐标满足方程组![](./data/image/media/image4312.wmf){width="1.3055555555555556in" height="0.5555555555555556in"}消去并整理，得解得，得方程组的解 不妨设，， 所以 于是 圆心到直线PF~2~的距离 因为，所以 整理得，得（舍），或 所以椭圆方程为 （19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分 （Ⅰ）解：当时， 所以曲线在点处的切线方程为 （Ⅱ）解：，令，解得 因为，以下分两种情况讨论： （1）若变化时，的变化情况如下表： -- ---- ---- ---- \+ \- \+ -- ---- ---- ---- 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 （2）若，当变化时，的变化情况如下表： -- ---- ---- ---- \+ \- \+ -- ---- ---- ---- 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当时，在（0，1）内单调递减， 所以对任意在区间（0，1）内均存在零点 （2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若 所以内存在零点 若 所以内存在零点 所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点 综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点 （20）本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法满分14分 （Ⅰ）解：由，可得 又， 当 当 （Ⅱ）证明：对任意 ① ② ②-①，得 所以是等比数列 （Ⅲ）证明：，由（Ⅱ）知，当时， 故对任意 由①得 因此， 于是， 故 2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） -------------------------------------------- 数学（理科）试题 参考答案 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分50分 BADDBCACBD 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分28分 11．0 12．5 13．2 14． 15． 16． 17． 三、解答题：本大题共5小题，共72分 18．本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力满分14分 （I）解：由题设并利用正弦定理，得 解得 （II）解：由余弦定理， 因为， 由题设知 19．本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想满分14分 （I）解：设等差数列的公差为d，由 得 因为，所以所以 （II）解：因为，所以 因为，所以 当， 即 所以，当 当 20．本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力满分15分 方法一： （I）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴， 建立空间直角坐标系O---xyz 则， ，由此可得，所以 ，即 （II）解：设 ![](./data/image/media/image4429.png){width="1.4895833333333333in" height="1.75in"} 设平面BMC的法向量， 平面APC的法向量 由 得 即 由即 得 由 解得，故AM=3 综上所述，存在点M符合题意，AM=3 方法二： （I）证明：由AB=AC，D是BC的中点，得 又平面ABC，得 因为，所以平面PAD， 故 （II）解：如图，在平面PAB内作于M，连CM， 由（I）中知，得平面BMC， 又平面APC，所以平面BMC平面APC ![](./data/image/media/image4454.png){width="1.4791666666666667in" height="1.625in"}在 在， 在 所以 在 又 从而PM，所以AM=PA-PM=3 综上所述，存在点M符合题意，AM=3 21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分15分 ![](./data/image/media/image4462.png){width="1.3597222222222223in" height="1.625in"} （I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： 所以圆心M（0，4）到准线的距离是 （II）解：设， 则题意得， 设过点P的圆C~2~的切线方程为， 即 ① 则 即， 设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以 将①代入 由于是此方程的根， 故，所以 由，得， 解得 即点P的坐标为， 所以直线的方程为 22．本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力满分14分 （I）解：求导得 因为的极值点， 所以 解得经检验，符合题意， 所以 （II）解：①当时，对于任意的实数a，恒有成立； ②当时，由题意，首先有， 解得， 由（I）知 令 且 又内单调递增 所以函数内有唯一零点， 记此零点为 从而，当时， 当 当时， 即内单调递增，在内单调递减， 在内单调递增 所以要使恒成立，只要 成立 由，知 （3） 将（3）代入（1）得 又，注意到函数内单调递增， 故 再由（3）以及函数内单调递增，可得 由（2）解得， 所以 综上，a的取值范围是 2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） -------------------------------------------- 数学试题（文科） 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分50分 1---5CAABD 6---10DBDCD 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分28分 11．-1 12．1 13．600 14．5 15． 16． 17．4 三、解答题：本大题共5小题，其72分 （1）本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识满分14分 ![](./data/image/media/image4524.png){width="2.1145833333333335in" height="1.0833333333333333in"} （Ⅰ）解：由题意得， 因为的图象上， 所以 又因为， 所以 （Ⅱ）解：设点Q的坐标为 由题意可知，得 连接PQ，在，由余弦定理得 解得 又 （19）本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式，等比数列的求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力满分14分 （Ⅰ）解：设等差数列的公差为，由题意可知 即，从而 因为 故通项公式 （Ⅱ）解：记 所以 从而，当时，；当 （20）本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力满分14分 （Ⅰ）证明：由AB=AC，D是BC中点，得， 又平面ABC，，得 因为，所以平面PAD，故 （Ⅱ）解：如图，在平面PAB内作于M，连CM 因为平面BMC，所以APCM 故为二面角B---AP---C的平面角 在 在， 在中，， 所以 在 又 故 同理 因为 所以 即二面角B---AP---C的大小为 （21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力满分15分 （Ⅰ）解：因为 所以 由于，所以的增区间为，减区间为 （Ⅱ）证明：由题意得， 由（Ⅰ）知内单调递增， 要使恒成立， 只要 解得 （22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力满分15分 （Ⅰ）解：因为抛物线C~1~的准线方程为： 所以圆心M到抛物线C~1~准线的距离为： （Ⅱ）解：设点P的坐标为，抛物线C~1~在点P处的切线交直线于点D 再设A，B，D的横坐标分别为 过点的抛物线C~1~的切线方程为： （1） 当时，过点P（1，1）与圆C~2~的切线PA为： 可得 当时，过点P（---1，1）与圆C~2~的切线PA为： 可得 所以 设切线PA，PB的斜率为，则 （2） （3） 将分别代入（1），（2），（3）得 从而 又 即 同理， 所以是方程的两个不相等的根，从而 因为 所以 从而 进而得 综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为 2011年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) ------------------------------------------ **数学试题卷(理工农医类)** ![1](./data/image/media/image4612.png){width="5.575694444444444in" height="7.992361111111111in"}![2](./data/image/media/image4613.png){width="6.138888888888889in" height="9.11111111111111in"}![3](./data/image/media/image4614.png){width="6.138888888888889in" height="8.625in"}![4](./data/image/media/image4615.png){width="6.138888888888889in" height="8.430555555555555in"}![5](./data/image/media/image4616.png){width="6.138888888888889in" height="8.868055555555555in"}![6](./data/image/media/image4617.png){width="6.138888888888889in" height="9.0in"} 2011年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） -------------------------------------------- **数学试题卷（文史类）** 参考答案 一、选择题 1---5 DAACD 6---10 BCDBA 二、填空题： 11．240 12． 13． 14． 15． 三、解答题：满分75分 16．（本题13分） 解：（I）设q为等比数列的公比，则由， 即，解得（舍去），因此 所以的通项为 （II） 17．（本题13分） 解：这是等可能性事件的概率计算问题 （I）解法一：所有可能的申请方式有3^4^种，而"没有人申请A片区房源"的申请方式有2^4^种 记"没有人申请A片区房源"为事件A，则 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验. 记"申请A片区房源"为事件A，则 由独立重复试验中事件A恰发生*k*次的概率计算公式知，没有人申请A片区房源的概率为 （II）所有可能的申请方式有3^4^种，而"每个片区的房源都有人申请"的申请方式有 种. 记"每个片区的房源都有人申请"为事件B，从而有 18．（本题13分） 解：（I） 故的最小正周期为 （II）依题意 当为增函数， 所以上的最大值为 19．（本题12分） 解：（I）因 从而 即关于直线对称，从而由题设条件知 又由于 （II）由（I）知 令 当上为增函数； 当上为减函数； 当上为增函数； 从而函数处取得极大值处取得极小值 ![](./data/image/media/image4661.png){width="2.401388888888889in" height="1.9347222222222222in"}20．（本题12分） 解法一：（I）如答（20）图1，过D作DF⊥AC垂足为F， 故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF 是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点， 则由AC=AD，知AG⊥CD，从而 由 故四面体ABCD的体积 （II）如答（20）图1，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE由（I）知DF⊥平面ABC由三垂线定理知DE⊥AB，故∠DEF为二面角C---AB---D的平面角 在 在中，EF//BC，从而EF：BC=AF：AC，所以 在Rt△DEF中， 解法二：（I）如答（20）图2，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB于H，过O作OM⊥AC，交AD于M，由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系O---xyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A（0，---1，0），C（0，1，0） 设点B的坐标为，有 ![](./data/image/media/image4670.png){width="2.203472222222222in" height="1.7430555555555556in"} 即点B的坐标为 又设点D的坐标为有 即点D的坐标为从而△ACD边AC上的高为 又 故四面体ABCD的体积 （II）由（I）知 设非零向量是平面ABD的法向量，则由有 （1） 由，有 （2） 取，由（1），（2），可得 显然向量是平面ABC的法向量，从而 即二面角C---AB---D的平面角的正切值为 21．（本题12分） 解：（I）由 解得，故椭圆的标准方程为 ![](./data/image/media/image4692.png){width="2.5520833333333335in" height="2.0520833333333335in"} （II）设，则由 得 因为点M，N在椭圆上，所以 ， 故 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 因此 所以 > 所以P点是椭圆上的点，该椭圆的右焦点为，离心率是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点，使得\|PF\|与P点到直线*l*的距离之比为定值 2011江苏高考数学试卷 -------------------- ![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image4709.jpeg){width="5.895833333333333in" height="4.534722222222222in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image4710.jpeg){width="5.895833333333333in" height="4.534722222222222in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image4711.jpeg){width="5.895833333333333in" height="4.534722222222222in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image4712.jpeg){width="5.895833333333333in" height="4.534722222222222in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image4713.jpeg){width="5.895833333333333in" height="4.534722222222222in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image4714.jpeg){width="5.895833333333333in" height="4.534722222222222in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image4715.jpeg){width="5.895833333333333in" height="4.534722222222222in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image4716.jpeg){width="5.895833333333333in" height="4.534722222222222in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image4717.jpeg){width="5.895833333333333in" height="4.534722222222222in"}![6ec8aac122bd4f6e](./data/image/media/image4718.jpeg){width="5.895833333333333in" height="4.534722222222222in"} 2012年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷） ============================================ **理科数学** 1. 选择题 1．复数![lfxlby](./data/image/media/image4719.wmf){width="0.6381944444444444in" height="0.43125in"} A．![lfxlby](./data/image/media/image4720.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.1951388888888889in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image4721.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.1951388888888889in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image4722.wmf){width="0.3909722222222222in" height="0.1951388888888889in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image4723.wmf){width="0.3909722222222222in" height="0.1951388888888889in"} 答案C 【命题意图】本试题主要考查了复数的四则运算法则。通过利用除法运算来求解。 【解析】因为![lfxlby](./data/image/media/image4724.wmf){width="2.6666666666666665in" height="0.4597222222222222in"} 2．已知集合![lfxlby](./data/image/media/image4725.wmf){width="2.43125in" height="0.3333333333333333in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image4726.wmf){width="0.30486111111111114in" height="0.15486111111111112in"} A．0或![lfxlby](./data/image/media/image4727.wmf){width="0.25277777777777777in" height="0.25277777777777777in"} B．0或3 ![lfxlby](./data/image/media/image4728.png){width="1.7361111111111112e-2in" height="2.2916666666666665e-2in"} C．1或![lfxlby](./data/image/media/image4727.wmf){width="0.25277777777777777in" height="0.25277777777777777in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4728.png){width="1.7361111111111112e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"} D．1或3 答案B 【命题意图】本试题主要考查了集合的概念和集合的并集运算，集合的关系的运用，元素与集合的关系的综合运用，同时考查了分类讨论思想。 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image4729.wmf){width="0.8618055555555556in" height="0.17847222222222223in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4730.wmf){width="0.5979166666666667in" height="0.17847222222222223in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4731.wmf){width="1.804861111111111in" height="0.3333333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4732.wmf){width="0.5861111111111111in" height="0.1951388888888889in"}，故![lfxlby](./data/image/media/image4733.wmf){width="0.5861111111111111in" height="0.25277777777777777in"}或![lfxlby](./data/image/media/image4734.wmf){width="0.41944444444444445in" height="0.1951388888888889in"}，解得![lfxlby](./data/image/media/image4735.wmf){width="0.41944444444444445in" height="0.1951388888888889in"}或或，又根据集合元素的互异性，所以![lfxlby](./data/image/media/image4735.wmf){width="0.41944444444444445in" height="0.1951388888888889in"}或。![lfxlby](./data/image/media/image4728.png){width="1.7361111111111112e-2in" height="1.1805555555555555e-2in"} 3．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为，则该椭圆的方程为 A． B． C． D． 答案C 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数，从而得到椭圆的方程。\[来源:Z,xx,k.Com\] 【解析】因为，由一条准线方程为可得该椭圆的焦点在轴上县，所以。故选答案C 4．已知正四棱柱中，为的中点，则直线 与平面的距离为 A．2 B．![lfxlby](./data/image/media/image4728.png){width="1.7361111111111112e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"} C． D．1 答案D 【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用，以及点到面的距离的求解。体现了转换与化归的思想的运用，以及线面平行的距离，转化为点到面的距离即可。 【解析】因为底面的边长为2，高为，且连接，得到交点为，连接，，则点到平面的距离等于到平面的距离，过点作，则即为所求，在三角形中，利用等面积法，可得，故选答案D。 5．已知等差数列的前项和为，则数列的前100项和为 A． B． C． D． 答案A 【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前项和的公式的运用，以及裂项求和的综合运用，通过已知中两项，得到公差与首项，得到数列的通项公式，并进一步裂项求和。 【解析】由可得 6．中，边上的高为，若，则 A． B． ![lfxlby](./data/image/media/image4728.png){width="1.7361111111111112e-2in" height="1.1805555555555555e-2in"}C． D． 答案D 【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用，结合运用特殊直角三![lfxlby](./data/image/media/image4737.png){width="2.2916666666666665e-2in" height="1.1805555555555555e-2in"}角形求解点D的位置的运用。 【解析】由可得，故，用等面积法求得，所以，故，故选答案D 7．已知为第二象限角，，则 A． B． C． D． 答案A 【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用。首先利用平方法得到二倍角的正弦值，然后然后利用二倍角的余弦公式，将所求的转化为单角的正![lfxlby](./data/image/media/image4728.png){width="1.7361111111111112e-2in" height="1.1805555555555555e-2in"}弦值和余弦值的问题。 【解析】，两边平方可得 是第二象限角，因此， 所以 8．已知为双曲线的左右焦点，点在上，，则 A． B． C． D． 答案C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】解：由题意可知，，设，则，故，，利用余弦定理可得。 9．已知，则 A． B． C． D． 答案D 【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用，采用中间值大小比较方法。 【解析】，，，故选答案D。 10．已知函数的图像与轴恰有两个公共点，则 A．或2 B．或3 C．或1 D．或1 答案A 【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用。要是函数图像与轴有两个不同的交点，则需要满足极佳中一个为零即可。 【解析】因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求。而，当时取得极值 由或可得或，即。 11．将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 A．12种 B．18种 C．24种 ![lfxlby](./data/image/media/image4728.png){width="1.7361111111111112e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"} D．36种 答案A 【命题意图】本试题考查了排列组合的用用。 【解析】利用![lfxlby](./data/image/media/image4737.png){width="1.1805555555555555e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}分步计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的数为2种，在填写第二行第一列的数有2种，一共有。\[来源:学.科.网\] 12．正方形的边长为1，点在边上，点在边上，，动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角。当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为 A．16 B．14 C．12 D．10 答案B 【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用。通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图像分析反射的次数即可。 【解析】解：结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可。 2. 填空题 13．若满足约束条件，则的最小值为 [ ]{.underline} 。 答案： 【命![lfxlby](./data/image/media/image4728.png){width="1.7361111111111112e-2in" height="2.2916666666666665e-2in"}题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用。常规题型，只要正确作图，表示出区域，然后借助于直线平移法得到最值。 【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点时，目标函数最大![lfxlby](./data/image/media/image4737.png){width="2.847222222222222e-2in" height="1.1805555555555555e-2in"}，当目标函数过点时最小为。\] 14．当函数取得最大值时， [ ]{.underline} 。\[来源:学科网ZXXK\] 答案：\[来源:学科网ZXXK\] 【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用，求解值![lfxlby](./data/image/media/image4728.png){width="1.7361111111111112e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}域的问题。首先化为单一三角函数，然后利用定义域求解角的范围，从而结合三角函数图像得到最值点。 【解析】由 由可知 当且仅当即时取得最小值，时即取得最大值。 15．若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为 [ ]{.underline} 。 答案 【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中通项公式的运用。利用二项式系数相等，确定了的值，然后进一步借助于通项公式，分析项的系数。 【解析】根据已知条件可知， 所以的展开式的通项为，令 所以所求系数为。 16．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为 [ ]{.underline} ![lfxlby](./data/image/media/image4728.png){width="1.7361111111111112e-2in" height="2.2916666666666665e-2in"} [ ]{.underline} 。 答案 【命题意图】本试题考查了斜棱柱中异面直线的角的求解。用空间向量进行求解即可。 【解析】设该三棱柱的边长为1，依题意有，则 而 三、解答题 17．（本小题满分10分![lfxlby](./data/image/media/image4728.png){width="1.7361111111111112e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}）**（注意：在试卷上作答无效）** 的内角、、的对边分别为、、，已知，求。 【命题意图】本试题主要考查了解三角形的运用，给出两个公式，一个是边的关系，一个角的关系，而求解的为角，因此要找到角的关系式为好。 【解析】由， 由正弦定理及可得 所以 \[来源:Z&xx&k.Com\] 故由与可得 而为三角形的内角且，故，所以，故。 【点评】该试题从整体来看保持了往年的解题风格，依然是通过边角的转换，结合了三角形的内角和定理的知识，以及正弦定理和余弦定理，求解三角形中的角的问题。试题整体上比较稳定，思路也比较容易想，先将三角函数关系式化简后，得到角关系，然后结合，得到两角的二元一次方程组，自然很容易得到角的值。 18．（本小题满分12分）（注意：在试题![lfxlby](./data/image/media/image4737.png){width="2.847222222222222e-2in" height="2.2916666666666665e-2in"}卷上作答无效）\[来源:学科网ZXXK\] 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，是上的一点，。 > （1）证明：平面； > > （2）设二面角为，求与平面所成角的大小。 【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。 从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。 **解：设**,以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则设。 **（Ⅰ）证明：由**得， **所以**，，，所以， 。所以,，所以平面； （Ⅱ） 设平面的法向量为，又，由得，设平面的法向量为，又，由，得，由于二面角为，所以，解得。 所以，平面的法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以与平面所成角为. 【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题和相似，底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点的位置的选择是一般的三等分点，这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好。 19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立，。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。 （1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （2）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。 【命题意图】本试题主要是考查了独立事件的概率的求解，以及分布列和期望值的问题。首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析、讨论，并结合独立事件的概率求解结论。 解：记为事件"第i次发球，甲胜"，i=1,2,3，则。 （Ⅰ）事件"开始第次发球时，甲、乙的比分为比"为，由互斥事件有一个发生的概率加法公式得 。 即开始第次发球时，甲、乙的比分为比的概率为0.352![lfxlby](./data/image/media/image4728.png){width="1.7361111111111112e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}![lfxlby](./data/image/media/image4728.png){width="1.7361111111111112e-2in" height="2.2916666666666665e-2in"} （Ⅱ）由题意。 ； =0.408； ； 所以 【点评】首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用，以及能结合独立事件的概率公式求解分布列的问题。情景比较亲切，容易入手，但是在讨论情况的时候，容易丢情况。 20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 设函数。 （1）讨论的单调性； （2）设，求的取值范围。 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一就是函数中有三角函数，要利用三角函数的有界性，求解单调区间。另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用。 解：。 （Ⅰ）因为，所以。 当时，，在上为单调递增函数； 当时，，在上为单调递减函数； 当时，由得， 由得或； 由得。 所以当时在和上为为单调递增函数；在上为单调递减函数。\[来源:Zxxk.Com\] （Ⅱ）因为 当时，恒成立 当时， 令，则 又令，则 则当时，，故，单调递减 当时，，故，单调递增 所以在时有最小值，而 ， 综上可知时，，故在区间单调递 所以 故所求的取值范围为。 另解：由恒成立可得 令，则 当时，，当时， 又，所以，即 故当时，有 ①当时，，，所以![lfxlby](./data/image/media/image4728.png){width="1.7361111111111112e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"} ②当时， 综上可知故所求的取值范围为。 【点评】试题分为两问，题词面比较简单，给出的函数比较新颖，因为里面还有三角函数，这一点对于同学们来说有点难度，不同于平时的练习题，相对来说做得比较少。但是解决的关键还是要看导数的符号，求解单调区间。第二问中，运用构造函数的思想，证明不等式，一直以来是个难点，那么这类问题的关键是找到合适的函数，运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。 21．（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效） 已知抛物线与圆 有一个公共点，且在处两曲线的切线为同一直线。\[来源:学\*科\*网\] （1）求； （2）设、是异于且与及都相切的两条直线，、的交点为，求到的距离。 【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程，以![lfxlby](./data/image/media/image4737.png){width="2.2916666666666665e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离。 解：（1）设，对求导得，故直线的斜率，当时，不合题意，所心 圆心为，的斜率 由知，即，解得，故 所以 （2）设为上一点，则在该点处的切线方程为即 若该直线与圆相切，则圆心到该切线的距离为，即，化简可得 求解可得 抛物线在点处的切线分别为，其方程分别为 ① ② ③ ②－③得，将代入②得，故 所以到直线的距离为。\[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\] 【点评】该试题出题的角![lfxlby](./data/image/media/image4737.png){width="2.2916666666666665e-2in" height="2.2916666666666665e-2in"}度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处。另外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向。 22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效） 函数。定义数列如下：是过两点的直线与轴交点的横坐标。 （1）证明：； （2）求数列的通项公式。 解：（1）为，故点在函数的图像上，故由所给出的两点，可知，直线斜率一定存在。故有 直线的直线方程为，令，可求得 所以 下面用数学归纳法证明 当时，，满足 假设时，成立，则当时，， 由即也成立 综上可知对任意正整数恒成立。 下面证明 由 由，故有即 综上可知恒成立。 （2）由得到该数列的一个特征方程即，解得或 ① ② 两式相除可得,而 故数列是以为首项以为公比的等比数列\[来源:Z.xx.k.Com\] ,故。 【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用。先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法进行证明，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通基。 【点评】以函数为背景，引出点的坐标，并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式。既考查了直线方程，又考查了函数解析式，以及不等式的证明，试题比较综合，有一定的难度。做这类试题那就是根据已知条件，一步一步的翻译为代数式，化简得到要找的关系式即可。 2012年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷） ============================================ 数学（文科） **一．选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的．** 1．已知集合，，，，则 A． B． C． D． 答案B 【命题意图】本试题主要考查了集合的概念，集合的包含关系的运用。 【解析】由正方形是特殊的菱形、特殊的矩形、特殊的平行四边形，矩形是特殊的平行四边形，可知集合是最小的，集合是最大的，故选答案B。 2．函数的反函数为 A． B． C． D． 答案A 【命题意图】本试题主要考查了反函数的求解，利用原函数反解，再互换得到结论，同时也考查了函数值域的求法。 【解析】由，而，故 互换得到，故选答案A 3．若函数是偶函数，则 A． B． C． D． 答案C 【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质，。 【解析】由为偶函数可知，轴是函数图像的对称轴，而三角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得，故，而，故时，，故选答案C。 4．已知为第二象限角，，则 A． B． C． D． 答案A 【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用。 【解析】因为为第二象限角，故，而，故，所以，故选答案A。 5．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为，则该椭圆的方程为 A． B． C． D． 答案C 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为，由一条准线方程为可得该椭圆的焦点在轴上县，所以。故选答案C 6．已知数列的前项和为，，，则 A． B． C． D． 答案B 【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用。 【解析】由可知，当时得 当时，有 ① ② ①－②可得即，故该数列是从第二项起以为首项，以为公比的等比数列，故数列通项公式为， 故当时， 当时，，故选答案B 7．6名选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有 A．240种 B．360种 C．480种　　　D．720种 答案C 【命题意图】本试题考查了排列问题的运用。利用特殊元素优先安排的原则分步完成得到结论。 【解析】甲先安排在除开始与结尾的位置还有个选择，剩余的元素与位置进行全排列有，故不同的演讲次序共有种。 8．已知正四棱柱中，，，为的中点，则直线与平面的距离为 A．2　　　　B．　　　　C．　　　　　D．1 答案D 【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用，以及点到面的距离的求解。体现了转换与化归的思想的运用，以及线面平行的距离，转化为点到面的距离即可。 【解析】因为底面的边长为2，高为，且连接，得到交点为，连接，，则点到平面的距离等于到平面的距离，过点作，则即为所求，在三角形中，利用等面积法，可得，故选答案D。 9．中，边的高为，若，，，，，则 A．　　　　　B．　　 C．　　　　　D． 答案D 【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用，结合运用特殊直角三![lfxlby](./data/image/media/image4737.png){width="1.5277777777777777e-2in" height="1.5277777777777777e-2in"}角形求解点D的位置的运用。 【解析】由可得，故，用等面积法求得，所以，故，故选答案D 10．已知为双曲线的左，右焦点，点在上，，则 A．　　　B．　　　C．　　　　　D． 答案C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】解：由题意可知，，设，则，故，，利用余弦定理可得。 11．已知，，，则 A．　　　　　　B．　　　C．　　　　　　D． 答案D 【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用，采用中间值大小比较方法。 【解析】，，，故选答案D。 12．正方形的边长为1，点*E*在边*AB*上，点F在边*BC*上，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为 A．8　　　B．6　　　C．4　　　　D．3 答案B 【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用。通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图像分析反射的次数即可。 【解析】解：结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞8次即可。 **二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．** 13．的展开式中的系数为[　　　　]{.underline}． 答案 【命题意图】本试题主要考查了二项式定理展开式通项公式的运用。利用二项式系数相等，确定了的值，然后进一步借助通项公式，得到项的系数。 【解析】根据已知条件可得展开式的通项公式为，令，故所求的系数为。 14．若函数，则的最小值为[　　　　　]{.underline}． 答案： 【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用。常规题型，只要正确作图，表示出区域，然后借助于直线平移法得到最值。 【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点时，目标函数最大![lfxlby](./data/image/media/image4737.png){width="3.0555555555555555e-2in" height="1.5277777777777777e-2in"}，当目标函数过点时最小为。\] 15．当函数取最大值时，[　　　　]{.underline}． 答案： 【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用，求解值域的问题。首先化为单一三角函数，然后利用定义域求解角的范围，从而结合三角函数图像得到最值点。 【解析】由 由可知 当且仅当即时取得最小值，时即取得最大值。 16．已知正方形中，分别为，的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为[　　　　]{.underline}． 答案 【命题意图】本试题考查了正方体中的异面直线所成角的求解问题。 【解析】首先根据已知条件，连接，则由可知或其补角为异面直线与所成的角，设正方体的棱长为2，则可以求解得到，再由余弦定理可得。 **三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．** 17．（本小题满分10分） 中，内角*A．B．C*成等差数列，其对边满足，求． 【命题意图】： 本试题主要考查了解三角形的运用。该试题从整体看保持了往年的解题风格，依然是通过边角的转换，结合了三角形的内角和定理的知识，以及正弦定理求解三角形中的角的问题。试题整体上比较稳定，思路比较容易想，先利用等差数列得到角，然后利用正弦定理与三角求解运算得到答案。 【解析】由*A．B．C*成等差数列可得，而，故且 而由与正弦定理可得 所以可得 ，由，故 或，于是可得到或。 18．（本小题满分12分） 已知数列中，，前项和． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求的通项公式． 【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的综合运用。 解：（1）由与可得 ， 故所求的值分别为。 （2）当时，① ② ①－②可得即 故有 而，所以的通项公式为 【点评】试题出题比较直接，没有什么隐含的条件，只要充分发挥利用通项公式和前项和的关系式变形就可以得到结论。 19．（本小题满分12分） 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）设二面角为90°，求与平面所成角的大小． 【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。 **解：设**,以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则设。 **（Ⅰ）证明：由**得， **所以**，，，所以， 。所以,，所以平面； （Ⅱ） 设平面的法向量为，又，由得，设平面的法向量为，又，由，得，由于二面角为，所以，解得。 所以，平面的法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以与平面所成角为. 【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题和相似，底面也是特殊的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点的位置的选择是一般的三等分点，这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好。 20．（本小题满分12分） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲．乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球． （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲．乙的比分为1比2的概率； （Ⅱ）求开始第5次发球时，甲得分领先的概率． 【命题意图】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解。首先要理解发球的具体情况，然后对于事件的情况分析，讨论，并结合独立事件的概率求解结论。 解：记为事件"第i次发球，甲胜"，i=1,2,3，则。 （Ⅰ）事件"开始第次发球时，甲、乙的比分为比"为，由互斥事件有一个发生的概率加法公式得 。 即开始第次发球时，甲、乙的比分为比的概率为0.352 （Ⅱ）五次发球甲领先时的比分有：这两种情况 开始第5次发球时比分为的概率为： 开始第5次发球时比分为的概率为： 故求开始第5次发球时，甲得分领先的概率为。 【点评】首先从试题的选材上来源于生活，同学们比较熟悉的背景，同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用。情景比较亲切，容易入手，但是在讨论情况的时间，容易丢情况。 21．（本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设有两个极值点，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，求的值。 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一问就是三次函数，通过求解导数求解单调区间。另外就是运用极值概念，求解参数值的运用。 解：（1）依题意可得 当即时，恒成立，故，所以函数在上单调递增； 当即时， 有两个相异实根且 故由或，此时单调递增 由，此时此时单调递增递减 综上可知 当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在单调递增，在单调递减。 （2）由题设知，为方程的两个根，故有 因此 同理 因此直线的方程为 设与轴的交点为，得 而 由题设知，点在曲线的上，故，解得或或 所以所求的值为或或。 【点评】试题分为两问，题面比较简单，给出的函数比较常规，这一点对于同学们来说没有难度，但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响，求解函数的单调区间。第二问中，运用极值的问题，和直线方程的知识求解交点，得到参数的值。 22．（本小题满分12分） 已知抛物线C：与圆：有一个公共点，且在处两曲线的切线为同一直线上． （Ⅰ）求； （Ⅱ）设是异于且与及都切的两条直线，的交点为，求到的距离。 【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程，以![lfxlby](./data/image/media/image4737.png){width="1.5277777777777777e-2in" height="1.5277777777777777e-2in"}及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离。 解：（1）设，对求导得，故直线的斜率，当时，不合题意，所心 圆心为，的斜率 由知，即，解得，故 所以 （2）设为上一点，则在该点处的切线方程为即 若该直线与圆相切，则圆心到该切线的距离为，即，化简可得 求解可得 抛物线在点处的切线分别为，其方程分别为 ① ② ③ ②－③得，将代入②得，故 所以到直线的距离为。 【点评】该试题出题的角![lfxlby](./data/image/media/image4737.png){width="1.5277777777777777e-2in" height="1.5277777777777777e-2in"}度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处。另外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向。 **2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）** 理科数学 注息事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效· 4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。 第一卷 1. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合；,则中所含元素 的个数为（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 【解析】选 ，，，共10个 （2）将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， > 每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}种 ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}种 ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}种 ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}种 【解析】选 甲地由名教师和名学生：种 （3）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ） 的共轭复数为 的虚部为 ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 【解析】选 ，，的共轭复数为，的虚部为 （4）设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 【解析】选 是底角为的等腰三角形 （5）已知为等比数列，，，则（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} ![](./data/image/media/image4742.jpeg){width="2.3847222222222224in" height="4.55in"}【解析】选 ，或 （6）如果执行右边的程序框图，输入正整数和 实数，输出，则（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}为的和 ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}为的算术平均数 ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}和分别是中最大的数和最小的数 ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}和分别是中最小的数和最大的数 ![](./data/image/media/image4742.jpeg){width="2.3847222222222224in" height="4.55in"}【解析】选 ![](./data/image/media/image4743.png){width="2.252083333333333in" height="2.275in"}（7）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 【解析】选 该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为 此几何体的体积为 （8）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于 两点，；则的实轴长为（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 【解析】选 设交的准线于 得： （9）已知，函数在上单调递减。则的取值范围是（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 【解析】选 不合题意 排除![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 合题意 排除 另：， 得： （10） 已知函数；则的图像大致为（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4744.png){width="4.833333333333333in" height="3.6666666666666665in"} 【解析】选 得：或均有 排除 （11）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形， 为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 【解析】选 的外接圆的半径，点到面的距离 为球的直径点到面的距离为 此棱锥的体积为 另：排除 （12）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 【解析】选 函数与函数互为反函数，图象关于对称 函数上的点到直线的距离为 设函数 由图象关于对称得：最小值为 **第Ⅱ卷** 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题\~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。 （13）已知向量夹角为 ，且；则 【解析】 \(14\) 设满足约束条件：；则的取值范围为 [ ]{.underline} 【解析】的取值范围为 [ ]{.underline} 约束条件对应四边形边际及内的区域： 则 （15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从 正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命 超过1000小时的概率为 [ ]{.underline} ![lfxlby](./data/image/media/image4745.png){width="4.5in" height="1.4166666666666667in"} 【解析】使用寿命超过1000小时的概率为 [ ]{.underline} 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为 超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 （16）数列满足，则的前项和为 [ ]{.underline} 【解析】的前项和为 [ ]{.underline} 可证明： 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 已知分别为三个内角的对边， （1）求 （2）若，的面积为；求。 【解析】（1）由正弦定理得： （2） 解得： 18.（本小题满分12分） 某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售， 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。 （1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量 （单位：枝，）的函数解析式。 （2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： ![lfxlby](./data/image/media/image4746.png){width="5.75in" height="0.75in"} 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 （i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列， 数学期望及方差； （ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？ 请说明理由。 【解析】（1）当时， 当时， 得： （2）（i）可取，， 的分布列为 -- -- -- -- -- -- -- -- （ii）购进17枝时，当天的利润为 得：应购进17枝 （19）（本小题满分12分） ![](./data/image/media/image4747.png){width="1.8958333333333333in" height="2.5729166666666665in"}如图，直三棱柱中，， 是棱的中点， （1）证明： （2）求二面角的大小。 【解析】（1）在中， 得： 同理： 得：面 （2）面 > 取的中点，过点作于点，连接 > > ，面面面 > > 得：点与点重合 > > 且是二面角的平面角 > > 设，则， > > 既二面角的大小为 （20）（本小题满分12分） 设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心， 为半径的圆交于两点； （1）若，的面积为；求的值及圆的方程； （2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点， 求坐标原点到距离的比值。 【解析】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边 点到准线的距离 圆的方程为 （2）由对称性设，则 点关于点对称得： 得：，直线 切点 直线 坐标原点到距离的比值为。 （21）（本小题满分12分） 已知函数满足满足； （1）求的解析式及单调区间； （2）若，求的最大值。 【解析】（1） 令得： 得： 在上单调递增 得：的解析式为 且单调递增区间为，单调递减区间为 （2）得 ①当时，在上单调递增 时，与矛盾 ②当时， ③当时， 得：当时， 令；则 当时， 当时，的最大值为 请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号。 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 ![](./data/image/media/image4748.jpeg){width="1.8020833333333333in" height="1.6666666666666667in"}如图，分别为边的中点，直线交 的外接圆于两点，若，证明： （1）； （2） 【解析】（1）， （2） （23）本小题满分10分)选修4---4；坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴 为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上， 且依逆时针次序排列，点的极坐标为 （1）求点的直角坐标； （2）设为上任意一点，求的取值范围。 【解析】（1）点的极坐标为 点的直角坐标为 （2）设；则 （24）（本小题满分10分）选修：不等式选讲 已知函数 > （1）当时，求不等式的解集； > > （2）若的解集包含，求的取值范围。 【解析】（1）当时， 或或 或 （2）原命题在上恒成立 在上恒成立 在上恒成立 2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷） ============================================== 数学（文科） 一、选择题：本大![lfxlby](./data/image/media/image4749.png){width="1.9444444444444445e-2in" height="1.9444444444444445e-2in"}题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合A={*x*\|![lfxlby](./data/image/media/image4749.png){width="1.9444444444444445e-2in" height="2.9166666666666667e-2in"}*x*^2^－*x*－2\<0}，B={*x*\|－1\<*x*\<1}，则 （A）A⊂≠B （B）B⊂≠A （C）A=B （D）A∩B=∅ 【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法与集合间关系，是简单题. 【解析】A=（－1,2），故B⊂≠A，故选B. （2）复数*z*＝的共轭复数是 （A） （B） （C） （D） 【命题意图】本题主要考查复数的除法运算与共轭复数的概念，是简单题. 【解析】∵==，∴的共轭复数为，故选D. （3）在一组样本数据（*x*~1~，*y*~1~），（*x*~2~，*y*~2~），...，（*x~n~*，*y~n~*）（*n*≥2，*x*~1~,*x*~2~,...,*x~n~*不全相等）的散点图中，若所有样本点（*x~i~*，*y~i~*）(*i*=1,2,...,*n*)都在直线*y*=*x*+1上，则这组样本数据的样本相关系数为 （A）－1 （B）0 （C） （D）1 【命题意图】本题主要考查样本的相关系数，是简单题. 【解析】有题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D. （4）设,是椭圆：=1（＞＞0）的左、右焦点，为直线上一点，△是底角为的等腰三角形，则的离心率为 ![](./data/image/media/image4750.png){width="2.0in" height="0.9583333333333334in"}. . . . 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题. 【解析】∵△是底角为的等腰三角形， ∴，，∴=，∴，∴=，故选C. ![](./data/image/media/image4751.png){width="1.5625in" height="1.2708333333333333in"}（5）已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（*x*，*y*）在△ABC内部，则的取值范围是 （A）(1－，2) （B）(0，2) （C）(－1，2) （D）(0，1+) ![](./data/image/media/image4752.png){width="2.3333333333333335in" height="2.84375in"}【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法，是简单题. 【解析】有题设知C(1+,2)，作出直线：，平移直线，有图像知，直线过B点时，=2，过C时，=，∴取值范围为(1－，2)，故选A. （6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(≥2)和实数，，...，，输出，，则 .+为，，...，的和 .为，，...，的算术平均数 .和分别为，，...，中的最大数和最小数 .和分别为，，...，中的最小数和最大数 【命题意图】本题主要考查框图表示算法的意义，是简单题. 【解析】由框图知其表示的算法是找N个数中的最大值和最小值，和分别为，，...，中的最大数和最小数，故选C. \[来源:学,科,网\]（7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为 ![](./data/image/media/image4753.png){width="1.5833333333333333in" height="1.0625in"}.6 .9 .12 .18 【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算，是简单题. 【解析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6，这边上高为3，棱锥的高为3，故其体积为=9，故选B. (8)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为 （A）π （B）4π （C）4π （D）6π 【命题意图】 【解析】 （9）已知\>0，，直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴，则= （A） （B） （C） （D） 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质，是中档题. 【解析】由题设知，=，∴=1，∴=（）， ∴=（），∵，∴=，故选A. （10）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于、两点，=，则的实轴长为 . . .4 .8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：，设等轴双曲线方程为：，将代入等轴双曲线方程解得=，∵=，∴=，解得=2， ∴的实轴长为4，故选C. (11)当0\<≤时，，则*a*![lfxlby](./data/image/media/image4749.png){width="1.9444444444444445e-2in" height="1.9444444444444445e-2in"}的取值范围是 （A）(0，) （B）(，1) （C）(1，) （D）(，2) 【命题意图】本题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想，是中档题. 【解析】由指数函数与对数函数的图像知，解得，故选A. （12）数列{}满足，则{}的前60项和为 （A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830 【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力，是难题. 【解析】【法1】有题设知 =1，① =3 ② =5 ③ =7，=9， =11，=13，=15，=17，=19，， ...... ∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，...， ∴，，，...，是各项均为2的常数列，，，，...是首项为8，公差为16的等差数列， ∴{}的前60项和为=1830. 【**法2**】可证明： 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。 (13)曲线在点（1,1）处的切线方程为\_\_\_\_\_\_\_\_ 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程，是简单题. 【解析】∵，∴切线斜率为4，则切线方程为：. (14)等比数列{}的前*n*项和为S*~n~*，若S~3~+3S~2~=0![lfxlby](./data/image/media/image4749.png){width="1.9444444444444445e-2in" height="1.9444444444444445e-2in"}，则公比=\_\_\_\_\_\_\_ 【命题意图】本题主要考查等比数列n项和公式，是简单题. 【解析】当=1时，=，=，由S~3~+3S~2~=0![lfxlby](./data/image/media/image4749.png){width="1.9444444444444445e-2in" height="1.9444444444444445e-2in"}得，=0，∴=0与{}是等比数列矛盾，故≠1，由S~3~+3S~2~=0![lfxlby](./data/image/media/image4749.png){width="1.9444444444444445e-2in" height="1.9444444444444445e-2in"}得，，解得=－2. \(15\) 已知向量，夹角为，且\|\|=1，\|\|=，则\|\|= [ ]{.underline} . 【命题意图】.本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则，是简单题. 【解析】∵\|\|=，平方得，即，解得\|\|=或（舍） (16)设函数=的最大值为M，最小值为*m*，则M+*m*=\_\_\_\_ 【命题意图】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想，是难题. 【解析】=， 设==，则是奇函数， ∵最大值为M，最小值为，∴的最大值为M-1，最小值为－1， ∴，=2. 3. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）已知，，分别为三个内角,,的对边，. (Ⅰ)求； (Ⅱ)若=2，的面积为，求，. 【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用，是简单题. 【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得 由于，所以， 又，故. (Ⅱ) 的面积==,故=4， 而 故=8，解得=2. 18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。 （Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润*y*(单位：元)关于当天需求量*n*（单位：枝，*n*∈N）的函数解析式。 （Ⅱ）花店记录了100![lfxlby](./data/image/media/image4749.png){width="1.9444444444444445e-2in" height="1.9444444444444445e-2in"}天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： ------------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- 日需求量*n* 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 ------------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- (i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100![lfxlby](./data/image/media/image4749.png){width="1.9444444444444445e-2in" height="9.722222222222222e-3in"}天的日利润（单位：元）的平均数； (ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率. 【命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的和概率，是简单题. 【解析】（Ⅰ）当日需求量时，利润=85； 当日需求量时，利润， ∴关于的解析式为； （Ⅱ）(i)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的平均利润为 =76.4； (ii)利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为 ![](./data/image/media/image4754.png){width="1.6041666666666667in" height="1.5625in"} （19）（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA~1~，D是棱AA~1~的中点。 (Ｉ) 证明：平面⊥平面 （Ⅱ）平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题. 【解析】（Ⅰ）由题设知BC⊥,BC⊥AC，,∴面, 又∵面，∴, 由题设知,∴=,即, 又∵, ∴⊥面, ∵面， ∴面⊥面； （Ⅱ）设棱锥的体积为，=1，由题意得，==， 由三棱柱的体积=1， ∴=1:1， ∴平面分此棱柱为两部分体积之比为1:1. （20）（本小题满分12分）设抛物线：（＞0）的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于,两点. (Ⅰ)若,的面积为，求的值及圆的方程； ![](./data/image/media/image4755.png){width="1.375in" height="1.3229166666666667in"}(Ⅱ)若，，三点在同一条直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到，距离的比值. 【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力. 【解析】设准线于轴的焦点为E，圆F的半径为， 则\|FE\|=，=，E是BD的中点， (Ⅰ) ∵，∴=，\|BD\|=， 设A(，)，根据抛物线定义得，\|FA\|=， ∵的面积为，∴===，解得=2， ∴F(0,1), FA\|=， ∴圆F的方程为：； (Ⅱ) 【解析1】∵，，三点在同一条直线上, ∴是圆的直径，, 由抛物线定义知，∴，∴的斜率为或－， ∴直线的方程为：，∴原点到直线的距离=， 设直线的方程为：，代入得，， ∵与只有一个公共点， ∴=，∴， ∴直线的方程为：，∴原点到直线的距离=， ∴坐标原点到，距离的比值为3. 【解析2】由对称性设，则 点关于点对称得： 得：，直线 切点 直![lfxlby](./data/image/media/image4756.png){width="9.722222222222222e-3in" height="1.9444444444444445e-2in"}线 坐标原点到距离的比值为。 （21）（本小题满分12分）设函数*f*(*x*)= e*^x^*－*ax*－2 (Ⅰ)求*f*(*x*)的单调区间 (Ⅱ)若*a*=1，*k*为整数，且当*x*\>0时，(*x*－*k*) *f´*(*x*)+*x*+1\>0，求*k*的最大值 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. ![](./data/image/media/image4757.png){width="1.65625in" height="1.5208333333333333in"}22. （本小题满分10分）选修4－1：几何选讲 如图，D，E分别是△ABC边AB,AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆与F,G两点，若CF∥AB，证明： (Ⅰ) CD=BC; (Ⅱ)△BCD∽△GBD. 【命题意图】本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识，是简单题. ![](./data/image/media/image4758.png){width="1.875in" height="1.6152777777777778in"}【解析】(Ⅰ) ∵D，E分别为AB,AC的中点，∴DE∥BC， ∵CF∥AB， ∴BCFD是平行四边形， ∴CF=BD=AD， 连结AF，∴ADCF是平行四边形， ∴CD=AF， ∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC； (Ⅱ) ∵FG∥BC，∴GB=CF， 由(Ⅰ)可知BD=CF，∴GB=BD, ∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD. 23\. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程是（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:的极坐标方程是=2，正方形ABCD的顶点都在上，且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）. (Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标； (Ⅱ)设P为上任意一点，求的取值范围. 【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标，是容易题型. 【解析】(Ⅰ)由已知可得，， ，， 即A(1，)，B（－，1），C（―1，―），D（，－1）， (Ⅱ)设，令=， 则==， ∵，∴的取值范围是\[32,52\]. 24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数=. (Ⅰ)当时，求不等式 ≥3的解集； (Ⅱ) 若≤的解集包含，求的取值范围. 【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式的解法，是简单题. 【解析】(Ⅰ)当时，=， 当≤2时，由≥3得，解得≤1； 当2＜＜3时，≥3，无解； 当≥3时，由≥3得≥3，解得≥8， ∴≥3的解集为{\|≤1或≥8}； (Ⅱ) ≤， 当∈\[1,2\]时，==2， ∴，有条件得且，即， 故满足条件的的取值范围为\[－3,0\]. 2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） ============================================ 数学（理科） 本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共40分) 一、选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 1．已知集合A={x∈R\|3x+2＞0} B={x∈R\|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B= A （-![lfxlby](./data/image/media/image4759.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1375in"}，-1）B （-1，-![lfxlby](./data/image/media/image4760.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.43125in"}） C （-![lfxlby](./data/image/media/image4760.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.43125in"},3）D (3,+![lfxlby](./data/image/media/image4759.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1375in"}) 【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。因为，利用二次不等式可得或画出数轴易得：．故选D． 【答案】D 2．设不等式组![lfxlby](./data/image/media/image4761.wmf){width="0.7548611111111111in" height="0.5in"}，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A）![lfxlby](./data/image/media/image4762.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.43125in"} （B）![lfxlby](./data/image/media/image4763.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.43125in"} （C）![lfxlby](./data/image/media/image4764.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.43125in"} （D）![lfxlby](./data/image/media/image4765.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.43125in"} 【解析】![](./data/image/media/image4766.png){width="1.25in" height="1.1645833333333333in"}题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此，故选D。 【答案】D 3．设a，b∈R。"a=0"是"复数a+bi是纯虚数"的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】当时，如果同时等于零，此时是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到，因此想必要条件，故选B。 【答案】B 4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4767.png){width="1.2548611111111112in" height="1.8625in"} A. 2 B .4 C.8 D. 16 【解析】，，，，，循环结束，输出的s为8，故选C。 【答案】 5.如图. ∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则( ) A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB C. AD·AB=CD ² D.CE·EB=CD ² ![lfxlby](./data/image/media/image4768.png){width="1.7548611111111112in" height="0.9409722222222222in"} 【解析】在中，∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，所以,由切割线定理的,所以CE·CB=AD·DB。 【答案】A 6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况。 【答案】B 7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4769.png){width="2.0493055555555557in" height="0.8527777777777777in"} A. 28+6![lfxlby](./data/image/media/image4770.wmf){width="0.2548611111111111in" height="0.2548611111111111in"} B. 30+6![lfxlby](./data/image/media/image4771.wmf){width="0.2548611111111111in" height="0.2548611111111111in"} C. 56+ 12![lfxlby](./data/image/media/image4771.wmf){width="0.2548611111111111in" height="0.2548611111111111in"} D. 60+12![lfxlby](./data/image/media/image4771.wmf){width="0.2548611111111111in" height="0.2548611111111111in"} 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，，，，因此该几何体表面积，故选B。![lfxlby](./data/image/media/image4772.png){width="1.5493055555555555in" height="1.6569444444444446in"} 【答案】B 8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4773.png){width="1.9215277777777777in" height="1.461111111111111in"} A.5 B.7 C.9 D.11 【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。 【答案】C 第二部分(非选择题共110分) 二.填空题共6小题。每小题5分。共30分. 9．直线![lfxlby](./data/image/media/image4774.wmf){width="0.8722222222222222in" height="0.5in"}为参数)与曲线![lfxlby](./data/image/media/image4775.wmf){width="1.0097222222222222in" height="0.5in"}为参数)的交点个数为\_\_\_\_\_\_。 【解析】直线的普通方程，圆的普通方程为，可以直线圆相交，故有2个交点。 【答案】2 10．已知![lfxlby](./data/image/media/image4776.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}等差数列![lfxlby](./data/image/media/image4777.wmf){width="0.19583333333333333in" height="0.2548611111111111in"}为其前n项和。若![lfxlby](./data/image/media/image4778.wmf){width="0.46111111111111114in" height="0.43125in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4779.wmf){width="0.5in" height="0.2548611111111111in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image4780.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.23541666666666666in"}=\_\_\_\_\_\_\_。 【解析】因为， 所以，。 【答案】， 11．在△ABC中，若![lfxlby](./data/image/media/image4781.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}=2，b+c=7，cosB=![lfxlby](./data/image/media/image4782.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.43125in"}，则b=\_\_\_\_\_\_\_。 【解析】在△ABC中，利用余弦定理 ，化简得：，与题目条件联立，可解得 【答案】4 12．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线![lfxlby](./data/image/media/image4783.png){width="0.14722222222222223in" height="0.21597222222222223in"}=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为 【解析】由可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为，所以直线的斜率为，利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立，因此． 【答案】 13．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则![lfxlby](./data/image/media/image4784.wmf){width="0.5881944444444445in" height="0.26458333333333334in"}的值为\_\_\_\_\_\_\_\_，![lfxlby](./data/image/media/image4785.wmf){width="0.6277777777777778in" height="0.26458333333333334in"}的最大值为\_\_\_\_\_\_。 ![](./data/image/media/image4786.png){width="1.75625in" height="1.58125in"}【解析】根据平面向量的数量积公式，由图可知，，因此， ，而就是向量在边上的射影，要想让![lfxlby](./data/image/media/image4785.wmf){width="0.6277777777777778in" height="0.26458333333333334in"}最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为，所以长度为1． 【答案】1，1 14.已知![lfxlby](./data/image/media/image4787.wmf){width="1.93125in" height="0.22569444444444445in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4788.wmf){width="0.9215277777777777in" height="0.2548611111111111in"}，若同时满足条件： ①![lfxlby](./data/image/media/image4789.wmf){width="0.5097222222222222in" height="0.19583333333333333in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4790.wmf){width="0.6076388888888888in" height="0.22569444444444445in"}或![lfxlby](./data/image/media/image4791.wmf){width="0.5979166666666667in" height="0.22569444444444445in"}； ②![lfxlby](./data/image/media/image4792.wmf){width="0.9409722222222222in" height="0.22569444444444445in"}, ![lfxlby](./data/image/media/image4793.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image4791.wmf){width="0.5979166666666667in" height="0.22569444444444445in"}。 则m的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_。 【解析】根据，可解得。由于题目中第一个条件的限制，或成立的限制，导致在时必须是的。当时，不能做到在时，所以舍掉。因此，作为二次函数开口只能向下，故，且此时两个根为，。为保证此条件成立，需要，和大前提取交集结果为；又由于条件2：要求，0的限制，可分析得出在时，恒负，因此就需要在这个范围内有得正数的可能，即应该比两根中小的那个大，当时，，解得，交集为空，舍。当时，两个根同为，舍。当时，，解得，综上所述． 【答案】（lbylfx） 三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分） 已知函数![lfxlby](./data/image/media/image4794.wmf){width="1.8722222222222222in" height="0.43125in"}。 （1）求![lfxlby](./data/image/media/image4795.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的定义域及最小正周期； （2）求![lfxlby](./data/image/media/image4796.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的单调递增区间。 解（1）：得：函数的定义域为 得：![lfxlby](./data/image/media/image4795.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的最小正周期为； （2）函数的单调递增区间为 则 得：![lfxlby](./data/image/media/image4796.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的单调递增区间为 16．（本小题共14分） 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A~1~DE的位置，使A~1~C⊥CD,如图2. (I)求证：A~1~C⊥平面BCDE； (II)若M是A~1~D的中点，求CM与平面A~1~BE所成角的大小； (III)线段BC上是否存在点P，使平面A~1~DP与平面A~1~BE垂直？说明理由 ![lfxlby](./data/image/media/image4797.png){width="3.4611111111111112in" height="1.8625in"} 解：（1）， > 平面， > > 又平面， > > 又， > > 平面。 （2）如图建系，则，，， > ∴, > > 设平面法向量为 > > 则 ∴ ∴ > > ∴ > > 又∵ > > ∴ > > ∴， > > ∴与平面所成角的大小。 （3）设线段上存在点，设点坐标为，则 > 则， > > 设平面法向量为， > > 则 ∴ > > ∴。 > > 假设平面与平面垂直， > > 则，∴，，， > > ∵，∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直。 17．（本小题共13分） 近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）： ---------- -------------- -------------- -------------- "厨余垃圾"箱 "可回收物"箱 "其他垃圾"箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 ---------- -------------- -------------- -------------- （Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率； （Ⅲ）假设厨余垃圾在"厨余垃圾"箱、"可回收物"箱、"其他垃圾"箱的投放量分别为![lfxlby](./data/image/media/image4798.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}其中*a*＞0，![lfxlby](./data/image/media/image4799.wmf){width="0.5979166666666667in" height="0.19583333333333333in"}=600。当数据![lfxlby](./data/image/media/image4800.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}的方差![lfxlby](./data/image/media/image4801.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.22569444444444445in"}最大时，写出![lfxlby](./data/image/media/image4800.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}的值（结论不要求证明），并求此时![lfxlby](./data/image/media/image4802.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.22569444444444445in"}的值。 （注：![lfxlby](./data/image/media/image4803.wmf){width="2.8625in" height="0.43125in"}，其中![lfxlby](./data/image/media/image4804.wmf){width="0.1375in" height="0.23541666666666666in"}为数据![lfxlby](./data/image/media/image4805.wmf){width="0.8041666666666667in" height="0.2548611111111111in"}的平均数） 解：（1）由题意可知：。 （2）由题意可知：。 （3）由题意可知：，因此有当，，时，有． 18．（本小题共13分） 已知函数![lfxlby](./data/image/media/image4806.wmf){width="1.461111111111111in" height="0.28402777777777777in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4807.wmf){width="0.9902777777777778in" height="0.2548611111111111in"}. （1）若曲线![lfxlby](./data/image/media/image4808.wmf){width="0.6375in" height="0.21597222222222223in"}与曲线![lfxlby](./data/image/media/image4809.wmf){width="0.6277777777777778in" height="0.21597222222222223in"}在它们的交点![lfxlby](./data/image/media/image4810.wmf){width="0.3625in" height="0.28402777777777777in"}处具有公共切线，求![lfxlby](./data/image/media/image4811.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4812.wmf){width="0.1375in" height="0.19583333333333333in"}的值； （2）当![lfxlby](./data/image/media/image4813.wmf){width="0.5388888888888889in" height="0.21597222222222223in"}时，求函数![lfxlby](./data/image/media/image4814.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.21597222222222223in"}的单调区间，并求其在区间![lfxlby](./data/image/media/image4815.wmf){width="0.5979166666666667in" height="0.28402777777777777in"}上的最大值. 解：（1）由为公共切点可得： > ，则，， > > ，则，， > > ① > > 又，， > > ，即，代入①式可得：． （2），设 > 则，令，解得：，； > > ，， > > 原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增 > > ①若，即时，最大值为； > > ②若，即时，最大值为 > > ③若时，即时，最大值为． > > 综上所述： > > 当时，最大值为；当时，最大值为． 19．（本小题共14分） 已知曲线![lfxlby](./data/image/media/image4816.wmf){width="2.529166666666667in" height="0.28402777777777777in"}. （1）若曲线![lfxlby](./data/image/media/image4817.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}是焦点在![lfxlby](./data/image/media/image4818.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}轴上的椭圆，求![lfxlby](./data/image/media/image4819.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}的取值范围； （2）设![lfxlby](./data/image/media/image4820.wmf){width="0.43125in" height="0.19583333333333333in"}，曲线![lfxlby](./data/image/media/image4817.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}与![lfxlby](./data/image/media/image4821.wmf){width="0.15694444444444444in" height="0.1763888888888889in"}轴的交点为![lfxlby](./data/image/media/image4822.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4823.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}（点![lfxlby](./data/image/media/image4822.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}位于点![lfxlby](./data/image/media/image4823.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}的上方），直线![lfxlby](./data/image/media/image4824.wmf){width="0.6958333333333333in" height="0.21597222222222223in"}与 曲线![lfxlby](./data/image/media/image4817.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}交于不同的两点![lfxlby](./data/image/media/image4825.wmf){width="0.21597222222222223in" height="0.1763888888888889in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4826.wmf){width="0.19583333333333333in" height="0.19583333333333333in"}，直线![lfxlby](./data/image/media/image4827.wmf){width="0.3625in" height="0.21597222222222223in"}与直线![lfxlby](./data/image/media/image4828.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.1763888888888889in"}交于点![lfxlby](./data/image/media/image4829.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.19583333333333333in"}，求证：![lfxlby](./data/image/media/image4830.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4831.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.19583333333333333in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4832.wmf){width="0.19583333333333333in" height="0.19583333333333333in"} 三点共线. 解：（1）原曲线方程可化简得： 由题意可得：，解得： （2）由已知直线代入椭圆方程化简得：， > ，解得：\ > 由韦达定理得：①，，② > > 设，， > > 方程为：，则， > > ，， > > 欲证三点共线，只需证，共线 > > 即成立，化简得： > > 将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。 20．（本小题共13分） 设![lfxlby](./data/image/media/image4833.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}是由![lfxlby](./data/image/media/image4834.wmf){width="0.38263888888888886in" height="0.15694444444444444in"}个实数组成的![lfxlby](./data/image/media/image4835.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}行![lfxlby](./data/image/media/image4836.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}列的数表，满足：每个数的绝对值不大于![lfxlby](./data/image/media/image4837.wmf){width="9.791666666666667e-2in" height="0.1763888888888889in"}，且所有数的和为零. 记![lfxlby](./data/image/media/image4838.wmf){width="0.56875in" height="0.28402777777777777in"}为所有这样的数表组成的集合. 对于![lfxlby](./data/image/media/image4839.wmf){width="0.8430555555555556in" height="0.28402777777777777in"}，记![lfxlby](./data/image/media/image4840.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.2548611111111111in"}为![lfxlby](./data/image/media/image4841.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}的第![lfxlby](./data/image/media/image4842.wmf){width="9.791666666666667e-2in" height="0.1763888888888889in"}行各数之和（![lfxlby](./data/image/media/image4843.wmf){width="0.6375in" height="0.20555555555555555in"}），![lfxlby](./data/image/media/image4844.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.26458333333333334in"}为![lfxlby](./data/image/media/image4841.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}的第![lfxlby](./data/image/media/image4845.wmf){width="0.1375in" height="0.20555555555555555in"}列各数之和（![lfxlby](./data/image/media/image4846.wmf){width="0.6375in" height="0.21597222222222223in"}）；记![lfxlby](./data/image/media/image4847.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.21597222222222223in"}为![lfxlby](./data/image/media/image4848.wmf){width="0.43125in" height="0.28402777777777777in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4849.wmf){width="0.45069444444444445in" height="0.28402777777777777in"}，...，![lfxlby](./data/image/media/image4850.wmf){width="0.4708333333333333in" height="0.28402777777777777in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4851.wmf){width="0.46111111111111114in" height="0.28402777777777777in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4852.wmf){width="0.4708333333333333in" height="0.28402777777777777in"}，...，![lfxlby](./data/image/media/image4853.wmf){width="0.4708333333333333in" height="0.28402777777777777in"}中的最小值. （1）对如下数表![lfxlby](./data/image/media/image4854.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image4855.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.21597222222222223in"}的值； ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ![lfxlby](./data/image/media/image4856.wmf){width="9.791666666666667e-2in" height="0.1763888888888889in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4856.wmf){width="9.791666666666667e-2in" height="0.1763888888888889in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4857.wmf){width="0.34305555555555556in" height="0.19583333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4858.wmf){width="0.2548611111111111in" height="0.19583333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4859.wmf){width="0.34305555555555556in" height="0.19583333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4860.wmf){width="0.20555555555555555in" height="0.1763888888888889in"} ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- （2）设数表![lfxlby](./data/image/media/image4861.wmf){width="0.7944444444444444in" height="0.28402777777777777in"}形如 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ![lfxlby](./data/image/media/image4856.wmf){width="9.791666666666667e-2in" height="0.1763888888888889in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4856.wmf){width="9.791666666666667e-2in" height="0.1763888888888889in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4862.wmf){width="0.12777777777777777in" height="0.15694444444444444in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4863.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4864.wmf){width="0.1375in" height="0.19583333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4860.wmf){width="0.20555555555555555in" height="0.1763888888888889in"} ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 求![lfxlby](./data/image/media/image4847.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.21597222222222223in"}的最大值； （3）给定正整数![lfxlby](./data/image/media/image4865.wmf){width="9.791666666666667e-2in" height="0.16666666666666666in"}，对于所有的![lfxlby](./data/image/media/image4866.wmf){width="1.0493055555555555in" height="0.28402777777777777in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image4855.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.21597222222222223in"}的最大值. 解：（1）由题意可知，，，， ∴ （2）先用反证法证明： > 若 > > 则，∴ > > 同理可知，∴ > > 由题目所有数和为 > > 即 > > ∴ > > 与题目条件矛盾 > > ∴． > > 易知当时，存在 > > ∴的最大值为1 （3）的最大值为. 首先构造满足的： ， . 经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 ， ， . 下面证明是最大值. 若不然，则存在一个数表，使得. 由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于. 设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则. 另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负. 考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）. 因此 ， 故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾. 因此的最大值为。 2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） ============================================ 数学（文科） 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四![lfxlby](./data/image/media/image4867.png){width="9.722222222222222e-3in" height="2.9166666666666667e-2in"}个选项中，选出符合题目要求的一项. **1**.已知集合![lfxlby](./data/image/media/image4868.wmf){width="1.5097222222222222in" height="0.30416666666666664in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4869.wmf){width="1.93125in" height="0.30416666666666664in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image4870.wmf){width="0.43125in" height="0.20555555555555555in"}= ( ) A．![lfxlby](./data/image/media/image4871.wmf){width="0.5979166666666667in" height="0.22569444444444445in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image4872.wmf){width="0.6076388888888888in" height="0.43125in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image4873.wmf){width="0.5388888888888889in" height="0.43125in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image4874.wmf){width="0.5097222222222222in" height="0.22569444444444445in"} 2.在复平面内，复数![lfxlby](./data/image/media/image4875.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.40208333333333335in"}对应的点坐标为（ ） A． （1,3） B． （3,1） C．![lfxlby](./data/image/media/image4876.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.20555555555555555in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image4877.wmf){width="0.4409722222222222in" height="0.1763888888888889in"} 3.设不等式组![lfxlby](./data/image/media/image4879.wmf){width="0.7256944444444444in" height="0.5in"}表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image4880.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.43125in"} B． ![lfxlby](./data/image/media/image4881.wmf){width="0.41180555555555554in" height="0.43125in"} C． ![lfxlby](./data/image/media/image4882.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.43125in"} D． ![lfxlby](./data/image/media/image4883.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.43125in"} 4\. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 5.函数![lfxlby](./data/image/media/image4884.wmf){width="1.1375in" height="0.46111111111111114in"}的零点个数为（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 6\. 已知![lfxlby](./data/image/media/image4885.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}为等比数列.下面结论中正确的是（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image4886.wmf){width="0.8625in" height="0.2548611111111111in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image4887.wmf){width="0.9215277777777777in" height="0.26458333333333334in"} C．若![lfxlby](./data/image/media/image4888.wmf){width="0.4708333333333333in" height="0.2548611111111111in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image4889.wmf){width="0.49027777777777776in" height="0.2548611111111111in"} D．若![lfxlby](./data/image/media/image4890.wmf){width="0.4708333333333333in" height="0.2548611111111111in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image4891.wmf){width="0.5in" height="0.2548611111111111in"} 7\. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image4892.wmf){width="0.6569444444444444in" height="0.2548611111111111in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image4893.wmf){width="0.6569444444444444in" height="0.2548611111111111in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image4894.wmf){width="0.7055555555555556in" height="0.2548611111111111in"} D． ![lfxlby](./data/image/media/image4895.wmf){width="0.7256944444444444in" height="0.2548611111111111in"} 8\. 某棵果树前![lfxlby](./data/image/media/image4896.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}年得总产量![lfxlby](./data/image/media/image4897.wmf){width="0.19583333333333333in" height="0.2548611111111111in"}与![lfxlby](./data/image/media/image4898.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前![lfxlby](./data/image/media/image4899.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}年的年平均产量最高，![lfxlby](./data/image/media/image4900.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}的值为（ ） ![](./data/image/media/image4901.png){width="2.25in" height="1.7930555555555556in"}A．5 B． C． 9 D．11 ![](./data/image/media/image4902.png){width="1.75in" height="1.6576388888888889in"} 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.直线![lfxlby](./data/image/media/image4903.wmf){width="0.40208333333333335in" height="0.1763888888888889in"}被圆![lfxlby](./data/image/media/image4904.wmf){width="1.1076388888888888in" height="0.2548611111111111in"}截得的弦长为 [ ]{.underline} . 10.已知![lfxlby](./data/image/media/image4885.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}为等差数列，![lfxlby](./data/image/media/image4905.wmf){width="0.19583333333333333in" height="0.2548611111111111in"}为其前![lfxlby](./data/image/media/image4906.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}项和.若![lfxlby](./data/image/media/image4907.wmf){width="0.46111111111111114in" height="0.43125in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4908.wmf){width="0.5in" height="0.2548611111111111in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image4909.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"} [ ]{.underline} ；![lfxlby](./data/image/media/image4905.wmf){width="0.19583333333333333in" height="0.2548611111111111in"}= [ ]{.underline} . 11\. 在△ABC中，若![lfxlby](./data/image/media/image4910.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.19583333333333333in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4911.wmf){width="0.5in" height="0.2548611111111111in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4912.wmf){width="0.56875in" height="0.43125in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image4913.wmf){width="0.30416666666666664in" height="0.19583333333333333in"}的大小为 [ ]{.underline} . 12.已知函数![lfxlby](./data/image/media/image4914.wmf){width="0.7743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}，若![lfxlby](./data/image/media/image4915.wmf){width="0.6763888888888889in" height="0.22569444444444445in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image4916.wmf){width="1.1076388888888888in" height="0.2548611111111111in"} [ ]{.underline} . 13.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则![lfxlby](./data/image/media/image4917.wmf){width="0.5881944444444445in" height="0.23541666666666666in"}的值为 [ ]{.underline} . 14.已知![lfxlby](./data/image/media/image4918.wmf){width="1.9215277777777777in" height="0.22569444444444445in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4919.wmf){width="0.9215277777777777in" height="0.2548611111111111in"}.若![lfxlby](./data/image/media/image4920.wmf){width="1.1375in" height="0.22569444444444445in"}或![lfxlby](./data/image/media/image4921.wmf){width="0.5979166666666667in" height="0.22569444444444445in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image4922.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}的取值范围是 [ ]{.underline} . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题13分） 已知函数![lfxlby](./data/image/media/image4923.wmf){width="1.8722222222222222in" height="0.43125in"}. （1）求![lfxlby](./data/image/media/image4924.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的定义域及最小正周期； ![](./data/image/media/image4925.png){width="2.375in" height="1.6909722222222223in"}（2）求![lfxlby](./data/image/media/image4926.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的单调递减区间. 16\. （本小题14分） 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D,E分别是AC，AB上的中点， 点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A~1~DE的位置，使A~1~F⊥CD，如图2. （1）求证：DE∥平面A~1~CB; （2）求证：A~1~F⊥BE; （3）线段A~1~B上是否存在点Q,使A~1~C⊥平面DEQ？说明理由. 17.（本小题13分） 近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）： ---------- -------------- -------------- -------------- "厨余垃圾"箱 "可回收物"箱 "其他垃圾"箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 ---------- -------------- -------------- -------------- （1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率； （3）假设厨余垃圾在"厨余垃圾"箱、"可回收物"箱、"其他垃圾"箱的投放量分别为![lfxlby](./data/image/media/image4927.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}，其中![lfxlby](./data/image/media/image4928.wmf){width="0.3923611111111111in" height="0.19583333333333333in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4929.wmf){width="1.0097222222222222in" height="0.19583333333333333in"}.当数据![lfxlby](./data/image/media/image4930.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}的方差![lfxlby](./data/image/media/image4931.wmf){width="0.20555555555555555in" height="0.22569444444444445in"}最大时，写出![lfxlby](./data/image/media/image4930.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}的值（结论不要求证明），并求此时![lfxlby](./data/image/media/image4931.wmf){width="0.20555555555555555in" height="0.22569444444444445in"}的值. （注：方差![lfxlby](./data/image/media/image4932.wmf){width="2.6666666666666665in" height="0.40208333333333335in"}，其中![lfxlby](./data/image/media/image4933.wmf){width="0.12777777777777777in" height="0.22569444444444445in"}为![lfxlby](./data/image/media/image4934.wmf){width="0.6763888888888889in" height="0.22569444444444445in"}的平均数） 18.（本小题13分） 已知函数![lfxlby](./data/image/media/image4935.wmf){width="0.9708333333333333in" height="0.2548611111111111in"}（![lfxlby](./data/image/media/image4936.wmf){width="0.3923611111111111in" height="0.19583333333333333in"}），![lfxlby](./data/image/media/image4937.wmf){width="0.9902777777777778in" height="0.2548611111111111in"}. （1）若曲线![lfxlby](./data/image/media/image4938.wmf){width="0.6375in" height="0.22569444444444445in"}与曲线![lfxlby](./data/image/media/image4939.wmf){width="0.6277777777777778in" height="0.22569444444444445in"}在它们的交点（1，![lfxlby](./data/image/media/image4940.wmf){width="0.12777777777777777in" height="0.15694444444444444in"}）处具有公共切线，求![lfxlby](./data/image/media/image4941.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}的值； （2）当![lfxlby](./data/image/media/image4942.wmf){width="0.8625in" height="0.22569444444444445in"}时，求函数![lfxlby](./data/image/media/image4943.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.22569444444444445in"}在区间![lfxlby](./data/image/media/image4944.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}上的最大值为28，求![lfxlby](./data/image/media/image4945.wmf){width="0.1375in" height="0.19583333333333333in"}的取值范围. 19.（本小题14分） 已知椭圆![lfxlby](./data/image/media/image4946.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}:![lfxlby](./data/image/media/image4947.wmf){width="1.5in" height="0.46111111111111114in"}的一个顶点为![lfxlby](./data/image/media/image4948.wmf){width="0.5in" height="0.22569444444444445in"}，离心率为![lfxlby](./data/image/media/image4949.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.4708333333333333in"}.直线![lfxlby](./data/image/media/image4950.wmf){width="0.8041666666666667in" height="0.22569444444444445in"}与椭圆![lfxlby](./data/image/media/image4946.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}交于不同的两点M,N. （Ⅰ）求椭圆![lfxlby](./data/image/media/image4946.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}的方程； （Ⅱ）当△AMN得面积为![lfxlby](./data/image/media/image4951.wmf){width="0.34305555555555556in" height="0.4708333333333333in"}时，求![lfxlby](./data/image/media/image4945.wmf){width="0.1375in" height="0.19583333333333333in"}的值. 20.（本小题13分） 设A是如下形式的2行3列的数表， ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ![lfxlby](./data/image/media/image4952.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4953.wmf){width="0.1375in" height="0.19583333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4954.wmf){width="0.12777777777777777in" height="0.15694444444444444in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4955.wmf){width="0.15694444444444444in" height="0.19583333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4956.wmf){width="0.12777777777777777in" height="0.15694444444444444in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4957.wmf){width="0.15694444444444444in" height="0.20555555555555555in"} ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 满足：性质P：![lfxlby](./data/image/media/image4958.wmf){width="1.4215277777777777in" height="0.22569444444444445in"}，且![lfxlby](./data/image/media/image4959.wmf){width="1.2256944444444444in" height="0.22569444444444445in"}. 记![lfxlby](./data/image/media/image4960.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.2548611111111111in"}为A的第![lfxlby](./data/image/media/image4961.wmf){width="9.791666666666667e-2in" height="0.1763888888888889in"}行各数之和![lfxlby](./data/image/media/image4962.wmf){width="0.5291666666666667in" height="0.22569444444444445in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4963.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.26458333333333334in"}为A的第![lfxlby](./data/image/media/image4964.wmf){width="0.1375in" height="0.20555555555555555in"}列各数之和![lfxlby](./data/image/media/image4965.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.22569444444444445in"}； 记![lfxlby](./data/image/media/image4966.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}为![lfxlby](./data/image/media/image4967.wmf){width="0.46111111111111114in" height="0.26458333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4968.wmf){width="0.4708333333333333in" height="0.26458333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4969.wmf){width="0.4708333333333333in" height="0.26458333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4970.wmf){width="0.5in" height="0.26458333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image4971.wmf){width="0.49027777777777776in" height="0.26458333333333334in"}中的最小值. （1）对如下数表A,求![lfxlby](./data/image/media/image4966.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的值； ----- ------ ------ 1 1 -0.8 0.1 -0.3 -1 ----- ------ ------ （2）设数表A形如 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 1 -1-2![lfxlby](./data/image/media/image4972.wmf){width="0.15694444444444444in" height="0.19583333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4973.wmf){width="0.15694444444444444in" height="0.19583333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4974.wmf){width="0.15694444444444444in" height="0.19583333333333333in"} -1 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 其中![lfxlby](./data/image/media/image4975.wmf){width="0.7256944444444444in" height="0.19583333333333333in"}.求![lfxlby](./data/image/media/image4966.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的最大值； （3）对所以满足性质P的2行3列的数表A,求![lfxlby](./data/image/media/image4966.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的最大值。 参考答案 一、选择题 1．【答案】D 【解析】，利用二次不等式的解法可得，画出数轴易得。 【考点定位】本小题考查的是集合（交集）运算和一次和二次不等式的解法。 2．【答案】A 【解析】，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为，故选A 【考点定位】本小题主要考查复数除法的化简运算以及复平面、实部虚部的概念。 3．【答案】D 【解析】题目中表示的区域表示正方形区域，而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此，故选D 【考点定位】 本小题是一道综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式、概率。 4．【答案】C 【解析】，循环结束，输出的为8，故选C 【考点定位】 本小题主要考查程序框图，涉及到判断循环结束的时刻，以及简单整数指数幂的计算。 5．【答案】B 【解析】函数的零点，即令，根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选答案B。 【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图像问题，该题涉及到图像幂函数和指数函数。 6．【答案】B 【解析】当时，可知，所以A选项错误；当时，C选项错误；当时，，与D选项矛盾。因此根据均值定理可知B选项正确。 【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念，其中还涉及了均值不等式的知识，如果对于等比数列的基本概念（公比的符号问题）理解不清，也容易错选，当然最好选择题用排除法来做。 7．【答案】B 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，因此该几何体表面积，故选B。 【考点定位】本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题，原来考查的是棱锥或棱柱的体积而今年者的是表面积，因此考查了学生的计算基本功和空间想象能力。 8．【答案】C 【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。 【考点定位】 本小题知识点考查很灵活，要根据图像识别看出变化趋势，判断变化速度可以用导数来解，当然此题若利用数学估计过于复杂，最好从感觉出发，由于目的是使平均产量最高，就需要随着的增大，变化超过平均值的加入，随着增大，变化不足平均值，故舍去。 9．【答案】 【解析】将题目所给的直线与圆的图形画出，半弦长为，圆心到直线的距离，以及圆半径构成了一个直角三角形，因此。 【考点定位】本小题涉及到的是直线与圆的知识，由于北京的考卷多年没有涉及直线和圆，对于二生来说，可能能些陌生，直线与圆相交求弦长，利用直角三角形解题，也并非难题。 10．【答案】1， 【解析】，所以，。 【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算，考查通项公式和前项和公式的计算。 11．【答案】 【解析】，而，故。 【考点定位】本小题主要考查的是解三角形，所用方法并不唯一，对于正弦定理和余弦定理此二者会其一都可以得到最后的答案。 12．【答案】 【解析】， 【考点定位】本小题考查的是对数函数，要求学生会利用对数的运算公式进行化简，同时也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉。 13．【答案】； 【解析】根据平面向量的点乘公式，可知，因此；，而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时点与点重合，射影为，所以长度为1 【考点定位】 本题是平面向量问题，考查学生对于平面向量点乘知识的理解，其中包含动点问题，考查学生最值的求法。 14．【答案】 【解析】首先看没有参数，从入手，显然时，，时，，而对![lfxlby](./data/image/media/image4920.wmf){width="1.1375in" height="0.22569444444444445in"}或![lfxlby](./data/image/media/image4921.wmf){width="0.5979166666666667in" height="0.22569444444444445in"}成立即可，故只要时，（\*）恒成立即可。当时，，不符合（\*），所以舍去；当时，由得，并不对成立，舍去；当时，由，注意，故，所以，即，又，故，所以，又，故，综上，的取值范围是。 【考点定位】 本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像的开口，根的大小，涉及到指数函数，还涉及到简易逻辑中的"或"，还考查了分类讨论的思想，对进行讨论。 15．【考点定位】本题考查三角函数，三角函数难度较低，此类型题平时的练习中练习得较多，考生应该觉得非常容易入手。 解：（1）由得，故的定义域为. 因为![lfxlby](./data/image/media/image4923.wmf){width="1.8722222222222222in" height="0.43125in"}===, 所以的最小正周期. （2）函数的单调递减区间为. 由得 所以的单调递减区间为. 16．【考点定位】本题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解决。第三问的创新式问法，难度比较大。 解：（1）因为D,E分别为AC,AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE平面A~1~CB,所以DE∥平面A~1~CB. （2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A~1~D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A~1~DC.而A~1~F 平面A~1~DC, ![](./data/image/media/image4976.png){width="1.4166666666666667in" height="1.625in"}所以DE⊥A~1~F.又因为A~1~F⊥CD,所以A~1~F⊥平面BCDE.所以A~1~F⊥BE （3）线段A~1~B上存在点Q,使A~1~C⊥平面DEQ.理由如下：如图， 分别取A~1~C,A~1~B的中点P,Q,则PQ∥BC. 又因为DE∥BC,所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP. 由（2）知DE⊥平面A~1~DC,所以DE⊥A~1~C. 又因为P是等腰三角形DA~1~C底边A~1~C 的中点， 所以A~1~C⊥DP,所以A~1~C⊥平面DEP,从而A~1~C⊥平面DEQ. 故线段A~1~B上存在点Q,使得A~1~C⊥平面DEQ. 17．【考点定位】此题的难度集中在第三问，基他两问难度不大，第三问是对能力的考查，不要求证明，即不要求说明理由，但是要求学生对方差意义的理解非常深刻。 （1）厨余垃圾投放正确的概率约为 = （2）设生活垃圾投放错误为事件A,则事件表示生活垃圾投放正确。 事件的概率约为"厨余垃圾"箱里厨余垃圾量、"可回收物"箱里可回收物量与"其他垃圾"箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(),约为。所以P(A)约为1－0.7=0,3。 （3）当，时，取得最大值.因为， 所以． 18．【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目，考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容。也是学生掌握比较好的知识点，在题目占能够发现和分析出区间包含极大值点，比较重要。 解：（1），.因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以，．即且．解得 （2）记 > 当![lfxlby](./data/image/media/image4942.wmf){width="0.8625in" height="0.22569444444444445in"}时，， > > 令，解得：，； > > 与在上的情况如下： -- ---- ---- ----- ---- --------- --- 1 （1,2） 2 \+ 0 --- 0 \+ 28 -4 3 -- ---- ---- ----- ---- --------- --- > 由此可知： > > 当时，函数在区间上的最大值为； > > 当时，函数在区间上的最大值小于28. > > 因此，的取值范围是 19\. 【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常熟悉的，相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。 解：（1）由题意得解得.所以椭圆C的方程为. （2）由得. 设点M,N的坐标分别为，，则，，，. 所以\|MN\|===. 由因为点A(2,0)到直线![lfxlby](./data/image/media/image4950.wmf){width="0.8041666666666667in" height="0.22569444444444445in"}的距离， 所以△AMN的面积为. 由，解得. 20【考点定位】此题作为压轴题难度较大，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生严谨的逻辑思维能力。 （1）因为=1.2，，，，，所以 （2），，，. 因为，所以![lfxlby](./data/image/media/image4967.wmf){width="0.46111111111111114in" height="0.26458333333333334in"}=![lfxlby](./data/image/media/image4968.wmf){width="0.4708333333333333in" height="0.26458333333333334in"}，.所以. 当时，取得最大值1. （3）任给满足性质的数表（如图所示） -- -- -- -- -- -- 任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表仍满足性质，并且，因此，不妨设，由的定义知，，从而 因此，由（2）知，存在满足性质的数表，使，故的最大值为1。 2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） ============================================ 数学（理科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。 > 参考公式： > > 如果事件![lfxlby](./data/image/media/image4977.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}与![lfxlby](./data/image/media/image4978.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}互斥；则![lfxlby](./data/image/media/image4979.wmf){width="1.6569444444444446in" height="0.22569444444444445in"} > > 如果事件![lfxlby](./data/image/media/image4977.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}与![lfxlby](./data/image/media/image4978.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}相互独立；则![lfxlby](./data/image/media/image4980.wmf){width="1.3430555555555554in" height="0.22569444444444445in"} > > 如果![lfxlby](./data/image/media/image4977.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}与![lfxlby](./data/image/media/image4978.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}是事件，且![lfxlby](./data/image/media/image4981.wmf){width="0.6375in" height="0.22569444444444445in"}；则![lfxlby](./data/image/media/image4982.wmf){width="1.1958333333333333in" height="0.46111111111111114in"} > > 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）复数![lfxlby](./data/image/media/image4983.wmf){width="0.1375in" height="0.1375in"}满足：![lfxlby](./data/image/media/image4984.wmf){width="1.06875in" height="0.22569444444444445in"}；则![lfxlby](./data/image/media/image4985.wmf){width="0.26458333333333334in" height="0.1375in"}（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image4986.wmf){width="0.5in" height="0.19583333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image4987.wmf){width="0.5097222222222222in" height="0.19583333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image4988.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.19583333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image4989.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.19583333333333333in"} 【解析】选 （2）下列函数中，不满足：![lfxlby](./data/image/media/image4990.wmf){width="1.0291666666666666in" height="0.22569444444444445in"}的是（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image4991.wmf){width="0.6763888888888889in" height="0.2743055555555556in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image4992.wmf){width="0.9215277777777777in" height="0.2743055555555556in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image4993.wmf){width="0.8236111111111111in" height="0.22569444444444445in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image4994.wmf){width="0.7256944444444444in" height="0.22569444444444445in"} 【解析】选 与均满足：![lfxlby](./data/image/media/image4990.wmf){width="1.0291666666666666in" height="0.22569444444444445in"}得：满足条件 ![](./data/image/media/image4995.png){width="1.8541666666666667in" height="2.03125in"}（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image4996.wmf){width="0.12777777777777777in" height="0.19583333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image4997.wmf){width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image4998.wmf){width="0.12777777777777777in" height="0.1763888888888889in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image4999.wmf){width="0.12777777777777777in" height="0.19583333333333333in"} 【解析】选 ---------------------------------------------------------------------------------------------- -- -- -- -- ![lfxlby](./data/image/media/image5000.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"} ---------------------------------------------------------------------------------------------- -- -- -- -- 4.公比为![lfxlby](./data/image/media/image5001.wmf){width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"}等比数列![lfxlby](./data/image/media/image5002.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}的各项都是![lfxlby](./data/image/media/image4749.png){width="1.9444444444444445e-2in" height="1.9444444444444445e-2in"}正数，且![lfxlby](./data/image/media/image5003.wmf){width="0.6763888888888889in" height="0.2548611111111111in"}， 则![lfxlby](./data/image/media/image5004.wmf){width="0.6763888888888889in" height="0.2548611111111111in"}（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image5005.wmf){width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image5006.wmf){width="0.12777777777777777in" height="0.19583333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image5007.wmf){width="0.1375in" height="0.19583333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image5008.wmf){width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"} 【解析】选 5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 ![lfxlby](./data/image/media/image5009.png){width="3.754861111111111in" height="4.333333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 【解析】选 甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为 （6）设平面![lfxlby](./data/image/media/image5010.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.15694444444444444in"}与平面![lfxlby](./data/image/media/image5011.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.22569444444444445in"}相交于直线![lfxlby](./data/image/media/image5012.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}，直线![lfxlby](./data/image/media/image5013.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}在平面![lfxlby](./data/image/media/image5010.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.15694444444444444in"}内，直线![lfxlby](./data/image/media/image5014.wmf){width="0.1375in" height="0.19583333333333333in"}在平面![lfxlby](./data/image/media/image5015.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.22569444444444445in"}内，且![lfxlby](./data/image/media/image5016.wmf){width="0.4409722222222222in" height="0.19583333333333333in"} 则"![lfxlby](./data/image/media/image5017.wmf){width="0.4708333333333333in" height="0.22569444444444445in"}"是"![lfxlby](./data/image/media/image5018.wmf){width="0.40208333333333335in" height="0.19583333333333333in"}"的（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} 充分不必要条件 ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} 必要不充分条件 ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} 充要条件 ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"} 即不充分不必要条件 【解析】选 ① ②如果；则![lfxlby](./data/image/media/image5018.wmf){width="0.40208333333333335in" height="0.19583333333333333in"}与![lfxlby](./data/image/media/image5016.wmf){width="0.4409722222222222in" height="0.19583333333333333in"}条件相同 （7）![lfxlby](./data/image/media/image5019.wmf){width="1.0979166666666667in" height="0.43125in"}的展开式的常数项是（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image5020.wmf){width="0.22569444444444445in" height="0.19583333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image5021.wmf){width="0.22569444444444445in" height="0.1763888888888889in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image5022.wmf){width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image5023.wmf){width="0.12777777777777777in" height="0.19583333333333333in"} 【解析】选 第一个因式取，第二个因式取 得： 第一个因式取，第二个因式取得： 展开式的常数项是 （8）在平面直角坐标系中，![lfxlby](./data/image/media/image5024.wmf){width="1.0097222222222222in" height="0.22569444444444445in"}，将向量![lfxlby](./data/image/media/image5025.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.23541666666666666in"}按逆时针旋转![lfxlby](./data/image/media/image5026.wmf){width="0.26458333333333334in" height="0.43125in"}后，得向量![lfxlby](./data/image/media/image5027.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.26458333333333334in"} 则点![lfxlby](./data/image/media/image5028.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.22569444444444445in"}的坐标是（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image5029.wmf){width="0.9215277777777777in" height="0.26458333333333334in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} ![lfxlby](./data/image/media/image5030.wmf){width="0.8236111111111111in" height="0.26458333333333334in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} ![lfxlby](./data/image/media/image5031.wmf){width="0.7743055555555556in" height="0.26458333333333334in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image5032.wmf){width="0.6958333333333333in" height="0.26458333333333334in"} 【解析】选 【方法一】设 则 【方法二】将向量按逆时针旋转后得 则 （9）过抛物线![lfxlby](./data/image/media/image5033.wmf){width="0.5590277777777778in" height="0.2548611111111111in"}的焦点![lfxlby](./data/image/media/image5034.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.1763888888888889in"}的直线交抛物线于![lfxlby](./data/image/media/image5035.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.22569444444444445in"}两点，点![lfxlby](./data/image/media/image5036.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}是原点，若![lfxlby](./data/image/media/image5037.wmf){width="0.5881944444444445in" height="0.2743055555555556in"}； 则![lfxlby](./data/image/media/image5038.wmf){width="0.49027777777777776in" height="0.19583333333333333in"}的面积为（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image5039.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.4708333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} ![lfxlby](./data/image/media/image5040.wmf){width="0.26458333333333334in" height="0.23541666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} ![lfxlby](./data/image/media/image5041.wmf){width="0.3625in" height="0.4708333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image5042.wmf){width="0.34305555555555556in" height="0.23541666666666666in"} 【解析】选 设及；则点到准线的距离为 得： 又 ![lfxlby](./data/image/media/image5038.wmf){width="0.49027777777777776in" height="0.19583333333333333in"}的面积为 （10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换 的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到![lfxlby](./data/image/media/image5043.wmf){width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"}份纪念品 的同学人数为（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image5044.wmf){width="9.791666666666667e-2in" height="0.1763888888888889in"}或![lfxlby](./data/image/media/image5045.wmf){width="0.12777777777777777in" height="0.19583333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image5044.wmf){width="9.791666666666667e-2in" height="0.1763888888888889in"}或![lfxlby](./data/image/media/image5046.wmf){width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"} ![lfxlby](./data/image/media/image5047.wmf){width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"}或![lfxlby](./data/image/media/image5045.wmf){width="0.12777777777777777in" height="0.19583333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}![lfxlby](./data/image/media/image5047.wmf){width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"}或![lfxlby](./data/image/media/image5048.wmf){width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"} 【解析】选 ①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到![lfxlby](./data/image/media/image5043.wmf){width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"}份纪念品的同学人数为人 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到![lfxlby](./data/image/media/image5043.wmf){width="0.1375in" height="0.1763888888888889in"}份纪念品的同学人数为人 第II卷（非选择题 共100分） 考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. ![](./data/image/media/image5049.png){width="1.875in" height="1.825in"}二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. （11）若![lfxlby](./data/image/media/image5050.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.1763888888888889in"}满足约束条件：![lfxlby](./data/image/media/image5051.wmf){width="0.7944444444444444in" height="0.7743055555555556in"}；则![lfxlby](./data/image/media/image5052.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.1763888888888889in"}的取值范围为![lfxlby](./data/image/media/image5053.wmf){width="0.49027777777777776in" height="6.875e-2in"} 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image5052.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.1763888888888889in"}的取值范围为![lfxlby](./data/image/media/image5053.wmf){width="0.49027777777777776in" height="6.875e-2in"} 约束条件对应边际及内的区域： 则 （12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是![lfxlby](./data/image/media/image5053.wmf){width="0.49027777777777776in" height="6.875e-2in"} 【解析】表面积是![lfxlby](./data/image/media/image5053.wmf){width="0.49027777777777776in" height="6.875e-2in"} 该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱 几何体的表面积是 （13）在极坐标系中，圆![lfxlby](./data/image/media/image5054.wmf){width="0.7548611111111111in" height="0.22569444444444445in"}的圆心到直线![lfxlby](./data/image/media/image5055.wmf){width="0.9611111111111111in" height="0.43125in"}的距离是![lfxlby](./data/image/media/image5053.wmf){width="0.49027777777777776in" height="6.875e-2in"} 【解析】距离是![lfxlby](./data/image/media/image5053.wmf){width="0.49027777777777776in" height="6.875e-2in"} 圆的圆心 直线；点到直线的距离是 （14）若平面向量![lfxlby](./data/image/media/image5056.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.26458333333333334in"}满足：![lfxlby](./data/image/media/image5057.wmf){width="0.7548611111111111in" height="0.3333333333333333in"}；则![lfxlby](./data/image/media/image5058.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.23541666666666666in"}的最小值是![lfxlby](./data/image/media/image5053.wmf){width="0.49027777777777776in" height="6.875e-2in"} 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image5058.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.23541666666666666in"}的最小值是![lfxlby](./data/image/media/image5053.wmf){width="0.49027777777777776in" height="6.875e-2in"} （15）设![lfxlby](./data/image/media/image5059.wmf){width="0.4708333333333333in" height="0.19583333333333333in"}的内角![lfxlby](./data/image/media/image5060.wmf){width="0.5097222222222222in" height="0.22569444444444445in"}所对的边为![lfxlby](./data/image/media/image5061.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}；则下列命题正确的是![lfxlby](./data/image/media/image5053.wmf){width="0.49027777777777776in" height="6.875e-2in"} ①若![lfxlby](./data/image/media/image5062.wmf){width="0.5097222222222222in" height="0.22569444444444445in"}；则![lfxlby](./data/image/media/image5063.wmf){width="0.4708333333333333in" height="0.43125in"} ②若![lfxlby](./data/image/media/image5064.wmf){width="0.6958333333333333in" height="0.19583333333333333in"}；则![lfxlby](./data/image/media/image5063.wmf){width="0.4708333333333333in" height="0.43125in"} ③若![lfxlby](./data/image/media/image5065.wmf){width="0.7944444444444444in" height="0.22569444444444445in"}；则![lfxlby](./data/image/media/image5066.wmf){width="0.4708333333333333in" height="0.43125in"} ④若![lfxlby](./data/image/media/image5067.wmf){width="0.9902777777777778in" height="0.22569444444444445in"}；则![lfxlby](./data/image/media/image5068.wmf){width="0.4708333333333333in" height="0.43125in"} ⑤若![lfxlby](./data/image/media/image5069.wmf){width="1.3041666666666667in" height="0.2548611111111111in"}；则![lfxlby](./data/image/media/image5070.wmf){width="0.4708333333333333in" height="0.43125in"} 【解析】正确的是![lfxlby](./data/image/media/image5053.wmf){width="0.49027777777777776in" height="6.875e-2in"}①②③ ① ② ③当时，与![lfxlby](./data/image/media/image5065.wmf){width="0.7944444444444444in" height="0.22569444444444445in"}矛盾 ④取满足![lfxlby](./data/image/media/image5067.wmf){width="0.9902777777777778in" height="0.22569444444444445in"}得： ⑤取满足![lfxlby](./data/image/media/image5069.wmf){width="1.3041666666666667in" height="0.2548611111111111in"}得： 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内. （16）(本小题满分12分) 设函数![lfxlby](./data/image/media/image5071.wmf){width="2.107638888888889in" height="0.4708333333333333in"} （I）求函数![lfxlby](./data/image/media/image5072.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的最小正周期； （II）设函数![lfxlby](./data/image/media/image5073.wmf){width="0.3625in" height="0.22569444444444445in"}对任意![lfxlby](./data/image/media/image5074.wmf){width="0.40208333333333335in" height="0.19583333333333333in"}，有![lfxlby](./data/image/media/image5075.wmf){width="1.1076388888888888in" height="0.43125in"}，且当![lfxlby](./data/image/media/image5076.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.43125in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image5077.wmf){width="1.0979166666666667in" height="0.43125in"}； 求函数![lfxlby](./data/image/media/image5073.wmf){width="0.3625in" height="0.22569444444444445in"}在![lfxlby](./data/image/media/image5078.wmf){width="0.49027777777777776in" height="0.22569444444444445in"}上的解析式。 【解析】 （I）函数![lfxlby](./data/image/media/image5072.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的最小正周期 （2）当![lfxlby](./data/image/media/image5076.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.43125in"}时， 当时， 当时， 得：函数![lfxlby](./data/image/media/image5073.wmf){width="0.3625in" height="0.22569444444444445in"}在![lfxlby](./data/image/media/image5078.wmf){width="0.49027777777777776in" height="0.22569444444444445in"}上的解析式为 （17）（本小题满分12分） 某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是![lfxlby](./data/image/media/image5079.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}类型试题，则使用后 该试题回库，并增补一道![lfxlby](./data/image/media/image5080.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}类试题和一道![lfxlby](./data/image/media/image5081.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}类型试题入![lfxlby](./data/image/media/image4749.png){width="2.9166666666666667e-2in" height="1.9444444444444445e-2in"}库，此次调题工作结束；若调用 的是![lfxlby](./data/image/media/image5082.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有![lfxlby](./data/image/media/image5083.wmf){width="0.40208333333333335in" height="0.16666666666666666in"}道 试题，其中有![lfxlby](./data/image/media/image5084.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}道![lfxlby](./data/image/media/image5079.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}类型试题和![lfxlby](./data/image/media/image5085.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}道![lfxlby](./data/image/media/image5081.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}类型试题，以![lfxlby](./data/image/media/image5086.wmf){width="0.19583333333333333in" height="0.1763888888888889in"}表示两次调题工作完成后，试 题库中![lfxlby](./data/image/media/image5087.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}类试题的数量。 （Ⅰ）求![lfxlby](./data/image/media/image5088.wmf){width="0.6763888888888889in" height="0.19583333333333333in"}的概率； （Ⅱ）设![lfxlby](./data/image/media/image5089.wmf){width="0.43125in" height="0.15694444444444444in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image5086.wmf){width="0.19583333333333333in" height="0.1763888888888889in"}的分布列和均值（数学期望）。 【解析】（I）![lfxlby](./data/image/media/image5088.wmf){width="0.6763888888888889in" height="0.19583333333333333in"}表示两次调题均为![lfxlby](./data/image/media/image5079.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}类型试题，概率为 （Ⅱ）![lfxlby](./data/image/media/image5089.wmf){width="0.43125in" height="0.15694444444444444in"}时，每次调用的是![lfxlby](./data/image/media/image5079.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}类型试题的概率为 随机变量可取 ，， -- -- -- -- -- -- -- -- 答：（Ⅰ）![lfxlby](./data/image/media/image5088.wmf){width="0.6763888888888889in" height="0.19583333333333333in"}的概率为 （Ⅱ）求![lfxlby](./data/image/media/image5086.wmf){width="0.19583333333333333in" height="0.1763888888888889in"}的均值为 （18）（本小题满分12分） 平面图形![lfxlby](./data/image/media/image5090.wmf){width="0.8041666666666667in" height="0.2548611111111111in"}如图4所示，其中![lfxlby](./data/image/media/image5091.wmf){width="0.5590277777777778in" height="0.2548611111111111in"}是矩形，![lfxlby](./data/image/media/image5092.wmf){width="1.0979166666666667in" height="0.2548611111111111in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5093.wmf){width="1.0590277777777777in" height="0.23541666666666666in"}， ![lfxlby](./data/image/media/image5094.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.2743055555555556in"}。现将该平面图形分别沿![lfxlby](./data/image/media/image5095.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.19583333333333333in"}和![lfxlby](./data/image/media/image5096.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"}折叠，使![lfxlby](./data/image/media/image5097.wmf){width="0.4708333333333333in" height="0.19583333333333333in"}与![lfxlby](./data/image/media/image5098.wmf){width="0.5590277777777778in" height="0.2548611111111111in"}所在平面都 与平面![lfxlby](./data/image/media/image5091.wmf){width="0.5590277777777778in" height="0.2548611111111111in"}垂直，再分别连接![lfxlby](./data/image/media/image5099.wmf){width="0.9020833333333333in" height="0.2548611111111111in"},得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答 下列问题。 ![lfxlby](./data/image/media/image5100.png){width="2.8430555555555554in" height="3.6569444444444446in"}。 （Ⅰ）证明：![lfxlby](./data/image/media/image5101.wmf){width="0.7256944444444444in" height="0.2548611111111111in"}； （Ⅱ）求![lfxlby](./data/image/media/image5102.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.26458333333333334in"}的长； （Ⅲ）求二面角![lfxlby](./data/image/media/image5103.wmf){width="0.8236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}的余弦值。 【解析】（I）取的中点为点，连接 则，面面![lfxlby](./data/image/media/image5091.wmf){width="0.5590277777777778in" height="0.2548611111111111in"}面![lfxlby](./data/image/media/image5091.wmf){width="0.5590277777777778in" height="0.2548611111111111in"} 同理：面![lfxlby](./data/image/media/image5091.wmf){width="0.5590277777777778in" height="0.2548611111111111in"} 得：共面 又面 （Ⅱ）延长到，使 得： ，面面![lfxlby](./data/image/media/image5091.wmf){width="0.5590277777777778in" height="0.2548611111111111in"}面面 （Ⅲ）是二面角![lfxlby](./data/image/media/image5103.wmf){width="0.8236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}的平面角 在中， 在中， 得：二面角![lfxlby](./data/image/media/image5103.wmf){width="0.8236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}的余弦值为。 （19）（本小题满分13分）K\] 设![lfxlby](./data/image/media/image5104.wmf){width="1.8625in" height="0.43125in"} （I）求![lfxlby](./data/image/media/image5105.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}在![lfxlby](./data/image/media/image5106.wmf){width="0.5097222222222222in" height="0.22569444444444445in"}上的最小值； （II）设曲线![lfxlby](./data/image/media/image5107.wmf){width="0.6375in" height="0.22569444444444445in"}在点![lfxlby](./data/image/media/image5108.wmf){width="0.6277777777777778in" height="0.22569444444444445in"}的切线方程为![lfxlby](./data/image/media/image5109.wmf){width="0.5291666666666667in" height="0.43125in"}；求![lfxlby](./data/image/media/image5110.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}的值。 【解析】（I）设；则 ①当时，在上是增函数 得：当时，![lfxlby](./data/image/media/image5105.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的最小值为 ②当时， 当且仅当时，![lfxlby](./data/image/media/image5105.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的最小值为 （II） 由题意得： （20）（本小题满分13分） 如图，![lfxlby](./data/image/media/image5111.wmf){width="1.176388888888889in" height="0.2548611111111111in"}分别是椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5112.wmf){width="1.7055555555555555in" height="0.46111111111111114in"} 的左，右焦点，过点![lfxlby](./data/image/media/image5113.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.2548611111111111in"}作![lfxlby](./data/image/media/image5114.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}轴的垂线交椭圆的上半部分于点![lfxlby](./data/image/media/image5115.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1763888888888889in"}，![](./data/image/media/image5116.png){width="2.0104166666666665in" height="2.1666666666666665in"} 过点![lfxlby](./data/image/media/image5117.wmf){width="0.19583333333333333in" height="0.2548611111111111in"}作直线![lfxlby](./data/image/media/image5118.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.2548611111111111in"}的垂线交直线![lfxlby](./data/image/media/image5119.wmf){width="0.49027777777777776in" height="0.46111111111111114in"}于点![lfxlby](./data/image/media/image5120.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.22569444444444445in"}； （I）若点![lfxlby](./data/image/media/image5120.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.22569444444444445in"}的坐标为![lfxlby](./data/image/media/image5121.wmf){width="0.3923611111111111in" height="0.22569444444444445in"}；求椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5122.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}的方程； （II）证明：直线![lfxlby](./data/image/media/image5123.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}与椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5122.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}只有一个交点。 【解析】（I）点代入得： ① 又 ② ③ 由①②③得： 既椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5122.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}的方程为 （II）设；则 得： 过点与椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5122.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}相切的直线斜率 得：直线![lfxlby](./data/image/media/image5123.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.22569444444444445in"}与椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5122.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19583333333333333in"}只有一个交点。 （21）（本小题满分13分） > 数列![lfxlby](./data/image/media/image5124.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}满足：![lfxlby](./data/image/media/image5125.wmf){width="2.2354166666666666in" height="0.26458333333333334in"} （I）证明：数列![lfxlby](./data/image/media/image5124.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}是单调递减数列的充分必要条件是![lfxlby](./data/image/media/image5126.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.19583333333333333in"} （II）求![lfxlby](./data/image/media/image5127.wmf){width="0.12777777777777777in" height="0.15694444444444444in"}的取值范围，使数列![lfxlby](./data/image/media/image5124.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}是单调递增数列。 【解析】（I）必要条件 当![lfxlby](./data/image/media/image5126.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.19583333333333333in"}时，数列![lfxlby](./data/image/media/image5124.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}是单调递减数列 充分条件 数列![lfxlby](./data/image/media/image5124.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}是单调递减数列 得：数列![lfxlby](./data/image/media/image5124.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}是单调递减数列的充分必要条件是![lfxlby](./data/image/media/image5126.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.19583333333333333in"} （II）由（I）得： ①当时，，不合题意 ②当时， 当时，与同号， 由 当时，存在，使与异号 与数列![lfxlby](./data/image/media/image5124.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}是单调递减数列矛盾 得：当时，数列![lfxlby](./data/image/media/image5124.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}是单调递增数列 2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） ============================================ 数学（文科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项： 答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。 > 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）复数![lfxlby](./data/image/media/image4983.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}满足：![lfxlby](./data/image/media/image5128.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}；则![lfxlby](./data/image/media/image4985.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5129.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5130.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5131.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5132.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} 【解析】选 （2）设集合![lfxlby](./data/image/media/image5133.wmf){width="1.5in" height="0.25in"},集合![lfxlby](./data/image/media/image5134.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是函数![lfxlby](./data/image/media/image5135.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}的定义域；则![lfxlby](./data/image/media/image5136.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5137.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5138.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5139.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5140.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 【解析】选 ， （3）![lfxlby](./data/image/media/image5141.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5142.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5143.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5144.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5145.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} 【解析】选 4\. 命题"存在实数![lfxlby](./data/image/media/image5146.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"},，使![lfxlby](./data/image/media/image5147.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}"的否定是（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} 对任意实数![lfxlby](./data/image/media/image5146.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}, 都有![lfxlby](./data/image/media/image5147.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} 不存在实数![lfxlby](./data/image/media/image5146.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，使![lfxlby](./data/image/media/image5148.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} 对任意实数![lfxlby](./data/image/media/image5146.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}, 都有![lfxlby](./data/image/media/image5148.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 存在实数![lfxlby](./data/image/media/image5146.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，使![lfxlby](./data/image/media/image5148.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} 【解析】选 存在\-\--任意，![lfxlby](./data/image/media/image5147.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}\-\--![lfxlby](./data/image/media/image5148.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} 5\. 公比为2的等比数列{![lfxlby](./data/image/media/image5149.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}} 的各项都是正数，且 ![lfxlby](./data/image/media/image5150.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5151.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}=16，则![lfxlby](./data/image/media/image5152.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5153.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5154.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5155.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5156.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} ![](./data/image/media/image5157.png){width="2.25in" height="2.6666666666666665in"}【解析】选 （6）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image4996.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image4997.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image4998.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image4999.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} 【解析】选 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- -- -- -- ![lfxlby](./data/image/media/image5000.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- -- -- -- （7）要得到函数![lfxlby](./data/image/media/image5158.wmf){width="1.0in" height="0.25in"}的图象，只要将函数![lfxlby](./data/image/media/image5159.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}的图象（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} 向左平移1个单位 ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} 向右平移1个单位 ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} 向左平移![lfxlby](./data/image/media/image5160.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}个单位 ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 向右平移![lfxlby](./data/image/media/image5161.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}个单位 【解析】选 左+1，平移 （8）若![lfxlby](./data/image/media/image5050.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}满足约束条件：![lfxlby](./data/image/media/image5051.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.75in"}；则![lfxlby](./data/image/media/image5052.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}的最小值是（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5162.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image5163.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image5164.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5165.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} 【解析】选 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image5052.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}的取值范围为![lfxlby](./data/image/media/image5053.wmf){width="0.5in" height="8.333333333333333e-2in"} 约束条件对应边际及内的区域： 则 （9））若直线![lfxlby](./data/image/media/image5166.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}与圆![lfxlby](./data/image/media/image5167.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}有公共点，则实数![lfxlby](./data/image/media/image5168.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}取值范围是（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5169.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image5170.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image5171.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5172.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.25in"} 【解析】选 圆![lfxlby](./data/image/media/image5167.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}的圆心到直线的距离为 则 （10）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中 任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image5173.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image5174.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image5175.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image5176.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} 【解析】选 1个红球，2个白球和3个黑球记为 从袋中任取两球共有15种； 满足两球颜色为一白一黑有种，概率等于 第II卷（非选择题 共100分） 考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. ![](./data/image/media/image5177.png){width="1.875in" height="1.825in"}（11）设向量![lfxlby](./data/image/media/image5178.wmf){width="2.25in" height="0.25in"}，若![lfxlby](./data/image/media/image5179.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}⊥![lfxlby](./data/image/media/image5180.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"},则![lfxlby](./data/image/media/image5181.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"}![lfxlby](./data/image/media/image5053.wmf){width="0.5in" height="8.333333333333333e-2in"} 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image5181.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"}![lfxlby](./data/image/media/image5053.wmf){width="0.5in" height="8.333333333333333e-2in"} （12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是![lfxlby](./data/image/media/image5053.wmf){width="0.5in" height="8.333333333333333e-2in"} 【解析】表面积是![lfxlby](./data/image/media/image5053.wmf){width="0.5in" height="8.333333333333333e-2in"} 该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱 几何体的的体积是 （13）若函数![lfxlby](./data/image/media/image5182.wmf){width="1.0in" height="0.25in"}的单调递![lfxlby](./data/image/media/image5183.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}增区间是![lfxlby](./data/image/media/image5184.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image5185.wmf){width="0.75in" height="0.16666666666666666in"} 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image5185.wmf){width="0.75in" height="0.16666666666666666in"} 由对称性： （14）过抛物线![lfxlby](./data/image/media/image5186.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}的焦点![lfxlby](./data/image/media/image5187.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的直线交该抛物线于![lfxlby](./data/image/media/image5188.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}两点，若![lfxlby](./data/image/media/image5189.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image5190.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}=\_\_\_\_\_\_ 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image5053.wmf){width="0.5in" height="8.333333333333333e-2in"} 设及；则点到准线的距离为 得： 又 （15）若四面体![lfxlby](./data/image/media/image5191.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的三组对棱分别![lfxlby](./data/image/media/image5183.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}相等，即![lfxlby](./data/image/media/image5192.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5193.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5194.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}， > 则\_\_\_\_\_\_![lfxlby](./data/image/media/image5183.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}\_\_.(写出所有正确结论编号) ①四![lfxlby](./data/image/media/image5183.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}面体![lfxlby](./data/image/media/image5191.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}每组对棱相互垂直 ②四面体![lfxlby](./data/image/media/image5191.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}每个面的面积相等 ③从四面体![lfxlby](./data/image/media/image5191.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于![lfxlby](./data/image/media/image5195.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}而小于![lfxlby](./data/image/media/image5196.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} ④连接四面体![lfxlby](./data/image/media/image5191.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}每组对棱中点的线段互垂直平分\[来源:Z\*xx\*k.Com\] ⑤从四面体![lfxlby](./data/image/media/image5191.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 【解析】正确的是![lfxlby](./data/image/media/image5053.wmf){width="0.5in" height="8.333333333333333e-2in"}②④⑤ ②四面体![lfxlby](./data/image/media/image5191.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}每个面是全等三角形，面积相等 ③从四面体![lfxlby](./data/image/media/image5191.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于![lfxlby](./data/image/media/image5196.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} ④连接四面体![lfxlby](./data/image/media/image5191.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分 ⑤从四面体![lfxlby](./data/image/media/image5191.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内. （16）(本小题满分12分) 设![lfxlby](./data/image/media/image5059.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的内角![lfxlby](./data/image/media/image5060.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}所对的边为![lfxlby](./data/image/media/image5061.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，且有![lfxlby](./data/image/media/image5197.wmf){width="2.5833333333333335in" height="0.16666666666666666in"} （Ⅰ）求角![lfxlby](./data/image/media/image5198.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的大小；\[来源:学.科.网Z.X.X.K\] （II） 若![lfxlby](./data/image/media/image5199.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}![lfxlby](./data/image/media/image5183.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5200.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5201.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为![lfxlby](./data/image/media/image5202.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的中点![lfxlby](./data/image/media/image5183.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image5203.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}的长。 【解析】（Ⅰ） （II） 在中， （17）（本小题满分12分） 设定义在（0，+![lfxlby](./data/image/media/image5204.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}）上的函数![lfxlby](./data/image/media/image5205.wmf){width="1.75in" height="0.4166666666666667in"} （Ⅰ）求![lfxlby](./data/image/media/image5206.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的最小值； （II）若曲线![lfxlby](./data/image/media/image5207.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}在点![lfxlby](./data/image/media/image5208.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}处的切线方程为![lfxlby](./data/image/media/image5209.wmf){width="0.5in" height="0.4166666666666667in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image5210.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}的值。 【解析】（I） 当且仅当时，![lfxlby](./data/image/media/image5105.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的最小值为 （II）由题意得： ① ② 由①②得： （18）（本小题满分13分） 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格![lfxlby](./data/image/media/image5183.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}品。计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm）, 将所得数据分组， 得到如下频率分布表： ----------- ---------- ---------- **分组** **频数** **频率** \[-3, -2) 0.1 \[-2, -1) 8 （1,2\] 0.5 （2,3\] 10 （3,4\] 合计 50 1 ----------- ---------- ---------- （Ⅰ）将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置； （Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3\]内的概率； （Ⅲ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品。据此估算这批产品中 的合格品的件数。 【解析】（I） ----------- ---------- ---------- **分组** **频数** **频率** \[-3, -2) 0.1 \[-2, -1) 8 （1,2\] 0.5 （2,3\] 10 （3,4\] 合计 50 1 ----------- ---------- ---------- （Ⅱ）不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3\]内的概率为 （Ⅲ）合格品的件数为（件） 答：（Ⅱ）不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3\]内的概率为 ![](./data/image/media/image5211.png){width="1.96875in" height="3.1145833333333335in"}（Ⅲ）合格品的件数为（件） （19）（本小题满分12分）K\] 如图，长方体![lfxlby](./data/image/media/image5212.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}中，底面![lfxlby](./data/image/media/image5213.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}是正方形， ![lfxlby](./data/image/media/image5214.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是![lfxlby](./data/image/media/image5215.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的中点，![lfxlby](./data/image/media/image5216.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是棱![lfxlby](./data/image/media/image5217.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}上任意一点。 （Ⅰ）证明：![lfxlby](./data/image/media/image5218.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}![lfxlby](./data/image/media/image5219.wmf){width="0.5in" height="0.25in"} ； （Ⅱ）如果![lfxlby](./data/image/media/image5220.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}=2,![lfxlby](./data/image/media/image5221.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}=![lfxlby](./data/image/media/image5222.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}, ![lfxlby](./data/image/media/image5223.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}, 求![lfxlby](./data/image/media/image5224.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 的长。 【解析】（I）连接，共面 长方体![lfxlby](./data/image/media/image5212.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}中，底面![lfxlby](./data/image/media/image5213.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}是正方形 面 （Ⅱ）在矩形中， 得： （20）（本小题满分13分） > ![](./data/image/media/image5225.png){width="1.7638888888888888in" height="1.8145833333333334in"}如图，![lfxlby](./data/image/media/image5226.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}分别是椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5227.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}：![lfxlby](./data/image/media/image5228.wmf){width="0.25in" height="0.5in"}+![lfxlby](./data/image/media/image5229.wmf){width="0.25in" height="0.5in"}=1（![lfxlby](./data/image/media/image2378.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5230.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}）的左、右焦点，![lfxlby](./data/image/media/image5231.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5232.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的顶点， > > ![lfxlby](./data/image/media/image5233.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是直线![lfxlby](./data/image/media/image5234.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}与椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5235.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的另一个交点，![lfxlby](./data/image/media/image5236.wmf){width="1.0in" height="0.25in"}. （Ⅰ）求椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5237.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的离心率； （Ⅱ）已知![lfxlby](./data/image/media/image5238.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}面积为40![lfxlby](./data/image/media/image5239.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image5240.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} 的值 【解析】（I） （Ⅱ）设；则 在中， ![lfxlby](./data/image/media/image5238.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}面积 （21）（本小题满分13分） 设函数![lfxlby](./data/image/media/image5241.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.4166666666666667in"}的所有正的极小值点从小到大排成的数列为![lfxlby](./data/image/media/image5242.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}. （Ⅰ）求数列![lfxlby](./data/image/media/image5242.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}； （Ⅱ）设![lfxlby](./data/image/media/image5242.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的前![lfxlby](./data/image/media/image5243.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}项和为![lfxlby](./data/image/media/image5244.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image5245.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}。 【解析】（I） 得：当时，取极小值 得： （II）由（I）得： 当时， 当时， 当时， 得： 当时， 当时， 当时， 2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） ============================================ 数学（理科） **第I卷（选择题 共50分）** **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。** 1. 若复数![lfxlby](./data/image/media/image5246.wmf){width="0.12777777777777777in" height="0.1375in"}满足![lfxlby](./data/image/media/image5247.wmf){width="0.6277777777777778in" height="0.19583333333333333in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image5248.wmf){width="0.12777777777777777in" height="0.1375in"}等于（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image5249.wmf){width="0.4409722222222222in" height="0.19583333333333333in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5250.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.19583333333333333in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image5251.wmf){width="0.4409722222222222in" height="0.19583333333333333in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image5252.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.19583333333333333in"} **考点：**复数的运算。 **难度：**易。 **分析：**本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可。 > **解答：** 。 2. 等差数列![lfxlby](./data/image/media/image5253.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"}中，![lfxlby](./data/image/media/image5254.wmf){width="1.323611111111111in" height="0.2548611111111111in"}，则数列![lfxlby](./data/image/media/image5253.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"}的公差为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 **考点：**等差数列的定义。 **难度：**易。 **分析：**本题考查的知识点为复等差数列的通项公式。 > **解答：**。 3. 下列命题中，真命题是（ ） > A．![lfxlby](./data/image/media/image5255.wmf){width="1.0881944444444445in" height="0.26458333333333334in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5256.wmf){width="1.0590277777777777in" height="0.23541666666666666in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image5257.wmf){width="0.6375in" height="0.19583333333333333in"}的充要条件是![lfxlby](./data/image/media/image5258.wmf){width="0.5097222222222222in" height="0.43125in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image5259.wmf){width="0.7548611111111111in" height="0.20555555555555555in"}是![lfxlby](./data/image/media/image5260.wmf){width="0.4409722222222222in" height="0.19583333333333333in"}的充分条件 **考点：**逻辑。 **难度：**易。 **分析：**本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定。 > **解答：**A中，。 > > B中，，。 > > C中，的充要条件是![lfxlby](./data/image/media/image5258.wmf){width="0.5097222222222222in" height="0.43125in"}。 > > D中，![lfxlby](./data/image/media/image5259.wmf){width="0.7548611111111111in" height="0.20555555555555555in"}可以得到![lfxlby](./data/image/media/image5260.wmf){width="0.4409722222222222in" height="0.19583333333333333in"}，当![lfxlby](./data/image/media/image5260.wmf){width="0.4409722222222222in" height="0.19583333333333333in"}时，不一定可以得到![lfxlby](./data/image/media/image5259.wmf){width="0.7548611111111111in" height="0.20555555555555555in"}。 4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ） A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 **考点：**空间几何体的三视图。 **难度：**易。 **分析：**本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可。 > **解答：**圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆； 三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。 5. 下列不等式一定成立的是（ ） > A．![lfxlby](./data/image/media/image5261.wmf){width="1.6277777777777778in" height="0.43125in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5262.wmf){width="2.1375in" height="0.43125in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image5263.wmf){width="1.4708333333333334in" height="0.2548611111111111in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image5264.wmf){width="1.1958333333333333in" height="0.43125in"} **考点：**不等式及基本不等式。 **难度：**中。 **分析：**本题考查的知识点为不等式的性质及基本不等式的性质。 **解答：**A中，。 > B中，；。 > > C中，。 > > D中，。 6. 如图所示，在边长为1的正方形![lfxlby](./data/image/media/image5265.wmf){width="0.49027777777777776in" height="0.19583333333333333in"}中任取一点![lfxlby](./data/image/media/image5266.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，则点![lfxlby](./data/image/media/image5267.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}恰好取自阴影部分的概率为（ ） > ![](./data/image/media/image5268.jpeg){width="1.75in" height="1.2861111111111112in"}A．![lfxlby](./data/image/media/image5269.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.43125in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5270.wmf){width="0.15694444444444444in" height="0.43125in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image5271.wmf){width="0.15694444444444444in" height="0.43125in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image5272.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.43125in"} **考点：**积分的计算和几何概型。 **难度：**中。 **分析：**本题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型。 **解答：**， 。 > 所以。 7. 设函数![lfxlby](./data/image/media/image5273.wmf){width="1.5590277777777777in" height="0.5291666666666667in"}，则下列结论错误的是（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image5274.wmf){width="0.3923611111111111in" height="0.22569444444444445in"}的值域为![lfxlby](./data/image/media/image5275.wmf){width="0.34305555555555556in" height="0.22569444444444445in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5274.wmf){width="0.3923611111111111in" height="0.22569444444444445in"}是偶函数 C．![lfxlby](./data/image/media/image5274.wmf){width="0.3923611111111111in" height="0.22569444444444445in"}不是周期函数 D．![lfxlby](./data/image/media/image5274.wmf){width="0.3923611111111111in" height="0.22569444444444445in"}不是单调函数 **考点：**分段函数的解析式及其图像的作法。 **难度：**中。 **分析：**本题考查的知识点为分段函数的定义，单调性、奇偶性和周期性的定义和判定。 **解答：**A中，![lfxlby](./data/image/media/image5274.wmf){width="0.3923611111111111in" height="0.22569444444444445in"}由定义直接可得，![lfxlby](./data/image/media/image5274.wmf){width="0.3923611111111111in" height="0.22569444444444445in"}的值域为![lfxlby](./data/image/media/image5275.wmf){width="0.34305555555555556in" height="0.22569444444444445in"}。 > B中，![lfxlby](./data/image/media/image5274.wmf){width="0.3923611111111111in" height="0.22569444444444445in"}定义域为，，所以![lfxlby](./data/image/media/image5274.wmf){width="0.3923611111111111in" height="0.22569444444444445in"}为偶函数。 > > C中，，所以可以找到1为![lfxlby](./data/image/media/image5274.wmf){width="0.3923611111111111in" height="0.22569444444444445in"}的一个周期。 > > D中，，所以不是单调函数。 8. 双曲线![lfxlby](./data/image/media/image5276.wmf){width="0.7944444444444444in" height="0.46111111111111114in"}的右焦点与抛物线![lfxlby](./data/image/media/image5277.wmf){width="0.6569444444444444in" height="0.2548611111111111in"}的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ） > A．![lfxlby](./data/image/media/image5278.wmf){width="0.2548611111111111in" height="0.2548611111111111in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5279.wmf){width="0.34305555555555556in" height="0.23541666666666666in"} C．3 D．5 **考点：**双曲线的定义。 **难度：**中。 **分析：**本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义。 **解答：**抛物线![lfxlby](./data/image/media/image5277.wmf){width="0.6569444444444444in" height="0.2548611111111111in"}的焦点为。 > 双曲线中，。 > > 双曲线渐近线方程为。 > > 所以焦点到渐近线的距离。 9. 若直线![lfxlby](./data/image/media/image5280.wmf){width="0.4708333333333333in" height="0.2548611111111111in"}上存在点![lfxlby](./data/image/media/image5281.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}满足约束条件![lfxlby](./data/image/media/image5282.wmf){width="1.0590277777777777in" height="0.7743055555555556in"}，则实数![lfxlby](./data/image/media/image5283.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}的最大值为（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image5284.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.43125in"} B．1 C．![lfxlby](./data/image/media/image5285.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.43125in"} D．2 **考点：**线性规划。 **难度：**中。 **分析：**本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像。 **解答：**可行域如下： 所以，若直线![lfxlby](./data/image/media/image5286.wmf){width="0.5in" height="0.22569444444444445in"}上存在点![lfxlby](./data/image/media/image5281.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}满足约束条件![lfxlby](./data/image/media/image5282.wmf){width="1.0590277777777777in" height="0.7743055555555556in"}， 则，即。 10. 函数![lfxlby](./data/image/media/image5287.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}在![lfxlby](./data/image/media/image5288.wmf){width="0.3923611111111111in" height="0.22569444444444445in"}上有定义，若对任意![lfxlby](./data/image/media/image5289.wmf){width="0.9215277777777777in" height="0.23541666666666666in"}，有![lfxlby](./data/image/media/image5290.wmf){width="2.1375in" height="0.43125in"}，则称![lfxlby](./data/image/media/image5287.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}在![lfxlby](./data/image/media/image5288.wmf){width="0.3923611111111111in" height="0.22569444444444445in"}上具有性质![lfxlby](./data/image/media/image5267.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}。设![lfxlby](./data/image/media/image5287.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}在\[1,3\]上具有性质![lfxlby](./data/image/media/image5267.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，现给出如下命题： ①![lfxlby](./data/image/media/image5287.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}在![lfxlby](./data/image/media/image5291.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.22569444444444445in"}上的图像时连续不断的； ②![lfxlby](./data/image/media/image5292.wmf){width="0.46111111111111114in" height="0.2548611111111111in"}在![lfxlby](./data/image/media/image5293.wmf){width="0.4708333333333333in" height="0.26458333333333334in"}上具有性质![lfxlby](./data/image/media/image5267.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}； ③若![lfxlby](./data/image/media/image5287.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}在![lfxlby](./data/image/media/image5294.wmf){width="0.40208333333333335in" height="0.19583333333333333in"}处取得最大值1，则![lfxlby](./data/image/media/image5295.wmf){width="0.6076388888888888in" height="0.22569444444444445in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5296.wmf){width="0.5881944444444445in" height="0.22569444444444445in"}； ④对任意![lfxlby](./data/image/media/image5297.wmf){width="1.2944444444444445in" height="0.26458333333333334in"}，有![lfxlby](./data/image/media/image5298.wmf){width="3.7944444444444443in" height="0.43125in"}。 其中真命题的序号是（ ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ **考点：**演绎推理和函数。 **难度：**难。 > **分析：**本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误只需举出反例即可，说明一个结论正确要证明对所有的情况都成立。 **解答：**A中，反例：如图所示的函数![lfxlby](./data/image/media/image5287.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的是满足性质![lfxlby](./data/image/media/image5267.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的，但![lfxlby](./data/image/media/image5287.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}不是连续不断的。 > B中，反例：在![lfxlby](./data/image/media/image5291.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.22569444444444445in"}上具有性质![lfxlby](./data/image/media/image5267.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，在![lfxlby](./data/image/media/image5293.wmf){width="0.4708333333333333in" height="0.26458333333333334in"}上不具有性质![lfxlby](./data/image/media/image5267.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}。 > > C中，在上，， > > ， > > 所以，对于任意。 > > D中， > > 。 **第Ⅱ卷（非选择题 共100分）** **二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。** 11. ![lfxlby](./data/image/media/image5299.wmf){width="0.56875in" height="0.2548611111111111in"}的展开式中![lfxlby](./data/image/media/image5300.wmf){width="0.19583333333333333in" height="0.22569444444444445in"}的系数等于8，则实数![lfxlby](./data/image/media/image5301.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.15694444444444444in"}\_\_\_\_\_\_\_\_\_。【2】 **考点：**二项式定理。 **难度：**易。 **分析：**本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可。 **解答：**![lfxlby](./data/image/media/image5299.wmf){width="0.56875in" height="0.2548611111111111in"}中含![lfxlby](./data/image/media/image5300.wmf){width="0.19583333333333333in" height="0.22569444444444445in"}的一项为，令，则，即。 12. 阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的![lfxlby](./data/image/media/image5302.wmf){width="0.12777777777777777in" height="0.15694444444444444in"}值等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。【![lfxlby](./data/image/media/image5303.wmf){width="0.2548611111111111in" height="0.19583333333333333in"}】 ![lfxlby](./data/image/media/image5304.jpeg){width="1.7944444444444445in" height="2.9506944444444443in"} **考点：**算法初步。 **难度：**易。 **分析：**本题考查的知识点为算法中流程图的读法，直接根据箭头的指向运算即可。 > **解答：** ； ； ； ； 结束。 13. 已知![lfxlby](./data/image/media/image5305.wmf){width="0.49027777777777776in" height="0.19583333333333333in"}的三边长成公比为![lfxlby](./data/image/media/image5306.wmf){width="0.26458333333333334in" height="0.23541666666666666in"}的等比数列，则其最大角的余弦值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。【![lfxlby](./data/image/media/image5307.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.4708333333333333in"}】 **考点：**等比数列和余弦定理。 **难度：**易。 **分析：**本题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用。 **解答：**设![lfxlby](./data/image/media/image5305.wmf){width="0.49027777777777776in" height="0.19583333333333333in"}三边为， 则可得所对的边最大， 且。 14. 数列![lfxlby](./data/image/media/image5253.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"}的通项公式![lfxlby](./data/image/media/image5308.wmf){width="1.1958333333333333in" height="0.43125in"}，前![lfxlby](./data/image/media/image5309.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}项和为![lfxlby](./data/image/media/image5310.wmf){width="0.19583333333333333in" height="0.2548611111111111in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image5311.wmf){width="0.5in" height="0.2548611111111111in"} \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。【3018】 **考点：**数列和三角函数的周期性。 **难度：**中。 **分析：**本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。 **解答：** ， ， ， ， 所以。 即。 15. 对于实数![lfxlby](./data/image/media/image5312.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.20555555555555555in"}，定义运算"![lfxlby](./data/image/media/image5313.wmf){width="0.12777777777777777in" height="0.1375in"}"：![lfxlby](./data/image/media/image5314.wmf){width="1.5291666666666666in" height="0.5590277777777778in"}，设![lfxlby](./data/image/media/image5315.wmf){width="1.6277777777777778in" height="0.22569444444444445in"}，且关于![lfxlby](./data/image/media/image5316.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}的方程为![lfxlby](./data/image/media/image5317.wmf){width="1.1958333333333333in" height="0.22569444444444445in"}恰有三个互不相等的实数根![lfxlby](./data/image/media/image5318.wmf){width="0.5979166666666667in" height="0.2548611111111111in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image5319.wmf){width="0.46111111111111114in" height="0.2548611111111111in"}的取值范围是\_\_\_\_\_。【![lfxlby](./data/image/media/image5320.wmf){width="0.7645833333333333in" height="0.4708333333333333in"}】 **考点：**演绎推理和函数。 **难度：**难。 **分析：**本题考查的知识点为新定义的理解，函数与方程中根的个数。 **解答：**由题可得， 可得， 且 所以时，， 所以。 **三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。** 16. （本小题满分13分） > 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下： ![lfxlby](./data/image/media/image5304.jpeg){width="5.768055555555556in" height="1.2777777777777777in"} 将频率视为概率，解答下列问题： （I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； > （II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为![lfxlby](./data/image/media/image5321.wmf){width="0.22569444444444445in" height="0.21597222222222223in"}，生产一辆乙品牌轿车的利润为![lfxlby](./data/image/media/image5322.wmf){width="0.23541666666666666in" height="0.23541666666666666in"}，分别求![lfxlby](./data/image/media/image5323.wmf){width="0.22569444444444445in" height="0.21597222222222223in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5324.wmf){width="0.23541666666666666in" height="0.23541666666666666in"}的分布列； > > （III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。 **考点：**统计概率及随机变量。 **难度：**易。 **分析：** **解答：** （I）首次出现故障发生在保修期内的概率为 （II）随机变量的分布列为 随机变量的分布列为 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- （III）(万元) (万元) 所以应该生产甲品牌汽车。 17. （本小题满分13分） 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。 （1）![lfxlby](./data/image/media/image5325.wmf){width="2.3430555555555554in" height="0.22569444444444445in"}； （2）![lfxlby](./data/image/media/image5326.wmf){width="2.3430555555555554in" height="0.22569444444444445in"}； （3）![lfxlby](./data/image/media/image5327.wmf){width="2.3625in" height="0.22569444444444445in"}； （4）![lfxlby](./data/image/media/image5328.wmf){width="2.7743055555555554in" height="0.2548611111111111in"}； （5）![lfxlby](./data/image/media/image5329.wmf){width="2.7645833333333334in" height="0.2548611111111111in"}。 （I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； （II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。 **考点：**三角恒等变换。 **难度：**中。 **分析：** **解答：** （I）选择（2）： （II）三角恒等式为： 18. （本小题满分13分） 如图，在长方体![lfxlby](./data/image/media/image5330.wmf){width="1.2743055555555556in" height="0.23541666666666666in"}中，![lfxlby](./data/image/media/image5331.wmf){width="0.9611111111111111in" height="0.23541666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5332.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为![lfxlby](./data/image/media/image5333.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.19583333333333333in"}中点。 （Ⅰ）求证：![lfxlby](./data/image/media/image5334.wmf){width="0.7944444444444444in" height="0.23541666666666666in"}； （Ⅱ）在棱![lfxlby](./data/image/media/image5335.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.23541666666666666in"}上是否存在一点![lfxlby](./data/image/media/image5336.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，使得![lfxlby](./data/image/media/image5337.wmf){width="0.40208333333333335in" height="0.19583333333333333in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image5338.wmf){width="0.43125in" height="0.23541666666666666in"}？若存在，求![lfxlby](./data/image/media/image5339.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.1763888888888889in"}的长；若不存在，说明理由。 （Ⅲ）若二面角![lfxlby](./data/image/media/image5340.wmf){width="0.8722222222222222in" height="0.23541666666666666in"}的大小为![lfxlby](./data/image/media/image5341.wmf){width="0.26458333333333334in" height="0.22569444444444445in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image5342.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.1763888888888889in"}的长。 **考点：**立体几何。 **难度：**中。 ![](./data/image/media/image5343.jpeg){width="2.433333333333333in" height="1.7916666666666667in"}**分析：** **解答：** （Ⅰ）长方体![lfxlby](./data/image/media/image5330.wmf){width="1.2743055555555556in" height="0.23541666666666666in"}中，![lfxlby](./data/image/media/image5331.wmf){width="0.9611111111111111in" height="0.23541666666666666in"} **得：面** **面** （Ⅱ）取的中点为，中点为，连接 在中，面![lfxlby](./data/image/media/image5338.wmf){width="0.43125in" height="0.23541666666666666in"} 此时 （Ⅲ）设，连接，过点作于点，连接 **面，** 得：是二面角![lfxlby](./data/image/media/image5340.wmf){width="0.8722222222222222in" height="0.23541666666666666in"}的平面角 在中， 在矩形中， 得： 19. （本小题满分13分） > 如图，椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5344.wmf){width="1.7743055555555556in" height="0.46111111111111114in"}的左焦点为![lfxlby](./data/image/media/image5345.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.23541666666666666in"}，右焦点为![lfxlby](./data/image/media/image5346.wmf){width="0.20555555555555555in" height="0.23541666666666666in"}，离心率![lfxlby](./data/image/media/image5347.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.43125in"}。过![lfxlby](./data/image/media/image5348.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.23541666666666666in"}的直线交椭圆于![lfxlby](./data/image/media/image5349.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.20555555555555555in"}两点，且![lfxlby](./data/image/media/image5350.wmf){width="0.5in" height="0.23541666666666666in"}的周长为8。 （Ⅰ）求椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5351.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的方程。 > ![](./data/image/media/image5343.jpeg){width="2.4895833333333335in" height="1.75in"}（Ⅱ）设动直线![lfxlby](./data/image/media/image5352.wmf){width="0.93125in" height="0.22569444444444445in"}与椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5353.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}有且只有一个公共点![lfxlby](./data/image/media/image5354.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，且与直线![lfxlby](./data/image/media/image5355.wmf){width="0.40208333333333335in" height="0.19583333333333333in"}相交于点![lfxlby](./data/image/media/image5356.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.22569444444444445in"}。试探究： > > 在坐标平面内是否存在定点![lfxlby](./data/image/media/image5357.wmf){width="0.22569444444444445in" height="0.16666666666666666in"}，使得以![lfxlby](./data/image/media/image5358.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}为直径的圆恒过点![lfxlby](./data/image/media/image5359.wmf){width="0.22569444444444445in" height="0.16666666666666666in"}？若存在，求出点![lfxlby](./data/image/media/image5359.wmf){width="0.22569444444444445in" height="0.16666666666666666in"}的坐标；若不存在，说明理由。 **考点：**三角恒等变换。 **难度：**难。 **分析：** **解答：** （Ⅰ）设 则 ![lfxlby](./data/image/media/image5350.wmf){width="0.5in" height="0.23541666666666666in"}的周长为 椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5351.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的方程为 （Ⅱ）由对称性可知设与 直线 （\*） （\*）对恒成立， 得 20. （本小题满分14分） 已知函数![lfxlby](./data/image/media/image5360.wmf){width="1.8430555555555554in" height="0.2548611111111111in"} （Ⅰ）若曲线![lfxlby](./data/image/media/image5361.wmf){width="0.6569444444444444in" height="0.22569444444444445in"}在点![lfxlby](./data/image/media/image5362.wmf){width="0.5881944444444445in" height="0.22569444444444445in"}处的切线平行于![lfxlby](./data/image/media/image5363.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}轴，求函数![lfxlby](./data/image/media/image5364.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的单调区间； > （Ⅱ）试确定![lfxlby](./data/image/media/image5365.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}的取值范围，使得曲线![lfxlby](./data/image/media/image5366.wmf){width="0.6569444444444444in" height="0.22569444444444445in"}上存在唯一的点![lfxlby](./data/image/media/image5367.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点![lfxlby](./data/image/media/image5367.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}。 **考点：**导数。 **难度：**难。 **分析：** **解答：** （Ⅰ） 由题意得： 得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （Ⅱ）设； 则过切点![lfxlby](./data/image/media/image5367.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的切线方程为 令；则 切线与曲线只有一个公共点![lfxlby](./data/image/media/image5367.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}只有一个根 ，且 （1）当时， 得：当且仅当时， 由的任意性，不符合条件 （2）当时，令 ①当时， 当且仅当时，在上单调递增 只有一个根 ②当时， 得：，又 存在两个数使， 得：又 存在使，与条件不符。 ③当时，同理可证，与条件不符 从上得：当时，存在唯一的点使该点处的切线与曲线只有一个公共点![lfxlby](./data/image/media/image5367.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} 21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中。 （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 设曲线![lfxlby](./data/image/media/image5368.wmf){width="1.2944444444444445in" height="0.2548611111111111in"}在矩阵![lfxlby](./data/image/media/image5369.wmf){width="0.5097222222222222in" height="0.5in"} ![lfxlby](./data/image/media/image5370.wmf){width="0.6763888888888889in" height="0.5in"}对应的变换作用下得到的曲线为![lfxlby](./data/image/media/image5371.wmf){width="0.7944444444444444in" height="0.2548611111111111in"}。 （Ⅰ）求实数![lfxlby](./data/image/media/image5372.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.20555555555555555in"}的值。 （Ⅱ）求![lfxlby](./data/image/media/image5373.wmf){width="0.22569444444444445in" height="0.20555555555555555in"}的逆矩阵。 解：（Ⅰ）设曲线![lfxlby](./data/image/media/image5368.wmf){width="1.2944444444444445in" height="0.2548611111111111in"}上任一点在矩阵对应变换下的像是 则 得： （Ⅱ）由（Ⅰ）得： 【考点定位】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 > 在平面直角坐标系中，以坐标原点为几点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线上两点的极坐标分别为，圆的参数方程为参数）。 （Ⅰ）设![lfxlby](./data/image/media/image5354.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为线段的中点，求直线的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线与圆的位置关系。 【解析】（Ⅰ）由题意知，因为是线段中点，则 因此直角坐标方程为： （Ⅱ）因为直线上两点 ∴垂直平分线方程为：，圆心，半径. ,故直线和圆相交. 【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想。 （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数![lfxlby](./data/image/media/image5374.wmf){width="1.7548611111111112in" height="0.22569444444444445in"}，且![lfxlby](./data/image/media/image5375.wmf){width="0.8923611111111112in" height="0.22569444444444445in"}的解集为![lfxlby](./data/image/media/image5376.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}。 （Ⅰ）求![lfxlby](./data/image/media/image5377.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}的值； （Ⅱ）若![lfxlby](./data/image/media/image5378.wmf){width="0.7055555555555556in" height="0.20555555555555555in"}，且![lfxlby](./data/image/media/image5379.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.43125in"}，求证：![lfxlby](./data/image/media/image5380.wmf){width="1.0291666666666666in" height="0.19583333333333333in"}。 【解析】（1）∵， ∴ （2）由（1）知,由柯西不等式得 【考点定位】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基本知识，考查运算求解能力，考查化归转化思想 2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） ============================================ 数学（文科） **第I卷（选择题 共60分）** **一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。** 22. 复数![lfxlby](./data/image/media/image5381.wmf){width="0.5291666666666667in" height="0.2548611111111111in"}等于（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image5382.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.19583333333333333in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5383.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.19583333333333333in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image5384.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.19583333333333333in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image5385.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.19583333333333333in"} **考点：**复数的运算。 **难度：**易。 **分析：**本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可。 > **解答：** > > 。 23. 已知集合![lfxlby](./data/image/media/image5386.wmf){width="0.93125in" height="0.22569444444444445in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5387.wmf){width="0.7944444444444444in" height="0.22569444444444445in"}，下列结论成立的是（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image5388.wmf){width="0.5590277777777778in" height="0.19583333333333333in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5389.wmf){width="0.8722222222222222in" height="0.20555555555555555in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image5390.wmf){width="0.8625in" height="0.20555555555555555in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image5391.wmf){width="0.9215277777777777in" height="0.22569444444444445in"} **考点：**集合交并补的定义。 **难度：**易。 **分析：**本题考查的知识点为集合交集、并集的定义，直接根据定义选择即可。 > **解答：**，。 24. 已知向量![lfxlby](./data/image/media/image5392.wmf){width="0.8722222222222222in" height="0.3333333333333333in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5393.wmf){width="0.6277777777777778in" height="0.3333333333333333in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image5394.wmf){width="0.4409722222222222in" height="0.30416666666666664in"}的充要条件是（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image5395.wmf){width="0.5388888888888889in" height="0.43125in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5396.wmf){width="0.49027777777777776in" height="0.19583333333333333in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image5397.wmf){width="0.3923611111111111in" height="0.1763888888888889in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image5398.wmf){width="0.3923611111111111in" height="0.19583333333333333in"} **考点：**平面向量的垂直。 **难度：**易。 **分析：**本题考查的知识点为平面向量的垂直，若非零向量**，**， 则。 > **解答：**非零向量。 **。** 25. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ） A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 **考点：**空间几何体的三视图。 **难度：**易。 **分析：**本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可。 > **解答：**圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆； 三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。 26. 已知双曲线![lfxlby](./data/image/media/image5399.wmf){width="0.8430555555555556in" height="0.46111111111111114in"}的右焦点为![lfxlby](./data/image/media/image5400.wmf){width="0.3625in" height="0.22569444444444445in"}，则该双曲线的离心率等于（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image5401.wmf){width="0.43125in" height="0.4708333333333333in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5402.wmf){width="0.3625in" height="0.4708333333333333in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image5403.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.43125in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image5404.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.43125in"} **考点：**双曲线的离心率。 **难度：**易。 **分析：**本题考查的知识点为圆锥曲线的性质，利用离心率即可。 > ![](./data/image/media/image5405.jpeg){width="1.625in" height="2.725in"}**解答：**双曲线中，。 27. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出![lfxlby](./data/image/media/image5406.wmf){width="0.12777777777777777in" height="0.15694444444444444in"}值等于（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image5303.wmf){width="0.2548611111111111in" height="0.19583333333333333in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5407.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.19583333333333333in"} C．0 D．![lfxlby](./data/image/media/image5408.wmf){width="0.26458333333333334in" height="0.1763888888888889in"} **考点：**算法初步。 **难度：**易。 **分析：**本题考查的知识点为算法中流程图的读法，直接根据箭头的指向运算即可。 > **解答：** ； ； ； ； 结束。 28. 直线![lfxlby](./data/image/media/image5409.wmf){width="1.0979166666666667in" height="0.26458333333333334in"}与圆![lfxlby](./data/image/media/image5410.wmf){width="0.8236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}相交于![lfxlby](./data/image/media/image5411.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.20555555555555555in"}两点，则弦![lfxlby](./data/image/media/image5412.wmf){width="0.2743055555555556in" height="0.1763888888888889in"}的长度等于（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image5413.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5414.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image5415.wmf){width="0.2548611111111111in" height="0.2548611111111111in"} D．1 **考点：**直线和圆。 **难度：**中。 **分析：**本题考查的知识点为直线被圆所截的弦长，利用几何意义，。 **解答：** 图形如图所示， 圆心为，半径为2， 圆心到直线的距离， 所以 。 29. 函数![lfxlby](./data/image/media/image5416.wmf){width="1.2548611111111112in" height="0.43125in"}的图像的一条对称轴是（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image5417.wmf){width="0.46111111111111114in" height="0.43125in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5418.wmf){width="0.46111111111111114in" height="0.43125in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image5419.wmf){width="0.56875in" height="0.43125in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image5420.wmf){width="0.56875in" height="0.43125in"} **考点：**三角函数的对称性。 **难度：**中。 **分析：**本题考查的知识点为三角函数的性质，熟记三角函数的对称轴的公式即可。 **解答：**令， 则, 当时，。 30. 设![lfxlby](./data/image/media/image5421.wmf){width="1.2354166666666666in" height="0.7743055555555556in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5422.wmf){width="1.5291666666666666in" height="0.5291666666666667in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image5423.wmf){width="0.6076388888888888in" height="0.22569444444444445in"}值为（ ） A．1 B．0 C．![lfxlby](./data/image/media/image5424.wmf){width="0.23541666666666666in" height="0.1763888888888889in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image5425.wmf){width="0.43125in" height="0.15694444444444444in"} **考点：**分段函数。 **难度：**中。 **分析：**本题考查的知识点为分段函数的理解，直接应用即可。 **解答：**令。 31. 若直线![lfxlby](./data/image/media/image5286.wmf){width="0.5in" height="0.22569444444444445in"}上存在点![lfxlby](./data/image/media/image5281.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}满足约束条件![lfxlby](./data/image/media/image5282.wmf){width="1.0590277777777777in" height="0.7743055555555556in"}，则实数![lfxlby](./data/image/media/image5283.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.15694444444444444in"}的最大值为（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image5424.wmf){width="0.23541666666666666in" height="0.1763888888888889in"} B．1 C．![lfxlby](./data/image/media/image5285.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.43125in"} D．2 **考点：**线性规划。 **难度：**中。 **分析：**本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像。 **解答：**可行域如下： 所以，若直线![lfxlby](./data/image/media/image5286.wmf){width="0.5in" height="0.22569444444444445in"}上存在点![lfxlby](./data/image/media/image5281.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}满足约束条件![lfxlby](./data/image/media/image5282.wmf){width="1.0590277777777777in" height="0.7743055555555556in"}， 则，即。 32. 数列![lfxlby](./data/image/media/image5253.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"}的通项公式![lfxlby](./data/image/media/image5426.wmf){width="0.9708333333333333in" height="0.43125in"}，其前![lfxlby](./data/image/media/image5309.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}项和为![lfxlby](./data/image/media/image5310.wmf){width="0.19583333333333333in" height="0.2548611111111111in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image5427.wmf){width="0.34305555555555556in" height="0.2548611111111111in"}等于（ ） A．1006 B．2012 C．503 D．0 **考点：**数列和三角函数的周期性。 **难度：**中。 **分析：**本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。 **解答：** ， ， ， ， 所以。 即。 33. 已知![lfxlby](./data/image/media/image5428.wmf){width="2.529166666666667in" height="0.2548611111111111in"}，且![lfxlby](./data/image/media/image5429.wmf){width="1.6375in" height="0.22569444444444445in"}，现给出如下结论： ①![lfxlby](./data/image/media/image5430.wmf){width="0.9215277777777777in" height="0.22569444444444445in"}；②![lfxlby](./data/image/media/image5431.wmf){width="0.9215277777777777in" height="0.22569444444444445in"}；③![lfxlby](./data/image/media/image5432.wmf){width="0.9409722222222222in" height="0.22569444444444445in"}；④![lfxlby](./data/image/media/image5433.wmf){width="0.9409722222222222in" height="0.22569444444444445in"}。 其中正确结论的序号是（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ **考点：**导数。 **难度：**难。 **分析：**本题考查的知识点为导数的计算，零点问题，要先分析出函数的性质，结合图形来做。 **解答：**， 导数和函数图像如下： 由图， ， 且， 所以。 **第Ⅱ卷（非选择题 共90分）** **二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。** 34. 在![lfxlby](./data/image/media/image5305.wmf){width="0.49027777777777776in" height="0.19583333333333333in"}中，已知![lfxlby](./data/image/media/image5434.wmf){width="0.9020833333333333in" height="0.22569444444444445in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5435.wmf){width="0.8923611111111112in" height="0.22569444444444445in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5436.wmf){width="0.6569444444444444in" height="0.2548611111111111in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image5437.wmf){width="0.43125in" height="0.19583333333333333in"}\_\_\_\_\_\_\_。【![lfxlby](./data/image/media/image5438.wmf){width="0.26458333333333334in" height="0.23541666666666666in"}】 **考点：**正弦定理。 **难度：**易。 **分析：**本题考查的知识点为三角形中正弦定理的应用。 **解答：**在中，， 所以 解得![lfxlby](./data/image/media/image5437.wmf){width="0.43125in" height="0.19583333333333333in"}![lfxlby](./data/image/media/image5438.wmf){width="0.26458333333333334in" height="0.23541666666666666in"}。 35. 一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是\_\_\_\_\_\_\_。【12】 **考点：**分成抽样。 **难度：**易。 **分析：**本题考查的知识点为统计中的分层抽样，直接按成比例计算即可。 **解答：**分层抽样， ， 所以。 36. 已知关于![lfxlby](./data/image/media/image5439.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}的不等式![lfxlby](./data/image/media/image5440.wmf){width="1.1375in" height="0.22569444444444445in"}在R上恒成立，则实数![lfxlby](./data/image/media/image5441.wmf){width="0.1375in" height="0.15694444444444444in"}的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。【![lfxlby](./data/image/media/image5442.wmf){width="0.3625in" height="0.22569444444444445in"}】 **考点：**一元二次不等式。 **难度：**易。 **分析：**本题考查的知识点为一元二次函数的图像，开口朝上，无根即可。 **解答：**令， 所以。 37. 某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10。 ![lfxlby](./data/image/media/image5405.jpeg){width="4.127777777777778in" height="0.8722222222222222in"} 现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。【16】 ![lfxlby](./data/image/media/image5405.jpeg){width="2.1173611111111112in" height="1.7645833333333334in"} **考点：**演绎推理。 **难度：**中。 **分析：**本题考查的知识点为演绎推理，理解题意，直接计算最小值即可。 **解答：**题目要求联通所有的城市，且费用最小，则首先连接费用最小的城市， 连接方法如下： 1. 连接，此时联通两个城市，费用为； 2. 再连接，此时联通三个城市，费用为； 3. 再连接，此时联通四个城市，费用为； 4. 再连接，此时联通五个城市，费用为； 5. 再连接，此时联通六个城市，费用为； 6. 再连接，此时联通七个城市，费用为。 所以铺设道路的最小总费用为16。 **三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。** 38. （本小题满分12分） 在等差数列![lfxlby](./data/image/media/image5253.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"}和等比数列![lfxlby](./data/image/media/image5443.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}中，![lfxlby](./data/image/media/image5444.wmf){width="1.1958333333333333in" height="0.23541666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5253.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"}的前10项和![lfxlby](./data/image/media/image5445.wmf){width="0.5881944444444445in" height="0.2548611111111111in"}。 （Ⅰ）求![lfxlby](./data/image/media/image5446.wmf){width="0.19583333333333333in" height="0.2548611111111111in"}和![lfxlby](./data/image/media/image5447.wmf){width="0.1763888888888889in" height="0.2548611111111111in"}； （Ⅱ）现分别从![lfxlby](./data/image/media/image5253.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"}和![lfxlby](./data/image/media/image5448.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}的前3项中各随机抽取一项写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。 **考点：**等差数列，等比数列，古典概型。 **难度：**易。 **分析：**本题考查的知识点为演绎推理，等差等比数列的定义和通项公式，前项和公式和古典概型，直接应用。 **解答：** （Ⅰ）设等差数列![lfxlby](./data/image/media/image5253.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2548611111111111in"}的公差为，等比数列![lfxlby](./data/image/media/image5443.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}的公比为 则 得： （Ⅱ），各随机抽取一项写出相应的基本事件有 共个 符合题意有共个 这两项的值相等的概率为 39. （本小题满分12分） 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： ![lfxlby](./data/image/media/image5449.jpeg){width="5.768055555555556in" height="0.6736111111111112in"} （I）求回归直线方程![lfxlby](./data/image/media/image5450.wmf){width="0.7548611111111111in" height="0.3333333333333333in"}，其中![lfxlby](./data/image/media/image5451.wmf){width="1.323611111111111in" height="0.3333333333333333in"} > （II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入---成本） **考点：**线性回归，二次函数。 **难度：**易。 **分析：**本题考查的知识点为线性回归中回归直线的求解及二次函数的最值。 **解答：** （I） （II）工厂获得利润 当时，（元） 40. ![](./data/image/media/image5449.jpeg){width="1.4791666666666667in" height="2.0416666666666665in"}（本小题满分12分） 如图，在长方体![lfxlby](./data/image/media/image5330.wmf){width="1.2743055555555556in" height="0.23541666666666666in"}中，![lfxlby](./data/image/media/image5452.wmf){width="1.5097222222222222in" height="0.23541666666666666in"}， ![lfxlby](./data/image/media/image5453.wmf){width="0.22569444444444445in" height="0.16666666666666666in"}为棱![lfxlby](./data/image/media/image5454.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.23541666666666666in"}上的一点。 （I）求三棱锥![lfxlby](./data/image/media/image5455.wmf){width="0.7256944444444444in" height="0.23541666666666666in"}的体积； （II）当![lfxlby](./data/image/media/image5456.wmf){width="0.8041666666666667in" height="0.23541666666666666in"}取得最小值时，求证：![lfxlby](./data/image/media/image5457.wmf){width="0.5291666666666667in" height="0.23541666666666666in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image5458.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.19583333333333333in"}。 **考点：**立体几何。 **难度：**中。 **分析：**本题考查的知识点为棱锥的体积，和垂直的判定。 **解答：** （I）点到面的距离为 得：三棱锥![lfxlby](./data/image/media/image5455.wmf){width="0.7256944444444444in" height="0.23541666666666666in"}的体积 （II）将矩形饶按逆时针旋转展开，与矩形共面 ，当且仅当点是棱的中点时，![lfxlby](./data/image/media/image5456.wmf){width="0.8041666666666667in" height="0.23541666666666666in"}取得最小值 在中， 得： 同理：面![lfxlby](./data/image/media/image5458.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.19583333333333333in"} 41. （本小题满分13分） 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。 （1）![lfxlby](./data/image/media/image5325.wmf){width="2.3430555555555554in" height="0.22569444444444445in"}； （2）![lfxlby](./data/image/media/image5326.wmf){width="2.3430555555555554in" height="0.22569444444444445in"}； （3）![lfxlby](./data/image/media/image5327.wmf){width="2.3625in" height="0.22569444444444445in"}； （4）![lfxlby](./data/image/media/image5328.wmf){width="2.7743055555555554in" height="0.2548611111111111in"}； （5）![lfxlby](./data/image/media/image5329.wmf){width="2.7645833333333334in" height="0.2548611111111111in"}。 （I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； （II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。 **考点：**三角恒等变换。 **难度：**中。 **分析：**本题考查的知识点恒等变换公式的转换及其应用。 **解答：** （I）选择（2）： （II）三角恒等式为： 42. ![](./data/image/media/image5449.jpeg){width="2.0in" height="1.8958333333333333in"}（本小题满分12分） 如图，等边三角形![lfxlby](./data/image/media/image5459.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.19583333333333333in"}的边长为![lfxlby](./data/image/media/image5460.wmf){width="0.3236111111111111in" height="0.2548611111111111in"}，且其三个顶点均在抛 物线![lfxlby](./data/image/media/image5461.wmf){width="1.3923611111111112in" height="0.2548611111111111in"}上。 （I）求抛物线![lfxlby](./data/image/media/image5462.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的方程； > （II）设动直线![lfxlby](./data/image/media/image5463.wmf){width="0.1076388888888889in" height="0.19583333333333333in"}与抛物线![lfxlby](./data/image/media/image5464.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}相切于点![lfxlby](./data/image/media/image5465.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，与直线![lfxlby](./data/image/media/image5466.wmf){width="0.5in" height="0.22569444444444445in"}相交于 > > 点![lfxlby](./data/image/media/image5356.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.22569444444444445in"}。证明：以![lfxlby](./data/image/media/image5358.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}为直径的圆恒过![lfxlby](./data/image/media/image5467.wmf){width="0.15694444444444444in" height="0.1763888888888889in"}轴上某定点。 **考点：**圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。 **难度：**难。 **分析：**本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。 **解答：** （I）设；则 得：点关于轴对称 代入抛物线![lfxlby](./data/image/media/image5462.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的方程得：抛物线![lfxlby](./data/image/media/image5462.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的方程为 （II）设；则 过点的切线方程为即 令 设满足：及 得：对均成立 以![lfxlby](./data/image/media/image5358.wmf){width="0.29444444444444445in" height="0.22569444444444445in"}为直径的圆恒过![lfxlby](./data/image/media/image5467.wmf){width="0.15694444444444444in" height="0.1763888888888889in"}轴上定点 43. （本小题满分14分） 已知函数![lfxlby](./data/image/media/image5468.wmf){width="1.823611111111111in" height="0.43125in"}且在![lfxlby](./data/image/media/image5469.wmf){width="0.43125in" height="0.43125in"}上的最大值为![lfxlby](./data/image/media/image5470.wmf){width="0.40208333333333335in" height="0.43125in"}。 （I）求函数![lfxlby](./data/image/media/image5471.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}的解析式； （II）判断函数![lfxlby](./data/image/media/image5472.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}在![lfxlby](./data/image/media/image5473.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}内的零点个数，并加以证明。 **考点：**导数，函数与方程。 **难度：**难。 **分析：**本题考查的知识点为导数的计算，利用函数与方程的思想解决根个数的问题。 **解答：** （I）在![lfxlby](./data/image/media/image5469.wmf){width="0.43125in" height="0.43125in"}上恒成立，且能取到等号 在![lfxlby](./data/image/media/image5469.wmf){width="0.43125in" height="0.43125in"}上恒成立，且能取到等号 在![lfxlby](./data/image/media/image5469.wmf){width="0.43125in" height="0.43125in"}上单调递增 （II） ①当![lfxlby](./data/image/media/image5469.wmf){width="0.43125in" height="0.43125in"}时，在上单调递增 在上有唯一零点 ②当时，当上单调递减 存在唯一使 得：在上单调递增，上单调递减 得：时，， 时，，在上有唯一零点 由①②得：函数![lfxlby](./data/image/media/image5472.wmf){width="0.37222222222222223in" height="0.22569444444444445in"}在![lfxlby](./data/image/media/image5473.wmf){width="0.4215277777777778in" height="0.22569444444444445in"}内有两个零点。 ![lfxlby](./data/image/media/image5474.jpeg){width="5.768055555555556in" height="6.763888888888889in"} 2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） ============================================ **数学（理科）** 本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。 **注意事项：** 1. 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用2**B**铅笔将试卷类型（**A**）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角"条形码粘贴处". 2. 选择题每小题选出答案后，用2**B**铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。 4. 作答选做题时，请先用2**B**铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5. 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 **参考公式：**柱体的体积公式![lfxlby](./data/image/media/image5475.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，其中![lfxlby](./data/image/media/image5476.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为柱体的底面积，![lfxlby](./data/image/media/image5477.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为柱体的高. **一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。** 1\. 设![lfxlby](./data/image/media/image5478.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}为虚数单位，则复数![lfxlby](./data/image/media/image5479.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"}=( ) ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5480.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5481.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5482.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5483.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"} 【解析】选 依题意：，故选. 2．设集合![lfxlby](./data/image/media/image5484.wmf){width="2.0833333333333335in" height="0.25in"}；则![lfxlby](./data/image/media/image5485.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}( ) ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5486.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5487.wmf){width="0.5in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5488.wmf){width="0.5in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5489.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} 【解析】选 ![lfxlby](./data/image/media/image5485.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5488.wmf){width="0.5in" height="0.25in"} 3\. 若向量![lfxlby](./data/image/media/image5490.wmf){width="1.5in" height="0.25in"}；则![lfxlby](./data/image/media/image5491.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}( ) ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5492.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5493.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5494.wmf){width="0.5in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5495.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"} 【解析】选 4\. 下列函数中，在区间![lfxlby](./data/image/media/image5496.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}上为增函数的是( ) ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5497.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5498.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5499.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.4166666666666667in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5500.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} 【解析】选 ![lfxlby](./data/image/media/image5497.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}区间![lfxlby](./data/image/media/image5496.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}上为增函数，![lfxlby](./data/image/media/image5498.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}区间![lfxlby](./data/image/media/image5496.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}上为减函数 ![lfxlby](./data/image/media/image5499.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.4166666666666667in"}区间![lfxlby](./data/image/media/image5496.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}上为减函数，![lfxlby](./data/image/media/image5500.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}区间上为增函数 5\. 已知变量![lfxlby](./data/image/media/image5501.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}满足约束条件![lfxlby](./data/image/media/image5502.wmf){width="0.75in" height="0.75in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image5503.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}的最大值为( ) ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5504.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5505.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5506.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5507.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} 【解析】选 约束条件对应边际及内的区域： ![](./data/image/media/image5508.png){width="2.2604166666666665in" height="2.3541666666666665in"}则 6\. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( ) ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5509.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5510.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5511.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5512.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} 【解析】选 几何体是圆柱与圆锥叠加而成 > 它的体积为 7\. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个， 其个位数为![lfxlby](./data/image/media/image5513.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的概率是( ) ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5514.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5515.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5516.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5517.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} 【解析】选 ①个位数为时，十位数为，个位数为时，十位数为，共个 ②个位数为![lfxlby](./data/image/media/image5513.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}时，十位数为，共个别个位数为![lfxlby](./data/image/media/image5513.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的概率是 8\. .对任意两个非零的平面向量![lfxlby](./data/image/media/image5518.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}和![lfxlby](./data/image/media/image5519.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，定义![lfxlby](./data/image/media/image5520.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.5in"}；若平面向量![lfxlby](./data/image/media/image5521.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}满足![lfxlby](./data/image/media/image5522.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}， ![lfxlby](./data/image/media/image5523.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}与![lfxlby](./data/image/media/image5524.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的夹角![lfxlby](./data/image/media/image5525.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，且![lfxlby](./data/image/media/image5526.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}都在集合![lfxlby](./data/image/media/image5527.wmf){width="0.75in" height="0.5in"}中，则![lfxlby](./data/image/media/image5528.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}( ) ![lfxlby](./data/image/media/image4738.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5529.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4739.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5530.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4740.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5531.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} ![lfxlby](./data/image/media/image4741.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5532.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} 【解析】选 ![lfxlby](./data/image/media/image5526.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}都在集合![lfxlby](./data/image/media/image5527.wmf){width="0.75in" height="0.5in"}中得： **二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。** **(一）必做题（9-13题）** 9\. 不等式![lfxlby](./data/image/media/image5533.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}的解集为\_\_\_\_\_ 【解析】解集为\_\_\_\_\_ > 原不等式或或,解得, 10\. ![lfxlby](./data/image/media/image5534.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}的展开式中![lfxlby](./data/image/media/image5535.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的系数为\_\_\_\_\_\_。（用数字作答） 【解析】系数为\_\_\_\_\_\_ ![lfxlby](./data/image/media/image5534.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}的展开式中第项为 令得：![lfxlby](./data/image/media/image5535.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的系数为 > 11\. 已知递增的等差数列![lfxlby](./data/image/media/image5536.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}满足![lfxlby](./data/image/media/image5537.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image5538.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"} > > 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image5538.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"} ![](./data/image/media/image5539.png){width="2.5631944444444446in" height="2.7083333333333335in"}12. 曲线![lfxlby](./data/image/media/image5540.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}在点![lfxlby](./data/image/media/image5541.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}处的切线方程为 [ ]{.underline} 【解析】切线方程为 [ ]{.underline} 切线方程为即 13\. 执行如图2所示的程序框图，若输入![lfxlby](./data/image/media/image5542.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值为![lfxlby](./data/image/media/image5543.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}， 则输出![lfxlby](./data/image/media/image5544.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值为 [ ]{.underline} 【解析】输出![lfxlby](./data/image/media/image5544.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值为 [ ]{.underline} -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 2. **选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）** 14.(坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系![lfxlby](./data/image/media/image5545.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}中，曲线![lfxlby](./data/image/media/image5546.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}和![lfxlby](./data/image/media/image5547.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}的参数方程分别为 ![lfxlby](./data/image/media/image5548.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.5833333333333334in"}是参数） 和![lfxlby](./data/image/media/image5549.wmf){width="1.4166666666666667in" height="0.5833333333333334in"}是参数），它们的交点坐标为\_\_\_\_\_\_\_. ![](./data/image/media/image5550.png){width="2.0729166666666665in" height="1.4895833333333333in"}【解析】它们的交点坐标为\_\_\_\_\_\_\_ 解得：交点坐标为 15.(几何证明选讲选做题）如图3，圆![lfxlby](./data/image/media/image5551.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的半径为![lfxlby](./data/image/media/image5552.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"} 是圆周上的三点，满足，![lfxlby](./data/image/media/image5553.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，过点![lfxlby](./data/image/media/image5554.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}做圆![lfxlby](./data/image/media/image5551.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的切线 与![lfxlby](./data/image/media/image5555.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}的延长线交于点![lfxlby](./data/image/media/image5556.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image5557.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"} 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image5557.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"} 连接，得 **三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。** 10. (本小题满分12分) 已知函数![lfxlby](./data/image/media/image5558.wmf){width="2.3333333333333335in" height="0.4166666666666667in"}的最小正周期为![lfxlby](./data/image/media/image5559.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} （1）求![lfxlby](./data/image/media/image5560.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值； （2）设![lfxlby](./data/image/media/image5561.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5562.wmf){width="2.4166666666666665in" height="0.4166666666666667in"}；求![lfxlby](./data/image/media/image5563.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}的值 【解析】（1） （2） ![](./data/image/media/image5564.png){width="2.3340277777777776in" height="2.3833333333333333in"} 11. (本小题满分13分) 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图 如图4所示，其中成绩分组区间是： \[40,50\]\[50,60\]\[60,70\]\[70,80\]\[80,90\]\[90,100\]。 （1）求图中![lfxlby](./data/image/media/image5565.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值； （2）从成绩不低于![lfxlby](./data/image/media/image5566.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}分的学生中随机选取![lfxlby](./data/image/media/image5567.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}人， 该![lfxlby](./data/image/media/image5568.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}人中成绩在![lfxlby](./data/image/media/image5569.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}分以上（含![lfxlby](./data/image/media/image5570.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}分）的人数记为![lfxlby](./data/image/media/image5571.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}， 求![lfxlby](./data/image/media/image5572.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的数学期望。 【解析】（1） （2）成绩不低于![lfxlby](./data/image/media/image5566.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}分的学生有人，其中成绩在![lfxlby](./data/image/media/image5569.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}分以上（含![lfxlby](./data/image/media/image5570.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}分） 的人数为 随机变量![lfxlby](./data/image/media/image5572.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}可取 答：（1） （2）![lfxlby](./data/image/media/image5572.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的数学期望为 ![](./data/image/media/image5573.png){width="2.3229166666666665in" height="1.6145833333333333in"}18.(本小题满分13分) 如图所示，在四棱锥![lfxlby](./data/image/media/image5574.wmf){width="0.75in" height="0.16666666666666666in"}中，底面![lfxlby](./data/image/media/image5575.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}为矩形， ![lfxlby](./data/image/media/image5576.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image5575.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，点![lfxlby](./data/image/media/image5577.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在线段![lfxlby](./data/image/media/image5578.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}上，![lfxlby](./data/image/media/image5579.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image5580.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}。 1. 证明：![lfxlby](./data/image/media/image5581.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image5582.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}； 2. 若![lfxlby](./data/image/media/image5583.wmf){width="1.0in" height="0.25in"}，求二面角![lfxlby](./data/image/media/image5584.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.16666666666666666in"}的正切值； 【解析】（1）![lfxlby](./data/image/media/image5579.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image5580.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，面![lfxlby](./data/image/media/image5580.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} ![lfxlby](./data/image/media/image5576.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image5575.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，面![lfxlby](./data/image/media/image5575.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"} 又面![lfxlby](./data/image/media/image5582.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} （2）由（1）得：，， ![lfxlby](./data/image/media/image5579.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}平面是二面角![lfxlby](./data/image/media/image5584.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.16666666666666666in"}的平面角 在中， 在中， 得：二面角![lfxlby](./data/image/media/image5584.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.16666666666666666in"}的正切值为 19.(本小题满分14分) 设数列![lfxlby](./data/image/media/image5585.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的前![lfxlby](./data/image/media/image5586.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}项和为![lfxlby](./data/image/media/image5587.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，满足![lfxlby](./data/image/media/image5588.wmf){width="1.8333333333333333in" height="0.25in"}，且![lfxlby](./data/image/media/image5589.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}成等差数列。 （1）求![lfxlby](./data/image/media/image5590.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的值；（2）求数列![lfxlby](./data/image/media/image5585.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的通项公式。 （3）证明：对一切正整数![lfxlby](./data/image/media/image5591.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，有![lfxlby](./data/image/media/image5592.wmf){width="1.4166666666666667in" height="0.5in"} 【解析】（1） 相减得： ![lfxlby](./data/image/media/image5589.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}成等差数列 （2）得对均成立 得： （3）当时， 当时， 由上式得：对一切正整数![lfxlby](./data/image/media/image5591.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，有![lfxlby](./data/image/media/image5592.wmf){width="1.4166666666666667in" height="0.5in"} 20.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系![lfxlby](./data/image/media/image5593.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}中，已知椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5594.wmf){width="1.75in" height="0.5in"}的离心率![lfxlby](./data/image/media/image5595.wmf){width="0.5in" height="0.5in"}，且椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5596.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}上的 点到![lfxlby](./data/image/media/image5597.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}的距离的最大值为![lfxlby](./data/image/media/image5598.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}； （1）求椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5596.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的方程； （2）在椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5596.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}上，是否存在点![lfxlby](./data/image/media/image5599.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}使得直线![lfxlby](./data/image/media/image5600.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}与圆![lfxlby](./data/image/media/image5601.wmf){width="1.0in" height="0.25in"}相交于不同的 两点![lfxlby](./data/image/media/image5602.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}，且![lfxlby](./data/image/media/image5603.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的面积最大？若存在，求出点![lfxlby](./data/image/media/image5604.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的坐标及相对应的![lfxlby](./data/image/media/image5603.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的面积； 若不存在，请说明理由。 【解析】（1）设 由，所以 设是椭圆上任意一点，则，所以 当时，当时，有最大值，可得，所以 当时， 不合题意 故椭圆的方程为： （2）![lfxlby](./data/image/media/image5603.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}中，， 当且仅当时，有最大值， 时，点到直线的距离为 又，此时点 21.（本小题满分14分） 设![lfxlby](./data/image/media/image5605.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}，集合![lfxlby](./data/image/media/image5606.wmf){width="1.25in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5607.wmf){width="2.4166666666666665in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5608.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}。 （1）求集合![lfxlby](./data/image/media/image5609.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}（用区间表示） （2）求函数![lfxlby](./data/image/media/image5610.wmf){width="2.0in" height="0.25in"}在![lfxlby](./data/image/media/image5609.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}内的极值点。 【解析】（1）对于方程 判别式 因为![lfxlby](./data/image/media/image5605.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}，所以 1. 当时，，此时，所以； 2. 当时，，此时，所以； 当时，，设方程的两根为且，则 ， 3. 当时，，，所以 > 此时， 4. 当时，，所以 > 此时， （2），![lfxlby](./data/image/media/image5605.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} 所以函数在区间上为减函数，在区间和上为增函数 ①是极点 ②是极点 得：时，函数无极值点，时，函数极值点为， 时，函数极值点为与 2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） ============================================ **数学（文科）** 本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。 **注意事项：** 6. 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用2**B**铅笔将试卷类型（**A**）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角"条形码粘贴处". 7. 选择题每小题选出答案后，用2**B**铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 8. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。 9. 作答选做题时，请先用2**B**铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 10. 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 **参考公式：**锥体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高. 球的体积，其中为球的半径。 一组数据的标准差， 其中![lfxlby](./data/image/media/image5616.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}表示这组数据的平均数。 **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是** > **符合题目要求的。** 1\. 设为虚数单位，则复数=( ) 【解析】选 依题意： 2．设集合；则( ) 【解析】选 3\. 若向量；则( ) 【解析】选 4\. 下列函数为偶函数的是( ) 【解析】选 与是奇函数,，是非奇非偶函数 5\. 已知变量满足约束条件，则的最小值为( ) 【解析】选 约束条件对应边际及内的区域： 则 6\. 在中，若，则( ) ![](./data/image/media/image5646.png){width="2.0729166666666665in" height="1.8333333333333333in"}【解析】选 由正弦定理得： 7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( ) 【解析】选 几何体是半球与圆锥叠加而成 > 它的体积为 8\. 在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点， 则弦的长等于( ) 【解析】选 圆的圆心到直线的距离 弦的长 ![](./data/image/media/image5660.png){width="2.09375in" height="2.3645833333333335in"} 9\. 执行如图2所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为 【解析】选 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 8\. .对任意两个非零的平面向量和，定义；若两个非零的平面向量满足， 与的夹角，且都在集合中，则( ) 【解析】选 都在集合中得： **二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。** **(一）必做题（11-13题）** 9\. 函数的定义域为\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 【解析】定义域为\_\_\_\_\_\_ > 中的满足：或 10\. 等比数列满足，则 【解析】 > 11\. 由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是，且标准差等于， > > 则这组数据为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。（从小到大排列） > > 【解析】这组数据为\_\_\_\_\_\_\_\_\_ > > 不妨设得： > > ①如果有一个数为或；则其余数为，不合题意 > > ②只能取；得：这组数据为 3. **选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）** 14\. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为 是参数，）和是参数），它们的交点坐标为\_\_\_\_\_\_\_. ![](./data/image/media/image5677.png){width="1.4583333333333333in" height="1.3125in"}【解析】它们的交点坐标为\_\_\_\_\_\_\_ 解得：交点坐标为 15.(几何证明选讲选做题）如图所示，直线与圆想切于点， 是弦上的点，，若， 则\_\_\_\_\_\_\_。 【解析】\_\_\_\_\_\_\_ 得： **三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。** 12. (本小题满分12分) 已知函数，且。 （1）求的值； （2）设，；求的值 【解析】（1） （2） 13. ![](./data/image/media/image5691.png){width="2.2604166666666665in" height="2.2395833333333335in"}(本小题满分13分) 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图 如图4所示，其中成绩分组区间是： \[50,60\]\[60,70\]\[70,80\]\[80,90\]\[90,100\]。 （1）求图中的值； （2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； （3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩 相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在 \[50，90）之外的人数。 ![](./data/image/media/image5695.png){width="4.302083333333333in" height="0.7291666666666666in"} 【解析】（1） （2）平均分为 （3）数学成绩在内的人数为人 数学成绩在外的人数为人 答：（1） （2）这100名学生语文成绩的平均分为 （3）数学成绩在外的人数为人。 18.(本小题满分13分) ![](./data/image/media/image5696.png){width="2.2604166666666665in" height="1.90625in"}如图5所示，在四棱锥中，平面，，是中点， 是上的点，且，为中边上的高。 （1）证明：平面； （2）若，求三棱锥的体积； （3）证明：平面． 【解析】（1）平面，面 又面 （2）是中点点到面的距离 三棱锥的体积 （3）取的中点为，连接 ，又平面面面面 点是棱的中点 得：平面 19.(本小题满分14分) 设数列的前项和为，数列的前项和为，满足． （1）求的值；（2）求数列的通项公式。 【解析】（1）在中，令 （2），相减得： ，，相减得： ，得 得：数列是以为首项，公比为的等比数列 20.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点， 且在在上。 （1）求的方程； （2）设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程 【解析】（1）由题意得： 故椭圆的方程为： （2）①设直线，直线与椭圆相切 直线与抛物线相切，得：不存在 ②设直线 直线与椭圆相切两根相等 直线与抛物线相切两根相等 解得：或 21.（本小题满分14分） 设，集合，，。 （1）求集合（用区间表示） （2）求函数在内的极值点。 【解析】（1）对于方程 判别式 因为，所以 5. 当时，，此时，所以； 6. 当时，，此时，所以； 当时，，设方程的两根为且，则 ， 7. 当时，，，所以 > 此时， （2）， 所以函数在区间上为减函数，在区间和上为增函数 ①是极点 ②是极点 得： 时，函数极值点为，时，函数极值点为与 2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） ============================================ 数学（理科） 本试题卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题。满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．方程![lfxlby](./data/image/media/image5730.wmf){width="1.0in" height="0.25in"}的一个根是 A．![lfxlby](./data/image/media/image5731.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5732.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image5733.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image5734.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"} **考点分析：**本题考察复数的一元二次方程求根. **难易度**：★ **解析：**根据复数求根公式：![lfxlby](./data/image/media/image5735.wmf){width="2.0833333333333335in" height="0.5in"}，所以方程的一个根为![lfxlby](./data/image/media/image5731.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} 答案为A. 2．命题"![lfxlby](./data/image/media/image5736.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5737.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}"的否定是 A．![lfxlby](./data/image/media/image5738.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5739.wmf){width="0.5in" height="0.25in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5740.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5741.wmf){width="0.5in" height="0.25in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image5742.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5743.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image5744.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5745.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"} **考点分析：**本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别. **难易度**：★ **解析：**根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定。因此选D **3**．**已知二次函数**![lfxlby](./data/image/media/image5746.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}**的图象如图所示，则它与**![lfxlby](./data/image/media/image5747.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}**轴所围图形的面积为** A．![lfxlby](./data/image/media/image5751.wmf){width="0.25in" height="0.4166666666666667in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5752.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image5753.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image5754.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} **考点分析：**本题考察利用定积分求面积. **难易度**：★ **解析：**根据图像可得： ![lfxlby](./data/image/media/image5755.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}**，再由定积分的几何意义，可求得面积为**![lfxlby](./data/image/media/image5756.wmf){width="2.5in" height="0.4166666666666667in"}**.** 4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几 何体的体积为 A．![lfxlby](./data/image/media/image5757.wmf){width="0.25in" height="0.4166666666666667in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5758.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image5759.wmf){width="0.25in" height="0.4166666666666667in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image5760.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} **考点分析：**本题考察空间几何体的三视图. **难易度：**★ **解析：**显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为![lfxlby](./data/image/media/image5758.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}.选B. 5．设![lfxlby](./data/image/media/image5761.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}，且![lfxlby](./data/image/media/image5762.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}，若![lfxlby](./data/image/media/image5763.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}能被 13整除，则![lfxlby](./data/image/media/image5764.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} A．0 B．1 C．11 D．12 **考点分析：**本题考察二项展开式的系数. **难易度：**★ **解析：**由于 51=52-1，![lfxlby](./data/image/media/image5765.wmf){width="3.5833333333333335in" height="0.25in"}, 又由于13\|52,所以只需13\|1+a，0≤a\<13,所以a=12选D. 6．设![lfxlby](./data/image/media/image5766.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}是正数，且![lfxlby](./data/image/media/image5767.wmf){width="1.0in" height="0.25in"}， ![lfxlby](./data/image/media/image5768.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5769.wmf){width="1.0in" height="0.25in"}， 则![lfxlby](./data/image/media/image5770.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} A．![lfxlby](./data/image/media/image5771.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5772.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image5773.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image5774.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} **考点分析：**本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件. **难易度：**★★ **解析：**由于![lfxlby](./data/image/media/image5775.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5776.wmf){width="2.9166666666666665in" height="0.25in"} 等号成立当且仅当![lfxlby](./data/image/media/image5777.wmf){width="1.0in" height="0.4166666666666667in"}则a=t x b=t y c=t z ，![lfxlby](./data/image/media/image5778.wmf){width="1.4166666666666667in" height="0.25in"} 所以由题知![lfxlby](./data/image/media/image5779.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}![lfxlby](./data/image/media/image5780.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}又![lfxlby](./data/image/media/image5781.wmf){width="3.0833333333333335in" height="0.4166666666666667in"}，答案选C. **7**．**定义在**![lfxlby](./data/image/media/image5782.wmf){width="1.0in" height="0.25in"}**上的函数**![lfxlby](./data/image/media/image5783.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}**，如果对于任意给定的等比数列**![lfxlby](./data/image/media/image5784.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}**，** ![lfxlby](./data/image/media/image5785.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}**仍** > **是等比数列，**则称![lfxlby](./data/image/media/image5786.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}为"保等比数列函数". 现有**定义在**![lfxlby](./data/image/media/image5787.wmf){width="1.0in" height="0.25in"}**上的**如下函 > > 数： > > ①![lfxlby](./data/image/media/image5788.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}； ②![lfxlby](./data/image/media/image5789.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}； ③![lfxlby](./data/image/media/image5790.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}； ④![lfxlby](./data/image/media/image5791.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}. > > 则其中是"保等比数列函数"的![lfxlby](./data/image/media/image5792.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的序号为 3. ① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ **考点分析：**本题考察等比数列性质及函数计算. **难易度**：★ **解析：**等比数列性质，![lfxlby](./data/image/media/image5793.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，①![lfxlby](./data/image/media/image5794.wmf){width="2.8333333333333335in" height="0.3333333333333333in"}； ②![lfxlby](./data/image/media/image5795.wmf){width="3.4166666666666665in" height="0.25in"}；③![lfxlby](./data/image/media/image5796.wmf){width="3.0in" height="0.3333333333333333in"}；④![lfxlby](./data/image/media/image5797.wmf){width="3.3333333333333335in" height="0.3333333333333333in"}.选C > ![](./data/image/media/image5798.png){width="1.5104166666666667in" height="1.5in"}8．如图，在圆心角为直角的扇形*OAB*中，分别以*OA*，*OB*为直径作两个半圆. 在扇形*OAB* > > 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A．![lfxlby](./data/image/media/image5799.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5800.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image5801.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image5802.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} **考点分析：**本题考察几何概型及平面图形面积求法. **难易度**：★ ![](./data/image/media/image5803.png){width="1.6180555555555556in" height="1.5833333333333333in"}**解析：**令![lfxlby](./data/image/media/image5804.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，扇形*OAB*为对称图形，*ACBD*围成面积为![lfxlby](./data/image/media/image5805.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，围成*OC*为![lfxlby](./data/image/media/image5806.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，作对称轴*OD*，则过*C*点。![lfxlby](./data/image/media/image5806.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}即为以*OA*为直径的半圆面积减去三角形*OAC*的面积，![lfxlby](./data/image/media/image5807.wmf){width="2.25in" height="0.5in"}。在扇形*OAD*中![lfxlby](./data/image/media/image5808.wmf){width="0.25in" height="0.4166666666666667in"}为扇形面积减去三角形*OAC*面积和![lfxlby](./data/image/media/image5809.wmf){width="0.25in" height="0.4166666666666667in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5810.wmf){width="2.0in" height="0.4166666666666667in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5811.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.4166666666666667in"}，扇形*OAB*面积![lfxlby](./data/image/media/image5812.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.4166666666666667in"}，选A. 9．函数![lfxlby](./data/image/media/image5813.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}在区间![lfxlby](./data/image/media/image5814.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}上的零点个数为 A．4 B．5 C．6 D．7 **考点分析：**本题考察三角函数的周期性以及零点的概念. **难易度**：★ **解析：**![lfxlby](./data/image/media/image5815.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image5816.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}或![lfxlby](./data/image/media/image5817.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5818.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"}，又![lfxlby](./data/image/media/image5819.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5820.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"} 所以共有6个解.选C. 10．我国古代数学名著《九章算术》中"开立圆术"曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. "开立圆术"相当于给出了已知球的体积![lfxlby](./data/image/media/image5821.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，求其直径![lfxlby](./data/image/media/image5822.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的一个近似公式![lfxlby](./data/image/media/image5823.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据![lfxlby](./data/image/media/image5824.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.16666666666666666in"}判断，下列近似公式中最精确的一个是 2. ![lfxlby](./data/image/media/image5825.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image5826.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image5827.wmf){width="0.75in" height="0.4166666666666667in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image5828.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} **考点分析：**考察球的体积公式以及估算. **难易度：**★★ **解析：** ![lfxlby](./data/image/media/image5829.wmf){width="5.768055555555556in" height="1.2305555555555556in"} 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11---14题） 11．设△![lfxlby](./data/image/media/image5830.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}的内角![lfxlby](./data/image/media/image5831.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5832.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5833.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}所对的边分别为![lfxlby](./data/image/media/image5834.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5835.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5836.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}. 若![lfxlby](./data/image/media/image5837.wmf){width="1.5in" height="0.25in"}，则角![lfxlby](./data/image/media/image5838.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} [ ]{.underline} ． **考点分析：**考察余弦定理的运用. **难易度：**★ **解析：** ![lfxlby](./data/image/media/image5839.wmf){width="4.833333333333333in" height="0.9166666666666666in"} 12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果![lfxlby](./data/image/media/image5840.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} [ ]{.underline} . ![](./data/image/media/image5841.png){width="2.160416666666667in" height="2.765277777777778in"} **考点分析：本题考查程序框图.** **难易度**：★★ **解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示：** **第一圈循环：当n=1时，得s=1，a=3.** **第二圈循环: 当n=2时，得s=4，a=5** **第三圈循环：当n=3时，得s=9，a=7** **此时n=3，不再循环，所以解s=9 .** 13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，...，99．3位回文数有90个：101，111，121，...，191，202，...，999．则 > （Ⅰ）4位回文数有 [ ]{.underline} 个； > > （Ⅱ）![lfxlby](./data/image/media/image5842.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}位回文数有 [ ]{.underline} 个． **考点分析：本题考查排列、组合的应用.** **难易度**：★★ **解析：**（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1\~9）种情况，第二位有10（0\~9）种情况，所以4位回文数有![lfxlby](./data/image/media/image5843.wmf){width="0.75in" height="0.16666666666666666in"}种。 答案：90 （Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为![lfxlby](./data/image/media/image5844.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}. > 法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的"00,11,22,......99"，因此四位数的回文数有90个按此规律推导![lfxlby](./data/image/media/image5845.png){width="1.0in" height="0.25in"},而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0\~9这十个数，因此![lfxlby](./data/image/media/image5846.png){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"},则答案为![lfxlby](./data/image/media/image5844.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}. 14．如图，双曲线![lfxlby](./data/image/media/image5847.wmf){width="1.25in" height="0.4166666666666667in"}的两顶点为![lfxlby](./data/image/media/image5848.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5849.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，虚轴两端点为![lfxlby](./data/image/media/image5850.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5851.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，两焦点为![lfxlby](./data/image/media/image5852.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5853.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}. 若以![lfxlby](./data/image/media/image5854.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}为直径的圆内切于菱形![lfxlby](./data/image/media/image5855.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，切点分别为![lfxlby](./data/image/media/image5856.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}. 则 （Ⅰ）双曲线的离心率![lfxlby](./data/image/media/image5857.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} [ ]{.underline} ； （Ⅱ）菱形![lfxlby](./data/image/media/image5858.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}的面积![lfxlby](./data/image/media/image5859.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}与矩形![lfxlby](./data/image/media/image5860.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}的面积![lfxlby](./data/image/media/image5861.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的比值![lfxlby](./data/image/media/image5862.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"} [ ]{.underline} . **考点分析：**本题考察**双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积计算.** **难易度**：★★ **解析：**（Ⅰ）由于以![lfxlby](./data/image/media/image5854.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}为直径的圆内切于菱形![lfxlby](./data/image/media/image5855.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，因此点![lfxlby](./data/image/media/image5863.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}到直线![lfxlby](./data/image/media/image5864.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的距离为![lfxlby](./data/image/media/image5865.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，又由于虚轴两端点为![lfxlby](./data/image/media/image5850.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5851.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，因此![lfxlby](./data/image/media/image5866.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的长为![lfxlby](./data/image/media/image5867.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，那么在![lfxlby](./data/image/media/image5868.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}中，由三角形的面积公式知，![lfxlby](./data/image/media/image5869.wmf){width="2.25in" height="0.4166666666666667in"}，又由双曲线中存在关系![lfxlby](./data/image/media/image5870.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}联立可得出![lfxlby](./data/image/media/image5871.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，根据![lfxlby](./data/image/media/image5872.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}解出![lfxlby](./data/image/media/image5873.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.5in"} （Ⅱ）设![lfxlby](./data/image/media/image5874.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"},很显然知道![lfxlby](./data/image/media/image5875.wmf){width="1.5833333333333333in" height="0.25in"},![lfxlby](./data/image/media/image2378.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.25in"}因此![lfxlby](./data/image/media/image5876.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}.在![lfxlby](./data/image/media/image5877.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}中求得![lfxlby](./data/image/media/image5878.wmf){width="2.5in" height="0.5in"}故![lfxlby](./data/image/media/image5879.wmf){width="2.0in" height="0.4166666666666667in"}； 菱形![lfxlby](./data/image/media/image5855.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}的面积![lfxlby](./data/image/media/image5880.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，再根据第一问中求得的![lfxlby](./data/image/media/image5881.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}值可以解出![lfxlby](./data/image/media/image5882.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.5in"}. （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲） 如图，点*D*在![lfxlby](./data/image/media/image5883.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的弦*AB*上移动，![lfxlby](./data/image/media/image5884.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，连接*OD*，过点*D* 作![lfxlby](./data/image/media/image5885.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的垂线交![lfxlby](./data/image/media/image5886.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}于点*C*，则*CD*的最大值为 [ ]{.underline} . **考点分析：**本题考察**直线与圆的位置关系** **难易度**：★ **解析：**（由于![lfxlby](./data/image/media/image5887.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}因此![lfxlby](./data/image/media/image5888.wmf){width="1.4166666666666667in" height="0.25in"},线段![lfxlby](./data/image/media/image5889.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}长为定值， 即需求解线段![lfxlby](./data/image/media/image5890.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}长度的最小值，根据**弦中点到圆心的距离最短，此** **时**![lfxlby](./data/image/media/image5891.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}**为**![lfxlby](./data/image/media/image5892.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}**的中点，点**![lfxlby](./data/image/media/image5893.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}**与点**![lfxlby](./data/image/media/image5894.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}**重合，因此**![lfxlby](./data/image/media/image5895.wmf){width="1.25in" height="0.4166666666666667in"}**.** 16．（选修4-4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系*xOy*中，以原点*O*为极点，*x*轴的正半轴为极轴 建立极坐标系. 已知射线![lfxlby](./data/image/media/image5896.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"}与曲线![lfxlby](./data/image/media/image5897.wmf){width="0.75in" height="0.5in"}（*t*为参数） 相交于*A*，*B*两点，则线段*AB*的中点的直角坐标为 [ ]{.underline} . **考点分析：本题考察平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.** **难易度**：★ **解析：**![lfxlby](./data/image/media/image5896.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"}在直角坐标系下的一般方程为![lfxlby](./data/image/media/image5898.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，将参数方程![lfxlby](./data/image/media/image5897.wmf){width="0.75in" height="0.5in"}（*t*为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为![lfxlby](./data/image/media/image5899.wmf){width="2.3333333333333335in" height="0.25in"}表示一条抛物线，联立上面两个方程消去![lfxlby](./data/image/media/image5900.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}有![lfxlby](./data/image/media/image5901.wmf){width="1.0in" height="0.25in"}，设![lfxlby](./data/image/media/image5902.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}两点及其中点![lfxlby](./data/image/media/image5903.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的横坐标分别为![lfxlby](./data/image/media/image5904.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，则有韦达定理![lfxlby](./data/image/media/image5905.wmf){width="1.25in" height="0.4166666666666667in"},又由于点![lfxlby](./data/image/media/image5906.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}点在直线![lfxlby](./data/image/media/image5907.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}上，因此![lfxlby](./data/image/media/image5908.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的中点![lfxlby](./data/image/media/image5909.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.4166666666666667in"}. 三、解答题 17．解： （Ⅰ）因为 . 由直线![lfxlby](./data/image/media/image5910.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}是图象的一条对称轴，可得![lfxlby](./data/image/media/image5911.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.4166666666666667in"}， 所以![lfxlby](./data/image/media/image5912.wmf){width="1.5833333333333333in" height="0.4166666666666667in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image5913.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.4166666666666667in"}． 又![lfxlby](./data/image/media/image5914.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5915.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，所以![lfxlby](./data/image/media/image5916.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}，故![lfxlby](./data/image/media/image5917.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"}. 所以![lfxlby](./data/image/media/image5918.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的最小正周期是![lfxlby](./data/image/media/image5919.wmf){width="0.25in" height="0.4166666666666667in"}. （Ⅱ）由的图象过点![lfxlby](./data/image/media/image5920.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"}，得![lfxlby](./data/image/media/image5921.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.4166666666666667in"}， 即![lfxlby](./data/image/media/image5922.wmf){width="2.3333333333333335in" height="0.4166666666666667in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image5923.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}. 故![lfxlby](./data/image/media/image5924.wmf){width="1.5833333333333333in" height="0.4166666666666667in"}， 由，有， 所以，得， 故函数![lfxlby](./data/image/media/image5925.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}在![lfxlby](./data/image/media/image5926.wmf){width="0.5in" height="0.4166666666666667in"}上的取值范围为. 18．**解：** （Ⅰ）设**等差数列**![lfxlby](./data/image/media/image5927.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}**的公差为**![lfxlby](./data/image/media/image5928.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}**，则**![lfxlby](./data/image/media/image5929.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}**，**![lfxlby](./data/image/media/image5930.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}**，** **由题意得**![lfxlby](./data/image/media/image5931.wmf){width="1.5in" height="0.5in"} **解得或** **所以由等差数列通项公式可得** **，或.** 故，**或.** （Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列； **当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.** **故** 记**数列的前项和为.** **当时，；当时，；** **当时，** **. 当时，满足此式.** **综上，** 19．解： （Ⅰ）**解法1：**在如图1所示的△中，设，则． 由，知，△为等腰直角三角形，所以. > 由折起前知，折起后（如图2），，，且， > > 所以平面．又，所以．于是 > > ，（lbylfx） > > 当且仅当，即时，等号成立， > > 故当，即时, 三棱锥的体积最大． **解法2：** 同解法1，得． > 令，由，且，解得． > > 当时，；当时，． > > 所以当时，取得最大值． > > 故当时, 三棱锥的体积最大． （Ⅱ）**解法1：**以为原点，建立如图*a*所示的空间直角坐标系． 由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，． 于是可得，，，，，， 且． 设，则. 因为等价于，即 ，故，. 所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，． 设平面的一个法向量为，由 及， 得 可取． 设与平面所成角的大小为，则由，，可得 ，即． 故与平面所成角的大小为 **解法2：**由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，． > 如图*b*，取的中点，连结，，，则∥. > > 由（Ⅰ）知平面，所以平面. > > 如图*c*，延长至*P*点使得，连，，则四边形为正方形， > > 所以. 取的中点，连结，又为的中点，则∥， > > 所以. 因为平面，又面，所以. > > 又，所以面. 又面，所以. > > 因为当且仅当，而点*F*是唯一的，所以点是唯一的. 即当（即是的靠近点的一个四等分点），． 连接，，由计算得， 所以△与△是两个共底边的全等的等腰三角形， 如图*d*所示，取的中点，连接，， 则平面．在平面中，过点作于， 则平面．故是与平面所成的角． 在△中，易得，所以△是正三角形， 故，即与平面所成角的大小为 20．解： **（Ⅰ）**由已知条件和概率的加法公式有： > ， > > . > > . > > 所以的分布列为： +---+-----+-----+-----+-------+ | | > 0 | > 2 | > 6 | > 10 | +---+-----+-----+-----+-------+ | | 0.3 | 0.4 | 0.2 | > 0.1 | +---+-----+-----+-----+-------+ > 于是，； . > 故工期延误天数的均值为3，方差为. **（Ⅱ）由概率的加法公式**， 又. **由条件概率，得.** **故在**降水量***X***至少是**mm**的条件下，工期延误不超过6天的概率是. 21．解： （Ⅰ）如图1，设，，则由， 可得，，所以，. ① 因为点在单位圆上运动，所以. ② 将①式代入②式即得所求曲线的方程为. 因为，所以 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为，； 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为![lfxlby](./data/image/media/image5932.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，. （Ⅱ）**解法1：**如图2、3，，设，，则，， 直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得 . 依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得 ，即. 因为点*H*在直线*QN*上，所以. 于是，. 而等价于， 即，又![lfxlby](./data/image/media/image5933.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，得， 故存在，使得在其对应的椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5934.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}上，对任意的![lfxlby](./data/image/media/image5935.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}，都有![lfxlby](./data/image/media/image5936.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}. **解法2：**如图2、3，![lfxlby](./data/image/media/image5937.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，设![lfxlby](./data/image/media/image5938.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5939.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image5940.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5941.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}， 因为![lfxlby](./data/image/media/image5942.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5943.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}两点在椭圆上，所以 两式相减可得 . ③ 依题意，由点![lfxlby](./data/image/media/image5942.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在第一象限可知，点![lfxlby](./data/image/media/image5943.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}也在第一象限，且![lfxlby](./data/image/media/image5942.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5943.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}不重合， 故. 于是由③式可得 ![lfxlby](./data/image/media/image5944.wmf){width="1.5in" height="0.4166666666666667in"}. ④ 又![lfxlby](./data/image/media/image5945.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5946.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，三点共线，所以，即. 于是由④式可得![lfxlby](./data/image/media/image5947.wmf){width="3.1666666666666665in" height="0.4166666666666667in"}. 而![lfxlby](./data/image/media/image5948.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}等价于![lfxlby](./data/image/media/image5949.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image5950.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，又![lfxlby](./data/image/media/image5933.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，得![lfxlby](./data/image/media/image5951.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}， > 故存在![lfxlby](./data/image/media/image5952.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}，使得在其对应的椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5934.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}上，对任意的![lfxlby](./data/image/media/image5935.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}，都有![lfxlby](./data/image/media/image5936.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}. 22．解： （Ⅰ），令，解得. 当时，，所以在内是减函数； 当 时，，所以在内是增函数. 故函数在处取得最小值. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，有，即 ① 若，中有一个为0，则成立； 若，均不为0，又![lfxlby](./data/image/media/image5953.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，可得，于是 在①中令，，可得， 即，亦即. 综上，对，，为正有理数且，总有. ② （Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为： > 设为非负实数，为正有理数. > > 若，则. ③ 用数学归纳法证明如下： （1）当时，，有，③成立. > （2）假设当时，③成立，即若为非负实数，为正有理数， > > 且，则. 当时，已知为非负实数，为正有理数， 且，此时，即，于是 =. 因，由归纳假设可得 ， 从而. 又因，由②得 ， 从而. 故当时，③成立. > 由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立. 说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对成立，则后续证明中不需讨论的情况. 2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） ============================================ 数学（文史类）试题参考答案 一、选择题： A卷：1．D 2．B 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．D 9．A 10．C 二、填空题： 11． 6 12． 3 13．（Ⅰ）![lfxlby](./data/image/media/image5954.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.4166666666666667in"}；（Ⅱ）![lfxlby](./data/image/media/image5955.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"} 14． 2 15．![lfxlby](./data/image/media/image5956.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} 16． 9 17．（Ⅰ）5030；（Ⅱ）![lfxlby](./data/image/media/image5957.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} 三、解答题： 18．解：（Ⅰ）因为![lfxlby](./data/image/media/image5958.wmf){width="2.94375in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image5959.wmf){width="1.7361111111111112in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image5960.wmf){width="1.2361111111111112in" height="0.3888888888888889in"}. 由直线![lfxlby](./data/image/media/image5910.wmf){width="0.375in" height="0.16666666666666666in"}是![lfxlby](./data/image/media/image5961.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.20833333333333334in"}图象的一条对称轴，可得![lfxlby](./data/image/media/image5911.wmf){width="1.0965277777777778in" height="0.3888888888888889in"}， 所以![lfxlby](./data/image/media/image5912.wmf){width="1.5555555555555556in" height="0.3888888888888889in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image5913.wmf){width="1.1527777777777777in" height="0.3888888888888889in"}． 又![lfxlby](./data/image/media/image5914.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.3888888888888889in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5915.wmf){width="0.375in" height="0.18055555555555555in"}，所以![lfxlby](./data/image/media/image5916.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.18055555555555555in"}，故![lfxlby](./data/image/media/image5917.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.3888888888888889in"}. 所以![lfxlby](./data/image/media/image5918.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的最小正周期是![lfxlby](./data/image/media/image5919.wmf){width="0.2361111111111111in" height="0.3888888888888889in"}. （Ⅱ）由![lfxlby](./data/image/media/image5962.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.20833333333333334in"}的图象过点![lfxlby](./data/image/media/image5920.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.3888888888888889in"}，得![lfxlby](./data/image/media/image5921.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.3888888888888889in"}， 即![lfxlby](./data/image/media/image5922.wmf){width="2.3055555555555554in" height="0.3888888888888889in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image5923.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.2222222222222222in"}. 故![lfxlby](./data/image/media/image5924.wmf){width="1.5694444444444444in" height="0.3888888888888889in"}，函数![lfxlby](./data/image/media/image5925.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的值域为![lfxlby](./data/image/media/image5963.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}. 19．解：（Ⅰ）因为四棱柱![lfxlby](./data/image/media/image5964.wmf){width="1.1527777777777777in" height="0.2222222222222222in"}的侧面是全等的矩形， 所以![lfxlby](./data/image/media/image5965.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.2222222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5966.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}. 又因为![lfxlby](./data/image/media/image5967.wmf){width="0.8465277777777778in" height="0.19375in"}，所以![lfxlby](./data/image/media/image5968.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.2222222222222222in"}平面ABCD. 连接BD，因为![lfxlby](./data/image/media/image5969.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.16666666666666666in"}平面ABCD，所以![lfxlby](./data/image/media/image5970.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.2222222222222222in"}. 因为底面ABCD是正方形，所以![lfxlby](./data/image/media/image5971.wmf){width="0.625in" height="0.18055555555555555in"}. 根据棱台的定义可知，BD与B1 D1共面. 又已知平面ABCD∥平面![lfxlby](./data/image/media/image5972.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.2222222222222222in"}，且平面![lfxlby](./data/image/media/image5973.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}![lfxlby](./data/image/media/image5974.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.19375in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image5975.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.18055555555555555in"}， 平面![lfxlby](./data/image/media/image5976.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.2222222222222222in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image5977.wmf){width="0.9861111111111112in" height="0.2222222222222222in"}，所以B1 D1∥BD. 于是 由![lfxlby](./data/image/media/image5978.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.2222222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5979.wmf){width="0.625in" height="0.18055555555555555in"}，B1 D1∥BD，可得![lfxlby](./data/image/media/image5980.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.2222222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5981.wmf){width="0.6805555555555556in" height="0.2222222222222222in"}. 又因为![lfxlby](./data/image/media/image5982.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.2222222222222222in"}，所以![lfxlby](./data/image/media/image5983.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.2222222222222222in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image5984.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.2222222222222222in"}. （Ⅱ）因为四棱柱![lfxlby](./data/image/media/image5985.wmf){width="1.1527777777777777in" height="0.2222222222222222in"}的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以 ![lfxlby](./data/image/media/image5986.wmf){width="4.763888888888889in" height="0.25in"}. 又因为四棱台![lfxlby](./data/image/media/image5987.wmf){width="1.1111111111111112in" height="0.2222222222222222in"}的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形， 所以![lfxlby](./data/image/media/image5988.wmf){width="3.861111111111111in" height="0.3888888888888889in"} ![lfxlby](./data/image/media/image5989.wmf){width="3.361111111111111in" height="0.4305555555555556in"}. 于是该实心零部件的表面积为![lfxlby](./data/image/media/image5990.wmf){width="2.375in" height="0.2361111111111111in"}， 故所需加工处理费为![lfxlby](./data/image/media/image5991.wmf){width="1.4305555555555556in" height="0.18055555555555555in"}（元）. 20．解：（Ⅰ）设等差数列![lfxlby](./data/image/media/image5927.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.2222222222222222in"}的公差为![lfxlby](./data/image/media/image5928.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.18055555555555555in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image5929.wmf){width="0.6805555555555556in" height="0.2222222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5930.wmf){width="0.75in" height="0.2222222222222222in"}， 由题意得![lfxlby](./data/image/media/image5931.wmf){width="1.4583333333333333in" height="0.4583333333333333in"} 解得![lfxlby](./data/image/media/image5992.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.4583333333333333in"}或![lfxlby](./data/image/media/image5993.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.4583333333333333in"} 所以由等差数列通项公式可得 ![lfxlby](./data/image/media/image5994.wmf){width="1.5416666666666667in" height="0.2222222222222222in"}，或![lfxlby](./data/image/media/image5995.wmf){width="1.5416666666666667in" height="0.2222222222222222in"}. 故![lfxlby](./data/image/media/image5996.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.2222222222222222in"}，或![lfxlby](./data/image/media/image5997.wmf){width="0.6805555555555556in" height="0.2222222222222222in"}. （Ⅱ）当![lfxlby](./data/image/media/image5998.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.2222222222222222in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image5999.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6000.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6001.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.2222222222222222in"}分别为![lfxlby](./data/image/media/image6002.wmf){width="0.19375in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6003.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6004.wmf){width="0.125in" height="0.16666666666666666in"}，不成等比数列； 当![lfxlby](./data/image/media/image6005.wmf){width="0.6805555555555556in" height="0.2222222222222222in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image6006.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6007.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6008.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.2222222222222222in"}分别为![lfxlby](./data/image/media/image6009.wmf){width="0.19375in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6010.wmf){width="0.125in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6011.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}，成等比数列，满足条件. 故![lfxlby](./data/image/media/image6012.wmf){width="2.0416666666666665in" height="0.4583333333333333in"} 记数列![lfxlby](./data/image/media/image6013.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.2222222222222222in"}的前![lfxlby](./data/image/media/image6014.wmf){width="0.125in" height="0.1388888888888889in"}项和为![lfxlby](./data/image/media/image6015.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.2222222222222222in"}. 当![lfxlby](./data/image/media/image6016.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.18055555555555555in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image6017.wmf){width="0.69375in" height="0.2222222222222222in"}；当![lfxlby](./data/image/media/image6018.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.18055555555555555in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image6019.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.2222222222222222in"}； 当![lfxlby](./data/image/media/image6020.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.18055555555555555in"}时， ![lfxlby](./data/image/media/image6021.wmf){width="1.8194444444444444in" height="0.2222222222222222in"}![lfxlby](./data/image/media/image6022.wmf){width="2.486111111111111in" height="0.20833333333333334in"} ![lfxlby](./data/image/media/image6023.wmf){width="2.5694444444444446in" height="0.3888888888888889in"}. 当![lfxlby](./data/image/media/image6024.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.18055555555555555in"}时，满足此式. 综上，![lfxlby](./data/image/media/image6025.wmf){width="1.7638888888888888in" height="0.625in"} 21．解：（Ⅰ）如图1，设![lfxlby](./data/image/media/image6026.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.20833333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6027.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.2222222222222222in"}，则由![lfxlby](./data/image/media/image6028.wmf){width="1.9305555555555556in" height="0.2222222222222222in"}， 可得![lfxlby](./data/image/media/image6029.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.2222222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6030.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.2222222222222222in"}，所以![lfxlby](./data/image/media/image6031.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.2222222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6032.wmf){width="0.75in" height="0.3888888888888889in"}. ① 因为![lfxlby](./data/image/media/image6033.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.16666666666666666in"}点在单位圆上运动，所以![lfxlby](./data/image/media/image6034.wmf){width="0.75in" height="0.2361111111111111in"}. ② 将①式代入②式即得所求曲线![lfxlby](./data/image/media/image6035.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}的方程为![lfxlby](./data/image/media/image6036.wmf){width="1.7083333333333333in" height="0.4027777777777778in"}. 因为![lfxlby](./data/image/media/image6037.wmf){width="1.19375in" height="0.20833333333333334in"}，所以 当![lfxlby](./data/image/media/image6038.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.18055555555555555in"}时，曲线![lfxlby](./data/image/media/image6039.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}是焦点在![lfxlby](./data/image/media/image6040.wmf){width="0.125in" height="0.1388888888888889in"}轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为![lfxlby](./data/image/media/image6041.wmf){width="0.8465277777777778in" height="0.2638888888888889in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6042.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.2638888888888889in"}； 当![lfxlby](./data/image/media/image6043.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.18055555555555555in"}时，曲线![lfxlby](./data/image/media/image6044.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}是焦点在![lfxlby](./data/image/media/image6045.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.16666666666666666in"}轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为![lfxlby](./data/image/media/image5932.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.2638888888888889in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6046.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.2638888888888889in"}. （Ⅱ）解法1：如图2、3，![lfxlby](./data/image/media/image6047.wmf){width="0.44375in" height="0.18055555555555555in"}，设![lfxlby](./data/image/media/image6048.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.2222222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6049.wmf){width="0.6111111111111112in" height="0.2222222222222222in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6050.wmf){width="0.8194444444444444in" height="0.2222222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6051.wmf){width="0.5965277777777778in" height="0.2222222222222222in"}， 直线![lfxlby](./data/image/media/image6052.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.20833333333333334in"}的方程为![lfxlby](./data/image/media/image6053.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.2222222222222222in"}，将其代入椭圆![lfxlby](./data/image/media/image6054.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}的方程并整理可得 ![lfxlby](./data/image/media/image6055.wmf){width="2.3055555555555554in" height="0.2361111111111111in"}. 依题意可知此方程的两根为![lfxlby](./data/image/media/image6056.wmf){width="0.2361111111111111in" height="0.2222222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6057.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}，于是由韦达定理可得 ![lfxlby](./data/image/media/image6058.wmf){width="1.3194444444444444in" height="0.4166666666666667in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image6059.wmf){width="0.875in" height="0.4166666666666667in"}. 因为点H在直线QN上，所以![lfxlby](./data/image/media/image6060.wmf){width="1.6111111111111112in" height="0.4166666666666667in"}. 于是![lfxlby](./data/image/media/image6061.wmf){width="1.2083333333333333in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6062.wmf){width="2.9583333333333335in" height="0.4166666666666667in"}. 而![lfxlby](./data/image/media/image6063.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.20833333333333334in"}等价于![lfxlby](./data/image/media/image6064.wmf){width="1.7916666666666667in" height="0.4166666666666667in"}， 即![lfxlby](./data/image/media/image6065.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.20833333333333334in"}，又![lfxlby](./data/image/media/image5933.wmf){width="0.375in" height="0.18055555555555555in"}，得![lfxlby](./data/image/media/image6066.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.2222222222222222in"}， 故存在![lfxlby](./data/image/media/image6067.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.2222222222222222in"}，使得在其对应的椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5934.wmf){width="0.69375in" height="0.4027777777777778in"}上，对任意的![lfxlby](./data/image/media/image5935.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.18055555555555555in"}， 都有![lfxlby](./data/image/media/image5936.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.20833333333333334in"}. 解法2：如图2、3，![lfxlby](./data/image/media/image5937.wmf){width="0.69375in" height="0.2222222222222222in"}，设![lfxlby](./data/image/media/image5938.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.2222222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5939.wmf){width="0.6111111111111112in" height="0.2222222222222222in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image5940.wmf){width="0.7777777777777778in" height="0.2222222222222222in"}， ![lfxlby](./data/image/media/image5941.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.2222222222222222in"}， 因为![lfxlby](./data/image/media/image5942.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5943.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.16666666666666666in"}两点在椭圆![lfxlby](./data/image/media/image6077.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}上，所以![lfxlby](./data/image/media/image6078.wmf){width="1.1527777777777777in" height="0.5in"} 两式相减可得 ![lfxlby](./data/image/media/image6079.wmf){width="1.75in" height="0.2361111111111111in"}. ③ 依题意，由点![lfxlby](./data/image/media/image5942.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.16666666666666666in"}在第一象限可知，点![lfxlby](./data/image/media/image5943.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.16666666666666666in"}也在第一象限，且![lfxlby](./data/image/media/image5942.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5943.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.16666666666666666in"}不重合， 故![lfxlby](./data/image/media/image6080.wmf){width="1.2361111111111112in" height="0.2222222222222222in"}. 于是由③式可得 ![lfxlby](./data/image/media/image5944.wmf){width="1.4583333333333333in" height="0.4166666666666667in"}. ④ 又![lfxlby](./data/image/media/image5945.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.20833333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5946.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6081.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.16666666666666666in"}三点共线，所以![lfxlby](./data/image/media/image6082.wmf){width="0.6111111111111112in" height="0.25in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image6083.wmf){width="0.8465277777777778in" height="0.4166666666666667in"}. 于是由④式可得![lfxlby](./data/image/media/image5947.wmf){width="3.125in" height="0.4305555555555556in"}. 而![lfxlby](./data/image/media/image5948.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.20833333333333334in"}等价于![lfxlby](./data/image/media/image5949.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image5950.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.4027777777777778in"}，又![lfxlby](./data/image/media/image5933.wmf){width="0.375in" height="0.18055555555555555in"}，得![lfxlby](./data/image/media/image5951.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.2222222222222222in"}， 故存在![lfxlby](./data/image/media/image5952.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.2222222222222222in"}，使得在其对应的椭圆![lfxlby](./data/image/media/image5934.wmf){width="0.69375in" height="0.4027777777777778in"}上，对任意的![lfxlby](./data/image/media/image5935.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.18055555555555555in"}，都有 ![lfxlby](./data/image/media/image5936.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.20833333333333334in"}. 22．解：（Ⅰ）因为![lfxlby](./data/image/media/image6084.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.20833333333333334in"}，由点![lfxlby](./data/image/media/image6085.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.20833333333333334in"}在![lfxlby](./data/image/media/image6086.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.20833333333333334in"}上，可得![lfxlby](./data/image/media/image6087.wmf){width="0.5in" height="0.18055555555555555in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image6088.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.18055555555555555in"}. 因为![lfxlby](./data/image/media/image6089.wmf){width="1.5833333333333333in" height="0.2638888888888889in"}，所以![lfxlby](./data/image/media/image6090.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.20833333333333334in"}. 又因为切线![lfxlby](./data/image/media/image6091.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.20833333333333334in"}的斜率为![lfxlby](./data/image/media/image6092.wmf){width="0.19375in" height="0.16666666666666666in"}，所以![lfxlby](./data/image/media/image6093.wmf){width="0.5in" height="0.18055555555555555in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image6094.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.18055555555555555in"}. 故![lfxlby](./data/image/media/image6095.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.18055555555555555in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6096.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.18055555555555555in"}. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，![lfxlby](./data/image/media/image6097.wmf){width="1.6111111111111112in" height="0.2361111111111111in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6098.wmf){width="1.69375in" height="0.3888888888888889in"}. 令![lfxlby](./data/image/media/image6099.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，解得![lfxlby](./data/image/media/image6100.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.3888888888888889in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image6101.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.20833333333333334in"}在![lfxlby](./data/image/media/image6102.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}上有唯一零点![lfxlby](./data/image/media/image6103.wmf){width="0.6111111111111112in" height="0.3888888888888889in"}. 在![lfxlby](./data/image/media/image6104.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.3888888888888889in"}上，![lfxlby](./data/image/media/image6105.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，故![lfxlby](./data/image/media/image6106.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}单调递增； 而在![lfxlby](./data/image/media/image6107.wmf){width="0.69375in" height="0.3888888888888889in"}上，![lfxlby](./data/image/media/image6108.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6109.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}单调递减. 故![lfxlby](./data/image/media/image6110.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}在![lfxlby](./data/image/media/image6111.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}上的最大值为![lfxlby](./data/image/media/image6112.wmf){width="2.375in" height="0.4305555555555556in"}. （Ⅲ）令![lfxlby](./data/image/media/image6113.wmf){width="1.4305555555555556in" height="0.3888888888888889in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6114.wmf){width="1.6111111111111112in" height="0.3888888888888889in"}. 在![lfxlby](./data/image/media/image6115.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.20833333333333334in"}上，![lfxlby](./data/image/media/image6116.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，故![lfxlby](./data/image/media/image6117.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}单调递减； 而在![lfxlby](./data/image/media/image6118.wmf){width="0.5in" height="0.20833333333333334in"}上![lfxlby](./data/image/media/image6119.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6120.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}单调递增. 故![lfxlby](./data/image/media/image6121.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}在![lfxlby](./data/image/media/image6122.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}上的最小值为![lfxlby](./data/image/media/image6123.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.20833333333333334in"}. 所以![lfxlby](./data/image/media/image6124.wmf){width="0.9305555555555556in" height="0.20833333333333334in"}， 即![lfxlby](./data/image/media/image6125.wmf){width="1.0138888888888888in" height="0.3888888888888889in"}. 令![lfxlby](./data/image/media/image6126.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.3888888888888889in"}，得![lfxlby](./data/image/media/image6127.wmf){width="0.9027777777777778in" height="0.3888888888888889in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image6128.wmf){width="1.0416666666666667in" height="0.3888888888888889in"}， 所以![lfxlby](./data/image/media/image6129.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.3888888888888889in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image6130.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.4305555555555556in"}. 由（Ⅱ）知，![lfxlby](./data/image/media/image6131.wmf){width="1.3194444444444444in" height="0.4305555555555556in"}，故所证不等式成立. 2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） ============================================ 数学（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M={-1,0,1}，N={x\|x^2^≤x}，则M∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0} 【答案】B 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image6132.wmf){width="0.8166666666666667in" height="0.275in"} M={-1,0,1} ![lfxlby](./data/image/media/image6133.wmf){width="0.15in" height="0.14166666666666666in"}M∩N={0,1}. 【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分. 先求出![lfxlby](./data/image/media/image6134.wmf){width="0.6833333333333333in" height="0.275in"},再利用交集定义得出M∩N. 2.命题"若α=![lfxlby](./data/image/media/image6135.wmf){width="0.18333333333333332in" height="0.43333333333333335in"}，则tanα=1"的逆否命题是 A.若α≠![lfxlby](./data/image/media/image6135.wmf){width="0.18333333333333332in" height="0.43333333333333335in"}，则tanα≠1 B. 若α=![lfxlby](./data/image/media/image6135.wmf){width="0.18333333333333332in" height="0.43333333333333335in"}，则tanα≠1 C. 若tanα≠1，则α≠![lfxlby](./data/image/media/image6135.wmf){width="0.18333333333333332in" height="0.43333333333333335in"} D. 若tanα≠1，则α=![lfxlby](./data/image/media/image6135.wmf){width="0.18333333333333332in" height="0.43333333333333335in"} 【答案】C 【解析】因为"若![lfxlby](./data/image/media/image6136.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18333333333333332in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6137.wmf){width="0.14166666666666666in" height="0.18333333333333332in"}"的逆否命题为"若![lfxlby](./data/image/media/image6138.wmf){width="0.26666666666666666in" height="0.18333333333333332in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6139.wmf){width="0.26666666666666666in" height="0.18333333333333332in"}"，所以 "若α=![lfxlby](./data/image/media/image6135.wmf){width="0.18333333333333332in" height="0.43333333333333335in"}，则tanα=1"的逆否命题是 "若tanα≠1，则α≠![lfxlby](./data/image/media/image6135.wmf){width="0.18333333333333332in" height="0.43333333333333335in"}". 【点评】本题考查了"若p，则q"形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力. 3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是 ![lfxlby](./data/image/media/image6140.png){width="4.125in" height="2.2416666666666667in"} 【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形. 【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 4.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x~i~，y~i~）（i=1，2，...，n），用最小二乘法建立的回归方程为![lfxlby](./data/image/media/image6141.wmf){width="0.15in" height="0.275in"}=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（![lfxlby](./data/image/media/image6142.wmf){width="0.14166666666666666in" height="0.23333333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6143.wmf){width="0.15in" height="0.26666666666666666in"}） C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg 【答案】D 【解析】【解析】由回归方程为![lfxlby](./data/image/media/image6141.wmf){width="0.15in" height="0.275in"}=0.85x-85.71知随的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知，所以回归直线过样本点的中心（![lfxlby](./data/image/media/image6142.wmf){width="0.14166666666666666in" height="0.23333333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6143.wmf){width="0.15in" height="0.26666666666666666in"}），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错. 5\. 已知双曲线C ：![lfxlby](./data/image/media/image6144.wmf){width="0.23333333333333334in" height="0.4583333333333333in"}-![lfxlby](./data/image/media/image6145.wmf){width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为 A．![lfxlby](./data/image/media/image6146.wmf){width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}-![lfxlby](./data/image/media/image6147.wmf){width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}=1 B.![lfxlby](./data/image/media/image6148.wmf){width="0.23333333333333334in" height="0.4583333333333333in"}-![lfxlby](./data/image/media/image6149.wmf){width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}=1 C.![lfxlby](./data/image/media/image6150.wmf){width="0.23333333333333334in" height="0.4583333333333333in"}-![lfxlby](./data/image/media/image6149.wmf){width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}=1 D.![lfxlby](./data/image/media/image6146.wmf){width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}-![lfxlby](./data/image/media/image6151.wmf){width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}=1\[w\~\#ww.zz&st\^ep.com@\] 【答案】A 【解析】设双曲线C ：![lfxlby](./data/image/media/image6144.wmf){width="0.23333333333333334in" height="0.4583333333333333in"}-![lfxlby](./data/image/media/image6145.wmf){width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}=1的半焦距为，则. 又C 的渐近线为，点P （2,1）在C 的渐近线上，，即. 又，，C的方程为![lfxlby](./data/image/media/image6146.wmf){width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}-![lfxlby](./data/image/media/image6147.wmf){width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}=1. 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型. 6\. 函数f（x）=sinx-cos(x+![lfxlby](./data/image/media/image6152.wmf){width="0.18333333333333332in" height="0.43333333333333335in"})的值域为 A． \[ -2 ,2\] B.\[-![lfxlby](./data/image/media/image6153.wmf){width="0.25in" height="0.25in"},![lfxlby](./data/image/media/image6154.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}\] C.\[-1,1 \] D.\[-![lfxlby](./data/image/media/image6155.wmf){width="0.275in" height="0.475in"} , ![lfxlby](./data/image/media/image6156.wmf){width="0.275in" height="0.475in"}\] 【答案】B 【解析】f（x）=sinx-cos(x+![lfxlby](./data/image/media/image6152.wmf){width="0.18333333333333332in" height="0.43333333333333335in"})，，值域为\[-![lfxlby](./data/image/media/image6153.wmf){width="0.25in" height="0.25in"},![lfxlby](./data/image/media/image6154.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}\]. 【点评】利用三角恒等变换把化成的形式，利用，求得的值域. 7\. 在△ABC中，AB=2，AC=3，![lfxlby](./data/image/media/image6157.wmf){width="0.5583333333333333in" height="0.23333333333333334in"}= 1则![lfxlby](./data/image/media/image6158.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.225in"}.\[中&%国教\*\^育出版\~网\] A.![lfxlby](./data/image/media/image6159.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} B.![lfxlby](./data/image/media/image6160.wmf){width="0.26666666666666666in" height="0.25in"} C.![lfxlby](./data/image/media/image6161.wmf){width="0.35in" height="0.23333333333333334in"} D.![lfxlby](./data/image/media/image6162.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 【答案】A 【解析】由下图知![lfxlby](./data/image/media/image6157.wmf){width="0.5583333333333333in" height="0.23333333333333334in"}. .又由余弦定理知，解得. 【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意的夹角为的外角. 8．已知两条直线![lfxlby](./data/image/media/image6163.wmf){width="0.125in" height="0.25in"} ：*y*=*m* 和![lfxlby](./data/image/media/image6164.wmf){width="0.14166666666666666in" height="0.25in"}： y=![lfxlby](./data/image/media/image6165.wmf){width="0.48333333333333334in" height="0.43333333333333335in"}(*m*＞0)，![lfxlby](./data/image/media/image6163.wmf){width="0.125in" height="0.25in"}与函数![lfxlby](./data/image/media/image6166.wmf){width="0.7666666666666667in" height="0.275in"}的图像从左至右相交于点A，B ，![lfxlby](./data/image/media/image6164.wmf){width="0.14166666666666666in" height="0.25in"}与函数![lfxlby](./data/image/media/image6166.wmf){width="0.7666666666666667in" height="0.275in"}的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，![lfxlby](./data/image/media/image6167.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.43333333333333335in"}的最小值为\[来源%&:中国\~\*教育\#出版网\] A．![lfxlby](./data/image/media/image6168.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.23333333333333334in"} B.![lfxlby](./data/image/media/image6169.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.23333333333333334in"} C.![lfxlby](./data/image/media/image6170.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.23333333333333334in"} D.![lfxlby](./data/image/media/image6171.wmf){width="0.35in" height="0.23333333333333334in"} 【答案】B 【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=![lfxlby](./data/image/media/image6165.wmf){width="0.48333333333333334in" height="0.43333333333333335in"}(m＞0)，![lfxlby](./data/image/media/image6166.wmf){width="0.7666666666666667in" height="0.275in"}图像如下图， 由= m，得，= ![lfxlby](./data/image/media/image6165.wmf){width="0.48333333333333334in" height="0.43333333333333335in"}，得. 依照题意得. ，. 【点评】在同一坐标系中作出y=m，y=![lfxlby](./data/image/media/image6165.wmf){width="0.48333333333333334in" height="0.43333333333333335in"}(m＞0)，![lfxlby](./data/image/media/image6166.wmf){width="0.7666666666666667in" height="0.275in"}图像，结合图像可解得. 二 、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题（请考生在第9、10、 11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ） 9\. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线![lfxlby](./data/image/media/image6172.wmf){width="0.19166666666666668in" height="0.25in"}：![lfxlby](./data/image/media/image6173.wmf){width="0.7333333333333333in" height="0.5in"} (t为参数)与曲线![lfxlby](./data/image/media/image6174.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"} ：![lfxlby](./data/image/media/image6175.wmf){width="0.85in" height="0.5in"} (![lfxlby](./data/image/media/image6176.wmf){width="0.14166666666666666in" height="0.19166666666666668in"}为参数，![lfxlby](./data/image/media/image6177.wmf){width="0.39166666666666666in" height="0.19166666666666668in"}) 有一个公共点在X轴上，则![lfxlby](./data/image/media/image6178.wmf){width="0.48333333333333334in" height="0.18333333333333332in"}. 【答案】 【解析】曲线![lfxlby](./data/image/media/image6172.wmf){width="0.19166666666666668in" height="0.25in"}：直角坐标方程为，与轴交点为； 曲线![lfxlby](./data/image/media/image6174.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"} ：直角坐标方程为，其与轴交点为， 由，曲线![lfxlby](./data/image/media/image6172.wmf){width="0.19166666666666668in" height="0.25in"}与曲线![lfxlby](./data/image/media/image6174.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}有一个公共点在X轴上，知. 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线![lfxlby](./data/image/media/image6172.wmf){width="0.19166666666666668in" height="0.25in"}与曲线![lfxlby](./data/image/media/image6174.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与轴交点，即可求得. 10.不等式\|2x+1\|-2\|x-1\|\>0的解集为\_\_\_\_\_\_\_. 【答案】 【解析】令，则由得的解集为. 【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）. 11.如图2，过点P的直线与圆O相交于A，B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于\_\_\_\_\_\_\_. 【答案】 【解析】设交圆O于C，D，如图，设圆的半径为R，由割线定理知 【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知，从而求得圆的半径. (二)必做题（12\~16题） 12.已知复数![lfxlby](./data/image/media/image6183.wmf){width="0.7333333333333333in" height="0.25in"} (i为虚数单位)，则\|z\|=\_\_\_\_\_. 【答案】10 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image6183.wmf){width="0.7333333333333333in" height="0.25in"}=，. 【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的形式，利用 求得. 13.( ![lfxlby](./data/image/media/image6184.wmf){width="0.35in" height="0.25in"}-![lfxlby](./data/image/media/image6185.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.4583333333333333in"})^6^的二项展开式中的常数项为 [ ]{.underline} .（用数字作答） 【答案】-160 【解析】( ![lfxlby](./data/image/media/image6184.wmf){width="0.35in" height="0.25in"}-![lfxlby](./data/image/media/image6185.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.4583333333333333in"})^6^的展开式项公式是.由题意知，所以二项展开式中的常数项为. 【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14.如果执行如图3所示的程序框图，输入![lfxlby](./data/image/media/image6186.wmf){width="0.475in" height="0.19166666666666668in"},*n*=3,则输出的数*S*= [.]{.underline} ![lfxlby](./data/image/media/image6187.jpeg){width="1.75in" height="3.2333333333333334in"} 【答案】 【解析】输入![lfxlby](./data/image/media/image6186.wmf){width="0.475in" height="0.19166666666666668in"},*n*=3,，执行过程如下：；；，所以输出的是. 【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错. 15.函数f（x）=sin (![lfxlby](./data/image/media/image6188.wmf){width="0.5in" height="0.19166666666666668in"})的导函数![lfxlby](./data/image/media/image6189.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.225in"}的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点. （1）若![lfxlby](./data/image/media/image6190.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.43333333333333335in"}，点P的坐标为（0，![lfxlby](./data/image/media/image6191.wmf){width="0.35in" height="0.475in"}），则![lfxlby](./data/image/media/image6192.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.15in"} [ ]{.underline} ; （2）若在曲线段![lfxlby](./data/image/media/image6193.wmf){width="0.39166666666666666in" height="0.25in"}与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为 [ ]{.underline} . ![lfxlby](./data/image/media/image6194.jpeg){width="1.7833333333333334in" height="2.191666666666667in"} 【答案】（1）3；（2）（lbylfx） 【解析】（1）![lfxlby](./data/image/media/image6189.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.225in"}，当![lfxlby](./data/image/media/image6190.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.43333333333333335in"}，点P的坐标为（0，![lfxlby](./data/image/media/image6191.wmf){width="0.35in" height="0.475in"}）时 ； （2）由图知，，设的横坐标分别为. 设曲线段![lfxlby](./data/image/media/image6193.wmf){width="0.39166666666666666in" height="0.25in"}与x轴所围成的区域的面积为则，由几何概型知该点在△ABC内的概率为. 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P在图像上求， （2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得. 16.设*N*=2*^n^*（*n*∈N^\*^，*n*≥2），将N个数x~1~,x~2~,...，x~N~依次放入编号为1,2，...，N的N个位置，得到排列P~0~=x~1~x~2~...x~N~.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前![lfxlby](./data/image/media/image6195.wmf){width="0.225in" height="0.43333333333333335in"}和后![lfxlby](./data/image/media/image6196.wmf){width="0.225in" height="0.43333333333333335in"}个位置，得到排列P~1~=x~1~x~3~...x~N-1~x~2~x~4~...x~N~，将此操作称为C变换，将P~1~分成两段，每段![lfxlby](./data/image/media/image6197.wmf){width="0.225in" height="0.43333333333333335in"}个数，并对每段作C变换，得到![lfxlby](./data/image/media/image6198.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}；当2≤i≤n-2时，将P~i~分成2^i^段，每段![lfxlby](./data/image/media/image6199.wmf){width="0.225in" height="0.43333333333333335in"}个数，并对每段C变换，得到P~i+1~，例如，当N=8时，P~2~=x~1~x~5~x~3~x~7~x~2~x~6~x~4~x~8~，此时x~7~位于P~2~中的第4个位置. （1）当N=16时，x~7~位于P~2~中的第\_\_\_个位置； （2）当N=2^n^（n≥8）时，x~173~位于P~4~中的第\_\_\_个位置. 【答案】（1）6；（2） 【解析】（1）当N=16时, ,可设为, ,即为, ,即, x~7~位于P~2~中的第6个位置,； （2）方法同（1）,归纳推理知x~173~位于P~4~中的第个位置. 【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. --------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------- -------- --------- -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------ 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数（人） ![lfxlby](./data/image/media/image6200.wmf){width="0.14166666666666666in" height="0.15in"} 30 25 ![lfxlby](./data/image/media/image6201.wmf){width="0.15in" height="0.18333333333333332in"} 10 结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3 --------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------- -------- --------- -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------ 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％. （Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；\[&%中国教育出\~版网\*\#\] （Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率. （注：将频率视为概率）\[中%\#国教\*育\^出版网\~\] 【解析】（1）由已知,得所以 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 的分布为 --- --- ----- --- ----- --- X 1 1.5 2 2.5 3 P --- --- ----- --- ----- --- X的数学期望为 . （Ⅱ）记A为事件"该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟"，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则 . 由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以 . 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为. 【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知 从而解得，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率. 18.（本小题满分12分） 如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.\[来源%:\*中\#国教\~育出\@版网\] （Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE； （Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积. ![lfxlby](./data/image/media/image6202.png){width="2.8in" height="2.55in"} 【解析】 解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，， Ｅ是ＣＤ的中点，所以 所以 而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作 由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且. 由知，为直线与平面所成的角. 由题意，知 因为所以 由所以四边形是平行四边形，故于是 在中，所以 　　　　　　　 于是 又梯形的面积为所以四棱锥的体积为 　　　　　　　　　 ![lfxlby](./data/image/media/image6203.jpeg){width="4.875in" height="2.191666666666667in"} 解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为： （Ⅰ）易知因为 所以而是平面内的两条相交直线，所以 (Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与 所成的角和PB与所成的角相等，所以 由（Ⅰ）知，由故 解得. 又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为 . 【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积. 19.（本小题满分12分） 已知数列{*a~n~*}的各项均为正数，记*A*（*n*）=*a*~1~+*a*~2~+......+*a*~n~，*B*（*n*）=*a*~2~+*a*~3~+......+*a~n~*~+1~，*C*（*n*）=*a*~3~+*a*~4~+......+*a~n~*~+2~，*n*=1,2，...... \[来\^&源:中教网@\~%\] 1. 若*a*~1~=1，*a*~2~=5，且对任意*n*∈N﹡，三个数*A*（*n*），*B*（*n*），*C*（*n*）组成等差数列，求数列{ *a~n~* }的通项公式. 2. 证明：数列{ *a~n~* }是公比为*q*的等比数列的充分必要条件是：对任意![lfxlby](./data/image/media/image6204.wmf){width="0.475in" height="0.225in"}，三个数*A*（*n*），*B*（*n*），*C*（*n*）组成公比为*q*的等比数列. 【解析】 解（１）对任意![lfxlby](./data/image/media/image6204.wmf){width="0.475in" height="0.225in"},三个数是等差数列，所以 　　　　　　　　　　　　 即亦即 故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是 （Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为*ｑ*的等比数列，则对任意![lfxlby](./data/image/media/image6204.wmf){width="0.475in" height="0.225in"}，有 由知，均大于０，于是 　　　　 　　　　 即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列. （２）充分性：若对于任意![lfxlby](./data/image/media/image6204.wmf){width="0.475in" height="0.225in"}，三个数组成公比为的等比数列， 则 　　　， 于是得即 　　　 由有即，从而. 因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列， 综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列. 【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证. 20.（本小题满分13分）\[来\#源:中教%&\*网\~\] 某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）. （１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间； （２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案. 【解析】 解：（Ⅰ）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为 由题设有 期中均为1到200之间的正整数. （Ⅱ）完成订单任务的时间为其定义域为 易知，为减函数，为增函数.注意到 于是 （1）当时， 此时 ， 由函数的单调性知，当时取得最小值，解得 .由于 . 故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为. （2）当时， 由于为正整数，故，此时易知为增函数，则 . 由函数的单调性知，当时取得最小值，解得.由于 此时完成订单任务的最短时间大于. （3）当时， 由于为正整数，故，此时由函数的单调性知， 当时取得最小值，解得.类似（1）的讨论.此时 完成订单任务的最短时间为，大于. 综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数 分别为44,88,68. 【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想. 21.（本小题满分13分）\[www.z%zstep.co\*\~&m\^\] 在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的点均在C~2~：（x-5）^2^＋y^2^=9外，且对C~1~上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C~2~上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C~1~的方程； （Ⅱ）设P(x~0~,y~0~)（y~0~≠±3）为圆C~2~外一点，过P作圆C~2~的两条切线，分别与曲线C~1~相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值. 【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M的坐标为，由已知得 ， 易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以 . 化简得曲线的方程为. 解法2 ：由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为. （Ⅱ）当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆 相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为.于是 整理得 ① 设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故 ② 由得 ③ 设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以 ④ 同理可得 ⑤ 于是由②，④，⑤三式得 . 所以，当P在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400. 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值，体现"设而不求"思想. 22.（本小题满分13分） 已知函数![lfxlby](./data/image/media/image6205.wmf){width="0.375in" height="0.225in"}=![lfxlby](./data/image/media/image6206.wmf){width="0.6in" height="0.225in"}，其中*a*≠0.\[来源\^:zz\#\~s&tep.\@com\] 1. 若对一切x∈R，![lfxlby](./data/image/media/image6205.wmf){width="0.375in" height="0.225in"}≥1恒成立，求*a*的取值集合. **（2）在函数**![lfxlby](./data/image/media/image6205.wmf){width="0.375in" height="0.225in"}**的图像上取定两点**![lfxlby](./data/image/media/image6207.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}**，**![lfxlby](./data/image/media/image6208.wmf){width="0.8583333333333333in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image6209.wmf){width="0.6083333333333333in" height="0.25in"}**，记直线AB的斜率为K，**问：是否存在x~0~∈（x~1~，x~2~），使![lfxlby](./data/image/media/image6210.wmf){width="0.725in" height="0.25in"}成立？若存在，求![lfxlby](./data/image/media/image6211.wmf){width="0.18333333333333332in" height="0.25in"}的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解析】（Ⅰ）若，则对一切，![lfxlby](./data/image/media/image6205.wmf){width="0.375in" height="0.225in"}，这与题设矛盾，又， 故. 而令 当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值 于是对一切恒成立，当且仅当 　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　① 令则 当时，单调递增；当时，单调递减. 故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，①式成立. 综上所述，的取值集合为. （Ⅱ）由题意知， 令则 令，则. 当时，单调递减；当时，单调递增. 故当，即 从而，又 所以 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， . 综上所述，存在使成立.且的取值范围为 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) ![lfxlby](./data/image/media/image6212.wmf){width="0.14166666666666666in" height="0.16666666666666666in"}1恒成立转化为，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断. 2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） ============================================ 数学（文科） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1\. 设集合M=![lfxlby](./data/image/media/image6213.wmf){width="0.59375in" height="0.28125in"}，N=![lfxlby](./data/image/media/image6214.wmf){width="0.7604166666666666in" height="0.3020833333333333in"}，则M∩N=（　Ｂ　） A．![lfxlby](./data/image/media/image6213.wmf){width="0.59375in" height="0.28125in"} 　　 B．![lfxlby](./data/image/media/image6215.wmf){width="0.375in" height="0.28125in"} 　　　　 C．![lfxlby](./data/image/media/image6216.wmf){width="0.23958333333333334in" height="0.28125in"} 　　　　　D．![lfxlby](./data/image/media/image6217.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.28125in"} 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image6218.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"} 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image6132.wmf){width="0.8229166666666666in" height="0.28125in"} M={-1,0,1} ![lfxlby](./data/image/media/image6133.wmf){width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}M∩N={0,1} 【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出![lfxlby](./data/image/media/image6134.wmf){width="0.6770833333333334in" height="0.28125in"}，再利用交集定义得出M∩N. 2．复数![lfxlby](./data/image/media/image6219.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.21875in"}（![lfxlby](./data/image/media/image6220.wmf){width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}为虚数单位）的共轭复数是（　A　） A．![lfxlby](./data/image/media/image6221.wmf){width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}　　　　　　B．![lfxlby](./data/image/media/image6222.wmf){width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image6223.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.19791666666666666in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image6224.wmf){width="0.3020833333333333in" height="0.19791666666666666in"} 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image6225.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"} 【解析】由z=i（i+1）=![lfxlby](./data/image/media/image6226.wmf){width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}，及共轭复数定义得![lfxlby](./data/image/media/image6227.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}. 【点评】本题考查复数代数形式的四则运算及复数的基本概念，考查基本运算能力.先把Z化成标准的形式，然后由共轭复数定义得出. 3．命题"若![lfxlby](./data/image/media/image6228.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6229.wmf){width="0.6145833333333334in" height="0.19791666666666666in"}"的逆否命题是（　C　） A．若![lfxlby](./data/image/media/image6230.wmf){width="0.46875in" height="0.4270833333333333in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6231.wmf){width="0.625in" height="0.19791666666666666in"} B． 若![lfxlby](./data/image/media/image6228.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6231.wmf){width="0.625in" height="0.19791666666666666in"} C．若![lfxlby](./data/image/media/image6231.wmf){width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6230.wmf){width="0.46875in" height="0.4270833333333333in"} D． 若![lfxlby](./data/image/media/image6231.wmf){width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6228.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.4270833333333333in"} 【答案】 【解析】因为"若![lfxlby](./data/image/media/image6136.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6137.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}"的逆否命题为"若![lfxlby](./data/image/media/image6138.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6139.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}"，所以 "若α=![lfxlby](./data/image/media/image6135.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，则tanα=1"的逆否命题是 "若tanα≠1，则α≠![lfxlby](./data/image/media/image6135.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}". 【点评】本题考查了"若p，则q"形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力. 4.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是 ![lfxlby](./data/image/media/image6140.png){width="4.125in" height="2.2291666666666665in"} 【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形. 【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年来热点题型. 5．设某大学的女生体重*y*（单位：kg）与身高*x*（单位：cm）具有线性相关关系，根据 > 一组样本数据（*x*~i~，*y*~i~）（![lfxlby](./data/image/media/image6220.wmf){width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}=1，2，...，n），用最小二乘法建立的回归方程为![lfxlby](./data/image/media/image6141.wmf){width="0.15625in" height="0.28125in"}=0.85*x*-85.71，则下列结论中不正确的是（　D　） A．*y*与*x*具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心![lfxlby](./data/image/media/image6232.wmf){width="0.40625in" height="0.2604166666666667in"} C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg 【答案】D 【解析】由回归方程为![lfxlby](./data/image/media/image6141.wmf){width="0.15625in" height="0.28125in"}=0.85x-85.71知随的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知，所以回归直线过样本点的中心（![lfxlby](./data/image/media/image6142.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.23958333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6143.wmf){width="0.15625in" height="0.2604166666666667in"}），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错. 6．已知双曲线C ：![lfxlby](./data/image/media/image6233.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.4583333333333333in"}的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上， 则C的方程为（　A　） A．![lfxlby](./data/image/media/image6234.wmf){width="0.8020833333333334in" height="0.4583333333333333in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image6235.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.4583333333333333in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image6236.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.4583333333333333in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image6237.wmf){width="0.8020833333333334in" height="0.4583333333333333in"} 【答案】A 【解析】设双曲线C ：![lfxlby](./data/image/media/image6144.wmf){width="0.23958333333333334in" height="0.4583333333333333in"}-![lfxlby](./data/image/media/image6145.wmf){width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}=1的半焦距为，则. 又C 的渐近线为，点P （2,1）在C 的渐近线上，，即. 又，，C的方程为![lfxlby](./data/image/media/image6146.wmf){width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}-![lfxlby](./data/image/media/image6147.wmf){width="0.25in" height="0.4583333333333333in"}=1. 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型. 7．设 *a*＞*b*＞1 ，![lfxlby](./data/image/media/image6238.wmf){width="0.375in" height="0.19791666666666666in"}，给出下列三个结论： ① ![lfxlby](./data/image/media/image6239.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＞![lfxlby](./data/image/media/image6240.wmf){width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"} ② ![lfxlby](./data/image/media/image6241.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.21875in"}＜![lfxlby](./data/image/media/image6242.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"} ③![lfxlby](./data/image/media/image6243.wmf){width="1.65625in" height="0.25in"}． 其中所有的正确结论的序号是（　 D　） A ．① 　　　　　B．① ② 　　　　　C ．② ③ 　　　　D．① ②③ 【答案】D 【解析】由不等式及*a*＞*b*＞1知，又![lfxlby](./data/image/media/image6238.wmf){width="0.375in" height="0.19791666666666666in"}，所以![lfxlby](./data/image/media/image6239.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＞![lfxlby](./data/image/media/image6240.wmf){width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"}，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由*a*＞*b*＞1，![lfxlby](./data/image/media/image6238.wmf){width="0.375in" height="0.19791666666666666in"}知，由对数函数的图像与性质知③正确. 【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质，不等关系，考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点. 8．在△ABC中，AC=![lfxlby](./data/image/media/image6244.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.25in"}，BC=2，B =60°，则BC边上的高等于（　Ｂ　） A ．![lfxlby](./data/image/media/image6245.wmf){width="0.28125in" height="0.46875in"} 　　　　 B．![lfxlby](./data/image/media/image6246.wmf){width="0.34375in" height="0.46875in"} 　　　　 C．![lfxlby](./data/image/media/image6247.wmf){width="0.625in" height="0.46875in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image6248.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.46875in"} 【答案】B 【解析】设，在△ABC中，由余弦定理知， 即，又 设BC边上的高等于，由三角形面积公式，知 ，解得. 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容. 9．设定义在*R*上的函数![lfxlby](./data/image/media/image6249.wmf){width="0.375in" height="0.21875in"}是最小正周期为2π的偶函数，![lfxlby](./data/image/media/image6250.wmf){width="0.40625in" height="0.21875in"}是![lfxlby](./data/image/media/image6251.wmf){width="0.375in" height="0.21875in"}的导函数． > 当*x*∈\[0,π\] 时，0＜![lfxlby](./data/image/media/image6252.wmf){width="0.375in" height="0.21875in"}＜1； 当*x*∈（0，π） 且![lfxlby](./data/image/media/image6253.wmf){width="0.4479166666666667in" height="0.4270833333333333in"}时 ，![lfxlby](./data/image/media/image6254.wmf){width="0.8854166666666666in" height="0.4270833333333333in"}＞0 ． > > 则函数![lfxlby](./data/image/media/image6255.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.21875in"}在\[-2π，2π\] 上的零点个数为（　Ｂ　） A ．2 　　　　　　 B ．4 　　　　　　C ．5 D． 8 【答案】Ｂ 【解析】由当x∈（0，π） 且x≠时 ，，知 又时，0＜*f*(*x*)＜1，在R上的函数*f*(*x*)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出和草图像如下，由图知y=f(x)-sinx在\[-2π，2π\] 上的零点个数为4个. 【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题. 二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题.每小题5分共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题，（请考生在第10，,1两题中任选一题作答，如果全做 ，则按前一题记分） 10．在极坐标系中，曲线![lfxlby](./data/image/media/image6256.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}：![lfxlby](./data/image/media/image6257.wmf){width="1.53125in" height="0.2604166666666667in"}与曲线![lfxlby](./data/image/media/image6258.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}：![lfxlby](./data/image/media/image6259.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}![lfxlby](./data/image/media/image6260.wmf){width="0.5in" height="0.21875in"} 的一个交点在极轴上，则*a*= [ ]{.underline} ． 【答案】 【解析】曲线![lfxlby](./data/image/media/image6256.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}的直角坐标方程是，曲线![lfxlby](./data/image/media/image6258.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的普通方程是直角坐标方程 ，因为曲线C~1~：与曲线C~2~：![lfxlby](./data/image/media/image6260.wmf){width="0.5in" height="0.21875in"}的一个交点在极轴上，所以![lfxlby](./data/image/media/image6256.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}与轴交点横坐标与值相等，由，知＝. 【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查转化的思想、方程的思想，考查运算能力；题型年年有，难度适中.把曲线![lfxlby](./data/image/media/image6256.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}与曲线![lfxlby](./data/image/media/image6258.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与轴交点，即得. 11．某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃\~63℃，精确度要求![lfxlby](./data/image/media/image6261.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.17708333333333334in"}℃．用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少实验次数为 [ ]{.underline} ． 【答案】７ 【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7. 【点评】本题考查优选法中的分数法，考查基本运算能力. (二)必做题（12\~16题）\[中\#国\~教育@\*出%版网\] 12．不等式![lfxlby](./data/image/media/image6262.wmf){width="0.9895833333333334in" height="0.21875in"}的解集为 [ ]{.underline} ． 【答案】 【解析】由x^2^-5x+6≤0，得，从而的不等式x^2^-5x+6≤0的解集为. 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查简单的运算能力. 13．图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场 比赛中得分的方差为 [ ]{.underline} ． ![](./data/image/media/image6263.wmf)(注：方差![lfxlby](./data/image/media/image6264.wmf){width="2.90625in" height="0.4270833333333333in"}， 其中![lfxlby](./data/image/media/image6265.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.23958333333333334in"}为*x*~1~，*x*~2~，...，*x*~n~的平均数) 【答案】6.8 【解析】， . 【点评】本题考查统计中的茎叶图方差等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力. 14．如果执行如图3所示的程序框图，输入![lfxlby](./data/image/media/image6266.wmf){width="0.5104166666666666in" height="0.19791666666666666in"}，则输出的数![lfxlby](./data/image/media/image6267.wmf){width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"} [ ]{.underline} ． ![lfxlby](./data/image/media/image6268.png){width="3.7083333333333335in" height="2.6145833333333335in"}\[中国%教&育\*\@出版\~网\] 【答案】4 【解析】算法的功能是赋值，通过四次赋值得，输出. 【点评】本题考查算法流程图，考查分析问题解决问题的能力，平时学习时注意对分析问题能力的培养. 15．如图4，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP ＝3，则![lfxlby](./data/image/media/image6269.wmf){width="0.71875in" height="0.23958333333333334in"} [　]{.underline} ． 【答案】18 【解析】设，则，= . 【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法. 16．对于![lfxlby](./data/image/media/image6270.wmf){width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}，将![lfxlby](./data/image/media/image6271.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}表示为![lfxlby](./data/image/media/image6272.wmf){width="2.9166666666666665in" height="0.2604166666666667in"}， > 当![lfxlby](./data/image/media/image6273.wmf){width="0.34375in" height="0.19791666666666666in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image6274.wmf){width="0.40625in" height="0.25in"}，当![lfxlby](./data/image/media/image6275.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.19791666666666666in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image6276.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}为0或1．定义![lfxlby](./data/image/media/image6277.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.25in"}如下：在![lfxlby](./data/image/media/image6271.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的上述表示中， > > 当![lfxlby](./data/image/media/image6278.wmf){width="1.0104166666666667in" height="0.25in"}中等于1的个数为奇数时，b~n~=1；否则b~n~=0． （1）![lfxlby](./data/image/media/image6279.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.25in"} [ ]{.underline} ； （2）记c~m~为数列{b~n~}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数， 则c~m~的最大值是 [ ]{.underline} ． 【答案】（1）3；（2）2. 【解析】（1）观察知；； 一次类推；； ；，，， *b*~2~+*b*~4~+*b*~6~+*b*~8~=３；（2）由（1）知*c~m~*的最大值为２. 【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. --------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------- -------- --------- ----------------------------------------------------------------------------------------------- ------------ 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数（人） ![lfxlby](./data/image/media/image6200.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"} 30 25 ![lfxlby](./data/image/media/image6201.wmf){width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"} 10 结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3 --------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------- -------- --------- ----------------------------------------------------------------------------------------------- ------------ 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％. （Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； （Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率） 【解析】（Ⅰ）由已知得，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为: (分钟). （Ⅱ）记A为事件"一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟"，分别表示事件"该顾客一次购物的结算时间为1分钟"， "该顾客一次购物的结算时间为分钟"， "该顾客一次购物的结算时间为2分钟".将频率视为概率，得 . 是互斥事件， . 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为. 【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，知从而解得，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率. 18.（本小题满分12分） 已知函数![lfxlby](./data/image/media/image6280.wmf){width="2.96875in" height="0.4270833333333333in"}的部分图像如图5所示. （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）求函数![lfxlby](./data/image/media/image6281.wmf){width="1.9583333333333333in" height="0.4270833333333333in"}的单调递增区间. ![lfxlby](./data/image/media/image6282.jpeg){width="1.3125in" height="1.3958333333333333in"} 【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期. 因为点在函数图像上，所以. 又即. 又点在函数图像上，所以，故函数f（x）的解析式为 （Ⅱ） 由得 的单调递增区间是 【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期从而求得.再利用特殊点在图像上求出，从而求出f（x）的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及的单调性求得. 19.（本小题满分12分） 如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD. （Ⅰ）证明：BD⊥PC； （Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积. ![lfxlby](./data/image/media/image6283.png){width="2.2916666666666665in" height="2.8125in"} \[中国\^教\*\~育出\#版% 【解析】（Ⅰ）因为 又是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC， 而平面PAC，所以. （Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC， 所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而. 由BD平面PAC，平面PAC，知. 在中，由，得PD=2OD. 因为四边形ABCD为等腰梯形，，所以均为等腰直角三角形， 从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积 在等腰三角形ＡＯＤ中， 所以 故四棱锥的体积为. ![lfxlby](./data/image/media/image6284.jpeg){width="1.5625in" height="1.9895833333333333in"} 【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积. 20.（本小题满分13分） 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金*d*万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第*n*年年底企业上缴资金后的剩余资金为*a~n~*万元. （Ⅰ）用*d*表示*a*~1~，*a*~2~，并写出![lfxlby](./data/image/media/image6285.wmf){width="0.28125in" height="0.25in"}与*a~n~*的关系式； （Ⅱ）若公司希望经过*m*（*m*≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金*d*的值（用*m*表示）. 【解析】（Ⅰ）由题意得， ， . （Ⅱ）由（Ⅰ）得 . 整理得　 . 由题意， 解得. 故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为４０００元. 【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出![lfxlby](./data/image/media/image6285.wmf){width="0.28125in" height="0.25in"}与*a~n~*的关系式，第二问，只要把第一问中的迭代，即可以解决. 21.（本小题满分13分） 在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为![lfxlby](./data/image/media/image6286.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的椭圆E的一个焦点为圆C：x^2^+y^2^-4x+2=0的圆心.\[中国教育出%版网\^@\*&\] （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为![lfxlby](./data/image/media/image6286.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的直线*l*~1~，*l*~2~.当直线*l*~1~，*l*~2~都与圆C相切时，求P的坐标. 【解析】（Ⅰ）由，得.故圆Ｃ的圆心为点 从而可设椭圆Ｅ的方程为其焦距为，由题设知 故椭圆Ｅ的方程为： （Ⅱ）设点的坐标为，的斜分率分别为则的方程分别为且由与圆相切，得 　　， 即　　　　　 同理可得　　. 从而是方程的两个实根，于是 　　　　　　　　　　　　　　① 且 由得解得或 由得由得它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 ，或，或，或. 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出即得椭圆E的方程，第二问设出点P坐标，利用过P点的两条直线斜率之积为，得出关于点P坐标的一个方程，利用点P在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P坐标. 22.（本小题满分13分） 已知函数f(x)=e^x^-ax，其中a＞0.\[@\#中国\^教育出版&网\~\] （1）若对一切x∈R，f(x) ![lfxlby](./data/image/media/image6212.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}1恒成立，求a的取值集合；\[z （2)在函数f(x)的图像上去定点A（x~1~, f(x~1~)）,B(x~2~, f(x~2~))(x~1~\<x~2~)，记直线AB的斜率为*k*，证明：存在x~0~∈（x~1~,x~2~）,使![lfxlby](./data/image/media/image6287.wmf){width="0.71875in" height="0.25in"}恒成立. 【解析】解：令. 当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值 于是对一切恒成立，当且仅当 　　　　　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　① 令则 当时，单调递增；当时，单调递减. 故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立. 综上所述，的取值集合为. （Ⅱ）由题意知， 令则 令，则. 当时，单调递减；当时，单调递增. 故当，即 从而，又 所以 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在 使即成立. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) ![lfxlby](./data/image/media/image6212.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断. 2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 （全卷满分160分，考试时间120分钟） 参考公式： 棱锥的体积![lfxlby](./data/image/media/image6288.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.4027777777777778in"}，其中![lfxlby](./data/image/media/image6289.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}为底面积，![lfxlby](./data/image/media/image6290.wmf){width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．（2012年江苏省5分）已知集合![lfxlby](./data/image/media/image6291.wmf){width="0.8611111111111112in" height="0.20833333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6292.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.20833333333333334in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6293.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.20833333333333334in"} ▲ ． 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image6294.wmf){width="0.6111111111111112in" height="0.25in"}。 【考点】集合的概念和运算。 【分析】由集合的并集意义得![lfxlby](./data/image/media/image6295.wmf){width="1.1111111111111112in" height="0.25in"}。 2．（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为![lfxlby](./data/image/media/image6296.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，现用分层抽样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 【答案】15。 【考点】分层抽样。 【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，由![lfxlby](./data/image/media/image6297.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.4027777777777778in"}知应从高二年级抽取15名学生。 3．（2012年江苏省5分）设![lfxlby](./data/image/media/image6298.wmf){width="0.5965277777777778in" height="0.20833333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6299.wmf){width="0.9583333333333334in" height="0.4027777777777778in"}（i为虚数单位），则![lfxlby](./data/image/media/image6300.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.18055555555555555in"}的值为 ▲ ． 【答案】8。 【考点】复数的运算和复数的概念。 【分析】由![lfxlby](./data/image/media/image6299.wmf){width="0.9583333333333334in" height="0.4027777777777778in"}得![lfxlby](./data/image/media/image6301.wmf){width="3.3465277777777778in" height="0.4861111111111111in"}，所以![lfxlby](./data/image/media/image6302.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6303.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.18055555555555555in"} 。 4．（2012年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ． ![lfxlby](./data/image/media/image6304.png){width="1.8916666666666666in" height="1.9868055555555555in"} 【答案】5。 【考点】程序框图。 【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表： -------- -------------- ------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 是否继续循环 k ![lfxlby](./data/image/media/image6305.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.2222222222222222in"} 循环前 0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈 否 输出5 -------- -------------- ------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------- ∴最终输出结果k=5。 5．（2012年江苏省5分）函数![lfxlby](./data/image/media/image6306.wmf){width="1.3888888888888888in" height="0.2916666666666667in"}的定义域为 ▲ ． 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image6307.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.3194444444444444in"}。 【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 ![lfxlby](./data/image/media/image6308.wmf){width="3.7222222222222223in" height="0.6527777777777778in"}。 6．（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，![lfxlby](./data/image/media/image6309.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.18055555555555555in"}为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image6310.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.4027777777777778in"}。 【考点】等比数列，概率。 【解析】∵以1为首项，![lfxlby](./data/image/media/image6309.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.18055555555555555in"}为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8， ∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是![lfxlby](./data/image/media/image6311.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.4027777777777778in"}。 7．（2012年江苏省5分）如图，在长方体![lfxlby](./data/image/media/image6312.wmf){width="1.0305555555555554in" height="0.21875in"}中，![lfxlby](./data/image/media/image6313.wmf){width="0.9895833333333334in" height="0.17708333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6314.wmf){width="0.69375in" height="0.2222222222222222in"}，则四棱锥![lfxlby](./data/image/media/image6315.wmf){width="0.7777777777777778in" height="0.2222222222222222in"}的体积为 ▲ cm3． ![lfxlby](./data/image/media/image6316.png){width="2.0in" height="1.53125in"} 【答案】6。 【考点】正方形的性质，棱锥的体积。 【解析】∵长方体底面![lfxlby](./data/image/media/image6317.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.18055555555555555in"}是正方形，∴△![lfxlby](./data/image/media/image6318.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.16666666666666666in"}中![lfxlby](./data/image/media/image6319.wmf){width="0.625in" height="0.2222222222222222in"} cm，![lfxlby](./data/image/media/image6320.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.16666666666666666in"}边上的高是![lfxlby](./data/image/media/image6321.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.4027777777777778in"}cm（它也是![lfxlby](./data/image/media/image6315.wmf){width="0.7777777777777778in" height="0.2222222222222222in"}中![lfxlby](./data/image/media/image6322.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.2222222222222222in"}上的高）。 ∴四棱锥![lfxlby](./data/image/media/image6315.wmf){width="0.7777777777777778in" height="0.2222222222222222in"}的体积为![lfxlby](./data/image/media/image6323.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.4027777777777778in"}。由 8．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系![lfxlby](./data/image/media/image6324.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.20833333333333334in"}中，若双曲线![lfxlby](./data/image/media/image6325.wmf){width="0.9861111111111112in" height="0.4166666666666667in"}的离心率为![lfxlby](./data/image/media/image6326.wmf){width="0.2361111111111111in" height="0.2361111111111111in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6327.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.13541666666666666in"}的值为 ▲ ． 【答案】2。 【考点】双曲线的性质。 【解析】由![lfxlby](./data/image/media/image6325.wmf){width="0.9861111111111112in" height="0.4166666666666667in"}得![lfxlby](./data/image/media/image6328.wmf){width="2.3333333333333335in" height="0.2638888888888889in"}。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6329.wmf){width="1.5416666666666667in" height="0.4861111111111111in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image6330.wmf){width="0.94375in" height="0.20833333333333334in"}，解得![lfxlby](./data/image/media/image6331.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.18055555555555555in"}。 9．（2012年江苏省5分）如图，在矩形![lfxlby](./data/image/media/image6332.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.18055555555555555in"}中，![lfxlby](./data/image/media/image6333.wmf){width="1.2916666666666667in" height="0.25in"}点![lfxlby](./data/image/media/image6334.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为![lfxlby](./data/image/media/image6335.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.18055555555555555in"}的中点，点![lfxlby](./data/image/media/image6336.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在边![lfxlby](./data/image/media/image6337.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.18055555555555555in"}上，若![lfxlby](./data/image/media/image6338.wmf){width="0.9305555555555556in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6339.wmf){width="0.5965277777777778in" height="0.25in"}的值是 ▲ ． ![lfxlby](./data/image/media/image6340.png){width="1.59375in" height="1.84375in"} 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image6341.wmf){width="0.25in" height="0.2222222222222222in"}。 【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。 【解析】由![lfxlby](./data/image/media/image6338.wmf){width="0.9305555555555556in" height="0.25in"}，得![lfxlby](./data/image/media/image6342.wmf){width="1.6805555555555556in" height="0.3055555555555556in"}，由矩形的性质，得![lfxlby](./data/image/media/image6343.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.3055555555555556in"}。 ∵![lfxlby](./data/image/media/image6344.wmf){width="0.5965277777777778in" height="0.2222222222222222in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6345.wmf){width="0.8611111111111112in" height="0.25in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6346.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.16666666666666666in"}。∴![lfxlby](./data/image/media/image6347.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.2222222222222222in"}。 记![lfxlby](./data/image/media/image6348.wmf){width="0.625in" height="0.25in"}之间的夹角为![lfxlby](./data/image/media/image6349.wmf){width="1.6388888888888888in" height="0.20833333333333334in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6350.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.20833333333333334in"}。 又∵![lfxlby](./data/image/media/image6351.wmf){width="0.5965277777777778in" height="0.20833333333333334in"}点E为BC的中点，∴![lfxlby](./data/image/media/image6352.wmf){width="0.44375in" height="0.16666666666666666in"}。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6353.wmf){width="5.430555555555555in" height="0.3055555555555556in"} ![lfxlby](./data/image/media/image6354.wmf){width="5.254166666666666in" height="0.3229166666666667in"}。 本题也可建立以![lfxlby](./data/image/media/image6355.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.19375in"}为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。 10．（2012年江苏省5分）设![lfxlby](./data/image/media/image6356.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.20833333333333334in"}是定义在![lfxlby](./data/image/media/image6357.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}上且周期为2的函数，在区间![lfxlby](./data/image/media/image6358.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}上， ![lfxlby](./data/image/media/image6359.wmf){width="1.7916666666666667in" height="0.6527777777777778in"}其中![lfxlby](./data/image/media/image6360.wmf){width="0.5965277777777778in" height="0.20833333333333334in"}．若![lfxlby](./data/image/media/image6361.wmf){width="0.94375in" height="0.44375in"}， 则![lfxlby](./data/image/media/image6362.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.18055555555555555in"}的值为 ▲ ． 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image6363.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.18055555555555555in"}。 【考点】周期函数的性质。 【解析】∵![lfxlby](./data/image/media/image6356.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.20833333333333334in"}是定义在![lfxlby](./data/image/media/image6357.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}上且周期为2的函数，∴![lfxlby](./data/image/media/image6364.wmf){width="0.875in" height="0.25in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image6365.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.4027777777777778in"}①。 又∵![lfxlby](./data/image/media/image6366.wmf){width="1.69375in" height="0.44375in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6361.wmf){width="0.94375in" height="0.44375in"}， ∴![lfxlby](./data/image/media/image6367.wmf){width="0.9722222222222222in" height="0.4027777777777778in"}②。 联立①②，解得，![lfxlby](./data/image/media/image6368.wmf){width="0.8194444444444444in" height="0.18055555555555555in"}。∴![lfxlby](./data/image/media/image6369.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.18055555555555555in"}。 11．（2012年江苏省5分）设![lfxlby](./data/image/media/image6370.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1527777777777778in"}为锐角，若![lfxlby](./data/image/media/image6371.wmf){width="1.0277777777777777in" height="0.44375in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6372.wmf){width="0.875in" height="0.4305555555555556in"}的值为 ▲ ． 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image6373.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.4027777777777778in"}。 【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。 【解析】∵![lfxlby](./data/image/media/image6370.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1527777777777778in"}为锐角，即![lfxlby](./data/image/media/image6374.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.4027777777777778in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6375.wmf){width="1.5555555555555556in" height="0.4027777777777778in"}。 ∵![lfxlby](./data/image/media/image6371.wmf){width="1.0277777777777777in" height="0.44375in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6376.wmf){width="1.0in" height="0.44375in"}。∴![lfxlby](./data/image/media/image6377.wmf){width="3.2916666666666665in" height="0.44375in"}。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6378.wmf){width="1.1805555555555556in" height="0.44375in"}。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6379.wmf){width="4.388888888888889in" height="0.44375in"} ![lfxlby](./data/image/media/image6380.wmf){width="1.69375in" height="0.4305555555555556in"}。 12．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系![lfxlby](./data/image/media/image6324.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.20833333333333334in"}中，圆![lfxlby](./data/image/media/image6381.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19375in"}的方程为![lfxlby](./data/image/media/image6382.wmf){width="1.2777777777777777in" height="0.2361111111111111in"}，若直线![lfxlby](./data/image/media/image6383.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.20833333333333334in"} 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆![lfxlby](./data/image/media/image6384.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19375in"}有公共点，则![lfxlby](./data/image/media/image6385.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的最大值是 ▲ ． 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image6386.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}。 【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离 【解析】∵圆C的方程可化为：![lfxlby](./data/image/media/image6387.wmf){width="1.0277777777777777in" height="0.2777777777777778in"}，∴圆C的圆心为![lfxlby](./data/image/media/image6388.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.2222222222222222in"}，半径为1。 ∵由题意，直线![lfxlby](./data/image/media/image6383.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.20833333333333334in"}上至少存在一点![lfxlby](./data/image/media/image6389.wmf){width="0.9305555555555556in" height="0.25in"}，以该点为圆心，1为半径的圆与圆![lfxlby](./data/image/media/image6390.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19375in"}有 公共点； ∴存在![lfxlby](./data/image/media/image6391.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.25in"}，使得![lfxlby](./data/image/media/image6392.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.19375in"}成立，即![lfxlby](./data/image/media/image6393.wmf){width="0.69375in" height="0.25in"}。 ∵![lfxlby](./data/image/media/image6394.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.25in"}即为点![lfxlby](./data/image/media/image6395.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19375in"}到直线![lfxlby](./data/image/media/image6383.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.20833333333333334in"}的距离![lfxlby](./data/image/media/image6396.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.5in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6397.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.5in"}，解得![lfxlby](./data/image/media/image6398.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.4305555555555556in"}。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6399.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的最大值是![lfxlby](./data/image/media/image6386.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}。 13．（2012年江苏省5分）已知函数![lfxlby](./data/image/media/image6400.wmf){width="1.7638888888888888in" height="0.2361111111111111in"}的值域为![lfxlby](./data/image/media/image6401.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.20833333333333334in"}，若关于x的不等式 ![lfxlby](./data/image/media/image6402.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.20833333333333334in"}的解集为![lfxlby](./data/image/media/image6403.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.20833333333333334in"}，则实数c的值为 ▲ ． 【答案】9。 【考点】函数的值域，不等式的解集。 【解析】由值域为![lfxlby](./data/image/media/image6401.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.20833333333333334in"}，当![lfxlby](./data/image/media/image6404.wmf){width="0.875in" height="0.20833333333333334in"}时有![lfxlby](./data/image/media/image6405.wmf){width="1.0138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image6406.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.4583333333333333in"}， ∴![lfxlby](./data/image/media/image6407.wmf){width="2.7222222222222223in" height="0.4722222222222222in"}。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6408.wmf){width="1.25in" height="0.4722222222222222in"}解得![lfxlby](./data/image/media/image6409.wmf){width="1.1388888888888888in" height="0.4027777777777778in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6410.wmf){width="1.375in" height="0.4027777777777778in"}。 ∵不等式![lfxlby](./data/image/media/image6402.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.20833333333333334in"}的解集为![lfxlby](./data/image/media/image6403.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.20833333333333334in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6411.wmf){width="1.9861111111111112in" height="0.4027777777777778in"}，解得![lfxlby](./data/image/media/image6412.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.18055555555555555in"}。 14．（2012年江苏省5分）已知正数![lfxlby](./data/image/media/image6413.wmf){width="0.46875in" height="0.20833333333333334in"}满足：![lfxlby](./data/image/media/image6414.wmf){width="2.34375in" height="0.20833333333333334in"}则![lfxlby](./data/image/media/image6415.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.4027777777777778in"}的取值范围是 ▲ ． ![](./data/image/media/image6416.png){width="2.875in" height="2.2819444444444446in"}【答案】![lfxlby](./data/image/media/image6417.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.25in"}。 【考点】可行域。 【解析】条件![lfxlby](./data/image/media/image6418.wmf){width="2.2645833333333334in" height="0.20833333333333334in"}可化为：![lfxlby](./data/image/media/image6419.wmf){width="0.8465277777777778in" height="1.3611111111111112in"}。 设![lfxlby](./data/image/media/image6420.wmf){width="0.7361111111111112in" height="0.4027777777777778in"}，则题目转化为： 已知![lfxlby](./data/image/media/image6421.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}满足![lfxlby](./data/image/media/image6422.wmf){width="0.875in" height="0.9722222222222222in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image6423.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4027777777777778in"}的取值范围。 作出（![lfxlby](./data/image/media/image6421.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}）所在平面区域（如图）。求出![lfxlby](./data/image/media/image6424.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.25in"}的切 线的斜率![lfxlby](./data/image/media/image6425.wmf){width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}，设过切点![lfxlby](./data/image/media/image6426.wmf){width="0.69375in" height="0.25in"}的切线为![lfxlby](./data/image/media/image6427.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}， 则![lfxlby](./data/image/media/image6428.wmf){width="1.3194444444444444in" height="0.44375in"}，要使它最小，须![lfxlby](./data/image/media/image6429.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.18055555555555555in"}。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6423.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4027777777777778in"}的最小值在![lfxlby](./data/image/media/image6426.wmf){width="0.69375in" height="0.25in"}处，为![lfxlby](./data/image/media/image6430.wmf){width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}。此时，点![lfxlby](./data/image/media/image6426.wmf){width="0.69375in" height="0.25in"}在![lfxlby](./data/image/media/image6424.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.25in"}上![lfxlby](./data/image/media/image6431.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.19375in"}之间。 当（![lfxlby](./data/image/media/image6421.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}）对应点![lfxlby](./data/image/media/image6432.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}时， ![lfxlby](./data/image/media/image6433.wmf){width="2.8055555555555554in" height="0.4722222222222222in"}， ∴![lfxlby](./data/image/media/image6423.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4027777777777778in"}的最大值在![lfxlby](./data/image/media/image6432.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}处，为7。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6423.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4027777777777778in"}的取值范围为![lfxlby](./data/image/media/image6417.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.25in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image6415.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.4027777777777778in"}的取值范围是![lfxlby](./data/image/media/image6417.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.25in"}。 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤． 15．（2012年江苏省14分）在![lfxlby](./data/image/media/image6434.wmf){width="0.44375in" height="0.18055555555555555in"}中，已知![lfxlby](./data/image/media/image6435.wmf){width="1.2916666666666667in" height="0.25in"}． （1）求证：![lfxlby](./data/image/media/image6436.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.18055555555555555in"}； （2）若![lfxlby](./data/image/media/image6437.wmf){width="0.875in" height="0.4305555555555556in"}求A的值． 【答案】解：（1）∵![lfxlby](./data/image/media/image6435.wmf){width="1.2916666666666667in" height="0.25in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6438.wmf){width="1.875in" height="0.18055555555555555in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image6439.wmf){width="1.3888888888888888in" height="0.18055555555555555in"}。 由正弦定理，得![lfxlby](./data/image/media/image6440.wmf){width="0.8194444444444444in" height="0.4027777777777778in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6441.wmf){width="1.5833333333333333in" height="0.18055555555555555in"}。 又∵![lfxlby](./data/image/media/image6442.wmf){width="0.875in" height="0.18055555555555555in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6443.wmf){width="1.2916666666666667in" height="0.18055555555555555in"}。∴![lfxlby](./data/image/media/image6444.wmf){width="0.9722222222222222in" height="0.4027777777777778in"}即![lfxlby](./data/image/media/image6436.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.18055555555555555in"}。 （2）∵ ![lfxlby](./data/image/media/image6445.wmf){width="1.4027777777777777in" height="0.4305555555555556in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6446.wmf){width="1.6805555555555556in" height="0.5833333333333334in"}。∴![lfxlby](./data/image/media/image6447.wmf){width="0.5965277777777778in" height="0.18055555555555555in"}。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6448.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.2777777777777778in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image6449.wmf){width="1.0416666666666667in" height="0.25in"}。∴![lfxlby](./data/image/media/image6450.wmf){width="1.25in" height="0.4027777777777778in"}。 由 （1） ，得![lfxlby](./data/image/media/image6451.wmf){width="1.0416666666666667in" height="0.4027777777777778in"}，解得![lfxlby](./data/image/media/image6452.wmf){width="1.25in" height="0.4027777777777778in"}。 ∵![lfxlby](./data/image/media/image6453.wmf){width="0.5965277777777778in" height="0.18055555555555555in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6454.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.18055555555555555in"}。∴![lfxlby](./data/image/media/image6455.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.4027777777777778in"}。 【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。 【解析】（1）先将![lfxlby](./data/image/media/image6435.wmf){width="1.2916666666666667in" height="0.25in"}表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。 （2）由![lfxlby](./data/image/media/image6437.wmf){width="0.875in" height="0.4305555555555556in"}可求![lfxlby](./data/image/media/image6456.wmf){width="0.375in" height="0.18055555555555555in"}，由三角形三角关系，得到![lfxlby](./data/image/media/image6457.wmf){width="1.1111111111111112in" height="0.2777777777777778in"}，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。 16．（2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱![lfxlby](./data/image/media/image6458.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.2222222222222222in"}中，![lfxlby](./data/image/media/image6459.wmf){width="0.7361111111111112in" height="0.2222222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6460.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.20833333333333334in"}分别是棱![lfxlby](./data/image/media/image6461.wmf){width="0.6111111111111112in" height="0.2222222222222222in"}上的点（点![lfxlby](./data/image/media/image6462.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} 不同于点![lfxlby](./data/image/media/image6463.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}），且![lfxlby](./data/image/media/image6464.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.20833333333333334in"}为![lfxlby](./data/image/media/image6465.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.2222222222222222in"}的中点． 求证：（1）平面![lfxlby](./data/image/media/image6466.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image6467.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}； （2）直线![lfxlby](./data/image/media/image6468.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.2222222222222222in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image6469.wmf){width="0.375in" height="0.16666666666666666in"}． ![lfxlby](./data/image/media/image6470.jpeg){width="1.6930555555555555in" height="1.8340277777777778in"} 【答案】证明：（1）∵![lfxlby](./data/image/media/image6458.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.2222222222222222in"}是直三棱柱，∴![lfxlby](./data/image/media/image6471.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.2222222222222222in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image6472.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.18055555555555555in"}。 又∵![lfxlby](./data/image/media/image6473.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image6472.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.18055555555555555in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6474.wmf){width="0.6805555555555556in" height="0.2222222222222222in"}。 又∵![lfxlby](./data/image/media/image6475.wmf){width="1.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image6476.wmf){width="1.5416666666666667in" height="0.2222222222222222in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6477.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.16666666666666666in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image6478.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}。 又∵![lfxlby](./data/image/media/image6479.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image6480.wmf){width="0.375in" height="0.16666666666666666in"}，∴平面![lfxlby](./data/image/media/image6466.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image6467.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}。 （2）∵![lfxlby](./data/image/media/image6459.wmf){width="0.7361111111111112in" height="0.2222222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6481.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为![lfxlby](./data/image/media/image6465.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.2222222222222222in"}的中点，∴![lfxlby](./data/image/media/image6482.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.2222222222222222in"}。 又∵![lfxlby](./data/image/media/image6471.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.2222222222222222in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image6483.wmf){width="0.44375in" height="0.2222222222222222in"}，且![lfxlby](./data/image/media/image6484.wmf){width="0.44375in" height="0.2222222222222222in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image6483.wmf){width="0.44375in" height="0.2222222222222222in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6485.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.2222222222222222in"}。 又∵![lfxlby](./data/image/media/image6486.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.2222222222222222in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image6487.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6488.wmf){width="1.0138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6489.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.2222222222222222in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image6483.wmf){width="0.44375in" height="0.2222222222222222in"}。 由（1）知，![lfxlby](./data/image/media/image6477.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.16666666666666666in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image6478.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6490.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.2222222222222222in"}∥![lfxlby](./data/image/media/image6491.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.16666666666666666in"}。 又∵![lfxlby](./data/image/media/image6492.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image6493.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.2222222222222222in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image6469.wmf){width="0.375in" height="0.16666666666666666in"}，∴直线![lfxlby](./data/image/media/image6468.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.2222222222222222in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image6469.wmf){width="0.375in" height="0.16666666666666666in"} 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。 【解析】（1）要证平面![lfxlby](./data/image/media/image6466.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image6467.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}，只要证平面![lfxlby](./data/image/media/image6494.wmf){width="0.375in" height="0.16666666666666666in"}上的![lfxlby](./data/image/media/image6477.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.16666666666666666in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image6478.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}即可。它可由已知![lfxlby](./data/image/media/image6458.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.2222222222222222in"}是直三棱柱和![lfxlby](./data/image/media/image6495.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.16666666666666666in"}证得。 （2）要证直线![lfxlby](./data/image/media/image6468.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.2222222222222222in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image6469.wmf){width="0.375in" height="0.16666666666666666in"}，只要证![lfxlby](./data/image/media/image6490.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.2222222222222222in"}∥平面![lfxlby](./data/image/media/image6494.wmf){width="0.375in" height="0.16666666666666666in"}上的![lfxlby](./data/image/media/image6496.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.16666666666666666in"}即可。 17．（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系![lfxlby](./data/image/media/image6497.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6498.wmf){width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}轴在地平面上，![lfxlby](./data/image/media/image6499.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程![lfxlby](./data/image/media/image6500.wmf){width="1.7638888888888888in" height="0.4027777777777778in"}表示的曲线上，其中![lfxlby](./data/image/media/image6501.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标![lfxlby](./data/image/media/image6502.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}不超过多少时， 炮弹可以击中它？请说明理由． ![lfxlby](./data/image/media/image6503.png){width="3.3131944444444446in" height="1.3958333333333333in"} 【答案】解：（1）在![lfxlby](./data/image/media/image6500.wmf){width="1.7638888888888888in" height="0.4027777777777778in"}中，令![lfxlby](./data/image/media/image6504.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.20833333333333334in"}，得![lfxlby](./data/image/media/image6505.wmf){width="1.2777777777777777in" height="0.4027777777777778in"}。 由实际意义和题设条件知![lfxlby](./data/image/media/image6506.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.18055555555555555in"}。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6507.wmf){width="1.6527777777777777in" height="0.5965277777777778in"}，当且仅当![lfxlby](./data/image/media/image6508.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.18055555555555555in"}时取等号。 ∴炮的最大射程是10千米。 （2）∵![lfxlby](./data/image/media/image6509.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.18055555555555555in"}，∴炮弹可以击中目标等价于存在![lfxlby](./data/image/media/image6510.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.18055555555555555in"}，使![lfxlby](./data/image/media/image6511.wmf){width="1.4027777777777777in" height="0.4027777777777778in"}成立， 即关于![lfxlby](./data/image/media/image6512.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}的方程![lfxlby](./data/image/media/image6513.wmf){width="1.5416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}有正根。 由![lfxlby](./data/image/media/image6514.wmf){width="1.94375in" height="0.3333333333333333in"}得![lfxlby](./data/image/media/image6515.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.18055555555555555in"}。 此时，![lfxlby](./data/image/media/image6516.wmf){width="2.4305555555555554in" height="0.5277777777777778in"}（不考虑另一根）。 ∴当![lfxlby](./data/image/media/image6502.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}不超过6千米时，炮弹可以击中目标。 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】（1）求炮的最大射程即求![lfxlby](./data/image/media/image6500.wmf){width="1.7638888888888888in" height="0.4027777777777778in"}与![lfxlby](./data/image/media/image6498.wmf){width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。 （2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。 18．（2012年江苏省16分）若函数![lfxlby](./data/image/media/image6517.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.2222222222222222in"}在![lfxlby](./data/image/media/image6518.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.25in"}处取得极大值或极小值，则称![lfxlby](./data/image/media/image6519.wmf){width="0.19375in" height="0.25in"}为函数![lfxlby](./data/image/media/image6520.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.2222222222222222in"}的极值点。 已知![lfxlby](./data/image/media/image6521.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.18055555555555555in"}是实数，1和![lfxlby](./data/image/media/image6522.wmf){width="0.19375in" height="0.16666666666666666in"}是函数![lfxlby](./data/image/media/image6523.wmf){width="1.2777777777777777in" height="0.2361111111111111in"}的两个极值点． （1）求![lfxlby](./data/image/media/image6524.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}和![lfxlby](./data/image/media/image6525.wmf){width="0.125in" height="0.17708333333333334in"}的值； （2）设函数![lfxlby](./data/image/media/image6526.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的导函数![lfxlby](./data/image/media/image6527.wmf){width="1.0277777777777777in" height="0.2222222222222222in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image6528.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的极值点； （3）设![lfxlby](./data/image/media/image6529.wmf){width="1.1805555555555556in" height="0.20833333333333334in"}，其中![lfxlby](./data/image/media/image6530.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，求函数![lfxlby](./data/image/media/image6531.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.20833333333333334in"}的零点个数． 【答案】解：（1）由![lfxlby](./data/image/media/image6523.wmf){width="1.2777777777777777in" height="0.2361111111111111in"}，得![lfxlby](./data/image/media/image6532.wmf){width="1.3055555555555556in" height="0.2361111111111111in"}。 ∵1和![lfxlby](./data/image/media/image6522.wmf){width="0.19375in" height="0.16666666666666666in"}是函数![lfxlby](./data/image/media/image6523.wmf){width="1.2777777777777777in" height="0.2361111111111111in"}的两个极值点， ∴ ![lfxlby](./data/image/media/image6533.wmf){width="1.2361111111111112in" height="0.20833333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6534.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，解得![lfxlby](./data/image/media/image6535.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.18055555555555555in"}。 （2）∵ 由（1）得，![lfxlby](./data/image/media/image6536.wmf){width="0.9305555555555556in" height="0.2361111111111111in"} ， ∴![lfxlby](./data/image/media/image6537.wmf){width="2.75in" height="0.2777777777777778in"}，解得![lfxlby](./data/image/media/image6538.wmf){width="1.1111111111111112in" height="0.2222222222222222in"}。 ∵当![lfxlby](./data/image/media/image6539.wmf){width="0.44375in" height="0.18055555555555555in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image6540.wmf){width="0.5965277777777778in" height="0.2222222222222222in"}；当![lfxlby](./data/image/media/image6541.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.18055555555555555in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image6542.wmf){width="0.5965277777777778in" height="0.2222222222222222in"}， ∴![lfxlby](./data/image/media/image6543.wmf){width="0.44375in" height="0.18055555555555555in"}是![lfxlby](./data/image/media/image6528.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的极值点。 ∵当![lfxlby](./data/image/media/image6541.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.18055555555555555in"}或![lfxlby](./data/image/media/image6544.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.18055555555555555in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image6542.wmf){width="0.5965277777777778in" height="0.2222222222222222in"}，∴ ![lfxlby](./data/image/media/image6545.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.18055555555555555in"}不是![lfxlby](./data/image/media/image6528.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的极值点。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6528.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的极值点是－2。 （3）令![lfxlby](./data/image/media/image6546.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.20833333333333334in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6547.wmf){width="0.94375in" height="0.20833333333333334in"}。 先讨论关于![lfxlby](./data/image/media/image6548.wmf){width="0.125in" height="0.13541666666666666in"} 的方程![lfxlby](./data/image/media/image6549.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.20833333333333334in"} 根的情况：![lfxlby](./data/image/media/image6550.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.25in"} 当![lfxlby](./data/image/media/image6551.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.25in"}时，由（2 ）可知，![lfxlby](./data/image/media/image6552.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.20833333333333334in"}的两个不同的根为I 和一2 ，注意到![lfxlby](./data/image/media/image6553.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.20833333333333334in"}是奇函数，∴![lfxlby](./data/image/media/image6554.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.20833333333333334in"}的两个不同的根为一和2。 当![lfxlby](./data/image/media/image6555.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.25in"}时，∵![lfxlby](./data/image/media/image6556.wmf){width="1.8611111111111112in" height="0.20833333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6557.wmf){width="1.9861111111111112in" height="0.20833333333333334in"} ， ∴一2 , －1，1 ，2 都不是![lfxlby](./data/image/media/image6549.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.20833333333333334in"}的根。 由（1）知![lfxlby](./data/image/media/image6558.wmf){width="1.3194444444444444in" height="0.25in"}。 ① 当![lfxlby](./data/image/media/image6559.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image6560.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"} ，于是![lfxlby](./data/image/media/image6561.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.20833333333333334in"}是单调增函数，从而![lfxlby](./data/image/media/image6562.wmf){width="0.9583333333333334in" height="0.20833333333333334in"}。 此时![lfxlby](./data/image/media/image6549.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.20833333333333334in"}在![lfxlby](./data/image/media/image6563.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.25in"}无实根。 ② 当![lfxlby](./data/image/media/image6564.wmf){width="0.6111111111111112in" height="0.25in"}时．![lfxlby](./data/image/media/image6560.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，于是![lfxlby](./data/image/media/image6561.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.20833333333333334in"}是单调增函数。 又∵![lfxlby](./data/image/media/image6565.wmf){width="0.7777777777777778in" height="0.20833333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6566.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.20833333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6567.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.20833333333333334in"}的图象不间断， ∴![lfxlby](./data/image/media/image6549.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.20833333333333334in"} 在（1 , 2 ）内有唯一实根。 同理，![lfxlby](./data/image/media/image6549.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.20833333333333334in"}在（一2 ，一I ）内有唯一实根。 ③ 当![lfxlby](./data/image/media/image6568.wmf){width="0.69375in" height="0.25in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image6569.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，于是![lfxlby](./data/image/media/image6561.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.20833333333333334in"}是单调减两数。 又∵![lfxlby](./data/image/media/image6570.wmf){width="0.875in" height="0.20833333333333334in"}， ![lfxlby](./data/image/media/image6565.wmf){width="0.7777777777777778in" height="0.20833333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6567.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.20833333333333334in"}的图象不间断， ∴![lfxlby](./data/image/media/image6549.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.20833333333333334in"}在（一1，1 ）内有唯一实根。 因此，当![lfxlby](./data/image/media/image6551.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.25in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image6549.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.20833333333333334in"}有两个不同的根![lfxlby](./data/image/media/image6571.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.2222222222222222in"}满足![lfxlby](./data/image/media/image6572.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.25in"}；当![lfxlby](./data/image/media/image6555.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.25in"} 时 ![lfxlby](./data/image/media/image6549.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.20833333333333334in"}有三个不同的根![lfxlby](./data/image/media/image6573.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.2222222222222222in"}，满足![lfxlby](./data/image/media/image6574.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}。 现考虑函数![lfxlby](./data/image/media/image6531.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.20833333333333334in"}的零点： ( i ）当![lfxlby](./data/image/media/image6575.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.25in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image6576.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.20833333333333334in"}有两个根![lfxlby](./data/image/media/image6577.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"}，满足![lfxlby](./data/image/media/image6578.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.25in"}。 而![lfxlby](./data/image/media/image6579.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.2222222222222222in"}有三个不同的根，![lfxlby](./data/image/media/image6580.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.2222222222222222in"}有两个不同的根，故![lfxlby](./data/image/media/image6531.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.20833333333333334in"}有5 个零点。 ( 11 ）当![lfxlby](./data/image/media/image6581.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.25in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image6576.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.20833333333333334in"}有三个不同的根![lfxlby](./data/image/media/image6582.wmf){width="0.6111111111111112in" height="0.2222222222222222in"}，满足![lfxlby](./data/image/media/image6583.wmf){width="1.125in" height="0.25in"}。 而![lfxlby](./data/image/media/image6584.wmf){width="1.2361111111111112in" height="0.25in"}有三个不同的根，故![lfxlby](./data/image/media/image6531.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.20833333333333334in"}有9 个零点。 综上所述，当![lfxlby](./data/image/media/image6575.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.25in"}时，函数![lfxlby](./data/image/media/image6531.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.20833333333333334in"}有5 个零点；当![lfxlby](./data/image/media/image6581.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.25in"}时，函数![lfxlby](./data/image/media/image6531.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.20833333333333334in"}有9 个零点。 【考点】函数的概念和性质，导数的应用。 【解析】（1）求出![lfxlby](./data/image/media/image6520.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.2222222222222222in"}的导数，根据1和![lfxlby](./data/image/media/image6522.wmf){width="0.19375in" height="0.16666666666666666in"}是函数![lfxlby](./data/image/media/image6520.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.2222222222222222in"}的两个极值点代入列方程组求解即可。 （2）由（1）得，![lfxlby](./data/image/media/image6536.wmf){width="0.9305555555555556in" height="0.2361111111111111in"}，求出![lfxlby](./data/image/media/image6585.wmf){width="0.375in" height="0.2222222222222222in"}，令![lfxlby](./data/image/media/image6586.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.2222222222222222in"}，求解讨论即可。 （3）比较复杂，先分![lfxlby](./data/image/media/image6551.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.25in"}和![lfxlby](./data/image/media/image6555.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.25in"}讨论关于![lfxlby](./data/image/media/image6548.wmf){width="0.125in" height="0.13541666666666666in"} 的方程![lfxlby](./data/image/media/image6549.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.20833333333333334in"} 根的情况；再考虑函数![lfxlby](./data/image/media/image6531.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.20833333333333334in"}的零点。 19．（2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系![lfxlby](./data/image/media/image6497.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.16666666666666666in"}中，椭圆![lfxlby](./data/image/media/image6587.wmf){width="1.3020833333333333in" height="0.4166666666666667in"}的左、右焦点分别为![lfxlby](./data/image/media/image6588.wmf){width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6589.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.2222222222222222in"}．已知![lfxlby](./data/image/media/image6590.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.20833333333333334in"}和![lfxlby](./data/image/media/image6591.wmf){width="0.5965277777777778in" height="0.5138888888888888in"}都在椭圆上，其中![lfxlby](./data/image/media/image6592.wmf){width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设![lfxlby](./data/image/media/image6593.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.19375in"}是椭圆上位于![lfxlby](./data/image/media/image6594.wmf){width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}轴上方的两点，且直线![lfxlby](./data/image/media/image6595.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.2222222222222222in"}与直线![lfxlby](./data/image/media/image6596.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.2222222222222222in"}平行，![lfxlby](./data/image/media/image6597.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.2222222222222222in"}与![lfxlby](./data/image/media/image6598.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.2222222222222222in"}交于点P． （i）若![lfxlby](./data/image/media/image6599.wmf){width="1.0277777777777777in" height="0.4305555555555556in"}，求直线![lfxlby](./data/image/media/image6600.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.2222222222222222in"}的斜率； （ii）求证：![lfxlby](./data/image/media/image6601.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.2222222222222222in"}是定值． ![lfxlby](./data/image/media/image6602.png){width="2.0416666666666665in" height="1.46875in"} 【答案】解：（1）由题设知，![lfxlby](./data/image/media/image6603.wmf){width="1.0652777777777778in" height="0.4027777777777778in"}，由点![lfxlby](./data/image/media/image6590.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.20833333333333334in"}在椭圆上，得 ![lfxlby](./data/image/media/image6604.wmf){width="4.041666666666667in" height="0.44375in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6605.wmf){width="0.625in" height="0.2222222222222222in"}。 由点![lfxlby](./data/image/media/image6591.wmf){width="0.5965277777777778in" height="0.5138888888888888in"}在椭圆上，得 ![lfxlby](./data/image/media/image6606.wmf){width="4.902777777777778in" height="0.7361111111111112in"} ∴椭圆的方程为![lfxlby](./data/image/media/image6607.wmf){width="0.6840277777777778in" height="0.4166666666666667in"}。 （2）由（1）得![lfxlby](./data/image/media/image6608.wmf){width="0.5611111111111111in" height="0.21875in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6609.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.2222222222222222in"}，又∵![lfxlby](./data/image/media/image6595.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.2222222222222222in"}∥![lfxlby](./data/image/media/image6596.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.2222222222222222in"}， ∴设![lfxlby](./data/image/media/image6595.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.2222222222222222in"}、![lfxlby](./data/image/media/image6596.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.2222222222222222in"}的方程分别为![lfxlby](./data/image/media/image6610.wmf){width="1.1972222222222222in" height="0.20833333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6611.wmf){width="2.0375in" height="0.25in"}。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6612.wmf){width="3.9583333333333335in" height="0.69375in"}。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6613.wmf){width="4.904861111111111in" height="0.4895833333333333in"}。① 同理，![lfxlby](./data/image/media/image6614.wmf){width="1.8611111111111112in" height="0.4861111111111111in"}。② （i）由①②得，![lfxlby](./data/image/media/image6615.wmf){width="1.5138888888888888in" height="0.4583333333333333in"}。解![lfxlby](./data/image/media/image6616.wmf){width="1.0965277777777778in" height="0.4583333333333333in"}得![lfxlby](./data/image/media/image6617.wmf){width="0.2222222222222222in" height="0.20833333333333334in"}=2。 ∵注意到![lfxlby](./data/image/media/image6618.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.18055555555555555in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6619.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.2222222222222222in"}。 ∴直线![lfxlby](./data/image/media/image6600.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.2222222222222222in"}的斜率为![lfxlby](./data/image/media/image6620.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.4305555555555556in"}。 （ii）证明：∵![lfxlby](./data/image/media/image6595.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.2222222222222222in"}∥![lfxlby](./data/image/media/image6596.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.2222222222222222in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6621.wmf){width="0.7361111111111112in" height="0.44375in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image6622.wmf){width="2.7222222222222223in" height="0.44375in"}。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6623.wmf){width="1.2777777777777777in" height="0.44375in"}。 由点![lfxlby](./data/image/media/image6624.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.16666666666666666in"}在椭圆上知，![lfxlby](./data/image/media/image6625.wmf){width="1.0965277777777778in" height="0.25in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6626.wmf){width="1.8333333333333333in" height="0.44375in"}。 同理。![lfxlby](./data/image/media/image6627.wmf){width="1.8465277777777778in" height="0.44375in"}。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6628.wmf){width="4.958333333333333in" height="0.44375in"} 由①②得，![lfxlby](./data/image/media/image6629.wmf){width="1.5555555555555556in" height="0.5138888888888888in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6630.wmf){width="1.0694444444444444in" height="0.44375in"}， ∴![lfxlby](./data/image/media/image6631.wmf){width="1.7638888888888888in" height="0.4305555555555556in"}。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6601.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.2222222222222222in"}是定值。 【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。 【解析】（1）根据椭圆的性质和已知![lfxlby](./data/image/media/image6590.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.20833333333333334in"}和![lfxlby](./data/image/media/image6591.wmf){width="0.5965277777777778in" height="0.5138888888888888in"}都在椭圆上列式求解。 （2）根据已知条件![lfxlby](./data/image/media/image6599.wmf){width="1.0277777777777777in" height="0.4305555555555556in"}，用待定系数法求解。 20．（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列![lfxlby](./data/image/media/image6632.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.2222222222222222in"}和![lfxlby](./data/image/media/image6633.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.2222222222222222in"}满足：![lfxlby](./data/image/media/image6634.wmf){width="1.25in" height="0.5555555555555556in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6635.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.19375in"}， （1）设![lfxlby](./data/image/media/image6636.wmf){width="0.875in" height="0.4861111111111111in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6635.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.19375in"}，求证：数列![lfxlby](./data/image/media/image6637.wmf){width="0.5965277777777778in" height="0.5694444444444444in"}是等差数列； （2）设![lfxlby](./data/image/media/image6638.wmf){width="1.0138888888888888in" height="0.4861111111111111in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6635.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.19375in"}，且![lfxlby](./data/image/media/image6632.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.2222222222222222in"}是等比数列，求![lfxlby](./data/image/media/image6639.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.2222222222222222in"}和![lfxlby](./data/image/media/image6640.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.2222222222222222in"}的值．![lfxlby](./data/image/media/image2378.wmf){width="0.125in" height="0.23958333333333334in"} 【答案】解：（1）∵![lfxlby](./data/image/media/image6636.wmf){width="0.875in" height="0.4861111111111111in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6641.wmf){width="1.9861111111111112in" height="0.7638888888888888in"}。 ∴ ![lfxlby](./data/image/media/image6642.wmf){width="1.1805555555555556in" height="0.5833333333333334in"}。∴ ![lfxlby](./data/image/media/image6643.wmf){width="3.4722222222222223in" height="0.69375in"} 。 ∴数列![lfxlby](./data/image/media/image6637.wmf){width="0.5965277777777778in" height="0.5694444444444444in"}是以1 为公差的等差数列。 （2）∵![lfxlby](./data/image/media/image6644.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.2222222222222222in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6645.wmf){width="2.0694444444444446in" height="0.4583333333333333in"}。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6646.wmf){width="1.6805555555555556in" height="0.5in"}。（﹡） 设等比数列![lfxlby](./data/image/media/image6632.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.2222222222222222in"}的公比为![lfxlby](./data/image/media/image6647.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，由![lfxlby](./data/image/media/image6648.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.2222222222222222in"}知![lfxlby](./data/image/media/image6649.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.20833333333333334in"}，下面用反证法证明![lfxlby](./data/image/media/image6650.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.20833333333333334in"} 若![lfxlby](./data/image/media/image6651.wmf){width="0.375in" height="0.20833333333333334in"}则![lfxlby](./data/image/media/image6652.wmf){width="1.0965277777777778in" height="0.44375in"}，∴当![lfxlby](./data/image/media/image6653.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.4722222222222222in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image6654.wmf){width="1.0694444444444444in" height="0.25in"}，与（﹡）矛盾。 若![lfxlby](./data/image/media/image6655.wmf){width="0.5965277777777778in" height="0.20833333333333334in"}则![lfxlby](./data/image/media/image6656.wmf){width="0.9583333333333334in" height="0.44375in"}，∴当![lfxlby](./data/image/media/image6657.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.44375in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image6658.wmf){width="0.9305555555555556in" height="0.25in"}，与（﹡）矛盾。 ∴综上所述，![lfxlby](./data/image/media/image6650.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.20833333333333334in"}。∴![lfxlby](./data/image/media/image6659.wmf){width="1.0416666666666667in" height="0.25in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6660.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.25in"}。 又∵![lfxlby](./data/image/media/image6661.wmf){width="1.5138888888888888in" height="0.4722222222222222in"}![lfxlby](./data/image/media/image6662.wmf){width="0.6111111111111112in" height="0.25in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6663.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.2222222222222222in"}是公比是![lfxlby](./data/image/media/image6664.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.4722222222222222in"}的等比数列。 若![lfxlby](./data/image/media/image6665.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6666.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.4722222222222222in"}，于是![lfxlby](./data/image/media/image6667.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.2222222222222222in"}。 又由![lfxlby](./data/image/media/image6634.wmf){width="1.25in" height="0.5555555555555556in"}即![lfxlby](./data/image/media/image6668.wmf){width="1.0in" height="0.5in"}，得![lfxlby](./data/image/media/image6669.wmf){width="1.3055555555555556in" height="0.5416666666666666in"}。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6670.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.2222222222222222in"}中至少有两项相同，与![lfxlby](./data/image/media/image6667.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.2222222222222222in"}矛盾。∴![lfxlby](./data/image/media/image6671.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.25in"}。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6672.wmf){width="2.0694444444444446in" height="0.7361111111111112in"}。 ∴ ![lfxlby](./data/image/media/image6673.wmf){width="0.69375in" height="0.25in"}。 【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。 【解析】（1）根据题设![lfxlby](./data/image/media/image6634.wmf){width="1.25in" height="0.5555555555555556in"}和![lfxlby](./data/image/media/image6636.wmf){width="0.875in" height="0.4861111111111111in"}，求出![lfxlby](./data/image/media/image6674.wmf){width="1.1805555555555556in" height="0.5833333333333334in"}，从而证明![lfxlby](./data/image/media/image6675.wmf){width="1.2916666666666667in" height="0.5277777777777778in"}而得证。 （2）根据基本不等式得到![lfxlby](./data/image/media/image6646.wmf){width="1.6805555555555556in" height="0.5in"}，用反证法证明等比数列![lfxlby](./data/image/media/image6632.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.2222222222222222in"}的公比![lfxlby](./data/image/media/image6650.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.20833333333333334in"}。 从而得到![lfxlby](./data/image/media/image6659.wmf){width="1.0416666666666667in" height="0.25in"}的结论，再由![lfxlby](./data/image/media/image6661.wmf){width="1.5138888888888888in" height="0.4722222222222222in"}知![lfxlby](./data/image/media/image6663.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.2222222222222222in"}是公比是![lfxlby](./data/image/media/image6664.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.4722222222222222in"}的等比数列。最后用反证法求出![lfxlby](./data/image/media/image6673.wmf){width="0.69375in" height="0.25in"}。 \]数学Ⅱ(附加题) 21．\[选做题\]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．\[选修4 - 1：几何证明选讲\] （2012年江苏省10分）如图，![lfxlby](./data/image/media/image6676.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}是圆![lfxlby](./data/image/media/image6677.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}的直径，![lfxlby](./data/image/media/image6678.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.19375in"}为圆上位于![lfxlby](./data/image/media/image6676.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}异侧的两点，连结![lfxlby](./data/image/media/image6679.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.16666666666666666in"}并延长至点![lfxlby](./data/image/media/image6680.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}，使![lfxlby](./data/image/media/image6681.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.18055555555555555in"}，连结![lfxlby](./data/image/media/image6682.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.19375in"}． 求证：![lfxlby](./data/image/media/image6683.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}． ![lfxlby](./data/image/media/image6684.png){width="1.6875in" height="1.8020833333333333in"} 【答案】证明：连接![lfxlby](./data/image/media/image6685.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.16666666666666666in"}。 ∵![lfxlby](./data/image/media/image6676.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}是圆![lfxlby](./data/image/media/image6677.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}的直径，∴![lfxlby](./data/image/media/image6686.wmf){width="0.8194444444444444in" height="0.20833333333333334in"}（直径所对的圆周角是直角）。 ![](./data/image/media/image6687.png){width="1.4479166666666667in" height="1.6875in"} ∴![lfxlby](./data/image/media/image6688.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.16666666666666666in"}（垂直的定义）。 又∵![lfxlby](./data/image/media/image6681.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.18055555555555555in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6685.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.16666666666666666in"}是线段![lfxlby](./data/image/media/image6689.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.18055555555555555in"}的中垂线（线段的中垂线定义）。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6690.wmf){width="0.625in" height="0.18055555555555555in"}（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6691.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.18055555555555555in"}（等腰三角形等边对等角的性质）。 又∵![lfxlby](./data/image/media/image6678.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.19375in"}为圆上位于![lfxlby](./data/image/media/image6676.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}异侧的两点， ∴![lfxlby](./data/image/media/image6692.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.16666666666666666in"}（同弧所对圆周角相等）。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6683.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}（等量代换）。 【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。 【解析】要证![lfxlby](./data/image/media/image6683.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}，就得找一个中间量代换，一方面考虑到![lfxlby](./data/image/media/image6693.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.20833333333333334in"}是同弧所对圆周角，相等；另 一方面由![lfxlby](./data/image/media/image6676.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}是圆![lfxlby](./data/image/media/image6677.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}的直径和![lfxlby](./data/image/media/image6681.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.18055555555555555in"}可知![lfxlby](./data/image/media/image6685.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.16666666666666666in"}是线段![lfxlby](./data/image/media/image6689.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.18055555555555555in"}的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到![lfxlby](./data/image/media/image6691.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.18055555555555555in"}。从而得证。 本题还可连接![lfxlby](./data/image/media/image6694.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.18055555555555555in"}，利用三角形中位线来求证![lfxlby](./data/image/media/image6691.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.18055555555555555in"}。 B．\[选修4 - 2：矩阵与变换\] （2012年江苏省10分）已知矩阵![lfxlby](./data/image/media/image6695.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的逆矩阵![lfxlby](./data/image/media/image6696.wmf){width="1.0965277777777778in" height="0.8333333333333334in"}，求矩阵![lfxlby](./data/image/media/image6697.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的特征值． 【答案】解：∵![lfxlby](./data/image/media/image6698.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.19375in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6699.wmf){width="0.75in" height="0.3194444444444444in"}。 ∵![lfxlby](./data/image/media/image6696.wmf){width="1.0965277777777778in" height="0.8333333333333334in"}，∴![lfxlby](./data/image/media/image6700.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.4722222222222222in"}。 ∴矩阵![lfxlby](./data/image/media/image6695.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的特征多项式为![lfxlby](./data/image/media/image6701.wmf){width="2.1805555555555554in" height="0.4722222222222222in"}。 令![lfxlby](./data/image/media/image6702.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.25in"}，解得矩阵![lfxlby](./data/image/media/image6697.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的特征值![lfxlby](./data/image/media/image6703.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.2222222222222222in"}。 【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。 【解析】由矩阵![lfxlby](./data/image/media/image6695.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的逆矩阵，根据定义可求出矩阵![lfxlby](./data/image/media/image6695.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，从而求出矩阵![lfxlby](./data/image/media/image6697.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的特征值。 C．\[选修4 - 4：坐标系与参数方程\] （2012年江苏省10分）在极坐标中，已知圆![lfxlby](./data/image/media/image6704.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}经过点![lfxlby](./data/image/media/image6705.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.4027777777777778in"}，圆心为直线![lfxlby](./data/image/media/image6706.wmf){width="1.3194444444444444in" height="0.4583333333333333in"}与极轴的交点，求圆![lfxlby](./data/image/media/image6704.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}的极坐标方程． ![](./data/image/media/image6707.jpeg){width="1.375in" height="0.9513888888888888in"}【答案】解：∵圆![lfxlby](./data/image/media/image6704.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}圆心为直线![lfxlby](./data/image/media/image6706.wmf){width="1.3194444444444444in" height="0.4583333333333333in"}与极轴的交点， ∴在![lfxlby](./data/image/media/image6706.wmf){width="1.3194444444444444in" height="0.4583333333333333in"}中令![lfxlby](./data/image/media/image6708.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.18055555555555555in"}，得![lfxlby](./data/image/media/image6709.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.20833333333333334in"}。 ∴圆![lfxlby](./data/image/media/image6704.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}的圆心坐标为（1，0）。 ∵圆![lfxlby](./data/image/media/image6704.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}经过点![lfxlby](./data/image/media/image6705.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.4027777777777778in"}，∴圆![lfxlby](./data/image/media/image6704.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}的半径为![lfxlby](./data/image/media/image6710.wmf){width="2.388888888888889in" height="0.44375in"}。 ∴圆![lfxlby](./data/image/media/image6704.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}经过极点。∴圆![lfxlby](./data/image/media/image6704.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}的极坐标方程为![lfxlby](./data/image/media/image6711.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.20833333333333334in"}。 【考点】直线和圆的极坐标方程。 【解析】根据圆![lfxlby](./data/image/media/image6704.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}圆心为直线![lfxlby](./data/image/media/image6706.wmf){width="1.3194444444444444in" height="0.4583333333333333in"}与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆![lfxlby](./data/image/media/image6704.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}经过点![lfxlby](./data/image/media/image6705.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.4027777777777778in"}求出圆![lfxlby](./data/image/media/image6704.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}的半径。从而得到圆![lfxlby](./data/image/media/image6704.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.18055555555555555in"}的极坐标方程。 D．\[选修4 - 5：不等式选讲\] （2012年江苏省10分）已知实数x，y满足：![lfxlby](./data/image/media/image6712.wmf){width="1.6388888888888888in" height="0.4027777777777778in"}求证：![lfxlby](./data/image/media/image6713.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.4027777777777778in"}． 【答案】证明：∵![lfxlby](./data/image/media/image6714.wmf){width="3.2916666666666665in" height="0.25in"}， 由题设![lfxlby](./data/image/media/image6712.wmf){width="1.6388888888888888in" height="0.4027777777777778in"}∴![lfxlby](./data/image/media/image6715.wmf){width="1.0138888888888888in" height="0.4027777777777778in"}。∴![lfxlby](./data/image/media/image6713.wmf){width="0.5277777777777778in" height="0.4027777777777778in"}。 【考点】绝对值不等式的基本知识。 【解析】根据绝对值不等式的性质求证。 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（2012年江苏省10分）设![lfxlby](./data/image/media/image6716.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，![lfxlby](./data/image/media/image6717.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.20833333333333334in"}；当两条棱平行时，![lfxlby](./data/image/media/image6716.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，![lfxlby](./data/image/media/image6718.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.20833333333333334in"}． （1）求概率![lfxlby](./data/image/media/image6719.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.20833333333333334in"}； （2）求![lfxlby](./data/image/media/image6716.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}的分布列，并求其数学期望![lfxlby](./data/image/media/image6720.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.20833333333333334in"}． 【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱， ∴共有![lfxlby](./data/image/media/image6721.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.2361111111111111in"}对相交棱。 ∴ ![lfxlby](./data/image/media/image6722.wmf){width="1.6805555555555556in" height="0.4583333333333333in"}。 （2）若两条棱平行，则它们的距离为1或![lfxlby](./data/image/media/image6723.wmf){width="0.25in" height="0.2222222222222222in"}，其中距离为![lfxlby](./data/image/media/image6723.wmf){width="0.25in" height="0.2222222222222222in"}的共有6对， ∴ ![lfxlby](./data/image/media/image6724.wmf){width="1.6388888888888888in" height="0.44375in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6725.wmf){width="3.125in" height="0.4027777777777778in"}。 ∴随机变量![lfxlby](./data/image/media/image6716.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}的分布列是： ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ![lfxlby](./data/image/media/image6716.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.20833333333333334in"} 0 1 ![lfxlby](./data/image/media/image6723.wmf){width="0.25in" height="0.2222222222222222in"} ![lfxlby](./data/image/media/image6726.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.20833333333333334in"} ![lfxlby](./data/image/media/image6727.wmf){width="0.19375in" height="0.4027777777777778in"} ![lfxlby](./data/image/media/image6728.wmf){width="0.19375in" height="0.4027777777777778in"} ![lfxlby](./data/image/media/image6729.wmf){width="0.19375in" height="0.4027777777777778in"} ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ∴其数学期望![lfxlby](./data/image/media/image6730.wmf){width="1.9305555555555556in" height="0.4305555555555556in"}。 【考点】概率分布、数学期望等基础知识。 【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率![lfxlby](./data/image/media/image6719.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.20833333333333334in"}。 （2）求出两条棱平行且距离为![lfxlby](./data/image/media/image6723.wmf){width="0.25in" height="0.2222222222222222in"}的共有6对，即可求出![lfxlby](./data/image/media/image6731.wmf){width="0.69375in" height="0.25in"}，从而求出![lfxlby](./data/image/media/image6732.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.20833333333333334in"}（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量![lfxlby](./data/image/media/image6716.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}的分布列，求出其数学期望。 23．（2012年江苏省10分）设集合![lfxlby](./data/image/media/image6733.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.2222222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6635.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.19375in"}．记![lfxlby](./data/image/media/image6734.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.20833333333333334in"}为同时满足下列条件的集合![lfxlby](./data/image/media/image6735.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.16666666666666666in"}的个数： ①![lfxlby](./data/image/media/image6736.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.2222222222222222in"}；②若![lfxlby](./data/image/media/image6737.wmf){width="0.375in" height="0.18055555555555555in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6738.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.18055555555555555in"}；③若![lfxlby](./data/image/media/image6739.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.2638888888888889in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6740.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.2916666666666667in"}。 （1）求![lfxlby](./data/image/media/image6741.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.20833333333333334in"}； （2）求![lfxlby](./data/image/media/image6734.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.20833333333333334in"}的解析式（用![lfxlby](./data/image/media/image6742.wmf){width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}表示）． 【答案】解：（1）当![lfxlby](./data/image/media/image6743.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.18055555555555555in"}时，符合条件的集合![lfxlby](./data/image/media/image6744.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.16666666666666666in"}为：![lfxlby](./data/image/media/image6745.wmf){width="2.2604166666666665in" height="0.26805555555555555in"}， ∴ ![lfxlby](./data/image/media/image6741.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.20833333333333334in"}=4。 ( 2 ）任取偶数![lfxlby](./data/image/media/image6746.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.2222222222222222in"}，将![lfxlby](./data/image/media/image6747.wmf){width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，··· 经过![lfxlby](./data/image/media/image6748.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}次以后．商必为奇数．此时记商为![lfxlby](./data/image/media/image6749.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.13541666666666666in"}。于是![lfxlby](./data/image/media/image6750.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.20833333333333334in"}，其中![lfxlby](./data/image/media/image6749.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.13541666666666666in"}为奇数![lfxlby](./data/image/media/image6751.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.18055555555555555in"}。 由条件知．若![lfxlby](./data/image/media/image6752.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.18055555555555555in"}则![lfxlby](./data/image/media/image6753.wmf){width="0.6805555555555556in" height="0.18055555555555555in"}为偶数；若![lfxlby](./data/image/media/image6754.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.18055555555555555in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6753.wmf){width="0.6805555555555556in" height="0.18055555555555555in"}为奇数。 于是![lfxlby](./data/image/media/image6755.wmf){width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}是否属于![lfxlby](./data/image/media/image6744.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.16666666666666666in"}，由![lfxlby](./data/image/media/image6749.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.13541666666666666in"}是否属于![lfxlby](./data/image/media/image6744.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.16666666666666666in"}确定。 设![lfxlby](./data/image/media/image6756.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.2222222222222222in"}是![lfxlby](./data/image/media/image6757.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.2222222222222222in"}中所有奇数的集合．因此![lfxlby](./data/image/media/image6734.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.20833333333333334in"}等于![lfxlby](./data/image/media/image6756.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.2222222222222222in"}的子集个数。 当![lfxlby](./data/image/media/image6758.wmf){width="0.125in" height="0.13541666666666666in"}为偶数〔 或奇数）时，![lfxlby](./data/image/media/image6757.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.2222222222222222in"}中奇数的个数是![lfxlby](./data/image/media/image6759.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.4027777777777778in"}（![lfxlby](./data/image/media/image6760.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.4027777777777778in"}）。 ∴![lfxlby](./data/image/media/image6761.wmf){width="1.44375in" height="0.7638888888888888in"}。 【考点】集合的概念和运算，计数原理。 【解析】（1）找出![lfxlby](./data/image/media/image6743.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.18055555555555555in"}时，符合条件的集合个数即可。 （2）由题设，根据计数原理进行求解。 2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） ============================================ 数学（理科） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。满分150分，考试时间120分钟。 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的"准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效。 3.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 参考公式： 锥体体积公式V=![lfxlby](./data/image/media/image6762.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}Sh，其中S为底面积，h为高。 **第I卷** 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛*z*︱*z*=*x*+*y*,*x*∈A,*y*∈B｝中的元素的个数为（ ） A．5 B.4 C.3 D.2 2.下列函数中，与函数y=![lfxlby](./data/image/media/image6763.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.5in"}定义域相同的函数为（ ） A．y=![lfxlby](./data/image/media/image6764.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"} B.y=![lfxlby](./data/image/media/image6765.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"} C.y=*x*e*^x^* D. ![lfxlby](./data/image/media/image6766.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"} 3.若函数![lfxlby](./data/image/media/image6767.wmf){width="1.4166666666666667in" height="0.5in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6768.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}=（ ） A.lg101 B.b C.1 D.0 4.若tan![lfxlby](./data/image/media/image6769.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}+![lfxlby](./data/image/media/image6770.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"} =4,则sin2![lfxlby](./data/image/media/image6769.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}=（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image6771.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} B. ![lfxlby](./data/image/media/image6772.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} C. ![lfxlby](./data/image/media/image6773.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} D. ![lfxlby](./data/image/media/image6774.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} 5．下列命题中，假命题为（ ） A．存在四边相等的四边形不是正方形 B．![lfxlby](./data/image/media/image6775.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}为实数的充分必要条件是![lfxlby](./data/image/media/image6776.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}为共轭复数 C．若![lfxlby](./data/image/media/image6777.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}R，且![lfxlby](./data/image/media/image6778.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}则![lfxlby](./data/image/media/image6779.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}至少有一个大于1 D．对于任意![lfxlby](./data/image/media/image6780.wmf){width="1.5833333333333333in" height="0.25in"}都是偶数 6．观察下列各式：![lfxlby](./data/image/media/image6781.wmf){width="1.4166666666666667in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image6782.wmf){width="2.5in" height="0.25in"}则![lfxlby](./data/image/media/image6783.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}（ ） A．28 B．76 C．123 D．199 7．在直角三角形![lfxlby](./data/image/media/image6784.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}中，点![lfxlby](./data/image/media/image6785.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是斜边![lfxlby](./data/image/media/image6786.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的中点，点![lfxlby](./data/image/media/image6787.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为线段![lfxlby](./data/image/media/image6788.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的中点， 则![lfxlby](./data/image/media/image6789.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.5833333333333334in"}=（ ） A．2 B．4 C．5 D．10 8．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 ------ ----------- --------------- ---------- 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元 ------ ----------- --------------- ---------- 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ） A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50 9.样本（![lfxlby](./data/image/media/image6790.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}）的平均数为![lfxlby](./data/image/media/image6791.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，样本（![lfxlby](./data/image/media/image6792.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}）的平均数为![lfxlby](./data/image/media/image6793.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，若样本（![lfxlby](./data/image/media/image6790.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6792.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}）的平均数![lfxlby](./data/image/media/image6794.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}，其中![lfxlby](./data/image/media/image6795.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，则*n*,*m*的大小关系为( ) A．![lfxlby](./data/image/media/image6796.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image6797.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image6798.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"} D．不能确定 10．如右图，已知正四棱锥![lfxlby](./data/image/media/image6799.wmf){width="0.75in" height="0.16666666666666666in"}所有棱长都为1，点E是侧棱![lfxlby](./data/image/media/image6800.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}上一动点，过点![lfxlby](./data/image/media/image6801.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}垂直于![lfxlby](./data/image/media/image6802.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记![lfxlby](./data/image/media/image6803.wmf){width="1.25in" height="0.25in"}截面下面部分的体积为![lfxlby](./data/image/media/image6804.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}则函数![lfxlby](./data/image/media/image6805.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}的图像大致为 ![lfxlby](./data/image/media/image6806.png){width="1.75in" height="1.3333333333333333in"} ![lfxlby](./data/image/media/image6807.png){width="5.75in" height="1.4166666666666667in"} **理科数学** 第Ⅱ卷 注：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。 **二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。** 11.计算定积分![lfxlby](./data/image/media/image6808.wmf){width="1.25in" height="0.3333333333333333in"}\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 12.设数列{*a~n~*},{*b~n~*}都是等差数列，若*a*~1~+*b*~1~=7，*a*~3~+*b*~3~=21，则*a*~5~+*b*~5~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 13椭圆![lfxlby](./data/image/media/image6809.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.5in"}（*a*＞*b*＞0）的左、右顶点分别是*A*,*B*,左、右焦点分别是*F*~1~，*F*~2~。若\|*AF*~1~\|，\|*F*~1~*F*~2~\|，\|*F*~1~*B*\|成等比数列，则此椭圆的离心率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 14下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. ![lfxlby](./data/image/media/image6810.png){width="5.75in" height="1.0in"} 三、选做题：请在下列两题中任选一题作答。若两题都做，则按第一题评阅计分。本题共5分。 15.（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线*C*的直角坐标方程为*x*^2^＋*y*^2^-2*x*=0，以原点为极点，*x*轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线*C*的极坐标方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 15.（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式\|2*x*-1\|+\|2*x*+1\|≤6的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 四．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12分） 已知数列{*a~n~*}的前*n*项和![lfxlby](./data/image/media/image6811.wmf){width="1.6666666666666667in" height="0.4166666666666667in"},且*S~n~*的最大值为8. （1）确定常数*k*，求*a~n~*； （2）求数列![lfxlby](./data/image/media/image6812.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}的前*n*项和*T~n~*。 17.（本小题满分12分） 在△*ABC*中，角*A*,*B*,*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*。已知![lfxlby](./data/image/media/image6813.wmf){width="2.5833333333333335in" height="0.4166666666666667in"} （1）求证： ![lfxlby](./data/image/media/image6814.wmf){width="0.75in" height="0.4166666666666667in"} （2）若![lfxlby](./data/image/media/image6815.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}，求△*ABC*的面积。 18.（本题满分12分） 如图，从*A*~1~（1,0,0），*A*~2~（2,0,0），*B*~1~（0，2，0），*B*~2~（0,2,0），*C*~1~（0,0,1），*C*~2~（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点*O*两两相连构成一个"立体"，记该"立体"的体积为随机变量*V*（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时"立体"的体积*V*=0）。 ![lfxlby](./data/image/media/image6816.png){width="2.25in" height="2.0in"} （1）求*V*=0的概率； (2)求*V*的分布列及数学期望。 19.（本题满分12分） 在三棱柱*ABC*-*A*~1~*B*~1~*C*~1~中，已知*AB*=*AC*=*AA*~1~=![lfxlby](./data/image/media/image6817.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}，*BC*=4，在*A*~1~在底面*ABC*的投影是线段*BC*的中点*O*。 ![lfxlby](./data/image/media/image6818.png){width="3.25in" height="2.5in"} （1）证明在侧棱*AA*~1~上存在一点*E*，使得*OE*⊥平面*BB*~1~*C*~1~*C*，并求出*AE*的长； （2）求平面![lfxlby](./data/image/media/image6819.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}与平面*BB*~1~*C*~1~*C*夹角的余弦值。 20\. （本题满分13分） 已知三点*O*（0,0），*A*（-2,1），*B*（2,1），曲线*C*上任意一点*M*（*x*，*y*）满足![lfxlby](./data/image/media/image6820.wmf){width="2.1666666666666665in" height="0.25in"}. 1. 求曲线*C*的方程； （2）动点*Q*（*x*~0~，*y*~0~）（-2＜*x*~0~＜2）在曲线*C*上，曲线*C*在点*Q*处的切线为*l*向：是否存在定点*P*（0，*t*）（*t*＜0），使得*l*与*PA*，*PB*都不相交，交点分别为*D*,*E*，且△*QAB*与△*PDE*的面积之比是常数？若存在，求*t*的值。若不存在，说明理由。 21\. （本小题满分14分） 若函数*h*(*x*)满足 （1）*h*(0)=1，*h*(1)=0； （2）对任意![lfxlby](./data/image/media/image6821.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，有*h*(*h*(*a*))=*a*； （3）在（0,1）上单调递减。 则称*h*(*x*)为补函数。已知函数![lfxlby](./data/image/media/image6822.wmf){width="2.1666666666666665in" height="0.5in"} 判函数*h*(*x*)是否为补函数，并证明你的结论； （2）若存在![lfxlby](./data/image/media/image6823.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，使得*h*(*m*)=*m*，称*m*是函数h(x)的中介元，记![lfxlby](./data/image/media/image6824.wmf){width="1.0in" height="0.4166666666666667in"}时*h*(*x*)的中介元为*x~n~*，且![lfxlby](./data/image/media/image6825.wmf){width="0.75in" height="0.5in"}，若对任意的![lfxlby](./data/image/media/image6826.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}，都有*S*~n~\< ![lfxlby](./data/image/media/image6827.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"},求![lfxlby](./data/image/media/image6828.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的取值范围； （3）当![lfxlby](./data/image/media/image6829.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}=0，![lfxlby](./data/image/media/image6830.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}时，函数*y*= *h*(*x*)的图像总在直线*y*=1-*x*的上方，求*P*的取值范围。 参考答案： 1. 选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.C 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C 7.D 8.B 9.A 10.A 1.C 【解析】本题考查集合的概念及元素的个数. 容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素. 【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn图的考查等. 2.D 【解析】本题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数的定义域为,而答案中只有的定义域为.故选D.\[来源:Zxxk.Com\] 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法. 3.B 【解析】本题考查分段函数的求值.\[来源:学.科.网\] 因为，所以.所以. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式. 4.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为，所以.. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与"1"互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等. 5.B【解析】本题以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. （![lfxlby](./data/image/media/image6831.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}验证法）对于B项，令,显然，但不互为共轭复数，故B为假命题,应选B. 【点评】体现考纲中要求理解命题的概念，理解全称命题，存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断，逻辑连接词"或"、 "且"、 "非"的含义等.![lfxlby](./data/image/media/image6831.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"} 6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11，...，\[来源:学科网ZXXK\] 发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1,3,4,7,11，18,29,47,76,123,...， 故 【点评】归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题.体现考纲中要求了解归纳推理.来年需要注意类比推理等合情推理. 7\. D【解析】本题主要考查两点间的距离公式，以及坐标法这一重要的解题方法和数![lfxlby](./data/image/media/image6831.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}形结合的数学思想.\[来源:Z。xx。k.Com\] 不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令,则, ,, ,所以. 【点评】对于非特殊的一般图形求解长度问题，由于是选择题，不妨尝试将图形特殊化，以方便求解各长度，达到快速求解的目的.体现考纲中要求掌握两点间的距离公式.来年需要注意点到直线的距离公式. 8.B 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩,总利润为z万元，则目标函数为.线性约束条件为 即作出不等式组表示的可行域,易求得点. ![](./data/image/media/image6832.png){width="3.1041666666666665in" height="2.275in"} \[来源:学科网\] 平移直线，可知当直线经过点,即时,z取得最大值,且（万元）.故选B. 【点评】**解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：** (1)审题------仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？ (2)转化------设元．写出约束条件和目标函数; (3)求解------关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系； (4)作答------就应用题提出的问题作出回答． 体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题. 9.A 【解析】本题考查统计中的平均数，作差法比较大小以及整体思想. 由统计学知识，可得, . ， 所以. 所以 故.\[来源:学科网ZXXK\] 因为,所以.所以.即. 【点评】要牢固掌握统计学中一些基本特征：如平均数，中位数，方差，标准差等的求法. 体现考纲中要求会用样本的基本数字特征估计总体的基本数![lfxlby](./data/image/media/image6831.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}字特征.来年需要注意频率分布直方图中平均值，标准差等的求解等. 10.A【解析】本题综合考查了棱锥的体积公式，线面垂直，同时考查了函数的思想,导数法解决几何问题等重要的解题方法. （定性法）当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越快；当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A图象符合.故选A. 【点评】对于函数图象的识别问题，若函数的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，没必要去求解具体的解析式，不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃；再次，作为选择题也没有太多的时间去给学生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且准确节约时间. 二. 填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 11\. 12. 35 13. 14. 3 三.选做题:本大题5分 15(1) (2) 11\. ![lfxlby](./data/image/media/image6831.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"} 【解析】本题考查有关多项式函数，三角函数定积分的应用. . 【点评】这里，许多学生容易把原函数写成，主要是把三角函数的导数公式记混而引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲面面积等. 12\. 35【解析】本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想 （解法一）因为数列都是等差数列，所以数列也是等差数列. 故由等差中项的性质，得，即，解得. （解法二）设数列的公差分别为~,~ 因为, 所以.所以.\[来源:学\*科\*网\] 【点评】对于等差数列的计算问题，要注意掌握基本量法这一通法，同时要注意合理使用等差数列的性质进行巧解. 体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式，前项和，等差中项的性质等. 13.【解析】本题着重考查等比中项![lfxlby](./data/image/media/image6831.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想. 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：，，.又已知，，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为. 【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，然后化为有关的齐次式方程，进而转化为只含有离心率的![lfxlby](./data/image/media/image6831.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求![lfxlby](./data/image/media/image6831.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}解等. 14.3【解析】本题考查算法程序框图的应用以及运算求解的能力. 由程序框图可知： 第一次:T=0,k=1,成立，a=1,T=T+a=1,k=2,2\<6,满足判断条件，继续循环; 第二次:不成立，a=0,T=T+a=1,k=3,3\<6，满足判断条件，继续循环; 第三次:不成立，a=0,T=T+a=1,k=4,4\<6, 满足判断条件，继续循环; 第四次: 成立，a=1,T=T+a=2,k=5, 满足判断条件，继续循环; 第五次: 成立，a=1,T=T+a=2,k=6，6\<6不成立，不满足判断条件，跳出循环,故输出T的值3.\[来源:学\|科\|网\] 【点评】对于循环结构的算法框图问题，要观察什么时候刚好退出循环，，直到循环终止为止.体现考纲中要求理解输出语句，了解算法的含义与思想.来年需要注意判断条件的求解，程序的输出功能等. 15.（1）【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化及转化与化归的数学思想. 由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式得 ，又，所以. 【点评】公式是极坐标与直角坐标的互化的有力武器.体现考纲中要求能进行坐标与直角坐标的互化.来年需要注意参数方程与直角坐标的互化，极坐标与直角坐标的互化等. 15.（2）【解析】本题考查绝对值不等式的解法以及转化与划归、分类讨论的数学思想. 原不等式可化为.①或②或③ 由①得；由②得；由③得, 综上，得原不等式的解集为. 【点评】不等式的求解除了用分类讨![lfxlby](./data/image/media/image6831.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}论法外，还可以利用绝对值的几何意义------数轴来求解；后者有时用起来会事半功倍.体现考纲中要求会用绝对值的几何意义求解常见的绝对值不等式.来年需要注意绝对值不等式公式的转化应用. 四.解答题:本大题共6小题,共75分 16.(本小题满分12分) 解: （1）当时，取最大值，即，故，从而，又，所以 2. 因为， 所以 17．（本小题满分12分） 解：（1）证明：由 及正弦定理得： ， 即 整理得：，所以，又 所以 2. 由（1）及可得，又 所以， 所以三角形ABC的面积 18．（本小题满分12分） 解：（1）从6个点中随机地选取3个点共有种选法，选取的3个点与原点O在同一个平面上的选法有种，因此V=0的概率 （2）V的所有可能值为，因此V的分布列为 --- --- -- -- -- -- V 0 P --- --- -- -- -- -- 由V的分布列可得： EV= 19．（本小题满分12分） 解：（1）证明：连接*AO*，在中，作于点*E*，因为，得, 因为平面*ABC*，所以,因为, 得,所以平面,所以, 所以平面, 又, 得 (2)如图所示，分别以所在的直线 为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0), C(0,-2,0), A~1~(0.0,2),B(0,2,0) 由（1）可知得点E的坐标为，由（1）可知平面的法向量是，设平面的法向量， 由，得，令，得，即 所以 即平面平面![lfxlby](./data/image/media/image6819.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}与平面*BB*~1~*C*~1~*C*夹角的余弦值是。 20.（本小题满分12分） 解：（1）依题意可得， ， 由已知得，化简得曲线C的方程： （2）假设存在点*P*（0，*t*）（*t*\<0）满足条件，则直线PA的方程是，直线*PB*的方程是，曲线*C*在点*Q*处的切线*l*的方程为它与y轴的交点为，由于，因此 ①当时， ，存在，使得，即*l*与直线*PA*平行，故当时不符合题意 ②当时，，所以*l* 与直线*PA*，*PB*一定相交，分别联立方程组， 解得*D*，*E*的横坐标分别是 则，又， 有，又 于是 对任意，要使△*QAB*与△*PDE*的面积之比是常数，只需*t*满足， 解得*t*=-1，此时△*QAB*与△*PDE*的面积之比为2，故存在*t*=-1，使△*QAB*与△*PDE*的面积之比是常数2。 21．（本小题满分14分） 解：（1）函数是补函数。证明如下： ①； ②； ③令，有， 因为，所以当时，，所以在（0，1）上单调递减，故函数在（0，1）上单调递减。 2. 当，由，得： ①当时，中介元； ②当且时，由（\*）可得或； 得中介元，综上有对任意的，中介元（） 于是，当时，有![lfxlby](./data/image/media/image6825.wmf){width="0.75in" height="0.5in"}= 当n无限增大时， 无限接近于， 无限接近于，故对任意的，成立等价于，即 ； 3. 当时， ，中介元是 ①当时， ，中介元为，所以点不在直线*y*=1-*x*的上方，不符合条件； ②当时，依题意只须在时恒成立，也即在时恒成立，设，，则， 由可得，且当时，，当时，，又因为=1，所以当时， 恒成立。 综上：p的取值范围为（1，+）。 2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） ============================================ 数学（文科） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，![lfxlby](./data/image/media/image6833.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}第II卷第3至第4页。满分150分，考试时间120分钟。 考生注意：\[来源:Zxxk.Com\] 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的"准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无![lfxlby](./data/image/media/image6833.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}效。 3.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 参考公式：\[来源:Z,xx,k.Com\] 锥体体积公式V=![lfxlby](./data/image/media/image6762.wmf){width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"}Sh，其中S为底面积，h为高。 2. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1\. 若复数z=1+i (i为虚数单位) ![lfxlby](./data/image/media/image6834.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.2916666666666667in"}是z的共轭复数 ， 则![lfxlby](./data/image/media/image6835.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}+![lfxlby](./data/image/media/image6834.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.2916666666666667in"}²的虚部为 A 0 B -1 C 1 D -2 【答案】A 【解析】考查复数的基本运算 2 ![lfxlby](./data/image/media/image6833.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"} 若全集U=｛x∈**R**\|x^2^≤4} A=｛x∈**R**\|\|x+1\|≤1}的补集CuA为 A \|x∈**R** \|0＜x＜2\| B \|x∈**R** \|0≤x＜2\| C \|x∈**R** \|0＜x≤2\| D \|x∈**R** \|0≤x≤2\| 【答案】C 【解析】考查集合的基本运算 ，，则. 3.设函数![lfxlby](./data/image/media/image6836.wmf){width="1.4479166666666667in" height="0.71875in"}，则f（f（3））= A.![lfxlby](./data/image/media/image6837.wmf){width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"} B.3 C. ![lfxlby](./data/image/media/image6838.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} D. ![lfxlby](./data/image/media/image6839.wmf){width="0.21875in" height="0.4270833333333333in"} 【答案】D 【解析】考查分段函数，f（3）=，f（f（3））=f（）=![lfxlby](./data/image/media/image6839.wmf){width="0.21875in" height="0.4270833333333333in"} 4.若![lfxlby](./data/image/media/image6840.wmf){width="1.1770833333333333in" height="0.4270833333333333in"}，则tan2α= A. -![lfxlby](./data/image/media/image6841.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} B. ![lfxlby](./data/image/media/image6841.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} C. -![lfxlby](./data/image/media/image6842.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} D. ![lfxlby](./data/image/media/image6842.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} 【答案】B 【解析】主要考查三角函数的运算，分子分母同![lfxlby](./data/image/media/image6833.png){width="3.125e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}时除以可得，带入所求式可得结果. 5\. 观察下列事实\|x\|+\|y\|=1的不同整数解（x,y）的个数为4 ， \|x\|+\|y\|=2的不同整数解（x,y）的个数为8， \|x\|+\|y\|=3的不同整数解（x,y）的个数为12 ....则\|x\|+\|y\|=20的不同整数解（x，y）的个数为 A.76 B.80 C.86 D.92 【答案】B 【解析】本题主要为数列的应用题，观察可得不同![lfxlby](./data/image/media/image6833.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}整数解的个数可以构成一个首先为4，公差为4的等差数列，则所求为第20项，可计算得结果. 6.小波一星期的![lfxlby](./data/image/media/image6833.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 ![lfxlby](./data/image/media/image6843.png){width="5.760416666666667in" height="1.6041666666666667in"} A.30％ B.10％ C.3％ D.不能确定 【答案】C 【解析】本题是一个读图题，图形看懂结果很容易计算. 7.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 ![lfxlby](./data/image/media/image6844.png){width="2.2708333333333335in" height="1.71875in"} A．![lfxlby](./data/image/media/image6845.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.4270833333333333in"} B.5 C.4 D. ![lfxlby](./data/image/media/image6846.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} 【答案】C 【解析】本题的主视图是一个六棱柱，由三视图可得地面为变长为1的正六边形，高为1，则直接带公式可求. 8.椭圆![lfxlby](./data/image/media/image6847.wmf){width="1.5in" height="0.4583333333333333in"}的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F~1~，F~2~。若\|AF~1~\|,\|F~1~F~2~\|,\|F~1~B\|成等比数列，则此椭圆的离心率为 A. ![lfxlby](./data/image/media/image6848.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} B. ![lfxlby](./data/image/media/image6849.wmf){width="0.28125in" height="0.46875in"} C. ![lfxlby](./data/image/media/image6850.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} D. ![lfxlby](./data/image/media/image6851.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.25in"} 【答案】C\[来源:学+科+网Z+X+X+K\] 【解析】本题主要考查椭圆和等比数列的知识，根据等比中项的性质可得结果. 9.已知![lfxlby](./data/image/media/image6852.wmf){width="1.2916666666666667in" height="0.4270833333333333in"}若*a*=*f*（lg5），![lfxlby](./data/image/media/image6853.wmf){width="0.78125in" height="0.4270833333333333in"}则 A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1 【答案】C 【解析】本题可采用降幂![lfxlby](./data/image/media/image6833.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}处理，则 ，则可得a+b=1. 10.如右图，OA=2（单位：m）,OB=1(单位：m),OA与OB的夹角为![lfxlby](./data/image/media/image6854.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，以A为圆心，AB为半径作圆弧![lfxlby](./data/image/media/image6855.wmf){width="0.40625in" height="0.25in"}与线段OA延长线交与点C.甲。乙两质点同时从点O出发，甲先以速度1（单位:ms）沿线段OB行至点B，再以速度3（单位：ms）沿圆弧![lfxlby](./data/image/media/image6856.wmf){width="0.40625in" height="0.25in"}行至点C后停止，乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至A点后停止。设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S（t）的图像大致是 ![lfxlby](./data/image/media/image6857.png){width="1.65625in" height="1.0729166666666667in"} ![lfxlby](./data/image/media/image6858.png){width="5.760416666666667in" height="1.21875in"} 【答案】A **文科数学** **第Ⅱ卷** 1.**【答案】**A **【解析】**先由，求出，然后代入代数式求解；也可先化简代数式，后求解. 因为,所以，故，其虚部为0.故选A. **【点评】本题考查共轭复数的概念及**复数的运算，难度较小.体现了考纲中要求理解复数的基本概念及会进行复数的代数形式的四则运算，来年的考查点应该不会有大的区别，仍以考查复数的基本运算为主. 2.**【答案】**C **【解析】**本题先通过解不等式求出，再根据补集的定义求解. 解不等式可求得，，， 故.故选C. **【点评】本题考查**补集的计算，一元二次不等式及绝对值不等式的运算.体现了考纲中要求会求给定子集的补集及会行进简单的绝对值不等式，一元二次不等式的运算，来年可能出现集合的交集、并集等与不等式的综合运用.求解时，一般可借助维恩图及数轴来辅助解题. 3.**【答案】**D **【解析】**根据自变量的区间，利用复合函数的性质求解. 因为,所以,又因为,所以.故选D. **【点评】本题考查**复合函数，体现了考纲中要求会求简单的复合函数的值，来年复合函数与定义域结合考查仍是热点之一.简单的复合函数问题一般都比较简单，把握好函数的定义域与对应的函数解析式之间的关系即可. 4.**【答案】**B **【解析】**先利用同角函数间的关系求出，再利用二倍角公式求出. 因为，所以，则，所以.故.故选B. **【点评】本题考查**同角三角函数间的基本关系，二倍角公式等. 体现了考纲中要求会进行简单的恒等变换，来年关于恒等变换的考查可能会涉及到和与差的三角函数公式. 熟练掌握三角公式，灵活变换是解决这类问题的关键. 5.**【答案】**B **【解析】**由已知的值为1，2，3时，对应的的不同整数解个数为4，8，12，可推出当时，对应的不同整数解的个数为，所以的不同整数解的个数为80. 故选B. **【点评】本题**考查观察、归纳、推理能力，体现了考纲对于创新意识的考查，来年必不可少，考查方式多种多样.我们解这类题时，要仔细观察，大胆推理，严密论证. 6.**【答案】**C **【解析】**观察图2得，小波一星期的食品开支为：元；观察图1得，小波一星期的总开支为元，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为.故选C. **【点评】本题考查**统计图的实际应用，体现了考纲中要求了解常见的统计方法，并能利用这些方法解决一些实际问题，来年统计图很可能仍与实际问题结合考查，难度一般较小. 7.**【答案】**D **【解析】**通过观察三视图，确定几何体的形状，继而求解. 通过观察几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为六边形（2条对边长为1，其余4条边长为），高为1的直棱柱.所以该几何体的体积为 故选D. **【点评】本题考查**三视图及空间想象能力，体现了考纲中能掌握三视图所表示的简单的立体图形以及对空间想象能力的要求，来年三视图考查仍然围绕根据三视图求几何体的表面积或体积，以及根据几何体来求三视图等问题展开，难度适中. 8\. **同理13** **【答案】**B 【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想. 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：，，.又已知，，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为. 【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，然后化为有关的齐次式方程，进而转化为只含有离心率的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等. 9.**【答案】**C **【解析】**先利用三角恒等变换化简函数解析式，再通过换元寻找之间的数量关系. 因为，不妨令，则，所以，，所以.故选C. **【点评】本题考查**三角恒等变换，二倍角公式以及换元思想，综合性较强，体现了考纲中对于综合能力的考查解决，来年这种题型仍必不可少，涉及知识点多种多样，主要考查考生的综合素质.本题的难点在于三角函数的变换，熟练掌握三角函数的各种公式，并能灵活应用是解题的关键. 10.**【答案】**A **【解析】**本题破题的切入点关键是抓住几个重要的时间点，确定不同时间段的形状，从而求出解析式，然后根据解析式来确定函数图象. 由知，当时，所围成的图形为三角形，，对应的函数图像为开口向上的抛物线的一部分；存在，使得当时，所围成的图形为与一部分扇形，扇形的弧长为.又由由余弦定理，得，求得，故 ，对应的函数图像为过一、三、四象限的直线的一部分；当时，甲乙两质点停止运动，的值恒定不变，对应图像为平行于轴的直线.故选A. **【点评】本题考查**余弦定理、三角函数的图像、分段函数的综合运用，体现了考纲中要求了解简单的分段函数并能进行简单的应用以及对综合能力的要求，来年考查的核心仍是综合能力，考查知识点可以千变万化，难度较大. **注意事项**： 第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。 二。填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11\. 不等式![lfxlby](./data/image/media/image6859.png){width="0.8020833333333334in" height="0.375in"}的解集是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 【答案】 【解析】不等式可化为采用穿针引线法解不等式即可. 12.设单位向量**m**=（x，y），**b**=（2，-1）。若![lfxlby](./data/image/media/image6860.png){width="0.5104166666666666in" height="0.19791666666666666in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6861.png){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 【答案】 【解析】由已知可得，又因为**m**为单位向量所以，联立解得或代入所求即可. 13.等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~，公比不为1。若a~1~=1，且对任意的![lfxlby](./data/image/media/image6862.png){width="0.5in" height="0.17708333333333334in"}都有a~n＋2~＋a~n＋1~-2a~n~=0，则S~5~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 【答案】11 【解析】由已知可得公比q=-2，则a~1~=1可得S~5。~ 14.过直线x+y-![lfxlby](./data/image/media/image6863.png){width="0.2916666666666667in" height="0.15625in"}=0上点P作圆x^2^+y^2^=1的两条切线，若两条切![lfxlby](./data/image/media/image6833.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}线的夹角是60°，则点P的坐标是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 【答案】（） 【解析】本题主要考查数形结合的思想，设p（x，y），则由已知可得po（0为原点）与切线的夹角为，则\|po\|=2，由可得. 15．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输入的结果是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 ![lfxlby](./data/image/media/image6864.png){width="5.760416666666667in" height="1.0625in"} 【答案】3 【解析】当k=1，a=1，T=1 当k=2，a=0，T=1 当k=3，a=0，T=1 当k=4，a=1，T=2 当k=5，a=1，T=3，则此时k=k+1=6所以输出T=3. 11.**【答案】** **【解析】**本题利用分式不等式的一般解法即可. **由，分解因式得，则，所以或**. **【点评】本题考查分式不等式的解法，体现了考纲中对简单的特殊不等式的要求，来年考查点基本相同，题型可能是选择或者填空题.对于分式不等式，一般先去掉分母化为最简因式的形式，利用数轴标根法求解. 对于分式不等式出现等号时，要特别注意分母不能为零，这一隐含条件.** 12.**【答案】** **【解析】**利用**及是单位向量解题.** **因为由是单位向量，所以①.又因为，所以②.** **由①②解得或** **当时，，所以；** **当时，，所以.** **综上，.** **【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，体现了考纲中要求掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算，来年可能会涉及到平面向量的线性运算，或与其他知识点的综合运用.** 13.**【答案】11** **【解析】**先利用等比数列的性质求出**公比，再利用求和公式求解.** **设数列的公比为.因为，又显然，所以.解得或（已知**，故**舍去）.所以.** **【点评】本题考查等比数列的性质与求和，体现了考纲中要求掌握等比数列的性质以及前项的和，来年对于数列的考查还可能涉及数列的应用，推理归纳能力的考查.数列是高中数学比较重要的组成部分，作为填空题难度较小.** 14.**【答案】** **【解析】**先**根据直线的方程巧设点的坐标**，再**利用相切构成的直角三角形，求出点与点的距离，从而求得的坐标.** **点在直线上，则可设点，设其中一个切点为.因为两条切线的夹角为，所以.故在中，有.由点到点的距离公式得，解得.故点.** **【点评】本题考查直线与圆相切的性质，直角三角形的性质，点到点的距离公式的应用，综合性较强，对能力的要求比较高，体现了考纲对能力的要求，来年这种类型的题仍会出现，考查方式呈多样化.** 15\. **同理14** **【答案】**3 【解析】本题考查算法程序框图的应用以及运算求解的能力. 由程序框图可知： 第一次:T=0,k=1,成立，a=1,T=T+a=1,k=2,2\<6,满足判断条件，继续循环; 第二次:不成立，a=0,T=T+a=1,k=3,3\<6，满足判断条件，继续循环; 第三次:不成立，a=0,T=T+a=1,k=4,4\<6, 满足判断条件，继续循环; 第四次: 成立，a=1,T=T+a=2,k=5, 满足判断条件，继续循环; 第五次: 成立，a=1,T=T+a=2,k=6，6\<6不成立，不满足判断条件，跳出循环,故输出T的值3. 【点评】对于循环结构的算法框图问题，要观察什么时候刚好退出循环，，直到循环终止为止.体现考纲中要求理解输出语句，了解算法的含义与思想.来年需要注意判断条件的求解，程序的输出功能等. 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12分） △ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知3cos（B-C）-1=6cosBcosC。\[来源:学科网\] （1）求cosA； （2）若a=3，△ABC的面积为![lfxlby](./data/image/media/image6865.wmf){width="0.34375in" height="0.23958333333333334in"}，求b，c。 【解析】(1)则. \(2\) 由（1）得,由面积可得bc=6①，则根据余弦定理 则=13②，①②![lfxlby](./data/image/media/image6833.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}两式联立可得b=1，c=5或b=5，c=1. 17.（本小题满分12分） 已知数列\|a~n~\|的前n项和![lfxlby](./data/image/media/image6866.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.2604166666666667in"}（其中c![lfxlby](./data/image/media/image6833.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"}，k为常数），且a~2~=4，a~6~=8a~3~ （1）求a~n~； （2）求数列{na~n~}的前n项和T~n~。 【解析】(1)当时， 则 ， ，∴c=2.∵a~2~=4，即，解得k=2，∴（n）1） 当n=1时， 综上所述 \(2\) ，则 （1）-（2）得 18.（本小题满分12分） 如图，从A~1~（1,0,0），A~2~（2,0,0），B~1~（0,1,0,）B~2~（0,2,0），C~1~（0,0,1），C~2~（0,0,2）这6个点中随机选取3个点。 ![lfxlby](./data/image/media/image6867.png){width="2.0729166666666665in" height="1.7916666666666667in"} 17. 求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； 18. 求这3点与原点O共面的概率。 【解析】（1）总的结果数为20种，则满足条件的种数为2种所以所求概率为\[来源:Z§xx§k.Com\] （2）满足条件的情况为,,,,, ,所以所求概率为. 19\. （本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4![lfxlby](./data/image/media/image6868.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.23958333333333334in"}，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG. ![lfxlby](./data/image/media/image6869.png){width="2.9375in" height="1.15625in"} A. 求证：平面DEG⊥平面CFG； B. ![lfxlby](./data/image/media/image6833.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}求多面体C![lfxlby](./data/image/media/image6833.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}DEFG的体积。 【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得 又因为,可得，即所以平面DEG⊥平面CFG. （2）过G作GO垂直于EF，GO 即为四棱锥G-EFCD的高，所以所求体积为 20.（本小题满分13分） 已知三点O（0,0），A（-2,1）![lfxlby](./data/image/media/image6833.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}，B（2,1），曲线C上任意一点M（x,y）满足![lfxlby](./data/image/media/image6870.png){width="2.4583333333333335in" height="0.3125in"} （1）求曲线C的方程； （2）点Q（x~0~,y~0~）(-2\<x~0~\<2)是曲线C上动点，曲线C在点Q处的切线为l，点P的坐标是（0，-1），l与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比。 ![lfxlby](./data/image/media/image6833.png){width="3.125e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}【解析】（1），，, 代入式子可得整理得 （2）设；则， 得：交轴于点 与联立： 可求 21.（本小题满分14分） 已知函数![lfxlby](./data/image/media/image6871.wmf){width="1.5416666666666667in" height="0.25in"}在![lfxlby](./data/image/media/image6872.wmf){width="0.34375in" height="0.28125in"}上单调递减且满足![lfxlby](./data/image/media/image6873.wmf){width="1.1770833333333333in" height="0.21875in"}. （1）求![lfxlby](./data/image/media/image6874.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的取值范围； （2）设![lfxlby](./data/image/media/image6875.wmf){width="1.34375in" height="0.21875in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image6876.wmf){width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}在![lfxlby](./data/image/media/image6872.wmf){width="0.34375in" height="0.28125in"}上的最大值和最小值。 **【解析】（1）**，， 在上恒成立(\*) (\*) （2） ①当时，在![lfxlby](./data/image/media/image6872.wmf){width="0.34375in" height="0.28125in"}上单调递增 得： ②当时， 得：![lfxlby](./data/image/media/image6876.wmf){width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}在![lfxlby](./data/image/media/image6872.wmf){width="0.34375in" height="0.28125in"}上的最小值是中的最小值 当时， 当时， 求最大值：当时， 当时， 得：当时，， 当时， 时，，时， 2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） ============================================ 数学（理科） **一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．** 1\. **已知全集**![lfxlby](./data/image/media/image6877.wmf){width="1.5729166666666667in" height="0.28125in"}**，集合**![lfxlby](./data/image/media/image6878.wmf){width="0.9479166666666666in" height="0.28125in"}，集合![lfxlby](./data/image/media/image6879.wmf){width="0.9895833333333334in" height="0.28125in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image6880.wmf){width="1.1979166666666667in" height="0.28125in"} **A．**![lfxlby](./data/image/media/image6881.wmf){width="0.375in" height="0.28125in"} **B．**![lfxlby](./data/image/media/image6882.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"} **C．**![lfxlby](./data/image/media/image6883.wmf){width="0.46875in" height="0.28125in"} **D．**![lfxlby](./data/image/media/image6884.wmf){width="0.5104166666666666in" height="0.28125in"} 【命题意图】本题主要考查集合的补集、交集运算，是容易题. 【解析】,故选B. 2.**复数**![lfxlby](./data/image/media/image6885.wmf){width="0.4270833333333333in" height="0.4270833333333333in"} **A．**![lfxlby](./data/image/media/image6886.wmf){width="0.4270833333333333in" height="0.4270833333333333in"} **B．**![lfxlby](./data/image/media/image6887.wmf){width="0.46875in" height="0.4270833333333333in"} **C．**![lfxlby](./data/image/media/image6888.wmf){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"} **D．**![lfxlby](./data/image/media/image6889.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"} 【命题意图】本题主要考查复数的除法运算，是容易题. 【解析】**，故选A.** 3\. **已知两个非零向量**![lfxlby](./data/image/media/image6890.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.2604166666666667in"}**满足**![lfxlby](./data/image/media/image6891.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.3333333333333333in"}，则下面结论正确 **A．**![lfxlby](./data/image/media/image6892.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.23958333333333334in"} **B．**![lfxlby](./data/image/media/image6893.wmf){width="0.40625in" height="0.23958333333333334in"} **C．**![lfxlby](./data/image/media/image6894.wmf){width="0.46875in" height="0.3333333333333333in"} **D．**![lfxlby](./data/image/media/image6895.wmf){width="0.65625in" height="0.23958333333333334in"} 【命题意图】本题主要考查平面向量运算，是简单题. 【解析1】![lfxlby](./data/image/media/image6891.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.3333333333333333in"}，可以从几何角度理解，以**非零向量**![lfxlby](./data/image/media/image6890.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.2604166666666667in"}**为邻边做平行四边形，对角线长分别为**，若![lfxlby](./data/image/media/image6891.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.3333333333333333in"}，则说明四边形为矩形，所以![lfxlby](./data/image/media/image6893.wmf){width="0.40625in" height="0.23958333333333334in"}**，故选B.** 【解析2】**已知得**，即，故选B. 4\. **已知命题**![lfxlby](./data/image/media/image6896.wmf){width="2.625in" height="0.28125in"}**，则**![lfxlby](./data/image/media/image6897.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}是 **A．**![lfxlby](./data/image/media/image6898.wmf){width="2.4583333333333335in" height="0.28125in"} **B．**![lfxlby](./data/image/media/image6899.wmf){width="2.4895833333333335in" height="0.28125in"} **C．**![lfxlby](./data/image/media/image6900.wmf){width="2.4166666666666665in" height="0.28125in"} **D．**![lfxlby](./data/image/media/image6901.wmf){width="2.4479166666666665in" height="0.28125in"} 【命题意图】本题主要考查全称命题的否定，是容易题. 【解析】全称命题的否定形式为将""改为""，后面的加以否定，即将"**"改为""，故选C.** 5\. **一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为** **A．**![lfxlby](./data/image/media/image6902.wmf){width="0.34375in" height="0.19791666666666666in"} **B．**![lfxlby](./data/image/media/image6903.wmf){width="0.53125in" height="0.3020833333333333in"} **C．**![lfxlby](./data/image/media/image6904.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.3020833333333333in"} **D．**![lfxlby](./data/image/media/image6905.wmf){width="0.15625in" height="0.19791666666666666in"} 【命题意图】本题主要考查相邻的排列问题，是简单题. 【命题意图】每家3口人坐在一起，捆绑在一起，共3个，又3家3个整体继续排列有种方法，总共有![lfxlby](./data/image/media/image6904.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.3020833333333333in"}**，故选C.** 6\. **在等差数列**![lfxlby](./data/image/media/image6906.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}**中，已知**![lfxlby](./data/image/media/image6907.wmf){width="0.6979166666666666in" height="0.25in"}**，则该数列前11项和**![lfxlby](./data/image/media/image6908.wmf){width="0.34375in" height="0.25in"} **A．58 B．88 C．143 D．176** 【命题意图】本题主要考查等差数列通项公式和前项和公式，是简单题. 【解析】**，而，故选B.** 7\. **已知**![lfxlby](./data/image/media/image6909.wmf){width="1.8229166666666667in" height="0.2916666666666667in"}**，则**![lfxlby](./data/image/media/image6910.wmf){width="0.53125in" height="0.17708333333333334in"} **A．**![lfxlby](./data/image/media/image6911.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.17708333333333334in"} **B．**![lfxlby](./data/image/media/image6912.wmf){width="0.40625in" height="0.46875in"} **C．**![lfxlby](./data/image/media/image6913.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.46875in"} **D．**![lfxlby](./data/image/media/image6914.wmf){width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"} 【命题意图】本题主要考查同角三角函数基本关系式、特殊角的的三角函数，是中档题. 【解析1】![lfxlby](./data/image/media/image6909.wmf){width="1.8229166666666667in" height="0.2916666666666667in"}**，两边平方得** ，故选A. 【解析2】由于形势比较特殊，可以两边取导数得 ![](./data/image/media/image6915.png){width="2.3125in" height="1.2083333333333333in"}8. **设变量**![lfxlby](./data/image/media/image6916.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}**满足**![lfxlby](./data/image/media/image6917.wmf){width="0.96875in" height="0.78125in"}**，则**![lfxlby](./data/image/media/image6918.wmf){width="0.5in" height="0.21875in"}**的最大值为** **A．20 B．35 C．45 D．55** 【命题意图】本题主要考查简单线性规划，是中档题. 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点时，![lfxlby](./data/image/media/image6918.wmf){width="0.5in" height="0.21875in"}**的最大值为55，故选D.** 9\. **执行如图所示的程序框图，则输出的**![lfxlby](./data/image/media/image6919.wmf){width="0.15625in" height="0.19791666666666666in"}**值是** ![lfxlby](./data/image/media/image6920.png){width="5.270833333333333in" height="0.6770833333333334in"} **A． B． C． D．4** 【命题意图】本题主要考查程序框图知识，是中档题. 【解析】当时，经运算得； 当时，经运算得； 当时，经运算得； 当时，经运算得； 当时，经运算得；故选D. 从此开始重复，每隔4一循环，所以当时，经运算得；接着满足输出条件，输出 ![](./data/image/media/image6921.png){width="2.3854166666666665in" height="1.1868055555555554in"}10. **在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32**![lfxlby](./data/image/media/image6922.wmf){width="0.3020833333333333in" height="0.21875in"}**的概率为** **A．**![lfxlby](./data/image/media/image6923.wmf){width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"} **B．**![lfxlby](./data/image/media/image6924.wmf){width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"} **C．**![lfxlby](./data/image/media/image6925.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} **D．**![lfxlby](./data/image/media/image6926.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} 【命题意图】本题主要考查几何概型及应用意识.是中档题. 【解析】如图所示，令，则，矩形面积设为，则，解得，**该矩形面积小于32**![lfxlby](./data/image/media/image6922.wmf){width="0.3020833333333333in" height="0.21875in"}**的概率为，故选C.** 11\. 设**函数**![lfxlby](./data/image/media/image6927.wmf){width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}![lfxlby](./data/image/media/image6928.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.28125in"}**满足**![lfxlby](./data/image/media/image6929.wmf){width="1.9270833333333333in" height="0.28125in"}**，且当**![lfxlby](./data/image/media/image6930.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.28125in"}**时，**![lfxlby](./data/image/media/image6931.wmf){width="0.6354166666666666in" height="0.28125in"}**.又函数**![lfxlby](./data/image/media/image6932.wmf){width="1.25in" height="0.3020833333333333in"}**，则函数**![lfxlby](./data/image/media/image6933.wmf){width="1.2083333333333333in" height="0.28125in"}**在**![lfxlby](./data/image/media/image6934.wmf){width="0.5729166666666666in" height="0.46875in"}**上的零点个数为** **A．5 B．6 C．7 D．8** 【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性、函数图像、函数零点等基础知识，是难题. 【解析】![](./data/image/media/image6935.png){width="1.7083333333333333in" height="1.3958333333333333in"}由**知,所以函数**![lfxlby](./data/image/media/image6927.wmf){width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}**为偶函数，所以，所以函数**![lfxlby](./data/image/media/image6927.wmf){width="0.34375in" height="0.20833333333333334in"}**为周期为2的周期函数，且，而**![lfxlby](./data/image/media/image6932.wmf){width="1.25in" height="0.3020833333333333in"}**为偶函数，且，在同一坐标系下作出两函数在**![lfxlby](./data/image/media/image6934.wmf){width="0.5729166666666666in" height="0.46875in"}**上的图像，发现在**![lfxlby](./data/image/media/image6934.wmf){width="0.5729166666666666in" height="0.46875in"}**内图像共有6个公共点，则函数**![lfxlby](./data/image/media/image6933.wmf){width="1.2083333333333333in" height="0.28125in"}**在**![lfxlby](./data/image/media/image6934.wmf){width="0.5729166666666666in" height="0.46875in"}**上的零点个数为6**，故选B. 12\. **若**![lfxlby](./data/image/media/image6936.wmf){width="0.75in" height="0.28125in"}**，则下列不等式恒成立的是** **A．**![lfxlby](./data/image/media/image6937.wmf){width="0.8229166666666666in" height="0.21875in"} **B．**![lfxlby](./data/image/media/image6938.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.4583333333333333in"} **C．**![lfxlby](./data/image/media/image6939.wmf){width="0.9479166666666666in" height="0.4270833333333333in"} **D．**![lfxlby](./data/image/media/image6940.wmf){width="1.15625in" height="0.4270833333333333in"} 【命题意图】本题主要考查不等式恒成立问题，是难题. 【解析】验证A，当，故排除A；验证B，当， ，而，故排除B； 验证C，令**，显然恒成立** **所以当**![lfxlby](./data/image/media/image6936.wmf){width="0.75in" height="0.28125in"}**，，所以**![lfxlby](./data/image/media/image6936.wmf){width="0.75in" height="0.28125in"}**，为增函数，所以** ，恒成立，故选C；验证D，令 **，令，解得，所以当时，，显然不恒成立，故选C.** **二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．** ![](./data/image/media/image6941.png){width="2.509027777777778in" height="1.5465277777777777in"}13. **一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 [ ]{.underline} ．** 【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及其体积计算，是简单题. 【命题意图】由三视图知，此几何体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体中心，去除一个半径为1的圆柱，所以表面积为 14.**已知等比数列**![lfxlby](./data/image/media/image6942.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}**为递增数列，且**![lfxlby](./data/image/media/image6943.wmf){width="1.7604166666666667in" height="0.28125in"}**，则数列**![lfxlby](./data/image/media/image6942.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}**的通项公式**![lfxlby](./data/image/media/image6944.wmf){width="0.3020833333333333in" height="0.25in"}**\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．** 【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想，是简单题. 【解析】设等比**数列**![lfxlby](./data/image/media/image6942.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}**的公比为，则由得，，解得，又由知，，所以，因为**![lfxlby](./data/image/media/image6942.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}**为递增数列，所以**![lfxlby](./data/image/media/image6945.wmf){width="0.5520833333333334in" height="0.25in"}**，**![lfxlby](./data/image/media/image6946.wmf){width="0.4479166666666667in" height="0.2604166666666667in"} 15\. **已知**![lfxlby](./data/image/media/image6947.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}**为抛物线**![lfxlby](./data/image/media/image6948.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}**上两点，点**![lfxlby](./data/image/media/image6949.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}**的横坐标分别为**![lfxlby](./data/image/media/image6950.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.21875in"}**，过**![lfxlby](./data/image/media/image6947.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}**分别作抛物线的切线，两切线交于点**![lfxlby](./data/image/media/image6951.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}**，则点A的纵坐标为 [ ]{.underline} ．** 【命题意图】本题主要考查抛物线的切线与两直线的交点，是中档题. 【解析】**，所以以点为切点的切线方程为，以点为切点的切线方程为，联立两方程的** 16\. **已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两相互垂直，则球心到截面的距离为 [ ]{.underline} ．** 【命题意图】本题主要考查球与正三棱锥的切接问题，是难题. ![](./data/image/media/image6952.png){width="1.6145833333333333in" height="1.6770833333333333in"}【解析】如图所示，为球心，为截面**所在圆的圆心，** 设，**两两相互垂直，** ，所以，， ，解得，所以， **三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．** **17．（本小题满分12分）** 在![lfxlby](./data/image/media/image6953.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}中，角![lfxlby](./data/image/media/image6954.wmf){width="0.46875in" height="0.21875in"}的对边分别为![lfxlby](./data/image/media/image6955.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，角![lfxlby](./data/image/media/image6954.wmf){width="0.46875in" height="0.21875in"}成等差数列。 （1）求![lfxlby](./data/image/media/image6956.wmf){width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}的值； （2）边![lfxlby](./data/image/media/image6955.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}成等比数列，求![lfxlby](./data/image/media/image6957.wmf){width="0.7395833333333334in" height="0.19791666666666666in"}的值 【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列概念、正余弦定理应用，是容易题. 【解析】（1）由已知 ......6分 （2）解法一：，由正弦定理得 解法二：，，由此得得 所以， ......12分 ![](./data/image/media/image6958.png){width="2.397222222222222in" height="2.2944444444444443in"}18. **（本小题满分12分）** 如图，直三棱柱![lfxlby](./data/image/media/image6959.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.19791666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6960.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.19791666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6961.wmf){width="1.03125in" height="0.19791666666666666in"}，点![lfxlby](./data/image/media/image6962.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}分别为![lfxlby](./data/image/media/image6963.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}和![lfxlby](./data/image/media/image6964.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.19791666666666666in"}的中点 （1）证明：![lfxlby](./data/image/media/image6965.wmf){width="1.2395833333333333in" height="0.21875in"}； （2）若二面角![lfxlby](./data/image/media/image6966.wmf){width="0.6770833333333334in" height="0.19791666666666666in"}为直二面角，求![lfxlby](./data/image/media/image6967.wmf){width="0.15625in" height="0.19791666666666666in"}的值 【命题意图】本题主要考查线面平行的判定、二面角的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，是容易题. 【解析】（1）连结，由已知 三棱柱为直三棱柱， 所以为中点.又因为为中点 所以，又平面 ![](./data/image/media/image6968.png){width="2.1041666666666665in" height="1.8125in"}平面，因此![lfxlby](./data/image/media/image6965.wmf){width="1.2395833333333333in" height="0.21875in"} ......6分 （2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立直角坐标系，如图所示 设则， 于是， 所以，设是平面的法向量， 由得，可取 设是平面的法向量， 由得，可取 因为为直二面角，所以，解得......12分 ![](./data/image/media/image6969.png){width="2.09375in" height="1.5in"}19. **（本小题满分12分）** 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为"体育迷" （1）根据已知条件完成下面的![lfxlby](./data/image/media/image6970.wmf){width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}列联表，并据此资料你是否认为"体育迷"与性别有关？ ------ ---------- -------- ------ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计 ------ ---------- -------- ------ （2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的"体育迷"人数为![lfxlby](./data/image/media/image6971.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.17708333333333334in"}.若每次抽取的结果是相互独立的，求![lfxlby](./data/image/media/image6972.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.17708333333333334in"}的分布列，期望![lfxlby](./data/image/media/image6973.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.28125in"}和方差![lfxlby](./data/image/media/image6974.wmf){width="0.46875in" height="0.28125in"} 附：![lfxlby](./data/image/media/image6975.wmf){width="1.46875in" height="0.5416666666666666in"}， ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------- ------- ![lfxlby](./data/image/media/image6976.wmf){width="0.75in" height="0.3020833333333333in"} 0.05 0.01 ![lfxlby](./data/image/media/image6977.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"} 3.841 6.635 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------- ------- 【命题意图】本题主要考查频率分布直方图的应用、独立性检验、随机变量的分布列、期望、方差计算，考查运用所学知识解决实际问题能力，是中档题. 【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，"体育迷"有25人，从而列联表如下： ------ ---------- -------- ------ 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 ------ ---------- -------- ------ 将列联表中的数据代入公式计算，得 ......3分 因为，所以没有理由认为"体育迷"与性别有关. ......6分 （2）由频率分布直方图知抽到"体育迷"的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名"体育迷"的概率为. 由题意，从而的分布列为 -- --- --- --- --- 0 1 2 3 -- --- --- --- --- ......10分 ，. ......12分 20\. **（本小题满分12分）** ![](./data/image/media/image6978.png){width="1.8333333333333333in" height="1.1770833333333333in"}如图，椭圆![lfxlby](./data/image/media/image6979.wmf){width="2.2916666666666665in" height="0.4583333333333333in"}，动圆![lfxlby](./data/image/media/image6980.wmf){width="1.3854166666666667in" height="0.2604166666666667in"}.点![lfxlby](./data/image/media/image6981.wmf){width="0.375in" height="0.25in"}分别为![lfxlby](./data/image/media/image6982.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的左、右顶点，![lfxlby](./data/image/media/image6983.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}与![lfxlby](./data/image/media/image6984.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}相交于![lfxlby](./data/image/media/image6985.wmf){width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}四点 （1）求直线![lfxlby](./data/image/media/image6986.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.25in"}与直线![lfxlby](./data/image/media/image6987.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}交点![lfxlby](./data/image/media/image6988.wmf){width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}的轨迹方程； （2）设动圆![lfxlby](./data/image/media/image6989.wmf){width="0.90625in" height="0.2604166666666667in"}与![lfxlby](./data/image/media/image6990.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}相交于![lfxlby](./data/image/media/image6991.wmf){width="0.71875in" height="0.21875in"}四点，其中![lfxlby](./data/image/media/image6992.wmf){width="0.53125in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image6993.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}.若矩形![lfxlby](./data/image/media/image6994.wmf){width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}与矩形![lfxlby](./data/image/media/image6995.wmf){width="0.59375in" height="0.19791666666666666in"}的面积相等，证明：![lfxlby](./data/image/media/image6996.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.2604166666666667in"}为定值 【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查转化与化归能力、运算求解能力，是难题. 【解析】设，又知，则 直线的方程为 ① 直线的方程为 ② 由①②得 ③ 由点在椭圆上，故可得，从而有，代入③得 ......6分 （2）证明：设，由矩形与矩形的面积相等，得 ，因为点均在椭圆上，所以 由，知，所以。从而，因而为定值...12分 21\. **（本小题满分12分）**设![lfxlby](./data/image/media/image6997.wmf){width="3.28125in" height="0.2916666666666667in"}，曲线![lfxlby](./data/image/media/image6998.wmf){width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}与直线![lfxlby](./data/image/media/image6999.wmf){width="0.4895833333333333in" height="0.4270833333333333in"}在![lfxlby](./data/image/media/image7000.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}点相切. （1）求![lfxlby](./data/image/media/image7001.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.21875in"}的值； （2）证明：当![lfxlby](./data/image/media/image7002.wmf){width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image7003.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.4270833333333333in"} 【命题意图】本题主要考查函数的切线及恒成立问题，考查运算求解能力，是难题. 【解析】（1）由的图像过![lfxlby](./data/image/media/image7000.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}点，代入得 由在![lfxlby](./data/image/media/image7000.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}处的切线斜率为，又，得...3分 （2）（证法一）由均值不等式，当时，，故 记，则 ，令，则当时， 因此在内是减函数，又由，得，所以 因此在内是减函数，又由，得， 于是当![lfxlby](./data/image/media/image7002.wmf){width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}时， ![lfxlby](./data/image/media/image7003.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.4270833333333333in"} ...12分 （证法二） 由（1）知，由均值不等式，当时，，故 令，则，故，即，由此得，当时，，记，则当![lfxlby](./data/image/media/image7002.wmf){width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}时， 因此在内是减函数，又由，得，即![lfxlby](./data/image/media/image7003.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.4270833333333333in"} ![](./data/image/media/image7004.png){width="2.125in" height="1.617361111111111in"}22. **（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲** **如图，**![lfxlby](./data/image/media/image7005.wmf){width="0.3020833333333333in" height="0.20833333333333334in"}**和**![lfxlby](./data/image/media/image7006.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}**相交于*A*，*B*两点，*过A*作两圆的切线分别交两圆于**![lfxlby](./data/image/media/image7007.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}**两点，连结**![lfxlby](./data/image/media/image7008.wmf){width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}**并延长交**![lfxlby](./data/image/media/image7005.wmf){width="0.3020833333333333in" height="0.20833333333333334in"}**于点**![lfxlby](./data/image/media/image7009.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}**.** **证明：（I）**![lfxlby](./data/image/media/image7010.wmf){width="1.1770833333333333in" height="0.19791666666666666in"}**；** **（II）**![lfxlby](./data/image/media/image7011.wmf){width="0.59375in" height="0.19791666666666666in"} 【命题意图】本题主要考查几何选讲的基础知识，是简单题. 证明：（1）由与相切于，得，同理， 所以。从而，即 ......4分 （2）由与相切于，得，又，得 从而，即，综合（1）的结论， ......10分 23\. **（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程** 在直角坐标系![lfxlby](./data/image/media/image7012.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}中，圆![lfxlby](./data/image/media/image7013.wmf){width="0.8229166666666666in" height="0.2604166666666667in"}，圆![lfxlby](./data/image/media/image7014.wmf){width="1.15625in" height="0.3020833333333333in"} （1）在以![lfxlby](./data/image/media/image7015.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}为极点，![lfxlby](./data/image/media/image7016.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆![lfxlby](./data/image/media/image7017.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的极坐标方程，并求出圆![lfxlby](./data/image/media/image7017.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的交点坐标（用极坐标表示） （2）求圆![lfxlby](./data/image/media/image7018.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}与圆![lfxlby](./data/image/media/image7019.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的公共弦的参数方程 【命题意图】本题主要考查圆的极坐标方程、直线的参数方程，是简单题. 【解析】圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为， 解得，故圆![lfxlby](./data/image/media/image7018.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}与圆![lfxlby](./data/image/media/image7019.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}交点的坐标为 ......5分 注：极坐标系下点的表示不唯一 （2）（解法一）由，得圆![lfxlby](./data/image/media/image7018.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}与圆![lfxlby](./data/image/media/image7019.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}交点的直角坐标为 故圆![lfxlby](./data/image/media/image7018.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}与圆![lfxlby](./data/image/media/image7019.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的公共弦的参数方程为 （或参数方程写成） ... 10分 （解法二） 将代入，得，从而 于是圆![lfxlby](./data/image/media/image7018.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}与圆![lfxlby](./data/image/media/image7019.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的公共弦的参数方程为 24\. **（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲** 已知![lfxlby](./data/image/media/image7020.wmf){width="1.4166666666666667in" height="0.28125in"}，不等式![lfxlby](./data/image/media/image7021.wmf){width="0.6354166666666666in" height="0.28125in"}的解集为![lfxlby](./data/image/media/image7022.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.3020833333333333in"} （1）求![lfxlby](./data/image/media/image7023.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的值 （2）若![lfxlby](./data/image/media/image7024.wmf){width="1.28125in" height="0.5in"}恒成立，求![lfxlby](./data/image/media/image7025.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的取值范围 【命题意图】本主要考查含绝对值不等式的解法及绝对值不等式的意义，是容易题. 【解析】（1）由得，又的解集为，所以 当时，不合题意 当时，，得 ...5分 （2）记，则， 所以，因此 ......10分 2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） ============================================ 数学（文科） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 **第Ⅰ卷** **一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。** （1）已知向量![lfxlby](./data/image/media/image7026.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.23958333333333334in"} = (1,---1)，![lfxlby](./data/image/media/image7027.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.23958333333333334in"} = (2,![lfxlby](./data/image/media/image7028.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}).若![lfxlby](./data/image/media/image7029.wmf){width="0.34375in" height="0.23958333333333334in"} = 1,则![lfxlby](./data/image/media/image7028.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"} = \(A\) ---1 (B) ---![lfxlby](./data/image/media/image7030.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} (C) ![lfxlby](./data/image/media/image7030.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} (D)1 **【命题意图】**本题主要考查向量的数量积，属于容易题。 **【解析】**，故选D （2）已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则 ![lfxlby](./data/image/media/image7031.wmf){width="1.0520833333333333in" height="0.25in"}= (A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} **【答案】**B **【解析一】**因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以，所以{7,9}。故选B **【解析二】** 集合即为在全集U中去掉集合A和集合B中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选B **【点评】**本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。采用解析二能够更快地得到答案。 （3）复数![lfxlby](./data/image/media/image7032.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.4270833333333333in"} \(A\) ![lfxlby](./data/image/media/image7033.wmf){width="0.4895833333333333in" height="0.4270833333333333in"} (B)![lfxlby](./data/image/media/image7034.wmf){width="0.4895833333333333in" height="0.4270833333333333in"} (C) ![lfxlby](./data/image/media/image7035.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.19791666666666666in"} (D) ![lfxlby](./data/image/media/image7036.wmf){width="0.3020833333333333in" height="0.19791666666666666in"} **【答案】**A **【解析】**，故选A **【点评】**本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。复数的运算要做到细心准确。 （4）在等差数列{![lfxlby](./data/image/media/image7037.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}}中，已知![lfxlby](./data/image/media/image7038.wmf){width="0.46875in" height="0.25in"}=16，则![lfxlby](./data/image/media/image7039.wmf){width="0.53125in" height="0.25in"}= \(A\) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 **【命题意图】**本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力，属于容易题。 **【解析】** ，故选B （5）**已知命题**![lfxlby](./data/image/media/image6896.wmf){width="2.625in" height="0.28125in"}**，则**![lfxlby](./data/image/media/image6897.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}是 **A．**![lfxlby](./data/image/media/image6898.wmf){width="2.4583333333333335in" height="0.28125in"} **B．**![lfxlby](./data/image/media/image6899.wmf){width="2.4895833333333335in" height="0.28125in"} **C．**![lfxlby](./data/image/media/image6900.wmf){width="2.4166666666666665in" height="0.28125in"} **D．**![lfxlby](./data/image/media/image6901.wmf){width="2.4479166666666665in" height="0.28125in"} 【命题意图】本题主要考查全称命题的否定，是容易题. 【解析】全称命题的否定形式为将""改为""，后面的加以否定，即将"**"改为""，故选C.** （6）已知![lfxlby](./data/image/media/image7040.wmf){width="1.2604166666666667in" height="0.23958333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7041.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.15625in"}(0，π)，则![lfxlby](./data/image/media/image7042.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}= \(A\) ![lfxlby](./data/image/media/image7043.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.11458333333333333in"}1 (B) ![lfxlby](./data/image/media/image7044.wmf){width="0.40625in" height="0.46875in"} (C) ![lfxlby](./data/image/media/image7045.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.46875in"} (D) 1 **【命题意图】**本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。 **【解析】故选A** （7）将圆![lfxlby](./data/image/media/image7046.wmf){width="1.6145833333333333in" height="0.25in"}平分的直线是 （A）![lfxlby](./data/image/media/image7047.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.21875in"} （B）![lfxlby](./data/image/media/image7048.wmf){width="0.84375in" height="0.21875in"} （C）![lfxlby](./data/image/media/image7049.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.21875in"} （D）![lfxlby](./data/image/media/image7050.wmf){width="0.84375in" height="0.21875in"} **【命题意图】**本题主要考查直线和圆的方程，难度适中。 **【解析】**圆心坐标为（1，2），将圆平分的直线必经过圆心，故选C （8）函数![lfxlby](./data/image/media/image7051.wmf){width="0.9895833333333334in" height="0.4270833333333333in"}的单调递减区间为 （A）（![lfxlby](./data/image/media/image7043.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.14583333333333334in"}1,1\] （B）（0,1\] （C.）\[1，+∞） （D）（0，+∞） **【命题意图】**本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。 ![](./data/image/media/image7052.png){width="2.3125in" height="1.2083333333333333in"}**【解析】**故**选B** （9）**设变量**![lfxlby](./data/image/media/image6916.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}**满足**![lfxlby](./data/image/media/image6917.wmf){width="0.96875in" height="0.78125in"}**，则**![lfxlby](./data/image/media/image6918.wmf){width="0.5in" height="0.21875in"}**的最大值为** **A．20 B．35 C．45 D．55** 【命题意图】本题主要考查简单线性规划，是中档题. 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点时，![lfxlby](./data/image/media/image6918.wmf){width="0.5in" height="0.21875in"}**的最大值为55，故选D.** （10）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是 ![lfxlby](./data/image/media/image7053.png){width="5.010416666666667in" height="0.6666666666666666in"} \(A\) 4 (B) ![lfxlby](./data/image/media/image7054.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} (C) ![lfxlby](./data/image/media/image7055.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} (D) ![lfxlby](./data/image/media/image7043.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.14583333333333334in"}1 **【命题意图】**本题主要考查程序框图中的循环结构、以及运算求解能力，属于中档题。此类题目如果数值较少也可直接算出结果，如果数值很多需要通过计算确定出周期再根据周期确定最后的结果。此题中数值的周期为4 **【解析】**根据程序框图可计算得 ，故选D （11）在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm^2^的概率为 :(A) ![lfxlby](./data/image/media/image7056.wmf){width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"} (B) ![lfxlby](./data/image/media/image7057.wmf){width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"} (C) ![lfxlby](./data/image/media/image7055.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} (D) ![lfxlby](./data/image/media/image7058.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} **【命题意图】**本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。 **【解析】**设线段AC的长为cm，则线段CB的长为()cm,那么矩形的面积为cm^2^， 由，解得。又，所以该矩形面积小于32cm^2^的概率为，故选C （12）已知P,Q为抛物线![lfxlby](./data/image/media/image7059.wmf){width="0.5520833333333334in" height="0.25in"}上两点，点P,Q的横坐标分别为4，![lfxlby](./data/image/media/image7043.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.14583333333333334in"}2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为 \(A\) 1 (B) 3 (C) ![lfxlby](./data/image/media/image7043.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.14583333333333334in"}4 (D) ![lfxlby](./data/image/media/image7043.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.14583333333333334in"}8 **【命题意图】**本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。 **【解析】**因为点*P*，*Q*的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得*P*，*Q*的纵坐标分别为8,2.由所以过点*P*，*Q*的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点*P*，*Q*的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点*A*的纵坐标为4 【点评】曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。 **第Ⅱ卷** 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题\~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题\~第24题为选考题，考生根据要求做答。 **二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。** （13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. **【命题意图】**本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。 ![](./data/image/media/image7060.jpeg){width="2.2395833333333335in" height="1.6875in"}【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，高位1，所以该几何体的体积为 **【点评】**本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出体积。 （14）已知等比数列｛![lfxlby](./data/image/media/image7037.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}｝为递增数列.若![lfxlby](./data/image/media/image7061.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}＞0,且![lfxlby](./data/image/media/image7062.wmf){width="1.2916666666666667in" height="0.25in"}2,则数列｛![lfxlby](./data/image/media/image7037.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}｝的公比![lfxlby](./data/image/media/image7063.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"} = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. **【命题意图】**本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。 **【解析】** 因为数列为递增数列，且 （15）已知双曲线![lfxlby](./data/image/media/image7064.wmf){width="0.7395833333333334in" height="0.25in"},点![lfxlby](./data/image/media/image7065.wmf){width="0.40625in" height="0.25in"}为其两个焦点，点![lfxlby](./data/image/media/image7066.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}为双曲线上一点，若![lfxlby](./data/image/media/image7067.wmf){width="0.28125in" height="0.25in"}⊥![lfxlby](./data/image/media/image7068.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.25in"},则∣![lfxlby](./data/image/media/image7067.wmf){width="0.28125in" height="0.25in"}∣+∣![lfxlby](./data/image/media/image7068.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.25in"}∣的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. **【命题意图】**本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。 **【解析】**由双曲线的方程可知 **【点评】**解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差---积---和的转化。 （16）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2![lfxlby](./data/image/media/image7069.wmf){width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}正方形。若PA=2![lfxlby](./data/image/media/image7070.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.23958333333333334in"},则△OAB的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. **【命题意图】**本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。 **【解析】**点 **【点评】**该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱锥转化为长方体来考虑就容易多了。 **三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。** （17）(本小题满分12分) 在![lfxlby](./data/image/media/image7071.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}中，角*A*、*B*、*C*的对边分别为![lfxlby](./data/image/media/image7072.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7073.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7074.wmf){width="0.125in" height="0.15625in"}*，*角*A*，*B*，*C*成等差数列。 (Ⅰ)求![lfxlby](./data/image/media/image7075.wmf){width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}的值； (Ⅱ)边![lfxlby](./data/image/media/image7072.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7073.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7074.wmf){width="0.125in" height="0.15625in"}成等比数列，求![lfxlby](./data/image/media/image7076.wmf){width="0.7395833333333334in" height="0.19791666666666666in"}的值。 **【命题意图】**本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。 【解析】（1）由已知 ......6分 （2）解法一：，由正弦定理得 解法二：，，由此得得 所以， ......12分 ![](./data/image/media/image7077.png){width="1.8333333333333333in" height="1.9583333333333333in"}**【点评】**第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。 （18）(本小题满分12分) 如图，直三棱柱![lfxlby](./data/image/media/image7078.wmf){width="1.0104166666666667in" height="0.21875in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7079.wmf){width="0.875in" height="0.21875in"}， ![lfxlby](./data/image/media/image7080.wmf){width="1.09375in" height="0.2604166666666667in"}AA′=1，点![lfxlby](./data/image/media/image7081.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}分别为![lfxlby](./data/image/media/image7082.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}和![lfxlby](./data/image/media/image7083.wmf){width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}的中点。 (Ⅰ)证明：![lfxlby](./data/image/media/image7084.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.19791666666666666in"}∥平面![lfxlby](./data/image/media/image7085.wmf){width="0.59375in" height="0.21875in"}; (Ⅱ)求三棱锥![lfxlby](./data/image/media/image7086.wmf){width="0.7395833333333334in" height="0.21875in"}的体积。 （椎体体积公式V=![lfxlby](./data/image/media/image7087.wmf){width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"}Sh,其中S为地面面积，h为高） **【命题意图】**本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。 【解析】（1）（法一）连结，由已知 三棱柱为直三棱柱， 所以为中点.又因为为中点 ![](./data/image/media/image7088.png){width="1.7708333333333333in" height="2.1041666666666665in"}所以，又平面 平面，因此![lfxlby](./data/image/media/image6965.wmf){width="1.2395833333333333in" height="0.21875in"} ......6分 **（法二）**取的中点为P，连结MP，NP， ∵![lfxlby](./data/image/media/image7081.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}分别为![lfxlby](./data/image/media/image7082.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.20833333333333334in"}和![lfxlby](./data/image/media/image7083.wmf){width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}的中点， ∴MP∥,NP∥, ∴MP∥面,NP∥面, ∵, ∴面MPN∥面， ∵MN面， ∴MN∥面. (Ⅱ)（解法一）连结BN，由题意⊥,面∩面=, ∴⊥⊥面NBC， ∵==1, ∴. (解法2) **【点评】**第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键，也可以采用割补发来球体积。 （19）(本小题满分12分) ![](./data/image/media/image7089.png){width="2.09375in" height="1.5in"}电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图； 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为"体育迷"，已知"体育迷"中有10名女性。 (Ⅰ)根据已知条件完成下面的![lfxlby](./data/image/media/image7090.wmf){width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}列联表，并据此资料你是否认为"体育迷"与性别 有关？ ------ ---------- -------- ------ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 ------ ---------- -------- ------ (Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为"超级体育迷"，已知"超级体育迷"中有2名女性，若从"超级体育迷"中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率。 附![lfxlby](./data/image/media/image7091.wmf){width="1.625in" height="0.5in"} ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------- ------- ![lfxlby](./data/image/media/image6976.wmf){width="0.75in" height="0.3020833333333333in"} 0.05 0.01 ![lfxlby](./data/image/media/image6977.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"} 3.841 6.635 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------- ------- **【命题意图】**本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、古典概型，考查分析解决问题的能力、运算求解能力，难度适中。 **【解析】**（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，"体育迷"有25人，从而列联表如下： ------ ---------- -------- ------ 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 ------ ---------- -------- ------ 将列联表中的数据代入公式计算，得 ......3分 因为，所以没有理由认为"体育迷"与性别有关. ......6分 (Ⅱ)由频率分布直方图知，"超级体育迷"为5人，从而一切可能的结果所组成的基本事件空间为 **=**{{，}，{，}，{，}，{，}，{，},{，}，{，}，{，}，{，}，{，}}. 其中表示男性，=1,2,3，表示女性，=1,2. **由**10个基本事件组成，而且这些基本事件出现是等可能的， 用A表示"任选3人中，至少有2人是女性"这一事件，则 A={{，}，{，},{，}，{，}，{，}，{，}，{，}}， 事件A由7个基本事件组成，∴. **【点评】**准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键。求概率时列举基本事件一定要做到不重不漏，此处极容易出错。 ![](./data/image/media/image7092.png){width="1.8333333333333333in" height="1.1770833333333333in"}（20）(本小题满分12分) 如图，动圆![lfxlby](./data/image/media/image7093.wmf){width="1.0520833333333333in" height="0.2604166666666667in"},1＜![lfxlby](./data/image/media/image7094.wmf){width="9.375e-2in" height="0.16666666666666666in"}＜3, 与椭圆![lfxlby](./data/image/media/image7095.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}：![lfxlby](./data/image/media/image7096.wmf){width="0.7604166666666666in" height="0.4583333333333333in"}相交于A，B，C，D四点，点![lfxlby](./data/image/media/image7097.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}分别为![lfxlby](./data/image/media/image7098.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的左，右顶点。 (Ⅰ)当![lfxlby](./data/image/media/image7094.wmf){width="9.375e-2in" height="0.16666666666666666in"}为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积； (Ⅱ)求直线![lfxlby](./data/image/media/image7099.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.25in"}与直线![lfxlby](./data/image/media/image7100.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}交点M的轨迹方程。 **【命题意图】**本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。 **【解析】**(Ⅰ)设A(，)，则矩形ABCD的面积S=， **由得，，** **∴==，** **当，时，=6，** **∴**![lfxlby](./data/image/media/image7094.wmf){width="9.375e-2in" height="0.16666666666666666in"}=时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6. ......6分 (Ⅱ) 设，又知，则 直线的方程为 ① 直线的方程为 ② 由①②得 ③ 由点在椭圆上，故可得，从而有，代入③得 **∴**直线![lfxlby](./data/image/media/image7099.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.25in"}与直线![lfxlby](./data/image/media/image7100.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}交点M的轨迹方程为 ......12分 （21）(本小题满分12分) > 设![lfxlby](./data/image/media/image7101.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.2604166666666667in"}，证明： (Ⅰ)当![lfxlby](./data/image/media/image7102.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}＞1时，![lfxlby](./data/image/media/image7103.wmf){width="0.375in" height="0.21875in"}＜![lfxlby](./data/image/media/image7104.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}； (Ⅱ)当![lfxlby](./data/image/media/image7105.wmf){width="0.59375in" height="0.19791666666666666in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image7106.wmf){width="1.0416666666666667in" height="0.4270833333333333in"}. **【命题意图】**本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大。 **【解析】**(Ⅰ)(法1)记=， 则当![lfxlby](./data/image/media/image7102.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}＞1时，=， 又∵，∴＜0，即![lfxlby](./data/image/media/image7103.wmf){width="0.375in" height="0.21875in"}＜![lfxlby](./data/image/media/image7104.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}； ......4分 （法2）由均值不等式，当![lfxlby](./data/image/media/image7102.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}＞1时，，∴， ① 令，则，，∴，即， ② 由①②得，当![lfxlby](./data/image/media/image7102.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}＞1时，![lfxlby](./data/image/media/image7103.wmf){width="0.375in" height="0.21875in"}＜![lfxlby](./data/image/media/image7104.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}. ......4分 (Ⅱ)（法1）记，由(Ⅰ)得， ==＜=， 令=，则当时，= ∴在（1,3）内单调递减，又，∴＜0， ∴当1＜＜3时，![lfxlby](./data/image/media/image7106.wmf){width="1.0416666666666667in" height="0.4270833333333333in"}. ......12分 （证法2）记=，则当当1＜＜3时， =＜ =＜ =＜0. ......10分 ∴在（1,3）内单调递减，又，∴＜0， ∴当1＜＜3时，![lfxlby](./data/image/media/image7106.wmf){width="1.0416666666666667in" height="0.4270833333333333in"}. ......12分 ![](./data/image/media/image7107.png){width="2.125in" height="1.617361111111111in"}**请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。** (22)(本小题满分10分)选修4![lfxlby](./data/image/media/image7108.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.11458333333333333in"}1：几何证明选讲 > 如图，⊙*O*和⊙![lfxlby](./data/image/media/image7109.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.21875in"}相交于![lfxlby](./data/image/media/image7110.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}两点，过*A*作两圆的切线分别交两圆于*C*，*D*两点，连接*DB*并延长交⊙*O*于点*E*。证明 (Ⅰ)![lfxlby](./data/image/media/image7111.wmf){width="1.3020833333333333in" height="0.19791666666666666in"}； (Ⅱ) ![lfxlby](./data/image/media/image7112.wmf){width="0.6770833333333334in" height="0.19791666666666666in"}。 【命题意图】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质，考查推理论证能力和数形结合思想，重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握，难度较小。 证明：（1）由与相切于，得，同理， 所以。从而，即 ......4分 （2）由与相切于，得，又，得 从而，即，综合（1）的结论， ......10分 (23)(本小题满分10分)选修4![lfxlby](./data/image/media/image7108.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.11458333333333333in"}4：坐标系与参数方程 在直角坐标![lfxlby](./data/image/media/image7113.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}中，圆![lfxlby](./data/image/media/image7114.wmf){width="1.03125in" height="0.2604166666666667in"}，圆![lfxlby](./data/image/media/image7115.wmf){width="1.3854166666666667in" height="0.2604166666666667in"}。 (Ⅰ)在以*O*为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆![lfxlby](./data/image/media/image7116.wmf){width="0.4270833333333333in" height="0.25in"}的极坐标方程，并求出圆![lfxlby](./data/image/media/image7116.wmf){width="0.4270833333333333in" height="0.25in"}的交点坐标(用极坐标表示)； (Ⅱ)求圆![lfxlby](./data/image/media/image7117.wmf){width="0.5104166666666666in" height="0.25in"}的公共弦的参数方程。 【命题意图】本题主要考查点的极坐标表示、圆的极坐标方程、参数方程的表示及参数方程与一般方程的转换、解方程组的知识，难度较小。 【解析】圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为， 解得，故圆![lfxlby](./data/image/media/image7018.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}与圆![lfxlby](./data/image/media/image7019.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}交点的坐标为 ......5分 注：极坐标系下点的表示不唯一 （2）（解法一）由，得圆![lfxlby](./data/image/media/image7018.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}与圆![lfxlby](./data/image/media/image7019.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}交点的直角坐标为 故圆![lfxlby](./data/image/media/image7018.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}与圆![lfxlby](./data/image/media/image7019.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的公共弦的参数方程为 （或参数方程写成） ... 10分 （解法二） 将代入，得，从而 于是圆![lfxlby](./data/image/media/image7018.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}与圆![lfxlby](./data/image/media/image7019.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的公共弦的参数方程为 **【点评】**本题要注意圆![lfxlby](./data/image/media/image7114.wmf){width="1.03125in" height="0.2604166666666667in"}的圆心为半径为，圆![lfxlby](./data/image/media/image7115.wmf){width="1.3854166666666667in" height="0.2604166666666667in"}的圆心为半径为，从而写出它们的极坐标方程；对于两圆的公共弦，可以先求出其代数形式，然后化成参数形式，也可以直接根据直线的参数形式写出。 (24)(本小题满分10分)选修4![lfxlby](./data/image/media/image7108.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.11458333333333333in"}5：不等式选讲 已知![lfxlby](./data/image/media/image7020.wmf){width="1.4166666666666667in" height="0.28125in"}，不等式![lfxlby](./data/image/media/image7021.wmf){width="0.6354166666666666in" height="0.28125in"}的解集为![lfxlby](./data/image/media/image7022.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.3020833333333333in"} (Ⅰ)求![lfxlby](./data/image/media/image7023.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的值 (Ⅱ)若![lfxlby](./data/image/media/image7118.wmf){width="1.28125in" height="0.4270833333333333in"}恒成立，求*k*的取值范围。 【命题意图】本题主要考查分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，考查分类讨论思想在解题中的灵活运用. 【解析】(Ⅰ)由得，又的解集为，所以 当时，不合题意 当时，，得 ...5分 (Ⅱ)记，则， 所以，因此 ......10分 **【点评】**，第(Ⅰ)问，要真对的取值情况进行讨论，第(Ⅱ)问要真对的正负进行讨论从而用分段函数表示，进而求出*k*的取值范围。本题属于中档题，难度适中．平时复习中，要切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用。 2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） ============================================ 数学（理科） 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 注意事项： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 锥体的体积公式：V=![lfxlby](./data/image/media/image7119.wmf){width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"}Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。 如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A,B独立，那么P（AB）=P（A）·P（B）。 第I卷（共60分） 6. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 解析：.答案选A。 另解：设，则 根据复数相等可知，解得，于是。 2 已知全集![lfxlby](./data/image/media/image7120.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA）![lfxlby](./data/image/media/image7121.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}B为 A {1,2,4} B {2,3,4} C {0,2,4} D {0,2,3,4} 解析：。答案选C。 3 设a＞0 a≠1 ，则"函数f(x)= a^x^在R上是减函数 "，是"函数g(x)=(2-a) ![lfxlby](./data/image/media/image7122.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}在R上是增函数"的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 \[来源:学,科,网Z,X,X,K\] C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析：p："函数f(x)= a^x^在R上是减函数 "等价于；q："函数g(x)=(2-a) ![lfxlby](./data/image/media/image7122.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}在R上是增函数"等价于，即且a≠1，故p是q成立的充分不必要条件. 答案选A。 （4）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，......，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间\[1,450\]的人做问卷A，编号落入区间\[451,750\]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为 （A）7 （B） 9 （C） 10 （D）15 解析：采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即，第k组的号码为，令，而，解得，则满足的整数k有10个，故答案应选C。 ![lfxlby](./data/image/media/image7128.png){width="3.9479166666666665in" height="0.9166666666666666in"} 解析：作出可行域，直线，将直线平移至点处有最大值， 点处有最小值，即.答案应选A。 （6）执行下面的程序图，如果输入a=4，那么输出的n的值为 ![](./data/image/media/image7129.png){width="2.5444444444444443in" height="3.79375in"} （A）2（B）3（C）4（D）5 解析：； ； ，。 答案应选B。 (7)若![lfxlby](./data/image/media/image7130.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.46875in"}，![lfxlby](./data/image/media/image5183.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}![lfxlby](./data/image/media/image7131.wmf){width="0.8854166666666666in" height="0.46875in"}，则sin![lfxlby](./data/image/media/image7132.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}= （A）![lfxlby](./data/image/media/image7133.wmf){width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"}（B）![lfxlby](./data/image/media/image7134.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}（C）![lfxlby](./data/image/media/image7135.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.46875in"}（D）![lfxlby](./data/image/media/image7136.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} 解析：由![lfxlby](./data/image/media/image7130.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.46875in"}可得， ， ，答案应选D。 另解：由![lfxlby](./data/image/media/image7130.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.46875in"}及![lfxlby](./data/image/media/image7131.wmf){width="0.8854166666666666in" height="0.46875in"}可得 ， 而当![lfxlby](./data/image/media/image7130.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.46875in"}时，结合选项即可得.答案应选D。 （8）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）^2^，当-1≤x＜3时，f（x）=x。则f（1）+f（2）+f（3）+...+f（2012）= （A）335（B）338（C）1678（D）2012 解析：，而函数的周期为6， . 答案应选B (9)函数![lfxlby](./data/image/media/image7137.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3020833333333333in"}的图像大致为 ![lfxlby](./data/image/media/image7138.png){width="5.768055555555556in" height="1.2125in"} 解析：函数，为奇函数， 当，且时；当，且时； 当，，；当，，. 答案应选D。 （10）已知椭圆C：![lfxlby](./data/image/media/image7139.png){width="1.5in" height="0.2708333333333333in"}的离心率为![lfxlby](./data/image/media/image7140.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3020833333333333in"}，双曲线*x*²-*y*²＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为 ![lfxlby](./data/image/media/image7141.png){width="5.768055555555556in" height="0.36666666666666664in"} 解析：双曲![lfxlby](./data/image/media/image5183.png){width="3.125e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}线*x*²-*y*²＝1的渐近线方程为，代入![lfxlby](./data/image/media/image7139.png){width="1.5in" height="0.2708333333333333in"}可得，则，又由可得，则， 于是。椭圆方程为，答案应选D。 （11）现有16张不同的卡片，其中红色、黄![lfxlby](./data/image/media/image5183.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"}色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 （A）232 (B)252 (C)472 (D)484 解析：,答案应选C。 另解：. (12)设函数![lfxlby](./data/image/media/image7142.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}（x）=![lfxlby](./data/image/media/image7143.png){width="0.16666666666666666in" height="0.2604166666666667in"}，g（x![lfxlby](./data/image/media/image5183.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}）=ax^2^+bx![lfxlby](./data/image/media/image7144.png){width="1.1875in" height="0.1875in"}若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A（x~1~,y~1~）,B(x~2~,y~2~),则下列判断正确的是 A.当a\<0时，x~1~+x~2~\<0,y~1~+y~2~\>0 B. 当a\<0时, x~1~+x~2~\>0, y~1~+y~2~\<0 C.当a\>0时，x~1~+x~2~\<0![lfxlby](./data/image/media/image5183.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}, y~1~+y~2~\<0 D. 当a\>0时，x~1~+x~2~\>0, y~1~+y~2~\>0 解析:令，则，设， 令，则，要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点![lfxlby](./data/image/media/image5183.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}只需，整理得，于是可取来研究，当时，，解得，此时，此时；当时，，解得，此时，此时.答案应选B。 另解：令可得。 设 不妨设，结合图形可知， 当时如右图，此时， 即，此时，，即；同理可由图形经过推理可得当时.答案应选B。 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。 （13）若不等式![lfxlby](./data/image/media/image7145.png){width="0.9166666666666666in" height="0.21875in"}的解集为![lfxlby](./data/image/media/image7146.png){width="1.2604166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则实数k=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 解析：由![lfxlby](./data/image/media/image7145.png){width="0.9166666666666666in" height="0.21875in"}可得，即，而，所以. 另解：由题意可知是的两根，则，解得. （14）如图，正方体ABCD-A~1~B~1~C~1~D~1~的棱长为1，E,F分别为线段AA~1~,B~1~C上的点，则三棱锥D~1~-EDF的![lfxlby](./data/image/media/image5183.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 ![lfxlby](./data/image/media/image7147.png){width="2.125in" height="1.8229166666666667in"} 解析：. （15）设a＞0.若曲线![lfxlby](./data/image/media/image7148.png){width="0.5416666666666666in" height="0.25in"}与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=\_\_\_\_\_\_。 解析：，解得.\[来源:Zxxk.Com\] ![](./data/image/media/image7149.png){width="2.3270833333333334in" height="1.84375in"}（16）如图，在平面直角坐标系![lfxlby](./data/image/media/image5183.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"}xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，![lfxlby](./data/image/media/image7150.png){width="0.23958333333333334in" height="0.22916666666666666in"}的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 解析：根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P旋转 了弧度，此时点的坐标为\[来源:Z\*xx\*k.Com\] . 另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为，且，则点P的坐标为，即. 三、解答题：本大题共6小题，共74分． （17）（本小题满分12分） > 已知向量![lfxlby](./data/image/media/image7151.wmf){width="3.15625in" height="0.3645833333333333in"}，函数![lfxlby](./data/image/media/image7152.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.21875in"}的最大值 > > 为6． （Ⅰ）求![lfxlby](./data/image/media/image7153.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}； （Ⅱ）将函数![lfxlby](./data/image/media/image7154.wmf){width="0.625in" height="0.21875in"}的图像向左平移![lfxlby](./data/image/media/image7155.wmf){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩 短为原来的![lfxlby](./data/image/media/image7156.wmf){width="0.15625in" height="0.3645833333333333in"}倍，纵坐标不变，得到函数![lfxlby](./data/image/media/image7157.wmf){width="0.6145833333333334in" height="0.21875in"}的图像，求![lfxlby](./data/image/media/image7158.wmf){width="0.34375in" height="0.21875in"}在![lfxlby](./data/image/media/image7159.wmf){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"} 上的值域． （17）**解：**（Ⅰ） 因为 ， 由题意知 ． （Ⅱ）由（I） 将的图象向左平移个单位后得到 的图象； 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到 的图象． 因此 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以在上的值域为． （18）（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形![lfxlby](./data/image/media/image7166.wmf){width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}是等腰梯形， > ![lfxlby](./data/image/media/image7167.wmf){width="0.7604166666666666in" height="0.21875in"}![lfxlby](./data/image/media/image7168.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.23958333333333334in"}![lfxlby](./data/image/media/image7169.wmf){width="0.4270833333333333in" height="0.19791666666666666in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image7170.wmf){width="1.21875in" height="0.21875in"}， > > ![lfxlby](./data/image/media/image7171.wmf){width="1.0520833333333333in" height="0.19791666666666666in"}． （Ⅰ）求证![lfxlby](./data/image/media/image7172.wmf){width="0.4270833333333333in" height="0.17708333333333334in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image7173.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.17708333333333334in"}； （Ⅱ）求二面角![lfxlby](./data/image/media/image7174.wmf){width="0.8229166666666666in" height="0.19791666666666666in"}的余弦值． （18）（Ⅰ）**证明：**因为四边形为等腰梯形，，， 所以 ． 又 ， 所以 因此 ，， 又 ，且，平面， 所以 平面． （Ⅱ）**解法一：** 由（I）知，所以，又平面， 因此 两两垂直．以为坐标原点，分别以所在的直 > 线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则， ，，，， 因此 ，． 设平面的一个法向量为， 则 ，， 所以 ，取， 则 ． 又平面的法向量可以取为， 所以 ， 所以二面角的余弦值为． **解法二：** 取的中点，连结，由于， 所以． 又平面，平面， 所以． 由于，平面， 所以平面，故． 所以为二面角的平面角． 在等腰三角形中，由于， 因此，又， 所以， 故 , 因此 二面角的余弦值为． （19）（本小题满分12分） 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为![lfxlby](./data/image/media/image7175.wmf){width="0.15625in" height="0.3645833333333333in"}，命中得1分，没有命中得 0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为![lfxlby](./data/image/media/image7176.wmf){width="0.15625in" height="0.3645833333333333in"}，每命中一次得2分，没有命中得0分．该 射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． （Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率； （Ⅱ）求该射手的总得分![lfxlby](./data/image/media/image7177.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.17708333333333334in"}的分布列及数学期望![lfxlby](./data/image/media/image7178.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}． （19）**解：**（Ⅰ）记"该射手恰好命中一次"为事件；"该射手设计甲靶命中"为事件；"该射 > 手第一次射击乙靶命中"为事件；"该射手第二次射击乙靶命中"为事件． > > 由题意知，，， > > 由于，根据事件的独立性与互斥性得 （Ⅱ）根据题意，的所以可能取值为． 根据事件的独立性和互斥性得 ， ， ， 故的分布列为 -- --- --- --- --- --- --- 0 1 2 3 4 5 -- --- --- --- --- --- --- 所以． （20）（本小题满分12分） 在等差数列![lfxlby](./data/image/media/image7179.wmf){width="0.3020833333333333in" height="0.23958333333333334in"}中，![lfxlby](./data/image/media/image7180.wmf){width="1.6770833333333333in" height="0.23958333333333334in"}． （Ⅰ）求数列![lfxlby](./data/image/media/image7179.wmf){width="0.3020833333333333in" height="0.23958333333333334in"}的通项公式； （Ⅱ）对任意![lfxlby](./data/image/media/image7181.wmf){width="0.5in" height="0.20833333333333334in"}，将数列![lfxlby](./data/image/media/image7179.wmf){width="0.3020833333333333in" height="0.23958333333333334in"}中落入区间![lfxlby](./data/image/media/image7182.wmf){width="0.59375in" height="0.23958333333333334in"}内的项的个数记为![lfxlby](./data/image/media/image7183.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.23958333333333334in"}，求数列![lfxlby](./data/image/media/image7184.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.23958333333333334in"} 的前![lfxlby](./data/image/media/image7185.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.15625in"}项和![lfxlby](./data/image/media/image7186.wmf){width="0.21875in" height="0.23958333333333334in"}． （20）**解：**（Ⅰ）因为是一个等差数列， 所以，即． 所以，数列的公差， 所以， （Ⅱ）对，若 ， 则 ，因此 ， 故得 （lb ylfx） 于是 （21）（本小题满分13分） 在平面直角坐标系![lfxlby](./data/image/media/image7187.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}中，![lfxlby](./data/image/media/image7188.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"}是抛物线![lfxlby](./data/image/media/image7189.wmf){width="0.84375in" height="0.23958333333333334in"}![lfxlby](./data/image/media/image7190.wmf){width="0.5104166666666666in" height="0.21875in"}的焦点，![lfxlby](./data/image/media/image7191.wmf){width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}是抛物线![lfxlby](./data/image/media/image7192.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}上 位于第一象限内的任意一点，过![lfxlby](./data/image/media/image7193.wmf){width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}三点的圆的圆心为![lfxlby](./data/image/media/image7194.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}，点![lfxlby](./data/image/media/image7195.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}到抛物线![lfxlby](./data/image/media/image7196.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的准线 的距离为![lfxlby](./data/image/media/image7197.wmf){width="0.15625in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅰ）求抛物线![lfxlby](./data/image/media/image7198.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的方程； （Ⅱ）是否存在点![lfxlby](./data/image/media/image7199.wmf){width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}，使得直线![lfxlby](./data/image/media/image7200.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.21875in"}与抛物线![lfxlby](./data/image/media/image7201.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}相切于点![lfxlby](./data/image/media/image7202.wmf){width="0.3020833333333333in" height="0.19791666666666666in"}若存在，求出点![lfxlby](./data/image/media/image7203.wmf){width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}的坐标； 若不存在，说明理由； （Ⅲ）若点![lfxlby](./data/image/media/image7204.wmf){width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}的横坐标为![lfxlby](./data/image/media/image7205.wmf){width="0.23958333333333334in" height="0.23958333333333334in"}，直线![lfxlby](./data/image/media/image7206.wmf){width="0.8645833333333334in" height="0.3645833333333333in"}与抛物线![lfxlby](./data/image/media/image7207.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}有两个不同的交点![lfxlby](./data/image/media/image7208.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7209.wmf){width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}与 圆![lfxlby](./data/image/media/image7210.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}有两个不同的交点![lfxlby](./data/image/media/image7211.wmf){width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}，求当![lfxlby](./data/image/media/image7212.wmf){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image7213.wmf){width="1.0104166666666667in" height="0.23958333333333334in"}的最小值． （21）**解：** （Ⅰ）依题线段为圆的弦，由垂径定理知圆心的纵坐标， 又到抛物线准线的距离为，所以. 所以为所求. （Ⅱ）假设存在点，，又，，设，.变形为 > 因为直线为抛物线的切线，故，解得， > > 即，. > > 又取中点，，由垂径定理知， > > 所以，，，所以存在，. （Ⅲ）依题，，圆心，，圆的半径， 圆心到直线的距离为， 所以，. 又联立， 设，，，，则有，. 所以，. 于是， 记， ，所以在，上单增， 所以当，取得最小值， 所以当时，取得最小值. （22）（本小题满分13分） > 已知函数![lfxlby](./data/image/media/image7214.wmf){width="1.03125in" height="0.375in"}（![lfxlby](./data/image/media/image7215.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}为常数，![lfxlby](./data/image/media/image7216.wmf){width="0.9479166666666666in" height="0.19791666666666666in"}是自然对数的底数），曲线![lfxlby](./data/image/media/image7217.wmf){width="0.625in" height="0.21875in"} 在点![lfxlby](./data/image/media/image7218.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}处的切线与![lfxlby](./data/image/media/image7219.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴平行． （Ⅰ）求![lfxlby](./data/image/media/image7220.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的值； （Ⅱ）求![lfxlby](./data/image/media/image7221.wmf){width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}的单调区间； （Ⅲ）设![lfxlby](./data/image/media/image7222.wmf){width="1.34375in" height="0.23958333333333334in"}，其中![lfxlby](./data/image/media/image7223.wmf){width="0.40625in" height="0.21875in"}是![lfxlby](./data/image/media/image7224.wmf){width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}的导函数．证明：对任意![lfxlby](./data/image/media/image7225.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}， ![lfxlby](./data/image/media/image7226.wmf){width="0.8854166666666666in" height="0.23958333333333334in"}． （22）**解：** （Ⅰ），依题意，为所求. （Ⅱ）此时 记，，所以在，单减，又， 所以，当时，，，单增； 当 时，，，单减. 所以，增区间为（0，1）； 减区间为（1，. （Ⅲ），先研究，再研究. ① 记，，令，得， 当，时，，单增； 当，时，，单减 . 所以，，即. ② 记，，所以在,单减， 所以，，即 综①、②知，. 2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） ============================================ 数学（文科） 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 注意事项： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第I卷（共60分） 1. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 答案：A 考点：复数的运算。值得注意的是. 解析：因为z(2-i)=11+7i，所以，分子分母同时乘以， 得 （2） 已知全集![lfxlby](./data/image/media/image7120.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA）![lfxlby](./data/image/media/image7121.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}B为 A {1,2,4} B {2,3,4} C {0,2,4} D {0,2,3,4} 答案：C 考点：集合运算 解析：。答案选C。 (3)函数![lfxlby](./data/image/media/image7227.wmf){width="1.8229166666666667in" height="0.4895833333333333in"}的定义域为（ ） A ![lfxlby](./data/image/media/image7228.wmf){width="0.9895833333333334in" height="0.28125in"} B ![lfxlby](./data/image/media/image7229.wmf){width="0.9895833333333334in" height="0.28125in"} C ![lfxlby](./data/image/media/image7230.wmf){width="0.46875in" height="0.28125in"} D ![lfxlby](./data/image/media/image7231.wmf){width="0.46875in" height="0.28125in"} 答案：B 考点：求函数的定义域，对指对幂函数性质的考察。 解析：函数式若有意义需满足条件： 取交集可得：。答案：B. （4）在某次测量中得到的*A*样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若*B*样本数据恰好是*A*样本数据都加2后所得数据，则*A*，*B*两样本的下列数字特征对应相同的是 (A)众数　　　(B)平均数　　　(C)中位数　　　(D)标准差 答案：D 考点：求样本方差、标准差 解析： A样本的平均数为86，B样本的平均数为88 A样本的方差为 A样本的标准差为2 B样本的方差为 B样本的标准差为2,，两者相等 （5）设命题![lfxlby](./data/image/media/image7232.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}：函数![lfxlby](./data/image/media/image7233.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.21875in"}的最小正周期为![lfxlby](./data/image/media/image7234.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.4270833333333333in"} ；命题q：函数![lfxlby](./data/image/media/image7235.wmf){width="0.6354166666666666in" height="0.17708333333333334in"} 的图象关于直线![lfxlby](./data/image/media/image7236.wmf){width="0.4270833333333333in" height="0.4270833333333333in"} 对称.则下列判断正确的是 　　(A)p为真 (B) ![lfxlby](./data/image/media/image7237.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.11458333333333333in"}q为假 (C) p ![lfxlby](./data/image/media/image7238.wmf){width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}q为假 (D)p ![lfxlby](./data/image/media/image7239.wmf){width="0.15625in" height="0.13541666666666666in"}q 为真 答案：C 考点：主要考点是常用逻辑用语，三角函数的周期性和对称性，但是这个题目中对三角函数的考察是相当简单的。 解析：命题![lfxlby](./data/image/media/image7232.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}：![lfxlby](./data/image/media/image7233.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.21875in"}求它的周期：，很明显命题![lfxlby](./data/image/media/image7232.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}是一个假命题。 命题q：![lfxlby](./data/image/media/image7235.wmf){width="0.6354166666666666in" height="0.17708333333333334in"}函数的图像我们是很熟悉的，它关于对称，所以命题q也是假命题。 那么假命题的非是真的，两个假命题的或且都是假的。所以选C （6）设变量![lfxlby](./data/image/media/image7240.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}满足约束条件![lfxlby](./data/image/media/image7241.wmf){width="0.9270833333333334in" height="0.78125in"}则目标函数z=3x-y的取值范围是 （A）![lfxlby](./data/image/media/image7242.wmf){width="0.5729166666666666in" height="0.46875in"}（B）![lfxlby](./data/image/media/image7243.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.46875in"}（C）![lfxlby](./data/image/media/image7244.wmf){width="0.4270833333333333in" height="0.23958333333333334in"} （D）![lfxlby](./data/image/media/image7245.wmf){width="0.5in" height="0.46875in"} 答案：A 考点：线性规划。 解析：画出平面区域，阴影部分就是约束条件约束的区域。而依据斜率的大小可知3x=y 的大致位置。可知对于z=3x-y中z与截距有关，平移即可得到不同的截距，最值分别在和处取得。带入点即可。 （8）函数![lfxlby](./data/image/media/image7246.wmf){width="1.7604166666666667in" height="0.4270833333333333in"}的最大值与最小值之和为 (A)![lfxlby](./data/image/media/image7247.wmf){width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}　　　(B)0　　　(C)－1　　　(D)![lfxlby](./data/image/media/image7248.wmf){width="0.5in" height="0.21875in"} 答案：A 考点：三角函数图像与性质 解析:，函数定义域为\[0,9\],所以，根据三角函数图像 最大值为，最小值为，最大值与最小值之和为![lfxlby](./data/image/media/image7247.wmf){width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}　　 （9）圆![lfxlby](./data/image/media/image7249.wmf){width="1.1770833333333333in" height="0.25in"}与圆![lfxlby](./data/image/media/image7250.wmf){width="1.5in" height="0.25in"}的位置关系为 （ ） （A）内切 （B）相交 （C）外切 （D）相离 答案：B 考点：圆的外置关系 解析：通过求出两圆心的距离为：\<5，因此选B (10)函数![lfxlby](./data/image/media/image7251.wmf){width="0.90625in" height="0.4270833333333333in"}的图像大致为 ![lfxlby](./data/image/media/image7252.png){width="5.768055555555556in" height="1.2180555555555554in"} 答案：D 考点：函数图像 解析：本题为已知函数解析式，求函数图象的问题。对于判断函数图象，我们平时最常用的方法是看：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、正负性、极值点。显然此函数为奇函数，排除A选项；对于函数在区间上为负值，而函数为正值，排除B选项；通过C、D两个选项可以看出，两个选项的主要区别是在时C选项分别趋于正无穷，而我们知道在时，函数正负交替的，而函数都为正值，因此选D。 (11)已知双曲线![lfxlby](./data/image/media/image7253.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}：![lfxlby](./data/image/media/image7254.wmf){width="1.4583333333333333in" height="0.40625in"}的离心率为2.若抛物线![lfxlby](./data/image/media/image7255.wmf){width="1.21875in" height="0.23958333333333334in"}的焦点到双曲线![lfxlby](./data/image/media/image7256.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}的渐近线的距离为2，则抛物线![lfxlby](./data/image/media/image7257.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.21875in"}的方程为 \(A\) ![lfxlby](./data/image/media/image7258.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"} 　(B) ![lfxlby](./data/image/media/image7259.wmf){width="0.7604166666666666in" height="0.4166666666666667in"}　　(C)![lfxlby](./data/image/media/image7260.wmf){width="0.4895833333333333in" height="0.23958333333333334in"}　　(D)![lfxlby](./data/image/media/image7261.wmf){width="0.5520833333333334in" height="0.23958333333333334in"} 答案：D 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a，b，c的关系可知，此题应注意C2的焦点在y轴上，即（0，p/2）到直线的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 (12)设函数![lfxlby](./data/image/media/image7262.wmf){width="0.65625in" height="0.4270833333333333in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7263.wmf){width="2.09375in" height="0.25in"}.若![lfxlby](./data/image/media/image7264.wmf){width="0.625in" height="0.23958333333333334in"}的图像与![lfxlby](./data/image/media/image7265.wmf){width="0.6145833333333334in" height="0.23958333333333334in"}的图像有且仅有两个不同的公共点A（x~1~,y~1~）,B(x~2~,y~2~),则下列判断正确的是 A.当a\<0时，x~1~+x~2~\<0,y~1~+y~2~\>0 B. 当a\<0时, x~1~+x~2~\>0, y~1~+y~2~\<0 C.当a\>0时，x~1~+x~2~\<0, y~1~+y~2~\<0 D. 当a\>0时，x~1~+x~2~\>0, y~1~+y~2~\>0 答案：B 考点：数形结合、解三次方程（分解因式）、导数求极值 解析： 法一，数形结合，由图形可以猜出答案； 法二，，则，令因为图像有两个公共点，所以必然有一个极值为0，又，所以 解得所以令可得 令可得 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。 （13）如图，正方体![lfxlby](./data/image/media/image7266.wmf){width="1.2916666666666667in" height="0.23958333333333334in"}的棱长为1，E为线段![lfxlby](./data/image/media/image7267.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.23958333333333334in"}上的一点，则三棱锥![lfxlby](./data/image/media/image7268.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.23958333333333334in"}的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ ![lfxlby](./data/image/media/image7269.png){width="1.3020833333333333in" height="1.1875in"} 答案： 考点：空间多面体的体积 ![](./data/image/media/image7270.png)解析：求![lfxlby](./data/image/media/image7268.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.23958333333333334in"}的体积，显然为定值，也就是说三棱锥的地面面积与三棱锥的高都为定值，因此，我们需要找底面三角形的面积为定值，三角形的面积为（为定值），而E点到底面的高正合适为正方体的高为1（为定值），因此体积为 (14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的分组为![lfxlby](./data/image/media/image7271.wmf){width="0.6979166666666666in" height="0.20833333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7272.wmf){width="0.6979166666666666in" height="0.20833333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7273.wmf){width="0.6979166666666666in" height="0.20833333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7274.wmf){width="0.6979166666666666in" height="0.20833333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7275.wmf){width="0.6979166666666666in" height="0.20833333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7276.wmf){width="0.6979166666666666in" height="0.20833333333333334in"}.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿. 答案：9 考点：频率分布直方图 解析：利用组距和频率的关系，通过比例关系可直接解决。 平均气温低于22.5℃的频率为0.10+0.12=0.22，频数为11； 不低于25.5℃的频率为0.18，频数=9 4. 若函数![lfxlby](./data/image/media/image7277.wmf){width="1.34375in" height="0.23958333333333334in"}在［－1，2］上的最大值为4，最小值为*m*，且函数![lfxlby](./data/image/media/image7278.wmf){width="1.125in" height="0.25in"}在![lfxlby](./data/image/media/image7279.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.20833333333333334in"}上是增函数，则*a*＝＿＿＿＿. 答案： 考点：指数函数、一次函数性质 解析：　当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意. （16）如图，在平面直角坐标系![lfxlby](./data/image/media/image7280.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，![lfxlby](./data/image/media/image7281.wmf){width="0.28125in" height="0.25in"}的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 ![lfxlby](./data/image/media/image7149.png){width="2.1041666666666665in" height="1.5729166666666667in"}![lfxlby](./data/image/media/image7149.png){width="2.1041666666666665in" height="1.5729166666666667in"} 答案： 考点：考查转化化归能力、弧度制、诱导公式等 解析：如图所示设Q（2,1）P在x轴的射影为A，Q在x轴的射影为B，过Q做PA的垂线，垂足为F则有题意可知=2弧度所以\|QF\|=，\|PF\|=，所以P 另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为，且，则点P的坐标为，即. 三、解答题：本大题共6小题，共74分。 （17）在![lfxlby](./data/image/media/image7282.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}的内角![lfxlby](./data/image/media/image7283.wmf){width="0.71875in" height="0.19791666666666666in"}所对的边分别为![lfxlby](./data/image/media/image7284.wmf){width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}，已知![lfxlby](./data/image/media/image7285.wmf){width="2.25in" height="0.21875in"}. （Ⅰ）求证![lfxlby](./data/image/media/image7286.wmf){width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}成等比数列； （Ⅱ）若![lfxlby](./data/image/media/image7287.wmf){width="0.8645833333333334in" height="0.19791666666666666in"}求![lfxlby](./data/image/media/image7282.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}的面积. 解析：（Ⅰ）证明：在![lfxlby](./data/image/media/image7282.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}中，由于![lfxlby](./data/image/media/image7285.wmf){width="2.25in" height="0.21875in"} 所以 因此 又 所以 因此 由正弦定理可得 即![lfxlby](./data/image/media/image7284.wmf){width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}成等比数列 （Ⅱ）解：因为![lfxlby](./data/image/media/image7287.wmf){width="0.8645833333333334in" height="0.19791666666666666in"}，所以 由余弦定理得 又因为所以 故![lfxlby](./data/image/media/image7282.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}的面积 (18)(本小题满分12分) > 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2. > > (Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； > > (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率. (I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红~1~红~2~，红~1~红~3~，红~1~蓝~1~，红~1~蓝~2~，红~2~红~3~，红~2~蓝~1~，红~2~蓝~2~，红~3~蓝~1~，红~3~蓝~2~，蓝~1~蓝~2~.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为. (II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红~1~绿~0~，红~2~绿~0~，红~3~绿~0~，蓝~1~绿~0~，蓝~2~绿~0~，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为. ![](./data/image/media/image7288.png)(19) (本小题满分12分) > 如图，几何体![lfxlby](./data/image/media/image7289.wmf){width="0.6979166666666666in" height="0.17708333333333334in"}是四棱锥，△![lfxlby](./data/image/media/image7290.wmf){width="0.34375in" height="0.16666666666666666in"}为正三角形，![lfxlby](./data/image/media/image7291.wmf){width="1.2083333333333333in" height="0.19791666666666666in"}. > > (Ⅰ)求证：![lfxlby](./data/image/media/image7292.wmf){width="0.59375in" height="0.16666666666666666in"}； > > (Ⅱ)若∠![lfxlby](./data/image/media/image7293.wmf){width="0.7604166666666666in" height="0.17708333333333334in"}，*M*为线段*AE*的中点， > > 求证：![lfxlby](./data/image/media/image7294.wmf){width="0.3020833333333333in" height="0.16666666666666666in"}∥平面![lfxlby](./data/image/media/image7295.wmf){width="0.34375in" height="0.17708333333333334in"}. （20）(本小题满分12分) 已知等差数列![lfxlby](./data/image/media/image7296.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的前5项和为105，且![lfxlby](./data/image/media/image7297.wmf){width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}. (Ⅰ)求数列![lfxlby](./data/image/media/image7296.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的通项公式； (Ⅱ)对任意![lfxlby](./data/image/media/image7298.wmf){width="0.4479166666666667in" height="0.20833333333333334in"}，将数列![lfxlby](./data/image/media/image7296.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}中不大于![lfxlby](./data/image/media/image7299.wmf){width="0.23958333333333334in" height="0.20833333333333334in"}的项的个数记为![lfxlby](./data/image/media/image7300.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}.求数列![lfxlby](./data/image/media/image7301.wmf){width="0.3020833333333333in" height="0.21875in"}的前*m*项和 解析（1）【求通项公式】由已知得： > 解得, > > 所以通项公式为. > > (II)【等比数列求和】由，得， > > 即. ∵， > > ∴是公比为49的等比数列， > > ∴. （21）（本小题满分13分） 如图，椭圆M：![lfxlby](./data/image/media/image7302.wmf){width="0.84375in" height="0.4583333333333333in"}![lfxlby](./data/image/media/image7303.wmf){width="0.7604166666666666in" height="0.21875in"}的离心率为![lfxlby](./data/image/media/image7304.wmf){width="0.28125in" height="0.46875in"}，直线![lfxlby](./data/image/media/image7305.wmf){width="0.5in" height="0.17708333333333334in"}和![lfxlby](./data/image/media/image7306.wmf){width="0.5in" height="0.21875in"}所围成的矩形![lfxlby](./data/image/media/image7307.wmf){width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}的面积为8。 （Ⅰ）求椭圆M的标准方程； （Ⅱ）设直线![lfxlby](./data/image/media/image7308.wmf){width="0.84375in" height="0.21875in"}![lfxlby](./data/image/media/image7309.wmf){width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}与椭圆M有两个不同的交点P，Q，![lfxlby](./data/image/media/image7310.wmf){width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}与矩形![lfxlby](./data/image/media/image7307.wmf){width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}有两个不同的交点S，T。求![lfxlby](./data/image/media/image7311.wmf){width="0.4270833333333333in" height="0.4583333333333333in"}的最大值及取得最大值时![lfxlby](./data/image/media/image7312.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.15625in"}的值。 ![lfxlby](./data/image/media/image7313.png){width="1.9791666666666667in" height="1.4583333333333333in"} 解析：（Ⅰ）设椭圆M的半焦距为c，由题意知 所以 。 因此，椭圆M的方程为。 （Ⅱ）由 整理得 ， 由 得 设， 则 ， 所以 = = （）。 线段CD的方程为，线段AD的方程为 (1) 不妨设点S在AD边上，T在CD边上，可知，，。 > 所以 ， > > 因此 。 > > 令 ， > > 则 > > 所以 > > 由于 ， > > 所以 ， > > 因此 当 即时，取得最大值，此时。 （2）不妨设点S在AB边上，T在CD边上，此时。 > 因此 ，此时 ， > > 所以 当时，取得最大值。 （3）不妨设点S在AB边上，T在BC边上，， 由椭圆和矩形的对称性知 的最大值为，此时。 （22）（本小题13分）. 已知函数![lfxlby](./data/image/media/image7314.wmf){width="4.177083333333333in" height="0.4270833333333333in"}曲线![lfxlby](./data/image/media/image7315.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.28125in"}在点![lfxlby](./data/image/media/image7316.wmf){width="0.6979166666666666in" height="0.28125in"}处的切线与![lfxlby](./data/image/media/image7317.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴平行。 ![lfxlby](./data/image/media/image7318.wmf){width="0.875in" height="0.28125in"} ![lfxlby](./data/image/media/image7319.wmf){width="1.6770833333333333in" height="0.28125in"} ![lfxlby](./data/image/media/image7320.wmf){width="5.768055555555556in" height="0.27847222222222223in"}考点：导数，几何意义，单调性。 解：（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 因为 所以 由（Ⅱ） 求导得 所以 当 当 所以 当 又 当 所以 当 综上所述结论成立。 2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） ============================================ 数学（理科） 一、选择题 1\. 集合![lfxlby](./data/image/media/image7321.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7322.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7323.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image7324.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"} A．![lfxlby](./data/image/media/image7325.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image7326.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image7327.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image7328.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 【解析】，，则，故选C 2\. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image7329.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image7330.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image7331.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image7332.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"} 【解析】选项中是奇函数的有B、C、D，增函数有D，故选D 3\. 设![lfxlby](./data/image/media/image7333.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7334.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}是虚数单位，则"![lfxlby](./data/image/media/image7335.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}"是"复数![lfxlby](./data/image/media/image7336.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"}为纯虚数"的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】"![lfxlby](./data/image/media/image7335.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}"则或，"复数![lfxlby](./data/image/media/image7336.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"}为纯虚数"则且，则 "![lfxlby](./data/image/media/image7335.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}"是"复数![lfxlby](./data/image/media/image7336.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"}为纯虚数"的必要不充分条件，故选B 4\. 已知圆![lfxlby](./data/image/media/image7337.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7338.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}过点![lfxlby](./data/image/media/image7339.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}的直线，则（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image7340.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}与![lfxlby](./data/image/media/image7341.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}相交 B．![lfxlby](./data/image/media/image7340.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}与![lfxlby](./data/image/media/image7341.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}相切 C．![lfxlby](./data/image/media/image7340.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}与![lfxlby](./data/image/media/image7341.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}相离 D．以上三个选项均有可能 【解析】点![lfxlby](./data/image/media/image7339.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}在圆内，则![lfxlby](./data/image/media/image7340.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}必与![lfxlby](./data/image/media/image7341.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}相交，故选A ![](./data/image/media/image7342.png){width="1.6944444444444444in" height="1.1458333333333333in"}5. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱![lfxlby](./data/image/media/image7343.wmf){width="1.0in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7344.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}，则直线![lfxlby](./data/image/media/image7345.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}与直线![lfxlby](./data/image/media/image7346.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}夹角的余弦值为（ ）![lfxlby](./data/image/media/image7324.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"} A．![lfxlby](./data/image/media/image7347.wmf){width="0.25in" height="0.5in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image7348.wmf){width="0.25in" height="0.5in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image7349.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.5in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image7350.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} 【解析】设，则，， 　　　　则，故选A 6\. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所![lfxlby](./data/image/media/image7324.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}示），设甲乙两组数据的平均数分别为![lfxlby](./data/image/media/image7351.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7352.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}，中位数分别为![lfxlby](./data/image/media/image7353.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7354.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}，则（ ） ![](./data/image/media/image7355.png){width="1.8680555555555556in" height="1.3854166666666667in"} A．![lfxlby](./data/image/media/image7356.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7353.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image7357.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}![lfxlby](./data/image/media/image7354.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image7356.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7353.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image7358.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}![lfxlby](./data/image/media/image7354.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image7359.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7353.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image7357.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}![lfxlby](./data/image/media/image7354.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image7359.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7353.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image7358.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}![lfxlby](./data/image/media/image7354.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} 【解析】经计算得：~甲~=21.5625，~乙~=28.5625，~甲~=20，~乙~=29，故选B 7\. 设函数![lfxlby](./data/image/media/image7360.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}，则（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image7361.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}为![lfxlby](./data/image/media/image7362.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的极大值点 ![lfxlby](./data/image/media/image7324.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image7361.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}为![lfxlby](./data/image/media/image7362.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的极小值点 C．![lfxlby](./data/image/media/image7363.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}为![lfxlby](./data/image/media/image7362.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的极大值点 D．![lfxlby](./data/image/media/image7363.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}为![lfxlby](./data/image/media/image7362.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的极小值点\[来源:学,科,网\] 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image7360.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}，，恒成立，令，则 当时，，函数单调减，当时，，函数单调增， 则![lfxlby](./data/image/media/image7363.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}为![lfxlby](./data/image/media/image7362.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的极小值点，故选D 8\. 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ） A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 【解析】甲赢和乙赢的可能情况是一样的，所以假设甲赢的情况如下： 若两人进行3场比赛，则情况只有是甲全赢1种情况； 若两人进行4场比赛，第4场比赛必为甲赢前3场任选一场乙赢为种情况； 若两人进行5场比赛，第5场比赛必为甲赢前4场任选一场乙赢为种情况； 综上，甲赢有10种情况，同理，乙赢有10种情况， 则所有可能出现的情况共20种，故选C 9![lfxlby](./data/image/media/image7324.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}. 在![lfxlby](./data/image/media/image7364.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}中角![lfxlby](./data/image/media/image7365.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7366.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7367.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}所对边长分别为![lfxlby](./data/image/media/image7368.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，若![lfxlby](./data/image/media/image7369.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7370.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}的最小值为（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image7371.wmf){width="0.25in" height="0.5in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image7372.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.5in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image7373.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image7374.wmf){width="0.25in" height="0.4166666666666667in"} 【解析】，故选C 10\. 右图是用模拟方法估计圆周率![lfxlby](./data/image/media/image7375.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的程序框图，![lfxlby](./data/image/media/image7376.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}表示估计结果，则图中空白框内应填 ![](./data/image/media/image7377.png){width="1.9027777777777777in" height="2.123611111111111in"}入（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image7378.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image7379.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image7380.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image7381.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} 【解析】M表示落入扇形的点的个数，1000表示落入正方形的点的个数， ![](./data/image/media/image7382.png){width="1.2361111111111112in" height="1.1041666666666667in"} 则点落入扇形的概率为， 由几何概型知，点落入扇形的概率为， 则，故选D 二． 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11\. 观察下列不等式 ![lfxlby](./data/image/media/image7383.wmf){width="0.75in" height="0.4166666666666667in"} ![lfxlby](./data/image/media/image7384.wmf){width="1.0in" height="0.4166666666666667in"}， ![lfxlby](./data/image/media/image7385.wmf){width="1.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"}， ...... 照此规律，第五个不等式为 [ ]{.underline} ![lfxlby](./data/image/media/image7324.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"} [ ]{.underline} ． 【答案】 【解析】观察不等式的左边发现，第n个不等式的左边=， 右边=，所以第五个不等式为. 12\. ![lfxlby](./data/image/media/image7386.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}展开式中![lfxlby](./data/image/media/image7387.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的系数为10， 则实数![lfxlby](./data/image/media/image7388.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值为 [ ]{.underline} ． 【答案】1 【解析】∵，令，则， 又∵![lfxlby](./data/image/media/image7387.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的系数为10，则，∴ ![](./data/image/media/image7389.png){width="1.2222222222222223in" height="0.8194444444444444in"}13. 右图是抛物线形拱桥，当水面在![lfxlby](./data/image/media/image7390.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位![lfxlby](./data/image/media/image7324.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}下降1米后，水面宽 [ ]{.underline} 米． 【答案】 【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点O的坐标为（0,0）， 设l与抛物线的交点为A、B，根据题意知A（-2，-2），B（2，-2） 设抛物线的解析式为，则有，∴ ∴抛物线的解析式为 水位下降1米，则y=-3，此时有或 ∴此时水面宽为米。 14\. 设函数![lfxlby](./data/image/media/image7391.wmf){width="1.5833333333333333in" height="0.5in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7392.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是由![lfxlby](./data/image/media/image7393.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴和曲线![lfxlby](./data/image/media/image7394.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}及该曲线在点![lfxlby](./data/image/media/image7395.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}处的切线所围成的封闭区域，则![lfxlby](./data/image/media/image7396.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}在![lfxlby](./data/image/media/image7397.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}上的最大值为 [ ]{.underline} ． 【答案】2 【解析】当时，，，∴曲线在点![lfxlby](./data/image/media/image7395.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}处的切线为 ![](./data/image/media/image7398.png){width="1.2777777777777777in" height="0.9298611111111111in"} 则根据题意可画出可行域D如右图： 目标函数， 当，时，z取得最大值2 15\. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A．（不等式选做题）若存在实数![lfxlby](./data/image/media/image7399.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}使![lfxlby](./data/image/media/image7400.wmf){width="1.25in" height="0.25in"}成立，则实数![lfxlby](./data/image/media/image7401.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的取值范围是 [ ]{.underline} ． 【答案】 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image7400.wmf){width="1.25in" height="0.25in"}表示在数轴上，a到1的距离小于等于3，即， 则 ![](./data/image/media/image7402.png){width="1.3194444444444444in" height="1.125in"}B．（几何证![lfxlby](./data/image/media/image7324.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，![lfxlby](./data/image/media/image7403.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，垂足为F![lfxlby](./data/image/media/image7324.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}，若![lfxlby](./data/image/media/image7404.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7405.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7406.wmf){width="0.75in" height="0.16666666666666666in"} [ ]{.underline} ．\[来源:学科网ZXXK\] 【答案】5 【解析】∵![lfxlby](./data/image/media/image7404.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，则圆的半径为3，连接OD，则OD=3 \[来源:学+科+网\] 又![lfxlby](./data/image/media/image7405.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，则OE=2 在直角三角形OED中， 根据射影定理，在直角三角形EDB中， C．（坐标系与参数方程）直线![lfxlby](./data/image/media/image7407.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}与圆![lfxlby](./data/image/media/image7408.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}相交的弦长为 [．]{.underline} 【答案】 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image7407.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}是过点且垂直于极轴的直线， ![lfxlby](./data/image/media/image7408.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}是以为圆心，1为半径的圆，则弦长=. ![lfxlby](./data/image/media/image7324.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}三、解答题 16.![lfxlby](./data/image/media/image7324.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}（本小题满分12分）\[来源:学&科&网\] 函数![lfxlby](./data/image/media/image7409.wmf){width="1.6666666666666667in" height="0.4166666666666667in"}（![lfxlby](./data/image/media/image7410.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为![lfxlby](./data/image/media/image7411.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}， （1）求函数![lfxlby](./data/image/media/image7412.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的解析式； （2）设![lfxlby](./data/image/media/image7413.wmf){width="0.75in" height="0.4166666666666667in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7414.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image7415.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值． 【解析】（Ⅰ）∵函数的最大值是3，∴，即。 ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期，∴。 故函数的解析式为。 （Ⅱ）∵，即， ∵，∴，∴，故。 17.（本小题满分12分） 设![lfxlby](./data/image/media/image7416.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的公比不为1的等比数列，其前![lfxlby](./data/image/media/image7417.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}项和为![lfxlby](./data/image/media/image7418.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，且![lfxlby](./data/image/media/image7419.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}成等差数列． （1）求数列![lfxlby](./data/image/media/image7416.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的公比； （2）证明：对任意![lfxlby](./data/image/media/image7420.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7421.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}成等差数列． 【解析】（1）设数列![lfxlby](./data/image/media/image7416.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的公比为（）。 由成等差数列，得，即。 由得，解得，（舍去），所以。 （2）证法一：对任意![lfxlby](./data/image/media/image7420.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}， ， 所以，对任意![lfxlby](./data/image/media/image7420.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7421.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}成等差数列。 证法二：对任意![lfxlby](./data/image/media/image7420.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}，， ， ， 因此，对任意![lfxlby](./data/image/media/image7420.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7421.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}成等差数列。 18\. （本小题满分12分） （1）如图，证明命题"![lfxlby](./data/image/media/image7422.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是平面![lfxlby](./data/image/media/image7423.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}内的一条直线，![lfxlby](./data/image/media/image7424.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是![lfxlby](./data/image/media/image7425.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}外的一条直线（![lfxlby](./data/image/media/image7426.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}不垂直于![lfxlby](./data/image/media/image7427.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}），![lfxlby](./data/image/media/image7428.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是直线![lfxlby](./data/image/media/image7429.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在![lfxlby](./data/image/media/image7430.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}上的投影，若![lfxlby](./data/image/media/image7431.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7432.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}"为真． （2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明） ![lfxlby](./data/image/media/image7433.png){width="1.5833333333333333in" height="1.0in"} ![](./data/image/media/image7434.png){width="1.59375in" height="1.0833333333333333in"}【解析】（Ⅰ）证法一 如图，过直线![lfxlby](./data/image/media/image7424.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}上一点作平面![lfxlby](./data/image/media/image7430.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的垂线，设直线![lfxlby](./data/image/media/image7422.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7424.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7428.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，的方向向量分别是![lfxlby](./data/image/media/image7422.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7424.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7428.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，，则![lfxlby](./data/image/media/image7424.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7428.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，共面.根据平面向量基本定理，存在实数，使得，则，因为，所以， 又因为，，所以，故，从而 . ![](./data/image/media/image7435.png){width="1.4583333333333333in" height="1.0in"}证法二 如图，记,为直线![lfxlby](./data/image/media/image7424.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}上异于点的任意一点，过作,垂足为,则.，直线，又，平面,,平面，又平面， . （Ⅱ）逆命题为：![lfxlby](./data/image/media/image7422.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是平面![lfxlby](./data/image/media/image7430.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}内的一条直线，![lfxlby](./data/image/media/image7424.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是平面![lfxlby](./data/image/media/image7430.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}外的一条直线（![lfxlby](./data/image/media/image7424.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}不垂直于![lfxlby](./data/image/media/image7430.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}），![lfxlby](./data/image/media/image7428.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}是直线![lfxlby](./data/image/media/image7429.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在![lfxlby](./data/image/media/image7430.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}上的投影，若![lfxlby](./data/image/media/image7431.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7432.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}.逆命题为真命题 19\. （本小题满分12分） ![lfxlby](./data/image/media/image7324.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}已知椭圆![lfxlby](./data/image/media/image7436.wmf){width="1.0in" height="0.5in"}，椭圆![lfxlby](./data/image/media/image7437.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}以![lfxlby](./data/image/media/image7438.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的长轴为短轴，且与![lfxlby](./data/image/media/image7438.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}有相同的离心率． （1）求椭圆![lfxlby](./data/image/media/image7437.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}的方程； （2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆![lfxlby](./data/image/media/image7438.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}和![lfxlby](./data/image/media/image7437.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}上，![lfxlby](./data/image/media/image7439.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}，求直线![lfxlby](./data/image/media/image7440.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的方程． 【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆![lfxlby](./data/image/media/image7437.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}的方程为， 其离心率为，故，则， 故椭圆![lfxlby](./data/image/media/image7437.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}的方程为 （Ⅱ）解法一 两点的坐标分别为， 由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上， 因此可设直线的方程为. 将代入中，得，所以， 将代入中，得，所以， 又由，得，即， 解得 ，故直线的方程为或 解法二 两点的坐标分别为， 由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上， 因此可设直线的方程为. 将代入中，得，所以， 又由，得，， 将代入中，得，即， 解得 ，故直线的方程为或 20.（本小题满分13分） 某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下： -------------------------- ----- ----- ----- ----- ----- 办理业务所需的时间（分） 1 2 3 4 5 频 率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 -------------------------- ----- ----- ----- ----- ----- 从第![lfxlby](./data/image/media/image7324.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}一个顾![lfxlby](./data/image/media/image7324.png){width="8.333333333333333e-2in" height="8.333333333333333e-2in"}客开始办理业务时计时． （1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率； （2）![lfxlby](./data/image/media/image7441.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求![lfxlby](./data/image/media/image7442.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的分布列及数学期望． 【解析】设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，的Y的分布如下： --- ----- ----- ----- ----- ----- Y 1 2 3 4 5 P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 --- ----- ----- ----- ----- ----- (1) A表示事件"第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务"，则时间A对应三种情形： ```{=html} <!-- --> ``` 1. 一个谷歌办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟； 2. 第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；（lbylfx） 3. 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟。 > 所以 （2）解法一：X所有可能的取值为：0,1,2. X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟， 所以；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以 ； *X=2*对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以 ； 所以*X*的分布列为 ----- ----- ------ ------ *X* 0 1 2 *P* 0.5 0.49 0.01 ----- ----- ------ ------ . 解法二：*X*所有可能的取值为0,1,2. *X=0*对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以 ； *X=2*对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以 ； ； 所以*X*的分布列为 ----- ----- ------ ------ *X* 0 1 2 *P* 0.5 0.49 0.01 ----- ----- ------ ------ 。 21． （本小题满分14分）\[来源:学科网\] 设函数![lfxlby](./data/image/media/image7443.wmf){width="2.5in" height="0.25in"} （1）设![lfxlby](./data/image/media/image7444.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7445.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，证明：![lfxlby](./data/image/media/image7446.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}在区间![lfxlby](./data/image/media/image7447.wmf){width="0.5in" height="0.5in"}内存在唯一的零点； （2）设![lfxlby](./data/image/media/image7448.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，若对任意![lfxlby](./data/image/media/image7449.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image7450.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，有![lfxlby](./data/image/media/image7451.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image7452.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的取值范围； （3）在（1）的条件下，设![lfxlby](./data/image/media/image7453.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}是![lfxlby](./data/image/media/image7446.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}在![lfxlby](./data/image/media/image7447.wmf){width="0.5in" height="0.5in"}内的零点，判断数列![lfxlby](./data/image/media/image7454.wmf){width="1.0in" height="0.25in"}的增减性． 【解析】（1） 。 又当 （2）当n=2时， 对任意上的最大值与最小值之差,据此分类讨论如下： (Ⅰ) 。 (Ⅱ) 。 (Ⅲ) 。 综上可知，。 注：(Ⅱ) (Ⅲ)也可合并并证明如下： 用 当 （3）证法一：设， 于是有， 又由（1）知， 所以，数列 证法二：设， ， 则 所以，数列 2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） ============================================ 数学（文科） **一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）** 1．集合![lfxlby](./data/image/media/image7321.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.21875in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7322.wmf){width="1.0520833333333333in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7323.wmf){width="0.65625in" height="0.20833333333333334in"}（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image7455.wmf){width="0.34375in" height="0.21875in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image7456.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image7457.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image7458.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.21875in"} 【解析】，，则，故选C． 2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image7329.wmf){width="0.59375in" height="0.21875in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image7459.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.25in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image7331.wmf){width="0.4270833333333333in" height="0.4270833333333333in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image7332.wmf){width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"} 【解析】选项中是奇函数的有B、C、D，增函数有A、D，故选D． 3．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image7460.png){width="1.03125in" height="0.9375in"} A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53 【解析】根据图形，知共有30个数据，所以中位数是（45+47）÷2=46，众数是45，极差是 68-12=56．故选A． 4．设![lfxlby](./data/image/media/image7333.wmf){width="0.5520833333333334in" height="0.21875in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7334.wmf){width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}是虚数单位，则"![lfxlby](./data/image/media/image7335.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}"是"复数![lfxlby](./data/image/media/image7336.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}为纯虚数"的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】"![lfxlby](./data/image/media/image7335.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}"则或，"复数![lfxlby](./data/image/media/image7336.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}为纯虚数"则且，则 "![lfxlby](./data/image/media/image7335.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}"是"复数![lfxlby](./data/image/media/image7336.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}为纯虚数"的必要不充分条件，故选B． ![](./data/image/media/image7461.png){width="1.3541666666666667in" height="1.9388888888888889in"}5．下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率![lfxlby](./data/image/media/image7462.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.17708333333333334in"}的程序框图，则图中空白框内应填入（ ） (1) ![lfxlby](./data/image/media/image7463.wmf){width="0.5in" height="0.4270833333333333in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image7464.wmf){width="0.5in" height="0.4270833333333333in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image7465.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image7466.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"} 【解析】根据程序框图，知表示及格人数，表示不及格人数．再由及格率的定义，得 及格率．故选D． 6．已知圆![lfxlby](./data/image/media/image7337.wmf){width="1.3020833333333333in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7338.wmf){width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}过点![lfxlby](./data/image/media/image7339.wmf){width="0.5in" height="0.21875in"}的直线，则（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image7340.wmf){width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}与![lfxlby](./data/image/media/image7341.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}相交 B．![lfxlby](./data/image/media/image7340.wmf){width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}与![lfxlby](./data/image/media/image7341.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}相切 C．![lfxlby](./data/image/media/image7340.wmf){width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}与![lfxlby](./data/image/media/image7341.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}相离 D．以上三个选项均有可能 【解析】点![lfxlby](./data/image/media/image7339.wmf){width="0.5in" height="0.21875in"}在圆内，则![lfxlby](./data/image/media/image7340.wmf){width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}必与![lfxlby](./data/image/media/image7341.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}相交，故选A． 7．设向量![lfxlby](./data/image/media/image7467.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.23958333333333334in"}=（1，![lfxlby](./data/image/media/image7468.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}）与![lfxlby](./data/image/media/image7469.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.23958333333333334in"}=（-1， 2![lfxlby](./data/image/media/image7468.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}）垂直，则![lfxlby](./data/image/media/image7470.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}等于（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image7471.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.46875in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image7472.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} C．0 D．-1 【解析】∵向量与垂直，∴，即，∴． ∴．故选C． ![](./data/image/media/image7473.png){width="2.0in" height="0.8958333333333334in"}8．将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image7474.png){width="4.25in" height="0.8541666666666666in"} 【解析】显然从左边看到的是一个正方形，因为割线可见，所以用实线表示；而割线 不可见，所以用虚线表示．故选B． 9．设函数![lfxlby](./data/image/media/image7475.wmf){width="1.0729166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，则（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image7476.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}为![lfxlby](./data/image/media/image7477.wmf){width="0.40625in" height="0.28125in"}的极大值点 B．![lfxlby](./data/image/media/image7476.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}为![lfxlby](./data/image/media/image7477.wmf){width="0.40625in" height="0.28125in"}的极小值点 C．![lfxlby](./data/image/media/image7478.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}为![lfxlby](./data/image/media/image7477.wmf){width="0.40625in" height="0.28125in"}的极大值点 D．![lfxlby](./data/image/media/image7478.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}为 ![lfxlby](./data/image/media/image7477.wmf){width="0.40625in" height="0.28125in"}的极小值点 【解析】，令，则． 当时，； 当时，． 即当时，是单调递减的；当时，是单调递增的． 所以是的极小值点．故选D． 10．小王从甲地到乙地的时速分别为![lfxlby](./data/image/media/image7479.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}和![lfxlby](./data/image/media/image7480.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}（![lfxlby](./data/image/media/image7481.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}），其全程的平均时速为![lfxlby](./data/image/media/image7482.wmf){width="0.125in" height="0.15625in"}，则（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image7483.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image7484.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image7485.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image7486.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image7487.wmf){width="0.6354166666666666in" height="0.4270833333333333in"} **【解析】设**从甲地到乙地的全程为，则． ∵，∴，，所以， 则，即．故选A． **二、填空题：把答案填写在答题**![lfxlby](./data/image/media/image4756.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}**卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）** 11．设函数![lfxlby](./data/image/media/image7488.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.8333333333333334in"}则![lfxlby](./data/image/media/image7489.wmf){width="0.875in" height="0.28125in"} [ ]{.underline} ． 【答案】4 【解析】根据题意，知，．所以． 12．观察下列不等式 ![lfxlby](./data/image/media/image7383.wmf){width="0.6875in" height="0.4166666666666667in"}, ![lfxlby](./data/image/media/image7384.wmf){width="0.9791666666666666in" height="0.4166666666666667in"}， ![lfxlby](./data/image/media/image7490.wmf){width="1.2708333333333333in" height="0.40625in"}， ......\[来源:Z．xx．k．Com\] 照此规律，第五个不等式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． 【答案】 【解析】观察不等式的左边发现，第个不等式的左边=， 右边=，所以第五个不等式为． 13．在三角形![lfxlby](./data/image/media/image7491.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}中，角![lfxlby](./data/image/media/image7492.wmf){width="0.6770833333333334in" height="0.19791666666666666in"}所对应的长分别为![lfxlby](./data/image/media/image7493.wmf){width="0.59375in" height="0.19791666666666666in"}，若![lfxlby](./data/image/media/image7494.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7495.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7496.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7497.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.19791666666666666in"} [ ]{.underline} ． 【答案】2 【解析】根据余弦定理，得， 所以． ![](./data/image/media/image7498.png){width="0.9611111111111111in" height="0.6277777777777778in"}14．右图是抛物线形拱桥，当水面在![lfxlby](./data/image/media/image7390.wmf){width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 [ ]{.underline} 米． 【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点的坐标为（0,0）， 设与抛物线的交点为，根据题意，知（-2，-2），（2，-2）． ![](./data/image/media/image7499.jpeg){width="1.1666666666666667in" height="1.2395833333333333in"} 设抛物线的解析式为， 则有，∴． ∴抛物线的解析式为． 水位下降1米，则-3，此时有或． ∴此时水面宽为米． 15．**（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）** A．（不等式选做题）若存在实数![lfxlby](./data/image/media/image7399.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}使![lfxlby](./data/image/media/image7400.wmf){width="1.25in" height="0.21875in"}成立，则实数![lfxlby](./data/image/media/image7401.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的取值范是 [ ]{.underline} ． 【答案】 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image7400.wmf){width="1.25in" height="0.21875in"}表示在数轴上，a到1的距离小于等于3，即， 则． ![](./data/image/media/image7500.png){width="1.3541666666666667in" height="1.1458333333333333in"}B．（几何证明选做题）如图，在圆![lfxlby](./data/image/media/image7501.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}中，直径![lfxlby](./data/image/media/image7502.wmf){width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}与弦![lfxlby](./data/image/media/image7503.wmf){width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}垂直，垂足为![lfxlby](./data/image/media/image7504.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7403.wmf){width="0.6979166666666666in" height="0.17708333333333334in"}，垂足为![lfxlby](./data/image/media/image7505.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"}，若![lfxlby](./data/image/media/image7404.wmf){width="0.5104166666666666in" height="0.19791666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7405.wmf){width="0.5in" height="0.17708333333333334in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7406.wmf){width="0.7395833333333334in" height="0.17708333333333334in"} [ ]{.underline} ． 【答案】5 【解析】∵![lfxlby](./data/image/media/image7404.wmf){width="0.5104166666666666in" height="0.19791666666666666in"}，则圆的半径为3，连接，则． \[来源:学+科+网\] 又![lfxlby](./data/image/media/image7405.wmf){width="0.5in" height="0.17708333333333334in"}，则， 在直角三角形OED中，， 根据射影定理，在直角三角形中，． C．（坐标系与![lfxlby](./data/image/media/image4756.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}参数方程）直线![lfxlby](./data/image/media/image7407.wmf){width="0.8229166666666666in" height="0.21875in"}与圆![lfxlby](./data/image/media/image7408.wmf){width="0.7604166666666666in" height="0.21875in"}相交的弦长为 [ ]{.underline} ． 【答案】 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image7407.wmf){width="0.8229166666666666in" height="0.21875in"}是过点且垂直于极轴的直线， ![lfxlby](./data/image/media/image7408.wmf){width="0.7604166666666666in" height="0.21875in"}是以为圆心，1为半径的圆，则弦长=． **三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）** 16．已知等比数列![lfxlby](./data/image/media/image7416.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}的公比为![lfxlby](./data/image/media/image7506.wmf){width="0.53125in" height="0.4270833333333333in"}． （Ⅰ）若![lfxlby](./data/image/media/image7507.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image7508.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，求数列![lfxlby](./data/image/media/image7416.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}的前![lfxlby](./data/image/media/image7509.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}项和； （Ⅱ）证明：对任意![lfxlby](./data/image/media/image7420.wmf){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7510.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7511.wmf){width="0.3020833333333333in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7512.wmf){width="0.28125in" height="0.25in"}成等差数列． 【解析】（Ⅰ）由及，得， 所以数列的前项和． （Ⅱ）证明：对任意， ， 由得=0，故=0． 所以，对任意，，，成等差数列． 17．（本小题满分12分） 函数![lfxlby](./data/image/media/image7409.wmf){width="1.65625in" height="0.4270833333333333in"}（![lfxlby](./data/image/media/image7513.wmf){width="0.9270833333333334in" height="0.19791666666666666in"}）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为![lfxlby](./data/image/media/image7411.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}． （Ⅰ）求函数![lfxlby](./data/image/media/image7412.wmf){width="0.375in" height="0.21875in"}的解析式； （Ⅱ）设![lfxlby](./data/image/media/image7514.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7414.wmf){width="0.6770833333333334in" height="0.4270833333333333in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image7415.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.15625in"}的值． 【解析】（Ⅰ）∵函数的最大值是3，∴，即． ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期，∴． 故函数的解析式为． （Ⅱ）∵，即， ∵，∴，∴，故． 18．（本小题满分12分） 直三棱柱![lfxlby](./data/image/media/image7515.wmf){width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}中，![lfxlby](./data/image/media/image7516.wmf){width="0.6770833333333334in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7517.wmf){width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}![lfxlby](./data/image/media/image7518.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}． ![](./data/image/media/image7519.png){width="1.5104166666666667in" height="0.8229166666666666in"}（Ⅰ）证明![lfxlby](./data/image/media/image7520.wmf){width="0.71875in" height="0.25in"}； （Ⅱ）已知![lfxlby](./data/image/media/image7521.wmf){width="0.53125in" height="0.17708333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7522.wmf){width="0.65625in" height="0.25in"}，求三棱锥![lfxlby](./data/image/media/image7523.wmf){width="0.6979166666666666in" height="0.25in"}的体积． 【解析】（Ⅰ）如图，连结, ![](./data/image/media/image7524.png){width="1.59375in" height="1.0416666666666667in"} 是直三棱柱，~=，\[来源:，，~ 平面,故． 又，四边形是正方形， ，又， 平面，故． （Ⅱ），，． 由（Ⅰ）知，平面， S~△~·=． 19．（本小题满分12分） 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下： ![lfxlby](./data/image/media/image7525.png){width="3.9375in" height="1.2916666666666667in"} （Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率； （Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使![lfxlby](./data/image/media/image4756.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}![lfxlby](./data/image/media/image4756.png){width="1.0416666666666666e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率． 【解析】（Ⅰ）甲品牌产品寿命小于200小时的频率为，用频率估计概率，所以， 甲品牌产品寿命小于200小时的概率为． （Ⅱ）根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75+70=145个，其中甲品牌产品 是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是， 用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为． 20．（本小题满分13分） 已知椭圆![lfxlby](./data/image/media/image7436.wmf){width="1.03125in" height="0.4583333333333333in"}，椭圆![lfxlby](./data/image/media/image7437.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}以![lfxlby](./data/image/media/image7438.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}的长轴为短轴，且与![lfxlby](./data/image/media/image7438.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}有相同的离心率． （Ⅰ）求椭圆![lfxlby](./data/image/media/image7437.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的方程； （Ⅱ）设![lfxlby](./data/image/media/image7526.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}为坐标原点，点![lfxlby](./data/image/media/image7527.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"}分别在椭圆![lfxlby](./data/image/media/image7438.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}和![lfxlby](./data/image/media/image7437.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}上，![lfxlby](./data/image/media/image7439.wmf){width="0.7395833333333334in" height="0.23958333333333334in"}，求直线![lfxlby](./data/image/media/image7440.wmf){width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}的方程． 【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆![lfxlby](./data/image/media/image7437.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}的方程为， 其离心率为，故，则． 故椭圆![lfxlby](./data/image/media/image7437.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的方程为． （Ⅱ）解法一：两点的坐标分别为， 由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上， 因此可设直线的方程为． 将代入中，得，所以， 将代入中，得，所以， 又由，得，即． 解得，故直线的方程为或． 解法二： 两点的坐标分别为， 由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上， 因此可设直线的方程为． 将代入中，得，所以， 又由，得，， 将代入中，得，即， 解得，故直线的方程为或 21．（本小题满分14分） 设函数![lfxlby](./data/image/media/image7443.wmf){width="2.53125in" height="0.2604166666666667in"} （Ⅰ）设![lfxlby](./data/image/media/image7444.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7445.wmf){width="0.9479166666666666in" height="0.21875in"}，证明：![lfxlby](./data/image/media/image7446.wmf){width="0.40625in" height="0.25in"}在区间![lfxlby](./data/image/media/image7447.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.46875in"}内存在唯一的零点； （Ⅱ）设![lfxlby](./data/image/media/image7528.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}为偶数，![lfxlby](./data/image/media/image7529.wmf){width="0.71875in" height="0.3020833333333333in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7530.wmf){width="0.6145833333333334in" height="0.3020833333333333in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image7531.wmf){width="0.4270833333333333in" height="0.19791666666666666in"}b+3c的最小值和最大值； （Ⅲ）设![lfxlby](./data/image/media/image7448.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，若对任意![lfxlby](./data/image/media/image7449.wmf){width="0.375in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image7450.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}，有![lfxlby](./data/image/media/image7451.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image7452.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的取值范围． 【解析】（Ⅰ）当 ． 又当， ． （Ⅱ）解法一：由题意，知即 由图像，知在点取到最小值-6，在点取到最大值0． ∴的最小值是-6，最大值是0． 解法二：由题意，知，即； ① ，即． ② ①×2+②，得， 当时，；当，． ∴的最小值是-6，最大值是0． 解法三：由题意，知 解得，． ∴． 又∵，，∴． 当时，；当，． ∴的最小值是-6，最大值是0． （2）当时，． 对任意上的最大值 与最小值之差,据此分类讨论如下： （ⅰ），． （ⅱ）， ． （ⅲ）， ． 综上可知，． 注：（ⅱ）（ⅲ）也可合并并证明如下： 用，当， 2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） ============================================ 数学（理科） 一．填空题 1．计算：![lfxlby](./data/image/media/image7532.wmf){width="0.40625in" height="0.4270833333333333in"} （![lfxlby](./data/image/media/image7533.wmf){width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}为虚数单位）. 【答案】 【解析】. 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可. 2．若集合![lfxlby](./data/image/media/image7534.wmf){width="1.2916666666666667in" height="0.21875in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7535.wmf){width="1.25in" height="0.21875in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7536.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"} . 【答案】 【解析】根据集合A ，解得，由，所以 . 【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决. 3．函数![lfxlby](./data/image/media/image7537.wmf){width="1.375in" height="0.5in"}的值域是 . 【答案】 【解析】根据题目，因为，所以. 【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质. 4．若![lfxlby](./data/image/media/image7538.wmf){width="0.6979166666666666in" height="0.28125in"}是直线![lfxlby](./data/image/media/image7539.wmf){width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}的一个法向量，则![lfxlby](./data/image/media/image7540.wmf){width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，则. 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5．在![lfxlby](./data/image/media/image7541.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}的二项展开式中，常数项等于 . 【答案】 【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是 . 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题. 6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、![lfxlby](./data/image/media/image7542.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}为公比的等比数列，体积分别记为![lfxlby](./data/image/media/image7543.wmf){width="1.2395833333333333in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7544.wmf){width="1.6354166666666667in" height="0.3020833333333333in"} . 【答案】 【解析】由正方体的棱长组成以为首项，为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，为公比的等比数列，因此， . 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合. 7．已知函数![lfxlby](./data/image/media/image7545.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}（![lfxlby](./data/image/media/image7546.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}为常数）.若![lfxlby](./data/image/media/image7547.wmf){width="0.375in" height="0.21875in"}在区间![lfxlby](./data/image/media/image7548.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.21875in"}上是增函数，则![lfxlby](./data/image/media/image7549.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据函数看出当时函数增函数，而已知函数在区间上为增函数，所以的取值范围为： . 【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中. 8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为![lfxlby](./data/image/media/image7550.wmf){width="0.25in" height="0.19791666666666666in"}的半圆面，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为，母线长为，根据条件得到，解得母线长，所以该圆锥的体积为：. 【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题. 9．已知![lfxlby](./data/image/media/image7551.wmf){width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}是奇函数，且![lfxlby](./data/image/media/image7552.wmf){width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}，若![lfxlby](./data/image/media/image7553.wmf){width="1.09375in" height="0.21875in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7554.wmf){width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"} . 【答案】 【解析】因为函数为奇函数，所以 . ![](./data/image/media/image7555.jpeg){width="1.75in" height="1.0416666666666667in"}【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数为奇函数，所以有这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中. 10．如图，在极坐标系中，过点![lfxlby](./data/image/media/image7556.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}的直线![lfxlby](./data/image/media/image7557.wmf){width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}与极轴的夹角![lfxlby](./data/image/media/image7558.wmf){width="0.46875in" height="0.4270833333333333in"}， 若将![lfxlby](./data/image/media/image7559.wmf){width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}的极坐标方程写成![lfxlby](./data/image/media/image7560.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.21875in"}的形式，则![lfxlby](./data/image/media/image7561.wmf){width="0.5104166666666666in" height="0.21875in"} . 【答案】 【解析】根据该直线过点，可以直接写出代数形式的方程为：，将此化成极坐标系下的参数方程即可 ，化简得. 【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中. 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 【答案】 【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为. 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题. 12．在平行四边形![lfxlby](./data/image/media/image7562.wmf){width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}中，![lfxlby](./data/image/media/image7563.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，边![lfxlby](./data/image/media/image7564.wmf){width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7565.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}的长分别为2、1，若![lfxlby](./data/image/media/image7566.wmf){width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7567.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.19791666666666666in"}分别是边![lfxlby](./data/image/media/image7568.wmf){width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7569.wmf){width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}上的点，且满足![lfxlby](./data/image/media/image7570.wmf){width="1.03125in" height="0.5416666666666666in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7571.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}的取值范围是 . 【答案】 【解析】以向量![lfxlby](./data/image/media/image7564.wmf){width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}所在直线为轴，以向量![lfxlby](./data/image/media/image7565.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为，所以 设根据题意，有. 所以，所以 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中. 13．已知函数![lfxlby](./data/image/media/image7572.wmf){width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}的图象是折线段![lfxlby](./data/image/media/image7573.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，其中![lfxlby](./data/image/media/image7574.wmf){width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7575.wmf){width="0.53125in" height="0.4270833333333333in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7576.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.21875in"}， 函数![lfxlby](./data/image/media/image7577.wmf){width="0.6979166666666666in" height="0.21875in"}（![lfxlby](./data/image/media/image7578.wmf){width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}）的图象与![lfxlby](./data/image/media/image7579.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴围成的图形的面积为 . 【答案】 【解析】根据题意得到，从而得到所以围成的面积为，所以围成的图形的面积为 . ![](./data/image/media/image7580.png){width="1.4333333333333333in" height="1.5854166666666667in"}【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14．如图，![lfxlby](./data/image/media/image7581.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}与![lfxlby](./data/image/media/image7582.wmf){width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}是四面体![lfxlby](./data/image/media/image7583.wmf){width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}中互相垂直的棱，![lfxlby](./data/image/media/image7584.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，若![lfxlby](./data/image/media/image7585.wmf){width="0.625in" height="0.19791666666666666in"}， 且![lfxlby](./data/image/media/image7586.wmf){width="1.8229166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，其中![lfxlby](./data/image/media/image7587.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7588.wmf){width="0.125in" height="0.15625in"}为常数，则四面体![lfxlby](./data/image/media/image7583.wmf){width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}的体积的最 大值是 . 【答案】 【解析】据题，也就是说，线段的长度是定值，因为棱与棱互相垂直，当时，此时有最大值，此时最大值为：. 【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题. 二、选择题（20分） 15．若![lfxlby](./data/image/media/image7589.wmf){width="0.5104166666666666in" height="0.23958333333333334in"}是关于![lfxlby](./data/image/media/image7590.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的实系数方程![lfxlby](./data/image/media/image7591.wmf){width="1.03125in" height="0.21875in"}的一个复数根，则（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image7592.wmf){width="0.78125in" height="0.21875in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image7593.wmf){width="0.8645833333333334in" height="0.21875in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image7594.wmf){width="0.9583333333333334in" height="0.21875in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image7595.wmf){width="0.8645833333333334in" height="0.21875in"} 【答案】 B 【解析】根据实系数方程的根的特点也是该方程的另一个根，所以 ，即，，故答案选择B. 【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意. 16．在![lfxlby](./data/image/media/image7596.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}中，若![lfxlby](./data/image/media/image7597.wmf){width="1.6354166666666667in" height="0.21875in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7598.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【解析】由正弦定理，得![lfxlby](./data/image/media/image2378.wmf){width="0.125in" height="0.23958333333333334in"}代入得到， 由余弦定理的推理得，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A. 【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 17．设![lfxlby](./data/image/media/image7599.wmf){width="1.90625in" height="0.2604166666666667in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7600.wmf){width="0.59375in" height="0.2604166666666667in"}，随机变量![lfxlby](./data/image/media/image7601.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.23958333333333334in"}取值![lfxlby](./data/image/media/image7602.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}的概率均为![lfxlby](./data/image/media/image7603.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，随机变量![lfxlby](./data/image/media/image7604.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}取值![lfxlby](./data/image/media/image7605.wmf){width="2.9895833333333335in" height="0.4479166666666667in"}的概率也均为![lfxlby](./data/image/media/image7603.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，若记![lfxlby](./data/image/media/image7606.wmf){width="0.7395833333333334in" height="0.23958333333333334in"}分别为![lfxlby](./data/image/media/image7607.wmf){width="0.4895833333333333in" height="0.23958333333333334in"}的方差，则（ ） A．![lfxlby](./data/image/media/image7608.wmf){width="0.78125in" height="0.23958333333333334in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image7609.wmf){width="0.78125in" height="0.23958333333333334in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image7610.wmf){width="0.78125in" height="0.23958333333333334in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image7611.wmf){width="0.3020833333333333in" height="0.23958333333333334in"}与![lfxlby](./data/image/media/image7612.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.23958333333333334in"}的大小关系与![lfxlby](./data/image/media/image7613.wmf){width="1.0416666666666667in" height="0.25in"}的取值有关 【答案】 A 【解析】 由随机变量的取值情况，它们的平均数分别为：， 且随机变量的概率都为，所以有＞. 故选择A. 【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题. 18．设![lfxlby](./data/image/media/image7614.wmf){width="0.96875in" height="0.4270833333333333in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7615.wmf){width="1.46875in" height="0.25in"}，在![lfxlby](./data/image/media/image7616.wmf){width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}中，正数的个数是（ ） A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】C 【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项. 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2， AD=2![lfxlby](./data/image/media/image7617.wmf){width="0.21875in" height="0.19791666666666666in"}，PA=2.求： （1）三角形PCD的面积；（6分） （2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分） \[解\]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD， 从而CD⊥PD. ......3分 因为PD=，CD=2， 所以三角形PCD的面积为. ......6分 （2）\[解法一\]如图所示，建立空间直角坐标系， 则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)， ，. ......8分 设与的夹角为θ，则 ，θ=. 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是 ......12分 \[解法二\]取PB中点F，连接EF、AF，则 EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线 BC与AE所成的角 ......8分 在中，由EF=、AF=、AE=2 知是等腰直角三角形， 所以∠AEF=. 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 ......12分 【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题． 20．已知函数![lfxlby](./data/image/media/image7618.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.21875in"}. （1）若![lfxlby](./data/image/media/image7619.wmf){width="1.6145833333333333in" height="0.21875in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image7620.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的取值范围；（6分） （2）若![lfxlby](./data/image/media/image7621.wmf){width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}是以2为周期的偶函数，且当![lfxlby](./data/image/media/image7622.wmf){width="0.6145833333333334in" height="0.19791666666666666in"}时，有![lfxlby](./data/image/media/image7623.wmf){width="0.84375in" height="0.21875in"}，求函数 ![lfxlby](./data/image/media/image7624.wmf){width="0.625in" height="0.21875in"}![lfxlby](./data/image/media/image7625.wmf){width="0.71875in" height="0.21875in"}的反函数.（8分） \[解\]（1）由，得. 由得. ......3分 因为，所以，. 由得. ......6分 （2）当x∈\[1,2\]时，2-x∈\[0,1\]，因此 . ......10分 由单调性可得. 因为，所以所求反函数是，. ......14分 【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题． 21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 ![lfxlby](./data/image/media/image7626.wmf){width="0.6145833333333334in" height="0.2604166666666667in"}；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 援船出发![lfxlby](./data/image/media/image7627.wmf){width="9.375e-2in" height="0.16666666666666666in"}小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当![lfxlby](./data/image/media/image7628.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） \[解\]（1）![lfxlby](./data/image/media/image7628.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程![lfxlby](./data/image/media/image7626.wmf){width="0.6145833333333334in" height="0.2604166666666667in"} 中，得P的纵坐标yP=3. ......2分 由\|AP\|=，得救援船速度的大小为海里/时. ......4分 由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向 为北偏东arctan弧度. ......6分 （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为. 由，整理得.......10分 因为，当且仅当=1时等号成立， 所以，即. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ......14分 22．在平面直角坐标系![lfxlby](./data/image/media/image7629.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}中，已知双曲线![lfxlby](./data/image/media/image7630.wmf){width="1.09375in" height="0.25in"}. （1）过![lfxlby](./data/image/media/image7631.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}的左顶点引![lfxlby](./data/image/media/image7632.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成 的三角形的面积；（4分） （2）设斜率为1的直线l交![lfxlby](./data/image/media/image7633.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}于P、Q两点，若l与圆![lfxlby](./data/image/media/image7634.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}相切，求证： OP⊥OQ；（6分） （3）设椭圆![lfxlby](./data/image/media/image7635.wmf){width="1.1145833333333333in" height="0.25in"}. 若M、N分别是![lfxlby](./data/image/media/image7633.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7636.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.23958333333333334in"}上的动点，且OM⊥ON， 求证：O到直线MN的距离是定值.（6分） \[解\]（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：. 过点A与渐近线平行的直线方程为，即. 解方程组，得. ......2分 所以所求三角形的面积1为. ......4分 （2）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切， 故，即. ......6分 由，得. 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则.（lb ylfx） 又2，所以 ， 故OP⊥OQ. ......10分 （3）当直线ON垂直于x轴时， \|ON\|=1，\|OM\|=，则O到直线MN的距离为. 当直线ON不垂直于x轴时， 设直线ON的方程为（显然），则直线OM的方程为. 由，得，所以. 同理. ......13分 设O到直线MN的距离为d，因为， 所以，即d=. 综上，O到直线MN的距离是定值. ......16分 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为，它的渐近线为，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ． 23．对于数集![lfxlby](./data/image/media/image7637.wmf){width="1.53125in" height="0.25in"}，其中![lfxlby](./data/image/media/image7638.wmf){width="1.34375in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7639.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}，定义向量集 ![lfxlby](./data/image/media/image7640.wmf){width="1.96875in" height="0.2604166666666667in"}. 若对于任意![lfxlby](./data/image/media/image7641.wmf){width="0.3958333333333333in" height="0.23958333333333334in"}，存在![lfxlby](./data/image/media/image7642.wmf){width="0.4270833333333333in" height="0.23958333333333334in"}，使得![lfxlby](./data/image/media/image7643.wmf){width="0.59375in" height="0.25in"}，则称X 具有性质P. 例如![lfxlby](./data/image/media/image7644.wmf){width="0.9270833333333334in" height="0.21875in"}具有性质P. （1）若x＞2，且![lfxlby](./data/image/media/image7645.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.21875in"}，求x的值；（4分） （2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1=1；（6分） （3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列![lfxlby](./data/image/media/image7646.wmf){width="0.90625in" height="0.25in"}的通 项公式.（8分） \[解\]（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式. ......2分 所以x=2b，从而x=4. ......4分 （2）证明：取.设满足![lfxlby](./data/image/media/image7643.wmf){width="0.59375in" height="0.25in"}. 由得，所以、异号. 因为-1是X中唯一的负数，所以、中之一为-1，另一为1， 故1∈X. ......7分 假设，其中，则. 选取，并设满足![lfxlby](./data/image/media/image7643.wmf){width="0.59375in" height="0.25in"}，即， 则、异号，从而、之中恰有一个为-1. 若=-1，则2，矛盾； 若=-1，则，矛盾. 所以x1=1. ......10分 （3）\[解法一\]猜测，i=1, 2, ..., n. ......12分 记，k=2, 3, ..., n. 先证明：若具有性质P，则也具有性质P. 任取，、∈.当、中出现-1时，显然有满足![lfxlby](./data/image/media/image7643.wmf){width="0.59375in" height="0.25in"}； 当且时，、≥1. 因为具有性质P，所以有，、∈，使得![lfxlby](./data/image/media/image7643.wmf){width="0.59375in" height="0.25in"}， 从而和中有一个是-1，不妨设=-1. 假设∈且∉，则.由，得，与 ∈矛盾.所以∈.从而也具有性质P. ......15分 现用数学归纳法证明：，i=1, 2, ..., n. 当n=2时，结论显然成立； 假设n=k时，有性质P，则，i=1, 2, ..., k； 当n=k+1时，若有性质P，则 也有性质P，所以. 取，并设满足![lfxlby](./data/image/media/image7643.wmf){width="0.59375in" height="0.25in"}，即.由此可得s与t中有且只有一个为-1. 若，则1，不可能； 所以，，又，所以. 综上所述，，i=1, 2, ..., n. ......18分 \[解法二\]设，，则![lfxlby](./data/image/media/image7643.wmf){width="0.59375in" height="0.25in"}等价于. 记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于 原点对称. ......14分 注意到-1是X中的唯一负数，共有n-1个数， 所以也只有n-1个数. 由于，已有n-1个数，对以下三角数阵 ...... 注意到，所以，从而数列的通项公式为 ，k=1, 2, ..., n. ......18分 【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义"具有性质"这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视． 2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） ============================================ 数学（文科） 1. 填空题（本大题共有14题，满分56分） 2. 1．计算：![lfxlby](./data/image/media/image7647.wmf){width="0.33055555555555555in" height="0.38680555555555557in"}= （i为虚数单位）. 3. 【答案】 1-2i 4. 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image7647.wmf){width="0.33055555555555555in" height="0.38680555555555557in"}=![lfxlby](./data/image/media/image7648.wmf){width="0.8194444444444444in" height="0.4583333333333333in"}=1-2i 5. 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。 6. 2．若集合![lfxlby](./data/image/media/image7649.wmf){width="1.2638888888888888in" height="0.2222222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7650.wmf){width="0.9861111111111112in" height="0.2777777777777778in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7651.wmf){width="0.44375in" height="0.20833333333333334in"}= . 7. 【答案】 ![lfxlby](./data/image/media/image7652.wmf){width="0.9722222222222222in" height="0.4722222222222222in"} 8. 【解析】由集合A可得：x\>![lfxlby](./data/image/media/image7653.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}，由集合B可得：-1\<x\<1，所以，![lfxlby](./data/image/media/image7651.wmf){width="0.44375in" height="0.20833333333333334in"}=![lfxlby](./data/image/media/image7652.wmf){width="0.9722222222222222in" height="0.4722222222222222in"} 9. 【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法，解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。 10. 3．函数![lfxlby](./data/image/media/image7654.wmf){width="1.3611111111111112in" height="0.5in"}的最小正周期是 . 11. 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image7655.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.1527777777777778in"}  12. 【解析】根据韪得：![lfxlby](./data/image/media/image7656.wmf){width="2.3465277777777778in" height="0.4305555555555556in"} 13. 【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小. 14. 4．若![lfxlby](./data/image/media/image7657.png){width="0.6243055555555556in" height="0.2611111111111111in"}是直线![lfxlby](./data/image/media/image7658.png){width="9.305555555555556e-2in" height="0.19791666666666666in"}的一个方向向量，则![lfxlby](./data/image/media/image7658.png){width="9.305555555555556e-2in" height="0.19791666666666666in"}的倾斜角的大小为         （结果用反三角函数值表示）. 15. 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image7659.png){width="0.59375in" height="0.42569444444444443in"}  16. 【解析】设直线的倾斜角为![lfxlby](./data/image/media/image7660.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.1527777777777778in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7661.wmf){width="1.5965277777777778in" height="0.4305555555555556in"}. 17. 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 18. 5.一个高为2的圆柱，底面周长为![lfxlby](./data/image/media/image7662.wmf){width="0.25in" height="0.19375in"}，该圆柱的表面积为 . 19. 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image7663.wmf){width="0.2361111111111111in" height="0.19375in"} 20. 【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为![lfxlby](./data/image/media/image7664.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.18055555555555555in"}，所以该圆柱的表面积为：![lfxlby](./data/image/media/image7665.wmf){width="2.486111111111111in" height="0.2638888888888889in"}. 21. 【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题. 22. 6.方程![lfxlby](./data/image/media/image7666.wmf){width="1.0694444444444444in" height="0.2222222222222222in"}的解是 . 23. 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image7667.wmf){width="0.44375in" height="0.2361111111111111in"} 24. 【解析】根据方程![lfxlby](./data/image/media/image7668.wmf){width="1.1111111111111112in" height="0.2222222222222222in"}，化简得![lfxlby](./data/image/media/image7669.wmf){width="1.4027777777777777in" height="0.25in"}，令![lfxlby](./data/image/media/image7670.wmf){width="0.875in" height="0.2777777777777778in"}， 25. 则原方程可化为![lfxlby](./data/image/media/image7671.wmf){width="0.9722222222222222in" height="0.2222222222222222in"}，解得 ![lfxlby](./data/image/media/image7672.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.19375in"}或![lfxlby](./data/image/media/image7673.wmf){width="0.69375in" height="0.2361111111111111in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image7674.wmf){width="1.1805555555555556in" height="0.25in"}.所以原方程的解为![lfxlby](./data/image/media/image7675.wmf){width="0.44375in" height="0.2361111111111111in"} . 26. 【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中. 27. 7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、![lfxlby](./data/image/media/image7676.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}为公比的等比数列，体积分别记为![lfxlby](./data/image/media/image7677.wmf){width="0.94375in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7678.wmf){width="1.5in" height="0.3055555555555556in"} . 28. 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image7679.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"} 29. 【解析】由正方体的棱长组成以![lfxlby](./data/image/media/image7680.wmf){width="9.652777777777778e-2in" height="0.18055555555555555in"}为首项，![lfxlby](./data/image/media/image7681.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，![lfxlby](./data/image/media/image7682.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.4305555555555556in"}为公比的等比数列，因此，![lfxlby](./data/image/media/image7683.wmf){width="2.2777777777777777in" height="0.6527777777777778in"} . 30. 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合. 31. 8.在![lfxlby](./data/image/media/image7684.wmf){width="0.6111111111111112in" height="0.5138888888888888in"}的二项式展开式中，常数项等于 . 32. 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image7685.wmf){width="0.34652777777777777in" height="0.19375in"} 33. 【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是![lfxlby](./data/image/media/image7686.wmf){width="1.5138888888888888in" height="0.4305555555555556in"} . 34. 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题. 35. 9.已知![lfxlby](./data/image/media/image7687.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.2222222222222222in"}是奇函数，若![lfxlby](./data/image/media/image7688.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.2222222222222222in"}且![lfxlby](./data/image/media/image7689.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.2222222222222222in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7690.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.2222222222222222in"} . 36. 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image7691.wmf){width="0.125in" height="0.19375in"} 37. 【解析】因为函数![lfxlby](./data/image/media/image7692.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.2222222222222222in"}为奇函数，所以有![lfxlby](./data/image/media/image7693.wmf){width="1.0555555555555556in" height="0.2222222222222222in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image7694.wmf){width="2.9305555555555554in" height="0.2361111111111111in"} ![lfxlby](./data/image/media/image7695.wmf){width="3.2222222222222223in" height="0.2222222222222222in"} . 38. 【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数![lfxlby](./data/image/media/image7692.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.2222222222222222in"}为奇函数，所以有![lfxlby](./data/image/media/image7693.wmf){width="1.0555555555555556in" height="0.2222222222222222in"}这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中. 39. 10.满足约束条件![lfxlby](./data/image/media/image7696.wmf){width="0.8465277777777778in" height="0.2777777777777778in"}的目标函数![lfxlby](./data/image/media/image7697.wmf){width="0.625in" height="0.18055555555555555in"}的最小值是 . 40. 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image7698.wmf){width="0.2638888888888889in" height="0.18055555555555555in"} 41. 【解析】根据题意得到![lfxlby](./data/image/media/image7699.wmf){width="0.8465277777777778in" height="0.7777777777777778in"}或![lfxlby](./data/image/media/image7700.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.7777777777777778in"}或![lfxlby](./data/image/media/image7701.wmf){width="0.94375in" height="0.7777777777777778in"}或![lfxlby](./data/image/media/image7702.wmf){width="0.9305555555555556in" height="0.7777777777777778in"} 42. 其可行域为平行四边形![lfxlby](./data/image/media/image7703.wmf){width="0.5in" height="0.19375in"}区域，（包括边界）目标函数可以化成![lfxlby](./data/image/media/image7704.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.19375in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7705.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的最小值就是该直线在![lfxlby](./data/image/media/image7706.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}轴上截距的最小值，当该直线过点![lfxlby](./data/image/media/image7707.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.2222222222222222in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image7705.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}有最小值，此时![lfxlby](./data/image/media/image7708.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.2361111111111111in"} . 43. 44. ![lfxlby](./data/image/media/image7709.emf){width="5.761111111111111in" height="3.01875in"} 45. 【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点![lfxlby](./data/image/media/image7707.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.2222222222222222in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image7705.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.16666666666666666in"}有最小值，此时![lfxlby](./data/image/media/image7708.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.2361111111111111in"} ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中. 46. 11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 47. 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image7710.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"} 48. 【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为![lfxlby](./data/image/media/image7711.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"} . 49. 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题. 50. 12.在矩形![lfxlby](./data/image/media/image7712.wmf){width="0.5in" height="0.19375in"}中，边![lfxlby](./data/image/media/image7713.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.18055555555555555in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7714.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.18055555555555555in"}的长分别为2、1，若![lfxlby](./data/image/media/image7715.wmf){width="0.2222222222222222in" height="0.18055555555555555in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7716.wmf){width="0.19375in" height="0.19375in"}分别是边![lfxlby](./data/image/media/image7717.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.19375in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7718.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.19375in"}上的点，且满足![lfxlby](./data/image/media/image7719.wmf){width="0.8888888888888888in" height="0.6388888888888888in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7720.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.2361111111111111in"}的取值范围是 51. 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image7721.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.2361111111111111in"} 52. 【解析】以向量AB所在直线为![lfxlby](./data/image/media/image7722.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}轴，以向量AD所在直线为![lfxlby](./data/image/media/image7723.wmf){width="0.1527777777777778in" height="0.18055555555555555in"}轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为![lfxlby](./data/image/media/image7724.wmf){width="1.0555555555555556in" height="0.2222222222222222in"}，所以 ![lfxlby](./data/image/media/image7725.wmf){width="1.9722222222222223in" height="0.2222222222222222in"} 设![lfxlby](./data/image/media/image7726.wmf){width="1.8333333333333333in" height="0.2222222222222222in"}，根据题意，![lfxlby](./data/image/media/image7727.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4305555555555556in"}，所以![lfxlby](./data/image/media/image7728.wmf){width="1.9166666666666667in" height="0.4305555555555556in"} 53. 所以![lfxlby](./data/image/media/image7729.wmf){width="1.2916666666666667in" height="0.4305555555555556in"}![lfxlby](./data/image/media/image7730.wmf){width="0.75in" height="0.2361111111111111in"}，所以![lfxlby](./data/image/media/image7731.wmf){width="0.9583333333333334in" height="0.4305555555555556in"}， 即![lfxlby](./data/image/media/image7732.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.3055555555555556in"}. 54. ![lfxlby](./data/image/media/image7733.emf){width="5.761111111111111in" height="2.592361111111111in"} 55. 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中. 56. 13.已知函数![lfxlby](./data/image/media/image7687.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.2222222222222222in"}的图像是折线段![lfxlby](./data/image/media/image7734.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19375in"}，其中![lfxlby](./data/image/media/image7735.wmf){width="0.5in" height="0.2222222222222222in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7736.wmf){width="0.5138888888888888in" height="0.4305555555555556in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7737.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.2222222222222222in"}，函数![lfxlby](./data/image/media/image7738.wmf){width="0.6805555555555556in" height="0.2222222222222222in"}（![lfxlby](./data/image/media/image7739.wmf){width="0.5965277777777778in" height="0.19375in"}）的图像与![lfxlby](./data/image/media/image7740.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}轴围成的图形的面积为 . 57. 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image7741.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"} 58. 【解析】根据题意，得到![lfxlby](./data/image/media/image7742.wmf){width="1.7638888888888888in" height="0.9166666666666666in"}， 59. 从而得到![lfxlby](./data/image/media/image7743.wmf){width="2.3333333333333335in" height="0.9166666666666666in"}所以围成的面积为![lfxlby](./data/image/media/image7744.wmf){width="2.375in" height="0.5in"}，所以围成的图形的面积为![lfxlby](./data/image/media/image7745.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"} . 60. 【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 61. 14.已知![lfxlby](./data/image/media/image7746.wmf){width="0.8465277777777778in" height="0.4305555555555556in"}，各项均为正数的数列![lfxlby](./data/image/media/image7747.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2777777777777778in"}满足![lfxlby](./data/image/media/image7748.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7749.wmf){width="0.875in" height="0.25in"}，若![lfxlby](./data/image/media/image7750.wmf){width="0.7916666666666666in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7751.wmf){width="0.5694444444444444in" height="0.25in"}的值是 . 62. 【答案】![lfxlby](./data/image/media/image7752.wmf){width="0.6527777777777778in" height="0.4722222222222222in"} 63. 【解析】据题![lfxlby](./data/image/media/image7753.wmf){width="0.875in" height="0.4305555555555556in"}，并且![lfxlby](./data/image/media/image7754.wmf){width="0.9027777777777778in" height="0.25in"}，得到![lfxlby](./data/image/media/image7755.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.4722222222222222in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7756.wmf){width="0.4305555555555556in" height="0.2361111111111111in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7757.wmf){width="0.5in" height="0.4305555555555556in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7758.wmf){width="0.8194444444444444in" height="0.25in"}，得到![lfxlby](./data/image/media/image7759.wmf){width="1.0694444444444444in" height="0.4722222222222222in"}，解得![lfxlby](./data/image/media/image7760.wmf){width="0.9722222222222222in" height="0.4722222222222222in"}（负值舍去）.依次往前推得到 64. ![lfxlby](./data/image/media/image7761.wmf){width="1.4027777777777777in" height="0.4722222222222222in"} . 65. 【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件![lfxlby](./data/image/media/image7762.wmf){width="0.9027777777777778in" height="0.25in"}是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题. 66. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 67. 15.若![lfxlby](./data/image/media/image7763.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.2361111111111111in"}![lfxlby](./data/image/media/image7764.wmf){width="9.652777777777778e-2in" height="0.18055555555555555in"}是关于![lfxlby](./data/image/media/image7765.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}的实系数方程![lfxlby](./data/image/media/image7766.wmf){width="0.9861111111111112in" height="0.2222222222222222in"}的一个复数根，则（ ） 68. A．![lfxlby](./data/image/media/image7767.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.2222222222222222in"} B.![lfxlby](./data/image/media/image7768.wmf){width="0.8465277777777778in" height="0.2222222222222222in"} C.![lfxlby](./data/image/media/image7769.wmf){width="0.9305555555555556in" height="0.2222222222222222in"} D.![lfxlby](./data/image/media/image7770.wmf){width="0.8465277777777778in" height="0.2222222222222222in"} 69. 【答案】 D 70. 【解析】根据实系数方程的根的特点知![lfxlby](./data/image/media/image7771.wmf){width="0.5in" height="0.2361111111111111in"}也是该方程的另一个根，所以 71. ![lfxlby](./data/image/media/image7772.wmf){width="1.7361111111111112in" height="0.2361111111111111in"}，即![lfxlby](./data/image/media/image7773.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.19375in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7774.wmf){width="1.69375in" height="0.2638888888888889in"}，故答案选择D. 72. 【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意. 73. 16.对于常数![lfxlby](./data/image/media/image7775.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.1527777777777778in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7776.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}，"![lfxlby](./data/image/media/image7777.wmf){width="0.5in" height="0.19375in"}"是"方程![lfxlby](./data/image/media/image7778.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}的曲线是椭圆"的（ ） 74. A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 75. C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 76. 【答案】B 77. 【解析】方程![lfxlby](./data/image/media/image7779.wmf){width="0.9722222222222222in" height="0.25in"}的曲线表示椭圆，常数常数![lfxlby](./data/image/media/image7780.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.18055555555555555in"}的取值为![lfxlby](./data/image/media/image7781.wmf){width="0.5555555555555556in" height="0.7777777777777778in"}所以，由![lfxlby](./data/image/media/image7782.wmf){width="0.5in" height="0.19375in"}得不到程![lfxlby](./data/image/media/image7779.wmf){width="0.9722222222222222in" height="0.25in"}的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出![lfxlby](./data/image/media/image7782.wmf){width="0.5in" height="0.19375in"}，因而必要.所以答案选择B. 78. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数![lfxlby](./data/image/media/image7780.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.18055555555555555in"}的取值情况.属于中档题. 79. 17.在△![lfxlby](./data/image/media/image7783.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19375in"}中，若![lfxlby](./data/image/media/image7784.wmf){width="1.5694444444444444in" height="0.2222222222222222in"}，则△![lfxlby](./data/image/media/image7783.wmf){width="0.3888888888888889in" height="0.19375in"}的形状是（ ） 80. A．钝角三角形 B、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 81. 【答案】 A 82. 【解析】由正弦定理，得![lfxlby](./data/image/media/image7785.wmf){width="2.4166666666666665in" height="0.4305555555555556in"}![lfxlby](./data/image/media/image2378.wmf){width="0.125in" height="0.2361111111111111in"}代入得到![lfxlby](./data/image/media/image7786.wmf){width="0.8055555555555556in" height="0.2222222222222222in"}， 83. 由余弦定理的推理得![lfxlby](./data/image/media/image7787.wmf){width="1.5965277777777778in" height="0.4583333333333333in"}，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择A. 84. 【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 85. 18.若![lfxlby](./data/image/media/image7788.wmf){width="2.1527777777777777in" height="0.4305555555555556in"}（![lfxlby](./data/image/media/image7789.wmf){width="0.4861111111111111in" height="0.2222222222222222in"}），则在![lfxlby](./data/image/media/image7790.wmf){width="0.875in" height="0.25in"}中，正数的个数是（ ） 86. A．16 B.72 C.86 D.100 87. 【答案】C 88. 【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项. 89. 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力. 90. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分） 91. 19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是 92. PC的中点.已知∠BAC=![lfxlby](./data/image/media/image7791.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.28958333333333336in"}，AB=2，AC=2![lfxlby](./data/image/media/image7792.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.20902777777777778in"}， 93. PA=2.求： 94. （1）三棱锥P-ABC的体积；（6分） 95. （2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三 96. 角函数值表示）.（6分） 97. \[解\]（1）![lfxlby](./data/image/media/image7793.wmf){width="1.7638888888888888in" height="0.2777777777777778in"}， 2分 98. 三棱锥P-ABC的体积为 99. ![lfxlby](./data/image/media/image7794.wmf){width="2.4027777777777777in" height="0.2777777777777778in"}. 6分 100. （2）取PB的中点E，连接DE、AE，则 101. ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线 102. BC与AD所成的角. 8分 103. 在三角形ADE中，DE=2，AE=![lfxlby](./data/image/media/image7795.wmf){width="0.22013888888888888in" height="0.19722222222222222in"}，AD=2， 104. ，所以∠ADE=. 105. 因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是. 12分 106. 【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题． 107. 108. 20．已知函数![lfxlby](./data/image/media/image7618.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.2222222222222222in"}. 109. （1）若![lfxlby](./data/image/media/image7619.wmf){width="1.6111111111111112in" height="0.2222222222222222in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image7620.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.1527777777777778in"}的取值范围；（6分） 110. （2）若![lfxlby](./data/image/media/image7621.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.2222222222222222in"}是以2为周期的偶函数，且当![lfxlby](./data/image/media/image7622.wmf){width="0.6111111111111112in" height="0.19375in"}时，有![lfxlby](./data/image/media/image7623.wmf){width="0.8465277777777778in" height="0.2222222222222222in"}，求函数 111. ![lfxlby](./data/image/media/image7796.wmf){width="0.625in" height="0.2222222222222222in"}![lfxlby](./data/image/media/image7625.wmf){width="0.7222222222222222in" height="0.2222222222222222in"}的反函数.（8分） 112. \[解\]（1）由，得. 113. 由得. ......3分 114. 因为，所以，. 115. 由得. ......6分 116. （2）当x∈\[1,2\]时，2-x∈\[0,1\]，因此 117. . ......10分 118. 由单调性可得. 119. 因为，所以所求反函数是，. ......14分 120. 【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题． 121. 122. 21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 123. 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 124. 里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 125. ![lfxlby](./data/image/media/image7626.wmf){width="0.6111111111111112in" height="0.2638888888888889in"}；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 126. 援船出发![lfxlby](./data/image/media/image7627.wmf){width="9.652777777777778e-2in" height="0.16666666666666666in"}小时后，失事船所在位置的横坐标为![lfxlby](./data/image/media/image7797.wmf){width="0.19375in" height="0.19375in"}. 127. （1）当![lfxlby](./data/image/media/image7628.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.19375in"}时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 128. 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） 129. （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） 130. \[解\]（1）![lfxlby](./data/image/media/image7628.wmf){width="0.4722222222222222in" height="0.19375in"}时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程![lfxlby](./data/image/media/image7626.wmf){width="0.6111111111111112in" height="0.2638888888888889in"} 131. 中，得P的纵坐标yP=3. ......2分 132. 由\|AP\|=，得救援船速度的大小为海里/时. ......4分 133. 由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向 134. 为北偏东arctan弧度. ......6分 135. （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为. 136. 由，整理得.......10分 137. 因为，当且仅当=1时等号成立， 138. 所以，即. 139. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ......14分 140. 【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题． 141. 22．在平面直角坐标系![lfxlby](./data/image/media/image7629.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.2222222222222222in"}中，已知双曲线![lfxlby](./data/image/media/image7798.wmf){width="1.0555555555555556in" height="0.25in"}. 142. （1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若\|MF\|=2![lfxlby](./data/image/media/image7799.wmf){width="0.2222222222222222in" height="0.19444444444444445in"}，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的 143. 面积；（5分） 144. （3）设斜率为![lfxlby](./data/image/media/image7800.wmf){width="0.8465277777777778in" height="0.2638888888888889in"}的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆![lfxlby](./data/image/media/image7634.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}相切， 145. 求证：OP⊥OQ；（6分） 146. \[解\]（1）双曲线，左焦点. 147. 设，则， ......2分 148. 由M是右支上一点，知，所以，得. 149. 所以. ......5分 150. （2）左顶点，渐近线方程：. 151. 过A与渐近线平行的直线方程为：，即. 152. 解方程组，得. ......8分 153. 所求平行四边形的面积为. ......10分 154. （3）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，故， 155. 即 (\*). 156. 由，得. 157. 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则. 158. ，所以 159. ![lfxlby](./data/image/media/image7801.wmf){width="3.5694444444444446in" height="0.2638888888888889in"} 160. ![lfxlby](./data/image/media/image7802.wmf){width="1.8333333333333333in" height="0.3194444444444444in"}. 161. 由(\*)知![lfxlby](./data/image/media/image7803.wmf){width="0.8465277777777778in" height="0.2638888888888889in"}，所以OP⊥OQ. ......16分 162. 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为，它的渐近线为，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 ． 163. 164. 23．对于项数为m的有穷数列数集![lfxlby](./data/image/media/image7804.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.25in"}，记![lfxlby](./data/image/media/image7805.wmf){width="1.625in" height="0.25in"}（k=1,2,...,m），即![lfxlby](./data/image/media/image7806.wmf){width="0.18055555555555555in" height="0.25in"} 165. 为![lfxlby](./data/image/media/image7807.wmf){width="0.875in" height="0.25in"}中的最大值，并称数列![lfxlby](./data/image/media/image7808.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.25in"}是![lfxlby](./data/image/media/image7804.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.25in"}的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是 166. 1,3,3,5,5. 167. （1）若各项均为正整数的数列![lfxlby](./data/image/media/image7804.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.25in"}的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的![lfxlby](./data/image/media/image7804.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.25in"}；（4分） 168. （2）设![lfxlby](./data/image/media/image7808.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.25in"}是![lfxlby](./data/image/media/image7804.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.25in"}的控制数列，满足![lfxlby](./data/image/media/image7809.wmf){width="1.0277777777777777in" height="0.25in"}（C为常数，k=1,2,...,m）. 169. 求证：![lfxlby](./data/image/media/image7810.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}（k=1,2,...,m）；（6分） 170. （3）设m=100，常数![lfxlby](./data/image/media/image7811.wmf){width="0.6388888888888888in" height="0.25in"}.若![lfxlby](./data/image/media/image7812.wmf){width="1.3888888888888888in" height="0.3055555555555556in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7808.wmf){width="0.3055555555555556in" height="0.25in"}是![lfxlby](./data/image/media/image7804.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.25in"}的控制数列， 171. 求![lfxlby](./data/image/media/image7813.wmf){width="2.4722222222222223in" height="0.25in"}. 172. \[解\]（1）数列![lfxlby](./data/image/media/image7804.wmf){width="0.3194444444444444in" height="0.25in"}为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； 173. 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ......4分 174. （2）因为![lfxlby](./data/image/media/image7805.wmf){width="1.625in" height="0.25in"}，， 175. 所以. ......6分 176. 因为![lfxlby](./data/image/media/image7809.wmf){width="1.0277777777777777in" height="0.25in"}，， 177. 所以，即. ......8分 178. 因此，. ......10分 179. （3）对，；； 180. ；. 181. 比较大小，可得. ......12分 182. 因为，所以，即； 183. ，即. 184. 又， 185. 从而，，，. ......15分 186. 因此![lfxlby](./data/image/media/image7813.wmf){width="2.4722222222222223in" height="0.25in"} 187. = 188. = 189. ===. ......18分 190. 【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义"控制"数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视． 191. 192. 193. 194. 2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 195. 数学（理科） 196. 参考公式： 197. 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 198. ![lfxlby](./data/image/media/image7814.wmf){width="1.5833333333333333in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image7815.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} 199. 如果事件相互独立，那么 其中![lfxlby](./data/image/media/image7816.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}表示球的半径 200. ![lfxlby](./data/image/media/image7817.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.25in"} 球的体积公式 201. 如果事件![lfxlby](./data/image/media/image7818.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在一次试验中发生的概率是![lfxlby](./data/image/media/image7819.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，那么 ![lfxlby](./data/image/media/image7820.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} 202. 在![lfxlby](./data/image/media/image7821.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}次独立重复试验中事件![lfxlby](./data/image/media/image7818.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}恰好发生![lfxlby](./data/image/media/image7822.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}次的概率 其中![lfxlby](./data/image/media/image7816.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}表示球的半径 203. ![lfxlby](./data/image/media/image7823.wmf){width="2.3333333333333335in" height="0.25in"} 204. 第一部分 （选择题 共60分） 205. 注意事项： 206. 1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。 207. 2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。 208. 一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 209. 1、![lfxlby](./data/image/media/image7824.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}的展开式中![lfxlby](./data/image/media/image7825.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的系数是（ ） 210. A、![lfxlby](./data/image/media/image7826.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} B、![lfxlby](./data/image/media/image7827.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} C、![lfxlby](./data/image/media/image7828.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} D、![lfxlby](./data/image/media/image7829.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} 211. \[答案\]D 212. \[解析\]二项式展开式的通项公式为=，令k=2，则 213. 214. \[点评\]：高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的计算能力. 215. 2、复数![lfxlby](./data/image/media/image7830.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.5in"}（ ） 216. A、![lfxlby](./data/image/media/image7831.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"} B、![lfxlby](./data/image/media/image7832.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"} C、![lfxlby](./data/image/media/image7833.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"} D、![lfxlby](./data/image/media/image7834.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} 217. \[答案\]B. 218. \[解析\]![lfxlby](./data/image/media/image7830.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.5in"} 219. \[点评\]突出考查知识点，不需采用分母实数化等常规方法，分子直接展开就可以. 220. 3、函数![lfxlby](./data/image/media/image7835.wmf){width="1.5833333333333333in" height="0.75in"}在![lfxlby](./data/image/media/image7836.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}处的极限是（ ） 221. A、不存在 B、等于![lfxlby](./data/image/media/image7837.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} C、等于![lfxlby](./data/image/media/image7838.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} D、等于![lfxlby](./data/image/media/image7839.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} 222. \[答案\]A 223. \[解析\]分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限. 224. \[点评\]对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。 225. ![](./data/image/media/image7840.emf){width="1.7708333333333333in" height="1.1770833333333333in"}4、如图，正方形![lfxlby](./data/image/media/image7841.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的边长为![lfxlby](./data/image/media/image7842.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}，延长![lfxlby](./data/image/media/image7843.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}至![lfxlby](./data/image/media/image7844.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，使![lfxlby](./data/image/media/image7845.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，连接![lfxlby](./data/image/media/image7846.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7847.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}则![lfxlby](./data/image/media/image7848.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.16666666666666666in"}（ ） 226. A、![lfxlby](./data/image/media/image7849.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.5in"} B、![lfxlby](./data/image/media/image7850.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.5in"} C、![lfxlby](./data/image/media/image7851.wmf){width="0.25in" height="0.5in"} D、![lfxlby](./data/image/media/image7852.wmf){width="0.25in" height="0.5in"} 227. \[答案\]B 228. 229. \[点评\]注意恒等式sin2α+cos2α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况. 230. 5、函数![lfxlby](./data/image/media/image7853.wmf){width="1.5833333333333333in" height="0.4166666666666667in"}的图象可能是（ ） 231. ![lfxlby](./data/image/media/image7854.png){width="5.75in" height="1.6666666666666667in"} 232. \[答案\]C 233. \[解析\]采用排除法. 函数![lfxlby](./data/image/media/image7855.wmf){width="1.5in" height="0.25in"}恒过（1,0），选项只有C符合，故选C. 234. \[点评\]函数大致图像问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比较常用，且简单易用. 235. 6、下列命题正确的是（ ） 236. A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 237. B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 238. C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 239. D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 240. \[答案\]C 241. \[解析\]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确. 242. \[点评\]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式. 243. 7、设![lfxlby](./data/image/media/image7856.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7857.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}都是非零向量，下列四个条件中，使![lfxlby](./data/image/media/image7858.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.5in"}成立的充分条件是（ ） 244. A、![lfxlby](./data/image/media/image7859.wmf){width="0.5in" height="0.25in"} B、![lfxlby](./data/image/media/image7860.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} C、![lfxlby](./data/image/media/image7861.wmf){width="0.5in" height="0.25in"} D、![lfxlby](./data/image/media/image7862.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}且![lfxlby](./data/image/media/image7863.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} 245. \[答案\]D 246. \[解析\]若使![lfxlby](./data/image/media/image7858.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.5in"}成立，则选项中只有D能保证，故选D. 247. \[点评\]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意. 248. 8、已知抛物线关于![lfxlby](./data/image/media/image7864.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴对称，它的顶点在坐标原点![lfxlby](./data/image/media/image7865.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，并且经过点![lfxlby](./data/image/media/image7866.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}。若点![lfxlby](./data/image/media/image7867.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}到该抛物线焦点的距离为![lfxlby](./data/image/media/image7868.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7869.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}（ ） 249. A、![lfxlby](./data/image/media/image7870.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} B、![lfxlby](./data/image/media/image7871.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} C、![lfxlby](./data/image/media/image7872.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} D、![lfxlby](./data/image/media/image7873.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} 250. \[答案\]B 251. \[解析\]设抛物线方程为y2=2px(p\>0),则焦点坐标为（），准线方程为x=, 252. 253. \[点评\]本题旨在考查抛物线的定义: \|MF\|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离). 254. 9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗![lfxlby](./data/image/media/image7874.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}原料1千克、![lfxlby](./data/image/media/image7875.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}原料2千克；生产乙产品1桶需耗![lfxlby](./data/image/media/image7876.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}原料2千克，![lfxlby](./data/image/media/image7877.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗![lfxlby](./data/image/media/image7878.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7879.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） 255. A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元 256. \[答案\]C 257. \[解析\]设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得 利润为Z元/天，则由已知，得 Z=300X+400Y 258. 259. ![](./data/image/media/image7880.png){width="2.28125in" height="1.6666666666666667in"}且 260. 画可行域如图所示， 261. 目标函数Z=300X+400Y可变形为 262. Y= 这是随Z变化的一族平行直线 263. 解方程组 即A（4,4） 264. \[点评\]解决线性规划题目的常规步骤：一列（列出约束条件）、二画（画出可行域）、三作（作目标函数变形式的平行线）、四求（求出最优解）. 265. ![](./data/image/media/image7881.emf){width="2.2604166666666665in" height="1.1770833333333333in"}10、如图，半径为![lfxlby](./data/image/media/image7882.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的半球![lfxlby](./data/image/media/image7883.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的底面圆![lfxlby](./data/image/media/image7884.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在平面![lfxlby](./data/image/media/image7885.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}内，过点![lfxlby](./data/image/media/image7886.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}作平面![lfxlby](./data/image/media/image7887.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的垂线交半球面于点![lfxlby](./data/image/media/image7888.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，过圆![lfxlby](./data/image/media/image7889.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的直径![lfxlby](./data/image/media/image7890.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}作平面![lfxlby](./data/image/media/image7891.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}成![lfxlby](./data/image/media/image7892.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}角的平面与半球面相交，所得交线上到平面![lfxlby](./data/image/media/image7893.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的距离最大的点为![lfxlby](./data/image/media/image7894.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，该交线上的一点![lfxlby](./data/image/media/image7895.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}满足![lfxlby](./data/image/media/image7896.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7897.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7898.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}两点间的球面距离为（ ） A、![lfxlby](./data/image/media/image7899.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.5in"} B、![lfxlby](./data/image/media/image7900.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"} C、![lfxlby](./data/image/media/image7901.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.5in"} D、![lfxlby](./data/image/media/image7902.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"} \[答案\]A \[解析\] 以O为原点，分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴， 则A \[点评\]本题综合性较强，考查知识点较为全面，题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功. 11、方程![lfxlby](./data/image/media/image7903.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}中的![lfxlby](./data/image/media/image7904.wmf){width="1.6666666666666667in" height="0.25in"}，且![lfxlby](./data/image/media/image7905.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ） A、60条 B、62条 C、71条 D、80条 \[答案\]B \[解析\]方程![lfxlby](./data/image/media/image7903.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}变形得，若表示抛物线，则 所以，分b=-3,-2,1,2,3五种情况： （1）若b=-3， ; （2）若b=3, 以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条； 同理当b=-2,或2时，共有23条； 当b=1时，共有16条. 综上，共有23+23+16=62种 \[点评\]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的18条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. 12、设函数![lfxlby](./data/image/media/image7906.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7907.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}是公差为![lfxlby](./data/image/media/image7908.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}的等差数列，![lfxlby](./data/image/media/image7909.wmf){width="1.8333333333333333in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7910.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}（ ） A、![lfxlby](./data/image/media/image7911.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} B、![lfxlby](./data/image/media/image7912.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"} C、![lfxlby](./data/image/media/image7913.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"} D、![lfxlby](./data/image/media/image7914.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"} \[答案\]D \[解析\]∵数列{a~n~}是公差为的等差数列，且![lfxlby](./data/image/media/image7909.wmf){width="1.8333333333333333in" height="0.25in"} ∴ ∴ 即 得 ∴![lfxlby](./data/image/media/image7910.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.25in"} \[点评\]本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识系统、网络化学习. 另外，隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力. **第二部分 （非选择题 共90分）** **注意事项：** （1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 （2）本部分共10个小题，共90分。 **二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。）** 13、设全集![lfxlby](./data/image/media/image7915.wmf){width="1.0in" height="0.25in"}，集合![lfxlby](./data/image/media/image7916.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7917.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7918.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}\_\_\_\_\_\_\_。 \[答案\]{a, c, d} \[解析\]∵ ； ∴![lfxlby](./data/image/media/image7918.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.25in"}{a,c，d} \[点评\]本题难度较低，只要稍加注意就不会出现错误. ![](./data/image/media/image7919.emf){width="1.417361111111111in" height="1.417361111111111in"}14、如图，在正方体![lfxlby](./data/image/media/image7920.wmf){width="1.25in" height="0.25in"}中，![lfxlby](./data/image/media/image7921.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7922.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}分别是![lfxlby](./data/image/media/image7923.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7924.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的中点，则异面直线![lfxlby](./data/image/media/image7925.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}与![lfxlby](./data/image/media/image7926.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}所成角的大小是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 \[答案\]90º \[解析\]方法一：连接D~1~M,易得DN⊥A~1~D~1~ ,DN⊥D~1~M, 所以，DN⊥平面A~1~MD~1~， 又A~1~M平面A~1~MD~1~，所以，DN⊥A~1~D~1~，故夹角为90º 方法二：以D为原点，分别以DA, DC, DD~1~为x, y, z轴，建立空间直角坐标系D---xyz.设正方体边长为2，则D（0,0,0），N（0,2,1），M（0,1,0）A~1~（2,0,2） 故， 所以，cos\< = 0,故DN⊥D~1~M，所以夹角为90º \[点评\]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一，把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理； 第二，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决. 15、椭圆![lfxlby](./data/image/media/image7927.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.5in"}的左焦点为![lfxlby](./data/image/media/image7928.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，直线![lfxlby](./data/image/media/image7929.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}与椭圆相交于点![lfxlby](./data/image/media/image7930.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7931.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，当![lfxlby](./data/image/media/image7932.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的周长最大时，![lfxlby](./data/image/media/image7932.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的面积是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 \[答案\] \[解析\]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又 \[点评\]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 16、记![lfxlby](./data/image/media/image7933.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}为不超过实数![lfxlby](./data/image/media/image7934.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的最大整数，例如，![lfxlby](./data/image/media/image7935.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7936.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7937.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}。设![lfxlby](./data/image/media/image7938.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为正整数，数列![lfxlby](./data/image/media/image7939.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}满足![lfxlby](./data/image/media/image7940.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7941.wmf){width="1.75in" height="0.6666666666666666in"}，现有下列命题： ①当![lfxlby](./data/image/media/image7942.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}时，数列![lfxlby](./data/image/media/image7939.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的前3项依次为5,3,2； ②对数列![lfxlby](./data/image/media/image7939.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}都存在正整数![lfxlby](./data/image/media/image7943.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，当![lfxlby](./data/image/media/image7944.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}时总有![lfxlby](./data/image/media/image7945.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}； ③当![lfxlby](./data/image/media/image7946.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}时，![lfxlby](./data/image/media/image7947.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}； ④对某个正整数![lfxlby](./data/image/media/image7948.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，若![lfxlby](./data/image/media/image7949.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7950.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}。 其中的真命题有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。（写出所有真命题的编号） \[答案\]①③④ \[解析\]**若**![lfxlby](./data/image/media/image7942.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，根据![lfxlby](./data/image/media/image7941.wmf){width="1.75in" height="0.6666666666666666in"} 当n=1时，x~2~=\[\]=3, 同理x~3~=, 故①对. **对于**②③④可以采用特殊值列举法： **当a=1时，x~1~=1, x~2~=1, x~3~=1,** ......**x~n~=1**, ...... 此时②③④均对. 当a=2时，**x~1~=2, x~2~=1, x~3~=1,** ......**x~n~=1**, ...... 此时②③④均对 当a=3时，**x~1~=3, x~2~=2, x~3~=1,** x~4~=2......**x~n~=1**, ......此时③④均对 综上，真命题有 ①③④ . \[点评\]此题难度较大，不容易寻找其解题的切入点，特殊值列举是很有效的解决办法. **三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）** 17、(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）![lfxlby](./data/image/media/image7951.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}和![lfxlby](./data/image/media/image7952.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，系统![lfxlby](./data/image/media/image7953.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}和![lfxlby](./data/image/media/image7954.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在任意时刻发生故障的概率分别为![lfxlby](./data/image/media/image7955.wmf){width="0.25in" height="0.4166666666666667in"}和![lfxlby](./data/image/media/image7956.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}。 （Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为![lfxlby](./data/image/media/image7957.wmf){width="0.25in" height="0.4166666666666667in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image7958.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值； （Ⅱ）设系统![lfxlby](./data/image/media/image7959.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量![lfxlby](./data/image/media/image7960.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image7961.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的概率分布列及数学期望![lfxlby](./data/image/media/image7962.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}。 \[解析\]（1）设："至少有一个系统不发生故障"为事件C，那么 1-P（C）=1-P= ，解得P=....................................4 分 （2）由题意，P（![lfxlby](./data/image/media/image7960.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}=0）= P（![lfxlby](./data/image/media/image7960.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}=1）= P（![lfxlby](./data/image/media/image7960.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}=2）= P（![lfxlby](./data/image/media/image7960.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}=3）= 所以，随机变量![lfxlby](./data/image/media/image7960.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的概率分布列为： -------------------------------------------------------------------------------------------- --- --- --- --- ![lfxlby](./data/image/media/image7960.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"} 0 1 2 3 P -------------------------------------------------------------------------------------------- --- --- --- --- 故随机变量X的数学期望为： E![lfxlby](./data/image/media/image7960.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}=0 ........................12分. \[点评\]本小题主要考查相互独立事件，独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 18、(本小题满分12分) ![](./data/image/media/image7963.png){width="1.1770833333333333in" height="1.1770833333333333in"} 函数![lfxlby](./data/image/media/image7964.wmf){width="2.6666666666666665in" height="0.4166666666666667in"}在一个周期内的图象如图所示，![lfxlby](./data/image/media/image7965.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为图象的最高点，![lfxlby](./data/image/media/image7966.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7967.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为图象与![lfxlby](./data/image/media/image7968.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴的交点，且![lfxlby](./data/image/media/image7969.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}为正三角形。 （Ⅰ）求![lfxlby](./data/image/media/image7970.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值及函数![lfxlby](./data/image/media/image7971.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的值域； （Ⅱ）若![lfxlby](./data/image/media/image7972.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.5in"}，且![lfxlby](./data/image/media/image7973.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image7974.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}的值。 \[解析\]（Ⅰ）由已知可得：![lfxlby](./data/image/media/image7964.wmf){width="2.6666666666666665in" height="0.4166666666666667in"} =3cosωx+ 又由于正三角形ABC的高为2，则BC=4 所以，函数 所以，函数。........................6分 （Ⅱ）因为（Ⅰ）有 由x~0~ 所以， 故 ...............................................................12分 \[点评\]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查树形结合、转化等数学思想. ![](./data/image/media/image7975.emf){width="1.9895833333333333in" height="1.1875in"}19、(本小题满分12分) 如图，在三棱锥![lfxlby](./data/image/media/image7976.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}中，![lfxlby](./data/image/media/image7977.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7978.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7979.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.16666666666666666in"}，平面![lfxlby](./data/image/media/image7980.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image7981.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}。 （Ⅰ）求直线![lfxlby](./data/image/media/image7982.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}与平面![lfxlby](./data/image/media/image7983.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}所成角的大小； （Ⅱ）求二面角![lfxlby](./data/image/media/image7984.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.16666666666666666in"}的大小。 \[解析\]（1）连接OC。由已知，所成的角 > 设AB的中点为D，连接PD、CD. > > 因为AB=BC=CA,所以CDAB. > > 因为等边三角形， > > 不妨设PA=2，则OD=1，OP=,AB=4. > > 所以CD=2，OC=. > > 在Rttan. > > 故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan.....................6分 > > （2）过D作DE于E，连接CE. > > 由已知可得，CD平面PAB. > > 根据三垂线定理可知，CE⊥PA， > > 所以，. > > 由（1）知，DE= > > 在Rt△CDE中，tan > > 故.................................12分 \[点评\]本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力. 20、(本小题满分12分) 已知数列![lfxlby](./data/image/media/image7985.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的前![lfxlby](./data/image/media/image7986.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}项和为![lfxlby](./data/image/media/image7987.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，且![lfxlby](./data/image/media/image7988.wmf){width="1.0in" height="0.25in"}对一切正整数![lfxlby](./data/image/media/image7989.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}都成立。 （Ⅰ）求![lfxlby](./data/image/media/image7990.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7991.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的值； （Ⅱ）设![lfxlby](./data/image/media/image7992.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，数列![lfxlby](./data/image/media/image7993.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.5in"}的前![lfxlby](./data/image/media/image7994.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}项和为![lfxlby](./data/image/media/image7995.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，当![lfxlby](./data/image/media/image7996.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为何值时，![lfxlby](./data/image/media/image7995.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}最大？并求出![lfxlby](./data/image/media/image7995.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的最大值。 \[解析\]取n=1,得 ① 取n=2,得 ② 又②-①，得 ③ （1）若a~2~=0, 由①知a~1~=0, (2)若a~2,~ ④ 由①④得：.....................5分 （2）当a~1~\>0时,由（I）知， 当 , (2+)a~n-1~=S~2~+S~n-1~ 所以，a~n~= 所以 令 所以，数列{b~n~}是以为公差，且单调递减的等差数列. 则 b~1~\>b~2~\>b~3~\>...\>b~7~= 当n≥8时，b~n~≤b~8~= 所以，n=7时，T~n~取得最大值，且T~n~的最大值为 > T~7~=..............................12分 \[点评\]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. ![](./data/image/media/image7997.emf){width="1.8541666666666667in" height="1.5729166666666667in"}21、(本小题满分12分) 如图，动点![lfxlby](./data/image/media/image7998.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}到两定点![lfxlby](./data/image/media/image7999.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}、![lfxlby](./data/image/media/image8000.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}构成![lfxlby](./data/image/media/image8001.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，且![lfxlby](./data/image/media/image8002.wmf){width="1.25in" height="0.16666666666666666in"}，设动点![lfxlby](./data/image/media/image8003.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的轨迹为![lfxlby](./data/image/media/image8004.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}。 （Ⅰ）求轨迹![lfxlby](./data/image/media/image8005.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的方程； （Ⅱ）设直线![lfxlby](./data/image/media/image8006.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}与![lfxlby](./data/image/media/image8007.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴交于点![lfxlby](./data/image/media/image8008.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，与轨迹![lfxlby](./data/image/media/image8009.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}相交于点![lfxlby](./data/image/media/image8010.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，且![lfxlby](./data/image/media/image8011.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image8012.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.5in"}的取值范围。 \[解析\]（1）设M的坐标为（x,y），显然有x\>0,. 当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，, ±3） 当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB, 有tan∠MBA=,即 化简得：3x^2^-y^2^-3=0,而又经过（2，,±3） > 综上可知，轨迹C的方程为3x^2^-y^2^-3=0（x\>1）.....................5分 (II)由方程![lfxlby](./data/image/media/image2378.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.25in"}消去y，可得。（\*） 由题意，方程（\*）有两根且均在（1，+）内，设 所以 解得，m\>1,且m2 设Q、R的坐标分别为，由有 所以 由m\>1，且m2，有 所以的取值范围是\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\...\... 12分 \[点评\]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。 22、(本小题满分14分) （lb ylfx） 已知![lfxlby](./data/image/media/image8013.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为正实数，![lfxlby](./data/image/media/image8014.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为自然数，抛物线![lfxlby](./data/image/media/image8015.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.5in"}与![lfxlby](./data/image/media/image8016.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴正半轴相交于点![lfxlby](./data/image/media/image8017.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，设![lfxlby](./data/image/media/image8018.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}为该抛物线在点![lfxlby](./data/image/media/image8019.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}处的切线在![lfxlby](./data/image/media/image8020.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴上的截距。 （Ⅰ）用![lfxlby](./data/image/media/image8021.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}和![lfxlby](./data/image/media/image8022.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}表示![lfxlby](./data/image/media/image8023.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}； （Ⅱ）求对所有![lfxlby](./data/image/media/image8024.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}都有![lfxlby](./data/image/media/image8025.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.5in"}成立的![lfxlby](./data/image/media/image8026.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的最小值； （Ⅲ）当![lfxlby](./data/image/media/image8027.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}时，比较![lfxlby](./data/image/media/image8028.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.5in"}与![lfxlby](./data/image/media/image8029.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.5in"}的大小，并说明理由。 \[解析\]（1）由已知得，交点A的坐标为，对则抛物线在点A处的切线方程为 8. 由（1）知f(n)=,则 即知，对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到a≥ 当, ![lfxlby](./data/image/media/image2378.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"} \>2n^3^+1 当n=0,1,2时，显然 故当a=时，对所有自然数都成立 所以满足条件的a的最小值是。 （3）由（1）知，则， 下面证明： 首先证明：当0\<x\<1时， 设函数 当 故g(x)在区间（0,1）上的最小值g(x)~min~=g 所以，当0\<x\<1时，g(x)≥0,即得 由0\<a\<1知0\<a^k^\<1(),因此，从而 \[点评\]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com) 版权所有：高考资源网(www.ks5u.com) 2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） ============================================ 数学（文科） 参考公式： 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ![lfxlby](./data/image/media/image7814.wmf){width="1.5833333333333333in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image7815.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} 如果事件相互独立，那么 其中![lfxlby](./data/image/media/image7816.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}表示球的半径 ![lfxlby](./data/image/media/image7817.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.25in"} 球的体积公式 如果事件![lfxlby](./data/image/media/image7818.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在一次试验中发生的概率是![lfxlby](./data/image/media/image7819.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，那么 ![lfxlby](./data/image/media/image7820.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} 在![lfxlby](./data/image/media/image7821.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}次独立重复试验中事件![lfxlby](./data/image/media/image7818.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}恰好发生![lfxlby](./data/image/media/image7822.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}次的概率 其中![lfxlby](./data/image/media/image7816.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}表示球的半径 ![lfxlby](./data/image/media/image7823.wmf){width="2.3333333333333335in" height="0.25in"} **第一部分 （选择题 共60分）** **注意事项：** 1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。 2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。 **一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。** 1、设集合![lfxlby](./data/image/media/image8030.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8031.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image8032.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}（ ） A、![lfxlby](./data/image/media/image8033.wmf){width="0.25in" height="0.25in"} B、![lfxlby](./data/image/media/image8034.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} C、![lfxlby](./data/image/media/image8035.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"} D、![lfxlby](./data/image/media/image8036.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"} \[答案\]D \[解析\]集合A中包含a,b两个元素，集合B中包含b,c,d三个元素，共有a,b,c,d四个元素，所以 \[点评\]本题旨在考查集合的并集运算，集合问题属于高中数学入门知识，考试时出题难度不大，重点是掌握好课本的基础知识. 2、![lfxlby](./data/image/media/image7824.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}的展开式中![lfxlby](./data/image/media/image7825.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的系数是（ ） A、21 B、28 C、35 D、42 \[答案\]A \[解析\]二项式展开式的通项公式为=，令k=2，则 \[点评\]高考二项展开式问题题型难度不大，要得到这部分分值，首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式，其次需要强化考生的计算能力. 3、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为![lfxlby](./data/image/media/image8037.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数![lfxlby](./data/image/media/image8037.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为（ ） A、101 B、808 C、1212 D、2012 \[答案\]B \[解析\]N= \[点评\]解决分层抽样问题，关键是求出抽样比，此类问题难点要注意是否需要剔除个体. 4、函数![lfxlby](./data/image/media/image7855.wmf){width="1.5in" height="0.25in"}的图象可能是（ ） ![lfxlby](./data/image/media/image8038.png){width="5.5in" height="1.5in"} \[答案\]C \[解析\]采用特殊值验证法. 函数![lfxlby](./data/image/media/image7855.wmf){width="1.5in" height="0.25in"}恒过（1,0），只有C选项符合. \[点评\]函数大致图像问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比较常用，且简单易用. ![](./data/image/media/image7840.emf){width="1.7708333333333333in" height="1.1770833333333333in"}5、如图，正方形![lfxlby](./data/image/media/image7841.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的边长为![lfxlby](./data/image/media/image7842.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.16666666666666666in"}，延长![lfxlby](./data/image/media/image7843.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}至![lfxlby](./data/image/media/image7844.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，使![lfxlby](./data/image/media/image7845.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，连接![lfxlby](./data/image/media/image7846.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7847.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}则![lfxlby](./data/image/media/image7848.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.16666666666666666in"}（ ） A、![lfxlby](./data/image/media/image7849.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.5in"} B、![lfxlby](./data/image/media/image7850.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.5in"} C、![lfxlby](./data/image/media/image7851.wmf){width="0.25in" height="0.5in"} D、![lfxlby](./data/image/media/image7852.wmf){width="0.25in" height="0.5in"} \[答案\]B \[点评\]注意恒等式sin^2^α+cos^2^α=1的使用，需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况. 6、下列命题正确的是（ ） A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 \[答案\]C \[解析\]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确. \[点评\]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式. 7、设![lfxlby](./data/image/media/image7856.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7857.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}都是非零向量，下列四个条件中，使![lfxlby](./data/image/media/image7858.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.5in"}成立的充分条件是（ ） A、![lfxlby](./data/image/media/image7863.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}且![lfxlby](./data/image/media/image7862.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} B、![lfxlby](./data/image/media/image7859.wmf){width="0.5in" height="0.25in"} C、![lfxlby](./data/image/media/image7860.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} D、![lfxlby](./data/image/media/image7861.wmf){width="0.5in" height="0.25in"} \[答案\]D \[解析\]若使![lfxlby](./data/image/media/image7858.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.5in"}成立，则选项中只有D能保证，故选D. \[点评\]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意. 8、若变量![lfxlby](./data/image/media/image8039.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}满足约束条件![lfxlby](./data/image/media/image8040.wmf){width="0.9166666666666666in" height="1.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image8041.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}的最大值是（ ） A、12 B、26 C、28 D、33 \[答案\]C ![](./data/image/media/image8042.png){width="2.6979166666666665in" height="2.2270833333333333in"}\[解析\]目标函数![lfxlby](./data/image/media/image8041.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}可以变形为 ，做函数的平行线， 当其经过点B（4,4）时截距最大时， 即z有最大值为![lfxlby](./data/image/media/image8041.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}=. \[点评\]解决线性规划题目的常规步骤： 一列（列出约束条件）、 二画（画出可行域）、 三作（作目标函数变形式的平行线）、 四求（求出最优解）. 9、已知抛物线关于![lfxlby](./data/image/media/image7864.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴对称，它的顶点在坐标原点![lfxlby](./data/image/media/image7865.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}， 并且经过点![lfxlby](./data/image/media/image7866.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}。若点![lfxlby](./data/image/media/image7867.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}到该抛物线焦点的距离为![lfxlby](./data/image/media/image7868.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7869.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}（ ） A、![lfxlby](./data/image/media/image7870.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} B、![lfxlby](./data/image/media/image7871.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} C、![lfxlby](./data/image/media/image7872.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"} D、![lfxlby](./data/image/media/image7873.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"} \[答案\]B \[解析\]设抛物线方程为y^2^=2px(p\>0),则焦点坐标为（），准线方程为x=, \[点评\]本题旨在考查抛物线的定义: \|MF\|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离). ![](./data/image/media/image7881.emf){width="2.2604166666666665in" height="1.1770833333333333in"}10、如图，半径为![lfxlby](./data/image/media/image7882.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的半球![lfxlby](./data/image/media/image7883.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的底面圆![lfxlby](./data/image/media/image7884.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在平面![lfxlby](./data/image/media/image7885.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}内，过点![lfxlby](./data/image/media/image7886.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}作平面![lfxlby](./data/image/media/image7887.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的垂线交半球面于点![lfxlby](./data/image/media/image7888.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，过圆![lfxlby](./data/image/media/image7889.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的直径![lfxlby](./data/image/media/image7890.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}作平面![lfxlby](./data/image/media/image7891.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}成![lfxlby](./data/image/media/image7892.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}角的平面与半球面相交，所得交线上到平面![lfxlby](./data/image/media/image7893.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的距离最大的点为![lfxlby](./data/image/media/image7894.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，该交线上的一点![lfxlby](./data/image/media/image7895.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}满足![lfxlby](./data/image/media/image7896.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image7897.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7898.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}两点间的球面距离为（ ） A、![lfxlby](./data/image/media/image7899.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.5in"} B、![lfxlby](./data/image/media/image7900.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"} C、![lfxlby](./data/image/media/image7901.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.5in"} D、![lfxlby](./data/image/media/image7902.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"} \[答案\]A \[解析\]以O为原点，分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，则 A \[点评\]本题综合性较强，考查知识点较为全面，题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功. 11、方程![lfxlby](./data/image/media/image7903.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}中的![lfxlby](./data/image/media/image8043.wmf){width="1.4166666666666667in" height="0.25in"}，且![lfxlby](./data/image/media/image7905.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ） A、28条 B、32条 C、36条 D、48条 \[答案\]B \[解析\]方程![lfxlby](./data/image/media/image7903.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}变形得，若表示抛物线，则 所以，分b=-2,1,2,3四种情况： （1）若b=-2， ; （2）若b=2, 以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条； 同理 若b=1，共有9条； 若b=3时，共有9条. 综上，共有14+9+9=32种 \[点评\]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的4条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. 12、设函数![lfxlby](./data/image/media/image8044.wmf){width="1.5in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7907.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}是公差不为0的等差数列，![lfxlby](./data/image/media/image8045.wmf){width="1.8333333333333333in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image8046.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}（ ） A、0 B、7 C、14 D、21 \[答案\]D \[解析\]∵![lfxlby](./data/image/media/image7907.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}是公差不为0的等差数列，且![lfxlby](./data/image/media/image8045.wmf){width="1.8333333333333333in" height="0.25in"} ∴ ∴ ∴ \[点评\]本小题考查的知识点较为综合，既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用，解决此类问题必须要敢于尝试，并需要认真观察其特点. **\ 第二部分 （非选择题 共90分）** **注意事项：** （1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 （2）本部分共10个小题，共90分。 **二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。）** 13、函数![lfxlby](./data/image/media/image8047.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.5in"}的定义域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。（用区间表示） \[答案\]（） \[解析\]由分母部分的1-2x\>0，得到x∈(）. \[点评\]定义域问题属于低档题，只要保证式子有意义即可，相对容易得分.常见考点有：分母不为0；偶次根下的式子大于等于0；对数函数的真数大于0；0的0次方没有意义. ![](./data/image/media/image7919.emf){width="1.417361111111111in" height="1.417361111111111in"}14、如图，在正方体![lfxlby](./data/image/media/image7920.wmf){width="1.25in" height="0.25in"}中，![lfxlby](./data/image/media/image7921.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7922.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}分别是![lfxlby](./data/image/media/image7923.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7924.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的中点，则异面直线![lfxlby](./data/image/media/image7925.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}与![lfxlby](./data/image/media/image7926.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}所成的角的大小是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 \[答案\]90º \[解析\]方法一：连接D~1~M,易得DN⊥A~1~D~1~ ,DN⊥D~1~M, 所以，DN⊥平面A~1~MD~1~， 又A~1~M平面A~1~MD~1~，所以，DN⊥A~1~D~1~，故夹角为90º 方法二：以D为原点，分别以DA, DC, DD~1~为x, y, z轴，建立空间直角坐标系D---xyz.设正方体边长为2，则D（0,0,0），N（0,2,1），M（0,1,0）A~1~（2,0,2） 故， 所以，cos\< = 0,故DN⊥D~1~M，所以夹角为90º \[点评\]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一，把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理； 第二，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决. 15、椭圆![lfxlby](./data/image/media/image8048.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.5in"}为定值，且![lfxlby](./data/image/media/image8049.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}的的左焦点为![lfxlby](./data/image/media/image7928.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，直线![lfxlby](./data/image/media/image7929.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}与椭圆相交于点![lfxlby](./data/image/media/image7930.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}、![lfxlby](./data/image/media/image7931.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7932.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是\_\_\_\_\_\_。 \[答案\] \[解析\]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又 \[点评\]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 16、设![lfxlby](./data/image/media/image8050.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}为正实数，现有下列命题： ①若![lfxlby](./data/image/media/image8051.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image8052.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}； ②若![lfxlby](./data/image/media/image8053.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image8054.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}； ③若![lfxlby](./data/image/media/image8055.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image8056.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}； ④若![lfxlby](./data/image/media/image8057.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image8058.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}。 其中的真命题有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。（写出所有真命题的编号） \[答案\] ①④ \[解析\]若a,b都小于1，则a-b\<1 若a,b中至少有一个大于等于1， 则a+b\>1, 由a^2^-b^2^=(a+b)(a-b)=1 ，所以，a-b\<1 故①正确. 对于\|a^3^-b^3^\|=\|(a-b)(a^2^+ab+b^2^)\|=1， 若a,b中至少又一个大于等于1，则a^2^+ab+b^2^\>1,则\|a-b\|\<1 若a,b都小于1，则\|a-b\|\<1，所以④正确. 综上，真命题有 ① ④ . \[点评\]此类问题考查难度较大，要求对四个备选项都要有正确的认识，需要考生具备扎实的数学基础，平时应多加强这类题的限时性练习. **三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）** 17、(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）![lfxlby](./data/image/media/image7951.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}和![lfxlby](./data/image/media/image7952.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，系统![lfxlby](./data/image/media/image7953.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}和系统![lfxlby](./data/image/media/image7954.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在任意时刻发生故障的概率分别为![lfxlby](./data/image/media/image7955.wmf){width="0.25in" height="0.4166666666666667in"}和![lfxlby](./data/image/media/image7956.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}。 （Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为![lfxlby](./data/image/media/image7957.wmf){width="0.25in" height="0.4166666666666667in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image7958.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的值； （Ⅱ）求系统![lfxlby](./data/image/media/image7959.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。 \[解析\]（1）设："至少有一个系统不发生故障"为事件C，那么 1-P（C）=1-P= ，解得P=....................................6 分 （2）设"系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数"为 事件D, 那么P(D)=![lfxlby](./data/image/media/image2378.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"} 答：检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为. ..................12分. \[点评\]本小题主要考查相互独立事件，独立重复试验、互斥事件等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 18、(本小题满分12分) 已知函数![lfxlby](./data/image/media/image8059.wmf){width="2.0833333333333335in" height="0.4166666666666667in"}。 （Ⅰ）求函数![lfxlby](./data/image/media/image8060.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的最小正周期和值域； （Ⅱ）若![lfxlby](./data/image/media/image8061.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.5in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image8062.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}的值。 \[解析\]（1）由已知，f（x）= 所以f（x）的最小正周期为2，值域为。.....................6分 （2）由（1）知，f（）= 所以cos（）。 所以 ，.....................12分 \[点评\]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想. ![](./data/image/media/image8063.emf){width="1.9895833333333333in" height="1.1875in"}19、(本小题满分12分) 如图，在三棱锥![lfxlby](./data/image/media/image7976.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}中，![lfxlby](./data/image/media/image7977.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7978.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image7979.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.16666666666666666in"}，点![lfxlby](./data/image/media/image8064.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在平面![lfxlby](./data/image/media/image8065.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}内的射影![lfxlby](./data/image/media/image8066.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}在![lfxlby](./data/image/media/image8067.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}上。 （Ⅰ）求直线![lfxlby](./data/image/media/image7982.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}与平面![lfxlby](./data/image/media/image7983.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角![lfxlby](./data/image/media/image7984.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.16666666666666666in"}的大小。 \[解析\]（1）连接OC. 由已知，所成的角 > 设AB的中点为D，连接PD、CD. > > 因为AB=BC=CA,所以CDAB. > > 因为等边三角形， > > 不妨设PA=2，则OD=1，OP=, AB=4. > > 所以CD=2，OC=. > > 在Rttan...............................6分 > > （2）过D作DE于E，连接CE. > > 由已知可得，CD平面PAB. > > 据三垂线定理可知，CE⊥PA， > > 所以，. > > 由（1）知，DE= > > 在Rt△CDE中，tan 故 .......................................12分 \[点评\]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念，重点考查思维能力和空间想象能力，进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤：一找（寻找现成的二面角的平面角）、二作（若没有找到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面角）、三求（有了二面角的平面角后，在三角形中求出该角相应的三角函数值）. 20、(本小题满分12分) 已知数列![lfxlby](./data/image/media/image7985.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的前![lfxlby](./data/image/media/image7986.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}项和为![lfxlby](./data/image/media/image7987.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，常数![lfxlby](./data/image/media/image8068.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.16666666666666666in"}，且![lfxlby](./data/image/media/image8069.wmf){width="1.0in" height="0.25in"}对一切正整数![lfxlby](./data/image/media/image7989.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}都成立。 （Ⅰ）求数列![lfxlby](./data/image/media/image8070.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}的通项公式； （Ⅱ）设![lfxlby](./data/image/media/image7992.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8071.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}，当![lfxlby](./data/image/media/image7996.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为何值时，数列![lfxlby](./data/image/media/image8072.wmf){width="0.5in" height="0.5in"}的前![lfxlby](./data/image/media/image7994.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}项和最大？ \[解析\]取n=1,得 若a~1~=0,则s~1~=0, 当n 若a~1,~ 当n 上述两个式子相减得：a~n~=2a~n-1~,所以数列{a~n~}是等比数列 综上，若a~1~ = 0, > 若a~1~ ................................................7分 （2）当a~1~\>0,且 所以，{b~n~}单调递减的等差数列（公差为-lg2） 则 b~1~\>b~2~\>b~3~\>...\>b~6~= 当n≥7时，b~n~≤b~7~= > 故数列{lg}的前6项的和最大. ..............................12分 ![](./data/image/media/image8073.emf){width="1.8541666666666667in" height="1.5729166666666667in"}\[点评\]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 21、(本小题满分12分) 如图，动点![lfxlby](./data/image/media/image7998.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}与两定点![lfxlby](./data/image/media/image7999.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}、![lfxlby](./data/image/media/image8074.wmf){width="0.5in" height="0.25in"}构成![lfxlby](./data/image/media/image8001.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}，且直线![lfxlby](./data/image/media/image8075.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的斜率之积为4，设动点![lfxlby](./data/image/media/image8003.wmf){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}的轨迹为![lfxlby](./data/image/media/image8004.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}。 （Ⅰ）求轨迹![lfxlby](./data/image/media/image8005.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的方程； （Ⅱ）设直线![lfxlby](./data/image/media/image8076.wmf){width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}与![lfxlby](./data/image/media/image8007.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴交于点![lfxlby](./data/image/media/image8008.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，与轨迹![lfxlby](./data/image/media/image8009.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}相交于点![lfxlby](./data/image/media/image8010.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，且![lfxlby](./data/image/media/image8011.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，求![lfxlby](./data/image/media/image8012.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.5in"}的取值范围。 \[解析\]（1）设M的坐标为（x,y），当x=-1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在。 于是x≠1且x≠-1.此时，MA的斜率为![lfxlby](./data/image/media/image2378.wmf){width="8.333333333333333e-2in" height="0.25in"}，MB的斜率为. 由题意，有·=4 化简可得，4x^2^-y^2^-4=0 故动点M的轨迹C的方程为4x^2^-y^2^-4=0（x≠1且x≠-1）..............................4分 4. 由消去y，可得3x^2^-2mx-m^2^-4=0. (﹡) 对于方程(﹡)，其判别式=（-2m)^2^－4×3（-m^2^-4）=16m^2^+48\>0 而当1或-1为方程（\*）的根时，m的值为-1或1. 结合题设（m\>0）可知，m\>0，且m≠1 设Q、R的坐标分别为（X~Q~,Y~Q~）,(X~R~,Y~R~),则为方程（\*）的两根. 因为,所以， 所以。 此时 所以 所以 综上所述， ..............................12分 \[点评\]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。 22、(本小题满分14分) 已知![lfxlby](./data/image/media/image8013.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为正实数，![lfxlby](./data/image/media/image8014.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为自然数，抛物线![lfxlby](./data/image/media/image8015.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.5in"}与![lfxlby](./data/image/media/image8016.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴正半轴相交于点![lfxlby](./data/image/media/image8017.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}，设![lfxlby](./data/image/media/image8018.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}为该抛物线在点![lfxlby](./data/image/media/image8019.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}处的切线在![lfxlby](./data/image/media/image8020.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}轴上的截距。 （Ⅰ）用![lfxlby](./data/image/media/image8021.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}和![lfxlby](./data/image/media/image8022.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}表示![lfxlby](./data/image/media/image8023.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}； （Ⅱ）求对所有![lfxlby](./data/image/media/image8024.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}都有![lfxlby](./data/image/media/image8077.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.5in"}成立的![lfxlby](./data/image/media/image8026.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的最小值； （Ⅲ）当![lfxlby](./data/image/media/image8027.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}时，比较![lfxlby](./data/image/media/image8078.wmf){width="3.0833333333333335in" height="0.5in"}与 ![lfxlby](./data/image/media/image8079.wmf){width="1.25in" height="0.5in"}的大小，并说明理由。 \[解析\]（1）由已知得，交点A的坐标为，对 则抛物线在点A处的切线方程为： ..................4分 9. 由（1）知f(n)=,则 即知，对于所有的n成立， 特别地，当n=1时，得到a≥3 当a=3，n≥1时， 当n=0时，=2n+1.故a=3时对所有自然数n均成立. 所以满足条件的a的最小值为3. ......................................................8分 10. 由（1）知f(k)= 下面证明： 首先证明0\<x\<1时， 设函数g(x)=6x(x^2^-x)+1,0\<x\<1, 则. 当时,g\'(x)\<0; 当 故g（x）在区间（0，1）上的最小值 所以，当0\<x\<1时，g（x）\>0,即得 由0\<a\<1知 \[点评\]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。 2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） ============================================ 数学（理科） 本试卷分为第I卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟 第I卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）![lfxlby](./data/image/media/image8080.wmf){width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}是虚数单位，复数![lfxlby](./data/image/media/image8081.wmf){width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"}= （A）![lfxlby](./data/image/media/image8082.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.19791666666666666in"} 　（Ｂ）![lfxlby](./data/image/media/image8083.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.19791666666666666in"}　　　（Ｃ）![lfxlby](./data/image/media/image8084.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"}　　　（Ｄ）![lfxlby](./data/image/media/image8085.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.19791666666666666in"} １．B 【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算. 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image8081.wmf){width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"}===![lfxlby](./data/image/media/image8083.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.19791666666666666in"} （２）设![lfxlby](./data/image/media/image8086.wmf){width="0.4270833333333333in" height="0.21875in"}，则"![lfxlby](./data/image/media/image8087.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}"是"![lfxlby](./data/image/media/image8088.wmf){width="1.1145833333333333in" height="0.21875in"}![lfxlby](./data/image/media/image8089.wmf){width="0.5104166666666666in" height="0.21875in"}为偶函数"的 （A）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件 （Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 2．A 【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定. ![](./data/image/media/image8090.jpeg){width="1.2506944444444446in" height="2.5833333333333335in"}【解析】∵![lfxlby](./data/image/media/image8087.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}![lfxlby](./data/image/media/image8088.wmf){width="1.1145833333333333in" height="0.21875in"}![lfxlby](./data/image/media/image8089.wmf){width="0.5104166666666666in" height="0.21875in"}为偶函数，反之不成立，∴"![lfxlby](./data/image/media/image8087.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}"是"![lfxlby](./data/image/media/image8088.wmf){width="1.1145833333333333in" height="0.21875in"}![lfxlby](./data/image/media/image8089.wmf){width="0.5104166666666666in" height="0.21875in"}为偶函数"的充分而不必要条件. （３）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入![lfxlby](./data/image/media/image8091.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的值为![lfxlby](./data/image/media/image8092.wmf){width="0.3020833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，输出![lfxlby](./data/image/media/image8091.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的值为 （A）![lfxlby](./data/image/media/image8093.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.17708333333333334in"} 　（Ｂ）![lfxlby](./data/image/media/image8094.wmf){width="9.375e-2in" height="0.17708333333333334in"}　　　（Ｃ）![lfxlby](./data/image/media/image8095.wmf){width="0.125in" height="0.19791666666666666in"}　　　（Ｄ）![lfxlby](./data/image/media/image8096.wmf){width="0.125in" height="0.19791666666666666in"} 3．C 【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取，并能根据已给的算法程序进行运算. 【解析】根据图给的算法程序可知：第一次，第二次，则输出. （4）函数![lfxlby](./data/image/media/image8097.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}在区间![lfxlby](./data/image/media/image8098.wmf){width="0.34375in" height="0.21875in"}内的零点个数是 （A）0 　（Ｂ）1　　　（Ｃ）2　　　（Ｄ）3 4．B 【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力. 【解析】解法1：因为，，即且函数在![lfxlby](./data/image/media/image8098.wmf){width="0.34375in" height="0.21875in"}内连续不断，故在![lfxlby](./data/image/media/image8098.wmf){width="0.34375in" height="0.21875in"}内的零点个数是1. 解法2：设，，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确. （5）在![lfxlby](./data/image/media/image8099.wmf){width="0.7395833333333334in" height="0.4270833333333333in"}的二项展开式中，![lfxlby](./data/image/media/image8100.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的系数为 （A）10 　（Ｂ）-10　　　（Ｃ）40　　　（Ｄ）-40 5．D 【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用，并借助于通项公式分析项的系数. 【解析】∵=，∴，即，∴![lfxlby](./data/image/media/image8100.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的系数为. （6）在△ABC中，内角![lfxlby](./data/image/media/image8101.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8102.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8103.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}所对的边分别是![lfxlby](./data/image/media/image8104.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，已知![lfxlby](./data/image/media/image8105.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8106.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}，则cosC= （A）![lfxlby](./data/image/media/image8107.wmf){width="0.23958333333333334in" height="0.4270833333333333in"} 　（Ｂ）![lfxlby](./data/image/media/image8108.wmf){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}　　　（Ｃ）![lfxlby](./data/image/media/image8109.wmf){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}　　　（Ｄ）![lfxlby](./data/image/media/image8110.wmf){width="0.25in" height="0.4270833333333333in"} 6．A 【命题意图】本试题主要考查了**正弦定理、三角函数中的二倍角公式.** 考查学生分析、转化与计算等能力. 【解析】∵![lfxlby](./data/image/media/image8105.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}，由正弦定理得，又∵![lfxlby](./data/image/media/image8106.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}，∴，所以，易知，∴，=![lfxlby](./data/image/media/image8107.wmf){width="0.23958333333333334in" height="0.4270833333333333in"}. （7）已知△ABC为等边三角形，![lfxlby](./data/image/media/image8111.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.17708333333333334in"}，设点P，Q满足![lfxlby](./data/image/media/image8112.wmf){width="0.6979166666666666in" height="0.23958333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8113.wmf){width="1.0520833333333333in" height="0.2604166666666667in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8114.wmf){width="0.4270833333333333in" height="0.19791666666666666in"}，若![lfxlby](./data/image/media/image8115.wmf){width="0.9270833333333334in" height="0.4270833333333333in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image8116.wmf){width="0.25in" height="0.19791666666666666in"} （A）![lfxlby](./data/image/media/image8117.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} 　（Ｂ）![lfxlby](./data/image/media/image8118.wmf){width="0.4895833333333333in" height="0.46875in"}　　　（Ｃ）![lfxlby](./data/image/media/image8119.wmf){width="0.5520833333333334in" height="0.46875in"}　　　（Ｄ）![lfxlby](./data/image/media/image8120.wmf){width="0.6979166666666666in" height="0.46875in"} 7．A 【命题意图】本试题以等边三角形为载体，主要考查了向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用. 【解析】∵=，=， 又∵![lfxlby](./data/image/media/image8115.wmf){width="0.9270833333333334in" height="0.4270833333333333in"}，且，，，∴，，所以，解得. （8）设![lfxlby](./data/image/media/image8121.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.15625in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8122.wmf){width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}，若直线![lfxlby](./data/image/media/image8123.wmf){width="1.59375in" height="0.21875in"}与圆![lfxlby](./data/image/media/image8124.wmf){width="1.21875in" height="0.25in"}相切，则![lfxlby](./data/image/media/image8125.wmf){width="0.3645833333333333in" height="0.17708333333333334in"}的取值范围是 （A）![lfxlby](./data/image/media/image8126.wmf){width="0.96875in" height="0.2604166666666667in"} （Ｂ）![lfxlby](./data/image/media/image8127.wmf){width="1.78125in" height="0.2604166666666667in"} （Ｃ）![lfxlby](./data/image/media/image8128.wmf){width="1.1770833333333333in" height="0.2604166666666667in"}　　　（Ｄ）![lfxlby](./data/image/media/image8129.wmf){width="1.96875in" height="0.2604166666666667in"} 8．D 【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力. 【解析】∵直线![lfxlby](./data/image/media/image8123.wmf){width="1.59375in" height="0.21875in"}与圆![lfxlby](./data/image/media/image8124.wmf){width="1.21875in" height="0.25in"}相切，∴圆心到直线的距离为，所以，设， 则，解得. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 [ ]{.underline} 所学校，中学中抽取 [ ]{.underline} 所学校. 9．18，9 【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算. 【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所， 所以应从小学中抽取，中学中抽取. （10）―个几何体的三视图如图所示(单位：![lfxlby](./data/image/media/image8130.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.15625in"})，则该几何体的体积为 [ ]{.underline} ![lfxlby](./data/image/media/image8131.wmf){width="0.21875in" height="0.21875in"}. ![lfxlby](./data/image/media/image8132.png){width="2.0in" height="1.3229166666666667in"} 10． 【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力. 【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：=![lfxlby](./data/image/media/image8131.wmf){width="0.21875in" height="0.21875in"}. （11）已知集合![lfxlby](./data/image/media/image8133.wmf){width="1.28125in" height="0.21875in"}，集合![lfxlby](./data/image/media/image8134.wmf){width="1.8333333333333333in" height="0.21875in"},且![lfxlby](./data/image/media/image8135.wmf){width="0.96875in" height="0.21875in"}，则![lfxlby](./data/image/media/image8136.wmf){width="0.28125in" height="0.15625in"} [ ]{.underline} ,![lfxlby](./data/image/media/image8137.wmf){width="0.23958333333333334in" height="0.15625in"} [ ]{.underline} . 11．， 【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质，同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想. 【解析】∵![lfxlby](./data/image/media/image8133.wmf){width="1.28125in" height="0.21875in"}=,又∵![lfxlby](./data/image/media/image8135.wmf){width="0.96875in" height="0.21875in"}，画数轴可知，. （12）己知抛物线的参数方程为![lfxlby](./data/image/media/image8138.wmf){width="0.6770833333333334in" height="0.53125in"}（![lfxlby](./data/image/media/image8139.wmf){width="9.375e-2in" height="0.16666666666666666in"}为参数），其中![lfxlby](./data/image/media/image8140.wmf){width="0.34375in" height="0.21875in"}，焦点为![lfxlby](./data/image/media/image8141.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"}，准线为![lfxlby](./data/image/media/image8142.wmf){width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}，过抛物线上一点![lfxlby](./data/image/media/image8143.wmf){width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}作的垂线，垂足为![lfxlby](./data/image/media/image8144.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，若![lfxlby](./data/image/media/image8145.wmf){width="0.71875in" height="0.21875in"}，点![lfxlby](./data/image/media/image8146.wmf){width="0.21875in" height="0.17708333333333334in"}的横坐标是3，则![lfxlby](./data/image/media/image8147.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"} [ ]{.underline} . 12．2 【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质. 【解析】∵![lfxlby](./data/image/media/image8138.wmf){width="0.6770833333333334in" height="0.53125in"}可得抛物线的标准方程为，∴焦点，∵点的横坐标是3，则，所以点， 由抛物线得几何性质得，∵，∴，解得. （13）如图，已知AB和AC是圆的两条弦.过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB相交于点F，![lfxlby](./data/image/media/image8148.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.19791666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8149.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8150.wmf){width="0.5104166666666666in" height="0.4270833333333333in"}，则线段![lfxlby](./data/image/media/image8151.wmf){width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}的长为 [ ]{.underline} . ![lfxlby](./data/image/media/image8152.jpeg){width="1.5in" height="1.2395833333333333in"} 13． 【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质. 【解析】∵![lfxlby](./data/image/media/image8148.wmf){width="0.4583333333333333in" height="0.19791666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8149.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.17708333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8150.wmf){width="0.5104166666666666in" height="0.4270833333333333in"}，由相交弦定理得，所以，又∵BD∥CE，∴，=，设，则，再由切割线定理得，即，解得，故. （14）已知函数![lfxlby](./data/image/media/image8153.wmf){width="0.6979166666666666in" height="0.4583333333333333in"}的图象与函数![lfxlby](./data/image/media/image8154.wmf){width="0.625in" height="0.21875in"}的图象恰有两个交点，则实数![lfxlby](./data/image/media/image8155.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的取值范围是 [ ]{.underline} . 14． 【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围. 【解析】∵函数![lfxlby](./data/image/media/image8154.wmf){width="0.625in" height="0.21875in"}的图像直线恒过定点，且，，，∴，，，由图像可知. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知函数![lfxlby](./data/image/media/image8156.wmf){width="2.8645833333333335in" height="0.4270833333333333in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8157.wmf){width="0.40625in" height="0.19791666666666666in"}. (Ⅰ)求函数![lfxlby](./data/image/media/image8158.wmf){width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}的最小正周期； （Ⅱ）求函数![lfxlby](./data/image/media/image8158.wmf){width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}在区间![lfxlby](./data/image/media/image8159.wmf){width="0.65625in" height="0.4270833333333333in"}上的最大值和最小值. 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 （1）![lfxlby](./data/image/media/image8156.wmf){width="2.8645833333333335in" height="0.4270833333333333in"} 函数![lfxlby](./data/image/media/image8158.wmf){width="0.3645833333333333in" height="0.21875in"}的最小正周期为 （2） 当时，，当时， 【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可. （16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加 趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去 参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率： （Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率： （Ⅲ）用![lfxlby](./data/image/media/image8160.wmf){width="0.34375in" height="0.21875in"}分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记![lfxlby](./data/image/media/image8161.wmf){width="0.6770833333333334in" height="0.21875in"}，求随机变量![lfxlby](./data/image/media/image8162.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.21875in"}的分布列与 数学期望![lfxlby](./data/image/media/image8163.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.21875in"}. 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 （1）每个人参加甲游戏的概率为，参加乙游戏的概率为 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为 （2）， 这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 （3）可取 -- -- -- -- -- -- -- -- 随机变量![lfxlby](./data/image/media/image8162.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.21875in"}的分布列为 【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键. ![](./data/image/media/image8164.emf){width="1.8333333333333333in" height="2.4791666666666665in"} （17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥![lfxlby](./data/image/media/image8165.wmf){width="0.7604166666666666in" height="0.19791666666666666in"}中，![lfxlby](./data/image/media/image8166.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}丄平面![lfxlby](./data/image/media/image8167.wmf){width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}， ![lfxlby](./data/image/media/image8168.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.19791666666666666in"}丄![lfxlby](./data/image/media/image8169.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8170.wmf){width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}丄![lfxlby](./data/image/media/image8171.wmf){width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8172.wmf){width="0.875in" height="0.21875in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8173.wmf){width="0.7604166666666666in" height="0.17708333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8174.wmf){width="0.4479166666666667in" height="0.19791666666666666in"}. (Ⅰ)证明：![lfxlby](./data/image/media/image8175.wmf){width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}丄![lfxlby](./data/image/media/image8176.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.17708333333333334in"}； （Ⅱ）求二面角![lfxlby](./data/image/media/image8177.wmf){width="0.8229166666666666in" height="0.19791666666666666in"}的正弦值； （Ⅲ）设![lfxlby](./data/image/media/image8178.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}为棱![lfxlby](./data/image/media/image8166.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}上的点，满足异面直线![lfxlby](./data/image/media/image8179.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}与![lfxlby](./data/image/media/image8180.wmf){width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}所成的角为![lfxlby](./data/image/media/image8181.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.21875in"}， 求![lfxlby](./data/image/media/image8182.wmf){width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}的长. 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 （1）以为正半轴方向，建立空间直角左边系 则 （2），设平面的法向量 则 取 是平面的法向量 得：二面角![lfxlby](./data/image/media/image8177.wmf){width="0.8229166666666666in" height="0.19791666666666666in"}的正弦值为 （3）设；则， 即 【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊 的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好. （18）(本小题满分13分）已知{![lfxlby](./data/image/media/image8183.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}}是等差数列，其前![lfxlby](./data/image/media/image8184.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}项和为![lfxlby](./data/image/media/image8185.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，{![lfxlby](./data/image/media/image8186.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.25in"}}是等比数列,且![lfxlby](./data/image/media/image8187.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}=![lfxlby](./data/image/media/image8188.wmf){width="0.3645833333333333in" height="0.25in"}， ![lfxlby](./data/image/media/image8189.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8190.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}. (Ⅰ)求数列{![lfxlby](./data/image/media/image8183.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}}与{![lfxlby](./data/image/media/image8186.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.25in"}}的通项公式； (Ⅱ)记![lfxlby](./data/image/media/image8191.wmf){width="2.34375in" height="0.25in"}；证明：![lfxlby](./data/image/media/image8192.wmf){width="1.3020833333333333in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image8193.wmf){width="0.6145833333333334in" height="0.25in"}. 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 1. 设数列的公差为，数列的公比为； > 则 得： （2） 【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则. （19）（本小题满分14分）设椭圆![lfxlby](./data/image/media/image8194.wmf){width="0.7395833333333334in" height="0.4583333333333333in"}![lfxlby](./data/image/media/image8195.wmf){width="0.6145833333333334in" height="0.21875in"}的左、右顶点分别为![lfxlby](./data/image/media/image8196.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}，点P在椭圆上且异于 ![lfxlby](./data/image/media/image8196.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.21875in"}两点，![lfxlby](./data/image/media/image8197.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}为坐标原点. （Ⅰ）若直线![lfxlby](./data/image/media/image8198.wmf){width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}与![lfxlby](./data/image/media/image8199.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}的斜率之积为![lfxlby](./data/image/media/image8200.wmf){width="0.28125in" height="0.4270833333333333in"}，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若![lfxlby](./data/image/media/image8201.wmf){width="0.6770833333333334in" height="0.21875in"}，证明：直线![lfxlby](./data/image/media/image8202.wmf){width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}的斜率![lfxlby](./data/image/media/image8203.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}满足![lfxlby](./data/image/media/image8204.wmf){width="0.4895833333333333in" height="0.2604166666666667in"}. 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 （1）取，；则 （2）设；则线段的中点 ![lfxlby](./data/image/media/image8201.wmf){width="0.6770833333333334in" height="0.21875in"} （20）（本小题满分14分）已知函数![lfxlby](./data/image/media/image8205.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.21875in"}的最小值为![lfxlby](./data/image/media/image8206.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，其中![lfxlby](./data/image/media/image8207.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.19791666666666666in"}. （Ⅰ）求![lfxlby](./data/image/media/image8208.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的值；（Ⅱ）若对任意的![lfxlby](./data/image/media/image8209.wmf){width="0.7395833333333334in" height="0.21875in"},有![lfxlby](./data/image/media/image8210.wmf){width="0.7395833333333334in" height="0.25in"}成立，求实数![lfxlby](./data/image/media/image8211.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的最小值； （Ⅲ）证明：![lfxlby](./data/image/media/image8212.wmf){width="1.5104166666666667in" height="0.46875in"}![lfxlby](./data/image/media/image8213.wmf){width="0.6145833333333334in" height="0.25in"}. 【参考答案】（1）函数的定义域为 ![lfxlby](./data/image/media/image8205.wmf){width="1.3333333333333333in" height="0.21875in"} 得：时， （2）设 则在![lfxlby](./data/image/media/image8209.wmf){width="0.7395833333333334in" height="0.21875in"}上恒成立（\*） ①当时，与（\*）矛盾 ②当时，符合（\*） 得：实数![lfxlby](./data/image/media/image8211.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的最小值为(lfxlby) （3）由（2）得：对任意的值恒成立 取： 当时， 得：![lfxlby](./data/image/media/image8212.wmf){width="1.5104166666666667in" height="0.46875in"}（lb ylfx） 当时， 得：(lfxlby) 【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行. **2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）** 数学（文科） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题![lfxlby](./data/image/media/image8214.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页![lfxlby](./data/image/media/image8214.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}，第Ⅱ卷3至5页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ **第Ⅰ卷** 注意事项： 1\. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2\. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式： ﹒如果事件A,B胡斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B). ﹒棱柱的体积公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高。 ﹒圆锥的体积公式V=![lfxlby](./data/image/media/image8215.wmf){width="0.125in" height="0.19791666666666666in"}![lfxlby](./data/image/media/image8216.wmf){width="0.15625in" height="0.4270833333333333in"}Sh 其中S表示圆锥的底面面积， H表示圆锥的高。 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. i是虚数单位，复数![lfxlby](./data/image/media/image8217.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.4270833333333333in"}= > （A）1-i （B）-1+I > > （C）1+I （D）-1-i 【解析】复数，选C. 【答案】C 2. 设变量x,y满足约束条件![lfxlby](./data/image/media/image8218.wmf){width="1.0520833333333333in" height="0.78125in"},则目标函数z=3x-2y的最小值为 > （A）-5 （B）-4 （C）-2 （D）3 【解析】做出不等式对应的可行域如图![lfxlby](./data/image/media/image8219.png){width="2.09375in" height="1.7708333333333333in"}，由得，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，而此时最小为，选B. 【答案】B 3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为![lfxlby](./data/image/media/image8220.png){width="1.6979166666666667in" height="4.041666666666667in"} > ![lfxlby](./data/image/media/image8214.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}（A）8 （B）18 （C）26 （D）80 > > 【解析】第一次循环，第二次循环，第三![lfxlby](./data/image/media/image8214.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}次循环，第四次循环满足条件输出，选C. 【答案】C 4. 已知a=2^1.2^，b=![lfxlby](./data/image/media/image8221.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.4270833333333333in"}^-0.2^，c=2log~5~2，则a，b，c的大小关系为 > （A）c\<b\<a （![lfxlby](./data/image/media/image8214.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}B）c\<a\<b C）b\<a\<c （D）b\<c\<a 【解析】因为，所以，，所以，选A. 【答案】A 5. 设x![lfxlby](./data/image/media/image8222.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}R，则"x\>![lfxlby](./data/image/media/image8223.wmf){width="0.125in" height="0.4270833333333333in"}"是"2x^2^+x-1\>0"的 ```{=html} <!-- --> ``` A. 充分而不必要条![lfxlby](./data/image/media/image8214.png){width="3.125e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】不等式的解集为或，所以""是""成立的充分不必要条件，选A. 【答案】A 6. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）![lfxlby](./data/image/media/image8214.png){width="1.0416666666666666e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}内是增函数的为 ```{=html} <!-- --> ``` A. y=cos2x，x![lfxlby](./data/image/media/image8222.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}R B. y=log~2~\|x\|，x![lfxlby](./data/image/media/image8222.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}R且x≠0 C. y=![lfxlby](./data/image/media/image8224.wmf){width="0.40625in" height="0.4583333333333333in"}，x![lfxlby](./data/image/media/image8222.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}R D. y=x3+1，x![lfxlby](./data/image/media/image8222.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}R 【解析】函数为偶函数，且当时，函数为增函数，所以在上也为增函数，选B. 【答案】B 7. 将函数f(x)=sin![lfxlby](./data/image/media/image8225.wmf){width="0.25in" height="0.15625in"}（其中![lfxlby](./data/image/media/image8226.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.15625in"}\>0）的图像向右平移![lfxlby](./data/image/media/image8227.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.4270833333333333in"}个单位长度，所得图像经过点（![lfxlby](./data/image/media/image8228.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，0），则![lfxlby](./data/image/media/image8226.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.15625in"}的最小值是 > （A）![lfxlby](./data/image/media/image8229.wmf){width="0.125in" height="0.4270833333333333in"} （B）1 C）![lfxlby](./data/image/media/image8230.wmf){width="0.125in" height="0.4270833333333333in"} （D）2 【解析】函数向右平移得到函数，因为此时函数过点，所以，即所以,所以的最小值为2，选D. 【答案】D 8. 在△ABC中，![lfxlby](./data/image/media/image8231.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"} A=90°，AB=1，设点P，Q满足![lfxlby](./data/image/media/image8232.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.21875in"}=![lfxlby](./data/image/media/image8233.wmf){width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8234.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"} =(1-![lfxlby](./data/image/media/image8235.wmf){width="0.125in" height="0.15625in"})![lfxlby](./data/image/media/image8236.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8237.wmf){width="0.125in" height="0.15625in"} ![lfxlby](./data/image/media/image8222.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.13541666666666666in"}R。若![lfxlby](./data/image/media/image8238.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}![lfxlby](./data/image/media/image8239.wmf){width="9.375e-2in" height="0.11458333333333333in"}![lfxlby](./data/image/media/image8240.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.23958333333333334in"}=-2，则![lfxlby](./data/image/media/image8241.wmf){width="0.125in" height="0.15625in"}= > （A）![lfxlby](./data/image/media/image8242.wmf){width="0.125in" height="0.4270833333333333in"} （B）![lfxlby](./data/image/media/image8243.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.4270833333333333in"} C）![lfxlby](./data/image/media/image8244.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.4270833333333333in"} （D）2 【解析】如图![lfxlby](./data/image/media/image8245.png){width="1.6145833333333333in" height="1.1770833333333333in"}，设 ，则，又，![lfxlby](./data/image/media/image8214.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}，由得，即，选B. 【答案】B **第Ⅱ卷** 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。\[来源:Zxxk.Com\] 2.本卷共12小题，共110分。 二.填空题：本答题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）集合![lfxlby](./data/image/media/image8246.wmf){width="1.46875in" height="0.3020833333333333in"}中最小整![lfxlby](./data/image/media/image8214.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}数位 [.]{.underline} 【解析】不等式，即，，![lfxlby](./data/image/media/image8214.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}所以集合，所以最小的整数为。 【答案】 （10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积 [ ]{.underline} ![lfxlby](./data/image/media/image8247.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.3020833333333333in"}. ![lfxlby](./data/image/media/image8248.png){width="2.53125in" height="2.8020833333333335in"}\ 【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。长方体的体积为，五棱柱的体积是，所以几何体的总体积为。 【答案】 （11）已知双曲线![lfxlby](./data/image/media/image8249.wmf){width="1.9895833333333333in" height="0.4583333333333333in"}与双曲线![lfxlby](./data/image/media/image8250.wmf){width="1.1354166666666667in" height="0.4583333333333333in"}有相同的渐近线，且![lfxlby](./data/image/media/image8251.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.23958333333333334in"}的右焦点为![lfxlby](./data/image/media/image8252.wmf){width="0.6354166666666666in" height="0.2604166666666667in"},则![lfxlby](./data/image/media/image8253.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.15625in"} [ ]{.underline} ![lfxlby](./data/image/media/image8254.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.19791666666666666in"} [ ]{.underline} 【解析】双曲线的渐近线为，而的渐近线为，所以有，，又双曲线的右焦点为，所以，又，即，所以。 【答案】1，2 （12）设![lfxlby](./data/image/media/image8255.wmf){width="0.59375in" height="0.21875in"}**,**若直线![lfxlby](./data/image/media/image8256.wmf){width="1.15625in" height="0.21875in"}与![lfxlby](./data/image/media/image8257.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}轴相交于点A,与y轴相交于B，且l与圆![lfxlby](./data/image/media/image8258.wmf){width="0.78125in" height="0.25in"}相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则![lfxlby](./data/image/media/image8259.wmf){width="0.4895833333333333in" height="0.19791666666666666in"}面积的最小值为 [。]{.underline} 【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为，直线与圆相交所得的弦长为2，圆心到直线的距离满足，所以，即圆心到直线的距离，所以。三角形的面积为，又，当且仅当时取等号，所以最小值为。 【答案】3 （13）如图，已知![lfxlby](./data/image/media/image8260.wmf){width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}和![lfxlby](./data/image/media/image8261.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.19791666666666666in"}是圆的两条弦，过点![lfxlby](./data/image/media/image8262.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}![lfxlby](./data/image/media/image8214.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}作圆的切线与![lfxlby](./data/image/media/image8263.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.19791666666666666in"}的延长线相交于![lfxlby](./data/image/media/image8264.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"}.过点![lfxlby](./data/image/media/image8265.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}作![lfxlby](./data/image/media/image8266.wmf){width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}的平行线与圆交于点![lfxlby](./data/image/media/image8267.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"},与![lfxlby](./data/image/media/image8268.wmf){width="0.28125in" height="0.17708333333333334in"}相交于点![lfxlby](./data/image/media/image8269.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.17708333333333334in"},![lfxlby](./data/image/media/image8270.wmf){width="0.53125in" height="0.19791666666666666in"},![lfxlby](./data/image/media/image8271.wmf){width="0.4895833333333333in" height="0.17708333333333334in"},![lfxlby](./data/image/media/image8272.wmf){width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"},则线段![lfxlby](./data/image/media/image8273.wmf){width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}的![lfxlby](./data/image/media/image8214.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}长为 [.]{.underline} ![lfxlby](./data/image/media/image8274.png){width="2.5520833333333335in" height="1.9270833333333333in"} 【解析】如图![lfxlby](./data/image/media/image8275.png){width="1.8229166666666667in" height="1.3958333333333333in"}连结BC，BE，则∠1=∠2，∠2=∠A > ，又∠B=∠B，∽，,代入数值得BC=2，AC=4，又由平行线等分线段定理得,解得CD=. 【答案】 （14）已知函数![lfxlby](./data/image/media/image8276.wmf){width="0.75in" height="0.5in"}的图像与函数![lfxlby](./data/image/media/image8277.wmf){width="0.46875in" height="0.21875in"}的图像恰有两个交点，则实数![lfxlby](./data/image/media/image8278.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的取值范围是 [.]{.underline} 【解析】函数，当时，，当时，，综上函数，做出函数的图象，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在蓝色或黄色区域内，如图![lfxlby](./data/image/media/image8279.png){width="2.3125in" height="2.0208333333333335in"}，则此时当直线经过黄色区域时，满足，当经过蓝色区域时，满足，综上实数的取值范围是或。 【答案】或。 **三.解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15题）（本小题满分13分）** 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。 （I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。 （II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， （1）列出所有可能的抽取![lfxlby](./data/image/media/image8214.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}结果； （2）求抽取的2所学校均为小学的概率。 【解析】（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目之比为 得：从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 （2）（i）设抽取的6所学校中小学为，中学为，大学为； 抽取2所学校的结果为：， 共种； （ii）抽取的2所学校均为小学的结果为：共种 抽取的2所学校均为小学的概率为 **（16）（本小题满分13分）** 在![lfxlby](./data/image/media/image8280.wmf){width="0.46875in" height="0.19791666666666666in"}中，内角![lfxlby](./data/image/media/image8281.wmf){width="0.5104166666666666in" height="0.21875in"}所对的分别是![lfxlby](./data/image/media/image8282.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}；已知![lfxlby](./data/image/media/image8283.wmf){width="1.8333333333333333in" height="0.46875in"}； （I）求![lfxlby](./data/image/media/image8284.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}和![lfxlby](./data/image/media/image8285.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的值； （II）求![lfxlby](./data/image/media/image8286.wmf){width="0.8645833333333334in" height="0.4270833333333333in"}的值。 【解析】（I） （II） ![](./data/image/media/image8287.png){width="3.09375in" height="2.4375in"}17.（本小题满分13分） 如图，在四棱锥![lfxlby](./data/image/media/image8288.wmf){width="0.7604166666666666in" height="0.19791666666666666in"}中，底面![lfxlby](./data/image/media/image8289.wmf){width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}是矩形， ![lfxlby](./data/image/media/image8290.wmf){width="2.90625in" height="0.2604166666666667in"} （I）求异面直线![lfxlby](./data/image/media/image8291.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}与![lfxlby](./data/image/media/image8292.wmf){width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}所成角的正切值； （II）证明：平面![lfxlby](./data/image/media/image8293.wmf){width="0.5520833333333334in" height="0.19791666666666666in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image8294.wmf){width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}； （III）求直线![lfxlby](./data/image/media/image8295.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}与平面![lfxlby](./data/image/media/image8296.wmf){width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}所成角的正弦值。 【解析】（I）是![lfxlby](./data/image/media/image8291.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}与![lfxlby](./data/image/media/image8292.wmf){width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}所成角 在中， 异面直线![lfxlby](./data/image/media/image8291.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}与![lfxlby](./data/image/media/image8292.wmf){width="0.28125in" height="0.19791666666666666in"}所成角的正切值为 （II）面 面 平面![lfxlby](./data/image/media/image8293.wmf){width="0.5520833333333334in" height="0.19791666666666666in"}平面![lfxlby](./data/image/media/image8294.wmf){width="0.5in" height="0.19791666666666666in"} （III）过点作于点，连接 平面![lfxlby](./data/image/media/image8293.wmf){width="0.5520833333333334in" height="0.19791666666666666in"}平面面![lfxlby](./data/image/media/image8294.wmf){width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}是直线![lfxlby](./data/image/media/image8295.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}与平面![lfxlby](./data/image/media/image8296.wmf){width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}所成角 在中， 在中， 得：直线![lfxlby](./data/image/media/image8295.wmf){width="0.2604166666666667in" height="0.17708333333333334in"}与平面![lfxlby](./data/image/media/image8296.wmf){width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}所成角的正弦值为 （18）（本题![lfxlby](./data/image/media/image8214.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="1.0416666666666666e-2in"}满分13分） 已知![lfxlby](./data/image/media/image8297.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.25in"}是等差数列，其前![lfxlby](./data/image/media/image8298.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}项和为![lfxlby](./data/image/media/image8299.wmf){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8300.wmf){width="0.3020833333333333in" height="0.25in"}是等比数列，![lfxlby](./data/image/media/image8301.wmf){width="0.71875in" height="0.25in"} ![lfxlby](./data/image/media/image8189.wmf){width="0.7083333333333334in" height="0.25in"}，![lfxlby](./data/image/media/image8190.wmf){width="0.75in" height="0.25in"}. (Ⅰ)求数列{![lfxlby](./data/image/media/image8183.wmf){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}}与{![lfxlby](./data/image/media/image8186.wmf){width="0.17708333333333334in" height="0.25in"}}的通项公式； (Ⅱ)记![lfxlby](./data/image/media/image8302.wmf){width="2.1354166666666665in" height="0.25in"}；证明：![lfxlby](./data/image/media/image8303.wmf){width="2.0in" height="0.2604166666666667in"} 【解析】(Ⅰ)设数列的公差为，数列的公比为； > 则 得： (Ⅱ) 当时， （19）（本小题满分14分）已知椭圆![lfxlby](./data/image/media/image8304.wmf){width="1.5in" height="0.4583333333333333in"}，点![lfxlby](./data/image/media/image8305.wmf){width="1.03125in" height="0.46875in"}在椭圆上； （I）求椭圆的离心率； （II）设![lfxlby](./data/image/media/image8306.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}为椭圆的右顶点，![lfxlby](./data/image/media/image8307.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}为坐标原点，若![lfxlby](./data/image/media/image8308.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.21875in"}在椭圆上且满足![lfxlby](./data/image/media/image8309.wmf){width="0.8020833333333334in" height="0.28125in"}求直线![lfxlby](./data/image/media/image8310.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"} 的斜率的值。 【解析】(Ⅰ) 点![lfxlby](./data/image/media/image8305.wmf){width="1.03125in" height="0.46875in"}在椭圆上 (Ⅱ) 设；则 直线![lfxlby](./data/image/media/image8310.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.21875in"}的斜率 （20）（本小题满分14分） 已知函数![lfxlby](./data/image/media/image8311.wmf){width="1.9895833333333333in" height="0.4270833333333333in"}![lfxlby](./data/image/media/image8312.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.21875in"} （I）求函数![lfxlby](./data/image/media/image8313.wmf){width="0.375in" height="0.21875in"}的单调区间； （II）若函数![lfxlby](./data/image/media/image8314.wmf){width="0.375in" height="0.21875in"}在区间![lfxlby](./data/image/media/image8315.wmf){width="0.4895833333333333in" height="0.21875in"}内恰有两个零点，求![lfxlby](./data/image/media/image8316.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的取值范围； （III）当![lfxlby](./data/image/media/image8317.wmf){width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时，设函数![lfxlby](./data/image/media/image8314.wmf){width="0.375in" height="0.21875in"}在区间![lfxlby](./data/image/media/image8318.wmf){width="0.5416666666666666in" height="0.21875in"}上的最大值为![lfxlby](./data/image/media/image8319.wmf){width="0.3854166666666667in" height="0.21875in"}，最小值为![lfxlby](./data/image/media/image8320.wmf){width="0.34375in" height="0.21875in"}， 记![lfxlby](./data/image/media/image8321.wmf){width="1.2604166666666667in" height="0.21875in"}；求函数![lfxlby](./data/image/media/image8322.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.21875in"}在区间![lfxlby](./data/image/media/image8323.wmf){width="0.5104166666666666in" height="0.21875in"}上的最小值。 【解析】(Ⅰ) 或， 得：函数![lfxlby](./data/image/media/image8313.wmf){width="0.375in" height="0.21875in"}的单调递增区间为，单调递减区间为 (Ⅱ) 函数![lfxlby](./data/image/media/image8313.wmf){width="0.375in" height="0.21875in"}在内单调递增，在内单调递减 原命题（lfxlby） （III）当![lfxlby](./data/image/media/image8317.wmf){width="0.3645833333333333in" height="0.19791666666666666in"}时， 在上单调递增,在上单调递减 当 当 得：函数![lfxlby](./data/image/media/image8322.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.21875in"}在区间![lfxlby](./data/image/media/image8323.wmf){width="0.5104166666666666in" height="0.21875in"}上的最小值为（lfxlby） 2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） ============================================ 理科数学 **本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页**．**满分150分，考试时间120分**![lfxlby](./data/image/media/image4749.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"}**钟**． **请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、**![lfxlby](./data/image/media/image4749.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"}**写在答题纸上**． **选择题部分（共50分）** **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．** 1．设集合*A*＝{*x*\|1＜*x*＜4}，*B*＝{*x*\|*x* ^2^－2*x*－3≤0}，则*A*∩(![lfxlby](./data/image/media/image8324.wmf){width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}*~R~B*)＝ A．(1，4) B．(3，4) C．(1，3) D．(1，2) 【解析】*A*＝(1，4)，*B*＝\[－1，3\]，则*A*∩(![lfxlby](./data/image/media/image8324.wmf){width="0.15625in" height="0.16666666666666666in"}*~R~B*)＝(3，4)． 【答案】B 2．已知i是虚数单位，则![lfxlby](./data/image/media/image8325.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.375in"}＝ A．1－2i B．2－i C．2＋i D．1＋2i 【解析】![lfxlby](./data/image/media/image8325.wmf){width="0.2916666666666667in" height="0.375in"}＝＝＝1＋2i． 【答案】D 3．设*a*![lfxlby](./data/image/media/image8326.wmf){width="0.125in" height="0.14583333333333334in"}**R**，则"*a*＝1"是"直线*l*~1~：*ax*＋2*y*－1＝0与直线*l*~2~：*x*＋(*a*＋1)*y*＋4＝0平行"的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】当*a*＝1时，直线*l*~1~：*x*＋2*y*－1＝0与直线*l*~2~：*x*＋2*y*＋4＝0显然平行；若直线*l*~1~与直线*l*~2~平行，则有：，解之得：*a*＝1 or *a*＝﹣2．所以为充分不必要条件． 【答案】A 4．把函数*y*＝cos2*x*＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是 ![lfxlby](./data/image/media/image8327.png){width="5.385416666666667in" height="2.4895833333333335in"} 【解析】把函数*y*＝cos2*x*＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：*y*~1~＝cos*x*＋1，向左平移1个单位长度得：*y*~2~＝cos(*x~+~*1)＋1，再向下平移1个单位长度得：*y*~3~＝cos(*x+*1)．令*x*＝0，得：*y*~3~＞0；*x*＝，得：*y*~3~＝0；观察即得答案． 【答案】A 5．设***a***，***b***是两个非零向量． > A．若\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|，则***a***⊥***b*** > > B．若***a***⊥***b***，则\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\| > > C．若\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|，则存在实数*λ*，使得***a***＝*λ**b*** > > D．若存在实数*λ*，使得***a***＝*λ**b***，则\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\| > > 【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|，则***a***，***b***共线，即存在实 数*λ*，使得***a***＝*λ**b***．如选项A：\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|时，***a***，***b***可为异向的共线向量；选项B：若***a***⊥***b***，由正方形得\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|不成立；选项D：若存在实数*λ*，使得***a***＝*λ**b***，***a***，***b***可为同向的共线向量，此时显然\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|不成立． 【答案】C 6．若从1，2，2，...，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 【解析】1，2，2，...，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有： 4个都是偶数：1种； 2个偶数，2个奇数：种； 4个都是奇数：种． > ∴不同的取法共有66种． 【答案】D 7．设*S ~n~*是公差为*d*(*d*≠0)的无穷等差数列{*a ~n~*}的前*n*项和，则下列命题错误的是 > A．若*d*＜0，则数列{*S ~n~*}有最大项 > > B．若数列{*S ~n~*}有最大项，则*d*＜0 > > C．若数列{*S ~n~*}是递增数列，则对任意的*n*![lfxlby](./data/image/media/image8326.wmf){width="0.125in" height="0.14583333333333334in"}**N\***，均有*S ~n~*＞0 > > D．若对任意的*n*![lfxlby](./data/image/media/image8326.wmf){width="0.125in" height="0.14583333333333334in"}**N\***，均有*S ~n~*＞0，则数列{*S ~n~*}是递增数列 【解析】选项C显然是错的，举出反例：---1，0，1，2，3，...．满足数列{*S ~n~*}是递增数列，但是*S ~n~*＞0不成立． 【答案】C ![](./data/image/media/image8328.png){width="1.90625in" height="1.6770833333333333in"}8．如图，*F*~1~，*F*~2~分别是双曲线C：![lfxlby](./data/image/media/image8329.wmf){width="0.6979166666666666in" height="0.3854166666666667in"}(*a*，*b*＞0)的左右焦点，*B*是虚轴的端点，直线*F*~1~*B*与C![lfxlby](./data/image/media/image4749.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}的两条渐近线分别交于*P*，*Q*两点，线段*PQ*的垂直平分线与*x*轴交于点*M*．若\|*MF*~2~\|＝\|*F*~1~*F*~2~\|，则C的离心率是 A．![lfxlby](./data/image/media/image8330.wmf){width="0.3229166666666667in" height="0.40625in"} B．![lfxlby](./data/image/media/image8331.wmf){width="0.25in" height="0.40625in"} C．![lfxlby](./data/image/media/image8332.wmf){width="0.21875in" height="0.20833333333333334in"} D．![lfxlby](./data/image/media/image8333.wmf){width="0.21875in" height="0.20833333333333334in"} 【解析】如图：\|*OB*\|＝*b*，\|*O F*~1~\|＝*c*．∴*k~PQ~*＝，*k~MN~*＝﹣． 直线*PQ*为：*y*＝(*x*＋*c*)，两条渐近线为：*y*＝*x*．由，得：*Q*(，)；由，得：*P*(，)．∴直线*MN*为：*y*－＝﹣(*x*－)， 令*y*＝0得：*x~M~*＝．又∵\|*MF*~2~\|＝\|*F*~1~*F*~2~\|＝2*c*，∴3![lfxlby](./data/image/media/image4749.png){width="2.0833333333333332e-2in" height="3.125e-2in"}*c*＝*x~M~*＝，解之得：，即*e*＝![lfxlby](./data/image/media/image8331.wmf){width="0.25in" height="0.40625in"}． 【答案】B 9．设*a*＞0，*b*＞0．\[来源:学&科&网Z&X&X&K\] A．若![lfxlby](./data/image/media/image8334.wmf){width="1.0in" height="0.19791666666666666in"}，则*a*＞*b* B．若![lfxlby](./data/image/media/image8334.wmf){width="1.0in" height="0.19791666666666666in"}，则*a*＜*b* C．若![lfxlby](./data/image/media/image8335.wmf){width="1.0in" height="0.19791666666666666in"}，则*a*＞*b* D．若![lfxlby](./data/image/media/image8336.wmf){width="1.0in" height="0.19791666666666666in"}，则*a*＜*b* 【解析】若![lfxlby](./data/image/media/image8334.wmf){width="1.0in" height="0.19791666666666666in"}，必有．构造函数：，则恒成立，故有函数在*x*＞0上单调递增，即*a*＞*b*成立．其余选项用同样方法排除． 【答案】A 10．已知矩形*ABCD*，*AB*＝1，*BC*＝![lfxlby](./data/image/media/image8332.wmf){width="0.21875in" height="0.20833333333333334in"}．将![lfxlby](./data/image/media/image8337.wmf){width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}*ABD*沿矩形的对角线*BD*所在的直线进行翻着，在翻着过程中， A．存在某个位置，使得直线*AC*与直线*BD*垂直 B．存在某个位置，使得直线*AB*与直线*CD*垂直 C．存在某个位置，使得直线*AD*与直线*BC*垂直 D．对任意位置，三直线"*AC*与*BD*"，"*AB*与*CD*"，"*AD*与*BC*"均不垂直 【答案】B\[来源:学,科,网\] 2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） ============================================ 理科数学 本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页．满分150分，考试时间120分![](./data/image/media/image8338.jpeg){width="3.125e-2in" height="4.1666666666666664e-2in"}钟． 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、![](./data/image/media/image8338.jpeg){width="3.125e-2in" height="4.1666666666666664e-2in"}写在答题纸上． **选择题部分（共50分）** **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．** 1．设集合*A*＝{*x*\|1＜*x*＜4}，*B*＝{*x*\|*x* ^2^－2*x*－3≤0}，则*A*∩(![](./data/image/media/image8339.png){width="0.19791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}*~R~B*)＝ A．(1，4) B．(3，4) C．(1，3) D．(1，2) 【解析】*A*＝(1，4)，*B*＝\[－1，3\]，则*A*∩(![](./data/image/media/image8339.png){width="0.19791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}*~R~B*)＝(3，4)． 【答案】B 2．已知i是虚数单位，则![](./data/image/media/image8340.png){width="0.3645833333333333in" height="0.46875in"}＝ A．1－2i B．2－i C．2＋i D．1＋2i 【解析】![](./data/image/media/image8340.png){width="0.3645833333333333in" height="0.46875in"}＝![](./data/image/media/image8341.png){width="0.9375in" height="0.4895833333333333in"}＝![](./data/image/media/image8342.png){width="0.4895833333333333in" height="0.46875in"}＝1＋2i． 【答案】D 3．设*a*![](./data/image/media/image8343.png){width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}**R**，则"*a*＝1"是"直线*l*~1~：*ax*＋2*y*－1＝0与直线*l*~2~：*x*＋(*a*＋1)*y*＋4＝0平行"的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】当*a*＝1时，直线*l*~1~：*x*＋2*y*－1＝0与直线*l*~2~：*x*＋2*y*＋4＝0显然平行；若直线*l*~1~与直线*l*~2~平行，则有：![](./data/image/media/image8344.png){width="0.71875in" height="0.46875in"}，解之得：*a*＝1 or *a*＝﹣2．所以为充分不必要条件． 【答案】A 4．把函数*y*＝cos2*x*＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是 ![](./data/image/media/image8345.jpeg){width="5.768055555555556in" height="2.665277777777778in"} 【解析】把函数*y*＝cos2*x*＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：*y*~1~＝cos*x*＋1，向左平移1个单位长度得：*y*~2~＝cos(*x~+~*1)＋1，再向下平移1个单位长度得：*y*~3~＝cos(*x+*1)．令*x*＝0，得：*y*~3~＞0；*x*＝![](./data/image/media/image8346.png){width="0.4895833333333333in" height="0.5416666666666666in"}，得：*y*~3~＝0；观察即得答案． 【答案】A 5．设***a***，***b***是两个非零向量． > A．若\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|，则***a***⊥***b*** > > B．若***a***⊥***b***，则\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\| > > C．若\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|，则存在实数*λ*，使得***a***＝*λ**b*** > > D．若存在实数*λ*，使得***a***＝*λ**b***，则\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\| > > 【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|，则***a***，***b***共线，即存在实 数*λ*，使得***a***＝*λ**b***．如选项A：\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|时，***a***，***b***可为异向的共线向量；选项B：若***a***⊥***b***，由正方形得\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|不成立；选项D：若存在实数*λ*，使得***a***＝*λ**b***，***a***，***b***可为同向的共线向量，此时显然\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|不成立． 【答案】C 6．若从1，2，2，...，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 【解析】1，2，2，...，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有： 4个都是偶数：1种； 2个偶数，2个奇数：![](./data/image/media/image8347.png){width="0.8229166666666666in" height="0.28125in"}种； 4个都是奇数：![](./data/image/media/image8348.png){width="0.5416666666666666in" height="0.28125in"}种． > ∴不同的取法共有66种． 【答案】D 7．设*S ~n~*是公差为*d*(*d*≠0)的无穷等差数列{*a ~n~*}的前*n*项和，则下列命题错误的是 > A．若*d*＜0，则数列{*S ~n~*}有最大项 > > B．若数列{*S ~n~*}有最大项，则*d*＜0 > > C．若数列{*S ~n~*}是递增数列，则对任意的*n*![](./data/image/media/image8343.png){width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}**N\***，均有*S ~n~*＞0 > > D．若对任意的*n*![](./data/image/media/image8343.png){width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}**N\***，均有*S ~n~*＞0，则数列{*S ~n~*}是递增数列 【解析】选项C显然是错的，举出反例：---1，0，1，2，3，...．满足数列{*S ~n~*}是递增数列，但是*S ~n~*＞0不成立． 【答案】C ![](./data/image/media/image8349.jpeg){width="2.3854166666666665in" height="2.1041666666666665in"}8．如图，*F*~1~，*F*~2~分别是双曲线C：![](./data/image/media/image8350.png){width="0.875in" height="0.4895833333333333in"}(*a*，*b*＞0)的左右焦点，*B*是虚轴的端点，直线*F*~1~*B*与C![](./data/image/media/image8351.jpeg){width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}的两条渐近线分别交于*P*，*Q*两点，线段*PQ*的垂直平分线与*x*轴交于点*M*．若\|*MF*~2~\|＝\|*F*~1~*F*~2~\|，则C的离心率是 A．![](./data/image/media/image8352.png){width="0.40625in" height="0.5104166666666666in"} B．![](./data/image/media/image8353.png){width="0.3125in" height="0.5104166666666666in"} C．![](./data/image/media/image8354.png){width="0.28125in" height="0.2604166666666667in"} D．![](./data/image/media/image8355.png){width="0.28125in" height="0.2604166666666667in"} 【解析】如图：\|*OB*\|＝*b*，\|*O F*~1~\|＝*c*．∴*k~PQ~*＝![](./data/image/media/image8356.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"}，*k~MN~*＝﹣![](./data/image/media/image8356.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"}． 直线*PQ*为：*y*＝![](./data/image/media/image8356.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"}(*x*＋*c*)，两条渐近线为：*y*＝![](./data/image/media/image8357.png){width="0.19791666666666666in" height="0.46875in"}*x*．由![](./data/image/media/image8358.png){width="0.9895833333333334in" height="0.9583333333333334in"}，得：*Q*(![](./data/image/media/image8359.png){width="0.4166666666666667in" height="0.46875in"}，![](./data/image/media/image8360.png){width="0.4166666666666667in" height="0.46875in"})；由![](./data/image/media/image8361.png){width="0.9895833333333334in" height="0.9583333333333334in"}，得：*P*(![](./data/image/media/image8362.png){width="0.4375in" height="0.46875in"}，![](./data/image/media/image8363.png){width="0.4375in" height="0.46875in"})．∴直线*MN*为：*y*－![](./data/image/media/image8363.png){width="0.4375in" height="0.46875in"}＝﹣![](./data/image/media/image8356.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"}(*x*－![](./data/image/media/image8362.png){width="0.4375in" height="0.46875in"})， 令*y*＝0得：*x~M~*＝![](./data/image/media/image8364.png){width="0.5729166666666666in" height="0.4895833333333333in"}．又∵\|*MF*~2~\|＝\|*F*~1~*F*~2~\|＝2*c*，∴3![](./data/image/media/image8338.jpeg){width="3.125e-2in" height="4.1666666666666664e-2in"}*c*＝*x~M~*＝![](./data/image/media/image8364.png){width="0.5729166666666666in" height="0.4895833333333333in"}，解之得：![](./data/image/media/image8365.png){width="0.90625in" height="0.4895833333333333in"}，即*e*＝![](./data/image/media/image8353.png){width="0.3125in" height="0.5104166666666666in"}． 【答案】B 9．设*a*＞0，*b*＞0．\[来源:学&科&网Z&X&X&K\] A．若![](./data/image/media/image8366.png){width="1.25in" height="0.25in"}，则*a*＞*b* B．若![](./data/image/media/image8366.png){width="1.25in" height="0.25in"}，则*a*＜*b* C．若![](./data/image/media/image8367.png){width="1.25in" height="0.25in"}，则*a*＞*b* D．若![](./data/image/media/image8367.png){width="1.25in" height="0.25in"}，则*a*＜*b* 【解析】若![](./data/image/media/image8366.png){width="1.25in" height="0.25in"}，必有![](./data/image/media/image8368.png){width="1.2708333333333333in" height="0.25in"}．构造函数：![](./data/image/media/image8369.png){width="1.1354166666666667in" height="0.3020833333333333in"}，则![](./data/image/media/image8370.png){width="1.7083333333333333in" height="0.3020833333333333in"}恒成立，故有函数![](./data/image/media/image8369.png){width="1.1354166666666667in" height="0.3020833333333333in"}在*x*＞0上单调递增，即*a*＞*b*成立．其余选项用同样方法排除． 【答案】A 10．已知矩形*ABCD*，*AB*＝1，*BC*＝![](./data/image/media/image8354.png){width="0.28125in" height="0.2604166666666667in"}．将![](./data/image/media/image8371.png){width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}*ABD*沿矩形的对角线*BD*所在的直线进行翻着，在翻着过程中， A．存在某个位置，使得直线*AC*与直线*BD*垂直 B．存在某个位置，使得直线*AB*与直线*CD*垂直 C．存在某个位置，使得直线*AD*与直线*BC*垂直 D．对任意位置，三直线"*AC*与*BD*"，"*AB*与*CD*"，"*AD*与*BC*"均不垂直 【答案】B\[来源:学,科,网\] **非选择题部分（共100分）** **注意事项：** 1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． ![](./data/image/media/image8372.jpeg){width="1.9895833333333333in" height="2.4375in"}2．在答题纸![](./data/image/media/image8373.jpeg){width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑． **二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．** 11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三 棱锥的体积等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_cm^3^． 【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于![](./data/image/media/image8374.png){width="1.3020833333333333in" height="0.46875in"}． ![](./data/image/media/image8375.jpeg){width="1.5104166666666667in" height="4.5in"}【答案】1 12．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． 【解析】*T*，*i*关系如下图： ----- --- ----------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------- *T* 1 ![](./data/image/media/image8376.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"} ![](./data/image/media/image8377.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"} ![](./data/image/media/image8378.png){width="0.2604166666666667in" height="0.46875in"} ![](./data/image/media/image8379.png){width="0.3333333333333333in" height="0.46875in"} *i* 2 3 4 ![](./data/image/media/image8380.jpeg){width="3.125e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}5 6 ----- --- ----------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------- 【答案】![](./data/image/media/image8379.png){width="0.3333333333333333in" height="0.46875in"} 13．设公比为*q*(*q*＞0)的等比数列{*a ~n~*}的前*n*项和为{*S ~n~*}．若 ![](./data/image/media/image8381.png){width="0.90625in" height="0.2604166666666667in"}，![](./data/image/media/image8382.png){width="0.90625in" height="0.2604166666666667in"}，则*q*＝\_\_\_![](./data/image/media/image8383.jpeg){width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． 【解析】将![](./data/image/media/image8381.png){width="0.90625in" height="0.2604166666666667in"}，![](./data/image/media/image8382.png){width="0.90625in" height="0.2604166666666667in"}两个式子全部转化成用![](./data/image/media/image8384.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2604166666666667in"}，*q*表示的式子． 即![](./data/image/media/image8385.png){width="2.4166666666666665in" height="0.5625in"}，两式作差得：![](./data/image/media/image8386.png){width="1.8125in" height="0.28125in"}，即：![](./data/image/media/image8387.png){width="1.0833333333333333in" height="0.28125in"}，解之得：![](./data/image/media/image8388.png){width="1.25in" height="0.46875in"}(舍去)． 【答案】![](./data/image/media/image8389.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"} 14．若将函数![](./data/image/media/image8390.png){width="0.7708333333333334in" height="0.3020833333333333in"}表示为 ![](./data/image/media/image8391.png){width="3.5833333333333335in" height="0.3333333333333333in"} 其中![](./data/image/media/image8392.png){width="0.20833333333333334in" height="0.2604166666666667in"}，![](./data/image/media/image8384.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2604166666666667in"}，![](./data/image/media/image8393.png){width="0.20833333333333334in" height="0.2604166666666667in"}，...，![](./data/image/media/image8394.png){width="0.20833333333333334in" height="0.2604166666666667in"}为实数，则![](./data/image/media/image8395.png){width="0.20833333333333334in" height="0.2604166666666667in"}＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． 【解析】 对等式：![](./data/image/media/image8396.png){width="3.9270833333333335in" height="0.3333333333333333in"}两边连续对*x*求导三次得：![](./data/image/media/image8397.png){width="2.75in" height="0.28125in"}，再运用赋值法，令![](./data/image/media/image8398.png){width="0.5208333333333334in" height="0.20833333333333334in"}得：![](./data/image/media/image8399.png){width="0.6458333333333334in" height="0.2604166666666667in"}，即![](./data/image/media/image8400.png){width="0.5625in" height="0.2604166666666667in"}． 【答案】10 15．在![](./data/image/media/image8371.png){width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}*ABC*中，*M*是*BC*的中点，*AM*＝3，*BC*＝10，则![](./data/image/media/image8401.png){width="0.6458333333333334in" height="0.2604166666666667in"}＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． ![](./data/image/media/image8402.jpeg){width="3.1041666666666665in" height="1.3229166666666667in"}【解析】此题最适合的方法是特例法． 假设![](./data/image/media/image8371.png){width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}*ABC*是以*AB*＝*AC*的等腰三角形，如图， *AM*＝3，*BC*＝10，*AB*＝*AC*＝![](./data/image/media/image8403.png){width="0.3645833333333333in" height="0.2604166666666667in"}． cos∠*BAC*＝![](./data/image/media/image8404.png){width="1.7708333333333333in" height="0.5416666666666666in"}．![](./data/image/media/image8401.png){width="0.6458333333333334in" height="0.2604166666666667in"}＝![](./data/image/media/image8405.png){width="2.0729166666666665in" height="0.5416666666666666in"} 【答案】-16 16．定义：曲线C上的点到直线*l*的距离的最小值称为曲线C到直线*l*的距离．已知曲线C~1~：*y*＝*x* ^2^＋*a*到直线*l*：*y*＝*x*的距离等于C~2~：*x* ^2^＋(*y*＋4) ^2^ ＝2到直线*l*：*y*＝*x*的距离，则实数*a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． 【解析】C~2~：*x* ^2^＋(*y*＋4) ^2^ ＝2，圆心(0，---4)，圆心到直线*l*：*y*＝*x*的距离为：![](./data/image/media/image8406.png){width="1.5in" height="0.5208333333333334in"}，故曲线C~2~到直线*l*：*y*＝*x*的距离为![](./data/image/media/image8407.png){width="1.8229166666666667in" height="0.2604166666666667in"}． 另一方面：曲线C~1~：*y*＝*x* ^2^＋*a*，令![](./data/image/media/image8408.png){width="0.8541666666666666in" height="0.2604166666666667in"}，得：![](./data/image/media/image8409.png){width="0.4583333333333333in" height="0.46875in"}，曲线C~1~：*y*＝*x* ^2^＋*a*到直线*l*：*y*＝*x*的距离的点为(![](./data/image/media/image8376.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"}，![](./data/image/media/image8410.png){width="0.4375in" height="0.46875in"})，![](./data/image/media/image8411.png){width="2.6979166666666665in" height="0.8854166666666666in"}． 【答案】![](./data/image/media/image8412.png){width="0.20833333333333334in" height="0.5416666666666666in"} 17．设*a*![](./data/image/media/image8343.png){width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}**R**，若*x*＞0时均有\[(*a*－1)*x*－1\]( *x* ^2^－*ax*－1)≥0，则*a*＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． 【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况： (*A*)![](./data/image/media/image8413.png){width="1.1354166666666667in" height="0.5416666666666666in"}， 无解； (*B*)![](./data/image/media/image8414.png){width="1.1354166666666667in" height="0.5416666666666666in"}， 无解． 因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在*x*＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图) 我们知道：函数*y*~1~＝(*a*－1)*x*－1，*y*~2~＝*x* ^2^－*ax*－1都过定点*P*(0，1)． 考查函数*y*~1~＝(*a*－1)*x*－1：令*y*＝0，得*M*(![](./data/image/media/image8415.png){width="0.40625in" height="0.46875in"}，0)，还可分析得：*a*＞1； 考查函数*y*~2~＝*x* ^2^－*ax*－1：显然过点*M*(![](./data/image/media/image8415.png){width="0.40625in" height="0.46875in"}，0)，代入得：![](./data/image/media/image8416.png){width="1.6354166666666667in" height="0.5416666666666666in"}，解之得：![](./data/image/media/image8417.png){width="1.375in" height="0.5416666666666666in"}，舍去![](./data/image/media/image8418.png){width="0.5104166666666666in" height="0.25in"}，得答案：![](./data/image/media/image8419.png){width="0.5416666666666666in" height="0.5416666666666666in"}． ![](./data/image/media/image8420.jpeg){width="3.4270833333333335in" height="3.6354166666666665in"} 【答案】![](./data/image/media/image8419.png){width="0.5416666666666666in" height="0.5416666666666666in"} **三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．** 18．(本小题满分14分)在![](./data/image/media/image8371.png){width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}*ABC*中，内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*![](./data/image/media/image8338.jpeg){width="3.125e-2in" height="4.1666666666666664e-2in"}，*c*．已知cos*A*＝![](./data/image/media/image8421.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"}， sin*B*＝![](./data/image/media/image8422.png){width="0.28125in" height="0.2604166666666667in"}cos*C*．（lby lfx） (Ⅰ)求tan*C*的值； (Ⅱ)若*a*＝![](./data/image/media/image8354.png){width="0.28125in" height="0.2604166666666667in"}，求![](./data/image/media/image8371.png){width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}*ABC*的面积． 【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。 ![](./data/image/media/image8423.jpeg){width="1.53125in" height="2.3229166666666665in"}(Ⅰ) ![](./data/image/media/image8351.jpeg){width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}∵cos*A*＝![](./data/image/media/image8421.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"}＞0，∴sin*A*＝![](./data/image/media/image8424.png){width="1.2916666666666667in" height="0.5104166666666666in"}， 又![](./data/image/media/image8422.png){width="0.28125in" height="0.2604166666666667in"}cos*C*＝sin*B*＝sin(*A*＋*C*)＝sin*A*cos*C*＋sin*C*cos*A* ＝![](./data/image/media/image8425.png){width="0.3125in" height="0.5104166666666666in"}cos*C*＋![](./data/image/media/image8421.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"}sin*C*． 整理得：tan*C*＝![](./data/image/media/image8422.png){width="0.28125in" height="0.2604166666666667in"}． (Ⅱ)由图辅助三角形知：sin*C*＝![](./data/image/media/image8426.png){width="0.3125in" height="0.5208333333333334in"}．\[来源:Zxxk.Com\] 又由正弦定理知：![](./data/image/media/image8427.png){width="1.0104166666666667in" height="0.46875in"}， 故![](./data/image/media/image8428.png){width="0.5416666666666666in" height="0.2604166666666667in"}． (1) 对角*A*运用余![](./data/image/media/image8429.jpeg){width="4.1666666666666664e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}弦定理：cos*A*＝![](./data/image/media/image8430.png){width="1.1979166666666667in" height="0.4895833333333333in"}． (2) 解(1) (2)得：![](./data/image/media/image8431.png){width="0.5416666666666666in" height="0.2604166666666667in"} *or* *b*＝![](./data/image/media/image8432.png){width="0.3020833333333333in" height="0.5104166666666666in"}(舍去)． ∴![](./data/image/media/image8371.png){width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}*ABC*的面积为：*S*＝![](./data/image/media/image8433.png){width="0.3125in" height="0.5104166666666666in"}． 【答案】(Ⅰ) ![](./data/image/media/image8422.png){width="0.28125in" height="0.2604166666666667in"}；(Ⅱ) ![](./data/image/media/image8433.png){width="0.3125in" height="0.5104166666666666in"}． 19．(本小题满分14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量*X*为取出3球所得分数之和． (Ⅰ)求*X*的分布列； (Ⅱ)求*X*的数学期望*E*(*X*)． 【解析】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。 (Ⅰ) *X*的可能取值有：3，4，5，6． ![](./data/image/media/image8434.png){width="1.5104166666666667in" height="0.5416666666666666in"}； ![](./data/image/media/image8435.png){width="1.7083333333333333in" height="0.5416666666666666in"}；\[来源:Z&xx&k.Com\] ![](./data/image/media/image8436.png){width="1.6875in" height="0.5416666666666666in"}； ![](./data/image/media/image8437.png){width="1.5104166666666667in" height="0.5416666666666666in"}． 故，所求*X*的分布列为 ----------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------- *X*![](./data/image/media/image8383.jpeg){width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"} 3 4 5 6 *P* ![](./data/image/media/image8438.png){width="0.2604166666666667in" height="0.46875in"} ![](./data/image/media/image8439.png){width="0.6458333333333334in" height="0.46875in"} ![](./data/image/media/image8440.png){width="0.6458333333333334in" height="0.46875in"} ![](./data/image/media/image8441.png){width="0.6458333333333334in" height="0.46875in"} ----------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------- (Ⅱ) 所求*X*的数学期望*E*(*X*)为： *E*(*X*)＝![](./data/image/media/image8442.png){width="3.1145833333333335in" height="0.5416666666666666in"}． 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)![](./data/image/media/image8443.png){width="0.28125in" height="0.5416666666666666in"}． 20．(本小题满分15分)如图，在四棱锥*P---ABCD*中，底面是边长为![](./data/image/media/image8444.png){width="0.3645833333333333in" height="0.2604166666666667in"}的菱形，且∠*BAD*＝120°，且*PA*⊥平面*ABCD*，*PA*＝![](./data/image/media/image8445.png){width="0.3645833333333333in" height="0.2604166666666667in"}，*M*，*N*分别为*PB*，*PD*的中点． (Ⅰ)证明：*MN*∥平面*ABCD*； (Ⅱ) 过点*A*作*AQ*⊥*PC*，垂足为点*Q*，求二面角*A---MN---Q*的平面角的余弦值． ![](./data/image/media/image8446.jpeg){width="2.3645833333333335in" height="3.4895833333333335in"}【解析】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。 (Ⅰ)如图连接*BD*．\[来源:Z+xx+k.Com\] ∵*M*，*N*分别为*PB*，*PD*的中点， ∴在![](./data/image/media/image8371.png){width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}*PBD*中，*MN*∥*BD*． 又*MN*![](./data/image/media/image8447.png){width="0.19791666666666666in" height="0.19791666666666666in"}平面*ABCD*， ∴*MN*∥平面*ABCD*； (Ⅱ)如图建系： *A*(0，0，0)，*P*(0，0，![](./data/image/media/image8445.png){width="0.3645833333333333in" height="0.2604166666666667in"})，*M*(![](./data/image/media/image8448.png){width="0.4375in" height="0.5104166666666666in"}，![](./data/image/media/image8389.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"}，![](./data/image/media/image8449.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3125in"})， *N*(![](./data/image/media/image8355.png){width="0.28125in" height="0.2604166666666667in"}，0，![](./data/image/media/image8449.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3125in"})，*C*(![](./data/image/media/image8355.png){width="0.28125in" height="0.2604166666666667in"}，3，0)． 设*Q*(*x*，*y*，*z*)，则![](./data/image/media/image8450.png){width="3.4375in" height="0.3020833333333333in"}． ∵![](./data/image/media/image8451.png){width="2.4479166666666665in" height="0.3020833333333333in"}，∴![](./data/image/media/image8452.png){width="2.0in" height="0.3020833333333333in"}． 由![](./data/image/media/image8453.png){width="2.1041666666666665in" height="0.3020833333333333in"}，得：![](./data/image/media/image8454.png){width="0.46875in" height="0.46875in"}． 即：![](./data/image/media/image8455.png){width="1.375in" height="0.5104166666666666in"}． 对于平面*AMN*：设其法向量为![](./data/image/media/image8456.png){width="1.03125in" height="0.3020833333333333in"}． ∵![](./data/image/media/image8457.png){width="3.28125in" height="0.59375in"}． 则． ∴![](./data/image/media/image8458.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}（-![](./data/image/media/image8459.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3333333333333333in"} 同理对于平面*MNQ*得其法向量为![](./data/image/media/image8460.png){width="1.3958333333333333in" height="0.59375in"}． 记所求二面角*A---MN---Q*的平面角大小为![](./data/image/media/image8461.png){width="0.15625in" height="0.20833333333333334in"}， 则![](./data/image/media/image8462.png){width="1.65625in" height="0.8333333333333334in"}． ∴所求二面角*A---MN---Q*的平面角的余弦值为![](./data/image/media/image8463.png){width="0.4166666666666667in" height="0.59375in"}． 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)![](./data/image/media/image8463.png){width="0.4166666666666667in" height="0.59375in"}． ![](./data/image/media/image8464.jpeg){width="2.4479166666666665in" height="2.5in"}21．(本小题满分15分)如图，椭圆C：![](./data/image/media/image8465.png){width="0.8541666666666666in" height="0.4895833333333333in"}(*a*＞*b*＞0)的离心率为![](./data/image/media/image8376.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"}，其左焦点到点*P*(2，1)的距离为![](./data/image/media/image8466.png){width="0.3541666666666667in" height="0.2604166666666667in"}．不过原点*O*的直线*l*与C相交于*A*，*B*两点，且线段*AB*被直线*OP*平分． (Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ) 求![](./data/image/media/image8371.png){width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}*ABP*的面积取最大时直线*l*的方程． 【解析】 (Ⅰ)由题：![](./data/image/media/image8467.png){width="0.75in" height="0.46875in"}； (1) 左焦点(﹣*c*，0)到点*P*(2，1)的距离为：![](./data/image/media/image8468.png){width="1.4583333333333333in" height="0.3333333333333333in"}![](./data/image/media/image8466.png){width="0.3541666666666667in" height="0.2604166666666667in"}． (2) 由(1) (2)可解得：![](./data/image/media/image8469.png){width="1.65625in" height="0.25in"}． ∴所求椭圆C的方程为：![](./data/image/media/image8470.png){width="0.8541666666666666in" height="0.4895833333333333in"}． (Ⅱ)易得直线*OP*的方程：*y*＝![](./data/image/media/image8376.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"}*x*，设*A*(*x~A~*，*y~A~*)，*B*(*x~B~*![](./data/image/media/image8383.jpeg){width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}，*y~B~*)，*R*(*x*~0~，*y*~0~)．其中*y*~0~＝![](./data/image/media/image8376.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"}*x*~0~． ∵*A*，*B*在椭圆上， ∴![](./data/image/media/image8471.png){width="4.729166666666667in" height="1.03125in"}． 设直线*AB*的方程为*l*：*y*＝﹣![](./data/image/media/image8472.png){width="0.59375in" height="0.46875in"}(*m*≠0)， 代入椭圆：![](./data/image/media/image8473.png){width="3.1770833333333335in" height="0.9895833333333334in"}．![](./data/image/media/image8474.png){width="0.15625in" height="0.3020833333333333in"} 显然![](./data/image/media/image8475.png){width="2.96875in" height="0.28125in"}． ∴![](./data/image/media/image8476.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3125in"}＜*m*＜![](./data/image/media/image8477.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3125in"}且*m*≠0． 由上又有：![](./data/image/media/image8478.png){width="0.5625in" height="0.2604166666666667in"}＝*m*，![](./data/image/media/image8479.png){width="0.5729166666666666in" height="0.2604166666666667in"}＝![](./data/image/media/image8480.png){width="0.5416666666666666in" height="0.4895833333333333in"}． ∴\|*AB*\|＝![](./data/image/media/image8481.png){width="0.6979166666666666in" height="0.3541666666666667in"}\|![](./data/image/media/image8482.png){width="0.5625in" height="0.2604166666666667in"}\|＝![](./data/image/media/image8483.png){width="0.6458333333333334in" height="0.3125in"}![](./data/image/media/image8484.png){width="1.5in" height="0.3541666666666667in"}＝![](./data/image/media/image8481.png){width="0.6979166666666666in" height="0.3541666666666667in"}![](./data/image/media/image8485.png){width="0.6770833333333334in" height="0.5416666666666666in"}． ∵点*P*(2，1)到直线*l*的距离为：![](./data/image/media/image8486.png){width="1.0104166666666667in" height="0.9270833333333334in"}． ∴*S*![](./data/image/media/image8371.png){width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}*~ABP~*＝![](./data/image/media/image8376.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"}*d*\|*AB*\|＝![](./data/image/media/image8376.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"}\|*m*-4\|![](./data/image/media/image8485.png){width="0.6770833333333334in" height="0.5416666666666666in"}=![](./data/image/media/image8487.png){width="1.875in" height="0.59375in"}，![](./data/image/media/image8488.png){width="3.90625in" height="0.3125in"}此时直线*l*的方程![](./data/image/media/image8489.png){width="1.5520833333333333in" height="0.5416666666666666in"}． 【答案】![](./data/image/media/image8383.jpeg){width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}(Ⅰ)![](./data/image/media/image8490.png){width="1.0625in" height="0.5729166666666666in"}；(Ⅱ) ![](./data/image/media/image8489.png){width="1.5520833333333333in" height="0.5416666666666666in"} ． 21．(本小题满分14分)已知*a*＞0，*b*![](./data/image/media/image8343.png){width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}**R**，函数![](./data/image/media/image8491.png){width="1.875in" height="0.3020833333333333in"}． (Ⅰ)证明：当0≤*x*≤1时， (ⅰ)函数![](./data/image/media/image8492.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3020833333333333in"}的最大值为\|2*a*－*b*\|﹢*a*； (ⅱ) ![](./data/image/media/image8492.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3020833333333333in"}＋\|2*a*－*b*\|﹢*a*≥0； (Ⅱ) 若﹣1≤![](./data/image/media/image8492.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3020833333333333in"}≤1对*x*![](./data/image/media/image8343.png){width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}\[0，1\]恒成立，求*a*＋*b*的取值范围． 【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。 (Ⅰ) （lbylf x） (ⅰ)![](./data/image/media/image8493.png){width="1.40625in" height="0.3020833333333333in"}． 当*b*≤0时，![](./data/image/media/image8493.png){width="1.40625in" height="0.3020833333333333in"}＞0在0≤*x*≤1上恒成立， 此时![](./data/image/media/image8492.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3020833333333333in"}的最大值为：![](./data/image/media/image8494.png){width="2.2083333333333335in" height="0.3020833333333333in"}＝\|2*a*－*b*\|﹢*a*； 当*b*＞0时，![](./data/image/media/image8493.png){width="1.40625in" height="0.3020833333333333in"}在0≤*x*≤1上的正负性不能判断， 此时![](./data/image/media/image8492.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3020833333333333in"}的最大值为： ![](./data/image/media/image8495.png){width="5.020833333333333in" height="0.5416666666666666in"}＝\|2*a*－*b*\|﹢*a*； 综上所述：函数![](./data/image/media/image8492.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3020833333333333in"}在0≤*x*≤1上的最大值为\|2*a*－*b*\|﹢*a*； (ⅱ) 要证![](./data/image/media/image8492.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3020833333333333in"}＋\|2*a*－*b*\|﹢*a*≥0，即证![](./data/image/media/image8496.png){width="0.4375in" height="0.3020833333333333in"}＝﹣![](./data/image/media/image8492.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3020833333333333in"}≤\|2*a*－*b*\|﹢*a*． 亦即证![](./data/image/media/image8496.png){width="0.4375in" height="0.3020833333333333in"}在0≤*x*≤1上的最大值小于(或等于)\|2*a*－*b*\|﹢*a*， ∵![](./data/image/media/image8497.png){width="1.96875in" height="0.3020833333333333in"}，∴令![](./data/image/media/image8498.png){width="2.8645833333333335in" height="0.5208333333333334in"}． 当*b*≤0时，![](./data/image/media/image8499.png){width="1.5104166666666667in" height="0.3020833333333333in"}＜0在0≤*x*≤1上恒成立， 此时![](./data/image/media/image8496.png){width="0.4375in" height="0.3020833333333333in"}的最大值![](./data/image/media/image8351.jpeg){width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}为：![](./data/image/media/image8500.png){width="1.5520833333333333in" height="0.3020833333333333in"}＝\|2*a*－*b*\|﹢*a*； 当*b*＜0时，![](./data/image/media/image8499.png){width="1.5104166666666667in" height="0.3020833333333333in"}在0≤*x*≤1上的正负性不能判断， ![](./data/image/media/image8501.png){width="2.2395833333333335in" height="0.5208333333333334in"} ![](./data/image/media/image8502.png){width="2.2916666666666665in" height="1.34375in"} ≤\|2*a*－*b*\|﹢*a*； 综上所述：函数![](./data/image/media/image8496.png){width="0.4375in" height="0.3020833333333333in"}在0≤*x*≤1上的最大值小于(或等于)\|2*a*－*b*\|﹢*a*． 即![](./data/image/media/image8492.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3020833333333333in"}＋\|2*a*－*b*\|﹢*a*≥0在0≤*x*≤1上恒成立． (Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数![](./data/image/media/image8492.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3020833333333333in"}在0≤*x*≤1上的最大值为\|2*a*－*b*\|﹢*a*， 且函数![](./data/image/media/image8492.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3020833333333333in"}在0≤*x*≤1上的最小值比﹣(\|2*a*－*b*\|﹢*a*)要大． ∵﹣1≤![](./data/image/media/image8492.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3020833333333333in"}≤1对*x*![](./data/image/media/image8343.png){width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}\[0，1\]恒成立， ∴\|2*a*－*b*\|﹢*a*≤1． 取*b*为纵轴，*a*为横轴． 则可行域为：![](./data/image/media/image8503.png){width="0.7291666666666666in" height="0.5416666666666666in"}和![](./data/image/media/image8504.png){width="0.8229166666666666in" height="0.5416666666666666in"}，目标函数为*z*＝*a*＋*b*． 作图如下： 由图易得：当目标函数为*z*＝*a*＋*b*过P(1，2)时，有![](./data/image/media/image8505.png){width="0.6145833333333334in" height="0.2604166666666667in"}． ∴所求*a*＋*b*的取值范围为：![](./data/image/media/image8506.png){width="0.59375in" height="0.28125in"}． ![](./data/image/media/image8507.jpeg){width="3.6458333333333335in" height="3.6458333333333335in"} 【答案】(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ)![](./data/image/media/image8508.png){width="0.78125in" height="0.3333333333333333in"}． 2012年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） ============================================ 数学（文科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页。满分150分，考试时间120分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分（共50分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式 球体的面积公式 S=4πR^2^ 球的体积公式 V=![](./data/image/media/image8509.png){width="0.20833333333333334in" height="0.5416666666666666in"}πR^3^ 其中R表示球的半径 锥体的体积公式V=![](./data/image/media/image8510.png){width="0.19791666666666666in" height="0.5416666666666666in"}Sh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 柱体体积公式V=Sh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 台体的体积公式 V=![](./data/image/media/image8511.png){width="1.7395833333333333in" height="0.5416666666666666in"} 其中S~1~，S~2~分别表示台体的上、下面积，h表示台体的高 如果事件A,B互斥 ，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)\[来源:学§科§网Z§X§X§K\] 一 、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P∩（C~U~Q）= A.{1，2，3，4，6} B.{1，2，3，4，5} C.{1，2![](./data/image/media/image8338.jpeg){width="3.125e-2in" height="4.1666666666666664e-2in"}，5} D.{1,2} 【答案】D 【命题意图】本题主要考查了集合的并集和补集运算。 【解析】![](./data/image/media/image8512.png){width="0.19791666666666666in" height="0.17708333333333334in"}Q{3，4，5}，![](./data/image/media/image8513.png){width="0.19791666666666666in" height="0.17708333333333334in"}C~U~Q={1，2，6}，![](./data/image/media/image8513.png){width="0.19791666666666666in" height="0.17708333333333334in"} P∩（C~U~Q）={1，2}. 2\. 已知i是虚数单位，则![](./data/image/media/image8514.png){width="0.4375in" height="0.5416666666666666in"}= A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i 【答案】D 【命题意图】本题主要考查了复数的四则运算法则，通过利用分母实数化运算求解。 【解析】![](./data/image/media/image8514.png){width="0.4375in" height="0.5416666666666666in"}![](./data/image/media/image8515.png){width="2.5208333333333335in" height="0.5729166666666666in"}. 3\. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是 ![](./data/image/media/image8516.jpeg){width="1.4479166666666667in" height="2.5416666666666665in"} A.1cm^3^ B.2cm^3^ C.3cm^3^ D.6cm^3^ 【答案】C 【命题意图】本题考查的是三棱锥的三视图问题，体现了对学生空间想象能力的综合考查。【解析】由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角边分别为1和2，整个棱锥的高由侧视图可得为3，所以三棱锥的体积为![](./data/image/media/image8517.png){width="1.5104166666666667in" height="0.5416666666666666in"}. 4．设a∈R ，则"a＝1"是"直线l~1~：ax+2y=0与直线l~2~ ：x+(a+1)y+4=0平行的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 【答案】A 【命题意图】本题考查的知识为依托于简易逻辑的直线平行问题的考查。 【解析】当![](./data/image/media/image8518.png){width="0.8229166666666666in" height="0.5416666666666666in"}，解得![](./data/image/media/image8519.png){width="0.4583333333333333in" height="0.25in"}或![](./data/image/media/image8520.png){width="0.6145833333333334in" height="0.25in"}.所以，当a＝1是，两直线平行成立，因此是充分条件；当两直线平行时，![](./data/image/media/image8519.png){width="0.4583333333333333in" height="0.25in"}或![](./data/image/media/image8520.png){width="0.6145833333333334in" height="0.25in"}，不是必要条件，故选A. 5\. 设![](./data/image/media/image8521.png){width="0.125in" height="0.25in"}是直线，a，β是两个不同的平面 A. 若![](./data/image/media/image8521.png){width="0.125in" height="0.25in"}∥a，![](./data/image/media/image8521.png){width="0.125in" height="0.25in"}∥β，则a∥β B. 若![](./data/image/media/image8521.png){width="0.125in" height="0.25in"}∥a，![](./data/image/media/image8521.png){width="0.125in" height="0.25in"}⊥β，则a⊥β C. 若a⊥β，![](./data/image/media/image8521.png){width="0.125in" height="0.25in"}⊥a，则![](./data/image/media/image8521.png){width="0.125in" height="0.25in"}⊥β D. 若a⊥β, ![](./data/image/media/image8521.png){width="0.125in" height="0.25in"}∥a，则![](./data/image/media/image8522.png){width="9.375e-2in" height="0.25in"}⊥β 【答案】B 【命题意图】本题考查的是平面几何的基本知识，具体为线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质。 【解析】利用排除法可得选项B是正确的，∵![](./data/image/media/image8521.png){width="0.125in" height="0.25in"}∥a，![](./data/image/media/image8521.png){width="0.125in" height="0.25in"}⊥β，则a⊥β．如选项A：![](./data/image/media/image8521.png){width="0.125in" height="0.25in"}∥a，![](./data/image/media/image8521.png){width="0.125in" height="0.25in"}∥β时，a⊥β或a∥β；选项C：若a⊥β，![](./data/image/media/image8521.png){width="0.125in" height="0.25in"}⊥a，![](./data/image/media/image8521.png){width="0.125in" height="0.25in"}∥β或![](./data/image/media/image8523.png){width="0.5208333333333334in" height="0.28125in"}；选项D：若若a⊥β, ![](./data/image/media/image8521.png){width="0.125in" height="0.25in"}⊥a，![](./data/image/media/image8521.png){width="0.125in" height="0.25in"}∥β或![](./data/image/media/image8522.png){width="9.375e-2in" height="0.25in"}⊥β． 6\. 把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是 ![](./data/image/media/image8524.jpeg){width="5.010416666666667in" height="2.28125in"} 【答案】A 【命题意图】本题主要考查了三角函数中图像的性质，具体![](./data/image/media/image8383.jpeg){width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}考查了在x轴上的伸缩变换，在x轴、y轴上的平移变化，利用特殊点法判断图像的而变换。 【解析】由题意，y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即解析式为y=cosx+1，向左平移一个单位为y=cos（x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos（x-1)，利用特殊点![](./data/image/media/image8525.png){width="0.625in" height="0.59375in"}变为![](./data/image/media/image8526.png){width="0.8541666666666666in" height="0.59375in"}，选A. 7.设a，b是两个非零向量。 A.若\|a+b\|=\|a\|-\|b\|，则a⊥b B.若a⊥b，则\|a+b\|=\|a\|-\|b\| C.若\|a+b\|=\|a\|-\|b\|，则存在实数λ，使得b=λa D.若存在实数λ，使得b=λa，则\|a+b\|=\|a\|-\|b\| 【答案】C 【命题意图】本题考查的是平面向量，主要考查向量加法运算，向量的共线含义，向量的垂直关系。 【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|，则***a***，***b***共线，即存在实 数*λ*，使得***a***＝*λ**b***．如选项A：\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|时，***a***，***b***可为异![](./data/image/media/image8527.jpeg){width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}向的共线向量；选项B：若***a***⊥***b***，由正方形得\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|不成立；选项D：若存在实数*λ*，使得***a***＝*λ**b***，***a***，***b***可为同向的共线向量，此时显然\|***a***＋***b***\|＝\|***a***\|－\|***b***\|不成立． 8\. 如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 ![](./data/image/media/image8528.jpeg){width="2.4166666666666665in" height="2.0625in"} A.3 B.2 C. ![](./data/image/media/image8529.png){width="0.3125in" height="0.3125in"} D. ![](./data/image/media/image8530.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3020833333333333in"} 【答案】B 【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，通过对两者公交点求解离心率的关系. 【解析】设椭圆的长轴为2a，双曲线的长轴为![](./data/image/media/image8531.png){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}，由M，O，N将椭圆长轴四等分，则![](./data/image/media/image8532.png){width="1.03125in" height="0.25in"}，即![](./data/image/media/image8533.png){width="0.6458333333333334in" height="0.25in"}，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为![](./data/image/media/image8534.png){width="0.59375in" height="0.5416666666666666in"}，![](./data/image/media/image8535.png){width="0.5104166666666666in" height="0.5416666666666666in"}，![](./data/image/media/image8536.png){width="0.9375in" height="0.5416666666666666in"}. 9\. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A. ![](./data/image/media/image8537.png){width="0.3125in" height="0.5416666666666666in"} ![](./data/image/media/image8338.jpeg){width="3.125e-2in" height="4.1666666666666664e-2in"} B. ![](./data/image/media/image8538.png){width="0.3020833333333333in" height="0.5416666666666666in"} C.5 D.6 【答案】C 【命题意图】本题考查了基本不等式证明中的方法技巧。 【解析】![](./data/image/media/image8512.png){width="0.19791666666666666in" height="0.17708333333333334in"}x+3y=5xy，![](./data/image/media/image8539.png){width="0.8541666666666666in" height="0.5729166666666666in"}， ![](./data/image/media/image8540.png){width="3.53125in" height="0.5729166666666666in"} ![](./data/image/media/image8541.png){width="1.6875in" height="0.5416666666666666in"}. 10\. 设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数 A. 若e^a^+2a=e^b^+3b，则a＞b B. 若e^a^+2a=e^b^+3b，则a＜b C. 若e^a^-2a=e^b^-3b，则a＞b D. 若e^a^-2a=e^b^-3b，则a＜b\[来源:学+科+网\] 【答案】A 【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用，通过构造法技巧性方法确定函数的单调性. 【解析】若![](./data/image/media/image8542.png){width="1.2395833333333333in" height="0.25in"}，必有![](./data/image/media/image8543.png){width="1.2395833333333333in" height="0.25in"}．构造函数：![](./data/image/media/image8544.png){width="1.1354166666666667in" height="0.3020833333333333in"}，则![](./data/image/media/image8545.png){width="1.3541666666666667in" height="0.3020833333333333in"}恒成立，故有函数![](./data/image/media/image8544.png){width="1.1354166666666667in" height="0.3020833333333333in"}在*x*＞0上单调递增，即*a*＞*b*成立．其余选项用同样方法排除． **非选择题部分（共100分）** **注意事**![](./data/image/media/image8383.jpeg){width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}**项：** **1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。** **2.在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色自拟的签字笔或钢笔描黑。** **二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分。** 11\. 某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 【答案】160 【命题意图】本题考查了随机抽样中的分层抽样，也是随机抽样中惯考的形式，利用总体重的个体数比，确定样本中某一个体的样本容量。 【解析】总体中男生与女生的比例为![](./data/image/media/image8546.png){width="0.3854166666666667in" height="0.25in"}，样本中男生人数为![](./data/image/media/image8547.png){width="1.1875in" height="0.5416666666666666in"}. 12\. 从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为![](./data/image/media/image8548.png){width="0.3645833333333333in" height="0.59375in"}的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 【答案】![](./data/image/media/image8549.png){width="0.20833333333333334in" height="0.5416666666666666in"} 【命题意图】本题主要了以正方形中某些点为背景的随机事件的概率问题。 ![](./data/image/media/image8550.jpeg){width="1.0729166666666667in" height="4.1875in"}【解析】若使两点间的距离为![](./data/image/media/image8548.png){width="0.3645833333333333in" height="0.59375in"}，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为![](./data/image/media/image8551.png){width="1.1145833333333333in" height="0.625in"}. 13\. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 【答案】![](./data/image/media/image8379.png){width="0.3333333333333333in" height="0.46875in"} 【命题意图】本题主要考查了框图。 【解析】*T*，*i*关系如下图： ----- --- ----------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- *T* 1 ![](./data/image/media/image8376.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"} ![](./data/image/media/image8377.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"} ![](./data/image/media/image8378.png){width="0.2604166666666667in" height="0.46875in"} ![](./data/image/media/image8383.jpeg){width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}![](./data/image/media/image8379.png){width="0.3333333333333333in" height="0.46875in"} *i* 2 3\[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\] 4 5 6 ----- --- ----------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14\. 设z=x+2y，其中实数x，y满足![](./data/image/media/image8552.png){width="1.1875in" height="1.25in"}， 则z的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 【答案】![](./data/image/media/image8553.png){width="0.20833333333333334in" height="0.5416666666666666in"} 【命题意图】本题主要![](./data/image/media/image8383.jpeg){width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}考查线性规划的求解范围问题.只要作图正确，表示出区域，然后借助于直线平移大得到最值. 【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的四边形，但目标函数过点（0,0）时，目标函数最小，当目标函数过点![](./data/image/media/image8554.png){width="0.6458333333333334in" height="0.59375in"}时最大值为![](./data/image/media/image8553.png){width="0.20833333333333334in" height="0.5416666666666666in"}. 15.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则![](./data/image/media/image8555.png){width="0.75in" height="0.3020833333333333in"}=\_\_\_\_\_\_\_\_. 【答案】-16 【命题意图】本题主要考查了平面向量在三角形中的综合应用. 【解析】由余弦定理![](./data/image/media/image8556.png){width="5.768055555555556in" height="0.26319444444444445in"}， ![](./data/image/media/image8557.png){width="5.768055555555556in" height="0.25972222222222224in"}，![](./data/image/media/image8558.png){width="2.0208333333333335in" height="0.28125in"}，两式子相加为![](./data/image/media/image8559.png){width="4.0625in" height="0.3125in"}， ![](./data/image/media/image8560.png){width="5.541666666666667in" height="0.5729166666666666in"}， ![](./data/image/media/image8561.png){width="5.177083333333333in" height="0.5416666666666666in"}. 16\. 设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈\[0，1\]时，f（x）=x＋1，则![](./data/image/media/image8562.png){width="0.5416666666666666in" height="0.5416666666666666in"}=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 【答案】![](./data/image/media/image8563.png){width="0.20833333333333334in" height="0.5416666666666666in"} 【命题意图】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性. 【解析】![](./data/image/media/image8564.png){width="3.7916666666666665in" height="0.5416666666666666in"}. 17\. 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C~1~：y=x^2^+a到直线l:y=x的距离等于曲线C~2~：x^2^+(y+4)^2^=2到直线l:y=x的距离，则实数a=\_\_\_\_\_\_\_. 【答案】![](./data/image/media/image8565.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"} 【命题意图】本题主要考查了曲线到直线的距离问题，利用单数综合解决曲线到直线的距离转为点到直![](./data/image/media/image8566.jpeg){width="3.125e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}线的距离. 【解析】C![](./data/image/media/image8383.jpeg){width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}~2~：*x* ^2^＋(*y*＋4) ^2^ ＝2，圆心(0，---4)，圆心到直线*l*：*y*＝*x*的距离为：![](./data/image/media/image8406.png){width="1.5in" height="0.5208333333333334in"}，故曲线C~2~到直线*l*：*y*＝*x*的距离为![](./data/image/media/image8407.png){width="1.8229166666666667in" height="0.2604166666666667in"}． 另一方面：曲![](./data/image/media/image8338.jpeg){width="3.125e-2in" height="4.1666666666666664e-2in"}线C~1~：*y*＝*x* ^2^＋*a*，令![](./data/image/media/image8408.png){width="0.8541666666666666in" height="0.2604166666666667in"}，得：![](./data/image/media/image8409.png){width="0.4583333333333333in" height="0.46875in"}，曲线C~1~：*y*＝*x* ^2^＋*a*到直线*l*：*y*＝*x*的距离的点为(![](./data/image/media/image8376.png){width="0.17708333333333334in" height="0.46875in"}，![](./data/image/media/image8410.png){width="0.4375in" height="0.46875in"})，![](./data/image/media/image8567.png){width="3.3229166666666665in" height="0.75in"}． 三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=![](./data/image/media/image8529.png){width="0.3125in" height="0.3125in"}ac![](./data/image/media/image8527.jpeg){width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}osB。 （1）求角B的大小； （2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值. 【命题意图】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【解析】（1）![](./data/image/media/image8512.png){width="0.19791666666666666in" height="0.17708333333333334in"}bsinA=![](./data/image/media/image8529.png){width="0.3125in" height="0.3125in"}acosB，由正弦定理可得![](./data/image/media/image8568.png){width="2.28125in" height="0.3125in"}，即得![](./data/image/media/image8569.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3125in"}，![](./data/image/media/image8570.png){width="0.75in" height="0.5416666666666666in"}. （2）![](./data/image/media/image8512.png){width="0.19791666666666666in" height="0.17708333333333334in"}sinC=2sinA，由正弦定理得![](./data/image/media/image8571.png){width="0.59375in" height="0.25in"}，由余弦定理![](./data/image/media/image8572.png){width="2.0in" height="0.28125in"}，![](./data/image/media/image8573.png){width="2.28125in" height="0.5416666666666666in"}，解得![](./data/image/media/image8574.png){width="0.625in" height="0.3125in"}，![](./data/image/media/image8575.png){width="1.3229166666666667in" height="0.3125in"}.\[来源:学科网\] 19\. （本题满分14分）已知数列{a~n~}的前n项和为S~n~，且S~n~=![](./data/image/media/image8576.png){width="0.6666666666666666in" height="0.28125in"}，n∈N﹡，数列{b~n~}满足a~n~=4log~2~b~n~＋3，n∈N﹡. （1）求a~n~，b~n~； （2）求数列{a~n~·b~n~}的前n项和T~n~. 【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的概念，通项公式以及求和公式等基础知识，同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力。 1. 由S~n~=![](./data/image/media/image8576.png){width="0.6666666666666666in" height="0.28125in"}，得 当n=1时，![](./data/image/media/image8577.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3125in"}； 当n![](./data/image/media/image8578.png){width="0.17708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}2时，![](./data/image/media/image8579.png){width="1.3229166666666667in" height="0.3125in"}![](./data/image/media/image8580.png){width="3.0729166666666665in" height="0.3854166666666667in"}，n∈N﹡. 由a~n~=4log~2~b~n~＋3，得![](./data/image/media/image8581.png){width="0.90625in" height="0.3125in"}，n∈N﹡.\[来源:学科网ZXXK\] （2）由（1）知![](./data/image/media/image8582.png){width="1.6145833333333333in" height="0.3333333333333333in"}，n∈N﹡ 所以![](./data/image/media/image8583.png){width="3.3333333333333335in" height="0.3541666666666667in"}， ![](./data/image/media/image8584.png){width="3.6666666666666665in" height="0.3541666666666667in"}， ![](./data/image/media/image8585.png){width="3.9583333333333335in" height="0.3541666666666667in"} ![](./data/image/media/image8586.png){width="1.34375in" height="0.3125in"} ![](./data/image/media/image8587.png){width="1.5625in" height="0.3333333333333333in"}，n∈N﹡. ![](./data/image/media/image8588.jpeg){width="1.6458333333333333in" height="1.4583333333333333in"}20. （本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A~1~B~1~C~1~D~1~中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=![](./data/image/media/image8530.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3020833333333333in"}。AD=2，BC=4,AA~1~=2，E是DD~1~的中点，F是平面B~1~C~1~E与直线AA~1~的交点。 （1）证明：（i）EF∥A~1~D~1~； （ii）BA~1~⊥平面B~1~C~1~EF； （2）求BC~1~与平面B~1~C~1~EF所成的角的正弦值。\[来源:学科网\] 【命题意图】本题主要以四棱锥为载体考查线线平行，线面垂直和线面角的计算，注重与平面几何的综合, 同时考查空间想象能力和推理论证能力. （1）（i）因为![](./data/image/media/image8589.png){width="1.0104166666666667in" height="0.3125in"}，![](./data/image/media/image8590.png){width="0.625in" height="0.3125in"} 平面ADD~1~ A~1，~所以![](./data/image/media/image8591.png){width="0.6458333333333334in" height="0.3125in"}平面ADD~1~ A~1.\[来源:Zxxk.Com\]~ 又因为平面![](./data/image/media/image8592.png){width="0.875in" height="0.3125in"}平面ADD~1~ A~1=~![](./data/image/media/image8593.png){width="0.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，所以![](./data/image/media/image8594.png){width="0.9375in" height="0.3125in"}.所以![](./data/image/media/image8595.png){width="0.9375in" height="0.3125in"}. ii. ![](./data/image/media/image8596.jpeg){width="1.25in" height="1.1354166666666667in"}因为![](./data/image/media/image8597.png){width="1.34375in" height="0.3125in"}，所以![](./data/image/media/image8598.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3125in"}， 又因为![](./data/image/media/image8599.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3125in"}，所以![](./data/image/media/image8600.png){width="1.2708333333333333in" height="0.3125in"}， 在矩形![](./data/image/media/image8601.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3125in"}中，F是AA的中点，即![](./data/image/media/image8602.png){width="2.59375in" height="0.59375in"}.即 ![](./data/image/media/image8603.png){width="1.5104166666666667in" height="0.3125in"}，故![](./data/image/media/image8604.png){width="0.9375in" height="0.3125in"}. 所以![](./data/image/media/image8605.png){width="0.5625in" height="0.3125in"}平面![](./data/image/media/image8606.png){width="0.71875in" height="0.3125in"}. \(2\) 设![](./data/image/media/image8607.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}与![](./data/image/media/image8608.png){width="0.40625in" height="0.3125in"}交点为H，连结![](./data/image/media/image8609.png){width="0.4375in" height="0.3125in"}. 由（1）知![](./data/image/media/image8606.png){width="0.71875in" height="0.3125in"}，所以![](./data/image/media/image8610.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3125in"}是![](./data/image/media/image8611.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3125in"}与平面![](./data/image/media/image8606.png){width="0.71875in" height="0.3125in"}所成的角. 在矩形![](./data/image/media/image8601.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3125in"}中，![](./data/image/media/image8612.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3020833333333333in"}，![](./data/image/media/image8613.png){width="0.6979166666666666in" height="0.3125in"}，得![](./data/image/media/image8614.png){width="0.875in" height="0.5729166666666666in"}，在直角![](./data/image/media/image8615.png){width="0.6458333333333334in" height="0.3125in"}中![](./data/image/media/image8527.jpeg){width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}，![](./data/image/media/image8616.png){width="0.9791666666666666in" height="0.3541666666666667in"}，![](./data/image/media/image8614.png){width="0.875in" height="0.5729166666666666in"}，得 ![](./data/image/media/image8617.png){width="2.1770833333333335in" height="0.6458333333333334in"}，所以BC与平面![](./data/image/media/image8606.png){width="0.71875in" height="0.3125in"}所成角的正弦值是![](./data/image/media/image8618.png){width="0.4583333333333333in" height="0.59375in"}. 21.（本题满分15分）已知a∈R，函数![](./data/image/media/image8619.png){width="1.7604166666666667in" height="0.3125in"} （1）求f(x)的单调区间 （2）证明：当0≤x≤1时，f(x)+ ![](./data/image/media/image8620.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3541666666666667in"}＞0. 【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间，并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力. 【解析】（1）由题意得![](./data/image/media/image8621.png){width="1.5104166666666667in" height="0.3125in"}， 当![](./data/image/media/image8622.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}时，![](./data/image/media/image8623.png){width="0.8229166666666666in" height="0.28125in"}恒成立，此时![](./data/image/media/image8624.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}的单调递增区间为![](./data/image/media/image8625.png){width="0.8333333333333334in" height="0.3541666666666667in"}. 当![](./data/image/media/image8626.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}时，![](./data/image/media/image8627.png){width="2.3854166666666665in" height="0.6145833333333334in"}，此时函数![](./data/image/media/image8624.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}的单调递增区间为![](./data/image/media/image8628.png){width="1.0416666666666667in" height="0.6979166666666666in"}. (2)由于![](./data/image/media/image8629.png){width="0.75in" height="0.25in"}，当![](./data/image/media/image8630.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}时，![](./data/image/media/image8631.png){width="3.59375in" height="0.3541666666666667in"}. 当![](./data/image/media/image8632.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}时，![](./data/image/media/image8633.png){width="5.572916666666667in" height="0.3541666666666667in"}. 设![](./data/image/media/image8634.png){width="2.3645833333333335in" height="0.3125in"}，则![](./data/image/media/image8635.png){width="3.0416666666666665in" height="0.59375in"}. 则有 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- --- --------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- ![](./data/image/media/image8636.png){width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"} 0 ![](./data/image/media/image8637.png){width="0.7291666666666666in" height="0.6979166666666666in"} ![](./data/image/media/image8638.png){width="0.3541666666666667in" height="0.59375in"} ![](./data/image/media/image8639.png){width="0.71875in" height="0.6979166666666666in"} 1 ![](./data/image/media/image8640.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"} \- 0 \+ ![](./data/image/media/image8641.png){width="0.4583333333333333in" height="0.28125in"} 1 减 极小值 增 ![](./data/image/media/image8383.jpeg){width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}1 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- --- --------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------- 所以![](./data/image/media/image8642.png){width="2.59375in" height="0.59375in"}. 当![](./data/image/media/image8629.png){width="0.75in" height="0.25in"}时，![](./data/image/media/image8643.png){width="1.3229166666666667in" height="0.28125in"}. 故![](./data/image/media/image8644.png){width="2.6041666666666665in" height="0.3541666666666667in"}. 22\. （本题满分14分）如图，在直角坐标系![](./data/image/media/image8527.jpeg){width="3.125e-2in" height="3.125e-2in"}xOy中，点P（1，![](./data/image/media/image8645.png){width="0.20833333333333334in" height="0.5416666666666666in"}）到抛物线C：![](./data/image/media/image8646.png){width="0.2604166666666667in" height="0.3125in"}=2px（P＞0）的准线的距离为![](./data/image/media/image8647.png){width="0.20833333333333334in" height="0.5416666666666666in"}。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。 ![](./data/image/media/image8648.jpeg){width="1.6041666666666667in" height="1.7291666666666667in"} （1）求p,t的值。 （2）求△ABP面积的最大值。 【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力. （1）由题意得![](./data/image/media/image8649.png){width="0.9375in" height="0.875in"}，得![](./data/image/media/image8650.png){width="0.6666666666666666in" height="0.875in"}. （2）设![](./data/image/media/image8651.png){width="1.6145833333333333in" height="0.3541666666666667in"}，线段AB的中点坐标为![](./data/image/media/image8652.png){width="0.75in" height="0.28125in"} 由题意得，设直线AB的斜率为k（k![](./data/image/media/image8653.png){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}）. 由![](./data/image/media/image8654.png){width="1.0104166666666667in" height="0.6979166666666666in"}，得![](./data/image/media/image8655.png){width="2.4479166666666665in" height="0.3125in"}，得![](./data/image/media/image8656.png){width="0.8229166666666666in" height="0.25in"}\[来源:学科网ZXXK\] 所以直线的方程为![](./data/image/media/image8657.png){width="1.6354166666666667in" height="0.5416666666666666in"}，即![](./data/image/media/image8658.png){width="1.8958333333333333in" height="0.3125in"}. 由![](./data/image/media/image8659.png){width="2.0in" height="0.6979166666666666in"}，整理得![](./data/image/media/image8660.png){width="2.0in" height="0.3125in"}，\[来源:Z§xx§k.Com\] 所以![](./data/image/media/image8661.png){width="1.1145833333333333in" height="0.28125in"}，![](./data/image/media/image8662.png){width="1.09375in" height="0.3125in"}，![](./data/image/media/image8663.png){width="1.3229166666666667in" height="0.3333333333333333in"}.从而得 ![](./data/image/media/image8664.png){width="3.8229166666666665in" height="0.6145833333333334in"}， 设点P到直线AB的距离为d，则 ![](./data/image/media/image8665.png){width="1.5520833333333333in" height="0.6770833333333334in"}，设![](./data/image/media/image8666.png){width="0.19791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}ABP的面积为S，则![](./data/image/media/image8667.png){width="3.3229166666666665in" height="0.5416666666666666in"}. 由![](./data/image/media/image8668.png){width="1.5104166666666667in" height="0.28125in"}，得![](./data/image/media/image8669.png){width="0.8020833333333334in" height="0.25in"}. 令![](./data/image/media/image8670.png){width="1.0833333333333333in" height="0.3541666666666667in"}，![](./data/image/media/image8671.png){width="0.78125in" height="0.5416666666666666in"}，则![](./data/image/media/image8672.png){width="1.1354166666666667in" height="0.3125in"}. 设![](./data/image/media/image8672.png){width="1.1354166666666667in" height="0.3125in"}，![](./data/image/media/image8673.png){width="0.78125in" height="0.5416666666666666in"}，则![](./data/image/media/image8674.png){width="0.9375in" height="0.28125in"}. 由![](./data/image/media/image8675.png){width="1.2708333333333333in" height="0.28125in"}，得![](./data/image/media/image8676.png){width="1.34375in" height="0.625in"}，所以![](./data/image/media/image8677.png){width="0.9270833333333334in" height="0.59375in"}，故![](./data/image/media/image8666.png){width="0.19791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}ABP![](./data/image/media/image8566.jpeg){width="3.125e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}的面积的最大值为![](./data/image/media/image8678.png){width="0.3541666666666667in" height="0.59375in"}. **2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）** **数学（理）试题答案** **(试题与答案全word版，全面校对)** 参考答案 一、选择题 --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A C B A B D D A D --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- 二、填空题 11、4 12、![](./data/image/media/image8549.png){width="0.20833333333333334in" height="0.5416666666666666in"} 13、![](./data/image/media/image8679.png){width="0.28125in" height="0.5416666666666666in"} 14、![](./data/image/media/image8680.png){width="0.19791666666666666in" height="0.5416666666666666in"} 15、![](./data/image/media/image8681.png){width="0.19791666666666666in" height="0.5416666666666666in"} 三、解答题： 16：解：（1）因![](./data/image/media/image8682.png){width="2.2916666666666665in" height="0.5416666666666666in"}，故![](./data/image/media/image8683.png){width="1.7395833333333333in" height="0.5416666666666666in"} 由于曲线![](./data/image/media/image8684.png){width="0.8333333333333334in" height="0.3541666666666667in"}在点![](./data/image/media/image8685.png){width="0.7708333333333334in" height="0.3541666666666667in"}处的切线垂直于![](./data/image/media/image8686.png){width="0.19791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}轴，故该切线斜率为0，即![](./data/image/media/image8687.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3541666666666667in"}， 从而![](./data/image/media/image8688.png){width="1.1354166666666667in" height="0.5416666666666666in"}，解得![](./data/image/media/image8689.png){width="0.59375in" height="0.25in"} （2）由（1）知![](./data/image/media/image8690.png){width="2.90625in" height="0.5416666666666666in"}， ![](./data/image/media/image8691.png){width="3.0625in" height="0.5729166666666666in"} ![](./data/image/media/image8692.png){width="2.0520833333333335in" height="0.5416666666666666in"} 令![](./data/image/media/image8693.png){width="0.8541666666666666in" height="0.3541666666666667in"}，解得![](./data/image/media/image8694.png){width="1.2395833333333333in" height="0.5416666666666666in"}（因![](./data/image/media/image8695.png){width="0.7291666666666666in" height="0.5416666666666666in"}不在定义域内，舍去）， 当![](./data/image/media/image8696.png){width="0.7708333333333334in" height="0.3541666666666667in"}时，![](./data/image/media/image8697.png){width="0.8541666666666666in" height="0.3541666666666667in"}，故![](./data/image/media/image8698.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3541666666666667in"}在![](./data/image/media/image8699.png){width="0.46875in" height="0.3541666666666667in"}上为减函数； 当![](./data/image/media/image8700.png){width="0.9375in" height="0.3541666666666667in"}时，![](./data/image/media/image8701.png){width="0.8541666666666666in" height="0.3541666666666667in"}，故![](./data/image/media/image8698.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3541666666666667in"}在![](./data/image/media/image8702.png){width="0.625in" height="0.3541666666666667in"}上为增函数； 故![](./data/image/media/image8698.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3541666666666667in"}在![](./data/image/media/image8703.png){width="0.4583333333333333in" height="0.25in"}处取得极小值![](./data/image/media/image8704.png){width="0.7708333333333334in" height="0.3541666666666667in"}。 17、解：设![](./data/image/media/image8705.png){width="0.5625in" height="0.3125in"}分别表示甲、乙在第![](./data/image/media/image8706.png){width="0.17708333333333334in" height="0.25in"}次投篮投中，则 ![](./data/image/media/image8707.png){width="0.9375in" height="0.5416666666666666in"}，![](./data/image/media/image8708.png){width="0.9583333333333334in" height="0.5416666666666666in"}， ![](./data/image/media/image8709.png){width="0.9375in" height="0.3541666666666667in"} （1）记"甲获胜"为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知，![](./data/image/media/image8710.png){width="3.8541666666666665in" height="0.4166666666666667in"} ![](./data/image/media/image8711.png){width="5.458333333333333in" height="0.4166666666666667in"} ![](./data/image/media/image8712.png){width="2.7604166666666665in" height="0.6458333333333334in"} ![](./data/image/media/image8713.png){width="1.5520833333333333in" height="0.5416666666666666in"} （2）![](./data/image/media/image8714.png){width="0.17708333333333334in" height="0.28125in"}的所有可能为：![](./data/image/media/image8715.png){width="0.46875in" height="0.28125in"} 由独立性知：![](./data/image/media/image8716.png){width="3.6875in" height="0.5416666666666666in"} ![](./data/image/media/image8717.png){width="5.572916666666667in" height="0.6458333333333334in"} ![](./data/image/media/image8718.png){width="3.5833333333333335in" height="0.6458333333333334in"} 综上知，![](./data/image/media/image8714.png){width="0.17708333333333334in" height="0.28125in"}有分布列 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ![](./data/image/media/image8714.png){width="0.17708333333333334in" height="0.28125in"} 1 2 3 ![](./data/image/media/image8719.png){width="0.20833333333333334in" height="0.22916666666666666in"} ![](./data/image/media/image8720.png){width="0.20833333333333334in" height="0.5416666666666666in"} ![](./data/image/media/image8721.png){width="0.20833333333333334in" height="0.5416666666666666in"} ![](./data/image/media/image8722.png){width="0.19791666666666666in" height="0.5416666666666666in"} ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 从而，![](./data/image/media/image8723.png){width="2.4895833333333335in" height="0.5416666666666666in"}（次） 18、解：（1）![](./data/image/media/image8724.png){width="4.166666666666667in" height="0.6979166666666666in"} ![](./data/image/media/image8725.png){width="4.260416666666667in" height="0.3125in"} ![](./data/image/media/image8726.png){width="1.3958333333333333in" height="0.3125in"} 因![](./data/image/media/image8727.png){width="1.375in" height="0.25in"}，所以函数![](./data/image/media/image8684.png){width="0.8333333333333334in" height="0.3541666666666667in"}的值域为![](./data/image/media/image8728.png){width="1.3229166666666667in" height="0.4166666666666667in"} （2）因![](./data/image/media/image8729.png){width="0.78125in" height="0.28125in"}在每个闭区间![](./data/image/media/image8730.png){width="2.3854166666666665in" height="0.59375in"}上为增函数，故![](./data/image/media/image8731.png){width="1.8645833333333333in" height="0.3645833333333333in"}![](./data/image/media/image8732.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3541666666666667in"}在每个闭区间![](./data/image/media/image8733.png){width="2.46875in" height="0.59375in"}上为增函数。 依题意知![](./data/image/media/image8734.png){width="1.1145833333333333in" height="0.59375in"}![](./data/image/media/image8735.png){width="1.8229166666666667in" height="0.59375in"}对某个![](./data/image/media/image8736.png){width="0.5208333333333334in" height="0.25in"}成立，此时必有![](./data/image/media/image8737.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}，于是 ![](./data/image/media/image8738.png){width="1.21875in" height="1.1458333333333333in"}，解得![](./data/image/media/image8739.png){width="0.5416666666666666in" height="0.5416666666666666in"}，故![](./data/image/media/image8740.png){width="0.20833333333333334in" height="0.19791666666666666in"}的最大值为![](./data/image/media/image8741.png){width="0.19791666666666666in" height="0.5416666666666666in"}。 ![](./data/image/media/image8742.png){width="2.1770833333333335in" height="2.2395833333333335in"}19、解：（1）由![](./data/image/media/image8743.png){width="0.8541666666666666in" height="0.25in"},![](./data/image/media/image8744.png){width="0.22916666666666666in" height="0.22916666666666666in"}为![](./data/image/media/image8745.png){width="0.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}的中点，得![](./data/image/media/image8746.png){width="0.875in" height="0.25in"}，又![](./data/image/media/image8747.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3125in"}，故![](./data/image/media/image8748.png){width="1.375in" height="0.3125in"},所以点![](./data/image/media/image8749.png){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}到平面![](./data/image/media/image8750.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3125in"}的距离为![](./data/image/media/image8751.png){width="2.125in" height="0.3541666666666667in"} (2)如图，取![](./data/image/media/image8752.png){width="0.2604166666666667in" height="0.3125in"}为![](./data/image/media/image8753.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3125in"}的中点，连结![](./data/image/media/image8754.png){width="0.40625in" height="0.3125in"},则![](./data/image/media/image8755.png){width="1.40625in" height="0.3125in"},又由（1）知![](./data/image/media/image8748.png){width="1.375in" height="0.3125in"}，故![](./data/image/media/image8756.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3125in"}![](./data/image/media/image8757.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3125in"}，所以![](./data/image/media/image8758.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3125in"}为所求的二面角![](./data/image/media/image8759.png){width="1.0833333333333333in" height="0.3125in"}的平面角。 因![](./data/image/media/image8760.png){width="0.40625in" height="0.3125in"}为![](./data/image/media/image8761.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3125in"}在面![](./data/image/media/image8750.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3125in"}上的射影，又已知![](./data/image/media/image8762.png){width="0.9375in" height="0.3125in"}，由三垂线定理的逆定理得![](./data/image/media/image8763.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3125in"}，从而![](./data/image/media/image8764.png){width="1.375in" height="0.3125in"}都与![](./data/image/media/image8765.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3125in"}互余，因此![](./data/image/media/image8766.png){width="1.5104166666666667in" height="0.3125in"}，所以![](./data/image/media/image8767.png){width="1.875in" height="0.3125in"}，因此，![](./data/image/media/image8768.png){width="1.03125in" height="0.59375in"},即![](./data/image/media/image8769.png){width="1.6875in" height="0.3333333333333333in"},得![](./data/image/media/image8770.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3541666666666667in"}。 从而![](./data/image/media/image8771.png){width="2.2916666666666665in" height="0.40625in"},所以，在![](./data/image/media/image8772.png){width="0.90625in" height="0.3125in"}中，![](./data/image/media/image8773.png){width="2.59375in" height="0.6458333333333334in"} 20、解：设所求椭圆的标准方程为![](./data/image/media/image8774.png){width="1.9166666666666667in" height="0.5729166666666666in"}，右焦点为![](./data/image/media/image8775.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3541666666666667in"}。 因![](./data/image/media/image8776.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3125in"}是直角三角形，又![](./data/image/media/image8777.png){width="1.0833333333333333in" height="0.3541666666666667in"},故![](./data/image/media/image8778.png){width="0.71875in" height="0.3125in"}为直角，因此![](./data/image/media/image8779.png){width="1.03125in" height="0.3541666666666667in"},得![](./data/image/media/image8780.png){width="0.5104166666666666in" height="0.5416666666666666in"}。 结合![](./data/image/media/image8781.png){width="1.0104166666666667in" height="0.28125in"}得![](./data/image/media/image8782.png){width="1.1354166666666667in" height="0.28125in"}，故![](./data/image/media/image8783.png){width="1.5104166666666667in" height="0.3125in"}，所以离心率![](./data/image/media/image8784.png){width="1.1354166666666667in" height="0.5416666666666666in"}。 在![](./data/image/media/image8785.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3125in"}中，![](./data/image/media/image8786.png){width="0.9375in" height="0.3125in"}，故 ![](./data/image/media/image8787.png){width="3.7395833333333335in" height="0.5416666666666666in"} 由题设条件![](./data/image/media/image8788.png){width="0.90625in" height="0.3333333333333333in"}，得![](./data/image/media/image8789.png){width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}，从而![](./data/image/media/image8790.png){width="1.1875in" height="0.28125in"}。 因此所求椭圆的标准方程为： ![](./data/image/media/image8791.png){width="1.0104166666666667in" height="0.5729166666666666in"} （2）由（1）知![](./data/image/media/image8792.png){width="1.4479166666666667in" height="0.3125in"}，由题意知直线![](./data/image/media/image8793.png){width="0.125in" height="0.25in"}的倾斜角不为0，故可设直线![](./data/image/media/image8793.png){width="0.125in" height="0.25in"}的方程为：![](./data/image/media/image8794.png){width="0.9270833333333334in" height="0.28125in"}，代入椭圆方程得![](./data/image/media/image8795.png){width="2.2083333333333335in" height="0.3854166666666667in"}， 设![](./data/image/media/image8796.png){width="1.71875in" height="0.3541666666666667in"}，则![](./data/image/media/image8797.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3125in"}是上面方程的两根，因此 ![](./data/image/media/image8798.png){width="1.3958333333333333in" height="0.5416666666666666in"},![](./data/image/media/image8799.png){width="1.40625in" height="0.5416666666666666in"} 又![](./data/image/media/image8800.png){width="3.0208333333333335in" height="0.3645833333333333in"}，所以 ![](./data/image/media/image8801.png){width="2.8125in" height="0.3645833333333333in"} ![](./data/image/media/image8802.png){width="2.3125in" height="0.3541666666666667in"} ![](./data/image/media/image8803.png){width="2.8125in" height="0.3854166666666667in"} ![](./data/image/media/image8804.png){width="2.3854166666666665in" height="0.625in"} ![](./data/image/media/image8805.png){width="1.21875in" height="0.5729166666666666in"} 由![](./data/image/media/image8806.png){width="0.9375in" height="0.3125in"},得![](./data/image/media/image8807.png){width="1.1354166666666667in" height="0.3541666666666667in"},即![](./data/image/media/image8808.png){width="1.1979166666666667in" height="0.28125in"}，解得![](./data/image/media/image8809.png){width="0.6458333333333334in" height="0.25in"}， 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：![](./data/image/media/image8810.png){width="1.1875in" height="0.28125in"}和![](./data/image/media/image8811.png){width="1.1875in" height="0.28125in"} 21. （1）证明：由![](./data/image/media/image8812.png){width="1.1458333333333333in" height="0.3125in"}，得![](./data/image/media/image8813.png){width="1.4791666666666667in" height="0.3125in"}，即![](./data/image/media/image8814.png){width="0.78125in" height="0.3125in"}。 因![](./data/image/media/image8815.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3125in"}，故![](./data/image/media/image8816.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3125in"}，得![](./data/image/media/image8817.png){width="0.6666666666666666in" height="0.59375in"}， 又由题设条件知![](./data/image/media/image8818.png){width="1.4479166666666667in" height="0.3125in"}，![](./data/image/media/image8819.png){width="1.3020833333333333in" height="0.3125in"} 两式相减得![](./data/image/media/image8820.png){width="2.1875in" height="0.3541666666666667in"}，即![](./data/image/media/image8821.png){width="1.0625in" height="0.3125in"}， 由![](./data/image/media/image8815.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3125in"}，知![](./data/image/media/image8822.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3125in"}，因此![](./data/image/media/image8823.png){width="0.8020833333333334in" height="0.59375in"} 综上，![](./data/image/media/image8823.png){width="0.8020833333333334in" height="0.59375in"}对所有![](./data/image/media/image8824.png){width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"}成立，从而![](./data/image/media/image8825.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3541666666666667in"}是首项为1，公比为![](./data/image/media/image8826.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3125in"}的等比数列。 2. 当![](./data/image/media/image8827.png){width="0.4583333333333333in" height="0.25in"}或![](./data/image/media/image8828.png){width="0.17708333333333334in" height="0.22916666666666666in"}时，显然![](./data/image/media/image8829.png){width="1.3229166666666667in" height="0.5416666666666666in"}，等号成立。 设![](./data/image/media/image8830.png){width="0.46875in" height="0.25in"}，![](./data/image/media/image8831.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3125in"}且![](./data/image/media/image8815.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3125in"}，由（1）知，![](./data/image/media/image8816.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3125in"}，![](./data/image/media/image8832.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3333333333333333in"}，所以要证的不等式化为： ![](./data/image/media/image8833.png){width="3.6145833333333335in" height="0.5416666666666666in"} 即证：![](./data/image/media/image8834.png){width="3.6458333333333335in" height="0.5416666666666666in"} 当![](./data/image/media/image8835.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3125in"}时，上面不等式的等号成立。 当![](./data/image/media/image8836.png){width="0.9375in" height="0.3125in"}时，![](./data/image/media/image8837.png){width="0.5625in" height="0.3333333333333333in"}与![](./data/image/media/image8838.png){width="0.71875in" height="0.3333333333333333in"}，（![](./data/image/media/image8839.png){width="1.4791666666666667in" height="0.28125in"}）同为负； 当![](./data/image/media/image8840.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3125in"}时， ![](./data/image/media/image8837.png){width="0.5625in" height="0.3333333333333333in"}与![](./data/image/media/image8838.png){width="0.71875in" height="0.3333333333333333in"}，（![](./data/image/media/image8839.png){width="1.4791666666666667in" height="0.28125in"}）同为正； 因此当![](./data/image/media/image8831.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3125in"}且![](./data/image/media/image8841.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3125in"}时，总有 （![](./data/image/media/image8837.png){width="0.5625in" height="0.3333333333333333in"}）（![](./data/image/media/image8838.png){width="0.71875in" height="0.3333333333333333in"}）\>0,即 ![](./data/image/media/image8842.png){width="1.5833333333333333in" height="0.3333333333333333in"}，（![](./data/image/media/image8839.png){width="1.4791666666666667in" height="0.28125in"}）。 上面不等式对![](./data/image/media/image8843.png){width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}从1到![](./data/image/media/image8844.png){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}求和得，![](./data/image/media/image8845.png){width="3.28125in" height="0.3854166666666667in"} 由此得![](./data/image/media/image8846.png){width="3.0416666666666665in" height="0.5416666666666666in"} 综上，当![](./data/image/media/image8831.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3125in"}且![](./data/image/media/image8815.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3125in"}时，有![](./data/image/media/image8847.png){width="1.3229166666666667in" height="0.5416666666666666in"}，当且仅当![](./data/image/media/image8848.png){width="0.625in" height="0.28125in"}或![](./data/image/media/image8835.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3125in"}时等号成立。 2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） ============================================ 数学（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （1）命题"若p则q"的逆命题是 （A）若q则p （B）若![](./data/image/media/image8849.png){width="0.20833333333333334in" height="0.14583333333333334in"}p则![](./data/image/media/image8849.png){width="0.20833333333333334in" height="0.14583333333333334in"} q （C）若![](./data/image/media/image8850.png){width="0.3333333333333333in" height="0.22916666666666666in"}则![](./data/image/media/image8851.png){width="0.3333333333333333in" height="0.22916666666666666in"} （D）若p则![](./data/image/media/image8850.png){width="0.3333333333333333in" height="0.22916666666666666in"} ![](./data/image/media/image8852.jpeg){width="5.768055555555556in" height="0.7104166666666667in"}（2）不等式![](./data/image/media/image8853.png){width="0.8020833333333334in" height="0.5416666666666666in"} 的解集是为 （A）![](./data/image/media/image8854.png){width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"} （B） ![](./data/image/media/image8855.png){width="0.7708333333333334in" height="0.28125in"} （C）（-2，1）（D）![](./data/image/media/image8855.png){width="0.7708333333333334in" height="0.28125in"}∪![](./data/image/media/image8854.png){width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"} 【答案】：C 【解析】：![](./data/image/media/image8856.png){width="3.53125in" height="0.5416666666666666in"} 【考点定位】本题考查解分式不等式时，利用等价变形转化为整式不等式解． （3）设A，B为直线![](./data/image/media/image8857.png){width="0.5104166666666666in" height="0.22916666666666666in"}与圆![](./data/image/media/image8858.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3125in"} 的两个交点，则![](./data/image/media/image8859.png){width="0.59375in" height="0.28125in"} （A）1 （B）![](./data/image/media/image8530.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3020833333333333in"} （C）![](./data/image/media/image8529.png){width="0.3125in" height="0.3125in"} （D）2 【答案】：D 【解析】：直线![](./data/image/media/image8857.png){width="0.5104166666666666in" height="0.22916666666666666in"}过圆![](./data/image/media/image8858.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3125in"}的圆心![](./data/image/media/image8860.png){width="0.6458333333333334in" height="0.28125in"} 则![](./data/image/media/image8859.png){width="0.59375in" height="0.28125in"}2 【考点定位】本题考查圆的性质，属于基础题． （4）![](./data/image/media/image8861.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3125in"} 的展开式中![](./data/image/media/image8862.png){width="0.22916666666666666in" height="0.28125in"}的系数为 （A）-270 （B）-90 （C）90 （D）270 ![](./data/image/media/image8863.jpeg){width="5.768055555555556in" height="1.0847222222222221in"} （5）![](./data/image/media/image8864.png){width="1.9791666666666667in" height="0.5729166666666666in"} （A）![](./data/image/media/image8865.png){width="0.4895833333333333in" height="0.59375in"}（B）![](./data/image/media/image8866.png){width="0.3541666666666667in" height="0.5416666666666666in"}（C）![](./data/image/media/image8645.png){width="0.20833333333333334in" height="0.5416666666666666in"} （D）![](./data/image/media/image8867.png){width="0.3541666666666667in" height="0.59375in"} 【答案】：C 【解析】：![](./data/image/media/image8868.png){width="4.635416666666667in" height="0.5729166666666666in"} ![](./data/image/media/image8869.png){width="5.768055555555556in" height="0.5076388888888889in"} 【考点定位】本题考查三角恒等变化，其关键是利用![](./data/image/media/image8870.png){width="1.25in" height="0.28125in"} （6）设![](./data/image/media/image8871.png){width="0.5104166666666666in" height="0.25in"} ，向量![](./data/image/media/image8872.png){width="1.7083333333333333in" height="0.3333333333333333in"}且![](./data/image/media/image8873.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3020833333333333in"} ，则![](./data/image/media/image8874.png){width="0.71875in" height="0.3333333333333333in"} （A）![](./data/image/media/image8875.png){width="0.3125in" height="0.3125in"} （B）![](./data/image/media/image8876.png){width="0.40625in" height="0.3125in"} （C）![](./data/image/media/image8877.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3125in"} （D）![](./data/image/media/image8878.png){width="0.25in" height="0.25in"} 【答案】：![](./data/image/media/image8879.png){width="0.20833333333333334in" height="0.22916666666666666in"} ![](./data/image/media/image8880.jpeg){width="5.768055555555556in" height="1.2333333333333334in"}（7）已知![](./data/image/media/image8881.png){width="1.7083333333333333in" height="0.3541666666666667in"}，![](./data/image/media/image8882.png){width="1.7083333333333333in" height="0.3541666666666667in"}，![](./data/image/media/image8883.png){width="0.875in" height="0.3125in"}则a,b,c的大小关系是 （A） ![](./data/image/media/image8884.png){width="0.78125in" height="0.25in"} （B）![](./data/image/media/image8885.png){width="0.78125in" height="0.25in"} （C）![](./data/image/media/image8886.png){width="0.78125in" height="0.25in"} （D）![](./data/image/media/image8887.png){width="0.78125in" height="0.25in"} 【答案】：![](./data/image/media/image8879.png){width="0.20833333333333334in" height="0.22916666666666666in"} 【解析】：![](./data/image/media/image8888.png){width="4.104166666666667in" height="0.5416666666666666in"}， ![](./data/image/media/image8889.png){width="4.21875in" height="0.5416666666666666in"}，![](./data/image/media/image8890.png){width="2.3333333333333335in" height="0.59375in"}则![](./data/image/media/image8885.png){width="0.78125in" height="0.25in"} 【考点定位】本题考查对数函数运算． （8）设函数![](./data/image/media/image8624.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}在![](./data/image/media/image8891.png){width="0.20833333333333334in" height="0.22916666666666666in"}上可导，其导函数![](./data/image/media/image8892.png){width="0.5104166666666666in" height="0.28125in"}，且函数![](./data/image/media/image8624.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}在![](./data/image/media/image8893.png){width="0.59375in" height="0.25in"}处取得极小值，则函数![](./data/image/media/image8894.png){width="0.90625in" height="0.28125in"}的图象可能是 ![](./data/image/media/image8895.jpeg){width="5.364583333333333in" height="2.34375in"} 【答案】：C 【解析】：由函数![](./data/image/media/image8624.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}在![](./data/image/media/image8893.png){width="0.59375in" height="0.25in"}处取得极小值可知![](./data/image/media/image8896.png){width="0.59375in" height="0.25in"}，![](./data/image/media/image8897.png){width="0.8229166666666666in" height="0.28125in"}，则![](./data/image/media/image8898.png){width="0.8854166666666666in" height="0.28125in"}；![](./data/image/media/image8899.png){width="0.59375in" height="0.25in"}，![](./data/image/media/image8900.png){width="0.8229166666666666in" height="0.28125in"}则![](./data/image/media/image8901.png){width="0.90625in" height="0.25in"}时![](./data/image/media/image8902.png){width="0.8854166666666666in" height="0.28125in"}，![](./data/image/media/image8903.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}时![](./data/image/media/image8898.png){width="0.8854166666666666in" height="0.28125in"} 【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题． （9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，![](./data/image/media/image8530.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3020833333333333in"}和![](./data/image/media/image8904.png){width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}且长为![](./data/image/media/image8904.png){width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}的棱与长为![](./data/image/media/image8530.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3020833333333333in"}的棱异面，则![](./data/image/media/image8904.png){width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}的取值范围是 （A）![](./data/image/media/image8905.png){width="0.6458333333333334in" height="0.3333333333333333in"} （B）![](./data/image/media/image8906.png){width="0.625in" height="0.3333333333333333in"} （C）![](./data/image/media/image8907.png){width="0.6145833333333334in" height="0.3333333333333333in"}（D）![](./data/image/media/image8908.png){width="0.59375in" height="0.3333333333333333in"} ![](./data/image/media/image8909.jpeg){width="3.3645833333333335in" height="2.6041666666666665in"}【答案】：A 【解析】：![](./data/image/media/image8910.png){width="1.9791666666666667in" height="0.6458333333333334in"}，![](./data/image/media/image8911.png){width="0.8333333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，![](./data/image/media/image8912.png){width="1.40625in" height="0.3020833333333333in"}， 【考点定位】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题．． （10）设函数![](./data/image/media/image8913.png){width="2.7291666666666665in" height="0.3125in"}集合![](./data/image/media/image8914.png){width="2.2395833333333335in" height="0.28125in"} ![](./data/image/media/image8915.png){width="1.9166666666666667in" height="0.28125in"}则![](./data/image/media/image8916.png){width="0.6458333333333334in" height="0.2604166666666667in"}为 （A）![](./data/image/media/image8854.png){width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"} （B）（0，1） （C）（-1，1） （D）![](./data/image/media/image8917.png){width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"} 【答案】：D 【解析】：由![](./data/image/media/image8918.png){width="1.0416666666666667in" height="0.28125in"}得![](./data/image/media/image8919.png){width="1.8125in" height="0.3125in"}则![](./data/image/media/image8920.png){width="0.71875in" height="0.28125in"}或![](./data/image/media/image8921.png){width="0.75in" height="0.28125in"}即![](./data/image/media/image8922.png){width="0.8020833333333334in" height="0.28125in"}或![](./data/image/media/image8923.png){width="0.8333333333333334in" height="0.28125in"} 所以![](./data/image/media/image8924.png){width="0.4375in" height="0.25in"}或![](./data/image/media/image8925.png){width="0.875in" height="0.3125in"}；由![](./data/image/media/image8926.png){width="0.7708333333333334in" height="0.28125in"}得![](./data/image/media/image8927.png){width="0.8333333333333334in" height="0.28125in"}即![](./data/image/media/image8928.png){width="0.5625in" height="0.28125in"}所以![](./data/image/media/image8929.png){width="0.875in" height="0.3125in"}故![](./data/image/media/image8930.png){width="1.40625in" height="0.28125in"} ![](./data/image/media/image8931.jpeg){width="5.768055555555556in" height="0.4083333333333333in"}二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。 （11）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和![](./data/image/media/image8932.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3125in"} [ ]{.underline} 【答案】：15 【解析】：![](./data/image/media/image8933.png){width="1.34375in" height="0.5729166666666666in"} 【考点定位】本题考查等比数列的前n项和公式 （12）函数![](./data/image/media/image8934.png){width="1.7604166666666667in" height="0.28125in"} 为偶函数，则实数![](./data/image/media/image8935.png){width="0.3333333333333333in" height="0.19791666666666666in"} [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image8936.jpeg){width="5.768055555555556in" height="1.4236111111111112in"}（13）设△![](./data/image/media/image8937.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}的内角![](./data/image/media/image8938.png){width="0.875in" height="0.25in"} 的对边分别为![](./data/image/media/image8939.png){width="0.75in" height="0.25in"}，且![](./data/image/media/image8940.png){width="1.7916666666666667in" height="0.5416666666666666in"}，则![](./data/image/media/image8941.png){width="0.6458333333333334in" height="0.25in"} [ ]{.underline} 【答案】：![](./data/image/media/image8942.png){width="0.4375in" height="0.59375in"} ![](./data/image/media/image8943.jpeg){width="5.768055555555556in" height="1.5708333333333333in"}（14）设![](./data/image/media/image8719.png){width="0.20833333333333334in" height="0.22916666666666666in"}为直线![](./data/image/media/image8944.png){width="0.7708333333333334in" height="0.5416666666666666in"}与双曲线![](./data/image/media/image8945.png){width="2.0520833333333335in" height="0.5729166666666666in"} 左支的交点，![](./data/image/media/image8946.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3125in"}是左焦点，![](./data/image/media/image8947.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}垂直于![](./data/image/media/image8636.png){width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}轴，则双曲线的离心率![](./data/image/media/image8948.png){width="0.3125in" height="0.19791666666666666in"} [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image8949.jpeg){width="5.768055555555556in" height="2.05in"}（15）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为 [ ]{.underline} （用数字作答）。 【答案】：![](./data/image/media/image8950.png){width="0.19791666666666666in" height="0.5416666666666666in"} ![](./data/image/media/image8951.jpeg){width="5.768055555555556in" height="2.1173611111111112in"}三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分））已知![](./data/image/media/image8952.png){width="0.15625in" height="0.25in"}![](./data/image/media/image8953.png){width="0.40625in" height="0.3125in"}为等差数列，且![](./data/image/media/image8954.png){width="1.9791666666666667in" height="0.3125in"}（Ⅰ）求数列![](./data/image/media/image8953.png){width="0.40625in" height="0.3125in"}的通项公式；（Ⅱ）记![](./data/image/media/image8953.png){width="0.40625in" height="0.3125in"}的前![](./data/image/media/image8955.png){width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"}项和为![](./data/image/media/image8956.png){width="0.2604166666666667in" height="0.3125in"}，若![](./data/image/media/image8957.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3125in"}成等比数列，求正整数![](./data/image/media/image8958.png){width="0.17708333333333334in" height="0.25in"}的值。 【答案】：（Ⅰ）![](./data/image/media/image8959.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3125in"}![](./data/image/media/image8960.png){width="0.28125in" height="0.25in"}（Ⅱ）![](./data/image/media/image8961.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"} 【解析】：：（Ⅰ）设数列![](./data/image/media/image8953.png){width="0.40625in" height="0.3125in"} 的公差为d,由题意知![](./data/image/media/image8962.png){width="1.2708333333333333in" height="0.6666666666666666in"} 解得![](./data/image/media/image8963.png){width="1.0625in" height="0.3125in"} 所以![](./data/image/media/image8964.png){width="2.96875in" height="0.3125in"} （Ⅱ）由（Ⅰ）可得![](./data/image/media/image8965.png){width="3.125in" height="0.5416666666666666in"} 因![](./data/image/media/image8957.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3125in"} 成等比数列，所以![](./data/image/media/image8966.png){width="1.03125in" height="0.3333333333333333in"} 从而![](./data/image/media/image8967.png){width="1.9166666666666667in" height="0.3125in"} ，即 ![](./data/image/media/image8968.png){width="1.25in" height="0.28125in"} 解得![](./data/image/media/image8961.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"} 或![](./data/image/media/image8969.png){width="0.59375in" height="0.25in"}（舍去），因此![](./data/image/media/image8961.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"} 。 17．（本小题满分13分）已知函数![](./data/image/media/image8970.png){width="1.6145833333333333in" height="0.3125in"}在![](./data/image/media/image8971.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}处取得极值为![](./data/image/media/image8972.png){width="0.5208333333333334in" height="0.25in"} （1）求a、b的值；（2）若![](./data/image/media/image8624.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}有极大值28，求![](./data/image/media/image8624.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}在![](./data/image/media/image8973.png){width="0.5625in" height="0.28125in"}上的最大值． 【答案】：（Ⅰ）![](./data/image/media/image8974.png){width="0.3125in" height="0.5416666666666666in"}（Ⅱ）![](./data/image/media/image8975.png){width="0.3125in" height="0.5416666666666666in"} 【解析】：：（Ⅰ）因![](./data/image/media/image8970.png){width="1.6145833333333333in" height="0.3125in"} 故![](./data/image/media/image8976.png){width="1.3958333333333333in" height="0.3125in"} 由于![](./data/image/media/image8624.png){width="0.46875in" height="0.28125in"} 在点![](./data/image/media/image8971.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"} 处取得极值 故有![](./data/image/media/image8977.png){width="1.2395833333333333in" height="0.625in"}即![](./data/image/media/image8978.png){width="1.71875in" height="0.625in"} ，化简得![](./data/image/media/image8979.png){width="1.09375in" height="0.625in"}解得![](./data/image/media/image8980.png){width="0.8020833333333334in" height="0.625in"} （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ![](./data/image/media/image8981.png){width="1.6145833333333333in" height="0.3125in"}，![](./data/image/media/image8982.png){width="1.375in" height="0.3125in"} 令![](./data/image/media/image8983.png){width="0.8229166666666666in" height="0.28125in"} ，得![](./data/image/media/image8984.png){width="1.2395833333333333in" height="0.3125in"}当![](./data/image/media/image8985.png){width="1.0833333333333333in" height="0.28125in"}时，![](./data/image/media/image8900.png){width="0.8229166666666666in" height="0.28125in"}故![](./data/image/media/image8624.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}在![](./data/image/media/image8855.png){width="0.7708333333333334in" height="0.28125in"}上为增函数； 当![](./data/image/media/image8986.png){width="0.90625in" height="0.28125in"} 时，![](./data/image/media/image8897.png){width="0.8229166666666666in" height="0.28125in"} 故![](./data/image/media/image8624.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}在![](./data/image/media/image8987.png){width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"} 上为减函数 当![](./data/image/media/image8988.png){width="0.9583333333333334in" height="0.28125in"} 时![](./data/image/media/image8900.png){width="0.8229166666666666in" height="0.28125in"} ，故![](./data/image/media/image8624.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}在![](./data/image/media/image8989.png){width="0.6666666666666666in" height="0.28125in"} 上为增函数。 由此可知![](./data/image/media/image8624.png){width="0.46875in" height="0.28125in"} 在![](./data/image/media/image8990.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3125in"} 处取得极大值![](./data/image/media/image8991.png){width="1.25in" height="0.28125in"}，![](./data/image/media/image8624.png){width="0.46875in" height="0.28125in"} 在![](./data/image/media/image8992.png){width="0.5625in" height="0.3125in"} 处取得极小值![](./data/image/media/image8993.png){width="1.1354166666666667in" height="0.28125in"}由题设条件知![](./data/image/media/image8994.png){width="0.9375in" height="0.25in"} 得![](./data/image/media/image8995.png){width="0.5625in" height="0.25in"}此时![](./data/image/media/image8996.png){width="3.0208333333333335in" height="0.28125in"}，![](./data/image/media/image8997.png){width="1.5625in" height="0.28125in"}因此![](./data/image/media/image8624.png){width="0.46875in" height="0.28125in"} 上![](./data/image/media/image8973.png){width="0.5625in" height="0.28125in"}的最小值为![](./data/image/media/image8998.png){width="0.8854166666666666in" height="0.28125in"} 【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．（1）先对函数![](./data/image/media/image8624.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}进行求导，根据![](./data/image/media/image8999.png){width="0.8229166666666666in" height="0.28125in"}=0，![](./data/image/media/image8993.png){width="1.1354166666666667in" height="0.28125in"}，求出a，b的值．（1）根据函数![](./data/image/media/image8624.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a，b的值，再令导数等于0，求出极值点，判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值．再代入原函数求出极大值和极小值．（2）列表比较函数的极值与端点函数值的大小，端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值． 18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分） 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为![](./data/image/media/image8510.png){width="0.19791666666666666in" height="0.5416666666666666in"}，乙每次投篮投中的概率为![](./data/image/media/image8645.png){width="0.20833333333333334in" height="0.5416666666666666in"}，且各次投篮互不影响。（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率。 【答案】：（Ⅰ）![](./data/image/media/image8974.png){width="0.3125in" height="0.5416666666666666in"}（Ⅱ）![](./data/image/media/image8975.png){width="0.3125in" height="0.5416666666666666in"} ![](./data/image/media/image9000.jpeg){width="5.768055555555556in" height="2.167361111111111in"}独立事件同时发生的概率计算公式知![](./data/image/media/image9001.png){width="3.2708333333333335in" height="0.3541666666666667in"} ![](./data/image/media/image9002.png){width="4.791666666666667in" height="0.3541666666666667in"}![](./data/image/media/image9003.png){width="2.5in" height="0.5416666666666666in"} 19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）设函数![](./data/image/media/image9004.png){width="1.7916666666666667in" height="0.28125in"}（其中![](./data/image/media/image9005.png){width="2.0520833333333335in" height="0.28125in"} ）在![](./data/image/media/image9006.png){width="0.5416666666666666in" height="0.5416666666666666in"}处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为![](./data/image/media/image9007.png){width="0.22916666666666666in" height="0.5416666666666666in"}（I）求![](./data/image/media/image8624.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}的解析式； （II）求函数![](./data/image/media/image9008.png){width="2.2291666666666665in" height="0.8333333333333334in"}的值域。 【答案】：（Ⅰ）![](./data/image/media/image9009.png){width="0.5729166666666666in" height="0.5416666666666666in"}（Ⅱ）![](./data/image/media/image9010.png){width="1.1875in" height="0.5416666666666666in"} ![](./data/image/media/image9011.jpeg){width="5.768055555555556in" height="2.5097222222222224in"}![](./data/image/media/image9012.png){width="2.5520833333333335in" height="0.5416666666666666in"}因![](./data/image/media/image9013.png){width="1.1354166666666667in" height="0.3125in"}，且![](./data/image/media/image9014.png){width="0.9270833333333334in" height="0.5416666666666666in"} 故![](./data/image/media/image8641.png){width="0.4583333333333333in" height="0.28125in"} 的值域为![](./data/image/media/image9010.png){width="1.1875in" height="0.5416666666666666in"} ![](./data/image/media/image9015.jpeg){width="2.1875in" height="2.8541666666666665in"}（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知直三棱柱![](./data/image/media/image9016.png){width="1.1979166666666667in" height="0.3125in"}中，![](./data/image/media/image9017.png){width="0.6666666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，![](./data/image/media/image9018.png){width="1.1666666666666667in" height="0.25in"}，![](./data/image/media/image8744.png){width="0.22916666666666666in" height="0.22916666666666666in"}为![](./data/image/media/image8745.png){width="0.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}的中点。（Ⅰ）求异面直线![](./data/image/media/image9019.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3125in"}和![](./data/image/media/image8745.png){width="0.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}的距离；（Ⅱ）若![](./data/image/media/image8762.png){width="0.9375in" height="0.3125in"}，求二面角![](./data/image/media/image9020.png){width="1.0833333333333333in" height="0.3125in"}的平面角的余弦值。 【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）![](./data/image/media/image8510.png){width="0.19791666666666666in" height="0.5416666666666666in"} 【解析】：（Ⅰ）如答（20）图1，因AC=BC， D为AB的中点，故CD ![](./data/image/media/image9021.png){width="0.20833333333333334in" height="0.22916666666666666in"}AB。又直三棱柱中，![](./data/image/media/image9022.png){width="0.59375in" height="0.3125in"} 面![](./data/image/media/image8937.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"} ，故![](./data/image/media/image9023.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3125in"} ，所以异面直线![](./data/image/media/image9019.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3125in"} 和AB的距离为![](./data/image/media/image9024.png){width="2.03125in" height="0.3541666666666667in"} （Ⅱ）：由![](./data/image/media/image9025.png){width="1.8229166666666667in" height="0.3125in"}故![](./data/image/media/image9026.png){width="0.5416666666666666in" height="0.25in"} 面![](./data/image/media/image8750.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3125in"} ，从而![](./data/image/media/image9027.png){width="0.90625in" height="0.3125in"} ，![](./data/image/media/image9028.png){width="0.90625in" height="0.3125in"}故![](./data/image/media/image9029.png){width="0.6979166666666666in" height="0.3125in"} 为所求的二面角![](./data/image/media/image9020.png){width="1.0833333333333333in" height="0.3125in"}的平面角。 因![](./data/image/media/image8760.png){width="0.40625in" height="0.3125in"}是![](./data/image/media/image8761.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3125in"}在面![](./data/image/media/image8750.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3125in"}上的射影，又已知![](./data/image/media/image9030.png){width="0.9895833333333334in" height="0.3125in"} 由三垂线定理的逆定理得![](./data/image/media/image9031.png){width="0.9895833333333334in" height="0.3125in"}从而![](./data/image/media/image9032.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3125in"}，![](./data/image/media/image9033.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3125in"}都与![](./data/image/media/image8765.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3125in"}互余，因此![](./data/image/media/image8766.png){width="1.5104166666666667in" height="0.3125in"}，所以![](./data/image/media/image9034.png){width="0.8541666666666666in" height="0.3125in"}≌![](./data/image/media/image9035.png){width="0.875in" height="0.3125in"}，因此![](./data/image/media/image8768.png){width="1.03125in" height="0.59375in"}得![](./data/image/media/image9036.png){width="1.71875in" height="0.3333333333333333in"} 从而![](./data/image/media/image9037.png){width="3.7395833333333335in" height="0.40625in"} 所以在![](./data/image/media/image9038.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3125in"}中，由余弦定理得![](./data/image/media/image9039.png){width="3.09375in" height="0.625in"} （21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） ![](./data/image/media/image9040.jpeg){width="4.479166666666667in" height="3.5729166666666665in"}已知椭圆的中心为原点![](./data/image/media/image9041.png){width="0.20833333333333334in" height="0.25in"}，长轴在![](./data/image/media/image8636.png){width="0.17708333333333334in" height="0.19791666666666666in"} 轴上，上顶点为![](./data/image/media/image9042.png){width="0.20833333333333334in" height="0.22916666666666666in"} ，左、右焦点分别为![](./data/image/media/image9043.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3125in"} ，线段![](./data/image/media/image9044.png){width="0.78125in" height="0.3125in"} 的中点分别为![](./data/image/media/image9045.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3125in"} ，且△![](./data/image/media/image9046.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3125in"}是面积为4的直角三角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过![](./data/image/media/image9047.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3125in"} 作直线交椭圆于![](./data/image/media/image9048.png){width="0.4375in" height="0.28125in"}，![](./data/image/media/image9049.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3125in"}，求△![](./data/image/media/image9050.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3125in"}的面积 【答案】：（Ⅰ）![](./data/image/media/image9051.png){width="0.3125in" height="0.5729166666666666in"}+![](./data/image/media/image9052.png){width="0.3125in" height="0.5729166666666666in"}=1（Ⅱ）![](./data/image/media/image9053.png){width="0.625in" height="0.59375in"} ![](./data/image/media/image9054.jpeg){width="5.768055555555556in" height="2.4805555555555556in"}，![](./data/image/media/image9055.png){width="1.03125in" height="0.3125in"} ![](./data/image/media/image9056.jpeg){width="5.768055555555556in" height="2.3006944444444444in"}（\*） 设![](./data/image/media/image9057.png){width="1.6354166666666667in" height="0.3125in"} 则![](./data/image/media/image8797.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3125in"} 是上面方程的两根，因此![](./data/image/media/image9058.png){width="1.4583333333333333in" height="0.5416666666666666in"} ![](./data/image/media/image9059.png){width="1.3020833333333333in" height="0.5416666666666666in"} 又![](./data/image/media/image9060.png){width="2.9375in" height="0.3541666666666667in"}，所以![](./data/image/media/image9061.png){width="2.2395833333333335in" height="0.3541666666666667in"} ![](./data/image/media/image9062.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3125in"}![](./data/image/media/image9063.png){width="2.2395833333333335in" height="0.3125in"}![](./data/image/media/image9064.png){width="1.1979166666666667in" height="0.3333333333333333in"}![](./data/image/media/image9065.png){width="1.5104166666666667in" height="0.3125in"}![](./data/image/media/image9066.png){width="2.3333333333333335in" height="0.5729166666666666in"} ![](./data/image/media/image8805.png){width="1.21875in" height="0.5729166666666666in"}由![](./data/image/media/image9049.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3125in"} ，知![](./data/image/media/image9067.png){width="1.1666666666666667in" height="0.3541666666666667in"} ，即![](./data/image/media/image8808.png){width="1.1979166666666667in" height="0.28125in"} ，解得![](./data/image/media/image8809.png){width="0.6458333333333334in" height="0.25in"} 当![](./data/image/media/image9068.png){width="0.5416666666666666in" height="0.25in"} 时，方程（\*）化为：![](./data/image/media/image9069.png){width="1.4479166666666667in" height="0.3125in"} 故![](./data/image/media/image9070.png){width="2.5in" height="0.59375in"} ，![](./data/image/media/image9071.png){width="1.3958333333333333in" height="0.59375in"} ![](./data/image/media/image9072.png){width="0.6458333333333334in" height="0.3125in"}的面积![](./data/image/media/image9073.png){width="2.5520833333333335in" height="0.59375in"} 当![](./data/image/media/image9074.png){width="0.6458333333333334in" height="0.25in"} 时，同理可得（或由对称性可得）![](./data/image/media/image9072.png){width="0.6458333333333334in" height="0.3125in"} 的面积![](./data/image/media/image9075.png){width="0.9791666666666666in" height="0.59375in"} 综上所述，![](./data/image/media/image9072.png){width="0.6458333333333334in" height="0.3125in"} 的面积为![](./data/image/media/image9053.png){width="0.625in" height="0.59375in"} 。 2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版） ============================================ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x\|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可． 【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x\|x=a+b，a∈A，b∈B}， 所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个． 故选：B． 【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 　 2．（5分）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9076.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣8i D．8i 【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虚根的性质（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9077.png){width="1.2395833333333333in" height="0.4479166666666667in"}），化简即可． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9078.png){width="3.34375in" height="0.4479166666666667in"} 故选：A． 【点评】复数代数形式的运算，是基础题． 　 3．（5分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9079.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（λ+1，1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9080.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（λ+2，2），若（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9079.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9080.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）⊥（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9079.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9080.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}），则λ=（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9081.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9082.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9083.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}=（2λ+3，3），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9084.png){width="1.0833333333333333in" height="0.22916666666666666in"}． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9085.png){width="1.1875in" height="0.20833333333333334in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9086.png){width="1.1041666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0， ∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3． 故选：B． 【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键． 　 4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（　　） A．（﹣1，1） B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9087.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．（﹣1，0） D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9088.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解． 【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0）， ∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image167.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ∴则函数f（2x+1）的定义域为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9087.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． 【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题． 　 5．（5分）函数f（x）=log2（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9089.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9090.png){width="0.9375in" height="0.4270833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9091.png){width="0.9375in" height="0.4270833333333333in"} C．2x﹣1（x∈R） D．2x﹣1（x＞0） 【分析】把y看作常数，求出x：x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9092.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，x，y互换，得到y=log2（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9093.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）的反函数．注意反函数的定义域． 【解答】解：设y=log2（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9093.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）， 把y看作常数，求出x： 1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9093.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2y，x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9094.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，其中y＞0， x，y互换，得到y=log2（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9093.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）的反函数：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9095.png){width="0.9375in" height="0.4270833333333333in"}， 故选：A． 【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化． 　 6．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9096.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则{an}的前10项和等于（　　） A．﹣6（1﹣3﹣10） B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9097.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"} C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10） 【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9098.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}为公比的等比数列，结合已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9099.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求 【解答】解：∵3an+1+an=0 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9100.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"} ∴数列{an}是以﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9098.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}为公比的等比数列 ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9099.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"} ∴a1=4 由等比数列的求和公式可得，S10=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9101.png){width="1.0520833333333333in" height="0.7604166666666666in"}=3（1﹣3﹣10） 故选：C． 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题 　 7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（　　） A．5 B．8 C．12 D．18 【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开式中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果． 【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为Tr+1=C3rxr 令r=2得到展开式中x2的系数是C32=3， （1+y）4的展开式的通项为Tr+1=C4ryr 令r=2得到展开式中y2的系数是C42=6， （1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：3×6=18， 故选：D． 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的． 　 8．（5分）椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9102.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是\[﹣2，﹣1\]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9103.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9104.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9105.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9106.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】由椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9107.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9108.png){width="0.7395833333333334in" height="0.59375in"}．利用斜率计算公式可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9109.png){width="0.8125in" height="0.2604166666666667in"}，再利用已知给出的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9110.png){width="0.3541666666666667in" height="0.2604166666666667in"}的范围即可解出． 【解答】解：由椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9111.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）． 设P（x0，y0）（x0≠±2），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9112.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9113.png){width="0.7395833333333334in" height="0.59375in"}． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9114.png){width="0.3541666666666667in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9115.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9116.png){width="0.3541666666666667in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9117.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9118.png){width="0.8125in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9119.png){width="0.4166666666666667in" height="0.59375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9120.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9121.png){width="1.0625in" height="0.2604166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9122.png){width="1.28125in" height="0.4583333333333333in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9123.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． 【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键． 　 9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9124.png){width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"}是增函数，则a的取值范围是（　　） A．\[﹣1，0\] B．\[﹣1，+∞） C．\[0，3\] D．\[3，+∞） 【分析】由函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9125.png){width="1.125in" height="0.3645833333333333in"}在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image124.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）上是增函数，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9126.png){width="1.25in" height="0.4270833333333333in"}≥0在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image124.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9127.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣2x在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image124.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）上恒成立，构造函数求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9127.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣2x在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9128.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）上的最值，可得a的取值范围． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9129.png){width="1.125in" height="0.3645833333333333in"}在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9128.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）上是增函数， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9130.png){width="1.25in" height="0.4270833333333333in"}≥0在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9128.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）上恒成立， 即a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9131.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣2x在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9128.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）上恒成立， 令h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9132.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣2x， 则h′（x）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9133.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣2， 当x∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9134.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数． ∴h（x）＜h（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9134.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=3 ∴a≥3． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档． 　 10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9135.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9136.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9137.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9138.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9139.png){width="1.4375in" height="0.2708333333333333in"}的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9140.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ， 则sinθ=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9141.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}\|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可． 【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9142.png){width="1.4375in" height="0.2708333333333333in"}的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 如下图所示： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9143.png){width="1.15625in" height="1.6041666666666667in"} 则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9144.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（1，1，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9145.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（1，0，﹣2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9146.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（1，0，0）， 设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9147.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9148.png){width="0.8020833333333334in" height="0.5416666666666666in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9149.png){width="0.625in" height="0.40625in"}，取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9147.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（2，﹣2，1）， 设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9150.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9151.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：A． 【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键． 　 11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9152.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，则k=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9153.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9154.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9155.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．2 【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9156.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值． 【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0）， 由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2）， 代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）． ∴x1+x2=4+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9157.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，x1x2=4． ∴y1+y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9158.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，y1y2=﹣16， 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9156.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9156.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9159.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4270833333333333in"}=0 ∴k=2． 故选：D． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 12．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（　　） A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9160.png){width="2.09375in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9161.png){width="1.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} D．f（x）既是奇函数，又是周期函数 【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对A、B两项加以验证，可得它们都正确．根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得f（x）=2sinx（1﹣sin2x），再换元：令t=sinx，得到关于t的三次函数，利用导数研究此函数的单调性可得f（x）的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9162.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，故C不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得D项正确．由此可得本题的答案． 【解答】解：对于A，因为f（π+x）=cos（π+x）sin（2π+2x）=﹣cosxsin2x， f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin（2π﹣2x）=cosxsin2x，所以f（π+x）+f（π﹣x）=0， 可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A正确； 对于B，因为f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9163.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+x）=cos（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9163.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+x）sin（π+2x）=﹣sinx（﹣sin2x）=sinxsin2x， f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9164.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣x）=cos（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9164.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣x）sin（π﹣2x）=sinxsin2x，所以f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9164.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+x）=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9164.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣x）， 可得y=f（x）的图象关于直线x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9164.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}对称，故B正确； 对于C，化简得f（x）=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx（1﹣sin2x）， 令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1﹣t2），﹣1≤t≤1， ∵g（t）=2t（1﹣t2）的导数g\'（t）=2﹣6t2=2（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9165.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}t）（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9165.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}t） ∴当t∈（﹣1，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9166.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）时或t∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9167.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，1）时g\'（t）＜0，函数g（t）为减函数； 当t∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9167.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9167.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）时g\'（t）＞0，函数g（t）为增函数． 因此函数g（t）的最大值为t=﹣1时或t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9167.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}时的函数值， 结合g（﹣1）=0＜g（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9167.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9168.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，可得g（t）的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9168.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 由此可得f（x）的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9169.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}而不是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9170.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，故C不正确； 对于D，因为f（﹣x）=cos（﹣x）sin（﹣2x）=﹣cosxsin2x=﹣f（x），所以f（x）是奇函数． 因为f（2π+x）=cos（2π+x）sin（4π+2x）=cosxsin2x=f（x）， 所以2π为函数的一个周期，得f（x）为周期函数．可得f（x）既是奇函数，又是周期函数，得D正确． 综上所述，只有C项不正确． 故选：C． 【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性．着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识，属于中档题． 　 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9171.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则cotα=　2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9172.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}　． 【分析】根据α是第三象限的角，得到cosα小于0，然后由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出cotα的值． 【解答】解：由α是第三象限的角，得到cosα＜0， 又sinα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9171.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，所以cosα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9173.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9174.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} 则cotα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9175.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9176.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 故答案为：2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9176.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时注意α的范围． 　 14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有　480　种．（用数字作答） 【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可． 【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9177.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}中方法， 然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9178.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}种方法， 所以共有：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9179.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}=480． 故答案为：480． 【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题． 　 15．（5分）记不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9180.png){width="0.7083333333333334in" height="0.6458333333333334in"}所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是　\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9181.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，4\]　． 【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9182.png){width="0.7083333333333334in" height="0.6458333333333334in"}的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可． 【解答】解：满足约束条件 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9182.png){width="0.7083333333333334in" height="0.6458333333333334in"}的平面区域如图示： 因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）． 所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4， 当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9183.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9183.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤a≤4． 故答案为：\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9183.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，4\] ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9184.png){width="1.5520833333333333in" height="1.5520833333333333in"} 【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用"角点法"，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解． 　 16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9185.png){width="3.2604166666666665in" height="0.3645833333333333in"}，则球O的表面积等于　16π　． 【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论． 【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角 根据题意得OC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9186.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，CK=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9187.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} 在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9188.png){width="1.0833333333333333in" height="0.3645833333333333in"} ∴r2=4 ∴球O的表面积等于4πr2=16π 故答案为16π ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9189.png){width="2.2291666666666665in" height="2.1979166666666665in"} 【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式． 【分析】由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9190.png){width="0.5833333333333334in" height="0.28125in"}，结合等差数列的求和公式可求a2，然后由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9191.png){width="0.875in" height="0.28125in"}，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，即可求解通项公式 【解答】解：设数列的公差为d 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9192.png){width="0.5833333333333334in" height="0.28125in"}得，3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9193.png){width="0.5833333333333334in" height="0.28125in"} ∴a2=0或a2=3 由题意可得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9194.png){width="0.875in" height="0.28125in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9195.png){width="2.125in" height="0.28125in"} 若a2=0，则可得d2=﹣2d2即d=0不符合题意 若a2=3，则可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d） 解可得d=0或d=2 ∴an=3或an=2n﹣1 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于基础试题 　 18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac． （Ⅰ）求B． （Ⅱ）若sinAsinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9196.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，求C． 【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数； （II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数． 【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac， ∴a2+c2﹣b2=﹣ac， ∴cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9197.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9198.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 又B为三角形的内角， 则B=120°； （II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9196.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，cos（A+C）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9198.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9198.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9199.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9200.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°， 则C=15°或C=45°． 【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 　 19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形． （Ⅰ）证明：PB⊥CD； （Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9201.png){width="2.4583333333333335in" height="1.1458333333333333in"} 【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，过点P作PO⊥平面ABCD于O，连接OA、OB、OD、OE．可证出四边形ABED是正方形，且O为正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，结合三垂线定理，证出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位线，可得OE∥CD，因此PB⊥CD； （II）由（I）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角，连接AG、EG，则EG∥PB，可得EG⊥OE．设AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的长，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9202.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大小． 【解答】解：（I）取BC的中点E，连接DE，可得四边形ABED是正方形 过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE ∵△PAB与△PAD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD 因此，O是正方形ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB ∵PO⊥平面ABCD，得直线OB是直线PB在内的射影，∴OE⊥PB ∵△BCD中，E、O分别为BC、BD的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD； （II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB ∵PO、PB是平面PBD内的相交直线，∴CD⊥平面PBD ∵PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD 取PD的中点F，PC的中点G，连接FG， 则FG为△PCD有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD 连接AF，由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角 连接AG、EG，则EG∥PB ∵PB⊥OE，∴EG⊥OE， 设AB=2，则AE=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9203.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，EG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9204.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}PB=1，故AG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9205.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=3 在△AFG中，FG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9204.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}CD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9203.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9206.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AG=3 ∴cos∠AFG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9207.png){width="0.90625in" height="0.3854166666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9208.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，得∠AFG=π﹣arccos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9208.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9208.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9209.png){width="2.4583333333333335in" height="1.15625in"} 【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识，属于中档题． 　 20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9210.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判． （Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率； （Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望． 【分析】（I）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可． （II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可． 【解答】解：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判． 则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9211.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； （Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜． B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负， 则P（X=0）=P（B1B2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9212.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}）=P（B1）P（B2）P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9212.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9213.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． P（X=2）=P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9214.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}B3）=P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9214.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}）P（B3）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9215.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9216.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 从而EX=0×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9217.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+1×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9216.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9215.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9218.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力． 　 21．（12分）已知双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9219.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9220.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （I）求a，b； （II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且\|AF1\|=\|BF1\|，证明：\|AF2\|、\|AB\|、\|BF2\|成等比数列． 【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9221.png){width="2.3958333333333335in" height="0.20833333333333334in"}建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程； （II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9222.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9223.png){width="1.0104166666666667in" height="0.4791666666666667in"}，再利用\|AF1\|=\|BF1\|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9224.png){width="0.8125in" height="0.3645833333333333in"}，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：\|AF2\|、\|AB\|、\|BF2\|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论． 【解答】解：（I）由题设知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9225.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=3，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9226.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}=9，故b2=8a2 所以C的方程为8x2﹣y2=8a2 将y=2代入上式，并求得x=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9227.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3854166666666667in"}， 由题设知，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9227.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9228.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，解得a2=1 所以a=1，b=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9229.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} （II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ① 由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），\|k\|＜2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9229.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9230.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9231.png){width="1.0104166666666667in" height="0.4791666666666667in"}，于是 \|AF1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9232.png){width="2.875in" height="0.3020833333333333in"}=﹣（3x1+1）， \|BF1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9233.png){width="2.875in" height="0.3020833333333333in"}=3x2+1， \|AF1\|=\|BF1\|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9234.png){width="0.8125in" height="0.3645833333333333in"} 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9235.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9236.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9237.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}，从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9238.png){width="1.0104166666666667in" height="0.4791666666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9239.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 由于\|AF2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9240.png){width="2.875in" height="0.3020833333333333in"}=1﹣3x1， \|BF2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9241.png){width="2.875in" height="0.3020833333333333in"}=3x2﹣1， 故\|AB\|=\|AF2\|﹣\|BF2\|=2﹣3（x1+x2）=4，\|AF2\|\|BF2\|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16 因而\|AF2\|\|BF2\|=\|AB\|2，所以\|AF2\|、\|AB\|、\|BF2\|成等比数列 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴． 　 22．（12分）已知函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9242.png){width="1.8229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． （I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值； （II）设数列{an}的通项an=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9243.png){width="2.875in" height="0.3645833333333333in"}． 【分析】（I）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值； （II）根据（I）的证明，可取λ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9244.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，由于x＞0时，f（x）＜0得出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9245.png){width="1.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，考察发现，若取x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9246.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则可得出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9247.png){width="1.4791666666666667in" height="0.3645833333333333in"}，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论 【解答】解：（I）由已知，f（0）=0， f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9248.png){width="2.2916666666666665in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9249.png){width="1.1666666666666667in" height="0.4791666666666667in"}， ∴f′（0）=0 欲使x≥0时，f（x）≤0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立， 当λ≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意， 若0＜λ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9250.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，由f′（x）＞0解得x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9251.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}，则当0＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9251.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}，f′（x）＞0，所以当0＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9251.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}时，f（x）＞0，此时不合题意， 若λ≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9250.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则当x＞0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x＞0时，f（x）＜0 恒成立， 综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9250.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即λ的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9252.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} （ II）令λ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9252.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9253.png){width="1.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"} 取x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9254.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9255.png){width="1.4791666666666667in" height="0.3645833333333333in"} 于是a2n﹣an+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9256.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9257.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9258.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9259.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9260.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9261.png){width="4.395833333333333in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9262.png){width="5.635416666666667in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9263.png){width="1.375in" height="0.4791666666666667in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9264.png){width="0.9270833333333334in" height="0.4791666666666667in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9265.png){width="0.96875in" height="0.4791666666666667in"}=ln2n﹣lnn=ln2 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9266.png){width="1.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度 　 2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） ============================================= 　 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A={x\|x2﹣2x＞0}，B={x\|﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9267.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9267.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}}，则（　　） A．A∩B=∅ B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B 【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合． 【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B． 【解答】解：∵集合A={x\|x2﹣2x＞0}={x\|x＞2或x＜0}， ∴A∩B={x\|2＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9268.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}或﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9268.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}＜x＜0}，A∪B=R， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题． 　 2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=\|4+3i\|，则z的虚部为（　　） A．﹣4 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9269.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"} C．4 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9270.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】5N：数系的扩充和复数． 【分析】由题意可得 z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9271.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9272.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9273.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9270.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}i，由此可得z的虚部． 【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=\|4+3i\|，∴z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9271.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9272.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9274.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9275.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9276.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}i， 故z的虚部等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9276.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：D． 【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题． 　 3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（　　） A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 【考点】B3：分层抽样方法．菁优网版权所有 【专题】21：阅读型． 【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样． 【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样， 而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大． 了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理． 故选：C． 【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题． 　 4．（5分）已知双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9277.png){width="0.7402777777777778in" height="0.4888888888888889in"}（a＞0，b＞0）的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9278.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，则C的渐近线方程为（　　） A．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9279.png){width="0.42569444444444443in" height="0.36527777777777776in"} B．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9280.png){width="0.42569444444444443in" height="0.36527777777777776in"} C．y=±x D．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9281.png){width="0.42569444444444443in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9282.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x，代入可得答案． 【解答】解：由双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9283.png){width="0.7402777777777778in" height="0.4888888888888889in"}（a＞0，b＞0）， 则离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9284.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9285.png){width="0.6256944444444444in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9286.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，即4b2=a2， 故渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9287.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9288.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}x， 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题． 　 5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈\[﹣1，3\]，则输出的s属于（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9289.png){width="2.125in" height="3.3340277777777776in"} A．\[﹣3，4\] B．\[﹣5，2\] C．\[﹣4，3\] D．\[﹣2，5\] 【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图． 【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式． 【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得： 函数分为两段，即t＜1与t≥1， 又由满足条件时函数的解析式为：s=3t； 不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2 故分段函数的解析式为：s=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9290.png){width="1.0944444444444446in" height="0.4888888888888889in"}， 如果输入的t∈\[﹣1，3\]，画出此分段函数在t∈\[﹣1，3\]时的图象， 则输出的s属于\[﹣3，4\]． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9291.png){width="2.8027777777777776in" height="3.1152777777777776in"} 【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的"是"与"否"分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式． 　 6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9292.png){width="1.3020833333333333in" height="1.8333333333333333in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9293.png){width="0.7708333333333334in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9294.png){width="0.7708333333333334in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9295.png){width="0.8534722222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9296.png){width="0.8534722222222222in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积． 【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M， 则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图． 设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm， 而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42， 解出R=5， ∴根据球的体积公式，该球的体积V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9297.png){width="0.5in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9298.png){width="0.6861111111111111in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9299.png){width="0.7708333333333334in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9300.png){width="1.5in" height="1.5in"} 【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题． 　 7．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣1=﹣2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列． 【分析】由an与Sn的关系可求得am+1与am，进而得到公差d，由前n项和公式及Sm=0可求得a1，再由通项公式及am=2可得m值． 【解答】解：am=Sm﹣Sm﹣1=2，am+1=Sm+1﹣Sm=3， 所以公差d=am+1﹣am=1， Sm=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9301.png){width="0.8118055555555556in" height="0.42569444444444443in"}=0， m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0， 得a1=﹣2， 所以am=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5， 另解：等差数列{an}的前n项和为Sn，即有数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9302.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}}成等差数列， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9303.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9304.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9305.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}成等差数列， 可得2•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9304.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9303.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9305.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}， 即有0=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9306.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9307.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}， 解得m=5． 又一解：由等差数列的求和公式可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9308.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（m﹣1）（a1+am﹣1）=﹣2， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9308.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}m（a1+am）=0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9308.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（m+1）（a1+am+1）=3， 可得a1=﹣am，﹣2am+am+1+am+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9309.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9310.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=0， 解得m=5． 故选：C． 【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项an与Sn的关系，考查学生的计算能力． 　 8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9311.png){width="2.667361111111111in" height="2.4375in"} A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；27：图表型． 【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积． 【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4． ∴长方体的体积=4×2×2=16， 半个圆柱的体积=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9312.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×22×π×4=8π 所以这个几何体的体积是16+8π； 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9313.png){width="1.4791666666666667in" height="1.6979166666666667in"} 【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力 　 9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】5P：二项式定理． 【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值． 【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9314.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}， 同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9315.png){width="0.3958333333333333in" height="0.28055555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9316.png){width="0.3958333333333333in" height="0.28055555555555556in"}． 再由13a=7b，可得13![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9317.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}=7![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9318.png){width="0.3958333333333333in" height="0.28055555555555556in"}，即 13×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9319.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}=7×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9320.png){width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 即 13=7×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9321.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，即 13（m+1）=7（2m+1），解得m=6， 故选：B． 【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题． 　 10．（5分）已知椭圆E：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9322.png){width="1.488888888888889in" height="0.4888888888888889in"}的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9323.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9324.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9325.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9326.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"} 【考点】K3：椭圆的标准方程．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9327.png){width="0.8444444444444444in" height="1.1354166666666667in"}，利用"点差法"可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9328.png){width="1.9583333333333333in" height="0.4888888888888889in"}．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9329.png){width="0.8861111111111111in" height="0.4888888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9330.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9331.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．于是得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9332.png){width="1.0618055555555554in" height="0.42569444444444443in"}，化为a2=2b2，再利用c=3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9333.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 代入椭圆方程得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9334.png){width="0.8444444444444444in" height="1.1354166666666667in"}， 相减得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9335.png){width="1.332638888888889in" height="0.5409722222222222in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9336.png){width="1.9583333333333333in" height="0.4888888888888889in"}． ∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9337.png){width="0.8861111111111111in" height="0.4888888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9338.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9339.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9340.png){width="1.0618055555555554in" height="0.42569444444444443in"}， 化为a2=2b2，又c=3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9341.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}，解得a2=18，b2=9． ∴椭圆E的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9342.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"}． 故选：D． 【点评】熟练掌握"点差法"和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键． 　 11．（5分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9343.png){width="1.2090277777777778in" height="0.4888888888888889in"}，若\|f（x）\|≥ax，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0\] B．（﹣∞，1\] C．\[﹣2，1\] D．\[﹣2，0\] 【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用． 【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=\|f（x）\|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围． 【解答】解：由题意可作出函数y=\|f（x）\|的图象，和函数y=ax的图象， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9344.png){width="3.104861111111111in" height="2.4479166666666665in"} 由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=\|f（x）\|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x， 求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2， 故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈\[﹣2，0\] 故选：D． 【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题． 　 12．（5分）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3...若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9345.png){width="0.9486111111111111in" height="0.42569444444444443in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9346.png){width="0.9486111111111111in" height="0.42569444444444443in"}，则（　　） A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列 C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列 【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法． 【分析】由an+1=an可知△AnBnCn的边BnCn为定值a1，由bn+1+cn+1﹣2a1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9347.png){width="1.2180555555555554in" height="0.36527777777777776in"}及b1+c1=2a1得bn+cn=2a1，则在△AnBnCn中边长BnCn=a1为定值，另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值， 由此可知顶点An在以Bn、Cn为焦点的椭圆上，根据bn+1﹣cn+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9348.png){width="0.9381944444444444in" height="0.36527777777777776in"}，得bn﹣cn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9349.png){width="1.34375in" height="0.36527777777777776in"}，可知n→+∞时bn→cn，据此可判断△AnBnCn的边BnCn的高hn随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案． 【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1， ∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1， 又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9350.png){width="0.6041666666666666in" height="0.42569444444444443in"}， 由题意，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9351.png){width="1.3847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+an，∴bn+1+cn+1﹣2an=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9352.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（bn+cn﹣2an）， ∴bn+cn﹣2an=0，∴bn+cn=2an=2a1，∴bn+cn=2a1， 由此可知顶点An在以Bn、Cn为焦点的椭圆上， 又由题意，bn+1﹣cn+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9353.png){width="0.5215277777777778in" height="0.42569444444444443in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9354.png){width="2.3222222222222224in" height="0.42569444444444443in"}=a1﹣bn， ∴bn+1﹣a1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9355.png){width="0.8340277777777778in" height="0.36527777777777776in"}，∴bn﹣a1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9356.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9357.png){width="1.895138888888889in" height="0.36527777777777776in"}，cn=2a1﹣bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9358.png){width="1.6041666666666667in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9359.png){width="1.5409722222222222in" height="0.42569444444444443in"}\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9360.png){width="2.0319444444444446in" height="0.42569444444444443in"}\]\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9361.png){width="2.0319444444444446in" height="0.42569444444444443in"}\] =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9362.png){width="0.4173611111111111in" height="0.36527777777777776in"}\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9363.png){width="0.31319444444444444in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9364.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9365.png){width="0.7923611111111111in" height="0.28055555555555556in"}\]单调递增（可证当n=1时![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9366.png){width="1.176388888888889in" height="0.48055555555555557in"}＞0） 故选：B． 【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的"亮点"之一． 　 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）已知两个单位向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9367.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9368.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的夹角为60°，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9369.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=t![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9370.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+（1﹣t）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9371.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9371.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9369.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0，则t=　2　． 【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】由于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9371.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9369.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0，对式子![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9369.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=t![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9372.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+（1﹣t）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9373.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}两边与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9373.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}作数量积可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9374.png){width="1.5305555555555554in" height="0.26944444444444443in"}=0，经过化简即可得出． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9375.png){width="1.0208333333333333in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9376.png){width="0.5in" height="0.20902777777777778in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9377.png){width="1.5305555555555554in" height="0.26944444444444443in"}=0， ∴tcos60°+1﹣t=0，∴1![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9378.png){width="0.34375in" height="0.36527777777777776in"}=0，解得t=2． 故答案为2． 【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键． 　 14．（5分）若数列{an}的前n项和为Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9379.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}an+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9380.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则数列{an}的通项公式是an=　（﹣2）n﹣1　． 【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案． 【解答】解：当n=1时，a1=S1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9381.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}，解得a1=1 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9382.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}）﹣（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9383.png){width="0.7083333333333334in" height="0.36527777777777776in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9384.png){width="0.8965277777777778in" height="0.36527777777777776in"}， 整理可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9385.png){width="0.9791666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9386.png){width="0.36527777777777776in" height="0.48055555555555557in"}=﹣2， 故数列{an}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列， 故当n≥2时，an=（﹣2）n﹣1， 经验证当n=1时，上式也适合， 故答案为：（﹣2）n﹣1 【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题． 　 15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=　﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9387.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}　． 【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值． 【分析】f（x）解析式提取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9388.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9388.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值． 【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9388.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9389.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}sinx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9390.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}cosx）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9388.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin（x﹣α）（其中cosα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9389.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9391.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}）， ∵x=θ时，函数f（x）取得最大值， ∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9392.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 又sin2θ+cos2θ=1， 联立得（2cosθ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9392.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9391.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． 故答案为：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9391.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} 【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键． 　 16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为　16　． 【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用． 【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9393.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）、（﹣2，﹣2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9393.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）上是增函数，在区间（﹣2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9393.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，﹣2）、（﹣2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9393.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9393.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）=f（﹣2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9393.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）=16，即可得到f（x）的最大值． 【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称， ∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0， 即\[1﹣（﹣3）2\]\[（﹣3）2+a•（﹣3）+b\]=0且\[1﹣（﹣5）2\]\[（﹣5）2+a•（﹣5）+b\]=0， 解之得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9394.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3958333333333333in"}， 因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15， 求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8， 令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9395.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，x2=﹣2，x3=﹣2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9395.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 当x∈（﹣∞，﹣2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9395.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9395.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，﹣2）时，f′（x）＜0； 当x∈（﹣2，﹣2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9395.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）时，f′（x）＞0； 当x∈（﹣2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9395.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，+∞）时，f′（x）＜0 ∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9395.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）、（﹣2，﹣2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9396.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）上是增函数，在区间（﹣2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9397.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，﹣2）、（﹣2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9398.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，+∞）上是减函数． 又∵f（﹣2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9398.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）=f（﹣2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9398.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）=16， ∴f（x）的最大值为16． 故答案为：16． 【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题． 　 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9399.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°． （1）若PB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9400.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，求PA； （2）若∠APB=150°，求tan∠PBA． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9401.png){width="2.2604166666666665in" height="1.3020833333333333in"} 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA． （II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9402.png){width="1.5409722222222222in" height="0.36527777777777776in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9403.png){width="1.9166666666666667in" height="0.4479166666666667in"}，化简即可求出． 【解答】解：（I）在Rt△PBC中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9404.png){width="0.9902777777777778in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9405.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°． 在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9406.png){width="2.332638888888889in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9407.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． ∴PA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9408.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． （II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα． 在△PBA中，由正弦定理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9409.png){width="1.5409722222222222in" height="0.36527777777777776in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9410.png){width="1.9166666666666667in" height="0.4479166666666667in"}， 化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9411.png){width="1.2284722222222222in" height="0.1875in"}．∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9412.png){width="0.7597222222222222in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键． 　 18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°． （Ⅰ）证明AB⊥A1C； （Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9413.png){width="2.6256944444444446in" height="1.53125in"} 【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角． 【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C； （Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9414.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}的方向为x轴的正向，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9414.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|为单位长，建立坐标系，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9415.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9416.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9417.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}的坐标，设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9418.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9419.png){width="0.8013888888888889in" height="0.5409722222222222in"}，可解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9420.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9421.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，1，﹣1），可求\|cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9420.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9422.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}＞\|，即为所求正弦值． 【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B， 因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°， 所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB， 又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C， 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C； （Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB， 所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直． 以O为坐标原点，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9423.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}的方向为x轴的正向，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9423.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|为单位长，建立如图所示的坐标系， 可得A（1，0，0），A1（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9421.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，0），C（0，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9424.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}），B（﹣1，0，0）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9425.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（1，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9424.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9426.png){width="0.6972222222222222in" height="0.26944444444444443in"}=（﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9424.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9427.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=（0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9424.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9428.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）， 设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9429.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9430.png){width="0.8013888888888889in" height="0.5409722222222222in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9431.png){width="0.8534722222222222in" height="0.4479166666666667in"}， 可取y=1，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9429.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9428.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，1，﹣1），故cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9432.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9433.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9434.png){width="0.8340277777777778in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9435.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}， 又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值， 故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9436.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9437.png){width="2.854861111111111in" height="1.90625in"} 【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题． 　 19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9438.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，且各件产品是否为优质品相互独立． （Ⅰ）求这批产品通过检验的概率； （Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望． 【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得； （Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值． 【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2， 第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2， 这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥， 所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1\|A1）+P（A2）P（B2\|A2） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9439.png){width="1.270138888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9440.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} （Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9441.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，P（X=500）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9442.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， P（X=400）=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9442.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9441.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9443.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，故X的分布列如下： --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- X 400 500 800 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9443.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9444.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9445.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 故EX=400×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9446.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+500×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9444.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+800×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9445.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=506.25 【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题． 　 20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求\|AB\|． 【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得\|PM\|+\|PN\|=R+1+（3﹣R）=4，而\|NM\|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可； （II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于\|PM\|﹣\|PN\|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得\|AB\|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9447.png){width="0.71875in" height="0.42569444444444443in"}，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出． 【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3． 设动圆的半径为R， ∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴\|PM\|+\|PN\|=R+1+（3﹣R）=4， 而\|NM\|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆， ∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3． ∴曲线C的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9448.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"}（x≠﹣2）． （II）设曲线C上任意一点P（x，y）， 由于\|PM\|﹣\|PN\|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4． ①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9449.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}． ②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行， 设l与x轴的交点为Q，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9447.png){width="0.71875in" height="0.42569444444444443in"}，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4）， 由l于M相切可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9450.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9451.png){width="0.5930555555555556in" height="0.38472222222222224in"}． 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9452.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}时，联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9453.png){width="0.9270833333333334in" height="0.8861111111111111in"}，得到7x2+8x﹣8=0． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9454.png){width="0.8118055555555556in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9455.png){width="0.7083333333333334in" height="0.36527777777777776in"}． ∴\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9456.png){width="1.1875in" height="0.28055555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9457.png){width="2.1875in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9458.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 由于对称性可知：当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9459.png){width="0.5104166666666666in" height="0.38472222222222224in"}时，也有\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9460.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 综上可知：\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9461.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9460.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法． 　 21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2． （Ⅰ）求a，b，c，d的值； （Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围． 【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值； （Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4， 而f′（x）=2x+a，g′（x）=ex（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4， 从而a=4，b=2，c=2，d=2； （Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1） 设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2kex（x+1）﹣x2﹣4x﹣2， 则F′（x）=2kex（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（kex﹣1）， 由题设得F（0）≥0，即k≥1， 令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2， ①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0， 即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在\[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1）， 而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立． ②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（ex﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0， 即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立． ③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（ex﹣e﹣2）， 而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立， 综上，k的取值范围是\[1，e2\]． 【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题． 　 四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分. 22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲） 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D． （Ⅰ）证明：DB=DC； （Ⅱ）设圆的半径为1，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9462.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9463.png){width="1.2708333333333333in" height="1.09375in"} 【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB． （II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9464.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9465.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}． 【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G． 由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE， ∴∠CBE=∠BCE，BE=CE． 又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°． ∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB． （II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC． 故DG是BC的垂直平分线，∴BG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9464.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°． 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°． ∴CF⊥BF． ∴Rt△BCF的外接圆的半径=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9464.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9466.png){width="1.71875in" height="1.1875in"} 【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力． 　 23．已知曲线C1的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9467.png){width="0.875in" height="0.40625in"}（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ． （1）把C1的参数方程化为极坐标方程； （2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9468.png){width="0.875in" height="0.40625in"}，能求出C1的极坐标方程． （2）曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1的普通方程联立，求出C1与C2交点的直角坐标，由此能求出C1与C2交点的极坐标． 【解答】解：（1）将![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9469.png){width="0.875in" height="0.40625in"}，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25， 即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0， 将![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9470.png){width="0.875in" height="0.40625in"}代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0， 得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0． ∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0． （2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ． ∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9471.png){width="1.6152777777777778in" height="0.5298611111111111in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9472.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9473.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}， ∴C1与C2交点的极坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9474.png){width="0.6145833333333334in" height="0.36527777777777776in"}）和（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9475.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）． 【点评】本题考查曲线极坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 　 24．已知函数f（x）=\|2x﹣1\|+\|2x+a\|，g（x）=x+3． （Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集； （Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9476.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9477.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为\|2x﹣1\|+\|2x﹣2\|﹣x﹣3＜0．设y=\|2x﹣1\|+\|2x﹣2\|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论． （Ⅱ）不等式化即 1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9478.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9479.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]都成立，分析可得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9478.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}≥a﹣2，由此解得a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为\|2x﹣1\|+\|2x﹣2\|﹣x﹣3＜0． 设y=\|2x﹣1\|+\|2x﹣2\|﹣x﹣3，则 y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9480.png){width="1.3652777777777778in" height="1.0506944444444444in"}，它的图象如图所示： 结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）． （Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9481.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9482.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]时，f（x）=1+a，不等式化为 1+a≤x+3， 故 x≥a﹣2对x∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9481.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9482.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]都成立． 故﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9481.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}≥a﹣2， 解得 a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9483.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 故a的取值范围为（﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9483.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9484.png){width="2.4583333333333335in" height="2.3229166666666665in"} 【点评】本题考查绝对值不等式的解法与绝对值不等式的性质，关键是利用零点分段讨论法分析函数的解析式． 　 2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） ============================================ 　 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁UA=（　　） A．{1，2} B．{3，4，5} C．{1，2，3，4，5} D．∅ 【考点】1F：补集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由题意，直接根据补集的定义求出∁UA，即可选出正确选项 【解答】解：因为U={1，2，3，4，5，}，集合A={1，2} 所以∁UA={3，4，5} 故选：B． 【点评】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键 　 2．（5分）若α为第二象限角，sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9485.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，则cosα=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9486.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9487.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9485.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9488.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值． 【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9485.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， ∴cosα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9489.png){width="0.8444444444444444in" height="0.25in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9490.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：A． 【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 　 3．（5分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9491.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（λ+1，1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9492.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（λ+2，2），若（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9491.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9492.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）⊥（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9491.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9492.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}），则λ=（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9493.png){width="0.9576388888888889in" height="0.22847222222222222in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9494.png){width="0.9576388888888889in" height="0.22847222222222222in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9495.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}=（2λ+3，3），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9496.png){width="1.0833333333333333in" height="0.22847222222222222in"}． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9497.png){width="1.1875in" height="0.20902777777777778in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9498.png){width="1.104861111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0， ∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3． 故选：B． 【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键． 　 4．（5分）不等式\|x2﹣2\|＜2的解集是（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣2，0）∪（0，2） 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用． 【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可． 【解答】解：不等式\|x2﹣2\|＜2的解集等价于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2的解集，即0＜x2＜4， 解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）． 故选：D． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与计算能力． 　 5．（5分）（x+2）8的展开式中x6的系数是（　　） A．28 B．56 C．112 D．224 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数． 【解答】解：（x+2）8展开式的通项为T r+1=C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9499.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}x 8﹣r2 r 令8﹣r=6得r=2， ∴展开式中x6的系数是2 2C82=112． 故选：C． 【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 　 6．（5分）函数f（x）=log2（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9500.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9501.png){width="0.9381944444444444in" height="0.42569444444444443in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9502.png){width="0.9381944444444444in" height="0.42569444444444443in"} C．2x﹣1（x∈R） D．2x﹣1（x＞0） 【考点】4R：反函数．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】把y看作常数，求出x：x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9503.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}，x，y互换，得到y=log2（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9504.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）的反函数．注意反函数的定义域． 【解答】解：设y=log2（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9504.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）， 把y看作常数，求出x： 1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9504.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=2y，x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9505.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}，其中y＞0， x，y互换，得到y=log2（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9506.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）的反函数：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9507.png){width="0.9381944444444444in" height="0.42569444444444443in"}， 故选：A． 【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化． 　 7．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9508.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则{an}的前10项和等于（　　） A．﹣6（1﹣3﹣10） B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9509.png){width="0.8444444444444444in" height="0.36527777777777776in"} C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10） 【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列． 【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9510.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}为公比的等比数列，结合已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9511.png){width="0.5215277777777778in" height="0.36527777777777776in"}可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求 【解答】解：∵3an+1+an=0 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9512.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"} ∴数列{an}是以﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9510.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}为公比的等比数列 ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9511.png){width="0.5215277777777778in" height="0.36527777777777776in"} ∴a1=4 由等比数列的求和公式可得，S10=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9513.png){width="1.0506944444444444in" height="0.7597222222222222in"}=3（1﹣3﹣10） 故选：C． 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题 　 8．（5分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且\|AB\|=3，则C的方程为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9514.png){width="0.7083333333333334in" height="0.42569444444444443in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9515.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9516.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9517.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"} 【考点】K3：椭圆的标准方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设椭圆的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9518.png){width="0.7402777777777778in" height="0.4888888888888889in"}，根据题意可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9519.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}=1．再由AB经过右焦点F2且垂直于x轴且\|AB\|=3算出A、B的坐标，代入椭圆方程得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9520.png){width="0.9791666666666666in" height="0.6777777777777778in"}，两式联解即可算出a2=4，b2=3，从而得到椭圆C的方程． 【解答】解：设椭圆的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9521.png){width="1.488888888888889in" height="0.4888888888888889in"}， 可得c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9519.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}=1，所以a2﹣b2=1...① ∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且\|AB\|=3 ∴可得A（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9522.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}），B（1，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9522.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}），代入椭圆方程得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9523.png){width="0.9791666666666666in" height="0.6256944444444444in"}，...② 联解①②，可得a2=4，b2=3 ∴椭圆C的方程为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9524.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"} 故选：C． 【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题． 　 9．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9525.png){width="2.1875in" height="1.6354166666666667in"} A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω． 【解答】解：由函数的图象可知，（x0，y0）与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9526.png){width="1.1875in" height="0.36527777777777776in"}，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点， 所以函数的周期T=2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9527.png){width="0.8118055555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9528.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 所以T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9529.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9528.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，所以ω=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9530.png){width="0.3020833333333333in" height="0.5625in"}=4． 故选：B． 【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力． 　 10．（5分）已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（　　） A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】53：导数的综合应用． 【分析】先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得a的值． 【解答】解：∵y=x4+ax2+1， ∴y′=4x3+2ax， ∵曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8， ∴﹣4﹣2a=8 ∴a=﹣6 故选：D． 【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 11．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9531.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9532.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9533.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9534.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用． 【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9535.png){width="1.4368055555555554in" height="0.26944444444444443in"}的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9536.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ， 则sinθ=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9537.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}\|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可． 【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9535.png){width="1.4368055555555554in" height="0.26944444444444443in"}的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 如下图所示： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9538.png){width="1.15625in" height="1.6041666666666667in"} 则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9539.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（1，1，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9540.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=（1，0，﹣2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9541.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（1，0，0）， 设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9542.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9543.png){width="0.8013888888888889in" height="0.5409722222222222in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9544.png){width="0.6256944444444444in" height="0.40625in"}，取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9542.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（2，﹣2，1）， 设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9545.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9546.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：A． 【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键． 　 12．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9547.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20902777777777778in"}，则k=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9548.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9549.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9550.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．2 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9551.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值． 【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0）， 由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2）， 代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）． ∴x1+x2=4+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9552.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}，x1x2=4． ∴y1+y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9553.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，y1y2=﹣16， 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9554.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=0， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9554.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9555.png){width="0.7402777777777778in" height="0.42569444444444443in"}=0 ∴k=2． 故选：D． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈\[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）=　﹣1　． 【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用函数的周期，求出f（﹣1）=f（1），代入函数的解析式求解即可． 【解答】解：因设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈\[1，3）时，f（x）=x﹣2， 则f（﹣1）=f（1）=1﹣2=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查函数的周期的应用，函数值的求法，函数的定义域是解题的关键，考查计算能力． 　 14．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有　60　种．（用数字作答） 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】6名选手中决出1名一等奖有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9556.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}种方法，2名二等奖，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9557.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}种方法，利用分步计数原理即可得答案． 【解答】解：依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9556.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}种方法， 第二步，再决出2名二等奖，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9557.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}种方法， 第三步，剩余三人为三等奖， 根据分步乘法计数原理得：共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9556.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9558.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=60种方法． 故答案为：60． 【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，属于中档题． 　 15．（5分）若x、y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9559.png){width="0.7083333333333334in" height="0.6451388888888889in"}，则z=﹣x+y的最小值为　0　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题；59：不等式的解法及应用． 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=﹣x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=1时，目标函数z取得最小值，从而得到本题答案． 【解答】解：作出不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9559.png){width="0.7083333333333334in" height="0.6451388888888889in"}表示的平面区域， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9560.png){width="1.7083333333333333in" height="1.59375in"} 得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9561.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}），C（0，4） 设z=F（x，y）═﹣x+y，将直线l：z=﹣x+y进行平移， 当l经过点A时，目标函数z达到最小值 ∴z最小值=F（1，1）=﹣1+1=0 故答案为：0 【点评】题给出二元一次不等式组，求目标函数z=﹣x+y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 　 16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9562.png){width="3.2597222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，则球O的表面积等于　16π　． 【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论． 【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角 根据题意得OC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9563.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，CK=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9564.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} 在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9565.png){width="1.0833333333333333in" height="0.36527777777777776in"} ∴r2=4 ∴球O的表面积等于4πr2=16π 故答案为16π ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9566.png){width="2.2291666666666665in" height="2.1979166666666665in"} 【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9， （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9567.png){width="0.3326388888888889in" height="0.42569444444444443in"}，求数列{bn}的前n项和Sn． 【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列． 【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求an （II）由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9568.png){width="0.6256944444444444in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9569.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9570.png){width="0.5409722222222222in" height="0.36527777777777776in"}，利用裂项求和即可求解 【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d ∵a7=4，a19=2a9， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9571.png){width="1.4479166666666667in" height="0.5104166666666666in"} 解得，a1=1，d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9572.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9573.png){width="1.042361111111111in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9574.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} （II）∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9568.png){width="0.6256944444444444in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9575.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9576.png){width="0.5409722222222222in" height="0.36527777777777776in"} ∴sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9577.png){width="1.96875in" height="0.36527777777777776in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9578.png){width="0.7597222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9579.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易 　 18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac． （Ⅰ）求B． （Ⅱ）若sinAsinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9580.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}，求C． 【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数； （II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数． 【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac， ∴a2+c2﹣b2=﹣ac， ∴cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9581.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9582.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 又B为三角形的内角， 则B=120°； （II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9583.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}，cos（A+C）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9582.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9582.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9583.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9584.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°， 则C=15°或C=45°． 【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 　 19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形． （Ⅰ）证明：PB⊥CD； （Ⅱ）求点A到平面PCD的距离． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9585.png){width="1.9583333333333333in" height="0.9583333333333334in"} 【考点】LW：直线与平面垂直；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE，证明PB⊥OE，OE∥CD，即可证明PB⊥CD； （II）取PD的中点F，连接OF，证明O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，即可求得点A到平面PCD的距离． 【解答】（I）证明：取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE 由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD ∴OA=OB=OD，即O为正方形ABED对角线的交点 ∴OE⊥BD，∴PB⊥OE ∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE∥CD ∴PB⊥CD； （II）取PD的中点F，连接OF，则OF∥PB 由（I）知PB⊥CD，∴OF⊥CD， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9586.png){width="0.8861111111111111in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9587.png){width="1.0506944444444444in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9588.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} ∴△POD为等腰三角形，∴OF⊥PD ∵PD∩CD=D，∴OF⊥平面PCD ∵AE∥CD，CD⊂平面PCD，AE⊈平面PCD，∴AE∥平面PCD ∴O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离 ∵OF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9589.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"} ∴点A到平面PCD的距离为1． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9590.png){width="1.9583333333333333in" height="0.9583333333333334in"} 【点评】本题考查线线垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生转化的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9591.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判． （Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率； （Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率． 【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（I）设A1表示事件"第二局结果为甲胜"，A2表示事件"第三局甲参加比赛结果为甲负"，A表示事件"第四局甲当裁判"，可得A=A1•A2．利用相互独立事件的概率计算公式即可得出； （II）设B1表示事件"第一局比赛结果为乙胜"，B2表示事件"第二局乙参加比赛结果为乙胜"，B3表示事件"第三局乙参加比赛结果为乙胜"，B表示事件"前4局中乙恰好当1次裁判"．可得B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9592.png){width="1.96875in" height="0.25in"}，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可得出． 【解答】解：（I）设A1表示事件"第二局结果为甲胜"，A2表示事件"第三局甲参加比赛结果为甲负"，A表示事件"第四局甲当裁判"． 则A=A1•A2． P（A）=P（A1•A2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9593.png){width="1.729861111111111in" height="0.36527777777777776in"}． （II）设B1表示事件"第一局比赛结果为乙胜"，B2表示事件"第二局乙参加比赛结果为乙胜"， B3表示事件"第三局乙参加比赛结果为乙胜"，B表示事件"前4局中乙恰好当1次裁判"． 则B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9592.png){width="1.96875in" height="0.25in"}， 则P（B）=P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9594.png){width="1.96875in" height="0.25in"}） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9595.png){width="1.9166666666666667in" height="0.25in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9596.png){width="0.7819444444444444in" height="0.25in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9597.png){width="2.417361111111111in" height="0.25in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9598.png){width="0.9486111111111111in" height="0.25in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9599.png){width="0.8534722222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】正确理解题意和熟练掌握相互独立事件和互斥事件的概率计算公式是解题的关键． 　 21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1． （Ⅰ）求a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9600.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}时，讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）若x∈\[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用． 【分析】（I）把a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9600.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}代入可得函数f（x）的解析式，求导数令其为0可得x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9601.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，或x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9602.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，判断函数在区间（﹣∞，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9601.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}），（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9601.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9603.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}），（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9603.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，+∞）的正负可得单调性；（II）由f（2）≥0，可得a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9604.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}，当a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9604.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}，x∈（2，+∞）时，由不等式的证明方法可得f′（x）＞0，可得单调性，进而可得当x∈\[2，+∞）时，有f（x）≥f（2）≥0成立，进而可得a的范围． 【解答】解：（I）当a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image519.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}时，f（x）=x3+3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image519.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}x2+3x+1， f′（x）=3x2+6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image519.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}x+3，令f′（x）=0，可得x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9605.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，或x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9606.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}， 当x∈（﹣∞，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9607.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当x∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9607.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9606.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9606.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； （II）由f（2）≥0，可解得a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9608.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}，当a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9608.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}，x∈（2，+∞）时， f′（x）=3（x2+2ax+1）≥3（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9609.png){width="0.7083333333333334in" height="0.36527777777777776in"}）=3（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9610.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）（x﹣2）＞0， 所以函数f（x）在（2，+∞）单调递增，于是当x∈\[2，+∞）时，f（x）≥f（2）≥0， 综上可得，a的取值范围是\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9611.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}，+∞） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的最值问题，属中档题． 　 22．（12分）已知双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9612.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9613.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． （I）求a，b； （II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且\|AF1\|=\|BF1\|，证明：\|AF2\|、\|AB\|、\|BF2\|成等比数列． 【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9614.png){width="2.3958333333333335in" height="0.20902777777777778in"}建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程； （II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9615.png){width="0.4173611111111111in" height="0.48055555555555557in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9616.png){width="1.0097222222222222in" height="0.48055555555555557in"}，再利用\|AF1\|=\|BF1\|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9617.png){width="0.8118055555555556in" height="0.36527777777777776in"}，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：\|AF2\|、\|AB\|、\|BF2\|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论． 【解答】解：（I）由题设知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9618.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=3，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9619.png){width="0.5215277777777778in" height="0.48055555555555557in"}=9，故b2=8a2 所以C的方程为8x2﹣y2=8a2 将y=2代入上式，并求得x=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9620.png){width="0.5409722222222222in" height="0.38472222222222224in"}， 由题设知，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9620.png){width="0.5409722222222222in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9621.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，解得a2=1 所以a=1，b=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9622.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} （II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ① 由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），\|k\|＜2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9622.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9623.png){width="0.4173611111111111in" height="0.48055555555555557in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9624.png){width="1.0097222222222222in" height="0.48055555555555557in"}，于是 \|AF1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9625.png){width="2.8756944444444446in" height="0.3020833333333333in"}=﹣（3x1+1）， \|BF1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9626.png){width="2.8756944444444446in" height="0.3020833333333333in"}=3x2+1， \|AF1\|=\|BF1\|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9627.png){width="0.8118055555555556in" height="0.36527777777777776in"} 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9628.png){width="0.4173611111111111in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9629.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9630.png){width="0.43680555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9631.png){width="1.0097222222222222in" height="0.48055555555555557in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9632.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 由于\|AF2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9633.png){width="2.8756944444444446in" height="0.3020833333333333in"}=1﹣3x1， \|BF2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9634.png){width="2.8756944444444446in" height="0.3020833333333333in"}=3x2﹣1， 故\|AB\|=\|AF2\|﹣\|BF2\|=2﹣3（x1+x2）=4，\|AF2\|\|BF2\|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16 因而\|AF2\|\|BF2\|=\|AB\|2，所以\|AF2\|、\|AB\|、\|BF2\|成等比数列 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴． 2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） ============================================= 一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项． 1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x\|x=n2，n∈A}，则A∩B=（　　） A．{1，4} B．{2，3} C．{9，16} D．{1，2} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】由集合A中的元素分别平方求出x的值，确定出集合B，找出两集合的公共元素，即可求出交集． 【解答】解：根据题意得：x=1，4，9，16，即B={1，4，9，16}， ∵A={1，2，3，4}， ∴A∩B={1，4}． 故选：A． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 2．（5分）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9635.png){width="0.5625in" height="0.42569444444444443in"}=（　　） A．﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9636.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}i B．﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9636.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}i C．1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9636.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}i D．1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9636.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9637.png){width="0.5625in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9638.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9639.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9640.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9641.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}i． 故选：B． 【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的乘方运算，考查计算能力． 　 3．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9641.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9642.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9643.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9644.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2的有两种，得到概率． 【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42=6种结果， 满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4）， ∴要求的概率是 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9645.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9646.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：B． 【点评】本题考查等可能事件的概率，是一个基础题，本题解题的关键是事件数是一个组合数，若都按照排列数来理解也可以做出正确的结果． 　 4．（5分）已知双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9647.png){width="0.7402777777777778in" height="0.4888888888888889in"}（a＞0，b＞0）的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9648.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，则C的渐近线方程为（　　） A．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9649.png){width="0.42569444444444443in" height="0.36527777777777776in"} B．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9650.png){width="0.42569444444444443in" height="0.36527777777777776in"} C．y=±x D．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9651.png){width="0.42569444444444443in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9652.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x，代入可得答案． 【解答】解：由双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9653.png){width="0.7402777777777778in" height="0.4888888888888889in"}（a＞0，b＞0）， 则离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9654.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9655.png){width="0.6256944444444444in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9656.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，即4b2=a2， 故渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9657.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9658.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}x， 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题． 　 5．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（　　） A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q 【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有 【专题】21：阅读型；5L：简易逻辑． 【分析】举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x3+x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案． 【解答】解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：∀x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题． 令f（x）=x3+x2﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点， 即命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2为真命题． 则￢p∧q为真命题． 故选：B． 【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题． 　 6．（5分）设首项为1，公比为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9659.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}的等比数列{an}的前n项和为Sn，则（　　） A．Sn=2an﹣1 B．Sn=3an﹣2 C．Sn=4﹣3an D．Sn=3﹣2an 【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，化简可得要求的关系式． 【解答】解：由题意可得an=1×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9660.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9661.png){width="0.5736111111111111in" height="0.42569444444444443in"}， ∴Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9662.png){width="1.0729166666666667in" height="0.7597222222222222in"}=3﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9663.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}=3﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9664.png){width="0.5736111111111111in" height="0.42569444444444443in"}=3﹣2an， 故选：D． 【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，涉及指数的运算，属中档题． 　 7．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈\[﹣1，3\]，则输出的s属于（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9665.png){width="2.125in" height="3.3340277777777776in"} A．\[﹣3，4\] B．\[﹣5，2\] C．\[﹣4，3\] D．\[﹣2，5\] 【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图． 【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式． 【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得： 函数分为两段，即t＜1与t≥1， 又由满足条件时函数的解析式为：s=3t； 不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2 故分段函数的解析式为：s=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9666.png){width="1.0944444444444446in" height="0.4888888888888889in"}， 如果输入的t∈\[﹣1，3\]，画出此分段函数在t∈\[﹣1，3\]时的图象， 则输出的s属于\[﹣3，4\]． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9667.png){width="2.8027777777777776in" height="3.1152777777777776in"} 【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的"是"与"否"分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式． 　 8．（5分）O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9668.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}x的焦点，P为C上一点，若\|PF\|=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9668.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则△POF的面积为（　　） A．2 B．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9668.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9669.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．4 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9670.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}）．设P（m，n），由抛物线的定义结合\|PF\|=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9671.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，算出m=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9671.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，从而得到n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9672.png){width="0.48055555555555557in" height="0.1875in"}，得到△POF的边OF上的高等于2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9673.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积． 【解答】解：∵抛物线C的方程为y2=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9674.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}x ∴2p=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9674.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9675.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9674.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，得焦点F（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9676.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}） 设P（m，n） 根据抛物线的定义，得\|PF\|=m+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9675.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9674.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 即m+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9674.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9674.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，解得m=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9674.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} ∵点P在抛物线C上，得n2=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9677.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}×3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9677.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}=24 ∴n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9678.png){width="0.48055555555555557in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9679.png){width="0.48055555555555557in" height="0.1875in"} ∵\|OF\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9677.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} ∴△POF的面积为S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9680.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|OF\|×\|n\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9681.png){width="1.0097222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9682.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9683.png){width="1.8541666666666667in" height="2.4791666666666665in"} 【点评】本题给出抛物线C：y2=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9684.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}x上与焦点F的距离为4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9684.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}的点P，求△POF的面积．着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题． 　 9．（5分）函数f（x）=（1﹣cosx）sinx在\[﹣π，π\]的图象大致为（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9685.png){width="1.28125in" height="1.0104166666666667in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9686.png){width="1.28125in" height="1.0104166666666667in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9687.png){width="1.28125in" height="0.96875in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9688.png){width="1.28125in" height="1.0104166666666667in"} 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】由函数的奇偶性可排除B，再由x∈（0，π）时，f（x）＞0，可排除A，求导数可得f′（0）=0，可排除D，进而可得答案． 【解答】解：由题意可知：f（﹣x）=（1﹣cosx）sin（﹣x）=﹣f（x）， 故函数f（x）为奇函数，故可排除B， 又因为当x∈（0，π）时，1﹣cosx＞0，sinx＞0， 故f（x）＞0，可排除A， 又f′（x）=（1﹣cosx）′sinx+（1﹣cosx）（sinx）′ =sin2x+cosx﹣cos2x=cosx﹣cos2x， 故可得f′（0）=0，可排除D， 故选：C． 【点评】本题考查三角函数的图象，涉及函数的奇偶性和某点的导数值，属基础题． 　 10．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（　　） A．10 B．9 C．8 D．5 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出cosA的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值． 【解答】解：∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A﹣1=0，即cos2A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9689.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，A为锐角， ∴cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9690.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 又a=7，c=6， 根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即49=b2+36﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9691.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}b， 解得：b=5或b=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9692.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}（舍去）， 则b=5． 故选：D． 【点评】此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 　 11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9693.png){width="2.667361111111111in" height="2.4375in"} A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；27：图表型． 【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积． 【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4． ∴长方体的体积=4×2×2=16， 半个圆柱的体积=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9694.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×22×π×4=8π 所以这个几何体的体积是16+8π； 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9695.png){width="1.4791666666666667in" height="1.6979166666666667in"} 【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力 　 12．（5分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9696.png){width="1.2090277777777778in" height="0.4888888888888889in"}，若\|f（x）\|≥ax，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0\] B．（﹣∞，1\] C．\[﹣2，1\] D．\[﹣2，0\] 【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用． 【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=\|f（x）\|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围． 【解答】解：由题意可作出函数y=\|f（x）\|的图象，和函数y=ax的图象， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9697.png){width="3.104861111111111in" height="2.4479166666666665in"} 由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=\|f（x）\|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x， 求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2， 故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈\[﹣2，0\] 故选：D． 【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题． 　 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分． 13．（5分）已知两个单位向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9698.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9699.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的夹角为60°，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9700.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=t![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9698.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+（1﹣t）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9699.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9699.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9700.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0，则t=　2　． 【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】由于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9701.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9702.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0，对式子![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9702.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=t![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9703.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+（1﹣t）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9701.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}两边与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9701.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}作数量积可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9704.png){width="1.5305555555555554in" height="0.26944444444444443in"}=0，经过化简即可得出． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9705.png){width="1.0208333333333333in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9706.png){width="0.5in" height="0.20902777777777778in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9707.png){width="1.5305555555555554in" height="0.26944444444444443in"}=0， ∴tcos60°+1﹣t=0，∴1![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9708.png){width="0.34375in" height="0.36527777777777776in"}=0，解得t=2． 故答案为2． 【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键． 　 14．（5分）设x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9709.png){width="0.9576388888888889in" height="0.40625in"}，则z=2x﹣y的最大值为　3　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可． 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9710.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}得A（3，3）， z=2x﹣y可转换成y=2x﹣z，z最大时，y值最小， 即：当直线z=2x﹣y过点A（3，3）时， 在y轴上截距最小，此时z取得最大值3． 故答案为：3． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9711.png){width="2.3333333333333335in" height="2.6777777777777776in"} 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 　 15．（5分）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9712.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}　． 【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】本题考查的知识点是球的表面积公式，设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9713.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积． 【解答】解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9713.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}R， ∵α截球O所得截面的面积为π， ∴d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9714.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}R时，r=1， 故由R2=r2+d2得R2=12+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9714.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}R）2，∴R2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9715.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ∴球的表面积S=4πR2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9716.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9716.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即R2=r2+d2 　 16．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=　﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9717.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}　． 【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值． 【分析】f（x）解析式提取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9718.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9719.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值． 【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9719.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9720.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}sinx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9721.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}cosx）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9719.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin（x﹣α）（其中cosα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9720.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9721.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}）， ∵x=θ时，函数f（x）取得最大值， ∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9719.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 又sin2θ+cos2θ=1， 联立得（2cosθ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9722.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9723.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． 故答案为：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9723.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} 【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键． 　 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9724.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}}的前n项和． 【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）设出等差数列{an}的首项和公差，直接由S3=0，S5=﹣5列方程组求出，然后代入等差数列的通项公式整理； （Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的通项公式，代入数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9724.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}}的通项中进行列项整理，则利用裂项相消可求数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9725.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}}的前n项和． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的首项为a1，公差为d，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9726.png){width="1.3131944444444446in" height="0.36527777777777776in"}． 由已知可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9727.png){width="1.417361111111111in" height="0.65625in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9728.png){width="0.8229166666666666in" height="0.5104166666666666in"}，解得a1=1，d=﹣1， 故{an}的通项公式为an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）•（﹣1）=2﹣n； （Ⅱ）由（Ⅰ）知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9729.png){width="3.3027777777777776in" height="0.42569444444444443in"}． 从而数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9730.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}}的前n项和 Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9731.png){width="3.0097222222222224in" height="0.36527777777777776in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9732.png){width="1.4479166666666667in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题． 　 18．（12分）为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下： 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 （Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9733.png){width="4.167361111111111in" height="1.1145833333333333in"} 【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论； （Ⅱ）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成． 【解答】解：（Ⅰ）设A药观测数据的平均数据的平均数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9734.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}， 设B药观测数据的平均数据的平均数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9735.png){width="0.10486111111111111in" height="0.19791666666666666in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9736.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9737.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4）=2.3． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9738.png){width="0.42569444444444443in" height="0.36527777777777776in"}×（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5）=1.6． 由以上计算结果可知：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9739.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20902777777777778in"}．由此可看出A药的效果更好． （Ⅱ）根据两组数据得到下面茎叶图： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9740.png){width="4.802777777777778in" height="1.1145833333333333in"} 从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9741.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}的叶集中在2，3上．而B药疗效的试验结果由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9742.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}的叶集中在0，1上．由此可看出A药的疗效更好． 【点评】熟练掌握平均数的计算公式和茎叶图的结果及其功能是解题的关键． 　 19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60° （Ⅰ）证明：AB⊥A1C； （Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9743.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9744.png){width="3.1152777777777776in" height="1.40625in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA1，可通过证明AB⊥平面OA1C得要证的结论； （Ⅱ）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1⊥OC，再根据OA1⊥AB，得到OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积． 【解答】（Ⅰ）证明：如图， 取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B． 因为CA=CB，所以OC⊥AB． 由于AB=AA1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9745.png){width="1.0013888888888889in" height="0.28055555555555556in"}，故△AA1B为等边三角形， 所以OA1⊥AB． 因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C． 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C； （Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9746.png){width="0.8645833333333334in" height="0.22847222222222222in"}． 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9747.png){width="0.5930555555555556in" height="0.22847222222222222in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9748.png){width="1.2284722222222222in" height="0.28055555555555556in"}，故OA1⊥OC． 因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高． 又△ABC的面积![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9749.png){width="0.7708333333333334in" height="0.22847222222222222in"}，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9750.png){width="2.0104166666666665in" height="0.22847222222222222in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9751.png){width="3.1152777777777776in" height="1.40625in"} 【点评】题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了棱柱的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题． 　 20．（12分）已知函数f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值． 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值； （Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性，从而可求f（x）的极大值． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex（ax+b）﹣x2﹣4x， ∴f′（x）=ex（ax+a+b）﹣2x﹣4， ∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4 ∴f（0）=4，f′（0）=4 ∴b=4，a+b=8 ∴a=4，b=4； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4ex（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（ex﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9752.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）， 令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2 ∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0 ∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2） 当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）． 【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键． 　 21．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求\|AB\|． 【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得\|PM\|+\|PN\|=R+1+（3﹣R）=4，而\|NM\|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可； （II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于\|PM\|﹣\|PN\|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得\|AB\|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9753.png){width="0.71875in" height="0.42569444444444443in"}，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出． 【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3． 设动圆的半径为R， ∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴\|PM\|+\|PN\|=R+1+（3﹣R）=4， 而\|NM\|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆， ∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3． ∴曲线C的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9754.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"}（x≠﹣2）． （II）设曲线C上任意一点P（x，y）， 由于\|PM\|﹣\|PN\|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4． ①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9755.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}． ②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行， 设l与x轴的交点为Q，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9756.png){width="0.71875in" height="0.42569444444444443in"}，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4）， 由l于M相切可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9757.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9758.png){width="0.5930555555555556in" height="0.38472222222222224in"}． 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9759.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}时，联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9760.png){width="0.9270833333333334in" height="0.8861111111111111in"}，得到7x2+8x﹣8=0． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9761.png){width="0.8118055555555556in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9762.png){width="0.7083333333333334in" height="0.36527777777777776in"}． ∴\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9763.png){width="1.1875in" height="0.28055555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9764.png){width="2.1875in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9765.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 由于对称性可知：当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9766.png){width="0.5104166666666666in" height="0.38472222222222224in"}时，也有\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9765.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 综上可知：\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9767.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9765.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法． 　 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲） 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D． （Ⅰ）证明：DB=DC； （Ⅱ）设圆的半径为1，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9768.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9769.png){width="1.2708333333333333in" height="1.09375in"} 【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB． （II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9770.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9771.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}． 【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G． 由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE， ∴∠CBE=∠BCE，BE=CE． 又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°． ∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB． （II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC． 故DG是BC的垂直平分线，∴BG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9772.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°． 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°． ∴CF⊥BF． ∴Rt△BCF的外接圆的半径=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9772.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9773.png){width="1.71875in" height="1.1875in"} 【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力． 　 23．已知曲线C1的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9774.png){width="0.875in" height="0.40625in"}（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ． （1）把C1的参数方程化为极坐标方程； （2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9775.png){width="0.875in" height="0.40625in"}，能求出C1的极坐标方程． （2）曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1的普通方程联立，求出C1与C2交点的直角坐标，由此能求出C1与C2交点的极坐标． 【解答】解：（1）将![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9776.png){width="0.875in" height="0.40625in"}，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25， 即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0， 将![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9775.png){width="0.875in" height="0.40625in"}代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0， 得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0． ∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0． （2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ． ∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9777.png){width="1.6152777777777778in" height="0.5298611111111111in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9778.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9779.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}， ∴C1与C2交点的极坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9780.png){width="0.6145833333333334in" height="0.36527777777777776in"}）和（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9781.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）． 【点评】本题考查曲线极坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 　 24．已知函数f（x）=\|2x﹣1\|+\|2x+a\|，g（x）=x+3． （Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集； （Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9782.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9783.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为\|2x﹣1\|+\|2x﹣2\|﹣x﹣3＜0．设y=\|2x﹣1\|+\|2x﹣2\|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论． （Ⅱ）不等式化即 1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9782.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9783.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]都成立，分析可得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9784.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}≥a﹣2，由此解得a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为\|2x﹣1\|+\|2x﹣2\|﹣x﹣3＜0． 设y=\|2x﹣1\|+\|2x﹣2\|﹣x﹣3，则 y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9785.png){width="1.3652777777777778in" height="1.0506944444444444in"}，它的图象如图所示： 结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）． （Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9784.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9786.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]时，f（x）=1+a，不等式化为 1+a≤x+3， 故 x≥a﹣2对x∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9784.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9786.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]都成立． 故﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9787.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}≥a﹣2， 解得 a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9788.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 故a的取值范围为（﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9788.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9789.png){width="2.4583333333333335in" height="2.3229166666666665in"} 【点评】本题考查绝对值不等式的解法与绝对值不等式的性质，关键是利用零点分段讨论法分析函数的解析式． 2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） ============================================= 　 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．（5分）已知集合M={x\|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣3，﹣2，﹣1} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】找出集合M与N的公共元素，即可求出两集合的交集． 【解答】解：∵集合M={x\|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}， ∴M∩N={﹣2，﹣1，0}． 故选：C． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 2．（5分）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9790.png){width="0.5104166666666666in" height="0.36527777777777776in"}=（　　） A．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9791.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．2 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9791.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．1 【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9792.png){width="0.5104166666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9793.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9794.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9795.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 故选：C． 【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力． 　 3．（5分）设x，y满足约束条件 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9796.png){width="0.7923611111111111in" height="0.6451388888888889in"}，则z=2x﹣3y的最小值是（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】先画出满足约束条件：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9797.png){width="0.7923611111111111in" height="0.6451388888888889in"}，的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=2x﹣3y的最小值． 【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9798.png){width="0.7083333333333334in" height="0.40625in"}得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9799.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}， 由图可知目标函数在点A（3，4）取最小值z=2×3﹣3×4=﹣6． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9800.png){width="2.917361111111111in" height="3.0944444444444446in"} 【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解． 　 4．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9801.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9802.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，则△ABC的面积为（　　） A．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9803.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}+2 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9804.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"} C．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9805.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣2 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9805.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣1 【考点】%H：三角形的面积公式；HP：正弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】由sinB，sinC及b的值，利用正弦定理求出c的值，再求出A的度数，由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积． 【解答】解：∵b=2，B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9806.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9807.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， ∴由正弦定理![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9808.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9809.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}得：c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9810.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9811.png){width="0.5409722222222222in" height="0.7819444444444444in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9812.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9813.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}， ∴sinA=sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9814.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9815.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9815.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9816.png){width="0.5520833333333334in" height="0.38472222222222224in"}， 则S△ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9817.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}bcsinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9817.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×2×2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9812.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9818.png){width="0.5520833333333334in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9819.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}+1． 故选：B． 【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 　 5．（5分）设椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9820.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9821.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9822.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9823.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9824.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设\|PF2\|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得\|PF1\|与\|F1F2\|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案． 【解答】解：\|PF2\|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°， ∴\|PF1\|=2x，\|F1F2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9825.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}x， 又\|PF1\|+\|PF2\|=2a，\|F1F2\|=2c ∴2a=3x，2c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9825.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}x， ∴C的离心率为：e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9826.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9827.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 故选：D． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得\|PF1\|与\|PF2\|及\|F1F2\|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题． 　 6．（5分）已知sin2α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9828.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则cos2（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9829.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9830.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9831.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9832.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9833.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】GE：诱导公式；GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵sin2α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9833.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴cos2（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9834.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9835.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\[1+cos（2α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9836.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）\]=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9835.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（1﹣sin2α）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9835.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9833.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9837.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：A． 【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 　 7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9838.png){width="1.3645833333333333in" height="4.396527777777778in"} A．1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9839.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9840.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9841.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9842.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9843.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9844.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"} C．1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9842.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9840.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9841.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9845.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9846.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9847.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9848.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9849.png){width="0.8861111111111111in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】27：图表型． 【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序可知当条件满足时，用S+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9850.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}的值代替S得到新的S，并用k+1代替k，直到条件不能满足时输出最后算出的S值，由此即可得到本题答案． 【解答】解：根据题意，可知该按以下步骤运行 第一次：S=1， 第二次：S=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9851.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 第三次：S=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9851.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9852.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}， 第四次：S=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9851.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9852.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9853.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}． 此时k=5时，符合k＞N=4，输出S的值． ∴S=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9851.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9852.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9854.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"} 故选：B． 【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及表格法的运用，属于基础题． 　 8．（5分）设a=log32，b=log52，c=log23，则（　　） A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可． 【解答】解：由题意可知：a=log32∈（0，1），b=log52∈（0，1），c=log23＞1， 所以a=log32，b=log52=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9855.png){width="1.1659722222222222in" height="0.5in"}， 所以c＞a＞b， 故选：C． 【点评】本题考查对数值的大小比较，换底公式的应用，基本知识的考查． 　 9．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9856.png){width="1.03125in" height="1.03125in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9857.png){width="1.03125in" height="1.0416666666666667in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9858.png){width="1.0416666666666667in" height="1.0416666666666667in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9859.png){width="1.0520833333333333in" height="1.0416666666666667in"} 【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；13：作图题． 【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可． 【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9860.png){width="1.7604166666666667in" height="1.5416666666666667in"} 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9861.png){width="1.03125in" height="1.03125in"} 【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力． 　 10．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若\|AF\|=3\|BF\|，则l的方程为（　　） A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9862.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}（x﹣1）或 y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9862.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}（x﹣1） C．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9863.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}（x﹣1）或 y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9863.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}（x﹣1） D．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9864.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}（x﹣1）或 y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9864.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}（x﹣1） 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据题意，可得抛物线焦点为F（1，0），由此设直线l方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联解消去x，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9865.png){width="0.3326388888888889in" height="0.36527777777777776in"}﹣y﹣k=0．再设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系和\|AF\|=3\|BF\|，建立关于y1、y2和k的方程组，解之可得k值，从而得到直线l的方程． 【解答】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0）， ∴设直线l方程为y=k（x﹣1） 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9866.png){width="0.7923611111111111in" height="0.48055555555555557in"}消去x，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9867.png){width="0.3326388888888889in" height="0.36527777777777776in"}﹣y﹣k=0 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得y1+y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9868.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，y1y2=﹣4...（\*） ∵\|AF\|=3\|BF\|， ∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入（\*）得﹣2y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9868.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}且﹣3y22=﹣4， 消去y2得k2=3，解之得k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9869.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"} ∴直线l方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9870.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}（x﹣1）或y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9870.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}（x﹣1） 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9871.png){width="1.59375in" height="2.0520833333333335in"} 【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分，求直线AB的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题． 　 11．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（　　） A．∃x0∈R，f（x0）=0 B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形 C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（﹣∞，x0）上单调递减 D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0 ）=0 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用． 【分析】对于A，对于三次函数f（x ）=x3+ax2+bx+c，由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故在区间（﹣∞，+∞）肯定存在零点； 对于B，根据对称变换法则，求出对应中心坐标，可以判断； 对于C：采用取特殊函数的方法，若取a=﹣1，b=﹣1，c=0，则f（x）=x3﹣x2﹣x，利用导数研究其极值和单调性进行判断； D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0 ）=0，正确． 【解答】解： A、对于三次函数f （x ）=x3+ax2+bx+c， A：由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞， 故∃x0∈R，f（x0）=0，故A正确； B、∵f（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9872.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣x）+f（x）=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9872.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣x）3+a（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9872.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣x）2+b（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9872.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣x）+c+x3+ax2+bx+c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9873.png){width="0.3326388888888889in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9874.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+2c， f（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9875.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9875.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）3+a（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9875.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）2+b（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9875.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）+c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9876.png){width="0.3326388888888889in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9877.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+c， ∵f（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9878.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣x）+f（x）=2f（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9875.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）， ∴点P（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9879.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，f（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9879.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}））为对称中心，故B正确． C、若取a=﹣1，b=﹣1，c=0，则f（x）=x3﹣x2﹣x， 对于f（x）=x3﹣x2﹣x，∵f′（x）=3x2﹣2x﹣1 ∴由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9880.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）∪（1，+∞） 由f′（x）=3x2﹣2x﹣1＜0得x∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9880.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，1） ∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9880.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}），（1，+∞），减区间为：（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9880.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，1）， 故1是f（x）的极小值点，但f（x ）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故C错误； D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x0 ）=0，故D正确． 由于该题选择错误的，故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9881.png){width="2.604861111111111in" height="2.4375in"} 【点评】本题考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，及导数的运算． 　 12．（5分）若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣1，+∞） 【考点】3E：函数单调性的性质与判断；7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】转化不等式为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9882.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可． 【解答】解：因为2x（x﹣a）＜1，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9882.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}， 函数y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9883.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1， 所以a的取值范围是（﹣1，+∞）． 故选：D． 【点评】本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力． 　 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分． 13．（4分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是　0.2　． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】由题意结合组合数公式可得总的基本事件数，再找出和为5的情形，由古典概型的概率公式可得答案． 【解答】解：从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9884.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=10种情况， 和为5的有（1，4）（2，3）两种情况， 故所求的概率为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9885.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=0.2 故答案为：0.2 【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题． 　 14．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9886.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9887.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=　2　． 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9888.png){width="0.6145833333333334in" height="0.36527777777777776in"}）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9889.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果． 【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9890.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=0， 故 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9891.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=（ ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9892.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"} ）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9893.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}）=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9894.png){width="0.6145833333333334in" height="0.36527777777777776in"}）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9895.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9896.png){width="0.28055555555555556in" height="0.26944444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9897.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9898.png){width="0.6145833333333334in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9899.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9900.png){width="0.28055555555555556in" height="0.26944444444444443in"}=4+0﹣0﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9901.png){width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"}=2， 故答案为 2． 【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题． 　 15．（4分）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9902.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，底面边长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9903.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为　24π　． 【考点】L3：棱锥的结构特征；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O﹣ABCD的高，再利用直角三角形求出正四棱锥O﹣ABCD的侧棱长OA，最后根据球的表面积公式计算即得． 【解答】解：如图，正四棱锥O﹣ABCD的体积V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9904.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}sh=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9904.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9905.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9905.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）×OH=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9906.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}， ∴OH=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9907.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}， 在直角三角形OAH中，OA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9908.png){width="0.7819444444444444in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9909.png){width="1.3847222222222222in" height="0.46944444444444444in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9910.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 所以表面积为4πr2=24π； 故答案为：24π． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9911.png){width="2.1354166666666665in" height="1.3541666666666667in"} 【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属基础题． 　 16．（4分）函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9912.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位后，与函数y=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9913.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的图象重合，则φ=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9914.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}　． 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题；57：三角函数的图像与性质． 【分析】根据函数图象平移的公式，可得平移后的图象为y=cos\[2（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9912.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）+φ\]的图象，即y=cos（2x+φ﹣π）的图象．结合题意得函数y=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9913.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9915.png){width="1.2506944444444446in" height="0.36527777777777776in"}的图象与y=cos（2x+φ﹣π）图象重合，由此结合三角函数的诱导公式即可算出φ的值． 【解答】解：函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9916.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位后，得平移后的图象的函数解析式为 y=cos\[2（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9916.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）+φ\]=cos（2x+φ﹣π）， 而函数y=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9917.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9918.png){width="1.2506944444444446in" height="0.36527777777777776in"}， 由函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9916.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位后，与函数y=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9917.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的图象重合，得 2x+φ﹣π=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9919.png){width="0.8118055555555556in" height="0.36527777777777776in"}，解得：φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9920.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}． 符合﹣π≤φ＜π． 故答案为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9920.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题给出函数y=cos（2x+φ）的图象平移，求参数φ的值．着重考查了函数图象平移的公式、三角函数的诱导公式和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题． 　 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求a1+a4+a7+...+a3n﹣2． 【考点】84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】（I）设等差数列{an}的公差为d≠0，利用成等比数列的定义可得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9921.png){width="0.8118055555555556in" height="0.28055555555555556in"}，再利用等差数列的通项公式可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9922.png){width="1.8756944444444446in" height="0.28055555555555556in"}，化为d（2a1+25d）=0，解出d即可得到通项公式an； （II）由（I）可得a3n﹣2=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，﹣6为公差的等差数列．利用等差数列的前n项和公式即可得出a1+a4+a7+...+a3n﹣2． 【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d≠0， 由题意a1，a11，a13成等比数列，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9923.png){width="0.8118055555555556in" height="0.28055555555555556in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9922.png){width="1.8756944444444446in" height="0.28055555555555556in"}，化为d（2a1+25d）=0， ∵d≠0，∴2×25+25d=0，解得d=﹣2． ∴an=25+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+27． （II）由（I）可得a3n﹣2=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，﹣6为公差的等差数列． ∴Sn=a1+a4+a7+...+a3n﹣2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9924.png){width="1.0097222222222222in" height="0.42569444444444443in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9925.png){width="0.96875in" height="0.36527777777777776in"} =﹣3n2+28n． 【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键． 　 18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点 （Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD； （Ⅱ）AA1=AC=CB=2，AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9926.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}，求三棱锥C﹣A1DE的体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9927.png){width="1.71875in" height="2.2291666666666665in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）连接AC1 交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得 BC1∥平面A1CD． （Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用 勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9928.png){width="0.5625in" height="0.2611111111111111in"}的值，再根据三棱锥C﹣A1DE的体积 为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9929.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9928.png){width="0.5625in" height="0.2611111111111111in"}•CD，运算求得结果． 【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AC1 交A1C于点F，则F为AC1的中点． ∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，故DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1． 由于DF⊂平面A1CD，而BC1不在平面A1CD中，故有BC1∥平面A1CD． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9930.png){width="1.6666666666666667in" height="2.15625in"} （Ⅱ）∵AA1=AC=CB=2，AB=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9931.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形． 由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1 ，∴CD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9932.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9931.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． ∵A1D=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9933.png){width="0.8534722222222222in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9934.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，同理，利用勾股定理求得 DE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9935.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，A1E=3． 再由勾股定理可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9936.png){width="0.38472222222222224in" height="0.28055555555555556in"}+DE2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9937.png){width="0.38472222222222224in" height="0.28055555555555556in"}，∴A1D⊥DE． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9938.png){width="0.5625in" height="0.2611111111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9939.png){width="0.7708333333333334in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9940.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9941.png){width="0.5840277777777778in" height="0.2611111111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9942.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9943.png){width="0.5625in" height="0.2611111111111111in"}•CD=1． 【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积，体现了数形结合的数学思想，属于中档题． 　 19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9944.png){width="3.7506944444444446in" height="2.542361111111111in"} （Ⅰ）将T表示为X的函数； （Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率． 【考点】B8：频率分布直方图．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（I）由题意先分段写出，当X∈\[100，130）时，当X∈\[130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可． （II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．再由直方图知需求量X∈\[120，150\]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值． 【解答】解：（I）由题意得，当X∈\[100，130）时，T=500X﹣300（130﹣X）=800X﹣39000， 当X∈\[130，150\]时，T=500×130=65000， ∴T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9945.png){width="2.2090277777777776in" height="0.4479166666666667in"}． （II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150． 由直方图知需求量X∈\[120，150\]的频率为0.7， 所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7． 【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义． 　 20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9946.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，在y轴上截得线段长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9947.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． （Ⅰ）求圆心P的轨迹方程； （Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9948.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，求圆P的方程． 【考点】J1：圆的标准方程；J3：轨迹方程．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由题意，可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形中利用勾股定理建立关于点P的横纵坐标的方程，整理即可得到所求的轨迹方程； （Ⅱ）由题，可先由点到直线的距离公式建立关于点P的横纵坐标的方程，将此方程与（I）所求的轨迹方程联立，解出点P的坐标，进而解出圆的半径即可写出圆P的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设圆心P（x，y），由题意得圆心到x轴的距离与半径之间的关系为2=﹣y2+r2，同理圆心到y轴的距离与半径之间的关系为3=﹣x2+r2，由两式整理得x2+3=y2+2，整理得y2﹣x2=1即为圆心P的轨迹方程，此轨迹是等轴双曲线 （Ⅱ）由P点到直线y=x的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9948.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9948.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9949.png){width="0.46944444444444444in" height="0.3958333333333333in"}，即\|x﹣y\|=1，即x=y+1或y=x+1，分别代入y2﹣x2=1解得P（0，﹣1）或P（0，1） 若P（0，﹣1），此时点P在y轴上，故半径为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9950.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，所以圆P的方程为（y+1）2+x2=3； 若P（0，1），此时点P在y轴上，故半径为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9950.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，所以圆P的方程为（y﹣1）2+x2=3； 综上，圆P的方程为（y+1）2+x2=3或（y﹣1）2+x2=3 【点评】本题考查求轨迹方程的方法解析法及点的直线的距离公式、圆的标准方程与圆的性质，解题的关键是理解圆的几何特征，将几何特征转化为方程 　 21．（12分）已知函数f（x）=x2e﹣x （Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值； （Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围． 【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出f′（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值； （Ⅱ）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2e﹣x， ∴f′（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=e﹣x（2x﹣x2）， 令f′（x）=0，解得x=0或x=2， 令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2； 令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2， 故函数在区间（﹣∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数． ∴x=0是极小值点，x=2极大值点，又f（0）=0，f（2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9951.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}． 故f（x）的极小值和极大值分别为0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9951.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}． （Ⅱ）设切点为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9952.png){width="1.0208333333333333in" height="0.32430555555555557in"}）， 则切线方程为y﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9953.png){width="0.6368055555555555in" height="0.32430555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9954.png){width="1.2284722222222222in" height="0.32430555555555557in"}（x﹣x0）， 令y=0，解得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9955.png){width="0.6145833333333334in" height="0.5298611111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9956.png){width="1.2284722222222222in" height="0.42569444444444443in"}， ∵曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9957.png){width="0.3541666666666667in" height="0.2611111111111111in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9958.png){width="0.6972222222222222in" height="0.28055555555555556in"}＜0， ∴x0＜0或x0＞2， 令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9959.png){width="1.4694444444444446in" height="0.42569444444444443in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9960.png){width="1.6152777777777778in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9961.png){width="0.8965277777777778in" height="0.5840277777777778in"}． ①当x0＜0时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9962.png){width="1.03125in" height="0.28055555555555556in"}0，即f′（x0）＞0，∴f（x0）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x0）＜f（0）=0； ②当x0＞2时，令f′（x0）=0，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9963.png){width="0.6777777777777778in" height="0.22847222222222222in"}． 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9964.png){width="0.7597222222222222in" height="0.23958333333333334in"}时，f′（x0）＞0，函数f（x0）单调递增；当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9965.png){width="1.03125in" height="0.23958333333333334in"}时，f′（x0）＜0，函数f（x0）单调递减． 故当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9963.png){width="0.6777777777777778in" height="0.22847222222222222in"}时，函数f（x0）取得极小值，也即最小值，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9966.png){width="0.6666666666666666in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9967.png){width="0.48055555555555557in" height="0.1875in"}． 综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9968.png){width="1.0833333333333333in" height="0.20902777777777778in"}． 【点评】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力． 　 选做题．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号． 22．【选修4﹣1几何证明选讲】 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆． （1）证明：CA是△ABC外接圆的直径； （2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9969.png){width="1.5416666666666667in" height="1.03125in"} 【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】（1）已知CD为△ABC外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB=∠A，及BC•AE=DC•AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD=∠AFE． 利用B、E、F、C四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，进而得到∠CFE=∠AFE=90°即可证明CA是△ABC外接圆的直径； （2）要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，及DB=BE，可得CE=DC，利用切割线定理可得DC2=DB•DA，CA2=CB2+BA2，都用DB表示即可． 【解答】（1）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠DCB=∠A， ∵BC•AE=DC•AF，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9970.png){width="0.5409722222222222in" height="0.36527777777777776in"}． ∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD=∠AFE． ∵B、E、F、C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，∴∠CFE=∠AFE=90°． ∴∠CBA=90°，∴CA是△ABC外接圆的直径； （2）连接CE，∵∠CBE=90°， ∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，得CE=DC， 又BC2=DB•BA=2DB2， ∴CA2=4DB2+BC2=6DB2． 而DC2=DB•DA=3DB2， 故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9971.png){width="0.3326388888888889in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9972.png){width="0.65625in" height="0.48055555555555557in"}． 【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键． 　 23．已知动点P、Q都在曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9973.png){width="1.0618055555555554in" height="0.40625in"}（β为参数）上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点． （1）求M的轨迹的参数方程； （2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点． 【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出； （2）利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出． 【解答】解：（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α）， 因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）． M的轨迹的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9974.png){width="1.5631944444444446in" height="0.40625in"}为参数，0＜α＜2π）． （2）M点到坐标原点的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9975.png){width="1.488888888888889in" height="0.2611111111111111in"}（0＜α＜2π）． 当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点． 【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 24．（14分）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】 设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9976.png){width="0.9902777777777778in" height="0.36527777777777776in"} （Ⅱ）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9977.png){width="1.1569444444444446in" height="0.42569444444444443in"}． 【考点】R6：不等式的证明．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；16：压轴题． 【分析】（Ⅰ）依题意，由a+b+c=1⇒（a+b+c）2=1⇒a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，利用基本不等式可得3（ab+bc+ca）≤1，从而得证； （Ⅱ）利用基本不等式可证得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9978.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+b≥2a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9979.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+c≥2b，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9980.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+a≥2c，三式累加即可证得结论． 【解答】证明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得： a2+b2+c2≥ab+bc+ca， 由题设得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1， 所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9981.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． （Ⅱ）因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9982.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+b≥2a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9983.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+c≥2b，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9980.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+a≥2c， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9982.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9983.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9984.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+（a+b+c）≥2（a+b+c），即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9985.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9986.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9984.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}≥a+b+c． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9985.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9986.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9987.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}≥1． 【点评】本题考查不等式的证明，突出考查基本不等式与综合法的应用，考查推理论证能力，属于中档题． 2013年北京市高考数学试卷（理科） ================================ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x\|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（　　） A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1} 【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集． 【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x\|﹣1≤x＜1}， ∴A∩B={﹣1，0}． 故选：B． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 2．（5分）在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】化简复数为代数形式，求出复数对应点的坐标，即可判断复数对应点所在象限． 【解答】解：复数（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i， 复数对应的点（3，﹣4）， 所以在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力． 　 3．（5分）"φ=π"是"曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，求出φ的值，②φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点． 【解答】解：φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）=﹣sin2x，过坐标原点． 但是，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上， 将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π． 故"φ=π"是"曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点"的充分而不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查充要条件的判定，用到的知识是三角函数的图象特征．是基础题． 　 4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image9988.png){width="1.0625in" height="2.9381944444444446in"} A．1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9989.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9990.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9991.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止． 【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1． 执行![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9992.png){width="0.9791666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，i=0+1=1； 判断1≥2不成立，执行![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9993.png){width="1.1666666666666667in" height="0.7604166666666666in"}，i=1+1=2； 判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9990.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：C． 【点评】本题考查了程序框图，考查了直到型结构，直到型循环是先执行后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足结束循环，是基础题． 　 5．（5分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（　　） A．ex+1 B．ex﹣1 C．e﹣x+1 D．e﹣x﹣1 【分析】首先求出与函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然后换x为x+1即可得到要求的答案． 【解答】解：函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x， 而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex的图象关于y轴对称， 所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1． 故选：D． 【点评】本题考查了函数解析式的求解与常用方法，考查了函数图象的对称变换和平移变换，函数图象的平移遵循"左加右减，上加下减"的原则，是基础题． 　 6．（5分）若双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9994.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9995.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则其渐近线方程为（　　） A．y=±2x B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9996.png){width="0.6666666666666666in" height="0.19791666666666666in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9997.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9998.png){width="0.6979166666666666in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程． 【解答】解：由双曲线的离心率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9999.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，可知c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9999.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}a， 又a2+b2=c2，所以b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10000.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}a， 所以双曲线的渐近线方程为：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10001.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10000.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}x． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力． 　 7．（5分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10002.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．2 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10003.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10004.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积． 【解答】解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）， ∵直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直， ∴直线l的方程为y=1， 由 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10005.png){width="0.5729166666666666in" height="0.46875in"}，可得交点的横坐标分别为﹣2，2． ∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10006.png){width="1.1145833333333333in" height="0.4270833333333333in"}=（ x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10007.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3645833333333333in"}）\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10008.png){width="0.2604166666666667in" height="0.28125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10009.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10010.png){width="3.2715277777777776in" height="2.0208333333333335in"} 【点评】本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直线的方程，求出积分区间，确定被积函数． 　 8．（5分）设关于x，y的不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10011.png){width="1.2916666666666667in" height="0.71875in"}表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10012.png){width="1.0104166666666667in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10013.png){width="1.0104166666666667in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10014.png){width="1.09375in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10015.png){width="1.09375in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】先根据约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10016.png){width="1.2916666666666667in" height="0.71875in"}画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10017.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10017.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10017.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x﹣1的下方，从而建立关于m的不等式组，解之可得答案． 【解答】解：先根据约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10018.png){width="1.2916666666666667in" height="0.71875in"}画出可行域， 要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10019.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m） 在直线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10019.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10019.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x﹣1的下方， 故得不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10020.png){width="1.1145833333333333in" height="1.0520833333333333in"}， 解之得：m＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10021.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10022.png){width="2.4902777777777776in" height="2.5215277777777776in"} 【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案． 　 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）在极坐标系中，点（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10023.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）到直线ρsinθ=2的距离等于　1　． 【分析】先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解． 【解答】解：在极坐标系中，点![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10024.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}化为直角坐标为（ ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10025.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2， （ ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10025.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，1），到y=2的距离1，即为点![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10024.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}到直线ρsinθ=2的距离1， 故答案为：1． 【点评】本题关键是直角坐标和极坐标的互化，体现等价转化数学思想． 　 10．（5分）若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=　2　；前n项和Sn=　2n+1﹣2　． 【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10026.png){width="1.25in" height="0.625in"}，解出即可得到a1及q，再利用等比数列的前n项和公式即可得出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10027.png){width="1.09375in" height="0.4895833333333333in"}． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q， ∵a2+a4=a2（1+q2）=20① a3+a5=a3（1+q2）=40② ∴①②两个式子相除，可得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10028.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10029.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=2 即等比数列的公比q=2， 将q=2带入①中可求出a2=4 则a1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10030.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10031.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2 ∴数列{an}时首项为2，公比为2的等比数列． ∴数列{an}的前n项和为：Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10032.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10033.png){width="0.8541666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=2n+1﹣2． 故答案为：2，2n+1﹣2． 【点评】熟练掌握等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式是解题的关键． 　 11．（5分）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA=3，PD：DB=9：16，则PD=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10034.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　，AB=　4　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10035.png){width="1.1041666666666667in" height="1.1458333333333333in"} 【分析】由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x．利用切割线定理可得PA2=PD•PB，即可求出x，进而得到PD，PB．AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，利用切线的性质可得AB⊥PA．再利用勾股定理即可得出AB． 【解答】解：由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x． ∵PA为圆O的切线，∴PA2=PD•PB， ∴32=9x•（9x+16x），化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10036.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10037.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． ∴PD=9x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10034.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，PB=25x=5． ∵AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，∴AB⊥PA． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10038.png){width="1.0520833333333333in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10039.png){width="0.59375in" height="0.25in"}=4． 故答案分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10040.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，4． 【点评】熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键． 　 12．（5分）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是　96　． 【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可． 【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10041.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=96种． 故答案为：96． 【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力． 　 13．（5分）向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10042.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10043.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10044.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}在正方形网格中的位置如图所示，若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10045.png){width="0.8541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}（λ，μ∈R），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10046.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=　4　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10047.png){width="1.4583333333333333in" height="0.8958333333333334in"} 【分析】以向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10048.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10049.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10048.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10049.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10050.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2且μ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10051.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即可得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10052.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}的值． 【解答】解：以向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10053.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10054.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10053.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10054.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（6，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10055.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，﹣3） ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10056.png){width="2.0416666666666665in" height="0.22916666666666666in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10057.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3958333333333333in"}，解之得λ=﹣2且μ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10058.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 因此，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10059.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10060.png){width="0.2708333333333333in" height="0.5625in"}=4 故答案为：4 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10061.png){width="1.6354166666666667in" height="1.0729166666666667in"} 【点评】本题给出向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10062.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}用向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10063.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10064.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}线性表示，求系数λ、μ的比值，着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题． 　 14．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10065.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10066.png){width="1.2291666666666667in" height="1.1354166666666667in"} 【分析】如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，利用线面平行的判定即可得到C1C∥平面D1EF，进而得到异面直线D1E与C1C的距离． 【解答】解：如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1， ∴CC1∥EF， 又EF⊂平面D1EF，CC1⊄平面D1EF， ∴CC1∥平面D1EF． ∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离． 过点C1作C1M⊥D1F， ∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1． ∴C1M⊥平面D1EF． 过点M作MP∥EF交D1E于点P，则MP∥C1C． 取C1N=MP，连接PN，则四边形MPNC1是矩形． 可得NP⊥平面D1EF， 在Rt△D1C1F中，C1M•D1F=D1C1•C1F，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10067.png){width="1.0104166666666667in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10068.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． ∴点P到直线CC1的距离的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10068.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 故答案为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10068.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10069.png){width="1.2291666666666667in" height="1.0833333333333333in"} 【点评】熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的关键． 　 三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤 15．（13分）在△ABC中，a=3，b=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10070.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∠B=2∠A． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求c的值． 【分析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA的值． （Ⅱ）由条件利用余弦定理，解方程求得c的值，再进行检验，从而得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a=3，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10071.png){width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"}，∠B=2∠A， 利用正弦定理可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10072.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10073.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10074.png){width="0.8020833333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 解得cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10075.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅱ）由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即 9=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10076.png){width="0.59375in" height="0.25in"}+c2﹣2×2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10077.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}×c×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10075.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 即 c2﹣8c+15=0． 解方程求得 c=5，或 c=3． 当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得 B=90°，A=C=45°， △ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去． 当c=5时，求得cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10078.png){width="0.78125in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10079.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10080.png){width="0.78125in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10081.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴cos2A=2cos2A﹣1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10079.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=cosB，∴B=2A，满足条件． 综上，c=5． 【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理，以及二倍角公式的应用，注意把c=3舍去，这是解题的易错点，属于中档题． 　 16．（13分）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10082.png){width="4.677777777777778in" height="2.2291666666666665in"} （Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率； （Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望 （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 【分析】（Ⅰ）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案； （Ⅱ）由题意可知X所有可能取值为0，1，2，得出P（X=0），P（X=1），p（x=2）及分布列与数学期望； （Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案． 【解答】解：设Ai表示事件"此人于5月i日到达该地"（i=1，2，...，13） 依据题意P（Ai）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10083.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，Ai∩Aj=∅（i≠j） （Ⅰ）设B表示事件"此人到达当日空气质量优良"，则P（B）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10084.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}...（3分） （Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2 P（X=0）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10085.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，P（X=1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10086.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，P（X=2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10086.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}...（6分） ∴X的分布列为 --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- X 0 1 2 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10085.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10086.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10087.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ...（8分） ∴X的数学期望为E（X）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10088.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}...（11分） （Ⅲ）从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． ...（13分） 【点评】本题考查了正确理解题意及识图的能力、古典概型的概率计算、随机变量的分布列及数学期望与方差，考查了数形结合的思想方法及审题与计算的能力． 　 17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5． （Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC； （Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10089.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}的值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10090.png){width="1.28125in" height="1.4791666666666667in"} 【分析】（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明； （II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角； （III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10091.png){width="1.2604166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，利用向量垂直于数量积得关系即可得出． 【解答】（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC． 又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC， ∴AA1⊥平面ABC． （II）解：由AC=4，BC=5，AB=3． ∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC． 建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10092.png){width="1.2395833333333333in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10093.png){width="1.2395833333333333in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10094.png){width="1.15625in" height="0.2708333333333333in"}． 设平面A1BC1的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10095.png){width="1.4166666666666667in" height="0.28125in"}，平面B1BC1的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10096.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（x2，y2，z2）． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10097.png){width="2.0208333333333335in" height="0.6041666666666666in"}，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10098.png){width="1.0520833333333333in" height="0.2708333333333333in"}． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10099.png){width="2.0208333333333335in" height="0.59375in"}，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10100.png){width="1.0520833333333333in" height="0.2708333333333333in"}． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10101.png){width="1.1979166666666667in" height="0.2708333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10102.png){width="0.8958333333333334in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10103.png){width="0.71875in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10104.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． ∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10104.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． （III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10105.png){width="1.2604166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10106.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10107.png){width="1.2604166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10108.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（0，3，﹣4）， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10109.png){width="0.6770833333333334in" height="0.2708333333333333in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10110.png){width="0.78125in" height="0.2708333333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10111.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，解得t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10112.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10113.png){width="1.0833333333333333in" height="0.4270833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10114.png){width="2.1875in" height="2.9902777777777776in"} 【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力． 　 18．（13分）设l为曲线C：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10115.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}在点（1，0）处的切线． （Ⅰ）求l的方程； （Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方． 【分析】（Ⅰ）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解； （Ⅱ）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10116.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10117.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"} ∴l的斜率k=y′\|x=1=1 ∴l的方程为y=x﹣1 证明：（Ⅱ）令f（x）=x（x﹣1）﹣lnx，（x＞0） 曲线C在直线l的下方，即f（x）=x（x﹣1）﹣lnx＞0， 则f′（x）=2x﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10118.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10119.png){width="0.96875in" height="0.3645833333333333in"} ∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f（1）=0 ∴x∈（0，1）时，f（x）＞0，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10120.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}＜x﹣1 x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10120.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}＜x﹣1 即除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方 【点评】本题考查的知识点是导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档． 　 19．（14分）已知A，B，C是椭圆W：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10121.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}上的三个点，O是坐标原点． （Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积； （Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由． 【分析】（I）根据B的坐标为（2，0）且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10122.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积； （II）若四边形OABC为菱形，根据\|OA\|=\|OC\|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10123.png){width="0.3125in" height="0.4270833333333333in"}=r2﹣1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形． 【解答】解：（I）∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0） ∴直线AC是BO的垂直平分线，可得AC方程为x=1 设A（1，t），得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10124.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，解之得t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10125.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}（舍负） ∴A的坐标为（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10125.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），同理可得C的坐标为（1，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10126.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}） 因此，\|AC\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10127.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，可得菱形OABC的面积为S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10128.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|AC\|•\|BO\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10127.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； （II）∵四边形OABC为菱形，∴\|OA\|=\|OC\|， 设\|OA\|=\|OC\|=r（r＞1），得A、C两点是圆x2+y2=r2 与椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10129.png){width="0.9791666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的公共点，解之得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10130.png){width="0.3125in" height="0.4270833333333333in"}=r2﹣1 设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足 x1=x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10131.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10132.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}，或x1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10133.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10132.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}且x2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10133.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10132.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}， ①当x1=x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10133.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10134.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点（2，0）； ②若x1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10135.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10134.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}且x2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10135.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10134.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}，则x1+x2=0， 可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC 综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10136.png){width="2.0625in" height="1.7708333333333333in"} 【点评】本题给出椭圆方程，探讨了以坐标原点O为一个顶点，其它三个顶点在椭圆上的菱形问题，着重考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题． 　 20．（13分）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2...的最小值记为Bn，dn=An﹣Bn． （Ⅰ）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3...，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N\*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值； （Ⅱ）设d是非负整数，证明：dn=﹣d（n=1，2，3...）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列； （Ⅲ）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，...），则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1． 【分析】（Ⅰ）根据条件以及dn=An﹣Bn 的定义，直接求得d1，d2，d3，d4的值． （Ⅱ）设d是非负整数，若{an}是公差为d的等差数列，则an=a1+（n﹣1）d，从而证得dn=An﹣Bn=﹣d， （n=1，2，3，4...）．若dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4...）．可得{an}是一个不减的数列， 求得dn=An﹣Bn=﹣d，即 an+1﹣an=d，即{an}是公差为d的等差数列，命题得证． （Ⅲ）若a1=2，dn=1（n=1，2，3，...），则{an}的项不能等于零，再用反证法得到{an}的项不能超过2， 从而证得命题． 【解答】解：（Ⅰ）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3...，是一个周期为4的数列，∴d1=A1﹣B1=2﹣1=1， d2=A2﹣B2=2﹣1=1，d3=A3﹣B3=4﹣1=3，d4=A4﹣B4=4﹣1=3． （Ⅱ）充分性：设d是非负整数，若{an}是公差为d的等差数列，则an=a1+（n﹣1）d， ∴An=an=a1+（n﹣1）d，Bn=an+1=a1+nd，∴dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4...）． 必要性：若 dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4...）．假设ak是第一个使ak﹣ak﹣1＜0的项， 则dk=Ak﹣Bk=ak﹣1﹣Bk≥ak﹣1﹣ak＞0，这与dn=﹣d≤0相矛盾，故{an}是一个不减的数列． ∴dn=An﹣Bn=an﹣an+1=﹣d，即 an+1﹣an=d，故{an}是公差为d的等差数列． （Ⅲ）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，...），首先，{an}的项不能等于零，否则d1=2﹣0=2，矛盾． 而且还能得到{an}的项不能超过2，用反证法证明如下： 假设{an}的项中，有超过2的，设am是第一个大于2的项，由于{an}的项中一定有1，否则与d1=1矛盾． 当n≥m时，an≥2，否则与dm=1矛盾． 因此，存在最大的i在2到m﹣1之间，使ai=1，此时，di=Ai﹣Bi=2﹣Bi≤2﹣2=0，矛盾． 综上，{an}的项不能超过2，故{an}的项只能是1或者2． 下面用反证法证明{an}的项中，有无穷多项为1． 若ak是最后一个1，则ak是后边的各项的最小值都等于2，故dk=Ak﹣Bk=2﹣2=0，矛盾， 故{an}的项中，有无穷多项为1． 综上可得，{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1． 【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的判断和证明，等差关系的确定，用反证法和放缩法证明数学命题， 属于中档题． 2013年北京市高考数学试卷（文科） ================================ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x\|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（　　） A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1} 【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集． 【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x\|﹣1≤x＜1}， ∴A∩B={﹣1，0}． 故选：B． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 2．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（　　） A．ac＞bc B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10137.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"} C．a2＞b2 D．a3＞b3 【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出． 【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确； B、1＞﹣2，但是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10138.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，故B不正确； C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确； D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确． 故选：D． 【点评】熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键． 　 3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10139.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"} B．y=e﹣x C．y=lg\|x\| D．y=﹣x2+1 【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可． 【解答】解：A中，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10140.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}为奇函数，故排除A； B中，y=e﹣x为非奇非偶函数，故排除B； C中，y=lg\|x\|为偶函数，在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，+∞）时，单调递增， 所以y=lg\|x\|在（0，+∞）上不单调，故排除C； D中，y=﹣x2+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减， 故选：D． 【点评】本题考查函数的奇偶i性、单调性的判断证明，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，熟记基本函数的有关性质可简化问题的解决． 　 4．（5分）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限． 【解答】解：∵复数z=i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i ∴复数对应的点的坐标是（1，2） 这个点在第一象限， 故选：A． 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值． 　 5．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10141.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则sinB=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10142.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10143.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10144.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} D．1 【分析】由正弦定理列出关系式，将a，b及sinA的值代入即可求出sinB的值． 【解答】解：∵a=3，b=5，sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10141.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴由正弦定理得：sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10145.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10146.png){width="0.4375in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10147.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． 【点评】此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 　 6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10148.png){width="1.0625in" height="2.9381944444444446in"} A．1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10149.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10150.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10151.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止． 【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1． 执行![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10152.png){width="0.9791666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，i=0+1=1； 判断1≥2不成立，执行![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10153.png){width="1.1666666666666667in" height="0.7604166666666666in"}，i=1+1=2； 判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10150.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：C． 【点评】本题考查了程序框图，考查了直到型结构，直到型循环是先执行后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足结束循环，是基础题． 　 7．（5分）双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10154.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}的离心率大于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10155.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的充分必要条件是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10156.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"} B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2 【分析】根据双曲线的标准形式，可以求出a=1，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10157.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10158.png){width="0.375in" height="0.1875in"}．利用离心率e大于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10155.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}建立不等式，解之可得 m＞1，最后利用充要条件的定义即可得出正确答案． 【解答】解：双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10154.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}，说明m＞0， ∴a=1，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10159.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，可得c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10160.png){width="0.375in" height="0.1875in"}， ∵离心率e＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10161.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}等价于 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10162.png){width="1.0416666666666667in" height="0.3854166666666667in"}⇔m＞1， ∴双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10163.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}的离心率大于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10161.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的充分必要条件是m＞1． 故选：C． 【点评】本题虽然小巧，用到的知识却是丰富的，具有综合性特点，涉及了双曲线的标准方程、几何性质等几个方面的知识，是这些内容的有机融合，是一个极具考查力的小题． 　 8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10164.png){width="1.78125in" height="1.6145833333333333in"} A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长\|AB\|=3，即可得到各顶点的坐标，利用两点间的距离公式即可得出． 【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长\|AB\|=3， 则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10165.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（﹣3，﹣3，3）， 设P（x，y，z）， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10166.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=（﹣1，﹣1，1）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10167.png){width="1.5in" height="0.22916666666666666in"}=（2，2，1）． ∴\|PA\|=\|PC\|=\|PB1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10168.png){width="0.8958333333333334in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10169.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， \|PD\|=\|PA1\|=\|PC1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10170.png){width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}， \|PB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10171.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， \|PD1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10172.png){width="0.8958333333333334in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10173.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}． 故P到各顶点的距离的不同取值有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10174.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，3，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10175.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10176.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}共4个． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10177.png){width="1.8541666666666667in" height="1.7604166666666667in"} 【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系及两点间的距离公式是解题的关键． 　 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点坐标为（1，0），则p=　2　；准线方程为　x=﹣1　． 【分析】由抛物线的性质可知，知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10178.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=1，可知抛物线的标准方程和准线方程． 【解答】解：∵抛物线y2=2px的焦点坐标为（1，0）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10178.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=1，p=2， 抛物线的方程为y2=4x， ∴其标准方程为：x=﹣1， 故答案为：2，x=﹣1． 【点评】本题考查抛物线的简单性质，属于基础题． 　 10．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为　3　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10179.png){width="2.5006944444444446in" height="2.1145833333333335in"} 【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积． 【解答】解：几何体为底面边长为3的正方形，高为1的四棱锥， 所以体积![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10180.png){width="1.1458333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：3． 【点评】本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力． 　 11．（5分）若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=　2　；前n项和Sn=　2n+1﹣2　． 【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10181.png){width="1.25in" height="0.625in"}，解出即可得到a1及q，再利用等比数列的前n项和公式即可得出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10182.png){width="1.09375in" height="0.4895833333333333in"}． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q， ∵a2+a4=a2（1+q2）=20① a3+a5=a3（1+q2）=40② ∴①②两个式子相除，可得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10183.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10184.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=2 即等比数列的公比q=2， 将q=2带入①中可求出a2=4 则a1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10185.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10186.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2 ∴数列{an}时首项为2，公比为2的等比数列． ∴数列{an}的前n项和为：Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10187.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10188.png){width="0.8541666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=2n+1﹣2． 故答案为：2，2n+1﹣2． 【点评】熟练掌握等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式是解题的关键． 　 12．（5分）设D为不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10189.png){width="0.7916666666666666in" height="0.6458333333333334in"}表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10190.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}　． 【分析】首先根据题意作出可行域，欲求区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值，由其几何意义为点A（1，0）到直线2x﹣y=0距离为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案． 【解答】解：如图可行域为阴影部分， 由其几何意义为点A（1，0）到直线2x﹣y=0距离，即为所求， 由点到直线的距离公式得： d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10191.png){width="0.46875in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10190.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 则区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值等于 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10190.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10190.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10192.png){width="2.604861111111111in" height="2.4583333333333335in"} 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 　 13．（5分）函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10193.png){width="1.125in" height="0.6875in"}的值域为　（﹣∞，2）　． 【分析】通过求解对数不等式和指数不等式分别求出分段函数的值域，然后取并集得到原函数的值域． 【解答】解：当x≥1时，f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10194.png){width="1.34375in" height="0.3958333333333333in"}； 当x＜1时，0＜f（x）=2x＜21=2． 所以函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10195.png){width="1.5625in" height="0.6875in"}的值域为（﹣∞，2）． 故答案为（﹣∞，2）． 【点评】本题考查了函数值域的求法，分段函数的值域要分段求，最后取并集．是基础题． 　 14．（5分）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10196.png){width="1.1041666666666667in" height="0.20833333333333334in"}（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为　3　． 【分析】设P的坐标为（x，y），根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10196.png){width="1.1041666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，结合向量的坐标运算解出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10197.png){width="1.1875in" height="0.7916666666666666in"}，再由1≤λ≤2、0≤μ≤1得到关于x、y的不等式组，从而得到如图的平行四边形CDEF及其内部，最后根据坐标系内两点间的距离公式即可算出平面区域D的面积． 【解答】解：设P的坐标为（x，y），则 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10198.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（2，1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10199.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（1，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10200.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（x﹣1，y+1），∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10201.png){width="1.1041666666666667in" height="0.20833333333333334in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10202.png){width="0.9583333333333334in" height="0.40625in"}，解之得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10203.png){width="1.1875in" height="0.7916666666666666in"} ∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10204.png){width="1.4375in" height="0.7916666666666666in"} 作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部 其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0） ∵\|CF\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10205.png){width="1.28125in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10206.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10207.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10208.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} ∴平行四边形CDEF的面积为S=\|CF\|×d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10206.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10209.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3 故答案为：3 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10210.png){width="2.1354166666666665in" height="1.3333333333333333in"} 【点评】本题在平面坐标系内给出向量等式，求满足条件的点P构成的平面区域D的面积．着重考查了平面向量的坐标运算、二元一次不等式组表示的平面区域和点到直线的距离公式等知识，属于中档题． 　 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）已知函数f（x）=（2cos2x﹣1）sin 2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10211.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos 4x． （1）求f（x）的最小正周期及最大值； （2）若α∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10212.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π），且f（α）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10213.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，求α的值． 【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦函数以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求f（x）的最小正周期，利用三角函数的最值求出函数的最大值； （Ⅱ）通过![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10214.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10215.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，求出α的正弦值，然后求出角即可． 【解答】解：（Ⅰ）因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10216.png){width="2.3958333333333335in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10217.png){width="1.2291666666666667in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10218.png){width="1.1666666666666667in" height="0.3854166666666667in"} ∴T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10219.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10220.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 函数的最大值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10221.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅱ）∵f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10218.png){width="1.1666666666666667in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10222.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10223.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10224.png){width="1.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10225.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，又∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10226.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10227.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查二倍角的余弦函数正弦函数的应用，两角和的正弦函数，三角函数的周期与最值的求法，以及角的求法，考查计算能力． 　 16．（13分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10228.png){width="5.261111111111111in" height="2.3541666666666665in"} （Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率； （Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 【分析】（Ⅰ）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案； （Ⅱ）用列举法写出此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况，查出仅有一天是重度污染的情况，然后直接利用古典概型概率计算公式得到答案； （Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案． 【解答】解：（Ⅰ）由图看出，1日至13日13天的时间内，空气质量优良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天． 由古典概型概率计算公式得，此人到达当日空气质量优良的概率P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10229.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； （Ⅱ）此人在该市停留期间两天的空气质量指数（86，25）、（25，57）、（57，143）、（143，220）、 （220，160）（160，40）、（40，217）、（217，160）、（160，121）、（121，158）、（158，86）、（86，79）、（79，37）共13种情况． 其中只有1天空气重度污染的是（143，220）、（220，160）、（40，217）、（217，160）共4种情况，所以，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10230.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； （Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图看出从5日开始连续5、6、7三天的空气质量指数方差最大． 【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了一组数据的方差和标准差，训练了学生的读图能力，是基础题． 　 17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证： （Ⅰ）PA⊥底面ABCD； （Ⅱ）BE∥平面PAD； （Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10231.png){width="1.8333333333333333in" height="1.9479166666666667in"} 【分析】（Ⅰ）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD． （Ⅱ）根据已知条件判断ABED为平行四边形，故有BE∥AD，再利用直线和平面平行的判定定理证得BE∥平面PAD． （Ⅲ）先证明ABED为矩形，可得BE⊥CD ①．现证CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位线的性质可得EF∥PD， 从而证得 CD⊥EF ②．结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理 证得平面BEF⊥平面PCD． 【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD． （Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD． 又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD． （Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①． 由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD， ∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD． 再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD， ∴CD⊥EF ②． 而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF． 由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD． 【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理，直线和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，属于中档题． 　 18．（13分）已知函数f（x）=x2+xsinx+cosx． （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值； （Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围． 【分析】（I）由题意可得f′（a）=0，f（a）=b，联立解出即可； （II）利用导数得出其单调性与极值即最值，得到值域即可． 【解答】解：（I）f′（x）=2x+xcosx=x（2+cosx）， ∵曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切， ∴f′（a）=a（2+cosa）=0，f（a）=b， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10232.png){width="1.40625in" height="0.4583333333333333in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10233.png){width="0.375in" height="0.3958333333333333in"}， 故a=0，b=1． （II）∵f′（x）=x（2+cosx）． 令f′（x）=0，得x=0，x，f（x），f′（x）的变化情况如表： --------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x （﹣∞，0） 0 （0，+∞） f（x） ﹣ 0 \+ f′（x） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10234.png){width="0.23958333333333334in" height="0.23958333333333334in"} 1 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10235.png){width="0.2708333333333333in" height="0.23958333333333334in"} --------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 所以函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，f（0）=1是f（x）的最小值． 当b≤1时，曲线y=f（x）与直线x=b最多只有一个交点； 当b＞1时，f（﹣2b）=f（2b）≥4b2﹣2b﹣1＞4b﹣2b﹣1＞b，f（0）=1＜b，所以存在x1∈（﹣2b，0），x2∈（0，2b），使得f（x1）=f（x2）=b． 由于函数f（x）在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上均单调，所以当b＞1时曲线y=f（x）与直线y=b有且只有两个不同的交点． 综上可知，如果曲线y=f（x）与直线y=b有且只有两个不同的交点，那么b的取值范围是（1，+∞）． 【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值及其几何意义是解题的关键． 　 19．（14分）直线y=kx+m（m≠0）与椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10236.png){width="0.9791666666666666in" height="0.4270833333333333in"}相交于A，C两点，O是坐标原点． （Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长； （Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形． 【分析】（I）先根据条件得出线段OB的垂直平分线方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10237.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，从而A、C的坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10238.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10237.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），根据两点间的距离公式即可得出AC的长； （II）欲证明四边形OABC不可能为菱形，只须证明若OA=OC，则A、C两点的横坐标相等或互为相反数．设OA=OC=r，则A、C为圆x2+y2=r2与椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10236.png){width="0.9791666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的交点，从而解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10239.png){width="0.8125in" height="0.4270833333333333in"}，则A、C两点的横坐标相等或互为相反数．于是结论得证． 【解答】解：（I）∵点B的坐标为（0，1），当四边形OABC为菱形时，AC⊥OB，而B（0，1），O（0，0）， ∴线段OB的垂直平分线为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10240.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 将y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10240.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}代入椭圆方程得x=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10241.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 因此A、C的坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10242.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10240.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），如图， 于是AC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10241.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （II）欲证明四边形OABC不可能为菱形，利用反证法，假设四边形OABC为菱形，则有OA=OC， 设OA=OC=r，则A、C为圆x2+y2=r2与椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10243.png){width="0.9791666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的交点， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10244.png){width="0.8125in" height="0.4270833333333333in"}，x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10245.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（r2﹣1），则A、C两点的横坐标相等或互为相反数． 从而得到点B是W的顶点．这与题设矛盾． 于是结论得证． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10246.png){width="2.5215277777777776in" height="1.7708333333333333in"} 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，考查等价转化思想，属于基础题． 　 20．（14分）给定数列a1，a2，...，an．对i=1，2，...，n﹣1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n﹣i项ai+1，ai+2，...，an的最小值记为Bi，di=Ai﹣Bi． （Ⅰ）设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值； （Ⅱ）设a1，a2，...，an﹣1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0．证明：d1，d2，...，dn﹣1是等比数列； （Ⅲ）设d1，d2，...，dn﹣1是公差大于0的等差数列，且d1＞0．证明：a1，a2，...，an﹣1是等差数列． 【分析】（Ⅰ）当i=1时，A1=3，B1=1，从而可求得d1，同理可求得d2，d3的值； （Ⅱ）依题意，可知an=a1qn﹣1（a1＞0，q＞1），由dk=ak﹣ak+1⇒dk﹣1=ak﹣1﹣ak（k≥2），从而可证![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10247.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4791666666666667in"}（k≥2）为定值． （Ⅲ）依题意，0＜d1＜d2＜...＜dn﹣1，可用反证法证明a1，a2，...，an﹣1是单调递增数列；再证明am为数列{an}中的最小项，从而可求得是ak=dk+am，问题得证． 【解答】解：（Ⅰ）当i=1时，A1=3，B1=1，故d1=A1﹣B1=2，同理可求d2=3，d3=6； （Ⅱ）由a1，a2，...，an﹣1（n≥4）是公比q大于1的等比数列，且a1＞0，则{an}的通项为：an=a1qn﹣1，且为单调递增的数列． 于是当k=1，2，...n﹣1时，dk=Ak﹣Bk=ak﹣ak+1， 进而当k=2，3，...n﹣1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10248.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10249.png){width="0.6354166666666666in" height="0.53125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10250.png){width="0.8020833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=q为定值． ∴d1，d2，...，dn﹣1是等比数列； （Ⅲ）设d为d1，d2，...，dn﹣1的公差， 对1≤i≤n﹣2，因为Bi≤Bi+1，d＞0， 所以Ai+1=Bi+1+di+1≥Bi+di+d＞Bi+di=Ai， 又因为Ai+1=max{Ai，ai+1}，所以ai+1=Ai+1＞Ai≥ai． 从而a1，a2，...，an﹣1为递增数列． 因为Ai=ai（i=1，2，...n﹣1）， 又因为B1=A1﹣d1=a1﹣d1＜a1， 所以B1＜a1＜a2＜...＜an﹣1， 因此an=B1． 所以B1=B2=...=Bn﹣1=an． 所以ai=Ai=Bi+di=an+di， 因此对i=1，2，...，n﹣2都有ai+1﹣ai=di+1﹣di=d， 即a1，a2，...，an﹣1是等差数列． 【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题． 　 2013年安徽省高考数学试卷（理科） ================================ 　 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 1．（5分）设i是虚数单位，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10251.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}是复数z的共轭复数，若（z•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10251.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）i+2=2z，则z=（　　） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【分析】设出复数z=a+bi（a，b∈R），代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10252.png){width="0.8125in" height="0.1875in"}后整理，利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a，b，则复数z可求． 【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10253.png){width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10252.png){width="0.8125in" height="0.1875in"}，得（a+bi）（a﹣bi）i+2=2（a+bi）， 整理得2+（a2+b2）i=2a+2bi． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10254.png){width="0.8645833333333334in" height="0.4583333333333333in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10255.png){width="0.375in" height="0.3958333333333333in"}． 所以z=1+i． 故选：A． 【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题． 　 2．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10256.png){width="2.1354166666666665in" height="2.729861111111111in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10257.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10258.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10259.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10260.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10261.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10262.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10263.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的值，并输出． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算并输出S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10261.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10262.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10263.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的值 ∵S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10261.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10264.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10265.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10266.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：D． 【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 　 3．（5分）在下列命题中，不是公理的是（　　） A．平行于同一个平面的两个平面平行 B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【分析】根据公理的定义解答即可．经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理就是公理． 【解答】解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理； 而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理． 故选：A． 【点评】本题考查了公理的意义，比较简单． 　 4．（5分）"a≤0"是"函数f（x）=\|（ax﹣1）x\|在区间（0，+∞）内单调递增"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出． 【解答】解：当a=0时，f（x）=\|x\|，在区间（0，+∞）内单调递增． 当a＜0时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10267.png){width="1.9270833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 结合二次函数图象可知函数f（x）=\|（ax﹣1）x\|在区间（0，+∞）内单调递增． 若a＞0，则函数f（x）=\|（ax﹣1）x\|，其图象如图 它在区间（0，+∞）内有增有减， 从而若函数f（x）=\|（ax﹣1）x\|在区间（0，+∞）内单调递增则a≤0． ∴a≤0是"函数f（x）=\|（ax﹣1）x\|在区间（0，+∞）内单调递增"的充要条件． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10268.png){width="3.1256944444444446in" height="2.0in"} 【点评】本题考查了二次函数的图象与单调性、充要条件，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 5．（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（　　） A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数 【分析】根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差公式：s2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10269.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\[（x1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10270.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）2+（x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10270.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）2+...+（xn﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10270.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）2\]求解即可． 【解答】解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样． 五名男生这组数据的平均数=（86+94+88+92+90）÷5=90， 方差=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10271.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×\[（86﹣90）2+（94﹣90）2+（88﹣90）2+（92﹣90）2+（90﹣90）2\]=8． 五名女生这组数据的平均数=（88+93+93+88+93）÷5=91， 方差=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10271.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×\[（88﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（88﹣91）2+（93﹣91）2\]=6． 故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差． 故选：C． 【点评】本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法，要想求方差，必须先求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式求解． 　 6．（5分）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x\|x＜﹣1或x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10272.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}}，则f（10x）＞0的解集为（　　） A．{x\|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x\|﹣1＜x＜﹣lg2} C．{x\|x＞﹣lg2} D．{x\|x＜﹣lg2} 【分析】由题意可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10272.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，由指数函数的单调性可得解集． 【解答】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x\|﹣1＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10272.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}}， 故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10272.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1， 而10x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10272.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}可化为10x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10273.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，即10x＜10﹣lg2， 由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2 故选：D． 【点评】本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题． 　 7．（5分）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（　　） A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10274.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（ρ∈R）和ρcosθ=2 C．θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10274.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1 【分析】利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出． 【解答】解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆． 故圆的两条切线方程分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10275.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}（ρ∈R），ρcosθ=2． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10276.png){width="1.8020833333333333in" height="1.4375in"} 【点评】正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》 　 8．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间\[a，b\]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，...，xn，使得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10277.png){width="1.1354166666666667in" height="0.4791666666666667in"}=...=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10278.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，则n的取值范围是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10279.png){width="1.8958333333333333in" height="1.6770833333333333in"} A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3} 【分析】由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10280.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案． 【解答】解：令y=f（x），y=kx， 作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点， 故k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10280.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}（x＞0）可分别有2，3，4个解． 故n的取值范围为2，3，4． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是斜率公式，正确理解![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10280.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键． 　 9．（5分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10281.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10282.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10281.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10282.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2，则点集{P\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10283.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10284.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+μ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10285.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，\|λ\|+\|μ\|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10286.png){width="0.3125in" height="0.1875in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10287.png){width="0.3125in" height="0.1875in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10288.png){width="0.3125in" height="0.1875in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10289.png){width="0.3125in" height="0.1875in"} 【分析】由两定点A，B满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10290.png){width="0.9375in" height="0.4375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10291.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式\|λ\|+\|μ\|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积． 【解答】解：由两定点A，B满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10292.png){width="0.9375in" height="0.4375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10291.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10293.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10294.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10295.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10293.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|2=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10294.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10296.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}）2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10297.png){width="0.4895833333333333in" height="0.22916666666666666in"}﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10296.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10298.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10299.png){width="0.4895833333333333in" height="0.22916666666666666in"}=4，则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10300.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形． 不妨设A（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10301.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}），B（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10302.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）．再设P（x，y）． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10303.png){width="1.1041666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10304.png){width="4.208333333333333in" height="0.20833333333333334in"}． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10305.png){width="0.96875in" height="0.625in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10306.png){width="1.0416666666666667in" height="0.8333333333333334in"}①． 由\|λ\|+\|μ\|≤1． 所以①等价于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10307.png){width="1.0208333333333333in" height="1.0833333333333333in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10308.png){width="1.0208333333333333in" height="1.0729166666666667in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10309.png){width="1.0208333333333333in" height="1.0729166666666667in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10310.png){width="1.0208333333333333in" height="1.0833333333333333in"}． 可行域如图中矩形ABCD及其内部区域， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10311.png){width="2.1666666666666665in" height="2.0520833333333335in"} 则区域面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10312.png){width="0.9583333333333334in" height="0.1875in"}． 故选：D． 【点评】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题． 　 10．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案． 【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根， 由3（f（x））2+2af（x）+b=0，得x=x1，或x=x2， 即3（f（x））2+2af（x）+b=0的根为f（x）=x1或f（x2）=x2的解． 如图所示 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10313.png){width="4.906944444444444in" height="2.1979166666666665in"}， 由图象可知f（x）=x1有2个解，f（x）=x2有1个解，因此3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为3． 故选：A． 【点评】考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想． 　 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上 11．（5分）若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10314.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}的展开式中x4的系数为7，则实数a=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10315.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出． 【解答】解：由通项公式Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10316.png){width="1.09375in" height="0.4375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10317.png){width="0.8333333333333334in" height="0.4375in"}， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10318.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}的展开式中x4的系数为7，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10319.png){width="0.6979166666666666in" height="0.7083333333333334in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10320.png){width="0.4270833333333333in" height="0.59375in"}． 故答案为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10321.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键． 　 12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10322.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C． 【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b， ∴a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10323.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} ∵b+c=2a， ∴c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10324.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} ∴cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10325.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10326.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ∵C∈（0，π） ∴C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10322.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10322.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 13．（5分）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为　\[1，+∞）　． 【分析】如图所示，可知A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10327.png){width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}，B![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10328.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，设C（m，m2），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10329.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0．即可得到a的取值范围． 【解答】解：如图所示，可知A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10330.png){width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}，B![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10328.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}， 设C（m，m2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10331.png){width="1.40625in" height="0.25in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10332.png){width="1.40625in" height="0.25in"}． ∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10333.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10334.png){width="2.0729166666666665in" height="0.25in"}． 化为m2﹣a+（m2﹣a）2=0． ∵m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10335.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，∴m2=a﹣1≥0，解得a≥1． ∴a 的取值范围为\[1，+∞）． 故答案为\[1，+∞）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10336.png){width="1.875in" height="1.75in"} 【点评】本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力． 　 14．（5分）如图，互不相同的点A1，A2，...，An，...和B1，B2，...，Bn，...分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等，设OAn=an，若a1=1，a2=2，则数列{an}的通项公式是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10337.png){width="0.7604166666666666in" height="0.22916666666666666in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10338.png){width="1.3541666666666667in" height="1.6666666666666667in"} 【分析】设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10339.png){width="0.84375in" height="0.2604166666666667in"}，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位线，得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10340.png){width="0.6875in" height="0.5520833333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10341.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10342.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，梯形A1B1B2A2的面积=3S．由已知可得梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10343.png){width="0.7916666666666666in" height="0.5833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10344.png){width="0.7916666666666666in" height="0.5833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10345.png){width="0.5520833333333334in" height="0.5833333333333334in"}，...，已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10346.png){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10347.png){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10348.png){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}，...．因此数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10349.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到an． 【解答】解：设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10350.png){width="0.84375in" height="0.2604166666666667in"}，∵OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2， ∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10351.png){width="0.6875in" height="0.5520833333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10352.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10353.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S． 故梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S． ∵所有AnBn相互平行，∴所有△OAnBn（n∈N\*）都相似，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10354.png){width="0.7916666666666666in" height="0.5833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10355.png){width="0.7916666666666666in" height="0.5833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10356.png){width="0.5520833333333334in" height="0.5833333333333334in"}，...， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10357.png){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10358.png){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10359.png){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}，...． ∴数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10360.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}}是一个等差数列，其公差d=3，故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10360.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=1+（n﹣1）×3=3n﹣2． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10361.png){width="0.7604166666666666in" height="0.22916666666666666in"}． 因此数列{an}的通项公式是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10362.png){width="0.7604166666666666in" height="0.22916666666666666in"}． 故答案为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10362.png){width="0.7604166666666666in" height="0.22916666666666666in"}． 【点评】本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力． 　 15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是　①②③⑤　（写出所有正确命题的编号）． ①当0＜CQ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10363.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，S为四边形 ②当CQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10363.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，S为等腰梯形 ③当CQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10364.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，S与C1D1的交点R满足C1R=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10365.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ④当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10366.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜CQ＜1时，S为六边形 ⑤当CQ=1时，S的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10367.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10368.png){width="1.4479166666666667in" height="1.375in"} 【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误． 【解答】解：如图![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10369.png){width="1.4479166666666667in" height="1.375in"} 当CQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10370.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10371.png){width="0.8125in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10372.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确； 由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10373.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ， 即可得截面为四边形APQM，故①正确； ③当CQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10374.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，如图， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10375.png){width="1.7291666666666667in" height="1.78125in"} 延长DD1至N，使D1N=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10373.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR， 可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10376.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，故正确； ④由③可知当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10377.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误； ⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF， 可知截面为APC1F为菱形，故其面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10378.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AC1•PF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10379.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10380.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，故正确． 故答案为：①②③⑤． 【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题． 　 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤 16．（12分）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10381.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求ω的值； （2）讨论f（x）在区间\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10382.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的单调性． 【分析】（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值； （2）由于x是\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10382.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]范围内的角，得到2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10383.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在区间\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10382.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的单调性． 【解答】解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10383.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10384.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinωx•cosωx+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10384.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos2ωx =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10385.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}（sin2ωx+cos2ωx）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10385.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=2sin（2ωx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10386.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10385.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 所以 T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10387.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=π，∴ω=1． （2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10386.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10385.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 因为0≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10388.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10389.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10389.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10390.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10389.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10389.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10391.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，即0≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10392.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，f（x）是增函数， 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10391.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10393.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10394.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}时，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10395.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10396.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，f（x）是减函数， 所以f（x）在区间\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10395.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调增，在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10395.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10396.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调减． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型． 　 17．（12分）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x\|f（x）＞0} （Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）； （Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值． 【分析】（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度； （Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10397.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a2）x2=0（a＞0）有两个实根x1=0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10398.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}＞0， 故f（x）＞0的解集为{x\|x1＜x＜x2}， 因此区间I=（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10397.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}），区间长度为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10399.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}； （Ⅱ）设d（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10399.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，则d′（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10400.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}， 令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1， 故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）单调递减， 因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得， 而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10401.png){width="1.4375in" height="0.875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10402.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4791666666666667in"}＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k）， 因此当a=1﹣k时，d（a）在区间\[1﹣k，1+k\]上取得最小值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10403.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，即I长度的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10403.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}． 【点评】本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力． 　 18．（12分）设椭圆E：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10404.png){width="0.9270833333333334in" height="0.4895833333333333in"}的焦点在x轴上 （1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程； （2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上． 【分析】（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10405.png){width="1.34375in" height="0.3645833333333333in"}，解出即可； （2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10406.png){width="0.78125in" height="0.25in"}．利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F1P的斜率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10407.png){width="0.3541666666666667in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10408.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}，直线F2P的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10409.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4895833333333333in"}．即可得出Q![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10410.png){width="0.875in" height="0.4895833333333333in"}．得到直线F1Q的斜率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10411.png){width="0.3541666666666667in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10412.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}．利用F1Q⊥F1P，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10413.png){width="0.8125in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10414.png){width="1.1979166666666667in" height="0.4895833333333333in"}．化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10415.png){width="1.2291666666666667in" height="0.2916666666666667in"}．与椭圆的方程联立即可解出点P的坐标． 【解答】解：（1）∵椭圆E的焦距为1，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10416.png){width="1.34375in" height="0.3645833333333333in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10417.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}． 故椭圆E的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10418.png){width="0.9479166666666666in" height="0.4375in"}． （2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10419.png){width="0.78125in" height="0.25in"}． 由题设可知：x0≠c．则直线F1P的斜率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10420.png){width="0.3541666666666667in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10421.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}，直线F2P的斜率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10422.png){width="0.3541666666666667in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10423.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}． 故直线F2P的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10424.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4895833333333333in"}． 令x=0，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10425.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4895833333333333in"}．即点Q![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10426.png){width="0.875in" height="0.4895833333333333in"}． 因此直线F1Q的斜率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10427.png){width="0.3541666666666667in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10428.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}． ∵F1Q⊥F1P，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10429.png){width="0.8125in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10430.png){width="1.1979166666666667in" height="0.4895833333333333in"}． 化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10431.png){width="1.2291666666666667in" height="0.2916666666666667in"}． 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10432.png){width="1.3333333333333333in" height="0.8854166666666666in"}，及x0＞0，y0＞0， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10433.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10434.png){width="0.65625in" height="0.28125in"}． 即点P在定直线x+y=1上． 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线和直线、直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技能，考查了数形结合的思想、推理能力和计算能力，属于难题． 　 19．（13分）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°， （1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面； （2）求cos∠COD． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10435.png){width="1.9270833333333333in" height="0.9791666666666666in"} 【分析】（1）利用线面平行的判定与性质，可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面； （2）先作出OP与平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公式，即可求得cos∠COD． 【解答】（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则 ∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD ∵AB⊂面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴AB∥l ∵AB在底面上，l在底面外 ∴l与底面平行； （2）解：设CD的中点为F，连接OF，PF 由圆的性质，∠COD=2∠COF，OF⊥CD ∵OP⊥底面，CD⊂底面，∴OP⊥CD ∵OP∩OF=O ∴CD⊥平面OPF ∵CD⊂平面PCD ∴平面OPF⊥平面PCD ∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF ∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角 由题设，∠OPF=60° 设OP=h，则OF=OPtan∠OPF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10436.png){width="0.3125in" height="0.1875in"} ∵∠OCP=22.5°，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10437.png){width="1.8958333333333333in" height="0.3645833333333333in"} ∵tan45°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10438.png){width="1.1041666666666667in" height="0.4270833333333333in"}=1 ∴tan22.5°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10439.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"} ∴OC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10440.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10441.png){width="0.6666666666666666in" height="0.1875in"} 在Rt△OCF中，cos∠COF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10442.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10443.png){width="0.6979166666666666in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10444.png){width="0.5208333333333334in" height="0.1875in"} ∴cos∠COD=cos（2∠COF）=2cos2∠COF﹣1=17﹣12![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10445.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10446.png){width="1.9270833333333333in" height="0.9895833333333334in"} 【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查空间角，考查学生的计算能力，正确找出线面角是关键． 　 20．（13分）设函数fn（x）=﹣1+x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10447.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10448.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10449.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}（x∈R，n∈N+），证明： （1）对每个n∈N+，存在唯一的x∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10450.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1\]，满足fn（xn）=0； （2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10451.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【分析】（1）由题意可得f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．求得fn（1）＞0，fn（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10450.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立． （2）由题意可得fn+1（xn）＞fn（xn）=fn+1（xn+1）=0，由 fn+1（x） 在（0，+∞）上单调递增，可得 xn+1＜xn，故xn﹣xn+p＞0．用 fn（x）的解析式减去fn+p （xn+p）的解析式，变形可得xn﹣xn+p=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10452.png){width="1.03125in" height="0.53125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10453.png){width="0.8020833333333334in" height="0.53125in"}，再进行放大，并裂项求和，可得它小于 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10454.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，综上可得要证的结论成立． 【解答】证明：（1）对每个n∈N+，当x＞0时，由函数fn（x）=﹣1+x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10455.png){width="2.0104166666666665in" height="0.4791666666666667in"}），可得 f′（x）=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10456.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10457.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+...![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10458.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数． 由于f1（x1）=0，当n≥2时，fn（1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10459.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10460.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10461.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＞0，即fn（1）＞0． 又fn（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10462.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10462.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10463.png){width="0.46875in" height="0.6770833333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10464.png){width="0.46875in" height="0.6770833333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10465.png){width="0.46875in" height="0.6770833333333334in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10466.png){width="0.46875in" height="0.6770833333333334in"}\]≤﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10467.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10468.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10469.png){width="0.65625in" height="0.53125in"} =﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10470.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10471.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10472.png){width="1.40625in" height="0.8229166666666666in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10470.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10473.png){width="0.5729166666666666in" height="0.4270833333333333in"}＜0， 根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的xn![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10474.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，满足fn（xn）=0． （2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}，当x＞0时，∵fn+1（x）=fn（x）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10475.png){width="0.5625in" height="0.4791666666666667in"}＞fn（x）， ∴fn+1（xn）＞fn（xn）=fn+1（xn+1）=0． 由 fn+1（x） 在（0，+∞）上单调递增，可得 xn+1＜xn，即 xn﹣xn+1＞0，故数列{xn}为减数列，即对任意的 n、p∈N+，xn﹣xn+p＞0． 由于 fn（xn）=﹣1+xn+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10476.png){width="0.3125in" height="0.53125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10477.png){width="0.3125in" height="0.53125in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10478.png){width="0.3125in" height="0.53125in"}=0 ①， fn+p （xn+p）=﹣1+xn+p+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10479.png){width="0.4479166666666667in" height="0.53125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10480.png){width="0.4479166666666667in" height="0.53125in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10481.png){width="0.4479166666666667in" height="0.53125in"}+\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10482.png){width="0.5833333333333334in" height="0.53125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10483.png){width="0.5833333333333334in" height="0.53125in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10484.png){width="0.5833333333333334in" height="0.53125in"}\]②， 用①减去②并移项，利用 0＜xn+p≤1，可得 xn﹣xn+p=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10485.png){width="1.03125in" height="0.53125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10486.png){width="0.8020833333333334in" height="0.53125in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10487.png){width="0.8020833333333334in" height="0.53125in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10488.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4791666666666667in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10489.png){width="0.90625in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10490.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10491.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 综上可得，对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10491.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考查推理以及运算求解能力，属于难题． 　 21．（13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X． （I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （II）求使P（X=m）取得最大值的整数m． 【分析】（I）由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解； （II）由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k＜n进行研究，k=n时易求，k＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P（X=m），再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可． 【解答】解：（I）因为事件A："学生甲收到李老师所发信息"与事件B："学生甲收到张老师所发信息"是相互独立事件，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10492.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10493.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}相互独立，由于P（A）=P（B）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10494.png){width="0.3645833333333333in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10495.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，故P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10496.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）=P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10493.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10495.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10495.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10497.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4791666666666667in"} （II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1 当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者，由于"李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位"所包含的基本事件总数为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10498.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}）2，当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10499.png){width="1.8541666666666667in" height="0.28125in"} P（X=m）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10500.png){width="0.9479166666666666in" height="0.7916666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10501.png){width="0.75in" height="0.7395833333333334in"} 当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1）⇔（m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m）⇔m≤2k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10502.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"} 假如k≤2k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10502.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}＜t成立，则当（k+1）2能被n+2整除时， k≤2k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10502.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}＜2k+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10503.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}＜t，故P（X=M）在m=2k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10503.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}和m=2k+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10503.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}处达到最大值； 当（k+1）2不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10503.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}\]处达到最大值（注：\[x\]表示不超过x的最大整数）， 下面证明k≤2k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10503.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}＜t 因为1≤k＜n，所以2k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10504.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}﹣k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10505.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10506.png){width="1.0208333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10507.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}≥0 而2k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10504.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}﹣n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10508.png){width="0.8541666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＜0，故2k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10509.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}＜n，显然2k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10509.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}＜2k 因此k≤2k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10509.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}＜t 综上得，符合条件的m=2k﹣\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10509.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}\] 【点评】本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分 　 2013年安徽省高考数学试卷（文科） ================================ 一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）设i是虚数单位，若复数a﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10510.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}（a∈R）是纯虚数，则a的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【分析】利用复数的运算法则把a﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10510.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}（a∈R）可以化为（a﹣3）﹣i，再利用纯虚数的定义即可得到a． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10511.png){width="2.5520833333333335in" height="0.3645833333333333in"}=（a﹣3）﹣i是纯虚数， ∴a﹣3=0，解得a=3． 故选：D． 【点评】熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键． 　 2．（5分）已知A={x\|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则（∁RA）∩B=（　　） A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2} C．{﹣2，0，1} D．{0，1} 【分析】先利用一元一次不等式的解法化简集合A，再求其在实数集中的补集，最后求集合B与A的补集的交集即可． 【解答】解：∵A={x\|x+1＞0}={x\|x＞﹣1}， ∴CUA={x\|x≤﹣1}， ∴（∁RA）∩B={x\|x≤﹣1}∩{﹣2，﹣1，0，1}={﹣2，﹣1} 故选：A． 【点评】本题主要考查了集合的补集与交集运算，属于集合运算的常规题． 　 3．（5分）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10512.png){width="1.90625in" height="2.792361111111111in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10513.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10514.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10515.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10516.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论． 【解答】解：由程序框图知，循环体被执行后S的值依次为： 第1次S=0+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10517.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 第2次S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10517.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10518.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 第3次S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10519.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10520.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10521.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，此时n=8 不满足选择条件n＜8，退出循环，故输出的结果是S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10519.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10520.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10521.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10522.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：C． 【点评】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题． 　 4．（5分）"（2x﹣1）x=0"是"x=0"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断． 【解答】解：若（2x﹣1）x=0 则x=0或x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10523.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．即（2x﹣1）x=0推不出x=0． 反之，若x=0，则（2x﹣1）x=0，即x=0推出（2x﹣1）x=0 所以"（2x﹣1）x=0"是"x=0"的 必要不充分条件． 故选：B． 【点评】判定条件种类，根据定义转化成相关命题的真假来判定． 一般的，①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件． 　 5．（5分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10524.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10525.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10526.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10527.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】设"甲或乙被录用"为事件A，则其对立事件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10528.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}表示"甲乙两人都没有被录取"，先求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10529.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，再利用P（A）=1﹣P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10528.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）即可得出． 【解答】解：设"甲或乙被录用"为事件A，则其对立事件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10528.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}表示"甲乙两人都没有被录取"，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10529.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10530.png){width="0.22916666666666666in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10531.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 因此P（A）=1﹣P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10532.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10533.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10534.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：D． 【点评】熟练掌握互为对立事件的概率之间的关系是解题的关键． 　 6．（5分）直线x+2y﹣5+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10535.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10536.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求． 【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）2+（y﹣2）2=5， 所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10535.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 圆心C到直线x+2y﹣5+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10535.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=0的距离为d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10537.png){width="1.9791666666666667in" height="0.46875in"}． 所以直线直线x+2y﹣5+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10535.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10538.png){width="1.1979166666666667in" height="0.2708333333333333in"}． 故选：C． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系，是基础题． 　 7．（5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8=4a3，a7=﹣2，则a9=（　　） A．﹣6 B．﹣4 C．﹣2 D．2 【分析】利用等差数列有前n项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第9项． 【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和， S8=4a3，a7=﹣2， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10539.png){width="1.7916666666666667in" height="0.65625in"}， 解得a1=10，d=﹣2， ∴a9=a1+8d=10﹣16=﹣6． 故选：A． 【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 　 8．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间\[a，b\]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，...xn，使得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10540.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10541.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}=...=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10542.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，则n的取值范围为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10543.png){width="1.9895833333333333in" height="1.84375in"} A．{2，3} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{3，4，5} 【分析】由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10544.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案． 【解答】解：令y=f（x），y=kx， 作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点， 故k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10544.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}（x＞0）可分别有2，3，4个解． 故n的取值范围为2，3，4． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10545.png){width="2.3229166666666665in" height="2.2708333333333335in"} 【点评】正确理解斜率的意义、函数交点的意义及数形结合的思想方法是解题的关键． 　 9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10546.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10547.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10548.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10549.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】3sinA=5sinB，由正弦定理可得：3a=5b，可得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10550.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，又b+c=2a，可得c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10551.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，不妨取b=3，则a=5，c=7．再利用余弦定理即可得出． 【解答】解：∵3sinA=5sinB，由正弦定理可得：3a=5b，∴a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10550.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 又b+c=2a，可得c=2a﹣b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10552.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 不妨取b=3，则a=5，c=7． ∴cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10553.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10554.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10555.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∵C∈（0，π）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10556.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：D． 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 10．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解的个数． 【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2， ∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根， ∴△=4a2﹣12b＞0．解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10557.png){width="1.4166666666666667in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10558.png){width="0.9583333333333334in" height="0.4479166666666667in"}． ∵x1＜x2， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10559.png){width="1.1666666666666667in" height="0.4479166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10560.png){width="1.1666666666666667in" height="0.4479166666666667in"}． 而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0， ∴此方程有两解且f（x）=x1或x2． 不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0． ①把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象， ∵f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解． ②把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，∵f（x1）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解． 综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10561.png){width="2.8027777777777776in" height="2.2916666666666665in"} 【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值及方程解的个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力． 　 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．（5分）函数y=ln（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10562.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10563.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}的定义域为　（0，1\]　． 【分析】根据偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0，建立不等式组解之即可求出所求． 【解答】解：由题意得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10564.png){width="0.7604166666666666in" height="0.65625in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10565.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4270833333333333in"} 解得：x∈（0，1\]． 故答案为：（0，1\]． 【点评】本题主要考查了对数函数的定义域，以及偶次根式函数的定义域，属于基础题． 　 12．（5分）若非负数变量x、y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10566.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}，则x+y的最大值为　4　． 【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值． 【解答】解：画出可行域如图阴影部分， 其中![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10567.png){width="0.625in" height="0.4166666666666667in"}，可得A（4，0） 目标函数z=x+y可以变形为y=﹣x+z， 可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大， 由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大=4+0=4 故答案为：4 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10568.png){width="3.4590277777777776in" height="2.2083333333333335in"} 【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题 　 13．（5分）若非零向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10569.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10570.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10569.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=3\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10570.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10571.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10572.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10571.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10572.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}夹角的余弦值为　﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10573.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】利用条件化简可得 4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10574.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=﹣4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10575.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}，由此可得\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10572.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|•\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10576.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10577.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|•\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10576.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10577.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10576.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞，从而求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10577.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10576.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}夹角的余弦值． 【解答】解：由题意可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10578.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=9![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10579.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，且 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10580.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10580.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10579.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10581.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}，化简可得 4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10579.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=﹣4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10581.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}， ∴\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10582.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|•\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10583.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=﹣\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10584.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|•\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10583.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10584.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10583.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞，∴cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10584.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10583.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10585.png){width="0.34375in" height="0.4479166666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10586.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10586.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量夹角公式的应用，属于中档题． 　 14．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）．若当0≤x≤1时．f（x）=x（1﹣x），则当﹣1≤x≤0时，f（x）=　﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10587.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x（x+1）　． 【分析】当﹣1≤x≤0时，0≤x+1≤1，由已知表达式可求得f（x+1），根据f（x+1）=2f（x）即可求得f（x）． 【解答】解：当﹣1≤x≤0时，0≤x+1≤1， 由题意f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10587.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}f（x+1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10587.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（x+1）\[1﹣（x+1）\]=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10588.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x（x+1）， 故答案为：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10588.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x（x+1）． 【点评】本题考查函数解析式的求解，属基础题，正确理解函数定义是解决问题的关键． 　 15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是　①②③⑤　（写出所有正确命题的编号）． ①当0＜CQ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10588.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，S为四边形 ②当CQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10588.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，S为等腰梯形 ③当CQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10589.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，S与C1D1的交点R满足C1R=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10590.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ④当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10589.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜CQ＜1时，S为六边形 ⑤当CQ=1时，S的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10591.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10592.png){width="1.4479166666666667in" height="1.375in"} 【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误． 【解答】解：如图![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10593.png){width="1.4479166666666667in" height="1.375in"} 当CQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10594.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10595.png){width="0.8125in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10596.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确； 由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10594.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ， 即可得截面为四边形APQM，故①正确； ③当CQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10597.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，如图， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10598.png){width="1.7291666666666667in" height="1.78125in"} 延长DD1至N，使D1N=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10594.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR， 可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10599.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，故正确； ④由③可知当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10597.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误； ⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF， 可知截面为APC1F为菱形，故其面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10600.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AC1•PF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10601.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10602.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，故正确． 故答案为：①②③⑤． 【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题． 　 三、解答题 16．（12分）设函数f（x）=sinx+sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10603.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）． （Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合； （Ⅱ）不画图，说明函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到． 【分析】（Ⅰ）f（x）解析式第二项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可求出满足题意x的集合； （Ⅱ）根据变换及平移规律即可得到结果． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10604.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sinx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10605.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}cosx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10606.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sinx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10605.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}cosx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10607.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10608.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， ∴当x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10608.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=2kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10609.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（k∈Z），即x=2kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10610.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}（x∈Z）时，f（x）取得最小值﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10611.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 此时x的取值集合为{x\|x=2kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10610.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}（k∈Z）}； （Ⅱ）先由y=sinx的图象上的所有点的纵坐标变为原来的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10611.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}倍，横坐标不变，即为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10611.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinx的图象； 再由y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10611.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinx的图象上的所有点向左平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10612.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位，得到y=f（x）的图象． 【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键． 　 17．（12分）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，现从这两个学校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10613.png){width="5.354861111111111in" height="2.0208333333333335in"} （Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）； （Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10614.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10615.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，估计![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10614.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10615.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}的值． 【分析】（I）先设甲校高三年级总人数为n，利用甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10616.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=0.05求出n，又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5，利用对立事件的概率可估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率； （II）设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为a1，a2，利用茎叶图中同一行的数据之差可得30（a1﹣a2 ）=（7﹣5）+55+（2﹣8）+（5﹣0）+（5﹣6）+...+92=15，从而求出a1﹣a2 的值，最后利用样本估计总体的思想得出结论即可． 【解答】解：（I）设甲校高三年级总人数为n，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10616.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=0.05，∴n=600， 又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5， ∴估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10617.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10618.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； （II）设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为a1，a2， 由茎叶图可知， 30（a1﹣a2 ）=（7﹣5）+55+（2﹣8）+（5﹣0）+（5﹣6）+...+92=15， ∴a1﹣a2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10619.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=0.5． ∴利用样本估计总体，故估计x1﹣x2 的值为0.5． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10620.png){width="5.354861111111111in" height="2.0208333333333335in"} 【点评】此题考查了学生的识图及计算能力，茎叶图，及格率的定义及平均数的定义． 　 18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°．已知PB=PD=2，PA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10621.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （Ⅰ）证明：BD⊥面PAC （Ⅱ）若E为PA的中点，求三菱锥P﹣BCE的体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10622.png){width="2.03125in" height="1.5729166666666667in"} 【分析】（Ⅰ）连接BD，AC交于O点，分别证明出PO⊥BD，BD⊥AC，根据线面垂直的判定定理证明出BD⊥平面PAC． （Ⅱ）先证明出△ABD≌△PBD，求得PO，根据勾股定理证明出AC⊥PO，求得△PAC的面积，最后根据VP﹣BCE=VB﹣PEC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10623.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}VB﹣PAC求得答案． 【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，AC交于O点， ∵PB=PD， ∴PO⊥BD， 又ABCD是菱形， ∴BD⊥AC， ∵PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，AC∩PO=O， ∴BD⊥平面PAC． （Ⅱ）则AC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10624.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∵△ABD和△PBD的三边长均为2， ∴△ABD≌△PBD， ∴AO=PO=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10624.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴AO2+PO2=PA2， ∴AC⊥PO， S△PAC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10623.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•AC•PO=3， VP﹣BCE=VB﹣PEC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10623.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}VB﹣PAC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10623.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10625.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•S△PAC•BO=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10626.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10627.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×3×1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10626.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10628.png){width="2.03125in" height="1.5520833333333333in"} 【点评】本题主要考查了线面垂直的判定问题，三棱锥的体积计算．解题过程中注重了对学生基础定理的考查． 　 19．（13分）设数列{an}满足a1=2，a2+a4=8，且对任意n∈N\*，函数 f（x）=（an﹣an+1+an+2）x+an+1cosx﹣an+2sinx满足f′（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10629.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=0 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn=2（an+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10630.png){width="0.3020833333333333in" height="0.4583333333333333in"}）求数列{bn}的前n项和Sn． 【分析】（I）利用导数的运算法则先求出f′（x），再利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10631.png){width="0.8541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即可得到数列{an}是等差数列，再利用已知及等差数列的通项公式即可得出an； （II）利用（I）得出bn，利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出Sn． 【解答】解：（I）∵f′（x）=an﹣an+1+an+2﹣an+1sinx﹣an+2cosx，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10632.png){width="0.8541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ∴2an+1=an+an+2对任意n∈N\*，都成立． ∴数列{an}是等差数列，设公差为d，∵a1=2，a2+a4=8，∴2+d+2+3d=8，解得d=1． ∴an=a1+（n﹣1）d=2+n﹣1=n+1． （II）由（I）可得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10633.png){width="1.2604166666666667in" height="0.4270833333333333in"}=2（n+1）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10634.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， ∴Sn=2\[2+3+...+（n+1）\]+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10635.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4270833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10636.png){width="2.0520833333333335in" height="0.7604166666666666in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10637.png){width="0.9375in" height="0.4270833333333333in"}． 【点评】数列掌握导数的运算法则、等差数列的通项公式、等差数列和等比数列的前n项和公式是解题的关键． 　 20．（13分）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x\|f（x）＞0} （Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）； （Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值． 【分析】（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度； （Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10638.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a2）x2=0（a＞0）有两个实根x1=0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10639.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}＞0， 故f（x）＞0的解集为{x\|x1＜x＜x2}， 因此区间I=（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10640.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}），区间长度为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10640.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}； （Ⅱ）设d（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10640.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，则d′（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10641.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}， 令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1， 故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）单调递减， 因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得， 而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10642.png){width="1.4375in" height="0.875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10643.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4791666666666667in"}＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k）， 因此当a=1﹣k时，d（a）在区间\[1﹣k，1+k\]上取得最小值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10644.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，即I长度的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10644.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}． 【点评】本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力． 　 21．（13分）已知椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10645.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10646.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10647.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10648.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E．取点A（0，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10647.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由． 【分析】（I）根据椭圆的焦距为4，得到c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10649.png){width="0.59375in" height="0.25in"}=2，再由点P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10650.png){width="0.6041666666666666in" height="0.20833333333333334in"}）在椭圆C上得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10651.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4270833333333333in"}，两式联解即可得到a2=8且b2=4，从而得到椭圆C的方程； （II）由题意得E（x0，0），设D的坐标为（xD，0），可得向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10652.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10653.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的坐标，根据AD⊥AE得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10654.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，从而算出xD=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10655.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，因为点G是点D关于y轴的对称点，得到G（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10655.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，0）．直线QG的斜率为kQG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10656.png){width="0.5in" height="0.5833333333333334in"}，结合点Q是椭圆C上的点化简得kQG=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10657.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4895833333333333in"}，从而得到直线QG的方程为：y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10657.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4895833333333333in"}（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10658.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}），将此方程与椭圆C的方程联解可得△=0，从而得到方程组有唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点，由此即得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点． 【解答】解：（I）∵椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10659.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10660.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}（a＞b＞0）的焦距为4， ∴c=2，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10661.png){width="0.59375in" height="0.25in"}=2...① 又∵点P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10662.png){width="0.6041666666666666in" height="0.20833333333333334in"}）在椭圆C上 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10663.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4270833333333333in"}...② 联解①②，可得a2=8且b2=4，椭圆C的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10664.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}； （II）由题意，得E点坐标为（x0，0）， 设D（xD，0），可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10665.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（x0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10666.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10667.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（xD，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10666.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}）， ∵AD⊥AE，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10668.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"} ∴x0xD+（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10669.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}）•（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10669.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}）=0，即x0xD+8=0，得xD=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10670.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"} ∵点G是点D关于y轴的对称点，∴点G的坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10671.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，0） 因此，直线QG的斜率为kQG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10672.png){width="0.5520833333333334in" height="0.6875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10673.png){width="0.5in" height="0.5833333333333334in"} 又∵点Q（x0，y0）在椭圆C上，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10674.png){width="0.9375in" height="0.2916666666666667in"} ∴kQG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10675.png){width="0.4791666666666667in" height="0.59375in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10676.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4895833333333333in"} 由此可得直线QG的方程为：y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10676.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4895833333333333in"}（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10677.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}）， 代入椭圆C方程，化简得（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10678.png){width="0.75in" height="0.2916666666666667in"}）x2﹣16x0x+64﹣16![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10679.png){width="0.28125in" height="0.2916666666666667in"}=0 将![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10680.png){width="0.9375in" height="0.2916666666666667in"}代入上式，得8x2﹣16x0x+8![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10681.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}=0， 化简得x2﹣2x0x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10681.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}=0，所以△=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10682.png){width="1.2291666666666667in" height="0.28125in"}， 从而可得x=x0，y=y0是方程组的唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点． 综上所述，可得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10683.png){width="2.2291666666666665in" height="1.7916666666666667in"} 【点评】本题给出椭圆的焦距和椭圆上的点P的坐标，求椭圆的方程并由此讨论直线QG与椭圆公共点的个数问题．着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题． 　 2013年福建省高考数学试卷（理科） ================================ 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的. 1．（5分）已知复数z的共轭复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10684.png){width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】求出复数z，复数z的对应点的坐标，即可得到选项． 【解答】解：因为复数z的共轭复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10684.png){width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}， 所以z=1﹣2i，对应的点的坐标为（1，﹣2）． z在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查复数的代数表示以及几何意义，基本知识的考查． 　 2．（5分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则"a=3"是"A⊆B"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断"A⊆B"成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论． 【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B； 反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3 故"a=3"是"A⊆B"的充分不必要条件 故选：A． 【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件． 　 3．（5分）双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10685.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}的顶点到渐近线的距离等于（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10686.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10687.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10688.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10689.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】由对称性可取双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10690.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}的顶点（2，0），渐近线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10691.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离． 【解答】解：由对称性可取双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10690.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}的顶点（2，0），渐近线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10691.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 则顶点到渐近线的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10692.png){width="0.6875in" height="0.40625in"}． 故选：C． 【点评】熟练掌握双曲线的顶点、渐近线方程及得到直线的距离公式是解题的关键． 　 4．（5分）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：\[40，50），\[50，60），\[60，70），\[70，80），\[80，90），\[90，100\]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10693.png){width="2.1875in" height="1.4479166666666667in"} A．588 B．480 C．450 D．120 【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求． 【解答】解：根据频率分布直方图， 成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8． 由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人． 故选：B． 【点评】本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力． 　 5．（5分）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（　　） A．14 B．13 C．12 D．10 【分析】由于关于x的方程ax2+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：（1）当a≠0时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a的取值范围；（2）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解． 【解答】解：（1）当a=0时，方程为2x+b=0，此时一定有解； 此时b=﹣1，0，1，2；即（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）四种． （2）当a≠0时，方程为一元二次方程， ∴△=4﹣4ab≥0， ∴ab≤1．所以a=﹣1，1，2，此时a，b的对数为（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），共9种， 关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为13种， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，在解题时要注意分类讨论思想运用．考查分类讨论思想． 　 6．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10694.png){width="1.2916666666666667in" height="3.5319444444444446in"} A．计算数列{2n﹣1}的前10项和 B．计算数列{2n﹣1}的前9项和 C．计算数列{2n﹣1}的前10项和 D．计算数列{2n﹣1}的前9项和 【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能． 【解答】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值， S=0，i=1； 判断i＞10不成立，执行S=1+2×0=1，i=1+1=2； 判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3； 判断i＞10不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4； ... 判断i＞10不成立，执行S=1+2+22+...+29，i=10+1=11； 判断i＞10成立，输出S=1+2+22+...+29． 算法结束． 故则该算法的功能是计算数列{2n﹣1}的前10项和． 故选：A． 【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律． 　 7．（5分）在四边形ABCD中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10695.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（1，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10696.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣4，2），则该四边形的面积为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10697.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10698.png){width="0.3125in" height="0.1875in"} C．5 D．10 【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可． 【解答】解：因为在四边形ABCD中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10699.png){width="0.7916666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10700.png){width="0.875in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10701.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0， 所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10702.png){width="1.3854166666666667in" height="0.25in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10703.png){width="1.71875in" height="0.25in"}， 该四边形的面积：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10704.png){width="0.9895833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10705.png){width="1.0104166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=5． 故选：C． 【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力． 　 8．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（　　） A．∀x∈R，f（x）≤f（x0） B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点 C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点 【分析】A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确； B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点； C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点； D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点． 【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误； 对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误； 对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误； 对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 9．（5分）已知等比数列{an}的公比为q，记bn=am（n﹣1）+1+am（n﹣1）+2+...+am（n﹣1）+m，cn=am（n﹣1）+1•am（n﹣1）+2•...•am（n﹣1）+m，（m，n∈N\*），则以下结论一定正确的是（　　） A．数列{bn}为等差数列，公差为qm B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m C．数列{cn}为等比数列，公比为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10706.png){width="0.2708333333333333in" height="0.25in"} D．数列{cn}为等比数列，公比为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10707.png){width="0.2708333333333333in" height="0.25in"} 【分析】①![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10708.png){width="1.9375in" height="0.28125in"}，当q=1时，bn=mam（n﹣1），bn+1=mam（n﹣1）+m=mam（n﹣1）=bn，此时是常数列，可判断A，B两个选项 ②由于等比数列{an}的公比为q，利用等比数列的通项公式可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10709.png){width="2.3541666666666665in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10710.png){width="1.4791666666666667in" height="0.28125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10711.png){width="1.1875in" height="0.4375in"}，得出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10712.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4791666666666667in"}即可判断出C，D两个选项． 【解答】解：①![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10713.png){width="1.9375in" height="0.28125in"}，当q=1时，bn=mam（n﹣1），bn+1=mam（n﹣1）+m=mam（n﹣1）=bn，此时是常数列，选项A不正确，选项B正确； 当q≠1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10714.png){width="1.6979166666666667in" height="0.4479166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10715.png){width="1.875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10716.png){width="1.5104166666666667in" height="0.4479166666666667in"}，此时![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10717.png){width="0.65625in" height="0.4791666666666667in"}，选项B不正确， 又bn+1﹣bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10718.png){width="1.96875in" height="0.4479166666666667in"}，不是常数，故选项A不正确， ②∵等比数列{an}的公比为q，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10719.png){width="2.3541666666666665in" height="0.28125in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10720.png){width="1.4791666666666667in" height="0.28125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10721.png){width="1.1875in" height="0.4375in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10722.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10723.png){width="1.3020833333333333in" height="0.8333333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10724.png){width="1.0520833333333333in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10725.png){width="0.2708333333333333in" height="0.25in"}，故C正确D不正确． 综上可知：只有C正确． 故选：C． 【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式及其前n项和公式是解题的关键． 　 10．（5分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）\|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合"保序同构"，以下集合对不是"保序同构"的是（　　） A．A=N\*，B=N B．A={x\|﹣1≤x≤3}，B={x\|x=﹣8或0＜x≤10} C．A={x\|0＜x＜1}，B=R D．A=Z，B=Q 【分析】利用题目给出的"保序同构"的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是"保序同构"的，即可得到要选择的答案． 【解答】解：对于A=N\*，B=N，存在函数f（x）=x﹣1，x∈N\*，满足：（i）B={f（x）\|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项A是"保序同构"； 对于A={x\|﹣1≤x≤3}，B={x\|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10726.png){width="1.8541666666666667in" height="0.625in"}，满足： （i）B={f（x）\|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项B是"保序同构"； 对于A={x\|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10727.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}），满足：（i）B={f（x）\|x∈A}； （ii）对任意 x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项C是"保序同构"； 前三个选项中的集合对是"保序同构"，由排除法可知，不是"保序同构"的只有D． 故选：D． 【点评】本题是新定义题，考查了函数的定义域和值域，考查了函数的单调性，综合考查了不同类型函数的基本性质，是基础题． 　 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置. 11．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件"3a﹣1＞0"发生的概率为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10728.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件"3a﹣1＞0"对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解． 【解答】解：3a﹣1＞0即a＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10729.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 则事件"3a﹣1＞0"发生的概率为P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10730.png){width="0.3541666666666667in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10728.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10728.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】几何概型的概率估算公式中的"几何度量"，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个"几何度量"只与"大小"有关，而与形状和位置无关． 　 12．（4分）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是　12π　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10731.png){width="1.0in" height="1.0104166666666667in"} 【分析】由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2，求出球的半径，然后求出球的表面积即可． 【解答】解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2， 球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10732.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}，r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10733.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 所以球的表面积为：4πr2=12π． 故答案为：12π． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10734.png){width="1.8958333333333333in" height="2.1770833333333335in"} 【点评】本题考查三视图与几何体的关系，球的内接体以及球的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力． 　 13．（4分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10735.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，AB=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10736.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AD=3，则BD的长为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10737.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10738.png){width="1.8020833333333333in" height="0.8854166666666666in"} 【分析】由∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAC=90°，得到∠BAC=∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD的值，利用余弦定理即可求出BD的长． 【解答】解：∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°， ∴sin∠BAC=sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10735.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 在△ABD中，AB=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10736.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AD=3， 根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD=18+9﹣24=3， 则BD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10737.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10739.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【点评】此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 　 14．（4分）椭圆Γ：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10740.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10741.png){width="0.6458333333333334in" height="0.1875in"}与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10742.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}　． 【分析】由直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10743.png){width="0.8333333333333334in" height="0.19791666666666666in"}可知斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10744.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10745.png){width="1.1041666666666667in" height="0.28125in"}，进而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10746.png){width="1.125in" height="0.28125in"}． 设\|MF2\|=m，\|MF1\|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10747.png){width="1.1458333333333333in" height="0.7083333333333334in"}，解出a，c即可． 【解答】解：如图所示， 由直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10748.png){width="0.8333333333333334in" height="0.19791666666666666in"}可知倾斜角α与斜率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10749.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}有关系![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10749.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=tanα，∴α=60°． 又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10750.png){width="1.1041666666666667in" height="0.28125in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10751.png){width="1.125in" height="0.28125in"}． 设\|MF2\|=m，\|MF1\|=n，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10752.png){width="1.1458333333333333in" height="0.7083333333333334in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10753.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ∴该椭圆的离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10754.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}． 故答案为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10754.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10755.png){width="2.3229166666666665in" height="2.34375in"} 【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法． 　 15．（4分）当x∈R，\|x\|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+...+xn+...=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10756.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 两边同时积分得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10757.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}dx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10758.png){width="0.3125in" height="0.4375in"}xdx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10758.png){width="0.3125in" height="0.4375in"}x2dx+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10758.png){width="0.3125in" height="0.4375in"}xndx+...=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10758.png){width="0.3125in" height="0.4375in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10759.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}dx 从而得到如下等式：1×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10760.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10761.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10761.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10762.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10761.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）3+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10763.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}×（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10761.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）n+1+...=ln2 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10764.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10761.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10761.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10765.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}×（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10766.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10767.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10768.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}×（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10766.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）3+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10769.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10770.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}×（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10766.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）n+1=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10771.png){width="1.2291666666666667in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】根据二项式定理得Cn0+Cn1x+Cn2x2+...+Cnnxn=（1+x）n，两边同时积分整理后，整理即可得到结论． 【解答】解：二项式定理得Cn0+Cn1x+Cn2x2+...+Cnnxn=（1+x）n， 对Cn0+Cn1x+Cn2x2+...+Cnnxn=（1+x）n 两边同时积分得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10772.png){width="4.9375in" height="0.4375in"} 从而得到如下等式：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10773.png){width="4.21875in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10774.png){width="1.2291666666666667in" height="0.3645833333333333in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10774.png){width="1.2291666666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用．是道好题，解决问题的关键在于对Cn0+Cn1x+Cn2x2+...+Cnnxn=（1+x）n，两边同时积分，要是想不到这一点，就变成难题了． 　 三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10775.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10776.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． （1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率； （2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？ 【分析】（1）记"他们的累计得分X≤3"的事事件为A，则事件A的对立事件是"X=5"，由题意知，小明中奖的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10775.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，小红中奖的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10776.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，且两人抽奖中奖与否互不影响，先根据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x≤3的概率． （2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1，甲小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1），都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2）．根据题意知X1～B（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10775.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），X2～B（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10776.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），利用贝努利概率的期望公式计算即可得出E（2X1）＞E（3X2），从而得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，小明中奖的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10775.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，小红中奖的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10777.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，且两人抽奖中奖与否互不影响， 记"他们的累计得分X≤3"的事件为A，则事件A的对立事件是"X=5"， 因为P（X=5）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10778.png){width="0.78125in" height="0.3645833333333333in"}，∴P（A）=1﹣P（X=5）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10779.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； 即他们的累计得分x≤3的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10779.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． （2）设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为X1， 小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为E（2X1） 都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为E（3X2） 由已知可得，X1～B（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10780.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），X2～B（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10777.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）， ∴E（X1）=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10780.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10781.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，E（X2）=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10782.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10783.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 从而E（2X1）=2E（X1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10784.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，E（3X2）=3E（X2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10785.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 由于E（2X1）＞E（3X2）， ∴他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大． 【点评】本题考查利用概率知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学期望的计算，确定X服从的分布是解题的关键． 　 17．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R） （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程； （2）求函数f（x）的极值． 【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程； （2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值． 【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10786.png){width="0.9166666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10787.png){width="1.4375in" height="0.3645833333333333in"}， 因而f（1）=1，f′（1）=﹣1， 所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1）， 即x+y﹣2=0 （2）由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10788.png){width="1.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，x＞0知： ①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值； ②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a． 又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0． 从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f（x）无极值； 当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值． 【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题． 　 18．（13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，...，A9和B1，B2，...，B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi，交于点![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10789.png){width="1.5520833333333333in" height="0.28125in"}． （1）求证：点![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10789.png){width="1.5520833333333333in" height="0.28125in"}都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程； （2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10790.png){width="2.09375in" height="2.09375in"} 【分析】（I）由题意，求出过![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10791.png){width="1.59375in" height="0.28125in"}且与x轴垂直的直线方程为x=i，Bi的坐标为（10，i），即可得到直线OBi的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10792.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3645833333333333in"}．联立方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10793.png){width="0.6145833333333334in" height="0.59375in"}，即可得到Pi满足的方程； （II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式S△OCM=S△OCN，可得\|x1\|=4\|x2\|．即x1=﹣4x2．联立即可得到k，进而得到直线方程． 【解答】（I）证明：由题意，过![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10794.png){width="1.59375in" height="0.28125in"}且与x轴垂直的直线方程为x=i，Bi的坐标为（10，i）， ∴直线OBi的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10792.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 设Pi（x，y），由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10793.png){width="0.6145833333333334in" height="0.59375in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10795.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，即x2=10y． ∴点![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10796.png){width="1.5520833333333333in" height="0.28125in"}都在同一条抛物线上，抛物线E的方程为x2=10y． （II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10797.png){width="0.7083333333333334in" height="0.46875in"}消去y得到x2﹣10kx﹣100=0， 此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点， 设为M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=10k，x1x2=﹣100， ∵S△OCM=4S△OCN，∴\|x1\|=4\|x2\|．∴x1=﹣4x2． 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10798.png){width="0.9479166666666666in" height="0.7916666666666666in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10799.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． ∴直线l的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10800.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}．即为3x+2y﹣20=0或3x﹣2y+20=0． 【点评】本题主要考查了抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力、转化与化归方法、计算能力、数形结合的思想方法、函数与方程得思想方法、分析问题和解决问题的能力． 　 19．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0） （1）求证：CD⊥平面ADD1A1 （2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10801.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求k的值 （3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10802.png){width="1.9895833333333333in" height="1.4791666666666667in"} 【分析】（1）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案 新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）． 【解答】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD， 又∵BE∥AD，∴CD⊥AD． ∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD， ∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1． （2）解：以D为坐标原点，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10803.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10804.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10805.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10806.png){width="1.2916666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10807.png){width="1.2395833333333333in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10808.png){width="1.15625in" height="0.2708333333333333in"}． 设平面AB1C的一个法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10809.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y，z），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10810.png){width="1.4375in" height="0.5416666666666666in"}，取y=2，则z=﹣6k，x=3．∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10811.png){width="1.125in" height="0.22916666666666666in"}． 设AA1与平面AB1C所成角为θ，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10812.png){width="1.8854166666666667in" height="0.2708333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10813.png){width="0.9166666666666666in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10814.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10815.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，解得k=1，故所求k=1． （3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案． 写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10816.png){width="1.7291666666666667in" height="0.7916666666666666in"} 【点评】本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力． 　 20．（14分）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10817.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10818.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}单位长度后得到函数g（x）的图象． （1）求函数f（x）与g（x）的解析式 （2）是否存在x0∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10819.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由； （3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点． 【分析】（1）依题意，可求得ω=2，φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10818.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx； （2）依题意，当x∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10820.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10821.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10822.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜sinx＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10823.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，0＜cosx＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10824.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}⇒sinx＞cos2x＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10825.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10826.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）内是否有解．通过G′（x）＞0，可知G（x）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10825.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10826.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）内单调递增，而G（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10825.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）＜0，G（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10826.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）＞0，从而可得答案； （3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10827.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}，x≠kπ（k∈Z）．问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，列表分析即可求得答案． 【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π， ∴ω=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10828.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=2， 又曲线y=f（x）的一个对称中心为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10829.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，φ∈（0，π）， 故f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10830.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=sin（2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10830.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+φ）=0，得φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10831.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，所以f（x）=cos2x． 将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象， 再将y=cosx的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10832.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10832.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象， ∴g（x）=sinx． （2）当x∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10833.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10834.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10835.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜sinx＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10836.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，0＜cos2x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10835.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x， 问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10837.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10838.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）内是否有解． 设G（x）=sinx+sinxcos2x﹣2cos2x，x∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10837.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10838.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， 则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2﹣sinx）， ∵x∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10837.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10838.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， ∴G′（x）＞0，G（x）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10837.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10839.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）内单调递增， 又G（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10840.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10841.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜0，G（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10839.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10842.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10840.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10839.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）内存在唯一零点x0，即存在唯一零点x0∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10843.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10844.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）满足题意． （3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0， 当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解， ∴方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10845.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}，x≠kπ（k∈Z）． 现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10845.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}的解的情况． 令h（x）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10845.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}，x∈（0，π）∪（π，2π）， 则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况． h′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10846.png){width="1.2708333333333333in" height="0.4791666666666667in"}，令h′（x）=0，得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10847.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}或x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10848.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表： --------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ x （0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10847.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}） ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10847.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} （![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10847.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π） （π，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10848.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}） ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10849.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} （![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10849.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，2π） h′（x） \+ 0 ﹣ ﹣ 0 \+ h（x） ↗ 1 ↘ ↘ ﹣1 ↗ --------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于﹣∞， 当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于﹣∞， 当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞， 当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞， 故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点； 当a＜﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点； 当﹣1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点； 由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点； 又当a=1或a=﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，2013=3×671， ∴依题意得n=671×2=1342． 综上，当a=1，n=1342，或a=﹣1，n=1342时，函数F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点． 【点评】本题考查同角三角函数基本关系，三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查函数、函数的导数、函数的零点、不等式等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想，属于难题． 　 本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分. 21．（7分）选修4﹣2：矩阵与变换 已知直线l：ax+y=1在矩阵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10850.png){width="0.625in" height="0.3958333333333333in"}对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1 （I）求实数a，b的值 （II）若点P（x0，y0）在直线l上，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10851.png){width="0.9270833333333334in" height="0.5729166666666666in"}，求点P的坐标． 【分析】（I）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线l′的方程，从而建立关于a，b的方程，即可求得实数a，b的值； （II）由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10851.png){width="0.9270833333333334in" height="0.5729166666666666in"}得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10852.png){width="0.9791666666666666in" height="0.53125in"}，从而解得y0的值，又点P（x0，y0）在直线l上，即可求出点P的坐标． 【解答】解：（I）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y）， 经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），则有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10853.png){width="0.4375in" height="0.3958333333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10854.png){width="0.2708333333333333in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10855.png){width="0.4375in" height="0.40625in"}， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10856.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，又点M′（x′，y′）在直线l′上，∴x+（b+2）y=1， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10857.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3958333333333333in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10858.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3958333333333333in"} （II）由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10859.png){width="0.9270833333333334in" height="0.5208333333333334in"}得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10860.png){width="0.9791666666666666in" height="0.53125in"}，从而y0=0， 又点P（x0，y0）在直线l上，∴x0=1， ∴点P的坐标为（1，0）． 【点评】本题以矩阵为依托，考查矩阵的乘法，考查矩阵变换，关键是正确利用矩阵的乘法公式． 　 22．（7分）选修4﹣4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10861.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，直线l的极坐标方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10862.png){width="1.2604166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，且点A在直线l上． （Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）圆C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10863.png){width="1.5625in" height="0.40625in"}，试判断直线l与圆C的位置关系． 【分析】（Ⅰ）根据点A在直线l上，将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出a值，再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较． 【解答】解：（Ⅰ）点A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10861.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}在直线l上，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10864.png){width="1.375in" height="0.3645833333333333in"}，∴a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10865.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 故直线l的方程可化为：ρsinθ+ρcosθ=2， 得直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0； （Ⅱ）消去参数α，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1 圆心C到直线l的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10866.png){width="0.5833333333333334in" height="0.40625in"}＜1， 所以直线l和⊙C相交． 【点评】本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及圆的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，属于基础题． 　 23．设不等式\|x﹣2\|＜a（a∈N\*）的解集为A，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10867.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} （Ⅰ）求a的值 （Ⅱ）求函数f（x）=\|x+a\|+\|x﹣2\|的最小值． 【分析】（Ⅰ）利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10867.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，推出关于a的绝对值不等式，结合a为整数直接求a的值． （Ⅱ）利用a的值化简函数f（x），利用绝对值三角不等式求出\|x+1\|+\|x﹣2\|的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10867.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10868.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10869.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10870.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 因为a∈N\*，所以a的值为1． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数f（x）=\|x+1\|+\|x﹣2\|≥\|（x+1）﹣（x﹣2）\|=3， 当且仅当（x+1）（x﹣2）≥0，即x≥2或x≤﹣1时取等号， 所以函数f（x）的最小值为3． 【点评】本题考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，转化与化归思想． 2013年福建省高考数学试卷（文科） ================================ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）复数的Z=﹣1﹣2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由Z=﹣1﹣2i，写出对应点的坐标，即可判断在复平面内对应的点所在的象限． 【解答】解：Z=﹣1﹣2i在复平面内对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限． 故选：C． 【点评】本题考查复复数的几何意义，复数与复平面内的点的对应关系． 　 2．（5分）设点P（x，y），则"x=2且y=﹣1"是"点P在直线l：x+y﹣1=0上"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】当x=2且y=﹣1"可以得到"点P在直线l：x+y﹣1=0上"，当点P在直线l：x+y﹣1=0上时，不一定得到x=2且y=﹣1，得到x=2且y=﹣1"是"点P在直线l：x+y﹣1=0上"的充分不必要条件． 【解答】解：∵x=2且y=﹣1"可以得到"点P在直线l：x+y﹣1=0上"， 当"点P在直线l：x+y﹣1=0上"时，不一定得到x=2且y=﹣1， ∴"x=2且y=﹣1"是"点P在直线l：x+y﹣1=0上"的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题考查条件问题，本题解题的关键是看出点P在直线l：x+y﹣1=0上时，不能确定这个点的坐标的大小，本题是一个基础题． 　 3．（5分）若集合A={1，2，3}，B={1，3，4}，则A∩B的子集个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．16 【分析】找出A与B的公共元素求出交集，找出交集的子集个数即可． 【解答】解：∵A={1，2，3}，B={1，3，4}， ∴A∩B={1，3}， 则A∩B的子集个数为22=4． 故选：C． 【点评】此题考查了交集及其运算，以及子集，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 4．（5分）双曲线x2﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10871.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10872.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．1 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10873.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可． 【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的顶点坐标（1，0），其渐近线方程为y=±x， 所以所求的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10874.png){width="0.46875in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10872.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 　 5．（5分）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10875.png){width="1.3020833333333333in" height="1.0104166666666667in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10876.png){width="1.34375in" height="1.03125in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10877.png){width="1.21875in" height="1.0in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10878.png){width="1.3645833333333333in" height="0.9791666666666666in"} 【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方， 在令x取特殊值，选出答案． 【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0， ∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点， 综上只有A符合． 故选：A． 【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题． 　 6．（5分）若变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10879.png){width="0.625in" height="0.6458333333333334in"}，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（　　） A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0 【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点N（1，0）时的最小值，过点M（2，0）时，2x+y最大，从而得到选项． 【解答】解：满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10879.png){width="0.625in" height="0.6458333333333334in"}的可行域如下图所示 在坐标系中画出可行域 平移直线2x+y=0，经过点N（1，0）时，2x+y最小，最小值为：2， 则目标函数z=2x+y的最小值为2． 经过点M（2，0）时，2x+y最大，最大值为：4， 则目标函数z=2x+y的最大值为：4． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10880.png){width="2.3958333333333335in" height="2.25in"} 【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定． 　 7．（5分）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（　　） A．\[0，2\] B．\[﹣2，0\] C．\[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2\] 【分析】根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于x+y的不等关系式，进而可求出x+y的取值范围． 【解答】解：∵1=2x+2y≥2•（2x2y）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10881.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}， 变形为2x+y≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10882.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即x+y≤﹣2，当且仅当x=y时取等号． 则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2\]． 故选：D． 【点评】利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握． 　 8．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的S∈（10，20），那么n的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10883.png){width="1.3958333333333333in" height="3.9902777777777776in"} A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】框图在输入n的值后，根据对S和k的赋值执行运算，S=1+2S，k=k+1，然后判断k是否大于n，不满足继续执行循环，满足跳出循环，由题意，说明当算出的值S∈（10，20）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值． 【解答】解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1， 输入n的值后，执行S=1+2×0=1，k=1+1=2； 判断2＞n不成立，执行S=1+2×1=3，k=2+1=3； 判断3＞n不成立，执行S=1+2×3=7，k=3+1=4； 判断4＞n不成立，执行S=1+2×7=15，k=4+1=5． 此时S=15∈（10，20），是输出的值，说明下一步执行判断时判断框中的条件应该满足， 即5＞n满足，所以正整数n的值应为4． 故选：B． 【点评】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题． 　 9．（5分）将函数f（x）=sin（2x+θ）（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10884.png){width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"}）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10885.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}），则φ的值可以是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10886.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10887.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10888.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10889.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】求出平移后的函数解析式，利用两个函数都经过P（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10890.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），解出θ，然后求出φ即可． 【解答】解：函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10891.png){width="2.5in" height="0.3645833333333333in"}向右平移φ个单位，得到g（x）=sin（2x+θ﹣2φ）， 因为两个函数都经过P（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10892.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10893.png){width="2.1770833333333335in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10894.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 所以g（x）=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10895.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣2φ），sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10895.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣2φ）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10892.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，φ＞1，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10895.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣2φ=2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10895.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，φ=﹣kπ，与选项不符舍去， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10896.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣2φ=2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10897.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z，当k=﹣1时，φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10898.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． 【点评】本题考查函数图象的平移，函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力与计算能力． 　 10．（5分）在四边形ABCD中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10899.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（1，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10900.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣4，2），则该四边形的面积为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10901.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10902.png){width="0.3125in" height="0.1875in"} C．5 D．10 【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可． 【解答】解：因为在四边形ABCD中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10903.png){width="0.7916666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10904.png){width="0.875in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10905.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0， 所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10906.png){width="1.3854166666666667in" height="0.25in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10907.png){width="1.71875in" height="0.25in"}， 该四边形的面积：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10908.png){width="0.9895833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10909.png){width="1.0104166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=5． 故选：C． 【点评】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力． 　 11．（5分）已知x与y之间的几组数据如表： --- --- --- --- --- --- --- x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 --- --- --- --- --- --- --- 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10910.png){width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10911.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10912.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，若某同学根据上表中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10913.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞b′，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10912.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞a′ B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10913.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞b′，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10912.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜a′ C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10913.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜b′，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10912.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞a′ D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10913.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜b′，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10912.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜a′ 【分析】由表格总的数据可得n，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10914.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10915.png){width="0.10416666666666667in" height="0.19791666666666666in"}，进而可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10916.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10917.png){width="1.0in" height="0.4791666666666667in"}，代入可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10918.png){width="0.10416666666666667in" height="0.3229166666666667in"}，进而可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10919.png){width="0.10416666666666667in" height="0.3229166666666667in"}，再由直线方程的求法可得b′和a′，比较可得答案． 【解答】解：由题意可知n=6，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10920.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10921.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10922.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10923.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10924.png){width="0.10416666666666667in" height="0.19791666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10925.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10926.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10927.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10928.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=91﹣6×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10929.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}=22，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10930.png){width="1.0in" height="0.4791666666666667in"}=58﹣6×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10931.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10932.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10933.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 故可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10934.png){width="0.10416666666666667in" height="0.3229166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10935.png){width="1.03125in" height="0.9791666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10936.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10937.png){width="0.10416666666666667in" height="0.3229166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10938.png){width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10939.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10940.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10941.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10942.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 而由直线方程的求解可得b′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10943.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=2，把（1，0）代入可得a′=﹣2， 比较可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10944.png){width="0.10416666666666667in" height="0.3229166666666667in"}＜b′，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10937.png){width="0.10416666666666667in" height="0.3229166666666667in"}＞a′， 故选：C． 【点评】本题考查线性回归方程的求解，涉及由两点求直线方程，属中档题． 　 12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（　　） A．∀x∈R，f（x）≤f（x0） B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点 C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点 【分析】A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确； B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点； C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点； D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点． 【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误； 对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误； 对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误； 对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分. 13．（4分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10945.png){width="1.4270833333333333in" height="0.6666666666666666in"}，则f（f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10946.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}））=　﹣2　． 【分析】利用分段函数求出f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10946.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的值，然后求解![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10947.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}即可． 【解答】解：因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10948.png){width="1.8645833333333333in" height="0.6666666666666666in"}， 所以f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10946.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10949.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=﹣1， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10947.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=f（﹣1）=2（﹣1）3=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力． 　 14．（4分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件"3a﹣1＞0"发生的概率为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10950.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（0，1）上产生随机数a所对应图形的长度，及事件"3a﹣1＞0"对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解． 【解答】解：3a﹣1＞0即a＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10767.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 则事件"3a﹣1＞0"发生的概率为P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10951.png){width="0.3541666666666667in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10950.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10950.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】几何概型的概率估算公式中的"几何度量"，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个"几何度量"只与"大小"有关，而与形状和位置无关． 　 15．（4分）椭圆Γ：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10952.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10953.png){width="0.6458333333333334in" height="0.1875in"}与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10954.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}　． 【分析】由直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10955.png){width="0.8333333333333334in" height="0.19791666666666666in"}可知斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10956.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10957.png){width="1.1041666666666667in" height="0.28125in"}，进而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10958.png){width="1.125in" height="0.28125in"}． 设\|MF2\|=m，\|MF1\|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10959.png){width="1.1458333333333333in" height="0.7083333333333334in"}，解出a，c即可． 【解答】解：如图所示， 由直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10960.png){width="0.8333333333333334in" height="0.19791666666666666in"}可知倾斜角α与斜率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10956.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}有关系![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10961.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=tanα，∴α=60°． 又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10962.png){width="1.1041666666666667in" height="0.28125in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10963.png){width="1.125in" height="0.28125in"}． 设\|MF2\|=m，\|MF1\|=n，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10964.png){width="1.1458333333333333in" height="0.7083333333333334in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10965.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ∴该椭圆的离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10966.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}． 故答案为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10966.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10967.png){width="2.165277777777778in" height="1.8111111111111111in"} 【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法． 　 16．（4分）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足： （i）T={f（x）\|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合"保序同构"，现给出以下3对集合： ①A=N，B=N\*； ②A={x\|﹣1≤x≤3}，B={x\|﹣8≤x≤10}； ③A={x\|0＜x＜1}，B=R． 其中，"保序同构"的集合对的序号是　①②③　．（写出"保序同构"的集合对的序号）． 【分析】本题考查的是函数的性质，由题意可知S为函数的一个定义域，T为其所对应的值域，且函数y=f（x）为单调增函数， 对题目给出的三个命题中的集合对逐一分析看是否能找到这样的函数y=f（x）即可． 【解答】解：对于命题①中的两个集合，可取函数f（x）=x+1，x∈N，满足：（i）B={f（x）\|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），故A是"保序同构"； 对于命题②中的两个集合，可取函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10968.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} （﹣1≤x≤3），是"保序同构"； 对于命题③中的两个集合，可取函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10969.png){width="1.0104166666666667in" height="0.3645833333333333in"} （0＜x＜1），是"保序同构"． 故答案为①②③． 【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了子集与交集、并集运算的转换，考查了函数值域的求法，解答此题的关键是明白新定义"保序同构"指的是什么意思，是基础题． 　 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{an}的公差d=1，前n项和为Sn． （Ⅰ）若1，a1，a3成等比数列，求a1； （Ⅱ）若S5＞a1a9，求a1的取值范围． 【分析】（I）利用等差数列{an}的公差d=1，且1，a1，a3成等比数列，建立方程，即可求a1； （II）利用等差数列{an}的公差d=1，且S5＞a1a9，建立不等式，即可求a1的取值范围． 【解答】解：（I）∵等差数列{an}的公差d=1，且1，a1，a3成等比数列， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10970.png){width="1.1875in" height="0.28125in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10971.png){width="0.9375in" height="0.28125in"} ∴a1=﹣1或a1=2； （II）∵等差数列{an}的公差d=1，且S5＞a1a9， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10972.png){width="1.3958333333333333in" height="0.28125in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10973.png){width="1.1875in" height="0.28125in"} ∴﹣5＜a1＜2． 【点评】本题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查运算能力，考查函数与方程思想，考查化归与转化思想，属于中档题． 　 18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°． （Ⅰ）当正视方向与向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10974.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的方向相同时，画出四棱锥P﹣ABCD的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）； （Ⅱ）若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC； （Ⅲ）求三棱锥D﹣PBC的体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10975.png){width="1.2395833333333333in" height="1.4270833333333333in"} 【分析】（Ⅰ）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E为垂足，则四边形ADCE为矩形，可得AE=CD=3．由勾股定理求得BE=3，可得AB=6．由直角三角形中的边角关系求得PD=AD•tan60°的值，从而得到四棱锥P﹣ABCD的正视图． （Ⅱ）取PB得中点为N，证明MNCD为平行四边形，故DM∥CN．再由直线和平面平行的判定定理证得故DM∥ 平面PBC． （Ⅲ）根据三棱锥D﹣PBC的体积VD﹣PBC=VP﹣BCD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10976.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}S△BCD•PD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10976.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（S梯形ABCD﹣S△ABD）•PD，运算求得结果． 【解答】解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，作CE⊥AB，E为垂足， 则四边形ADCE为矩形，∴AE=CD=3． 直角三角形BCE中，∵BC=5，CE=AD=4， 由勾股定理求得BE=3，∴AB=6． 在直角三角形PAD中，∵∠PAD=60°，AD=4， ∴PD=AD•tan60°=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10977.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 四棱锥P﹣ABCD的正视图如图所示： （Ⅱ）∵M为PA的中点，取PB得中点为N，则MN平行且等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10978.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AB， 再由（Ⅰ）可得CD平行且等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10978.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AB，可得MN和CD平行且相等， 故MNCD为平行四边形，故DM∥CN． 由于DM 不在平面PBC内，而CN在平面PBC内，故DM∥平面PBC． （Ⅲ）三棱锥D﹣PBC的体积VD﹣PBC=VP﹣BCD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10976.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}S△BCD•PD =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10976.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（S梯形ABCD﹣S△ABD）•PD =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10979.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10980.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10981.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}\]×4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10982.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=8![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10982.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10983.png){width="1.625in" height="1.5729166666666667in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10984.png){width="2.1354166666666665in" height="1.6770833333333333in"} 【点评】本题主要考查简单空间图形的三视图，直线和平面平行的判定定理，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题． 　 19．（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在"25周岁以上（含25周岁）"和"25周岁以下"分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：\[50，60），\[60，70），\[70，80），\[80，90），\[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图． ----------- ------- ------- ------- -------- P（x2≥k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 ----------- ------- ------- ------- -------- ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10985.png){width="4.719444444444444in" height="2.1041666666666665in"} （Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名"25周岁以下组"工人的概率； （Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为"生产能手"，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为"生产能手与工人所在的年龄组有关"？附：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10986.png){width="1.7604166666666667in" height="0.4791666666666667in"}（注：此公式也可以写成k2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10987.png){width="1.71875in" height="0.4270833333333333in"}） 【分析】（I）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（II）由频率分布直方图可得"25周岁以上组"中的生产能手的人数，以及"25周岁以下组"中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k2≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论． 【解答】解：（I）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10988.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=60名， 25周岁以下组工人100×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10989.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=40名， 所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人）， 25周岁以下组工人有40×0.05=2（人）， 故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10990.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=10种， 其中至少1名"25周岁以下组"工人的结果共![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10991.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10992.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=7种， 故所求的概率为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10993.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； （II）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，"25周岁以上组"中的生产能手有60×0.25=15（人）， "25周岁以下组"中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下： -------------- ---------- ------------ ------ 生产能手 非生产能手 合计 25周岁以上组 15 45 60 25周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100 -------------- ---------- ------------ ------ 所以可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10994.png){width="2.0208333333333335in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10995.png){width="1.8333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10996.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≈1.79， 因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为"生产能手与工人所在的年龄组有关"． 【点评】本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题． 　 20．（12分）如图，抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A．点C在抛物线E上，以C为圆心，\|CO\|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N． （Ⅰ）若点C的纵坐标为2，求\|MN\|； （Ⅱ）若\|AF\|2=\|AM\|•\|AN\|，求圆C的半径． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image10997.png){width="1.6041666666666667in" height="1.7708333333333333in"} 【分析】（I）由抛物线的方程表示出焦点F的坐标及准线方程，求出C到准线的距离，再利用圆中弦长公式即可求出\|MN\|的长； （II）设C（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10998.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}，y0），表示出圆C的方程方程，与抛物线解析式联立组成方程组，设M（﹣1，y1），N（﹣1，y2），利用韦达定理表示出y1y2，利用\|AF\|2=\|AM\|•\|AN\|，得\|y1y2\|=4，解得C的纵坐标，从而得到圆心C坐标，由两点间的距离公式求出\|OC\|的长，即为圆的半径． 【解答】解：（I）抛物线E：y2=4x的准线l：x=﹣1， 由点C的纵坐标为2，得C（1，2），故C到准线的距离d=2，又\|OC\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10999.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴\|MN\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11000.png){width="0.8645833333333334in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11001.png){width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"}=2． （II）设C（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10998.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}，y0），则圆C的方程为（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11002.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}）2+（y﹣y0）2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11003.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4895833333333333in"}， 即x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11004.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4895833333333333in"}+y2﹣2y0y=0，由x=﹣1得y2﹣2y0y+1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11005.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=0， 设M（﹣1，y1），N（﹣1，y2），则 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11006.png){width="2.21875in" height="1.03125in"}， 由\|AF\|2=\|AM\|•\|AN\|，得\|y1y2\|=4， ∴1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11007.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=4，解得y0=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11008.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，此时△＞0 ∴圆心C的坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11009.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11008.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}），\|OC\|2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11010.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 从而\|OC\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11011.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 即圆C的半径为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11011.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：抛物线的简单性质，韦达定理．其中根据题意确定出圆心与半径是解本题的关键． 　 21．（12分）如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11012.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，点M在线段PQ上， （Ⅰ）若OM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11013.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求PM的长； （Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11014.png){width="1.34375in" height="1.28125in"} 【分析】（Ⅰ）在△OMP中，利用∠OPM=45°，OM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11013.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，OP=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11015.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，通过余弦定理，求PM的长； （Ⅱ）利用正弦定理求出ON、OM，表示出△OMN的面积，利用两角和与差的三角函数化简函数我一个角的一个三角函数的形式，通过角α的范围，得到相位的范围，然后利用正弦函数的值域求解三角形面积的最小值，求出面积的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）在△OMP中，∠OPM=45°，OM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11016.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，OP=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11015.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 由余弦定理可得，OM2=OP2+MP2﹣2×OP•MPcos45°， 解得PM的长为1或3； （Ⅱ）设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11017.png){width="1.5416666666666667in" height="0.3645833333333333in"}， OM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11018.png){width="1.0520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 同理，ON=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11019.png){width="1.0520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11020.png){width="1.0520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11021.png){width="1.8020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11022.png){width="2.375in" height="0.4270833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11023.png){width="2.46875in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11024.png){width="3.71875in" height="0.5833333333333334in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11025.png){width="3.6666666666666665in" height="0.5833333333333334in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11026.png){width="1.875in" height="0.5833333333333334in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11027.png){width="1.6145833333333333in" height="0.5833333333333334in"} 因为0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°， 所以当α=30°时，sin（2α+30°）的最大值为1， 此时，△OMN的面积最小，面积的最小值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11028.png){width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11029.png){width="1.34375in" height="1.28125in"} 【点评】本题考查正弦定理与余弦定理在三角形中的应用，两角和与差的三角函数的应用，三角形的最值的求法，考查计算能力与转化思想的应用． 　 22．（14分）已知函数f（x）=x﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11030.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}（a∈R，e为自然对数的底数）． （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值； （Ⅱ）求函数f（x）的极值； （Ⅲ）当a=1的值时，若直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值． 【分析】（Ⅰ）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值； （Ⅱ）f′（x）=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11030.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，分①a≤0时②a＞0讨论，可知f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而可求其极值； （Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11031.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点⇔方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11032.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，得f′（x）=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11032.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴， ∴f′（1）=0，即1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11033.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=0，解得a=e． （Ⅱ）f′（x）=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11032.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， ①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以f（x）无极值； ②当a＞0时，令f′（x）=0，得ex=a，x=lna， x∈（﹣∞，lna），f′（x）＜0；x∈（lna，+∞），f′（x）＞0； ∴f（x）在∈（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， 故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值． 综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值． （Ⅲ）当a=1时，f（x）=x﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11031.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11031.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 则直线l：y=kx﹣1与曲线y=f（x）没有公共点， 等价于方程g（x）=0在R上没有实数解． 假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11034.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11035.png){width="0.4375in" height="0.59375in"}＜0， 又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解， 与"方程g（x）=0在R上没有实数解"矛盾，故k≤1． 又k=1时，g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11036.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解， 所以k的最大值为1． 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题． 2013年广东省高考数学试卷（理科） ================================ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）设集合M={x\|x2+2x=0，x∈R}，N={x\|x2﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（　　） A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2} 【分析】根据题意，分析可得，M={0，﹣2}，N={0，2}，进而求其并集可得答案． 【解答】解：分析可得， M为方程x2+2x=0的解集，则M={x\|x2+2x=0}={0，﹣2}， N为方程x2﹣2x=0的解集，则N={x\|x2﹣2x=0}={0，2}， 故集合M∪N={0，﹣2，2}， 故选：D． 【点评】本题考查集合的并集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的并集． 　 2．（5分）定义域为R的四个函数y=x3，y=2x，y=x2+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可． 【解答】解：y=x3的定义域为R，关于原点对称，且（﹣x）3=﹣x3，所以函数y=x3为奇函数； y=2x的图象过点（0，1），既不关于原点对称，也不关于y轴对称，为非奇非偶函数； y=x2+1的图象过点（0，1）关于y轴对称，为偶函数； y=2sinx的定义域为R，关于原点对称，且2sin（﹣x）=﹣2sinx，所以y=2sinx为奇函数； 所以奇函数的个数为2， 故选：C． 【点评】本题考查函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，要熟练掌握． 　 3．（5分）若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（　　） A．（2，4） B．（2，﹣4） C．（4，﹣2） D．（4，2） 【分析】由题意可得z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11037.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 4﹣2i，从而求得z对应的点的坐标． 【解答】解：复数z满足iz=2+4i，则有z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11038.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11039.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=4﹣2i， 故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2）， 故选：C． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题． 　 4．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为 --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- X 1 2 3 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11040.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11041.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11042.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 则X的数学期望E（X）=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11043.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．2 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11044.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．3 【分析】利用数学期望的计算公式即可得出． 【解答】解：由数学期望的计算公式即可得出：E（X）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11045.png){width="1.5520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11046.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：A． 【点评】熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键． 　 5．（5分）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11047.png){width="2.0729166666666665in" height="2.4375in"} A．4 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11048.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11049.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．6 【分析】由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可． 【解答】解：几何体是四棱台，下底面是边长为2的正方形，上底面是边长为1的正方形，棱台的高为2， 并且棱台的两个侧面与底面垂直， 四楼台的体积为V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11050.png){width="2.03125in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11048.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． 【点评】本题考查三视图与几何体的关系，棱台体积公式的应用，考查计算能力与空间想象能力． 　 6．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β 【分析】由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β． 【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误； 选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误； 选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误； 选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题． 　 7．（5分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11051.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则C的方程是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11052.png){width="0.7604166666666666in" height="0.4583333333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11053.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11054.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11055.png){width="0.7604166666666666in" height="0.4583333333333333in"} 【分析】设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为F（3，0），离心率为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11056.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，建立方程组，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程． 【解答】解：设双曲线方程为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11057.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}（a＞0，b＞0），则 ∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11056.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11058.png){width="0.4791666666666667in" height="0.59375in"}，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5 ∴双曲线方程为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11059.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 8．（5分）设整数n≥4，集合X={1，2，3，...，n}．令集合S={（x，y，z）\|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（　　） A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S 【分析】特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项，即得答案． 【解答】解：方法一：特殊值排除法， 取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x，y，z）和（z，w，x）都在S中， 此时（y，z，w）=（3，4，1）∈S，（x，y，w）=（2，3，1）∈S，故A、C、D均错误； 只有B成立，故选B． 直接法： 根据题意知，只要y＜z＜w，z＜w＜y，w＜y＜z中或x＜y＜w，y＜w＜x，w＜x＜y中恰有一个成立则可判断（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S． ∵（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S， ∴x＜y＜z...①，y＜z＜x...②，z＜x＜y...③三个式子中恰有一个成立； z＜w＜x...④，w＜x＜z...⑤，x＜z＜w...⑥三个式子中恰有一个成立． 配对后有四种情况成立， 第一种：①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S； 第二种：①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S； 第三种：②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S； 第四种：③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S． 综合上述四种情况，可得（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S． 故选：B． 【点评】本题考查简单的合情推理，特殊值验证法是解决问题的关键，属基础题． 　 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9．（5分）不等式x2+x﹣2＜0的解集为　（﹣2，1）　． 【分析】先求相应二次方程x2+x﹣2=0的两根，根据二次函数y=x2+x﹣2的图象即可写出不等式的解集． 【解答】解：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2，1， 且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上， 所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）． 故答案为：（﹣2，1）． 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解"三个二次"间的关系是解决该类题目的关键，解二次不等式的基本步骤是：求二次方程的根；作出草图；据图象写出解集． 　 10．（5分）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=　﹣1　． 【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值． 【解答】解：由题意得，y′=k+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11060.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∵在点（1，k）处的切线平行于x轴， ∴k+1=0，得k=﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大． 　 11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为　7　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11061.png){width="1.8541666666666667in" height="2.5006944444444446in"} 【分析】由已知中的程序框图及已知中输入4，可得：进入循环的条件为i≤4，即i=1，2，3，4．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值． 【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1； 当i=2时，S=1+2﹣1=2； 当i=3时，S=2+3﹣1=4； 当i=4时，S=4+4﹣1=7； 当i=5时，退出循环，输出S=7； 故答案为：7． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理． 　 12．（5分）在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=　20　． 【分析】根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）． 【解答】解：由等差数列的性质得： 3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20， 故答案为：20． 【点评】本题考查等差数列的性质及其应用，属基础题，准确理解有关性质是解决问题的根本． 　 13．（5分）给定区域D：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11062.png){width="0.7083333333333334in" height="0.6458333333333334in"}．令点集T={（x0，y0）∈D\|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定　6　 条不同的直线． 【分析】先根据所给的可行域，利用几何意义求最值，z=x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可，从而得出点集T中元素的个数，即可得出正确答案． 【解答】解：画出不等式表示的平面区域，如图． 作出目标函数对应的直线，因为直线z=x+y与直线x+y=4平行，故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点：（4，0），（3，1），（2，2），（1，3）或（0，4）时，直线的纵截距最大，z最大； 当直线过（0，1）时，直线的纵截距最小，z最小，从而点集T={（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4），（0，1）}，经过这六个点的直线一共有6条． 即T中的点共确定6条不同的直线． 故答案为：6． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11063.png){width="2.792361111111111in" height="3.042361111111111in"} 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 　 14．（5分）（坐标系与参数方程选做题） 已知曲线C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11064.png){width="0.8541666666666666in" height="0.4479166666666667in"}（t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为　ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11065.png){width="1.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11066.png){width="1.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}也得满分）　． 【分析】先求出曲线C的普通方程，再利用直线与圆相切求出切线的方程，最后利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得其极坐标方程即可． 【解答】解：由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11067.png){width="0.8541666666666666in" height="0.4479166666666667in"}（t为参数），两式平方后相加得x2+y2=2，...（4分） ∴曲线C是以（0，0）为圆心，半径等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11068.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的圆． C在点（1，1）处的切线l的方程为x+y=2， 令x=ρcosθ，y=ρsinθ， 代入x+y=2，并整理得ρcosθ+ρsinθ﹣2=0，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11069.png){width="1.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11070.png){width="1.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 则l的极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11069.png){width="1.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11070.png){width="1.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}也得满分）． ...（10分） 故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0（填![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11071.png){width="1.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11072.png){width="1.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}也得满分）． 【点评】本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ． 　 15．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11073.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11074.png){width="2.0729166666666665in" height="1.7083333333333333in"} 【分析】利用AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．即AC⊥BD．又已知BC=CD，可得△ABD是等腰三角形，可得∠D=∠B．再利用弦切角定理可得∠ACE=∠B，得到∠AEC=∠ACB=90°，进而得到△CED∽△ACB，利用相似三角形的性质即可得出． 【解答】解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD． 又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC． ∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°． ∴△CED∽△ACB． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11075.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，又CD=BC， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11076.png){width="1.7708333333333333in" height="0.1875in"}． 【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等基础知识，需要较强的推理能力． 　 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11077.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11078.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），x∈R． （Ⅰ）求f（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11079.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的值； （Ⅱ）若cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11080.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，θ∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11081.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，2π），求f（2θ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11082.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）． 【分析】（1）把x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11079.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}直接代入函数解析式求解． （2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值以及sin2θ，然后将x=2θ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11082.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果． 【解答】解：（1）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11083.png){width="3.9270833333333335in" height="0.3854166666666667in"} （2）因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11084.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11085.png){width="1.2604166666666667in" height="0.3645833333333333in"} 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11086.png){width="1.7708333333333333in" height="0.3645833333333333in"} 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11087.png){width="2.96875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11088.png){width="3.28125in" height="0.3645833333333333in"} 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11089.png){width="4.9375in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11090.png){width="1.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合，要注意角的范围． 　 17．（12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数． （1）根据茎叶图计算样本均值； （2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？ （3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11091.png){width="0.9583333333333334in" height="0.7916666666666666in"} 【分析】（1）茎叶图中共同的数字是数字的十位，这是解决本题的突破口，根据所给的茎叶图数据，代入平均数公式求出结果； （2）先由（1）求得的平均数，再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数； （3）设"从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人"为事件A，结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率． 【解答】解：（1）样本均值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11092.png){width="1.7395833333333333in" height="0.3645833333333333in"}； （2）抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人； （3）设"从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人"为事件A， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11093.png){width="1.1770833333333333in" height="0.5833333333333334in"}， 即恰有1名优秀工人的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11094.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查茎叶图的应用，古典概型及其概率计算公式，属于容易题．对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，考查最基本的知识点． 　 18．（14分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11095.png){width="0.7291666666666666in" height="0.1875in"}，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11096.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （1）证明：A′O⊥平面BCDE； （2）求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11097.png){width="4.177777777777778in" height="1.6458333333333333in"} 【分析】（1）连接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11098.png){width="0.7291666666666666in" height="0.1875in"}，AD=AE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11099.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}，CO=BO=3．分别在△COD与△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可证明∠A′OD=∠A′OE=90°，再利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）方法一：过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F．利用（1）可知：A′O⊥平面BCDE，根据三垂线定理得A′F⊥CD，所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可； 方法二：取DE中点H，则OH⊥OB．以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角． 【解答】（1）证明：连接OD，OE． 因为在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11098.png){width="0.7291666666666666in" height="0.1875in"}，CO=BO=3． 在△COD中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11100.png){width="2.5520833333333335in" height="0.25in"}，同理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11101.png){width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"}． 因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11102.png){width="1.6458333333333333in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11103.png){width="0.6458333333333334in" height="0.1875in"}． 所以A′O2+OD2=A′D2，A′O2+OE2=A′E2． 所以∠A′OD=∠A′OE=90° 所以A′O⊥OD，A′O⊥OE，OD∩OE=O． 所以A′O⊥平面BCDE． （2）方法一： 过点O作OF⊥CD的延长线于F，连接A′F 因为A′O⊥平面BCDE． 根据三垂线定理，有A′F⊥CD． 所以∠A′FO为二面角A′﹣CD﹣B的平面角． 在Rt△COF中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11104.png){width="1.4479166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 在Rt△A′OF中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11105.png){width="1.3854166666666667in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11106.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11107.png){width="1.75in" height="0.3854166666666667in"}． 所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11108.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 方法二：![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11109.png){width="2.0833333333333335in" height="1.4895833333333333in"} 取DE中点H，则OH⊥OB． 以O为坐标原点，OH、OB、OA′分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系． 则O（0，0，0），A′（0，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11110.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），C（0，﹣3，0），D（1，﹣2，0）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11111.png){width="0.3541666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（0，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11110.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）是平面BCDE的一个法向量． 设平面A′CD的法向量为n=（x，y，z）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11112.png){width="1.3541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11113.png){width="1.0416666666666667in" height="0.22916666666666666in"}． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11114.png){width="1.4791666666666667in" height="0.5104166666666666in"}，令x=1，则y=﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11115.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11116.png){width="1.1666666666666667in" height="0.20833333333333334in"}是平面A′CD的一个法向量 设二面角A′﹣CD﹣B的平面角为θ，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11117.png){width="1.0104166666666667in" height="0.3645833333333333in"} 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11118.png){width="2.6145833333333335in" height="0.4479166666666667in"} 所以二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11119.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11120.png){width="2.0833333333333335in" height="1.2708333333333333in"} 【点评】本题综合考查了等腰直角三角形的性质、余弦定理、线面垂直的判定与性质定理、三垂线定哩、二面角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法，需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力． 　 19．（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11121.png){width="1.59375in" height="0.4270833333333333in"}，n∈N\*． （1）求a2的值； （2）求数列{an}的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11122.png){width="1.4583333333333333in" height="0.4270833333333333in"}． 【分析】（1）利用已知a1=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11123.png){width="1.59375in" height="0.4270833333333333in"}，n∈N\*．令n=1即可求出； （2）利用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得到nan+1=（n+1）an+n（n+1），可化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11124.png){width="0.875in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11125.png){width="0.875in" height="0.4270833333333333in"}．再利用等差数列的通项公式即可得出； （3）利用（2），通过放缩法![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11126.png){width="1.9375in" height="0.4270833333333333in"}（n≥2）即可证明． 【解答】解：（1）当n=1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11127.png){width="1.65625in" height="0.4270833333333333in"}，解得a2=4 （2）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11128.png){width="1.8854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}① 当n≥2时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11129.png){width="3.2395833333333335in" height="0.3645833333333333in"}② ①﹣②得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11130.png){width="2.0104166666666665in" height="0.28125in"} 整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11131.png){width="0.875in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11132.png){width="0.875in" height="0.4270833333333333in"} 当n=1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11133.png){width="1.0729166666666667in" height="0.4270833333333333in"} 所以数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11134.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}}是以1为首项，1为公差的等差数列 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11135.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11136.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"} 所以数列{an}的通项公式为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11136.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}，n∈N\* （3）因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11137.png){width="1.9375in" height="0.4270833333333333in"}（n≥2） 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11138.png){width="5.552083333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11139.png){width="1.6041666666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 当n=1，2时，也成立． 【点评】熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前n项和的关系an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）、裂项求和及其放缩法等是解题的关键． 　 20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11140.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点． （1）求抛物线C的方程； （2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程； （3）当点P在直线l上移动时，求\|AF\|•\|BF\|的最小值． 【分析】（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程； （2）先设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11141.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11142.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程； （3）根据抛物线的定义，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11143.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11144.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，从而表示出\|AF\|•\|BF\|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出\|AF\|•\|BF\|的最小值． 【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11145.png){width="1.59375in" height="0.40625in"}，解得c=1， 所以抛物线C的方程为x2=4y． （2）设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11146.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11147.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}， 由（1）得抛物线C的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11148.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11149.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}，所以切线PA，PB的斜率分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11150.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11151.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 所以PA：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11152.png){width="1.5208333333333333in" height="0.3645833333333333in"}①PB：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11153.png){width="1.5208333333333333in" height="0.3645833333333333in"}② 联立①②可得点P的坐标为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11154.png){width="1.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11155.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11156.png){width="0.71875in" height="0.4270833333333333in"}， 又因为切线PA的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11157.png){width="1.09375in" height="0.625in"}，整理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11158.png){width="1.25in" height="0.3645833333333333in"}， 直线AB的斜率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11159.png){width="1.9270833333333333in" height="0.625in"}， 所以直线AB的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11160.png){width="1.5208333333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 整理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11161.png){width="1.65625in" height="0.3645833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11162.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2， 所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0． （3）根据抛物线的定义，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11163.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11164.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11165.png){width="4.010416666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11166.png){width="2.5520833333333335in" height="0.3645833333333333in"}， 由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11167.png){width="5.052083333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11168.png){width="1.9791666666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 所以当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11169.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}时，\|AF\|•\|BF\|的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11170.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性． 　 21．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2（k∈R）． （1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间； （2）当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11171.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}时，求函数f（x）在\[0，k\]上的最大值M． 【分析】（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间； （2）利用导数的运算法则求出f′（x），令f′（x）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值． 【解答】解：（1）当k=1时，f（x）=（x﹣1）ex﹣x2， f\'（x）=ex+（x﹣1）ex﹣2x=x（ex﹣2） 令f\'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0 所以f\'（x），f（x）随x的变化情况如下表： ---------- ------------ -------- ------------ -------- ------------- x （﹣∞，0） 0 （0，ln2） ln2 （ln2，+∞） f\'（x） \+ 0 ﹣ 0 \+ f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ---------- ------------ -------- ------------ -------- ------------- 所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2） （2）f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2，x∈\[0，k\]，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11171.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}． f\'（x）=xex﹣2kx=x（ex﹣2k），f\'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k） 令φ（k）=k﹣ln（2k），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11171.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11172.png){width="1.6666666666666667in" height="0.3645833333333333in"} 所以φ（k）在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11173.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11174.png){width="0.34375in" height="0.3645833333333333in"}，∴1﹣ln2≤φ（k）＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11175.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜k． 即0＜ln（2k）＜k 所以f\'（x），f（x）随x的变化情况如下表： ---------- ----------------- ---------- ----------------- x （0，ln（2k）） ln（2k） （ln（2k），k） f\'（x） ﹣ 0 \+ f（x） ↘ 极小值 ↗ ---------- ----------------- ---------- ----------------- f（0）=﹣1， f（k）﹣f（0） =（k﹣1）ek﹣k3﹣f（0） =（k﹣1）ek﹣k3+1 =（k﹣1）ek﹣（k3﹣1） =（k﹣1）ek﹣（k﹣1）（k2+k+1） =（k﹣1）\[ek﹣（k2+k+1）\] ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11176.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}，∴k﹣1≤0． 对任意的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11176.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}，y=ek的图象恒在y=k2+k+1下方，所以ek﹣（k2+k+1）≤0 所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0） 所以函数f（x）在\[0，k\]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）ek﹣k3． 【点评】熟练掌握导数的运算法则、利用导数求函数的单调性、极值与最值得方法是解题的关键． 2013年广东省高考数学试卷（文科） ================================ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）设集合S={x\|x2+2x=0，x∈R}，T={x\|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（　　） A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2} 【分析】根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案． 【解答】解：分析可得， S为方程x2+2x=0的解集，则S={x\|x2+2x=0}={0，﹣2}， T为方程x2﹣2x=0的解集，则T={x\|x2﹣2x=0}={0，2}， 故集合S∩T={0}， 故选：A． 【点评】本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集． 　 2．（5分）函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11177.png){width="0.6354166666666666in" height="0.375in"}的定义域为（　　） A．（﹣1，+∞） B．\[﹣1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．\[﹣1，1）∪（1，+∞） 【分析】依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围． 【解答】解：要使函数有意义需![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11178.png){width="0.625in" height="0.4270833333333333in"}， 解得x＞﹣1且x≠1． ∴函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11179.png){width="1.0729166666666667in" height="0.375in"}的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）． 故选：C． 【点评】本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题． 　 3．（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得\|x+yi\|=\|4﹣3i\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11180.png){width="0.84375in" height="0.25in"}=5． 【解答】解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3． ∴\|x+yi\|=\|4﹣3i\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11181.png){width="0.84375in" height="0.25in"}=5． 故选：D． 【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键． 　 4．（5分）已知sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11182.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+α）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11183.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，cosα=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11184.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11185.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11183.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11186.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值． 【解答】解：sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11187.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+α）=sin（2π+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11188.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+α）=sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11188.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+α）=cosα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11189.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：C． 【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 　 5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11190.png){width="2.1666666666666665in" height="3.1256944444444446in"} A．1 B．2 C．4 D．7 【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值． 【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1； 当i=2时，S=1+2﹣1=2； 当i=3时，S=2+3﹣1=4； 当i=4时，退出循环，输出S=4； 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理． 　 6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11191.png){width="1.6145833333333333in" height="2.2916666666666665in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11192.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11193.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11194.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．1 【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积． 【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11195.png){width="2.2291666666666665in" height="0.3645833333333333in"}． 因此V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11196.png){width="1.1354166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11197.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11198.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11199.png){width="1.2395833333333333in" height="1.4895833333333333in"} 【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键． 　 7．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11200.png){width="0.75in" height="0.19791666666666666in"} B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11201.png){width="0.75in" height="0.19791666666666666in"} 【分析】设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=﹣x+b，即x+y+b=0．根据直线l与圆x2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11202.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程． 【解答】解：设所求的直线为l， ∵直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=﹣1 ∴设直线l方程为y=﹣x+b，即x+y﹣b=0 ∵直线l与圆x2+y2=1相切， ∴圆心到直线的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11203.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，解之得b=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11202.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 当b=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11202.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}时，可得切点坐标（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11204.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11205.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），切点在第三象限； 当b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11206.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}时，可得切点坐标（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11205.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11205.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），切点在第一象限； ∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限， ∴b=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11206.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}不符合题意，可得b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11206.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，直线方程为x+y﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11206.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=0 故选：A． 【点评】本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题． 　 8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β 【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A； 根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B； 根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C； 根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D． 【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误； 若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确； 若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误； 若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误； 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键． 　 9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image54.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则C的方程是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11207.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11208.png){width="0.7604166666666666in" height="0.4583333333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11209.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11210.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"} 【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求． 【解答】解：由题意设椭圆的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11211.png){width="1.7395833333333333in" height="0.4895833333333333in"}． 因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11212.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11213.png){width="0.375in" height="0.3645833333333333in"}，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3． 所以椭圆的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11214.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}． 故选：D． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题． 　 10．（5分）设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11215.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}是已知的平面向量且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11216.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，关于向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11217.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的分解，有如下四个命题： ①给定向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11218.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，总存在向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11219.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，使![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11220.png){width="0.5208333333333334in" height="0.20833333333333334in"}； ②给定向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11218.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11219.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，总存在实数λ和μ，使![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11221.png){width="0.8541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}； ③给定单位向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11218.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}和正数μ，总存在单位向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11222.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}和实数λ，使![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11223.png){width="0.8541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11224.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}和单位向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11222.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，使![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11223.png){width="0.8541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}； 上述命题中的向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11224.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11222.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11225.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11225.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}不一定能用两个单位向量的组合表示出来． 【解答】解：选项①，给定向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11226.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11227.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，只需求得其向量差![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11228.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}即为所求的向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11229.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}， 故总存在向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11229.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，使![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11230.png){width="0.5208333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，故①正确； 选项②，当向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11227.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11229.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11226.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}在同一平面内且两两不共线时，向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11231.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11232.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}可作基底， 由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确； 选项③，取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11233.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（4，4），μ=2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11231.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，0）， 无论λ取何值，向量λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11231.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}都平行于x轴，而向量μ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11232.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的模恒等于2， 要使![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11234.png){width="0.8541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}成立，根据平行四边形法则，向量μ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11232.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的纵坐标一定为4， 故找不到这样的单位向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11235.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}使等式成立，故③错误； 选项④，因为λ和μ为正数，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11236.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11237.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}代表与原向量同向的且有固定长度的向量， 这就使得向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11238.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}不一定能用两个单位向量的组合表示出来， 故不一定能使![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11239.png){width="0.8541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}成立，故④错误． 故选：B． 【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题． 　 二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题） 11．（5分）设数列{an}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+\|a2\|+a3+\|a4\|=　15　． 【分析】根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+\|a2\|+a3+\|a4\|的值． 【解答】解：∵数列{an}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴an=a1•qn﹣1=（﹣2）n﹣1， ∴a1=1，a2=﹣2，a3=4，a4=﹣8，∴则a1+\|a2\|+a3+\|a4\|=1+2+4+8=15， 故答案为15． 【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题． 　 12．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11240.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值． 【解答】解：由题意得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11241.png){width="0.8333333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， ∵在点（1，a）处的切线平行于x轴， ∴2a﹣1=0，得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11240.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11240.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大． 　 13．（5分）已知变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11242.png){width="0.7916666666666666in" height="0.6458333333333334in"}，则z=x+y的最大值是　5　． 【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值． 【解答】解：画出可行域如图阴影部分， 由 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11243.png){width="0.7083333333333334in" height="0.40625in"}得A（1，4） 目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大， 由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，z最大=1+4=5． 故答案为：5． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11244.png){width="2.4479166666666665in" height="2.3125in"} 【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题． 　 选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（5分）（坐标系与参数方程选做题） 已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11245.png){width="0.875in" height="0.40625in"}（θ为参数）　． 【分析】首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程． 【解答】解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2﹣2x=0． 化圆的方程为标准式，得（x﹣1）2+y2=1． 令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11246.png){width="0.875in" height="0.40625in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11247.png){width="1.7291666666666667in" height="0.40625in"}． 所以曲线C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11247.png){width="1.7291666666666667in" height="0.40625in"}． 故答案为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11247.png){width="1.7291666666666667in" height="0.40625in"}． 【点评】本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题． 　 15．（几何证明选讲选做题） 如图，在矩形ABCD中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11248.png){width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"}，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11249.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11250.png){width="1.7604166666666667in" height="1.03125in"} 【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长． 【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11251.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，BC=3，根据勾股定理得：AC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11251.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11252.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AC，即∠ACB=30°，EC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11253.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11254.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∴∠ECD=60°， 在△ECD中，CD=AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11255.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，EC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11254.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11256.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+3﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11257.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11258.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 则ED=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11259.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11259.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} 【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 　 四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（12分）已知函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11260.png){width="1.9895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． （1）求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11261.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3645833333333333in"}的值； （2）若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11262.png){width="2.0833333333333335in" height="0.3645833333333333in"}，求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11263.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【分析】（1）把x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11264.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}直接代入函数解析式求解． （2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值，然后将x=θ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11265.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果． 【解答】解：（1）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11266.png){width="2.9375in" height="0.3645833333333333in"} （2）∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11267.png){width="2.1041666666666665in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11268.png){width="1.7708333333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11269.png){width="4.65625in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合． 　 17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： -------------- ------------ ------------ ------------ ------------- 分组（重量） \[80，85） \[85，90） \[90，95） \[95，100） 频数（个） 5 10 20 15 -------------- ------------ ------------ ------------ ------------- （1）根据频数分布表计算苹果的重量在\[90，95）的频率； （2）用分层抽样的方法从重量在\[80，85）和\[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在\[80，85）的有几个？ （3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在\[80，85）和\[95，100）中各有1个的概率． 【分析】（1）用苹果的重量在\[90，95）的频数除以样本容量，即为所求． （2）根据重量在\[80，85）的频数所占的比例，求得重量在\[80，85）的苹果的个数． （3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率． 【解答】解：（1）苹果的重量在\[90，95）的频率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11270.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （2）重量在\[80，85）的有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11271.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}个． （3）设这4个苹果中，重量在\[80，85）段的有1个，编号为1． 重量在\[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有： （1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种． 设任取2个，重量在\[80，85）和\[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11272.png){width="0.8125in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了 总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题． 　 18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11273.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． （1）证明：DE∥平面BCF； （2）证明：CF⊥平面ABF； （3）当AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11274.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11275.png){width="3.542361111111111in" height="2.2708333333333335in"} 【分析】（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11276.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE∥平面BCF． （2）由条件证得AF⊥CF ①，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11277.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}．在三棱锥A﹣BCF中，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11278.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，可得BC2=BF2+CF2，从而 CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF． （3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11279.png){width="2.2708333333333335in" height="0.3645833333333333in"}，运算求得结果． 【解答】解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11280.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立， ∴DE∥BC． 又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF， ∴DE∥平面BCF． （2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11281.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}． ∵在三棱锥A﹣BCF中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11278.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②． 又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF． （3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11282.png){width="2.2708333333333335in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11283.png){width="2.0104166666666665in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题． 　 19．（14分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12﹣4n﹣1，n∈N\*，且a2，a5，a14构成等比数列． （1）证明：a2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11284.png){width="0.59375in" height="0.25in"}； （2）求数列{an}的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11285.png){width="2.1666666666666665in" height="0.4270833333333333in"}． 【分析】（1）对于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11286.png){width="1.7708333333333333in" height="0.28125in"}，令n=1即可证明； （2）利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11286.png){width="1.7708333333333333in" height="0.28125in"}，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11287.png){width="1.5in" height="0.28125in"}，（n≥2），两式相减即可求出通项公式． （3）由（2）可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11288.png){width="1.7083333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11289.png){width="1.21875in" height="0.3645833333333333in"}．利用"裂项求和"即可证明． 【解答】解：（1）当n=1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11290.png){width="1.7083333333333333in" height="0.28125in"}， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11291.png){width="1.5208333333333333in" height="0.2604166666666667in"} （2）当n≥2时，满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11292.png){width="1.7708333333333333in" height="0.28125in"}，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11293.png){width="1.5in" height="0.28125in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11294.png){width="2.1041666666666665in" height="0.28125in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11295.png){width="1.9270833333333333in" height="0.28125in"}， ∵an＞0，∴an+1=an+2， ∴当n≥2时，{an}是公差d=2的等差数列． ∵a2，a5，a14构成等比数列，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11296.png){width="0.8541666666666666in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11297.png){width="1.7083333333333333in" height="0.28125in"}，解得a2=3， 由（1）可知，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11298.png){width="0.9479166666666666in" height="0.28125in"}，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2， ∴{an}是首项a1=1，公差d=2的等差数列． ∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1． （3）由（2）可得式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11299.png){width="1.7083333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11300.png){width="1.21875in" height="0.3645833333333333in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11301.png){width="4.46875in" height="0.4270833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11302.png){width="3.4583333333333335in" height="0.7916666666666666in"} 【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、"裂项求和"、通项与前n项和的关系an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）是解题的关键． 　 20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11303.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点． （1）求抛物线C的方程； （2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程； （3）当点P在直线l上移动时，求\|AF\|•\|BF\|的最小值． 【分析】（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程； （2）先设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11304.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11305.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程； （3）根据抛物线的定义，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11306.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11307.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，从而表示出\|AF\|•\|BF\|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出\|AF\|•\|BF\|的最小值． 【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11308.png){width="1.59375in" height="0.40625in"}，解得c=1， 所以抛物线C的方程为x2=4y． （2）设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11309.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11310.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}， 由（1）得抛物线C的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11311.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11312.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}，所以切线PA，PB的斜率分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11313.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11314.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 所以PA：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11315.png){width="1.5208333333333333in" height="0.3645833333333333in"}①PB：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11316.png){width="1.5208333333333333in" height="0.3645833333333333in"}② 联立①②可得点P的坐标为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11317.png){width="1.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11318.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11319.png){width="0.71875in" height="0.4270833333333333in"}， 又因为切线PA的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11320.png){width="1.09375in" height="0.625in"}，整理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11321.png){width="1.25in" height="0.3645833333333333in"}， 直线AB的斜率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11322.png){width="1.9270833333333333in" height="0.625in"}， 所以直线AB的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11323.png){width="1.5208333333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 整理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11324.png){width="1.65625in" height="0.3645833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11325.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2， 所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0． （3）根据抛物线的定义，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11326.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11327.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11328.png){width="4.010416666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11329.png){width="2.5520833333333335in" height="0.3645833333333333in"}， 由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11330.png){width="5.052083333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11331.png){width="1.9791666666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 所以当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11332.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}时，\|AF\|•\|BF\|的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11333.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性． 　 21．（14分）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）． （1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间； （2）当k＜0时，求函数f（x）在\[k，﹣k\]上的最小值m和最大值M． 【分析】（1）当k=1时，求出f′（x）=3x2﹣2x+1，判断△即可得到单调区间； （2）解法一：当k＜0时，f′（x）=3x2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11334.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值． 解法二：利用"作差法"比较：当k＜0时，对∀x∈\[k，﹣k\]，f（x）﹣f（k）及f（x）﹣f（﹣k）． 【解答】解：f′（x）=3x2﹣2kx+1 （1）当k=1时f′（x）=3x2﹣2x+1， ∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增． （2）当k＜0时，f′（x）=3x2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11334.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，且过（0，1） （i）当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11335.png){width="2.3645833333333335in" height="0.25in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11336.png){width="0.8333333333333334in" height="0.20833333333333334in"}时，f′（x）≥0，f（x）在\[k，﹣k\]上单调递增， 从而当x=k时，f（x）取得最小值m=f（k）=k， 当x=﹣k时，f（x）取得最大值M=f（﹣k）=﹣k3﹣k3﹣k=﹣2k3﹣k． （ii）当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11337.png){width="2.3645833333333335in" height="0.25in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11338.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}时，令f′（x）=3x2﹣2kx+1=0 解得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11339.png){width="2.1875in" height="0.4479166666666667in"}，注意到k＜x2＜x1＜0， ∴m=min{f（k），f（x1）}，M=max{f（﹣k），f（x2）}， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11340.png){width="3.46875in" height="0.28125in"}，∴f（x）的最小值m=f（k）=k， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11341.png){width="5.3125in" height="0.28125in"}， ∴f（x）的最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k． 综上所述，当k＜0时，f（x）的最小值m=f（k）=k，最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k 解法2：（2）当k＜0时，对∀x∈\[k，﹣k\]，都有f（x）﹣f（k）=x3﹣kx2+x﹣k3+k3﹣k=（x2+1）（x﹣k）≥0， 故f（x）≥f（k）． f（x）﹣f（﹣k）=x3﹣kx2+x+k3+k3+k=（x+k）（x2﹣2kx+2k2+1）=（x+k）\[（x﹣k）2+k2+1\]≤0， 故f（x）≤f（﹣k），而 f（k）=k＜0，f（﹣k）=﹣2k3﹣k＞0． 所以 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11342.png){width="1.75in" height="0.28125in"}，f（x）min=f（k）=k． 【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键． 2013年湖北省高考数学试卷（文科） ================================ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则B∩∁∪A=（　　） A．{2} B．{3，4} C．{1，4，5} D．{2，3，4，5} 【分析】根据全集U和集合A先求出集合A的补集，然后求出集合A的补集与集合B的交集即可 【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}， 则CUA={3，4，5}， 又因为B={2，3，4}， 则（CUA）∩B={3，4}． 故选：B． 【点评】此题考查了补集及交集的运算，是一道基础题，学生在求补集时应注意全集的范围． 　 2．（5分）已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11343.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则双曲线C1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11344.png){width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}与C2：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11345.png){width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}的（　　） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【分析】通过双曲线的方程求出双曲线的实半轴的长，虚半轴的长，焦距即可得到结论． 【解答】解：双曲线C1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11344.png){width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}可知a=sinθ，b=cosθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）=2； 双曲线C2：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11345.png){width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}可知，a=cosθ，b=sinθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）=2； 所以两条双曲线的焦距相等． 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 　 3．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是"甲降落在指定范围"，q是"乙降落在指定范围"，则命题"至少有一位学员没有降落在指定范围"可表示为（　　） A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q 【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题"至少有一位学员没有降落在指定范围"即可得到表示． 【解答】解：命题p是"甲降落在指定范围"，则￢p是"甲没降落在指定范围"， q是"乙降落在指定范围"，则￢q是"乙没降落在指定范围"， 命题"至少有一位学员没有降落在指定范围"包括 "甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围" 或"甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围" 或"甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围"三种情况． 所以命题"至少有一位学员没有降落在指定范围"可表示为（￢p）V（￢q）． 故选：A． 【点评】本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题． 　 4．（5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y与x负相关且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11346.png){width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}=2.347x﹣6.423； ②y与x负相关且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11347.png){width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}=﹣3.476x+5.648； ③y与x正相关且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11347.png){width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}=5.437x+8.493； ④y与x正相关且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11347.png){width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}=﹣4.326x﹣4.578． 其中一定不正确的结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【分析】由题意，可根据回归方程的一次项系数的正负与正相关或负相关的对应对四个结论作出判断，得出一定不正确的结论来，从而选出正确选项． 【解答】解：①y与x负相关且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11347.png){width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}=2.347x﹣6.423；此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关； ②y与x负相关且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11348.png){width="1.2916666666666667in" height="0.21875in"}；此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征； ③y与x正相关且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11349.png){width="1.2083333333333333in" height="0.21875in"}； 此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征； ④y与x正相关且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11350.png){width="1.2916666666666667in" height="0.21875in"}．此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征． 综上判断知，①④是一定不正确的 故选：D． 【点评】本题考查线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题的关键，本题是记忆性的基础知识考查题，较易 　 5．（5分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11351.png){width="1.65625in" height="1.3125in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11352.png){width="1.6041666666666667in" height="1.3020833333333333in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11353.png){width="1.7083333333333333in" height="1.3020833333333333in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11354.png){width="1.59375in" height="1.3229166666666667in"} 【分析】解答本题，可先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项 【解答】解：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A； 再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D， 之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确． 故选：C． 【点评】本题考查函数的表示方法﹣﹣图象法，正确解答本题关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征 　 6．（5分）将函数y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11355.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11356.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11357.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11358.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11359.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值． 【解答】解：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11360.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cosx+sinx=2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11361.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}cosx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11362.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sinx）=2sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11363.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， ∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin\[（x+m）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11363.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]=2sin（x+m+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11363.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， ∵所得的图象关于y轴对称， ∴m+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11363.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11364.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（k∈Z）， 则m的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11365.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． 【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键． 　 7．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11366.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11367.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}方向上的投影为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11368.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11369.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11370.png){width="0.4479166666666667in" height="0.3854166666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11371.png){width="0.53125in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】先求出向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11372.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11373.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，根据投影定义即可求得答案． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11374.png){width="0.7916666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11375.png){width="0.7916666666666666in" height="0.22916666666666666in"}， 则向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11376.png){width="0.5625in" height="0.22916666666666666in"}方向上的投影为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11377.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}•cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11378.png){width="0.5625in" height="0.22916666666666666in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11377.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11379.png){width="0.8020833333333334in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11380.png){width="0.5104166666666666in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11381.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11382.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 故选：A． 【点评】本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键． 　 8．（5分）x为实数，\[x\]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣\[x\]在R上为（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 【分析】依题意，可求得f（x+1）=f（x），由函数的周期性可得答案． 【解答】解：∵f（x）=x﹣\[x\]， ∴f（x+1）=（x+1）﹣\[x+1\]=x+1﹣\[x\]﹣1=x﹣\[x\]=f（x）， ∴f（x）=x﹣\[x\]在R上为周期是1的函数． 故选：D． 【点评】本题考查函数的周期性，理解题意，得到f（x+1）=f（x）是关键，属于基础题． 　 9．（5分）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（　　） A．31200元 B．36000元 C．36800元 D．38400元 【分析】设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，总租金为z元．可得目标函数z=1600x+2400y，结合题意建立关于x、y的不等式组，计算A、B型号客车的人均租金，可得租用B型车的成本比A型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低．由此设计方案并代入约束条件与目标函数验证，可得当x=5、y=12时，z达到最小值36800． 【解答】解：设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，所用的总租金为z元，则 z=1600x+2400y， 其中x、y满足不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11383.png){width="1.125in" height="0.65625in"}，（x、y∈N） ∵A型车租金为1600元，可载客36人，∴A型车的人均租金是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11384.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}≈44.4元， 同理可得B型车的人均租金是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11385.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=40元， 由此可得，租用B型车的成本比租用A型车的成本低 因此，在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低 由此进行验证，可得当x=5、y=12时，可载客36×5+60×12=900人，符合要求 且此时的总租金z=1600×5+2400×12=36800，达到最小值 故选：C． 【点评】题给出实际应用问题，要求我们建立目标函数和线性约束条件，并求目标函数的最小值，着重考查了简单的线性规划的应用的知识，属于基础题． 　 10．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0） B．（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11386.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}） C．（0，1） D．（0，+∞） 【分析】先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围． 【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11387.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a）=lnx﹣2ax+1， 令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1， 函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点， 等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11388.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切， 由图可知，当0＜a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11388.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点． 则实数a的取值范围是（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11388.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11389.png){width="3.2090277777777776in" height="2.573611111111111in"} 【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷． 　 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11．（5分）i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2﹣3i，则z2=　﹣2+3i　． 【分析】直接利用复数对应的点的坐标，求出对称点的坐标，即可得到复数z2． 【解答】解：设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，复数z1，z2的实部相反，虚部相反， z1=2﹣3i， 所以z2=﹣2+3i． 故答案为：﹣2+3i． 【点评】本题考查复数的几何意义，对称点的坐标的求法，基本知识的应用． 　 12．（5分）某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则 （Ⅰ）平均命中环数为　7　； （Ⅱ）命中环数的标准差为　2　． 【分析】根据题中的数据，结合平均数、方差的计算公式，不难算出学员在一次射击测试中射击命中环数的平均数和方差，从而得到答案． 【解答】解：（I）根据条件中的数据，得学员在一次射击测试中命中环数的平均数是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11390.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11391.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（7+8+7+9+5+4+9+10+7+4）=7， （II）可得学员在一次射击测试中命中环数的方差是s2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11391.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\[（7﹣7）2+（8﹣7）2+...+（4﹣7）2\]=4． 故答案为：7，2． 【点评】本题以求两人射击命中环数的平均数和方差为载体，考查了样本平均数、方差的计算公式和对特征数的处理等知识，属于基础题． 　 13．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m的值为2，则输出的结果i=　4　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11392.png){width="1.25in" height="3.198611111111111in"} 【分析】框图输入m的值后，根据对A，B，i的赋值执行运算i=i+1，A=A×m，B=B×i，然后判断A＜B是否成立不成立继续执行循环，成立则跳出循环，输出i的值． 【解答】解：框图首先给累积变量A，B赋值1，1，给循环变量i赋值0． 若输入m的值为2，执行i=1+1，A=1×2=2，B=1×1=1； 判断2＜1不成立，执行i=1+1=2，A=2×2=4，B=1×2=2； 判断4＜2不成立，执行i=2+1=3，A=4×2=8，B=2×3=6； 判断8＜6不成立，执行i=3+1=4，A=8×2=16，B=6×4=24； 判断16＜24成立，跳出循环，输出i的值为4． 故答案为4． 【点评】本题考查了循环结构中的直到型结构，即先执行后判断，不满足条件执行循环，直到满足条件跳出循环，算法结束，是基础题． 　 14．（5分）已知圆O：x2+y2=5，直线l：xcosθ+ysinθ=1（0![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11393.png){width="0.7395833333333334in" height="0.3645833333333333in"}）．设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则 k=　4　． 【分析】找出圆O的圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线l的距离d，根据d与r的大小关系及r﹣d的值，即可作出判断． 【解答】解：由圆的方程得到圆心O（0，0），半径r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11394.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∵圆心O到直线l的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11395.png){width="1.3333333333333333in" height="0.4479166666666667in"}=1＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11394.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，且r﹣d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11394.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣1＞1=d， ∴圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为4，即k=4． 故答案为：4 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，弄清题意是解本题的关键． 　 15．（5分）在区间\[﹣2，4\]上随机地取一个数x，若x满足\|x\|≤m的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11396.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则m=　3　． 【分析】画出数轴，利用x满足\|x\|≤m的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11396.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，直接求出m的值即可． 【解答】解：如图区间长度是6，区间\[﹣2，4\]上随机地取一个数x，若x满足\|x\|≤m的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11396.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，所以m=3． 故答案为：3． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11397.png){width="2.4583333333333335in" height="0.4166666666666667in"} 【点评】本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键． 　 16．（5分）我国古代数学名著《数书九章》中有"天池盆测雨"题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是　3　寸． （注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上地面面积即可得到答案． 【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸， 下底面半径为6寸，高为18寸． 因为积水深9寸，所以水面半径为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11398.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}寸． 则盆中水的体积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11399.png){width="2.3333333333333335in" height="0.3645833333333333in"}（立方寸）． 所以则平地降雨量等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11400.png){width="0.8541666666666666in" height="0.4270833333333333in"}（寸）． 故答案为3． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11401.png){width="1.1875in" height="0.9895833333333334in"} 【点评】本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是基础题． 　 17．（5分）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4． （Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是　3，1，6　； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S=　79　（用数值作答）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11402.png){width="2.0625in" height="1.8645833333333333in"} 【分析】（Ⅰ）利用新定义，观察图形，即可求得结论； （Ⅱ）根据格点多边形的面积S=aN+bL+c，结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG，建立方程组，求出a，b，c即可求得S． 【解答】解：（Ⅰ）观察图形，可得S=3，N=1，L=6； （Ⅱ）不妨设某个格点四边形由两个小正方形组成，此时，S=2，N=0，L=6 ∵格点多边形的面积S=aN+bL+c， ∴结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11403.png){width="0.7916666666666666in" height="0.625in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11404.png){width="0.4583333333333333in" height="0.8229166666666666in"}，∴S=N+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11405.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}﹣1 将N=71，L=18代入可得S=79． 故答案为：（Ⅰ）3，1，6；（Ⅱ）79． 【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，注意区分多边形内部格点数和边界格点数是关键． 　 三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积S=5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11406.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，b=5，求sinBsinC的值． 【分析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出； （II）由三角形的面积公式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11407.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11408.png){width="1.8125in" height="0.3645833333333333in"}即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0， 即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11409.png){width="1.34375in" height="0.3645833333333333in"}（舍去）． 因为0＜A＜π，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11410.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅱ）由S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11411.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11412.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11413.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}，得到bc=20．又b=5，解得c=4． 由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11414.png){width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"}． 又由正弦定理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11415.png){width="3.4895833333333335in" height="0.4270833333333333in"}． 【点评】熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键． 　 19．（13分）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由． 【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，依题意，列出关于其首项a1与公办q的方程组，解之即可求得数列{an}的通项公式； （Ⅱ）依题意，可求得1﹣（﹣2）n≥2013，对n的奇偶性分类讨论，即可求得答案． 【解答】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，显然q≠1， 由题意得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11416.png){width="2.7708333333333335in" height="0.9791666666666666in"}， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11417.png){width="0.6875in" height="0.28125in"}，解得q=﹣2，a3=12， 故数列{an}的通项公式为an=a3•qn﹣3=12×（﹣2）n﹣3=3×（﹣2）n﹣1． （Ⅱ）由（Ⅰ）有an=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11418.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）×（﹣2）n．若存在正整数n，使得Sn≥2013，则Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11419.png){width="0.9375in" height="0.4270833333333333in"}=1﹣（﹣2）n，即1﹣（﹣2）n≥2013， 当n为偶数时，2n≤﹣2012，上式不成立； 当n为奇数时，1+2n≥2013，即2n≥2012，则n≥11． 综上，存在符合条件的正整数n=2k+1（k≥5），且所有这样的n的集合为{n\|n=2k+1（k≥5）}． 【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查等比数列的求和，考查分类讨论思想与方程思想，考查综合分析与推理运算能力，属于难题． 　 20．（13分）如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3．过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1﹣A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中． （Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形； （Ⅱ）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S．在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1﹣A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中•h来估算．已知V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11420.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（d1+d2+d3）S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11421.png){width="1.6145833333333333in" height="1.6666666666666667in"} 【分析】（Ⅰ）首先利用线面垂直、线面平行的性质及平行公理证出四边形DEFG的一组对边相互平行，然后由梯形中位线知识证明一组对边不相等，则可证明中截面DEFG是梯形； （Ⅱ）由题意可证得MN是中截面梯形DEFG的高，根据四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形，利用梯形的中位线公式吧DE，FG用d1，d2，d3表示，这样就能把V估用含有a，h，d1，d2，d3的代数式表示，把V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11422.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（d1+d2+d3）S与V估作差后利用d1，d2，d3的大小关系可以判断出差的符号，及能判断V估与V的大小关系． 【解答】（Ⅰ）依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC， 所以A1A2∥B1B2∥C1C2，又A1A2=d1，B1B2=d2，C1C2=d3，且d1＜d2＜d3． 因此四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形． 由AA2∥平面MEFN，AA2⊂平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME， 可得AA2∥ME，即A1A2∥DE．同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG． 又M，N分别为AB，AC的中点， 则D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1 的中点， 即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线． 因此DE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11423.png){width="2.1354166666666665in" height="0.3645833333333333in"}，FG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11424.png){width="2.1145833333333335in" height="0.3645833333333333in"}， 而d1＜d2＜d3，故DE＜FG，所以中截面DEFG是梯形； （Ⅱ）V估＜V．证明： 由A1A2⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，可得A1A2⊥MN． 而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN． 由MN是△ABC的中位线，可得MN=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11425.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11426.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a，即为梯形DEFG的高， 因此![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11427.png){width="2.6145833333333335in" height="0.4270833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11428.png){width="1.5625in" height="0.3645833333333333in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11429.png){width="2.1875in" height="0.3645833333333333in"}．又 S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11430.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}ah，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11431.png){width="2.6979166666666665in" height="0.3645833333333333in"}． 于是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11432.png){width="3.1458333333333335in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11433.png){width="1.84375in" height="0.3645833333333333in"}． 由d1＜d20，d3﹣d1＞0，故V估＜V． 【点评】本题考查直三棱柱的性质，体积，线面关系及空间想象能力，解答该题的关键是要有较强的空间想象能力，避免将各线面间的关系弄错，此题是中高档题． 　 21．（13分）设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11434.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数． （i）判断f（1），f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11435.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11436.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）是否成等比数列，并证明f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11436.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）≤f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11435.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）； （ii）a、b的几何平均数记为G．称![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11437.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}为a、b的调和平均数，记为H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范围． 【分析】（Ⅰ）确定函数的定义域，利用导数的正负，结合分类讨论，即可求得数f（x）的单调性； （Ⅱ）（i）利用函数解析式，求出f（1），f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11435.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11436.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），根据等比数列的定义，即可得到结论； （ii）利用定义，结合函数的单调性，即可确定x的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为{x\|x≠﹣1}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11438.png){width="1.1875in" height="0.4270833333333333in"} ∴当a＞b＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增； 当0＜a＜b时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递减． （Ⅱ）（i）计算得f（1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11439.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11440.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11441.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11442.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11443.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11444.png){width="1.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"} ∴f（1），f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11445.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11446.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）成等比数列， ∵a＞0，b＞0，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11447.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11448.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} ∴f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11446.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）≤f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11445.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）； （ii）由（i）知f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11449.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11450.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11451.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11452.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， 故由H≤f（x）≤G，得f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11449.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）≤f（x）≤f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11451.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）． 当a=b时，f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11449.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=f（x）=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11451.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）=f（1）=a，此时x的取值范围是（0，+∞）， 当a＞b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，这时有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11453.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11454.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，即x的取值范围为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11453.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11454.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}； 当a＜b时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，这时有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11454.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11453.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即x的取值范围为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11454.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11455.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查函数的单调性，考查等比数列，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 22．（14分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11456.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2． （Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值； （Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11457.png){width="1.3958333333333333in" height="1.25in"} 【分析】（Ⅰ）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S1和S2，直接由面积比=λ列式求λ的值； （Ⅱ）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11458.png){width="1.6458333333333333in" height="0.5in"}，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围． 【解答】解：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11459.png){width="1.125in" height="0.4895833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11460.png){width="1.125in" height="0.4895833333333333in"}．其中a＞m＞n＞0， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11461.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}＞1． （Ⅰ）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11462.png){width="1.8645833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11463.png){width="1.8645833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11464.png){width="0.71875in" height="0.4791666666666667in"}． 在C1和C2的方程中分别令x=0，可得yA=m，yB=n，yD=﹣m， 于是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11465.png){width="2.1145833333333335in" height="0.5in"}． 若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11466.png){width="0.5in" height="0.4791666666666667in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11467.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}，化简得λ2﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11468.png){width="0.6666666666666666in" height="0.1875in"}． 故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11468.png){width="0.6666666666666666in" height="0.1875in"}． （Ⅱ）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性， 不妨设直线l：y=kx（k＞0）， 点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11469.png){width="3.2083333333333335in" height="0.4479166666666667in"}，所以d1=d2． 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11470.png){width="2.1458333333333335in" height="0.3645833333333333in"}，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11471.png){width="0.9895833333333334in" height="0.4791666666666667in"}，即\|BD\|=λ\|AB\|． 由对称性可知\|AB\|=\|CD\|，所以\|BC\|=\|BD\|﹣\|AB\|=（λ﹣1）\|AB\|， \|AD\|=\|BD\|+\|AB\|=（λ+1）\|AB\|，于是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11472.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}． 将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11473.png){width="2.4166666666666665in" height="0.4479166666666667in"} 根据对称性可知xC=﹣xB，xD=﹣xA，于是 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11474.png){width="2.7604166666666665in" height="0.5833333333333334in"}② 从而由①和②可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11475.png){width="1.6458333333333333in" height="0.5in"}③ 令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11476.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11477.png){width="1.3645833333333333in" height="0.4791666666666667in"}． 因为k≠0，所以k2＞0．于是③关于k有解，当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11478.png){width="1.34375in" height="0.4791666666666667in"}， 等价于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11479.png){width="1.6145833333333333in" height="0.4270833333333333in"}，由λ＞1，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11480.png){width="0.7395833333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11481.png){width="1.3958333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，由λ＞1，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11482.png){width="0.7291666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，所以 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11483.png){width="0.9791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2； 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11482.png){width="0.7291666666666666in" height="0.20833333333333334in"}时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11484.png){width="1.9270833333333333in" height="1.9791666666666667in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11485.png){width="1.7708333333333333in" height="1.71875in"} 【点评】本题考查了三角形的面积公式，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，（Ⅱ）中判断λ的存在性是该题的难题，考查了灵活运用函数和不等式的思想方法． 　 2013年湖南省高考数学试卷（理科） ================================ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案． 【解答】解：z=i•（1+i）=﹣1+i， 故复数z对应的点为（﹣1，1）， 在复平面的第二象限， 故选：B． 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题． 　 2．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（　　） A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样． 【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1． 故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法． 故选：D． 【点评】本小题主要考查抽样方法，属基本题． 　 3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11486.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b，则角A等于（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11487.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11488.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11489.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11490.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A． 【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11486.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b， ∴由正弦定理![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11491.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11492.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=2R得：2sinAsinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11493.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinB， ∴sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11494.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，又△ABC为锐角三角形， ∴A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11495.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：A． 【点评】本题考查正弦定理，将"边"化所对"角"的正弦是关键，属于基础题． 　 4．（5分）若变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11496.png){width="0.625in" height="0.65625in"}，则x+2y的最大值是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11497.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} B．0 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11498.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11499.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11500.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11501.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，x+2y取得最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11502.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【解答】解：作出不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11503.png){width="0.625in" height="0.65625in"}表示的平面区域， 得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11504.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，﹣1），B（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11505.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11501.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），C（2，﹣1） 设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移， 当l经过点B时，目标函数z达到最大值 ∴z最大值=F（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11505.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11501.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11506.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11507.png){width="1.8854166666666667in" height="1.7291666666666667in"} 【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 　 5．（5分）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案． 【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象如图： 由图可知，两个函数图象共有2个交点 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11508.png){width="1.8333333333333333in" height="1.9270833333333333in"} 【点评】求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案． 　 6．（5分）已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11509.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11510.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}是单位向量，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11511.png){width="0.5in" height="0.20833333333333334in"}，若向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11512.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11513.png){width="0.8958333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11514.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}的取值范围为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11515.png){width="1.1458333333333333in" height="0.20833333333333334in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11516.png){width="1.1458333333333333in" height="0.20833333333333334in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11517.png){width="0.8333333333333334in" height="0.20833333333333334in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11518.png){width="0.8333333333333334in" height="0.20833333333333334in"} 【分析】令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11519.png){width="0.9791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11520.png){width="0.6041666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11521.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，作出图象，根据图象可求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11522.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}的最大值、最小值． 【解答】解：令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11523.png){width="0.9791666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11520.png){width="0.6041666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11521.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}， 如图所示：则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11524.png){width="0.6875in" height="0.22916666666666666in"}， 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11525.png){width="0.8958333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上， 易知点C与O、D共线时![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11526.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}达到最值，最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11527.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+1，最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11527.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣1， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11528.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}的取值范围为\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11527.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11527.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+1\]． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11529.png){width="1.4270833333333333in" height="1.3125in"} 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具． 　 7．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（　　） A．1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11530.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11531.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11532.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11533.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}即可得出． 【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11534.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11533.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}． 因此可知：A，B，D皆有可能，而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11535.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}＜1，故C不可能． 故选：C． 【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11533.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}是解题的关键． 　 8．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11536.png){width="1.3645833333333333in" height="1.28125in"} A．2 B．1 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11537.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11538.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值． 【解答】解：建立如图所示的坐标系： 可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4， △ABC的重心为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11539.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11540.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}），设P（a，0），其中0＜a＜4， 则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11541.png){width="1.09375in" height="0.8125in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11542.png){width="0.5416666666666666in" height="0.40625in"}，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0）， 由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线， 直线QR的斜率为k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11543.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11544.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，故直线QR的方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11544.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}（x+a）， 由于直线QR过△ABC的重心（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11545.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11545.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），代入化简可得3a2﹣4a=0， 解得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11545.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，或a=0（舍去），故P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11545.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，0），故AP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11545.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11546.png){width="2.1979166666666665in" height="2.1979166666666665in"} 【点评】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题． 　 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题） 9．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11547.png){width="0.5416666666666666in" height="0.40625in"}，（t为参数）过椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11548.png){width="0.7916666666666666in" height="0.40625in"}（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为　3　． 【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值． 【解答】解：由直线l：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11549.png){width="0.5416666666666666in" height="0.40625in"}，得y=x﹣a， 再由椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11550.png){width="0.7916666666666666in" height="0.40625in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11551.png){width="0.9270833333333334in" height="0.8020833333333334in"}， ①2+②2得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11552.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}． 所以椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11550.png){width="0.7916666666666666in" height="0.40625in"}的右顶点为（3，0）． 因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3． 故答案为3． 【点评】本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题． 　 10．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为　12　． 【分析】根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11553.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，a2+4b2+9c2的最小值为12． 【解答】解：∵a+2b+3c=6， ∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）\[a2+（2b）2+（3c）2\] 化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2） ∴a2+4b2+9c2≥12， 当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11553.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时等号成立 由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11553.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，a2+4b2+9c2的最小值为12 故答案为：12 【点评】本题给出等式a+2b+3c=6，求式子a2+4b2+9c2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题． 　 11．（5分）如图，在半径为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11554.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11555.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11556.png){width="1.3229166666666667in" height="1.3541666666666667in"} 【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率． 【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD， ∴2×2=CP•1， 解得：CP=4，又PD=1， ∴CD=5， 又⊙O的半径为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11554.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 则圆心O到弦CD的距离为d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11557.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11558.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11559.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11559.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中、高考题的热点问题． 　 12．（5分）若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11560.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}x2dx=9，则常数T的值为　3　． 【分析】利用微积分基本定理即可求得． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11561.png){width="1.2604166666666667in" height="0.375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11562.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}=9，解得T=3， 故答案为：3． 【点评】本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题． 　 13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为　32　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11563.png){width="2.2708333333333335in" height="1.8854166666666667in"} 【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a的值，当a=32时，满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32． 【解答】解：模拟执行程序，可得 a=1，b=2 不满足条件a＞31，a=2 不满足条件a＞31，a=4 不满足条件a＞31，a=8 不满足条件a＞31，a=16 不满足条件a＞31，a=32 满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32． 故答案为：32． 【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 　 14．（5分）设F1，F2是双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11564.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若\|PF1\|+\|PF2\|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11565.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}　． 【分析】利用双曲线的定义求出\|PF1\|，\|F1F2\|，\|PF2\|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率． 【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足\|PF1\|+\|PF2\|=6a， 不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知\|PF1\|﹣\|PF2\|=2a 所以\|F1F2\|=2c，\|PF1\|=4a，\|PF2\|=2a， ∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理， ∴\|PF2\|2=\|F1F2\|2+\|PF1\|2﹣2\|F1F2\|\|PF1\|cos∠PF1F2， 即4a2=4c2+16a2﹣2×2c×4a×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11566.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴c2﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11565.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}ca+3a2=0， ∴c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11567.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}a 所以e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11568.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11567.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11567.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力． 　 15．（5分）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（﹣1）nan﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11569.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，n∈N\*，则 （1）a3=　﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11570.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}　； （2）S1+S2+...+S100=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11571.png){width="0.875in" height="0.4270833333333333in"}　． 【分析】（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11572.png){width="2.1354166666666665in" height="0.4270833333333333in"}．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求； （2）把（1）中求出的数列的通项公式代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11573.png){width="1.2604166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，n∈N\*，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果． 【解答】解：由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11574.png){width="1.2604166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，n∈N\*， 当n=1时，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11575.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11576.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 当n≥2时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11577.png){width="3.4479166666666665in" height="0.4270833333333333in"}． 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11578.png){width="2.1354166666666665in" height="0.4270833333333333in"}． 若n为偶数，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11579.png){width="1.2604166666666667in" height="0.4270833333333333in"}． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11580.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4270833333333333in"}（n为正奇数）； 若n为奇数，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11581.png){width="2.5729166666666665in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11582.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11583.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}（n为正偶数）． 所以（1）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11584.png){width="1.0104166666666667in" height="0.4270833333333333in"}． 故答案为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11585.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； （2）因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11586.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4270833333333333in"}（n为正奇数），所以﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11587.png){width="1.1875in" height="0.4270833333333333in"}， 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11588.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}（n为正偶数），所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11589.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11590.png){width="1.1770833333333333in" height="0.4270833333333333in"}． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11591.png){width="1.2916666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11592.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11593.png){width="1.1770833333333333in" height="0.4270833333333333in"}． ... ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11594.png){width="1.5104166666666667in" height="0.4270833333333333in"}． 所以，S1+S2+S3+S4+...+S99+S100 =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11595.png){width="4.364583333333333in" height="0.4270833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11596.png){width="2.90625in" height="0.4270833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11597.png){width="2.0208333333333335in" height="0.8229166666666666in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11598.png){width="0.875in" height="0.4270833333333333in"}． 故答案为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11598.png){width="0.875in" height="0.4270833333333333in"}． 【点评】本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题． 　 16．（5分）设函数f（x）=ax+bx﹣cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0． （1）记集合M={（a，b，c）\|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为　{x\|0＜x≤1}　． （2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是　①②③　．（写出所有正确结论的序号） ①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0； ②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0． 【分析】（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11599.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的范围，解出函数f（x）=ax+bx﹣cx的零点，利用不等式可得零点x的取值集合； （2）对于①，把函数式f（x）=ax+bx﹣cx变形为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11600.png){width="2.8229166666666665in" height="0.3645833333333333in"}，利用指数函数的单调性即可证得结论成立； 对于②，利用取特值法说明命题是正确的； 对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确． 【解答】解：（1）因为c＞a，由a，b，c不能构成一个三角形的三条边长得c≥a+b=2a，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11601.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11602.png){width="1.0104166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 令f（x）=ax+bx﹣cx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11603.png){width="1.9270833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11604.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11605.png){width="0.5416666666666666in" height="0.5625in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11606.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 又∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11607.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＞1，则ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11607.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＞0，所以x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11608.png){width="0.3541666666666667in" height="0.5625in"}＞0， 所以0＜x≤1． 故答案为{x\|0＜x≤1}； （2）①因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11609.png){width="2.8229166666666665in" height="0.3645833333333333in"}， 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11610.png){width="0.9791666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 所以对∀x∈（﹣∞，1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11611.png){width="3.2395833333333335in" height="0.3645833333333333in"}． 所以命题①正确； ②令x=﹣1，a=2，b=4，c=5．则ax=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11612.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，bx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11613.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，cx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11614.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．不能构成一个三角形的三条边长． 所以命题②正确； ③若三角形为钝角三角形，则a2+b2﹣c2＜0． f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a2+b2﹣c2＜0． 所以∃x∈（1，2），使f（x）=0． 所以命题③正确． 故答案为①②③． 【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题． 　 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11615.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+cos（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11616.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），g（x）=2sin2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11617.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11618.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，求g（α）的值； （Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合． 【分析】（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（x）的解析式，可得f（α）的解析式，再根据f（α）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11618.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，求得cosα的值，从而求得g（α）=2sin2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11619.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=1﹣cosα的值． （2）由不等式可得 sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11620.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11621.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，解不等式 2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11620.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11620.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11622.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，k∈z，求得x的取值集合． 【解答】解：（1）∵f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11623.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}sinx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11624.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cosx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11624.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cosx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11623.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}sinx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11625.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinx， 所以f（α）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11625.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11626.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，所以sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11627.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 又α∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11628.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），所以cosα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11629.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 所以g（α）=2sin2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11630.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=1﹣cosα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11631.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （2）由f（x）≥g（x）得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11632.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinx≥1﹣cosx， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11633.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}sinx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11634.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cosx=sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11635.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11634.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 解2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11635.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11635.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11636.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11637.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，k∈z， 所以x的取值范围为〔2kπ，2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11637.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}〕k∈z． 【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，解三角不等式，正弦函数的图象及性质，属于中档题． 　 18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的"相近"作物株数X之间的关系如下表所示： --- ---- ---- ---- ---- X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 --- ---- ---- ---- ---- 这里，两株作物"相近"是指它们之间的直线距离不超过1米． （I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好"相近"的概率； （II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11638.png){width="1.125in" height="1.1458333333333333in"} 【分析】（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好"相近"的概率； （II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望． 【解答】解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11639.png){width="0.4583333333333333in" height="0.28125in"}=36种，选取的两株作物恰好"相近"的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好"相近"的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11640.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11641.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； （II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列 ∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4） ∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可 记nk为其"相近"作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3 由P（X=k）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11642.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}得P（X=1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11643.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，P（X=2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11644.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，P（X=3）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11645.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11646.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，P（X=4）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11647.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11648.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ∴所求的分布列为 --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Y 51 48 45 42 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11649.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11650.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11646.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11651.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 数学期望为E（Y）=51×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11652.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+48×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11653.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+45×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11654.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+42×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11651.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=46 【点评】本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3． （Ⅰ）证明：AC⊥B1D； （Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11655.png){width="1.6458333333333333in" height="1.7708333333333333in"} 【分析】（I）根据直棱柱性质，得BB1⊥平面ABCD，从而AC⊥BB1，结合BB1∩BD=B，证出AC⊥平面BB1D，从而得到AC⊥B1D； （II）根据题意得AD∥B1C1，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角即为直线AD与平面ACD1所成的角．连接A1D，利用线面垂直的性质与判定证出AD1⊥平面A1B1D，从而可得AD1⊥B1D．由AC⊥B1D，可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1与AD与平面ACD1所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11656.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，最后在Rt△AB1D中算出B1D=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11657.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，可得cos∠ADB1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11658.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}，由此即可得出直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值． 【解答】解：（I）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1， 又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线 ∴AC⊥平面BB1D， ∵B1D⊂平面BB1D，∴AC⊥B1D； （II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1， 由此可得：直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成 的角（记为θ），连接A1D， ∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°， ∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1⊂平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1 又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D ∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D， 由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD1，从而得到∠ADB1=90°﹣θ， ∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB 因此，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11659.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，可得AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11660.png){width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11661.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 连接AB1，可得△AB1D是直角三角形， ∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11662.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} 在Rt△AB1D中，cos∠ADB1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11663.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11664.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11665.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}， 即cos（90°﹣θ）=sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11665.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11665.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11666.png){width="1.6458333333333333in" height="1.7708333333333333in"} 【点评】本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知识，属于中档题． 　 20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条"L路径"．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的"L路径"．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心． （I）写出点P到居民区A的"L路径"长度最小值的表达式（不要求证明）； （II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，"L路径"不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的"L路径"长度之和最小． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11667.png){width="1.6979166666666667in" height="1.1145833333333333in"} 【分析】（I）根据"L路径"的定义，可得点P到居民区A的"L路径"长度最小值； （II）由题意知，点P到三个居民区的"L路径"长度之和的最小值为点P到三个居民区的"L路径"长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标． 【解答】解：设点P的坐标为（x，y），则 （I）点P到居民区A的"L路径"长度最小值为\|x﹣3\|+\|y﹣20\|，y∈\[0，+∞）； （II）由题意知，点P到三个居民区的"L路径"长度之和的最小值为点P到三个居民区的"L路径"长度最小值之和（记为d）的最小值 ①当y≥1时，d=\|x+10\|+\|x﹣14\|+\|x﹣3\|+2\|y\|+\|y﹣20\| ∵d1（x）=\|x+10\|+\|x﹣14\|+\|x﹣3\|≥\|x+10\|+\|x﹣14\|≥24 ∴当且仅当x=3时，d1（x）=\|x+10\|+\|x﹣14\|+\|x﹣3\|的最小值为24 ∵d2（y）=2\|y\|+\|y﹣20\|≥21 ∴当且仅当y=1时，d2（y）=2\|y\|+\|y﹣20\|的最小值为21 ∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的"L路径"长度之和的最小，且最小值为45； ②当0≤y≤1时，由于"L路径"不能进入保护区，∴d=\|x+10\|+\|x﹣14\|+\|x﹣3\|+1+\|1﹣y\|+\|y\|+\|y﹣20\| 此时d1（x）=\|x+10\|+\|x﹣14\|+\|x﹣3\|，d2（y）=1+\|1﹣y\|+\|y\|+\|y﹣20\|=22﹣y≥21 由①知d1（x）=\|x+10\|+\|x﹣14\|+\|x﹣3\|≥24，∴d1（x）+d2（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立 综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的"L路径"长度之和最小． 【点评】本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题． 　 21．（13分）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l． （Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11668.png){width="0.9479166666666666in" height="0.23958333333333334in"}； （Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11669.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，求抛物线E的方程． 【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11670.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11671.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的坐标，求出数量积后转化为关于k1和k2的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论； （Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1+k2=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11672.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}求出p的值，则抛物线E的方程可求． 【解答】解：（I） 由题意，抛物线E的焦点为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11673.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，直线l1的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11674.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11675.png){width="0.8125in" height="0.65625in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11676.png){width="1.2291666666666667in" height="0.28125in"}． 设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根． 从而x1+x2=2pk1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11677.png){width="2.3645833333333335in" height="0.28125in"}． 所以点M的坐标为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11678.png){width="1.28125in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11679.png){width="1.3125in" height="0.28125in"}． 同理可得点N的坐标为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11680.png){width="1.28125in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11681.png){width="1.3125in" height="0.28125in"}． 于是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11682.png){width="2.03125in" height="0.28125in"}． 由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11683.png){width="1.5520833333333333in" height="0.4270833333333333in"}． 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11684.png){width="1.7916666666666667in" height="0.23958333333333334in"}． （Ⅱ）由抛物线的定义得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11685.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11686.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11687.png){width="1.9166666666666667in" height="0.28125in"}，从而圆M的半径![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11688.png){width="0.8541666666666666in" height="0.28125in"}． 故圆M的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11689.png){width="2.8229166666666665in" height="0.375in"}， 化简得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11690.png){width="2.625in" height="0.3645833333333333in"}． 同理可得圆N的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11691.png){width="2.625in" height="0.3645833333333333in"} 于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11692.png){width="1.96875in" height="0.28125in"}． 又k2﹣k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0． 因为p＞0，所以点M到直线l的距离为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11693.png){width="2.6770833333333335in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11694.png){width="1.3541666666666667in" height="0.5833333333333334in"}． 故当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11695.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}时，d取最小值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11696.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}．由题设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11697.png){width="0.7916666666666666in" height="0.40625in"}，解得p=8． 故所求抛物线E的方程为x2=16y． 【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题． 　 22．（13分）已知a＞0，函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11698.png){width="1.0104166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅰ）记f（x）在区间\[0，4\]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式； （Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式； （II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论． 【解答】解：（I）当0≤x≤a时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11699.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}；当x＞a时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11700.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"} ∴当0≤x≤a时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11701.png){width="1.5416666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，f（x）在（0，a）上单调递减； 当x＞a时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11702.png){width="1.5208333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，f（x）在（a，+∞）上单调递增． ①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11703.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增 ∴g（a）=max{f（0），f（4）} ∵f（0）﹣f（4）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11704.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11705.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} ∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11706.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11707.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 综上所述，g（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11708.png){width="1.2604166666666667in" height="0.7916666666666666in"}； （II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求； 当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x1，x2∈（0，4）（x1＜x2），使曲线y=f（x）在 两点处的切线互相垂直，则x1∈（0，a），x2∈（a，4），且f′（x1）f′（x2）=﹣1 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11709.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11710.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4791666666666667in"}=﹣1 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11711.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4270833333333333in"}① ∵x1∈（0，a），x2∈（a，4）， ∴x1+2a∈（2a，3a），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11712.png){width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11713.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，1） ∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11713.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，1）的交集非空 ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11714.png){width="0.7395833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，∴当且仅当0＜2a＜1，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11715.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}时，A∩B≠∅ 综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11716.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）． 【点评】本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键． 　 2013年湖南省高考数学试卷（文科） ================================ 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案． 【解答】解：z=i•（1+i）=﹣1+i， 故复数z对应的点为（﹣1，1）， 在复平面的第二象限， 故选：B． 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题． 　 2．（5分）"1＜x＜2"是"x＜2"成立的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】设A={x\|1＜x＜2}，B={x\|x＜2}，判断集合A，B的包含关系，根据"谁小谁充分，谁大谁必要"的原则，即可得到答案． 【解答】解：设A={x\|1＜x＜2}，B={x\|x＜2}， ∵A⊊B， 故"1＜x＜2"是"x＜2"成立的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则"谁小谁充分，谁大谁必要"，是解答本题的关键． 　 3．（5分）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（　　） A．9 B．10 C．12 D．13 【分析】甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，求出丙车间生产产品所占的比例，从而求出n的值． 【解答】解：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60， ∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3， 丙车间生产产品所占的比例![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11717.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11717.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 所以样本容量n=3÷![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11718.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=13． 故选：D． 【点评】本题主要考查了分层抽样方法，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小． 　 4．（5分）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4，则g（1）=（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】直接利用函数的奇偶性，化简方程，解方程组即可． 【解答】解：f（x）是奇函数，g（x）是偶函数， 方程f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4， 化为：﹣f（1）+g（1）=2，f（1）+g（1）=4， 两式相加可得2g（1）=6， 所以g（1）=3． 故选：B． 【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数的值的求法，基本知识的考查． 　 5．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11719.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b，则角A等于（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11720.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11721.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11722.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11723.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A． 【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11724.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b， ∴由正弦定理![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11725.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11726.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=2R得：2sinAsinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11724.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinB， ∴sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11727.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，又△ABC为锐角三角形， ∴A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11728.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：A． 【点评】本题考查正弦定理，将"边"化所对"角"的正弦是关键，属于基础题． 　 6．（5分）函数f（x）=lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x 与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2 的图象，数形结合可得结论． 【解答】解：在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x 与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2 的图象，如图所示： 故函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象 的交点个数为2， 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11729.png){width="2.34375in" height="2.5006944444444446in"} 【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了数形结合的数学思想，属于中档题． 　 7．（5分）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11730.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11731.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} B．1 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11732.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11733.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【分析】通过三视图判断正视图的形状，结合数据关系直接求出正视图的面积即可． 【解答】解：因为正方体的棱长为1，俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11733.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的矩形， 说明侧视图是底面对角线为边，正方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图： 那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以正视图的面积为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11733.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11734.png){width="1.71875in" height="2.5006944444444446in"} 【点评】本题考查几何体的三视图形状，侧视图的面积的求法，判断几何体的三视图是解题的关键，考查空间想象能力． 　 8．（5分）已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11735.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11736.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}是单位向量，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11737.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11736.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0．若向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11738.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11738.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11737.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11736.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11738.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|的最大值为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11739.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11740.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11741.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11742.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"} 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【解答】解：∵\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11743.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11744.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11745.png){width="0.5in" height="0.20833333333333334in"}， ∴可设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11746.png){width="0.7083333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11747.png){width="0.7083333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11748.png){width="0.7083333333333334in" height="0.22916666666666666in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11749.png){width="1.4583333333333333in" height="0.22916666666666666in"}． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11750.png){width="0.8958333333333334in" height="0.20833333333333334in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11751.png){width="1.46875in" height="0.25in"}，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11752.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}的最大值=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11753.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11754.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11755.png){width="1.6979166666666667in" height="1.7604166666666667in"} 【点评】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键． 　 9．（5分）已知事件"在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB"发生的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11756.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11757.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11756.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11758.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11759.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11760.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件"在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB"发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11756.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，从而求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11761.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【解答】解：记"在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB"为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD， 构成事件M的长度为线段CD其一半，根据对称性，当PD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11762.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}CD时，AB=PB，如图． 设CD=4x，则AF=DP=x，BF=3x，再设AD=y， 则PB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11763.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11764.png){width="0.8645833333333334in" height="0.2604166666666667in"}， 于是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11765.png){width="0.84375in" height="0.2604166666666667in"}=4x，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11766.png){width="0.5625in" height="0.3854166666666667in"}，从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11767.png){width="0.5625in" height="0.3854166666666667in"}． 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11768.png){width="1.9375in" height="1.6354166666666667in"} 【点评】本题主要考查几何概型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域长度和试验的全部结果所构成的区域长度，两者求比值，即为概率． 　 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10．（5分）已知集合U={2，3，6，8}，A={2，3}，B={2，6，8}，则（∁UA）∩B=　{6，8}　． 【分析】先求出集合A的补集，再利用交集的定义求（CUA）∩B 【解答】解：由题意∵U={2，3，6，8}，集合A={2，3}， ∴CUA={6，8}， 又B={2，6，8}， 故（CUA）∩B={6，8} 故答案为：{6，8}． 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，正确解答本题关键是掌握并理解补集与交集的定义，并能根据所给的规则进行正确运算． 　 11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11769.png){width="1.0104166666666667in" height="0.40625in"}（s为参数）和直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11770.png){width="1.0104166666666667in" height="0.40625in"}（t为参数）平行，则常数a的值为　4　． 【分析】先将直线的参数方程化为普通方程，再利用两条直线平行，直接求出a的值即可． 【解答】解：直线l1的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11771.png){width="0.625in" height="0.40625in"}（s为参数），消去s得普通方程为x﹣2y﹣1=0， 直线l2的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11772.png){width="0.625in" height="0.40625in"}（t为参数），消去t得普通方程为2x﹣ay﹣a=0， ∵l1∥l2，x﹣2y﹣1=0的斜率为k1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11773.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴2x﹣ay﹣a=0的斜率k2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11774.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11773.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 解得：a=4． 故答案为：4． 【点评】本题是基础题，考查直线的平行条件的应用，注意直线的斜率是否存在是解题关键，考查计算能力． 　 12．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为　32　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11775.png){width="2.2708333333333335in" height="1.8854166666666667in"} 【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a的值，当a=32时，满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32． 【解答】解：模拟执行程序，可得 a=1，b=2 不满足条件a＞31，a=2 不满足条件a＞31，a=4 不满足条件a＞31，a=8 不满足条件a＞31，a=16 不满足条件a＞31，a=32 满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32． 故答案为：32． 【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 　 13．（5分）若变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11776.png){width="0.7083333333333334in" height="0.6458333333333334in"}，则x+y的最大值为　6　． 【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值． 【解答】解：画出可行域如图阴影部分， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11777.png){width="0.625in" height="0.40625in"}得A（4，2） 目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大， 由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大=4+2=6 故答案为：6． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11778.png){width="2.854861111111111in" height="2.09375in"} 【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题． 　 14．（5分）设F1，F2是双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11779.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11780.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}　． 【分析】根据题意可知∠F1PF2=90°，∠PF2F1=60°，\|F1F2\|=2c，求得\|PF1\|和\|PF2\|，进而利用双曲线定义建立等式，求得a和c的关系，则离心率可得． 【解答】解：依题意可知∠F1PF2=90°\|F1F2\|=2c， ∴\|PF1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11781.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\|F1F2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11782.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}c，\|PF2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11783.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|F1F2\|=c， 由双曲线定义可知\|PF1\|﹣\|PF2\|=2a=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11782.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣1）c ∴e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11784.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11785.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11785.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}． 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质特别是双曲线定义的运用，属于基础题． 　 15．（5分）对于E={a1，a2，...．a100}的子集X={ai1，ai2，...，aik}，定义X的"特征数列"为x1，x2...，x100，其中xi1=xi2=...xik=1．其余项均为0，例如子集{a2，a3}的"特征数列"为0，1，1，0，0，...，0 （1）子集{a1，a3，a5}的"特征数列"的前3项和等于　2　； （2）若E的子集P的"特征数列"P1，P2，...，P100 满足p1=1，pi+pi+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的"特征数列"q1，q2，q100满足q1=1，qj+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为　17　． 【分析】（1）利用"特征数列"的定义即可得出； （2）利用"特征数列"的定义分别求出子集P，Q的"特征数列"，再找出相同"1"的个数即可． 【解答】解：（1）子集{a1，a3，a5}的"特征数列"为：1，0，1，0，1，0，...，0．故前三项和等于1+0+1=2； （2）∵E的子集P的"特征数列"P1，P2，...，P100 满足Pi+Pi+1=1，1≤i≤99， ∴P的特征数列为1，0，1，0，...，1，0．其中奇数项为1，偶数项为0． 则P={a1，a3，a5，...，a99}有50个元素， 又E的子集Q的"特征数列"q1，q2，...，q100满足q1=1，qj+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，可知：j=1时，q1+q2+q3=1，∵q1=1，∴q2=q3=0；同理q4=1=q7=...=q3n﹣2． ∴子集Q的"特征数列"为1，0，0，1，0，0，1，...，1，0，0，1． 则Q={a1，a4，a7，...，a100} 则P∩Q的元素为a1，a7，a13，...，a91，a97． ∵97=1+（17﹣1）×6，∴共有17相同的元素． 故答案分别为2，17． 【点评】正确理解"特征数列"的定义是解题的关键． 　 三、解答题；本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）已知函数f（x）=cosx•cos（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11786.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）． （1）求f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11787.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）的值． （2）求使f（x）＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11788.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}成立的x的取值集合． 【分析】（1）将x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11787.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}代入f（x）解析式，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到结果； （2）f（x）解析式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，变形后，利用余弦函数的图象与性质即可得到满足题意x的集合． 【解答】解：（1）f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11787.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11787.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}cos（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11787.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11786.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11789.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11790.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=﹣cos2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11790.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11791.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； （2）f（x）=cosxcos（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11790.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=cosx（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11792.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cosx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11793.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}sinx） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11792.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11794.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}sinxcosx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11795.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（1+cos2x）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11796.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}sin2x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11797.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11798.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11795.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴f（x）＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11795.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11799.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11800.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11801.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11801.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即cos（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11800.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）＜0， ∴2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11802.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11800.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11803.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}（k∈Z）， 解得：kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11804.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}＜x＜kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11805.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}（k∈Z）， 则使f（x）＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11806.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}成立的x取值集合为{x\|kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11804.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11805.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}（k∈Z）}． 【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键． 　 17．（12分）如图．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11807.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动． （1）证明：AD⊥C1E； （2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1﹣A1B1E的体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11808.png){width="1.8125in" height="1.1770833333333333in"} 【分析】（1）根据直三棱柱的性质，得AD⊥BB1，等腰△ABC中利用"三线合一"证出AD⊥BC，结合线面垂直判定定理，得AD⊥平面BB1C1C，从而可得AD⊥C1E； （2）根据AC∥A1C1，得到∠EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角．由A1C1⊥A1B1且A1C1⊥AA1，证出A1C1⊥平面AA1B1B，从而在Rt△A1C1E中得到∠EC1A1=60°，利用余弦的定义算出C1E=2A1C1=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11809.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，进而得到△A1B1E面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11809.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C1﹣A1B1E的体积． 【解答】解：（1）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1 ∵△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC 又∵BC、BB1⊂平面BB1C1C，BC∩BB1=B ∴AD⊥平面BB1C1C，结合C1E⊂平面BB1C1C，可得AD⊥C1E； （2）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1， ∴∠EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角 ∵∠BAC=∠B1A1C1=90°，∴A1C1⊥A1B1， 又∵AA1⊥平面A1B1C1，可得A1C1⊥AA1， ∴结合A1B1∩AA1=A1，可得A1C1⊥平面AA1B1B， ∵A1E⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥A1E 因此，Rt△A1C1E中，∠EC1A1=60°，可得cos∠EC1A1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11810.png){width="0.5208333333333334in" height="0.53125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11811.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，得C1E=2A1C1=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11812.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 又∵B1C1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11813.png){width="1.2395833333333333in" height="0.3541666666666667in"}=2，∴B1E=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11814.png){width="1.1666666666666667in" height="0.3020833333333333in"}=2 由此可得V![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11815.png){width="0.7708333333333334in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11816.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}S△![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11817.png){width="0.5208333333333334in" height="0.2604166666666667in"}×A1C1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11818.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11819.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11820.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题给出直三棱柱的底面是等腰直角三角形，在已知侧棱长和底面边长的情况下证明线线垂直并求锥体的体积，着重考查了直棱柱的性质、空间线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题． 　 18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y（单位：kg）与它的"相近"作物株数X之间的关系如下表所示： --- ---- ---- ---- ---- X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 --- ---- ---- ---- ---- 这里，两株作物"相近"是指它们之间的直线距离不超过1米． （Ⅰ）完成下表，并求所种作物的平均年收获量； ------ ---- ---- ---- ---- Y 51 48 45 42 频数 4 ------ ---- ---- ---- ---- （Ⅱ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11821.png){width="1.59375in" height="1.65625in"} 【分析】（Ⅰ）根据题意可知所种作物的总株数为1+2+3+4+5，其中"相近"作物株数为1的有2株，"相近"作物株数为2的有4株，"相近"作物株数为3的有6株，"相近"作物株数为4的有3株，据此列表，且可得出所种作物的平均所收获量． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，P（Y=51）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11822.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，P（Y=48）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11823.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，从而根据互斥事件的概率加法公式得出在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率． 【解答】解：（Ⅰ）所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15，建立如图所示直角坐标系， 其中"相近"作物株数为1的植株有2株，植株坐标分别为（4，0），（0，4）， "相近"作物株数为2的植株有4株，植株坐标分别为（0，0），（1，3），（2，2），（3，1）， "相近"作物株数为3的植株有6株，植株坐标分别为（1，0），（2，0），（3，0），（0，1），（0，2），（0，3）， "相近"作物株数为4的植株有3株，植株坐标分别为（1，1），（1，2），（2，1）． 列表如下： ------ ---- ---- ---- ---- Y 51 48 45 42 频数 2 4 6 3 ------ ---- ---- ---- ---- 所种作物的平均所收获量为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11824.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（51×2+48×4+45×6+42×3）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11825.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=46； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，P（Y=51）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11826.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，P（Y=48）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11823.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 故在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率为 P（Y≥48）=P（Y=51）+P（Y=48）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11826.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11823.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11827.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11828.png){width="1.90625in" height="1.8958333333333333in"} 【点评】本题考查互斥事件的概率加法公式，众数、中位数、平均数和利用图表获取信息的能力．利用图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究图表，才能作出正确的判断和解决问题． 　 19．（13分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an﹣a1=S1•Sn，n∈N\* （Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求数列{nan}的前n项和． 【分析】（Ⅰ）令n=1和2，代入所给的式子求得a1和a2，当n≥2时再令n=n﹣1得到2an﹣1﹣1=Sn﹣1，两个式子相减得an=2an﹣1，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式； （Ⅱ）由（Ⅰ）求出nan=n•2n﹣1，再由错位相减法求出此数列的前n项和． 【解答】解：（Ⅰ）令n=1，得2a1﹣a1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11829.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11830.png){width="0.5625in" height="0.28125in"}， ∵a1≠0，∴a1=1， 令n=2，得2a2﹣1=1•（1+a2），解得a2=2， 当n≥2时，由2an﹣1=Sn得，2an﹣1﹣1=Sn﹣1， 两式相减得2an﹣2an﹣1=an，即an=2an﹣1， ∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， ∴an=2n﹣1，即数列{an}的通项公式an=2n﹣1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，nan=n•2n﹣1，设数列{nan}的前n项和为Tn， 则Tn=1+2×2+3×22+...+n×2n﹣1，① 2Tn=1×2+2×22+3×23+...+n×2n，② ①﹣②得，﹣Tn=1+2+22+...+2n﹣1﹣n•2n =2n﹣1﹣n•2n， ∴Tn=1+（n﹣1）2n． 【点评】本题考查了数列an与Sn之间的转化，以及由错位相减法求出数列的前n项和的应用． 　 20．（13分）已知F1，F2分别是椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11831.png){width="0.9791666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的左、右焦点F1，F2关于直线x+y﹣2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点． （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程． 【分析】（I）由题意可知：F1（﹣2，0），F2（2，0），可得⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x+y﹣2=0的对称点．设圆心的坐标为（m，n）．利用线段的垂直平行的性质可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11832.png){width="0.8333333333333334in" height="0.7916666666666666in"}，解出即可得到圆的方程； （II））由题意，可设直线l的方程为x=my+2，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11833.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，再利用弦长公式即可得到b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11834.png){width="0.6979166666666666in" height="0.25in"}．把直线l的方程为x=my+2与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得到a，进而得到ab，利用基本不等式的性质即可得出结论． 【解答】解：（I）由题意可知：F1（﹣2，0），F2（2，0）．故⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x+y﹣2=0的对称点．设圆心的坐标为（m，n）．则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11832.png){width="0.8333333333333334in" height="0.7916666666666666in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11835.png){width="0.375in" height="0.3958333333333333in"}． ∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4； （II）由题意，可设直线l的方程为x=my+2，则圆心到直线l的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11836.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4479166666666667in"}， ∴b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11837.png){width="1.3229166666666667in" height="0.4479166666666667in"}． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11838.png){width="0.8645833333333334in" height="0.4791666666666667in"}得（5+m2）y2+4my﹣1=0． 设l与E的两个交点分别为（x1，y1），（x2，y2）． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11839.png){width="1.09375in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11840.png){width="0.90625in" height="0.4270833333333333in"}． ∴a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11841.png){width="2.1979166666666665in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11842.png){width="2.0625in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11843.png){width="0.9166666666666666in" height="0.5in"}， ∴ab=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11844.png){width="0.8333333333333334in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11845.png){width="1.1354166666666667in" height="0.6666666666666666in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11846.png){width="1.53125in" height="0.6875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11847.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}． 当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11848.png){width="1.1041666666666667in" height="0.4479166666666667in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11849.png){width="0.5625in" height="0.1875in"}时等号成立． 故当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11849.png){width="0.5625in" height="0.1875in"}时，ab最大，此时，直线l的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11850.png){width="0.8333333333333334in" height="0.19791666666666666in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11851.png){width="0.9166666666666666in" height="0.19791666666666666in"}． 【点评】本题综合考查了圆与椭圆的标准方程及其性质、轴对称的性质、圆的弦长公式b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11852.png){width="0.6979166666666666in" height="0.25in"}、直线与椭圆相交的弦长公式a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11853.png){width="1.40625in" height="0.4479166666666667in"}、基本不等式的性质等基础知识与方法，需要较强的推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力．． 　 21．（13分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11854.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0． 【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0的x取值范围即可得到单调区间； （Ⅱ）当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，不妨设x1＜x2．由（I）可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．利用导数先证明：∀x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．而x2∈（0，1），可得f（x2）＜f（﹣x2）．即f（x1）＜f（﹣x2）．由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，因此得证． 【解答】解：（Ⅰ）易知函数的定义域为R． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11855.png){width="2.2708333333333335in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11856.png){width="1.5833333333333333in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11857.png){width="1.2916666666666667in" height="0.4791666666666667in"}， 当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）． （Ⅱ）当x＜1时，由于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11858.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}，ex＞0，得到f（x）＞0；同理，当x＞1时，f（x）＜0． 当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，不妨设x1＜x2． 由（Ⅰ）可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）． 下面证明：∀x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x），即证![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11859.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11860.png){width="0.6770833333333334in" height="0.4270833333333333in"}．此不等式等价于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11861.png){width="1.3125in" height="0.4270833333333333in"}． 令g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11862.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，则g′（x）=﹣xe﹣x（e2x﹣1）． 当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0． 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11863.png){width="1.3125in" height="0.4270833333333333in"}． ∴∀x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）． 而x2∈（0，1），∴f（x2）＜f（﹣x2）． 从而，f（x1）＜f（﹣x2）． 由于x1，﹣x2∈（﹣∞，0），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增， ∴x1＜﹣x2，即x1+x2＜0． 【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化问题等基础知识与基本技能，需要较强的推理能力和计算能力． 2013年江西省高考数学试卷（理科） ================================ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，M∩N={4}，则复数z=（　　） A．﹣2i B．2i C．﹣4i D．4i 【分析】根据两集合的交集中的元素为4，得到zi=4，即可求出z的值． 【解答】解：根据题意得：zi=4， 解得：z=﹣4i． 故选：C． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 2．（5分）函数y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11864.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}ln（1﹣x）的定义域为（　　） A．（0，1） B．\[0，1） C．（0，1\] D．\[0，1\] 【分析】由函数的解析式可直接得到不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11865.png){width="0.625in" height="0.4270833333333333in"}，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项 【解答】解：由题意，自变量满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11865.png){width="0.625in" height="0.4270833333333333in"}，解得0≤x＜1，即函数y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11866.png){width="0.8125in" height="0.1875in"}的定义域为\[0，1） 故选：B． 【点评】本题考查函数定义域的求法，理解相关函数的定义是解题的关键，本题是概念考查题，基础题． 　 3．（5分）等比数列x，3x+3，6x+6，...的第四项等于（　　） A．﹣24 B．0 C．12 D．24 【分析】由题意可得（3x+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项． 【解答】解：由于 x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=﹣3， 故此等比数列的前三项分别为﹣3，﹣6，﹣12，故此等比数列的公比为2，故第四项为﹣24， 故选：A． 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题． 　 4．（5分）总体由编号为01，02，...，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　） ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ A．08 B．07 C．02 D．01 【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，...，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论． 【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读， 第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件， 第三个数为08，符合条件， 以下符合条件依次为：08，02，14，07，01， 故第5个数为01． 故选：D． 【点评】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的． 　 5．（5分）（x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11867.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}）5的展开式中的常数项为（　　） A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣40 【分析】利用（x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11868.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}）5展开式中的通项公式Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11869.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}•x2（5﹣r）•（﹣2）r•x﹣3r，令x的幂指数为0，求得r的值，即可求得（x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11868.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}）5展开式中的常数项． 【解答】解：设（x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11870.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}）5展开式中的通项为Tr+1， 则Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11871.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}•x2（5﹣r）•（﹣2）r•x﹣3r=（﹣2）r•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11871.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}•x10﹣5r， 令10﹣5r=0得r=2， ∴（x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11870.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}）5展开式中的常数项为（﹣2）2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11872.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=4×10=40． 故选：C． 【点评】本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题． 　 6．（5分）若S1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11873.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}x2dx，S2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11873.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11874.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}dx，S3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11873.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}exdx，则S1，S2，S3的大小关系为（　　） A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S2＜S3＜S1 D．S3＜S2＜S1 【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可． 【解答】解：由于S1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11875.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}x2dx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11876.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11877.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11878.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， S2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11875.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11879.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}dx=lnx\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11877.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=ln2， S3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11875.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}exdx=ex\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11877.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=e2﹣e． 且ln2＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11880.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜e2﹣e，则S2＜S1＜S3． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11881.png){width="2.9902777777777776in" height="2.5840277777777776in"} 【点评】本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 　 7．（5分）阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11882.png){width="4.927777777777778in" height="1.7083333333333333in"} A．S=2\*i﹣2 B．S=2\*i﹣1 C．S=2\*i D．S=2\*i+4 【分析】题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案． 【解答】解：当空白矩形框中应填入的语句为S=2\*I时， 程序在运行过程中各变量的值如下表示： i S 是否继续循环 循环前1 0/ 第一圈 2 5 是 第二圈 3 6 是 第三圈 4 9 是 第四圈 5 10 否 故输出的i值为：5，符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了程序框图中的当型循环，当型循环是当条件满足时进入循环体，不满足条件算法结束，输出结果． 　 8．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11883.png){width="2.5215277777777776in" height="0.9791666666666666in"} A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】判断CE与EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，求出m+n的值． 【解答】解：由题意可知直线CE与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以m=4， 直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n=4，所以m+n=8． 故选：A． 【点评】本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力． 　 9．（5分）过点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11884.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）引直线l与曲线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11885.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11886.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} B．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11887.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11888.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} D．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11889.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值． 【解答】解：由y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11890.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}，得x2+y2=1（y≥0）． 所以曲线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11890.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点）， 设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合， 则﹣1＜k＜0，直线l的方程为y﹣0=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11891.png){width="0.6666666666666666in" height="0.1875in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11892.png){width="0.9166666666666666in" height="0.19791666666666666in"}． 则原点O到l的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11893.png){width="0.6145833333333334in" height="0.46875in"}，l被半圆截得的半弦长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11894.png){width="1.7083333333333333in" height="0.5208333333333334in"}． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11895.png){width="1.8020833333333333in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11896.png){width="1.0in" height="0.5in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11897.png){width="1.8854166666666667in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11898.png){width="1.625in" height="0.4479166666666667in"}． 令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11899.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11900.png){width="1.4895833333333333in" height="0.28125in"}，当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11901.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11902.png){width="0.65625in" height="0.4270833333333333in"}时，S△ABO有最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11903.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 此时由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11904.png){width="0.65625in" height="0.4270833333333333in"}，解得k=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11905.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 故选：D． 【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆的关系，考查了学生的运算能力，考查了配方法及二次函数求最值，解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值，是中档题． 　 10．（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11906.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11907.png){width="2.8444444444444446in" height="1.0625in"} A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11908.png){width="1.3958333333333333in" height="1.2395833333333333in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11909.png){width="1.3958333333333333in" height="1.2395833333333333in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11910.png){width="1.3854166666666667in" height="1.2395833333333333in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11911.png){width="1.3854166666666667in" height="1.2395833333333333in"} 【分析】由题意可知：随着l从l1平行移动到l2，y=EB+BC+CD越来越大，考察几个特殊的情况，计算出相应的函数值y，结合考查选项可得答案． 【解答】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11912.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}； 当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11913.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11914.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； 当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11915.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，∠FOG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11915.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11916.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 在正△AED中，AE=ED=DA=1， ∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11913.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}﹣2×1=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11914.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣2．如图． 又当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11915.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，图中y0=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11917.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11918.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11919.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11917.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11920.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}＞2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11919.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣2． 故当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11921.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确． 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11922.png){width="1.3854166666666667in" height="1.3333333333333333in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11923.png){width="2.8444444444444446in" height="1.0625in"} 【点评】本题考查函数的图象，注意理解图象的变化趋势是解决问题的关键，属中档题． 　 二．第Ⅱ卷填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 11．（5分）函数y=sin2x+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11924.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin2x最小正周期T为　π　． 【分析】函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期． 【解答】解：y=sin2x+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11924.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11925.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=sin2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11926.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11926.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11927.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sin2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11928.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}cos2x）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11926.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=2sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11929.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11926.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∵ω=2，∴T=π． 故答案为：π 【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 　 12．（5分）设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11930.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11931.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}为单位向量．且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11930.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11931.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}的夹角为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11932.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11933.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11930.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11931.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11934.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11935.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，则向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11936.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11934.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}方向上的射影为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11937.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】根据题意求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11938.png){width="0.4895833333333333in" height="0.2708333333333333in"}的值，从而求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11939.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}的值，再根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11936.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11940.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}上的射影为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11941.png){width="0.34375in" height="0.4479166666666667in"}，运算求得结果． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11942.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11943.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}为单位向量，且 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11942.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}和 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11943.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}的夹角θ等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11944.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11945.png){width="0.4895833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=1×1×cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11946.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11947.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11948.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11949.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11950.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11951.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11949.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11952.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11953.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11954.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}）•（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11953.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}）=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11955.png){width="0.28125in" height="0.3229166666666667in"}+6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11956.png){width="0.4895833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=2+3=5． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11957.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11958.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}上的射影为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11959.png){width="0.34375in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11960.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11960.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的射影的定义，属于中档题． 　 13．（5分）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex，则f′（1）=　2　． 【分析】由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）． 【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex， 令ex=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x， ∴f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11961.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+1，故f′（1）=1+1=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式，属于基本题型，运算型． 　 14．（5分）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11962.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4375in"}=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=　6　． 【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可． 【解答】解：抛物线的焦点坐标为（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11963.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），准线方程为：y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11963.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 准线方程与双曲线联立可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11964.png){width="1.0625in" height="0.625in"}， 解得x=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11965.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4479166666666667in"}， 因为△ABF为等边三角形，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11966.png){width="1.03125in" height="0.25in"}，即p2=3x2， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11967.png){width="0.9583333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，解得p=6． 故答案为：6． 【点评】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力． 　 三．第Ⅱ卷选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两道题都做，按第一题评卷计分．本题共5分． 15．（5分）（坐标系与参数方程选做题） 设曲线C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11968.png){width="0.4895833333333333in" height="0.4583333333333333in"}（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为　ρcos2θ﹣sinθ=0　． 【分析】先求出曲线C的普通方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得极坐标方程． 【解答】解：由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11968.png){width="0.4895833333333333in" height="0.4583333333333333in"}（t为参数），得y=x2， 令x=ρcosθ，y=ρsinθ， 代入并整理得ρcos2θ﹣sinθ=0． 即曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣sinθ=0． 故答案为：ρcos2θ﹣sinθ=0． 【点评】本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ． 　 16．（不等式选做题） 在实数范围内，不等式\|\|x﹣2\|﹣1\|≤1的解集为　\[0，4\]　． 【分析】利用绝对值不等式的等价形式，利用绝对值不等式几何意义求解即可． 【解答】解：不等式\|\|x﹣2\|﹣1\|≤1的解集，就是﹣1≤\|x﹣2\|﹣1≤1的解集，也就是0≤\|x﹣2\|≤2的解集， 0≤\|x﹣2\|≤2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值，所以不等式的解为：0≤x≤4． 所以不等式的解集为\[0，4\]． 故答案为：\[0，4\]． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的几何意义，注意不等式的等价转化是解题的关键． 　 四．第Ⅱ卷解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11969.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinA）cosB=0． （1）求角B的大小； （2）若a+c=1，求b的取值范围． 【分析】（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数； （2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b2的范围，即可求出b的范围． 【解答】解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11969.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinAcosB=0， 即sinAsinB﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11969.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinAcosB=0， ∵sinA≠0，∴sinB﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11969.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cosB=0，即tanB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11970.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 又B为三角形的内角， 则B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11971.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； （2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11972.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11972.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11973.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∵0＜a＜1，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11973.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤b2＜1， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11972.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤b＜1． 【点评】此题考查了余弦定理，二次函数的性质，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 　 18．（12分）正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11974.png){width="1.8333333333333333in" height="0.28125in"} （1）求数列{an}的通项公式an； （2）令b![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11975.png){width="1.15625in" height="0.4791666666666667in"}，数列{bn}的前n项和为Tn．证明：对于任意n∈N\*，都有T![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11976.png){width="0.6041666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【分析】（I）由Sn2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11977.png){width="1.8333333333333333in" height="0.28125in"}可求sn，然后利用a1=s1，n≥2时，an=sn﹣sn﹣1可求an （II）由b![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11978.png){width="1.15625in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11979.png){width="0.9583333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11980.png){width="1.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，利用裂项求和可求Tn，利用放缩法即可证明 【解答】解：（I）由Sn2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11981.png){width="1.8333333333333333in" height="0.28125in"} 可得，\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11982.png){width="0.84375in" height="0.28125in"}\]（Sn+1）=0 ∵正项数列{an}，Sn＞0 ∴Sn=n2+n 于是a1=S1=2 n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n，而n=1时也适合 ∴an=2n （II）证明：由b![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11983.png){width="1.15625in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11984.png){width="0.9583333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11985.png){width="1.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11986.png){width="2.0208333333333335in" height="0.4270833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11987.png){width="2.2708333333333335in" height="0.4270833333333333in"}\] =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11988.png){width="2.09375in" height="0.4270833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11989.png){width="1.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题主要考查了递推公式a1=s1，n≥2时，an=sn﹣sn﹣1在求解数列的通项公式中的应用及数列的裂项求和方法的应用． 　 19．（12分）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队． （1）求小波参加学校合唱团的概率； （2）求X的分布列和数学期望． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image11990.png){width="2.2395833333333335in" height="2.0833333333333335in"} 【分析】（1）先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法，而X=0时，即两向量夹角为直角，求出结果数，代入古典概率的求解公式可求 （2）先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率，即可求解分布列及期望值 【解答】解：（1）从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11991.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=28种 X=0时，两向量夹角为直角共有8种情形 所以小波参加学校合唱团的概率P（X=0）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11992.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11993.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} （2）两向量数量积的所有可能情形有﹣2，﹣1，0，1 X=﹣2时有2种情形 X=1时有8种情形 X=﹣1时，有10种情形 X的分布列为： --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- X ﹣2 ﹣1 0 1 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11994.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11995.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11993.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11993.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- EX=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11996.png){width="1.3958333333333333in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11997.png){width="0.9791666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11998.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题主要考查了古典概率的求解公式的应用及离散型随机变量的分布列及期望值的求解． 　 20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11999.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，连接CE并延长交AD于F （1）求证：AD⊥平面CFG； （2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12000.png){width="2.3854166666666665in" height="2.21875in"} 【分析】（1）利用直角三角形的判定得到∠BAD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12001.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，且∠ABE=∠AEB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12002.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}．由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠FEA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12003.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，所以EF⊥AD且AF=FD，结合题意得到FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA，根据PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD，得到FG⊥AD，最后根据线面垂直的判定定理证出AD⊥平面CFG； （2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，得到A、B、C、D、P的坐标，从而得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12004.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12005.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12006.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12007.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12008.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12009.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12010.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12011.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，2）分别为平面BCP、平面DCP的法向量，利用空间向量的夹角公式算出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12012.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12010.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}夹角的余弦，即可得到平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值． 【解答】解：（1）∵在△DAB中，E为BD的中点，EA=EB=AB=1， ∴AE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12013.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}BD，可得∠BAD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12014.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，且∠ABE=∠AEB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12015.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12016.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ∴∠EDA=∠EAD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12016.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，可得EF⊥AD，AF=FD 又∵△PAD中，PG=GD，∴FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA ∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD， ∵AD⊂平面ABCD，∴FG⊥AD 又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线，∴AD⊥平面CFG； （2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得 A（0，0，0），B（1，0，0），C（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12017.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12018.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，0），D（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12019.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），P（0，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12017.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}） ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12020.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12021.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12022.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12023.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12024.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12022.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12024.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12025.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12026.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12027.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，0） 设平面BCP的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12028.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，y1，z1），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12029.png){width="1.9791666666666667in" height="0.8333333333333334in"} 解得y1=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12030.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，z1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12031.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12032.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12030.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12031.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）， 设平面DCP的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12033.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，y2，z2），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12034.png){width="1.9791666666666667in" height="0.8333333333333334in"} 解得y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12035.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，z2=2，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12036.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12035.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，2）， ∴cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12037.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12036.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12038.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12039.png){width="1.8645833333333333in" height="0.8020833333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12040.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} 因此平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值等于﹣cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12041.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12042.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12043.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12044.png){width="2.5840277777777776in" height="2.3229166666666665in"} 【点评】本题在三棱锥中求证线面垂直，并求平面与平面所成角的余弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题． 　 21．（13分）如图，椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12045.png){width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}经过点P（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12046.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12047.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，直线l的方程为x=4． （1）求椭圆C的方程； （2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12048.png){width="2.46875in" height="1.28125in"} 【分析】（1）由题意将点P （1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12046.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）代入椭圆的方程，得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12049.png){width="1.59375in" height="0.4270833333333333in"}，再由离心率为e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12050.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程； （2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12051.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12052.png){width="1.09375in" height="0.4791666666666667in"}，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值； 方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12053.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4895833333333333in"}，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值 【解答】解：（1）椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12054.png){width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}经过点P （1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12055.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12056.png){width="1.59375in" height="0.4270833333333333in"}① 由离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12057.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12058.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12057.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12059.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 故椭圆的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12060.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"} （2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③ 代入椭圆方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12060.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0 设A（x1，y1），B（x2，y2）， x1+x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12061.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12062.png){width="1.09375in" height="0.4791666666666667in"}④ 在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k）， 从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12063.png){width="0.7604166666666666in" height="0.625in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12064.png){width="0.7604166666666666in" height="0.625in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12065.png){width="0.7395833333333334in" height="0.5625in"}=k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12066.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12067.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12068.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}=k 所以k1+k2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12069.png){width="0.46875in" height="0.625in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12070.png){width="0.46875in" height="0.625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12071.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12072.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12073.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12074.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12075.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}） =2k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12073.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12076.png){width="1.3645833333333333in" height="0.4791666666666667in"}⑤ ④代入⑤得k1+k2=2k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12077.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12078.png){width="1.4375in" height="0.9791666666666666in"}=2k﹣1 又k3=k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10871.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，所以k1+k2=2k3 故存在常数λ=2符合题意 方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12079.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4895833333333333in"} 令x=4，求得M（4，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12080.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}） 从而直线PM的斜率为k3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12081.png){width="0.8125in" height="0.4895833333333333in"}， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12082.png){width="1.1458333333333333in" height="0.9791666666666666in"}，得A（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12083.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12084.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4895833333333333in"}）， 则直线PA的斜率k1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12085.png){width="0.8958333333333334in" height="0.4895833333333333in"}，直线PB的斜率为k2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12086.png){width="0.6875in" height="0.4895833333333333in"} 所以k1+k2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12087.png){width="0.8958333333333334in" height="0.4895833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12088.png){width="0.6875in" height="0.4895833333333333in"}=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12089.png){width="0.8125in" height="0.4895833333333333in"}=2k3， 故存在常数λ=2符合题意 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12090.png){width="2.46875in" height="1.28125in"} 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出． 　 22．（14分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12091.png){width="1.0104166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，a为常数且a＞0． （1）f（x）的图象关于直线x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12092.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}对称； （2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围； （3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性． 【分析】（1）只要证明![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12093.png){width="1.25in" height="0.3645833333333333in"}成立即可； （2）对a分类讨论，利用二阶周期点的定义即可得出； （3）由（2）得出x3，得出三角形的面积，利用导数即可得出其单调性． 【解答】（1）证明：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12094.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12095.png){width="1.25in" height="0.3645833333333333in"}=a（1﹣2\|x\|），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12096.png){width="1.90625in" height="0.3645833333333333in"}=a（1﹣2\|x\|）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12097.png){width="1.25in" height="0.3645833333333333in"}，∴f（x）的图象关于直线x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12098.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}对称． （2）解：当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12099.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}时，有f（f（x））=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12100.png){width="1.3958333333333333in" height="0.7916666666666666in"}． ∴f（f（x））=x只有一个解x=0又f（0）=0，故0不是二阶周期点． 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12101.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}时，有f（f（x））=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12102.png){width="0.9270833333333334in" height="0.7916666666666666in"}． ∴f（f（x））=x有解集，{x\|x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12103.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}}，故此集合中的所有点都不是二阶周期点． 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12104.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}时，有f（f（x））=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12105.png){width="2.3854166666666665in" height="1.6458333333333333in"}， ∴f（f（x））=x有四个解：0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12106.png){width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12107.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12108.png){width="0.5in" height="0.4791666666666667in"}． 由f（0）=0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12109.png){width="1.1458333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12110.png){width="1.4479166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12111.png){width="1.4479166666666667in" height="0.4791666666666667in"}． 故只有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12112.png){width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12113.png){width="0.5in" height="0.4791666666666667in"}是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12114.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}． （3）由（2）得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12115.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12116.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}． ∵x2为函数f（x）的最大值点，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12117.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12118.png){width="0.6875in" height="0.3645833333333333in"}． 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12117.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}时，S（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12119.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12120.png){width="0.25in" height="0.5833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12121.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12122.png){width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12123.png){width="0.5in" height="0.4791666666666667in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12124.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}． 求导得：S′（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12125.png){width="1.8020833333333333in" height="0.6458333333333334in"}． ∴当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12126.png){width="1.2083333333333333in" height="0.3854166666666667in"}时，S（a）单调递增，当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12127.png){width="1.3020833333333333in" height="0.3854166666666667in"}时，S（a）单调递减． 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12128.png){width="0.6875in" height="0.3645833333333333in"}时，S（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12129.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，求导得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12130.png){width="1.46875in" height="0.4791666666666667in"}． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12131.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，从而有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12132.png){width="1.46875in" height="0.4791666666666667in"}． ∴当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12133.png){width="1.0104166666666667in" height="0.3645833333333333in"}时，S（a）单调递增． 【点评】本题考查了新定义"二阶周期点"、利用导数研究函数的单调性、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力和计算能力． 　 2013年江西省高考数学试卷（文科） ================================ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）复数z=i（﹣2﹣i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i，由复数的几何意义可得答案． 【解答】解：化简可得复数z=i（﹣2﹣i）=﹣2i﹣i2=1﹣2i， 故复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，﹣2）在第四象限， 故选：D． 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题． 　 2．（5分）若集合A={x∈R\|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素，则a=（　　） A．4 B．2 C．0 D．0或4 【分析】当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可． 【解答】解：当a=0时，方程为1=0不成立，不满足条件 当a≠0时，△=a2﹣4a=0，解得a=4 故选：A． 【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判定，以及根的个数与判别式的关系，属于基础题． 　 3．（5分）若sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12134.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12135.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，则cosα=（　　） A．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12136.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12137.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12137.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12136.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】由二倍角的余弦公式可得cosα=1﹣2sin2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12138.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，代入已知化简即可． 【解答】解：由二倍角的余弦公式可得cosa=1﹣2sin2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12138.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} =1﹣2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12139.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3854166666666667in"}=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12140.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12141.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 故选：C． 【点评】本题考查二倍角的余弦公式，把α看做![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12142.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}的二倍角是解决问题的关键，属基础题． 　 4．（5分）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12143.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12144.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12141.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12145.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】由分步计数原理可得总的方法种数为2×3=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案． 【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有2×3=6种分法， 而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法， 故所求的概率为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12146.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12147.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：C． 【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题． 　 5．（5分）总体由编号为01，02，...，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　） ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ A．08 B．07 C．02 D．01 【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，...，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论． 【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读， 第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件， 第三个数为08，符合条件， 以下符合条件依次为：08，02，14，07，01， 故第5个数为01． 故选：D． 【点评】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的． 　 6．（5分）下列选项中，使不等式x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12148.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x2成立的x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞） 【分析】通过x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12149.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12150.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D．即可得到正确选项． 【解答】解：利用特殊值排除选项，不妨令x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12149.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}时，代入x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12148.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x2，得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12151.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12152.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，显然不成立，选项B不正确； 当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12153.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，代入x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12154.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x2，得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12155.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，显然不正确，排除C； 当x=2时，代入x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12154.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x2，得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12156.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，显然不正确，排除D． 故选：A． 【点评】本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧．当然可以直接解答，过程比较复杂． 　 7．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12157.png){width="6.656944444444444in" height="1.1979166666666667in"} A．S＜8 B．S＜9 C．S＜10 D．S＜11 【分析】由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2\*i+2，是偶数执行S=2\*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值． 【解答】解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=2×2+1=5； 判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=2×3+2=8； 判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=2×4+1=9； 此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4．而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S＜9． 若是S＜8，输出的i值等于3，与题意不符． 故选：B． 【点评】本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题． 　 8．（5分）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12158.png){width="2.3333333333333335in" height="1.7083333333333333in"} A．200+9π B．200+18π C．140+9π D．140+18π 【分析】根据题意，该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成．根据所给出的数据可求出体积． 【解答】解：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和 长方体的三度为：10、4、5； 圆柱的底面半径为3，高为2， 所以几何体的体积=10×4×5+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12159.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}32π×2=200+9π． 故选：A． 【点评】本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽． 　 9．（5分）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则\|FM\|：\|MN\|=（　　） A．2：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12160.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．1：2 C．1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12160.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．1：3 【分析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12161.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得\|FM\|=\|PM\|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12161.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，从而得到\|PN\|=2\|PM\|，进而算出\|MN\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12160.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\|PM\|，由此即可得到\|FM\|：\|MN\|的值． 【解答】解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0） ∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12162.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12161.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得\|FM\|=\|PM\| ∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12161.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12163.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12164.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，可得\|PN\|=2\|PM\|，得\|MN\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12165.png){width="1.1145833333333333in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12166.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\|PM\| 因此，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12167.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，可得\|FM\|：\|MN\|=\|PM\|：\|MN\|=1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12166.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12168.png){width="2.0104166666666665in" height="1.4895833333333333in"} 【点评】本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题． 　 10．（5分）如图．已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12169.png){width="1.0833333333333333in" height="1.4270833333333333in"} A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12170.png){width="1.2291666666666667in" height="1.1666666666666667in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12171.png){width="1.2604166666666667in" height="1.1979166666666667in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12172.png){width="1.2291666666666667in" height="1.1666666666666667in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12173.png){width="1.25in" height="1.1666666666666667in"} 【分析】通过t的增加，排除选项A、D，利用x的增加的变化率，说明余弦函数的变化率，得到选项即可． 【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=1，所以选项A，D不合题意， 当t由0增加时，x的变化率由大变小，又y=cosx是减函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢， 所以选项B满足题意，C正好相反． 故选：B． 【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力． 　 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．（5分）若曲线y=xa+1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a=　2　． 【分析】求出函数的导函数，求出x=1时的导数值，写出曲线y=xa+1（a∈R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得α的值． 【解答】解：由y=xa+1，得y′=axa﹣1． 所以y′\|x=1=a，则曲线y=xa+1（α∈R）在点（1，2）处的切线方程为： y﹣2=a（x﹣1），即y=ax﹣a+2． 把（0，0）代入切线方程得，a=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题． 　 12．（5分）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N\*）等于　6　． 【分析】由题意可得，第n天种树的棵数an是以2为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足sn≥100，解不等式可求 【解答】解：由题意可得，第n天种树的棵数an是以2为首项，以2为公比的等比数列 sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12174.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}=2n+1﹣2≥100 ∴2n+1≥102 ∵n∈N\* ∴n+1≥7 ∴n≥6，即n的最小值为6 故答案为：6 【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是等比数列模型的确定 　 13．（5分）设f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12175.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin3x+cos3x，若对任意实数x都有\|f（x）\|≤a，则实数a的取值范围是　a≥2　． 【分析】构造函数F（x）=\|f（x）\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12175.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin3x+cos3x\|，利用正弦函数的特点求出F（x）max，从而可得答案． 【解答】解：∵不等式\|f（x）\|≤a对任意实数x恒成立， 令F（x）=\|f（x）\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12175.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin3x+cos3x\|， 则a≥F（x）max． ∵f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12175.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin3x+cos3x=2sin（3x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12176.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}） ∴﹣2≤f（x）≤2 ∴0≤F（x）≤2 F（x）max=2 ∴a≥2． 即实数a的取值范围是a≥2 故答案为：a≥2． 【点评】本题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题． 　 14．（5分）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12177.png){width="1.5520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用已知条件列出方程组，求出圆的圆心坐标与半径，即可得到圆的方程． 【解答】解：设圆的圆心坐标（a，b），半径为r， 因为圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12178.png){width="1.25in" height="0.7395833333333334in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12179.png){width="0.5104166666666666in" height="1.0208333333333333in"}， 所求圆的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12180.png){width="1.5520833333333333in" height="0.4270833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12180.png){width="1.5520833333333333in" height="0.4270833333333333in"}． 【点评】本题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键，考查计算能力． 　 15．（5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为　4　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12181.png){width="2.6152777777777776in" height="1.0520833333333333in"} 【分析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可． 【解答】解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交， 所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4． 故答案为：4． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12182.png){width="2.6152777777777776in" height="1.0520833333333333in"} 【点评】本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力． 　 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（12分）正项数列{an}满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n=0． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）令bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12183.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，求数列{bn}的前n项和Tn． 【分析】（1）通过分解因式，利用正项数列{an}，直接求数列{an}的通项公式an； （2）利用数列的通项公式化简bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12183.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，利用裂项法直接求数列{bn}的前n项和Tn． 【解答】解：（1）由正项数列{an}满足：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12184.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}﹣（2n﹣1）an﹣2n=0， 可得（an﹣2n）（an+1）=0 所以an=2n． （2）因为an=2n，bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12185.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 所以bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12185.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12186.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12187.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}， Tn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12188.png){width="2.0208333333333335in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12189.png){width="0.8125in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12190.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 数列{bn}的前n项和Tn为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12190.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力． 　 17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1． （1）求证：a，b，c成等差数列； （2）若C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12191.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12192.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的值． 【分析】（1）由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列． （2）若C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12193.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得 （2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC，化简可得 5ab=3b2，由此可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12192.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 的值． 【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1， ∴sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B． 再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，故a，b，c成等差数列． （2）若C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12193.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，由（1）可得c=2b﹣a，由余弦定理可得 （2b﹣a）2=a2+b2﹣2ab•cosC=a2+b2+ab． 化简可得 5ab=3b2，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12192.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12194.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题． 　 18．（12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0就去下棋 （1）写出数量积X的所有可能取值 （2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12195.png){width="1.8229166666666667in" height="1.4270833333333333in"} 【分析】（1）由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1， （2）列举分别可得数量积为﹣2，﹣1，0，1时的情形种数，由古典概型的概率公式可得答案． 【解答】解：（1）由题意可得：X的所有可能取值为：﹣2，﹣1，0，1， （2）数量积为﹣2的有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12196.png){width="0.6979166666666666in" height="0.2708333333333333in"}，共1种， 数量积为﹣1的有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12197.png){width="0.6979166666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12198.png){width="0.6979166666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12199.png){width="0.6979166666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12200.png){width="0.6979166666666666in" height="0.2708333333333333in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12201.png){width="0.6979166666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12202.png){width="0.6979166666666666in" height="0.2708333333333333in"}共6种， 数量积为0的有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12203.png){width="0.6979166666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12204.png){width="0.6979166666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12205.png){width="0.6979166666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12206.png){width="0.6979166666666666in" height="0.2708333333333333in"}共4种， 数量积为1的有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12207.png){width="0.6979166666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12208.png){width="0.6979166666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12209.png){width="0.6979166666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12210.png){width="0.6979166666666666in" height="0.2708333333333333in"}共4种， 故所有的可能共15种，所以小波去下棋的概率P1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12211.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，去唱歌的概率P2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12212.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 故不去唱歌的概率为：P=1﹣P2=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12212.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12213.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及平面向量的数量积的运算，属中档题． 　 19．（12分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12214.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3 （1）证明：BE⊥平面BB1C1C； （2）求点B1到平面EA1C1 的距离． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12215.png){width="1.7291666666666667in" height="1.3645833333333333in"} 【分析】（1）过点B作BF⊥CD于F点，算出BF、EF、FC的长，从而在△BCE中算出BE、BC、CE的长，由勾股定理的逆定理得BE⊥BC，结合BE⊥BB1利用线面垂直的判定定理，可证出BE⊥平面BB1C1C； （2）根据AA1⊥平面A1B1C1，算出三棱锥E﹣A1B1C1的体积V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12216.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．根据线面垂直的性质和勾股定理，算出A1C1=EC1=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12216.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}、A1E=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12217.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，从而得到等腰△A1EC1的面积![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12218.png){width="0.6770833333333334in" height="0.2604166666666667in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12219.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，设B1到平面EA1C1 的距离为d，可得三棱锥B1﹣A1C1E的体积V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12220.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12218.png){width="0.6770833333333334in" height="0.2604166666666667in"}×d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12219.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}d，从而得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12221.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12222.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}d，由此即可解出点B1到平面EA1C1的距离． 【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD于F点，则： BF=AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12221.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，EF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12223.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AB=DE=1，FC=EC﹣EF=3﹣1=2 在Rt△BEF中，BE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12224.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12225.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； 在Rt△BCF中，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12226.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12227.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 因此，△BCE中可得BE2+BC2=9=CE2 ∴∠CBE=90°，可得BE⊥BC， ∵BB1⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD， ∴BE⊥BB1， 又∵BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线， ∴BE⊥平面BB1C1C； （2）∵AA1⊥平面A1B1C1，得AA1是三棱锥E﹣A1B1C1的高线 ∴三棱锥E﹣A1B1C1的体积V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12228.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×AA1×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12229.png){width="0.75in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12230.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 在Rt△A1D1C1中，A1C1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12231.png){width="1.15625in" height="0.3020833333333333in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12230.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 同理可得EC1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12232.png){width="0.875in" height="0.3020833333333333in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12233.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，A1E=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12234.png){width="1.25in" height="0.3020833333333333in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12235.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} ∴等腰△A1EC1的底边A1C1上的中线等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12236.png){width="1.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12237.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12238.png){width="0.6770833333333334in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12239.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12240.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12241.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12242.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1﹣A1C1E的体积为V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12243.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12238.png){width="0.6770833333333334in" height="0.2604166666666667in"}×d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12244.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}d， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12245.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12244.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}d，解之得d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12246.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} 即点B1到平面EA1C1的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12246.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12247.png){width="2.2291666666666665in" height="1.6458333333333333in"} 【点评】本题在直四棱柱中求证线面垂直，并求点到平面的距离．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识，属于中档题． 　 20．（13分）椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12248.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的离心率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12249.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，a+b=3． （1）求椭圆C的方程； （2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m﹣k为定值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12250.png){width="1.8854166666666667in" height="1.0104166666666667in"} 【分析】（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条件a2=b2+c2列式求出a，b，则椭圆方程可求； （2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标， 由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m﹣k化简整理即可得到2m﹣k为定值． 【解答】（1）解：因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12251.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12252.png){width="1.09375in" height="0.4791666666666667in"}，即a2=4b2，a=2b． 又a+b=3，得a=2，b=1． 所以椭圆C的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12253.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}； （2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12254.png){width="2.0104166666666665in" height="0.3645833333333333in"}． 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12255.png){width="0.8125in" height="0.6666666666666666in"}，得（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12256.png){width="0.9791666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12257.png){width="0.8125in" height="0.4791666666666667in"}． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12258.png){width="1.8541666666666667in" height="0.4791666666666667in"}． 所以P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12259.png){width="1.21875in" height="0.4791666666666667in"}）． 又直线AD的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12260.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}． 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12261.png){width="0.7916666666666666in" height="0.6041666666666666in"}，解得M（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12262.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3645833333333333in"}）． 由三点D（0，1），P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12263.png){width="1.21875in" height="0.4791666666666667in"}），N（x，0）共线， 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12264.png){width="1.1458333333333333in" height="0.9270833333333334in"}，所以N（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12265.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}）． 所以MN的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12266.png){width="2.7395833333333335in" height="0.7604166666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12267.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12268.png){width="1.2291666666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 所以2m﹣k为定值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12269.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题． 　 21．（14分）设函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12270.png){width="2.1979166666666665in" height="0.7916666666666666in"}常数且a∈（0，1）． （1）当a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12271.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，求f（f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12272.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}））； （2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2； （3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12272.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12273.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值和最小值． 【分析】（1）当a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12273.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案； （2）根据二阶周期点的定义，分段进行求解，找出符号定义的根即为所求； （3）由题意，先表示出s（a）的表达式，再借助导数工具研究s（a）在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12272.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12273.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]上的单调性，确定出最值，即可求解出最值． 【解答】解：（1）当a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12273.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，求f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12272.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12274.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，故f（f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12275.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}））=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12274.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=2（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12274.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12274.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} （2）f（f（x））=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12276.png){width="2.3125in" height="1.7604166666666667in"} 当0≤x≤a2时，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12277.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=x，解得x=0，因为f（0）=0，故x=0不是函数的二阶周期点； 当a2＜x≤a时，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12278.png){width="0.9895833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=x，解得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12279.png){width="1.5in" height="0.4270833333333333in"} 因为f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12280.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12281.png){width="1.0104166666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12282.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}≠![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12280.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}， 故x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12280.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}是函数的二阶周期点； 当a＜x≤a2﹣a+1时，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12283.png){width="1.0in" height="0.4270833333333333in"}=x，解得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12284.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}∈（a，a2﹣a+1），因为f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12284.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12284.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，故得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12284.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}不是函数的二阶周期点； 当a2﹣a+1＜x≤1时，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12285.png){width="1.15625in" height="0.3645833333333333in"}，解得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12286.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}∈（a2﹣a+1，1），因为f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12286.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12287.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}≠![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12286.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}，故x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12286.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}是函数的二阶周期点； 因此函数有两个二阶周期点，x1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12288.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}，x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12289.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"} （3）由（2）得A（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12288.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12288.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}），B（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12289.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12289.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}） 则s（a）=S△OCB﹣S△OCA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12290.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12291.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}，所以s′（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12290.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12292.png){width="1.3125in" height="0.53125in"}， 因为a∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12293.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}），有a2+a＜1，所以s′（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12294.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12295.png){width="1.3125in" height="0.53125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12296.png){width="2.3854166666666665in" height="0.53125in"}＞0（或令g（a）=a3﹣2a2﹣2a+2利用导数证明其符号为正亦可） s（a）在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12297.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12298.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]上是增函数， 故s（a）在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12299.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12298.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最小值为s（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12299.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12300.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，最大值为s（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12298.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12301.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查求函数的值，新定义的理解，利用导数求函数在闭区间上的最值，第二题解答的关键是理解定义，第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性，本题考查了方程的思想，转化化归的思想及符号运算的能力，难度较大，综合性强，解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现． 　 2013年辽宁省高考数学试卷（理科） ================================ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12302.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}的模长为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12303.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12304.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12305.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．2 【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果． 【解答】解：复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12302.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12306.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12307.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12308.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12304.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 故选：B． 【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力． 　 2．（5分）已知集合A={x\|0＜log4x＜1}，B={x\|x≤2}，则A∩B=（　　） A．（0，1） B．（0，2\] C．（1，2） D．（1，2\] 【分析】求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集． 【解答】解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44， 解得：1＜x＜4，即A=（1，4）， ∵B=（﹣∞，2\]， ∴A∩B=（1，2\]． 故选：D． 【点评】此题考查了交集及其运算，以及其他不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12309.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}同方向的单位向量为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12310.png){width="0.75in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12311.png){width="0.75in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12312.png){width="0.75in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12313.png){width="0.75in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】由条件求得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12314.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（3，﹣4），\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12314.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=5，再根据与向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12314.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}同方向的单位向量为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12315.png){width="0.4270833333333333in" height="0.4479166666666667in"} 求得结果． 【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12316.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12316.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12317.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}=5， 则与向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12316.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}同方向的单位向量为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12315.png){width="0.4270833333333333in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12318.png){width="0.75in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：A． 【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题． 　 4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列； p3：数列![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12319.png){width="0.4375in" height="0.4270833333333333in"}是递增数列； p4：数列{an+3nd}是递增数列； 其中真命题是（　　） A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论． 【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{an}，an+1﹣an=d＞0，∴命题p1：数列{an}是递增数列成立，是真命题． 对于数列{nan}，第n+1项与第n项的差等于 （n+1）an+1﹣nan=（n+1）d+an，不一定是正实数， 故p2不正确，是假命题． 对于数列![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12319.png){width="0.4375in" height="0.4270833333333333in"}，第n+1项与第n项的差等于 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12320.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12321.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12322.png){width="1.15625in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12323.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"}，不一定是正实数， 故p3不正确，是假命题． 对于数列{an+3nd}，第n+1项与第n项的差等于 an+1+3（n+1）d﹣an﹣3nd=4d＞0， 故命题p4：数列{an+3nd}是递增数列成立，是真命题． 故选：D． 【点评】本题主要考查等差数列的定义，增数列的含义，命题的真假的判断，属于中档题． 　 5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为\[20，40），\[40，60），\[60，80），\[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12324.png){width="2.5215277777777776in" height="1.5520833333333333in"} A．45 B．50 C．55 D．60 【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量． 【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据， 在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01， 每组数据的组距为20， 则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3， 又∵低于60分的人数是15人， 则该班的学生人数是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12325.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=50． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键． 　 6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9641.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}b，且a＞b，则∠B=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10843.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12326.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12327.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12328.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数． 【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12329.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sinB， ∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12329.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角， 则∠B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10843.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：A． 【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 　 7．（5分）使得（3x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12330.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=3n﹣r•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12331.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12332.png){width="0.46875in" height="0.3854166666666667in"}，令x的幂指数n﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12333.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}r=0即可求得展开式中含有常数项的最小的n． 【解答】解：设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12334.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}（n∈N+）的展开式的通项为Tr+1， 则：Tr+1=3n﹣r•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12335.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}•xn﹣r•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12336.png){width="0.40625in" height="0.3854166666666667in"}=3n﹣r•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12335.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12337.png){width="0.46875in" height="0.3854166666666667in"}， 令n﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12338.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}r=0得：n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12338.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}r，又n∈N+， ∴当r=2时，n最小，即nmin=5． 故选：B． 【点评】本题考查二项式系数的性质，求得n﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12338.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}r=0是关键，考查分析与运算能力，属于中档题． 　 8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12339.png){width="1.6666666666666667in" height="2.3854166666666665in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12340.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12341.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12342.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12343.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n， 执行![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12344.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S． 【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2， 判断2≤10成立，执行![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12345.png){width="1.0104166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，i=2+2=4； 判断4≤10成立，执行![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12346.png){width="1.1666666666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12347.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，i=4+2=6； 判断6≤10成立，执行![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12348.png){width="1.0833333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，i=6+2=8； 判断8≤10成立，执行![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12349.png){width="1.0833333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，i=8+2=10； 判断10≤10成立，执行![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12350.png){width="1.2708333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，i=10+2=12； 判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12351.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：A． 【点评】本题考查了循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件，执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题． 　 9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（　　） A．b=a3 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12352.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12353.png){width="1.5208333333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12354.png){width="1.6041666666666667in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】利用已知可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12355.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（a，a3﹣b），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12356.png){width="0.7916666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12357.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（a，a3），且ab≠0．分以下三种情况：①![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12358.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，②![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12359.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，③![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12360.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，利用垂直与数量积的关系即可得出． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12361.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（a，a3﹣b），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12356.png){width="0.7916666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12357.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（a，a3），且ab≠0． ①若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12362.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12363.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=ba3=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去； ②若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12364.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12365.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=b（a3﹣b）=0，∵b≠0，∴b=a3≠0； ③若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12366.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12367.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=a2+a3（a3﹣b）=0，得1+a4﹣ab=0，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12368.png){width="0.8125in" height="0.3645833333333333in"}． 综上可知：△OAB为直角三角形，则必有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12369.png){width="1.5208333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：C． 【点评】熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键． 　 10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12370.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12371.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12372.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12373.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"} 【分析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径． 【解答】解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12， 所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长， 因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12374.png){width="0.9479166666666666in" height="0.25in"}， 所以球的半径为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12372.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：C． 【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力． 　 11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（　　） A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16 【分析】先作差得到h（x）=f（x）﹣g（x）=2（x﹣a）2﹣8．分别解出h（x）=0，h（x）＞0，h（x）＜0．画出图形，利用新定义即可得出H1（x），H2（x）．进而得出A，B即可． 【解答】解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣\[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8\]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8． ①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）； ②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）； ③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）． 综上可知： （1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=\[x﹣（a+2）\]2﹣4a﹣4， H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣\[x﹣（a﹣2）\]2﹣4a+12， （2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）； （3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）， 故A=g（a+2）=﹣\[（a+2）﹣（a﹣2）\]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12， ∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12375.png){width="2.6256944444444446in" height="2.3229166666666665in"} 【点评】熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键． 　 12．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12376.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，f（2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12377.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，则x＞0时，f（x）（　　） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 【分析】令F（x）=x2f（x），利用导数的运算法则，确定f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12378.png){width="0.75in" height="0.4791666666666667in"}，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论． 【解答】解：∵函数f（x）满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12379.png){width="1.6041666666666667in" height="0.4270833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12380.png){width="1.1875in" height="0.4270833333333333in"} 令F（x）=x2f（x），则F′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12381.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， F（2）=4•f（2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12382.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12383.png){width="1.6041666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，得f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12384.png){width="0.75in" height="0.4791666666666667in"}， 令φ（x）=ex﹣2F（x），则φ′（x）=ex﹣2F′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12385.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}． ∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增， ∴φ（x）的最小值为φ（2）=e2﹣2F（2）=0． ∴φ（x）≥0． 又x＞0，∴f′（x）≥0． ∴f（x）在（0，+∞）单调递增． ∴f（x）既无极大值也无极小值． 故选：D． 【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大． 　 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是　16π﹣16　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12386.png){width="2.5215277777777776in" height="2.4375in"} 【分析】首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可． 【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱， 圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒， 四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4． 故其体积为：22π×4﹣22×4=16π﹣16， 故答案为：16π﹣16． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可． 　 14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=　63　． 【分析】通过解方程求出等比数列{an}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和． 【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4． 因为数列{an}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根， 所以a1=1，a3=4． 设等比数列{an}的公比为q，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12387.png){width="0.9479166666666666in" height="0.4791666666666667in"}，所以q=2． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12388.png){width="2.3125in" height="0.4895833333333333in"}． 故答案为63． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题． 　 15．（5分）已知椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12389.png){width="1.7604166666666667in" height="0.4895833333333333in"}的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若\|AB\|=10，\|AF\|=6，cos∠ABF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12390.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则C的离心率e=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12391.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】设椭圆右焦点为F\'，连接AF\'、BF\'，可得四边形AFBF\'为平行四边形，得\|AF\|=\|BF\'\|=6．△ABF中利用余弦定理算出\|BF\|=8，从而得到\|AF\|2+\|BF\|2=\|AB\|2，得∠AFB=90°，所以c=\|OF\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12392.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|AB\|=5．根据椭圆的定义得到2a=\|BF\|+\|BF\'\|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率． 【解答】解：设椭圆的右焦点为F\'，连接AF\'、BF\' ∵AB与FF\'互相平分，∴四边形AFBF\'为平行四边形，可得\|AF\|=\|BF\'\|=6 ∵△ABF中，\|AB\|=10，\|AF\|=6，cos∠ABF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12390.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴由余弦定理\|AF\|2=\|AB\|2+\|BF\|2﹣2\|AB\|×\|BF\|cos∠ABF， 可得62=102+\|BF\|2﹣2×10×\|BF\|×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12393.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，解之得\|BF\|=8 由此可得，2a=\|BF\|+\|BF\'\|=14，得a=7 ∵△ABF中，\|AF\|2+\|BF\|2=100=\|AB\|2 ∴∠AFB=90°，可得\|OF\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12394.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|AB\|=5，即c=5 因此，椭圆C的离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12395.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12396.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12396.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12397.png){width="2.1979166666666665in" height="1.7291666666666667in"} 【点评】本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题． 　 16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为　10　． 【分析】本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题． 【解答】解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5， 平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=7； 方差s2=\[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2\]÷5=4． 从而有x1+x2+x3+x4+x5=35，① （x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2=20．② 若样本数据中的最大值为11，不妨设x5=11，则②式变为： （x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的； 若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为 10． 故答案为：10． 【点评】本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数． 　 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）设向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12398.png){width="1.4375in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12399.png){width="1.2083333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12400.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}． （1）若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12401.png){width="0.6875in" height="0.20833333333333334in"}，求x的值； （2）设函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12402.png){width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}，求f（x）的最大值． 【分析】（1）由条件求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12403.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12404.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}的值，再根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12405.png){width="0.6875in" height="0.20833333333333334in"}以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值． （2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12406.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12407.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值． 【解答】解：（1）由题意可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12408.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12409.png){width="0.84375in" height="0.25in"}+sin2x=4sin2x，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12410.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=cos2x+sin2x=1， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12405.png){width="0.6875in" height="0.20833333333333334in"}，可得 4sin2x=1，即sin2x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12411.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ∵x∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12412.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]，∴sinx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12413.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12414.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． （2）∵函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12415.png){width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12416.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinx，sinx）•（cosx，sinx）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12416.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinxcosx+sin2x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12417.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}sin2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12418.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12419.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12420.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． x∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12421.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]，∴2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12419.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12419.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12422.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]， ∴当2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12419.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12423.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11265.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12424.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}取得最大值为1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12424.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12425.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题． 　 18．（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点． （Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC； （Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12426.png){width="1.5833333333333333in" height="1.6770833333333333in"} 【分析】（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBC，只要证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线BC即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥平面PAC； （Ⅱ）因为平面PAB和平面ABC垂直，只要在平面ABC内过C作两面的交线AB的垂线，然后过垂足再作PB的垂线，连结C和后一个垂足即可得到二面角C﹣PB﹣A的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：如图， 由AB是圆的直径，得AC⊥BC． 由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC． 又PA∩AC=A，PA⊂平面APC，AC⊂平面PAC， 所以BC⊥平面PAC． 因为BC⊂平面PBC， 所以平面PAC⊥平面PBC； （Ⅱ）解：过C作CM⊥AB于M， 因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以PA⊥CM， 故CM⊥平面PAB． 过M作MN⊥PB于N，连接NC． 由三垂线定理得CN⊥PB． 所以∠CNM为二面角C﹣PB﹣A的平面角． 在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12427.png){width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12428.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12429.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}． 在Rt△ABP中，由AB=2，AP=1，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12430.png){width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"}． 因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12431.png){width="0.5625in" height="0.5833333333333334in"}． 故MN=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12432.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 又在Rt△CNM中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12433.png){width="0.59375in" height="0.3854166666666667in"}．故cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12434.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}． 所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12435.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12436.png){width="1.53125in" height="1.6354166666666667in"} 【点评】本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，"寻找垂面，构造垂线"是找二面角的平面角常用的方法，此题是中档题． 　 19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． （Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率； （Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12437.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，答对每道乙类题的概率都是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12438.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望． 【分析】（I）从10道试题中取出3个的所有可能结果数有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12439.png){width="0.2604166666666667in" height="0.28125in"}，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解 （II）先判断随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值 【解答】解：（I）设事件A="张同学至少取到1道乙类题" 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12440.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=张同学至少取到的全为甲类题 ∴P（A）=1﹣P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12440.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12441.png){width="0.2916666666666667in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12442.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} （II）X的所有可能取值为0，1，2，3 P （X=0）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12443.png){width="1.5729166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12444.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} P（X=1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12445.png){width="0.9166666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12446.png){width="1.0520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12447.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} P（X=2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12448.png){width="0.9479166666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12449.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12450.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12451.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} P（X=3）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12452.png){width="1.1354166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12453.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} X的分布列为 --- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- X 0 1 2 3 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12454.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12455.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12456.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12453.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} --- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- EX=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12457.png){width="2.7291666666666665in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力． 　 20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12458.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}时，切线MA的斜率为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12459.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅰ）求P的值； （Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12460.png){width="1.8229166666666667in" height="1.7291666666666667in"} 【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值． （Ⅱ）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程 【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线C1：x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12461.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，且切线MA的斜率为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12459.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 所以设A点坐标为（x，y），得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12462.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，解得x=﹣1，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12463.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12464.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，点A的坐标为（﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12464.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）， 故切线MA的方程为y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12465.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（x+1）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12464.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 因为点M（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12466.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，y0）在切线MA及抛物线C2上，于是 y0=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12465.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12467.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12468.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12469.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}① ∴y0=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12470.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12469.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}② 解得p=2 （Ⅱ）设N（x，y），A（x1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12471.png){width="0.3125in" height="0.4791666666666667in"}），B（x2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12472.png){width="0.3125in" height="0.4791666666666667in"}），x1≠x2，由N为线段AB中点知x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12473.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}③，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12474.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12475.png){width="0.6979166666666666in" height="0.4791666666666667in"}④ 切线MA，MB的方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12476.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}（x﹣x1）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12477.png){width="0.3125in" height="0.4791666666666667in"}，⑤；y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12478.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}（x﹣x2）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12479.png){width="0.3125in" height="0.4791666666666667in"}⑥， 由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标满足x0=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12480.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，y0=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12481.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"} 因为点M（x0，y0）在C2上，即x02=﹣4y0，所以x1x2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12482.png){width="0.6979166666666666in" height="0.4791666666666667in"}⑦ 由③④⑦得x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12483.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}y，x≠0 当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12483.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}y 因此中点N的轨迹方程为x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12483.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}y 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，此类题运算较繁，解答的关键是合理引入变量，建立起相应的方程，本题探索性强，属于能力型题 　 21．（12分）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12484.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+1+2xcosx，当x∈\[0，1\]时， （I）求证：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12485.png){width="1.2395833333333333in" height="0.3645833333333333in"}； （II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围． 【分析】（I）①当x∈\[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）ex，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）ex，利用导数得到h（x）的单调性即可证明； ②当x∈\[0，1）时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12486.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}⇔ex≥1+x，令u（x）=ex﹣1﹣x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明． （II）利用（I）的结论得到f（x）≥1﹣x，于是G（x）=f（x）﹣g（x）≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12487.png){width="1.7083333333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12488.png){width="1.4375in" height="0.4270833333333333in"}．再令H（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12489.png){width="0.75in" height="0.4270833333333333in"}，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围． 【解答】（I）证明：①当x∈\[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）ex， 令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）ex，则h′（x）=x（ex﹣e﹣x）． 当x∈\[0，1）时，h′（x）≥0， ∴h（x）在\[0，1）上是增函数， ∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x． ②当x∈\[0，1）时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12490.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}⇔ex≥1+x，令u（x）=ex﹣1﹣x，则u′（x）=ex﹣1． 当x∈\[0，1）时，u′（x）≥0， ∴u（x）在\[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0， ∴f（x）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12491.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 综上可知：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12492.png){width="1.2395833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． （II）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12493.png){width="2.3854166666666665in" height="0.3645833333333333in"} ≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12494.png){width="1.7083333333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12495.png){width="1.4375in" height="0.4270833333333333in"}． 令H（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12496.png){width="0.75in" height="0.4270833333333333in"}，则H′（x）=x﹣2sinx， 令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx． 当x∈\[0，1）时，K′（x）＜0， 可得H′（x）是\[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在\[0，1）单调递减， ∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3． ∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在\[0，1）上恒成立． 下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在\[0，1）上不恒成立． f（x）﹣g（x）≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12497.png){width="1.9270833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12498.png){width="1.4895833333333333in" height="0.4270833333333333in"}=﹣x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12499.png){width="1.5104166666666667in" height="0.4270833333333333in"}． 令v（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12500.png){width="1.3229166666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12501.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}，则v′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12502.png){width="1.21875in" height="0.4270833333333333in"}． 当x∈\[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在\[0，1）上是减函数， ∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3\]． 当a＞﹣3时，a+3＞0． ∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）． 即f（x）≥g（x）在\[0，1）不恒成立． 综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3\]． 【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力． 　 请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲 如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE．证明： （I）∠FEB=∠CEB； （II）EF2=AD•BC． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12503.png){width="1.8541666666666667in" height="1.1041666666666667in"} 【分析】（1）直线CD与⊙O相切于E，利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB．由AB为⊙O的直径，可得∠AEB=90°．又EF⊥AB，利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB，从而得证． （2）利用（1）的结论及∠ECB=90°=∠EFB和EB公用可得△CEB≌△FEB，于是CB=FB．同理可得△ADE≌△AFE，AD=AF．在Rt△AEB中，由EF⊥AB，利用射影定理可得EF2=AF•FB．等量代换即可． 【解答】证明：（1）∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB． ∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°． ∴∠EAB+∠EBA=90°． ∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°． ∴∠FEB=∠EAB． ∴∠CEB=∠EAB． （2）∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB， 又∠CEB=∠FEB，EB公用． ∴△CEB≌△FEB． ∴CB=FB． 同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF． 在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF2=AF•FB． ∴EF2=AD•CB． 【点评】熟练掌握弦切角定理、直角三角形的互为余角的关系、三角形全等的判定与性质、射影定理等是解题的关键． 　 23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12504.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12505.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标； （Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12506.png){width="0.8125in" height="0.65625in"}（t∈R为参数），求a，b的值． 【分析】（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可； （II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12507.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12508.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值． 【解答】解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为 x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0， 解![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12509.png){width="1.1145833333333333in" height="0.46875in"}得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12510.png){width="0.375in" height="0.40625in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12511.png){width="0.375in" height="0.40625in"}， ∴C1与C2交点的极坐标为（4，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12512.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）．（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12513.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12514.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）． （II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3）， 故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0， 由参数方程可得y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12515.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12516.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12517.png){width="0.78125in" height="0.7916666666666666in"}， 解得a=﹣1，b=2． 【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题． 　 24．已知函数f（x）=\|x﹣a\|，其中a＞1 （1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣\|x﹣4\|的解集； （2）已知关于x的不等式\|f（2x+a）﹣2f（x）\|≤2的解集{x\|1≤x≤2}，求a的值． 【分析】（1）当a=2时，f（x）≥4﹣\|x﹣4\|可化为\|x﹣2\|+\|x﹣4\|≥4，直接求出不等式\|x﹣2\|+\|x﹣4\|≥4的解集即可． （2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12518.png){width="1.2916666666666667in" height="0.6979166666666666in"}．由\|h（x）\|≤2解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12519.png){width="1.0416666666666667in" height="0.3645833333333333in"}，它与1≤x≤2等价，然后求出a的值． 【解答】解：（1）当a=2时，f（x）≥4﹣\|x﹣4\|可化为\|x﹣2\|+\|x﹣4\|≥4， 当x≤2时，得﹣2x+6≥4，解得x≤1； 当2＜x＜4时，得2≥4，无解； 当x≥4时，得2x﹣6≥4，解得x≥5； 故不等式的解集为{x\|x≥5或x≤1}． （2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12520.png){width="1.2916666666666667in" height="0.6979166666666666in"} 由\|h（x）\|≤2得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12519.png){width="1.0416666666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 又已知关于x的不等式\|f（2x+a）﹣2f（x）\|≤2的解集{x\|1≤x≤2}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12521.png){width="0.59375in" height="0.7916666666666666in"}， 故a=3． 【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型． 2013年辽宁省高考数学试卷（文科） ================================ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x\|\|x\|＜2}，则A∩B=（　　） A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2} 【分析】求出B中绝对值不等式的解集，确定出B，找出A与B的公共元素即可求出交集． 【解答】解：由B中的不等式\|x\|＜2，解得：﹣2＜x＜2，即B=（﹣2，2）， ∵A={0，1，2，3，4}， ∴A∩B={0，1}． 故选：B． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 2．（5分）复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12522.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}的模长为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12523.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12524.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12525.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．2 【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果． 【解答】解：复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12526.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12527.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12528.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12529.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12530.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 故选：B． 【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力． 　 3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12531.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}同方向的单位向量为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12532.png){width="0.75in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12533.png){width="0.75in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12534.png){width="0.75in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12535.png){width="0.75in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】由条件求得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12531.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（3，﹣4），\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12531.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=5，再根据与向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12536.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}同方向的单位向量为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12537.png){width="0.4270833333333333in" height="0.4479166666666667in"} 求得结果． 【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12536.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12536.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12538.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}=5， 则与向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12536.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}同方向的单位向量为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12537.png){width="0.4270833333333333in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12539.png){width="0.75in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：A． 【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题． 　 4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列； p3：数列![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12540.png){width="0.4375in" height="0.4270833333333333in"}是递增数列； p4：数列{an+3nd}是递增数列； 其中真命题是（　　） A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论． 【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{an}，an+1﹣an=d＞0，∴命题p1：数列{an}是递增数列成立，是真命题． 对于数列{nan}，第n+1项与第n项的差等于 （n+1）an+1﹣nan=（n+1）d+an，不一定是正实数， 故p2不正确，是假命题． 对于数列![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12541.png){width="0.4375in" height="0.4270833333333333in"}，第n+1项与第n项的差等于 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12542.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12543.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12544.png){width="1.15625in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12545.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"}，不一定是正实数， 故p3不正确，是假命题． 对于数列{an+3nd}，第n+1项与第n项的差等于 an+1+3（n+1）d﹣an﹣3nd=4d＞0， 故命题p4：数列{an+3nd}是递增数列成立，是真命题． 故选：D． 【点评】本题主要考查等差数列的定义，增数列的含义，命题的真假的判断，属于中档题． 　 5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为\[20，40），\[40，60），\[60，80），\[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12546.png){width="2.5215277777777776in" height="1.5520833333333333in"} A．45 B．50 C．55 D．60 【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量． 【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据， 在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01， 每组数据的组距为20， 则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3， 又∵低于60分的人数是15人， 则该班的学生人数是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12547.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=50． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键． 　 6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12548.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}b，且a＞b，则∠B=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12549.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12550.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12551.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12552.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数． 【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12548.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sinB， ∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12553.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角， 则∠B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12554.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：A． 【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 　 7．（5分）已知函数f（x）=ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12555.png){width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}﹣3x）+1，则f（lg2）+f（lg![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12553.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据条件结合对数的运算法则得到f（﹣x）+f（x）=2，即可得到结论． 【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，+∞）， ∵f（x）=ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12556.png){width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}﹣3x）+1， ∴f（﹣x）+f（x）=ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12556.png){width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}+3x）+1+ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12556.png){width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}﹣3x）+1=ln\[（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12556.png){width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}+3x）（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12556.png){width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}﹣3x）\]+2=ln（1+9x2﹣9x2）+2=ln1+2=2， 则f（lg2）+f（lg![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12557.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=f（lg2）+f（﹣lg2）=2， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件结合对数的运算法则得到f（﹣x）+f（x）=2是解决本题的关键． 　 8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12558.png){width="1.8541666666666667in" height="3.0944444444444446in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12559.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12560.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12561.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12562.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i≤8，即i=2，4，6，8，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值． 【解答】解：当i=2时，S=0+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12563.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12564.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，i=4； 当i=4时，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12564.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12565.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12566.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，i=6； 当i=6时，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12567.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12568.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12569.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，i=8； 当i=8时，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12569.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12570.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12571.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，i=10； 不满足循环的条件i≤8，退出循环，输出S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12571.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12572.png){width="2.09375in" height="2.917361111111111in"} 【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理． 　 9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（　　） A．b=a3 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12573.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12574.png){width="1.5208333333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12575.png){width="1.6041666666666667in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】利用已知可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12576.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（a，a3﹣b），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12577.png){width="0.7916666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12578.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（a，a3），且ab≠0．分以下三种情况：①![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12579.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，②![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12580.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，③![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12581.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，利用垂直与数量积的关系即可得出． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12582.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（a，a3﹣b），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12583.png){width="0.7916666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12578.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（a，a3），且ab≠0． ①若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12584.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12585.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=ba3=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去； ②若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12586.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12587.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=b（a3﹣b）=0，∵b≠0，∴b=a3≠0； ③若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12588.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12589.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=a2+a3（a3﹣b）=0，得1+a4﹣ab=0，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12590.png){width="0.8125in" height="0.3645833333333333in"}． 综上可知：△OAB为直角三角形，则必有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12591.png){width="1.5208333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：C． 【点评】熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键． 　 10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12592.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12593.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12594.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12595.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"} 【分析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径． 【解答】解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12， 所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长， 因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12596.png){width="0.9479166666666666in" height="0.25in"}， 所以球的半径为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12594.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：C． 【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力． 　 11．（5分）已知椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12597.png){width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若\|AB\|=10，\|AF\|=6，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12598.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}，则C的离心率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12599.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12600.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12601.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12602.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】在△AFB中，由余弦定理可得\|AF\|2=\|AB\|2+\|BF\|2﹣2\|AB\|\|BF\|cos∠ABF，即可得到\|BF\|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形． 即可得到a，c，进而取得离心率． 【解答】解：如图所示，在△AFB中，由余弦定理可得\|AF\|2=\|AB\|2+\|BF\|2﹣2\|AB\|\|BF\|cos∠ABF， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12603.png){width="2.03125in" height="0.3645833333333333in"}，化为（\|BF\|﹣8）2=0，解得\|BF\|=8． 设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形． ∴\|BF′\|=6，\|FF′\|=10． ∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12604.png){width="0.5625in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12605.png){width="1.8645833333333333in" height="2.0833333333333335in"} 【点评】熟练掌握余弦定理、椭圆的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识是解题的关键． 　 12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（　　） A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16 【分析】本选择题宜采用特殊值法．取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．从而得出H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，再将两函数图象对应的方程组成方程组，求解即得． 【解答】解：取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12606.png){width="4.292361111111111in" height="2.667361111111111in"} 则H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12607.png){width="1.0104166666666667in" height="0.5208333333333334in"} 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12608.png){width="0.375in" height="0.40625in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12609.png){width="0.4583333333333333in" height="0.40625in"}， ∴A=4，B=20，A﹣B=﹣16． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等，考查了数形结合的思想，属于中档题． 　 二、填空题 13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是　16π﹣16　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12610.png){width="2.5215277777777776in" height="2.4375in"} 【分析】首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可． 【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱， 圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒， 四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4． 故其体积为：22π×4﹣22×4=16π﹣16， 故答案为：16π﹣16． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可． 　 14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=　63　． 【分析】通过解方程求出等比数列{an}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和． 【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4． 因为数列{an}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根， 所以a1=1，a3=4． 设等比数列{an}的公比为q，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12611.png){width="0.9479166666666666in" height="0.4791666666666667in"}，所以q=2． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12612.png){width="2.3125in" height="0.4895833333333333in"}． 故答案为63． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题． 　 15．（5分）已知F为双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12613.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为　44　． 【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义"到两定点的距离之差为定值2a"解决．求出周长即可． 【解答】解：根据题意，双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12613.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}的左焦点F（﹣5，0），所以点A（5，0）是双曲线的右焦点， 虚轴长为：8； 双曲线图象如图： \|PF\|﹣\|AP\|=2a=6 ① \|QF\|﹣\|QA\|=2a=6 ② 而\|PQ\|=16， ①+② 得：\|PF\|+\|QF\|﹣\|PQ\|=12， ∴周长为：\|PF\|+\|QF\|+\|PQ\|=12+2\|PQ\|=44 故答案为：44． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12614.png){width="2.604861111111111in" height="2.3020833333333335in"} 【点评】本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题． 　 16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为　10　． 【分析】本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题． 【解答】解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5， 平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=7； 方差s2=\[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2\]÷5=4． 从而有x1+x2+x3+x4+x5=35，① （x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2=20．② 若样本数据中的最大值为11，不妨设x5=11，则②式变为： （x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的； 若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为 10． 故答案为：10． 【点评】本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数． 　 三、解答题 17．（12分）设向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12615.png){width="1.4375in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12616.png){width="1.2083333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12617.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}． （1）若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12618.png){width="0.6875in" height="0.20833333333333334in"}，求x的值； （2）设函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12619.png){width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}，求f（x）的最大值． 【分析】（1）由条件求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12620.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12621.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}的值，再根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12622.png){width="0.6875in" height="0.20833333333333334in"}以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值． （2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12623.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12624.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值． 【解答】解：（1）由题意可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12620.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12625.png){width="0.84375in" height="0.25in"}+sin2x=4sin2x，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12626.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=cos2x+sin2x=1， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12627.png){width="0.6875in" height="0.20833333333333334in"}，可得 4sin2x=1，即sin2x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12628.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ∵x∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12629.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]，∴sinx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12630.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12631.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． （2）∵函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12632.png){width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12633.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinx，sinx）•（cosx，sinx）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12633.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinxcosx+sin2x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12634.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}sin2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12635.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12636.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12637.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． x∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12638.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]，∴2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12639.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12639.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12640.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]， ∴当2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12639.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12638.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12639.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12641.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}取得最大值为1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12641.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12642.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题． 　 18．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点． （1）求证：BC⊥平面PAC； （2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12643.png){width="1.8125in" height="1.375in"} 【分析】（1）由PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC，根据直线和平面垂直 的判定定理可得结论． （2）连接OG并延长交AC于点M，则由重心的性质可得M为AC的中点．利用三角形的中位线性质，证明OM∥BC， QM∥PC，可得平面OQM∥平面PBC，从而证明QG∥平面PBC． 【解答】解：（1）AB是圆O的直径，PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC， C是圆O上的点，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC． 再由AC∩PA=A，利用直线和平面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC． （2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，连接OG并延长交AC于点M， 连接QM，则由重心的性质可得M为AC的中点． 故OM是△ABC的中位线，QM是△PAC的中位线，故有OM∥BC，QM∥PC． 而OM和QM是平面OQM内的两条相交直线，AC和BC是平面PBC内的两条相交直线， 故平面OQM∥平面PBC． 又QG⊂平面OQM，∴QG∥平面PBC． 【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、直线和平面平行的判定定理的应用，属于中档题． 　 19．（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答． （1）所取的2道题都是甲类题的概率； （2）所取的2道题不是同一类题的概率． 【分析】（1）根据题意，设事件A为"都是甲类题"，由组合数原理，可得试验结果总数与A包含的基本事件数目，由古典概率公式计算可得答案， （2）设事件B为"所取的2道题不是同一类题"，分析可得是组合问题，由组合公式，可得从6件中抽取2道的情况数目与抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，由古典概率公式计算可得答案． 【解答】解：（1）从中任取2道题解答，试验结果有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12644.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=15种； 设事件A为"所取的2道题都是甲类题"，则包含的基本事件共有C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12645.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=6种， 因此，P（A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12646.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． （2）设事件B为"所取的2道题不是同一类题"， 从6件中抽取2道，有C62种情况， 而抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，有C41•C21=8种情况， 根据古典概型的计算，有P（B）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12647.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查组合的运用以及古典概型的概率的计算，属于基础题． 　 20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12648.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}时，切线MA的斜率为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12649.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅰ）求P的值； （Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12650.png){width="1.8229166666666667in" height="1.7291666666666667in"} 【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值． （Ⅱ）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程 【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线C1：x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12651.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，且切线MA的斜率为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12649.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 所以设A点坐标为（x，y），得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12652.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，解得x=﹣1，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12653.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12654.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，点A的坐标为（﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12654.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）， 故切线MA的方程为y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12655.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（x+1）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12654.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 因为点M（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12656.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，y0）在切线MA及抛物线C2上，于是 y0=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12655.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12656.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12654.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12657.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}① ∴y0=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12658.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12657.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}② 解得p=2 （Ⅱ）设N（x，y），A（x1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12659.png){width="0.3125in" height="0.4791666666666667in"}），B（x2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12660.png){width="0.3125in" height="0.4791666666666667in"}），x1≠x2，由N为线段AB中点知x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12661.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}③，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12662.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12663.png){width="0.6979166666666666in" height="0.4791666666666667in"}④ 切线MA，MB的方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12664.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}（x﹣x1）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12665.png){width="0.3125in" height="0.4791666666666667in"}，⑤；y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12666.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}（x﹣x2）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12667.png){width="0.3125in" height="0.4791666666666667in"}⑥， 由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标满足x0=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12668.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，y0=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12669.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"} 因为点M（x0，y0）在C2上，即x02=﹣4y0，所以x1x2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12670.png){width="0.6979166666666666in" height="0.4791666666666667in"}⑦ 由③④⑦得x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12671.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}y，x≠0 当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12672.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}y 因此中点N的轨迹方程为x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12672.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}y 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，此类题运算较繁，解答的关键是合理引入变量，建立起相应的方程，本题探索性强，属于能力型题 　 21．（12分）（1）证明：当x∈\[0，1\]时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12673.png){width="1.09375in" height="0.3854166666666667in"}； （2）若不等式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12674.png){width="1.9791666666666667in" height="0.4270833333333333in"}对x∈\[0，1\]恒成立，求实数a的取值范围． 【分析】（1）记F（x）=sinx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12675.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}x，可求得F′（x）=cosx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12675.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，分x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12676.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）与x∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9834.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，1）两类讨论，可证得当x∈\[0，1\]时，F（x）≥0，即sinx≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12677.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}x；记H（x）=sinx﹣x，同理可证当x∈（0，1）时，sinx≤x，二者结合即可证得结论； （2）利用（1），可求得当x∈\[0，1\]时，ax+x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12678.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+2（x+2）cosx﹣4≤（a+2）x，分a≤﹣2与a＞﹣2讨论即可求得实数a的取值范围． 【解答】（1）证明：记F（x）=sinx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12677.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}x，则F′（x）=cosx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12677.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 当x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9834.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）时，F′（x）＞0，F（x）在\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12679.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上是增函数； 当x∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12679.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，1）时，F′（x）＜0，F（x）在\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12679.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，1\]上是减函数； 又F（0）=0，F（1）＞0，所以当x∈\[0，1\]时，F（x）≥0，即sinx≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12680.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}x， 记H（x）=sinx﹣x，则当x∈（0，1）时，H′（x）=cosx﹣1＜0，所以H（x）在\[0，1\]上是减函数；则H（x）≤H（0）=0， 即sinx≤x． 综上，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12681.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}x≤sinx≤x． （2）∵当x∈\[0，1\]时，ax+x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12682.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+2（x+2）cosx﹣4 =（a+2）x+x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12682.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣4（x+2）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12683.png){width="0.5in" height="0.3645833333333333in"} ≤（a+2）x+x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12684.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣4（x+2）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12685.png){width="0.625in" height="0.4479166666666667in"} =（a+2）x， ∴当a≤﹣2时，不等式ax+x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12684.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+2（x+2）cosx≤4对x∈\[0，1\]恒成立， 下面证明，当a＞﹣2时，不等式ax+x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12684.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+2（x+2）cosx≤4对x∈\[0，1\]不恒成立． ∵当x∈\[0，1\]时，ax+x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12686.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+2（x+2）cosx﹣4 =（a+2）x+x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12686.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣4（x+2）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12687.png){width="0.5in" height="0.3645833333333333in"} ≥（a+2）x+x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12688.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣4（x+2）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12689.png){width="0.4375in" height="0.4270833333333333in"} =（a+2）x﹣x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12690.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"} ≥（a+2）x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12691.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x2 =﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12691.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x\[x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12692.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（a+2）\]． 所以存在x0∈（0，1）（例如x0取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12693.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12694.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}中的较小值）满足 ax0+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12695.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12696.png){width="0.3125in" height="0.4791666666666667in"}+2（x0+2）cosx0﹣4＞0， 即当a＞﹣2时，不等式ax+x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12697.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+2（x+2）cosx≤4对x∈\[0，1\]不恒成立． 综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2\]． 【点评】本题考查不等式的证明，突出考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立问题，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，属于难题． 　 请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．（10分）（选修4﹣1几何证明选讲） 如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直于AB于F，连接AE，BE，证明： （1）∠FEB=∠CEB； （2）EF2=AD•BC． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12698.png){width="2.4902777777777776in" height="1.6041666666666667in"} 【分析】（1）直线CD与⊙O相切于E，利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB．由AB为⊙O的直径，可得∠AEB=90°．又EF⊥AB，利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB，从而得证． （2）利用（1）的结论及∠ECB=90°=∠EFB和EB公用可得△CEB≌△FEB，于是CB=FB．同理可得△ADE≌△AFE，AD=AF．在Rt△AEB中，由EF⊥AB，利用射影定理可得EF2=AF•FB．等量代换即可． 【解答】证明：（1）∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB． ∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°． ∴∠EAB+∠EBA=90°． ∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°． ∴∠FEB=∠EAB． ∴∠CEB=∠EAB． （2）∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB， 又∠CEB=∠FEB，EB公用． ∴△CEB≌△FEB． ∴CB=FB． 同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF． 在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF2=AF•FB． ∴EF2=AD•CB． 【点评】熟练掌握弦切角定理、直角三角形的互为余角的关系、三角形全等的判定与性质、射影定理等是解题的关键． 　 23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12699.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12700.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标； （Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12701.png){width="0.8125in" height="0.65625in"}（t∈R为参数），求a，b的值． 【分析】（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可； （II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12702.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12703.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值． 【解答】解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为 x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0， 解![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12704.png){width="1.1145833333333333in" height="0.46875in"}得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12705.png){width="0.375in" height="0.40625in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12706.png){width="0.375in" height="0.40625in"}， ∴C1与C2交点的极坐标为（4，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12707.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）．（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12708.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12709.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）． （II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3）， 故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0， 由参数方程可得y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12710.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12711.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12712.png){width="0.78125in" height="0.7916666666666666in"}， 解得a=﹣1，b=2． 【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题． 　 24．已知函数f（x）=\|x﹣a\|，其中a＞1 （1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣\|x﹣4\|的解集； （2）已知关于x的不等式\|f（2x+a）﹣2f（x）\|≤2的解集{x\|1≤x≤2}，求a的值． 【分析】（1）当a=2时，f（x）≥4﹣\|x﹣4\|可化为\|x﹣2\|+\|x﹣4\|≥4，直接求出不等式\|x﹣2\|+\|x﹣4\|≥4的解集即可． （2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12713.png){width="1.2916666666666667in" height="0.6979166666666666in"}．由\|h（x）\|≤2解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12714.png){width="1.0416666666666667in" height="0.3645833333333333in"}，它与1≤x≤2等价，然后求出a的值． 【解答】解：（1）当a=2时，f（x）≥4﹣\|x﹣4\|可化为\|x﹣2\|+\|x﹣4\|≥4， 当x≤2时，得﹣2x+6≥4，解得x≤1； 当2＜x＜4时，得2≥4，无解； 当x≥4时，得2x﹣6≥4，解得x≥5； 故不等式的解集为{x\|x≥5或x≤1}． （2）设h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12713.png){width="1.2916666666666667in" height="0.6979166666666666in"} 由\|h（x）\|≤2得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12715.png){width="1.0416666666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 又已知关于x的不等式\|f（2x+a）﹣2f（x）\|≤2的解集{x\|1≤x≤2}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12716.png){width="0.59375in" height="0.7916666666666666in"}， 故a=3． 【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型． 　 2013年山东省高考数学试卷（理科） ================================ 一、选择题 1．（5分）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12717.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}为（　　） A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i 【分析】利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12718.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}． 【解答】解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5， ∴z﹣3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12719.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=2+i ∴z=5+i， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12718.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=5﹣i． 故选：D． 【点评】本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题． 　 2．（5分）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y\|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　） A．1 B．3 C．5 D．9 【分析】依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案． 【解答】解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y\|x∈A，y∈A}， ∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2； 当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1； 当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0； ∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴集合B={x﹣y\|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个． 故选：C． 【点评】本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查分析运算能力，属于中档题． 　 3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12720.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}，则f（﹣1）=（　　） A．﹣2 B．0 C．1 D．2 【分析】利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案． 【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12721.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题． 　 4．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12722.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，底面是边长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12723.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12724.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12725.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12726.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12727.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12728.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4791666666666667in"}即可得出． 【解答】解：如图所示， ∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角， ∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12729.png){width="0.75in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12730.png){width="0.9166666666666666in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12731.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． ∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12732.png){width="1.2291666666666667in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12733.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12734.png){width="0.6145833333333334in" height="0.22916666666666666in"}． 又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12735.png){width="0.8125in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12736.png){width="1.3125in" height="0.3645833333333333in"}=1， 在Rt△AA1P中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12737.png){width="1.5416666666666667in" height="0.4791666666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12738.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12739.png){width="1.6979166666666667in" height="2.7819444444444446in"} 【点评】熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键． 　 5．（5分）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12740.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12741.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12742.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．0 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12743.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12740.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案． 【解答】解：令y=f（x）=sin（2x+φ）， 则f（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12740.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=sin\[2（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12740.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+φ\]=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12742.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+φ）， ∵f（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12744.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）为偶函数， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12745.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+φ=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12746.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴φ=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12745.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z， ∴当k=0时，φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12745.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故φ的一个可能的值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12745.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． 【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题． 　 6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12747.png){width="0.875in" height="0.65625in"}所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（　　） A．2 B．1 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12748.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12749.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可． 【解答】解：不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12750.png){width="0.875in" height="0.65625in"}表示的区域如图， 当M取得点A（3，﹣1）时， z直线OM斜率取得最小，最小值为 k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12751.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12752.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12753.png){width="2.542361111111111in" height="2.667361111111111in"} 【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题． 　 7．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案． 【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件， ∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q， 其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p， 则p是¬q的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键． 　 8．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12754.png){width="1.2604166666666667in" height="1.0520833333333333in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12755.png){width="1.2604166666666667in" height="1.1145833333333333in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12756.png){width="1.2604166666666667in" height="1.0520833333333333in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12757.png){width="1.2604166666666667in" height="1.0625in"} 【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求． 【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B， 由当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12758.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12759.png){width="2.0729166666666665in" height="0.3645833333333333in"}， 当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0． 由此可排除选项A和选项C． 故正确的选项为D． 故选：D． 【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题． 　 9．（5分）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（　　） A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0 【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可． 【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足． 故选：A． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习． 　 10．（5分）用0，1，2，...，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（　　） A．243 B．252 C．261 D．279 【分析】求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可． 【解答】解：用0，1，2，...，9十个数字，所有三位数个数为：900， 其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648， 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252． 故选：B． 【点评】本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力． 　 11．（5分）抛物线C1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12760.png){width="1.125in" height="0.3645833333333333in"}的焦点与双曲线C2：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12761.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12762.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12763.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12764.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12765.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12766.png){width="1.125in" height="0.3645833333333333in"}在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值． 【解答】解：由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12766.png){width="1.125in" height="0.3645833333333333in"}，得x2=2py（p＞0）， 所以抛物线的焦点坐标为F（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12767.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}）． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12768.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12769.png){width="0.8333333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12770.png){width="1.4479166666666667in" height="0.25in"}． 所以双曲线的右焦点为（2，0）． 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12771.png){width="0.7604166666666666in" height="0.5729166666666666in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12772.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}①． 设该直线交抛物线于M（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12773.png){width="0.6979166666666666in" height="0.4791666666666667in"}），则C1在点M处的切线的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12774.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}． 由题意可知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12775.png){width="0.8125in" height="0.4270833333333333in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12776.png){width="0.6458333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，代入M点得M（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12777.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3854166666666667in"}） 把M点代入①得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12778.png){width="1.1979166666666667in" height="0.4479166666666667in"}． 解得p=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12779.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 故选：D． 【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题． 　 12．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12780.png){width="0.21875in" height="0.375in"}取得最大值时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12781.png){width="0.6145833333333334in" height="0.375in"}的最大值为（　　） A．0 B．1 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12782.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．3 【分析】依题意，当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12780.png){width="0.21875in" height="0.375in"}取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12783.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12784.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12785.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，利用配方法即可求得其最大值． 【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0， ∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12786.png){width="0.21875in" height="0.375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12787.png){width="0.9375in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12788.png){width="0.6770833333333334in" height="0.5833333333333334in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12789.png){width="0.96875in" height="0.6041666666666666in"}=1（当且仅当x=2y时取"="）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12790.png){width="0.65625in" height="0.4375in"}=1，此时，x=2y． ∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12791.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12792.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12793.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12792.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12792.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12794.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12795.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4375in"}+1≤1，当且仅当y=1时取得"="，满足题意． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12796.png){width="0.6145833333333334in" height="0.375in"}的最大值为1． 故选：B． 【点评】本题考查基本不等式，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12797.png){width="0.21875in" height="0.375in"}取得最大值时得到x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题． 　 二、填空题 13．（4分）执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0.25，则输出的n值为　3　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12798.png){width="2.8444444444444446in" height="5.000694444444444in"} 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出n的值． 【解答】解：循环前，F0=1，F1=2，n=1， 第一次循环，F0=1，F1=3，n=2， 第二次循环，F0=2，F1=4，n=3， 此时![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12799.png){width="0.90625in" height="0.4270833333333333in"}，满足条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12800.png){width="0.75in" height="0.4270833333333333in"}，退出循环，输出n=3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了直到循环结构，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题． 　 14．（4分）在区间\[﹣3，3\]上随机取一个数x使得\|x+1\|﹣\|x﹣2\|≥1的概率为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12801.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间\[﹣3，3\]的长度求比值即得． 【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度． 由不等式\|x+1\|﹣\|x﹣2\|≥1 可得 ①![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12802.png){width="1.375in" height="0.4270833333333333in"}，或②![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12803.png){width="1.2916666666666667in" height="0.4270833333333333in"}， ③![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12804.png){width="1.2916666666666667in" height="0.3958333333333333in"}． 解①可得x∈∅，解②可得1≤x＜2，解③可得 x≥2． 故原不等式的解集为{x\|x≥1}， ∴\|在区间\[﹣3，3\]上随机取一个数x使得\|x+1\|﹣\|x﹣2\|≥1的概率为P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12805.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12806.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12806.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 　 15．（4分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12807.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12808.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为120°，且\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12807.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=3，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12808.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=2．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12809.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12807.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12810.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12811.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12812.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，则实数λ的值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12813.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12814.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12810.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，表示![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12812.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}向量，通过数量积为0，求出λ的值即可． 【解答】解：由题意可知：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12815.png){width="0.7708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}， 因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12816.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12817.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12818.png){width="2.0833333333333335in" height="0.20833333333333334in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12819.png){width="2.1770833333333335in" height="0.2708333333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12820.png){width="3.1770833333333335in" height="0.3645833333333333in"} =﹣12λ+7=0 解得λ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12821.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12821.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力． 　 16．（4分）定义"正对数"：ln+x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12822.png){width="1.2083333333333333in" height="0.4479166666666667in"}，现有四个命题： ①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a； ②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b； ③若a＞0，b＞0，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12823.png){width="1.65625in" height="0.3645833333333333in"}； ④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2． 其中的真命题有　①③④　（写出所有真命题的序号） 【分析】由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假． 【解答】解：（1）对于①，由定义，当a≥1时，ab≥1，故ln+（ab）=ln（ab）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（ab）=bln+a；当a＜1时，ab＜1，故ln+（ab）=0，又a＜1时bln+a=0，所以此时亦有ln+（ab）=bln+a，故①正确； （2）对于②，此命题不成立，可令a=2，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12824.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则ab=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12825.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，由定义ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）≠ln+a+ln+b，故②错误； （3）对于③， i．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12826.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≥1时，此时![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12827.png){width="1.34375in" height="0.3645833333333333in"}≥0， 当a≥b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12828.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，此时则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12829.png){width="1.5729166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，命题成立； 当a＞1＞b＞0时，ln+a﹣ln+b=lna，此时![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12830.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12831.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3645833333333333in"}＞lna，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12832.png){width="1.65625in" height="0.3645833333333333in"}，命题成立； 当1＞a≥b＞0时，ln+a﹣ln+b=0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12832.png){width="1.65625in" height="0.3645833333333333in"}成立； ii．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12833.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜1时，同理可验证是正确的，故③正确； （4）对于④， 当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab）， ∵a+b﹣2ab=a﹣ab+b﹣ab=a（1﹣b）+b（1﹣a）≤0， ∴a+b≤2ab， ∴ln（a+b）＜ln（2ab）， ∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2． 当a＞1，0＜b＜1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln（2a）， ∵a+b﹣2a=b﹣a≤0， ∴a+b≤2a， ∴ln（a+b）＜ln（2a）， ∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2． 当b＞1，0＜a＜1时，同理可证ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2． 当0＜a＜1，0＜b＜1时，可分a+b≥1和a+b＜1两种情况，均有ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2． 故④正确． 故答案为①③④． 【点评】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强．易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错． 　 三、解答题 17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12834.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （1）求a，c的值； （2）求sin（A﹣B）的值． 【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将b与cosB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即可； （2）先由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出cosA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12834.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12835.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}ac=36﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12836.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}ac=4， 整理得：ac=9②， 联立①②解得：a=c=3； （2）∵cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12837.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，B为三角形的内角， ∴sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12838.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12839.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∵b=2，a=3，sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12839.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∴由正弦定理得：sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12840.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12841.png){width="0.6458333333333334in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12842.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∵a=c，即A=C，∴A为锐角， ∴cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12843.png){width="0.7604166666666666in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12844.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12842.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12845.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12844.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12846.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12847.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 　 18．（12分）如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH． （1）求证：AB∥GH； （2）求二面角D﹣GH﹣E的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12848.png){width="2.5944444444444446in" height="2.375in"} 【分析】（1）由给出的D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到DC平行于EF，再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH，从而得到AB∥GH； （2）由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，设出BA、BQ、BP的长度，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣GH﹣E的余弦值． 【解答】（1）证明：如图， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12849.png){width="2.3854166666666665in" height="2.5006944444444446in"} ∵C，D为AQ，BQ的中点，∴CD∥AB， 又E，F分别AP，BP的中点，∴EF∥AB， 则EF∥CD．又EF⊂平面EFQ，∴CD∥平面EFQ． 又CD⊂平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH． 又AB∥CD，∴AB∥GH； （2）由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，三角形ABQ为直角三角形， 以B为坐标原点，分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 设AB=BP=BQ=2， 则D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1）， 因为H为三角形PBQ的重心，所以H（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12850.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12850.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12851.png){width="1.125in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12852.png){width="1.2708333333333333in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12853.png){width="1.125in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12854.png){width="1.2708333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 设平面GCD的一个法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12855.png){width="1.3541666666666667in" height="0.2708333333333333in"} 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12856.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12857.png){width="1.15625in" height="0.65625in"}，取z1=1，得y1=2． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12858.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}． 设平面EFG的一个法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12859.png){width="1.3541666666666667in" height="0.2708333333333333in"} 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12860.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12861.png){width="1.0520833333333333in" height="0.65625in"}，取z2=2，得y2=1． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12862.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12863.png){width="2.7291666666666665in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12864.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 则二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12865.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了直线与平面平行的性质，考查了二面角的平面角及其求法，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了计算能力，解答此题的关键是正确求出H点的坐标，是中档题． 　 19．（12分）甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12866.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，其余每局比赛甲队获胜的概率都是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12867.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．设各局比赛结果相互独立． （1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率； （2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望． 【分析】（1）甲队获胜有三种情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率； （2）X的取值可能为0，1，2，3，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可． 【解答】解：（1）甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜 ①3：0，概率为P1=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12867.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12868.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； ②3：1，概率为P2=C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12869.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12870.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2×（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12870.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12870.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12871.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； ③3：2，概率为P3=C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12872.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12870.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2×（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12870.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12873.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12874.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ∴甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12875.png){width="1.03125in" height="0.3645833333333333in"}． （2）乙队得分X，则X的取值可能为0，1，2，3． 由（1）知P（X=0）=P1+P2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12876.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； P（X=1）=P3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12874.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； P（X=2）=C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12877.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12878.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2×（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12878.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12879.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12880.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； P（X=3）=（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12878.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）3+C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12881.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12878.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2×（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12882.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12883.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12884.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 则X的分布列为 --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- X 3 2 1 0 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12884.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12885.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12885.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12886.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- E（X）=3×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12887.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12888.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+1×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12888.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+0×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12889.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12890.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题． 　 20．（12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}的前n项和为Tn且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12891.png){width="0.9791666666666666in" height="0.4791666666666667in"}（λ为常数）．令cn=b2n（n∈N\*）求数列{cn}的前n项和Rn． 【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列{an}的通项公式； （2）把{an}的通项公式代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12891.png){width="0.9791666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，求出当n≥2时的通项公式，然后由cn=b2n得数列{cn}的通项公式，最后利用错位相减法求其前n项和． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0① 再由S4=4S2，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12892.png){width="1.90625in" height="0.3645833333333333in"}，即d=2a1② 联立①、②得a1=1，d=2． 所以an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （2）把an=2n﹣1代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12893.png){width="0.9791666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12894.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12895.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}． 所以b1=T1=λ﹣1， 当n≥2时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12896.png){width="2.7604166666666665in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12897.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12898.png){width="0.65625in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12899.png){width="1.5416666666666667in" height="0.4270833333333333in"}． Rn=c1+c2+...+cn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12900.png){width="1.4479166666666667in" height="0.4270833333333333in"}③ ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12901.png){width="1.6458333333333333in" height="0.4270833333333333in"}④ ③﹣④得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12902.png){width="2.0104166666666665in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12903.png){width="1.3125in" height="0.8229166666666666in"} 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12904.png){width="1.1979166666666667in" height="0.4270833333333333in"}； 所以数列{cn}的前n项和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12904.png){width="1.1979166666666667in" height="0.4270833333333333in"}． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的求和，训练了错位相减法，考查了学生的计算能力，属中档题． 　 21．（13分）设函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12905.png){width="2.5in" height="0.4270833333333333in"}． （1）求f（x）的单调区间及最大值； （2）讨论关于x的方程\|lnx\|=f（x）根的个数． 【分析】（1）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0即可得出单调区间及极值与最值； （2）分类讨论：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12906.png){width="0.2916666666666667in" height="0.4270833333333333in"}﹣c，②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12907.png){width="0.4791666666666667in" height="0.4270833333333333in"}．利用导数分别求出c的取值范围，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12908.png){width="1.5208333333333333in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12909.png){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，解f′（x）＞0，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12910.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}；解f′（x）＜0，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12911.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}． ∴函数f（x）的单调递增区间为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12912.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}；单调递减区间为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12913.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故f（x）在x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12914.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}取得最大值，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12915.png){width="1.1145833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． （2）函数y=\|lnx\|，当x＞0时的值域为\[0，+∞）．如图所示： ①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12916.png){width="0.2916666666666667in" height="0.4270833333333333in"}﹣c， c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12917.png){width="0.7291666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=g（x）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12918.png){width="1.3229166666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12919.png){width="0.9479166666666666in" height="0.4791666666666667in"}． 令h（x）=e2x+x﹣2x2，则h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1\]单调递增， ∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1． ∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1\]单调递减． ∴c![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12920.png){width="0.9166666666666666in" height="0.4270833333333333in"}． ②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12921.png){width="0.4791666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，得到c=lnx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12922.png){width="0.2916666666666667in" height="0.4270833333333333in"}=m（x）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12923.png){width="1.2395833333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12924.png){width="0.9791666666666666in" height="0.4791666666666667in"}＞0， 故m（x）在\[1，+∞）上单调递增，∴c≥m（1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12925.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}． 综上①②可知：当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12926.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}时，方程\|lnx\|=f（x）无实数根； 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12927.png){width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}时，方程\|lnx\|=f（x）有一个实数根； 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12928.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}时，方程\|lnx\|=f（x）有两个实数根． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12929.png){width="1.8229166666666667in" height="1.8541666666666667in"} 【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值最值、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力及其化归思想方法． 　 22．（13分）椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12930.png){width="1.7395833333333333in" height="0.4895833333333333in"}的左右焦点分别是F1，F2，离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12931.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． （1）求椭圆C的方程； （2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12932.png){width="0.7604166666666666in" height="0.4270833333333333in"}为定值，并求出这个定值． 【分析】（1）把﹣c代入椭圆方程得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12933.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12934.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，由已知过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12935.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}．再利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12936.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，及a2=b2+c2即可得出； （2）设\|PF1\|=t，\|PF2\|=n，由角平分线的性质可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12937.png){width="1.2916666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，利用椭圆的定义可得t+n=2a=4，消去t得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12938.png){width="0.8333333333333334in" height="0.40625in"}，化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12939.png){width="0.8854166666666666in" height="0.40625in"}，再根据a﹣c＜n＜a+c，即可得到m的取值范围； （3）设P（x0，y0），不妨设y0＞0，由椭圆方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12940.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12941.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到k1，k2，代入即可证明结论． 【解答】解：（1）把﹣c代入椭圆方程得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12942.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12943.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}， ∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12944.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}． 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12945.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，联立得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12946.png){width="0.8958333333333334in" height="1.15625in"}解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12947.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4479166666666667in"}， ∴椭圆C的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12948.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}． （2）如图所示，设\|PF1\|=t，\|PF2\|=n， 由角平分线的性质可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12949.png){width="1.2916666666666667in" height="0.4791666666666667in"}， 又t+n=2a=4，消去t得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12950.png){width="0.8333333333333334in" height="0.40625in"}，化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12951.png){width="0.8854166666666666in" height="0.40625in"}， ∵a﹣c＜n＜a+c，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12952.png){width="1.2083333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，也即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12953.png){width="1.84375in" height="0.40625in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12954.png){width="0.8125in" height="0.3645833333333333in"}． ∴m的取值范围；![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12955.png){width="0.75in" height="0.3645833333333333in"}． （3）证明：设P（x0，y0）， 不妨设y0＞0，由椭圆方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12956.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}， 取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12957.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12958.png){width="1.0208333333333333in" height="0.84375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12959.png){width="0.7604166666666666in" height="0.6458333333333334in"}， ∴k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12960.png){width="1.03125in" height="0.75in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12961.png){width="0.4375in" height="0.4895833333333333in"}． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12962.png){width="0.8333333333333334in" height="0.4895833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12963.png){width="0.8333333333333334in" height="0.4895833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12964.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12965.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4895833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12966.png){width="0.7604166666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12967.png){width="0.9479166666666666in" height="0.5in"}=﹣8为定值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12968.png){width="1.8125in" height="1.59375in"} 【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力． 　 　 　 2013年山东省高考数学试卷（文科） ================================ 一．选择题：本题共12个小题，每题5分，共60分． 1．（5分）复数z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12969.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}（i为虚数单位），则\|z\|=（　　） A．25 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12970.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} C．5 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12971.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【分析】化简复数z，然后求出复数的模即可． 【解答】解：因为复数z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12969.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12972.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 所以\|z\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12973.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12974.png){width="1.0625in" height="0.4479166666666667in"}． 故选：C． 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力． 　 2．（5分）已知集合A、B全集U={1、2、3、4}，且∁U（A∪B）={4}，B={1，2}，则A∩∁UB=（　　） A．{3} B．{4} C．{3，4} D．∅ 【分析】通过已知条件求出A∪B，∁UB，然后求出A∩∁UB即可． 【解答】解：因为全集U={1.2.3.4．}，且∁U（A∪B）={4}，所以A∪B={1，2，3}， B={1，2}，所以∁UB={3，4}，所以A={3}或{1，3}或{3，2}或{1，2，3}． 所以A∩∁UB={3}． 故选：A． 【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，考查计算能力． 　 3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12975.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则f（﹣1）=（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣2 【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得 f（﹣1）=﹣f（1），运算求得结果． 【解答】解：∵已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12975.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1+1）=﹣2， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题． 　 4．（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12976.png){width="1.3541666666666667in" height="1.1979166666666667in"} A．4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12977.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，8 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12978.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12979.png){width="0.96875in" height="0.3645833333333333in"} D．8，8 【分析】由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其侧面积和体积可求． 【解答】解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥， 其主视图为原图形中的三角形PEF，如图， 由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2， 高PO=2， 则四棱锥的斜高PE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12980.png){width="0.90625in" height="0.25in"}． 所以该四棱锥侧面积S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12981.png){width="1.4479166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 体积V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12982.png){width="1.125in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12983.png){width="2.0104166666666665in" height="1.7395833333333333in"} 【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了三视图，解答的关键是能够由三视图得到原图形，是基础题． 　 5．（5分）函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12984.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12985.png){width="0.40625in" height="0.3854166666666667in"}的定义域为（　　） A．（﹣3，0\] B．（﹣3，1\] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0\] D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1\] 【分析】从根式函数入手，根据负数不能开偶次方根及分母不为0求解结果，然后取交集． 【解答】解：根据题意：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12986.png){width="0.7604166666666666in" height="0.4791666666666667in"}， 解得：﹣3＜x≤0 ∴定义域为（﹣3，0\] 故选：A． 【点评】本题主要考查函数求定义域，负数不能开偶次方根，分式函数即分母不能为零，及指数不等式的解法． 　 6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12987.png){width="2.3645833333333335in" height="3.1465277777777776in"} A．0.2，0.2 B．0.2，0.8 C．0.8，0.2 D．0.8，0.8 【分析】计算循环中a的值，当a≥1时不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可． 【解答】解：若第一次输入的a的值为﹣1.2，满足上面一个判断框条件a＜0， 第1次循环，a=﹣1.2+1=﹣0.2， 第2次判断后循环，a=﹣0.2+1=0.8， 第3次判断，满足上面一个判断框的条件退出上面的循环，进入下面的循环， 不满足下面一个判断框条件a≥1，退出循环，输出a=0.8； 第二次输入的a的值为1.2，不满足上面一个判断框条件a＜0，退出上面的循环，进入下面的循环， 满足下面一个判断框条件a≥1， 第1次循环，a=1.2﹣1=0.2， 第2次判断后不满足下面一个判断框的条件退出下面的循环，输出a=0.2； 故选：C． 【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力． 　 7．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若B=2A，a=1，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12988.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则c=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12989.png){width="0.3125in" height="0.1875in"} B．2 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12990.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．1 【分析】利用正弦定理列出关系式，将B=2A，a，b的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出cosA的值，再由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可求出c的值． 【解答】解：∵B=2A，a=1，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12988.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴由正弦定理![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12991.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12992.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12993.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12994.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12995.png){width="0.46875in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12996.png){width="0.8020833333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12997.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c， 解得：c=2或c=1（经检验不合题意，舍去）， 则c=2． 故选：B． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键． 　 8．（5分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案． 【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件， ∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q， 其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p， 则p是¬q的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键． 　 9．（5分）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12998.png){width="1.2604166666666667in" height="1.0520833333333333in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image12999.png){width="1.2604166666666667in" height="1.1145833333333333in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13000.png){width="1.2604166666666667in" height="1.0520833333333333in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13001.png){width="1.2604166666666667in" height="1.0625in"} 【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求． 【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B， 由当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13002.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13003.png){width="2.0729166666666665in" height="0.3645833333333333in"}， 当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0． 由此可排除选项A和选项C． 故正确的选项为D． 故选：D． 【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题． 　 10．（5分）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（　　）![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13004.png){width="1.28125in" height="0.3854166666666667in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13005.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13006.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．36 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13007.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】根据题意，去掉两个数据后，得到要用的7个数据，先根据这组数据的平均数，求出x，再用方差的个数代入数据和平均数，做出这组数据的方差． 【解答】解：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x． ∴这组数据的平均数是 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13008.png){width="1.8854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=91，∴x=4． ∴这这组数据的方差是 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13009.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（16+1+1+0+0+9+9）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13006.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． 【点评】本题考查茎叶图，当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差． 　 11．（5分）抛物线C1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13010.png){width="1.125in" height="0.3645833333333333in"}的焦点与双曲线C2：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13011.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13012.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13013.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13014.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13015.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13016.png){width="1.125in" height="0.3645833333333333in"}在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值． 【解答】解：由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13016.png){width="1.125in" height="0.3645833333333333in"}，得x2=2py（p＞0）， 所以抛物线的焦点坐标为F（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13017.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}）． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13018.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13019.png){width="0.8333333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13020.png){width="1.4479166666666667in" height="0.25in"}． 所以双曲线的右焦点为（2，0）． 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13021.png){width="0.7604166666666666in" height="0.5729166666666666in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13022.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}①． 设该直线交抛物线于M（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13023.png){width="0.6979166666666666in" height="0.4791666666666667in"}），则C1在点M处的切线的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13024.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}． 由题意可知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13025.png){width="0.8125in" height="0.4270833333333333in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13026.png){width="0.6458333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，代入M点得M（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13027.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3854166666666667in"}） 把M点代入①得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13028.png){width="1.1979166666666667in" height="0.4479166666666667in"}． 解得p=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13029.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 故选：D． 【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题． 　 12．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13030.png){width="0.21875in" height="0.375in"}取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（　　） A．0 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13031.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．2 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13032.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13030.png){width="0.21875in" height="0.375in"}，利用基本不等式化简即可求得x+2y﹣z的最大值． 【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0， ∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13030.png){width="0.21875in" height="0.375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13033.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13034.png){width="0.21875in" height="0.375in"}﹣3≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13035.png){width="0.5625in" height="0.40625in"}﹣3=1（当且仅当x=2y时取"="）， 即x=2y（y＞0）， ∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2） =4y﹣2y2 =﹣2（y﹣1）2+2≤2． ∴x+2y﹣z的最大值为2． 故选：C． 【点评】本题考查基本不等式，将z=x2﹣3xy+4y2代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13036.png){width="0.21875in" height="0.375in"}，求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13036.png){width="0.21875in" height="0.375in"}取得最小值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题． 　 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13．（4分）过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为　2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13037.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}　． 【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出． 【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13038.png){width="1.28125in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13037.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}＜2，∴（3，1）在圆内， ∵圆心到此点的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13039.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，r=2， ∴最短的弦长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13040.png){width="0.59375in" height="0.25in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13039.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13039.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点与圆的位置关系，垂径定理，以及勾股定理，找出最短弦是解本题的关键． 　 14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13041.png){width="0.9583333333333334in" height="0.65625in"}所表示的区域上一动点，则线段\|OM\|的最小值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13042.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}　． 【分析】首先根据题意做出可行域，欲求\|OM\|的最小值，由其几何意义为点O（0，0）到直线x+y﹣2=0距离为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案． 【解答】解：如图可行域为阴影部分， 由其几何意义为点O（0，0）到直线x+y﹣2=0距离，即为所求， 由点到直线的距离公式得： d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13043.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13042.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 则\|OM\|的最小值等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13042.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13042.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13044.png){width="1.8229166666666667in" height="1.65625in"} 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 　 15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13045.png){width="0.875in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13046.png){width="0.7916666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，若∠ABO=90°，则实数t的值为　5　． 【分析】利用已知条件求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13047.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，利用∠ABO=90°，数量积为0，求解t的值即可． 【解答】解：因为知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13045.png){width="0.875in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13046.png){width="0.7916666666666666in" height="0.22916666666666666in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13048.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（3，2﹣t）， 又∠ABO=90°，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13049.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}， 可得：2×3+2（2﹣t）=0．解得t=5． 故答案为：5． 【点评】本题考查向量的数量积的应用，正确利用数量积公式是解题的关键． 　 16．（4分）定义"正对数"：ln+x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13050.png){width="1.2083333333333333in" height="0.4479166666666667in"}，现有四个命题： ①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a； ②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b； ③若a＞0，b＞0，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13051.png){width="1.65625in" height="0.3645833333333333in"}； ④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2． 其中的真命题有　①③④　（写出所有真命题的序号） 【分析】由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对a，b分类讨论，判断出每个命题的真假． 【解答】解：（1）对于①，由定义，当a≥1时，ab≥1，故ln+（ab）=ln（ab）=blna，又bln+a=blna，故有ln+（ab）=bln+a；当a＜1时，ab＜1，故ln+（ab）=0，又a＜1时bln+a=0，所以此时亦有ln+（ab）=bln+a，故①正确； （2）对于②，此命题不成立，可令a=2，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13052.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则ab=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13053.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，由定义ln+（ab）=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+（ab）≠ln+a+ln+b，故②错误； （3）对于③， i．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13054.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≥1时，此时![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13055.png){width="1.34375in" height="0.3645833333333333in"}≥0， 当a≥b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13056.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，此时则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13057.png){width="1.5729166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，命题成立； 当a＞1＞b＞0时，ln+a﹣ln+b=lna，此时![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13058.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13059.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3645833333333333in"}＞lna，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13060.png){width="1.65625in" height="0.3645833333333333in"}，命题成立； 当1＞a≥b＞0时，ln+a﹣ln+b=0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13060.png){width="1.65625in" height="0.3645833333333333in"}成立； ii．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13061.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜1时，同理可验证是正确的，故③正确； （4）对于④， 当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab）， ∵a+b﹣2ab=a﹣ab+b﹣ab=a（1﹣b）+b（1﹣a）≤0， ∴a+b≤2ab， ∴ln（a+b）＜ln（2ab）， ∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2． 当a＞1，0＜b＜1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+ln2=ln（2a）， ∵a+b﹣2a=b﹣a≤0， ∴a+b≤2a， ∴ln（a+b）＜ln（2a）， ∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2． 当b＞1，0＜a＜1时，同理可证ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2． 当0＜a＜1，0＜b＜1时，可分a+b≥1和a+b＜1两种情况，均有ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2． 故④正确． 故答案为①③④． 【点评】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强．易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错． 　 三．解答题：本大题共6小题，共74分， 17．（12分）某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如表所示： ---------- ------ ------ ------ ------ ------ A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 ---------- ------ ------ ------ ------ ------ （Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率 （Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在\[18.5，23.9）中的概率． 【分析】（Ⅰ）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；． （Ⅱ）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在\[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解． 【解答】（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有： （A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个． 由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个． 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13062.png){width="0.375in" height="0.3645833333333333in"}； （Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有： （A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个． 由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在\[18.5，23.9）中的事件有： （C，D）（C，E），（D，E）共3个． 因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在\[18.5，23.9）中的概率p=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13063.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于列举基本事件时做到不重不漏，是基础题． 　 18．（12分）设函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13064.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13065.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin2ωx﹣sinωxcosωx（ω＞0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13066.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， （Ⅰ）求ω的值 （Ⅱ）求f（x）在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13067.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值和最小值． 【分析】（Ⅰ）通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的正确求出ω的值 （Ⅱ）通过x 的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域与单调性直接求解f（x）在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13067.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值和最小值． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13068.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13065.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin2ωx﹣sinωxcosωx =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13068.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13069.png){width="2.0625in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13070.png){width="1.6666666666666667in" height="0.3854166666666667in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13071.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 因为y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13072.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，故周期为π 又ω＞0，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13073.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}，解得ω=1； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=﹣sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13074.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13075.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13076.png){width="1.4479166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13077.png){width="1.6875in" height="0.3854166666666667in"}， 因此，﹣1≤f（x）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13078.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}， 所以f（x）在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13079.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值和最小值分别为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13080.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查二倍角的三角函数以及两角和的正弦函数，三角函数的周期，正弦函数的值域与单调性的应用，考查计算能力． 　 19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点． （Ⅰ）求证：CE∥平面PAD （Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13081.png){width="2.4166666666666665in" height="1.8333333333333333in"} 【分析】（Ⅰ）取PA的中点H，则由条件可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，故CE∥DH．再由直线和平面平行的判定定理证明CE∥平面PAD． （Ⅱ）先证明MN⊥平面PAC，再证明平面EFG∥平面PAC，可得MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN内， 利用平面和平面垂直的判定定理证明平面EFG⊥平面EMN． 【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB=2CD， E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点， 取PA的中点H， 则由HE∥AB，HE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13082.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AB，而且CD∥AB，CD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13082.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AB， 可得HE和CD平行且相等， 故四边形CDHE为平行四边形，故CE∥DH． 由于DH在平面PAD内，而 CE不在平面PAD内， 故有CE∥平面PAD． （Ⅱ）证明：由于AB⊥AC，AB⊥PA，而PA∩AC=A， 可得AB⊥平面PAC． 再由AB∥CD可得，CD⊥平面PAC． 由于MN是三角形PCD的中位线，故有MN∥CD，故MN⊥平面PAC． 由于EF为三角形PAB的中位线，可得EF∥PA，而PA在平面PAC内， 而EF不在平面PAC内，故有EF∥平面PAC． 同理可得，FG∥平面PAC． 而EF 和FG是平面EFG内的两条相交直线，故有平面EFG∥平面PAC． ∴MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN内，故有平面EFG⊥平面EMN． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13083.png){width="2.573611111111111in" height="2.4583333333333335in"} 【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，平面和平面垂直的判定定理的应用，属于中档题． 　 20．（12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列{bn}满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13084.png){width="1.1354166666666667in" height="0.4791666666666667in"}=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13085.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，n∈N\*，求{bn}的前n项和Tn． 【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得到关于a1与d的方程组，解之即可求得数列{an}的通项公式； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=2n﹣1，继而可求得bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13086.png){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，n∈N\*，于是Tn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13087.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13088.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13089.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13086.png){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，利用错位相减法即可求得Tn． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2an+1得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13090.png){width="2.1979166666666665in" height="0.5104166666666666in"}， 解得a1=1，d=2． ∴an=2n﹣1，n∈N\*． （Ⅱ）由已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13091.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13092.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13093.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13094.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，n∈N\*，得： 当n=1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13095.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13096.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 当n≥2时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13097.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13098.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}）﹣（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13099.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13098.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，显然，n=1时符合． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13097.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13100.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，n∈N\* 由（Ⅰ）知，an=2n﹣1，n∈N\*． ∴bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13101.png){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，n∈N\*． 又Tn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13102.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13103.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13104.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13101.png){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13105.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}Tn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13106.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13107.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13108.png){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13109.png){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}， 两式相减得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13105.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}Tn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13105.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13110.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13111.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13112.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13113.png){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13114.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13115.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13113.png){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"} ∴Tn=3﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13116.png){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}． 【点评】本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R） （Ⅰ）设a≥0，求f（x）的单调区间 （Ⅱ）设a＞0，且对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．试比较lna与﹣2b的大小． 【分析】（Ⅰ）由函数的解析式知，可先求出函数f（x）=ax2+bx﹣lnx的导函数，再根据a≥0，分a=0，a＞0两类讨论函数的单调区间即可； （Ⅱ）由题意当a＞0时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13117.png){width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}是函数的唯一极小值点，再结合对于任意x＞0，f（x）≥f（1）．可得出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13118.png){width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}=1化简出a，b的关系，再要研究的结论比较lna与﹣2b的大小构造函数g（x）=2﹣4x+lnx，利用函数的最值建立不等式即可比较大小 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx﹣lnx（a，b∈R） 知f′（x）=2ax+b﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13119.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 又a≥0， 故当a=0时，f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13120.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} 若b≤0时，由x＞0得，f′（x）＜0恒成立，故函数的单调递减区间是（0，+∞）；若b＞0，令f′（x）＜0可得x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13121.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即函数在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13121.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）上是减函数，在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13121.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）上是增函数、 所以函数的单调递减区间是（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13122.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），单调递增区间是（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13122.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）， 当a＞0时，令f′（x）=0，得2ax2+bx﹣1=0 由于△=b2+8a＞0，故有 x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13123.png){width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}，x1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13124.png){width="0.875in" height="0.4479166666666667in"} 显然有x1＜0，x2＞0， 故在区间（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13123.png){width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}）上，导数小于0，函数是减函数； 在区间（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13125.png){width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}，+∞）上，导数大于0，函数是增函数 综上，当a=0，b≤0时，函数的单调递减区间是（0，+∞）；当a=0，b＞0时，函数的单调递减区间是（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13126.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），单调递增区间是（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13126.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）；当a＞0，函数的单调递减区间是（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13125.png){width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}），单调递增区间是（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13125.png){width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}，+∞） （Ⅱ）由题意，函数f（x）在x=1处取到最小值， 由（1）知，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13125.png){width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}是函数的唯一极小值点故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13127.png){width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}=1 整理得2a+b=1，即b=1﹣2a 令g（x）=2﹣4x+lnx，则g′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13128.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} 令g′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13128.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=0得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13129.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 当0＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13129.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，g′（x）＞0，函数单调递增； 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13129.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x＜+∞时，g′（x）＜0，函数单调递减 因为g（x）≤g（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13130.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=1﹣ln4＜0 故g（a）＜0，即2﹣4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜﹣2b 【点评】本题是函数与导数综合运用题，解题的关键是熟练利用导数工具研究函数的单调性及根据所比较的两个量的形式构造新函数利用最值建立不等式比较大小，本题考查了创新探究能力及转化化归的思想，本题综合性较强，所使用的方法具有典型性，题后应做好总结以备所用的方法在此类题的求解过程中使用． 　 22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13131.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} （Ⅰ）求椭圆C的方程 （Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13132.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13133.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，求实数t的值． 【分析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13134.png){width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}，焦距为2c．由题意可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13135.png){width="0.8958333333333334in" height="0.90625in"}，解出即可得到椭圆的方程． （Ⅱ）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2﹣2=0，利用判别式、根与系数的关系即可得到弦长\|AB\|，再利用点到直线的距离公式即可得到原点O到直线AB的距离，进而得到三角形AOB的面积，利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13136.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}即可得到m，n，t的关系，再利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13137.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，及中点坐标公式即可得到点P的坐标代入椭圆的方程可得到m，n，t的关系式与上面得到的关系式联立即可得出t的值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13138.png){width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}，焦距为2c． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13139.png){width="0.8958333333333334in" height="0.90625in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13140.png){width="0.5416666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，∴椭圆的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13141.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}． （Ⅱ）由题意设直线AB的方程为x=my+n，代入椭圆方程x2+2y2=2，化为（m2+2）y2+2mny+n2﹣2=0， 则△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=4（2m2+4﹣2n2）＞0，（\*） ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13142.png){width="1.0104166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13143.png){width="0.90625in" height="0.4791666666666667in"}， ∴\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13144.png){width="2.1979166666666665in" height="0.3020833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13145.png){width="2.3125in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13146.png){width="1.8229166666666667in" height="0.5in"}． 原点O到直线AB的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13147.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4479166666666667in"}， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13148.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13149.png){width="2.84375in" height="0.5208333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13150.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13151.png){width="1.5in" height="0.4791666666666667in"}．（\*\*） 另一方面，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13152.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13153.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}， ∴xE=myE+n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13154.png){width="0.625in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13155.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，即E![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13156.png){width="1.21875in" height="0.4270833333333333in"}． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13157.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13158.png){width="1.3020833333333333in" height="0.4270833333333333in"}． 代入椭圆方程得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13159.png){width="1.7708333333333333in" height="0.4791666666666667in"}， 化为n2t2=m2+2，代入（\*\*）得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13160.png){width="1.5208333333333333in" height="0.4791666666666667in"}，化为3t4﹣16t2+16=0，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13161.png){width="0.6875in" height="0.3645833333333333in"}． ∵t＞0，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13162.png){width="0.78125in" height="0.3854166666666667in"}．经验证满足（\*）． 当AB∥x轴时，设A（u，v），B（﹣u，v），E（0，v），P（0，±1）．（u＞0）． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13163.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13164.png){width="1.2291666666666667in" height="0.3854166666666667in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13165.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13166.png){width="0.59375in" height="0.3854166666666667in"}． 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13167.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13168.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13169.png){width="0.78125in" height="0.3854166666666667in"}． 综上可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13170.png){width="0.78125in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、向量共线等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的能力及化归思想方法． 　 2013年陕西省高考数学试卷（理科） ================================ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）设全集为R，函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13171.png){width="0.9270833333333334in" height="0.25in"}的定义域为M，则∁RM为（　　） A．\[﹣1，1\] B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1\]∪\[1，+∞） 【分析】求出函数f（x）的定义域得到集合M，然后直接利用补集概念求解． 【解答】解：由1﹣x2≥0，得﹣1≤x≤1，即M=\[﹣1，1\]，又全集为R， 所以∁RM=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． 故选：C． 【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题． 　 2．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13172.png){width="1.40625in" height="1.40625in"} A．25 B．30 C．31 D．61 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13173.png){width="1.7083333333333333in" height="0.4479166666666667in"}的函数值． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算并输出分段函数 y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13173.png){width="1.7083333333333333in" height="0.4479166666666667in"}的函数值． 当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31， 故选：C． 【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误． 　 3．（5分）设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13174.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13175.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}为向量，则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13174.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13175.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13174.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13175.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|是"![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13174.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13175.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】利用向量的数量积公式得到 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13174.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13176.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13177.png){width="1.0208333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，根据此公式再看![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13178.png){width="1.1875in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13179.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13180.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13176.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13177.png){width="1.0208333333333333in" height="0.20833333333333334in"}， 若a，b为零向量，显然成立； 若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13181.png){width="1.1875in" height="0.20833333333333334in"}⇒cosθ=±1则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13182.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13183.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为零角或平角，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13184.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，故充分性成立． 而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13184.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13182.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13183.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为为零角或平角，有 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13181.png){width="1.1875in" height="0.20833333333333334in"}． 因此![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13185.png){width="1.1875in" height="0.20833333333333334in"}是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13186.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的充分必要条件． 故选：C． 【点评】本题考查平行向量与共线向量，以及充要条件，属基础题． 　 4．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，...，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间\[481，720\]的人数为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可． 【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人． 所以从编号1～480的人中，恰好抽取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13187.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=24人，接着从编号481～720共240人中抽取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13188.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=12人． 故选：B． 【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题． 　 5．（5分）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13189.png){width="2.542361111111111in" height="1.4895833333333333in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13190.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13191.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13192.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13193.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】根据题意，算出扇形区域ADE和扇形区域CBF的面积之和为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13194.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，结合矩形ABCD的面积为2，可得在矩形ABCD内且没有信号的区域面积为2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13194.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，再用几何概型计算公式即可算出所求的概率． 【解答】解：∵扇形ADE的半径为1，圆心角等于90° ∴扇形ADE的面积为S1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13195.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×π×12=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13193.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 同理可得，扇形CBF的在，面积S2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13193.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 又∵长方形ABCD的面积S=2×1=2 ∴在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13196.png){width="0.8958333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13197.png){width="0.9479166666666666in" height="0.5625in"}=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13198.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 故选：A． 【点评】本题给出矩形ABCD内的两个扇形区域内有无线信号，求在区域内随机找一点，在该点处没有信号的概率，着重考查了几何概型及其计算方法的知识，属于基础题． 　 6．（5分）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（　　） A．若\|z1﹣z2\|=0，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13199.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13200.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"} B．若z1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13201.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13202.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}=z2 C．若\|z1\|=\|z2\|，则z1•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13202.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}=z2•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13201.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"} D．若\|z1\|=\|z2\|，则z12=z22 【分析】题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案． 【解答】解：对（A），若\|z1﹣z2\|=0，则z1﹣z2=0，z1=z2，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13203.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}为真； 对（B）若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13204.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}，则z1和z2互为共轭复数，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13205.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}为真； 对（C）设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，若\|z1\|=\|z2\|，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13206.png){width="1.6458333333333333in" height="0.3020833333333333in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13207.png){width="2.6979166666666665in" height="0.28125in"}，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13208.png){width="1.0833333333333333in" height="0.25in"}为真； 对（D）若z1=1，z2=i，则\|z1\|=\|z2\|为真，而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13209.png){width="1.1875in" height="0.28125in"}，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13210.png){width="0.6666666666666666in" height="0.28125in"}为假． 故选：D． 【点评】本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，解答的关键是熟悉课本基本概念，是基本的概念题． 　 7．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【分析】由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13211.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，由此可得△ABC的形状． 【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA， 即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13211.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，故三角形为直角三角形， 故选：B． 【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题． 　 8．（5分）设函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13212.png){width="1.2708333333333333in" height="0.6875in"}，则当x＞0时，f\[f（x）\]表达式的展开式中常数项为（　　） A．﹣20 B．20 C．﹣15 D．15 【分析】依题意，可求得f\[f（x）\]=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13213.png){width="0.8541666666666666in" height="0.4479166666666667in"}，利用二项展开式的通项公式即可求得f\[f（x）\]表达式的展开式中常数项． 【解答】解：当x＞0时，f\[f（x）\]=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13214.png){width="0.9375in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13215.png){width="0.8541666666666666in" height="0.4479166666666667in"}的展开式中，常数项为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13216.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13217.png){width="0.5416666666666666in" height="0.4479166666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13218.png){width="0.59375in" height="0.25in"}=﹣20． 故选：A． 【点评】本题考查二项式系数的性质，考查运算求解能力，属于中档题． 　 9．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13219.png){width="1.4791666666666667in" height="1.4583333333333333in"} A．\[15，20\] B．\[12，25\] C．\[10，30\] D．\[20，30\] 【分析】设矩形的高为y，由三角形相似可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13220.png){width="0.7083333333333334in" height="0.375in"}，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，再由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13220.png){width="0.7083333333333334in" height="0.375in"}，得y=40﹣x，代入xy≥300得到关于x的二次不等式，解此不等式即可得出答案． 【解答】解：设矩形的高为y，由三角形相似得： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13220.png){width="0.7083333333333334in" height="0.375in"}，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13221.png){width="0.7083333333333334in" height="0.375in"}，得y=40﹣x， ∴x（40﹣x）≥300， 解得10≤x≤30． 故选：C． 【点评】此题考查一元二次不等式及三角形相似等基本知识，属于综合类题目． 　 10．（5分）设\[x\]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（　　） A．\[﹣x\]=﹣\[x\] B．\[2x\]=2\[x\] C．\[x+y\]≤\[x\]+\[y\] D．\[x﹣y\]≤\[x\]﹣\[y\] 【分析】本题考查的是取整函数问题．在解答时要先充分理解\[x\]的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的加以分析即可，注意反例的应用． 【解答】解：对A，设x=﹣1.8，则\[﹣x\]=1，﹣\[x\]=2，所以A选项为假． 对B，设x=﹣1.4，\[2x\]=\[﹣2.8\]=﹣3，2\[x\]=﹣4，所以B选项为假． 对C，设x=y=1.8，对A，\[x+y\]=\[3.6\]=3，\[x\]+\[y\]=2，所以C选项为假． 故D选项为真． 故选：D． 【点评】本题考查了取整函数的性质，是一道竞赛的题目，难度不大． 　 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13222.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13223.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13224.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则m等于　9　． 【分析】利用双曲线的离心率计算公式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13225.png){width="0.9479166666666666in" height="0.5in"}即可得出． 【解答】解：∵双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13226.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}可得a2=16，b2=m， 又离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13224.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13227.png){width="1.8020833333333333in" height="0.5in"}， 解得m=9． 故答案为9． 【点评】熟练掌握双曲线的离心率计算公式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13228.png){width="0.9479166666666666in" height="0.5in"}是解题的关键． 　 12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13229.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13230.png){width="1.5208333333333333in" height="1.6875in"} 【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积． 【解答】解：几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2． 所以体积![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13231.png){width="1.6041666666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13232.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力． 　 13．（5分）若点（x，y）位于曲线y=\|x﹣1\|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为　﹣4　． 【分析】先根据曲线y=\|x﹣1\|与y=2所围成的封闭区域画出区域D，再利用线性规划的方法求出目标函数2x﹣y的最大值即可． 【解答】解：如图，封闭区域为三角形． 令\|x﹣1\|=2，解得x1=﹣1，x2=3， 所以三角形三个顶点坐标分别为（1，0，），（﹣1，2），（3，2）， 把z=2x﹣y变形为y=2x﹣z，则直线经过点（﹣1，2）时z取得最小值； 所以zmin=2×（﹣1）﹣2=﹣4， 故2x﹣y在点（﹣1，2）取最小值﹣4． 故答案为：﹣4． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13233.png){width="2.573611111111111in" height="2.3541666666666665in"} 【点评】本题考查简单线性规划以及利用线性规划求函数的最值．属于基础题． 　 14．（5分）观察下列等式： 12=1 12﹣22=﹣3 12﹣22+32=6 12﹣22+32﹣42=﹣10 ... 照此规律，第n个等式可为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13234.png){width="3.09375in" height="0.4270833333333333in"}　． 【分析】等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+...（﹣1）n﹣1n2．再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可． 【解答】解：观察下列等式： 12=1 12﹣22=﹣3 12﹣22+32=6 12﹣22+32﹣42=﹣10 ... 分n为奇数和偶数讨论： 第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+...（﹣1）n﹣1n2． 当n为偶数时，分组求和（12﹣22）+（32﹣42）+...+\[（n﹣1）2﹣n2\]=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13235.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 当n为奇数时，第n个等式左边=（12﹣22）+（32﹣42）+...+\[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2\]+n2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13235.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}+n2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13236.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 综上，第n个等式为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13237.png){width="3.09375in" height="0.4270833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13237.png){width="3.09375in" height="0.4270833333333333in"}． 【点评】本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系． 　 选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分） 15．（5分）（不等式选做题） 已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为　2　． 【分析】利用二维形式的柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d∈R 均为实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2其中等号当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13238.png){width="0.375in" height="0.3645833333333333in"}时成立，即可求出（am+bn）（bm+an）的最小值． 【解答】解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式： （a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2 可得（am+bn）（bm+an）≥（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13239.png){width="0.6875in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13240.png){width="0.6875in" height="0.1875in"}）2 =mn（a+b）2 =2×1=2，当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13241.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}即m=n时，取得最小值2． 故答案为：2． 【点评】本小题主要考查二维形式的柯西不等式等基础知识，属于基础题． 　 16．（几何证明选做题） 如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13242.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13243.png){width="2.1354166666666665in" height="1.0416666666666667in"} 【分析】利用已知条件判断△EPD∽△APE，列出比例关系，即可求解PE的值． 【解答】解：因为BC∥PE，∴∠BCD=∠PED， 且在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD， ⇒△EPD∽△APE，∵PD=2DA=2 ⇒![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13244.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ⇒PE2=PA•PD=3×2=6， ∴PE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13242.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13245.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查三角形相似的判断与性质定理的应用，考查计算能力． 　 17．（坐标系与参数方程选做题） 如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13246.png){width="1.2083333333333333in" height="0.46875in"}，θ∈R，且θ≠![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13247.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13248.png){width="1.3854166666666667in" height="1.1875in"} 【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心与半径，利用三角函数定义表示出OP，进而表示出x与y，即为圆的参数方程． 【解答】解：将圆方程化为（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13249.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2+y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13250.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，可得半径r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13249.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴OP=2r•cosθ=cosθ， ∴x=OP•cosθ=cos2θ，y=OP•sinθ=sinθcosθ， 则圆的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13251.png){width="1.2083333333333333in" height="0.46875in"}，θ∈R，且θ≠![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13252.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13251.png){width="1.2083333333333333in" height="0.46875in"}，θ∈R，且θ≠![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13252.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】此题考查了圆的参数方程，涉及的知识有：圆的标准方程，锐角三角函数定义，以及解直角三角形，弄清题意是解本题的关键． 　 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 18．（12分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13253.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（cosx，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13254.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13255.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image104.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13256.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}． （Ⅰ） 求f（x）的最小正周期． （Ⅱ） 求f（x）在\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13257.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值和最小值． 【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期． （Ⅱ） 通过x在\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13258.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]，求出f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13259.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}=（cosx，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13260.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13261.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinx，cos2x） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13261.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinxcosx![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13262.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"} =sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13263.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}） 最小正周期为：T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13264.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=π． （Ⅱ）当x∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13265.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]时，2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13266.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13267.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}， 由正弦函数y=sinx在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13267.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}的性质可知，sinx![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13268.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13266.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13268.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}， ∴f（x）∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image124.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1\]， 所以函数f （x）在\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13269.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值和最小值分别为：1，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image124.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力． 　 19．（12分）设{an}是公比为q的等比数列． （Ⅰ）试推导{an}的前n项和公式； （Ⅱ） 设q≠1，证明数列{an+1}不是等比数列． 【分析】（I）分q=1与q≠1两种情况讨论，当q≠1，0时，利用错位相减法即可得出； （II）分①当存在n∈N\*，使得an+1=0成立时，显然不成立；②当∀n∈N\*（n≥2），使得an+1≠0成立时，使用反证法即可证明． 【解答】解：（I）当q=1时，Sn=na1； 当q≠0，1时，由Sn=a1+a2+...+an， 得qSn=a1q+a2q+...+an﹣1q+anq． 两式错位相减得（1﹣q）Sn=a1+（a2﹣a1q）+...+（an﹣an﹣1q）﹣anq，（\*） 由等比数列的定义可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13270.png){width="1.4479166666666667in" height="0.4791666666666667in"}， ∴a2﹣a1q=a3﹣a2q=...=0． ∴（\*）化为（1﹣q）Sn=a1﹣anq， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13271.png){width="2.6354166666666665in" height="0.4895833333333333in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13272.png){width="2.53125in" height="0.78125in"}； （Ⅱ）用反证法：设{an}是公比为q≠1的等比数列，数列{an+1}是等比数列． ①当存在n∈N\*，使得an+1=0成立时，数列{an+1}不是等比数列． ②当∀n∈N\*（n≥2），使得an+1≠0成立时，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13273.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13274.png){width="0.7395833333333334in" height="0.59375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13275.png){width="0.5in" height="0.4791666666666667in"}， 化为（qn﹣1﹣1）（q﹣1）=0， ∵q≠1，∴q﹣1≠0，qn﹣1﹣1≠0，故矛盾． 综上两种情况：假设不成立，故原结论成立． 【点评】本题综合考查了等比数列的通项公式、前n项和公式、错位相减法、反证法等基础知识与基本方法，需要较强的推理能力和计算能力． 　 20．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13276.png){width="0.8645833333333334in" height="0.22916666666666666in"}． （Ⅰ） 证明：A1C⊥平面BB1D1D； （Ⅱ） 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13277.png){width="2.511111111111111in" height="1.7604166666666667in"} 【分析】（Ⅰ）要证明A1C⊥平面BB1D1D，只要证明A1C垂直于平面BB1D1D内的两条相交直线即可，由已知可证出A1C⊥BD，取B1D1的中点为E1，通过证明四边形A1OCE1为正方形可证A1C⊥E1O．由线面垂直的判定定理问题得证． （Ⅱ）以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立空间直角坐标系，然后求出平面OCB1与平面BB1D1D的法向量，利用法向量所成的角求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小． 【解答】（Ⅰ）证明：∵A1O⊥面ABCD，且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD； 又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A1O∩AC=O， ∴BD⊥面A1AC，且A1C⊂面A1AC，故A1C⊥BD． 在正方形ABCD中，∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13278.png){width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"}，∴AO=1， 在Rt△A1OA中，∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13279.png){width="0.6145833333333334in" height="0.22916666666666666in"}，∴A1O=1． 设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，∴A1C⊥E1O． 又BD⊂面BB1D1D，且E10⊂面BB1D1D，且BD∩E1O=O， ∴A1C⊥面BB1D1D； （Ⅱ）解：以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13280.png){width="1.2395833333333333in" height="0.2708333333333333in"}． 由（Ⅰ）知，平面BB1D1D的一个法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13281.png){width="1.53125in" height="0.2708333333333333in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13282.png){width="1.15625in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13283.png){width="1.0416666666666667in" height="0.22916666666666666in"}． 设平面OCB1的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13284.png){width="1.0520833333333333in" height="0.2708333333333333in"}， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13285.png){width="0.8854166666666666in" height="0.59375in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13286.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}，取z=﹣1，得x=1． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13287.png){width="1.1354166666666667in" height="0.2708333333333333in"}． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13288.png){width="1.8645833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13289.png){width="1.7916666666666667in" height="0.5625in"}． 所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13290.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13291.png){width="2.5319444444444446in" height="1.8645833333333333in"} 【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法考查了利用向量求二面角的平面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题． 　 21．（12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手． （Ⅰ） 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； （Ⅱ） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望． 【分析】（I）设事件A表示："观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手"，观众甲选中3号歌手的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13292.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13293.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13294.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论； （II）由题意，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示："观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手"， 观众甲选中3号歌手的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13292.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13293.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13294.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴P（A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13295.png){width="1.1145833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13296.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； （Ⅱ） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3． 观众甲选中3号歌手的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13297.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，观众乙选中3号歌手的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13298.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P（X=0）=（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13297.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13298.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13299.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时，这时X=1， P（X=1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13297.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13298.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2+（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13300.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13301.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13301.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）+（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13300.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13301.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13301.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13302.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时，这时X=2， P（X=2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13300.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13303.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13303.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）+（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13304.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13303.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13303.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13304.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13303.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13305.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13306.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时，这时X=3， P（X=3）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13307.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13305.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13308.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， X的分布列如下： --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- X 0 1 2 3 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13309.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13310.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13306.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13311.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ∴数学期望EX=0×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13312.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+1×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13313.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13314.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+3×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13311.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13315.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，求出相应的概率． 　 22．（13分）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8． （Ⅰ） 求动圆圆心的轨迹C的方程； （Ⅱ） 已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点． 【分析】（Ⅰ）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，利用垂径定理可得\|ME\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13316.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|MN\|， 又\|CA\|2=\|CM\|2=\|ME\|2+\|EC\|2，利用两点间的距离公式即可得出． （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13317.png){width="0.5729166666666666in" height="0.2916666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13318.png){width="0.5729166666666666in" height="0.2916666666666667in"}．利用角平分线的性质可得kPB=﹣kQB，可化为化为8+y1y2=0．又直线PQ的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13319.png){width="1.5729166666666667in" height="0.4895833333333333in"}，代入化简整理为y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1即可得到定点． 【解答】解：（Ⅰ）设圆心C（x，y）（x≠0），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则\|ME\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10315.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|MN\|， ∴\|CA\|2=\|CM\|2=\|ME\|2+\|EC\|2， ∴（x﹣4）2+y2=42+x2，化为y2=8x． 当x=0时，也满足上式． ∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x． （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13317.png){width="0.5729166666666666in" height="0.2916666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13320.png){width="0.5729166666666666in" height="0.2916666666666667in"}． ∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴kPB=﹣kQB， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13321.png){width="1.0104166666666667in" height="0.4895833333333333in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13322.png){width="0.9895833333333334in" height="0.75in"}，化为8+y1y2=0． 直线PQ的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13323.png){width="1.5729166666666667in" height="0.4895833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13324.png){width="1.6354166666666667in" height="0.75in"}，化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13325.png){width="1.6041666666666667in" height="0.5520833333333334in"}， 化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13326.png){width="2.28125in" height="0.2916666666666667in"}， y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1， ∴直线PQ过 定点（1，0） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13327.png){width="2.2083333333333335in" height="2.0520833333333335in"} 【点评】本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、垂径定理、两点间的距离公式、直线与抛物线相交问题、直线方程及过定点问题、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题． 　 23．（14分）已知函数f（x）=ex，x∈R． （Ⅰ） 若直线y=kx+1与f （x）的反函数g（x）=lnx的图象相切，求实数k的值； （Ⅱ） 设x＞0，讨论曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数． （Ⅲ） 设a＜b，比较![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13328.png){width="0.8020833333333334in" height="0.3645833333333333in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13329.png){width="0.8020833333333334in" height="0.3645833333333333in"}的大小，并说明理由． 【分析】（I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可； （II）由f（x）=mx2，令h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13330.png){width="0.75in" height="0.4791666666666667in"}，利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出； （III）利用作差法得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13331.png){width="1.7083333333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13332.png){width="1.96875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13333.png){width="1.7083333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13334.png){width="1.8229166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，令g（x）=x+2+（x﹣2）ex（x＞0），利用导数研究其单调性即可证明． 【解答】解：（I）函数f（x）=ex的反函数为g（x）=lnx，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13335.png){width="0.75in" height="0.3645833333333333in"}． 设直线y=kx+1与g（x）的图象相切于点P（x0，y0），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13336.png){width="1.2604166666666667in" height="0.7083333333333334in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13337.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}，k=e﹣2， ∴k=e﹣2． （II）当x＞0，m＞0时，令f（x）=mx2，化为m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13338.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}， 令h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13339.png){width="0.75in" height="0.4791666666666667in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13340.png){width="1.28125in" height="0.4791666666666667in"}， 则x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增． ∴当x=2时，h（x）取得极小值即最小值，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13341.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}． ∴当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13342.png){width="0.9375in" height="0.4270833333333333in"}时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为0； 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13343.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为1； 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13344.png){width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m＞0）公共点个数为2． （Ⅲ） ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13345.png){width="1.7083333333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13346.png){width="1.96875in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13347.png){width="1.7083333333333333in" height="0.4270833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13348.png){width="1.8229166666666667in" height="0.4270833333333333in"}， 令g（x）=x+2+（x﹣2）ex（x＞0），则g′（x）=1+（x﹣1）ex． g′′（x）=xex＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0， ∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增， 而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g（x）＞g（0）=0． ∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x﹣2）•ex＞0，且a＜b， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13349.png){width="2.09375in" height="0.4270833333333333in"}， 即当a＜b时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13350.png){width="1.7916666666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力． 2013年陕西省高考数学试卷（文科） ================================ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）设全集为R，函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13351.png){width="0.375in" height="0.1875in"}的定义域为M，则∁RM为（　　） A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1\] D．\[1，+∞） 【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出集合M，然后直接利用补集概念求解． 【解答】解：由1﹣x≥0，得x≤1，即M=（﹣∞，1\]， 又全集为R，所以∁RM=（1，+∞）． 故选：B． 【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题． 　 2．（5分）已知向量 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13352.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，m），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13353.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（m，2），若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13352.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13353.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则实数m等于（　　） A．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13354.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13354.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13355.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13355.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．0 【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式进行计算． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13356.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，m），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13357.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（m，2），且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13358.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，所以1•2=m•m，解得m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13359.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}或m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13355.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故选：C． 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13360.png){width="2.1041666666666665in" height="0.2708333333333333in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13361.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的充要条件是x1y2﹣x2y1=0，是基础题． 　 3．（5分）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（　　） A．logab•logcb=logca B．logab•logca=logcb C．logabc=logab•logac D．loga（b+c）=logab+logac 【分析】通过对数的换底公式以及对数运算公式loga（xy）=logax+logay（x、y＞0），判断选项即可． 【解答】解：对于A，logab•logcb=logca⇒![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13362.png){width="1.0833333333333333in" height="0.5in"}，与换底公式矛盾，所以A不正确； 对于B，logab•logaa=logab，⇒![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13363.png){width="1.0833333333333333in" height="0.5in"}，符合换底公式，所以正确； 对于C，logabc=logab•logac，不满足对数运算公式loga（xy）=logax+logay（x、y＞0），所以不正确； 对于D，loga（b+c）=logab+logac，不满足loga（xy）=logax+logay（x、y＞0），所以不正确； 故选：B． 【点评】本题考查对数的运算法则，基本知识的考查． 　 4．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13364.png){width="1.40625in" height="1.40625in"} A．25 B．30 C．31 D．61 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13365.png){width="1.7083333333333333in" height="0.4479166666666667in"}的函数值． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算并输出分段函数 y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13366.png){width="1.7083333333333333in" height="0.4479166666666667in"}的函数值． 当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31， 故选：C． 【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误． 　 5．（5分）对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间\[20，25）上的为一等品，在区间\[15，20）和区间\[25，30）上的为二等品，在区间\[10，15）和\[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13367.png){width="3.0215277777777776in" height="2.3333333333333335in"} A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45 【分析】在频率分布表中，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，根据频率的和等于1可求得二等品的概率． 【解答】解：由频率分布直方图知识可知：在区间\[15，20）和\[25，30）上的概率为0.04×5+\[1﹣（0.02+0.04+ 0.06+0.03）×5\]=0.45． 故选：D． 【点评】本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力．统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题． 　 6．（5分）设z是复数，则下列命题中的假命题是（　　） A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2＜0，则z是虚数 C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0 【分析】设出复数z，求出z2，利用a，b的值，判断四个选项的正误即可． 【解答】解：设z=a+bi，a，b∈R，z2=a2﹣b2+2abi， 对于A，z2≥0，则b=0，所以z是实数，真命题； 对于B，z2＜0，则a=0，且b≠0，⇒z是虚数；所以B为真命题； 对于C，z是虚数，则b≠0，所以z2≥0是假命题． 对于D，z是纯虚数，则a=0，b≠0，所以z2＜0是真命题； 故选：C． 【点评】本题考查复数真假命题的判断，复数的基本运算． 　 7．（5分）若点（x，y）位于曲线y=\|x\|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．0 D．2 【分析】先根据曲线y=\|x\|与y=2所围成的封闭区域画出区域D，再利用线性规划的方法求出目标函数2x﹣y的最大值即可． 【解答】解：画出可行域，如图所示 解得A（﹣2，2），设z=2x﹣y， 把z=2x﹣y变形为y=2x﹣z，则直线经过点A时z取得最小值；所以zmin=2×（﹣2）﹣2=﹣6， 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13368.png){width="3.2819444444444446in" height="2.40625in"} 【点评】本题考查利用线性规划求函数的最值．属于基础题． 　 8．（5分）已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【分析】由M在圆外，得到\|OM\|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系． 【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2=1外， ∴a2+b2＞1， ∴圆O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13369.png){width="0.625in" height="0.4479166666666667in"}＜1=r， 则直线与圆的位置关系是相交． 故选：B． 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 　 9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为 （　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状． 【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA， ∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A， ∵sinA≠0， ∴sinA=1，A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13370.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 故三角形为直角三角形， 故选：A． 【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查． 　 10．（5分）设\[x\]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有（　　） A．\[﹣x\]=﹣\[x\] B．\[x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13371.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]=\[x\] C．\[2x\]=2\[x\] D．\[x\]+\[x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13371.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]=\[2x\] 【分析】依题意，通过特值代入法对A，B，C，D四选项逐一分析即可得答案． 【解答】解：对A，设x=﹣1.8，则\[﹣x\]=1，﹣\[x\]=2，所以A选项为假． 对B，设x=1.8，则\[x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13372.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]=2，\[x\]=1，所以B选项为假． 对C，x=﹣1.4，则\[2x\]=\[﹣2.8\]=﹣3，2\[x\]=﹣4，所以C选项为假． 故D选项为真． 故选：D． 【点评】本题考查函数的求值，理解题意，特值处理是关键，属于中档题． 　 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13373.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}的离心率为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13374.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可． 【解答】解：因为双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13373.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}，所以a=4，b=3，所以c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13375.png){width="1.34375in" height="0.25in"}， 所以双曲线的离心率为：e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13376.png){width="0.375in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13377.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查双曲线的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力． 　 12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为　3π　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13378.png){width="2.9381944444444446in" height="2.2291666666666665in"} 【分析】通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据直接求解几何体的表面积即可． 【解答】解：综合三视图可知，几何体是一个半径r=1的半个球体．表面积是底面积与半球面积的和， 其表面积=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13379.png){width="1.5833333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：3π． 【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力与空间想象能力． 　 13．（5分）观察下列等式： （1+1）=2×1 （2+1）（2+2）=22×1×3 （3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5 ... 照此规律，第n个等式可为　（n+1）（n+2）（n+3）...（n+n）=2n•1•3•5...•（2n﹣1）　． 【分析】通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第n个等式． 【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为： （n+1）（n+2）（n+3）...（n+n）， 每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数， 由此可知第n个等式的右边为2n•1•3•5...（2n﹣1）． 所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）...（n+n）=2n•1•3•5...（2n﹣1）． 故答案为（n+1）（n+2）（n+3）...（n+n）=2n•1•3•5...（2n﹣1）． 【点评】本题考查了归纳推理，归纳推理是根据已有的事实，通过观察、联想、对比，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，是基础题． 　 14．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为　20　（m）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13380.png){width="1.2291666666666667in" height="1.125in"} 【分析】设矩形高为y，由三角形相似可求得40=x+y且x＞0，y＞0，x＜40，y＜40，利用基本不等式即可求得答案． 【解答】解：设矩形高为y，由三角形相似得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13381.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13382.png){width="0.3854166666666667in" height="0.375in"}，且x＞0，y＞0，x＜40，y＜40， ⇒40=x+y≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13383.png){width="0.2916666666666667in" height="0.19791666666666666in"}，仅当x=y=20m时，矩形的面积s=xy取最大值400m2． 故答案为：20． 【点评】本题考查基本不等式，考查相似三角形的应用，求得40=x+y是关键，属于中档题． 　 选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分） 15．（5分）（不等式选做题） 设a，b∈R，\|a﹣b\|＞2，则关于实数x的不等式\|x﹣a\|+\|x﹣b\|＞2的解集是　R　． 【分析】判断函数f（x）=\|x﹣a\|+\|x﹣b\|的值域为（\|a﹣b\|，+∞），利用已知条件推出不等式的解集即可． 【解答】解：函数f（x）=\|x﹣a\|+\|x﹣b\|的值域为（\|a﹣b\|，+∞）， 因此，当∀x∈R时，f（x）≥\|a﹣b\|＞2， 所以不等式\|x﹣a\|+\|x﹣b\|＞2的解集是R． 故答案为：R． 【点评】本题考查绝对值不等式的基本知识，考查计算能力． 　 16．（几何证明选做题） 如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知∠A=∠C，PD=2DA=2，则PE=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13384.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13385.png){width="1.71875in" height="0.6458333333333334in"} 【分析】利用已知条件判断△EPD∽△APE，列出比例关系，即可求解PE的值． 【解答】解：因为BC∥PE，∴∠BCD=∠PED， 且在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD， ⇒△EPD∽△APE，∵PD=2DA=2 ⇒![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13386.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ⇒PE2=PA•PD=3×2=6， ∴PE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13387.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13387.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查三角形相似的判断与性质定理的应用，考查计算能力． 　 17．（坐标系与参数方程选做题） 圆锥曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13388.png){width="0.4895833333333333in" height="0.46875in"}（t为参数）的焦点坐标是　（1，0）　． 【分析】由题意第二个式子的平方减去第一个式子的4倍即可得到圆锥曲线C的普通方程，再根据普通方程表示的抛物线求出焦点坐标即可． 【解答】解：由方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13388.png){width="0.4895833333333333in" height="0.46875in"}（t为参数）得y2=4x，它表示焦点在x轴上的抛物线，其焦点坐标为（1，0）． 故答案为：（1，0）． 【点评】本题是基础题，考查参数方程与直角坐标方程的互化，极坐标方程的求法，考查计算能力． 　 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 18．（12分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13389.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（cosx，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13390.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13391.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13392.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13393.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}． （Ⅰ） 求f（x）的最小正周期． （Ⅱ） 求f（x）在\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13394.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值和最小值． 【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期． （Ⅱ） 通过x在\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13394.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]，求出f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13395.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}=（cosx，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13396.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13397.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinx，cos2x） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13397.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinxcosx![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13398.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"} =sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13399.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}） 最小正周期为：T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13400.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=π． （Ⅱ）当x∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13401.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]时，2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13399.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13402.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}， 由正弦函数y=sinx在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13402.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}的性质可知，sinx![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13403.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13404.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13403.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}， ∴f（x）∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13405.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1\]， 所以函数f （x）在\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13406.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值和最小值分别为：1，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13405.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力． 　 19．（12分）设Sn表示数列{an}的前n项和． （Ⅰ） 若{an}为等差数列，推导Sn的计算公式； （Ⅱ） 若a1=1，q≠0，且对所有正整数n，有Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13407.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4479166666666667in"}．判断{an}是否为等比数列，并证明你的结论． 【分析】（I）设等差数列的公差为d，则an=a1+（n﹣1）d，可得a1+an=a2+an﹣1=...，利用"倒序相加"即可得出； （II）利用an+1=Sn+1﹣Sn即可得出an+1，进而得到an，利用等比数列的通项公式即可证明其为等比数列． 【解答】证明：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，则an=a1+（n﹣1）d，可得a1+an=a2+an﹣1=...， 由Sn=a1+a2+...+an， Sn=an+an﹣1+...+a1． 两等式相加可得2Sn=（a1+an）+（a2+an﹣1）+...+（an+a1）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13408.png){width="2.25in" height="0.4270833333333333in"}． （II）∵a1=1，q≠0，且对所有正整数n，有Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13409.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4479166666666667in"}． ∴an+1=Sn+1﹣Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13410.png){width="1.0625in" height="0.4479166666666667in"}=qn． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13411.png){width="1.25in" height="0.4895833333333333in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13412.png){width="0.625in" height="0.28125in"}（n∈N\*）， ∴数列{an}是以a1=1为首项，q≠1为公比的等比数列． 【点评】熟练掌握等差数列的通项公式及"倒序相加"法、等比数列的定义及通项公式、通项公式与前n项和的公式是解题的关键． 　 20．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13413.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （Ⅰ） 证明：平面A1BD∥平面CD1B1； （Ⅱ） 求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13414.png){width="2.0208333333333335in" height="1.25in"} 【分析】（Ⅰ）由四棱柱的性质可得四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等，可得 BD∥平面CB1D1．同理可证，A1B∥平面CB1D1．而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，利用两个平面平行的判定定理可得平面A1BD∥平面CD1B1 ． （Ⅱ） 由题意可得A1O为三棱柱ABD﹣A1B1D1的高，由勾股定理可得A1O=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13415.png){width="0.8541666666666666in" height="0.3020833333333333in"} 的值，再根据三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积V=S△ABD•A1O，运算求得结果． 【解答】解：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13413.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 由棱柱的性质可得BB1 和DD1平行且相等，故四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等． 而BD不在平面CB1D1内，而B1D1在平面CB1D1内，∴BD∥平面CB1D1． 同理可证，A1BCD1为平行四边形，A1B∥平面CB1D1． 而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，故有平面A1BD∥平面CD1B1 ． （Ⅱ） 由题意可得A1O为三棱柱ABD﹣A1B1D1的高．三角形A1AO中，由勾股定理可得A1O=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13416.png){width="0.8541666666666666in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13417.png){width="0.375in" height="0.1875in"}=1， ∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积V=S△ABD•A1O=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13418.png){width="0.3125in" height="0.4270833333333333in"}•A1O=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13419.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×1=1． 【点评】本题主要考查棱柱的性质，两个平面平行的判定定理的应用，求三棱柱的体积，属于中档题． 　 21．（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下： ------ ---- ----- ----- ----- ---- 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 ------ ---- ----- ----- ----- ---- （Ⅰ） 为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表． ---------- ---- ----- ----- ----- ---- 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 ---------- ---- ----- ----- ----- ---- （Ⅱ） 在（Ⅰ）中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率． 【分析】（Ⅰ）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数； （Ⅱ）利用古典概型概率计算公式求出A，B两组被抽到的评委支持1号歌手的概率，因两组评委是否支持1号歌手相互独立，由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到的评委中分别任选1人，2人都支持1号歌手的概率． 【解答】解：（Ⅰ）按相同的比例从不同的组中抽取人数． 从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从150人中抽取6人，填表如下： ---------- ---- ----- ----- ----- ---- 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 3 6 9 9 3 ---------- ---- ----- ----- ----- ---- （Ⅱ）A组抽取的3人中有2人支持1好歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13420.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持1号歌手的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13421.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，则2人都支持1号歌手的概率p=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13422.png){width="0.6979166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了分层抽样方法，考查了相互独立事件同时发生的概率乘法公式，若事件A，B是否发生相互独立，则p（AB）=p（A）p（B），是中档题． 　 22．（13分）已知动点M（x，y）到直线l：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍． （Ⅰ） 求动点M的轨迹C的方程； （Ⅱ） 过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率． 【分析】（Ⅰ）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点M的轨迹C的方程； （Ⅱ）经分析当直线m的斜率不存在时，不满足A是PB的中点，然后设出直线m的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出x1+x2，x1x2，结合2x1=x2得到关于k的方程，则直线m的斜率可求． 【解答】解：（Ⅰ）点M（x，y）到直线x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍，则 \|x﹣4\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13423.png){width="0.9479166666666666in" height="0.2604166666666667in"}，即（x﹣4）2=4\[（x﹣1）2+y2\]， 整理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13424.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}． 所以，动点M的轨迹是椭圆，方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13424.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}； （Ⅱ）P（0，3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由A是PB的中点，得2x1=0+x2，2y1=3+y2． 椭圆的上下顶点坐标分别是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13425.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13426.png){width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}，经检验直线m不经过这两点，即直线m的斜率k存在． 设直线m的方程为：y=kx+3． 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13427.png){width="0.84375in" height="0.6770833333333334in"}， 整理得：（3+4k2）x2+24kx+24=0． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13428.png){width="2.2604166666666665in" height="0.4270833333333333in"}． 因为2x1=x2． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13429.png){width="0.9791666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13430.png){width="1.625in" height="0.53125in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13431.png){width="1.8333333333333333in" height="0.875in"}． 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13432.png){width="1.1770833333333333in" height="0.4791666666666667in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13433.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 所以，直线m的斜率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13433.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了曲线方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解，是中档题． 　 23．（14分）已知函数f（x）=ex，x∈R． （Ⅰ） 求f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程； （Ⅱ） 证明：曲线y=f（x）与曲线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13434.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}有唯一公共点． （Ⅲ） 设a＜b，比较f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13435.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13436.png){width="0.8020833333333334in" height="0.3645833333333333in"}的大小，并说明理由． 【分析】（I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可； （II）令h（x）=f（x）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13437.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13438.png){width="0.9791666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出； （III）设b﹣a=t＞0，通过作差![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13436.png){width="0.8020833333333334in" height="0.3645833333333333in"}﹣f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13435.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13439.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13440.png){width="0.9791666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，构造函数g（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13441.png){width="0.7708333333333334in" height="0.3854166666666667in"}（t＞0），可得g′（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13442.png){width="0.9895833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13443.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13444.png){width="0.84375in" height="0.4895833333333333in"}（t＞0）．令h（x）=ex﹣x﹣1（x＞0），利用导数研究其单调性即可． 【解答】（I）解：函数f（x）=ex的反函数为g（x）=lnx， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13445.png){width="0.75in" height="0.3645833333333333in"}，∴g′（1）=1， ∴f（x）的反函数的图象上的点（1，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1； （Ⅱ）证明：令h（x）=f（x）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13446.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13447.png){width="0.9791666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 则h′（x）=ex﹣x﹣1， h′′（x）=ex﹣1， 当x＞0时，h′′（x）＞0，h′（x）单调递增；当x＜0时，h′′（x）＜0，h′（x）单调递减， 故h′（x）在x=0取得极小值，即最小值， ∴h′（x）≥h′（0）=0， ∴函数y=h（x）在R上单调递增，最多有一个零点， 而x=0时，满足h（0）=0，是h（x）的一个零点． 所以曲线y=f（x） 与曲线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13448.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}有唯一公共点（0，1）． （Ⅲ） 设b﹣a=t＞0，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13449.png){width="0.8020833333333334in" height="0.3645833333333333in"}﹣f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13450.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13451.png){width="0.9791666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13452.png){width="1.40625in" height="0.4895833333333333in"}=ea ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13453.png){width="0.9479166666666666in" height="0.4895833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13454.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13455.png){width="0.9791666666666666in" height="0.3854166666666667in"}， 令g（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13456.png){width="0.7708333333333334in" height="0.3854166666666667in"}（t＞0）， 则g′（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13457.png){width="0.9895833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13458.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13459.png){width="0.84375in" height="0.4895833333333333in"}（t＞0）． 令h（x）=ex﹣x﹣1（x＞0）， 则h′（x）=ex﹣1＞0，∴函数h（x）在（0，+∞）单调递增， ∴h（x）＞h（0）=0， 因此g′（t）＞0，∴函数g（t）在t＞0时单调递增，∴g（t）＞g（0）=0． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13460.png){width="0.8020833333333334in" height="0.3645833333333333in"}＞f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13461.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）． 【点评】本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力． 2013年上海市高考数学试卷（理科） ================================ 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．（4分）计算：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13462.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3125in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13463.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13464.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】由数列极限的意义即可求解． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13465.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4166666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13466.png){width="0.7916666666666666in" height="0.7604166666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13464.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13464.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查数列极限的求法，属基础题． 　 2．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=　﹣2　． 【分析】根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值． 【解答】解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数， ∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查复数的基本概念，得到 m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题． 　 3．（4分）若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13467.png){width="0.5104166666666666in" height="0.46875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13468.png){width="0.4166666666666667in" height="0.40625in"}，x+y=　0　． 【分析】利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13469.png){width="0.5104166666666666in" height="0.46875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13470.png){width="0.4166666666666667in" height="0.40625in"}， ∴x2+y2=﹣2xy ∴（x+y）2=0 ∴x+y=0 故答案为0 【点评】本题考查二阶行列式的定义，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 4．（4分）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，则角C的大小是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13471.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】把式子3a2+2ab+3b2﹣3c2=0变形为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13472.png){width="1.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，再利用余弦定理![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13473.png){width="1.2604166666666667in" height="0.4270833333333333in"}即可得出． 【解答】解：∵3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13474.png){width="1.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13475.png){width="1.2604166666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13476.png){width="0.4583333333333333in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13477.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． ∴C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13478.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13478.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】熟练掌握余弦定理及反三角函数是解题的关键． 　 5．（4分）设常数 a∈R，若（x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13479.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则 a=　﹣2　． 【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13480.png){width="0.7291666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的展开式的通项为Tr+1=C5rx10﹣2r（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13479.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）r=C5rx10﹣3rar 令10﹣3r=7得r=1， ∴x7的系数是aC51 ∵x7的系数是﹣10， ∴aC51=﹣10， 解得a=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 　 6．（4分）方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13481.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13482.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=3x﹣1的实数解为　log34　． 【分析】化简方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13483.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13482.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=3x﹣1为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13484.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}=3x﹣1，即（3x﹣4）（3x+2）=0，解得 3x=4，可得x的值． 【解答】解：方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13483.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13482.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=3x﹣1，即 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13484.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}=3x﹣1，即 8+3x=3x﹣1（ 3x+1﹣3）， 化简可得 32x﹣2•3x﹣8=0，即（3x﹣4）（3x+2）=0． 解得 3x=4，或 3x=﹣2（舍去）， ∴x=log34， 故答案为 log34． 【点评】本题主要考查指数方程的解法，指数函数的值域，一元二次方程的解法，属于基础题． 　 7．（4分）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13485.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}　． 【分析】联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案． 【解答】解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ﹣1）=1， 解得ρ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13485.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}或ρ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13486.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}（舍）， 所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13485.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13485.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化，属基础题． 　 8．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13487.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}　（结果用最简分数表示）． 【分析】利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率． 【解答】解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13488.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}种． 取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13489.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}种． 则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13490.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13491.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13492.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题． 　 9．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13493.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，若AB=4，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13494.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则Γ的两个焦点之间的距离为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13495.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}　． 【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13496.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案． 【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13496.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}， 由题意知，2a=4，a=2． ∵∠CBA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13497.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13498.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∴点C的坐标为C（﹣1，1）， 因点C在椭圆上，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13499.png){width="0.9895833333333334in" height="0.4791666666666667in"}， ∴b2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13500.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴c2=a2﹣b2=4﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13500.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13501.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13502.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 则Γ的两个焦点之间的距离为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13503.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13504.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13505.png){width="2.8652777777777776in" height="2.3541666666666665in"} 【点评】本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用． 　 10．（4分）设非零常数d是等差数列x1，x2，...，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，...，x19，则方差Dξ=　30d2　． 【分析】利用等差数列的前n项和公式可得x1+x2+...+x19=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13506.png){width="1.1458333333333333in" height="0.3645833333333333in"}和数学期望的计算公式即可得出Eξ，再利用方差的计算公式即可得出Dξ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13507.png){width="2.4270833333333335in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13508.png){width="1.0208333333333333in" height="0.28125in"}即可得出． 【解答】解：由题意可得Eξ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13509.png){width="1.1354166666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13510.png){width="1.1770833333333333in" height="0.5625in"}=x1+9d． ∴xn﹣Eξ=x1+（n﹣1）d﹣（x1+9d）=（n﹣10）d， ∴Dξ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13511.png){width="1.4791666666666667in" height="0.3645833333333333in"}+...+（﹣d）2+0+d2+（2d）2+...+（9d）2\] =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13512.png){width="1.5729166666666667in" height="0.4270833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13513.png){width="1.3229166666666667in" height="0.4270833333333333in"} =30d2． 故答案为：30d2． 【点评】熟练掌握等差数列的前n项和公式、数学期望和方差的计算公式是解题的关键． 　 11．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13514.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，sin2x+sin2y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13515.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则sin（x+y）=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13515.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】利用两角差的余弦公式及cosxcosy+sinxsiny=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13516.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，可得cos（x﹣y）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13516.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，再利用和差化积公式sin2x+sin2y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13517.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，得到2sin（x+y）cos（x﹣y）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13517.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即可得出sin（x+y）． 【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13516.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，∴cos（x﹣y）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13516.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ∵sin2x+sin2y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13517.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sin\[（x+y）+（x﹣y）\]+sin\[（x+y）﹣（x﹣y）\]=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13517.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴2sin（x+y）cos（x﹣y）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13517.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13518.png){width="1.3125in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sin（x+y）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13519.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13519.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】熟练掌握两角和差的正弦余弦公式及和差化积公式是解题的关键． 　 12．（4分）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13520.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13521.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}．　． 【分析】先利用y=f（x）是定义在R上的奇函数求出x≥0时函数的解析式，将f（x）≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范围． 【解答】解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数， 所以当x=0时，f（x）=0； 当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）=﹣9x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13522.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+7 因为y=f（x）是定义在R上的奇函数， 所以f（x）=9x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13522.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣7； 因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立， 所以当x=0时，0≥a+1成立， 所以a≤﹣1； 当x＞0时，9x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13522.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣7≥a+1成立， 只需要9x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13522.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣7的最小值≥a+1， 因为9x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13522.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣7≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13523.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4479166666666667in"}=6\|a\|﹣7， 所以6\|a\|﹣7≥a+1， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13524.png){width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13525.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13525.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值． 　 13．（4分）在xOy平面上，将两个半圆弧（x﹣1）2+y2=1（x≥1）和（x﹣3）2+y2=1（x≥3），两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（\|y\|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13526.png){width="0.4895833333333333in" height="0.2604166666666667in"}+8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为　2π2+16π　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13527.png){width="2.125in" height="1.2083333333333333in"} 【分析】由题目给出的Ω的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可． 【解答】解：因为几何体为Ω的水平截面的截面积为4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13528.png){width="0.6770833333333334in" height="0.2604166666666667in"}+8π，该截面的截面积由两部分组成， 一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13528.png){width="0.6770833333333334in" height="0.2604166666666667in"}，看作是把一个半径为1， 高为2π的圆柱平放得到的，如图所示， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13529.png){width="3.1777777777777776in" height="1.1145833333333333in"} 这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等， 即Ω的体积为π•12•2π+2•8π=2π2+16π． 故答案为2π2+16π． 【点评】本题考查了简单的合情推理，解答的关键是由几何体Ω的水平截面面积想到水平放置的圆柱和长方体的有关量，是中档题． 　 14．（4分）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y\|y=g（x），x∈I}．已知定义域为\[0，3\]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（\[0，1））=\[1，2），f﹣1（（2，4\]）=\[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0=　2　． 【分析】根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当x∈\[0，1）时，x∈\[1，2）时f（x）的值域，进而可判断此时f（x）=x无解；由f（x）在定义域\[0，3\]上存在反函数可知：x∈\[2，3\]时，f（x）的取值集合，再根据方程f（x）=x有解即可得到x0的值． 【解答】解：因为g（I）={y\|y=g（x），x∈I}，f﹣1（\[0，1））=\[1，2），f﹣1（2，4\]）=\[0，1）， 所以对于函数f（x）， 当x∈\[0，1）时，f（x）∈（2，4\]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解； 当x∈\[1，2）时，f（x）∈\[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解； 所以当x∈\[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解， 又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为\[0，3\]， 故当x∈\[2，3\]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪\[1，2\]∪（4，+∞）， 故若f（x0）=x0，只有x0=2， 故答案为：2． 【点评】本题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题的能力，属中档题． 　 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．（5分）设常数a∈R，集合A={x\|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x\|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2\] C．（2，+∞） D．\[2，+∞） 【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围． 【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1\]∪\[a，+∞），B=\[a﹣1，+∞）， 若A∪B=R，则a﹣1≤1， ∴1＜a≤2； 当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R； 当a＜1时，A=（﹣∞，a\]∪\[1，+∞），B=\[a﹣1，+∞）， 若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立， ∴a＜1； 综上，a的取值范围是（﹣∞，2\]． 故选：B． 【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 　 16．（5分）钱大姐常说"便宜没好货"，她这句话的意思是："不便宜"是"好货"的（　　） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【分析】因为"好货不便宜"是"便宜没好货"的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到："好货不便宜"是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出"不便宜"是"好货"的必要条件． 【解答】解："好货不便宜"是"便宜没好货"的逆否命题， 根据互为逆否命题的真假一致得到："好货不便宜"是真命题． 所以"好货"⇒"不便宜"， 所以"不便宜"是"好货"的必要条件， 故选：B． 【点评】本题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假判定条件关系，属于基础题． 　 17．（5分）在数列（an）中，an=2n﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj（i=1，2，...，7；j=1，2，...，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（　　） A．18 B．28 C．48 D．63 【分析】由于该矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j﹣1（i=1，2，...，7；j=1，2，...，12），要使aij=amn（i，m=1，2，...，7；j，n=1，2，...，12）． 则满足2i+j﹣1=2m+n﹣1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n时，aij≠amn，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，即可得出． 【解答】解：该矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j﹣1（i=1，2，...，7；j=1，2，...，12）， 当且仅当：i+j=m+n时，aij=amn（i，m=1，2，...，7；j，n=1，2，...，12）， 因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，...，19，共18个不同数值． 故选：A． 【点评】由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，aij=amn（i，m=1，2，...，7；j，n=1，2，...，12）是解题的关键． 　 18．（5分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13530.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13531.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13532.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13533.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13534.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13535.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13536.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13537.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13538.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13539.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}．若m、M分别为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13540.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13541.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13542.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13543.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13544.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13545.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（　　） A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0 【分析】利用向量的数量积公式，可知只有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13546.png){width="1.3333333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，其余数量积均小于等于0，从而可结论． 【解答】解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13547.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13548.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13549.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13550.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13551.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13552.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13553.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13554.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13555.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13556.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}， ∴利用向量的数量积公式，可知只有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13557.png){width="1.3333333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，其余数量积均小于等于0， ∵m、M分别为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13558.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13559.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13560.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13561.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13562.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13563.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}）的最小值、最大值， ∴m＜0，M＜0 故选：D． 【点评】本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键． 　 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13564.png){width="1.8125in" height="1.0833333333333333in"} 【分析】解法一：证明ABC′D′为平行四边形，可得BC′∥AD′，再利用直线和平面平行的判定定理证得直线BC′平行于平面D′AC． 所求的距离即点B到平面D′AC的距离，设为h，再利用等体积法求得h的值． 解法二：建立空间直角坐标系，求出平面D′AC的一个法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13565.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（2，1，﹣2），再根据 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13566.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}=﹣0，可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13565.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13567.png){width="0.3541666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，可得直线BC′平行于平面D′AC．求出点B到平面D′AC的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13568.png){width="0.6354166666666666in" height="0.4479166666666667in"} 的值，即为直线BC′到平面D′AC的距离． 【解答】解：解法一：因为ABCD﹣A′B′C′D′为长方体，故AB∥C′D′，AB=C′D′， 故ABC′D′为平行四边形，故BC′∥AD′，显然BC′不在平面D′AC内， 于是直线BC′平行于平面D′AC． 直线BC′到平面D′AC的距离即为点B到平面D′AC的距离，设为h， 考虑三棱锥D′﹣ABC的体积，以ABC为底面，可得三棱锥D′﹣ABC的体积为V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13569.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13570.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13569.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 而△AD′C中，AC=D′C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10697.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AD′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13571.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，故△CAD′的底边AD′上的高为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13572.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 故△CAD′的面积S△CAD′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10760.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13573.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13574.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13575.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 所以，V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13576.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13577.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}⇒h=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13578.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即直线BC′到平面D′AC的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13578.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 解法二：以D′A′所在的直线为x轴，以D′C′所在的直线为y轴，以D′D所在的直线为z轴， 建立空间直角坐标系． 则由题意可得，点A（1，0，1 ）、B（1，2，1）、C（0，2，1）、C′（0，2，0）、D′（0，0，0）． 设平面D′AC的一个法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13579.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（u，v，w），则由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13579.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13580.png){width="0.3541666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13579.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13581.png){width="0.3541666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13582.png){width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13583.png){width="0.75in" height="0.20833333333333334in"}． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13584.png){width="0.3541666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，0，1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13585.png){width="0.3541666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（0，2，1），∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13586.png){width="0.625in" height="0.3958333333333333in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13587.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3958333333333333in"}． 令v=1，可得 u=2，w=﹣2，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13588.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（2，1，﹣2）． 由于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13589.png){width="0.3541666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，0，﹣1），∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13590.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}=﹣0，故有 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13591.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13592.png){width="0.3541666666666667in" height="0.20833333333333334in"}． 再由BC′不在平面D′AC内，可得直线BC′平行于平面D′AC． 由于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13593.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（1，0，0），可得点B到平面D′AC的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13594.png){width="0.6354166666666666in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13595.png){width="1.6354166666666667in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10149.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故直线BC′到平面D′AC的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10149.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，利用向量法证明直线和平面平行，求直线到平面的距离的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题． 　 20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13596.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）元． （1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围； （2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润． 【分析】（1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围； （2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润． 【解答】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100（5x+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13596.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）×2=200（5x+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13596.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}） 根据题意，200（5x+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13596.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）≥3000，即5x2﹣14x﹣3≥0 ∴x≥3或x≤﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13597.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ∵1≤x≤10，∴3≤x≤10； （2）设利润为 y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100（5x+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13598.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13599.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} =90000（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13600.png){width="0.7604166666666666in" height="0.4270833333333333in"}）=9×104\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13601.png){width="0.8645833333333334in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13602.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\] ∵1≤x≤10，∴x=6时，取得最大利润为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13603.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3645833333333333in"}=457500元 故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元． 【点评】本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键． 　 21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0． （1）若y=f（x）在\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13604.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13605.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递增，求ω的取值范围； （2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13606.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间\[a，b\]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在\[a，b\]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的\[a，b\]中，求b﹣a的最小值． 【分析】（1）已知函数y=f（x）在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13607.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13608.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13609.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，解出即可； （2）利用变换法则"左加右减，上加下减"即可得到g（x）=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13610.png){width="1.09375in" height="0.3645833333333333in"}．令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间\[a，mπ+a\]（m∈N\*）恰有2m+1个零点，所以在区间\[a，14π+a\]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b\]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b﹣a的最小值． 【解答】解：（1）∵函数y=f（x）在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13611.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}上单调递增，且ω＞0， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13608.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13612.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13613.png){width="0.7395833333333334in" height="0.3645833333333333in"}． （2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13614.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位，再向上平移1个单位，得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13615.png){width="1.34375in" height="0.3645833333333333in"}， ∴函数y=g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13616.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 令g（x）=0，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13617.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，或x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13618.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}（k∈Z）． ∴相邻两个零点之间的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13619.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13620.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间\[a，π+a\]，\[a，2π+a\]，...，\[a，mπ+a\]（m∈N\*）分别恰有3，5，...，2m+1个零点， 所以在区间\[a，14π+a\]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b\]至少有一个零点， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13621.png){width="1.0729166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 另一方面，在区间![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13622.png){width="1.7395833333333333in" height="0.3645833333333333in"}恰有30个零点， 因此b﹣a的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13623.png){width="1.1458333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力． 　 22．（16分）如图，已知双曲线C1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13624.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，曲线C2：\|y\|=\|x\|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为"C1﹣C2型点" （1）在正确证明C1的左焦点是"C1﹣C2型点"时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； （2）设直线y=kx与C2有公共点，求证\|k\|＞1，进而证明原点不是"C1﹣C2型点"； （3）求证：圆x2+y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13625.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}内的点都不是"C1﹣C2型点" ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13626.png){width="2.2708333333333335in" height="1.46875in"} 【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13627.png){width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是"C1﹣C2型点"，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率； （2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到\|k\|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点； （3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当\|k\|≤1时过圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13628.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当\|k\|＞1时，过圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13628.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与\|k\|＞1矛盾．从而证明了结论． 【解答】（1）解：C1的左焦点为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13629.png){width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}），写出的直线方程可以是以下形式： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13630.png){width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13631.png){width="0.8333333333333334in" height="0.19791666666666666in"}，其中![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13632.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3854166666666667in"}． （2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点， 所以方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13633.png){width="0.875in" height="0.4166666666666667in"}有实数解，因此\|kx\|=\|x\|+1，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13634.png){width="1.09375in" height="0.3645833333333333in"}． 若原点是"C1﹣C2型点"，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点． 考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（\|k\|＞1）． 显然直线x=0与C1无公共点． 如果直线为y=kx（\|k\|＞1），则由方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13635.png){width="0.8125in" height="0.6666666666666666in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13636.png){width="1.0625in" height="0.4270833333333333in"}，矛盾． 所以直线y=kx（\|k\|＞1）与C1也无公共点． 因此原点不是"C1﹣C2型点"． （3）证明：记圆O：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13637.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直， 故可设l：y=kx+b． 若\|k\|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间， 从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以\|k\|＞1． 因为l与C1由公共点，所以方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13638.png){width="0.8125in" height="0.6666666666666666in"}有实数解， 得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0． 因为\|k\|＞1，所以1﹣2k2≠0， 因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0， 即b2≥2k2﹣1． 因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13639.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13640.png){width="1.03125in" height="0.4791666666666667in"}，从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13641.png){width="1.4479166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，得k2＜1，与\|k\|＞1矛盾． 因此，圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13642.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}内的点不是"C1﹣C2型点"． 【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题． 　 23．（18分）给定常数c＞0，定义函数f（x）=2\|x+c+4\|﹣\|x+c\|．数列a1，a2，a3，...满足an+1=f（an），n∈N\*． （1）若a1=﹣c﹣2，求a2及a3； （2）求证：对任意n∈N\*，an+1﹣an≥c； （3）是否存在a1，使得a1，a2，...，an，...成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由． 【分析】（1）对于分别取n=1，2，an+1=f（an），n∈N\*．去掉绝对值符合即可得出； （2）由已知可得f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13643.png){width="1.7916666666666667in" height="0.6979166666666666in"}，分三种情况讨论即可证明； （3）由（2）及c＞0，得an+1≥an，即{an}为无穷递增数列．分以下三种情况讨论：当a1＜﹣c﹣4时，当﹣c﹣4≤a1＜﹣c时，当a1≥﹣c时．即可得出a1的取值范围． 【解答】解：（1）a2=f（a1）=f（﹣c﹣2）=2\|﹣c﹣2+c+4\|﹣\|﹣c﹣2+c\|=4﹣2=2， a3=f（a2）=f（2）=2\|2+c+4\|﹣\|2+c\|=2（6+c）﹣（c+2）=10+c． （2）由已知可得f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13643.png){width="1.7916666666666667in" height="0.6979166666666666in"} 当an≥﹣c时，an+1﹣an=c+8＞c； 当﹣c﹣4≤an＜﹣c时，an+1﹣an=2an+3c+8≥2（﹣c﹣4）+3c+8=c； 当an＜﹣c﹣4时，an+1﹣an=﹣2an﹣c﹣8＞﹣2（﹣c﹣4）﹣c﹣8=c． ∴对任意n∈N\*，an+1﹣an≥c； （3）假设存在a1，使得a1，a2，...，an，...成等差数列． 由（2）及c＞0，得an+1≥an，即{an}为无穷递增数列． 又{an}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，an≥﹣c，从而an+1=f（an）=an+c+8，由于{an}为等差数列， 因此公差d=c+8． ①当a1＜﹣c﹣4时，则a2=f（a1）=﹣a1﹣c﹣8， 又a2=a1+d=a1+c+8，故﹣a1﹣c﹣8=a1+c+8，即a1=﹣c﹣8，从而a2=0， 当n≥2时，由于{an}为递增数列，故an≥a2=0＞﹣c， ∴an+1=f（an）=an+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=﹣c﹣8时，{an}为无穷等差数列，符合要求； ②若﹣c﹣4≤a1＜﹣c，则a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=﹣c，应舍去； ③若a1≥﹣c，则由an≥a1得到an+1=f（an）=an+c+8，从而{an}为无穷等差数列，符合要求． 综上可知：a1的取值范围为{﹣c﹣8}∪\[﹣c，+∞）． 【点评】本题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法，考查了推理能力和计算能力． 2013年上海市高考数学试卷（文科） ================================ 一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 1．（4分）不等式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13644.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}＜0的解为　0＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13645.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】根据两数相除商为负，得到x与2x﹣1异号，将原不等式化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集． 【解答】解：原不等式化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13646.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13647.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}， 解得：0＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13645.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：0＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13645.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本试题． 　 2．（4分）在等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=　15　． 【分析】根据给出的数列是等差数列，由等差数列的性质可得a1+a4=a2+a3，结合已知条件可求a2+a3． 【解答】解：因为数列{an}是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3， 由a1+a2+a3+a4=30，所以，2（a2+a3）=30， 则a2+a3=15． 故答案为：15． 【点评】本题考查了等差中项概念，在等差数列中，若m，n，p，q，t∈N\*，且m+n=p+q=2t，则am+an=ap+aq=2at，此题是基础题． 　 3．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=　﹣2　． 【分析】根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值． 【解答】解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数， ∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查复数的基本概念，得到 m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题． 　 4．（4分）已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13648.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3958333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13649.png){width="0.5208333333333334in" height="0.40625in"}，则y=　1　． 【分析】利用二阶行列式的运算法则，由写出的式子化简后列出方程，直接求解y即可． 【解答】解：由已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13648.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3958333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13650.png){width="0.5208333333333334in" height="0.40625in"}， 所以x﹣2=0，x﹣y=1 所以x=2，y=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题． 　 5．（4分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13651.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数． 【解答】解：∵a2+ab+b2﹣c2=0，即a2+b2﹣c2=﹣ab， ∴cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13652.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13653.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13654.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∵C为三角形的内角， ∴C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13651.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13655.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 　 6．（4分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为　78　． 【分析】设该年级男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据"平均成绩×人数=总成绩"分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据"男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩"列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数． 【解答】解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知： 75x+80y=（x+y）×a，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13656.png){width="0.3020833333333333in" height="0.375in"}=40%． 所以a=78， 则这次考试该年级学生平均分数为78． 故答案为：78． 【点评】本题主要考查了平均数．解答此题的关键：设该班男生有x人，女生有y人，根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题． 　 7．（4分）设常数 a∈R，若（x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13657.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则 a=　﹣2　． 【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13658.png){width="0.7291666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的展开式的通项为Tr+1=C5rx10﹣2r（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13657.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）r=C5rx10﹣3rar 令10﹣3r=7得r=1， ∴x7的系数是aC51 ∵x7的系数是﹣10， ∴aC51=﹣10， 解得a=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 　 8．（4分）方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13659.png){width="0.875in" height="0.4270833333333333in"}的实数解为　log34　． 【分析】用换元法，可将方程转化为一个二次方程，然后利用一元二次方程根，即可得到实数x的取值． 【解答】解：令t=3x（t＞0） 则原方程可化为：（t﹣1）2=9（t＞0） ∴t﹣1=3，t=4，即x=log34可满足条件 即方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13659.png){width="0.875in" height="0.4270833333333333in"}的实数解为 log34． 故答案为：log34． 【点评】本题考查的知识点是根的存在性，利用换元法将方程转化为一个一元二次方程是解答本题的关键，但在换元过程中，要注意对中间元取值范围的判断． 　 9．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13660.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则cos（2x﹣2y）=　﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13661.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（x﹣y）的值，所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos（x﹣y）的值代入计算即可求出值． 【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=cos（x﹣y）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13660.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴cos（2x﹣2y）=cos2（x﹣y）=2cos2（x﹣y）﹣1=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13662.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13662.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 　 10．（4分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13663.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13664.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13665.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13666.png){width="0.8333333333333334in" height="1.0104166666666667in"} 【分析】过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13663.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}．在直角三角形ODA中，直接由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13667.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}得到答案． 【解答】解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13663.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 在直角三角形ODA中，因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13668.png){width="0.7395833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13667.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13669.png){width="0.4479166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13670.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13671.png){width="0.8333333333333334in" height="1.0104166666666667in"} 【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题． 　 11．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13672.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　（结果用最简分数表示） 【分析】从7个球中任取2个球共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13673.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=21种，两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13674.png){width="0.75in" height="0.28125in"}=15种取法，利用古典概型的概率计算公式即可求得答案． 【解答】解：从7个球中任取2个球共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13675.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=21种， 所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13676.png){width="0.75in" height="0.28125in"}=15种取法， 所以两球编号之积为偶数的概率为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13677.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13678.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13678.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查古典概型的概率计算公式，属基础题，其计算公式为：P（A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13679.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，其中n（A）为事件A所包含的基本事件数，m为基本事件总数． 　 12．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13680.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，若AB=4，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13681.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则Γ的两个焦点之间的距离为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13682.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}　． 【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13683.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案． 【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13683.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}， 由题意知，2a=4，a=2． ∵∠CBA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13680.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13684.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∴点C的坐标为C（﹣1，1）， 因点C在椭圆上，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13685.png){width="0.9895833333333334in" height="0.4791666666666667in"}， ∴b2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13686.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴c2=a2﹣b2=4﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13686.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13687.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13688.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 则Γ的两个焦点之间的距离为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13689.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13689.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13690.png){width="2.8652777777777776in" height="2.3541666666666665in"} 【点评】本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用． 　 13．（4分）设常数a＞0，若9x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13691.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}对一切正实数x成立，则a的取值范围为　\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13692.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）　． 【分析】由题设数a＞0，若9x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13691.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}对一切正实数x成立可转化为（9x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13693.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}）min≥a+1，利用基本不等式判断出9x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13694.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}≥6a，由此可得到关于a的不等式，解之即可得到所求的范围 【解答】解：常数a＞0，若9x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13694.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13694.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}）min≥a+1， 又9x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13694.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}≥6a，当且仅当9x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13694.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，即x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13695.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，等号成立 故必有6a≥a+1，解得a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13696.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 故答案为\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13696.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞） 【点评】本题考查函数的最值及利用基本不等式求最值，本题是基本不等式应用的一个很典型的例子 　 14．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13697.png){width="0.9583333333333334in" height="0.2708333333333333in"}；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13698.png){width="0.9583333333333334in" height="0.2708333333333333in"}，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13699.png){width="1.4583333333333333in" height="0.2708333333333333in"}的最小值是　﹣5　． 【分析】如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13697.png){width="0.9583333333333334in" height="0.2708333333333333in"}分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13700.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13701.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13702.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，以C为起点，其余顶点为终点的向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13703.png){width="0.9583333333333334in" height="0.2708333333333333in"}分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13704.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13705.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13706.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}．再分类讨论当i，j，k，l取不同的值时，利用向量的坐标运算计算![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13707.png){width="1.4583333333333333in" height="0.2708333333333333in"}的值，从而得出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13708.png){width="1.4583333333333333in" height="0.2708333333333333in"}的最小值． 【解答】解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13709.png){width="0.9583333333333334in" height="0.2708333333333333in"}分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13710.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13711.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13712.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，以C为起点，其余顶点为终点的向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13713.png){width="0.9583333333333334in" height="0.2708333333333333in"}分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13714.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13715.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13716.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}．如图建立坐标系． （1）当i=1，j=2，k=1，l=2时，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13717.png){width="1.4583333333333333in" height="0.2708333333333333in"}=\[（1，0）+（1，1）\]•\[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）\]=﹣5； （2）当i=1，j=2，k=1，l=3时，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13717.png){width="1.4583333333333333in" height="0.2708333333333333in"}=\[（1，0）+（1，1）\]•\[（（﹣1，0）+（0，﹣1）\]=﹣3； （3）当i=1，j=2，k=2，l=3时，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13717.png){width="1.4583333333333333in" height="0.2708333333333333in"}=\[（1，0）+（1，1）\]•\[（（﹣1，﹣1）+（0，﹣1）\]=﹣4； （4）当i=1，j=3，k=1，l=2时，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13718.png){width="1.4583333333333333in" height="0.2708333333333333in"}=\[（1，0）+（0，1）\]•\[（（﹣1，0）+（﹣1，﹣1）\]=﹣3； 同样地，当i，j，k，l取其它值时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13718.png){width="1.4583333333333333in" height="0.2708333333333333in"}=﹣5，﹣4，或﹣3． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13718.png){width="1.4583333333333333in" height="0.2708333333333333in"}的最小值是﹣5． 故答案为：﹣5． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13719.png){width="1.3958333333333333in" height="1.375in"} 【点评】本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力． 　 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分 15．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13720.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13721.png){width="0.3125in" height="0.1875in"} C．1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13722.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13722.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【分析】根据反函数的性质，求f﹣1（2）的问题可以变为解方程2=x2﹣1（x≥0）． 【解答】解：由题意令2=x2﹣1（x≥0）， 解得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13720.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 所以f﹣1（2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13723.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故选：A． 【点评】本题考查反函数的定义，解题的关键是把求函数值的问题变为解反函数的方程问题． 　 16．（5分）设常数a∈R，集合A={x\|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x\|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2\] C．（2，+∞） D．\[2，+∞） 【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围． 【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1\]∪\[a，+∞），B=\[a﹣1，+∞）， 若A∪B=R，则a﹣1≤1， ∴1＜a≤2； 当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R； 当a＜1时，A=（﹣∞，a\]∪\[1，+∞），B=\[a﹣1，+∞）， 若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立， ∴a＜1； 综上，a的取值范围是（﹣∞，2\]． 故选：B． 【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 　 17．（5分）钱大姐常说"好货不便宜"，她这句话的意思是："好货"是"不便宜"的（　　） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【分析】"好货不便宜"，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可， 【解答】解：若p⇒q为真命题，则命题p是命题q的充分条件； "好货不便宜"，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论． 故"好货"是"不便宜"的充分条件． 故选：A． 【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题． 　 18．（5分）记椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13724.png){width="0.90625in" height="0.4375in"}围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，...），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，...上时，x+y的最大值分别是M1，M2，...，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13725.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}Mn=（　　） A．0 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13726.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．2 D．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13727.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【分析】先由椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13728.png){width="0.90625in" height="0.4375in"}得到这个椭圆的参数方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13729.png){width="1.15625in" height="0.6145833333333334in"}（θ为参数），再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值． 【解答】解：把椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13728.png){width="0.90625in" height="0.4375in"}得， 椭圆的参数方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13729.png){width="1.15625in" height="0.6145833333333334in"}（θ为参数）， ∴x+y=2cosθ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13730.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}sinθ， ∴（x+y）max=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13731.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13732.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13733.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}Mn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13733.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13732.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13734.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故选：D． 【点评】本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用． 　 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 19．（12分）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13735.png){width="1.6770833333333333in" height="1.6666666666666667in"} 【分析】根据题意画出图形，结合正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，由此入手，能够求出此三棱锥的体积及表面积． 【解答】解：∵O﹣ABC是正三棱锥，其底面三角形ABC是边长为2的正三角形，其面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13736.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴该三棱锥的体积=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13737.png){width="0.8020833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13738.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}； 设O′是正三角形ABC的中心，则OO′⊥平面ABC，延长AO′交BC于D． 则AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13736.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，O′D=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13738.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，又OO′=1，∴三棱锥的斜高OD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13739.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∴三棱锥的侧面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13740.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13741.png){width="0.6145833333333334in" height="0.3854166666666667in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13742.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴该三棱锥的表面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13743.png){width="1.0in" height="0.1875in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13744.png){width="1.6770833333333333in" height="1.6666666666666667in"} 【点评】本题考查三棱锥的体积、表面积的求法，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题． 　 20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13745.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）元． （1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13746.png){width="0.46875in" height="0.4270833333333333in"}）元； （2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润． 【分析】（1）由题意可得生产a千克该产品所用的时间是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13747.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}小时，由于每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13748.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）元，即可得到生产a千克该产品所获得的利润； （2）利用（1）的结论可得生产1千克所获得的利润为90000（5+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13746.png){width="0.46875in" height="0.4270833333333333in"}），1≤x≤10．进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出． 【解答】解：（1）生产a千克该产品所用的时间是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13747.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}小时， ∵每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13748.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）元，∴获得的利润为100（5x+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13748.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13749.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}元． 因此生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13750.png){width="0.46875in" height="0.4270833333333333in"}）元． （2）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13750.png){width="0.46875in" height="0.4270833333333333in"}），1≤x≤10． 设f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13751.png){width="0.7604166666666666in" height="0.4270833333333333in"}，1≤x≤10． 则f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13752.png){width="1.3541666666666667in" height="0.3645833333333333in"}，当且仅当x=6取得最大值． 故获得最大利润为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13753.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=457500元． 因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元． 【点评】正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键． 　 21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0． （Ⅰ）令ω=1，判断函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13754.png){width="1.5104166666666667in" height="0.3645833333333333in"}的奇偶性，并说明理由． （Ⅱ） 令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13755.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．对任意a∈R，求y=g（x）在区间\[a，a+10π\]上的零点个数的所有可能． 【分析】（1）特值法：ω=1时，写出f（x）、F（x），求出F（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13756.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）、F（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13757.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断； （2）根据图象平移变换求出g（x），令g（x）=0可得g（x）可能的零点，而\[a，a+10π\]恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g（x）在\[a，a+10π\]上零点个数的所有可能值； 【解答】解：（1）f（x）=2sinx， F（x）=f（x）+f（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13758.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=2sinx+2sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13758.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=2（sinx+cosx）， F（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13757.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13759.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，F（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13757.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=0，F（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13757.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）≠F（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13757.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），F（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13760.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）≠﹣F（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13760.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， 所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数． （2）f（x）=2sin2x， 将y=f（x）的图象向左平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13761.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13761.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13761.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+1． 令g（x）=0，得x=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13762.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}或x=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13763.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}（k∈z）， 因为\[a，a+10π\]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在\[a，a+10π\]上零点个数21， 当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间\[a+kπ，a+（k+1）π\]上恰有两个零点，故在\[a，a+10π\]上有20个零点． 综上，y=g（x）在\[a，a+10π\]上零点个数的所有可能值为21或20． 【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断，考查数形结合思想，结合图象分析是解决（2）问的关键 　 22．（16分）已知函数f（x）=2﹣\|x\|，无穷数列{an}满足an+1=f（an），n∈N\* （1）若a1=0，求a2，a3，a4； （2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值 （3）是否存在a1，使得a1，a2，...，an，...成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由． 【分析】（1）由题意代入式子计算即可； （2）把a2，a3表示为a1的式子，通过对a1的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据a1，a2，a3成等比数列可得关于a1的方程，解出即可； （3）假设这样的等差数列存在，则a1，a2，a3成等差数列，即2a2=a1+a3，亦即2﹣a1+\|2﹣\|a1\|\|=2\|a1\|（\*），分情况①当a1＞2时②当0＜a1≤2时③当a1≤0时讨论，由（\*）式可求得a1进行判断；③当a1≤0时，由公差d＞2可得矛盾； 【解答】解：（1）由题意，代入计算得a2=2，a3=0，a4=2； （2）a2=2﹣\|a1\|=2﹣a1，a3=2﹣\|a2\|=2﹣\|2﹣a1\|， ①当0＜a1≤2时，a3=2﹣（2﹣a1）=a1， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13764.png){width="1.0208333333333333in" height="0.28125in"}，得a1=1； ②当a1＞2时，a3=2﹣（a1﹣2）=4﹣a1， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13765.png){width="1.4791666666666667in" height="0.28125in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13766.png){width="0.6770833333333334in" height="0.22916666666666666in"}（舍去）或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13767.png){width="0.6770833333333334in" height="0.22916666666666666in"}． 综合①②得a1=1或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13767.png){width="0.6770833333333334in" height="0.22916666666666666in"}． （3）假设这样的等差数列存在，那么a2=2﹣\|a1\|， a3=2﹣\|2﹣\|a1\|\|，由2a2=a1+a3得2﹣a1+\|2﹣\|a1\|\|=2\|a1\|（\*）， 以下分情况讨论： ①当a1＞2时，由（\*）得a1=0，与a1＞2矛盾； ②当0＜a1≤2时，由（\*）得a1=1，从而an=1（n=1，2，...）， 所以{an}是一个等差数列； ③当a1≤0时，则公差d=a2﹣a1=（a1+2）﹣a1=2＞0， 因此存在m≥2使得am=a1+2（m﹣1）＞2， 此时d=am+1﹣am=2﹣\|am\|﹣am＜0，矛盾． 综合①②③可知，当且仅当a1=1时，a1，a2，...，an，...成等差数列． 【点评】本题考查数列的函数特性、等差关系等比关系的确定，考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力、分析解决问题的能力，综合性强，难度较大． 　 23．（18分）如图，已知双曲线C1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13768.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，曲线C2：\|y\|=\|x\|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为"C1﹣C2型点" （1）在正确证明C1的左焦点是"C1﹣C2型点"时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； （2）设直线y=kx与C2有公共点，求证\|k\|＞1，进而证明原点不是"C1﹣C2型点"； （3）求证：圆x2+y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13769.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}内的点都不是"C1﹣C2型点" ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13770.png){width="2.2708333333333335in" height="1.46875in"} 【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13771.png){width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是"C1﹣C2型点"，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率； （2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到\|k\|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点； （3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当\|k\|≤1时过圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13772.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当\|k\|＞1时，过圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13772.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与\|k\|＞1矛盾．从而证明了结论． 【解答】（1）解：C1的左焦点为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13771.png){width="0.5833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}），写出的直线方程可以是以下形式： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13773.png){width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13774.png){width="0.8333333333333334in" height="0.19791666666666666in"}，其中![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13775.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3854166666666667in"}． （2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点， 所以方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13776.png){width="0.875in" height="0.4166666666666667in"}有实数解，因此\|kx\|=\|x\|+1，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13777.png){width="1.09375in" height="0.3645833333333333in"}． 若原点是"C1﹣C2型点"，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点． 考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（\|k\|＞1）． 显然直线x=0与C1无公共点． 如果直线为y=kx（\|k\|＞1），则由方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13778.png){width="0.8125in" height="0.6666666666666666in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13779.png){width="1.0625in" height="0.4270833333333333in"}，矛盾． 所以直线y=kx（\|k\|＞1）与C1也无公共点． 因此原点不是"C1﹣C2型点"． （3）证明：记圆O：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13780.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直， 故可设l：y=kx+b． 若\|k\|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间， 从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以\|k\|＞1． 因为l与C1由公共点，所以方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13781.png){width="0.8125in" height="0.6666666666666666in"}有实数解， 得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0． 因为\|k\|＞1，所以1﹣2k2≠0， 因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0， 即b2≥2k2﹣1． 因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13782.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13783.png){width="1.03125in" height="0.4791666666666667in"}，从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13784.png){width="1.4479166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，得k2＜1，与\|k\|＞1矛盾． 因此，圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13785.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}内的点不是"C1﹣C2型点"． 【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题． 2013年四川省高考数学试卷（理科） ================================ 一、选择题：本答题共有10小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）设集合A={x\|x+2=0}，集合B={x\|x2﹣4=0}，则A∩B=（　　） A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．∅ 【分析】分别求出两集合中方程的解，确定出A与B，找出A与B的公共元素即可求出交集． 【解答】解：由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}； 由B中的方程x2﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}， 则A∩B={﹣2}． 故选：A． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 2．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13786.png){width="1.7083333333333333in" height="1.1354166666666667in"} A．A B．B C．C D．D 【分析】直接利用共轭复数的定义，找出点A表示复数z的共轭复数的点即可． 【解答】解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于x轴对称． 所以点A表示复数z的共轭复数的点是B． 故选：B． 【点评】本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查． 　 3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13787.png){width="2.21875in" height="2.21875in"} A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13788.png){width="0.9791666666666666in" height="0.75in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13789.png){width="0.8125in" height="0.7395833333333334in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13790.png){width="1.0in" height="0.7708333333333334in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13791.png){width="0.9166666666666666in" height="0.75in"} 【分析】首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆，再由俯视图内部只有一个虚圆，断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱，由此可排除前三个选项． 【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此排除选项A和选项C． 而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除B． 故选：D． 【点评】本题考查了简单空间几何体的三视图，由三视图还原原几何体，首先是看俯视图，然后结合主视图和侧视图得原几何体， 解答的关键是明白三种视图都是图形在与目光视线垂直面上的投影，此题是基础题． 　 4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（　　） A．￢p：∀x∈A，2x∉B B．￢p：∀x∉A，2x∉B C．￢p：∃x∉A，2x∈B D．￢p：∃x∈A，2x∉B 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B， 则￢p：∃x∈A，2x∉B． 故选：D． 【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查． 　 5．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13792.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜φ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13792.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13793.png){width="1.2916666666666667in" height="1.40625in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13794.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13795.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13796.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13797.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13798.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=π，解得ω=2．由函数当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13799.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}时取得最大值2，得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13800.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13801.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13802.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}．由此即可得到本题的答案． 【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13799.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}时取得最大值，x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13803.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}时取得最小值， ∴函数的周期T满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13804.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13803.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13805.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13806.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 由此可得T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13807.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=π，解得ω=2， 得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ） 又∵当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13805.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}时取得最大值2， ∴2sin（2•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13805.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+φ）=2，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13808.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13809.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+2kπ（k∈Z） ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13810.png){width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"}，∴取k=0，得φ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13811.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 故选：A． 【点评】本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题． 　 6．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13812.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1的渐近线的距离是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13813.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13814.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．1 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13815.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【分析】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13815.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}x，化成一般式得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13816.png){width="0.7291666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离． 【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x ∴2p=4，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13817.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=1，抛物线的焦点F（1，0） 又∵双曲线的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13818.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"} ∴a2=1且b2=3，可得a=1且b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13815.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 双曲线的渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13819.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，即y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13820.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}x， 化成一般式得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13821.png){width="0.7291666666666666in" height="0.19791666666666666in"}． 因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13822.png){width="0.9479166666666666in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13823.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} 故选：B． 【点评】本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题． 　 7．（5分）函数y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13824.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}的图象大致是（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13825.png){width="1.3229166666666667in" height="1.2708333333333333in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13826.png){width="1.3645833333333333in" height="1.1979166666666667in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13827.png){width="1.34375in" height="1.25in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13828.png){width="1.40625in" height="1.25in"} 【分析】根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可． 【解答】解：函数的定义域为{x\|x≠0}，排除A． 当x→﹣∞时，y→+∞，排除B， 当x→+∞时，x3＜3x﹣1，此时y→0，排除D， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数图象的识别，根据函数的性质结合极限思想是函数图象的基本方法． 　 8．（5分）从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（　　） A．9 B．10 C．18 D．20 【分析】因为lga﹣lgb=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13829.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13830.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，从1，3，5，7，9这五个数中任取2个数排列后（两数在分子和分母不同），减去相同的数字即可得到答案． 【解答】解：首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13831.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}种排法， 因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13832.png){width="0.375in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13833.png){width="0.375in" height="0.3645833333333333in"}， 所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b， 共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是：20﹣2=18． 故选：C． 【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答的关键是想到把相等的数字去掉，属基础题． 　 9．（5分）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13834.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13835.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13836.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13837.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，要满足条件须\|x﹣y\|≤2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案． 【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y， 由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4， 它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则\|x﹣y\|≤2， 由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13838.png){width="2.2604166666666665in" height="2.3333333333333335in"} 由图可知所求的概率为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13839.png){width="1.2083333333333333in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13836.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 故选：C． 【点评】本题考查几何概型，涉及用一元二次方程组表示平面区域，属基础题． 　 10．（5分）设函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13840.png){width="0.65625in" height="0.25in"}（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则a的取值范围是（　　） A．\[1，e\] B．\[e﹣1﹣1，1\] C．\[1，e+1\] D．\[e﹣1﹣1，e+1\] 【分析】考查题设中的条件，函数f（f（y0））的解析式不易得出，直接求最值有困难，考察四个选项，发现有两个特值区分开了四个选项，0出现在了B，D两个选项的范围中，e+1出现在了C，D两个选项所给的范围中，故可通过验证参数为0与e+1时是否符合题意判断出正确选项 【解答】解：曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则y0∈\[﹣1，1\] 考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项 当a=0时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13841.png){width="0.9270833333333334in" height="0.25in"}，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y0∈\[0，1\]时f（f（y0））=y0是否成立 由于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13842.png){width="0.9270833333333334in" height="0.25in"}是一个增函数，可得出f（y0）≥f（0）=1，而f（1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13843.png){width="0.375in" height="0.1875in"}＞1，故a=0不合题意，由此知B，D两个选项不正确 当a=e+1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13844.png){width="1.2604166666666667in" height="0.25in"}此函数是一个增函数，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13845.png){width="1.2604166666666667in" height="0.25in"}=0，而f（0）没有意义，故a=e+1不合题意，故C，D两个选项不正确 综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确 故选：A． 【点评】本题是一个函数综合题，解题的关键与切入点是观察出四个选项中同与不同点，判断出参数0与e+1是两个特殊值，结合排除法做题的技巧及函数的性质判断出正确选项，本题考查了转化的思想，观察探究的能力，属于考查能力的综合题，易因为找不到入手处致使无法解答失分，易错 　 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．（5分）二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是　10　（用数字作答）． 【分析】利用二项式（x+y）5的展开式的通项公式Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13846.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}x5﹣r•yr，结合题意即可求得答案． 【解答】解：设二项式（x+y）5的展开式的通项公式为Tr+1， 则Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13846.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}x5﹣r•yr， 令r=3， 则含x2y3的项的系数是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13847.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=10． 故答案为：10． 【点评】本题考查二项式系数的性质，着重考查二项展开式的通项公式的应用，考查分析与运算能力，属于中档题． 　 12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13848.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13849.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13850.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，则λ=　　． 【分析】依题意，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13848.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13851.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13852.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13852.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13853.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，从而可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13854.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13851.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13852.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， 又O为AC的中点， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13852.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13855.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13856.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13857.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13855.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13856.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13857.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13855.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， ∴λ=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题． 　 13．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13858.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π），则tan2α的值是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13859.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}　． 【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值． 【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13858.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π）， ∴cosα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13860.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13861.png){width="0.84375in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13862.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴tanα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13863.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 则tan2α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13864.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13865.png){width="0.8125in" height="0.46875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13863.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13863.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【点评】此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 　 14．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是　（﹣7，3）　． 【分析】由偶函数性质得：f（\|x+2\|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可变为f（\|x+2\|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出\|x+2\|的范围，再求x范围即可． 【解答】解：因为f（x）为偶函数，所以f（\|x+2\|）=f（x+2）， 则f（x+2）＜5可化为f（\|x+2\|）＜5， 即\|x+2\|2﹣4\|x+2\|＜5，（\|x+2\|+1）（\|x+2\|﹣5）＜0， 所以\|x+2\|＜5， 解得﹣7＜x＜3， 所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）． 故答案为：（﹣7，3）． 【点评】本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键． 　 15．（5分）设P1，P2，...Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，...Pn的距离之和最小，则称点P为P1，P2，...Pn的一个"中位点"，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题： ①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是　①④　（写出所有真命题的序号）． 【分析】对于①若三个点A、B、C共线，C在线段AB上，则线段AB上任一点都为"中位点"，C也不例外，则C是A，B，C的中位点，正确； 对于②举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，据此进行判断即可； 对于③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，从而它们的中位点存在但不唯一； ④如图，在梯形ABCD中，对角线的交点O，P是任意一点，利用根据三角形两边之和大于第三边得梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 【解答】解：①若三个点A、B、C共线，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为"中位点"，C也不例外，则C是A，B，C的中位点，①正确； ②举一个反例，如边长为3，4，5的直角三角形ABC，此直角三角形的斜边的中点到三个顶点的距离之和为5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，所以直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点，故②错误； ③若四个点A、B、C、D共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一，故③错误； ④如图，在梯形ABCD中，对角线的交点O，P是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得 PA+PB+PC+PD≥AC+BD=OA+OB+OC+OD，所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点，故④正确． 故答案为：①④． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13866.png){width="1.9166666666666667in" height="1.2083333333333333in"} 【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用、新定义的应用、三角形的性质等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题． 　 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（12分）在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项，公差及前n项和． 【分析】设该数列的公差为d，前n项和为Sn，则利用a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，建立方程，即可求得数列{an}的首项，公差；利用等差数列的前n项和公式可求和．． 【解答】解：设该数列的公差为d，前n项和为Sn，则 ∵a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项， ∴2a1+2d=8，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d） 解得a1=4，d=0或a1=1，d=3 ∴前n项和为Sn=4n或Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13867.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}． 【点评】本题主要考查等差数列、等比中项等基础知识，考查运算能力，考查分类与整合等数学思想，属于中档题． 　 17．（12分）在△ABC中，2cos2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13868.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13869.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （1）求cosA的值； （2）若a=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13870.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，b=5，求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13871.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13872.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}方向上的投影． 【分析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值； （Ⅱ）利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13873.png){width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"}，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小． 【解答】解：（Ⅰ）由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13874.png){width="3.2604166666666665in" height="0.3645833333333333in"} 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13875.png){width="2.7395833333333335in" height="0.3645833333333333in"}， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13876.png){width="2.40625in" height="0.3645833333333333in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13877.png){width="1.15625in" height="0.3645833333333333in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13878.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}， （Ⅱ）由正弦定理，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13879.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13880.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13881.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13882.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 由余弦定理可知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13883.png){width="2.28125in" height="0.3645833333333333in"}． 解得c=1，c=﹣7（舍去）． 向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13884.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13885.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}方向上的投影：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13886.png){width="0.7291666666666666in" height="0.20833333333333334in"}=ccosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13881.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想． 　 18．（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，...，24这24个整数中等可能随机产生 （I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi（i=1，2，3）； （II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据． 甲的频数统计图（部分） ----------- -------------------- -------------------- -------------------- 运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数 30 14 6 10 ... ... ... ... 2100 1027 376 697 ----------- -------------------- -------------------- -------------------- 乙的频数统计图（部分） ----------- -------------------- -------------------- -------------------- 运行次数n 输出y的值为1的频数 输出y的值为2的频数 输出y的值为3的频数 30 12 11 7 ... ... ... ... 2100 1051 696 353 ----------- -------------------- -------------------- -------------------- 当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大； （III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13887.png){width="3.2819444444444446in" height="3.6569444444444446in"} 【分析】（I）变量x是在1，2，3，...，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能，由程序框图可得y值为1，2，3对应的情况，由古典概型可得；（II）由题意可得当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为1，2，3时的频率，可得答案；（III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，分别求其概率可得分布列和期望． 【解答】解：（I）变量x是在1，2，3，...，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能， 当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出的y值为1，故P1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13888.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13889.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出的y值为2，故P2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13890.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13891.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出的y值为3，故P3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13892.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13893.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 故输出的y值为1的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13894.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，输出的y值为2的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13895.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，输出的y值为3的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13893.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； （II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出的y值为i（i=1，2，3）的频率如下： ---- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 输出y值为1的频率 输出y值为2的频率 输出y值为3的频率 甲 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13896.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13897.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13898.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} 乙 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13899.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13900.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13901.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} ---- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大； （III）随机变量ξ的可能取值为：0，1，2，3，P（ξ=0）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13902.png){width="1.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13903.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，P（ξ=1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13904.png){width="1.4375in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13905.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} P（ξ=2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13906.png){width="1.4375in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13907.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，P（ξ=3）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13908.png){width="1.4375in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13909.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，故ξ的分布列为： --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ξ 0 1 2 3 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13910.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13911.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13912.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13909.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 所以所求的数学期望Eξ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13913.png){width="2.0416666666666665in" height="0.3645833333333333in"}=1 【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及程序框图和数学期望的求解，属中档题． 　 19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点． （Ⅰ）在平面ABC内，试做出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1； （Ⅱ）设（I）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13914.png){width="1.7083333333333333in" height="1.3854166666666667in"} 【分析】（I）在平面ABC内过点P作直线l∥BC，根据线面平行的判定定理得直线l∥平面A1BC．由等腰三角形"三线合一"得到AD⊥BC，从而得到AD⊥l，结合AA1⊥l且AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线，证出直线l⊥平面ADD1A1； （II）连接A1P，过点A作AE⊥A1P于E，过E点作EF⊥A1M于F，连接AF．根据面面垂直判定定理，证出平面A1MN⊥平面A1AE， 从而得到AE⊥平面A1MN，结合EF⊥A1M，由三垂线定理得AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角．设AA1=1，分别在Rt△A1AP中和△AEF中算出AE、AF的长，在Rt△AEF中，根据三角函数的定义算出sin∠AFE的值，结合同角三角函数的平方关系算出cos∠AFE的值，从而得出二面角A﹣A1M﹣N的余弦值． 【解答】解：（I）在平面ABC内，过点P作直线l∥BC ∵直线l⊄平面A1BC，BC⊂平面A1BC， ∴直线l∥平面A1BC， ∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，结合l∥BC得AD⊥l ∵AA1⊥平面ABC，l⊂平面ABC，∴AA1⊥l ∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线 ∴直线l⊥平面ADD1A1； （II）连接A1P，过点A作AE⊥A1P于E，过E点作EF⊥A1M于F，连接AF 由（I）知MN⊥平面A1AE，结合MN⊂平面A1MN得平面A1MN⊥平面A1AE， ∵平面A1MN∩平面A1AE=A1P，AE⊥A1P，∴AE⊥平面A1MN， ∵EF⊥A1M，EF是AF在平面A1MN内的射影， ∴AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角 设AA1=1，则由AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1 又∵P为AD的中点，∴M是AB的中点，得AP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13915.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，AM=1 Rt△A1AP中，A1P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13916.png){width="0.875in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13917.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}；Rt△A1AM中，A1M=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13918.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} ∴AE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13919.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13920.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，AF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13921.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13922.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} ∴Rt△AEF中，sin∠AFE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13923.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13924.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}，可得cos∠AFE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13925.png){width="1.09375in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13926.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} 即二面角A﹣A1M﹣N的余弦值等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13926.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13927.png){width="1.7083333333333333in" height="1.375in"} 【点评】本题在直三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的余弦值．着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了三垂线定理和面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题． 　 20．（13分）已知椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13928.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13929.png){width="0.75in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅰ）求椭圆C的离心率： （Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13930.png){width="1.6354166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，求点Q的轨迹方程． 【分析】（I）由题设条件结合椭圆的性质直接求出a，c的值，即可得到椭圆的离心率； （II）由题设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，可设出直线的方程与椭圆的方程联立，由于两曲线交于两点，故判断式大于0且可利用根与系数的关系建立M，N两点的坐标与直线的斜率k的等量关系，然后再设出点Q的坐标，用两点M，N的坐标表示出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13930.png){width="1.6354166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，再综合计算即可求得点Q的轨迹方程． 【解答】解：（I）∵椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13931.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13932.png){width="0.75in" height="0.3645833333333333in"}． ∴c=1，2a=PF1+PF2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13933.png){width="1.9895833333333333in" height="0.4479166666666667in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13934.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，即a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13934.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} ∴椭圆的离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13935.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13936.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13937.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}...4分 （II）由（I）知，椭圆C的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13938.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，设点Q的坐标为（x，y） （1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，﹣1）两点，此时点Q的坐标为（0，2±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13939.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}） （2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2， 因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x1，kx1+2），（x2，kx2+2），则 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13940.png){width="1.5in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13941.png){width="1.5in" height="0.28125in"}，又\|AQ\|2=（1+k2）x2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13942.png){width="1.6354166666666667in" height="0.4270833333333333in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13943.png){width="2.96875in" height="0.4791666666666667in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13944.png){width="1.2604166666666667in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13945.png){width="1.3854166666666667in" height="0.5833333333333334in"}...① 将y=kx+2代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13946.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}中，得（2k2+1）x2+8kx+6=0...② 由△=（8k）2﹣24（2k2+1）＞0，得k2＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13947.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 由②知x1+x2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13948.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，x1x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13949.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，代入①中化简得x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13950.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}...③ 因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13951.png){width="0.3020833333333333in" height="0.375in"}，代入③中并化简得10（y﹣2）2﹣3x2=18 由③及k2＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13952.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}可知0＜x2＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13952.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即x∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13953.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，0）∪（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13953.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}） 由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以﹣1≤y≤1， 又由10（y﹣2）2﹣3x2=18得（y﹣2）2∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13954.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13955.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）且﹣1≤y≤1，则y∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13956.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13957.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}\] 综上得，点Q的轨迹方程为10（y﹣2）2﹣3x2=18，其中x∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13958.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13958.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），y∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13956.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13959.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}\]...13分 【点评】本题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合、转化化归、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性．本题是圆锥曲线中的常见题型，所考查的解题方式较为典型，本题运算量较大易因为运算失误造成丢分． 　 21．（14分）已知函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13960.png){width="1.6770833333333333in" height="0.4895833333333333in"}，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2． （Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值； （Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围． 【分析】（I）利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出； （II）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13961.png){width="1.65625in" height="0.28125in"}，即（2x1+2）（2x2+2）=﹣1．可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13962.png){width="2.34375in" height="0.3645833333333333in"}，再利用基本不等式的性质即可得出； （III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13963.png){width="1.4895833333333333in" height="0.28125in"}，故不成立，∴x1＜0＜x2．分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出．． 【解答】解：（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a， ∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在\[﹣1，0）上单调递增； 当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增． （II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2， ∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2）， ∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13964.png){width="1.65625in" height="0.28125in"}， ∴（2x1+2）（2x2+2）=﹣1． ∴2x1+2＜0，2x2+2＞0， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13965.png){width="2.34375in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13966.png){width="1.8229166666666667in" height="0.25in"}=1，当且仅当﹣（2x1+2）=2x2+2=1，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13967.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13968.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}时等号成立． ∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值为1． （III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13969.png){width="1.4895833333333333in" height="0.28125in"}，故不成立，∴x1＜0＜x2． 当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13970.png){width="2.375in" height="0.28125in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13971.png){width="1.3645833333333333in" height="0.28125in"}． 当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13972.png){width="1.4479166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13973.png){width="1.1458333333333333in" height="0.4270833333333333in"}． 函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13974.png){width="1.5520833333333333in" height="0.7604166666666666in"}， 由①及x1＜0＜x2可得﹣1＜x1＜0， 由①②得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13975.png){width="1.3541666666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13976.png){width="1.2604166666666667in" height="0.28125in"}． ∵函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13977.png){width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}，y=﹣ln（2x1+2）在区间（﹣1，0）上单调递减， ∴a（x1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13978.png){width="1.2604166666666667in" height="0.28125in"}在（﹣1，0）上单调递减，且x1→﹣1时，ln（2x1+2）→﹣∞，即﹣ln（2x1+2）→+∞，也即a（x1）→+∞． x1→0，a（x1）→﹣1﹣ln2． ∴a的取值范围是（﹣1﹣ln2，+∞）． 【点评】本题主要考查了基本函数的性质、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、基本不等式的性质、直线的位置关系等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法． 　 2013年四川省高考数学试卷（文科） ================================ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（　　） A．∅ B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，1，2，3} 【分析】找出A与B的公共元素即可求出交集． 【解答】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}， ∴A∩B={2}． 故选：B． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 2．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13979.png){width="1.5104166666666667in" height="1.7708333333333333in"} A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形， 从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台， 则该几何体可以是圆台． 故选：D． 【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 　 3．（5分）如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13980.png){width="1.7083333333333333in" height="1.1354166666666667in"} A．A B．B C．C D．D 【分析】直接利用共轭复数的定义，找出点A表示复数z的共轭复数的点即可． 【解答】解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于x轴对称． 所以点A表示复数z的共轭复数的点是B． 故选：B． 【点评】本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查． 　 4．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（　　） A．￢p：∃x∈A，2x∈B B．￢p：∃x∉A，2x∈B C．￢p：∃x∈A，2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B 【分析】"全称命题"的否定一定是"存在性命题"据此可解决问题． 【解答】解：∵"全称命题"的否定一定是"存在性命题"， ∴命题p：∀x∈A，2x∈B 的否定是： ￢p：∃x∈A，2x∉B． 故选：C． 【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．"全称量词"与"存在量词"正好构成了意义相反的表述．如"对所有的...都成立"与"至少有一个...不成立"；"都是"与"不都是"等，所以"全称命题"的否定一定是"存在性命题"，"存在性命题"的否定一定是"全称命题"． 　 5．（5分）抛物线y2=8x的焦点到直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13981.png){width="0.6666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的距离是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13982.png){width="0.3125in" height="0.1875in"} B．2 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13983.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．1 【分析】由抛物线y2=8x得焦点F（2，0），再利用点到直线的距离公式可得点F（2，0）到直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13981.png){width="0.6666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的距离． 【解答】解：由抛物线y2=8x得焦点F（2，0）， ∴点F（2，0）到直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13981.png){width="0.6666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13984.png){width="1.0in" height="0.46875in"}=1． 故选：D． 【点评】熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键． 　 6．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13985.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜φ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13985.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image13986.png){width="1.2916666666666667in" height="1.40625in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13987.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13988.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13989.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13990.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13991.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=π，解得ω=2．由函数当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13992.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}时取得最大值2，得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13993.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13994.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+kπ（k∈Z），取k=0得到φ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13995.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}．由此即可得到本题的答案． 【解答】解：∵在同一周期内，函数在x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13992.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}时取得最大值，x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13996.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}时取得最小值， ∴函数的周期T满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13997.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13996.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13998.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13999.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 由此可得T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14000.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=π，解得ω=2， 得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ） 又∵当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13998.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}时取得最大值2， ∴2sin（2•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13998.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+φ）=2，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14001.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14002.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+2kπ（k∈Z） ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14003.png){width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"}，∴取k=0，得φ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14004.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 故选：A． 【点评】本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求函数的表达式．着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题． 　 7．（5分）某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成\[0，5），\[5，10），...，\[30，35），\[35，40\]时，所作的频率分布直方图是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14005.png){width="2.28125in" height="1.2291666666666667in"} A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14006.png){width="1.9375in" height="1.3125in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14007.png){width="1.9375in" height="1.3125in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14008.png){width="1.9375in" height="1.3125in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14009.png){width="1.9375in" height="1.3125in"} 【分析】根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分布直方图． 【解答】解：根据题意，频率分布表可得： ------------ ------ ------ 分组 频数 频率 \[0，5） 1 0.05 \[5，10） 1 0.05 \[10，15） 4 0.20 ... ... ... \[30，35） 3 0.15 \[35，40） 2 0.10 合计 100 1.00 ------------ ------ ------ 进而可以作频率直方图可得： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14010.png){width="1.9375in" height="1.3125in"} 故选：A． 【点评】本题考查频率分布直方图的作法与运用，关键是正确理解频率分布表、频率分步直方图的意义并运用． 　 8．（5分）若变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14011.png){width="0.7083333333333334in" height="0.8854166666666666in"}且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（　　） A．48 B．30 C．24 D．16 【分析】先根据条件画出可行域，设z=5y﹣x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点B（8，0）时的最小值，过点A（4，4）时，5y﹣x最大，从而得到a﹣b的值． 【解答】解：满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14011.png){width="0.7083333333333334in" height="0.8854166666666666in"}的可行域如图所示 在坐标系中画出可行域， 平移直线5y﹣x=0，经过点B（8，0）时，5y﹣x最小，最小值为：﹣8， 则目标函数z=5y﹣x的最小值为﹣8． 经过点A（4，4）时，5y﹣x最大，最大值为：16， 则目标函数z=5y﹣x的最大值为16． z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是：24． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14012.png){width="1.7604166666666667in" height="1.6979166666666667in"} 【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定． 　 9．（5分）从椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14013.png){width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14014.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14015.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14016.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14017.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】依题意，可求得点P的坐标P（﹣c，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14018.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}），由AB∥OP⇒kAB=kOP⇒b=c，从而可得答案． 【解答】解：依题意，设P（﹣c，y0）（y0＞0）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14019.png){width="0.4791666666666667in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14020.png){width="0.3125in" height="0.5416666666666666in"}=1， ∴y0=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14018.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， ∴P（﹣c，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14018.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}）， 又A（a，0），B（0，b），AB∥OP， ∴kAB=kOP，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14021.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14022.png){width="0.2604166666666667in" height="0.625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14023.png){width="0.3020833333333333in" height="0.4270833333333333in"}， ∴b=c． 设该椭圆的离心率为e，则e2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14024.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14025.png){width="0.5in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14026.png){width="0.3125in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14027.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴椭圆的离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14028.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 故选：C． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标（﹣c，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14029.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题． 　 10．（5分）设函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14030.png){width="0.65625in" height="0.25in"}（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈\[0，1\]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（　　） A．\[1，e\] B．\[1，1+e\] C．\[e，1+e\] D．\[0，1\] 【分析】根据题意，问题转化为"存在b∈\[0，1\]，使f（b）=f﹣1（b）"，即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点，且交点的横坐标b∈\[0，1\]．由y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称，得到函数y=f（x）的图象与y=x有交点，且交点横坐标b∈\[0，1\]．因此，将方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14031.png){width="0.84375in" height="0.25in"}化简整理得ex=x2﹣x+a，记F（x）=ex，G（x）=x2﹣x+a，由零点存在性定理建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围． 【解答】解：由f（f（b））=b，可得f（b）=f﹣1（b） 其中f﹣1（x）是函数f（x）的反函数 因此命题"存在b∈\[0，1\]使f（f（b））=b成立"，转化为 "存在b∈\[0，1\]，使f（b）=f﹣1（b）"， 即y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象有交点， 且交点的横坐标b∈\[0，1\]， ∵y=f（x）的图象与y=f﹣1（x）的图象关于直线y=x对称， ∴y=f（x）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象的交点必定在直线y=x上， 由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈\[0，1\]， 根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14031.png){width="0.84375in" height="0.25in"}，化简整理得ex=x2﹣x+a 记F（x）=ex，G（x）=x2﹣x+a，在同一坐标系内作出它们的图象， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14032.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3958333333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14033.png){width="1.03125in" height="0.5104166666666666in"}，解之得1≤a≤e 即实数a的取值范围为\[1，e\] 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14034.png){width="1.78125in" height="1.625in"} 【点评】本题给出含有根号与指数式的基本初等函数，在存在b∈\[0，1\]使f（f（b））=b成立的情况下，求参数a的取值范围．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识，属于中档题． 　 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．（5分）lg![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14035.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+lg![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14036.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}的值是　1　． 【分析】直接利用对数的运算性质求解即可． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14037.png){width="0.9583333333333334in" height="0.19791666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14038.png){width="0.5625in" height="0.19791666666666666in"}=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查对数的运算性质，基本知识的考查． 　 12．（5分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14039.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14040.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14041.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，则λ=　　． 【分析】依题意，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14039.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14040.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14042.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14042.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14041.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，从而可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14039.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14043.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14044.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， 又O为AC的中点， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14044.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14045.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14046.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14043.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14045.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14046.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14043.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14047.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， ∴λ=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题． 　 13．（5分）已知函数f（x）=4x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14048.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=　36　． 【分析】由题设函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14049.png){width="1.84375in" height="0.3645833333333333in"}在x=3时取得最小值，可得 f′（3）=0，解此方程即可得出a的值． 【解答】解：由题设函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14049.png){width="1.84375in" height="0.3645833333333333in"}在x=3时取得最小值， ∵x∈（0，+∞）， ∴得x=3必定是函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14050.png){width="1.84375in" height="0.3645833333333333in"}的极值点， ∴f′（3）=0， f′（x）=4﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14051.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 即4﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14052.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=0， 解得a=36． 故答案为：36． 【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解"函数在x=3时取得最小值"，将其转化为x=3处的导数为0等量关系． 　 14．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14053.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π），则tan2α的值是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14054.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}　． 【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinα不为0求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将tanα的值代入计算即可求出值． 【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14053.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π）， ∴cosα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14055.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14056.png){width="0.84375in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14057.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴tanα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14058.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 则tan2α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14059.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14060.png){width="0.8125in" height="0.46875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14058.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14061.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【点评】此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 　 15．（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是　（2，4）　． 【分析】如图，设平面直角坐标系中任一点P，利用三角形中两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，从而得到四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程，联立方程组求交点坐标即可． 【解答】解：如图，设平面直角坐标系中任一点P， P到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD， 故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点． ∵A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）， ∴AC，BD的方程分别为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14062.png){width="0.7083333333333334in" height="0.375in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14063.png){width="0.7916666666666666in" height="0.375in"}， 即2x﹣y=0，x+y﹣6=0． 解方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14064.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}得Q（2，4）． 故答案为：（2，4）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14065.png){width="2.3958333333333335in" height="2.3125in"} 【点评】本小题主要考查直线方程的应用、三角形的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 　 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（12分）在等比数列{an}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和． 【分析】等比数列的公比为q，由已知可得，a1q﹣a1=2，4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14066.png){width="1.1458333333333333in" height="0.28125in"}，解方程可求q，a1，然后代入等比数列的求和公式可求 【解答】解：设等比数列的公比为q， 由已知可得，a1q﹣a1=2，4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14067.png){width="1.1458333333333333in" height="0.28125in"} 联立可得，a1（q﹣1）=2，q2﹣4q+3=0 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14068.png){width="0.4895833333333333in" height="0.46875in"}或q=1（舍去） ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14069.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14070.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"} 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及等差中项等基础知识，考查运算求解的能力 　 17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sin（A+C）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14071.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅰ）求sinA的值； （Ⅱ）若a=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14072.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，b=5，求向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14073.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14074.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}方向上的投影． 【分析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值； （Ⅱ）利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14075.png){width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"}，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小，然后求解向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14073.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14074.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}方向上的投影． 【解答】解：（Ⅰ）由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14076.png){width="2.7395833333333335in" height="0.3645833333333333in"}， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14077.png){width="2.40625in" height="0.3645833333333333in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14078.png){width="1.15625in" height="0.3645833333333333in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14079.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}， 因为0＜A＜π， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14080.png){width="1.4375in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅱ）由正弦定理，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14081.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14082.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14083.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14084.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 由余弦定理可知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14085.png){width="2.28125in" height="0.3645833333333333in"}． 解得c=1，c=﹣7（舍去）． 向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14086.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14087.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}方向上的投影：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14088.png){width="0.7291666666666666in" height="0.20833333333333334in"}=ccosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14089.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想． 　 18．（12分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，...，24这24个整数中等可能随机产生． （Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi（i=1，2，3）； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据． 甲的频数统计表（部分） +-------+-----------+-----------+-----------+ | 运行 | 输出y的值 | 输出y的值 | 输出y的值 | | | | | | | 次数n | 为1的频数 | 为2的频数 | 为3的频数 | +-------+-----------+-----------+-----------+ | 30 | 14 | 6 | 10 | +-------+-----------+-----------+-----------+ | ... | ... | ... | ... | +-------+-----------+-----------+-----------+ | 2100 | 1027 | 376 | 697 | +-------+-----------+-----------+-----------+ 乙的频数统计表（部分） +-------+-----------+-----------+-----------+ | 运行 | 输出y的值 | 输出y的值 | 输出y的值 | | | | | | | 次数n | 为1的频数 | 为2的频数 | 为3的频数 | +-------+-----------+-----------+-----------+ | 30 | 12 | 11 | 7 | +-------+-----------+-----------+-----------+ | ... | ... | ... | ... | +-------+-----------+-----------+-----------+ | 2100 | 1051 | 696 | 353 | +-------+-----------+-----------+-----------+ 当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14090.png){width="2.3020833333333335in" height="3.354861111111111in"} 【分析】（I）由题意可知，当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，从而得出输出y的值为1的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14091.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}；输出y的值为2的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14092.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}；输出y的值为3的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14093.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； （II）当n=2100时，列出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率的表格，再比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大． 【解答】解：（I）当x从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14091.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14094.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 当x从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14095.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； ∴输出y的值为1的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14096.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}；输出y的值为2的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14094.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}；输出y的值为3的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14095.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； （II）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率如下： ---- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 输出y的值为1的频率 输出y的值为2的频率 输出y的值为3的频率 甲 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14097.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14098.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14099.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} 乙 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14100.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14101.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14102.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} ---- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性大． 【点评】本题综合考查程序框图、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 　 19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点． （Ⅰ）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1﹣QC1D的体积．（锥体体积公式：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14103.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，其中S为底面面积，h为高） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14104.png){width="1.7604166666666667in" height="1.25in"} 【分析】（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，根据直线和平面平行的判定定理可得直线l与平面A1BC平行． 等腰三角形ABC中，根据等腰三角形中线的性质可得AD⊥BC，故l⊥AD．再由AA1⊥底面ABC，可得 AA1⊥l．再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线l⊥平面ADD1A1 ． （Ⅱ）过点D作DE⊥AC，证明DE⊥平面AA1C1C．直角三角形ACD中，求出AD的值，可得 DE 的值，从而求得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14105.png){width="0.65625in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14106.png){width="0.96875in" height="0.375in"}的值，再根据三棱锥A1﹣QC1D的体积 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14107.png){width="0.6770833333333334in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14108.png){width="0.65625in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14109.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14110.png){width="0.65625in" height="0.3020833333333333in"}•DE，运算求得结果． 【解答】解：（Ⅰ）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行，由于直线l不在平面A1BC内，而BC在平面A1BC内， 故直线l与平面A1BC平行． 三角形ABC中，∵AB=AC=2AA1=2，∠BAC=120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，∴AD⊥BC，∴l⊥AD． 再由AA1⊥底面ABC，可得 AA1⊥l． 而AA1∩AD=A， ∴直线l⊥平面ADD1A1 ． （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l交AC于点Q，过点D作DE⊥AC， ∵侧棱AA1⊥底面ABC，故三棱柱ABC﹣A1B1C为直三棱柱， 故DE⊥平面AA1C1C． 直角三角形ACD中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC•cos60°=1，∴DE=AD•sin60°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14111.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14112.png){width="0.65625in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14113.png){width="0.96875in" height="0.375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14114.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}=1， ∴三棱锥A1﹣QC1D的体积 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14115.png){width="0.6770833333333334in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14116.png){width="0.65625in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14117.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14118.png){width="0.65625in" height="0.3020833333333333in"}•DE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14117.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×1×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14119.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14120.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题． 　 20．（13分）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点． （Ⅰ）求k的取值范围； （Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14121.png){width="1.6979166666666667in" height="0.4270833333333333in"}．请将n表示为m的函数． 【分析】（Ⅰ）将直线l方程与圆C方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据两函数图象有两个交点，得到根的判别式的值大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围； （Ⅱ）由M、N在直线l上，设点M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），利用两点间的距离公式表示出\|OM\|2与\|ON\|2，以及\|OQ\|2，代入已知等式中变形，再利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，用k表示出m，由Q在直线y=kx上，将Q坐标代入直线y=kx中表示出k，代入得出的关系式中，用m表示出n即可得出n关于m的函数解析式，并求出m的范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）将y=kx代入x2+（y﹣4）2=4中，得：（1+k2）x2﹣8kx+12=0（\*）， 根据题意得：△=（﹣8k）2﹣4（1+k2）×12＞0，即k2＞3， 则k的取值范围为（﹣∞，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14122.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）∪（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14122.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，+∞）； （Ⅱ）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2）， ∴\|OM\|2=（1+k2）x12，\|ON\|2=（1+k2）x22，\|OQ\|2=m2+n2=（1+k2）m2， 代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14123.png){width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14124.png){width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14125.png){width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14126.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14127.png){width="0.8854166666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14128.png){width="0.8854166666666666in" height="0.4791666666666667in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14129.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14130.png){width="0.3125in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14131.png){width="0.3125in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14132.png){width="1.3854166666666667in" height="0.5833333333333334in"}， 由（\*）得到x1+x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14133.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，x1x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14134.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}， 代入得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14135.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14136.png){width="1.2604166666666667in" height="0.875in"}，即m2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14137.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}， ∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14138.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，代入m2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14137.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，化简得5n2﹣3m2=36， 由m2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14137.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}及k2＞3，得到0＜m2＜3，即m∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14139.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0）∪（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14139.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）， 根据题意得点Q在圆内，即n＞0， ∴n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14140.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14141.png){width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}， 则n与m的函数关系式为n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14141.png){width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}（m∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14142.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0）∪（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14142.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}））． 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：根的判别式，根与系数的关系，两点间的距离公式，以及函数与方程的综合运用，本题计算量较大，是一道综合性较强的中档题． 　 21．（14分）已知函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14143.png){width="1.6770833333333333in" height="0.4895833333333333in"}，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2． （Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2﹣x1≥1； （Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围． 【分析】（I）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数f（x）的单调区间； （II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），再利用f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，斜率之积等于﹣1，得出（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，最后利用基本不等式即可证得x2﹣x1≥1； （III）先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx2+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14144.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}）2﹣1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围． 【解答】解：（I）函数f（x）的单调减区间（﹣∞，﹣1），函数f（x）的单调增区间\[﹣1，0），（0，+∞）； （II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2）， 函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x1）f′（x2）=﹣1， 当x＜0时，（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，∵x1＜x2＜0，∴2x1+2＜0，2x2+2＞0， ∴x2﹣x1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14145.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\[﹣（2x1+2）+（2x2+2）\]≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14146.png){width="1.6354166666666667in" height="0.25in"}=1， ∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x2﹣x1≥1； （III）当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2， 当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣（x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14147.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}+2x1+a）=（2x1+2）（x﹣x1）； 当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣lnx2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14148.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}（x﹣x2）； 两直线重合的充要条件是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14149.png){width="1.6354166666666667in" height="0.7604166666666666in"}， 由①及x1＜0＜x2得0＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14150.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＜2，由①②得a=lnx2+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14151.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}）2﹣1=﹣ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14150.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14152.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14153.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}）2﹣1， 令t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14154.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，则0＜t＜2，且a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14155.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}t2﹣t﹣lnt，设h（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14155.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}t2﹣t﹣lnt，（0＜t＜2） 则h′（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14156.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}t﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14157.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14158.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，∴h（t）在（0，2）为减函数， 则h（t）＞h（2）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1， ∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（﹣ln2﹣1，+∞）． 【点评】本题以函数为载体，考查分段函数的解析式，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理，注意利用导数求函数的最值． 2013年天津市高考数学试卷（理科） ================================ 一．选择题：(每题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A={x∈R\|\|x\|≤2}，B={x∈R\|x≤1}，则A∩B=（　　） A．（﹣∞，2\] B．\[1，2\] C．\[﹣2，2\] D．\[﹣2，1\] 【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可． 【解答】解：∵A={x\|\|x\|≤2}={x\|﹣2≤x≤2} ∴A∩B={x\|﹣2≤x≤2}∩{x\|x≤1，x∈R}={x\|﹣2≤x≤1} 故选：D． 【点评】本题主要考查了绝对值不等式，以及交集及其运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题． 　 2．（5分）设变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14159.png){width="0.875in" height="0.65625in"}，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（　　） A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2 【分析】先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可． 【解答】解：设变量x、y满足约束条件 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14159.png){width="0.875in" height="0.65625in"}， 在坐标系中画出可行域三角形， 平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7， 则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14160.png){width="2.823611111111111in" height="2.729861111111111in"} 【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定． 　 3．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（　　）![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14161.png){width="1.7916666666666667in" height="4.031944444444444in"} A．64 B．73 C．512 D．585 【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到满足条件输出S，结束循环，得到所求． 【解答】解：经过第一次循环得到S=0+13，不满足S≥50，x=2， 执行第二次循环得到S=13+23，不满足S≥50，x=4， 执行第三次循环得到S=13+23+43=73， 满足判断框的条件，退出循环，执行"是"，输出S=73． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14162.png){width="1.7916666666666667in" height="4.031944444444444in"} 【点评】本题主要考查了循环结构，先执行后判定是直到型循环，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律． 　 4．（5分）已知下列三个命题： ①若一个球的半径缩小到原来的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14163.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则其体积缩小到原来的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14164.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x+y+1=0与圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14165.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}相切． 其中真命题的序号是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【分析】对于①由球的体积公式V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14166.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}可知①正确；对于②通过举反例，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；对于③利用圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14165.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的圆心到直线x+y+1=0的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可． 【解答】解：①由球的体积公式V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14166.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}可知，若一个球的半径缩小到原来的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14167.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则其体积缩小到原来的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14164.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}；故①正确； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错； ③圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14168.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的圆心到直线x+y+1=0的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14169.png){width="0.5833333333333334in" height="0.40625in"}=半径r，故直线x+y+1=0与圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14168.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}相切，③正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了命题的真假判断与应用，主要考查了球的体积公式、平均数和方差、直线与圆的位置关系等，属于基础题． 　 5．（5分）已知双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14170.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14171.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14172.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则p=（　　） A．1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14173.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．2 D．3 【分析】求出双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14174.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14172.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，列出方程，由此方程求出p的值． 【解答】解：∵双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14174.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}， ∴双曲线的渐近线方程是y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14175.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x 又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14176.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故A，B两点的纵坐标分别是y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14177.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，双曲线的离心率为2，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14178.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14179.png){width="1.5in" height="0.4791666666666667in"}则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14180.png){width="0.4479166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， A，B两点的纵坐标分别是y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14177.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14181.png){width="0.53125in" height="0.3854166666666667in"}， 又，△AOB的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14182.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，x轴是角AOB的角平分线 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14183.png){width="1.25in" height="0.3645833333333333in"}，得p=2． 故选：C． 【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错． 　 6．（5分）在△ABC中，∠ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14184.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14185.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，BC=3，则sin∠BAC=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14186.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14187.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14188.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14189.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的长，再由正弦定理即可求出sin∠BAC的值． 【解答】解：∵∠ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14190.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14185.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，BC=3， ∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=2+9﹣6=5， ∴AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14191.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 则由正弦定理![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14192.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14193.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}得：sin∠BAC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14194.png){width="0.5416666666666666in" height="0.6041666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14195.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}． 故选：C． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键． 　 7．（5分）函数f（x）=2x\|log0.5x\|﹣1的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】通过令f（x）=0，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数． 【解答】解：函数f（x）=2x\|log0.5x\|﹣1，令f（x）=0， 在同一坐标系中作出y=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14196.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）x．与y=\|log0.5x\|，如图， 由图可得零点的个数为2． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14197.png){width="1.1770833333333333in" height="1.15625in"} 【点评】本题考查函数的零点，函数的图象的作法，考查数形结合与转化思想． 　 8．（5分）已知函数f（x）=x（1+a\|x\|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14198.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}，则实数a的取值范围是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14199.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3854166666666667in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14200.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3854166666666667in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14201.png){width="1.9166666666666667in" height="0.3854166666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14202.png){width="1.0520833333333333in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】排除法：取a=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14203.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，由f（x+a）＜f（x），得（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14203.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）\|x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14204.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|+1＞x\|x\|，分x＜0，0≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14204.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14204.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）\|x+1\|+1＞x\|x\|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤0，x＞0进行讨论，检验是否符合题意，排除C． 【解答】解：取a=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14204.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，f（x）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14204.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x\|x\|+x， ∵f（x+a）＜f（x）， ∴（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14204.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）\|x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14204.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|+1＞x\|x\|， （1）x＜0时，解得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14205.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x＜0； （2）0≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14206.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，解得0![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14207.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}； （3）x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14206.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14208.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 综上知，a=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14206.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，A=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14209.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14210.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），符合题意，排除B、D； 取a=1时，f（x）=x\|x\|+x， ∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）\|x+1\|+1＜x\|x\|， （1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾； （2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾； （3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾； 综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C， 故选：A． 【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用． 　 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=　1+2i　． 【分析】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a，b的值即可得到结果． 【解答】解：因为（a+i）（1+i）=bi， 所以a﹣1+（a+1）i=bi， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14211.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3958333333333333in"}，解得a=1，b=2， 所以a+bi=1+2i． 故答案为：1+2i． 【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数相等条件的应用，考查计算能力． 　 10．（5分）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14212.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}的二项展开式中的常数项为　15　． 【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14213.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}•（﹣1）r•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14214.png){width="0.46875in" height="0.3854166666666667in"}中x的幂指数为0即可求得答案． 【解答】解；设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14215.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}的二项展开式中的通项为Tr+1，则Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14216.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}•（﹣1）r•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14217.png){width="0.46875in" height="0.3854166666666667in"}， 由6﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14218.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}r=0得：r=4． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14215.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}的二项展开式中的常数项为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14219.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}•（﹣1）4=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14220.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=15． 故答案为：15． 【点评】本题考查二项式系数的性质，利用其二项展开式的通项公式求得r=4是关键，考查运算能力，属于中档题． 　 11．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14221.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，则\|CP\|=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14222.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}　． 【分析】求出圆的直角坐标方程，求出圆的圆心坐标，化P的极坐标为直角坐标，利用两点间距离公式求出距离即可． 【解答】解：圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆的方程为：x2+y2=4x，圆心为C（2，0）， 点P的极坐标为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14221.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，所以P的直角坐标（2，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14223.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）， 所以\|CP\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14224.png){width="1.5104166666666667in" height="0.2708333333333333in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14225.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14225.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，点的极坐标与直角坐标的互化，两点的距离公式的应用，考查计算能力． 　 12．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14226.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，则AB的长为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14227.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14228.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14229.png){width="0.6145833333333334in" height="0.3645833333333333in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14230.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14231.png){width="1.4375in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14232.png){width="1.5729166666666667in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14233.png){width="0.28125in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14234.png){width="0.6145833333333334in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14235.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14236.png){width="2.5625in" height="0.3645833333333333in"}=1， 化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14237.png){width="1.21875in" height="0.22916666666666666in"}， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14238.png){width="0.6458333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14239.png){width="0.6145833333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14240.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14241.png){width="1.7395833333333333in" height="0.9791666666666666in"} 【点评】熟练掌握向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算是解题的关键． 　 13．（5分）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14242.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14243.png){width="1.9895833333333333in" height="1.46875in"} 【分析】利用切割线定理求出EB，证明四边形AEBC是平行四边形，通过三角形相似求出CF即可． 【解答】解：如图由切角弦定理得∠EAB=∠ACB，又因为，AB=AC，所以∠EAB=∠ABC， 所以直线AE∥直线BC，又因为AC∥BE，所以是平行四边形． 因为AB=AC，AE=6，BD=5，∴AC=AB=4，BC=6． △AFC∽△DFB， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14244.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 即：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14245.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}， CF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14246.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14246.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14247.png){width="1.9895833333333333in" height="1.46875in"} 【点评】本题考查圆的切割线定理，三角形相似，考查逻辑推理能力与计算能力． 　 14．（5分）设a+b=2，b＞0，则当a=　﹣2　时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14248.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}取得最小值． 【分析】由于a+b=2，b＞0，从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14248.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14249.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，（a＜2），设f（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14250.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，（a＜2），画出此函数的图象，结合导数研究其单调性，即可得出答案． 【解答】解：∵a+b=2，b＞0， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14251.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14250.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，（a＜2） 设f（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14250.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示． 利用导数研究其单调性得， 当a＜0时，f（a）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14252.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14253.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， f′（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14254.png){width="1.0104166666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14255.png){width="1.0520833333333333in" height="0.4270833333333333in"}，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0， 故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数， ∴当a=﹣2时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14256.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}取得最小值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14257.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 同样地，当0＜a＜2时，得到当a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14258.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14259.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}取得最小值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14260.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 综合，则当a=﹣2时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14259.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}取得最小值． 故答案为：﹣2． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14261.png){width="4.386111111111111in" height="3.073611111111111in"} 【点评】本题考查导数在最值问题的应用，考查数形结合思想，属于中档题． 　 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数f（x）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14262.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14263.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+6sinxcosx﹣2cos2x+1，x∈R． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在区间![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14264.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}上的最大值和最小值． 【分析】（I）利用两角和的正弦公式将sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14263.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x﹣2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14265.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14266.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期； （II）根据x∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14267.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14266.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14266.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14268.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}．再由正弦函数在区间\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14266.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14269.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上的图象与性质，可得f（x）在区间![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14270.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}上的最大值为与最小值． 【解答】解：（I）∵sinxcosx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14271.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sin2x，cos2x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14271.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（1+cos2x） ∴f（x）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14272.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14273.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+6sinxcosx﹣2cos2x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1 =2sin2x﹣2cos2x=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14272.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14274.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}） 因此，f（x）的最小正周期T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14275.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=π； （II）∵0≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14276.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，∴﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14274.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14274.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14277.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} ∴当x=0时，sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14278.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）取得最小值﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14279.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}；当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14280.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}时，sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14278.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）取得最大值1 由此可得，f（x）在区间![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14281.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}上的最大值为f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14280.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14282.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}；最小值为f（0）=﹣2． 【点评】本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式、三角函数的最小正周期和函数y=Asin（ωx+φ）的单调性等知识，考查基本运算能力，属于中档题． 　 16．（13分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同）． （Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率． （Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【分析】（I）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14283.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解 （II）先判断随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值 【解答】解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则 P（A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14284.png){width="0.90625in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14285.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14286.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} （II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4 P（X=1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14287.png){width="0.5520833333333334in" height="0.5833333333333334in"} P（X=2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14288.png){width="0.5520833333333334in" height="0.5833333333333334in"} P（X=3）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14289.png){width="0.22916666666666666in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14290.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} P（X=4）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14291.png){width="0.22916666666666666in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14292.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} X的分布列为 EX=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14293.png){width="2.0416666666666665in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14294.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x 1 2 3 4 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14295.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14296.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14297.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14298.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【点评】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力． 　 17．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． （Ⅰ）证明B1C1⊥CE； （Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值． （Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14299.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，求线段AM的长． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14300.png){width="1.6666666666666667in" height="1.6458333333333333in"} 【分析】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14301.png){width="0.3854166666666667in" height="0.2708333333333333in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14302.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14303.png){width="0.8645833333333334in" height="0.2708333333333333in"}得到B1C1⊥CE； （Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求； （Ⅲ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14304.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}求出λ的值，则线段AM的长可求． 【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图， 依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14305.png){width="2.6979166666666665in" height="0.2708333333333333in"}， 而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14306.png){width="2.6145833333333335in" height="0.2708333333333333in"}=0． 所以B1C1⊥CE； （Ⅱ）解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14307.png){width="1.3229166666666667in" height="0.2708333333333333in"}， 设平面B1CE的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14308.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14309.png){width="0.8020833333333334in" height="0.5416666666666666in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14310.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14311.png){width="1.125in" height="0.22916666666666666in"}． 由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14312.png){width="1.3229166666666667in" height="0.2708333333333333in"}为平面CEC1的一个法向量， 于是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14313.png){width="2.3854166666666665in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14314.png){width="1.25in" height="0.40625in"}． 从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14315.png){width="1.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14316.png){width="1.0in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14317.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14317.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅲ）解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14318.png){width="2.3645833333333335in" height="0.2708333333333333in"}， 设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14319.png){width="1.8645833333333333in" height="0.2708333333333333in"} 0≤λ≤1， 有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14320.png){width="2.0416666666666665in" height="0.22916666666666666in"}． 取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14321.png){width="1.0416666666666667in" height="0.22916666666666666in"}为平面ADD1A1的一个法向量， 设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14322.png){width="1.8541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14323.png){width="0.8854166666666666in" height="0.4479166666666667in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14324.png){width="2.9166666666666665in" height="0.4479166666666667in"}． 于是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14325.png){width="1.3854166666666667in" height="0.46875in"}． 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14326.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}．所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14327.png){width="2.78125in" height="0.3854166666666667in"}． 所以线段AM的长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14328.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14329.png){width="2.28125in" height="2.1354166666666665in"} 【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题． 　 18．（13分）设椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14330.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14331.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14332.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14333.png){width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"}=8，求k的值． 【分析】（Ⅰ）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14334.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，再由离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14335.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程． （Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14336.png){width="0.84375in" height="0.6770833333333334in"}消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14337.png){width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"}，利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14337.png){width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"}=8，即可求得k的值． 【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14338.png){width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}． ∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14339.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∴当x=﹣c时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14340.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4895833333333333in"}，得y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14341.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14342.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14343.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∵离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14344.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14345.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14346.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 解得b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14347.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，c=1，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14348.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． ∴椭圆的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14349.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}； （Ⅱ）直线CD：y=k（x+1）， 设C（x1，y1），D（x2，y2）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14350.png){width="0.84375in" height="0.6770833333333334in"}消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0， ∴x1+x2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14351.png){width="0.5in" height="0.4791666666666667in"}，x1x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14352.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，又A（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14353.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），B（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14353.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14354.png){width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"} =（x1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14355.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，y1）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14355.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣x2．﹣y2）+（x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14355.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，y2）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14355.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣x1．﹣y1）， =6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2， =6+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14356.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=8，解得k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14357.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}． 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质． 　 19．（14分）已知首项为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14358.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N\*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设Tn=Sn﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14359.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}（n∈N\*），求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值． 【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可构造关于q的方程，结合首项为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14360.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的等比数列{an}不是递减数列，求出q值，可得答案． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14361.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}在n为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q， ∵S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列． ∴S5+a5﹣（S3+a3）=S4+a4﹣（S5+a5） 即4a5=a3， 故q2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14362.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14363.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 又∵数列{an}不是递减数列，且等比数列的首项为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14360.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ∴q=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14364.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ∴数列{an}的通项公式an=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14365.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14364.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）n﹣1=（﹣1）n﹣1•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14366.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"} （Ⅱ）由（Ⅰ）得 Sn=1﹣（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14364.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14367.png){width="1.2916666666666667in" height="0.90625in"} 当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1＜Sn≤S1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14368.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 故0＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14369.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14370.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14368.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14371.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14372.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以1＞Sn≥S2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14373.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 故0＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14374.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14375.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14373.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14376.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14377.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"} 综上，对于n∈N\*，总有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14377.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14378.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14379.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 故数列{Tn}的最大项的值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14379.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，最小项的值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14377.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，数列的基本性质等基础知识，考查分类讨论思想，考查运算能力、分析问题和解析问题的能力． 　 20．（14分）已知函数f（x）=x2lnx． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）． （Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14380.png){width="1.1979166666666667in" height="0.375in"}． 【分析】（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），求导数令f′（x）=0，可解得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14381.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，由导数在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14382.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），和（ ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14382.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，+∞）的正负可得单调性；（Ⅱ）当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈\[1，+∞），由（Ⅰ）可得函数h（x）的单调性，可得结论；（Ⅲ）令u=lns，原命题转化为0＜lnu＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14383.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，一方面由f（s）的单调性，可得u＞1，从而lnu＞0成立，另一方面，令F（u）=lnu﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14383.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，u＞1，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知函数的定义域为（0，+∞）， 求导数可得f′（x）=2xlnx+x2•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14384.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2xlnx+x=x（2lnx+1）， 令f′（x）=0，可解得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14382.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表： --------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x （0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14385.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}） ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14385.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} （ ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14385.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，+∞） f′（x） ﹣ 0 \+ f（x） 单调递减 极小值 单调递增 --------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 所以函数f（x）的单调递减区间为（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14385.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），单调递增区间为（ ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14385.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，+∞） （Ⅱ）证明：当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈\[1，+∞）， 由（Ⅰ）可知，h（x）在区间（1，+∞）单调递增，h（1）=﹣t＜0，h（et）=e2tlnet﹣t=t（e2t﹣1）＞0， 故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立； （Ⅲ）证明：因为s=g（t），由（Ⅱ）知，t=f（s），且s＞1， 从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14386.png){width="0.5520833333333334in" height="0.375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14387.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14388.png){width="0.8541666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14389.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14390.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，其中u=lns， 要使![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14391.png){width="1.1979166666666667in" height="0.375in"}成立，只需![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14392.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14393.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14394.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 即2＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14395.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14396.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，即2＜2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14397.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14398.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 只需![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14399.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，变形可得只需0＜lnu＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14400.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 当t＞e2时，若s=g（t）≤e，则由f（s）的单调性，有t=f（s）≤f（e）=e2，矛盾， 所以s＞e，即u＞1，从而lnu＞0成立， 另一方面，令F（u）=lnu﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14400.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，u＞1，F′（u）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14401.png){width="0.375in" height="0.3645833333333333in"}， 令F′（u）=0，可解得u=2， 当1＜u＜2时，F′（u）＞0，当u＞2时，F′（u）＜0， 故函数F（u）在u=2处取到极大值，也是最大值F（2）=ln2﹣1＜0， 故有F（u）=lnu﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14402.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜0，即lnu＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14402.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 综上可证：当t＞e2时，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14403.png){width="1.1979166666666667in" height="0.375in"}成立． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及极值的求解和不等式的证明，属中档题． 2013年天津市高考数学试卷（理科） ================================ 一．选择题：(每题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A={x∈R\|\|x\|≤2}，B={x∈R\|x≤1}，则A∩B=（　　） A．（﹣∞，2\] B．\[1，2\] C．\[﹣2，2\] D．\[﹣2，1\] 【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可． 【解答】解：∵A={x\|\|x\|≤2}={x\|﹣2≤x≤2} ∴A∩B={x\|﹣2≤x≤2}∩{x\|x≤1，x∈R}={x\|﹣2≤x≤1} 故选：D． 【点评】本题主要考查了绝对值不等式，以及交集及其运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题． 　 2．（5分）设变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14159.png){width="0.875in" height="0.65625in"}，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（　　） A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2 【分析】先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可． 【解答】解：设变量x、y满足约束条件 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14159.png){width="0.875in" height="0.65625in"}， 在坐标系中画出可行域三角形， 平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7， 则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14160.png){width="2.823611111111111in" height="2.729861111111111in"} 【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定． 　 3．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（　　）![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14161.png){width="1.7916666666666667in" height="4.031944444444444in"} A．64 B．73 C．512 D．585 【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到满足条件输出S，结束循环，得到所求． 【解答】解：经过第一次循环得到S=0+13，不满足S≥50，x=2， 执行第二次循环得到S=13+23，不满足S≥50，x=4， 执行第三次循环得到S=13+23+43=73， 满足判断框的条件，退出循环，执行"是"，输出S=73． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14162.png){width="1.7916666666666667in" height="4.031944444444444in"} 【点评】本题主要考查了循环结构，先执行后判定是直到型循环，解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律． 　 4．（5分）已知下列三个命题： ①若一个球的半径缩小到原来的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14163.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则其体积缩小到原来的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14164.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x+y+1=0与圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14165.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}相切． 其中真命题的序号是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【分析】对于①由球的体积公式V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14166.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}可知①正确；对于②通过举反例，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；对于③利用圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14165.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的圆心到直线x+y+1=0的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可． 【解答】解：①由球的体积公式V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14166.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}可知，若一个球的半径缩小到原来的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14167.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则其体积缩小到原来的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14164.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}；故①正确； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错； ③圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14168.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的圆心到直线x+y+1=0的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14169.png){width="0.5833333333333334in" height="0.40625in"}=半径r，故直线x+y+1=0与圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14168.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}相切，③正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了命题的真假判断与应用，主要考查了球的体积公式、平均数和方差、直线与圆的位置关系等，属于基础题． 　 5．（5分）已知双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14170.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14171.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14172.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则p=（　　） A．1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14173.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．2 D．3 【分析】求出双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14174.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14172.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，列出方程，由此方程求出p的值． 【解答】解：∵双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14174.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}， ∴双曲线的渐近线方程是y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14175.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x 又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14176.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故A，B两点的纵坐标分别是y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14177.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，双曲线的离心率为2，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14178.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14179.png){width="1.5in" height="0.4791666666666667in"}则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14180.png){width="0.4479166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， A，B两点的纵坐标分别是y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14177.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14181.png){width="0.53125in" height="0.3854166666666667in"}， 又，△AOB的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14182.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，x轴是角AOB的角平分线 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14183.png){width="1.25in" height="0.3645833333333333in"}，得p=2． 故选：C． 【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错． 　 6．（5分）在△ABC中，∠ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14184.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14185.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，BC=3，则sin∠BAC=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14186.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14187.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14188.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14189.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的长，再由正弦定理即可求出sin∠BAC的值． 【解答】解：∵∠ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14190.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14185.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，BC=3， ∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=2+9﹣6=5， ∴AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14191.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 则由正弦定理![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14192.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14193.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}得：sin∠BAC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14194.png){width="0.5416666666666666in" height="0.6041666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14195.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}． 故选：C． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键． 　 7．（5分）函数f（x）=2x\|log0.5x\|﹣1的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】通过令f（x）=0，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数． 【解答】解：函数f（x）=2x\|log0.5x\|﹣1，令f（x）=0， 在同一坐标系中作出y=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14196.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）x．与y=\|log0.5x\|，如图， 由图可得零点的个数为2． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14197.png){width="1.1770833333333333in" height="1.15625in"} 【点评】本题考查函数的零点，函数的图象的作法，考查数形结合与转化思想． 　 8．（5分）已知函数f（x）=x（1+a\|x\|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14198.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}，则实数a的取值范围是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14199.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3854166666666667in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14200.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3854166666666667in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14201.png){width="1.9166666666666667in" height="0.3854166666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14202.png){width="1.0520833333333333in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】排除法：取a=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14203.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，由f（x+a）＜f（x），得（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14203.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）\|x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14204.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|+1＞x\|x\|，分x＜0，0≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14204.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14204.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）\|x+1\|+1＞x\|x\|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤0，x＞0进行讨论，检验是否符合题意，排除C． 【解答】解：取a=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14204.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，f（x）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14204.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x\|x\|+x， ∵f（x+a）＜f（x）， ∴（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14204.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）\|x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14204.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|+1＞x\|x\|， （1）x＜0时，解得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14205.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x＜0； （2）0≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14206.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，解得0![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14207.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}； （3）x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14206.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14208.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 综上知，a=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14206.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，A=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14209.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14210.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），符合题意，排除B、D； 取a=1时，f（x）=x\|x\|+x， ∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）\|x+1\|+1＜x\|x\|， （1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾； （2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾； （3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾； 综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C， 故选：A． 【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用． 　 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=　1+2i　． 【分析】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a，b的值即可得到结果． 【解答】解：因为（a+i）（1+i）=bi， 所以a﹣1+（a+1）i=bi， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14211.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3958333333333333in"}，解得a=1，b=2， 所以a+bi=1+2i． 故答案为：1+2i． 【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数相等条件的应用，考查计算能力． 　 10．（5分）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14212.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}的二项展开式中的常数项为　15　． 【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14213.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}•（﹣1）r•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14214.png){width="0.46875in" height="0.3854166666666667in"}中x的幂指数为0即可求得答案． 【解答】解；设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14215.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}的二项展开式中的通项为Tr+1，则Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14216.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}•（﹣1）r•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14217.png){width="0.46875in" height="0.3854166666666667in"}， 由6﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14218.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}r=0得：r=4． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14215.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}的二项展开式中的常数项为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14219.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}•（﹣1）4=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14220.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=15． 故答案为：15． 【点评】本题考查二项式系数的性质，利用其二项展开式的通项公式求得r=4是关键，考查运算能力，属于中档题． 　 11．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14221.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，则\|CP\|=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14222.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}　． 【分析】求出圆的直角坐标方程，求出圆的圆心坐标，化P的极坐标为直角坐标，利用两点间距离公式求出距离即可． 【解答】解：圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆的方程为：x2+y2=4x，圆心为C（2，0）， 点P的极坐标为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14221.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，所以P的直角坐标（2，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14223.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）， 所以\|CP\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14224.png){width="1.5104166666666667in" height="0.2708333333333333in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14225.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14225.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，点的极坐标与直角坐标的互化，两点的距离公式的应用，考查计算能力． 　 12．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14226.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，则AB的长为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14227.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14228.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14229.png){width="0.6145833333333334in" height="0.3645833333333333in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14230.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14231.png){width="1.4375in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14232.png){width="1.5729166666666667in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14233.png){width="0.28125in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14234.png){width="0.6145833333333334in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14235.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14236.png){width="2.5625in" height="0.3645833333333333in"}=1， 化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14237.png){width="1.21875in" height="0.22916666666666666in"}， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14238.png){width="0.6458333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14239.png){width="0.6145833333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14240.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14241.png){width="1.7395833333333333in" height="0.9791666666666666in"} 【点评】熟练掌握向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算是解题的关键． 　 13．（5分）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14242.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14243.png){width="1.9895833333333333in" height="1.46875in"} 【分析】利用切割线定理求出EB，证明四边形AEBC是平行四边形，通过三角形相似求出CF即可． 【解答】解：如图由切角弦定理得∠EAB=∠ACB，又因为，AB=AC，所以∠EAB=∠ABC， 所以直线AE∥直线BC，又因为AC∥BE，所以是平行四边形． 因为AB=AC，AE=6，BD=5，∴AC=AB=4，BC=6． △AFC∽△DFB， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14244.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 即：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14245.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}， CF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14246.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14246.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14247.png){width="1.9895833333333333in" height="1.46875in"} 【点评】本题考查圆的切割线定理，三角形相似，考查逻辑推理能力与计算能力． 　 14．（5分）设a+b=2，b＞0，则当a=　﹣2　时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14248.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}取得最小值． 【分析】由于a+b=2，b＞0，从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14248.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14249.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，（a＜2），设f（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14250.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，（a＜2），画出此函数的图象，结合导数研究其单调性，即可得出答案． 【解答】解：∵a+b=2，b＞0， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14251.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14250.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，（a＜2） 设f（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14250.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示． 利用导数研究其单调性得， 当a＜0时，f（a）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14252.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14253.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， f′（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14254.png){width="1.0104166666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14255.png){width="1.0520833333333333in" height="0.4270833333333333in"}，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0， 故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数， ∴当a=﹣2时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14256.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}取得最小值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14257.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 同样地，当0＜a＜2时，得到当a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14258.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14259.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}取得最小值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14260.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 综合，则当a=﹣2时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14259.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}取得最小值． 故答案为：﹣2． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14261.png){width="4.386111111111111in" height="3.073611111111111in"} 【点评】本题考查导数在最值问题的应用，考查数形结合思想，属于中档题． 　 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数f（x）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14262.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14263.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+6sinxcosx﹣2cos2x+1，x∈R． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在区间![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14264.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}上的最大值和最小值． 【分析】（I）利用两角和的正弦公式将sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14263.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x﹣2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14265.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14266.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期； （II）根据x∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14267.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14266.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14266.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14268.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}．再由正弦函数在区间\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14266.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14269.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上的图象与性质，可得f（x）在区间![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14270.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}上的最大值为与最小值． 【解答】解：（I）∵sinxcosx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14271.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sin2x，cos2x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14271.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（1+cos2x） ∴f（x）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14272.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14273.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+6sinxcosx﹣2cos2x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1 =2sin2x﹣2cos2x=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14272.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14274.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}） 因此，f（x）的最小正周期T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14275.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=π； （II）∵0≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14276.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，∴﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14274.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14274.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14277.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} ∴当x=0时，sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14278.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）取得最小值﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14279.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}；当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14280.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}时，sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14278.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）取得最大值1 由此可得，f（x）在区间![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14281.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}上的最大值为f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14280.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14282.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}；最小值为f（0）=﹣2． 【点评】本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式、三角函数的最小正周期和函数y=Asin（ωx+φ）的单调性等知识，考查基本运算能力，属于中档题． 　 16．（13分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同）． （Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率． （Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【分析】（I）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14283.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解 （II）先判断随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值 【解答】解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则 P（A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14284.png){width="0.90625in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14285.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14286.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} （II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4 P（X=1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14287.png){width="0.5520833333333334in" height="0.5833333333333334in"} P（X=2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14288.png){width="0.5520833333333334in" height="0.5833333333333334in"} P（X=3）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14289.png){width="0.22916666666666666in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14290.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} P（X=4）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14291.png){width="0.22916666666666666in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14292.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} X的分布列为 EX=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14293.png){width="2.0416666666666665in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14294.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x 1 2 3 4 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14295.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14296.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14297.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14298.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【点评】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力． 　 17．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． （Ⅰ）证明B1C1⊥CE； （Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值． （Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14299.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，求线段AM的长． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14300.png){width="1.6666666666666667in" height="1.6458333333333333in"} 【分析】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14301.png){width="0.3854166666666667in" height="0.2708333333333333in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14302.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14303.png){width="0.8645833333333334in" height="0.2708333333333333in"}得到B1C1⊥CE； （Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求； （Ⅲ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14304.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}求出λ的值，则线段AM的长可求． 【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图， 依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14305.png){width="2.6979166666666665in" height="0.2708333333333333in"}， 而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14306.png){width="2.6145833333333335in" height="0.2708333333333333in"}=0． 所以B1C1⊥CE； （Ⅱ）解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14307.png){width="1.3229166666666667in" height="0.2708333333333333in"}， 设平面B1CE的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14308.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14309.png){width="0.8020833333333334in" height="0.5416666666666666in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14310.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14311.png){width="1.125in" height="0.22916666666666666in"}． 由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14312.png){width="1.3229166666666667in" height="0.2708333333333333in"}为平面CEC1的一个法向量， 于是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14313.png){width="2.3854166666666665in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14314.png){width="1.25in" height="0.40625in"}． 从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14315.png){width="1.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14316.png){width="1.0in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14317.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14317.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅲ）解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14318.png){width="2.3645833333333335in" height="0.2708333333333333in"}， 设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14319.png){width="1.8645833333333333in" height="0.2708333333333333in"} 0≤λ≤1， 有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14320.png){width="2.0416666666666665in" height="0.22916666666666666in"}． 取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14321.png){width="1.0416666666666667in" height="0.22916666666666666in"}为平面ADD1A1的一个法向量， 设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14322.png){width="1.8541666666666667in" height="0.22916666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14323.png){width="0.8854166666666666in" height="0.4479166666666667in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14324.png){width="2.9166666666666665in" height="0.4479166666666667in"}． 于是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14325.png){width="1.3854166666666667in" height="0.46875in"}． 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14326.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}．所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14327.png){width="2.78125in" height="0.3854166666666667in"}． 所以线段AM的长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14328.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14329.png){width="2.28125in" height="2.1354166666666665in"} 【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题． 　 18．（13分）设椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14330.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14331.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14332.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14333.png){width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"}=8，求k的值． 【分析】（Ⅰ）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14334.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，再由离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14335.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程． （Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14336.png){width="0.84375in" height="0.6770833333333334in"}消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14337.png){width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"}，利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14337.png){width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"}=8，即可求得k的值． 【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14338.png){width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}． ∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14339.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∴当x=﹣c时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14340.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4895833333333333in"}，得y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14341.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14342.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14343.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∵离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14344.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14345.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14346.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 解得b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14347.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，c=1，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14348.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． ∴椭圆的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14349.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}； （Ⅱ）直线CD：y=k（x+1）， 设C（x1，y1），D（x2，y2）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14350.png){width="0.84375in" height="0.6770833333333334in"}消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0， ∴x1+x2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14351.png){width="0.5in" height="0.4791666666666667in"}，x1x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14352.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，又A（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14353.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），B（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14353.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14354.png){width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"} =（x1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14355.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，y1）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14355.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣x2．﹣y2）+（x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14355.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，y2）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14355.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣x1．﹣y1）， =6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2， =6+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14356.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=8，解得k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14357.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}． 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质． 　 19．（14分）已知首项为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14358.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N\*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设Tn=Sn﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14359.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}（n∈N\*），求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值． 【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可构造关于q的方程，结合首项为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14360.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的等比数列{an}不是递减数列，求出q值，可得答案． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14361.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}在n为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q， ∵S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列． ∴S5+a5﹣（S3+a3）=S4+a4﹣（S5+a5） 即4a5=a3， 故q2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14362.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14363.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 又∵数列{an}不是递减数列，且等比数列的首项为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14360.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ∴q=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14364.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ∴数列{an}的通项公式an=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14365.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14364.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）n﹣1=（﹣1）n﹣1•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14366.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"} （Ⅱ）由（Ⅰ）得 Sn=1﹣（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14364.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14367.png){width="1.2916666666666667in" height="0.90625in"} 当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1＜Sn≤S1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14368.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 故0＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14369.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14370.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14368.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14371.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14372.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以1＞Sn≥S2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14373.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 故0＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14374.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14375.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14373.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14376.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14377.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"} 综上，对于n∈N\*，总有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14377.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14378.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14379.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 故数列{Tn}的最大项的值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14379.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，最小项的值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14377.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，数列的基本性质等基础知识，考查分类讨论思想，考查运算能力、分析问题和解析问题的能力． 　 20．（14分）已知函数f（x）=x2lnx． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）． （Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14380.png){width="1.1979166666666667in" height="0.375in"}． 【分析】（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），求导数令f′（x）=0，可解得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14381.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，由导数在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14382.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），和（ ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14382.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，+∞）的正负可得单调性；（Ⅱ）当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈\[1，+∞），由（Ⅰ）可得函数h（x）的单调性，可得结论；（Ⅲ）令u=lns，原命题转化为0＜lnu＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14383.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，一方面由f（s）的单调性，可得u＞1，从而lnu＞0成立，另一方面，令F（u）=lnu﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14383.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，u＞1，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知函数的定义域为（0，+∞）， 求导数可得f′（x）=2xlnx+x2•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14384.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2xlnx+x=x（2lnx+1）， 令f′（x）=0，可解得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14382.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表： --------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x （0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14385.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}） ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14385.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} （ ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14385.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，+∞） f′（x） ﹣ 0 \+ f（x） 单调递减 极小值 单调递增 --------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 所以函数f（x）的单调递减区间为（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14385.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），单调递增区间为（ ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14385.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，+∞） （Ⅱ）证明：当0＜x≤1时，f（x）≤0，设t＞0，令h（x）=f（x）﹣t，x∈\[1，+∞）， 由（Ⅰ）可知，h（x）在区间（1，+∞）单调递增，h（1）=﹣t＜0，h（et）=e2tlnet﹣t=t（e2t﹣1）＞0， 故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f（s）成立； （Ⅲ）证明：因为s=g（t），由（Ⅱ）知，t=f（s），且s＞1， 从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14386.png){width="0.5520833333333334in" height="0.375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14387.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14388.png){width="0.8541666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14389.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14390.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，其中u=lns， 要使![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14391.png){width="1.1979166666666667in" height="0.375in"}成立，只需![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14392.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14393.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14394.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 即2＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14395.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14396.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，即2＜2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14397.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14398.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 只需![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14399.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，变形可得只需0＜lnu＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14400.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 当t＞e2时，若s=g（t）≤e，则由f（s）的单调性，有t=f（s）≤f（e）=e2，矛盾， 所以s＞e，即u＞1，从而lnu＞0成立， 另一方面，令F（u）=lnu﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14400.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，u＞1，F′（u）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14401.png){width="0.375in" height="0.3645833333333333in"}， 令F′（u）=0，可解得u=2， 当1＜u＜2时，F′（u）＞0，当u＞2时，F′（u）＜0， 故函数F（u）在u=2处取到极大值，也是最大值F（2）=ln2﹣1＜0， 故有F（u）=lnu﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14402.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜0，即lnu＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14402.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 综上可证：当t＞e2时，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14403.png){width="1.1979166666666667in" height="0.375in"}成立． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及极值的求解和不等式的证明，属中档题． 2013年天津市高考数学试卷（文科） ================================ 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分. 1．（5分）已知集合A={x∈R\|\|x\|≤2}，B={x∈R\|x≤1}，则A∩B=（　　） A．（﹣∞，2\] B．\[1，2\] C．\[﹣2，2\] D．\[﹣2，1\] 【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可． 【解答】解：∵A={x\|\|x\|≤2}={x\|﹣2≤x≤2} ∴A∩B={x\|﹣2≤x≤2}∩{x\|x≤1，x∈R}={x\|﹣2≤x≤1} 故选：D． 【点评】本题主要考查了绝对值不等式，以及交集及其运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题． 　 2．（5分）设变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14404.png){width="0.875in" height="0.65625in"}，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（　　） A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2 【分析】先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可． 【解答】解：设变量x、y满足约束条件 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14405.png){width="0.875in" height="0.65625in"}， 在坐标系中画出可行域三角形， 平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7， 则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14406.png){width="2.823611111111111in" height="2.729861111111111in"} 【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定． 　 3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14407.png){width="1.78125in" height="2.979861111111111in"} A．7 B．6 C．5 D．4 【分析】利用循环结构可知道需要循环4次方可得到S←2，因此输出的n←4． 【解答】解：由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4， 因此当n=4时，S←2，满足判断框的条件，故跳出循环程序． 故输出的n的值为4． 故选：D． 【点评】正确理解循环结构的功能是解题的关键． 　 4．（5分）设a，b∈R，则"（a﹣b）a2＜0"是"a＜b"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解． 【解答】解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0， ∴a＜b成立， 由a＜b，则a﹣b＜0，"（a﹣b）a2≤0， 所以根据充分必要条件的定义可的判断： a，b∈R，则"（a﹣b）a2＜0"是a＜b的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题． 　 5．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14408.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} B．1 C．2 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14409.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可． 【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上， 又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直， 所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行， 所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14410.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=2． 故选：C． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力． 　 6．（5分）函数f（x）=sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14411.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）在区间\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14412.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最小值是（　　） A．﹣1 B．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14413.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14413.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} D．0 【分析】由题意，可先求出2x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14414.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值． 【解答】解：由题意x∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14415.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，得2x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14414.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14416.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14417.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14418.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14419.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，1\] ∴函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14420.png){width="1.34375in" height="0.3645833333333333in"}在区间![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14421.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14419.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 故选：B． 【点评】本题考查正函数的最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值． 　 7．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间\[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14422.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3958333333333333in"}）≤2f（1），则a的取值范围是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14423.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"} B．\[1，2\] C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14424.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"} D．（0，2\] 【分析】由偶函数的性质将f（log2a）+f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14422.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3958333333333333in"}）≤2f（1）化为：f（log2a）≤f（1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围． 【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数， 所以f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14422.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3958333333333333in"}）=f（﹣log2a）=f（log2a）， 则f（log2a）+f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14422.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3958333333333333in"}）≤2f（1）为：f（log2a）≤f（1）， 因为函数f（x）在区间\[0，+∞）上单调递增， 所以\|log2a\|≤1，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14425.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤a≤2， 则a的取值范围是\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14426.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，2\]， 故选：A． 【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题． 　 8．（5分）设函数f（x）=ex+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（　　） A．g（a）＜0＜f（b） B．f（b）＜0＜g（a） C．0＜g（a）＜f（b） D．f（b）＜g（a）＜0 【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可． 【解答】解：①由于y=ex及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=ex+x﹣2在R上单调递增， 分别作出y=ex，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a＜1． 同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14427.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14428.png){width="1.9166666666666667in" height="0.3645833333333333in"}，g（b）=0，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14429.png){width="0.7291666666666666in" height="0.20833333333333334in"}． ∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0， f（b）=eb+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0． ∴g（a）＜0＜f（b）． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14430.png){width="2.375in" height="2.0833333333333335in"} 【点评】熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键． 　 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5分）i是虚数单位．复数（3+i）（1﹣2i）=　5﹣5i　． 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：（3+i）（1﹣2i）=3﹣6i+i﹣2i2=5﹣5i． 故答案为5﹣5i． 【点评】熟练掌握导数的运算法则是解题的关键． 　 10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14431.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，则正方体的棱长为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14432.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}　． 【分析】设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长． 【解答】解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径， 设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14432.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}a，正方体的外接球的半径为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14433.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 球的体积为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14434.png){width="1.5208333333333333in" height="0.3854166666666667in"}， 解得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14435.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14435.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力． 　 11．（5分）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14436.png){width="1.7395833333333333in" height="0.4895833333333333in"}的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14437.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}　． 【分析】利用抛物线的标准方程y2=8x，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14438.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，故其准线方程为x=﹣2．由题意可得双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14439.png){width="1.7395833333333333in" height="0.4895833333333333in"}的一个焦点为（﹣2，0），即可得到c=2．再利用双曲线的离心率的计算公式可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14440.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2，得到a=1，再利用b2=c2﹣a2可得b2．进而得到双曲线的方程． 【解答】解：由抛物线y2=8x，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14438.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，故其准线方程为x=﹣2． 由题意可得双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14439.png){width="1.7395833333333333in" height="0.4895833333333333in"}的一个焦点为（﹣2，0），∴c=2． 又双曲线的离心率为2，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14440.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2，得到a=1，∴b2=c2﹣a2=3． ∴双曲线的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14441.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}． 故答案为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14442.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}． 【点评】熟练掌握双曲线抛物线的标准方程及其性质是解题的关键． 　 12．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14443.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，则AB的长为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14444.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14445.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14446.png){width="0.6145833333333334in" height="0.3645833333333333in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14447.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14448.png){width="1.4375in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14449.png){width="1.5729166666666667in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14450.png){width="0.28125in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14451.png){width="0.6145833333333334in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14452.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14453.png){width="2.5625in" height="0.3645833333333333in"}=1， 化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14454.png){width="1.21875in" height="0.22916666666666666in"}， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14455.png){width="0.6458333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14456.png){width="0.6145833333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14457.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14458.png){width="1.7395833333333333in" height="0.9791666666666666in"} 【点评】熟练掌握向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算是解题的关键． 　 13．（5分）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14459.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14460.png){width="1.7604166666666667in" height="1.4375in"} 【分析】连结圆心O与A，说明OA⊥AE，利用切割线定理求出AE，通过余弦定理求出∠BAE的余弦值，然后求解BD即可． 【解答】解：如图连结圆心O与A，因为过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．所以OA⊥AE， 因为AB=AD=5，BE=4， 梯形ABCD中，AB∥DC，BC=5， 由切割线定理可知：AE2=EB•EC，所以AE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14461.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}=6， 在△ABE中，BE2=AE2+AB2﹣2AB•AEcosα，即16=25+36﹣60cosα， 所以cosα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14462.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，AB=AD=5， 所以BD=2×ABcosα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14463.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14463.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14464.png){width="1.7604166666666667in" height="1.4375in"} 【点评】本题考查切割线定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力以及计算能力． 　 14．（5分）设a+b=2，b＞0，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14465.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的最小值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14466.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】由题意得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14467.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a的范围求出式子的最小值． 【解答】解：∵a+b=2，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14468.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14469.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14470.png){width="1.28125in" height="0.3645833333333333in"}， ∵b＞0，\|a\|＞0，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14471.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≥1（当且仅当b2=4a2时取等号）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14469.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14472.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}1， 故当a＜0时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14473.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14474.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14474.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了基本不等式的应用，需要根据条件和所求式子的特点，进行变形凑出定值再进行求解，考查了转化和分类讨论的能力． 　 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表： --------------------- ------------- ------------- ------------- ------------- ------------- 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标（x，y，z） （1，1，2） （2，1，1） （2，2，2） （1，1，1） （1，2，1） 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标（x，y，z） （1，2，2） （2，1，1） （2，2，1） （1，1，1） （2，1，2） --------------------- ------------- ------------- ------------- ------------- ------------- （Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品， （i）用产品编号列出所有可能的结果； （ii）设事件B为"在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4"，求事件B发生的概率． 【分析】（Ⅰ）用综合指标S=x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求； （Ⅱ）（i）直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有等可能结果； （ii）列出在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解． 【解答】解：（Ⅰ）计算10件产品的综合指标S，如下表： ---------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----- 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 ---------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----- 其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9共6件，故样本的一等品率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14475.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 从而可估计该批产品的一等品率为0.6； （Ⅱ）（i）在该样本的一等品种，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}， {A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}， {A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}共15种． （ii）在该样本的一等品种，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7． 则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种． 所以p（B）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14476.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了随机事件，考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征，考查了古典概型及其概率计算公式，是基础题． 　 16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14477.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （1）求b的值； （2）求sin（2B﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14478.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的值． 【分析】（Ⅰ） 直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值； （Ⅱ） 利用（Ⅰ）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14479.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}的值． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14480.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}，可得bsinA=asinB， 又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1． 由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14481.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 即b2=32+12﹣2×3×cosB， 可得b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14482.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （Ⅱ）由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14481.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，可得sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14483.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 所以cos2B=2cos2B﹣1=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14484.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， sin2B=2sinBcosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14485.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14486.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14487.png){width="1.9166666666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14488.png){width="1.5833333333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14489.png){width="0.65625in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力． 　 17．（13分）如图，三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点 （Ⅰ）证明EF∥平面A1CD； （Ⅱ）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1； （Ⅲ）求直线B1C1与平面A1CD所成角的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14490.png){width="2.0520833333333335in" height="1.5416666666666667in"} 【分析】（I）连接ED，要证明EF∥平面平面A1CD，只需证明EF∥DA1即可； （II）欲证平面平面A1CD⊥平面A1ABB1，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得CD⊥面A1ABB1，再根据面面垂直的判定定理得证； （III）先过B作BG⊥AD交A1D于G，利用（II）中结论得出BG⊥面A1CD，从而∠BCG为所求的角，最后在直角△BGC中，求出sin∠BCG即可得出直线BC与平面A1CD所成角的正弦值． 【解答】证明：（I）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，AC=A1C1，连接ED， 可得DE∥AC，DE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14491.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AC，又F为棱A1C1的中点．∴A1F=DE，A1F∥DE， 所以A1DEF是平行四边形，所以EF∥DA1， DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴EF∥平面A1CD （II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB， 又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC， ∴AA1⊥CD，又AA1∩AB=A， ∴CD⊥面A1ABB1，又CD⊂面A1CD， ∴平面A1CD⊥平面A1ABB1； （III）过B作BG⊥A1D交A1D于G， ∵平面A1CD⊥平面A1ABB1，且平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D， BG⊥A1D， ∴BG⊥面A1CD， 则∠BCG为所求的角， 设棱长为a，可得A1D=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14492.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，由△A1AD∽△BGD，得BG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14493.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 在直角△BGC中，sin∠BCG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14494.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14495.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴直线BC与平面A1CD所成角的正弦值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14495.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14496.png){width="2.0416666666666665in" height="1.53125in"} 【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 　 18．（13分）设椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14497.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14498.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14499.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14500.png){width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"}=8，求k的值． 【分析】（Ⅰ）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14499.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，再由离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14498.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程． （Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14501.png){width="0.84375in" height="0.6770833333333334in"}消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14502.png){width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"}，利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14502.png){width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"}=8，即可求得k的值． 【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14503.png){width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}． ∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14504.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∴当x=﹣c时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14505.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4895833333333333in"}，得y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14506.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14507.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14508.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∵离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14509.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14510.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14509.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 解得b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14511.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，c=1，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14512.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． ∴椭圆的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14513.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}； （Ⅱ）直线CD：y=k（x+1）， 设C（x1，y1），D（x2，y2）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14514.png){width="0.84375in" height="0.6770833333333334in"}消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0， ∴x1+x2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14515.png){width="0.5in" height="0.4791666666666667in"}，x1x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14516.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，又A（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14517.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），B（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14517.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14518.png){width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"} =（x1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14517.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，y1）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14517.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣x2．﹣y2）+（x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14517.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，y2）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14519.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣x1．﹣y1）， =6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2， =6+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14520.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=8，解得k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14521.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}． 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想．在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质． 　 19．（14分）已知首项为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14522.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N\*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列． （Ⅰ） 求数列{an}的通项公式； （Ⅱ） 证明![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14523.png){width="1.53125in" height="0.4270833333333333in"}． 【分析】（Ⅰ）由题意得2S3=﹣2S2+4S4，变形为S4﹣S3=S2﹣S4，进而求出公比q的值，代入通项公式进行化简； （Ⅱ）根据（Ⅰ）求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14524.png){width="0.9791666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14525.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}再对n分类进行化简，判断出Sn随n的变化情况，再分别求出最大值，再求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14525.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}的最大值． 【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{an}的公比为q， ∵﹣2S2，S3，4S4等差数列， ∴2S3=﹣2S2+4S4，即S4﹣S3=S2﹣S4， 得2a4=﹣a3，∴q=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14526.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14527.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14528.png){width="1.1875in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14529.png){width="0.90625in" height="0.4270833333333333in"}； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14530.png){width="1.0416666666666667in" height="0.7604166666666666in"}=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14531.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14532.png){width="2.1458333333333335in" height="0.6770833333333334in"}， 当n为奇数时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14533.png){width="1.9791666666666667in" height="0.6770833333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14534.png){width="0.9270833333333334in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14535.png){width="0.9583333333333334in" height="0.4791666666666667in"}， 当n为偶数时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14536.png){width="1.9791666666666667in" height="0.6770833333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14537.png){width="0.9583333333333334in" height="0.4270833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14538.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}随着n的增大而减小， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14539.png){width="1.5520833333333333in" height="0.4270833333333333in"}，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14540.png){width="1.5520833333333333in" height="0.4270833333333333in"}， 综上，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14541.png){width="1.53125in" height="0.4270833333333333in"}成立． 【点评】本题考查了等差（等比）数列的概念、通项公式和前n项和公式，以及数列的基本性质等，考查了分类讨论的思想、运算能力、分析问题和解决问题的能力． 　 20．（14分）设a∈\[﹣2，0\]，已知函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14542.png){width="2.1875in" height="0.6666666666666666in"} （Ⅰ） 证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增； （Ⅱ） 设曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14543.png){width="1.1979166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 【分析】（Ⅰ）令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14544.png){width="1.84375in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14545.png){width="2.1145833333333335in" height="0.3645833333333333in"}．分别求导即可得到其单调性； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14546.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}内单调递减，在区间![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14547.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}内单调递增． 已知曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）处的切线相互平行，可知x1，x2，x3互不相等，利用导数的几何意义可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14548.png){width="2.1458333333333335in" height="0.28125in"}． 不妨x1＜0＜x2＜x3，根据以上等式可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14549.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14550.png){width="1.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}．设g（x）=3x2﹣（a+3）x+a，利用二次函数的单调性可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14551.png){width="1.8958333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14552.png){width="1.6145833333333333in" height="0.28125in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14553.png){width="1.25in" height="0.3854166666666667in"}，于是可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14554.png){width="1.9583333333333333in" height="0.3854166666666667in"}，通过换元设t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14555.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，已知a∈\[﹣2，0\]，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14556.png){width="1.2083333333333333in" height="0.3854166666666667in"}， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14557.png){width="2.7604166666666665in" height="0.4270833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14558.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，即可证明． 【解答】解：（Ⅰ）令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14559.png){width="1.84375in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14560.png){width="2.1145833333333335in" height="0.3645833333333333in"}． ①![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14561.png){width="1.4166666666666667in" height="0.28125in"}，由于a∈\[﹣2，0\]，从而当﹣1＜x＜0时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14562.png){width="2.25in" height="0.28125in"}， 所以函数f1（x）在区间（﹣1，0）内单调递减， ②![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14563.png){width="1.6666666666666667in" height="0.28125in"}=（3x﹣a）（x﹣1），由于a∈\[﹣2，0\]，所以0＜x＜1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14564.png){width="0.78125in" height="0.28125in"}； 当x＞1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14565.png){width="0.78125in" height="0.28125in"}，即函数f2（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增． 综合①②及f1（0）=f2（0），可知：f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14566.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}内单调递减，在区间![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14567.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}内单调递增． 因为曲线y=f（x）在点Pi（xi，f（xi））（i=1，2，3）处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14568.png){width="2.1458333333333335in" height="0.28125in"}． 不妨x1＜0＜x2＜x3，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14569.png){width="1.8958333333333333in" height="0.28125in"}+a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14570.png){width="1.1979166666666667in" height="0.28125in"}． 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14571.png){width="2.0416666666666665in" height="0.28125in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14572.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14573.png){width="1.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 设g（x）=3x2﹣（a+3）x+a，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14574.png){width="1.8958333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14575.png){width="1.6145833333333333in" height="0.28125in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14576.png){width="1.25in" height="0.3854166666666667in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14577.png){width="1.9583333333333333in" height="0.3854166666666667in"}， 设t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14578.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14579.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}， ∵a∈\[﹣2，0\]，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14580.png){width="1.2083333333333333in" height="0.3854166666666667in"}， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14581.png){width="2.7604166666666665in" height="0.4270833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14582.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14583.png){width="1.1979166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查了导数的运算与几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想、化归思想、函数思想，考查了分析问题和解决问题的能力． 2013年浙江省高考数学试卷（理科） ================================ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（　　） A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i 【分析】直接利用两个复数代数形式的乘法法则，以及虚数单位i的幂运算性质，运算求得结果． 【解答】解：（﹣1+i）（2﹣i）=﹣2+i+2i+1=﹣1+3i， 故选：B． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 　 2．（5分）设集合S={x\|x＞﹣2}，T={x\|x2+3x﹣4≤0}，则（∁RS）∪T=（　　） A．（﹣2，1\] B．（﹣∞，﹣4\] C．（﹣∞，1\] D．\[1，+∞） 【分析】先根据一元二次不等式求出集合T，然后求得∁RS，再利用并集的定义求出结果． 【解答】解：∵集合S={x\|x＞﹣2}， ∴∁RS={x\|x≤﹣2}， T={x\|x2+3x﹣4≤0}={x\|﹣4≤x≤1}， 故（∁RS）∪T={x\|x≤1} 故选：C． 【点评】此题属于以一元二次不等式的解法为平台，考查了补集及并集的运算，是高考中常考的题型．在求补集时注意全集的范围． 　 3．（5分）已知x，y为正实数，则（　　） A．2lgx+lgy=2lgx+2lgy B．2lg（x+y）=2lgx•2lgy C．2lgx•lgy=2lgx+2lgy D．2lg（xy）=2lgx•2lgy 【分析】直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可． 【解答】解：因为as+t=as•at，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数）， 所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx•2lgy，满足上述两个公式， 故选：D． 【点评】本题考查指数与对数的运算性质，基本知识的考查． 　 4．（5分）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则"f（x）是奇函数"是"φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14584.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14584.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}⇒f（x）=Acos（ωx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14584.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）⇒f（x）=﹣Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数．f（x）为奇函数⇒f（0）=0⇒φ=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14584.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z．所以"f（x）是奇函数"是"φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14584.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}"必要不充分条件． 【解答】解：若φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14584.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 则f（x）=Acos（ωx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14584.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}） ⇒f（x）=﹣Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数； 若f（x）是奇函数， ⇒f（0）=0， ∴f（0）=Acos（ω×0+φ）=Acosφ=0． ∴φ=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14585.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z，不一定有φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14585.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} "f（x）是奇函数"是"φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14585.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}"必要不充分条件． 故选：B． 【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵活运用． 　 5．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14586.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14587.png){width="1.53125in" height="3.2194444444444446in"} A．a=4 B．a=5 C．a=6 D．a=7 【分析】根据已知流程图可得程序的功能是计算S=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14588.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14589.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}的值，利用裂项相消法易得答案． 【解答】解：由已知可得该程序的功能是 计算并输出S=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14588.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14589.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=1+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14590.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14590.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 若该程序运行后输出的值是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14591.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则 2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14592.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14591.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ∴a=4， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中分析出程序的功能是解答的关键． 　 6．（5分）已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14593.png){width="2.0104166666666665in" height="0.3854166666666667in"}，则tan2α=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14594.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14595.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14596.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14597.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】由题意结合sin2α+cos2α=1可解得sinα，和cosα，进而可得tanα，再代入二倍角的正切公式可得答案． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14598.png){width="1.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，又sin2α+cos2α=1， 联立解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14599.png){width="1.0520833333333333in" height="0.8333333333333334in"}，或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14600.png){width="1.0520833333333333in" height="0.8333333333333334in"} 故tanα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14601.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14602.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，或tanα=3， 代入可得tan2α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14603.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14604.png){width="0.71875in" height="0.7604166666666666in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14605.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 或tan2α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14603.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14606.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14607.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} 故选：C． 【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题． 　 7．（5分）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14608.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，且对于边AB上任一点P，恒有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14609.png){width="1.5416666666666667in" height="0.2708333333333333in"}则（　　） A．∠ABC=90° B．∠BAC=90° C．AB=AC D．AC=BC 【分析】设\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14610.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=4，则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14611.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}\|=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14612.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|2﹣（a+1）\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14612.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|+a≥0恒成立，只需△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0即可，由此能求出△ABC是等腰三角形，AC=BC． 【解答】解：设\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14613.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=4，则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14614.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}\|=1，过点C作AB的垂线，垂足为H， 在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14615.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14616.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|•\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14617.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14617.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|2﹣（a+1）\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14617.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14614.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14618.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=﹣a， 于是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14619.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14620.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14621.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}••![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14618.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}恒成立， 整理得\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14619.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|2﹣（a+1）\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14619.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|+a≥0恒成立， 只需△=（a+1）2﹣4a=（a﹣1）2≤0即可，于是a=1， 因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形， 所以AC=BC． 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14622.png){width="2.2083333333333335in" height="1.59375in"} 【点评】本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力 　 8．（5分）已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）k（k=1，2），则（　　） A．当k=1时，f（x）在x=1处取得极小值 B．当k=1时，f（x）在x=1处取得极大值 C．当k=2时，f（x）在x=1处取得极小值 D．当k=2时，f（x）在x=1处取得极大值 【分析】通过对函数f（x）求导，根据选项知函数在x=1处有极值，验证f\'（1）=0，再验证f（x）在x=1处取得极小值还是极大值即可得结论． 【解答】解：当k=1时，函数f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）． 求导函数可得f\'（x）=ex（x﹣1）+（ex﹣1）=（xex﹣1）， f\'（1）=e﹣1≠0，f\'（2）=2e2﹣1≠0， 则f（x）在在x=1处与在x=2处均取不到极值， 当k=2时，函数f（x）=（ex﹣1）（x﹣1）2． 求导函数可得f\'（x）=ex（x﹣1）2+2（ex﹣1）（x﹣1）=（x﹣1）（xex+ex﹣2）， ∴当x=1，f\'（x）=0，且当x＞1时，f\'（x）＞0，当x0＜x＜1时（x0为极大值点），f\'（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数； 在（x0，1）上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得极小值．对照选项． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14623.png){width="1.6458333333333333in" height="1.9166666666666667in"} 【点评】本题考查了函数的极值问题，考查学生的计算能力，正确理解极值是关键． 　 9．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14624.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14625.png){width="2.0208333333333335in" height="1.3958333333333333in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14626.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14627.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14628.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14629.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】不妨设\|AF1\|=x，\|AF2\|=y，依题意![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14630.png){width="0.84375in" height="0.4791666666666667in"}，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率． 【解答】解：设\|AF1\|=x，\|AF2\|=y，∵点A为椭圆C1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14631.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+y2=1上的点， ∴2a=4，b=1，c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14627.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； ∴\|AF1\|+\|AF2\|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF1BF2为矩形， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14632.png){width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14633.png){width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14634.png){width="0.6875in" height="0.3333333333333333in"}，即x2+y2=（2c）2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14635.png){width="0.59375in" height="0.25in"}=12，② 由①②得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14636.png){width="0.84375in" height="0.4791666666666667in"}，解得x=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14637.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，y=2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14637.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n， 则2m=\|AF2\|﹣\|AF1\|=y﹣x=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14638.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，2n=2c=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14639.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴双曲线C2的离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14640.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14641.png){width="0.23958333333333334in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14642.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 故选：D． 【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得\|AF1\|与\|AF2\|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题． 　 10．（5分）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ\[fα（P）\]，Q2=fα\[fβ（P）\]，恒有PQ1=PQ2，则（　　） A．平面α与平面β垂直 B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45° C．平面α与平面β平行 D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60° 【分析】设P1是点P在α内的射影，点P2是点P在β内的射影．根据题意点P1在β内的射影与P2在α内的射影重合于一点，由此可得四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角，根据面面垂直的定义可得平面α与平面β垂直，得到本题答案． 【解答】解：设P1=fα（P），则根据题意，得点P1是过点P作平面α垂线的垂足 ∵Q1=fβ\[fα（P）\]=fβ（P1）， ∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足 同理，若P2=fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足 因此Q2=fα\[fβ（P）\]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足 ∵对任意的点P，恒有PQ1=PQ2， ∴点Q1与Q2重合于同一点 由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角 ∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14643.png){width="2.15625in" height="1.7604166666666667in"} 【点评】本题给出新定义，要求我们判定平面α与平面β所成角大小，着重考查了线面垂直性质、二面角的平面角和面面垂直的定义等知识，属于中档题． 　 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．（4分）设二项式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14644.png){width="0.8854166666666666in" height="0.4375in"}的展开式中常数项为A，则A=　﹣10　． 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【解答】解：二项式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14644.png){width="0.8854166666666666in" height="0.4375in"}的展开式的通项公式为 Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14645.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14646.png){width="0.3645833333333333in" height="0.3854166666666667in"}•（﹣1）r•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14647.png){width="0.2916666666666667in" height="0.3854166666666667in"}=（﹣1）r•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14645.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14648.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3854166666666667in"}． 令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14649.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=0，解得r=3，故展开式的常数项为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14650.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=﹣10， 故答案为﹣10． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 　 12．（4分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于　24　 cm3． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14651.png){width="1.3020833333333333in" height="1.7604166666666667in"} 【分析】先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可． 【解答】解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，侧面的高为5，被截取的棱锥的高为3．如图： V=V棱柱﹣V棱锥=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14652.png){width="2.21875in" height="0.3645833333333333in"}=24（cm3） 故答案为：24． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14653.png){width="1.0729166666666667in" height="1.625in"} 【点评】本题考查几何体的三视图及几何体的体积计算．V椎体=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14654.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}Sh，V柱体=Sh．考查空间想象能力． 　 13．（4分）设z=kx+y，其中实数x，y满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14655.png){width="0.875in" height="0.65625in"}，若z的最大值为12，则实数k=　2　． 【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再对k进行分类讨论，通过平移直线z=kx+y得到最大值点A，即可得到答案． 【解答】解：可行域如图： 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14656.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4166666666666667in"}得：A（4，4）， 同样地，得B（0，2）， z=kx+y，即y=﹣kx+z，分k＞0，k＜0两种情况． 当k＞0时， 目标函数z=kx+y在A点取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，即12=4k+4，得k=2； 当k＜0时， ①当k＞﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14657.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，目标函数z=kx+y在A点（4，4）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大， 此时，12=4k+4， 故k=2． ②当k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14658.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}时，目标函数z=kx+y在B点（0，2）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大， 此时，12=0×k+2， 故k不存在． 综上，k=2． 故答案为：2． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14659.png){width="2.1979166666666665in" height="2.4791666666666665in"} 【点评】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义． 　 14．（4分）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有　480　种（用数字作答） 【分析】按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可． 【解答】解：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3， 因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可． 当C在左边第1个位置时，有A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14660.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}， 当C在左边第2个位置时，A和B有C右边的4个位置可以选，有A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14661.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14662.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}， 当C在左边第3个位置时，有A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14663.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14662.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14664.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14665.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}， 共为240种，乘以2，得480．则不同的排法共有480种． 故答案为：480． 【点评】本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时要掌握分类讨论的处理方法． 　 15．（4分）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若\|FQ\|=2，则直线l的斜率等于　不存在　． 【分析】由题意设直线l的方程为my=x+1，联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14666.png){width="0.625in" height="0.4791666666666667in"}得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14667.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4375in"}=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可． 【解答】解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14668.png){width="0.625in" height="0.4791666666666667in"}得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0． 设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）． ∴y1+y2=4m，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14669.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4375in"}=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1． ∴Q（2m2﹣1，2m）， 由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）． ∵\|QF\|=2，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14670.png){width="1.6041666666666667in" height="0.25in"}，化为m2=1，解得m=±1，不满足△＞0． 故满足条件的直线l不存在． 故答案为不存在． 【点评】本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公式等基础知识，考查了推理能力和计算能力． 　 16．（4分）△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14671.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}，则sin∠BAC=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14672.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}　． 【分析】作出图象，设出未知量，在△ABM中，由正弦定理可得sin∠AMB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14673.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，进而可得cosβ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14673.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，在RT△ACM中，还可得cosβ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14674.png){width="0.8645833333333334in" height="0.5833333333333334in"}，建立等式后可得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14675.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b，再由勾股定理可得c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14676.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}，而sin∠BAC═![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14677.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14678.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，代入化简可得答案． 【解答】解：如图 设AC=b，AB=c，CM=MB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14679.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，∠MAC=β， 在△ABM中，由正弦定理可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14680.png){width="0.71875in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14681.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}， 代入数据可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14682.png){width="0.16666666666666666in" height="0.7604166666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14683.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}，解得sin∠AMB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14684.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 故cosβ=cos（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14685.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣∠AMC）=sin∠AMC=sin（π﹣∠AMB）=sin∠AMB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14684.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 而在RT△ACM中，cosβ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14686.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14687.png){width="0.8645833333333334in" height="0.5833333333333334in"}， 故可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14688.png){width="0.8645833333333334in" height="0.6458333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14689.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，化简可得a4﹣4a2b2+4b4=（a2﹣2b2）2=0， 解之可得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14690.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b，再由勾股定理可得a2+b2=c2，联立可得c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14691.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}， 故在RT△ABC中，sin∠BAC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14692.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14693.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14694.png){width="0.34375in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14695.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 另解：设∠BAM为α，∠MAC为β，正弦定理得BM：sinα=AM：sin∠B BM：sinβ=AM 又有sinβ=cos∠AMC=cos（α+∠B）， 联立消去BM，AM得sin∠Bcos（α+∠B）=sinα， 拆开，将1化成sin2∠B+cos2∠B， 构造二次齐次式，同除cos2∠B， 可得tanα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14696.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}， 若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14697.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}，则cos∠BAM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14698.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， tan∠BAM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14699.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 解得tan∠B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14700.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14701.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} 易得sin∠BAC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14701.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 另解：作MD⊥AB交于D，设MD=1，AM=3，AD=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14702.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，DB=x，BM=CM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14703.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}， 用△DMB和△CAB相似解得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14702.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 则cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14704.png){width="0.23958333333333334in" height="0.40625in"}， 易得sin∠BAC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14701.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14705.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14706.png){width="1.65625in" height="1.65625in"} 【点评】本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属难题． 　 17．（4分）设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14707.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14708.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}为单位向量，非零向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14709.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14710.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+y![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14708.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，x、y∈R．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14710.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14708.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}的夹角为30°，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14711.png){width="0.34375in" height="0.40625in"}的最大值等于　2　． 【分析】由题意求得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14712.png){width="0.4895833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14713.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14714.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14715.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2916666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14716.png){width="1.0729166666666667in" height="0.2708333333333333in"}，从而可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14717.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14718.png){width="1.1041666666666667in" height="0.46875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14719.png){width="1.1041666666666667in" height="0.5208333333333334in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14720.png){width="1.15625in" height="0.6666666666666666in"}，再利用二次函数的性质求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14721.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}的最大值． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14722.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14723.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"} 为单位向量，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14724.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14723.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}的夹角等于30°，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14725.png){width="0.4895833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=1×1×cos30°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14726.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ∵非零向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14727.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14728.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+y![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14729.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，∴\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14730.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14731.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2916666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14732.png){width="1.4166666666666667in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14733.png){width="1.0729166666666667in" height="0.2708333333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14734.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14735.png){width="1.1041666666666667in" height="0.46875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14736.png){width="1.1041666666666667in" height="0.5208333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14737.png){width="1.2916666666666667in" height="0.65625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14738.png){width="1.15625in" height="0.6666666666666666in"}， 故当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14739.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14740.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14741.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}取得最大值为2， 故答案为 2． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题． 　 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列． （Ⅰ）求d，an； （Ⅱ）若d＜0，求\|a1\|+\|a2\|+\|a3\|+...+\|an\|． 【分析】（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式an可求； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{an}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时\|a1\|+\|a2\|+\|a3\|+...+\|an\|的和． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14742.png){width="1.4375in" height="0.28125in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14743.png){width="2.1041666666666665in" height="0.28125in"}，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4． 当d=﹣1时，an=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11． 当d=4时，an=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6． 所以an=﹣n+11或an=4n+6； （Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，an=﹣n+11． 则当n≤11时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14744.png){width="3.2604166666666665in" height="0.3645833333333333in"}． 当n≥12时，\|a1\|+\|a2\|+\|a3\|+...+\|an\|=﹣Sn+2S11=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14745.png){width="1.09375in" height="0.3645833333333333in"}． 综上所述， \|a1\|+\|a2\|+\|a3\|+...+\|an\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14746.png){width="1.78125in" height="0.7916666666666666in"}． 【点评】本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题． 　 19．（14分）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分． （1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．求ξ分布列； （2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14747.png){width="1.1458333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，求a：b：c． 【分析】（1）ξ的可能取值有：2，3，4，5，6，求出相应的概率可得所求ξ的分布列； （2）先列出η的分布列，再利用η的数学期望和方差公式，即可得到结论． 【解答】解：（1）由题意得ξ=2，3，4，5，6， P（ξ=2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14748.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14749.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}；P（ξ=3）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14750.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14751.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}；P（ξ=4）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14752.png){width="1.0520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14753.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； P（ξ=5）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14754.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14755.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}；P（ξ=6）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14756.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14757.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故所求ξ的分布列为 --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ξ 2 3 4 5 6 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14758.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14759.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14760.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14761.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14757.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- （2）由题意知η的分布列为 --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- η 1 2 3 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14762.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14763.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14764.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Eη=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14765.png){width="1.6145833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14766.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} Dη=（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14766.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14762.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}+（2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14767.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14768.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}+（3﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14767.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14769.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14770.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14771.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3958333333333333in"}， 解得a=3c，b=2c， 故a：b：c=3：2：1． 【点评】本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算能力，属于中档题． 　 20．（15分）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14772.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC． （1）证明：PQ∥平面BCD； （2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14773.png){width="2.0in" height="1.9479166666666667in"} 【分析】（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ．根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形，从而PQ∥OF，再由线面平行判定定理，证出PQ∥平面BCD； （2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH．根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°．设∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式，最后在Rt△CHG中，根据正切的定义得出tan∠CHG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14774.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14775.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，从而得到tanθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14776.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，由此可得∠BDC． 【解答】（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ ∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14777.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AD ∵△BDM中，O、P分别为BD、BM的中点 ∴OP∥DM，且OP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14778.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}DM，结合M为AD中点得：OP∥AD且OP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14777.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AD ∴OP∥QF且OP=QF，可得四边形OPQF是平行四边形 ∴PQ∥OF ∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD； （2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH ∵AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，∴AD⊥CG 又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线 ∴CG⊥平面ABD，结合BM⊂平面ABD，得CG⊥BM ∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH内的相交直线 ∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH 因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60° 设∠BDC=θ，可得 Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14779.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cosθ，CG=CDsinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14780.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}sinθcosθ，BG=BCsinθ=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14779.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin2θ Rt△BMD中，HG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14781.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14782.png){width="0.9166666666666666in" height="0.3854166666666667in"}；Rt△CHG中，tan∠CHG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14783.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14784.png){width="0.8645833333333334in" height="0.3645833333333333in"} ∴tanθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14785.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，可得θ=60°，即∠BDC=60° ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14786.png){width="2.0in" height="1.9479166666666667in"} 【点评】本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平行，并且在已知二面角大小的情况下求线线角．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，解直角三角形和平面与平面所成角求法等知识，属于中档题． 　 21．（15分）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14787.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14788.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D． （1）求椭圆C1的方程； （2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14789.png){width="2.125in" height="2.1145833333333335in"} 【分析】（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长\|AB\|，又l2⊥l1，可得直线l2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出\|PD\|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值． 【解答】解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2． ∴椭圆C1的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14790.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）． 由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1． 又圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14791.png){width="1.0625in" height="0.28125in"}的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14792.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4479166666666667in"}． ∴\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14793.png){width="0.59375in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14794.png){width="0.7291666666666666in" height="0.5in"}． 又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14795.png){width="0.8645833333333334in" height="0.4791666666666667in"}，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14796.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， ∴\|PD\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14797.png){width="0.625in" height="0.5in"}． ∴三角形ABD的面积S△=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14798.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14799.png){width="0.7291666666666666in" height="0.5in"}， 令4+k2=t＞4，则k2=t﹣4， f（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14800.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14801.png){width="0.5729166666666666in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14802.png){width="1.4375in" height="0.3854166666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14803.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}， ∴S△=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14804.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，当且仅![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14805.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14806.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}，当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14807.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3854166666666667in"}时取等号， 故所求直线l1的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14808.png){width="0.9479166666666666in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力． 　 22．（14分）已知a∈R，函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3． （1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）当x∈\[0，2\]时，求\|f（x）\|的最大值． 【分析】（1）求出原函数的导函数，求出函数取x=1时的导数值及f（1），由直线方程的点斜式写出切线方程； （2）求出原函数的导函数，分a≤0，0＜a＜1，a≥1三种情况求\|f（x）\|的最大值．特别当0＜a＜1时，仍需要利用导数求函数在区间（0，2）上的极值，然后在根据a的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小． 【解答】解：（1）因为f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3，所以f′（x）=3x2﹣6x+3a， 故f′（1）=3a﹣3，又f（1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a﹣3）x﹣3a+4； （2）由于f′（x）=3（x﹣1）2+3（a﹣1），0≤x≤2． 故当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在\[0，2\]上单调递减，故 \|f（x）\|max=max{\|f（0）\|，\|f（2）\|}=3﹣3a． 当a≥1时，有f′（x）≥0，此时f（x）在\[0，2\]上单调递增，故 \|f（x）\|max=max{\|f（0）\|，\|f（2）\|}=3a﹣1． 当0＜a＜1时，由3（x﹣1）2+3（a﹣1）=0，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14809.png){width="0.84375in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14810.png){width="0.84375in" height="0.22916666666666666in"}． 所以，当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； 当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减； 当x∈（x2，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增． 所以函数f（x）的极大值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14811.png){width="1.6145833333333333in" height="0.22916666666666666in"}，极小值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14812.png){width="1.6145833333333333in" height="0.22916666666666666in"}． 故f（x1）+f（x2）=2＞0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14813.png){width="2.2604166666666665in" height="0.23958333333333334in"}． 从而f（x1）＞\|f（x2）\|． 所以\|f（x）\|max=max{f（0），\|f（2）\|，f（x1）}． 当0＜a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14814.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，f（0）＞\|f（2）\|． 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14815.png){width="2.46875in" height="0.22916666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14816.png){width="1.6354166666666667in" height="0.4479166666666667in"} 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14817.png){width="2.4583333333333335in" height="0.22916666666666666in"}． 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14818.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}时，\|f（2）\|=f（2），且f（2）≥f（0）． 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14819.png){width="2.6354166666666665in" height="0.22916666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14820.png){width="1.3645833333333333in" height="0.4479166666666667in"}． 所以当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14821.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3645833333333333in"}时，f（x1）＞\|f（2）\|． 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14822.png){width="2.2916666666666665in" height="0.22916666666666666in"}． 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14823.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}时，f（x1）≤\|f（2）\|． 故f（x）max=\|f（2）\|=3a﹣1． 综上所述\|f（x）\|max=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14824.png){width="1.9895833333333333in" height="1.0520833333333333in"}． 【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，正确的分类是解答（2）的关键，此题属于难题． 　 2013年浙江省高考数学试卷（文科） ================================ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合S={x\|x＞﹣2}，T={x\|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（　　） A．\[﹣4，+∞） B．（﹣2，+∞） C．\[﹣4，1\] D．（﹣2，1\] 【分析】找出两集合解集的公共部分，即可求出交集． 【解答】解：∵集合S={x\|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x\|﹣4≤x≤1}=\[﹣4，1\]， ∴S∩T=（﹣2，1\]． 故选：D． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 2．（5分）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（　　） A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i 【分析】直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式． 【解答】解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i． 故选：C． 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力． 　 3．（5分）若α∈R，则"α=0"是"sinα＜cosα"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】当"α=0"可以得到"sinα＜cosα"，当"sinα＜cosα"时，不一定得到"α=0"，得到"α=0"是"sinα＜cosα"的充分不必要条件． 【解答】解：∵"α=0"可以得到"sinα＜cosα"， 当"sinα＜cosα"时，不一定得到"α=0"，如α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14825.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}等， ∴"α=0"是"sinα＜cosα"的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，要求掌握好判断的方法． 　 4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β 【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误． 【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确； B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确； C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确． D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确； 故选：C． 【点评】本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力． 　 5．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14826.png){width="1.8333333333333333in" height="2.1458333333333335in"} A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3 【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积． 【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）． ∴该几何体的体积V=6×6×3﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14827.png){width="1.1145833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=100． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14828.png){width="1.71875in" height="1.8229166666666667in"} 【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键． 　 6．（5分）函数f（x）=sinxcosx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14829.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}cos2x的最小正周期和振幅分别是（　　） A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2 【分析】f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可． 【解答】解：f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14830.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sin2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14829.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}cos2x=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14831.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， ∵﹣1≤sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14831.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）≤1，∴振幅为1， ∵ω=2，∴T=π． 故选：A． 【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键． 　 7．（5分）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（　　） A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0 【分析】由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b变为关于a的不等式可得a＞0． 【解答】解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c， 所以4a+b=0； 又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c， 所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的性质及不等式，属基础题． 　 8．（5分）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14832.png){width="1.2395833333333333in" height="1.1354166666666667in"} A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14833.png){width="1.15625in" height="1.1354166666666667in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14834.png){width="1.15625in" height="1.1354166666666667in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14835.png){width="1.1770833333333333in" height="1.1354166666666667in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14836.png){width="1.15625in" height="1.1354166666666667in"} 【分析】根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项． 【解答】解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在\[﹣1，0\]上的逐渐增大， 故函数f（x）在\[﹣1，0\]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的． 导函数f′（x）的值在\[0，1\]上的逐渐减小， 故函数f（x）在\[0，1\]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的， 故选：B． 【点评】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题． 　 9．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14837.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14838.png){width="2.0208333333333335in" height="1.3958333333333333in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14839.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14840.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14841.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14842.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】不妨设\|AF1\|=x，\|AF2\|=y，依题意![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14843.png){width="0.84375in" height="0.4791666666666667in"}，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率． 【解答】解：设\|AF1\|=x，\|AF2\|=y，∵点A为椭圆C1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14844.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+y2=1上的点， ∴2a=4，b=1，c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14840.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； ∴\|AF1\|+\|AF2\|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF1BF2为矩形， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14845.png){width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14846.png){width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14847.png){width="0.6875in" height="0.3333333333333333in"}，即x2+y2=（2c）2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14848.png){width="0.59375in" height="0.25in"}=12，② 由①②得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14849.png){width="0.84375in" height="0.4791666666666667in"}，解得x=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14850.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，y=2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14850.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n， 则2m=\|AF2\|﹣\|AF1\|=y﹣x=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14851.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，2n=2c=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14852.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴双曲线C2的离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14853.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14854.png){width="0.23958333333333334in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14855.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 故选：D． 【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得\|AF1\|与\|AF2\|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题． 　 10．（5分）设a，b∈R，定义运算"∧"和"∨"如下： a∧b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14856.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"} a∨b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14857.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"} 若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（　　） A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2 【分析】依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可． 【解答】解：∵a∧b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14856.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，a∨b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14857.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}， 正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4， ∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B； 再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D； 故选：C． 【点评】本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题． 　 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11．（4分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14858.png){width="0.375in" height="0.1875in"}，若f（a）=3，则实数a=　10　． 【分析】利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可． 【解答】解：因为函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14858.png){width="0.375in" height="0.1875in"}，又f（a）=3， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14859.png){width="0.5625in" height="0.1875in"}，解得a=10． 故答案为：10． 【点评】本题考查函数解析式与函数值的应用，考查计算能力． 　 12．（4分）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14860.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】由组合数可知：从6名学生中任选2名共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14861.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=15种情况，2名都是女同学的共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14862.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案． 【解答】解：从6名学生中任选2名共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14863.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=15种情况， 满足2名都是女同学的共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14862.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=3种情况， 故所求的概率为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14864.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14865.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14865.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题． 　 13．（4分）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于　4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14866.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}　． 【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可． 【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5， 圆心到直线的距离为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14867.png){width="1.1979166666666667in" height="0.4479166666666667in"}， 因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理， 所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14868.png){width="0.8854166666666666in" height="0.2708333333333333in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14866.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14866.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查转化思想与计算能力． 　 14．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14869.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14870.png){width="1.21875in" height="3.511111111111111in"} 【分析】由题意可知，该程序的作用是求解S=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14871.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14872.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14873.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14874.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}的值，然后利用裂项求和即可求解． 【解答】解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14875.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14876.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14873.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14874.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}的值． 而S=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14875.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14876.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14877.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14878.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} =1+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14879.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14879.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14880.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14880.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14881.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14881.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14882.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14883.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14883.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能． 　 15．（4分）设z=kx+y，其中实数x、y满足 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14884.png){width="0.875in" height="0.6458333333333334in"} 若z的最大值为12，则实数k=　2　． 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移．经讨论可得当当k＜0时，找不出实数k的值使z的最大值为12；当k≥0时，结合图形可得：当l经过点C时，zmax=F（4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本题答案． 【解答】解：作出不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14884.png){width="0.875in" height="0.6458333333333334in"}表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部， 其中A（2，0），B（2，3），C（4，4） 设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得 ①当k＜0时，直线l的斜率﹣k＞0， 由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值， 此时，zmax=F（2，3）=2k+3或zmax=F（4，4）=4k+4 但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值为12， 故此种情况不符合题意； ②当k≥0时，直线l的斜率﹣k≤0， 由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值 此时zmax=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意 综上所述，实数k的值为2 故答案为：2 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14885.png){width="1.8229166666666667in" height="1.6666666666666667in"} 【点评】本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=kx+y的最大值为12的情况下求参数k的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 　 16．（4分）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于　﹣1　． 【分析】由题意，x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，考察（x2﹣1）2，发现当x=1时，其值为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，再令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（x）≥0在x≥0恒成立，利用导数研究函数在x≥0的极值，即可得出参数所满足的另一个方程，由此解出参数a，b的值，问题即可得解． 【解答】解：验证发现， 当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0， 当x=0时，可得0≤b≤1，结合a+b=0可得﹣1≤a≤0， 令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（1）=a+b=0， 又f′（x）=4x3﹣3x2+a，f′′（x）=12x2﹣6x， 令f′′（x）＞0，可得x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14886.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则f′（x）=4x3﹣3x2+a在\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14886.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]上减，在\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14886.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）上增， 又﹣1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0， 又x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x4﹣x3+ax+b的极小值点，也是最小值点． 故有f′（1）=1+a=0，由此得a=﹣1，b=1， 故ab=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查函数恒成立的最值问题及导数综合运用题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，及极值的确定，将问题灵活转化是解题的关键． 　 17．（4分）设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14887.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14888.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}为单位向量，非零向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14889.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14887.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+y![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14888.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，x、y∈R．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14887.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14888.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}的夹角为30°，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14890.png){width="0.34375in" height="0.40625in"}的最大值等于　2　． 【分析】由题意求得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14891.png){width="0.4895833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14892.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14893.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14894.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2916666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14895.png){width="1.0729166666666667in" height="0.2708333333333333in"}，从而可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14896.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14897.png){width="1.1041666666666667in" height="0.46875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14898.png){width="1.1041666666666667in" height="0.5208333333333334in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14899.png){width="1.15625in" height="0.6666666666666666in"}，再利用二次函数的性质求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14900.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}的最大值． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14901.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14902.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"} 为单位向量，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14903.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14902.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}的夹角等于30°，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14904.png){width="0.4895833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=1×1×cos30°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14905.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ∵非零向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14906.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14903.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+y![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14907.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，∴\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14908.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14909.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2916666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14910.png){width="1.4166666666666667in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14911.png){width="1.0729166666666667in" height="0.2708333333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14912.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14913.png){width="1.1041666666666667in" height="0.46875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14914.png){width="1.1041666666666667in" height="0.5208333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14915.png){width="1.2916666666666667in" height="0.65625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14916.png){width="1.15625in" height="0.6666666666666666in"}， 故当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14917.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14918.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14919.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}取得最大值为2， 故答案为 2． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题． 　 三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14920.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积． 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数； （Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积． 【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14920.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b，利用正弦定理得：2sinAsinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14920.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinB， ∵sinB≠0，∴sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14921.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 又A为锐角， 则A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14922.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； （Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc， ∴bc=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14923.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，又sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14921.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 则S△ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14924.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}bcsinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14925.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 　 19．（14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列． （Ⅰ）求d，an； （Ⅱ）若d＜0，求\|a1\|+\|a2\|+\|a3\|+...+\|an\|． 【分析】（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式an可求； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{an}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时\|a1\|+\|a2\|+\|a3\|+...+\|an\|的和． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14926.png){width="1.4375in" height="0.28125in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14927.png){width="2.1041666666666665in" height="0.28125in"}，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4． 当d=﹣1时，an=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11． 当d=4时，an=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6． 所以an=﹣n+11或an=4n+6； （Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，an=﹣n+11． 则当n≤11时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14928.png){width="3.2604166666666665in" height="0.3645833333333333in"}． 当n≥12时，\|a1\|+\|a2\|+\|a3\|+...+\|an\|=﹣Sn+2S11=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14929.png){width="1.09375in" height="0.3645833333333333in"}． 综上所述， \|a1\|+\|a2\|+\|a3\|+...+\|an\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14930.png){width="1.78125in" height="0.7916666666666666in"}． 【点评】本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题． 　 20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14931.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，PA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14932.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∠ABC=120°，G为线段PC上的点． （Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC； （Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与平面PAC所成的角的正切值； （Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14933.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}的值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14934.png){width="1.8958333333333333in" height="2.0833333333333335in"} 【分析】（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC． （Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值． （Ⅲ）先证 PC⊥OG，且 PC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14935.png){width="0.7395833333333334in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14936.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}．由△COG∽△CAP，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14937.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，解得GC的值，可得PG =PC﹣GC 的值，从而求得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14938.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 的值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD． ∵AB=BC=2，AD=CD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14939.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC． 而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC． （Ⅱ）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14940.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD， ∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角． 由题意可得，GO=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14940.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}PA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14941.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． △ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12， ∴AC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14942.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，OC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14942.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． ∵直角三角形COD中，OD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14943.png){width="0.7395833333333334in" height="0.25in"}=2， ∴直角三角形GOD中，tan∠DGO=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14944.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14945.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且 PC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14946.png){width="0.7395833333333334in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14947.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}． 由△COG∽△CPA，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14948.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14949.png){width="0.7708333333333334in" height="0.40625in"}，解得GC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14950.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}， ∴PG=PC﹣GC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14951.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14952.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14953.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14954.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14955.png){width="0.4583333333333333in" height="0.8020833333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14956.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题． 　 21．（15分）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax （Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）若\|a\|＞1，求f（x）在闭区间\[0，\|2a\|\]上的最小值． 【分析】（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2﹣12x+6，所以f′（2）=6 ∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8； （Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间\[0，\|2a\|\]上的最小值． f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a） 令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a 当a＞1时， +---------+---+----------+-------------+----------+------------+-----------+-----+ | x | 0 | （0，1） | 1 | （1，a） | a | （a，2a） | 2a | +---------+---+----------+-------------+----------+------------+-----------+-----+ | f′（x） | | \+ | 0 | ﹣ | 0 | \+ | | +---------+---+----------+-------------+----------+------------+-----------+-----+ | f（x） | 0 | 单调递增 | 极大值3a﹣1 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 4a3 | | | | | | | | | | | | | | | | a2（3﹣a） | | | +---------+---+----------+-------------+----------+------------+-----------+-----+ 比较f（0）=0和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14957.png){width="1.2395833333333333in" height="0.4895833333333333in"}； 当a＜﹣1时， -------- --- ---------- ------------- ------------- -------------- X 0 （0，1） 1 （1，﹣2a） ﹣2a f′x） ﹣ 0 \+ f（x） 0 单调递减 极小值3a﹣1 单调递增 ﹣28a3﹣24a2 -------- --- ---------- ------------- ------------- -------------- ∴g（a）=3a﹣1 ∴f（x）在闭区间\[0，\|2a\|\]上的最小值为g（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14958.png){width="1.2395833333333333in" height="0.7395833333333334in"}． 【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 　 22．（14分）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1） （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求\|MN\|的最小值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14959.png){width="2.823611111111111in" height="2.2916666666666665in"} 【分析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程； （II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出\|MN\|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值． 【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14960.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y （II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14961.png){width="0.625in" height="0.46875in"}消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0， 所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有\|x1﹣x2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14962.png){width="1.4583333333333333in" height="0.3020833333333333in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14963.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14964.png){width="0.625in" height="0.7291666666666666in"}解得点M的横坐标为xM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14965.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4895833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14966.png){width="0.75in" height="0.7291666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14967.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}， 同理可得点N的横坐标为xN=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14968.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}， 所以\|MN\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14969.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\|xM﹣xN\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14969.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14970.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14971.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}\|=8![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14969.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14972.png){width="1.5104166666666667in" height="0.4791666666666667in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14973.png){width="0.8333333333333334in" height="0.4479166666666667in"}， 令4k﹣3=t，t≠0，则k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14974.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 当t＞0时，\|MN\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14975.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14976.png){width="0.7604166666666666in" height="0.4479166666666667in"}＞2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14975.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 当t＜0时，\|MN\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14977.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14978.png){width="0.7604166666666666in" height="0.4479166666666667in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14977.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14979.png){width="1.1041666666666667in" height="0.3854166666666667in"}≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14980.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 综上所述，当t=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14981.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，即k=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14982.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，\|MN\|的最小值是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14983.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用． 2013年重庆市高考数学试卷（理科） ================================ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（　　） A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4} 【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合． 【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}， ∴A∪B={1，2，3}， ∵全集U={1，2，3，4}， ∴∁U（A∪B）={4}． 故选：D． 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 　 2．（5分）命题"对任意x∈R，都有x2≥0"的否定为（　　） A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0 C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题"对任意x∈R，都有x2≥0"的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0． 故选：D． 【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查． 　 3．（5分）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14984.png){width="0.9583333333333334in" height="0.1875in"}（﹣6≤a≤3）的最大值为（　　） A．9 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14985.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．3 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14986.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14987.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14988.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，而且﹣6≤a≤3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值， 即可得到所求式子的最大值． 【解答】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14989.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14988.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，而且﹣6≤a≤3， 由此可得当a=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14990.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，函数f（a）取得最大值为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14988.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14991.png){width="0.9583333333333334in" height="0.1875in"}（﹣6≤a≤3）的最大值为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14992.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14993.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题． 　 4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14994.png){width="1.3854166666666667in" height="0.8541666666666666in"} A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8 【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可． 【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8； ∴y=8； 甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15， ∴x=5． 故选：C． 【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数． 　 5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14995.png){width="2.3645833333333335in" height="1.875in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14996.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14997.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} C．200 D．240 【分析】如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积． 【解答】解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image14998.png){width="1.78125in" height="1.71875in"} 由图知V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14999.png){width="1.0729166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=200． 故选：C． 【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键． 　 6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（　　） A．（a，b）和（b，c）内 B．（﹣∞，a）和（a，b）内 C．（b，c）和（c，+∞）内 D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内 【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出． 【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0， 由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点； 又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点， 因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内． 故选：A． 【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键． 　 7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则\|PM\|+\|PN\|的最小值为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15000.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}﹣1 B．5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15001.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣4 C．6﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15001.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15000.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} 【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出\|PM\|+\|PN\|的最小值． 【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1， 圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3， 由图象可知当P，M，N，三点共线时，\|PM\|+\|PN\|取得最小值， \|PM\|+\|PN\|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和， 即：\|AC2\|﹣3﹣1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15002.png){width="1.3645833333333333in" height="0.25in"}﹣4=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15003.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}﹣4=5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15004.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣4． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15005.png){width="1.9895833333333333in" height="2.5840277777777776in"} 【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力． 　 8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15006.png){width="1.6145833333333333in" height="3.7090277777777776in"} A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9 【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件． 【解答】解：根据程序框图，运行结果如下： S k 第一次循环 log23 3 第二次循环 log23•log34 4 第三次循环 log23•log34•log45 5 第四次循环 log23•log34•log45•log56 6 第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7 第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8 故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7． 故选：B． 【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题． 　 9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15007.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15008.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15009.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15007.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣1 【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果． 【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15010.png){width="1.96875in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15011.png){width="1.96875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15012.png){width="2.46875in" height="0.5833333333333334in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15013.png){width="1.6979166666666667in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15014.png){width="1.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15015.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故选：C． 【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 　 10．（5分）在平面上，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15016.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15017.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15018.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15019.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}\|=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15020.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15021.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15017.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}．若\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15022.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15023.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15024.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|的取值范围是（　　） A．（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15025.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\] B．（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15025.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15026.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\] C．（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15025.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15027.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\] D．（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15026.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15027.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\] 【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论． 【解答】解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设\|AB1\|=a，\|AB2\|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15028.png){width="1.0729166666666667in" height="0.2708333333333333in"}=1，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15029.png){width="1.1354166666666667in" height="0.5208333333333334in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15030.png){width="1.09375in" height="0.53125in"} ∵\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15031.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15032.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15033.png){width="1.5in" height="0.3645833333333333in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15034.png){width="1.1666666666666667in" height="0.3645833333333333in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15035.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"} ∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1， ∴y2≤1 同理x2≤1 ∴x2+y2≤2② 由①②知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15036.png){width="1.0833333333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∵\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15037.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15038.png){width="0.59375in" height="0.2604166666666667in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15039.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}＜\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15040.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15041.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15042.png){width="1.2291666666666667in" height="1.1875in"} 【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题． 　 二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上． 11．（5分）已知复数z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15043.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}（i是虚数单位），则\|z\|=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15044.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}　． 【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果． 【解答】解：\|z\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15045.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15046.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15044.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15044.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力． 　 12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=　64　． 【分析】依题意，a1=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15047.png){width="0.6354166666666666in" height="0.28125in"}=a1•（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案． 【解答】解：∵{an}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15047.png){width="0.6354166666666666in" height="0.28125in"}=a1•（a1+4d），又a1=1， ∴d2﹣2d=0，公差d≠0， ∴d=2． ∴其前8项和S8=8a1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15048.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}×d=8+56=64． 故答案为：64． 【点评】本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题． 　 13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是　590　（用数字作答）． 【分析】不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，...，在每一类中都用分步计数原理解答． 【解答】解：直接法：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51=20种， 1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51=60种， 1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53=120种， 2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51=90种， 1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52=180种， 2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52=120种， 共计20+60+120+90+180+120=590种 间接法： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15049.png){width="0.2604166666666667in" height="0.28125in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15050.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15051.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15052.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+1=590 故答案为：590． 【点评】本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步． 　 14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分： 14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为　5　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15053.png){width="0.9375in" height="0.9166666666666666in"} 【分析】利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE•DB，即可得出DE． 【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB•sin60°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15054.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}． ∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°． 在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15055.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}，BD=BC•sin60°=15． 由切割线定理可得CD2=DE•DB，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15056.png){width="1.03125in" height="0.25in"}，解得DE=5． 故答案为5． 【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键． 　 15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15057.png){width="0.4895833333333333in" height="0.5104166666666666in"}（t为参数）相交于A，B两点，则\|AB\|=　16　． 【分析】先将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程，再代入曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15057.png){width="0.4895833333333333in" height="0.5104166666666666in"}（t为参数）中得A，B两点的直角坐标，最后利用两点间的距离公式即可得出\|AB\|． 【解答】解：将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程为x=4，代入曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15057.png){width="0.4895833333333333in" height="0.5104166666666666in"}（t为参数）中得A，B两点的直角坐标为（4，8），（4，﹣8）， 则\|AB\|=16． 故答案为：16． 【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化，两点间的距离公式，考查转化、计算能力． 　 16．若关于实数x的不等式\|x﹣5\|+\|x+3\|＜a无解，则实数a的取值范围是　（﹣∞，8\]　． 【分析】利用绝对值的意义求得\|x﹣5\|+\|x+3\|最小值为8，由此可得实数a的取值范围． 【解答】解：由于\|x﹣5\|+\|x+3\|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8， 再由关于实数x的不等式\|x﹣5\|+\|x+3\|＜a无解，可得a≤8， 故答案为：（﹣∞，8\]． 【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求得\|x﹣5\|+\|x+3\|最小值为8，是解题的关键，属于中档题． 　 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）． （1）确定a的值； （2）求函数f（x）的单调区间与极值． 【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可； （2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值． 【解答】解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15058.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，（x＞0）， 令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a， ∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1）， 由切线与y轴相交于点（0，6）． ∴6﹣16a=8a﹣6， ∴a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15059.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （2）由（I）得f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15059.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（x﹣5）2+6lnx，（x＞0）， f′（x）=（x﹣5）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15060.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15061.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，令f′（x）=0，得x=2或x=3， 当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数， 当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数， 故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15062.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3． 【点评】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题． 　 18．（13分）某商场举行的"三色球"购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下： -------- ------------------ ---------- 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖 2红1蓝 10元 -------- ------------------ ---------- 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． （1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； （2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）． 【分析】（1）从7个小球中取3的取法为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15063.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}，若取一个红球，则说明第一次取到一红2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求 （2）先判断随机变量X的所有可能取值为200，50，10，0根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值 【解答】解：（1）设Ai表示摸到i个红球，Bi表示摸到i个蓝球，则Ai与Bi相互独立（i=0，1，2，3） ∴P（A1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15064.png){width="0.4166666666666667in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15065.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} （2）X的所有可能取值为0，10，50，200 P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15066.png){width="0.9479166666666666in" height="0.3645833333333333in"} P（X=50）=P（A3）P（B0）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15067.png){width="0.46875in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15068.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} P（X=10）=P（A2）P（B1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15069.png){width="0.65625in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15070.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} P（X=0）=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15071.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15072.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ∴X的分布列为 --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x 0 10 50 200 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15072.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15070.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15073.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15074.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- EX=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15075.png){width="2.625in" height="0.3645833333333333in"}=4元 【点评】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力． 　 19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15076.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，F为PC的中点，AF⊥PB． （1）求PA的长； （2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15077.png){width="1.4895833333333333in" height="1.8229166666666667in"} 【分析】（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用"三线合一"证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15078.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，从而得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15079.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，0，﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15078.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），可得PA的长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15078.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； （II）由（I）的计算，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15080.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15078.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，3，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15081.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15082.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，3，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15083.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15082.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15084.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（3，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15082.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，﹣2）和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15085.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（3，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15082.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15084.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15086.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．． 【解答】解：（I）如图，连接BD交AC于点O ∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD 以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴， 建立空间直角坐标系O﹣xyz， 则OC=CDcos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15087.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3． 又∵OD=CDsin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15087.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15088.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴可得A（0，﹣3，0），B（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15088.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0，0），C（0，1，0），D（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15088.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0，0） 由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z） ∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15089.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），由此可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15090.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15091.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15092.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15093.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，3，﹣z），且AF⊥PB， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15094.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15092.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=6﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15095.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}=0，解之得z=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15093.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}（舍负） 因此，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15096.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，0，﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15097.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），可得PA的长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15097.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； （II）由（I）知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15098.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15097.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，3，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15099.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15097.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，3，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15100.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15101.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）， 设平面FAD的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15102.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x1，y1，z1），平面FAB的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15103.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x2，y2，z2）， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15102.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15104.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=0且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15102.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15105.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=0，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15106.png){width="1.1770833333333333in" height="0.53125in"}，取y1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15107.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15108.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（3，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15107.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，﹣2）， 同理，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15109.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15110.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=0且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15109.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15111.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=0，解出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15112.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（3，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15113.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，2）， ∴向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15114.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15112.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角余弦值为cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15114.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15112.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15115.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15116.png){width="2.0104166666666665in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15117.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15118.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15119.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15120.png){width="1.9166666666666667in" height="2.2083333333333335in"} 【点评】本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题． 　 20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15121.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}ab=c2． （1）求C； （2）设cosAcosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15122.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15123.png){width="1.5520833333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15124.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，求tanα的值． 【分析】（1）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数； （2）已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，利用多项式乘多项式法则计算，由A+B的度数求出sin（A+B）的值，进而求出cos（A+B）的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+B），将cosAcosB的值代入求出sinAsinB的值，将各自的值代入得到tanα的方程，求出方程的解即可得到tanα的值． 【解答】解：（1）∵a2+b2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15125.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}ab=c2，即a2+b2﹣c2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15125.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}ab， ∴由余弦定理得：cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15126.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15127.png){width="0.53125in" height="0.3854166666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15128.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 又C为三角形的内角， 则C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15129.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}； （2）由题意![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15130.png){width="1.5520833333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15131.png){width="3.5520833333333335in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15132.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴（cosA﹣tanαsinA）（cosB﹣tanαsinB）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15132.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 即tan2αsinAsinB﹣tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin（A+B）+cosAcosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15132.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∵C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15133.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，A+B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15134.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，cosAcosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15135.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∴sin（A+B）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15136.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15135.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}﹣sinAsinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15136.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，即sinAsinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15137.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15138.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}tan2α﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15139.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}tanα+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15140.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15141.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，即tan2α﹣5tanα+4=0， 解得：tanα=1或tanα=4． 【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 　 21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15142.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，\|AA′\|=4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程； （Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P\'Q，求圆Q的标准方程． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15143.png){width="1.4479166666666667in" height="1.1770833333333333in"} 【分析】（Ⅰ）利用点A（﹣c，2）在椭圆上，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程； （Ⅱ）设出圆Q的圆心坐标及半径，由PQ⊥P\'Q得到P的坐标，写出圆的方程后和椭圆联立，化为关于x的二次方程后由判别式等于0得到关于t与r的方程，把P点坐标代入椭圆方程得到关于t与r的另一方程，联立可求出t与r的值，经验证满足椭圆上的其余点均在圆Q外，结合对称性即可求得圆Q的标准方程． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15144.png){width="1.0104166666666667in" height="0.4791666666666667in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15145.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4791666666666667in"}① ∵离心率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15146.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15147.png){width="1.09375in" height="0.4791666666666667in"}② 联立①②得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15148.png){width="0.46875in" height="0.4270833333333333in"}，所以b2=8． 把b2=8代入②得，a2=16． ∴椭圆的标准方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15149.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}； （Ⅱ）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）2+y2=r2， 不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P\'Q，则P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15150.png){width="1.0416666666666667in" height="0.3854166666666667in"}）（t＞0）． 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15151.png){width="1.25in" height="0.7291666666666666in"}，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0． 由△=（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8 又P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15150.png){width="1.0416666666666667in" height="0.3854166666666667in"}）在椭圆上，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15152.png){width="1.8020833333333333in" height="0.5833333333333334in"}． 整理得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15153.png){width="0.7395833333333334in" height="0.5833333333333334in"}． 代入t2+r2=8，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15154.png){width="1.3125in" height="0.625in"}． 解得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15155.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}．所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15156.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15157.png){width="0.53125in" height="0.3854166666666667in"}． 此时![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15158.png){width="1.4166666666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 满足椭圆上的其余点均在圆Q外． 由对称性可知，当t＜0时，t=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15159.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15160.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 故所求圆Q的标准方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15161.png){width="1.5104166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 22．（12分）对正整数n，记In={1，2，3...，n}，Pn={![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15162.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\|m∈In，k∈In}． （1）求集合P7中元素的个数； （2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为"稀疏集"．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集． 【分析】（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，根据Pn中有3个数与In={1，2，3...，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数． （2）先用反证法证明证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P14满足要求，从而求得n的最大值． 【解答】解：（1）对于集合P7 ，有n=7． 当k=1时，m=1，2，3...，7，Pn={1，2，3...，7}，7个数， 当k=2时，m=1，2，3...，7，Pn对应有7个数， 当k=3时，m=1，2，3...，7，Pn对应有7个数， 当k=4时，Pn={![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15162.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\|m∈In，k∈In}=Pn={![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15163.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15164.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15165.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，3，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15166.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}}中有3个数（1，2，3） 与k=1时Pn中的数重复， 当k=5时，m=1，2，3...，7，Pn对应有7个数， 当k=6时，m=1，2，3...，7，Pn对应有7个数， 当k=7时，m=1，2，3...，7，Pn对应有7个数， 由此求得集合P7中元素的个数为 7×7﹣3=46． （2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当n≥15时， Pn可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In ． 不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A， 但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾． 再证P14满足要求．当k=1时，P14={![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15167.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集． 事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}， 则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14． 当k=4时，集合{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15167.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15168.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15169.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15170.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，...，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15171.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}}， 可以分为下列3个稀疏集的并： A2={![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15172.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15173.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15174.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15175.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}}，B2={![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15176.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15177.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15178.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}}． 当k=9时，集合{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15179.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15180.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15181.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15182.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15183.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，...，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15184.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15185.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}}， 可以分为下列3个稀疏集的并： A3={![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15186.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15187.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15188.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15189.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15190.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}}，B3={![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15191.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15192.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15193.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15194.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15195.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}}． 最后，集合C═{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15196.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数， 它与Pn中的任何其他数之和都不是整数， 因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14． 综上可得，n的最大值为14． 【点评】本题主要考查新定义，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 　 2013年重庆市高考数学试卷（文科） ================================ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（　　） A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4} 【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合． 【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}， ∴A∪B={1，2，3}， ∵全集U={1，2，3，4}， ∴∁U（A∪B）={4}． 故选：D． 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 　 2．（5分）命题"对任意x∈R，都有x2≥0"的否定为（　　） A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．对任意x∈R，使得x2＜0 C．存在x0∈R，都有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15197.png){width="0.46875in" height="0.28125in"} D．不存在x∈R，使得x2＜0 【分析】根据全称命题"∀x∈M，p（x）"的否定为特称命题："∃x0∈M，￢p（x）"即可得出． 【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得： 命题"对任意x∈R，都有x2≥0"的否定为"∃x0∈R，使得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15198.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}"． 故选：A． 【点评】熟练掌握全称命题"∀x∈M，p（x）"的否定为特称命题"∃x0∈M，￢p（x）"是解题的关键． 　 3．（5分）函数y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15199.png){width="0.8333333333333334in" height="0.4375in"}的定义域为（　　） A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（2，3）∪（3，+∞） D．（2，4）∪（4，+∞） 【分析】根据"让解析式有意义"的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之即可． 【解答】解：要使原函数有意义，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15200.png){width="1.1770833333333333in" height="0.4895833333333333in"}， 解得：2＜x＜3，或x＞3 所以原函数的定义域为（2，3）∪（3，+∞）． 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据"让解析式有意义"的原则，属于基础题． 　 4．（5分）设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则\|PQ\|的最小值为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【分析】过圆心A作AQ⊥直线x=﹣3，与圆交于点P，此时\|PQ\|最小，由此能求出\|PQ\|的最小值． 【解答】解：过圆心A作AQ⊥直线x=﹣3， 与圆交于点P，此时\|PQ\|最小， 由圆的方程得到A（3，﹣1），半径r=2， 则\|PQ\|=\|AQ\|﹣r=6﹣2=4． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15201.png){width="2.0729166666666665in" height="1.7395833333333333in"} 【点评】本题考查线段的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用． 　 5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15202.png){width="1.7708333333333333in" height="3.761111111111111in"} A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15203.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时满足条件a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15204.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，退出循环，输出k的值为4． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 k=0，a=3，q=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15205.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15206.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，k=1 不满足条件a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15204.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15207.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，k=2 不满足条件a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15208.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15209.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，k=3 不满足条件a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15208.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15210.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k=4 满足条件a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15208.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，退出循环，输出k的值为4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 　 6．（5分）如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间\[22，30）内的概率为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15211.png){width="1.625in" height="1.1666666666666667in"} A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【分析】由茎叶图10个原始数据数据，数出落在区间\[22，30）内的个数，由古典概型的概率公式可得答案． 【解答】解：由茎叶图10个原始数据，数据落在区间\[22，30）内的共有4个，包括2个22，1个27，1个29，则数据落在区间\[22，30）内的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15212.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=0.4． 故选：B． 【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及茎叶图的应用，属基础题． 　 7．（5分）关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2﹣x1=15，则a=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15213.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15214.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15215.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15216.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式，然后与已知条件化简求解a的值即可． 【解答】解：因为关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2）， 所以x1+x2=2a...①， x1•x2=﹣8a2...②， 又x2﹣x1=15...③， ①2﹣4×②可得（x2﹣x1）2=36a2，代入③可得，152=36a2，解得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15217.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15218.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 因为a＞0，所以a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15213.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：A． 【点评】本题考查二次不等式的解法，韦达定理的应用，考查计算能力． 　 8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15219.png){width="2.854861111111111in" height="2.0833333333333335in"} A．180 B．200 C．220 D．240 【分析】由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4；据此可求出该几何体的表面积． 【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10； 其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4． ∴S表面积=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15220.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×（2+8）×4+2×5×10+2×10+8×10=240． 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15221.png){width="1.6875in" height="1.5in"} 【点评】本题考查由三视图还原直观图，由三视图求面积、体积，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键． 　 9．（5分）已知函数f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log210））=5，则f（lg（lg2））=（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．4 【分析】由题设条件可得出lg（log210）与lg（lg2）互为相反数，再引入g（x）=ax3+bsinx，使得f（x）=g（x）+4，利用奇函数的性质即可得到关于f（lg（lg2））的方程，解方程即可得出它的值 【解答】解：∵lg（log210）+lg（lg2）=lg1=0， ∴lg（log210）与lg（lg2）互为相反数 则设lg（log210）=m，那么lg（lg2）=﹣m 令f（x）=g（x）+4，即g（x）=ax3+bsinx，此函数是一个奇函数，故g（﹣m）=﹣g（m）， ∴f（m）=g（m）+4=5，g（m）=1 ∴f（﹣m）=g（﹣m）+4=﹣g（m）+4=3． 故选：C． 【点评】本题考查函数奇偶性的运用及求函数的值，解题的关键是观察验证出lg（log210）与lg（lg2）互为相反数，审题时找准处理条件的方向对准确快速做题很重要 　 10．（5分）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使\|A1B1\|=\|A2B2\|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15222.png){width="0.8020833333333334in" height="0.3854166666666667in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15223.png){width="0.8020833333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15224.png){width="0.96875in" height="0.3854166666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15225.png){width="0.96875in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】不妨令双曲线的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15226.png){width="1.7395833333333333in" height="0.4895833333333333in"}，由\|A1B1\|=\|A2B2\|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，由满足条件的直线只有一对，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15227.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，由此能求出双曲线的离心率的范围． 【解答】解：不妨令双曲线的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15226.png){width="1.7395833333333333in" height="0.4895833333333333in"}， 由\|A1B1\|=\|A2B2\|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图， 又∵满足条件的直线只有一对， 当直线与x轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x轴夹角大于30°， 双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2， 若双曲线的渐近线与x轴夹角等于30°，则无交点， 则不可能存在\|A1B1\|=\|A2B2\|， 当直线与x轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x轴夹角大于60°， 双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2， 若双曲线的渐近线与x轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线， 但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意， ∴tan30°![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15228.png){width="1.09375in" height="0.3645833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15229.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15230.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4791666666666667in"}， ∵b2=c2﹣a2，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15231.png){width="1.1145833333333333in" height="0.4791666666666667in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15232.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15233.png){width="0.8645833333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴双曲线的离心率的范围是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15234.png){width="0.8020833333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15235.png){width="1.5520833333333333in" height="1.9895833333333333in"} 【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件． 　 二．填空题：本大题共5小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11．（5分）已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则\|z\|=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15236.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}　． 【分析】直接利用复数的模的求法公式，求解即可． 【解答】解：复数z=1+2i（i是虚数单位），则\|z\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15237.png){width="0.59375in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15238.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15238.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力． 　 12．（5分）若2、a、b、c、9成等差数列，则c﹣a=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15239.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】由等差数列的性质可得2b=2+9，解之可得b值，再由等差中项可得a，c的值，作差即可得答案． 【解答】解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15240.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 又可得2a=2+b=2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15240.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15241.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，解之可得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15242.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 同理可得2c=9+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15243.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15244.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，解得c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15245.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 故c﹣a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15245.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15242.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15246.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15247.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15247.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题． 　 13．（5分）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15248.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】甲、乙两人相邻，可以把两个元素看做一个元素同其他元素进行排列，然后代入古典概率的求解公式即可求解 【解答】解：记甲、乙两人相邻而站为事件A 甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15249.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=6， 则甲、乙两人相邻而站，把甲和乙当做一个整体，甲和乙的排列有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15250.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}种，然后把甲乙整体和丙进行排列，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15250.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}种，因此共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15251.png){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}=4种站法 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15252.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15248.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15253.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题及古典概率的求解，本题解题的关键是把相邻的问题作为一个元素同其他的元素进行排列，本题是一个基础题． 　 14．（5分）OA为边，OB为对角线的矩形中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15254.png){width="0.875in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15255.png){width="0.875in" height="0.22916666666666666in"}，则实数k=　4　． 【分析】由题意可得OA⊥AB，故有 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15256.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0，即 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15257.png){width="0.9583333333333334in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15258.png){width="0.8645833333333334in" height="0.2708333333333333in"}=0，解方程求得k的值． 【解答】解：由于OA为边，OB为对角线的矩形中，OA⊥AB，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15259.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0， 即 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15260.png){width="0.9583333333333334in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15258.png){width="0.8645833333333334in" height="0.2708333333333333in"}=（﹣3，1）•（﹣2，k）﹣10=6+k﹣10=0， 解得k=4， 故答案为 4． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量垂直的性质，两个向量的加减法及其几何意义，属于基础题． 　 15．（5分）设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为　\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15261.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]∪\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15262.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，π\]　． 【分析】由题意可得，△=64sin2α﹣32cos2α≤0即2sin2α﹣（1﹣2sin2α）≤0，解不等式结合0≤α≤π可求α的取值范围． 【解答】解：由题意可得，△=64sin2α﹣32cos2α≤0， 得2sin2α﹣（1﹣2sin2α）≤0 ∴sin2α≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15263.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15264.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤sinα≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15264.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∵0≤α≤π ∴α∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15261.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]∪\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15262.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，π\]． 故答案为：\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15261.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]∪\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15265.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，π\]． 【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法、二次函数的恒成立问题，属于中档题． 　 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（13分）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N+． （Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn； （Ⅱ）已知{bn}是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20． 【分析】（Ⅰ）由题意可得数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，则其通项公式与前n项和可求； （Ⅱ）由b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，可得等差数列{bn}的公差，再由等差数列的前n项和求得T20． 【解答】解：（Ⅰ）由an+1=3an，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15266.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4791666666666667in"}， 又a1=1，∴数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15267.png){width="0.625in" height="0.28125in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15268.png){width="1.5208333333333333in" height="0.4270833333333333in"}； （Ⅱ）∵b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13， ∴b3﹣b1=10=2d，则d=5． 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15269.png){width="2.1041666666666665in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等差数列和等比数列前n项和的求法，是中档题． 　 17．（13分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15270.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15271.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15272.png){width="0.9583333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15273.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4791666666666667in"}． （Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a； （Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关； （Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：线性回归方程y=bx+a中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15274.png){width="1.21875in" height="0.9791666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15275.png){width="0.5833333333333334in" height="0.19791666666666666in"}，其中![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15276.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15277.png){width="0.10416666666666667in" height="0.19791666666666666in"}为样本平均值，线性回归方程也可写为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15278.png){width="0.6041666666666666in" height="0.21875in"}． 【分析】（Ⅰ）由题意可知n，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15279.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15277.png){width="0.10416666666666667in" height="0.19791666666666666in"}，进而可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15280.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15281.png){width="1.0in" height="0.4791666666666667in"}，代入可得b值，进而可得a值，可得方程； （Ⅱ）由回归方程x的系数b的正负可判； （Ⅲ）把x=7代入回归方程求其函数值即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知n=10，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15282.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15283.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15284.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=8，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15285.png){width="0.10416666666666667in" height="0.19791666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15286.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15287.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15288.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=2， 故lxx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15289.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=720﹣10×82=80，lxy=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15290.png){width="1.0in" height="0.4791666666666667in"}=184﹣10×8×2=24， 故可得b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15291.png){width="0.2916666666666667in" height="0.4791666666666667in"}═![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15292.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=0.3，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15293.png){width="0.3958333333333333in" height="0.19791666666666666in"}=2﹣0.3×8=﹣0.4， 故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关； （Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）． 【点评】本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题． 　 18．（13分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15294.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}bc． （Ⅰ）求A； （Ⅱ）设a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15294.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，S为△ABC的面积，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值． 【分析】（Ⅰ）由余弦定理表示出cosA，将依照等式变形后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数； （Ⅱ）由（Ⅰ）求出sinA的值，由三角形的面积公式及正弦定理列出关系式，表示出S，代入已知等式中提取3变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的图象与性质即可求出S+3cosBcosC的最大值，以及此时B的值． 【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理得：cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15295.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15296.png){width="0.53125in" height="0.3854166666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15297.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∵A为三角形的内角，∴A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15298.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}； （Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15299.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，由正弦定理得：b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15300.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}，csinA=asinC及a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15301.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}得： S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15299.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}bcsinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15299.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15300.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}•asinC=3sinBsinC， 则S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC）=3cos（B﹣C）， 则当B﹣C=0，即B=C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15302.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15303.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，S+3cosBcosC取最大值3． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 　 19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15304.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15305.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC； （Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15306.png){width="1.84375in" height="2.15625in"} 【分析】（Ⅰ）由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．再利用直线和平面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC． （Ⅱ）由侧棱PC上的点F满足PF=7FC，可得三棱锥F﹣BCD的高是三棱锥P﹣BCD的高的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15307.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．求出△BCD的面积S△BCD，再根据三棱锥P﹣BDF的体积 V=VP﹣BCD﹣VF﹣BCD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15308.png){width="0.9479166666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15309.png){width="1.2708333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，运算求得结果． 【解答】解：（Ⅰ）∵BC=CD=2，∴△BCD为等腰三角形，再由 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15310.png){width="1.2395833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，∴BD⊥AC． 再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD． 而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC． （Ⅱ）∵侧棱PC上的点F满足PF=7FC， ∴三棱锥F﹣BCD的高是三棱锥P﹣BCD的高的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15307.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． △BCD的面积S△BCD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15311.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}BC•CD•sin∠BCD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15312.png){width="1.375in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15313.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． ∴三棱锥P﹣BDF的体积 V=VP﹣BCD﹣VF﹣BCD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15314.png){width="0.9479166666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15315.png){width="1.2708333333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15316.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15314.png){width="0.9479166666666666in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15317.png){width="1.09375in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15318.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用间接解法求棱锥的体积，属于中档题． 　 20．（12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）． （Ⅰ）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域； （Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 【分析】（I）由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根据该蓄水池的总建造成本为12000π元，构造方程整理后，可将V表示成r的函数，进而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域； （Ⅱ）根据（I）中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单调性，可得函数的最大值点． 【解答】解：（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200•πrh元， 底面积成本为160πr2元， ∴蓄水池的总建造成本为200•πrh+160πr2元 即200•πrh+160πr2=12000π ∴h=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15319.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（300﹣4r2） ∴V（r）=πr2h=πr2•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15319.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（300﹣4r2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15320.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（300r﹣4r3） 又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15321.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 故函数V（r）的定义域为（0，5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15321.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}） （Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15320.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（300r﹣4r3），（0＜r＜5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15321.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}） 可得V′（r）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15320.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（300﹣12r2），（0＜r＜5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15321.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}） ∵令V′（r）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15320.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（300﹣12r2）=0，则r=5 ∴当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数 当r∈（5，5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15322.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）时，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数 且当r=5，h=8时该蓄水池的体积最大 【点评】本题考查的知识点是函数模型的应用，其中（Ⅰ）的关键是根据已知，求出函数的解析式及定义域，（Ⅱ）的关键是利用导数分析出函数的单调性及最值点． 　 21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15323.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，\|AA′\|=4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程； （Ⅱ）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．求△PP\'Q的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15324.png){width="1.9375in" height="1.6145833333333333in"} 【分析】（Ⅰ）设椭圆方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15325.png){width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}，将左焦点横坐标代入椭圆方程可得y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15326.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15327.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15328.png){width="0.4791666666666667in" height="0.3854166666666667in"}②，a2=b2+c2③，联立①②③可求得a，b； （Ⅱ）设Q（t，0）（t＞0），圆的半径为r，直线PP′方程为：x=m（m＞t），则圆Q的方程为：（x﹣t）2+y2=r2，联立圆与椭圆方程消掉y得x的二次方程，则△=0①，易求P点坐标，代入圆的方程得等式②，由①②消掉r得m=2t，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15329.png){width="1.7708333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，变为关于t的函数，利用基本不等式可求其最大值及此时t值，由对称性可得圆心Q在y轴左侧的情况； 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15330.png){width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}， 左焦点F1（﹣c，0），将横坐标﹣c代入椭圆方程，得y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15331.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15332.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}①，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15333.png){width="0.4791666666666667in" height="0.3854166666666667in"}②，a2=b2+c2③，联立①②③解得a=4，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15334.png){width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"}， 所以椭圆方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15335.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}； （Ⅱ）设Q（t，0）（t＞0），圆的半径为r，直线PP′方程为：x=m（m＞t）， 则圆Q的方程为：（x﹣t）2+y2=r2， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15336.png){width="1.25in" height="0.7291666666666666in"}得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0， 由△=0，即16t2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8，① 把x=m代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15337.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15338.png){width="1.4375in" height="0.4270833333333333in"}， 所以点P坐标为（m，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15339.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4479166666666667in"}），代入（x﹣t）2+y2=r2，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15340.png){width="1.34375in" height="0.4270833333333333in"}，② 由①②消掉r2得4t2﹣4mt+m2=0，即m=2t， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15341.png){width="1.7708333333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15342.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4479166666666667in"}×（m﹣t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15343.png){width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}×t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15344.png){width="0.9479166666666666in" height="0.25in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15345.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15346.png){width="0.875in" height="0.4270833333333333in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15345.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 当且仅当4﹣t2=t2即t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15347.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}时取等号， 此时t+r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15347.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15348.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}＜4，椭圆上除P、P′外的点在圆Q外， 所以△PP\'Q的面积S的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15349.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}，圆Q的标准方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15350.png){width="1.15625in" height="0.25in"}． 当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时，由对称性可得圆Q的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15351.png){width="1.15625in" height="0.25in"}，△PP\'Q的面积S的最大值仍为为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15352.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查圆、椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，难度较大． 　 2013年上海市春季高考数学试卷 ============================ 一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分． 1．（3分）函数y=log2（x+2）的定义域是　（﹣2，+∞）　． 【分析】要使函数有意义，只需令x+2＞0即可． 【解答】解：欲使函数有意义，须有x+2＞0，解得x＞﹣2， 所以函数的定义域为（﹣2，+∞）． 故答案为：（﹣2，+∞）． 【点评】本题考查函数定义域的求法，属基础题． 　 2．（3分）方程2x=8的解是　3　． 【分析】由已知条件2x=8=23，可得x=3，由此可得此方程的解． 【解答】解：由2x=8=23，可得x=3，即此方程的解为3， 故答案为 3． 【点评】本题主要考查指数方程的解法，属于基础题． 　 3．（3分）抛物线y2=8x的准线方程是　x=﹣2　． 【分析】根据抛物线方程的标准形式，可得抛物线以原点为顶点，开口向右，由2p=8算出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15353.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2，即可得到抛物线的准线方程． 【解答】解：∵抛物线的方程为y2=8x ∴抛物线以原点为顶点，开口向右． 由2p=8，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15353.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2，可得抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x=﹣2 故答案为：x=﹣2 【点评】本题给出抛物线的标准方程，求抛物线的准线方程，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题． 　 4．（3分）函数y=2sinx的最小正周期是　2π　． 【分析】根据函数y=2sinωx的最小正周期是 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15354.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，运算可得结果． 【解答】解：函数y=2sinx的最小正周期是 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15354.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15355.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=2π， 故答案为 2π． 【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题． 　 5．（3分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15356.png){width="0.7083333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15357.png){width="0.875in" height="0.22916666666666666in"}．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15358.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，则实数k=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15359.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】根据向量平行的充要条件可得关于k的方程，解出即可． 【解答】解：由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15360.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，得1×（k﹣6）﹣9k=0，解得k=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15361.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15362.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查向量共线的充要条件，若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15363.png){width="2.1041666666666665in" height="0.2708333333333333in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15360.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}⇔x1y2﹣x2y1=0． 　 6．（3分）函数y=4sinx+3cosx的最大值是　5　． 【分析】利用辅助角公式把所给的函数解析式化为y=5sin（x+∅），再根据正弦函数的值域，求得它的最大值． 【解答】解：∵函数y=4sinx+3cosx=5（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15364.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sinx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15365.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cosx）=5sin（x+∅），（其中，cos∅=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15364.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，sin∅=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15365.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}） 故函数的最大值为5， 故答案为5． 【点评】本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的值域，属于中档题． 　 7．（3分）复数2+3i（i是虚数单位）的模是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15366.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}　． 【分析】利用模长公式\|z\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15367.png){width="0.59375in" height="0.2604166666666667in"}，代入计算即可得出复数2+3i（i是虚数单位）的模． 【解答】解：∵复数2+3i， ∴2+3i的模 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15368.png){width="0.59375in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15369.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15369.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查复数的概念及模长计算公式，是一道基础题． 　 8．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=　7　． 【分析】根据余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，代入题中的数据得b2=25+64﹣2×5×8×cos60°=49，解之即可得到b=7． 【解答】解：∵在△ABC中，a=5，c=8，B=60°， ∴根据余弦定理，得 b2=a2+c2﹣2accosB=25+64﹣2×5×8×cos60°=49 解之得b=7（舍负） 故答案为：7 【点评】本题给出△ABC两条边长及其夹角大小，求第三边的长度．着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题． 　 9．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为　60°　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15370.png){width="1.1875in" height="1.1979166666666667in"} 【分析】连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角． 【解答】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D∥B1C， 则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角， 连接BD，易得： BD=A1D=A1B 故∠BA1D=60° 故答案为：60° 【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键． 　 10．（3分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15371.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　（结果用数值表示）． 【分析】先求对立事件"选出的3人中只有男同学或只有女同学"的概率，然后根据对立事件的概率和为1可得答案． 【解答】解：从10人中选出的3人中只有男同学或只有女同学的概率为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15372.png){width="0.5in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15373.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 则选出的3人中男女同学都有的概率为：1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15373.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15371.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15371.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，属基础题． 　 11．（3分）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15374.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15375.png){width="0.875in" height="0.3958333333333333in"}，解得a、b的值，即可求得数列的前n项和Sn的解析式． 【解答】解：设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15375.png){width="0.875in" height="0.3958333333333333in"}，解得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15376.png){width="0.5104166666666666in" height="0.7916666666666666in"}， 故数列的前n项和Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15377.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15377.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的结构特征，用待定系数法函数的解析式，属于基础题． 　 12．（3分）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为　4836　． 【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53），即可得出答案． 【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有： 2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53， 所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53）=4836． 可求得2000的所有正约数之和为 4836． 故答案为：4836． 【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 　 二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分． 13．（3分）展开式为ad﹣bc的行列式是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15378.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15379.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15380.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15381.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} 【分析】根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15382.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"}叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案． 【解答】解：根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15383.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"}叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc， 由题意得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15384.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"}=ad﹣bc． 故选：B． 【点评】本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键． 　 14．（3分）设f﹣1（x）为函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15385.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的反函数，下列结论正确的是（　　） A．f﹣1（2）=2 B．f﹣1（2）=4 C．f﹣1（4）=2 D．f﹣1（4）=4 【分析】本题的关键是求函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15385.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的反函数，欲求原函数的反函数，即从原函数式f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15385.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式． 【解答】解：∵f﹣1（x）为函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15386.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的反函数， ∴f﹣1（x）=x2，（x≥0）， ∴f﹣1（2）=4，f﹣1（4）=16， 故选：B． 【点评】本题考查反函数的求法及不等关系，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系． 　 15．（3分）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（　　） A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣3，2） D．（3，2） 【分析】题意可得首先求出直线的斜率为：k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15387.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即可得到它的一个方向向量（1，k），再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案． 【解答】解：由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15387.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15388.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15387.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），或（3，2） 故选：D． 【点评】本题主要考查直线的方向向量，以及平面向量共线（平行）的坐标表示，是基础题． 　 16．（3分）函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15389.png){width="0.3125in" height="0.3854166666666667in"}的大致图象是（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15390.png){width="1.2916666666666667in" height="0.9270833333333334in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15391.png){width="1.2916666666666667in" height="0.9270833333333334in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15392.png){width="1.5in" height="0.9270833333333334in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15393.png){width="1.4791666666666667in" height="0.9270833333333334in"} 【分析】筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案． 【解答】解：因为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15394.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，排除选项B、C； 又f（x）的定义域为（0，+∞）， 故排除选项D， 故选：A． 【点评】本题考查幂函数的图象及性质，属基础题，筛选法是解决选择题的常用技巧，要掌握． 　 17．（3分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15395.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15396.png){width="0.6458333333333334in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论． 【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15397.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15398.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=﹣1，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15399.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，故A不正确． 可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确． 可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题． 　 18．（3分）若复数z1，z2满足z1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15400.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称 【分析】由题意可得z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2关于x轴对称． 【解答】解：若复数z1，z2满足z1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15400.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，则z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2关于x轴对称， 故选：A． 【点评】本题主要考查共轭复数的定义，复数与复平面内对应点间的关系，属于基础题． 　 19．（3分）（1+x）10的二项展开式中的一项是（　　） A．45x B．90x2 C．120x3 D．252x4 【分析】根据（1+x）10的二项展开式的通项公式为 Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15401.png){width="0.2604166666666667in" height="0.28125in"}•xr，即可得出结论． 【解答】解：（1+x）10的二项展开式的通项公式为 Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15402.png){width="0.2604166666666667in" height="0.28125in"}•xr，故当r=3时，此项为120x3， 故选：C． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中的某一项，属于中档题． 　 20．（3分）既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（　　） A．y=sinx B．y=cosx C．y=sin2x D．y=cos2x 【分析】根据函数的奇偶性排除A、C，再根据函数的单调性排除D，经检验B中的函数满足条件，从而得出结论． 【解答】解：由于函数y=sinx和 y=sin2x都是奇函数，故排除A、C． 由于函数y=cosx是偶函数，周期等于2π，且在（0，π）上是减函数，故满足条件． 由于函数y=cos2x是偶函数，周期等于π，在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15403.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）上是减函数，在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15403.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π）上是增函数，故不满足条件． 故选：B． 【点评】本题主要考查余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题． 　 21．（3分）若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【分析】设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式算出它们的表面积之比为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15404.png){width="0.3125in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15405.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，解之得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15406.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15407.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，由此结合球的体积公式即可算出这两个球的体积之比． 【解答】解：设两个球的半径分别为r1、r2，根据球的表面积公式， 可得它们的表面积分别为S1=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15408.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}，S2=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15409.png){width="0.46875in" height="0.28125in"} ∵两个球的表面积之比为1：4， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15410.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15411.png){width="0.5833333333333334in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15412.png){width="0.3125in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15413.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，解之得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15414.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15415.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（舍负） 因此，这两个球的体积之比为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15416.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15417.png){width="0.6354166666666666in" height="0.7604166666666666in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15418.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}）3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15419.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 即两个球的体积之比为1：8 故选：C． 【点评】本题给出两个球的表面积之比，求它们的体积之比．着重考查了球的表面积公式和体积公式等知识，属于基础题． 　 22．（3分）设全集U=R，下列集合运算结果为R的是（　　） A．Z∪∁UN B．N∩∁UN C．∁U（∁u∅） D．∁U{0} 【分析】根据题目中条件"全集U=R"，对各个选项一一进行集合的运算，即可得出答案． 【解答】解：∵全集U=R， ∴Z∪∁UN=R，N∩∁UN=∅，∁U（∁u∅）=∅，∁U{0}={x∈R\|x≠0}． 故选：A． 【点评】本题主要考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题． 　 23．（3分）已知a，b，c∈R，"b2﹣4ac＜0"是"函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方"的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【分析】根据充要条件的定义可知，只要看"b2﹣4ac＜0"与"函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方"能否相互推出即可． 【解答】解：若a≠0，欲保证函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点； 则a＞0且△=b2﹣4ac＜0． 但是，若a=0时，如果b=0，c＞0，则函数f（x）=ax2+bx+c=c的图象恒在x轴上方，不能得到△=b2﹣4ac＜0； 反之，"b2﹣4ac＜0"并不能得到"函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方"，如a＜0时． 从而，"b2﹣4ac＜0"是"函数f（x）=ax2+bx+c的图象恒在x轴上方"的既非充分又非必要条件． 故选：D． 【点评】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次函数的性质，难度一般．学生要熟记二次函数的性质方能得心应手的解题． 　 24．（3分）已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15420.png){width="0.28125in" height="0.2708333333333333in"}=λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15421.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15422.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【分析】建立直角坐标系，设出A、B坐标，以及M坐标，通过已知条件求出M的方程，然后判断选项． 【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系， 设M（x，y），A（﹣a，0）、B（a，0）； 因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15420.png){width="0.28125in" height="0.2708333333333333in"}=λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15421.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15422.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， 所以y2=λ（x+a）（a﹣x）， 即λx2+y2=λa2，当λ=1时，轨迹是圆． 当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程； 当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程． 当λ=0时，是直线的轨迹方程； 综上，方程不表示抛物线的方程． 故选：D． 【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力． 　 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 25．（7分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15423.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，求该三棱柱的体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15424.png){width="1.1770833333333333in" height="1.3645833333333333in"} 【分析】因为 CC1∥AA1．根据异面直线所成角的定义得∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，从而∠BC1C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15423.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}．在Rt△BC1C中，求得BC，从而求出S△ABC，最后利用柱体的体积公式即可求出该三棱柱的体积． 【解答】解：因为 CC1∥AA1． 所以∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15423.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 在Rt△BC1C中，BC=CC1tan∠BC1C=6×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15425.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15426.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 从而S△ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15427.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3854166666666667in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15426.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 因此该三棱柱的体积为V=S△ABC×AA1=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15426.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}×6=18![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15426.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查三棱柱体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 26．（7分）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15428.png){width="1.375in" height="1.0729166666666667in"} 【分析】设出矩形的边FP的边长，利用三角形相似求出矩形的宽，表示出矩形面积，利用二次函数的最值求解即可． 【解答】解：如图，设矩形为EBFP，FP长为x米，其中0＜x＜40， 健身房占地面积为y平方米．因为△CFP∽△CBA， 以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15429.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15430.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求得BF=50﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15431.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 从而y=BF•FP=（50﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15431.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}）•x =﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15432.png){width="0.6875in" height="0.3645833333333333in"} =﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15433.png){width="1.125in" height="0.3645833333333333in"} ≤500． 当且仅当x=20时，等号成立． 答：该健身房的最大占地面积为500平方米． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15434.png){width="1.375in" height="1.1041666666666667in"} 【点评】本题考查函数的实际应用，表示出函数的表达式是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力． 　 27．（8分）已知数列{an}的前n项和为S![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15435.png){width="0.7604166666666666in" height="0.28125in"}，数列{bn}满足b![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15436.png){width="0.5625in" height="0.3229166666666667in"}，求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15437.png){width="1.6979166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 【分析】先由Sn求出an，进而得到bn，由bn的表达式可判断数列{bn}是无穷等比数列，从而可得答案． 【解答】解：当n≥2时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15438.png){width="2.6145833333333335in" height="0.28125in"}=﹣2n+2， 且a1=S1=0，所以an=﹣2n+2． 因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15439.png){width="0.7604166666666666in" height="0.28125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15440.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，所以数列{bn}是首项为1、公比为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15441.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的无穷等比数列． 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15442.png){width="1.6041666666666667in" height="0.3125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15443.png){width="0.3541666666666667in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15444.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查数列的极限、等差数列的前n项和，解答本题的关键是根据Sn与an的关系求出an． 　 28．（13分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2 （1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程； （2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15445.png){width="0.78125in" height="0.2708333333333333in"}，求直线l的方程． 【分析】（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求； （2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15446.png){width="0.75in" height="0.2708333333333333in"}转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求． 【解答】解：（1）设椭圆C的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15447.png){width="1.4895833333333333in" height="0.4895833333333333in"}． 根据题意知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15448.png){width="0.78125in" height="0.4583333333333333in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15449.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15450.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"} 故椭圆C的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15451.png){width="0.8958333333333334in" height="0.4270833333333333in"}． （2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15452.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}． 当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15453.png){width="0.8125in" height="0.6666666666666666in"}，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0． 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15454.png){width="2.46875in" height="0.4791666666666667in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15455.png){width="2.8229166666666665in" height="0.2708333333333333in"} 因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15456.png){width="0.78125in" height="0.2708333333333333in"}，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15457.png){width="0.8854166666666666in" height="0.2708333333333333in"}，即 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15458.png){width="4.40625in" height="0.28125in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15459.png){width="2.7395833333333335in" height="0.28125in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15460.png){width="2.8958333333333335in" height="0.4791666666666667in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15461.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15462.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}，即k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15463.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}． 故直线l的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15464.png){width="0.8333333333333334in" height="0.19791666666666666in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15465.png){width="0.8333333333333334in" height="0.19791666666666666in"}． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了数量积的坐标运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了根与系数关系，属有一定难度题目． 　 29．（12分）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F． （1）点A，P满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15466.png){width="0.6458333333333334in" height="0.20833333333333334in"}．当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程； （2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）设出动点P和A的坐标，求出抛物线焦点F的坐标，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15466.png){width="0.6458333333333334in" height="0.20833333333333334in"}得出P点和A点的关系，由代入法求动点P的轨迹方程； （2）设出点Q的坐标，在设出其关于直线y=2x的对称点Q′的坐标，由斜率关系及中点在y=2x上得到两对称点坐标之间的关系，再由点Q′在抛物线上，把其坐标代入抛物线方程即可求得Q点的坐标． 【解答】解：（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（xA，yA），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15467.png){width="1.3854166666666667in" height="0.2708333333333333in"}， 因为F的坐标为（1，0），所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15468.png){width="1.21875in" height="0.2708333333333333in"}， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15469.png){width="0.6458333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，得（x﹣xA，y﹣yA）=﹣2（xA﹣1，yA）． 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15470.png){width="1.3020833333333333in" height="0.5208333333333334in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15471.png){width="0.65625in" height="0.5208333333333334in"} 代入y2=4x，得到动点P的轨迹方程为y2=8﹣4x． （2）设点Q的坐标为（t，0）．点Q关于直线y=2x的对称点为Q′（x，y）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15472.png){width="0.7291666666666666in" height="0.8125in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15473.png){width="0.6145833333333334in" height="0.7916666666666666in"}． 若Q′在C上，将Q′的坐标代入y2=4x，得4t2+15t=0，即t=0或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15474.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15475.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}）． 【点评】本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了代入法求曲线方程，考查了存在性问题的求解方法，属中档题． 　 30．（13分）在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列，记∠PnAPn+1=θn，n∈N\*． （1）若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15476.png){width="1.0208333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，求点A的坐标； （2）若点A的坐标为（0，8![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15477.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），求θn的最大值及相应n的值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15478.png){width="2.0104166666666665in" height="1.0104166666666667in"} 【分析】（1）利用{xn} 是首项为1、公比为2的等比数列，确定通项，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐标； （2）表示出tanθn=tan（∠OAPn+1﹣∠OAPn），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可求得结论． 【解答】解：（1）设A（0，t）（t＞0），根据题意，xn=2n﹣1． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15479.png){width="1.0208333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15480.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 而tanθ3=tan（∠OAP4﹣∠OAP3）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15481.png){width="0.7708333333333334in" height="0.875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15482.png){width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15483.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4270833333333333in"}，解得t=4或t=8． 故点A的坐标为（0，4）或（0，8）． （2）由题意，点Pn的坐标为（2n﹣1，0），tan∠OAPn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15484.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4479166666666667in"}． ∴tanθn=tan（∠OAPn+1﹣∠OAPn）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15485.png){width="1.03125in" height="0.9166666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15486.png){width="0.90625in" height="0.6770833333333334in"}． 因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15487.png){width="0.875in" height="0.4791666666666667in"}≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15488.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}，所以tanθn≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15489.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15490.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15491.png){width="0.875in" height="0.4791666666666667in"}，即n=4时等号成立． ∵0＜θn＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15492.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，y=tanx在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15493.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）上为增函数， ∴当n=4时，θn最大，其最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15494.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查等比数列，考查差角的正切函数，考查基本不等式的运用，正确运用差角的正切公式是关键． 　 31．（18分）已知真命题："函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形"的充要条件为"函数y=f（x+a）﹣b 是奇函数"． （1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标； （2）求函数h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15495.png){width="0.6875in" height="0.3645833333333333in"} 图象对称中心的坐标； （3）已知命题："函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象"的充要条件为"存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b 是偶函数"．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）． 【分析】（1）先写出平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x，由于函数y=x3﹣3x是奇函数，利用题设真命题知，函数g（x）图象对称中心． （2）设h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15496.png){width="0.6875in" height="0.3645833333333333in"} 的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）﹣b是奇函数，从而求出a，b的值，即可得出图象对称中心的坐标． （3）此命题是假命题．举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b总不是偶函数．修改后的真命题："函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象"的充要条件是"函数y=f（x+a）是偶函数"． 【解答】解：（1）平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣3x， 由于函数y=x3﹣3x是奇函数，由题设真命题知，函数g（x）图象对称中心的坐标是（1，﹣2）． （2）设h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15496.png){width="0.6875in" height="0.3645833333333333in"} 的对称中心为P（a，b）， 由题设知函数h（x+a）﹣b是奇函数． 设f（x）=h（x+a）﹣b，则f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15497.png){width="1.0208333333333333in" height="0.3645833333333333in"}﹣b， 即f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15498.png){width="1.0416666666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 由不等式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15499.png){width="0.7395833333333334in" height="0.3645833333333333in"}的解集关于原点对称，则﹣a+（4﹣a）=0，得a=2． 此时f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15500.png){width="1.0208333333333333in" height="0.3645833333333333in"}﹣b，x∈（﹣2，2）． 任取x∈（﹣2，2），由f（﹣x）+f（x）=0，得b=1， 所以函数h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15501.png){width="0.6875in" height="0.3645833333333333in"} 图象对称中心的坐标是（2，1）． （3）此命题是假命题． 举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象， 但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b总不是偶函数． 修改后的真命题："函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象"的充要条件是"函数y=f（x+a）是偶函数"． 【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用，考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的对称性等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题． 　 2013年江苏省高考数学试卷 ======================== 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上． 1．（5分）函数y=3sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15502.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的最小正周期为　π　． 【分析】将题中的函数表达式与函数y=Asin（ωx+φ）进行对照，可得ω=2，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期． 【解答】解：∵函数表达式为y=3sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15502.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， ∴ω=2，可得最小正周期T=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15503.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15504.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\|=π 故答案为：π 【点评】本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期，着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的周期公式的知识，属于基础题． 　 2．（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为　5　． 【分析】把给出的复数展开化为a+bi（a，b∈R）的形式，然后直接利用模的公式计算． 【解答】解：z=（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i． 所以，\|z\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15505.png){width="0.84375in" height="0.25in"}=5． 故答案为5． 【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数模的求法，是基础题． 　 3．（5分）双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15506.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}的两条渐近线方程为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15507.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程． 【解答】解：∵双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15506.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}的a=4，b=3，焦点在x轴上 而双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15508.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}的渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15509.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x ∴双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15506.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}的渐近线方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15510.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15510.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想 　 4．（5分）集合{﹣1，0，1}共有　8　个子集． 【分析】集合P={1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集． 【解答】解：因为集合{﹣1，0，1}， 所以集合{﹣1，0，1}的子集有：{﹣1}，{0}，{1}，{﹣1，0}，{﹣1，1}，{0，1}，{﹣1，0，1}，∅，共8个． 故答案为：8． 【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个． 　 5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为　5　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15511.png){width="1.8854166666666667in" height="2.3229166666666665in"} 【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案． 【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3； 满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5； 满足进行循环的条件，退出循环 故输出n值为5 故答案为：5． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行． 　 6．（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下： -------- -------- -------- -------- -------- -------- 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 -------- -------- -------- -------- -------- -------- 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为　2　． 【分析】直接由图表得出两组数据，求出它们的平均数，求出方差，则答案可求． 【解答】解：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为： 甲：87，91，90，89，93； 乙：89，90，91，88，92； ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15512.png){width="1.8541666666666667in" height="0.3645833333333333in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15513.png){width="1.8541666666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 方差![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15514.png){width="4.385416666666667in" height="0.4270833333333333in"}=4． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15515.png){width="4.385416666666667in" height="0.4270833333333333in"}=2． 所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2． 故答案为2． 【点评】本题考查了方差与标准差，对于一组数据，在平均数相差不大的情况下，方差越小越稳定，考查最基本的知识点，是基础题． 　 7．（5分）现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15516.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】求出m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，m取到奇数，n取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解． 【解答】解：m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法． m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况， 则m，n都取到奇数的方法种数为4×5=20种． 所以m，n都取到奇数的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15517.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15516.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是做到对取法种数计算的补充不漏，是基础的计算题． 　 8．（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=　1：24　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15518.png){width="1.59375in" height="1.6666666666666667in"} 【分析】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值． 【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE：S△ABC=1：4， 又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍． 即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍． 所以V1：V2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15519.png){width="1.1354166666666667in" height="0.625in"}=1：24． 故答案为1：24． 【点评】本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，考查了相似多边形的面积的比等于相似比的平方，是基础的计算题． 　 9．（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是　\[﹣2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15520.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]　． 【分析】利用导数求出抛物线在x=1处的切线方程，画出可行域，找出最优解，则x+2y的取值范围可求． 【解答】解：由y=x2得，y′=2x，所以y′\|x=1=2，则抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y=2x﹣1． 令z=x+2y，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15521.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 画出可行域如图， 所以当直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15521.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}过点（0，﹣1）时，zmin=﹣2． 过点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15522.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}）时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15523.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15524.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15525.png){width="2.636111111111111in" height="2.823611111111111in"} 【点评】本题考查了导数的运算，考查了简单的线性规划，解答的关键是把问题转化为线性规划知识解决，是基础题． 　 10．（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14425.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AB，BE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15526.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}BC，若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15527.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ1![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15528.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+λ2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15529.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15530.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】由题意和向量的运算可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15527.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15531.png){width="0.8541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，结合![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15527.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ1![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15528.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+λ2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15532.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，可得λ1，λ2的值，求和即可． 【解答】解：由题意结合向量的运算可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15533.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15534.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15535.png){width="0.75in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15536.png){width="1.25in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15537.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15538.png){width="0.8541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 又由题意可知若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15539.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ1![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15540.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+λ2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15541.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， 故可得λ1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15542.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，λ2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15543.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，所以λ1+λ2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15544.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15544.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查平面向量基本定理及其意义，涉及向量的基本运算，属中档题． 　 11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为　（﹣5，0）∪（5，﹢∞）　． 【分析】作出x大于0时，f（x）的图象，根据f（x）为定义在R上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x小于0的图象，所求不等式即为函数y=f（x）图象在y=x上方，利用图形即可求出解集． 【解答】解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示， ∵f（x）是定义在R上的奇函数， ∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象， 不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方， ∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5）， 则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）． 故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15545.png){width="2.1979166666666665in" height="1.7083333333333333in"} 【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键． 　 12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15546.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15547.png){width="0.40625in" height="0.22916666666666666in"}，则椭圆C的离心率为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15548.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}　． 【分析】根据"d2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15547.png){width="0.40625in" height="0.22916666666666666in"}"结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得d1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15549.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，从而得到a与b的关系，可求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15550.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，从而求出离心率． 【解答】解：如图，准线l：x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15551.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，d2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15552.png){width="0.71875in" height="0.4270833333333333in"}， 由面积法得：d1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15553.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 若d2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15554.png){width="0.40625in" height="0.22916666666666666in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15555.png){width="0.9479166666666666in" height="0.4270833333333333in"}，整理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15556.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}a2﹣ab﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15557.png){width="0.40625in" height="0.25in"}=0， 两边同除以a2，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15556.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15558.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15559.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15560.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=0，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15561.png){width="0.4791666666666667in" height="0.3854166666666667in"}． ∴e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15562.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15563.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15563.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15564.png){width="1.7395833333333333in" height="1.65625in"} 【点评】本题主要考查椭圆的几何性质，即通过半焦距，短半轴，长半轴构成的直角三角形来考查其离心率，还涉及了等面积法． 　 13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15565.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15566.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则满足条件的实数a的所有值为　﹣1或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15567.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}　． 【分析】设点P![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15568.png){width="1.09375in" height="0.3645833333333333in"}，利用两点间的距离公式可得\|PA\|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a的值． 【解答】解：设点P![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15569.png){width="1.09375in" height="0.3645833333333333in"}，则\|PA\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15570.png){width="1.3541666666666667in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15571.png){width="1.75in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15572.png){width="2.0104166666666665in" height="0.3854166666666667in"}， 令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15573.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，∵x＞0，∴t≥2， 令g（t）=t2﹣2at+2a2﹣2=（t﹣a）2+a2﹣2， ①当a≤2时，t=2时g（t）取得最小值g（2）=2﹣4a+2a2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15574.png){width="0.59375in" height="0.25in"}，解得a=﹣1； ②当a＞2时，g（t）在区间\[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t=a，g（t）取得最小值g（a）= a2﹣2，∴a2﹣2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15574.png){width="0.59375in" height="0.25in"}，解得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15575.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}． 综上可知：a=﹣1或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15575.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}． 故答案为﹣1或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15575.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}． 【点评】本题综合考查了两点间的距离公式、基本不等式的性质、二次函数的单调性等基础知识和基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力． 　 14．（5分）在正项等比数列{an}中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15576.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}，a6+a7=3，则满足a1+a2+...+an＞a1a2...an的最大正整数n的值为　12　． 【分析】设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+...+an及a1a2...an的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案． 【解答】解：设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q， 由题意可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15577.png){width="1.09375in" height="0.7083333333333334in"}，解之可得：a1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15578.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，q=2， 故其通项公式为an=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15579.png){width="0.7395833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=2n﹣6． 记Tn=a1+a2+...+an=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15580.png){width="0.8229166666666666in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15581.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}， Sn=a1a2...an=2﹣5×2﹣4...×2n﹣6=2﹣5﹣4+...+n﹣6=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15582.png){width="0.625in" height="0.3854166666666667in"}． 由题意可得Tn＞Sn，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15581.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15582.png){width="0.625in" height="0.3854166666666667in"}， 化简得：2n﹣1＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15583.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，即2n﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15584.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3854166666666667in"}＞1， 因此只须n＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15585.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，即n2﹣13n+10＜0 解得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15586.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3854166666666667in"}＜n＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15587.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 由于n为正整数，因此n最大为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15587.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3854166666666667in"}的整数部分，也就是12． 故答案为：12 【点评】本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法，属中档题． 　 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15588.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（cosα，sinα），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15589.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π． （1）若\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15588.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15589.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15590.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求证：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15588.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15589.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}； （2）设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15591.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（0，1），若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15592.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15593.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15591.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，求α，β的值． 【分析】（1）由给出的向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15594.png){width="0.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}的坐标，求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15595.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}的坐标，由模等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15596.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到结论； （2）由向量坐标的加法运算求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15592.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15597.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15598.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15597.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（0，1）列式整理得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15599.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}，结合给出的角的范围即可求得α，β的值． 【解答】解：（1）由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15598.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（cosα，sinα），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15597.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（cosβ，sinβ）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15600.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}=（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15601.png){width="3.2083333333333335in" height="0.22916666666666666in"}=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2， 得cosαcosβ+sinαsinβ=0． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15602.png){width="0.5in" height="0.20833333333333334in"}．即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15603.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}； （2）由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15604.png){width="3.1666666666666665in" height="0.22916666666666666in"} 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15605.png){width="1.375in" height="0.3958333333333333in"}，①2+②2得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15606.png){width="1.15625in" height="0.3645833333333333in"}． 因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15607.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15608.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}， 代入②得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15609.png){width="4.083333333333333in" height="0.3854166666666667in"}． 因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15610.png){width="1.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}．所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15611.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 所以，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15612.png){width="1.2291666666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量的模，考查了同角三角函数的基本关系式和两角和与差的三角函数，解答的关键是注意角的范围，是基础的运算题． 　 16．（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证： （1）平面EFG∥平面ABC； （2）BC⊥SA． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15613.png){width="2.3020833333333335in" height="1.6666666666666667in"} 【分析】（1）根据等腰三角形的"三线合一"，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC； （2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA． 【解答】解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点． ∵E、G分别为SA、SC的中点， ∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC． ∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC 又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线， ∴平面EFG∥平面ABC； （2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB， AF⊂平面ASB，AF⊥SB． ∴AF⊥平面SBC． 又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC． ∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB． 又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15614.png){width="2.3020833333333335in" height="1.6666666666666667in"} 【点评】本题在三棱锥中证明面面平行和线线垂直，着重考查了直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题． 　 17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上． （1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程； （2）若圆C上存在点M，使\|MA\|=2\|MO\|，求圆心C的横坐标的取值范围． 【分析】（1）先求出圆心坐标，可得圆的方程，再设出切线方程，利用点到直线的距离公式，即可求得切线方程； （2）设出点C，M的坐标，利用\|MA\|=2\|MO\|，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论． 【解答】解：（1）由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，2a﹣4=a﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）． ∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1， 由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15615.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4479166666666667in"}=1，解得：k=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15616.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，...（4分） 又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15616.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}x+3， 即x=0或12x+5y﹣15=0； （2）设点M（x，y），由\|MA\|=2\|MO\|，化简得：x2+（y+1）2=4， ∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D， 又∵点M在圆C上， ∴圆C与圆D的关系为相交或相切， ∴1≤\|CD\|≤3，其中\|CD\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15617.png){width="1.0104166666666667in" height="0.25in"}， ∴1≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15617.png){width="1.0104166666666667in" height="0.25in"}≤3， 解得：0≤a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15616.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题． 　 18．（16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15618.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15619.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} （1）求索道AB的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15620.png){width="2.667361111111111in" height="0.8229166666666666in"} 【分析】（1）根据正弦定理即可确定出AB的长； （2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，由余弦定理可得； （3）设乙步行的速度为 v m/min，从而求出v的取值范围． 【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15618.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15619.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，所以sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15621.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，sinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15622.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 从而sinB=sin\[π﹣（A+C）\]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15623.png){width="1.1875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15624.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 由正弦定理![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15625.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}，得AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15626.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15627.png){width="0.7083333333333334in" height="0.5625in"}=1040m． 所以索道AB的长为1040m． （2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得 d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15628.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=200（37t2﹣70t+50）=200\[37（t﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15629.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15630.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]， 因0≤t≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15631.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，即0≤t≤8，故当t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15629.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}min时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15632.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}，得BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15633.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15634.png){width="0.7916666666666666in" height="0.5625in"}=500m， 乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C． 设乙步行的速度为 v m/min，由题意得﹣3≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15635.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3645833333333333in"}≤3，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15636.png){width="1.125in" height="0.3645833333333333in"}，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15637.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}\]范围内． 【点评】此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型． 　 19．（16分）设{an}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），Sn是其前n项和．记bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15638.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，n∈N\*，其中c为实数． （1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk（k，n∈N\*）； （2）若{bn}是等差数列，证明：c=0． 【分析】（1）写出等差数列的通项公式，前n项和公式，由b1，b2，b4成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n项和公式得到Sn，在前n项和公式中取n=nk可证结论； （2）把Sn代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15639.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4791666666666667in"}中整理得到bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15640.png){width="1.84375in" height="0.625in"}，由等差数列的通项公式是an=An+B的形式，说明![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15641.png){width="1.125in" height="0.625in"}，由此可得到c=0． 【解答】证明：（1）若c=0，则an=a1+（n﹣1）d，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15642.png){width="1.3541666666666667in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15643.png){width="1.53125in" height="0.4791666666666667in"}． 当b1，b2，b4成等比数列时，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15644.png){width="0.7708333333333334in" height="0.28125in"}， 即：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15645.png){width="1.3645833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a． 因此：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15646.png){width="0.59375in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15647.png){width="1.4791666666666667in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15648.png){width="0.9791666666666666in" height="0.28125in"}． 故：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15649.png){width="0.75in" height="0.28125in"}（k，n∈N\*）． （2）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15650.png){width="1.84375in" height="0.625in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15651.png){width="3.0104166666666665in" height="0.625in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15652.png){width="1.84375in" height="0.625in"}． ① 若{bn}是等差数列，则{bn}的通项公式是bn=An+B型． 观察①式后一项，分子幂低于分母幂， 故有：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15653.png){width="1.125in" height="0.625in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15654.png){width="1.09375in" height="0.3645833333333333in"}，而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15655.png){width="1.0729166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 故c=0． 经检验，当c=0时{bn}是等差数列． 【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，考查了学生的运算能力，解答此题的关键是理解并掌握非常数等差数列的通项公式是关于n的一次函数，此题是中档题． 　 20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=ex﹣ax，其中a为实数． （1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围； （2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论． 【分析】（1）求导数，利用f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，转化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15656.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论； （2）先确定a的范围，再分类讨论，确定f（x）的单调性，从而可得f（x）的零点个数． 【解答】解：（1）求导数可得f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15656.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a ∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15656.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立， ∴a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15656.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，x∈（1，+∞）． ∴a≥1． 令g′（x）=ex﹣a=0，得x=lna．当x＜lna时，g′（x）＜0；当x＞lna时，g′（x）＞0． 又g（x）在（1，+∞）上有最小值，所以lna＞1，即a＞e． 故a的取值范围为：a＞e． （2）当a≤0时，g（x）必为单调函数；当a＞0时，令g′（x）=ex﹣a＞0，解得a＜ex，即x＞lna， 因为g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，类似（1）有lna≤﹣1，即0＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15657.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}．结合上述两种情况，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15658.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}． ①当a=0时，由f（1）=0以及f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15659.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＞0，得f（x）存在唯一的零点； ②当a＜0时，由于f（ea）=a﹣aea=a（1﹣ea）＜0，f（1）=﹣a＞0，且函数f（x）在\[ea，1\]上的图象不间断，所以f（x）在（ea，1）上存在零点． 另外，当x＞0时，f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15659.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，所以f（x）只有一个零点． ③当0＜a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15660.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，令f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15659.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a=0，解得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15661.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．当0＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15661.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，f′（x）＞0，当x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15662.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，f′（x）＜0， 所以，x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15662.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}是f（x）的最大值点，且最大值为f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15662.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣lna﹣1． （i）当﹣lna﹣1=0，即a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15663.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，f（x）有一个零点x=e； （ii）当﹣lna﹣1＞0，即0＜a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15663.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，f（x）有两个零点； 实际上，对于0＜a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15663.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，由于f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15663.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15664.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜0，f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15665.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）＞0，且函数f（x）在\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15666.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上的图象不间断，所以f（x）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15666.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}）上存在零点． 另外，当0＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15665.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15667.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a＞0，故f（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15665.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）上时单调增函数，所以f（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15665.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）上只有一个零点． 下面考虑f（x）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15668.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）上的情况，先证明f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15669.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}）=a（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15670.png){width="0.5520833333333334in" height="0.5416666666666666in"}）＜0． 为此，我们要证明：当x＞e时，ex＞x2．设h（x）=ex﹣x2，则h′（x）=ex﹣2x，再设l（x）=h′（x）=ex﹣2x，则l′（x）=ex﹣2． 当x＞1时，l′（x）=ex﹣2＞e﹣2＞0，所以l（x）=h′（x）在（1，+∞）上时单调增函数； 故当x＞2时，h′（x）=ex﹣2x＞h′（2）=e2﹣4＞0，从而h（x）在（2，+∞）上是单调增函数，进而当x＞e时，h（x）=ex﹣x2＞h（e）=ee﹣e2＞0，即当x＞e时，ex＞x2 当0＜a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15671.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15668.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＞e时，f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15669.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15672.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=a（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15673.png){width="0.5520833333333334in" height="0.5416666666666666in"}）＜0，又f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15674.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）＞0，且函数f（x）在\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15674.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15675.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}\]上的图象不间断，所以f（x）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15674.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15676.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}）上存在零点． 又当x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15677.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15678.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a＜0，故f（x）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15677.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）上是单调减函数，所以f（x）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15677.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）上只有一个零点． 综合（i）（ii）（iii），当a≤0或a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15679.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，f（x）的零点个数为1，当0＜a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15679.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，f（x）的零点个数为2． 【点评】此题考查的是可导函数的单调性与其导数的关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度较大． 　 \[选做题\]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．\[选修4-1：几何证明选讲\]（本小题满分10分） 21．（10分）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC． 求证：AC=2AD． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15680.png){width="1.3125in" height="1.3541666666666667in"} 【分析】证明Rt△ADO∽Rt△ACB，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15681.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，结合BC=2OC=2OD，即可证明结论． 【解答】证明：连接OD． 因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADO=∠ACB=90° 又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15681.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 因为BC=2OC=2OD． 所以AC=2AD． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15682.png){width="1.3020833333333333in" height="1.3541666666666667in"} 【点评】本题考查圆的切线，考查三角形相似的判定与性质，比较基础． 　 B．\[选修4-2：矩阵与变换\]（本小题满分10分） 22．（10分）已知矩阵A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15683.png){width="0.5in" height="0.3958333333333333in"}，B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15684.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}，求矩阵A﹣1B． 【分析】设矩阵A﹣1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15685.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论． 【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15685.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15686.png){width="0.5in" height="0.3958333333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15687.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15688.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15689.png){width="0.5833333333333334in" height="0.3958333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15688.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}， 故a=﹣1，b=0，c=0，d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15690.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 从而A﹣1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15691.png){width="0.53125in" height="0.59375in"}， ∴A﹣1B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15691.png){width="0.53125in" height="0.59375in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15692.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15693.png){width="0.5833333333333334in" height="0.3958333333333333in"}． 【点评】本题考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力，属于基础题． 　 C．\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（本小题满分0分） 23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15694.png){width="0.5416666666666666in" height="0.40625in"}（ 为参数），曲线C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15695.png){width="0.5729166666666666in" height="0.46875in"}（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标． 【分析】运用代入法，可将直线l和曲线C的参数方程化为普通方程，联立直线方程和抛物线方程，解方程可得它们的交点坐标． 【解答】解：直线l的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15694.png){width="0.5416666666666666in" height="0.40625in"}（ 为参数）， 由x=t+1可得t=x﹣1，代入y=2t， 可得直线l的普通方程：2x﹣y﹣2=0． 曲线C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15695.png){width="0.5729166666666666in" height="0.46875in"}（t为参数），化为y2=2x， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15696.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15697.png){width="0.375in" height="0.40625in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15698.png){width="0.4583333333333333in" height="0.6041666666666666in"}， 于是交点为（2，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15699.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查了转化能力，属于基础题． 　 D．\[选修4-5：不等式选讲\]（本小题满分0分） 24．已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b． 【分析】直接利用作差法，然后分析证明即可． 【解答】证明：2a3﹣b3﹣2ab2+a2b=2a（a2﹣b2）+b（a2﹣b2）=（a﹣b）（a+b）（2a+b）， ∵a≥b＞0，∴a﹣b≥0，a+b＞0，2a+b＞0， 从而：（a﹣b）（a+b）（2a+b）≥0， ∴2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b． 【点评】本题考查不等式的证明，作差法的应用，考查逻辑推理能力． 　 第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 25．（10分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点． （1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； （2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15700.png){width="1.3958333333333333in" height="1.84375in"} 【分析】（1）以{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15701.png){width="1.0520833333333333in" height="0.2708333333333333in"}}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值． （2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值． 【解答】解：（1）以{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15701.png){width="1.0520833333333333in" height="0.2708333333333333in"}}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz， 则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0）， A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15702.png){width="1.2395833333333333in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15703.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（1，﹣1，﹣4）， ∴cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15704.png){width="0.78125in" height="0.2708333333333333in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15705.png){width="1.1041666666666667in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15706.png){width="0.71875in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15707.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}， ∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15708.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}． （2）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15709.png){width="1.0416666666666667in" height="0.22916666666666666in"} 是平面ABA1的一个法向量， 设平面ADC1的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15710.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15711.png){width="2.3645833333333335in" height="0.2708333333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15712.png){width="1.3020833333333333in" height="0.5416666666666666in"}，取z=1，得y=﹣2，x=2， ∴平面ADC1的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15713.png){width="1.0416666666666667in" height="0.22916666666666666in"}， 设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ， ∴cosθ=\|cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15714.png){width="0.4791666666666667in" height="0.22916666666666666in"}＞\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15715.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15716.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15717.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15718.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15718.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15719.png){width="1.8333333333333333in" height="2.3333333333333335in"} 【点评】本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用． 　 26．（10分）设数列{an}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，...，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15720.png){width="1.8854166666666667in" height="0.4375in"}，...，即当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15721.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}＜n≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15722.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}（k∈N\*）时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15723.png){width="0.9791666666666666in" height="0.28125in"}．记Sn=a1+a2+...+an（n∈N∗）．对于l∈N∗，定义集合Pl=﹛n\|Sn为an的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l} （1）求P11中元素个数； （2）求集合P2000中元素个数． 【分析】（1）由数列{an}的定义，可得前11项，进而得到前11项和，再由定义集合Pl，即可得到元素个数； （2）运用数学归纳法证明Si（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N\*）．再结合定义，运用等差数列的求和公式，即可得到所求． 【解答】解：（1）由数列{an}的定义得a1=1，a2=﹣2，a3=﹣2，a4=3， a5=3，a6=3，a7=﹣4，a8=﹣4，a9=﹣4，a10=﹣4，a11=5， 所以S1=1，S2=﹣1，S3=﹣3，S4=0，S5=3，S6=6，S7=2， S8=﹣2，S9=﹣6，S10=﹣10，S11=﹣5， 从而S1=a1，S4=0•a4，S5=a5，S6=2a6，S11=﹣a11， 所以集合P11中元素的个数为5； （2）先证：Si（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N\*）． 事实上，①当i=1时，Si（2i+1）=S3=﹣3，﹣i（2i+1）=﹣3，故原等式成立； ②假设i=m时成立，即Sm（2m+1）=﹣m（2m+1），则i=m+1时， S（m+1）（2m+3）=Sm（2m+1）+（2m+1）2﹣（2m+2）2=﹣m（2m+1）﹣4m﹣3 =﹣（2m2+5m+3）=﹣（m+1）（2m+3）． 综合①②可得Si（2i+1）=﹣i（2i+1）．于是S（i+1）（2i+1）=Si（2i+1）+（2i+1）2 =﹣i（2i+1）+（2i+1）2=（2i+1）（i+1）． 由上可知Si（2i+1）是2i+1的倍数，而ai（2i+1）+j=2i+1（j=1，2，...，2i+1）， 所以Si（2i+1）+j=Si（2i+1）+j（2i+1）是ai（2i+1）+j（j=1，2，...，2i+1）的倍数． 又S（i+1）（2i+1）=（i+1）•（2i+1）不是2i+2的倍数， 而a（i+1）（2i+1）+j=﹣（2i+2）（j=1，2，...，2i+2）， 所以S（i+1）（2i+1）+j=S（i+1）（2i+1）﹣j（2i+2）=（2i+1）（i+1）﹣j（2i+2） 不是a（i+1）（2i+1）+j（j=1，2，...，2i+2）的倍数， 故当l=i（2i+1）时，集合Pl中元素的个数为1+3+...+（2i﹣1）=i2， 于是，当l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）时，集合Pl中元素的个数为i2+j． 又2000=31×（2×31+1）+47， 故集合P2 000中元素的个数为312+47=1008． 【点评】本题考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识，考查探究能力，以及运用数学归纳法的推理论证能力，有一定的难度． 　 　 　 　 2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） --------------------------------------------- **参考答案与试题解析** **一、选择题（共12小题，每小题5分）** 1．（5分）已知集合A={x\|x^2^﹣2x﹣3≥0}，B={x\|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（　　） A．\[1，2） B．\[﹣1，1\] C．\[﹣1，2） D．\[﹣2，﹣1\] 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可． 【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0， 解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1\]∪\[3，+∞）， ∵B=\[﹣2，2）， ∴A∩B=\[﹣2，﹣1\]． 故选：D． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 2．（5分）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15724.png){width="0.5625in" height="0.48125in"}=（　　） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】5N：数系的扩充和复数． 【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15724.png){width="0.5625in" height="0.48125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15725.png){width="0.6381944444444444in" height="0.3659722222222222in"}=﹣（1+i）=﹣1﹣i， 故选：D． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 　 3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）•g（x）是偶函数 B．\|f（x）\|•g（x）是奇函数 C．f（x）•\|g（x）\|是奇函数 D．\|f（x）•g（x）\|是奇函数 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论． 【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）， f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误， \|f（﹣x）\|•g（﹣x）=\|f（x）\|•g（x）为偶函数，故B错误， f（﹣x）•\|g（﹣x）\|=﹣f（x）•\|g（x）\|是奇函数，故C正确． \|f（﹣x）•g（﹣x）\|=\|f（x）•g（x）\|为偶函数，故D错误， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键． 　 4．（5分）已知F为双曲线C：x^2^﹣my^2^=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15726.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"} B．3 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15726.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}m D．3m 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论． 【解答】解：双曲线C：x^2^﹣my^2^=3m（m＞0）可化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15727.png){width="0.7409722222222223in" height="0.4361111111111111in"}， ∴一个焦点为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15728.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}，0），一条渐近线方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15729.png){width="0.5in" height="0.19791666666666666in"}=0， ∴点F到C的一条渐近线的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15730.png){width="0.48819444444444443in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15731.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题． 　 5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9217.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15732.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9216.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15733.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} 【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5I：概率与统计． 【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可． 【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有2^4^=16种情况， 周六、周日都有同学参加公益活动，共有2^4^﹣2=16﹣2=14种情况， ∴所求概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15734.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15733.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}． 故选：D． 【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数． 　 6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在\[0，π\]的图象大致为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15735.png){width="1.3854166666666667in" height="1.1666666666666667in"} A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15736.png){width="1.5833333333333333in" height="0.9583333333333334in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15737.png){width="1.5833333333333333in" height="0.9583333333333334in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15738.png){width="1.5520833333333333in" height="0.9583333333333334in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15739.png){width="1.5833333333333333in" height="0.9583333333333334in"} 【考点】3P：抽象函数及其应用．菁优网版权所有 【专题】57：三角函数的图像与性质． 【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择． 【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=\|cosx\|， ∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM\|sinx\| =\|cosx\|•\|sinx\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15740.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}\|sin2x\|， 其周期为T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15741.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15740.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，最小值为0， 故选：C． 【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用． 　 7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15742.png){width="1.9583333333333333in" height="3.6465277777777776in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15743.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15744.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15745.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15746.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值． 【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15747.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15748.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，a=2，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15748.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，n=2； 第二次循环M=2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15749.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15750.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15748.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15750.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，n=3； 第三次循环M=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15748.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15751.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15752.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15753.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15752.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，n=4． 不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15752.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}． 故选：D． 【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法． 　 8．（5分）设α∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15754.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}），β∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15754.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}），且tanα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15755.png){width="0.6381944444444444in" height="0.3659722222222222in"}，则（　　） A．3α﹣β=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15756.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} B．3α+β=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15756.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} C．2α﹣β=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15756.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} D．2α+β=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15756.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} 【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求． 【解答】解：由tanα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15757.png){width="0.6381944444444444in" height="0.3659722222222222in"}，得： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15758.png){width="1.2097222222222221in" height="0.3659722222222222in"}， 即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα， sin（α﹣β）=cosα=sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15759.png){width="0.48819444444444443in" height="0.3659722222222222in"}）， ∵α∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15760.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}），β∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15760.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}）， ∴当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15761.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3659722222222222in"}时，sin（α﹣β）=sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15759.png){width="0.48819444444444443in" height="0.3659722222222222in"}）=cosα成立． 故选：C． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题． 　 9．（5分）不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15762.png){width="0.7083333333333334in" height="0.41805555555555557in"}的解集记为D，有下列四个命题： p~1~：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p~2~：∃（x，y）∈D，x+2y≥2 p~3~：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p~4~：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1 其中真命题是（　　） A．p~2~，p~3~ B．p~1~，p~4~ C．p~1~，p~2~ D．p~1~，p~3~ 【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑． 【分析】作出不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15763.png){width="0.7083333333333334in" height="0.41805555555555557in"}的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可． 【解答】解：作出图形如下： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15764.png){width="3.4277777777777776in" height="2.46875in"} 由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域， p~1~：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立； p~2~：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p~2~：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确； p~3~：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p~3~：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误； p~4~：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p~4~：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误； 综上所述，p~1~、p~2~正确； 故选：C． 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题． 　 10．（5分）已知抛物线C：y^2^=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15765.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15766.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}，则\|QF\|=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15767.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} B．3 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15768.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} D．2 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求得直线PF的方程，与y^2^=8x联立可得x=1，利用\|QF\|=d可求． 【解答】解：设Q到l的距离为d，则\|QF\|=d， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15769.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15770.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}， ∴\|PQ\|=3d， ∴不妨设直线PF的斜率为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15771.png){width="0.4479166666666667in" height="0.3840277777777778in"}=﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15772.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}， ∵F（2，0）， ∴直线PF的方程为y=﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15772.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}（x﹣2）， 与y^2^=8x联立可得x=1， ∴\|QF\|=d=1+2=3， 故选：B． 【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题． 　 11．（5分）已知函数f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1，若f（x）存在唯一的零点x~0~，且x~0~＞0，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2） 【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用． 【分析】由题意可得f′（x）=3ax^2^﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可． 【解答】解：∵f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1， ∴f′（x）=3ax^2^﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1； ①当a=0时，f（x）=﹣3x^2^+1有两个零点，不成立； ②当a＞0时，f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立； ③当a＜0时，f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1在（0，+∞）上有且只有一个零点； 故f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1在（﹣∞，0）上没有零点； 而当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15773.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}时，f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1在（﹣∞，0）上取得最小值； 故f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15773.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15774.png){width="0.22777777777777777in" height="0.4263888888888889in"}﹣3•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15775.png){width="0.22777777777777777in" height="0.4263888888888889in"}+1＞0； 故a＜﹣2； 综上所述， 实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）； 故选：D． 【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题． 　 12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15776.png){width="2.125in" height="2.1041666666666665in"} A．6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15777.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"} B．6 C．4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15777.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"} D．4 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可． 【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15778.png){width="1.511111111111111in" height="0.25in"}．AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15779.png){width="0.96875in" height="0.2708333333333333in"}=6，AD=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13681.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}， 显然AC最长．长为6． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15780.png){width="1.09375in" height="1.21875in"} 【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力． 　 **二、填空题（共4小题，每小题5分）** 13．（5分）（x﹣y）（x+y）^8^的展开式中x^2^y^7^的系数为[　﹣20　]{.underline}．（用数字填写答案） 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5P：二项式定理． 【分析】由题意依次求出（x+y）^8^中xy^7^，x^2^y^6^，项的系数，求和即可． 【解答】解：（x+y）^8^的展开式中，含xy^7^的系数是：8． 含x^2^y^6^的系数是28， ∴（x﹣y）（x+y）^8^的展开式中x^2^y^7^的系数为：8﹣28=﹣20． 故答案为：﹣20 【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力． 　 14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为[　A　]{.underline}． 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 【专题】5M：推理和证明． 【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论． 【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市， 但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为A． 故答案为：A． 【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题． 　 15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15781.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15782.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15783.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15784.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15783.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15785.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}的夹角为[　90°　]{.underline}． 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论． 【解答】解：在圆中若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15786.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15787.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15788.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15785.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}）， 即2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15786.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15788.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15785.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15789.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15790.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}的和向量是过A，O的直径， 则以AB，AC为邻边的四边形是矩形， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15789.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15790.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15789.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15790.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}的夹角为90°， 故答案为：90° 【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础． 　 16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15791.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；58：解三角形． 【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b^2^=c^2^﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC ⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c ⇒2a﹣2b+ab﹣b^2^=c^2^﹣bc， 又因为：a=2， 所以：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15792.png){width="4.490277777777778in" height="0.4263888888888889in"}， △ABC面积![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15793.png){width="1.3555555555555556in" height="0.3840277777777778in"}， 而b^2^+c^2^﹣a^2^=bc ⇒b^2^+c^2^﹣bc=a^2^ ⇒b^2^+c^2^﹣bc=4 ⇒bc≤4 所以：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15794.png){width="1.7305555555555556in" height="0.3840277777777778in"}，即△ABC面积的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15795.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15795.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 　 **三、解答题** 17．（12分）已知数列{a~n~}的前n项和为S~n~，a~1~=1，a~n~≠0，a~n~a~n+1~=λS~n~﹣1，其中λ为常数． （Ⅰ）证明：a~n+2~﹣a~n~=λ （Ⅱ）是否存在λ，使得{a~n~}为等差数列？并说明理由． 【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）利用a~n~a~n+1~=λS~n~﹣1，a~n+1~a~n+2~=λS~n+1~﹣1，相减即可得出； （Ⅱ）假设存在λ，使得{a~n~}为等差数列，设公差为d．可得λ=a~n+2~﹣a~n~=（a~n+2~﹣a~n+1~）+（a~n+1~﹣a~n~）=2d，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15796.png){width="0.40625in" height="0.3659722222222222in"}．得到λS~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15797.png){width="1.90625in" height="0.4263888888888889in"}，根据{a~n~}为等差数列的充要条件是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15798.png){width="0.6965277777777777in" height="0.5923611111111111in"}，解得λ即可． 【解答】（Ⅰ）证明：∵a~n~a~n+1~=λS~n~﹣1，a~n+1~a~n+2~=λS~n+1~﹣1， ∴a~n+1~（a~n+2~﹣a~n~）=λa~n+1~ ∵a~n+1~≠0， ∴a~n+2~﹣a~n~=λ． （Ⅱ）解：假设存在λ，使得{a~n~}为等差数列，设公差为d． 则λ=a~n+2~﹣a~n~=（a~n+2~﹣a~n+1~）+（a~n+1~﹣a~n~）=2d， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15799.png){width="0.40625in" height="0.3659722222222222in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15800.png){width="1.1055555555555556in" height="0.3659722222222222in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15801.png){width="0.9048611111111111in" height="0.3659722222222222in"}， ∴λS~n~=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15802.png){width="1.75in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15803.png){width="1.90625in" height="0.4263888888888889in"}， 根据{a~n~}为等差数列的充要条件是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15804.png){width="0.6965277777777777in" height="0.5923611111111111in"}，解得λ=4． 此时可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15805.png){width="0.48819444444444443in" height="0.2798611111111111in"}，a~n~=2n﹣1． 因此存在λ=4，使得{a~n~}为等差数列． 【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题． 　 18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15806.png){width="4.136111111111111in" height="2.2395833333333335in"} （Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15807.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}和样本方差s^2^（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ^2^），其中μ近似为样本平均数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15807.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}，σ^2^近似为样本方差s^2^． （i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）； （ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX． 附：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15808.png){width="0.3770833333333333in" height="0.1875in"}≈12.2． 若Z～N（μ，σ^2^）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544． 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出； （Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据； （ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得． 【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15809.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}和样本方差s^2^分别为： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15809.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200， s^2^=（﹣30）^2^×0.02+（﹣20）^2^×0.09+（﹣10）^2^×0.22+0×0.33+10^2^×0.24+20^2^×0.08+30^2^×0.02=150． （Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826； （ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826， 依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26． 【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力． 　 19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧面BB~1~C~1~C为菱形，AB⊥B~1~C． （Ⅰ）证明：AC=AB~1~； （Ⅱ）若AC⊥AB~1~，∠CBB~1~=60°，AB=BC，求二面角A﹣A~1~B~1~﹣C~1~的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15810.png){width="2.6152777777777776in" height="1.5729166666666667in"} 【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】5H：空间向量及应用． 【分析】（1）连结BC~1~，交B~1~C于点O，连结AO，可证B~1~C⊥平面ABO，可得B~1~C⊥AO，B~1~0=CO，进而可得AC=AB~1~； （2）以O为坐标原点，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15811.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}的方向为x轴的正方向，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15811.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}\|为单位长度，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15812.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}的方向为y轴的正方向，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15813.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值． 【解答】解：（1）连结BC~1~，交B~1~C于点O，连结AO， ∵侧面BB~1~C~1~C为菱形， ∴BC~1~⊥B~1~C，且O为BC~1~和B~1~C的中点， 又∵AB⊥B~1~C，∴B~1~C⊥平面ABO， ∵AO⊂平面ABO，∴B~1~C⊥AO， 又B~1~0=CO，∴AC=AB~1~， （2）∵AC⊥AB~1~，且O为B~1~C的中点，∴AO=CO， 又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB， ∴OA，OB，OB~1~两两垂直， 以O为坐标原点，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15811.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}的方向为x轴的正方向，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15814.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}\|为单位长度， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15815.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}的方向为y轴的正方向，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15816.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系， ∵∠CBB~1~=60°，∴△CBB~1~为正三角形，又AB=BC， ∴A（0，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15817.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}），B（1，0，0，），B~1~（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15817.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}，0），C（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15818.png){width="0.34375in" height="0.3840277777777778in"}，0） ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15819.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15817.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15820.png){width="0.34375in" height="0.3840277777777778in"}），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15821.png){width="0.3840277777777778in" height="0.2708333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15822.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=（1，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15820.png){width="0.34375in" height="0.3840277777777778in"}），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15823.png){width="0.3840277777777778in" height="0.2708333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15824.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=（﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15820.png){width="0.34375in" height="0.3840277777777778in"}，0）， 设向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15825.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=（x，y，z）是平面AA~1~B~1~的法向量， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15826.png){width="1.65625in" height="0.8347222222222223in"}，可取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15825.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15827.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15827.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）， 同理可得平面A~1~B~1~C~1~的一个法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15828.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=（1，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15829.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15829.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）， ∴cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15830.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15831.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15832.png){width="0.6381944444444444in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15833.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}， ∴二面角A﹣A~1~B~1~﹣C~1~的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15833.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} 【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题． 　 20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15834.png){width="0.22777777777777777in" height="0.48125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15835.png){width="0.22777777777777777in" height="0.48819444444444443in"}=1（a＞b＞0）的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15836.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15837.png){width="0.34375in" height="0.3840277777777778in"}，O为坐标原点． （Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程； （Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~）将y=kx﹣2代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15838.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4263888888888889in"}，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出\|PQ\|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程． 【解答】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15839.png){width="0.5854166666666667in" height="0.3840277777777778in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15840.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15841.png){width="0.48125in" height="0.3840277777777778in"}， 所以a=2，b^2^=a^2^﹣c^2^=1，故E的方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15838.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4263888888888889in"}．...．（5分） （Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~） 将y=kx﹣2代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15838.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4263888888888889in"}，得（1+4k^2^）x^2^﹣16kx+12=0， 当△=16（4k^2^﹣3）＞0，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15842.png){width="0.5222222222222223in" height="0.3659722222222222in"}时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15843.png){width="1.5520833333333333in" height="0.5in"} 从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15844.png){width="3.0097222222222224in" height="0.5in"} 又点O到直线PQ的距离![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15845.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，所以△OPQ的面积![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15846.png){width="1.1354166666666667in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15847.png){width="0.7305555555555555in" height="0.5in"}， 设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15848.png){width="0.7826388888888889in" height="0.25in"}，则t＞0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15849.png){width="1.7083333333333333in" height="0.5625in"}， 当且仅当t=2，k=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15850.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}等号成立，且满足△＞0， 所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15850.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}x﹣2或y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15851.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}x﹣2．...（12分） 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力． 　 21．（12分）设函数f（x）=ae^x^lnx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15852.png){width="0.4479166666666667in" height="0.4263888888888889in"}，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2． （Ⅰ）求a、b； （Ⅱ）证明：f（x）＞1． 【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe^﹣x^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15853.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15854.png){width="0.6041666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，只需证明g（x）~min~＞h（x）~max~，利用导数可分别求得g（x）~min~，h（x）~max~； 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15855.png){width="1.8243055555555556in" height="0.4263888888888889in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15856.png){width="0.5743055555555555in" height="0.3659722222222222in"}， 由题意可得f（1）=2，f′（1）=e， 故a=1，b=2； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e^x^lnx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15857.png){width="0.5743055555555555in" height="0.3659722222222222in"}， ∵f（x）＞1，∴e^x^lnx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15857.png){width="0.5743055555555555in" height="0.3659722222222222in"}＞1，∴lnx＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15858.png){width="0.22777777777777777in" height="0.4263888888888889in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15859.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}， ∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe^﹣x^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15860.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx， ∴当x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15861.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}）时，g′（x）＜0；当x∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15861.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，+∞）时，g′（x）＞0． 故g（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15861.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}）上单调递减，在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15861.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15861.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15861.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}． 设函数h（x）=xe^﹣x^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15860.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，则h′（x）=e^﹣x^（1﹣x）． ∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0， 故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15862.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}． 综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1． 【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力． 　 **选修4-1：几何证明选讲** 22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE． （Ⅰ）证明：∠D=∠E； （Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15863.png){width="1.9270833333333333in" height="1.5729166666666667in"} 【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；5M：推理和证明． 【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E； （Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形． 【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠D=∠CBE， ∵CB=CE， ∴∠E=∠CBE， ∴∠D=∠E； （Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC， ∴O在直线MN上， ∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M， ∴OM⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠A=∠CBE， ∵∠CBE=∠E， ∴∠A=∠E， 由（Ⅰ）知，∠D=∠E， ∴△ADE为等边三角形． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15864.png){width="1.9270833333333333in" height="1.5729166666666667in"} 【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 **选修4-4：坐标系与参数方程** 23．已知曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15865.png){width="0.22777777777777777in" height="0.4263888888888889in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15866.png){width="0.22777777777777777in" height="0.4361111111111111in"}=1，直线l：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15867.png){width="0.6263888888888889in" height="0.40625in"}（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求\|PA\|的最大值与最小值． 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】5S：坐标系和参数方程． 【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以 sin30°进一步得到\|PA\|，化积后由三角函数的范围求得\|PA\|的最大值与最小值． 【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15868.png){width="0.22777777777777777in" height="0.4263888888888889in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15869.png){width="0.22777777777777777in" height="0.4361111111111111in"}=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ， 故曲线C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15870.png){width="0.7930555555555555in" height="0.40625in"}，（θ为参数）． 对于直线l：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15871.png){width="0.9569444444444445in" height="0.40625in"}， 由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）． P到直线l的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15872.png){width="1.8645833333333333in" height="0.3840277777777778in"}． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15873.png){width="2.7909722222222224in" height="0.3840277777777778in"}，其中α为锐角． 当sin（θ+α）=﹣1时，\|PA\|取得最大值，最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15874.png){width="0.4263888888888889in" height="0.3840277777777778in"}． 当sin（θ+α）=1时，\|PA\|取得最小值，最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15875.png){width="0.34375in" height="0.3840277777777778in"}． 【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题． 　 **选修4-5：不等式选讲** 24．若a＞0，b＞0，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15876.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15877.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15878.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}． （Ⅰ）求a^3^+b^3^的最小值； （Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由． 【考点】RI：平均值不等式．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a^3^+b^3^的最小值． （Ⅱ）根据 ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6． 【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15879.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15880.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15878.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15878.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15881.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15882.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15883.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3840277777777778in"}，∴ab≥2， 当且仅当a=b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15884.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}时取等号． ∵a^3^+b^3^ ≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15885.png){width="0.5520833333333334in" height="0.25in"}≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15886.png){width="0.3020833333333333in" height="0.25in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15884.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，当且仅当a=b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15887.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}时取等号， ∴a^3^+b^3^的最小值为4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15887.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}． （Ⅱ）∵2a+3b≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15888.png){width="0.5402777777777777in" height="0.1875in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15889.png){width="0.3770833333333333in" height="0.1875in"}，当且仅当2a=3b时，取等号． 而由（1）可知，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15889.png){width="0.3770833333333333in" height="0.1875in"}≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15890.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15891.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}＞6， 故不存在a，b，使得2a+3b=6成立． 【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题． 　 2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） --------------------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的** 1．（5分）已知集合M={x\|﹣1＜x＜3}，N={x\|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣2，3） 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】根据集合的基本运算即可得到结论． 【解答】解：M={x\|﹣1＜x＜3}，N={x\|﹣2＜x＜1}， 则M∩N={x\|﹣1＜x＜1}， 故选：B． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 　 2．（5分）若tanα＞0，则（　　） A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0 【考点】GC：三角函数值的符号．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案． 【解答】解：∵tanα＞0， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15892.png){width="0.7402777777777778in" height="0.36527777777777776in"}， 则sin2α=2sinαcosα＞0． 故选：C． 【点评】本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题． 　 3．（5分）设z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15893.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+i，则\|z\|=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15894.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15895.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15896.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} D．2 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数． 【分析】先求z，再利用求模的公式求出\|z\|． 【解答】解：z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15897.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+i=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15898.png){width="0.8861111111111111in" height="0.36527777777777776in"}+i=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15899.png){width="0.48055555555555557in" height="0.36527777777777776in"}． 故\|z\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15900.png){width="0.48055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15895.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 故选：B． 【点评】本题考查复数代数形式的运算，属于容易题． 　 4．（5分）已知双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15901.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15902.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（　　） A．2 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15903.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15904.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} D．1 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由双曲线方程找出a，b，c，代入离心率，从而求出a． 【解答】解：由题意， e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15905.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15906.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}=2， 解得，a=1． 故选：D． 【点评】本题考查了双曲线的定义，属于基础题． 　 5．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）•g（x）是偶函数 B．\|f（x）\|•g（x）是奇函数 C．f（x）•\|g（x）\|是奇函数 D．\|f（x）•g（x）\|是奇函数 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论． 【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）， f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误， \|f（﹣x）\|•g（﹣x）=\|f（x）\|•g（x）为偶函数，故B错误， f（﹣x）•\|g（﹣x）\|=﹣f（x）•\|g（x）\|是奇函数，故C正确． \|f（﹣x）•g（﹣x）\|=\|f（x）•g（x）\|为偶函数，故D错误， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键． 　 6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15907.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15908.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15909.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15910.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15909.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15911.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15910.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15911.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"} 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】利用向量加法的三角形法则，将![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15912.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15913.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}分解为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15914.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15915.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15916.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15917.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}的形式，进而根据D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案． 【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15912.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15913.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15914.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15918.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}）+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15919.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15920.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15918.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15920.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15921.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15922.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15923.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15924.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}， 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15925.png){width="2.09375in" height="1.7604166666666667in"} 【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则是解答的关键． 　 7．（5分）在函数①y=cos\|2x\|，②y=\|cosx\|，③y=cos（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15926.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），④y=tan（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15927.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）中，最小正周期为π的所有函数为（　　） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有 【专题】57：三角函数的图像与性质． 【分析】根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论． 【解答】解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15928.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=π， ②y=丨cosx丨的最小正周期为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15929.png){width="0.5409722222222222in" height="0.36527777777777776in"}=π， ③y=cos（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15930.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的最小正周期为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15928.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=π， ④y=tan（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15931.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的最小正周期为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15932.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15933.png){width="3.1256944444444446in" height="2.1875in"} 【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题． 　 8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15934.png){width="2.9902777777777776in" height="2.125in"} A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】由题意画出几何体的图形即可得到选项． 【解答】解：根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图， 可知几何体如图：几何体是三棱柱． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15935.png){width="1.9270833333333333in" height="1.5520833333333333in"} 【点评】本题考查三视图复原几何体的直观图的判断方法，考查空间想象能力． 　 9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15936.png){width="1.9583333333333333in" height="3.6465277777777776in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15937.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15938.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15939.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15940.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值． 【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15941.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15942.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，a=2，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15942.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，n=2； 第二次循环M=2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15943.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15944.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15942.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15944.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，n=3； 第三次循环M=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15942.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15945.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15946.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15947.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15946.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，n=4． 不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15946.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：D． 【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法． 　 10．（5分）已知抛物线C：y^2^=x的焦点为F，A（x~0~，y~0~）是C上一点，AF=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15948.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x~0~\|，则x~0~=（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出． 【解答】解：抛物线C：y^2^=x的焦点为F![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15949.png){width="0.5930555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， ∵A（x~0~，y~0~）是C上一点，AF=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15950.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x~0~\|，x~0~＞0． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15951.png){width="0.3326388888888889in" height="0.36527777777777776in"}=x~0~+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15952.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 解得x~0~=1． 故选：A． 【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题． 　 11．（5分）设x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15953.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4173611111111111in"}且z=x+ay的最小值为7，则a=（　　） A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3 【考点】7F：基本不等式及其应用．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】如图所示，当a≥1时，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15954.png){width="0.6256944444444444in" height="0.4173611111111111in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15955.png){width="1.0833333333333333in" height="0.36527777777777776in"}．当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，同理对a＜1得出． 【解答】解：如图所示， 当a≥1时，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15954.png){width="0.6256944444444444in" height="0.4173611111111111in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15956.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15957.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15958.png){width="1.0833333333333333in" height="0.36527777777777776in"}． 当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15959.png){width="1.1465277777777778in" height="0.36527777777777776in"}，化为a^2^+2a﹣15=0， 解得a=3，a=﹣5舍去． 当a＜1时，不符合条件． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15960.png){width="2.761111111111111in" height="2.1666666666666665in"} 【点评】本题考查了线性规划的有关知识、直线的斜率与交点，考查了数形结合的思想方法，属于中档题． 　 12．（5分）已知函数f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1，若f（x）存在唯一的零点x~0~，且x~0~＞0，则实数a的取值范围是（　　） A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2） 【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用． 【分析】由题意可得f′（x）=3ax^2^﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可． 【解答】解：∵f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1， ∴f′（x）=3ax^2^﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1； ①当a=0时，f（x）=﹣3x^2^+1有两个零点，不成立； ②当a＞0时，f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立； ③当a＜0时，f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1在（0，+∞）上有且只有一个零点； 故f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1在（﹣∞，0）上没有零点； 而当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15961.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时，f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1在（﹣∞，0）上取得最小值； 故f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15961.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15962.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣3•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15963.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+1＞0； 故a＜﹣2； 综上所述， 实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）； 故选：D． 【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题． 　 **二、填空题：本大题共4小题，每小题5分** 13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15964.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可． 【解答】解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15965.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=6种结果， 其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故本数学书相邻的概率P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15966.png){width="0.37569444444444444in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15964.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件． 　 14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为[　A　]{.underline}． 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 【专题】5M：推理和证明． 【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论． 【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市， 但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为A． 故答案为：A． 【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题． 　 15．（5分）设函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15967.png){width="1.1243055555555554in" height="0.6861111111111111in"}，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是[　x≤8　]{.underline}． 【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用． 【分析】利用分段函数，结合f（x）≤2，解不等式，即可求出使得f（x）≤2成立的x的取值范围． 【解答】解：x＜1时，e^x﹣1^≤2， ∴x≤ln2+1， ∴x＜1； x≥1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15968.png){width="0.22847222222222222in" height="0.38472222222222224in"}≤2， ∴x≤8， ∴1≤x≤8， 综上，使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8． 故答案为：x≤8． 【点评】本题考查不等式的解法，考查分段函数，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=[　150　]{.underline}m． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15969.png){width="1.5416666666666667in" height="1.375in"} 【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有 【专题】12：应用题；58：解三角形． 【分析】△ABC中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得 AC；△AMC中，由条件利用正弦定理求得AM；Rt△AMN中，根据MN=AM•sin∠MAN，计算求得结果． 【解答】解：△ABC中，∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=100， ∴AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15970.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}=100![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15971.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． △AMC中，∵∠MAC=75°，∠MCA=60°， ∴∠AMC=45°，由正弦定理可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15972.png){width="1.3743055555555554in" height="0.38472222222222224in"}，解得AM=100![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15973.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． Rt△AMN中，MN=AM•sin∠MAN=100![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15973.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}×sin60°=150（m）， 故答案为：150． 【点评】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题． 　 **三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤** 17．（12分）已知{a~n~}是递增的等差数列，a~2~，a~4~是方程x^2^﹣5x+6=0的根． （1）求{a~n~}的通项公式； （2）求数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15974.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}}的前n项和． 【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a~2~，a~4~的值，从而解出通项； （2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和． 【解答】解：（1）方程x^2^﹣5x+6=0的根为2，3．又{a~n~}是递增的等差数列， 故a~2~=2，a~4~=3，可得2d=1，d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15975.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 故a~n~=2+（n﹣2）×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15975.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15975.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}n+1， （2）设数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15976.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}}的前n项和为S~n~， S~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15977.png){width="1.9166666666666667in" height="0.48055555555555557in"}，① ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15975.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}S~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15978.png){width="2.051388888888889in" height="0.48055555555555557in"}，② ①﹣②得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15979.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}S~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15980.png){width="2.5in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15981.png){width="1.9583333333333333in" height="0.8229166666666666in"}， 解得S~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15982.png){width="1.5520833333333333in" height="0.42569444444444443in"}=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15983.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}． 【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式． 　 18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： ---------------- ------------ ------------ ------------- -------------- -------------- 质量指标值分组 \[75，85） \[85，95） \[95，105） \[105，115） \[115，125） 频数 6 26 38 22 8 ---------------- ------------ ------------ ------------- -------------- -------------- （1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图； ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15984.png){width="2.823611111111111in" height="2.9694444444444446in"} （2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合"质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%"的规定？ 【考点】B8：频率分布直方图；BC：极差、方差与标准差．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（1）根据频率分布直方图做法画出即可； （2）用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可． （3）求出质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值，再和0.8比较即可． 【解答】解：（1）频率分布直方图如图所示： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15985.png){width="2.823611111111111in" height="2.9694444444444446in"} （2）质量指标的样本平均数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15986.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100， 质量指标的样本的方差为S^2^=（﹣20）^2^×0.06+（﹣10）^2^×0.26+0×0.38+10^2^×0.22+20^2^×0.08=104， 这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104． （3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68， 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合"质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%"的规定． 【点评】本题主要考查了频率分布直方图，样本平均数和方差，考查了学习的细心的绘图能力和精确的计算能力． 　 19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧面BB~1~C~1~C为菱形，B~1~C的中点为O，且AO⊥平面BB~1~C~1~C． （1）证明：B~1~C⊥AB； （2）若AC⊥AB~1~，∠CBB~1~=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的高． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15987.png){width="1.9583333333333333in" height="0.9895833333333334in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）连接BC~1~，则O为B~1~C与BC~1~的交点，证明B~1~C⊥平面ABO，可得B~1~C⊥AB； （2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，证明△CBB~1~为等边三角形，求出B~1~到平面ABC的距离，即可求三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的高． 【解答】（1）证明：连接BC~1~，则O为B~1~C与BC~1~的交点， ∵侧面BB~1~C~1~C为菱形， ∴BC~1~⊥B~1~C， ∵AO⊥平面BB~1~C~1~C， ∴AO⊥B~1~C， ∵AO∩BC~1~=O， ∴B~1~C⊥平面ABO， ∵AB⊂平面ABO， ∴B~1~C⊥AB； （2）解：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H， ∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O， ∴BC⊥平面AOD， ∴OH⊥BC， ∵OH⊥AD，BC∩AD=D， ∴OH⊥平面ABC， ∵∠CBB~1~=60°， ∴△CBB~1~为等边三角形， ∵BC=1，∴OD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15988.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∵AC⊥AB~1~，∴OA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15989.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}B~1~C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15989.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 由OH•AD=OD•OA，可得AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15990.png){width="0.7819444444444444in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15991.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，∴OH=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15992.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}， ∵O为B~1~C的中点， ∴B~1~到平面ABC的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15993.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}， ∴三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的高![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15993.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image15994.png){width="1.8333333333333333in" height="1.0625in"} 【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x^2^+y^2^﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点． （1）求M的轨迹方程； （2）当\|OP\|=\|OM\|时，求l的方程及△POM的面积． 【考点】%H：三角形的面积公式；J3：轨迹方程．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15995.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15996.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}数量积等于0列式得M的轨迹方程； （2）设M的轨迹的圆心为N，由\|OP\|=\|OM\|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案． 【解答】解：（1）由圆C：x^2^+y^2^﹣8y=0，得x^2^+（y﹣4）^2^=16， ∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4． 设M（x，y），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15997.png){width="0.9576388888888889in" height="0.22847222222222222in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15998.png){width="1.1243055555555554in" height="0.22847222222222222in"}． 由题意可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15999.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20902777777777778in"}． 即x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0． 整理得：（x﹣1）^2^+（y﹣3）^2^=2． ∴M的轨迹方程是（x﹣1）^2^+（y﹣3）^2^=2． （2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16000.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}为半径的圆， 由于\|OP\|=\|OM\|， 故O在线段PM的垂直平分线上， 又P在圆N上， 从而ON⊥PM． ∵k~ON~=3， ∴直线l的斜率为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16001.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． ∴直线PM的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16002.png){width="1.0097222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，即x+3y﹣8=0． 则O到直线l的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16003.png){width="1.1569444444444446in" height="0.46944444444444444in"}． 又N到l的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16004.png){width="1.5631944444444446in" height="0.40625in"}， ∴\|PM\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16005.png){width="1.0013888888888889in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16006.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16007.png){width="2.2506944444444446in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题． 　 21．（12分）设函数f（x）=alnx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16008.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}x^2^﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0， （1）求b； （2）若存在x~0~≥1，使得f（x~0~）＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16009.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，求a的取值范围． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】53：导数的综合应用． 【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出； （2）对a分类讨论：当a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16010.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}时，当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16011.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}a＜1时，当a＞1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出． 【解答】解：（1）f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16012.png){width="0.9055555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（x＞0）， ∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0， ∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1． （2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16013.png){width="0.6861111111111111in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16014.png){width="1.5215277777777778in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16015.png){width="1.5631944444444446in" height="0.36527777777777776in"}． ①当a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16016.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}时，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16017.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}， 则当x＞1时，f′（x）＞0， ∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增， ∴存在x~0~≥1，使得f（x~0~）＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16018.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}的充要条件是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16019.png){width="0.8229166666666666in" height="0.36527777777777776in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16020.png){width="0.9576388888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16021.png){width="1.3131944444444446in" height="0.20902777777777778in"}； ②当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16022.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}a＜1时，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16023.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}， 则当x∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16024.png){width="0.7597222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，f′（x）＜0，函数f（x）在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16024.png){width="0.7597222222222222in" height="0.36527777777777776in"}上单调递减； 当x∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16025.png){width="0.9270833333333334in" height="0.36527777777777776in"}时，f′（x）＞0，函数f（x）在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16025.png){width="0.9270833333333334in" height="0.36527777777777776in"}上单调递增． ∴存在x~0~≥1，使得f（x~0~）＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16026.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}的充要条件是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16027.png){width="1.0618055555555554in" height="0.36527777777777776in"}， 而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16028.png){width="0.5930555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16029.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16030.png){width="1.4479166666666667in" height="0.42569444444444443in"}，不符合题意，应舍去． ③若a＞1时，f（1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16031.png){width="1.4479166666666667in" height="0.36527777777777776in"}，成立． 综上可得：a的取值范围是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16032.png){width="2.0625in" height="0.20902777777777778in"}． 【点评】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 　 **请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。【选修4-1：几何证明选讲】** 22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE． （Ⅰ）证明：∠D=∠E； （Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16033.png){width="1.9270833333333333in" height="1.5729166666666667in"} 【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；5M：推理和证明． 【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E； （Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形． 【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠D=∠CBE， ∵CB=CE， ∴∠E=∠CBE， ∴∠D=∠E； （Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC， ∴O在直线MN上， ∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M， ∴OM⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠A=∠CBE， ∵∠CBE=∠E， ∴∠A=∠E， 由（Ⅰ）知，∠D=∠E， ∴△ADE为等边三角形． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16034.png){width="1.9270833333333333in" height="1.5729166666666667in"} 【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 **【选修4-4：坐标系与参数方程】** 23．已知曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16035.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16036.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1，直线l：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16037.png){width="0.6256944444444444in" height="0.40625in"}（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求\|PA\|的最大值与最小值． 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】5S：坐标系和参数方程． 【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以 sin30°进一步得到\|PA\|，化积后由三角函数的范围求得\|PA\|的最大值与最小值． 【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16038.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16039.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ， 故曲线C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16040.png){width="0.7923611111111111in" height="0.40625in"}，（θ为参数）． 对于直线l：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16041.png){width="0.9576388888888889in" height="0.40625in"}， 由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）． P到直线l的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16042.png){width="1.8645833333333333in" height="0.38472222222222224in"}． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16043.png){width="2.7909722222222224in" height="0.38472222222222224in"}，其中α为锐角． 当sin（θ+α）=﹣1时，\|PA\|取得最大值，最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16044.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}． 当sin（θ+α）=1时，\|PA\|取得最小值，最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16045.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题． 　 **【选修4-5：不等式选讲】** 24．若a＞0，b＞0，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16046.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16047.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16048.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}． （Ⅰ）求a^3^+b^3^的最小值； （Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由． 【考点】RI：平均值不等式．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a^3^+b^3^的最小值． （Ⅱ）根据 ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6． 【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16049.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16050.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16048.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16048.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16051.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16052.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16053.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}，∴ab≥2， 当且仅当a=b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16054.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}时取等号． ∵a^3^+b^3^ ≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16055.png){width="0.5520833333333334in" height="0.25in"}≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16056.png){width="0.3020833333333333in" height="0.25in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16054.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，当且仅当a=b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16057.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}时取等号， ∴a^3^+b^3^的最小值为4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16057.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． （Ⅱ）∵2a+3b≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16058.png){width="0.5409722222222222in" height="0.1875in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16059.png){width="0.37569444444444444in" height="0.1875in"}，当且仅当2a=3b时，取等号． 而由（1）可知，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16059.png){width="0.37569444444444444in" height="0.1875in"}≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16060.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16061.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}＞6， 故不存在a，b，使得2a+3b=6成立． 【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题． 2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） --------------------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.** 1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x\|x^2^﹣3x+2≤0}，则M∩N=（　　） A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论． 【解答】解：∵N={x\|x^2^﹣3x+2≤0}={x\|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x\|1≤x≤2}， ∴M∩N={1，2}， 故选：D． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 　 2．（5分）设复数z~1~，z~2~在复平面内的对应点关于虚轴对称，z~1~=2+i，则z~1~z~2~=（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】5N：数系的扩充和复数． 【分析】根据复数的几何意义求出z~2~，即可得到结论． 【解答】解：z~1~=2+i对应的点的坐标为（2，1）， ∵复数z~1~，z~2~在复平面内的对应点关于虚轴对称， ∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1）， 则对应的复数，z~2~=﹣2+i， 则z~1~z~2~=（2+i）（﹣2+i）=i^2^﹣4=﹣1﹣4=﹣5， 故选：A． 【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础． 　 3．（5分）设向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16062.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16063.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16062.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16063.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16064.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16062.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16063.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16065.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16062.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16066.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}=（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论． 【解答】解：∵\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16067.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16066.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16068.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16067.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16066.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16069.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}， ∴分别平方得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16070.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16071.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16072.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16073.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=10，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16070.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16071.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16072.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16073.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=6， 两式相减得4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16071.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16072.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}=10﹣6=4， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16074.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16075.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}=1， 故选：A． 【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础． 　 4．（5分）钝角三角形ABC的面积是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16076.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，AB=1，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16077.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，则AC=（　　） A．5 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16078.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"} C．2 D．1 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可． 【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10766.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，AB=c=1，BC=a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16079.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}， ∴S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10766.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}acsinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10766.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，即sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16080.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}， 当B为钝角时，cosB=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16081.png){width="0.7597222222222222in" height="0.25in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16080.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}， 利用余弦定理得：AC^2^=AB^2^+BC^2^﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16082.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}， 当B为锐角时，cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16081.png){width="0.7597222222222222in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16083.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}， 利用余弦定理得：AC^2^=AB^2^+BC^2^﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1， 此时AB^2^+AC^2^=BC^2^，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去， 则AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16084.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}． 故选：B． 【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 　 5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（　　） A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值． 【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6， 解得p=0.8， 故选：A． 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题． 　 6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16085.png){width="3.0006944444444446in" height="2.7715277777777776in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16086.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16087.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16088.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16089.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可． 【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4， 组合体体积是：3^2^π•2+2^2^π•4=34π．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16090.png){width="0.8854166666666666in" height="0.7083333333333334in"} 底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：3^2^π×6=54π 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16091.png){width="0.8in" height="0.36666666666666664in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16092.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}． 故选：C． 【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16093.png){width="2.667361111111111in" height="3.823611111111111in"} A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】5K：算法和程序框图． 【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论． 【解答】解：若x=t=2， 则第一次循环，1≤2成立，则M=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16094.png){width="0.575in" height="0.36666666666666664in"}，S=2+3=5，k=2， 第二次循环，2≤2成立，则M=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16095.png){width="0.575in" height="0.36666666666666664in"}，S=2+5=7，k=3， 此时3≤2不成立，输出S=7， 故选：D． 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础． 　 8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】52：导数的概念及应用． 【分析】根据导数的几何意义，即f′（x~0~）表示曲线f（x）在x=x~0~处的切线斜率，再代入计算． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16096.png){width="0.8229166666666666in" height="0.36666666666666664in"}， ∴y′（0）=a﹣1=2， ∴a=3． 故选：D． 【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视． 　 9．（5分）设x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16097.png){width="0.875in" height="0.65625in"}，则z=2x﹣y的最大值为（　　） A．10 B．8 C．3 D．2 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）． 由z=2x﹣y得y=2x﹣z， 平移直线y=2x﹣z， 由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小， 此时z最大． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16098.png){width="0.7944444444444444in" height="0.41875in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16099.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}，即C（5，2） 代入目标函数z=2x﹣y， 得z=2×5﹣2=8． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16100.png){width="2.636111111111111in" height="2.2708333333333335in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 　 10．（5分）设F为抛物线C：y^2^=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16101.png){width="0.34375in" height="0.38333333333333336in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16102.png){width="0.34375in" height="0.38333333333333336in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16103.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16104.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案． 【解答】解：由y^2^=2px，得2p=3，p=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16105.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}， 则F（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16106.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，0）． ∴过A，B的直线方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16107.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16106.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}）， 即x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16108.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}y+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16106.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}． 联立 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16109.png){width="0.8229166666666666in" height="0.6666666666666666in"}，得4y^2^﹣12![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16108.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}y﹣9=0． 设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）， 则y~1~+y~2~=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16108.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，y~1~y~2~=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16110.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}． ∴S~△OAB~=S~△OAF~+S~△OFB~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image228.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image230.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}\|y~1~﹣y~2~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16111.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16112.png){width="1.4590277777777778in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16111.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16113.png){width="0.8875in" height="0.26944444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16114.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}． 故选：D． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题． 　 11．（5分）直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，∠BCA=90°，M，N分别是A~1~B~1~，A~1~C~1~的中点，BC=CA=CC~1~，则BM与AN所成角的余弦值为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16115.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16116.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16117.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38333333333333336in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16118.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"} 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值． 【解答】解：直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，∠BCA=90°，M，N分别是A~1~B~1~，A~1~C~1~的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16119.png){width="1.1354166666666667in" height="0.36666666666666664in"}，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO， ∵BC=CA=CC~1~， 设BC=CA=CC~1~=2，∴CO=1，AO=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16120.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，AN=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16120.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，MB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16121.png){width="0.95625in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16122.png){width="0.9041666666666667in" height="0.26944444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16123.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}， 在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16124.png){width="1.0729166666666667in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16125.png){width="0.9041666666666667in" height="0.38333333333333336in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16126.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38333333333333336in"}． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16127.png){width="1.59375in" height="1.8020833333333333in"} 【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用． 　 12．（5分）设函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16128.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16129.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36666666666666664in"}，若存在f（x）的极值点x~0~满足x~0~^2^+\[f（x~0~）\]^2^＜m^2^，则m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．菁优网版权所有 【专题】57：三角函数的图像与性质． 【分析】由题意可得，f（x~0~）=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16128.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，且 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16130.png){width="0.3958333333333333in" height="0.42569444444444443in"}=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16131.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}，k∈Z，再由题意可得当m^2^最小时，\|x~0~\|最小，而\|x~0~\|最小为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16132.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}\|m\|，可得m^2^ ＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16133.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}m^2^+3，由此求得m的取值范围． 【解答】解：由题意可得，f（x~0~）=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16134.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，即 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16130.png){width="0.3958333333333333in" height="0.42569444444444443in"}=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16131.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}，k∈z，即 x~0~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16135.png){width="0.38333333333333336in" height="0.36666666666666664in"}m． 再由x~0~^2^+\[f（x~0~）\]^2^＜m^2^，即x~0~^2^+3＜m^2^，可得当m^2^最小时，\|x~0~\|最小，而\|x~0~\|最小为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16136.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}\|m\|， ∴m^2^ ＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16137.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}m^2^+3，∴m^2^＞4． 求得 m＞2，或m＜﹣2， 故选：C． 【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题． 　 **二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题\~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题\~第24题为选考题，考生根据要求作答）** 13．（5分）（x+a）^10^的展开式中，x^7^的系数为15，则a=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16136.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}[　]{.underline}． 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】5P：二项式定理． 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x^7^的系数，再根据x^7^的系数为15，求得a的值． 【解答】解：（x+a）^10^的展开式的通项公式为 T~r+1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16138.png){width="0.2625in" height="0.2791666666666667in"}•x^10﹣r^•a^r^， 令10﹣r=7，求得r=3，可得x^7^的系数为a^3^•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16139.png){width="0.2625in" height="0.2791666666666667in"}=120a^3^=15， ∴a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16140.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16140.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 　 14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为[　1　]{.underline}． 【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值． 【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin\[（x+φ）+φ\]﹣2sinφcos（x+φ） =sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ =sin\[（x+φ）﹣φ\]=sinx， 故函数f（x）的最大值为1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题． 　 15．（5分）已知偶函数f（x）在\[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是[　（﹣1，3）　]{.underline}． 【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（\|x﹣1\|）＞f（2），即可得到结论． 【解答】解：∵偶函数f（x）在\[0，+∞）单调递减，f（2）=0， ∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2）， 即f（\|x﹣1\|）＞f（2）， ∴\|x﹣1\|＜2， 解得﹣1＜x＜3， 故答案为：（﹣1，3） 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（\|x﹣1\|）＞f（2）是解决本题的关键． 　 16．（5分）设点M（x~0~，1），若在圆O：x^2^+y^2^=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x~0~的取值范围是[　\[﹣1，1\]　]{.underline}． 【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x~0~，1）， 要使圆O：x^2^+y^2^=1上存在点N，使得∠OMN=45°， 则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°， 而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值， 此时MN=1， 图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1， ∴x~0~的取值范围是\[﹣1，1\]． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16141.png){width="2.5215277777777776in" height="2.40625in"} 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一． 　 **三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.** 17．（12分）已知数列{a~n~}满足a~1~=1，a~n+1~=3a~n~+1． （Ⅰ）证明{a~n~+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16142.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}}是等比数列，并求{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）证明：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16143.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16144.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16145.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16146.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}． 【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16147.png){width="0.36666666666666664in" height="0.4798611111111111in"}=常数，又首项不为0，所以为等比数列； 再根据等比数列的通项化式，求出{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）将![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16145.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式． 【解答】证明（Ⅰ）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16148.png){width="1.4368055555555554in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16149.png){width="0.7597222222222222in" height="0.7597222222222222in"}=3， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16150.png){width="0.6791666666666667in" height="0.36666666666666664in"}≠0， ∴数列{a~n~+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16151.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}}是以首项为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16152.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，公比为3的等比数列； ∴a~n~+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16151.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16153.png){width="0.65625in" height="0.36666666666666664in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16154.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16155.png){width="0.7083333333333334in" height="0.42569444444444443in"}； （Ⅱ）由（Ⅰ）知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16156.png){width="0.7416666666666667in" height="0.42569444444444443in"}， 当n≥2时，∵3^n^﹣1＞3^n^﹣3^n﹣1^，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16156.png){width="0.7416666666666667in" height="0.42569444444444443in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16157.png){width="0.65625in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16158.png){width="0.36666666666666664in" height="0.42569444444444443in"}， ∴当n=1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16159.png){width="0.71875in" height="0.42569444444444443in"}成立， 当n≥2时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16160.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16161.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16162.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}＜1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16163.png){width="0.575in" height="0.42569444444444443in"}...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16158.png){width="0.36666666666666664in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16164.png){width="0.6368055555555555in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16165.png){width="0.7416666666666667in" height="0.42569444444444443in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16166.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}． ∴对n∈N~+~时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16167.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16168.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16169.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16170.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}． 【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一， 通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题． 　 18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC； （Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16171.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，求三棱锥E﹣ACD的体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16172.png){width="2.2708333333333335in" height="1.5520833333333333in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC； （Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积． 【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO， ∵O为BD中点，E为PD中点， ∴EO∥PB，（2分） EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分） （Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM， ∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD， ∴CD⊥平面AMD， ∴CD⊥MD． ∵二面角D﹣AE﹣C为60°， ∴∠CMD=60°， ∵AP=1，AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16173.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，∠ADP=30°， ∴PD=2， E为PD的中点．AE=1， ∴DM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16174.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}， CD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16175.png){width="1.0083333333333333in" height="0.38333333333333336in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16176.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}． 三棱锥E﹣ACD的体积为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16177.png){width="1.3041666666666667in" height="0.36666666666666664in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16178.png){width="1.7722222222222221in" height="0.36666666666666664in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16179.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16180.png){width="2.40625in" height="3.4381944444444446in"} 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题． 　 19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表： ------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 ------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ （Ⅰ）求y关于t的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16181.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16182.png){width="1.4479166666666667in" height="0.9791666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16183.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16184.png){width="0.10625in" height="0.19791666666666666in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16185.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16186.png){width="0.10625in" height="0.1875in"}． 【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程． （Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16186.png){width="0.10625in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16187.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}×（1+2+3+4+5+6+7）=4， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16188.png){width="0.10625in" height="0.19791666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16189.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16190.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16191.png){width="5.386111111111111in" height="0.36666666666666664in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16192.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}=0.5， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16193.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16194.png){width="0.10625in" height="0.19791666666666666in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16195.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16196.png){width="0.10625in" height="0.1875in"}=4.3﹣0.5×4=2.3． ∴y关于t的线性回归方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16197.png){width="0.15833333333333333in" height="0.3145833333333333in"}=0.5t+2.3； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元． 将2015年的年份代号t=9代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16197.png){width="0.15833333333333333in" height="0.3145833333333333in"}=0.5t+2.3，得： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16197.png){width="0.15833333333333333in" height="0.3145833333333333in"}=0.5×9+2.3=6.8， 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元． 【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题． 　 20．（12分）设F~1~，F~2~分别是C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16198.png){width="0.22708333333333333in" height="0.4798611111111111in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16199.png){width="0.22708333333333333in" height="0.4875in"}=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF~2~与x轴垂直，直线MF~1~与C的另一个交点为N． （1）若直线MN的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16200.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，求C的离心率； （2）若直线MN在y轴上的截距为2，且\|MN\|=5\|F~1~N\|，求a，b． 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16201.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，建立关于a，c的方程即可求C的离心率； （2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及\|MN\|=5\|F~1~N\|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF~2~与x轴垂直， ∴M的横坐标为c，当x=c时，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16202.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}，即M（c，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16202.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}）， 若直线MN的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16201.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}， 即tan∠MF~1~F~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16203.png){width="0.9041666666666667in" height="0.6270833333333333in"}， 即b^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16204.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36666666666666664in"}=a^2^﹣c^2^， 即c^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16204.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36666666666666664in"}﹣a^2^=0， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16205.png){width="0.875in" height="0.36666666666666664in"}， 即2e^2^+3e﹣2=0 解得e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16206.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}或e=﹣2（舍去）， 即e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16206.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}． （Ⅱ）由题意，原点O是F~1~F~2~的中点，则直线MF~1~与y轴的交点D（0，2）是线段MF~1~的中点， 设M（c，y），（y＞0）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16207.png){width="0.7416666666666667in" height="0.4875in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16208.png){width="0.5229166666666667in" height="0.4798611111111111in"}，解得y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16209.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}， ∵OD是△MF~1~F~2~的中位线， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16210.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}=4，即b^2^=4a， 由\|MN\|=5\|F~1~N\|， 则\|MF~1~\|=4\|F~1~N\|， 解得\|DF~1~\|=2\|F~1~N\|， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16211.png){width="0.7833333333333333in" height="0.26944444444444443in"} 设N（x~1~，y~1~），由题意知y~1~＜0， 则（﹣c，﹣2）=2（x~1~+c，y~1~）． 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16212.png){width="1.0083333333333333in" height="0.5229166666666667in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16213.png){width="0.73125in" height="0.6666666666666666in"} 代入椭圆方程得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16214.png){width="0.8423611111111111in" height="0.4798611111111111in"}， 将b^2^=4a代入得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16215.png){width="1.2805555555555554in" height="0.4798611111111111in"}， 解得a=7，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16216.png){width="0.3145833333333333in" height="0.1875in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16217.png){width="2.3333333333333335in" height="1.875in"} 【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度． 　 21．（12分）已知函数f（x）=e^x^﹣e^﹣x^﹣2x． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值； （Ⅲ）已知1.4142＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16218.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用． 【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的； 对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在\[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为"判断g′（x）＞0是否成立"的问题； 对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16219.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16220.png){width="0.6666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}，最后可估计ln2的近似值． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e^x^+e^﹣x^﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16221.png){width="1.2916666666666667in" height="0.25in"}， 即f′（x）≥0，当且仅当e^x^=e^﹣x^即x=0时，f′（x）=0， ∴函数f（x）在R上为增函数． （Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e^2x^﹣e^﹣2x^﹣4b（e^x^﹣e^﹣x^）+（8b﹣4）x， 则g′（x）=2\[e^2x^+e^﹣2x^﹣2b（e^x^+e^﹣x^）+（4b﹣2）\] =2\[（e^x^+e^﹣x^）^2^﹣2b（e^x^+e^﹣x^）+（4b﹣4）\] =2（e^x^+e^﹣x^﹣2）（e^x^+e^﹣x^+2﹣2b）． ①∵e^x^+e^﹣x^＞2，e^x^+e^﹣x^+2＞4， ∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号， 从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0， ∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意． ②当b＞2时，若x满足2＜e^x^+e^﹣x^＜2b﹣2即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16222.png){width="1.1875in" height="0.5395833333333333in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16223.png){width="2.9472222222222224in" height="0.25in"}，此时，g′（x）＜0， 又由g（0）=0知，当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16224.png){width="1.7833333333333334in" height="0.25in"}时，g（x）＜0，不符合题意． 综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2． （Ⅲ）∵1.4142＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image265.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e^2x^﹣e^﹣2x^﹣4b（e^x^﹣e^﹣x^）+（8b﹣4）x， 为了凑配ln2，并利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16225.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}的近似值，故将ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16225.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16226.png){width="0.40625in" height="0.36666666666666664in"}代入g（x）的解析式中， 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16227.png){width="2.3041666666666667in" height="0.36666666666666664in"}． 当b=2时，由g（x）＞0，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16228.png){width="1.96875in" height="0.36666666666666664in"}， 从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16229.png){width="2.7305555555555556in" height="0.38333333333333336in"}； 令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16230.png){width="1.7375in" height="0.25in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16231.png){width="0.71875in" height="0.38333333333333336in"}＞2，当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16232.png){width="1.7833333333333334in" height="0.25in"}时， 由g（x）＜0，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16233.png){width="2.6166666666666667in" height="0.36666666666666664in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16234.png){width="2.6256944444444446in" height="0.38333333333333336in"}． 所以ln2的近似值为0.693． 【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题． 2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口． 3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16235.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}的范围的端点值，达到了估值的目的． 　 **请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】** 22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明： （Ⅰ）BE=EC； （Ⅱ）AD•DE=2PB^2^． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16236.png){width="1.53125in" height="1.4375in"} 【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】17：选作题；5Q：立体几何． 【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16237.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}的中点，从而BE=EC； （Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB^2^． 【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°， ∵PC=2PA，D为PC的中点， ∴PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA， ∵∠PDA=∠CDE， ∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°， ∴OE⊥BC， ∴E是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16237.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}的中点， ∴BE=EC； （Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C， ∴PA^2^=PB•PC， ∵PC=2PA， ∴PA=2PB， ∴PD=2PB， ∴PB=BD， ∴BD•DC=PB•2PB， ∵AD•DE=BD•DC， ∴AD•DE=2PB^2^． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16238.png){width="1.53125in" height="1.4375in"} 【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 **【选修4-4：坐标系与参数方程】** 23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16239.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}\] （Ⅰ）求C的参数方程； （Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16240.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标． 【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16241.png){width="0.9791666666666666in" height="0.4708333333333333in"}即可得出直角坐标方程，利用cos^2^t+sin^2^t=1进而得出参数方程． （2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16240.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标． 【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16242.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}\]，即ρ^2^=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）^2^+y^2^=1（0≤y≤1）． 可得C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16243.png){width="0.7944444444444444in" height="0.40625in"}（t为参数，0≤t≤π）． （2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆， ∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16244.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16245.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}． 故D的直角坐标为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16246.png){width="1.5in" height="0.36666666666666664in"}，即（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16247.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16248.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}）． 【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 **六、解答题（共1小题，满分0分）** 24．设函数f（x）=\|x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16249.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}\|+\|x﹣a\|（a＞0）． （Ⅰ）证明：f（x）≥2； （Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=\|x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16249.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}\|+\|x﹣a\|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立． （Ⅱ）由f（3）=\|3+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16249.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}\|+\|3﹣a\|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求． 【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=\|x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16249.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}\|+\|x﹣a\|≥\|（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16250.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}）﹣（x﹣a）\|=\|a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16250.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}\|=a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16250.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16251.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38333333333333336in"}=2， 故不等式f（x）≥2成立． （Ⅱ）∵f（3）=\|3+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16250.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}\|+\|3﹣a\|＜5， ∴当a＞3时，不等式即a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16250.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}＜5，即a^2^﹣5a+1＜0，解得3＜a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16252.png){width="0.5104166666666666in" height="0.38333333333333336in"}． 当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16253.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}＜5，即 a^2^﹣a﹣1＞0，求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16254.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38333333333333336in"}＜a≤3． 综上可得，a的取值范围（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16254.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38333333333333336in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16252.png){width="0.5104166666666666in" height="0.38333333333333336in"}）． 【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题． 2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） --------------------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的** 1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x\|x^2^﹣x﹣2=0}，则A∩B=（　　） A．∅ B．{2} C．{0} D．{﹣2} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项． 【解答】解：∵A={﹣2，0，2}，B={x\|x^2^﹣x﹣2=0}={﹣1，2}， ∴A∩B={2}． 故选：B． 【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键． 　 2．（5分）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16255.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=（　　） A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】5N：数系的扩充和复数． 【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可． 【解答】解：化简可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16256.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16257.png){width="0.96875in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16258.png){width="0.5520833333333334in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16259.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}=﹣1+2i 故选：B． 【点评】本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题． 　 3．（5分）函数f（x）在x=x~0~处导数存在，若p：f′（x~0~）=0：q：x=x~0~是f（x）的极值点，则（　　） A．p是q的充分必要条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有 【专题】5L：简易逻辑． 【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【解答】解：函数f（x）=x^3^的导数为f\'（x）=3x^2^，由f′（x~0~）=0，得x~0~=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立． 根据极值的定义和性质，若x=x~0~是f（x）的极值点，则f′（x~0~）=0成立，即必要性成立， 故p是q的必要条件，但不是q的充分条件， 故选：C． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础． 　 4．（5分）设向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16260.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16261.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16260.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16261.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16262.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16260.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16261.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16263.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16260.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16261.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论． 【解答】解：∵\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16264.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16265.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16266.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16264.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16265.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16267.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴分别平方得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16268.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16269.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16270.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16271.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=10，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16268.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16269.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16270.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16271.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=6， 两式相减得4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16269.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16270.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=10﹣6=4， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16272.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16273.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=1， 故选：A． 【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础． 　 5．（5分）等差数列{a~n~}的公差为2，若a~2~，a~4~，a~8~成等比数列，则{a~n~}的前n项和S~n~=（　　） A．n（n+1） B．n（n﹣1） C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16274.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16275.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】由题意可得a~4~^2^=（a~4~﹣4）（a~4~+8），解得a~4~可得a~1~，代入求和公式可得． 【解答】解：由题意可得a~4~^2^=a~2~•a~8~， 即a~4~^2^=（a~4~﹣4）（a~4~+8）， 解得a~4~=8， ∴a~1~=a~4~﹣3×2=2， ∴S~n~=na~1~+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16276.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}d， =2n+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16276.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}×2=n（n+1）， 故选：A． 【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题． 　 6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16277.png){width="3.0006944444444446in" height="2.7715277777777776in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16278.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16279.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16280.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16281.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可． 【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4， 组合体体积是：3^2^π•2+2^2^π•4=34π．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16282.png){width="0.8854166666666666in" height="0.7083333333333334in"} 底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：3^2^π×6=54π 切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16283.png){width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16284.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：C． 【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 7．（5分）正三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的底面边长为2，侧棱长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16285.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，D为BC中点，则三棱锥A﹣B~1~DC~1~的体积为（　　） A．3 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16286.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．1 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16287.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】由题意求出底面B~1~DC~1~的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积． 【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的底面边长为2，侧棱长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16288.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，D为BC中点， ∴底面B~1~DC~1~的面积：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16289.png){width="0.7819444444444444in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16288.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， A到底面的距离就是底面正三角形的高：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16288.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 三棱锥A﹣B~1~DC~1~的体积为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16290.png){width="0.9270833333333334in" height="0.36527777777777776in"}=1． 故选：C． 【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键． 　 8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16291.png){width="2.667361111111111in" height="3.823611111111111in"} A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】5K：算法和程序框图． 【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论． 【解答】解：若x=t=2， 则第一次循环，1≤2成立，则M=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16292.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}，S=2+3=5，k=2， 第二次循环，2≤2成立，则M=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16293.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}，S=2+5=7，k=3， 此时3≤2不成立，输出S=7， 故选：D． 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础． 　 9．（5分）设x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16294.png){width="0.875in" height="0.65625in"}，则z=x+2y的最大值为（　　） A．8 B．7 C．2 D．1 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 【解答】解：作出不等式对应的平面区域， 由z=x+2y，得y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16295.png){width="0.4583333333333333in" height="0.36527777777777776in"}， 平移直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16295.png){width="0.4583333333333333in" height="0.36527777777777776in"}，由图象可知当直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16295.png){width="0.4583333333333333in" height="0.36527777777777776in"}经过点A时，直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16295.png){width="0.4583333333333333in" height="0.36527777777777776in"}的截距最大，此时z最大． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16296.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4173611111111111in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16297.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}， 即A（3，2）， 此时z的最大值为z=3+2×2=7， 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16298.png){width="2.4583333333333335in" height="2.40625in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 　 10．（5分）设F为抛物线C：y^2^=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则\|AB\|=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16299.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"} B．6 C．12 D．7![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16300.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得\|AB\|． 【解答】解：由y^2^=3x得其焦点F（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16301.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，0），准线方程为x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16301.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 则过抛物线y^2^=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16301.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16302.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16301.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）． 代入抛物线方程，消去y，得16x^2^﹣168x+9=0． 设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~） 则x~1~+x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16303.png){width="0.6256944444444444in" height="0.36527777777777776in"}， 所以\|AB\|=x~1~+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16304.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+x~2~+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16304.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16304.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16304.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16305.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=12 故选：C． 【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键． 　 11．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣2\] B．（﹣∞，﹣1\] C．\[2，+∞） D．\[1，+∞） 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可． 【解答】解：f′（x）=k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16306.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增， ∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立． ∴k≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16306.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 而y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16306.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}在区间（1，+∞）上单调递减， ∴k≥1． ∴k的取值范围是：\[1，+∞）． 故选：D． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题． 　 12．（5分）设点M（x~0~，1），若在圆O：x^2^+y^2^=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x~0~的取值范围是（　　） A．\[﹣1，1\] B．\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16307.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16308.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\] C．\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16309.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16309.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\] D．\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16310.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16310.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}\] 【考点】JE：直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x~0~，1），要使圆O：x^2^+y^2^=1上存在点N，使得∠OMN=45°， 则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°， 而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值， 此时MN=1， 图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1， ∴x~0~的取值范围是\[﹣1，1\]． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16311.png){width="2.4270833333333335in" height="2.375in"} 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一． 　 **二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．** 13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16312.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率． 【解答】解：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种， 故他们选择相同颜色运动服的概率为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16313.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16312.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16314.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题． 　 14．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为[　1　]{.underline}． 【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质． 【分析】直接利用两角和与差三角函数化简，然后求解函数的最大值． 【解答】解：函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx =sinxcosφ+sinφcosx﹣2sinφcosx =sinxcosφ﹣sinφcosx =sin（x﹣φ）≤1． 所以函数的最大值为1． 故答案为：1． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数最值的求解，考查计算能力． 　 15．（5分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）=[　3　]{.underline}． 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论． 【解答】解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称， 所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2）， 即f（x+4）=f（x）， 则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3， 法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称， 所以f（1）=f（3）=3， 因为f（x）是偶函数， 所以f（﹣1）=f（1）=3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础． 　 16．（5分）数列{a~n~}满足a~n+1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16315.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}，a~8~=2，则a~1~=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16316.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】根据a~8~=2，令n=7代入递推公式a~n+1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16317.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}，求得a~7~，再依次求出a~6~，a~5~的结果，发现规律，求出a~1~的值． 【解答】解：由题意得，a~n+1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16317.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}，a~8~=2， 令n=7代入上式得，a~8~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16318.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}，解得a~7~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14778.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}； 令n=6代入得，a~7~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16319.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}，解得a~6~=﹣1； 令n=5代入得，a~6~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16320.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}，解得a~5~=2； ... 根据以上结果发现，求得结果按2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14778.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，﹣1循环， ∵8÷3=2...2，故a~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16321.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16321.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题． 　 **三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．** 17．（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2． （1）求C和BD； （2）求四边形ABCD的面积． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC的值代入表示出BD^2^，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出BD^2^，两者相等求出cosC的值，确定出C的度数，进而求出BD的长； （2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积． 【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2， 由余弦定理得：BD^2^=BC^2^+CD^2^﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①， 在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π， 由余弦定理得：BD^2^=AB^2^+AD^2^﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②， 由①②得：cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16321.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 则C=60°，BD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16322.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}； （2）∵cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16323.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，cosA=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16323.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴sinC=sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16324.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， 则S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16323.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}AB•DAsinA+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16323.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}BC•CDsinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16323.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×1×2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16324.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16323.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×3×2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16324.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16325.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16326.png){width="1.5104166666666667in" height="1.0833333333333333in"} 【点评】此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 　 18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC； （Ⅱ）设AP=1，AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16325.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，三棱锥P﹣ABD的体积V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16327.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，求A到平面PBC的距离． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16328.png){width="2.604861111111111in" height="1.8229166666666667in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC； （Ⅱ）通过AP=1，AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16329.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，三棱锥P﹣ABD的体积V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16330.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO， ∵ABCD是矩形， ∴O为BD的中点 ∵E为PD的中点， ∴EO∥PB． EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC ∴PB∥平面AEC； （Ⅱ）∵AP=1，AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16331.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，三棱锥P﹣ABD的体积V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16332.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∴V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16333.png){width="1.332638888888889in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16332.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∴AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16334.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，PB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16335.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16336.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}． 作AH⊥PB交PB于H， 由题意可知BC⊥平面PAB， ∴BC⊥AH， 故AH⊥平面PBC． 又在三角形PAB中，由射影定理可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16337.png){width="1.270138888888889in" height="0.38472222222222224in"} A到平面PBC的距离![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16338.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16339.png){width="2.604861111111111in" height="1.8020833333333333in"} 【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16340.png){width="4.521527777777778in" height="1.7916666666666667in"} （Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； （Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； （Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价． 【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数；CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找， （Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了． （Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可． 【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75． 50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16341.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67． （Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16342.png){width="1.3958333333333333in" height="0.36527777777777776in"}， 故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16， （Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大． 【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题． 　 20．（12分）设F~1~，F~2~分别是C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16343.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16344.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF~2~与x轴垂直，直线MF~1~与C的另一个交点为N． （1）若直线MN的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16345.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，求C的离心率； （2）若直线MN在y轴上的截距为2，且\|MN\|=5\|F~1~N\|，求a，b． 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16346.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，建立关于a，c的方程即可求C的离心率； （2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及\|MN\|=5\|F~1~N\|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF~2~与x轴垂直， ∴M的横坐标为c，当x=c时，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16347.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}，即M（c，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16347.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）， 若直线MN的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16346.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 即tan∠MF~1~F~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16348.png){width="0.9055555555555556in" height="0.6256944444444444in"}， 即b^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16349.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}=a^2^﹣c^2^， 即c^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16350.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}﹣a^2^=0， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16351.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}， 即2e^2^+3e﹣2=0 解得e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16352.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}或e=﹣2（舍去）， 即e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16352.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． （Ⅱ）由题意，原点O是F~1~F~2~的中点，则直线MF~1~与y轴的交点D（0，2）是线段MF~1~的中点， 设M（c，y），（y＞0）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16353.png){width="0.7402777777777778in" height="0.4888888888888889in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16354.png){width="0.5215277777777778in" height="0.48055555555555557in"}，解得y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16355.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}， ∵OD是△MF~1~F~2~的中位线， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16355.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}=4，即b^2^=4a， 由\|MN\|=5\|F~1~N\|， 则\|MF~1~\|=4\|F~1~N\|， 解得\|DF~1~\|=2\|F~1~N\|， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16356.png){width="0.7819444444444444in" height="0.26944444444444443in"} 设N（x~1~，y~1~），由题意知y~1~＜0， 则（﹣c，﹣2）=2（x~1~+c，y~1~）． 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16357.png){width="1.0097222222222222in" height="0.5215277777777778in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16358.png){width="0.7298611111111111in" height="0.6666666666666666in"} 代入椭圆方程得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16359.png){width="0.8444444444444444in" height="0.48055555555555557in"}， 将b^2^=4a代入得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16360.png){width="1.2805555555555554in" height="0.48055555555555557in"}， 解得a=7，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16361.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16362.png){width="2.3333333333333335in" height="1.875in"} 【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度． 　 21．（12分）已知函数f（x）=x^3^﹣3x^2^+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2． （Ⅰ）求a； （Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a； （Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）﹣kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x^2^﹣6x+a；f′（0）=a； 则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2， ∵切线与x轴交点的横坐标为﹣2， ∴f（﹣2）=﹣2a+2=0， 解得a=1． （Ⅱ）当a=1时，f（x）=x^3^﹣3x^2^+x+2， 设g（x）=f（x）﹣kx+2=x^3^﹣3x^2^+（1﹣k）x+4， 由题设知1﹣k＞0， 当x≤0时，g′（x）=3x^2^﹣6x+1﹣k＞0，g（x）单调递增，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4， 当x＞0时，令h（x）=x^3^﹣3x^2^+4，则g（x）=h（x）+（1﹣k）x＞h（x）． 则h′（x）=3x^2^﹣6x=3x（x﹣2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增， ∴在x=2时，h（x）取得极小值h（2）=0， g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4， 则g（x）=0在（﹣∞，0\]有唯一实根． ∵g（x）＞h（x）≥h（2）=0， ∴g（x）=0在（0，+∞）上没有实根． 综上当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点． 【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点个数的判断，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力． 　 **三、选修4-1：几何证明选讲** 22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明： （Ⅰ）BE=EC； （Ⅱ）AD•DE=2PB^2^． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16363.png){width="1.53125in" height="1.4375in"} 【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】17：选作题；5Q：立体几何． 【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16364.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}的中点，从而BE=EC； （Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB^2^． 【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°， ∵PC=2PA，D为PC的中点， ∴PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA， ∵∠PDA=∠CDE， ∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°， ∴OE⊥BC， ∴E是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16364.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}的中点， ∴BE=EC； （Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C， ∴PA^2^=PB•PC， ∵PC=2PA， ∴PA=2PB， ∴PD=2PB， ∴PB=BD， ∴BD•DC=PB•2PB， ∵AD•DE=BD•DC， ∴AD•DE=2PB^2^． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16365.png){width="1.53125in" height="1.4375in"} 【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 **四、选修4-4，坐标系与参数方程** 23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16366.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\] （Ⅰ）求C的参数方程； （Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16367.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标． 【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16368.png){width="0.9791666666666666in" height="0.46944444444444444in"}即可得出直角坐标方程，利用cos^2^t+sin^2^t=1进而得出参数方程． （2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16367.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标． 【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16369.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]，即ρ^2^=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）^2^+y^2^=1（0≤y≤1）． 可得C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16370.png){width="0.7923611111111111in" height="0.40625in"}（t为参数，0≤t≤π）． （2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆， ∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16371.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16372.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 故D的直角坐标为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16373.png){width="1.5in" height="0.36527777777777776in"}，即（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16374.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16375.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}）． 【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 **五、选修4-5：不等式选讲** 24．设函数f（x）=\|x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16376.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|+\|x﹣a\|（a＞0）． （Ⅰ）证明：f（x）≥2； （Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=\|x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16377.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|+\|x﹣a\|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立． （Ⅱ）由f（3）=\|3+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16377.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|+\|3﹣a\|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求． 【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=\|x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16377.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|+\|x﹣a\|≥\|（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16377.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）﹣（x﹣a）\|=\|a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16377.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|=a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16378.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16379.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}=2， 故不等式f（x）≥2成立． （Ⅱ）∵f（3）=\|3+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16378.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|+\|3﹣a\|＜5， ∴当a＞3时，不等式即a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16378.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜5，即a^2^﹣5a+1＜0，解得3＜a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16380.png){width="0.5104166666666666in" height="0.38472222222222224in"}． 当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16378.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜5，即 a^2^﹣a﹣1＞0，求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16381.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}＜a≤3． 综上可得，a的取值范围（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16382.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16383.png){width="0.5104166666666666in" height="0.38472222222222224in"}）． 【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题． 　 2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版） -------------------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）** 1．（5分）设z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16384.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，则z的共轭复数为（　　） A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i 【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】5N：数系的扩充和复数． 【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求． 【解答】解：∵z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16384.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16385.png){width="1.979861111111111in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16386.png){width="0.5409722222222222in" height="0.1875in"}． 故选：D． 【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 　 2．（5分）设集合M={x\|x^2^﹣3x﹣4＜0}，N={x\|0≤x≤5}，则M∩N=（　　） A．（0，4\] B．\[0，4） C．\[﹣1，0） D．（﹣1，0\] 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解． 【解答】解：由x^2^﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4． ∴M={x\|x^2^﹣3x﹣4＜0}={x\|﹣1＜x＜4}， 又N={x\|0≤x≤5}， ∴M∩N={x\|﹣1＜x＜4}∩{x\|0≤x≤5}=\[0，4）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16387.png){width="1.4479166666666667in" height="0.40625in"} 故选：B． 【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 　 3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（　　） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【考点】HF：正切函数的单调性和周期性．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16388.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}＞sin35°，综合可得． 【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°， 由正弦函数的单调性可知b＞a， 而c=tan35°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16388.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}＞sin35°=b， ∴c＞b＞a 故选：C． 【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题． 　 4．（5分）若向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16389.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16390.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}满足：\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16389.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=1，（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16389.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16390.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16389.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16389.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16391.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16391.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16391.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=（　　） A．2 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16392.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．1 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16393.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16394.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16395.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16396.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0，（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16396.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16395.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16395.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0，由此求得\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16395.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|． 【解答】解：由题意可得，（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16396.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16395.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16396.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16397.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16398.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16398.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}=0，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16398.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}=﹣1； （2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16399.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16400.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16400.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16398.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16401.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=﹣2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16401.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=0，∴b^2^=2， 则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16400.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16402.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 故选：B． 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题． 　 5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（　　） A．60种 B．70种 C．75种 D．150种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 【专题】5O：排列组合． 【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C~6~^2^=15种选法， 再从5名女医生中选出1人，有C~5~^1^=5种选法， 则不同的选法共有15×5=75种； 故选：C． 【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同． 　 6．（5分）已知椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16403.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16404.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F~1~、F~2~，离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16405.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，过F~2~的直线l交C于A、B两点，若△AF~1~B的周长为4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16406.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则C的方程为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16407.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16408.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16407.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y^2^=1 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16409.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16410.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16411.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16412.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用△AF~1~B的周长为4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16413.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求出a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16413.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，根据离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16414.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程． 【解答】解：∵△AF~1~B的周长为4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16413.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∵△AF~1~B的周长=\|AF~1~\|+\|AF~2~\|+\|BF~1~\|+\|BF~2~\|=2a+2a=4a， ∴4a=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16413.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16415.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∵离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16416.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16417.png){width="0.48055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}，c=1， ∴b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16418.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16419.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴椭圆C的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16420.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16421.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 7．（5分）曲线y=xe^x﹣1^在点（1，1）处切线的斜率等于（　　） A．2e B．e C．2 D．1 【考点】62：导数及其几何意义．菁优网版权所有 【专题】52：导数的概念及应用． 【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率． 【解答】解：函数的导数为f′（x）=e^x﹣1^+xe^x﹣1^=（1+x）e^x﹣1^， 当x=1时，f′（1）=2， 即曲线y=xe^x﹣1^在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2， 故选：C． 【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础． 　 8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16422.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"} B．16π C．9π D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16423.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO~1~上，记为O，求出PO~1~，OO~1~，解出球的半径，求出球的表面积． 【解答】解：设球的半径为R，则 ∵棱锥的高为4，底面边长为2， ∴R^2^=（4﹣R）^2^+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16424.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）^2^， ∴R=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16425.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴球的表面积为4π•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16425.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16426.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16427.png){width="1.6770833333333333in" height="1.4895833333333333in"} 【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题． 　 9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F~1~、F~2~，点A在C上，若\|F~1~A\|=2\|F~2~A\|，则cos∠AF~2~F~1~=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16428.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16429.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16430.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16431.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论． 【解答】解：∵双曲线C的离心率为2， ∴e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16432.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}，即c=2a， 点A在双曲线上， 则\|F~1~A\|﹣\|F~2~A\|=2a， 又\|F~1~A\|=2\|F~2~A\|， ∴解得\|F~1~A\|=4a，\|F~2~A\|=2a，\|\|F~1~F~2~\|=2c， 则由余弦定理得cos∠AF~2~F~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16433.png){width="2.0208333333333335in" height="0.5298611111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16434.png){width="2.0625in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16435.png){width="2.0840277777777776in" height="0.48055555555555557in"}． 故选：A． 【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力． 　 10．（5分）等比数列{a~n~}中，a~4~=2，a~5~=5，则数列{lga~n~}的前8项和等于（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】利用等比数列的性质可得a~1~a~8~=a~2~a~7~=a~3~a~6~=a~4~a~5~=10．再利用对数的运算性质即可得出． 【解答】解：∵数列{a~n~}是等比数列，a~4~=2，a~5~=5， ∴a~1~a~8~=a~2~a~7~=a~3~a~6~=a~4~a~5~=10． ∴lga~1~+lga~2~+...+lga~8~ =lg（a~1~a~2~•...•a~8~） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16436.png){width="0.8534722222222222in" height="0.28055555555555556in"} 4lg10 =4． 故选：C． 【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题． 　 11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16437.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16438.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16439.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16440.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】5G：空间角． 【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案． 【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF， ∵AE⊥l ∴∠EAC=90° ∵CD∥AF 又∠ACD=135° ∴∠FAC=45° ∴∠EAF=45° 在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16441.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}a， 在Rt△AEF中，则EF=a，AF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16442.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}a， 在Rt△BEF中，则BF=2a， ∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF， ∴cos∠BAF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16443.png){width="1.0944444444444446in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16444.png){width="1.823611111111111in" height="0.46944444444444444in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16445.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16446.png){width="2.6465277777777776in" height="1.5416666666666667in"} 【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题． 　 12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（　　） A．y=g（x） B．y=g（﹣x） C．y=﹣g（x） D．y=﹣g（﹣x） 【考点】4R：反函数．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得． 【解答】解：设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点， 则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上， 又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称， ∴P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上， ∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x） ∴y=f（x）的反函数为：y=﹣g（﹣x） 故选：D． 【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题． 　 **二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)** 13．（5分）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16447.png){width="0.8861111111111111in" height="0.46944444444444444in"}的展开式中x^2^y^2^的系数为[　70　]{.underline}．（用数字作答） 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】5P：二项式定理． 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x^2^y^2^的系数． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16448.png){width="0.8861111111111111in" height="0.46944444444444444in"}的展开式的通项公式为 T~r+1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16449.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}•（﹣1）^r^•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16450.png){width="0.6777777777777778in" height="0.4583333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16451.png){width="0.5409722222222222in" height="0.4583333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16449.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}•（﹣1）^r^•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16452.png){width="0.4479166666666667in" height="0.38472222222222224in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16453.png){width="0.4479166666666667in" height="0.3958333333333333in"}， 令 8﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16454.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16454.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣4=2，求得 r=4， 故展开式中x^2^y^2^的系数为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16455.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=70， 故答案为：70． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 　 14．（5分）设x、y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16456.png){width="0.7083333333333334in" height="0.65625in"}，则z=x+4y的最大值为[　5　]{.underline}． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16457.png){width="0.7083333333333334in" height="0.65625in"}作出可行域如图， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16458.png){width="2.125in" height="1.53125in"} 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16459.png){width="0.6256944444444444in" height="0.4173611111111111in"}，解得C（1，1）． 化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16460.png){width="0.7298611111111111in" height="0.36527777777777776in"}． 由图可知，当直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16460.png){width="0.7298611111111111in" height="0.36527777777777776in"}过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大． 此时z~max~=1+4×1=5． 故答案为：5． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 　 15．（5分）直线l~1~和l~2~是圆x^2^+y^2^=2的两条切线，若l~1~与l~2~的交点为（1，3），则l~1~与l~2~的夹角的正切值等于[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16461.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】设l~1~与l~2~的夹角为2θ，由于l~1~与l~2~的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16462.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16463.png){width="0.7493055555555556in" height="0.42569444444444443in"}，计算求得结果． 【解答】解：设l~1~与l~2~的夹角为2θ，由于l~1~与l~2~的交点A（1，3）在圆的外部， 且点A与圆心O之间的距离为OA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16464.png){width="0.37569444444444444in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16465.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， 圆的半径为r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16466.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16467.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16468.png){width="0.32430555555555557in" height="0.40625in"}， ∴cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16469.png){width="0.34375in" height="0.40625in"}，tanθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16470.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16471.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴tan2θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16472.png){width="0.7493055555555556in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16473.png){width="0.3541666666666667in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16474.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16474.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题． 　 16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16475.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16476.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）是减函数，则a的取值范围是[　（﹣∞，2\]　]{.underline}． 【考点】HM：复合三角函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围． 【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx =﹣2sin^2^x+asinx+1， 令t=sinx， 则原函数化为y=﹣2t^2^+at+1． ∵x∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16475.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16476.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）时f（x）为减函数， 则y=﹣2t^2^+at+1在t∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16477.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，1）上为减函数， ∵y=﹣2t^2^+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16478.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16479.png){width="0.4583333333333333in" height="0.36527777777777776in"}，解得：a≤2． ∴a的取值范围是（﹣∞，2\]． 故答案为：（﹣∞，2\]． 【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题． 　 **三、解答题** 17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16480.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，求B． 【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan\[π﹣（A+C）\]=﹣tan（A+C）即可得出． 【解答】解：∵3acosC=2ccosA， 由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA， ∴3tanA=2tanC， ∵tanA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16480.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴2tanC=3×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16480.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=1，解得tanC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16481.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． ∴tanB=tan\[π﹣（A+C）\]=﹣tan（A+C）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16482.png){width="0.8861111111111111in" height="0.36527777777777776in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16483.png){width="0.6777777777777778in" height="0.7597222222222222in"}=﹣1， ∵B∈（0，π）， ∴B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16484.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} 【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 　 18．（12分）等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，已知a~1~=13，a~2~为整数，且S~n~≤S~4~． （1）求{a~n~}的通项公式； （2）设b~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16485.png){width="0.5520833333333334in" height="0.42569444444444443in"}，求数列{b~n~}的前n项和T~n~． 【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法． 【分析】（1）通过S~n~≤S~4~得a~4~≥0，a~5~≤0，利用a~1~=13、a~2~为整数可得d=﹣4，进而可得结论； （2）通过a~n~=13﹣3n，分离分母可得b~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16486.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16487.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16488.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}），并项相加即可． 【解答】解：（1）在等差数列{a~n~}中，由S~n~≤S~4~得： a~4~≥0，a~5~≤0， 又∵a~1~=13， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16489.png){width="0.7923611111111111in" height="0.3958333333333333in"}，解得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16490.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≤d≤﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16491.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， ∵a~2~为整数，∴d=﹣4， ∴{a~n~}的通项为：a~n~=17﹣4n； （2）∵a~n~=17﹣4n， ∴b~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16492.png){width="0.5520833333333334in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16493.png){width="1.2180555555555554in" height="0.36527777777777776in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16494.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16495.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16496.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}）， 于是T~n~=b~1~+b~2~+......+b~n~ =﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16494.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\[（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16497.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16498.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16499.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16500.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）+......+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16501.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16502.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}）\] =﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16503.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16501.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16504.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16505.png){width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，点A~1~在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC~1~=2． （Ⅰ）证明：AC~1~⊥A~1~B； （Ⅱ）设直线AA~1~与平面BCC~1~B~1~的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16506.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求二面角A~1~﹣AB﹣C的大小． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16507.png){width="1.4270833333333333in" height="1.78125in"} 【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得； （Ⅱ）作辅助线可证∠A~1~FD为二面角A~1~﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得． 【解答】解：（Ⅰ）∵A~1~D⊥平面ABC，A~1~D⊂平面AA~1~C~1~C， ∴平面AA~1~C~1~C⊥平面ABC，又BC⊥AC ∴BC⊥平面AA~1~C~1~C，连结A~1~C， 由侧面AA~1~C~1~C为菱形可得AC~1~⊥A~1~C， 又AC~1~⊥BC，A~1~C∩BC=C， ∴AC~1~⊥平面A~1~BC，AB~1~⊂平面A~1~BC， ∴AC~1~⊥A~1~B； （Ⅱ）∵BC⊥平面AA~1~C~1~C，BC⊂平面BCC~1~B~1~， ∴平面AA~1~C~1~C⊥平面BCC~1~B~1~， 作A~1~E⊥CC~1~，E为垂足，可得A~1~E⊥平面BCC~1~B~1~， 又直线AA~1~∥平面BCC~1~B~1~， ∴A~1~E为直线AA~1~与平面BCC~1~B~1~的距离，即A~1~E=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16508.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∵A~1~C为∠ACC~1~的平分线，∴A~1~D=A~1~E=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16508.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 作DF⊥AB，F为垂足，连结A~1~F， 又可得AB⊥A~1~D，A~1~F∩A~1~D=A~1~， ∴AB⊥平面A~1~DF，∵A~1~F⊂平面A~1~DF ∴A~1~F⊥AB， ∴∠A~1~FD为二面角A~1~﹣AB﹣C的平面角， 由AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16509.png){width="0.9791666666666666in" height="0.3020833333333333in"}=1可知D为AC中点， ∴DF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16510.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16511.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∴tan∠A~1~FD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16512.png){width="0.3326388888888889in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16513.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， ∴二面角A~1~﹣AB﹣C的大小为arctan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16513.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16514.png){width="1.4270833333333333in" height="1.7916666666666667in"} 【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题． 　 20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立． （Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率； （Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望． 【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】记A~i~表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备 （Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求． （Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX~i~，再利用数学期望公式计算即可． 【解答】解：由题意可得"同一工作日至少3人需使用设备"的概率为 0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31． （Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4 P（X=0）=（1﹣0.6）×0.5^2^×（1﹣0.4）=0.06 P（X=1）=0.6×0.5^2^×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.5^2^×0.4+（1﹣0.6）×2×0.5^2^×（1﹣0.4）=0.25 P（X=4）=P（A~2~•B•C）=0.5^2^×0.6×0.4=0.06， P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25， P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38． 故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2 【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题． 　 21．（12分）已知抛物线C：y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且\|QF\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16515.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|PQ\|． （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程． 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x~0~，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x~0~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16516.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，根据\|QF\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16517.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|PQ\|求得 p的值，可得C的方程． （Ⅱ）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长\|AB\|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得\|MN\|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于\|AE\|=\|BE\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16518.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|MN\|，由此求得m的值，可得直线l的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x~0~，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y^2^=2px（p＞0）， 可得x~0~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16516.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，∵点P（0，4），∴\|PQ\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16516.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 又\|QF\|=x~0~+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16519.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16520.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16519.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，\|QF\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16521.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|PQ\|， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16520.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16519.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16521.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16520.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）． 故C的方程为 y^2^=4x． （Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y^2^=4x的焦点F（1，0）， 设l的方程为 x=my+1（m≠0）， 代入抛物线方程可得y^2^﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m^2^+16＞0，y~1~+y~2~=4m，y~1~•y~2~=﹣4． ∴AB的中点坐标为D（2m^2^+1，2m），弦长\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16522.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}\|y~1~﹣y~2~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16522.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16523.png){width="1.4590277777777778in" height="0.3020833333333333in"}=4（m^2^+1）． 又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16524.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}y+2m^2^+3． 过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点， 把线l′的方程代入抛物线方程可得 y^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16525.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}y﹣4（2m^2^+3）=0，∴y~3~+y~4~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16526.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，y~3~•y~4~=﹣4（2m^2^+3）． 故线段MN的中点E的坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16527.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+2m^2^+3，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16528.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），∴\|MN\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16529.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}\|y~3~﹣y~4~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16530.png){width="1.332638888888889in" height="0.5in"}， ∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于\|AE\|=\|BE\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16531.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|MN\|， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16532.png){width="0.5in" height="0.36527777777777776in"}+DE^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16533.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}MN^2^， ∴4（m^2^+1）^2^ +![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16534.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16535.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16533.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16536.png){width="1.6979166666666667in" height="0.5298611111111111in"}，化简可得 m^2^﹣1=0， ∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0． 【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题． 　 22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16537.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}（a＞1）． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）设a~1~=1，a~n+1~=ln（a~n~+1），证明：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16538.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}＜a~n~≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16539.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}（n∈N^\*^）． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；RG：数学归纳法．菁优网版权所有 【专题】53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性； （Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16540.png){width="1.104861111111111in" height="0.48055555555555557in"}， ①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a^2^﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a^2^﹣2a）上是增函数， 若x∈（a^2^﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a^2^﹣2a，0）上是减函数， 若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数． ②当a=2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数， ③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数， 若x∈（0，a^2^﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a^2^﹣2a）上是减函数， 若x∈（a^2^﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a^2^﹣2a，+∞）上是增函数． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数， 当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0， 即ln（x+1）＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16541.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，（x＞0）， 又由（Ⅰ）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数， 当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16542.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}， 下面用数学归纳法进行证明![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16543.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}＜a~n~≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16544.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}成立， ①当n=1时，由已知 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16545.png){width="0.7083333333333334in" height="0.36527777777777776in"}，故结论成立． ②假设当n=k时结论成立，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16546.png){width="1.176388888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 则当n=k+1时，a~n+1~=ln（a~n~+1）＞ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16547.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16548.png){width="1.198611111111111in" height="0.7597222222222222in"}， a~k+1~=ln（a~k~+1）＜ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16549.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16550.png){width="1.198611111111111in" height="0.7597222222222222in"}， 即当n=k+1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16551.png){width="1.3131944444444446in" height="0.36527777777777776in"}成立， 综上由①②可知，对任何n∈N^•^结论都成立． 【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大． 　2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） ---------------------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）** 1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 【考点】1A：集合中元素个数的最值；1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可． 【解答】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}， ∴M∩N={1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3． 故选：B． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16552.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16553.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16553.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16552.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】G9：任意角的三角函数的定义．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值． 【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16554.png){width="0.5736111111111111in" height="0.2611111111111111in"}=5． ∴cosα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16555.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16556.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16557.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：D． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题． 　 3．（5分）不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16558.png){width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}的解集为（　　） A．{x\|﹣2＜x＜﹣1} B．{x\|﹣1＜x＜0} C．{x\|0＜x＜1} D．{x\|x＞1} 【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求． 【解答】解：由不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16559.png){width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16560.png){width="1.2090277777777778in" height="0.4479166666666667in"}，解得0＜x＜1， 故选：C． 【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题． 　 4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16561.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16562.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16563.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16564.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】5G：空间角． 【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值． 【解答】解：如图， 取AD中点F，连接EF，CF， ∵E为AB的中点， ∴EF∥DB， 则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角， ∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点， ∴CE=CF． 设正四面体的棱长为2a， 则EF=a， CE=CF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16565.png){width="1.2805555555555554in" height="0.25in"}． 在△CEF中，由余弦定理得： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16566.png){width="1.8645833333333333in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16567.png){width="1.0506944444444444in" height="0.5in"}． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16568.png){width="1.46875in" height="1.4583333333333333in"} 【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题． 　 5．（5分）函数y=ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16569.png){width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}+1）（x＞﹣1）的反函数是（　　） A．y=（1﹣e^x^）^3^（x＞﹣1） B．y=（e^x^﹣1）^3^（x＞﹣1） C．y=（1﹣e^x^）^3^（x∈R） D．y=（e^x^﹣1）^3^（x∈R） 【考点】4R：反函数．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数． 【解答】解：∵y=ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16569.png){width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}+1）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16570.png){width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}+1=e^y^，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16570.png){width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}=e^y^﹣1， ∴x=（e^y^﹣1）^3^， ∴所求反函数为y=（e^x^﹣1）^3^， 故选：D． 【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题． 　 6．（5分）已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16571.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16572.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}为单位向量，其夹角为60°，则（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16571.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16572.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16572.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16573.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16574.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}的值，可得（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16575.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16576.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16576.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的值． 【解答】解：由题意可得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16573.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}=1×1×cos60°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16577.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16574.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=1， ∴（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16575.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16578.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16578.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16579.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16580.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=0， 故选：B． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题． 　 7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（　　） A．60种 B．70种 C．75种 D．150种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 【专题】5O：排列组合． 【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C~6~^2^=15种选法， 再从5名女医生中选出1人，有C~5~^1^=5种选法， 则不同的选法共有15×5=75种； 故选：C． 【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同． 　 8．（5分）设等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~．若S~2~=3，S~4~=15，则S~6~=（　　） A．31 B．32 C．63 D．64 【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】由等比数列的性质可得S~2~，S~4~﹣S~2~，S~6~﹣S~4~成等比数列，代入数据计算可得． 【解答】解：S~2~=a~1~+a~2~，S~4~﹣S~2~=a~3~+a~4~=（a~1~+a~2~）q^2^，S~6~﹣S~4~=a~5~+a~6~=（a~1~+a~2~）q^4^， 所以S~2~，S~4~﹣S~2~，S~6~﹣S~4~成等比数列， 即3，12，S~6~﹣15成等比数列， 可得12^2^=3（S~6~﹣15）， 解得S~6~=63 故选：C． 【点评】本题考查等比数列的性质，得出S~2~，S~4~﹣S~2~，S~6~﹣S~4~成等比数列是解决问题的关键，属基础题． 　 9．（5分）已知椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16581.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16582.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F~1~、F~2~，离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16583.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，过F~2~的直线l交C于A、B两点，若△AF~1~B的周长为4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16584.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则C的方程为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16585.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16586.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16585.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y^2^=1 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16587.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16588.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16587.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16589.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用△AF~1~B的周长为4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16590.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求出a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16590.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，根据离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16591.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程． 【解答】解：∵△AF~1~B的周长为4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16590.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∵△AF~1~B的周长=\|AF~1~\|+\|AF~2~\|+\|BF~1~\|+\|BF~2~\|=2a+2a=4a， ∴4a=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16590.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16590.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∵离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16592.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16593.png){width="0.48055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}，c=1， ∴b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16594.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16595.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴椭圆C的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16596.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16597.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16598.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"} B．16π C．9π D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16599.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO~1~上，记为O，求出PO~1~，OO~1~，解出球的半径，求出球的表面积． 【解答】解：设球的半径为R，则 ∵棱锥的高为4，底面边长为2， ∴R^2^=（4﹣R）^2^+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16600.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）^2^， ∴R=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16601.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴球的表面积为4π•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16601.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16602.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16603.png){width="1.6770833333333333in" height="1.4895833333333333in"} 【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题． 　 11．（5分）双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16604.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16605.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16606.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则C的焦距等于（　　） A．2 B．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16607.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．4 D．4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16607.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论． 【解答】解：∵：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16608.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16609.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的离心率为2， ∴e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16610.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}，双曲线的渐近线方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16611.png){width="0.42569444444444443in" height="0.36527777777777776in"}，不妨取y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16612.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}，即bx﹣ay=0， 则c=2a，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16613.png){width="1.0097222222222222in" height="0.25in"}， ∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16614.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16615.png){width="0.9381944444444444in" height="0.4479166666666667in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16616.png){width="1.9993055555555554in" height="0.46944444444444444in"}， 解得c=2， 则焦距为2c=4， 故选：C． 【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础． 　 12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论． 【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数， ∴设g（x）=f（x+2）， 则g（﹣x）=g（x）， 即f（﹣x+2）=f（x+2）， ∵f（x）是奇函数， ∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2）， 即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x）， 则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1， ∴f（8）+f（9）=0+1=1， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键． 　 **二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)** 13．（5分）（x﹣2）^6^的展开式中x^3^的系数是[　﹣160　]{.underline}．（用数字作答） 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】根据题意，由二项式定理可得（x﹣2）^6^的展开式的通项，令x的系数为3，可得r=3，将r=3代入通项，计算可得T~4~=﹣160x^3^，即可得答案． 【解答】解：根据题意，（x﹣2）^6^的展开式的通项为T~r+1~=C~6~^r^x^6﹣r^（﹣2）^r^=（﹣1）^r^•2^r^•C~6~^r^x^6﹣r^， 令6﹣r=3可得r=3， 此时T~4~=（﹣1）^3^•2^3^•C~6~^3^x^3^=﹣160x^3^，即x^3^的系数是﹣160； 故答案为﹣160． 【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x﹣2）^6^的展开式的通项． 　 14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16617.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1﹣2sin^2^x+2sinx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16618.png){width="1.2805555555555554in" height="0.42569444444444443in"}，结合﹣1≤sinx≤1及二次函数的性质可求函数有最大值 【解答】解：∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin^2^x+2sinx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16618.png){width="1.2805555555555554in" height="0.42569444444444443in"} 又∵﹣1≤sinx≤1 当sinx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image8.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时，函数有最大值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16619.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16619.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意﹣1≤sinx≤1的条件． 　 15．（5分）设x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16620.png){width="0.7083333333333334in" height="0.65625in"}，则z=x+4y的最大值为[　5　]{.underline}． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16621.png){width="0.7083333333333334in" height="0.65625in"}作出可行域如图， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16622.png){width="2.125in" height="1.53125in"} 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16623.png){width="0.6256944444444444in" height="0.4173611111111111in"}，解得C（1，1）． 化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16624.png){width="0.7298611111111111in" height="0.36527777777777776in"}． 由图可知，当直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16624.png){width="0.7298611111111111in" height="0.36527777777777776in"}过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大． 此时z~max~=1+4×1=5． 故答案为：5． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 　 16．（5分）直线l~1~和l~2~是圆x^2^+y^2^=2的两条切线，若l~1~与l~2~的交点为（1，3），则l~1~与l~2~的夹角的正切值等于[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16625.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】设l~1~与l~2~的夹角为2θ，由于l~1~与l~2~的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16626.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16627.png){width="0.7493055555555556in" height="0.42569444444444443in"}，计算求得结果． 【解答】解：设l~1~与l~2~的夹角为2θ，由于l~1~与l~2~的交点A（1，3）在圆的外部， 且点A与圆心O之间的距离为OA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16628.png){width="0.37569444444444444in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16629.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， 圆的半径为r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16630.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16631.png){width="0.32430555555555557in" height="0.40625in"}， ∴cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16632.png){width="0.34375in" height="0.40625in"}，tanθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16633.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16634.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴tan2θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16635.png){width="0.7493055555555556in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16636.png){width="0.3541666666666667in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16637.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16637.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题． 　 **三、解答题** 17．（10分）数列{a~n~}满足a~1~=1，a~2~=2，a~n+2~=2a~n+1~﹣a~n~+2． （Ⅰ）设b~n~=a~n+1~﹣a~n~，证明{b~n~}是等差数列； （Ⅱ）求{a~n~}的通项公式． 【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）将a~n+2~=2a~n+1~﹣a~n~+2变形为：a~n+2~﹣a~n+1~=a~n+1~﹣a~n~+2，再由条件得b~n+1~=b~n~+2，根据条件求出b~1~，由等差数列的定义证明{b~n~}是等差数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出b~n~，代入b~n~=a~n+1~﹣a~n~并令n从1开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{a~n~}的通项公式a~n~． 【解答】解：（Ⅰ）由a~n+2~=2a~n+1~﹣a~n~+2得， a~n+2~﹣a~n+1~=a~n+1~﹣a~n~+2， 由b~n~=a~n+1~﹣a~n~得，b~n+1~=b~n~+2， 即b~n+1~﹣b~n~=2， 又b~1~=a~2~﹣a~1~=1， 所以{b~n~}是首项为1，公差为2的等差数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，b~n~=1+2（n﹣1）=2n﹣1， 由b~n~=a~n+1~﹣a~n~得，a~n+1~﹣a~n~=2n﹣1， 则a~2~﹣a~1~=1，a~3~﹣a~2~=3，a~4~﹣a~3~=5，...，a~n~﹣a~n﹣1~=2（n﹣1）﹣1， 所以，a~n~﹣a~1~=1+3+5+...+2（n﹣1）﹣1 =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16638.png){width="1.1354166666666667in" height="0.36527777777777776in"}=（n﹣1）^2^， 又a~1~=1， 所以{a~n~}的通项公式a~n~=（n﹣1）^2^+1=n^2^﹣2n+2． 【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题． 　 18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16639.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，求B． 【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan\[π﹣（A+C）\]=﹣tan（A+C）即可得出． 【解答】解：∵3acosC=2ccosA， 由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA， ∴3tanA=2tanC， ∵tanA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16640.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴2tanC=3×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16640.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=1，解得tanC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16641.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． ∴tanB=tan\[π﹣（A+C）\]=﹣tan（A+C）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16642.png){width="0.8861111111111111in" height="0.36527777777777776in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16643.png){width="0.6777777777777778in" height="0.7597222222222222in"}=﹣1， ∵B∈（0，π）， ∴B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16644.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} 【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 　 19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，点A~1~在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC~1~=2． （Ⅰ）证明：AC~1~⊥A~1~B； （Ⅱ）设直线AA~1~与平面BCC~1~B~1~的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16645.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求二面角A~1~﹣AB﹣C的大小． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16646.png){width="1.4270833333333333in" height="1.78125in"} 【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得； （Ⅱ）作辅助线可证∠A~1~FD为二面角A~1~﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得． 【解答】解：（Ⅰ）∵A~1~D⊥平面ABC，A~1~D⊂平面AA~1~C~1~C， ∴平面AA~1~C~1~C⊥平面ABC，又BC⊥AC ∴BC⊥平面AA~1~C~1~C，连结A~1~C， 由侧面AA~1~C~1~C为菱形可得AC~1~⊥A~1~C， 又AC~1~⊥BC，A~1~C∩BC=C， ∴AC~1~⊥平面A~1~BC，AB~1~⊂平面A~1~BC， ∴AC~1~⊥A~1~B； （Ⅱ）∵BC⊥平面AA~1~C~1~C，BC⊂平面BCC~1~B~1~， ∴平面AA~1~C~1~C⊥平面BCC~1~B~1~， 作A~1~E⊥CC~1~，E为垂足，可得A~1~E⊥平面BCC~1~B~1~， 又直线AA~1~∥平面BCC~1~B~1~， ∴A~1~E为直线AA~1~与平面BCC~1~B~1~的距离，即A~1~E=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16647.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∵A~1~C为∠ACC~1~的平分线，∴A~1~D=A~1~E=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16647.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 作DF⊥AB，F为垂足，连结A~1~F， 又可得AB⊥A~1~D，A~1~F∩A~1~D=A~1~， ∴AB⊥平面A~1~DF，∵A~1~F⊂平面A~1~DF ∴A~1~F⊥AB， ∴∠A~1~FD为二面角A~1~﹣AB﹣C的平面角， 由AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16648.png){width="0.9791666666666666in" height="0.3020833333333333in"}=1可知D为AC中点， ∴DF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16649.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16650.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∴tan∠A~1~FD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16651.png){width="0.3326388888888889in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16652.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， ∴二面角A~1~﹣AB﹣C的大小为arctan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16652.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16653.png){width="1.4270833333333333in" height="1.7916666666666667in"} 【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题． 　 20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立． （Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率； （Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求"同一工作日需使用设备的人数大于k"的概率小于0.1，求k的最小值． 【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，不满足条件．若k=3，求得"同一工作日需使用设备的人数大于3"的概率为0.06＜0.1，满足条件，从而得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得"同一工作日至少3人需使用设备"的概率为 0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，则"同一工作日需使用设备的人数大于2"的概率为0.31＞0.1，不满足条件． 若k=3，则"同一工作日需使用设备的人数大于3"的概率为 0.6×0.5×0.5×0.4=0.06＜0.1，满足条件． 故k的最小值为3． 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 　 21．（12分）函数f（x）=ax^3^+3x^2^+3x（a≠0）． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax^3^+3x^2^+3x， ∴f′（x）=3ax^2^+6x+3， 令f′（x）=0，即3ax^2^+6x+3=0，则△=36（1﹣a）， ①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数； ②因为a≠0，∴a≤1且a≠0时，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16654.png){width="0.6777777777777778in" height="0.38472222222222224in"}，x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16655.png){width="0.6777777777777778in" height="0.38472222222222224in"}， 当0＜a＜1时，则当x∈（﹣∞，x~2~）或（x~1~，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x~2~）或（x~1~，+∞）是增函数；在（x~2~，x~1~）是减函数； 当a＜0时，则当x∈（﹣∞，x~1~）或（x~2~，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x~1~）或（x~2~，+∞）是减函数；在（x~1~，x~2~）是增函数； （Ⅱ）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax^2^+6x+3＞0 故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数， 当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数， 当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，解得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16656.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}， a的取值范围\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16657.png){width="0.5104166666666666in" height="0.36527777777777776in"}）∪（0，+∞）． 【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用． 　 22．（12分）已知抛物线C：y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且\|QF\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16658.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|PQ\|． （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程． 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x~0~，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x~0~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16659.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，根据\|QF\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16660.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|PQ\|求得 p的值，可得C的方程． （Ⅱ）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长\|AB\|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得\|MN\|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于\|AE\|=\|BE\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16661.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|MN\|，由此求得m的值，可得直线l的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x~0~，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y^2^=2px（p＞0）， 可得x~0~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16659.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，∵点P（0，4），∴\|PQ\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16659.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 又\|QF\|=x~0~+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16662.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16659.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16662.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，\|QF\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16663.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|PQ\|， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16664.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16665.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16663.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16664.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）． 故C的方程为 y^2^=4x． （Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y^2^=4x的焦点F（1，0）， 设l的方程为 x=my+1（m≠0）， 代入抛物线方程可得y^2^﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m^2^+16＞0，y~1~+y~2~=4m，y~1~•y~2~=﹣4． ∴AB的中点坐标为D（2m^2^+1，2m），弦长\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16666.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}\|y~1~﹣y~2~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16666.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16667.png){width="1.4590277777777778in" height="0.3020833333333333in"}=4（m^2^+1）． 又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16668.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}y+2m^2^+3． 过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点， 把线l′的方程代入抛物线方程可得 y^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16669.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}y﹣4（2m^2^+3）=0，∴y~3~+y~4~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16670.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，y~3~•y~4~=﹣4（2m^2^+3）． 故线段MN的中点E的坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16671.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+2m^2^+3，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16672.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），∴\|MN\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16673.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}\|y~3~﹣y~4~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16674.png){width="1.332638888888889in" height="0.5in"}， ∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于\|AE\|=\|BE\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16675.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|MN\|， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16676.png){width="0.5in" height="0.36527777777777776in"}+DE^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16677.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}MN^2^， ∴4（m^2^+1）^2^ +![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16678.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16679.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16680.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16681.png){width="1.6979166666666667in" height="0.5298611111111111in"}，化简可得 m^2^﹣1=0， ∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0． 【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题． 　 　 2014年北京市高考数学试卷（理科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）** 1．（5分）已知集合A={x\|x^2^﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（　　） A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2} 【分析】解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集． 【解答】解：∵A={x\|x^2^﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}， ∴A∩B={0，2} 故选：C． 【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键． 　 2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（　　） A．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16682.png){width="0.375in" height="0.1875in"} B．y=（x﹣1）^2^ C．y=2^﹣x^ D．y=log~0.5~（x+1） 【分析】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论． 【解答】解：由于函数y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16682.png){width="0.375in" height="0.1875in"}在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件， 由于函数y=（x﹣1）^2^在（0，1）上是减函数，故不满足条件， 由于函数y=2^﹣x^在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件， 由于函数y=log~0.5~（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件， 故选：A． 【点评】本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题． 　 3．（5分）曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16683.png){width="0.9583333333333334in" height="0.40625in"}（θ为参数）的对称中心（　　） A．在直线y=2x上 B．在直线y=﹣2x上 C．在直线y=x﹣1上 D．在直线y=x+1上 【分析】曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16683.png){width="0.9583333333333334in" height="0.40625in"}（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论． 【解答】解：曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16684.png){width="0.9583333333333334in" height="0.40625in"}（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上， 故选：B． 【点评】本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题． 　 4．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16685.png){width="2.4791666666666665in" height="3.011111111111111in"} A．7 B．42 C．210 D．840 【分析】算法的功能是求S=7×6×...×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值． 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×...×k的值， 当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5， ∴跳出循环的k值为4， ∴输出S=7×6×5=210． 故选：C． 【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键． 　 5．（5分）设{a~n~}是公比为q的等比数列，则"q＞1"是"{a~n~}为递增数列"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，...，满足公比q=2＞1，但{a~n~}不是递增数列，充分性不成立． 若a~n~=﹣1![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16686.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}为递增数列，但q=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16687.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＞1不成立，即必要性不成立， 故"q＞1"是"{a~n~}为递增数列"的既不充分也不必要条件， 故选：D． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键． 　 6．（5分）若x，y满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16688.png){width="0.875in" height="0.65625in"}，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16689.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16690.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边， 故由约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16691.png){width="0.875in" height="0.65625in"}作出可行域如图， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16692.png){width="2.0104166666666665in" height="1.8541666666666667in"} 当y=0，由kx﹣y+2=0，得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16693.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， ∴B（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16694.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}）． 由z=y﹣x得y=x+z． 由图可知，当直线y=x+z过B（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16694.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}）时直线在y轴上的截距最小，即z最小． 此时![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16695.png){width="1.0104166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，解得：k=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16696.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：D． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 　 7．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16697.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），若S~1~，S~2~，S~3~分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（　　） A．S~1~=S~2~=S~3~ B．S~2~=S~1~且S~2~≠S~3~ C．S~3~=S~1~且S~3~≠S~2~ D．S~3~=S~2~且S~3~≠S~1~ 【分析】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论． 【解答】解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16697.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），则各个面上的射影分别为A\'，B\'，C\'，D\'， 在xOy坐标平面上的正投影A\'（2，0，0），B\'（2，2，0），C\'（0，2，0），D\'（1，1，0），S~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16698.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 在yOz坐标平面上的正投影A\'（0，0，0），B\'（0，2，0），C\'（0，2，0），D\'（0，1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16699.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），S~2~=.![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16700.png){width="1.09375in" height="0.3645833333333333in"} 在zOx坐标平面上的正投影A\'（2，0，0），B\'（2，0，0），C\'（0，0，0），D\'（0，1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16699.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），S~3~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16700.png){width="1.09375in" height="0.3645833333333333in"}， 则S~3~=S~2~且S~3~≠S~1~， 故选：D． 【点评】本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键． 　 8．（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为"优秀""合格""不合格"．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称"学生甲比学生乙成绩好"．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（　　） A．2人 B．3人 C．4人 D．5人 【分析】分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数． 【解答】解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个， 语文成绩得B得也最多只有一个， 得C最多只有一个， 因此学生最多只有3人， 显然（AC）（BB）（CA）满足条件， 故学生最多有3个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力． 　 **二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）** 9．（5分）复数（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16701.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）^2^=[　﹣1　]{.underline}． 【分析】由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案． 【解答】解：（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16701.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16702.png){width="2.0520833333333335in" height="0.4270833333333333in"}． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题． 　 10．（5分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16703.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16704.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16703.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16704.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（2，1），且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16705.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16704.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16706.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}（λ∈R），则\|λ\|=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16707.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【分析】设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16703.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y）．由于向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16708.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16709.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16708.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16709.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（2，1），且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16710.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16709.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16711.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}（λ∈R），可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16712.png){width="0.8854166666666666in" height="0.7291666666666666in"}，解出即可． 【解答】解：设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16713.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y）． ∵向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16713.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16714.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16713.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16714.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（2，1），且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16715.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16714.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16716.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}（λ∈R）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16717.png){width="0.5in" height="0.20833333333333334in"}=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16718.png){width="0.8854166666666666in" height="0.7291666666666666in"}，化为λ^2^=5． 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16719.png){width="0.6458333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16720.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题． 　 11．（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16721.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}﹣x^2^=1具有相同渐近线，则C的方程为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16722.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}[　]{.underline}；渐近线方程为[　y=±2x　]{.underline}． 【分析】利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论． 【解答】解：与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16723.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}﹣x^2^=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16723.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}﹣x^2^=m，（m≠0）， ∵双曲线C经过点（2，2）， ∴m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16724.png){width="1.125in" height="0.4270833333333333in"}， 即双曲线方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16723.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}﹣x^2^=﹣3，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16725.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}， 对应的渐近线方程为y=±2x， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16725.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}，y=±2x． 【点评】本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础． 　 12．（5分）若等差数列{a~n~}满足a~7~+a~8~+a~9~＞0，a~7~+a~10~＜0，则当n=[　8　]{.underline}时，{a~n~}的前n项和最大． 【分析】可得等差数列{a~n~}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论． 【解答】解：由等差数列的性质可得a~7~+a~8~+a~9~=3a~8~＞0， ∴a~8~＞0，又a~7~+a~10~=a~8~+a~9~＜0，∴a~9~＜0， ∴等差数列{a~n~}的前8项为正数，从第9项开始为负数， ∴等差数列{a~n~}的前8项和最大， 故答案为：8． 【点评】本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题． 　 13．（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有[　36　]{.underline}种． 【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足B、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案． 【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16726.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}种方法，而A、B可交换位置，所以有2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16726.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=48种摆法， 又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16727.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=12种摆法， 故满足条件的摆法有48﹣12=36种． 故答案为：36． 【点评】本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C． 　 14．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16728.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16729.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上具有单调性，且f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16729.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16730.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16728.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），则f（x）的最小正周期为[　π　]{.underline}． 【分析】由f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16729.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16730.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16728.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16731.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上具有单调性，且f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16731.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16732.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}） 可得函数的半周期，则周期可求． 【解答】解：由f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16731.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16733.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}），可知函数f（x）的一条对称轴为x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16734.png){width="1.0625in" height="0.5625in"}， 则x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16731.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}离最近对称轴距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16735.png){width="0.9479166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 又f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16736.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16737.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），则f（x）有对称中心（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image331.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，0）， 由于f（x）在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16737.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16736.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上具有单调性， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16738.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16739.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}T⇒T≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16740.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16741.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16742.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}⇒T=π． 故答案为：π． 【点评】本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题． 　 **三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）** 15．（13分）如图，在△ABC中，∠B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16743.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16744.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （1）求sin∠BAD； （2）求BD，AC的长． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16745.png){width="0.96875in" height="1.375in"} 【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论． 【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16746.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sin∠ADC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16747.png){width="1.09375in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16748.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16749.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16750.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16750.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16751.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16752.png){width="0.5625in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16753.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． （2）在△ABD中，由正弦定理得BD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16754.png){width="0.96875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16755.png){width="0.8333333333333334in" height="0.8020833333333334in"}， 在△ABC中，由余弦定理得AC^2^=AB^2^+CB^2^﹣2AB•BCcosB=8^2^+5^2^﹣2×8×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16756.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}=49， 即AC=7． 【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大． 　 16．（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）； ------- ---------- ---------- ------- ---------- ---------- 场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场1 22 12 客场1 18 8 主场2 15 12 客场2 13 12 主场3 12 8 客场3 21 7 主场4 23 8 客场4 18 15 主场5 24 20 客场5 25 12 ------- ---------- ---------- ------- ---------- ---------- （1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率； （2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率； （3）记![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16757.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16757.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}的大小（只需写出结论）． 【分析】（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可， （2）根据互斥事件的概率公式，计算即可． （3）求出平均数和EX，比较即可． 【解答】解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场 所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16758.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}， （2）设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16759.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}，客场命中率超过0.6的概率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16760.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}， 故P（B）=P~1~×（1﹣P~2~）+P~2~×（1﹣P~1~）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16761.png){width="1.34375in" height="0.3645833333333333in"}； （3）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16762.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16763.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4 EX=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16762.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"} 【点评】本题主要考查了概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率，属于中档题． 　 17．（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H． （1）求证：AB∥FG； （2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16764.png){width="2.8652777777777776in" height="2.375in"} 【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得； （2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=\|cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16765.png){width="0.8125in" height="0.22916666666666666in"}\|，求出角α；设H（u，v，w），再设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16766.png){width="1.5in" height="0.22916666666666666in"}，用λ表示H的坐标，再由n![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16767.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长． 【解答】（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点， ∴AB∥DE，又∵AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE， ∵AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG， ∴AB∥FG； （2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE， 如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0）， B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2）， E（0，2，0），F（0，1，1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16768.png){width="1.0416666666666667in" height="0.22916666666666666in"}， 设平面ABF的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16769.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y，z），则 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16770.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16771.png){width="0.5416666666666666in" height="0.40625in"}， 令z=1，则y=﹣1，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16769.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（0，﹣1，1）， 设直线BC与平面ABF所成的角为α，则 sinα=\|cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16772.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16773.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}＞\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16774.png){width="0.8020833333333334in" height="0.4479166666666667in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16775.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴直线BC与平面ABF所成的角为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16776.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16777.png){width="1.5in" height="0.22916666666666666in"}， 即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16772.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}是平面ABF的法向量， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16778.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16779.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0，即（0，﹣1，1）•（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16780.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，∴H（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16781.png){width="0.78125in" height="0.3645833333333333in"}）， ∴PH=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16782.png){width="1.65625in" height="0.3854166666666667in"}=2． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16783.png){width="2.886111111111111in" height="2.667361111111111in"} 【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题． 　 18．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16784.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\] （1）求证：f（x）≤0； （2）若a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16785.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}＜b对x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16784.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）上恒成立，求a的最大值与b的最小值． 【分析】（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16784.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16784.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0． （2）当x＞0时，"![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16785.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}＞a"等价于"sinx﹣ax＞0"，"![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16785.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}＜b"等价于"sinx﹣bx＜0"构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值． 【解答】解：（1）由f（x）=xcosx﹣sinx得 f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx， 此在区间∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16786.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）上f′（x）=﹣xsinx＜0， 所以f（x）在区间∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16786.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递减， 从而f（x）≤f（0）=0． （2）当x＞0时，"![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16787.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}＞a"等价于"sinx﹣ax＞0"，"![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16787.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}＜b"等价于"sinx﹣bx＜0" 令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c， 当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16786.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）上恒成立， 当c≥1时，因为对任意x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16786.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），g′（x）=cosx﹣c＜0， 所以g（x）在区间\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16786.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递减， 从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16786.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）恒成立， 当0＜c＜1时，存在唯一的x~0~∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16788.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）使得g′（x~0~）=cosx~0~﹣c=0， g（x）与g′（x）在区间（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16788.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）上的情况如下： --------- ------------- ------ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x （0，x~0~） x~0~ （x~0~，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16788.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}） g′（x） \+ ﹣ g（x） ↑ ↓ --------- ------------- ------ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 因为g（x）在区间（0，x~0~）上是增函数， 所以g（x~0~）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16788.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）恒成立， 当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16789.png){width="1.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16790.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"} 综上所述当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16791.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}时，g（x）＞0对任意x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16792.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）恒成立， 当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16792.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）恒成立， 所以若a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16793.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}＜b对x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16792.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）上恒成立，则a的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16794.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，b的最小值为1 【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题． 　 19．（14分）已知椭圆C：x^2^+2y^2^=4， （1）求椭圆C的离心率 （2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x^2^+y^2^=2的位置关系，并证明你的结论． 【分析】（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求； （2）设出点A，B的坐标分别为（x~0~，y~0~），（t，2），其中x~0~≠0，由OA⊥OB得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16795.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x^2^+y^2^=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x^2^+y^2^=2相切． 【解答】解：（1）由x^2^+2y^2^=4，得椭圆C的标准方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16796.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}． ∴a^2^=4，b^2^=2，从而c^2^=a^2^﹣b^2^=2． 因此a=2，c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16797.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故椭圆C的离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16798.png){width="0.4791666666666667in" height="0.3854166666666667in"}； （2）直线AB与圆x^2^+y^2^=2相切． 证明如下： 设点A，B的坐标分别为（x~0~，y~0~），（t，2），其中x~0~≠0． ∵OA⊥OB， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16799.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，即tx~0~+2y~0~=0，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16800.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4895833333333333in"}． 当x~0~=t时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16801.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，代入椭圆C的方程，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16802.png){width="0.5625in" height="0.1875in"}． 故直线AB的方程为x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16803.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，圆心O到直线AB的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16804.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 此时直线AB与圆x^2^+y^2^=2相切． 当x~0~≠t时，直线AB的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16805.png){width="1.2083333333333333in" height="0.4895833333333333in"}， 即（y~0~﹣2）x﹣（x~0~﹣t）y+2x~0~﹣ty~0~=0． 圆心O到直线AB的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16806.png){width="1.5729166666666667in" height="0.5625in"}． 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16807.png){width="0.9375in" height="0.2916666666666667in"}，t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16808.png){width="0.4375in" height="0.4895833333333333in"}． 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16809.png){width="1.6979166666666667in" height="1.1770833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16810.png){width="1.5in" height="1.15625in"}． 此时直线AB与圆x^2^+y^2^=2相切． 【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题． 　 20．（13分）对于数对序列P：（a~1~，b~1~），（a~2~，b~2~），...，（a~n~，b~n~），记T~1~（P）=a~1~+b~1~，T~k~（P）=b~k~+max{T~k﹣1~（P），a~1~+a~2~+...+a~k~}（2≤k≤n），其中max{T~k﹣1~（P），a~1~+a~2~+...+a~k~}表示T~k﹣1~（P）和a~1~+a~2~+...+a~k~两个数中最大的数， （Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T~1~（P），T~2~（P）的值； （Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T~2~（P）和T~2~（P′）的大小； （Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T~5~（P）最小，并写出T~5~（P）的值（只需写出结论）． 【分析】（Ⅰ）利用T~1~（P）=a~1~+b~1~，T~k~（P）=b~k~+max{T~k﹣1~（P），a~1~+a~2~+...+a~k~}（2≤k≤n），可求T~1~（P），T~2~（P）的值； （Ⅱ）T~2~（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T~2~（P′）=max{c+d+b，c+a+b}，分类讨论，利用新定义，可比较T~2~（P）和T~2~（P′）的大小； （Ⅲ）根据新定义，可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）T~1~（P）=2+5=7，T~2~（P）=1+max{T~1~（P），2+4}=1+max{7，6}=8； （Ⅱ）T~2~（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T~2~（P′）=max{c+d+b，c+a+b}． 当m=a时，T~2~（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+d+b， ∵a+b+d≤c+d+b，且a+c+d≤c+b+d，∴T~2~（P）≤T~2~（P′）； 当m=d时，T~2~（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+a+b， ∵a+b+d≤c+a+b，且a+c+d≤c+a+d，∴T~2~（P）≤T~2~（P′）； ∴无论m=a和m=d，T~2~（P）≤T~2~（P′）； （Ⅲ）数对（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），T~5~（P）最小； T~1~（P）=10，T~2~（P）=26；T~3~（P）42，T~4~（P）=50，T~5~（P）=52． 【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是解题的关键． 　 2014年北京市高考数学试卷（文科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项** 1．（5分）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（　　） A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3} 【分析】直接利用交集的运算得答案． 【解答】解：∵A={0，1，2，4}，B={1，2，3}， ∴A∩B={0，1，2，4}∩{1，2，3}={1，2}． 故选：C． 【点评】本题考查交集及其运算，是基础题． 　 2．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（　　） A．y=e^﹣x^ B．y=x C．y=lnx D．y=\|x\| 【分析】根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论． 【解答】解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件． B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件． C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件． D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件． 故选：B． 【点评】本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础． 　 3．（5分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16811.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（2，4），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16812.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，1），则2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16811.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16812.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（　　） A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9） 【分析】直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案． 【解答】解：由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16811.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（2，4），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16813.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，1），得： 2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16814.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16813.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（4，8）﹣（﹣1，1）=（5，7）． 故选：A． 【点评】本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题． 　 4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16815.png){width="2.604861111111111in" height="2.15625in"} A．1 B．3 C．7 D．15 【分析】算法的功能是求S=1+2^1^+2^2^+...+2^k^的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值． 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+2^1^+2^2^+...+2^k^的值， ∵跳出循环的k值为3， ∴输出S=1+2+4=7． 故选：C． 【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 　 5．（5分）设a，b是实数，则"a＞b"是"a^2^＞b^2^"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解． 【解答】解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a^2^＞b^2^，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）^2^＜（﹣3）^2^，所以"a＞b"是"a^2^＞b^2^"的不充分条件； 反之，由a^2^＞b^2^也不一定得a＞b，如（﹣3）^2^＞（﹣2）^2^，但﹣3＜﹣2，所以"a＞b"是"a^2^＞b^2^"的不必要条件． 故选：D． 【点评】判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据"谁大谁必要，谁小谁充分"的原则，判断命题p与命题q的关系． ⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法． 　 6．（5分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16816.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣log~2~x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞） 【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16817.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜0，由零点的判定定理可得． 【解答】解：∵f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16816.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣log~2~x， ∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16817.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜0， 满足f（2）f（4）＜0， ∴f（x）在区间（2，4）内必有零点， 故选：C． 【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题． 　 7．（5分）已知圆C：（x﹣3）^2^+（y﹣4）^2^=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16818.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AB=m，可得m≤6，从而得到答案． 【解答】解：圆C：（x﹣3）^2^+（y﹣4）^2^=1的圆心C（3，4），半径为1， ∵圆心C到O（0，0）的距离为5， ∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6． 再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点， 可得PO=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16818.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AB=m，故有m≤6， 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16819.png){width="2.6569444444444446in" height="2.4270833333333335in"} 【点评】本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题． 　 8．（5分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为"可食用率"，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at^2^+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16820.png){width="2.0in" height="1.5729166666666667in"} A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 【分析】由提供的数据，求出函数的解析式，由二次函数的图象与性质可得结论． 【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at^2^+bt+c，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16821.png){width="1.125in" height="0.625in"}， 解得a=﹣0.2，b=1.5，c=﹣2， ∴p=﹣0.2t^2^+1.5t﹣2，对称轴为t=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16822.png){width="0.8020833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=3.75． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键． 　 **二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．** 9．（5分）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x=[　2　]{.underline}． 【分析】化简原式可得∴﹣1+xi=﹣1+2i，由复数相等的定义可得． 【解答】解：∵（x+i）i=﹣1+2i， ∴﹣1+xi=﹣1+2i， 由复数相等可得x=2 故答案为：2 【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题． 　 10．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16823.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16823.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为[　x^2^﹣y^2^=1　]{.underline}． 【分析】利用双曲线C的两个焦点为（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16823.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16823.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），一个顶点是（1，0），可得c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16823.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，a=1，进而求出b，即可得出双曲线的方程． 【解答】解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16824.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16824.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），一个顶点是（1，0）， ∴c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16824.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，a=1， ∴b=1， ∴C的方程为x^2^﹣y^2^=1． 故答案为：x^2^﹣y^2^=1． 【点评】本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为[　2]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16825.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16826.png){width="2.3229166666666665in" height="2.3229166666666665in"} 【分析】由主视图知CD⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD长及△ABC中变AC的高，利用勾股定理即可求出最长棱BD的长． 【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1； 由主视图知CD=2，由左视图知BE=1， 在Rt△BCE中，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16825.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 在Rt△BCD中，BD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16827.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 在Rt△ACD中，AD=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16828.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 则三棱锥中最长棱的长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16828.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16828.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16829.png){width="1.6041666666666667in" height="2.28125in"} 【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力． 　 12．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16830.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则c=[　2　]{.underline}；sinA=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16831.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}[　]{.underline}． 【分析】利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cosC的值代入求出c的值，由cosC的值求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sinA的值． 【解答】解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16832.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴由余弦定理得：c^2^=a^2^+b^2^﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2； ∵cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16832.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，C为三角形内角， ∴sinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16833.png){width="0.7604166666666666in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16834.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}， ∴由正弦定理![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16835.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16836.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}得：sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16837.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16838.png){width="0.625in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16839.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 故答案为：2；![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16839.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键． 　 13．（5分）若x，y满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16840.png){width="0.7916666666666666in" height="0.65625in"}，则z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16841.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}x+y的最小值为[　1　]{.underline}． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16840.png){width="0.7916666666666666in" height="0.65625in"}作出可行域如图， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16842.png){width="1.8958333333333333in" height="1.7604166666666667in"} 化目标函数z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16841.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}x+y为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16843.png){width="0.75in" height="0.19791666666666666in"}， 由图可知，当直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16843.png){width="0.75in" height="0.19791666666666666in"}过C（0，1）时直线在y轴上的截距最小． 此时![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16844.png){width="1.25in" height="0.22916666666666666in"}． 故答案为：1． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 　 14．（5分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： +-------+--------+--------+ | 工序 | 粗加工 | 精加工 | | | | | | 时间 | | | | | | | | 原料 | | | +-------+--------+--------+ | 原料A | 9 | 15 | +-------+--------+--------+ | 原料B | 6 | 21 | +-------+--------+--------+ 则最短交货期为[　42　]{.underline} 个工作日． 【分析】先完成B的加工，再完成A的加工即可． 【解答】解：由题意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42 个工作日． 故答案为：42． 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 　 **三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．** 15．（13分）已知{a~n~}是等差数列，满足a~1~=3，a~4~=12，数列{b~n~}满足b~1~=4，b~4~=20，且{b~n~﹣a~n~}为等比数列． （1）求数列{a~n~}和{b~n~}的通项公式； （2）求数列{b~n~}的前n项和． 【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论； （2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和． 【解答】解：（1）∵{a~n~}是等差数列，满足a~1~=3，a~4~=12， ∴3+3d=12，解得d=3， ∴a~n~=3+（n﹣1）×3=3n． 设等比数列{b~n~﹣a~n~}的公比为q，则 q^3^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16845.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16846.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=8，∴q=2， ∴b~n~﹣a~n~=（b~1~﹣a~1~）q^n﹣1^=2^n﹣1^， ∴b~n~=3n+2^n﹣1^（n=1，2，...）． （2）由（1）知b~n~=3n+2^n﹣1^（n=1，2，...）． ∵数列{a~n~}的前n项和为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16847.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}n（n+1）， 数列{2^n﹣1^}的前n项和为1×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16848.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}=2^n^﹣1， ∴数列{b~n~}的前n项和为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16847.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}n（n+1）+2^n^﹣1． 【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用． 　 16．（13分）函数f（x）=3sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16849.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的部分图象如图所示． （Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x~0~，y~0~的值； （Ⅱ）求f（x）在区间\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16850.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16851.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值和最小值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16852.png){width="2.125in" height="1.9375in"} 【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16850.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16853.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]可得2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16854.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16855.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，0\]，由三角函数的性质可得最值． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16854.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， ∴f（x）的最小正周期T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16856.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=π， 可知y~0~为函数的最大值3，x~0~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16857.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}； （Ⅱ）∵x∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16858.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16853.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]， ∴2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16854.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16859.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，0\]， ∴当2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16860.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=0，即x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16861.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}时，f（x）取最大值0， 当2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16860.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16862.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，即x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16863.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，f（x）取最小值﹣3 【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属基础题． 　 17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA~1~=AC=2，BC=1，E、F分别为A~1~C~1~、BC的中点． （1）求证：平面ABE⊥平面B~1~BCC~1~； （2）求证：C~1~F∥平面ABE； （3）求三棱锥E﹣ABC的体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16864.png){width="1.5208333333333333in" height="1.7916666666666667in"} 【分析】（1）证明AB⊥B~1~BCC~1~，可得平面ABE⊥B~1~BCC~1~； （2）证明C~1~F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC~1~为平行四边形，可得C~1~F∥EG； （3）利用V~E﹣ABC~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16865.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}S△ABC•AA~1~，可求三棱锥E﹣ABC的体积． 【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧棱垂直于底面， ∴BB~1~⊥AB， ∵AB⊥BC，BB~1~∩BC=B，BB~1~，BC⊂平面B~1~BCC~1~， ∴AB⊥平面B~1~BCC~1~， ∵AB⊂平面ABE， ∴平面ABE⊥平面B~1~BCC~1~； （Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则 ∵F是BC的中点， ∴FG∥AC，FG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16866.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AC， ∵E是A~1~C~1~的中点， ∴FG∥EC~1~，FG=EC~1~， ∴四边形FGEC~1~为平行四边形， ∴C~1~F∥EG， ∵C~1~F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE， ∴C~1~F∥平面ABE； （3）解：∵AA~1~=AC=2，BC=1，AB⊥BC， ∴AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16867.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴V~E﹣ABC~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16868.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}S~△ABC~•AA~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16868.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16869.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16867.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}×1）×2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16870.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16871.png){width="1.5208333333333333in" height="1.7916666666666667in"} 【点评】本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E﹣ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键． 　 18．（13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： ------ ------------ ------ 排号 分组 频数 1 \[0，2） 6 2 \[2，4） 8 3 \[4，6） 17 4 \[6，8） 22 5 \[8，10） 25 6 \[10，12） 12 7 \[12，14） 6 8 \[14，16） 2 9 \[16，18） 2 合计 100 ------ ------------ ------ （Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值； （Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16872.png){width="2.886111111111111in" height="2.1145833333333335in"} 【分析】（Ⅰ）根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16873.png){width="0.71875in" height="0.4166666666666667in"}求频率； （Ⅱ）根据小矩形的高=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16874.png){width="0.3854166666666667in" height="0.4166666666666667in"}求a、b的值； （Ⅲ）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90， ∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16875.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=0.9； （Ⅱ）由频率分布表知：数据在\[4，6）的频数为17，∴频率为0.17，∴a=0.085； 数据在\[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125； （Ⅲ）数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小时）， ∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组． 【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，再频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16873.png){width="0.71875in" height="0.4166666666666667in"}． 　 19．（14分）已知椭圆C：x^2^+2y^2^=4． （Ⅰ）求椭圆C的离心率； （Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值． 【分析】（Ⅰ）椭圆C：x^2^+2y^2^=4化为标准方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16876.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}，求出a，c，即可求椭圆C的离心率； （Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值． 【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：x^2^+2y^2^=4化为标准方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16876.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}， ∴a=2，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16877.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16877.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴椭圆C的离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16878.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16879.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}； （Ⅱ）设A（t，2），B（x~0~，y~0~），x~0~≠0，则 ∵OA⊥OB， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16880.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0， ∴tx~0~+2y~0~=0，∴t=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16881.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4895833333333333in"}， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16882.png){width="0.9375in" height="0.2916666666666667in"}， ∴\|AB\|^2^=（x~0~﹣t）^2^+（y~0~﹣2）^2^=（x~0~+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16881.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4895833333333333in"}）^2^+（y~0~﹣2）^2^=x~0~^2^+y~0~^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16883.png){width="0.4166666666666667in" height="0.59375in"}+4=x~0~^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16884.png){width="0.5in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16885.png){width="0.7708333333333334in" height="0.5833333333333334in"}+4=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16886.png){width="0.7291666666666666in" height="0.5833333333333334in"}+4（0＜x~0~^2^≤4）， 因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16886.png){width="0.7291666666666666in" height="0.5833333333333334in"}≥4（0＜x~0~^2^≤4），当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16887.png){width="0.7291666666666666in" height="0.5833333333333334in"}，即x~0~^2^=4时等号成立，所以\|AB\|^2^≥8． ∴线段AB长度的最小值为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16888.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 20．（13分）已知函数f（x）=2x^3^﹣3x． （Ⅰ）求f（x）在区间\[﹣2，1\]上的最大值； （Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围； （Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论） 【分析】（Ⅰ）利用导数求得极值点比较f（﹣2），f（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16889.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16889.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），f（1）的大小即得结论； （Ⅱ）利用导数的几何意义得出切线方程4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16890.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}﹣6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16891.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+t+3=0，设g（x）=4x^3^﹣6x^2^+t+3，则"过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切"， 等价于"g（x）有3个不同的零点"．利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况，得出结论； （Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论写出即可． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x^3^﹣3x得f′（x）=6x^2^﹣3， 令f′（x）=0得，x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16889.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}或x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16892.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16892.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16893.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16892.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16893.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，f（1）=﹣1， ∴f（x）在区间\[﹣2，1\]上的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16893.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x~0~，y~0~）， 则y~0~=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16894.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}﹣3x~0~，且切线斜率为k=6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16895.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}﹣3， ∴切线方程为y﹣y~0~=（6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16896.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}﹣3）（x﹣x~0~）， ∴t﹣y~0~=（6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16896.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}﹣3）（1﹣x~0~）， 即4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16897.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}﹣6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16896.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+t+3=0， 设g（x）=4x^3^﹣6x^2^+t+3， 则"过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切"，等价于"g（x）有3个不同的零点"． ∵g′（x）=12x^2^﹣12x=12x（x﹣1）， ∴g（x）与g′（x）变化情况如下： --------- ------------ ----- ---------- ----- ----------- x （﹣∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞） g′（x） \+ 0 ﹣ 0 \+ g（x） ↗ t+3 ↘ t+1 ↗ --------- ------------ ----- ---------- ----- ----------- ∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值． 当g（0）=t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1\]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点． 当g（1）=t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0\]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点． 当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）=t﹣7＜0，g（2）=t+11＞0， ∴g（x）分别在区间\[﹣1，0），\[0，1）和\[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和\[1，+∞）上单调， 故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和\[1，+∞）上恰有1个零点． 综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）． （Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切； 过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切； 过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切． 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程及判断函数的单调性求最值等知识，考查转化划归思想及分类讨论思想的运用能力和运算能力，属难题． 2014年天津市高考数学试卷（理科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（共8小题，每小题5分）** 1．（5分）i是虚数单位，复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16898.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=（　　） A．1﹣i B．﹣1+i C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16899.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16900.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}i D．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16901.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16902.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}i 【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值． 【解答】解：复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16903.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16904.png){width="1.0520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16905.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：A． 【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题． 　 2．（5分）设变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16906.png){width="0.7916666666666666in" height="0.65625in"}，则目标函数z=x+2y的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 【解答】解：作出不等式对应的平面区域， 由z=x+2y，得y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16907.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 平移直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16907.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，由图象可知当直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16907.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}经过点B（1，1）时，直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16908.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}的截距最小，此时z最小． 此时z的最小值为z=1+2×1=3， 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16909.png){width="2.46875in" height="2.0in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 　 3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16910.png){width="1.4895833333333333in" height="3.3965277777777776in"} A．15 B．105 C．245 D．945 【分析】算法的功能是求S=1×3×5×...×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值． 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×...×（2i+1）的值， ∵跳出循环的i值为4， ∴输出S=1×3×5×7=105． 故选：B． 【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键． 　 4．（5分）函数f（x）=log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16911.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}（x^2^﹣4）的单调递增区间为（　　） A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2） 【分析】令t=x^2^﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16911.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 上的减区间． 【解答】解：令t=x^2^﹣4＞0，可得 x＞2，或 x＜﹣2， 故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）， 当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16912.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}t随t的减小而增大， 所以y=log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16912.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}（x^2^﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增． 故选：D． 【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题． 　 5．（5分）已知双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16913.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16914.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16915.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16916.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16917.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16918.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16919.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16920.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"}=1 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16921.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16922.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"}=1 【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16923.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16924.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16925.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2，结合c^2^=a^2^+b^2^，求出a，b，即可求出双曲线的方程． 【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上， 令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5， ∵双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16923.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16924.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16925.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2， ∵c^2^=a^2^+b^2^， ∴a^2^=5，b^2^=20， ∴双曲线的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16926.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16927.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 6．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD平分∠CBF； ②FB^2^=FD•FA； ③AE•CE=BE•DE； ④AF•BD=AB•BF． 所有正确结论的序号是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16928.png){width="1.53125in" height="2.03125in"} A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项． 【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD， ∴∠DBC=∠DAC． ∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD， ∴∠FBD=∠BAF． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAF=∠DAC． ∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确． 又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16929.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，FB^2^=FD•FA．即结论②成立． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16930.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立． 正确结论有①②④． 故选：D． 【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题． 　 7．（5分）设a，b∈R，则"a＞b"是"a\|a\|＞b\|b\|"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 【解答】解：若a＞b， ①a＞b≥0，不等式a\|a\|＞b\|b\|等价为a•a＞b•b，此时成立． ②0＞a＞b，不等式a\|a\|＞b\|b\|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a^2^＜b^2^，此时成立． ③a≥0＞b，不等式a\|a\|＞b\|b\|等价为a•a＞﹣b•b，即a^2^＞﹣b^2^，此时成立，即充分性成立． 若a\|a\|＞b\|b\|， ①当a＞0，b＞0时，a\|a\|＞b\|b\|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b． ②当a＞0，b＜0时，a＞b． ③当a＜0，b＜0时，a\|a\|＞b\|b\|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立， 综上"a＞b"是"a\|a\|＞b\|b\|"的充要条件， 故选：C． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键． 　 8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16931.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16932.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16933.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=μ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16934.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16935.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16936.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16937.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16938.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16939.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则λ+μ=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16940.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16941.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16942.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16943.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16944.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16945.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16946.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16947.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16941.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12031.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}②．结合①②求得λ+μ的值． 【解答】解：由题意可得若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16948.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16949.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16950.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16951.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16952.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16953.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16954.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16955.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16956.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16957.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"} =2×2×cos120°+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16958.png){width="0.6458333333333334in" height="0.20833333333333334in"}+λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16959.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16959.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16959.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•μ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16960.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120° =4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1， ∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16961.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16962.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16963.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16964.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16965.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1﹣λ）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16966.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•（1﹣μ）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16967.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（1﹣λ）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16968.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•（1﹣μ）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16969.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} =（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16970.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 即﹣λ﹣μ+λμ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16971.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}②． 由①②求得λ+μ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16972.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16973.png){width="1.9479166666666667in" height="1.3229166666666667in"} 【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题． 　 **二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）** 9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取[　60　]{.underline}名学生． 【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求． 【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16974.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10271.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16975.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=60， 故答案为：60． 【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题． 　 10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16976.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}m^3^． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16977.png){width="2.3125in" height="3.0840277777777776in"} 【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算． 【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体， 其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4， ∴几何体的体积V=π×1^2^×4+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16978.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×π×2^2^×2=4π+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16979.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}π=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16980.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}π． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16981.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键． 　 11．（5分）设{a~n~}是首项为a~1~，公差为﹣1的等差数列，S~n~为其前n项和，若S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，则a~1~的值为[　﹣]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16982.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】由条件求得，S~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16983.png){width="0.9375in" height="0.4270833333333333in"}，再根据S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16984.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}=S~1~•S~4~，由此求得a~1~的值． 【解答】解：由题意可得，a~n~=a~1~+（n﹣1）（﹣1）=a~1~+1﹣n，S~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16985.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16986.png){width="0.9375in" height="0.4270833333333333in"}， 再根据若S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16984.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}=S~1~•S~4~，即 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16987.png){width="0.7395833333333334in" height="0.28125in"}=a~1~•（4a~1~﹣6）， 解得 a~1~=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16988.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16988.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题． 　 12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16989.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a，2sinB=3sinC，则cosA的值为[　﹣]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16989.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16990.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，再由余弦定理求得cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16991.png){width="0.78125in" height="0.4270833333333333in"} 的值． 【解答】解：在△ABC中， ∵b﹣c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16989.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a ①，2sinB=3sinC， ∴2b=3c ②， ∴由①②可得a=2c，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16990.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 再由余弦定理可得 cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16992.png){width="0.78125in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16993.png){width="1.0in" height="0.625in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16994.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16994.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题． 　 13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为[　3　]{.underline}． 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x^2^+（y﹣2）^2^=4，可得a的值． 【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ， 即ρ^2^=4ρsinθ，即x^2^+（y﹣2）^2^=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆， ∵△AOB是等边三角形，∴B（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16995.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}a，a）， 代入x^2^+（y﹣2）^2^=4，可得（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16995.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}a）^2^+（a﹣2）^2^=4， ∵a＞0，∴a=3． 故答案为：3． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image16996.png){width="2.2916666666666665in" height="1.9791666666666667in"} 【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B的坐标是解题的关键，属于基础题． 　 14．（5分）已知函数f（x）=\|x^2^+3x\|，x∈R，若方程f（x）﹣a\|x﹣1\|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为[　（0，1）∪（9，+∞）　]{.underline}． 【分析】由y=f（x）﹣a\|x﹣1\|=0得f（x）=a\|x﹣1\|，作出函数y=f（x），y=a\|x﹣1\|的图象利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：由y=f（x）﹣a\|x﹣1\|=0得f（x）=a\|x﹣1\|， 作出函数y=f（x），y=g（x）=a\|x﹣1\|的图象， 当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件， 则a＞0，此时g（x）=a\|x﹣1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16997.png){width="1.4583333333333333in" height="0.4270833333333333in"}， 当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x^2^﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1）， 当直线和抛物线相切时，有三个零点， 此时﹣x^2^﹣3x=﹣a（x﹣1）， 即x^2^+（3﹣a）x+a=0， 则由△=（3﹣a）^2^﹣4a=0，即a^2^﹣10a+9=0，解得a=1或a=9， 当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1， 要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1， 若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点， 此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可， 即x^2^+3x=a（x﹣1），整理得x^2^+（3﹣a）x+a=0， 则由△=（3﹣a）^2^﹣4a＞0，即a^2^﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9， 综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞）， 方法2：由f（x）﹣a\|x﹣1\|=0得f（x）=a\|x﹣1\|， 若x=1，则4=0不成立， 故x≠1， 则方程等价为a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16998.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16999.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17000.png){width="1.3541666666666667in" height="0.4270833333333333in"}\|=\|x﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17001.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+5\|， 设g（x）=x﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17001.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+5， 当x＞1时，g（x）=x﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17001.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+5≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17002.png){width="1.6354166666666667in" height="0.3854166666666667in"}，当且仅当x﹣1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17001.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，即x=3时取等号， 当x＜1时，g（x）=x﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17001.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17003.png){width="1.6145833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=5﹣4=1，当且仅当﹣（x﹣1）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17004.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，即x=﹣1时取等号， 则\|g（x）\|的图象如图： 若方程f（x）﹣a\|x﹣1\|=0恰有4个互异的实数根， 则满足a＞9或0＜a＜1， 故答案为：（0，1）∪（9，+∞） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17005.png){width="2.729861111111111in" height="2.6152777777777776in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17006.png){width="2.2395833333333335in" height="2.0520833333333335in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17007.png){width="3.511111111111111in" height="2.8340277777777776in"} 【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 　 **三、解答题（共6小题，共80分）** 15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17008.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17009.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos^2^x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17010.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，x∈R． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在闭区间\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17011.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17011.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值和最小值． 【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17012.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}求出此函数的最小正周期； （Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17013.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10261.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sinx![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17014.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}cosx）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17015.png){width="1.125in" height="0.3854166666666667in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17016.png){width="2.0416666666666665in" height="0.3854166666666667in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17017.png){width="1.9895833333333333in" height="0.3854166666666667in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17018.png){width="1.3333333333333333in" height="0.3854166666666667in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17019.png){width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"} 所以，f（x）的最小正周期![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17020.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=π． （Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17019.png){width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"}， 由x∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17021.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17021.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]得，2x∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17022.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17022.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17023.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17024.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17025.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]， ∴当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17023.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17026.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17027.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17028.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17029.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17030.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17031.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10315.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，f（x）取到最大值是：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17032.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 所以，所求的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17032.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17033.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17034.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题． 　 16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率； （Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望． 【分析】（Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值； （Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17035.png){width="1.15625in" height="0.5833333333333334in"}（k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值． 【解答】（Ⅰ）解：设"选出的3名同学是来自互不相同学院"为事件A， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17036.png){width="1.6666666666666667in" height="0.5833333333333334in"}， 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17037.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17038.png){width="1.15625in" height="0.5833333333333334in"}（k=0，1，2，3） 所以随机变量X的分布列是 --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- X 0 1 2 3 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17039.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10326.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17040.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17041.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 随机变量X的数学期望![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17042.png){width="2.6979166666666665in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力． 　 17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点． （Ⅰ）证明：BE⊥DC； （Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； （Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17043.png){width="2.1354166666666665in" height="1.71875in"} 【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17044.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17045.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=0，可得BE⊥DC； （II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值； （Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17046.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值． 【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB， 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17047.png){width="2.1354166666666665in" height="2.0625in"} ∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点． ∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1） ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17048.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，1，1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17045.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（2，0，0） ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17048.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17049.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=0， ∴BE⊥DC； （Ⅱ）∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17050.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，2，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17051.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（1，0，﹣2）， 设平面PBD的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17052.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y，z）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17053.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17054.png){width="0.7083333333333334in" height="0.40625in"}， 令y=1，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17055.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（2，1，1）， 则直线BE与平面PBD所成角θ满足： sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17056.png){width="0.8020833333333334in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17057.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17058.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17058.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅲ）∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17059.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（1，2，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17060.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣2，﹣2，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17061.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（2，2，0）， 由F点在棱PC上，设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17062.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17060.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17063.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17064.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17062.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 由BF⊥AC，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17065.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17066.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0， 解得λ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17067.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17065.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12013.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12013.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17068.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）， 设平面FBA的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17069.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（a，b，c）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17070.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17071.png){width="1.2604166666666667in" height="0.59375in"} 令c=1，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17069.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（0，﹣3，1）， 取平面ABP的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17072.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（0，1，0）， 则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足： cosα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17073.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17074.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17075.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}， 故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17075.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} 【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键． 　 18．（13分）设椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17076.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17077.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，右顶点为A，上顶点为B，已知\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9584.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\|F~1~F~2~\|． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F~1~，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率． 【分析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F~2~（c，0），由\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9584.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\|F~1~F~2~\|．可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17078.png){width="1.2916666666666667in" height="0.3854166666666667in"}，再利用b^2^=a^2^﹣c^2^，e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17079.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}即可得出． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得b^2^=c^2^．可设椭圆方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17080.png){width="0.84375in" height="0.4895833333333333in"}，设P（x~0~，y~0~），由F~1~（﹣c，0），B（0，c），可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17081.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17082.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}．利用圆的性质可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17083.png){width="0.78125in" height="0.2708333333333333in"}，于是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17084.png){width="0.6979166666666666in" height="0.2708333333333333in"}=0，得到x~0~+y~0~+c=0，由于点P在椭圆上，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17085.png){width="0.84375in" height="0.5416666666666666in"}．联立可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17086.png){width="0.7604166666666666in" height="0.28125in"}=0，解得P![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17087.png){width="0.8333333333333334in" height="0.3645833333333333in"}．设圆心为T（x~1~，y~1~），利用中点坐标公式可得T![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17088.png){width="0.9166666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F~2~（c，0）， 由\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17089.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\|F~1~F~2~\|，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17090.png){width="1.2916666666666667in" height="0.3854166666666667in"}，化为a^2^+b^2^=3c^2^． 又b^2^=a^2^﹣c^2^，∴a^2^=2c^2^． ∴e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17091.png){width="0.4791666666666667in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得b^2^=c^2^．因此椭圆方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17092.png){width="0.84375in" height="0.4895833333333333in"}． 设P（x~0~，y~0~），由F~1~（﹣c，0），B（0，c），可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17093.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（x~0~+c，y~0~），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17094.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（c，c）． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17095.png){width="0.78125in" height="0.2708333333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17096.png){width="0.6979166666666666in" height="0.2708333333333333in"}=c（x~0~+c）+cy~0~=0， ∴x~0~+y~0~+c=0， ∵点P在椭圆上，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17097.png){width="0.84375in" height="0.5416666666666666in"}． 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17098.png){width="1.0625in" height="0.5833333333333334in"}，化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17099.png){width="0.7604166666666666in" height="0.28125in"}=0， ∵x~0~≠0，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17100.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}， 代入x~0~+y~0~+c=0，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17101.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}． ∴P![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17102.png){width="0.8333333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 设圆心为T（x~1~，y~1~），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17103.png){width="0.84375in" height="0.5625in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17104.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17105.png){width="0.65625in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17104.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． ∴T![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17106.png){width="0.9166666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴圆的半径r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17107.png){width="1.5104166666666667in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17108.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx． ∵直线l与圆相切， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17109.png){width="1.3958333333333333in" height="0.6458333333333334in"}， 整理得k^2^﹣8k+1=0，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17110.png){width="0.7291666666666666in" height="0.1875in"}． ∴直线l的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17111.png){width="0.5625in" height="0.1875in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17112.png){width="2.0729166666666665in" height="1.9479166666666667in"} 【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 　 19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，...，q﹣1}，集合A={x\|x=x~1~+x~2~q+...+x~n~q^n﹣1^，x~i~∈M，i=1，2，...n}． （Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A； （Ⅱ）设s，t∈A，s=a~1~+a~2~q+...+a~n~q^n﹣1^，t=b~1~+b~2~q+...+b~n~q^n﹣1^，其中a~i~，b~i~∈M，i=1，2，...，n．证明：若a~n~＜b~n~，则s＜t． 【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x\|x=x~1~+x~2~•2+x~3~•2^2^，x~i~∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A． （Ⅱ）由于a~i~，b~i~∈M，i=1，2，...，n．a~n~＜b~n~，可得a~n~﹣b~n~≤﹣1． 由题意可得s﹣t=（a~1~﹣b~1~）+（a~2~﹣b~2~）q+...+（a~n﹣1~﹣b~n﹣1~）q^n﹣2^+（a~n~﹣b~n~）q^n﹣1^≤（q﹣1）+（q﹣1）q+...+（q﹣1）q^n﹣2^﹣q^n﹣1^ 再利用等比数列的前n项和公式即可得出． 【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时， M={0，1}，A={x\|x=x~1~+x~2~•2+x~3~•2^2^，x~i~∈M，i=1，2，3}． 可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}． （Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a~1~+a~2~q+...+a~n~q^n﹣1^，t=b~1~+b~2~q+...+b~n~q^n﹣1^，其中a~i~，b~i~∈M，i=1，2，...，n．a~n~＜b~n~，∴s﹣t=（a~1~﹣b~1~）+（a~2~﹣b~2~）q+...+（a~n﹣1~﹣b~n﹣1~）q^n﹣2^+（a~n~﹣b~n~）q^n﹣1^ ≤（q﹣1）+（q﹣1）q+...+（q﹣1）q^n﹣2^﹣q^n﹣1^ =（q﹣1）（1+q+...+q^n﹣2^）﹣q^n﹣1^ =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17113.png){width="1.15625in" height="0.4479166666666667in"}﹣q^n﹣1^ =﹣1＜0． ∴s＜t． 【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 　 20．（14分）设f（x）=x﹣ae^x^（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x~1~，x~2~，且x~1~＜x~2~． （Ⅰ）求a的取值范围； （Ⅱ）证明：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17114.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}随着a的减小而增大； （Ⅲ）证明x~1~+x~2~随着a的减小而增大． 【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围； （Ⅱ）由f（x）=0，得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17115.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，设g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17116.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，判定g（x）的单调性即得证； （Ⅲ）由于x~1~=a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17117.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}，x~2~=a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17118.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}，则x~2~﹣x~1~=lnx~2~﹣lnx~1~=ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17119.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17119.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=t，整理得到x~1~+x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17120.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}，令h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17121.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x~1~+x~2~随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣ae^x^，∴f′（x）=1﹣ae^x^； 下面分两种情况讨论： ①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意； ②a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表： --------- ---------------- ---------------- --------------- x （﹣∞，﹣lna） ﹣lna （﹣lna，+∞） f′（x） \+ 0 ﹣ f（x） 递增 极大值﹣lna﹣1 递减 --------- ---------------- ---------------- --------------- ∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna），减区间是（﹣lna，+∞）； ∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立： ①f（﹣lna）＞0； ②存在s~1~∈（﹣∞，﹣lna），满足f（s~1~）＜0； ③存在s~2~∈（﹣lna，+∞），满足f（s~2~）＜0； 由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e^﹣1^； 取s~1~=0，满足s~1~∈（﹣∞，﹣lna），且f（s~1~）=﹣a＜0， 取s~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17122.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17122.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，满足s~2~∈（﹣lna，+∞），且f（s~2~）=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17122.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17123.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}）+（ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17124.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17125.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}）＜0； ∴a的取值范围是（0，e^﹣1^）． （Ⅱ）证明：由f（x）=x﹣ae^x^=0，得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17126.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 设g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17126.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，由g′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17127.png){width="0.3020833333333333in" height="0.4270833333333333in"}，得g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 并且当x∈（﹣∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0， x~1~、x~2~满足a=g（x~1~），a=g（x~2~），a∈（0，e^﹣1^）及g（x）的单调性，可得x~1~∈（0，1），x~2~∈（1，+∞）； 对于任意的a~1~、a~2~∈（0，e^﹣1^），设a~1~＞a~2~，g（X~1~）=g（X~2~）=a~1~，其中0＜X~1~＜1＜X~2~； g（Y~1~）=g（Y~2~）=a~2~，其中0＜Y~1~＜1＜Y~2~； ∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a~1~＞a~2~，得g（X~i~）＞g（Y~i~），可得X~1~＞Y~1~；类似可得X~2~＜Y~2~； 又由X、Y＞0，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17128.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17129.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17130.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}；∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17131.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}随着a的减小而增大； （Ⅲ）证明：∵x~1~=a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17132.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}，x~2~=a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17133.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}，∴lnx~1~=lna+x~1~，lnx~2~=lna+x~2~； ∴x~2~﹣x~1~=lnx~2~﹣lnx~1~=ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17134.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17134.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=t，则t＞1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17135.png){width="0.9479166666666666in" height="0.5104166666666666in"}，解得x~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17136.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17137.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， ∴x~1~+x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17138.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}...①； 令h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17139.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}，x∈（1，+∞），则h′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17140.png){width="0.8541666666666666in" height="0.625in"}； 令u（x）=﹣2lnx+x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17141.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，得u′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17142.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0， ∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0， ∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数； ∴由①得x~1~+x~2~随着t的增大而增大． 由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大， ∴x~1~+x~2~随着a的减小而增大． 【点评】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目． 　 2014年天津市高考数学试卷（文科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** 1．（5分）i是虚数单位，复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17143.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=（　　） A．1﹣i B．﹣1+i C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17144.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17145.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}i D．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17146.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17147.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}i 【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值． 【解答】解：复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17148.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17149.png){width="1.0520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17150.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：A． 【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题． 　 2．（5分）设变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17151.png){width="0.7916666666666666in" height="0.65625in"}，则目标函数z=x+2y的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 【解答】解：作出不等式对应的平面区域， 由z=x+2y，得y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17152.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 平移直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17152.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，由图象可知当直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17152.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}经过点B（1，1）时，直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17152.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}的截距最小，此时z最小． 此时z的最小值为z=1+2×1=3， 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17153.png){width="2.46875in" height="2.0in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 　 3．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e^x^＞1，则￢p为（　　） A．∃x~0~≤0，使得（x~0~+1）e![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17154.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}≤1 B．∃x~0~＞0，使得（x~0~+1）e![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17154.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}≤1 C．∀x＞0，总有（x+1）e^x^≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e^x^≤1 【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定． 【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x~0~＞0，使得（x~0~+1）e![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17154.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}≤1， 故选：B． 【点评】本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题． 　 4．（5分）设a=log~2~π，b=log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17155.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}π，c=π^﹣2^，则（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论． 【解答】解：log~2~π＞1，log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17155.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}π＜0，0＜π^﹣2^＜1， 即a＞1，b＜0，0＜c＜1， ∴a＞c＞b， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础． 　 5．（5分）设{a~n~}的首项为a~1~，公差为﹣1的等差数列，S~n~为其前n项和，若S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，则a~1~=（　　） A．2 B．﹣2 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17156.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17156.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】由等差数列的前n项和求出S~1~，S~2~，S~4~，然后再由S~1~，S~2~，S~4~成等比数列列式求解a~1~． 【解答】解：∵{a~n~}是首项为a~1~，公差为﹣1的等差数列，S~n~为其前n项和， ∴S~1~=a~1~，S~2~=2a~1~﹣1，S~4~=4a~1~﹣6， 由S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17157.png){width="0.875in" height="0.28125in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17158.png){width="1.7083333333333333in" height="0.28125in"}，解得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17159.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：D． 【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题． 　 6．（5分）已知双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17160.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17161.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17162.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17163.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17164.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17165.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17166.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17167.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"}=1 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17168.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17169.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"}=1 【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17170.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17171.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17172.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2，结合c^2^=a^2^+b^2^，求出a，b，即可求出双曲线的方程． 【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上， 令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5， ∵双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17173.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17171.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17172.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2， ∵c^2^=a^2^+b^2^， ∴a^2^=5，b^2^=20， ∴双曲线的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17174.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17175.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 7．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD平分∠CBF； ②FB^2^=FD•FA； ③AE•CE=BE•DE； ④AF•BD=AB•BF． 所有正确结论的序号是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17176.png){width="1.53125in" height="2.03125in"} A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项． 【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD， ∴∠DBC=∠DAC． ∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD， ∴∠FBD=∠BAF． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAF=∠DAC． ∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确． 又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17177.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，FB^2^=FD•FA．即结论②成立． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17178.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立． 正确结论有①②④． 故选：D． 【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题． 　 8．（5分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17179.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17180.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，则f（x）的最小正周期为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17181.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17182.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} C．π D．2π 【分析】根据f（x）=2sin（ωx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17183.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），再根据曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17180.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，正好等于f（x）的周期的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17184.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}倍，求得函数f（x）的周期T的值． 【解答】解：∵已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17179.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinωx+cosωx=2sin（ωx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17183.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）（ω＞0），x∈R， 在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17180.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，正好等于f（x）的周期的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17185.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}倍， 设函数f（x）的最小正周期为T，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17186.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17187.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，∴T=π， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17187.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}正好等于f（x）的周期的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17185.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}倍，是解题的关键，属于中档题． 　 **二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.** 9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取[　60　]{.underline}名学生． 【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求． 【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17188.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17189.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17189.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=60， 故答案为：60． 【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题． 　 10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17190.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}m^3^． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17191.png){width="2.3125in" height="3.0840277777777776in"} 【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算． 【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体， 其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4， ∴几何体的体积V=π×1^2^×4+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17192.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×π×2^2^×2=4π+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17193.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}π=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17194.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}π． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17190.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键． 　 11．（5分）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为[　﹣4　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17195.png){width="1.4166666666666667in" height="3.386111111111111in"} 【分析】写出前二次循环，满足判断框条件，输出结果． 【解答】解：由框图知，第一次循环得到：S=﹣8，n=2； 第二次循环得到：S=﹣4，n=1；退出循环，输出﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查循环结构，判断框中n≤1退出循环是解题的关键，考查计算能力． 　 12．（5分）函数f（x）=lgx^2^的单调递减区间是[　（﹣∞，0）　]{.underline}． 【分析】先将f（x）化简，注意到x≠0，即f（x）=2lg\|x\|，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17196.png){width="0.5416666666666666in" height="0.46875in"}复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据"同増异减"再来判断． 【解答】解：方法一：y=lgx^2^=2lg\|x\|， ∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数； 当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数． ∴函数f（x）=lgx^2^的单调递减区间是（﹣∞，0）． 故答案为：（﹣∞，0）． 方法二：原函数是由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17196.png){width="0.5416666666666666in" height="0.46875in"}复合而成， ∵t=x^2^在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数； 又y=lgt在其定义域上为增函数， ∴f（x）=lgx^2^在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数， ∴函数f（x）=lgx^2^的单调递减区间是（﹣∞，0）． 故答案为：（﹣∞，0）． 【点评】本题是易错题，学生在方法一中，化简时容易将y=lgx^2^=2lg\|x\|中的绝对值丢掉，方法二对复合函数的结构分析也是最常用的方法，此外，本题还可以利用数形结合的方式，即画出y=2lg\|x\|的图象，得到函数的递减区间． 　 13．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17197.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17198.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=1，则λ的值为[　2　]{.underline}． 【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论． 【解答】解：∵BC=3BE，DC=λDF， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17199.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17200.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17201.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17202.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17203.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17204.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17205.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17206.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17199.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17206.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17200.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17207.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17208.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17209.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17210.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17211.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17210.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17212.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17210.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17213.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17214.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17210.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17213.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17208.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， ∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°， ∴\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17215.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17216.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17215.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17216.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2×2×cos120°=﹣2， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17217.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17218.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=1， ∴（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17215.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17219.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17216.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17216.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17220.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17215.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17221.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17222.png){width="0.28125in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17223.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17224.png){width="0.28125in" height="0.2708333333333333in"}+（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17225.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17226.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17227.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=1， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17221.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×4+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17223.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}×4﹣2（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17225.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=1， 整理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17228.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 解得λ=2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式． 　 14．（5分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17229.png){width="1.4270833333333333in" height="0.4895833333333333in"}，若函数y=f（x）﹣a\|x\|恰有4个零点，则实数a的取值范围为[　（1，2）　]{.underline}． 【分析】由y=f（x）﹣a\|x\|=0得f（x）=a\|x\|，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：由y=f（x）﹣a\|x\|=0得f（x）=a\|x\|， 作出函数y=f（x），y=a\|x\|的图象， 当a≤0，不满足条件， ∴a＞0， 当a≥2时，此时y=a\|x\|与f（x）有三个 交点， 当a=1时， 当x＜0时，f（x）=﹣x^2^﹣5x﹣4， 由f（x）=﹣x^2^﹣5x﹣4=﹣x 得x^2^+4x+4=0， 则判别式△=16﹣4×4=0， 即此时直线y=﹣x与f（x）相切， 此时y=a\|x\|与f（x）有五个交点， ∴要使函数y=f（x）﹣a\|x\|恰有4个零点， 则1＜a＜2， 故答案为：（1，2） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17230.png){width="2.5527777777777776in" height="2.6465277777777776in"} 【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 　 **三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.** 15．（13分）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表： -------- -------- -------- -------- 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z -------- -------- -------- -------- 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同） （Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果； （Ⅱ）设M为事件"选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学"，求事件M发生的概率． 【分析】（Ⅰ）用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15个． （Ⅱ）用列举法求出事件M包含的结果有6个，而所有的结果共15个，由此求得事件M发生的概率． 【解答】解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、 （B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、 （X，Z ）、（Y，Z），共计15个结果． （Ⅱ）设M为事件"选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学"， 则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计6个结果， 故事件M发生的概率为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17231.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17232.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题． 　 16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17233.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}b，sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17234.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinC， （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求cos（2A﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17235.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的值． 【分析】（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值； （Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（Ⅰ）将sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17236.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinC，利用正弦定理化简得：b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17236.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}c， 代入a﹣c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17237.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}b，得：a﹣c=c，即a=2c， ∴cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17238.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17239.png){width="1.0104166666666667in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17240.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}； （Ⅱ）∵cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17240.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，A为三角形内角， ∴sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17241.png){width="0.7604166666666666in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17242.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}， ∴cos2A=2cos^2^A﹣1=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17243.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，sin2A=2sinAcosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17244.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}， 则cos（2A﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17245.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=cos2Acos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17245.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+sin2Asin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17245.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17243.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17246.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17244.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17247.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17248.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 　 17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17249.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AD=2，PA=PD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17250.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，E，F分别是棱AD，PC的中点． （Ⅰ）证明EF∥平面PAB； （Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°， （i）证明平面PBC⊥平面ABCD； （ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17251.png){width="2.03125in" height="1.7291666666666667in"} 【分析】（Ⅰ）要证明EF∥平面PAB，可以先证明平面EFH∥平面PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证； （Ⅱ）（i）要证明平面PBC⊥平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB⊥平面ABCD即可； （ii）由（i）知，BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系B﹣DAP，得到直线EF的方向向量与平面PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H， ∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点， ∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB， 又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB． 同理可证，FH∥平面PAB． 又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB， ∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB； ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17252.png){width="5.354861111111111in" height="4.115277777777778in"} （Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE． ∵BA=BD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17253.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AD=2，PA=PD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17254.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∴BE=1，PE=2． 又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD， ∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17255.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． ∵△PBD中，BD^2^+PB^2^=PD^2^，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA， ∴PB⊥平面ABD， ∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD； （ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA， ∵BA=BD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17253.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AD=2，∴BD⊥BA， ∴BD，BA，BP两两垂直， 以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣DAP， 则有A（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17253.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），B（0，0，0），C（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17253.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17253.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），D（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17253.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0，0），P（0，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17255.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17256.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17257.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17257.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17258.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17259.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）， 设平面PBC的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17260.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17261.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17262.png){width="0.9791666666666666in" height="0.4479166666666667in"}，令x=1，则y=1，z=0， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17263.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，1，0）， ∵E，F分别是棱AD，PC的中点， ∴E（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17264.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17264.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，0），F（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17264.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17264.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17265.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17266.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17267.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17265.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）， ∴sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17268.png){width="1.4375in" height="0.22916666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17269.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17270.png){width="0.75in" height="0.6041666666666666in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17271.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}， 即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17271.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理． 　 18．（13分）设椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17272.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17273.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，右顶点为A，上顶点为B，已知\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17274.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\|F~1~F~2~\|． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F~1~，经过点F~2~的直线l与该圆相切于点M，\|MF~2~\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17275.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求椭圆的方程． 【分析】（Ⅰ）分别用a，b，c表示出\|AB\|和\|F~1~F~2~\|，根据已知建立等式求得a和c的关系，进而求得离心率e． （Ⅱ）根据（1）中a和c的关系，用c表示出椭圆的方程，设出P点的坐标，根据PB为直径，推断出BF~1~⊥PF~1~，进而知两直线斜率相乘得﹣1，进而求得sinθ和cosθ，表示出P点坐标，利用P，B求得圆心坐标，则可利用两点间的距离公式分别表示出\|OB\|，\|OF~2~\|，利用勾股定理建立等式求得c，则椭圆的方程可得． 【解答】解：（Ⅰ）依题意可知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17276.png){width="0.59375in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17274.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}•2c， ∵b^2^=a^2^﹣c^2^， ∴a^2^+b^2^=2a^2^﹣c^2^=3c^2^， ∴a^2^=2c^2^， ∴e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17277.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17278.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅱ）由（Ⅰ）知a^2^=2c^2^， ∴b^2^=a^2^﹣c^2^=c^2^， ∴椭圆方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17279.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17280.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1，B（0，c），F~1~（﹣c，0） 设P点坐标（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17281.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}csinθ，ccosθ），以线段PB为直径的圆的圆心为O， ∵PB为直径， ∴BF~1~⊥PF~1~， ∴k~BF1~•k~PF1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17282.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17283.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3854166666666667in"}=﹣1， 求得sinθ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17284.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}或0（舍去）， 由椭圆对称性可知，P在x轴下方和上方结果相同，只看在x轴上方时， cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17285.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17286.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴P坐标为（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17287.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}c，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17286.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}c）， ∴圆心O的坐标为（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17288.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}c，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17288.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}c）， ∴r=\|OB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17289.png){width="0.7604166666666666in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17290.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}c，\|OF~2~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17291.png){width="0.9479166666666666in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17292.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}c， ∵r^2^+\|MF~2~\|^2^=\|OF~2~\|^2^， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17293.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}+8=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17294.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}c^2^， ∴c^2^=3， ∴a^2^=6，b^2^=3， ∴椭圆的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17295.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17296.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1． 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．第（1）相对简单，主要是求得a和c的关系；第（2）问较难，利用参数法设出P点坐标是关键． 　 19．（14分）已知函数f（x）=x^2^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17297.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}ax^3^（a＞0），x∈R． （Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）若对于任意的x~1~∈（2，+∞），都存在x~2~∈（1，+∞），使得f（x~1~）•f（x~2~）=1，求a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值； （Ⅱ）由f（0）=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17298.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17298.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）时，f（x）＞0；当x∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17298.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）\|x∈（2，+∞）}，集合B={![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17299.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}\|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x~1~∈（2，+∞），都存在x~2~∈（1，+∞），使得f（x~1~）•f（x~2~）=1，等价于A⊆B，分类讨论，即可求a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣2ax^2^=2x（1﹣ax），令f′（x）=0，解得x=0或x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17300.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表： --------- ------------ --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x （﹣∞，0） 0 （0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17300.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}） ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17300.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} （![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17300.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞） f′（x） ﹣ 0 \+ 0 ﹣ f（x） 递减 0 递增 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17301.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"} 递减 --------- ------------ --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 所以，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，0）和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17302.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，单调递增区间为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17303.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}， 当x=0时，有极小值f（0）=0，当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17300.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，有极大值f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17300.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17304.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}； （Ⅱ）由f（0）=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17305.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17305.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）时，f（x）＞0；当x∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17305.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）时，f（x）＜0． 设集合A={f（x）\|x∈（2，+∞）}，集合B={![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17306.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}\|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x~1~∈（2，+∞），都存在x~2~∈（1，+∞），使得f（x~1~）•f（x~2~）=1，等价于A⊆B，显然A≠∅ 下面分三种情况讨论： ①当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17305.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＞2，即0＜a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17307.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，由f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17305.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=0可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集； ②当1≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17305.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17308.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3645833333333333in"}时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f（2）），∴A⊆（﹣∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B； ③当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17309.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜1，即a＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17310.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17311.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，0），A=（﹣∞，f（2）），∴A不是B的子集． 综上，a的取值范围是\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17312.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]． 【点评】利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论． 　 20．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，...，q﹣1}，集合A={x\|x=x~1~+x~2~q+...+x~n~q^n﹣1^，x~i~∈M，i=1，2，...n}． （Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A； （Ⅱ）设s，t∈A，s=a~1~+a~2~q+...+a~n~q^n﹣1^，t=b~1~+b~2~q+...+b~n~q^n﹣1^，其中a~i~，b~i~∈M，i=1，2，...，n．证明：若a~n~＜b~n~，则s＜t． 【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x\|x=x~1~+x~2~•2+x~3~•2^2^，x~i~∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A． （Ⅱ）由于a~i~，b~i~∈M，i=1，2，...，n．a~n~＜b~n~，可得a~n~﹣b~n~≤﹣1． 由题意可得s﹣t=（a~1~﹣b~1~）+（a~2~﹣b~2~）q+...+（a~n﹣1~﹣b~n﹣1~）q^n﹣2^+（a~n~﹣b~n~）q^n﹣1^≤（q﹣1）+（q﹣1）q+...+（q﹣1）q^n﹣2^﹣q^n﹣1^ 再利用等比数列的前n项和公式即可得出． 【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时， M={0，1}，A={x\|x=x~1~+x~2~•2+x~3~•2^2^，x~i~∈M，i=1，2，3}． 可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}． （Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a~1~+a~2~q+...+a~n~q^n﹣1^，t=b~1~+b~2~q+...+b~n~q^n﹣1^，其中a~i~，b~i~∈M，i=1，2，...，n．a~n~＜b~n~，∴s﹣t=（a~1~﹣b~1~）+（a~2~﹣b~2~）q+...+（a~n﹣1~﹣b~n﹣1~）q^n﹣2^+（a~n~﹣b~n~）q^n﹣1^ ≤（q﹣1）+（q﹣1）q+...+（q﹣1）q^n﹣2^﹣q^n﹣1^ =（q﹣1）（1+q+...+q^n﹣2^）﹣q^n﹣1^ =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17313.png){width="1.15625in" height="0.4479166666666667in"}﹣q^n﹣1^ =﹣1＜0． ∴s＜t． 【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 2014年安徽省高考数学试卷（理科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．** 1．（5分）设i是虚数单位，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17314.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17315.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+i•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17314.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=（　　） A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i 【分析】把z及![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17314.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17316.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+i•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17317.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值． 【解答】解：∵z=1+i， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17318.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17316.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+i•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17317.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17319.png){width="0.9895833333333334in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17320.png){width="2.125in" height="0.4270833333333333in"}． 故选：C． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题． 　 2．（5分）"x＜0"是"ln（x+1）＜0"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0； ∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0， ∴"x＜0"是ln（x+1）＜0的必要不充分条件． 故选：B． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础． 　 3．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17321.png){width="1.59375in" height="1.9895833333333333in"} A．34 B．55 C．78 D．89 【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值． 【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2； 第二次循环得z=3，x=2，y=3； 第三次循环得z=5，x=3，y=5； 第四次循环得z=8，x=5，y=8； 第五次循环得z=13，x=8，y=13； 第六次循环得z=21，x=13，y=21； 第七次循环得z=34，x=21，y=34； 第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55， 故选：B． 【点评】本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题． 　 4．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17322.png){width="0.5416666666666666in" height="0.40625in"}（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17323.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} B．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17323.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17324.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17324.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【分析】先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长． 【解答】解：直线l的参数方程是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17322.png){width="0.5416666666666666in" height="0.40625in"}（t为参数），化为普通方程为 x﹣y﹣4=0； 圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ^2^=4ρcosθ，化为直角坐标方程为x^2^+y^2^=4x， 即 （x﹣2）^2^+y^2^=4，表示以（2，0）为圆心、半径r等于2的圆． 弦心距d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17325.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17326.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}＜r，∴弦长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17327.png){width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17328.png){width="0.375in" height="0.1875in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17326.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 故选：D． 【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题． 　 5．（5分）x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17329.png){width="0.875in" height="0.65625in"}，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17330.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或﹣1 B．2或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17330.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．2或﹣1 D．2或1 【分析】由题意作出已知条件的平面区域，将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由几何意义可得． 【解答】解：由题意作出约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17329.png){width="0.875in" height="0.65625in"}，平面区域， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17331.png){width="3.9590277777777776in" height="2.8652777777777776in"} 将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距， 由题意可得，y=ax+z与y=2x+2或与y=2﹣x平行， 故a=2或﹣1； 故选：C． 【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意目标函数的几何意义是解题的关键之一，属于中档题． 　 6．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17332.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}）=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17333.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17334.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．0 D．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17333.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可． 【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0， ∴f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17332.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}）=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17335.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}） =f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17336.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}）+sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17336.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} =f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17337.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}）+sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17337.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17338.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} =f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17339.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）+sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17339.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17337.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17338.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} =sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17339.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17340.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17341.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17342.png){width="0.375in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17343.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17344.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：A． 【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力． 　 7．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17345.png){width="2.5631944444444446in" height="2.8965277777777776in"} A．21+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17346.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．18+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17346.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．21 D．18 【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积． 【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1， 几何体的表面积为：S~正方体~﹣2S~棱锥侧~+2S~棱锥底~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17347.png){width="2.8854166666666665in" height="0.40625in"}=21+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17348.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17349.png){width="1.4583333333333333in" height="1.3854166666666667in"} 【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状． 　 8．（5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（　　） A．24对 B．30对 C．48对 D．60对 【分析】利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果． 【解答】解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17350.png){width="0.2604166666666667in" height="0.28125in"}=66条， 同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数， 不满足题意的共有：3×6=18． 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18=48． 故选：C． 【点评】本题考查排列组合的综合应用，逆向思维是解题本题的关键． 　 9．（5分）若函数f（x）=\|x+1\|+\|2x+a\|的最小值为3，则实数a的值为（　　） A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8 【分析】分类讨论，利用f（x）=\|x+1\|+\|2x+a\|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17351.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}＜﹣1时，x＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17352.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17353.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣1； ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17353.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17353.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣1； x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17353.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣1=3或a﹣2=3， ∴a=8或a=5， a=5时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17353.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣1＜a﹣2，故舍去； ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17354.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a； ﹣1≤x≤﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17353.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17353.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+1； x＞﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17353.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17355.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+1， ∴2﹣a=3或﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17355.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+1=3， ∴a=﹣1或a=﹣4， a=﹣1时，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17355.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+1＜2﹣a，故舍去； 综上，a=﹣4或8． 故选：D． 【点评】本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题． 　 10．（5分）在平面直角坐标系xOy中．已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17356.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17357.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17356.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17357.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17356.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17357.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0，点Q满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17358.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17359.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17356.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17360.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}），曲线C={P\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17361.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17362.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}cosθ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17360.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P\|0＜r≤\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17363.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（　　） A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R 【分析】不妨令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17362.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17360.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（0，1），则P点的轨迹为单位圆，Ω={P\|（0＜r≤\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17363.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案． 【解答】解：∵平面直角坐标系xOy中．已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17364.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17365.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17364.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17365.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17364.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17365.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0， 不妨令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17364.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17365.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（0，1）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17366.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17367.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17368.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17369.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17367.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17367.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17370.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17368.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}cosθ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17369.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}sinθ=（cosθ，sinθ）， 故P点的轨迹为单位圆， Ω={P\|（0＜r≤\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17371.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|≤R，r＜R}表示的平面区域为： 以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环， 若C∩Ω为两段分离的曲线， 则单位圆与圆环的内外圆均相交， 故\|OQ\|﹣1＜r＜R＜\|OQ\|+1， ∵\|OQ\|=2， 故1＜r＜R＜3， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知分析出P的轨迹及Ω={P\|（0＜r≤\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17372.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|≤R，r＜R}表示的平面区域，是解答的关键． 　 **二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．** 11．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17373.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17374.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17373.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17373.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣2φ=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17375.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k∈z，由此求得φ的最小正值． 【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17376.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象向右平移φ个单位， 所得图象对应的函数解析式为y=sin\[2（x﹣φ）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17376.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17376.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣2φ）关于y轴对称， 则 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17376.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣2φ=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17375.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k∈z，即 φ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17377.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17378.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，故φ的最小正值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17379.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17379.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题． 　 12．（5分）数列{a~n~}是等差数列，若a~1~+1，a~3~+3，a~5~+5构成公比为q的等比数列，则q=[　1　]{.underline}． 【分析】设出等差数列的公差，由a~1~+1，a~3~+3，a~5~+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17380.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4791666666666667in"}化简得答案． 【解答】解：设等差数列{a~n~}的公差为d， 由a~1~+1，a~3~+3，a~5~+5构成等比数列， 得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17381.png){width="1.875in" height="0.28125in"}， 整理得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17382.png){width="1.9895833333333333in" height="0.28125in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17383.png){width="2.6666666666666665in" height="0.28125in"}+5a~1~+a~1~+4d． 化简得：（d+1）^2^=0，即d=﹣1． ∴q=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17384.png){width="2.3645833333333335in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17385.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4791666666666667in"}． 故答案为：1． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题． 　 13．（5分）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17386.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^n^的展开式为a~0~+a~1~x+a~2~x^2^+...+a~n~x^n^．若点A~i~（i，a~i~）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a=[　3　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17387.png){width="1.4791666666666667in" height="1.5in"} 【分析】求出（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17386.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^n^的展开式的通项为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17388.png){width="1.7708333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，由图知，a~0~=1，a~1~=3，a~2~=4，列出方程组，求出a的值． 【解答】解：（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17389.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^n^的展开式的通项为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17388.png){width="1.7708333333333333in" height="0.4270833333333333in"}， 由图知，a~0~=1，a~1~=3，a~2~=4， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17390.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17391.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17392.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17393.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4270833333333333in"}， a^2^﹣3a=0， 解得a=3， 故答案为：3． 【点评】本题考查解决二项式的特定项问题，关键是求出展开式的通项，属于一道中档题． 　 14．（5分）设F~1~，F~2~分别是椭圆E：x^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17394.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F~1~的直线交椭圆E于A、B两点，若\|AF~1~\|=3\|F~1~B\|，AF~2~⊥x轴，则椭圆E的方程为[　x^2^+]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17395.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}[=1　]{.underline}． 【分析】求出B（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17396.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}c，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17397.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}b^2^），代入椭圆方程，结合1=b^2^+c^2^，即可求出椭圆的方程． 【解答】解：由题意，F~1~（﹣c，0），F~2~（c，0），AF~2~⊥x轴，∴\|AF~2~\|=b^2^， ∴A点坐标为（c，b^2^）， 设B（x，y），则 ∵\|AF~1~\|=3\|F~1~B\|， ∴（﹣c﹣c，﹣b^2^）=3（x+c，y） ∴B（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17396.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}c，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17397.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}b^2^）， 代入椭圆方程可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17398.png){width="1.65625in" height="0.625in"}， ∵1=b^2^+c^2^， ∴b^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17399.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，c^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17397.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴x^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17400.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}=1． 故答案为：x^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17400.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}=1． 【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 15．（5分）已知两个不相等的非零向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17401.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17402.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，两组向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17403.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17404.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17405.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17406.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17407.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17408.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17409.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17410.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17411.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17412.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}均由2个![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17413.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}和3个![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17414.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}排列而成，记S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17415.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17416.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17417.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17418.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17419.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17420.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17421.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17422.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17423.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17424.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}，S~min~表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是[　②④　]{.underline}（写出所有正确命题的编号）． ①S有5个不同的值； ②若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11238.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17425.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则S~min~与\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17426.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|无关； ③若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17426.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17425.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则S~min~与\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17425.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|无关； ④若\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17425.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|＞4\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17426.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|，则S~min~＞0； ⑤若\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17425.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=2\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17427.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|，S~min~=8\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17427.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17427.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17428.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17429.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【分析】依题意，可求得S有3种结果：S~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17430.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17430.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17431.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17431.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17431.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，S~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17432.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17433.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17434.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17433.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17434.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17435.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17435.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，S~3~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17436.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17437.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17436.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17437.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17436.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17438.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17439.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17438.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17440.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，可判断①错误； 进一步分析有S~1~﹣S~2~=S~2~﹣S~3~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17441.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17440.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17439.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17442.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17443.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17444.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}﹣2\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17445.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|•\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17442.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17446.png){width="0.9479166666666666in" height="0.2708333333333333in"}≥0，即S中最小为S~3~；再对②③④⑤逐一分析即可得答案． 【解答】解：∵x~i~，y~i~（i=1，2，3，4，5）均由2个![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17445.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}和3个![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17447.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}排列而成， ∴S=x~i~y~i~可能情况有三种：①S=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17448.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17449.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}；②S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17448.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17450.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17447.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17449.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}；③S=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17451.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17452.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17453.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}． S有3种结果：S~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17454.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17454.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17453.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17453.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17455.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}， S~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17456.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17457.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17458.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17457.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17458.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17455.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17459.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}， S~3~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17460.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17461.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17460.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17461.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17460.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17461.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17460.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17462.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17463.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，故①错误； ∵S~1~﹣S~2~=S~2~﹣S~3~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17464.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17463.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17465.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17462.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17464.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17466.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}﹣2\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17467.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|•\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17468.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17469.png){width="0.9479166666666666in" height="0.2708333333333333in"}≥0， ∴S中最小为S~3~； 若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17467.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17468.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则S~min~=S~3~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17466.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，与\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17467.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|无关，故②正确； ③若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17470.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17471.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则S~min~=S~3~=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17470.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17471.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17472.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，与\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17471.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|有关，故③错误； ④若\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17471.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|＞4\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17470.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|，则S~min~=S~3~=4\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17473.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|•\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17474.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|cosθ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17475.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}＞﹣4\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17473.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|•\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17474.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17475.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}＞﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17476.png){width="0.40625in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17475.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=0，故④正确； ⑤若\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17477.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=2\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17478.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|，S~min~=S~3~=8\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17478.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^cosθ+4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17479.png){width="0.40625in" height="0.2708333333333333in"}=8![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17479.png){width="0.40625in" height="0.2708333333333333in"}， ∴2cosθ=1，∴θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17480.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17478.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17481.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17482.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 综上所述，命题正确的是②④， 故答案为：②④． 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推理、分析与运算的综合应用，属于难题． 　 **三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域．** 16．（12分）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求sin（A+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17483.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的值． 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值； （Ⅱ）求出sinA，cosA，即可求sin（A+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17483.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵A=2B，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17484.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}，b=3， ∴a=6cosB， ∴a=6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17485.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}， ∴a=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17486.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； （Ⅱ）∵a=6cosB， ∴cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17487.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17488.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴sinA=sin2B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17489.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，cosA=cos2B=2cos^2^B﹣1=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17490.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sin（A+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17491.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17492.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}（sinA+cosA）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17493.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 17．（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13304.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，乙获胜的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9171.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，各局比赛结果相互独立． （Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）． 【分析】（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论． （2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值． 【解答】解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A~k~表示第k局甲获胜，B~k~表示第k局乙获胜， 则P（A~k~）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13304.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，P（B~k~）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9171.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，k=1，2，3，4，5 （Ⅰ）P（A）=P（A~1~A~2~）+P（B~1~A~2~A~3~）+P（A~1~B~2~A~3~A~4~）=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17494.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17495.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17494.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17494.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17495.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17494.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17496.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5． P（X=2）=P（A~1~A~2~）+P（B~1~B~2~）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17497.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， P（X=3）=P（B~1~A~2~A~3~）+P（A~1~B~2~B~3~）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17498.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， P（X=4）=P（A~1~B~2~A~3~A~4~）+P（B~1~A~2~B~3~B~4~）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17499.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， P（X=5）=P（A~1~B~2~A~3~B~4~A~5~）+P（B~1~A~2~B~3~A~4~B~5~）+P（B~1~A~2~B~3~A~4~A~5~）+P（A~1~B~2~A~3~B~4~B~5~）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17500.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17501.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17501.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 故分布列为： --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- X 2 3 4 5 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17502.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17503.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17504.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17505.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- E（X）=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17506.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+3×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17503.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+4×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17507.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+5×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17508.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17509.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力． 　 18．（12分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x^2^﹣x^3^，其中a＞0． （Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性； （Ⅱ）当x∈\[0，1\]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值． 【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在\[0，1\]时的单调性，得出取最值时的x的取值． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x^2^， 由f′（x）=0，得x~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17510.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17511.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，x~1~＜x~2~， ∴由f′（x）＜0得x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17510.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17511.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}； 由f′（x）＞0得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17510.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17512.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}； 故f（x）在（﹣∞，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17513.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}）和（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17512.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，+∞）单调递减， 在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17513.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17512.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}）上单调递增； （Ⅱ）∵a＞0，∴x~1~＜0，x~2~＞0，∵x∈\[0，1\]，当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17514.png){width="1.03125in" height="0.3854166666666667in"}时，即a≥4 ①当a≥4时，x~2~≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在\[0，1\]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值． ②当0＜a＜4时，x~2~＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在\[0，x~2~\]单调递增，在\[x~2~，1\]上单调递减， 因此f（x）在x=x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17515.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a， ∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值； 当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值； 当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题． 　 19．（13分）如图，已知两条抛物线E~1~：y^2^=2p~1~x（p~1~＞0）和E~2~：y^2^=2p~2~x（p~2~＞0），过原点O的两条直线l~1~和l~2~，l~1~与E~1~，E~2~分别交于A~1~、A~2~两点，l~2~与E~1~、E~2~分别交于B~1~、B~2~两点． （Ⅰ）证明：A~1~B~1~∥A~2~B~2~； （Ⅱ）过O作直线l（异于l~1~，l~2~）与E~1~、E~2~分别交于C~1~、C~2~两点．记△A~1~B~1~C~1~与△A~2~B~2~C~2~的面积分别为S~1~与S~2~，求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17516.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}的值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17517.png){width="2.5215277777777776in" height="2.46875in"} 【分析】（Ⅰ）由题意设出直线l~1~和l~2~的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17518.png){width="0.9583333333333334in" height="0.2708333333333333in"}的坐标，然后由向量共线得答案； （Ⅱ）结合（Ⅰ）可知△A~1~B~1~C~1~与△A~2~B~2~C~2~的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案． 【解答】（Ⅰ）证明：由题意可知，l~1~和l~2~的斜率存在且不为0， 设l~1~：y=k~1~x，l~2~：y=k~2~x． 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17519.png){width="0.78125in" height="0.5729166666666666in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17520.png){width="1.25in" height="0.53125in"}． 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17521.png){width="0.78125in" height="0.5729166666666666in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17522.png){width="1.25in" height="0.53125in"}． 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17523.png){width="0.78125in" height="0.5729166666666666in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17524.png){width="1.25in" height="0.53125in"}． 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17525.png){width="0.78125in" height="0.5729166666666666in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17526.png){width="1.25in" height="0.53125in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17527.png){width="2.4375in" height="0.4791666666666667in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17528.png){width="2.4375in" height="0.4791666666666667in"}． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17529.png){width="1.09375in" height="0.4791666666666667in"}， ∴A~1~B~1~∥A~2~B~2~； （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A~1~B~1~∥A~2~B~2~， 同（Ⅰ）可证B~1~C~1~∥B~2~C~2~，A~1~C~1~∥A~2~C~2~． ∴△A~1~B~1~C~1~∽△A~2~B~2~C~2~， 因此![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17530.png){width="1.2291666666666667in" height="0.5625in"}， 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17531.png){width="1.09375in" height="0.4791666666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17532.png){width="0.9583333333333334in" height="0.5625in"}． 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17533.png){width="0.6458333333333334in" height="0.5833333333333334in"}． 【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了向量共线的坐标表示，训练了三角形的相似比与面积比的关系，考查了学生的计算能力，是压轴题． 　 20．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，A~1~A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A~1~、C、D三点的平面记为α，BB~1~与α的交点为Q． （Ⅰ）证明：Q为BB~1~的中点； （Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比； （Ⅲ）若AA~1~=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17534.png){width="1.3958333333333333in" height="1.7708333333333333in"} 【分析】（Ⅰ）证明平面QBC∥平面A~1~D~1~DA，可得△QBC∽△A~1~AD，即可证明Q为BB~1~的中点； （Ⅱ）设BC=a，则AD=2a，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17535.png){width="0.5833333333333334in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17536.png){width="0.9791666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17537.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，V~Q﹣ABCD~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17538.png){width="1.03125in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17539.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}ahd，利用V~棱柱~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17540.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}ahd，即可求出此四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比； （Ⅲ）△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A~1~E，则DE⊥平面AEA~1~，DE⊥A~1~E，可得∠AEA~1~为平面α与底面ABCD所成二面角，求出S~△ADC~=4，AE=4，可得tan∠AEA~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17541.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=1，即可求平面α与底面ABCD所成二面角的大小． 【解答】（Ⅰ）证明：∵四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC， ∴平面QBC∥平面A~1~D~1~DA， ∴平面A~1~CD与面QBC、平面A~1~D~1~DA的交线平行，∴QC∥A~1~D ∴△QBC∽△A~1~AD， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17542.png){width="1.0833333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17543.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴Q为BB~1~的中点； （Ⅱ）解：连接QA，QD，设AA~1~=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积为V~1~，V~2~， 设BC=a，则AD=2a，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17544.png){width="0.5833333333333334in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17545.png){width="0.9791666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17546.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，V~Q﹣ABCD~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17547.png){width="1.03125in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17548.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}ahd， ∴V~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17549.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∵V~棱柱~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17550.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}ahd， ∴V~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17551.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}ahd， ∴四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17552.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； （Ⅲ）解：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A~1~E，则DE⊥平面AEA~1~，∴DE⊥A~1~E， ∴∠AEA~1~为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角， ∵BC∥AD，AD=2BC， ∴S~△ADC~=2S~△ABC~， ∵梯形ABCD的面积为6，DC=2， ∴S~△ADC~=4，AE=4， ∴tan∠AEA~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17553.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=1， ∴∠AEA~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17554.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴平面α与底面ABCD所成二面角的大小为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17554.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17555.png){width="1.3958333333333333in" height="1.7708333333333333in"} 【点评】本题考查面面平行的性质，考查体积的计算，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 21．（13分）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N^\*^． （Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）^p^＞1+px； （Ⅱ）数列{a~n~}满足a~1~＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17556.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，a~n+1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17557.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}a~n~+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17558.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a~n~^1﹣p^．证明：a~n~＞a~n+1~＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17556.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}． 【分析】第（Ⅰ）问中，可构造函数f（x）=（1+x）^p^﹣（1+px），求导数后利用函数的单调性求解； 对第（Ⅱ）问，从a~n+1~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17559.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}着手，由a~n+1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17560.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}a~n~+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17561.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a~n~^1﹣p^，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将a~n~＞a~n+1~进行转换，设法利用已证结论证明． 【解答】证明：（Ⅰ）令f（x）=（1+x）^p^﹣（1+px），则f′（x）=p（1+x）^p﹣1^﹣p=p\[（1+x）^p﹣1^﹣1\]． ①当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0，∴（1+x）^p﹣1^＜（1+x）^0^=1， ∴（1+x）^p﹣1^﹣1＜0，即f′（x）＜0， ∴f（x）在（﹣1，0\]上为减函数， ∴f（x）＞f（0）=（1+0）^p^﹣（1+p×0）=0，即（1+x）^p^﹣（1+px）＞0， ∴（1+x）^p^＞1+px． ②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）^p﹣1^＞（1+x）^0^=1， ∴f′（x）＞0， ∴f（x）在\[0，+∞）上为增函数， ∴f（x）＞f（0）=0， ∴（1+x）^p^＞1+px． 综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）^p^＞1+px，得证． （Ⅱ）先证a~n+1~＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17562.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}． ∵a~n+1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17560.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}a~n~+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17563.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a~n~^1﹣p^，∴只需证![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17564.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}a~n~+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17563.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a~n~^1﹣p^＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17565.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}， 将![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17564.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}写成p﹣1个![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17566.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}相加，上式左边=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17567.png){width="2.0104166666666665in" height="0.4791666666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17568.png){width="1.6666666666666667in" height="0.5625in"}， 当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17569.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17570.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4375in"}时，上式取"="号， 当n=1时，由题设知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17571.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4375in"}，∴上式"="号不成立， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17572.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}a~n~+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17573.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a~n~^1﹣p^＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17574.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，即a~n+1~＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17574.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}． 再证a~n~＞a~n+1~． 只需证a~n~＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17575.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}a~n~+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17576.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a~n~^1﹣p^，化简、整理得a~n~^p^＞c，只需证a~n~＞c![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17577.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}． 由前知a~n+1~＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17578.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}成立，即从数列{a~n~}的第2项开始成立， 又n=1时，由题设知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17579.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4375in"}成立， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17580.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4375in"}对n∈N^\*^成立，∴a~n~＞a~n+1~． 综上知，a~n~＞a~n+1~＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17578.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，原不等式得证． 【点评】本题是一道压轴题，考查的知识众多，涉及到函数、数列、不等式，利用的方法有分析法与综合法等，综合性很强，难度较大． 2014年安徽省高考数学试卷（文科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（共本大题10小题，每小题5分，共50分）** 1．（5分）设i是虚数单位，复数i^3^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17581.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=（　　） A．﹣i B．i C．﹣1 D．1 【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果． 【解答】解：复数i^3^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17582.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=﹣i+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17583.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=﹣i+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17584.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=1， 故选：D． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 　 2．（5分）命题"∀x∈R，\|x\|+x^2^≥0"的否定是（　　） A．∀x∈R，\|x\|+x^2^＜0 B．∀x∈R，\|x\|+x^2^≤0 C．∃x~0~∈R，\|x~0~\|+x~0~^2^＜0 D．∃x~0~∈R，\|x~0~\|+x~0~^2^≥0 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论． 【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题"∀x∈R，\|x\|+x^2^≥0"的否定∃x~0~∈R，\|x~0~\|+x~0~^2^＜0， 故选：C． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 　 3．（5分）抛物线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17585.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^2^的准线方程是（　　） A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2 【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程． 【解答】解：抛物线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17585.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^2^的标准方程为x^2^=4y，焦点在y轴上，2p=4， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17586.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=1， ∴准线方程 y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17586.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=﹣1． 故选：A． 【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置． 　 4．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17587.png){width="1.59375in" height="1.9895833333333333in"} A．34 B．55 C．78 D．89 【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值． 【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2； 第二次循环得z=3，x=2，y=3； 第三次循环得z=5，x=3，y=5； 第四次循环得z=8，x=5，y=8； 第五次循环得z=13，x=8，y=13； 第六次循环得z=21，x=13，y=21； 第七次循环得z=34，x=21，y=34； 第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55， 故选：B． 【点评】本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题． 　 5．（5分）设a=log~3~7，b=2^3.3^，c=0.8^1.1^，则（　　） A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 【分析】分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小． 【解答】解：1＜log~3~7＜2，b=2^3.3^＞2，c=0.8^1.1^＜1， 则c＜a＜b， 故选：B． 【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论． 　 6．（5分）过点P（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17588.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，﹣1）的直线l与圆x^2^+y^2^=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A．（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17589.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\] B．（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17590.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\] C．\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17589.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\] D．\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17590.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\] 【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17591.png){width="1.03125in" height="0.46875in"}≤1，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范围． 【解答】解：由题意可得点P（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17592.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，﹣1）在圆x^2^+y^2^=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k， 则直线方程为 y+1=k（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17592.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），即 kx﹣y+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17592.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}k﹣1=0． 根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17591.png){width="1.03125in" height="0.46875in"}≤1， 即 3k^2^﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17592.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}k+1≤k^2^+1，解得0≤k≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17592.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，故直线l的倾斜角的取值范围是\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17593.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]， 故选：D． 【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题． 　 7．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17594.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17595.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17596.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17597.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值． 【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17598.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17599.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象向右平移φ的单位， 所得图象是函数y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17600.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17599.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣2φ）， 图象关于y轴对称，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17599.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣2φ=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15741.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 即φ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17601.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}， 当k=﹣1时，φ的最小正值是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17602.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：C． 【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题． 　 8．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17603.png){width="2.5319444444444446in" height="2.792361111111111in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17604.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17605.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．6 D．7 【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积． 【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图， 正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1， 故几何体的体积为：V~正方体~﹣2V~棱锥侧~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17606.png){width="2.1666666666666665in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17607.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17608.png){width="1.0in" height="0.9895833333333334in"} 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状． 　 9．（5分）若函数f（x）=\|x+1\|+\|2x+a\|的最小值为3，则实数a的值为（　　） A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8 【分析】分类讨论，利用f（x）=\|x+1\|+\|2x+a\|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17609.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}＜﹣1时，x＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17610.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17610.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣1； ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17610.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17610.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣1； x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17610.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣1=3或a﹣2=3， ∴a=8或a=5， a=5时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17610.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣1＜a﹣2，故舍去； ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17611.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a； ﹣1≤x≤﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17612.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17612.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+1； x＞﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17612.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17612.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+1， ∴2﹣a=3或﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17612.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+1=3， ∴a=﹣1或a=﹣4， a=﹣1时，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17612.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+1＜2﹣a，故舍去； 综上，a=﹣4或8． 故选：D． 【点评】本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题． 　 10．（5分）设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17613.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17614.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}为非零向量，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17614.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=2\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17613.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|，两组向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17615.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17616.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17617.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17618.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17619.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17620.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17621.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17622.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}，均由2个![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17623.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}和2个![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17624.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}排列而成，若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17625.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17626.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17627.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17628.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17629.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17630.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17631.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17632.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}所有可能取值中的最小值为4\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17633.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17633.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17634.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17635.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17636.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17637.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．0 【分析】两组向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17638.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17639.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17640.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17641.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17642.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17643.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17644.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17645.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}，均由2个![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17646.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}和2个![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17647.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}排列而成，结合其数量积组合情况，即可得出结论． 【解答】解：由题意，设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17646.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17648.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为α， 分类讨论可得 ①![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17649.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17650.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17651.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17652.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17653.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17654.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17655.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17656.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17657.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17657.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17657.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17657.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17658.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17658.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17658.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17658.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=10\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17659.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^，不满足 ②![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17660.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17661.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17662.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17663.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17664.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17665.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17666.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17667.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17668.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17668.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17668.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17669.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17669.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17668.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17669.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17670.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=5\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17671.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^+4\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17671.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^cosα，不满足； ③![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17672.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17673.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17674.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17675.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17676.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17677.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17678.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17679.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17680.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17681.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=8\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17680.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^cosα=4\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17680.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^，满足题意，此时cosα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13372.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17682.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17683.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17684.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． 【点评】本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 **二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）** 11．（5分）（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17685.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17686.png){width="0.3125in" height="0.3854166666666667in"}+log~3~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17687.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+log~3~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17688.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17689.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】直接利用对数运算法则以及有理指数幂的运算法则化简求解即可． 【解答】解：（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17690.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17691.png){width="0.3125in" height="0.3854166666666667in"}+log~3~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17692.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+log~3~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17688.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17689.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+log~3~5﹣log~3~4+log~3~4﹣log~3~5 =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17693.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17693.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，考查计算能力． 　 12．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17694.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，过点A作BC的垂线，垂足为A~1~，过点A~1~作AC的垂线，垂足为A~2~，过点A~2~作A~1~C的垂线，垂足为A~3~...，依此类推，设BA=a~1~，AA~1~=a~2~，A~1~A~2~=a~3~，...，A~5~A~6~=a~7~，则a~7~=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10342.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17695.png){width="2.2291666666666665in" height="1.3229166666666667in"} 【分析】根据条件确定数列{a~n~}是等比数列，即可得到结论． 【解答】解：∵等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17696.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴sin45°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17697.png){width="0.6770833333333334in" height="0.4270833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17698.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17699.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 同理![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17700.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17699.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17701.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17702.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 由归纳推理可得{a~n~}是公比q=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17702.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}的等比数列，首项a~1~=2， 则a~7~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17703.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10353.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10353.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据等腰直角三角形之间的关系，得到数列{a~n~}是公比q=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17702.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}的等比数列是解决本题的关键． 　 13．（5分）不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17704.png){width="0.875in" height="0.65625in"}表示的平面区域的面积为[　4　]{.underline}． 【分析】由不等式组作出平面区域为三角形ABC及其内部，联立方程组求出B的坐标，由两点间的距离公式求出BC的长度，由点到直线的距离公式求出A到BC边所在直线的距离，代入三角形面积公式得答案． 【解答】解：由不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17704.png){width="0.875in" height="0.65625in"}作平面区域如图， 由图可知A（2，0），C（0，2）， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17705.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，解得：B（8，﹣2）． ∴\|BC\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17706.png){width="1.7604166666666667in" height="0.25in"}． 点A到直线x+2y﹣4=0的距离为d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17707.png){width="1.5833333333333333in" height="0.46875in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17708.png){width="2.71875in" height="0.3854166666666667in"}． 故答案为：4． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17709.png){width="3.2819444444444446in" height="2.3854166666666665in"} 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 　 14．（5分）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在\[0，2\]上的解析式为f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17710.png){width="1.375in" height="0.4479166666666667in"}，则f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17711.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17712.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17713.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可． 【解答】解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在\[0，2\]上的解析式为f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17714.png){width="1.375in" height="0.4479166666666667in"}， 则f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17711.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17712.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}） =f（8﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17715.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）+f（8﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17716.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}） =f（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17715.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）+f（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17716.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}） =﹣f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17715.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）﹣f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17716.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17717.png){width="1.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17718.png){width="0.5625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17719.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17719.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力． 　 15．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件： （i）直线l在点P（x~0~，y~0~）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处"切过"曲线C． 下列命题正确的是[　①③④　]{.underline}（写出所有正确命题的编号）． ①直线l：y=0在点P（0，0）处"切过"曲线C：y=x^3^ ②直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处"切过"曲线C：y=（x+1）^2^ ③直线l：y=x在点P（0，0）处"切过"曲线C：y=sinx ④直线l：y=x在点P（0，0）处"切过"曲线C：y=tanx ⑤直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处"切过"曲线C：y=lnx． 【分析】分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P出的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则正确的选项可求． 【解答】解：对于①，由y=x^3^，得y′=3x^2^，则y′\|~x=0~=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线， 又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧， ∴命题①正确； 对于②，由y=（x+1）^2^，得y′=2（x+1），则y′\|~x=﹣1~=0， 而直线l：x=﹣1的斜率不存在，在点P（﹣1，0）处不与曲线C相切， ∴命题②错误； 对于③，由y=sinx，得y′=cosx，则y′\|~x=0~=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线， 又x∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17720.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}时x＜sinx，x∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17721.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧， ∴命题③正确； 对于④，由y=tanx，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17722.png){width="0.8854166666666666in" height="0.4270833333333333in"}，则y′\|~x=0~=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线， 又x∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17720.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}时tanx＜x，x∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17721.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}时tanx＞x，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧， ∴命题④正确； 对于⑤，由y=lnx，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17723.png){width="0.5in" height="0.3645833333333333in"}，则y′\|~x=1~=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x﹣1， 设g（x）=x﹣1﹣lnx，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17724.png){width="0.9166666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0， 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0． ∴g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0． ∴y=x﹣1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧， 命题⑤错误． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的最值，判断③④时应熟记当x∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17725.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}时，tanx＞x＞sinx，该题是中档题． 　 **三、解答题（本大题共6小题，共75分）** 16．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17726.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求cosA与a的值． 【分析】利用三角形的面积公式，求出sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17727.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，利用平方关系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值． 【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17728.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17729.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17728.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17730.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 又∵sin^2^A+cos^2^A=1 ∴cosA=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17731.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 由余弦定理可得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17732.png){width="1.4479166666666667in" height="0.3854166666666667in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17733.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}或2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10385.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 17．（12分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）． （1）应收集多少位女生的样本数据？ （2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：\[0，2\]，（2，4\]，（4，6\]，（6，8\]，（8，10\]，（10，12\]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率． （3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为"该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关"． ---------------- ------- ------- ------- ------- P（K^2^≥k~0~） 0.10 0.05 0.010 0.005 k~0~ 2.706 3.841 6.635 7.879 ---------------- ------- ------- ------- ------- 附：K^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17734.png){width="1.71875in" height="0.4270833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17735.png){width="2.4902777777777776in" height="1.9166666666666667in"} 【分析】（1）根据频率分布直方图进行求解即可． （2）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率． （3）利用独立性检验进行求解即可 【解答】解：（1）300×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17736.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=90，所以应收集90位女生的样本数据． （2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75， 所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75． （3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表 +----------------------+------+------+------+ | | 男生 | 女生 | 总计 | +----------------------+------+------+------+ | 每周平均体育运动时间 | 45 | 30 | 75 | | | | | | | 不超过4小时 | | | | +----------------------+------+------+------+ | 每周平均体育运动时间 | 165 | 60 | 225 | | | | | | | 超过4小时 | | | | +----------------------+------+------+------+ | 总计 | 210 | 90 | 300 | +----------------------+------+------+------+ 结合列联表可算得K^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17737.png){width="1.75in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17738.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}≈4.762＞3.841 所以，有95%的把握认为"该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关"． 【点评】本题主要考查频率分布直方图以及独立性检验的应用，比较基础 　 18．（12分）数列{a~n~}满足a~1~=1，na~n+1~=（n+1）a~n~+n（n+1），n∈N^\*^． （Ⅰ）证明：数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17739.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}}是等差数列； （Ⅱ）设b~n~=3^n^•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17740.png){width="0.3020833333333333in" height="0.25in"}，求数列{b~n~}的前n项和S~n~． 【分析】（Ⅰ）将na~n+1~=（n+1）a~n~+n（n+1）的两边同除以n（n+1）得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17741.png){width="0.875in" height="0.4270833333333333in"}，由等差数列的定义得证． （Ⅱ）由（Ⅰ）求出b~n~=3^n^•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17742.png){width="0.3020833333333333in" height="0.25in"}=n•3^n^，利用错位相减求出数列{b~n~}的前n项和S~n~． 【解答】证明（Ⅰ）∵na~n+1~=（n+1）a~n~+n（n+1）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17743.png){width="0.875in" height="0.4270833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17744.png){width="0.875in" height="0.4270833333333333in"}， ∴数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17745.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}}是以1为首项，以1为公差的等差数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17746.png){width="1.25in" height="0.4270833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17747.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}， b~n~=3^n^•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17748.png){width="0.3020833333333333in" height="0.25in"}=n•3^n^， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17749.png){width="2.4791666666666665in" height="0.28125in"}•3^n﹣1^+n•3^n^① ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17750.png){width="2.7083333333333335in" height="0.28125in"}•3^n^+n•3^n+1^② ①﹣②得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17751.png){width="1.5in" height="0.28125in"}3^n^﹣n•3^n+1^ =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17752.png){width="1.1458333333333333in" height="0.4270833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17753.png){width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17754.png){width="1.3541666666666667in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法． 　 19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17755.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH． （Ⅰ）证明：GH∥EF； （Ⅱ）若EB=2，求四边形GEFH的面积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17756.png){width="2.09375in" height="1.7395833333333333in"} 【分析】（Ⅰ）证明GH∥EF，只需证明EF∥平面PBC，只需证明BC∥EF，利用BC∥平面GEFH即可； （Ⅱ）求出四边形GEFH的上底、下底及高，即可求出面积． 【解答】（Ⅰ）证明：∵BC∥平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF，BC⊂平面ABCD， ∴BC∥EF， ∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴EF∥平面PBC， ∵平面EFGH∩平面PBC=GH， ∴EF∥GH； （Ⅱ）解：连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK． ∵PA=PC，O为AC中点， ∴PO⊥AC， 同理可得PO⊥BD， 又∵BD∩AC=O，AC⊂底面ABCD，BD⊂底面ABCD， ∴PO⊥底面ABCD， 又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO⊄平面GEFH， ∴PO∥平面GEFH， ∵平面PBD∩平面GEFH=GK， ∴PO∥GK，且GK⊥底面ABCD ∴GK是梯形GEFH的高 ∵AB=8，EB=2， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17757.png){width="0.78125in" height="0.3645833333333333in"}， ∴KB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17758.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即K为OB中点， 又∵PO∥GK， ∴GK=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17759.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}PO，即G为PB中点，且GH=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17760.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 由已知可得OB=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17761.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，PO=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17762.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17763.png){width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}=6， ∴GK=3， 故四边形GEFH的面积S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17764.png){width="1.0729166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17765.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=18． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17766.png){width="2.1979166666666665in" height="1.7604166666666667in"} 【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查梯形面积的计算，正确运用线面平行的判定与性质是关键． 　 20．（13分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x^2^﹣x^3^，其中a＞0． （Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性； （Ⅱ）当x∈\[0，1\]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值． 【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在\[0，1\]时的单调性，得出取最值时的x的取值． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x^2^， 由f′（x）=0，得x~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17767.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17768.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，x~1~＜x~2~， ∴由f′（x）＜0得x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17767.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17768.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}； 由f′（x）＞0得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17767.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17769.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}； 故f（x）在（﹣∞，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17770.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}）和（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17769.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，+∞）单调递减， 在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17770.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17769.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}）上单调递增； （Ⅱ）∵a＞0，∴x~1~＜0，x~2~＞0，∵x∈\[0，1\]，当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17771.png){width="1.03125in" height="0.3854166666666667in"}时，即a≥4 ①当a≥4时，x~2~≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在\[0，1\]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值． ②当0＜a＜4时，x~2~＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在\[0，x~2~\]单调递增，在\[x~2~，1\]上单调递减， 因此f（x）在x=x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17772.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a， ∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值； 当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值； 当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题． 　 21．（13分）设F~1~，F~2~分别是椭圆E：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17773.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17774.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F~1~的直线交椭圆E于A，B两点，\|AF~1~\|=3\|F~1~B\|． （Ⅰ）若\|AB\|=4，△ABF~2~的周长为16，求\|AF~2~\|； （Ⅱ）若cos∠AF~2~B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17775.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求椭圆E的离心率． 【分析】（Ⅰ）利用\|AB\|=4，△ABF~2~的周长为16，\|AF~1~\|=3\|F~1~B\|，结合椭圆的定义，即可求\|AF~2~\|； （Ⅱ）设\|F~1~B\|=k（k＞0），则\|AF~1~\|=3k，\|AB\|=4k，由cos∠AF~2~B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17775.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF~1~F~2~是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率． 【解答】解：（Ⅰ）∵\|AB\|=4，\|AF~1~\|=3\|F~1~B\|， ∴\|AF~1~\|=3，\|F~1~B\|=1， ∵△ABF~2~的周长为16， ∴4a=16， ∴\|AF~1~\|+\|AF~2~\|=2a=8， ∴\|AF~2~\|=5； （Ⅱ）设\|F~1~B\|=k（k＞0），则\|AF~1~\|=3k，\|AB\|=4k， ∴\|AF~2~\|=2a﹣3k，\|BF~2~\|=2a﹣k ∵cos∠AF~2~B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17775.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 在△ABF~2~中，由余弦定理得，\|AB\|^2^=\|AF~2~\|^2^+\|BF~2~\|^2^﹣2\|AF~2~\|•\|BF~2~\|cos∠AF~2~B， ∴（4k）^2^=（2a﹣3k）^2^+（2a﹣k）^2^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17776.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（2a﹣3k）（2a﹣k）， 化简可得（a+k）（a﹣3k）=0，而a+k＞0，故a=3k， ∴\|AF~2~\|=\|AF~1~\|=3k，\|BF~2~\|=5k， ∴\|BF~2~\|^2^=\|AF~2~\|^2^+\|AB\|^2^， ∴AF~1~⊥AF~2~， ∴△AF~1~F~2~是等腰直角三角形， ∴c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17777.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}a， ∴e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17778.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17777.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的性质，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 2014年福建省高考数学试卷（理科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．** 1．（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17779.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}等于（　　） A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i 【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求． 【解答】解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17780.png){width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}． 故选：C． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 　 2．（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱 【分析】直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可． 【解答】解：圆柱的正视图为矩形， 故选：A． 【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题． 　 3．（5分）等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若a~1~=2，S~3~=12，则a~6~等于（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【分析】由等差数列的性质和已知可得a~2~，进而可得公差，可得a~6~ 【解答】解：由题意可得S~3~=a~1~+a~2~+a~3~=3a~2~=12， 解得a~2~=4，∴公差d=a~2~﹣a~1~=4﹣2=2， ∴a~6~=a~1~+5d=2+5×2=12， 故选：C． 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题． 　 4．（5分）若函数y=log~a~x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17781.png){width="1.7083333333333333in" height="1.3958333333333333in"} A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17782.png){width="1.1875in" height="1.4479166666666667in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17783.png){width="1.2083333333333333in" height="1.4479166666666667in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17784.png){width="1.21875in" height="1.0833333333333333in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17785.png){width="1.7083333333333333in" height="1.2395833333333333in"} 【分析】由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可． 【解答】解：由题意可知图象过（3，1）， 故有1=log~a~3，解得a=3， 选项A，y=a^﹣x^=3^﹣x^=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9714.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^x^单调递减，故错误； 选项B，y=x^3^，由幂函数的知识可知正确； 选项C，y=（﹣x）^3^=﹣x^3^，其图象应与B关于x轴对称，故错误； 选项D，y=log~a~（﹣x）=log~3~（﹣x），当x=﹣3时，y=1， 但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误． 故选：B． 【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题． 　 5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17786.png){width="1.6666666666666667in" height="3.9590277777777776in"} A．18 B．20 C．21 D．40 【分析】算法的功能是求S=2^1^+2^2^+...+2^n^+1+2+...+n的值，计算满足条件的S值，可得答案． 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=2^1^+2^2^+...+2^n^+1+2+...+n的值， ∵S=2^1^+2^2^+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=2^1^+2^2^+2^3^+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15． ∴输出S=20． 故选：B． 【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 　 6．（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x^2^+y^2^=1相交于A，B 两点，则"k=1"是"△OAB的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17787.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x^2^+y^2^=1相交于A，B 两点， 则圆心到直线距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17788.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，\|AB\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17789.png){width="2.0833333333333335in" height="0.5in"}， 若k=1，则\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17790.png){width="0.65625in" height="0.3854166666666667in"}，d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17791.png){width="0.75in" height="0.40625in"}，则△OAB的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9680.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17792.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9680.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}成立，即充分性成立． 若△OAB的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9680.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17793.png){width="1.625in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9680.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17794.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17794.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17795.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 即k^2^+1=2\|k\|，即k^2^﹣2\|k\|+1=0， 则（\|k\|﹣1）^2^=0， 即\|k\|=1， 解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立． 故"k=1"是"△OAB的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17795.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}"的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键． 　 7．（5分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17796.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4895833333333333in"}，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）是偶函数 B．f（x）是增函数 C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为\[﹣1，+∞） 【分析】由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可． 【解答】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数， 当x＞0时，f（x）=x^2^+1，为二次函数的一部分， 故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性， 故可排除A、B、C， 对于D，当x≤0时，函数的值域为\[﹣1，1\]， 当x＞0时，函数的值域为（1，+∞）， 故函数f（x）的值域为\[﹣1，+∞），故正确． 故选：D． 【点评】本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题． 　 8．（5分）在下列向量组中，可以把向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17797.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（3，2）表示出来的是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17798.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（0，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17799.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（1，2） B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17798.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（﹣1，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17799.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（5，﹣2） C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17800.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（3，5），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17801.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（6，10） D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17800.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（2，﹣3），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17801.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（﹣2，3） 【分析】根据向量的坐标运算，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17802.png){width="1.03125in" height="0.2708333333333333in"}，计算判别即可． 【解答】解：根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17802.png){width="1.03125in" height="0.2708333333333333in"}， 选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则 3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能； 选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能． 选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能． 选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能． 故选：B． 【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17802.png){width="1.03125in" height="0.2708333333333333in"}列出方程解方程是关键，属于基础题． 　 9．（5分）设P，Q分别为圆x^2^+（y﹣6）^2^=2和椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17803.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+y^2^=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（　　） A．5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17804.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17805.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17804.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．7+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17806.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17806.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离． 【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则 ∵圆x^2^+（y﹣6）^2^=2的圆心为（0，6），半径为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17806.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17807.png){width="0.9270833333333334in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17808.png){width="1.4479166666666667in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17809.png){width="1.1458333333333333in" height="0.3854166666666667in"}≤5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17806.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴P，Q两点间的最大距离是5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17806.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17810.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17810.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故选：D． 【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 　 10．（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如："1"表示一个球都不取、"a"表示取出一个红球，而"ab"则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（　　） A．（1+a+a^2^+a^3^+a^4^+a^5^）（1+b^5^）（1+c）^5^ B．（1+a^5^）（1+b+b^2^+b^3^+b^4^+b^5^）（1+c）^5^ C．（1+a）^5^（1+b+b^2^+b^3^+b^4^+b^5^）（1+c^5^） D．（1+a^5^）（1+b）^5^（1+c+c^2^+c^3^+c^4^+c^5^） 【分析】根据"1+a+b+ab表示出来，如："1"表示一个球都不取、"a"表示取出一个红球，而"ab"则表示把红球和蓝球都取出来"，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决． 【解答】解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a^2^+a^3^+a^4^+a^5^；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b^5^；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个 球，共6种情况，则其所有取法为1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17811.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}c+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17812.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}c^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17813.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}c^3^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17814.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}c^4^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17815.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}c^5^=（1+c）^5^，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是（1+a+a^2^+a^3^+a^4^+a^5^）（1+b^5^）（1+c）^5^． 故选：A． 【点评】本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题． 　 **二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置** 11．（4分）若变量 x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17816.png){width="0.875in" height="0.6458333333333334in"}，则z=3x+y的最小值为[　1　]{.underline}． 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值． 【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图， 由z=3x+y，得y=﹣3x+z， 平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小， 此时z最小．此时z的最小值为z=0×3+1=1， 故答案为：1 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17817.png){width="2.4583333333333335in" height="2.5944444444444446in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 　 12．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17818.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则△ABC的面积等于[　2]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17818.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积． 【解答】解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17818.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 由正弦定理得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17819.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17820.png){width="1.125in" height="0.3854166666666667in"}， 解得sinB=1， ∴B=90°，C=30°， ∴△ABC的面积=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17821.png){width="2.0104166666666665in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17822.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}． 【点评】本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积．正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题． 　 13．（4分）要制作一个容器为4m^3^，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是[　160　]{.underline}（单位：元） 【分析】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求． 【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y， 则∵长方形容器的容器为4m^3^，高为1m， 故底面面积S=ab=4，y=20S+10\[2（a+b）\]=20（a+b）+80， ∵a+b≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17823.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}=4， 故当a=b=2时，y取最小值160， 即该容器的最低总造价是160元， 故答案为：160 【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题． 　 14．（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17824.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}[　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17825.png){width="1.53125in" height="1.3645833333333333in"} 【分析】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率． 【解答】解：由题意，y=lnx与y=e^x^关于y=x对称， ∴阴影部分的面积为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17826.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}（e﹣e^x^）dx=2（ex﹣e^x^）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17827.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=2， ∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e^2^， ∴落到阴影部分的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17824.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17824.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}． 【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到． 　 15．（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是[　6　]{.underline}． 【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论． 【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4； a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4； a=4时，b=1，c=3，d=2； ∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个． 【点评】本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键． 　 **三、解答题：本大题共4小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤** 16．（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17828.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （1）若0＜α＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17829.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，且sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17830.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，求f（α）的值； （2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间． 【分析】（1）根据题意，利用sinα求出cosα的值，再计算f（α）的值； （2）化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期与单调增区间即可． 【解答】解：（1）∵0＜α＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17829.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，且sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17831.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴cosα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17831.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17832.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17831.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}×（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17831.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17831.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17832.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17832.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； （2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17832.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} =sinxcosx+cos^2^x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17833.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17833.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sin2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17834.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17833.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17833.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（sin2x+cos2x） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17835.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17836.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， ∴f（x）的最小正周期为T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17837.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=π； 令2kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17838.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17839.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12421.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z， 解得kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17840.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17841.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z； ∴f（x）的单调增区间为\[kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17840.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17841.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]，k∈Z． 【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目． 　 17．（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图． （1）求证：AB⊥CD； （2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17842.png){width="1.1875in" height="1.4583333333333333in"} 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可得出； （2）建立如图所示的空间直角坐标系．设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=\|cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17843.png){width="0.8541666666666666in" height="0.22916666666666666in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17844.png){width="0.8020833333333334in" height="0.4479166666666667in"}即可得出． 【解答】（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD， ∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD． （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系． ∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD， ∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17845.png){width="0.9166666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17846.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，1，﹣1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17847.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（1，1，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17848.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17849.png){width="0.9166666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 设平面BCM的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17850.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y，z），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17851.png){width="1.3333333333333333in" height="0.6458333333333334in"}， 令y=﹣1，则x=1，z=1． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17850.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，﹣1，1）． 设直线AD与平面MBC所成角为θ． 则sinθ=\|cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17852.png){width="0.8541666666666666in" height="0.22916666666666666in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17853.png){width="0.8020833333333334in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17854.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17855.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17856.png){width="2.0729166666666665in" height="1.875in"} 【点评】本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sinθ=\|cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17857.png){width="0.8541666666666666in" height="0.22916666666666666in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17858.png){width="0.8020833333333334in" height="0.4479166666666667in"}，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题． 　 18．（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额． （1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； （2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出P（X=60），P（X=20），画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望； （2）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决． 【解答】解：（1）设顾客所获取的奖励额为X， ①依题意，得P（X=60）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17859.png){width="0.7604166666666666in" height="0.5833333333333334in"}， 即顾客所获得奖励额为60元的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17860.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ②依题意得X得所有可能取值为20，60， P（X=60）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17860.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，P（X=20）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17861.png){width="0.46875in" height="0.5833333333333334in"}， 即X的分布列为 --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- X 60 20 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17860.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17860.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17860.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+60×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17860.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=40 （2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案． 对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元， 如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元， 因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1， 对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2， 以下是对这两个方案的分析： 对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X~1~，则X~1~的分布列为 ------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- X~1~ 60 20 100 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17862.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17863.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17863.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- X~1~ 的数学期望为E（X~1~）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17864.png){width="1.9895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． X~1~ 的方差D（X~1~）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17865.png){width="2.2604166666666665in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17866.png){width="1.125in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17867.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X~2~，则X~2~的分布列为 ------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- X~2~ 40 60 80 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17868.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17869.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17868.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- X~2~ 的数学期望为E（X~2~）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17870.png){width="1.6354166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=60， X~2~ 的方差D（X~2~）=差D（X~1~）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17871.png){width="2.15625in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17872.png){width="1.125in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17873.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2． 【点评】本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想． 　 19．（13分）已知双曲线E：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17874.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17875.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l~1~：y=2x，l~2~：y=﹣2x． （1）求双曲线E的离心率； （2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l~1~，l~2~于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17876.png){width="1.5729166666666667in" height="2.0729166666666665in"} 【分析】（1）依题意，可知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17877.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2，易知c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17878.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}a，从而可求双曲线E的离心率； （2）由（1）知，双曲线E的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17879.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17880.png){width="0.3125in" height="0.4895833333333333in"}=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17881.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17882.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1．当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由S~△OAB~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17883.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|OC\|•\|y~1~﹣y~2~\|=8可证得：双曲线E的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17884.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17882.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1，从而可得答案． 【解答】解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l~1~：y=2x，l~2~：y=﹣2x， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17885.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17886.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4479166666666667in"}=2． 故c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17887.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}a， 从而双曲线E的离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17888.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17889.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （2）由（1）知，双曲线E的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17890.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17891.png){width="0.3125in" height="0.4895833333333333in"}=1． 设直线l与x轴相交于点C， 当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则\|OC\|=a，\|AB\|=4a， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17892.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|OC\|•\|AB\|=8， 因此![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17892.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17893.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17894.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1． 以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17895.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17896.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1也满足条件． 设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2； 则C（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17897.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，0），记A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17898.png){width="0.625in" height="0.4166666666666667in"}得y~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17899.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，同理得y~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17900.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 由S~△OAB~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17901.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|OC\|•\|y~1~﹣y~2~\|得： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17901.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17902.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|•\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17903.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17904.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\|=8，即m^2^=4\|4﹣k^2^\|=4（k^2^﹣4）． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17905.png){width="0.84375in" height="0.6770833333333334in"}得：（4﹣k^2^）x^2^﹣2kmx﹣m^2^﹣16=0， 因为4﹣k^2^＜0， 所以△=4k^2^m^2^+4（4﹣k^2^）（m^2^+16）=﹣16（4k^2^﹣m^2^﹣16）， 又因为m^2^=4（k^2^﹣4）， 所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点． 因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17906.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17907.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想． 　 **在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换** 20．（14分）已知函数f（x）=e^x^﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1． （1）求a的值及函数f（x）的极值； （2）证明：当x＞0时，x^2^＜e^x^； （3）证明：对任意给定的正数c，总存在x~0~，使得当x∈（x~0~，+∞）时，恒有x^2^＜ce^x^． 【分析】（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值； （2）构造函数g（x）=e^x^﹣x^2^，求出导数，利用（1）问结论可得到函数的符号，从而判断g（x）的单调性，即可得出结论； （3）首先可将要证明的不等式变形为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17908.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^2^＜e^x^，进而发现当x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17909.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17908.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^2^＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17910.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^3^，因此问题转化为证明当x∈（0，+∞）时，恒有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17910.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^3^＜e^x^． 【解答】解：（1）由f（x）=e^x^﹣ax，得f′（x）=e^x^﹣a． 又f′（0）=1﹣a=﹣1，解得a=2， ∴f（x）=e^x^﹣2x，f′（x）=e^x^﹣2． 由f′（x）=0，得x=ln2， 当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； ∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e^ln2^﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值． （2）令g（x）=e^x^﹣x^2^，则g′（x）=e^x^﹣2x， 由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e^ln2^﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0， ∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x^2^＜e^x^； （3）首先证明当x∈（0，+∞）时，恒有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17910.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^3^＜e^x^． 证明如下： 令h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17910.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^3^﹣e^x^，则h′（x）=x^2^﹣e^x^． 由（2）知，当x＞0时，x^2^＜e^x^， 从而h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减， 所以h（x）＜h（0）=﹣1＜0，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17910.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^3^＜e^x^， 取x~0~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17911.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，当x＞x~0~时，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17912.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^2^＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17913.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^3^＜e^x^． 因此，对任意给定的正数c，总存在x~0~，当x∈（x~0~，+∞）时，恒有x^2^＜ce^x^． 【点评】该题主要考查导数的几何意义、导数的运算及导数的应用等基础知识，考查学生的运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想．属难题． 　 21．（7分）已知矩阵A的逆矩阵A^﹣1^=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17914.png){width="0.2916666666666667in" height="0.3958333333333333in"}）． （1）求矩阵A； （2）求矩阵A^﹣1^的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 【分析】（1）利用AA^﹣1^=E，建立方程组，即可求矩阵A； （2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量． 【解答】解：（1）设A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17915.png){width="0.4375in" height="0.3958333333333333in"}，则由AA^﹣1^=E得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17915.png){width="0.4375in" height="0.3958333333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17916.png){width="0.4375in" height="0.3958333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17917.png){width="0.4375in" height="0.3958333333333333in"}， 解得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17918.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，b=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17919.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，c=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17919.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17918.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，所以A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17920.png){width="0.7083333333333334in" height="0.7916666666666666in"}； （2）矩阵A^﹣1^的特征多项式为f（λ）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17921.png){width="0.8333333333333334in" height="0.3958333333333333in"}=（λ﹣2）^2^﹣1， 令f（λ）=（λ﹣2）^2^﹣1=0，可求得特征值为λ~1~=1，λ~2~=3， 设λ~1~=1对应的一个特征向量为α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17922.png){width="0.2708333333333333in" height="0.40625in"}， 则由λ~1~α=Mα，得x+y=0 得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1， 所以矩阵M的一个特征值λ~1~=1对应的一个特征向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17923.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3958333333333333in"}， 同理可得矩阵M的一个特征值λ~2~=3对应的一个特征向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17924.png){width="0.2708333333333333in" height="0.3958333333333333in"}． 【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题． 　 **五、选修4-4：极坐标与参数方程** 22．（7分）已知直线l的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17925.png){width="0.625in" height="0.40625in"}（t为参数），圆C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17926.png){width="0.7916666666666666in" height="0.40625in"}（θ为常数）． （1）求直线l和圆C的普通方程； （2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围． 【分析】（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程； （2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点⇔d≤r即可求出． 【解答】解：（1）直线l的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17925.png){width="0.625in" height="0.40625in"}，消去t可得2x﹣y﹣2a=0； 圆C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17926.png){width="0.7916666666666666in" height="0.40625in"}，两式平方相加可得x^2^+y^2^=16； （2）圆心C（0，0），半径r=4． 由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17927.png){width="0.46875in" height="0.3854166666666667in"}． ∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17928.png){width="0.46875in" height="0.3854166666666667in"}≤4，解得﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17929.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}≤a≤2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17929.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键． 　 **六、选修4-5：不等式选讲** 23．已知定义域在R上的函数f（x）=\|x+1\|+\|x﹣2\|的最小值为a． （1）求a的值； （2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p^2^+q^2^+r^2^≥3． 【分析】（1）由绝对值不等式\|a\|+\|b\|≥\|a﹣b\|，当且仅当ab≤0，取等号； （2）由柯西不等式：（a^2^+b^2^+c^2^）（d^2^+e^2^+f^2^）≥（ad+be+cf）^2^，即可证得． 【解答】（1）解：∵\|x+1\|+\|x﹣2\|≥\|（x+1）﹣（x﹣2）\|=3， 当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立， ∴f（x）的最小值为3，即a=3； （2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数， ∴由柯西不等式得，（p^2^+q^2^+r^2^）（1^2^+1^2^+1^2^）≥（p×1+q×1+r×1）^2^ =（p+q+r）^2^=3^2^=9， 即p^2^+q^2^+r^2^≥3． 【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． 2014年福建省高考数学试卷（文科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分** 1．（5分）若集合P={x\|2≤x＜4}，Q={x\|x≥3}，则P∩Q等于（　　） A．{x\|3≤x＜4} B．{x\|3＜x＜4} C．{x\|2≤x＜3} D．{x\|2≤x≤3} 【分析】由于两集合已是最简，直接求它们的交集即可选出正确答案 【解答】解：∵P={x\|2≤x＜4}，Q={x\|x≥3}， ∴P∩Q={x\|3≤x＜4}． 故选：A． 【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解题的关键 　 2．（5分）复数（3+2i）i等于（　　） A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i 【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简求值． 【解答】解：（3+2i）i=3i+2i^2^=﹣2+3i． 故选：B． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题． 　 3．（5分）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（　　） A．2π B．π C．2 D．1 【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积． 【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π， 故选：A． 【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力． 　 4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17930.png){width="1.4583333333333333in" height="2.2291666666666665in"} A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件2^n^＞n^2^，跳出循环，确定输出的n值． 【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，2^1^＞1； 第二次循环n=2，2^2^=4． 不满足条件2^n^＞n^2^，跳出循环，输出n=2． 故选：B． 【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法． 　 5．（5分）命题"∀x∈\[0，+∞），x^3^+x≥0"的否定是（　　） A．∀x∈（﹣∞，0），x^3^+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x^3^+x≥0 C．∃x~0~∈\[0，+∞），x~0~^3^+x~0~＜0 D．∃x~0~∈\[0，+∞），x~0~^3^+x~0~≥0 【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项． 【解答】解：∵命题"∀x∈\[0，+∞），x^3^+x≥0"是一个全称命题． ∴其否定命题为：∃x~0~∈\[0，+∞），x~0~^3^+x~0~＜0 故选：C． 【点评】本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键． 　 6．（5分）已知直线l过圆x^2^+（y﹣3）^2^=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（　　） A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0 【分析】由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程． 【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1， 故l的方程是 y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0， 故选：D． 【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题． 　 7．（5分）将函数y=sinx的图象向左平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17931.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（　　） A．y=f（x）是奇函数 B．y=f（x）的周期为π C．y=f（x）的图象关于直线x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17932.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}对称 D．y=f（x）的图象关于点（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17932.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，0）对称 【分析】利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由 cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17932.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=cos（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17932.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=0即可得到正确选项． 【解答】解：将函数y=sinx的图象向左平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17932.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位，得y=sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17932.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=cosx． 即f（x）=cosx． ∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误； ∵cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17932.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=cos（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17932.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=0， ∴y=f（x）的图象关于点（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17932.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，0）、（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17932.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，0）成中心对称． 故选：D． 【点评】本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题． 　 8．（5分）若函数y=log~a~x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17933.png){width="1.59375in" height="0.9895833333333334in"} A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17934.png){width="1.2083333333333333in" height="1.0in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17935.png){width="1.1145833333333333in" height="0.9270833333333334in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17936.png){width="1.3958333333333333in" height="0.84375in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17937.png){width="1.1458333333333333in" height="0.9375in"} 【分析】根据对数函数的图象所过的特殊点求出a的值，再研究四个选项中函数与图象是否对应即可得出正确选项． 【解答】解：由对数函数的图象知，此函数图象过点（3，1），故有y=log~a~3=1，解得a=3， 对于A，由于y=a^﹣x^是一个减函数故图象与函数不对应，A错； 对于B，由于幂函数y=x^a^是一个增函数，且是一个奇函数，图象过原点，且关于原点对称，图象与函数的性质对应，故B正确； 对于C，由于a=3，所以y=（﹣x）^a^是一个减函数，图象与函数的性质不对应，C错； 对于D，由于y=log~a~（﹣x）与y=log~a~x的图象关于y轴对称，所给的图象不满足这一特征，故D错． 故选：B． 【点评】本题考查函数的性质与函数图象的对应，熟练掌握各类函数的性质是快速准确解答此类题的关键． 　 9．（5分）要制作一个容积为4m^3^，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（　　） A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 【分析】设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求． 【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则 ∵长方形容器的容器为4m^3^，高为1m， ∴底面面积S=ab=4，y=20S+10\[2（a+b）\]=20（a+b）+80， ∵a+b≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17938.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}=4， ∴当a=b=2时，y取最小值160， 即该容器的最低总造价是160元， 故选：C． 【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题，由实际问题向数学问题转化是关键． 　 10．（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17939.png){width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"}等于（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17940.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} B．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17940.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} C．3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17940.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} D．4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17940.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} 【分析】虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17941.png){width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"}计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个． 【解答】解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17941.png){width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17942.png){width="0.9791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}， ∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17942.png){width="0.9791666666666666in" height="0.20833333333333334in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17943.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17944.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17945.png){width="1.7708333333333333in" height="0.96875in"} 【点评】本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答． 　 11．（5分）已知圆C：（x﹣a）^2^+（y﹣b）^2^=1，设平面区域Ω=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17946.png){width="0.7916666666666666in" height="0.65625in"}，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a^2^+b^2^的最大值为（　　） A．49 B．37 C．29 D．5 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 圆心为（a，b），半径为1 ∵圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切， ∴b=1， 则a^2^+b^2^=a^2^+1， ∴要使a^2^+b^2^的取得最大值，则只需a最大即可， 由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17947.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17948.png){width="0.375in" height="0.40625in"}，即B（6，1）， ∴当a=6，b=1时，a^2^+b^2^=36+1=37，即最大值为37， 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17949.png){width="2.948611111111111in" height="2.4902777777777776in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 　 12．（5分）在平面直角坐标系中，两点P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~）间的"L﹣距离"定义为\|P~1~P~2~\|=\|x~1~﹣x~2~\|+\|y~1~﹣y~2~\|．则平面内与x轴上两个不同的定点F~1~，F~2~的"L﹣距离"之和等于定值（大于\|F~1~F~2~\|）的点的轨迹可以是（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17950.png){width="1.375in" height="1.21875in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17951.png){width="1.34375in" height="1.2395833333333333in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17952.png){width="1.3541666666666667in" height="1.2291666666666667in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17953.png){width="1.375in" height="1.2291666666666667in"} 【分析】设出F~1~，F~2~的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案． 【解答】解：设F~1~（﹣c，0），F~2~（c，0）， 再设动点M（x，y），动点到定点F~1~，F~2~的"L﹣距离"之和等于m（m＞2c＞0）， 由题意可得：\|x+c\|+\|y\|+\|x﹣c\|+\|y\|=m， 即\|x+c\|+\|x﹣c\|+2\|y\|=m． 当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0； 当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0； 当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17954.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}； 当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17955.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0； 当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0． 结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求． 故选：A． 【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题． 　 **二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分** 13．（4分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为[　0.18　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17956.png){width="0.8020833333333334in" height="0.8020833333333334in"} 【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论． 【解答】解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S， ∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分， ∴几何槪型的概率公式进行估计得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17957.png){width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"}， 即S=0.18， 故答案为：0.18． 【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础． 　 14．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17958.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则AB等于[　1　]{.underline}． 【分析】利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长． 【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17958.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴由余弦定理得：a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA，即3=4+c^2^﹣2c， 解得：c=1， 则AB=c=1， 故答案为：1 【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键． 　 15．（4分）函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17959.png){width="1.4583333333333333in" height="0.4895833333333333in"}的零点个数是[　2　]{.underline}． 【分析】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论． 【解答】解：当x≤0时，由f（x）=0得x^2^﹣2=0，解得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17960.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}或x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17961.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}（舍去）， 当x＞0时，由f（x）=0得2x﹣6+lnx=0，即lnx=6﹣2x， 作出函数y=lnx和y=6﹣2x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个交点，故x＞0时，函数有1个零点． 故函数f（x）的零点个数为2， 故答案为：2 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17962.png){width="2.7090277777777776in" height="2.5631944444444446in"} 【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，对于比较好求的函数，直接解方程f（x）=0即可，对于比较复杂的函数，由利用数形结合进行求解． 　 16．（4分）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②‚b=2；③ƒc≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于[　201　]{.underline}． 【分析】根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值． 【解答】解：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况： 当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足题意； 当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足题意； 当a=2时，b=1、c=0，此时不满足题意； 当a=2时，b=0、c=1，此时满足题意； 综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201， 故答案为：201． 【点评】本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏． 　 **三．解答题：本大题共6小题，共74分.** 17．（12分）在等比数列{a~n~}中，a~2~=3，a~5~=81． （Ⅰ）求a~n~； （Ⅱ）设b~n~=log~3~a~n~，求数列{b~n~}的前n项和S~n~． 【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求； （Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a~n~代入b~n~=log~3~a~n~，得到数列{b~n~}的通项公式，由此得到数列{b~n~}是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案． 【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a~n~}的公比为q， 由a~2~=3，a~5~=81，得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17963.png){width="0.7604166666666666in" height="0.5729166666666666in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17964.png){width="0.4895833333333333in" height="0.46875in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17965.png){width="0.625in" height="0.28125in"}； （Ⅱ）∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17965.png){width="0.625in" height="0.28125in"}，b~n~=log~3~a~n~， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17966.png){width="1.3333333333333333in" height="0.28125in"}． 则数列{b~n~}的首项为b~1~=0， 由b~n~﹣b~n﹣1~=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2）， 可知数列{b~n~}是以1为公差的等差数列． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17967.png){width="1.96875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础的计算题． 　 18．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）． （Ⅰ）求f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17968.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）的值； （Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间． 【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17969.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17970.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+1，从而求得f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17968.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）的值． （Ⅱ）根据函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17969.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17970.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+1，求得它的最小正周期．令2kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17971.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17970.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17971.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z，求得x的范围，可得函数的单调递增区间． 【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+1+cos2x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17972.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17973.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+1， ∴f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17974.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17972.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17975.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17973.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17972.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17976.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17977.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3854166666666667in"}+1=2． （Ⅱ）∵函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17978.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17979.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+1，故它的最小正周期为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13400.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=π． 令2kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13401.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17979.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13401.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z，求得kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17980.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17981.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 故函数的单调递增区间为\[kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17980.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17982.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]，k∈Z． 【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和单调性，属于中档题． 　 19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD． （Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD； （Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image17983.png){width="1.2708333333333333in" height="1.6354166666666667in"} 【分析】（Ⅰ）证明：CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD； （Ⅱ）利用转换底面，V~A﹣MBC~=V~C﹣ABM~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17984.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}S~△ABM~•CD，即可求出三棱锥A﹣MBC的体积． 【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD， ∴AB⊥CD， ∵CD⊥BD，AB∩BD=B， ∴CD⊥平面ABD； （Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD， ∴AB⊥BD． ∵AB=BD=1， ∴S~△ABD~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17985.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∵M为AD中点， ∴S~△ABM~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17986.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}S~△ABD~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17987.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∵CD⊥平面ABD， ∴V~A﹣MBC~=V~C﹣ABM~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17988.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}S~△ABM~•CD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17989.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥A﹣MBC的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键． 　 20．（12分）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表： -------- ---------------------- ------------------------- 行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP（单位：美元） A 25% 8000 B 30% 4000 C 15% 6000 D 10% 3000 E 20% 10000 -------- ---------------------- ------------------------- （Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准； （Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率． 【分析】（Ⅰ）利用所给数据，计算该城市人均GDP，即可得出结论； （Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17990.png){width="5.052083333333333in" height="0.3645833333333333in"}=6400 ∴该城市人均GDP达到中等偏上收入国家标准； （Ⅱ）从该城市5个行政区中随机抽取2个，共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17991.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=10种情况，GDP都达到中等偏上收入国家标准的区域有A，C，E，抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准，共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17992.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=3种情况， ∴抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17993.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查概率与统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然、或然思想． 　 21．（12分）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2． （Ⅰ）求曲线Γ的方程； （Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论． 【分析】（Ⅰ）设S（x，y）曲线Γ上的任意一点，利用抛物线的定义，判断S满足配额我想的定义，即可求曲线Γ的方程； （Ⅱ）通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出A、M的坐标，N的坐标，以MN为直径作圆C，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变． 【解答】解：（Ⅰ）设S（x，y）曲线Γ上的任意一点， 由题意可得：点S到F（0，1）的距离与它到直线y=﹣1的距离相等， 曲线Γ是以F为焦点直线y=﹣1为准线的抛物线， ∴曲线Γ的方程为：x^2^=4y． （Ⅱ）当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变， 证明如下：由（Ⅰ）可知抛物线的方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17994.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 设P（x~0~，y~0~）（x~0~≠0）则y~0~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17995.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 由y![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17996.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3645833333333333in"}得切线l的斜率k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17997.png){width="0.6979166666666666in" height="0.3229166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17998.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"} ∴切线l的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17999.png){width="1.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18000.png){width="1.125in" height="0.3645833333333333in"}． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18001.png){width="1.2291666666666667in" height="0.6041666666666666in"}得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18002.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18003.png){width="1.2291666666666667in" height="0.6041666666666666in"}得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18004.png){width="1.1979166666666667in" height="0.4270833333333333in"}， 又N（0，3）， 所以圆心C（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18005.png){width="0.9270833333333334in" height="0.4270833333333333in"}），半径r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18006.png){width="1.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18007.png){width="1.3020833333333333in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18008.png){width="3.3020833333333335in" height="0.5in"} ∴点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18009.png){width="1.7604166666666667in" height="1.625in"} 【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程函数的导数等指数的应用，难度较大． 　 22．（14分）已知函数f（x）=e^x^﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1． （1）求a的值及函数f（x）的极值； （2）证明：当x＞0时，x^2^＜e^x^； （3）证明：对任意给定的正数c，总存在x~0~，使得当x∈（x~0~，+∞）时，恒有x＜ce^x^． 【分析】（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值； （2）构造函数g（x）=e^x^﹣x^2^，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论； （3）利用（2）的结论，令x~0~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18010.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则e^x^＞x^2^＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18010.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x，即x＜ce^x^．即得结论成立． 【解答】解：（1）由f（x）=e^x^﹣ax得f′（x）=e^x^﹣a． 又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2， ∴f（x）=e^x^﹣2x，f′（x）=e^x^﹣2． 由f′（x）=0得x=ln2， 当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； ∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e^ln2^﹣2ln2=2﹣ln4． f（x）无极大值． （2）令g（x）=e^x^﹣x^2^，则g′（x）=e^x^﹣2x， 由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e^ln2^﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0， ∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x^2^＜e^x^； （3）对任意给定的正数c，总存在x~0~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18010.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＞0．当x∈（x~0~，+∞）时， 由（2）得e^x^＞x^2^＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18011.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x，即x＜ce^x^． ∴对任意给定的正数c，总存在x~0~，使得当x∈（x~0~，+∞）时，恒有x＜ce^x^． 【点评】本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题． 2014年广东省高考数学试卷（理科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.** 1．（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（　　） A．{0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2} D．{﹣1，0，1} 【分析】根据集合的基本运算即可得到结论． 【解答】解：∵集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}， ∴M∪N={﹣1，0，1，2}， 故选：B． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 　 2．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（　　） A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i 【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值． 【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18012.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18013.png){width="1.0520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18014.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}=3﹣4i， 故选：A． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 　 3．（5分）若变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18015.png){width="0.625in" height="0.65625in"}，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=2x+y，得y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A， 直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18016.png){width="0.4583333333333333in" height="0.4166666666666667in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18017.png){width="0.4583333333333333in" height="0.40625in"}， 即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3， 平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B， 直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18018.png){width="0.5416666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18019.png){width="0.4583333333333333in" height="0.40625in"}， 即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3， 则m﹣n=3﹣（﹣3）=6， 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18020.png){width="2.542361111111111in" height="2.5319444444444446in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 　 4．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18021.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18022.png){width="0.3020833333333333in" height="0.4375in"}=1与曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18023.png){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18024.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1的（　　） A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等 【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论． 【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25， 即曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18021.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18025.png){width="0.3020833333333333in" height="0.4375in"}=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a^2^=25，b^2^=9﹣k，c^2^=34﹣k， 曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18026.png){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18027.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a^2^=25﹣k，b^2^=9，c^2^=34﹣k， 即两个双曲线的焦距相等， 故选：A． 【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键． 　 5．（5分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18028.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，0，﹣1），则下列向量中与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18028.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}成60°夹角的是（　　） A．（﹣1，1，0） B．（1，﹣1，0） C．（0，﹣1，1） D．（﹣1，0，1） 【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论． 【解答】解：不妨设向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18029.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y，z）， A．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18030.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，1，0），则cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18031.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18032.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3854166666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18033.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，不满足条件． B．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18030.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，﹣1，0），则cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18031.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18034.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9680.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，满足条件． C．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18035.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（0，﹣1，1），则cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18036.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18037.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3854166666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18038.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，不满足条件． D．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18035.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，0，1），则cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18036.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18039.png){width="0.90625in" height="0.3854166666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18040.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，不满足条件． 故选：B． 【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键． 　 6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18041.png){width="4.719444444444444in" height="1.875in"} A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10 【分析】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数． 【解答】解：由图1知：总体个数为3500+2000+4500=10000， ∴样本容量=10000×2%=200， 分层抽样抽取的比例为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18042.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴高中生抽取的学生数为40， ∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20． 故选：A． 【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键． 　 7．（5分）若空间中四条两两不同的直线l~1~，l~2~，l~3~，l~4~，满足l~1~⊥l~2~，l~2~⊥l~3~，l~3~⊥l~4~，则下列结论一定正确的是（　　） A．l~1~⊥l~4~ B．l~1~∥l~4~ C．l~1~与l~4~既不垂直也不平行 D．l~1~与l~4~的位置关系不确定 【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l~1~与l~4~的位置关系不确定． 【解答】解：∵l~1~⊥l~2~，l~2~⊥l~3~，∴l~1~与l~3~的位置关系不确定， 又l~4~⊥l~3~，∴l~1~与l~4~的位置关系不确定． 故A、B、C错误． 故选：D． 【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面． 　 8．（5分）设集合A={（x~1~，x~2~，x~3~，x~4~，x~5~）\|x~i~∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件"1≤\|x~1~\|+\|x~2~\|+\|x~3~\|+\|x~4~\|+\|x~5~\|≤3"的元素个数为（　　） A．60 B．90 C．120 D．130 【分析】从条件"1≤\|x~1~\|+\|x~2~\|+\|x~3~\|+\|x~4~\|+\|x~5~\|≤3"入手，讨论x~i~所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论． 【解答】解：由于\|x~i~\|只能取0或1，且"1≤\|x~1~\|+\|x~2~\|+\|x~3~\|+\|x~4~\|+\|x~5~\|≤3"，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况： ①x~i~中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18043.png){width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}； ②x~i~中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18044.png){width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}； ③x~i~中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18045.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}． ∴总共方法数是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18046.png){width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18047.png){width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18045.png){width="0.46875in" height="0.28125in"}=130． 即元素个数为130． 故选：D． 【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法． 　 **二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9\~13题）** 9．（5分）不等式\|x﹣1\|+\|x+2\|≥5的解集为[　（﹣∞，﹣3\]∪\[2，+∞）　]{.underline}． 【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求． 【解答】解：由不等式\|x﹣1\|+\|x+2\|≥5，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18048.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}①，或 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18049.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}②，或 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18050.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3958333333333333in"}③． 解①求得x≤﹣3，解②求得 x∈∅，解③求得x≥2． 综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3\]∪\[2，+∞）， 故答案为：（﹣∞，﹣3\]∪\[2，+∞）． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题． 　 10．（5分）曲线y=e^﹣5x^+2在点（0，3）处的切线方程为[　y=﹣5x+3．　]{.underline}． 【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程． 【解答】解；y′=﹣5e^﹣5x^，∴k=﹣5， ∴曲线y=e^﹣5x^+2在点（0，3）处的切线方程为y﹣3=﹣5x，即y=﹣5x+3． 故答案为：y=﹣5x+3 【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题． 　 11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17868.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】根据条件确定当中位数为6时，对应的条件即可得到结论 【解答】解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C~10~^7^种方法， 若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5，选3个，从7，8，9中选3个不同的数即可，有C~6~^3^种方法，则这七个数的中位数是6的概率P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18051.png){width="0.2916666666666667in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17868.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18052.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查古典概率的计算，注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的．比较基础． 　 12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18053.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=[　2　]{.underline}． 【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果． 【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB， 即sin（B+C）=2sinB， ∵sin（B+C）=sinA， ∴sinA=2sinB， 利用正弦定理化简得：a=2b， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18053.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2． 故答案为：2 【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 　 13．（5分）若等比数列{a~n~}的各项均为正数，且a~10~a~11~+a~9~a~12~=2e^5^，则lna~1~+lna~2~+...+lna~20~=[　50　]{.underline}． 【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a~10~a~11~=e^5^，然后利用对数的运算性质化简后得答案． 【解答】解：∵数列{a~n~}为等比数列，且a~10~a~11~+a~9~a~12~=2e^5^， ∴a~10~a~11~+a~9~a~12~=2a~10~a~11~=2e^5^， ∴a~10~a~11~=e^5^， ∴lna~1~+lna~2~+...lna~20~=ln（a~1~a~2~...a~20~）=ln（a~10~a~11~）^10^ =ln（e^5^）^10^=lne^50^=50． 故答案为：50． 【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题． 　 **（二）、选做题（14\~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】** 14．（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C~1~和C~2~的方程分别为ρsin^2^θ=cosθ和ρsinθ=1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C~1~和C~2~交点的直角坐标为[　（1，1）　]{.underline}． 【分析】首先运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标． 【解答】解：曲线C~1~：ρsin^2^θ=cosθ，即为ρ^2^sin^2^θ=ρcosθ， 化为普通方程为：y^2^=x， 曲线ρsinθ=1，化为普通方程为：y=1， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18054.png){width="0.4895833333333333in" height="0.4791666666666667in"}， 即交点的直角坐标为（1，1）． 故答案为：（1，1）． 【点评】本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题 　 **【几何证明选讲选做题】** 15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18055.png){width="0.96875in" height="0.4166666666666667in"}=[　9　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18056.png){width="2.28125in" height="1.1354166666666667in"} 【分析】利用ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18057.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18058.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，利用△CDF∽△AEF，可求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18059.png){width="0.96875in" height="0.4166666666666667in"}． 【解答】解：∵ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18057.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18058.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∵ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△CDF∽△AEF， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18059.png){width="0.96875in" height="0.4166666666666667in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18057.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）^2^=9． 故答案为：9． 【点评】本题考查相似三角形的判定，考查三角形的面积比，属于基础题． 　 **三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.** 16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18060.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），x∈R，且f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18061.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18062.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （1）求A的值； （2）若f（θ）+f（﹣θ）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18062.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，θ∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18063.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），求f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18064.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}﹣θ）． 【分析】（1）由函数f（x）的解析式以及f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18061.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18065.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求得A的值． （2）由（1）可得 f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16606.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18066.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），根据f（θ）+f（﹣θ）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18065.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求得cosθ 的值，再由 θ∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18067.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），求得sinθ 的值，从而求得f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18068.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}﹣θ） 的值． 【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18066.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），x∈R，且f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18069.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18065.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ∴Asin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18069.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18070.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=Asin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18071.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=A•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18072.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image75.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18073.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （2）由（1）可得 f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18073.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18070.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， ∴f（θ）+f（﹣θ）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18073.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（θ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18070.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18074.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（﹣θ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18075.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18074.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18075.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18076.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18077.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18078.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，再由 θ∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18079.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），可得sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18080.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． ∴f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18081.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}﹣θ）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18082.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18083.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}﹣θ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18084.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18082.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（π﹣θ）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18082.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18085.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题． 　 17．（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下： ------------ ------ ------ 分组 频数 频率 \[25，30\] 3 0.12 （30，35\] 5 0.20 （35，40\] 8 0.32 （40，45\] n~1~ f~1~ （45，50\] n~2~ f~2~ ------------ ------ ------ （1）确定样本频率分布表中n~1~，n~2~，f~1~和f~2~的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35\]的概率． 【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n~1~，n~2~，f~1~和f~2~的值； （2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图； （3）利用对立事件可求概率． 【解答】解：（1）（40，45\]的频数n~1~=7，频率f~1~=0.28；（45，50\]的频数n~2~=2，频率f~2~=0.08； （2）频率分布直方图： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18086.png){width="3.3444444444444446in" height="2.40625in"} （3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35\]为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35\]为事件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18087.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}， 已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35\]的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18088.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴P（A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18089.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18090.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18087.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）=1﹣P（A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18091.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35\]的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18091.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了频数分布表，频数分布直方图和概率的计算，属于中档题． 　 18．（13分）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E． （1）证明：CF⊥平面ADF； （2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18092.png){width="2.0416666666666665in" height="1.5520833333333333in"} 【分析】（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF，即得所求； （2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可． 【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD， 又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD， ∴AD⊥PC，又AF⊥PC， ∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF； （2）设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°， ∴PC=2，PD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image104.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，由（1）知CF⊥DF， ∴DF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18093.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，AF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18094.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18095.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴CF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18096.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18097.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，又FE∥CD， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18098.png){width="0.78125in" height="0.3645833333333333in"}，∴DE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18099.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，同理可得EF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18100.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}CD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18100.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，1），E（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18099.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，0，0），F（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18099.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18101.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，0），P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18102.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0，0），C（0，1，0） 设向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18103.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18104.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18105.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18106.png){width="1.28125in" height="0.8125in"}，令x=4可得z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18107.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18108.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（4，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18107.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）， 由（1）知平面ADF的一个法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18109.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18110.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}，1，0）， 设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角， cosθ=\|cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18108.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18109.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}＞\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18111.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18112.png){width="0.59375in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18113.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} ∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18113.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18114.png){width="2.3645833333333335in" height="1.9166666666666667in"} 【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题． 　 19．（14分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，满足S~n~=2na~n+1~﹣3n^2^﹣4n，n∈N^\*^，且S~3~=15． （1）求a~1~，a~2~，a~3~的值； （2）求数列{a~n~}的通项公式． 【分析】（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把S~3~变为S~2~+a~3~得另一关系式，联立可求a~3~，然后把递推式中n取1，再结合S~3~=15联立方程组求得a~1~，a~2~； （2）由（1）中求得的a~1~，a~2~，a~3~的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明． 【解答】解：（1）由S~n~=2na~n+1~﹣3n^2^﹣4n，n∈N^\*^，得： S~2~=4a~3~﹣20 ① 又S~3~=S~2~+a~3~=15 ② 联立①②解得：a~3~=7． 再在S~n~=2na~n+1~﹣3n^2^﹣4n中取n=1，得： a~1~=2a~2~﹣7 ③ 又S~3~=a~1~+a~2~+7=15 ④ 联立③④得：a~2~=5，a~1~=3． ∴a~1~，a~2~，a~3~的值分别为3，5，7； （2）∵a~1~=3=2×1+1，a~2~=5=2×2+1，a~3~=7=2×3+1． 由此猜测a~n~=2n+1． 下面由数学归纳法证明： 1、当n=1时，a~1~=3=2×1+1成立． 2、假设n=k时结论成立，即a~k~=2k+1． 那么，当n=k+1时， 由S~n~=2na~n+1~﹣3n^2^﹣4n，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18115.png){width="1.4375in" height="0.28125in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18116.png){width="2.5729166666666665in" height="0.28125in"}， 两式作差得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18117.png){width="1.6354166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18118.png){width="1.5in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18119.png){width="2.5in" height="0.4270833333333333in"}=2（k+1）+1． 综上，当n=k+1时结论成立． ∴a~n~=2n+1． 【点评】本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了学生的灵活应变能力和计算能力，是中档题． 　 20．（14分）已知椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18120.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18121.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的右焦点为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18122.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18123.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若动点P（x~0~，y~0~）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程． 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得． （2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k~1~•k~2~，进而取得x~0~和y~0~的关系式，即P点的轨迹方程． 【解答】解：（1）依题意知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18124.png){width="0.9270833333333334in" height="0.6770833333333334in"}，求得a=3，b=2， ∴椭圆的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18125.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18126.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1． （2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意， ②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x~0~，y~0~）的切线为y=k（x﹣x~0~）+y~0~， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18125.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18126.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18125.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18127.png){width="1.2395833333333333in" height="0.4791666666666667in"}=1，整理得（9k^2^+4）x^2^+18k（y~0~﹣kx~0~）x+9\[（y~0~﹣kx~0~）^2^﹣4\]=0， ∴△=\[18k（y~0~﹣kx~0~）\]^2^﹣4（9k^2^+4）×9\[（y~0~﹣kx~0~）^2^﹣4\]=0， 整理得（x~0~^2^﹣9）k^2^﹣2x~0~×y~0~×k+（y~0~^2^﹣4）=0， ∴﹣1=k~1~•k~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18128.png){width="0.4166666666666667in" height="0.59375in"}=﹣1， ∴x~0~^2^+y~0~^2^=13． 把点（±3，±2）代入亦成立， ∴点P的轨迹方程为：x^2^+y^2^=13． 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系． 　 21．（14分）设函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18129.png){width="2.21875in" height="0.4479166666666667in"}，其中k＜﹣2． （1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）； （2）讨论函数f（x）在D上的单调性； （3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）． 【分析】（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域． （2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论． （3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集． 【解答】解：（1）设t=x^2^+2x+k，则f（x）等价为y=g（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18130.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4479166666666667in"}， 要使函数有意义，则t^2^+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3， 即x^2^+2x+k＞1或x^2^+2x+k＜﹣3， 则（x+1）^2^＞2﹣k，①或（x+1）^2^＜﹣2﹣k，②， ∵k＜﹣2，∴2﹣k＞﹣2﹣k， 由①解得x+1＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18131.png){width="0.375in" height="0.1875in"}或x+1![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18132.png){width="0.6458333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，即x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18131.png){width="0.375in" height="0.1875in"}﹣1或x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18133.png){width="0.8125in" height="0.20833333333333334in"}， 由②解得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18134.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}＜x+1＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18134.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}，即﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18134.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}＜x＜﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18134.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}， 综上函数的定义域为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18135.png){width="0.375in" height="0.1875in"}﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18135.png){width="0.375in" height="0.1875in"}）∪（﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18134.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}，﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18134.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}）． （2）f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18136.png){width="2.6979166666666665in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18137.png){width="2.6145833333333335in" height="0.5in"} =﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18138.png){width="2.5104166666666665in" height="0.5in"}， 由f\'（x）＞0，即2（x^2^+2x+k+1）（x+1）＜0，则（x+1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18139.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}）（x+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18139.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}）（x+1）＜0 解得x＜﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18139.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}或﹣1＜x＜﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18139.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，结合定义域知，x＜﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18140.png){width="0.375in" height="0.1875in"}或﹣1＜x＜﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18141.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}， 即函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18140.png){width="0.375in" height="0.1875in"}），（﹣1，﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18142.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}）， 同理解得单调递减区间为：（﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18142.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}，﹣1），（﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18143.png){width="0.375in" height="0.1875in"}，+∞）． （3）由f（x）=f（1）得（x^2^+2x+k）^2^+2（x^2^+2x+k）﹣3=（3+k）^2^+2（3+k）﹣3， 则\[（x^2^+2x+k）^2^﹣（3+k）^2^\]+2\[（x^2^+2x+k）﹣（3+k）\]=0， ∴（x^2^+2x+2k+5）（x^2^+2x﹣3）=0 即（x+1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18144.png){width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}）（x+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18144.png){width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}）（x+3）（x﹣1）=0， ∴x=﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18144.png){width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}或x=﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18144.png){width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}或x=﹣3或x=1， ∵k＜﹣6， ∴1∈（﹣1，﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18145.png){width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}），﹣3∈（﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18145.png){width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}，﹣1）， ∵f（﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18145.png){width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}）=f（﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18145.png){width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}）， 且满足﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18145.png){width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}∈（﹣∞，﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18146.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}），﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18147.png){width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}∈（﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18148.png){width="0.375in" height="0.1875in"}，+∞）， 由（2）可知函数f（x）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f（x）＞f（1）的集合为： （![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18149.png){width="1.625in" height="0.20833333333333334in"}）∪（﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18150.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}，﹣3）∪（1，﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18150.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}）∪（﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18151.png){width="0.375in" height="0.1875in"}，﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18152.png){width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}）． 【点评】本题主要考查函数定义域的求法，以及复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 2014年广东省高考数学试卷（文科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）** 1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（　　） A．{0，2} B．{2，3} C．{3，4} D．{3，5} 【分析】根据集合的基本运算即可得到结论． 【解答】解：∵M={2，3，4}，N={0，2，3，5}， ∴M∩N={2，3}， 故选：B． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 　 2．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（　　） A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i 【分析】由题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果． 【解答】解：∵满足（3﹣4i）z=25，则z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18153.png){width="1.0520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18154.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}=3+4i， 故选：D． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 　 3．（5分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18155.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18156.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（3，1），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18156.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18155.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（　　） A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，0） D．（4，3） 【分析】直接利用向量的减法的坐标运算求解即可． 【解答】解：∵向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18157.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18158.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（3，1）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18158.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18157.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（2，﹣1） 故选：B． 【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查． 　 4．（5分）若变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18159.png){width="0.7083333333333334in" height="0.6458333333333334in"}，则z=2x+y的最大值等于（　　） A．7 B．8 C．10 D．11 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=2x+y，得y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B（4，2）时， 直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时z=2×4+2=10， 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18160.png){width="2.1145833333333335in" height="1.8333333333333333in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 　 5．（5分）下列函数为奇函数的是（　　） A．2^x^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18161.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"} B．x^3^sinx C．2cosx+1 D．x^2^+2^x^ 【分析】根据函数的奇偶性的定，对各个选项中的函数进行判断，从而得出结论． 【解答】解：对于函数f（x）=2^x^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18162.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，由于f（﹣x）=2^﹣x^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18163.png){width="0.2916666666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18162.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣2^x^=﹣f（x），故此函数为奇函数． 对于函数f（x）=x^3^sinx，由于f（﹣x）=﹣x^3^（﹣sinx）=x^3^sinx=f（x），故此函数为偶函数． 对于函数f（x）=2cosx+1，由于f（﹣x）=2cos（﹣x）+1=2cosx+1=f（x），故此函数为偶函数． 对于函数f（x）=x^2^+2^x^，由于f（﹣x）=（﹣x）^2^+2^﹣x^=x^2^+2^﹣x^≠﹣f（x），且f（﹣x）≠f（x）， 故此函数为非奇非偶函数． 故选：A． 【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题． 　 6．（5分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（　　） A．50 B．40 C．25 D．20 【分析】根据系统抽样的定义，即可得到结论． 【解答】解：∵从1000名学生中抽取40个样本， ∴样本数据间隔为1000÷40=25． 故选：C． 【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础． 　 7．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则"a≤b"是"sinA≤sinB"的（　　） A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 【分析】直接利用正弦定理以及已知条件判断即可． 【解答】解：由正弦定理可知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18164.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}⇒![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18165.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18166.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， ∵△ABC中，∠A，∠B，∠C均小于180°，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c， ∴a，b，sinA，sinB都是正数， ∴"a≤b"⇔"sinA≤sinB"． ∴"a≤b"是"sinA≤sinB"的充分必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查三角形中，角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用，基本知识的考查． 　 8．（5分）若实数k满足0＜k＜5，则曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18167.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18168.png){width="0.3020833333333333in" height="0.4375in"}=1与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18169.png){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18170.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1的（　　） A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论． 【解答】解：当0＜k＜5，则0＜5﹣k＜5，11＜16﹣k＜16， 即曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18167.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18168.png){width="0.3020833333333333in" height="0.4375in"}=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a^2^=16，b^2^=5﹣k，c^2^=21﹣k， 曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18169.png){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18170.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a^2^=16﹣k，b^2^=5，c^2^=21﹣k， 即两个双曲线的焦距相等， 故选：D． 【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键． 　 9．（5分）若空间中四条两两不同的直线l~1~，l~2~，l~3~，l~4~，满足l~1~⊥l~2~，l~2~∥l~3~，l~3~⊥l~4~，则下列结论一定正确的是（　　） A．l~1~⊥l~4~ B．l~1~∥l~4~ C．l~1~与l~4~既不垂直也不平行 D．l~1~与l~4~的位置关系不确定 【分析】根据空间直线平行或垂直的性质即可得到结论． 【解答】解：在正方体中，若AB所在的直线为l~2~，CD所在的直线为l~3~，AE所在的直线为l~1~， 若GD所在的直线为l~4~，此时l~1~∥l~4~， 若BD所在的直线为l~4~，此时l~1~⊥l~4~， 故l~1~与l~4~的位置关系不确定， 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18171.png){width="1.75in" height="1.6666666666666667in"} 【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断，比较基础． 　 10．（5分）对任意复数ω~1~，ω~2~，定义ω~1~\*ω~2~=ω~1~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18172.png){width="0.28125in" height="0.25in"}~2~，其中![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18173.png){width="0.1875in" height="0.1875in"}~2~是ω~2~的共轭复数，对任意复数z~1~，z~2~，z~3~有如下命题： ①（z~1~+z~2~）\*z~3~=（z~1~\*z~3~）+（z~2~\*z~3~） ②z~1~\*（z~2~+z~3~）=（z~1~\*z~2~）+（z~1~\*z~3~） ③（z~1~\*z~2~）\*z~3~=z~1~\*（z~2~\*z~3~）； ④z~1~\*z~2~=z~2~\*z~1~ 则真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据已知中ω~1~\*ω~2~=ω~1~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18174.png){width="0.28125in" height="0.25in"}~2~，其中![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18175.png){width="0.1875in" height="0.1875in"}~2~是ω~2~的共轭复数，结合复数的运算性质逐一判断四个结论的真假，可得答案． 【解答】解：①（z~1~+z~2~）\*z~3~=（z~1~+z~2~）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18176.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}=（z~1~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18176.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}+z~2~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18176.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}=（z~1~\*z~3~）+（z~2~\*z~3~），正确； ②z~1~\*（z~2~+z~3~）=z~1~（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18177.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}）=z~1~（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18178.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18176.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}）=z~1~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18178.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+z~1~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18179.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}=（z~1~\*z~2~）+（z~1~\*z~3~），正确； ③（z~1~\*z~2~）\*z~3~=z~1~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18180.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18179.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，z~1~\*（z~2~\*z~3~）=z~1~\*（z~2~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18179.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}）=z~1~（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18181.png){width="0.3854166666666667in" height="0.2708333333333333in"}）=z~1~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18180.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}z~3~，等式不成立，故错误； ④z~1~\*z~2~=z~1~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18180.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，z~2~\*z~1~=z~2~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18182.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，等式不成立，故错误； 综上所述，真命题的个数是2个， 故选：B． 【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了复数的运算性质，细心运算即可，属于基础题． 　 **二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11-13题）** 11．（5分）曲线y=﹣5e^x^+3在点（0，﹣2）处的切线方程为[　5x+y+2=0．　]{.underline}． 【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可． 【解答】解：y′=﹣5e^x^， ∴y′\|~x=0~=﹣5． 因此所求的切线方程为：y+2=﹣5x，即5x+y+2=0． 故答案为：5x+y+2=0． 【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题． 　 12．（5分）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18183.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】求得从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母、取到字母a的情况，利用古典概型概率公式求解即可． 【解答】解：从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18184.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=10种情况，取到字母a，共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18185.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=4种情况， ∴所求概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18186.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18183.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18183.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数． 　 13．（5分）等比数列{a~n~}的各项均为正数，且a~1~a~5~=4，则log~2~a~1~+log~2~a~2~+log~2~a~3~+log~2~a~4~+log~2~a~5~=[　5　]{.underline}． 【分析】可先由等比数列的性质求出a~3~=2，再根据性质化简log~2~a~1~+log~2~a~2~+log~2~a~3~+log~2~a~4~+log~2~a~5~=5log~2~a~3~，代入即可求出答案． 【解答】解：log~2~a~1~+log~2~a~2~+log~2~a~3~+log~2~a~4~+log~2~a~5~=log~2~a~1~a~2~a~3~a~4~a~5~=log~2~a~3~^5^=5log~2~a~3~． 又等比数列{a~n~}中，a~1~a~5~=4，即a~3~=2． 故5log~2~a~3~=5log~2~2=5． 故选为：5． 【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易． 　 **（二）（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】** 14．（5分）在极坐标系中，曲线C~1~与C~2~的方程分别为2ρcos^2^θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C~1~与C~2~交点的直角坐标为[　（1，2）　]{.underline}． 【分析】直接由x=ρcosθ，y=ρsinθ化极坐标方程为直角坐标方程，然后联立方程组求得答案． 【解答】解：由2ρcos^2^θ=sinθ，得：2ρ^2^cos^2^θ=ρsinθ， 即y=2x^2^． 由ρcosθ=1，得x=1． 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18187.png){width="0.5729166666666666in" height="0.4583333333333333in"}，解得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18188.png){width="0.375in" height="0.40625in"}． ∴曲线C~1~与C~2~交点的直角坐标为（1，2）． 故答案为：（1，2）． 【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题． 　 **【几何证明选讲选做题】** 15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18189.png){width="0.96875in" height="0.4166666666666667in"}=[　3　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18190.png){width="1.7916666666666667in" height="0.9166666666666666in"} 【分析】证明△CDF∽△AEF，可求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18189.png){width="0.96875in" height="0.4166666666666667in"}． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EB=2AE， ∴AB∥CD，CD=3AE， ∴△CDF∽△AEF， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18189.png){width="0.96875in" height="0.4166666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18191.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 **四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）** 16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18192.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），x∈R，且f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18193.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18194.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． （1）求A的值； （2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18195.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，θ∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18196.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），求f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18197.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣θ）． 【分析】（1）通过函数f（x）=Asin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18198.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），x∈R，且f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18199.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18200.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，直接求A的值； （2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18201.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，θ∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18202.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18203.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣θ）． 【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18198.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），x∈R，且f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18199.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18200.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∴f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18204.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=Asin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18204.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18205.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=Asin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18206.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18207.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18208.png){width="1.03125in" height="0.3854166666666667in"}． （2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18205.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， ∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18205.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）﹣3sin（﹣θ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18209.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}） =3\[（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18210.png){width="1.8958333333333333in" height="0.3645833333333333in"}）﹣（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18211.png){width="1.8958333333333333in" height="0.3645833333333333in"}）\] =3•2sinθcos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18209.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=3sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18212.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18213.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18214.png){width="1.0104166666666667in" height="0.3645833333333333in"} ∴cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18215.png){width="1.1875in" height="0.3854166666666667in"}， ∴f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18216.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣θ）=3sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18217.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=3sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18218.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=3cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18219.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查． 　 17．（13分）某车间20名工人年龄数据如下表： ------------ -------------- 年龄（岁） 工人数（人） 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计 20 ------------ -------------- （1）求这20名工人年龄的众数与极差； （2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3）求这20名工人年龄的方差． 【分析】（1）根据众数和极差的定义，即可得出； （2）根据画茎叶图的步骤，画图即可； （3）利用方差的计算公式，代入数据，计算即可． 【解答】解：（1）这20名工人年龄的众数为30，极差为40﹣19=21； （2）茎叶图如下： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18220.png){width="1.6354166666666667in" height="1.4895833333333333in"} （3）年龄的平均数为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18221.png){width="2.96875in" height="0.3645833333333333in"}=30． 这20名工人年龄的方差为S^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18222.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\[（19﹣30）^2^+3×（28﹣30）^2^+3×（29﹣30）^2^+5×（30﹣30）^2^+4×（31﹣30）^2^+3×（32﹣30）^2^+（40﹣30）^2^\]=12.6． 【点评】本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题． 　 18．（13分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF． （1）证明：CF⊥平面MDF； （2）求三棱锥M﹣CDE的体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18223.png){width="2.792361111111111in" height="1.875in"} 【分析】（1）要证CF⊥平面MDF，只需证CF⊥MD，且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD，得出平面PCD⊥平面ABCD，即证MD⊥平面PCD，得CF⊥MD； （2）求出△CDE的面积S~△CDE~，对应三棱锥的高MD，计算它的体积V~M﹣CDE~． 【解答】解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD， ∴平面PCD⊥平面ABCD； 又平面PCD∩平面ABCD=CD，MD⊂平面ABCD，MD⊥CD， ∴MD⊥平面PCD，CF⊂平面PCD，∴CF⊥MD； 又CF⊥MF，MD、MF⊂平面MDF，MD∩MF=M， ∴CF⊥平面MDF； （2）∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF， 又∵Rt△PCD中，DC=1，PC=2， ∴∠P=30°，∠PCD=60°， ∴∠CDF=30°，CF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18224.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}CD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18224.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； ∵EF∥DC，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18225.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18226.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18227.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18228.png){width="0.16666666666666666in" height="0.5625in"}， ∴DE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18229.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，∴PE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18230.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∴S~△CDE~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18231.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}CD•DE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18232.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}； MD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18233.png){width="0.7395833333333334in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18234.png){width="1.3645833333333333in" height="0.46875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10380.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴V~M﹣CDE~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18235.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}S~△CDE~•MD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18235.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18236.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10380.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18237.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题． 　 19．（14分）设各项均为正数的数列{a~n~}的前n项和为S~n~满足S~n~^2^﹣（n^2^+n﹣3）S~n~﹣3（n^2^+n）=0，n∈N^\*^． （1）求a~1~的值； （2）求数列{a~n~}的通项公式； （3）证明：对一切正整数n，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18238.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18239.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18240.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18241.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【分析】（1）本题可以用n=1代入题中条件，利用S~1~=a~1~求出a~1~的值； （2）利用a~n~与S~n~的关系，将条件转化为a~n~的方程，从而求出a~n~； （3）利用放缩法，将所求的每一个因式进行裂项求和，即可得到本题结论． 【解答】解：（1）令n=1得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18242.png){width="1.4270833333333333in" height="0.28125in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18243.png){width="0.84375in" height="0.28125in"}． ∴（S~1~+3）（S~1~﹣2）=0． ∵S~1~＞0，∴S~1~=2，即a~1~=2． （2）由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18244.png){width="2.1041666666666665in" height="0.28125in"}得： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18245.png){width="1.75in" height="0.28125in"}． ∵a~n＞0~（n∈N^\*^）， ∴S~n~＞0． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18246.png){width="0.6770833333333334in" height="0.28125in"}． ∴当n≥2时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18247.png){width="3.1145833333333335in" height="0.28125in"}， 又∵a~1~=2=2×1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18248.png){width="1.09375in" height="0.28125in"}． （3）由（2）可知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18249.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18250.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}， ∀n∈N^\*^，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18251.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18252.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18253.png){width="1.0520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18254.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18255.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}）， 当n=1时，显然有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18256.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18257.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18258.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 当n≥2时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18259.png){width="2.8333333333333335in" height="0.4270833333333333in"} ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18260.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18261.png){width="2.4270833333333335in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18258.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18262.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18263.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13569.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 所以，对一切正整数n，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18264.png){width="2.8333333333333335in" height="0.4270833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18265.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了数列的通项与前n项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题． 　 20．（14分）已知椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18266.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18267.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的右焦点为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18268.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18269.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若动点P（x~0~，y~0~）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程． 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得． （2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k~1~•k~2~，进而取得x~0~和y~0~的关系式，即P点的轨迹方程． 【解答】解：（1）依题意知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18270.png){width="0.9270833333333334in" height="0.6770833333333334in"}，求得a=3，b=2， ∴椭圆的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18271.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18272.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1． （2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意， ②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x~0~，y~0~）的切线为y=k（x﹣x~0~）+y~0~， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18271.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18272.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18271.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18273.png){width="1.2395833333333333in" height="0.4791666666666667in"}=1，整理得（9k^2^+4）x^2^+18k（y~0~﹣kx~0~）x+9\[（y~0~﹣kx~0~）^2^﹣4\]=0， ∴△=\[18k（y~0~﹣kx~0~）\]^2^﹣4（9k^2^+4）×9\[（y~0~﹣kx~0~）^2^﹣4\]=0， 整理得（x~0~^2^﹣9）k^2^﹣2x~0~×y~0~×k+（y~0~^2^﹣4）=0， ∴﹣1=k~1~•k~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18274.png){width="0.4166666666666667in" height="0.59375in"}=﹣1， ∴x~0~^2^+y~0~^2^=13． 把点（±3，±2）代入亦成立， ∴点P的轨迹方程为：x^2^+y^2^=13． 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系． 　 21．（14分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18275.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^3^+x^2^+ax+1（a∈R）． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）当a＜0时，试讨论是否存在x~0~∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18276.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）∪（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18276.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1），使得f（x~0~）=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18276.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）． 【分析】对第（1）问，先求导，再通过一元二次方程的实根讨论单调性； 对第（2）问，可将f（x~0~）=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18276.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）转化为f（x~0~）﹣f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18276.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=0，即将"函数问题"化为"方程是否有实根问题"处理． 【解答】解：（1）由f（x）得f′（x）=x^2^+2x+a， 令f′（x）=0，即x^2^+2x+a=0，判别式△=4﹣4a， ①当△≤0即a≥1时，f′（x）≥0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数． ②当△＞0即a＜1时，方程f′（x）=0的两根为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18277.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3854166666666667in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18278.png){width="0.7291666666666666in" height="0.1875in"}， 当x∈（﹣∞，﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18279.png){width="0.375in" height="0.1875in"}）时，f′（x）＞0，则f（x）为增函数； 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18280.png){width="1.8958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}时，f′（x）＜0，则f（x）为减函数； 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18281.png){width="0.9791666666666666in" height="0.1875in"}，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）为增函数． 综合①、②知，a≥1时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）， a＜1时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18282.png){width="0.75in" height="0.1875in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18283.png){width="0.7291666666666666in" height="0.1875in"}，+∞）， f（x）的单调递减区间为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18284.png){width="1.6458333333333333in" height="0.20833333333333334in"}． （2）∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18285.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18286.png){width="3.2395833333333335in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18287.png){width="2.6875in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18288.png){width="3.3958333333333335in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18289.png){width="1.7395833333333333in" height="0.4270833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18290.png){width="2.03125in" height="0.3645833333333333in"}． ∴若存在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18291.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3645833333333333in"}∪![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18292.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}，使得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18293.png){width="0.9791666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18294.png){width="1.1458333333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 则关于x的方程4x^2^+14x+7+12a=0在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18295.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}∪![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18292.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}内必有实数解． ∵a＜0，∴△=14^2^﹣16（7+12a）=4（21﹣48a）＞0， 方程4x^2^+14x+7+12a=0的两根为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18296.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18297.png){width="1.0104166666666667in" height="0.3854166666666667in"}， ∵x~0~＞0，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18298.png){width="1.2291666666666667in" height="0.3854166666666667in"}， 依题意有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18299.png){width="1.46875in" height="0.3854166666666667in"}，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18300.png){width="1.25in" height="0.3854166666666667in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18301.png){width="1.25in" height="0.20833333333333334in"}，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18302.png){width="0.9791666666666666in" height="0.1875in"}，∴49＜21﹣48a＜121，且21﹣48a≠81， 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18303.png){width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"}，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18304.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． ∴当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18305.png){width="1.1666666666666667in" height="0.3645833333333333in"}∪![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18306.png){width="0.9166666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，存在唯一的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18307.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3645833333333333in"}∪![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18308.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}，使得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18309.png){width="0.9791666666666666in" height="0.3645833333333333in"}成立； 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18310.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}∪![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18311.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}∪{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18312.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}}时，不存在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18313.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3645833333333333in"}∪![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18314.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}，使得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18315.png){width="0.9791666666666666in" height="0.3645833333333333in"}成立． 【点评】1．求含参数的函数的单调区间时，导函数的符号往往难以确定，如果受到参数的影响，应对参数进行讨论，讨论的标准要根据导函数解析式的特征而定．如本题中导函数为一元二次函数，就有必要考虑对应方程中的判别式△． 2．对于存在性问题，一般先假设所判断的问题成立，再由假设去推导，若求得符合题意的结果，则存在；若得出矛盾，则不存在． 2014年湖北省高考数学试卷（理科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．** 1．（5分）i为虚数单位，（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18316.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）^2^=（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i 【分析】可先计算出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18316.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}的值，再计算平方的值． 【解答】解：由于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18317.png){width="1.5625in" height="0.4270833333333333in"}，所以，（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18316.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）^2^=（﹣i）^2^=﹣1 故选：A． 【点评】本题考查复数代数形式的计算，属于容易题 　 2．（5分）若二项式（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18318.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^7^的展开式中![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18319.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的系数是84，则实数a=（　　） A．2 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18320.png){width="0.25in" height="0.23958333333333334in"} C．1 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18321.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为﹣3，求出a即可． 【解答】解：二项式（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18322.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^7^的展开式即（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18322.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+2x）^7^的展开式中x^﹣3^项的系数为84， 所以T~r+1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18323.png){width="1.1979166666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18324.png){width="1.1666666666666667in" height="0.28125in"}， 令﹣7+2r=﹣3，解得r=2， 代入得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18325.png){width="0.8541666666666666in" height="0.28125in"}， 解得a=1， 故选：C． 【点评】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查． 　 3．（5分）设U为全集，A，B是集合，则"存在集合C使得A⊆C，B⊆∁~U~C"是"A∩B=∅"的（　　） A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果． 【解答】解：由题意A⊆C，则∁~U~C⊆∁~U~A，当B⊆∁~U~C，可得"A∩B=∅"；若"A∩B=∅"能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁~U~C， ∴U为全集，A，B是集合，则"存在集合C使得A⊆C，B⊆∁~U~C"是"A∩B=∅"的充分必要的条件． 故选：C． 【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题． 　 4．（5分）根据如下样本数据，得到回归方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18326.png){width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}=bx+a，则（　　） --- ----- ----- ------- ----- ------- ------- x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0 --- ----- ----- ------- ----- ------- ------- A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0 【分析】通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号． 【解答】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，2.5）附近，所以a＞0． 故选：B． 【点评】本题考查回归方程的应用，基本知识的考查． 　 5．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（　　）![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18327.png){width="5.636111111111111in" height="1.7604166666666667in"} A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和② 【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论． 【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②， 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18328.png){width="1.9583333333333333in" height="1.7604166666666667in"} 【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题． 　 6．（5分）若函数f（x），g（x）满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18329.png){width="0.34375in" height="0.28125in"}f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间\[﹣1，1\]上的一组正交函数，给出三组函数： ①f（x）=sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18330.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x，g（x）=cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18330.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x； ②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1； ③f（x）=x，g（x）=x^2^， 其中为区间\[﹣1，1\]上的正交函数的组数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论． 【解答】解：对于①：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18329.png){width="0.34375in" height="0.28125in"}\[sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18330.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x•cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18330.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x\]dx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18329.png){width="0.34375in" height="0.28125in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18330.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sinx）dx=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18330.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cosx![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18331.png){width="0.2604166666666667in" height="0.28125in"}=0，∴f（x），g（x）为区间\[﹣1，1\]上的一组正交函数； 对于②：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18332.png){width="0.34375in" height="0.28125in"}（x+1）（x﹣1）dx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18332.png){width="0.34375in" height="0.28125in"}（x^2^﹣1）dx=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18333.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18331.png){width="0.2604166666666667in" height="0.28125in"}≠0，∴f（x），g（x）不是区间\[﹣1，1\]上的一组正交函数； 对于③：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18332.png){width="0.34375in" height="0.28125in"}x^3^dx=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18334.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18331.png){width="0.2604166666666667in" height="0.28125in"}=0，∴f（x），g（x）为区间\[﹣1，1\]上的一组正交函数， ∴正交函数有2组， 故选：C． 【点评】本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题． 　 7．（5分）由不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18335.png){width="0.7916666666666666in" height="0.6458333333333334in"}确定的平面区域记为Ω~1~，不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18336.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}确定的平面区域记为Ω~2~，在Ω~1~中随机取一点，则该点恰好在Ω~2~内的概率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18337.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18338.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18339.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18340.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论． 【解答】解：平面区域Ω~1~，为三角形AOB，面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18341.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 平面区域Ω~2~，为△AOB内的四边形BDCO， 其中C（0，1）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18342.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18343.png){width="0.5104166666666666in" height="0.7916666666666666in"}，即D（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18344.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18345.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）， 则三角形ACD的面积S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18346.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9215.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 则四边形BDCO的面积S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18347.png){width="1.6666666666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 则在Ω~1~中随机取一点，则该点恰好在Ω~2~内的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18348.png){width="0.40625in" height="0.5625in"}， 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18349.png){width="2.729861111111111in" height="2.6569444444444446in"} 【点评】本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键． 　 8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求"囷盖"的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18350.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}L^2^h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18351.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}L^2^h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18352.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18353.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18354.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18355.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】根据近似公式V≈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18351.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}L^2^h，建立方程，即可求得结论． 【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18356.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18351.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（2πr）^2^h， ∴π=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18353.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． 【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题． 　 9．（5分）已知F~1~，F~2~是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F~1~PF~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18357.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18358.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18359.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} C．3 D．2 【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论． 【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a~1~，（a＞a~1~），半焦距为c， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设\|PF~1~\|=r~1~，\|PF~2~\|=r~2~，\|F~1~F~2~\|=2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为e~1~，e~2~ ∵∠F~1~PF~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18357.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴由余弦定理可得4c^2^=（r~1~）^2^+（r~2~）^2^﹣2r~1~r~2~cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18357.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，① 在椭圆中，①化简为即4c^2^=4a^2^﹣3r~1~r~2~， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18360.png){width="1.0416666666666667in" height="0.53125in"}，② 在双曲线中，①化简为即4c^2^=4a~1~^2^+r~1~r~2~， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18361.png){width="1.0208333333333333in" height="0.53125in"}，③ 联立②③得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18362.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4791666666666667in"}=4， 由柯西不等式得（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18363.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18362.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4791666666666667in"}）≥（1×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18364.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18365.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4479166666666667in"}）^2^， 即（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18366.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18367.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18368.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18366.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18369.png){width="0.9583333333333334in" height="0.40625in"}，d当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18370.png){width="1.2291666666666667in" height="0.3854166666666667in"}时取等号， 法2：设椭圆的长半轴为a~1~，双曲线的实半轴为a~2~，（a~1~＞a~2~），半焦距为c， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设\|PF~1~\|=r~1~，\|PF~2~\|=r~2~，\|F~1~F~2~\|=2c， 椭圆和双曲线的离心率分别为e~1~，e~2~ ∵∠F~1~PF~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18371.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴由余弦定理可得4c^2^=（r~1~）^2^+（r~2~）^2^﹣2r~1~r~2~cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18371.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=（r~1~）^2^+（r~2~）^2^﹣r~1~r~2~， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18372.png){width="0.9791666666666666in" height="0.5104166666666666in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18373.png){width="0.8958333333333334in" height="0.5104166666666666in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18374.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18375.png){width="0.8541666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 令m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18376.png){width="1.6041666666666667in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18377.png){width="1.0520833333333333in" height="0.6770833333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18378.png){width="1.03125in" height="0.6770833333333334in"}， 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18379.png){width="0.46875in" height="0.4791666666666667in"}时，m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18380.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18381.png){width="1.1041666666666667in" height="0.4270833333333333in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18382.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"}的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18383.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 法3：设\|PF~1~\|=m，\|PF~2~\|=n，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18384.png){width="0.7395833333333334in" height="0.5104166666666666in"}， 则a~1~+a~2~=m， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18385.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18386.png){width="0.7604166666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 由正弦定理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18387.png){width="1.1354166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18388.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18389.png){width="1.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18390.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}sin（120°﹣θ）≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18390.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18391.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} 故选：A． 【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大． 　 10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18392.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（\|x﹣a^2^\|+\|x﹣2a^2^\|﹣3a^2^），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（　　） A．\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18393.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18393.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\] B．\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18394.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18394.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\] C．\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13577.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13577.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\] D．\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18395.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18395.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\] 【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a^2^﹣（﹣4a^2^）≤1，求解该不等式得答案． 【解答】解：当x≥0时， f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18396.png){width="1.5in" height="0.8229166666666666in"}， 由f（x）=x﹣3a^2^，x＞2a^2^，得f（x）＞﹣a^2^； 当a^2^＜x≤2a^2^时，f（x）=﹣a^2^； 由f（x）=﹣x，0≤x≤a^2^，得f（x）≥﹣a^2^． ∴当x＞0时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18397.png){width="0.9791666666666666in" height="0.28125in"}． ∵函数f（x）为奇函数， ∴当x＜0时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18398.png){width="0.8958333333333334in" height="0.28125in"}． ∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）， ∴2a^2^﹣（﹣4a^2^）≤1，解得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18399.png){width="1.0208333333333333in" height="0.3854166666666667in"}． 故实数a的取值范围是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18400.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18401.png){width="1.9166666666666667in" height="1.0520833333333333in"} 【点评】本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a^2^﹣（﹣4a^2^）≤1，是中档题． 　 **二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．** 11．（5分）设向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18402.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（3，3），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18403.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，﹣1），若（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18402.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18403.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）⊥（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18402.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18403.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}），则实数λ=[　±3　]{.underline}． 【分析】根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论． 【解答】解：∵向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18402.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（3，3），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18403.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，﹣1）， ∴向量\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18404.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18405.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18406.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18405.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18404.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18406.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=3﹣3=0， 若（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18404.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18406.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）⊥（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18407.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18408.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）， 则（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18407.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18408.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18407.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18408.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18409.png){width="1.375in" height="0.22916666666666666in"}， 即18﹣2λ^2^=0， 则λ^2^=9， 解得λ=±3， 故答案为：±3， 【点评】本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础． 　 12．（5分）直线l~1~：y=x+a和l~2~：y=x+b将单位圆C：x^2^+y^2^=1分成长度相等的四段弧，则a^2^+b^2^=[　2　]{.underline}． 【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18410.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18411.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18412.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=cos45°，由此求得a^2^+b^2^的值． 【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18410.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18411.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18412.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=cos45°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18413.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，∴a^2^+b^2^=2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18414.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18415.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=cos45°是解题的关键，属于基础题． 　 13．（5分）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=[　495　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18416.png){width="1.6145833333333333in" height="2.761111111111111in"} 【分析】给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案． 【解答】解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321﹣123=198； 第二次循环a=198，b=981﹣189=792； 第三次循环a=792，b=972﹣279=693； 第四次循环a=693，b=963﹣369=594； 第五次循环a=594，b=954﹣459=495； 第六次循环a=495，b=954﹣459=495， 满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495． 故答案为：495． 【点评】本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法． 　 **三、解答题** 14．设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M~f~（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M~f~（a，b）=c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18417.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，即M~f~（a，b）为a，b的算术平均数． （1）当f（x）=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18418.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}[　]{.underline}（x＞0）时，M~f~（a，b）为a，b的几何平均数； （2）当f（x）=[　x　]{.underline}（x＞0）时，M~f~（a，b）为a，b的调和平均数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18419.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可） 【分析】（1）设f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18418.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，（x＞0），在经过点（a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18420.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）、（b，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18421.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）的直线方程中，令y=0，求得x=c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18422.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， 从而得出结论． （2）设f（x）=x，（x＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得x=c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18423.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，从而得出结论． 【解答】解：（1）设f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18424.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，（x＞0），则经过点（a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18420.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）、（b，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18421.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）的直线方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18425.png){width="0.65625in" height="0.4166666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18426.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 令y=0，求得x=c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18427.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， ∴当f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18428.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，（x＞0）时，M~f~（a，b）为a，b的几何平均数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18427.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18428.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （2）设f（x）=x，（x＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18429.png){width="0.3854166666666667in" height="0.375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18426.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 令y=0，求得x=c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18430.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴当f（x）=x（x＞0）时，M~f~（a，b）为a，b的调和平均数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18430.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：x． 【点评】本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题． 　 15．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=[　4　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18431.png){width="1.875in" height="1.2083333333333333in"} 【分析】利用切割线定理可得QA^2^=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB． 【解答】解：∵QA是⊙O的切线， ∴QA^2^=QC•QD， ∵QC=1，CD=3， ∴QA^2^=4， ∴QA=2， ∴PA=4， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PB=PA=4． 故答案为：4． 【点评】本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 16．已知曲线C~1~的参数方程是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18432.png){width="0.6145833333333334in" height="0.6354166666666666in"}（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程是ρ=2，则C~1~与C~2~交点的直角坐标为[　（]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18433.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}[，1）　]{.underline}． 【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得 C~1~与C~2~交点的直角坐标． 【解答】解：把曲线C~1~的参数方程是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18432.png){width="0.6145833333333334in" height="0.6354166666666666in"}（t为参数）， 消去参数化为直角坐标方程为x^2^=3y^2^ （x≥0，y≥0），即 y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18434.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}x （x≥0）． 曲线C~2~的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为x^2^+y^2^=4． 解方程组 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18435.png){width="0.7604166666666666in" height="0.53125in"}，再结合x＞0、y＞0，求得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18436.png){width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}，∴C~1~与C~2~交点的直角坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18437.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，1）， 故答案为：（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18437.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，1）． 【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题． 　 17．（11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系： f（t）=10﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18438.png){width="1.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，t∈\[0，24） （Ⅰ）求实验室这一天的最大温差； （Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18439.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18440.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），t∈\[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差． （Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18439.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18440.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18441.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18442.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18443.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18444.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18445.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，解得t的范围，可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18446.png){width="1.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}=10﹣2sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18443.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18444.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），t∈\[0，24）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18447.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18448.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18447.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18449.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，故当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18448.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18447.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18450.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}时，及t=14时，函数取得最大值为10+2=12， 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18451.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18452.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18453.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，即t=2时，函数取得最小值为10﹣2=8， 故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃． （Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18451.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18452.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， 由10﹣2sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18451.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18452.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）＞11，求得sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18454.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18455.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18456.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18457.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18454.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18455.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18458.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温． 【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题． 　 18．（12分）已知等差数列{a~n~}满足：a~1~=2，且a~1~，a~2~，a~5~成等比数列． （Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）记S~n~为数列{a~n~}的前n项和，是否存在正整数n，使得S~n~＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由． 【分析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得． （Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出S~n~根据S~n~＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{a~n~}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）^2^=2（2+4d）， 化简得d^2^﹣4d=0，解得d=0或4， 当d=0时，a~n~=2， 当d=4时，a~n~=2+（n﹣1）•4=4n﹣2． （Ⅱ）当a~n~=2时，S~n~=2n，显然2n＜60n+800， 此时不存在正整数n，使得S~n~＞60n+800成立， 当a~n~=4n﹣2时，S~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18459.png){width="0.96875in" height="0.3645833333333333in"}=2n^2^， 令2n^2^＞60n+800，即n^2^﹣30n﹣400＞0， 解得n＞40，或n＜﹣10（舍去）， 此时存在正整数n，使得S~n~＞60n+800成立，n的最小值为41， 综上，当a~n~=2时，不存在满足题意的正整数n， 当a~n~=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41 【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆． 　 19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A~1~B~1~，A~1~D~1~的中点，点P，Q分别在棱DD~1~，BB~1~上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2） （Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC~1~∥平面EFPQ； （Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18460.png){width="1.75in" height="1.7708333333333333in"} 【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18461.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18462.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，可得BC~1~∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC~1~∥平面EFPQ； （Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论． 【解答】（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD~1~分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C~1~（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18463.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（﹣2，0，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18464.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，0，λ），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18465.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（1，1，0） λ=1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18463.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（﹣2，0，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18464.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，0，1）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18463.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18466.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， ∴BC~1~∥FP， ∵FP⊂平面EFPQ，BC~1~⊄平面EFPQ， ∴直线BC~1~∥平面EFPQ； （Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18467.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y，z），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18468.png){width="0.7916666666666666in" height="0.40625in"}， ∴取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18467.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（λ，﹣λ，1）． 同理可得平面MNPQ的一个法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18469.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（λ﹣2，2﹣λ，1）， 若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18467.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18469.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18470.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ∴存在λ=1±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18470.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18471.png){width="2.1145833333333335in" height="2.09375in"} 【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用． 　 20．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． （1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率． （2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系： +------------+-----------+----------+--------+ | 年入流量X | 40＜X＜80 | 80≤X≤120 | X＞120 | +------------+-----------+----------+--------+ | 发电机最多 | 1 | 2 | 3 | | | | | | | 可运行台数 | | | | +------------+-----------+----------+--------+ 若某台发电机运行，则该台年利润为1000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 【分析】（1）依题意，p~1~=0.2，p~2~=0.7，p~3~=0.1．由二项分布能求出在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率． （2）记水电站年总利润为Y，分别求出安装1台、2台、3台发电机的对应的年利润的期望值，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机． 【解答】解：（1）依题意，p~1~=P（40＜X＜80）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18472.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=0.2， p~2~=P（80≤X≤120）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18473.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=0.7， p~3~=P（X＞120）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18474.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=0.1． 由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 p=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18475.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}（1﹣p~3~）^4^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18476.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}（1﹣p~3~）^3^p~3~=0.9^4^+4×0.9^3^×0.1=0.9477．...（5分） （2）记水电站年总利润为Y（单位：万元）． ①安装1台发电机的情形． 由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=1000，E（Y）=1000×1=1000．...（7分） ②安装2台发电机的情形． 依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=1000﹣160=840，因此P（Y=840）=P（40＜X＜80）=p~1~=0.2； 当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=1000×2=2 000，因此P（Y=2 000）=P（X≥80）=p~2~+p~3~=0.8． 由此得Y的分布列如下： --- ----- ------- Y 840 2 000 P 0.2 0.8 --- ----- ------- 所以，E（Y）=840×0.2+2 000×0.8=1768．...（9分） ③安装3台发电机的情形． 依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=1000﹣320=680， 因此P（Y=680）=P（40＜X＜80）=p~1~=0.2； 当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=1000×2﹣160=1840， 因此P（Y=1840）=P（80≤X≤120）=p~2~=0.7； 当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=1000×3=3 000， 因此P（Y=3 000）=P（X＞120）=p~3~=0.1． 由此得Y的分布列如下： --- ----- ------ ------- Y 680 1840 3 000 P 0.2 0.7 0.1 --- ----- ------ ------- 所以，E（Y）=680×0.2+1840×0.7+3 000×0.1=1724．...（11分） 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台...（12分） 【点评】本题考查概率的求法，考查欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用． 　 21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C． （Ⅰ）求轨迹C的方程； （Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围． 【分析】（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程； （Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18477.png){width="0.7708333333333334in" height="0.3645833333333333in"}．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x~0~＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：\|MF\|=\|x\|+1，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18478.png){width="1.46875in" height="0.2604166666666667in"}， 化简得，y^2^=2\|x\|+2x． ∴点M的轨迹C的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18479.png){width="1.09375in" height="0.4479166666666667in"}； （Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C~1~：y^2^=4x（x≥0），C~2~：y=0（x＜0）． 依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）． 由方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18480.png){width="0.9583333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，可得ky^2^﹣4y+4（2k+1）=0． ①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18481.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18482.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}）． ②当k≠0时，方程ky^2^﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k^2^+k﹣1）． 设直线l与x轴的交点为（x~0~，0）， 则由y﹣1=k（x+2），取y=0得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18483.png){width="0.7708333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18484.png){width="1.6770833333333333in" height="0.6666666666666666in"}，解得k＜﹣1或k＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18485.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 即当k∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18486.png){width="1.6770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}时，直线l与C~1~没有公共点，与C~2~有一个公共点， 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点． 若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18487.png){width="0.5729166666666666in" height="0.46875in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18488.png){width="0.5729166666666666in" height="0.4791666666666667in"}，解得k=﹣1或k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18489.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18490.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 即当k=﹣1或k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18489.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，直线l与C~1~只有一个公共点，与C~2~有一个公共点． 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18490.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，直线l与C~1~有两个公共点，与C~2~无公共点． 故当k=﹣1或k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18491.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18492.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点． 若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18493.png){width="1.6770833333333333in" height="0.6666666666666666in"}，解得﹣1＜k＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18491.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或0＜k＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18491.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 即当﹣1＜k＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18494.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或0＜k＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18494.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，直线l与C~1~有两个公共点，与C~2~有一个公共点． 此时直线l与C恰有三个公共点． 综上，当k∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18495.png){width="1.6770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点； 当k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18496.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}∪{﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18494.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}}时，直线l与C恰有两个公共点； 当k∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18497.png){width="1.5in" height="0.3645833333333333in"}时，直线l与轨迹C恰有三个公共点． 【点评】本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题． 　 22．（14分）π为圆周率，e=2.71828...为自然对数的底数． （Ⅰ）求函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18498.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}的单调区间； （Ⅱ）求e^3^，3^e^，e^π^，π^e^，3^π^，π^3^这6个数中的最大数和最小数； （Ⅲ）将e^3^，3^e^，e^π^，π^e^，3^π^，π^3^这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论． 【分析】（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调增、减区间； （Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3^e^＜lnπ^e^，lne^π^＜ln3^π^．再根据函数y=lnx，y=e^x^，y=π^x^在定义域上单调递增，可得3^e^＜π^e^＜π^3^，e^3^＜e^π^＜3^π^，从而六个数的最大数在π^3^与3^π^之中，最小数在3^e^与e^3^之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18499.png){width="1.3645833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，由此进而得到结论； （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3^e^＜π^e^＜π^3^＜3^π^，3^e^＜e^3^，又由（Ⅱ）知，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18500.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}，得π^e^＜e^π^，故只需比较e^3^与π^e^和e^π^与π^3^的大小．由（Ⅰ）可得0＜x＜e时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18501.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}．，令x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18502.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，有ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18502.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18503.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，从而2﹣lnπ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18504.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，即得lnπ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18505.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}．①，由①还可得lnπ^e^＞lne^3^，3lnπ＞π，由此易得结论； 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， ∵f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18506.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，∴f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18507.png){width="0.46875in" height="0.4270833333333333in"}， 当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增； 当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减． 故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）． （Ⅱ）∵e＜3＜π， ∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3^e^＜lnπ^e^，lne^π^＜ln3^π^． 于是根据函数y=lnx，y=e^x^，y=π^x^在定义域上单调递增，可得3^e^＜π^e^＜π^3^，e^3^＜e^π^＜3^π^， 故这六个数的最大数在π^3^与3^π^之中，最小数在3^e^与e^3^之中． 由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18508.png){width="1.3645833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18509.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}，得lnπ^3^＜ln3^π^，∴3^π^＞π^3^； 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18510.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，得ln3^e^＜lne^3^，∴3^e^＜e^3^． 综上，6个数中的最大数是3^π^，最小数是3^e^． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，3^e^＜π^e^＜π^3^＜3^π^，3^e^＜e^3^， 又由（Ⅱ）知，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18511.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}，得π^e^＜e^π^， 故只需比较e^3^与π^e^和e^π^与π^3^的大小． 由（Ⅰ）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18512.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18513.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}． 在上式中，令x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18514.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18515.png){width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}，则ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18514.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18516.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 从而2﹣lnπ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18517.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，即得lnπ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18518.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}．① 由①得，elnπ＞e（2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18516.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）＞2.7×（2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18519.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπ^e^＞lne^3^， ∴e^3^＜π^e^． 又由①得，3lnπ＞6﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18520.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π， ∴e^π^＜π^3^． 综上可得，3^e^＜e^3^＜π^e^＜e^π^＜π^3^＜3^π^，即6个数从小到大顺序为3^e^，e^3^，π^e^，e^π^，π^3^，3^π^． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大． 2014年湖北省高考数学试卷（文科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** 1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}，则∁~U~A=（　　） A．{1，3，5，6} B．{2，3，7} C．{2，4，7} D．{2，5，7} 【分析】根据全集U以及A，求出A的补集即可． 【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，6}， ∴∁~U~A={2，4，7}． 故选：C． 【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键． 　 2．（5分）i为虚数单位，（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18521.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）^2^=（　　） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 【分析】由条件里哦也难怪两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果． 【解答】解：（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18521.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18522.png){width="0.5625in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18523.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=﹣1， 故选：B． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 　 3．（5分）命题"∀x∈R，x^2^≠x"的否定是（　　） A．∀x∉R，x^2^≠x B．∀x∈R，x^2^=x C．∃x∉R，x^2^≠x D．∃x∈R，x^2^=x 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，利用特称命题写出命题的否定命题． 【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题， ∴命题的否定是：∃x~0~∈R，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18524.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}=x~0~． 故选：D． 【点评】本题考查了全称命题的否定，要注意命题的否定与命题的否命题是两个完全不同的命题，全称命题的否定是特称命题． 　 4．（5分）若变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18525.png){width="0.9583333333333334in" height="0.6875in"}，则2x+y的最大值是（　　） A．2 B．4 C．7 D．8 【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18525.png){width="0.9583333333333334in" height="0.6875in"}的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值． 【解答】解：满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18525.png){width="0.9583333333333334in" height="0.6875in"}的可行域如下图中阴影部分所示： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18526.png){width="2.1458333333333335in" height="2.3541666666666665in"} ∵目标函数Z=2x+y， ∴Z~O~=0，Z~A~=4，Z~B~=7，Z~C~=4， 故2x+y的最大值是7， 故选：C． 【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解． 　 5．（5分）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p~1~，点数之和大于5的概率记为p~2~，点数之和为偶数的概率记为p~3~，则（　　） A．p~1~＜p~2~＜p~3~ B．p~2~＜p~1~＜p~3~ C．p~1~＜p~3~＜p~2~ D．p~3~＜p~1~＜p~2~ 【分析】首先列表，然后根据表格点数之和不超过5，点数之和大于5，点数之和为偶数情况，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：列表得： ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ∴一共有36种等可能的结果， ∴两个骰子点数之和不超过5的有10种情况，点数之和大于5的有26种情况，点数之和为偶数的有18种情况， ∴向上的点数之和不超过5的概率记为p~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18527.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，点数之和大于5的概率记为p~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18528.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，点数之和为偶数的概率记为p~3~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18529.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴p~1~＜p~3~＜p~2~ 故选：C． 【点评】本题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 　 6．（5分）根据如下样本数据： --- ----- ----- ------- ----- ------- ------- x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0 --- ----- ----- ------- ----- ------- ------- 得到了回归方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18530.png){width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18531.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18532.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18532.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18531.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜0 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18532.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18531.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞0 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18532.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18531.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜0 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18532.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18531.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＞0 【分析】利用公式求出b，a，即可得出结论． 【解答】解：样本平均数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18533.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=5.5，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18534.png){width="0.10416666666666667in" height="0.19791666666666666in"}=0.25， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18535.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18536.png){width="1.1979166666666667in" height="0.2604166666666667in"}=﹣24.5，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18535.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18537.png){width="0.6979166666666666in" height="0.28125in"}=17.5，∴b=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18538.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=﹣1.4， ∴a=0.25﹣（﹣1.4）•5.5=7.95， 故选：A． 【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题． 　 7．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（　　）![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18539.png){width="5.636111111111111in" height="1.7604166666666667in"} A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和② 【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论． 【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②， 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18540.png){width="1.9583333333333333in" height="1.7604166666666667in"} 【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题． 　 8．（5分）设a，b是关于t的方程t^2^cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，则过A（a，a^2^），B（b，b^2^）两点的直线与双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18541.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18542.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1的公共点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】求出过A（a，a^2^），B（b，b^2^）两点的直线为y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18543.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}x，结合双曲线的渐近线方程，可得结论． 【解答】解：∵a，b是关于t的方程t^2^cosθ+tsinθ=0的两个不等实根， ∴a+b=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18543.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}，ab=0， 过A（a，a^2^），B（b，b^2^）两点的直线为y﹣a^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18544.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}（x﹣a），即y=（b+a）x﹣ab， 即y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18543.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}x， ∵双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18545.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18542.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1的一条渐近线方程为y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18546.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}x， ∴过A（a，a^2^），B（b，b^2^）两点的直线与双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18547.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18548.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1的公共点的个数为0． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 9．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x^2^﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（　　） A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18549.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，1，3} D．{﹣2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18549.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，1，3} 【分析】首先根据f（x）是定义在R上的奇函数，求出函数在R上的解析式，再求出g（x）的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决． 【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x^2^﹣3x， 令x＜0，则﹣x＞0， ∴f（﹣x）=x^2^+3x=﹣f（x） ∴f（x）=﹣x^2^﹣3x， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18550.png){width="1.6145833333333333in" height="0.53125in"} ∵g（x）=f（x）﹣x+3 ∴g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18551.png){width="1.34375in" height="0.53125in"} 令g（x）=0， 当x≥0时，x^2^﹣4x+3=0，解得x=1，或x=3， 当x＜0时，﹣x^2^﹣4x+3=0，解得x=﹣2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18549.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为{﹣2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18549.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，1，3} 故选：D． 【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想． 　 10．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求"囷盖"的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18552.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}L^2^h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18553.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}L^2^h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18554.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18555.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18556.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18557.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】根据近似公式V≈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18558.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}L^2^h，建立方程，即可求得结论． 【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18559.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18558.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（2πr）^2^h， ∴π=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18560.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． 【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题． 　 **二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.** 11．（5分）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测，若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为[　1800　]{.underline}件． 【分析】根据样本容量为80，可得抽取的比例，再求得样本中由乙设备生产的产品数，乙设备生产的产品总数=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18561.png){width="1.0520833333333333in" height="0.4166666666666667in"}． 【解答】解：∵样本容量为80，∴抽取的比例为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18562.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18563.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 又样本中有50件产品由甲设备生产，∴样本中30件产品由乙设备生产， ∴乙设备生产的产品总数为30×60=1800． 故答案为：1800． 【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是解题的关键． 　 12．（5分）若向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18564.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（1，﹣3），\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18564.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18565.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18564.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18566.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=0，则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18567.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18568.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【分析】利用向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系即可得出． 【解答】解：设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18566.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y），∵向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18569.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（1，﹣3），\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18569.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18566.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18569.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18566.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=0， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18570.png){width="1.5416666666666667in" height="0.5in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18571.png){width="0.375in" height="0.40625in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18572.png){width="0.4583333333333333in" height="0.40625in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18573.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（3，1），（﹣3，﹣1）． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18574.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18575.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（2，4）或（﹣4，2）． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18576.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18577.png){width="0.9895833333333334in" height="0.25in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18578.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查了向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题． 　 13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18579.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，a=1，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13742.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则B=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18580.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}[或]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18581.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】利用正弦定理列出关系式，将a，sinA，b的值代入求出sinB的值，即可确定出B的度数． 【解答】解：∵在△ABC中，A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18582.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，a=1，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18583.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴由正弦定理![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18584.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18585.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}得：sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18586.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18587.png){width="0.5625in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18588.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∵a＜b，∴A＜B， ∴B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18589.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18590.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18591.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18592.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 　 14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为4，则输出S的值为[　40　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18593.png){width="2.2291666666666665in" height="2.7819444444444446in"} 【分析】由图知，每次进入循环体后，S的值被施加的运算是S=S+2^k^+k，故由此运算规律进行计算，当k=5时不满足条件k≤4，退出循环，输出S的值为40． 【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得： n=4，k=1，S=0 满足条件k≤4，S=0+2^1^+1=3，k=2 满足条件k≤4，S=3+2^2^+2=9，k=3 满足条件k≤4，S=9+2^3^+3=20，k=4 满足条件k≤4，S=20+2^4^+4=40，k=5 不满足条件k≤4，退出循环，输出S的值为40． 故答案为：40． 【点评】本题考查循环结构，已知运算规则与运算次数，求最后运算结果，是算法中一种常见的题型，属于基础题． 　 15．（5分）如图所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为[　（0，]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18594.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[）　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18595.png){width="2.9694444444444446in" height="1.3333333333333333in"} 【分析】由已知中的函数图象可得f（4a）=a，f（﹣4a）=﹣a，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18596.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4479166666666667in"}，解不等式可得正实数a的取值范围． 【解答】解：由已知可得：a＞0， 且f（4a）=a，f（﹣4a）=﹣a， 若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18596.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4479166666666667in"}，解得a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18597.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故正实数a的取值范围为：（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18597.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）， 故答案为：（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18597.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}） 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出不等式组，是解答的关键． 　 16．（5分）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18598.png){width="0.9166666666666666in" height="0.4270833333333333in"}． （Ⅰ）如果不限定车型，l=6.05，则最大车流量为[　1900　]{.underline}辆/小时； （Ⅱ）如果限定车型，l=5，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加[　100　]{.underline}辆/小时． 【分析】（Ⅰ）把l带入，分子分母同时除以v，利用基本不等式求得F的最大值． （Ⅱ）把l带入，分子分母同时除以v，利用基本不等式求得F的最大值最后于（Ⅰ）中最大值作差即可． 【解答】解：（Ⅰ）F=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18598.png){width="0.9166666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18599.png){width="0.7916666666666666in" height="0.5625in"}， ∵v+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18600.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18601.png){width="0.375in" height="0.1875in"}=22，当v=11时取最小值， ∴F=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18602.png){width="0.7916666666666666in" height="0.5625in"}≤1900， 故最大车流量为：1900辆/小时； （Ⅱ）F=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18603.png){width="0.9166666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18604.png){width="0.9166666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18605.png){width="0.7916666666666666in" height="0.5625in"}， ∵v+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18606.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18607.png){width="0.375in" height="0.1875in"}=20， ∴F≤2000， 2000﹣1900=100（辆/小时） 故最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加100辆/小时． 故答案为：1900，100 【点评】本题主要考查了基本不等式的性质．基本不等式应用时，注意"一正，二定，三相等"必须满足． 　 17．（5分）已知圆O：x^2^+y^2^=1和点A（﹣2，0），若定点B（b，0）（b≠﹣2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有\|MB\|=λ\|MA\|，则： （Ⅰ）b=[　﹣]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18608.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}； （Ⅱ）λ=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18608.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】（Ⅰ）利用\|MB\|=λ\|MA\|，可得（x﹣b）^2^+y^2^=λ^2^（x+2）^2^+λ^2^y^2^，由题意，取（1，0）、（﹣1，0）分别代入，即可求得b； （Ⅱ）取（1，0）、（﹣1，0）分别代入，即可求得λ． 【解答】解：解法一：设点M（cosθ，sinθ），则由\|MB\|=λ\|MA\|得（cosθ﹣b）^2^+sin^2^θ=λ^2^\[（cosθ+2）^2^+sin^2^θ\]，即 ﹣2bcosθ+b^2^+1=4λ^2^cosθ+5λ^2^对任意θ都成立，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18609.png){width="0.9270833333333334in" height="0.5104166666666666in"}．又由\|MB\|=λ\|MA\|得λ＞0，且b≠﹣2，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18610.png){width="0.5104166666666666in" height="0.7916666666666666in"}． 解法二：（Ⅰ）设M（x，y），则 ∵\|MB\|=λ\|MA\|， ∴（x﹣b）^2^+y^2^=λ^2^（x+2）^2^+λ^2^y^2^， 由题意，取（1，0）、（﹣1，0）分别代入可得（1﹣b）^2^=λ^2^（1+2）^2^，（﹣1﹣b）^2^=λ^2^（﹣1+2）^2^， ∴b=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13769.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，λ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13769.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅱ）由（Ⅰ）知λ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13769.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13769.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13769.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查圆的方程，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 **三、解答题** 18．（12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18611.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18612.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t﹣sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18612.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t，t∈\[0，24）． （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差． 【分析】（Ⅰ）直接根据f（t）的解析式求得f（8）的值． （Ⅱ）根据f（t）=10﹣2sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18613.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18612.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t），t∈\[0，24），求得函数f（t）取得最大值和最小值，从而得到这一天的最大温差． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18611.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18614.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t﹣sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18614.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t，t∈\[0，24）． ∴f（8）=10﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18615.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18616.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}﹣sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18616.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=10﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18615.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}×（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18617.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18618.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=10， 故实验室这一天上午8时的温度为10℃． （Ⅱ）∵f（t）=10﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18619.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18620.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t﹣sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18620.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t=10﹣2sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18621.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18620.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t），t∈\[0，24）． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18621.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18621.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18620.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18622.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，故当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18623.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18624.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18625.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，即t=14时，函数f（t）取得最大值为10+2=12， 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18623.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18624.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18626.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，即t=2时，函数f（t）取得最小值为10﹣2=8， 故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃． 【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，正弦函数的值域，属于中档题． 　 19．（12分）已知等差数列{a~n~}满足：a~1~=2，且a~1~，a~2~，a~5~成等比数列． （Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）记S~n~为数列{a~n~}的前n项和，是否存在正整数n，使得S~n~＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由． 【分析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得． （Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出S~n~根据S~n~＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{a~n~}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）^2^=2（2+4d）， 化简得d^2^﹣4d=0，解得d=0或4， 当d=0时，a~n~=2， 当d=4时，a~n~=2+（n﹣1）•4=4n﹣2． （Ⅱ）当a~n~=2时，S~n~=2n，显然2n＜60n+800， 此时不存在正整数n，使得S~n~＞60n+800成立， 当a~n~=4n﹣2时，S~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18627.png){width="0.96875in" height="0.3645833333333333in"}=2n^2^， 令2n^2^＞60n+800，即n^2^﹣30n﹣400＞0， 解得n＞40，或n＜﹣10（舍去）， 此时存在正整数n，使得S~n~＞60n+800成立，n的最小值为41， 综上，当a~n~=2时，不存在满足题意的正整数n， 当a~n~=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41 【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆． 　 20．（13分）如图，在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD~1~、BB~1~、A~1~B~1~、A~1~D~1~的中点，求证： （Ⅰ）直线BC~1~∥平面EFPQ； （Ⅱ）直线AC~1~⊥平面PQMN． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18628.png){width="1.71875in" height="1.625in"} 【分析】（Ⅰ）要证直线BC~1~∥平面EFPQ，只需证BC~1~∥FP，且BC~1~⊄平面EFPQ即可，由AD~1~∥BC~1~，FP∥AD~1~即可证出； （Ⅱ）要证直线AC~1~⊥平面PQMN，只需证出MN⊥AC~1~，且PN⊥AC~1~即可． 【解答】证明：（Ⅰ）在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，连接AD~1~， ∵AD~1~∥BC~1~，且F、P分别是AD、DD~1~的中点， ∴FP∥AD~1~，∴BC~1~∥FP， 又FP⊂平面EFPQ，且BC~1~⊄平面EFPQ， ∴直线BC~1~∥平面EFPQ； （Ⅱ）连接AC、BD，B~1~D~1~，则AC⊥BD， ∵CC~1~⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴CC~1~⊥BD； 又AC∩CC~1~=C，∴BD⊥平面ACC~1~， 又AC~1~⊂平面ACC~1~，∴BD⊥AC~1~； 又∵M、N分别是A~1~B~1~、A~1~D~1~的中点， ∴MN∥B~1~D~1~， 又B~1~D~1~∥BD，∴MN∥BD， ∴MN⊥AC~1~； 又PN∥A~1~D，A~1~D⊥AD~1~，C~1~D~1~⊥平面ADD~1~A~1~， ∴C~1~D~1~⊥AD~1~， 且AD~1~∩C~1~D~1~=D~1~， ∴A~1~D⊥平面AC~1~D~1~， ∴A~1~D⊥AC~1~， ∴PN⊥AC~1~； 又PN∩MN=N，∴直线AC~1~⊥平面PQMN． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18629.png){width="1.71875in" height="1.625in"} 【点评】本题考查了证明空间中的线面平行与线面垂直的问题，解题时应明确空间中的线面平行、线面垂直的判定方法是什么，也考查了逻辑思维能力与空间想象能力，是基础题． 　 21．（14分）π为圆周率，e=2.71828...为自然对数的底数． （Ⅰ）求函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18630.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}的单调区间； （Ⅱ）求e^3^，3^e^，e^π^，π^e^，3^π^，π^3^这6个数中的最大数与最小数． 【分析】第（Ⅰ）问中，先根据分式求导法则，再解对数不等式即可； 第（Ⅱ）问中，可先将6个数分组，比较各组内数的大小后，再比较组与组之间的数的大小，而数的大小比较，可以考虑函数y=lnx，y=e^x^，y=π^x^的单调性． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）． 由f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18630.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18631.png){width="1.0729166666666667in" height="0.4270833333333333in"}． 当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，f（x）单调递增； 当f′（x）＜0，即x＞e时，f（x）单调递减， 所以函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）． （Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3， 从而有ln3^e^＜lnπ^e^，lne^π^＜ln3^π^． 于是，根据函数y=lnx，y=e^x^，y=π^x^在定义域上单调递增， 可得3^e^＜π^e^＜π^3^，e^3^＜e^π^＜3^π^， ∴这6个数的最大数在π^3^与3^π^之中，最小数在3^e^与e^3^之中． 由（Ⅰ）知，f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18630.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}在\[e，+∞）上单调递减， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18632.png){width="0.9791666666666666in" height="0.7916666666666666in"}即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18633.png){width="1.125in" height="0.4479166666666667in"} 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18634.png){width="1.1875in" height="0.53125in"}∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18635.png){width="0.8333333333333334in" height="0.53125in"} 综上可知，6个数中的最大数是3^π^，最小数是3^e^． 【点评】1、求单调区间时，先写出函数的定义域，为后面取区间时作参考． 2、利用指数函数、对数函数的单调性比较数的大小时，应注意以下几个要点： （1）寻找同底的指数式或对数式； （2）分清是递增还是递减； （3）把自变量的值放到同一个单调区间上． 　 22．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C． （Ⅰ）求轨迹C的方程； （Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围． 【分析】（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程； （Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18636.png){width="0.7708333333333334in" height="0.3645833333333333in"}．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x~0~＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：\|MF\|=\|x\|+1，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18637.png){width="1.46875in" height="0.2604166666666667in"}， 化简得，y^2^=2\|x\|+2x． ∴点M的轨迹C的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18638.png){width="1.09375in" height="0.4479166666666667in"}； （Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C~1~：y^2^=4x（x≥0），C~2~：y=0（x＜0）． 依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）． 由方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18639.png){width="0.9583333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，可得ky^2^﹣4y+4（2k+1）=0． ①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18640.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18641.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}）． ②当k≠0时，方程ky^2^﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k^2^+k﹣1）． 设直线l与x轴的交点为（x~0~，0）， 则由y﹣1=k（x+2），取y=0得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18642.png){width="0.7708333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18643.png){width="1.6770833333333333in" height="0.6666666666666666in"}，解得k＜﹣1或k＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18644.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 即当k∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18645.png){width="1.6770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}时，直线l与C~1~没有公共点，与C~2~有一个公共点， 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点． 若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18646.png){width="0.5729166666666666in" height="0.46875in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18647.png){width="0.5729166666666666in" height="0.4791666666666667in"}，解得k=﹣1或k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18648.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18649.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 即当k=﹣1或k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18648.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，直线l与C~1~只有一个公共点，与C~2~有一个公共点． 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18649.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，直线l与C~1~有两个公共点，与C~2~无公共点． 故当k=﹣1或k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18648.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18649.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点． 若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18650.png){width="1.6770833333333333in" height="0.6666666666666666in"}，解得﹣1＜k＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9550.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或0＜k＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9550.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 即当﹣1＜k＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9550.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或0＜k＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9550.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，直线l与C~1~有两个公共点，与C~2~有一个公共点． 此时直线l与C恰有三个公共点． 综上，当k∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18651.png){width="1.6770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点； 当k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18652.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}∪{﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18653.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}}时，直线l与C恰有两个公共点； 当k∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18654.png){width="1.5in" height="0.3645833333333333in"}时，直线l与轨迹C恰有三个公共点． 【点评】本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题． 2014年湖南省高考数学试卷（理科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）** 1．（5分）满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18655.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=i（i为虚数单位）的复数z=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18656.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18656.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}i B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18656.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18657.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}i C．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18657.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18657.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}i D．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18657.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18657.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}i 【分析】根据复数的基本运算即可得到结论． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18658.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=i， ∴z+i=zi， 即z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18659.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18660.png){width="1.375in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18657.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18661.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}i， 故选：B． 【点评】本题主要考查复数的计算，比较基础． 　 2．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P~1~，P~2~，P~3~，则（　　） A．P~1~=P~2~＜P~3~ B．P~2~=P~3~＜P~1~ C．P~1~=P~3~＜P~2~ D．P~1~=P~2~=P~3~ 【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论． 【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的， 即P~1~=P~2~=P~3~． 故选：D． 【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础． 　 3．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x^3^+x^2^+1，则f（1）+g（1）=（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【分析】将原代数式中的x替换成﹣x，再结合着f（x）和g（x）的奇偶性可得f（x）+g（x），再令x=1即可． 【解答】解：由f（x）﹣g（x）=x^3^+x^2^+1，将所有x替换成﹣x，得 f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣x^3^+x^2^+1， 根据f（x）=f（﹣x），g（﹣x）=﹣g（x），得 f（x）+g（x）=﹣x^3^+x^2^+1，再令x=1，计算得， f（1）+g（1）=1． 故选：C． 【点评】本题属于容易题，是对函数奇偶性的考查，在高考中，函数奇偶性的考查一般相对比较基础，学生在掌握好基础知识的前提下，做题应该没有什么障碍．本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于﹣1也可以得到计算结果． 　 4．（5分）（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18662.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x﹣2y）^5^的展开式中x^2^y^3^的系数是（　　） A．﹣20 B．﹣5 C．5 D．20 【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可． 【解答】解：由二项式定理可知：T~r+1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18663.png){width="1.40625in" height="0.3645833333333333in"}， 要求解（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18662.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x﹣2y）^5^的展开式中x^2^y^3^的系数， 所以r=3， 所求系数为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18664.png){width="1.0729166666666667in" height="0.4270833333333333in"}=﹣20． 故选：A． 【点评】本题考查二项式定理的通项公式的应用，基本知识的考查． 　 5．（5分）已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＞y，则x^2^＞y^2^，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q中，真命题是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【分析】根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论． 【解答】解：根据不等式的性质可知，若若x＞y，则﹣x＜﹣y成立，即p为真命题， 当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x^2^＞y^2^不成立，即命题q为假命题， 则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（￢q）为真命题；④（￢p）∨q为假命题， 故选：C． 【点评】本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础． 　 6．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈\[﹣2，2\]，则输出的S属于（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18665.png){width="2.2291666666666665in" height="3.0840277777777776in"} A．\[﹣6，﹣2\] B．\[﹣5，﹣1\] C．\[﹣4，5\] D．\[﹣3，6\] 【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论． 【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈\[﹣3，﹣1\]， 若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t^2^+1∈（1，9\]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6\]， 综上：S=t﹣3∈\[﹣3，6\]， 故选：D． 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础． 　 7．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18666.png){width="1.375in" height="1.8229166666666667in"} A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r． 【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则 8﹣r+6﹣r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18667.png){width="0.59375in" height="0.25in"}， ∴r=2． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18668.png){width="1.15625in" height="1.53125in"} 【点评】本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 8．（5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18669.png){width="0.3020833333333333in" height="0.375in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18670.png){width="0.8854166666666666in" height="0.375in"} C．pq D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18671.png){width="0.9583333333333334in" height="0.19791666666666666in"}﹣1 【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，可得（1+p）（1+q）=（1+x）^2^，解出即可． 【解答】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x， 则（1+p）（1+q）=（1+x）^2^， 解得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18672.png){width="0.9583333333333334in" height="0.19791666666666666in"}﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查了指数的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 9．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18673.png){width="0.4479166666666667in" height="0.4375in"}f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（　　） A．x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18674.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} B．x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18675.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} C．x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18676.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18677.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18673.png){width="0.4479166666666667in" height="0.4375in"}f（x）dx=0求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18678.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos（φ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18677.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=0，故有 φ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18677.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18679.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k∈z．可取φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18680.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，则f（x）=sin（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18680.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）． 令x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18680.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18679.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程． 【解答】解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18681.png){width="0.4479166666666667in" height="0.4375in"}f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18682.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4375in"}=﹣cos（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18683.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}﹣φ）﹣\[﹣cos（﹣φ）\]=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18684.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cosφ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18685.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}sinφ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18686.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos（φ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18687.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=0， ∴φ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18687.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18688.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k∈z，即 φ=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18689.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k∈z，故可取φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18689.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，f（x）=sin（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18689.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）． 令x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18689.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18690.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，求得 x=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18691.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z， 则函数f（x）的图象的一条对称轴为 x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18691.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：A． 【点评】本题主要考查定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题． 　 10．（5分）若函数f（x）=x^2^+e^x^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18692.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（x＜0）与g（x）=x^2^+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（　　） A．（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18693.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}） B．（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18694.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3854166666666667in"}） C．（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18695.png){width="0.7395833333333334in" height="0.3854166666666667in"}） D．（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18696.png){width="0.7395833333333334in" height="0.3854166666666667in"}） 【分析】由题意可得e^x0^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18692.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣ln（﹣x~0~+a）=0有负根，函数h（x）=e^x^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18697.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣ln（﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围． 【解答】解：由题意可得： 存在x~0~∈（﹣∞，0），满足x~0~^2^+e^x0^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18697.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=（﹣x~0~）^2^+ln（﹣x~0~+a）， 即e^x0^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18697.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣ln（﹣x~0~+a）=0有负根， ∵当x趋近于负无穷大时，e^x0^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18697.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣ln（﹣x~0~+a）也趋近于负无穷大， 且函数h（x）=e^x^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18697.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣ln（﹣x+a）为增函数， ∴h（0）=e^0^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18697.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣lna＞0， ∴lna＜ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18698.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18699.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴a的取值范围是（﹣∞，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18699.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用． 　 **二、填空题（共3小题，每小题5分，满分10分）（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）** 11．（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18700.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}的直线l与曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18701.png){width="0.875in" height="0.40625in"}，（α为参数）交于A，B两点，且\|AB\|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是[　ρ（cosθ﹣sinθ）=1　]{.underline}． 【分析】由题意可得直线l的方程为y=x+b，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心（2，1）在直线l上，由此求得b的值，可得直线的方程． 【解答】解：设倾斜角为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18700.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}的直线l的方程为y=x+b， 曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18702.png){width="0.875in" height="0.40625in"}（α为参数），即 （x﹣2）^2^+（y﹣1）^2^=1，表示以（2，1）为圆心、半径等于1的圆． 由于弦长\|AB\|=2，正好等于直径，故圆心（2，1）在直线l上，故有1=2+b，解得b=﹣1， 故直线l的方程为 y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0． 再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0，即ρ（cosθ﹣sinθ）=1 故答案为：ρ（cosθ﹣sinθ）=1． 【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，属于基础题． 　 12．（5分）如图所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18703.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，BC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18704.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则⊙O的半径等于[　1.5　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18705.png){width="1.1979166666666667in" height="1.2395833333333333in"} 【分析】设垂足为D，⊙O的半径等于R，先计算AD，再计算R即可． 【解答】解：设垂足为D，⊙O的半径等于R，则 ∵AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18703.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，BC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18706.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴AD=1， ∴R^2^=2+（R﹣1）^2^， ∴R=1.5． 故答案为：1.5 【点评】本题考查垂径定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 13．若关于x的不等式\|ax﹣2\|＜3的解集为{x\|﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18707.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18708.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}}，则a=[　﹣3　]{.underline}． 【分析】由题意可得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18707.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18708.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}是\|ax﹣2\|=3的两个根，故有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18709.png){width="1.1979166666666667in" height="0.7916666666666666in"}，由此求得a的值． 【解答】解：∵关于x的不等式\|ax﹣2\|＜3的解集为{x\|﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18710.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18711.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}}， ∴﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18710.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18711.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}是\|ax﹣2\|=3的两个根，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18712.png){width="1.1979166666666667in" height="0.7916666666666666in"}，∴a=﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 　 **（二）必做题（14-16题）** 14．（5分）若变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18713.png){width="0.625in" height="0.65625in"}，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=[　﹣2　]{.underline}． 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可． 【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分） 由z=2x+y，得y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小． 目标函数为2x+y=﹣6， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18714.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18715.png){width="0.4583333333333333in" height="0.40625in"}， 即A（﹣2，﹣2）， ∵点A也在直线y=k上， ∴k=﹣2， 故答案为：﹣2． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18716.png){width="3.0006944444444446in" height="2.542361111111111in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 　 15．（5分）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y^2^=2px（p＞0）经过C，F两点，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18717.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18718.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18719.png){width="1.5208333333333333in" height="1.7604166666666667in"} 【分析】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18717.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的值． 【解答】解：由题意可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18720.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18721.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}， 将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y^2^=2px中，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18722.png){width="1.0625in" height="0.7916666666666666in"} ∵a＞0，b＞0，p＞0，两式相比消去p得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18723.png){width="0.71875in" height="0.4270833333333333in"}，化简整理得a^2^+2ab﹣b^2^=0， 此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18724.png){width="1.9791666666666667in" height="0.4479166666666667in"}， 取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18725.png){width="0.8333333333333334in" height="0.1875in"}， 从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18726.png){width="1.1666666666666667in" height="0.3854166666666667in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18727.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}． 【点评】本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系，这样才能顺利写出C，F的坐标，接下来是消参，得到了一个关于a，b的齐次式，应注意根的取舍与细心的计算． 　 16．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18728.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），C（3，0），动点D满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18729.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18730.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18731.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18732.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|的最大值是[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18733.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}[+1　]{.underline}． 【分析】由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），求得\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18730.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18731.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18732.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|≤\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18730.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18731.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18734.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|+\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18735.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|，可得\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18736.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18737.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18738.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|的最大值． 【解答】解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ）， 则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18736.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18737.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18739.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|≤\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18740.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18741.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18742.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|+\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18743.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18744.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+1． ∴\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18740.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18741.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18745.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|的最大值是 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18746.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+1， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18746.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+1． 【点评】本题主要考查参数方程的应用，求向量的模，属于中档题． 　 **三、解答题：本大题共6小题，共75分** 17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18747.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18748.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立． （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率； （Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望． 【分析】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可， （Ⅱ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可． 【解答】解：（Ⅰ）设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功， 因为甲乙研发新产品成功的概率分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18749.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18750.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 则P（B）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18751.png){width="2.03125in" height="0.3645833333333333in"}， 再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1﹣P（B）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18752.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 故至少有一种新产品研发成功的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18752.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅱ）由题可得设企业可获得利润为X，则X的取值有0，120，100，220， 由独立试验的概率计算公式可得， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18753.png){width="2.0520833333333335in" height="0.3645833333333333in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18754.png){width="1.8854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18755.png){width="1.8020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18756.png){width="1.46875in" height="0.3645833333333333in"}， 所以X的分布列如下： -------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- X 0 120 100 220 P（x） ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18757.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18758.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18759.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18760.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} -------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 则数学期望E（X）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18761.png){width="2.5416666666666665in" height="0.3645833333333333in"}=140． 【点评】本题主要考查了对立事件的概率，分布列和数学期望，培养学生的计算能力，也是近几年高考题目的常考的题型． 　 18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18762.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （Ⅰ）求cos∠CAD的值； （Ⅱ）若cos∠BAD=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18763.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，sin∠CBA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18764.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}，求BC的长． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18765.png){width="1.8229166666666667in" height="1.6145833333333333in"} 【分析】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值． （Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC． 【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18766.png){width="1.09375in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18767.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18768.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18769.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴sin∠BAD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18770.png){width="0.59375in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18771.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}， ∵cos∠CAD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18772.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∴sin∠CAD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18773.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18774.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} ∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18775.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18772.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18776.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18777.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18778.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴由正弦定理知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18779.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18780.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18780.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}•sin∠BAC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18781.png){width="0.3541666666666667in" height="0.6041666666666666in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18782.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=3 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用． 　 19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A~1~C~1~∩B~1~D~1~=O~1~，四边形ACC~1~A~1~和四边形BDD~1~B~1~均为矩形． （Ⅰ）证明：O~1~O⊥底面ABCD； （Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角C~1~﹣OB~1~﹣D的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18783.png){width="1.8333333333333333in" height="1.71875in"} 【分析】（Ⅰ）由已知中，四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A~1~C~1~∩B~1~D~1~=O~1~，四边形ACC~1~A~1~和四边形BDD~1~B~1~均为矩形．可得O~1~O∥CC~1~∥BB~1~且CC~1~⊥AC，BB~1~⊥BD，进而OO~1~⊥AC，OO~1~⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到O~1~O⊥底面ABCD； （Ⅱ）设四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的所有棱长均为2a，设AB为2，若∠CBA=60°，OA=OC=1，OB=OD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18784.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO~1~为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面BDD~1~B~1~和平面OB~1~C~1~的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的所有棱长都相等， ∴四边形ABCD为菱形， 又∵AC∩BD=O， 故O为BD的中点， 同理O~1~也是B~1~D~1~的中点， 又∵四边形ACC~1~A~1~和四边形BDD~1~B~1~均为矩形， ∴O~1~O∥CC~1~∥BB~1~且CC~1~⊥AC，BB~1~⊥BD， ∴OO~1~⊥AC，OO~1~⊥BD， 又∵AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD， ∴O~1~O⊥底面ABCD； 解：（Ⅱ）设四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的所有棱长均相等，所以四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 又∵O~1~O⊥底面ABCD， ∴OB，OC，OO~1~两两垂直， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18785.png){width="2.1458333333333335in" height="2.125in"} 如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO~1~所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O﹣xyz． 设AB=2， ∵∠CBA=60°， ∴OA=OC=1，OB=OD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18786.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 则O（0，0，0），B~1~（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18787.png){width="0.7291666666666666in" height="0.20833333333333334in"}），C~1~（0，1，2） 易知，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18788.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（0，1，0）是平面BDD~1~B~1~的一个法向量， 设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18789.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（x，y，z）是平面OB~1~C~1~的一个法向量，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18790.png){width="0.8854166666666666in" height="0.59375in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18791.png){width="0.8333333333333334in" height="0.4270833333333333in"} 取z=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18792.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则x=2，y=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18792.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18793.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（2，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18792.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18792.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}） 设二面角C~1~﹣OB~1~﹣D的大小为θ，易知θ是锐角，于是： cosθ=\|cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18794.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18795.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}＞\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18796.png){width="0.8958333333333334in" height="0.5625in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18797.png){width="0.34375in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18798.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}， 故二面角C~1~﹣OB~1~﹣D的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18798.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键． 　 20．（13分）已知数列{a~n~}满足a~1~=1，\|a~n+1~﹣a~n~\|=p^n^，n∈N^\*^． （Ⅰ）若{a~n~}是递增数列，且a~1~，2a~2~，3a~3~成等差数列，求p的值； （Ⅱ）若p=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18799.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，且{a~2n﹣1~}是递增数列，{a~2n~}是递减数列，求数列{a~n~}的通项公式． 【分析】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a~2~和a~3~，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用"{a~n~}是递增数列"对求出的p的值取舍； （Ⅱ）根据数列的单调性和式子"\|a~n+1~﹣a~n~\|=p^n^"、不等式的可加性，求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18800.png){width="1.28125in" height="0.4270833333333333in"}和a~2n+1~﹣a~2n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18801.png){width="0.3958333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，再对数列{a~n~}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a~n~}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来． 【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a~n~}是递增数列，∴a~n+1~﹣a~n~＞0， 则\|a~n+1~﹣a~n~\|=p^n^化为：a~n+1~﹣a~n~=p^n^， 分别令n=1，2可得，a~2~﹣a~1~=p，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18802.png){width="0.7708333333333334in" height="0.28125in"}， 即a~2~=1+p，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18803.png){width="0.84375in" height="0.28125in"}， ∵a~1~，2a~2~，3a~3~成等差数列，∴4a~2~=a~1~+3a~3~， 即4（1+p）=1+3（p^2^+p+1）， 化简得3p^2^﹣p=0，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18804.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}或0， 当p=0时，数列a~n~为常数数列，不符合数列{a~n~}是递增数列， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18804.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}； （2）由题意可得，\|a~n+1~﹣a~n~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18805.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 则\|a~2n~﹣a~2n﹣1~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18806.png){width="0.4270833333333333in" height="0.4270833333333333in"}，\|a~2n+2~﹣a~2n+1~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18807.png){width="0.4270833333333333in" height="0.4270833333333333in"}， ∵数列{a~2n﹣1~}是递增数列，且{a~2n~}是递减数列， ∴a~2n+1~﹣a~2n﹣1~＞0，且a~2n+2~﹣a~2n~＜0， 则﹣（a~2n+2~﹣a~2n~）＞0，两不等式相加得 a~2n+1~﹣a~2n﹣1~﹣（a~2n+2~﹣a~2n~）＞0，即a~2n+1~﹣a~2n+2~＞a~2n﹣1~﹣a~2n~， 又∵\|a~2n~﹣a~2n﹣1~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18808.png){width="0.4270833333333333in" height="0.4270833333333333in"}＞\|a~2n+2~﹣a~2n+1~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18809.png){width="0.4270833333333333in" height="0.4270833333333333in"}， ∴a~2n~﹣a~2n﹣1~＞0，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18810.png){width="1.28125in" height="0.4270833333333333in"}， 同理可得：a~2n+3~﹣a~2n+2~＞a~2n+1~﹣a~2n~，即\|a~2n+3~﹣a~2n+2~\|＜\|a~2n+1~﹣a~2n~\|， 则a~2n+1~﹣a~2n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18811.png){width="0.3958333333333333in" height="0.4270833333333333in"} 当数列{a~n~}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N^\*^）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18812.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18813.png){width="0.90625in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18814.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}，...，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18815.png){width="1.28125in" height="0.4270833333333333in"}， 这2m﹣1个等式相加可得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18816.png){width="3.0in" height="0.4270833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18817.png){width="0.8020833333333334in" height="0.4270833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18818.png){width="1.7708333333333333in" height="0.8229166666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18819.png){width="0.8541666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18820.png){width="1.21875in" height="0.4270833333333333in"}； 当数列{a~n~}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N^\*^） ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18821.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18822.png){width="0.90625in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18823.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}，...，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18824.png){width="1.2395833333333333in" height="0.4270833333333333in"}， 这2m个等式相加可得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18825.png){width="1.53125in" height="0.4270833333333333in"}...![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18826.png){width="0.6354166666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18827.png){width="0.7604166666666666in" height="0.4270833333333333in"}...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18828.png){width="0.3958333333333333in" height="0.4270833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18829.png){width="0.7708333333333334in" height="0.8229166666666666in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18830.png){width="0.7708333333333334in" height="0.8229166666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18831.png){width="0.71875in" height="0.4270833333333333in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18832.png){width="1.21875in" height="0.4270833333333333in"}，且当m=0时a~1~=1符合， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18833.png){width="1.0833333333333333in" height="0.4270833333333333in"}， 综上得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18834.png){width="1.9583333333333333in" height="0.90625in"}． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大． 　 21．（13分）如图，O为坐标原点，椭圆C~1~：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18835.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18836.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，离心率为e~1~；双曲线C~2~：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18835.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18836.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1的左、右焦点分别为F~3~，F~4~，离心率为e~2~，已知e~1~e~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18837.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，且\|F~2~F~4~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18838.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣1． （Ⅰ）求C~1~、C~2~的方程； （Ⅱ）过F~1~作C~1~的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C~2~交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18839.png){width="2.792361111111111in" height="1.84375in"} 【分析】（Ⅰ）由斜率公式写出e~1~，e~2~，把双曲线的焦点用含有a，b的代数式表示，结合已知条件列关于a，b的方程组求解a，b的值，则圆锥曲线方程可求； （Ⅱ）设出AB所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB中点M的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB的长度，写出PQ的方程，和双曲线联立后解出P，Q的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P，Q到AB的距离，然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ的面积，再由关于n的函数的单调性求得最值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18840.png){width="1.8125in" height="0.5in"}，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18841.png){width="1.3541666666666667in" height="0.28125in"}． ∵e~1~e~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18842.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，且\|F~2~F~4~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18843.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣1． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18844.png){width="1.4791666666666667in" height="0.5in"}，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18845.png){width="1.7916666666666667in" height="0.25in"}． 解得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18846.png){width="0.8333333333333334in" height="0.20833333333333334in"}． ∴椭圆C~1~的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18847.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，双曲线C~2~的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18848.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得F~1~（﹣1，0）． ∵直线AB不垂直于y轴， ∴设AB的方程为x=ny﹣1， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18849.png){width="0.8125in" height="0.6666666666666666in"}，得（n^2^+2）y^2^﹣2ny﹣1=0． 设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），M（x~0~，y~0~）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18850.png){width="1.8958333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18851.png){width="0.9895833333333334in" height="0.4270833333333333in"}． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18852.png){width="2.3854166666666665in" height="0.3020833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18853.png){width="1.8125in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18854.png){width="0.9166666666666666in" height="0.5in"}． ∵M在直线AB上， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18855.png){width="1.4791666666666667in" height="0.4791666666666667in"}． 直线PQ的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18856.png){width="0.9270833333333334in" height="0.4895833333333333in"}， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18857.png){width="0.8125in" height="0.8541666666666666in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18858.png){width="1.5in" height="0.3645833333333333in"}． 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18859.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18860.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3645833333333333in"} 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18861.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4791666666666667in"}． 由2﹣n^2^＞0，得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18862.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}＜n＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18862.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． ∴P，Q的坐标分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18863.png){width="3.1666666666666665in" height="0.5in"}， 则P，Q到AB的距离分别为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18864.png){width="2.0104166666666665in" height="0.7708333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18865.png){width="2.09375in" height="0.7708333333333334in"}． ∵P，Q在直线A，B的两端， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18866.png){width="2.3020833333333335in" height="0.7708333333333334in"}． 则四边形APBQ的面积S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12394.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|AB\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18867.png){width="1.8854166666666667in" height="0.4479166666666667in"}． ∴当n^2^=0，即n=0时，四边形APBQ面积取得最小值2． 【点评】本题考查圆锥曲线方程的求法，是直线与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线间的关系的综合题，考查了椭圆与双曲线的基本性质，关键是学生要有较强的运算能力，是压轴题． 　 22．（13分）已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18868.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性； （Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x~1~，x~2~，且f（x~1~）+f（x~2~）＞0，求a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论； （Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18869.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． ∴f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18870.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18871.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18872.png){width="1.0833333333333333in" height="0.4791666666666667in"}， ∵（1+ax）（x+2）^2^＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增， 当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18873.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，则函数f（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18874.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}）单调递减，在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18874.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，+∞）单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点． 因此要使f（x）存在两个极值点x~1~，x~2~，则必有0＜a＜1，又f（x）的极值点值可能是x~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18874.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，x~2~=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18874.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}， 且由f（x）的定义域可知x＞﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18875.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}且x≠﹣2， ∴﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18876.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}＞﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18877.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}且﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18876.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}≠﹣2，解得a≠![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18878.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则x~1~，x~2~分别为函数f（x）的极小值点和极大值点， ∴f（x~1~）+f（x~2~）=ln\[1+ax~1~\]﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18879.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}+ln（1+ax~2~）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18880.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}=ln\[1+a（x~1~+x~2~）+a^2^x~1~x~2~\]﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18881.png){width="1.4479166666666667in" height="0.4791666666666667in"} =ln（2a﹣1）^2^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18882.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=ln（2a﹣1）^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18883.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}﹣2． 令2a﹣1=x，由0＜a＜1且a≠![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18884.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}得， 当0＜a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18884.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，﹣1＜x＜0；当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18885.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜a＜1时，0＜x＜1． 令g（x）=lnx^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18886.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣2． （i）当﹣1＜x＜0时，g（x）=2ln（﹣x）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18886.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣2，∴g′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18886.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18887.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18888.png){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}＜0， 故g（x）在（﹣1，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣1）=﹣4＜0， ∴当0＜a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18885.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，f（x~1~）+f（x~2~）＜0； （ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18889.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣2，g′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18889.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18890.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18891.png){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}＜0， 故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0， ∴当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18892.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜a＜1时，f（x~1~）+f（x~2~）＞0； 综上所述，a的取值范围是（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18892.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1）． 【点评】本题主要考查学生对含有参数的函数的单调性及极值的判断，考查利用导数判断函数的单调性及求极值的能力，考查分类讨论思想及转化划归思想的运用和运算能力，逻辑性综合性强，属难题． 2014年湖南省高考数学试卷（文科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）** 1．（5分）设命题p：∀x∈R，x^2^+1＞0，则￢p为（　　） A．∃x~0~∈R，x~0~^2^+1＞0 B．∃x~0~∈R，x~0~^2^+1≤0 C．∃x~0~∈R，x~0~^2^+1＜0 D．∀x~0~∈R，x~0~^2^+1≤0 【分析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项 【解答】解∵命题p：∀x∈R，x^2^+1＞0，是一个特称命题． ∴￢p：∃x~0~∈R，x~0~^2^+1≤0． 故选：B． 【点评】本题考查特称命题的否定，掌握其中的规律是正确作答的关键． 　 2．（5分）已知集合A={x\|x＞2}，B={x\|1＜x＜3}，则A∩B=（　　） A．{x\|x＞2} B．{x\|x＞1} C．{x\|2＜x＜3} D．{x\|1＜x＜3} 【分析】直接利用交集运算求得答案． 【解答】解：∵A={x\|x＞2}，B={x\|1＜x＜3}， ∴A∩B={x\|x＞2}∩{x\|1＜x＜3}={x\|2＜x＜3}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18893.png){width="1.3958333333333333in" height="0.375in"} 故选：C． 【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题． 　 3．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P~1~，P~2~，P~3~，则（　　） A．P~1~=P~2~＜P~3~ B．P~2~=P~3~＜P~1~ C．P~1~=P~3~＜P~2~ D．P~1~=P~2~=P~3~ 【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论． 【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的， 即P~1~=P~2~=P~3~． 故选：D． 【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础． 　 4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（　　） A．f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18894.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"} B．f（x）=x^2^+1 C．f（x）=x^3^ D．f（x）=2^﹣x^ 【分析】本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增，得到本题结论． 【解答】解：选项A，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18895.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，∵f（﹣x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18896.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}=f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称． ∵f（x）=x^﹣2^，﹣2＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减， ∴根据对称性知，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增； 适合题意． 选项B，f（x）=x^2^+1，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不合题意． 选项C，f（x）=x^3^是奇函数，不是偶函数，不合题意． 选项D，f（x）=2^﹣x^在（﹣∞，+∞）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题． 　 5．（5分）在区间\[﹣2，3\]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18897.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18898.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18899.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18900.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论． 【解答】解：在区间\[﹣2，3\]上随机选取一个数X， 则﹣2≤X≤3， 则X≤1的概率P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18901.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：B． 【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础． 　 6．（5分）若圆C~1~：x^2^+y^2^=1与圆C~2~：x^2^+y^2^﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（　　） A．21 B．19 C．9 D．﹣11 【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值． 【解答】解：由C~1~：x^2^+y^2^=1，得圆心C~1~（0，0），半径为1， 由圆C~2~：x^2^+y^2^﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）^2^+（y﹣4）^2^=25﹣m， ∴圆心C~2~（3，4），半径为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18902.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}． ∵圆C~1~与圆C~2~外切， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18903.png){width="1.34375in" height="0.25in"}， 解得：m=9． 故选：C． 【点评】本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题． 　 7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈\[﹣2，2\]，则输出的S属于（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18904.png){width="2.2291666666666665in" height="3.0840277777777776in"} A．\[﹣6，﹣2\] B．\[﹣5，﹣1\] C．\[﹣4，5\] D．\[﹣3，6\] 【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论． 【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t﹣3∈\[﹣3，﹣1\]， 若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t^2^+1∈（1，9\]，此时不满足条件，输出S=t﹣3∈（﹣2，6\]， 综上：S=t﹣3∈\[﹣3，6\]， 故选：D． 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用函数的取值范围是解决本题的关键，比较基础． 　 8．（5分）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18905.png){width="1.375in" height="1.8229166666666667in"} A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r． 【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则 8﹣r+6﹣r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18906.png){width="0.59375in" height="0.25in"}， ∴r=2． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18907.png){width="1.15625in" height="1.53125in"} 【点评】本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 9．（5分）若0＜x~1~＜x~2~＜1，则（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18908.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18909.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}＞lnx~2~﹣lnx~1~ B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18910.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18911.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}＜lnx~2~﹣lnx~1~ C．x~2~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18911.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}＞x~1~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18910.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"} D．x~2~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18911.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}＜x~1~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18910.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"} 【分析】分别设出两个辅助函数f（x）=e^x^+lnx，g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18912.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，由导数判断其在（0，1）上的单调性，结合已知条件0＜x~1~＜x~2~＜1得答案． 【解答】解：令f（x）=e^x^﹣lnx， 则f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18913.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}， 当x趋近于0时，xe^x^﹣1＜0，当x=1时，xe^x^﹣1＞0， 因此在（0，1）上必然存在f′（x）=0， 因此函数f（x）在（0，1）上先递减后递增，故A、B均错误； 令g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18914.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18915.png){width="1.2395833333333333in" height="0.4791666666666667in"}， 当0＜x＜1时，g′（x）＜0． ∴g（x）在（0，1）上为减函数， ∵0＜x~1~＜x~2~＜1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18916.png){width="0.7916666666666666in" height="0.5208333333333334in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18917.png){width="1.1041666666666667in" height="0.3229166666666667in"}． ∴选项C正确而D不正确． 故选：C． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答此题的关键在于想到构造两个函数，是中档题． 　 10．（5分）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18918.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），C（3，0），动点D满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18919.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18920.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18921.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18922.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|的取值范围是（　　） A．\[4，6\] B．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18923.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18923.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}+1\] C．\[2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18924.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18925.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\] D．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18925.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18925.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+1\] 【分析】由于动点D满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18926.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，C（3，0），可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈\[0，2π））．再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵动点D满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18926.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，C（3，0）， ∴可设D（3+cosθ，sinθ）（θ∈\[0，2π））． 又A（﹣1，0），B（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18927.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18928.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18929.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18930.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18931.png){width="1.6666666666666667in" height="0.20833333333333334in"}． ∴\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18928.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18929.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18930.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18932.png){width="2.09375in" height="0.2708333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18933.png){width="1.6041666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18934.png){width="1.4375in" height="0.20833333333333334in"}，（其中sinφ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18935.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，cosφ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18936.png){width="0.23958333333333334in" height="0.40625in"}） ∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18937.png){width="0.6979166666666666in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18938.png){width="1.125in" height="0.1875in"}sin（θ+φ）≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18939.png){width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18940.png){width="0.6979166666666666in" height="0.25in"}， ∴\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18941.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18942.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18943.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|的取值范围是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18944.png){width="1.1458333333333333in" height="0.20833333333333334in"}． 或\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18941.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18942.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18945.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18946.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18947.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18948.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18949.png){width="0.7708333333333334in" height="0.20833333333333334in"}=（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18950.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）， 将其起点平移到D点，由其与CD同向反向时分别取最大值、最小值，即\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18946.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18947.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18945.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|的取值范围是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18951.png){width="1.1458333333333333in" height="0.20833333333333334in"}． 故选：D． 【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 　 **二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）** 11．（5分）复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18952.png){width="0.3020833333333333in" height="0.4270833333333333in"}（i为虚数单位）的实部等于[　﹣3　]{.underline}． 【分析】直接由虚数单位i的运算性质化简，则复数的实部可求． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18952.png){width="0.3020833333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18953.png){width="0.7395833333333334in" height="0.3645833333333333in"}． ∴复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18952.png){width="0.3020833333333333in" height="0.4270833333333333in"}（i为虚数单位）的实部等于﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题． 　 12．（5分）在平面直角坐标系中，曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18954.png){width="0.8020833333333334in" height="0.8333333333333334in"}（t为参数）的普通方程为[　x﹣y﹣1=0　]{.underline}． 【分析】利用两式相减，消去t，从而得到曲线C的普通方程． 【解答】解：∵曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18954.png){width="0.8020833333333334in" height="0.8333333333333334in"}（t为参数）， ∴两式相减可得x﹣y﹣1=0． 故答案为：x﹣y﹣1=0． 【点评】本题考查参数方程化成普通方程，应掌握两者的互相转化． 　 13．（5分）若变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18955.png){width="0.625in" height="0.65625in"}，则z=2x+y的最大值为[　7　]{.underline}． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=2x+y，得y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C， 直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18956.png){width="0.5416666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18957.png){width="0.375in" height="0.40625in"}，即C（3，1）， 此时z=2×3+1=7， 故答案为：7． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18958.png){width="2.4270833333333335in" height="2.4375in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 　 14．（5分）平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是[　k＜﹣1或k＞1　]{.underline}． 【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y^2^=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围． 【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y^2^=4x， 过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1）， 代入y^2^=4x，可得k^2^x^2^+（2k^2^﹣4）x+k^2^=0， ∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线， ∴△=（2k^2^﹣4）^2^﹣4k^4^＜0， ∴k＜﹣1或k＞1． 故答案为：k＜﹣1或k＞1． 【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 　 15．（5分）若f（x）=ln（e^3x^+1）+ax是偶函数，则a=[　﹣]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18959.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论． 【解答】解：若f（x）=ln（e^3x^+1）+ax是偶函数， 则f（﹣x）=f（x）， 即ln（e^3x^+1）+ax=ln（e^﹣3x^+1）﹣ax， 即2ax=ln（e^﹣3x^+1）﹣ln（e^3x^+1）=ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18960.png){width="0.7604166666666666in" height="0.4791666666666667in"}=ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18961.png){width="0.9895833333333334in" height="0.4791666666666667in"}=lne^﹣3x^=﹣3x， 即2a=﹣3，解得a=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18962.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18962.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义得到f（﹣x）=f（x）是解决本题的关键． 　 **三、解答题（共6小题，75分）** 16．（12分）已知数列{a~n~}的前n项和S~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18963.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，n∈N^\*^． （Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）设b~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18964.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}+（﹣1）^n^a~n~，求数列{b~n~}的前2n项和． 【分析】（Ⅰ）利用公式法即可求得； （Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a~1~=s~1~=1， 当n≥2时，a~n~=s~n~﹣s~n﹣1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18963.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18965.png){width="1.1041666666666667in" height="0.4270833333333333in"}=n， ∴数列{a~n~}的通项公式是a~n~=n． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，b~n~=2^n^+（﹣1）^n^n，记数列{b~n~}的前2n项和为T~2n~，则 T~2n~=（2^1^+2^2^+...+2^2n^）+（﹣1+2﹣3+4﹣...+2n） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18966.png){width="0.75in" height="0.4270833333333333in"}+n=2^2n+1^+n﹣2． ∴数列{b~n~}的前2n项和为2^2n+1^+n﹣2． 【点评】本题主要考查数列通项公式的求法﹣公式法及数列求和的方法﹣分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题． 　 17．（12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下： （a，b），（a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18967.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}），（a，b），（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18968.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}，b），（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18968.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18969.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}），（a，b），（a，b），（a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18969.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）， （![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18970.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}，b），（a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18969.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}），（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18970.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18969.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}），（a，b），（a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18969.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}），（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18970.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}，b）（a，b） 其中a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18970.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}分别表示甲组研发成功和失败，b，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18969.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}分别表示乙组研发成功和失败． （Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平； （Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率． 【分析】（Ⅰ）分别求出甲乙的研发成绩，再根据平均数和方差公式计算平均数，方差，最后比较即可． （Ⅱ）找15个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是7个，求出频率，将频率视为概率，问题得以解决． 【解答】解：（Ⅰ）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18971.png){width="0.2604166666666667in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18972.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18973.png){width="0.3541666666666667in" height="0.28125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18974.png){width="2.2708333333333335in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18975.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18976.png){width="0.2604166666666667in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18977.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18978.png){width="0.3541666666666667in" height="0.28125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18979.png){width="2.1875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18980.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18981.png){width="1.7708333333333333in" height="0.28125in"} 所以甲的研发水平高于乙的研发水平． （Ⅱ）记E={恰有一组研发成功}，在所抽到的15个结果中， 恰有一组研发成功的结果是（a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18982.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}），（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18983.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}，b），（a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18984.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}），（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18983.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}，b），（a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18984.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}），（a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18984.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}），（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18983.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}，b）共7个， 故事件E发生的频率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18985.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 将频率视为概率，即恰有一组研发成功的概率为P（E）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18985.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查了平均数方差和用频率表示概率，培养的学生的运算能力． 　 18．（12分）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O． （Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE； （Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18986.png){width="1.6875in" height="0.8958333333333334in"} 【分析】（Ⅰ）运用直线与平面垂直的判定定理，即可证得，注意平面内的相交二直线； （Ⅱ）根据异面直线的定义，找出所成的角为∠ADO，说明∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，不妨设AB=2，从而求出OD的长，再在直角三角形AOD中，求出cos∠ADO． 【解答】（1）证明：如图 ∵DO⊥面α，AB⊂α，∴DO⊥AB， 连接BD，由题设知，△ABD是正三角形， 又E是AB的中点，∴DE⊥AB，又DO∩DE=D， ∴AB⊥平面ODE； （Ⅱ）解：∵BC∥AD， ∴BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角， 由（Ⅰ）知，AB⊥平面ODE， ∴AB⊥OE，又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角， 从而∠DEO=60°，不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18987.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 在Rt△DOE中，DO=DEsin60°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18988.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，连AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18989.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18990.png){width="0.40625in" height="0.5625in"}， 故异面直线BC与OD所成角的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18991.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18992.png){width="1.6875in" height="0.8958333333333334in"} 【点评】本题主要考查线面垂直的判定，以及空间的二面角和异面直线所成的角的定义以及计算，是一道基础题． 　 19．（13分）如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18993.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，EA=2，∠ADC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18994.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，∠BEC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18995.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅰ）求sin∠CED的值； （Ⅱ）求BE的长． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image18996.png){width="1.75in" height="0.71875in"} 【分析】（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论． （Ⅱ）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED， 在△CDE中，由余弦定理得EC^2^=CD^2^+ED^2^﹣2CD•DEcos∠CDE， 即7=CD^2^+1+CD，则CD^2^+CD﹣6=0， 解得CD=2或CD=﹣3，（舍去）， 在△CDE中，由正弦定理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18997.png){width="1.2916666666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 则sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18998.png){width="1.9270833333333333in" height="0.6041666666666666in"}， 即sin∠CED=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18999.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅱ）由题设知0＜α＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19000.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，由（Ⅰ）知cosα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19001.png){width="1.90625in" height="0.40625in"}， 而∠AEB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19002.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴cos∠AEB=cos（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19002.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19003.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}cosα+sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19003.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19004.png){width="1.96875in" height="0.3854166666666667in"}， 在Rt△EAB中，cos∠AEB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19005.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故BE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19006.png){width="1.4895833333333333in" height="0.5833333333333334in"}． 【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大． 　 20．（13分）如图，O为坐标原点，双曲线C~1~：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19007.png){width="0.22916666666666666in" height="0.53125in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19008.png){width="0.22916666666666666in" height="0.5416666666666666in"}=1（a~1~＞0，b~1~＞0）和椭圆C~2~：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19009.png){width="0.22916666666666666in" height="0.5416666666666666in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19010.png){width="0.22916666666666666in" height="0.53125in"}=1（a~2~＞b~2~＞0）均过点P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19011.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，1），且以C~1~的两个顶点和C~2~的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． （Ⅰ）求C~1~、C~2~的方程； （Ⅱ）是否存在直线l，使得l与C~1~交于A、B两点，与C~2~只有一个公共点，且\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19012.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19013.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19014.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|？证明你的结论． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19015.png){width="1.3020833333333333in" height="1.4895833333333333in"} 【分析】（Ⅰ）由条件可得a~1~=1，c~2~=1，根据点P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19016.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，1）在上求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19017.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}=3，可得双曲线C~1~的方程．再由椭圆的定义求得a~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19018.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19019.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19020.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19021.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}的值，从而求得椭圆C~2~的方程． （Ⅱ）若直线l垂直于x轴，检验部不满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19022.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19023.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|≠\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19024.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|．若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为 y=kx+m，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19025.png){width="0.8125in" height="0.6770833333333334in"} 可得y~1~•y~2~ =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19026.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}．由 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19027.png){width="0.84375in" height="0.6770833333333334in"}可得 （2k^2^+3）x^2^+4kmx+2m^2^﹣6=0，根据直线l和C~1~仅有一个交点，根据判别式△=0，求得2k^2^=m^2^﹣3，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19028.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}≠0，可得\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19029.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19030.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|≠\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19031.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|．综合（1）、（2）可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C~2~的焦距为2c~2~，由题意可得2a~1~=2，∴a~1~=1，c~2~=1． 由于点P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19032.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，1）在上，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19033.png){width="0.6458333333333334in" height="0.4479166666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19034.png){width="0.3125in" height="0.4791666666666667in"}=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19035.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}=3， ∴双曲线C~1~的方程为：x^2^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19036.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1． 再由椭圆的定义可得 2a~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19037.png){width="1.5208333333333333in" height="0.46875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19038.png){width="1.5208333333333333in" height="0.46875in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19039.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∴a~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19039.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19040.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19041.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19042.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}=2，∴椭圆C~2~的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19043.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19044.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=1． （Ⅱ）不存在满足条件的直线l． （1）若直线l垂直于x轴，则由题意可得直线l得方程为x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19045.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，或 x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19045.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19045.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}时，可得 A（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19045.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19046.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）、B（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19047.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19048.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），求得\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19049.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19047.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19050.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19048.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 显然，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19051.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19052.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|≠\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19053.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|． 同理，当x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19054.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}时，也有\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19055.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19056.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|≠\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19053.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|． （2）若直线l不垂直于x轴，设直线l得方程为 y=kx+m，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19057.png){width="0.8125in" height="0.6770833333333334in"} 可得 （3﹣k^2^）x^2^﹣2mkx﹣m^2^﹣3=0，∴x~1~+x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19058.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，x~1~•x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19059.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}． 于是，y~1~•y~2~=k^2^x~1~•x~2~+km（x~1~+x~2~）+m^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19060.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}． 由 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19061.png){width="0.84375in" height="0.6770833333333334in"}可得 （2k^2^+3）x^2^+4kmx+2m^2^﹣6=0，根据直线l和C~1~仅有一个交点， ∴判别式△=16k^2^m^2^﹣8（2k^2^+3）（m^2^﹣3）=0，∴2k^2^=m^2^﹣3． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19062.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=x~1~•x~2~+y~1~•y~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19063.png){width="0.5in" height="0.4791666666666667in"}≠0，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19064.png){width="0.78125in" height="0.2708333333333333in"}≠![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19065.png){width="0.78125in" height="0.2708333333333333in"}， ∴\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19066.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19067.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|≠\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19068.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|． 综合（1）、（2）可得，不存在满足条件的直线l． 【点评】本题主要考查椭圆的定义、性质、标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 　 21．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）记x~i~为f（x）的从小到大的第i（i∈N^\*^）个零点，证明：对一切n∈N^\*^，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19069.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19070.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19071.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19072.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数研究f（x）的单调区间； （Ⅱ）利用放缩法即可证明不等式即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xcosx﹣sinx+1（x＞0）， ∴f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx， 由f′（x）=﹣xsinx=0，解得x=kπ（k∈N^\*^）， 当x∈（2kπ，（2k+1）π）（k∈N），sinx＞0，此时f′（x）＜0，函数单调递减， 当x∈（（2k+1）π，（2k+2）π）（k∈N），sinx＜0，此时f′（x）＞0，函数单调递增， 故f（x）的单调增区间为（（2k+1）π，（2k+2）π），k≥0，单调递减区间为（2kπ，（2k+1）π），k∈N^\*^）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在区间（0，π）上单调递减， 又f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image67.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=0，故x~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image67.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 当n∈N^\*^， ∵f（nπ）f（（n+1）π）=\[（﹣1）^n^nπ+1\]\[（﹣1）^n+1^（n+1）π+1\]＜0， 且函数f（x）的图象是连续不间断的， ∴f（x）在区间（nπ，（n+1）π）内至少存在一个零点， 又f（x）在区间（nπ，（n+1）π）是单调的， 故nπ＜x~n+1~＜（n+1）π， 因此当n=1时，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19073.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19074.png){width="0.3125in" height="0.4270833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19075.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}成立． 当n=2时，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19076.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19077.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19078.png){width="0.75in" height="0.4270833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19075.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 当n≥3时， ... ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19076.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19079.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19080.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19081.png){width="2.0104166666666665in" height="0.4270833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19082.png){width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19083.png){width="1.8125in" height="0.3645833333333333in"}\]![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19084.png){width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19085.png){width="2.03125in" height="0.3645833333333333in"}\] ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19084.png){width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}（6﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19086.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19087.png){width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19088.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 综上证明：对一切n∈N^\*^，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19089.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19090.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19091.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19088.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查函数单调性的判定和证明，以及利用导数和不等式的综合，利用放缩法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大． 2014年江苏省高考数学试卷 ------------------------ **参考答案与试题解析** 　 **一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）** 1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=[　{﹣1，3}　]{.underline}． 【分析】根据集合的基本运算即可得到结论． 【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}， ∴A∩B={﹣1，3}， 故答案为：{﹣1，3} 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 　 2．（5分）已知复数z=（5+2i）^2^（i为虚数单位），则z的实部为[　21　]{.underline}． 【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论． 【解答】解：z=（5+2i）^2^=25+20i+4i^2^=25﹣4+20i=21+20i， 故z的实部为21， 故答案为：21 【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础． 　 3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是[　5　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19092.png){width="1.1354166666666667in" height="2.6152777777777776in"} 【分析】算法的功能是求满足2^n^＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案． 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2^n^＞20的最小的正整数n的值， ∵2^4^=16＜20，2^5^=32＞20， ∴输出n=5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 　 4．（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19093.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】首先列举并求出"从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数"的基本事件的个数再从中找到满足"所取2个数的乘积为6"的事件的个数，利用概率公式计算即可． 【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个， 所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个， 故所求概率P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19094.png){width="0.375in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19093.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件． 　 5．（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19095.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}的交点，则φ的值是[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19096.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19097.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}的交点，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19098.png){width="1.5625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19099.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19097.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}的交点， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19098.png){width="1.5625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19099.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ∵0≤φ＜π，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19100.png){width="1.53125in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19101.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19102.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 解得φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19103.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19103.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题． 　 6．（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间\[80，130\]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有[　24　]{.underline}株树木的底部周长小于100cm． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19104.png){width="3.229861111111111in" height="1.8958333333333333in"} 【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数． 【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4， ∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）． 故答案为：24． 【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19105.png){width="0.71875in" height="0.4166666666666667in"}． 　 7．（5分）在各项均为正数的等比数列{a~n~}中，若a~2~=1，a~8~=a~6~+2a~4~，则a~6~的值是[　4　]{.underline}． 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出． 【解答】解：设等比数列{a~n~}的公比为q＞0，a~1~＞0． ∵a~8~=a~6~+2a~4~， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19106.png){width="1.4479166666666667in" height="0.28125in"}， 化为q^4^﹣q^2^﹣2=0，解得q^2^=2． ∴a~6~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19107.png){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19108.png){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}=1×2^2^=4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题． 　 8．（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S~1~，S~2~，体积分别为V~1~，V~2~，若它们的侧面积相等，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19109.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19110.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19111.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}的值是[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19112.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比． 【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h； ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19109.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19110.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19113.png){width="0.375in" height="0.3645833333333333in"}，它们的侧面积相等，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19114.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19115.png){width="0.375in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19116.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19117.png){width="0.5in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19118.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19119.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19119.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目． 　 9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）^2^+（y+1）^2^=4截得的弦长为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19120.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}[　]{.underline}． 【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长． 【解答】解：圆（x﹣2）^2^+（y+1）^2^=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2， ∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19121.png){width="0.6354166666666666in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19122.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）^2^+（y+1）^2^=4截得的弦长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19123.png){width="0.59375in" height="0.25in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19124.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19120.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19120.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题． 　 10．（5分）已知函数f（x）=x^2^+mx﹣1，若对于任意x∈\[m，m+1\]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是[　（﹣]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19125.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}[，0）　]{.underline}． 【分析】由条件利用二次函数的性质可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19126.png){width="2.2604166666666665in" height="0.53125in"}，由此求得m的范围． 【解答】解：∵二次函数f（x）=x^2^+mx﹣1的图象开口向上， 对于任意x∈\[m，m+1\]，都有f（x）＜0成立，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19126.png){width="2.2604166666666665in" height="0.53125in"}， 即 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19127.png){width="1.125in" height="0.6458333333333334in"}，解得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19128.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}＜m＜0， 故答案为：（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19128.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，0）． 【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题． 　 11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19129.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是[　﹣3　]{.underline}． 【分析】由曲线y=ax^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19129.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y\|~x=2~=﹣5，且y′\|~x=2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19130.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，解方程可得答案． 【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19130.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 曲线y=ax^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19129.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行， ∴y′=2ax﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19131.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19132.png){width="0.8333333333333334in" height="0.7916666666666666in"}， 解得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19133.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3958333333333333in"}， 故a+b=﹣3， 故答案为：﹣3 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y\|~x=2~=﹣5，且y′\|~x=2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19134.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，是解答的关键． 　 12．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19135.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19136.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19137.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19138.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19139.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19140.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的值是[　22　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19141.png){width="2.0104166666666665in" height="0.90625in"} 【分析】由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19142.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19143.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19144.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19140.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19145.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19146.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19147.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19148.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19149.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19146.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，进而由AB=8，AD=5，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19150.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19151.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19152.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19147.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2，构造方程，进而可得答案． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19153.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19154.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19155.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19156.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19157.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19158.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19159.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19156.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19160.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19158.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， 又∵AB=8，AD=5， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19161.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19162.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19163.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19164.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19165.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19163.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19166.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19165.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}）=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19163.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19167.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19168.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19169.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19170.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19168.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^=25﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19167.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19168.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19169.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣12=2， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19168.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19171.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=22， 故答案为：22． 【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19172.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19171.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19173.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19174.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19175.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19171.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19176.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19174.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，是解答的关键． 　 13．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈\[0，3）时，f（x）=\|x^2^﹣2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19177.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|，若函数y=f（x）﹣a在区间\[﹣3，4\]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是[　（0，]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19177.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[）　]{.underline}． 【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可． 【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈\[0，3）时，f（x）=\|x^2^﹣2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19177.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|，若函数y=f（x）﹣a在区间\[﹣3，4\]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19178.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19179.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19180.png){width="4.302777777777778in" height="2.3958333333333335in"} 【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用． 　 14．（5分）若△ABC的内角满足sinA+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19181.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinB=2sinC，则cosC的最小值是[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19182.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3854166666666667in"}[　]{.underline}． 【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论． 【解答】解：由正弦定理得a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9684.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b=2c，得c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19183.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9684.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b）， 由余弦定理得cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19184.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19185.png){width="1.5416666666666667in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19186.png){width="1.3229166666666667in" height="0.5833333333333334in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19187.png){width="1.1354166666666667in" height="0.5625in"}≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19188.png){width="1.3333333333333333in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19189.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19190.png){width="0.7708333333333334in" height="0.3854166666666667in"}时，取等号， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19189.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3854166666666667in"}≤cosC＜1，故cosC的最小值是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19191.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19191.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键． 　 **二、解答题（本大题共6小题，共计90分）** 15．（14分）已知α∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19192.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π），sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19193.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． （1）求sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19194.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+α）的值； （2）求cos（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19195.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}﹣2α）的值． 【分析】（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19194.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+α）的值； （2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19195.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}﹣2α）的值． 【解答】解：α∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19196.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π），sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19197.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}．∴cosα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19198.png){width="0.84375in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19199.png){width="0.4479166666666667in" height="0.3854166666666667in"} （1）sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19200.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+α）=sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19200.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}cosα+cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19200.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19201.png){width="1.7916666666666667in" height="0.3854166666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19202.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}； ∴sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19200.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+α）的值为：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19202.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． （2）∵α∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19203.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π），sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19204.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}．∴cos2α=1﹣2sin^2^α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19205.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，sin2α=2sinαcosα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19206.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ∴cos（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19207.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}﹣2α）=cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19207.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}cos2α+sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19207.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}sin2α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19208.png){width="1.5in" height="0.3854166666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19209.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}． cos（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19210.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}﹣2α）的值为：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19209.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力． 　 16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19211.png){width="1.8854166666666667in" height="2.0104166666666665in"} 【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF； （2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可． 【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA， 又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF， ∴PA∥平面DEF； （2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19212.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}PA=3； 又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19212.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}BC=4； ∴DE^2^+EF^2^=DF^2^， ∴∠DEF=90°， ∴DE⊥EF； ∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC； ∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC； ∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC． 【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目． 　 17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F~1~，F~2~分别为椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19213.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19214.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF~2~并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F~1~C． （1）若点C的坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19215.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19216.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），且BF~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19217.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求椭圆的方程； （2）若F~1~C⊥AB，求椭圆离心率e的值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19218.png){width="2.0in" height="1.84375in"} 【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值． （2）求出C的坐标，利用F~1~C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值． 【解答】解：（1）∵C的坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19219.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19220.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19221.png){width="0.7708333333333334in" height="0.625in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19222.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4270833333333333in"}， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19223.png){width="1.1875in" height="0.28125in"}， ∴a^2^=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19224.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）^2^=2，即b^2^=1， 则椭圆的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19225.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+y^2^=1． （2）设F~1~（﹣c，0），F~2~（c，0）， ∵B（0，b）， ∴直线BF~2~：y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19226.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x+b，代入椭圆方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19227.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19228.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）得（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19229.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"}）x^2^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19230.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}=0， 解得x=0，或x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19231.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}， ∵A（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19231.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19232.png){width="0.8125in" height="0.4791666666666667in"}），且A，C关于x轴对称， ∴C（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19231.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19233.png){width="0.8125in" height="0.4791666666666667in"}）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19234.png){width="0.3541666666666667in" height="0.2604166666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19235.png){width="0.84375in" height="0.9791666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19236.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4791666666666667in"}， ∵F~1~C⊥AB， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19237.png){width="0.9166666666666666in" height="0.4791666666666667in"}×（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19238.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣1， 由b^2^=a^2^﹣c^2^得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19239.png){width="0.46875in" height="0.4791666666666667in"}， 即e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19240.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大． 　 18．（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19241.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （1）求新桥BC的长； （2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？ ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19242.png){width="3.1256944444444446in" height="2.2916666666666665in"} 【分析】（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案； （2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大． 【解答】解：（1）如图， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19243.png){width="1.6875in" height="1.3958333333333333in"} 过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F， ∵∠ABC=90°，∠BEC=90°， ∴∠ABF=∠BCE， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19244.png){width="1.65625in" height="0.3645833333333333in"}． 设AF=4x（m），则BF=3x（m）． ∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°， ∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m）， ∴BE=（3x+60）m． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19245.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}， ∴CE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19246.png){width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"}（m）． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19247.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}（m）． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19248.png){width="1.09375in" height="0.3645833333333333in"}， 解得：x=20． ∴BE=120m，CE=90m， 则BC=150m； （2）如图， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19249.png){width="2.0625in" height="1.4583333333333333in"} 设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P， ∵∠POM=∠PQC=90°， ∴∠PMO=∠BCO． 设OM=xm，则OP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19250.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}m，PM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19251.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}m． ∴PC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19252.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}m，PQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19253.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}m． 设⊙M半径为R， ∴R=MQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19254.png){width="1.1666666666666667in" height="0.3645833333333333in"}m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19255.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}m． ∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m， 则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80， ∴136﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19256.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}﹣（60﹣x）≥80，136﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19256.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}﹣x≥80． 解得：10≤x≤35． ∴当且仅当x=10时R取到最大值． ∴OM=10m时，保护区面积最大． 【点评】本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题． 　 19．（16分）已知函数f（x）=e^x^+e^﹣x^，其中e是自然对数的底数． （1）证明：f（x）是R上的偶函数； （2）若关于x的不等式mf（x）≤e^﹣x^+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围； （3）已知正数a满足：存在x~0~∈\[1，+∞），使得f（x~0~）＜a（﹣x~0~^3^+3x~0~）成立，试比较e^a﹣1^与a^e﹣1^的大小，并证明你的结论． 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数； （2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e^﹣x^+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围； （3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论． 【解答】解：（1）∵f（x）=e^x^+e^﹣x^， ∴f（﹣x）=e^﹣x^+e^x^=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数； （2）若关于x的不等式mf（x）≤e^﹣x^+m﹣1在（0，+∞）上恒成立， 即m（e^x^+e^﹣x^﹣1）≤e^﹣x^﹣1， ∵x＞0， ∴e^x^+e^﹣x^﹣1＞0， 即m≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19257.png){width="0.78125in" height="0.4791666666666667in"}在（0，+∞）上恒成立， 设t=e^x^，（t＞1），则m≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19258.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}在（1，+∞）上恒成立， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19259.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19260.png){width="1.2708333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19261.png){width="1.28125in" height="0.5625in"}，当且仅当t=2时等号成立， ∴m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19262.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}． （3）令g（x）=e^x^+e^﹣x^﹣a（﹣x^3^+3x）， 则g′（x）=e^x^﹣e^﹣x^+3a（x^2^﹣1）， 当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在\[1，+∞）上单调递增， 故此时g（x）的最小值g（1）=e+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19263.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣2a， 由于存在x~0~∈\[1，+∞），使得f（x~0~）＜a（﹣x~0~^3^+3x~0~）成立， 故e+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19264.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣2a＜0， 即a＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19265.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（e+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19264.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）， 令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1， 则h′（x）=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19266.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 由h′（x）=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19266.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=0，解得x=e﹣1， 当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减， 当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增， ∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1）， 注意到h（1）=h（e）=0， ∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0， 当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0， ∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立． ①a∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19265.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（e+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19264.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而e^a﹣1^＜a^e﹣1^， ②当a=e时，a^e﹣1^=e^a﹣1^， ③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而e^a﹣1^＞a^e﹣1^． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大． 　 20．（16分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S~n~=a~m~，则称{a~n~}是"H数列"． （1）若数列{a~n~}的前n项和为S~n~=2^n^（n∈N^\*^），证明：{a~n~}是"H数列"； （2）设{a~n~}是等差数列，其首项a~1~=1，公差d＜0，若{a~n~}是"H数列"，求d的值； （3）证明：对任意的等差数列{a~n~}，总存在两个"H数列"{b~n~}和{c~n~}，使得a~n~=b~n~+c~n~（n∈N^\*^）成立． 【分析】（1）利用"当n≥2时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~，当n=1时，a~1~=S~1~"即可得到a~n~，再利用"H"数列的意义即可得出． （2）利用等差数列的前n项和即可得出S~n~，对∀n∈N^\*^，∃m∈N^\*^使S~n~=a~m~，取n=2和根据d＜0即可得出； （3）设{a~n~}的公差为d，构造数列：b~n~=a~1~﹣（n﹣1）a~1~=（2﹣n）a~1~，c~n~=（n﹣1）（a~1~+d），可证明{b~n~}和{c~n~}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、"H"的意义即可得出． 【解答】解：（1）当n≥2时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~=2^n^﹣2^n﹣1^=2^n﹣1^， 当n=1时，a~1~=S~1~=2． 当n=1时，S~1~=a~1~． 当n≥2时，S~n~=a~n+1~． ∴数列{a~n~}是"H"数列． （2）S~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19267.png){width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19268.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}， 对∀n∈N^\*^，∃m∈N^\*^使S~n~=a~m~，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19269.png){width="1.59375in" height="0.3645833333333333in"}， 取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19270.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∵d＜0，∴m＜2， 又m∈N^\*^，∴m=1，∴d=﹣1． （3）设{a~n~}的公差为d，令b~n~=a~1~﹣（n﹣1）a~1~=（2﹣n）a~1~， 对∀n∈N^\*^，b~n+1~﹣b~n~=﹣a~1~， c~n~=（n﹣1）（a~1~+d）， 对∀n∈N^\*^，c~n+1~﹣c~n~=a~1~+d， 则b~n~+c~n~=a~1~+（n﹣1）d=a~n~，且数列{b~n~}和{c~n~}是等差数列． 数列{b~n~}的前n项和T~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19271.png){width="1.4375in" height="0.3645833333333333in"}， 令T~n~=（2﹣m）a~1~，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19272.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 当n=1时，m=1；当n=2时，m=1． 当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N^\*^． 因此对∀n∈N^\*^，都可找到m∈N^\*^，使T~n~=b~m~成立，即{b~n~}为H数列． 数列{c~n~}的前n项和R~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19273.png){width="1.125in" height="0.3645833333333333in"}， 令c~m~=（m﹣1）（a~1~+d）=R~n~，则m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19274.png){width="0.7395833333333334in" height="0.3645833333333333in"}． ∵对∀n∈N^\*^，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N^\*^． 因此对∀n∈N^\*^，都可找到m∈N^\*^，使R~n~=c~m~成立，即{c~n~}为H数列． 因此命题得证． 【点评】本题考查了利用"当n≥2时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~，当n=1时，a~1~=S~1~"求a~n~、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义"H"的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题． 　 **三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】** 21．（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19275.png){width="1.1145833333333333in" height="1.125in"} 【分析】利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论． 【解答】证明：∵OC=OB， ∴∠OCB=∠B， ∵∠B=∠D， ∴∠OCB=∠D． 【点评】本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 　 **【选修4-2：矩阵与变换】** 22．（10分）已知矩阵A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19276.png){width="0.5in" height="0.3958333333333333in"}，B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19277.png){width="0.5in" height="0.3958333333333333in"}，向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19278.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19279.png){width="0.25in" height="0.40625in"}，x，y为实数，若A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19278.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=B![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19278.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，求x+y的值． 【分析】利用矩阵的乘法，结合A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19278.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=B![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19278.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y的值． 【解答】解：∵矩阵A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19280.png){width="0.5in" height="0.3958333333333333in"}，B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19281.png){width="0.5in" height="0.3958333333333333in"}，向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19282.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19283.png){width="0.25in" height="0.40625in"}，A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19282.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=B![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19282.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19284.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4166666666666667in"}， ∴x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19285.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，y=4， ∴x+y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19286.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 **【选修4-3：极坐标及参数方程】** 23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19287.png){width="0.8020833333333334in" height="0.8333333333333334in"}（t为参数），直线l与抛物线y^2^=4x相交于AB两点，则线段AB的长为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19288.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【分析】直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y^2^=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长． 【解答】解：直线l的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19289.png){width="0.8020833333333334in" height="0.8333333333333334in"}（t为参数），化为普通方程为x+y=3， 与抛物线y^2^=4x联立，可得x^2^﹣10x+9=0， ∴交点A（1，2），B（9，﹣6）， ∴\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19290.png){width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}=8![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19291.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：8![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19291.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 **【选修4-4：不等式选讲】** 24．已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y^2^）（1+x^2^+y）≥9xy． 【分析】由均值不等式可得1+x+y^2^≥3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19292.png){width="0.4375in" height="0.2708333333333333in"}，1+x^2^+y≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19293.png){width="0.5416666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，两式相乘可得结论． 【解答】证明：由均值不等式可得1+x+y^2^≥3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19292.png){width="0.4375in" height="0.2708333333333333in"}，1+x^2^+y≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19293.png){width="0.5416666666666666in" height="0.2708333333333333in"} 分别当且仅当x=y^2^=1，x^2^=y=1时等号成立， ∴两式相乘可得（1+x+y^2^）（1+x^2^+y）≥9xy． 【点评】本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键． 　 **(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）** 25．（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P； （2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x~1~，x~2~，x~3~，随机变量X表示x~1~，x~2~，x~3~中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）． 【分析】（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可； （2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可． 【解答】解（1）一次取2个球共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19294.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=36种可能，2个球颜色相同共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19295.png){width="0.75in" height="0.28125in"}=10种可能情况 ∴取出的2个球颜色相同的概率P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19296.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19297.png){width="0.6354166666666666in" height="0.5833333333333334in"}，P（X=3）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19298.png){width="1.4375in" height="0.5833333333333334in"} 于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19299.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， X的概率分布列为 --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- X 2 3 4 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19299.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19300.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19301.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 故X数学期望E（X）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19302.png){width="2.0416666666666665in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础题． 　 26．（10分）已知函数f~0~（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19303.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}（x＞0），设f~n~（x）为f~n﹣1~（x）的导数，n∈N^\*^． （1）求2f~1~（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19304.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19304.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}f~2~（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19304.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的值； （2）证明：对任意n∈N^\*^，等式\|nf~n﹣1~（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19305.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19305.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}f~n~（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19305.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19306.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}都成立． 【分析】（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf~0~（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f~1~（x）+xf~2~（x）=﹣sinx，把x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19307.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}代入式子求值； （2）由（1）得，f~0~（x）+xf~1~（x）=cosx和2f~1~（x）+xf~2~（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19308.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}代入所给的式子求解验证． 【解答】解：（1）∵f~0~（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19309.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，∴xf~0~（x）=sinx， 则两边求导，\[xf~0~（x）\]′=（sinx）′， ∵f~n~（x）为f~n﹣1~（x）的导数，n∈N^\*^， ∴f~0~（x）+xf~1~（x）=cosx， 两边再同时求导得，2f~1~（x）+xf~2~（x）=﹣sinx， 将x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19307.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}代入上式得，2f~1~（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19307.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19310.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}f~2~（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19310.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣1， （2）由（1）得，f~0~（x）+xf~1~（x）=cosx=sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19310.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， 恒成立两边再同时求导得，2f~1~（x）+xf~2~（x）=﹣sinx=sin（x+π）， 再对上式两边同时求导得，3f~2~（x）+xf~3~（x）=﹣cosx=sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19311.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）， 同理可得，两边再同时求导得，4f~3~（x）+xf~4~（x）=sinx=sin（x+2π）， 猜想得，nf~n﹣1~（x）+xf~n~（x）=sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19312.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）对任意n∈N^\*^恒成立， 下面用数学归纳法进行证明等式成立： ①当n=1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19313.png){width="2.4166666666666665in" height="0.3645833333333333in"}成立，则上式成立； ②假设n=k（k＞1且k∈N^\*^）时等式成立，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19314.png){width="2.3229166666666665in" height="0.3645833333333333in"}， ∵\[kf~k﹣1~（x）+xf~k~（x）\]′=kf~k﹣1~′（x）+f~k~（x）+xf~k~′（x） =（k+1）f~k~（x）+xf~k+1~（x） 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19315.png){width="3.15625in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19316.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19317.png){width="1.25in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19318.png){width="1.2604166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， ∴那么n=k+1（k＞1且k∈N^\*^）时．等式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19319.png){width="2.9895833333333335in" height="0.3645833333333333in"}也成立， 由①②得，nf~n﹣1~（x）+xf~n~（x）=sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19320.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）对任意n∈N^\*^恒成立， 令x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19321.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}代入上式得，nf~n﹣1~（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19321.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19322.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}f~n~（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19322.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19322.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19323.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=±cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19322.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19324.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 所以，对任意n∈N^\*^，等式\|nf~n﹣1~（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19325.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19325.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}f~n~（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19325.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19326.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}都成立． 【点评】本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力． 　 2014年江西省高考数学试卷（理科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的** 1．（5分）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19327.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}是z的共轭复数，若z+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19328.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=2，（z﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19328.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）i=2（i为虚数单位），则z=（　　） A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i 【分析】由题，先求出z﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19328.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=﹣2i，再与z+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19328.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=2联立即可解出z得出正确选项． 【解答】解：由于，（z﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19328.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）i=2，可得z﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19328.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=﹣2i ① 又z+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19328.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=2 ② 由①②解得z=1﹣i 故选：D． 【点评】本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题 　 2．（5分）函数f（x）=ln（x^2^﹣x）的定义域为（　　） A．（0，1） B．\[0，1\] C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，0\]∪\[1，+∞） 【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，则x^2^﹣x＞0，即x＞1或x＜0， 故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础． 　 3．（5分）已知函数f（x）=5^\|x\|^，g（x）=ax^2^﹣x（a∈R），若f\[g（1）\]=1，则a=（　　） A．1 B．2 C．3 D．﹣1 【分析】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论． 【解答】解：∵g（x）=ax^2^﹣x（a∈R）， ∴g（1）=a﹣1， 若f\[g（1）\]=1， 则f（a﹣1）=1， 即5^\|a﹣1\|^=1，则\|a﹣1\|=0， 解得a=1， 故选：A． 【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础． 　 4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c^2^=（a﹣b）^2^+6，C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19329.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，则△ABC的面积为（　　） A．3 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19330.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19331.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} D．3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19332.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可． 【解答】解：∵c^2^=（a﹣b）^2^+6， ∴c^2^=a^2^﹣2ab+b^2^+6， 即a^2^+b^2^﹣c^2^=2ab﹣6， ∵C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19329.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19329.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19333.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19334.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10378.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 解得ab=6， 则三角形的面积S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10378.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}absinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19335.png){width="0.8125in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19336.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出ab=6是解决本题的关键． 　 5．（5分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19337.png){width="2.0729166666666665in" height="1.2916666666666667in"} A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19338.png){width="0.90625in" height="0.5104166666666666in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19339.png){width="0.8958333333333334in" height="0.5104166666666666in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19340.png){width="0.90625in" height="0.5104166666666666in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19341.png){width="0.90625in" height="0.5104166666666666in"} 【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可． 【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确， 故选：B． 【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键． 　 6．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（　　） 表1 +------+--------+------+------+ | 成绩 | 不及格 | 及格 | 总计 | | | | | | | 性别 | | | | +------+--------+------+------+ | 男 | 6 | 14 | 20 | +------+--------+------+------+ | 女 | 10 | 22 | 32 | +------+--------+------+------+ | 总计 | 16 | 36 | 52 | +------+--------+------+------+ 表2 +------+----+----+------+ | 视力 | 好 | 差 | 总计 | | | | | | | 性别 | | | | +------+----+----+------+ | 男 | 4 | 16 | 20 | +------+----+----+------+ | 女 | 12 | 20 | 32 | +------+----+----+------+ | 总计 | 16 | 36 | 52 | +------+----+----+------+ 表3 +------+------+------+------+ | 智商 | 偏高 | 正常 | 总计 | | | | | | | 性别 | | | | +------+------+------+------+ | 男 | 8 | 12 | 20 | +------+------+------+------+ | 女 | 8 | 24 | 32 | +------+------+------+------+ | 总计 | 16 | 36 | 52 | +------+------+------+------+ 表4 +--------+------+--------+------+ | 阅读量 | 丰富 | 不丰富 | 总计 | | | | | | | 性别 | | | | +--------+------+--------+------+ | 男 | 14 | 6 | 20 | +--------+------+--------+------+ | 女 | 2 | 30 | 32 | +--------+------+--------+------+ | 总计 | 16 | 36 | 52 | +--------+------+--------+------+ A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量 【分析】根据表中数据，利用公式，求出X^2^，即可得出结论． 【解答】解：表1：X^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19342.png){width="1.6666666666666667in" height="0.4270833333333333in"}≈0.009； 表2：X^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19343.png){width="1.6666666666666667in" height="0.4270833333333333in"}≈1.769； 表3：X^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19344.png){width="1.5833333333333333in" height="0.4270833333333333in"}≈1.3； 表4：X^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19345.png){width="1.5833333333333333in" height="0.4270833333333333in"}≈23.48， ∴阅读量与性别有关联的可能性最大， 故选：D． 【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 7．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19346.png){width="5.906944444444444in" height="0.6875in"} A．7 B．9 C．10 D．11 【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可． 【解答】解：模拟执行程序，可得 i=1，S=0 S=lg3， 不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19347.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=lg5， 不满足条件1＜S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19348.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=lg7， 不满足条件1＜S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19349.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=lg9， 不满足条件1＜S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19350.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=lg11， 满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9． 故选：B． 【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题． 　 8．（5分）若f（x）=x^2^+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19351.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}f（x）dx，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19351.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}f（x）dx=（　　） A．﹣1 B．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13569.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13569.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．1 【分析】把定积分项看成常数对两侧积分，化简求解即可． 【解答】解：令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19351.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}f（x）dx=t，对f（x）=x^2^+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19351.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}f（x）dx，两边积分可得：t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13569.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19351.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}tdx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19352.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+2t， 解得t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19353.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}f（x）dx=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19352.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：B． 【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，是基础题． 　 9．（5分）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19354.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}π B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19355.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}π C．（6﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19356.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）π D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19357.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}π 【分析】如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得\|OC\|=\|CE\|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小． 【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r， 由已知得\|OC\|=\|CE\|=r， 过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF， 交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F， 则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小 此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4=0的距离为： d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19358.png){width="0.625in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19359.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 此时r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19360.png){width="0.5625in" height="0.3854166666666667in"} ∴圆C的面积的最小值为：S~min~=π×（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19361.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19362.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19363.png){width="2.375in" height="2.698611111111111in"} 【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用． 　 10．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=11，AD=7，AA~1~=12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为l~i~（i=2，3，4），l~1~=AE，将线段l~1~，l~2~，l~3~，l~4~竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19364.png){width="1.9583333333333333in" height="1.8854166666666667in"} A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19365.png){width="1.21875in" height="2.0729166666666665in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19366.png){width="1.21875in" height="2.1145833333333335in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19367.png){width="1.21875in" height="2.1041666666666665in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19368.png){width="1.21875in" height="2.125in"} 【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解． 【解答】解：根据题意有： A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）； A~1~的坐标为：（0，0，12），B~1~的坐标为（11，0，12），C~1~的坐标为（11，7，12），D~1~的坐标为（0，7，12）； E的坐标为（4，3，12） （1）l~1~长度计算 所以：l~1~=\|AE\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19369.png){width="1.9791666666666667in" height="0.25in"}=13． （2）l~2~长度计算 将平面A~1~B~1~C~1~D~1~沿Z轴正向平移AA~1~个单位，得到平面A~2~B~2~C~2~D~2~；显然有： A~2~的坐标为：（0，0，24），B~2~的坐标为（11，0，24），C~2~的坐标为（11，7，24），D~2~的坐标为（0，7，24）； 显然平面A~2~B~2~C~2~D~2~和平面ABCD关于平面A~1~B~1~C~1~D~1~对称． 设AE与的延长线与平面A~2~B~2~C~2~D~2~相交于：E~2~（x~E2~，y~E2~，24） 根据相似三角形易知： x~E2~=2x~E~=2×4=8， y~E2~=2y~E~=2×3=6， 即：E~2~（8，6，24） 根据坐标可知，E~2~在长方形A~2~B~2~C~2~D~2~内． 根据反射原理，E~2~在平面ABCD上的投影即为AE反射光与平面ABCD的交点． 所以F的坐标为（8，6，0）． 因此：l~2~=\|EF\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19370.png){width="1.9791666666666667in" height="0.25in"}=13． （3）l~3~长度计算 设G的坐标为：（x~G~，y~G~，z~G~） 如果G落在平面BCC~1~B~1~； 这个时候有：x~G~=11，y~G~≤7，z~G~≤12 根据反射原理有：AE∥FG 于是：向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19371.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}与向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19372.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}共线； 即有：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19371.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19372.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} 因为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19371.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（4，3，12）；![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19372.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（x~G~﹣8，y~G~﹣6，z~G~﹣0）=（3，y~G~﹣6，z~G~） 即有：（4，3，12）=λ（3，y~G~﹣6，z~G~） 解得：y~G~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19373.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，z~G~=9； 故G的坐标为：（11，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19374.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，9） 因为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19374.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＞7，故G点不在平面BCC~1~B~1~上， 所以：G点只能在平面DCC~1~D~1~上； 因此有：y~G~=7；x~G~≤11，z~G~≤12 此时：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19375.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（x~G~﹣8，y~G~﹣6，z~G~﹣0）=（x~G~﹣8，1，z~G~） 即有：（4，3，12）=λ（x~G~﹣8，1，z~G~） 解得：x~G~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19376.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，z~G~=4； 满足：x~G~≤11，z~G~≤12 故G的坐标为：（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19376.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，7，4） 所以：l~3~=\|FG\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19377.png){width="2.0729166666666665in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19378.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} （4）l~4~长度计算 设G点在平面A~1~B~1~C~1~D~1~的投影为G'，坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19379.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，7，12） 因为光线经过反射后，还会在原来的平面内； 即：AEFGH共面 故EG的反射线GH只能与平面A~1~B~1~C~1~D~1~相交，且交点H只能在A~1~G\'； 易知：l~4~＞\|GG'\|=12﹣4=8＞l~3~． 根据以上解析，可知l~1~，l~2~，l~3~，l~4~要满足以下关系： l~1~=l~2~；且l~4~＞l~3~ 对比ABCD选项，可知，只有C选项满足以上条件． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19380.png){width="1.9583333333333333in" height="1.8854166666666667in"} 【点评】本题主要考察的空间中点坐标的概念，两点间的距离公式，解法灵活，属于难题． 　 **二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题** 11．（5分）对任意x，y∈R，\|x﹣1\|+\|x\|+\|y﹣1\|+\|y+1\|的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】把表达式分成2组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值． 【解答】解：对任意x，y∈R，\|x﹣1\|+\|x\|+\|y﹣1\|+\|y+1\| =\|x﹣1\|+\|﹣x\|+\|1﹣y\|+\|y+1\| ≥\|x﹣1﹣x\|+\|1﹣y+y+1\|=3， 当且仅当x∈\[0，1\]，y∈\[﹣1，1\]成立． 故选：C． 【点评】本题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法． 　 **坐标系与参数方程选做题** 12．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1﹣x（0≤x≤1）的极坐标方程为（　　） A．ρ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19381.png){width="0.96875in" height="0.3645833333333333in"}，0≤θ≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19382.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．ρ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19381.png){width="0.96875in" height="0.3645833333333333in"}，0≤θ≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19383.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19384.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．ρ=cosθ+sinθ，0≤θ≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19385.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，把方程y=1﹣x（0≤x≤1）化为极坐标方程． 【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，y=1﹣x（0≤x≤1）， 可得ρcosθ+ρsinθ=1，即 ρ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19386.png){width="0.96875in" height="0.3645833333333333in"}． 由0≤x≤1，可得线段y=1﹣x（0≤x≤1）在第一象限，故极角θ∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19384.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]， 故选：A． 【点评】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角θ的范围，属于基础题． 　 **三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分** 13．（5分）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18491.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从10件中取4件有C~10~^4^种结果，满足条件的事件是恰好有1件次品有C~7~^3^![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19387.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}种结果，得到概率． 【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是从10件中取4件有C~10~^4^种结果， 满足条件的事件是恰好有1件次品有C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19388.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19389.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}种结果， ∴恰好有一件次品的概率是P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19390.png){width="0.4166666666666667in" height="0.6875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10237.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10237.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题． 　 14．（5分）若曲线y=e^﹣x^上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是[　（﹣ln2，2）　]{.underline}． 【分析】先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y． 【解答】解：设P（x，y），则y=e^﹣x^， ∵y′=﹣e^﹣x^，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行， ∴﹣e^﹣x^=﹣2，解得x=﹣ln2， ∴y=e^﹣x^=2，故P（﹣ln2，2）． 故答案为：（﹣ln2，2）． 【点评】本题考查了导数的几何意义，即点P处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用． 　 15．（5分）已知单位向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19391.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19392.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}的夹角为α，且cosα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19393.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19394.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19391.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19392.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19395.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19396.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19397.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}的夹角为β，则cosβ=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19398.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}[　]{.underline}． 【分析】转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角． 【解答】解：单位向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19396.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19397.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}的夹角为α，且cosα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19399.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，不妨![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19396.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（1，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19397.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19400.png){width="0.875in" height="0.3854166666666667in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19401.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19402.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19403.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19404.png){width="0.75in" height="0.3854166666666667in"}），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19405.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19402.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19406.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19407.png){width="0.75in" height="0.3854166666666667in"}）， ∴cosβ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19408.png){width="0.6354166666666666in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19409.png){width="2.8645833333333335in" height="0.8854166666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19410.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19410.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力． 　 16．（5分）过点M（1，1）作斜率为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19411.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的直线与椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19412.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19413.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19414.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}[　]{.underline}． 【分析】利用点差法，结合M是线段AB的中点，斜率为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19415.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即可求出椭圆C的离心率． 【解答】解：设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19416.png){width="0.9166666666666666in" height="0.5416666666666666in"}①，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19417.png){width="0.9166666666666666in" height="0.5416666666666666in"}②， ∵M是线段AB的中点， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19418.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19419.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4375in"}=1， ∵直线AB的方程是y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19420.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（x﹣1）+1， ∴y~1~﹣y~2~=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19420.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（x~1~﹣x~2~）， ∵过点M（1，1）作斜率为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19420.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的直线与椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19421.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19422.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点， ∴①②两式相减可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19423.png){width="1.6875in" height="0.5416666666666666in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19424.png){width="1.2291666666666667in" height="0.4270833333333333in"}， ∴a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19425.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19426.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=b， ∴e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19427.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19428.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19428.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键． 　 **五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤** 17．（12分）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19429.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19430.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}） （1）当a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19431.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19432.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，求f（x）在区间\[0，π\]上的最大值与最小值； （2）若f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19430.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=0，f（π）=1，求a，θ的值． 【分析】（1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=﹣sin（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19432.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），再根据x∈\[0，π\]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值． （2）由条件可得θ∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19430.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19430.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②，由这两个式子求出a和θ的值． 【解答】解：（1）当a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19431.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19433.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ） =sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19433.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19434.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19435.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19436.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}sinx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19436.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}cosx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19434.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinx=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19437.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}sinx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19437.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}cosx =sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19438.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣x）=﹣sin（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19438.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）． ∵x∈\[0，π\]，∴x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19438.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19438.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19439.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]， ∴sin（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19440.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19441.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，1\]， ∴﹣sin（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19440.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）∈\[﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19441.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\]， 故f（x）在区间\[0，π\]上的最小值为﹣1，最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19441.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． （2）∵f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），a∈R，θ∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19442.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19442.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19443.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=0，f（π）=1， ∴cosθ﹣asin2θ=0 ①，﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②， 由①求得sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19444.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，由②可得cos2θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19445.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19446.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19447.png){width="0.3125in" height="0.4270833333333333in"}． 再根据cos2θ=1﹣2sin^2^θ，可得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19446.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19447.png){width="0.3125in" height="0.4270833333333333in"}=1﹣2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19448.png){width="0.3125in" height="0.4270833333333333in"}， 求得 a=﹣1，∴sinθ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9572.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，θ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19449.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 综上可得，所求的a=﹣1，θ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19449.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题． 　 18．（12分）已知首项是1的两个数列{a~n~}，{b~n~}（b~n~≠0，n∈N^\*^）满足a~n~b~n+1~﹣a~n+1~b~n~+2b~n+1~b~n~=0． （1）令c~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19450.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，求数列{c~n~}的通项公式； （2）若b~n~=3^n﹣1^，求数列{a~n~}的前n项和S~n~． 【分析】（1）由a~n~b~n+1~﹣a~n+1~b~n~+2b~n+1~b~n~=0，c~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19450.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，可得数列{c~n~}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{c~n~}的通项公式； （2）用错位相减法来求和． 【解答】解：（1）∵a~n~b~n+1~﹣a~n+1~b~n~+2b~n+1~b~n~=0，c~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19450.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}， ∴c~n~﹣c~n+1~+2=0， ∴c~n+1~﹣c~n~=2， ∵首项是1的两个数列{a~n~}，{b~n~}， ∴数列{c~n~}是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴c~n~=2n﹣1； （2）∵b~n~=3^n﹣1^，c~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19450.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}， ∴a~n~=（2n﹣1）•3^n﹣1^， ∴S~n~=1×3^0^+3×3^1^+...+（2n﹣1）×3^n﹣1^， ∴3S~n~=1×3+3×3^2^+...+（2n﹣1）×3^n^， ∴﹣2S~n~=1+2•（3^1^+...+3^n﹣1^）﹣（2n﹣1）•3^n^， ∴S~n~=（n﹣1）3^n^+1． 【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题． 　 19．（12分）已知函数f（x）=（x^2^+bx+b）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19451.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}（b∈R） （1）当b=4时，求f（x）的极值； （2）若f（x）在区间（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19452.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）上单调递增，求b的取值范围． 【分析】（1）把b=4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极值； （2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19452.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）上大于等于0恒成立，得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19453.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}对任意x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19454.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）恒成立．由单调性求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19455.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}的范围得答案． 【解答】解：（1）当b=4时，f（x）=（x^2^+4x+4）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19456.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19457.png){width="1.0104166666666667in" height="0.25in"}（x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19458.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19459.png){width="3.625in" height="0.4895833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19460.png){width="0.71875in" height="0.3854166666666667in"}． 由f′（x）=0，得x=﹣2或x=0． 当x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数． 当﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣2，0）上为增函数． 当0＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image247.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，f′（x）＜0，f（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image247.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）上为减函数． ∴当x=﹣2时，f（x）取极小值为0． 当x=0时，f（x）取极大值为4； （2）由f（x）=（x^2^+bx+b）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19461.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}，得： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19462.png){width="2.4791666666666665in" height="0.25in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19463.png){width="1.4270833333333333in" height="0.4895833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19464.png){width="1.0208333333333333in" height="0.4479166666666667in"}． 由f（x）在区间（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19465.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）上单调递增， 得f′（x）≥0对任意x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19465.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）恒成立． 即﹣5x^2^﹣3bx+2x≥0对任意x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19465.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）恒成立． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19466.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}对任意x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19467.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）恒成立． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19468.png){width="1.4166666666666667in" height="0.5625in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19469.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}． ∴b的取值范围是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19470.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题． 　 20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD． （1）求证：AB⊥PD； （2）若∠BPC=90°，PB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19471.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19472.png){width="1.9166666666666667in" height="1.4583333333333333in"} 【分析】（1）要证AD⊥PD，可以证明AB⊥面PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明AB⊥PD． （2）过P做PO⊥AD得到PO⊥平面ABCD，作OM⊥BC，连接PM，由边长关系得到BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19473.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，PM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19474.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，设AB=x，则V~P﹣ABCD~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19475.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19476.png){width="0.78125in" height="0.25in"}，故当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19477.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}时，V~P﹣ABCD~取最大值，建立空间直角坐标系O﹣AMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值． 【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，∴AB⊥AD， 又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PD． （2）过P做PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD， 作OM⊥BC，连接PM ∴PM⊥BC， ∵∠BPC=90°，PB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19478.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，PC=2， ∴BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19479.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，PM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19480.png){width="0.34375in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19481.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19482.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，BM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19483.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19484.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 设AB=x，∴OM=x∴PO=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19485.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3854166666666667in"}， ∴V~P﹣ABCD~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19486.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×x×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19487.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19488.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19489.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19490.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19491.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19492.png){width="1.2395833333333333in" height="0.3854166666666667in"}， 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19493.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}，即x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19494.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，V~P﹣ABCD~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19495.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 建立空间直角坐标系O﹣AMP，如图所示， 则P（0，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19496.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），D（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19497.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，0，0），C（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19497.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19498.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，0），M（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19498.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，0），B（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19498.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19498.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，0） 面PBC的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19499.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（0，1，1），面DPC的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19500.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，0，﹣2） ∴cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19501.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19502.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3854166666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19503.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}．由图可知二面角为锐角，即cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19504.png){width="0.59375in" height="0.3854166666666667in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19505.png){width="2.1458333333333335in" height="2.1354166666666665in"} 【点评】本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想． 　 21．（13分）如图，已知双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19506.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣y^2^=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）． （1）求双曲线C的方程； （2）过C上一点P（x~0~，y~0~）（y~0~≠0）的直线l：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19507.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4791666666666667in"}﹣y~0~y=1与直线AF相交于点M，与直线x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19508.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}相交于点N．证明：当点P在C上移动时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19509.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4166666666666667in"}恒为定值，并求此定值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19510.png){width="2.1666666666666665in" height="1.8958333333333333in"} 【分析】（1）依题意知，A（c，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19511.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），设B（t，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19512.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），利用AB⊥OB，BF∥OA，可求得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19513.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，从而可得双曲线C的方程； （2）易求A（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19514.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}），l的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19515.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣y~0~y=1，直线l：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19516.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4791666666666667in"}﹣y~0~y=1与直线AF相交于点M，与直线x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19517.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}相交于点N，可求得M（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19518.png){width="0.5in" height="0.4895833333333333in"}），N（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19517.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19519.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}），于是化简![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19520.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4166666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19521.png){width="1.0625in" height="1.0729166666666667in"}可得其值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19522.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，于是原结论得证． 【解答】（1）解：依题意知，A（c，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19523.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），设B（t，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19524.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）， ∵AB⊥OB，BF∥OA，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19525.png){width="0.3333333333333333in" height="0.5625in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19526.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19527.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19528.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 整理得：t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19529.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19530.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴双曲线C的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19531.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣y^2^=1； （2）证明：由（1）知A（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19532.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}），l的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19533.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣y~0~y=1， 又F（2，0），直线l：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19534.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4791666666666667in"}﹣y~0~y=1与直线AF相交于点M，与直线x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19535.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}相交于点N． 于是可得M（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19536.png){width="0.5in" height="0.4895833333333333in"}），N（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19535.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19537.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19538.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4166666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19539.png){width="1.0625in" height="1.0729166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19540.png){width="1.2604166666666667in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19541.png){width="1.4791666666666667in" height="0.75in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19542.png){width="0.9895833333333334in" height="0.6979166666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19543.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题． 　 22．（14分）随机将1，2，...，2n（n∈N^\*^，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a~1~，最大数为a~2~；B组最小数为b~1~，最大数为b~2~；记ξ=a~2~﹣a~1~，η=b~2~﹣b~1~． （1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望； （2）C表示事件"ξ与η的取值恰好相等"，求事件C发生的概率P（C）； （3）对（2）中的事件C，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19544.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}表示C的对立事件，判断P（C）和P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19545.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）的大小关系，并说明理由． 【分析】（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ． （2）根据C表示事件"ξ与η的取值恰好相等"，利用分类加法原理，可得事件C发生的概率P（C）的表达式； （3）判断P（C）和P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19545.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）的大小关系，即判断P（C）和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19546.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的大小关系，根据（2）的公式，可得答案． 【解答】解：（1）当n=3时，ξ的取值可能为2，3，4，5 其中P（ξ=2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19547.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19548.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， P（ξ=3）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19549.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19550.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， P（ξ=4）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19551.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19550.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， P（ξ=5）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19552.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19553.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故随机变量ξ的分布列为： --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ξ 2 3 4 5 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19554.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19555.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19555.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19554.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ξ的数学期望E（ξ）=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19554.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+3×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19555.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+4×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19555.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+5×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19556.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19557.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； （2）∵C表示事件"ξ与η的取值恰好相等"， ∴P（C）=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19558.png){width="2.0520833333333335in" height="0.5833333333333334in"} （3）当n=2时，P（C）=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19559.png){width="0.3020833333333333in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19560.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19561.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，此时P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19562.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19563.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 即P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19562.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）＜P（C）； 当n≥3时，P（C）=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19564.png){width="2.0520833333333335in" height="0.5833333333333334in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13260.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，此时P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19565.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13260.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 即P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19565.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）＞P（C）； 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大． 　 2014年江西省高考数学试卷（文科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在没小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的** 1．（5分）若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则\|z\|=（　　） A．1 B．2 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19566.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19567.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幂运算性质，求出z，可得\|z\|． 【解答】解：∵复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），∴z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19568.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19569.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=1+i， ∴\|z\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19570.png){width="0.375in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19566.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 故选：C． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题． 　 2．（5分）设全集为R，集合A={x\|x^2^﹣9＜0}，B={x\|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁~R~B）=（　　） A．（﹣3，0） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，﹣1\] D．（﹣3，3） 【分析】根据补集的定义求得∁~R~B，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩（∁~R~B）． 【解答】解：∵集合A={x\|x^2^﹣9＜0}={x\|﹣3＜x＜3}，B={x\|﹣1＜x≤5}，∴∁~R~B={x\|x≤﹣1，或 x＞5}， 则A∩（∁~R~B）={x\|﹣3＜x≤﹣1}， 故选：C． 【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题． 　 3．（5分）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19571.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19572.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19573.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19574.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件"抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5"这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件"抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5"包含的基本事件数n，再由公式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19575.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}求出概率得到答案 【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36 事件"抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5"所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种 故事件"抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5"的概率是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19576.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19577.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：B． 【点评】本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件"抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5"，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19575.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}是本题的重点，正确求出事件"抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5"所包含的基本事件数是本题的难点． 　 4．（5分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19578.png){width="1.1770833333333333in" height="0.53125in"}（a∈R），若f\[f（﹣1）\]=1，则a=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19579.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19580.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．1 D．2 【分析】根据条件代入计算即可． 【解答】解：∵f\[f（﹣1）\]=1， ∴f\[f（﹣1）\]=f（2^﹣（﹣1）^）=f（2）=a•2^2^=4a=1 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19581.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：A． 【点评】本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于基础题． 　 5．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19582.png){width="1.1458333333333333in" height="0.4791666666666667in"}的值为（　　） A．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19583.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16640.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．1 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19584.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论． 【解答】解：∵3a=2b，∴b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19585.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 根据正弦定理可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19586.png){width="1.1458333333333333in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19587.png){width="0.625in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19588.png){width="0.9270833333333334in" height="0.6770833333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19589.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：D． 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，比较基础． 　 6．（5分）下列叙述中正确的是（　　） A．若a，b，c∈R，则"ax^2^+bx+c≥0"的充分条件是"b^2^﹣4ac≤0" B．若a，b，c∈R，则"ab^2^＞cb^2^"的充要条件是"a＞c" C．命题"对任意x∈R，有x^2^≥0"的否定是"存在x∈R，有x^2^≥0" D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β 【分析】本题先用不等式的知识对选项A、B中命题的条件进行等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利用立体几何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案． 【解答】解：A、若a，b，c∈R，当"ax^2^+bx+c≥0"对于任意的x恒成立时，则有： ①当a=0时，要使ax^2^+bx+c≥0恒成立，需要b=0，c≥0，此时b^2^﹣4ac=0，符合b^2^﹣4ac≤0； ②当a≠0时，要使ax^2^+bx+c≥0恒成立，必须a＞0且b^2^﹣4ac≤0． ∴若a，b，c∈R，"ax^2^+bx+c≥0"是"b^2^﹣4ac≤0"充分不必要条件，"b^2^﹣4ac≤0"是"ax^2^+bx+c≥0"的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误； B、当ab^2^＞cb^2^时，b^2^≠0，且a＞c， ∴"ab^2^＞cb^2^"是"a＞c"的充分条件． 反之，当a＞c时，若b=0，则ab^2^=cb^2^，不等式ab^2^＞cb^2^不成立． ∴"a＞c"是"ab^2^＞cb^2^"的必要不充分条件．故B错误； C、结论要否定，注意考虑到全称量词"任意"， 命题"对任意x∈R，有x^2^≥0"的否定应该是"存在x∈R，有x^2^＜0"．故C错误； D、命题"l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．"是两个平面平行的一个判定定理．故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了命题、充要条件的知识，考查到了不等式、立体几何知识，有一定容量，总体难度不大，属于基础题． 　 7．（5分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（　　） 表1 +------+--------+------+------+ | 成绩 | 不及格 | 及格 | 总计 | | | | | | | 性别 | | | | +------+--------+------+------+ | 男 | 6 | 14 | 20 | +------+--------+------+------+ | 女 | 10 | 22 | 32 | +------+--------+------+------+ | 总计 | 16 | 36 | 52 | +------+--------+------+------+ 表2 +------+----+----+------+ | 视力 | 好 | 差 | 总计 | | | | | | | 性别 | | | | +------+----+----+------+ | 男 | 4 | 16 | 20 | +------+----+----+------+ | 女 | 12 | 20 | 32 | +------+----+----+------+ | 总计 | 16 | 36 | 52 | +------+----+----+------+ 表3 +------+------+------+------+ | 智商 | 偏高 | 正常 | 总计 | | | | | | | 性别 | | | | +------+------+------+------+ | 男 | 8 | 12 | 20 | +------+------+------+------+ | 女 | 8 | 24 | 32 | +------+------+------+------+ | 总计 | 16 | 36 | 52 | +------+------+------+------+ 表4 +--------+------+--------+------+ | 阅读量 | 丰富 | 不丰富 | 总计 | | | | | | | 性别 | | | | +--------+------+--------+------+ | 男 | 14 | 6 | 20 | +--------+------+--------+------+ | 女 | 2 | 30 | 32 | +--------+------+--------+------+ | 总计 | 16 | 36 | 52 | +--------+------+--------+------+ A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量 【分析】根据表中数据，利用公式，求出X^2^，即可得出结论． 【解答】解：表1：X^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19590.png){width="1.6666666666666667in" height="0.4270833333333333in"}≈0.009； 表2：X^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19591.png){width="1.6666666666666667in" height="0.4270833333333333in"}≈1.769； 表3：X^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19592.png){width="1.5833333333333333in" height="0.4270833333333333in"}≈1.3； 表4：X^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19593.png){width="1.5833333333333333in" height="0.4270833333333333in"}≈23.48， ∴阅读量与性别有关联的可能性最大， 故选：D． 【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 8．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19594.png){width="5.906944444444444in" height="0.6875in"} A．7 B．9 C．10 D．11 【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时，终止循环；再根据S的值求出终止循环时的i值即可． 【解答】解：模拟执行程序，可得 i=1，S=0 S=lg3， 不满足条件1＜S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19595.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=lg5， 不满足条件1＜S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19596.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=lg7， 不满足条件1＜S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19597.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=lg9， 不满足条件1＜S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19598.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=lg11， 满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9． 故选：B． 【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题． 　 9．（5分）过双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19599.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16914.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19600.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19601.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19602.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19603.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19604.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19605.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19606.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19607.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 【分析】由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19608.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，求出A的坐标，利用右焦点F（4，0），\|FA\|=4，可求a，b，即可得出双曲线的方程． 【解答】解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19608.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 令x=a，则y=b，即A（a，b）， ∵右焦点F（4，0），\|FA\|=4， ∴（a﹣4）^2^+b^2^=16， ∵a^2^+b^2^=16， ∴a=2，b=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19609.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴双曲线C的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19610.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19611.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 10．（5分）在同一直角坐标系中，函数y=ax^2^﹣x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19612.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}与y=a^2^x^3^﹣2ax^2^+x+a（a∈R）的图象不可能的是（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19613.png){width="1.3541666666666667in" height="1.03125in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19614.png){width="1.3541666666666667in" height="1.03125in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19615.png){width="1.3541666666666667in" height="1.03125in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19616.png){width="1.1041666666666667in" height="1.0729166666666667in"} 【分析】讨论a的值，当a=0时，知D可能，当a≠0时，求出函数ax^2^﹣x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19612.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的对称轴x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19617.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，利用求导函数求出函数y=a^2^x^3^﹣2ax^2^+x+a的极值点为x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19618.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}与x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19619.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，比较对称轴与两极值点之间的关系，知对称轴介于两极值点之间，从而得到不符合题意的选项． 【解答】解：当a=0时，函数y=ax^2^﹣x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19620.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的图象是第二，四象限的角平分线， 而函数y=a^2^x^3^﹣2ax^2^+x+a的图象是第一，三象限的角平分线，故D符合要求； 当a≠0时，函数y=ax^2^﹣x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19620.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}图象的对称轴方程为直线x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19621.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 由y=a^2^x^3^﹣2ax^2^+x+a可得：y′=3a^2^x^2^﹣4ax+1， 令y′=0，则x~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19618.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19619.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 即x~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19618.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}和x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19619.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}为函数y=a^2^x^3^﹣2ax^2^+x+a的两个极值点， 对称轴x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19622.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}介于x~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19623.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}和x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19624.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}两个极值点之间， 故A、C符合要求，B不符合， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，三次函数的极值点等知识点是解答的关键． 　 **二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分** 11．（5分）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0，则点P的坐标是[　（e，e）　]{.underline}． 【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，结合直线平行的性质即可得到结论． 【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）， 函数的导数为f′（x）=lnx+x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19625.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}=1+lnx， 直线2x﹣y+1=0的斜率k=2， ∵曲线y=xlnx上点P处的切线平行与直线2x﹣y+1=0， ∴f′（x）=1+lnx=2， 即lnx=1，解得x=e，此时y=elne=e， 故点P的坐标是（e，e）， 故答案为：（e，e）． 【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的性质，要求熟练掌握导数的几何意义． 　 12．（5分）已知单位向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19626.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19627.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}的夹角为α，且cosα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19628.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，若向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19629.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19630.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19627.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19629.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=[　3　]{.underline}． 【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19631.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}的值，从而得到\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19629.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|的值． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19632.png){width="1.8854166666666667in" height="0.3229166666666667in"}=9![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19633.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=9， ∴\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19634.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题． 　 13．（5分）在等差数列{a~n~}中，a~1~=7，公差为d，前n项和为S~n~，当且仅当n=8时S~n~取得最大值，则d的取值范围为[　（﹣1，﹣]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19635.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[）　]{.underline}． 【分析】根据题意当且仅当n=8时S~n~取得最大值，得到S~7~＜S~8~，S~9~＜S~8~，联立得不等式方程组，求解得d的取值范围． 【解答】解：∵S~n~ =7n+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19636.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}，当且仅当n=8时S~n~取得最大值， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19637.png){width="0.6770833333333334in" height="0.53125in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19638.png){width="1.2916666666666667in" height="0.4479166666666667in"}，解得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19639.png){width="0.59375in" height="0.625in"}， 综上：d的取值范围为（﹣1，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19640.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）． 【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，解不等式方程组，属于中档题． 　 14．（5分）设椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19641.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19642.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左右焦点为F~1~，F~2~，过F~2~作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F~1~B与y轴相交于点D，若AD⊥F~1~B，则椭圆C的离心率等于[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19643.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}[　]{.underline}． 【分析】根据条件分别求出A，B，D的坐标，利用AD⊥F~1~B，建立方程关系即可得到结论． 【解答】解：连接AF~1~，∵OD∥AB，O为F~1~F~2~的中点， ∴D为BF~1~的中点， 又AD⊥BF~1~，∴\|AF~1~\|=\|AB\|． ∴\|AF~1~\|=2\|AF~2~\|． 设\|AF~2~\|=n，则\|AF~1~\|=2n，\|F~1~F~2~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15726.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}n， ∴e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19644.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19645.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19646.png){width="1.0625in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19647.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19648.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19649.png){width="2.4166666666666665in" height="2.21875in"} 【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，根据条件求出对应点的坐标，利用直线垂直与斜率之间的关系是解决本题的关键，运算量较大．为了方便，可以先确定一个参数的值． 　 15．（5分）x，y∈R，若\|x\|+\|y\|+\|x﹣1\|+\|y﹣1\|≤2，则x+y的取值范围为[　\[0，2\]　]{.underline}． 【分析】根据绝对值的意义，\|x\|+\|y\|+\|x﹣1\|+\|y﹣1\|的最小值为2，再根据条件可得只有\|x\|+\|y\|+\|x﹣1\|+\|y﹣1\|=2，此时，0≤x≤1，0≤y≤1，从而求得x+y的范围． 【解答】解：根据绝对值的意义可得\|x\|+\|x﹣1\|表示数轴上的x对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1； \|y\|+\|y﹣1\|表示数轴上的y对应点到0、1对应点的距离之和，其最小值为1； 故\|x\|+\|y\|+\|x﹣1\|+\|y﹣1\|的最小值为2． 再根据\|x\|+\|y\|+\|x﹣1\|+\|y﹣1\|≤2，可得 只有\|x\|+\|y\|+\|x﹣1\|+\|y﹣1\|=2， 此时，0≤x≤1，0≤y≤1，∴0≤x+y≤2， 故答案为：\[0，2\]． 【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题． 　 **三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．** 16．（12分）已知函数f（x）=（a+2cos^2^x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10389.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）． （1）求a，θ的值； （2）若f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19650.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19651.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，α∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10391.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π），求sin（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17593.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的值． 【分析】（1）把x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10389.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得． （2）利用f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19652.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19653.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}和函数的解析式可求得sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19654.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，进而求得cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19654.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案． 【解答】解：（1）f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19655.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣（a+1）sinθ=0， ∵θ∈（0，π）． ∴sinθ≠0， ∴a+1=0，即a=﹣1 ∵f（x）为奇函数， ∴f（0）=（a+2）cosθ=0， ∴cosθ=0，θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19656.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． （2）由（1）知f（x）=（﹣1+2cos^2^x）cos（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19656.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=cos2x•（﹣sin2x）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19657.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19658.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15740.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sinα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19659.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19660.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∵α∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15741.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π）， ∴cosα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19661.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19662.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sin（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19663.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=sinαcos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19664.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+cosαsin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19664.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19665.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力． 　 17．（12分）已知数列{a~n~}的前n项和S~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19666.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，n∈N^\*^． （1）求数列{a~n~}的通项公式； （2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N^\*^，使得a~1~，a~n~，a~m~成等比数列． 【分析】（1）利用"当n≥2时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~；当n=1时，a~1~=S~1~"即可得出； （2）对任意的n＞1，假设都存在m∈N^\*^，使得a~1~，a~n~，a~m~成等比数列．利用等比数列的定义可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19667.png){width="0.6875in" height="0.28125in"}，即（3n﹣2）^2^=1×（3m﹣2），解出m为正整数即可． 【解答】（1）解：∵S~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19668.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，n∈N^\*^． ∴当n≥2时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19668.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19669.png){width="1.1875in" height="0.4270833333333333in"}=3n﹣2，（\*） 当n=1时，a~1~=S~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19670.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}=1． 因此当n=1时，（\*）也成立． ∴数列{a~n~}的通项公式a~n~=3n﹣2． （2）证明：对任意的n＞1，假设都存在m∈N^\*^，使得a~1~，a~n~，a~m~成等比数列． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19667.png){width="0.6875in" height="0.28125in"}， ∴（3n﹣2）^2^=1×（3m﹣2）， 化为m=3n^2^﹣4n+2， ∵n＞1， ∴m=3n^2^﹣4n+2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19671.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}＞1， 因此对任意的n＞1，都存在m=3n^2^﹣4n+2∈N^\*^，使得a~1~，a~n~，a~m~成等比数列． 【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 　 18．（12分）已知函数f（x）=（4x^2^+4ax+a^2^）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19672.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，其中a＜0． （1）当a=﹣4时，求f（x）的单调递增区间； （2）若f（x）在区间\[1，4\]上的最小值为8，求a的值． 【分析】（1）当a=﹣4时，先求导，在根据导数求出f（x）的单调递增区间； （2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数的值． 【解答】解；（1）当a=﹣4时，f（x）=（4x^2^+4ax+a^2^）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19672.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴f（x）=（4x^2^﹣16x+16）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19673.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴f′（x）=（8x﹣16）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19673.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+（4x^2^﹣16x+16）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19674.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19673.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19675.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19676.png){width="1.3333333333333333in" height="0.3854166666666667in"}， ∵f′（x）＞0，x≥0， ∴5x^2^﹣12x+4＞0， 解得，0≤x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19677.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，或x＞2， ∴当a=﹣4时，f（x）的单调递增区间为\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19678.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）和（2，+∞）； （2）∵f（x）=（4x^2^+4ax+a^2^）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19679.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19680.png){width="2.125in" height="0.3854166666666667in"}； 令f′（x）=0．解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19681.png){width="1.3958333333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 当f′（x）＞0时，x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19682.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}）或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19683.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}，此时f（x）单调递增， 当f′（x）＜0时，x∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19684.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），此时f（x）单调递减， ①当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19685.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}≥4，即a≤﹣40，f（x）在区间\[1，4\]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19686.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，不符合舍去 ②当﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19687.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤1，即﹣2≤a＜0时，f（x）在区间\[1，4\]为增函数，由f（1）=8，解得a=﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19686.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，不符合舍去 ③当﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19688.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19689.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}≥4即﹣10≤a≤﹣8时，f（x）在区间\[1，4\]为减函数，由f（4）=8，解得a=﹣10， ④当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19690.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}，即﹣40＜a＜﹣10时，由f（1）=8或f（4）=8，解得，a=﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19691.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，或a=﹣6，a=﹣10，不符合舍去， ⑤当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19692.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即﹣8＜a＜﹣2时，由f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19693.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}）=8，无解． 综上所述，a=﹣10． 【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题 　 19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，AA~1~⊥BC，A~1~B⊥BB~1~， （1）求证：A~1~C⊥CC~1~； （2）若AB=2，AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19694.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19695.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，问AA~1~为何值时，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~体积最大，并求此最大值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19696.png){width="1.84375in" height="1.0833333333333333in"} 【分析】（1）通过证明直线CC~1~与平面BA~1~C垂直，即可证明A~1~C⊥CC~1~； （2）作AO⊥BC 于O，连结A~1~O，说明∠AA~1~O=90°，设A~1~A=h，求出A~1~O的表达式，以及三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~体积V的表达式，利用二次函数的最值，求最大值． 【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中， ∴A~1~A∥CC~1~∥BB~1~， ∵AA~1~⊥BC，∴CC~1~⊥BC， ∵A~1~B⊥BB~1~，∴A~1~B⊥CC~1~， ∵BC∩BA~1~=B， ∴CC~1~⊥平面BA~1~C，A~1~C⊂平面BA~1~C ∴A~1~C⊥CC~1~； （2）作AO⊥BC于O，连结A~1~O，由（1）可知∠AA~1~O=90°，∵AB=2，AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19694.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19695.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∴AB⊥AC， ∴AO=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19697.png){width="0.34375in" height="0.40625in"}， 设A~1~A=h，A~1~O=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19698.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4895833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19699.png){width="0.625in" height="0.3854166666666667in"}， ∴三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~体积V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19700.png){width="0.75in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19701.png){width="1.53125in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19702.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}， 当h^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19703.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即h=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19704.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}时，即AA~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19704.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}时棱柱的体积最大， 最大值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19705.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19706.png){width="1.84375in" height="1.0833333333333333in"} 【点评】本题考查空间直线与平面垂直的判定与应用，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间想象能力． 　 20．（13分）如图，已知抛物线C：x^2^=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）． （1）证明：动点D在定直线上； （2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N~1~，与（1）中的定直线相交于点N~2~，证明：\|MN~2~\|^2^﹣\|MN~1~\|^2^为定值，并求此定值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19707.png){width="1.71875in" height="1.8020833333333333in"} 【分析】（1）设AB的方程为y=kx+2，代入x^2^=4y，整理得x^2^﹣4kx﹣8=0，设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），则有：x~1~x~2~=﹣8，由直线AO的方程y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19708.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}x与BD的方程x=x~2~联立即可求得交点D的坐标为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19709.png){width="0.7083333333333334in" height="0.8229166666666666in"}，利用x~1~x~2~=﹣8，即可求得D点在定直线y=﹣2（x≠0）上； （2）依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b（a≠0），代入x^2^=4y，由△=0化简整理得b=﹣a^2^，故切线l的方程可写成y=ax﹣a^2^．分别令y=2、y=﹣2得N~1~、N~2~的坐标为N~1~（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19710.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+a，2）、N~2~（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19710.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+a，﹣2），从而可证\|MN~2~\|^2^﹣\|MN~1~\|^2^为定值8． 【解答】（1）证明：依题意，可设AB的方程为y=kx+2，代入x^2^=4y，得x^2^=4（kx+2），即x^2^﹣4kx﹣8=0， 设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），则有：x~1~x~2~=﹣8， 直线AO的方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19708.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}x；BD的方程为x=x~2~． 解得交点D的坐标为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19711.png){width="0.7083333333333334in" height="0.8229166666666666in"}． 注意到x~1~x~2~=﹣8及![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19712.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}=4y~1~，则有y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19713.png){width="0.6145833333333334in" height="0.6458333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19714.png){width="0.4166666666666667in" height="0.5in"}=﹣2， 因此D点在定直线y=﹣2（x≠0）上． （2）证明：依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b（a≠0），代入x^2^=4y得x^2^=4（ax+b），即x^2^﹣4ax﹣4b=0， 由△=0得（4a）^2^+16b=0，化简整理得b=﹣a^2^． 故切线l的方程可写成y=ax﹣a^2^． 分别令y=2、y=﹣2得N~1~、N~2~的坐标为N~1~（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19715.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+a，2）、N~2~（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19716.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+a，﹣2）， 则\|MN~2~\|^2^﹣\|MN~1~\|^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19717.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+4^2^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19718.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=8， 即\|MN~2~\|^2^﹣\|MN~1~\|^2^为定值8． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19719.png){width="1.71875in" height="1.8020833333333333in"} 【点评】本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题． 　 21．（14分）将连续正整数1，2，...，n（n∈N^\*^）从小到大排列构成一个数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19720.png){width="0.5208333333333334in" height="0.1875in"}，F（n）为这个数的位数（如n=12时，此数为123456789101112，共15个数字，F（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率． （1）求p（100）； （2）当n≤2014时，求F（n）的表达式； （3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h（n）=f（n）﹣g（n），S={n\|h（n）=1，n≤100，n∈N^\*}^，求当n∈S时p（n）的最大值． 【分析】（1）根据题意，首先分析n=100时，这个数的位数，进而可得其中0的个数，有等可能事件的概率公式，计算可得答案； （2）分1≤n≤9，10≤n≤99，100≤n≤999，1000≤n≤2014，四种情况讨论这个数的组成情况，综合即可得F（n）； （3）根据题意，分情况求出当n∈S时p（n）的表达式，比较其最大值的大小，即可得答案． 【解答】解：（1）当n=100时，F（100）=9+90×2+3=192，即这个数中共有192个数字， 其中数字0的个数为11， 则恰好取到0的概率为P（100）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19721.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}； （2）当1≤n≤9时，这个数有1位数组成，F（n）=n， 当10≤n≤99时，这个数有9个1位数组成，n﹣9个两位数组成，则F（n）=2n﹣9， 当100≤n≤999时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，n﹣99个三位数组成，F（n）=3n﹣108， 当1000≤n≤2014时，这个数有9个1位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成，n﹣999个四位数组成，F（n）=4n﹣1107， F（n）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19722.png){width="1.875in" height="0.8541666666666666in"}； （3）当n=b（1≤b≤9，b∈N^\*^）时，g（n）=0， 当n=10k+b（1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N^\*^，b∈N^\*^）时，g（n）=k： 当n=100时，g（n）=11， 即g（n）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19723.png){width="0.9583333333333334in" height="0.625in"}，同理有f（n）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19724.png){width="1.2916666666666667in" height="0.8854166666666666in"}， 由h（n）=f（n）﹣g（n）=1，可知n=9、19、29、39、49、59、69、79、89、90， 所以当n≤100时，S={9，19、29，39，49，59，69，79，89，90}； 当n=9时，P（9）=0， 当n=90时，P（90）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19725.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19726.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 当n=10k+9（1≤k≤8，k∈N^\*^）时，p（n）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19727.png){width="0.3854166666666667in" height="0.375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19728.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19729.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}， 由y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19729.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}关于k单调递增，故当n=10k+9（1≤k≤8，k∈N^\*^）时，P（n）的最大值为P（89）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19730.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19730.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19731.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，所以当n∈S时，P（n）的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19731.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查合情推理的应用，关键在于正确理解题意，进而分析推理． 　 2014年辽宁省高考数学试卷（理科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．** 1．（5分）已知全集U=R，A={x\|x≤0}，B={x\|x≥1}，则集合∁~U~（A∪B）=（　　） A．{x\|x≥0} B．{x\|x≤1} C．{x\|0≤x≤1} D．{x\|0＜x＜1} 【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求C~U~（A∪B）． 【解答】解：A∪B={x\|x≥1或x≤0}， ∴C~U~（A∪B）={x\|0＜x＜1}， 故选：D． 【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法． 　 2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（　　） A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i 【分析】把给出的等式两边同时乘以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19732.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求． 【解答】解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19733.png){width="2.0833333333333335in" height="0.3645833333333333in"}， ∴z=2+3i． 故选：A． 【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题． 　 3．（5分）已知a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19734.png){width="0.3125in" height="0.3854166666666667in"}，b=log~2~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19735.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，c=log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19736.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4895833333333333in"}，则（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求． 【解答】解：∵0＜a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19737.png){width="0.3125in" height="0.3854166666666667in"}＜2^0^=1， b=log~2~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19738.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜log~2~1=0， c=log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19736.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4895833333333333in"}=log~2~3＞log~2~2=1， ∴c＞a＞b． 故选：C． 【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题． 　 4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断； B．运用线面垂直的性质，即可判断； C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断； D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断． 【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错； B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确； C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错； D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错． 故选：B． 【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型． 　 5．（5分）设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19739.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19740.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19741.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}是非零向量，已知命题p：若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19739.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19740.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19742.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19743.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19744.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19743.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0；命题q：若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19744.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19742.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19742.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19743.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19744.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19743.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则下列命题中真命题是（　　） A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q） 【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论． 【解答】解：若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19744.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19745.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19745.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19746.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19747.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19745.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19745.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19746.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，即（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19747.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19746.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19745.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19748.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19749.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0不一定成立，故命题p为假命题， 若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19748.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19750.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19750.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19749.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19748.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19749.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}平行，故命题q为真命题， 则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题， 故选：A． 【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键． 　 6．（5分）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（　　） A．144 B．120 C．72 D．24 【分析】使用"插空法"．第一步，三个人先坐成一排，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19751.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19752.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}种办法．根据分步计数原理可得结论． 【解答】解：使用"插空法"．第一步，三个人先坐成一排，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19751.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19752.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}种办法．根据分步计数原理，6×4=24． 故选：D． 【点评】本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键． 　 7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19753.png){width="2.3645833333333335in" height="2.636111111111111in"} A．8﹣2π B．8﹣π C．8﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19754.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．8﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19755.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，分别求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体， 其底面面积S=2×2﹣2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19756.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×π×1^2^=4﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19754.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 柱体的高h=2， 故该几何体的体积V=Sh=8﹣π， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据三视图分析出几何体的形状是解答的关键． 　 8．（5分）设等差数列{a~n~}的公差为d，若数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19757.png){width="0.4375in" height="0.3020833333333333in"}}为递减数列，则（　　） A．d＜0 B．d＞0 C．a~1~d＜0 D．a~1~d＞0 【分析】由于数列{2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19758.png){width="0.4375in" height="0.3020833333333333in"}}为递减数列，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19759.png){width="0.5729166666666666in" height="0.5520833333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19760.png){width="0.3541666666666667in" height="0.2604166666666667in"}＜1，解出即可． 【解答】解：∵等差数列{a~n~}的公差为d，∴a~n+1~﹣a~n~=d， 又数列{2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19761.png){width="0.4375in" height="0.3020833333333333in"}}为递减数列， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19762.png){width="0.5729166666666666in" height="0.5520833333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19760.png){width="0.3541666666666667in" height="0.2604166666666667in"}＜1， ∴a~1~d＜0． 故选：C． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题． 　 9．（5分）将函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19763.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19764.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度，所得图象对应的函数（　　） A．在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19765.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19766.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递增 B．在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19765.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19766.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递减 C．在区间\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19767.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19768.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递减 D．在区间\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19769.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19768.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递增 【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19770.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19771.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递增，则答案可求． 【解答】解：把函数y=3sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19768.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19772.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度， 得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin\[2（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19772.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19768.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]． 即y=3sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19773.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）． 当函数递增时，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19774.png){width="2.3229166666666665in" height="0.3645833333333333in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19775.png){width="2.1458333333333335in" height="0.3645833333333333in"}． 取k=0，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19776.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． ∴所得图象对应的函数在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19777.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19778.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递增． 故选：A． 【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足"同增异减"原则，是中档题． 　 10．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y^2^=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19779.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19780.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19781.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19782.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率． 【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y^2^=2px的准线上， 即准线方程为：x=﹣2， ∴p＞0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19783.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}=﹣2即p=4， ∴抛物线C：y^2^=8x，在第一象限的方程为y=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19784.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19785.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 设切点B（m，n），则n=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19786.png){width="0.4166666666666667in" height="0.1875in"}， 又导数y′=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19784.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19787.png){width="0.5833333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，则在切点处的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19788.png){width="0.23958333333333334in" height="0.40625in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19789.png){width="0.6458333333333334in" height="0.40625in"}即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19784.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19790.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19791.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19792.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19793.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19791.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19794.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}舍去）， ∴切点B（8，8），又F（2，0）， ∴直线BF的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19795.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：D． 【点评】本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题． 　 11．（5分）当x∈\[﹣2，1\]时，不等式ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．\[﹣5，﹣3\] B．\[﹣6，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19796.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\] C．\[﹣6，﹣2\] D．\[﹣4，﹣3\] 【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集． 【解答】解：当x=0时，不等式ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0对任意a∈R恒成立； 当0＜x≤1时，ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0可化为a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19797.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 令f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19798.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，则f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19799.png){width="0.9895833333333334in" height="0.4270833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19800.png){width="0.8854166666666666in" height="0.4270833333333333in"}（\*）， 当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1\]上单调递增， f（x）~max~=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6； 当﹣2≤x＜0时，ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0可化为a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19798.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 由（\*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， f（x）~min~=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2； 综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是\[﹣6，﹣2\]． 故选：C． 【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集． 　 12．（5分）已知定义在\[0，1\]上的函数f（x）满足： ①f（0）=f（1）=0； ②对所有x，y∈\[0，1\]，且x≠y，有\|f（x）﹣f（y）\|＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19801.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|x﹣y\|． 若对所有x，y∈\[0，1\]，\|f（x）﹣f（y）\|＜m恒成立，则m的最小值为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19801.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19802.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19803.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19804.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】依题意，构造函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19805.png){width="1.28125in" height="0.7916666666666666in"}（0＜k＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11240.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），分x∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11240.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]，且y∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11240.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]；x∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11240.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]，且y∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11240.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1\]；x∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19806.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]，且y∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19806.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1\]；及当x∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19806.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1\]，且y∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19806.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1\]时，四类情况讨论，可证得对所有x，y∈\[0，1\]，\|f（x）﹣f（y）\|＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19807.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}恒成立，从而可得m≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19807.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，继而可得答案． 【解答】解：依题意，定义在\[0，1\]上的函数y=f（x）的斜率\|k\|＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19806.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 依题意可设k＞0，构造函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19808.png){width="1.28125in" height="0.7916666666666666in"}（0＜k＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17901.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），满足f（0）=f（1）=0，\|f（x）﹣f（y）\|＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17901.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|x﹣y\|． 当x∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17901.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]，且y∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17901.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]时，\|f（x）﹣f（y）\|=\|kx﹣ky\|=k\|x﹣y\|≤k\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17901.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣0\|=k×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17901.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19809.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 当x∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19810.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]，且y∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19810.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1\]，\|f（x）﹣f（y）\|=\|kx﹣（k﹣ky）\|=\|k（x+y）﹣k\|≤\|k（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19810.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）﹣k\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19811.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19812.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 当y∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19810.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]，且x∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19810.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1\]时，同理可得，\|f（x）﹣f（y）\|＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19812.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 当x∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19813.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1\]，且y∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19813.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1\]时，\|f（x）﹣f（y）\|=\|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）\|=k\|x﹣y\|≤k×（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19813.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19814.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19815.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 综上所述，对所有x，y∈\[0，1\]，\|f（x）﹣f（y）\|＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19815.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∵对所有x，y∈\[0，1\]，\|f（x）﹣f（y）\|＜m恒成立， ∴m≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19815.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即m的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19815.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． 【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题． 　 **二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。考生根据要求作答．** 13．（5分）执行如图的程序框图，若输入x=9，则输出y=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19816.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19817.png){width="1.6458333333333333in" height="2.8027777777777776in"} 【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件\|y﹣x\|＜1，计算输出y的值． 【解答】解：由程序框图知：第一次循环x=9，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19818.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+2=5，\|5﹣9\|=4＞1； 第二次循环x=5，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19819.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19820.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19820.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣5\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19821.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＞1； 第三次循环x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19820.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19822.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+2．\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19822.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19820.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19823.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜1， 满足条件\|y﹣x\|＜1，跳出循环，输出y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19824.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19824.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法． 　 14．（5分）正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x^2^和y=x^2^上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19825.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19826.png){width="1.6666666666666667in" height="1.7395833333333333in"} 【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论． 【解答】解：∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）， ∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4， 根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积S=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19827.png){width="1.0833333333333333in" height="0.28125in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19828.png){width="0.96875in" height="0.3645833333333333in"}=2\[（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19829.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）﹣（﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19829.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）\]=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19830.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19831.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19832.png){width="0.40625in" height="0.5625in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19833.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键． 　 15．（5分）已知椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19834.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19835.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则\|AN\|+\|BN\|=[　12　]{.underline}． 【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出\|AN\|+\|BN\|的值． 【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19836.png){width="1.0416666666666667in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19837.png){width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"}， ∵Q在椭圆C上，∴\|QF~1~\|+\|QF~2~\|=2a=6， ∴\|AN\|+\|BN\|=12． 故答案为：12． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19838.png){width="2.7715277777777776in" height="2.4583333333333335in"} 【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，是对基本知识的考查． 　 16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a^2^﹣2ab+4b^2^﹣c=0且使\|2a+b\|最大时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19839.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19840.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19841.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的最小值为[　﹣2　]{.underline}． 【分析】首先把：4a^2^﹣2ab+4b^2^﹣c=0，转化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19842.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19843.png){width="1.1145833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，再由柯西不等式得到\|2a+b\|^2^，分别用b表示a，c，在代入到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19844.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19845.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19846.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}得到关于b的二次函数，求出最小值即可． 【解答】解：∵4a^2^﹣2ab+4b^2^﹣c=0， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19847.png){width="1.1354166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19848.png){width="1.1145833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 由柯西不等式得， \[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19849.png){width="1.1145833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19850.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\]![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19851.png){width="1.9583333333333333in" height="0.40625in"}=\|2a+b\|^2^ 故当\|2a+b\|最大时，有 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19852.png){width="0.9166666666666666in" height="0.8020833333333334in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19853.png){width="1.125in" height="0.3645833333333333in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19854.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19855.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19856.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19857.png){width="1.03125in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19858.png){width="0.8125in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19859.png){width="0.9479166666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 当b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19860.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，取得最小值为﹣2． 故答案为：﹣2 【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题． 　 **三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．** 17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19861.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19862.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2，cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19863.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，b=3，求： （Ⅰ）a和c的值； （Ⅱ）cos（B﹣C）的值． 【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19864.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19865.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a^2^+c^2^=13，联立即可求出ac的值； （Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（Ⅰ）∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19864.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19865.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2，cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19863.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴c•acosB=2，即ac=6①， ∵b=3， ∴由余弦定理得：b^2^=a^2^+c^2^﹣2accosB，即9=a^2^+c^2^﹣4， ∴a^2^+c^2^=13②， 联立①②得：a=3，c=2； （Ⅱ）在△ABC中，sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19866.png){width="0.7604166666666666in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19867.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19868.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 由正弦定理![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19869.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19870.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}得：sinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19871.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19872.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19868.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19873.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∵a=b＞c，∴C为锐角， ∴cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19874.png){width="0.7604166666666666in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19875.png){width="0.9166666666666666in" height="0.46875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19876.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19877.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19876.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19878.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19879.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19880.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键． 　 18．（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． （Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； （Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19881.png){width="3.1152777777777776in" height="1.7291666666666667in"} 【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出事件A~1~，A~2~的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事件"在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个"的概率； （Ⅱ）写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率；列出分布列．根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望E（X）及方差D（X）． 【解答】解：（Ⅰ）设A~1~表示事件"日销售量不低于100个"，A~2~表示事件"日销售量低于50个" B表示事件"在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个"， 因此P（A~1~）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6， P（A~2~）=0.003×50=0.15， P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108， （Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19882.png){width="2.03125in" height="0.28125in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19883.png){width="2.28125in" height="0.28125in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19884.png){width="2.3645833333333335in" height="0.28125in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19885.png){width="1.78125in" height="0.28125in"}， 随机变量X的分布列为 --- ------- ------- ------- ------- X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 --- ------- ------- ------- ------- 因为X～B（3，0.6）， 所以期望E（X）=3×0.6=1.8， 方差D（X）=3×0.6×（1﹣0.6）=0.72． 【点评】在n次独立重复试验中，事件A发生的次数服从二项分布、服从二项分布的随机变量的期望与方差公式，考查分布列的求法． 　 19．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点． （Ⅰ）求证：EF⊥BC； （Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19886.png){width="1.4375in" height="1.5625in"} 【分析】（Ⅰ）以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，得到E、F、B、C点的坐标，易求得此![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19887.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19888.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=0，所以EF⊥BC； （Ⅱ）设平面BFC的一个法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19889.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（0，0，1），平面BEF的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19890.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（x，y，z），依题意，可求得一个![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19890.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（1，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19891.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，1），设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ，可求得sinθ的值． 【解答】（Ⅰ）证明：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B（0，0，0），A（0，﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19891.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），D（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19891.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，﹣1，0），C（0，2，0），因而E（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19892.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19893.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），F（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19893.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19892.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，0），所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19894.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19895.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19895.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19896.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，2，0），因此![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19894.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19896.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=0，所以EF⊥BC． （Ⅱ）解：在图中，设平面BFC的一个法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19897.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（0，0，1），平面BEF的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19898.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（x，y，z），又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19899.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19900.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19901.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19902.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19901.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19903.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19904.png){width="0.78125in" height="0.59375in"}得其中一个![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19905.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（1，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19906.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，1）， 设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=\|cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19907.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19905.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}＞\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19908.png){width="0.8125in" height="0.5625in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19909.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 因此sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19910.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19911.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，即所求二面角正弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19911.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19912.png){width="1.625in" height="1.6354166666666667in"} 【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力． 　 20．（12分）圆x^2^+y^2^=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C~1~：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19913.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19914.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1过点P且离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18107.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （Ⅰ）求C~1~的方程； （Ⅱ）若椭圆C~2~过点P且与C~1~有相同的焦点，直线l过C~2~的右焦点且与C~2~交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19915.png){width="1.7395833333333333in" height="1.6979166666666667in"} 【分析】（Ⅰ）设切点P（x~0~，y~0~），（x~0~＞0，y~0~＞0），利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程，即可得出三角形的面积，利用基本不等式的性质可得点P的坐标，再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆C~2~的焦点．可设椭圆C~2~的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19916.png){width="0.9270833333333334in" height="0.5416666666666666in"}（b~1~＞0）．把P的坐标代入即可得出方程．由题意可设直线l的方程为x=my+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19917.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）设切点P（x~0~，y~0~），（x~0~＞0，y~0~＞0），则切线的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19918.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4895833333333333in"}， 可得切线的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19919.png){width="1.3645833333333333in" height="0.4895833333333333in"}，化为x~0~x+y~0~y=4． 令x=0，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19920.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}；令y=0，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19921.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}． ∴切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形的面积S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19922.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19923.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}． ∵4=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19924.png){width="1.1458333333333333in" height="0.2916666666666667in"}，当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19925.png){width="0.8020833333333334in" height="0.23958333333333334in"}时取等号． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19926.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}．此时P![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19927.png){width="0.8125in" height="0.20833333333333334in"}． 由题意可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19928.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19929.png){width="1.2604166666666667in" height="0.5in"}，解得a^2^=1，b^2^=2． 故双曲线C~1~的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19930.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知双曲线C~1~的焦点（±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19931.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），即为椭圆C~2~的焦点． 可设椭圆C~2~的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19932.png){width="0.9270833333333334in" height="0.5416666666666666in"}（b~1~＞0）． 把P![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19933.png){width="0.8125in" height="0.20833333333333334in"}代入可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19934.png){width="0.9270833333333334in" height="0.4791666666666667in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19935.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=3， 因此椭圆C~2~的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19936.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}． 由题意可设直线l的方程为x=my+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19937.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19938.png){width="0.8645833333333334in" height="0.4895833333333333in"}，化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19939.png){width="1.6770833333333333in" height="0.25in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19940.png){width="1.125in" height="0.4479166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19941.png){width="0.90625in" height="0.4270833333333333in"}． ∴x~1~+x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19942.png){width="1.15625in" height="0.23958333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19943.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4479166666666667in"}， x~1~x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19944.png){width="1.8333333333333333in" height="0.28125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19945.png){width="0.5in" height="0.4791666666666667in"}． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19946.png){width="1.6770833333333333in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19947.png){width="1.6770833333333333in" height="0.2708333333333333in"}， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19948.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19949.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19950.png){width="1.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19951.png){width="1.7291666666666667in" height="0.23958333333333334in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19952.png){width="1.6145833333333333in" height="0.25in"}，解得m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19953.png){width="0.53125in" height="0.3854166666666667in"}或m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19954.png){width="0.6979166666666666in" height="0.3854166666666667in"}， 因此直线l的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19955.png){width="1.4479166666666667in" height="0.3854166666666667in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19956.png){width="1.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的关系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了转化和化归能力，考查了解决问题的能力，属于难题． 　 21．（12分）已知函数 f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19957.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（sinx+1） g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19958.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}） 证明： （Ⅰ）存在唯一x~0~∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19959.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），使f（x~0~）=0； （Ⅱ）存在唯一x~1~∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19959.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π），使g（x~1~）=0，且对（Ⅰ）中的x~0~，有x~0~+x~1~＜π． 【分析】（Ⅰ）根据x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19959.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）时，f′（x）＜0，得出f（x）是单调减函数， 再根据f（0）＞0，f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19959.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）＜0，得出此结论； （Ⅱ）构造函数h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19960.png){width="0.96875in" height="0.3645833333333333in"}﹣4ln（3﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19961.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}x），x∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19962.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π\]， 令t=π﹣x，得u（t）=h（π﹣t），求出u（t）存在唯一零点t~1~∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19962.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， 即证g（x）存在唯一的零点x~1~∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19962.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π），满足x~0~+x~1~＜π． 【解答】证明：（Ⅰ）∵当x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19962.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）时，f′（x）=﹣（1+sinx）（π+2x）﹣2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19963.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cosx＜0， ∴函数f（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19964.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）上为减函数， 又f（0）=π﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19965.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＞0，f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19964.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣π^2^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19966.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜0； ∴存在唯一的x~0~∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19964.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），使f（x~0~）=0； （Ⅱ）考虑函数h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19967.png){width="0.96875in" height="0.3645833333333333in"}﹣4ln（3﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19968.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}x），x∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19969.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π\]， 令t=π﹣x，则x∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19969.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π\]时，t∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19969.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]， 记函数u（t）=h（π﹣t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19970.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}﹣4ln（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19971.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t）， 则u′（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19972.png){width="2.8854166666666665in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19973.png){width="0.5416666666666666in" height="0.5625in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19971.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19974.png){width="2.1354166666666665in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19975.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19976.png){width="1.46875in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19975.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19977.png){width="2.21875in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19978.png){width="1.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 由（Ⅰ）得，当t∈（0，x~0~）时，u′（t）＞0； 在（0，x~0~）上u（x）是增函数，又u（0）=0，∴当t∈（0，x~0~\]时，u（t）＞0， ∴u（t）在（0，x~0~\]上无零点； 在（x~0~，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19979.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）上u（t）是减函数，且u（x~0~）＞0，u（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19979.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣4ln2＜0， ∴存在唯一的t~1~∈（x~0~，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19979.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），使u（t~1~）=0； ∴存在唯一的t~1~∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19979.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），使u（t~1~）=0； ∴存在唯一的x~1~=π﹣t~1~∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19979.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π），使h（x~1~）=h（π﹣t~1~）=u（t~1~）=0； ∵当x∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19980.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π）时，1+sinx＞0，∴g（x）=（1+sinx）h（x）与h（x）有相同的零点， ∴存在唯一的x~1~∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19980.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π），使g（x~1~）=0， ∵x~1~=π﹣t~1~，t~1~＞x~0~，∴x~0~+x~1~＜π． 【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据导数来研究函数的单调性与最值问题，利用函数的单调性研究函数的零点问题，是较难的题目． 　 **四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲.** 22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F． （Ⅰ）求证：AB为圆的直径； （Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19981.png){width="1.5416666666666667in" height="1.1458333333333333in"} 【分析】（Ⅰ）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°； （Ⅱ）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED． 【解答】证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD， ∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA， ∵∠PGD=∠EGA， ∴∠DBA=∠EGA， ∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD， ∴∠BDA=∠PFA， ∵AF⊥EP， ∴∠PFA=90°． ∴∠BDA=90°， ∴AB为圆的直径； （Ⅱ）连接BC，DC，则 ∵AB为圆的直径， ∴∠BDA=∠ACB=90°， 在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD， ∴Rt△BDA≌Rt△ACB， ∴∠DAB=∠CBA， ∵∠DCB=∠DAB， ∴∠DCB=∠CBA， ∴DC∥AB， ∵AB⊥EP， ∴DC⊥EP， ∴∠DCE为直角， ∴ED为圆的直径， ∵AB为圆的直径， ∴AB=ED． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image19982.png){width="1.5729166666666667in" height="1.1770833333333333in"} 【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题． 　 **选修4-4：坐标系与参数方程** 23．将圆x^2^+y^2^=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C． （Ⅰ）写出C的参数方程； （Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P~1~，P~2~，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P~1~P~2~的中点且与l垂直的直线的极坐标方程． 【分析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19983.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}）在圆x^2^+y^2^=1上，求出C的方程，化为参数方程． （Ⅱ）解方程组求得P~1~、P~2~的坐标，可得线段P~1~P~2~的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19984.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程． 【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19983.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}）在圆x^2^+y^2^=1上， ∴x^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19985.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1，即曲线C的方程为 x^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19985.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1，化为参数方程为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19986.png){width="0.7916666666666666in" height="0.40625in"} （0≤θ＜2π，θ为参数）． （Ⅱ）由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19987.png){width="0.8125in" height="0.6770833333333334in"}，可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19988.png){width="0.375in" height="0.40625in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19989.png){width="0.375in" height="0.40625in"}，不妨设P~1~（1，0）、P~2~（0，2）， 则线段P~1~P~2~的中点坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15740.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1）， 再根据与l垂直的直线的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15740.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，故所求的直线的方程为y﹣1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15740.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15740.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），即x﹣2y+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19990.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=0． 再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19990.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=0， 即 ρ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19991.png){width="1.1354166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题． 　 **不等式选讲** 24．设函数f（x）=2\|x﹣1\|+x﹣1，g（x）=16x^2^﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N． （Ⅰ）求M； （Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x^2^f（x）+x\[f（x）\]^2^≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19992.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【分析】（Ⅰ）由所给的不等式可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19993.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3958333333333333in"}①，或 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19994.png){width="0.625in" height="0.4270833333333333in"}②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求． （Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19995.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19996.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19997.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，显然它小于或等于 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19996.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，要证的不等式得证． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2\|x﹣1\|+x﹣1≤1 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19998.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3958333333333333in"}①，或 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19999.png){width="0.625in" height="0.4270833333333333in"}②． 解①求得1≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20000.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，解②求得 0≤x＜1． 综上，原不等式的解集为\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20000.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]． （Ⅱ）证明： 由g（x）=16x^2^﹣8x+1≤4，求得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20001.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18339.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴N=\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18338.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18339.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]， ∴M∩N=\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18339.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]． ∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x， ∴x^2^f（x）+x\[f（x）\]^2^ =xf（x）\[x+f（x）\]=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18338.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20002.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20003.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故要证的不等式成立． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题． 　 2014年辽宁省高考数学试卷（文科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（共12小题，每小题5分）** 1．（5分）已知全集U=R，A={x\|x≤0}，B={x\|x≥1}，则集合∁~U~（A∪B）=（　　） A．{x\|x≥0} B．{x\|x≤1} C．{x\|0≤x≤1} D．{x\|0＜x＜1} 【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求C~U~（A∪B）． 【解答】解：A∪B={x\|x≥1或x≤0}， ∴C~U~（A∪B）={x\|0＜x＜1}， 故选：D． 【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法． 　 2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（　　） A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i 【分析】把给出的等式两边同时乘以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20004.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求． 【解答】解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20005.png){width="2.0833333333333335in" height="0.3645833333333333in"}， ∴z=2+3i． 故选：A． 【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题． 　 3．（5分）已知a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20006.png){width="0.3125in" height="0.3854166666666667in"}，b=log~2~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20007.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，c=log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20008.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4895833333333333in"}，则（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求． 【解答】解：∵0＜a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20006.png){width="0.3125in" height="0.3854166666666667in"}＜2^0^=1， b=log~2~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20007.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜log~2~1=0， c=log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20009.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4895833333333333in"}=log~2~3＞log~2~2=1， ∴c＞a＞b． 故选：D． 【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题． 　 4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断； B．运用线面垂直的性质，即可判断； C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断； D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断． 【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错； B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确； C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错； D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错． 故选：B． 【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型． 　 5．（5分）设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20010.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20011.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20012.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}是非零向量，已知命题p：若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20010.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20011.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20011.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20012.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20010.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20012.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0；命题q：若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20013.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20014.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20014.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20015.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20013.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20015.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则下列命题中真命题是（　　） A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q） 【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论． 【解答】解：若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20013.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20014.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20014.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20015.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20016.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20017.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20017.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20018.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，即（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20016.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20018.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20017.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20016.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20018.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0不一定成立，故命题p为假命题， 若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20016.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20019.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20019.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20020.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20021.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20020.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}平行，故命题q为真命题， 则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题， 故选：A． 【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键． 　 6．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20022.png){width="1.1354166666666667in" height="0.75in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20023.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20024.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20025.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20026.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论． 【解答】解：∵AB=2，BC=1， ∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2， 圆的半径r=1，半圆的面积S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20023.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20027.png){width="0.5729166666666666in" height="0.5625in"}， 故选：B． 【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础． 　 7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20028.png){width="2.28125in" height="2.5006944444444446in"} A．8﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20029.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．8﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16736.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} C．8﹣π D．8﹣2π 【分析】几何体是正方体切去两个![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20030.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算． 【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20030.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}圆柱， 正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2， ∴几何体的体积V=2^3^﹣2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20030.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×π×1^2^×2=8﹣π． 故选：C． 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键． 　 8．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y^2^=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（　　） A．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20031.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．﹣1 C．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20032.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12407.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】利用点A（﹣2，3）在抛物线C：y^2^=2px的准线上，确定焦点F的坐标，即可求出直线AF的斜率． 【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y^2^=2px的准线上， ∴﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20033.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=﹣2， ∴F（2，0）， ∴直线AF的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20034.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20032.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：C． 【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 9．（5分）设等差数列{a~n~}的公差为d，若数列{2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20035.png){width="0.4375in" height="0.3020833333333333in"}}为递减数列，则（　　） A．d＞0 B．d＜0 C．a~1~d＞0 D．a~1~d＜0 【分析】由数列递减可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20036.png){width="0.5729166666666666in" height="0.5520833333333334in"}＜1，由指数函数的性质和等差数列的通项公式化简可得． 【解答】解：∵数列{2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20035.png){width="0.4375in" height="0.3020833333333333in"}}为递减数列， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20036.png){width="0.5729166666666666in" height="0.5520833333333334in"}＜1，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20037.png){width="0.9479166666666666in" height="0.2604166666666667in"}＜1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20038.png){width="0.9583333333333334in" height="0.2604166666666667in"}＜1， ∴a~1~（a~n+1~﹣a~n~）=a~1~d＜0 故选：D． 【点评】本题考查等差数列的性质和指数函数的性质，属中档题． 　 10．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20039.png){width="1.6145833333333333in" height="0.7916666666666666in"}，则不等式f（x﹣1）≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20040.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的解集为（　　） A．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20041.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20042.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]∪\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20043.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20044.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\] B．\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20045.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20046.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]∪\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20047.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20048.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\] C．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20046.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20045.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]∪\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20049.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20050.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\] D．\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20051.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20052.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]∪\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20052.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20051.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\] 【分析】先求出当x≥0时，不等式f（x）≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20053.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上f（x）≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20053.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的解，即可得到结论． 【解答】解：当x∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20053.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]，由f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20054.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即cosπx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20054.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 则πx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20055.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，即x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20056.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 当x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20054.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，由f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20054.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，得2x﹣1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20054.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 解得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20057.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 则当x≥0时，不等式f（x）≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20058.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的解为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20059.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20060.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，（如图） 则由f（x）为偶函数， ∴当x＜0时，不等式f（x）≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20058.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的解为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20060.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20059.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 即不等式f（x）≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20058.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的解为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20059.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20060.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20061.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20062.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 则由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20062.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤x﹣1≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20061.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20061.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤x﹣1≤﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20062.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20063.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20064.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20065.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20066.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 即不等式f（x﹣1）≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20067.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的解集为{x\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20065.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20066.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20068.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20069.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}}， 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20070.png){width="1.9895833333333333in" height="2.03125in"} 【点评】本题主要考查不等式的解法，利用分段函数的不等式求出x≥0时，不等式f（x）≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20071.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的解是解决本题的关键． 　 11．（5分）将函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20072.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20073.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度，所得图象对应的函数（　　） A．在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20074.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20075.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递增 B．在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20074.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20075.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递减 C．在区间\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20076.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20077.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递减 D．在区间\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20076.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20078.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递增 【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20079.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20080.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递增，则答案可求． 【解答】解：把函数y=3sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20078.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20081.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度， 得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin\[2（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20081.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20078.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]． 即y=3sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20082.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）． 当函数递增时，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20083.png){width="2.3229166666666665in" height="0.3645833333333333in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20084.png){width="2.1458333333333335in" height="0.3645833333333333in"}． 取k=0，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20085.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． ∴所得图象对应的函数在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20086.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20087.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递增． 故选：A． 【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足"同增异减"原则，是中档题． 　 12．（5分）当x∈\[﹣2，1\]时，不等式ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．\[﹣5，﹣3\] B．\[﹣6，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20088.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\] C．\[﹣6，﹣2\] D．\[﹣4，﹣3\] 【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集． 【解答】解：当x=0时，不等式ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0对任意a∈R恒成立； 当0＜x≤1时，ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0可化为a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20089.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 令f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20090.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，则f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20091.png){width="0.9895833333333334in" height="0.4270833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20092.png){width="0.8854166666666666in" height="0.4270833333333333in"}（\*）， 当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1\]上单调递增， f（x）~max~=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6； 当﹣2≤x＜0时，ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0可化为a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20090.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 由（\*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， f（x）~min~=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2； 综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是\[﹣6，﹣2\]． 故选：C． 【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集． 　 **二、填空题（共4小题，每小题5分）** 13．（5分）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=[　20　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20093.png){width="1.4479166666666667in" height="4.584027777777778in"} 【分析】算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+...+（1+2+3+...+i）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出的T值． 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+...+（1+2+3+...+i）的值， 当输入n=3时，跳出循环的i值为4， ∴输出T=1+3+6++10=20． 故答案为：20． 【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 　 14．（5分）已知x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20094.png){width="0.875in" height="0.65625in"}，则目标函数z=3x+4y的最大值为[　18　]{.underline}． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20094.png){width="0.875in" height="0.65625in"}作出可行域如图， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20095.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20096.png){width="0.375in" height="0.40625in"}， ∴C（2，3）． 化目标函数z=3x+4y为直线方程的斜截式，得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20097.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 由图可知，当直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20097.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}过点C时，直线在y轴上的截距最大，即z最大． ∴z~max~=3×2+4×3=18． 故答案为：18． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20098.png){width="2.28125in" height="2.46875in"} 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 　 15．（5分）已知椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20099.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20100.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则\|AN\|+\|BN\|=[　12　]{.underline}． 【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出\|AN\|+\|BN\|的值． 【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20101.png){width="1.0416666666666667in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20102.png){width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"}， ∵Q在椭圆C上，∴\|QF~1~\|+\|QF~2~\|=2a=6， ∴\|AN\|+\|BN\|=12． 故答案为：12． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20103.png){width="2.7715277777777776in" height="2.4583333333333335in"} 【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，是对基本知识的考查． 　 16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a^2^﹣2ab+b^2^﹣c=0且使\|2a+b\|最大时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20104.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20105.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20106.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的最小值为[　﹣1　]{.underline}． 【分析】首先把：4a^2^﹣2ab+b^2^﹣c=0，转化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20107.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20108.png){width="1.1145833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，再由柯西不等式得到\|2a+b\|^2^，分别用b表示a，c，在代入到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20109.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20110.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20106.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}得到关于b的二次函数，求出最小值即可． 【解答】解：∵4a^2^﹣2ab+b^2^﹣c=0， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20107.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20111.png){width="1.1145833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 由柯西不等式得， \[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20112.png){width="1.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}\]\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20113.png){width="0.8645833333333334in" height="0.25in"}\]≥\[2（a﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20114.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20115.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}×2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20116.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\]^2^=\|2a+b\|^2^ 故当\|2a+b\|最大时，有 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20117.png){width="0.8333333333333334in" height="0.6041666666666666in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20118.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，c=b^2^ ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20119.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20120.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20121.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20122.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20123.png){width="0.9479166666666666in" height="0.3645833333333333in"} 当b=﹣2时，取得最小值为﹣1． 故答案为：﹣1 【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题． 　 **三、解答题** 17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20124.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20125.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2，cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20126.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，b=3，求： （Ⅰ）a和c的值； （Ⅱ）cos（B﹣C）的值． 【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20127.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20128.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a^2^+c^2^=13，联立即可求出ac的值； （Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（Ⅰ）∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20127.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20128.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2，cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20126.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴c•acosB=2，即ac=6①， ∵b=3， ∴由余弦定理得：b^2^=a^2^+c^2^﹣2accosB，即9=a^2^+c^2^﹣4， ∴a^2^+c^2^=13②， 联立①②得：a=3，c=2； （Ⅱ）在△ABC中，sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20129.png){width="0.7604166666666666in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20130.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20131.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 由正弦定理![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20132.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20133.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}得：sinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20134.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20135.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20136.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20137.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∵a=b＞c，∴C为锐角， ∴cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20138.png){width="0.7604166666666666in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20139.png){width="0.9166666666666666in" height="0.46875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20140.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20141.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20142.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20143.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20144.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20145.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键． 　 18．（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示： ---------- ---------- ------------ ------ 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计 70 30 100 ---------- ---------- ------------ ------ （Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为"南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异"； （Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率． 附：X^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20146.png){width="1.5520833333333333in" height="0.53125in"} -------------- ------- ------- ------- P（x^2^＞k） 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 -------------- ------- ------- ------- 【分析】（Ⅰ）根据表中数据，利用公式，即可得出结论； （Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，X^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20147.png){width="1.8333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}≈4.762＞3.841， ∴有95%的把握认为"南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异"； （Ⅱ）从这5名学生中随机抽取3人，共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20148.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=10种情况，有2名喜欢甜品，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20149.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=3种情况， ∴至多有1人喜欢甜品的概率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20150.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查独立性检验的应用，考查古典概型及其概率计算公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 19．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点． （Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG； （Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积． 附：锥体的体积公式V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20151.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}Sh，其中S为底面面积，h为高． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20152.png){width="2.5215277777777776in" height="2.7506944444444446in"} 【分析】（Ⅰ）先证明AD⊥平面BGC，利用EF∥AD，可得EF⊥平面BCG； （Ⅱ）在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，G到平面BCD的距离h是AO长度的一半，利用V~D﹣BCG~=V~G﹣BCD~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20153.png){width="0.6979166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即可求三棱锥D﹣BCG的体积． 【解答】（Ⅰ）证明：∵AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°， ∴△ABC≌△DBC， ∴AC=DC， ∵G为AD的中点， ∴CG⊥AD． 同理BG⊥AD， ∵CG∩BG=G， ∴AD⊥平面BGC， ∵EF∥AD， ∴EF⊥平面BCG； （Ⅱ）解：在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O， ∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直， ∴AO⊥平面BCD， ∵G为AD的中点， ∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半． 在△AOB中，AO=ABsin60°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20154.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴V~D﹣BCG~=V~G﹣BCD~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20153.png){width="0.6979166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20155.png){width="1.6458333333333333in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20156.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20157.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20158.png){width="1.9479166666666667in" height="2.0104166666666665in"} 【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键． 　 20．（12分）圆x^2^+y^2^=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）． （Ⅰ）求点P的坐标； （Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20159.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20160.png){width="1.7395833333333333in" height="1.6979166666666667in"} 【分析】（Ⅰ）设切点P的坐标为（x~0~，y~0~），求得圆的切线方程，根据切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20161.png){width="0.5in" height="0.4375in"}．再利用基本不等式求得S取得最小值，求得点P的坐标． （Ⅱ）设椭圆的标准方程为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20162.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20163.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1，a＞b＞0，则 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20164.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20165.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=1．把直线方程和椭圆的方程联立方程组，转化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理、弦长公式求出弦长AB以及点P到直线的距离d，再由△PAB的面积为S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20166.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•AB•d=2，求出a^2^、b^2^的值，从而得到所求椭圆的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设切点P的坐标为（x~0~，y~0~），且x~0~＞0，y~0~＞0． 则切线的斜率为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20167.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}，故切线方程为 y﹣y~0~=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20167.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}（x﹣x~0~），即x~0~x+y~0~y=4． 此时，切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20166.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20168.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20169.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20170.png){width="0.5in" height="0.4375in"}． 再根据 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20171.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20172.png){width="0.28125in" height="0.2916666666666667in"}=4≥2x~0~•y~0~，可得当且仅当x~0~=y~0~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20173.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}时， x~0~•y~0~取得最大值为2，即S取得最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20174.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=4， 故此时，点P的坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20173.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20175.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）． （Ⅱ）设椭圆的标准方程为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20176.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20177.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1，a＞b＞0，∵椭圆C过点P，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20178.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20179.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=1． 由 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20180.png){width="0.84375in" height="0.7395833333333334in"} 求得b^2^x^2^+4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20181.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}x+6﹣2b^2^=0， ∴x~1~+x~2~=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20182.png){width="0.34375in" height="0.4479166666666667in"}，x~1~•x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20183.png){width="0.5in" height="0.4791666666666667in"}． 由 y~1~=x~1~+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20181.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，y~2~=x~2~+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20181.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，可得AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20184.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\|x~2~﹣x~1~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20184.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20185.png){width="1.5208333333333333in" height="0.3541666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20184.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20186.png){width="1.6770833333333333in" height="0.5208333333333334in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20187.png){width="0.23958333333333334in" height="0.4479166666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20188.png){width="1.1145833333333333in" height="0.25in"}． 由于点P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20189.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20189.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）到直线l：y=x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20190.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20191.png){width="1.0729166666666667in" height="0.40625in"}， △PAB的面积为S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20192.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•AB•d=2，可得 b^4^﹣9b^2^+18=0，解得 b^2^=3，或 b^2^=6， 当b^2^=6 时，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20193.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20194.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=1求得a^2^=3，不满足题意； 当b^2^=3时，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20193.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20194.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=1求得a^2^=6，满足题意，故所求的椭圆的标准方程为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20195.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20196.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1． 【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于难题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20197.png){width="0.65625in" height="0.3854166666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20198.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣1． 证明： （Ⅰ）存在唯一x~0~∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20199.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），使f（x~0~）=0； （Ⅱ）存在唯一x~1~∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20199.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π），使g（x~1~）=0，且对（Ⅰ）中的x~0~，有x~0~+x~1~＞π． 【分析】（Ⅰ）导数法可判f（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20199.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）上为增函数，又可判函数有零点，故必唯一；（Ⅱ）化简可得g（x）=（π﹣x）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20200.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20201.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣1，换元法，令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20202.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20203.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t+1，t∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20204.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]，由导数法可得函数的零点，可得不等式． 【解答】解：（Ⅰ）当x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20204.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）时，f′（x）=π+πsinx﹣2cosx＞0， ∴f（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20204.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）上为增函数， 又f（0）=﹣π﹣2＜0，f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20205.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20206.png){width="0.3125in" height="0.4270833333333333in"}﹣4＞0， ∴存在唯一x~0~∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20205.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），使f（x~0~）=0； （Ⅱ）当x∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20205.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π\]时， 化简可得g（x）=（x﹣π）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20207.png){width="0.65625in" height="0.3854166666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20208.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣1 =（π﹣x）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20209.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20210.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣1， 令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20211.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20212.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}t+1，t∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20213.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]， 求导数可得u′（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20214.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 由（Ⅰ）得，当t∈（0，x~0~）时，u′（t）＜0，当t∈（x~0~，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20215.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）时，u′（t）＞0， ∴函数u（t）在（x~0~，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20215.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）上为增函数， 由u（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20215.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=0知，当t∈\[x~0~，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20215.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）时，u（t）＜0， ∴函数u（t）在\[x~0~，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20215.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）上无零点； 函数u（t）在（0，x~0~）上为减函数， 由u（0）=1及u（x~0~）＜0知存在唯一t~0~∈（0，x~0~），使u（t~0~）=0， 于是存在唯一t~0~∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20215.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），使u（t~0~）=0， 设x~1~=π﹣t~0~∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20216.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π），则g（x~1~）=g（π﹣t~0~）=u（t~0~）=0， ∴存在唯一x~1~∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20216.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π），使g（x~1~）=0， ∵x~1~=π﹣t~0~，t~0~＜x~0~， ∴x~0~+x~1~＞π 【点评】本题考查零点的判定定理，涉及导数法证明函数的单调性，属中档题． 　 **四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲** 22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F． （Ⅰ）求证：AB为圆的直径； （Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20217.png){width="1.5416666666666667in" height="1.1458333333333333in"} 【分析】（Ⅰ）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°； （Ⅱ）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED． 【解答】证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD， ∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA， ∵∠PGD=∠EGA， ∴∠DBA=∠EGA， ∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD， ∴∠BDA=∠PFA， ∵AF⊥EP， ∴∠PFA=90°． ∴∠BDA=90°， ∴AB为圆的直径； （Ⅱ）连接BC，DC，则 ∵AB为圆的直径， ∴∠BDA=∠ACB=90°， 在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD， ∴Rt△BDA≌Rt△ACB， ∴∠DAB=∠CBA， ∵∠DCB=∠DAB， ∴∠DCB=∠CBA， ∴DC∥AB， ∵AB⊥EP， ∴DC⊥EP， ∴∠DCE为直角， ∴ED为圆的直径， ∵AB为圆的直径， ∴AB=ED． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20218.png){width="1.5729166666666667in" height="1.1770833333333333in"} 【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题． 　 **选修4-4：坐标系与参数方程** 23．将圆x^2^+y^2^=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C． （Ⅰ）写出C的参数方程； （Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P~1~，P~2~，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P~1~P~2~的中点且与l垂直的直线的极坐标方程． 【分析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20219.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}）在圆x^2^+y^2^=1上，求出C的方程，化为参数方程． （Ⅱ）解方程组求得P~1~、P~2~的坐标，可得线段P~1~P~2~的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20220.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程． 【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20219.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}）在圆x^2^+y^2^=1上， ∴x^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20221.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1，即曲线C的方程为 x^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20221.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1，化为参数方程为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20222.png){width="0.7916666666666666in" height="0.40625in"} （0≤θ＜2π，θ为参数）． （Ⅱ）由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20223.png){width="0.8125in" height="0.6770833333333334in"}，可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20224.png){width="0.375in" height="0.40625in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20225.png){width="0.375in" height="0.40625in"}，不妨设P~1~（1，0）、P~2~（0，2）， 则线段P~1~P~2~的中点坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20226.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1）， 再根据与l垂直的直线的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20227.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，故所求的直线的方程为y﹣1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20227.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20227.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），即x﹣2y+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20228.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=0． 再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20228.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=0， 即 ρ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20229.png){width="1.1354166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题． 　 **选修4-5：不等式选讲** 24．设函数f（x）=2\|x﹣1\|+x﹣1，g（x）=16x^2^﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N． （Ⅰ）求M； （Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x^2^f（x）+x\[f（x）\]^2^≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20230.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【分析】（Ⅰ）由所给的不等式可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20231.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3958333333333333in"}①，或 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20232.png){width="0.625in" height="0.4270833333333333in"}②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求． （Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20233.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20234.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20235.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，显然它小于或等于 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20234.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，要证的不等式得证． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2\|x﹣1\|+x﹣1≤1 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20236.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3958333333333333in"}①，或 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20237.png){width="0.625in" height="0.4270833333333333in"}②． 解①求得1≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20238.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，解②求得 0≤x＜1． 综上，原不等式的解集为\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20238.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]． （Ⅱ）证明： 由g（x）=16x^2^﹣8x+1≤4，求得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20239.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20240.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴N=\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20239.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20241.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]， ∴M∩N=\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20241.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]． ∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x， ∴x^2^f（x）+x\[f（x）\]^2^ =xf（x）\[x+f（x）\]=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20242.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20243.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20242.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故要证的不等式成立． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题． 　 2014年山东省高考数学试卷（理科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）** 1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）^2^=（　　） A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i 【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）^2^的值． 【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1， ∴（a+bi）^2^=（2+i）^2^=3+4i， 故选：D． 【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 　 2．（5分）设集合A={x\|\|x﹣1\|＜2}，B={y\|y=2^x^，x∈\[0，2\]}，则A∩B=（　　） A．\[0，2\] B．（1，3） C．\[1，3） D．（1，4） 【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论． 【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}， B={y丨y=2^x^，x∈\[0，2\]}={y丨1≤y≤4}， 则A∩B={x丨1≤y＜3}， 故选：C． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键． 　 3．（5分）函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20244.png){width="1.0833333333333333in" height="0.5in"}的定义域为（　　） A．（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20245.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}） B．（2，+∞） C．（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20245.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）∪（2，+∞） D．（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20245.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]∪\[2，+∞） 【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20246.png){width="1.1979166666666667in" height="0.28125in"}， 即log~2~x＞1或log~2~x＜﹣1， 解得x＞2或0＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18254.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 即函数的定义域为（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18254.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）∪（2，+∞）， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础． 　 4．（5分）用反证法证明命题"设a，b为实数，则方程x^3^+ax+b=0至少有一个实根"时，要做的假设是（　　） A．方程x^3^+ax+b=0没有实根 B．方程x^3^+ax+b=0至多有一个实根 C．方程x^3^+ax+b=0至多有两个实根 D．方程x^3^+ax+b=0恰好有两个实根 【分析】直接利用命题的否定写出假设即可． 【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定， ∴用反证法证明命题"设a，b为实数，则方程x^3^+ax+b=0至少有一个实根"时，要做的假设是：方程x^3^+ax+b=0没有实根． 故选：A． 【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查． 　 5．（5分）已知实数x，y满足a^x^＜a^y^（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20247.png){width="1.0104166666666667in" height="0.4375in"} B．ln（x^2^+1）＞ln（y^2^+1） C．sinx＞siny D．x^3^＞y^3^ 【分析】实数x，y满足a^x^＜a^y^（0＜a＜1），可得x＞y，对于A．B．C分别举反例即可否定，对于D：由于y=x^3^在R上单调递增，即可判断出正误． 【解答】解：∵实数x，y满足a^x^＜a^y^（0＜a＜1）， ∴x＞y， A．取x=2，y=﹣1，不成立； B．\\取x=0，y=﹣1，不成立 C．取x=π，y=﹣π，不成立； D．由于y=x^3^在R上单调递增，因此正确 故选：D． 【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键． 　 6．（5分）直线y=4x与曲线y=x^3^在第一象限内围成的封闭图形的面积为（　　） A．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20248.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20248.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．2 D．4 【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可． 【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0， 曲线y=x^3^与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20249.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}（4x﹣x^3^）dx， 而∫![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20249.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}（4x﹣x^3^）dx=（2x^2^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20250.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^4^）\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20249.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=8﹣4=4， ∴曲边梯形的面积是4， 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20251.png){width="2.5944444444444446in" height="2.40625in"} 【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题． 　 7．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为\[12，13），\[13，14），\[14，15），\[15，16），\[16，17\]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，...，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20252.png){width="2.0104166666666665in" height="1.2708333333333333in"} A．6 B．8 C．12 D．18 【分析】由频率=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20253.png){width="0.71875in" height="0.4166666666666667in"}以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案； 【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人， 第三组中没有疗效的有6人， 第三组中有疗效的有12人． 故选：C． 【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题． 　 8．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　） A．（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18644.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}） B．（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18644.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1） C．（1，2） D．（2，+∞） 【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围． 【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线） 和函数g（x）的图象（红线）有两个交点， 如图所示：K~OA~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18644.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 数形结合可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16151.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜k＜1， 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20254.png){width="2.7819444444444446in" height="2.2395833333333335in"} 【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题． 　 9．（5分）已知x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20255.png){width="0.875in" height="0.4166666666666667in"}，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20256.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}时，a^2^+b^2^的最小值为（　　） A．5 B．4 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20256.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．2 【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20256.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=0．a^2^+b^2^的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20256.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案． 【解答】解：由约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20255.png){width="0.875in" height="0.4166666666666667in"}作可行域如图， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20257.png){width="2.3020833333333335in" height="2.7506944444444446in"} 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20258.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，解得：A（2，1）． 化目标函数为直线方程得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20259.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（b＞0）． 由图可知，当直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20259.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小． ∴2a+b=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20260.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 即2a+b﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20260.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=0． 则a^2^+b^2^的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20261.png){width="0.9166666666666666in" height="0.40625in"}． 故选：B． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题． 　 10．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C~1~的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20262.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20263.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1，双曲线C~2~的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20262.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20264.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1，C~1~与C~2~的离心率之积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20265.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，则C~2~的渐近线方程为（　　） A．x±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20266.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}y=0 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20266.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0 【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程． 【解答】解：a＞b＞0，椭圆C~1~的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20267.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20264.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1，C~1~的离心率为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20268.png){width="0.625in" height="0.4479166666666667in"}， 双曲线C~2~的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20267.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20269.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1，C~2~的离心率为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20270.png){width="0.625in" height="0.4479166666666667in"}， ∵C~1~与C~2~的离心率之积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20271.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20272.png){width="1.6979166666666667in" height="0.4479166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20273.png){width="0.4375in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20274.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20275.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20276.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， C~2~的渐近线方程为：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20277.png){width="0.53125in" height="0.3854166666666667in"}，即x±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20278.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}y=0． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查． 　 **二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）** 11．（5分）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为[　3　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20279.png){width="2.21875in" height="3.1881944444444446in"} 【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可． 【解答】解：循环前输入的x的值为1， 第1次循环，x^2^﹣4x+3=0≤0， 满足判断框条件，x=2，n=1，x^2^﹣4x+3=﹣1≤0， 满足判断框条件，x=3，n=2，x^2^﹣4x+3=0≤0 满足判断框条件，x=4，n=3，x^2^﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件， 输出n：3． 故答案为：3． 【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力． 　 12．（5分）若△ABC中，已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20280.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20281.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=tanA，当A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20282.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，△ABC的面积为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20283.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得AB•AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20284.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，再根据△ABC的面积为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20285.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AB•AC•sinA，计算求得结果． 【解答】解：△ABC中，∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20286.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20287.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=AB•AC•cosA=tanA， ∴当A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20288.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，有 AB•AC•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20289.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20290.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，解得AB•AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20291.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， △ABC的面积为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20292.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AB•AC•sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20292.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20291.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20293.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20294.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20294.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式，属于基础题． 　 13．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V~1~，P﹣ABC的体积为V~2~，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20295.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20296.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比． 【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点， 三棱锥D﹣ABE的体积为V~1~，P﹣ABC的体积为V~2~， ∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20297.png){width="0.4895833333333333in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20298.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20299.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20300.png){width="0.625in" height="0.7604166666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20298.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20298.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20301.png){width="1.75in" height="2.1354166666666665in"} 【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题． 　 14．（5分）若（ax^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20302.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^6^的展开式中x^3^项的系数为20，则a^2^+b^2^的最小值为[　2　]{.underline}． 【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值． 【解答】解：（ax^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20302.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^6^的展开式中x^3^项的系数为20， 所以T~r+1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20303.png){width="1.3333333333333333in" height="0.375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20304.png){width="1.1666666666666667in" height="0.28125in"}， 令12﹣3r=3，∴r=3，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20305.png){width="0.8541666666666666in" height="0.28125in"}， ∴ab=1， a^2^+b^2^≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号． a^2^+b^2^的最小值为：2． 故答案为：2． 【点评】本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，基本知识的考查． 　 15．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的"对称函数"为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20306.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}关于f（x）=3x+b的"对称函数"，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是[　（2]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20307.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}[，+∞）　]{.underline}． 【分析】根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论． 【解答】解：根据"对称函数"的定义可知，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20308.png){width="1.3958333333333333in" height="0.4479166666666667in"}， 即h（x）=6x+2b﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20309.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}， 若h（x）＞g（x）恒成立， 则等价为6x+2b﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20309.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20309.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}， 即3x+b＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20309.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}恒成立， 设y~1~=3x+b，y~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20309.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}， 作出两个函数对应的图象如图， 当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20310.png){width="1.1354166666666667in" height="0.4479166666666667in"}， 即\|b\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20311.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， ∴b=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20311.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}或﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20311.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，（舍去）， 即要使h（x）＞g（x）恒成立， 则b＞2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20311.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， 即实数b的取值范围是（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20311.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，+∞）， 故答案为：（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20311.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，+∞） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20312.png){width="2.3020833333333335in" height="2.375in"} 【点评】本题主要考查对称函数的定义的理解，以及不等式恒成立的证明，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键． 　 **三、解答题（共6小题，满分75分）** 16．（12分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20313.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（m，cos2x），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20314.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（sin2x，n），函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20313.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20314.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，且y=f（x）的图象过点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20315.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20316.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）和点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20317.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，﹣2）． （Ⅰ）求m，n的值； （Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间． 【分析】（Ⅰ）由题意可得 函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20315.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20316.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）和点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20317.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，﹣2），解方程组求得m、n的值． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20318.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin（2x+2φ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20318.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在y轴上，求得φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20318.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，可得g（x）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x的范围，可得g（x）的增区间． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得 函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16074.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16075.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=msin2x+ncos2x， 再由y=f（x）的图象过点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20319.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20320.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）和点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20321.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，﹣2），可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20322.png){width="1.125in" height="0.8333333333333334in"}． 解得 m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20320.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，n=1． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20323.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin2x+cos2x=2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20324.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}sin2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20325.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos2x）=2sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20326.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）． 将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后， 得到函数g（x）=2sin\[2（x+φ）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20326.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]=2sin（2x+2φ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20326.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为2． y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1， 故函数g（x）的一个最高点在y轴上， ∴2φ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20326.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20327.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20328.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 故g（x）=2sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20329.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=2cos2x． 令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得 kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20329.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤kπ， 故y=g（x）的单调递增区间是\[kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20329.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，kπ\]，k∈Z． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题． 　 17．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点． （Ⅰ）求证：C~1~M∥平面A~1~ADD~1~； （Ⅱ）若CD~1~垂直于平面ABCD且CD~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20330.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求平面C~1~D~1~M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20331.png){width="2.0729166666666665in" height="1.7083333333333333in"} 【分析】（Ⅰ）连接AD~1~，易证AMC~1~D~1~为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C~1~M∥平面A~1~ADD~1~； （Ⅱ）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD~1~为z轴建立空间坐标系，易求C~1~（﹣1，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20330.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），D~1~，（0，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20330.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），M（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20332.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20333.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20334.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3229166666666667in"}=（1，1，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20335.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20332.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20333.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20336.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），设平面C~1~D~1~M的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10809.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x~1~，y~1~，z~1~），可求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20337.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（0，2，1），而平面ABCD的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20338.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（1，0，0），从而可求得平面C~1~D~1~M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）连接AD~1~，∵ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~为四棱柱，∴CD![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20339.png){width="0.15625in" height="0.19791666666666666in"}C~1~D~1~， 又M为AB的中点，∴AM=1． ∴CD∥AM，CD=AM， ∴AM![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20339.png){width="0.15625in" height="0.19791666666666666in"}C~1~D~1~， ∴AMC~1~D~1~为平行四边形，∴AD~1~∥MC~1~，又MC~1~⊄平面A~1~ADD~1~，AD~1~⊂平面A~1~ADD~1~， ∴C~1~M∥平面A~1~ADD~1~； （Ⅱ）解法一：∵AB∥A~1~B~1~，A~1~B~1~∥C~1~D~1~， ∴面D~1~C~1~M与ABC~1~D~1~共面， 作CN⊥AB，连接D~1~N，则∠D~1~NC即为所求二面角， 在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°， ∴CN=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20340.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 在Rt△D~1~CN中，CD~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20341.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，CN=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20342.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴D~1~N=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20343.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} ∴cos∠D~1~NC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20344.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20345.png){width="0.3541666666666667in" height="0.8020833333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20346.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} 解法二：作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD~1~为z轴建立空间坐标系 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20347.png){width="2.0833333333333335in" height="1.71875in"} 则C~1~（﹣1，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20348.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），D~1~，（0，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20348.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），M（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20349.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20350.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，0）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20351.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3229166666666667in"}=（1，0，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20352.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20353.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20354.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20355.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）， 设平面C~1~D~1~M的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20356.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x~1~，y~1~，z~1~）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20357.png){width="1.7708333333333333in" height="0.7291666666666666in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20358.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（0，2，1）． 显然平面ABCD的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20359.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=（0，0，1）， cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20358.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20359.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}＞\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20360.png){width="0.8125in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20361.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20362.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 显然二面角为锐角， ∴平面C~1~D~1~M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20362.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力． 　 18．（12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20363.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，在D上的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20364.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20365.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，在D上的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20366.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求： （Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20367.png){width="2.0625in" height="0.5520833333333334in"} 【分析】（Ⅰ）分别求出回球前落点在A上和B上时，回球落点在乙上的概率，进而根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六种情况，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ． 【解答】解：（Ⅰ）小明回球前落点在A上，回球落点在乙上的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20368.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20364.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20369.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 回球前落点在B上，回球落点在乙上的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20370.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20371.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20372.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20373.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20372.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）+（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20373.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20372.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20374.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20375.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20376.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6 其中P（ξ=0）=（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20377.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）×（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20378.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20379.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； P（ξ=1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20380.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20378.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）+（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20381.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20382.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20383.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； P（ξ=2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20384.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20382.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20385.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； P（ξ=3）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20386.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20387.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）+（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20388.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20389.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20390.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； P（ξ=4）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20391.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20392.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20393.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20389.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20394.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； P（ξ=6）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20395.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20396.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20397.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； 故ξ的分布列为： --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ξ 0 1 2 3 4 6 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20398.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20399.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20396.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20400.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20401.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20402.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 故ξ的数学期望为E（ξ）=0×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20403.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+1×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20404.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20405.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+3×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20400.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+4×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20406.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+6×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20407.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20408.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大． 　 19．（12分）已知等差数列{a~n~}的公差为2，前n项和为S~n~，且S~1~，S~2~，S~4~成等比数列． （Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）令b~n~=（﹣1）^n﹣1^![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20409.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"}，求数列{b~n~}的前n项和T~n~． 【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得b~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20410.png){width="1.6875in" height="0.3645833333333333in"}．对n分类讨论"裂项求和"即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a~n~}的公差为2，前n项和为S~n~， ∴S~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20411.png){width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"}=n^2^﹣n+na~1~， ∵S~1~，S~2~，S~4~成等比数列， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20412.png){width="0.7916666666666666in" height="0.28125in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20413.png){width="2.3645833333333335in" height="0.28125in"}，化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20414.png){width="1.5208333333333333in" height="0.28125in"}，解得a~1~=1． ∴a~n~=a~1~+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得b~n~=（﹣1）^n﹣1^![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20415.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20416.png){width="1.7604166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20417.png){width="1.6875in" height="0.3645833333333333in"}． ∴T~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20418.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20419.png){width="0.5833333333333334in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20420.png){width="0.5833333333333334in" height="0.3645833333333333in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20421.png){width="1.6875in" height="0.3645833333333333in"}． 当n为偶数时，T~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20418.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20422.png){width="0.5833333333333334in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20423.png){width="0.5833333333333334in" height="0.3645833333333333in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20424.png){width="1.0833333333333333in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20425.png){width="1.0833333333333333in" height="0.3645833333333333in"}=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20426.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20427.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 当n为奇数时，T~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20428.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20429.png){width="0.5833333333333334in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20430.png){width="0.5833333333333334in" height="0.3645833333333333in"}+...﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20431.png){width="1.0833333333333333in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20432.png){width="1.0833333333333333in" height="0.3645833333333333in"}=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20433.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20434.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． ∴Tn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20435.png){width="1.2604166666666667in" height="0.7916666666666666in"}． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、"裂项求和"、分类讨论思想方法，属于难题． 　 20．（13分）设函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20436.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣k（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20437.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+lnx）（k为常数，e=2.71828...是自然对数的底数）． （Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间； （Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20438.png){width="1.09375in" height="0.4791666666666667in"}﹣k（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20439.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20440.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20441.png){width="1.1041666666666667in" height="0.4791666666666667in"}（x＞0）， 当k≤0时，kx≤0， ∴e^x^﹣kx＞0， 令f′（x）=0，则x=2， ∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， ∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减， 故f（x）在（0，2）内不存在极值点； 当k＞0时，设函数g（x）=e^x^﹣kx，x∈（0，+∞）． ∵g′（x）=e^x^﹣k=e^x^﹣e^lnk^， 当0＜k≤1时， 当x∈（0，2）时，g′（x）=e^x^﹣k＞0，y=g（x）单调递增， 故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点； 当k＞1时， 得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减， x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增， ∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1﹣lnk） 函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点 当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20442.png){width="0.875in" height="0.9791666666666666in"} 解得：e![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20443.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} 综上所述， 函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20444.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}） 【点评】本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想．是一道导数的综合应用题．属于中档题． 　 21．（14分）已知抛物线C：y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形． （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）若直线l~1~∥l，且l~1~和C有且只有一个公共点E， （ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标； （ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值； （2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l~1~∥l，且l~1~和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点； （ⅱ） 利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值． 【解答】解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G， A（3，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20445.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}），F（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20446.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20447.png){width="0.7395833333333334in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20448.png){width="1.15625in" height="0.3645833333333333in"}． ∵△ADF为正三角形， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20449.png){width="1.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 又∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20450.png){width="1.5729166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20451.png){width="0.8020833333333334in" height="0.3645833333333333in"}， ∴p=2． ∴C的方程为y^2^=4x． 当D在焦点F的左侧时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20452.png){width="1.15625in" height="0.3645833333333333in"}． 又\|FD\|=2\|FG\|=2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20453.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣3）=p﹣6， ∵△ADF为正三角形， ∴3+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20454.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=p﹣6，解得p=18， ∴C的方程为y^2^=36x．此时点D在x轴负半轴，不成立，舍． ∴C的方程为y^2^=4x． （2）（ⅰ）设A（x~1~，y~1~），\|FD\|=\|AF\|=x~1~+1， ∴D（x~1~+2，0）， ∴k~AD~=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20455.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}． 由直线l~1~∥l可设直线l~1~方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20456.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4375in"}， 联立方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20457.png){width="0.875in" height="0.7291666666666666in"}，消去x得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20458.png){width="1.0729166666666667in" height="0.2916666666666667in"}① 由l~1~和C有且只有一个公共点得△=64+32y~1~m=0，∴y~1~m=﹣2， 这时方程①的解为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20459.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4375in"}，代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20460.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4375in"}得x=m^2^，∴E（m^2^，2m）． 点A的坐标可化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20461.png){width="0.84375in" height="0.4270833333333333in"}，直线AE方程为y﹣2m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20462.png){width="0.5520833333333334in" height="0.8229166666666666in"}（x﹣m^2^）， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20463.png){width="1.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20464.png){width="1.46875in" height="0.4791666666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20465.png){width="1.1979166666666667in" height="0.4270833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20466.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4270833333333333in"}， ∴直线AE过定点（1，0）； （ⅱ）直线AB的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20467.png){width="1.3958333333333333in" height="0.4895833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20468.png){width="1.09375in" height="0.5520833333333334in"}． 联立方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20469.png){width="1.1979166666666667in" height="0.84375in"}，消去x得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20470.png){width="1.4270833333333333in" height="0.4375in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20471.png){width="0.90625in" height="0.4375in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20472.png){width="1.65625in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20473.png){width="1.3333333333333333in" height="0.5104166666666666in"}， 由（ⅰ）点E的坐标为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20474.png){width="1.0104166666666667in" height="0.4895833333333333in"}，点E到直线AB的距离为： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20475.png){width="1.4791666666666667in" height="1.1354166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20476.png){width="0.9583333333333334in" height="1.1354166666666667in"}， ∴△ABE的面积![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20477.png){width="2.8645833333333335in" height="0.6041666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20478.png){width="1.9166666666666667in" height="0.5in"}， 当且仅当y~1~=±2时等号成立， ∴△ABE的面积最小值为16． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20479.png){width="2.375in" height="2.46875in"} 【点评】本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，切线方程的求法，定点问题与最值问题． 　 2014年山东省高考数学试卷（文科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一.选择题每小题5分，共50分** 1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=2﹣bi，则（a+bi）^2^=（　　） A．3﹣4i B．3+4i C．4﹣3i D．4+3i 【分析】利用两个复数相等的充要条件求得a、b的值，再利用两个复数代数形式的乘法法则求得（a+bi）^2^的值． 【解答】解：∵a+i=2﹣bi，∴a=2、b=﹣1，则（a+bi）^2^=（2﹣i）^2^=3﹣4i， 故选：A． 【点评】本题主要考查两个复数相等的充要条件，两个复数代数形式的乘法法则，属于基础题． 　 2．（5分）设集合A={x\|x^2^﹣2x＜0}，B={x\|1≤x≤4}，则A∩B=（　　） A．（0，2\] B．（1，2） C．\[1，2） D．（1，4） 【分析】分别解出集合A和B，再根据交集的定义计算即可． 【解答】解：A={x\|0＜x＜2}，B={x\|1≤x≤4}， ∴A∩B={x\|1≤x＜2}． 故选：C． 【点评】本题是简单的计算题，一般都是在高考的第一题出现，答题时要注意到端点是否取得到，计算也是高考中的考查点，学生在平时要加强这方面的练习，考试时做到细致悉心，一般可以顺利解决问题． 　 3．（5分）函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20480.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4583333333333333in"}的定义域为（　　） A．（0，2） B．（0，2\] C．（2，+∞） D．\[2，+∞） 【分析】分析可知，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20481.png){width="1.0104166666666667in" height="0.4895833333333333in"}，解出x即可． 【解答】解：由题意可得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20481.png){width="1.0104166666666667in" height="0.4895833333333333in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20482.png){width="0.4583333333333333in" height="0.4479166666666667in"}，即x＞2． ∴所求定义域为（2，+∞）． 故选：C． 【点评】本题是对基本计算的考查，注意到"真数大于0"和"开偶数次方根时，被开方数要大于等于0"，及"分母不为0"，即可确定所有条件．高考中对定义域的考查，大多属于容易题． 　 4．（5分）用反证法证明命题"设a，b为实数，则方程x^3^+ax+b=0至少有一个实根"时，要做的假设是（　　） A．方程x^3^+ax+b=0没有实根 B．方程x^3^+ax+b=0至多有一个实根 C．方程x^3^+ax+b=0至多有两个实根 D．方程x^3^+ax+b=0恰好有两个实根 【分析】直接利用命题的否定写出假设即可． 【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定， ∴用反证法证明命题"设a，b为实数，则方程x^3^+ax+b=0至少有一个实根"时，要做的假设是：方程x^3^+ax+b=0没有实根． 故选：A． 【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查． 　 5．（5分）已知实数x，y满足a^x^＜a^y^（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（　　） A．x^3^＞y^3^ B．sinx＞siny C．ln（x^2^+1）＞ln（y^2^+1） D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20483.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20484.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"} 【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键． 【解答】解：∵实数x，y满足a^x^＜a^y^（0＜a＜1），∴x＞y， A．当x＞y时，x^3^＞y^3^，恒成立， B．当x=π，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20485.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立． C．若ln（x^2^+1）＞ln（y^2^+1），则等价为x^2^＞y^2^成立，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x^2^＞y^2^不成立． D．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20483.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20484.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}，则等价为x^2^+1＜y^2^+1，即x^2^＜y^2^，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x^2^＜y^2^不成立． 故选：A． 【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键． 　 6．（5分）已知函数y=log~a~（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　）![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20486.png){width="1.6875in" height="1.6979166666666667in"} A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1 【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论． 【解答】解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1， 当x=1时log~a~（x+c）=log~a~（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0， 当x=0时log~a~（x+c）=log~a~c＞0，即c＜1，即0＜c＜1， 故选：D． 【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础． 　 7．（5分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20487.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20488.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20489.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（3，m），若向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20490.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20489.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20491.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，则实数m=（　　） A．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20488.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20488.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．0 D．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20488.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【分析】由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值． 【解答】解：由题意可得cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20491.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20492.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20493.png){width="0.6979166666666666in" height="0.46875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20494.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 解得 m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20495.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 故选：B． 【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题． 　 8．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为\[12，13），\[13，14），\[14，15），\[15，16），\[16，17\]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，...，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20496.png){width="2.0104166666666665in" height="1.2708333333333333in"} A．6 B．8 C．12 D．18 【分析】由频率=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20497.png){width="0.71875in" height="0.4166666666666667in"}以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案； 【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人， 第三组中没有疗效的有6人， 第三组中有疗效的有12人． 故选：C． 【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题． 　 9．（5分）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（　　） A．f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20498.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．f（x）=x^2^ C．f（x）=tanx D．f（x）=cos（x+1） 【分析】由题意判断f（x）为准偶函数的对称轴，然后判断选项即可． 【解答】解：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a﹣x），则称f（x）为准偶函数， ∴函数的对称轴是x=a，a≠0， 选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是x=0，选项C，函数没有对称轴． 函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查函数的对称性的应用，新定义的理解，基本知识的考查． 　 10．（5分）已知x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20499.png){width="0.875in" height="0.4166666666666667in"}，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20500.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}时，a^2^+b^2^的最小值为（　　） A．5 B．4 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20501.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．2 【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20501.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=0．a^2^+b^2^的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20501.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案． 【解答】解：由约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20502.png){width="0.875in" height="0.4166666666666667in"}作可行域如图， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20503.png){width="2.3020833333333335in" height="2.7506944444444446in"} 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20504.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，解得：A（2，1）． 化目标函数为直线方程得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20505.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（b＞0）． 由图可知，当直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20505.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小． ∴2a+b=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20506.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 即2a+b﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20506.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=0． 则a^2^+b^2^的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20507.png){width="0.9166666666666666in" height="0.40625in"}． 故选：B． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题． 　 **二.填空题每小题5分，共25分** 11．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为[　3　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20508.png){width="1.6979166666666667in" height="2.698611111111111in"} 【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可． 【解答】解：循环前输入的x的值为1， 第1次循环，x^2^﹣4x+3=0≤0， 满足判断框条件，x=2，n=1，x^2^﹣4x+3=﹣1≤0， 满足判断框条件，x=3，n=2，x^2^﹣4x+3=0≤0 满足判断框条件，x=4，n=3，x^2^﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件， 输出n：3． 故答案为：3． 【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力． 　 12．（5分）函数y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20509.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}sin2x+cos^2^x的最小正周期为[　π　]{.underline}． 【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20510.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），从而求得函数的最小正周期 【解答】解：∵函数y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20509.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}sin2x+cos^2^x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20509.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}sin2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20511.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20512.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20513.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故函数的最小正周期的最小正周期为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20514.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=π， 故答案为：π． 【点评】本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题． 　 13．（5分）一个六棱锥的体积为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20515.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为[　12　]{.underline}． 【分析】判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积． 【解答】解：∵一个六棱锥的体积为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20515.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20516.png){width="1.7604166666666667in" height="0.3854166666666667in"}， ∴h=1， 棱锥的斜高为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20517.png){width="1.1875in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20518.png){width="0.375in" height="0.1875in"}=2， 该六棱锥的侧面积为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20519.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=12． 故答案为：12． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20520.png){width="1.25in" height="1.375in"} 【点评】本题考查了棱锥的体积，侧面积的求法，解答的关键是能够正确利用体积与表面积公式解题． 　 14．（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20521.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则圆C的标准方程为[　（x﹣2）^2^+（y﹣1）^2^=4　]{.underline}． 【分析】由圆心在直线x﹣2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可． 【解答】解：设圆心为（2t，t），半径为r=\|2t\|， ∵圆C截x轴所得弦的长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20521.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴t^2^+3=4t^2^， ∴t=±1， ∵圆C与y轴的正半轴相切， ∴t=﹣1不符合题意，舍去， 故t=1，2t=2， ∴（x﹣2）^2^+（y﹣1）^2^=4． 故答案为：（x﹣2）^2^+（y﹣1）^2^=4． 【点评】此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键． 　 15．（5分）已知双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20522.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20523.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x^2^=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且\|FA\|=c，则双曲线的渐近线方程为[　y=±x　]{.underline}． 【分析】求出双曲线的右顶点A（a，0），拋物线x^2^=2py（p＞0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20524.png){width="1.0104166666666667in" height="0.4270833333333333in"}及![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20525.png){width="1.34375in" height="0.3645833333333333in"}，求出a=b，得双曲线的渐近线方程为：y=±x． 【解答】解：∵右顶点为A， ∴A（a，0）， ∵F为抛物线x^2^=2py（p＞0）的焦点， F![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20526.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}， ∵\|FA\|=c， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20527.png){width="1.0104166666666667in" height="0.4270833333333333in"} 抛物线的准线方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20528.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"} 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20529.png){width="0.84375in" height="0.9166666666666666in"}得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20530.png){width="1.34375in" height="0.3645833333333333in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20531.png){width="1.34375in" height="0.3645833333333333in"}， 由①②，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20532.png){width="1.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=2c，即c^2^=2a^2^， ∵c^2^=a^2^+b^2^， ∴a=b， ∴双曲线的渐近线方程为：y=±x， 故答案为：y=±x． 【点评】熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键． 　 **三.解答题共6小题，共75分** 16．（12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测． ------ ---- ----- ----- 地区 A B C 数量 50 150 100 ------ ---- ----- ----- （Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量； （Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率． 【分析】（Ⅰ）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量； （Ⅱ）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）A，B，C三个地区商品的总数量为50+150+100=300， 故抽样比k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20533.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20534.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 故A地区抽取的商品的数量为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20535.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}×50=1； B地区抽取的商品的数量为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20535.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}×150=3； C地区抽取的商品的数量为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20535.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}×100=2； （Ⅱ）在这6件样品中随机抽取2件共有：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20536.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=15个不同的基本事件； 且这些事件是等可能发生的， 记"这2件商品来自相同地区"为事件A，则这2件商品可能都来自B地区或C地区， 则A中包含![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20537.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}=4种不同的基本事件， 故P（A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20538.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 即这2件商品来自相同地区的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20538.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查的知识点是分层抽样，古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题． 　 17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20539.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，B=A+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20540.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）求△ABC的面积． 【分析】（Ⅰ）利用cosA求得sinA，进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值． （Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面积公式求得答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20539.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20541.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20542.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∵B=A+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20540.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． ∴sinB=sin（A+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20543.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20544.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 由正弦定理知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20545.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20546.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， ∴b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20545.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}•sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20547.png){width="0.2708333333333333in" height="0.5833333333333334in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20544.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20548.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （Ⅱ）∵sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20549.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，B=A+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20550.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20550.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ∴cosB=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20551.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20552.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20552.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}×（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20552.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20549.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20553.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20554.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20555.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a•b•sinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20555.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×3×3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20556.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20554.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20557.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用． 　 18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20558.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AD，E，F分别为线段AD，PC的中点． （Ⅰ）求证：AP∥平面BEF； （Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20559.png){width="1.8645833333333333in" height="1.4583333333333333in"} 【分析】（Ⅰ）证明四边形ABCE是平行四边形，可得O是AC的中点，利用F为线段PC的中点，可得PA∥OF，从而可证AP∥平面BEF； （Ⅱ）证明BE⊥AP、BE⊥AC，即可证明BE⊥平面PAC． 【解答】证明：（Ⅰ）连接CE，则 ∵AD∥BC，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20558.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AD，E为线段AD的中点， ∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形， 设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点， ∵F为线段PC的中点， ∴PA∥OF， ∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF， ∴AP∥平面BEF； （Ⅱ）∵BCDE是平行四边形， ∴BE∥CD， ∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD， ∴AP⊥CD， ∴BE⊥AP， ∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形， ∴四边形ABCE是菱形， ∴BE⊥AC， ∵AP∩AC=A， ∴BE⊥平面PAC． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20560.png){width="1.9375in" height="1.4895833333333333in"} 【点评】本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用直线与平面平行、垂直的判定是关键 　 19．（12分）在等差数列{a~n~}中，已知公差d=2，a~2~是a~1~与a~4~的等比中项． （Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）设b~n~=a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20561.png){width="0.5625in" height="0.3854166666666667in"}，记T~n~=﹣b~1~+b~2~﹣b~3~+b~4~﹣...+（﹣1）^n^b~n~，求T~n~． 【分析】（Ⅰ）由于a~2~是a~1~与a~4~的等比中项，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20562.png){width="0.6875in" height="0.28125in"}，再利用等差数列的通项公式即可得出． （Ⅱ）利用（Ⅰ）可得b~n~=a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20561.png){width="0.5625in" height="0.3854166666666667in"}=n（n+1），因此T~n~=﹣b~1~+b~2~﹣b~3~+b~4~﹣...+（﹣1）^n^b~n~=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣...+（﹣1）^n^n•（n+1）．对n分奇偶讨论即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）∵a~2~是a~1~与a~4~的等比中项， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20562.png){width="0.6875in" height="0.28125in"}， ∵在等差数列{a~n~}中，公差d=2， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20563.png){width="1.625in" height="0.28125in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20564.png){width="1.7916666666666667in" height="0.28125in"}， 化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20565.png){width="0.59375in" height="0.28125in"}，解得a~1~=2． ∴a~n~=a~1~+（n﹣1）d=2+（n﹣1）×2=2n． （Ⅱ）∵b~n~=a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20566.png){width="0.5625in" height="0.3854166666666667in"}=n（n+1）， ∴T~n~=﹣b~1~+b~2~﹣b~3~+b~4~﹣...+（﹣1）^n^b~n~=﹣1×（1+1）+2×（2+1）﹣...+（﹣1）^n^n•（n+1）． 当n=2k（k∈N^\*^）时，b~2k~﹣b~2k﹣1~=2k（2k+1）﹣（2k﹣1）（2k﹣1+1）=4k T~n~=（b~2~﹣b~1~）+（b~4~﹣b~3~）+...+（b~2k~﹣b~2k﹣1~） =4（1+2+...+k）=4×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20567.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=2k（k+1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20568.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 当n=2k﹣1（k∈N^\*^）时， T~n~=（b~2~﹣b~1~）+（b~4~﹣b~3~）+...+（b~2k﹣2~﹣b~2k﹣3~）﹣b~2k﹣1~ =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20569.png){width="0.9895833333333334in" height="0.3645833333333333in"}n（n+1） =﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20570.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}． 故T~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20571.png){width="2.0625in" height="0.8541666666666666in"}． （也可以利用"错位相减法"） 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论思想方法，属于中档题． 　 20．（13分）设函数f（x）=alnx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20572.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，其中a为常数． （Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性． 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），代入计算即可． （Ⅱ）先对其进行求导，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20573.png){width="1.4270833333333333in" height="0.4270833333333333in"}，考虑函数g（x）=ax^2^+（2a+2）x+a，分成a≥0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18441.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜a＜0，a≤﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18441.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}三种情况分别讨论即可． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20573.png){width="1.4270833333333333in" height="0.4270833333333333in"}， （Ⅰ）当a=0时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20574.png){width="1.1875in" height="0.4270833333333333in"}，f′（1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18441.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，f（1）=0 ∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20575.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（x﹣1）． （Ⅱ）（1）当a≥0时，由x＞0知f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增； （2）当a＜0时，令f′（x）＞0，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20576.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}＞0，整理得，ax^2^+（2a+2）x+a＞0， 令f′（x）＜0，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20576.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}＜0，整理得，ax^2^+（2a+2）x+a＜0． 以下考虑函数g（x）=ax^2^+（2a+2）x+a，g（0）=a＜0.![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20577.png){width="1.2604166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，对称轴方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20578.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ①当a≤﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20575.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，△≤0，∴g（x）＜0恒成立．（x＞0） ②当﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20575.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜a＜0时，此时，对称轴方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20579.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}＞0， ∴g（x）=0的两根一正一负，计算得 当0＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20580.png){width="1.09375in" height="0.3854166666666667in"}时，g（x）＞0； 当x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20580.png){width="1.09375in" height="0.3854166666666667in"}时，g（x）＜0． 综合（1）（2）可知， 当a≤﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20581.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，f（x）在（0，+∞）上单调递减； 当﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20581.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜a＜0时，f（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20580.png){width="1.09375in" height="0.3854166666666667in"}）上单调递增，在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20582.png){width="1.09375in" height="0.3854166666666667in"}，+∞）上单调递减； 当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增． 【点评】导数是高考中极易考察到的知识模块，导数的几何意义和导数的单调性是本题检查的知识点，特别是单调性的处理中，分类讨论是非常关键和必要的，分类讨论也是高考中经常考查的思想方法． 　 21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20583.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20584.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20585.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，直线y=x被椭圆C截得的线段长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20586.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点． （i）设直线BD，AM的斜率分别为k~1~，k~2~，证明存在常数λ使得k~1~=λk~2~，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值． 【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求； （Ⅱ）（i）设出A，D的坐标分别为（x~1~，y~1~）（x~1~y~1~≠0），（x~2~，y~2~），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值； （ii）由BD方程求出N点坐标，结合（i）中求得的M的坐标得到△OMN的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20587.png){width="1.2083333333333333in" height="0.4479166666666667in"}，则a^2^=4b^2^． ∴椭圆C的方程可化为x^2^+4y^2^=a^2^． 将y=x代入可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20588.png){width="0.6979166666666666in" height="0.3854166666666667in"}， 因此![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20589.png){width="1.375in" height="0.3854166666666667in"}，解得a=2． 则b=1． ∴椭圆C的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20590.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}； （Ⅱ）（i）设A（x~1~，y~1~）（x~1~y~1~≠0），D（x~2~，y~2~）， 则B（﹣x~1~，﹣y~1~）． ∵直线AB的斜率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20591.png){width="0.59375in" height="0.4895833333333333in"}， 又AB⊥AD， ∴直线AD的斜率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20592.png){width="0.6770833333333334in" height="0.4895833333333333in"}． 设AD方程为y=kx+m， 由题意知k≠0，m≠0． 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20593.png){width="0.8125in" height="0.6666666666666666in"}，得（1+4k^2^）x^2^+8kmx+4m^2^﹣4=0． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20594.png){width="1.1770833333333333in" height="0.4270833333333333in"}． 因此![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20595.png){width="2.1770833333333335in" height="0.4270833333333333in"}． 由题意可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20596.png){width="1.65625in" height="0.4895833333333333in"}． ∴直线BD的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20597.png){width="1.3854166666666667in" height="0.4895833333333333in"}． 令y=0，得x=3x~1~，即M（3x~1~，0）． 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20598.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4895833333333333in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20599.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20600.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 因此存在常数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20600.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}使得结论成立． （ii）直线BD方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20601.png){width="1.3854166666666667in" height="0.4895833333333333in"}， 令x=0，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20602.png){width="0.6041666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即N（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20603.png){width="0.6875in" height="0.3645833333333333in"}）． 由（i）知M（3x~1~，0）， 可得△OMN的面积为S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20604.png){width="1.65625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20605.png){width="2.375in" height="0.4791666666666667in"}． 当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20606.png){width="1.2395833333333333in" height="0.4270833333333333in"}时等号成立． ∴△OMN面积的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20607.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是压轴题． 　 2014年陕西省高考数学试卷（理科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）** 1．（5分）设集合M={x\|x≥0，x∈R}，N={x\|x^2^＜1，x∈R}，则M∩N=（　　） A．\[0，1\] B．\[0，1） C．（0，1\] D．（0，1） 【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项． 【解答】解：∵M={x\|x≥0，x∈R}，N={x\|x^2^＜1，x∈R}={x\|﹣1＜x＜1，x∈R}， ∴M∩N=\[0，1）． 故选：B． 【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键． 　 2．（5分）函数f（x）=cos（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20608.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的最小正周期是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20609.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．π C．2π D．4π 【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20610.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}求解． 【解答】解：根据复合三角函数的周期公式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20611.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}得， 函数f（x）=cos（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20612.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的最小正周期是π， 故选：B． 【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20613.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}应用，属于基础题． 　 3．（5分）定积分![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20614.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}（2x+e^x^）dx的值为（　　） A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣1 【分析】根据微积分基本定理计算即可． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20614.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}（2x+e^x^）dx=（x^2^+e^x^）\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20615.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=（1+e）﹣（0+e^0^）=e． 故选：C． 【点评】本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数． 　 4．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20616.png){width="1.4895833333333333in" height="4.219444444444444in"} A．a~n~=2n B．a~n~=2（n﹣1） C．a~n~=2^n^ D．a~n~=2^n﹣1^ 【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式． 【解答】解：由程序框图知：a~i+1~=2a~i~，a~1~=2， ∴数列为公比为2的等比数列，∴a~n~=2^n^． 故选：C． 【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键． 　 5．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20617.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20618.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} B．4π C．2π D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20619.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积． 【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20620.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴正四棱柱体对角线的长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20621.png){width="0.5416666666666666in" height="0.1875in"}=2 又∵正四棱柱的顶点在同一球面上， ∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1 根据球的体积公式，得此球的体积为V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20622.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}πR^3^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20622.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}π． 故选：D． 【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题． 　 6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20623.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20624.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20625.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20626.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20627.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，两条长度为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20628.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，即可得出结论． 【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20627.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，两条长度为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20628.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴所求概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20629.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20625.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：C． 【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键． 　 7．（5分）下列函数中，满足"f（x+y）=f（x）f（y）"的单调递增函数是（　　） A．f（x）=x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20630.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"} B．f（x）=x^3^ C．f（x）=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20631.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^x^ D．f（x）=3^x^ 【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案． 【解答】解：A．f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20632.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，f（y）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20633.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3958333333333333in"}，f（x+y）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20634.png){width="0.5833333333333334in" height="0.3958333333333333in"}，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错； B．f（x）=x^3^，f（y）=y^3^，f（x+y）=（x+y）^3^，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错； C．f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20635.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}，f（y）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20636.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}，f（x+y）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20637.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故C错． D．f（x）=3^x^，f（y）=3^y^，f（x+y）=3^x+y^，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确； 故选：D． 【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题． 　 8．（5分）原命题为"若z~1~，z~2~互为共轭复数，则\|z~1~\|=\|z~2~\|"，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　） A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假． 【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题"若z~1~，z~2~互为共轭复数，则\|z~1~\|=\|z~2~\|"是真命题； 其逆命题是："若\|z~1~\|=\|z~2~\|，则z~1~，z~2~互为共轭复数"，例\|1\|=\|﹣1\|，而1与﹣1不是互为共轭复数， ∴原命题的逆命题是假命题； 根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假， ∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题． 故选：B． 【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键． 　 9．（5分）设样本数据x~1~，x~2~，...，x~10~的均值和方差分别为1和4，若y~i~=x~i~+a（a为非零常数，i=1，2，...，10），则y~1~，y~2~，...，y~10~的均值和方差分别为（　　） A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a 【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论． 方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论． 【解答】解：方法1：∵y~i~=x~i~+a， ∴E（y~i~）=E（x~i~）+E（a）=1+a， 方差D（y~i~）=D（x~i~）+E（a）=4． 方法2：由题意知y~i~=x~i~+a， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20638.png){width="0.10416666666666667in" height="0.19791666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20639.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（x~1~+x~2~+...+x~10~+10×a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20639.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（x~1~+x~2~+...+x~10~）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20640.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}+a=1+a， 方差s^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20641.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\[（x~1~+a﹣（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20640.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}+a）^2^+（x~2~+a﹣（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20640.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}+a）^2^+...+（x~10~+a﹣（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20640.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}+a）^2^\]=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20641.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\[（x~1~﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20640.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）^2^+（x~2~﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20640.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）^2^+...+（x~10~﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20640.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）^2^\]=s^2^=4． 故选：A． 【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a^2^Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算． 　 10．（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20642.png){width="2.3020833333333335in" height="1.0833333333333333in"} A．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20643.png){width="0.5in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20644.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x B．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20645.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}x^3^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20646.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x C．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20647.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}x^3^﹣x D．y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20647.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}x^3^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20648.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x 【分析】分别求出四个选项中的导数，验证在x=±5处的导数为0成立与否，即可得出函数的解析式． 【解答】解：由题意可得出，此三次函数在x=±5处的导数为0，依次特征寻找正确选项： A选项，导数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20649.png){width="1.1041666666666667in" height="0.3645833333333333in"}，令其为0，解得x=±5，故A正确； B选项，导数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20650.png){width="1.1041666666666667in" height="0.3645833333333333in"}，令其为0，x=±5不成立，故B错误； C选项，导数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20651.png){width="1.0520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，令其为0，x=±5不成立，故C错误； D选项，导数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20652.png){width="1.1875in" height="0.3645833333333333in"}，令其为0，x=±5不成立，故D错误． 故选：A． 【点评】本题考查导数的几何意义，导数几何意义是导数的重要应用． 　 **二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）** 11．（5分）已知4^a^=2，lgx=a，则x=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20653.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值． 【解答】解：由4^a^=2，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20654.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}， 再由lgx=a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20655.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20653.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20653.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题． 　 12．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为[　x^2^+（y﹣1）^2^=1　]{.underline}． 【分析】利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为 （b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程． 【解答】解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1， 可得所求的圆的方程为x^2^+（y﹣1）^2^=1， 故答案为：x^2^+（y﹣1）^2^=1． 【点评】本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为 （b，a），属于基础题． 　 13．（5分）设0＜θ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20656.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20657.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（sin2θ，cosθ），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20658.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（cosθ，1），若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20657.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20658.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则tanθ=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20659.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20660.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20661.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20660.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（sin2θ，cosθ），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20661.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（cosθ，1）， ∴sin2θ﹣cos^2^θ=0， ∴2sinθcosθ=cos^2^θ， ∵0＜θ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20662.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，∴cosθ≠0． ∴2tanθ=1， ∴tanθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20659.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20659.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题． 　 14．（5分）观察分析下表中的数据： -------- ----------- ------------- ----------- 多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E） 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 -------- ----------- ------------- ----------- 猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是[　F+V﹣E=2　]{.underline}． 【分析】通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：F+V﹣E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案． 【解答】解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E， ①正方体：F=6，V=8，E=12，得F+V﹣E=8+6﹣12=2； ②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得F+V﹣E=5+6﹣9=2； ③三棱锥：F=4，V=4，E=6，得F+V﹣E=4+4﹣6=2． 根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：F+V﹣E=2 再通过举四棱锥、六棱柱、...等等，发现上述公式都成立． 因此归纳出一般结论：F+V﹣E=2 故答案为：F+V﹣E=2 【点评】本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题． 　 **（不等式选做题）** 15．（5分）设a，b，m，n∈R，且a^2^+b^2^=5，ma+nb=5，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20663.png){width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}的最小值为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20664.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【分析】根据柯西不等式（a^2^+b^2^）（c^2^+d^2^）≥（ac+bd）^2^当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决． 【解答】解：由柯西不等式得， （ma+nb）^2^≤（m^2^+n^2^）（a^2^+b^2^） ∵a^2^+b^2^=5，ma+nb=5， ∴（m^2^+n^2^）≥5 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20665.png){width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20666.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20666.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题． 　 **（几何证明选做题）** 16．如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=[　3　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20667.png){width="1.1145833333333333in" height="1.0208333333333333in"} 【分析】证明△AEF∽△ACB，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20668.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即可得出结论． 【解答】解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F， ∴∠AEF=∠C， ∵∠EAF=∠CAB， ∴△AEF∽△ACB， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20669.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∵BC=6，AC=2AE， ∴EF=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 **（坐标系与参数方程选做题）** 17．在极坐标系中，点（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20670.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）到直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20671.png){width="1.2604166666666667in" height="0.3645833333333333in"}的距离是[　1　]{.underline}． 【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出． 【解答】解：点P（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20670.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20672.png){width="0.7395833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20673.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，y=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20674.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=1，∴P![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20675.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}． 直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20676.png){width="1.2604166666666667in" height="0.3645833333333333in"}展开化为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20677.png){width="1.6666666666666667in" height="0.3854166666666667in"}=1，化为直角坐标方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20678.png){width="0.8125in" height="0.19791666666666666in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20679.png){width="0.6666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}=0． ∴点P到直线的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20680.png){width="1.0in" height="0.4895833333333333in"}=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 **三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）** 18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c． （Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值． 【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证； （Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列， ∴2b=a+c， 利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC， ∵sinB=sin\[π﹣（A+C）\]=sin（A+C）， ∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）； （Ⅱ）∵a，b，c成等比数列， ∴b^2^=ac， ∴cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20681.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20682.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20683.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20684.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 当且仅当a=c时等号成立， ∴cosB的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20685.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键． 　 19．（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H． （Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形； （Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20686.png){width="2.948611111111111in" height="1.28125in"} 【分析】（Ⅰ）由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到AD⊥BC，结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH，从而证得结论； （Ⅱ）分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20687.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}及平面EFGH的一个法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20688.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20689.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20690.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形， 且侧棱AD⊥底面BDC． 如图，∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD⊂平面ABD， ∴AD∥EF． ∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD⊂平面ADC， ∴AD∥GH． 由平行公理可得EF∥GH． ∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC⊂平面BDC， ∴BC∥FG． ∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC⊂平面ABC， ∴BC∥EH． 由平行公理可得FG∥EH． ∴四边形EFGH为平行四边形． 又AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC， ∴AD⊥BC，则EF⊥EH． ∴四边形EFGH是矩形； （Ⅱ）解： 解法一：取AD的中点M，连结，显然ME∥BD，MH∥CD，MF∥AB，且ME=MH=1，平面MEH⊥平面EFGH，取EH的中点N，连结MN，则MN⊥EH， ∴MN⊥平面EFGH，则∠MFN就是MF（即AB）与平面EFGH所成的角θ， ∵△MEH是等腰直角三角形， ∴MN=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20691.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，又MF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20692.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20693.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴sin∠AFN=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20694.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20695.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}，即直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20695.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 解法二：分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由三视图可知DB=DC=2，DA=1． 又E为AB中点， ∴F，G分别为DB，DC中点． ∴A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20696.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），G（0，1，0）． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20697.png){width="2.40625in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20698.png){width="1.3125in" height="0.22916666666666666in"}． 设平面EFGH的一个法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20699.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20700.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20701.png){width="0.625in" height="0.6041666666666666in"}，取y=1，得x=1． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20702.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}． 则sinθ=\|cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20703.png){width="0.4791666666666667in" height="0.22916666666666666in"}＞\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20704.png){width="1.0104166666666667in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20705.png){width="1.6770833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20706.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20707.png){width="1.53125in" height="1.6041666666666667in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20708.png){width="2.1458333333333335in" height="1.6770833333333333in"} 【点评】本题考查了空间中的直线与直线的位置关系，考查了直线和平面所成的角，训练了利用空间直角坐标系求线面角，解答此题的关键在于建立正确的空间右手系，是中档题． 　 20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上． （Ⅰ）若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20709.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20710.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20711.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20712.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，求\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20713.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|； （Ⅱ）设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20713.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20714.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+n![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20715.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值． 【分析】（Ⅰ）先根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20716.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20717.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20718.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20719.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决； （Ⅱ）利用向量的坐标运算，先求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20720.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20721.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，再根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20722.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20720.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+n![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20721.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，表示出m﹣n=y﹣x，最后结合图形，求出m﹣n的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20723.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20724.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20725.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20726.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}， ∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0 ∴3x﹣6=0，3y﹣6=0 ∴x=2，y=2， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20727.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（2，2） ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20728.png){width="1.46875in" height="0.25in"} （Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20729.png){width="0.7916666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20730.png){width="0.7916666666666666in" height="0.22916666666666666in"} ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20727.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20731.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+n![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20732.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， ∴（x，y）=（m+2n，2m+n） ∴x=m+2n，y=2m+n ∴m﹣n=y﹣x， 令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1， 故m﹣n的最大值为1． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20733.png){width="1.6041666666666667in" height="1.8229166666666667in"} 【点评】本题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题， 　 21．（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表： ---------------- ----- ----- 作物产量（kg） 300 500 概率 0.5 0.5 ---------------- ----- ----- ----------------------- ----- ----- 作物市场价格（元/kg） 6 10 概率 0.4 0.6 ----------------------- ----- ----- （Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列； （Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率． 【分析】（Ⅰ）分别求出对应的概率，即可求X的分布列； （Ⅱ）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件"作物产量为300kg"，B表示事件"作物市场价格为6元/kg"， 则P（A）=0.5，P（B）=0.4， ∵利润=产量×市场价格﹣成本， ∴X的所有值为： 500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000， 300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800， 则P（X=4000）=P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20734.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20735.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3， P（X=2000）=P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20736.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）P（B）+P（A）P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20735.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5， P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2， 则X的分布列为： --- ------ ------ ----- X 4000 2000 800 P 0.3 0.5 0.2 --- ------ ------ ----- （Ⅱ）设C~i~表示事件"第i季利润不少于2000元"（i=1，2，3）， 则C~1~，C~2~，C~3~相互独立， 由（Ⅰ）知，P（C~i~）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3）， 3季的利润均不少于2000的概率为P（C~1~C~2~C~3~）=P（C~1~）P（C~2~）P（C~3~）=0.8^3^=0.512， 3季的利润有2季不少于2000的概率为P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20737.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}C~2~C~3~）+P（C~1~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20738.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}C~3~）+P（C~1~C~2~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20739.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}）=3×0.8^2^×0.2=0.384， 综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896． 【点评】本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算，考查学生的计算能力． 　 22．（13分）如图，曲线C由上半椭圆C~1~：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20740.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20741.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C~2~：y=﹣x^2^+1（y≤0）连接而成，C~1~与C~2~的公共点为A，B，其中C~1~的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20742.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）过点B的直线l与C~1~，C~2~分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20743.png){width="1.3854166666666667in" height="1.6041666666666667in"} 【分析】（Ⅰ）在C~1~、C~2~的方程中，令y=0，即得b=1，设C~1~：的半焦距为c，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20744.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20745.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}及a^2^﹣c^2^=b^2^=1得a=2； （Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C~1~的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20746.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}+x^2^=1（y≥0），设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C~1~的方程，整理得（k^2^+4）x^2^﹣2k^2^x+k^2^﹣4=0．（\*）设点P（x~p~，y~p~），依题意，可求得点P的坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20747.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20748.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}）；同理可得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k^2^﹣2k），利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20749.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20750.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=0，可求得k的值，从而可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）在C~1~、C~2~的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半椭圆C~1~的左右顶点． 设C~1~：的半焦距为c，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20751.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20752.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}及a^2^﹣c^2^=b^2^=1得a=2． ∴a=2，b=1． （Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C~1~的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20753.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}+x^2^=1（y≥0）． 易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0）， 代入C~1~的方程，整理得： （k^2^+4）x^2^﹣2k^2^x+k^2^﹣4=0．（\*） 设点P（x~p~，y~p~）， ∵直线l过点B， ∴x=1是方程（\*）的一个根， 由求根公式，得x~p~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20754.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，从而y~p~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20755.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}， ∴点P的坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20756.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20757.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}）． 同理，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20758.png){width="1.2916666666666667in" height="0.46875in"}得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k^2^﹣2k）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20759.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20760.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}（k，﹣4），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20761.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=﹣k（1，k+2）， ∵AP⊥AQ，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20762.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20763.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=0，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20764.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}\[k﹣4（k+2）\]=0， ∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20765.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 经检验，k=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20765.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}符合题意， 故直线l的方程为y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20765.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（x﹣1），即8x+3y﹣8=0． 【点评】本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查设点法、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题． 　 23．（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数． （Ⅰ）令g~1~（x）=g（x），g~n+1~（x）=g（g~n~（x）），n∈N~+~，求g~n~（x）的表达式； （Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅲ）设n∈N~+~，比较g（1）+g（2）+...+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明． 【分析】（Ⅰ）由已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20766.png){width="0.8541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20767.png){width="2.3541666666666665in" height="0.7604166666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20768.png){width="0.9375in" height="0.3645833333333333in"}...可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20769.png){width="0.9375in" height="0.3645833333333333in"}用数学归纳法加以证明； （Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20770.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20770.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}（x≥0），利用导数求出函数的最小值即可； （Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20771.png){width="1.59375in" height="0.3645833333333333in"}，令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20772.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20773.png){width="0.9791666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，n依次取1，2，3...，然后各式相加即得到不等式． 【解答】解：由题设得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20774.png){width="1.2604166666666667in" height="0.3645833333333333in"} （Ⅰ）由已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20775.png){width="0.8541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20776.png){width="2.3541666666666665in" height="0.7604166666666666in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20777.png){width="0.9375in" height="0.3645833333333333in"}... 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20778.png){width="0.9375in" height="0.3645833333333333in"} 下面用数学归纳法证明．①当n=1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20779.png){width="0.8541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，结论成立． ②假设n=k时结论成立，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20780.png){width="0.9375in" height="0.3645833333333333in"}， 那么n=k+1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20781.png){width="2.2708333333333335in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20782.png){width="1.4270833333333333in" height="0.7604166666666666in"}即结论成立． 由①②可知，结论对n∈N~+~成立． （Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20783.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}恒成立． 设φ（x）=ln（1+x）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20783.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}（x≥0），则φ′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20784.png){width="1.6666666666666667in" height="0.4270833333333333in"}， 当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立）， ∴φ（x）在\[0，+∞）上单调递增， 又φ（0）=0， ∴φ（x）≥0在\[0，+∞）上恒成立． ∴当a≤1时，ln（1+x）≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20783.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}恒成立，（仅当x=0时等号成立） 当a＞1时，对x∈（0，a﹣1\]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1\]上单调递减， ∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0 即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0， 故知ln（1+x）≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20783.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}不恒成立， 综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1\]． （Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+...+g（n）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20785.png){width="1.03125in" height="0.3645833333333333in"}， n﹣f（n）=n﹣ln（n+1）， 比较结果为g（1）+g（2）+...+g（n）＞n﹣ln（n+1） 证明如下：上述不等式等价于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20786.png){width="1.8020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 在（Ⅱ）中取a=1，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20787.png){width="1.59375in" height="0.3645833333333333in"}， 令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20788.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20789.png){width="0.9791666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 故有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20790.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}， ln3﹣ln2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20791.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，... ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20792.png){width="1.40625in" height="0.3645833333333333in"}， 上述各式相加可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20793.png){width="1.8020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}结论得证． 【点评】本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题． 　 2014年陕西省高考数学试卷（文科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）** 1．（5分）设集合M={x\|x≥0，x∈R}，N={x\|x^2^＜1，x∈R}，则M∩N=（　　） A．\[0，1\] B．（0，1） C．（0，1\] D．\[0，1） 【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项． 【解答】解：∵M={x\|x≥0，x∈R}，N={x\|x^2^＜1，x∈R}={x\|﹣1＜x＜1，x∈R}， ∴M∩N=\[0，1）． 故选：D． 【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键． 　 2．（5分）函数f（x）=cos（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20794.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的最小正周期是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20795.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．π C．2π D．4π 【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20796.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}求解． 【解答】解：根据复合三角函数的周期公式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20797.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}得， 函数f（x）=cos（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20798.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的最小正周期是π， 故选：B． 【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20797.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}应用，属于基础题． 　 3．（5分）已知复数z=2﹣i，则z•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20799.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}的值为（　　） A．5 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20800.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．3 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20801.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【分析】由z求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20802.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解． 【解答】解：由z=2﹣i，得z•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20802.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=（2﹣i）（2+i）=4﹣i^2^=5． 故选：A． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题． 　 4．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20803.png){width="1.4895833333333333in" height="4.219444444444444in"} A．a~n~=2n B．a~n~=2（n﹣1） C．a~n~=2^n^ D．a~n~=2^n﹣1^ 【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式． 【解答】解：由程序框图知：a~i+1~=2a~i~，a~1~=2， ∴数列为公比为2的等比数列，∴a~n~=2^n^． 故选：C． 【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键． 　 5．（5分）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（　　） A．4π B．3π C．2π D．π 【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积． 【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π， 故选：C． 【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力． 　 6．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20804.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20805.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20806.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20807.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20808.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，两条长度为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20809.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，即可得出结论． 【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20808.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，两条长度为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20809.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴所求概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20810.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20805.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． 【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键． 　 7．（5分）下列函数中，满足"f（x+y）=f（x）f（y）"的单调递增函数是（　　） A．f（x）=x^3^ B．f（x）=3^x^ C．f（x）=x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20811.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"} D．f（x）=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20812.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^x^ 【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案． 【解答】解：A．f（x）=x^3^，f（y）=y^3^，f（x+y）=（x+y）^3^，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错； B．f（x）=3^x^，f（y）=3^y^，f（x+y）=3^x+y^，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故B正确； C．f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20813.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，f（y）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20814.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3958333333333333in"}，f（x+y）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20815.png){width="0.5833333333333334in" height="0.3958333333333333in"}，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故C错； D．f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20816.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}，f（y）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20817.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}，f（x+y）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20818.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故D错． 故选：B． 【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题． 　 8．（5分）原命题为"若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20819.png){width="0.6354166666666666in" height="0.4270833333333333in"}＜a~n~，n∈N~+~，则{a~n~}为递减数列"，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　） A．真、真、真 B．假、假、真 C．真、真、假 D．假、假、假 【分析】先根据递减数列的定义判定命题的真假，再判断否命题的真假，根据命题与其逆否命题同真性及四种命题的关系判断逆命题与逆否命题的真假． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20819.png){width="0.6354166666666666in" height="0.4270833333333333in"}＜a~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20820.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}⇔a~n+1~＜a~n~，n∈N~+~，∴{a~n~}为递减数列，命题是真命题； 其否命题是：若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20819.png){width="0.6354166666666666in" height="0.4270833333333333in"}≥a~n~，n∈N~+~，则{a~n~}不是递减数列，是真命题； 又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题， ∴命题的逆命题，逆否命题都是真命题． 故选：A． 【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，判断命题的真假及熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键． 　 9．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x~1~，x~2~，...，x~10~，其均值和方差分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20821.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}和s^2^，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20821.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}，s^2^+100^2^ B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20821.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}+100，s^2^+100^2^ C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20821.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}，s^2^ D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20821.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}+100，s^2^ 【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论． 【解答】解：由题意知y~i~=x~i~+100， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20822.png){width="0.10416666666666667in" height="0.19791666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20823.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（x~1~+x~2~+...+x~10~+100×10）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20824.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}（x~1~+x~2~+...+x~10~）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20825.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}+100， 方差s^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20824.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\[（x~1~+100﹣（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20825.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}+100）^2^+（x~2~+100﹣（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20825.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}+100）^2^+...+（x~10~+100﹣（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20825.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}+100）^2^\]=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20824.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\[（x~1~﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20825.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）^2^+（x~2~﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20825.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）^2^+...+（x~10~﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20826.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}）^2^\]=s^2^． 故选：D． 【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式． 　 10．（5分）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20827.png){width="2.511111111111111in" height="1.2395833333333333in"} A．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20828.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^3^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20828.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^2^﹣x B．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20828.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^3^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20828.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^2^﹣3x C．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20829.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^3^﹣x D．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20829.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^3^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20828.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^2^﹣2x 【分析】由题设，"需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）"可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案． 【解答】解：由函数图象知，此三次函数在（0，0）上处与直线y=﹣x相切，在（2，0）点处与y=3x﹣6相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线． A、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20830.png){width="1.0520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，将0，2代入，解得此时切线的斜率分别是﹣1，3，符合题意，故A正确； B、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20831.png){width="1.0520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，将0代入，此时导数为﹣3，不为﹣1，故B错误； C、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20832.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，将2代入，此时导数为﹣1，与点（2，0）处切线斜率为3矛盾，故C错误； D、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20833.png){width="1.0520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，将0代入，此时导数为﹣2，与点（0，0）处切线斜率为﹣1矛盾，故D错误． 故选：A． 【点评】本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一． 　 **二、填空题（共4小题，每小题5分，共25分）** 11．（5分）抛物线y^2^=4x的准线方程是[　x=﹣1　]{.underline}． 【分析】先根据抛物线的标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程． 【解答】解：∵2p=4， ∴p=2，开口向右， ∴准线方程是x=﹣1． 故答案为x=﹣1． 【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20834.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误． 　 12．（5分）已知4^a^=2，lgx=a，则x=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20835.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值． 【解答】解：由4^a^=2，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20836.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}， 再由lgx=a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20837.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20835.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20835.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题． 　 13．（5分）设0＜θ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20838.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20839.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（sin2θ，cosθ），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20840.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，﹣cosθ），若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20839.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20840.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0，则tanθ=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20841.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】由条件利用两个向量的数量积公式求得 2sinθcosθ﹣cos^2^θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20842.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}=sin2θ﹣cos^2^θ=2sinθcosθ﹣cos^2^θ=0，0＜θ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20843.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴2sinθ﹣cosθ=0，∴tanθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20841.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20841.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题． 　 14．（5分）已知f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20844.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，x≥0，若f~1~（x）=f（x），f~n+1~（x）=f（f~n~（x）），n∈N~+~，则f~2014~（x）的表达式为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20845.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】由题意，可先求出f~1~（x），f~2~（x），f~3~（x）...，归纳出f~n~（x）的表达式，即可得出f~2014~（x）的表达式 【解答】解：由题意![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20846.png){width="1.2708333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20847.png){width="2.3541666666666665in" height="0.7604166666666666in"}． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20848.png){width="2.4375in" height="0.7604166666666666in"}． ... ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20849.png){width="2.1145833333333335in" height="0.3645833333333333in"} 故f~2014~（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20850.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20850.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征． 　 **选考题（请在15-17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）不等式选做题** 15．（5分）设a，b，m，n∈R，且a^2^+b^2^=5，ma+nb=5，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20851.png){width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}的最小值为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20852.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【分析】根据柯西不等式（a^2^+b^2^）（c^2^+d^2^）≥（ac+bd）^2^当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决． 【解答】解：由柯西不等式得， （ma+nb）^2^≤（m^2^+n^2^）（a^2^+b^2^） ∵a^2^+b^2^=5，ma+nb=5， ∴（m^2^+n^2^）≥5 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20851.png){width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20852.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20852.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题． 　 **几何证明选做题** 16．如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=[　3　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20853.png){width="1.1145833333333333in" height="1.0208333333333333in"} 【分析】证明△AEF∽△ACB，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20854.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即可得出结论． 【解答】解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F， ∴∠AEF=∠C， ∵∠EAF=∠CAB， ∴△AEF∽△ACB， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20854.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∵BC=6，AC=2AE， ∴EF=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 **坐标系与参数方程选做题** 17．在极坐标系中，点（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20855.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）到直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20856.png){width="1.2604166666666667in" height="0.3645833333333333in"}的距离是[　1　]{.underline}． 【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出． 【解答】解：点P（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20855.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20857.png){width="0.7395833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20858.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，y=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20859.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=1，∴P![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20860.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20833333333333334in"}． 直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20861.png){width="1.2604166666666667in" height="0.3645833333333333in"}展开化为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20862.png){width="1.6666666666666667in" height="0.3854166666666667in"}=1，化为直角坐标方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20863.png){width="0.8125in" height="0.19791666666666666in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20864.png){width="0.6666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}=0． ∴点P到直线的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20865.png){width="1.0in" height="0.4895833333333333in"}=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 **三、解答题（共6小题，共75分）** 18．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c． （Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值． 【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证； （Ⅱ）由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入即可求出cosB的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列， ∴a+c=2b， 由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB， ∵sinB=sin\[π﹣（A+C）\]=sin（A+C）， 则sinA+sinC=2sin（A+C）； （Ⅱ）∵a，b，c成等比数列， ∴b^2^=ac， 将c=2a代入得：b^2^=2a^2^，即b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20866.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}a， ∴由余弦定理得：cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20867.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20868.png){width="0.9895833333333334in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20869.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 　 19．（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H． （Ⅰ）求四面体ABCD的体积； （Ⅱ）证明：四边形EFGH是矩形． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20870.png){width="2.948611111111111in" height="1.28125in"} 【分析】（Ⅰ）证明AD⊥平面BDC，即可求四面体ABCD的体积； （Ⅱ）证明四边形EFGH是平行四边形，EF⊥HG，即可证明四边形EFGH是矩形． 【解答】（Ⅰ）解：由题意，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1， ∴AD⊥平面BDC， ∴四面体ABCD的体积V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20871.png){width="1.2291666666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20872.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； （Ⅱ）证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH， ∴BC∥FG，BC∥EH， ∴FG∥EH． 同理EF∥AD，HG∥AD， ∴EF∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AD⊥平面BDC， ∴AD⊥BC， ∴EF⊥FG， ∴四边形EFGH是矩形． 【点评】本题考查线面垂直，考查线面平行性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 20．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20873.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20874.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+n![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20875.png){width="0.2708333333333333in" height="0.20833333333333334in"}（m，n∈R） （Ⅰ）若m=n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20876.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20873.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|； （Ⅱ）用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值． 【分析】（Ⅰ）由点的坐标求出向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20877.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20878.png){width="0.2708333333333333in" height="0.20833333333333334in"}的坐标，结合m=n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20879.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，再由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20880.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20877.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+n![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20878.png){width="0.2708333333333333in" height="0.20833333333333334in"}求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20880.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的坐标，然后由模的公式求模； （Ⅱ）由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20880.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20881.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+n![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20882.png){width="0.2708333333333333in" height="0.20833333333333334in"}得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20883.png){width="0.625in" height="0.40625in"}，作差后得到m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，然后利用线性规划知识求得m﹣n的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20884.png){width="1.75in" height="0.22916666666666666in"}， 又m=n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20885.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20886.png){width="2.2708333333333335in" height="0.3645833333333333in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20887.png){width="1.46875in" height="0.25in"}； （Ⅱ）∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20888.png){width="2.625in" height="0.22916666666666666in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20889.png){width="0.625in" height="0.40625in"}，两式相减得，m﹣n=y﹣x． 令y﹣x=t，由图可知， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20890.png){width="1.6041666666666667in" height="1.8229166666666667in"} 当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1， 故m﹣n的最大值为：1． 【点评】本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 　 21．（12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： ---------------- ----- ------ ------ ------ ------ 赔付金额（元） 0 1000 2000 3000 4000 车辆数（辆） 500 130 100 150 120 ---------------- ----- ------ ------ ------ ------ （Ⅰ）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率； （Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率． 【分析】（Ⅰ）设A表示事件"赔付金额为3000元，"B表示事件"赔付金额为4000元"，以频率估计概率，求得P（A），P（B），再根据投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，问题得以解决． （Ⅱ）设C表示事件"投保车辆中新司机获赔4000元"，分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机人数，再求出其频率，最后利用频率表示概率． 【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件"赔付金额为3000元，"B表示事件"赔付金额为4000元"，以频率估计概率得 P（A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20891.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，P（B）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20892.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，所以其概率为P（A）+P（B）=0.15+0.12=0.27． （Ⅱ）设C表示事件"投保车辆中新司机获赔4000元"，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120=24， 所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20893.png){width="0.7395833333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 由频率估计概率得P（C）=0.24． 【点评】本题主要考查了用频率来表示概率，属于中档题． 　 22．（13分）已知椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20894.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20895.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）经过点（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20896.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20897.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，左右焦点分别为F~1~（﹣c，0），F~2~（c，0）． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线l：y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20898.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x+m与椭圆交于A、B两点，与以F~1~F~2~为直径的圆交于C、D两点，且满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20899.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20900.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，求直线l的方程． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20901.png){width="1.6666666666666667in" height="1.3958333333333333in"} 【分析】（Ⅰ）由题意可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20902.png){width="0.8958333333333334in" height="0.90625in"}，解出即可． （Ⅱ）由题意可得以F~1~F~2~为直径的圆的方程为x^2^+y^2^=1．利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l的距离d及d＜1，可得m的取值范围．利用弦长公式可得\|CD\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20903.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}．设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）．把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20904.png){width="2.1979166666666665in" height="0.3020833333333333in"}．由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20905.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20906.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，即可解得m． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20907.png){width="0.8958333333333334in" height="0.90625in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20908.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，c=1，a=2． ∴椭圆的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20909.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}． （Ⅱ）由题意可得以F~1~F~2~为直径的圆的方程为x^2^+y^2^=1． ∴圆心到直线l的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20910.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3854166666666667in"}， 由d＜1，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20911.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3854166666666667in"}．（\*） ∴\|CD\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20912.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20913.png){width="0.7291666666666666in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20914.png){width="0.8125in" height="0.3854166666666667in"}． 设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）． 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20915.png){width="0.84375in" height="0.8645833333333334in"}， 化为x^2^﹣mx+m^2^﹣3=0， 可得x~1~+x~2~=m，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20916.png){width="0.875in" height="0.28125in"}． ∴\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20917.png){width="2.0729166666666665in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20918.png){width="0.8125in" height="0.3854166666666667in"}． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20919.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20920.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20921.png){width="0.7916666666666666in" height="0.5in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20922.png){width="0.59375in" height="0.3854166666666667in"}满足（\*）． 因此直线l的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20923.png){width="0.9166666666666666in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 　 23．（14分）设函数f（x）=lnx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20924.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，m∈R． （Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值； （Ⅱ）讨论函数g（x）=f′（x）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20925.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}零点的个数； （Ⅲ）若对任意b＞a＞0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20926.png){width="0.8020833333333334in" height="0.3645833333333333in"}＜1恒成立，求m的取值范围． 【分析】（Ⅰ）m=e时，f（x）=lnx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20927.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值； （Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20928.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况； （Ⅲ）由b＞a＞0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20926.png){width="0.8020833333333334in" height="0.3645833333333333in"}＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；即h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当m=e时，f（x）=lnx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20927.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20929.png){width="0.3020833333333333in" height="0.4270833333333333in"}； ∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数； 当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数； ∴x=e时，f（x）取得极小值为f（e）=lne+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20930.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2； （Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20931.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20932.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20933.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20931.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（x＞0）， 令g（x）=0，得m=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20934.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^3^+x（x＞0）； 设φ（x）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20934.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^3^+x（x＞0）， ∴φ′（x）=﹣x^2^+1=﹣（x﹣1）（x+1）； 当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数， 当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数； ∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点， ∴x=1是φ（x）的最大值点， ∴φ（x）的最大值为φ（1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20935.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图； 可知：①当m＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20935.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，函数g（x）无零点； ②当m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20935.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，函数g（x）有且只有一个零点； ③当0＜m＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20935.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，函数g（x）有两个零点； ④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点； 综上，当m＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20935.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，函数g（x）无零点； 当m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20935.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点； 当0＜m＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20935.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，函数g（x）有两个零点； （Ⅲ）对任意b＞a＞0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20936.png){width="0.8020833333333334in" height="0.3645833333333333in"}＜1恒成立， 等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立； 设h（x）=f（x）﹣x=lnx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20937.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣x（x＞0）， 则h（b）＜h（a）． ∴h（x）在（0，+∞）上单调递减； ∵h′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20938.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20939.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立， ∴m≥﹣x^2^+x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20940.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20941.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（x＞0）， ∴m≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20941.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 对于m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20942.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，h′（x）=0仅在x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20943.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时成立； ∴m的取值范围是\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20942.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20944.png){width="2.4583333333333335in" height="2.40625in"} 【点评】本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题． 　 2014年上海市高考数学试卷（理科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、填空题（共14题，满分56分）** 1．（4分）函数y=1﹣2cos^2^（2x）的最小正周期是[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20945.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期． 【解答】解：y=1﹣2cos^2^（2x） =﹣\[2cos^2^（2x）﹣1\] =﹣cos4x， ∴函数的最小正周期为T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20946.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20945.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20945.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题． 　 2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20947.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3854166666666667in"}）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20948.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=[　6　]{.underline}． 【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可． 【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位， 则（z+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20947.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3854166666666667in"}）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20948.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20949.png){width="1.59375in" height="0.3645833333333333in"} =（1+2i）（1﹣2i）+1 =1﹣4i^2^+1 =2+4 =6． 故答案为：6 【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查． 　 3．（4分）若抛物线y^2^=2px的焦点与椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20950.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}的右焦点重合，则该抛物线的准线方程[　x=﹣2　]{.underline}． 【分析】由题设中的条件y^2^=2px（p＞0）的焦点与椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20950.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程 【解答】解：由题意椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20950.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}，故它的右焦点坐标是（2，0）， 又y^2^=2px（p＞0）的焦点与椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20950.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}右焦点重合， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20951.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2得p=4， ∴抛物线的准线方程为x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20951.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=﹣2． 故答案为：x=﹣2 【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题． 　 4．（4分）设f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20952.png){width="1.40625in" height="0.4895833333333333in"}，若f（2）=4，则a的取值范围为[　（﹣∞，2\]　]{.underline}． 【分析】可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围． 【解答】解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意； 当a=2时，f（2）=2^2^=4，符合题意； 当a＜2时，f（2）=2^2^=4，符合题意； ∴a≤2， 故答案为：（﹣∞，2\]． 【点评】本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题． 　 5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x^2^+2y^2^的最小值为[　2]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20953.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【分析】由已知可得y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20954.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，代入要求的式子，由基本不等式可得． 【解答】解：∵xy=1， ∴y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20954.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ∴x^2^+2y^2^=x^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20955.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20956.png){width="0.625in" height="0.4479166666666667in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20957.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 当且仅当x^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20958.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，即x=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20959.png){width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}时取等号， 故答案为：2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20957.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【点评】本题考查基本不等式，属基础题． 　 6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为[　arccos]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18711.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}（结果用反三角函数值表示）． 【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角． 【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ， ∵圆锥的侧面积是底面积的3倍， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20960.png){width="0.3958333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20961.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=3， 即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍， 故圆锥的轴截面如下图所示： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20962.png){width="1.34375in" height="1.4895833333333333in"} 则cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20963.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18711.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴θ=arccos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18711.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：arccos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18711.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键． 　 7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10762.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离． 【解答】解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1， ∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10762.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10762.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键． 　 8．（4分）设无穷等比数列{a~n~}的公比为q，若a~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20964.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}（a~3~+a~4~+...a~n~），则q=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20965.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}[　]{.underline}． 【分析】由已知条件推导出a~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20966.png){width="1.0in" height="0.4375in"}，由此能求出q的值． 【解答】解：∵无穷等比数列{a~n~}的公比为q， a~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20967.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}（a~3~+a~4~+...a~n~） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20967.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20968.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}﹣a~1~﹣a~1~q） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20966.png){width="1.0in" height="0.4375in"}， ∴q^2^+q﹣1=0， 解得q=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20969.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}或q=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20970.png){width="0.53125in" height="0.3854166666666667in"}（舍）． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20971.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用． 　 9．（4分）若f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20972.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20973.png){width="0.3125in" height="0.3854166666666667in"}，则满足f（x）＜0的x的取值范围是[　（0，1）　]{.underline}． 【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可． 【解答】解：f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20972.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20973.png){width="0.3125in" height="0.3854166666666667in"}，若满足f（x）＜0， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20972.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20973.png){width="0.3125in" height="0.3854166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20974.png){width="0.7708333333333334in" height="0.3958333333333333in"}， ∵y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20975.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}是增函数， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20976.png){width="0.5in" height="0.3958333333333333in"}的解集为：（0，1）． 故答案为：（0，1）． 【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力． 　 10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20977.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}（结果用最简分数表示）． 【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况， 再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案． 【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20978.png){width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"}种情况， 其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6）， （5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10）， ∴选择的3天恰好为连续3天的概率是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20979.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20980.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题． 　 11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a^2^，b^2^}，则a+b=[　﹣1　]{.underline}． 【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论． 【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a^2^，b^2^}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20981.png){width="0.4895833333333333in" height="0.5104166666666666in"}①或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20982.png){width="0.4895833333333333in" height="0.5104166666666666in"}②， 由①得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20983.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4479166666666667in"}， ∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件． 若b=a^2^，a=b^2^，则两式相减得a^2^﹣b^2^=b﹣a， ∵互异的复数a，b， ∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论． 　 12．（4分）设常数a使方程sinx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20984.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cosx=a在闭区间\[0，2π\]上恰有三个解x~1~，x~2~，x~3~，则x~1~+x~2~+x~3~=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20985.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20986.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在\[0，2π\]上，当a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20987.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x~1~，x~2~，x~3~最后相加即可． 【解答】解：sinx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20987.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cosx=2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20555.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sinx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20988.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}cosx）=2sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20986.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=a， 如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在\[0，2π\]上，当a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20987.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}时，直线与三角函数图象恰有三个交点， 令sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20986.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20989.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20990.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20990.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，即x=2kπ，或x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20990.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20991.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，即x=2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20990.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴此时x~1~=0，x~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20990.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，x~3~=2π， ∴x~1~+x~2~+x~3~=0+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20990.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+2π=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20992.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20993.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image20994.png){width="2.5319444444444446in" height="2.2604166666666665in"} 【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题． 　 13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为[　0.2　]{.underline}． 【分析】设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果． 【解答】解：设小白得5分的概率至少为x， 则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x， ∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分， E（ξ）=4.2， ∴4（1﹣x）+5x=4.2， 解得x=0.2． 故答案为：0.2． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用． 　 14．（4分）已知曲线C：x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20995.png){width="0.4895833333333333in" height="0.2604166666666667in"}，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20996.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20997.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20998.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则m的取值范围为[　\[2，3\]　]{.underline}． 【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20996.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20997.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20999.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可． 【解答】解：曲线C：x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21000.png){width="0.4895833333333333in" height="0.2604166666666667in"}，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x~P~∈\[﹣2，0\]， 对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21001.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21002.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20999.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}， 说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6， ∴m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21003.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}∈\[2，3\]． 故答案为：\[2，3\]． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想． 　 **二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分** 15．（5分）设a，b∈R，则"a+b＞4"是"a＞2且b＞2"的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定． 【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立， 若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立， 故"a+b＞4"是"a＞2且b＞2"的必要不充分条件， 故选：B． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础． 　 16．（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P~i~（i=1，2，...8）是上底面上其余的八个点，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21004.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21005.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}（i=1，2，...，8）的不同值的个数为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21006.png){width="1.4895833333333333in" height="0.9895833333333334in"} A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21007.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21008.png){width="0.59375in" height="0.2708333333333333in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20280.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21007.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20280.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21008.png){width="0.59375in" height="0.2708333333333333in"}）=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20280.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21009.png){width="0.59375in" height="0.2708333333333333in"}， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21010.png){width="0.6770833333333334in" height="0.2708333333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21011.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21012.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21011.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^=1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21011.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21012.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}（i=1，2，...，8）的不同值的个数为1， 故选：A． 【点评】本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段． 　 17．（5分）已知P~1~（a~1~，b~1~）与P~2~（a~2~，b~2~）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21013.png){width="0.9479166666666666in" height="0.5208333333333334in"}的解的情况是（　　） A．无论k，P~1~，P~2~如何，总是无解 B．无论k，P~1~，P~2~如何，总有唯一解 C．存在k，P~1~，P~2~，使之恰有两解 D．存在k，P~1~，P~2~，使之有无穷多解 【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a~1~，b~1~，P~2~，a~2~，b~2~的关系，然后求解方程组的解即可． 【解答】解：P~1~（a~1~，b~1~）与P~2~（a~2~，b~2~）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在， ∴k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21014.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，即a~1~≠a~2~，并且b~1~=ka~1~+1，b~2~=ka~2~+1，∴a~2~b~1~﹣a~1~b~2~=ka~1~a~2~﹣ka~1~a~2~+a~2~﹣a~1~=a~2~﹣a~1~ ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21015.png){width="1.28125in" height="0.5208333333333334in"}， ①×b~2~﹣②×b~1~得：（a~1~b~2~﹣a~2~b~1~）x=b~2~﹣b~1~， 即（a~1~﹣a~2~）x=b~2~﹣b~1~． ∴方程组有唯一解． 故选：B． 【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用． 　 18．（5分）设f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21016.png){width="1.1770833333333333in" height="0.6666666666666666in"}，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　） A．\[﹣1，2\] B．\[﹣1，0\] C．\[1，2\] D．\[0，2\] 【分析】当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a^2^﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决． 【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值， 当a≥0时，f（0）=a^2^， 由题意得：a^2^≤x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21017.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+a， 解不等式：a^2^﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2， ∴0≤a≤2， 故选：D． 【点评】本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题． 　 **三、解答题（共5题，满分72分）** 19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P~1~P~2~P~3~，如图，求△P~1~P~2~P~3~的各边长及此三棱锥的体积V． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21018.png){width="1.2291666666666667in" height="1.0729166666666667in"} 【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P~1~P~2~P~3~是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积． 【解答】解：根据题意可得：P~1~，B，P~2~共线，∵∠ABP~1~=∠BAP~1~=∠CBP~2~，∠ABC=60°， ∴∠ABP~1~=∠BAP~1~=∠CBP~2~=60°， ∴∠P~1~=60°，同理∠P~2~=∠P~3~=60°， ∴△P~1~P~2~P~3~是等边三角形，P﹣ABC是正四面体， ∴△P~1~P~2~P~3~的边长为4， V~P﹣ABC~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21019.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21020.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} 【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法． 　 20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21021.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}． （1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f^﹣1^（x）； （2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由． 【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出， （2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决． 【解答】解：（1）∵a=4， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21022.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4791666666666667in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21023.png){width="0.6875in" height="0.3854166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21024.png){width="0.9375in" height="0.3854166666666667in"}， ∴调换x，y的位置可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21025.png){width="1.5520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． （2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21026.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21027.png){width="0.4791666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，整理可得a（2^x^﹣2^﹣x^）=0． ∵2^x^﹣2^﹣x^不恒为0， ∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件； 若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21026.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21027.png){width="0.4791666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，整理可得a^2^﹣1=0， ∴a=±1， ∵a≥0， ∴a=1， 此时f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21028.png){width="0.9375in" height="0.4791666666666667in"}，满足条件； 当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数 综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数 【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题． 　 21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β． （1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21029.png){width="1.4479166666666667in" height="0.6979166666666666in"} 【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论． （2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论． 【解答】解：（1）设CD的长为x米，则tanα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21030.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，tanβ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21031.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∵0![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21032.png){width="1.15625in" height="0.3645833333333333in"}， ∴tanα≥tan2β＞0， ∴tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21033.png){width="1.125in" height="0.4270833333333333in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21034.png){width="1.0104166666666667in" height="0.8229166666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21035.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 解得0![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21036.png){width="0.8125in" height="0.20833333333333334in"}≈28.28， 即CD的长至多为28.28米． （2）设DB=a，DA=b，CD=m， 则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°， 由正弦定理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21037.png){width="1.2916666666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 即a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21038.png){width="1.7395833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21039.png){width="1.96875in" height="0.25in"}≈26.93， 答：CD的长为26.93米． 【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键． 　 22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~），记η=（ax~1~+by~1~+c）（ax~2~+by~2~+c），若η＜0，则称点P~1~，P~2~被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P~1~、P~2~被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线． （1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔； （2）若直线y=kx是曲线x^2^﹣4y^2^=1的分隔线，求实数k的取值范围； （3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线． 【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax~1~+by~1~+c）（ax~2~+by~2~+c），再根据η＜0，得出结论． （2）联立直线y=kx与曲线x^2^﹣4y^2^=1可得 （1﹣4k^2^）x^2^=1，根据此方程无解，可得1﹣4k^2^≤0，从而求得k的范围． （3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为\[x^2^+（y﹣2）^2^\]x^2^=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P~1~、P~2~的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线． 【解答】（1）证明：把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1 可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0， ∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0分隔． （2）解：联立直线y=kx与曲线x^2^﹣4y^2^=1可得 （1﹣4k^2^）x^2^=1，根据题意，此方程无解，故有 1﹣4k^2^≤0， ∴k≤﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18799.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，或 k≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18799.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 曲线上有两个点（﹣1，0）和（1，0）被直线y=kx分隔． （3）证明：设点M（x，y），则 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21040.png){width="0.9270833333333334in" height="0.25in"}•\|x\|=1，故曲线E的方程为\[x^2^+（y﹣2）^2^\]x^2^=1 ①． y轴为x=0，显然与方程①联立无解． 又P~1~（1，2）、P~2~（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有 η=1×（﹣1）=﹣1＜0， 故x=0是一条分隔线． 若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入\[x^2^+（y﹣2）^2^\]x^2^=1，可得\[x^2^+（kx﹣2）^2^\]x^2^=1， 令f（x）=\[x^2^+（kx﹣2）^2^\]x^2^﹣1， ∵k≠2，f（0）f（1）=﹣（k﹣2）^2^＜0，∴f（x）=0没有实数解， k=2，f（x）=\[x^2^+（2x﹣2）^2^\]x^2^﹣1=0没有实数解， 即y=kx与E有公共点， ∴y=kx不是E的分隔线． ∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线． 【点评】本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题． 　 23．（16分）已知数列{a~n~}满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21041.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a~n~≤a~n+1~≤3a~n~，n∈N^\*^，a~1~=1． （1）若a~2~=2，a~3~=x，a~4~=9，求x的取值范围； （2）设{a~n~}是公比为q的等比数列，S~n~=a~1~+a~2~+...a~n~，若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21041.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}S~n~≤S~n+1~≤3S~n~，n∈N^\*^，求q的取值范围． （3）若a~1~，a~2~，...a~k~成等差数列，且a~1~+a~2~+...a~k~=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a~1~，a~2~，...a~k~的公差． 【分析】（1）依题意：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21042.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21043.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}将已知代入求出x的范围； （2）先求出通项：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21044.png){width="0.625in" height="0.28125in"}，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21045.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21046.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}，对q分类讨论求出S~n~分别代入不等式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21047.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}S~n~≤S~n+1~≤3S~n~，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围． （3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a~1~，a~2~，...a~k~的公差． 【解答】解：（1）依题意：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21048.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21049.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}；又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21050.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"} ∴3≤x≤27， 综上可得：3≤x≤6 （2）由已知得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21051.png){width="0.625in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21052.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21053.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}， 当q=1时，S~n~=n，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16089.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}S~n~≤S~n+1~≤3S~n~，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21054.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}，成立． 当1＜q≤3时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21055.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21056.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}S~n~≤S~n+1~≤3S~n~，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21057.png){width="1.9583333333333333in" height="0.4479166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21058.png){width="1.1458333333333333in" height="0.5in"} 不等式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21059.png){width="1.2708333333333333in" height="0.53125in"} ∵q＞1，故3q^n+1^﹣q^n^﹣2=q^n^（3q﹣1）﹣2＞2q^n^﹣2＞0对于不等式q^n+1^﹣3q^n^+2≤0，令n=1， 得q^2^﹣3q+2≤0， 解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0， ∴q^n+1^﹣3q^n^+2=q^n^（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）≤0成立， ∴1＜q≤2， 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21060.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}时， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21061.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21062.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}S~n~≤S~n+1~≤3S~n~，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21063.png){width="1.9583333333333333in" height="0.4479166666666667in"}， ∴此不等式即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21064.png){width="1.2708333333333333in" height="0.53125in"}， 3q﹣1＞0，q﹣3＜0， 3q^n+1^﹣q^n^﹣2=q^n^（3q﹣1）﹣2＜2q^n^﹣2＜0， q^n+1^﹣3q^n^+2=q^n^（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）＞0 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21065.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}时，不等式恒成立， 上，q的取值范围为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21066.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}． （3）设a~1~，a~2~，...a~k~的公差为d．由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21067.png){width="1.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，且a~1~=1， 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21068.png){width="3.9895833333333335in" height="0.3645833333333333in"} 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21069.png){width="2.3958333333333335in" height="0.3958333333333333in"} 当n=1时，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21070.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤d≤2； 当n=2，3，...，k﹣1时，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21071.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，得d≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21072.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 所以d≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21073.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21074.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}， 所以1000=k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21075.png){width="2.3333333333333335in" height="0.3645833333333333in"}，即k^2^﹣2000k+1000≤0， 得k≤1999 所以k的最大值为1999，k=1999时，a~1~，a~2~，...a~k~的公差为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21076.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题． 　 2014年上海市高考数学试卷（文科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。** 1．（4分）函数y=1﹣2cos^2^（2x）的最小正周期是[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21077.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期． 【解答】解：y=1﹣2cos^2^（2x） =﹣\[2cos^2^（2x）﹣1\] =﹣cos4x， ∴函数的最小正周期为T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21078.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21077.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21077.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题． 　 2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21079.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3854166666666667in"}）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21080.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=[　6　]{.underline}． 【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可． 【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位， 则（z+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21079.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3854166666666667in"}）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21080.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21081.png){width="1.59375in" height="0.3645833333333333in"} =（1+2i）（1﹣2i）+1 =1﹣4i^2^+1 =2+4 =6． 故答案为：6 【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查． 　 3．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=\|x﹣1\|+\|x^2^﹣a\|，若f（2）=1，则f（1）=[　3　]{.underline}． 【分析】利用f（x）=\|x﹣1\|+\|x^2^﹣a\|，f（2）=1，求出a，然后求解f（1）即可． 【解答】解：常数a∈R，函数f（x）=\|x﹣1\|+\|x^2^﹣a\|，若f（2）=1， ∴1=\|2﹣1\|+\|2^2^﹣a\|，∴a=4， 函数f（x）=\|x﹣1\|+\|x^2^﹣4\|， ∴f（1）=\|1﹣1\|+\|1^2^﹣4\|=3， 故答案为：3． 【点评】本题考查函数值的求法，基本知识的考查． 　 4．（4分）若抛物线y^2^=2px的焦点与椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21082.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}的右焦点重合，则该抛物线的准线方程[　x=﹣2　]{.underline}． 【分析】由题设中的条件y^2^=2px（p＞0）的焦点与椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21082.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程 【解答】解：由题意椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21082.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}，故它的右焦点坐标是（2，0）， 又y^2^=2px（p＞0）的焦点与椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21082.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}右焦点重合， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21083.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2得p=4， ∴抛物线的准线方程为x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21083.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=﹣2． 故答案为：x=﹣2 【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题． 　 5．（4分）某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况 ，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为[　70　]{.underline}． 【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系，即可得到结论． 【解答】解：∵高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名， ∴若高三抽取20名学生，设共需抽取的学生数为x， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21084.png){width="1.5416666666666667in" height="0.3645833333333333in"}，解得x=90， 则高一、高二共需抽取的学生数为90﹣20=70， 故答案为：70． 【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础． 　 6．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x^2^+2y^2^的最小值为[　2]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21085.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【分析】由已知可得y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21086.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，代入要求的式子，由基本不等式可得． 【解答】解：∵xy=1， ∴y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21086.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ∴x^2^+2y^2^=x^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21087.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21088.png){width="0.625in" height="0.4479166666666667in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21085.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 当且仅当x^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21089.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，即x=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21090.png){width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}时取等号， 故答案为：2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21091.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【点评】本题考查基本不等式，属基础题． 　 7．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为[　arcsin]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21092.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}（结果用反三角函数值表示） 【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与轴所成角的正弦值，进而可得母线与轴所成角． 【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ， ∵圆锥的侧面积是底面积的3倍， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21093.png){width="0.3958333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21094.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=3， 即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍， 故圆锥的轴截面如下图所示： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21095.png){width="1.34375in" height="1.4895833333333333in"} 则sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21096.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21097.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴θ=arcsin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21097.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：arcsin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21097.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键． 　 8．（4分）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于[　24　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21098.png){width="1.9479166666666667in" height="1.5104166666666667in"} 【分析】由已知中的三视图，分别判断切割前后几何体的形状，并分别计算出切割前后几何体的体积，相减可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图，可知： 大长方体的长，宽，高分别为：3，4，5， 故大长方体的体积为：60， 切去两个小长方体后的几何体是一个以主视图为底面，高为3的柱体， 其底面面积为4×5﹣2×2×2×2=12， 故切去两个小长方体后的几何体的体积为：12×3=36， 故切割掉的两个小长方体的体积之和为：60﹣36=24， 故答案为：24 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析出几何体的形状是解答的关键． 　 9．（4分）设f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21099.png){width="0.9583333333333334in" height="0.625in"}，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为[　（﹣∞，2\]　]{.underline}． 【分析】分别由f（0）=a，x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21100.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}≥2，a≤x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21101.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}综合得出a的取值范围． 【解答】解：当x=0时，f（0）=a， 由题意得：a≤x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21101.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 又∵x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21101.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21102.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=2， ∴a≤2， 故答案为：（﹣∞，2\]． 【点评】本题考察了分段函数的应用，基本不等式的性质，是一道基础题． 　 10．（4分）设无穷等比数列{a~n~}的公比为q，若a~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21103.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}（a~3~+a~4~+...a~n~），则q=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21104.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}[　]{.underline}． 【分析】由已知条件推导出a~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21105.png){width="1.0in" height="0.4375in"}，由此能求出q的值． 【解答】解：∵无穷等比数列{a~n~}的公比为q， a~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21103.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}（a~3~+a~4~+...a~n~） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21103.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21106.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}﹣a~1~﹣a~1~q） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21107.png){width="1.0in" height="0.4375in"}， ∴q^2^+q﹣1=0， 解得q=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21108.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}或q=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21109.png){width="0.53125in" height="0.3854166666666667in"}（舍）． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21108.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用． 　 11．（4分）若f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21110.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21111.png){width="0.3125in" height="0.3854166666666667in"}，则满足f（x）＜0的x的取值范围是[　（0，1）　]{.underline}． 【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可． 【解答】解：f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21110.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21111.png){width="0.3125in" height="0.3854166666666667in"}，若满足f（x）＜0， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21110.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21111.png){width="0.3125in" height="0.3854166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21112.png){width="0.7708333333333334in" height="0.3958333333333333in"}， ∵y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21113.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}是增函数， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21114.png){width="0.5in" height="0.3958333333333333in"}的解集为：（0，1）． 故答案为：（0，1）． 【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力． 　 12．（4分）方程sinx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21115.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cosx=1在闭区间\[0，2π\]上的所有解的和等于[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21116.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】由三角函数公式可得sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21117.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21118.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，可知x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21117.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21119.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，或x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21120.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21121.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z，结合x∈\[0，2π\]，可得x值，求和即可． 【解答】解：∵sinx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21122.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cosx=1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21123.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sinx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21124.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}cosx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21123.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 即sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21120.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21123.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 可知x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21125.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21126.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，或x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21125.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21127.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z， 又∵x∈\[0，2π\]， ∴x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21128.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，或x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21129.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21128.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21129.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21130.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21131.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题． 　 13．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21132.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}（结果用最简分数表示）． 【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况， 再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案． 【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21133.png){width="0.6145833333333334in" height="0.28125in"}种情况， 其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6）， （5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10）， ∴选择的3天恰好为连续3天的概率是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21134.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21132.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题． 　 14．（4分）已知曲线C：x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21135.png){width="0.4895833333333333in" height="0.2604166666666667in"}，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21136.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21137.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21138.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则m的取值范围为[　\[2，3\]　]{.underline}． 【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21136.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21137.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21138.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可． 【解答】解：曲线C：x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21135.png){width="0.4895833333333333in" height="0.2604166666666667in"}，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x~P~∈\[﹣2，0\]， 对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21139.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21140.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21141.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}， 说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6， ∴m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21142.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}∈\[2，3\]． 故答案为：\[2，3\]． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想． 　 **二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分** 15．（5分）设a，b∈R，则"a+b＞4"是"a＞2且b＞2"的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定． 【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立， 若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立， 故"a+b＞4"是"a＞2且b＞2"的必要不充分条件， 故选：B． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础． 　 16．（5分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a^2^，b^2^}，则a+b=（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论． 【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a^2^，b^2^}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21143.png){width="0.4895833333333333in" height="0.5104166666666666in"}①或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21144.png){width="0.4895833333333333in" height="0.5104166666666666in"}②， 由①得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21145.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4479166666666667in"}， ∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件． 由②得，若b=a^2^，a=b^2^，则两式相减得a^2^﹣b^2^=b﹣a，即（a﹣b）（a+b）=﹣（a﹣b）， ∵互异的复数a，b， ∴a﹣b≠0，即a+b=﹣1， 故选：D． 【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论． 　 17．（5分）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，P~i~（i=1，2，...，7）是小正方形的其余顶点，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20874.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21146.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}（i=1，2，...，7）的不同值的个数为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21147.png){width="1.3958333333333333in" height="1.4166666666666667in"} A．7 B．5 C．3 D．1 【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标分别求出数量积，由结果可得答案． 【解答】解：如图建立平面直角坐标系， 则A（0，0），B（0，2），P~1~（0，1），P~2~（1，0），P~3~（1，1），P~4~（1，2），P~5~（2，0），P~6~（2，1），P~7~（2，2）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21148.png){width="0.7916666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21149.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（0，1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21150.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（1，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21151.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（1，1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21152.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（1，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21153.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（2，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21154.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（2，1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21155.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（2，2）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21156.png){width="0.59375in" height="0.2708333333333333in"}=2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21157.png){width="0.59375in" height="0.2708333333333333in"}=0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21158.png){width="0.59375in" height="0.2708333333333333in"}=2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21159.png){width="0.59375in" height="0.2708333333333333in"}=4，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21160.png){width="0.59375in" height="0.2708333333333333in"}=0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21161.png){width="0.59375in" height="0.2708333333333333in"}=2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21162.png){width="0.59375in" height="0.2708333333333333in"}=4， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19146.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21163.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}（i=1，2，...，7）的不同值的个数为3， 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21164.png){width="1.7083333333333333in" height="1.53125in"} 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，属基础题． 　 18．（5分）已知P~1~（a~1~，b~1~）与P~2~（a~2~，b~2~）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21165.png){width="0.9479166666666666in" height="0.5208333333333334in"}的解的情况是（　　） A．无论k，P~1~，P~2~如何，总是无解 B．无论k，P~1~，P~2~如何，总有唯一解 C．存在k，P~1~，P~2~，使之恰有两解 D．存在k，P~1~，P~2~，使之有无穷多解 【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a~1~，b~1~，P~2~，a~2~，b~2~的关系，然后求解方程组的解即可． 【解答】解：P~1~（a~1~，b~1~）与P~2~（a~2~，b~2~）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在， ∴k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21166.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，即a~1~≠a~2~，并且b~1~=ka~1~+1，b~2~=ka~2~+1，∴a~2~b~1~﹣a~1~b~2~=ka~1~a~2~﹣ka~1~a~2~+a~2~﹣a~1~=a~2~﹣a~1~ ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21167.png){width="1.28125in" height="0.5208333333333334in"}， ①×b~2~﹣②×b~1~得：（a~1~b~2~﹣a~2~b~1~）x=b~2~﹣b~1~， 即（a~1~﹣a~2~）x=b~2~﹣b~1~． ∴方程组有唯一解． 故选：B． 【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用． 　 **三、解答题（共5小题，满分74分）** 19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P~1~P~2~P~3~，如图，求△P~1~P~2~P~3~的各边长及此三棱锥的体积V． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21168.png){width="1.2291666666666667in" height="1.0729166666666667in"} 【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P~1~P~2~P~3~是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积． 【解答】解：根据题意可得：P~1~，B，P~2~共线，∵∠ABP~1~=∠BAP~1~=∠CBP~2~，∠ABC=60°， ∴∠ABP~1~=∠BAP~1~=∠CBP~2~=60°， ∴∠P~1~=60°，同理∠P~2~=∠P~3~=60°， ∴△P~1~P~2~P~3~是等边三角形，P﹣ABC是正四面体， ∴△P~1~P~2~P~3~的边长为4， V~P﹣ABC~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21169.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21170.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} 【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法． 　 20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21171.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}． （1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f^﹣1^（x）； （2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由． 【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出， （2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决． 【解答】解：（1）∵a=4， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21172.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4791666666666667in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21173.png){width="0.6875in" height="0.3854166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21174.png){width="0.9375in" height="0.3854166666666667in"}， ∴调换x，y的位置可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21175.png){width="1.5520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． （2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21176.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21177.png){width="0.4791666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，整理可得a（2^x^﹣2^﹣x^）=0． ∵2^x^﹣2^﹣x^不恒为0， ∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件； 若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21176.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21178.png){width="0.4791666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，整理可得a^2^﹣1=0， ∴a=±1， ∵a≥0， ∴a=1， 此时f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21179.png){width="0.9375in" height="0.4791666666666667in"}，满足条件； 当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数 综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数 【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题． 　 21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β． （1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21180.png){width="1.4479166666666667in" height="0.6979166666666666in"} 【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论． （2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论． 【解答】解：（1）设CD的长为x米，则tanα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21181.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，tanβ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21182.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∵0![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21183.png){width="1.15625in" height="0.3645833333333333in"}， ∴tanα≥tan2β＞0， ∴tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21184.png){width="1.125in" height="0.4270833333333333in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21185.png){width="1.0104166666666667in" height="0.8229166666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21186.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 解得0![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21187.png){width="0.8125in" height="0.20833333333333334in"}≈28.28， 即CD的长至多为28.28米． （2）设DB=a，DA=b，CD=m， 则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°， 由正弦定理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21188.png){width="1.2916666666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 即a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21189.png){width="1.7395833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21190.png){width="1.96875in" height="0.25in"}≈26.93， 答：CD的长为26.93米． 【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键． 　 22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~），记η=（ax~1~+by~1~+c）（ax~2~+by~2~+c），若η＜0，则称点P~1~，P~2~被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P~1~、P~2~被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线． （1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔； （2）若直线y=kx是曲线x^2^﹣4y^2^=1的分隔线，求实数k的取值范围； （3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线． 【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax~1~+by~1~+c）（ax~2~+by~2~+c），再根据η＜0，得出结论． （2）联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21191.png){width="0.8645833333333334in" height="0.4791666666666667in"} 可得 （1﹣4k^2^）x^2^=1，根据此方程无解，可得1﹣4k^2^≤0，从而求得k的范围． （3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为\[x^2^+（y﹣2）^2^\]x^2^=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P~1~、P~2~的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线． 【解答】解：（1）把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1可得η=（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0， ∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0分隔． （2）联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21191.png){width="0.8645833333333334in" height="0.4791666666666667in"} 可得 （1﹣4k^2^）x^2^=1，根据题意，此方程无解，故有1﹣4k^2^≤0， ∴\|k\|≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19779.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．当\|k\|≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19779.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，对于直线y=kx，曲线x^2^﹣4y^2^=1上的点（﹣1，0）和（1，0）满足η=﹣k^2^＜0，即点（﹣1，0）和（1，0）被y=kx分隔． 故实数k的取值范围是（﹣∞，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21192.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]∪\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21192.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）． （3）设点M（x，y），则 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21193.png){width="0.90625in" height="0.2604166666666667in"}•\|x\|=1，故曲线E的方程为\[x^2^+（y﹣2）^2^\]x^2^=1 ①． 对任意的y~0~，（0，y~0~）不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点． 又曲线E上的点（1，2）、（﹣1，2）对于y轴（x=0）满足η=1×（﹣1）=﹣1＜0，即点（﹣1，2）和（1，2）被y轴分隔，所以y轴为曲线E的分隔线． 【点评】本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题． 　 23．（18分）已知数列{a~n~}满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21194.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a~n~≤a~n+1~≤3a~n~，n∈N^\*^，a~1~=1． （1）若a~2~=2，a~3~=x，a~4~=9，求x的取值范围； （2）若{a~n~}是等比数列，且a~m~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21195.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{a~n~}的公比； （3）若a~1~，a~2~，...a~100~成等差数列，求数列a~1~，a~2~，...a~100~的公差的取值范围． 【分析】（1）由题意可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21196.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21197.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，代入解出即可； （2）设公比为q，由已知可得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21198.png){width="0.625in" height="0.28125in"}，由于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21199.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21200.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}．而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21201.png){width="1.1145833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21202.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}，再利用对数的运算法则和性质即可得出． （3）设公差为d，由已知可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21203.png){width="1.7395833333333333in" height="0.3645833333333333in"}3\[1+（n﹣2）d\]，其中2≤n≤100，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21204.png){width="1.0416666666666667in" height="0.3958333333333333in"}，解出即可． 【解答】解；（1）由题意可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21205.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21206.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}； 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21207.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，∴3≤x≤27． 综上可得：3≤x≤6． （2）设公比为q，由已知可得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21208.png){width="0.625in" height="0.28125in"}，又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21209.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21210.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}．因此![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21211.png){width="1.1145833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21212.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}， ∴m=1﹣log~q~1000=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21213.png){width="0.90625in" height="0.4375in"}=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21214.png){width="0.3020833333333333in" height="0.375in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21215.png){width="0.7083333333333334in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21216.png){width="0.4895833333333333in" height="0.375in"}≈7.29． ∴m的最小值是8，因此q^7^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21217.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21218.png){width="0.8854166666666666in" height="0.4895833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21219.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3854166666666667in"}． （3）设公差为d，由已知可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21220.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}≤1+nd≤3\[1+（n﹣1）d\] 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21221.png){width="1.0416666666666667in" height="0.3958333333333333in"}， 令n=1，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21222.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 当2≤n≤99时，不等式即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21223.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21224.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21225.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 综上可得：公差d的取值范围是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21226.png){width="0.84375in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质、对数的运算法则等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 　 2014年四川省高考数学试卷（理科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．** 1．（5分）已知集合A={x\|x^2^﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（　　） A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0} 【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得． 【解答】解：A={x\|﹣1≤x≤2}，B=Z， ∴A∩B={﹣1，0，1，2}． 故选：A． 【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分． 　 2．（5分）在x（1+x）^6^的展开式中，含x^3^项的系数为（　　） A．30 B．20 C．15 D．10 【分析】利用二项展开式的通项公式求出（1+x）^6^的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x^2^的系数．然后求解即可． 【解答】解：（1+x）^6^展开式中通项T~r+1~=C~6~^r^x^r^， 令r=2可得，T~3~=C~6~^2^x^2^=15x^2^， ∴（1+x）^6^展开式中x^2^项的系数为15， 在x（1+x）^6^的展开式中，含x^3^项的系数为：15． 故选：C． 【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键． 　 3．（5分）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（　　） A．向左平行移动![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21227.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度 B．向右平行移动![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21227.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度 C．向左平行移动1个单位长度 D．向右平行移动1个单位长度 【分析】根据 y=sin（2x+1）=sin2（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21227.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21227.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21227.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度， 即可得到函数y=sin（2x+1）的图象， 故选：A． 【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题． 　 4．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21228.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21229.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21228.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21229.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21230.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21231.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21230.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21231.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】利用特例法，判断选项即可． 【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21232.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21233.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，∴A、B不正确； ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21234.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21235.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21236.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴C不正确，D正确． 解法二： ∵c＜d＜0， ∴﹣c＞﹣d＞0， ∵a＞b＞0， ∴﹣ac＞﹣bd， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21237.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21238.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21239.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：D． 【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确． 　 5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21240.png){width="2.6465277777777776in" height="2.7715277777777776in"} A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】算法的功能是求可行域![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21241.png){width="0.625in" height="0.6458333333333334in"}内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值． 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21241.png){width="0.625in" height="0.6458333333333334in"}内，目标还是S=2x+y的最大值， 画出可行域如图： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21242.png){width="2.4583333333333335in" height="2.3541666666666665in"} 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21243.png){width="0.375in" height="0.40625in"}时，S=2x+y的值最大，且最大值为2． 故选：C． 【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 　 6．（5分）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（　　） A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论． 【解答】解：最左端排甲，共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21244.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21245.png){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}=96种， 根据加法原理可得，共有120+96=216种． 故选：B． 【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 7．（5分）平面向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21246.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21247.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（4，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21248.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21246.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21247.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}（m∈R），且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21248.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21246.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21248.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21247.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角，则m=（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】由已知求出向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21249.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的坐标，再根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21249.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17413.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21249.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17414.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案． 【解答】解：∵向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17413.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17414.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（4，2）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21249.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17413.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17414.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（m+4，2m+2）， 又∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11235.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11238.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11235.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21250.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21251.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21252.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21253.png){width="0.34375in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21254.png){width="0.34375in" height="0.4479166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21255.png){width="0.96875in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21256.png){width="1.21875in" height="0.3854166666666667in"}， 解得m=2， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档． 　 8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC~1~上，直线OP与平面A~1~BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21257.png){width="1.3854166666666667in" height="1.3229166666666667in"} A．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21258.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，1\] B．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21259.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，1\] C．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21259.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21260.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}\] D．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21261.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，1\] 【分析】由题意可得：直线OP于平面A~1~BD所成的角α的取值范围是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21262.png){width="1.1458333333333333in" height="0.3645833333333333in"}∪![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21263.png){width="1.2708333333333333in" height="0.3645833333333333in"}．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出． 【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A~1~BD所成的角α的取值范围是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21262.png){width="1.1458333333333333in" height="0.3645833333333333in"}∪![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21263.png){width="1.2708333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 不妨取AB=2． 在Rt△AOA~1~中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21264.png){width="1.2291666666666667in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21265.png){width="0.9166666666666666in" height="0.46875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21266.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． sin∠C~1~OA~1~=sin（π﹣2∠AOA~1~）=sin2∠AOA~1~=2sin∠AOA~1~cos∠AOA~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21267.png){width="1.8125in" height="0.3854166666666667in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21268.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=1． ∴sinα的取值范围是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21269.png){width="0.6979166666666666in" height="0.3854166666666667in"}． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21270.png){width="1.3854166666666667in" height="1.3854166666666667in"} 【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题． 　 9．（5分）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题： ①f（﹣x）=﹣f（x）； ②f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21271.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}）=2f（x） ③\|f（x）\|≥2\|x\| 其中的所有正确命题的序号是（　　） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 【分析】根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案． 【解答】解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）， ∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确； f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21271.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}）=ln（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21272.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}）﹣ln（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21272.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}）=ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21273.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4791666666666667in"}）﹣ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21274.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4791666666666667in"}）=ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21275.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4791666666666667in"}）=ln\[（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21276.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）^2^\]=2ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21276.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=2\[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）\]=2f（x），故②正确； 当x∈\[0，1）时，\|f（x）\|≥2\|x\|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈\[0，1）） ∵g′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21277.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21278.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}﹣2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21279.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}≥0，∴g（x）在\[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0， 又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以\|f（x）\|≥2\|x\|成立，故③正确； 故正确的命题有①②③， 故选：A． 【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档． 　 10．（5分）已知F为抛物线y^2^=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21280.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21281.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　） A．2 B．3 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21282.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21283.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} 【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21280.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21281.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题． 【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）， 直线AB与x轴的交点为M（m，0）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21284.png){width="0.625in" height="0.4791666666666667in"}⇒y^2^﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y~1~•y~2~=﹣m， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21285.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21286.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2，∴x~1~•x~2~+y~1~•y~2~=2， 结合![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21287.png){width="0.4895833333333333in" height="0.2916666666666667in"}及![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21288.png){width="0.4895833333333333in" height="0.2916666666666667in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21289.png){width="1.7291666666666667in" height="0.28125in"}， ∵点A，B位于x轴的两侧，∴y~1~•y~2~=﹣2，故m=2． 不妨令点A在x轴上方，则y~1~＞0，又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21290.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}， ∴S~△ABO~+S~△AFO~═![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21291.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×2×（y~1~﹣y~2~）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21291.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21292.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}y~1~， =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21293.png){width="1.875in" height="0.4583333333333333in"}． 当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21294.png){width="0.65625in" height="0.4375in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21295.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}时，取"="号， ∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21296.png){width="1.7708333333333333in" height="1.59375in"} 【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点： 1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式． 2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高． 3、利用基本不等式时，应注意"一正，二定，三相等"． 　 **二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分** 11．（5分）复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21297.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=[　﹣2i　]{.underline}． 【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果． 【解答】解：复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21297.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21298.png){width="0.96875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21299.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}=﹣2i， 故答案为：﹣2i． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题． 　 12．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈\[﹣1，1）时，f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21300.png){width="2.2083333333333335in" height="0.4895833333333333in"}，则f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21301.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=[　1　]{.underline}． 【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21301.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）的值转化成求f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21302.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）的值． 【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21303.png){width="2.1041666666666665in" height="0.3645833333333333in"}=1． 故答案为：1． 【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于"送分题"． 　 13．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于[　60　]{.underline}m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21304.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}≈1.73） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21305.png){width="1.4375in" height="0.8854166666666666in"} 【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度． 【解答】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D， 则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m， AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21306.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，根据正弦定理，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21307.png){width="1.375in" height="0.3645833333333333in"}， 得BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21308.png){width="0.8020833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21309.png){width="1.5729166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=60m． 故答案为：60m． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21310.png){width="1.7291666666666667in" height="1.1458333333333333in"} 【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题． 　 14．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则\|PA\|•\|PB\|的最大值是[　5　]{.underline}． 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出\|PA\|•\|PB\|的最大值． 【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0）， 动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3）， 注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点， 则有PA⊥PB，∴\|PA\|^2^+\|PB\|^2^=\|AB\|^2^=10． 故\|PA\|•\|PB\|≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21311.png){width="1.0416666666666667in" height="0.4270833333333333in"}=5（当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21312.png){width="1.0625in" height="0.1875in"}时取"="） 故答案为：5 【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是"两条直线相互垂直"这一特征是本题解答的突破口，从而有\|PA\|^2^+\|PB\|^2^是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题． 　 15．（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间\[﹣M，M\]．例如，当φ~1~（x）=x^3^，φ~2~（x）=sinx时，φ~1~（x）∈A，φ~2~（x）∈B．现有如下命题： ①设函数f（x）的定义域为D，则"f（x）∈A"的充要条件是"∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b"； ②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值； ③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B． ④若函数f（x）=aln（x+2）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21313.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B． 其中的真命题有[　①③④　]{.underline}．（写出所有真命题的序号） 【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论． 【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R．反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题； （2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间\[﹣M，M\]． ∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故②是假命题； （3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）． 则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题； （4）对于命题④，∵﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21314.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21315.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17543.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21315.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，f（x）∈B，故④是真命题． 故答案为①③④． 【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题． 　 **三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．** 16．（12分）已知函数f（x）=sin（3x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21316.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）． （1）求f（x）的单调递增区间； （2）若α是第二象限角，f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21317.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21318.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21319.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）cos2α，求cosα﹣sinα的值． 【分析】（1）令 2kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21320.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤3x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21319.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21320.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间． （2）由函数的解析式可得 f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21317.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=sin（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21319.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），又f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21321.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21322.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21323.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）cos2α，可得sin（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21323.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21322.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21323.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）cos2α，化简可得 （cosα﹣sinα）^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21324.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值． 【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21323.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），令 2kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21325.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤3x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21326.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21327.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z， 求得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21328.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21326.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21328.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21329.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，故函数的增区间为\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21328.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21326.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21330.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21331.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]，k∈Z． （2）由函数的解析式可得 f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21332.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=sin（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21333.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），又f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21332.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21334.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21333.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）cos2α， ∴sin（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21333.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21334.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21335.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）cos2α，即sin（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21335.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21336.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21335.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）（cos^2^α﹣sin^2^α）， ∴sinαcos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21335.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+cosαsin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21335.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21336.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（cosαcos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21335.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣sinαsin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21337.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα） 即 （sinα+cosα）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21338.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•（cosα﹣sinα）^2^（cosα+sinα）， 又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0， 当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21339.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，cosα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21339.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，此时cosα﹣sinα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21340.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21341.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 综上所述：cosα﹣sinα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21340.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}或﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21342.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 　 17．（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21343.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，且各次击鼓出现音乐相互独立． （1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ （3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因． 【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列； （2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论． （3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可． 【解答】解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100． 则P（X=﹣200）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21344.png){width="1.46875in" height="0.3645833333333333in"}， P（X=10）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21345.png){width="1.3125in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21346.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} P（X=20）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21347.png){width="1.2291666666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21346.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， P（X=100）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21348.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21349.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故分布列为： --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- X ﹣200 10 20 100 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21349.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21350.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21350.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21351.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21350.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21350.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21352.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21353.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21354.png){width="1.6354166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21355.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+10×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21356.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+20×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21356.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21357.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}×100=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21358.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21359.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少． 【点评】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力． 　 18．（12分）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21360.png){width="3.9694444444444446in" height="1.6458333333333333in"} （1）证明：P是线段BC的中点； （2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值． 【分析】（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论， （2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值． 【解答】解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中： 平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2 设O为BD的中点，连接OA，OC 于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC 因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN⊥NP，故BD⊥NP 假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线 从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点 （2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A（0，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21361.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），M（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21362.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，O，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21363.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}），N（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21364.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21365.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21364.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21365.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，0） 于是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21366.png){width="1.2916666666666667in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21367.png){width="1.3958333333333333in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21368.png){width="1.0416666666666667in" height="0.22916666666666666in"} 设平面ANP和平面NPM的法向量分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21369.png){width="1.3125in" height="0.28125in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21370.png){width="1.3125in" height="0.28125in"} 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21371.png){width="0.7291666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21372.png){width="1.3645833333333333in" height="0.8333333333333334in"}，设z~1~=1，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21373.png){width="1.1041666666666667in" height="0.22916666666666666in"} 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21374.png){width="0.75in" height="0.4791666666666667in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21375.png){width="1.4270833333333333in" height="0.6770833333333334in"}，设z~2~=1，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21376.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"} cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21377.png){width="0.7708333333333334in" height="0.22916666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21378.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21379.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21380.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} 所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21380.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} 【点评】本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题． 　 19．（12分）设等差数列{a~n~}的公差为d，点（a~n~，b~n~）在函数f（x）=2^x^的图象上（n∈N^\*^）． （1）若a~1~=﹣2，点（a~8~，4b~7~）在函数f（x）的图象上，求数列{a~n~}的前n项和S~n~； （2）若a~1~=1，函数f（x）的图象在点（a~2~，b~2~）处的切线在x轴上的截距为2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21381.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，求数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21382.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}}的前n项和T~n~． 【分析】（1）由于点（a~n~，b~n~）在函数f（x）=2^x^的图象上，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21383.png){width="0.5625in" height="0.3229166666666667in"}，又等差数列{a~n~}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21384.png){width="0.8645833333333334in" height="0.5520833333333334in"}=2^d^．由于点 （a~8~，4b~7~）在函数f（x）的图象上，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21385.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3229166666666667in"}=b~8~，进而得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21386.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=4=2^d^，解得d．再利用等差数列的前n项和公式即可得出． （2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a~2~，b~2~）处的切线方程，即可解得a~2~．进而得到a~n~，b~n~．再利用"错位相减法"即可得出． 【解答】解：（1）∵点（a~n~，b~n~）在函数f（x）=2^x^的图象上， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21387.png){width="0.5625in" height="0.3229166666666667in"}， 又等差数列{a~n~}的公差为d， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21388.png){width="0.8645833333333334in" height="0.5520833333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21389.png){width="0.625in" height="0.2604166666666667in"}=2^d^， ∵点（a~8~，4b~7~）在函数f（x）的图象上， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21390.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3229166666666667in"}=b~8~， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21391.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=4=2^d^，解得d=2． 又a~1~=﹣2，∴S~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21392.png){width="1.0625in" height="0.3645833333333333in"}=﹣2n+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21393.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=n^2^﹣3n． （2）由f（x）=2^x^，∴f′（x）=2^x^ln2， ∴函数f（x）的图象在点（a~2~，b~2~）处的切线方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21394.png){width="1.5729166666666667in" height="0.3229166666666667in"}， 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21395.png){width="0.5625in" height="0.3229166666666667in"}，令y=0可得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21396.png){width="0.6041666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21397.png){width="1.1770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，解得a~2~=2． ∴d=a~2~﹣a~1~=2﹣1=1． ∴a~n~=a~1~+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n， ∴b~n~=2^n^． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21398.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4791666666666667in"}． ∴T~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21399.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21400.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21401.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， ∴2T~n~=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21402.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21403.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21404.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}， 两式相减得T~n~=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21405.png){width="0.46875in" height="0.4270833333333333in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21406.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21407.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21408.png){width="0.8854166666666666in" height="0.8229166666666666in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21409.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21410.png){width="0.875in" height="0.4270833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21411.png){width="0.71875in" height="0.4791666666666667in"}． 【点评】本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、"错位相减法"，属于难题． 　 20．（13分）已知椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21412.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21413.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q． ①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； ②当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21414.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}最小时，求点T的坐标． 【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a^2^=b^2^+c^2^及焦距2c=4建立方程组求得a^2^，b^2^； 第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21414.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}表示出来，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21414.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标． 【解答】解：（1）依题意有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21415.png){width="1.0833333333333333in" height="0.7083333333333334in"}解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21416.png){width="0.4895833333333333in" height="0.5104166666666666in"} 所以椭圆C的标准方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21417.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21418.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1． （2）设T（﹣3，t），P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~），PQ的中点为N（x~0~，y~0~）， ①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21419.png){width="0.5in" height="0.3645833333333333in"}． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21420.png){width="0.84375in" height="0.6770833333333334in"}⇒（m^2^+3）y^2^﹣4my﹣2=0， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21421.png){width="2.5208333333333335in" height="1.1979166666666667in"}， 于是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21422.png){width="1.3125in" height="0.4895833333333333in"}，从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21423.png){width="1.9375in" height="0.4791666666666667in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21424.png){width="1.3020833333333333in" height="0.4270833333333333in"}，则直线ON的斜率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21425.png){width="0.5833333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21426.png){width="1.5833333333333333in" height="0.5625in"}，得t=m． 从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21427.png){width="1.2708333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，即k~OT~=k~ON~， 所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证． ②由两点间距离公式得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21428.png){width="0.9270833333333334in" height="0.25in"}， 由弦长公式得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21429.png){width="1.6875in" height="0.28125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21430.png){width="2.0520833333333335in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21431.png){width="1.4583333333333333in" height="0.5in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21432.png){width="2.9583333333333335in" height="0.7708333333333334in"}， 令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21433.png){width="1.1979166666666667in" height="0.25in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21434.png){width="2.3020833333333335in" height="0.4479166666666667in"}（当且仅当x^2^=2时，取"="号）， 所以当 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21435.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}最小时，由x^2^=2=m^2^+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）． 【点评】本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面： 1、设交点坐标，设直线方程； 2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理； 3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题． 　 21．（14分）已知函数f（x）=e^x^﹣ax^2^﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828...为自然对数的底数． （1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间\[0，1\]上的最小值； （2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围． 【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值； （2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点． 【解答】解：∵f（x）=e^x^﹣ax^2^﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=e^x^﹣2ax﹣b， 又g′（x）=e^x^﹣2a，x∈\[0，1\]，∴1≤e^x^≤e， ∴①当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21436.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}时，则2a≤1，g′（x）=e^x^﹣2a≥0， ∴函数g（x）在区间\[0，1\]上单调递增，g（x）~min~=g（0）=1﹣b； ②当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21437.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，则1＜2a＜e， ∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e^x^﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=e^x^﹣2a＞0， ∴函数g（x）在区间\[0，ln（2a）\]上单调递减，在区间\[ln（2a），1\]上单调递增， g（x）~min~=g\[ln（2a）\]=2a﹣2aln（2a）﹣b； ③当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21438.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}时，则2a≥e，g′（x）=e^x^﹣2a≤0， ∴函数g（x）在区间\[0，1\]上单调递减，g（x）~min~=g（1）=e﹣2a﹣b， 综上：函数g（x）在区间\[0，1\]上的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21439.png){width="2.9583333333333335in" height="1.21875in"}； （2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0， 若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间， 由（1）知当a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21440.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21441.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，函数g（x）在区间\[0，1\]上单调，不可能满足"函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间"这一要求． 若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21442.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，则g~min~（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1 令h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21443.png){width="0.9895833333333334in" height="0.3645833333333333in"} （1＜x＜e） 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21444.png){width="1.6770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21445.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21446.png){width="1.1041666666666667in" height="0.3645833333333333in"}．由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21446.png){width="1.1041666666666667in" height="0.3645833333333333in"}＞0⇒x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21447.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} ∴h（x）在区间（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21447.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）上单调递增，在区间（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21447.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，e）上单调递减， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21448.png){width="1.1875in" height="0.22916666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21449.png){width="1.40625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21450.png){width="0.5625in" height="0.1875in"}＜0，即g~min~（x）＜0 恒成立， ∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21451.png){width="1.2083333333333333in" height="0.46875in"}⇒![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21452.png){width="0.625in" height="0.4479166666666667in"}， 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21453.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，所以e﹣2＜a＜1， 综上得：e﹣2＜a＜1． 【点评】本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大． 　 2014年四川省高考数学试卷（文科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）** 1．（5分）已知集合A={x\|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（　　） A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 【分析】由题意，可先化简集合A，再求两集合的交集． 【解答】解：A={x\|（x+1）（x﹣2）≤0}={x\|﹣1≤x≤2}，又集合B为整数集， 故A∩B={﹣1，0，1，2} 故选：D． 【点评】本题考查求交，掌握理解交的运算的意义是解答的关键． 　 2．（5分）在"世界读书日"前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（　　） A．总体 B．个体 C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本 【分析】根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得结论． 【解答】解：根据题意，结合总体、个体、样本、样本容量的定义可得，5000名居民的阅读时间的全体是总体， 故选：A． 【点评】本题主要考查总体、个体、样本、样本容量的定义，属于基础题． 　 3．（5分）为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（　　） A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度 C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度 【分析】直接利用函数图象的平移法则逐一核对四个选项得答案． 【解答】解：∵由y=sinx到y=sin（x+1），只是横坐标由x变为x+1， ∴要得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度． 故选：A． 【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是基础题． 　 4．（5分）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　） （锥体体积公式：V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21454.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}Sh，其中S为底面面积，h为高） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21455.png){width="2.125in" height="1.2916666666666667in"} A．3 B．2 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21456.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．1 【分析】根据三棱锥的俯视图与侧视图判定三棱锥的一个侧面与底面垂直，判断三棱锥的高与底面三角形的形状及边长，把数据代入棱锥的体积公式计算． 【解答】解：由三棱锥的俯视图与侧视图知：三棱锥的一个侧面与底面垂直，高为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21456.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 底面为等边三角形，边长为2， ∴三棱锥的体积V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21454.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21457.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21458.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21458.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=1． 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21459.png){width="1.0208333333333333in" height="1.0729166666666667in"} 【点评】本题考查了由三棱锥的侧视图与俯视图求体积，判断三棱锥的结构特征及相关几何量的数据是解题的关键． 　 5．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21460.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21461.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21460.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21461.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21462.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21463.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21462.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21463.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】利用特例法，判断选项即可． 【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21464.png){width="0.9791666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴C、D不正确； ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21460.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=﹣3，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21465.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21466.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ∴A不正确，B正确． 解法二： ∵c＜d＜0， ∴﹣c＞﹣d＞0， ∵a＞b＞0， ∴﹣ac＞﹣bd， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21467.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21468.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21469.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． 【点评】本题考查不等式比较大小，特值法有效，带数计算正确即可． 　 6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21470.png){width="2.6465277777777776in" height="2.7715277777777776in"} A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】算法的功能是求可行域![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21471.png){width="0.625in" height="0.6458333333333334in"}内，目标函数S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值． 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求可行域![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21472.png){width="0.625in" height="0.6458333333333334in"}内，目标还是S=2x+y的最大值， 画出可行域如图： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21473.png){width="2.4583333333333335in" height="2.3541666666666665in"} 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21474.png){width="0.375in" height="0.40625in"}时，S=2x+y的值最大，且最大值为2． 故选：C． 【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 　 7．（5分）已知b＞0，log~5~b=a，lgb=c，5^d^=10，则下列等式一定成立的是（　　） A．d=ac B．a=cd C．c=ad D．d=a+c 【分析】利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出． 【解答】解：由5^d^=10，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21475.png){width="0.4895833333333333in" height="0.375in"}， ∴cd=lgb![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21476.png){width="0.3020833333333333in" height="0.375in"}=log~5~b=a． 故选：B． 【点评】本题考查了指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式，属于基础题． 　 8．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21477.png){width="2.03125in" height="1.1979166666666667in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21478.png){width="0.75in" height="0.1875in"}m B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21479.png){width="0.8333333333333334in" height="0.1875in"}m C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21480.png){width="0.8333333333333334in" height="0.1875in"}m D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21481.png){width="0.8333333333333334in" height="0.1875in"}m 【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案． 【解答】解：如图，∠DAB=15°， ∵tan15°=tan（45°﹣30°）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21482.png){width="1.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21483.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 在Rt△ADB中，又AD=60， ∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21483.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）=120﹣60![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21483.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60， ∴DC=AD•tan60°=60![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21483.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． ∴BC=DC﹣DB=60![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21483.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣（120﹣60![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21483.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）=120（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21483.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣1）（m）． ∴河流的宽度BC等于120（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21483.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣1）m． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21484.png){width="1.6770833333333333in" height="1.2916666666666667in"} 【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题． 　 9．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则\|PA\|+\|PB\|的取值范围是（　　） A．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21485.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21485.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\] B．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21486.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21487.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\] C．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21486.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21487.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\] D．\[2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21487.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21487.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\] 【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得\|PA\|^2^+\|PB\|^2^=10．三角换元后，由三角函数的知识可得． 【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0）， 动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3）， ∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0的斜率之积为﹣1，始终垂直， P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴\|PA\|^2^+\|PB\|^2^=\|AB\|^2^=10． 设∠ABP=θ，则\|PA\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21486.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}sinθ，\|PB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21486.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}cosθ， 由\|PA\|≥0且\|PB\|≥0，可得θ∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21488.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\] ∴\|PA\|+\|PB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21489.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}（sinθ+cosθ）=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21490.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（θ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19383.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， ∵θ∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19382.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]，∴θ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19383.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19383.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21491.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]， ∴sin（θ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19383.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21492.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，1\]， ∴2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21493.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（θ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21494.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21495.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21493.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\]， 故选：B． 【点评】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题． 　 10．（5分）已知F为抛物线y^2^=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21496.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21497.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　） A．2 B．3 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21498.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21499.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} 【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21496.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21497.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题． 【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）， 直线AB与x轴的交点为M（m，0）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21500.png){width="0.625in" height="0.4791666666666667in"}⇒y^2^﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y~1~•y~2~=﹣m， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21501.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21502.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2，∴x~1~•x~2~+y~1~•y~2~=2， 结合![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21503.png){width="0.4895833333333333in" height="0.2916666666666667in"}及![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21504.png){width="0.4895833333333333in" height="0.2916666666666667in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21505.png){width="1.7291666666666667in" height="0.28125in"}， ∵点A，B位于x轴的两侧，∴y~1~•y~2~=﹣2，故m=2． 不妨令点A在x轴上方，则y~1~＞0，又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21506.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3645833333333333in"}， ∴S~△ABO~+S~△AFO~═![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21507.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×2×（y~1~﹣y~2~）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21507.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21508.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}y~1~， =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21509.png){width="1.875in" height="0.4583333333333333in"}． 当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21510.png){width="0.65625in" height="0.4375in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21511.png){width="0.4375in" height="0.3645833333333333in"}时，取"="号， ∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21512.png){width="1.7708333333333333in" height="1.59375in"} 【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点： 1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式． 2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高． 3、利用基本不等式时，应注意"一正，二定，三相等"． 　 **二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）** 11．（5分）双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21513.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣y^2^=1的离心率等于[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21514.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}[　]{.underline}． 【分析】根据双曲线的方程，求出a，b，c，即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：由双曲线的方程可知a^2^=4，b^2^=1， 则c^2^=a^2^+b^2^=4+1=5， 则a=2，c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21515.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 即双曲线的离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21516.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21517.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21517.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} 【点评】本题主要考查双曲线的离心率的计算，求出a，c是解决本题的关键，比较基础． 　 12．（5分）复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21518.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=[　﹣2i　]{.underline}． 【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果． 【解答】解：复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21518.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21519.png){width="0.96875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21520.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}=﹣2i， 故答案为：﹣2i． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题． 　 13．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈\[﹣1，1）时，f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21521.png){width="2.2083333333333335in" height="0.4895833333333333in"}，则f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21522.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=[　1　]{.underline}． 【分析】由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21522.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）的值转化成求f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21523.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）的值． 【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21524.png){width="2.1041666666666665in" height="0.3645833333333333in"}=1． 故答案为：1． 【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于"送分题"． 　 14．（5分）平面向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21525.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21526.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（4，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21527.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21525.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21526.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}（m∈R），且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21528.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21529.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21528.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21530.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角，则m=[　2　]{.underline}． 【分析】利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出． 【解答】解：∵向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21529.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21530.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（4，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21528.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21529.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21531.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}（m∈R）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21532.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=m（1，2）+（4，2）=（m+4，2m+2）． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21533.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}=m+4+2（2m+2）=5m+8，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21534.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}=4（m+4）+2（2m+2）=8m+20． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21535.png){width="0.6041666666666666in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21536.png){width="0.9895833333333334in" height="0.25in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21537.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21538.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21539.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21538.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21540.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21541.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21542.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21543.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 化为5m+8=4m+10， 解得m=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题． 　 15．（5分）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间\[﹣M，M\]．例如，当φ~1~（x）=x^3^，φ~2~（x）=sinx时，φ~1~（x）∈A，φ~2~（x）∈B．现有如下命题： ①设函数f（x）的定义域为D，则"f（x）∈A"的充要条件是"∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b"； ②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值； ③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B． ④若函数f（x）=aln（x+2）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21544.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B． 其中的真命题有[　①③④　]{.underline}．（写出所有真命题的序号） 【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论． 【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R．反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都∃a∈D使得f（a）=b，故①是真命题； （2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间\[﹣M，M\]． ∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故②是假命题； （3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）． 则f（x）+g（x）∉B，故③是真命题； （4）对于命题④，∵﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21545.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21546.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20555.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21546.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，f（x）∈B，故④是真命题． 故答案为①③④． 【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题． 　 **三、解答题（共6小题，共75分）** 16．（12分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c． （Ⅰ）求"抽取的卡片上的数字满足a+b=c"的概率； （Ⅱ）求"抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同"的概率． 【分析】（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，而满足a+b=c的（a，b，c有计3个，由此求得"抽取的卡片上的数字满足a+b=c"的概率． （Ⅱ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3种，用列举法求得满足"抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同"的（a，b，c）共计三个，由此求得"抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同"的概率，再用1减去此概率，即得所求． 【解答】解：（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种， 而满足a+b=c的（a，b，c）有（1，1，2）、（1，2，3）、（2，1，3），共计3个， 故"抽取的卡片上的数字满足a+b=c"的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21547.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21548.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅱ）满足"抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同"的（a，b，c）有： （1，1，1）、（2，2，2）、（3，3，3），共计三个， 故"抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同"的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21547.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21549.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴"抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同"的概率为1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21549.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21550.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于中档题． 　 17．（12分）已知函数f（x）=sin（3x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21551.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）． （1）求f（x）的单调递增区间； （2）若α是第二象限角，f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21552.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21553.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21554.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）cos2α，求cosα﹣sinα的值． 【分析】（1）令 2kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21555.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤3x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21554.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21555.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间． （2）由函数的解析式可得 f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21552.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=sin（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21554.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），又f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21556.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21557.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21558.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）cos2α，可得sin（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21558.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21557.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21558.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）cos2α，化简可得 （cosα﹣sinα）^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21559.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值． 【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21494.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），令 2kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21560.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤3x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21494.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21560.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z， 求得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21561.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21494.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21561.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21562.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，故函数的增区间为\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21563.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21564.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21563.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21565.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]，k∈Z． （2）由函数的解析式可得 f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21566.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=sin（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21564.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），又f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21566.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21567.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21568.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）cos2α， ∴sin（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21568.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21569.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21568.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）cos2α，即sin（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21568.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21569.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cos（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21568.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）（cos^2^α﹣sin^2^α）， ∴sinαcos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21570.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+cosαsin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21570.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21571.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（cosαcos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21570.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣sinαsin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21570.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα） 即 （sinα+cosα）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21571.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•（cosα﹣sinα）^2^（cosα+sinα）， 又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0， 当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21572.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，cosα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21573.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，此时cosα﹣sinα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21574.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21575.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 综上所述：cosα﹣sinα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21574.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}或﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21575.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 　 18．（12分）在如图所示的多面体中，四边形ABB~1~A~1~和ACC~1~A~1~都为矩形 （Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC~1~A~1~； （Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC~1~的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A~1~MC？请证明你的结论． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21576.png){width="1.2916666666666667in" height="1.4375in"} 【分析】（Ⅰ）先证明AA~1~⊥平面ABC，可得AA~1~⊥BC，利用AC⊥BC，可以证明直线BC⊥平面ACC~1~A~1~； （Ⅱ）取AB的中点M，连接A~1~M，MC，A~1~C，AC~1~，证明四边形MDEO为平行四边形即可． 【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABB~1~A~1~和ACC~1~A~1~都为矩形， ∴AA~1~⊥AB，AA~1~⊥AC， ∵AB∩AC=A， ∴AA~1~⊥平面ABC， ∵BC⊂平面ABC， ∴AA~1~⊥BC， ∵AC⊥BC，AA~1~∩AC=A， ∴直线BC⊥平面ACC~1~A~1~； （Ⅱ）解：取AB的中点M，连接A~1~M，MC，A~1~C，AC~1~，设O为A~1~C，AC~1~的交点，则O为AC~1~的中点． 连接MD，OE，则MD∥AC，MD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image313.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AC，OE∥AC，OE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21577.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AC， ∴MD∥OE，MD=OE， 连接OM，则四边形MDEO为平行四边形， ∴DE∥MO， ∵DE⊄平面A~1~MC，MO⊂平面A~1~MC， ∴DE∥平面A~1~MC， ∴线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE∥平面A~1~MC． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21578.png){width="1.2916666666666667in" height="1.4375in"} 【点评】本题考查线面垂直的判定与性质的运用，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 19．（12分）设等差数列{a~n~}的公差为d，点（a~n~，b~n~）在函数f（x）=2^x^的图象上（n∈N^\*^） （Ⅰ）证明：数列{b~n~}为等比数列； （Ⅱ）若a~1~=1，函数f（x）的图象在点（a~2~，b~2~）处的切线在x轴上的截距为2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21579.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，求数列{a~n~b~n~^2^}的前n项和S~n~． 【分析】（Ⅰ）利用等比数列的定义证明即可； （Ⅱ）先由（Ⅰ）求得a~n~，b~n~，再利用错位相减求数列{a~n~b~n~^2^}的前n项和S~n~． 【解答】（Ⅰ）证明：由已知得，b~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21580.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}＞0， 当n≥1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21581.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21582.png){width="0.40625in" height="0.5520833333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21583.png){width="0.625in" height="0.2604166666666667in"}=2^d^， ∴数列{b~n~}为首项是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21584.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}，公比为2^d^的等比数列； （Ⅱ）解：f′（x）=2^x^ln2 ∴函数f（x）的图象在点（a~2~，b~2~）处的切线方程为y﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21585.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21585.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}ln2（x﹣a~2~）， ∵在x轴上的截距为2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21586.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴a~2~﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21586.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21586.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，∴a~2~=2， ∴d=a~2~﹣a~1~=1，a~n~=n，b~n~=2^n^，a~n~b~n~^2^=n4^n^， ∴T~n~=1•4+2•4^2^+3•4^3^+...+（n﹣1）•4^n﹣1^+n•4^n^， 4T~n~=1•4^2^+2•4^3^+...+（n﹣1）•4^n^+n•4^n+1^， ∴T~n~﹣4T~n~=4+4^2^+...+4^n^﹣n•4^n+1^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21587.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"}﹣n•4^n+1^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21588.png){width="1.0729166666666667in" height="0.4270833333333333in"}， ∴T~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21589.png){width="1.0729166666666667in" height="0.4270833333333333in"}． 【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，导数的几何意义等知识；考查学生的运算求解能力、推理论证能力，属中档题． 　 20．（13分）已知椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21590.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21591.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21592.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积． 【分析】（Ⅰ）由题意可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21593.png){width="0.8958333333333334in" height="0.90625in"}，解出即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），可得直线TF的斜率k~TF~=﹣m，由于TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~）．直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系．由于四边形OPTQ是平行四边形，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21594.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，即可解得m．此时四边形OPTQ的面积S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21595.png){width="1.6875in" height="0.3645833333333333in"}． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21596.png){width="0.8958333333333334in" height="0.90625in"}， 解得c=2，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21597.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21598.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． ∴椭圆C的标准方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21599.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0）， 设T（﹣3，m），则直线TF的斜率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21600.png){width="1.2708333333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2． 设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~）． 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21601.png){width="0.8645833333333334in" height="0.4791666666666667in"}，化为（m^2^+3）y^2^﹣4my﹣2=0， △＞0，∴y~1~+y~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21602.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，y~1~y~2~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21603.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}． ∴x~1~+x~2~=m（y~1~+y~2~）﹣4=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21604.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}． ∵四边形OPTQ是平行四边形， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21605.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，∴（x~1~，y~1~）=（﹣3﹣x~2~，m﹣y~2~）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21606.png){width="1.3854166666666667in" height="0.90625in"}，解得m=±1． 此时四边形OPTQ的面积S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21607.png){width="1.6875in" height="0.3645833333333333in"}═![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21608.png){width="1.6875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21609.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}． 【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交可得根与系数的关系及弦长问题、向量相等问题、平行四边形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了数形结合和转化能力，属于难题． 　 21．（14分）已知函数f（x）=e^x^﹣ax^2^﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828...为自然对数的底数． （1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间\[0，1\]上的最小值； （2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围． 【分析】（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值； （2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点． 【解答】解：∵f（x）=e^x^﹣ax^2^﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=e^x^﹣2ax﹣b， 又g′（x）=e^x^﹣2a，x∈\[0，1\]，∴1≤e^x^≤e， ∴①当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21610.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}时，则2a≤1，g′（x）=e^x^﹣2a≥0， ∴函数g（x）在区间\[0，1\]上单调递增，g（x）~min~=g（0）=1﹣b； ②当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21611.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，则1＜2a＜e， ∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e^x^﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=e^x^﹣2a＞0， ∴函数g（x）在区间\[0，ln（2a）\]上单调递减，在区间\[ln（2a），1\]上单调递增， g（x）~min~=g\[ln（2a）\]=2a﹣2aln（2a）﹣b； ③当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21612.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}时，则2a≥e，g′（x）=e^x^﹣2a≤0， ∴函数g（x）在区间\[0，1\]上单调递减，g（x）~min~=g（1）=e﹣2a﹣b， 综上：函数g（x）在区间\[0，1\]上的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21613.png){width="2.9583333333333335in" height="1.21875in"}； （2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0， 若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间， 由（1）知当a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21614.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21615.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，函数g（x）在区间\[0，1\]上单调，不可能满足"函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间"这一要求． 若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21616.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，则g~min~（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1 令h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21617.png){width="0.9895833333333334in" height="0.3645833333333333in"} （1＜x＜e） 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21618.png){width="1.6770833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21619.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21620.png){width="1.1041666666666667in" height="0.3645833333333333in"}．由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21621.png){width="1.1041666666666667in" height="0.3645833333333333in"}＞0⇒x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21622.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} ∴h（x）在区间（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21622.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）上单调递增，在区间（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21622.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，e）上单调递减， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21623.png){width="1.1875in" height="0.22916666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21624.png){width="1.40625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21625.png){width="0.5625in" height="0.1875in"}＜0，即g~min~（x）＜0 恒成立， ∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21626.png){width="1.2083333333333333in" height="0.46875in"}⇒![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21627.png){width="0.625in" height="0.4479166666666667in"}， 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21628.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，所以e﹣2＜a＜1， 综上得：e﹣2＜a＜1． 【点评】本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大． 　 2014年浙江省高考数学试卷（理科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（每小题5分，共50分）** 1．（5分）设全集U={x∈N\|x≥2}，集合A={x∈N\|x^2^≥5}，则∁~U~A=（　　） A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5} 【分析】先化简集合A，结合全集，求得∁~U~A． 【解答】解：∵全集U={x∈N\|x≥2}，集合A={x∈N\|x^2^≥5}={x∈N\|x≥3}， 则∁~U~A={2}， 故选：B． 【点评】本题主要考查全集、补集的定义，求集合的补集，属于基础题． 　 2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则"a=b=1"是"（a+bi）^2^=2i"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】利用复数的运算性质，分别判断"a=b=1"⇒"（a+bi）^2^=2i"与"a=b=1"⇐"（a+bi）^2^=2i"的真假，进而根据充要条件的定义得到结论． 【解答】解：当"a=b=1"时，"（a+bi）^2^=（1+i）^2^=2i"成立， 故"a=b=1"是"（a+bi）^2^=2i"的充分条件； 当"（a+bi）^2^=a^2^﹣b^2^+2abi=2i"时，"a=b=1"或"a=b=﹣1"， 故"a=b=1"是"（a+bi）^2^=2i"的不必要条件； 综上所述，"a=b=1"是"（a+bi）^2^=2i"的充分不必要条件； 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题． 　 3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21629.png){width="2.5840277777777776in" height="2.1458333333333335in"} A．90cm^2^ B．129cm^2^ C．132cm^2^ D．138cm^2^ 【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据，判断四棱柱的高与底面矩形的边长，把数据代入表面积公式计算． 【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体， 其中直三棱柱的侧棱长为3，底面是直角边长分别为3、4的直角三角形， 四棱柱的高为6，底面为矩形，矩形的两相邻边长为3和4， ∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21630.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×3×4+（4+5）×3=48+18+9+24+12+27=138（cm^2^）． 故选：D． 【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键． 　 4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21631.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos3x的图象（　　） A．向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21632.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位 B．向左平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21632.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位 C．向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21633.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位 D．向左平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21633.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位 【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可． 【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21631.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21634.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，故只需将函数y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21631.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos3x的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21633.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位，得到y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21631.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21635.png){width="1.09375in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21636.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}的图象． 故选：C． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查． 　 5．（5分）在（1+x）^6^（1+y）^4^的展开式中，记x^m^y^n^项的系数为f（m，n），则f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=（　　） A．45 B．60 C．120 D．210 【分析】由题意依次求出x^3^y^0^，x^2^y^1^，x^1^y^2^，x^0^y^3^，项的系数，求和即可． 【解答】解：（1+x）^6^（1+y）^4^的展开式中，含x^3^y^0^的系数是：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21637.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}=20．f（3，0）=20； 含x^2^y^1^的系数是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21638.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}=60，f（2，1）=60； 含x^1^y^2^的系数是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21639.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}=36，f（1，2）=36； 含x^0^y^3^的系数是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21640.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}=4，f（0，3）=4； ∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120． 故选：C． 【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力． 　 6．（5分）已知函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（　　） A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9 【分析】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b，代入0＜f（﹣1）≤3，即可求出c的范围． 【解答】解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3） 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21641.png){width="1.7916666666666667in" height="0.3958333333333333in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21642.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3958333333333333in"}， 则f（x）=x^3^+6x^2^+11x+c， 由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3， 即6＜c≤9， 故选：C． 【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题． 　 7．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x^a^（x＞0），g（x）=log~a~x的图象可能是（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21643.png){width="1.1354166666666667in" height="1.0833333333333333in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21644.png){width="1.0104166666666667in" height="1.0520833333333333in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21645.png){width="1.125in" height="1.0625in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21646.png){width="1.0in" height="1.0520833333333333in"} 【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=x^a^（x≥0），g（x）=log~a~x的图象，比照后可得答案． 【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x^a^（x≥0），g（x）=log~a~x的图象为： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21647.png){width="2.40625in" height="2.4902777777777776in"} 此时答案D满足要求， 当a＞1时，函数f（x）=x^a^（x≥0），g（x）=log~a~x的图象为： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21648.png){width="2.3958333333333335in" height="2.4479166666666665in"} 无满足要求的答案， 综上：故选D， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键． 　 8．（5分）记max{x，y}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21649.png){width="0.7916666666666666in" height="0.46875in"}，min{x，y}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21650.png){width="0.7916666666666666in" height="0.46875in"}，设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21651.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21652.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}为平面向量，则（　　） A．min{\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21651.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21653.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21654.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21653.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|}≤min{\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21654.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21653.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|} B．min{\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21654.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21653.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21654.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21653.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|}≥min{\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21654.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21655.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|} C．max{\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21656.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21655.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21656.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21655.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^}≤\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21656.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^+\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21655.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^ D．max{\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21656.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21655.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21656.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21655.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^}≥\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21657.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^+\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21658.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^ 【分析】将![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21657.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21658.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}平移到同一起点，根据向量加减法的几何意义可知，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21657.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21658.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21657.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21658.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}分别表示以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21657.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21658.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}为邻边所做平行四边形的两条对角线，再根据选项内容逐一判断． 【解答】解：对于选项A，取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21659.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21660.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立； 对于选项B，取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21659.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21660.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}是非零的相等向量，则不等式左边min{\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21659.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21660.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21659.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21660.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|}=0，显然，不等式不成立； 对于选项C，取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21659.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21661.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}是非零的相等向量，则不等式左边max{\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21662.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21661.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21662.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21661.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^}=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21662.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21661.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21663.png){width="0.40625in" height="0.22916666666666666in"}，而不等式右边=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21662.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^+\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21661.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|^2^=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21664.png){width="0.40625in" height="0.22916666666666666in"}，故C不成立，D选项正确． 故选：D． 【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义，将![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21665.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21666.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21667.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21668.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}放在同一个平行四边形中进行比较判断，在具体解题时，本题采用了排除法，对错误选项进行举反例说明，这是高考中做选择题的常用方法，也不失为一种快速有效的方法，在高考选择题的处理上，未必每一题都要写出具体解答步骤，针对选择题的特点，有时"排除法"，"确定法"，"特殊值"代入法等也许是一种更快速，更有效的方法． 　 9．（5分）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中． （a）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξ~i~（i=1，2）； （b）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p~i~（i=1，2）． 则（　　） A．p~1~＞p~2~，E（ξ~1~）＜E（ξ~2~） B．p~1~＜p~2~，E（ξ~1~）＞E（ξ~2~） C．p~1~＞p~2~，E（ξ~1~）＞E（ξ~2~） D．p~1~＜p~2~，E（ξ~1~）＜E（ξ~2~） 【分析】首先，这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的，然后分两种情况：即当ξ=1时，有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒，也可能是拿到一个蓝球放入甲盒；ξ=2时，则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红；最后利用概率公式及分布列知识求出P~1~，P~2~和E（ξ~1~），E（ξ~2~）进行比较即可． 【解答】解析：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21669.png){width="1.9895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21670.png){width="2.53125in" height="0.5833333333333334in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21671.png){width="2.0in" height="0.3645833333333333in"}，所以P~1~＞P~2~； 由已知ξ~1~的取值为1、2，ξ~2~的取值为1、2、3， 所以，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21672.png){width="3.0833333333333335in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21673.png){width="2.1145833333333335in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21674.png){width="1.3958333333333333in" height="0.4270833333333333in"}， E（ξ~1~）﹣E（ξ~2~）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21675.png){width="2.6458333333333335in" height="0.4270833333333333in"}． 故选：A． 【点评】正确理解ξ~i~（i=1，2）的含义是解决本题的关键．此题也可以采用特殊值法，不妨令m=n=3，也可以很快求解． 　 10．（5分）设函数f~1~（x）=x^2^，f~2~（x）=2（x﹣x^2^），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21676.png){width="1.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21677.png){width="0.5208333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，i=0，1，2，...，99．记I~k~=\|f~k~（a~1~）﹣f~k~（a~0~）\|+\|f~k~（a~2~）﹣f~k~（a~1~）丨+...+\|f~k~（a~99~）﹣f~k~（a~98~）\|，k=1，2，3，则（　　） A．I~1~＜I~2~＜I~3~ B．I~2~＜I~1~＜I~3~ C．I~1~＜I~3~＜I~2~ D．I~3~＜I~2~＜I~1~ 【分析】根据记I~k~=\|f~k~（a~1~）﹣f~k~（a~0~）\|+\|f~k~（a~2~）﹣f~k~（a~1~）丨+...+\|f~k~（a~99~）﹣f~k~（a~98~）\|，分别求出I~1~，I~2~，I~3~与1的关系，继而得到答案 【解答】解：由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21678.png){width="2.2604166666666665in" height="0.3645833333333333in"}，故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21679.png){width="2.5833333333333335in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21680.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4270833333333333in"}=1， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21681.png){width="2.09375in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21682.png){width="1.6666666666666667in" height="0.3645833333333333in"}，故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21683.png){width="0.7708333333333334in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21684.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21685.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21686.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}＜1， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21687.png){width="2.7708333333333335in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21688.png){width="2.25in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21689.png){width="2.6666666666666665in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21690.png){width="2.46875in" height="0.3645833333333333in"}， 故I~2~＜I~1~＜I~3~， 故选：B． 【点评】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题． 　 **二、填空题** 11．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是[　6　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21691.png){width="1.125in" height="3.073611111111111in"} 【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件S＞50，跳出循环体，确定输出的i的值． 【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1，i=2； 第二次循环S=2×1+2=4，i=3； 第三次循环S=2×4+3=11，i=4； 第四次循环S=2×11+4=26，i=5； 第五次循环S=2×26+5=57，i=6， 满足条件S＞50，跳出循环体，输出i=6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法． 　 12．（4分）随机变量ξ的取值为0，1，2，若P（ξ=0）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21692.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，E（ξ）=1，则D（ξ）=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21693.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】结合方差的计算公式可知，应先求出P（ξ=1），P（ξ=2），根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得． 【解答】解析：设P（ξ=1）=p，P（ξ=2）=q，则由已知得p+q=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21694.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21695.png){width="1.2604166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21696.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21697.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21698.png){width="2.3229166666666665in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21699.png){width="1.1979166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21700.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式． 　 13．（4分）当实数x，y满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21701.png){width="0.875in" height="0.6458333333333334in"}时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是[　\[]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21702.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}[\]　]{.underline}． 【分析】由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围． 【解答】解：由约束条件作可行域如图， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21703.png){width="0.7916666666666666in" height="0.40625in"}，解得C（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21704.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）． 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21705.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，解得B（2，1）． 在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）． 要使1≤ax+y≤4恒成立， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21706.png){width="0.875in" height="1.0520833333333333in"}，解得：1![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21707.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ∴实数a的取值范围是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21708.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}． 解法二：令z=ax+y， 当a＞0时，y=﹣ax+z，在B点取得最大值，A点取得最小值， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21709.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3958333333333333in"}，即1≤a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21710.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 当a＜0时，y=﹣ax+z，在C点取得最大值， ①a＜﹣1时，在B点取得最小值，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21711.png){width="0.7083333333333334in" height="0.59375in"}，解得0≤a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21712.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（不符合条件，舍去） ②﹣1＜a＜0时，在A点取得最小值，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21713.png){width="0.6979166666666666in" height="0.59375in"}，解得1≤a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21714.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（不符合条件，舍去） 综上所述即：1≤a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21715.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21716.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21717.png){width="2.1458333333333335in" height="2.25in"} 【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题． 　 14．（4分）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有[　60　]{.underline}种（用数字作答）． 【分析】分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张． 【解答】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21718.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=24种； 一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21719.png){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}=36种， 共有24+36=60种． 故答案为：60． 【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 15．（4分）设函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21720.png){width="1.09375in" height="0.53125in"}，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是[　（﹣∞，]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21721.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}[\]　]{.underline}． 【分析】画出函数f（x）的图象，由 f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a的取值范围． 【解答】解：∵函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21720.png){width="1.09375in" height="0.53125in"}，它的图象如图所示： 由 f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2． 当a＜0时，f（a）=a^2^+a=（a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21722.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^2^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21723.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≥﹣2恒成立； 当a≥0时，f（a）=﹣a^2^≥﹣2，即a^2^≤2，解得0≤a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21721.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 则实数a的取值范围是a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21721.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 故答案为：（﹣∞，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21724.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\]． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21725.png){width="2.1875in" height="2.2291666666666665in"} 【点评】本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题． 　 16．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21726.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足\|PA\|=\|PB\|，则该双曲线的离心率是[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21727.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}[　]{.underline}． 【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21728.png){width="0.625in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21729.png){width="0.625in" height="0.4791666666666667in"}），利用点P（m，0）满足\|PA\|=\|PB\|，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21730.png){width="0.84375in" height="0.9791666666666666in"}=﹣3，从而可求双曲线的离心率． 【解答】解：双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21731.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21732.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x，则 与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21733.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21734.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}），B（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21735.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21736.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}）， ∴AB中点坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21737.png){width="0.625in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21738.png){width="0.625in" height="0.4791666666666667in"}）， ∵点P（m，0）满足\|PA\|=\|PB\|， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21739.png){width="0.84375in" height="0.9791666666666666in"}=﹣3， ∴a=2b， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21740.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21741.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b， ∴e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21742.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21743.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21744.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 17．（4分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21745.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}[　]{.underline}．（仰角θ为直线AP与平面ABC所成角） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21746.png){width="1.7916666666666667in" height="1.6875in"} 【分析】过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21747.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，求出PP′，AP′，利用函数的性质，分类讨论，即可得出结论． 【解答】解：∵AB=15m，AC=25m，∠ABC=90°， ∴BC=20m， 过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21748.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 设BP′=x，则CP′=20﹣x， 由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21749.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}（20﹣x）， 在直角△ABP′中，AP′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21750.png){width="0.65625in" height="0.25in"}， ∴tanθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21749.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21751.png){width="0.6875in" height="0.4479166666666667in"}， 令y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21751.png){width="0.6875in" height="0.4479166666666667in"}，则函数在x∈\[0，20\]单调递减， ∴x=0时，取得最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21752.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21753.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21754.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}（20+x）， 在直角△ABP′中，AP′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21755.png){width="0.65625in" height="0.25in"}， ∴tanθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21754.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21756.png){width="0.6875in" height="0.4479166666666667in"}， 令y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21757.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，则y′=0可得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21758.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，函数取得最大值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21759.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21759.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21760.png){width="1.7916666666666667in" height="1.6875in"} 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 **三、解答题** 18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21761.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，cos^2^A﹣cos^2^B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21761.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinAcosA﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21761.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinBcosB （1）求角C的大小； （2）若sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21762.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求△ABC的面积． 【分析】（1）利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21763.png){width="1.9166666666666667in" height="0.3645833333333333in"}，由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π），可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21764.png){width="1.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，即可得出． （2）利用正弦定理可得a，利用两角和差的正弦公式可得sinB，再利用三角形的面积计算公式即可得出． 【解答】解：（1）由题意得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21765.png){width="2.9166666666666665in" height="0.3854166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21766.png){width="2.75in" height="0.3854166666666667in"}， 化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21767.png){width="1.9166666666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 由a≠b得，A≠B，又A+B∈（0，π）， 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21768.png){width="1.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21769.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21770.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}； （2）由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21771.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，利用正弦定理可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21772.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21773.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 由a＜c，得A＜C，从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21774.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21775.png){width="3.1979166666666665in" height="0.3854166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21776.png){width="1.5416666666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 19．（14分）已知数列{a~n~}和{b~n~}满足a~1~a~2~a~3~...a~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21777.png){width="0.5833333333333334in" height="0.28125in"}（n∈N^\*^）．若{a~n~}为等比数列，且a~1~=2，b~3~=6+b~2~． （Ⅰ）求a~n~和b~n~； （Ⅱ）设c~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21778.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"}（n∈N^\*^）．记数列{c~n~}的前n项和为S~n~． （i）求S~n~； （ii）求正整数k，使得对任意n∈N^\*^均有S~k~≥S~n~． 【分析】（Ⅰ）先利用前n项积与前（n﹣1）项积的关系，得到等比数列{a~n~}的第三项的值，结合首项的值，求出通项a~n~，然后现利用条件求出通项b~n~； （Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明． 【解答】解：（Ⅰ）∵a~1~a~2~a~3~...a~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21777.png){width="0.5833333333333334in" height="0.28125in"}（n∈N^\*^） ①， 当n≥2，n∈N^\*^时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21779.png){width="1.8229166666666667in" height="0.375in"}②， 由①②知：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21780.png){width="1.21875in" height="0.3229166666666667in"}， 令n=3，则有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21781.png){width="1.1041666666666667in" height="0.3229166666666667in"}． ∵b~3~=6+b~2~， ∴a~3~=8． ∵{a~n~}为等比数列，且a~1~=2， ∴{a~n~}的公比为q，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21782.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4791666666666667in"}=4， 由题意知a~n＞0~，∴q＞0，∴q=2． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21783.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}（n∈N^\*^）． 又由a~1~a~2~a~3~...a~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21784.png){width="0.5833333333333334in" height="0.28125in"}（n∈N^\*^）得： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21785.png){width="2.1041666666666665in" height="0.28125in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21786.png){width="1.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， ∴b~n~=n（n+1）（n∈N^\*^）． （Ⅱ）（i）∵c~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21787.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21788.png){width="0.8854166666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21789.png){width="1.0625in" height="0.4270833333333333in"}． ∴S~n~=c~1~+c~2~+c~3+...+~c~n~ =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21790.png){width="3.1666666666666665in" height="0.4270833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21791.png){width="1.8020833333333333in" height="0.4270833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21792.png){width="0.9895833333333334in" height="0.4270833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21793.png){width="0.6354166666666666in" height="0.4270833333333333in"}； （ii）因为c~1~=0，c~2~＞0，c~3~＞0，c~4~＞0； 当n≥5时， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21794.png){width="1.78125in" height="0.4270833333333333in"}， 而 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21795.png){width="1.5416666666666667in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21796.png){width="0.8854166666666666in" height="0.4270833333333333in"}＞0， 得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21797.png){width="1.6458333333333333in" height="0.4270833333333333in"}， 所以，当n≥5时，c~n~＜0， 综上，对任意n∈N^\*^恒有S~4~≥S~n~，故k=4． 【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题． 　 20．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21798.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD； （Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21799.png){width="1.4166666666666667in" height="1.3020833333333333in"} 【分析】（Ⅰ）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD； （Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21800.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，AF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21801.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AD，从而GF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21801.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，cos∠BFG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21802.png){width="1.03125in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21803.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，从而可求得答案． 【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21804.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 由AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21804.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AB=2得AB^2^=AC^2^+BC^2^，即AC⊥BC， 又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE， 所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD； （Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD^2^=BC^2^+BD^2^，得BD⊥BC， 又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB， 由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD． 在Rt△ACD中，由DC=2，AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21804.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，得AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21805.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； 在Rt△AED中，由ED=1，AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21805.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}得AE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21806.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； 在Rt△ABD中，由BD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21807.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AB=2，AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21808.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}得BF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21809.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，AF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21810.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}AD，从而GF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21810.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21811.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，BG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21812.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 在△BFG中，cos∠BFG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21813.png){width="1.03125in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21814.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 所以，∠BFG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21815.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，二面角B﹣AD﹣E的大小为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21815.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21816.png){width="1.4166666666666667in" height="1.3020833333333333in"} 【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力． 　 21．（15分）如图，设椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21817.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限． （Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标； （Ⅱ）若过原点O的直线l~1~与l垂直，证明：点P到直线l~1~的距离的最大值为a﹣b． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21818.png){width="1.9583333333333333in" height="1.5833333333333333in"} 【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21819.png){width="0.84375in" height="0.7291666666666666in"}，消去y得（b^2^+a^2^k^2^）x^2^+2a^2^kmx+a^2^m^2^﹣a^2^b^2^=0，利用△=0，可求得在第一象限中点P的坐标； （Ⅱ）由于直线l~1~过原点O且与直线l垂直，设直线l~1~的方程为x+ky=0，利用点到直线间的距离公式，可求得点P到直线l~1~的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21820.png){width="1.9375in" height="0.8229166666666666in"}，整理即可证得点P到直线l~1~的距离的最大值为a﹣b．． 【解答】解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21821.png){width="0.84375in" height="0.7291666666666666in"}，消去y得 （b^2^+a^2^k^2^）x^2^+2a^2^kmx+a^2^m^2^﹣a^2^b^2^=0． 由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即b^2^﹣m^2^+a^2^k^2^=0， 此时点P的横坐标为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21822.png){width="0.6979166666666666in" height="0.53125in"}，代入y=kx+m得 点P的纵坐标为﹣k•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21822.png){width="0.6979166666666666in" height="0.53125in"}+m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21823.png){width="0.6979166666666666in" height="0.53125in"}， ∴点P的坐标为（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21824.png){width="0.6979166666666666in" height="0.53125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21823.png){width="0.6979166666666666in" height="0.53125in"}）， 又点P在第一象限，故m＞0， 故m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21825.png){width="0.7916666666666666in" height="0.25in"}， 故点P的坐标为P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21826.png){width="0.8020833333333334in" height="0.5520833333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21827.png){width="0.8020833333333334in" height="0.5520833333333334in"}）． （Ⅱ）由于直线l~1~过原点O且与直线l垂直，故直线l~1~的方程为x+ky=0，所以点P到直线l~1~的距离 d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21828.png){width="1.9375in" height="0.8229166666666666in"}， 整理得：d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21829.png){width="1.3958333333333333in" height="0.75in"}， 因为a^2^k^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21830.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}≥2ab，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21831.png){width="1.3958333333333333in" height="0.75in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21832.png){width="0.9583333333333334in" height="0.5in"}=a﹣b，当且仅当k^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21833.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时等号成立． 所以，点P到直线l~1~的距离的最大值为a﹣b． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21834.png){width="1.9583333333333333in" height="1.5833333333333333in"} 【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力． 　 22．（14分）已知函数f（x）=x^3^+3\|x﹣a\|（a∈R）． （Ⅰ）若f（x）在\[﹣1，1\]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）； （Ⅱ）设b∈R，若\[f（x）+b\]^2^≤4对x∈\[﹣1，1\]恒成立，求3a+b的取值范围． 【分析】（Ⅰ）利用分段函数，结合\[﹣1，1\]，分类讨论，即可求M（a）﹣m（a）； （Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21835.png){width="1.4895833333333333in" height="0.53125in"}，h′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21836.png){width="1.09375in" height="0.53125in"}，则\[f（x）+b\]^2^≤4对x∈\[﹣1，1\]恒成立，转化为﹣2≤h（x）≤2对x∈\[﹣1，1\]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x^3^+3\|x﹣a\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21837.png){width="1.3229166666666667in" height="0.53125in"}， ∴f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21838.png){width="1.09375in" height="0.53125in"}， ①a≤﹣1时，∵﹣1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（﹣1，1）上是增函数， ∴M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣4﹣3a， ∴M（a）﹣m（a）=8； ②﹣1＜a＜1时，x∈（a，1），f（x）=x^3^+3x﹣3a，在（a，1）上是增函数；x∈（﹣1，a），f（x）=x^3^﹣3x+3a，在（﹣1，a）上是减函数， ∴M（a）=max{f（1），f（﹣1）}，m（a）=f（a）=a^3^， ∵f（1）﹣f（﹣1）=﹣6a+2， ∴﹣1＜a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21839.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，M（a）﹣m（a）=﹣a^3^﹣3a+4； ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21839.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜a＜1时，M（a）﹣m（a）=﹣a^3^+3a+2； ③a≥1时，有x≤a，f（x）在（﹣1，1）上是减函数， ∴M（a）=f（﹣1）=2+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a， ∴M（a）﹣m（a）=4； （Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21840.png){width="1.4895833333333333in" height="0.53125in"}，h′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21841.png){width="1.09375in" height="0.53125in"}， ∵\[f（x）+b\]^2^≤4对x∈\[﹣1，1\]恒成立， ∴﹣2≤h（x）≤2对x∈\[﹣1，1\]恒成立， 由（Ⅰ）知， ①a≤﹣1时，h（x）在（﹣1，1）上是增函数，最大值h（1）=4﹣3a+b，最小值h（﹣1）=﹣4﹣3a+b，则﹣4﹣3a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2矛盾； ②﹣1＜a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21842.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，最小值h（a）=a^3^+b，最大值h（1）=4﹣3a+b，∴a^3^+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2， 令t（a）=﹣2﹣a^3^+3a，则t′（a）=3﹣3a^2^＞0，t（a）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21842.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）上是增函数，∴t（a）＞t（0）=﹣2， ∴﹣2≤3a+b≤0； ③![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21842.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜a＜1时，最小值h（a）=a^3^+b，最大值h（﹣1）=3a+b+2，则a^3^+b≥﹣2且3a+b+2≤2，∴﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21843.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜3a+b≤0； ④a≥1时，最大值h（﹣1）=3a+b+2，最小值h（1）=3a+b﹣2，则3a+b﹣2≥﹣2且3a+b+2≤2，∴3a+b=0． 综上，3a+b的取值范围是﹣2≤3a+b≤0． 【点评】本题考查导数的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论、化归与转化的数学思想，难度大． 　 2014年浙江省高考数学试卷（文科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）** 1．（5分）设集合S={x\|x≥2}，T={x\|x≤5}，则S∩T=（　　） A．（﹣∞，5\] B．\[2，+∞） C．（2，5） D．\[2，5\] 【分析】根据集合的基本运算即可得到结论． 【解答】解：∵集合S={x\|x≥2，T={x\|x≤5}， ∴S∩T={x\|2≤x≤5}， 故选：D． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 　 2．（5分）设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则"四边形ABCD为菱形"是"AC⊥BD"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】利用菱形的特征以及对角线的关系，判断"四边形ABCD为菱形"与"AC⊥BD"的推出关系，即可得到结果． 【解答】解：四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则"四边形ABCD为菱形"那么菱形的对角线垂直，即"四边形ABCD为菱形"⇒"AC⊥BD"， 但是"AC⊥BD"推不出"四边形ABCD为菱形"，例如对角线垂直的等腰梯形，或菱形四边形； 所以四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则"四边形ABCD为菱形"是"AC⊥BD"的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查． 　 3．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21844.png){width="1.4895833333333333in" height="1.3854166666666667in"} A．72cm^3^ B．90cm^3^ C．108cm^3^ D．138cm^3^ 【分析】利用三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的体积即可． 【解答】解：由三视图可知：原几何体是由长方体与一个三棱柱组成，长方体的长宽高分别是：6，4，3；三棱柱的底面直角三角形的直角边长是4，3；高是3； 其几何体的体积为：V=3×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21845.png){width="1.34375in" height="0.3645833333333333in"}=90（cm^3^）． 故选：B． 【点评】本题考查三视图还原几何体，几何体的体积的求法，容易题． 　 4．（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21846.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos3x的图象（　　） A．向左平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21847.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位 B．向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21847.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位 C．向左平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21848.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位 D．向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21848.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位 【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可． 【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21846.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21849.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，故只需将函数y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21850.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos3x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21851.png){width="1.1354166666666667in" height="0.3645833333333333in"}的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21852.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位，得到y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21853.png){width="1.4166666666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21849.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}的图象． 故选：D． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用，基本知识的考查 　 5．（5分）已知圆x^2^+y^2^+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值． 【解答】解：圆x^2^+y^2^+2x﹣2y+a=0 即 （x+1）^2^+（y﹣1）^2^=2﹣a， 故弦心距d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21854.png){width="0.71875in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18862.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 再由弦长公式可得 2﹣a=2+4，∴a=﹣4， 故选：B． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题． 　 6．（5分）设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（　　） A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α 【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论． 【解答】解：A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误． B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误． C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，正确． D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查空间直线，平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理． 　 7．（5分）已知函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c．且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（　　） A．c≤3 B．3＜c≤6 C．6＜c≤9 D．c＞9 【分析】由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）列出方程组求出a，b，代入0＜f（﹣1）≤3，即可求出c的范围． 【解答】解：由f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3） 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21855.png){width="1.7916666666666667in" height="0.3958333333333333in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21856.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3958333333333333in"}， 则f（x）=x^3^+6x^2^+11x+c， 由0＜f（﹣1）≤3，得0＜﹣1+6﹣11+c≤3， 即6＜c≤9， 故选：C． 【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法，属于基础题． 　 8．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x^a^（x＞0），g（x）=log~a~x的图象可能是（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21857.png){width="1.1354166666666667in" height="1.0833333333333333in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21858.png){width="1.0104166666666667in" height="1.0520833333333333in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21859.png){width="1.125in" height="1.0625in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21860.png){width="1.0in" height="1.0520833333333333in"} 【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f（x）=x^a^（x≥0），g（x）=log~a~x的图象，比照后可得答案． 【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x^a^（x≥0），g（x）=log~a~x的图象为： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21861.png){width="2.40625in" height="2.4902777777777776in"} 此时答案D满足要求， 当a＞1时，函数f（x）=x^a^（x≥0），g（x）=log~a~x的图象为： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21862.png){width="2.3958333333333335in" height="2.4479166666666665in"} 无满足要求的答案， 综上：故选D， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键． 　 9．（5分）设θ为两个非零向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21863.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21864.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角，已知对任意实数t，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21865.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+t![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21866.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|的最小值为1．（　　） A．若θ确定，则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21866.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|唯一确定 B．若θ确定，则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21865.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|唯一确定 C．若\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21866.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|确定，则θ唯一确定 D．若\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21865.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|确定，则θ唯一确定 【分析】由题意可得（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21865.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+t![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21866.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21867.png){width="0.3854166666666667in" height="0.2708333333333333in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21868.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21869.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，令g（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21870.png){width="0.3854166666666667in" height="0.2708333333333333in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21871.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21869.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，由二次函数可知当t=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21872.png){width="0.4479166666666667in" height="0.5104166666666666in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21873.png){width="0.34375in" height="0.4479166666666667in"}cosθ时，g（t）取最小值1．变形可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21874.png){width="0.40625in" height="0.22916666666666666in"}sin^2^θ=1，综合选项可得结论． 【解答】解：由题意可得（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21875.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+t![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21876.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21877.png){width="0.3854166666666667in" height="0.2708333333333333in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21878.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21879.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"} 令g（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21877.png){width="0.3854166666666667in" height="0.2708333333333333in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21878.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21879.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"} 可得△=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21880.png){width="0.6145833333333334in" height="0.22916666666666666in"}﹣4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21881.png){width="0.3854166666666667in" height="0.2708333333333333in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21881.png){width="0.3854166666666667in" height="0.2708333333333333in"}cos^2^θ﹣4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21881.png){width="0.3854166666666667in" height="0.2708333333333333in"}≤0 由二次函数的性质可知g（t）≥0恒成立 ∴当t=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21882.png){width="0.4479166666666667in" height="0.5104166666666666in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21883.png){width="0.34375in" height="0.4479166666666667in"}cosθ时，g（t）取最小值1． 即g（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21883.png){width="0.34375in" height="0.4479166666666667in"}cosθ）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21884.png){width="0.96875in" height="0.22916666666666666in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21885.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21886.png){width="0.40625in" height="0.22916666666666666in"}sin^2^θ=1 故当θ唯一确定时，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21887.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|唯一确定， 故选：B． 【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，属中档题． 　 10．（5分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角）．若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21888.png){width="1.6458333333333333in" height="1.5729166666666667in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21889.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21890.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21891.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21892.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"} 【分析】在直角三角形ABC中，由AB与AC的长，利用勾股定理求出BC的长，过P作PP′⊥BC，交BC于点P′，连接AP′，利用锐角三角函数定义表示出tanθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21893.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，设BP′=m，则CP′=20﹣m，利用锐角三角函数定义表示出PP′，利用勾股定理表示出AP′，表示出tanθ，即可确定出tanθ的值． 【解答】解：∵AB=15cm，AC=25cm，∠ABC=90°， ∴BC=20cm， 过P作PP′⊥BC，交BC于P′，连接AP′，则tanθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21893.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 设BP′=x，则CP′=20﹣x， 由∠BCM=30°，得PP′=CP′tan30°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21894.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}（20﹣x）， 在直角△ABP′中，AP′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21895.png){width="0.65625in" height="0.25in"}， ∴tanθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21894.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21896.png){width="0.6875in" height="0.4479166666666667in"}， 令y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21897.png){width="0.6875in" height="0.4479166666666667in"}，则函数在x∈\[0，20\]单调递减， ∴x=0时，取得最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21898.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21899.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 若P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan30°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21900.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}（20+x）， 在直角△ABP′中，AP′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21901.png){width="0.65625in" height="0.25in"}， ∴tanθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21900.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21902.png){width="0.6875in" height="0.4479166666666667in"}， 令y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21903.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，则y′=0可得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21904.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，函数取得最大值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21905.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 则tanθ的最大值是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21905.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21906.png){width="1.6458333333333333in" height="1.5729166666666667in"} 【点评】此题考查了正弦定理，锐角三角函数定义，以及解三角形的实际应用，弄清题意是解本题的关键． 　 **二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）** 11．（4分）已知i是虚数单位，计算![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21907.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=[　﹣]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21908.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[﹣]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21908.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[i　]{.underline}． 【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21907.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21909.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21910.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21908.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21908.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}i， 故答案为：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9641.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9641.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}i． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 　 12．（4分）若实数x，y满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21911.png){width="0.875in" height="0.6458333333333334in"}，则x+y的取值范围是[　\[1，3\]　]{.underline}． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=x+y的最小值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）． 设z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z， 由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A（1，0）时， 直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小，为z=1+0=1， 当直线y=﹣x+z经过点B）时， 直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21912.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4166666666666667in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21913.png){width="0.375in" height="0.40625in"}，即B（2，1）代入目标函数z=x+y得z=1+2=3． 故1≤z≤3 故答案为：\[1，3\] ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21914.png){width="2.3020833333333335in" height="2.21875in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 　 13．（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是[　6　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21915.png){width="1.125in" height="3.073611111111111in"} 【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件S＞50，跳出循环体，确定输出的i的值． 【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=1，i=2； 第二次循环S=2×1+2=4，i=3； 第三次循环S=2×4+3=11，i=4； 第四次循环S=2×11+4=26，i=5； 第五次循环S=2×26+5=57，i=6， 满足条件S＞50，跳出循环体，输出i=6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法． 　 14．（4分）在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21916.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】总共有9种可能，求出所获奖项有几种可能，根据概率公式进行计算即可． 【解答】解：设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA共2个， 故所求的概率P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21917.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21918.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查了古典概型的概率的公式的应用，关键是不重不漏的列出所有的基本事件． 　 15．（4分）设函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21919.png){width="1.9270833333333333in" height="0.53125in"}，若f（f（a））=2，则a=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21920.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【分析】根据分段函数的表达式，利用分类讨论的方法即可得到结论． 【解答】解：设t=f（a），则f（t）=2， 若t＞0，则f（t）=﹣t^2^=2，此时不成立， 若t≤0，由f（t）=2得，t^2^+2t+2=2， 即t^2^+2t=0，解得t=0或t=﹣2， 即f（a）=0或f（a）=﹣2， 若a＞0，则f（a）=﹣a^2^=0，此时不成立；或f（a）=﹣a^2^=﹣2，即a^2^=2，解得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21920.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 若a≤0，由f（a）=0得，a^2^+2a+2=0，此时无解；或f（a）=﹣2，即a^2^+2a+4=0，此时无解， 综上：a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21920.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16877.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用换元法分别进行讨论即可． 　 16．（4分）已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a^2^+b^2^+c^2^=1，则a的最大值是[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21921.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}[　]{.underline}． 【分析】由已知条件变形后，利用完全平方式将变形后的式子代入得到b、c是某一方程的两个实数根，利用根的判别式得到有关a的不等式后确定a的取值范围． 【解答】解：∵a+b+c=0，a^2^+b^2^+c^2^=1， ∴b+c=﹣a，b^2^+c^2^=1﹣a^2^， ∴bc=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21922.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•（2bc） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21922.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\[（b+c）^2^﹣（b^2^+c^2^）\] =a^2^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21922.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ∴b、c是方程：x^2^+ax+a^2^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21923.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=0的两个实数根， ∴△≥0 ∴a^2^﹣4（a^2^﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21923.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）≥0 即a^2^≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21924.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ∴﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21925.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}≤a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21925.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} 即a的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21925.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21925.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查了函数最值问题，解决本题的关键是利用根的判别式得到有关未知数的不等式，进而求得a的取值范围． 　 17．（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21926.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足\|PA\|=\|PB\|，则该双曲线的离心率是[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21927.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}[　]{.underline}． 【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21928.png){width="0.625in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21929.png){width="0.625in" height="0.4791666666666667in"}），利用点P（m，0）满足\|PA\|=\|PB\|，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21930.png){width="0.84375in" height="0.9791666666666666in"}=﹣3，从而可求双曲线的离心率． 【解答】解：双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21931.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21932.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x，则 与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21933.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21934.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}），B（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21935.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21936.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}）， ∴AB中点坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21937.png){width="0.625in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21938.png){width="0.625in" height="0.4791666666666667in"}）， ∵点P（m，0）满足\|PA\|=\|PB\|， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21939.png){width="0.84375in" height="0.9791666666666666in"}=﹣3， ∴a=2b， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21940.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21941.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b， ∴e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21942.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21943.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21943.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查双曲线的离心率，考查直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 **三、解答题（本大题共5小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）** 18．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4sin^2^![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21944.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+4sinAsinB=2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21945.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值． 【分析】（Ⅰ）△ABC中由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式求得cos（A+B）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21946.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，从而得到cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21946.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，由此可得C的值． （Ⅱ）根据△ABC的面积为6=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9680.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}ab•sinC求得a的值，再利用余弦定理求得c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21947.png){width="1.34375in" height="0.25in"} 的值． 【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵4sin^2^![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21948.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+4sinAsinB=2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9677.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∴4×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21949.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}+4sinAsinB=2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21950.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴﹣2cosAcosB+2sinAsinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21950.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，即 cos（A+B）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21951.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21951.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，∴C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21952.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17795.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}ab•sinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17795.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a×4×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21953.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，∴a=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21954.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21955.png){width="1.34375in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21956.png){width="1.84375in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21957.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}． 【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和差的三角公式、余弦定理的应用，属于中档题． 　 19．（14分）已知等差数列{a~n~}的公差d＞0，设{a~n~}的前n项和为S~n~，a~1~=1，S~2~•S~3~=36． （Ⅰ）求d及S~n~； （Ⅱ）求m，k（m，k∈N^\*^）的值，使得a~m~+a~m+1~+a~m+2~+...+a~m+k~=65． 【分析】（Ⅰ）根据等差数列通项公式和前n项和公式，把条件转化为关于公差d的二次方程求解，注意d的范围对方程的根进行取舍； （Ⅱ）由（Ⅰ）求出等差数列{a~n~}的通项公式，利用等差数列的前n项和公式，对a~m~+a~m+1~+a~m+2~+...+a~m+k~=65化简，列出关于m、k的方程，再由m，k∈N^\*^进行分类讨论，求出符合条件的m、k的值． 【解答】解：（Ⅰ）由a~1~=1，S~2~•S~3~=36得， （a~1~+a~2~）（a~1~+a~2~+a~3~）=36， 即（2+d）（3+3d）=36，化为d^2^+3d﹣10=0， 解得d=2或﹣5， 又公差d＞0，则d=2， 所以S~n~=n![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21958.png){width="1.0416666666666667in" height="0.3645833333333333in"}=n^2^（n∈N^\*^）． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，a~n~=1+2（n﹣1）=2n﹣1， 由a~m~+a~m+1~+a~m+2~+...+a~m+k~=65得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21959.png){width="1.5520833333333333in" height="0.4270833333333333in"}， 即（k+1）（2m+k﹣1）=65， 又m，k∈N^\*^，则（k+1）（2m+k﹣1）=5×13，或（k+1）（2m+k﹣1）=1×65， 下面分类求解： 当k+1=5时，2m+k﹣1=13，解得k=4，m=5； 当k+1=13时，2m+k﹣1=5，解得k=12，m=﹣3，故舍去； 当k+1=1时，2m+k﹣1=65，解得k=0，故舍去； 当k+1=65时，2m+k﹣1=1，解得k=64，m=﹣31，故舍去； 综上得，k=4，m=5． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，及分类讨论思想和方程思想，难度较大，考查了分析问题和解决问题的能力． 　 20．（15分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17804.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （Ⅰ）证明：AC⊥平面BCDE； （Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成的角的正切值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21960.png){width="1.4166666666666667in" height="1.3020833333333333in"} 【分析】（Ⅰ）如图所示，取DC的中点F，连接BF，可得DF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16577.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}DC=1=BE，于是四边形BEDF是矩形，在Rt△BCF中，利用勾股定理可得BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21961.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17806.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．在△ACB中，再利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，再利用面面垂直的性质定理即可得出结论． （Ⅱ）过点E作EM⊥CB交CB的延长线于点M，连接AM．由平面ABC⊥平面BCDE，利用面面垂直的性质定理可得：EM⊥平面ACB．因此∠EAM是直线AE与平面ABC所成的角．再利用勾股定理和直角三角形的边角关系即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）如图所示，取DC的中点F，连接BF，则DF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16577.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}DC=1=BE， ∵∠CDE=∠BED=90°，∴BE∥DF， ∴四边形BEDF是矩形， ∴BF⊥DC，BF=ED=1， 在Rt△BCF中，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21961.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21962.png){width="0.90625in" height="0.25in"}． 在△ACB中，∵AB=2，BC=AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17810.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴BC^2^+AC^2^=AB^2^， ∴AC⊥BC， 又平面ABC⊥平面BCDE，∴AC⊥平面BCDE． （Ⅱ）过点E作EM⊥CB交CB的延长线于点M，连接AM． 又平面ABC⊥平面BCDE，∴EM⊥平面ACB． ∴∠EAM是直线AE与平面ABC所成的角． 在Rt△BEM中，EB=1，∠EBM=45°． ∴EM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21963.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=MB． 在Rt△ACM中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21964.png){width="1.0520833333333333in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21965.png){width="1.5416666666666667in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21966.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 在Rt△AEM中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21967.png){width="0.9895833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21968.png){width="0.3541666666666667in" height="0.8020833333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21969.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21970.png){width="1.3854166666666667in" height="1.4583333333333333in"} 【点评】本题综合考查了矩形的判定定理及其性质定理、勾股定理及其逆定理、面面垂直的性质定理、线面角的求法、直角三角形的边角关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、辅助线的作法，属于难题． 　 21．（15分）已知函数f（x）=x^3^+3\|x﹣a\|（a＞0），若f（x）在\[﹣1，1\]上的最小值记为g（a）． （Ⅰ）求g（a）； （Ⅱ）证明：当x∈\[﹣1，1\]时，恒有f（x）≤g（a）+4． 【分析】（Ⅰ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，即可求g（a）； （Ⅱ）设h（x）=f（x）﹣g（a），分类讨论，求最值，可以证明x∈\[﹣1，1\]时，恒有f（x）≤g（a）+4． 【解答】（Ⅰ）解：∵a＞0，﹣1≤x≤1， ①当0＜a＜1时， 若x∈\[﹣1，a\]，则f（x）=x^3^﹣3x+3a，f′（x）=3x^2^﹣3＜0，故此时函数在（﹣1，a）上是减函数， 若x∈（a，1\]，则f（x）=x^3^+3x﹣3a，f′（x）=3x^2^+3＞0，故此时函数在（a，1）上是增函数， ∴g（a）=f（a）=a^3^． ②当a≥1，f（x）=x^3^+3\|x﹣a\|=x^3^﹣3x+3a，f′（x）=3x^2^﹣3＜0，故此时函数在\[﹣1，1\]上是减函数， 则g（a）=f（1）=﹣2+3a． 综上：g（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21971.png){width="1.15625in" height="0.4895833333333333in"}． （Ⅱ）证明：设h（x）=f（x）﹣g（a）， ①当0＜a＜1时，g（a）=a^3^， 若x∈\[a，1\]，h（x）=x^3^+3x﹣3a﹣a^3^，h′（x）=3x^2^+3， ∴h（x）在\[a，1\]上是增函数， ∴h（x）在\[a，1\]上的最大值是h（1）=4﹣3a﹣a^3^，且0＜a＜1，∴h（1）≤4，∴f（x）≤g（a）+4． 若x∈\[﹣1，a\]，h（x）=x^3^﹣3x+3a﹣a^3^，h′（x）=3x^2^﹣3， ∴h（x）在\[﹣1，a\]上是减函数， ∴h（x）在\[﹣1，a\]上的最大值是h（﹣1）=2+3a﹣a^3^， 令t（a）=2+3a﹣a^3^，则t′（a）=3﹣3a^2^，∴t（a）在（0，1）上是增函数， ∴t（a）＜t（1）=4 ∴h（﹣1）＜4，∴f（x）≤g（a）+4． ②a≥1时，g（a）=﹣2+3a，∴h（x）=x^3^﹣3x+2，∴h′（x）=3x^2^﹣3， ∴h（x）在\[﹣1，1\]上是减函数， ∴h（x）在\[﹣1，1\]上的最大值是h（﹣1）=4， ∴f（x）≤g（a）+4； 综上，当x∈\[﹣1，1\]时，恒有f（x）≤g（a）+4． 【点评】利用导数可以解决最值问题，正确求导，确定函数的单调性是解题的关键． 　 22．（14分）已知△ABP的三个顶点在抛物线C：x^2^=4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21972.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21973.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， （Ⅰ）若\|PF\|=3，求点M的坐标； （Ⅱ）求△ABP面积的最大值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image21974.png){width="1.7291666666666667in" height="1.1458333333333333in"} 【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义，利用条件\|PF\|=3，求建立方程关系即可求点M的坐标； （Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，利用直线和抛物线联立结合弦长公式公式以及点到直线的距离公式，利用导数即可求出三角形面积的最值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1， 设P（x~0~，y~0~），由抛物线的定义可知\|PF\|=y~0~+1，解得y~0~=2， ∴x~0~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21975.png){width="0.4791666666666667in" height="0.1875in"}，即P（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21976.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，2）或P（﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21976.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，2）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21977.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21978.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，得M（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21979.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21980.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）或M（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21979.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21981.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）． （Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21982.png){width="0.625in" height="0.46875in"}得x^2^﹣4kx﹣4m=0， 于是△=16k^2^+16m＞0，x~1~+x~2~=4k，x~1~x~2~=﹣4m， 即AB的中点M的坐标为（2k，2k^2^+m） 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21983.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21984.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，得（﹣x~0~，1﹣y~0~）=3（2k，2k^2^+m﹣1）， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21985.png){width="1.1145833333333333in" height="0.5625in"}，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21986.png){width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}，得k^2^=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21987.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21988.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 由△＞0，k^2^＞0得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21989.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜m＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21990.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 又∵\|AB\|=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21991.png){width="1.0729166666666667in" height="0.25in"}， 点F到直线AB的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21992.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4479166666666667in"}， ∴S~△ABP~=4S~△ABF~=8\|m﹣1\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21993.png){width="2.15625in" height="0.3854166666666667in"}， 设f（m）=3m^3^﹣5m^2^+m+1，（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21994.png){width="0.8125in" height="0.3645833333333333in"}）， 则f\'（m）=9m^2^﹣10m+1=0，解得m~1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21995.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，m~2~=1， 于是f（m）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21996.png){width="0.5625in" height="0.3645833333333333in"}）是增函数，在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21995.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1）上是减函数，在（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21997.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）上是增函数， 又f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21998.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21999.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}， ∴当m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21998.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，f（m）取得最大值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22000.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，此时k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22001.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}， ∴△ABP面积的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22002.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线和抛物线的位置关系，三角形面积公式，平面向量等基础知识，同时也考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．运算量大，综合性强，难度较大． 　 2014年重庆市高考数学试卷（理科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．** 1．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案． 【解答】解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i ∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0 ∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限 故选：A． 【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键． 　 2．（5分）对任意等比数列{a~n~}，下列说法一定正确的是（　　） A．a~1~，a~3~，a~9~成等比数列 B．a~2~，a~3~，a~6~成等比数列 C．a~2~，a~4~，a~8~成等比数列 D．a~3~，a~6~，a~9~成等比数列 【分析】利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可． 【解答】解：A项中a~3~=a~1~•q^2^，a~1~•a~9~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22003.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}•q^8^，（a~3~）^2^≠a~1~•a~9~，故A项说法错误， B项中（a~3~）^2^=（a~1~•q^2^）^2^≠a~2~•a~6~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22003.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}•q^6^，故B项说法错误， C项中（a~4~）^2^=（a~1~•q^3^）^2^≠a~2~•a~8~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22004.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}•q^8^，故C项说法错误， D项中（a~6~）^2^=（a~1~•q^5^）^2^=a~3~•a~9~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22004.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}•q^10^，故D项说法正确， 故选：D． 【点评】本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断． 　 3．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22005.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=3，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22006.png){width="0.10416666666666667in" height="0.19791666666666666in"}=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22007.png){width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}=0.4x+2.3 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22008.png){width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}=2x﹣2.4 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22008.png){width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}=﹣2x+9.5 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22008.png){width="0.10416666666666667in" height="0.21875in"}=﹣0.3x+4.4 【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程． 【解答】解：∵变量x与y正相关， ∴可以排除C，D； 样本平均数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22009.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=3，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22010.png){width="0.10416666666666667in" height="0.19791666666666666in"}=3.5，代入A符合，B不符合， 故选：A． 【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键． 　 4．（5分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21876.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（k，3），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22011.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，4），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22012.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（2，1）且（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21876.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22011.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22012.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则实数k=（　　） A．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22013.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．0 C．3 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22014.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21876.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（k，3），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22011.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，4），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22012.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（2，1） ∴2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22015.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22016.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（2k﹣3，﹣6）， ∵（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22015.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22016.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22017.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}， ∴（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22015.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22016.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22017.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0\' ∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0， 解得，k=3． 故选：C． 【点评】本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错． 　 5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22018.png){width="1.7395833333333333in" height="2.2083333333333335in"} A．s＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22019.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．s＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22020.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．s＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22021.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．s＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22022.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】程序运行的S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22023.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22024.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×...×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22025.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，根据输出k的值，确定S的值，从而可得判断框的条件． 【解答】解：由程序框图知：程序运行的S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22023.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22024.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×...×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22025.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∵输出的k=6，∴S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22023.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22026.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22027.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22028.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴判断框的条件是S＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22028.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：C． 【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键． 　 6．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2^x^＞0；q："x＞1"是"x＞2"的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（　　） A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q 【分析】由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题．而q："x＞1"是"x＞2"的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答． 【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2^x^＞0，根据指数函数的性质判断是真命题； 命题q："x＞1"不能推出"x＞2"；但是"x＞2"能推出"x＞1"所以："x＞1"是"x＞2"的必要不充分条件，故q是假命题； 所以p∧￢q为真命题； 故选：D． 【点评】判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断． 　 7．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22029.png){width="1.9479166666666667in" height="2.15625in"} A．54 B．60 C．66 D．72 【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算． 【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图： 三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3， 三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形， ∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5 ∴几何体的表面积S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22030.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×3×4+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22030.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×3×5+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22031.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}×4+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22031.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}×5+3×5=60． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22032.png){width="1.3125in" height="1.9270833333333333in"} 【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键． 　 8．（5分）设F~1~，F~2~分别为双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22033.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22034.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得\|PF~1~\|+\|PF~2~\|=3b，\|PF~1~\|•\|PF~2~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22035.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}ab，则该双曲线的离心率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22036.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22037.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22035.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．3 【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有\|PF~1~\|=ex+a，\|PF~2~\|=ex﹣a，结合条件可得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22038.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}b，从而c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22039.png){width="0.59375in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22040.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}b，即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：不妨设右支上P点的横坐标为x 由焦半径公式有\|PF~1~\|=ex+a，\|PF~2~\|=ex﹣a， ∵\|PF~1~\|+\|PF~2~\|=3b，\|PF~1~\|•\|PF~2~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22041.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}ab， ∴2ex=3b，（ex）^2^﹣a^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22041.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}ab ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22041.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}b^2^﹣a^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22041.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}ab，即9b^2^﹣4a^2^﹣9ab=0， ∴（3b﹣4a）（3b+a）=0 ∴a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22038.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}b， ∴c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22042.png){width="0.59375in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22043.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}b， ∴e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22044.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22045.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题． 　 9．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（　　） A．72 B．120 C．144 D．168 【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将3个歌舞类节目全排列，②、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案． 【解答】解：分2步进行分析： 1、先将3个歌舞类节目全排列，有A~3~^3^=6种情况，排好后，有4个空位， 2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目， 分2种情况讨论： ①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C~2~^1^A~2~^2^=4种情况， 排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况， 此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种； ②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A~2~^2^=2种情况， 排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况， 此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种； 则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120， 故选：B． 【点评】本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便． 　 10．（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21457.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（　　） A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22046.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24 【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质 进行证明即可得到结论． 【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21457.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22047.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sin2A+sin2B+sin2C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22047.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22047.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22047.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 化为2sinA\[﹣2sinBsin（﹣C）\]=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22047.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sinAsinBsinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22048.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 设外接圆的半径为R， 由正弦定理可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22049.png){width="1.3645833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=2R， 由S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22050.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}，及正弦定理得sinAsinBsinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22051.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22052.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 即R^2^=4S， ∵面积S满足1≤S≤2， ∴4≤R^2^≤8，即2≤R≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22053.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}， 由sinAsinBsinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22052.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22054.png){width="1.0625in" height="0.1875in"}，显然选项C，D不一定正确， A．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确， B．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22055.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，不一定正确， 故选：A． 【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 　 **二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上．** 11．（5分）设全集U={n∈N\|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁~U~A）∩B=[　{7，9}　]{.underline}． 【分析】由条件利用补集的定义求得∁~U~A，再根据两个集合的交集的定义求得（∁~U~A）∩B． 【解答】解：∵全集U={n∈N\|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}， ∴（∁~U~A）={4，6，7，9 }，∴（∁~U~A）∩B={7，9}， 故答案为：{7，9}． 【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题． 　 12．（5分）函数f（x）=log~2~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22056.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}•log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22057.png){width="0.3020833333333333in" height="0.22916666666666666in"}（2x）的最小值为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22058.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】利用对数的运算性质可得f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22059.png){width="1.40625in" height="0.3645833333333333in"}，即可求得f（x）最小值． 【解答】解：∵f（x）=log~2~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22060.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}•log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22061.png){width="0.3020833333333333in" height="0.22916666666666666in"}（2x） ∴f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22062.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22061.png){width="0.3020833333333333in" height="0.22916666666666666in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22060.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）•log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22061.png){width="0.3020833333333333in" height="0.22916666666666666in"}（2x） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22063.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22061.png){width="0.3020833333333333in" height="0.22916666666666666in"}x•log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22064.png){width="0.3020833333333333in" height="0.22916666666666666in"}（2x） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16830.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22064.png){width="0.3020833333333333in" height="0.22916666666666666in"}x（log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22064.png){width="0.3020833333333333in" height="0.22916666666666666in"}x+log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22064.png){width="0.3020833333333333in" height="0.22916666666666666in"}2） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16830.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22064.png){width="0.3020833333333333in" height="0.22916666666666666in"}x（log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22064.png){width="0.3020833333333333in" height="0.22916666666666666in"}x+2） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22065.png){width="1.40625in" height="0.3645833333333333in"}， ∴当log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22066.png){width="0.3020833333333333in" height="0.22916666666666666in"}x+1=0 即x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22067.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}时，函数f（x）的最小值是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22068.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22069.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题． 　 13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）^2^+（y﹣a）^2^=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=[　4±]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22070.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论． 【解答】解：圆心C（1，a），半径r=2， ∵△ABC为等边三角形， ∴圆心C到直线AB的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22071.png){width="0.8020833333333334in" height="0.25in"}， 即d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22072.png){width="1.6041666666666667in" height="0.4479166666666667in"}， 平方得a^2^﹣8a+1=0， 解得a=4±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22070.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， 故答案为：4±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22070.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} 【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键． 　 **三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分** 14．（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=[　4　]{.underline}． 【分析】由题意，∠PAB=∠C，可得△PAB∽△PCA，从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22073.png){width="0.8645833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，代入数据可得结论． 【解答】解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA， ∴△PAB∽△PCA， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22073.png){width="0.8645833333333334in" height="0.3645833333333333in"}， ∵PA=6，AC=8，BC=9， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22074.png){width="1.03125in" height="0.3645833333333333in"}， ∴PB=3，AB=4， 故答案为：4． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22075.png){width="2.0208333333333335in" height="1.21875in"} 【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题． 　 15．（5分）已知直线l的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22076.png){width="0.5416666666666666in" height="0.40625in"}（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin^2^θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21490.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【分析】直线l的参数方程化为普通方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求出公共点的坐标，即可求出极径． 【解答】解：直线l的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22076.png){width="0.5416666666666666in" height="0.40625in"}，普通方程为y=x+1， 曲线C的极坐标方程为ρsin^2^θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y^2^=4x， 直线l与曲线C联立可得（x﹣1）^2^=0， ∴x=1，y=2， ∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22077.png){width="0.59375in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22078.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22078.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 16．若不等式\|2x﹣1\|+\|x+2\|≥a^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22079.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是[　\[﹣1，]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22080.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[\]　]{.underline}． 【分析】利用绝对值的几何意义，确定\|2x﹣1\|+\|x+2\|的最小值，然后让a^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22080.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a+2小于等于它的最小值即可． 【解答】解：\|2x﹣1\|+\|x+2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22081.png){width="1.34375in" height="1.0520833333333333in"}， ∴x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22080.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，\|2x﹣1\|+\|x+2\|的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22082.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∵不等式\|2x﹣1\|+\|x+2\|≥a^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22080.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a+2对任意实数x恒成立， ∴a^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21908.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a+2≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22083.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴a^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21908.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21908.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤0， ∴﹣1≤a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21908.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴实数a的取值范围是\[﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21908.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]． 故答案为：\[﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21908.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题． 　 **四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．** 17．（13分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22084.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22085.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤φ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22085.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象关于直线x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22086.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求ω和φ的值； （Ⅱ）若f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22087.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22088.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22089.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜α＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22090.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}），求cos（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22091.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）的值． 【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22092.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}对称，结合﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22093.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤φ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22093.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}可得 φ 的值． （Ⅱ）由条件求得sin（α﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22089.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22094.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．再根据α﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22095.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}的范围求得cos（α﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22095.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的值，再根据cos（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22096.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=sinα=sin\[（α﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22095.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22095.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]，利用两角和的正弦公式计算求得结果． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22097.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=π，∴ω=2． 再根据图象关于直线x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22098.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}对称，可得 2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22098.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+φ=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22099.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k∈z． 结合﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22099.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤φ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22099.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}可得 φ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22100.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅱ）∵f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22101.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22102.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22103.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜α＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22104.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22105.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin（α﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22103.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22106.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，∴sin（α﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22103.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22107.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 再根据 0＜α﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22108.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22109.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴cos（α﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22108.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22110.png){width="1.3125in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22111.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}， ∴cos（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22112.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=sinα=sin\[（α﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22108.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22113.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]=sin（α﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22113.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22113.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+cos（α﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22113.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22113.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22114.png){width="0.5625in" height="0.3854166666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22115.png){width="0.6458333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22116.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题． 　 18．（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片． （Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率； （Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．） 【分析】第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些； 第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字（如1或2）或不同数字（1和2、1和3、2和3三类）的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现． 【解答】解：（Ⅰ）由古典概型的概率计算公式得所求概率为 P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22117.png){width="0.84375in" height="0.5833333333333334in"}， （Ⅱ）由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且 P（X=1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22118.png){width="1.0416666666666667in" height="0.5833333333333334in"}， P（X=2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22119.png){width="2.28125in" height="0.5833333333333334in"}， P（X=3）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22120.png){width="0.9479166666666666in" height="0.5833333333333334in"}， 所以X的分布列为： --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- X 1 2 3 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22121.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22122.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22123.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 所以E（X）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22124.png){width="1.9583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题属于中档题，关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一问；第二问的只要是准确记住了中位数的概念，应该说完成此题基本没有问题． 　 19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22125.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，M为BC上的一点，且BM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22126.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，MP⊥AP． （Ⅰ）求PO的长； （Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22127.png){width="3.2506944444444446in" height="1.28125in"} 【分析】（Ⅰ）连接AC，BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，分别求出向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22128.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22129.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的坐标，进而根据MP⊥AP，得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22128.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22129.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=0，进而求出PO的长； （Ⅱ）求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角A﹣PM﹣C的正弦值． 【解答】解：（Ⅰ）连接AC，BD， ∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD， 故AC∩BD=O，且AC⊥BD， 以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22130.png){width="3.5631944444444446in" height="1.5416666666666667in"} ∵AB=2，∠BAD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22131.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴OA=AB•cos（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22132.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}∠BAD）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22133.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，OB=AB•sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22132.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}∠BAD）=1， ∴O（0，0，0），A（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22133.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0，0），B（0，1，0），C（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22133.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0，0）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22134.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，1，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22135.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22136.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，﹣1，0）， 又∵BM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14491.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22137.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22135.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22138.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22139.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，0）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22140.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22141.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22142.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22143.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22144.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，0）， 设P（0，0，a），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22145.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22146.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0，a），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22147.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22148.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22149.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，a）， ∵MP⊥AP， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22150.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22147.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22149.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a^2^=0， 解得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22151.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 即PO的长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22152.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅱ）由（Ⅰ）知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22153.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19048.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22152.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22154.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22155.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22156.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22157.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22158.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16584.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22157.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）， 设平面APM的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22159.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y，z），平面PMC的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22160.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（a，b，c）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22161.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22162.png){width="1.3645833333333333in" height="0.8333333333333334in"}， 令x=1，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22163.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22164.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，2）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22165.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22166.png){width="1.3645833333333333in" height="0.8333333333333334in"}， 令a=1，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22167.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16590.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，﹣2）， ∵平面APM的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22168.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}和平面PMC的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22169.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}夹角θ满足： cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22170.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22171.png){width="0.6666666666666666in" height="0.5833333333333334in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22172.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} 故sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22173.png){width="0.84375in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22174.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} 【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键． 　 20．（12分）已知函数f（x）=ae^2x^﹣be^﹣2x^﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c． （Ⅰ）确定a，b的值； （Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性； （Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围． 【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=ae^2x^﹣be^﹣2x^﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值； （Ⅱ）将c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，进而可得f（x）在定义域R为均增函数； （Ⅲ）结合基本不等式，分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ae^2x^﹣be^﹣2x^﹣cx（a，b，c∈R） ∴f′（x）=2ae^2x^+2be^﹣2x^﹣c， 由f′（x）为偶函数，可得2（a﹣b）（e^2x^﹣e^﹣2x^）=0， 即a=b， 又∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c， 即f′（0）=2a+2b﹣c=4﹣c， 故a=b=1； （Ⅱ）当c=3时，f′（x）=2e^2x^+2e^﹣2x^﹣3≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22175.png){width="1.1458333333333333in" height="0.25in"}=1＞0恒成立， 故f（x）在定义域R为均增函数； （Ⅲ）由（Ⅰ）得f′（x）=2e^2x^+2e^﹣2x^﹣c， 而2e^2x^+2e^﹣2x^≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22176.png){width="0.9583333333333334in" height="0.25in"}=4，当且仅当x=0时取等号， 当c≤4时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）无极值； 当c＞4时，令t=e^2x^，方程2t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22177.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣c=0的两根均为正， 即f′（x）=0有两个根x~1~，x~2~， 当x∈（x~1~，x~2~）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，x~1~）∪（x~2~，+∞）时，f′（x）＞0， 故当x=x~1~，或x=x~2~时，f（x）有极值， 综上，若f（x）有极值，c的取值范围为（4，+∞）． 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档． 　 21．（12分）如图，设椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22178.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22179.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，点D在椭圆上．DF~1~⊥F~1~F~2~，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22180.png){width="0.7916666666666666in" height="0.5in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22181.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，△DF~1~F~2~的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22182.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22183.png){width="2.2708333333333335in" height="1.9166666666666667in"} 【分析】（Ⅰ）设F~1~（﹣c，0），F~2~（c，0），依题意，可求得c=1，易求得\|DF~1~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22184.png){width="0.6041666666666666in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22185.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，\|DF~2~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22186.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，从而可得2a=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22187.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，于是可求得椭圆的标准方程； （Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22188.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+y^2^=1相交，P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x~2~=﹣x~1~，y~1~=y~2~，\|P~1~P~2~\|=2\|x~1~\|， 由F~1~P~1~⊥F~2~P~2~，得x~1~=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22189.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或x~1~=0，分类讨论即可求得圆的半径． 【解答】解：（Ⅰ）设F~1~（﹣c，0），F~2~（c，0），其中c^2^=a^2^﹣b^2^， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22190.png){width="0.7916666666666666in" height="0.5in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22191.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，得\|DF~1~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22192.png){width="0.6041666666666666in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22193.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}c， 从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22194.png){width="0.65625in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17860.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|DF~1~\|\|F~1~F~2~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22193.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}c^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22193.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，故c=1． 从而\|DF~1~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22193.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，由DF~1~⊥F~1~F~2~，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22195.png){width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22196.png){width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22197.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22198.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 因此\|DF~2~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22199.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 所以2a=\|DF~1~\|+\|DF~2~\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17810.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，故a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17810.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，b^2^=a^2^﹣c^2^=1， 因此，所求椭圆的标准方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22200.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+y^2^=1； （Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22200.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+y^2^=1相交，P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~）是两个交点， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22201.png){width="2.25in" height="2.40625in"} y~1~＞0，y~2~＞0，F~1~P~1~，F~2~P~2~是圆C的切线，且F~1~P~1~⊥F~2~P~2~，由圆和椭圆的对称性，易知x~2~=﹣x~1~，y~1~=y~2~，\|P~1~P~2~\|=2\|x~1~\|， 由（Ⅰ）知F~1~（﹣1，0），F~2~（1，0），所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22202.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3229166666666667in"}=（x~1~+1，y~1~），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22203.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3229166666666667in"}=（﹣x~1~﹣1，y~1~），再由F~1~P~1~⊥F~2~P~2~，得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22204.png){width="0.6354166666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22205.png){width="0.28125in" height="0.2916666666666667in"}=0， 由椭圆方程得1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22206.png){width="0.3125in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22207.png){width="0.6354166666666666in" height="0.28125in"}，即3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22208.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}+4x~1~=0，解得x~1~=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22209.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或x~1~=0． 当x~1~=0时，P~1~，P~2~重合，此时题设要求的圆不存在； 当x~1~=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22209.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，过P~1~，P~2~，分别与F~1~P~1~，F~2~P~2~垂直的直线的交点即为圆心C． 由F~1~P~1~，F~2~P~2~是圆C的切线，且F~1~P~1~⊥F~2~P~2~，知CP~1~⊥CP~2~，又\|CP~1~\|=\|CP~2~\|， 故圆C的半径\|CP~1~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22210.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}\|P~1~P~2~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22211.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\|x~1~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22212.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题． 　 22．（12分）设a~1~=1，a~n+1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22213.png){width="0.8645833333333334in" height="0.3020833333333333in"}+b（n∈N^\*^） （Ⅰ）若b=1，求a~2~，a~3~及数列{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a~2n~＜c＜a~2n+1~对所有的n∈N^\*^成立，证明你的结论． 【分析】（Ⅰ）若b=1，利用a~n+1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22213.png){width="0.8645833333333334in" height="0.3020833333333333in"}+b，可求a~2~，a~3~；证明{（a~n~﹣1）^2^}是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）设f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22214.png){width="1.03125in" height="0.25in"}，则a~n+1~=f（a~n~），令c=f（c），即c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22215.png){width="0.84375in" height="0.25in"}﹣1，解得c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22216.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．用数学归纳法证明加强命题a~2n~＜c＜a~2n+1~＜1即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵a~1~=1，a~n+1~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22217.png){width="0.8645833333333334in" height="0.3020833333333333in"}+b，b=1， ∴a~2~=2，a~3~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22218.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+1； 又（a~n+1~﹣1）^2^=（a~n~﹣1）^2^+1， ∴{（a~n~﹣1）^2^}是首项为0，公差为1的等差数列； ∴（a~n~﹣1）^2^=n﹣1， ∴a~n~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22219.png){width="0.375in" height="0.1875in"}+1（n∈N^\*^）； （Ⅱ）设f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22220.png){width="1.03125in" height="0.25in"}，则a~n+1~=f（a~n~）， 令c=f（c），即c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22221.png){width="0.84375in" height="0.25in"}﹣1，解得c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19812.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 下面用数学归纳法证明加强命题a~2n~＜c＜a~2n+1~＜1． n=1时，a~2~=f（1）=0，a~3~=f（0）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22222.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣1，∴a~2~＜c＜a~3~＜1，成立； 设n=k时结论成立，即a~2k~＜c＜a~2k+1~＜1 ∵f（x）在（﹣∞，1\]上为减函数， ∴c=f（c）＞f（a~2k+1~）＞f（1）=a~2~， ∴1＞c＞a~2k+2~＞a~2~， ∴c=f（c）＜f（a~2k+2~）＜f（a~2~）=a~3~＜1， ∴c＜a~2k+3~＜1， ∴a~2（k+1）~＜c＜a~2（k+1）+1~＜1，即n=k+1时结论成立， 综上，c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19812.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}使得a~2n~＜c＜a~2n+1~对所有的n∈N^\*^成立． 【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，难度大． 　 2014年重庆市高考数学试卷（文科） -------------------------------- **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．** 1．（5分）实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据复数的几何意义，即可得到结论． 【解答】解：实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限， 故选：B． 【点评】本题主要考查复数的几何意义，比较基础． 　 2．（5分）在等差数列{a~n~}中，a~1~=2，a~3~+a~5~=10，则a~7~=（　　） A．5 B．8 C．10 D．14 【分析】由题意可得a~4~=5，进而可得公差d=1，可得a~7~=a~1~+6d，代值计算即可． 【解答】解：∵在等差数列{a~n~}中a~1~=2，a~3~+a~5~=10， ∴2a~4~=a~3~+a~5~=10，解得a~4~=5， ∴公差d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22223.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=1， ∴a~7~=a~1~+6d=2+6=8 故选：B． 【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题． 　 3．（5分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（　　） A．100 B．150 C．200 D．250 【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值． 【解答】解：分层抽样的抽取比例为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22224.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22225.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 总体个数为3500+1500=5000， ∴样本容量n=5000×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22225.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=100． 故选：A． 【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键． 　 4．（5分）下列函数为偶函数的是（　　） A．f（x）=x﹣1 B．f（x）=x^2^+x C．f（x）=2^x^﹣2^﹣x^ D．f（x）=2^x^+2^﹣x^ 【分析】根据偶函数的定义，依次分析选项，先分析函数的定义域，再分析f（﹣x）=f（x）是否成立，即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： A、f（x）=x﹣1，其定义域为R，f（﹣x）=﹣x﹣1，f（﹣x）≠f（x），不是偶函数，不符合题意； B、f（x）=x^2^+x，其定义域为R，f（﹣x）=x^2^﹣x，f（﹣x）≠f（x），不是偶函数，不符合题意； C、f（x）=2^x^﹣2^﹣x^，其定义域为R，f（﹣x）=2^﹣x^﹣2^x^，f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数不是偶函数，不符合题意； D、f（x）=2^x^+2^﹣x^，其定义域为R，f（﹣x）=2^﹣x^+2^x^，f（﹣x）=f（x），是偶函数，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意要先分析函数的定义域． 　 5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22226.png){width="1.9270833333333333in" height="2.698611111111111in"} A．10 B．17 C．19 D．36 【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件k＜10，跳出循环体，计算输出S的值． 【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=2，k=2×2﹣1=3； 第二次循环S=2+3=5，k=2×3﹣1=5； 第三次循环S=5+5=10，k=2×5﹣1=9； 第四次循环S=10+9=19，k=2×9﹣1=17， 不满足条件k＜10，跳出循环体，输出S=19． 故选：C． 【点评】本题考查了当型循环结构程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法． 　 6．（5分）已知命题：p：对任意x∈R，总有\|x\|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（　　） A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q 【分析】判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论． 【解答】解：根据绝对值的性质可知，对任意x∈R，总有\|x\|≥0成立，即p为真命题， 当x=1时，x+2=3≠0，即x=1不是方程x+2=0的根，即q为假命题， 则p∧￢q，为真命题， 故选：A． 【点评】本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，比较基础． 　 7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22227.png){width="1.8229166666666667in" height="1.9895833333333333in"} A．12 B．18 C．24 D．30 【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算． 【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图： 三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3， 三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形， ∴几何体的体积V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22228.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×3×4×5﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22229.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22228.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×3×4×3=30﹣6=24． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22230.png){width="0.96875in" height="1.6458333333333333in"} 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键． 　 8．（5分）设F~1~，F~2~分别为双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22231.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22232.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|）^2^=b^2^﹣3ab，则该双曲线的离心率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22233.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22234.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} C．4 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22235.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} 【分析】根据（\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|）^2^=b^2^﹣3ab，由双曲线的定义可得（2a）^2^=b^2^﹣3ab，求得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22236.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22237.png){width="0.59375in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22238.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}b，即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：∵（\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|）^2^=b^2^﹣3ab， ∴由双曲线的定义可得（2a）^2^=b^2^﹣3ab， ∴4a^2^+3ab﹣b^2^=0， ∴a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22239.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22237.png){width="0.59375in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22238.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}b， ∴e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22240.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22241.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}． 故选：D． 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 9．（5分）若log~4~（3a+4b）=log~2~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22242.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，则a+b的最小值是（　　） A．6+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22243.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．7+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22243.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．6+4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22243.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．7+4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22243.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【分析】利用对数的运算法则可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22244.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出 【解答】解：∵3a+4b＞0，ab＞0， ∴a＞0．b＞0 ∵log~4~（3a+4b）=log~2~![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22245.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， ∴log~4~（3a+4b）=log~4~（ab） ∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22246.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}＞0， ∴a＞4， 则a+b=a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22247.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22248.png){width="0.8020833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=a+3+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22249.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=（a﹣4）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22249.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+7![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22250.png){width="1.1979166666666667in" height="0.3854166666666667in"}+7=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22251.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+7，当且仅当a=4+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22252.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}取等号． 故选：D． 【点评】本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题． 　 10．（5分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22253.png){width="2.125in" height="0.625in"}，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1\]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22254.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，﹣2\]∪（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22255.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\] B．（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22256.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，﹣2\]∪（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22255.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\] C．（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22254.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，﹣2\]∪（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22257.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\] D．（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22256.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，﹣2\]∪（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22257.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\] 【分析】由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1）， 分别作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象如图： 由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线， 当h（x）过（1，1）时，m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22258.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22258.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）=﹣2，解得m=﹣2，此时两个函数有两个交点， 当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点， 此时![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22259.png){width="1.0729166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 即m（x+1）^2^+3（x+1）﹣1=0， 当m=0时，x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22260.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，只有1解， 当m≠0，由△=9+4m=0得m=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22261.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，此时直线和f（x）相切， ∴要使函数有两个零点， 则﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22261.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜m≤﹣2或0＜m≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22258.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22262.png){width="2.5944444444444446in" height="2.5006944444444446in"} 【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法． 　 **二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相应的位置上．** 11．（5分）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B=[　{3，5，13}　]{.underline}． 【分析】根据题意，分析集合A、B的公共元素，由交集的意义即可得答案． 【解答】解：根据题意，集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}， A、B公共元素为3、5、13， 则A∩B={3，5，13}， 故答案为：{3，5，13}． 【点评】本题考查集合交集的运算，注意写出集合的形式． 　 12．（5分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17401.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17402.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为60°，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17401.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣2，﹣6），\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17402.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22263.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22264.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22265.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=[　10　]{.underline}． 【分析】利用向量的模、夹角形式的数量积公式，求出即可 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22264.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣2，﹣6）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22266.png){width="1.9895833333333333in" height="0.25in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22267.png){width="2.0in" height="0.22916666666666666in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22268.png){width="1.375in" height="0.1875in"}=10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题． 　 13．（5分）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22269.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤φ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22269.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22270.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度得到y=sinx的图象，则f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22270.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22271.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}[　]{.underline}． 【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（2ωx+φ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22272.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}ω）=sinx，可得2ω=1，且 φ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22272.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}ω=2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22273.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的值． 【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22274.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤φ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22274.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象． 再把所得图象再向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22273.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度得到函数y=sin\[2ω（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22273.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+φ）\] =sin（2ωx+φ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22272.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}ω）=sinx的图象， ∴2ω=1，且 φ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22272.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}ω=2kπ，k∈Z， ∴ω=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22275.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22276.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+2kπ，∴f（x）=sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22275.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22276.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， ∴f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22276.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22277.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22276.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22278.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22279.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22280.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题． 　 14．（5分）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x^2^+y^2^+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为[　0或6　]{.underline}． 【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论． 【解答】解：圆的标准方程为（x+1）^2^+（y﹣2）^2^=9，圆心C（﹣1，2），半径r=3， ∵AC⊥BC， ∴圆心C到直线AB的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22281.png){width="0.9375in" height="0.3854166666666667in"}， 即d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22282.png){width="1.2916666666666667in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22283.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 即\|a﹣3\|=3， 解得a=0或a=6， 故答案为：0或6． 【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键． 　 15．（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为[　]{.underline}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22284.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}（用数字作答）． 【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y\|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）\|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可． 【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y\|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400， 则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x\|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22285.png){width="0.5416666666666666in" height="0.4166666666666667in"}得C（45，50），联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22286.png){width="0.5416666666666666in" height="0.40625in"}得B（30，35），则S~△ABC~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15520.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22287.png){width="0.8541666666666666in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22288.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22288.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22289.png){width="2.3020833333333335in" height="2.1979166666666665in"} 【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键． 　 **三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．** 16．（13分）已知{a~n~}是首项为1，公差为2的等差数列，S~n~表示{a~n~}的前n项和． （Ⅰ）求a~n~及S~n~； （Ⅱ）设{b~n~}是首项为2的等比数列，公比为q满足q^2^﹣（a~4~+1）q+S~4~=0．求{b~n~}的通项公式及其前n项和T~n~． 【分析】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n项和公式得答案； （Ⅱ）求出a~4~和S~4~，代入q^2^﹣（a~4~+1）q+S~4~=0求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n项和公式得答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵{a~n~}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴a~n~=a~1~+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22290.png){width="2.5625in" height="0.3645833333333333in"}； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，a~4~=7，S~4~=16． ∵q^2^﹣（a~4~+1）q+S~4~=0，即q^2^﹣8q+16=0， ∴（q﹣4）^2^=0，即q=4． 又∵{b~n~}是首项为2的等比数列， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22291.png){width="1.90625in" height="0.28125in"}． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22292.png){width="1.8958333333333333in" height="0.4895833333333333in"}． 【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式的求法，是基础题． 　 17．（13分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图： （Ⅰ）求频率分布直方图中a的值； （Ⅱ）分别求出成绩落在\[50，60）与\[60，70）中的学生人数； （Ⅲ）从成绩在\[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在\[60，70）中的概率． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22293.png){width="2.2291666666666665in" height="1.6666666666666667in"} 【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值； （Ⅱ）由图可知，成绩在\[50，60）和\[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求． （Ⅲ）分别列出满足\[50，70）的基本事件，再找到在\[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可． 【解答】解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005． （Ⅱ）成绩落在\[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2， 成绩落在\[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3． （Ⅲ）记成绩落在\[50，60）中的2人为A，B，成绩落在\[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在\[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个， 其中2人的成绩都在\[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个， 故所求概率为P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22294.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题． 　 18．（13分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8． （Ⅰ）若a=2，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22295.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求cosC的值； （Ⅱ）若sinAcos^2^![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22296.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+sinBcos^2^![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22297.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2sinC，且△ABC的面积S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22298.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sinC，求a和b的值． 【分析】（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22295.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可； （Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22298.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22295.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，且a+b+c=8， ∴c=8﹣（a+b）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22299.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴由余弦定理得：cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22300.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22301.png){width="1.2604166666666667in" height="0.8229166666666666in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22302.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； （Ⅱ）由sinAcos^2^![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22303.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+sinBcos^2^![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22304.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2sinC可得：sinA•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22305.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}+sinB•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22306.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}=2sinC， 整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC， ∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC， ∴sinA+sinB=3sinC， 利用正弦定理化简得：a+b=3c， ∵a+b+c=8， ∴a+b=6①， ∵S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22307.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}absinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22308.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sinC， ∴ab=9②， 联立①②解得：a=b=3． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 　 19．（12分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22309.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22310.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣lnx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22311.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22312.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值． 【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22312.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值； （Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22313.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22314.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣lnx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22311.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22315.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22316.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22317.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17156.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x． ∴f′（1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22318.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a﹣1=﹣2， 解得：a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22319.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22320.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22321.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣lnx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22322.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22318.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22323.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22324.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22325.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4791666666666667in"}（x＞0）， 令f′（x）=0， 解得x=5，或x=﹣1（舍）， ∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0， 故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）； 单调递减区间为（0，5）； 当x=5时，函数取极小值﹣ln5． 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档． 　 20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17187.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，M为BC上一点，且BM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21314.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅰ）证明：BC⊥平面POM； （Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABMO的体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22326.png){width="3.3652777777777776in" height="1.3958333333333333in"} 【分析】（Ⅰ）连接OB，根据底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17187.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，M为BC上一点，且BM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21314.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得OM⊥BC及PO⊥BC，进而由线面垂直的判定定理得到BC⊥平面POM； （Ⅱ）设PO=a，利用勾股定理和余弦定理解三角形求出PO的值，及四棱锥P﹣ABMO的底面积S，代入棱锥体积公式，可得答案． 【解答】证明：（Ⅰ）∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22326.png){width="3.3652777777777776in" height="1.3958333333333333in"} 故O为底面ABCD的中心，连接OB，则AO⊥OB， ∵AB=2，∠BAD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22327.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴OB=AB•sin∠BAO=2sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22328.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=1， 又∵BM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22329.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，∠OBM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22327.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴在△OBM中，OM^2^=OB^2^+BM^2^﹣2OB•BM•cos∠OBM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22330.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 即OB^2^=OM^2^+BM^2^，即OM⊥BM， ∴OM⊥BC， 又∵PO⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD， ∴PO⊥BC， 又∵OM∩PO=O，OM，PO⊂平面POM， ∴BC⊥平面POM； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：OA=AB•cos∠BAO=2cos（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22328.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22331.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 设PO=a，由PO⊥底面ABCD可得：△POA为直角三角形， 故PA^2^=PO^2^+OA^2^=a^2^+3， 由△POM也为直角三角形得： PM^2^=PO^2^+OM^2^=a^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22332.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 连接AM， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22333.png){width="3.3652777777777776in" height="1.3958333333333333in"} 在△ABM中，AM^2^=AB^2^+BM^2^﹣2AB•BM•cos∠ABM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22334.png){width="1.9375in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22335.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 由MP⊥AP可知：△APM为直角三角形， 则AM^2^=PA^2^+PM^2^，即a^2^+3+a^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22336.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22337.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 解得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22338.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，即PO=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22338.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 此时四棱锥P﹣ABMO的底面积S=S~△AOB~+S~△BOM~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19183.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•AO•OB+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19183.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•BM•OM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22339.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∴四棱锥P﹣ABMO的体积V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17209.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}S•PO=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22340.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的判定，难度中档． 　 21．（12分）如图，设椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22341.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22342.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F~1~，F~2~，点D在椭圆上，DF~1~⊥F~1~F~2~，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22343.png){width="0.7916666666666666in" height="0.5in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22344.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，△DF~1~F~2~的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22345.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程； （Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22346.png){width="2.2916666666666665in" height="1.9791666666666667in"} 【分析】（Ⅰ）设F~1~（﹣c，0），F~2~（c，0），依题意，可求得c=1，易求得\|DF~1~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22347.png){width="0.6041666666666666in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22348.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，\|DF~2~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22349.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，从而可得2a=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22350.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，于是可求得椭圆的标准方程； （Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22351.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+y^2^=1相交，P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x~2~=﹣x~1~，y~1~=y~2~，\|P~1~P~2~\|=2\|x~1~\|，由F~1~P~1~⊥F~2~P~2~，得x~1~=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22352.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或x~1~=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设F~1~（﹣c，0），F~2~（c，0），其中c^2^=a^2^﹣b^2^， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22353.png){width="0.7916666666666666in" height="0.5in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22354.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，得\|DF~1~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22355.png){width="0.6041666666666666in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22356.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}c， 从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22357.png){width="0.65625in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22358.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|DF~1~\|\|F~1~F~2~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22356.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}c^2^=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22359.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，故c=1． 从而\|DF~1~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22359.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，由DF~1~⊥F~1~F~2~，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22360.png){width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22361.png){width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22362.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22363.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 因此\|DF~2~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22364.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 所以2a=\|DF~1~\|+\|DF~2~\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22365.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，故a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22365.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，b^2^=a^2^﹣c^2^=1， 因此，所求椭圆的标准方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22366.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+y^2^=1； （Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22366.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+y^2^=1相交，P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~）是两个交点， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22367.png){width="2.4479166666666665in" height="2.5631944444444446in"} y~1~＞0，y~2~＞0，F~1~P~1~，F~2~P~2~是圆C的切线，且F~1~P~1~⊥F~2~P~2~，由圆和椭圆的对称性，易知x~2~=﹣x~1~，y~1~=y~2~，\|P~1~P~2~\|=2\|x~1~\|， 由（Ⅰ）知F~1~（﹣1，0），F~2~（1，0），所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22368.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3229166666666667in"}=（x~1~+1，y~1~），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22369.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3229166666666667in"}=（﹣x~1~﹣1，y~1~），再由F~1~P~1~⊥F~2~P~2~，得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22370.png){width="0.6354166666666666in" height="0.28125in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22371.png){width="0.28125in" height="0.2916666666666667in"}=0， 由椭圆方程得1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22372.png){width="0.3125in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22370.png){width="0.6354166666666666in" height="0.28125in"}，即3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22373.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}+4x~1~=0，解得x~1~=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22374.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或x~1~=0． 当x~1~=0时，P~1~，P~2~重合，此时题设要求的圆不存在； 当x~1~=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22374.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，过P~1~，P~2~，分别与F~1~P~1~，F~2~P~2~垂直的直线的交点即为圆心C，设C（0，y~0~） 由F~1~P~1~，F~2~P~2~是圆C的切线，知CP~1~⊥F~1~P~1~，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22375.png){width="0.5in" height="0.4895833333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22376.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}=﹣1，而\|y~1~\|=\|x~1~+1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22377.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故y~0~=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22378.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故圆C的半径\|CP~1~\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22379.png){width="1.375in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22380.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x^2^+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22381.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22382.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题． 　 2015年安徽省高考数学试卷（理科） ================================ 参考答案与试题解析 　 一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1．（5分）设i是虚数单位，则复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22383.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22383.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限， 故选：B． 【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础． 　 2．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（　　） A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1 【分析】利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择． 【解答】解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点； 对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点； 对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点； 对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点； 故选：A． 【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的． 　 3．（5分）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】运用指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断． 【解答】解：由1＜x＜2可得2＜2x＜4，则由p推得q成立， 若2x＞1可得x＞0，推不出1＜x＜2． 由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题． 　 4．（5分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（　　） A．x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22384.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22385.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣y2=1 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22384.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}﹣x2=1 D．y2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22385.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}=1 【分析】对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案． 【解答】解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件； 由B可得焦点在x轴上，不符合条件； 由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件； 由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22386.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}x，不符合条件． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题． 　 5．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　） A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答． 【解答】解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误； 对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误； 对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误； 对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确； 故选：D． 【点评】本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理． 　 6．（5分）若样本数据x1，x2，...，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，...，2x10﹣1的标准差为（　　） A．8 B．15 C．16 D．32 【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可． 【解答】解：∵样本数据x1，x2，...，x10的标准差为8， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22387.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}=8，即DX=64， 数据2x1﹣1，2x2﹣1，...，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64， 则对应的标准差为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22388.png){width="0.7083333333333334in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22389.png){width="0.5409722222222222in" height="0.1875in"}=16， 故选：C． 【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键． 　 7．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22390.png){width="2.6465277777777776in" height="2.573611111111111in"} A．1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22391.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22391.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．1+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22392.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22392.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，结合题意画出图形，利用图中数据求出它的表面积． 【解答】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示； ∴该几何体的表面积为 S表面积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22393.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×2×1+2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22394.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22395.png){width="0.5104166666666666in" height="0.25in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22393.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×2×1 =2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22396.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22397.png){width="1.28125in" height="1.3854166666666667in"} 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目． 　 8．（5分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22398.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22399.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22400.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22401.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22402.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22401.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22403.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，则下列结论正确的是（　　） A．\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22403.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22401.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22403.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22401.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22403.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=1 D．（4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22404.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22405.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22406.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"} 【分析】由题意，知道![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22407.png){width="0.5298611111111111in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22408.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20902777777777778in"}，根据已知三角形为等边三角形解之． 【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22404.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22405.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22409.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22404.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22410.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22411.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22412.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22413.png){width="0.7708333333333334in" height="0.20902777777777778in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22412.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的方向应该为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22414.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}的方向． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22415.png){width="0.5298611111111111in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22416.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20902777777777778in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22417.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}=2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22418.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}=1×2×cos120°=﹣1， 4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22418.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}=4×1×2×cos120°=﹣4，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22419.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=4，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22420.png){width="0.71875in" height="0.26944444444444443in"}=0，即（4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22421.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22422.png){width="0.20902777777777778in" height="0.20902777777777778in"}=0，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22423.png){width="0.875in" height="0.20902777777777778in"}=0，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22424.png){width="0.9576388888888889in" height="0.20902777777777778in"}； 故选：D． 【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系． 　 9．（5分）函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22425.png){width="0.5840277777777778in" height="0.42569444444444443in"}的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22426.png){width="2.7402777777777776in" height="2.09375in"} A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0 【分析】分别根据函数的定义域，函数零点以及f（0）的取值进行判断即可． 【解答】解：函数在P处无意义，由图象看P在y轴右边，所以﹣c＞0，得c＜0， f（0）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22427.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}，∴b＞0， 由f（x）=0得ax+b=0，即x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22428.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 即函数的零点x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22428.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＞0， ∴a＜0， 综上a＜0，b＞0，c＜0， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f（0）的符号是解决本题的关键． 　 10．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22429.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（　　） A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0） B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2） C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2） D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2） 【分析】依题意可求ω=2，又当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22429.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}时，函数f（x）取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f（x）=Asin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22430.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小． 【解答】解：依题意得，函数f（x）的周期为π， ∵ω＞0， ∴ω=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22431.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=2． 又∵当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22432.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}时，函数f（x）取得最小值， ∴2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22432.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+φ=2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22433.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z，可解得：φ=2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22434.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z， ∴f（x）=Asin（2x+2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22434.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=Asin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22434.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）． ∴f（﹣2）=Asin（﹣4+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22434.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=Asin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22434.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣4+2π）＞0． f（2）=Asin（4+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22434.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）＜0， f（0）=Asin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22435.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=Asin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22436.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}＞0， 又∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22437.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22435.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣4+2π＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22436.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22438.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，而f（x）=Asinx在区间（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22438.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22437.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）是单调递减的， ∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题． 　 二.填空题（每小题5分，共25分） 11．（5分）（x3+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22439.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）7的展开式中的x5的系数是　35　（用数字填写答案） 【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为5求得r，再代入系数求出结果． 【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项， Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22440.png){width="1.2506944444444446in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22441.png){width="0.65625in" height="0.28055555555555556in"}； 要求展开式中含x5的项的系数， ∴21﹣4r=5， ∴r=4，可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22442.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=35． 故答案为：35． 【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具． 　 12．（5分）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22443.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}（ρ∈R）距离的最大值是　6　． 【分析】圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，把![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22444.png){width="0.9791666666666666in" height="0.48055555555555557in"}代入可得直角坐标方程，直线θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22443.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}（ρ∈R）化为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22445.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}x．利用点到直线的距离公式可得圆心C（0，4）到直线的距离d，可得圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22443.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}（ρ∈R）距离的最大值=d+r． 【解答】解：圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，∴x2+y2=8y，化为x2+（y﹣4）2=16． 直线θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22443.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}（ρ∈R）化为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22445.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}x． ∴圆心C（0，4）到直线的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22446.png){width="0.8118055555555556in" height="0.46944444444444444in"}=2， ∴圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22447.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}（ρ∈R）距离的最大值=d+r=2+4=6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 13．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为　4　 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22448.png){width="2.5319444444444446in" height="3.136111111111111in"} 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22449.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}时不满足条件\|a﹣1.414\|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=1，n=1 满足条件\|a﹣1.414\|＞0.005，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22450.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，n=2 满足条件\|a﹣1.414\|＞0.005，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22451.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，n=3 满足条件\|a﹣1.414\|＞0.005，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22449.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，n=4 不满足条件\|a﹣1.414\|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n的值是解题的关键，属于基础题． 　 14．（5分）已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{an}的前n项和等于　2n﹣1　． 【分析】利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{an}的前n项和． 【解答】解：数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8， 可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8， ∴8=1×q3，q=2， 数列{an}的前n项和为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22452.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}=2n﹣1． 故答案为：2n﹣1． 【点评】本题考查等比数列的性质，数列{an}的前n项和求法，基本知识的考查． 　 15．（5分）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是　①③④⑤　（写出所有正确条件的编号） ①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2． 【分析】对五个条件分别分析解答；利用数形结合以及导数，判断单调区间以及极值． 【解答】解：设f（x）=x3+ax+b，f\'（x）=3x2+a， ①a=﹣3，b=﹣3时，令f\'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=﹣5，f（﹣1）=﹣1； 并且x＞1或者x＜﹣1时f\'（x）＞0， 所以f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）都是增函数， 所以函数图象与x轴只有一个交点，故x3+ax+b=0仅有一个实根；如图 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22453.png){width="2.1354166666666665in" height="2.8652777777777776in"} ②a=﹣3，b=2时，令f\'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=0，f（﹣1）=4；如图 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22454.png){width="2.4270833333333335in" height="2.125in"} ③a=﹣3，b＞2时，函数f（x）=x3﹣3x+b，f（1）=﹣2+b＞0，函数图象形状如图②，所以方程x3+ax+b=0只有一个根； ④a=0，b=2时，函数f（x）=x3+2，f\'（x）=3x2≥0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根； ⑤a=1，b=2时，函数f（x）=x3+x+2，f\'（x）=3x2+1＞0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根； 综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系；关键是数形结合、利用导数解之． 　 三.解答题（共6小题，75分） 16．（12分）在△ABC中，∠A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22455.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，AB=6，AC=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22456.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长． 【分析】由已知及余弦定理可解得BC的值，由正弦定理可求得sinB，从而可求cosB，过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，即可求得AD的长． 【解答】解：∵∠A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22455.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，AB=6，AC=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22456.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=90． ∴BC=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22457.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}...4分 ∵在△ABC中，由正弦定理可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22458.png){width="1.2090277777777778in" height="0.36527777777777776in"}， ∴sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22459.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}， ∴cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22460.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}...8分 ∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB， ∴Rt△ADE中，AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22461.png){width="0.71875in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22462.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22463.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}...12分 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22464.png){width="1.9895833333333333in" height="1.1979166666666667in"} 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查． 　 17．（12分）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． （Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； （Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望） 【分析】（Ⅰ）记"第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品"为事件A，利用古典概型的概率求解即可． （Ⅱ）X的可能取值为：200，300，400．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可． 【解答】解：（Ⅰ）记"第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品"为事件A， 则P（A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22465.png){width="0.4173611111111111in" height="0.5840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22466.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． （Ⅱ）X的可能取值为：200，300，400 P（X=200）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22467.png){width="0.22847222222222222in" height="0.5840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22468.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． P（X=300）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22469.png){width="0.8861111111111111in" height="0.6861111111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22470.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． P（X=400）=1﹣P（X=200）﹣P（X=300）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22471.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． X的分布列为： --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ X 200 300 400 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22472.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22470.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22471.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ EX=200×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22472.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+300×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22473.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+400×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22474.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=350． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力． 　 18．（12分）设n∈N\*，xn是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标． （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式； （Ⅱ）记Tn=x12x32...x2n﹣12，证明：Tn≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22475.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 【分析】（1）利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标； （2）利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立． 【解答】解：（1）y\'=（x2n+2+1）\'=（2n+2）x2n+1，曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2， 从而切线方程为y﹣2=（2n+2）（x﹣1） 令y=0，解得切线与x轴的交点的横坐标为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22476.png){width="1.176388888888889in" height="0.36527777777777776in"}， （2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知： Tn=x12x32...x2n﹣12=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22477.png){width="1.90625in" height="0.42569444444444443in"}， 当n=1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22478.png){width="0.43680555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 当n≥2时，因为x2n﹣12=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22479.png){width="0.6861111111111111in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22480.png){width="0.6666666666666666in" height="0.48055555555555557in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22481.png){width="0.8534722222222222in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22482.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22483.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}， 所以Tn![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22484.png){width="2.3958333333333335in" height="0.36527777777777776in"}； 综上所述，可得对任意的n∈N+，均有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22485.png){width="0.6041666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型． 　 19．（13分）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F． （Ⅰ）证明：EF∥B1C； （Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22486.png){width="1.8958333333333333in" height="1.78125in"} 【分析】（Ⅰ）通过四边形A1B1CD为平行四边形，可得B1C∥A1D，利用线面平行的判定定理即得结论； （Ⅱ）以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，设边长为2，则所求值即为平面A1B1CD的一个法向量与平面A1EFD的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可． 【解答】（Ⅰ）证明：∵B1C=A1D且A1B1=CD， ∴四边形A1B1CD为平行四边形， ∴B1C∥A1D， 又∵B1C⊄平面A1EFD， ∴B1C∥平面A1EFD， 又∵平面A1EFD∩平面B1CD1=EF， ∴EF∥B1C； （Ⅱ）解：以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz如图，设边长为2， ∵AD1⊥平面A1B1CD，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22487.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=（0，2，2）为平面A1B1CD的一个法向量， 设平面A1EFD的一个法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22488.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（x，y，z）， 又∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22489.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=（0，2，﹣2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22490.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=（1，1，0）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22491.png){width="0.8013888888888889in" height="0.5930555555555556in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22492.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4173611111111111in"}， 取y=1，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22493.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（﹣1，1，1）， ∴cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22493.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22494.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22495.png){width="0.8340277777777778in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22496.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∴二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22496.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22497.png){width="2.4583333333333335in" height="2.34375in"} 【点评】本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 20．（13分）设椭圆E的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22498.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22499.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足\|BM\|=2\|MA\|，直线OM的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22500.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} （Ⅰ）求E的离心率e； （Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22501.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，求E的方程． 【分析】（I）由于点M在线段AB上，满足\|BM\|=2\|MA\|，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22502.png){width="0.5625in" height="0.20902777777777778in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22503.png){width="1.042361111111111in" height="0.36527777777777776in"}．利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22504.png){width="0.6041666666666666in" height="0.38472222222222224in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22505.png){width="0.9486111111111111in" height="0.5in"}． （II）由（I）可得直线AB的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22506.png){width="0.5840277777777778in" height="0.3958333333333333in"}=1，利用中点坐标公式可得N．设点N关于直线AB的对称点为S![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22507.png){width="0.7298611111111111in" height="0.36527777777777776in"}，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，可得b，解得即可． 【解答】解：（I）∵点M在线段AB上，满足\|BM\|=2\|MA\|，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22508.png){width="0.5625in" height="0.20902777777777778in"}， ∵A（a，0），B（0，b），∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22509.png){width="1.042361111111111in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22510.png){width="0.8340277777777778in" height="0.36527777777777776in"}． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22511.png){width="0.6041666666666666in" height="0.38472222222222224in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22512.png){width="0.5625in" height="0.38472222222222224in"}，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22513.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}b． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22514.png){width="0.9486111111111111in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22515.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． （II）由（I）可得直线AB的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22516.png){width="0.5840277777777778in" height="0.3958333333333333in"}=1，N![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22517.png){width="1.042361111111111in" height="0.38472222222222224in"}． 设点N关于直线AB的对称点为S![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22518.png){width="0.7298611111111111in" height="0.36527777777777776in"}，线段NS的中点T![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22519.png){width="1.5930555555555554in" height="0.42569444444444443in"}， 又AB垂直平分线段NS，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22520.png){width="1.8020833333333333in" height="1.4479166666666667in"}，解得b=3， ∴a=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22521.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． ∴椭圆E的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22522.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"}． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 　 21．（13分）设函数f（x）=x2﹣ax+b． （Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14584.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14584.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值； （Ⅱ）记f0（x）=x2﹣a0x+b0，求函数\|f（sinx）﹣f0（sinx）\|在\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14584.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14584.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]上的最大值D； （Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0=b0=0，求z=b﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22523.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}满足条件D≤1时的最大值． 【分析】（Ⅰ）设t=sinx，f（t）=t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），讨论对称轴和区间的关系，即可判断极值的存在； （Ⅱ）结合不等式的性质求得最大值； （Ⅲ）由（Ⅱ）结合不等式的性质求得z=b﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22523.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）设t=sinx，在x∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14584.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22524.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）递增， 即有f（t）=t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），f′（t）=2t﹣a， ①当a≥2时，f′（t）≤0，f（t）递减，即f（sinx）递减； 当a≤﹣2时，f′（t）≥0，f（t）递增，即f（sinx）递增． 即有a≥2或a≤﹣2时，不存在极值． ②当﹣2＜a＜2时，﹣1＜t＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22525.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，f′（t）＜0，f（sinx）递减； ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22525.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜t＜1，f′（t）＞0，f（sinx）递增． f（sinx）有极小值f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22525.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=b﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22526.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}； （Ⅱ）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22524.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22524.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}时，\|f（sinx）﹣f0（sinx）\|=\|（a﹣a0）sinx+b﹣b0\|≤\|a﹣a0\|+\|b﹣b0\| 当（a﹣a0）（b﹣b0）≥0时，取x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22527.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，等号成立； 当（a﹣a0）（b﹣b0）≤0时，取x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22527.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，等号成立． 由此可知，\|f（sinx）﹣f0（sinx）\|在\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22527.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22527.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]上的最大值为D=\|a﹣a0\|+\|b﹣b0\|． （Ⅲ）D≤1即为\|a\|+\|b\|≤1，此时0≤a2≤1，﹣1≤b≤1，从而z=b﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22528.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}≤1 取a=0，b=1，则\|a\|+\|b\|≤1，并且z=b﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22528.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}=1． 由此可知，z=b﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22528.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}满足条件D≤1的最大值为1． 【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数形结合的思想，属于难题． 　 2015年安徽省高考数学试卷（文科） ================================ 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科） 1．（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（　　） A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i 【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可． 【解答】解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i． 故选：C． 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查． 　 2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁UB）=（　　） A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4} 【分析】进行补集、交集的运算即可． 【解答】解：∁RB={1，5，6}； ∴A∩（∁RB）={1，2}∩{1，5，6}={1}． 故选：B． 【点评】考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合． 　 3．（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（　　） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】判断必要条件与充分条件，推出结果即可． 【解答】解：设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q成立，必有p成立， 所以p是q成立的必要不充分条件． 故选：C． 【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查． 　 4．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（　　） A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx 【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答． 【解答】解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数； 对于B，是偶函数，但是不存在零点； 对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数； 对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点； 故选：D． 【点评】本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断f（﹣x）与f（x）的关系． 　 5．（5分）已知x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22529.png){width="0.7923611111111111in" height="0.65625in"}，则z=﹣2x+y的最大值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1 【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值． 【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分， 当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22530.png){width="0.5409722222222222in" height="0.4173611111111111in"}得到A（1，1）， 所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1； 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22531.png){width="2.6465277777777776in" height="2.5944444444444446in"} 【点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键． 　 6．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（　　） A．x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22532.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22533.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣y2=1 C．x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22534.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22535.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣y2=1 【分析】由双曲线方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22536.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22537.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22538.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x，对选项一一判断即可得到答案． 【解答】解：由双曲线方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22539.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22540.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22538.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x， 由A可得渐近线方程为y=±2x， 由B可得渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22541.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x， 由C可得渐近线方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22542.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}x， 由D可得渐近线方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22543.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}x． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题． 　 7．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22544.png){width="1.8854166666666667in" height="2.6256944444444446in"} A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22545.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}时不满足条件\|a﹣1.414\|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=1，n=1 满足条件\|a﹣1.414\|＞0.005，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22546.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，n=2 满足条件\|a﹣1.414\|＞0.005，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22547.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，n=3 满足条件\|a﹣1.414\|＞0.005，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22545.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，n=4 不满足条件\|a﹣1.414\|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n的值是解题的关键，属于基础题． 　 8．（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（　　） A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12 【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值． 【解答】解：由圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1， ∴圆心坐标为（1，1），半径为1， ∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切， ∴圆心（1，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离等于圆的半径， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22548.png){width="1.895138888888889in" height="0.4479166666666667in"}，解得：b=2或b=12． 故选：D． 【点评】本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题． 　 9．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22549.png){width="2.3541666666666665in" height="2.6569444444444446in"} A．1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22550.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．1+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20184.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22551.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17249.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 【分析】判断得出三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17249.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，AB⊥BC， 可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形， 运用面积求解即可． 【解答】解：∵![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22552.png){width="2.3541666666666665in" height="2.6569444444444446in"} ∴ ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22553.png){width="1.9791666666666667in" height="1.75in"} 三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17249.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} ∴AB⊥BC， ∴可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形， S△OAC=S△ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22554.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}=1， S△OAB=S△OBC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22555.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22556.png){width="0.4173611111111111in" height="0.1875in"}2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22557.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 该四面体的表面积：2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22558.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}， 故选：C． 【点评】本题考查了三棱锥的三视图的运用，关键是恢复几何体的直观图，考查了学生的空间思维能力． 　 10．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22559.png){width="1.4791666666666667in" height="1.1458333333333333in"} A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0 【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可． 【解答】解：f（0）=d＞0，排除D， 当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C， 函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c， 则f′（x）=0有两个不同的正实根， 则x1+x2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22560.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}＞0且x1x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22561.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}＞0，（a＞0）， ∴b＜0，c＞0， 方法2：f′（x）=3ax2+2bx+c， 由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上， 则a＞0，且x1+x2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22560.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}＞0且x1x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22561.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}＞0，（a＞0）， ∴b＜0，c＞0， 故选：A． 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及f（0）的符号是解决本题的关键． 　 二、填空题 11．（3分）lg![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22562.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+2lg2﹣（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22563.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）﹣1=　﹣1　． 【分析】根据指数幂和对数的运算法则计算即可． 【解答】解：lg![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22562.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+2lg2﹣（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22563.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）﹣1 =lg5﹣lg2+2lg2﹣2 =lg5+lg2﹣2 =1﹣2 =﹣1． 故答案为﹣1． 【点评】本题主要考查了指数幂和对数的运算，比较基础． 　 12．（3分）在△ABC中，AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22564.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，∠A=75°，∠B=45°，则AC=　2　． 【分析】由三角形的内角和定理可得角C，再由正弦定理，计算即可得到AC． 【解答】解：∠A=75°，∠B=45°， 则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°， 由正弦定理可得， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22565.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22566.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}， 即有AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22567.png){width="0.6666666666666666in" height="0.8013888888888889in"}=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的内角和定理，考查运算能力，属于基础题． 　 13．（3分）已知数列{an}中，a1=1，an=an﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22568.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（n≥2），则数列{an}的前9项和等于　27　． 【分析】通过an=an﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22568.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（n≥2）可得公差，进而由求和公式即得结论． 【解答】解：∵an=an﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22568.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（n≥2）， ∴an﹣an﹣1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22569.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（n≥2）， ∴数列{an}的公差d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22569.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 又a1=1， ∴an=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22569.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（n﹣1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22570.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}， ∴S9=9a1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22571.png){width="0.71875in" height="0.36527777777777776in"}•d=9+36×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22572.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=27， 故答案为：27． 【点评】本题考查等差数列的求和，注意解题方法的积累，属于基础题． 　 14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=\|x﹣a\|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22573.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】由已知直线y=2a与函数y=\|x﹣a\|﹣1的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a． 【解答】解：由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，由于y=x﹣a为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数y=\|x﹣a\|﹣1的图象是折线，所以直线y=2a过折线顶点时满足题意， 所以2a=﹣1，解得a=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22574.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}； 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22573.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数． 　 15．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22575.png){width="0.5in" height="0.3326388888888889in"}满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22576.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22577.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22578.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22577.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22579.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，则下列结论中正确的是　①④⑤　．（写出所有正确结论得序号） ①![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22580.png){width="0.15694444444444444in" height="0.32430555555555557in"}为单位向量；②![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22581.png){width="0.15694444444444444in" height="0.32430555555555557in"}为单位向量；③![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22582.png){width="0.5in" height="0.32430555555555557in"}；④![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22583.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}∥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22584.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}；⑤（4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22585.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22583.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22584.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}． 【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择． 【解答】解：△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22586.png){width="0.5in" height="0.3326388888888889in"}满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22587.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22585.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22588.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22589.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22590.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22589.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22591.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}，AB=2，所以\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22589.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=1，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22589.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}是单位向量；①正确； 因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22592.png){width="0.7708333333333334in" height="0.20902777777777778in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22593.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22594.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20902777777777778in"}，故\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22595.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=2；故②错误；④正确； ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22596.png){width="0.3958333333333333in" height="0.22847222222222222in"}夹角为120°，故③错误； ⑤（4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22597.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22595.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22598.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22599.png){width="0.6145833333333334in" height="0.26944444444444443in"}=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确． 故答案为：①④⑤． 【点评】本题考查了向量的数量积运用；注意三角形的内角与向量的夹角的关系． 　 三、解答题 16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x． （Ⅰ）求f（x）最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在区间\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22600.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]上的最大值和最小值． 【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出f（x）的最小正周期； （Ⅱ）由0≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22600.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}求出2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22601.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}的取值范围，再根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最值． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x =sin2x+2sinxcosx+cos2x+2cos2x =1+sin2x+1+cos2x =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22602.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22601.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）+2，...（4分） 所以f（x）的最小正周期为T=π；...（6分） （Ⅱ）由0≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22600.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}得， 0≤2x≤π， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22601.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≤2 x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22603.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22604.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}；...（8分） 根据正弦函数y=sinx的图象可知 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22605.png){width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"}时，f（x）有最大值为2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22606.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，...（11分） 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22607.png){width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"}时，f（x）有最小值为1．...（13分） 【点评】本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目． 　 17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为\[40，50\]，\[50，60\]，...，\[80，90\]，\[90，100\] （1）求频率分布图中a的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在\[40，60\]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在\[40，50\]的概率． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22608.png){width="3.3027777777777776in" height="2.0208333333333335in"} 【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a； （2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率； （3）求出评分在\[40，60\]的受访职工和评分都在\[40，50\]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答． 【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006； （2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在\[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3； 受访职工评分在\[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2． 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种， 分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}， 又因为所抽取2人的评分都在\[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}， 故所求的概率为P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22609.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率． 　 18．已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设Sn为数列{an}的前n项和，bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22610.png){width="0.5520833333333334in" height="0.48055555555555557in"}，求数列{bn}的前n项和Tn． 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{an}的通项公式； （2）求出bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22610.png){width="0.5520833333333334in" height="0.48055555555555557in"}，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和Tn． 【解答】解：（1）∵数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8． ∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8． 解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍）， 解得q=2，即数列{an}的通项公式an=2n﹣1； （2）Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22611.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4888888888888889in"}=2n﹣1， ∴bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22610.png){width="0.5520833333333334in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22612.png){width="0.65625in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22613.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22614.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}， ∴数列{bn}的前n项和Tn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22615.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22616.png){width="0.9902777777777778in" height="0.42569444444444443in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22613.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22617.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22618.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22617.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22619.png){width="0.5520833333333334in" height="0.42569444444444443in"}． 【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键． 　 19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°． （1）求三棱锥P﹣ABC的体积； （2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22620.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}的值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22621.png){width="2.6465277777777776in" height="1.8333333333333333in"} 【分析】（1）利用VP﹣ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22622.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}•S△ABC•PA，求三棱锥P﹣ABC的体积； （2）过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，证明AC⊥平面MBN，可得AC⊥BM，利用MN∥PA，求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22620.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}的值． 【解答】（1）解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°， 可得S△ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22623.png){width="1.2395833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22624.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 因为PA⊥平面ABC，PA=1， 所以VP﹣ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22625.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}•S△ABC•PA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22626.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}； （2）解：过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM， 由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC， 因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN． 因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM． 在直角△BAN中，AN=AB•cos∠BAC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22627.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 从而NC=AC﹣AN=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22628.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 由MN∥PA得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22629.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22630.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22631.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22632.png){width="2.0520833333333335in" height="1.4375in"} 【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 20．设椭圆E的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22633.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足\|BM\|=2\|MA\|，直线OM的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22634.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． （1）求E的离心率e； （2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB． 【分析】（1）通过题意，利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22635.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22636.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22634.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，计算即得结论； （2）通过中点坐标公式解得点N坐标，利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22637.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22638.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=0即得结论． 【解答】（1）解：设M（x，y），∵A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且\|BM\|=2\|MA\|， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22635.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22636.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，即（x﹣0，y﹣b）=2（a﹣x，0﹣y）， 解得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22639.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}a，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22640.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}b，即M（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22639.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22640.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}b）， 又∵直线OM的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22641.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22642.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22641.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∴a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22643.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}b，c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22644.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}=2b， ∴椭圆E的离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22645.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22646.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}； （2）证明：∵点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点， ∴N（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22647.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22648.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}），∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22649.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22650.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22651.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）， 又∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22652.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（﹣a，b）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22652.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22653.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（﹣a，b）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22654.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22651.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22655.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}a2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22656.png){width="0.3326388888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22657.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（5b2﹣a2）， 由（1）可知a2=5b2，故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22658.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22659.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=0，即MN⊥AB． 【点评】本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题． 　 21．已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22660.png){width="0.5625in" height="0.42569444444444443in"}（a＞0，r＞0） （1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性； （2）若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22661.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值． 【分析】（1）通过令分母不为0即得f（x）的定义域，通过求导即得f（x）的单调区间； （2）通过（1）知x=r是f（x）的极大值点，计算即可． 【解答】解：（1）∵函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22662.png){width="0.5625in" height="0.42569444444444443in"}（a＞0，r＞0）， ∴x≠﹣r，即f（x）的定义域为（﹣∞，﹣r）∪（﹣r，+∞）． 又∵f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22662.png){width="0.5625in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22663.png){width="0.8534722222222222in" height="0.42569444444444443in"}， ∴f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22664.png){width="1.979861111111111in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22665.png){width="0.96875in" height="0.42569444444444443in"}， ∴当x＜﹣r或x＞r时，f′（x）＜0；当﹣r＜x＜r时，f′（x）＞0； 因此，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣r）、（r，+∞），递增区间为：（﹣r，r）； （2）由（1）的解答可得f′（x）=0，f（x）在（0，r）上单调递增，在（r，+∞）上单调递减， ∴x=r是f（x）的极大值点， ∴f（x）在（0，+∞）内的极大值为f（r）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22666.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22667.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22668.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=100． 【点评】本题考查函数的定义域、单调区间、极值，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 \ **2015年北京市高考数学试卷（理科）** 参考答案与试题解析 　 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．（5分）复数i（2﹣i）=（　　） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 【分析】利用复数的运算法则解答． 【解答】解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i； 故选：A． 【点评】本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意i2=﹣1． 　 2．（5分）若x，y满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22669.png){width="0.6256944444444444in" height="0.6451388888888889in"}，则z=x+2y的最大值为（　　） A．0 B．1 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22670.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．2 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值． 【解答】解：作出不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22671.png){width="0.6256944444444444in" height="0.6451388888888889in"}表示的平面区域， 当l经过点B时，目标函数z达到最大值 ∴z最大值=0+2×1=2． 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22672.png){width="1.59375in" height="1.7395833333333333in"} 【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 　 3．（5分）执行如图所示的程序框图输出的结果为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22673.png){width="1.5in" height="3.4902777777777776in"} A．（﹣2，2） B．（﹣4，0） C．（﹣4，﹣4） D．（0，﹣8） 【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果． 【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下； x=1，y=1， k=0时，s=x﹣y=0，t=x+y=2； x=s=0，y=t=2， k=1时，s=x﹣y=﹣2，t=x+y=2； x=s=﹣2，y=t=2， k=2时，s=x﹣y=﹣4，t=x+y=0； x=s=﹣4，y=t=0， k=3时，循环终止， 输出（x，y）是（﹣4，0）． 故选：B． 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目． 　 4．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，"m∥β"是"α∥β"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项． 【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β； α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β； ∴"m∥β"是"α∥β"的必要不充分条件． 故选：B． 【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念． 　 5．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22674.png){width="2.792361111111111in" height="2.375in"} A．2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22675.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．4+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22675.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．2+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22675.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．5 【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22675.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，OE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22675.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积． 【解答】解：根据三视图可判断直观图为： OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点， EA=2，EC=EB=1，OA=1， ∴可得AE⊥BC，BC⊥OA， 运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22675.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，OE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22675.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} ∴S△ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22676.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}2×2=2，S△OAC=S△OAB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22676.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22675.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}×1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22677.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． S△BCO=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22678.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22679.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22679.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 故该三棱锥的表面积是2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22680.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}， 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22681.png){width="1.6666666666666667in" height="2.0in"} 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质． 　 6．（5分）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（　　） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a1＜a2，则a2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22682.png){width="0.6777777777777778in" height="0.2611111111111111in"} D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论． 【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确； 若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确； {an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22683.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}，∴a2＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22683.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}，即C正确； 若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0，即D不正确． 故选：C． 【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础． 　 7．（5分）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22684.png){width="1.53125in" height="1.09375in"} A．{x\|﹣1＜x≤0} B．{x\|﹣1≤x≤1} C．{x\|﹣1＜x≤1} D．{x\|﹣1＜x≤2} 【分析】在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集． 【解答】解：由已知f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22685.png){width="2.4791666666666665in" height="2.4270833333333335in"} 满足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x\|﹣1＜x≤1}； 故选：C． 【点评】本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移． 　 8．（5分）汽车的"燃油效率"是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22686.png){width="2.3854166666666665in" height="1.90625in"} A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 D．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 【分析】根据函数图象的意义逐项分析各说法是否正确． 【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L， ∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误； 对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远， ∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误； 对于C，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故C正确； 对于D，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L， 即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故D错误． 故选：C． 【点评】本题考查了函数图象的意义，属于中档题． 　 二、填空题（每小题5分，共30分） 9．（5分）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为　40　（用数字作答） 【分析】写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3，求出r，然后求解所求数值． 【解答】解：（2+x）5的展开式的通项公式为：Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22687.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}25﹣rxr， 所求x3的系数为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22688.png){width="0.38472222222222224in" height="0.28055555555555556in"}=40． 故答案为：40． 【点评】本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力． 　 10．（5分）已知双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22689.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16171.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}x+y=0，则a=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22690.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}　． 【分析】运用双曲线的渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22691.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，结合条件可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22692.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16171.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，即可得到a的值． 【解答】解：双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22689.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣y2=1的渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22691.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 由题意可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22692.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22693.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 解得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22694.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22694.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题． 　 11．（5分）在极坐标系中，点（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22695.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）到直线ρ（cosθ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22693.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sinθ）=6的距离为　1　． 【分析】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出． 【解答】解：点P（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22695.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）化为P![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22696.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20902777777777778in"}． 直线ρ（cosθ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22697.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sinθ）=6化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22698.png){width="0.8340277777777778in" height="0.19791666666666666in"}． ∴点P到直线的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22699.png){width="0.8118055555555556in" height="0.46944444444444444in"}=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 12．（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22700.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}=　1　． 【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论． 【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6， ∴cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22701.png){width="0.71875in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22702.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22703.png){width="0.71875in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22704.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ∴sinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22705.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22706.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22707.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22708.png){width="0.8645833333333334in" height="0.8013888888888889in"}=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础． 　 13．（5分）在△ABC中，点M，N满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22709.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22710.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22711.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22712.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22713.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22714.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+y![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22715.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，则x=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22716.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}　，y=　﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22717.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】首先利用向量的三角形法则，将所求用向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22718.png){width="0.5625in" height="0.22847222222222222in"}表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值． 【解答】解：由已知得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22719.png){width="0.7708333333333334in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22720.png){width="0.7493055555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22721.png){width="1.2506944444444446in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22722.png){width="0.7493055555555556in" height="0.36527777777777776in"}； 由平面向量基本定理，得到x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22723.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22724.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}； 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22725.png){width="0.5409722222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（x，y）使，向量等式成立． 　 14．（5分）设函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22726.png){width="1.7083333333333333in" height="0.4888888888888889in"}， ①若a=1，则f（x）的最小值为　﹣1　； ②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22727.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}≤a＜1或a≥2　． 【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值； ②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围． 【解答】解：①当a=1时，f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22728.png){width="1.5409722222222222in" height="0.4888888888888889in"}， 当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1， 当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22729.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）2﹣1， 当1＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22729.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时，函数单调递减，当x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22729.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时，函数单调递增， 故当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22729.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时，f（x）min=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22729.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=﹣1， ②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a） 若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点， 所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2， 而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22730.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}≤a＜1， 若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点， 则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点， 当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去）， 当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的， 综上所述a的取值范围是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22731.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}≤a＜1，或a≥2． 【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题． 　 三、解答题（共6小题，共80分） 15．（13分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22732.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22733.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22733.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22732.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22734.png){width="0.3326388888888889in" height="0.36527777777777776in"}． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在区间\[﹣π，0\]上的最小值． 【分析】（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的周期，即可得到所求； （Ⅱ）由x的范围，可得x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22735.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22736.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22737.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22737.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22736.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22738.png){width="0.3326388888888889in" height="0.36527777777777776in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22739.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}sinx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22739.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}（1﹣cosx） =sinxcos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22740.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+cosxsin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22741.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22742.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} =sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22741.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22742.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， 则f（x）的最小正周期为2π； （Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得 ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22743.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}≤x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22741.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22741.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 即有﹣1![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22744.png){width="1.417361111111111in" height="0.38472222222222224in"}， 则当x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22745.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}时，sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22746.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）取得最小值﹣1， 则有f（x）在区间\[﹣π，0\]上的最小值为﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22747.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题． 　 16．（13分）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A组：10，11，12，13，14，15，16 B组；12，13，15，16，17，14，a 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙． （Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率； （Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； （Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 【分析】设事件Ai为"甲是A组的第i个人"，事件Bi为"乙是B组的第i个人"，由题意可知P（Ai）=P（Bi）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22748.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，i=1，2，••，7 （Ⅰ）事件等价于"甲是A组的第5或第6或第7个人"，由概率公式可得； （Ⅱ）设事件"甲的康复时间比乙的康复时间长"C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，易得P（C）=10P（A4B1），易得答案； （Ⅲ）由方差的公式可得． 【解答】解：设事件Ai为"甲是A组的第i个人"，事件Bi为"乙是B组的第i个人"， 由题意可知P（Ai）=P（Bi）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22748.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，i=1，2，••，7 （Ⅰ）事件"甲的康复时间不少于14天"等价于"甲是A组的第5或第6或第7个人" ∴甲的康复时间不少于14天的概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22749.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）设事件C为"甲的康复时间比乙的康复时间长"， 则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6， ∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）+P（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6） =10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22750.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} （Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等． 【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题． 　 17．（14分）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点． （Ⅰ）求证：AO⊥BE． （Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值； （Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22751.png){width="1.8333333333333333in" height="2.34375in"} 【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE． （Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值； （Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值 【解答】证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点， ∴AO⊥EF， ∵平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF， ∴AO⊥平面EFCB ∴AO⊥BE． （Ⅱ）取BC的中点G，连接OG， ∵EFCB是等腰梯形， ∴OG⊥EF， 由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB， ∵OG⊂平面EFCB，∴OA⊥OG， 建立如图的空间坐标系， 则OE=a，BG=2，GH=a，（a≠2），BH=2﹣a，EH=BHtan60°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22752.png){width="0.6451388888888889in" height="0.1875in"}， 则E（a，0，0），A（0，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22753.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}a），B（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22752.png){width="0.6451388888888889in" height="0.1875in"}，0）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22754.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（﹣a，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22753.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}a），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22755.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（a﹣2，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22752.png){width="0.6451388888888889in" height="0.1875in"}，0）， 设平面AEB的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22756.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（x，y，z）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22757.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22758.png){width="1.6041666666666667in" height="0.4479166666666667in"}， 令z=1，则x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22759.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，y=﹣1， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22760.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22759.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，﹣1，1）， 平面AEF的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22761.png){width="0.9576388888888889in" height="0.22847222222222222in"}， 则cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22762.png){width="0.3958333333333333in" height="0.22847222222222222in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22763.png){width="0.6368055555555555in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22764.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} 即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22764.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}； （Ⅲ）若BE⊥平面AOC， 则BE⊥OC， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22765.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=0， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22766.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（a﹣2，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22767.png){width="0.6451388888888889in" height="0.1875in"}，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22768.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（﹣2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22767.png){width="0.6451388888888889in" height="0.1875in"}，0）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22769.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0， 解得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22770.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22771.png){width="1.0833333333333333in" height="1.53125in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22772.png){width="2.3541666666666665in" height="3.073611111111111in"} 【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法． 　 18．（13分）已知函数f（x）=ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22773.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}， （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22774.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}； （Ⅲ）设实数k使得f（x）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22775.png){width="0.8534722222222222in" height="0.42569444444444443in"}对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值． 【分析】（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程． （2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立． （3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围． 【解答】解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22776.png){width="2.1666666666666665in" height="0.36527777777777776in"} 又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x． （2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22777.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}），则 g\'（x）=f\'（x）﹣2（1+x2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22778.png){width="0.4173611111111111in" height="0.48055555555555557in"}， 因为g\'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增． 所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1）， 即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22777.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）． （3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22779.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}对x∈（0，1）恒成立． 当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22780.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}，则 h\'（x）=f\'（x）﹣k（1+x2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22781.png){width="0.8340277777777778in" height="0.48055555555555557in"}， 所以当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22782.png){width="0.96875in" height="0.38472222222222224in"}时，h\'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22783.png){width="0.4479166666666667in" height="0.38472222222222224in"}）上单调递减． 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22782.png){width="0.96875in" height="0.38472222222222224in"}时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22784.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}． 所以当k＞2时，f（x）＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22784.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}并非对x∈（0，1）恒成立． 综上所知，k的最大值为2． 【点评】本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，难度适中． 　 19．（14分）已知椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22785.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22786.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22787.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M． （Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）； （Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由． 【分析】（I）根据椭圆的几何性质得出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22788.png){width="0.8965277777777778in" height="0.9055555555555556in"}求解即可． （II）求解得出M（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22789.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，0），N（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22790.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，0），运用图形得出tan∠OQM=tan∠ONQ，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22791.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22792.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}，求解即可得出即yQ2=xM•xN，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22793.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+n2，根据m，m的关系整体求解． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22794.png){width="0.8965277777777778in" height="0.9055555555555556in"} 解得：a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22795.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，b=1，c=1 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22796.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y2=1， ∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1 ∴PA的方程为：y﹣1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22797.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}x，y=0时，xM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22798.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} ∴M（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22798.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，0） （II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0） ∴点B（m，﹣n）（m≠0） ∵直线PB交x轴于点N， ∴N（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22799.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，0）， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22800.png){width="3.0527777777777776in" height="2.2395833333333335in"} ∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，yQ）， ∴tan∠OQM=tan∠ONQ， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22801.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22802.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}，即yQ2=xM•xN，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22803.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+n2=1 yQ2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22804.png){width="0.4173611111111111in" height="0.48055555555555557in"}=2， ∴yQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22805.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}， 故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22806.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）或Q（0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22806.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}） 【点评】本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题． 　 20．（13分）已知数列{an}满足：a1∈N\*，a1≤36，且an+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22807.png){width="1.4479166666666667in" height="0.5298611111111111in"}（n=1，2，...），记集合M={an\|n∈N\*}． （Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素； （Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值． 【分析】（Ⅰ）a1=6，利用an+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22808.png){width="1.4479166666666667in" height="0.5298611111111111in"}可求得集合M的所有元素为6，12，24； （Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由an+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22808.png){width="1.4479166666666667in" height="0.5298611111111111in"}（n=1，2，...），可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数； （Ⅲ）分a1是3的倍数与a1不是3的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）若a1=6，由于an+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22808.png){width="1.4479166666666667in" height="0.5298611111111111in"}（n=1，2，...），M={an\|n∈N\*}． 故集合M的所有元素为6，12，24； （Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由an+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22809.png){width="1.4479166666666667in" height="0.5298611111111111in"}（n=1，2，...），可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数． 如果k=1，M的所有元素都是3的倍数； 如果k＞1，因为ak=2ak﹣1，或ak=2ak﹣1﹣36，所以2ak﹣1是3的倍数；于是ak﹣1是3的倍数； 类似可得，ak﹣2，...，a1都是3的倍数； 从而对任意n≥1，an是3的倍数； 综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数 （Ⅲ）对a1≤36，an=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22810.png){width="1.582638888888889in" height="0.5298611111111111in"}（n=1，2，...），可归纳证明对任意n≥k，an＜36（n=2，3，...） 因为a1是正整数，a2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22811.png){width="1.3847222222222222in" height="0.5298611111111111in"}，所以a2是2的倍数． 从而当n≥2时，an是2的倍数． 如果a1是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，an是3的倍数． 因此当n≥3时，an∈{12，24，36}，这时M的元素个数不超过5． 如果a1不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，an不是3的倍数． 因此当n≥3时，an∈{4，8，16，20，28，32}，这时M的元素个数不超过8． 当a1=1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素． 综上可知，集合M的元素个数的最大值为8． 【点评】本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题． 　 \ **2015年北京市高考数学试卷（文科）** 　 一、选择题（每小题5分,共40分） 1．（5分）若集合A={x\|﹣5＜x＜2}，B={x\|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（　　） A．{x\|﹣3＜x＜2} B．{x\|﹣5＜x＜2} C．{x\|﹣3＜x＜3} D．{x\|﹣5＜x＜3} 2．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（　　） A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 3．（5分）下列函数中为偶函数的是（　　） A．y=x2sinx B．y=x2cosx C．y=\|lnx\| D．y=2﹣x 4．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（　　） ---------- ------ 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300 ---------- ------ A．90 B．100 C．180 D．300 5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22812.png){width="1.7708333333333333in" height="3.761111111111111in"} A．3 B．4 C．5 D．6 6．（5分）设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22813.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22814.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}是非零向量，"![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22815.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22813.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22814.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|"是"![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22816.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22817.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20902777777777778in"}"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22818.png){width="2.4270833333333335in" height="2.7402777777777776in"} A．1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22819.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22820.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．2 8．（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 --------------- -------------- -------------------------- 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日 48 35600 --------------- -------------- -------------------------- 注："累计里程"指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （　　） A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 　 二、填空题 9．（5分）复数i（1+i）的实部为　 　． 10．（5分）2﹣3，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22821.png){width="0.22847222222222222in" height="0.38472222222222224in"}，log25三个数中最大数的是　 　． 11．（5分）在△ABC中，a=3，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22822.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，∠A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22823.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，则∠B=　 　． 12．（5分）已知（2，0）是双曲线x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22824.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（b＞0）的一个焦点，则b=　 　． 13．（5分）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为　 　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22825.png){width="2.0416666666666665in" height="1.7708333333333333in"} 14．（5分）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生． 从这次考试成绩看， ①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是　 　； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是　 　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22826.png){width="3.8131944444444446in" height="1.8125in"} 　 三、解答题（共80分） 15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22827.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22828.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． （1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在区间\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22829.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}\]上的最小值． 16．（13分）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2 （1）求{an}的通项公式； （2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？ 17．（13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中"√"表示购买，"×"表示未购买． ----- ---- ---- ---- ---- 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × ----- ---- ---- ---- ---- （1）估计顾客同时购买乙和丙的概率； （2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率； （3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 18．（14分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22830.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，O，M分别为AB，VA的中点． （1）求证：VB∥平面MOC； （2）求证：平面MOC⊥平面VAB （3）求三棱锥V﹣ABC的体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22831.png){width="1.28125in" height="1.4479166666666667in"} 19．（13分）设函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22832.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣klnx，k＞0． （1）求f（x）的单调区间和极值； （2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22833.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\]上仅有一个零点． 20．（14分）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M． （1）求椭圆C的离心率； （2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率； （3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由． 　 \ **2015年福建省高考数学试卷（理科）** 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类） 1．（5分）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（　　） A．{﹣1} B．{1} C．{1，﹣1} D．∅ 【分析】利用虚数单位i的运算性质化简A，然后利用交集运算得答案． 【解答】解：∵A={i，i2，i3，i4}={i，﹣1，﹣i，1}，B={1，﹣1}， ∴A∩B={i，﹣1，﹣i，1}∩{1，﹣1}={1，﹣1}． 故选：C． 【点评】本题考查了交集及其运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题． 　 2．（5分）下列函数为奇函数的是（　　） A．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22834.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．y=\|sinx\| C．y=cosx D．y=ex﹣e﹣x 【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可． 【解答】解：A．函数的定义域为\[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数． B．f（﹣x）=\|sin（﹣x）\|=\|sinx\|=f（x），则f（x）为偶函数． C．y=cosx为偶函数． D．f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣（ex﹣e﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键． 　 3．（5分）若双曲线E：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22835.png){width="0.5520833333333334in" height="0.43680555555555556in"}=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且\|PF1\|=3，则\|PF2\|等于（　　） A．11 B．9 C．5 D．3 【分析】确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论． 【解答】解：由题意，双曲线E：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22835.png){width="0.5520833333333334in" height="0.43680555555555556in"}=1中a=3． ∵\|PF1\|=3，∴P在双曲线的左支上， ∴由双曲线的定义可得\|PF2\|﹣\|PF1\|=6， ∴\|PF2\|=9． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题． 　 4．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： --------------- ----- ----- ------ ------ ------ 收入x（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 --------------- ----- ----- ------ ------ ------ 根据上表可得回归直线方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22836.png){width="0.6041666666666666in" height="0.3326388888888889in"}，其中![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22837.png){width="1.332638888888889in" height="0.3326388888888889in"}，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（　　） A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元 【分析】由题意可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22838.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22839.png){width="0.10486111111111111in" height="0.19791666666666666in"}，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可． 【解答】解：由题意可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22838.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22840.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22841.png){width="0.10486111111111111in" height="0.19791666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22840.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8， 代入回归方程可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22842.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=8﹣0.76×10=0.4， ∴回归方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22843.png){width="0.10486111111111111in" height="0.22013888888888888in"}=0.76x+0.4， 把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8， 故选：B． 【点评】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题． 　 5．（5分）若变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22844.png){width="0.875in" height="0.65625in"}则z=2x﹣y的最小值等于（　　） A．2 B．﹣2 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22845.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22846.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 【解答】解：由约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22844.png){width="0.875in" height="0.65625in"}作出可行域如图， 由图可知，最优解为A， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22847.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4173611111111111in"}，解得A（﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22848.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）． ∴z=2x﹣y的最小值为2×（﹣1）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22848.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22846.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22849.png){width="2.542361111111111in" height="2.3229166666666665in"} 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 　 6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22850.png){width="1.3020833333333333in" height="3.6881944444444446in"} A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=6时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 i=1，S=0 S=cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22851.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，i=2 不满足条件i＞5，S=cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22851.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+cosπ，i=3 不满足条件i＞5，S=cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22851.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+cosπ+cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22852.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，i=4 不满足条件i＞5，S=cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22851.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+cosπ+cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22852.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+cos2π，i=5 不满足条件i＞5，S=cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22851.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+cosπ+cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22852.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+cos2π+cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22853.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=0﹣1+0+1+0=0，i=6 满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为0， 故选：C． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题． 　 7．（5分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则"l⊥m"是"l∥α"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可． 【解答】解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则"l⊥m"可能"l∥α"也可能l⊂α，反之，"l∥α"一定有"l⊥m"， 所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则"l⊥m"是"l∥α"的必要而不充分条件． 故选：B． 【点评】本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知识的考查． 　 8．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案． 【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q， ∵p＞0，q＞0， 可得a＞0，b＞0， 又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22854.png){width="0.6256944444444444in" height="0.3958333333333333in"}①或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22855.png){width="0.6256944444444444in" height="0.3958333333333333in"}②． 解①得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22856.png){width="0.37569444444444444in" height="0.3958333333333333in"}；解②得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22857.png){width="0.37569444444444444in" height="0.3958333333333333in"}． ∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题． 　 9．（5分）已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22858.png){width="2.0729166666666665in" height="0.36527777777777776in"}，若P点是△ABC所在平面内一点，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22859.png){width="1.2506944444444446in" height="0.4479166666666667in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22860.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}的最大值等于（　　） A．13 B．15 C．19 D．21 【分析】建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22860.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=﹣4（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22861.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22861.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+t），由基本不等式可得． 【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系， 可得A（0，0），B（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22862.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，0），C（0，t）， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22863.png){width="1.2506944444444446in" height="0.4479166666666667in"}，∴P（1，4）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22864.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22862.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣1，﹣4），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22865.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（﹣1，t﹣4）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22866.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=﹣4（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22862.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣4）﹣（t﹣1）=17﹣（4t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22862.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）， 由基本不等式可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22862.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+4t≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22867.png){width="0.5104166666666666in" height="0.38472222222222224in"}=4， ∴17﹣（4t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22868.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）≤17﹣4=13， 当且仅当4t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22868.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}即t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22869.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时取等号， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22870.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}的最大值为13， 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22871.png){width="2.28125in" height="2.2916666666666665in"} 【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题． 　 10．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22872.png){width="0.7298611111111111in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22873.png){width="0.8965277777777778in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22874.png){width="1.0618055555555554in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22875.png){width="1.0618055555555554in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】根据导数的概念得出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22876.png){width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}＞k＞1，用x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22877.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}代入可判断出f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22877.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22877.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，即可判断答案． 【解答】解；∵f′（0）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22878.png){width="0.2916666666666667in" height="0.31319444444444444in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22879.png){width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"} f′（x）＞k＞1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22876.png){width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}＞k＞1， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22880.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}＞k＞1， 当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22881.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}时，f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22881.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）+1＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22881.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}×k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22882.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}， 即f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22881.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22883.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}﹣1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22881.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} 故f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22884.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22884.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}， 所以f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22884.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22884.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，一定出错， 另解：设g（x）=f（x）﹣kx+1， g（0）=0，且g′（x）=f′（x）﹣k＞0， g（x）在R上递增， k＞1，对选项一一判断，可得C错． 故选：C． 【点评】本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题． 　 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．（4分）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于　80　．（用数字作答） 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数． 【解答】解：（x+2）5的展开式的通项公式为Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22885.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}•x5﹣r•2r， 令5﹣r=2，求得r=3，可得展开式中x2项的系数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22886.png){width="0.4888888888888889in" height="0.28055555555555556in"}=80， 故答案为：80． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 　 12．（4分）若锐角△ABC的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22887.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，且AB=5，AC=8，则BC等于　7　． 【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC． 【解答】解：因为锐角△ABC的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22887.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，且AB=5，AC=8， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22888.png){width="1.6152777777777778in" height="0.36527777777777776in"}， 所以sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22889.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， 所以A=60°， 所以cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22890.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 所以BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22891.png){width="1.582638888888889in" height="0.38472222222222224in"}=7． 故答案为：7． 【点评】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，比较基础． 　 13．（4分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22892.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22893.png){width="1.1041666666666667in" height="1.7708333333333333in"} 【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答． 【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）=4， 阴影部分的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22894.png){width="1.0097222222222222in" height="0.28055555555555556in"}=（4x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22895.png){width="0.3326388888888889in" height="0.36527777777777776in"}）\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22896.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22897.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22898.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}； 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22898.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用；关键是求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答． 　 14．（4分）若函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22899.png){width="1.261111111111111in" height="0.4888888888888889in"}（a＞0且a≠1）的值域是\[4，+∞），则实数a的取值范围是　（1，2\]　． 【分析】当x≤2时，检验满足f（x）≥4．当x＞2时，分类讨论a的范围，依据函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论． 【解答】解：由于函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22900.png){width="1.261111111111111in" height="0.4888888888888889in"}（a＞0且a≠1）的值域是\[4，+∞）， 故当x≤2时，满足f（x）=6﹣x≥4． ①若a＞1，f（x）=3+logax在它的定义域上单调递增， 当x＞2时，由f（x）=3+logax≥4，∴logax≥1，∴loga2≥1，∴1＜a≤2． ②若0＜a＜1，f（x）=3+logax在它的定义域上单调递减， f（x）=3+logax＜3+loga2＜3，不满足f（x）的值域是\[4，+∞）． 综上可得，1＜a≤2， 故答案为：（1，2\]． 【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题． 　 15．（4分）一个二元码是由0和1组成的数字串![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22901.png){width="1.417361111111111in" height="0.28055555555555556in"}，其中xk（k=1，2，...，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0） 已知某种二元码x1x2...x7的码元满足如下校验方程组：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22902.png){width="1.6256944444444446in" height="0.7923611111111111in"} 其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0． 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于　5　． 【分析】根据二元码x1x2...x7的码元满足的方程组，及"⊕"的运算规则，将k的值从1至7逐个验证即可． 【解答】解：依题意，二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101， ①若k=1，则x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1， 从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1； ②若k=2，则x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1， 从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2； ③若k=3，则x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1， 从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3； ④若k=4，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1， 从而由校验方程组，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4； ⑤若k=5，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1， 从而由校验方程组，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0， 故k=5符合题意； ⑥若k=6，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1， 从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6； ⑦若k=7，则x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0， 从而由校验方程组，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7； 综上，k等于5． 故答案为：5． 【点评】本题属新定义题，关键是弄懂新定义的含义或规则，事实上，本题中的运算符号"⊕"可看作是两个数差的绝对值运算，知道了这一点，验证就不是难事了． 　 三、解答题 16．（13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定． （1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率； （2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望． 【分析】（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率； （2）随机变量X的取值为：1，2，3，分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望． 【解答】解：（1）设"当天小王的该银行卡被锁定"的事件为A， 则P（A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22903.png){width="1.0208333333333333in" height="0.36527777777777776in"}． （2）有可能的取值是1，2，3 又则P（X=1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22904.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， P（X=2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22905.png){width="0.4583333333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22904.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， P（X=3）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22906.png){width="0.4583333333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22907.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 所以X的分布列为： --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ X 1 2 3 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22908.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22908.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22907.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ EX=1×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22908.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22908.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+3×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22907.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22909.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本小题主要考查分步计数原理、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想． 　 17．（13分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点． （1）求证：GF∥平面ADE； （2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22910.png){width="1.3229166666666667in" height="1.5729166666666667in"} 【分析】解法一：（1）取AE的中点H，连接HG，HD，通过证明四边形HGFD是平行四边形来证明GF∥DH，由线面平行的判定定理可得； （2）以B为原点，分别以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22911.png){width="0.9381944444444444in" height="0.22847222222222222in"}的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC和平面AEF的法向量，由向量夹角的余弦值可得． 解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，通过证明平面GMF∥平面ADE来证明GF∥平面ADE；（2）同解法一． 【解答】解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD， ∵G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22912.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}AB， 又∵F是CD中点，四边形ABCD是矩形， ∴DF∥AB，且DF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22912.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}AB，即GH∥DF，且GH=DF， ∴四边形HGFD是平行四边形，∴GF∥DH， 又∵DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，∴GF∥平面ADE． （2）如图，在平面BEG内，过点B作BQ∥CE， ∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE， 又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ， 以B为原点，分别以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22913.png){width="0.9381944444444444in" height="0.22847222222222222in"}的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1） ∵AB⊥平面BEC，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22914.png){width="1.042361111111111in" height="0.22847222222222222in"}为平面BEC的法向量， 设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22915.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（x，y，z）为平面AEF的法向量．又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22916.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（2，0，﹣2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22917.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（2，2，﹣1） 由垂直关系可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22918.png){width="1.354861111111111in" height="0.4888888888888889in"}，取z=2可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22919.png){width="1.042361111111111in" height="0.22847222222222222in"}． ∴cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22920.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22921.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22922.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22923.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ∴平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22923.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF， 又G是BE的中点，可知GM∥AE，且GM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22924.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}AE 又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE， ∴GM∥平面ADE． 在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点可得MF∥AD． 又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE，∴MF∥平面ADE． 又∵GM∩MF=M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF ∴平面GMF∥平面ADE， ∵GF⊂平面GMF，∴GF∥平面ADE （2）同解法一． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22925.png){width="1.3229166666666667in" height="1.5729166666666667in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22926.png){width="1.5104166666666667in" height="1.7083333333333333in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22927.png){width="1.3229166666666667in" height="1.5729166666666667in"} 【点评】本题考查空间线面位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，建系求二面角是解决问题的关键，属难题． 　 18．（13分）已知椭圆E：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22928.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22929.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）过点![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22930.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20902777777777778in"}，且离心率e为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22931.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． （1）求椭圆E的方程； （2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22932.png){width="0.6777777777777778in" height="0.36527777777777776in"}与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image22933.png){width="1.6979166666666667in" height="1.53125in"} 【分析】解法一：（1）由已知得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22934.png){width="0.8965277777777778in" height="0.9270833333333334in"}，解得即可得出椭圆E的方程． （2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22935.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}．\|GH\|2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22936.png){width="1.03125in" height="0.36527777777777776in"}．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22937.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22938.png){width="2.125in" height="0.48055555555555557in"}，作差\|GH\|2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22937.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}即可判断出． 解法二：（1）同解法一． （2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22939.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22940.png){width="1.0208333333333333in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22941.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22942.png){width="1.0208333333333333in" height="0.36527777777777776in"}．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22943.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22944.png){width="1.729861111111111in" height="0.36527777777777776in"}即可得出∠AGB，进而判断出位置关系． 【解答】解法一：（1）由已知得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22945.png){width="0.8965277777777778in" height="0.9270833333333334in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22946.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4173611111111111in"}， ∴椭圆E的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22947.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"}． （2）设点A（x1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22948.png){width="0.8444444444444444in" height="0.6777777777777778in"}，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0， ∴y1+y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22949.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}，y1y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22950.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}，∴y0=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22951.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}． G![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22952.png){width="0.6777777777777778in" height="0.36527777777777776in"}， ∴\|GH\|2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22953.png){width="1.03125in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22954.png){width="0.8118055555555556in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22955.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2916666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22956.png){width="0.7597222222222222in" height="0.2916666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22957.png){width="0.43680555555555556in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22958.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22959.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22960.png){width="1.6868055555555554in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22961.png){width="2.125in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22962.png){width="1.4368055555555554in" height="0.2916666666666667in"}， 故\|GH\|2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22963.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22964.png){width="1.4694444444444446in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22965.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22966.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22967.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22968.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22969.png){width="0.7708333333333334in" height="0.48055555555555557in"}＞0． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22970.png){width="0.9055555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，故G在以AB为直径的圆外． 解法二：（1）同解法一． （2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22971.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22972.png){width="1.0208333333333333in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22973.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22974.png){width="1.0208333333333333in" height="0.36527777777777776in"}． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22975.png){width="0.8444444444444444in" height="0.6777777777777778in"}，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0， ∴y1+y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22976.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}，y1y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22977.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}， 从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22978.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22979.png){width="1.729861111111111in" height="0.36527777777777776in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22980.png){width="1.426388888888889in" height="0.36527777777777776in"}+y1y2 =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22981.png){width="1.96875in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22982.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22983.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22984.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22982.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22985.png){width="0.7708333333333334in" height="0.48055555555555557in"}＞0． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22986.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}＞0，又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22987.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22988.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}不共线， ∴∠AGB为锐角． 故点G![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22989.png){width="0.6777777777777778in" height="0.36527777777777776in"}在以AB为直径的圆外． 【点评】本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题． 　 19．（13分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：先将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再将所得到的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22990.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度． （1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴方程； （2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在\[0，2π）内有两个不同的解α，β （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：cos（α﹣β）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22991.png){width="0.3326388888888889in" height="0.42569444444444443in"}﹣1． 【分析】（1）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得：f（x）=2sinx，从而可求对称轴方程． （2）（i）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f（x）+g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22992.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin（x+φ）（其中sinφ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22993.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，cosφ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22994.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}），从而可求\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22995.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}\|＜1，即可得解． （ii）由题意可得sin（α+φ）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22995.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，sin（β+φ）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22996.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}．当1≤m＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22997.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}时，可求α﹣β=π﹣2（β+φ），当﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22997.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}＜m＜0时，可求α﹣β=3π﹣2（β+φ），由cos（α﹣β）=2sin2（β+φ）﹣1，从而得证． 【解答】解：（1）将g（x）=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx的图象，再将y=2cosx的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22998.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度后得到y=2cos（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22998.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的图象，故f（x）=2sinx， 从而函数f（x）=2sinx图象的对称轴方程为x=k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22999.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}（k∈Z）． （2）（i）f（x）+g（x）=2sinx+cosx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22997.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23000.png){width="1.270138888888889in" height="0.38472222222222224in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23001.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin（x+φ）（其中sinφ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23002.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，cosφ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23003.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}） 依题意，sin（x+φ）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23004.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}在区间\[0，2π）内有两个不同的解α，β，当且仅当\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23004.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}\|＜1，故m的取值范围是（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23001.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23005.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）． （ii）因为α，β是方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23005.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin（x+φ）=m在区间\[0，2π）内的两个不同的解， 所以sin（α+φ）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23006.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，sin（β+φ）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23006.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 当1≤m＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23005.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}时，α+β=2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23007.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣φ），即α﹣β=π﹣2（β+φ）； 当﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23005.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}＜m＜1时，α+β=2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23008.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}﹣φ），即α﹣β=3π﹣2（β+φ）； 所以cos（α﹣β）=﹣cos2（β+φ）=2sin2（β+φ）﹣1=2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23009.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}）2﹣1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23010.png){width="0.5215277777777778in" height="0.42569444444444443in"}． 【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想． 　 20．（7分）已知函数f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R） （1）证明：当x＞0时，f（x）＜x； （2）证明：当k＜1时，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）； （3）确定k的所有可能取值，使得存在t＞0，对任意的x∈（0，t），恒有\|f（x）﹣g（x）\|＜x2． 【分析】（1）令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x≥0，求导得到F′（x）≤0，说明F（x）在\[0，+∞）上单调递减，则x＞0时，f（x）＜x； （2）令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），可得k≤0时，G′（x）＞0，说明G（x）在（0，+∞）上单调递增，存在x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；当0＜k＜1时，由G′（x）=0，求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23011.png){width="1.1659722222222222in" height="0.36527777777777776in"}．取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23012.png){width="0.6256944444444444in" height="0.36527777777777776in"}，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，G（x）在上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）； （3）分k＞1、k＜1和k=1把不等式\|f（x）﹣g（x）\|＜x2的左边去绝对值，当k＞1时，利用导数求得\|f（x）﹣g（x）\|＞x2，满足题意的t不存在． 当k＜1时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的任意x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈\[0，+∞），求导数分析满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，\|f（x）﹣g（x）\|=g（x）﹣f（x）=x﹣ln（1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈\[0，+∞），则有x＞0，H′（x）＜0，H（x）在\[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，说明当x＞0时，恒有\|f（x）﹣g（x）\|＜x2，此时，满足t＞0的实数t存在． 【解答】（1）证明：令F（x）=f（x）﹣x=ln（1+x）﹣x，x≥0， 则有F′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23013.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}﹣1=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23014.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}， ∵x≥0， ∴F′（x）≤0， ∴F（x）在\[0，+∞）上单调递减， ∴当x∈（0，+∞）时，有F（x）＜F（0）=0， ∴x＞0时，f（x）＜x； （2）证明：令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞）， 则有G′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23013.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}﹣k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23015.png){width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 当k≤0时，G′（x）＞0， ∴G（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴G（x）＞G（0）=0， 故对任意正实数x0均满足题意． 当0＜k＜1时，令G′（x）=0，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23016.png){width="1.1659722222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23017.png){width="0.6256944444444444in" height="0.36527777777777776in"}，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，∴G（x）在（0，x0）上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）． 综上，当k＜1时，总存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）； （3）解：当k＞1时，由（1）知，对于任意x∈（0，+∞），g（x）＞x＞f（x），故g（x）＞f（x）， \|f（x）﹣g（x）\|=g（x）﹣f（x）=kx﹣ln（1+x）， 令M（x）=kx﹣ln（1+x）﹣x2，x∈（0，+∞），则有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23018.png){width="2.7819444444444446in" height="0.42569444444444443in"}， 故当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23019.png){width="2.354861111111111in" height="0.4479166666666667in"}时，M′（x）＞0，M（x）在\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23020.png){width="1.6458333333333333in" height="0.4479166666666667in"}）上单调递增， 故M（x）＞M（0）=0，即\|f（x）﹣g（x）\|＞x2，∴满足题意的t不存在． 当k＜1时，由（2）知存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），f（x）＞g（x）． 此时\|f（x）﹣g（x）\|=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx， 令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈\[0，+∞），则有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23021.png){width="2.7819444444444446in" height="0.42569444444444443in"}， 故当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23022.png){width="2.6041666666666665in" height="0.4479166666666667in"}时，N′（x）＞0，N（x）在\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23023.png){width="1.895138888888889in" height="0.4479166666666667in"}）上单调递增，故N（x）＞N（0）=0， 即f（x）﹣g（x）＞x2，记x0与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23024.png){width="1.895138888888889in" height="0.4479166666666667in"}中较小的为x1， 则当x∈（0，x1）时，恒有\|f（x）﹣g（x）\|＞x2，故满足题意的t不存在． 当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，\|f（x）﹣g（x）\|=g（x）﹣f（x）=x﹣ln（1+x）， 令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈\[0，+∞），则有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23025.png){width="2.0319444444444446in" height="0.42569444444444443in"}， 当x＞0，H′（x）＜0，∴H（x）在\[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0， 故当x＞0时，恒有\|f（x）﹣g（x）\|＜x2，满足t＞0的实数t存在． 综上，k=1． 【点评】本小题主要考查导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想，是压轴题． 　 四、选修4-2：矩阵与变换 21．（7分）已知矩阵A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23026.png){width="0.43680555555555556in" height="0.3958333333333333in"}，B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23027.png){width="0.5215277777777778in" height="0.3958333333333333in"} （1）求A的逆矩阵A﹣1； （2）求矩阵C，使得AC=B． 【分析】（1）求出矩阵的行列式，即可求A的逆矩阵A﹣1； （2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B，即可求矩阵C，使得AC=B． 【解答】解：（1）因为\|A\|=2×3﹣1×4=2， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23028.png){width="1.7909722222222222in" height="0.7923611111111111in"}； （2）由AC=B得（A﹣1A）C=A﹣1B， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23029.png){width="2.5215277777777776in" height="0.5930555555555556in"}． 【点评】本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． 　 五、选修4-4：坐标系与参数方程 22．（7分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23030.png){width="0.9576388888888889in" height="0.40625in"}（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴），直线l的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23031.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}ρsin（θ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23032.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=m，（m∈R） （1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程； （2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值． 【分析】（1）直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可． （2）直接利用点到直线的距离个数求解即可． 【解答】解：（1）消去参数t，得到圆的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23031.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}ρsin（θ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23032.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=m，得ρsinθ﹣ρcosθ﹣m=0， 所以直线l的直角坐标方程为：x﹣y+m=0． （2）依题意，圆心C（1，﹣2）到直线l：x﹣y+m=0的距离等于2，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23033.png){width="1.0729166666666667in" height="0.38472222222222224in"}，解得m=﹣3±2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23034.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 【点评】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． 　 六、选修4-5：不等式选讲 23．（7分）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=\|x+a\|+\|x﹣b\|+c的最小值为4． （1）求a+b+c的值； （2）求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23035.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}a2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23036.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}b2+c2的最小值． 【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值； （2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值． 【解答】解：（1）因为f（x）=\|x+a\|+\|x﹣b\|+c≥\|（x+a）﹣（x﹣b）\|+c=\|a+b\|+c， 当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立， 又a＞0，b＞0，所以\|a+b\|=a+b， 所以f（x）的最小值为a+b+c， 所以a+b+c=4； （2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得， （![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23037.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}a2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23036.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}b2+c2）（4+9+1）≥（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23038.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}•2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23039.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}•3+c•1）2=（a+b+c）2=16， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23037.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}a2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23036.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}b2+c2≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23040.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23041.png){width="0.26944444444444443in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23042.png){width="0.26944444444444443in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23043.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，即a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23040.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23044.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23045.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时，等号成立． 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23046.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}a2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23047.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}b2+c2的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23048.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题． 　 \ **2015年福建省高考数学试卷（文科）** 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．（5分）若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（　　） A．3，﹣2 B．3，2 C．3，﹣3 D．﹣1，4 【分析】由复数的加法运算化简等式左边，然后由实部等于实部，虚部等于虚部求得a，b的值． 【解答】解：由（1+i）+（2﹣3i）=3﹣2i=a+bi， 得a=3，b=﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查复数的加法运算及复数相等的条件，是基础题． 　 2．（5分）若集合M={x\|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，则M∩N=（　　） A．{0} B．{1} C．{0，1，2} D．{0，1} 【分析】直接利用交集及其运算得答案． 【解答】解：由M={x\|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}， 得M∩N={x\|﹣2≤x＜2}∩{0，1，2}={0，1}． 故选：D． 【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题． 　 3．（5分）下列函数为奇函数的是（　　） A．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23049.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．y=ex C．y=cosx D．y=ex﹣e﹣x 【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可． 【解答】解：A．函数的定义域为\[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数． B．函数y=ex单调递增，为非奇非偶函数． C．y=cosx为偶函数． D．f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣（ex﹣e﹣x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键． 　 4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23050.png){width="1.4895833333333333in" height="2.3645833333333335in"} A．2 B．7 C．8 D．128 【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23051.png){width="0.7923611111111111in" height="0.48055555555555557in"}的值，从而得解． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23051.png){width="0.7923611111111111in" height="0.48055555555555557in"}的值， 若x=1 不满足条件x≥2，y=8 输出y的值为8． 故选：C． 【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题． 　 5．（5分）若直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23052.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23053.png){width="0.23958333333333334in" height="0.37569444444444444in"}=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】将（1，1）代入直线得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23054.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23055.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=1，从而a+b=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23054.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23056.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）（a+b），利用基本不等式求出即可． 【解答】解：∵直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23057.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23058.png){width="0.23958333333333334in" height="0.37569444444444444in"}=1（a＞0，b＞0）过点（1，1）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23059.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23056.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=1（a＞0，b＞0）， 所以a+b=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23059.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23056.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）（a+b）=2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23060.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23061.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}≥2+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23062.png){width="0.48055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}=4， 当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23063.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23064.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}即a=b=2时取等号， ∴a+b最小值是4， 故选：C． 【点评】本题考察了基本不等式的性质，求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23065.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23066.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=1，得到a+b=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23065.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23066.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）（a+b）是解题的关键． 　 6．（5分）若sinα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23067.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，则α为第四象限角，则tanα的值等于（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23068.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23068.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23069.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23069.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cosα，然后求解即可． 【解答】解：sinα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23067.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，则α为第四象限角，cosα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23070.png){width="0.8444444444444444in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23071.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， tanα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23072.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23073.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：D． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力． 　 7．（5分）设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23074.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23075.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23076.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23074.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23077.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23078.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20902777777777778in"}，则实数k的值等于（　　） A．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23079.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23080.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23080.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23079.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】由题意可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23081.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的坐标，进而由垂直关系可得k的方程，解方程可得． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23082.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23077.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，1）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23083.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23084.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23085.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1+k，2+k） ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23086.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20902777777777778in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23085.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23083.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0， ∴1+k+2+k=0，解得k=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23087.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 故选：A． 【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题． 　 8．（5分）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1，0），且点C与点D在函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23088.png){width="1.198611111111111in" height="0.6256944444444444in"}的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23089.png){width="1.4479166666666667in" height="1.1041666666666667in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23090.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23091.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23092.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23093.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】由题意易得矩形和三角形顶点的坐标，进而可得面积，由几何概型可得． 【解答】解：由题意可得B（1，0），把x=1代入y=x+1可得y=2，即C（1，2）， 把x=0代入y=x+1可得y=1，即图中阴影三角形的第3个定点为（0，1）， 令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23094.png){width="0.5104166666666666in" height="0.36527777777777776in"}=2可解得x=﹣2，即D（﹣2，2）， ∴矩形的面积S=3×2=6，阴影三角形的面积S′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23093.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×3×1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23095.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴所求概率P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23096.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23097.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 故选：B． 【点评】本题考查几何概型，涉及面积公式和分段函数，属基础题． 　 9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23098.png){width="1.75in" height="1.9375in"} A．8+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23099.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．11+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23099.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．14+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23100.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．15 【分析】判断出该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高为1，运用梯形，矩形的面积公式求解即可． 【解答】解：根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱， 底面的梯形上底1，下底2，高为1， ∴侧面为（4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23101.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}）×2=8![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23102.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}， 底面为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23103.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}（2+1）×1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13952.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 故几何体的表面积为8![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23102.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23104.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=11![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23102.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}， 故选：B． 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，关键是能够恢复判断几何体的形状． 　 10．（5分）变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23105.png){width="0.875in" height="0.65625in"}，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值． 【解答】解：由约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23105.png){width="0.875in" height="0.65625in"}作出可行域如图， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23106.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4173611111111111in"}，解得A（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23107.png){width="0.9576388888888889in" height="0.36527777777777776in"}）， 化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z， 由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23108.png){width="1.5520833333333333in" height="0.36527777777777776in"}， 解得：m=1． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23109.png){width="2.6569444444444446in" height="2.1458333333333335in"} 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 　 11．（5分）已知椭圆E：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23110.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23111.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若\|AF\|+\|BF\|=4，点M到直线l的距离不小于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23112.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　） A．（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23113.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}\] B．（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23114.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\] C．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23113.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，1） D．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23114.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，1） 【分析】如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=\|AF\|+\|BF\|=\|AF′\|+\|BF\|=2a．取M（0，b），由点M到直线l的距离不小于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23112.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23115.png){width="0.6256944444444444in" height="0.4479166666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23116.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}，解得b≥1．再利用离心率计算公式e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23117.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23118.png){width="0.5215277777777778in" height="0.5in"}即可得出． 【解答】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形， ∴4=\|AF\|+\|BF\|=\|AF′\|+\|AF\|=2a，∴a=2． 取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23119.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23120.png){width="0.6256944444444444in" height="0.4479166666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23116.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}，解得b≥1． ∴e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23117.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23121.png){width="0.5215277777777778in" height="0.5in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23122.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23123.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． ∴椭圆E的离心率的取值范围是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23124.png){width="0.6972222222222222in" height="0.38472222222222224in"}． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23125.png){width="1.6875in" height="1.4791666666666667in"} 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 12．（5分）"对任意x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23126.png){width="0.8444444444444444in" height="0.36527777777777776in"}，ksinxcosx＜x"是"k＜1"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】利用二倍角公式化简不等式，利用三角函数线判断充要条件即可． 【解答】解：对任意x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23126.png){width="0.8444444444444444in" height="0.36527777777777776in"}，ksinxcosx＜x，即对任意x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23126.png){width="0.8444444444444444in" height="0.36527777777777776in"}，ksin2x＜2x， 当k＜1时，ksin2x＜2x恒成立（sinx＜x在x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23126.png){width="0.8444444444444444in" height="0.36527777777777776in"}恒成立），但是对任意x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23127.png){width="0.8444444444444444in" height="0.36527777777777776in"}，ksinxcosx＜x"，可得k=1也成立， 所以"对任意x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23127.png){width="0.8444444444444444in" height="0.36527777777777776in"}，ksinxcosx＜x"是"k＜1"的必要而不充分条件． 故选：B． 【点评】本题考查充要条件的判断与应用，三角函数线的应用，考查逻辑推理能力． 　 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．（4分）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为　25　． 【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出应抽取的男生人数． 【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23128.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23129.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 则应抽取的男生人数是500×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23129.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=25人， 故答案为：25． 【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目． 　 14．（4分）在△ABC中，AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23130.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长度是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23131.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}　． 【分析】根据∠A和∠C求得∠B，进而根据正弦定理求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23132.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}求得BC． 【解答】解：∠B=180°﹣45°﹣75°=60° 由正弦定理可知ACsinB=BCsinA ∴BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23133.png){width="0.7402777777777778in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23131.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 故答案为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23131.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题． 　 15．（4分）若函数f（x）=2\|x﹣a\|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在\[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于　1　． 【分析】先由f（1+x）=f（1﹣x）得到f（x）的图象关于直线x=1轴对称，进而求得a=1，再根据题中所给单调区间，求出m≥1． 【解答】解：因为f（1+x）=f（1﹣x）， 所以，f（x）的图象关于直线x=1轴对称， 而f（x）=2\|x﹣a\|，所以f（x）的图象关于直线x=a轴对称， 因此，a=1，f（x）=2\|x﹣1\|， 且该函数在（﹣∞，1\]上单调递减，在\[1，+∞）上单调递增， 又因为函数f（x）在\[m，+∞）上单调递增， 所以，m≥1，即实数m的最小值为1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了指数型复合函数的图象与性质，涉及该函数图象的对称性和单调区间，体现了数形结合的解题思想，属于中档题． 　 16．（4分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于　9　． 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案． 【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q， ∵p＞0，q＞0， 可得a＞0，b＞0， 又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23134.png){width="0.6256944444444444in" height="0.3958333333333333in"}①或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23135.png){width="0.6256944444444444in" height="0.3958333333333333in"}②． 解①得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23136.png){width="0.37569444444444444in" height="0.3958333333333333in"}；解②得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23137.png){width="0.37569444444444444in" height="0.3958333333333333in"}． ∴p=a+b=5，q=1×4=4， 则p+q=9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题． 　 三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（12分）等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23138.png){width="0.42569444444444443in" height="0.2611111111111111in"}+n，求b1+b2+b3+...+b10的值． 【分析】（Ⅰ）建立方程组求出首项与公差，即可求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）bn=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23138.png){width="0.42569444444444443in" height="0.2611111111111111in"}+n=2n+n，利用分组求和求b1+b2+b3+...+b10的值． 【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23139.png){width="1.7194444444444446in" height="0.5104166666666666in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23140.png){width="0.4888888888888889in" height="0.4583333333333333in"}， 所以an=3+（n﹣1）=n+2； （Ⅱ）bn=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23141.png){width="0.42569444444444443in" height="0.2611111111111111in"}+n=2n+n， 所以b1+b2+b3+...+b10=（2+1）+（22+2）+...+（210+10） =（2+22+...+210）+（1+2+...+10） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23142.png){width="0.7493055555555556in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23143.png){width="0.8861111111111111in" height="0.36527777777777776in"}=2101． 【点评】本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，求出数列的通项是关键． 　 18．（12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标，根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的"省级卫视新闻台"融合指数的数据，对名列前20名的"省级卫视新闻台"的融合指数进行分组统计，结果如表所示： ------ ---------- ------ 组号 分组 频数 1 \[4，5） 2 2 \[5，6） 8 3 \[6，7） 7 4 \[7，8\] 3 ------ ---------- ------ （1）现从融合指数在\[4，5）和\[7，8\]内的"省级卫视新闻台"中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在\[7，8\]内的概率； （2）根据分组统计表求这20家"省级卫视新闻台"的融合指数的平均数． 【分析】（1）利用列举法列出基本事件，结合古典概型的概率公式进行求解即可． （2）根据平均数的定义和公式进行计算即可． 【解答】解：（1）融合指数在\[7，8\]内的"省级卫视新闻台"记为A1，A2，A3， 融合指数在\[4，5）内的"省级卫视新闻台"记为B1，B2， 从融合指数在\[4，5）和\[7，8\]内的"省级卫视新闻台"中随机抽取2家进行调研的事件为： {A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}， {B1，B2}，共10个． 至少有1家的融合指数在\[7，8\]内的事件有；{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}， {A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个， 则至少有1家的融合指数在\[7，8\]内的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23144.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}； （2）根据分组统计表求这20家"省级卫视新闻台"的融合指数的平均数为： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23145.png){width="2.8756944444444446in" height="0.36527777777777776in"}=6.05． 【点评】本题主要考查古典概型，频率分布表，平均数等基础知识，考查数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查必然与或然思想等． 　 19．（12分）已知点F为抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且\|AF\|=3， （Ⅰ）求抛物线E的方程； （Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23146.png){width="1.3541666666666667in" height="1.5833333333333333in"} 【分析】解法一：（I）由抛物线定义可得：\|AF\|=2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23147.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=3，解得p．即可得出抛物线E的方程． （II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23148.png){width="0.7493055555555556in" height="0.20902777777777778in"}，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2﹣5x+2=0，解得B![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23149.png){width="0.8229166666666666in" height="0.36527777777777776in"}．又G（﹣1，0），计算kGA，kGB，可得kGA+kGB=0，∠AGF=∠BGF，即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． 解法二：（I）同解法一． （II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23150.png){width="0.7493055555555556in" height="0.20902777777777778in"}，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2﹣5x+2=0，解得B![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23149.png){width="0.8229166666666666in" height="0.36527777777777776in"}．又G（﹣1，0），可得直线GA，GB的方程，利用点到直线的距离公式可得：点F（1，0）到直线GA、GB的距离，若相等即可证明此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． 【解答】解法一：（I）由抛物线定义可得：\|AF\|=2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23151.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=3，解得p=2． ∴抛物线E的方程为y2=4x； （II）证明：∵点A（2，m）在抛物线E上， ∴m2=4×2，解得m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23152.png){width="0.48055555555555557in" height="0.1875in"}，不妨取A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23150.png){width="0.7493055555555556in" height="0.20902777777777778in"}，F（1，0）， ∴直线AF的方程：y=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23153.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}（x﹣1）， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23154.png){width="1.0208333333333333in" height="0.4888888888888889in"}，化为2x2﹣5x+2=0，解得x=2或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23155.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，B![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23156.png){width="0.8229166666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 又G（﹣1，0），∴kGA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23157.png){width="1.0013888888888889in" height="0.38472222222222224in"}．kGB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23158.png){width="0.6041666666666666in" height="0.5840277777777778in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23159.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}， ∴kGA+kGB=0， ∴∠AGF=∠BGF，∴x轴平分∠AGB， 因此点F到直线GA，GB的距离相等， ∴以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． 解法二：（I）同解法一． （II）证明：点A（2，m）在抛物线E上，∴m2=4×2，解得m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23160.png){width="0.48055555555555557in" height="0.1875in"}，不妨取A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23161.png){width="0.7493055555555556in" height="0.20902777777777778in"}，F（1，0）， ∴直线AF的方程：y=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23162.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}（x﹣1）， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23163.png){width="1.0208333333333333in" height="0.4888888888888889in"}，化为2x2﹣5x+2=0，解得x=2或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23164.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，B![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23165.png){width="0.8229166666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 又G（﹣1，0），可得直线GA，GB的方程分别为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23166.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}x﹣3y+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23167.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}=0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23168.png){width="1.042361111111111in" height="0.19791666666666666in"}=0， 点F（1，0）到直线GA的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23169.png){width="1.0208333333333333in" height="0.4888888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23170.png){width="0.34375in" height="0.40625in"}， 同理可得点F（1，0）到直线GB的距离=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23171.png){width="0.34375in" height="0.40625in"}． 因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． 【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题． 　 20．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1， （Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO； （Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值； （Ⅲ）若BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23172.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23173.png){width="1.8125in" height="1.3333333333333333in"} 【分析】（Ⅰ）由题意可证AC⊥DO，又PO⊥AC，即可证明AC⊥平面PDO． （Ⅱ）当CO⊥AB时，C到AB的距离最大且最大值为1，又AB=2，即可求△ABC面积的最大值，又三棱锥P﹣ABC的高PO=1，即可求得三棱锥P﹣ABC体积的最大值． （Ⅲ）可求PB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23174.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23172.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}=PC，即有PB=PC=BC，由OP=OB，C′P=C′B，可证E为PB中点，从而可求OC′=OE+EC′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23175.png){width="0.5840277777777778in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23176.png){width="0.5520833333333334in" height="0.38472222222222224in"}，从而得解． 【解答】解：（Ⅰ）在△AOC中，因为OA=OC，D为AC的中点， 所以AC⊥DO， 又PO垂直于圆O所在的平面， 所以PO⊥AC， 因为DO∩PO=O， 所以AC⊥平面PDO． （Ⅱ）因为点C在圆O上， 所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1， 又AB=2，所以△ABC面积的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23177.png){width="0.8229166666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 又因为三棱锥P﹣ABC的高PO=1， 故三棱锥P﹣ABC体积的最大值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23178.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}． （Ⅲ）在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90°， 所以PB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23179.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23180.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 同理PC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23181.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，所以PB=PC=BC， 在三棱锥P﹣ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示， 当O，E，C′共线时，CE+OE取得最小值， 又因为OP=OB，C′P=C′B， 所以OC′垂直平分PB，即E为PB中点． 从而OC′=OE+EC′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23182.png){width="0.5840277777777778in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23183.png){width="0.5520833333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 亦即CE+OE的最小值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23183.png){width="0.5520833333333334in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23184.png){width="1.9583333333333333in" height="1.1770833333333333in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23185.png){width="1.8125in" height="1.3333333333333333in"} 【点评】本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=10![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23186.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23187.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23188.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+10cos2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23188.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23189.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的 最大值为2． （i）求函数g（x）的解析式； （ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0． 【分析】（Ⅰ）先化简函数的解析式，进而求出最小正周期； （Ⅱ）（i）先求出每一步函数变换的函数解析式，再根据g（x）的最大值为2，容易求出a的值，然后进而写出g（x）的解析式； （ii）就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得10sinx0 ﹣8＞0，即sinx0 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23190.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23191.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23192.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}知，存在0＜α0＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23193.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，使得sinα0=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23194.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 由正弦函数的性质当x∈（2kπ+α0，2kπ+π﹣α0）（k∈Z）时，均有sinx![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23195.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}，即可证明． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=10![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23196.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23197.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23197.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+10cos2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23197.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23196.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sinx+5cosx+5=10sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23198.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）+5， ∴所求函数f（x）的最小正周期T=2π； （Ⅱ）（i）将函数f（x）的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23199.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度后得到y=10sinx+5的图象， 再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）=10sinx+5﹣a的图象， ∵函数g（x）的最大值为2，∴10+5﹣a=2，解得a=13， ∴函数g（x）=10sinx﹣8． （ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0， 就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得10sinx0 ﹣8＞0，即sinx0 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23200.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23201.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23202.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}知，存在0＜α0＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23203.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，使得sinα0=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23201.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 由正弦函数的性质可知，当x∈（α0，π﹣α0）时，均有sinx![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23200.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}， 因为y=sinx的周期为2π，所以当x∈（2kπ+α0，2kπ+π﹣α0）， （k∈Z）时，均有sinx![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23204.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}． 因为对任意的整数k，（2kπ+π﹣α0）﹣（2kπ+α0）=π﹣2α0＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23205.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}＞1， 所以对任意的正整数k，都存在正整数xk∈（2kπ+α0，2kπ+π﹣α0），使得sinxk![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23204.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}， 即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0． 【点评】本题考查了三角函数的辅助角公式、最小正周期、函数图象的平移变换、最值问题等，属于中档题． 　 22．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23206.png){width="0.5840277777777778in" height="0.42569444444444443in"}． （Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间； （Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1； （Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）． 【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间； （Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），证明F（x）在\[1，+∞）上单调递减，可得结论； （Ⅲ）分类讨论，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），利用函数的单调性，可得实数k的所有可能取值． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23206.png){width="0.5840277777777778in" height="0.42569444444444443in"}， ∴f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23207.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}＞0（x＞0）， ∴0＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23208.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}， ∴函数f（x）的单调增区间是（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23208.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}）； （Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），则F′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23209.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"} 当x＞1时，F′（x）＜0， ∴F（x）在\[1，+∞）上单调递减， ∴x＞1时，F（x）＜F（1）=0， 即当x＞1时，f（x）＜x﹣1； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，k=1时，不存在x0＞1满足题意； 当k＞1时，对于x＞1，有f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），则f（x）＜k（x﹣1）， 从而不存在x0＞1满足题意； 当k＜1时，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），则 G′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23210.png){width="1.104861111111111in" height="0.42569444444444443in"}=0，可得x1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23211.png){width="1.2284722222222222in" height="0.4479166666666667in"}＜0，x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23212.png){width="1.2284722222222222in" height="0.4479166666666667in"}＞1， 当x∈（1，x2）时，G′（x）＞0，故G（x）在（1，x2）上单调递增， 从而x∈（1，x2）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x﹣1）， 综上，k的取值范围为（﹣∞，1）． 【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键． 　 \ **2015年广东省高考数学试卷（理科）** 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）若集合M={x\|（x+4）（x+1）=0}，N={x\|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（　　） A．{1，4} B．{﹣1，﹣4} C．{0} D．∅ 【分析】求出两个集合，然后求解交集即可． 【解答】解：集合M={x\|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}， N={x\|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}， 则M∩N=∅． 故选：D． 【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力． 　 2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23213.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=（　　） A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i 【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可． 【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23213.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=2﹣3i， 故选：A． 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力． 　 3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　） A．y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23214.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"} B．y=x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23215.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．y=2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23216.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"} D．y=x+ex 【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可． 【解答】解：对于A，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23217.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}是偶函数，所以A不正确； 对于B，y=x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23218.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}函数是奇函数，所以B不正确； 对于C，y=2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23216.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}是偶函数，所以C不正确； 对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确． 故选：D． 【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查． 　 4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23219.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23220.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23221.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．1 【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和"所取的2个球中恰有1个白球，1个红球"事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求"所取的2个球中恰有1个白球，1个红球"事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可． 【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23222.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3020833333333333in"}； ∴基本事件总数为105； 设"所取的2个球中恰有1个白球，1个红球"为事件A； 则A包含的基本事件个数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23223.png){width="0.7298611111111111in" height="0.3020833333333333in"}=50； ∴P（A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23224.png){width="0.6256944444444444in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：B． 【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理． 　 5．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（　　） A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23225.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}=0或2x+y﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23225.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}=0 C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23225.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}=0或2x﹣y﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23225.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}=0 【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程． 【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23226.png){width="0.3020833333333333in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23225.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，所以b=±5， 所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 故选：A． 【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题． 　 6．（5分）若变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23227.png){width="0.7923611111111111in" height="0.6451388888888889in"}，则z=3x+2y的最小值为（　　） A．4 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23228.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．6 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23229.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值． 【解答】解：不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23227.png){width="0.7923611111111111in" height="0.6451388888888889in"}对应的平面区域如图： 由z=3x+2y得y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23230.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23231.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，平移直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23230.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23231.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 则由图象可知当直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23232.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23233.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，经过点A时直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23232.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23233.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}的截距最小， 此时z最小， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23234.png){width="0.7083333333333334in" height="0.40625in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23235.png){width="0.42569444444444443in" height="0.5930555555555556in"}，即A（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23236.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）， 此时z=3×1+2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23236.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23237.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23238.png){width="2.4479166666666665in" height="2.5527777777777776in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 　 7．（5分）已知双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17773.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23239.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1的离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23240.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23241.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23242.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23243.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23244.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23245.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23246.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23247.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23248.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程． 【解答】解：双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23249.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23250.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1的离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23251.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，且其右焦点为F2（5，0）， 可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23252.png){width="0.37569444444444444in" height="0.36527777777777776in"}，c=5，∴a=4，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23253.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}=3， 所求双曲线方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23254.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23255.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 　 8．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（　　） A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5 【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断． 【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立； 4个点两两距离相等，三个点在圆上，一个点是圆心，圆上的点到圆心的距离都相等，则不成立； n大于4，也不成立； 在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立； 若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体， 第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心， 且球的半径不等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合， 但显然球的半径不等于棱长，故不成立； 同理n＞5，不成立． 故选：B． 【点评】本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题． 　 二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题） 9．（5分）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23256.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣1）4的展开式中，x的系数为　6　． 【分析】根据题意二项式（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23257.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣1）4的展开式的通项公式为Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23258.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}•（﹣1）r•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23259.png){width="0.38472222222222224in" height="0.38472222222222224in"}，分析可得，r=2时，有x的项，将r=2代入可得答案． 【解答】解：二项式（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23257.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣1）4的展开式的通项公式为Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23258.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}•（﹣1）r•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23259.png){width="0.38472222222222224in" height="0.38472222222222224in"}， 令2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23260.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=1，求得r=2， ∴二项式（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23257.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣1）4的展开式中x的系数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23261.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=6， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题 　 10．（5分）在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=　10　． 【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求答案． 【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25， 得到a5=5， 则a2+a8=2a5=10． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础题． 　 11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23262.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23263.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23264.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，则b=　1　． 【分析】由sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23263.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，可得B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23265.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}或B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23266.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，结合a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23267.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23265.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}及正弦定理可求b 【解答】解：∵sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23268.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23265.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}或B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23266.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} 当B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23265.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}时，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23267.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23269.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23270.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}， 由正弦定理可得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23271.png){width="0.875in" height="0.5840277777777778in"} 则b=1 当B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23272.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}时，C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23269.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，与三角形的内角和为π矛盾 故答案为：1 【点评】本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键 　 12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了　1560　条毕业留言．（用数字作答） 【分析】通过题意，列出排列关系式，求解即可． 【解答】解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23273.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}=40×39=1560条． 故答案为：1560． 【点评】本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键． 　 13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10470.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可． 【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20， 可得np=30，npq=20，q=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23274.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则p=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10470.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10470.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力． 　 14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23275.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23276.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，点A的极坐标为A（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23276.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23277.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}），则点A到直线l的距离为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23278.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}　． 【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可． 【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22741.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23276.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1， 点A的极坐标为A（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23276.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23279.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}），它的直角坐标为（2，﹣2）． 点A到直线l的距离为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23280.png){width="0.6368055555555555in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23281.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23281.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力． 　 15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=　8　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23282.png){width="2.1458333333333335in" height="1.2708333333333333in"} 【分析】连接OC，确定OP⊥AC，OP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23283.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23283.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，即可得出结论． 【解答】解：连接OC，则OC⊥CD， ∵AB是圆O的直径， ∴BC⊥AC， ∵OP∥BC， ∴OP⊥AC，OP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23284.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23284.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD， ∴4=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23284.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}OD， ∴OD=8． 故答案为：8． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23285.png){width="2.1041666666666665in" height="1.2395833333333333in"} 【点评】本题考查圆的直径与切线的性质，考查射影定理，考查学生的计算能力，比较基础． 　 三、解答题 16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23286.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23287.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23287.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23288.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（sinx，cosx），x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23289.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）． （1）若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23286.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23288.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，求tanx的值； （2）若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23290.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23291.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的夹角为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23292.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，求x的值． 【分析】（1）若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23290.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23291.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23290.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23291.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值； （2）若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23290.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23293.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的夹角为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23294.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值． 【解答】解：（1）若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23295.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23293.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23295.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23293.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23296.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23296.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}）•（sinx，cosx）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23297.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}sinx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23297.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}cosx=0， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23297.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}sinx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23297.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}cosx sinx=cosx，即tanx=1； （2）∵\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23298.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23299.png){width="2.1145833333333335in" height="0.40625in"}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23300.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23301.png){width="1.1354166666666667in" height="0.25in"}=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23302.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23300.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17777.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17777.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}）•（sinx，cosx）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17777.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}sinx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23303.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}cosx， ∴若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23304.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23305.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的夹角为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23306.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23304.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23305.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23304.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|•\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23305.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23306.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23307.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20276.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}sinx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20276.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}cosx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23307.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 则sin（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23308.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23307.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∵x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23309.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）． ∴x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23310.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23310.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23310.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）． 则x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23310.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23311.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 即x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23310.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23311.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23312.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础． 　 17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图： +----------+------+----------+------+----------+------+----------+------+ | 工人编号 | 年龄 | 工人编号 | 年龄 | 工人编号 | 年龄 | 工人编号 | 年龄 | +----------+------+----------+------+----------+------+----------+------+ | 1 | 40 | 10 | 36 | 19 | 27 | 28 | 34 | | | | | | | | | | | 2 | 44 | 11 | 31 | 20 | 43 | 29 | 39 | | | | | | | | | | | 3 | 40 | 12 | 38 | 21 | 41 | 30 | 43 | | | | | | | | | | | 4 | 41 | 13 | 39 | 22 | 37 | 31 | 38 | | | | | | | | | | | 5 | 33 | 14 | 43 | 23 | 34 | 32 | 42 | | | | | | | | | | | 6 | 40 | 15 | 45 | 24 | 42 | 33 | 53 | | | | | | | | | | | 7 | 45 | 16 | 39 | 25 | 37 | 34 | 37 | | | | | | | | | | | 8 | 42 | 17 | 38 | 26 | 44 | 35 | 49 | | | | | | | | | | | 9 | 43 | 18 | 36 | 27 | 42 | 36 | 39 | +----------+------+----------+------+----------+------+----------+------+ （1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的均值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23313.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}和方差s2； （3）36名工人中年龄在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23313.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}﹣s和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23314.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？ 【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可； （2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23314.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}和方差s2； （3）求出样本和方差即可得到结论． 【解答】解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2， ∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，...，9）， 其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37． （2）由平均值公式得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23314.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23315.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40． 由方差公式得s2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23315.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\[（44﹣40）2+（40﹣40）2+...+（37﹣40）2\]=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23316.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}． （3）∵s2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23316.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}．∴s=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23317.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}∈（3，4）， ∴36名工人中年龄在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23318.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}﹣s和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23318.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}+s之间的人数等于区间\[37，43\]的人数， 即40，40，41，...，39，共23人． ∴36名工人中年龄在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23318.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}﹣s和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23318.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}+s之间所占百分比为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23319.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≈63.89%． 【点评】本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础． 　 18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB． （1）证明：PE⊥FG； （2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值； （3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23320.png){width="2.09375in" height="1.0833333333333333in"} 【分析】（1）通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论； （2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论； （3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC的余弦值． 【解答】（1）证明：在△PDC中PO=PC且E为CD中点， ∴PE⊥CD， 又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD， ∴PE⊥平面ABCD， 又∵FG⊂平面ABCD， ∴PE⊥FG； （2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD， 又∵CD⊥AD且PE∩CD=E， ∴AD⊥平面PDC， 又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD， 又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角， 在Rt△PDE中，由勾股定理可得： PE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23321.png){width="0.7819444444444444in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23322.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23323.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴tan∠PDC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23324.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23325.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}； （3）解：连结AC，则AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23326.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22675.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 在Rt△ADP中，AP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23327.png){width="0.7819444444444444in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23328.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}=5， ∵AF=2FB，CG=2GB， ∴FG∥AC， ∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC， 在△PAC中，由余弦定理得 cos∠PAC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23329.png){width="1.0944444444444446in" height="0.42569444444444443in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23330.png){width="1.198611111111111in" height="0.46944444444444444in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23331.png){width="0.42569444444444443in" height="0.36527777777777776in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23332.png){width="2.1979166666666665in" height="1.1145833333333333in"} 【点评】本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值，涉及到勾股定理、余弦定理等知识，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）ex﹣a． （1）求f（x）的单调区间； （2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点； （3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23333.png){width="0.46944444444444444in" height="0.38472222222222224in"}﹣1． 【分析】（1）利用f′（x）＞0，求出函数单调增区间． （2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点． （3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂． 【解答】解：（1）f′（x）=ex（x2+2x+1）=ex（x+1）2， ∴f′（x）≥0， ∴f（x）=（1+x2）ex﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数． （2）证明：∵f（0）=1﹣a，a＞1， ∴1﹣a＜0，即f（0）＜0， ∵f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23334.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）=（1+a）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23335.png){width="0.3020833333333333in" height="0.22847222222222222in"}﹣a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23336.png){width="0.3020833333333333in" height="0.22847222222222222in"}+a（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23336.png){width="0.3020833333333333in" height="0.22847222222222222in"}﹣1），a＞1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23336.png){width="0.3020833333333333in" height="0.22847222222222222in"}＞1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23336.png){width="0.3020833333333333in" height="0.22847222222222222in"}﹣1＞0，即f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23337.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）＞0， 且由（1）问知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数， ∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点． （3）证明：f′（x）=ex（x+1）2， 设点P（x0，y0）则）f\'（x）=ex0（x0+1）2， ∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行， ∴f′（x0）=0，即：ex0（x0+1）2=0， ∴x0=﹣1， 将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23338.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23339.png){width="1.1243055555555554in" height="0.5625in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23340.png){width="1.75in" height="0.36527777777777776in"}， 要证m≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23341.png){width="0.46944444444444444in" height="0.38472222222222224in"}﹣1，即证（m+1）3≤a﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23342.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 需要证（m+1）3≤em（m+1）2， 即证m+1≤em， 因此构造函数g（m）=em﹣（m+1）， 则g′（m）=em﹣1，由g′（m）=0得m=0． 当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0， 当m∈（﹣∞，0）时，g′（m）＜0， ∴g（m）的最小值为g（0）=0， ∴g（m）=em﹣（m+1）≥0， ∴em≥m+1， ∴em（m+1）2≥（m+1）3， 即：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23343.png){width="1.042361111111111in" height="0.36527777777777776in"}， ∴m≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23344.png){width="0.65625in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度． 　 20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B． （1）求圆C1的圆心坐标； （2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程； （3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由． 【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论； （2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论； （3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论． 【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0， 整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4， ∴圆C1的圆心坐标为（3，0）； （2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2）， 联立方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23345.png){width="1.1354166666666667in" height="0.48055555555555557in"}， 消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0， 由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23346.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 由韦达定理，可得x1+x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23347.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}， ∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23348.png){width="0.7083333333333334in" height="0.9055555555555556in"}，其中﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23349.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}＜k＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23349.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}， ∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23350.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）2+y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23351.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，其中![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23352.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜x≤3； （3）结论：当k∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23353.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23353.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}）∪{﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23354.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23355.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点． 理由如下： 联立方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23356.png){width="1.2395833333333333in" height="0.6041666666666666in"}， 消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0， 令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23355.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 又∵轨迹C的端点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23357.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23358.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}）与点（4，0）决定的直线斜率为±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23359.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}， ∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时， k的取值范围为\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23360.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23360.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}\]∪{﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23361.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23361.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}}． 【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题． 　 21．（14分）数列{an}满足：a1+2a2+...nan=4﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23362.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}，n∈N+． （1）求a3的值； （2）求数列{an}的前 n项和Tn； （3）令b1=a1，bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23363.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}+（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23364.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23365.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23366.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）an（n≥2），证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2+2lnn． 【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3的值； （2）利用作差法求出数列{an}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{an}的前 n项和Tn； （3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式． 【解答】解：（1）∵a1+2a2+...nan=4﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23367.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}，n∈N+． ∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23368.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}=2， 解得a2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23369.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∵a1+2a2+...+nan=4﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23370.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}，n∈N+． ∴a1+2a2+...+（n﹣1）an﹣1=4﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23371.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}，n∈N+． 两式相减得nan=4﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23370.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}﹣（4﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23371.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23372.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}，n≥2， 则an=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23373.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}，n≥2， 当n=1时，a1=1也满足， ∴an=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23373.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}，n≥1， 则a3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23374.png){width="0.46944444444444444in" height="0.42569444444444443in"}； （2）∵an=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23373.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}，n≥1， ∴数列{an}是公比q=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23375.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 则数列{an}的前 n项和Tn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23376.png){width="0.6368055555555555in" height="0.7597222222222222in"}=2﹣21﹣n． （3）bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23377.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}+（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23378.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23379.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23380.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）an， ∴b1=a1，b2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23381.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23378.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）a2，b3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23382.png){width="0.6256944444444444in" height="0.42569444444444443in"}（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16206.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23383.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）a3， ∴bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23384.png){width="1.198611111111111in" height="0.42569444444444443in"}+（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16206.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23383.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23385.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）an， ∴Sn=b1+b2+...+bn=（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23386.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23387.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23385.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）a1+（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23386.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23387.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23385.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）a2+...+（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23388.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23389.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23390.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）an =（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23388.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23389.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23390.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）（a1+a2+...+an）=（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20368.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20364.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23391.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）Tn =（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20368.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20364.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23391.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）（2﹣21﹣n）＜2×（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20368.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23392.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23393.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）， 设f（x）=lnx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23394.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣1，x＞1， 则f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23394.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23395.png){width="0.9055555555555556in" height="0.42569444444444443in"}． 即f（x）在（1，+∞）上为增函数， ∵f（1）=0，即f（x）＞0， ∵k≥2，且k∈N•时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23396.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}， ∴f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23397.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）=ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23397.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23398.png){width="0.3326388888888889in" height="0.5625in"}﹣1＞0，即ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23397.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23399.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23400.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23401.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23402.png){width="0.6256944444444444in" height="0.36527777777777776in"}，...![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23403.png){width="0.7923611111111111in" height="0.36527777777777776in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23404.png){width="2.582638888888889in" height="0.36527777777777776in"}=lnn， ∴2×（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23405.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23406.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23407.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=2+2×（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23405.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23406.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23407.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）＜2+2lnn， 即Sn＜2（1+lnn）=2+2lnn． 【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大． 　 \ **2015年广东省高考数学试卷（文科）** 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科） 1．（5分）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（　　） A．{0．﹣1} B．{0} C．{1} D．{﹣1，1} 【分析】进行交集的运算即可． 【解答】解：M∩N={﹣1，1}∩{﹣2，1，0}={1}． 故选：C． 【点评】考查列举法表示集合，交集的概念及运算． 　 2．（5分）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（　　） A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2 【分析】利用完全平方式展开化简即可． 【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i； 故选：A． 【点评】本题考查了复数的运算；注意i2=﹣1． 　 3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　） A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23408.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"} D．y=x2+sinx 【分析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择． 【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是R， 对于A，﹣x+sin（﹣2x）=﹣（x+sin2x）；是奇函数； 对于B，（﹣x）2﹣cos（﹣x）=x2﹣cosx；是偶函数； 对于C，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23409.png){width="1.2805555555555554in" height="0.42569444444444443in"}，是偶函数； 对于D，（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx≠x2+sinx，x2﹣sinx≠﹣（x2+sinx）；所以是非奇非偶的函数； 故选：D． 【点评】本题考查了函数奇偶性的判断，在定义域关于原点对称的前提下，判断f（﹣x）与f（x）的关系，相等就是偶函数，相反就是奇函数． 　 4．（5分）若变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23410.png){width="0.7083333333333334in" height="0.6451388888888889in"}，则z=2x+3y的最大值为（　　） A．2 B．5 C．8 D．10 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分）， 由z=2x+3y，得y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23411.png){width="0.5625in" height="0.36527777777777776in"}， 平移直线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23411.png){width="0.5625in" height="0.36527777777777776in"}，由图象可知当直线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23411.png){width="0.5625in" height="0.36527777777777776in"}经过点B时，直线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23411.png){width="0.5625in" height="0.36527777777777776in"}的截距最大，此时z最大． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23412.png){width="0.6256944444444444in" height="0.40625in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23413.png){width="0.4583333333333333in" height="0.40625in"}， 即B（4，﹣1）． 此时z的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5， 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23414.png){width="2.4791666666666665in" height="2.7194444444444446in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 　 5．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23415.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23416.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}．且b＜c，则b=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23415.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．2 C．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23417.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．3 【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2． 【解答】解：a=2，c=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23415.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23416.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}．且b＜c， 由余弦定理可得， a2=b2+c2﹣2bccosA， 即有4=b2+12﹣4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23415.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23416.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}b， 解得b=2或4， 由b＜c，可得b=2． 故选：B． 【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题． 　 6．（5分）若直线 l1和l2 是异面直线，l1在平面 α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　） A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可推出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确． 【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23418.png){width="2.3958333333333335in" height="1.7708333333333333in"}∴该选项错误； B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误； C．l可以和l1，l2都相交，如下图： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23419.png){width="2.3958333333333335in" height="1.7708333333333333in"}，∴该选项错误； D．"l至少与l1，l2中的一条相交"正确，假如l和l1，l2都不相交； ∵l和l1，l2都共面； ∴l和l1，l2都平行； ∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面； ∴该选项正确． 故选：D． 【点评】考查异面直线的概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确． 　 7．（5分）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（　　） A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可． 【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23420.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3020833333333333in"}； ∴基本事件总数为10； 设"选的2件产品中恰有一件次品"为事件A，则A包含的基本事件个数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23421.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3020833333333333in"}=6； ∴P（A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23422.png){width="0.4583333333333333in" height="0.36527777777777776in"}=0.6． 故选：B． 【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，明白基本事件和基本事件总数的概念，掌握组合数公式，分步计数原理． 　 8．（5分）已知椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23423.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23424.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（　　） A．2 B．3 C．4 D．9 【分析】利用椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23423.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23425.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m． 【解答】解：∵椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23426.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23425.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0）， ∴25﹣m2=16， ∵m＞0， ∴m=3， 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础． 　 9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23427.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（1，﹣2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23428.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（2，1）则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23429.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23430.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】由向量加法的平行四边形法则可求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23430.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23431.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23432.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"} 【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23430.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23431.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=（3，﹣1）． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23432.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=3×2+（﹣1）×1=5． 故选：A． 【点评】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的坐标表示，属于基础试题． 　 10．（5分）若集合E={（p，q，r，s）\|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）\|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则 card（E）+card（F）=（　　） A．200 B．150 C．100 D．50 【分析】对于集合E，s=4时，p，q，r从0，1，2，3任取一数都有4种取法，从而构成的元素（p，q，r，s）有4×4×4=64个，再讨论s=3，2，1的情况，求法一样，把每种情况下元素个数相加即可得到集合E的元素个数，而对于集合F，需讨论两个数：u，w，方法类似，最后把求得的集合E，F元素个数相加即可． 【解答】解：（1）s=4时，p，q，r的取值的排列情况有4×4×4=64种； s=3时，p，q，r的取值的排列情况有3×3×3=27种； s=2时，有2×2×2=8种； s=1时，有1×1×1=1种； ∴card（E）=64+27+8+1=100； （2）u=4时：若w=4，t，v的取值的排列情况有4×4=16种； 若w=3，t，v的取值的排列情况有4×3=12种； 若w=2，有4×2=8种； 若w=1，有4×1=4种； u=3时：若w=4，t，v的取值的排列情况有3×4=12种； 若w=3，t，v的取值的排列情况有3×3=9种； 若w=2，有3×2=6种； 若w=1，有3×1=3种； u=2时：若w=4，t，v的取值的排列情况有2×4=8种； 若w=3，有2×3=6种； 若w=2，有2×2=4种； 若w=1，有2×1=2种； u=1时：若w=4，t，v的取值的排列情况有1×4=4种； 若w=3，有1×3=3种； 若w=2，有1×2=2种； 若w=1，有1×1=1种； ∴card（F）=100； ∴card（E）+card（F）=200． 故选：A． 【点评】考查描述法表示集合，分布计数原理的应用，注意要弄清讨论谁，做到不重不漏． 　 二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题） 11．（5分）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为　（﹣4，1）　．（用区间表示） 【分析】首先将二次项系数化为正数，然后利用因式分解法解之． 【解答】解：原不等式等价于x2+3x﹣4＜0，所以（x+4）（x﹣1）＜0，所以﹣4＜x＜1； 所以不等式的解集为（﹣4，1）； 故答案为：（﹣4，1）． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法；一般的首先将二次项系数化为正数，然后选择适当的方法解之；属于基础题． 　 12．（5分）已知样本数据 x1，x2，...，xn的均值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23433.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=5，则样本数据 2x1+1，2x2+1，...，2xn+1 的均值为　11　． 【分析】利用平均数计算公式求解 【解答】解：∵数据x1，x2，...，xn的平均数为均值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23433.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=5， 则样本数据 2x1+1，2x2+1，...，2xn+1 的均值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23434.png){width="0.9166666666666666in" height="0.1875in"}=5×2+1=11； 故答案为：11． 【点评】本题考查数据的平均数的求法，是基础题． 　 13．（5分）若三个正数 a，b，c 成等比数列，其中a=5+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23435.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，c=5﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23435.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则 b=　1　． 【分析】由已知可得，b2=ac，代入已知条件即可求解b 【解答】解：∵三个正数 a，b，c 成等比数列， ∴b2=ac， ∵a=5+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23435.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，c=5﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23435.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23436.png){width="1.6041666666666667in" height="0.20902777777777778in"}=1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于基础试题 　 坐标系与参数方程选做题 14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23437.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"} （t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为　（2，﹣4）　． 【分析】曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，把![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23438.png){width="0.875in" height="0.40625in"}代入可得直角坐标方程．曲线C2的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23437.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"} （t为参数），化为普通方程：y2=8x．联立解出即可． 【解答】解：曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，化为直角坐标方程：x+y+2=0． 曲线C2的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23439.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"} （t为参数），化为普通方程：y2=8x． 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23440.png){width="0.7083333333333334in" height="0.48055555555555557in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23441.png){width="0.4583333333333333in" height="0.40625in"}， 则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）． 故答案为：（2，﹣4）． 【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 几何证明选讲选做题 15．如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23442.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则 AD=　3　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23443.png){width="1.15625in" height="0.875in"} 【分析】连接OC，则OC⊥DE，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23444.png){width="0.5409722222222222in" height="0.36527777777777776in"}，由切割线定理可得CE2=BE•AE，求出BE，即可得出结论． 【解答】解：连接OC，则OC⊥DE， ∵AD⊥DE， ∴AD∥OC， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23445.png){width="0.5409722222222222in" height="0.36527777777777776in"} 由切割线定理可得CE2=BE•AE， ∴12=BE•（BE+4）， ∴BE=2， ∴OE=4， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23446.png){width="0.4583333333333333in" height="0.36527777777777776in"}， ∴AD=3 故答案为：3． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23447.png){width="1.1666666666666667in" height="0.875in"} 【点评】本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 　 三、解答题（共6小题，满分80分） 16．（12分）已知 tanα=2． （1）求tan（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23448.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的值； （2）求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23449.png){width="2.270138888888889in" height="0.42569444444444443in"} 的值． 【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可． （2）利用二倍角公式化简求解即可． 【解答】解：tanα=2． （1）tan（α+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23448.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23450.png){width="1.104861111111111in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23451.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=﹣3； （2）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23452.png){width="2.270138888888889in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23453.png){width="2.5631944444444446in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23454.png){width="1.270138888888889in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23455.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=1． 【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力． 　 17．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以\[160，180），\[180，200），\[200，220），\[220，240），\[240，260），\[260，280），\[280，300）分组的频率分布直方图如图． （1）求直方图中x的值； （2）求月平均用电量的众数和中位数； （3）在月平均用电量为，\[220，240），\[240，260），\[260，280），\[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在\[220，240）的用户中应抽取多少户？ ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23456.png){width="3.2090277777777776in" height="1.84375in"} 【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得； （2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在\[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得； （3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数． 【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1， 解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075； （2）月平均用电量的众数是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23457.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}=230， ∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5， ∴月平均用电量的中位数在\[220，240）内， 设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224， ∴月平均用电量的中位数为224； （3）月平均用电量为\[220，240）的用户有0.0125×20×100=25， 月平均用电量为\[240，260）的用户有0.0075×20×100=15， 月平均用电量为\[260，280）的用户有0.005×20×100=10， 月平均用电量为\[280，300）的用户有0.0025×20×100=5， ∴抽取比例为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23458.png){width="0.8861111111111111in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23459.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴月平均用电量在\[220，240）的用户中应抽取25×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23459.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=5户． 【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题． 　 18．（14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3． （1）证明：BC∥平面PDA； （2）证明：BC⊥PD； （3）求点C 到平面PDA的距离． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23460.png){width="1.5520833333333333in" height="1.03125in"} 【分析】（1）利用四边形ABCD是长方形，可得BC∥AD，根据线面平行的判定定理，即可得出结论； （2）利用平面与平面垂直的性质定理得出BC⊥平面PDC，即可证明BC⊥PD； （3）利用等体积法，求点C到平面PDA的距离． 【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD， 因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA； （2）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD， 因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂面ABCD， 所以BC⊥平面PDC， 因为PD⊂平面PDC， 所以BC⊥PD； （3）解：取CD的中点E，连接AE和PE， 因为PD=PC，所以PE⊥CD， 在Rt△PED中，PE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23461.png){width="0.7819444444444444in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23462.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23463.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC， 所以PE⊥平面ABCD． 由（2）知：BC⊥平面PDC， 由（1）知：BC∥AD， 所以AD⊥平面PDC， 因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD． 设点C到平面PDA的距离为h． 因为VC﹣PDA=VP﹣ACD， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23464.png){width="1.6458333333333333in" height="0.36527777777777776in"}， 所以h=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23465.png){width="1.0618055555555554in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23466.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}， 所以点C到平面PDA的距离是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23466.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23467.png){width="1.5520833333333333in" height="1.03125in"} 【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，线面垂直与线线垂直的判定，考查三棱锥体积等知识，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 19．（14分）设数列 {an}的前n项和为Sn，n∈N\*．已知a1=1，a2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23468.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，a3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23469.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，且当n≥2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1． （1）求a4的值； （2）证明：{an+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23470.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}an}为等比数列； （3）求数列{an}的通项公式． 【分析】（1）直接在数列递推式中取n=2，求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23471.png){width="0.43680555555555556in" height="0.36527777777777776in"}； （2）由4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1（n≥2），变形得到4an+2+an=4an+1（n≥2），进一步得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23472.png){width="1.1659722222222222in" height="0.7597222222222222in"}，由此可得数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23473.png){width="0.7597222222222222in" height="0.36527777777777776in"}}是以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23474.png){width="0.6256944444444444in" height="0.36527777777777776in"}为首项，公比为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23475.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}的等比数列； （3）由{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23473.png){width="0.7597222222222222in" height="0.36527777777777776in"}}是以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23474.png){width="0.6256944444444444in" height="0.36527777777777776in"}为首项，公比为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23475.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}的等比数列，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23476.png){width="1.4069444444444446in" height="0.36527777777777776in"}．进一步得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23477.png){width="1.354861111111111in" height="0.6256944444444444in"}，说明{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23478.png){width="0.46944444444444444in" height="0.6256944444444444in"}}是以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23479.png){width="0.4173611111111111in" height="0.6256944444444444in"}为首项，4为公差的等差数列，由此可得数列{an}的通项公式． 【解答】（1）解：当n=2时，4S4+5S2=8S3+S1，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23480.png){width="2.8534722222222224in" height="0.36527777777777776in"}， 解得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23481.png){width="0.43680555555555556in" height="0.36527777777777776in"}； （2）证明：∵4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1（n≥2），∴4Sn+2﹣4Sn+1+Sn﹣Sn﹣1=4Sn+1﹣4Sn（n≥2）， 即4an+2+an=4an+1（n≥2）， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23482.png){width="1.8020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，∴4an+2+an=4an+1． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23483.png){width="3.3743055555555554in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23484.png){width="1.270138888888889in" height="0.48055555555555557in"}． ∴数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23485.png){width="0.7597222222222222in" height="0.36527777777777776in"}}是以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23486.png){width="0.6256944444444444in" height="0.36527777777777776in"}=1为首项，公比为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23487.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}的等比数列； （3）解：由（2）知，{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23485.png){width="0.7597222222222222in" height="0.36527777777777776in"}}是以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23486.png){width="0.6256944444444444in" height="0.36527777777777776in"}为首项，公比为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23488.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}的等比数列， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23489.png){width="1.4069444444444446in" height="0.36527777777777776in"}． 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23490.png){width="1.354861111111111in" height="0.6256944444444444in"}， ∴{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23491.png){width="0.46944444444444444in" height="0.6256944444444444in"}}是以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23492.png){width="0.4173611111111111in" height="0.6256944444444444in"}为首项，4为公差的等差数列， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23493.png){width="1.823611111111111in" height="0.6256944444444444in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23494.png){width="2.6868055555555554in" height="0.36527777777777776in"}， ∴数列{an}的通项公式是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23495.png){width="1.511111111111111in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，关键是灵活变形能力，是中档题． 　 20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B． （1）求圆C1的圆心坐标； （2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程； （3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由． 【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论； （2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论； （3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论． 【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0， 整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4， ∴圆C1的圆心坐标为（3，0）； （2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2）， 联立方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23496.png){width="1.1354166666666667in" height="0.48055555555555557in"}， 消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0， 由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23497.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 由韦达定理，可得x1+x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23498.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}， ∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23499.png){width="0.7083333333333334in" height="0.9055555555555556in"}，其中﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23500.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}＜k＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23500.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}， ∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23501.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）2+y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23502.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，其中![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23503.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜x≤3； （3）结论：当k∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23504.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23504.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}）∪{﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23505.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23506.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点． 理由如下： 联立方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23507.png){width="1.2395833333333333in" height="0.6041666666666666in"}， 消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0， 令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23506.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 又∵轨迹C的端点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23508.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23509.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}）与点（4，0）决定的直线斜率为±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23510.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}， ∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时， k的取值范围为\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23511.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23511.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}\]∪{﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23512.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23512.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}}． 【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题． 　 21．（14分）设 a为实数，函数 f（x）=（x﹣a）2+\|x﹣a\|﹣a（a﹣1）． （1）若f（0）≤1，求a的取值范围； （2）讨论 f（x）的单调性； （3）当a≥2 时，讨论f（x）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23513.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 在区间 （0，+∞）内的零点个数． 【分析】（1）利用f（0）≤1，得到\|a\|+a﹣1≤0，对a分类讨论求解不等式的解集即可． （2）化简函数f（x）的解析式，通过当x＜a时，当x≥a时，利用二次函数f（x）的对称轴求解函数的单调区间即可． （3）化简F（x）=f（x）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23513.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，求出函数的导数，利用导函数的符号，通过a的讨论判断函数的单调性，然后讨论函数的零点的个数． 【解答】解：（1）若f（0）≤1，即：a2+\|a\|﹣a（a﹣1）≤1．可得\|a\|+a﹣1≤0， 当a≥0时，a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23514.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}，可得a∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23515.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]． 当a＜0时，\|a\|+a﹣1≤0，恒成立． 综上a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23514.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}． ∴a的取值范围：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23516.png){width="0.7597222222222222in" height="0.36527777777777776in"}； （2）函数 f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23517.png){width="1.738888888888889in" height="0.5298611111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23518.png){width="2.3222222222222224in" height="0.9055555555555556in"}， 当x＜a时，函数f（x）的对称轴为：x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23519.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23520.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＞a， y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数， 当x≥a时，函数f（x）的对称轴为：x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23521.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=a﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23520.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜a， y=f（x）在（a，+∞）时是增函数， （3）F（x）=f（x）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23522.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23523.png){width="1.979861111111111in" height="0.7923611111111111in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23524.png){width="3.7284722222222224in" height="1.0097222222222222in"}， 当x＜a时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23525.png){width="1.9166666666666667in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23526.png){width="1.667361111111111in" height="0.48055555555555557in"}， 所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数． 当x≥a时，因为a≥2，所以，F′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23527.png){width="1.3131944444444446in" height="0.48055555555555557in"}═![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23528.png){width="1.667361111111111in" height="0.48055555555555557in"}， 所以，函数F（x）在（a，+∞）上是增函数． F（a）=a﹣a2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23529.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．当a=2时，F（2）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞2时，F（a）=a﹣a2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23529.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， F′（a）=1﹣2a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23530.png){width="0.3326388888888889in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23531.png){width="0.8965277777777778in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23532.png){width="1.5631944444444446in" height="0.48055555555555557in"}． 所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数， 所以F（a）＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23533.png){width="1.2284722222222222in" height="0.36527777777777776in"}，即F（a）＜0， 当x＞0且x→0时，F（x）→+∞；当x→+∞时，F（x）→+∞，所以函数F（x）有两个零点． 综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a＞2时F（x）有两个零点． 【点评】本题考查的知识点比较多，包括绝对值不等式的解法，函数的零点，函数的导数以及导数与函数的单调性的关系，考查分类讨论思想的应用，函数与方程的思想，转化思想的应用，也考查化归思想的应用． 　 \ **2015年湖北省高考数学试卷（理科）** 　 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）i为虚数单位，i607的共轭复数为（　　） A．i B．﹣i C．1 D．﹣1 2．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有"米谷粒分"题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（　　） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 3．（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（　　） A．212 B．211 C．210 D．29 4．（5分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23534.png){width="2.604861111111111in" height="1.4375in"} A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1） B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1） C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t） D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t） 5．（5分）设a1，a2，...，an∈R，n≥3．若p：a1，a2，...，an成等比数列；q：（a12+a22+...+an﹣12）（a22+a32+...+an2）=（a1a2+a2a3+...+an﹣1an）2，则（　　） A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 6．（5分）已知符号函数sgnx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23535.png){width="0.875in" height="0.6972222222222222in"}，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（　　） A．sgn\[g（x）\]=sgnx B．sgn\[g（x）\]=﹣sgnx C．sgn\[g（x）\]=sgn\[f（x）\] D．sgn\[g（x）\]=﹣sgn\[f（x）\] 7．（5分）在区间\[0，1\]上随机取两个数x，y，记P1为事件"x+y≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23536.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}"的概率，P2为事件"\|x﹣y\|≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23536.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}"的概率，P3为事件"xy≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23536.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}"的概率，则（　　） A．P1＜P2＜P3 B．P2＜P3＜P1 C．P3＜P1＜P2 D．P3＜P2＜P1 8．（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（　　） A．对任意的a，b，e1＞e2 B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2 C．对任意的a，b，e1＜e2 D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2 9．（5分）已知集合A={（x，y）\|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）\|\|x\|≤2，\|y\|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）\|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（　　） A．77 B．49 C．45 D．30 10．（5分）设x∈R，\[x\]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得\[t\]=1，\[t2\]=2，...，\[tn\]=n同时成立，则正整数n的最大值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 　 二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．（5分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23537.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23538.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23537.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=3，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23537.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23539.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=　 　． 12．（5分）函数f（x）=4cos2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23540.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}cos（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23541.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣x）﹣2sinx﹣\|ln（x+1）\|的零点个数为　 　． 13．（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=　 　m． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23542.png){width="2.3645833333333335in" height="1.5625in"} 14．（5分）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且\|AB\|=2． （1）圆C的标准方程为　 　； （2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论： ①![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23543.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23544.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}； ②![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23545.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23546.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=2； ③![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23545.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23546.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23547.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 其中正确结论的序号是　 　．（写出所有正确结论的序号） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23548.png){width="1.8541666666666667in" height="1.9375in"} 　 选修4-1：几何证明选讲 15．（5分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23549.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=　 　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23550.png){width="1.84375in" height="1.2291666666666667in"} 　 选修4-4：坐标系与参数方程 16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23551.png){width="0.5930555555555556in" height="0.7923611111111111in"}（ t为参数），l与C相交于A，B两点，则\|AB\|=　 　． 　 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（11分）某同学用"五点法"画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，\|φ\|＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23552.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： -------------- --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---- ωx+φ 0 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23552.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} π ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23553.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} 2π x ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23554.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23555.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} Asin（ωx+φ） 0 5 ﹣5 0 -------------- --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---- （1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式； （2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23556.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，0），求θ的最小值． 18．（12分）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式 （2）当d＞1时，记cn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23557.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}，求数列{cn}的前n项和Tn． 19．（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE． （1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； （2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23558.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23559.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}的值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23560.png){width="2.0729166666666665in" height="2.0416666666666665in"} 20．（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 --- ----- ----- ----- W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2 --- ----- ----- ----- 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量． （1）求Z的分布列和均值； （2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率． 21．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求椭圆C的方程； （2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23561.png){width="3.6777777777777776in" height="1.5104166666666667in"} 22．（14分）已知数列{an}的各项均为正数，bn=n（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23562.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）nan（n∈N+），e为自然对数的底数． （1）求函数f（x）=1+x﹣ex的单调区间，并比较（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23562.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）n与e的大小； （2）计算![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23563.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23564.png){width="0.4173611111111111in" height="0.48055555555555557in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23565.png){width="0.6145833333333334in" height="0.5298611111111111in"}，由此推测计算![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23566.png){width="0.8013888888888889in" height="0.48055555555555557in"}的公式，并给出证明； （3）令cn=（a1a2...an）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23567.png){width="0.22847222222222222in" height="0.38472222222222224in"}，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn＜eSn． 　 \ **2015年湖北省高考数学试卷（文科）** 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）i为虚数单位，i607=（　　） A．﹣i B．i C．1 D．﹣1 【分析】直接利用虚数单位i的运算性质得答案． 【解答】解：i607=i606•i=（i2）303•i=（﹣1）303•i=﹣i． 故选：A． 【点评】本题考查了虚数单位i的运算性质，是基础的计算题． 　 2．（3分）我国古代数学名著《九章算术》有"米谷粒分"题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（　　） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论． 【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23568.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}≈169石， 故选：B． 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础． 　 3．（3分）命题"∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1"的否定是（　　） A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1 C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1， 故选：C． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 　 4．（3分）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（　　） A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y正相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关 【分析】由题意，根据一次项系数的符号判断相关性，由y与z正相关，设y=kz，k＞0，得到x与z的相关性． 【解答】解：因为变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，一次项系数为﹣0.1＜0，所以x与y负相关； 变量y与z正相关，设，y=kz，（k＞0），所以kz=﹣0.1x+1，得到z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23569.png){width="0.7298611111111111in" height="0.36527777777777776in"}，一次项系数小于0，所以z与x负相关； 故选：A． 【点评】本题考查由线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题的关键． 　 5．（3分）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（　　） A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系，进行判断即可． 【解答】解：若l1，l2是异面直线，则l1，l2不相交，即充分性成立， 若l1，l2不相交，则l1，l2可能是平行或异面直线，即必要性不成立， 故p是q的充分条件，但不是q的必要条件， 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决本题的关键． 　 6．（3分）函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23570.png){width="0.5409722222222222in" height="0.1875in"}+lg![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23571.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}的定义域为（　　） A．（2，3） B．（2，4\] C．（2，3）∪（3，4\] D．（﹣1，3）∪（3，6\] 【分析】根据函数成立的条件进行求解即可． 【解答】解：要使函数有意义，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23572.png){width="1.042361111111111in" height="0.65625in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23573.png){width="1.261111111111111in" height="0.5930555555555556in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23574.png){width="0.8861111111111111in" height="0.36527777777777776in"}＞0等价为①![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23575.png){width="1.2090277777777778in" height="0.4479166666666667in"}即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23576.png){width="0.9576388888888889in" height="0.4479166666666667in"}，即x＞3， ②![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23577.png){width="1.2090277777777778in" height="0.4479166666666667in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23578.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，此时2＜x＜3， 即2＜x＜3或x＞3， ∵﹣4≤x≤4， ∴解得3＜x≤4且2＜x＜3， 即函数的定义域为（2，3）∪（3，4\]， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件． 　 7．（3分）设x∈R，定义符号函数sgnx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23579.png){width="0.7923611111111111in" height="0.6972222222222222in"}，则（　　） A．\|x\|=x\|sgnx\| B．\|x\|=xsgn\|x\| C．\|x\|=\|x\|sgnx D．\|x\|=xsgnx 【分析】去掉绝对值符号，逐个比较即可． 【解答】解：对于选项A，右边=x\|sgnx\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23580.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4479166666666667in"}，而左边=\|x\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23581.png){width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}，显然不正确； 对于选项B，右边=xsgn\|x\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23582.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4479166666666667in"}，而左边=\|x\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23581.png){width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}，显然不正确； 对于选项C，右边=\|x\|sgnx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23582.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4479166666666667in"}，而左边=\|x\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23581.png){width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}，显然不正确； 对于选项D，右边=xsgnx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23583.png){width="0.875in" height="0.6972222222222222in"}，而左边=\|x\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23584.png){width="0.875in" height="0.4479166666666667in"}，显然正确； 故选：D． 【点评】本题考查函数表达式的比较，正确去绝对值符号是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 8．（3分）在区间\[0，1\]上随机取两个数x，y，记p1为事件"x+y≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23585.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}"的概率，P2为事件"xy≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23585.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}"的概率，则（　　） A．p1＜p2＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23585.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23586.png){width="0.8965277777777778in" height="0.36527777777777776in"} C．p2＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23587.png){width="0.5215277777777778in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23588.png){width="0.8965277777777778in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】分别求出事件"x+y≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23589.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}"和事件"xy≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23589.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}"对应的区域，然后求出面积，利用几何概型公式求出概率，比较大小． 【解答】解：由题意，事件"x+y≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23589.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}"表示的区域如图阴影三角形， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23590.png){width="2.854861111111111in" height="2.2604166666666665in"} p1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23591.png){width="1.0506944444444444in" height="0.5625in"}； 满足事件"xy≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23589.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}"的区域如图阴影部分 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23592.png){width="2.6569444444444446in" height="2.2604166666666665in"} 所以p2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23593.png){width="1.261111111111111in" height="0.6861111111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23594.png){width="0.875in" height="0.4888888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23595.png){width="0.7402777777777778in" height="0.36527777777777776in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23596.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}； 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23597.png){width="0.8965277777777778in" height="0.36527777777777776in"}； 故选：B． 【点评】本题考查了几何概型的公式运用；关键是分别求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答． 　 9．（3分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（　　） A．对任意的a，b，e1＞e2 B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2 C．对任意的a，b，e1＜e2 D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2 【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论． 【解答】解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23598.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}； 双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23599.png){width="1.3131944444444446in" height="0.4479166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23600.png){width="0.6666666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23601.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23602.png){width="0.5840277777777778in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23603.png){width="1.8125in" height="0.48055555555555557in"}， ∴当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2， 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础． 　 10．（3分）已知集合A={（x，y）\|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）\|\|x\|≤2，\|y\|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）\|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（　　） A．77 B．49 C．45 D．30 【分析】由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求 【解答】解：解法一： ∵A={（x，y）\|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0）， B={（x，y）\|\|x\|≤2，\|y\|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）} ∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）\|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}， ∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）， （﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素； 解法二： 因为集合A={（x，y）\|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B={（x，y）\|\|x\|≤2，\|y\|≤2，x，y∈Z}，中有5×5=25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B={（x1+x2，y1+y2）\|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4=45个． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23604.png){width="2.4583333333333335in" height="2.40625in"} 故选：C． 【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素． 　 二、填空题 11．（3分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23605.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23606.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23605.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=3，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23605.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23607.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=　9　． 【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案． 【解答】解：由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23605.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23606.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23605.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23606.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=0，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23608.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23609.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}）=0， ∵\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23608.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=3， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23610.png){width="1.2395833333333333in" height="0.22847222222222222in"}． 故答案为：9． 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题． 　 12．（3分）设变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23611.png){width="0.7083333333333334in" height="0.65625in"}，则3x+y的最大值为　10　． 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图， 由z=3x+y，得y=﹣3x+z， 平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点C时，直线y=﹣3x+z的截距最大， 此时z最大． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23612.png){width="0.5409722222222222in" height="0.4173611111111111in"}得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23613.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}．即C（3，1）， 此时z的最大值为z=3×3+1=10， 故答案为：10． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23614.png){width="2.3854166666666665in" height="2.6152777777777776in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 　 13．（3分）f（x）=2sin xsin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23615.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）﹣x2的零点个数为　2　． 【分析】将函数进行化简，由f（x）=0，转化为两个函数的交点个数进行求解即可． 【解答】解：f（x）=2sinxcosx﹣x2=sin2x﹣x2， 由f（x）=0得sin2x=x2， 作出函数y=sin2x和y=x2的图象如图： 由图象可知，两个函数的图象有2个不同的交点， 即函数f（x）的零点个数为2个， 故答案为：2 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23616.png){width="2.573611111111111in" height="2.1666666666666665in"} 【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键． 　 14．（3分）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间\[0.3，0.9\]内，其频率分布直方图如图所示． （1）直方图中的a=　3　． （2）在这些购物者中，消费金额在区间\[0.5，0.9\]内的购物者的人数为　6000　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23617.png){width="3.1777777777777776in" height="1.6041666666666667in"} 【分析】（1）频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为1，算出a的值； （2）先求出消费金额在区间\[0.5，0.9\]内的购物者的频率，再求频数． 【解答】解：（1）由题意，根据直方图的性质得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）×0.1=1，解得a=3 （2）由直方图得（3+2.0+0.8+0.2）×0.1×10000=6000 故答案为：（1）3 （2）6000 【点评】本题考查了频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，频数=频率×样本容量，属于基础题． 　 15．（3分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=　100![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23618.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}　m． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23619.png){width="2.3645833333333335in" height="1.5625in"} 【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h． 【解答】解：设此山高h（m），则BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23620.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}h， 在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600． 根据正弦定理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23621.png){width="0.6368055555555555in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23622.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}， 解得h=100![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23623.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}（m） 故答案为：100![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23623.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解． 　 16．（3分）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且\|AB\|=2． （1）圆C的标准方程为　（x﹣1）2+（y﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23624.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）2=2　． （2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为　﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23625.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23626.png){width="1.6875in" height="1.5625in"} 【分析】（1）确定圆心与半径，即可求出圆C的标准方程； （2）求出圆C在点B处切线方程，令y=0可得圆C在点B处切线在x轴上的截距． 【解答】解：（1）由题意，圆的半径为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23627.png){width="0.37569444444444444in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23625.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，圆心坐标为（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23625.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）， ∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23625.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）2=2； （2）由（1）知，B（0，1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23625.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）， ∴圆C在点B处切线方程为（0﹣1）（x﹣1）+（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23625.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23625.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）（y﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23628.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）=2， 令y=0可得x=﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23628.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 故答案为：（x﹣1）2+（y﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23628.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）2=2；﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23628.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 17．（3分）a为实数，函数f（x）=\|x2﹣ax\|在区间\[0，1\]上的最大值记为g（a）．当a=　2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23628.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣2　时，g（a）的值最小． 【分析】通过分a≤0、0＜a≤2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23629.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣2、a＞2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23629.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣2三种情况去函数f（x）表达式中绝对值符号，利用函数的单调性即得结论． 【解答】解：对函数f（x）=\|x2﹣ax\|=\|（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23630.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23631.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}\|分下面几种情况讨论： ①当a≤0时，f（x）=x2﹣ax在区间\[0，1\]上单调递增， ∴f（x）max=g（1）=1﹣a； ②当0＜a≤2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23629.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣2时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23632.png){width="0.42569444444444443in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23633.png){width="1.113888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23634.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}，f（1）=1﹣a， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23634.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣（1﹣a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23635.png){width="0.5840277777777778in" height="0.42569444444444443in"}﹣2＜0， ∴f（x）max=g（1）=1﹣a； ③当2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23636.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣2＜a≤1时，f（x）max=g（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23634.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}； 综上所述，g（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23637.png){width="1.5215277777777778in" height="0.6861111111111111in"}， ∴g（a）在（﹣∞，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23638.png){width="0.5in" height="0.1875in"}\]上单调递减，在\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23639.png){width="0.5in" height="0.1875in"}，+∞）上单调递增， ∴g（a）min=g（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23639.png){width="0.5in" height="0.1875in"}）； ④当1＜a＜2时，g（a）=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23640.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23641.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}； ⑤当a≥2时，g（a）=f（1）=a﹣1； 综上，当a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23639.png){width="0.5in" height="0.1875in"}时，g（a）min=3﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23642.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23639.png){width="0.5in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查求函数的最值，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题． 　 三、解答题 18．（12分）某同学将"五点法"画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，\|φ\|＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23643.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表： -------------- --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---- wx+φ 0 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23643.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} π ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23644.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} 2π x ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23645.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23646.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} Asin（wx+φ） 0 5 ﹣5 0 -------------- --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---- （1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式； （2）将y=f（x）图象上所有点向左平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23647.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心． 【分析】（1）由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式； （2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x），解得其对称中心即可得解． 【解答】解：（1）数据补充完整如下表： -------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ wx+φ 0 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23648.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} π ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23649.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} 2π x ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23650.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23651.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23652.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23653.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23654.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"} Asin（wx+φ） 0 5 0 ﹣5 0 -------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 函数f（x）的解析式为：f（x）=5sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23655.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）． （2）将y=f（x）图象上所有点向左平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23655.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度，得到y=g（x）=5sin\[2（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23655.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23655.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]=5sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23655.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）． 由2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23655.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=kπ，k∈Z，可解得：x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23656.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23657.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z， 当k=0时，可得：x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23658.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 从而可得离原点O最近的对称中心为：（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23658.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，0）． 【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查． 　 19．（12分）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式 （2）当d＞1时，记cn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23659.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}，求数列{cn}的前n项和Tn． 【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可； （2）当d＞1时，由（1）知cn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23660.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}，写出Tn、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23661.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可． 【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23662.png){width="1.042361111111111in" height="0.3958333333333333in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23663.png){width="0.37569444444444444in" height="0.3958333333333333in"}，或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23664.png){width="0.42569444444444443in" height="0.5930555555555556in"}， 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23663.png){width="0.37569444444444444in" height="0.3958333333333333in"}时，an=2n﹣1，bn=2n﹣1； 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23664.png){width="0.42569444444444443in" height="0.5930555555555556in"}时，an=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23665.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（2n+79），bn=9•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23666.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}； （2）当d＞1时，由（1）知an=2n﹣1，bn=2n﹣1， ∴cn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23667.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23668.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}， ∴Tn=1+3•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23669.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+5•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23670.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+7•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23671.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+9•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23672.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+...+（2n﹣1）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23673.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23674.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}Tn=1•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23674.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+3•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23675.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+5•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23676.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+7•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23672.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+...+（2n﹣3）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23677.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}+（2n﹣1）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23678.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23679.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}Tn=2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23679.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23680.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23681.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23682.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23683.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}﹣（2n﹣1）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23684.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}=3﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23685.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}， ∴Tn=6﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23686.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 20．（13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE． （Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23687.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}的值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23688.png){width="1.6875in" height="1.6666666666666667in"} 【分析】（Ⅰ）证明BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即可得出结论； （Ⅱ）由已知，PD是阳马P﹣ABCD的高，所以V1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23689.png){width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23690.png){width="0.8229166666666666in" height="0.36527777777777776in"}．由（Ⅰ）知，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，所以V2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23691.png){width="0.8645833333333334in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23692.png){width="0.8229166666666666in" height="0.36527777777777776in"}．即可求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23693.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}的值． 【解答】（Ⅰ）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC， 因为ABCD为正方形，所以BC⊥CD， 因为PD∩CD=D， 所以BC⊥平面PCD， 因为DE⊂平面PCD， 所以BC⊥DE， 因为PD=CD，点E是PC的中点， 所以DE⊥PC， 因为PC∩BC=C， 所以DE⊥平面PBC， 由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形， 即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB； （Ⅱ）由已知，PD是阳马P﹣ABCD的高，所以V1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23694.png){width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23695.png){width="0.8229166666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 由（Ⅰ）知，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE， 所以V2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23696.png){width="0.8645833333333334in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23692.png){width="0.8229166666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 因为PD=CD，点E是PC的中点， 所以DE=CE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23697.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}CD， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23698.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23699.png){width="0.8534722222222222in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23700.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}=4 【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 21．（14分）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=ex，其中e为自然对数的底数． （1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1； （2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23701.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}＜bg（x）+（1﹣b）． 【分析】（1）运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得f（x）、g（x）的解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得f（x）＞0，g（x）＞1； （2）当x＞0时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23701.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23701.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，通过导数判断单调性，即可得证． 【解答】解：（1）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数， 即有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）， f（x）+g（x）=ex，f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x， 即为﹣f（x）+g（x）=e﹣x， 解得f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23702.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（ex﹣e﹣x），g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23702.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（ex+e﹣x）， 则当x＞0时，ex＞1，0＜e﹣x＜1，f（x）＞0； g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23703.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（ex+e﹣x）＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23703.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23704.png){width="0.6666666666666666in" height="0.25in"}=1， 则有当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1； （2）证明：f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23703.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（ex+e﹣x）=g（x）， g′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23703.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（ex﹣e﹣x）=f（x）， 当x＞0时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23705.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23705.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x， 设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x， h′（x）=f′（x）﹣c（g（x）+xg′（x））﹣（1﹣c） =g（x）﹣cg（x）﹣cxf（x）﹣（1﹣c）=（1﹣c）（g（x）﹣1）﹣cxf（x）， ①若c≤0则h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，h（x）＞h（0）=0，（x＞0）， 即有f（x）＞cxg（x）+（1﹣c）x，故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23706.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}＞ag（x）+1﹣a成立； ②若c≥1则h′（x）＜0，故h（x）在（0，+∞）递减，h（x）《h（0）=0，（x＞0）， 即有f（x）＜cxg（x）+（1﹣c）x，故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23706.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}＜bg（x）+1﹣b成立． 综上可得，当x＞0时，a g（x）+（1﹣a）＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23706.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}＜b g（x）+（1﹣b）． 【点评】本题考查函数的奇偶性的运用，主要考查函数的解析式的求法和不等式的证明，同时考查指数函数的单调性和基本不等式的运用，以及导数的运用：判断单调性，属于中档题． 　 22．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求椭圆C的方程； （2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23707.png){width="3.6777777777777776in" height="1.5104166666666667in"} 【分析】（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可． 【解答】解：（1）设D（t，0），\|t\|≤2， N（x0，y0），M（x，y），由题意得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23708.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23709.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}， 且\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23709.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23710.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=1， ∴（t﹣x，﹣y）=2（x0﹣t，y0），且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23711.png){width="1.354861111111111in" height="0.6368055555555555in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23712.png){width="1.0097222222222222in" height="0.5215277777777778in"}，且t（t﹣2x0）=0， 由于当点D不动时，点N也不动，∴t不恒等于0， 于是t=2x0，故x0=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23713.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，y0=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23714.png){width="0.13541666666666666in" height="0.37569444444444444in"}， 代入x02+y02=1，得方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23715.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23716.png){width="2.511111111111111in" height="1.46875in"} （2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23717.png){width="0.8229166666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23718.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23719.png){width="0.9486111111111111in" height="0.48055555555555557in"}消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0， ∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点， ∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23720.png){width="0.6256944444444444in" height="0.4173611111111111in"}，可得P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23721.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23722.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}），同理得Q（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23723.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23724.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}）， 原点O到直线PQ的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23725.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}和\|PQ\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23726.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}•\|xP﹣xQ\|， 可得S△OPQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23727.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|PQ\|d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23727.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|m\|\|xP﹣xQ\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23728.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|m\|\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23729.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23730.png){width="0.5in" height="0.48055555555555557in"}\|②， 将①代入②得S△OPQ=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23730.png){width="0.5in" height="0.48055555555555557in"}\|=8\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23731.png){width="0.5215277777777778in" height="0.48055555555555557in"}\|， 当k2＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23732.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时，S△OPQ=8（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23733.png){width="0.5215277777777778in" height="0.48055555555555557in"}）=8（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23734.png){width="0.5215277777777778in" height="0.42569444444444443in"}）＞8， 当0≤k2＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23732.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时，S△OPQ=8\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23733.png){width="0.5215277777777778in" height="0.48055555555555557in"}\|=﹣8（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23733.png){width="0.5215277777777778in" height="0.48055555555555557in"}）=8（﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23735.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}）， ∵0≤k2＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23736.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时，∴0＜1﹣4k2≤1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23735.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}≥2， ∴S△OPQ=8（﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23735.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}）≥8，当且仅当k=0时取等号， ∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8， 综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8． 【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大． 2015年湖南省高考数学试卷（理科） ================================ 参考答案与试题解析 　 一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分 1．（5分）已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23737.png){width="0.5840277777777778in" height="0.42569444444444443in"}=1+i（i为虚数单位），则复数z=（　　） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值． 【解答】解：∵已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23737.png){width="0.5840277777777778in" height="0.42569444444444443in"}=1+i（i为虚数单位），∴z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23738.png){width="0.5625in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23739.png){width="0.8861111111111111in" height="0.36527777777777776in"}=﹣1﹣i， 故选：D． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题． 　 2．（5分）设A、B是两个集合，则"A∩B=A"是"A⊆B"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可． 【解答】解：A、B是两个集合，则"A∩B=A"可得"A⊆B"， "A⊆B"，可得"A∩B=A"． 所以A、B是两个集合，则"A∩B=A"是"A⊆B"的充要条件． 故选：C． 【点评】本题考查充要条件的判断与应用，集合的交集的求法，基本知识的应用． 　 3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23740.png){width="1.3229166666666667in" height="3.2819444444444446in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23741.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23742.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23743.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23744.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环． 【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0， 第1次循环，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23745.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，i=2， 第2次循环，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23746.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}，i=3， 第3次循环，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23747.png){width="1.3652777777777778in" height="0.36527777777777776in"}，i=4， 此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23747.png){width="1.3652777777777778in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23748.png){width="1.6041666666666667in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23749.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 故选：B． 【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力 　 4．（5分）若变量x、y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23750.png){width="0.7083333333333334in" height="0.65625in"}，则z=3x﹣y的最小值为（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 【解答】解：由约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23750.png){width="0.7083333333333334in" height="0.65625in"}作出可行域如图， 由图可知，最优解为A， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23751.png){width="0.6256944444444444in" height="0.4173611111111111in"}，解得C（0，﹣1）．由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23752.png){width="0.6256944444444444in" height="0.4173611111111111in"}解得A（﹣2，1），由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23753.png){width="0.6256944444444444in" height="0.4173611111111111in"}，解得B（1，1） ∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23754.png){width="2.3854166666666665in" height="2.25in"} 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．易错点是图形中的B点． 　 5．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（　　） A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数 C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数 【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可． 【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1）， 函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣\[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）\]=﹣f（x），所以函数是奇函数． 排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0； x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20631.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时，f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20631.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=ln（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20631.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）﹣ln（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20631.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=ln3＞1，显然f（0）＜f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20631.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}），函数是增函数，所以B错误，A正确． 故选：A． 【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力． 　 6．（5分）已知（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23755.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23756.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}）5的展开式中含x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23757.png){width="0.22847222222222222in" height="0.38472222222222224in"}的项的系数为30，则a=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9682.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9682.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．6 D．﹣6 【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23758.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}求得r，再代入系数求出结果． 【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项， Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23759.png){width="1.4479166666666667in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23760.png){width="1.2180555555555554in" height="0.43680555555555556in"}； 展开式中含x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23761.png){width="0.22847222222222222in" height="0.38472222222222224in"}的项的系数为30， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23762.png){width="0.6256944444444444in" height="0.36527777777777776in"}， ∴r=1，并且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23763.png){width="0.9270833333333334in" height="0.28055555555555556in"}，解得a=﹣6． 故选：D． 【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具． 　 7．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（　　） 附"若X﹣N=（μ，a2），则 P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826． p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23764.png){width="1.5208333333333333in" height="1.2916666666666667in"} A．2386 B．2718 C．3413 D．4772 【分析】求出P（0＜X≤1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23765.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×0.6826=0.3413，即可得出结论． 【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23765.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×0.6826=0.3413， ∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413， 故选：C． 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题． 　 8．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23766.png){width="0.7708333333333334in" height="0.20902777777777778in"}\|的最大值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】由题意，AC为直径，所以\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23766.png){width="0.7708333333333334in" height="0.20902777777777778in"}\|=\|2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23767.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23768.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|．B为（﹣1，0）时，\|2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23767.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23768.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|≤7，即可得出结论． 【解答】解：由题意，AC为直径，所以\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23769.png){width="0.7708333333333334in" height="0.20902777777777778in"}\|=\|2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23770.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23771.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\| 所以B为（﹣1，0）时，\|2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23770.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23771.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|≤7． 所以\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23769.png){width="0.7708333333333334in" height="0.20902777777777778in"}\|的最大值为7． 另解：设B（cosα，sinα）， \|2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23770.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23771.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=\|2（﹣2，0）+（cosα﹣2，sinα）\|=\|（cosα﹣6，sinα）\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23772.png){width="1.6347222222222222in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23773.png){width="0.9576388888888889in" height="0.1875in"}， 当cosα=﹣1时，B为（﹣1，0），取得最大值7． 故选：B． 【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 　 9．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23774.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足\|f（x1）﹣g（x2）\|=2的x1、x2，有\|x1﹣x2\|min=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23775.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，则φ=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23776.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23775.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23777.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23778.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可． 【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23779.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足\|f（x1）﹣g（x2）\|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有\|x1﹣x2\|min=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23775.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 不妨x1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23777.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23780.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，即g（x）在x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23780.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，取得最小值，sin（2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23780.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}﹣2φ）=﹣1，此时φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23781.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}，不合题意， x1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23782.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23783.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，即g（x）在x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23783.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，取得最大值，sin（2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23783.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}﹣2φ）=1，此时φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23784.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，满足题意． 另解：f（x）=sin2x，g（x）=sin（2x﹣2φ），设2x1=2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20795.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z，2x2﹣2φ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20795.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+2mπ，m∈Z， x1﹣x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20795.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣φ+（k﹣m）π， 由\|x1﹣x2\|min=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23785.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20795.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23785.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，解得φ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23786.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：D． 【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答． 　 10．（5分） 某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23787.png){width="1.0506944444444444in" height="0.4173611111111111in"}）（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23788.png){width="2.40625in" height="2.8340277777777776in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23789.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23790.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23791.png){width="0.8118055555555556in" height="0.4479166666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23792.png){width="0.8965277777777778in" height="0.4479166666666667in"} 【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积． 利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x， 利用轴截面的图形可判断得出n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22222.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23793.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即． 【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥， ∵底面半径为1，高为2， ∴V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23794.png){width="0.8534722222222222in" height="0.36527777777777776in"}×2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18071.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23795.png){width="3.1465277777777776in" height="1.9375in"} ∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件， ∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x， ∴根据轴截面图得出：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23796.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23797.png){width="0.5625in" height="0.5840277777777778in"}， 解得；n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23798.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23799.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}），0＜x＜2， ∴长方体的体积Ω=2（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23799.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}）2x，Ω′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23800.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x2﹣4x+2， ∵，Ω′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23800.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x2﹣4x+2=0，x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23801.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，x=2， ∴可判断（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23802.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）单调递增，（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23802.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，2）单调递减， Ω最大值=2（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23803.png){width="0.4583333333333333in" height="0.36527777777777776in"}）2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23802.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23804.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， ∴原工件材料的利用率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23805.png){width="0.3326388888888889in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23804.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23806.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23807.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：A． 【点评】本题很是新颖，知识点融合的很好，把立体几何，导数，概率都相应的考查了，综合性强，属于难题． 　 二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分 11．（5分）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23808.png){width="0.28055555555555556in" height="0.28055555555555556in"}（x﹣1）dx=　0　． 【分析】求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23808.png){width="0.28055555555555556in" height="0.28055555555555556in"}（x﹣1）dx=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23809.png){width="0.3326388888888889in" height="0.36527777777777776in"}﹣x）\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23810.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=0； 故答案为：0． 【点评】本题考查了定积分的计算；关键是求出被积函数的原函数． 　 12．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间\[139，151\]上的运动员人数是　4　．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23811.png){width="4.334027777777778in" height="0.8020833333333334in"} 【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论． 【解答】解：根据茎叶图中的数据，得； 成绩在区间\[139，151\]上的运动员人数是20， 用系统抽样方法从35人中抽取7人， 成绩在区间\[139，151\]上的运动员应抽取 7×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23812.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=4（人）． 故答案为：4． 【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目． 　 13．（5分）设F是双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23813.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23814.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23815.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}　． 【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到． 【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0）， 设PF的中点为M（0，b）， 即有m=﹣c，n=2b， 将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23816.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23817.png){width="0.3326388888888889in" height="0.48055555555555557in"}=1， 可得e2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23816.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}=5， 解得e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23815.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23815.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题． 　 14．（5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an=　3n﹣1　． 【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式． 【解答】解：设等比数列的公比为q，Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列， 可得4S2=S3+3S1，a1=1， 即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3． ∴an=3n﹣1． 故答案为：3n﹣1． 【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查． 　 15．（5分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23818.png){width="0.8229166666666666in" height="0.5298611111111111in"}若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是　{a\|a＜0或a＞1}　． 【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围 【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点， ∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点， 由x3=x2可得，x=0或x=1 ①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23819.png){width="2.4270833333333335in" height="2.3541666666666665in"} ②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意 ③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23820.png){width="2.6777777777777776in" height="2.573611111111111in"} ④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意 ⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b有两个交点 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23821.png){width="2.8340277777777776in" height="2.886111111111111in"} 综上可得，a＜0或a＞1 故答案为：{a\|a＜0或a＞1} 【点评】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想． 　 三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲 16．（6分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明： （1）∠MEN+∠NOM=180° （2）FE•FN=FM•FO． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23822.png){width="1.6875in" height="1.3854166666666667in"} 【分析】（1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180° （2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO． 【解答】证明：（1）∵N为CD的中点， ∴ON⊥CD， ∵M为AB的中点， ∴OM⊥AB， 在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°， ∴O，M，E，N四点共圆， ∴∠MEN+∠NOM=180° （2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°， ∴△FEM∽△FON， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23823.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23824.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} ∴FE•FN=FM•FO． 【点评】本题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 　 选修4-4：坐标系与方程 17．（6分）已知直线l：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23825.png){width="0.8444444444444444in" height="0.8118055555555556in"}（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ． （1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程； （2）设点M的直角坐标为（5，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23826.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}），直线l与曲线C的交点为A，B，求\|MA\|•\|MB\|的值． 【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程； （2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论． 【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1； （2）直线l：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23825.png){width="0.8444444444444444in" height="0.8118055555555556in"}（t为参数），普通方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23827.png){width="0.9576388888888889in" height="0.38472222222222224in"}，（5，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16584.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）在直线l上， 过点M作圆的切线，切点为T，则\|MT\|2=（5﹣1）2+3﹣1=18， 由切割线定理，可得\|MT\|2=\|MA\|•\|MB\|=18． 【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题． 　 选修4-5：不等式选讲 18．设a＞0，b＞0，且a+b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23828.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23829.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．证明： （ⅰ）a+b≥2； （ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立． 【分析】（ⅰ）由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证； （ⅱ）运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证． 【解答】证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0， 则a+b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23830.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23831.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23832.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}， 由于a+b＞0，则ab=1， 即有a+b≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23833.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}=2， 当且仅当a=b取得等号． 则a+b≥2； （ⅱ）假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立． 由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1， 由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1， 这与ab=1矛盾． a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立． 【点评】本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题． 　 七、标题 19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23834.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得； （Ⅱ）由题意可得A∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23835.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），可得0＜sinA＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23836.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23837.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23838.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，由二次函数区间的最值可得． 【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23839.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23840.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23841.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}， ∴sinB=cosA，即sinB=sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23842.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+A） 又B为钝角，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23842.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+A∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23842.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，π）， ∴B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23842.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+A，∴B﹣A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23842.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23842.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23842.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣2A＞0， ∴A∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23843.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），∴sinA+sinC=sinA+sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23844.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣2A） =sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A =﹣2（sinA﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23845.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23846.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∵A∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23847.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），∴0＜sinA＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23848.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∴由二次函数可知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23848.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}＜﹣2（sinA﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23845.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23849.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23849.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ∴sinA+sinC的取值范围为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23850.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23849.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\] 【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题． 　 20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率； （2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望． 【分析】（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23851.png){width="0.38472222222222224in" height="0.25in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23852.png){width="0.38472222222222224in" height="0.25in"}互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可． （2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23853.png){width="0.5930555555555556in" height="0.36527777777777776in"}．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望． 【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23851.png){width="0.38472222222222224in" height="0.25in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23852.png){width="0.38472222222222224in" height="0.25in"}互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23854.png){width="0.38472222222222224in" height="0.25in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23855.png){width="0.38472222222222224in" height="0.25in"}，C=B1+B2，因为P（A1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23856.png){width="0.4583333333333333in" height="0.36527777777777776in"}，P（A2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23857.png){width="0.4583333333333333in" height="0.36527777777777776in"}，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23858.png){width="0.4583333333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23859.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，P（B2）=P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23854.png){width="0.38472222222222224in" height="0.25in"}）+P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23860.png){width="0.38472222222222224in" height="0.25in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23861.png){width="0.9486111111111111in" height="0.25in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23862.png){width="0.9486111111111111in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23863.png){width="1.6868055555555554in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9783.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23864.png){width="0.6972222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． （2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23865.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23866.png){width="0.20902777777777778in" height="0.19791666666666666in"}所以．X～B![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23867.png){width="0.5930555555555556in" height="0.36527777777777776in"}．于是，P（X=0）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23868.png){width="1.0618055555555554in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23869.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，P（X=1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23870.png){width="1.0618055555555554in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23871.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，P（X=2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23872.png){width="1.0618055555555554in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23873.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，P（X=3）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23874.png){width="1.0618055555555554in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23875.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}． 故X的分布列为： --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- X 0 1 2 3 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23876.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23877.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23878.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23875.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- E（X）=3×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23879.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23880.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响． 　 21．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上． （1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ； （2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23881.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，求四面体ADPQ的体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23882.png){width="1.8541666666666667in" height="1.9270833333333333in"} 【分析】（1）首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q（6，y1，0），只需求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23883.png){width="0.7819444444444444in" height="0.26944444444444443in"}即可； （2）设P（0，y2，z2），根据P在棱DD1上，从而由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23884.png){width="0.7597222222222222in" height="0.26944444444444443in"}即可得到z2=12﹣2y2，从而表示点P坐标为P（0，y2，12﹣2y2）．由PQ∥平面ABB1A1便知道![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23885.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q点坐标变成Q（6，y2，0），设平面PQD的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23886.png){width="0.9576388888888889in" height="0.22847222222222222in"}，根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23887.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}即可表示![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23888.png){width="1.3131944444444446in" height="0.43680555555555556in"}，平面AQD的一个法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23889.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}，从而由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23890.png){width="1.4368055555555554in" height="0.36527777777777776in"}即可求出y2，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积． 【解答】解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则： A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）； Q在棱BC上，设Q（6，y1，0），0≤y1≤6； ∴（1）证明：若P是DD1的中点，则P![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23891.png){width="0.8444444444444444in" height="0.36527777777777776in"}； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23892.png){width="1.5in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23893.png){width="1.1569444444444446in" height="0.26944444444444443in"}； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23894.png){width="0.7819444444444444in" height="0.26944444444444443in"}； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23895.png){width="0.6777777777777778in" height="0.26944444444444443in"}； ∴AB1⊥PQ； （2）设P（0，y2，z2），y2，z2∈\[0，6\]，P在棱DD1上； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23896.png){width="0.7597222222222222in" height="0.26944444444444443in"}，0≤λ≤1； ∴（0，y2﹣6，z2）=λ（0，﹣3，6）； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23897.png){width="0.9055555555555556in" height="0.5215277777777778in"}； ∴z2=12﹣2y2； ∴P（0，y2，12﹣2y2）； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23898.png){width="1.9388888888888889in" height="0.26944444444444443in"}； 平面ABB1A1的一个法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23899.png){width="1.042361111111111in" height="0.22847222222222222in"}； ∵PQ∥平面ABB1A1； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23900.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=6（y1﹣y2）=0； ∴y1=y2； ∴Q（6，y2，0）； 设平面PQD的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23901.png){width="0.9576388888888889in" height="0.22847222222222222in"}，则： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23902.png){width="1.823611111111111in" height="0.6041666666666666in"}； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23903.png){width="0.8118055555555556in" height="0.6777777777777778in"}，取z=1，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23904.png){width="1.3131944444444446in" height="0.43680555555555556in"}； 又平面AQD的一个法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23905.png){width="1.1569444444444446in" height="0.26944444444444443in"}； 又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23906.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23907.png){width="2.6777777777777776in" height="0.65625in"}； 解得y2=4，或y2=8（舍去）； ∴P（0，4，4）； ∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23908.png){width="1.34375in" height="0.36527777777777776in"}； ∴V四面体ADPQ=V三棱锥P﹣ADQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23909.png){width="0.8229166666666666in" height="0.36527777777777776in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23910.png){width="2.0416666666666665in" height="2.1145833333333335in"} 【点评】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题的方法，共线向量基本定理，直线和平面平行时，直线和平面法向量的关系，平面法向量的概念，以及两平面法向量的夹角和平面二面角大小的关系，三棱锥的体积公式． 　 22．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23911.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23912.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23913.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． （Ⅰ）求C2的方程； （Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23914.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23915.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}同向． （1）若\|AC\|=\|BD\|，求直线l的斜率； （2）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形． 【分析】（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同，得到a2﹣b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23916.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23917.png){width="0.65625in" height="0.42569444444444443in"}=1，解得即可求出； （Ⅱ）设出点的坐标，（1）根据向量的关系，得到（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可； （2）根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明． 【解答】解：（Ⅰ）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C2的一个焦点， ∴a2﹣b2=1，①， 又C1与C2的公共弦长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23916.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y， 由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23916.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15748.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23918.png){width="0.65625in" height="0.42569444444444443in"}=1，②， 联立①②得a2=9，b2=8， 故C2的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23919.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23920.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}=1． （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）， （1）因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23921.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23922.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}同向，且\|AC\|=\|BD\|， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23921.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23923.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}， 从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是 （x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，③ 设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23924.png){width="0.6256944444444444in" height="0.46944444444444444in"}，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2是这个方程的两根， 所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④ 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23925.png){width="0.8444444444444444in" height="0.6777777777777778in"}，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，而x3，x4是这个方程的两根， 所以x3+x4=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23926.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}，x3x4=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23927.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}，⑤ 将④⑤代入③，得16（k2+1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23928.png){width="0.7708333333333334in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23929.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}， 即16（k2+1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23930.png){width="1.1465277777777778in" height="0.48055555555555557in"}， 所以（9+8k2）2=16×9， 解得k=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23931.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． （2）由x2=4y得y′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10261.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x， 所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10261.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x1（x﹣x1）， 即y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10261.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x1x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10262.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x12， 令y=0，得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10261.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x1， M（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10261.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x1，0）， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23932.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23933.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x1，﹣1）， 而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23934.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（x1，y1﹣1）， 于是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23935.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23934.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23933.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x12﹣y1+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10264.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x12+1＞0， 因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角， 故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形． 【点评】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于k的方程，计算量大，属于难题． 　 23．（13分）已知a＞0，函数f（x）=eaxsinx（x∈\[0，+∞\]）．记xn为f（x）的从小到大的第n（n∈N\*）个极值点．证明： （Ⅰ）数列{f（xn）}是等比数列； （Ⅱ）若a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23936.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}，则对一切n∈N\*，xn＜\|f（xn）\|恒成立． 【分析】（Ⅰ）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证； （Ⅱ）由sinφ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23937.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}，可得对一切n∈N\*，xn＜\|f（xn）\|恒成立．即为nπ﹣φ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23937.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}ea（nπ﹣φ）恒成立⇔![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23938.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23939.png){width="0.8013888888888889in" height="0.42569444444444443in"}，①设g（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23940.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}（t＞0），求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证． 【解答】证明：（Ⅰ）f′（x）=eax（asinx+cosx）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23941.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}•eaxsin（x+φ）， tanφ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23942.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，0＜φ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23943.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N\*， 对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ， 则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π﹣φ，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，（m+1）π﹣φ）上f′（x）符号总相反． 于是当x=nπ﹣φ，n∈N\*，f（x）取得极值，所以xn=nπ﹣φ，n∈N\*， 此时f（xn）=ea（nπ﹣φ）sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1ea（nπ﹣φ）sinφ， 易知f（xn）≠0，而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23944.png){width="0.65625in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23945.png){width="2.0625in" height="0.48055555555555557in"}=﹣eaπ是常数， 故数列{f（xn）}是首项为f（x1）=ea（π﹣φ）sinφ，公比为﹣eaπ的等比数列； （Ⅱ）由sinφ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23946.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}，可得对一切n∈N\*，xn＜\|f（xn）\|恒成立． 即为nπ﹣φ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23946.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}ea（nπ﹣φ）恒成立⇔![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23947.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23948.png){width="0.8013888888888889in" height="0.42569444444444443in"}，① 设g（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23949.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}（t＞0），g′（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23950.png){width="0.6666666666666666in" height="0.48055555555555557in"}， 当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，当t＞1时，g′（t）＞0，g（t）递增． t=1时，g（t）取得最小值，且为e． 因此要使①恒成立，只需![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23951.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}＜g（1）=e， 只需a＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23952.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}，当a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23952.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}，tanφ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23953.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23954.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23955.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20902777777777778in"}，且0＜φ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23956.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23957.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}＜φ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23956.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，于是π﹣φ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23958.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23959.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23960.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23959.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}， 因此对n∈N\*，axn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23961.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4479166666666667in"}≠1，即有g（axn）＞g（1）=e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23962.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}， 故①亦恒成立． 综上可得，若a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23963.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}，则对一切n∈N\*，xn＜\|f（xn）\|恒成立． 【点评】本题考查导数的运用：求极值和单调区间，主要考查三角函数的导数和求值，同时考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的证明，属于难题． 　 2015年湖南省高考数学试卷（文科） ================================ 参考答案与试题解析 　 一、选择题（每小题5分，共50分） 1．（5分）已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23964.png){width="0.5840277777777778in" height="0.42569444444444443in"}=1+i（i为虚数单位），则复数z=（　　） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值． 【解答】解：∵已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23964.png){width="0.5840277777777778in" height="0.42569444444444443in"}=1+i（i为虚数单位），∴z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23965.png){width="0.5625in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23966.png){width="0.8861111111111111in" height="0.36527777777777776in"}=﹣1﹣i， 故选：D． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题． 　 2．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间\[139，151\]上的运动员人数是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23967.png){width="4.511111111111111in" height="0.8854166666666666in"} A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】对各数据分层为三个区间，然后根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23968.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，然后各层按照此比例抽取． 【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是\[130，138\]，\[139，151\]，\[152，153\]，根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23968.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 所以成绩在区间\[139，151\]中共有20名运动员，抽取人数为20×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23968.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=4； 故选：B． 【点评】本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取比例． 　 3．（5分）设x∈R，则"x＞1"是"x3＞1"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】利用充要条件的判断方法判断选项即可． 【解答】解：因为x∈R，"x＞1"⇔"x3＞1"， 所以"x＞1"是"x3＞1"的充要条件． 故选：C． 【点评】本题考查充要条件的判断，基本知识的考查． 　 4．（5分）若变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23969.png){width="0.6256944444444444in" height="0.6451388888888889in"}，则z=2x﹣y的最小值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 【解答】解：由约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23969.png){width="0.6256944444444444in" height="0.6451388888888889in"}作出可行域如图， 由图可知，最优解为A， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23970.png){width="0.5409722222222222in" height="0.4173611111111111in"}，解得A（0，1）． ∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23971.png){width="2.3958333333333335in" height="2.375in"} 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 　 5．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image23972.png){width="1.3229166666666667in" height="3.2819444444444446in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23973.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23974.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23975.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23976.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环． 【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0， 第1次循环，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23977.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，i=2， 第2次循环，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23978.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}，i=3， 第3次循环，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23979.png){width="1.3652777777777778in" height="0.36527777777777776in"}，i=4， 此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23979.png){width="1.3652777777777778in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23980.png){width="1.6041666666666667in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23981.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 故选：B． 【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力 　 6．（5分）若双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23982.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23983.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23984.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23985.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23986.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23987.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23988.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23989.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23990.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23987.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查． 　 7．（5分）若实数a，b满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23991.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23992.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23993.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，则ab的最小值为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23994.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．2 C．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23994.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．4 【分析】由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23991.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23995.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23996.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23997.png){width="0.96875in" height="0.38472222222222224in"}即可求解ab的最小值 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23998.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23995.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23996.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， ∴a＞0，b＞0， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23997.png){width="0.96875in" height="0.38472222222222224in"}（当且仅当b=2a时取等号）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23999.png){width="0.8861111111111111in" height="0.38472222222222224in"}， 解可得，ab![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24000.png){width="0.48055555555555557in" height="0.1875in"}，即ab的最小值为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24001.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 故选：C． 【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题 　 8．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（　　） A．奇函数，且在（0，1）上是增函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数 C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．偶函数，且在（0，1）上是减函数 【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可． 【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1）， 函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣\[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）\]=﹣f（x），所以函数是奇函数． 排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0； x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24002.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时，f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24002.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=ln（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24003.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）﹣ln（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24003.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=ln3＞1，显然f（0）＜f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24003.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}），函数是增函数，所以B错误，A正确． 故选：A． 【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力． 　 9．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24004.png){width="0.7708333333333334in" height="0.20902777777777778in"}\|的最大值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】由题意，AC为直径，所以\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24004.png){width="0.7708333333333334in" height="0.20902777777777778in"}\|=\|2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24005.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24006.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|．B为（﹣1，0）时，\|2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24005.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24006.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|≤7，即可得出结论． 【解答】解：由题意，AC为直径，所以\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24004.png){width="0.7708333333333334in" height="0.20902777777777778in"}\|=\|2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24007.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24008.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\| 所以B为（﹣1，0）时，\|2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24007.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24008.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|≤7． 所以\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24009.png){width="0.7708333333333334in" height="0.20902777777777778in"}\|的最大值为7． 另解：设B（cosα，sinα）， \|2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24007.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24008.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=\|2（﹣2，0）+（cosα﹣2，sinα）\|=\|（cosα﹣6，sinα）\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24010.png){width="1.6347222222222222in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24011.png){width="0.9576388888888889in" height="0.1875in"}， 当cosα=﹣1时，B为（﹣1，0），取得最大值7． 故选：B． 【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 　 10．（5分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24012.png){width="1.0506944444444444in" height="0.4173611111111111in"}）（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24013.png){width="2.2395833333333335in" height="2.2916666666666665in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24014.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24015.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24016.png){width="0.8965277777777778in" height="0.4479166666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24017.png){width="0.8118055555555556in" height="0.4479166666666667in"} 【分析】由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求． 【解答】解：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为3，所以圆锥的高为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22806.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，圆锥是体积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24018.png){width="1.417361111111111in" height="0.38472222222222224in"}； 其内接正方体的棱长为x，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24019.png){width="0.9791666666666666in" height="0.40625in"}，解得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24020.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，所以正方体的体积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24021.png){width="1.176388888888889in" height="0.38472222222222224in"}， 所以原工件材料的利用率为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24022.png){width="1.0506944444444444in" height="0.4173611111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24023.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}； 故选：A． 【点评】本题考查了由几何体的三视图得到几何体的体积以及几何体的内接正方体棱长的求法；正确还原几何体以及计算内接正方体的体积是关键，属于中档题． 　 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A∪（∁UB）=　{1，2，3}　． 【分析】首先求出集合B的补集，然后再与集合A取并集． 【解答】解：集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}， 所以∁UB={2}， 所以A∪（∁UB）={1，2，3}． 故答案为：{1，2，3}． 【点评】本题考查了集合的交集、补集、并集的运算；根据定义解答，属于基础题． 　 12．（5分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为　x2+（y﹣1）2=1　． 【分析】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可． 【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=2snθ，即ρ2=2ρsnθ，它的直角坐标方程为：x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1． 故答案为：x2+（y﹣1）2=1． 【点评】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，基本知识的考查． 　 13．（5分）若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=　2　． 【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24024.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案． 【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点， 且∠AOB=120°， 则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24025.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24026.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}r， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24027.png){width="0.6256944444444444in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24026.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}r， 解得r=2， 故答案为：2． 【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24026.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}r是解答的关键． 　 14．（5分）已知函数f（x）=\|2x﹣2\|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是　0＜b＜2　． 【分析】由函数f（x）=\|2x﹣2\|﹣b有两个零点，可得\|2x﹣2\|=b有两个零点，从而可得函数y=\|2x﹣2\|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围 【解答】解：由函数f（x）=\|2x﹣2\|﹣b有两个零点，可得\|2x﹣2\|=b有两个零点， 从而可得函数y=\|2x﹣2\|函数y=b的图象有两个交点， 结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件， 故答案为：0＜b＜2 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24028.png){width="3.2194444444444446in" height="2.5527777777777776in"} 【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质． 　 15．（5分）已知ω＞0，在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24029.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则ω=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24030.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】根据正弦线，余弦线得出交点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24031.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}（k1![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24032.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24033.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}），（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24034.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}（k2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24035.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24036.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}），k1，k2都为整数， 两个交点在同一个周期内，距离最近，即可得出方程求解即可． 【解答】解：∵函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点， ∴根据三角函数线可得出交点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24034.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}（k1![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24037.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24038.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}），（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24034.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}（k2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24035.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24039.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}），k1，k2都为整数， ∵距离最短的两个交点的距离为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24040.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴这两个交点在同一个周期内， ∴12=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24041.png){width="0.31319444444444444in" height="0.42569444444444443in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24042.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24043.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}）2+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24044.png){width="0.6256944444444444in" height="0.1875in"}）2，ω=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24045.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24046.png){width="4.125694444444444in" height="3.448611111111111in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24047.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 【点评】本题考查了三角函数的图象和性质，三角函数线的运用，属于中档题，计算较麻烦． 　 三、解答题 16．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖． （Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果； （Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由． 【分析】（Ⅰ）中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果； （Ⅱ）在（Ⅰ）中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的． 【解答】解：（Ⅰ）所有可能的摸出的结果是： {A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}， {A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}； （Ⅱ）不正确．理由如下： 由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为： {A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种， ∴中奖的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24048.png){width="0.4583333333333333in" height="0.36527777777777776in"}． 不中奖的概率为：1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24049.png){width="0.6972222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 故这种说法不正确． 【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了枚举法求基本事件个数，是基础题． 　 17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24050.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，且B为钝角，求A，B，C． 【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24051.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24052.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA． （Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24053.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，由（1）sinB=cosA，可得sin2B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24053.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C． 【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24054.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=tanA， ∵由正弦定理：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24055.png){width="0.6256944444444444in" height="0.36527777777777776in"}，又tanA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24052.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24056.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24057.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}， ∵sinA≠0， ∴sinB=cosA．得证． （Ⅱ）∵sinC=sin\[π﹣（A+B）\]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB， ∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24058.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，由（1）sinB=cosA， ∴sin2B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24058.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∵0＜B＜π， ∴sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24059.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∵B为钝角， ∴B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24060.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}， 又∵cosA=sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24059.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∴A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24061.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， ∴C=π﹣A﹣B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24061.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 综上，A=C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24062.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24063.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题． 　 18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点， （Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24064.png){width="1.8541666666666667in" height="1.875in"} 【分析】（Ⅰ）证明AE⊥BB1，AE⊥BC，BC∩BB1=B，推出AE⊥平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）取AB的中点G，说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积． 【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1， ∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点， ∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1， ∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A1ABB1， 直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G=CG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18792.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴AA1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24065.png){width="0.875in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24066.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，CF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24067.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 三棱锥F﹣AEC的体积：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24068.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24069.png){width="0.9902777777777778in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24070.png){width="1.5305555555555554in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24071.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24072.png){width="1.84375in" height="1.8541666666666667in"} 【点评】本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力． 　 19．（13分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=2，an+2=3Sn﹣Sn+1+3，n∈N\*， （Ⅰ）证明an+2=3an； （Ⅱ）求Sn． 【分析】（Ⅰ）当n≥2时，通过an+2=3Sn﹣Sn+1+3与an+1=3Sn﹣1﹣Sn+3作差，然后验证当n=1时命题也成立即可； （Ⅱ）通过（I）写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可． 【解答】（Ⅰ）证明：当n≥2时，由an+2=3Sn﹣Sn+1+3， 可得an+1=3Sn﹣1﹣Sn+3， 两式相减，得an+2﹣an+1=3an﹣an+1， ∴an+2=3an， 当n=1时，有a3=3S1﹣S2+3=3×1﹣（1+2）+3=3， ∴a3=3a1，命题也成立， 综上所述：an+2=3an； （Ⅱ）解：由（I）可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24073.png){width="1.8541666666666667in" height="0.6145833333333334in"}，其中k是任意正整数， ∴S2k﹣1=（a1+a2）+（a3+a4）+...+（a2k﹣3+a2k﹣2）+a2k﹣1 =3+32+...+3k﹣1+3k﹣1 =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24074.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}+3k﹣1 =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24075.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×3k﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24076.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， S2k=S2k﹣1+a2k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24075.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×3k﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24076.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+2×3k﹣1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24077.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24076.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 综上所述，Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24078.png){width="1.886111111111111in" height="1.1243055555555554in"}． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 20．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24079.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24080.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24081.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24082.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24083.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}同向． （Ⅰ）求C2的方程； （Ⅱ）若\|AC\|=\|BD\|，求直线l的斜率． 【分析】（Ⅰ）通过C1方程可知a2﹣b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24084.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}且C1与C2的图象都关于y轴对称可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24085.png){width="0.8444444444444444in" height="0.42569444444444443in"}，计算即得结论； （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24082.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24083.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}可得（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可． 【解答】解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1）， ∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1， 又∵C1与C2的公共弦的长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24084.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，C1与C2的图象都关于y轴对称， ∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24086.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24087.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24088.png){width="0.8444444444444444in" height="0.42569444444444443in"}， 又∵a2﹣b2=1， ∴a2=9，b2=8， ∴C2的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24089.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24090.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}=1； （Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24091.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24092.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}同向，且\|AC\|=\|BD\|，![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24093.png){width="3.2194444444444446in" height="2.8027777777777776in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24094.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24095.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，∴x1﹣x2=x3﹣x4， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4， 设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24096.png){width="0.6256944444444444in" height="0.46944444444444444in"}，可得x2﹣4kx﹣4=0， 由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24097.png){width="0.8444444444444444in" height="0.6777777777777778in"}，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0， 由韦达定理可得x3+x4=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24098.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}，x3x4=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24099.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}， 又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4， ∴16（k2+1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24100.png){width="0.7708333333333334in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24101.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}， 化简得16（k2+1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24102.png){width="1.1465277777777778in" height="0.48055555555555557in"}， ∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24103.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， 即直线l的斜率为±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24103.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 21．（13分）已知a＞0，函数f（x）=aexcosx（x∈\[0，+∞\]），记xn为f（x）的从小到大的第n（n∈N\*）个极值点． （Ⅰ）证明：数列{f（xn）}是等比数列； （Ⅱ）若对一切n∈N\*，xn≤\|f（xn）\|恒成立，求a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，令导数为0，求得极值点，再由等比数列的定义，即可得证； （Ⅱ）由n=1可得a的范围，运用数学归纳法证8n＞4n+3，当a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24104.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}π![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24105.png){width="0.38472222222222224in" height="0.38472222222222224in"}时，验证得\|f（xn+1）\|＞xn+1，即可得到a的范围． 【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）=aexcosx的导数为f′（x）=aex（cosx﹣sinx）， a＞0，x≥0，则ex≥1， 由f′（x）=0，可得cosx=sinx，即tanx=1，解得x=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24106.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，k=0，1，2，...， 当k为奇数时，f′（x）在kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24106.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}附近左负右正， 当k为偶数时，f′（x）在kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24107.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}附近左正右负． 故x=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24107.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，k=0，1，2，...，均为极值点， xn=（n﹣1）π+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24107.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=nπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24108.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}， f（xn）=a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24109.png){width="0.6451388888888889in" height="0.38472222222222224in"}cos（nπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24108.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}），f（xn+1）=a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24110.png){width="0.5840277777777778in" height="0.38472222222222224in"}cos（nπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24111.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）， 当n为偶数时，f（xn+1）=﹣eπf（xn）， 当n为奇数时，f（xn+1）=﹣eπf（xn）， 即有数列{f（xn）}是等比数列； （Ⅱ）解：由于x1≤\|f（x1）\|，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24111.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24112.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24113.png){width="0.2916666666666667in" height="0.38472222222222224in"}， 解得a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24114.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}π![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24115.png){width="0.38472222222222224in" height="0.38472222222222224in"}， 下面证明8n＞4n+3． 当n=1时，8＞7显然成立，假设n=k时，8k＞4k+3， 当n=k+1时，8k+1=8•8k＞8（4k+3）=32k+24 =4（k+1）+28k+20＞4（k+1）+3， 即有n=k+1时，不等式成立． 综上可得8n＞4n+3（n∈N+）， 由eπ＞8， 当a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24114.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}π![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24116.png){width="0.38472222222222224in" height="0.38472222222222224in"}时， 由（Ⅰ）可得\|f（xn+1）\|=\|（﹣eπ）\|n\|f（x1）\| ＞8n\|f（x1）\|=8nf（x1）＞（4n+3）x1＞xn+1，n∈N+， 综上可得a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24117.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}π![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24116.png){width="0.38472222222222224in" height="0.38472222222222224in"}成立． 【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查不等式的恒成立问题，同时考查等比数列的通项公式和数学归纳法证明不等式的方法，以及不等式的性质，属于难题． 　 \ **2015年江苏省高考数学试卷** 参考答案与试题解析 　 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为　5　． 【分析】求出A∪B，再明确元素个数 【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}； 所以A∪B中元素的个数为5； 故答案为：5 【点评】题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题 　 2．（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为　6　． 【分析】直接求解数据的平均数即可． 【解答】解：数据4，6，5，8，7，6， 那么这组数据的平均数为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24118.png){width="0.96875in" height="0.36527777777777776in"}=6． 故答案为：6． 【点评】本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查． 　 3．（5分）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24119.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}　． 【分析】直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可． 【解答】解：复数z满足z2=3+4i， 可得\|z\|\|z\|=\|3+4i\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24120.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}=5， ∴\|z\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24119.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24119.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力． 　 4．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为　7　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24121.png){width="1.2604166666666667in" height="1.3645833333333333in"} 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7． 【解答】解：模拟执行程序，可得 S=1，I=1 满足条件I＜8，S=3，I=4 满足条件I＜8，S=5，I=7 满足条件I＜8，S=7，I=10 不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题． 　 5．（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24122.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可． 【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则 一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种， 其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种； 所以所求的概率是P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24123.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24123.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目． 　 6．（5分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20657.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（2，1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20658.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，﹣2），若m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20657.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+n![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20658.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为　﹣3　． 【分析】直接利用向量的坐标运算，求解即可． 【解答】解：向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20657.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（2，1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20658.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，﹣2），若m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9703.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+n![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9701.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（9，﹣8） 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24124.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3958333333333333in"}，解得m=2，n=5， ∴m﹣n=﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力． 　 7．（5分）不等式2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24125.png){width="0.42569444444444443in" height="0.2611111111111111in"}＜4的解集为　（﹣1，2）　． 【分析】利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可． 【解答】解；∵2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24125.png){width="0.42569444444444443in" height="0.2611111111111111in"}＜4， ∴x2﹣x＜2， 即x2﹣x﹣2＜0， 解得：﹣1＜x＜2 故答案为：（﹣1，2） 【点评】本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大． 　 8．（5分）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24126.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则tanβ的值为　3　． 【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可． 【解答】解：tanα=﹣2，tan（α+β）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24126.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 可知tan（α+β）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24127.png){width="1.0506944444444444in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24126.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24128.png){width="0.71875in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24126.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 解得tanβ=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查． 　 9．（5分）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24129.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}　． 【分析】由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r． 【解答】解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24130.png){width="2.040277777777778in" height="0.36527777777777776in"}． 设新圆锥和圆柱的底面半径为r， 则新圆锥和圆柱的体积和为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24131.png){width="1.9993055555555554in" height="0.42569444444444443in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24132.png){width="1.1569444444444446in" height="0.42569444444444443in"}，解得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24133.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24129.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题． 　 10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为　（x﹣1）2+y2=2　． 【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程． 【解答】解：圆心到直线的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24134.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24135.png){width="0.6451388888888889in" height="0.5840277777777778in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24136.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴m=1时，圆的半径最大为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24136.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2． 故答案为：（x﹣1）2+y2=2． 【点评】本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础． 　 11．（5分）设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N\*），则数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24137.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}}的前10项的和为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24138.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N\*），利用"累加求和"可得an=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24139.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}．再利用"裂项求和"即可得出． 【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N\*）， ∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+...+（a2﹣a1）+a1=n+...+2+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24139.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}． 当n=1时，上式也成立， ∴an=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24139.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24140.png){width="0.8861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24141.png){width="0.7493055555555556in" height="0.36527777777777776in"}． ∴数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24142.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}}的前n项的和Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24143.png){width="2.4694444444444446in" height="0.36527777777777776in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24144.png){width="0.7597222222222222in" height="0.36527777777777776in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24145.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}． ∴数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24146.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}}的前10项的和为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24147.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24147.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了数列的"累加求和"方法、"裂项求和"方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24148.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}　． 【分析】双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离． 【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0， 因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立， 所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24148.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24148.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础． 　 13．（5分）已知函数f（x）=\|lnx\|，g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24149.png){width="1.34375in" height="0.4888888888888889in"}，则方程\|f（x）+g（x）\|=1实根的个数为　4　． 【分析】：由\|f（x）+g（x）\|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论． 【解答】解：由\|f（x）+g（x）\|=1可得g（x）=﹣f（x）±1． g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有2个交点 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24150.png){width="2.2291666666666665in" height="2.25in"} g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点； ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24151.png){width="2.2395833333333335in" height="2.2604166666666665in"} 所以方程\|f（x）+g（x）\|=1实根的个数为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查求方程\|f（x）+g（x）\|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 14．（5分）设向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24152.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=（cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24153.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24153.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24153.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）（k=0，1，2，...，12），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24154.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}（ak•ak+1）的值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24155.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}　． 【分析】利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24156.png){width="0.6256944444444444in" height="0.26944444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24157.png){width="1.5631944444444446in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24158.png){width="3.4784722222222224in" height="0.36527777777777776in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24159.png){width="1.5631944444444446in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24160.png){width="1.4784722222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24161.png){width="1.4784722222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24162.png){width="1.4784722222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24163.png){width="1.4784722222222222in" height="0.36527777777777776in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24164.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24165.png){width="0.8444444444444444in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24166.png){width="1.7194444444444446in" height="0.36527777777777776in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24167.png){width="0.5625in" height="0.38472222222222224in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24165.png){width="0.8444444444444444in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24168.png){width="0.9576388888888889in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24169.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}（ak•ak+1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24170.png){width="0.6972222222222222in" height="0.38472222222222224in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24171.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24172.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24173.png){width="1.2284722222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24174.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24175.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24176.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24177.png){width="0.7597222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24178.png){width="0.7083333333333334in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24179.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24180.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24181.png){width="1.96875in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24182.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24183.png){width="0.7597222222222222in" height="0.36527777777777776in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24184.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}+0+0 =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24184.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}． 故答案为：9![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24185.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（14分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC的长； （2）求sin2C的值． 【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可． （2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可． 【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20943.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=7， 所以BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24186.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． （2）由正弦定理可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24187.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}，则sinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24188.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24189.png){width="0.71875in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24190.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}， ∵AB＜BC，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24191.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24191.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}＞2， ∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24192.png){width="0.7597222222222222in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24193.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24194.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． 因此sin2C=2sinCcosC=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24195.png){width="0.8534722222222222in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24196.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键． 　 16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E． 求证： （1）DE∥平面AA1C1C； （2）BC1⊥AB1． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24197.png){width="2.4166666666666665in" height="2.7715277777777776in"} 【分析】（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C； （2）【方法一】先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1； 再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC； 最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1． 【方法二】建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明异面直线垂直． 【解答】证明：（1）如图所示，![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24198.png){width="1.59375in" height="1.4479166666666667in"} 由据题意得， E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC； 又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C； （2）【方法一】因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC， 因为AC⊂平面ABC， 所以AC⊥CC1； 又因为AC⊥BC， CC1⊂平面BCC1B1， BC⊂平面BCC1B1， BC∩CC1=C， 所以AC⊥平面BCC1B1； 又因为BC1⊂平面BCC1B1， 所以BC1⊥AC； 因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形， 所以BC1⊥平面B1AC； 又因为AB1⊂平面B1AC， 所以BC1⊥AB1． 【方法二】根据题意，A1C1⊥B1C1，CC1⊥平面A1B1C1， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24199.png){width="2.7715277777777776in" height="3.1152777777777776in"} 以C1为原点建立空间直角座标系， C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，如图所示； 设BC=CC1=a，AC=b， 则A（b，0，a），B1（0，a，0），B（0，a，a），C1（0，0，0）； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24200.png){width="0.28055555555555556in" height="0.26944444444444443in"}=（﹣b，a，﹣a），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24201.png){width="0.28055555555555556in" height="0.26944444444444443in"}=（0，﹣a，﹣a）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24202.png){width="0.28055555555555556in" height="0.26944444444444443in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24203.png){width="0.28055555555555556in" height="0.26944444444444443in"}=﹣b×0+a×（﹣a）﹣a×（﹣a）=0， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24202.png){width="0.28055555555555556in" height="0.26944444444444443in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24203.png){width="0.28055555555555556in" height="0.26944444444444443in"}， 即AB1⊥BC1． 【点评】本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题． 　 17．（14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24204.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}（其中a，b为常数）模型． （1）求a，b的值； （2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t． ①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24205.png){width="2.0520833333333335in" height="1.8541666666666667in"} 【分析】（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24206.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}，建立方程组，即可求a，b的值； （2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域； ②设g（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24207.png){width="0.875in" height="0.48055555555555557in"}，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度． 【解答】解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5）， 将其分别代入y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24206.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24208.png){width="0.9270833333333334in" height="0.7923611111111111in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24209.png){width="0.6256944444444444in" height="0.3958333333333333in"}， （2）①由（1）y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24210.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}（5≤x≤20），P（t，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24211.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}）， ∴y′=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24212.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}， ∴切线l的方程为y﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24211.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24212.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}（x﹣t） 设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24213.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，0），B（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24214.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}）， ∴f（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24215.png){width="1.3847222222222222in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24216.png){width="1.113888888888889in" height="0.5in"}，t∈\[5，20\]； ②设g（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24217.png){width="0.875in" height="0.48055555555555557in"}，则g′（t）=2t﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24218.png){width="0.6666666666666666in" height="0.48055555555555557in"}=0，解得t=10![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24219.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， t∈（5，10![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24219.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24219.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数， 从而t=10![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24219.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}时，函数g（t）有极小值也是最小值， ∴g（t）min=300， ∴f（t）min=15![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24220.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 答：t=10![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24219.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}时，公路l的长度最短，最短长度为15![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24220.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}千米． 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键． 　 18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24221.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24222.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24223.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，且右焦点F到左准线l的距离为3． （1）求椭圆的标准方程； （2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24224.png){width="1.75in" height="1.2291666666666667in"} 【分析】（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程； （2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程． 【解答】解：（1）由题意可得，e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24225.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24226.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， 且c+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24227.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}=3，解得c=1，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24228.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 则b=1，即有椭圆方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24229.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y2=1； （2）当AB⊥x轴，AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24230.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，CP=3，不合题意； 当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0， 则x1+x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24231.png){width="0.5in" height="0.48055555555555557in"}，x1x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24232.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}， 则C（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24233.png){width="0.5in" height="0.48055555555555557in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24234.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}），且\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24235.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24236.png){width="1.4590277777777778in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24237.png){width="0.9166666666666666in" height="0.5in"}， 若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意； 则k≠0，故PC：y+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24238.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24239.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24240.png){width="0.5in" height="0.48055555555555557in"}），P（﹣2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24241.png){width="0.7708333333333334in" height="0.48055555555555557in"}）， 从而\|PC\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24242.png){width="1.2506944444444446in" height="0.5in"}， 由\|PC\|=2\|AB\|，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24242.png){width="1.2506944444444446in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24243.png){width="0.9166666666666666in" height="0.5in"}，解得k=±1， 此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1． 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题． 　 19．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）． （1）试讨论f（x）的单调性； （2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24244.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）∪（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24245.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，+∞），求c的值． 【分析】（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性； （2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24246.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24247.png){width="0.4173611111111111in" height="0.36527777777777776in"}+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24246.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=b（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24247.png){width="0.4173611111111111in" height="0.36527777777777776in"}+b）＜0，进一步转化为a＞0时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24247.png){width="0.4173611111111111in" height="0.36527777777777776in"}﹣a+c＞0或a＜0时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24247.png){width="0.4173611111111111in" height="0.36527777777777776in"}﹣a+c＜0．设g（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24248.png){width="0.4173611111111111in" height="0.36527777777777776in"}﹣a+c，利用条件即可求c的值． 【解答】解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b， ∴f′（x）=3x2+2ax， 令f′（x）=0，可得x=0或﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24249.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增； a＞0时，x∈（﹣∞，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24249.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24249.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，0）时，f′（x）＜0， ∴函数f（x）在（﹣∞，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24249.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），（0，+∞）上单调递增，在（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24249.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，0）上单调递减； a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24250.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24250.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）时，f′（x）＜0， ∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24250.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，+∞）上单调递增，在（0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24250.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）上单调递减； （2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24250.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24251.png){width="0.4173611111111111in" height="0.36527777777777776in"}+b， 则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）＞0，且f（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24250.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）＜0， ∴b＞0且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24252.png){width="0.4173611111111111in" height="0.36527777777777776in"}+b＜0， ∵b=c﹣a， ∴a＞0时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24252.png){width="0.4173611111111111in" height="0.36527777777777776in"}﹣a+c＞0或a＜0时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24252.png){width="0.4173611111111111in" height="0.36527777777777776in"}﹣a+c＜0． 设g（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24252.png){width="0.4173611111111111in" height="0.36527777777777776in"}﹣a+c， ∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24253.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）∪（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24253.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，+∞）， ∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24254.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）∪（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24254.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，+∞）上g（a）＞0均恒成立， ∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24254.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=c﹣1≥0， ∴c=1， 此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）\[x2+（a﹣1）x+1﹣a\]， ∵函数有三个零点， ∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根， ∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0， 解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24254.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）∪（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24254.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，+∞）， 综上c=1． 【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大． 　 20．（16分）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列． （1）证明：2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24255.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24256.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24257.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24258.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}依次构成等比数列； （2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由； （3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由． 【分析】（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明； （2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论； （3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（\*\*），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立． 【解答】解：（1）证明：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24259.png){width="0.40625in" height="0.5520833333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24260.png){width="0.6256944444444444in" height="0.2611111111111111in"}=2d，（n=1，2，3，）是同一个常数， ∴2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24261.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24262.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24263.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24264.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}依次构成等比数列； （2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0） 假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列， 则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4， 令t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24265.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19901.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜t＜1，t≠0）， 化简得t3+2t2﹣2=0（\*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（\*）式， t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24266.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 显然t=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24266.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列． （3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列， 则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k）， 分别在两个等式的两边同除以a12（n+k），a12（n+2k），并令t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24267.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}，（t＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24268.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}，t≠0）， 则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k）， 将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t）， 且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t）， 化简得，2k\[ln（1+2t）﹣ln（1+t）\]=n\[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）\]， 且3k\[ln（1+3t）﹣ln（1+t）\]=n\[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）\]， 再将这两式相除，化简得， ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（\*\*） 令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）， 则g′（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24269.png){width="1.4694444444444446in" height="0.36527777777777776in"}\[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）\]， 令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）， 则φ′（t）=6\[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）\]， 令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6\[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）\]， 令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24270.png){width="1.4694444444444446in" height="0.36527777777777776in"}＞0， 由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0， 知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24271.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，0）和（0，+∞）上均单调， 故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（\*\*）只有唯一解t=0，故假设不成立， 所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列． 【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题． 　 三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】 21．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D． 求证：△ABD∽△AEB． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24272.png){width="1.4270833333333333in" height="1.6041666666666667in"} 【分析】直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似． 【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角， 可知：△ABD∽△AEB． 【点评】本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力． 　 【选修4-2：矩阵与变换】 22．（10分）已知x，y∈R，向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24273.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24274.png){width="0.3326388888888889in" height="0.3958333333333333in"}是矩阵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24275.png){width="0.4173611111111111in" height="0.40625in"}的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值． 【分析】利用A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24276.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24276.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，可得A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24277.png){width="0.5in" height="0.3958333333333333in"}，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论． 【解答】解：由已知，可得A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24276.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24276.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24278.png){width="0.4173611111111111in" height="0.40625in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24279.png){width="0.3326388888888889in" height="0.3958333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24280.png){width="0.4173611111111111in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24281.png){width="0.3326388888888889in" height="0.3958333333333333in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24282.png){width="0.6256944444444444in" height="0.40625in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24283.png){width="0.4583333333333333in" height="0.40625in"}， ∴矩阵A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24284.png){width="0.5in" height="0.3958333333333333in"}， 从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1）， ∴矩阵A的另一个特征值为1． 【点评】本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 【选修4-4：坐标系与参数方程】 23．已知圆C的极坐标方程为ρ2+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24285.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}ρsin（θ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24286.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）﹣4=0，求圆C的半径． 【分析】先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径． 【解答】解：圆的极坐标方程为ρ2+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24285.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}ρsin（θ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24287.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0， 化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0， 化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6， 圆的半径r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24288.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础， 　 \[选修4-5：不等式选讲】 24．解不等式x+\|2x+3\|≥2． 【分析】思路1（公式法）：利用\|f（x）\|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）； 思路2（零点分段法）：对x的值分"x≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24289.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}""x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24290.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}"进行讨论求解． 【解答】解法1：x+\|2x+3\|≥2变形为\|2x+3\|≥2﹣x， 得2x+3≥2﹣x，或2x+3≤﹣（2﹣x）， 即x≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24291.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}，或x≤﹣5， 即原不等式的解集为{x\|x≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24291.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}，或x≤﹣5}． 解法2：令\|2x+3\|=0，得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24290.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}． ①当x≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24290.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24291.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}， 所以x≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24292.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}； ②x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24293.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5， 所以x≤﹣5． 综上，原不等式的解集为{x\|x≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24292.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}，或x≤﹣5}． 【点评】本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：\|f（x）\|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；\|f（x）\|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集． 　 【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤 25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24294.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，PA=AD=2，AB=BC=1． （1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值； （2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24295.png){width="1.4479166666666667in" height="1.4166666666666667in"} 【分析】以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz． （1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可； （2）利用换元法可得cos2＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24296.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24297.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}＞≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24298.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，结合函数y=cosx在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24299.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）上的单调性，计算即得结论． 【解答】解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图， 由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）． （1）∵AD⊥平面PAB，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24300.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24301.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（1，1，﹣2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24302.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（0，2，﹣2）， 设平面PCD的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17055.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（x，y，z）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24303.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24304.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4173611111111111in"}， 取y=1，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24305.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，1，1）， ∴cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24306.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24305.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24307.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24308.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24308.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}； （2）∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24309.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（﹣1，0，2），设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24310.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24309.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1）， 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24311.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（0，﹣1，0），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24312.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24311.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24313.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（﹣λ，﹣1，2λ）， 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24314.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（0，﹣2，2），从而cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24312.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24315.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24316.png){width="0.8013888888888889in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24317.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4479166666666667in"}， 设1+2λ=t，t∈\[1，3\]， 则cos2＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24318.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24315.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24319.png){width="0.8534722222222222in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24320.png){width="1.113888888888889in" height="0.6256944444444444in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24321.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 当且仅当t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24322.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，即λ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24323.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时，\|cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24324.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24325.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}＞\|的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24326.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}， 因为y=cosx在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19962.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值． 又∵BP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24327.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24328.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，∴BQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24329.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}BP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24330.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24331.png){width="1.625in" height="1.5416666666666667in"} 【点评】本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 26．（10分）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，...，n）（n∈N\*），设Sn={（a，b）\|a整除b或b整除a，a∈X，B∈Yn}，令f（n）表示集合Sn所含元素的个数． （1）写出f（6）的值； （2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明． 【分析】（1）f（6）=6+2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24332.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24333.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=13； （2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论． 【解答】解：（1）f（6）=6+2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24332.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24333.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=13； （2）当n≥6时，f（n）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24334.png){width="2.0208333333333335in" height="2.5in"}． 下面用数学归纳法证明： ①n=6时，f（6）=6+2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24335.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24336.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=13，结论成立； ②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论： 1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24337.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24338.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，结论成立； 2）若k+1=6t+1，则k=6t，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24339.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24340.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+1=（k+1）+2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24341.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24342.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}，结论成立； 3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24343.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24344.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+2=（k+1）+2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24345.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24346.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}，结论成立； 4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24347.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24348.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+2=（k+1）+2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24349.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24350.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，结论成立； 5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24351.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24352.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+2=（k+1）+2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24353.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24354.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}，结论成立； 6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24355.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24356.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+2=（k+1）+2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24357.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24358.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}，结论成立． 综上所述，结论f（n）=n+\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24359.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]+\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24360.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\]+2，对满足n≥6的自然数n均成立． 【点评】本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键． 　 \ **2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）** 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）设复数z满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24361.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}=i，则\|z\|=（　　） A．1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24362.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24363.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"} D．2 【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数． 【分析】先化简复数，再求模即可． 【解答】解：∵复数z满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24364.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}=i， ∴1+z=i﹣zi， ∴z（1+i）=i﹣1， ∴z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24365.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}=i， ∴\|z\|=1， 故选：A． 【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础． 　 2．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24366.png){width="0.34375in" height="0.3840277777777778in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24367.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24368.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3659722222222222in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24369.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} 【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可． 【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10° =sin20°cos10°+cos20°sin10° =sin30° =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24370.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}． 故选：D． 【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查． 　 3．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（　　） A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有 【专题】5L：简易逻辑． 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n， 故选：C． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 　 4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　） A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可． 【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6）， 该同学通过测试的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24371.png){width="2.332638888888889in" height="0.2798611111111111in"}=0.648． 故选：A． 【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查． 　 5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24372.png){width="0.5222222222222223in" height="0.4263888888888889in"}=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24373.png){width="0.6965277777777777in" height="0.2708333333333333in"}＜0，则y0的取值范围是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24374.png){width="0.9569444444444445in" height="0.3840277777777778in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24375.png){width="0.9569444444444445in" height="0.3840277777777778in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24376.png){width="1.1652777777777779in" height="0.3840277777777778in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24377.png){width="1.1652777777777779in" height="0.3840277777777778in"} 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围． 【解答】解：由题意，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24378.png){width="0.6965277777777777in" height="0.2708333333333333in"}=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24379.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}﹣x0，﹣y0）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24379.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0， 所以﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24380.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}＜y0＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24380.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}． 故选：A． 【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础． 　 6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题："今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？"其意思为："在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24381.png){width="2.1041666666666665in" height="1.8020833333333333in"} A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24382.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}r=8， 解得r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24383.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}， 故米堆的体积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24384.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24385.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}×π×（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24386.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}）2×5≈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24387.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}， ∵1斛米的体积约为1.62立方， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24387.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}÷1.62≈22， 故选：B． 【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础． 　 7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24388.png){width="0.5625in" height="0.20972222222222223in"}，则（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24389.png){width="1.1243055555555554in" height="0.3659722222222222in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24390.png){width="1.0430555555555556in" height="0.3659722222222222in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24391.png){width="1.0430555555555556in" height="0.3659722222222222in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24392.png){width="1.0430555555555556in" height="0.3659722222222222in"} 【考点】96：平行向量（共线）．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】将向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24393.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}利用向量的三角形法则首先表示为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24394.png){width="0.48125in" height="0.20972222222222223in"}，然后结合已知表示为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24395.png){width="0.5625in" height="0.22777777777777777in"}的形式． 【解答】解：由已知得到如图 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24396.png){width="0.7708333333333334in" height="0.20972222222222223in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24397.png){width="0.6145833333333334in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24398.png){width="1.1131944444444444in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24399.png){width="0.8527777777777777in" height="0.3659722222222222in"}； 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24400.png){width="2.5006944444444446in" height="1.4791666666666667in"} 【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24401.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}表示为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24402.png){width="0.5625in" height="0.22777777777777777in"}． 　 8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24403.png){width="1.875in" height="1.53125in"} A．（kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24404.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24405.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}），k∈z B．（2kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24406.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24407.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}），k∈z C．（k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24406.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，k+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24407.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}），k∈z D．（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24408.png){width="0.40625in" height="0.3659722222222222in"}，2k+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24407.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}），k∈z 【考点】HA：余弦函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】57：三角函数的图像与性质． 【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间． 【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24409.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}=2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24410.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24411.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）． 再根据函数的图象以及五点法作图，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24412.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}+ϕ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24413.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，k∈z，即ϕ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24412.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，f（x）=cos（πx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24412.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}）． 由2kπ≤πx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24412.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}≤2kπ+π，求得 2k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24411.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}≤x≤2k+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24414.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，故f（x）的单调递减区间为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24415.png){width="0.40625in" height="0.3659722222222222in"}，2k+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24414.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}），k∈z， 故选：D． 【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题． 　 9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24416.png){width="1.7916666666666667in" height="4.531944444444444in"} A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】5K：算法和程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：第一次执行循环体后，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24417.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10342.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，n=1，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10342.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24418.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，n=2，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24418.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24419.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，n=3，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24419.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24420.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，n=4，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24420.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24421.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，n=5，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24421.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24422.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}，n=6，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24422.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}，m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24423.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}，n=7，满足退出循环的条件； 故输出的n值为7， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 　 10．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　） A．10 B．20 C．30 D．60 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5P：二项式定理． 【分析】利用展开式的通项，即可得出结论． 【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24424.png){width="1.1993055555555556in" height="0.2798611111111111in"}， 令r=2，则（x2+x）3的通项为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24425.png){width="1.0090277777777779in" height="0.2798611111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24426.png){width="0.5222222222222223in" height="0.2798611111111111in"}， 令6﹣k=5，则k=1， ∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24427.png){width="0.3840277777777778in" height="0.2798611111111111in"}=30． 故选：C． 【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键． 　 11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24428.png){width="2.3020833333333335in" height="1.5625in"} A．1 B．2 C．4 D．8 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】5Q：立体几何． 【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可． 【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知， 截圆柱的平面过圆柱的轴线， 该几何体是一个半球拼接半个圆柱， ∴其表面积为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13396.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}×4πr2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13396.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}×πr2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24429.png){width="0.4263888888888889in" height="0.3659722222222222in"}2r×2πr+2r×2r+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21440.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}×πr2=5πr2+4r2， 又∵该几何体的表面积为16+20π， ∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2， 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24430.png){width="1.3854166666666667in" height="1.0416666666666667in"} 【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 12．（5分）设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（　　） A．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24431.png){width="0.5923611111111111in" height="0.3659722222222222in"}） B．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24432.png){width="0.6444444444444445in" height="0.3659722222222222in"}） C．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24433.png){width="0.5402777777777777in" height="0.3659722222222222in"}） D．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24434.png){width="0.48819444444444443in" height="0.3659722222222222in"}） 【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用． 【分析】设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得． 【解答】解：设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a， 由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方， ∵g′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1）， ∴当x＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24435.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}时，g′（x）＜0，当x＞﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24435.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}时，g′（x）＞0， ∴当x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24435.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}时，g（x）取最小值﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24436.png){width="0.3138888888888889in" height="0.3840277777777778in"}， 当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0， 直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a， 故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24437.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}≤a＜1 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24438.png){width="3.0527777777777776in" height="2.25in"} 【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题． 　 二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分） 13．（5分）若函数f（x）=xln（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24439.png){width="0.48819444444444443in" height="0.25in"}）为偶函数，则a=　1　． 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解． 【解答】解：∵f（x）=xln（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24439.png){width="0.48819444444444443in" height="0.25in"}）为偶函数， ∴f（﹣x）=f（x）， ∴（﹣x）ln（﹣x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24439.png){width="0.48819444444444443in" height="0.25in"}）=xln（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24439.png){width="0.48819444444444443in" height="0.25in"}）， ∴﹣ln（﹣x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24439.png){width="0.48819444444444443in" height="0.25in"}）=ln（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24439.png){width="0.48819444444444443in" height="0.25in"}）， ∴ln（﹣x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24439.png){width="0.48819444444444443in" height="0.25in"}）+ln（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24440.png){width="0.48819444444444443in" height="0.25in"}）=0， ∴ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24440.png){width="0.48819444444444443in" height="0.25in"}+x）（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24440.png){width="0.48819444444444443in" height="0.25in"}﹣x）=0， ∴lna=0， ∴a=1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题． 　 14．（5分）一个圆经过椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24441.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4361111111111111in"}=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为　（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24442.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}）2+y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24443.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}　． 【考点】K3：椭圆的标准方程．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程． 【解答】解：一个圆经过椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24444.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4361111111111111in"}=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上． 可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2）， 设圆的圆心（a，0），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24445.png){width="1.6340277777777779in" height="0.25in"}，解得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24446.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}， 圆的半径为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24447.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}， 所求圆的方程为：（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24446.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}）2+y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24448.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}． 故答案为：（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24449.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}）2+y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24450.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24451.png){width="2.3958333333333335in" height="2.4791666666666665in"} 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力． 　 15．（5分）若x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24452.png){width="0.7930555555555555in" height="0.6444444444444445in"}．则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24453.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3770833333333333in"}的最大值为　3　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24454.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3770833333333333in"}的最大值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）． 设k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24454.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3770833333333333in"}，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率， 由图象知OA的斜率最大， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24455.png){width="0.7083333333333334in" height="0.40625in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24456.png){width="0.3770833333333333in" height="0.40625in"}，即A（1，3）， kOA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24457.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}=3， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24454.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3770833333333333in"}的最大值为3． 故答案为：3． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24458.png){width="2.0625in" height="2.1145833333333335in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 　 16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是　（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24459.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10385.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24459.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10385.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）　． 【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；2：创新题型；58：解三角形． 【分析】如图所示，延长BA，CD交于点E，设AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24460.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}x，AE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24461.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}x，DE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24462.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3840277777777778in"}x，CD=m，求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24462.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3840277777777778in"}x+m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16123.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24463.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，即可求出AB的取值范围． 【解答】解：方法一： 如图所示，延长BA，CD交于点E，则 在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°， ∴设AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24464.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}x，AE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24465.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}x，DE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24466.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3840277777777778in"}x，CD=m， ∵BC=2， ∴（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24466.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3840277777777778in"}x+m）sin15°=1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24466.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3840277777777778in"}x+m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24467.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24468.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}， ∴0＜x＜4， 而AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24466.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3840277777777778in"}x+m﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24469.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24470.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24471.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24469.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}x， ∴AB的取值范围是（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24470.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24471.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24470.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24471.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）． 故答案为：（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24470.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24471.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24472.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24473.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）． 方法二： 如下图，作出底边BC=2的等腰三角形EBC，B=C=75°， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24474.png){width="1.65625in" height="2.5006944444444446in"} 倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形； 当直线移动时，运用极限思想， ①直线接近点C时，AB趋近最小，为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24472.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24473.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}； ②直线接近点E时，AB趋近最大值，为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24472.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24473.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}； 故答案为：（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24472.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24473.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24475.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24476.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24477.png){width="1.1875in" height="1.7395833333333333in"} 【点评】本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 三、解答题： 17．（12分）Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3 （I）求{an}的通项公式： （Ⅱ）设bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24478.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4263888888888889in"}，求数列{bn}的前n项和． 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式： （Ⅱ）求出bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24479.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4263888888888889in"}，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和． 【解答】解：（I）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3 两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）=4an+1， 即2（an+1+an）=an+12﹣an2=（an+1+an）（an+1﹣an）， ∵an＞0，∴an+1﹣an=2， ∵a12+2a1=4a1+3， ∴a1=﹣1（舍）或a1=3， 则{an}是首项为3，公差d=2的等差数列， ∴{an}的通项公式an=3+2（n﹣1）=2n+1： （Ⅱ）∵an=2n+1， ∴bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24479.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4263888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24480.png){width="1.051388888888889in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17759.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24481.png){width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24482.png){width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}）， ∴数列{bn}的前n项和Tn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17759.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24483.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24484.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24485.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3659722222222222in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24486.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3659722222222222in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24487.png){width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24488.png){width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24489.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24490.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24488.png){width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24491.png){width="0.6381944444444444in" height="0.3659722222222222in"}． 【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键． 　 18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面 ABCD，BE=2DF，AE丄EC． （Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC （Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24492.png){width="2.4166666666666665in" height="1.6041666666666667in"} 【考点】LM：异面直线及其所成的角；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角；5H：空间向量及应用． 【分析】（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，运用线面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到； （Ⅱ）以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，\|GB\|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，求得A，E，F，C的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）连接BD， 设BD∩AC=G， 连接EG、EF、FG， 在菱形ABCD中， 不妨设BG=1， 由∠ABC=120°， 可得AG=GC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24493.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}， BE⊥平面ABCD，AB=BC=2， 可知AE=EC，又AE⊥EC， 所以EG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24493.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，且EG⊥AC， 在直角△EBG中，可得BE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24494.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，故DF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24495.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}， 在直角三角形FDG中，可得FG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24496.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}， 在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24494.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，FD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18413.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}，可得EF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24497.png){width="1.2284722222222222in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24498.png){width="0.34375in" height="0.3840277777777778in"}， 从而EG2+FG2=EF2，则EG⊥FG， （或由tan∠EGB•tan∠FGD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24499.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24500.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24501.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18413.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}=1， 可得∠EGB+∠FGD=90°，则EG⊥FG） AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC， 由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC； （Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，\|GB\|为单位长度， 建立空间直角坐标系G﹣xyz，由（Ⅰ）可得A（0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24502.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，0），E（1，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24503.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）， F（﹣1，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24504.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}），C（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24505.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，0）， 即有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24506.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24505.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24503.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24507.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=（﹣1，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24505.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24504.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}）， 故cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24506.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24508.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24509.png){width="0.8868055555555555in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24510.png){width="0.6666666666666666in" height="0.5854166666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22690.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}． 则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22690.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24511.png){width="3.3965277777777776in" height="1.8645833333333333in"} 【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题． 　 19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，...，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24512.png){width="4.198611111111111in" height="2.1041666666666665in"} ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24513.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24514.png){width="0.10555555555555556in" height="0.19791666666666666in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24515.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24516.png){width="0.22777777777777777in" height="0.48125in"}（xi﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24517.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}）2 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24516.png){width="0.22777777777777777in" height="0.48125in"}（wi﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24515.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}）2 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24516.png){width="0.22777777777777777in" height="0.48125in"}（xi﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24517.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}）（yi﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24518.png){width="0.10555555555555556in" height="0.19791666666666666in"}） ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24519.png){width="0.22777777777777777in" height="0.48125in"}（wi﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24520.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}）（yi﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24518.png){width="0.10555555555555556in" height="0.19791666666666666in"}） 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 表中wi=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24521.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}i，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24520.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24522.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24523.png){width="0.5222222222222223in" height="0.48125in"} （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24521.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）.....（un vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24524.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24525.png){width="1.4479166666666667in" height="0.9791666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24526.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24527.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24524.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24528.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}． 【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出， （Ⅱ）先建立中间量w=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24529.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决； （Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可， （ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出． 【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24529.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型； （Ⅱ）令w=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24529.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，先建立y关于w的线性回归方程，由于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24530.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24531.png){width="0.4701388888888889in" height="0.3659722222222222in"}=68， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24532.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16188.png){width="0.10555555555555556in" height="0.19791666666666666in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24530.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24533.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}=563﹣68×6.8=100.6， 所以y关于w的线性回归方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24534.png){width="0.10555555555555556in" height="0.22152777777777777in"}=100.6+68w， 因此y关于x的回归方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24534.png){width="0.10555555555555556in" height="0.22152777777777777in"}=100.6+68![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24535.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}， （Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24534.png){width="0.10555555555555556in" height="0.22152777777777777in"}=100.6+68![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24536.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}=576.6， 年利润z的预报值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24537.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=576.6×0.2﹣49=66.32， （ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24537.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=0.2（100.6+68![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24535.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）﹣x=﹣x+13.6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24538.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+20.12， 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24538.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24539.png){width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}=6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大． 【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题． 　 20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24540.png){width="0.22777777777777777in" height="0.4263888888888889in"}与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点． （Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程． （Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由） 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【分析】（I）联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24541.png){width="0.5222222222222223in" height="0.6666666666666666in"}，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24542.png){width="0.22777777777777777in" height="0.4263888888888889in"}，利用导数的运算法则可得：y′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24543.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程． （II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24544.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3659722222222222in"}．k1+k2=0⇔直线PM，PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可证明． 【解答】解：（I）联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24545.png){width="0.5222222222222223in" height="0.6666666666666666in"}，不妨取M![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24546.png){width="0.7486111111111111in" height="0.20972222222222223in"}，N![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24547.png){width="0.8347222222222223in" height="0.20972222222222223in"}， 由曲线C：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24548.png){width="0.22777777777777777in" height="0.4263888888888889in"}可得：y′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24549.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}， ∴曲线C在M点处的切线斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24550.png){width="0.34375in" height="0.3840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24551.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，其切线方程为：y﹣a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24552.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24553.png){width="0.6666666666666666in" height="0.1875in"}，化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24554.png){width="0.8118055555555556in" height="0.19791666666666666in"}． 同理可得曲线C在点N处的切线方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24555.png){width="0.8118055555555556in" height="0.19791666666666666in"}． （II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明： 设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2． 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24556.png){width="0.6263888888888889in" height="0.6666666666666666in"}，化为x2﹣4kx﹣4a=0， ∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a． ∴k1+k2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24557.png){width="0.41805555555555557in" height="0.48819444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24558.png){width="0.41805555555555557in" height="0.48819444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24559.png){width="1.8020833333333333in" height="0.48125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24560.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3659722222222222in"}． 当b=﹣a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补， ∴∠OPM=∠OPN． ∴点P（0，﹣a）符合条件． 【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24561.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，g（x）=﹣lnx （i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线； （ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数． 【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用． 【分析】（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0解出即可． （ii）对x分类讨论：当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，可得函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零点的个数． 当x=1时，对a分类讨论：a≥﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24562.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，a＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24562.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，即可得出零点的个数； 当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a分类讨论：①当a≤﹣3或a≥0时，②当﹣3＜a＜0时，利用导数研究其单调性极值即可得出． 【解答】解：（i）f′（x）=3x2+a． 设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24563.png){width="1.1055555555555556in" height="0.7083333333333334in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24564.png){width="0.4361111111111111in" height="0.3659722222222222in"}，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24565.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3659722222222222in"}． 因此当a=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24566.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}时，x轴为曲线y=f（x）的切线； （ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0， ∴函数h（x）=min { f（x），g（x）}＜0， 故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点． 当x=1时，若a≥﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24567.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，则f（1）=a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24567.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}≥0， ∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点； 若a＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24567.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，则f（1）=a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24567.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函数h（x）的零点； 当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可． ①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调， 而f（0）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24568.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，f（1）=a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24567.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点， 当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点． ②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24569.png){width="0.7826388888888889in" height="0.3840277777777778in"}内单调递减，在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24570.png){width="0.7826388888888889in" height="0.3840277777777778in"}内单调递增，故当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24571.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3840277777777778in"}时，f（x）取得最小值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24572.png){width="0.6145833333333334in" height="0.3840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24573.png){width="0.7826388888888889in" height="0.3840277777777778in"}． 若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24572.png){width="0.6145833333333334in" height="0.3840277777777778in"}＞0，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24574.png){width="0.7597222222222222in" height="0.3659722222222222in"}，则f（x）在（0，1）内无零点． 若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24572.png){width="0.6145833333333334in" height="0.3840277777777778in"}=0，即a=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24575.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，则f（x）在（0，1）内有唯一零点． 若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24576.png){width="0.6145833333333334in" height="0.3840277777777778in"}＜0，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24577.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3659722222222222in"}，由f（0）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24578.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，f（1）=a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24579.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}， ∴当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24580.png){width="0.8972222222222223in" height="0.3659722222222222in"}时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24581.png){width="0.40625in" height="0.3659722222222222in"}时，f（x）在（0，1）内有一个零点． 综上可得：a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24582.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3659722222222222in"}时，函数h（x）有一个零点． 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24583.png){width="0.48819444444444443in" height="0.3659722222222222in"}时，h（x）有一个零点； 当a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24584.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3659722222222222in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24582.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3659722222222222in"}时，h（x）有两个零点； 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24585.png){width="0.8972222222222223in" height="0.3659722222222222in"}时，函数h（x）有三个零点． 【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题． 　 选修4一1:几何证明选讲 22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E． （Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线； （Ⅱ）若OA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24586.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}CE，求∠ACB的大小． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24587.png){width="1.6145833333333333in" height="1.5625in"} 【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线； （Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24588.png){width="0.5743055555555555in" height="0.25in"}，解方程可得x值，可得所求角度． 【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB， 在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE， 连接OE，则∠OBE=∠OEB， 又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°， ∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线； （Ⅱ）设CE=1，AE=x， 由已知得AB=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24589.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，BE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24588.png){width="0.5743055555555555in" height="0.25in"}， 由射影定理可得AE2=CE•BE， ∴x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24590.png){width="0.5743055555555555in" height="0.25in"}，即x4+x2﹣12=0， 解方程可得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24591.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"} ∴∠ACB=60° ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24592.png){width="1.5625in" height="1.5625in"} 【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题． 　 选修4一4：坐标系与参数方程 23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程； （Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24593.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 【专题】5S：坐标系和参数方程． 【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程． （Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18706.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24594.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}•C2M•C2N的值． 【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的 极坐标方程为 ρcosθ=﹣2， 故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为： （ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1， 化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0． （Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24595.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}（ρ∈R）代入 圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1， 可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0， 求得ρ1=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18706.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，ρ2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24596.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}， ∴\|MN\|=\|ρ1﹣ρ2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24596.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N， △C2MN的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24597.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}•C2M•C2N=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24597.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}•1•1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24597.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24598.png){width="2.6465277777777776in" height="2.4479166666666665in"} 【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题． 　 选修4一5：不等式选讲 24．（10分）已知函数f（x）=\|x+1\|﹣2\|x﹣a\|，a＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集； （Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即\|x+1\|﹣2\|x﹣1\|＞1， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24599.png){width="1.2916666666666667in" height="0.4479166666666667in"}①，或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24600.png){width="1.2097222222222221in" height="0.4479166666666667in"}②， 或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24601.png){width="1.2097222222222221in" height="0.4263888888888889in"}③． 解①求得x∈∅，解②求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24602.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}＜x＜1，解③求得1≤x＜2． 综上可得，原不等式的解集为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24602.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，2）． （Ⅱ）函数f（x）=\|x+1\|﹣2\|x﹣a\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24603.png){width="1.5409722222222222in" height="0.6965277777777777in"}， 由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24604.png){width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}，0）， B（2a+1，0）， 故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1）， 由△ABC的面积大于6， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24605.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}\[2a+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24604.png){width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}\]•（a+1）＞6，求得a＞2． 故要求的a的范围为（2，+∞）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24606.png){width="2.542361111111111in" height="2.375in"} 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题． 　 \ **2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）** 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x\|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（　　） A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可． 【解答】解：B={x\|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}； ∴A∩B={﹣1，0}． 故选：A． 【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算． 　 2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考点】A1：虚数单位i、复数．菁优网版权所有 【专题】5N：数系的扩充和复数． 【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之． 【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i， 4a=0，并且a2﹣4=﹣4， 所以a=0； 故选：B． 【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键． 　 3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24607.png){width="4.771527777777778in" height="2.3854166666666665in"} A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【考点】B8：频率分布直方图．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确； B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确； C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确； D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误． 【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确； B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确； C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确； D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误． 故选：D． 【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题． 　 4．（5分）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（　　） A．21 B．42 C．63 D．84 【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列． 【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求． 【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24608.png){width="1.3152777777777778in" height="0.27847222222222223in"}， ∴q4+q2+1=7， ∴q4+q2﹣6=0， ∴q2=2， ∴a3+a5+a7=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24609.png){width="1.1875in" height="0.27847222222222223in"}=3×（2+4+8）=42． 故选：B． 【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题． 　 5．（5分）设函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24610.png){width="1.679861111111111in" height="0.5305555555555556in"}，则f（﹣2）+f（log212）=（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用． 【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和． 【解答】解：函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24611.png){width="1.5930555555555554in" height="0.5305555555555556in"}， 即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3， f（log212）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24612.png){width="0.7083333333333334in" height="0.2708333333333333in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24613.png){width="0.5868055555555556in" height="0.2708333333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13249.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}=12×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13249.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}=6， 则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9． 故选：C． 【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题． 　 6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24614.png){width="1.65625in" height="1.5833333333333333in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24615.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24616.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24617.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24618.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"} 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可． 【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥， ∴正方体切掉部分的体积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24619.png){width="0.4583333333333333in" height="0.36736111111111114in"}×1×1×1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24620.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}， ∴剩余部分体积为1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24620.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24621.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}， ∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24618.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}． 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24622.png){width="1.4895833333333333in" height="1.25in"} 【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积． 　 7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则\|MN\|=（　　） A．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24623.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"} B．8 C．4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24623.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"} D．10 【考点】IR：两点间的距离公式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5B：直线与圆． 【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论． 【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24624.png){width="1.2916666666666667in" height="0.6277777777777778in"}， ∴D=﹣2，E=4，F=﹣20， ∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0， 令x=0，可得y2+4y﹣20=0， ∴y=﹣2±2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24625.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}， ∴\|MN\|=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24625.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}． 故选：C． 【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键． 　 8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的"更相减损术"，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24626.png){width="3.667361111111111in" height="2.6569444444444446in"} A．0 B．2 C．4 D．14 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】5K：算法和程序框图． 【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论． 【解答】解：由a=14，b=18，a＜b， 则b变为18﹣14=4， 由a＞b，则a变为14﹣4=10， 由a＞b，则a变为10﹣4=6， 由a＞b，则a变为6﹣4=2， 由a＜b，则b变为4﹣2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2． 故选：B． 【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题． 　 9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（　　） A．36π B．64π C．144π D．256π 【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积． 【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24627.png){width="1.1118055555555555in" height="0.36736111111111114in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24628.png){width="0.33055555555555555in" height="0.36736111111111114in"}=36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π， 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24629.png){width="1.6458333333333333in" height="1.7916666666666667in"} 【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键． 　 10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24630.png){width="1.34375in" height="0.90625in"} A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24631.png){width="0.96875in" height="1.0208333333333333in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24632.png){width="0.9895833333333334in" height="1.0520833333333333in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24633.png){width="0.9583333333333334in" height="1.03125in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24634.png){width="0.9895833333333334in" height="1.0416666666666667in"} 【考点】HC：正切函数的图象．菁优网版权所有 【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可． 【解答】解：当0≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24635.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}时，BP=tanx，AP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24636.png){width="0.7840277777777778in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24637.png){width="0.7597222222222222in" height="0.25in"}， 此时f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24637.png){width="0.7597222222222222in" height="0.25in"}+tanx，0≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24635.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}，此时单调递增， 当P在CD边上运动时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24635.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24638.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36736111111111114in"}且x≠![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19772.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}时，![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24639.png){width="1.6770833333333333in" height="1.0729166666666667in"} 如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24640.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24641.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}， ∴OQ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24642.png){width="0.38263888888888886in" height="0.36736111111111114in"}， ∴PD=AO﹣OQ=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24642.png){width="0.38263888888888886in" height="0.36736111111111114in"}，PC=BO+OQ=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24642.png){width="0.38263888888888886in" height="0.36736111111111114in"}， ∴PA+PB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24643.png){width="2.3847222222222224in" height="0.38263888888888886in"}， 当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19307.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}时，PA+PB=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24644.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}， 当P在AD边上运动时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24645.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36736111111111114in"}≤x≤π，PA+PB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24646.png){width="0.7597222222222222in" height="0.25in"}﹣tanx， 由对称性可知函数f（x）关于x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19307.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}对称， 且f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19308.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}）＞f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19307.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}），且轨迹为非线型， 排除A，C，D， 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24647.png){width="1.90625in" height="1.3125in"} 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24648.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}时的解析式是解决本题的关键． 　 11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24649.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"} B．2 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24650.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24651.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"} 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设M在双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24652.png){width="0.2263888888888889in" height="0.47847222222222224in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24653.png){width="0.2263888888888889in" height="0.48680555555555555in"}=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24654.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值． 【解答】解：设M在双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24652.png){width="0.2263888888888889in" height="0.47847222222222224in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24653.png){width="0.2263888888888889in" height="0.48680555555555555in"}=1的左支上， 且MA=AB=2a，∠MAB=120°， 则M的坐标为（﹣2a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24654.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}a）， 代入双曲线方程可得， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24655.png){width="0.33055555555555555in" height="0.47847222222222224in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24656.png){width="0.33055555555555555in" height="0.47847222222222224in"}=1， 可得a=b， c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24657.png){width="0.5909722222222222in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24658.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}a， 即有e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24659.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24658.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}． 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键． 　 12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞） 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用． 【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24660.png){width="0.38263888888888886in" height="0.36736111111111114in"}为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可． 【解答】解：设g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24660.png){width="0.38263888888888886in" height="0.36736111111111114in"}，则g（x）的导数为：g′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24661.png){width="1.051388888888889in" height="0.4263888888888889in"}， ∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立， 即当x＞0时，g′（x）恒小于0， ∴当x＞0时，函数g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24660.png){width="0.38263888888888886in" height="0.36736111111111114in"}为减函数， 又∵g（﹣x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24662.png){width="0.47152777777777777in" height="0.36736111111111114in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24663.png){width="0.47152777777777777in" height="0.36736111111111114in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24664.png){width="0.38263888888888886in" height="0.36736111111111114in"}=g（x）， ∴函数g（x）为定义域上的偶函数 又∵g（﹣1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24665.png){width="0.47152777777777777in" height="0.36736111111111114in"}=0， ∴函数g（x）的图象性质类似如图： 数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0 ⇔![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24666.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4583333333333333in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24667.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4583333333333333in"}， ⇔0＜x＜1或x＜﹣1． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24668.png){width="2.4375in" height="2.4166666666666665in"} 【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题． 　 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）设向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24669.png){width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24670.png){width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}不平行，向量λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24669.png){width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24670.png){width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24669.png){width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24670.png){width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}平行，则实数λ=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24671.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}　． 【考点】96：平行向量（共线）．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】利用向量平行的条件直接求解． 【解答】解：∵向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24672.png){width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24673.png){width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}不平行，向量λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24672.png){width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24673.png){width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24672.png){width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24673.png){width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}平行， ∴λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24672.png){width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24673.png){width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}=t（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24674.png){width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24675.png){width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24676.png){width="0.5868055555555556in" height="0.2111111111111111in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24677.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3958333333333333in"}，解得实数λ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24678.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24678.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}． 【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题． 　 14．（5分）若x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24679.png){width="0.875in" height="0.65625in"}，则z=x+y的最大值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24680.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值． 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24681.png){width="0.7951388888888888in" height="0.41944444444444445in"}得D（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24682.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}）， 所以z=x+y的最大值为1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24683.png){width="0.3770833333333333in" height="0.36736111111111114in"}； ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24684.png){width="3.2090277777777776in" height="2.6881944444444446in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24685.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}． 【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件． 　 15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=　3　． 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5P：二项式定理． 【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案． 【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+...+a5x5， 令x=1，则a0+a1+a2+...+a5=f（1）=16（a+1），① 令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣...﹣a5=f（﹣1）=0．② ①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1）， 所以2×32=16（a+1）， 所以a=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减． 　 16．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=﹣1，an+1=Sn+1Sn，则Sn=　﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24686.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}　． 【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】通过Sn+1﹣Sn=an+1可知Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn，两边同时除以Sn+1Sn可知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24687.png){width="0.2263888888888889in" height="0.4263888888888889in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24688.png){width="0.36736111111111114in" height="0.4263888888888889in"}=1，进而可知数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24687.png){width="0.2263888888888889in" height="0.4263888888888889in"}}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结论． 【解答】解：∵an+1=Sn+1Sn， ∴Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24687.png){width="0.2263888888888889in" height="0.4263888888888889in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24688.png){width="0.36736111111111114in" height="0.4263888888888889in"}=1， 又∵a1=﹣1，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24689.png){width="0.2263888888888889in" height="0.4263888888888889in"}=﹣1， ∴数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24690.png){width="0.2263888888888889in" height="0.4263888888888889in"}}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24690.png){width="0.2263888888888889in" height="0.4263888888888889in"}=﹣n， ∴Sn=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24691.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}， 故答案为：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24691.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}． 【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 三、解答题（共5小题，满分60分） 17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍． （1）求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24692.png){width="0.38263888888888886in" height="0.36736111111111114in"}； （2）若AD=1，DC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24693.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38263888888888886in"}，求BD和AC的长． 【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24694.png){width="1.051388888888889in" height="0.36736111111111114in"}，sin∠C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24695.png){width="1.051388888888889in" height="0.36736111111111114in"}，从而得解![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24696.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36736111111111114in"}． （2）由（1）可求BD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24697.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长． 【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24698.png){width="0.48680555555555555in" height="0.47847222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24699.png){width="0.6868055555555556in" height="0.7597222222222222in"}=2 ∴BD=2DC， ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC 在△ABD中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24700.png){width="0.71875in" height="0.36736111111111114in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24701.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36736111111111114in"}，∴sin∠B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24702.png){width="1.051388888888889in" height="0.36736111111111114in"} 在△ADC中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24703.png){width="0.71875in" height="0.36736111111111114in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24704.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36736111111111114in"}，∴sin∠C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24705.png){width="1.051388888888889in" height="0.36736111111111114in"}； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24706.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36736111111111114in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24707.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24708.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}．...6分 （2）由（1）知，BD=2DC=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24709.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38263888888888886in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24710.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}． 过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N， ∵AD平分∠BAC， ∴DM=DN， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24711.png){width="0.48680555555555555in" height="0.47847222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24712.png){width="0.6868055555555556in" height="0.7597222222222222in"}=2， ∴AB=2AC， 令AC=x，则AB=2x， ∵∠BAD=∠DAC， ∴cos∠BAD=cos∠DAC， ∴由余弦定理可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24713.png){width="1.3847222222222222in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24714.png){width="1.148611111111111in" height="0.5868055555555556in"}， ∴x=1， ∴AC=1， ∴BD的长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24715.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}，AC的长为1． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24716.png){width="2.03125in" height="1.1458333333333333in"} 【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查． 　 18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）； （2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： ------------ ---------- ------------ ------------ 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 ------------ ---------- ------------ ------------ 记事件C："A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级"，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24717.png){width="1.8125in" height="1.3229166666666667in"} 【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可； （2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可． 【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24718.png){width="3.511111111111111in" height="1.9270833333333333in"} 通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散； （2）记CA1表示事件"A地区用户满意度等级为满意或非常满意"， 记CA2表示事件"A地区用户满意度等级为非常满意"， 记CB1表示事件"B地区用户满意度等级为不满意"， 记CB2表示事件"B地区用户满意度等级为满意"， 则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥， 则C=CA1CB1∪CA2CB2， P（C）=P（CA1CB1）+P（CA2CB2）=P（CA1）P（CB1）+P（CA2）P（CB2）， 由所给的数据CA1，CA2，CB1，CB2，发生的频率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24719.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24720.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24721.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24722.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}， 所以P（CA1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24723.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}，P（CA2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24724.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}，P（CB1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24725.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}，P（CB2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24722.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}， 所以P（C）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24723.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24725.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24722.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24726.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}=0.48． 【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题． 　 19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF与平面α所成角的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24727.png){width="1.3333333333333333in" height="0.9375in"} 【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】5G：空间角；5H：空间向量及应用． 【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形； （2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24728.png){width="0.9555555555555556in" height="0.2263888888888889in"}，根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24729.png){width="0.6868055555555556in" height="0.47847222222222224in"}即可求出法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24730.png){width="0.10694444444444444in" height="0.2111111111111111in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24731.png){width="0.1875in" height="0.2111111111111111in"}坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24732.png){width="1.2680555555555555in" height="0.2263888888888889in"}即可求得直线AF与平面α所成角的正弦值． 【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图： （2）作EM⊥AB，垂足为M，则： EH=EF=BC=10，EM=AA1=8； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24733.png){width="1.2395833333333333in" height="0.25in"}，∴AH=10； 以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则： A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24734.png){width="2.5in" height="0.2263888888888889in"}； 设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24735.png){width="0.9555555555555556in" height="0.2263888888888889in"}为平面EFGH的法向量，则： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24736.png){width="1.1875in" height="0.48680555555555555in"}，取z=3，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24737.png){width="0.9555555555555556in" height="0.2263888888888889in"}； 若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则： sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24738.png){width="1.2680555555555555in" height="0.2263888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24739.png){width="1.0444444444444445in" height="0.40625in"}； ∴直线AF与平面α所成角的正弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24740.png){width="0.34375in" height="0.38263888888888886in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24741.png){width="1.59375in" height="1.2083333333333333in"} 【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式． 　 20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M． （1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （2）若l过点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24742.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由． 【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论． （2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM，建立方程关系即可得到结论． 【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）， 将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0， 则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0， 则x1+x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24743.png){width="0.5236111111111111in" height="0.4263888888888889in"}，则xM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24744.png){width="0.5236111111111111in" height="0.4263888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24745.png){width="0.5236111111111111in" height="0.4263888888888889in"}，yM=kxM+b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24746.png){width="0.41944444444444445in" height="0.4263888888888889in"}， 于是直线OM的斜率kOM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24747.png){width="0.2263888888888889in" height="0.48680555555555555in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24748.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36736111111111114in"}， 即kOM•k=﹣9， ∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值． （2）四边形OAPB能为平行四边形． ∵直线l过点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24749.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}，m）， ∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0， 即k2m2＞9b2﹣9m2， ∵b=m﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24750.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}m， ∴k2m2＞9（m﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24750.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}m）2﹣9m2， 即k2＞k2﹣6k， 即6k＞0， 则k＞0， ∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3， 由（1）知OM的方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24751.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36736111111111114in"}x， 设P的横坐标为xP， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24752.png){width="1.0034722222222223in" height="0.6666666666666666in"}得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24753.png){width="0.9923611111111111in" height="0.47847222222222224in"}，即xP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24754.png){width="0.8118055555555556in" height="0.4479166666666667in"}， 将点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24755.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}，m）的坐标代入l的方程得b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24756.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36736111111111114in"}， 即l的方程为y=kx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24756.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36736111111111114in"}， 将y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24757.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36736111111111114in"}x，代入y=kx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24756.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36736111111111114in"}， 得kx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24756.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36736111111111114in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24757.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36736111111111114in"}x 解得xM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24758.png){width="0.6868055555555556in" height="0.4263888888888889in"}， 四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP=2xM， 于是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24759.png){width="0.8118055555555556in" height="0.4479166666666667in"}=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24758.png){width="0.6868055555555556in" height="0.4263888888888889in"}， 解得k1=4﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24760.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}或k2=4+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24760.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}， ∵ki＞0，ki≠3，i=1，2， ∴当l的斜率为4﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24760.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}或4+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24761.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}时，四边形OAPB能为平行四边形． 【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 　 21．（12分）设函数f（x）=emx+x2﹣mx． （1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增； （2）若对于任意x1，x2∈\[﹣1，1\]，都有\|f（x1）﹣f（x2）\|≤e﹣1，求m的取值范围． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 【专题】2：创新题型；52：导数的概念及应用． 【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论； （2）由（1）知，对任意的m，f（x）在\[﹣1，0\]单调递减，在\[0，1\]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围． 【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（emx﹣1）+2x． 若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1≥0，f′（x）＞0． 若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1＜0，f′（x）＞0． 所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增． （2）由（1）知，对任意的m，f（x）在\[﹣1，0\]单调递减，在\[0，1\]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值． 所以对于任意x1，x2∈\[﹣1，1\]，\|f（x1）﹣f（x2）\|≤e﹣1的充要条件是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24762.png){width="1.3722222222222222in" height="0.3958333333333333in"} 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24763.png){width="1.1590277777777778in" height="0.5104166666666666in"} 设函数g（t）=et﹣t﹣e+1，则g′（t）=et﹣1． 当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增． 又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈\[﹣1，1\]时，g（t）≤0． 当m∈\[﹣1，1\]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立； 当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即em﹣m＞e﹣1． 当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1． 综上，m的取值范围是\[﹣1，1\] 【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题． 　 四、选做题.选修4-1：几何证明选讲 22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点． （1）证明：EF∥BC； （2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24764.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}，求四边形EBCF的面积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24765.png){width="1.5520833333333333in" height="1.5520833333333333in"} 【考点】N4：相似三角形的判定．菁优网版权所有 【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论； （2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF计算即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC， ∴AD是∠CAB的角平分线， 又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F， ∴AE=AF，∴AD⊥EF， ∴EF∥BC； （2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线， 又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上， 连结OE、OM，则OE⊥AE， 由AG等于圆O的半径可得AO=2OE， ∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形， ∵AE=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24766.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}，∴AO=4，OE=2， ∵OM=OE=2，DM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9198.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}MN=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24766.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}，∴OD=1， ∴AD=5，AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24767.png){width="0.4263888888888889in" height="0.38263888888888886in"}， ∴四边形EBCF的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24768.png){width="0.3229166666666667in" height="0.36736111111111114in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24769.png){width="0.7319444444444444in" height="0.38263888888888886in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9200.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38263888888888886in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24770.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36736111111111114in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24771.png){width="0.5909722222222222in" height="0.25in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9200.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38263888888888886in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24772.png){width="0.4263888888888889in" height="0.38263888888888886in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24773.png){width="1.7083333333333333in" height="1.7083333333333333in"} 【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 选修4-4：坐标系与参数方程 23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24774.png){width="0.7951388888888888in" height="0.40625in"}（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24775.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}cosθ． （1）求C2与C3交点的直角坐标； （2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求\|AB\|的最大值． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】5S：坐标系和参数方程． 【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24776.png){width="0.9791666666666666in" height="0.47847222222222224in"}代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24777.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标． （2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24778.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}；α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24778.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24779.png){width="1.5in" height="0.1875in"}即可得出． 【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ， ∴x2+y2=2y． 同理由C3：ρ=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19917.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}cosθ．可得直角坐标方程：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24780.png){width="0.9923611111111111in" height="0.25in"}， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24781.png){width="1.2638888888888888in" height="0.5388888888888889in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24782.png){width="0.3770833333333333in" height="0.40625in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24783.png){width="0.5305555555555556in" height="0.8118055555555556in"}， ∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24784.png){width="0.7708333333333334in" height="0.38263888888888886in"}． （2）曲线C1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24785.png){width="0.7951388888888888in" height="0.40625in"}（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24786.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}；α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24786.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36736111111111114in"}时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0）， ∵A，B都在C1上， ∴A（2sinα，α），B![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24787.png){width="1.2520833333333334in" height="0.2111111111111111in"}． ∴\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24788.png){width="1.5in" height="0.1875in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24789.png){width="1.0965277777777778in" height="0.36736111111111114in"}， 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24790.png){width="0.5756944444444444in" height="0.36736111111111114in"}时，\|AB\|取得最大值4． 【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 选修4-5：不等式选讲 24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明： （1）若ab＞cd，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24791.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24792.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24793.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24794.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}； （2）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24795.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24792.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24793.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24794.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}是\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|的充要条件． 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑． 【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证； （2）从两方面证，①若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24796.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24797.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24798.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24799.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}，证得\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|，②若\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|，证得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24800.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24801.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24802.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24803.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}，注意运用不等式的性质，即可得证． 【解答】证明：（1）由于（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24800.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24801.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}）2=a+b+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24804.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， （![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24805.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24806.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}）2=c+d+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24807.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， 由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24808.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24807.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， 即有（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24809.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24810.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}）2＞（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24811.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24812.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}）2， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24813.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24814.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24811.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24812.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}； （2）①若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24813.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24815.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24816.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24817.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}，则（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24818.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24815.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}）2＞（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24816.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24817.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}）2， 即为a+b+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24819.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}＞c+d+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24820.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， 由a+b=c+d，则ab＞cd， 于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab， （c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd， 即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|； ②若\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2， 即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd， 由a+b=c+d，则ab＞cd， 则有（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24821.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24822.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}）2＞（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24823.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24824.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}）2． 综上可得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24821.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24825.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24826.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24827.png){width="0.2111111111111111in" height="0.1875in"}是\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|的充要条件． 【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题． 　 2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） ============================================= 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A={x\|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】根据集合的基本运算进行求解． 【解答】解：A={x\|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，17，...}， 则A∩B={8，14}， 故集合A∩B中元素的个数为2个， 故选：D． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 　 2．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24828.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=（﹣4，﹣3），则向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24829.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=（　　） A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4） 【考点】9J：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】顺序求出有向线段![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24830.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}，然后由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24831.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24832.png){width="0.48125in" height="0.20972222222222223in"}求之． 【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24830.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=（3，1），向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24833.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=（﹣4，﹣3）， 则向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24831.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24832.png){width="0.48125in" height="0.20972222222222223in"}=（﹣7，﹣4）； 故选：A． 【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒． 　 3．（5分）已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（　　） A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】5N：数系的扩充和复数． 【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z﹣1，进一步求得z． 【解答】解：由（z﹣1）i=1+i，得z﹣1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24834.png){width="1.3958333333333333in" height="0.4263888888888889in"}， ∴z=2﹣i． 故选：C． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题． 　 4．（5分）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24835.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24836.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24837.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24838.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} 【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可． 【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种， 其中只有（3，4，5）为勾股数， 故这3个数构成一组勾股数的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24837.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}． 故选：C． 【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题． 　 5．（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24839.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则\|AB\|=（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果． 【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10326.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合， 可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24840.png){width="0.7409722222222223in" height="0.4361111111111111in"}， 抛物线的准线方程为：x=﹣2， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24841.png){width="0.8430555555555556in" height="0.6666666666666666in"}，解得y=±3，所以A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）． \|AB\|=6． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 　 6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题："今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？"其意思为："在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24842.png){width="2.1041666666666665in" height="1.8020833333333333in"} A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24786.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}r=8， 解得r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24843.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}， 故米堆的体积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24844.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24845.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}×π×（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24846.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}）2×5≈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24847.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}， ∵1斛米的体积约为1.62立方， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24847.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}÷1.62≈22， 故选：B． 【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础． 　 7．（5分）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24848.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24849.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} C．10 D．12 【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出． 【解答】解：∵{an}是公差为1的等差数列，S8=4S4， ∴8a1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24850.png){width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}×1=4×（4a1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24851.png){width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}）， 解得a1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13372.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}． 则a10=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13372.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}+9×1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24849.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}． 故选：B． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24852.png){width="1.875in" height="1.53125in"} A．（kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24853.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24854.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}），k∈z B．（2kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24853.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24854.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}），k∈z C．（k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24855.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，k+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24856.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}），k∈z D．（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24857.png){width="0.40625in" height="0.3659722222222222in"}，2k+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24856.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}），k∈z 【考点】HA：余弦函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】57：三角函数的图像与性质． 【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间． 【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24858.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}=2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24859.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24860.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）． 再根据函数的图象以及五点法作图，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24861.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}+ϕ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24862.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，k∈z，即ϕ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24861.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，f（x）=cos（πx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24861.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}）． 由2kπ≤πx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24861.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}≤2kπ+π，求得 2k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24860.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}≤x≤2k+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24863.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，故f（x）的单调递减区间为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24864.png){width="0.40625in" height="0.3659722222222222in"}，2k+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24865.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}），k∈z， 故选：D． 【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题． 　 9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24866.png){width="1.7916666666666667in" height="4.531944444444444in"} A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】5K：算法和程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：第一次执行循环体后，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24867.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10353.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，n=1，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10353.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24868.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，n=2，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24868.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24869.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，n=3，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24869.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24870.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，n=4，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24871.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24872.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，n=5，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24872.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24873.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}，n=6，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24873.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}，m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24874.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}，n=7，满足退出循环的条件； 故输出的n值为7， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 　 10．（5分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24875.png){width="1.511111111111111in" height="0.5305555555555556in"}，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=（　　） A．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24876.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} B．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24877.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} C．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24878.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} D．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24879.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} 【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用． 【分析】利用分段函数，求出a，再求f（6﹣a）． 【解答】解：由题意，a≤1时，2α﹣1﹣2=﹣3，无解； a＞1时，﹣log2（a+1）=﹣3，∴α=7， ∴f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24880.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}． 故选：A． 【点评】本题考查分段函数，考查学生的计算能力，比较基础． 　 11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24881.png){width="2.3020833333333335in" height="1.5625in"} A．1 B．2 C．4 D．8 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】5Q：立体几何． 【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可． 【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知， 截圆柱的平面过圆柱的轴线， 该几何体是一个半球拼接半个圆柱， ∴其表面积为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22723.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}×4πr2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22723.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}×πr2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24882.png){width="0.4263888888888889in" height="0.3659722222222222in"}2r×2πr+2r×2r+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22723.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}×πr2=5πr2+4r2， 又∵该几何体的表面积为16+20π， ∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2， 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24883.png){width="1.3854166666666667in" height="1.0416666666666667in"} 【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 12．（5分）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．4 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】26：开放型；51：函数的性质及应用． 【分析】先求出与y=2x+a的反函数的解析式，再由题意f（x）的图象与y=2x+a的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f（x）的解析式，问题得以解决． 【解答】解：∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数， y=log2x﹣a（x＞0）， 即g（x）=log2x﹣a，（x＞0）． ∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称， ∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）+a，x＜0， ∵f（﹣2）+f（﹣4）=1， ∴﹣log22+a﹣log24+a=1， 解得，a=2， 故选：C． 【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题 　 二、本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n=　6　． 【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列． 【分析】由an+1=2an，结合等比数列的定义可知数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解． 【解答】解：∵an+1=2an， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24884.png){width="0.5520833333333334in" height="0.48125in"}， ∵a1=2， ∴数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列， ∴Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24885.png){width="0.7930555555555555in" height="0.48819444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24886.png){width="0.6868055555555556in" height="0.4263888888888889in"}=2n+1﹣2=126， ∴2n+1=128， ∴n+1=7， ∴n=6． 故答案为：6 【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式． 　 14．（5分）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=　1　． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】53：导数的综合应用． 【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可． 【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2， 切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7）， 所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1）， 解得a=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力． 　 15．（5分）若x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24887.png){width="0.875in" height="0.65625in"}，则z=3x+y的最大值为　4　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案． 【解答】解：由约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24888.png){width="0.875in" height="0.65625in"}作出可行域如图， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24889.png){width="2.5527777777777776in" height="1.7083333333333333in"} 化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z， 由图可知，当直线y=﹣3x+z过B（1，1）时，直线在y轴上的截距最大， 此时z有最大值为3×1+1=4． 故答案为：4． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 　 16．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24890.png){width="0.22777777777777777in" height="0.4361111111111111in"}=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24891.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为　12![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24891.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}　． 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；26：开放型；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线的定义，确定△APF周长最小时，P的坐标，即可求出△APF周长最小时，该三角形的面积． 【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=\|AF\|+\|AP\|+\|PF\|=\|AF\|+\|AP\|+\|PF′\|+2 ≥\|AF\|+\|AF′\|+2（A，P，F′三点共线时，取等号）， 直线AF′的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24892.png){width="0.8527777777777777in" height="0.3958333333333333in"}与x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24893.png){width="0.22777777777777777in" height="0.4361111111111111in"}=1联立可得y2+6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24894.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}y﹣96=0， ∴P的纵坐标为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24894.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}， ∴△APF周长最小时，该三角形的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24895.png){width="0.8645833333333334in" height="0.3659722222222222in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24896.png){width="0.8645833333333334in" height="0.3659722222222222in"}=12![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24897.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}． 故答案为：12![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24897.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P的坐标是关键． 　 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24898.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，求△ABC的面积． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出． （II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出． 【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC， 由正弦定理可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24899.png){width="1.6041666666666667in" height="0.3659722222222222in"}＞0， 代入可得（bk）2=2ak•ck， ∴b2=2ac， ∵a=b，∴a=2c， 由余弦定理可得：cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24900.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4263888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24901.png){width="0.9569444444444445in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24902.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}． （II）由（I）可得：b2=2ac， ∵B=90°，且a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24903.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}， ∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24903.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}． ∴S△ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24904.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3659722222222222in"}=1． 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD． （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED； （Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24905.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}，求该三棱锥的侧面积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24906.png){width="2.1875in" height="1.5in"} 【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面AEC⊥平面BED； （Ⅱ）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可． 【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∵BE⊥平面ABCD， ∴AC⊥BE， 则AC⊥平面BED， ∵AC⊂平面AEC， ∴平面AEC⊥平面BED； 解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24907.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}x，GB=GD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24908.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}， ∵BE⊥平面ABCD， ∴BE⊥BG，则△EBG为直角三角形， ∴EG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18648.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}AC=AG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24907.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}x， 则BE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24909.png){width="0.7826388888888889in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24910.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}x， ∵三棱锥E﹣ACD的体积V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24911.png){width="1.1472222222222221in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24912.png){width="0.4361111111111111in" height="0.3840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24913.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}， 解得x=2，即AB=2， ∵∠ABC=120°， ∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24914.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3659722222222222in"}=12， 即AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24915.png){width="0.6868055555555556in" height="0.1875in"}， 在三个直角三角形EBA，EBD，EBC中，斜边AE=EC=ED， ∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形， 则AE2+EC2=AC2=12， 即2AE2=12， ∴AE2=6， 则AE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24916.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}， ∴从而得AE=EC=ED=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24916.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}， ∴△EAC的面积S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24917.png){width="1.75in" height="0.3659722222222222in"}=3， 在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F， 则AE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24916.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，AF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24918.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24919.png){width="0.5743055555555555in" height="0.3659722222222222in"}， 则EF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24920.png){width="1.2173611111111111in" height="0.2708333333333333in"}， ∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24921.png){width="0.7826388888888889in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24922.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}， 故该三棱锥的侧面积为3+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24922.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24923.png){width="1.9270833333333333in" height="1.25in"} 【点评】本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式． 　 19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，...，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24924.png){width="4.198611111111111in" height="2.1041666666666665in"} ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24925.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24926.png){width="0.10555555555555556in" height="0.19791666666666666in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24927.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24928.png){width="0.22777777777777777in" height="0.48125in"}（xi﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24929.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}）2 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24928.png){width="0.22777777777777777in" height="0.48125in"}（wi﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24927.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}）2 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24928.png){width="0.22777777777777777in" height="0.48125in"}（xi﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24929.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}）（yi﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24930.png){width="0.10555555555555556in" height="0.19791666666666666in"}） ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24931.png){width="0.22777777777777777in" height="0.48125in"}（wi﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24932.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}）（yi﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24930.png){width="0.10555555555555556in" height="0.19791666666666666in"}） 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 表中wi=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24933.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}i，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24932.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24934.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24935.png){width="0.5222222222222223in" height="0.48125in"} （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24936.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）.....（un vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24937.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24938.png){width="1.4479166666666667in" height="0.9791666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24939.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24940.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24941.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24942.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}． 【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出， （Ⅱ）先建立中间量w=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24943.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决； （Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可， （ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出． 【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24943.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型； （Ⅱ）令w=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24943.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，先建立y关于w的线性回归方程，由于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24944.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24945.png){width="0.4701388888888889in" height="0.3659722222222222in"}=68， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24946.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24947.png){width="0.10555555555555556in" height="0.19791666666666666in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24948.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24949.png){width="0.10555555555555556in" height="0.1875in"}=563﹣68×6.8=100.6， 所以y关于w的线性回归方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24950.png){width="0.10555555555555556in" height="0.22152777777777777in"}=100.6+68w， 因此y关于x的回归方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24950.png){width="0.10555555555555556in" height="0.22152777777777777in"}=100.6+68![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24951.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}， （Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24952.png){width="0.10555555555555556in" height="0.22152777777777777in"}=100.6+68![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24953.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}=576.6， 年利润z的预报值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24954.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=576.6×0.2﹣49=66.32， （ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24954.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=0.2（100.6+68![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24955.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）﹣x=﹣x+13.6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24955.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+20.12， 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24955.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24956.png){width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}=6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大． 【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题． 　 20．（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M、N两点． （1）求k的取值范围； （2）若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24957.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24958.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=12，其中O为坐标原点，求\|MN\|． 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【专题】26：开放型；5B：直线与圆． 【分析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围． （2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，根据直线和圆相交的弦长公式进行求解． 【解答】（1）由题意可得，直线l的斜率存在， 设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0． 由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1． 故由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24959.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}＜1， 故当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24960.png){width="0.4263888888888889in" height="0.3840277777777778in"}＜k＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24961.png){width="0.4263888888888889in" height="0.3840277777777778in"}，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点． （2）设M（x1，y1）；N（x2，y2）， 由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1， 可得 （1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0， ∴x1+x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24962.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4263888888888889in"}，x1•x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24963.png){width="0.41805555555555557in" height="0.4263888888888889in"}， ∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1 =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24963.png){width="0.41805555555555557in" height="0.4263888888888889in"}•k2+k•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24964.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4263888888888889in"}+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24965.png){width="0.8527777777777777in" height="0.48125in"}， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24966.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24967.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=x1•x2+y1•y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24968.png){width="0.8527777777777777in" height="0.48125in"}=12，解得 k=1， 故直线l的方程为 y=x+1，即 x﹣y+1=0． 圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径． 所以\|MN\|=2． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力． 　 21．（12分）设函数f（x）=e2x﹣alnx． （Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数； （Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24969.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}． 【考点】53：函数的零点与方程根的关系；63：导数的运算；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 【专题】26：开放型；53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）先求导，在分类讨论，当a≤0时，当a＞0时，根据零点存在定理，即可求出； （Ⅱ）设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0，根据函数f（x）的单调性得到函数的最小值f（x0），只要最小值大于2a+aln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24969.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，问题得以证明． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=e2x﹣alnx的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x）=2e2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24970.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}． 当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f′（x）没有零点， 当a＞0时，∵y=e2x为单调递增，y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24970.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}单调递增， ∴f′（x）在（0，+∞）单调递增， 又f′（a）＞0， 假设存在b满足0＜b＜ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24971.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}时，且b＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24972.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，f′（b）＜0， 故当a＞0时，导函数f′（x）存在唯一的零点， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0， 当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0， 当x∈（x0+∞）时，f′（x）＞0， 故f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0+∞）单调递增， 所欲当x=x0时，f（x）取得最小值，最小值为f（x0）， 由于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24973.png){width="0.4583333333333333in" height="0.26180555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24974.png){width="0.22777777777777777in" height="0.4263888888888889in"}=0， 所以f（x0）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24975.png){width="0.33194444444444443in" height="0.4263888888888889in"}+2ax0+aln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24976.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}≥2a+aln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24976.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}． 故当a＞0时，f（x）≥2a+aln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24977.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}． 【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题． 　 四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】 22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E． （Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线； （Ⅱ）若OA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24978.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}CE，求∠ACB的大小． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24979.png){width="1.6145833333333333in" height="1.5625in"} 【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线； （Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24980.png){width="0.5743055555555555in" height="0.25in"}，解方程可得x值，可得所求角度． 【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB， 在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE， 连接OE，则∠OBE=∠OEB， 又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°， ∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线； （Ⅱ）设CE=1，AE=x， 由已知得AB=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24981.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，BE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24980.png){width="0.5743055555555555in" height="0.25in"}， 由射影定理可得AE2=CE•BE， ∴x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24980.png){width="0.5743055555555555in" height="0.25in"}，即x4+x2﹣12=0， 解方程可得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24981.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"} ∴∠ACB=60° ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24982.png){width="1.5625in" height="1.5625in"} 【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题． 　 五、【选修4-4：坐标系与参数方程】 23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程； （Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24983.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 【专题】5S：坐标系和参数方程． 【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程． （Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24984.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24985.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}•C2M•C2N的值． 【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的 极坐标方程为 ρcosθ=﹣2， 故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为： （ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1， 化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0． （Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24986.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}（ρ∈R）代入 圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1， 可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0， 求得ρ1=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24984.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，ρ2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24984.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}， ∴\|MN\|=\|ρ1﹣ρ2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24984.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N， △C2MN的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24985.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}•C2M•C2N=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24987.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}•1•1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24987.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24988.png){width="2.6465277777777776in" height="2.4479166666666665in"} 【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题． 　 六、【选修4-5：不等式选讲】 24．已知函数f（x）=\|x+1\|﹣2\|x﹣a\|，a＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集； （Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即\|x+1\|﹣2\|x﹣1\|＞1， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24989.png){width="1.2916666666666667in" height="0.4479166666666667in"}①，或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24990.png){width="1.2097222222222221in" height="0.4479166666666667in"}②， 或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24991.png){width="1.2097222222222221in" height="0.4263888888888889in"}③． 解①求得x∈∅，解②求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24992.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}＜x＜1，解③求得1≤x＜2． 综上可得，原不等式的解集为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24992.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，2）． （Ⅱ）函数f（x）=\|x+1\|﹣2\|x﹣a\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24993.png){width="1.5409722222222222in" height="0.6965277777777777in"}， 由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24994.png){width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}，0）， B（2a+1，0）， 故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1）， 由△ABC的面积大于6， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24995.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}\[2a+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24994.png){width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}\]•（a+1）＞6，求得a＞2． 故要求的a的范围为（2，+∞）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24996.png){width="2.542361111111111in" height="2.375in"} 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题． 　 \ **2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）** 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分 1．（5分）已知集合A={x\|﹣1＜x＜2}，B={x\|0＜x＜3}，则A∪B=（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，3） 【考点】1D：并集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】根据集合的基本运算进行求解即可． 【解答】解：∵A={x\|﹣1＜x＜2}，B={x\|0＜x＜3}， ∴A∪B={x\|﹣1＜x＜3}， 故选：A． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 　 2．（5分）若为a实数，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24997.png){width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}=3+i，则a=（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 【考点】A1：虚数单位i、复数．菁优网版权所有 【专题】5N：数系的扩充和复数． 【分析】根据复数相等的条件进行求解即可． 【解答】解：由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24998.png){width="0.7409722222222223in" height="0.3659722222222222in"}，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i， 则a=4， 故选：D． 【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础． 　 3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image24999.png){width="4.771527777777778in" height="2.3854166666666665in"} A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【考点】B8：频率分布直方图．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确； B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确； C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确； D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误． 【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确； B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确； C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确； D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误． 故选：D． 【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题． 　 4．（5分）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25000.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=（1，﹣1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25001.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=（﹣1，2）则（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25002.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25003.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25004.png){width="0.20972222222222223in" height="0.20972222222222223in"}=（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题． 【解答】解：因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25002.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=（1，﹣1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25003.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=（﹣1，2）则（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25002.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25003.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25005.png){width="0.20972222222222223in" height="0.20972222222222223in"}=（1，0）•（1，﹣1）=1； 故选：C． 【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目． 　 5．（5分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列． 【分析】由等差数列{an}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出． 【解答】解：由等差数列{an}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1． 则S5=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25006.png){width="0.8118055555555556in" height="0.4263888888888889in"}=5a3=5． 故选：A． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25007.png){width="1.65625in" height="1.5833333333333333in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25008.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25009.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25010.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25011.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可． 【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥， ∴正方体切掉部分的体积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25012.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3659722222222222in"}×1×1×1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25013.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}， ∴剩余部分体积为1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25013.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25014.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}， ∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25015.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}． 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25016.png){width="1.4895833333333333in" height="1.25in"} 【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积． 　 7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25017.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}），C（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25017.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25018.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25019.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3840277777777778in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25020.png){width="0.34375in" height="0.3840277777777778in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25021.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} 【考点】J1：圆的标准方程．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论． 【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上， 可设圆心P（1，p），由PA=PB得 \|p\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25022.png){width="0.96875in" height="0.2708333333333333in"}， 得p=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25023.png){width="0.34375in" height="0.3840277777777778in"} 圆心坐标为P（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25023.png){width="0.34375in" height="0.3840277777777778in"}）， 所以圆心到原点的距离\|OP\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25024.png){width="0.9166666666666666in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25025.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25026.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3840277777777778in"}， 故选：B． 【点评】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键． 　 8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的"更相减损术"．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25027.png){width="2.9277777777777776in" height="3.136111111111111in"} A．0 B．2 C．4 D．14 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=14，b=18 满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4 满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10 满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6 满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2 满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2 不满足条件a≠b，输出a的值为2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题． 　 9．（5分）已知等比数列{an}满足a1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25028.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（　　） A．2 B．1 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25029.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25030.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"} 【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25031.png){width="0.4361111111111111in" height="0.3659722222222222in"}，a3a5=4（a4﹣1）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25032.png){width="0.8118055555555556in" height="0.3659722222222222in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25033.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3659722222222222in"}， 化为q3=8，解得q=2 则a2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25034.png){width="0.40625in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25035.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}． 故选：C． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题． 　 10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（　　） A．36π B．64π C．144π D．256π 【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积． 【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25036.png){width="1.1131944444444444in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25037.png){width="0.33194444444444443in" height="0.3659722222222222in"}=36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π， 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25038.png){width="1.6458333333333333in" height="1.7916666666666667in"} 【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键． 　 11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25039.png){width="1.34375in" height="0.90625in"} A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25040.png){width="0.96875in" height="1.0208333333333333in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25041.png){width="0.9895833333333334in" height="1.0520833333333333in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25042.png){width="0.9583333333333334in" height="1.03125in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25043.png){width="0.9895833333333334in" height="1.0416666666666667in"} 【考点】HC：正切函数的图象．菁优网版权所有 【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可． 【解答】解：当0≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25044.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}时，BP=tanx，AP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25045.png){width="0.7826388888888889in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25046.png){width="0.7597222222222222in" height="0.25in"}， 此时f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25046.png){width="0.7597222222222222in" height="0.25in"}+tanx，0≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25044.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，此时单调递增， 当P在CD边上运动时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25047.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25048.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}且x≠![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25049.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}时，![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25050.png){width="1.6770833333333333in" height="1.0729166666666667in"} 如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25051.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25052.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}， ∴OQ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25053.png){width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}， ∴PD=AO﹣OQ=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25053.png){width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}，PC=BO+OQ=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25054.png){width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}， ∴PA+PB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25055.png){width="2.3847222222222224in" height="0.3840277777777778in"}， 当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25056.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}时，PA+PB=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25057.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}， 当P在AD边上运动时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25058.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}≤x≤π，PA+PB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25059.png){width="0.7597222222222222in" height="0.25in"}﹣tanx， 由对称性可知函数f（x）关于x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25056.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}对称， 且f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25060.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}）＞f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25061.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}），且轨迹为非线型， 排除A，C，D， 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25062.png){width="1.90625in" height="1.3125in"} 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25063.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}时的解析式是解决本题的关键． 　 12．（5分）设函数f（x）=ln（1+\|x\|）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25064.png){width="0.41805555555555557in" height="0.4263888888888889in"}，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25065.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}）∪（1，+∞） B．（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25066.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，1） C．（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25067.png){width="0.5625in" height="0.3659722222222222in"}） D．（﹣∞，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25066.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25068.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3659722222222222in"} 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论． 【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+\|x\|）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25069.png){width="0.41805555555555557in" height="0.4263888888888889in"}为偶函数， 且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25070.png){width="0.41805555555555557in" height="0.4263888888888889in"}， 导数为f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25071.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25072.png){width="0.6868055555555556in" height="0.48125in"}＞0， 即有函数f（x）在\[0，+∞）单调递增， ∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（\|x\|）＞f（\|2x﹣1\|）， 即\|x\|＞\|2x﹣1\|， 平方得3x2﹣4x+1＜0， 解得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25073.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}＜x＜1， 所求x的取值范围是（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25073.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，1）． 故选：B． 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键． 　 二、填空题 13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=　﹣2　． 【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用． 【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（﹣1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a． 【解答】解：根据条件得：4=﹣a+2； ∴a=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础． 　 14．（3分）若x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25074.png){width="0.875in" height="0.65625in"}，则z=2x+y的最大值为　8　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）． 由z=2x+y得y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z， 由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大， 此时z最大． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25075.png){width="0.7930555555555555in" height="0.41805555555555557in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25076.png){width="0.3770833333333333in" height="0.40625in"}，即A（3，2） 将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y， 得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8． 故答案为：8． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25077.png){width="2.4166666666666665in" height="2.375in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 　 15．（3分）已知双曲线过点![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25078.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20972222222222223in"}且渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25079.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}x，则该双曲线的标准方程是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25080.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}x2﹣y2=1　． 【考点】KB：双曲线的标准方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设双曲线方程为y2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25080.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}x2=λ，代入点![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25081.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20972222222222223in"}，求出λ，即可求出双曲线的标准方程． 【解答】解：设双曲线方程为y2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25082.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}x2=λ， 代入点![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25081.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20972222222222223in"}，可得3﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25083.png){width="0.48819444444444443in" height="0.3659722222222222in"}=λ， ∴λ=﹣1， ∴双曲线的标准方程是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25082.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}x2﹣y2=1． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25082.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}x2﹣y2=1． 【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键． 　 16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=　8　． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】26：开放型；53：导数的综合应用． 【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值． 【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25084.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}， 曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2， 则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1． 由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切， 故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1， 得ax2+ax+2=0， 又a≠0，两线相切有一切点， 所以有△=a2﹣8a=0， 解得a=8． 故答案为：8． 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键． 　 三．解答题 17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC （Ⅰ）求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25085.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3659722222222222in"}． （Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B． 【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案； （Ⅱ）由∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得答案． 【解答】解：（Ⅰ）如图， 由正弦定理得： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25086.png){width="2.9368055555555554in" height="0.3659722222222222in"}， ∵AD平分∠BAC，BD=2DC， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25087.png){width="1.1131944444444444in" height="0.3659722222222222in"}； （Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25088.png){width="3.3541666666666665in" height="0.3840277777777778in"}， 由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C， ∴tan∠B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25089.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}，即∠B=30°． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25090.png){width="1.53125in" height="1.34375in"} 【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题． 　 18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25091.png){width="6.313194444444444in" height="2.1354166666666665in"} B地区用户满意度评分的频数分布表 ---------------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------- 满意度评分分组 \[50，60） \[60，70） \[70，80） \[80，90） \[90，100） 频数 2 8 14 10 6 ---------------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------- （1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可） （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级： ------------ ---------- ------------ ------------ 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 ------------ ---------- ------------ ------------ 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由． 【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可． （II）计算得出CA表示事件："A地区用户的满意度等级为不满意"，CB表示事件："B地区用户的满意度等级为不满意"， P（CA），P（CB），即可判断不满意的情况． 【解答】解：（Ⅰ） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25092.png){width="6.313194444444444in" height="2.1354166666666665in"} 通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值， B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散． （Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大． 记CA表示事件："A地区用户的满意度等级为不满意"，CB表示事件："B地区用户的满意度等级为不满意"， 由直方图得P（CA）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6 得P（CB）=（0.005+0.02）×10=0.25 ∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大． 【点评】本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题． 　 19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25093.png){width="1.9166666666666667in" height="1.3541666666666667in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LJ：平面的基本性质及推论．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形； （Ⅱ）求出MH=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25094.png){width="0.7826388888888889in" height="0.25in"}=6，AH=10，HB=6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值． 【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示； （Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8． 因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10， 于是MH=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25094.png){width="0.7826388888888889in" height="0.25in"}=6，AH=10，HB=6． 因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25095.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25096.png){width="1.8958333333333333in" height="1.375in"} 【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础． 　 20．椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25097.png){width="0.5520833333333334in" height="0.48819444444444443in"}=1，（a＞b＞0）的离心率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25098.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}，点（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25099.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）在C上． （1）求椭圆C的方程； （2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值． 【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程． （2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解KOM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值． 【解答】解：（1）椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25100.png){width="0.5520833333333334in" height="0.48819444444444443in"}=1，（a＞b＞0）的离心率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25101.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}，点（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25102.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）在C上，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25103.png){width="0.96875in" height="0.4479166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25104.png){width="0.7409722222222223in" height="0.4263888888888889in"}，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25105.png){width="0.7409722222222223in" height="0.4361111111111111in"}． （2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）， 把直线y=kx+b代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25106.png){width="0.7409722222222223in" height="0.4361111111111111in"}可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0， 故xM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25107.png){width="0.5222222222222223in" height="0.4263888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25108.png){width="0.5222222222222223in" height="0.4263888888888889in"}，yM=kxM+b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25109.png){width="0.5222222222222223in" height="0.4263888888888889in"}， 于是在OM的斜率为：KOM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25110.png){width="0.22777777777777777in" height="0.48819444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25111.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3659722222222222in"}，即KOM•k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25112.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3659722222222222in"}． ∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值． 【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力． 　 21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）． （Ⅰ）讨论：f（x）的单调性； （Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 【专题】26：开放型；53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性； （2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25113.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}﹣a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25114.png){width="0.3840277777777778in" height="0.3659722222222222in"}， 若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增， 若a＞0，则当x∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25115.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}）时，f′（x）＞0，当x∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25115.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25116.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}）上单调递增，在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25116.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，+∞）上单调递减， （Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25116.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}取得最大值，最大值为f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25116.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}）=﹣lna+a﹣1， ∵f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25116.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}）＞2a﹣2， ∴lna+a﹣1＜0， 令g（a）=lna+a﹣1， ∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0， ∴当0＜a＜1时，g（a）＜0， 当a＞1时，g（a）＞0， ∴a的取值范围为（0，1）． 【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题． 　 四、选修4-1：几何证明选讲 22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点． （1）证明：EF∥BC； （2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25117.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，求四边形EBCF的面积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25118.png){width="1.5520833333333333in" height="1.5520833333333333in"} 【考点】N4：相似三角形的判定．菁优网版权所有 【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论； （2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF计算即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC， ∴AD是∠CAB的角平分线， 又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F， ∴AE=AF，∴AD⊥EF， ∴EF∥BC； （2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线， 又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上， 连结OE、OM，则OE⊥AE， 由AG等于圆O的半径可得AO=2OE， ∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形， ∵AE=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25119.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，∴AO=4，OE=2， ∵OM=OE=2，DM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25120.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}MN=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25121.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，∴OD=1， ∴AD=5，AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25122.png){width="0.4263888888888889in" height="0.3840277777777778in"}， ∴四边形EBCF的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25123.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3659722222222222in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25124.png){width="0.7305555555555555in" height="0.3840277777777778in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25125.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25120.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25126.png){width="0.5923611111111111in" height="0.25in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25127.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25128.png){width="0.4263888888888889in" height="0.3840277777777778in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25129.png){width="1.7083333333333333in" height="1.7083333333333333in"} 【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 五、选修4-4：坐标系与参数方程 23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25130.png){width="0.7930555555555555in" height="0.40625in"}（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25131.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}cosθ． （1）求C2与C3交点的直角坐标； （2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求\|AB\|的最大值． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】5S：坐标系和参数方程． 【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25132.png){width="0.9791666666666666in" height="0.48125in"}代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25131.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标． （2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25133.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}；α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25134.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25135.png){width="1.5in" height="0.1875in"}即可得出． 【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ， ∴x2+y2=2y． 同理由C3：ρ=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25136.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}cosθ．可得直角坐标方程：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25137.png){width="0.9909722222222223in" height="0.25in"}， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25138.png){width="1.2618055555555556in" height="0.5402777777777777in"}， 解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25139.png){width="0.3770833333333333in" height="0.40625in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25140.png){width="0.5305555555555556in" height="0.8118055555555556in"}， ∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25141.png){width="0.7708333333333334in" height="0.3840277777777778in"}． （2）曲线C1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25142.png){width="0.7930555555555555in" height="0.40625in"}（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25143.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}；α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25143.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0）， ∵A，B都在C1上， ∴A（2sinα，α），B![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25144.png){width="1.2513888888888889in" height="0.20972222222222223in"}． ∴\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25145.png){width="1.5in" height="0.1875in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25146.png){width="1.0951388888888889in" height="0.3659722222222222in"}， 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25147.png){width="0.5743055555555555in" height="0.3659722222222222in"}时，\|AB\|取得最大值4． 【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 六、选修4-5不等式选讲 24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明： （1）若ab＞cd，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25148.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25149.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25150.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25151.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}； （2）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25152.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25153.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25150.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25151.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}是\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|的充要条件． 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑． 【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证； （2）从两方面证，①若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25154.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25155.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25156.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25157.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，证得\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|，②若\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|，证得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25154.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25158.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25159.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25160.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，注意运用不等式的性质，即可得证． 【解答】证明：（1）由于（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25161.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25158.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）2=a+b+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25162.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， （![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25159.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25160.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）2=c+d+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25163.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， 由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25164.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25163.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， 即有（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25165.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25166.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）2＞（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25167.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25168.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）2， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25165.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25169.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25170.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25171.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}； （2）①若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25172.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25169.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25170.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25171.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，则（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25173.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25174.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）2＞（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25175.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25176.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）2， 即为a+b+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25177.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}＞c+d+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25178.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， 由a+b=c+d，则ab＞cd， 于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab， （c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd， 即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|； ②若\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2， 即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd， 由a+b=c+d，则ab＞cd， 则有（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25173.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25179.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）2＞（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25180.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25181.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}）2． 综上可得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25182.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25179.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25180.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25181.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}是\|a﹣b\|＜\|c﹣d\|的充要条件． 【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题． 　 2015年山东省高考数学试卷（理科） ================================ 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）已知集合A={x\|x2﹣4x+3＜0}，B={x\|2＜x＜4}，则A∩B=（　　） A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4） 【分析】求出集合A，然后求出两个集合的交集． 【解答】解：集合A={x\|x2﹣4x+3＜0}={x\|1＜x＜3}，B={x\|2＜x＜4}， 则A∩B={x\|2＜x＜3}=（2，3）． 故选：C． 【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力． 　 2．（5分）若复数z满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25183.png){width="0.3020833333333333in" height="0.38472222222222224in"}=i，其中i为虚数单位，则z=（　　） A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25184.png){width="0.3020833333333333in" height="0.38472222222222224in"}=i，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25185.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=i（1﹣i）=1+i， 可得z=1﹣i． 故选：A． 【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查． 　 3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25186.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（　　）个单位． A．向左平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25187.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25187.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．向左平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25188.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25188.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可． 【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25188.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=sin\[4（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25189.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）\]， 要得到函数y=sin（4x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25188.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25189.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}单位． 故选：B． 【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点． 　 4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25190.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=（　　） A．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25191.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}a2 B．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25192.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}a2 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25192.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}a2 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25191.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}a2 【分析】由已知可求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25193.png){width="0.28055555555555556in" height="0.26944444444444443in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25194.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}，根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25190.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25195.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25196.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25197.png){width="0.8645833333333334in" height="0.26944444444444443in"}代入可求 【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25198.png){width="0.28055555555555556in" height="0.26944444444444443in"}=a2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25199.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=a×a×cos60°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25200.png){width="0.3326388888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25201.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25195.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25202.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25203.png){width="0.8645833333333334in" height="0.26944444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25204.png){width="0.3326388888888889in" height="0.42569444444444443in"} 故选：D． 【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题 　 5．（5分）不等式\|x﹣1\|﹣\|x﹣5\|＜2的解集是（　　） A．（﹣∞，4） B．（﹣∞，1） C．（1，4） D．（1，5） 【分析】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可． 【解答】解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1； ②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4； ③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈∅． 综上知解集为（﹣∞，4）． 故选：A． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题． 　 6．（5分）已知x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25205.png){width="0.6256944444444444in" height="0.65625in"}，若z=ax+y的最大值为4，则a=（　　） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 则A（2，0），B（1，1）， 若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2， 此时，目标函数为z=2x+y， 即y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件， 若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3， 此时，目标函数为z=3x+y， 即y=﹣3x+z， 平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件， 故a=2， 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25206.png){width="2.2083333333333335in" height="2.3958333333333335in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键． 　 7．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25207.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25208.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25209.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25210.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} D．2π 【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可． 【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥， 几何体的体积为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25211.png){width="1.582638888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25212.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25213.png){width="2.0416666666666665in" height="1.71875in"} 【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键． 　 8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（　　） （附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%） A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 【分析】由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P（3＜ξ＜6）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25214.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（95.44%﹣68.26%），即可得出结论． 【解答】解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%， 所以P（3＜ξ＜6）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25214.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（95.44%﹣68.26%）=13.59%． 故选：B． 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题． 　 9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　） A．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25215.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}或﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25216.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25217.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}或﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25218.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25219.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}或﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25220.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25221.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}或﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25222.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出． 【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3）， 故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0． ∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25223.png){width="1.0506944444444444in" height="0.4479166666666667in"}=1， 化为24k2+50k+24=0， ∴k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25224.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}或﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25225.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：D． 【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题． 　 10．（5分）设函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25226.png){width="1.042361111111111in" height="0.4888888888888889in"}，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（　　） A．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25227.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，1\] B．\[0，1\] C．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25227.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，+∞） D．\[1，+∞） 【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：令f（a）=t， 则f（t）=2t， 当t＜1时，3t﹣1=2t， 由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2tln2， 在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增， 即有g（t）＜g（1）=0， 则方程3t﹣1=2t无解； 当t≥1时，2t=2t成立， 由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25227.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，且a＜1； 或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1． 综上可得a的范围是a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25227.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：C． 【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键． 　 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）观察下列各式： C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25228.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=40； C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25229.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}+C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25230.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=41； C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25231.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}+C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25232.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}+C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25233.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=42； C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25234.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}+C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25235.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}+C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25236.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}+C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25237.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=43； ... 照此规律，当n∈N\*时， C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25238.png){width="0.3958333333333333in" height="0.28055555555555556in"}+C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25239.png){width="0.3958333333333333in" height="0.28055555555555556in"}+C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25240.png){width="0.3958333333333333in" height="0.28055555555555556in"}+...+C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25241.png){width="0.3958333333333333in" height="0.28055555555555556in"}=　4n﹣1　． 【分析】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果． 【解答】解：因为C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25242.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=40； C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25243.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}+C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25244.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=41； C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25245.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}+C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25246.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}+C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25247.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=42； C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25248.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}+C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25249.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}+C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25250.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}+C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25251.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=43； ... 照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同， 可得：当n∈N\*时，C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25252.png){width="0.3958333333333333in" height="0.28055555555555556in"}+C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25253.png){width="0.3958333333333333in" height="0.28055555555555556in"}+C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25254.png){width="0.3958333333333333in" height="0.28055555555555556in"}+...+C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25255.png){width="0.3958333333333333in" height="0.28055555555555556in"}=4n﹣1； 故答案为：4n﹣1． 【点评】本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键． 　 12．（5分）若"∀x∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25256.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]，tanx≤m"是真命题，则实数m的最小值为　1　． 【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围． 【解答】解："∀x∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25256.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]，tanx≤m"是真命题， 可得tanx≤1，所以，m≥1， 实数m的最小值为：1． 故答案为：1． 【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力． 　 13．（5分）执行右边的程序框图，输出的T的值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25257.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25258.png){width="2.0in" height="2.3854166666666665in"} 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：赋值：n=1，T=1， 判断1＜3， 执行T=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25259.png){width="0.5520833333333334in" height="0.28055555555555556in"}=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25260.png){width="0.5215277777777778in" height="0.36527777777777776in"}=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25261.png){width="0.37569444444444444in" height="0.36527777777777776in"}，n=2； 判断2＜3， 执行T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25262.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25263.png){width="0.65625in" height="0.28055555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25264.png){width="0.7597222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25265.png){width="0.6972222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，n=3； 判断3＜3不成立，算法结束，输出T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25266.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25266.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查程序框图，考查定积分的求法，是基础题． 　 14．（5分）已知函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是\[﹣1，0\]，则a+b=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25267.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案． 【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=ax+b在定义域上是增函数， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25268.png){width="0.9055555555555556in" height="0.4583333333333333in"}， 解得b=﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25269.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=0不符合题意舍去； 当0＜a＜1时，函数f（x）=ax+b在定义域上是减函数， 所以 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25270.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4583333333333333in"}， 解得b=﹣2，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25271.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 综上a+b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25272.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25272.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"} 【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题． 　 15．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25273.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25274.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25275.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】求出A的坐标，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25276.png){width="0.3541666666666667in" height="0.2611111111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25277.png){width="0.6256944444444444in" height="0.42569444444444443in"}，利用△OAB的垂心为C2的焦点，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25277.png){width="0.6256944444444444in" height="0.42569444444444443in"}×（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25278.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=﹣1，由此可求C1的离心率． 【解答】解：双曲线C1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25279.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25280.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25278.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x， 与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25281.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}， 取A（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25281.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25282.png){width="0.4173611111111111in" height="0.48055555555555557in"}），设垂心H（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25283.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）， 则kAH=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25284.png){width="0.6861111111111111in" height="0.875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25285.png){width="0.6256944444444444in" height="0.42569444444444443in"}， ∵△OAB的垂心为C2的焦点， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25286.png){width="0.6256944444444444in" height="0.42569444444444443in"}×（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25287.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=﹣1， ∴5a2=4b2， ∴5a2=4（c2﹣a2） ∴e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25288.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25289.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25289.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键． 　 三、解答题 16．（12分）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25290.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25291.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=0，a=1，求△ABC面积的最大值． 【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25292.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，由2k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25293.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}≤2x≤2k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25294.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25294.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}≤2x≤2k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25295.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z可解得单调递减区间． （Ⅱ）由f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25296.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=sinA﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25297.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25298.png){width="0.5625in" height="0.1875in"}，且当b=c时等号成立，从而可求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25297.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}bcsinA≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25299.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}，从而得解． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25297.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}sin2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25300.png){width="1.1243055555555554in" height="0.5625in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25301.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}sin2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25302.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"} =sin2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25301.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 由2k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25303.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}≤2x≤2k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25304.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z可解得：k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25305.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}≤x≤k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25306.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z； 由2k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25307.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}≤2x≤2k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25308.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z可解得：k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25309.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}≤x≤k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25310.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z； 所以f（x）的单调递增区间是\[k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25311.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25309.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}\]，（k∈Z）；单调递减区间是：\[k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25309.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25312.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}\]，（k∈Z）； （Ⅱ）由f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25313.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=sinA﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25314.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=0，可得sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25314.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 由题意知A为锐角，所以cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25315.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， 由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA， 可得：1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25316.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}bc=b2+c2≥2bc，即bc![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25317.png){width="0.5625in" height="0.1875in"}，且当b=c时等号成立． 因此S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25318.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}bcsinA≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25319.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}， 所以△ABC面积的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25319.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查． 　 17．（12分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点． （Ⅰ）求证：BD∥平面FGH； （Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25320.png){width="2.0in" height="1.4270833333333333in"} 【分析】（Ⅰ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH； （Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25321.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25322.png){width="0.9576388888888889in" height="0.22847222222222222in"}，根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25323.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}即可求出法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25324.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ，根据cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25325.png){width="1.270138888888889in" height="0.22847222222222222in"}即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小． 【解答】解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB； △DEF∽△ABC，又AB=2DE， ∴BC=2EF=2BH， ∴四边形EFHB为平行四边形； ∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH； ∴BE∥平面FGH； 同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB； 又DE∥AB； ∴DE∥GH； ∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E； ∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE； ∴BD∥平面FGH； （Ⅱ）连接HE，则HE∥CF； ∵CF⊥平面ABC； ∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC； ∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25326.png){width="2.1875in" height="1.5625in"} H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（﹣1，0，0）； 连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点； ∴BG⊥AC； 又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC； ∴BG⊥CF，AC∩CF=C； ∴BG⊥平面ACFD； ∴向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25327.png){width="1.042361111111111in" height="0.22847222222222222in"}为平面ACFD的法向量； 设平面FGH的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25328.png){width="0.9576388888888889in" height="0.22847222222222222in"}，则： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25329.png){width="1.0208333333333333in" height="0.4888888888888889in"}，取z=1，则：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25330.png){width="1.042361111111111in" height="0.22847222222222222in"}； 设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=\|cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25331.png){width="0.8534722222222222in" height="0.22847222222222222in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25332.png){width="0.7923611111111111in" height="0.38472222222222224in"}； ∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°． 【点评】考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义． 　 18．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn． 【分析】（Ⅰ）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，两式相减2an=2Sn﹣2Sn﹣1，可求得an=3n﹣1，从而可得{an}的通项公式； （Ⅱ）依题意，anbn=log3an，可得b1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25333.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，当n＞1时，bn=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25333.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}；当n＞1时，Tn=b1+b2+...+bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25333.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+（1×3﹣1+2×3﹣2+...+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{bn}的前n项和Tn． 【解答】解：（Ⅰ）因为2Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3， 当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3， 此时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即an=3n﹣1， 所以an=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25334.png){width="1.042361111111111in" height="0.4888888888888889in"}． （Ⅱ）因为anbn=log3an，所以b1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25333.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 当n＞1时，bn=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n， 所以T1=b1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25335.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}； 当n＞1时，Tn=b1+b2+...+bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25335.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+（1×3﹣1+2×3﹣2+...+（n﹣1）×31﹣n）， 所以3Tn=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+...+（n﹣1）×32﹣n）， 两式相减得：2Tn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25336.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+（30+3﹣1+3﹣2+...+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25336.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25337.png){width="0.5520833333333334in" height="0.48055555555555557in"}﹣（n﹣1）×31﹣n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25338.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25339.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}， 所以Tn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25340.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25341.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}，经检验，n=1时也适合， 综上可得Tn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25340.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25341.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}． 【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查"错位相减法"求和，考查分析、运算能力，属于中档题． 　 19．（12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为"三位递增数"（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的"三位递增数"中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的"三位递增数"的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分． （Ⅰ）写出所有个位数字是5的"三位递增数"； （Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX． 【分析】（Ⅰ）根据"三位递增数"的定义，即可写出所有个位数字是5的"三位递增数"； （Ⅱ）随机变量X的取值为：0，﹣1，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望． 【解答】解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的"三位递增数"有：125，135，145，235，245，345； （Ⅱ）由题意知，全部"三位递增数"的个数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25342.png){width="0.46944444444444444in" height="0.28055555555555556in"}， 随机变量X的取值为：0，﹣1，1， 当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25343.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}； 当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，7，9中选择两个数字和5进行组合，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25344.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}； 当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25344.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25345.png){width="0.38472222222222224in" height="0.38472222222222224in"}． 则P（X=0）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25346.png){width="0.22847222222222222in" height="0.5840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25347.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，P（X=﹣1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25348.png){width="0.22847222222222222in" height="0.5840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25349.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，P（X=1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25350.png){width="0.71875in" height="0.5840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25351.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ X 0 ﹣1 1 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25352.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25353.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25351.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ EX=0×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25352.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+（﹣1）×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25353.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+1×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25354.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25355.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键． 　 20．（13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25356.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25357.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25358.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设椭圆E：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25359.png){width="0.3326388888888889in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25360.png){width="0.3326388888888889in" height="0.4888888888888889in"}=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q． （i）求\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25361.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\|的值； （ii）求△ABQ面积的最大值． 【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程； （Ⅱ）求得椭圆E的方程，（i）设P（x0，y0），\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25362.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\|=λ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值； （ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，PF1+PF2=2a=4，可得a=2， 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25363.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25364.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，a2﹣c2=b2， 可得b=1，即有椭圆C的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25365.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y2=1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25366.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25367.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1， （i）设P（x0，y0），\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25362.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\|=λ，由题意可知， Q（﹣λx0，﹣λy0），由于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25368.png){width="0.31319444444444444in" height="0.48055555555555557in"}+y02=1， 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25369.png){width="0.7708333333333334in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25370.png){width="0.7708333333333334in" height="0.48055555555555557in"}=1，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25371.png){width="0.31319444444444444in" height="0.42569444444444443in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25368.png){width="0.31319444444444444in" height="0.48055555555555557in"}+y02）=1， 所以λ=2，即\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25372.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\|=2； （ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得 （1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，① 则有x1+x2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25373.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}，x1x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25374.png){width="0.6041666666666666in" height="0.48055555555555557in"}，所以\|x1﹣x2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25375.png){width="1.0833333333333333in" height="0.5in"}， 由直线y=kx+m与y轴交于（0，m）， 则△AOB的面积为S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25376.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|m\|•\|x1﹣x2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25376.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|m\|•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25377.png){width="1.0833333333333333in" height="0.5in"} =2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25378.png){width="1.5520833333333333in" height="0.5in"}，设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25379.png){width="0.5in" height="0.48055555555555557in"}=t，则S=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25380.png){width="0.6256944444444444in" height="0.1875in"}， 将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0， 由△≥0可得m2≤1+4k2，② 由①②可得0＜t≤1，则S=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25381.png){width="0.9270833333333334in" height="0.25in"}在（0，1\]递增，即有t=1取得最大值， 即有S![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25382.png){width="0.48055555555555557in" height="0.1875in"}，即m2=1+4k2，取得最大值2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25383.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 由（i）知，△ABQ的面积为3S， 即△ABQ面积的最大值为6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25383.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25384.png){width="2.8444444444444446in" height="1.6145833333333333in"} 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题． 　 21．（14分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R， （Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围． 【分析】（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25385.png){width="1.4368055555555554in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25386.png){width="1.0208333333333333in" height="0.42569444444444443in"}．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时，此时f′（x）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况． （2）当a＞0时，△=a（9a﹣8）．①当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25387.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}时，△≤0，②当a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25388.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}时，△＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况． （3）当a＜0时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况． （II）由（I）可知：（1）当0≤a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25389.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}时，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出． （2）当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25390.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出． （3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，利用x∈（0，x2）时函数f（x）单调性，即可判断出； （4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出 【解答】解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25391.png){width="1.4368055555555554in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25392.png){width="1.0208333333333333in" height="0.42569444444444443in"}． 令g（x）=2ax2+ax﹣a+1． （1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点． （2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）． ①当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25393.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点． ②当a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25394.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2． ∵x1+x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25395.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25396.png){width="0.6041666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25397.png){width="0.6041666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25398.png){width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"}． ∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； 当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减； 当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增． 因此函数f（x）有两个极值点． （3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2． ∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； 当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减． 因此函数f（x）有一个极值点． 综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点； 当0≤a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25399.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}时，函数f（x）无极值点； 当a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25400.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}时，函数f（x）有两个极值点． （II）由（I）可知： （1）当0≤a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25401.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增． ∵f（0）=0， ∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意． （2）当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25402.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增． 又f（0）=0， ∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意． （3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0， ∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减． 又f（0）=0， ∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去； （4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25403.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}＞0． ∴h（x）在（0，+∞）上单调递增． 因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x， 可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x， 当x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25404.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}时， ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去． 综上所述，a的取值范围为\[0，1\]． 【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题． 　 2015年山东省高考数学试卷（文科） ================================ 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知集合A={x\|2＜x＜4}，B={x\|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（　　） A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4） 【分析】求出集合B，然后求解集合的交集． 【解答】解：B={x\|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x\|1＜x＜3}，A={x\|2＜x＜4}， ∴A∩B={x\|2＜x＜3}=（2，3）． 故选：C． 【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力． 　 2．（5分）若复数z满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25405.png){width="0.3020833333333333in" height="0.38472222222222224in"}=i，其中i为虚数单位，则z=（　　） A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25405.png){width="0.3020833333333333in" height="0.38472222222222224in"}=i，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25406.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=i（1﹣i）=1+i， 可得z=1﹣i． 故选：A． 【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查． 　 3．（5分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，可判断三个式子的大小． 【解答】解：函数y=0.6x为减函数； 故a=0.60.6＞b=0.61.5， 函数y=x0.6在（0，+∞）上为增函数； 故a=0.60.6＜c=1.50.6， 故b＜a＜c， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是指数函数和幂函数的单调性，难度中档． 　 4．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25407.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（　　）个单位． A．向左平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25408.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25408.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．向左平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25407.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25407.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可． 【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25409.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=sin\[4（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25410.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）\]， 要得到函数y=sin（4x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25409.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25410.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}单位． 故选：B． 【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点． 　 5．（5分）当m∈N\*，命题"若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根"的逆否命题是（　　） A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0 B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0 C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0 D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0 【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可． 【解答】解：由逆否命题的定义可知：当m∈N\*，命题"若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根"的逆否命题是：若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0． 故选：D． 【点评】本题考查四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用． 　 6．（5分）为比较甲，乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论： ①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25411.png){width="2.3229166666666665in" height="0.9479166666666666in"} A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【分析】由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度，进而求出两组数据的平均数、及方差可得答案 【解答】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙甲，乙两地某月14时的气温抽取的样本温度分别为： 甲：26，28，29，31，31 乙：28，29，30，31，32； 可得：甲地该月14时的平均气温：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25412.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（26+28+29+31+31）=29， 乙地该月14时的平均气温：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25412.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（28+29+30+31+32）=30， 故甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； 甲地该月14时温度的方差为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25413.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25414.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\[（26﹣29）2+（28﹣29）2+（29﹣29）2+（31﹣29）2+（31﹣29）2\]=3.6 乙地该月14时温度的方差为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25415.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25414.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\[（28﹣30）2+（29﹣30）2+（30﹣30）2+（31﹣30）2+（32﹣30）2\]=2， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25413.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25415.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}， 所以甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温标准差． 故选：B． 【点评】本题考查数据的离散程度与茎叶图形状的关系，考查学生的计算能力，属于基础题 　 7．（5分）在区间\[0，2\]上随机地取一个数x，则事件"﹣1≤log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25416.png){width="0.22847222222222222in" height="0.38472222222222224in"}（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10978.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）≤1"发生的概率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25417.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25418.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10976.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25419.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】先解已知不等式，再利用解得的区间长度与区间\[0，2\]的长度求比值即得． 【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度． ∵﹣1≤log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25416.png){width="0.22847222222222222in" height="0.38472222222222224in"}（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10978.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）≤1 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25420.png){width="0.8965277777777778in" height="0.36527777777777776in"} 解得0≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25421.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∵0≤x≤2 ∴0≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25421.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ∴所求的概率为：P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25422.png){width="0.40625in" height="0.5625in"} 故选：A． 【点评】本题主要考查了几何概型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 　 8．（5分）若函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25423.png){width="0.4173611111111111in" height="0.48055555555555557in"}是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，+∞） 【分析】由f（x）为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式． 【解答】解：∵f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25423.png){width="0.4173611111111111in" height="0.48055555555555557in"}是奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x） 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25424.png){width="1.0013888888888889in" height="0.48055555555555557in"} 整理可得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25425.png){width="1.0944444444444446in" height="0.48055555555555557in"} ∴1﹣a•2x=a﹣2x ∴a=1， ∴f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25426.png){width="0.4173611111111111in" height="0.48055555555555557in"} ∵f（x））=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25427.png){width="0.4173611111111111in" height="0.48055555555555557in"}＞3 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25427.png){width="0.4173611111111111in" height="0.48055555555555557in"}﹣3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25428.png){width="0.5840277777777778in" height="0.48055555555555557in"}＞0， 整理可得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25429.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}， ∴1＜2x＜2 解可得，0＜x＜1 故选：C． 【点评】本题主要考查了奇函数的定义的应用及分式不等式的求解，属于基础试题． 　 9．（5分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25430.png){width="0.5298611111111111in" height="0.38472222222222224in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25431.png){width="0.5298611111111111in" height="0.38472222222222224in"} C．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25432.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}π D．4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25432.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}π 【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可． 【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体． V=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25433.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}S•h=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25433.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}πR2•h =2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25434.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}π×（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25435.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25435.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25436.png){width="0.5298611111111111in" height="0.38472222222222224in"}． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25437.png){width="2.2708333333333335in" height="1.5104166666666667in"} 【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题． 　 10．（5分）设函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25438.png){width="0.9576388888888889in" height="0.4888888888888889in"}，若f（f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25439.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}））=4，则b=（　　） A．1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25440.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25441.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16136.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可． 【解答】解：函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25438.png){width="0.9576388888888889in" height="0.4888888888888889in"}，若f（f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25442.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}））=4， 可得f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25443.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}）=4， 若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25444.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}，即b≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21715.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25445.png){width="0.5736111111111111in" height="0.38472222222222224in"}，解得b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25446.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25447.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}，即b＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21715.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25448.png){width="1.0944444444444446in" height="0.36527777777777776in"}，解得b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25449.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25450.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（舍去）． 故选：D． 【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，函数值的求法，考查分段函数的应用． 　 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11．（5分）执行如图的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是　13　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25451.png){width="1.90625in" height="2.6881944444444446in"} 【分析】模拟执行程序框图，依次写出得到的x，y的值，当x=2时不满足条件x＜2，计算并输出y的值为13． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 x=1 满足条件x＜2，x=2 不满足条件x＜2，y=13 输出y的值为13． 故答案为：13． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基本知识的考查． 　 12．（5分）若x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25452.png){width="0.6256944444444444in" height="0.65625in"}，则z=x+3y的最大值为　7　． 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移，可得当x=1且y=2时，z取得最大值． 【解答】解：作出不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25452.png){width="0.6256944444444444in" height="0.65625in"}表示的平面区域， 得到如图的三角形及其内部，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25453.png){width="0.5409722222222222in" height="0.4173611111111111in"} 可得A（1，2），z=x+3y，将直线进行平移， 当l经过点A时，目标函数z达到最大值 ∴z最大值=1+2×3=7． 故答案为：7 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25454.png){width="2.5944444444444446in" height="2.3125in"} 【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+3y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 　 13．（5分）过点P（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25455.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25456.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25457.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】根据直线与圆相切的性质可求PA=PB，及∠APB，然后代入向量数量积的定义可求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25456.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}． 【解答】解：连接OA，OB，PO 则OA=OB=1，PO=，2，OA⊥PA，OB⊥PB， Rt△PAO中，OA=1，PO=2，PA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25455.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} ∴∠OPA=30°，∠BPA=2∠OPA=60° ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25456.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25458.png){width="1.4368055555555554in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25459.png){width="0.9270833333333334in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25460.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25460.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25461.png){width="2.542361111111111in" height="2.9277777777777776in"} 【点评】本题主要考查了圆的切线性质的应用及平面向量的数量积的定义的应用，属于基础试题． 　 14．（5分）定义运算"⊗"x⊗y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25462.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}（x，y∈R，xy≠0）．当x＞0，y＞0时，x⊗y+（2y）⊗x的最小值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25463.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}　． 【分析】通过新定义可得x⊗y+（2y）⊗x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25464.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4479166666666667in"}，利用基本不等式即得结论． 【解答】解：∵x⊗y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25462.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}， ∴x⊗y+（2y）⊗x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25465.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25466.png){width="0.6256944444444444in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25467.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4479166666666667in"}， 由∵x＞0，y＞0， ∴x2+2y2≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25468.png){width="0.7597222222222222in" height="0.2611111111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25469.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}xy， 当且仅当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25470.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}y时等号成立， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25467.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4479166666666667in"}≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25471.png){width="0.5298611111111111in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10736.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10736.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 【点评】本题以新定义为背景，考查函数的最值，涉及到基本不等式等知识，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 15．（5分）过双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25472.png){width="0.7402777777777778in" height="0.4888888888888889in"}（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为　2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10744.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25473.png){width="1.84375in" height="2.667361111111111in"} 【分析】求出P的坐标，可得直线的斜率，利用条件建立方程，即可得出结论． 【解答】解：x=2a时，代入双曲线方程可得y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10744.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}b，取P（2a，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25474.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}b）， ∴双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25475.png){width="0.7402777777777778in" height="0.4888888888888889in"}（a＞0，b＞0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25476.png){width="0.4479166666666667in" height="0.38472222222222224in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25476.png){width="0.4479166666666667in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25477.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ∴e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25478.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25474.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 故答案为：2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20515.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础． 　 三、解答题（共6小题，满分75分） 16．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人） ---------------- -------------- ---------------- 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 ---------------- -------------- ---------------- （Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率； （Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率． 【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，"至少参加一个社团"事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可； （Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出"A1被选中，而B1未被选中"事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可． 【解答】解：（Ⅰ）设"至少参加一个社团"为事件A； 从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45； 通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15； 这是一个古典概型，∴P（A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25479.png){width="0.4583333333333333in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法； ∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15； 设"A1被选中，而B1未被选中"为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2； 这是一个古典概型，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25480.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用． 　 17．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18395.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，sin（A+B）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25481.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，ac=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25482.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求sinA和c的值． 【分析】①利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得； ②利用正弦定理解之． 【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25483.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， sin（A+B）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25481.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，ac=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25482.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，所以sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25484.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，sinAcosB+cosAsinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25481.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， 所以sinA+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25485.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25486.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}①，结合平方关系sin2A+cos2A=1②， 由①②解得27sin2A﹣6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16079.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sinA﹣16=0， 解得sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25487.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}或者sinA=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25488.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}（舍去）； ②由正弦定理，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25489.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}由①可知sin（A+B）=sinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25490.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25487.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}， 所以a=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25491.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}c，又ac=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25491.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，所以c=1． 【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正弦定理等知识． 　 18．（12分）如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点． （1）求证：BD∥平面FGH； （2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25492.png){width="1.8229166666666667in" height="1.6875in"} 【分析】（I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．由已知可得四边形CFDG是平行四边形，DM=MC．利用三角形的中位线定理可得：MH∥BD，可得BD∥平面FGH； 证法二：在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．可得四边形BHFE为平行四边形．BE∥HF．又GH∥AB，可得平面FGH∥平面ABED，即可证明BD∥平面FGH． （II）连接HE，利用三角形中位线定理可得GH∥AB，于是GH⊥BC．可证明EFCH是平行四边形，可得HE⊥BC．因此BC⊥平面EGH，即可证明平面BCD⊥平面EGH． 【解答】（I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH． 在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G为AC的中点． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25493.png){width="0.5625in" height="0.22847222222222222in"}，∴四边形CFDG是平行四边形， ∴DM=MC．又BH=HC， ∴MH∥BD，又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH， ∴BD∥平面FGH； 证法二：在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，H为BC的中点． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25494.png){width="0.5625in" height="0.22847222222222222in"}， ∴四边形BHFE为平行四边形． ∴BE∥HF． 在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点， ∴GH∥AB，又GH∩HF=H， ∴平面FGH∥平面ABED， ∵BD⊂平面ABED，∴BD∥平面FGH． （II）证明：连接HE，∵G，H分别为AC，BC的中点， ∴GH∥AB， ∵AB⊥BC，∴GH⊥BC， 又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF=HC，CF⊥BC． ∴EFCH是矩形，∴CF∥HE． ∵CF⊥BC，∴HE⊥BC． 又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH=H， ∴BC⊥平面EGH，又BC⊂平面BCD， ∴平面BCD⊥平面EGH． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25495.png){width="1.8229166666666667in" height="1.6875in"} 【点评】本题考查了空间线面面面平行与垂直的判定及性质定理、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题． 　 19．（12分）已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25496.png){width="0.65625in" height="0.42569444444444443in"}}的前n项和为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25497.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=（an+1）•2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25498.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}，求数列{bn}的前n项和Tn． 【分析】（1）通过对cn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25496.png){width="0.65625in" height="0.42569444444444443in"}分离分母，并项相加并利用数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25496.png){width="0.65625in" height="0.42569444444444443in"}}的前n项和为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25497.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}即得首项和公差，进而可得结论； （2）通过bn=n•4n，写出Tn、4Tn的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1、公差为d，则a1＞0， ∴an=a1+（n﹣1）d，an+1=a1+nd， 令cn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25496.png){width="0.65625in" height="0.42569444444444443in"}， 则cn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25499.png){width="1.6458333333333333in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25500.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25501.png){width="0.8340277777777778in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25502.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}\]， ∴c1+c2+...+cn﹣1+cn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25500.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25503.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25504.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25504.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25505.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25506.png){width="0.8340277777777778in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25507.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}\] =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25508.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25509.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25510.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}\] =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25511.png){width="0.875in" height="0.42569444444444443in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25512.png){width="0.8013888888888889in" height="0.48055555555555557in"}， 又∵数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25513.png){width="0.65625in" height="0.42569444444444443in"}}的前n项和为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25514.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25515.png){width="0.5736111111111111in" height="0.5625in"}， ∴a1=1或﹣1（舍），d=2， ∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （2）由（1）知bn=（an+1）•2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25516.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}=（2n﹣1+1）•22n﹣1=n•4n， ∴Tn=b1+b2+...+bn=1•41+2•42+...+n•4n， ∴4Tn=1•42+2•43+...+（n﹣1）•4n+n•4n+1， 两式相减，得﹣3Tn=41+42+...+4n﹣n•4n+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25517.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}•4n+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25518.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴Tn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25519.png){width="1.1569444444444446in" height="0.42569444444444443in"}． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 20．（13分）设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25520.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}．已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y=0平行． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值． 【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a=1； （Ⅱ）求出f（x）、g（x）的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在k=1； （Ⅲ）由（Ⅱ）求得m（x）的解析式，通过g（x）的最大值，即可得到所求． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x+a）lnx的导数为f′（x）=lnx+1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25521.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=1+a， 由切线与直线2x﹣y=0平行， 则a+1=2，解得a=1； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=（x+1）lnx，f′（x）=lnx+1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25522.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 令h（x）=lnx+1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25522.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，h′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25523.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25524.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25525.png){width="0.3020833333333333in" height="0.42569444444444443in"}， 当x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）在（0，1）递减， 当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）递增． 当x=1时，h（x）min=h（1）=2＞0，即f′（x）＞0， f（x）在（0，+∞）递增，即有f（x）在（k，k+1）递增， g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25526.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}的导数为g′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25527.png){width="0.5520833333333334in" height="0.42569444444444443in"}， 当x∈（0，2），g′（x）＞0，g（x）在（0，2）递增， 当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）递减． 则x=2取得最大值， 令T（x）=f（x）﹣g（x）=（x+1）lnx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25526.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}， T（1）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25528.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜0，T（2）=3ln2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25529.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}＞0， T（x）的导数为T′（x）=lnx+1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25530.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25531.png){width="0.5in" height="0.48055555555555557in"}， 由1＜x＜2，通过导数可得lnx＞1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25530.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，即有lnx+1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25530.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＞2； ex＞1+x，可得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25531.png){width="0.5in" height="0.48055555555555557in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25532.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}， 可得lnx+1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25533.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25534.png){width="0.5in" height="0.48055555555555557in"}＞2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25532.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25535.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}＞0， 即为T′（x）＞0在（1，2）成立， 则T（x）在（1，2）递增， 由零点存在定理可得，存在自然数k=1， 使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，m（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25536.png){width="1.65625in" height="0.7708333333333334in"}，其中x0∈（1，2）， 且x=2时，g（x）取得最大值，且为g（2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25537.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}， 则有m（x）的最大值为m（2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25537.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}． 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，同时考查零点存在定理和分段函数的最值，考查运算能力，属于中档题． 　 21．（14分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25538.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25539.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，且点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25540.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image313.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设椭圆E：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25541.png){width="0.7597222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E与A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q． （Ⅰ）求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25542.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}的值； （Ⅱ）求△ABQ面积的最大值． 【分析】（Ⅰ）通过将点点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18987.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19411.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）代入椭圆C方程，结合![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25543.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25544.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}及a2﹣c2=b2，计算即得结论； （Ⅱ）通过（I）知椭圆E的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25545.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25546.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1．（i）通过设P（x0，y0）、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25547.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=λ可得Q（﹣λx0，﹣λy0），利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25548.png){width="0.31319444444444444in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25549.png){width="0.28055555555555556in" height="0.2916666666666667in"}=1及![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25550.png){width="0.7708333333333334in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25551.png){width="0.7708333333333334in" height="0.48055555555555557in"}=1，计算即可；（ii）设A（x1，y1）、B（x2，y2），分别将y=kx+m代入椭圆E、椭圆C的方程，利用根的判别式△＞0、韦达定理、三角形面积公式及换元法，计算即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25552.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19420.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）在椭圆C上， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25553.png){width="0.8444444444444444in" height="0.42569444444444443in"}，① ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25554.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25555.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，a2﹣c2=b2， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25556.png){width="0.5215277777777778in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25557.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，② 联立①②，解得：a2=4，b2=1， ∴椭圆C的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25558.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y2=1； （Ⅱ）由（I）知椭圆E的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25559.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25560.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1． （i）设P（x0，y0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25561.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=λ， 由题意可得Q（﹣λx0，﹣λy0）， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25562.png){width="0.31319444444444444in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25563.png){width="0.28055555555555556in" height="0.2916666666666667in"}=1，及![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25564.png){width="0.7708333333333334in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25565.png){width="0.7708333333333334in" height="0.48055555555555557in"}=1，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25566.png){width="0.31319444444444444in" height="0.42569444444444443in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25567.png){width="0.31319444444444444in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25568.png){width="0.28055555555555556in" height="0.2916666666666667in"}）=1， ∴λ=2，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25569.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=2； （ii）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 将y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0， 由△＞0，可得m2＜4+16k2， 由韦达定理，可得x1+x2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25570.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}，x1•x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25571.png){width="0.6041666666666666in" height="0.48055555555555557in"}， ∴\|x1﹣x2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25572.png){width="1.0833333333333333in" height="0.5in"}， ∵直线y=kx+m交y轴于点（0，m）， ∴S△OAB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18884.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|m\|•\|x1﹣x2\| =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18884.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|m\|•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25573.png){width="1.0833333333333333in" height="0.5in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25574.png){width="1.4694444444444446in" height="0.5in"} =2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25575.png){width="1.5520833333333333in" height="0.5in"}， 设t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25576.png){width="0.5in" height="0.48055555555555557in"}，将y=kx+m代入椭圆C的方程， 可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0， 由△≥0，可得m2≤1+4k2， 又∵m2＜4+16k2， ∴0＜t≤1， ∴S=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25577.png){width="0.6256944444444444in" height="0.1875in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25578.png){width="0.6777777777777778in" height="0.25in"}=≤2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25579.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 当且仅当t=1，即m2=1+4k2时取得最大值2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25579.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 由（i）知S△ABQ=3S， ∴△ABQ面积的最大值为6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25580.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合问题，考查求椭圆方程、线段的比及三角形的面积问题，考查计算能力，利用韦达定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题． 　 2015年陕西省高考数学试卷（理科） ================================ 参考答案与试题解析 　 一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分 1．（5分）设集合M={x\|x2=x}，N={x\|lgx≤0}，则M∪N=（　　） A．\[0，1\] B．（0，1\] C．\[0，1） D．（﹣∞，1\] 【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案． 【解答】解：由M={x\|x2=x}={0，1}， N={x\|lgx≤0}=（0，1\]， 得M∪N={0，1}∪（0，1\]=\[0，1\]． 故选：A． 【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题． 　 2．（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25581.png){width="2.1666666666666665in" height="1.2708333333333333in"} A．93 B．123 C．137 D．167 【分析】利用百分比，可得该校女教师的人数． 【解答】解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60， ∴该校女教师的人数为77+60=137， 故选：C． 【点评】本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础． 　 3．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25582.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25583.png){width="2.125in" height="1.4375in"} A．5 B．6 C．8 D．10 【分析】由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值． 【解答】解：由题意可得当sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25582.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}x+φ）取最小值﹣1时， 函数取最小值ymin=﹣3+k=2，解得k=5， ∴y=3sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25582.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}x+φ）+5， ∴当当sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25582.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}x+φ）取最大值1时， 函数取最大值ymax=3+5=8， 故选：C． 【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题． 　 4．（5分）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，则n=（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【分析】由题意可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25584.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25585.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}=15，解关于n的方程可得． 【解答】解：∵二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25584.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=15，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25585.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}=15，解得n=6， 故选：B． 【点评】本题考查二项式定理，属基础题． 　 5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25586.png){width="1.5833333333333333in" height="1.4270833333333333in"} A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4 【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱， 底面半径为1，高为2， 故该几何体的表面积S=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25587.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}π+（2+π）×2=3π+4， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是柱体的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档． 　 6．（5分）"sinα=cosα"是"cos2α=0"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出． 【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α， ∴"sinα=cosα"是"cos2α=0"的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题． 　 7．（5分）对任意向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25588.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25589.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，下列关系式中不恒成立的是（　　） A．\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25590.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}\|≤\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25588.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25589.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\| B．\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25591.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}\|≤\|\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25592.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|﹣\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25593.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|\| C．（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25594.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}）2=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25594.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}\|2 D．（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25594.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25591.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25592.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25593.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2 【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得． 【解答】解：选项A恒成立，∵\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25595.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25596.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25597.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|\|cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25596.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25597.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＞\|， 又\|cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25596.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25597.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＞\|≤1，∴\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25595.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}\|≤\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25596.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25598.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|恒成立； 选项B不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25599.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}\|≥\|\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25600.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|﹣\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25598.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|\|； 选项C恒成立，由向量数量积的运算可得（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25601.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}）2=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25601.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}\|2； 选项D恒成立，由向量数量积的运算可得（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25601.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25599.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25600.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25602.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2． 故选：B． 【点评】本题考查平面向量的数量积，属基础题． 　 8．（5分）根据如图框图，当输入x为2006时，输出的y=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25603.png){width="1.3229166666666667in" height="3.104861111111111in"} A．2 B．4 C．10 D．28 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣2时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 x=2006， x=2004 满足条件x≥0，x=2002 满足条件x≥0，x=2000 ... 满足条件x≥0，x=0 满足条件x≥0，x=﹣2 不满足条件x≥0，y=10 输出y的值为10． 故选：C． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 　 9．（5分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25604.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}），q=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25605.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}），r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25606.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（　　） A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q 【分析】由题意可得p=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25606.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（lna+lnb），q=ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25605.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）≥ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25607.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}）=p，r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25608.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（lna+lnb），可得大小关系． 【解答】解：由题意可得若p=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25607.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}）=ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25607.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25608.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}lnab=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25608.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（lna+lnb）， q=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25609.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）=ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25609.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）≥ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25607.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}）=p， r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25610.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（f（a）+f（b））=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25610.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（lna+lnb）， ∴p=r＜q， 故选：B． 【点评】本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题． 　 10．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（　　） --------- ---- ---- ---------- 甲 乙 原料限额 A（吨） 3 2 12 B（吨） 1 2 8 --------- ---- ---- ---------- A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值． 【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25611.png){width="0.9576388888888889in" height="0.6861111111111111in"}， 目标函数为 z=3x+4y． 作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域． 由z=3x+4y得y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25612.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25613.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 平移直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25612.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25613.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}由图象可知当直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25612.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25613.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}经过点B时，直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25614.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25615.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}的截距最大， 此时z最大， 解方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25616.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4173611111111111in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25617.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}， 即B的坐标为x=2，y=3， ∴zmax=3x+4y=6+12=18． 即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元， 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25618.png){width="2.5006944444444446in" height="2.5215277777777776in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键． 　 11．（5分）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若\|z\|≤1，则y≥x的概率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25619.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25620.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25621.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25622.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25621.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25622.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25623.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25620.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得． 【解答】解：∵复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R）且\|z\|≤1， ∴\|z\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25624.png){width="0.9486111111111111in" height="0.2611111111111111in"}≤1，即（x﹣1）2+y2≤1， ∴点（x，y）在（1，0）为圆心1为半径的圆及其内部， 而y≥x表示直线y=x左上方的部分，（图中阴影弓形） ∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比， ∴所求概率P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25625.png){width="1.4784722222222222in" height="0.6256944444444444in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25626.png){width="0.5409722222222222in" height="0.36527777777777776in"} 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25627.png){width="2.375in" height="2.4375in"} 【点评】本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题． 　 12．（5分）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（　　） A．﹣1是f（x）的零点 B．1是f（x）的极值点 C．3是f（x）的极值 D．点（2，8）在曲线y=f（x）上 【分析】可采取排除法．分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论． 【解答】解：可采取排除法． 若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b， 即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②， 又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a为非零整数． 若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25628.png){width="0.5840277777777778in" height="0.42569444444444443in"}=3，解得a∈∅，不成立； 若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25629.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}不为非零整数，不成立； 若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25628.png){width="0.5840277777777778in" height="0.42569444444444443in"}=3，解得a=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25630.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}不为非零整数，不成立． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力，属于中档题． 　 二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分 13．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为　5　． 【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得． 【解答】解：设该等差数列的首项为a， 由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2 解得a=5 故答案为：5 【点评】本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题． 　 14．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p=　2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25631.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}　． 【分析】先求出x2﹣y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值． 【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25631.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，0），故抛物线y2=2px的准线为x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25631.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25632.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25631.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，∴p=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25631.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 故答案为：2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25633.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程 y2=2px中p的意义． 　 15．（5分）设曲线y=ex在点（0，1）处的切线与曲线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25634.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为　（1，1）　． 【分析】利用y=ex在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标． 【解答】解：∵f\'（x）=ex， ∴f\'（0）=e0=1． ∵y=ex在（0，1）处的切线与y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25634.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（x＞0）上点P的切线垂直 ∴点P处的切线斜率为﹣1． 又y\'=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25635.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}，设点P（x0，y0） ∴﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25636.png){width="0.31319444444444444in" height="0.48055555555555557in"}=﹣1， ∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1 ∴y0=1 ∴点P（1，1） 故答案为：（1，1） 【点评】本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中． 　 16．（5分）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为　1.2　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25637.png){width="1.6979166666666667in" height="0.6041666666666666in"} 【分析】建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果． 【解答】解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y=ax2，因为抛物线经过（5，2），可得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25638.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 所以抛物线方程：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25639.png){width="0.4173611111111111in" height="0.36527777777777776in"}， 横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为： 2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25640.png){width="1.6347222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25641.png){width="0.7923611111111111in" height="0.37569444444444444in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25642.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 等腰梯形的面积为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25643.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}=16，当前最大流量的横截面的面积16﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25642.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 原始的最大流量与当前最大流量的比值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25644.png){width="0.43680555555555556in" height="0.5625in"}=1.2． 故答案为：1.2． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25645.png){width="1.8333333333333333in" height="1.34375in"} 【点评】本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键． 　 三、解答题，共5小题，共70分 17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25646.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25647.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}b）与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25648.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（cosA，sinB）平行． （Ⅰ）求A； （Ⅱ）若a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25649.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，b=2，求△ABC的面积． 【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A； （Ⅱ）利用A，以及a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25649.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积． 【解答】解：（Ⅰ）因为向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25650.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25651.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}b）与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25648.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（cosA，sinB）平行， 所以asinB﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25652.png){width="0.6451388888888889in" height="0.1875in"}=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25651.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sinBcosA=0，因为sinB≠0， 所以tanA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25653.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，可得A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25654.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25655.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3， △ABC的面积为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25656.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25657.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力． 　 18．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25658.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2． （Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC； （Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25659.png){width="3.1881944444444446in" height="1.3229166666666667in"} 【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD⊥平面A1OC； （Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25660.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， ∴BE⊥AC， 即在图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC， 则BE⊥平面A1OC； ∵CD∥BE， ∴CD⊥平面A1OC； （Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE， 由（Ⅰ）知BE⊥OA1，BE⊥OC， ∴∠A1OC为二面角A1﹣BE﹣C的平面角， ∴∠A1OC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25660.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 如图，建立空间坐标系， ∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED ∴B（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25661.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，0，0），E（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25661.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，0，0），A1（0，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25661.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}），C（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25661.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，0）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25662.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25663.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25663.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25664.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25663.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25663.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25665.png){width="1.5631944444444446in" height="0.22847222222222222in"} 设平面A1BC的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25666.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（x，y，z），平面A1CD的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25667.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（a，b，c）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25668.png){width="0.8013888888888889in" height="0.5409722222222222in"}得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25669.png){width="0.6256944444444444in" height="0.4173611111111111in"}，令x=1，则y=1，z=1，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25666.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，1，1）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25670.png){width="0.8013888888888889in" height="0.5409722222222222in"}得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25671.png){width="0.5409722222222222in" height="0.3958333333333333in"}， 取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25672.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（0，1，1）， 则cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25673.png){width="0.3958333333333333in" height="0.22847222222222222in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25674.png){width="0.6368055555555555in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25675.png){width="0.6368055555555555in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25676.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∴平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25676.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25677.png){width="1.96875in" height="1.3229166666666667in"} 【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法． 　 19．（12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为200的样本进行统计，结果如下： ------------ ---- ---- ---- ---- T（分钟） 25 30 35 40 频数（次） 40 60 80 20 ------------ ---- ---- ---- ---- （1）求T的分布列与数学期望ET； （2）唐教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 【分析】（1）由统计结果可得T的频率分布，以频率估计概率得T的分布列，能求出T的分布列与数学期望ET． （II）设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示"唐教授共用时间不超过120分钟"，由于讲座时间为50分钟，事件A对应于"唐教授在途中的时间不超过70分钟"．由此能求出唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 【解答】解：（1）由统计结果可得T的频率分布为 ----------- ----- ----- ----- ----- T（分钟） 25 30 35 40 频率 0.2 0.3 0.4 0.1 ----------- ----- ----- ----- ----- 以频率估计概率得T的分布列为 --- ----- ----- ----- ----- T 25 30 35 40 P 0.2 0.3 0.4 0.1 --- ----- ----- ----- ----- 从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32．（分钟）...（4分） （II）设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同． 设事件A表示"唐教授共用时间不超过120分钟"，由于讲座时间为50分钟， 所以事件A对应于"唐教授在途中的时间不超过70分钟"． P（A）=P（T1+T2≤70）=P（T1=25，T2≤45）+P（T1=30，T2≤40）+P（T1=35，T2≤35）+P（T1=40，T2≤30） =1×0.2+1×0.3+0.9×0.4+0.5×0.1=0.91．...（10分） 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式的合理运用． 　 20．（12分）已知椭圆E：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25678.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25679.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25680.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}c． （Ⅰ）求椭圆E的离心率； （Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25681.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25682.png){width="1.7916666666666667in" height="1.3854166666666667in"} 【分析】（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程． 【解答】解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0， 则原点到直线的距离为d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25683.png){width="0.6256944444444444in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25684.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}c，即为a=2b， e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25685.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25686.png){width="0.5215277777777778in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25687.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，① 由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25688.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， 易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得 （1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25689.png){width="0.8013888888888889in" height="0.42569444444444443in"}．x1x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25690.png){width="1.1243055555555554in" height="0.48055555555555557in"}， 由M为AB的中点，可得x1+x2=﹣4，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25689.png){width="0.8013888888888889in" height="0.42569444444444443in"}=﹣4，解得k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25691.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 从而x1x2=8﹣2b2，于是\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25692.png){width="0.7083333333333334in" height="0.38472222222222224in"}•\|x1﹣x2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25693.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25694.png){width="1.4590277777777778in" height="0.3020833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25695.png){width="0.8444444444444444in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25696.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，解得b2=3， 则有椭圆E的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25697.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25698.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1． 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题． 　 21．（12分）设fn（x）是等比数列1，x，x2，...，xn的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2． （Ⅰ）证明：函数Fn（x）=fn（x）﹣2在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25699.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，1）内有且仅有一个零点（记为xn），且xn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25699.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25700.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25701.png){width="0.3326388888888889in" height="0.28055555555555556in"}； （Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn（x），比较fn（x）和gn（x）的大小，并加以证明． 【分析】（Ⅰ）由Fn（x）=fn（x）﹣2=1+x+x2+...++xn﹣2，求得Fn（1）＞0，Fn（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25700.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）＜0．再由导数判断出函数Fn（x）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25700.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，1）内单调递增，得到Fn（x）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25700.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，1）内有且仅有一个零点xn，由Fn（xn）=0，得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25702.png){width="1.0833333333333333in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）先求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25703.png){width="1.5631944444444446in" height="0.42569444444444443in"}，构造函数h（x）=fn（x）﹣gn（x）=1+x+x2+...++xn﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25704.png){width="1.0208333333333333in" height="0.42569444444444443in"}，当x=1时，fn（x）=gn（x）． 当x≠1时，利用导数求得h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，得到fn（x）＜gn（x）． 【解答】证明：（Ⅰ）由Fn（x）=fn（x）﹣2=1+x+x2+...+xn﹣2， 则Fn（1）=n﹣1＞0， Fn（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25705.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25706.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25707.png){width="3.0840277777777776in" height="0.7597222222222222in"}． ∴Fn（x）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25708.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，1）内至少存在一个零点， 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25709.png){width="2.0625in" height="0.28055555555555556in"}，∴Fn（x）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25708.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，1）内单调递增， ∴Fn（x）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25708.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，1）内有且仅有一个零点xn， ∵xn是Fn（x）的一个零点，∴Fn（xn）=0， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25710.png){width="0.9902777777777778in" height="0.5298611111111111in"}，故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25711.png){width="1.0833333333333333in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）由题设，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25712.png){width="1.5631944444444446in" height="0.42569444444444443in"}， 设h（x）=fn（x）﹣gn（x）=1+x+x2+...+xn﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25713.png){width="1.0208333333333333in" height="0.42569444444444443in"}，x＞0． 当x=1时，fn（x）=gn（x）． 当x≠1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25714.png){width="2.667361111111111in" height="0.42569444444444443in"}． 若0＜x＜1，h′（x）＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25715.png){width="2.582638888888889in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25716.png){width="2.051388888888889in" height="0.42569444444444443in"}． 若x＞1，h′（x）＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25715.png){width="2.582638888888889in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25716.png){width="2.051388888888889in" height="0.42569444444444443in"}． ∴h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减， ∴h（x）＜h（1）=0，即fn（x）＜gn（x）． 综上，当x=1时，fn（x）=gn（x）； 当x＞0且x≠1时，fn（x）＜gn（x）． 【点评】本题考查了函数零点的判定方法，考查了等比数列的前n项和，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化与化归等思想方法，是中档题． 　 四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲 22．（10分）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C． （Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA； （Ⅱ）若AD=3DC，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25717.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求⊙O的直径． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25718.png){width="1.65625in" height="0.9791666666666666in"} 【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA； （Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径． 【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径， 则∠BED+∠EDB=90°， ∵BC⊥DE， ∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED， ∵AB切⊙O于点B， ∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA； （Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25719.png){width="0.5409722222222222in" height="0.36527777777777776in"}=3， ∵BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25720.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴AB=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25720.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25721.png){width="0.96875in" height="0.25in"}， 则AD=3， 由切割线定理得AB2=AD•AE， 即AE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25722.png){width="0.5215277777777778in" height="0.42569444444444443in"}， 故DE=AE﹣AD=3， 即可⊙O的直径为3． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键． 　 五、选修4-4：坐标系与参数方程 23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25723.png){width="0.6972222222222222in" height="0.8118055555555556in"}（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25724.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sinθ． （Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程； （Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标． 【分析】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25724.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sinθ．化为ρ2=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25725.png){width="0.8118055555555556in" height="0.1875in"}，把![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25726.png){width="0.9791666666666666in" height="0.48055555555555557in"}代入即可得出；． （II）设P![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25727.png){width="1.104861111111111in" height="0.38472222222222224in"}，又C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25728.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20902777777777778in"}．利用两点之间的距离公式可得\|PC\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25729.png){width="0.5736111111111111in" height="0.25in"}，再利用二次函数的性质即可得出． 【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25730.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sinθ． ∴ρ2=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25731.png){width="0.8118055555555556in" height="0.1875in"}，化为x2+y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25732.png){width="0.4173611111111111in" height="0.19791666666666666in"}， 配方为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25733.png){width="0.9486111111111111in" height="0.25in"}=3． （II）设P![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25734.png){width="1.104861111111111in" height="0.38472222222222224in"}，又C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25735.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20902777777777778in"}． ∴\|PC\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25736.png){width="1.823611111111111in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25737.png){width="0.5736111111111111in" height="0.25in"}≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25738.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 因此当t=0时，\|PC\|取得最小值2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25738.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}．此时P（3，0）． 【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 六、选修4-5：不等式选讲 24．已知关于x的不等式\|x+a\|＜b的解集为{x\|2＜x＜4} （Ⅰ）求实数a，b的值； （Ⅱ）求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25739.png){width="0.5409722222222222in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25740.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}的最大值． 【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得； （Ⅱ）原式=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25741.png){width="0.6256944444444444in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25742.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25743.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25744.png){width="0.37569444444444444in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25742.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，由柯西不等式可得最大值． 【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式\|x+a\|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a， 又∵原不等式的解集为{x\|2＜x＜4}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25745.png){width="0.6256944444444444in" height="0.3958333333333333in"}，解方程组可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25746.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3958333333333333in"}； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25747.png){width="0.5409722222222222in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25748.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25749.png){width="0.6256944444444444in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25750.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25751.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25752.png){width="0.37569444444444444in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25753.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25754.png){width="2.5215277777777776in" height="0.26944444444444443in"} =2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25755.png){width="0.5409722222222222in" height="0.1875in"}=4， 当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25756.png){width="0.40625in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25757.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}即t=1时取等号， ∴所求最大值为4 【点评】本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题． 　 2015年陕西省高考数学试卷（文科） ================================ 参考答案与试题解析 　 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（每小题5分，共60分） 1．（5分）设集合M={x\|x2=x}，N={x\|lgx≤0}，则M∪N=（　　） A．\[0，1\] B．（0，1\] C．\[0，1） D．（﹣∞，1\] 【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案． 【解答】解：由M={x\|x2=x}={0，1}， N={x\|lgx≤0}=（0，1\]， 得M∪N={0，1}∪（0，1\]=\[0，1\]． 故选：A． 【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题． 　 2．（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25758.png){width="2.1666666666666665in" height="1.2708333333333333in"} A．93 B．123 C．137 D．167 【分析】利用百分比，可得该校女教师的人数． 【解答】解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60， ∴该校女教师的人数为77+60=137， 故选：C． 【点评】本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础． 　 3．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1） 【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25759.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=1，即可求出抛物线焦点坐标． 【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25759.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=1， ∴该抛物线焦点坐标为（1，0）． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础． 　 4．（5分）设f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25760.png){width="1.0208333333333333in" height="0.5in"}，则f（f（﹣2））=（　　） A．﹣1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25761.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25762.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25763.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】利用分段函数的性质求解． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25764.png){width="1.0208333333333333in" height="0.5in"}， ∴f（﹣2）=2﹣2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25765.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， f（f（﹣2））=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25765.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25766.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25767.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：C． 【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用． 　 5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25768.png){width="1.5833333333333333in" height="1.4270833333333333in"} A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4 【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱， 底面半径为1，高为2， 故该几何体的表面积S=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25769.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}π+（2+π）×2=3π+4， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是柱体的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档． 　 6．（5分）"sinα=cosα"是"cos2α=0"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出． 【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α， ∴"sinα=cosα"是"cos2α=0"的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题． 　 7．（5分）根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25770.png){width="1.3229166666666667in" height="3.0944444444444446in"} A．1 B．2 C．5 D．10 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣3时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 x=6 x=3 满足条件x≥0，x=0 满足条件x≥0，x=﹣3 不满足条件x≥0，y=10 输出y的值为10． 故选：D． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基础题． 　 8．（5分）对任意向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25771.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25772.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，下列关系式中不恒成立的是（　　） A．\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25773.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}\|≤\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25771.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25772.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\| B．\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25774.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}\|≤\|\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25775.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|﹣\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25776.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|\| C．（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25777.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}）2=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25777.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}\|2 D．（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25777.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25778.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25775.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25776.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2 【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得． 【解答】解：选项A恒成立，∵\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25779.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25780.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25781.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|\|cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25780.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25781.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＞\|， 又\|cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25780.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25781.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＞\|≤1，∴\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25779.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}\|≤\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25780.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25781.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|恒成立； 选项B不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25782.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}\|≥\|\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25783.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|﹣\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25784.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|\|； 选项C恒成立，由向量数量积的运算可得（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25785.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}）2=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25785.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}\|2； 选项D恒成立，由向量数量积的运算可得（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25785.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25782.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25783.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25786.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2． 故选：B． 【点评】本题考查平面向量的数量积，属基础题． 　 9．（5分）设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（　　） A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数 【分析】利用函数的奇偶性的定义判断f（x）为奇函数，再利用导数研究函数的单调性，从而得出结论． 【解答】解：由于f（x）=x﹣sinx的定义域为R，且满足f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f（x）， 可得f（x）为奇函数． 再根据f′（x）=1﹣cosx≥0，可得f（x）为增函数， 故选：B． 【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，利用导数研究函数的单调性，属于基础题． 　 10．（5分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25787.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}），q=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25788.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}），r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25789.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（　　） A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q 【分析】由题意可得p=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25789.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（lna+lnb），q=ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25788.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）≥ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25787.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}）=p，r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25789.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（lna+lnb），可得大小关系． 【解答】解：由题意可得若p=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25787.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}）=ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25790.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25791.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}lnab=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25791.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（lna+lnb）， q=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25792.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）=ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25792.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）≥ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25790.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}）=p， r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25791.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（f（a）+f（b））=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25791.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（lna+lnb）， ∴p=r＜q， 故选：B． 【点评】本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题． 　 11．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（　　） --------- ---- ---- ---------- 甲 乙 原料限额 A（吨） 3 2 12 B（吨） 1 2 8 --------- ---- ---- ---------- A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值． 【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25793.png){width="0.9576388888888889in" height="0.6861111111111111in"}， 目标函数为 z=3x+4y． 作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域． 由z=3x+4y得y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25794.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25795.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 平移直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25794.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25795.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}由图象可知当直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25794.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25795.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}经过点B时，直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25794.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25795.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}的截距最大， 此时z最大， 解方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25796.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4173611111111111in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25797.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}， 即B的坐标为x=2，y=3， ∴zmax=3x+4y=6+12=18． 即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元， 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25798.png){width="2.5006944444444446in" height="2.5215277777777776in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键． 　 12．（5分）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若\|z\|≤1，则y≥x的概率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25799.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25800.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25801.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25802.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25803.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25804.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25805.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25806.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】判断复数对应点图形，利用几何概型求解即可． 【解答】解：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若\|z\|≤1，它的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径的圆以及内部部分．y≥x的图形是图形中阴影部分，如图： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25807.png){width="2.792361111111111in" height="1.96875in"} 复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若\|z\|≤1，则y≥x的概率：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25808.png){width="1.0944444444444446in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25809.png){width="0.5409722222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：C． 【点评】本题考查复数的几何意义，几何概型的求法，考查计算能力以及数形结合的能力． 　 二.填空题：把答案填写在答题的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为　5　． 【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得． 【解答】解：设该等差数列的首项为a， 由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2 解得a=5 故答案为：5 【点评】本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题． 　 14．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25810.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为　8　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25811.png){width="2.125in" height="1.4375in"} 【分析】由图象观察可得：ymin=﹣3+k=2，从而可求k的值，从而可求ymax=3+k=3+5=8． 【解答】解：∵由题意可得：ymin=﹣3+k=2， ∴可解得：k=5， ∴ymax=3+k=3+5=8， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查． 　 15．（5分）函数y=xex在其极值点处的切线方程为　y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25812.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程． 【解答】解：依题解：依题意得y′=ex+xex， 令y′=0，可得x=﹣1， ∴y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25812.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25812.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25812.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 　 16．（5分）观察下列等式： 1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25813.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25814.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25814.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25815.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25816.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25815.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25816.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25814.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25815.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25816.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25817.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25818.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25819.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25817.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25818.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ... 据此规律，第n个等式可为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25820.png){width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25821.png){width="0.7083333333333334in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25822.png){width="0.7083333333333334in" height="0.36527777777777776in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25823.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25824.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，偶数项为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25823.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}．其等式右边为后n项的绝对值之和．即可得出． 【解答】解：由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25824.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，偶数项为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25823.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}．其等式右边为后n项的绝对值之和． ∴第n个等式为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25825.png){width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25826.png){width="0.7083333333333334in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25827.png){width="0.7083333333333334in" height="0.36527777777777776in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25828.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了观察分析猜想归纳求数列的通项公式方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 三.解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共5小题，共70分） 17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25829.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25830.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}b）与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25831.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（cosA，sinB）平行． （Ⅰ）求A； （Ⅱ）若a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25832.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，b=2，求△ABC的面积． 【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A； （Ⅱ）利用A，以及a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25832.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积． 【解答】解：（Ⅰ）因为向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25833.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（a，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25834.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}b）与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25831.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（cosA，sinB）平行， 所以asinB﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25835.png){width="0.6451388888888889in" height="0.1875in"}=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25834.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sinBcosA=0，因为sinB≠0， 所以tanA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25836.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，可得A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25837.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25838.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3， △ABC的面积为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25839.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25840.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力． 　 18．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25841.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，AB=BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25842.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25843.png){width="3.0944444444444446in" height="1.21875in"} （Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC； （Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25844.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求a的值． 【分析】（I）运用E是AD的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考虑CD∥DE，即可判断CD⊥面A1OC． （II）运用好折叠之前，之后的图形得出A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2，运用体积公式求解即可得出a的值． 【解答】解：![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25845.png){width="3.0944444444444446in" height="1.21875in"} （I）在图1中， 因为AB=BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25846.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}=a，E是AD的中点， ∠BAD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25847.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 所以BE⊥AC， 即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC， 从而BE⊥面A1OC， 由CD∥BE， 所以CD⊥面A1OC， （II）即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高， 根据图1得出A1O=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25848.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25848.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}a， ∴平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2， V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25849.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25850.png){width="0.9486111111111111in" height="0.38472222222222224in"}a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25851.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}a3， 由a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25851.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}a3=36![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25852.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，得出a=6． 【点评】本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练． 　 19．（12分）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下： （Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； （Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率． ------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 ------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- 日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 ------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- 【分析】（Ⅰ）在4月份任取一天，不下雨的天数是26，即可估计西安市在该天不下雨的概率； （Ⅱ）求得4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，可得晴天的次日不下雨的概率，即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）在4月份任取一天，不下雨的天数是26，以频率估计概率，估计西安市在该天不下雨的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25853.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）称相邻的两个日期为"互邻日期对"，由题意，4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25854.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 从而估计运动会期间不下雨的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25854.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查概率的应用，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键． 　 20．（12分）如图，椭圆E：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25855.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25856.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25857.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25858.png){width="1.9375in" height="1.3645833333333333in"} 【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25859.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）由题设知，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25860.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25861.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，b=1， 结合a2=b2+c2，解得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25862.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25859.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y2=1； （Ⅱ）证明：由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0）， 代入椭圆方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25859.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y2=1， 可得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0， 由已知得（1，1）在椭圆外， 设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0， 则x1+x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25863.png){width="0.6368055555555555in" height="0.42569444444444443in"}，x1x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25864.png){width="0.6368055555555555in" height="0.42569444444444443in"}， 且△=16k2（k﹣1）2﹣8k（k﹣2）（1+2k2）＞0，解得k＞0或k＜﹣2． 则有直线AP，AQ的斜率之和为kAP+kAQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25865.png){width="0.4173611111111111in" height="0.4888888888888889in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25866.png){width="0.4173611111111111in" height="0.4888888888888889in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25867.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25868.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}=2k+（2﹣k）（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25869.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25870.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）=2k+（2﹣k）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25871.png){width="0.5215277777777778in" height="0.48055555555555557in"} =2k+（2﹣k）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25872.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}=2k﹣2（k﹣1）=2． 即有直线AP与AQ斜率之和为2． 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，属于中档题． 　 21．（12分）设fn（x）=x+x2+...+xn﹣1，x≥0，n∈N，n≥2． （Ⅰ）求fn′（2）； （Ⅱ）证明：fn（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25873.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）内有且仅有一个零点（记为an），且0＜an﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25874.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25875.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25873.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）n． 【分析】（Ⅰ）将已知函数求导，取x=2，得到fn′（2）； （Ⅱ）只要证明fn（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25873.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）内有单调递增，得到仅有一个零点，然后fn（an）变形得到所求． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，f′n（x）=1+2x+3x2+...+nxn﹣1， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25876.png){width="2.6041666666666665in" height="0.28055555555555556in"}，① 则2f′n（2）=2+2×22+3×23+...+n2n，②， ①﹣②得﹣f′n（2）=1+2+22+23+...+2n﹣1﹣n•2n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25877.png){width="0.875in" height="0.42569444444444443in"}=（1﹣n）2n﹣1， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25878.png){width="1.5305555555555554in" height="0.28055555555555556in"}． （Ⅱ）因为f（0）=﹣1＜0，fn（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25879.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25880.png){width="0.9576388888888889in" height="0.7597222222222222in"}﹣1=1﹣2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25881.png){width="0.43680555555555556in" height="0.36527777777777776in"}≥1﹣2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25882.png){width="0.43680555555555556in" height="0.36527777777777776in"}＞0， 所以fn（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25883.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）内至少存在一个零点， 又f′n（x）=1+2x+3x2+...+nxn﹣1＞0，所以fn（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25883.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）内单调递增， 所以fn（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25883.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）内有且仅有一个零点an，由于fn（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25884.png){width="0.7402777777777778in" height="0.42569444444444443in"}， 所以0=fn（an）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25885.png){width="0.9270833333333334in" height="0.5298611111111111in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25886.png){width="1.4069444444444446in" height="0.36527777777777776in"}，故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25887.png){width="0.8444444444444444in" height="0.36527777777777776in"}， 所以0＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25888.png){width="2.8125in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了函数求导、错位相减法求数列的和、函数的零点判断等知识，计算比较复杂，注意细心． 　 三.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分\[选修4-1：几何证明选讲\] 22．（10分）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C． （Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA； （Ⅱ）若AD=3DC，BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25889.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求⊙O的直径． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25890.png){width="1.65625in" height="0.9791666666666666in"} 【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA； （Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径． 【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径， 则∠BED+∠EDB=90°， ∵BC⊥DE， ∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED， ∵AB切⊙O于点B， ∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA； （Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25891.png){width="0.5409722222222222in" height="0.36527777777777776in"}=3， ∵BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25892.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴AB=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25892.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25893.png){width="0.96875in" height="0.25in"}， 则AD=3， 由切割线定理得AB2=AD•AE， 即AE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25894.png){width="0.5215277777777778in" height="0.42569444444444443in"}， 故DE=AE﹣AD=3， 即可⊙O的直径为3． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键． 　 \[选修4-4：坐标系与参数方程\] 23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25895.png){width="0.6972222222222222in" height="0.8118055555555556in"}（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25896.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sinθ． （Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程； （Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标． 【分析】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25896.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sinθ．化为ρ2=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25897.png){width="0.8118055555555556in" height="0.1875in"}，把![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25898.png){width="0.9791666666666666in" height="0.48055555555555557in"}代入即可得出；． （II）设P![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25899.png){width="1.104861111111111in" height="0.38472222222222224in"}，又C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25900.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20902777777777778in"}．利用两点之间的距离公式可得\|PC\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25901.png){width="0.5736111111111111in" height="0.25in"}，再利用二次函数的性质即可得出． 【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25902.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sinθ． ∴ρ2=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25903.png){width="0.8118055555555556in" height="0.1875in"}，化为x2+y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25904.png){width="0.4173611111111111in" height="0.19791666666666666in"}， 配方为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25905.png){width="0.9486111111111111in" height="0.25in"}=3． （II）设P![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25727.png){width="1.104861111111111in" height="0.38472222222222224in"}，又C![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25906.png){width="0.6666666666666666in" height="0.20902777777777778in"}． ∴\|PC\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25907.png){width="1.823611111111111in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25908.png){width="0.5736111111111111in" height="0.25in"}≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25909.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 因此当t=0时，\|PC\|取得最小值2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25909.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}．此时P（3，0）． 【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 \[选修4-5：不等式选讲\] 24．已知关于x的不等式\|x+a\|＜b的解集为{x\|2＜x＜4} （Ⅰ）求实数a，b的值； （Ⅱ）求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25910.png){width="0.5409722222222222in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25911.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}的最大值． 【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得； （Ⅱ）原式=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25912.png){width="0.6256944444444444in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25913.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25914.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25915.png){width="0.37569444444444444in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25913.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，由柯西不等式可得最大值． 【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式\|x+a\|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a， 又∵原不等式的解集为{x\|2＜x＜4}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25916.png){width="0.6256944444444444in" height="0.3958333333333333in"}，解方程组可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25917.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3958333333333333in"}； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25918.png){width="0.5409722222222222in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25919.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25920.png){width="0.6256944444444444in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25921.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25922.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25923.png){width="0.37569444444444444in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25924.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25925.png){width="2.5215277777777776in" height="0.26944444444444443in"} =2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25926.png){width="0.5409722222222222in" height="0.1875in"}=4， 当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25927.png){width="0.40625in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25928.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}即t=1时取等号， ∴所求最大值为4 【点评】本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题． 　 2015年上海市高考数学试卷（理科） ================================ 参考答案与试题解析 　 一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分． 1．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x\|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=　{1，4}　． 【分析】本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可． 【解答】解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x\|2≤x≤3}， ∴（∁UB）={x\|x＞3或x＜2}， ∴A∩（∁UB）={1，4}， 故答案为：{1，4}． 【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力． 　 2．（4分）若复数z满足3z+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25929.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=1+i，其中i是虚数单位，则z=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25930.png){width="0.48055555555555557in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】设z=a+bi，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25929.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出． 【解答】解：设z=a+bi，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25929.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=a﹣bi（a，b∈R）， 又3z+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25929.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=1+i， ∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i， 化为4a+2bi=1+i， ∴4a=1，2b=1， 解得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25931.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25932.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． ∴z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25933.png){width="0.48055555555555557in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25933.png){width="0.48055555555555557in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题． 　 3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25934.png){width="0.6972222222222222in" height="0.5104166666666666in"}解为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25935.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}，则c1﹣c2=　16　． 【分析】根据增广矩阵的定义得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25935.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}，是方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25936.png){width="0.8229166666666666in" height="0.5215277777777778in"}的解，解方程组即可． 【解答】解：由题意知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25937.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}，是方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25936.png){width="0.8229166666666666in" height="0.5215277777777778in"}的解， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25938.png){width="0.9902777777777778in" height="0.5104166666666666in"}， 则c1﹣c2=21﹣5=16， 故答案为：16． 【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键． 　 4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25939.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则a=　4　． 【分析】由题意可得（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25940.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}•a•a•sin60°）•a=16![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25941.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，由此求得a的值． 【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25940.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}•a•a•sin60°，正棱柱的高为a， ∴（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25940.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}•a•a•sin60°）•a=16![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25941.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，∴a=4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题． 　 5．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=　2　． 【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论． 【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25942.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=1， 所以p=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． 　 6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25943.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l， 则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh， ∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π， ∴l=2h， 设母线与轴的夹角为θ， 则cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25944.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25945.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 故θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25946.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25946.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键． 　 7．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为　2　． 【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可． 【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2\[4×（3x﹣1﹣2）\]， ∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2）， 化为（3x）2﹣12•3x+27=0， 因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0， ∴3x=3，3x=9， 解得x=1或2． 经过验证：x=1不满足条件，舍去． ∴x=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题． 　 8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为　120　（结果用数值表示）． 【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案． 【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师， 在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种； 其中只有女教师的有C65=6种情况； 则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种； 故答案为：120． 【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算． 　 9．已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25947.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}x，则C2的渐近线方程为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25948.png){width="0.71875in" height="0.38472222222222224in"}　． 【分析】设C1的方程为y2﹣3x2=λ，利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程，即可求出C2的渐近线方程． 【解答】解：设C1的方程为y2﹣3x2=λ， 设Q（x，y），则P（x，2y），代入y2﹣3x2=λ，可得4y2﹣3x2=λ， ∴C2的渐近线方程为4y2﹣3x2=0，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25948.png){width="0.71875in" height="0.38472222222222224in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25948.png){width="0.71875in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． 　 10．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25949.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，x∈\[0，2\]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为　4　． 【分析】由f（x）=2x﹣2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25949.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}在x∈\[0，2\]上为增函数可得其值域，得到y=f﹣1（x）在\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25950.png){width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"}\]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f﹣1（x）的最大值． 【解答】解：由f（x）=2x﹣2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25949.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}在x∈\[0，2\]上为增函数，得其值域为\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25950.png){width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"}\]， 可得y=f﹣1（x）在\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25950.png){width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"}\]上为增函数， 因此y=f（x）+f﹣1（x）在\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25950.png){width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"}\]上为增函数， ∴y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为f（2）+f﹣1（2）=1+1+2=4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题． 　 11．（4分）在（1+x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25951.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}）10的展开式中，x2项的系数为　45　（结果用数值表示）． 【分析】先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有x2项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求． 【解答】解：∵（1+x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25951.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}）10 =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25952.png){width="1.7819444444444446in" height="0.42569444444444443in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25953.png){width="1.886111111111111in" height="0.42569444444444443in"}， ∴仅在第一部分中出现x2项的系数． 再由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25954.png){width="0.8861111111111111in" height="0.28055555555555556in"}，令r=2，可得， x2项的系数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25955.png){width="0.5298611111111111in" height="0.28055555555555556in"}． 故答案为：45． 【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题． 　 12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 Eξ1﹣Eξ2=　0.2　（元）． 【分析】分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论． 【解答】解：赌金的分布列为 ---- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ξ1 1 2 3 4 5 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25956.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25956.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25957.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25957.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25957.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ---- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 所以 Eξ1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25957.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（1+2+3+4+5）=3， 奖金的分布列为：若两张卡片上数字之差的绝对值为1，则有（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），4种， 若两张卡片上数字之差的绝对值为2，则有（1，3），（2，4），（3，5），3种， 若两张卡片上数字之差的绝对值为3，则有（1，4），（2，5），2种， 若两张卡片上数字之差的绝对值为4，则有（1，5），1种， 则P（ξ2=1.4）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25958.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25959.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，P（ξ2=2.8）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25960.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25961.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，P（ξ2=4.2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25962.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25963.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，P（ξ2=5.6）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25964.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25965.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} ---- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ξ2 1.4 2.8 4.2 5.6 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25966.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25967.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25963.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25965.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} ---- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 所以 Eξ2=1.4×（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25966.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25967.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}×2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25968.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×3+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25969.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}×4）=2.8， 则 Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2元． 故答案为：0.2 【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键． 　 13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，...，xm满足0≤x1＜x2＜...＜xm≤6π，且\|f（x1）﹣f（x2）\|+\|f（x2）﹣f（x3）\|+...+\|f（xm﹣1）﹣f（xm）\|=12（m≥2，m∈N\*），则m的最小值为　8　． 【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意xi，xj（i，j=1，2，3，...，m），都有\|f（xi）﹣f（xj）\|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，...，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值． 【解答】解：∵y=sinx对任意xi，xj（i，j=1，2，3，...，m），都有\|f（xi）﹣f（xj）\|≤f（x）max﹣f（x）min=2， 要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，...，m）取得最高点， 考虑0≤x1＜x2＜...＜xm≤6π，\|f（x1）﹣f（x2）\|+\|f（x2）﹣f（x3）\|+...+\|f（xm﹣1）﹣f（xm）\|=12， 按下图取值即可满足条件， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25970.png){width="3.8340277777777776in" height="2.0in"} ∴m的最小值为8． 故答案为：8． 【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意xi，xj（i，j=1，2，3，...，m），都有\|f（xi）﹣f（xj）\|≤f（x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题． 　 14．在锐角三角形 A BC中，tanA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25971.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25972.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25973.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=　﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25974.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】由题意画出图形，结合面积求出cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25975.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25976.png){width="1.2805555555555554in" height="0.38472222222222224in"}，然后代入数量积公式得答案． 【解答】解：如图， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image25977.png){width="1.46875in" height="1.2708333333333333in"} ∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25978.png){width="1.1569444444444446in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25979.png){width="1.1569444444444446in" height="0.36527777777777776in"}， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25980.png){width="0.9055555555555556in" height="0.40625in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25981.png){width="0.9055555555555556in" height="0.40625in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25982.png){width="1.823611111111111in" height="0.40625in"}． 又tanA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25983.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25984.png){width="0.6256944444444444in" height="0.36527777777777776in"}，联立sin2A+cos2A=1，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25985.png){width="0.6777777777777778in" height="0.38472222222222224in"}，cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25986.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25987.png){width="1.488888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25988.png){width="1.3131944444444446in" height="0.22847222222222222in"}． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25989.png){width="1.2805555555555554in" height="0.38472222222222224in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25990.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25991.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25992.png){width="2.0208333333333335in" height="0.22847222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25993.png){width="1.5305555555555554in" height="0.38472222222222224in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25994.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题． 　 二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．（5分）设z1，z2∈C，则"z1、z2中至少有一个数是虚数"是"z1﹣z2是虚数"的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可． 【解答】解：设z1=1+i，z2=i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2=1是实数，则z1﹣z2是虚数不成立， 若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时， 则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立， 故"z1、z2中至少有一个数是虚数"是"z1﹣z2是虚数"的必要不充分条件， 故选：B． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键． 　 16．（5分）已知点A的坐标为（4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25995.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25996.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}至OB，则点B的纵坐标为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25997.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25998.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25999.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26000.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【解答】解：∵点 A的坐标为（4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26001.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，1）， ∴设∠xOA=θ，则sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26002.png){width="1.3222222222222222in" height="0.46944444444444444in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26003.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26004.png){width="0.8965277777777778in" height="0.4888888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26005.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}， 将OA绕坐标原点O逆时针旋转![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26006.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}至OB， 则OB的倾斜角为θ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26006.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，则\|OB\|=\|OA\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26007.png){width="1.4479166666666667in" height="0.26944444444444443in"}， 则点B的纵坐标为y=\|OB\|sin（θ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26008.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=7（sinθcos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26008.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+cosθsin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26008.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=7（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26009.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26010.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26011.png){width="0.7708333333333334in" height="0.38472222222222224in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26010.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+6=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26012.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：D． 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键． 　 17．记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（　　） A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根 【分析】根据方程根与判别式△之间的关系求出a12≥4，a22＜8，结合a1，a2，a3成等比数列求出方程③的判别式△的取值即可得到结论． 【解答】解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0， 即a12≥4，a22＜8， ∵a1，a2，a3成等比数列， ∴a22=a1a3， 即a3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26013.png){width="0.31319444444444444in" height="0.5298611111111111in"}， 则a32=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26013.png){width="0.31319444444444444in" height="0.5298611111111111in"}）2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26014.png){width="0.31319444444444444in" height="0.5840277777777778in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26015.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}， 即方程③的判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根， 故选：B． 【点评】本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键． 　 18．（5分）设 Pn（xn，yn）是直线2x﹣y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26016.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}（n∈N\*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26017.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4888888888888889in"}=（　　） A．﹣1 B．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26018.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．1 D．2 【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26016.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出． 【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26016.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26019.png){width="0.4173611111111111in" height="0.4888888888888889in"}可看作点 Pn（xn，yn）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26020.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4888888888888889in"}=﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26021.png){width="1.7708333333333333in" height="1.5in"} 【分析】利用长方体的几何关系建立直角坐标系．利用向量方法求空间角． 【解答】解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A1C1， 所以EF∥A1C1， 所以A1、C1、F、E四点共面． 以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，易求得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26022.png){width="1.2395833333333333in" height="0.26944444444444443in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26023.png){width="1.3222222222222222in" height="0.26944444444444443in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26024.png){width="1.2395833333333333in" height="0.26944444444444443in"} 设平面A1C1EF的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26025.png){width="0.9576388888888889in" height="0.22847222222222222in"} 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26026.png){width="0.8861111111111111in" height="0.5930555555555556in"}，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26027.png){width="1.9583333333333333in" height="0.46944444444444444in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26028.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4173611111111111in"}， z=1，得x=1，y=1，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26029.png){width="0.9576388888888889in" height="0.22847222222222222in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26030.png){width="2.2916666666666665in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26031.png){width="2.3131944444444446in" height="0.4173611111111111in"}， 所以直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小arcsin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26032.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题主要考查利用空间直角坐标系求出空间角的方法，属高考常考题型． 　 20．（14分）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地． （1）求t1与f（t1）的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在\[t1，1\]上的最大值是否超过3？说明理由． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26033.png){width="1.5104166666666667in" height="0.8020833333333334in"} 【分析】（1）由题意可得t1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26034.png){width="0.2916666666666667in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26035.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}h，由余弦定理可得f（t1）=PC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26036.png){width="1.8020833333333333in" height="0.25in"}，代值计算可得； （2）当t1≤t≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26037.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时，由已知数据和余弦定理可得f（t）=PQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26038.png){width="1.0944444444444446in" height="0.25in"}，当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26037.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜t≤1时，f（t）=PB=5﹣5t，综合可得当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26039.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜t≤1时，f（t）∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26040.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}\]，可得结论． 【解答】解：（1）由题意可得t1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26041.png){width="0.2916666666666667in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26039.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}h， 设此时甲运动到点P，则AP=v甲t1=5×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26039.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26042.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}千米， ∴f（t1）=PC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26043.png){width="1.8020833333333333in" height="0.25in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26044.png){width="2.040277777777778in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26045.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}千米； （2）当t1≤t≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26046.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时，乙在CB上的Q点，设甲在P点， ∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t， ∴f（t）=PQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26047.png){width="1.8020833333333333in" height="0.25in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26048.png){width="2.886111111111111in" height="0.25in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26049.png){width="1.0944444444444446in" height="0.25in"}， 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26050.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P， ∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t ∴f（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26051.png){width="2.092361111111111in" height="0.7923611111111111in"} ∴当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26052.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜t≤1时，f（t）∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26053.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}\]， 故f（t）的最大值没有超过3千米． 【点评】本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题． 　 21．（14分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S． （1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2\|x1y2﹣x2y1\|； （2）设l1与l2的斜率之积为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14196.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，求面积S的值． 【分析】（1）依题意，直线l1的方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26054.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26055.png){width="1.113888888888889in" height="0.5736111111111111in"}，再利用\|AB\|=2\|AO\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26056.png){width="0.7708333333333334in" height="0.31319444444444444in"}，可证得S=\|AB\|d=2\|x1y2﹣x2y1\|；当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立； （2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26057.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，可得直线l1与l2的方程，联立方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26058.png){width="0.8645833333333334in" height="0.48055555555555557in"}，可求得x1、x2、y1、y2，继而可求得答案． 方法二：设直线l1、l2的斜率分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26059.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26060.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26061.png){width="0.4173611111111111in" height="0.4888888888888889in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26062.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值． 【解答】解：（1）依题意，直线l1的方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26059.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26063.png){width="0.9576388888888889in" height="1.0729166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26064.png){width="1.113888888888889in" height="0.5736111111111111in"}， 因为\|AB\|=2\|AO\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26065.png){width="0.7708333333333334in" height="0.31319444444444444in"}，所以S=\|AB\|d=2\|x1y2﹣x2y1\|； 当l1与l2时的斜率之一不存在时，同理可知结论成立； （2）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26066.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 设直线l1的方程为y=kx，联立方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26067.png){width="0.8645833333333334in" height="0.48055555555555557in"}，消去y解得x=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26068.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4479166666666667in"}， 根据对称性，设x1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26068.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4479166666666667in"}，则y1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26069.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4479166666666667in"}， 同理可得x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26070.png){width="0.6041666666666666in" height="0.46944444444444444in"}，y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26071.png){width="0.6041666666666666in" height="0.6666666666666666in"}，所以S=2\|x1y2﹣x2y1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26072.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 方法二：设直线l1、l2的斜率分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26073.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26074.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26075.png){width="0.4173611111111111in" height="0.4888888888888889in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26076.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 所以x1x2=﹣2y1y2， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26077.png){width="0.5625in" height="0.28055555555555556in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26078.png){width="0.5625in" height="0.2916666666666667in"}=﹣2x1x2y1y2， ∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上， ∴（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26079.png){width="0.7298611111111111in" height="0.2916666666666667in"}）（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26080.png){width="0.7298611111111111in" height="0.2916666666666667in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26081.png){width="0.5625in" height="0.28055555555555556in"}+4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26082.png){width="0.5625in" height="0.2916666666666667in"}+2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26083.png){width="0.5625in" height="0.2916666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26084.png){width="0.5625in" height="0.2916666666666667in"}）=1， 即﹣4x1x2y1y2+2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26085.png){width="0.5625in" height="0.2916666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26084.png){width="0.5625in" height="0.2916666666666667in"}）=1， 所以（x1y2﹣x2y1）2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26086.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，即\|x1y2﹣x2y1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26087.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， 所以S=2\|x1y2﹣x2y1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26088.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题． 　 22．（16分）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N\*． （1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式； （2）设{an}的第n0项是最大项，即a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26089.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2611111111111111in"}≥an（n∈N\*），求证：数列{bn}的第n0项是最大项； （3）设a1=λ＜0，bn=λn（n∈N\*），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26090.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}∈（﹣2，2）． 【分析】（1）把bn=3n+5代入已知递推式可得an+1﹣an=6，由此得到{an}是等差数列，则an可求； （2）由an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+...+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到an=2bn+a1﹣2b1，求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26091.png){width="1.511111111111111in" height="0.36527777777777776in"}，进一步得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26092.png){width="3.042361111111111in" height="0.36527777777777776in"}得答案； （3）由（2）可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26093.png){width="0.9270833333333334in" height="0.28055555555555556in"}，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得an的最大值M和最小值m，再由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26094.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}∈（﹣2，2）列式求得λ的范围． 【解答】（1）解：∵an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），bn=3n+5， ∴an+1﹣an=2（bn+1﹣bn）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6， ∴{an}是等差数列，首项为a1=1，公差为6， 则an=1+（n﹣1）×6=6n﹣5； （2）∵an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+...+（a2﹣a1）+a1 =2（bn﹣bn﹣1）+2（bn﹣1﹣bn﹣2）+...+2（b2﹣b1）+a1 =2bn+a1﹣2b1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26095.png){width="1.511111111111111in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26096.png){width="3.042361111111111in" height="0.36527777777777776in"}． ∴数列{bn}的第n0项是最大项； （3）由（2）可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26097.png){width="0.9270833333333334in" height="0.28055555555555556in"}， ①当﹣1＜λ＜0时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26098.png){width="1.270138888888889in" height="0.28055555555555556in"}单调递减，有最大值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26099.png){width="1.113888888888889in" height="0.28055555555555556in"}； ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26100.png){width="1.332638888888889in" height="0.28055555555555556in"}单调递增，有最小值m=a1=λ， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26101.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}∈（﹣2，2）， ∴λ∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26102.png){width="0.7493055555555556in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26103.png){width="1.0097222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． ②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1， ∴M=3，m=﹣1， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26104.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}（﹣2，2），不满足条件． ③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值； 当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值． 综上所述，λ∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26105.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，0）时满足条件． 【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题． 　 23．（18分）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π． （1）验证g（x）=x+sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26106.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}是以6π为周期的余弦周期函数； （2）设a＜b，证明对任意c∈\[f（a），f（b）\]，存在x0∈\[a，b\]，使得f（x0）=c； （3）证明："u0为方程cosf（x）=1在\[0，T\]上得解，"的充要条件是"u0+T为方程cosf（x）=1在区间\[T，2T\]上的解"，并证明对任意x∈\[0，T\]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）． 【分析】（1）根据余弦函数的周期定义，判断cosg（x+6π）是否等于cosg（x）即可； （2）根据f（x）的值域为R，便可得到存在x0，使得f（x0）=c，而根据f（x）在R上单调递增即可说明x0∈\[a，b\]，从而完成证明； （3）只需证明u0+T为方程cosf（x）=1在区间\[T，2T\]上的解得出u0为方程cosf（x）=1在\[0，T\]上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意x∈\[0，T\]，都有f（x+T）=f（x）+f（T），可讨论x=0，x=T，x∈（0，T）三种情况：x=0时是显然成立的；x=T时，可得出cosf（2T）=1，从而得到f（2T）=2k1π，k1∈Z，根据f（x）单调递增便能得到k1＞2，然后根据f（x）的单调性及方程cosf（x）=1在\[T，2T\]和它在\[0，T\]上解的个数的情况说明k1=3，和k1≥5是不存在的，而k1=4时结论成立，这便说明x=T时结论成立；而对于x∈（0，T）时，通过考查cosf（x）=c的解得到f（x+T）=f（x）+f（T），综合以上的三种情况，最后得出结论即可． 【解答】解：（1）g（x）=x+sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26106.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26107.png){width="2.6777777777777776in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26108.png){width="1.0097222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=cosg（x） ∴g（x）是以6π为周期的余弦周期函数； （2）∵f（x）的值域为R； ∴存在x0，使f（x0）=c； 又c∈\[f（a），f（b）\]； ∴f（a）≤f（x0）≤f（b），而f（x）为增函数； ∴a≤x0≤b； 即存在x0∈\[a，b\]，使f（x0）=c； （3）证明：若u0+T为方程cosf（x）=1在区间\[T，2T\]上的解； 则：cosf（u0+T）=1，T≤u0+T≤2T； ∴cosf（u0）=1，且0≤u0≤T； ∴u0为方程cosf（x）=1在\[0，T\]上的解； ∴"u0为方程cosf（x）=1在\[0，T\]上得解"的充分条件是"u0+T为方程cosf（x）=1在区间\[T，2T\]上的解"；下面证明对任意x∈\[0，T\]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）： ①当x=0时，f（0）=0，∴显然成立； ②当x=T时，cosf（2T）=cosf（T）=1； ∴f（2T）=2k1π，（k1∈Z），f（T）=4π，且2k1π＞4π，∴k1＞2； 1）若k1=3，f（2T）=6π，由（2）知存在x0∈（0，T），使f（x0）=2π； cosf（x0+T）=cosf（x0）=1⇒f（x0+T）=2k2π，k2∈Z； ∴f（T）＜f（x0+T）＜f（2T）； ∴4π＜2k2π＜6π； ∴2＜k2＜3，无解； 2）若k1≥5，f（2T）≥10π，则存在T＜x1＜x2＜2T，使得f（x1）=6π，f（x2）=8π； 则T，x1，x2，2T为cosf（x）=1在\[T，2T\]上的4个解； 但方程cosf（x）=1在\[0，2T\]上只有f（x）=0，2π，4π，3个解，矛盾； 3）当k1=4时，f（2T）=8π=f（T）+f（T），结论成立； ③当x∈（0，T）时，f（x）∈（0，4π），考查方程cosf（x）=c在（0，T）上的解； 设其解为f（x1），f（x2），...，f（xn），（x1＜x2＜...＜xn）； 则f（x1+T），f（x2+T），...，f（xn+T）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解； 又f（x+T）∈（4π，8π）； 而f（x1）+4π，f（x2）+4π，...，f（xn）+4π∈（4π，8π）为方程cosf（x）=c在（T，2T）上的解； ∴f（xi+T）=f（xi）+4π=f（xi）+f（T）； ∴综上对任意x∈\[0，T\]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）． 【点评】考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由cosf（x）=1能得出f（x）=2kx，k∈Z，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论． 　 2015年上海市高考数学试卷（文科） ================================ 参考答案与试题解析 　 一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分） 1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为　π　． 【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期． 【解答】解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26109.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26110.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26111.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}cos2x， ∴函数的最小正周期为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26112.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=π， 故答案为：π． 【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题． 　 2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x\|2≤x≤3}，则A∩B=　{2，3}　． 【分析】由A与B，找出两集合的交集即可． 【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x\|2≤x≤3}， ∴A∩B={2，3}， 故答案为：{2，3} 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 3．（4分）若复数z满足3z+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26113.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=1+i，其中i是虚数单位，则z=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26114.png){width="0.48055555555555557in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】设z=a+bi，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26113.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出． 【解答】解：设z=a+bi，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26113.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=a﹣bi（a，b∈R）， 又3z+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26113.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=1+i， ∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i， 化为4a+2bi=1+i， ∴4a=1，2b=1， 解得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26115.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26116.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． ∴z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26117.png){width="0.48055555555555557in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26117.png){width="0.48055555555555557in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题． 　 4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26118.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}的反函数，则f﹣1（2）=　﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26119.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】由原函数解析式把x用含有y的代数式表示，x，y互换求出原函数的反函数，则f﹣1（2）可求． 【解答】解：由y=f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26118.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26120.png){width="0.5736111111111111in" height="0.38472222222222224in"}， x，y互换可得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26121.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}，即f﹣1（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26122.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26123.png){width="1.488888888888889in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26124.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了函数的反函数的求法，是基础的计算题． 　 5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26125.png){width="0.6972222222222222in" height="0.5104166666666666in"}解为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26126.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}，则c1﹣c2=　16　． 【分析】根据增广矩阵的定义得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26127.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}，是方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26128.png){width="0.8229166666666666in" height="0.5215277777777778in"}的解，解方程组即可． 【解答】解：由题意知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26127.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}，是方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26128.png){width="0.8229166666666666in" height="0.5215277777777778in"}的解， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26129.png){width="0.9902777777777778in" height="0.5104166666666666in"}， 则c1﹣c2=21﹣5=16， 故答案为：16． 【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键． 　 6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26130.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则a=　4　． 【分析】由题意可得（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26131.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}•a•a•sin60°）•a=16![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26130.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，由此求得a的值． 【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26131.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}•a•a•sin60°，正棱柱的高为a， ∴（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26131.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}•a•a•sin60°）•a=16![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26130.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，∴a=4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题． 　 7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=　2　． 【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论． 【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26132.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=1， 所以p=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． 　 8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为　2　． 【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可． 【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2\[4×（3x﹣1﹣2）\]， ∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2）， 化为（3x）2﹣12•3x+27=0， 因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0， ∴3x=3，3x=9， 解得x=1或2． 经过验证：x=1不满足条件，舍去． ∴x=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题． 　 9．（4分）若x，y满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26133.png){width="0.6256944444444444in" height="0.65625in"}，则目标函数z=x+2y的最大值为　3　． 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=x+2y得y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26134.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26134.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}z， 平移直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26134.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26134.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}z， 由图象可知当直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26134.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26134.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}z经过点B时，直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26134.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26135.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}z的截距最大， 此时z最大． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26136.png){width="0.5409722222222222in" height="0.4173611111111111in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26137.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}，即B（1，1）， 代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3 故答案为：3． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26138.png){width="1.84375in" height="1.78125in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法． 　 10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为　120　（结果用数值表示）． 【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案． 【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师， 在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种； 其中只有女教师的有C65=6种情况； 则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种； 故答案为：120． 【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算． 　 11．（4分）在（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26139.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）6的二项式中，常数项等于　240　（结果用数值表示）． 【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求． 【解答】解：由（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26140.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）6，得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26141.png){width="1.823611111111111in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26142.png){width="1.1243055555555554in" height="0.28055555555555556in"}． 由6﹣3r=0，得r=2． ∴常数项等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26143.png){width="0.9270833333333334in" height="0.28055555555555556in"}． 故答案为：240． 【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题． 　 12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26144.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26145.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"}　． 【分析】求出C1的一条渐近线的斜率，可得C2的一条渐近线的斜率，利用双曲线C1、C2的顶点重合，可得C2的方程． 【解答】解：C1的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26144.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣y2=1，一条渐近线的方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26146.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 因为C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍， 所以C2的一条渐近线的方程为y=x， 因为双曲线C1、C2的顶点重合， 所以C2的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26145.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26145.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"}． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． 　 13．（4分）已知平面向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26147.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26148.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26149.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26147.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26148.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，且\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26150.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26151.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26152.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|}={1，2，3}，则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26150.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26151.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26152.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|的最大值是　3+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26153.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}　． 【分析】分别以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26154.png){width="0.3958333333333333in" height="0.22847222222222222in"}所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，分类讨论：当{\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26150.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26155.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|}={1，2}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26156.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=3，设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26157.png){width="0.7083333333333334in" height="0.22847222222222222in"}，则x2+y2=9，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26158.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26155.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26156.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1+x，2+y），有\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26159.png){width="0.5215277777777778in" height="0.20902777777777778in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26160.png){width="1.2805555555555554in" height="0.25in"}的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可． 【解答】解：分别以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26161.png){width="0.3958333333333333in" height="0.22847222222222222in"}所在的直线为x，y轴建立直角坐标系， ①当{\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26162.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26163.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|}={1，2}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26164.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=3，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26165.png){width="0.9166666666666666in" height="0.22847222222222222in"}， 设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26166.png){width="0.7083333333333334in" height="0.22847222222222222in"}，则x2+y2=9， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26162.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26163.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26167.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1+x，2+y）， ∴\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26168.png){width="0.5215277777777778in" height="0.20902777777777778in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26169.png){width="1.2805555555555554in" height="0.25in"}的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26170.png){width="1.4694444444444446in" height="0.25in"}=3+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26171.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}； ②且{\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26172.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26173.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|}={1，3}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26167.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=2，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26174.png){width="0.9166666666666666in" height="0.22847222222222222in"}，x2+y2=4， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26175.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26176.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26177.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1+x，3+y） ∴\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26178.png){width="0.5215277777777778in" height="0.20902777777777778in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26179.png){width="1.2805555555555554in" height="0.25in"}的最大值，其几何意义是圆x2+y2=4上点（x，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26180.png){width="1.2805555555555554in" height="0.25in"}=2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26181.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， ③{\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26182.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26183.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|}={2，3}，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26184.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=1，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26185.png){width="0.9166666666666666in" height="0.22847222222222222in"}， 设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26186.png){width="0.7083333333333334in" height="0.22847222222222222in"}，则x2+y2=1 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26182.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26187.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26188.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（2+x，3+y） ∴\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26189.png){width="0.5215277777777778in" height="0.20902777777777778in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26190.png){width="1.2805555555555554in" height="0.25in"}的最大值，其几何意义是在圆x2+y2=1 上取点（x，y）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26191.png){width="1.2805555555555554in" height="0.25in"}=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26192.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26193.png){width="2.2506944444444446in" height="0.20902777777777778in"}， 故\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26194.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26195.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26196.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|的最大值为3+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26197.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 故答案为：3+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26197.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 【点评】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r+d（r为该圆的半径，d为该点与圆心的距离）． 　 14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，...，xm满足0≤x1＜x2＜...＜xm≤6π，且\|f（x1）﹣f（x2）\|+\|f（x2）﹣f（x3）\|+...+\|f（xm﹣1）﹣f（xm）\|=12（m≥2，m∈N\*），则m的最小值为　8　． 【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意xi，xj（i，j=1，2，3，...，m），都有\|f（xi）﹣f（xj）\|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，...，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值． 【解答】解：∵y=sinx对任意xi，xj（i，j=1，2，3，...，m），都有\|f（xi）﹣f（xj）\|≤f（x）max﹣f（x）min=2， 要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，...，m）取得最高点， 考虑0≤x1＜x2＜...＜xm≤6π，\|f（x1）﹣f（x2）\|+\|f（x2）﹣f（x3）\|+...+\|f（xm﹣1）﹣f（xm）\|=12， 按下图取值即可满足条件， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26198.png){width="3.8340277777777776in" height="2.0in"} ∴m的最小值为8． 故答案为：8． 【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意xi，xj（i，j=1，2，3，...，m），都有\|f（xi）﹣f（xj）\|≤f（x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题． 　 二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分. 15．（5分）设z1、z2∈C，则"z1、z2均为实数"是"z1﹣z2是实数"的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可． 【解答】解：若z1、z2均为实数，则z1﹣z2是实数，即充分性成立， 当z1=i，z2=i，满足z1﹣z2=0是实数，但z1、z2均为实数不成立，即必要性不成立， 故"z1、z2均为实数"是"z1﹣z2是实数"的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念是解决本题的关键． 　 16．（5分）下列不等式中，与不等式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26199.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}＜2解集相同的是（　　） A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3） C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26200.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26201.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26202.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26203.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26204.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论． 【解答】解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26204.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3）， 故选：B． 【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题． 　 17．（5分）已知点A的坐标为（4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26205.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26206.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}至OB，则点B的纵坐标为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26207.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26208.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26209.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26210.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【解答】解：∵点 A的坐标为（4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26211.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，1）， ∴设∠xOA=θ，则sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26212.png){width="1.3222222222222222in" height="0.46944444444444444in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26213.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26214.png){width="0.8965277777777778in" height="0.4888888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26215.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}， 将OA绕坐标原点O逆时针旋转![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26216.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}至OB， 则OB的倾斜角为θ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26217.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，则\|OB\|=\|OA\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26218.png){width="1.4479166666666667in" height="0.26944444444444443in"}， 则点B的纵坐标为y=\|OB\|sin（θ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26217.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=7（sinθcos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26217.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+cosθsin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26217.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=7（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26219.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26220.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26221.png){width="0.7708333333333334in" height="0.38472222222222224in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26222.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+6=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26223.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：D． 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键． 　 18．（5分）设 Pn（xn，yn）是直线2x﹣y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26224.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}（n∈N\*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26225.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4888888888888889in"}=（　　） A．﹣1 B．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26226.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．1 D．2 【分析】当n→+∞时，直线2x﹣y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26227.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出． 【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26227.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26228.png){width="0.4173611111111111in" height="0.4888888888888889in"}可看作点 Pn（xn，yn）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26225.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4888888888888889in"}=﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26229.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}的中点，E为劣弧![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26230.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26231.png){width="1.8125in" height="1.9791666666666667in"} 【分析】由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高，底面积S△AOC又容易得到，从而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积．根据条件能够得到OE∥AC，从而找到异面直线PA，OE所成角为∠PAC，可取AC中点H，连接PH，便得到PH⊥AC，从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC，从而得到∠PAC． 【解答】解：∵PO=2，OA=1，OC⊥AB； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26232.png){width="2.417361111111111in" height="0.36527777777777776in"}； E为劣弧![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26233.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}的中点； ∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°； ∴OE∥AC； ∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角； 在△ACP中，AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26234.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26235.png){width="0.7298611111111111in" height="0.1875in"}； 如图，取AC中点H，连接PH，则PH⊥AC，AH=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26236.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}； ∴在Rt△PAH中，cos∠PAH=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26237.png){width="0.6451388888888889in" height="0.38472222222222224in"}； ∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26238.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26239.png){width="1.7916666666666667in" height="1.9583333333333333in"} 【点评】考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，能用反三角函数表示角． 　 20．（14分）已知函数f（x）=ax2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26240.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，其中a为常数 （1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在\[1，2\]上的单调性，并说明理由． 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论； （2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断． 【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26240.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，显然为奇函数， 当a≠0时，f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，f（1）≠f（﹣1），且f（1）+f（﹣1）≠0， 所以此时f（x）为非奇非偶函数． （2）∵a∈（1，3），f（x）=ax2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26240.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴f′（x）=2ax﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26241.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26242.png){width="0.6041666666666666in" height="0.48055555555555557in"}， ∵a∈（1，3），x∈\[1，2\]， ∴ax＞1， ∴ax3＞1， ∴2ax3﹣1＞0， ∴f′（x）＞0， ∴函数f（x）在\[1，2\]上的单调递增． 【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题． 　 21．（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地． （1）求t1与f（t1）的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在\[t1，t2\]上的最大值是否超过3？说明理由． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26243.png){width="1.2291666666666667in" height="1.5625in"} 【分析】（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26244.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，当乙到达P点时，可设甲到达A点，连接AP，放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP，也就得出f（t1）； （2）求出t2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26245.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，设t![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26246.png){width="0.8340277777777778in" height="0.36527777777777776in"}，且t小时后甲到达B地，而乙到达C地，并连接BC，能够用t表示出BQ，CQ，并且知道cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26247.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}，这样根据余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求该函数的最大值，看是否超过3即可． 【解答】解：（1）根据条件知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26248.png){width="0.43680555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则OA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26249.png){width="0.7298611111111111in" height="0.36527777777777776in"}； ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26250.png){width="1.4270833333333333in" height="1.9479166666666667in"}∴在△OAP中由余弦定理得，f（t1）=AP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26251.png){width="2.136111111111111in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26252.png){width="1.886111111111111in" height="0.40625in"}（千米）； （2）可以求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26253.png){width="0.43680555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，设t小时后，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26254.png){width="0.7083333333333334in" height="0.36527777777777776in"}，甲到达了B点，乙到达了C点，如图所示： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26255.png){width="1.46875in" height="1.9479166666666667in"}则BQ=5﹣5t，CQ=7﹣8t； ∴在△BCQ中由余弦定理得，f（t）=BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26256.png){width="2.8534722222222224in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26257.png){width="1.0944444444444446in" height="0.25in"}； 即f（t）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26258.png){width="1.0944444444444446in" height="0.25in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26259.png){width="0.7083333333333334in" height="0.36527777777777776in"}； 设g（t）=25t2﹣42t+18，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26259.png){width="0.7083333333333334in" height="0.36527777777777776in"}，g（t）的对称轴为t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26260.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26261.png){width="0.8340277777777778in" height="0.36527777777777776in"}； 且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26262.png){width="1.7083333333333333in" height="0.36527777777777776in"}； 即g（t）的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26263.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，则此时f（t）取最大值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26264.png){width="0.6972222222222222in" height="0.38472222222222224in"}； 即f（t）在\[t1，t2\]上的最大值不超过3． 【点评】考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法． 　 22．（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S． （1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26265.png){width="1.113888888888889in" height="0.36527777777777776in"}\|； （2）设l1：y=kx，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26266.png){width="0.9576388888888889in" height="0.38472222222222224in"}，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26267.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，求k的值； （3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S保持不变． 【分析】（1）依题意，直线l1的方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26268.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26269.png){width="1.113888888888889in" height="0.5736111111111111in"}，再利用\|AB\|=2\|AO\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26270.png){width="0.7708333333333334in" height="0.31319444444444444in"}，可证得S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26271.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|AB\|d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26272.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|x1y2﹣x2y1\|； （2）由（1）得：S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26272.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|x1y2﹣x2y1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26272.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26273.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}\|x1﹣y1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26274.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，进而得到答案； （3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=kx，联立方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26275.png){width="0.8645833333333334in" height="0.48055555555555557in"}，消去y解得x=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26276.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4479166666666667in"}，可求得x1、x2、y1、y2，利用S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26277.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|x1y2﹣x2y1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26277.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26278.png){width="1.5305555555555554in" height="0.5in"}，设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26279.png){width="1.5520833333333333in" height="0.5in"}=c（常数），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2\[2k4+（1+4m2）k2+2m2\]，由于左右两边恒成立，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26280.png){width="0.5409722222222222in" height="0.7923611111111111in"}，此时S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26281.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}； 方法二：设直线l1、l2的斜率分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26282.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26283.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26284.png){width="0.4173611111111111in" height="0.4888888888888889in"}=m，则mx1x2=﹣y1y2，变形整理，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值． 【解答】解：（1）依题意，直线l1的方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26285.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26286.png){width="0.9576388888888889in" height="1.0729166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26287.png){width="1.113888888888889in" height="0.5736111111111111in"}， 因为\|AB\|=2\|AO\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26288.png){width="0.7708333333333334in" height="0.31319444444444444in"}，所以S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26289.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|AB\|d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26290.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|x1y2﹣x2y1\|； （2）由（1）A（x1，y1），C（x2，y2）， S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26290.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|x1y2﹣x2y1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26290.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26291.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}\|x1﹣y1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26292.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 所以\|x1﹣y1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26293.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，由x12+2y12=1， 解得A（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26294.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26294.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}）或（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26295.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26296.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}） 或（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26294.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26297.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}）或（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26298.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26299.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}）， 由k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26300.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}，得k=﹣1或﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26301.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}； （3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26302.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，直线l1的方程为y=kx， 联立方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26303.png){width="0.8645833333333334in" height="0.48055555555555557in"}，消去y解得x=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26304.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4479166666666667in"}， 根据对称性，设x1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26304.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4479166666666667in"}，则y1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26305.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4479166666666667in"}， 同理可得x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26306.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26307.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}， 所以S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26308.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|x1y2﹣x2y1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26308.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26309.png){width="1.5305555555555554in" height="0.5in"}，设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26310.png){width="1.5520833333333333in" height="0.5in"}=c（常数）， 所以（m﹣k2）2=c2（1+2k2）（k2+2m2）， 整理得：k4﹣2mk2+m2=c2\[2k4+（1+4m2）k2+2m2\]， 由于左右两边恒成立，所以只能是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26311.png){width="1.2805555555555554in" height="0.5104166666666666in"}，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26312.png){width="0.5409722222222222in" height="0.7923611111111111in"}，此时S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26313.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， 综上所述，m=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26314.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26313.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 方法二：设直线l1、l2的斜率分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26315.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26316.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26317.png){width="0.4173611111111111in" height="0.4888888888888889in"}=m， 所以mx1x2=y1y2， ∴m2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26318.png){width="0.5625in" height="0.28055555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26319.png){width="0.5625in" height="0.2916666666666667in"}=mx1x2y1y2， ∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上， ∴（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26320.png){width="0.7298611111111111in" height="0.2916666666666667in"}）（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26321.png){width="0.7298611111111111in" height="0.2916666666666667in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26322.png){width="0.5625in" height="0.28055555555555556in"}+4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26323.png){width="0.5625in" height="0.2916666666666667in"}+2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26324.png){width="0.5625in" height="0.2916666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26325.png){width="0.5625in" height="0.2916666666666667in"}）=1， 即（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26326.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+4m）x1x2y1y2+2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26327.png){width="0.5625in" height="0.2916666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26325.png){width="0.5625in" height="0.2916666666666667in"}）=1， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26327.png){width="0.5625in" height="0.2916666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26328.png){width="0.5625in" height="0.2916666666666667in"}﹣2x1x2y1y2=（x1y2﹣x2y1）2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26329.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\[1﹣（4m+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26330.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）x1x2y1y2\]﹣2x1x2y1y2 =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26329.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣（2m+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26331.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+2）x1x2y1y2，是常数，所以\|x1y2﹣x2y1\|是常数， 所以令2m+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26331.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+2=0即可， 所以，m=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26329.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26332.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 综上所述，m=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26333.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26332.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题． 　 23．（18分）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N\*． （1）若bn=3n+5，且a1=1，求{an}的通项公式； （2）设{an}的第n0项是最大项，即an0≥an（n∈N\*），求证：{bn}的第n0项是最大项； （3）设a1=3λ＜0，bn=λn（n∈N\*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N\*，an≠0，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26334.png){width="0.9902777777777778in" height="0.48055555555555557in"}． 【分析】（1）把bn=3n+5代入已知递推式可得an+1﹣an=6，由此得到{an}是等差数列，则an可求； （2）由an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+...+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到an=2bn+a1﹣2b1，求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26335.png){width="1.511111111111111in" height="0.36527777777777776in"}，进一步得到 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26336.png){width="3.042361111111111in" height="0.36527777777777776in"}得答案； （3）由（2）可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26337.png){width="0.9270833333333334in" height="0.28055555555555556in"}，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得an的最大值M和最小值m，再由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26338.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26339.png){width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"}）列式求得λ的范围． 【解答】（1）解：∵an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），bn=3n+5， ∴an+1﹣an=2（bn+1﹣bn）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6， ∴{an}是等差数列，首项为a1=1，公差为6， 则an=1+（n﹣1）×6=6n﹣5； （2）∵an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+...+（a2﹣a1）+a1 =2（bn﹣bn﹣1）+2（bn﹣1﹣bn﹣2）+...+2（b2﹣b1）+a1 =2bn+a1﹣2b1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26340.png){width="1.511111111111111in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26341.png){width="3.042361111111111in" height="0.36527777777777776in"}． ∴数列{bn}的第n0项是最大项； （3）由（2）可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26342.png){width="0.9270833333333334in" height="0.28055555555555556in"}， ①当﹣1＜λ＜0时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26343.png){width="1.270138888888889in" height="0.28055555555555556in"}单调递减，有最大值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26344.png){width="1.113888888888889in" height="0.28055555555555556in"}； ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26345.png){width="1.332638888888889in" height="0.28055555555555556in"}单调递增，有最小值m=a1=3λ＜0， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26346.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26347.png){width="0.7083333333333334in" height="0.36527777777777776in"}，最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26348.png){width="0.7083333333333334in" height="0.36527777777777776in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26349.png){width="0.8965277777777778in" height="0.7923611111111111in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26350.png){width="0.8444444444444444in" height="0.36527777777777776in"}． ∴λ∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26351.png){width="0.5104166666666666in" height="0.36527777777777776in"}）． ②当λ=﹣1时，a2n=1，a2n﹣1=﹣3， ∴M=3，m=﹣1，不满足条件． ③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值； 当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值． 综上所述，λ∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26352.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，0）时满足条件． 【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题． 　 　 \ **2015年四川省高考数学试卷（理科）** 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．（5分）设集合A={x\|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x\|1＜x＜3}，则A∪B=（　　） A．{x\|﹣1＜x＜3} B．{x\|﹣1＜x＜1} C．{x\|1＜x＜2} D．{x\|2＜x＜3} 【分析】求解不等式得出集合A={x\|﹣1＜x＜2}， 根据集合的并集可求解答案． 【解答】解：∵集合A={x\|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x\|1＜x＜3}， ∴集合A={x\|﹣1＜x＜2}， ∵A∪B={x\|﹣1＜x＜3}， 故选：A． 【点评】本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题． 　 2．（5分）设i是虚数单位，则复数i3﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26353.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=（　　） A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i 【分析】通分得出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26354.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}，利用i的性质运算即可． 【解答】解：∵i是虚数单位，则复数i3﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26355.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26354.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26356.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26357.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}=i， 故选：C． 【点评】本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题． 　 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26358.png){width="0.96875in" height="3.136111111111111in"} A．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26359.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26359.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} C．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26360.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26360.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S的值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26360.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 k=1 k=2 不满足条件k＞4，k=3 不满足条件k＞4，k=4 不满足条件k＞4，k=5 满足条件k＞4，S=sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26361.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26362.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 输出S的值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26362.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：D． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 　 4．（5分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（　　） A．y=cos（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26363.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}） B．y=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26363.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}） C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx 【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可． 【解答】解： y=cos（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26363.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确 y=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26364.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确； y=sin2x+cos2x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26365.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26366.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确； y=sinx+cosx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26365.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26366.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确； 故选：A． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力． 　 5．（5分）过双曲线x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26367.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则\|AB\|=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26368.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} B．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26369.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．6 D．4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26369.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解\|AB\|． 【解答】解：双曲线x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26370.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26371.png){width="0.5in" height="0.1875in"}， 过双曲线x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26370.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2， 可得yA=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26369.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，yB=﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26369.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴\|AB\|=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26369.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用． 　 6．（5分）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（　　） A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 【分析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个； 分两种情况讨论： ①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个， ②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个， 共有72+48=120个． 故选：B． 【点评】本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征，进而可得其可选的情况． 　 7．（5分）设四边形ABCD为平行四边形，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26372.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=6，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26373.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=4，若点M、N满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26374.png){width="0.5625in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26375.png){width="0.5625in" height="0.20902777777777778in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26376.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=（　　） A．20 B．15 C．9 D．6 【分析】根据图形得出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26377.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26372.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26378.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26379.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26380.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26381.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26382.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26383.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26382.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26384.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26385.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26382.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26386.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26387.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26388.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26389.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26389.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26390.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20902777777777778in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26389.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26389.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26391.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20902777777777778in"}， 结合向量结合向量的数量积求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26392.png){width="0.5625in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26393.png){width="0.5625in" height="0.20902777777777778in"}， ∴根据图形可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26394.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26395.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26396.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26397.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26395.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26398.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26399.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26400.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26401.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26402.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26403.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26401.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26402.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26404.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26405.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26406.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26407.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20902777777777778in"}， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26408.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26409.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26409.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26407.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20902777777777778in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26409.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26409.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26410.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20902777777777778in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26409.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26411.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26412.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26413.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26414.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20902777777777778in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26415.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26416.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}2， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26417.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26418.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26419.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26413.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26420.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26421.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26422.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26423.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26424.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20902777777777778in"}， \|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26423.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=6，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26421.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=4， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26425.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26426.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26427.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26428.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}2=12﹣3=9 故选：C ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26429.png){width="2.6152777777777776in" height="0.9583333333333334in"} 【点评】本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示． 　 8．（5分）设a、b都是不等于1的正数，则"3a＞3b＞3"是"loga3＜logb3"的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】求解3a＞3b＞3，得出a＞b＞1， loga3＜logb3，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26430.png){width="0.9576388888888889in" height="0.46944444444444444in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26431.png){width="0.9576388888888889in" height="0.46944444444444444in"}根据对数函数的性质求解即可， 再利用充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：a、b都是不等于1的正数， ∵3a＞3b＞3， ∴a＞b＞1， ∵loga3＜logb3， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26432.png){width="0.3020833333333333in" height="0.37569444444444444in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26433.png){width="0.4888888888888889in" height="0.37569444444444444in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26434.png){width="0.6368055555555555in" height="0.38472222222222224in"}＜0， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26435.png){width="0.9576388888888889in" height="0.46944444444444444in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26436.png){width="0.9576388888888889in" height="0.46944444444444444in"} 求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1 根据充分必要条件定义得出："3a＞3b＞3"是"loga3＜logb3"的充分条不必要件， 故选：B． 【点评】本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论． 　 9．（5分）如果函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26437.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26438.png){width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"}\]上单调递减，那么mn的最大值为（　　） A．16 B．18 C．25 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26439.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26440.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26441.png){width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"}\]上单调递减，则f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26440.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，2\]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26440.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，2\]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26440.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）≤0，f′（2）≤0即可．结合基本不等式求出mn的最大值． 【解答】解：∵函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26440.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26441.png){width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"}\]上单调递减， ∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26440.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，2\]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26442.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，2\]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26442.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）≤0，f′（2）≤0即可．即 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26443.png){width="1.511111111111111in" height="0.5930555555555556in"} 由（2）得m≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26442.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（12﹣n）， ∴mn≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26442.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}n（12﹣n）≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26442.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26444.png){width="0.8534722222222222in" height="0.36527777777777776in"}=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足（1）和（2）． 故选：B． 解法二： ∵函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26445.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26446.png){width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"}\]上单调递减， ∴①m=2，n＜8 对称轴x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26447.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}， ②![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26448.png){width="0.7819444444444444in" height="0.6256944444444444in"}即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26449.png){width="0.9576388888888889in" height="0.42569444444444443in"} ③![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26450.png){width="0.8340277777777778in" height="0.6256944444444444in"}即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26451.png){width="0.9576388888888889in" height="0.42569444444444443in"} 设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26452.png){width="0.9576388888888889in" height="0.43680555555555556in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26453.png){width="0.9576388888888889in" height="0.43680555555555556in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26454.png){width="0.4583333333333333in" height="0.43680555555555556in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26455.png){width="5.198611111111111in" height="4.636111111111111in"} 设y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26456.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，y′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26457.png){width="0.3326388888888889in" height="0.42569444444444443in"}， 当切点为（x0，y0），k取最大值． ①﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26458.png){width="0.31319444444444444in" height="0.48055555555555557in"}=﹣2．k=2x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26459.png){width="0.28055555555555556in" height="0.28055555555555556in"}， ∴y0=﹣2x0+12，y0=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26460.png){width="0.3326388888888889in" height="0.5298611111111111in"}=2x0，可得x0=3，y0=6， ∵x=3＞2 ∴k的最大值为3×6=18 ②﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26461.png){width="0.31319444444444444in" height="0.48055555555555557in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26462.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．，k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26463.png){width="0.3326388888888889in" height="0.36527777777777776in"}， y0=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26464.png){width="0.36527777777777776in" height="0.6256944444444444in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26465.png){width="0.3326388888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 2y0+x0﹣18=0， 解得：x0=9，y0=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26466.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ∵x0＜2 ∴不符合题意． ③m=2，n=8，k=mn=16 综合得出：m=3，n=6时k最大值k=mn=18， 故选：B． 【点评】本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判断，难度较大，属于难题． 　 10．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　） A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4） 【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26467.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）， 斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26468.png){width="0.7708333333333334in" height="0.6368055555555555in"}，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2）， 当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2， 因为直线与圆相切，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26469.png){width="0.4173611111111111in" height="0.4888888888888889in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26470.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，所以x0=3， 即M的轨迹是直线x=3． 将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26471.png){width="1.0729166666666667in" height="0.23958333333333334in"}， ∵M在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4＜12+4=16， ∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16， 故2＜r＜4时，直线l有2条； 斜率不存在时，直线l有2条； 所以直线l恰有4条，2＜r＜4， 故选：D． 【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11．（5分）在（2x﹣1）5的展开式中，含x2的项的系数是　﹣40　（用数字填写答案）． 【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r，再代入系数求出结果． 【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项， Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26472.png){width="1.2506944444444446in" height="0.28055555555555556in"}； 要求x2的项的系数， ∴5﹣r=2， ∴r=3， ∴x2的项的系数是22（﹣1）3C53=﹣40． 故答案为：﹣40． 【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具． 　 12．（5分）sin15°+sin75°的值是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26473.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}　． 【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可． 【解答】解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26474.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26474.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin60°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26475.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26475.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力． 　 13．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718...为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是　24　小时． 【分析】由题意可得，x=0时，y=192；x=22时，y=48．代入函数y=ekx+b，解方程，可得k，b，再由x=33，代入即可得到结论． 【解答】解：由题意可得，x=0时，y=192；x=22时，y=48． 代入函数y=ekx+b， 可得eb=192，e22k+b=48， 即有e11k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26476.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，eb=192， 则当x=33时，y=e33k+b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26477.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×192=24． 故答案为：24． 【点评】本题考查函数的解析式的求法和运用，考查运算能力，属于中档题． 　 14．（5分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26478.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26479.png){width="1.1875in" height="1.34375in"} 【分析】首先以AB，AD，AQ三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，M（0，y，2），从而可求出向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26480.png){width="0.5625in" height="0.22847222222222222in"}的坐标，由cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26481.png){width="1.354861111111111in" height="0.22847222222222222in"}得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26482.png){width="1.354861111111111in" height="0.46944444444444444in"}，对函数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26483.png){width="0.8340277777777778in" height="0.46944444444444444in"}求导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出cosθ的最大值． 【解答】解：根据已知条件，AB，AD，AQ三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2，则： A（0，0，0），E（1，0，0），F（2，1，0）； M在线段PQ上，设M（0，y，2），0≤y≤2； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26484.png){width="2.332638888888889in" height="0.22847222222222222in"}； ∴cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26485.png){width="1.354861111111111in" height="0.22847222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26486.png){width="0.8340277777777778in" height="0.46944444444444444in"}； 设f（y）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26487.png){width="0.8340277777777778in" height="0.46944444444444444in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26488.png){width="1.895138888888889in" height="0.46944444444444444in"}； 函数g（y）=﹣2y﹣5是一次函数，且为减函数，g（0）=﹣5＜0； ∴g（y）＜0在\[0，2\]恒成立，∴f′（y）＜0； ∴f（y）在\[0，2\]上单调递减； ∴y=0时，f（y）取到最大值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26489.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26489.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26490.png){width="1.21875in" height="1.4895833333333333in"} 【点评】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，异面直线所成角的概念及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数导数符号和函数单调性的关系． 　 15．（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26491.png){width="1.0618055555555554in" height="0.48055555555555557in"}，n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26492.png){width="1.0618055555555554in" height="0.48055555555555557in"}．现有如下命题： ①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0； ②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0； ③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n； ④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n． 其中的真命题有　①④　（写出所有真命题的序号）． 【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②； 通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③； 通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④． 【解答】解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确； 对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26493.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）递减，在（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26493.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，+∞）递增，则n＞0不恒成立， 则②错误； 对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），即为g（x1）﹣f（x1）=g（x2）﹣f（x2）， 考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2xln2， 当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误； 对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣\[g（x1）﹣g（x2）\]，考查函数h（x）=x2+ax+2x， h′（x）=2x+a+2xln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确． 故答案为：①④． 【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键． 　 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（12分）设数列{an}（n=1，2，3，...）的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26494.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}}的前n项和为Tn，求使得\|Tn﹣1\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26495.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}成立的n的最小值． 【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式得到an=2an﹣1（n≥2），再由已知a1，a2+1，a3成等差数列求出数列首项，可得数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求； （Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26496.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}}的通项公式，再由等比数列的前n项和求得Tn，结合![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26497.png){width="1.1243055555555554in" height="0.36527777777777776in"}求解指数不等式得n的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）由已知Sn=2an﹣a1，有 an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1 （n≥2）， 即an=2an﹣1（n≥2）， 从而a2=2a1，a3=2a2=4a1， 又∵a1，a2+1，a3成等差数列， ∴a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2． ∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26498.png){width="0.4888888888888889in" height="0.28055555555555556in"}； （Ⅱ）由（Ⅰ）得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26499.png){width="0.5520833333333334in" height="0.42569444444444443in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26500.png){width="2.886111111111111in" height="0.7597222222222222in"}． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26501.png){width="1.1243055555555554in" height="0.36527777777777776in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26502.png){width="1.3222222222222222in" height="0.42569444444444443in"}，即2n＞1000． ∵29=512＜1000＜1024=210， ∴n≥10． 于是，使\|Tn﹣1\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26503.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}成立的n的最小值为10． 【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 　 17．（12分）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队． （Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； （Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望． 【分析】（Ⅰ）求出A中学至少有1名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可； （Ⅱ）求出X表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到X的分布列，然后求解数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从B中抽出（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26504.png){width="0.4173611111111111in" height="0.5840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26505.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26505.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26506.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数， 则X的可能取值为：1，2，3， P（X=1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26507.png){width="0.4173611111111111in" height="0.5840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26508.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， P（X=2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26509.png){width="0.4173611111111111in" height="0.5840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26510.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， P（X=3）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26511.png){width="0.4173611111111111in" height="0.5840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26508.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． X的分布列： --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ X 1 2 3 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26512.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26513.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26512.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 和数学期望EX=1×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26514.png){width="1.113888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=2． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力． 　 18．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N． （Ⅰ）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （Ⅱ）证明：直线MN∥平面BDH； （Ⅲ）求二面角A﹣EG﹣M的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26515.png){width="2.4791666666666665in" height="1.4583333333333333in"} 【分析】（Ⅰ）根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可； （Ⅱ）利用线面平行的判定定理即可证明直线MN∥平面BDH； （Ⅲ）法一：利用定义法求出二面角的平面角进行求解． 法二：建立坐标系，利用向量法进行求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）F、G、H的位置如图； 证明：（Ⅱ）连接BD，设O是BD的中点， ∵BC的中点为M、GH的中点为N， ∴OM∥CD，OM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26516.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}CD， HN∥CD，HN=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26516.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}CD， ∴OM∥HN，OM=HN， 即四边形MNHO是平行四边形， ∴MN∥OH， ∵MN⊄平面BDH；OH⊂面BDH， ∴直线MN∥平面BDH； （Ⅲ）方法一： 连接AC，过M作MH⊥AC于P， 则正方体ABCD﹣EFGH中，AC∥EG， ∴MP⊥EG， 过P作PK⊥EG于K，连接KM， ∴EG⊥平面PKM 则KM⊥EG， 则∠PKM是二面角A﹣EG﹣M的平面角， 设AD=2，则CM=1，PK=2， 在Rt△CMP中，PM=CMsin45°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26517.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， 在Rt△PKM中，KM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26518.png){width="0.7819444444444444in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26519.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}， ∴cos∠PKM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26520.png){width="0.6666666666666666in" height="0.38472222222222224in"}， 即二面角A﹣EG﹣M的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26521.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． 方法二：以D为坐标原点， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26522.png){width="1.9166666666666667in" height="1.7083333333333333in"} 分别为DA，DC，DH方向为x，y，z轴建立空间坐标系如图： 设AD=2，则M（1，2，0），G（0，2，2），E（2，0，2），O（1，1，0）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26523.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（2，﹣2，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26524.png){width="1.1243055555555554in" height="0.22847222222222222in"}， 设平面EGM的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26525.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（x，y，z）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26526.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26527.png){width="0.7083333333333334in" height="0.40625in"}，令x=2，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26528.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（2，2，1）， 在正方体中，DO⊥平面AEGC， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26529.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26530.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（1，1，0）是平面AEG的一个法向量， 则cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26531.png){width="0.3958333333333333in" height="0.22847222222222222in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26532.png){width="0.6368055555555555in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26533.png){width="0.6368055555555555in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26534.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26535.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． 二面角A﹣EG﹣M的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26535.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26536.png){width="1.65625in" height="1.3541666666666667in"} 【点评】本题主要考查简单空间图形的直观图，空间线面平行的判定和性质，空间面面夹角的计算，考查空间想象能力，推理能力，运算求解能力． 　 19．（12分）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角． （Ⅰ）证明：tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26537.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26538.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26537.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26539.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26540.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26541.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}的值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26542.png){width="1.1458333333333333in" height="0.8541666666666666in"} 【分析】（Ⅰ）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可． （Ⅱ）通过A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，利用（Ⅰ）化简tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26543.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26539.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26540.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26544.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26545.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}，连结BD，在△ABD中，利用余弦定理求出sinA，连结AC，求出sinB，然后求解即可． 【解答】证明：（Ⅰ）tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26546.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26547.png){width="0.43680555555555556in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26548.png){width="0.9270833333333334in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26549.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}．等式成立． （Ⅱ）由A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，由（Ⅰ）可知：tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26550.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26551.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26552.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26553.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26554.png){width="3.8541666666666665in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26555.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}，连结BD，在△ABD中，有BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5， 在△BCD中，有BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC， 所以AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC， 则：cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26556.png){width="1.4479166666666667in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26557.png){width="1.113888888888889in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26558.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 于是sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26559.png){width="0.7597222222222222in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26560.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}， 连结AC，同理可得：cosB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26561.png){width="1.4479166666666667in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26562.png){width="1.113888888888889in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26563.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 于是sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26564.png){width="0.7597222222222222in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26565.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}． 所以tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26566.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26567.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26568.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26569.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26570.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26571.png){width="1.0013888888888889in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26572.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26573.png){width="1.1354166666666667in" height="0.8333333333333334in"} 【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理．简单的三角恒等变换，考查函数与方程的思想，转化与化归思想的应用． 　 20．（13分）如图，椭圆E：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26574.png){width="1.488888888888889in" height="0.4888888888888889in"}的离心率是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26575.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26576.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26577.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26578.png){width="1.4583333333333333in" height="1.0625in"} 【分析】（Ⅰ）通过直线l平行于x轴时被椭圆E截得的线段长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26579.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}及离心率是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26580.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，计算即得结论； （Ⅱ）通过直线l与x轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26581.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26579.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26579.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，1）在椭圆E上， 又∵离心率是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26580.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26582.png){width="0.8965277777777778in" height="1.1569444444444446in"}，解得a=2，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26583.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴椭圆E的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26584.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26585.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1； （Ⅱ）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26586.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}恒成立． 理由如下： 当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点， 如果存在定点Q满足条件，则有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26587.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26588.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=1，即\|QC\|=\|QD\|． ∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0）． 当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点， 则M、N的坐标分别为（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26589.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）、（0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26589.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）， 又∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26590.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26591.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26592.png){width="0.7493055555555556in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26593.png){width="0.42569444444444443in" height="0.40625in"}，解得y0=1或y0=2． ∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）． 下面证明：对任意直线l，均有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26594.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}． 当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立． 当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1， A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26595.png){width="0.8444444444444444in" height="0.6777777777777778in"}，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0， ∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0， ∴x1+x2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26596.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}，x1x2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26597.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26598.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26599.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26600.png){width="0.5215277777777778in" height="0.48055555555555557in"}=2k， 已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣x2，y2）， 又kAQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26601.png){width="0.4173611111111111in" height="0.4888888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26602.png){width="0.5215277777777778in" height="0.48055555555555557in"}=k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26603.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}，kQB′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26604.png){width="0.4173611111111111in" height="0.4888888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26605.png){width="0.5215277777777778in" height="0.48055555555555557in"}=﹣k+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26606.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}=k﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26607.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}， ∴kAQ=kQB′，即Q、A、B′三点共线， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26608.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26609.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26610.png){width="0.43680555555555556in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26611.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}． 故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26612.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}恒成立． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26613.png){width="3.479861111111111in" height="3.4277777777777776in"} 【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题． 　 21．（14分）已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0． （Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性； （Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解． 【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，把函数f（x）求导得到g（x）再对g（x）求导，得到其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数g（x）的单调期间； （Ⅱ）由f（x）的导函数等于0把a用含有x的代数式表示，然后构造函数φ（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26614.png){width="1.511111111111111in" height="0.42569444444444443in"}x2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26615.png){width="1.0944444444444446in" height="0.42569444444444443in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26616.png){width="1.8430555555555554in" height="0.42569444444444443in"}，由函数零点存在定理得到x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26617.png){width="1.1569444444444446in" height="0.5298611111111111in"}，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），利用导数求得a0∈（0，1），然后进一步利用导数说明当a=a0时，若x∈（1，+∞），有f（x）≥0，即可得到存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+∞）， g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26618.png){width="2.1875in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26619.png){width="2.729861111111111in" height="0.6256944444444444in"}． 当0＜a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26620.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时，g（x）在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26621.png){width="2.582638888888889in" height="0.38472222222222224in"}上单调递增， 在区间![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26622.png){width="1.75in" height="0.38472222222222224in"}上单调递减； 当a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26623.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}时，g（x）在（0，+∞）上单调递增． （Ⅱ）由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26624.png){width="2.1875in" height="0.36527777777777776in"}=0，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26625.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}， 令φ（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26626.png){width="1.511111111111111in" height="0.42569444444444443in"}x2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26627.png){width="1.0944444444444446in" height="0.42569444444444443in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26628.png){width="1.8430555555555554in" height="0.42569444444444443in"}， 则φ（1）=1＞0，φ（e）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26629.png){width="1.8756944444444446in" height="0.42569444444444443in"}． 故存在x0∈（1，e），使得φ（x0）=0． 令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26630.png){width="1.1569444444444446in" height="0.5298611111111111in"}，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26631.png){width="1.1875in" height="0.36527777777777776in"}知，函数u（x）在（1，+∞）上单调递增． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26632.png){width="3.1465277777777776in" height="0.5298611111111111in"}． 即a0∈（0，1）， 当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=φ（x0）=0． 由（Ⅰ）知，f′（x）在（1，+∞）上单调递增， 故当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，从而f（x）＞f（x0）=0； 当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而f（x）＞f（x0）=0． ∴当x∈（1，+∞）时，f（x）≥0． 综上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解． 【点评】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，是压轴题． 　 2015年四川省高考数学试卷（文科） ================================ 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（5分）设集合M={x\|﹣1＜x＜2}，集合N={x\|1＜x＜3}，则M∪N=（　　） A．{x\|﹣1＜x＜3} B．{x\|﹣1＜x＜2} C．{x\|1＜x＜3} D．{x\|1＜x＜2} 【分析】根据并集的定义解答即可． 【解答】解：根据并集的定义知：M∪N={x\|﹣1＜x＜3}， 故选：A． 【点评】本题考查了并集运算，熟练掌握并集的定义是解题的关键． 　 2．（5分）设向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16811.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（2，4）与向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26633.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（x，6）共线，则实数x=（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出x． 【解答】解；因为向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26634.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（2，4）与向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26633.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（x，6）共线， 所以4x=2×6，解得x=3； 故选：B． 【点评】本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26634.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（x，y）与向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26633.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（m，n）共线，那么xn=ym． 　 3．（5分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（　　） A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法 【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样． 【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样， 而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理． 故选：C． 【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题． 　 4．（5分）设a，b为正实数，则"a＞b＞1"是"log2a＞log2b＞0"的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】先求出log2a＞log2b＞0的充要条件，再和a＞b＞1比较，从而求出答案． 【解答】解：若log2a＞log2b＞0，则a＞b＞1， 故"a＞b＞1"是"log2a＞log2b＞0"的充要条件， 故选：A． 【点评】本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题． 　 5．（5分）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（　　） A．y=cos（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26635.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}） B．y=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26635.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}） C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx 【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可． 【解答】解： y=cos（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26635.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确 y=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26636.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确； y=sin2x+cos2x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26637.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26638.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确； y=sinx+cosx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26637.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26638.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确； 故选：A． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力． 　 6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26639.png){width="0.96875in" height="3.136111111111111in"} A．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26640.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26640.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} C．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26641.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26641.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S的值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26641.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 k=1 k=2 不满足条件k＞4，k=3 不满足条件k＞4，k=4 不满足条件k＞4，k=5 满足条件k＞4，S=sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26642.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26641.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 输出S的值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26643.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：D． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 　 7．（5分）过双曲线x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26644.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则\|AB\|=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26645.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} B．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26646.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．6 D．4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26646.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解\|AB\|． 【解答】解：双曲线x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26647.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26648.png){width="0.5in" height="0.1875in"}， 过双曲线x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26647.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2， 可得yA=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26649.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，yB=﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26649.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴\|AB\|=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26649.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用． 　 8．（5分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b （e=2.718...为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（　　） A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时 【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出ek，eb的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可． 【解答】解：y=ekx+b （e=2.718...为自然对数的底数，k，b为常数）． 当x=0时，eb=192， 当x=22时e22k+b=48， ∴e22k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26650.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26651.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} e11k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26652.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} eb=192 当x=33时，e33k+b=（ek）33•（eb）=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26652.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）3×192=24 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解． 　 9．（5分）设实数x，y满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26653.png){width="0.7923611111111111in" height="0.65625in"}，则xy的最大值为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26654.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26655.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．12 D．16 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图； 由图象知y≤10﹣2x， 则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26656.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}）2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26657.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 当且仅当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26658.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，y=5时，取等号， 经检验（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26658.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，5）在可行域内， 故xy的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26657.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26659.png){width="2.5006944444444446in" height="2.25in"} 【点评】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 　 10．（5分）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　） A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4） 【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26660.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）， 斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26661.png){width="0.7708333333333334in" height="0.6368055555555555in"}，相减，得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2）， 当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2， 因为直线与圆相切，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26662.png){width="0.4173611111111111in" height="0.4888888888888889in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26663.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，所以x0=3， 即M的轨迹是直线x=3． 将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26664.png){width="1.0729166666666667in" height="0.23958333333333334in"}， ∵M在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4＜12+4=16， ∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16， 故2＜r＜4时，直线l有2条； 斜率不存在时，直线l有2条； 所以直线l恰有4条，2＜r＜4， 故选：D． 【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．（5分）设i是虚数单位，则复数i﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26665.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=　2i　． 【分析】直接利用复数的运算法则求解即可． 【解答】解：复数i﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26665.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=i﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26666.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=i+i=2i． 故答案为：2i． 【点评】本题考查复数的基本运算，考查计算能力． 　 12．（5分）lg0.01+log216的值是　2　． 【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可． 【解答】解：lg0.01+log216=﹣2+4=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力． 　 13．（5分）已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα﹣cos2α的值是　﹣1　． 【分析】已知等式移项变形求出tanα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值． 【解答】解：∵sinα+2cosα=0，即sinα=﹣2cosα， ∴tanα=﹣2， 则原式=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26667.png){width="1.6041666666666667in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26668.png){width="1.6041666666666667in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26669.png){width="0.7708333333333334in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26670.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=﹣1， 故答案为：﹣1 【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 　 14．（5分）在三棱住ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P﹣A1MN的体积是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26671.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P﹣AMN的体积即可． 【解答】解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，底面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26672.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，所求三棱锥的高为NP=1，三棱锥底面积是三棱柱底面三角形的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26673.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 所求三棱锥P﹣A1MN的体积是：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26674.png){width="1.5520833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26671.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26671.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26675.png){width="1.7291666666666667in" height="1.9270833333333333in"} 【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 15．（5分）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26676.png){width="1.0618055555555554in" height="0.48055555555555557in"}，n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26677.png){width="1.0618055555555554in" height="0.48055555555555557in"}．现有如下命题： ①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0； ②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0； ③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n； ④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n． 其中的真命题有　①④　（写出所有真命题的序号）． 【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②； 通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③； 通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④． 【解答】解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确； 对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26678.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）递减，在（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26678.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，+∞）递增，则n＞0不恒成立， 则②错误； 对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），即为g（x1）﹣f（x1）=g（x2）﹣f（x2）， 考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2xln2， 当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误； 对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣\[g（x1）﹣g（x2）\]，考查函数h（x）=x2+ax+2x， h′（x）=2x+a+2xln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确． 故答案为：①④． 【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键． 　 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）设数列{an}（n=1，2，3...）的前n项和Sn，满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26679.png){width="0.43680555555555556in" height="0.42569444444444443in"}的前n项和为Tn，求Tn． 【分析】（Ⅰ）由条件Sn满足Sn=2an﹣a1，求得数列{an}为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列{an}的通项公式． （Ⅱ）由于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26680.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26681.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}，利用等比数列的前n项和公式求得数列![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26682.png){width="0.43680555555555556in" height="0.42569444444444443in"}的前n项和Tn． 【解答】解：（Ⅰ）由已知Sn=2an﹣a1，有 an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1（n≥2）， 即an=2an﹣1（n≥2）， 从而a2=2a1，a3=2a2=4a1． 又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1） 所以a1+4a1=2（2a1+1）， 解得：a1=2． 所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． 故an=2n． （Ⅱ）由（Ⅰ）得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26683.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26681.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}， 所以Tn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26684.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22216.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26685.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26681.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26686.png){width="0.7708333333333334in" height="0.8229166666666666in"}=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26687.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}． 【点评】本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题． 　 17．（12分）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5．他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位．如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位． （Ⅰ）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处） -------- ------- ------- ------- ------- ------- 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 　3　 　2　 　4　 　1　 　5　 　3　 　2　 　5　 　4　 　1　 -------- ------- ------- ------- ------- ------- （Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P5坐到5号座位的概率． 【分析】（Ⅰ）根据题意，可以完成表格； （Ⅱ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率． 【解答】解：（Ⅰ）余下两种坐法： -------- ---- ---- ---- ---- ---- 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1 -------- ---- ---- ---- ---- ---- （Ⅱ）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则 所有可能的坐法可用下表表示为 -------- ---- ---- ---- ---- ---- 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 2 1 3 4 5 2 3 1 4 5 2 3 4 1 5 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 4 3 5 1 2 5 3 4 1 -------- ---- ---- ---- ---- ---- 于是，所有可能的坐法共8种， 设"乘客P5坐到5号座位"为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P（A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26688.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20655.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 答：乘客P5坐到5号座位的概率是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20655.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键． 　 18．（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26689.png){width="3.1881944444444446in" height="1.7604166666666667in"} （Ⅰ）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由） （Ⅱ）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并说明你的结论． （Ⅲ）证明：直线DF⊥平面BEG． 【分析】（Ⅰ）直接标出点F，G，H的位置． （Ⅱ）先证BCHE为平行四边形，可知BE∥平面ACH，同理可证BG∥平面ACH，即可证明平面BEG∥平面ACH． （Ⅲ）连接FH，由DH⊥EG，又DH⊥EG，EG⊥FH，可证EG⊥平面BFHD，从而可证DF⊥EG，同理DF⊥BG，即可证明DF⊥平面BEG． 【解答】解：（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示． （Ⅱ）平面BEG∥平面ACH，证明如下： ∵ABCD﹣EFGH为正方体， ∴BC∥FG，BC=EH， 又FG∥EH，FG=EH， ∴BC∥EH，BC=EH， ∴BCHE为平行四边形． ∴BE∥CH， 又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH， ∴BE∥平面ACH， 同理BG∥平面ACH， 又BE∩BG=B， ∴平面BEG∥平面ACH． （Ⅲ）连接FH， ∵ABCD﹣EFGH为正方体， ∴DH⊥EG， 又∵EG⊂平面EFGH， ∴DH⊥EG， 又EG⊥FH，EG∩FH=O， ∴EG⊥平面BFHD， 又DF⊂平面BFHD， ∴DF⊥EG， 同理DF⊥BG， 又∵EG∩BG=G， ∴DF⊥平面BEG． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26690.png){width="1.5833333333333333in" height="1.5416666666666667in"} 【点评】本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题． 　 19．（12分）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26691.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}px﹣p+1=0（p∈R）两个实根． （Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26692.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求p的值． 【分析】（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26693.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26694.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26694.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，结合C的范围即可求C的值． （Ⅱ）由正弦定理可求sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26695.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26696.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26697.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}（tanA+tanB）的值． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，方程x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26694.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}px﹣p+1=0的判别式：△=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26698.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0， 所以p≤﹣2，或p≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20885.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 由韦达定理，有tanA+tanB=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26698.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}p，tanAtanB=1﹣p． 所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0， 从而tan（A+B）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26699.png){width="0.8861111111111111in" height="0.36527777777777776in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26700.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26698.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 所以tanC=﹣tan（A+B）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26698.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 所以C=60°． （Ⅱ）由正弦定理，可得sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26701.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26702.png){width="0.8444444444444444in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26703.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， 解得B=45°，或B=135°（舍去）． 于是，A=180°﹣B﹣C=75°． 则tanA=tan75°=tan（45°+30°）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26704.png){width="1.3847222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26705.png){width="0.4583333333333333in" height="0.8013888888888889in"}=2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26706.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 所以p=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26707.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}（tanA+tanB）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26707.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}（2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26708.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}）=﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26709.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 【点评】本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题． 　 20．（13分）如图，椭圆E：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26710.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的离心率是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26711.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，点P（0，1）在短轴CD上，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26712.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26713.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=﹣1 （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26714.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26715.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26716.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26717.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26718.png){width="1.4479166666666667in" height="1.5416666666666667in"} 【分析】（Ⅰ）通过e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24148.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26719.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26720.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=﹣1，计算即得a=2、b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26721.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，进而可得结论； （Ⅱ）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当λ=1时![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26722.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26723.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26724.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26725.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=﹣3；②当直线AB的斜率不存在时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26726.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26727.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26724.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26725.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=﹣3． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b）， 又∵P（0，1），且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26728.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26729.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=﹣1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26730.png){width="0.8965277777777778in" height="0.9576388888888889in"}，解得a=2，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11202.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴椭圆E的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26731.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26732.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1； （Ⅱ）结论：存在常数λ=1，使得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26733.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26734.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26735.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26736.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}为定值﹣3． 理由如下： 对直线AB斜率的存在性进行讨论： ①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1， A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26737.png){width="0.8444444444444444in" height="0.6777777777777778in"}，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0， ∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0， ∴x1+x2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26738.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}，x1x2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26739.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}， 从而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26740.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26741.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26742.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26743.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=x1x2+y1y2+λ\[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）\] =（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1 =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26744.png){width="1.6868055555555554in" height="0.48055555555555557in"} =﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26745.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}﹣λ﹣2． ∴当λ=1时，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26745.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}﹣λ﹣2=﹣3， 此时![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26746.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26747.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26748.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26749.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=﹣3为定值； ②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD， 此时![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26750.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26751.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26748.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26749.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26752.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26753.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}=﹣2﹣1=﹣3； 故存在常数λ=1，使得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26754.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26755.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26756.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26757.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}为定值﹣3． 【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题． 　 21．（14分）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0． （Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性； （Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解． 【分析】（I）函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26758.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26759.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}，分别解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出单调性． （II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出． 【解答】（I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0． g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26758.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26759.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}， 当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减； 当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增． （II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx， 令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx， 则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0， ∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0， 令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1）， 由v′（x）=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26760.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增． ∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0． 再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增， 当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）=0； 当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）=0； 又当x∈（0，1\]，f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26761.png){width="0.65625in" height="0.28055555555555556in"}﹣2xlnx＞0． 故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立． 综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解． 【点评】本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题． 　 2015年天津市高考数学试卷（理科） ================================ 参考答案与试题解析 　 一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁UB=（　　） A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可； 【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}， ∴∁UB={2，5，8}， 则A∩∁UB={2，5}． 故选：A． 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 2．（5分）设变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26762.png){width="0.875in" height="0.6451388888888889in"}，则目标函数z=x+6y的最大值为（　　） A．3 B．4 C．18 D．40 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=x+6y得y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26763.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26763.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}z， 平移直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26763.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26763.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}z， 由图象可知当直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26763.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26764.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}z经过点A时，直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26764.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26764.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}z的截距最大， 此时z最大． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26765.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4173611111111111in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26766.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}，即A（0，3） 将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y， 得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26767.png){width="2.3854166666666665in" height="2.5215277777777776in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 　 3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26768.png){width="1.2916666666666667in" height="2.9277777777777776in"} A．﹣10 B．6 C．14 D．18 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 S=20，i=1 i=2，S=18 不满足条件i＞5，i=4，S=14 不满足条件i＞5，i=8，S=6 满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6． 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题． 　 4．（5分）设x∈R，则"\|x﹣2\|＜1"是"x2+x﹣2＞0"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由"\|x﹣2\|＜1"得1＜x＜3， 由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2， 即"\|x﹣2\|＜1"是"x2+x﹣2＞0"的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础． 　 5．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26769.png){width="1.28125in" height="1.2916666666666667in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26770.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．3 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26771.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26772.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可． 【解答】解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB， ∴2×4=AM•2AM， ∴AM=2， ∴MN=NB=2， 又CN•NE=AN•NB， ∴3×NE=4×2， ∴NE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26773.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：A． 【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础． 　 6．（5分）已知双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26774.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26775.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26776.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26777.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}x的准线上，则双曲线的方程为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26778.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26779.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26780.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26781.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26782.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26783.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26784.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26785.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程． 【解答】解：由题意，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26786.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26787.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∵抛物线y2=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26788.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}x的准线方程为x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26788.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26788.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}x的准线上， ∴c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26788.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴a2+b2=c2=7， ∴a=2，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26789.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴双曲线的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26790.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"}． 故选：B． 【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2\|x﹣m\|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2\|x\|﹣1，这样便知道f（x）在\[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间\[0，+∞）上：a=f（\|log0.53\|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在\[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小． 【解答】解：∵f（x）为偶函数； ∴f（﹣x）=f（x）； ∴2\|﹣x﹣m\|﹣1=2\|x﹣m\|﹣1； ∴\|﹣x﹣m\|=\|x﹣m\|； （﹣x﹣m）2=（x﹣m）2； ∴mx=0； ∴m=0； ∴f（x）=2\|x\|﹣1； ∴f（x）在\[0，+∞）上单调递增，并且a=f（\|log0.53\|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）； ∵0＜log23＜log25； ∴c＜a＜b． 故选：C． 【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间\[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用． 　 8．（5分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26791.png){width="1.176388888888889in" height="0.4888888888888889in"}，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（　　） A．（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26792.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，+∞） B．（﹣∞，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26792.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}） C．（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26792.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}） D．（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26792.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，2） 【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x）， ∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x）， 由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b， 设h（x）=f（x）+f（2﹣x）， 若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2， 则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2， 若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2， 则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣\|2﹣x\|=2﹣x+2﹣2+x=2， 若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0， 则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣\|2﹣x\|=x2﹣5x+8． 即h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26793.png){width="1.573611111111111in" height="0.7819444444444444in"}， 作出函数h（x）的图象如图： 当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26794.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26792.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26795.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26796.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26795.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26795.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 故当b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26795.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时，h（x）=b，有两个交点， 当b=2时，h（x）=b，有无数个交点， 由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点， 即h（x）=b恰有4个根， 则满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26795.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜b＜2， 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26797.png){width="2.7715277777777776in" height="2.3229166666666665in"} 【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键． 　 二.填空题（每小题5分，共30分） 9．（5分）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为　﹣2　． 【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a的值． 【解答】解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数， 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26798.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3958333333333333in"}，解得：a=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题． 　 10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26799.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}　m3． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26800.png){width="2.573611111111111in" height="2.1458333333333335in"} 【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积． 【解答】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体， 且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1； ∴该几何体的体积为 V几何体=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26801.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}π•12×1+π•12•2 =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26802.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}π． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26802.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}π． 【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目． 　 11．（5分）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26803.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可． 【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0 直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx 而∫01（x﹣x2）dx=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26804.png){width="0.7597222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）\|01=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26805.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26806.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26803.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ∴曲边梯形的面积是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26803.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26803.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26807.png){width="2.2708333333333335in" height="2.2395833333333335in"} 【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数． 　 12．（5分）在（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26808.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）6的展开式中，x2的系数为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26809.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数． 【解答】解：（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26808.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）6的展开式的通项公式为Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26810.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}•（x）6﹣r•（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26811.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）r=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26812.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）r•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26813.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}•x6﹣2r， 令6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x2的系数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26814.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26815.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26816.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26816.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 　 13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26817.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，b﹣c=2，cosA=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26818.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则a的值为　8　． 【分析】由cosA=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26818.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，A∈（0，π），可得sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26819.png){width="0.7597222222222222in" height="0.25in"}．利用S△ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26820.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26821.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，化为bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出． 【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26819.png){width="0.7597222222222222in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26822.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}． ∵S△ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26823.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26824.png){width="0.6451388888888889in" height="0.38472222222222224in"}bc=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26825.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}，化为bc=24， 又b﹣c=2，解得b=6，c=4． 由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26826.png){width="0.42569444444444443in" height="0.36527777777777776in"}=64． 解得a=8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 14．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26827.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26828.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26829.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26830.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26831.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26832.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}的最小值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26833.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的形式求最值． 【解答】解：由题意，得到AD=BC=CD=1，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26831.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26832.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26834.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26835.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}）=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26836.png){width="0.6451388888888889in" height="0.20902777777777778in"}）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26837.png){width="0.7819444444444444in" height="0.36527777777777776in"}） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26838.png){width="2.1145833333333335in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26839.png){width="0.71875in" height="0.36527777777777776in"}=2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26840.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}×2×1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26841.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×1×1×cos120° =1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26842.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26843.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26844.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26845.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26846.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26847.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}（当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26848.png){width="0.6256944444444444in" height="0.36527777777777776in"}时等号成立）； 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26849.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值． 　 三.解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26850.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），x∈R． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在区间\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26851.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26852.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]内的最大值和最小值． 【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26853.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26854.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），由周期公式可得； （Ⅱ）由x∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26855.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26852.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值． 【解答】解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26854.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26853.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（1﹣cos2x）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26853.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\[1﹣cos（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26855.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）\] =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26856.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（1﹣cos2x﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26856.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}cos2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26857.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}sin2x） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26856.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26856.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}cos2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26857.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}sin2x） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26856.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26858.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}） ∴f（x）的最小正周期T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26859.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=π； （Ⅱ）∵x∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26860.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26861.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]，∴2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26862.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26863.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26860.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]， ∴sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26862.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）∈\[﹣1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26864.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}\]，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26865.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26866.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26865.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26867.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}\]， ∴f（x）在区间\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26868.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26869.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\]内的最大值和最小值分别为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26867.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26870.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题． 　 16．（13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛． （Ⅰ）设A为事件"选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会"，求事件A发生的概率； （Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望． 【分析】（Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案； （Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，有P（A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26871.png){width="1.2284722222222222in" height="0.5840277777777778in"}， ∴事件A发生的概率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26872.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4． P（X=k）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26873.png){width="0.5520833333333334in" height="0.5840277777777778in"}（k=1，2，3，4）． ∴随机变量X的分布列为： --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ X 1 2 3 4 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26874.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26875.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26875.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26874.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 随机变量X的数学期望E（X）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26876.png){width="2.2805555555555554in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题． 　 17．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26877.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，且点M和N分别为B1C和D1D的中点． （Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD （Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值； （Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26878.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，求线段A1E的长． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26879.png){width="2.2083333333333335in" height="1.8645833333333333in"} 【分析】（Ⅰ）以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平面ABCD的一个法向量与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26880.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}的数量积为0，即得结论； （Ⅱ）通过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论； （Ⅲ）通过设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26881.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26882.png){width="0.38472222222222224in" height="0.26944444444444443in"}，利用平面ABCD的一个法向量与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26883.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}的夹角的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26884.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，计算即可． 【解答】（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系， 则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0）， A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2）， 又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26885.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，1），N（1，﹣2，1）． 由题可知：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26886.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26887.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26888.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，0）， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26886.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26887.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD； （Ⅱ）解：由（I）可知：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26889.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=（1，﹣2，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26890.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（2，0，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26891.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=（0，1，2）， 设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26892.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（x，y，z）是平面ACD1的法向量， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26893.png){width="0.8013888888888889in" height="0.5409722222222222in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26894.png){width="0.875in" height="0.40625in"}， 取z=1，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26895.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（0，1，1）， 设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26896.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（x，y，z）是平面ACB1的法向量， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26897.png){width="0.8013888888888889in" height="0.5409722222222222in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26898.png){width="0.6256944444444444in" height="0.40625in"}， 取z=1，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26896.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（0，﹣2，1）， ∵cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26899.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26900.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26901.png){width="0.6368055555555555in" height="0.4479166666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26902.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}，∴sin＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26899.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26900.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26903.png){width="0.9791666666666666in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26904.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}， ∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26904.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}； （Ⅲ）解：由题意可设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26905.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26906.png){width="0.38472222222222224in" height="0.26944444444444443in"}，其中λ∈\[0，1\]， ∴E=（0，λ，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26907.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（﹣1，λ+2，1）， 又∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26908.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量， ∴cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26909.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26910.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26911.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26912.png){width="1.6152777777777778in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26913.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 整理，得λ2+4λ﹣3=0，解得λ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26914.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣2或﹣2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26915.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}（舍）， ∴线段A1E的长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26915.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣2． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26916.png){width="2.6152777777777776in" height="2.5319444444444446in"} 【点评】本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 18．（13分）已知数列{an}满足an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N\*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列 （1）求q的值和{an}的通项公式； （2）设bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26917.png){width="0.65625in" height="0.4888888888888889in"}，n∈N\*，求数列{bn}的前n项和． 【分析】（1）通过an+2=qan、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，计算即可； （2）通过（1）知bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26918.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}，n∈N\*，写出数列{bn}的前n项和Tn、2Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可． 【解答】解：（1）∵an+2=qan（q为实数，且q≠1），n∈N\*，a1=1，a2=2， ∴a3=q，a5=q2，a4=2q， 又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列， ∴2×3q=2+3q+q2， 即q2﹣3q+2=0， 解得q=2或q=1（舍）， ∴an=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26919.png){width="1.3222222222222222in" height="0.8534722222222222in"}； （2）由（1）知bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26920.png){width="0.65625in" height="0.4888888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26921.png){width="0.6041666666666666in" height="0.5298611111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26922.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}，n∈N\*， 记数列{bn}的前n项和为Tn， 则Tn=1+2•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26923.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+3•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26924.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+4•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26925.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+...+（n﹣1）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26926.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}+n•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26927.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}， ∴2Tn=2+2+3•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26928.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+4•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26924.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+5•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26929.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+...+（n﹣1）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26930.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}+n•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26931.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}， 两式相减，得Tn=3+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26932.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26933.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26929.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26931.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}﹣n•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26934.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"} =3+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26935.png){width="1.0944444444444446in" height="0.7597222222222222in"}﹣n•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26934.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"} =3+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26936.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}﹣n•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26934.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"} =4﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26937.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}． 【点评】本题考查求数列的通项与前n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 19．（14分）已知椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26938.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26939.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26940.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26941.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}截得的线段的长为c，\|FM\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26942.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． （Ⅰ）求直线FM的斜率； （Ⅱ）求椭圆的方程； （Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26943.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围． 【分析】（Ⅰ）通过离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26944.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，计算可得a2=3c2、b2=2c2，设直线FM的方程为y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论； （Ⅱ）通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M（c，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26945.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}c），利用\|FM\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26946.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}计算即可； （Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26947.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，﹣1）与x∈（﹣1，0）两种情况讨论即可得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）∵离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26944.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26948.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26949.png){width="0.5215277777777778in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26950.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2， 设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c）， ∵直线FM被圆x2+y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26951.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}截得的线段的长为c， ∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26952.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}， ∴d2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26953.png){width="0.43680555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26954.png){width="0.43680555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，即（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26955.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4479166666666667in"}）2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26956.png){width="0.43680555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26957.png){width="0.43680555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 解得k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26958.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，即直线FM的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26958.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}； （Ⅱ）由（I）得椭圆方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26959.png){width="0.3326388888888889in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26960.png){width="0.3326388888888889in" height="0.4888888888888889in"}=1，直线FM的方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26961.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}（x+c）， 联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26962.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}c，或x=c， ∵点M在第一象限，∴M（c，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26963.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}c）， ∵\|FM\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26964.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26965.png){width="1.6458333333333333in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26966.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}， 解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2， 即椭圆的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26967.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26968.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1； （Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t， ∵F（﹣1，0），∴t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26969.png){width="0.3020833333333333in" height="0.37569444444444444in"}，即y=t（x+1）（x≠﹣1）， 联立方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26970.png){width="0.8444444444444444in" height="0.6777777777777778in"}，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6， 又∵直线FP的斜率大于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26971.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26972.png){width="0.7708333333333334in" height="0.5in"}＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26971.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，6﹣2x2＞6（x+1）2， 整理得：x（2x+3）＜0且x≠﹣1， 解得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26973.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0， 设直线OP的斜率为m，得m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26974.png){width="0.13541666666666666in" height="0.37569444444444444in"}，即y=mx（x≠0）， 联立方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26975.png){width="0.8444444444444444in" height="0.6777777777777778in"}，消去y并整理，得m2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26976.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26977.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． ①当x∈（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26978.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0， ∴m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26979.png){width="0.5736111111111111in" height="0.4479166666666667in"}，∴m∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26980.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26981.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}）； ②当x∈（﹣1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0， ∴m=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26982.png){width="0.5736111111111111in" height="0.4479166666666667in"}，∴m∈（﹣∞，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26981.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}）； 综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26981.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}）∪（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26983.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26984.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}）． 【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题． 　 20．（14分）已知函数f（x）=nx﹣xn，x∈R，其中n∈N•，且n≥2． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）； （Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：\|x2﹣x1\|＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26985.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+2． 【分析】（Ⅰ）由f（x）=nx﹣xn，可得f′（x），分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性． （Ⅱ）设点P的坐标为（x0，0），则可求x0=n![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26986.png){width="0.36527777777777776in" height="0.38472222222222224in"}，f′（x0）=n﹣n2，可求g（x）=f′（x0）（x﹣x0），F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．由f′（x）=﹣nxn﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，可求F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，即可得证． （Ⅲ）设x1≤x2，设方程g（x）=a的根为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26987.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}，由（Ⅱ）可得x2≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26987.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}．设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，设方程h（x）=a的根为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26988.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26988.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}＜x1，从而可得：x2﹣x1＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26987.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26988.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26989.png){width="0.6041666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，由n≥2，即2n﹣1=（1+1）n﹣1≥1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26990.png){width="0.3326388888888889in" height="0.28055555555555556in"}=1+n﹣1=n，推得：2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26991.png){width="0.5520833333333334in" height="0.38472222222222224in"}=x0，即可得证． 【解答】（本题满分为14分） 解：（Ⅰ）由f（x）=nx﹣xn，可得f′（x）=n﹣nxn﹣1=n（1﹣xn﹣1），其中n∈N•，且n≥2． 下面分两种情况讨论： （1）当n为奇数时，令f′（x）=0，解得x=1，或x=﹣1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表： --------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x （﹣∞，﹣1） （﹣1，1） （1，+∞） f′（x） ﹣ \+ ﹣ f（x） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26992.png){width="0.22916666666666666in" height="0.20833333333333334in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26993.png){width="0.23958333333333334in" height="0.2708333333333333in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image26992.png){width="0.22916666666666666in" height="0.20833333333333334in"} --------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 所以，f（x）在 （﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）单调递增． （2）当n为偶数时， 当 f′（x）＞0，即x＜1时，函数 f（x）单调递增； 当 f′（x）＜0，即x＞1时，函数 f（x）单调递减； 所以，f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减； （Ⅱ）证明：设点P的坐标为（x0，0），则x0=n![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26994.png){width="0.36527777777777776in" height="0.38472222222222224in"}，f′（x0）=n﹣n2， 曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0）， 令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）． 由于f′（x）=﹣nxn﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，故F′（x）在（0，+∞）上单调递减， 又因为F′（x0）=0，所以当x∈（0，x0）时，F′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0， 所以F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减， 所以对应任意的正实数x，都有F（x）≤F（x0）=0， 即对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）． （Ⅲ）证明：不妨设x1≤x2， 由（Ⅱ）知g（x）=（n﹣n2）（x﹣x0）， 设方程g（x）=a的根为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26995.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26995.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26996.png){width="0.7083333333333334in" height="0.42569444444444443in"}， 由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26995.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}），可得x2≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26997.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}． 类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x）， 可得h（x）=nx，当x∈（0，+∞），f（x）﹣h（x）=﹣xn＜0， 即对于任意的x∈（0，+∞），f（x）＜h（x）， 设方程h（x）=a的根为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26998.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26998.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26999.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 因为h（x）=nx在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26998.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}）=a=f（x1）＜h（x1）， 因此![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image26998.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}＜x1， 由此可得：x2﹣x1＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27000.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27001.png){width="0.2611111111111111in" height="0.28055555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27002.png){width="0.6041666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 因为n≥2，所以2n﹣1=（1+1）n﹣1≥1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27003.png){width="0.3326388888888889in" height="0.28055555555555556in"}=1+n﹣1=n， 故：2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27004.png){width="0.5520833333333334in" height="0.38472222222222224in"}=x0． 所以：\|x2﹣x1\|＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27005.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+2． 【点评】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力． 　 2015年天津市高考数学试卷（文科） ================================ 参考答案与试题解析 　 一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁UB=（　　） A．{3} B．{2，5} C．{1，4，6} D．{2，3，5} 【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可． 【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，∁UB={2，5}，又集合A={2，3，5}， 则集合A∩∁UB={2，5}． 故选：B． 【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查． 　 2．（5分）若实数x，y满足条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27006.png){width="0.875in" height="0.6451388888888889in"}，则z=3x+y的最大值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．14 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=3x+y得y=﹣3x+z， 平移直线y=﹣3x+z， 由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大， 此时z最大． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27007.png){width="0.7923611111111111in" height="0.40625in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27008.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}，即A（2，3）， 代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9． 即目标函数z=3x+y的最大值为9． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27009.png){width="2.6569444444444446in" height="2.5215277777777776in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 　 3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27010.png){width="1.2916666666666667in" height="2.917361111111111in"} A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 S=10，i=0 i=1，S=9 不满足条件S≤1，i=2，S=7 不满足条件S≤1，i=3，S=4 不满足条件S≤1，i=4，S=0 满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4． 故选：C． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题． 　 4．（5分）设x∈R，则"1＜x＜2"是"\|x﹣2\|＜1"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】求解：\|x﹣2\|＜1，得出"1＜x＜2"，根据充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：∵\|x﹣2\|＜1， ∴1＜x＜3， ∵"1＜x＜2" ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27011.png){width="2.0625in" height="0.9270833333333334in"} ∴根据充分必要条件的定义可得出："1＜x＜2"是"\|x﹣2\|＜1"的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题． 　 5．（5分）已知双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27012.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27013.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27014.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27015.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27016.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27017.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27018.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣y2=1 D．x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27019.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1 【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27020.png){width="0.9381944444444444in" height="0.4479166666666667in"}，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程． 【解答】解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0， ∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27020.png){width="0.9381944444444444in" height="0.4479166666666667in"}， ∴b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27021.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}a， ∵焦点为F（2，0）， ∴a2+b2=4， ∴a=1，b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27022.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴双曲线的方程为x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27023.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1． 故选：D． 【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键． 　 6．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27024.png){width="1.28125in" height="1.2916666666666667in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27025.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．3 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27026.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27027.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可． 【解答】解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB， ∴2×4=AM•2AM， ∴AM=2， ∴MN=NB=2， 又CN•NE=AN•NB， ∴3×NE=4×2， ∴NE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27025.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：A． 【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础． 　 7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2\|x﹣m\|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2\|x\|﹣1，这样便知道f（x）在\[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间\[0，+∞）上：a=f（\|log0.53\|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在\[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小． 【解答】解：∵f（x）为偶函数； ∴f（﹣x）=f（x）； ∴2\|﹣x﹣m\|﹣1=2\|x﹣m\|﹣1； ∴\|﹣x﹣m\|=\|x﹣m\|； （﹣x﹣m）2=（x﹣m）2； ∴mx=0； ∴m=0； ∴f（x）=2\|x\|﹣1； ∴f（x）在\[0，+∞）上单调递增，并且a=f（\|log0.53\|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）； ∵0＜log23＜log25； ∴c＜a＜b． 故选：C． 【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间\[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用． 　 8．（5分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27028.png){width="1.176388888888889in" height="0.4888888888888889in"}，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：∵g（x）=3﹣f（2﹣x）， ∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣3+f（2﹣x）， 由f（x）﹣3+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=3， 设h（x）=f（x）+f（2﹣x）， 若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2， 则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2， 若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2， 则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣\|2﹣x\|=2﹣x+2﹣2+x=2， 若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0， 则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣\|2﹣x\|=x2﹣5x+8． 即h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27029.png){width="1.573611111111111in" height="0.7819444444444444in"}， 作出函数h（x）的图象如图： 当y=3时，两个函数有2个交点， 故函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为2个， 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27030.png){width="2.6152777777777776in" height="2.3854166666666665in"} 【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键． 　 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）i是虚数单位，计算![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27031.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}的结果为　﹣i　． 【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可． 【解答】解：i是虚数单位， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27032.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27033.png){width="0.96875in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27034.png){width="0.71875in" height="0.36527777777777776in"}=﹣i． 故答案为：﹣i． 【点评】本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查． 　 10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27035.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}　m3． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27036.png){width="2.573611111111111in" height="2.1458333333333335in"} 【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积． 【解答】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体， 且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1； ∴该几何体的体积为 V几何体=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27037.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}π•12×1+π•12•2 =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27038.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}π． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27038.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}π． 【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目． 　 11．（5分）已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为　3　． 【分析】由题意求出f\'（x），利用f′（1）=3，求a． 【解答】解：因为f（x）=axlnx，所以f′（x）=f（x）=lna•axlnx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27039.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}ax，又f′（1）=3，所以a=3； 故答案为：3． 【点评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键． 　 12．（5分）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为　4　时，log2a•log2（2b）取得最大值． 【分析】由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，从而得出结论． 【解答】解：由题意可得当log2a•log2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数， 故有a＞1． 再利用基本不等式可得log2a•log2（2b）≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27040.png){width="1.5930555555555554in" height="0.4888888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27041.png){width="1.1243055555555554in" height="0.4888888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27042.png){width="0.875in" height="0.4888888888888889in"}=4， 当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题． 　 13．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27043.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27044.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27045.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27046.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27047.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27048.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27049.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27050.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}的值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27051.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可． 【解答】解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°， ∴BG=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27052.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27053.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27054.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27055.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27056.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27057.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27058.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27059.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27060.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27061.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27062.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27054.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27063.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27057.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}）=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27064.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27065.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27066.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27067.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27068.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27069.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27064.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27067.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27068.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27064.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27069.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27065.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27066.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27067.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27070.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27071.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27072.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27073.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"} =2×1×cos60°+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27072.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×2×1×cos0°+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27070.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×1×1×cos60°+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27070.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27072.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×1×1×cos120° =1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27074.png){width="0.6972222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27075.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27075.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27076.png){width="2.3541666666666665in" height="1.1666666666666667in"} 【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键． 　 14．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27077.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}　． 【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27078.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin（ωx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27079.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），由2kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27080.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≤ωx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27079.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≤2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27080.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27081.png){width="0.7708333333333334in" height="0.5625in"}①，ω≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27082.png){width="0.6861111111111111in" height="0.5625in"}②，k∈Z，从而解得k=0，又由ωx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27083.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27084.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，可解得函数f（x）的对称轴为：x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27085.png){width="0.6041666666666666in" height="0.5625in"}，k∈Z，结合已知可得：ω2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27083.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，从而可求ω的值． 【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27086.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}sin（ωx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27083.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）， ∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0 ∴2kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27084.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≤ωx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27083.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≤2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27084.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27087.png){width="0.7708333333333334in" height="0.5625in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27088.png){width="0.6861111111111111in" height="0.5625in"}\]，k∈Z， ∴可得：﹣ω≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27087.png){width="0.7708333333333334in" height="0.5625in"}①，ω≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27088.png){width="0.6861111111111111in" height="0.5625in"}②，k∈Z， ∴解得：0＜ω2≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27089.png){width="0.7402777777777778in" height="0.36527777777777776in"}且0＜ω2≤2k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27090.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z， 解得：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27091.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27092.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z， ∴可解得：k=0， 又∵由ωx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27093.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27094.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，可解得函数f（x）的对称轴为：x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27095.png){width="0.6041666666666666in" height="0.5625in"}，k∈Z， ∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image61.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，可解得：ω=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27096.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27096.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题． 　 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛． （Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数； （Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛． （i）用所给编号列出所有可能的结果； （ii）设A为事件"编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到"，求事件A发生的概率． 【分析】（Ⅰ）由题意可得抽取比例，可得相应的人数； （Ⅱ）（i）列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种； （ii）事件A包含上述9个，由概率公式可得． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得抽取比例为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27097.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27098.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 27×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27099.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=3，9×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27099.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=1，18×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27099.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=2， ∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2； （Ⅱ）（i）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为： （A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6）， （A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4）， （A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6）， 共15种； （ii）设A为事件"编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到"， 则事件A包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6）， （A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6）共9个基本事件， ∴事件A发生的概率P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27100.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27101.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题． 　 16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27102.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，b﹣c=2，cosA=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27103.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． （Ⅰ）求a和sinC的值； （Ⅱ）求cos（2A+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27104.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的值． 【分析】（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值； （Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27104.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），然后直接求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27105.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，可得sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27106.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}，△ABC的面积为3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27107.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27108.png){width="1.113888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27109.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}，解得sinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27110.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}； （Ⅱ）cos（2A+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27104.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=cos2Acos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27111.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣sin2Asin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27111.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27112.png){width="2.3027777777777776in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27113.png){width="0.71875in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力． 　 17．（13分）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27114.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，AA1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27115.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，BB1=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27115.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，点E和F分别为BC和A1C的中点． （Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA； （Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1； （Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27116.png){width="1.3854166666666667in" height="2.511111111111111in"} 【分析】（Ⅰ）连接A1B，易证EF∥A1B，由线面平行的判定定理可得； （Ⅱ）易证AE⊥BC，BB1⊥AE，可证AE⊥平面BCB1，进而可得面面垂直； （Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，易证∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，解三角形可得． 【解答】（Ⅰ）证明：连接A1B，在△A1BC中， ∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B， 又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA， ∴EF∥平面A1B1BA； （Ⅱ）证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC， ∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC， ∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1， 又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1； （Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE， ∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE平行且等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image80.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}B1B， ∴NE平行且等于A1A，∴四边形A1AEN是平行四边形， ∴A1N平行且等于AE， 又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1， ∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角， 在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2， ∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB， 又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1， 在RT△A1MB1中，A1B1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27117.png){width="0.9791666666666666in" height="0.3020833333333333in"}=4， 在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27118.png){width="0.4173611111111111in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19546.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30° ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27119.png){width="1.4375in" height="2.511111111111111in"} 【点评】本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题． 　 18．（13分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设cn=anbn，n∈N\*，求数列{cn}的前n项和． 【分析】（Ⅰ）设出数列{an}的公比和数列{bn}的公差，由题意列出关于q，d的方程组，求解方程组得到q，d的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求； （Ⅱ）由题意得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27120.png){width="1.2090277777777778in" height="0.28055555555555556in"}，然后利用错位相减法求得数列{cn}的前n项和． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意，q＞0， 由已知有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27121.png){width="0.8444444444444444in" height="0.5298611111111111in"}，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0． ∵q＞0，解得q=2，∴d=2， ∴数列{an}的通项公式为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27122.png){width="0.6256944444444444in" height="0.28055555555555556in"}，n∈N\*； 数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N\*． （Ⅱ）由（Ⅰ）有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27120.png){width="1.2090277777777778in" height="0.28055555555555556in"}， 设{cn}的前n项和为Sn，则 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27123.png){width="4.281944444444444in" height="0.28055555555555556in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27124.png){width="4.249305555555556in" height="0.28055555555555556in"}， 两式作差得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27125.png){width="2.5631944444444446in" height="0.28055555555555556in"}=2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n﹣3）×2n﹣3． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27126.png){width="1.8756944444444446in" height="0.28055555555555556in"}． 【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题． 　 19．（14分）已知椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27127.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27128.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27129.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． （Ⅰ）求直线BF的斜率． （Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，\|PM\|=λ\|MQ\|． （i）求λ的值． （ii）若\|PM\|sin∠BQP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27130.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，求椭圆的方程． 【分析】（Ⅰ）通过e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27129.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}、a2=b2+c2、B（0，b），计算即得结论； （Ⅱ）设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），M（xM，yM）．（i）通过（I），联立直线BF与椭圆方程，利用韦达定理可得xP=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27131.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，利用BQ⊥BP，联立直线BQ与椭圆方程，通过韦达定理得xQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27132.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，计算即得结论；（ii）通过![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27133.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27134.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}可得\|PQ\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27135.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\|PM\|，利用\|PM\|sin∠BQP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27136.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，可得\|BP\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27137.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，通过yP=2xP+2c=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27138.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}c计算可得c=1，进而可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）设左焦点F（﹣c，0）， ∵离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27139.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，a2=b2+c2，∴a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27140.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}c，b=2c， 又∵B（0，b），∴直线BF的斜率k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27141.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27142.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=2； （Ⅱ）设点P（xP，yP），Q（xQ，yQ），M（xM，yM）． （i）由（I）知a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27140.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}c，b=2c，kBF=2， ∴椭圆方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27143.png){width="0.3326388888888889in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27144.png){width="0.3326388888888889in" height="0.4888888888888889in"}=1，直线BF方程为y=2x+2c， 联立直线BF与椭圆方程，消去y并整理得：3x2+5cx=0，解得xP=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27145.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， ∵BQ⊥BP，∴直线BQ的方程为：y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13260.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+2c， 联立直线BQ与椭圆方程，消去y并整理得：21x2﹣40cx=0，解得xQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27146.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}， 又∵λ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27147.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，及xM=0，∴λ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27148.png){width="0.7298611111111111in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27149.png){width="0.43680555555555556in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27150.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}； （ii）∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27151.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27152.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27153.png){width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27154.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27155.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，即\|PQ\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27156.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\|PM\|， 又∵\|PM\|sin∠BQP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27157.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，∴\|BP\|=\|PQ\|sin∠BQP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27156.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}\|PM\|sin∠BQP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27158.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}， 又∵yP=2xP+2c=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27159.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}c，∴\|BP\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27160.png){width="1.6347222222222222in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27161.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}c， 因此![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27161.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27161.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}c，即c=1， ∴椭圆的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27162.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27163.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1． 【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题． 　 20．（14分）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）； （Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27164.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27165.png){width="0.22847222222222222in" height="0.38472222222222224in"}． 【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性； （Ⅱ）设出点p的坐标，利用导数求出切线方程g（x）=f′（x0）（x﹣x0），构造辅助函数F（x）=f（x）﹣g（x），利用导数得到对于任意实数x， 有F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27166.png){width="1.270138888888889in" height="0.3958333333333333in"}，求出方程g（x）=a的根![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27167.png){width="1.0944444444444446in" height="0.4888888888888889in"}，由g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，得到x2≤x2′． 同理得到x1′≤x1，则可证得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27168.png){width="2.1444444444444444in" height="0.4888888888888889in"}． 【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=4x﹣x4，可得f′（x）=4﹣4x3． 当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增； 当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减． ∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞）． （Ⅱ）证明：设点p的坐标为（x0，0），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27169.png){width="0.5215277777777778in" height="0.43680555555555556in"}，f′（x0）=﹣12， 曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0）， 令函数F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）， 则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）． ∵F′（x0）=0，∴当x∈（﹣∞，x0）时，F′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0， ∴F（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减， ∴对于任意实数x，F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）； （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27170.png){width="1.270138888888889in" height="0.3958333333333333in"}，设方程g（x）=a的根为x2′，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27171.png){width="1.0944444444444446in" height="0.4888888888888889in"}． ∵g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，又由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（x2′）， 因此x2≤x2′． 类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=4x， 对于任意的x∈（﹣∞，+∞），有f（x）﹣h（x）=﹣x4≤0，即f（x）≤h（x）． 设方程h（x）=a的根为x1′，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27172.png){width="0.6041666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∵h（x）=4x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（x1′）=a=f（x1）≤h（x1）， 因此x1′≤x1， 由此可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27168.png){width="2.1444444444444444in" height="0.4888888888888889in"}． 【点评】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题． 　 \ **2015年浙江省高考数学试卷（理科）** 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科） 1．（5分）已知集合P={x\|x2﹣2x≥0}，Q={x\|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=（　　） A．\[0，1） B．（0，2\] C．（1，2） D．\[1，2\] 【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可． 【解答】解：由P中不等式变形得：x（x﹣2）≥0， 解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞，0\]∪\[2，+∞）， ∴∁RP=（0，2）， ∵Q=（1，2\]， ∴（∁RP）∩Q=（1，2）， 故选：C． 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27173.png){width="1.7604166666666667in" height="2.5944444444444446in"} A．8cm3 B．12cm3 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27174.png){width="0.5215277777777778in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27175.png){width="0.5215277777777778in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可． 【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥， 所求几何体的体积为：23+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27176.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×2×2×2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27177.png){width="0.5215277777777778in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：C． 【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力． 　 3．（5分）已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（　　） A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0 【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号． 【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d， 由a3，a4，a8成等比数列，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27178.png){width="2.125in" height="0.28055555555555556in"}，整理得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27179.png){width="0.8444444444444444in" height="0.28055555555555556in"}． ∵d≠0，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27180.png){width="0.6041666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27181.png){width="1.1569444444444446in" height="0.36527777777777776in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27182.png){width="2.3847222222222224in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27183.png){width="2.0104166666666665in" height="0.48055555555555557in"}＜0． 故选：B． 【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题． 　 4．（5分）命题"∀n∈N\*，f（n）∈N\*且f（n）≤n"的否定形式是（　　） A．∀n∈N\*，f（n）∉N\*且f（n）＞n B．∀n∈N\*，f（n）∉N\*或f（n）＞n C．∃n0∈N\*，f（n0）∉N\*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N\*，f（n0）∉N\*或f（n0）＞n0 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论． 【解答】解：命题为全称命题， 则命题的否定为：∃n0∈N\*，f（n0）∉N\*或f（n0）＞n0， 故选：D． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 　 5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27184.png){width="1.2604166666666667in" height="1.46875in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27185.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27186.png){width="0.6666666666666666in" height="0.48055555555555557in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27187.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27188.png){width="0.6666666666666666in" height="0.48055555555555557in"} 【分析】根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27189.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}的关系进行求解即可． 【解答】解：如图所示，抛物线的准线DE的方程为x=﹣1， 过A，B分别作AE⊥DE于E，交y轴于N，BD⊥DE于D，交y轴于M， 由抛物线的定义知BF=BD，AF=AE， 则\|BM\|=\|BD\|﹣1=\|BF\|﹣1， \|AN\|=\|AE\|﹣1=\|AF\|﹣1， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27190.png){width="0.4888888888888889in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27189.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27191.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27192.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27193.png){width="1.3854166666666667in" height="1.4479166666666667in"} 【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键． 　 6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（　　） 命题①：对任意有限集A，B，"A≠B"是"d（A，B）＞0"的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C） A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立 C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立 【分析】命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可， ③借助新定义，根据集合的运算，判断即可． 【解答】解：命题①：对任意有限集A，B，若"A≠B"，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故"d（A，B）＞0"成立， 若d（A，B）＞0"，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立， 命题②，d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）﹣card（B∩C）， ∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）=\[card（A∪B）+card（B∪C）\]﹣\[card（A∩B）+card（B∩C）\] ≥card（A∪C）﹣card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立， 故选：A． 【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题． 　 7．（5分）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（　　） A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=\|x+1\| D．f（x2+2x）=\|x+1\| 【分析】利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可． 【解答】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0； 取x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27194.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，则sin2x=0，∴f（0）=1； ∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义； ∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx； B．取x=0，则f（0）=0； 取x=π，则f（0）=π2+π； ∴f（0）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误； C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0； 这样f（2）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误； D．令x+1=t，则f（x2+2x）=\|x+1\|，化为f（t2﹣1）=\|t\|； 令t2﹣1=x，则t=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27195.png){width="0.37569444444444444in" height="0.1875in"}； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27196.png){width="0.8118055555555556in" height="0.1875in"}； 即存在函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27195.png){width="0.37569444444444444in" height="0.1875in"}，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=\|x+1\|； ∴该选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难． 　 8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27197.png){width="1.3958333333333333in" height="1.3958333333333333in"} A．∠A′DB≤α B．∠A′DB≥α C．∠A′CB≤α D．∠A′CB≥α 【分析】解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可． 【解答】解：①当AC=BC时，∠A′DB=α； ②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上， α=∠A′OE，连结AA′， 易得∠ADA′＜∠AOA′， ∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α 综上所述，∠A′DB≥α， 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27198.png){width="1.7083333333333333in" height="2.21875in"} 【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9．（6分）双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27199.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣y2=1的焦距是　2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27200.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}　，渐近线方程是　y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27201.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}x　． 【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程． 【解答】解：双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27202.png){width="0.5215277777777778in" height="0.42569444444444443in"}=1中，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27203.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，b=1，c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27204.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴焦距是2c=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27204.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，渐近线方程是y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27205.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}x． 故答案为：2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27204.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}；y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27205.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}x． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． 　 10．（6分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27206.png){width="1.34375in" height="0.6666666666666666in"}，则f（f（﹣3））=　0　，f（x）的最小值是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27207.png){width="0.5in" height="0.1875in"}　． 【分析】根据已知函数可先求f（﹣3）=1，然后代入可求f（f（﹣3））；由于x≥1时，f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27208.png){width="0.5104166666666666in" height="0.36527777777777776in"}，当x＜1时，f（x）=lg（x2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解 【解答】解：∵f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27209.png){width="1.34375in" height="0.6666666666666666in"}， ∴f（﹣3）=lg10=1， 则f（f（﹣3））=f（1）=0， 当x≥1时，f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27210.png){width="1.1569444444444446in" height="0.36527777777777776in"}，即最小值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27207.png){width="0.5in" height="0.1875in"}， 当x＜1时，x2+1≥1，f（x）=lg（x2+1）≥0最小值0， 故f（x）的最小值是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27207.png){width="0.5in" height="0.1875in"}． 故答案为：0；![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27211.png){width="0.5in" height="0.1875in"}． 【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题． 　 11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是　π　，单调递减区间是　\[kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27212.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27213.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}\]（k∈Z）　． 【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27214.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27215.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27216.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，易得最小正周期，解不等式2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27217.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≤2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27218.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≤2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27219.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}可得函数的单调递减区间． 【解答】解：化简可得f（x）=sin2x+sinxcosx+1 =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27220.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（1﹣cos2x）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27220.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}sin2x+1 =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27221.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27218.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27222.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴原函数的最小正周期为T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27223.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=π， 由2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27224.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≤2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27225.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≤2kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27226.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}可得kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27227.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}≤x≤kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27228.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}， ∴函数的单调递减区间为\[kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27227.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27228.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}\]（k∈Z） 故答案为：π；\[kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27229.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27230.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}\]（k∈Z） 【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题． 　 12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27231.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}　． 【分析】直接把a代入2a+2﹣a，然后利用对数的运算性质得答案． 【解答】解：∵a=log43，可知4a=3， 即2a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27232.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 所以2a+2﹣a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27232.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27233.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27231.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27234.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题． 　 13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27235.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27236.png){width="1.4791666666666667in" height="1.28125in"} 【分析】连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME说明异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC通过解三角形，求解即可． 【解答】解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC， ∵AN=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27237.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴ME=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27237.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}=EN，MC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27237.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 又∵EN⊥NC，∴EC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27238.png){width="0.7597222222222222in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27239.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴cos∠EMC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27240.png){width="1.0729166666666667in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27241.png){width="0.9902777777777778in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27242.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27242.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27243.png){width="1.4895833333333333in" height="1.2916666666666667in"} 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则\|2x+y﹣2\|+\|6﹣x﹣3y\|的最小值是　3　． 【分析】根据所给x，y的范围，可得\|6﹣x﹣3y\|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值． 【解答】解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即\|6﹣x﹣3y\|=6﹣x﹣3y， 如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分， 在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即\|2x+y﹣2\|=2x+y﹣2， 此时\|2x+y﹣2\|+\|6﹣x﹣3y\|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4， 利用线性规划可得在A（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27244.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27245.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）处取得最小值3； 在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0， 即\|2x+y﹣2\|=﹣（2x+y﹣2）， 此时\|2x+y﹣2\|+\|6﹣x﹣3y\|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y， 利用线性规划可得在A（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27244.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27245.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）处取得最小值3． 综上可得，当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27246.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27247.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时，\|2x+y﹣2\|+\|6﹣x﹣3y\|的最小值为3． 故答案为：3． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27248.png){width="1.8645833333333333in" height="1.8229166666666667in"} 【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题． 　 15．（6分）已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27249.png){width="0.5736111111111111in" height="0.26944444444444443in"}是空间单位向量，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27250.png){width="0.7298611111111111in" height="0.36527777777777776in"}，若空间向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27251.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27252.png){width="1.3958333333333333in" height="0.36527777777777776in"}，且对于任意x，y∈R，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27253.png){width="2.8430555555555554in" height="0.26944444444444443in"}=1（x0，y0∈R），则x0=　1　，y0=　2　，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27254.png){width="0.20902777777777778in" height="0.20902777777777778in"}\|=　2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27255.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}　． 【分析】由题意和数量积的运算可得＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27256.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27257.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27258.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，不妨设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27256.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27259.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27260.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27261.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=（1，0，0），由已知可解![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27262.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27263.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27260.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，t），可得\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27262.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27264.png){width="0.6777777777777778in" height="0.26944444444444443in"}\|2=（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27265.png){width="0.3020833333333333in" height="0.37569444444444444in"}）2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27266.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（y﹣2）2+t2，由题意可得当x=x0=1，y=y0=2时，（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27267.png){width="0.3020833333333333in" height="0.37569444444444444in"}）2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27266.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（y﹣2）2+t2取最小值1，由模长公式可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27268.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27269.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27270.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27269.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}\|\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27270.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}\|cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27271.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27272.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}＞=cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27271.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27272.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27273.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27271.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27272.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27274.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 不妨设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27275.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27276.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27277.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27278.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=（1，0，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27279.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（m，n，t）， 则由题意可知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27280.png){width="0.40625in" height="0.26944444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27276.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}m+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27277.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}n=2， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27281.png){width="0.40625in" height="0.26944444444444443in"}=m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27282.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 解得m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27282.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27283.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27284.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27282.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27283.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，t）， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27285.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27286.png){width="0.6777777777777778in" height="0.26944444444444443in"}）=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27287.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27288.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x﹣y，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27289.png){width="0.6861111111111111in" height="0.38472222222222224in"}，t）， ∴\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27285.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27286.png){width="0.6777777777777778in" height="0.26944444444444443in"}）\|2=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27290.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27291.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x﹣y）2+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27292.png){width="0.6861111111111111in" height="0.38472222222222224in"}）2+t2 =x2+xy+y2﹣4x﹣5y+t2+7=（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27293.png){width="0.3020833333333333in" height="0.37569444444444444in"}）2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27294.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（y﹣2）2+t2， 由题意当x=x0=1，y=y0=2时，（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27293.png){width="0.3020833333333333in" height="0.37569444444444444in"}）2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27294.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（y﹣2）2+t2取最小值1， 此时t2=1，故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27295.png){width="0.31319444444444444in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27296.png){width="1.4590277777777778in" height="0.40625in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27297.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 故答案为：1；2；2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27297.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题． 　 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27298.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，b2﹣a2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27299.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}c2． （1）求tanC的值； （2）若△ABC的面积为3，求b的值． 【分析】（1）由余弦定理可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27300.png){width="1.6152777777777778in" height="0.36527777777777776in"}，已知b2﹣a2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27299.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}c2．可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27301.png){width="0.6368055555555555in" height="0.38472222222222224in"}，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27302.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27303.png){width="0.7597222222222222in" height="0.25in"}，即可得出tanC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27304.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}． （2）由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27305.png){width="1.2180555555555554in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27306.png){width="1.3652777777777778in" height="0.38472222222222224in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27307.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}=3，可得c，即可得出b． 【解答】解：（1）∵A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27308.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，∴由余弦定理可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27309.png){width="1.6152777777777778in" height="0.36527777777777776in"}，∴b2﹣a2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27310.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}bc﹣c2， 又b2﹣a2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27311.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}c2．∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27310.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}bc﹣c2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27311.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}c2．∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27310.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27312.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}c．可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27313.png){width="0.6368055555555555in" height="0.38472222222222224in"}， ∴a2=b2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27314.png){width="0.3326388888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27315.png){width="0.3326388888888889in" height="0.36527777777777776in"}，即a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27316.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}． ∴cosC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27317.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27318.png){width="1.34375in" height="0.7819444444444444in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27319.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． ∵C∈（0，π）， ∴sinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27320.png){width="0.7597222222222222in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27321.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． ∴tanC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27322.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=2． 或由A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27323.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，b2﹣a2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27324.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}c2． 可得：sin2B﹣sin2A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27324.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}sin2C， ∴sin2B﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27324.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27324.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}sin2C， ∴﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27324.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}cos2B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27324.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}sin2C， ∴﹣sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27325.png){width="0.6777777777777778in" height="0.36527777777777776in"}=sin2C， ∴﹣sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27326.png){width="1.2506944444444446in" height="0.36527777777777776in"}=sin2C， ∴sin2C=sin2C， ∴tanC=2． （2）∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27327.png){width="1.2180555555555554in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27328.png){width="1.3652777777777778in" height="0.38472222222222224in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27329.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}=3， 解得c=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27330.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27331.png){width="0.6368055555555555in" height="0.38472222222222224in"}=3． 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点． （1）证明：A1D⊥平面A1BC； （2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27332.png){width="1.625in" height="1.625in"} 【分析】（1）以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27333.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27334.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27333.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27335.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=0及线面垂直的判定定理即得结论； （2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可． 【解答】（1）证明：如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系． 则BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27336.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}AC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27337.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，A1O=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27338.png){width="0.875in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27339.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， 易知A1（0，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27339.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}），B（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27337.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，0，0），C（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27337.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，0，0）， A（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27337.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，0），D（0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27340.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27341.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}），B1（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27340.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27340.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27341.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27342.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=（0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27340.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27343.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27344.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27344.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27345.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27346.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27344.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，0，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27347.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27348.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，0，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27349.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=（0，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27350.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}）， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27351.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27349.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=0，∴A1D⊥OA1， 又∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27351.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27352.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=0，∴A1D⊥BC， 又∵OA1∩BC=O，∴A1D⊥平面A1BC； （2）解：设平面A1BD的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27353.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（x，y，z）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27354.png){width="0.8013888888888889in" height="0.5409722222222222in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27355.png){width="1.5631944444444446in" height="0.4479166666666667in"}， 取z=1，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27353.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27356.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，0，1）， 设平面B1BD的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27357.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（x，y，z）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27358.png){width="0.8013888888888889in" height="0.5409722222222222in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27359.png){width="1.5631944444444446in" height="0.4479166666666667in"}， 取z=1，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27357.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27360.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，1）， ∴cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27361.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27362.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27363.png){width="0.6368055555555555in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27364.png){width="0.8229166666666666in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27365.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 又∵该二面角为钝角， ∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27365.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27366.png){width="1.7708333333333333in" height="1.8541666666666667in"} 【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是\|f（x）\|在区间\[﹣1，1\]上的最大值． （1）证明：当\|a\|≥2时，M（a，b）≥2； （2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求\|a\|+\|b\|的最大值． 【分析】（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明； （2）讨论a=b=0以及分析M（a，b）≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，进一步求出\|a\|+\|b\|的求值． 【解答】解：（1）由已知可得f（1）=1+a+b，f（﹣1）=1﹣a+b，对称轴为x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27367.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 因为\|a\|≥2，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27368.png){width="0.5930555555555556in" height="0.36527777777777776in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27369.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}≥1， 所以函数f（x）在\[﹣1，1\]上单调， 所以M（a，b）=max{\|f（1），\|f（﹣1）\|}=max{\|1+a+b\|，\|1﹣a+b\|}， 所以M（a，b）≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27370.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（\|1+a+b\|+\|1﹣a+b\|）≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27370.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|（1+a+b）﹣（1﹣a+b）\|≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27370.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|2a\|=\|a\|≥2； （2）当a=b=0时，\|a\|+\|b\|=0又\|a\|+\|b\|≥0，所以0为最小值，符合题意； 又对任意x∈\[﹣1，1\]．有﹣2≤x2+ax+b≤2， 得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤b﹣a≤1，﹣2≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27371.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}≤2， 易知（\|a\|+\|b\|）max=max{\|a﹣b\|，\|a+b\|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意， 所以\|a\|+\|b\|的最大值为3． 【点评】本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M（a，b）是\|f（x）\|在区间\[﹣1，1\]上的最大值，以及利用绝对值不等式变形． 　 19．（15分）已知椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27372.png){width="0.7083333333333334in" height="0.42569444444444443in"}上两个不同的点A，B关于直线y=mx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27373.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}对称． （1）求实数m的取值范围； （2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27374.png){width="1.6041666666666667in" height="1.5520833333333333in"} 【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27375.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27376.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}，代入△＞0，即可解出． （2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27377.png){width="1.0833333333333333in" height="0.36527777777777776in"}，再利用均值不等式即可得出． 【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27378.png){width="0.7083333333333334in" height="0.42569444444444443in"}，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0， 设线段AB的中点P（x0，y0），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27379.png){width="1.332638888888889in" height="0.4888888888888889in"}．x0=﹣m×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27380.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}+n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27381.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}， 由于点P在直线y=mx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27382.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}上，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27383.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27384.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27385.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27386.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0， 解得m2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27387.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27388.png){width="0.5930555555555556in" height="0.38472222222222224in"}或m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27389.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}． （2）直线AB与x轴交点横坐标为n， ∴S△OAB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27390.png){width="1.0833333333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27391.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|n\|•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27392.png){width="1.1875in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27393.png){width="1.4069444444444446in" height="0.5in"}， 由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27394.png){width="1.4694444444444446in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27395.png){width="0.7083333333333334in" height="0.42569444444444443in"}， ∴S△AOB![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27396.png){width="0.8229166666666666in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27397.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27398.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}，解得m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27399.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}， 当且仅当m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27399.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}时，S△AOB取得最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27400.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 　 20．（15分）已知数列{an}满足a1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27401.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}且an+1=an﹣an2（n∈N\*） （1）证明：1≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27402.png){width="0.36527777777777776in" height="0.48055555555555557in"}≤2（n∈N\*）； （2）设数列{an2}的前n项和为Sn，证明![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27403.png){width="1.7083333333333333in" height="0.42569444444444443in"}（n∈N\*）． 【分析】（1）通过题意易得0＜an≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27404.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（n∈N\*），利用an﹣an+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27405.png){width="0.28055555555555556in" height="0.28055555555555556in"}可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27406.png){width="0.36527777777777776in" height="0.48055555555555557in"}＞1，利用![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27406.png){width="0.36527777777777776in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27407.png){width="0.6145833333333334in" height="0.5298611111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27408.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}≤2，即得结论； （2）通过![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27409.png){width="0.28055555555555556in" height="0.28055555555555556in"}=an﹣an+1累加得Sn=a1﹣an+1，对an+1=an﹣an2两边同除以an+1an采用累积法可求出an+1的范围，从而得出结论． 【解答】证明：（1）由题意可知：an+1﹣an=﹣an2≤0，即an+1≤an， 故an≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27410.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，1≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27411.png){width="0.36527777777777776in" height="0.48055555555555557in"}． 由an=（1﹣an﹣1）an﹣1得an=（1﹣an﹣1）（1﹣an﹣2）...（1﹣a1）a1＞0． 所以0＜an≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27410.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（n∈N\*）， 又∵a2=a1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27412.png){width="0.28055555555555556in" height="0.28055555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27413.png){width="0.6145833333333334in" height="0.36527777777777776in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27414.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27415.png){width="0.16527777777777777in" height="0.7597222222222222in"}=2， 又∵an﹣an+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27416.png){width="0.28055555555555556in" height="0.28055555555555556in"}，∴an＞an+1，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27417.png){width="0.36527777777777776in" height="0.48055555555555557in"}＞1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27417.png){width="0.36527777777777776in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27418.png){width="0.6145833333333334in" height="0.5298611111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27419.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}≤2， ∴1≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27417.png){width="0.36527777777777776in" height="0.48055555555555557in"}≤2（n∈N\*）， 综上所述，1＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27420.png){width="0.36527777777777776in" height="0.48055555555555557in"}≤2（n∈N\*）； （2）由已知，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27421.png){width="0.28055555555555556in" height="0.28055555555555556in"}=an﹣an+1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27422.png){width="0.4173611111111111in" height="0.28055555555555556in"}=an﹣1﹣an，...，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27423.png){width="0.28055555555555556in" height="0.28055555555555556in"}=a1﹣a2， 累加，得Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27421.png){width="0.28055555555555556in" height="0.28055555555555556in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27422.png){width="0.4173611111111111in" height="0.28055555555555556in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27424.png){width="0.28055555555555556in" height="0.28055555555555556in"}=a1﹣an+1，① 由an+1=an﹣an2两边同除以an+1an得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27425.png){width="1.1465277777777778in" height="0.48055555555555557in"}和1≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27426.png){width="0.36527777777777776in" height="0.48055555555555557in"}≤2， 得1≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27427.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}≤2， 累加得1+1+...1≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27428.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27429.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27430.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27431.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27432.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}≤2+2+...+2， 所以n≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27433.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27434.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}≤2n， 因此![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27435.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}≤an+1≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27436.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}（n∈N\*） ②， 由①②得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27437.png){width="0.96875in" height="0.42569444444444443in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27435.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}（n∈N\*）． 【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题． 　 \ **2015年浙江省高考数学试卷（文科）** 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知集合P={x\|x2﹣2x≥3}，Q={x\|2＜x＜4}，则P∩Q=（　　） A．\[3，4） B．（2，3\] C．（﹣1，2） D．（﹣1，3\] 【分析】求出集合P，然后求解交集即可． 【解答】解：集合P={x\|x2﹣2x≥3}={x\|x≤﹣1或x≥3}， Q={x\|2＜x＜4}， 则P∩Q={x\|3≤x＜4}=\[3，4）． 故选：A． 【点评】本题考查二次不等式的解法，集合的交集的求法，考查计算能力． 　 2．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27438.png){width="1.7604166666666667in" height="2.5944444444444446in"} A．8cm3 B．12cm3 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27439.png){width="0.5215277777777778in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27440.png){width="0.5215277777777778in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可． 【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥， 所求几何体的体积为：23+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27441.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×2×2×2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27439.png){width="0.5215277777777778in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：C． 【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力． 　 3．（5分）设a，b是实数，则"a+b＞0"是"ab＞0"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可． 【解答】解：a，b是实数，如果a=﹣1，b=2则"a+b＞0"，则"ab＞0"不成立． 如果a=﹣1，b=﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立， 所以设a，b是实数，则"a+b＞0"是"ab＞0"的既不充分也不必要条件． 故选：D． 【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查． 　 4．（5分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（　　） A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m 【分析】A根据线面垂直的判定定理得出A正确； B根据面面垂直的性质判断B错误； C根据面面平行的判断定理得出C错误； D根据面面平行的性质判断D错误． 【解答】解：对于A，∵l⊥β，且l⊂α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正确； 对于B，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误； 对于C，当l∥β，且l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误； 对于D，当α∥β，且l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误． 故选：A． 【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础题目． 　 5．（5分）函数f（x）=﹣（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27442.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27443.png){width="1.0625in" height="0.90625in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27444.png){width="1.0729166666666667in" height="0.96875in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27445.png){width="1.0729166666666667in" height="1.0208333333333333in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27446.png){width="1.0625in" height="1.03125in"} 【分析】由条件可得函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据但是当x趋向于0时，f（x）＞0，结合所给的选项，得出结论． 【解答】解：对于函数f（x）=﹣（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27447.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣x）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称， 且满足f（﹣x）=﹣（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27447.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+x）cosx=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27447.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称． 故排除A、B． 当x=π，f（x）＞0，故排除D， 但是当x趋向于0时，f（x）＞0， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题． 　 6．（5分）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（　　） A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz 【分析】作差法逐个选项比较大小可得． 【解答】解：∵x＜y＜z且a＜b＜c， ∴ax+by+cz﹣（az+by+cx） =a（x﹣z）+c（z﹣x） =（x﹣z）（a﹣c）＞0， ∴ax+by+cz＞az+by+cx； 同理ay+bz+cx﹣（ay+bx+cz） =b（z﹣x）+c（x﹣z） =（z﹣x）（b﹣c）＜0， ∴ay+bz+cx＜ay+bx+cz； 同理az+by+cx﹣（ay+bz+cx） =a（z﹣y）+b（y﹣z） =（z﹣y）（a﹣b）＜0， ∴az+by+cx＜ay+bz+cx， ∴最低费用为az+by+cx 故选：B． 【点评】本题考查函数的最值，涉及作差法比较不等式的大小，属中档题． 　 7．（5分）如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27448.png){width="1.375in" height="0.9270833333333334in"} A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 【分析】根据题意，∠PAB=30°为定值，可得点P的轨迹为一以AB为轴线的圆锥侧面与平面α的交线，则答案可求． 【解答】解：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线． 此题中平面α上的动点P满足∠PAB=30°，可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上， 再由斜线段AB与平面α所成的角为60°，可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义． 故可知动点P的轨迹是椭圆． 故选：C． 【点评】本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 　 8．（5分）设实数a，b，t满足\|a+1\|=\|sinb\|=t．则（　　） A．若t确定，则b2唯一确定 B．若t确定，则a2+2a唯一确定 C．若t确定，则sin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27449.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}唯一确定 D．若t确定，则a2+a唯一确定 【分析】根据代数式得出a2+2a=t2﹣1，sin2b=t2，运用条件，结合三角函数可判断答案． 【解答】解：∵实数a，b，t满足\|a+1\|=t， ∴（a+1）2=t2， a2+2a=t2﹣1， t确定，则t2﹣1为定值． sin2b=t2， A，C不正确， ∴若t确定，则a2+2a唯一确定， 故选：B． 【点评】本题考查了命题的判断真假，属于容易题，关键是得出a2+2a=t2﹣1，即可判断． 　 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 9．（6分）计算：log2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27450.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27451.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}　，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27452.png){width="0.9576388888888889in" height="0.26944444444444443in"}=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27453.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}　． 【分析】直接利用对数运算法则化简求值即可． 【解答】解：log2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27450.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}=log2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27454.png){width="0.31319444444444444in" height="0.38472222222222224in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27455.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}； 2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27456.png){width="0.9576388888888889in" height="0.26944444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27457.png){width="1.03125in" height="0.3958333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27458.png){width="0.8861111111111111in" height="0.4479166666666667in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27459.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27460.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}；![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27461.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查对数的运算法则的应用，基本知识的考查． 　 10．（6分）已知{an}是等差数列，公差d不为零，若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27462.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}　，d=　﹣1　． 【分析】运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得d=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27463.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}a1，再由条件2a1+a2=1，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差． 【解答】解：由a2，a3，a7成等比数列， 则a32=a2a7， 即有（a1+2d）2=（a1+d）（a1+6d）， 即2d2+3a1d=0， 由公差d不为零， 则d=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27463.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}a1， 又2a1+a2=1， 即有2a1+a1+d=1， 即3a1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27463.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}a1=1， 解得a1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27464.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，d=﹣1． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27464.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，﹣1． 【点评】本题考查等差数列首项和公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用． 　 11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是　π　，最小值是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27465.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}　． 【分析】由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27466.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27467.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27468.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期，最小值． 【解答】解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx+1 =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27469.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27470.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}sin2x+1 =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27471.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27472.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27473.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． ∴最小正周期T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27474.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}，最小值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27475.png){width="1.0097222222222222in" height="0.38472222222222224in"}． 故答案为：π，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27476.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查． 　 12．（6分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27477.png){width="1.113888888888889in" height="0.6666666666666666in"}，则f（f（﹣2））=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27478.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}　，f（x）的最小值是　2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27479.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣6　． 【分析】由分段函数的特点易得f（f（﹣2））=的值；分别由二次函数和基本不等式可得各段的最小值，比较可得． 【解答】解：由题意可得f（﹣2）=（﹣2）2=4， ∴f（f（﹣2））=f（4）=4+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27480.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣6=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27481.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}； ∵当x≤1时，f（x）=x2， 由二次函数可知当x=0时，函数取最小值0； 当x＞1时，f（x）=x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27482.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣6， 由基本不等式可得f（x）=x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27482.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣6≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27483.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}﹣6=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27484.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣6， 当且仅当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27485.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}即x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27484.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}时取到等号，即此时函数取最小值2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27484.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣6； ∵2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27484.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣6＜0，∴f（x）的最小值为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27484.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣6 故答案为：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27486.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}；2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27484.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣6 【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质和基本不等式，属中档题． 　 13．（4分）已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27487.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27487.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2是平面单位向量，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27488.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}1•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27488.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27489.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，若平面向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27490.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27490.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27488.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27490.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27491.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=1，则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27490.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27492.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}　． 【分析】根据数量积得出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27493.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27493.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2夹角为60°，＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27494.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27493.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}1＞=＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27494.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27493.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2＞=30°，运用数量积的定义判断求解即可． 【解答】解：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27493.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27493.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2是平面单位向量，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27493.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}1•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27495.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27496.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27495.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27495.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2夹角为60°， ∵向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27497.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27497.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27495.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27497.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27498.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=1 ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27499.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27500.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27500.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2夹角相等，且为锐角， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27499.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}应该在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27500.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27500.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2夹角的平分线上， 即＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27499.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27500.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}1＞=＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27499.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27501.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2＞=30°， \|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27502.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|×1×cos30°=1， ∴\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27502.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27503.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27503.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27504.png){width="1.59375in" height="1.03125in"} 【点评】本题简单的考查了平面向量的运算，数量积的定义，几何图形的运用，属于容易题，关键是判断夹角即可． 　 14．（4分）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则\|2x+y﹣4\|+\|6﹣x﹣3y\|的最大值是　15　． 【分析】由题意可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0，去绝对值后得到目标函数z=﹣3x﹣4y+10，然后结合圆心到直线的距离求得\|2x+y﹣4\|+\|6﹣x﹣3y\|的最大值． 【解答】解：如图， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27505.png){width="1.9166666666666667in" height="1.6458333333333333in"} 由x2+y2≤1， 可得2x+y﹣4＜0，6﹣x﹣3y＞0， 则\|2x+y﹣4\|+\|6﹣x﹣3y\|=﹣2x﹣y+4+6﹣x﹣3y=﹣3x﹣4y+10， 令z=﹣3x﹣4y+10，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27506.png){width="0.96875in" height="0.36527777777777776in"}， 如图， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27507.png){width="2.1145833333333335in" height="1.78125in"} 要使z=﹣3x﹣4y+10最大，则直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27506.png){width="0.96875in" height="0.36527777777777776in"}在y轴上的截距最小， 由z=﹣3x﹣4y+10，得3x+4y+z﹣10=0． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27508.png){width="0.7402777777777778in" height="0.36527777777777776in"}，即z=15或z=5． 由题意可得z的最大值为15． 故答案为：15． 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题． 　 15．（4分）椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27509.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27510.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27511.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27512.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}　． 【分析】设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可． 【解答】解：设Q（m，n），由题意可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27513.png){width="1.2395833333333333in" height="1.332638888888889in"}， 由①②可得：m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27514.png){width="0.6041666666666666in" height="0.48055555555555557in"}，n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27515.png){width="0.4173611111111111in" height="0.48055555555555557in"}，代入③可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27516.png){width="1.9583333333333333in" height="0.7819444444444444in"}， 可得，4e6+e2﹣1=0． 即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0， 可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0 解得e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27517.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27517.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力． 　 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27518.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+A）=2． （Ⅰ）求![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27519.png){width="1.0208333333333333in" height="0.42569444444444443in"}的值； （Ⅱ）若B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27518.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，a=3，求△ABC的面积． 【分析】（Ⅰ）由两角和与差的正切函数公式及已知可得tanA，由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解． （Ⅱ）由tanA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27520.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，A∈（0，π），可得sinA，cosA．又由正弦定理可得b，由sinC=sin（A+B）=sin（A+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27518.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），可得sinC，利用三角形面积公式即可得解． 【解答】解：（Ⅰ）由tan（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27518.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+A）=2．可得tanA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27521.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27522.png){width="1.0208333333333333in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27523.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27524.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． （Ⅱ）由tanA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27521.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，A∈（0，π），可得sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27525.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}，cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27526.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}． 又由a=3，B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27527.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}及正弦定理![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27528.png){width="0.875in" height="0.36527777777777776in"}，可得b=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27529.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 由sinC=sin（A+B）=sin（A+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27527.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}），可得sinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27530.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． 设△ABC的面积为S，则S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27531.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}absinC=9． 【点评】本题主要考查了三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理等基本知识的应用，同时考查了运算求解能力，属于中档题． 　 17．（15分）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N\*），b1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27532.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}b2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27533.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}b3+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27534.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}bn=bn+1﹣1（n∈N\*） （Ⅰ）求an与bn； （Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn． 【分析】（Ⅰ）直接由a1=2，an+1=2an，可得数列{an}为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式； 再由b1=1，b1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27532.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}b2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27533.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}b3+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27535.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}bn=bn+1﹣1，取n=1求得b2=2，当n≥2时，得另一递推式，作差得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27536.png){width="1.0506944444444444in" height="0.36527777777777776in"}，整理得数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27537.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}}为常数列，由此可得{bn}的通项公式； （Ⅱ）求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27538.png){width="0.8534722222222222in" height="0.28055555555555556in"}，然后利用错位相减法求数列{anbn}的前n项和为Tn． 【解答】解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=2an，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27539.png){width="1.1465277777777778in" height="0.28055555555555556in"}． 由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2， 当n≥2时，b1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27540.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}b2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27541.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}b3+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27542.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}=bn﹣1，和原递推式作差得， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27543.png){width="1.0506944444444444in" height="0.36527777777777776in"}，整理得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27544.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27545.png){width="1.0097222222222222in" height="0.28055555555555556in"}； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27546.png){width="0.8534722222222222in" height="0.28055555555555556in"}， 因此![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27547.png){width="1.9993055555555554in" height="0.28055555555555556in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27548.png){width="2.3652777777777776in" height="0.28055555555555556in"}， 两式作差得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27549.png){width="3.28125in" height="0.42569444444444443in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27550.png){width="1.3131944444444446in" height="0.28055555555555556in"}（n∈N\*）． 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题． 　 18．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点． （Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC； （Ⅱ）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27551.png){width="1.625in" height="1.625in"} 【分析】（I）连接AO，A1D，根据几何体的性质得出A1O⊥A1D，A1D⊥BC，利用直线平面的垂直定理判断． （II）利用空间向量的垂直得出平面BB1C1C的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27552.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27553.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，0，1），\|根据与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27554.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}数量积求解余弦值，即可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值． 【解答】证明：（I）∵AB=AC=2，D是B1C1的中点． ∴A1D⊥B1C1， ∵BC∥B1C1， ∴A1D⊥BC， ∵A1O⊥面ABC，A1D∥AO， ∴A1O⊥AO，A1O⊥BC ∵BC∩AO=O，A1O⊥A1D，A1D⊥BC ∴A1D⊥平面A1BC ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27555.png){width="1.625in" height="1.625in"} 解：（II） 建立坐标系如图 ∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4 ∴O（0，0，0），B（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27556.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，0），B1（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27556.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27556.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27557.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}），A1（0，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27558.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}） 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27559.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27560.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27558.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27561.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27560.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27562.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27563.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27564.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}）， 设平面BB1C1C的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27565.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（x，y，z）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27566.png){width="0.8013888888888889in" height="0.5409722222222222in"}即得出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27567.png){width="1.1659722222222222in" height="0.42569444444444443in"} 得出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27565.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27568.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，0，1），\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27569.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}\|=4，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27570.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27571.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"} ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27572.png){width="0.5104166666666666in" height="0.26944444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27573.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， ∴cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27570.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27569.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27574.png){width="0.5930555555555556in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27575.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， 可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27575.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27576.png){width="1.7708333333333333in" height="1.875in"} 【点评】本题考查了空间几何体的性质，直线平面的垂直问题，空间向量的运用，空间想象能力，计算能力，属于中档题． 　 19．（15分）如图，已知抛物线C1：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27577.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x2，圆C2：x2+（y﹣1）2=1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点． （Ⅰ）求点A，B的坐标； （Ⅱ）求△PAB的面积． 注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27578.png){width="2.2916666666666665in" height="1.375in"} 【分析】（I）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4kt=0，利用△=0，解得k=t，可得A坐标．圆C2的圆心D（0，1），设B（x0，y0），由题意可知：点B与O关于直线PD对称，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27579.png){width="0.9270833333333334in" height="0.7298611111111111in"}，解得B坐标． （II）由（I）可得：（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，可得点P到直线AB的距离d，又\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27580.png){width="2.1666666666666665in" height="0.5in"}．即可得出S△PAB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27581.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}． 【解答】解：（I）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27582.png){width="0.7923611111111111in" height="0.6041666666666666in"}， 化为x2﹣4kx+4kt=0， ∵△=16k2﹣16kt=0，解得k=t， ∴x=2t，∴A（2t，t2）． 圆C2的圆心D（0，1），设B（x0，y0），由题意可知：点B与O关于直线PD对称， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27583.png){width="0.9270833333333334in" height="0.7298611111111111in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27584.png){width="0.8118055555555556in" height="0.9576388888888889in"}． ∴B![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27585.png){width="1.2180555555555554in" height="0.48055555555555557in"}． （II）由（I）可得：kAB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27586.png){width="0.7402777777777778in" height="0.9270833333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27587.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}，直线AB的方程为：y﹣t2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27588.png){width="0.9381944444444444in" height="0.42569444444444443in"}，化为（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0， ∴点P到直线AB的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27589.png){width="1.4479166666666667in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27590.png){width="0.4173611111111111in" height="0.48055555555555557in"}=t， 又\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27591.png){width="2.1666666666666665in" height="0.5in"}=t2． ∴S△PAB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27592.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27593.png){width="0.3326388888888889in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题． 　 20．（15分）设函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）． （Ⅰ）当b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27594.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+1时，求函数f（x）在\[﹣1，1\]上的最小值g（a）的表达式． （Ⅱ）已知函数f（x）在\[﹣1，1\]上存在零点，0≤b﹣2a≤1，求b的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间\[﹣1，1\]的关系，运用函数的单调性即可得到最小值； （Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1，运用韦达定理和已知条件，得到s的不等式，讨论t的范围，得到st的范围，由分式函数的值域，即可得到所求b的范围． 【解答】解：（Ⅰ）当b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27594.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+1时，f（x）=（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27595.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）2+1，对称轴为x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27595.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 当a≤﹣2时，函数f（x）在\[﹣1，1\]上递减，则g（a）=f（1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27594.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+a+2； 当﹣2＜a≤2时，即有﹣1≤﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27595.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜1，则g（a）=f（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27595.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=1； 当a＞2时，函数f（x）在\[﹣1，1\]上递增，则g（a）=f（﹣1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27596.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣a+2． 综上可得，g（a）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27597.png){width="1.270138888888889in" height="1.1569444444444446in"}； （Ⅱ）设s，t是方程f（x）=0的解，且﹣1≤t≤1， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27598.png){width="0.6256944444444444in" height="0.3958333333333333in"}， 由于0≤b﹣2a≤1， 由此![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27599.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}≤s≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27600.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}（﹣1≤t≤1）， 当0≤t≤1时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27601.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}≤st≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27602.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}， 由﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27603.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27601.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}≤0，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27602.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}=9﹣\[（2（t+2）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27604.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}\]≤9﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27605.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， 得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27606.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27607.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}≤9﹣4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27608.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 所以﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27609.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}≤b≤9﹣4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27608.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}； 当﹣1≤t＜0时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27607.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}≤st≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27610.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}， 由于﹣2≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27610.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}＜0和﹣3≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27611.png){width="0.5in" height="0.42569444444444443in"}＜0，所以﹣3≤b＜0， 故b的取值范围是\[﹣3，9﹣4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27612.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\]． 【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零点的关系，以及韦达定理的运用，考查不等式的性质和分式函数的最值的求法，属于中档题． 　 \ **2015年重庆市高考数学试卷（理科）** 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（　　） A．A=B B．A∩B=∅ C．A![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27613.png){width="0.1875in" height="0.32430555555555557in"}B D．B![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27613.png){width="0.1875in" height="0.32430555555555557in"}A 【分析】直接利用集合的运算法则求解即可． 【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，3}， 可得A≠B，A∩B={2，3}，B![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27614.png){width="0.1875in" height="0.32430555555555557in"}A，所以D正确． 故选：D． 【点评】本题考查集合的基本运算，基本知识的考查． 　 2．（5分）在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．6 【分析】直接利用等差中项求解即可． 【解答】解：在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a4=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27615.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（a2+a6）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27616.png){width="0.7083333333333334in" height="0.36527777777777776in"}=2， 解得a6=0． 故选：B． 【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力． 　 3．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27617.png){width="1.75in" height="0.9375in"} A．19 B．20 C．21.5 D．23 【分析】根据中位数的定义进行求解即可． 【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20， 则中位数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27618.png){width="0.7402777777777778in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：B． 【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础． 　 4．（5分）"x＞1"是"![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27619.png){width="0.4173611111111111in" height="0.3958333333333333in"}（x+2）＜0"的（　　） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】解"![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27619.png){width="0.4173611111111111in" height="0.3958333333333333in"}（x+2）＜0"，求出其充要条件，再和x＞1比较，从而求出答案． 【解答】解：由"![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27619.png){width="0.4173611111111111in" height="0.3958333333333333in"}（x+2）＜0" 得：x+2＞1，解得：x＞﹣1， 故"x＞1"是"![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27619.png){width="0.4173611111111111in" height="0.3958333333333333in"}（x+2）＜0"的充分不必要条件， 故选：B． 【点评】本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题． 　 5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27620.png){width="2.34375in" height="2.1666666666666665in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27621.png){width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27622.png){width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27623.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27624.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可． 【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27625.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2， 所求几何体的体积为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27626.png){width="2.4590277777777776in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27627.png){width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：A． 【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键． 　 6．（5分）若非零向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27628.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27629.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27630.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27631.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27629.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\|，且（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27630.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27629.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）⊥（3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27630.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27629.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27630.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27632.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}的夹角为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27633.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27634.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27635.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} D．π 【分析】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可． 【解答】解：∵（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27636.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27632.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）⊥（3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27636.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27632.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）， ∴（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27637.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27638.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）•（3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27637.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27638.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）=0， 即3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27637.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27638.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27637.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27638.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=0， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27637.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27638.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27639.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27640.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27641.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27640.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}2， ∴cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27639.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27640.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27642.png){width="0.6368055555555555in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27643.png){width="0.5736111111111111in" height="0.7819444444444444in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27644.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， 即＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27645.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27646.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27647.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：A． 【点评】本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键． 　 7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27648.png){width="1.4583333333333333in" height="3.5631944444444446in"} A．s≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27649.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．s≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27650.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．s≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27651.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．s≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27652.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27651.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}时，退出循环，输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27653.png){width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"}． 【解答】解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8， 因此S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27654.png){width="0.9381944444444444in" height="0.36527777777777776in"}（此时k=6）， 因此可填：S![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27653.png){width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：C． 【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键． 　 8．（5分）已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则\|AB\|=（　　） A．2 B．6 C．4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27655.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27656.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} 【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得\|AB\|的值． 【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4， 表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆． 由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1）， 故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）． ∵AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27657.png){width="1.4479166666666667in" height="0.25in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27656.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，CB=R=2， ∴切线的长\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27658.png){width="0.875in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27659.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}=6． 故选：B． 【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题． 　 9．（5分）若tanα=2tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27660.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27661.png){width="1.042361111111111in" height="0.7597222222222222in"}=（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可． 【解答】解：tanα=2tan![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27660.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27661.png){width="1.042361111111111in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27662.png){width="2.092361111111111in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27663.png){width="1.6777777777777778in" height="0.7597222222222222in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27664.png){width="1.8340277777777778in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27665.png){width="1.886111111111111in" height="1.5520833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27666.png){width="2.3222222222222224in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27667.png){width="2.2395833333333335in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27668.png){width="1.667361111111111in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27669.png){width="3.1555555555555554in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27670.png){width="1.2506944444444446in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27671.png){width="0.6041666666666666in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27672.png){width="1.03125in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27673.png){width="0.6041666666666666in" height="0.7597222222222222in"}=3． 故选：C． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力． 　 10．（5分）设双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27674.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27675.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（　　） A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27676.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，0）∪（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27676.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}） D．（﹣∞，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27676.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）∪（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27676.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，+∞） 【分析】由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AB得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27677.png){width="0.3020833333333333in" height="0.6256944444444444in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27678.png){width="0.3020833333333333in" height="0.6256944444444444in"}=﹣1，求出c﹣x，利用D到直线BC的距离小于a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27679.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}，即可得出结论． 【解答】解：由题意，A（a，0），B（c，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27680.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}），C（c，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27680.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}），由双曲线的对称性知D在x轴上， 设D（x，0），则由BD⊥AB得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27681.png){width="0.3020833333333333in" height="0.6256944444444444in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27678.png){width="0.3020833333333333in" height="0.6256944444444444in"}=﹣1， ∴c﹣x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27682.png){width="0.6666666666666666in" height="0.48055555555555557in"}， ∵D到直线BC的距离小于a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27683.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}， ∴c﹣x=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27682.png){width="0.6666666666666666in" height="0.48055555555555557in"}\|＜a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27683.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27684.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}＜c2﹣a2=b2， ∴0＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27685.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜1， ∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键． 　 二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．（5分）设复数a+bi（a，b∈R）的模为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27686.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则（a+bi）（a﹣bi）=　3　． 【分析】将所求利用平方差公式展开得到a2+b2，恰好为已知复数的模的平方． 【解答】解：因为复数a+bi（a，b∈R）的模为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27686.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 所以a2+b2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27687.png){width="0.5104166666666666in" height="0.25in"}=3，则（a+bi）（a﹣bi）=a2+b2=3； 故答案为：3． 【点评】本题考查了复数的模以及复数的乘法运算；属于基础题． 　 12．（5分）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27688.png){width="0.9381944444444444in" height="0.38472222222222224in"}的展开式中x8的系数是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27689.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}　（用数字作答）． 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式中的x8的系数． 【解答】解：由于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27688.png){width="0.9381944444444444in" height="0.38472222222222224in"}的展开式的通项公式为 Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27690.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27691.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27692.png){width="0.5104166666666666in" height="0.38472222222222224in"}， 令15﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27693.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=8，求得r=2，故开式中x8的系数是 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27694.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27695.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27696.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27696.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 　 13．（5分）在△ABC中，B=120°，AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27697.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，A的角平分线AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27698.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则AC=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27699.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}　． 【分析】利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可． 【解答】解：由题意以及正弦定理可知：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27700.png){width="1.2090277777777778in" height="0.36527777777777776in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27701.png){width="1.0944444444444446in" height="0.6041666666666666in"}，∠ADB=45°， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27702.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形， AC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27703.png){width="0.8118055555555556in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27704.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27704.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力． 　 三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分． 14．（5分）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=　2　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27705.png){width="1.2708333333333333in" height="1.0520833333333333in"} 【分析】利用切割线定理计算CE，利用相交弦定理求出BE即可． 【解答】解：设CE=2x，ED=x，则 ∵过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P， ∴由切割线定理可得PA2=PC•PD，即36=3×（3+3x）， ∵x=3， 由相交弦定理可得9BE=CE•ED，即9BE=6×3， ∴BE=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础． 　 15．（5分）已知直线l的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27706.png){width="0.6256944444444444in" height="0.40625in"}（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27707.png){width="2.8645833333333335in" height="0.36527777777777776in"}，则直线l与曲线C的交点的极坐标为　（2，π）　． 【分析】求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我2极坐标即可． 【解答】解：直线l的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27706.png){width="0.6256944444444444in" height="0.40625in"}（t为参数），它的直角坐标方程为：x﹣y+2=0； 曲线C的极坐标方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27707.png){width="2.8645833333333335in" height="0.36527777777777776in"}， 可得它的直角坐标方程为：x2﹣y2=4，x＜0． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27708.png){width="0.7819444444444444in" height="0.48055555555555557in"}，可得x=﹣2，y=0， 交点坐标为（﹣2，0）， 它的极坐标为（2，π）． 故答案为：（2，π）． 【点评】本题考查曲线的极坐标方程直线的参数方程与普通方程的互化，基本知识的考查． 　 16．若函数f（x）=\|x+1\|+2\|x﹣a\|的最小值为5，则实数a=　﹣6或4　． 【分析】分类讨论a与﹣1的大小关系，化简函数f（x）的解析式，利用单调性求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值等于5，求得a的值． 【解答】解：∵函数f（x）=\|x+1\|+2\|x﹣a\|，故当a＜﹣1时，f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27709.png){width="1.4590277777777778in" height="0.6972222222222222in"}， 根据它的最小值为f（a）=﹣3a+2a﹣1=5，求得a=﹣6． 当a=﹣1时，f（x）=3\|x+1\|，它的最小值为0，不满足条件． 当a≥﹣1时，f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27710.png){width="1.5409722222222222in" height="0.6972222222222222in"}， 根据它的最小值为f（a）=a+1=5，求得a=4． 综上可得，a=﹣6 或a=4， 故答案为：﹣6或4． 【点评】本题主要考查对由绝对值的函数，利用单调性求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题． 　 四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（13分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． （Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率； （Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望． 【分析】（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可； （Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望． 【解答】解：（Ⅰ）令A表示事件"三种粽子各取到1个"， 则由古典概型的概率公式有P（A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27711.png){width="0.6145833333333334in" height="0.5840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27712.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． （Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2， 则P（X=0）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27713.png){width="0.2916666666666667in" height="0.5840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27714.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，P（X=1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27715.png){width="0.4173611111111111in" height="0.5840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27716.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，P（X=2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27717.png){width="0.4173611111111111in" height="0.5840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27718.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ X 0 1 2 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27716.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27716.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27718.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ EX=0×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27716.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+1×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27719.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27720.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27721.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键． 　 18．（13分）已知函数f（x）=sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27722.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣x）sinx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27723.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}cos2x． （I）求f（x）的最小正周期和最大值； （II）讨论f（x）在\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27724.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27725.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}\]上的单调性． 【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值． （Ⅱ）根据2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27726.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}∈\[0，π\]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27727.png){width="0.9166666666666666in" height="0.36527777777777776in"}上的单调性． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27728.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}﹣x）sinx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27729.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}x=cosxsinx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27730.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}（1+cos2x） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27731.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}sin2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27732.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}cos2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27732.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}=sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27733.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27732.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， 故函数的周期为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27734.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=π，最大值为1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27732.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． （Ⅱ）当x∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27735.png){width="0.9166666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 时，2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27736.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}∈\[0，π\]，故当0≤2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27736.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27737.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}时，即x∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27738.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27739.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}\]时，f（x）为增函数； 当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27737.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≤2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27740.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}≤π时，即x∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27741.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27742.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}\]时，f（x）为减函数． 【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题． 　 19．（13分）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27743.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27744.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，CE=2EB=2． （Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD （Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27745.png){width="1.5in" height="1.4479166666666667in"} 【分析】（Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得； （Ⅱ）以C为原点，分别以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27746.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27747.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27748.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，易得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27749.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27750.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27751.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}的坐标，可求平面PAD的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27752.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}，平面PCD的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27753.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}可取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27754.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，由向量的夹角公式可得． 【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE， ∵CE=2，CD=DE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27755.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，∴△CDE为等腰直角三角形， ∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C， DE垂直于平面PCD内的两条相交直线， ∴DE⊥平面PCD （Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27756.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2， 由∠ACB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27757.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}得DF∥AC，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27758.png){width="0.7819444444444444in" height="0.36527777777777776in"}，故AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27759.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}DF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27759.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 以C为原点，分别以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27760.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27761.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27762.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系， 则C（0，0，0），P（0，0，3），A（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27763.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27764.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（1，﹣1，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27765.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（﹣1，﹣1，3），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27766.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27767.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，﹣1，0）， 设平面PAD的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27768.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=（x，y，z），由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27769.png){width="1.4479166666666667in" height="0.6972222222222222in"}， 故可取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27770.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=（2，1，1）， 由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27771.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}可取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27772.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（1，﹣1，0）， ∴两法向量夹角的余弦值cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27770.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27773.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27774.png){width="0.8118055555555556in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27775.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} ∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27775.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27776.png){width="2.604861111111111in" height="2.4583333333333335in"} 【点评】本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属难题． 　 20．（12分）设函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27777.png){width="0.6041666666666666in" height="0.48055555555555557in"}（a∈R） （Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）若f（x）在\[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围． 【分析】（I）f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27778.png){width="1.1875in" height="0.48055555555555557in"}，由f（x）在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （II）解法一：由（I）可得：f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27778.png){width="1.1875in" height="0.48055555555555557in"}，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27779.png){width="0.9576388888888889in" height="0.4479166666666667in"}，x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27780.png){width="0.9576388888888889in" height="0.4479166666666667in"}．对x分类讨论：当x＜x1时；当x1＜x＜x2时；当x＞x2时．由f（x）在\[3，+∞）上为减函数，可知：x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27780.png){width="0.9576388888888889in" height="0.4479166666666667in"}≤3，解得即可． 解法二："分离参数法"：由f（x）在\[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0，可得a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27781.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}，在\[3，+∞）上恒成立．令u（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27781.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}，利用导数研究其最大值即可． 【解答】解：（I）f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27782.png){width="1.7604166666666667in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27783.png){width="1.1875in" height="0.48055555555555557in"}， ∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0． 当a=0时，f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27784.png){width="0.3326388888888889in" height="0.48055555555555557in"}，f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27785.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}， ∴f（1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27786.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，f′（1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27786.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27787.png){width="1.0013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，化为：3x﹣ey=0； （II）解法一：由（I）可得：f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27788.png){width="1.1875in" height="0.48055555555555557in"}，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a， 由g（x）=0，解得x1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27789.png){width="0.9576388888888889in" height="0.4479166666666667in"}，x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27790.png){width="0.9576388888888889in" height="0.4479166666666667in"}． 当x＜x1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数； 当x1＜x＜x2时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数； 当x＞x2时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数． 由f（x）在\[3，+∞）上为减函数，可知：x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27790.png){width="0.9576388888888889in" height="0.4479166666666667in"}≤3，解得a≥﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27791.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 因此a的取值范围为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27792.png){width="0.8444444444444444in" height="0.36527777777777776in"}． 解法二：由f（x）在\[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0， 可得a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27793.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}，在\[3，+∞）上恒成立． 令u（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27793.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}，u′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27794.png){width="1.104861111111111in" height="0.48055555555555557in"}＜0， ∴u（x）在\[3，+∞）上单调递减， ∴a≥u（3）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27795.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 因此a的取值范围为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27796.png){width="0.8444444444444444in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、"分离参数法"、推理能力与计算能力，属于难题． 　 21．（12分）如题图，椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27797.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1 （Ⅰ）若\|PF1\|=2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27798.png){width="0.7597222222222222in" height="0.23958333333333334in"}\|=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27799.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若\|PF1\|=\|PQ\|，求椭圆的离心率e． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27800.png){width="2.3125in" height="1.7916666666666667in"} 【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=\|PF1\|+\|PF2\|，求出a，再根据2c=\|F1F2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27801.png){width="1.332638888888889in" height="0.3020833333333333in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27802.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求出c，进而求出椭圆的标准方程； （Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得\|QF1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27803.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\|PF1\|=4a﹣2\|PF1\|，解得\|PF1\|=2（2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27803.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）a，从而\|PF2\|=2a﹣\|PF1\|=2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27804.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣1）a，再一次根据勾股定理可求出离心率． 【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=\|PF1\|+\|PF2\|=2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27804.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}+2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27804.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}=4，故a=2， 设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c=\|F1F2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27805.png){width="1.332638888888889in" height="0.3020833333333333in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27806.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，即c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27806.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，从而b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27807.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}=1， 故所求椭圆的标准方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27808.png){width="0.7083333333333334in" height="0.42569444444444443in"}． （Ⅱ）连接F1Q，由椭圆的定义，\|PF1\|+\|PF2\|=2a，\|QF1\|+\|QF2\|=2a， 从而由\|PF1\|=\|PQ\|=\|PF2\|+\|QF2\|， 有\|QF1\|=4a﹣2\|PF1\|， 又由PQ⊥PF1，\|PF1\|=\|PQ\|，知\|QF1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27809.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\|PF1\|=4a﹣2\|PF1\|，解得\|PF1\|=2（2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27809.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）a，从而\|PF2\|=2a﹣\|PF1\|=2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27809.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}﹣1）a， 由PF2⊥PF1，知2c=\|F1F2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27810.png){width="1.332638888888889in" height="0.3020833333333333in"}，因此e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27811.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27812.png){width="1.3652777777777778in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27813.png){width="1.5520833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27814.png){width="0.5840277777777778in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27815.png){width="0.5215277777777778in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查了椭圆的定义2a=\|PF1\|+\|PF2\|，椭圆的标准方程，直角三角形的勾股定理，属于中档题． 　 22．（12分）在数列{an}中，a1=3，an+1an+λan+1+μan2=0（n∈N+） （Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若λ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27816.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}（k0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27817.png){width="0.5215277777777778in" height="0.42569444444444443in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27818.png){width="0.42569444444444443in" height="0.2611111111111111in"}＜2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27819.png){width="0.5215277777777778in" height="0.42569444444444443in"}． 【分析】（Ⅰ）把λ=0，μ=﹣2代入数列递推式，得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27820.png){width="0.9902777777777778in" height="0.28055555555555556in"}（ n∈N+），分析an≠0后可得an+1=2an（n∈N+），即{an}是一个公比q=2的等比数列．从而可得数列的通项公式； （Ⅱ）把![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27821.png){width="1.104861111111111in" height="0.42569444444444443in"}代入数列递推式，整理后可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27822.png){width="1.417361111111111in" height="0.42569444444444443in"}（n∈N）．进一步得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27823.png){width="2.2284722222222224in" height="0.9270833333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27824.png){width="1.5520833333333333in" height="0.42569444444444443in"}，对n=1，2，...，k0求和后放缩可得不等式左边，结合![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27825.png){width="2.2395833333333335in" height="0.28055555555555556in"}，进一步利用放缩法证明不等式右边． 【解答】（Ⅰ）解：由λ=0，μ=﹣2，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27826.png){width="0.9902777777777778in" height="0.28055555555555556in"} （ n∈N+）． 若存在某个n0∈N+，使得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27827.png){width="0.4583333333333333in" height="0.2611111111111111in"}，则由上述递推公式易得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27828.png){width="0.6145833333333334in" height="0.2611111111111111in"}，重复上述过程可得a1=0，此与a1=3矛盾， ∴对任意n∈N+，an≠0． 从而an+1=2an（n∈N+），即{an}是一个公比q=2的等比数列． 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27829.png){width="1.417361111111111in" height="0.28055555555555556in"}． （Ⅱ）证明：由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27830.png){width="1.104861111111111in" height="0.42569444444444443in"}，数列{an}的递推关系式变为 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27831.png){width="1.738888888888889in" height="0.42569444444444443in"}，变形为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27832.png){width="1.417361111111111in" height="0.42569444444444443in"}（n∈N）． 由上式及a1=3＞0，归纳可得 3=a1＞a2＞...＞an＞an+1＞...＞0． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27833.png){width="2.2284722222222224in" height="0.9270833333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27834.png){width="1.5520833333333333in" height="0.42569444444444443in"}， ∴对n=1，2，...，k0求和得： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27835.png){width="2.8125in" height="0.2611111111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27836.png){width="3.7805555555555554in" height="0.4583333333333333in"} ＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27837.png){width="3.4680555555555554in" height="0.42569444444444443in"}． 另一方面，由上已证的不等式知，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27838.png){width="2.2395833333333335in" height="0.28055555555555556in"}， 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27839.png){width="4.301388888888889in" height="0.4583333333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27840.png){width="2.8756944444444446in" height="0.6666666666666666in"}=2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27841.png){width="0.5215277777777778in" height="0.42569444444444443in"}． 综上，2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27842.png){width="0.5215277777777778in" height="0.42569444444444443in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27843.png){width="0.42569444444444443in" height="0.2611111111111111in"}＜2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27841.png){width="0.5215277777777778in" height="0.42569444444444443in"}． 【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了放缩法证明数列不等式属难度较大的题目． 　 \ **2015年重庆市高考数学试卷（文科）** 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（　　） A．{2} B．{1，2} C．{1，3} D．{1，2，3} 【分析】直接利用集合的交集的求法求解即可． 【解答】解：集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B={1，3}． 故选：C． 【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力． 　 2．（5分）"x=1"是"x2﹣2x+1=0"的（　　） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】先求出方程x2﹣2x+1=0的解，再和x=1比较，从而得到答案． 【解答】解：由x2﹣2x+1=0，解得：x=1， 故"x=1"是"x2﹣2x+1=0"的充要条件， 故选：A． 【点评】本题考察了充分必要条件，考察一元二次方程问题，是一道基础题． 　 3．（5分）函数f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（　　） A．\[﹣3，1\] B．（﹣3，1） C．（﹣∞，﹣3\]∪\[1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） 【分析】利用对数函数的真数大于0求得函数定义域． 【解答】解：由题意得：x2+2x﹣3＞0，即（x﹣1）（x+3）＞0 解得x＞1或x＜﹣3 所以定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） 故选：D． 【点评】本题主要考查函数的定义域的求法．属简单题型．高考常考题型． 　 4．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27844.png){width="1.75in" height="0.9375in"} A．19 B．20 C．21.5 D．23 【分析】根据中位数的定义进行求解即可． 【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20， 则中位数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27845.png){width="0.7402777777777778in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：B． 【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础． 　 5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27846.png){width="3.8340277777777776in" height="1.1145833333333333in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27847.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27848.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27849.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27850.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】利用三视图判断直观图的形状，结合三视图的数据，求解几何体的体积即可． 【解答】解：由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，左侧与一个底面半径为1，高为1的半圆锥组成的组合体， 几何体的体积为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27851.png){width="1.9909722222222221in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27848.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：B． 【点评】本题考查三视图的作法，组合体的体积的求法，考查计算能力． 　 6．（5分）若tanα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22229.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，tan（α+β）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22228.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则tanβ=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27852.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27853.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27854.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27855.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】由条件利用查两角差的正切公式，求得tanβ=tan\[（α+β）﹣α\]的值． 【解答】解：∵tanα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22229.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，tan（α+β）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22228.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则tanβ=tan\[（α+β）﹣α\]=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27856.png){width="1.4694444444444446in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27857.png){width="0.6777777777777778in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27858.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：A． 【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题． 　 7．（5分）已知非零向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27859.png){width="0.5in" height="0.3326388888888889in"}满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27860.png){width="0.15694444444444444in" height="0.32430555555555557in"}\|=4\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27861.png){width="0.15694444444444444in" height="0.32430555555555557in"}\|，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27861.png){width="0.15694444444444444in" height="0.32430555555555557in"}⊥（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27862.png){width="0.5215277777777778in" height="0.32430555555555557in"}）则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27863.png){width="0.5in" height="0.3326388888888889in"}的夹角为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27864.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27865.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27866.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27867.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27868.png){width="0.5in" height="0.3326388888888889in"}的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值． 【解答】解：由已知非零向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27868.png){width="0.5in" height="0.3326388888888889in"}满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27869.png){width="0.15694444444444444in" height="0.32430555555555557in"}\|=4\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27870.png){width="0.15694444444444444in" height="0.32430555555555557in"}\|，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27870.png){width="0.15694444444444444in" height="0.32430555555555557in"}⊥（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27871.png){width="0.5215277777777778in" height="0.32430555555555557in"}），设两个非零向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27872.png){width="0.5in" height="0.3326388888888889in"}的夹角为θ， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27873.png){width="0.15694444444444444in" height="0.32430555555555557in"}•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27871.png){width="0.5215277777777778in" height="0.32430555555555557in"}）=0，即2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27874.png){width="1.3027777777777778in" height="0.26944444444444443in"}=0，所以cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27875.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}，θ∈\[0，π\]，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27876.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}； 故选：C． 【点评】本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；熟练运用公式是关键． 　 8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27877.png){width="1.7916666666666667in" height="3.0527777777777776in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27878.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27879.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27880.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27881.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=8时不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27882.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 s=0，k=0 满足条件k＜8，k=2，s=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27883.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 满足条件k＜8，k=4，s=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27883.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27884.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 满足条件k＜8，k=6，s=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27883.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27884.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27885.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 满足条件k＜8，k=8，s=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27883.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27884.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27886.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27887.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27888.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27888.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：D． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 　 9．（5分）设双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27889.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（　　） A．±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22255.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27890.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} C．±1 D．±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12467.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 【分析】求得A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27891.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}），C（c，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27891.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}），利用A1B⊥A2C，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27892.png){width="1.042361111111111in" height="0.6256944444444444in"}，求出a=b，即可得出 双曲线的渐近线的斜率． 【解答】解：由题意，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27891.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}），C（c，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27893.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）， ∵A1B⊥A2C， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27894.png){width="1.042361111111111in" height="0.6256944444444444in"}， ∴a=b， ∴双曲线的渐近线的斜率为±1． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 　 10．（5分）若不等式组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27895.png){width="0.875in" height="0.65625in"}，表示的平面区域为三角形，且其面积等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27896.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27896.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 若表示的平面区域为三角形， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27897.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4173611111111111in"}，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27898.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}，即A（2，0）， 则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方， 即2+2m＞0， 则m＞﹣1， 则A（2，0），D（﹣2m，0）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27899.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4173611111111111in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27900.png){width="0.5409722222222222in" height="0.40625in"}，即B（1﹣m，1+m）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27901.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4173611111111111in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27902.png){width="0.6777777777777778in" height="0.7923611111111111in"}，即C（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27903.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27904.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}）． 则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27905.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}\|AD\|\|yB﹣yC\| =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27905.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（2+2m）（1+m﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27904.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}） =（1+m）（1+m﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27904.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27906.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 即（1+m）×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27907.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27908.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 即（1+m）2=4 解得m=1或m=﹣3（舍）， 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27909.png){width="2.7402777777777776in" height="2.3854166666666665in"} 【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键． 　 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．（5分）复数（1+2i）i的实部为　﹣2　． 【分析】利用复数的运算法则化简为a+bi的形式，然后找出实部；注意i2=﹣1． 【解答】解：（1+2i）i=i+2i2=﹣2+i，所以此复数的实部为﹣2； 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了复数的运算以及复数的认识；注意i2=﹣1．属于基础题． 　 12．（5分）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为　x+2y﹣5=0　． 【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点P处的切线的方程． 【解答】解：由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27910.png){width="0.2916666666666667in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27911.png){width="0.3326388888888889in" height="0.5625in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27912.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 故切线的方程为y﹣2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27912.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（x﹣1），即 x+2y﹣5=0， 故答案为：x+2y﹣5=0． 【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题． 　 13．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27913.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，3sinA=2sinB，则c=　4　． 【分析】由3sinA=2sinB即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解． 【解答】解：∵3sinA=2sinB， ∴由正弦定理可得：3a=2b， ∵a=2， ∴可解得b=3， 又∵cosC=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27913.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27914.png){width="0.9270833333333334in" height="0.36527777777777776in"}=16， ∴解得：c=4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 　 14．（5分）设a，b＞0，a+b=5，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27915.png){width="0.37569444444444444in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27916.png){width="0.37569444444444444in" height="0.1875in"}的最大值为　3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27917.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}　． 【分析】利用柯西不等式，即可求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27918.png){width="0.8534722222222222in" height="0.1875in"}的最大值． 【解答】解：由题意，（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27918.png){width="0.8534722222222222in" height="0.1875in"}）2≤（1+1）（a+1+b+3）=18， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27918.png){width="0.8534722222222222in" height="0.1875in"}的最大值为3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27917.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 故答案为：3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27919.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键． 　 15．（5分）在区间\[0，5\]上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根的概率为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27920.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}　． 【分析】由一元二次方程根的分布可得p的不等式组，解不等式组，由长度之比可得所求概率． 【解答】解：方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根等价于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27921.png){width="1.5930555555555554in" height="0.8118055555555556in"}， 解关于p的不等式组可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27922.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜p≤1或p≥2， ∴所求概率P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27923.png){width="0.7083333333333334in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27922.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27922.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【点评】本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的分布，属基础题． 　 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27924.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn． 【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案； （Ⅱ）求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27925.png){width="1.7819444444444446in" height="0.36527777777777776in"}，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n项和公式求得{bn}前n项和Tn． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件得： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27926.png){width="1.2180555555555554in" height="0.65625in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27927.png){width="0.4888888888888889in" height="0.65625in"}． 代入等差数列的通项公式得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27928.png){width="1.176388888888889in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27925.png){width="1.7819444444444446in" height="0.36527777777777776in"}． 设{bn}的公比为q，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27929.png){width="0.7083333333333334in" height="0.48055555555555557in"}，从而q=2， 故{bn}的前n项和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27930.png){width="2.5215277777777776in" height="0.4888888888888889in"}． 【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题． 　 17．（13分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： --------------------- ------ ------ ------ ------ ------ 年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10 --------------------- ------ ------ ------ ------ ------ （Ⅰ）求y关于t的回归方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27931.png){width="0.10486111111111111in" height="0.22013888888888888in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27932.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27933.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}． （Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款． 附：回归方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27931.png){width="0.10486111111111111in" height="0.22013888888888888in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27932.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27933.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}中 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27934.png){width="2.8756944444444446in" height="1.2395833333333333in"}． 【分析】（Ⅰ）利用公式求出a，b，即可求y关于t的回归方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27935.png){width="0.10486111111111111in" height="0.22013888888888888in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27936.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27937.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}． （Ⅱ）t=6，代入回归方程，即可预测该地区2015年的人民币储蓄存款． 【解答】解：（Ⅰ）![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27938.png){width="6.542361111111111in" height="2.0520833333333335in"} 由题意，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27939.png){width="0.10486111111111111in" height="0.1875in"}=3，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27940.png){width="0.10486111111111111in" height="0.19791666666666666in"}=7.2， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27941.png){width="0.8861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}=55﹣5×32=10，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27942.png){width="1.0013888888888889in" height="0.48055555555555557in"}=120﹣5×3×7.2=12， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27943.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=1.2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27944.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=7.2﹣1.2×3=3.6， ∴y关于t的回归方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27945.png){width="0.10486111111111111in" height="0.22013888888888888in"}=1.2t+3.6． （Ⅱ）t=6时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27945.png){width="0.10486111111111111in" height="0.22013888888888888in"}=1.2×6+3.6=10.8（千亿元）． 【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 18．（13分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17156.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}sin2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27946.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}cos2x． （Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值； （Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27947.png){width="0.7597222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，求g（x）的值域． 【分析】（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27948.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27949.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，从而可求最小周期和最小值； （Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27948.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27949.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，由x∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27950.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，π\]时，可得x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27948.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}的范围，即可求得g（x）的值域． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27951.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}sin2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27946.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}cos2x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image21302.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}sin2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27952.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}（1+cos2x）=sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27953.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27952.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∴f（x）的最小周期T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27954.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=π，最小值为：﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27952.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27955.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}． （Ⅱ）由条件可知：g（x）=sin（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27953.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27952.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} 当x∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27956.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，π\]时，有x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27957.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27958.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27959.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}\]，从而sin（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27957.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）的值域为\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27960.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，1\]，那么sin（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27957.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27961.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}的值域为：\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27962.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27963.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}\]， 故g（x）在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27964.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，π\]上的值域是\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27965.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27963.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}\]． 【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查． 　 19．（12分）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27966.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}处取得极值． （Ⅰ）确定a的值； （Ⅱ）若g（x）=f（x）ex，讨论g（x）的单调性． 【分析】（Ⅰ）求导数，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27966.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}处取得极值，可得f′（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27967.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=0，即可确定a的值； （Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27968.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x3+x2）ex，利用导数的正负可得g（x）的单调性． 【解答】解：（Ⅰ）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x． ∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27969.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}处取得极值， ∴f′（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27967.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=0， ∴3a•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27970.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+2•（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27967.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=0， ∴a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27968.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27968.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x3+x2）ex， ∴g′（x）=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27971.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x2+2x）ex+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27968.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x3+x2）ex=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17543.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x（x+1）（x+4）ex， 令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4， 当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数； 当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数； 当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数； 当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数； 综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数． 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，以及函数和方程的转化思想，属于中档题． 　 20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27972.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC． （Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE． （Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27973.png){width="1.7708333333333333in" height="1.4375in"} 【分析】（Ⅰ）由等腰三角形的性质可证PE⊥AC，可证PE⊥AB．又EF∥BC，可证AB⊥EF，从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，可证AB⊥平面PEF． （Ⅱ）设BC=x，可求AB，S△ABC，由EF∥BC可得△AFE∽△ABC，求得S△AFE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27974.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}S△ABC，由AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27975.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}AE，可求S△AFD，从而求得四边形DFBC的面积，由（Ⅰ）知PE为四棱锥P﹣DFBC的高，求得PE，由体积VP﹣DFBC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27976.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}SDFBC•PE=7，即可解得线段BC的长． 【解答】解：（Ⅰ）如图，由DE=EC，PD=PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC， 又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE⊂平面PAC，PE⊥AC， 所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB． 因为∠ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27972.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，EF∥BC， 故AB⊥EF， 从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直， 所以AB⊥平面PEF． （Ⅱ）设BC=x，则在直角△ABC中，AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27977.png){width="0.7819444444444444in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27978.png){width="0.5736111111111111in" height="0.25in"}， 从而S△ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14425.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}AB•BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14425.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27978.png){width="0.5736111111111111in" height="0.25in"}， 由EF∥BC知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27979.png){width="0.7819444444444444in" height="0.36527777777777776in"}，得△AFE∽△ABC， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27980.png){width="0.4888888888888889in" height="0.48055555555555557in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27981.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27982.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，即S△AFE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27982.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}S△ABC， 由AD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15530.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}AE，S△AFD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27983.png){width="0.5930555555555556in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27984.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27985.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}S△ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27986.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}S△ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27987.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27988.png){width="0.5736111111111111in" height="0.25in"}， 从而四边形DFBC的面积为：SDFBC=S△ABC﹣SAFD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15530.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27988.png){width="0.5736111111111111in" height="0.25in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27987.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27989.png){width="0.5736111111111111in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27990.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27989.png){width="0.5736111111111111in" height="0.25in"}． 由（Ⅰ）知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P﹣DFBC的高． 在直角△PEC中，PE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27991.png){width="0.7819444444444444in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27992.png){width="0.5736111111111111in" height="0.25in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27993.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 故体积VP﹣DFBC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27994.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}SDFBC•PE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27994.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27990.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27995.png){width="0.5736111111111111in" height="0.25in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27996.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}=7， 故得x4﹣36x2+243=0，解得x2=9或x2=27，由于x＞0，可得x=3或x=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14432.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 所以：BC=3或BC=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image14432.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image27997.png){width="1.75in" height="1.4375in"} 【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题． 　 21．（13分）如题图，椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27998.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1． （Ⅰ）若\|PF1\|=2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27999.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，\|PF2\|=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27999.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求椭圆的标准方程． （Ⅱ）若\|PQ\|=λ\|PF1\|，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28000.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}≤λ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28001.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，试确定椭圆离心率e的取值范围． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28002.png){width="2.1458333333333335in" height="1.5208333333333333in"} 【分析】（I）由椭圆的定义可得：2a=\|PF1\|+\|PF2\|，解得a．设椭圆的半焦距为c，由于PQ⊥PF1，利用勾股定理可得2c=\|F1F2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28003.png){width="1.332638888888889in" height="0.3020833333333333in"}，解得c．利用b2=a2﹣c2．即可得出椭圆的标准方程． （II）如图所示，由PQ⊥PF1，\|PQ\|=λ\|PF1\|，可得\|QF1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28004.png){width="1.0506944444444444in" height="0.28055555555555556in"}，由椭圆的定义可得：\|PF1\|+\|PQ\|+\|QF1\|=4a，解得\|PF1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28005.png){width="1.042361111111111in" height="0.4479166666666667in"}．\|PF2\|=2a﹣\|PF1\|，由勾股定理可得：2c=\|F1F2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28003.png){width="1.332638888888889in" height="0.3020833333333333in"}，代入化简．令t=1+λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28006.png){width="0.6777777777777778in" height="0.25in"}，则上式化为e2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28007.png){width="1.0013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，解出即可． 【解答】解：（I）由椭圆的定义可得：2a=\|PF1\|+\|PF2\|=（2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22365.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）+（2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22365.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）=4，解得a=2． 设椭圆的半焦距为c，∵PQ⊥PF1， ∴2c=\|F1F2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28008.png){width="1.332638888888889in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28009.png){width="1.5305555555555554in" height="0.26944444444444443in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28010.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28011.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． ∴b2=a2﹣c2=1． ∴椭圆的标准方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28012.png){width="0.7083333333333334in" height="0.42569444444444443in"}． （II）如图所示，由PQ⊥PF1，\|PQ\|=λ\|PF1\|， ∴\|QF1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28013.png){width="1.2284722222222222in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28014.png){width="1.0506944444444444in" height="0.28055555555555556in"}， 由椭圆的定义可得：2a=\|PF1\|+\|PF2\|=\|QF1\|+\|QF2\|， ∴\|PF1\|+\|PQ\|+\|QF1\|=4a， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28015.png){width="1.198611111111111in" height="0.25in"}\|PF1\|=4a，解得\|PF1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28016.png){width="1.042361111111111in" height="0.4479166666666667in"}． \|PF2\|=2a﹣\|PF1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28017.png){width="1.3958333333333333in" height="0.5215277777777778in"}， 由勾股定理可得：2c=\|F1F2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28018.png){width="1.332638888888889in" height="0.3020833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28019.png){width="1.332638888888889in" height="0.4479166666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28020.png){width="1.6868055555555554in" height="0.5215277777777778in"}=4c2， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28021.png){width="1.3131944444444446in" height="0.4479166666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28022.png){width="1.332638888888889in" height="0.5215277777777778in"}=e2． 令t=1+λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28023.png){width="0.6777777777777778in" height="0.25in"}，则上式化为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28024.png){width="1.042361111111111in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28025.png){width="1.0013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， ∵t=1+λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28023.png){width="0.6777777777777778in" height="0.25in"}，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28026.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}≤λ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28027.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴t关于λ单调递增，∴3≤t＜4．∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28028.png){width="0.7819444444444444in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28029.png){width="0.8444444444444444in" height="0.36527777777777776in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28030.png){width="0.9166666666666666in" height="0.38472222222222224in"}． ∴椭圆离心率的取值范围是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28031.png){width="0.875in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28032.png){width="2.1458333333333335in" height="1.5208333333333333in"} 【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、不等式的性质、"换元法"，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 　2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） =============================================== **参考答案与试题解析** **一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** 1．（5分）设集合A={x\|x^2^﹣4x+3＜0}，B={x\|2x﹣3＞0}，则A∩B=（　　） A．（﹣3，﹣![](./data/image/media/image28033.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}） B．（﹣3，![](./data/image/media/image28033.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}） C．（1，![](./data/image/media/image28033.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}） D．（![](./data/image/media/image28034.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，3） 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合． 【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案． 【解答】解：∵集合A={x\|x^2^﹣4x+3＜0}=（1，3）， B={x\|2x﹣3＞0}=（![](./data/image/media/image28034.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，+∞）， ∴A∩B=（![](./data/image/media/image28034.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，3）， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． 2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则\|x+yi\|=（　　） A．1 B．![](./data/image/media/image28035.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} C．![](./data/image/media/image28036.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} D．2 【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可． 【解答】解：∵（1+i）x=1+yi， ∴x+xi=1+yi， 即![](./data/image/media/image28037.png){width="0.3784722222222222in" height="0.4041666666666667in"}，解得![](./data/image/media/image28038.png){width="0.3784722222222222in" height="0.4041666666666667in"}，即\|x+yi\|=\|1+i\|=![](./data/image/media/image28039.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 故选：B． 【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键． 3．（5分）已知等差数列{a~n~}前9项的和为27，a~10~=8，则a~100~=（　　） A．100 B．99 C．98 D．97 【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】根据已知可得a~5~=3，进而求出公差，可得答案． 【解答】解：∵等差数列{a~n~}前9项的和为27，S~9~=![](./data/image/media/image28040.png){width="0.8138888888888889in" height="0.42291666666666666in"}=![](./data/image/media/image28041.png){width="0.5833333333333334in" height="0.42291666666666666in"}=9a~5~． ∴9a~5~=27，a~5~=3， 又∵a~10~=8， ∴d=1， ∴a~100~=a~5~+95d=98， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键． 4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（　　） A．![](./data/image/media/image28042.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image28043.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image28044.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．![](./data/image/media/image28045.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案． 【解答】解：设小明到达时间为y， 当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时， 小明等车时间不超过10分钟， 故P=![](./data/image/media/image28046.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28047.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题． 5．（5分）已知方程![](./data/image/media/image28048.png){width="0.4166666666666667in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image28049.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4875in"}=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣1，![](./data/image/media/image28050.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}） C．（0，3） D．（0，![](./data/image/media/image28050.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}） 【考点】KB：双曲线的标准方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由已知可得c=2，利用4=（m^2^+n）+（3m^2^﹣n），解得m^2^=1，又（m^2^+n）（3m^2^﹣n）＞0，从而可求n的取值范围． 【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2， 当焦点在x轴上时， 可得：4=（m^2^+n）+（3m^2^﹣n），解得：m^2^=1， ∵方程![](./data/image/media/image28051.png){width="0.4166666666666667in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image28052.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4875in"}=1表示双曲线， ∴（m^2^+n）（3m^2^﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0， 解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）． 当焦点在y轴上时， 可得：﹣4=（m^2^+n）+（3m^2^﹣n），解得：m^2^=﹣1， 无解． 故选：A． 【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题． 6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是![](./data/image/media/image28053.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，则它的表面积是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28054.png){width="1.4680555555555554in" height="1.5in"} A．17π B．18π C．20π D．28π 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离． 【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积． 【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉![](./data/image/media/image28055.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}后的几何体，如图： 可得：![](./data/image/media/image28056.png){width="0.8458333333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28057.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，R=2． 它的表面积是：![](./data/image/media/image28058.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×4π•2^2^+![](./data/image/media/image28059.png){width="0.7694444444444445in" height="0.36527777777777776in"}=17π． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28060.png){width="1.0833333333333333in" height="1.0708333333333333in"} 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力． 7．（5分）函数y=2x^2^﹣e^\|x\|^在\[﹣2，2\]的图象大致为（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28061.png){width="1.5194444444444444in" height="1.25in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28062.png){width="1.6284722222222223in" height="1.3972222222222221in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28063.png){width="1.551388888888889in" height="1.3784722222222223in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28064.png){width="1.5638888888888889in" height="1.3652777777777778in"} 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案． 【解答】解：∵f（x）=y=2x^2^﹣e^\|x\|^， ∴f（﹣x）=2（﹣x）^2^﹣e^\|﹣x\|^=2x^2^﹣e^\|x\|^， 故函数为偶函数， 当x=±2时，y=8﹣e^2^∈（0，1），故排除A，B； 当x∈\[0，2\]时，f（x）=y=2x^2^﹣e^x^， ∴f′（x）=4x﹣e^x^=0有解， 故函数y=2x^2^﹣e^\|x\|^在\[0，2\]不是单调的，故排除C， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答． 8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（　　） A．a^c^＜b^c^ B．ab^c^＜ba^c^ C．alog~b~c＜blog~a~c D．log~a~c＜log~b~c 【考点】R3：不等式的基本性质．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式． 【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案． 【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1， ∴函数f（x）=x^c^在（0，+∞）上为增函数，故a^c^＞b^c^，故A错误； 函数f（x）=x^c﹣1^在（0，+∞）上为减函数，故a^c﹣1^＜b^c﹣1^，故ba^c^＜ab^c^，即ab^c^＞ba^c^；故B错误；　 log~a~c＜0，且log~b~c＜0，log~a~b＜1，即![](./data/image/media/image28065.png){width="0.5in" height="0.5in"}=![](./data/image/media/image28066.png){width="0.5in" height="0.5in"}＜1，即log~a~c＞log~b~c．故D错误； 0＜﹣log~a~c＜﹣log~b~c，故﹣blog~a~c＜﹣alog~b~c，即blog~a~c＞alog~b~c，即alog~b~c＜blog~a~c，故C正确； 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键． 9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28067.png){width="1.948611111111111in" height="3.345833333333333in"} A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：输入x=0，y=1，n=1， 则x=0，y=1，不满足x^2^+y^2^≥36，故n=2， 则x=![](./data/image/media/image28068.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，y=2，不满足x^2^+y^2^≥36，故n=3， 则x=![](./data/image/media/image28069.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，y=6，满足x^2^+y^2^≥36， 故y=4x， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知\|AB\|=4![](./data/image/media/image28070.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，\|DE\|=2![](./data/image/media/image28071.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，则C的焦点到准线的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可． 【解答】解：设抛物线为y^2^=2px，如图：\|AB\|=4![](./data/image/media/image28072.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，\|AM\|=2![](./data/image/media/image28072.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， \|DE\|=2![](./data/image/media/image28073.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，\|DN\|=![](./data/image/media/image28073.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，\|ON\|=![](./data/image/media/image28074.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， x~A~=![](./data/image/media/image28075.png){width="0.6284722222222222in" height="0.4486111111111111in"}=![](./data/image/media/image28076.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， \|OD\|=\|OA\|， ![](./data/image/media/image28077.png){width="0.4166666666666667in" height="0.42291666666666666in"}=![](./data/image/media/image28078.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42291666666666666in"}+5， 解得：p=4． C的焦点到准线的距离为：4． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28079.png){width="2.3652777777777776in" height="2.4875in"} 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用． 11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的顶点A，α∥平面CB~1~D~1~，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB~1~A~1~=n，则m、n所成角的正弦值为（　　） A．![](./data/image/media/image28080.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} B．![](./data/image/media/image28081.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} C．![](./data/image/media/image28082.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} D．![](./data/image/media/image28083.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角． 【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可． 【解答】解：如图：α∥平面CB~1~D~1~，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA~1~B~1~=n， 可知：n∥CD~1~，m∥B~1~D~1~，∵△CB~1~D~1~是正三角形．m、n所成角就是∠CD~1~B~1~=60°． 则m、n所成角的正弦值为：![](./data/image/media/image28084.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28085.png){width="2.2819444444444446in" height="2.186111111111111in"} 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，\|φ\|≤![](./data/image/media/image28086.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}），x=﹣![](./data/image/media/image28087.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}为f（x）的零点，x=![](./data/image/media/image28088.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（![](./data/image/media/image28089.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image28090.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）上单调，则ω的最大值为（　　） A．11 B．9 C．7 D．5 【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣![](./data/image/media/image28088.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}为f（x）的零点，x=![](./data/image/media/image28088.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（![](./data/image/media/image28091.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image28092.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）上单调，可得ω的最大值． 【解答】解：∵x=﹣![](./data/image/media/image28093.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}为f（x）的零点，x=![](./data/image/media/image28093.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}为y=f（x）图象的对称轴， ∴![](./data/image/media/image28094.png){width="0.8784722222222222in" height="0.36527777777777776in"}，即![](./data/image/media/image28095.png){width="1.1152777777777778in" height="0.36527777777777776in"}，（n∈N） 即ω=2n+1，（n∈N） 即ω为正奇数， ∵f（x）在（![](./data/image/media/image28091.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image28092.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）上单调，则![](./data/image/media/image28096.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image28097.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28098.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}≤![](./data/image/media/image28099.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 即T=![](./data/image/media/image28100.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}≥![](./data/image/media/image28101.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，解得：ω≤12， 当ω=11时，﹣![](./data/image/media/image28102.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+φ=kπ，k∈Z， ∵\|φ\|≤![](./data/image/media/image28103.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， ∴φ=﹣![](./data/image/media/image28104.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 此时f（x）在（![](./data/image/media/image28105.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image28106.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）不单调，不满足题意； 当ω=9时，﹣![](./data/image/media/image28107.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+φ=kπ，k∈Z， ∵\|φ\|≤![](./data/image/media/image28108.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， ∴φ=![](./data/image/media/image28109.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 此时f（x）在（![](./data/image/media/image28105.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image28106.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）单调，满足题意； 故ω的最大值为9， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大． **二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.** 13．（5分）设向量![](./data/image/media/image28110.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（m，1），![](./data/image/media/image28111.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（1，2），且\|![](./data/image/media/image28110.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image28111.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^=\|![](./data/image/media/image28110.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^+\|![](./data/image/media/image28111.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^，则m=[　﹣2　]{.underline}． 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A：平面向量及应用． 【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可． 【解答】解：\|![](./data/image/media/image28110.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image28111.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^=\|![](./data/image/media/image28112.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^+\|![](./data/image/media/image28113.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^， 可得![](./data/image/media/image28112.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image28113.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=0． 向量![](./data/image/media/image28112.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（m，1），![](./data/image/media/image28113.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（1，2）， 可得m+2=0，解得m=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力． 14．（5分）（2x+![](./data/image/media/image28114.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}）^5^的展开式中，x^3^的系数是[　10　]{.underline}．（用数字填写答案） 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x^3^的系数． 【解答】解：（2x+![](./data/image/media/image28114.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}）^5^的展开式中，通项公式为：T~r+1~=![](./data/image/media/image28115.png){width="0.1986111111111111in" height="0.3013888888888889in"}![](./data/image/media/image28116.png){width="1.1027777777777779in" height="0.25in"}=2^5﹣r^![](./data/image/media/image28117.png){width="0.6791666666666667in" height="0.4361111111111111in"}， 令5﹣![](./data/image/media/image28118.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=3，解得r=4 ∴x^3^的系数2![](./data/image/media/image28119.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}=10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．（5分）设等比数列{a~n~}满足a~1~+a~3~=10，a~2~+a~4~=5，则a~1~a~2~...a~n~的最大值为[　64　]{.underline}． 【考点】87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列． 【分析】求出数列的等比与首项，化简a~1~a~2~...a~n~，然后求解最值． 【解答】解：等比数列{a~n~}满足a~1~+a~3~=10，a~2~+a~4~=5， 可得q（a~1~+a~3~）=5，解得q=![](./data/image/media/image28120.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． a~1~+q^2^a~1~=10，解得a~1~=8． 则a~1~a~2~...a~n~=a~1~^n^•q^1+2+3+...+（n﹣1）^=8^n^•![](./data/image/media/image28121.png){width="0.8013888888888889in" height="0.4875in"}=![](./data/image/media/image28122.png){width="0.6791666666666667in" height="0.42291666666666666in"}=![](./data/image/media/image28123.png){width="0.5194444444444445in" height="0.42291666666666666in"}， 当n=3或4时，表达式取得最大值：![](./data/image/media/image28124.png){width="0.2881944444444444in" height="0.38472222222222224in"}=2^6^=64． 故答案为：64． 【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力． 16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为[　216000　]{.underline}元． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想． 【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可； 【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元． 由题意，得![](./data/image/media/image28125.png){width="1.2881944444444444in" height="0.9291666666666667in"}，z=2100x+900y． 不等式组表示的可行域如图：由题意可得![](./data/image/media/image28126.png){width="0.8784722222222222in" height="0.4166666666666667in"}，解得：![](./data/image/media/image28127.png){width="0.5381944444444444in" height="0.4041666666666667in"}，A（60，100）， 目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元． 故答案为：216000． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28128.png){width="2.8847222222222224in" height="2.9680555555555554in"} 【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键． **三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.** 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c=![](./data/image/media/image28129.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，△ABC的面积为![](./data/image/media/image28130.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}，求△ABC的周长． 【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形． 【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数； （2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长． 【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0 已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC， 整理得：2cosCsin（A+B）=sinC， 即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC 2cosCsinC=sinC ∴cosC=![](./data/image/media/image28131.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴C=![](./data/image/media/image28132.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）由余弦定理得7=a^2^+b^2^﹣2ab•![](./data/image/media/image28131.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴（a+b）^2^﹣3ab=7， ∵S=![](./data/image/media/image28131.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}absinC=![](./data/image/media/image28133.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}ab=![](./data/image/media/image28134.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}， ∴ab=6， ∴（a+b）^2^﹣18=7， ∴a+b=5， ∴△ABC的周长为5+![](./data/image/media/image28135.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°． （Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC； （Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28136.png){width="2.4618055555555554in" height="1.0194444444444444in"} 【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何． 【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC； （Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF． ∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF， ∵DF∩EF=F， ∴AF⊥平面EFDC， ∵AF⊂平面ABEF， ∴平面ABEF⊥平面EFDC； （Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF， 可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角； 由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC， ∵BE⊥EF， ∴BE⊥平面EFDC 即有CE⊥BE， 可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角． 可得∠DFE=∠CEF=60°． ∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC， ∴AB∥平面EFDC， ∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD， ∴AB∥CD， ∴CD∥EF， ∴四边形EFDC为等腰梯形． 以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a， 则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（![](./data/image/media/image28137.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，0，![](./data/image/media/image28138.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}a），A（2a，2a，0）， ∴![](./data/image/media/image28139.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（0，2a，0），![](./data/image/media/image28140.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（![](./data/image/media/image28137.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，﹣2a，![](./data/image/media/image28138.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}a），![](./data/image/media/image28141.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（﹣2a，0，0） 设平面BEC的法向量为![](./data/image/media/image28142.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（x~1~，y~1~，z~1~），则![](./data/image/media/image28143.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}， 则![](./data/image/media/image28144.png){width="1.7305555555555556in" height="0.6861111111111111in"}，取![](./data/image/media/image28142.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（![](./data/image/media/image28145.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，0，﹣1）． 设平面ABC的法向量为![](./data/image/media/image9536.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（x~2~，y~2~，z~2~），则![](./data/image/media/image28146.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}， 则![](./data/image/media/image28147.png){width="1.7305555555555556in" height="0.6791666666666667in"}，取![](./data/image/media/image465.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（0，![](./data/image/media/image28148.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，4）． 设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ=![](./data/image/media/image28149.png){width="0.7180555555555556in" height="0.4486111111111111in"} =![](./data/image/media/image28150.png){width="0.9680555555555556in" height="0.38472222222222224in"}=﹣![](./data/image/media/image28151.png){width="0.42291666666666666in" height="0.38472222222222224in"}， 则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣![](./data/image/media/image28151.png){width="0.42291666666666666in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28152.png){width="2.948611111111111in" height="1.5in"} 【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键． 19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28153.png){width="3.2375in" height="2.0708333333333333in"} （Ⅰ）求X的分布列； （Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值； （Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？ 【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列． （Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=![](./data/image/media/image28154.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，P（X≤19）=![](./data/image/media/image28155.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}．由此能确定满足P（X≤n）≥0.5中n的最小值． （Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=![](./data/image/media/image28155.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}．求出买19个所需费用期望EX~1~和买20个所需费用期望EX~2~，由此能求出买19个更合适． 法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适． 【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22， P（X=16）=（![](./data/image/media/image28156.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^2^=![](./data/image/media/image28157.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， P（X=17）=![](./data/image/media/image28158.png){width="1.3652777777777778in" height="0.36527777777777776in"}， P（X=18）=（![](./data/image/media/image28159.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^2^+2（![](./data/image/media/image28156.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^2^=![](./data/image/media/image28160.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， P（X=19）=![](./data/image/media/image28161.png){width="2.0in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28160.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， P（X=20）=![](./data/image/media/image28162.png){width="1.75in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28163.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28164.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， P（X=21）=![](./data/image/media/image28165.png){width="0.8527777777777777in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28166.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， P（X=22）=![](./data/image/media/image28167.png){width="0.9291666666666667in" height="0.36527777777777776in"}， ∴X的分布列为： --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ X 16 17 18 19 20 21 22 P ![](./data/image/media/image28168.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} ![](./data/image/media/image28169.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} ![](./data/image/media/image28170.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} ![](./data/image/media/image28170.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} ![](./data/image/media/image28171.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} ![](./data/image/media/image28172.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} ![](./data/image/media/image28173.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ （Ⅱ）由（Ⅰ）知： P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18） =![](./data/image/media/image28174.png){width="0.8652777777777778in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28175.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19） =![](./data/image/media/image28174.png){width="0.8652777777777778in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image28176.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28177.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． ∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19． （Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19） =![](./data/image/media/image28178.png){width="0.8652777777777778in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image28179.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28177.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 买19个所需费用期望： EX~1~=200×![](./data/image/media/image28180.png){width="0.5708333333333333in" height="0.36527777777777776in"}+（200×19+500）×![](./data/image/media/image28181.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}+（200×19+500×2）×![](./data/image/media/image28182.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}+（200×19+500×3）×![](./data/image/media/image28183.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=4040， 买20个所需费用期望： EX~2~=![](./data/image/media/image28184.png){width="0.9875in" height="0.36527777777777776in"}+（200×20+500）×![](./data/image/media/image28185.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}+（200×20+2×500）×![](./data/image/media/image28183.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=4080， ∵EX~1~＜EX~2~， ∴买19个更合适． 解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用， 另一部分为备件不足时额外购买的费用， 当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040， 当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080， ∴买19个更合适． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用． 20．（12分）设圆x^2^+y^2^+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E． （Ⅰ）证明\|EA\|+\|EB\|为定值，并写出点E的轨迹方程； （Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C~1~，直线l交C~1~于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． 【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程； （Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得\|MN\|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得\|PQ\|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围． 【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x^2^+y^2^+2x﹣15=0即为（x+1）^2^+y^2^=16， 可得圆心A（﹣1，0），半径r=4， 由BE∥AC，可得∠C=∠EBD， 由AC=AD，可得∠D=∠C， 即为∠D=∠EBD，即有EB=ED， 则\|EA\|+\|EB\|=\|EA\|+\|ED\|=\|AD\|=4， 故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆， 且有2a=4，即a=2，c=1，b=![](./data/image/media/image28186.png){width="0.5958333333333333in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image28187.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 则点E的轨迹方程为![](./data/image/media/image28188.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42291666666666666in"}+![](./data/image/media/image28189.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1（y≠0）； （Ⅱ）椭圆C~1~：![](./data/image/media/image28190.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42291666666666666in"}+![](./data/image/media/image28189.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1，设直线l：x=my+1， 由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1）， 由![](./data/image/media/image28191.png){width="1.051388888888889in" height="0.48055555555555557in"}可得（3m^2^+4）y^2^+6my﹣9=0， 设M（x~1~，y~1~），N（x~2~，y~2~）， 可得y~1~+y~2~=﹣![](./data/image/media/image28192.png){width="0.5194444444444445in" height="0.42291666666666666in"}，y~1~y~2~=﹣![](./data/image/media/image28193.png){width="0.5194444444444445in" height="0.42291666666666666in"}， 则\|MN\|=![](./data/image/media/image28194.png){width="0.4875in" height="0.25in"}•\|y~1~﹣y~2~\|=![](./data/image/media/image28194.png){width="0.4875in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image28195.png){width="1.5194444444444444in" height="0.5in"} =![](./data/image/media/image28194.png){width="0.4875in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image28196.png){width="0.9548611111111112in" height="0.5in"}=12•![](./data/image/media/image28197.png){width="0.5194444444444445in" height="0.48055555555555557in"}， A到PQ的距离为d=![](./data/image/media/image28198.png){width="0.8847222222222222in" height="0.4486111111111111in"}=![](./data/image/media/image28199.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4486111111111111in"}， \|PQ\|=2![](./data/image/media/image28200.png){width="0.5958333333333333in" height="0.25in"}=2![](./data/image/media/image28201.png){width="0.7951388888888888in" height="0.5in"}=![](./data/image/media/image28202.png){width="0.7305555555555555in" height="0.5194444444444445in"}， 则四边形MPNQ面积为S=![](./data/image/media/image28203.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|PQ\|•\|MN\|=![](./data/image/media/image28203.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}•![](./data/image/media/image28202.png){width="0.7305555555555555in" height="0.5194444444444445in"}•12•![](./data/image/media/image28204.png){width="0.5194444444444445in" height="0.48055555555555557in"} =24•![](./data/image/media/image28205.png){width="0.6284722222222222in" height="0.5194444444444445in"}=24![](./data/image/media/image28206.png){width="0.74375in" height="0.6472222222222223in"}， 当m=0时，S取得最小值12，又![](./data/image/media/image28207.png){width="0.4166666666666667in" height="0.42291666666666666in"}＞0，可得S＜24•![](./data/image/media/image28208.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}=8![](./data/image/media/image28209.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 即有四边形MPNQ面积的取值范围是\[12，8![](./data/image/media/image28209.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28210.png){width="2.2180555555555554in" height="2.345833333333333in"} 【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题． 21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e^x^+a（x﹣1）^2^有两个零点． （Ⅰ）求a的取值范围； （Ⅱ）设x~1~，x~2~是f（x）的两个零点，证明：x~1~+x~2~＜2． 【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e^x^+a（x﹣1）^2^可得：f′（x）=（x﹣1）e^x^+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e^x^+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案． （Ⅱ）设x~1~，x~2~是f（x）的两个零点，则﹣a=![](./data/image/media/image28211.png){width="0.8652777777777778in" height="0.6284722222222222in"}=![](./data/image/media/image28212.png){width="0.8652777777777778in" height="0.6284722222222222in"}，令g（x）=![](./data/image/media/image28213.png){width="0.8652777777777778in" height="0.6284722222222222in"}，则g（x~1~）=g（x~2~）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=![](./data/image/media/image28214.png){width="1.5638888888888889in" height="0.42291666666666666in"}， 设h（m）=![](./data/image/media/image28215.png){width="0.75in" height="0.36527777777777776in"}，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x~1~＞0，可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e^x^+a（x﹣1）^2^， ∴f′（x）=（x﹣1）e^x^+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e^x^+2a）， ①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e^x^=0⇔x=2， 函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意； ②若a＞0，那么e^x^+2a＞0恒成立， 当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数； 当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数； 此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e， 由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点； 当x＜1时，e^x^＜e，x﹣2＜﹣1＜0， ∴f（x）=（x﹣2）e^x^+a（x﹣1）^2^＞（x﹣2）e+a（x﹣1）^2^=a（x﹣1）^2^+e（x﹣1）﹣e， 令a（x﹣1）^2^+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t~1~，t~2~，且t~1~＜t~2~， 则当x＜t~1~，或x＞t~2~时，f（x）＞a（x﹣1）^2^+e（x﹣1）﹣e＞0， 故函数f（x）在x＜1存在一个零点； 即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意； ③若﹣![](./data/image/media/image28216.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1， 当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0， e^x^+2a＜e^ln（﹣2a）^+2a=0， 即f′（x）=（x﹣1）（e^x^+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增， 当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e^x^+2a＞e^ln（﹣2a）^+2a=0， 即f′（x）=（x﹣1）（e^x^+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减， 当x＞1时，x﹣1＞0，e^x^+2a＞e^ln（﹣2a）^+2a=0， 即f′（x）=（x﹣1）（e^x^+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增， 故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值， 由f（ln（﹣2a））=\[ln（﹣2a）﹣2\]（﹣2a）+a\[ln（﹣2a）﹣1\]^2^=a{\[ln（﹣2a）﹣2\]^2^+1}＜0得： 函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意； ④若a=﹣![](./data/image/media/image28217.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则ln（﹣2a）=1， 当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e^x^+2a＜e^ln（﹣2a）^+2a=0， 即f′（x）=（x﹣1）（e^x^+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增， 当x＞1时，x﹣1＞0，e^x^+2a＞e^ln（﹣2a）^+2a=0， 即f′（x）=（x﹣1）（e^x^+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增， 故函数f（x）在R上单调递增， 函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意； ⑤若a＜﹣![](./data/image/media/image28217.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则ln（﹣2a）＞lne=1， 当x＜1时，x﹣1＜0，e^x^+2a＜e^ln（﹣2a）^+2a=0， 即f′（x）=（x﹣1）（e^x^+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增， 当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e^x^+2a＜e^ln（﹣2a）^+2a=0， 即f′（x）=（x﹣1）（e^x^+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减， 当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e^x^+2a＞e^ln（﹣2a）^+2a=0， 即f′（x）=（x﹣1）（e^x^+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增， 故当x=1时，函数取极大值， 由f（1）=﹣e＜0得： 函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意； 综上所述，a的取值范围为（0，+∞） 证明：（Ⅱ）∵x~1~，x~2~是f（x）的两个零点， ∴f（x~1~）=f（x~2~）=0，且x~1~≠1，且x~2~≠1， ∴﹣a=![](./data/image/media/image28218.png){width="0.8652777777777778in" height="0.6284722222222222in"}=![](./data/image/media/image28219.png){width="0.8652777777777778in" height="0.6284722222222222in"}， 令g（x）=![](./data/image/media/image28220.png){width="0.8652777777777778in" height="0.6284722222222222in"}，则g（x~1~）=g（x~2~）=﹣a， ∵g′（x）=![](./data/image/media/image28221.png){width="1.4166666666666667in" height="0.6541666666666667in"}， ∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减； 当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增； 设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=![](./data/image/media/image28222.png){width="0.6347222222222222in" height="0.42291666666666666in"}﹣![](./data/image/media/image28223.png){width="0.7180555555555556in" height="0.42291666666666666in"}=![](./data/image/media/image28224.png){width="1.5638888888888889in" height="0.42291666666666666in"}， 设h（m）=![](./data/image/media/image28225.png){width="0.75in" height="0.36527777777777776in"}，m＞0， 则h′（m）=![](./data/image/media/image28226.png){width="0.8458333333333333in" height="0.48055555555555557in"}＞0恒成立， 即h（m）在（0，+∞）上为增函数， h（m）＞h（0）=0恒成立， 即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立， 令m=1﹣x~1~＞0， 则g（1+1﹣x~1~）＞g（1﹣1+x~1~）⇔g（2﹣x~1~）＞g（x~1~）=g（x~2~）⇔2﹣x~1~＞x~2~， 即x~1~+x~2~＜2． 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大． **请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]** 22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，![](./data/image/media/image18799.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}OA为半径作圆． （Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切； （Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28227.png){width="1.7375in" height="0.9805555555555555in"} 【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明． 【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=![](./data/image/media/image28228.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}OA，则AB是圆O的切线． （Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论． 【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK， ∵OA=OB，∠AOB=120°， ∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=![](./data/image/media/image28228.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}OA， ∴直线AB与⊙O相切； （Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心． ∵OA=OB，TA=TB， ∴OT为AB的中垂线， 同理，OC=OD，TC=TD， ∴OT为CD的中垂线， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形"三合一"的性质． **\[选修4-4：坐标系与参数方程\]** 23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为![](./data/image/media/image28229.png){width="0.8784722222222222in" height="0.4041666666666667in"}（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C~2~：ρ=4cosθ． （Ⅰ）说明C~1~是哪种曲线，并将C~1~的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线C~3~的极坐标方程为θ=α~0~，其中α~0~满足tanα~0~=2，若曲线C~1~与C~2~的公共点都在C~3~上，求a． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（Ⅰ）把曲线C~1~的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C~1~是圆，化为一般式，结合x^2^+y^2^=ρ^2^，y=ρsinθ化为极坐标方程； （Ⅱ）化曲线C~2~、C~3~的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C~1~与C~2~的公共弦所在直线方程，把C~1~与C~2~的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a^2^=0，则a值可求． 【解答】解：（Ⅰ）由![](./data/image/media/image28230.png){width="0.8784722222222222in" height="0.4041666666666667in"}，得![](./data/image/media/image28231.png){width="0.8784722222222222in" height="0.4041666666666667in"}，两式平方相加得，x^2^+（y﹣1）^2^=a^2^． ∴C~1~为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆． 化为一般式：x^2^+y^2^﹣2y+1﹣a^2^=0．① 由x^2^+y^2^=ρ^2^，y=ρsinθ，得ρ^2^﹣2ρsinθ+1﹣a^2^=0； （Ⅱ）C~2~：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ^2^=4ρcosθ， ∴x^2^+y^2^=4x，② 即（x﹣2）^2^+y^2^=4． 由C~3~：θ=α~0~，其中α~0~满足tanα~0~=2，得y=2x， ∵曲线C~1~与C~2~的公共点都在C~3~上， ∴y=2x为圆C~1~与C~2~的公共弦所在直线方程， ①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a^2^=0，即为C~3~ ， ∴1﹣a^2^=0， ∴a=1（a＞0）． 【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题． **\[选修4-5：不等式选讲\]** 24．已知函数f（x）=\|x+1\|﹣\|2x﹣3\|． （Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象； （Ⅱ）求不等式\|f（x）\|＞1的解集． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28232.png){width="2.904166666666667in" height="2.7180555555555554in"} 【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象； （Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜![](./data/image/media/image28233.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，当x≥![](./data/image/media/image28233.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=![](./data/image/media/image28234.png){width="1.3458333333333334in" height="1.051388888888889in"}， 由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右： （Ⅱ）由\|f（x）\|＞1，可得 当x≤﹣1时，\|x﹣4\|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1； 当﹣1＜x＜![](./data/image/media/image28235.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，\|3x﹣2\|＞1，解得x＞1或x＜![](./data/image/media/image21056.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 即有﹣1＜x＜![](./data/image/media/image21056.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}或1＜x＜![](./data/image/media/image28235.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}； 当x≥![](./data/image/media/image28235.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，\|4﹣x\|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或![](./data/image/media/image28235.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}≤x＜3． 综上可得，x＜![](./data/image/media/image28236.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}或1＜x＜3或x＞5． 则\|f（x）\|＞1的解集为（﹣∞，![](./data/image/media/image28236.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）∪（1，3）∪（5，+∞）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28237.png){width="2.904166666666667in" height="2.7305555555555556in"} 【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题． 2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） ============================================= **参考答案与试题解析** **一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．** 1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x\|2≤x≤5}，则A∩B=（　　） A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合． 【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可． 【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x\|2≤x≤5}， 则A∩B={3，5}． 故选：B． 【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力． 2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可． 【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等， 可得：a﹣2=2a+1， 解得a=﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查计算能力． 3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（　　） A．![](./data/image/media/image28238.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image28239.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image28240.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．![](./data/image/media/image28241.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论． 【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有![](./data/image/media/image28242.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为![](./data/image/media/image28243.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28244.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4， 即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12）， 则P=![](./data/image/media/image28243.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28244.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：C． 【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础． 4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=![](./data/image/media/image28245.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，c=2，cosA=![](./data/image/media/image28244.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则b=（　　） A．![](./data/image/media/image28246.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} B．![](./data/image/media/image28247.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} C．2 D．3 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形． 【分析】由余弦定理可得cosA=![](./data/image/media/image28248.png){width="0.8208333333333333in" height="0.42291666666666666in"}，利用已知整理可得3b^2^﹣8b﹣3=0，从而解得b的值． 【解答】解：∵a=![](./data/image/media/image28249.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，c=2，cosA=![](./data/image/media/image16941.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴由余弦定理可得：cosA=![](./data/image/media/image16941.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28248.png){width="0.8208333333333333in" height="0.42291666666666666in"}=![](./data/image/media/image28250.png){width="0.6347222222222222in" height="0.42291666666666666in"}，整理可得：3b^2^﹣8b﹣3=0， ∴解得：b=3或﹣![](./data/image/media/image28251.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}（舍去）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的![](./data/image/media/image28252.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则该椭圆的离心率为（　　） A．![](./data/image/media/image28251.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image28253.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image28254.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．![](./data/image/media/image28255.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率． 【解答】解：设椭圆的方程为：![](./data/image/media/image28256.png){width="0.74375in" height="0.4875in"}，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点， 则直线方程为：![](./data/image/media/image28257.png){width="0.5638888888888889in" height="0.3784722222222222in"}，椭圆中心到l的距离为其短轴长的![](./data/image/media/image28258.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 可得：![](./data/image/media/image28259.png){width="0.9291666666666667in" height="0.6472222222222223in"}， 4=b^2^（![](./data/image/media/image28260.png){width="0.5513888888888889in" height="0.42291666666666666in"}）， ∴![](./data/image/media/image28261.png){width="0.4166666666666667in" height="0.48055555555555557in"}， ![](./data/image/media/image28262.png){width="0.5194444444444445in" height="0.48055555555555557in"}=3， ∴e=![](./data/image/media/image28263.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28264.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力． 6．（5分）将函数y=2sin（2x+![](./data/image/media/image28265.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）的图象向右平移![](./data/image/media/image28266.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}个周期后，所得图象对应的函数为（　　） A．y=2sin（2x+![](./data/image/media/image28267.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}） B．y=2sin（2x+![](./data/image/media/image28268.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}） C．y=2sin（2x﹣![](./data/image/media/image28267.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}） D．y=2sin（2x﹣![](./data/image/media/image28268.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}） 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin\[2（x﹣![](./data/image/media/image28267.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）+![](./data/image/media/image28269.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}\]，化简整理即可得到所求函数式． 【解答】解：函数y=2sin（2x+![](./data/image/media/image28269.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）的周期为T=![](./data/image/media/image28270.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=π， 由题意即为函数y=2sin（2x+![](./data/image/media/image28271.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）的图象向右平移![](./data/image/media/image28272.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}个单位， 可得图象对应的函数为y=2sin\[2（x﹣![](./data/image/media/image28272.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）+![](./data/image/media/image28271.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}\]， 即有y=2sin（2x﹣![](./data/image/media/image28273.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）． 故选：D． 【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言，考查运算能力，属于基础题和易错题． 7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是![](./data/image/media/image28274.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，则它的表面积是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28275.png){width="1.4680555555555554in" height="1.5in"} A．17π B．18π C．20π D．28π 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离． 【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积． 【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉![](./data/image/media/image28276.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}后的几何体，如图： 可得：![](./data/image/media/image28277.png){width="0.8458333333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28278.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，R=2． 它的表面积是：![](./data/image/media/image28279.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×4π•2^2^+![](./data/image/media/image28280.png){width="0.7694444444444445in" height="0.36527777777777776in"}=17π． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28281.png){width="1.0833333333333333in" height="1.0708333333333333in"} 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力． 8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（　　） A．log~a~c＜log~b~c B．log~c~a＜log~c~b C．a^c^＜b^c^ D．c^a^＞c^b^ 【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案． 【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1， ∴log~c~a＜log~c~b，故B正确； ∴当a＞b＞1时， 0＞log~a~c＞log~b~c，故A错误； a^c^＞b^c^，故C错误； c^a^＜c^b^，故D错误； 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档． 9．（5分）函数y=2x^2^﹣e^\|x\|^在\[﹣2，2\]的图象大致为（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28282.png){width="1.5194444444444444in" height="1.25in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28283.png){width="1.6284722222222223in" height="1.3972222222222221in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28284.png){width="1.551388888888889in" height="1.3784722222222223in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28285.png){width="1.5638888888888889in" height="1.3652777777777778in"} 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案． 【解答】解：∵f（x）=y=2x^2^﹣e^\|x\|^， ∴f（﹣x）=2（﹣x）^2^﹣e^\|﹣x\|^=2x^2^﹣e^\|x\|^， 故函数为偶函数， 当x=±2时，y=8﹣e^2^∈（0，1），故排除A，B； 当x∈\[0，2\]时，f（x）=y=2x^2^﹣e^x^， ∴f′（x）=4x﹣e^x^=0有解， 故函数y=2x^2^﹣e^\|x\|^在\[0，2\]不是单调的，故排除C， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答． 10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28286.png){width="1.948611111111111in" height="3.345833333333333in"} A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：输入x=0，y=1，n=1， 则x=0，y=1，不满足x^2^+y^2^≥36，故n=2， 则x=![](./data/image/media/image28287.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，y=2，不满足x^2^+y^2^≥36，故n=3， 则x=![](./data/image/media/image28288.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，y=6，满足x^2^+y^2^≥36， 故y=4x， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的顶点A，α∥平面CB~1~D~1~，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB~1~A~1~=n，则m、n所成角的正弦值为（　　） A．![](./data/image/media/image28289.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} B．![](./data/image/media/image28290.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} C．![](./data/image/media/image28291.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} D．![](./data/image/media/image28292.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角． 【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可． 【解答】解：如图：α∥平面CB~1~D~1~，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA~1~B~1~=n， 可知：n∥CD~1~，m∥B~1~D~1~，∵△CB~1~D~1~是正三角形．m、n所成角就是∠CD~1~B~1~=60°． 则m、n所成角的正弦值为：![](./data/image/media/image28293.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28294.png){width="2.2819444444444446in" height="2.186111111111111in"} 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 12．（5分）若函数f（x）=x﹣![](./data/image/media/image23387.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（　　） A．\[﹣1，1\] B．\[﹣1，![](./data/image/media/image28295.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\] C．\[﹣![](./data/image/media/image28295.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image28295.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\] D．\[﹣1，﹣![](./data/image/media/image28295.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\] 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4C：分类法；53：导数的综合应用． 【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t^2^+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：函数f（x）=x﹣![](./data/image/media/image28296.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣![](./data/image/media/image28297.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}cos2x+acosx， 由题意可得f′（x）≥0恒成立， 即为1﹣![](./data/image/media/image28297.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}cos2x+acosx≥0， 即有![](./data/image/media/image28298.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image28299.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}cos^2^x+acosx≥0， 设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t^2^+3at≥0， 当t=0时，不等式显然成立； 当0＜t≤1时，3a≥4t﹣![](./data/image/media/image28300.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 由4t﹣![](./data/image/media/image28300.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}在（0，1\]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1， 可得3a≥﹣1，即a≥﹣![](./data/image/media/image28296.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}； 当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣![](./data/image/media/image28301.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 由4t﹣![](./data/image/media/image28301.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}在\[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1， 可得3a≤1，即a≤![](./data/image/media/image28302.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 综上可得a的范围是\[﹣![](./data/image/media/image28302.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image28302.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\]． 另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t^2^+3at≥0， 由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0， 解得a的范围是\[﹣![](./data/image/media/image28302.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image28302.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\]． 故选：C． 【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题． **二、填空题：本大题共4小题，每小题5分** 13．（5分）设向量![](./data/image/media/image21659.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（x，x+1），![](./data/image/media/image28303.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（1，2），且![](./data/image/media/image28304.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}⊥![](./data/image/media/image28303.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，则x=[　]{.underline}![](./data/image/media/image28305.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出![](./data/image/media/image28306.png){width="0.5in" height="0.21180555555555555in"}，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值． 【解答】解：∵![](./data/image/media/image28307.png){width="0.3972222222222222in" height="0.21180555555555555in"}； ∴![](./data/image/media/image28306.png){width="0.5in" height="0.21180555555555555in"}； 即x+2（x+1）=0； ∴![](./data/image/media/image28308.png){width="0.4041666666666667in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image28309.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念． 14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+![](./data/image/media/image28310.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=![](./data/image/media/image28311.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则tan（θ﹣![](./data/image/media/image28310.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=[　]{.underline}![](./data/image/media/image28312.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值． 【分析】由θ得范围求得θ+![](./data/image/media/image28313.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}的范围，结合已知求得cos（θ+![](./data/image/media/image28313.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}），再由诱导公式求得sin（![](./data/image/media/image28314.png){width="0.4875in" height="0.36527777777777776in"}）及cos（![](./data/image/media/image28314.png){width="0.4875in" height="0.36527777777777776in"}），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣![](./data/image/media/image28313.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）的值． 【解答】解：∵θ是第四象限角， ∴![](./data/image/media/image28315.png){width="1.5958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}，则![](./data/image/media/image28316.png){width="2.7375in" height="0.36527777777777776in"}， 又sin（θ+![](./data/image/media/image28317.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=![](./data/image/media/image28318.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴cos（θ+![](./data/image/media/image28317.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=![](./data/image/media/image28319.png){width="2.3715277777777777in" height="0.38472222222222224in"}． ∴cos（![](./data/image/media/image28320.png){width="0.4875in" height="0.36527777777777776in"}）=sin（θ+![](./data/image/media/image28317.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=![](./data/image/media/image28318.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，sin（![](./data/image/media/image28321.png){width="0.4875in" height="0.36527777777777776in"}）=cos（θ+![](./data/image/media/image28322.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=![](./data/image/media/image28323.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 则tan（θ﹣![](./data/image/media/image28322.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=﹣tan（![](./data/image/media/image28321.png){width="0.4875in" height="0.36527777777777776in"}）=﹣![](./data/image/media/image28324.png){width="0.9548611111111112in" height="0.7625in"}=![](./data/image/media/image28325.png){width="0.5958333333333333in" height="0.7625in"}． 故答案为：﹣![](./data/image/media/image28326.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x^2^+y^2^﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若\|AB\|=2![](./data/image/media/image28327.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，则圆C的面积为[　4π　]{.underline}． 【考点】J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆． 【分析】圆C：x^2^+y^2^﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为![](./data/image/media/image28328.png){width="0.4875in" height="0.25in"}，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积． 【解答】解：圆C：x^2^+y^2^﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为![](./data/image/media/image28328.png){width="0.4875in" height="0.25in"}， ∵直线y=x+2a与圆C：x^2^+y^2^﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且\|AB\|=2![](./data/image/media/image28327.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， ∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=![](./data/image/media/image28329.png){width="0.3013888888888889in" height="0.38472222222222224in"}， 即![](./data/image/media/image28330.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42291666666666666in"}+3=a^2^+2， 解得：a^2^=2， 故圆的半径r=2． 故圆的面积S=4π， 故答案为：4π 【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档． 16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为[　216000　]{.underline}元． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想． 【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可； 【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元． 由题意，得![](./data/image/media/image28331.png){width="1.2881944444444444in" height="0.9291666666666667in"}，z=2100x+900y． 不等式组表示的可行域如图：由题意可得![](./data/image/media/image28332.png){width="0.8784722222222222in" height="0.4166666666666667in"}，解得：![](./data/image/media/image28333.png){width="0.5381944444444444in" height="0.4041666666666667in"}，A（60，100）， 目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元． 故答案为：216000． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28334.png){width="2.8847222222222224in" height="2.9680555555555554in"} 【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键． **三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.** 17．（12分）已知{a~n~}是公差为3的等差数列，数列{b~n~}满足b~1~=1，b~2~=![](./data/image/media/image28335.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，a~n~b~n+1~+b~n+1~=nb~n~． （Ⅰ）求{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）求{b~n~}的前n项和． 【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a~1~=2，结合{a~n~}是公差为3的等差数列，可得{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）由（1）可得：数列{b~n~}是以1为首项，以![](./data/image/media/image28336.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}为公比的等比数列，进而可得：{b~n~}的前n项和． 【解答】解：（Ⅰ）∵a~n~b~n+1~+b~n+1~=nb~n~． 当n=1时，a~1~b~2~+b~2~=b~1~． ∵b~1~=1，b~2~=![](./data/image/media/image28336.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴a~1~=2， 又∵{a~n~}是公差为3的等差数列， ∴a~n~=3n﹣1， （Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b~n+1~+b~n+1~=nb~n~． 即3b~n+1~=b~n~． 即数列{b~n~}是以1为首项，以![](./data/image/media/image28336.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}为公比的等比数列， ∴{b~n~}的前n项和S~n~=![](./data/image/media/image28337.png){width="0.6347222222222222in" height="0.7625in"}=![](./data/image/media/image28338.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}（1﹣3^﹣n^）=![](./data/image/media/image28338.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image28339.png){width="0.5513888888888889in" height="0.42291666666666666in"}． 【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档． 18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G． （Ⅰ）证明：G是AB的中点； （Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28340.png){width="2.2625in" height="1.6791666666666667in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明； （Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影， ∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB， 又E为D在平面PAB内的正投影， ∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB， ∵PD∩DE=D， ∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G， 则AB⊥PG， 又PA=PB， ∴G是AB的中点； （Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影． ∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形， ∴PB⊥PA，PB⊥PC， 又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC， 即点F为E在平面PAC内的正投影． 连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心． 由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=![](./data/image/media/image28341.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}CG． 由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=![](./data/image/media/image28341.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}PG，DE=![](./data/image/media/image28342.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}PC． 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3![](./data/image/media/image24066.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，PE=2![](./data/image/media/image28343.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． 在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2． 所以四面体PDEF的体积V=![](./data/image/media/image28344.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×DE×S~△PEF~=![](./data/image/media/image28344.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×2×![](./data/image/media/image28345.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×2×2=![](./data/image/media/image28346.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28347.png){width="2.2625in" height="1.6791666666666667in"} 【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系． 19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28348.png){width="4.313888888888889in" height="2.154166666666667in"} 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式； （Ⅱ）若要求"需更换的易损零件数不大于n"的频率不小于0.5，求n的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 【考点】3H：函数的最值及其几何意义；5C：根据实际问题选择函数类型；B8：频率分布直方图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式； （Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合"需更换的易损零件数不大于n"的频率不小于0.5，可得n的最小值； （Ⅲ）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）当n=19时， y=![](./data/image/media/image28349.png){width="2.295138888888889in" height="0.4486111111111111in"}=![](./data/image/media/image28350.png){width="1.4618055555555556in" height="0.4486111111111111in"} （Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06， 更换的易损零件数为17个频率为0.16， 更换的易损零件数为18个频率为0.24， 更换的易损零件数为19个频率为0.24 又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5． 则n≥19 ∴n的最小值为19件； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件， 所须费用平均数为：![](./data/image/media/image28351.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元） 假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件， 所须费用平均数为![](./data/image/media/image28351.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}（90×4000+10×4500）=4050（元） ∵4000＜4050 ∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件． 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档． 20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y^2^=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H． （Ⅰ）求![](./data/image/media/image28352.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由． 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐标，利用![](./data/image/media/image28353.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28354.png){width="0.4361111111111111in" height="0.5in"}，求![](./data/image/media/image28353.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）直线MH的方程为y=![](./data/image/media/image28355.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y^2^﹣4ty+4t^2^=0，利用判别式可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（![](./data/image/media/image28356.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42291666666666666in"}，t）， ∵M关于点P的对称点为N， ∴![](./data/image/media/image28357.png){width="0.5194444444444445in" height="0.42291666666666666in"}=![](./data/image/media/image28358.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42291666666666666in"}，![](./data/image/media/image28359.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4361111111111111in"}=t， ∴N（![](./data/image/media/image28360.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42291666666666666in"}，t）， ∴ON的方程为y=![](./data/image/media/image28361.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}x， 与抛物线方程联立，解得H（![](./data/image/media/image28362.png){width="0.3333333333333333in" height="0.42291666666666666in"}，2t） ∴![](./data/image/media/image28363.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28364.png){width="0.4361111111111111in" height="0.5in"}=2； （Ⅱ）由（Ⅰ）知k~MH~=![](./data/image/media/image28365.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， ∴直线MH的方程为y=![](./data/image/media/image28365.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y^2^﹣4ty+4t^2^=0， ∴△=16t^2^﹣4×4t^2^=0， ∴直线MH与C除点H外没有其它公共点． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键． 21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e^x^+a（x﹣1）^2^． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣![](./data/image/media/image28366.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，a=﹣![](./data/image/media/image28366.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，﹣![](./data/image/media/image28366.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间； （Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e^x^+a（x﹣1）^2^， 可得f′（x）=（x﹣1）e^x^+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e^x^+2a）， ①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1， 即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）； ②当a＜0时，（如右下图）若a=﹣![](./data/image/media/image28366.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增； 若a＜﹣![](./data/image/media/image28366.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）； 由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）． 即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增； 在（1，ln（﹣2a））递减； 若﹣![](./data/image/media/image28366.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1； 由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1． 即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增； 在（ln（﹣2a），1）递减； （Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时， f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增， 且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞； 当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立， f（x）有两个零点； ②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e^x^，所以f（x）只有一个零点x=2； ③当a＜0时， 若a＜﹣![](./data/image/media/image28367.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减， 在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增， 又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点； 当a≥﹣![](./data/image/media/image28367.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增， 在（1n（﹣2a），1）单调减， 只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点， 而当x≤1时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意． 综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28368.png){width="1.75in" height="3.1791666666666667in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28369.png){width="1.6861111111111111in" height="2.3652777777777776in"} 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题． **请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．\[选修4-1：几何证明选讲\]** 22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，![](./data/image/media/image28370.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}OA为半径作圆． （Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切； （Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28371.png){width="1.7375in" height="0.9805555555555555in"} 【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明． 【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=![](./data/image/media/image28370.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}OA，则AB是圆O的切线． （Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论． 【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK， ∵OA=OB，∠AOB=120°， ∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=![](./data/image/media/image28370.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}OA， ∴直线AB与⊙O相切； （Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心． ∵OA=OB，TA=TB， ∴OT为AB的中垂线， 同理，OC=OD，TC=TD， ∴OT为CD的中垂线， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形"三合一"的性质． **\[选修4-4：坐标系与参数方程\]** 23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为![](./data/image/media/image28372.png){width="0.8784722222222222in" height="0.4041666666666667in"}（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C~2~：ρ=4cosθ． （Ⅰ）说明C~1~是哪种曲线，并将C~1~的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线C~3~的极坐标方程为θ=α~0~，其中α~0~满足tanα~0~=2，若曲线C~1~与C~2~的公共点都在C~3~上，求a． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（Ⅰ）把曲线C~1~的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C~1~是圆，化为一般式，结合x^2^+y^2^=ρ^2^，y=ρsinθ化为极坐标方程； （Ⅱ）化曲线C~2~、C~3~的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C~1~与C~2~的公共弦所在直线方程，把C~1~与C~2~的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a^2^=0，则a值可求． 【解答】解：（Ⅰ）由![](./data/image/media/image28372.png){width="0.8784722222222222in" height="0.4041666666666667in"}，得![](./data/image/media/image28373.png){width="0.8784722222222222in" height="0.4041666666666667in"}，两式平方相加得，x^2^+（y﹣1）^2^=a^2^． ∴C~1~为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆． 化为一般式：x^2^+y^2^﹣2y+1﹣a^2^=0．① 由x^2^+y^2^=ρ^2^，y=ρsinθ，得ρ^2^﹣2ρsinθ+1﹣a^2^=0； （Ⅱ）C~2~：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ^2^=4ρcosθ， ∴x^2^+y^2^=4x，② 即（x﹣2）^2^+y^2^=4． 由C~3~：θ=α~0~，其中α~0~满足tanα~0~=2，得y=2x， ∵曲线C~1~与C~2~的公共点都在C~3~上， ∴y=2x为圆C~1~与C~2~的公共弦所在直线方程， ①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a^2^=0，即为C~3~ ， ∴1﹣a^2^=0， ∴a=1（a＞0）． 【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题． **\[选修4-5：不等式选讲\]** 24．已知函数f（x）=\|x+1\|﹣\|2x﹣3\|． （Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象； （Ⅱ）求不等式\|f（x）\|＞1的解集． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28374.png){width="2.904166666666667in" height="2.7180555555555554in"} 【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象； （Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜![](./data/image/media/image28375.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，当x≥![](./data/image/media/image28375.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=![](./data/image/media/image28376.png){width="1.3458333333333334in" height="1.051388888888889in"}， 由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右： （Ⅱ）由\|f（x）\|＞1，可得 当x≤﹣1时，\|x﹣4\|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1； 当﹣1＜x＜![](./data/image/media/image28375.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，\|3x﹣2\|＞1，解得x＞1或x＜![](./data/image/media/image28377.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 即有﹣1＜x＜![](./data/image/media/image28377.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}或1＜x＜![](./data/image/media/image28378.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}； 当x≥![](./data/image/media/image28378.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，\|4﹣x\|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或![](./data/image/media/image28378.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}≤x＜3． 综上可得，x＜![](./data/image/media/image28377.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}或1＜x＜3或x＞5． 则\|f（x）\|＞1的解集为（﹣∞，![](./data/image/media/image28377.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）∪（1，3）∪（5，+∞）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28379.png){width="2.904166666666667in" height="2.7305555555555556in"} 【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题． 2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） ============================================= **参考答案与试题解析** **一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．** 1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3） 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可． 【解答】解：z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限， 可得：![](./data/image/media/image28380.png){width="0.6284722222222222in" height="0.4486111111111111in"}，解得﹣3＜m＜1． 故选：A． 【点评】本题考查复数的几何意义，考查计算能力． 2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x\|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（　　） A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3} 【考点】1D：并集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值． 【解答】解：∵集合A={1，2，3}， B={x\|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}， ∴A∪B={0，1，2，3}． 故选：C． 【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用． 3．（5分）已知向量![](./data/image/media/image28381.png){width="0.10902777777777778in" height="0.21180555555555555in"}=（1，m），![](./data/image/media/image28382.png){width="0.10902777777777778in" height="0.21180555555555555in"}=（3，﹣2），且（![](./data/image/media/image28381.png){width="0.10902777777777778in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image28382.png){width="0.10902777777777778in" height="0.21180555555555555in"}）⊥![](./data/image/media/image28383.png){width="0.10902777777777778in" height="0.21180555555555555in"}，则m=（　　） A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8 【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5A：平面向量及应用． 【分析】求出向量![](./data/image/media/image28384.png){width="0.10902777777777778in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image28383.png){width="0.10902777777777778in" height="0.21180555555555555in"}的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案． 【解答】解：∵向量![](./data/image/media/image28384.png){width="0.10902777777777778in" height="0.21180555555555555in"}=（1，m），![](./data/image/media/image28383.png){width="0.10902777777777778in" height="0.21180555555555555in"}=（3，﹣2）， ∴![](./data/image/media/image28384.png){width="0.10902777777777778in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image28383.png){width="0.10902777777777778in" height="0.21180555555555555in"}=（4，m﹣2）， 又∵（![](./data/image/media/image28385.png){width="0.10902777777777778in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image28386.png){width="0.10902777777777778in" height="0.21180555555555555in"}）⊥![](./data/image/media/image28386.png){width="0.10902777777777778in" height="0.21180555555555555in"}， ∴12﹣2（m﹣2）=0， 解得：m=8， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题． 4．（5分）圆x^2^+y^2^﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（　　） A．﹣![](./data/image/media/image28387.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．﹣![](./data/image/media/image28388.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image28389.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} D．2 【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；5B：直线与圆． 【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案． 【解答】解：圆x^2^+y^2^﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4）， 故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d=![](./data/image/media/image28390.png){width="0.6409722222222223in" height="0.4486111111111111in"}=1， 解得：a=![](./data/image/media/image28391.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档． 5．（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28392.png){width="3.7625in" height="1.2305555555555556in"} A．24 B．18 C．12 D．9 【考点】D2：分步乘法计数原理；D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5O：排列组合． 【分析】从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法，有C~3~^1^=3种走法，利用乘法原理可得结论． 【解答】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段， 从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同， 每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C~4~^2^C~2~^2^=6种走法． 同理从F到G，最短的走法，有C~3~^1^C~2~^2^=3种走法． ∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法． 故选：B． 【点评】本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题 6．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28393.png){width="1.9618055555555556in" height="1.7625in"} A．20π B．24π C．28π D．32π 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2![](./data/image/media/image28394.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面． 【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体， 上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2![](./data/image/media/image28395.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， ∴在轴截面中圆锥的母线长是![](./data/image/media/image28396.png){width="0.4618055555555556in" height="0.18611111111111112in"}=4， ∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π， 下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4， ∴圆柱表现出来的表面积是π×2^2^+2π×2×4=20π ∴空间组合体的表面积是28π， 故选：C． 【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端． 7．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移![](./data/image/media/image28397.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（　　） A．x=![](./data/image/media/image28398.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image28399.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（k∈Z） B．x=![](./data/image/media/image28398.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image28400.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（k∈Z） C．x=![](./data/image/media/image28401.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image28402.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（k∈Z） D．x=![](./data/image/media/image28401.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image28402.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（k∈Z） 【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案． 【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移![](./data/image/media/image28402.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度，得到y=2sin2（x+![](./data/image/media/image28402.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=2sin（2x+![](./data/image/media/image28403.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）， 由2x+![](./data/image/media/image28403.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=kπ+![](./data/image/media/image28404.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（k∈Z）得：x=![](./data/image/media/image28405.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image28403.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（k∈Z）， 即平移后的图象的对称轴方程为x=![](./data/image/media/image28405.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image28403.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（k∈Z）， 故选：B． 【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题． 8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28406.png){width="1.4618055555555556in" height="3.602777777777778in"} A．7 B．12 C．17 D．34 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图． 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：∵输入的x=2，n=2， 当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件； 当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件； 当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件； 故输出的S值为17， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． 9．（5分）若cos（![](./data/image/media/image28407.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣α）=![](./data/image/media/image28408.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则sin2α=（　　） A．![](./data/image/media/image28409.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image28410.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．﹣![](./data/image/media/image28410.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．﹣![](./data/image/media/image28409.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有 【专题】36：整体思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α=cos（![](./data/image/media/image28411.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案． 法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值 【解答】解：法1°：∵cos（![](./data/image/media/image28412.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣α）=![](./data/image/media/image28413.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴sin2α=cos（![](./data/image/media/image28411.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣2α）=cos2（![](./data/image/media/image28414.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣α）=2cos^2^（![](./data/image/media/image28414.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣α）﹣1=2×![](./data/image/media/image28415.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣1=﹣![](./data/image/media/image28416.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 法2°：∵cos（![](./data/image/media/image28414.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣α）=![](./data/image/media/image28417.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}（sinα+cosα）=![](./data/image/media/image28418.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![](./data/image/media/image28419.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}（1+sin2α）=![](./data/image/media/image28415.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， ∴sin2α=2×![](./data/image/media/image28420.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣1=﹣![](./data/image/media/image28421.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：D． 【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题． 10．（5分）从区间\[0，1\]随机抽取2n个数x~1~，x~2~，...，x~n~，y~1~，y~2~，...，y~n~构成n个数对（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~）...（x~n~，y~n~），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（　　） A．![](./data/image/media/image28422.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image28423.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image28424.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"} D．![](./data/image/media/image28425.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值． 【解答】解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为![](./data/image/media/image28426.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}π•1^2^，从区间\[0，1】随机抽取2n个数x~1~，x~2~，...，x~n~，y~1~，y~2~，...，y~n~，构成n个数对（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~），...，（x~n~，y~n~），对应的区域的面积为1^2^． ∴![](./data/image/media/image28427.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28428.png){width="0.6409722222222223in" height="0.6284722222222222in"} ∴π=![](./data/image/media/image28429.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28430.png){width="3.1284722222222223in" height="3.051388888888889in"} 【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到． 11．（5分）已知F~1~，F~2~是双曲线E：![](./data/image/media/image28431.png){width="0.22430555555555556in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image28432.png){width="0.22430555555555556in" height="0.4875in"}=1的左，右焦点，点M在E上，MF~1~与x轴垂直，sin∠MF~2~F~1~=![](./data/image/media/image28433.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则E的离心率为（　　） A．![](./data/image/media/image28434.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} B．![](./data/image/media/image28435.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image28436.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} D．2 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由条件MF~1~⊥MF~2~，sin∠MF~2~F~1~=![](./data/image/media/image28437.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，列出关系式，从而可求离心率． 【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点， 则丨MF~1~丨=![](./data/image/media/image28438.png){width="0.22430555555555556in" height="0.42916666666666664in"}，丨MF~2~丨=![](./data/image/media/image28439.png){width="1.00625in" height="0.4486111111111111in"}， ∴sin∠MF~2~F~1~=![](./data/image/media/image28440.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，∴![](./data/image/media/image28441.png){width="0.75625in" height="0.9486111111111111in"}=![](./data/image/media/image28440.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 可得：2b^4^=a^2^c^2^，即![](./data/image/media/image28442.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}b^2^=ac，又c^2^=a^2^+b^2^， 可得![](./data/image/media/image28442.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}e^2^﹣e﹣![](./data/image/media/image28442.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}=0， e＞1，解得e=![](./data/image/media/image28443.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28444.png){width="3.25in" height="2.6347222222222224in"} 【点评】本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查数形结合思想，属于中档题． 12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=![](./data/image/media/image28445.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}与y=f（x）图象的交点为（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~），...，（x~m~，y~m~），则![](./data/image/media/image28446.png){width="0.22430555555555556in" height="0.48055555555555557in"}（x~i~+y~i~）=（　　） A．0 B．m C．2m D．4m 【考点】3P：抽象函数及其应用．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用． 【分析】由条件可得f（x）+f（﹣x）=2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y=![](./data/image/media/image28447.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，即y=1+![](./data/image/media/image28448.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}的图象关于点（0，1）对称，即有（x~1~，y~1~）为交点，即有（﹣x~1~，2﹣y~1~）也为交点，计算即可得到所求和． 【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x）， 即为f（x）+f（﹣x）=2， 可得f（x）关于点（0，1）对称， 函数y=![](./data/image/media/image28447.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，即y=1+![](./data/image/media/image28448.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}的图象关于点（0，1）对称， 即有（x~1~，y~1~）为交点，即有（﹣x~1~，2﹣y~1~）也为交点， （x~2~，y~2~）为交点，即有（﹣x~2~，2﹣y~2~）也为交点， ... 则有![](./data/image/media/image28449.png){width="0.22430555555555556in" height="0.48055555555555557in"}（x~i~+y~i~）=（x~1~+y~1~）+（x~2~+y~2~）+...+（x~m~+y~m~） =![](./data/image/media/image28450.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\[（x~1~+y~1~）+（﹣x~1~+2﹣y~1~）+（x~2~+y~2~）+（﹣x~2~+2﹣y~2~）+...+（x~m~+y~m~）+（﹣x~m~+2﹣y~m~）\] =m． 故选：B． 【点评】本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题． **二、填空题：本题共4小题，每小题5分．** 13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=![](./data/image/media/image28451.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，cosC=![](./data/image/media/image28452.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，a=1，则b=[　]{.underline}![](./data/image/media/image28453.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；56：三角函数的求值；58：解三角形． 【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=![](./data/image/media/image28454.png){width="0.47430555555555554in" height="0.36527777777777776in"}，代入计算即可得到所求值． 【解答】解：由cosA=![](./data/image/media/image28451.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，cosC=![](./data/image/media/image28455.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，可得 sinA=![](./data/image/media/image28456.png){width="0.75625in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image28457.png){width="0.5125in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image28458.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， sinC=![](./data/image/media/image28459.png){width="0.75625in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image28460.png){width="0.5895833333333333in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image28461.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=![](./data/image/media/image28458.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×![](./data/image/media/image28462.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image28463.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×![](./data/image/media/image28464.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28465.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 由正弦定理可得b=![](./data/image/media/image28466.png){width="0.47430555555555554in" height="0.36527777777777776in"} =![](./data/image/media/image28467.png){width="0.5256944444444445in" height="0.75625in"}=![](./data/image/media/image28468.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image28468.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题． 14．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β． ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n． ③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β． ④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等． 其中正确的命题是[　②③④　]{.underline}（填序号） 【考点】2K：命题的真假判断与应用；LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有 【专题】2A：探究型；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何． 【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案． 【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误； ②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确； ③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确 ④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确； 故答案为：②③④ 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档． 15．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说："我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说："我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说："我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是[　1和3　]{.underline}． 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 【专题】2A：探究型；49：综合法；5L：简易逻辑． 【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少． 【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3； （1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； ∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3； （2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又甲说，"我与乙的卡片上相同的数字不是2"； ∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； ∴甲的卡片上的数字是1和3． 故答案为：1和3． 【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口． 16．（5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=[　1﹣ln2　]{.underline}． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】53：导数的综合应用． 【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可 【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x~1~，kx~1~+b）、（x~2~，kx~2~+b）； 由导数的几何意义可得k=![](./data/image/media/image28469.png){width="0.22430555555555556in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image28470.png){width="0.4166666666666667in" height="0.42916666666666664in"}，得x~1~=x~2~+1 再由切点也在各自的曲线上，可得![](./data/image/media/image28471.png){width="1.3847222222222222in" height="0.5125in"} 联立上述式子解得![](./data/image/media/image28472.png){width="0.6284722222222222in" height="1.0194444444444444in"}； 从而kx~1~+b=lnx~1~+2得出b=1﹣ln2． 【点评】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题 **三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．** 17．（12分）S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，且a~1~=1，S~7~=28，记b~n~=\[lga~n~\]，其中\[x\]表示不超过x的最大整数，如\[0.9\]=0，\[lg99\]=1． （Ⅰ）求b~1~，b~11~，b~101~； （Ⅱ）求数列{b~n~}的前1000项和． 【考点】83：等差数列的性质；8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b~1~，b~11~，b~101~； （Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{b~n~}的前1000项和． 【解答】解：（Ⅰ）S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，且a~1~=1，S~7~=28，7a~4~=28． 可得a~4~=4，则公差d=1． a~n~=n， b~n~=\[lgn\]，则b~1~=\[lg1\]=0， b~11~=\[lg11\]=1， b~101~=\[lg101\]=2． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b~1~=b~2~=b~3~=...=b~9~=0，b~10~=b~11~=b~12~=...=b~99~=1． b~100~=b~101~=b~102~=b~103~=...=b~999~=2，b~10，00~=3． 数列{b~n~}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893． 【点评】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力． 18．（12分）某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： ---------------- ------- --- ------- ------ ------- ---- 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a ---------------- ------- --- ------- ------ ------- ---- 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： ---------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ 一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 ---------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ （Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； （Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，由此利用该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表根据对立事件概率计算公式能求出一续保人本年度的保费高于基本保费的概率． （Ⅱ）设事件A表示"一续保人本年度的保费高于基本保费"，事件B表示"一续保人本年度的保费比基本保费高出60%"，由题意求出P（A），P（AB），由此利用条件概率能求出若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出60%的概率． （Ⅲ）由题意，能求出续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【解答】解：（Ⅰ）∵某保险的基本保费为a（单位：元）， 上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费， ∴由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得： 一续保人本年度的保费高于基本保费的概率： p~1~=1﹣0.30﹣0.15=0.55． （Ⅱ）设事件A表示"一续保人本年度的保费高于基本保费"，事件B表示"一续保人本年度的保费比基本保费高出60%"， 由题意P（A）=0.55，P（AB）=0.10+0.05=0.15， 由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费， 则其保费比基本保费高出60%的概率： p~2~=P（B\|A）=![](./data/image/media/image28473.png){width="0.47430555555555554in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28474.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28475.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． （Ⅲ）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为： ![](./data/image/media/image28476.png){width="5.134722222222222in" height="0.36527777777777776in"}=1.23， ∴续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23． 【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式、条件概率计算公式的合理运用． 19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=![](./data/image/media/image28477.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=![](./data/image/media/image28478.png){width="0.2881944444444444in" height="0.18611111111111112in"}． （Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD； （Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28479.png){width="2.2180555555555554in" height="1.3784722222222223in"} 【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5G：空间角． 【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，进一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD； （Ⅱ）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到![](./data/image/media/image28480.png){width="1.1090277777777777in" height="0.22430555555555556in"}的坐标，分别求出平面ABD′与平面AD′C的一个法向量![](./data/image/media/image28481.png){width="0.5770833333333333in" height="0.26944444444444443in"}，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，求出\|cosθ\|．则二面角B﹣D′A﹣C的正弦值可求． 【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形， ∴AD=DC，又AE=CF=![](./data/image/media/image28482.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![](./data/image/media/image28483.png){width="0.5381944444444444in" height="0.36527777777777776in"}，则EF∥AC， 又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD， ∴EF⊥DH，则EF⊥D′H， ∵AC=6， ∴AO=3， 又AB=5，AO⊥OB， ∴OB=4， ∴OH=![](./data/image/media/image28484.png){width="0.4875in" height="0.36527777777777776in"}=1，则DH=D′H=3， ∴\|OD′\|^2^=\|OH\|^2^+\|D′H\|^2^，则D′H⊥OH， 又OH∩EF=H， ∴D′H⊥平面ABCD； （Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， ∵AB=5，AC=6， ∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0）， ![](./data/image/media/image28485.png){width="2.5in" height="0.22430555555555556in"}，![](./data/image/media/image28486.png){width="1.0451388888888888in" height="0.22430555555555556in"}， 设平面ABD′的一个法向量为![](./data/image/media/image28487.png){width="1.051388888888889in" height="0.26944444444444443in"}， 由![](./data/image/media/image28488.png){width="0.9486111111111111in" height="0.5895833333333333in"}，得![](./data/image/media/image28489.png){width="0.9548611111111112in" height="0.4166666666666667in"}，取x=3，得y=﹣4，z=5． ∴![](./data/image/media/image28490.png){width="1.1347222222222222in" height="0.26944444444444443in"}． 同理可求得平面AD′C的一个法向量![](./data/image/media/image28491.png){width="1.051388888888889in" height="0.26944444444444443in"}， 设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ， 则\|cosθ\|=![](./data/image/media/image28492.png){width="2.3333333333333335in" height="0.5638888888888889in"}． ∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ=![](./data/image/media/image28493.png){width="0.42916666666666664in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28494.png){width="3.154166666666667in" height="1.9680555555555554in"} 【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题． 20．（12分）已知椭圆E：![](./data/image/media/image28495.png){width="0.22430555555555556in" height="0.42916666666666664in"}+![](./data/image/media/image28496.png){width="0.22430555555555556in" height="0.4361111111111111in"}=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA． （Ⅰ）当t=4，\|AM\|=\|AN\|时，求△AMN的面积； （Ⅱ）当2\|AM\|=\|AN\|时，求k的取值范围． 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；48：分析法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（Ⅰ）方法一、求出t=4时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得\|AM\|，由垂直的条件可得\|AN\|，再由\|AM\|=\|AN\|，解得k=1，运用三角形的面积公式可得△AMN的面积； 方法二、运用椭圆的对称性，可得直线AM的斜率为1，求得AM的方程代入椭圆方程，解方程可得M，N的坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到； （Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+![](./data/image/media/image28497.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}），代入椭圆方程，求得交点M，可得\|AM\|，\|AN\|，再由2\|AM\|=\|AN\|，求得t，再由椭圆的性质可得t＞3，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：（Ⅰ）方法一、t=4时，椭圆E的方程为![](./data/image/media/image28498.png){width="0.22430555555555556in" height="0.42916666666666664in"}+![](./data/image/media/image28499.png){width="0.22430555555555556in" height="0.4361111111111111in"}=1，A（﹣2，0）， 直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k^2^）x^2^+16k^2^x+16k^2^﹣12=0， 解得x=﹣2或x=﹣![](./data/image/media/image28500.png){width="0.5256944444444445in" height="0.48055555555555557in"}，则\|AM\|=![](./data/image/media/image28501.png){width="0.4875in" height="0.25in"}•\|2﹣![](./data/image/media/image28502.png){width="0.5256944444444445in" height="0.48055555555555557in"}\|=![](./data/image/media/image28503.png){width="0.4875in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image28504.png){width="0.5in" height="0.42916666666666664in"}， 由AN⊥AM，可得\|AN\|=![](./data/image/media/image28505.png){width="0.7951388888888888in" height="0.38472222222222224in"}•![](./data/image/media/image28506.png){width="0.8909722222222223in" height="0.5638888888888889in"}=![](./data/image/media/image28503.png){width="0.4875in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image28507.png){width="0.7694444444444445in" height="0.5638888888888889in"}， 由\|AM\|=\|AN\|，k＞0，可得![](./data/image/media/image28508.png){width="0.4875in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image28509.png){width="0.5in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image28508.png){width="0.4875in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image28510.png){width="0.4361111111111111in" height="0.5638888888888889in"}， 整理可得（k﹣1）（4k^2^+k+4）=0，由4k^2^+k+4=0无实根，可得k=1， 即有△AMN的面积为![](./data/image/media/image28511.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|AM\|^2^=![](./data/image/media/image28512.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}（![](./data/image/media/image28513.png){width="0.3784722222222222in" height="0.18611111111111112in"}•![](./data/image/media/image28514.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^2^=![](./data/image/media/image28515.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}； 方法二、由\|AM\|=\|AN\|，可得M，N关于x轴对称， 由MA⊥NA．可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为y=x+2， 代入椭圆方程![](./data/image/media/image28516.png){width="0.22430555555555556in" height="0.42916666666666664in"}+![](./data/image/media/image28517.png){width="0.22430555555555556in" height="0.4361111111111111in"}=1，可得7x^2^+16x+4=0， 解得x=﹣2或﹣![](./data/image/media/image28518.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，M（﹣![](./data/image/media/image28518.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image28519.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}），N（﹣![](./data/image/media/image28520.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，﹣![](./data/image/media/image28519.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）， 则△AMN的面积为![](./data/image/media/image27259.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×![](./data/image/media/image28521.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}×（﹣![](./data/image/media/image28520.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+2）=![](./data/image/media/image28522.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+![](./data/image/media/image28523.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}），代入椭圆方程， 可得（3+tk^2^）x^2^+2t![](./data/image/media/image28524.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}k^2^x+t^2^k^2^﹣3t=0， 解得x=﹣![](./data/image/media/image28524.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}或x=﹣![](./data/image/media/image28525.png){width="0.9423611111111111in" height="0.5in"}， 即有\|AM\|=![](./data/image/media/image28526.png){width="0.4875in" height="0.25in"}•\|![](./data/image/media/image28525.png){width="0.9423611111111111in" height="0.5in"}﹣![](./data/image/media/image28524.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}\|=![](./data/image/media/image28527.png){width="0.4875in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image28528.png){width="0.5in" height="0.4486111111111111in"}， \|AN\|═![](./data/image/media/image28529.png){width="0.5256944444444445in" height="0.4486111111111111in"}•![](./data/image/media/image28530.png){width="0.4486111111111111in" height="0.6409722222222223in"}=![](./data/image/media/image28527.png){width="0.4875in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image28531.png){width="0.4361111111111111in" height="0.5895833333333333in"}， 由2\|AM\|=\|AN\|，可得2![](./data/image/media/image28532.png){width="0.4875in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image28533.png){width="0.5in" height="0.4486111111111111in"}=![](./data/image/media/image28532.png){width="0.4875in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image28531.png){width="0.4361111111111111in" height="0.5895833333333333in"}， 整理得t=![](./data/image/media/image28534.png){width="0.6027777777777777in" height="0.48055555555555557in"}， 由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有![](./data/image/media/image28535.png){width="0.6027777777777777in" height="0.48055555555555557in"}＞3，即有![](./data/image/media/image28536.png){width="1.0194444444444444in" height="0.48055555555555557in"}＜0， 可得![](./data/image/media/image28537.png){width="0.25in" height="0.2375in"}＜k＜2，即k的取值范围是（![](./data/image/media/image28537.png){width="0.25in" height="0.2375in"}，2）． 【点评】本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 21．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=![](./data/image/media/image28538.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}e^x^的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e^x^+x+2＞0； （Ⅱ）证明：当a∈\[0，1）时，函数g（x）=![](./data/image/media/image28539.png){width="0.6666666666666666in" height="0.48055555555555557in"}（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】53：导数的综合应用． 【分析】从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值域，利用复合函数的求导公式进行求导，然后逐步分析即可 【解答】解：（1）证明：f（x）=![](./data/image/media/image28540.png){width="0.5in" height="0.36527777777777776in"} f\'（x）=e^x^（![](./data/image/media/image28541.png){width="0.99375in" height="0.42916666666666664in"}）=![](./data/image/media/image28542.png){width="0.5895833333333333in" height="0.48055555555555557in"} ∵当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）时，f\'（x）≥0 ∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）上单调递增 ∴x＞0时，![](./data/image/media/image28543.png){width="0.5in" height="0.36527777777777776in"}＞f（0）=﹣1 即（x﹣2）e^x^+x+2＞0 （2）g\'（x）=![](./data/image/media/image28544.png){width="1.8652777777777778in" height="0.48055555555555557in"} =![](./data/image/media/image28545.png){width="1.4743055555555555in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image28546.png){width="1.4229166666666666in" height="0.6284722222222222in"} a∈\[0，1） 由（1）知，当x＞0时，f（x）=![](./data/image/media/image28547.png){width="0.5in" height="0.36527777777777776in"}的值域为（﹣1，+∞），只有一解使得 ![](./data/image/media/image28548.png){width="0.8784722222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 只需![](./data/image/media/image28549.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}•e^t^≤0恒成立，可得﹣2＜t≤2， 由x＞0，可得 t∈（0，2\] 当x∈（0，t）时，g\'（x）＜0，g（x）单调减； 当x∈（t，+∞），g\'（x）＞0，g（x）单调增； h（a）=![](./data/image/media/image28550.png){width="0.8333333333333334in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image28551.png){width="1.3458333333333334in" height="0.6284722222222222in"}=![](./data/image/media/image28552.png){width="0.3013888888888889in" height="0.42916666666666664in"} 记k（t）=![](./data/image/media/image28553.png){width="0.3013888888888889in" height="0.42916666666666664in"}，在t∈（0，2\]时，k\'（t）=![](./data/image/media/image28554.png){width="0.6666666666666666in" height="0.48055555555555557in"}＞0， 故k（t）单调递增， 所以h（a）=k（t）∈（![](./data/image/media/image28555.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image28556.png){width="0.22430555555555556in" height="0.42916666666666664in"}\]． 【点评】该题考查了导数在函数单调性上的应用，重点是掌握复合函数的求导，以及导数代表的意义，计算量较大，难度较大． **请考生在第22～24题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]** 22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F． （Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆； （Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28557.png){width="1.2305555555555556in" height="1.1152777777777778in"} 【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．菁优网版权所有 【专题】14：证明题． 【分析】（Ⅰ）证明B，C，G，F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知条件可知∠BCD=90°，因此问题可转化为证明∠GFB=90°； （Ⅱ）在Rt△DFC中，GF=![](./data/image/media/image28558.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则S~四边形BCGF~=2S~△BCG~，据此解答． 【解答】（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE， ∴Rt△DFC∽Rt△EDC， ∴![](./data/image/media/image28559.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28560.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， ∵DE=DG，CD=BC， ∴![](./data/image/media/image28561.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28562.png){width="0.22430555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF， ∴△GDF∽△BCF， ∴∠CFB=∠DFG， ∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°， ∴∠GFB+∠GCB=180°， ∴B，C，G，F四点共圆． （Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=![](./data/image/media/image28563.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴在Rt△DFC中，GF=![](./data/image/media/image28563.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG， ∴S~四边形BCGF~=2S~△BCG~=2×![](./data/image/media/image28563.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×1×![](./data/image/media/image28563.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28563.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28564.png){width="1.2305555555555556in" height="1.1152777777777778in"} 【点评】本题考查四点共圆的判断，主要根据对角互补进行判断，注意三角形相似和全等性质的应用． **\[选修4-4：坐标系与参数方程\]** 23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）^2^+y^2^=25． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的参数方程是![](./data/image/media/image28565.png){width="0.7951388888888888in" height="0.4041666666666667in"}（t为参数），l与C交与A，B两点，\|AB\|=![](./data/image/media/image28566.png){width="0.2881944444444444in" height="0.18611111111111112in"}，求l的斜率． 【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆． 【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ^2^=x^2^+y^2^，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程． （Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率． 【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）^2^+y^2^=25， ∴x^2^+y^2^+12x+11=0， ∵ρ^2^=x^2^+y^2^，x=ρcosα，y=ρsinα， ∴C的极坐标方程为ρ^2^+12ρcosα+11=0． （Ⅱ）∵直线l的参数方程是![](./data/image/media/image28565.png){width="0.7951388888888888in" height="0.4041666666666667in"}（t为参数）， ∴t=![](./data/image/media/image28567.png){width="0.47430555555555554in" height="0.36527777777777776in"}，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα•x， ∵l与C交与A，B两点，\|AB\|=![](./data/image/media/image28568.png){width="0.2881944444444444in" height="0.18611111111111112in"}，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5， 圆心到直线的距离d=![](./data/image/media/image28569.png){width="1.0576388888888888in" height="0.38472222222222224in"}． ∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d=![](./data/image/media/image28570.png){width="0.8784722222222222in" height="0.4486111111111111in"}=![](./data/image/media/image28571.png){width="0.5895833333333333in" height="0.38472222222222224in"}， 解得tan^2^α=![](./data/image/media/image28572.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，∴tanα=±![](./data/image/media/image28573.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}=±![](./data/image/media/image28574.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}． ∴l的斜率k=±![](./data/image/media/image28574.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用． **\[选修4-5：不等式选讲\]** 24．已知函数f（x）=\|x﹣![](./data/image/media/image28575.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|+\|x+![](./data/image/media/image28575.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|，M为不等式f（x）＜2的解集． （Ⅰ）求M； （Ⅱ）证明：当a，b∈M时，\|a+b\|＜\|1+ab\|． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；59：不等式的解法及应用． 【分析】（I）分当x＜![](./data/image/media/image28576.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}时，当![](./data/image/media/image28576.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}≤x≤![](./data/image/media/image28577.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，当x＞![](./data/image/media/image28577.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案； （Ⅱ）当a，b∈M时，（a^2^﹣1）（b^2^﹣1）＞0，即a^2^b^2^+1＞a^2^+b^2^，配方后，可证得结论． 【解答】解：（I）当x＜![](./data/image/media/image28576.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}时，不等式f（x）＜2可化为：![](./data/image/media/image28577.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣x﹣x﹣![](./data/image/media/image28578.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＜2， 解得：x＞﹣1， ∴﹣1＜x＜![](./data/image/media/image28579.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}， 当![](./data/image/media/image28579.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}≤x≤![](./data/image/media/image28578.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，不等式f（x）＜2可化为：![](./data/image/media/image28578.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣x+x+![](./data/image/media/image28578.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=1＜2， 此时不等式恒成立， ∴![](./data/image/media/image28579.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}≤x≤![](./data/image/media/image28578.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 当x＞![](./data/image/media/image28580.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，不等式f（x）＜2可化为：﹣![](./data/image/media/image28580.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+x+x+![](./data/image/media/image28580.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＜2， 解得：x＜1， ∴![](./data/image/media/image28580.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＜x＜1， 综上可得：M=（﹣1，1）； 证明：（Ⅱ）当a，b∈M时， （a^2^﹣1）（b^2^﹣1）＞0， 即a^2^b^2^+1＞a^2^+b^2^， 即a^2^b^2^+1+2ab＞a^2^+b^2^+2ab， 即（ab+1）^2^＞（a+b）^2^， 即\|a+b\|＜\|1+ab\|． 【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档． 2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） ============================================= **参考答案与试题解析** **一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.** 1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x\|x^2^＜9}，则A∩B=（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值． 【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x\|x^2^＜9}={x\|﹣3＜x＜3}， ∴A∩B={1，2}． 故选：D． 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 2．（5分）设复数z满足z+i=3﹣i，则![](./data/image/media/image28581.png){width="0.10277777777777777in" height="0.18611111111111112in"}=（　　） A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案． 【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i， ∴z=3﹣2i， ∴![](./data/image/media/image28581.png){width="0.10277777777777777in" height="0.18611111111111112in"}=3+2i， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题． 3．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28582.png){width="1.5451388888888888in" height="1.8333333333333333in"} A．y=2sin（2x﹣![](./data/image/media/image28583.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}） B．y=2sin（2x﹣![](./data/image/media/image28584.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}） C．y=2sin（x+![](./data/image/media/image28583.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}） D．y=2sin（x+![](./data/image/media/image28584.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}） 【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】根据已知中的函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的A，ω，φ值，可得答案． 【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2， ![](./data/image/media/image28585.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28586.png){width="0.5381944444444444in" height="0.36527777777777776in"}，故T=π，ω=2， 故y=2sin（2x+φ）， 将（![](./data/image/media/image28587.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，2）代入可得：2sin（![](./data/image/media/image28588.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+φ）=2， 则φ=﹣![](./data/image/media/image28589.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}满足要求， 故y=2sin（2x﹣![](./data/image/media/image28589.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定各个参数的值是解答的关键． 4．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　） A．12π B．![](./data/image/media/image28590.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}π C．8π D．4π 【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5U：球． 【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积． 【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2， 正方体的体对角线为![](./data/image/media/image28591.png){width="0.5381944444444444in" height="0.18611111111111112in"}=2![](./data/image/media/image28592.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 即为球的直径，所以半径为![](./data/image/media/image28592.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 所以球的表面积为![](./data/image/media/image28593.png){width="0.8458333333333333in" height="0.25in"}=12π． 故选：A． 【点评】本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题． 5．（5分）设F为抛物线C：y^2^=4x的焦点，曲线y=![](./data/image/media/image28594.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（　　） A．![](./data/image/media/image28595.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．1 C．![](./data/image/media/image28596.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．2 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值． 【解答】解：抛物线C：y^2^=4x的焦点F为（1，0）， 曲线y=![](./data/image/media/image28594.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}（k＞0）与C交于点P在第一象限， 由PF⊥x轴得：P点横坐标为1， 代入C得：P点纵坐标为2， 故k=2， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中档． 6．（5分）圆x^2^+y^2^﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（　　） A．﹣![](./data/image/media/image28597.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．﹣![](./data/image/media/image28598.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image28599.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} D．2 【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；5B：直线与圆． 【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案． 【解答】解：圆x^2^+y^2^﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4）， 故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d=![](./data/image/media/image28600.png){width="0.6347222222222222in" height="0.4486111111111111in"}=1， 解得：a=![](./data/image/media/image28601.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档． 7．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28602.png){width="1.9618055555555556in" height="1.7625in"} A．20π B．24π C．28π D．32π 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2![](./data/image/media/image28036.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面． 【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体， 上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2![](./data/image/media/image28036.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， ∴在轴截面中圆锥的母线长是![](./data/image/media/image28603.png){width="0.4618055555555556in" height="0.18611111111111112in"}=4， ∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π， 下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4， ∴圆柱表现出来的表面积是π×2^2^+2π×2×4=20π ∴空间组合体的表面积是28π， 故选：C． 【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端． 8．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（　　） A．![](./data/image/media/image28604.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image28605.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image28606.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．![](./data/image/media/image28607.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率． 【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯， ∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯， ∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为![](./data/image/media/image28608.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28609.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：B． 【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型，考查学生的计算能力，比较基础． 9．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28610.png){width="1.4618055555555556in" height="3.602777777777778in"} A．7 B．12 C．17 D．34 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图． 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：∵输入的x=2，n=2， 当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件； 当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件； 当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件； 故输出的S值为17， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． 10．（5分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10^lgx^的定义域和值域相同的是（　　） A．y=x B．y=lgx C．y=2^x^ D．y=![](./data/image/media/image28611.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} 【考点】4K：对数函数的定义域；4L：对数函数的值域与最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；4O：定义法；51：函数的性质及应用． 【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案． 【解答】解：函数y=10^lgx^的定义域和值域均为（0，+∞）， 函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求； 函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求； 函数y=2^x^的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求； 函数y=![](./data/image/media/image28611.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求； 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键． 11．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（![](./data/image/media/image28612.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣x）的最大值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；4J：换元法；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质． 【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得y=1﹣2sin^2^x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t^2^+6t+1，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值． 【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（![](./data/image/media/image28612.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣x） =1﹣2sin^2^x+6sinx， 令t=sinx（﹣1≤t≤1）， 可得函数y=﹣2t^2^+6t+1 =﹣2（t﹣![](./data/image/media/image28613.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）^2^+![](./data/image/media/image28614.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 由![](./data/image/media/image28615.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}∉\[﹣1，1\]，可得函数在\[﹣1，1\]递增， 即有t=1即x=2kπ+![](./data/image/media/image23956.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z时，函数取得最大值5． 故选：B． 【点评】本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式，同时考查可化为二次函数的最值的求法，属于中档题． 12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=\|x^2^﹣2x﹣3\|与 y=f（x） 图象的交点为（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~），...，（x~m~，y~m~），则![](./data/image/media/image28616.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}x~i~=（　　） A．0 B．m C．2m D．4m 【考点】&2：带绝对值的函数；&T：函数迭代；3V：二次函数的性质与图象．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据已知中函数函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），分析函数的对称性，可得函数y=\|x^2^﹣2x﹣3\|与 y=f（x） 图象的交点关于直线x=1对称，进而得到答案． 【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x）， 故函数f（x）的图象关于直线x=1对称， 函数y=\|x^2^﹣2x﹣3\|的图象也关于直线x=1对称， 故函数y=\|x^2^﹣2x﹣3\|与 y=f（x） 图象的交点也关于直线x=1对称， 故![](./data/image/media/image28616.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}x~i~=![](./data/image/media/image28617.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×2=m， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度中档． **二、填空题：本题共4小题，每小题5分.** 13．（5分）已知向量![](./data/image/media/image28618.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（m，4），![](./data/image/media/image28619.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（3，﹣2），且![](./data/image/media/image28620.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}∥![](./data/image/media/image28619.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，则m=[　﹣6　]{.underline}． 【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；5A：平面向量及应用． 【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可． 【解答】解：向量![](./data/image/media/image28620.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（m，4），![](./data/image/media/image28619.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（3，﹣2），且![](./data/image/media/image28620.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}∥![](./data/image/media/image28619.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}， 可得12=﹣2m，解得m=﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力． 14．（5分）若x，y满足约束条件![](./data/image/media/image28621.png){width="0.7951388888888888in" height="0.6472222222222223in"}，则z=x﹣2y的最小值为[　﹣5　]{.underline}． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；59：不等式的解法及应用；5T：不等式． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件![](./data/image/media/image28622.png){width="0.7951388888888888in" height="0.6472222222222223in"}作出可行域如图， 联立![](./data/image/media/image28623.png){width="0.7048611111111112in" height="0.4041666666666667in"}，解得B（3，4）． 化目标函数z=x﹣2y为y=![](./data/image/media/image28624.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}x﹣![](./data/image/media/image28624.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}z， 由图可知，当直线y=![](./data/image/media/image28624.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}x﹣![](./data/image/media/image28624.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}z过B（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3﹣2×4=﹣5． 故答案为：﹣5． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28625.png){width="2.801388888888889in" height="2.686111111111111in"} 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=![](./data/image/media/image28626.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，cosC=![](./data/image/media/image28627.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，a=1，则b=[　]{.underline}![](./data/image/media/image28628.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；56：三角函数的求值；58：解三角形． 【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=![](./data/image/media/image28629.png){width="0.46805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，代入计算即可得到所求值． 【解答】解：由cosA=![](./data/image/media/image28626.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，cosC=![](./data/image/media/image28627.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，可得 sinA=![](./data/image/media/image28630.png){width="0.7625in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image28631.png){width="0.5125in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image28632.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， sinC=![](./data/image/media/image28633.png){width="0.7625in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image28634.png){width="0.5958333333333333in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image28635.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=![](./data/image/media/image28636.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×![](./data/image/media/image28637.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image28638.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×![](./data/image/media/image28635.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28639.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 由正弦定理可得b=![](./data/image/media/image28640.png){width="0.46805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} =![](./data/image/media/image28641.png){width="0.5194444444444445in" height="0.7625in"}=![](./data/image/media/image28642.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image28643.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题． 16．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说："我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说："我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说："我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是[　1和3　]{.underline}． 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 【专题】2A：探究型；49：综合法；5L：简易逻辑． 【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少． 【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3； （1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； ∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3； （2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3； 又甲说，"我与乙的卡片上相同的数字不是2"； ∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾； ∴甲的卡片上的数字是1和3． 故答案为：1和3． 【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口． **三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.** 17．（12分）等差数列{a~n~}中，a~3~+a~4~=4，a~5~+a~7~=6． （Ⅰ）求{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）设b~n~=\[a~n~\]，求数列{b~n~}的前10项和，其中\[x\]表示不超过x的最大整数，如\[0.9\]=0，\[2.6\]=2． 【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）设等差数列{a~n~}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案； （Ⅱ）根据b~n~=\[a~n~\]，列出数列{b~n~}的前10项，相加可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a~n~}的公差为d， ∵a~3~+a~4~=4，a~5~+a~7~=6． ∴![](./data/image/media/image28644.png){width="0.9291666666666667in" height="0.5125in"}， 解得：![](./data/image/media/image28645.png){width="0.4875in" height="0.6541666666666667in"}， ∴a~n~=![](./data/image/media/image28646.png){width="0.4618055555555556in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）∵b~n~=\[a~n~\]， ∴b~1~=b~2~=b~3~=1， b~4~=b~5~=2， b~6~=b~7~=b~8~=3， b~9~=b~10~=4． 故数列{b~n~}的前10项和S~10~=3×1+2×2+3×3+2×4=24． 【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档． 18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： ---------------- ------- --- ------- ------ ------- ---- 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a ---------------- ------- --- ------- ------ ------- ---- 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： ---------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 ---------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- （I）记A为事件："一续保人本年度的保费不高于基本保费"．求P（A）的估计值； （Ⅱ）记B为事件："一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%"．求P（B）的估计值； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值． 【考点】B2：简单随机抽样．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；5I：概率与统计． 【分析】（I）求出A为事件："一续保人本年度的保费不高于基本保费"的人数．总事件人数，即可求P（A）的估计值； （Ⅱ）求出B为事件："一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%"的人数．然后求P（B）的估计值； （Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值． 【解答】解：（I）记A为事件："一续保人本年度的保费不高于基本保费"．事件A的人数为：60+50=110，该险种的200名续保， P（A）的估计值为：![](./data/image/media/image28647.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28648.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）记B为事件："一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%"．事件B的人数为：30+30=60，P（B）的估计值为：![](./data/image/media/image28649.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28650.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为![](./data/image/media/image28651.png){width="0.10277777777777777in" height="0.18611111111111112in"}=![](./data/image/media/image28652.png){width="4.301388888888889in" height="0.36527777777777776in"}=1.1925a． 【点评】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力． 19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置． （Ⅰ）证明：AC⊥HD′； （Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=![](./data/image/media/image28653.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，OD′=2![](./data/image/media/image28654.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，求五棱锥D′﹣ABCFE体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28655.png){width="2.25in" height="1.4361111111111111in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何． 【分析】（1）根据直线平行的性质以菱形对角线垂直的性质进行证明即可． （2）根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高，即可得到结论． 【解答】（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF， ∴EF∥AC，且EF⊥BD 将△DEF沿EF折到△D′EF的位置， 则D′H⊥EF， ∵EF∥AC， ∴AC⊥HD′； （Ⅱ）若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4， ∵AE=![](./data/image/media/image28653.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，AD=AB=5， ∴DE=5﹣![](./data/image/media/image28656.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28657.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， ∵EF∥AC， ∴![](./data/image/media/image28658.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28659.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28660.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28661.png){width="0.25in" height="0.5638888888888889in"}=![](./data/image/media/image28662.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴EH=![](./data/image/media/image28663.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，EF=2EH=![](./data/image/media/image28664.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，DH=3，OH=4﹣3=1， ∵HD′=DH=3，OD′=2![](./data/image/media/image28665.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， ∴满足HD′^2^=OD′^2^+OH^2^， 则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH， 又OD′⊥AC，AC∩OH=O， 即OD′⊥底面ABCD， 即OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高． 底面五边形的面积S=![](./data/image/media/image28666.png){width="0.74375in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image28667.png){width="0.8847222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28668.png){width="0.6541666666666667in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image28669.png){width="0.7951388888888888in" height="0.5638888888888889in"}=12+![](./data/image/media/image28670.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28671.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 则五棱锥D′﹣ABCFE体积V=![](./data/image/media/image28672.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}S•OD′=![](./data/image/media/image28672.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×![](./data/image/media/image28671.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}×2![](./data/image/media/image28673.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}=![](./data/image/media/image28674.png){width="0.42291666666666666in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28675.png){width="2.25in" height="1.4361111111111111in"} 【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，以及空间几何体的体积，根据线面垂直的判定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键．本题的难点在于证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高．考查学生的运算和推理能力． 20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）． （I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围． 【考点】66：简单复合函数的导数．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；52：导数的概念及应用． 【分析】（I）当a=4时，求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率，即可求出切线方程； （II）先求出f′（x）＞f′（1）=2﹣a，再结合条件，分类讨论，即可求a的取值范围． 【解答】解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）． f（1）=0，即点为（1，0）， 函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•![](./data/image/media/image28676.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣4， 则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2， 即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣2， 则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2； （II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）， ∴f′（x）=1+![](./data/image/media/image28676.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+lnx﹣a， ∴f″（x）=![](./data/image/media/image28677.png){width="0.3013888888888889in" height="0.42291666666666666in"}， ∵x＞1，∴f″（x）＞0， ∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增， ∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a． ①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0， ∴f（x）在（1，+∞）上单调递增， ∴f（x）＞f（1）=0，满足题意； ②a＞2，存在x~0~∈（1，+∞），f′（x~0~）=0，函数f（x）在（1，x~0~）上单调递减，在（x~0~，+∞）上单调递增， 由f（1）=0，可得存在x~0~∈（1，+∞），f（x~0~）＜0，不合题意． 综上所述，a≤2． 另解：若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0， 可得（x+1）lnx﹣a（x﹣1）＞0， 即为a＜![](./data/image/media/image28678.png){width="0.7180555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 由y=![](./data/image/media/image28679.png){width="0.7180555555555556in" height="0.36527777777777776in"}的导数为y′=![](./data/image/media/image28680.png){width="0.7951388888888888in" height="0.6284722222222222in"}， 由y=x﹣![](./data/image/media/image28681.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣2lnx的导数为y′=1+![](./data/image/media/image28682.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42291666666666666in"}﹣![](./data/image/media/image28683.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28684.png){width="0.5833333333333334in" height="0.48055555555555557in"}＞0， 函数y在x＞1递增，可得![](./data/image/media/image28680.png){width="0.7951388888888888in" height="0.6284722222222222in"}＞0， 则函数y=![](./data/image/media/image28679.png){width="0.7180555555555556in" height="0.36527777777777776in"}在x＞1递增， 则![](./data/image/media/image28685.png){width="0.2881944444444444in" height="0.3138888888888889in"}![](./data/image/media/image28686.png){width="0.7180555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28687.png){width="0.2881944444444444in" height="0.3138888888888889in"}![](./data/image/media/image28688.png){width="0.6861111111111111in" height="0.5638888888888889in"}=2， 可得![](./data/image/media/image28686.png){width="0.7180555555555556in" height="0.36527777777777776in"}＞2恒成立， 即有a≤2． 【点评】本题主要考查了导数的应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应用，导数的几何意义，考查参数范围的求解，考查学生分析解决问题的能力，有难度． 21．（12分）已知A是椭圆E：![](./data/image/media/image28689.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42291666666666666in"}+![](./data/image/media/image28690.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA． （I）当\|AM\|=\|AN\|时，求△AMN的面积 （II）当2\|AM\|=\|AN\|时，证明：![](./data/image/media/image28691.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}＜k＜2． 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；49：综合法；4M：构造法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（I）依题意知椭圆E的左顶点A（﹣2，0），由\|AM\|=\|AN\|，且MA⊥NA，可知△AMN为等腰直角三角形，设M（a﹣2，a），利用点M在E上，可得3（a﹣2）^2^+4a^2^=12，解得：a=![](./data/image/media/image28692.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，从而可求△AMN的面积； （II）设直线l~AM~的方程为：y=k（x+2），直线l~AN~的方程为：y=﹣![](./data/image/media/image28693.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}（x+2），联立![](./data/image/media/image28694.png){width="1.051388888888889in" height="0.48055555555555557in"}消去y，得（3+4k^2^）x^2^+16k^2^x+16k^2^﹣12=0，利用韦达定理及弦长公式可分别求得\|AM\|=![](./data/image/media/image28695.png){width="0.4875in" height="0.25in"}\|x~M~﹣（﹣2）\|=![](./data/image/media/image28696.png){width="0.7048611111111112in" height="0.5in"}，\|AN\|=![](./data/image/media/image28697.png){width="0.9486111111111111in" height="0.8972222222222223in"}=![](./data/image/media/image28698.png){width="0.7951388888888888in" height="0.5in"}， 结合2\|AM\|=\|AN\|，可得![](./data/image/media/image28699.png){width="0.5in" height="0.42291666666666666in"}=![](./data/image/media/image28700.png){width="0.5194444444444445in" height="0.42291666666666666in"}，整理后，构造函数f（k）=4k^3^﹣6k^2^+3k﹣8，利用导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论成立． 【解答】解：（I）由椭圆E的方程：![](./data/image/media/image28701.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42291666666666666in"}+![](./data/image/media/image28702.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1知，其左顶点A（﹣2，0）， ∵\|AM\|=\|AN\|，且MA⊥NA，∴△AMN为等腰直角三角形， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28703.png){width="3.154166666666667in" height="2.5708333333333333in"} ∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a﹣2，a）， ∵点M在E上，∴3（a﹣2）^2^+4a^2^=12，整理得：7a^2^﹣12a=0，∴a=![](./data/image/media/image28704.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}或a=0（舍）， ∴S~△AMN~=![](./data/image/media/image28705.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}a×2a=a^2^=![](./data/image/media/image28706.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}； （II）设直线l~AM~的方程为：y=k（x+2），直线l~AN~的方程为：y=﹣![](./data/image/media/image28707.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}（x+2），由![](./data/image/media/image28708.png){width="1.051388888888889in" height="0.48055555555555557in"}消去y得：（3+4k^2^）x^2^+16k^2^x+16k^2^﹣12=0，∴x~M~﹣2=﹣![](./data/image/media/image28709.png){width="0.5in" height="0.48055555555555557in"}，∴x~M~=2﹣![](./data/image/media/image28709.png){width="0.5in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image28710.png){width="0.5in" height="0.48055555555555557in"}， ∴\|AM\|=![](./data/image/media/image28711.png){width="0.4875in" height="0.25in"}\|x~M~﹣（﹣2）\|=![](./data/image/media/image28711.png){width="0.4875in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image28712.png){width="1.0451388888888888in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image28713.png){width="0.7048611111111112in" height="0.5in"} ∵k＞0， ∴\|AN\|=![](./data/image/media/image28714.png){width="0.9486111111111111in" height="0.8972222222222223in"}=![](./data/image/media/image28715.png){width="0.7951388888888888in" height="0.5in"}， 又∵2\|AM\|=\|AN\|，∴![](./data/image/media/image28716.png){width="0.5in" height="0.42291666666666666in"}=![](./data/image/media/image28717.png){width="0.5194444444444445in" height="0.42291666666666666in"}， 整理得：4k^3^﹣6k^2^+3k﹣8=0， 设f（k）=4k^3^﹣6k^2^+3k﹣8， 则f′（k）=12k^2^﹣12k+3=3（2k﹣1）^2^≥0， ∴f（k）=4k^3^﹣6k^2^+3k﹣8为（0，+∞）的增函数， 又f（![](./data/image/media/image28718.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}）=4×3![](./data/image/media/image28718.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}﹣6×3+3![](./data/image/media/image28718.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}﹣8=15![](./data/image/media/image28718.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}﹣26=![](./data/image/media/image28719.png){width="0.3784722222222222in" height="0.18611111111111112in"}﹣![](./data/image/media/image28720.png){width="0.3784722222222222in" height="0.18611111111111112in"}＜0，f（2）=4×8﹣6×4+3×2﹣8=6＞0， ∴![](./data/image/media/image12059.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}＜k＜2． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解，考查构造函数思想与导数法判断函数单调性，再结合零点存在定理确定参数范围，是难题． **请考生在第22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]** 22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F． （Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆； （Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28721.png){width="1.2305555555555556in" height="1.1152777777777778in"} 【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．菁优网版权所有 【专题】14：证明题． 【分析】（Ⅰ）证明B，C，G，F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知条件可知∠BCD=90°，因此问题可转化为证明∠GFB=90°； （Ⅱ）在Rt△DFC中，GF=![](./data/image/media/image28722.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则S~四边形BCGF~=2S~△BCG~，据此解答． 【解答】（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE， ∴Rt△DFC∽Rt△EDC， ∴![](./data/image/media/image28723.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28724.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， ∵DE=DG，CD=BC， ∴![](./data/image/media/image28725.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28726.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF， ∴△GDF∽△BCF， ∴∠CFB=∠DFG， ∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°， ∴∠GFB+∠GCB=180°， ∴B，C，G，F四点共圆． （Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=![](./data/image/media/image28722.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴在Rt△DFC中，GF=![](./data/image/media/image28722.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG， ∴S~四边形BCGF~=2S~△BCG~=2×![](./data/image/media/image28727.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×1×![](./data/image/media/image28727.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28727.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28728.png){width="1.2305555555555556in" height="1.1152777777777778in"} 【点评】本题考查四点共圆的判断，主要根据对角互补进行判断，注意三角形相似和全等性质的应用． **\[选项4-4：坐标系与参数方程\]** 23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）^2^+y^2^=25． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的参数方程是![](./data/image/media/image28729.png){width="0.7951388888888888in" height="0.4041666666666667in"}（t为参数），l与C交与A，B两点，\|AB\|=![](./data/image/media/image28730.png){width="0.2881944444444444in" height="0.18611111111111112in"}，求l的斜率． 【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆． 【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ^2^=x^2^+y^2^，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程． （Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率． 【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）^2^+y^2^=25， ∴x^2^+y^2^+12x+11=0， ∵ρ^2^=x^2^+y^2^，x=ρcosα，y=ρsinα， ∴C的极坐标方程为ρ^2^+12ρcosα+11=0． （Ⅱ）∵直线l的参数方程是![](./data/image/media/image28731.png){width="0.7951388888888888in" height="0.4041666666666667in"}（t为参数）， ∴t=![](./data/image/media/image28732.png){width="0.46805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα•x， ∵l与C交与A，B两点，\|AB\|=![](./data/image/media/image28733.png){width="0.2881944444444444in" height="0.18611111111111112in"}，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5， 圆心到直线的距离d=![](./data/image/media/image28734.png){width="1.0638888888888889in" height="0.38472222222222224in"}． ∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d=![](./data/image/media/image28735.png){width="0.8784722222222222in" height="0.4486111111111111in"}=![](./data/image/media/image28736.png){width="0.5958333333333333in" height="0.38472222222222224in"}， 解得tan^2^α=![](./data/image/media/image28737.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，∴tanα=±![](./data/image/media/image28738.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}=±![](./data/image/media/image28739.png){width="0.32708333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． ∴l的斜率k=±![](./data/image/media/image28739.png){width="0.32708333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用． **\[选修4-5：不等式选讲\]** 24．已知函数f（x）=\|x﹣![](./data/image/media/image28740.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|+\|x+![](./data/image/media/image28740.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|，M为不等式f（x）＜2的解集． （Ⅰ）求M； （Ⅱ）证明：当a，b∈M时，\|a+b\|＜\|1+ab\|． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；59：不等式的解法及应用． 【分析】（I）分当x＜![](./data/image/media/image28741.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}时，当![](./data/image/media/image28742.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}≤x≤![](./data/image/media/image28743.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，当x＞![](./data/image/media/image28743.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案； （Ⅱ）当a，b∈M时，（a^2^﹣1）（b^2^﹣1）＞0，即a^2^b^2^+1＞a^2^+b^2^，配方后，可证得结论． 【解答】解：（I）当x＜![](./data/image/media/image28742.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}时，不等式f（x）＜2可化为：![](./data/image/media/image28743.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣x﹣x﹣![](./data/image/media/image28743.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＜2， 解得：x＞﹣1， ∴﹣1＜x＜![](./data/image/media/image28742.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}， 当![](./data/image/media/image28742.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}≤x≤![](./data/image/media/image28743.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，不等式f（x）＜2可化为：![](./data/image/media/image28743.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣x+x+![](./data/image/media/image10978.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=1＜2， 此时不等式恒成立， ∴![](./data/image/media/image28744.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}≤x≤![](./data/image/media/image10978.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 当x＞![](./data/image/media/image10978.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，不等式f（x）＜2可化为：﹣![](./data/image/media/image10978.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+x+x+![](./data/image/media/image10978.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＜2， 解得：x＜1， ∴![](./data/image/media/image10978.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＜x＜1， 综上可得：M=（﹣1，1）； 证明：（Ⅱ）当a，b∈M时， （a^2^﹣1）（b^2^﹣1）＞0， 即a^2^b^2^+1＞a^2^+b^2^， 即a^2^b^2^+1+2ab＞a^2^+b^2^+2ab， 即（ab+1）^2^＞（a+b）^2^， 即\|a+b\|＜\|1+ab\|． 【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档． 2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） ============================================= **参考答案与试题解析** **一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** 1．（5分）设集合S={x\|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x\|x＞0}，则S∩T=（　　） A．\[2，3\] B．（﹣∞，2\]∪\[3，+∞） C．\[3，+∞） D．（0，2\]∪\[3，+∞） 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】37：集合思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可． 【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2\]∪\[3，+∞）， ∵T=（0，+∞）， ∴S∩T=（0，2\]∪\[3，+∞）， 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28745.png){width="3.186111111111111in" height="0.6027777777777777in"} 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5分）若z=1+2i，则![](./data/image/media/image28746.png){width="0.5125in" height="0.38472222222222224in"}=（　　） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可． 【解答】解：z=1+2i，则![](./data/image/media/image28747.png){width="0.42291666666666666in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image28748.png){width="1.2180555555555554in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28749.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=i． 故选：C． 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力． 3．（5分）已知向量![](./data/image/media/image28750.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（![](./data/image/media/image28751.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image28752.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}），![](./data/image/media/image28753.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（![](./data/image/media/image28754.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，![](./data/image/media/image28755.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}），则∠ABC=（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量![](./data/image/media/image28756.png){width="0.5638888888888889in" height="0.23055555555555557in"}的坐标便可求出![](./data/image/media/image28757.png){width="0.48055555555555557in" height="0.21180555555555555in"}，及![](./data/image/media/image28758.png){width="0.9361111111111111in" height="0.23055555555555557in"}的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值． 【解答】解：![](./data/image/media/image28759.png){width="1.5125in" height="0.38472222222222224in"}，![](./data/image/media/image28760.png){width="1.0194444444444444in" height="0.21180555555555555in"}； ∴![](./data/image/media/image28761.png){width="1.9166666666666667in" height="0.4486111111111111in"}； 又0°≤∠ABC≤180°； ∴∠ABC=30°． 故选：A． 【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角． 4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28762.png){width="3.063888888888889in" height="2.936111111111111in"} A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明． 【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可． 【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确 B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确 D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误， 故选：D． 【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键． 5．（5分）若tanα=![](./data/image/media/image28763.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则cos^2^α+2sin2α=（　　） A．![](./data/image/media/image28764.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image28765.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} C．1 D．![](./data/image/media/image28766.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】将所求的关系式的分母"1"化为（cos^2^α+sin^2^α），再将"弦"化"切"即可得到答案． 【解答】解：∵tanα=![](./data/image/media/image28767.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴cos^2^α+2sin2α=![](./data/image/media/image28768.png){width="1.5833333333333333in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image28769.png){width="0.75in" height="0.42291666666666666in"}=![](./data/image/media/image28770.png){width="0.6027777777777777in" height="0.7625in"}=![](./data/image/media/image28771.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：A． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，"弦"化"切"是关键，是基础题． 6．（5分）已知a=![](./data/image/media/image28772.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}，b=![](./data/image/media/image28773.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}，c=![](./data/image/media/image28774.png){width="0.3138888888888889in" height="0.38472222222222224in"}，则（　　） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】b=![](./data/image/media/image28775.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image28776.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}，c=![](./data/image/media/image28777.png){width="0.3138888888888889in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image28778.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案． 【解答】解：∵a=![](./data/image/media/image28776.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image28775.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}， b=![](./data/image/media/image28779.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}， c=![](./data/image/media/image28777.png){width="0.3138888888888889in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image28780.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}， 综上可得：b＜a＜c， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28781.png){width="1.6861111111111111in" height="4.384722222222222in"} A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4． 【解答】解：模拟执行程序，可得 a=4，b=6，n=0，s=0 执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1 不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2 不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3 不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4 满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题． 8．（5分）在△ABC中，B=![](./data/image/media/image28782.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，BC边上的高等于![](./data/image/media/image28783.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}BC，则cosA等于（　　） A．![](./data/image/media/image28784.png){width="0.42291666666666666in" height="0.38472222222222224in"} B．![](./data/image/media/image28785.png){width="0.32708333333333334in" height="0.38472222222222224in"} C．﹣![](./data/image/media/image28785.png){width="0.32708333333333334in" height="0.38472222222222224in"} D．﹣![](./data/image/media/image28784.png){width="0.42291666666666666in" height="0.38472222222222224in"} 【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形． 【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ=![](./data/image/media/image28786.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28787.png){width="1.1861111111111111in" height="0.7819444444444444in"}=![](./data/image/media/image28788.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，sinθ=![](./data/image/media/image28789.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}，利用两角和的余弦即可求得答案． 【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28790.png){width="3.1347222222222224in" height="0.9291666666666667in"} ∵在△ABC中，B=![](./data/image/media/image28791.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，BC边上的高AD=h=![](./data/image/media/image28792.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}BC=![](./data/image/media/image28792.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}a， ∴BD=AD=![](./data/image/media/image28792.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}a，CD=![](./data/image/media/image28793.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}a， 在Rt△ADC中，cosθ=![](./data/image/media/image28794.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28795.png){width="1.2694444444444444in" height="0.7819444444444444in"}=![](./data/image/media/image28796.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，故sinθ=![](./data/image/media/image28797.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}， ∴cosA=cos（![](./data/image/media/image28798.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}+θ）=cos![](./data/image/media/image28798.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}cosθ﹣sin![](./data/image/media/image28799.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}sinθ=![](./data/image/media/image28800.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}×![](./data/image/media/image28801.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}﹣![](./data/image/media/image28800.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}×![](./data/image/media/image28802.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}=﹣![](./data/image/media/image28803.png){width="0.32708333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． 故选：C． 【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题． 9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28804.png){width="3.3652777777777776in" height="3.345833333333333in"} A．18+36![](./data/image/media/image28805.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} B．54+18![](./data/image/media/image28805.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} C．90 D．81 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱， 其底面面积为：3×6=18， 侧面的面积为：（3×3+3×![](./data/image/media/image28806.png){width="0.5958333333333333in" height="0.25in"}）×2=18+18![](./data/image/media/image28805.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 故棱柱的表面积为：18×2+18+18![](./data/image/media/image28807.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}=54+18![](./data/image/media/image28808.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA~1~=3，则V的最大值是（　　） A．4π B．![](./data/image/media/image28809.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"} C．6π D．![](./data/image/media/image28810.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何． 【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的内切球半径为![](./data/image/media/image28811.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，代入球的体积公式，可得答案． 【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8， ∴AC=10． 故三角形ABC的内切圆半径r=![](./data/image/media/image28812.png){width="0.5513888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=2， 又由AA~1~=3， 故直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的内切球半径为![](./data/image/media/image28811.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 此时V的最大值![](./data/image/media/image28813.png){width="0.8208333333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28814.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键． 11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：![](./data/image/media/image20894.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}+![](./data/image/media/image20895.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　） A．![](./data/image/media/image28815.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image20897.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image28816.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．![](./data/image/media/image28817.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值． 【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0）， 设直线AE的方程为y=k（x+a）， 令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka）， 设OE的中点为H，可得H（0，![](./data/image/media/image28818.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）， 由B，H，M三点共线，可得k~BH~=k~BM~， 即为![](./data/image/media/image28819.png){width="0.25in" height="0.5638888888888889in"}=![](./data/image/media/image28820.png){width="0.5513888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 化简可得![](./data/image/media/image28821.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image19813.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，即为a=3c， 可得e=![](./data/image/media/image28822.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28823.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 另解：由△AMF∽△AEO， 可得![](./data/image/media/image28824.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28825.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 由△BOH∽△BFM， 可得![](./data/image/media/image28826.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28827.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28828.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 即有![](./data/image/media/image28829.png){width="0.5513888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28830.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}即a=3c， 可得e=![](./data/image/media/image28831.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28832.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 12．（5分）定义"规范01数列"{a~n~}如下：{a~n~}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a~1~，a~2~，...，a~k~中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的"规范01数列"共有（　　） A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 【考点】8B：数列的应用．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；23：新定义；38：对应思想；4B：试验法． 【分析】由新定义可得，"规范01数列"有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案． 【解答】解：由题意可知，"规范01数列"有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有： 0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1； 0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1； 0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个． 故选：C． 【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题． **二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.** 13．（5分）若x，y满足约束条件![](./data/image/media/image28833.png){width="0.8784722222222222in" height="0.6541666666666667in"}，则z=x+y的最大值为[　]{.underline}![](./data/image/media/image28834.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值． 【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大， 由![](./data/image/media/image28835.png){width="0.7951388888888888in" height="0.4166666666666667in"}得D（1，![](./data/image/media/image22126.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）， 所以z=x+y的最大值为1+![](./data/image/media/image28836.png){width="0.3784722222222222in" height="0.36527777777777776in"}； ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28837.png){width="3.2118055555555554in" height="2.686111111111111in"} 故答案为：![](./data/image/media/image28838.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件． 14．（5分）函数y=sinx﹣![](./data/image/media/image28839.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosx的图象可由函数y=sinx+![](./data/image/media/image28839.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosx的图象至少向右平移[　]{.underline}![](./data/image/media/image28840.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}个单位长度得到． 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】令f（x）=sinx+![](./data/image/media/image28841.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosx=2sin（x+![](./data/image/media/image28842.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}），则f（x﹣φ）=2sin（x+![](./data/image/media/image28842.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣φ），依题意可得2sin（x+![](./data/image/media/image28842.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣φ）=2sin（x﹣![](./data/image/media/image28842.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}），由![](./data/image/media/image28842.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣φ=2kπ﹣![](./data/image/media/image28842.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（k∈Z），可得答案． 【解答】解：∵y=f（x）=sinx+![](./data/image/media/image28841.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosx=2sin（x+![](./data/image/media/image28842.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}），y=sinx﹣![](./data/image/media/image28841.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosx=2sin（x﹣![](./data/image/media/image22131.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）， ∴f（x﹣φ）=2sin（x+![](./data/image/media/image22131.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣φ）（φ＞0）， 令2sin（x+![](./data/image/media/image22131.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣φ）=2sin（x﹣![](./data/image/media/image22131.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）， 则![](./data/image/media/image22131.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣φ=2kπ﹣![](./data/image/media/image22131.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（k∈Z）， 即φ=![](./data/image/media/image28843.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}﹣2kπ（k∈Z）， 当k=0时，正数φ~min~=![](./data/image/media/image28843.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 故答案为：![](./data/image/media/image28843.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到![](./data/image/media/image22131.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣φ=2kπ﹣![](./data/image/media/image22131.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题． 15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是[　2x+y+1=0　]{.underline}． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用． 【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程． 【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x）， 当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有 x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=![](./data/image/media/image28844.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣3， 可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2， 则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1）， 即为2x+y+1=0． 故答案为：2x+y+1=0． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题． 16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣![](./data/image/media/image28845.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}=0与圆x^2^+y^2^=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若\|AB\|=2![](./data/image/media/image28845.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，则\|CD\|=[　4　]{.underline}． 【考点】J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆． 【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出\|CD\|即可． 【解答】解：由题意，\|AB\|=2![](./data/image/media/image28845.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，∴圆心到直线的距离d=3， ∴![](./data/image/media/image28846.png){width="0.6986111111111111in" height="0.46805555555555556in"}=3， ∴m=﹣![](./data/image/media/image28847.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} ∴直线l的倾斜角为30°， ∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点， ∴\|CD\|=![](./data/image/media/image28848.png){width="0.3458333333333333in" height="0.6027777777777777in"}=4． 故答案为：4． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础． **三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.** 17．（12分）已知数列{a~n~}的前n项和S~n~=1+λa~n~，其中λ≠0． （1）证明{a~n~}是等比数列，并求其通项公式； （2）若S~5~=![](./data/image/media/image28849.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，求λ． 【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可． （2）根据条件建立方程关系进行求解就可． 【解答】解：（1）∵S~n~=1+λa~n~，λ≠0． ∴a~n~≠0． 当n≥2时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~=1+λa~n~﹣1﹣λa~n﹣1~=λa~n~﹣λa~n﹣1~， 即（λ﹣1）a~n~=λa~n﹣1~， ∵λ≠0，a~n~≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1， 即![](./data/image/media/image28850.png){width="0.36527777777777776in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image28851.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，（n≥2）， ∴{a~n~}是等比数列，公比q=![](./data/image/media/image28851.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}， 当n=1时，S~1~=1+λa~1~=a~1~， 即a~1~=![](./data/image/media/image28852.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}， ∴a~n~=![](./data/image/media/image28852.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}•（![](./data/image/media/image28853.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}）^n﹣1^． （2）若S~5~=![](./data/image/media/image28854.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 则若S~5~=1+λ\[![](./data/image/media/image28852.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}•（![](./data/image/media/image28853.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}）^4^\]=![](./data/image/media/image28854.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 即（![](./data/image/media/image28855.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}）^5^=![](./data/image/media/image28854.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣1=﹣![](./data/image/media/image28856.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 则![](./data/image/media/image28857.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=﹣![](./data/image/media/image28858.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，得λ=﹣1． 【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力． 18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图． 注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014． （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明； （Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据：![](./data/image/media/image28859.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}y~i~=9.32，![](./data/image/media/image28859.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}t~i~y~i~=40.17，![](./data/image/media/image28860.png){width="1.0194444444444444in" height="0.5in"}=0.55，![](./data/image/media/image28861.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}≈2.646． 参考公式：相关系数r=![](./data/image/media/image28862.png){width="1.9680555555555554in" height="1.0in"}， 回归方程![](./data/image/media/image28863.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21805555555555556in"}=![](./data/image/media/image28864.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image28865.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ![](./data/image/media/image28866.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image28867.png){width="1.448611111111111in" height="0.9805555555555555in"}，![](./data/image/media/image28868.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image28869.png){width="0.10277777777777777in" height="0.1986111111111111in"}﹣![](./data/image/media/image28866.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}![](./data/image/media/image28870.png){width="0.10277777777777777in" height="0.18611111111111112in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28871.png){width="3.7118055555555554in" height="2.397222222222222in"} 【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计． 【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案； （2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下： ∵r=![](./data/image/media/image28872.png){width="1.9680555555555554in" height="1.0in"}=![](./data/image/media/image28873.png){width="1.9680555555555554in" height="1.0in"}≈![](./data/image/media/image28874.png){width="1.1347222222222222in" height="0.38472222222222224in"}≈![](./data/image/media/image28875.png){width="0.5513888888888889in" height="0.36527777777777776in"}≈0.993， ∵0.993＞0.75， 故y与t之间存在较强的正相关关系； （2）![](./data/image/media/image28876.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image28877.png){width="1.448611111111111in" height="0.9805555555555555in"}=![](./data/image/media/image28878.png){width="1.0319444444444446in" height="0.9805555555555555in"}≈![](./data/image/media/image28879.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}≈0.103， ![](./data/image/media/image28880.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image28881.png){width="0.10277777777777777in" height="0.1986111111111111in"}﹣![](./data/image/media/image28882.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}![](./data/image/media/image28883.png){width="0.10277777777777777in" height="0.18611111111111112in"}≈1.331﹣0.103×4≈0.92， ∴y关于t的回归方程![](./data/image/media/image28884.png){width="0.10277777777777777in" height="0.3333333333333333in"}=0.10t+0.92， 2016年对应的t值为9， 故![](./data/image/media/image28884.png){width="0.10277777777777777in" height="0.3333333333333333in"}=0.10×9+0.92=1.82， 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨． 【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心． 19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点． （1）证明：MN∥平面PAB； （2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28885.png){width="1.801388888888889in" height="1.5833333333333333in"} 【考点】LS：直线与平面平行；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角． 【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=![](./data/image/media/image28886.png){width="0.32708333333333334in" height="0.36527777777777776in"}，再由已知得AM∥BC，且AM=![](./data/image/media/image28887.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB； 法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证； （2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG， ∵N为PC的中点， ∴NG∥BC，且NG=![](./data/image/media/image28886.png){width="0.32708333333333334in" height="0.36527777777777776in"}， 又AM=![](./data/image/media/image28888.png){width="0.4875in" height="0.36527777777777776in"}，BC=4，且AD∥BC， ∴AM∥BC，且AM=![](./data/image/media/image28889.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}BC， 则NG∥AM，且NG=AM， ∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG， ∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB， ∴MN∥平面PAB； 法二、 在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME， 在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=![](./data/image/media/image28890.png){width="1.0638888888888889in" height="0.42291666666666666in"}， ∵AD∥BC， ∴cos![](./data/image/media/image28891.png){width="0.6541666666666667in" height="0.36527777777777776in"}，则sin∠EAM=![](./data/image/media/image28892.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}， 在△EAM中， ∵AM=![](./data/image/media/image28893.png){width="0.4875in" height="0.36527777777777776in"}，AE=![](./data/image/media/image28894.png){width="0.5381944444444444in" height="0.36527777777777776in"}， 由余弦定理得：EM=![](./data/image/media/image28895.png){width="2.1347222222222224in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image28896.png){width="1.7118055555555556in" height="0.38472222222222224in"}， ∴cos∠AEM=![](./data/image/media/image28897.png){width="1.4041666666666666in" height="0.7625in"}， 而在△ABC中，cos∠BAC=![](./data/image/media/image28898.png){width="1.0638888888888889in" height="0.42291666666666666in"}， ∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC， ∴AB∥EM，则EM∥平面PAB． 由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC， ∴NE∥PA，则NE∥平面PAB． ∵NE∩EM=E， ∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB； （2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=![](./data/image/media/image28899.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，得CM^2^=AC^2^+AM^2^﹣2AC•AM•cos∠MAC=![](./data/image/media/image28900.png){width="1.4229166666666666in" height="0.36527777777777776in"}． ∴AM^2^+MC^2^=AC^2^，则AM⊥MC， ∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD， ∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD， ∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD． 在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角． 在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN=![](./data/image/media/image28901.png){width="0.32708333333333334in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28902.png){width="1.1604166666666667in" height="0.36527777777777776in"}， 在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=![](./data/image/media/image28903.png){width="1.6472222222222221in" height="0.46805555555555556in"}， ∴sin![](./data/image/media/image28904.png){width="1.6666666666666667in" height="0.7819444444444444in"}． ∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为![](./data/image/media/image28905.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28906.png){width="1.801388888888889in" height="1.5833333333333333in"} 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题． 20．（12分）已知抛物线C：y^2^=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l~1~，l~2~分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点． （Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ； （Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程． 【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ； （Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程． 【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF， 由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°， ∴∠PFQ=90°， ∵R是PQ的中点， ∴RF=RP=RQ， ∴△PAR≌△FAR， ∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA， ∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR， ∴∠FQB=∠PAR， ∴∠PRA=∠PQF， ∴AR∥FQ． （Ⅱ）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）， F（![](./data/image/media/image28907.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，0），准线为 x=﹣![](./data/image/media/image28907.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， S~△PQF~=![](./data/image/media/image28907.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|PQ\|=![](./data/image/media/image28907.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|y~1~﹣y~2~\|， 设直线AB与x轴交点为N， ∴S~△ABF~=![](./data/image/media/image28908.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|FN\|\|y~1~﹣y~2~\|， ∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍， ∴2\|FN\|=1，∴x~N~=1，即N（1，0）． 设AB中点为M（x，y），由![](./data/image/media/image28909.png){width="0.7694444444444445in" height="0.6347222222222222in"}得![](./data/image/media/image28910.png){width="0.6666666666666666in" height="0.2881944444444444in"}=2（x~1~﹣x~2~）， 又![](./data/image/media/image28911.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4875in"}=![](./data/image/media/image28912.png){width="0.3013888888888889in" height="0.3784722222222222in"}， ∴![](./data/image/media/image28912.png){width="0.3013888888888889in" height="0.3784722222222222in"}=![](./data/image/media/image28913.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3784722222222222in"}，即y^2^=x﹣1． ∴AB中点轨迹方程为y^2^=x﹣1． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28914.png){width="2.25in" height="1.5319444444444446in"} 【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题． 21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记\|f（x）\|的最大值为A． （Ⅰ）求f′（x）； （Ⅱ）求A； （Ⅲ）证明：\|f′（x）\|≤2A． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值． 【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）； （Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解； （Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：\|f′（x）\|≤2A． 【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx． （II）当a≥1时，\|f（x）\|=\|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）\|≤a\|cos2x\|+（a﹣1）\|（cosx+1）\|≤a\|cos2x\|+（a﹣1）（\|cosx\|+1）\|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2． 当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos^2^x+（a﹣1）cosx﹣1， 令g（t）=2at^2^+（a﹣1）t﹣1， 则A是\|g（t）\|在\[﹣1，1\]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2， 且当t=![](./data/image/media/image28915.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}时，g（t）取得极小值，极小值为g（![](./data/image/media/image28915.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）=﹣![](./data/image/media/image28916.png){width="0.5833333333333334in" height="0.42291666666666666in"}﹣1=﹣![](./data/image/media/image28917.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42291666666666666in"}，（二次函数在对称轴处取得极值） 令﹣1＜![](./data/image/media/image28915.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}＜1，得a＜![](./data/image/media/image28918.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}（舍）或a＞![](./data/image/media/image28919.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． ①当0＜a≤![](./data/image/media/image28919.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，\|g（﹣1）\|=a，\|g（1）\|=2﹣3a，\|g（﹣1）\|＜\|g（1）\|， ∴A=2﹣3a， ②当![](./data/image/media/image28919.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（![](./data/image/media/image28920.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）， 又\|g（![](./data/image/media/image28920.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）\|﹣\|g（﹣1）\|=![](./data/image/media/image28921.png){width="0.9680555555555556in" height="0.36527777777777776in"}＞0， ∴A=\|g（![](./data/image/media/image28920.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）\|=![](./data/image/media/image28922.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42291666666666666in"}， 综上，A=![](./data/image/media/image28923.png){width="1.6791666666666667in" height="1.1027777777777779in"}． （III）证明：由（I）可得：\|f′（x）\|=\|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx\|≤2a+\|a﹣1\|， 当0＜a≤![](./data/image/media/image28924.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，\|f′（x）\|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A， 当![](./data/image/media/image28924.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＜a＜1时，A=![](./data/image/media/image28925.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42291666666666666in"}=![](./data/image/media/image28926.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image28927.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image28928.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＞1， ∴\|f′（x）\|≤1+a≤2A， 当a≥1时，\|f′（x）\|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A， 综上：\|f′（x）\|≤2A． 【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． **请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]** 22．（10分）如图，⊙O中![](./data/image/media/image28929.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点． （1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小； （2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28930.png){width="1.5451388888888888in" height="1.551388888888889in"} 【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明． 【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数； （2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证． 【解答】（1）解：连接PB，BC， 设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3， ∠PBA=∠4，∠PAB=∠5， 由⊙O中![](./data/image/media/image28931.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}的中点为P，可得∠4=∠5， 在△EBC中，∠1=∠2+∠3， 又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5， 即有∠2=∠4，则∠D=∠1， 则四点E，C，D，F共圆， 可得∠EFD+∠PCD=180°， 由∠PFB=∠EFD=2∠PCD， 即有3∠PCD=180°， 可得∠PCD=60°； （2）证明：由C，D，E，F共圆， 由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G 可得G为圆心，即有GC=GD， 则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦， 则OG⊥CD． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28932.png){width="1.5125in" height="1.551388888888889in"} 【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题． **\[选修4-4：坐标系与参数方程\]** 23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为![](./data/image/media/image28933.png){width="0.9361111111111111in" height="0.42291666666666666in"}（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程为ρsin（θ+![](./data/image/media/image28934.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=2![](./data/image/media/image28935.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． （1）写出C~1~的普通方程和C~2~的直角坐标方程； （2）设点P在C~1~上，点Q在C~2~上，求\|PQ\|的最小值及此时P的直角坐标． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C~1~的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C~2~的直角坐标方程； （2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，\|PQ\|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得\|PQ\|的最小值，解方程可得P的直角坐标． 另外：设P（![](./data/image/media/image17009.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标． 【解答】解：（1）曲线C~1~的参数方程为![](./data/image/media/image28936.png){width="0.9361111111111111in" height="0.42291666666666666in"}（α为参数）， 移项后两边平方可得![](./data/image/media/image28937.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42291666666666666in"}+y^2^=cos^2^α+sin^2^α=1， 即有椭圆C~1~：![](./data/image/media/image28937.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42291666666666666in"}+y^2^=1； 曲线C~2~的极坐标方程为ρsin（θ+![](./data/image/media/image17011.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=2![](./data/image/media/image28938.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 即有ρ（![](./data/image/media/image28939.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}sinθ+![](./data/image/media/image28940.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}cosθ）=2![](./data/image/media/image28941.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0， 即有C~2~的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0； （2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时， \|PQ\|取得最值． 设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0， 联立![](./data/image/media/image28942.png){width="0.8652777777777778in" height="0.48055555555555557in"}可得4x^2^+6tx+3t^2^﹣3=0， 由直线与椭圆相切，可得△=36t^2^﹣16（3t^2^﹣3）=0， 解得t=±2， 显然t=﹣2时，\|PQ\|取得最小值， 即有\|PQ\|=![](./data/image/media/image28943.png){width="0.8013888888888889in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image28941.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 此时4x^2^﹣12x+9=0，解得x=![](./data/image/media/image28944.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 即为P（![](./data/image/media/image28944.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image28945.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）． 另解：设P（![](./data/image/media/image28946.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosα，sinα）， 由P到直线的距离为d=![](./data/image/media/image28947.png){width="1.5319444444444446in" height="0.4041666666666667in"} =![](./data/image/media/image28948.png){width="1.3715277777777777in" height="0.5833333333333334in"}， 当sin（α+![](./data/image/media/image28949.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=1时，\|PQ\|的最小值为![](./data/image/media/image28950.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 此时可取α=![](./data/image/media/image28951.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，即有P（![](./data/image/media/image28596.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image28595.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）． 【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题． **\[选修4-5：不等式选讲\]** 24．已知函数f（x）=\|2x﹣a\|+a． （1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集； （2）设函数g（x）=\|2x﹣1\|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用． 【分析】（1）当a=2时，由已知得\|2x﹣2\|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集． （2）由f（x）+g（x）=\|2x﹣1\|+\|2x﹣a\|+a≥3，得\|x﹣![](./data/image/media/image28952.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|+\|x﹣![](./data/image/media/image28953.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|≥![](./data/image/media/image28954.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，由此能求出a的取值范围． 【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=\|2x﹣2\|+2， ∵f（x）≤6，∴\|2x﹣2\|+2≤6， \|2x﹣2\|≤4，\|x﹣1\|≤2， ∴﹣2≤x﹣1≤2， 解得﹣1≤x≤3， ∴不等式f（x）≤6的解集为{x\|﹣1≤x≤3}． （2）∵g（x）=\|2x﹣1\|， ∴f（x）+g（x）=\|2x﹣1\|+\|2x﹣a\|+a≥3， 2\|x﹣![](./data/image/media/image28952.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|+2\|x﹣![](./data/image/media/image28955.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|+a≥3， \|x﹣![](./data/image/media/image28956.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|+\|x﹣![](./data/image/media/image28955.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|≥![](./data/image/media/image28957.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 当a≥3时，成立， 当a＜3时，\|x﹣![](./data/image/media/image28956.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|+\|x﹣![](./data/image/media/image28955.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|≥![](./data/image/media/image28956.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|a﹣1\|≥![](./data/image/media/image28957.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}＞0， ∴（a﹣1）^2^≥（3﹣a）^2^， 解得2≤a＜3， ∴a的取值范围是\[2，+∞）． 【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用． 2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） ============================================= **参考答案与试题解析** **一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）** 1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁~A~B=（　　） A．{4，8} B．{0，2，6} C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10} 【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合． 【分析】根据全集A求出B的补集即可． 【解答】解：集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁~A~B={0，2，6，10}． 故选：C． 【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题． 2．（5分）若z=4+3i，则![](./data/image/media/image28958.png){width="0.3013888888888889in" height="0.38472222222222224in"}=（　　） A．1 B．﹣1 C．![](./data/image/media/image28959.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image28960.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}i D．![](./data/image/media/image28959.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image28960.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可． 【解答】解：z=4+3i，则![](./data/image/media/image28961.png){width="0.3013888888888889in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image28962.png){width="0.5513888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28963.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image28964.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image28965.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}i． 故选：D． 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力． 3．（5分）已知向量![](./data/image/media/image28966.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（![](./data/image/media/image28967.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image28968.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}），![](./data/image/media/image28969.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（![](./data/image/media/image28968.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，![](./data/image/media/image28970.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}），则∠ABC=（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量![](./data/image/media/image28971.png){width="0.5638888888888889in" height="0.23055555555555557in"}的坐标便可求出![](./data/image/media/image28972.png){width="0.48055555555555557in" height="0.21180555555555555in"}，及![](./data/image/media/image28973.png){width="0.9361111111111111in" height="0.23055555555555557in"}的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值． 【解答】解：![](./data/image/media/image28974.png){width="1.5125in" height="0.38472222222222224in"}，![](./data/image/media/image28975.png){width="1.0194444444444444in" height="0.21180555555555555in"}； ∴![](./data/image/media/image28976.png){width="1.9166666666666667in" height="0.4486111111111111in"}； 又0°≤∠ABC≤180°； ∴∠ABC=30°． 故选：A． 【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角． 4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image28977.png){width="3.063888888888889in" height="2.936111111111111in"} A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4A：数学模型法；5M：推理和证明． 【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可． 【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确 B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确 D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误， 故选：D． 【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键． 5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（　　） A．![](./data/image/media/image28978.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image28979.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image28980.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} D．![](./data/image/media/image28981.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4B：试验法；5I：概率与统计． 【分析】列举出从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案． 【解答】解：从M，I，N中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，取法总数为： （M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5）共15种． 其中只有一个是小敏的密码前两位． 由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是![](./data/image/media/image28982.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：C． 【点评】本题考查随机事件发生的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，是基础题． 6．（5分）若tanθ=![](./data/image/media/image28983.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则cos2θ=（　　） A．![](./data/image/media/image28984.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image28985.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image28986.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．![](./data/image/media/image28987.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值． 【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanθ的值代入计算即可求出值． 【解答】解：∵tanθ=![](./data/image/media/image28988.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴cos2θ=2cos^2^θ﹣1=![](./data/image/media/image28989.png){width="0.7694444444444445in" height="0.42291666666666666in"}﹣1=![](./data/image/media/image28990.png){width="0.3527777777777778in" height="0.5638888888888889in"}﹣1=![](./data/image/media/image28987.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：D． 【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 7．（5分）已知a=![](./data/image/media/image28991.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}，b=![](./data/image/media/image28992.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}，c=![](./data/image/media/image28993.png){width="0.3138888888888889in" height="0.38472222222222224in"}，则（　　） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【考点】4Y：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】b=![](./data/image/media/image28994.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image28995.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}，c=![](./data/image/media/image28996.png){width="0.3138888888888889in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image28997.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案． 【解答】解：∵a=![](./data/image/media/image28998.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image28999.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}， b=![](./data/image/media/image29000.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}， c=![](./data/image/media/image28996.png){width="0.3138888888888889in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image28997.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}， 综上可得：b＜a＜c， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29001.png){width="1.6861111111111111in" height="4.384722222222222in"} A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4． 【解答】解：模拟执行程序，可得 a=4，b=6，n=0，s=0 执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1 不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2 不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3 不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4 满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题． 9．（5分）在△ABC中，B=![](./data/image/media/image29002.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，BC边上的高等于![](./data/image/media/image29003.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}BC，则sinA=（　　） A．![](./data/image/media/image29004.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image29005.png){width="0.32708333333333334in" height="0.38472222222222224in"} C．![](./data/image/media/image29006.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} D．![](./data/image/media/image29007.png){width="0.42291666666666666in" height="0.38472222222222224in"} 【考点】HT：三角形中的几何计算；HU：解三角形．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；58：解三角形． 【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA． 【解答】解：∵在△ABC中，B=![](./data/image/media/image29008.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，BC边上的高等于![](./data/image/media/image29009.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}BC， ∴AB=![](./data/image/media/image29010.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}BC， 由余弦定理得：AC=![](./data/image/media/image29011.png){width="1.8652777777777778in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image29012.png){width="1.4361111111111111in" height="0.4486111111111111in"}=![](./data/image/media/image29013.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}BC， 故![](./data/image/media/image29014.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}BC•![](./data/image/media/image29015.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}BC=![](./data/image/media/image29014.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}AB•AC•sinA=![](./data/image/media/image29014.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}•![](./data/image/media/image29016.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}BC•![](./data/image/media/image29017.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}BC•sinA， ∴sinA=![](./data/image/media/image29018.png){width="0.42291666666666666in" height="0.38472222222222224in"}， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键． 10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29019.png){width="3.3652777777777776in" height="3.345833333333333in"} A．18+36![](./data/image/media/image29020.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} B．54+18![](./data/image/media/image29020.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} C．90 D．81 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱， 其底面面积为：3×6=18， 侧面的面积为：（3×3+3×![](./data/image/media/image29021.png){width="0.5958333333333333in" height="0.25in"}）×2=18+18![](./data/image/media/image29022.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 故棱柱的表面积为：18×2+18+18![](./data/image/media/image29022.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}=54+18![](./data/image/media/image29022.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 11．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA~1~=3，则V的最大值是（　　） A．4π B．![](./data/image/media/image29023.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"} C．6π D．![](./data/image/media/image29024.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何． 【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的内切球半径为![](./data/image/media/image29025.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，代入球的体积公式，可得答案． 【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8， ∴AC=10． 故三角形ABC的内切圆半径r=![](./data/image/media/image29026.png){width="0.5513888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=2， 又由AA~1~=3， 故直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的内切球半径为![](./data/image/media/image29025.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 此时V的最大值![](./data/image/media/image29027.png){width="0.8208333333333333in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29028.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键． 12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：![](./data/image/media/image29029.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}+![](./data/image/media/image29030.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　） A．![](./data/image/media/image29031.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image29032.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image29033.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．![](./data/image/media/image29034.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值． 【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0）， 设直线AE的方程为y=k（x+a）， 令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka）， 设OE的中点为H，可得H（0，![](./data/image/media/image29035.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）， 由B，H，M三点共线，可得k~BH~=k~BM~， 即为![](./data/image/media/image29036.png){width="0.25in" height="0.5638888888888889in"}=![](./data/image/media/image29037.png){width="0.5513888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 化简可得![](./data/image/media/image29038.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29039.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，即为a=3c， 可得e=![](./data/image/media/image29040.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29041.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 另解：由△AMF∽△AEO， 可得![](./data/image/media/image29042.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29043.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 由△BOH∽△BFM， 可得![](./data/image/media/image29044.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29045.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29046.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 即有![](./data/image/media/image29047.png){width="0.5513888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29048.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}即a=3c， 可得e=![](./data/image/media/image29049.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29050.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题． **二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）** 13．（5分）设x，y满足约束条件![](./data/image/media/image29051.png){width="0.8784722222222222in" height="0.6472222222222223in"}，则z=2x+3y﹣5的最小值为[　﹣10　]{.underline}． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件![](./data/image/media/image29052.png){width="0.8784722222222222in" height="0.6472222222222223in"}作出可行域如图， 联立![](./data/image/media/image29053.png){width="0.7951388888888888in" height="0.4166666666666667in"}，解得![](./data/image/media/image29054.png){width="0.4618055555555556in" height="0.4041666666666667in"}，即A（﹣1，﹣1）． 化目标函数z=2x+3y﹣5为![](./data/image/media/image29055.png){width="0.9680555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 由图可知，当直线![](./data/image/media/image29055.png){width="0.9680555555555556in" height="0.36527777777777776in"}过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣1）+3×（﹣1）﹣5=﹣10． 故答案为：﹣10． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29056.png){width="2.1152777777777776in" height="2.0in"} 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14．（5分）函数y=sinx﹣![](./data/image/media/image29057.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移[　]{.underline}![](./data/image/media/image29058.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}个单位长度得到． 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 【专题】39：运动思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣![](./data/image/media/image29058.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}），由﹣φ=2kπ﹣![](./data/image/media/image29058.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（k∈Z），可得答案． 【解答】解：∵y=sinx﹣![](./data/image/media/image29057.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosx=2sin（x﹣![](./data/image/media/image29059.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）， 令f（x）=2sinx， 则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0）， 依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣![](./data/image/media/image29059.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）， 故﹣φ=2kπ﹣![](./data/image/media/image29059.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（k∈Z）， 即φ=﹣2kπ+![](./data/image/media/image29059.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（k∈Z）， 当k=0时，正数φ~min~=![](./data/image/media/image29059.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 故答案为：![](./data/image/media/image29059.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查函数*y*=sin*x*的图象变换得到*y*=*A*sin（*ωx*+*φ*）（*A*＞0，*ω*＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣![](./data/image/media/image29059.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（k∈Z）是关键，属于中档题． 15．（5分）已知直线l：x﹣![](./data/image/media/image29060.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}y+6=0与圆x^2^+y^2^=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则\|CD\|=[　4　]{.underline}． 【考点】J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆． 【分析】先求出\|AB\|，再利用三角函数求出\|CD\|即可． 【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d=![](./data/image/media/image29061.png){width="0.4041666666666667in" height="0.38472222222222224in"}=3， ∴\|AB\|=2![](./data/image/media/image29062.png){width="0.4618055555555556in" height="0.18611111111111112in"}=2![](./data/image/media/image29060.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， ∵直线l：x﹣![](./data/image/media/image29060.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}y+6=0 ∴直线l的倾斜角为30°， ∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点， ∴\|CD\|=![](./data/image/media/image29063.png){width="0.3458333333333333in" height="0.6027777777777777in"}=4． 故答案为：4． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础． 16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e^﹣x﹣1^﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是[　y=2x　]{.underline}． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；53：导数的综合应用． 【分析】由已知函数的奇偶性结合x≤0时的解析式求出x＞0时的解析式，求出导函数，得到f′（1），然后代入直线方程的点斜式得答案． 【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e^﹣x﹣1^﹣x， 设x＞0，则﹣x＜0， ∴f（x）=f（﹣x）=e^x﹣1^+x， 则f′（x）=e^x﹣1^+1， f′（1）=e^0^+1=2． ∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）． 即y=2x． 故答案为：y=2x． 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题． **三、解答题（共5小题，满分60分）** 17．（12分）已知各项都为正数的数列{a~n~}满足a~1~=1，a~n~^2^﹣（2a~n+1~﹣1）a~n~﹣2a~n+1~=0． （1）求a~2~，a~3~； （2）求{a~n~}的通项公式． 【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令n=1可得a~1~^2^﹣（2a~2~﹣1）a~1~﹣2a~2~=0，将a~1~=1代入可得a~2~的值，进而令n=2可得a~2~^2^﹣（2a~3~﹣1）a~2~﹣2a~3~=0，将a~2~=![](./data/image/media/image29064.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}代入计算可得a~3~的值，即可得答案； （2）根据题意，将a~n~^2^﹣（2a~n+1~﹣1）a~n~﹣2a~n+1~=0变形可得（a~n~﹣2a~n+1~）（a~n~+a~n+1~）=0，进而分析可得a~n~=2a~n+1~或a~n~=﹣a~n+1~，结合数列各项为正可得a~n~=2a~n+1~，结合等比数列的性质可得{a~n~}是首项为a~1~=1，公比为![](./data/image/media/image29064.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，a~n~^2^﹣（2a~n+1~﹣1）a~n~﹣2a~n+1~=0， 当n=1时，有a~1~^2^﹣（2a~2~﹣1）a~1~﹣2a~2~=0， 而a~1~=1，则有1﹣（2a~2~﹣1）﹣2a~2~=0，解可得a~2~=![](./data/image/media/image29064.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 当n=2时，有a~2~^2^﹣（2a~3~﹣1）a~2~﹣2a~3~=0， 又由a~2~=![](./data/image/media/image29064.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，解可得a~3~=![](./data/image/media/image29065.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 故a~2~=![](./data/image/media/image29064.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，a~3~=![](./data/image/media/image29065.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}； （2）根据题意，a~n~^2^﹣（2a~n+1~﹣1）a~n~﹣2a~n+1~=0， 变形可得（a~n~﹣2a~n+1~）（a~n~+1）=0， 即有a~n~=2a~n+1~或a~n~=﹣1， 又由数列{a~n~}各项都为正数， 则有a~n~=2a~n+1~， 故数列{a~n~}是首项为a~1~=1，公比为![](./data/image/media/image29064.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}的等比数列， 则a~n~=1×（![](./data/image/media/image29066.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）^n﹣1^=（![](./data/image/media/image29066.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）^n﹣1^， 故a~n~=（![](./data/image/media/image29066.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）^n﹣1^． 【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到a~n~与a~n+1~的关系． 18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图． 注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014． （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明； （Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据：![](./data/image/media/image29067.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}y~i~=9.32，![](./data/image/media/image29067.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}t~i~y~i~=40.17，![](./data/image/media/image29068.png){width="1.0194444444444444in" height="0.5in"}=0.55，![](./data/image/media/image29069.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}≈2.646． 参考公式：相关系数r=![](./data/image/media/image29070.png){width="1.9680555555555554in" height="1.0in"}， 回归方程![](./data/image/media/image29071.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21805555555555556in"}=![](./data/image/media/image29072.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image29073.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ![](./data/image/media/image29073.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image29074.png){width="1.448611111111111in" height="0.9805555555555555in"}，![](./data/image/media/image29072.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image29075.png){width="0.10277777777777777in" height="0.1986111111111111in"}﹣![](./data/image/media/image29076.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}![](./data/image/media/image29077.png){width="0.10277777777777777in" height="0.18611111111111112in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29078.png){width="3.7118055555555554in" height="2.397222222222222in"} 【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计． 【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案； （2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下： ∵r=![](./data/image/media/image29079.png){width="1.9680555555555554in" height="1.0in"}=![](./data/image/media/image29080.png){width="1.9680555555555554in" height="1.0in"}≈![](./data/image/media/image29081.png){width="1.1347222222222222in" height="0.38472222222222224in"}≈![](./data/image/media/image29082.png){width="0.5513888888888889in" height="0.36527777777777776in"}≈0.993， ∵0.993＞0.75， 故y与t之间存在较强的正相关关系； （2）![](./data/image/media/image29083.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image29084.png){width="1.448611111111111in" height="0.9805555555555555in"}=![](./data/image/media/image29085.png){width="1.0319444444444446in" height="0.9805555555555555in"}≈![](./data/image/media/image29086.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}≈0.103， ![](./data/image/media/image29087.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image29088.png){width="0.10277777777777777in" height="0.1986111111111111in"}﹣![](./data/image/media/image29089.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}![](./data/image/media/image29090.png){width="0.10277777777777777in" height="0.18611111111111112in"}≈1.331﹣0.103×4≈0.92， ∴y关于t的回归方程![](./data/image/media/image29091.png){width="0.10277777777777777in" height="0.3333333333333333in"}=0.10t+0.92， 2016年对应的t值为9， 故![](./data/image/media/image29092.png){width="0.10277777777777777in" height="0.3333333333333333in"}=0.10×9+0.92=1.82， 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨． 【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心． 19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点． （Ⅰ）证明MN∥平面PAB； （Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29093.png){width="1.9166666666666667in" height="1.7180555555555554in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAB． （Ⅱ）取AC中点F，连结NF，NF是△PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体N﹣BCM的体积． 【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM， ∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线 ∴NE∥PB， 又∵AD∥BC，∴BE∥AD， ∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD， ∴BE=![](./data/image/media/image29094.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}BC=AM=2， ∴四边形ABEM是平行四边形， ∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB， ∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB． 解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF， ∵NF是△PAC的中位线， ∴NF∥PA，NF=![](./data/image/media/image29095.png){width="0.32708333333333334in" height="0.36527777777777776in"}=2， 又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD， 如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM， ∵AM![](./data/image/media/image29096.png){width="0.18611111111111112in" height="0.23055555555555557in"}CG，∴四边形AGCM是平行四边形， ∴AC=MG=3， 又∵ME=3，EC=CG=2， ∴△MEG的高h=![](./data/image/media/image29097.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， ∴S~△BCM~=![](./data/image/media/image29098.png){width="0.74375in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29099.png){width="0.7819444444444444in" height="0.36527777777777776in"}=2![](./data/image/media/image29100.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， ∴四面体N﹣BCM的体积V~N﹣BCM~=![](./data/image/media/image29101.png){width="1.1347222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29102.png){width="0.8847222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29103.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29104.png){width="2.545138888888889in" height="1.7180555555555554in"} 【点评】本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 20．（12分）已知抛物线C：y^2^=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l~1~，l~2~分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点． （Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ； （Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程． 【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ； （Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程． 【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF， 由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°， ∴∠PFQ=90°， ∵R是PQ的中点， ∴RF=RP=RQ， ∴△PAR≌△FAR， ∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA， ∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR， ∴∠FQB=∠PAR， ∴∠PRA=∠PQF， ∴AR∥FQ． （Ⅱ）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）， F（![](./data/image/media/image29105.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，0），准线为 x=﹣![](./data/image/media/image29106.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， S~△PQF~=![](./data/image/media/image29106.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|PQ\|=![](./data/image/media/image29106.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|y~1~﹣y~2~\|， 设直线AB与x轴交点为N， ∴S~△ABF~=![](./data/image/media/image29106.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|FN\|\|y~1~﹣y~2~\|， ∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍， ∴2\|FN\|=1，∴x~N~=1，即N（1，0）． 设AB中点为M（x，y），由![](./data/image/media/image29107.png){width="0.7694444444444445in" height="0.6347222222222222in"}得![](./data/image/media/image29108.png){width="0.6666666666666666in" height="0.2881944444444444in"}=2（x~1~﹣x~2~）， 又![](./data/image/media/image29109.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4875in"}=![](./data/image/media/image29110.png){width="0.3013888888888889in" height="0.3784722222222222in"}， ∴![](./data/image/media/image29110.png){width="0.3013888888888889in" height="0.3784722222222222in"}=![](./data/image/media/image29111.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3784722222222222in"}，即y^2^=x﹣1． ∴AB中点轨迹方程为y^2^=x﹣1． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29112.png){width="2.25in" height="1.5319444444444446in"} 【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题． 21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1． （1）讨论f（x）的单调性； （2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜![](./data/image/media/image29113.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}＜x； （3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c^x^． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用． 【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域； （2）由题意可得即证lnx＜x﹣1＜xlnx．运用（1）的单调性可得lnx＜x﹣1，设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，求出单调性，即可得到x﹣1＜xlnx成立； （3）设G（x）=1+（c﹣1）x﹣c^x^，求G（x）的二次导数，判断G′（x）的单调性，进而证明原不等式． 【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣x+1的导数为f′（x）=![](./data/image/media/image29114.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣1， 由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1． 即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）； （2）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜![](./data/image/media/image29113.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}＜x，即为lnx＜x﹣1＜xlnx． 由（1）可得f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）递减， 可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x﹣1； 设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx﹣1=lnx， 当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0， 即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立； （3）证明：设G（x）=1+（c﹣1）x﹣c^x^， 则需要证明：当x∈（0，1）时，G（x）＞0（c＞1）； G′（x）=c﹣1﹣c^x^lnc，G′′（x）=﹣（lnc）^2^c^x^＜0， ∴G′（x）在（0，1）单调递减，而G′（0）=c﹣1﹣lnc，G′（1）=c﹣1﹣clnc， 由（1）中f（x）的单调性，可得G′（0）=c﹣1﹣lnc＞0，由（2）可得G′（1）=c﹣1﹣clnc=c（1﹣lnc）﹣1＜0， ∴∃t∈（0，1），使得G′（t）=0，即x∈（0，t）时，G′（x）＞0，x∈（t，1）时，G′（x）＜0； 即G（x）在（0，t）递增，在（t，1）递减； 又因为：G（0）=G（1）=0， ∴x∈（0，1）时G（x）＞0成立，不等式得证； 即c＞1，当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c^x^． 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题． **请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]** 22．（10分）如图，⊙O中![](./data/image/media/image29115.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点． （1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小； （2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29116.png){width="1.5451388888888888in" height="1.551388888888889in"} 【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明． 【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的度数； （2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证． 【解答】（1）解：连接PB，BC， 设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3， ∠PBA=∠4，∠PAB=∠5， 由⊙O中![](./data/image/media/image29117.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}的中点为P，可得∠4=∠5， 在△EBC中，∠1=∠2+∠3， 又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5， 即有∠2=∠4，则∠D=∠1， 则四点E，C，D，F共圆， 可得∠EFD+∠PCD=180°， 由∠PFB=∠EFD=2∠PCD， 即有3∠PCD=180°， 可得∠PCD=60°； （2）证明：由C，D，E，F共圆， 由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G 可得G为圆心，即有GC=GD， 则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦， 则OG⊥CD． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29118.png){width="1.5125in" height="1.551388888888889in"} 【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题． **\[选修4-4：坐标系与参数方程\]** 23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为![](./data/image/media/image29119.png){width="0.9361111111111111in" height="0.42291666666666666in"}（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C~2~的极坐标方程为ρsin（θ+![](./data/image/media/image29120.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=2![](./data/image/media/image29121.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． （1）写出C~1~的普通方程和C~2~的直角坐标方程； （2）设点P在C~1~上，点Q在C~2~上，求\|PQ\|的最小值及此时P的直角坐标． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C~1~的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C~2~的直角坐标方程； （2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，\|PQ\|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得\|PQ\|的最小值，解方程可得P的直角坐标． 另外：设P（![](./data/image/media/image29122.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标． 【解答】解：（1）曲线C~1~的参数方程为![](./data/image/media/image29123.png){width="0.9361111111111111in" height="0.42291666666666666in"}（α为参数）， 移项后两边平方可得![](./data/image/media/image29124.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42291666666666666in"}+y^2^=cos^2^α+sin^2^α=1， 即有椭圆C~1~：![](./data/image/media/image29124.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42291666666666666in"}+y^2^=1； 曲线C~2~的极坐标方程为ρsin（θ+![](./data/image/media/image29125.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=2![](./data/image/media/image29126.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 即有ρ（![](./data/image/media/image29127.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}sinθ+![](./data/image/media/image29128.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}cosθ）=2![](./data/image/media/image29129.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0， 即有C~2~的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0； （2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时， \|PQ\|取得最值． 设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0， 联立![](./data/image/media/image29130.png){width="0.8652777777777778in" height="0.48055555555555557in"}可得4x^2^+6tx+3t^2^﹣3=0， 由直线与椭圆相切，可得△=36t^2^﹣16（3t^2^﹣3）=0， 解得t=±2， 显然t=﹣2时，\|PQ\|取得最小值， 即有\|PQ\|=![](./data/image/media/image29131.png){width="0.8013888888888889in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image29129.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 此时4x^2^﹣12x+9=0，解得x=![](./data/image/media/image29132.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 即为P（![](./data/image/media/image29133.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29134.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）． 另解：设P（![](./data/image/media/image29135.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosα，sinα）， 由P到直线的距离为d=![](./data/image/media/image29136.png){width="1.5319444444444446in" height="0.4041666666666667in"} =![](./data/image/media/image29137.png){width="1.3715277777777777in" height="0.5833333333333334in"}， 当sin（α+![](./data/image/media/image29138.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=1时，\|PQ\|的最小值为![](./data/image/media/image29139.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 此时可取α=![](./data/image/media/image29140.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，即有P（![](./data/image/media/image29141.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29142.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）． 【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题． **\[选修4-5：不等式选讲\]** 24．已知函数f（x）=\|2x﹣a\|+a． （1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集； （2）设函数g（x）=\|2x﹣1\|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；59：不等式的解法及应用． 【分析】（1）当a=2时，由已知得\|2x﹣2\|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集． （2）由f（x）+g（x）=\|2x﹣1\|+\|2x﹣a\|+a≥3，得\|x﹣![](./data/image/media/image29143.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|+\|x﹣![](./data/image/media/image29144.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|≥![](./data/image/media/image29145.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，由此能求出a的取值范围． 【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=\|2x﹣2\|+2， ∵f（x）≤6，∴\|2x﹣2\|+2≤6， \|2x﹣2\|≤4，\|x﹣1\|≤2， ∴﹣2≤x﹣1≤2， 解得﹣1≤x≤3， ∴不等式f（x）≤6的解集为{x\|﹣1≤x≤3}． （2）∵g（x）=\|2x﹣1\|， ∴f（x）+g（x）=\|2x﹣1\|+\|2x﹣a\|+a≥3， 2\|x﹣![](./data/image/media/image29143.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|+2\|x﹣![](./data/image/media/image29144.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|+a≥3， \|x﹣![](./data/image/media/image29146.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|+\|x﹣![](./data/image/media/image29147.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|≥![](./data/image/media/image29148.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 当a≥3时，成立， 当a＜3时，\|x﹣![](./data/image/media/image29146.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|+\|x﹣![](./data/image/media/image29147.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|≥![](./data/image/media/image29146.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|a﹣1\|≥![](./data/image/media/image29148.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}＞0， ∴（a﹣1）^2^≥（3﹣a）^2^， 解得2≤a＜3， ∴a的取值范围是\[2，+∞）． 【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用． 2016年北京市高考数学试卷（理科） ================================ **参考答案与试题解析** **一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．** 1．（5分）已知集合A={x\|\|x\|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（　　） A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B． 【解答】解：∵集合A={x\|\|x\|＜2}={x\|﹣2＜x＜2}， B={﹣1，0，1，2，3}， ∴A∩B={﹣1，0，1}． 故选：C． 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 2．（5分）若x，y满足![](./data/image/media/image29149.png){width="0.7118055555555556in" height="0.6472222222222223in"}，则2x+y的最大值为（　　） A．0 B．3 C．4 D．5 【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z的取值范围． 【解答】解：作出不等式组![](./data/image/media/image29149.png){width="0.7118055555555556in" height="0.6472222222222223in"}对应的平面区域如图：（阴影部分）． 设z=2x+y得y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z， 由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大， 此时z最大． 由![](./data/image/media/image29150.png){width="0.6284722222222222in" height="0.4166666666666667in"}，解得![](./data/image/media/image29151.png){width="0.3784722222222222in" height="0.4041666666666667in"}，即A（1，2）， 代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4． 即目标函数z=2x+y的最大值为4． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29152.png){width="2.647222222222222in" height="2.4805555555555556in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29153.png){width="1.9618055555555556in" height="3.2118055555555554in"} A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：输入的a值为1，则b=1， 第一次执行循环体后，a=﹣![](./data/image/media/image13316.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，不满足退出循环的条件，k=1； 第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2； 第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件， 故输出的k值为2， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． 4．（5分）设![](./data/image/media/image29154.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image29155.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}是向量，则"\|![](./data/image/media/image29154.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=\|![](./data/image/media/image29155.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|"是"\|![](./data/image/media/image29154.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image29155.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=\|![](./data/image/media/image29154.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}﹣![](./data/image/media/image29156.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案． 【解答】解：若"\|![](./data/image/media/image29157.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=\|![](./data/image/media/image29156.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|"，则以![](./data/image/media/image29157.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image29156.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}为邻边的平行四边形是菱形； 若"\|![](./data/image/media/image29157.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image29156.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=\|![](./data/image/media/image29157.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}﹣![](./data/image/media/image29156.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|"，则以![](./data/image/media/image29157.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image29156.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}为邻边的平行四边形是矩形； 故"\|![](./data/image/media/image29158.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=\|![](./data/image/media/image29159.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|"是"\|![](./data/image/media/image29158.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image29159.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=\|![](./data/image/media/image29158.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}﹣![](./data/image/media/image29159.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|"的既不充分也不必要条件； 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出"\|![](./data/image/media/image29158.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=\|![](./data/image/media/image29159.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|"与"\|![](./data/image/media/image29158.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image29159.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=\|![](./data/image/media/image29158.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}﹣![](./data/image/media/image29160.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|"表示的几何意义，是解答的关键． 5．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（　　） A．![](./data/image/media/image29161.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image29162.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3784722222222222in"}＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（![](./data/image/media/image29163.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）^x^﹣（![](./data/image/media/image29163.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）^y^＜0 D．lnx+lny＞0 【分析】x，y∈R，且x＞y＞0，可得：![](./data/image/media/image29164.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image29162.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3784722222222222in"}，sinx与siny的大小关系不确定，![](./data/image/media/image29165.png){width="0.4361111111111111in" height="0.36527777777777776in"}＜![](./data/image/media/image29166.png){width="0.4361111111111111in" height="0.36527777777777776in"}，lnx+lny与0的大小关系不确定，即可判断出结论． 【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则![](./data/image/media/image29167.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image29168.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3784722222222222in"}，sinx与siny的大小关系不确定，![](./data/image/media/image29165.png){width="0.4361111111111111in" height="0.36527777777777776in"}＜![](./data/image/media/image29166.png){width="0.4361111111111111in" height="0.36527777777777776in"}，即![](./data/image/media/image29165.png){width="0.4361111111111111in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image29166.png){width="0.4361111111111111in" height="0.36527777777777776in"}＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定． 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29169.png){width="2.5194444444444444in" height="2.3784722222222223in"} A．![](./data/image/media/image29170.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image29171.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image29172.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．1 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 棱锥的底面面积S=![](./data/image/media/image16661.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×1×1=![](./data/image/media/image16661.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 高为1， 故棱锥的体积V=![](./data/image/media/image29173.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29174.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 7．（5分）将函数y=sin（2x﹣![](./data/image/media/image13290.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）图象上的点P（![](./data/image/media/image29175.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（　　） A．t=![](./data/image/media/image167.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，s的最小值为![](./data/image/media/image29176.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} B．t=![](./data/image/media/image29177.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，s的最小值为![](./data/image/media/image29176.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} C．t=![](./data/image/media/image167.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，s的最小值为![](./data/image/media/image13290.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} D．t=![](./data/image/media/image29177.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，s的最小值为![](./data/image/media/image13290.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】将x=![](./data/image/media/image29178.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}代入得：t=![](./data/image/media/image29179.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值． 【解答】解：将x=![](./data/image/media/image29178.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}代入得：t=sin![](./data/image/media/image29180.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29179.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 将函数y=sin（2x﹣![](./data/image/media/image29181.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）图象上的点P向左平移s个单位， 得到P′（![](./data/image/media/image29178.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣s，![](./data/image/media/image29179.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）点， 若P′位于函数y=sin2x的图象上， 则sin（![](./data/image/media/image29182.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣2s）=cos2s=![](./data/image/media/image29179.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 则2s=![](./data/image/media/image29183.png){width="0.4041666666666667in" height="0.36527777777777776in"}+2kπ，k∈Z， 则s=![](./data/image/media/image29184.png){width="0.4041666666666667in" height="0.36527777777777776in"}+kπ，k∈Z， 由s＞0得：当k=0时，s的最小值为![](./data/image/media/image29185.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象和性质，难度中档． 8．（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（　　） A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【分析】分析理解题意：乙中放红球，则甲中也肯定是放红球；往丙中放球的前提是放入甲中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析． 【解答】解：取两个球共有4种情况： ①红+红，则乙盒中红球数加1个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个； ③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个． 设一共有球2a个，则a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a，其中红球x个，黑球y个，x+y=a． 则乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j=x； 丙中有y个球，其中l个红球，i个黑球，i+l=y； 黑球总数a=y+i+j，又x+y=a，故x=i+j 由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球． 故选：B． 【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，中档题 **二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．** 9．（5分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=[　﹣1　]{.underline}． 【分析】（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i，则a+1=0，解得答案． 【解答】解：（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i， 若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上， 则a+1=0， 解得：a=﹣1， 故答案为：﹣1 【点评】本题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，难度不大，属于基础题． 10．（5分）在（1﹣2x）^6^的展开式中，x^2^的系数为[　60　]{.underline}．（用数字作答） 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出． 【解答】解：（1﹣2x）^6^的展开式中，通项公式T~r+1~=![](./data/image/media/image29186.png){width="0.1986111111111111in" height="0.3013888888888889in"}（﹣2x）^r^=（﹣2）^r^![](./data/image/media/image29186.png){width="0.1986111111111111in" height="0.3013888888888889in"}x^r^， 令r=2，则x^2^的系数=![](./data/image/media/image29187.png){width="0.6541666666666667in" height="0.3013888888888889in"}=60． 故答案为：60． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣![](./data/image/media/image29188.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则\|AB\|=[　2　]{.underline}． 【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心C在直线上可得\|AB\|． 【解答】解：直线ρcosθ﹣![](./data/image/media/image17009.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}ρsinθ﹣1=0化为y直线x﹣![](./data/image/media/image17009.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}y﹣1=0． 圆ρ=2cosθ化为ρ^2^=2ρcosθ，∴x^2^+y^2^=2x，配方为（x﹣1）^2^+y^2^=1，可得圆心C（1，0），半径r=1． 则圆心C在直线上，∴\|AB\|=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了计算能力，属于基础题． 12．（5分）已知{a~n~}为等差数列，S~n~为其前n项和．若a~1~=6，a~3~+a~5~=0，则S~6~=[　6　]{.underline}． 【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S~6~． 【解答】解：∵{a~n~}为等差数列，S~n~为其前n项和． a~1~=6，a~3~+a~5~=0， ∴a~1~+2d+a~1~+4d=0， ∴12+6d=0， 解得d=﹣2， ∴S~6~=![](./data/image/media/image29189.png){width="0.8972222222222223in" height="0.36527777777777776in"}=36﹣30=6． 故答案为：6． 【点评】本题考查等差数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 13．（5分）双曲线![](./data/image/media/image29190.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image29191.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=[　2　]{.underline}． 【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可． 【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线， ∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x， 即a=b， ∵正方形OABC的边长为2， ∴OB=2![](./data/image/media/image29192.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，即c=2![](./data/image/media/image29192.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 则a^2^+b^2^=c^2^=8， 即2a^2^=8， 则a^2^=4，a=2， 故答案为：2 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29193.png){width="2.563888888888889in" height="2.3333333333333335in"} 【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的关键． 14．（5分）设函数f（x）=![](./data/image/media/image29194.png){width="1.0708333333333333in" height="0.4875in"}． ①若a=0，则f（x）的最大值为[　2　]{.underline}； ②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是[　（﹣∞，﹣1）　]{.underline}． 【分析】①将a=0代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当x=﹣1时，f（x）的最大值为2； ②若f（x）无最大值，则![](./data/image/media/image29195.png){width="1.0125in" height="0.46805555555555556in"}，或![](./data/image/media/image29196.png){width="1.0125in" height="0.7375in"}，解得答案． 【解答】解：①若a=0，则f（x）=![](./data/image/media/image29197.png){width="1.0708333333333333in" height="0.4875in"}， 则f′（x）=![](./data/image/media/image29198.png){width="1.0708333333333333in" height="0.4875in"}， 当x＜﹣1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数， 当x＞﹣1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数， 故当x=﹣1时，f（x）的最大值为2； ②f′（x）=![](./data/image/media/image29199.png){width="1.0708333333333333in" height="0.4875in"}， 令f′（x）=0，则x=±1， 若f（x）无最大值，则![](./data/image/media/image29200.png){width="1.0125in" height="0.46805555555555556in"}，或![](./data/image/media/image29201.png){width="1.0125in" height="0.7375in"}， 解得：a∈（﹣∞，﹣1）． 故答案为：2，（﹣∞，﹣1） 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档． **三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．** 15．（13分）在△ABC中，a^2^+c^2^=b^2^+![](./data/image/media/image29202.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}ac． （Ⅰ）求∠B的大小； （Ⅱ）求![](./data/image/media/image29202.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosA+cosC的最大值． 【分析】（Ⅰ）根据已知和余弦定理，可得cosB=![](./data/image/media/image29203.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，进而得到答案； （Ⅱ）由（I）得：C=![](./data/image/media/image29204.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}﹣A，结合正弦型函数的图象和性质，可得![](./data/image/media/image29205.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosA+cosC的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a^2^+c^2^=b^2^+![](./data/image/media/image29205.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}ac． ∴a^2^+c^2^﹣b^2^=![](./data/image/media/image29205.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}ac． ∴cosB=![](./data/image/media/image29206.png){width="0.8013888888888889in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image29207.png){width="0.42916666666666664in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image29208.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}， ∴B=![](./data/image/media/image29209.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} （Ⅱ）由（I）得：C=![](./data/image/media/image29210.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}﹣A， ∴![](./data/image/media/image29211.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosA+cosC=![](./data/image/media/image29211.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosA+cos（![](./data/image/media/image29210.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}﹣A） =![](./data/image/media/image29211.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosA﹣![](./data/image/media/image29212.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}cosA+![](./data/image/media/image29212.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}sinA =![](./data/image/media/image29212.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}cosA+![](./data/image/media/image29213.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}sinA =sin（A+![](./data/image/media/image29214.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）． ∵A∈（0，![](./data/image/media/image29215.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）， ∴A+![](./data/image/media/image29214.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}∈（![](./data/image/media/image29214.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，π）， 故当A+![](./data/image/media/image29214.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image19980.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}时，sin（A+![](./data/image/media/image29214.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）取最大值1， 即![](./data/image/media/image29216.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosA+cosC的最大值为1． 【点评】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档． 16．（13分）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）： ----- ---------------------------- A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 ----- ---------------------------- （Ⅰ）试估计C班的学生人数； （Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ~1~，表格中数据的平均数记为μ~0~，试判断μ~0~和μ~1~的大小．（结论不要求证明） 【分析】（I）由已知先计算出抽样比，进而可估计C班的学生人数； （Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （Ⅲ）根据平均数的定义，可判断出μ~0~＞μ~1~． 【解答】解：（I）由题意得：三个班共抽取20个学生，其中C班抽取8个， 故抽样比K=![](./data/image/media/image29217.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29218.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 故C班有学生8÷![](./data/image/media/image29218.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=40人， （Ⅱ）从从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人， 共有5×8=40种情况， 而且这些情况是等可能发生的， 当甲锻炼时间为6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况； 当甲锻炼时间为6.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况； 当甲锻炼时间为7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况； 当甲锻炼时间为7.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况； 当甲锻炼时间为8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4种情况； 故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P=![](./data/image/media/image29219.png){width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29220.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅲ）μ~0~＞μ~1~． 【点评】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，古典概型，难度中档． 17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=![](./data/image/media/image29221.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． （Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB； （Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求![](./data/image/media/image29222.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}的值，若不存在，说明理由． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29223.png){width="2.0833333333333335in" height="1.8972222222222221in"} 【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB； （Ⅱ）取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），进一步求出向量![](./data/image/media/image29224.png){width="0.9361111111111111in" height="0.23055555555555557in"}的坐标，再求出平面PCD的法向量![](./data/image/media/image29225.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，设PB与平面PCD的夹角为θ，由![](./data/image/media/image29226.png){width="2.7625in" height="0.4486111111111111in"}求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值； （Ⅲ）假设存在M点使得BM∥平面PCD，设![](./data/image/media/image29227.png){width="0.4875in" height="0.36527777777777776in"}，M（0，y~1~，z~1~），由![](./data/image/media/image29228.png){width="0.6472222222222223in" height="0.21180555555555555in"}可得M（0，1﹣λ，λ），![](./data/image/media/image29229.png){width="1.3784722222222223in" height="0.23055555555555557in"}，由BM∥平面PCD，可得 ![](./data/image/media/image29230.png){width="0.5833333333333334in" height="0.21180555555555555in"}，由此列式求得当![](./data/image/media/image29231.png){width="0.4618055555555556in" height="0.36527777777777776in"}时，M点即为所求． 【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， 且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD， ∴AB⊥平面PAD， ∵PD⊂平面PAD， ∴AB⊥PD， 又PD⊥PA，且PA∩AB=A， ∴PD⊥平面PAB； （Ⅱ）解：取AD中点为O，连接CO，PO， ∵CD=AC=![](./data/image/media/image29232.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， ∴CO⊥AD， 又∵PA=PD， ∴PO⊥AD． 以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0）， 则![](./data/image/media/image29233.png){width="2.5in" height="0.23055555555555557in"}，![](./data/image/media/image29234.png){width="2.5in" height="0.23055555555555557in"}， 设![](./data/image/media/image29235.png){width="1.2180555555555554in" height="0.26944444444444443in"}为平面PCD的法向量， 则由![](./data/image/media/image29236.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}，得![](./data/image/media/image29237.png){width="0.7625in" height="0.5194444444444445in"}，则![](./data/image/media/image29238.png){width="1.1152777777777778in" height="0.36527777777777776in"}． 设PB与平面PCD的夹角为θ，则![](./data/image/media/image29239.png){width="2.7625in" height="0.4486111111111111in"}=![](./data/image/media/image29240.png){width="1.551388888888889in" height="0.7819444444444444in"}； （Ⅲ）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设![](./data/image/media/image29241.png){width="0.4875in" height="0.36527777777777776in"}，M（0，y~1~，z~1~）， 由（Ⅱ）知，A（0，1，0），P（0，0，1），![](./data/image/media/image29242.png){width="1.1284722222222223in" height="0.23055555555555557in"}，B（1，1，0），![](./data/image/media/image29243.png){width="1.4680555555555554in" height="0.26944444444444443in"}， 则有![](./data/image/media/image29244.png){width="0.6472222222222223in" height="0.21180555555555555in"}，可得M（0，1﹣λ，λ）， ∴![](./data/image/media/image29245.png){width="1.3784722222222223in" height="0.23055555555555557in"}， ∵BM∥平面PCD，![](./data/image/media/image29246.png){width="1.1152777777777778in" height="0.36527777777777776in"}为平面PCD的法向量， ∴![](./data/image/media/image29247.png){width="0.5833333333333334in" height="0.21180555555555555in"}，即![](./data/image/media/image29248.png){width="0.9291666666666667in" height="0.36527777777777776in"}，解得![](./data/image/media/image29249.png){width="0.4041666666666667in" height="0.36527777777777776in"}． 综上，存在点M，即当![](./data/image/media/image29250.png){width="0.4618055555555556in" height="0.36527777777777776in"}时，M点即为所求． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29251.png){width="2.045138888888889in" height="2.3333333333333335in"} 【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，训练了存在性问题的求解方法，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属中档题． 18．（13分）设函数f（x）=xe^a﹣x^+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4， （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）求f（x）的单调区间． 【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f（2），建立方程组关系即可求a，b的值； （Ⅱ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间． 【解答】解：（Ⅰ）∵y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4， ∴当x=2时，y=2（e﹣1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2， 同时f′（2）=e﹣1， ∵f（x）=xe^a﹣x^+bx， ∴f′（x）=e^a﹣x^﹣xe^a﹣x^+b， 则![](./data/image/media/image29252.png){width="2.0708333333333333in" height="0.5125in"}， 即a=2，b=e； （Ⅱ）∵a=2，b=e； ∴f（x）=xe^2﹣x^+ex， ∴f′（x）=e^2﹣x^﹣xe^2﹣x^+e=（1﹣x）e^2﹣x^+e=（1﹣x+e^x﹣1^）e^2﹣x^， ∵e^2﹣x^＞0， ∴1﹣x+e^x﹣1^与f′（x）同号， 令g（x）=1﹣x+e^x﹣1^， 则g′（x）=﹣1+e^x﹣1^， 由g′（x）＜0，得x＜1，此时g（x）为减函数， 由g′（x）＞0，得x＞1，此时g（x）为增函数， 则当x=1时，g（x）取得极小值也是最小值g（1）=1， 则g（x）≥g（1）=1＞0， 故f′（x）＞0，即f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞），无递减区间． 【点评】本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方程关系以及利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强． 19．（14分）已知椭圆C：![](./data/image/media/image29253.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}+![](./data/image/media/image29254.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（a＞b＞0）的离心率为![](./data/image/media/image29255.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：\|AN\|•\|BM\|为定值． 【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）方法一、设椭圆上点P（x~0~，y~0~），可得x~0~^2^+4y~0~^2^=4，求出直线PA的方程，令x=0，求得y，\|BM\|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，\|AN\|，化简整理，即可得到\|AN\|•\|BM\|为定值4． 方法二、设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直线PA的方程，令x=0，求得y，\|BM\|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，\|AN\|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到\|AN\|•\|BM\|为定值4． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e=![](./data/image/media/image29256.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29255.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}， 又△OAB的面积为1，可得![](./data/image/media/image29257.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}ab=1， 且a^2^﹣b^2^=c^2^， 解得a=2，b=1，c=![](./data/image/media/image29258.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 可得椭圆C的方程为![](./data/image/media/image29259.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}+y^2^=1； （Ⅱ）证法一：设椭圆上点P（x~0~，y~0~）， 可得x~0~^2^+4y~0~^2^=4， 直线PA：y=![](./data/image/media/image29260.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4875in"}（x﹣2），令x=0，可得y=﹣![](./data/image/media/image29261.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4875in"}， 则\|BM\|=\|1+![](./data/image/media/image29261.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4875in"}\|； 直线PB：y=![](./data/image/media/image29262.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4875in"}x+1，令y=0，可得x=﹣![](./data/image/media/image29263.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4875in"}， 则\|AN\|=\|2+![](./data/image/media/image29263.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4875in"}\|． 可得\|AN\|•\|BM\|=\|2+![](./data/image/media/image29264.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4875in"}\|•\|1+![](./data/image/media/image29265.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4875in"}\| =\|![](./data/image/media/image29266.png){width="1.1472222222222221in" height="0.5451388888888888in"}\|=\|![](./data/image/media/image29267.png){width="2.2819444444444446in" height="0.5513888888888889in"}\| =\|![](./data/image/media/image29268.png){width="1.448611111111111in" height="0.5in"}\|=4， 即有\|AN\|•\|BM\|为定值4． 证法二：设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π）， 直线PA：y=![](./data/image/media/image29269.png){width="0.7180555555555556in" height="0.36527777777777776in"}（x﹣2），令x=0，可得y=﹣![](./data/image/media/image29270.png){width="0.6347222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 则\|BM\|=\|![](./data/image/media/image29271.png){width="1.1347222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|； 直线PB：y=![](./data/image/media/image29272.png){width="0.6347222222222222in" height="0.36527777777777776in"}x+1，令y=0，可得x=﹣![](./data/image/media/image29273.png){width="0.6347222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 则\|AN\|=\|![](./data/image/media/image29274.png){width="1.301388888888889in" height="0.36527777777777776in"}\|． 即有\|AN\|•\|BM\|=\|![](./data/image/media/image29274.png){width="1.301388888888889in" height="0.36527777777777776in"}\|•\|![](./data/image/media/image29275.png){width="1.1347222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\| =2\|![](./data/image/media/image29276.png){width="3.563888888888889in" height="0.42916666666666664in"}\| =2\|![](./data/image/media/image29277.png){width="2.301388888888889in" height="0.36527777777777776in"}\|=4． 则\|AN\|•\|BM\|为定值4． 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，考查线段积的定值的求法，注意运用直线方程和点满足椭圆方程，考查化解在合理的运算能力，属于中档题． 20．（13分）设数列A：a~1~，a~2~，...，a~N~ （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有a~k~＜a~n~，则称n是数列A的一个"G时刻"，记G（A）是数列A的所有"G时刻"组成的集合． （Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素； （Ⅱ）证明：若数列A中存在a~n~使得a~n~＞a~1~，则G（A）≠∅； （Ⅲ）证明：若数列A满足a~n~﹣a~n﹣1~≤1（n=2，3，...，N），则G（A）的元素个数不小于a~N~﹣a~1~． 【分析】（Ⅰ）结合"G时刻"的定义进行分析； （Ⅱ）可以采用假设法和递推法进行分析； （Ⅲ）可以采用假设法和列举法进行分析． 【解答】解：（Ⅰ）根据题干可得，a~1~=﹣2，a~2~=2，a~3~=﹣1，a~4~=1，a~5~=3，a~1~＜a~2~满足条件，2满足条件，a~2~＞a~3~不满足条件，3不满足条件， a~2~＞a~4~不满足条件，4不满足条件，a~1~，a~2~，a~3~，a~4~，均小于a~5~，因此5满足条件，因此G（A）={2，5}． （Ⅱ）因为存在a~n~＞a~1~，设数列A中第一个大于a~1~的项为a~k~，则a~k~＞a~1~≥a~i~，其中2≤i≤k﹣1，所以k∈G（A），G（A）≠∅； （Ⅲ）设A数列的所有"G时刻"为i~1~＜i~2~＜...＜i~k~， 对于第一个"G时刻"i~1~，有![](./data/image/media/image29278.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}＞a~1~≥a~i~（i=2，3，...，i~1~﹣1），则 ![](./data/image/media/image29278.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}﹣a~1~≤![](./data/image/media/image29279.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}﹣![](./data/image/media/image29280.png){width="0.42916666666666664in" height="0.2625in"}≤1． 对于第二个"G时刻"i~1~，有![](./data/image/media/image29281.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}＞![](./data/image/media/image29279.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}≥a~i~（i=2，3，...，i~1~﹣1），则 ![](./data/image/media/image29281.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}﹣![](./data/image/media/image29279.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}≤![](./data/image/media/image29281.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}﹣![](./data/image/media/image29282.png){width="0.42916666666666664in" height="0.2625in"}≤1． 类似的![](./data/image/media/image29283.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}﹣![](./data/image/media/image29284.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}≤1，...，![](./data/image/media/image29285.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}﹣![](./data/image/media/image29286.png){width="0.3784722222222222in" height="0.2625in"}≤1． 于是，k≥（![](./data/image/media/image29285.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}﹣![](./data/image/media/image29286.png){width="0.3784722222222222in" height="0.2625in"}）+（![](./data/image/media/image29287.png){width="0.3784722222222222in" height="0.2625in"}﹣![](./data/image/media/image29288.png){width="0.3784722222222222in" height="0.2625in"}）+...+（![](./data/image/media/image29289.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}﹣![](./data/image/media/image29290.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}）+（![](./data/image/media/image29290.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}﹣a~1~）=![](./data/image/media/image29291.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}﹣a~1~． 对于a~N~，若N∈G（A），则![](./data/image/media/image29291.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}=a~N~． 若N∉G（A），则a~N~≤![](./data/image/media/image29292.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}，否则由（2）知![](./data/image/media/image29292.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}，![](./data/image/media/image29293.png){width="0.3784722222222222in" height="0.2625in"}，...，a~N~，中存在"G时刻"与只有k个"G时刻"矛盾． 从而k≥![](./data/image/media/image29292.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}﹣a~1~≥a~N~﹣a~1~． 【点评】本题属于新定义题型，重点在于对"G时刻"定义的把握，难度较大． 2016年北京市高考数学试卷（文科） ================================ **参考答案与试题解析** **一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）** 1．（5分）已知集合A={x\|2＜x＜4}，B={x\|x＜3或x＞5}，则A∩B=（　　） A．{x\|2＜x＜5} B．{x\|x＜4或x＞5} C．{x\|2＜x＜3} D．{x\|x＜2或x＞5} 【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B． 【解答】解：∵集合A={x\|2＜x＜4}，B={x\|x＜3或x＞5}， ∴A∩B={x\|2＜x＜3}． 故选：C． 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用． 2．（5分）复数![](./data/image/media/image29294.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=（　　） A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i 【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案． 【解答】解：![](./data/image/media/image29294.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29295.png){width="0.9680555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29296.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=i， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题． 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29297.png){width="1.8847222222222222in" height="2.595833333333333in"} A．8 B．9 C．27 D．36 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1， 当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2， 当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3， 当k=3时，不满足进行循环的条件， 故输出的S值为9， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． 4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（　　） A．y=![](./data/image/media/image29298.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"} B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2^﹣x^ 【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项． 【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴![](./data/image/media/image29298.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}增大； ∴函数![](./data/image/media/image29299.png){width="0.4875in" height="0.36527777777777776in"}在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误； B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误； C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误； D.![](./data/image/media/image29300.png){width="0.9680555555555556in" height="0.36527777777777776in"}； ∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确． 故选：D． 【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算． 5．（5分）圆（x+1）^2^+y^2^=2的圆心到直线y=x+3的距离为（　　） A．1 B．2 C．![](./data/image/media/image16219.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} D．2![](./data/image/media/image16219.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} 【分析】先求出圆（x+1）^2^+y^2^=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解． 【解答】解：∵圆（x+1）^2^+y^2^=2的圆心为（﹣1，0）， ∴圆（x+1）^2^+y^2^=2的圆心到直线y=x+3的距离为： d=![](./data/image/media/image29301.png){width="0.5513888888888889in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image16219.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． 故选：C． 【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用． 6．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（　　） A．![](./data/image/media/image29302.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image29303.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image29304.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} D．![](./data/image/media/image29305.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率． 【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人， 基本事件总数n=![](./data/image/media/image29306.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}=10， 甲被选中包含的基本事件的个数m=![](./data/image/media/image29307.png){width="0.38472222222222224in" height="0.28194444444444444in"}=4， ∴甲被选中的概率p=![](./data/image/media/image29308.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29309.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29310.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：B． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（　　） A．﹣1 B．3 C．7 D．8 【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可． 【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上， 令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值， 可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29311.png){width="2.404166666666667in" height="2.3652777777777776in"} 【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键． 8．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊． ---------------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a﹣1 b 65 ---------------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（　　） A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛 C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛 【分析】根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论． 【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人， 故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛， 又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人， 则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛， 剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛， 故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键． **二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）** 9．（5分）已知向量![](./data/image/media/image29312.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（1，![](./data/image/media/image29313.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}），![](./data/image/media/image29314.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（![](./data/image/media/image29313.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，1），则![](./data/image/media/image29312.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}与![](./data/image/media/image29314.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}夹角的大小为[　]{.underline}![](./data/image/media/image29315.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案． 【解答】解：∵向量![](./data/image/media/image29312.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（1，![](./data/image/media/image29313.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}），![](./data/image/media/image29316.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（![](./data/image/media/image29317.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，1）， ∴![](./data/image/media/image29318.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}与![](./data/image/media/image29316.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}夹角θ满足： cosθ=![](./data/image/media/image29319.png){width="0.7180555555555556in" height="0.4486111111111111in"}=![](./data/image/media/image29320.png){width="0.38472222222222224in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image29321.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}， 又∵θ∈\[0，π\]， ∴θ=![](./data/image/media/image29322.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 故答案为：![](./data/image/media/image29322.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键． 10．（5分）函数f（x）=![](./data/image/media/image29323.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}（x≥2）的最大值为[　2　]{.underline}． 【分析】分离常数便可得到![](./data/image/media/image29324.png){width="0.9041666666666667in" height="0.36527777777777776in"}，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在\[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值． 【解答】解：![](./data/image/media/image29325.png){width="1.8847222222222222in" height="0.36527777777777776in"}； ∴f（x）在\[2，+∞）上单调递减； ∴x=2时，f（x）取最大值2． 故答案为：2． 【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法． 11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为[　]{.underline}![](./data/image/media/image29326.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29327.png){width="2.0in" height="1.9875in"} 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱， 棱柱的底面面积S=![](./data/image/media/image29328.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×（1+2）×1=![](./data/image/media/image29329.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 棱柱的高为1， 故棱柱的体积V=![](./data/image/media/image29329.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 故答案为：![](./data/image/media/image29329.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 12．（5分）已知双曲线![](./data/image/media/image29330.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image29331.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（![](./data/image/media/image29332.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，0），则a=[　1　]{.underline}，b=[　2　]{.underline}． 【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（![](./data/image/media/image16707.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，0），列出方程组，由此能出a，b． 【解答】解：∵双曲线![](./data/image/media/image29333.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image29334.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（![](./data/image/media/image16707.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，0）， ∴![](./data/image/media/image29335.png){width="1.0125in" height="0.6791666666666667in"}， 解得a=1，b=2． 故答案为：1，2． 【点评】本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用． 13．（5分）在△ABC中，∠A=![](./data/image/media/image29336.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，a=![](./data/image/media/image29337.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}c，则![](./data/image/media/image29338.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=[　1　]{.underline}． 【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可． 【解答】解：在△ABC中，∠A=![](./data/image/media/image29336.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，a=![](./data/image/media/image29337.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}c， 由正弦定理可得：![](./data/image/media/image29339.png){width="0.8784722222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ![](./data/image/media/image29340.png){width="0.6027777777777777in" height="0.5833333333333334in"}=![](./data/image/media/image29341.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，sinC=![](./data/image/media/image29342.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，C=![](./data/image/media/image29343.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，则B=![](./data/image/media/image29344.png){width="0.8972222222222223in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29343.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 三角形是等腰三角形，B=C，则b=c， 则![](./data/image/media/image29345.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力． 14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有[　16　]{.underline}种； ②这三天售出的商品最少有[　29　]{.underline}种． 【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数． 【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C， 如图， 则第一天售出但第二天未售出的商品有16种； ②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种， 当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种． 故答案为：①16；②29． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29346.png){width="1.4805555555555556in" height="0.4041666666666667in"} 【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题． **三、解答题（共6小题，满分80分）** 15．（13分）已知{a~n~}是等差数列，{b~n~}是等比数列，且b~2~=3，b~3~=9，a~1~=b~1~，a~14~=b~4~． （1）求{a~n~}的通项公式； （2）设c~n~=a~n~+b~n~，求数列{c~n~}的前n项和． 【分析】（1）设{a~n~}是公差为d的等差数列，{b~n~}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式； （2）求得c~n~=a~n~+b~n~=2n﹣1+3^n﹣1^，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和． 【解答】解：（1）设{a~n~}是公差为d的等差数列， {b~n~}是公比为q的等比数列， 由b~2~=3，b~3~=9，可得q=![](./data/image/media/image29347.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}=3， b~n~=b~2~q^n﹣2^=3•3^n﹣2^=3^n﹣1^； 即有a~1~=b~1~=1，a~14~=b~4~=27， 则d=![](./data/image/media/image29348.png){width="0.5958333333333333in" height="0.42916666666666664in"}=2， 则a~n~=a~1~+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1； （2）c~n~=a~n~+b~n~=2n﹣1+3^n﹣1^， 则数列{c~n~}的前n项和为 （1+3+...+（2n﹣1））+（1+3+9+...+3^n﹣1^）=![](./data/image/media/image29349.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}n•2n+![](./data/image/media/image29350.png){width="0.4166666666666667in" height="0.42916666666666664in"} =n^2^+![](./data/image/media/image29351.png){width="0.4166666666666667in" height="0.42916666666666664in"}． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题． 16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求ω的值； （2）求f（x）的单调递增区间． 【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值； （2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间． 【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx =sin2ωx+cos2ωx=![](./data/image/media/image29352.png){width="2.1666666666666665in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image29353.png){width="1.301388888888889in" height="0.36527777777777776in"}． 由T=![](./data/image/media/image29354.png){width="0.5708333333333333in" height="0.36527777777777776in"}，得ω=1； （2）由（1）得，f（x）=![](./data/image/media/image29355.png){width="1.1347222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 再由![](./data/image/media/image29356.png){width="2.2375in" height="0.36527777777777776in"}，得![](./data/image/media/image29357.png){width="2.25in" height="0.36527777777777776in"}． ∴f（x）的单调递增区间为\[![](./data/image/media/image29358.png){width="1.5in" height="0.36527777777777776in"}\]（k∈Z）． 【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题． 17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29359.png){width="3.352777777777778in" height="1.9166666666666667in"} （1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？ （2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费． 【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在\[0.5，1）的频率为0.1，用水量在\[1，1.5）的频率为0.15，用水量在\[1.5，2）的频率为0.2，用水量在\[2，2.5）的频率为0.25，用水量在\[2.5，3）的频率为0.15，用水量在\[3，3.5）的频率为0.05，用水量在\[3.5，4）的频率为0.05，用水量在\[4，4.5）的频率为0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米． （2）当w=3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费． 【解答】解：（1）由频率分布直方图得： 用水量在\[0.5，1）的频率为0.1， 用水量在\[1，1.5）的频率为0.15， 用水量在\[1.5，2）的频率为0.2， 用水量在\[2，2.5）的频率为0.25， 用水量在\[2.5，3）的频率为0.15， 用水量在\[3，3.5）的频率为0.05， 用水量在\[3.5，4）的频率为0.05， 用水量在\[4，4.5）的频率为0.05， ∵用水量小于等于3立方米的频率为85%， ∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米， ∴w至少定为3立方米． （2）当w=3时，该市居民的人均水费为： （0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5， ∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元． 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当w=3时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用． 18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC． （1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC； （3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29360.png){width="1.9291666666666667in" height="1.5638888888888889in"} 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC； （2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面PAC； （3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明． 【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD， ∴PC⊥DC， ∵DC⊥AC，PC∩AC=C， ∴DC⊥平面PAC； （2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC， ∴AB⊥AC， ∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴PC⊥AB， ∵PC∩AC=C， ∴AB⊥平面PAC， ∵AB⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAC； （3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF． ∵点E为AB的中点， ∴EF∥PA， ∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF， ∴PA∥平面CEF． 【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 19．（14分）已知椭圆C：![](./data/image/media/image22536.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}+![](./data/image/media/image22537.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1过点A（2，0），B（0，1）两点． （1）求椭圆C的方程及离心率； （2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值． 【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则![](./data/image/media/image29361.png){width="1.5708333333333333in" height="0.25in"}，则椭圆C的方程可求，离心率为e=![](./data/image/media/image29362.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}； （2）设P（x~0~，y~0~），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得\|AN\|，\|BM\|．由![](./data/image/media/image29363.png){width="1.4875in" height="0.36527777777777776in"}，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2． 【解答】（1）解：∵椭圆C：![](./data/image/media/image22536.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}+![](./data/image/media/image29364.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1过点A（2，0），B（0，1）两点， ∴a=2，b=1，则![](./data/image/media/image29365.png){width="1.5708333333333333in" height="0.25in"}， ∴椭圆C的方程为![](./data/image/media/image29366.png){width="0.7118055555555556in" height="0.42916666666666664in"}，离心率为e=![](./data/image/media/image29367.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}； （2）证明：如图， 设P（x~0~，y~0~），则![](./data/image/media/image29368.png){width="0.7819444444444444in" height="0.4875in"}，PA所在直线方程为y=![](./data/image/media/image29369.png){width="0.8527777777777777in" height="0.4875in"}， 取x=0，得![](./data/image/media/image29370.png){width="0.7951388888888888in" height="0.4875in"}； ![](./data/image/media/image29371.png){width="0.7819444444444444in" height="0.4875in"}，PB所在直线方程为![](./data/image/media/image29372.png){width="0.8784722222222222in" height="0.4875in"}， 取y=0，得![](./data/image/media/image29373.png){width="0.7118055555555556in" height="0.4875in"}． ∴\|AN\|=![](./data/image/media/image29374.png){width="1.9618055555555556in" height="0.5in"}， \|BM\|=1﹣![](./data/image/media/image29375.png){width="1.7694444444444444in" height="0.4875in"}． ∴![](./data/image/media/image29376.png){width="1.4875in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29377.png){width="1.9291666666666667in" height="0.5in"} =﹣![](./data/image/media/image29378.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image29379.png){width="1.1472222222222221in" height="0.5451388888888888in"}=![](./data/image/media/image29378.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image29380.png){width="2.0125in" height="0.5451388888888888in"}=![](./data/image/media/image29381.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image29382.png){width="2.301388888888889in" height="0.5513888888888889in"} =![](./data/image/media/image29381.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image29383.png){width="2.2305555555555556in" height="0.5in"}． ∴四边形ABNM的面积为定值2． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29384.png){width="2.0125in" height="1.5958333333333334in"} 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题． 20．（13分）设函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围； （3）求证：a^2^﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件． 【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程； （2）由f（x）=0，可得﹣c=x^3^+4x^2^+4x，由g（x）=x^3^+4x^2^+4x，求得导数，单调区间和极值，由﹣c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围； （3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得单调区间有3个，求出导数，由导数的图象与x轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a^2^﹣3b＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a^2^﹣3b＞0，不能推出f（x）有3个零点． 【解答】解：（1）函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c的导数为f′（x）=3x^2^+2ax+b， 可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b， 切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c； （2）设a=b=4，即有f（x）=x^3^+4x^2^+4x+c， 由f（x）=0，可得﹣c=x^3^+4x^2^+4x， 由g（x）=x^3^+4x^2^+4x的导数g′（x）=3x^2^+8x+4=（x+2）（3x+2）， 当x＞﹣![](./data/image/media/image29385.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增； 当﹣2＜x＜﹣![](./data/image/media/image29385.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，g′（x）＜0，g（x）递减． 即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0； g（x）在x=﹣![](./data/image/media/image29385.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}处取得极小值，且为﹣![](./data/image/media/image29386.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣![](./data/image/media/image29386.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}＜﹣c＜0， 解得0＜c＜![](./data/image/media/image29386.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 则c的取值范围是（0，![](./data/image/media/image29386.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）； （3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0， 可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点． 即有f（x）有3个单调区间， 即为导数f′（x）=3x^2^+2ax+b的图象与x轴有两个交点， 可得△＞0，即4a^2^﹣12b＞0，即为a^2^﹣3b＞0； 若a^2^﹣3b＞0，即有导数f′（x）=3x^2^+2ax+b的图象与x轴有两个交点， 当c=0，a=b=4时，满足a^2^﹣3b＞0， 即有f（x）=x（x+2）^2^，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个． 故a^2^﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考考查化简整理的能力，属于中档题． 2016年天津市高考数学试卷（理科） ================================ **参考答案与试题解析** **一、选择题** 1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y\|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（　　） A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4} 【分析】把A中元素代入y=3x﹣2中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可． 【解答】解：把x=1，2，3，4分别代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}， ∵A={1，2，3，4}， ∴A∩B={1，4}， 故选：D． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5分）设变量x，y满足约束条件![](./data/image/media/image29387.png){width="0.9618055555555556in" height="0.6541666666666667in"}，则目标函数z=2x+5y的最小值为（　　） A．﹣4 B．6 C．10 D．17 【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线l~0~：2x+5y=0，平移直线l~0~，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6． 【解答】解：作出不等式组![](./data/image/media/image29387.png){width="0.9618055555555556in" height="0.6541666666666667in"}表示的可行域， 如右图中三角形的区域， 作出直线l~0~：2x+5y=0，图中的虚线， 平移直线l~0~，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29388.png){width="2.545138888888889in" height="2.1791666666666667in"} 【点评】本题考查简单线性规划的应用，涉及二元一次不等式组表示的平面区域，关键是准确作出不等式组表示的平面区域． 3．（5分）在△ABC中，若AB=![](./data/image/media/image29389.png){width="0.2951388888888889in" height="0.18611111111111112in"}，BC=3，∠C=120°，则AC=（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】直接利用余弦定理求解即可． 【解答】解：在△ABC中，若AB=![](./data/image/media/image29389.png){width="0.2951388888888889in" height="0.18611111111111112in"}，BC=3，∠C=120°， AB^2^=BC^2^+AC^2^﹣2AC•BCcosC， 可得：13=9+AC^2^+3AC， 解得AC=1或AC=﹣4（舍去）． 故选：A． 【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力． 4．（5分）阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29390.png){width="2.1284722222222223in" height="3.7180555555555554in"} A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】根据程序进行顺次模拟计算即可． 【解答】解：第一次判断后：不满足条件，S=2×4=8，n=2，i＞4， 第二次判断不满足条件n＞3： 第三次判断满足条件：S＞6，此时计算S=8﹣6=2，n=3， 第四次判断n＞3不满足条件， 第五次判断S＞6不满足条件，S=4．n=4， 第六次判断满足条件n＞3， 故输出S=4， 故选：B． 【点评】本题主要考查程序框图的识别和运行，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键． 5．（5分）设{a~n~}是首项为正数的等比数列，公比为q，则"q＜0"是"对任意的正整数n，a~2n﹣1~+a~2n~＜0"的（　　） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可． 【解答】解：{a~n~}是首项为正数的等比数列，公比为q， 若"q＜0"是"对任意的正整数n，a~2n﹣1~+a~2n~＜0"不一定成立， 例如：当首项为2，q=﹣![](./data/image/media/image9680.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，各项为2，﹣1，![](./data/image/media/image9680.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，﹣![](./data/image/media/image29391.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，...，此时2+（﹣1）=1＞0，![](./data/image/media/image9680.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+（﹣![](./data/image/media/image29391.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）=![](./data/image/media/image29391.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＞0； 而"对任意的正整数n，a~2n﹣1~+a~2n~＜0"，前提是"q＜0"， 则"q＜0"是"对任意的正整数n，a~2n﹣1~+a~2n~＜0"的必要而不充分条件， 故选：C． 【点评】此题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 6．（5分）已知双曲线![](./data/image/media/image29392.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}﹣![](./data/image/media/image29393.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（　　） A．![](./data/image/media/image29392.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}﹣![](./data/image/media/image29394.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4361111111111111in"}=1 B．![](./data/image/media/image29392.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}﹣![](./data/image/media/image29395.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4361111111111111in"}=1 C．![](./data/image/media/image29396.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}﹣![](./data/image/media/image29397.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1 D．![](./data/image/media/image29396.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}﹣![](./data/image/media/image29398.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1 【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x^2^+y^2^=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±![](./data/image/media/image29399.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}x，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论． 【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x^2^+y^2^=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±![](./data/image/media/image29399.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}x， 设A（x，![](./data/image/media/image29399.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}x），则∵四边形ABCD的面积为2b， ∴2x•bx=2b， ∴x=±1 将A（1，![](./data/image/media/image29399.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）代入x^2^+y^2^=4，可得1+![](./data/image/media/image29400.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}=4，∴b^2^=12， ∴双曲线的方程为![](./data/image/media/image29396.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}﹣![](./data/image/media/image29398.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1， 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则![](./data/image/media/image29401.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image29402.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}的值为（　　） A．﹣![](./data/image/media/image29403.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image29404.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image29405.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．![](./data/image/media/image29406.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】由题意画出图形，把![](./data/image/media/image29401.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}、![](./data/image/media/image29402.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}都用![](./data/image/media/image29407.png){width="0.5638888888888889in" height="0.23055555555555557in"}表示，然后代入数量积公式得答案． 【解答】解：如图， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29408.png){width="1.4805555555555556in" height="1.8138888888888889in"} ∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF， ∴![](./data/image/media/image29409.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image29410.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image29411.png){width="0.9618055555555556in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image29412.png){width="1.3138888888888889in" height="0.36527777777777776in"} =![](./data/image/media/image29413.png){width="1.3138888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29414.png){width="1.7375in" height="0.36527777777777776in"} =![](./data/image/media/image29415.png){width="1.3138888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29416.png){width="1.2375in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29417.png){width="2.2819444444444446in" height="0.36527777777777776in"} =![](./data/image/media/image29418.png){width="1.5451388888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：C． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题． 8．（5分）已知函数f（x）=![](./data/image/media/image29419.png){width="1.7375in" height="0.5319444444444444in"}（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程\|f（x）\|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（　　） A．（0，![](./data/image/media/image29420.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\] B．\[![](./data/image/media/image29420.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29421.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\] C．\[![](./data/image/media/image29422.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29420.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\]∪{![](./data/image/media/image29423.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}} D．\[![](./data/image/media/image29424.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29425.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）∪{![](./data/image/media/image29423.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}} 【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围． 【解答】解：y=loga（x+1）+1在\[0，+∞）递减，则0＜a＜1， 函数f（x）在R上单调递减，则： ![](./data/image/media/image29426.png){width="2.448611111111111in" height="0.9618055555555556in"}； 解得，![](./data/image/media/image29427.png){width="0.7118055555555556in" height="0.36527777777777776in"}； 由图象可知，在\[0，+∞）上，\|f（x）\|=2﹣x有且仅有一个解， 故在（﹣∞，0）上，\|f（x）\|=2﹣x同样有且仅有一个解， 当3a＞2即a＞![](./data/image/media/image29425.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，联立\|x^2^+（4a﹣3）x+3a\|=2﹣x， 则△=（4a﹣2）^2^﹣4（3a﹣2）=0， 解得a=![](./data/image/media/image29423.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}或1（舍去）， 当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件， 综上：a的取值范围为\[![](./data/image/media/image29424.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29428.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\]∪{![](./data/image/media/image29429.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}}， 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29430.png){width="1.5638888888888889in" height="2.147222222222222in"} 【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题． **二、填空题** 9．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则![](./data/image/media/image29431.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}的值为[　2　]{.underline}． 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进而可得答案． 【解答】解：∵（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i=a，a，b∈R， ∴![](./data/image/media/image29432.png){width="0.5451388888888888in" height="0.3972222222222222in"}， 解得：![](./data/image/media/image29433.png){width="0.3784722222222222in" height="0.3972222222222222in"}， ∴![](./data/image/media/image29431.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=2， 故答案为：2 【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算，复数相等的充要条件，难度不大，属于基础题． 10．（5分）（x^2^﹣![](./data/image/media/image29434.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）^8^的展开式中x^7^的系数为[　﹣56　]{.underline}（用数字作答） 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：T~r+1~=![](./data/image/media/image29435.png){width="0.1986111111111111in" height="0.3013888888888889in"}![](./data/image/media/image29436.png){width="1.1347222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29437.png){width="0.6541666666666667in" height="0.3013888888888889in"}x^16﹣3r^， 令16﹣3r=7，解得r=3． ∴（x^2^﹣![](./data/image/media/image29434.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）^8^的展开式中x^7^的系数为![](./data/image/media/image29438.png){width="0.6541666666666667in" height="0.3013888888888889in"}=﹣56． 故答案为：﹣56． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11．（5分）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为 [　2　]{.underline}m^3^ ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29439.png){width="2.404166666666667in" height="2.4618055555555554in"} 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，进而可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥， 棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积S=2×1=2m^2^， 棱锥的高h=3m， 故体积V=![](./data/image/media/image29440.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}=2m^3^， 故答案为：2 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 12．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为[　]{.underline}![](./data/image/media/image29441.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}[　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29442.png){width="1.2819444444444446in" height="1.1666666666666667in"} 【分析】由BD=ED，可得△BDE为等腰三角形，过D作DH⊥AB于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE． 【解答】解：如图， 过D作DH⊥AB于H， ∵BE=2AE=2，BD=ED， ∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1， ∴DH^2^=AH•BH=2，则DH=![](./data/image/media/image23798.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 在Rt△DHE中，则![](./data/image/media/image29443.png){width="1.8458333333333334in" height="0.25in"}， 由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB， ∴![](./data/image/media/image29444.png){width="1.6791666666666667in" height="0.4041666666666667in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image29441.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29445.png){width="1.2819444444444446in" height="1.1666666666666667in"} 【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题． 13．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2^\|a﹣1\|^）＞f（﹣![](./data/image/media/image29446.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}），则a的取值范围是[　（]{.underline}![](./data/image/media/image29447.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}[，]{.underline}![](./data/image/media/image29448.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}[）　]{.underline}． 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即可． 【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增， ∴f（x）在区间\[0，+∞）上单调递减， 则f（2^\|a﹣1\|^）＞f（﹣![](./data/image/media/image29446.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}），等价为f（2^\|a﹣1\|^）＞f（![](./data/image/media/image29446.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}）， 即﹣![](./data/image/media/image29446.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}＜2^\|a﹣1\|^＜![](./data/image/media/image29446.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 则\|a﹣1\|＜![](./data/image/media/image29449.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，即![](./data/image/media/image29449.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＜a＜![](./data/image/media/image29450.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 故答案为：（![](./data/image/media/image29449.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29450.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}） 【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键． 14．（5分）设抛物线![](./data/image/media/image29451.png){width="0.6541666666666667in" height="0.46805555555555556in"}（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（![](./data/image/media/image29452.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}p，0），AF与BC相交于点E．若\|CF\|=2\|AF\|，且△ACE的面积为3![](./data/image/media/image29453.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，则p的值为[　]{.underline}![](./data/image/media/image29454.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}[　]{.underline}． 【分析】化简参数方程为普通方程，求出F与l的方程，然后求解A的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可． 【解答】解：抛物线![](./data/image/media/image29451.png){width="0.6541666666666667in" height="0.46805555555555556in"}（t为参数，p＞0）的普通方程为：y^2^=2px焦点为F（![](./data/image/media/image29455.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，0），如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（![](./data/image/media/image29452.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}p，0），AF与BC相交于点E．\|CF\|=2\|AF\|， \|CF\|=3p，\|AB\|=\|AF\|=![](./data/image/media/image29456.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}p，A（p，![](./data/image/media/image29457.png){width="0.3138888888888889in" height="0.18611111111111112in"}）， △ACE的面积为3![](./data/image/media/image29458.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，![](./data/image/media/image29459.png){width="0.7819444444444444in" height="0.36527777777777776in"}， 可得![](./data/image/media/image29460.png){width="0.5958333333333333in" height="0.36527777777777776in"}=S~△ACE~． 即：![](./data/image/media/image29461.png){width="1.2951388888888888in" height="0.36527777777777776in"}=3![](./data/image/media/image29458.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 解得p=![](./data/image/media/image29462.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image29463.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29464.png){width="3.102777777777778in" height="2.102777777777778in"} 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的参数方程的应用，考查分析问题解决问题的能力． **三、计算题** 15．（13分）已知函数f（x）=4tanxsin（![](./data/image/media/image29465.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣x）cos（x﹣![](./data/image/media/image29466.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）﹣![](./data/image/media/image20896.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． （1）求f（x）的定义域与最小正周期； （2）讨论f（x）在区间\[﹣![](./data/image/media/image29467.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29467.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}\]上的单调性． 【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可． （2）利用三角函数的单调性进行求解即可． 【解答】解：（1）∵f（x）=4tanxsin（![](./data/image/media/image9781.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣x）cos（x﹣![](./data/image/media/image29468.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）﹣![](./data/image/media/image16614.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． ∴x≠kπ+![](./data/image/media/image9781.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，即函数的定义域为{x\|x≠kπ+![](./data/image/media/image9781.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z}， 则f（x）=4tanxcosx•（![](./data/image/media/image29469.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}cosx+![](./data/image/media/image29470.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}sinx）﹣![](./data/image/media/image16614.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} =4sinx（![](./data/image/media/image29469.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}cosx+![](./data/image/media/image29470.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}sinx）﹣![](./data/image/media/image29471.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} =2sinxcosx+2![](./data/image/media/image29471.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}sin^2^x﹣![](./data/image/media/image29471.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} =sin2x+![](./data/image/media/image29471.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}（1﹣cos2x）﹣![](./data/image/media/image29471.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} =sin2x﹣![](./data/image/media/image29471.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cos2x =2sin（2x﹣![](./data/image/media/image29472.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）， 则函数的周期T=![](./data/image/media/image29473.png){width="0.5708333333333333in" height="0.36527777777777776in"}； （2）由2kπ﹣![](./data/image/media/image29474.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}≤2x﹣![](./data/image/media/image29472.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}≤2kπ+![](./data/image/media/image29475.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z， 得kπ﹣![](./data/image/media/image29476.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}≤x≤kπ+![](./data/image/media/image29477.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z，即函数的增区间为\[kπ﹣![](./data/image/media/image29476.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，kπ+![](./data/image/media/image29477.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}\]，k∈Z， 当k=0时，增区间为\[﹣![](./data/image/media/image29476.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29477.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}\]，k∈Z， ∵x∈\[﹣![](./data/image/media/image29478.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29478.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}\]，∴此时x∈\[﹣![](./data/image/media/image29476.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29479.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}\]， 由2kπ+![](./data/image/media/image19764.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}≤2x﹣![](./data/image/media/image29480.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}≤2kπ+![](./data/image/media/image29481.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z， 得kπ+![](./data/image/media/image29482.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}≤x≤kπ+![](./data/image/media/image29483.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，k∈Z，即函数的减区间为\[kπ+![](./data/image/media/image29482.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，kπ+![](./data/image/media/image29483.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}\]，k∈Z， 当k=﹣1时，减区间为\[﹣![](./data/image/media/image29484.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，﹣![](./data/image/media/image29485.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}\]，k∈Z， ∵x∈\[﹣![](./data/image/media/image29486.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29486.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}\]，∴此时x∈\[﹣![](./data/image/media/image29486.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，﹣![](./data/image/media/image29485.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}\]， 即在区间\[﹣![](./data/image/media/image29486.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29486.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}\]上，函数的减区间为∈\[﹣![](./data/image/media/image29486.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，﹣![](./data/image/media/image29487.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}\]，增区间为\[﹣![](./data/image/media/image29487.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image19308.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}\]． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29488.png){width="1.75in" height="1.7180555555555554in"} 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式，两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键． 16．（13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． （I）设A为事件"选出的2人参加义工活动次数之和为4"，求事件A发生的概率； （ II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望． 【分析】（ I）由相互独立事件的概率计算公式求出事件A发生的概率； （Ⅱ）根据题意知随机变量X的所有可能取值， 计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值． 【解答】解：（ I）由已知得：![](./data/image/media/image29489.png){width="1.4805555555555556in" height="0.5833333333333334in"}， 所以，事件A发生的概率为![](./data/image/media/image29490.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分） （Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） 计算![](./data/image/media/image29491.png){width="1.75in" height="0.5833333333333334in"}，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分） ![](./data/image/media/image29492.png){width="2.154166666666667in" height="0.5833333333333334in"}，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） ![](./data/image/media/image29493.png){width="1.3458333333333334in" height="0.5833333333333334in"}；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分） 所以，随机变量X的分布列为 --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ X 0 1 2 P ![](./data/image/media/image29494.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} ![](./data/image/media/image29495.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} ![](./data/image/media/image29496.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} --- ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 随机变量X的数学期望为 ![](./data/image/media/image29497.png){width="2.295138888888889in" height="0.36527777777777776in"}．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题． 17．（13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2． （1）求证：EG∥平面ADF； （2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值； （3）设H为线段AF上的点，且AH=![](./data/image/media/image29498.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29499.png){width="1.7819444444444446in" height="1.948611111111111in"} 【分析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EG∥FI，利用线面平行的判定定理证明：EG∥平面ADF； （2）建立如图所示的坐标系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值； （3）求出![](./data/image/media/image29500.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（﹣![](./data/image/media/image29501.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}，![](./data/image/media/image29502.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，![](./data/image/media/image385.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI， ∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB， ∵G，I是中点， ∴GI∥BD，GI=![](./data/image/media/image29503.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}BD． ∵O是正方形ABCD的中心， ∴OB=![](./data/image/media/image29503.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}BD． ∴EF∥GI，EF=GI， ∴四边形EFIG是平行四边形， ∴EG∥FI， ∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF， ∴EG∥平面ADF； （2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣![](./data/image/media/image29502.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，0），C（![](./data/image/media/image29502.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，0，0），E（0，﹣![](./data/image/media/image29502.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，2）， F（0，0，2）， 设平面CEF的法向量为![](./data/image/media/image29504.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（x，y，z），则![](./data/image/media/image29505.png){width="0.9361111111111111in" height="0.4486111111111111in"}，取![](./data/image/media/image29506.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（![](./data/image/media/image29507.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，0，1） ∵OC⊥平面OEF， ∴平面OEF的法向量为![](./data/image/media/image29508.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（1，0，0）， ∵\|cos＜![](./data/image/media/image29506.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image29508.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}＞\|=![](./data/image/media/image29509.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} ∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为![](./data/image/media/image29510.png){width="0.8138888888888889in" height="0.4041666666666667in"}=![](./data/image/media/image29511.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}； （3）解：AH=![](./data/image/media/image29512.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}HF，∴![](./data/image/media/image29513.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image29514.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image29515.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（![](./data/image/media/image29516.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}，0，![](./data/image/media/image29517.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）． 设H（a，b，c），则![](./data/image/media/image29513.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（a+![](./data/image/media/image29518.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，b，c）=（![](./data/image/media/image29516.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}，0，![](./data/image/media/image29517.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）． ∴a=﹣![](./data/image/media/image29519.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}，b=0，c=![](./data/image/media/image29520.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![](./data/image/media/image29521.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（﹣![](./data/image/media/image29519.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}，![](./data/image/media/image399.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，![](./data/image/media/image29520.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）， ∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=\|cos＜![](./data/image/media/image29521.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image29522.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}＞\|=![](./data/image/media/image29523.png){width="0.7694444444444445in" height="0.7819444444444444in"}=![](./data/image/media/image29524.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29525.png){width="2.2625in" height="2.448611111111111in"} 【点评】本题考查证明线面平行的判定定理，考查二面角O﹣EF﹣C的正弦值，直线BH和平面CEF所成角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 18．（13分）已知{a~n~}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N^+^，b~n~是a~n~和a~n+1~的等比中项． （1）设c~n~=b~n+1~^2^﹣b~n~^2^，n∈N^+^，求证：数列{c~n~}是等差数列； （2）设a~1~=d，T~n~=![](./data/image/media/image29526.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}（﹣1）^k^b~k~^2^，n∈N^\*^，求证：![](./data/image/media/image29527.png){width="0.4486111111111111in" height="0.48055555555555557in"}＜![](./data/image/media/image29528.png){width="0.3333333333333333in" height="0.42916666666666664in"}． 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质，建立方程关系，根据条件求出数列{c~n~}的通项公式，结合等差数列的定义进行证明即可． （2）求出T~n~=![](./data/image/media/image29526.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}（﹣1）^k^b~k~^2^的表达式，利用裂项法进行求解，结合放缩法进行不等式的证明即可． 【解答】证明：（1）∵{a~n~}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N^+^，b~n~是a~n~和a~n+1~的等比中项． ∴c~n~=b![](./data/image/media/image29529.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}﹣b![](./data/image/media/image29530.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}=a~n+1~a~n+2~﹣a~n~a~n+1~=2da~n+1~， ∴c~n+1~﹣c~n~=2d（a~n+2~﹣a~n+1~）=2d^2^为定值； ∴数列{c~n~}是等差数列； （2）T~n~=![](./data/image/media/image29526.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}（﹣1）^k^b~k~^2^=（﹣b~1~^2^+b~2~^2^）+（﹣b~3~^2^+b~4~^2^）+...+（﹣b~2n﹣1~^2^+b~2n~^2^）=2d（a~2~+a~4~+...+a~2n~）=2d![](./data/image/media/image29531.png){width="0.9875in" height="0.42916666666666664in"} =2d^2^n（n+1）， ∴![](./data/image/media/image29532.png){width="0.4486111111111111in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image29533.png){width="0.3333333333333333in" height="0.42916666666666664in"}![](./data/image/media/image29534.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}![](./data/image/media/image29535.png){width="0.5513888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29533.png){width="0.3333333333333333in" height="0.42916666666666664in"}（1﹣![](./data/image/media/image29536.png){width="0.7180555555555556in" height="0.36527777777777776in"}...+![](./data/image/media/image29537.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image29538.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）=![](./data/image/media/image29539.png){width="0.3333333333333333in" height="0.42916666666666664in"}（1﹣![](./data/image/media/image29538.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）![](./data/image/media/image29540.png){width="0.5194444444444445in" height="0.42916666666666664in"}． 即不等式![](./data/image/media/image29541.png){width="0.4486111111111111in" height="0.48055555555555557in"}![](./data/image/media/image29540.png){width="0.5194444444444445in" height="0.42916666666666664in"}成立． 【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列与不等式的综合，根据等比数列和等差数列的性质分别求出对应的通项公式以及利用裂项法进行求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 19．（14分）设椭圆![](./data/image/media/image29542.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}+![](./data/image/media/image29543.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1（a＞![](./data/image/media/image29544.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}）的右焦点为F，右顶点为A．已知![](./data/image/media/image29545.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image29546.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29547.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，其中O为原点，e为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围． 【分析】（1）由题意画出图形，把\|OF\|、\|OA\|、\|FA\|代入![](./data/image/media/image29548.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image29546.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29547.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求； （2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得![](./data/image/media/image29549.png){width="2.563888888888889in" height="0.26944444444444443in"}，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA≤∠MAO，得到x~0~≥1，转化为关于k的不等式求得k的范围． 【解答】解：（1）由![](./data/image/media/image29550.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image29551.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29552.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，得![](./data/image/media/image29553.png){width="1.5958333333333334in" height="0.7180555555555556in"}， 即![](./data/image/media/image29554.png){width="1.7819444444444446in" height="0.5194444444444445in"}， ∴a\[a^2^﹣（a^2^﹣3）\]=3a（a^2^﹣3），解得a=2． ∴椭圆方程为![](./data/image/media/image29555.png){width="0.7375in" height="0.4361111111111111in"}； （2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0）， 设B（x~1~，y~1~），M（x~0~，k（x~0~﹣2））， ∵∠MOA≤∠MAO， ∴x~0~≥1， 再设H（0，y~H~）， 联立![](./data/image/media/image29556.png){width="0.8458333333333333in" height="0.6791666666666667in"}，得（3+4k^2^）x^2^﹣16k^2^x+16k^2^﹣12=0． △=（﹣16k^2^）^2^﹣4（3+4k^2^）（16k^2^﹣12）=144＞0． 由根与系数的关系得![](./data/image/media/image29557.png){width="1.0833333333333333in" height="0.48055555555555557in"}， ∴![](./data/image/media/image29558.png){width="0.8138888888888889in" height="0.48055555555555557in"}，![](./data/image/media/image29559.png){width="1.5125in" height="0.42916666666666664in"}， MH所在直线方程为![](./data/image/media/image29560.png){width="1.6861111111111111in" height="0.36527777777777776in"}， 令x=0，得![](./data/image/media/image29561.png){width="1.25in" height="0.36527777777777776in"}， ∵BF⊥HF， ∴![](./data/image/media/image29562.png){width="2.563888888888889in" height="0.26944444444444443in"}， 即1﹣x~1~+y~1~y~H~=![](./data/image/media/image29563.png){width="2.6152777777777776in" height="0.48055555555555557in"}， 整理得：![](./data/image/media/image29564.png){width="1.3333333333333333in" height="0.48055555555555557in"}，即8k^2^≥3． ∴![](./data/image/media/image29565.png){width="0.5958333333333333in" height="0.38472222222222224in"}或![](./data/image/media/image29566.png){width="0.5125in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29567.png){width="2.0319444444444446in" height="1.6284722222222223in"} 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了"整体运算"思想方法和"设而不求"的解题思想方法，考查运算能力，是难题． 20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）^3^﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R． （1）求f（x）的单调区间； （2）若f（x）存在极值点x~0~，且f（x~1~）=f（x~0~），其中x~1~≠x~0~，求证：x~1~+2x~0~=3； （3）设a＞0，函数g（x）=\|f（x）\|，求证：g（x）在区间\[0，2\]上的最大值不小于![](./data/image/media/image29568.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间； （2）f′（x~0~）=0，可得3（x~0~﹣1）^2^=a，分别计算f（x~0~），f（3﹣2x~0~），化简整理即可得证； （3）要证g（x）在区间\[0，2\]上的最大值不小于![](./data/image/media/image29568.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，即证在\[0，2\]上存在x~1~，x~2~，使得f（x1）﹣f（x~2~）≥![](./data/image/media/image24682.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}．讨论当a≥3时，当0＜a＜3时，运用单调性和极值，化简整理即可得证． 【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣1）^3^﹣ax﹣b的导数为 f′（x）=3（x﹣1）^2^﹣a， 当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增； 当a＞0时，当x＞1+![](./data/image/media/image29569.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}或x＜1﹣![](./data/image/media/image29569.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}时，f′（x）＞0， 当1﹣![](./data/image/media/image29570.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}＜x＜1+![](./data/image/media/image29570.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，f′（x）＜0， 可得f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣![](./data/image/media/image29570.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}），（1+![](./data/image/media/image29570.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，+∞），减区间为（1﹣![](./data/image/media/image29570.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，1+![](./data/image/media/image29570.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}）； （2）证明：f′（x~0~）=0，可得3（x~0~﹣1）^2^=a， 由f（x~0~）=（x~0~﹣1）^3^﹣3x~0~（x~0~﹣1）^2^﹣b=（x~0~﹣1）^2^（﹣2x~0~﹣1）﹣b， f（3﹣2x~0~）=（2﹣2x~0~）^3^﹣3（3﹣2x~0~）（x~0~﹣1）^2^﹣b =（x~0~﹣1）^2^（8﹣8x~0~﹣9+6x~0~）﹣b=（x~0~﹣1）^2^（﹣2x~0~﹣1）﹣b， 即为f（3﹣2x~0~）=f（x~0~）=f（x~1~）， 即有3﹣2x~0~=x~1~，即为x~1~+2x~0~=3； （3）证明：要证g（x）在区间\[0，2\]上的最大值不小于![](./data/image/media/image29571.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 只需证在\[0，2\]上存在x~1~，x~2~，使得f（x~1~）﹣f（x~2~）≥![](./data/image/media/image29572.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 当a≥3时，f（x）在\[0，2\]递减，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b， f（0）﹣f（2）=2a﹣2≥4＞![](./data/image/media/image29572.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，递减，成立； 当0＜a＜3时，f（1﹣![](./data/image/media/image29573.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}）=（﹣![](./data/image/media/image29573.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}）^3^﹣a（1﹣![](./data/image/media/image29573.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}）﹣b=﹣![](./data/image/media/image29574.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image29573.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}﹣a+a![](./data/image/media/image29575.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}﹣b =![](./data/image/media/image29576.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image29575.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}﹣a﹣b， f（1+![](./data/image/media/image29575.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}）=（![](./data/image/media/image29575.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}）^3^﹣a（1+![](./data/image/media/image29575.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}）﹣b=![](./data/image/media/image29577.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image29575.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}﹣a﹣a![](./data/image/media/image29578.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}﹣b =﹣![](./data/image/media/image29579.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image29578.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}﹣a﹣b， f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b， f（2）﹣f（0）=2﹣2a， 若0＜a≤![](./data/image/media/image29580.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，f（2）﹣f（0）=2﹣2a≥![](./data/image/media/image15782.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}成立； 若a＞![](./data/image/media/image29580.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，f（1﹣![](./data/image/media/image29578.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}）﹣f（1+![](./data/image/media/image29578.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}）=![](./data/image/media/image29581.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image29582.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}＞![](./data/image/media/image15787.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}成立． 综上可得，g（x）在区间\[0，2\]上的最大值不小于![](./data/image/media/image29583.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，考查不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法的证明，以及化简整理的运算能力，属于难题． 2016年天津市高考数学试卷（文科） ================================ **参考答案与试题解析** **一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的** 1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={y\|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（　　） A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3} 【分析】根据题意，将集合B用列举法表示出来，可得B={1，3，5}，由交集的定义计算可得答案． 【解答】解：根据题意，集合A={1，2，3}，而B={y\|y=2x﹣1，x∈A}， 则B={1，3，5}， 则A∩B={1，3}， 故选：A． 【点评】本题考查集合的运算，注意集合B的表示方法． 2．（5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是![](./data/image/media/image29584.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，甲获胜的概率是![](./data/image/media/image29585.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则甲不输的概率为（　　） A．![](./data/image/media/image29586.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image29587.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image29588.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．![](./data/image/media/image29585.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出． 【解答】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件． ∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P=![](./data/image/media/image29589.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image13645.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29590.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：A． 【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题． 3．（5分）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29591.png){width="0.6541666666666667in" height="2.1791666666666667in"} A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29592.png){width="0.6541666666666667in" height="1.0194444444444444in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29593.png){width="0.6472222222222223in" height="1.0125in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29594.png){width="0.6541666666666667in" height="1.0194444444444444in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29595.png){width="0.6472222222222223in" height="1.0125in"} 【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案． 【解答】解：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为D﹣AD~1~C， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29596.png){width="1.8652777777777778in" height="1.9618055555555556in"} 棱CD~1~在左侧面的投影为BA~1~， 故选：B． 【点评】本题考查了棱锥，棱柱的结构特征，三视图，考查空间想象能力，属于基础题． 4．（5分）已知双曲线![](./data/image/media/image29597.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image29598.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（a＞0，b＞0）的焦距为2![](./data/image/media/image29599.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（　　） A．![](./data/image/media/image29600.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}﹣y^2^=1 B．x^2^﹣![](./data/image/media/image29601.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1 C．![](./data/image/media/image29602.png){width="0.3333333333333333in" height="0.42916666666666664in"}﹣![](./data/image/media/image29603.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4361111111111111in"}=1 D．![](./data/image/media/image29604.png){width="0.3333333333333333in" height="0.42916666666666664in"}﹣![](./data/image/media/image29605.png){width="0.3138888888888889in" height="0.4361111111111111in"}=1 【分析】利用双曲线![](./data/image/media/image29606.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image29607.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（a＞0，b＞0）的焦距为2![](./data/image/media/image29608.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，求出几何量a，b，c，即可求出双曲线的方程． 【解答】解：∵双曲线![](./data/image/media/image29609.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image29607.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（a＞0，b＞0）的焦距为2![](./data/image/media/image29608.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， ∴c=![](./data/image/media/image29608.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， ∵双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直， ∴![](./data/image/media/image29610.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image9250.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴a=2b， ∵c^2^=a^2^+b^2^， ∴a=2，b=1， ∴双曲线的方程为![](./data/image/media/image29611.png){width="0.5194444444444445in" height="0.42916666666666664in"}=1． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键． 5．（5分）设x＞0，y∈R，则"x＞y"是"x＞\|y\|"的 （　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】直接根据必要性和充分判断即可． 【解答】解：设x＞0，y∈R，当x＞0，y=﹣1时，满足x＞y但不满足x＞\|y\|，故由x＞0，y∈R，则"x＞y"推不出"x＞\|y\|"， 而"x＞\|y\|"⇒"x＞y"， 故"x＞y"是"x＞\|y\|"的必要不充分条件， 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2^\|a﹣1\|^）＞f（﹣![](./data/image/media/image29612.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}），则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，![](./data/image/media/image29613.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}） B．（﹣∞，![](./data/image/media/image29613.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）∪（![](./data/image/media/image29614.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，+∞） C．（![](./data/image/media/image29613.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29614.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}） D．（![](./data/image/media/image29615.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，+∞） 【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）递减，故只需令2^\|a﹣1\|^＜![](./data/image/media/image29616.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}即可． 【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递减． ∵2^\|a﹣1\|^＞0，f（﹣![](./data/image/media/image29616.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}）=f（![](./data/image/media/image29616.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}）， ∴2^\|a﹣1\|^＜![](./data/image/media/image29616.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}=2![](./data/image/media/image29617.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}． ∴\|a﹣1\|![](./data/image/media/image29618.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}， 解得![](./data/image/media/image29619.png){width="0.7118055555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：C． 【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题． 7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则![](./data/image/media/image29620.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image29621.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}的值为（　　） A．﹣![](./data/image/media/image29622.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image29623.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image29624.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．![](./data/image/media/image29625.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】由题意画出图形，把![](./data/image/media/image29626.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}、![](./data/image/media/image29627.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}都用![](./data/image/media/image29628.png){width="0.5638888888888889in" height="0.23055555555555557in"}表示，然后代入数量积公式得答案． 【解答】解：如图， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29629.png){width="1.4805555555555556in" height="1.8138888888888889in"} ∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF， ∴![](./data/image/media/image29630.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image29631.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image29632.png){width="0.9618055555555556in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image29633.png){width="1.3138888888888889in" height="0.36527777777777776in"} =![](./data/image/media/image29634.png){width="1.3138888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29635.png){width="1.7375in" height="0.36527777777777776in"} =![](./data/image/media/image29636.png){width="1.3138888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29637.png){width="1.2375in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29638.png){width="2.2819444444444446in" height="0.36527777777777776in"} =![](./data/image/media/image29639.png){width="1.5451388888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：C． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题． 8．（5分）已知函数f（x）=sin^2^![](./data/image/media/image29640.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image23283.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}sinωx﹣![](./data/image/media/image23283.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（　　） A．（0，![](./data/image/media/image29641.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\] B．（0，![](./data/image/media/image29642.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\]∪\[![](./data/image/media/image29643.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，1） C．（0，![](./data/image/media/image29644.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\] D．（0，![](./data/image/media/image29645.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\]∪\[![](./data/image/media/image29646.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29644.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\] 【分析】函数f（x）=![](./data/image/media/image29647.png){width="1.25in" height="0.38472222222222224in"}，由f（x）=0，可得![](./data/image/media/image29648.png){width="1.0125in" height="0.36527777777777776in"}=0，解得x=![](./data/image/media/image29649.png){width="0.6027777777777777in" height="0.5638888888888889in"}∉（π，2π），因此ω∉![](./data/image/media/image29650.png){width="0.6666666666666666in" height="0.36527777777777776in"}∪![](./data/image/media/image29651.png){width="0.6666666666666666in" height="0.36527777777777776in"}∪![](./data/image/media/image29652.png){width="0.6666666666666666in" height="0.36527777777777776in"}∪...=![](./data/image/media/image29653.png){width="0.6666666666666666in" height="0.36527777777777776in"}∪![](./data/image/media/image29654.png){width="0.7625in" height="0.36527777777777776in"}，即可得出． 【解答】解：函数f（x）=![](./data/image/media/image29655.png){width="0.6861111111111111in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image18608.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}sinωx﹣![](./data/image/media/image18608.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29656.png){width="0.7180555555555556in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image29657.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}sinωx![](./data/image/media/image29658.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29659.png){width="1.25in" height="0.38472222222222224in"}， 由f（x）=0，可得![](./data/image/media/image29660.png){width="1.0125in" height="0.36527777777777776in"}=0， 解得x=![](./data/image/media/image29661.png){width="0.6027777777777777in" height="0.5638888888888889in"}∉（π，2π）， ∴ω∉![](./data/image/media/image29662.png){width="0.6666666666666666in" height="0.36527777777777776in"}∪![](./data/image/media/image29663.png){width="0.6666666666666666in" height="0.36527777777777776in"}∪![](./data/image/media/image29664.png){width="0.6666666666666666in" height="0.36527777777777776in"}∪...=![](./data/image/media/image29662.png){width="0.6666666666666666in" height="0.36527777777777776in"}∪![](./data/image/media/image29665.png){width="0.7625in" height="0.36527777777777776in"}， ∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点， ∴ω∈![](./data/image/media/image29666.png){width="0.5958333333333333in" height="0.36527777777777776in"}∪![](./data/image/media/image29667.png){width="0.6666666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：D． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． **二、填空题本大题6小题，每题5分，共30分** 9．（5分）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为[　1　]{.underline}． 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由（1+i）z=2， 得![](./data/image/media/image29668.png){width="2.4875in" height="0.36527777777777776in"}， ∴z的实部为1． 故答案为：1． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 10．（5分）已知函数f（x）=（2x+1）e^x^，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为[　3　]{.underline}． 【分析】先求导，再带值计算． 【解答】解：∵f（x）=（2x+1）e^x^， ∴f′（x）=2e^x^+（2x+1）e^x^， ∴f′（0）=2e^0^+（2×0+1）e^0^=2+1=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题． 11．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为[　4　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29669.png){width="1.5in" height="4.2625in"} 【分析】根据循环结构，结合循环的条件，求出最后输出S的值． 【解答】解：第一次循环：S=8，n=2； 第二次循环：S=2，n=3； 第三次循环：S=4，n=4， 结束循环，输出S=4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查程序框图，循环结构，注意循环的条件，属于基础题． 12．（5分）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0，![](./data/image/media/image23225.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}）圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为![](./data/image/media/image29670.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}，则圆C的方程为[　（x﹣2）^2^+y^2^=9　]{.underline}． 【分析】由题意设出圆的方程，把点M的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解． 【解答】解：由题意设圆的方程为（x﹣a）^2^+y^2^=r^2^（a＞0）， 由点M（0，![](./data/image/media/image23225.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}）在圆上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为![](./data/image/media/image29670.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}， 得![](./data/image/media/image29671.png){width="0.9361111111111111in" height="0.6986111111111111in"}，解得a=2，r=3． ∴圆C的方程为：（x﹣2）^2^+y^2^=9． 故答案为：（x﹣2）^2^+y^2^=9． 【点评】本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题． 13．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为[　]{.underline}![](./data/image/media/image29672.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}[　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29673.png){width="1.2819444444444446in" height="1.1666666666666667in"} 【分析】由BD=ED，可得△BDE为等腰三角形，过D作DH⊥AB于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE． 【解答】解：如图， 过D作DH⊥AB于H， ∵BE=2AE=2，BD=ED， ∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1， ∴DH^2^=AH•BH=2，则DH=![](./data/image/media/image29674.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 在Rt△DHE中，则![](./data/image/media/image29675.png){width="1.8458333333333334in" height="0.25in"}， 由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB， ∴![](./data/image/media/image29676.png){width="1.6791666666666667in" height="0.4041666666666667in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image29677.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29678.png){width="1.2819444444444446in" height="1.1666666666666667in"} 【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题． 14．（5分）已知函数f（x）=![](./data/image/media/image29679.png){width="1.7375in" height="0.5319444444444444in"}（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程\|f（x）\|=2﹣![](./data/image/media/image29680.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是[　\[]{.underline}![](./data/image/media/image29681.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}[，]{.underline}![](./data/image/media/image29682.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}[）　]{.underline}． 【分析】由减函数可知f（x）在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出\|f（x）\|和y=2﹣![](./data/image/media/image29683.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}的图象，根据交点个数判断3a与2的大小关系，列出不等式组解出． 【解答】解：∵f（x）是R上的单调递减函数， ∴y=x^2^+（4a﹣3）x+3a在（﹣∞．，0）上单调递减，y=log~a~（x+1）+1在（0，+∞）上单调递减， 且f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f（0）． ∴![](./data/image/media/image29684.png){width="0.7625in" height="0.8527777777777777in"}，解得![](./data/image/media/image29681.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}≤a≤![](./data/image/media/image29685.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 作出y=\|f（x）\|和y=2﹣![](./data/image/media/image29686.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}的函数草图如图所示： 由图象可知\|f（x）\|=2﹣![](./data/image/media/image29687.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}在\[0，+∞）上有且只有一解， ∵\|f（x）\|=2﹣![](./data/image/media/image29686.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}恰有两个不相等的实数解， ∴x^2^+（4a﹣3）x+3a=2﹣![](./data/image/media/image29686.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}在（﹣∞，0）上只有1解， 即x^2^+（4a﹣![](./data/image/media/image29688.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）x+3a﹣2=0在（﹣∞，0）上只有1解， ∴![](./data/image/media/image29689.png){width="1.6472222222222221in" height="0.9875in"}或![](./data/image/media/image29690.png){width="1.7305555555555556in" height="0.6284722222222222in"}， 解得a=![](./data/image/media/image29691.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}或a＜![](./data/image/media/image29692.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 又![](./data/image/media/image29693.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}≤a≤![](./data/image/media/image29694.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，∴![](./data/image/media/image29695.png){width="0.7118055555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为\[![](./data/image/media/image24845.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29696.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29697.png){width="2.6347222222222224in" height="1.9618055555555556in"} 【点评】本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题． **三、解答题：本大题共6小题，80分** 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=![](./data/image/media/image29698.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}bsinA． （1）求B； （2）已知cosA=![](./data/image/media/image29699.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，求sinC的值． 【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB； （2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算． 【解答】解：（1）∵asin2B=![](./data/image/media/image29700.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}bsinA， ∴2sinAsinBcosB=![](./data/image/media/image29700.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}sinBsinA， ∴cosB=![](./data/image/media/image29701.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，∴B=![](./data/image/media/image29702.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． （2）∵cosA=![](./data/image/media/image22640.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，∴sinA=![](./data/image/media/image29703.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}， ∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=![](./data/image/media/image29704.png){width="1.3333333333333333in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image29705.png){width="0.5319444444444444in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题． 16．（13分）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： ----------- --- --- ---- 肥料 原料 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 ----------- --- --- ---- 现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数． （Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （Ⅱ）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润． 【分析】（Ⅰ）设出变量，建立不等式关系，即可作出可行域． （Ⅱ）设出目标函数，利用平移直线法进行求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）由已知x，y满足不等式![](./data/image/media/image29706.png){width="1.0451388888888888in" height="0.9291666666666667in"}，则不等式对应的平面区域为， （Ⅱ）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y，即y=﹣![](./data/image/media/image29707.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}x+![](./data/image/media/image29708.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 平移直线y=﹣![](./data/image/media/image29709.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}x+![](./data/image/media/image29708.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，由图象得当直线经过点M时，直线的截距最大，此时z最大， 由![](./data/image/media/image29710.png){width="0.9618055555555556in" height="0.4166666666666667in"}得![](./data/image/media/image29711.png){width="0.4618055555555556in" height="0.4041666666666667in"}，即M（20，24）， 此时z=40+72=112， 即分别生产甲肥料20车皮，乙肥料24车皮，能够产生最大的利润，最大利润为112万元． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29712.png){width="2.7819444444444446in" height="2.6152777777777776in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件建立约束条件，作出可行域，利用平移法是解决本题的关键． 17．（13分）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=![](./data/image/media/image29713.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，∠BAD=60°，G为BC的中点． （1）求证：FG∥平面BED； （2）求证：平面BED⊥平面AED； （3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29714.png){width="2.436111111111111in" height="1.9805555555555556in"} 【分析】（1）利用中位线定理，和平行公理得到四边形OGEF是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）根据余弦定理求出BD=![](./data/image/media/image29258.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，继而得到BD⊥AD，再根据面面垂直的判定定理即可证明； （3）先判断出直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案． 【解答】证明：（1）BD的中点为O，连接OE，OG，在△BCD中， ∵G是BC的中点， ∴OG∥DC，且OG=![](./data/image/media/image29257.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}DC=1， 又∵EF∥AB，AB∥DC， ∴EF∥OG，且EF=OG， 即四边形OGEF是平行四边形， ∴FG∥OE， ∵FG⊄平面BED，OE⊂平面BED， ∴FG∥平面BED； （2）证明：在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°， 由余弦定理可得BD=![](./data/image/media/image29258.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，仅而∠ADB=90°， 即BD⊥AD， 又∵平面AED⊥平面ABCD， BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD， ∴BD⊥平面AED， ∵BD⊂平面BED， ∴平面BED⊥平面AED． （Ⅲ）∵EF∥AB， ∴直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角， 过点A作AH⊥DE于点H，连接BH， 又平面BED∩平面AED=ED， 由（2）知AH⊥平面BED， ∴直线AB与平面BED所成的角为∠ABH， 在△ADE，AD=1，DE=3，AE=![](./data/image/media/image29715.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，由余弦定理得cos∠ADE=![](./data/image/media/image29716.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴sin∠ADE=![](./data/image/media/image29717.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}， ∴AH=AD•![](./data/image/media/image29718.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}， 在Rt△AHB中，sin∠ABH=![](./data/image/media/image29719.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29720.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}， ∴直线EF与平面BED所成角的正弦值![](./data/image/media/image29720.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29721.png){width="2.436111111111111in" height="1.9805555555555556in"} 【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直，平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题． 18．（13分）已知{a~n~}是等比数列，前n项和为S~n~（n∈N^\*^），且![](./data/image/media/image29722.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}﹣![](./data/image/media/image29723.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image29724.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}，S~6~=63． （1）求{a~n~}的通项公式； （2）若对任意的n∈N^\*^，b~n~是log~2~a~n~和log~2~a~n+1~的等差中项，求数列{（﹣1）^n^b![](./data/image/media/image29725.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}}的前2n项和． 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q，利用求和公式解出a~1~，得出通项公式； （2）利用对数的运算性质求出b~n~，使用分项求和法和平方差公式计算． 【解答】解：（1）设{a~n~}的公比为q，则![](./data/image/media/image29726.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}﹣![](./data/image/media/image29727.png){width="0.3333333333333333in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image29728.png){width="0.4166666666666667in" height="0.48055555555555557in"}，即1﹣![](./data/image/media/image29729.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3784722222222222in"}=![](./data/image/media/image29730.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}， 解得q=2或q=﹣1． 若q=﹣1，则S~6~=0，与S~6~=63矛盾，不符合题意．∴q=2， ∴S~6~=![](./data/image/media/image29731.png){width="0.7951388888888888in" height="0.48055555555555557in"}=63，∴a~1~=1． ∴a~n~=2^n﹣1^． （2）∵b~n~是log~2~a~n~和log~2~a~n+1~的等差中项， ∴b~n~=![](./data/image/media/image29732.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}（log~2~a~n~+log~2~a~n+1~）=![](./data/image/media/image29732.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}（log~2~2^n﹣1^+log~2~2^n^）=n﹣![](./data/image/media/image29732.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． ∴b~n+1~﹣b~n~=1． ∴{b~n~}是以![](./data/image/media/image29732.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}为首项，以1为公差的等差数列． 设{（﹣1）^n^b~n~^2^}的前2n项和为T~n~，则 T~n~=（﹣b~1~^2^+b~2~^2^）+（﹣b~3~^2^+b~4~^2^）+...+（﹣b~2n﹣1~^2^+b~2n~^2^） =b~1~+b~2~+b~3~+b~4~...+b~2n﹣1~+b~2n~ =![](./data/image/media/image29733.png){width="0.8652777777777778in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image29734.png){width="0.9291666666666667in" height="0.5638888888888889in"} =2n^2^． 【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题． 19．（14分）设椭圆![](./data/image/media/image29735.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}+![](./data/image/media/image29736.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1（a＞![](./data/image/media/image29737.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}）的右焦点为F，右顶点为A，已知![](./data/image/media/image29738.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image29739.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29740.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，其中O为原点，e为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率． 【分析】（1）由题意画出图形，把\|OF\|、\|OA\|、\|FA\|代入![](./data/image/media/image29738.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image29739.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29740.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求； （2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得![](./data/image/media/image29741.png){width="2.563888888888889in" height="0.26944444444444443in"}，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA=∠MAO，得到x~0~=1，转化为关于k的等式求得k的值． 【解答】解：（1）由![](./data/image/media/image29742.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image29743.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29744.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}， 得![](./data/image/media/image29745.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4486111111111111in"}+![](./data/image/media/image29746.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29747.png){width="0.7375in" height="0.7180555555555556in"}， 即![](./data/image/media/image29748.png){width="0.7118055555555556in" height="0.5194444444444445in"}=![](./data/image/media/image29749.png){width="0.9805555555555555in" height="0.5194444444444445in"}， ∴a\[a^2^﹣（a^2^﹣3）\]=3a（a^2^﹣3），解得a=2． ∴椭圆方程为![](./data/image/media/image29750.png){width="0.7375in" height="0.4361111111111111in"}； （2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0）， 设B（x~1~，y~1~），M（x~0~，k（x~0~﹣2））， ∵∠MOA=∠MAO， ∴x~0~=1， 再设H（0，y~H~）， 联立![](./data/image/media/image29751.png){width="0.8458333333333333in" height="0.6791666666666667in"}，得（3+4k^2^）x^2^﹣16k^2^x+16k^2^﹣12=0． △=（﹣16k^2^）^2^﹣4（3+4k^2^）（16k^2^﹣12）=144＞0． 由根与系数的关系得![](./data/image/media/image29752.png){width="1.0833333333333333in" height="0.48055555555555557in"}， ∴![](./data/image/media/image29753.png){width="0.8138888888888889in" height="0.48055555555555557in"}，![](./data/image/media/image29754.png){width="1.5125in" height="0.42916666666666664in"}， MH所在直线方程为y﹣k（x~0~﹣2）=﹣![](./data/image/media/image29755.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}（x﹣x~0~）， 令x=0，得y~H~=（k+![](./data/image/media/image29756.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）x~0~﹣2k， ∵BF⊥HF， ∴![](./data/image/media/image29757.png){width="2.563888888888889in" height="0.26944444444444443in"}， 即1﹣x~1~+y~1~y~H~=1﹣![](./data/image/media/image29758.png){width="1.1152777777777778in" height="0.48055555555555557in"}\[（k+![](./data/image/media/image29756.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）x~0~﹣2k\]=0， 整理得：![](./data/image/media/image29759.png){width="1.0638888888888889in" height="0.48055555555555557in"}=1，即8k^2^=3． ∴k=﹣![](./data/image/media/image29760.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}或k=![](./data/image/media/image29760.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了"整体运算"思想方法和"设而不求"的解题思想方法，考查运算能力，是难题． 20．（14分）设函数f（x）=x^3^﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R． （1）求f（x）的单调区间； （2）若f（x）存在极值点x~0~，且f（x~1~）=f（x~0~），其中x~1~≠x~0~，求证：x~1~+2x~0~=0； （3）设a＞0，函数g（x）=\|f（x）\|，求证：g（x）在区间\[﹣1，1\]上的最大值不小于![](./data/image/media/image28266.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间； （2）由条件判断出a＞0，且x~0~≠0，由f′（x~0~）=0求出x~0~，分别代入解析式化简f（x~0~），f（﹣2x~0~），化简整理后可得证； （3）设g（x）在区间\[﹣1，1\]上的最大值M，根据极值点与区间的关系对a分三种情况讨论，运用f（x）单调性和前两问的结论，求出g（x）在区间上的取值范围，利用a的范围化简整理后求出M，再利用不等式的性质证明结论成立． 【解答】解：（1）若f（x）=x^3^﹣ax﹣b，则f′（x）=3x^2^﹣a， 分两种情况讨论： ①、当a≤0时，有f′（x）=3x^2^﹣a≥0恒成立， 此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）， ②、当a＞0时，令f′（x）=3x^2^﹣a=0，解得x=![](./data/image/media/image29761.png){width="0.42916666666666664in" height="0.38472222222222224in"}或x=![](./data/image/media/image29762.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}， 当x＞![](./data/image/media/image29762.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}或x＜﹣![](./data/image/media/image29762.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}时，f′（x）=3x^2^﹣a＞0，f（x）为增函数， 当﹣![](./data/image/media/image29762.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}＜x＜![](./data/image/media/image29763.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}时，f′（x）=3x^2^﹣a＜0，f（x）为减函数， 故f（x）的增区间为（﹣∞，﹣![](./data/image/media/image29763.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}），（![](./data/image/media/image29763.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}，+∞），减区间为（﹣![](./data/image/media/image29763.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}，![](./data/image/media/image29763.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}）； （2）若f（x）存在极值点x~0~，则必有a＞0，且x~0~≠0， 由题意可得，f′（x）=3x^2^﹣a，则x~0~^2^=![](./data/image/media/image29764.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 进而f（x~0~）=x~0~^3^﹣ax~0~﹣b=﹣![](./data/image/media/image29765.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}x~0~﹣b， 又f（﹣2x~0~）=﹣8x~0~^3^+2ax~0~﹣b=﹣![](./data/image/media/image29766.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}x~0~+2ax~0~﹣b=f（x~0~）， 由题意及（Ⅰ）可得：存在唯一的实数x~1~，满足f（x~1~）=f（x~0~），其中x~1~≠x~0~， 则有x~1~=﹣2x~0~，故有x~1~+2x~0~=0； （Ⅲ）设g（x）在区间\[﹣1，1\]上的最大值M，max{x，y}表示x、y两个数的最大值， 下面分三种情况讨论： ①当a≥3时，﹣![](./data/image/media/image29767.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}≤﹣1＜1≤![](./data/image/media/image29767.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}， 由（I）知f（x）在区间\[﹣1，1\]上单调递减， 所以f（x）在区间\[﹣1，1\]上的取值范围是\[f（1），f（﹣1）\]， 因此M=max{\|f（1）\|，\|f（﹣1）\|}=max{\|1﹣a﹣b\|，\|﹣1+a﹣b\|} =max{\|a﹣1+b\|，\|a﹣1﹣b\|}=![](./data/image/media/image29768.png){width="1.0451388888888888in" height="0.4486111111111111in"}， 所以M=a﹣1+\|b\|≥2 ②当![](./data/image/media/image29769.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}a＜3时，![](./data/image/media/image29770.png){width="2.404166666666667in" height="0.38472222222222224in"}![](./data/image/media/image29771.png){width="0.42916666666666664in" height="0.38472222222222224in"}， 由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）≥![](./data/image/media/image29772.png){width="0.8013888888888889in" height="0.38472222222222224in"}=f（![](./data/image/media/image29773.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}），f（1）≤![](./data/image/media/image29774.png){width="0.7180555555555556in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image29775.png){width="0.6986111111111111in" height="0.38472222222222224in"}， 所以f（x）在区间\[﹣1，1\]上的取值范围是\[f（![](./data/image/media/image29776.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}），f（﹣![](./data/image/media/image29776.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}）\]， 因此M=max{\|f（![](./data/image/media/image29776.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}）\|，\|f（﹣![](./data/image/media/image29777.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}）\|}=max{\|![](./data/image/media/image29778.png){width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}\|，\|![](./data/image/media/image29779.png){width="0.6986111111111111in" height="0.36527777777777776in"}\|} =max{\|![](./data/image/media/image29780.png){width="0.6986111111111111in" height="0.36527777777777776in"}\|，\|![](./data/image/media/image29779.png){width="0.6986111111111111in" height="0.36527777777777776in"}\|}=![](./data/image/media/image29781.png){width="0.8652777777777778in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image29782.png){width="1.5833333333333333in" height="0.38472222222222224in"}， ③当0＜a＜![](./data/image/media/image29783.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，![](./data/image/media/image29784.png){width="1.75in" height="0.38472222222222224in"}， 由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）＜![](./data/image/media/image29785.png){width="0.8013888888888889in" height="0.38472222222222224in"}=f（![](./data/image/media/image29786.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}），f（1）＞![](./data/image/media/image29787.png){width="0.7180555555555556in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image29788.png){width="0.6986111111111111in" height="0.38472222222222224in"}， 所以f（x）在区间\[﹣1，1\]上的取值范围是\[f（﹣1），f（1）\]， 因此M=max{\|f（﹣1）\|，\|f（1）\|}=max{\|﹣1+a﹣b\|，\|1﹣a﹣b\|} =max{\|1﹣a+b\|，\|1﹣a﹣b\|}=1﹣a+\|b\|＞![](./data/image/media/image29789.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 综上所述，当a＞0时，g（x）在区间\[﹣1，1\]上的最大值不小于![](./data/image/media/image29789.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法在证明中的应用，以及化简整理、运算能力，属于难题． 2016年江苏省高考数学试卷 ======================== **参考答案与试题解析** **一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）** 1．（5分）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x\|﹣2＜x＜3}，则A∩B=[　{﹣1，2}　]{.underline}． 【分析】根据已知中集合A={﹣1，2，3，6}，B={x\|﹣2＜x＜3}，结合集合交集的定义可得答案． 【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x\|﹣2＜x＜3}， ∴A∩B={﹣1，2}， 故答案为：{﹣1，2} 【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． 2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是[　5　]{.underline}． 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i， 则z的实部是5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线![](./data/image/media/image29790.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}﹣![](./data/image/media/image29791.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1的焦距是[　2]{.underline}![](./data/image/media/image29792.png){width="0.2951388888888889in" height="0.18611111111111112in"}[　]{.underline}． 【分析】确定双曲线的几何量，即可求出双曲线![](./data/image/media/image29790.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}﹣![](./data/image/media/image29791.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1的焦距． 【解答】解：双曲线![](./data/image/media/image29790.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}﹣![](./data/image/media/image29791.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1中，a=![](./data/image/media/image29793.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，b=![](./data/image/media/image29794.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， ∴c=![](./data/image/media/image29795.png){width="0.5958333333333333in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image29796.png){width="0.2951388888888889in" height="0.18611111111111112in"}， ∴双曲线![](./data/image/media/image29797.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}﹣![](./data/image/media/image29798.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1的焦距是2![](./data/image/media/image29796.png){width="0.2951388888888889in" height="0.18611111111111112in"}． 故答案为：2![](./data/image/media/image29796.png){width="0.2951388888888889in" height="0.18611111111111112in"}． 【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础． 4．（5分）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是[　0.1　]{.underline}． 【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差． 【解答】解：∵数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为： ![](./data/image/media/image29799.png){width="0.10277777777777777in" height="0.18611111111111112in"}=![](./data/image/media/image29800.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1， ∴该组数据的方差： S^2^=![](./data/image/media/image29800.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\[（4.7﹣5.1）^2^+（4.8﹣5.1）^2^+（5.1﹣5.1）^2^+（5.4﹣5.1）^2^+（5.5﹣5.1）^2^\]=0.1． 故答案为：0.1． 【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用． 5．（5分）函数y=![](./data/image/media/image29801.png){width="0.7375in" height="0.25in"}的定义域是[　\[﹣3，1\]　]{.underline}． 【分析】根据被开方数不小于0，构造不等式，解得答案． 【解答】解：由3﹣2x﹣x^2^≥0得：x^2^+2x﹣3≤0， 解得：x∈\[﹣3，1\]， 故答案为：\[﹣3，1\] 【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题． 6．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是[　9　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29802.png){width="2.1284722222222223in" height="2.8652777777777776in"} 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7， 当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5 当a=9，b=5时，满足a＞b， 故输出的a值为9， 故答案为：9 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． 7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是[　]{.underline}![](./data/image/media/image29803.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率． 【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次， 基本事件总数为n=6×6=36， 出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10， 出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有： （4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个， ∴出现向上的点数之和小于10的概率： p=1﹣![](./data/image/media/image29804.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image29803.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image29803.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用． 8．（5分）已知{a~n~}是等差数列，S~n~是其前n项和，若a~1~+a~2~^2^=﹣3，S~5~=10，则a~9~的值是[　20　]{.underline}． 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a~9~的值． 【解答】解：∵{a~n~}是等差数列，S~n~是其前n项和，a~1~+a~2~^2^=﹣3，S~5~=10， ∴![](./data/image/media/image29805.png){width="1.3333333333333333in" height="0.7118055555555556in"}， 解得a~1~=﹣4，d=3， ∴a~9~=﹣4+8×3=20． 故答案为：20． 【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 9．（5分）定义在区间\[0，3π\]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是[　7　]{.underline}． 【分析】法1：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间\[0，3π\]上的图象即可得到答案； 法2：由sin2x=cosx，即cosx（2sinx﹣1）=0，可得cosx=0或sinx=![](./data/image/media/image29806.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，结合题意，解之即可． 【解答】解：法1：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间\[0，3π\]上的图象如下：![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29807.png){width="3.75in" height="1.698611111111111in"} 由图可知，共7个交点． 法2：依题意，sin2x=cosx，即cosx（2sinx﹣1）=0，故cosx=0或sinx=![](./data/image/media/image29808.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 因为x∈\[0，3π\]，故x=![](./data/image/media/image29809.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29810.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29811.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29812.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29813.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29814.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29815.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，共7个， 故答案为：7． 【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数y=sin2x与y=cosx在区间\[0，3π\]上的图象是关键，属于中档题． 10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆![](./data/image/media/image29816.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}+![](./data/image/media/image29817.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=![](./data/image/media/image29818.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是[　]{.underline}![](./data/image/media/image29819.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}[　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29820.png){width="2.045138888888889in" height="1.2118055555555556in"} 【分析】设右焦点F（c，0），将y=![](./data/image/media/image29821.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合离心率公式，计算即可得到所求值．方法二、运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，结合离心率公式计算即可得到所求． 【解答】解：设右焦点F（c，0）， 将y=![](./data/image/media/image29821.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}代入椭圆方程可得x=±a![](./data/image/media/image29822.png){width="0.6284722222222222in" height="0.5in"}=±![](./data/image/media/image29823.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}a， 可得B（﹣![](./data/image/media/image29823.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}a，![](./data/image/media/image29821.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}），C（![](./data/image/media/image29823.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}a，![](./data/image/media/image29821.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）， 由∠BFC=90°，可得k~BF~•k~CF~=﹣1， 即有![](./data/image/media/image29824.png){width="0.6472222222222223in" height="0.7819444444444444in"}•![](./data/image/media/image29825.png){width="0.5451388888888888in" height="0.7819444444444444in"}=﹣1， 化简为b^2^=3a^2^﹣4c^2^， 由b^2^=a^2^﹣c^2^，即有3c^2^=2a^2^， 由e=![](./data/image/media/image29826.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，可得e^2^=![](./data/image/media/image29827.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image29828.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 可得e=![](./data/image/media/image29829.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}， 另解：设右焦点F（c，0）， 将y=![](./data/image/media/image29830.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}代入椭圆方程可得x=±a![](./data/image/media/image29831.png){width="0.6284722222222222in" height="0.5in"}=±![](./data/image/media/image29832.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}a， 可得B（﹣![](./data/image/media/image29832.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}a，![](./data/image/media/image29830.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}），C（![](./data/image/media/image29832.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}a，![](./data/image/media/image29833.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）， ![](./data/image/media/image29834.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（﹣![](./data/image/media/image29835.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}a﹣c，![](./data/image/media/image29833.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}），![](./data/image/media/image29836.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（![](./data/image/media/image29835.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}a﹣c，![](./data/image/media/image29833.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）， ![](./data/image/media/image29834.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image29836.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=0，则c^2^﹣![](./data/image/media/image29837.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}a^2^十![](./data/image/media/image29838.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}b^2^=0， 因为b^2^=a^2^﹣c^2^，代入得3c^2^=2a^2^， 由e=![](./data/image/media/image29839.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，可得e^2^=![](./data/image/media/image29840.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image29841.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 可得e=![](./data/image/media/image29842.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image29842.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间\[﹣1，1）上，f（x）=![](./data/image/media/image29843.png){width="1.3652777777777778in" height="0.6284722222222222in"}，其中a∈R，若f（﹣![](./data/image/media/image29844.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）=f（![](./data/image/media/image29845.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}），则f（5a）的值是[　﹣]{.underline}![](./data/image/media/image29846.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【分析】根据已知中函数的周期性，结合f（﹣![](./data/image/media/image29847.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）=f（![](./data/image/media/image29848.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}），可得a值，进而得到f（5a）的值． 【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间\[﹣1，1）上，f（x）=![](./data/image/media/image29849.png){width="1.3652777777777778in" height="0.6284722222222222in"}， ∴f（﹣![](./data/image/media/image29847.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）=f（﹣![](./data/image/media/image29850.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）=﹣![](./data/image/media/image29850.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+a， f（![](./data/image/media/image29848.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）=f（![](./data/image/media/image29850.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）=\|![](./data/image/media/image29846.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image29850.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|=![](./data/image/media/image29851.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， ∴a=![](./data/image/media/image29852.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+![](./data/image/media/image29852.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=﹣![](./data/image/media/image29853.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 故答案为：﹣![](./data/image/media/image29853.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a值，是解答的关键． 12．（5分）已知实数x，y满足![](./data/image/media/image29854.png){width="0.8784722222222222in" height="0.6541666666666667in"}，则x^2^+y^2^的取值范围是[　\[]{.underline}![](./data/image/media/image29855.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}[，13\]　]{.underline}． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域， 设z=x^2^+y^2^，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方， 由图象知A到原点的距离最大， 点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小， 由![](./data/image/media/image29856.png){width="0.7951388888888888in" height="0.4166666666666667in"}得![](./data/image/media/image29857.png){width="0.3784722222222222in" height="0.4041666666666667in"}，即A（2，3），此时z=2^2^+3^2^=4+9=13， 点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d=![](./data/image/media/image29858.png){width="0.6284722222222222in" height="0.4486111111111111in"}=![](./data/image/media/image29859.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}， 则z=d^2^=（![](./data/image/media/image29859.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}）^2^=![](./data/image/media/image29860.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 故z的取值范围是\[![](./data/image/media/image29860.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，13\]， 故答案为：\[![](./data/image/media/image29860.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，13\]． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29861.png){width="1.6347222222222222in" height="1.6152777777777778in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键． 13．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，![](./data/image/media/image29862.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image29863.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=4，![](./data/image/media/image29864.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image29865.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=﹣1，则![](./data/image/media/image29866.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image29867.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}的值是[　]{.underline}![](./data/image/media/image29868.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29869.png){width="1.5451388888888888in" height="1.4291666666666667in"} 【分析】由已知可得![](./data/image/media/image29870.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image29871.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image29872.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image29873.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=﹣![](./data/image/media/image29871.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image29872.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image29874.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image29875.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+3![](./data/image/media/image29876.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image29877.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=﹣![](./data/image/media/image29875.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+3![](./data/image/media/image29876.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image29878.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image29875.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+2![](./data/image/media/image29876.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image29879.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=﹣![](./data/image/media/image29875.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+2![](./data/image/media/image29876.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，结合已知求出![](./data/image/media/image29876.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}^2^=![](./data/image/media/image29880.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29881.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}^2^=![](./data/image/media/image29882.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，可得答案． 【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， ∴![](./data/image/media/image29883.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image29881.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image29884.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image29885.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=﹣![](./data/image/media/image29881.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image29884.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}， ![](./data/image/media/image29886.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image29881.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+3![](./data/image/media/image29887.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image29888.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=﹣![](./data/image/media/image29889.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+3![](./data/image/media/image29887.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}， ∴![](./data/image/media/image29890.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image29891.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image29887.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}^2^﹣![](./data/image/media/image29889.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}^2^=﹣1， ![](./data/image/media/image29892.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image29888.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=9![](./data/image/media/image29887.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}^2^﹣![](./data/image/media/image29893.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}^2^=4， ∴![](./data/image/media/image29894.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}^2^=![](./data/image/media/image29895.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image29893.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}^2^=![](./data/image/media/image29896.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 又∵![](./data/image/media/image29897.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image29893.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+2![](./data/image/media/image29894.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image29898.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=﹣![](./data/image/media/image29893.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+2![](./data/image/media/image29894.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}， ∴![](./data/image/media/image29899.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image29900.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=4![](./data/image/media/image29901.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}^2^﹣![](./data/image/media/image29902.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}^2^=![](./data/image/media/image29903.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 故答案为：![](./data/image/media/image29903.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} 【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档． 14．（5分）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是[　8　]{.underline}． 【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值． 【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC， 可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，① 由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0， 在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC， 又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣![](./data/image/media/image29904.png){width="0.8847222222222222in" height="0.36527777777777776in"}②， 则tanAtanBtanC=﹣![](./data/image/media/image29904.png){width="0.8847222222222222in" height="0.36527777777777776in"}•tanBtanC， 由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣![](./data/image/media/image29905.png){width="1.0833333333333333in" height="0.42916666666666664in"}， 令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0， 由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1， tanAtanBtanC=﹣![](./data/image/media/image29906.png){width="0.3333333333333333in" height="0.42916666666666664in"}=﹣![](./data/image/media/image29907.png){width="0.5in" height="0.6284722222222222in"}， ![](./data/image/media/image29908.png){width="0.46805555555555556in" height="0.42916666666666664in"}=（![](./data/image/media/image29909.png){width="0.3784722222222222in" height="0.36527777777777776in"}）^2^﹣![](./data/image/media/image29910.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，由t＞1得，﹣![](./data/image/media/image29910.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}≤![](./data/image/media/image29911.png){width="0.46805555555555556in" height="0.42916666666666664in"}＜0， 因此tanAtanBtanC的最小值为8， 另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC， sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC， 两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC， ∵﹣tanA=tan（B十C）=![](./data/image/media/image29912.png){width="0.8847222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC， ∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2![](./data/image/media/image29913.png){width="1.2118055555555556in" height="0.18611111111111112in"}， 令tanAtanBtanC=x＞0， 即x≥2![](./data/image/media/image29914.png){width="0.2951388888888889in" height="0.18611111111111112in"}，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8． 当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2， 解得tanB=2+![](./data/image/media/image29915.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，tanC=2﹣![](./data/image/media/image29915.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角． 【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性． **二、解答题（共6小题，满分90分）** 15．（14分）在△ABC中，AC=6，cosB=![](./data/image/media/image29916.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，C=![](./data/image/media/image66.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． （1）求AB的长； （2）求cos（A﹣![](./data/image/media/image29917.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）的值． 【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长； （2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣![](./data/image/media/image29917.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）的值． 【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=![](./data/image/media/image29918.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴sinB=![](./data/image/media/image29919.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∵![](./data/image/media/image29920.png){width="0.8784722222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴AB=![](./data/image/media/image29921.png){width="0.5451388888888888in" height="0.7819444444444444in"}=5![](./data/image/media/image29922.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}； （2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣![](./data/image/media/image29923.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． ∵A为三角形的内角， ∴sinA=![](./data/image/media/image29924.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}， ∴cos（A﹣![](./data/image/media/image29925.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=![](./data/image/media/image29926.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}cosA+![](./data/image/media/image29927.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}sinA=![](./data/image/media/image29928.png){width="0.6541666666666667in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题． 16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B~1~B上，且B~1~D⊥A~1~F，A~1~C~1~⊥A~1~B~1~．求证： （1）直线DE∥平面A~1~C~1~F； （2）平面B~1~DE⊥平面A~1~C~1~F． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29929.png){width="1.5125in" height="1.8458333333333334in"} 【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A~1~C~1~，据此可得直线DE∥平面A~1~C~1~F~1~； （2）通过证明A~1~F⊥DE结合题目已知条件A~1~F⊥B~1~D，进而可得平面B~1~DE⊥平面A~1~C~1~F． 【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AC， ∵ABC﹣A~1~B~1~C~1~为棱柱， ∴AC∥A~1~C~1~， ∴DE∥A~1~C~1~， ∵A~1~C~1~⊂平面A~1~C~1~F，且DE⊄平面A~1~C~1~F， ∴DE∥A~1~C~1~F； （2）∵ABC﹣A~1~B~1~C~1~为直棱柱， ∴AA~1~⊥平面A~1~B~1~C~1~， ∴AA~1~⊥A~1~C~1~， 又∵A~1~C~1~⊥A~1~B~1~，且AA~1~∩A~1~B~1~=A~1~，AA~1~、A~1~B~1~⊂平面AA~1~B~1~B， ∴A~1~C~1~⊥平面AA~1~B~1~B， ∵DE∥A~1~C~1~， ∴DE⊥平面AA~1~B~1~B， 又∵A~1~F⊂平面AA~1~B~1~B， ∴DE⊥A~1~F， 又∵A~1~F⊥B~1~D，DE∩B~1~D=D，且DE、B~1~D⊂平面B~1~DE， ∴A~1~F⊥平面B~1~DE， 又∵A~1~F⊂平面A~1~C~1~F， ∴平面B~1~DE⊥平面A~1~C~1~F． 【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难度不大． 17．（14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P﹣A~1~B~1~C~1~D~1~，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~（如图所示），并要求正四棱柱的高O~1~O是正四棱锥的高PO~1~的4倍． （1）若AB=6m，PO~1~=2m，则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO~1~为多少时，仓库的容积最大？ ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29930.png){width="1.6541666666666666in" height="1.75in"} 【分析】（1）由正四棱柱的高O~1~O是正四棱锥的高PO~1~的4倍，可得PO~1~=2m时，O~1~O=8m，进而可得仓库的容积； （2）设PO~1~=xm，则O~1~O=4xm，A~1~O~1~=![](./data/image/media/image29931.png){width="0.5708333333333333in" height="0.25in"}m，A~1~B~1~=![](./data/image/media/image29932.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}•![](./data/image/media/image29933.png){width="0.5708333333333333in" height="0.25in"}m，代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值． 【解答】解：（1）∵PO~1~=2m，正四棱柱的高O~1~O是正四棱锥的高PO~1~的4倍． ∴O~1~O=8m， ∴仓库的容积V=![](./data/image/media/image29934.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×6^2^×2+6^2^×8=312m^3^， （2）若正四棱锥的侧棱长为6m， 设PO~1~=xm， 则O~1~O=4xm，A~1~O~1~=![](./data/image/media/image29933.png){width="0.5708333333333333in" height="0.25in"}m，A~1~B~1~=![](./data/image/media/image87.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}•![](./data/image/media/image29933.png){width="0.5708333333333333in" height="0.25in"}m， 则仓库的容积V=![](./data/image/media/image29935.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×（![](./data/image/media/image29936.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}•![](./data/image/media/image29937.png){width="0.5708333333333333in" height="0.25in"}）^2^•x+（![](./data/image/media/image29936.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}•![](./data/image/media/image29937.png){width="0.5708333333333333in" height="0.25in"}）^2^•4x=![](./data/image/media/image29938.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}x^3^+312x，（0＜x＜6）， ∴V′=﹣26x^2^+312，（0＜x＜6）， 当0＜x＜2![](./data/image/media/image29939.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}时，V′＞0，V（x）单调递增； 当2![](./data/image/media/image29939.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}＜x＜6时，V′＜0，V（x）单调递减； 故当x=2![](./data/image/media/image29939.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}时，V（x）取最大值； 即当PO~1~=2![](./data/image/media/image29939.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}m时，仓库的容积最大． 【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档． 18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x^2^+y^2^﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）． （1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程； （2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程； （3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得![](./data/image/media/image29940.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image29941.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image29942.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，求实数t的取值范围． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29943.png){width="1.448611111111111in" height="1.4166666666666667in"} 【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）^2^+（y﹣n）^2^=n^2^，n＞0，从而得到\|7﹣n\|=\|n\|+5，由此能求出圆N的标准方程． （2）由题意得OA=2![](./data/image/media/image29944.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，k~OA~=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=![](./data/image/media/image29945.png){width="0.46805555555555556in" height="0.38472222222222224in"}，由此能求出直线l的方程． （3）![](./data/image/media/image29946.png){width="0.48055555555555557in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image29947.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，即\|![](./data/image/media/image29948.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}\|=![](./data/image/media/image29949.png){width="0.9486111111111111in" height="0.25in"}，又\|![](./data/image/media/image29950.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}\|≤10，得t∈\[2﹣2![](./data/image/media/image29951.png){width="0.2951388888888889in" height="0.18611111111111112in"}，2+2![](./data/image/media/image29951.png){width="0.2951388888888889in" height="0.18611111111111112in"}\]，对于任意t∈\[2﹣2![](./data/image/media/image29951.png){width="0.2951388888888889in" height="0.18611111111111112in"}，2+2![](./data/image/media/image29951.png){width="0.2951388888888889in" height="0.18611111111111112in"}\]，欲使![](./data/image/media/image29952.png){width="0.48055555555555557in" height="0.21180555555555555in"}，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为![](./data/image/media/image29953.png){width="0.8784722222222222in" height="0.4486111111111111in"}，由此能求出实数t的取值范围． 【解答】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n）， ∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）^2^+（y﹣n）^2^=n^2^，n＞0， 又圆N与圆M外切，圆M：x^2^+y^2^﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（x﹣6）^2^+（x﹣7）^2^=25， ∴\|7﹣n\|=\|n\|+5，解得n=1， ∴圆N的标准方程为（x﹣6）^2^+（y﹣1）^2^=1． （2）由题意得OA=2![](./data/image/media/image29954.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，k~OA~=2，设l：y=2x+b， 则圆心M到直线l的距离：d=![](./data/image/media/image29955.png){width="0.7180555555555556in" height="0.4486111111111111in"}=![](./data/image/media/image29956.png){width="0.46805555555555556in" height="0.38472222222222224in"}， 则\|BC\|=2![](./data/image/media/image29957.png){width="0.5958333333333333in" height="0.25in"}=2![](./data/image/media/image29958.png){width="0.9618055555555556in" height="0.4486111111111111in"}，BC=2![](./data/image/media/image29959.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，即2![](./data/image/media/image29958.png){width="0.9618055555555556in" height="0.4486111111111111in"}=2![](./data/image/media/image29960.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 解得b=5或b=﹣15， ∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15． （3）设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~）， ∵A（2，4），T（t，0），![](./data/image/media/image29961.png){width="0.7694444444444445in" height="0.21180555555555555in"}， ∴![](./data/image/media/image29962.png){width="0.9486111111111111in" height="0.5194444444444445in"}，① ∵点Q在圆M上，∴（x~2~﹣6）^2^+（y~2~﹣7）^2^=25，② 将①代入②，得（x~1~﹣t﹣4）^2^+（y~1~﹣3）^2^=25， ∴点P（x~1~，y~1~）即在圆M上，又在圆\[x﹣（t+4）\]^2^+（y﹣3）^2^=25上， 从而圆（x﹣6）^2^+（y﹣7）^2^=25与圆\[x﹣（t+4）\]^2^+（y﹣3）^2^=25有公共点， ∴5﹣5≤![](./data/image/media/image29963.png){width="1.6152777777777778in" height="0.25in"}≤5+5． 解得2﹣2![](./data/image/media/image29964.png){width="0.2951388888888889in" height="0.18611111111111112in"}≤t![](./data/image/media/image29965.png){width="0.7305555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， ∴实数t的取值范围是\[2﹣2![](./data/image/media/image29964.png){width="0.2951388888888889in" height="0.18611111111111112in"}，2+2![](./data/image/media/image29964.png){width="0.2951388888888889in" height="0.18611111111111112in"}\]． 【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用． 19．（16分）已知函数f（x）=a^x^+b^x^（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）． （1）设a=2，b=![](./data/image/media/image29966.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． ①求方程f（x）=2的根； ②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值； （2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值． 【分析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可． （2）求出g（x）=f（x）﹣2=a^x^+b^x^﹣2，求出函数的导数，构造函数h（x）=![](./data/image/media/image29967.png){width="0.4361111111111111in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image29968.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，求出g（x）的最小值为：g（x~0~）．①若g（x~0~）＜0，g（x）至少有两个零点，与条件矛盾．②若g（x~0~）＞0，利用函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，推出g（x~0~）=0，然后求解ab=1． 【解答】解：函数f（x）=a^x^+b^x^（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）． （1）设a=2，b=![](./data/image/media/image29966.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． ①方程f（x）=2；即：![](./data/image/media/image29969.png){width="0.5194444444444445in" height="0.42916666666666664in"}=2，可得x=0． ②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，即![](./data/image/media/image29970.png){width="0.6541666666666667in" height="0.42916666666666664in"}≥m（![](./data/image/media/image29969.png){width="0.5194444444444445in" height="0.42916666666666664in"}）﹣6恒成立． 令t=![](./data/image/media/image29969.png){width="0.5194444444444445in" height="0.42916666666666664in"}，t≥2． 不等式化为：t^2^﹣mt+4≥0在t≥2时，恒成立．可得：△≤0或![](./data/image/media/image29971.png){width="0.9875in" height="0.6541666666666667in"} 即：m^2^﹣16≤0或m≤4， ∴m∈（﹣∞，4\]． 实数m的最大值为：4． （2）g（x）=f（x）﹣2=a^x^+b^x^﹣2， g′（x）=a^x^lna+b^x^lnb=a^x^\[![](./data/image/media/image29972.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image29973.png){width="0.4361111111111111in" height="0.36527777777777776in"}\]lnb， 0＜a＜1，b＞1可得![](./data/image/media/image29974.png){width="0.4041666666666667in" height="0.36527777777777776in"}， 令h（x）=![](./data/image/media/image29973.png){width="0.4361111111111111in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image29975.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，则h（x）是递增函数，而，lna＜0，lnb＞0， 因此，x~0~=![](./data/image/media/image29976.png){width="1.0125in" height="0.4875in"}时，h（x~0~）=0， 因此x∈（﹣∞，x~0~）时，h（x）＜0，a^x^lnb＞0，则g′（x）＜0． x∈（x~0~，+∞）时，h（x）＞0，a^x^lnb＞0，则g′（x）＞0， 则g（x）在（﹣∞，x~0~）递减，（x~0~，+∞）递增，因此g（x）的最小值为：g（x~0~）． ①若g（x~0~）＜0，x＜log~a~2时，a^x^＞![](./data/image/media/image29977.png){width="0.5125in" height="0.26944444444444443in"}=2，b^x^＞0，则g（x）＞0， 因此x~1~＜log~a~2，且x~1~＜x~0~时，g（x~1~）＞0，因此g（x）在（x~1~，x~0~）有零点， 则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾． ②若g（x~0~）≥0，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g（x~0~），可得g（x~0~）=0， 由g（0）=a^0^+b^0^﹣2=0， 因此x~0~=0，因此![](./data/image/media/image29978.png){width="1.0125in" height="0.4875in"}=0，﹣![](./data/image/media/image29979.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1． 可得ab=1． 【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力． 20．（16分）记U={1，2，...，100}，对数列{a~n~}（n∈N^\*^）和U的子集T，若T=∅，定义S~T~=0；若T={t~1~，t~2~，...，t~k~}，定义S~T~=![](./data/image/media/image29980.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}+![](./data/image/media/image29981.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}+...+![](./data/image/media/image29982.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}．例如：T={1，3，66}时，S~T~=a~1~+a~3~+a~66~．现设{a~n~}（n∈N^\*^）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S~T~=30． （1）求数列{a~n~}的通项公式； （2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，...，k}，求证：S~T~＜a~k+1~； （3）设C⊆U，D⊆U，S~C~≥S~D~，求证：S~C~+S~C∩D~≥2S~D~． 【分析】（1）根据题意，由S~T~的定义，分析可得S~T~=a~2~+a~4~=a~2~+9a~2~=30，计算可得a~2~=3，进而可得a~1~的值，由等比数列通项公式即可得答案； （2）根据题意，由S~T~的定义，分析可得S~T~≤a~1~+a~2~+...a~k~=1+3+3^2^+...+3^k﹣1^，由等比数列的前n项和公式计算可得证明； （3）设A=∁~C~（C∩D），B=∁~D~（C∩D），则A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明S~C~≥2S~B~，分2种情况进行讨论：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到S~A~≥2S~B~，即可得证明． 【解答】解：（1）等比数列{a~n~}中，a~4~=3a~3~=9a~2~， 当T={2，4}时，S~T~=a~2~+a~4~=a~2~+9a~2~=30， 因此a~2~=3，从而a~1~=![](./data/image/media/image29983.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}=1， 故a~n~=3^n﹣1^， （2）S~T~≤a~1~+a~2~+...a~k~=1+3+3^2^+...+3^k﹣1^=![](./data/image/media/image29984.png){width="0.4166666666666667in" height="0.42916666666666664in"}＜3^k^=a~k+1~， （3）设A=∁~C~（C∩D），B=∁~D~（C∩D），则A∩B=∅， 分析可得S~C~=S~A~+S~C∩D~，S~D~=S~B~+S~C∩D~，则S~C~+S~C∩D~﹣2S~D~=S~A~﹣2S~B~， 因此原命题的等价于证明S~C~≥2S~B~， 由条件S~C~≥S~D~，可得S~A~≥S~B~， ①、若B=∅，则S~B~=0，故S~A~≥2S~B~， ②、若B≠∅，由S~A~≥S~B~可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m， 若m≥l+1，则其与S~A~＜a~i+1~≤a~m~≤S~B~相矛盾， 因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1， S~B~≤a~1~+a~2~+...a~m~=1+3+3^2^+...+3^m﹣1^=![](./data/image/media/image29985.png){width="0.4166666666666667in" height="0.42916666666666664in"}≤![](./data/image/media/image29986.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image29987.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}，即S~A~≥2S~B~， 综上所述，S~A~≥2S~B~， 故S~C~+S~C∩D~≥2S~D~． 【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述． **附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4---1几何证明选讲】** 21．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E为BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image29988.png){width="2.2118055555555554in" height="1.0708333333333333in"} 【分析】依题意，知∠BDC=90°，∠EDC=∠C，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，可得∠ABD=∠C，从而可证得结论． 【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°， 因为E为BC的中点，所以DE=CE=![](./data/image/media/image29989.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}BC， 则：∠EDC=∠C， 由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°， 由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°， 因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C， 所以，∠EDC=∠ABD． 【点评】本题考查三角形的性质应用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，证得∠ABD=∠C是关键，属于中档题． **B.【选修4---2：矩阵与变换】** 22．（10分）已知矩阵A=![](./data/image/media/image29990.png){width="0.5in" height="0.3972222222222222in"}，矩阵B的逆矩阵B^﹣1^=![](./data/image/media/image29991.png){width="0.5513888888888889in" height="0.5958333333333333in"}，求矩阵AB． 【分析】依题意，利用矩阵变换求得B=（B^﹣1^）^﹣1^=![](./data/image/media/image29992.png){width="0.4486111111111111in" height="0.9875in"}=![](./data/image/media/image29993.png){width="0.4486111111111111in" height="0.7951388888888888in"}，再利用矩阵乘法的性质可求得答案． 【解答】解：∵B^﹣1^=![](./data/image/media/image29994.png){width="0.5513888888888889in" height="0.5958333333333333in"}， ∴B=（B^﹣1^）^﹣1^=![](./data/image/media/image29995.png){width="0.4486111111111111in" height="0.9875in"}=![](./data/image/media/image29993.png){width="0.4486111111111111in" height="0.7951388888888888in"}，又A=![](./data/image/media/image29996.png){width="0.5in" height="0.3972222222222222in"}， ∴AB=![](./data/image/media/image29997.png){width="0.5in" height="0.3972222222222222in"}![](./data/image/media/image29998.png){width="0.4486111111111111in" height="0.7951388888888888in"}=![](./data/image/media/image29999.png){width="0.5in" height="0.5958333333333333in"}． 【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题． **C.【选修4---4：坐标系与参数方程】** 23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为![](./data/image/media/image30000.png){width="0.6986111111111111in" height="0.8138888888888889in"}（t为参数），椭圆C的参数方程为![](./data/image/media/image30001.png){width="0.7951388888888888in" height="0.4041666666666667in"}（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长． 【分析】分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程，然后联立方程组，求出直线与椭圆的交点坐标，代入两点间的距离公式求得答案． 【解答】解：由![](./data/image/media/image30002.png){width="0.8652777777777778in" height="0.8138888888888889in"}，由②得![](./data/image/media/image30003.png){width="0.5319444444444444in" height="0.38472222222222224in"}， 代入①并整理得，![](./data/image/media/image30004.png){width="0.9618055555555556in" height="0.1986111111111111in"}． 由![](./data/image/media/image30001.png){width="0.7951388888888888in" height="0.4041666666666667in"}，得![](./data/image/media/image30005.png){width="0.7625in" height="0.6027777777777777in"}， 两式平方相加得![](./data/image/media/image30006.png){width="0.7118055555555556in" height="0.4361111111111111in"}． 联立![](./data/image/media/image30007.png){width="1.0638888888888889in" height="0.6861111111111111in"}，解得![](./data/image/media/image30008.png){width="0.3784722222222222in" height="0.4041666666666667in"}或![](./data/image/media/image30009.png){width="0.7180555555555556in" height="0.8138888888888889in"}． ∴\|AB\|=![](./data/image/media/image30010.png){width="1.9166666666666667in" height="0.4041666666666667in"}． 【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题． 24．设a＞0，\|x﹣1\|＜![](./data/image/media/image30011.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，\|y﹣2\|＜![](./data/image/media/image30011.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，求证：\|2x+y﹣4\|＜a． 【分析】运用绝对值不等式的性质：\|a+b\|≤\|a\|+\|b\|，结合不等式的基本性质，即可得证． 【解答】证明：由a＞0，\|x﹣1\|＜![](./data/image/media/image30011.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，\|y﹣2\|＜![](./data/image/media/image30011.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 可得\|2x+y﹣4\|=\|2（x﹣1）+（y﹣2）\| ≤2\|x﹣1\|+\|y﹣2\|＜![](./data/image/media/image30012.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30013.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=a， 则\|2x+y﹣4\|＜a成立． 【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题． **附加题【必做题】** 25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y^2^=2px（p＞0）． （1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程； （2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q． ①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）； ②求p的取值范围． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30014.png){width="1.4291666666666667in" height="1.5451388888888888in"} 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程． （2）：①设点P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~），通过抛物线方程，求解k~PQ~，通过P，Q关于直线l对称，点的k~PQ~=﹣1，推出![](./data/image/media/image30015.png){width="0.7951388888888888in" height="0.4361111111111111in"}，PQ的中点在直线l上，推出![](./data/image/media/image30016.png){width="0.5194444444444445in" height="0.42916666666666664in"}=2﹣p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）； ②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出![](./data/image/media/image30017.png){width="1.1472222222222221in" height="0.5708333333333333in"}，得到关于y^2^+2py+4p^2^﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围． 【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0）， 即抛物线的焦点坐标（2，0）． ∴![](./data/image/media/image30018.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}， ∴抛物线C：y^2^=8x． （2）证明：①设点P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~），则：![](./data/image/media/image30019.png){width="0.8527777777777777in" height="0.6347222222222222in"}， 即：![](./data/image/media/image30020.png){width="0.7180555555555556in" height="1.0319444444444446in"}，k~PQ~=![](./data/image/media/image30021.png){width="0.7625in" height="0.75in"}=![](./data/image/media/image30022.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4361111111111111in"}， 又∵P，Q关于直线l对称，∴k~PQ~=﹣1，即y~1~+y~2~=﹣2p，∴![](./data/image/media/image30023.png){width="0.7951388888888888in" height="0.4361111111111111in"}， 又PQ的中点在直线l上，∴![](./data/image/media/image30024.png){width="0.5194444444444445in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image30025.png){width="0.7118055555555556in" height="0.4361111111111111in"}=2﹣p， ∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）； ②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）． ∴![](./data/image/media/image30026.png){width="1.8333333333333333in" height="0.7819444444444444in"}，即![](./data/image/media/image30027.png){width="1.3972222222222221in" height="0.5833333333333334in"} ∴![](./data/image/media/image30028.png){width="1.1472222222222221in" height="0.5708333333333333in"}，即关于y^2^+2py+4p^2^﹣4p=0，有两个不相等的实数根， ∴△＞0，（2p）^2^﹣4（4p^2^﹣4p）＞0， ∴p∈![](./data/image/media/image30029.png){width="0.5958333333333333in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． 26．（10分）（1）求7C![](./data/image/media/image30030.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}﹣4C![](./data/image/media/image30031.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}的值； （2）设m，n∈N^\*^，n≥m，求证：（m+1）C![](./data/image/media/image30032.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}+（m+2）C![](./data/image/media/image30033.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}+（m+3）C![](./data/image/media/image30034.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}+...+nC![](./data/image/media/image30035.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}+（n+1）C![](./data/image/media/image30036.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}=（m+1）C![](./data/image/media/image30037.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}． 【分析】（1）由已知直接利用组合公式能求出7![](./data/image/media/image30038.png){width="0.5708333333333333in" height="0.28194444444444444in"}的值． （2）对任意m∈N^\*^，当n=m时，验证等式成立；再假设n=k（k≥m）时命题成立，推导出当n=k+1时，命题也成立，由此利用数学归纳法能证明（m+1）C![](./data/image/media/image30039.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}+（m+2）C![](./data/image/media/image30040.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}+（m+3）C![](./data/image/media/image30041.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}+...+nC![](./data/image/media/image30042.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}+（n+1）C![](./data/image/media/image30043.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}=（m+1）C![](./data/image/media/image30044.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}． 【解答】解：（1）7![](./data/image/media/image30045.png){width="0.5708333333333333in" height="0.28194444444444444in"} =![](./data/image/media/image30046.png){width="0.9041666666666667in" height="0.36527777777777776in"}﹣4×![](./data/image/media/image30047.png){width="0.8847222222222222in" height="0.36527777777777776in"} =7×20﹣4×35=0． 证明：（2）对任意m∈N^\*^， ①当n=m时，左边=（m+1）![](./data/image/media/image30048.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}=m+1， 右边=（m+1）![](./data/image/media/image30049.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}=m+1，等式成立． ②假设n=k（k≥m）时命题成立， 即（m+1）C![](./data/image/media/image30050.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}+（m+2）C![](./data/image/media/image30051.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}+（m+3）C![](./data/image/media/image30052.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}+...+k![](./data/image/media/image30053.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}+（k+1）![](./data/image/media/image30054.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}=（m+1）![](./data/image/media/image30055.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}， 当n=k+1时， 左边=（m+1）![](./data/image/media/image30056.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}+（m+2）![](./data/image/media/image30057.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}+（m+3）![](./data/image/media/image30058.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}+![](./data/image/media/image30059.png){width="0.6861111111111111in" height="0.28194444444444444in"}+（k+1）![](./data/image/media/image30060.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}+（k+2）![](./data/image/media/image30061.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"} =![](./data/image/media/image30062.png){width="1.6152777777777778in" height="0.28194444444444444in"}， 右边=![](./data/image/media/image30063.png){width="0.7694444444444445in" height="0.28194444444444444in"} ∵![](./data/image/media/image30064.png){width="1.6152777777777778in" height="0.28194444444444444in"} =（m+1）\[![](./data/image/media/image30065.png){width="1.2180555555555554in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image30066.png){width="1.051388888888889in" height="0.36527777777777776in"}\] =（m+1）×![](./data/image/media/image30067.png){width="1.2180555555555554in" height="0.36527777777777776in"}\[k+3﹣（k﹣m+1）\] =（k+2）![](./data/image/media/image30068.png){width="0.8847222222222222in" height="0.36527777777777776in"} =（k+2）![](./data/image/media/image30069.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}， ∴![](./data/image/media/image30070.png){width="1.6152777777777778in" height="0.28194444444444444in"}=（m+1）![](./data/image/media/image30071.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}， ∴左边=右边， ∴n=k+1时，命题也成立， ∴m，n∈N^\*^，n≥m，（m+1）C![](./data/image/media/image30072.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}+（m+2）C![](./data/image/media/image30073.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}+（m+3）C![](./data/image/media/image30074.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}+...+nC![](./data/image/media/image30075.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}+（n+1）C![](./data/image/media/image30076.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}=（m+1）C![](./data/image/media/image30077.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28194444444444444in"}． 【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用． 2016年浙江省高考数学试卷（理科） ================================ **参考答案与试题解析** **一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．** 1．（5分）已知集合P={x∈R\|1≤x≤3}，Q={x∈R\|x^2^≥4}，则P∪（∁~R~Q）=（　　） A．\[2，3\] B．（﹣2，3\] C．\[1，2） D．（﹣∞，﹣2\]∪\[1，+∞） 【分析】运用二次不等式的解法，求得集合Q，求得Q的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求． 【解答】解：Q={x∈R\|x^2^≥4}={x∈R\|x≥2或x≤﹣2}， 即有∁~R~Q={x∈R\|﹣2＜x＜2}， 则P∪（∁~R~Q）=（﹣2，3\]． 故选：B． 【点评】本题考查集合的运算，主要是并集和补集的运算，考查不等式的解法，属于基础题． 2．（5分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　） A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 【分析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l． 【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α， ∴m∥β或m⊂β或m与β相交，l⊂β， ∵n⊥β， ∴n⊥l． 故选：C． 【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 3．（5分）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域![](./data/image/media/image30078.png){width="0.8784722222222222in" height="0.6472222222222223in"}中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则\|AB\|=（　　） A．2![](./data/image/media/image24362.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} B．4 C．3![](./data/image/media/image24362.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} D．6 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）， 区域内的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成线段R′Q′，即SAB， 而R′Q′=RQ， 由![](./data/image/media/image30079.png){width="0.7951388888888888in" height="0.4166666666666667in"}得![](./data/image/media/image30080.png){width="0.4618055555555556in" height="0.4041666666666667in"}，即Q（﹣1，1） 由![](./data/image/media/image30081.png){width="0.5451388888888888in" height="0.4041666666666667in"}得![](./data/image/media/image30082.png){width="0.4618055555555556in" height="0.4041666666666667in"}，即R（2，﹣2）， 则\|AB\|=\|QR\|=![](./data/image/media/image30083.png){width="1.3652777777777778in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image30084.png){width="0.3784722222222222in" height="0.18611111111111112in"}=3![](./data/image/media/image498.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30085.png){width="2.904166666666667in" height="2.4805555555555556in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义以及数形结合是解决本题的关键． 4．（5分）命题"∀x∈R，∃n∈N^\*^，使得n≥x^2^"的否定形式是（　　） A．∀x∈R，∃n∈N^\*^，使得n＜x^2^ B．∀x∈R，∀n∈N^\*^，使得n＜x^2^ C．∃x∈R，∃n∈N^\*^，使得n＜x^2^ D．∃x∈R，∀n∈N^\*^，使得n＜x^2^ 【分析】特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，依据规则写出结论即可 【解答】解："∀x∈R，∃n∈N^\*^，使得n≥x^2^"的否定形式是"∃x∈R，∀n∈N^\*^，使得n＜x^2^" 故选：D． 【点评】本题考查命题的否定，解本题的关键是掌握住特称命题的否定是全称命题，书写答案是注意量词的变化． 5．（5分）设函数f（x）=sin^2^x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（　　） A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 【分析】根据三角函数的图象和性质即可判断． 【解答】解：∵设函数f（x）=sin^2^x+bsinx+c， ∴f（x）图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关， 当b=0时，f（x）=sin^2^x+bsinx+c=﹣![](./data/image/media/image30086.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}cos2x+![](./data/image/media/image30086.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+c的最小正周期为T=![](./data/image/media/image30087.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=π， 当b≠0时，f（x）=﹣![](./data/image/media/image30086.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}cos2x+bsinx+![](./data/image/media/image30086.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+c， ∵y=cos2x的最小正周期为π，y=bsinx的最小正周期为2π， ∴f（x）的最小正周期为2π， 故f（x）的最小正周期与b有关， 故选：B． 【点评】本题考查了三角函数的最小正周期，关键掌握三角函数的图象和性质，属于中档题． 6．（5分）如图，点列{A~n~}、{B~n~}分别在某锐角的两边上，且\|A~n~A~n+1~\|=\|A~n+1~A~n+2~\|，A~n~≠A~n+1~，n∈N^\*^，\|B~n~B~n+1~\|=\|B~n+1~B~n+2~\|，B~n~≠B~n+1~，n∈N^\*^，（P≠Q表示点P与Q不重合）若d~n~=\|A~n~B~n~\|，S~n~为△A~n~B~n~B~n+1~的面积，则（　　）![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30088.png){width="2.198611111111111in" height="1.2951388888888888in"} A．{S~n~}是等差数列 B．{S~n~^2^}是等差数列 C．{d~n~}是等差数列 D．{d~n~^2^}是等差数列 【分析】设锐角的顶点为O，再设\|OA~1~\|=a，\|OB~1~\|=c，\|A~n~A~n+1~\|=\|A~n+1~A~n+2~\|=b，\|B~n~B~n+1~\|=\|B~n+1~B~n+2~\|=d，由于a，c不确定，判断C，D不正确，设△A~n~B~n~B~n+1~的底边B~n~B~n+1~上的高为h~n~，运用三角形相似知识，h~n~+h~n+2~=2h~n+1~，由S~n~=![](./data/image/media/image30089.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}d•h~n~，可得S~n~+S~n+2~=2S~n+1~，进而得到数列{S~n~}为等差数列． 【解答】解：设锐角的顶点为O，\|OA~1~\|=a，\|OB~1~\|=c， \|A~n~A~n+1~\|=\|A~n+1~A~n+2~\|=b，\|B~n~B~n+1~\|=\|B~n+1~B~n+2~\|=d， 由于a，c不确定，则{d~n~}不一定是等差数列， {d~n~^2^}不一定是等差数列， 设△A~n~B~n~B~n+1~的底边B~n~B~n+1~上的高为h~n~， 由三角形的相似可得![](./data/image/media/image30090.png){width="0.36527777777777776in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30091.png){width="0.46805555555555556in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30092.png){width="0.7180555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， ![](./data/image/media/image30093.png){width="0.36527777777777776in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30094.png){width="0.46805555555555556in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30095.png){width="0.7180555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 两式相加可得，![](./data/image/media/image30096.png){width="0.6541666666666667in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30097.png){width="0.5513888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=2， 即有h~n~+h~n+2~=2h~n+1~， 由S~n~=![](./data/image/media/image21722.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}d•h~n~，可得S~n~+S~n+2~=2S~n+1~， 即为S~n+2~﹣S~n+1~=S~n+1~﹣S~n~， 则数列{S~n~}为等差数列． 另解：可设△A~1~B~1~B~2~，△A~2~B~2~B~3~，...，A~n~B~n~B~n+1~为直角三角形， 且A~1~B~1~，A~2~B~2~，...，A~n~B~n~为直角边， 即有h~n~+h~n+2~=2h~n+1~， 由S~n~=![](./data/image/media/image21722.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}d•h~n~，可得S~n~+S~n+2~=2S~n+1~， 即为S~n+2~﹣S~n+1~=S~n+1~﹣S~n~， 则数列{S~n~}为等差数列． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30098.png){width="3.3652777777777776in" height="1.301388888888889in"} 【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题． 7．（5分）已知椭圆![](./data/image/media/image30099.png){width="1.5958333333333334in" height="0.48055555555555557in"}与双曲线C~2~：![](./data/image/media/image30100.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}﹣y^2^=1（n＞0）的焦点重合，e~1~，e~2~分别为C~1~，C~2~的离心率，则（　　） A．m＞n且e~1~e~2~＞1 B．m＞n且e~1~e~2~＜1 C．m＜n且e~1~e~2~＞1 D．m＜n且e~1~e~2~＜1 【分析】由题意可得m^2^﹣1=n^2^+1，即m^2^=n^2^+2，由条件可得m＞n，再由离心率公式，即可得到结论． 【解答】解：由题意可得m^2^﹣1=n^2^+1，即m^2^=n^2^+2， 又m＞1，n＞0，则m＞n， 由e~1~^2^•e~2~^2^=![](./data/image/media/image30101.png){width="0.4166666666666667in" height="0.48055555555555557in"}•![](./data/image/media/image30102.png){width="0.4166666666666667in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30103.png){width="0.4166666666666667in" height="0.48055555555555557in"}•![](./data/image/media/image30102.png){width="0.4166666666666667in" height="0.48055555555555557in"} =![](./data/image/media/image30104.png){width="0.7951388888888888in" height="0.48055555555555557in"} =1+![](./data/image/media/image30105.png){width="0.6027777777777777in" height="0.42916666666666664in"}＞1， 则e~1~•e~2~＞1． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线和椭圆的离心率的关系，考查椭圆和双曲线的方程和性质，以及转化思想和运算能力，属于中档题． 8．（5分）已知实数a，b，c．（　　） A．若\|a^2^+b+c\|+\|a+b^2^+c\|≤1，则a^2^+b^2^+c^2^＜100 B．若\|a^2^+b+c\|+\|a^2^+b﹣c\|≤1，则a^2^+b^2^+c^2^＜100 C．若\|a+b+c^2^\|+\|a+b﹣c^2^\|≤1，则a^2^+b^2^+c^2^＜100 D．若\|a^2^+b+c\|+\|a+b^2^﹣c\|≤1，则a^2^+b^2^+c^2^＜100 【分析】本题可根据选项特点对a，b，c设定特定值，采用排除法解答． 【解答】解：A．设a=b=10，c=﹣110，则\|a^2^+b+c\|+\|a+b^2^+c\|=0≤1，a^2^+b^2^+c^2^＞100； B．设a=10，b=﹣100，c=0，则\|a^2^+b+c\|+\|a^2^+b﹣c\|=0≤1，a^2^+b^2^+c^2^＞100； C．设a=100，b=﹣100，c=0，则\|a+b+c^2^\|+\|a+b﹣c^2^\|=0≤1，a^2^+b^2^+c^2^＞100； 故选：D． 【点评】本题主要考查命题的真假判断，由于正面证明比较复杂，故利用特殊值法进行排除是解决本题的关键． **二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．** 9．（4分）若抛物线y^2^=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是[　9　]{.underline}． 【分析】根据抛物线的性质得出M到准线x=﹣1的距离为10，故到y轴的距离为9． 【解答】解：抛物线的准线为x=﹣1， ∵点M到焦点的距离为10， ∴点M到准线x=﹣1的距离为10， ∴点M到y轴的距离为9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题． 10．（6分）已知2cos^2^x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=[　]{.underline}![](./data/image/media/image30106.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}[　]{.underline}，b=[　1　]{.underline}． 【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案． 【解答】解：∵2cos^2^x+sin2x=1+cos2x+sin2x =1+![](./data/image/media/image30106.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}（![](./data/image/media/image30107.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}cos2x+![](./data/image/media/image30107.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}sin2x） =![](./data/image/media/image30106.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}sin（2x+![](./data/image/media/image30108.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）+1， ∴A=![](./data/image/media/image30106.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，b=1， 故答案为：![](./data/image/media/image30106.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}；1． 【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 11．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是[　80　]{.underline}cm^2^，体积是[　40　]{.underline}cm^3^． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30109.png){width="1.6152777777777778in" height="1.948611111111111in"} 【分析】由三视图可得，该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，代入体积公式和面积公式计算即可． 【解答】解：由三视图可得，该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体， 则其表面积为6×2^2^+2×4^2^+4×2×4﹣2×2^2^=80cm^2^， 其体积为2^3^+4×2×4=40， 故答案为：80，40 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力． 12．（6分）已知a＞b＞1，若log~a~b+log~b~a=![](./data/image/media/image30110.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，a^b^=b^a^，则a=[　4　]{.underline}，b=[　2　]{.underline}． 【分析】设t=log~b~a并由条件求出t的范围，代入log~a~b+log~b~a=![](./data/image/media/image30110.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}化简后求出t的值，得到a与b的关系式代入a^b^=b^a^化简后列出方程，求出a、b的值． 【解答】解：设t=log~b~a，由a＞b＞1知t＞1， 代入log~a~b+log~b~a=![](./data/image/media/image30110.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}得![](./data/image/media/image30111.png){width="0.5638888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 即2t^2^﹣5t+2=0，解得t=2或t=![](./data/image/media/image30112.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}（舍去）， 所以log~b~a=2，即a=b^2^， 因为a^b^=b^a^，所以b^2b^=b^a^，则a=2b=b^2^， 解得b=2，a=4， 故答案为：4；2． 【点评】本题考查对数的运算性质，以及换元法在解方程中的应用，属于基础题． 13．（6分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若S~2~=4，a~n+1~=2S~n~+1，n∈N^\*^，则a~1~=[　1　]{.underline}，S~5~=[　121　]{.underline}． 【分析】运用n=1时，a~1~=S~1~，代入条件，结合S~2~=4，解方程可得首项；再由n＞1时，a~n+1~=S~n+1~﹣S~n~，结合条件，计算即可得到所求和． 【解答】解：由n=1时，a~1~=S~1~，可得a~2~=2S~1~+1=2a~1~+1， 又S~2~=4，即a~1~+a~2~=4， 即有3a~1~+1=4，解得a~1~=1； 由a~n+1~=S~n+1~﹣S~n~，可得 S~n+1~=3S~n~+1， 由S~2~=4，可得S~3~=3×4+1=13， S~4~=3×13+1=40， S~5~=3×40+1=121． 故答案为：1，121． 【点评】本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a~1~=S~1~，n＞1时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~，考查运算能力，属于中档题． 14．（4分）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是[　]{.underline}![](./data/image/media/image30113.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30114.png){width="2.1347222222222224in" height="1.0319444444444446in"} 【分析】由题意，△ABD≌△PBD，可以理解为△PBD是由△ABD绕着BD旋转得到的，对于每段固定的AD，底面积BCD为定值，要使得体积最大，△PBD必定垂直于平面ABC，此时高最大，体积也最大． 【解答】解：如图，M是AC的中点． ①当AD=t＜AM=![](./data/image/media/image30115.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE，![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30116.png){width="2.0319444444444446in" height="1.0958333333333334in"} DM=![](./data/image/media/image30117.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}﹣t，由△ADE∽△BDM，可得![](./data/image/media/image30118.png){width="1.2625in" height="0.46805555555555556in"}，∴h=![](./data/image/media/image30119.png){width="1.0194444444444444in" height="0.46805555555555556in"}， V=![](./data/image/media/image30120.png){width="1.3784722222222223in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image30121.png){width="1.0194444444444444in" height="0.46805555555555556in"}=![](./data/image/media/image30122.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image30123.png){width="1.0194444444444444in" height="0.5451388888888888in"}，t∈（0，![](./data/image/media/image30124.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}） ②当AD=t＞AM=![](./data/image/media/image30124.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30125.png){width="2.0125in" height="0.8458333333333333in"} DM=t﹣![](./data/image/media/image30124.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，由等面积，可得![](./data/image/media/image30126.png){width="1.3972222222222221in" height="0.36527777777777776in"}，∴![](./data/image/media/image30127.png){width="1.6791666666666667in" height="0.36527777777777776in"}， ∴h=![](./data/image/media/image30128.png){width="1.0194444444444444in" height="0.46805555555555556in"}， ∴V=![](./data/image/media/image30129.png){width="1.3784722222222223in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image30130.png){width="1.0194444444444444in" height="0.46805555555555556in"}=![](./data/image/media/image30131.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image30132.png){width="1.0194444444444444in" height="0.5451388888888888in"}，t∈（![](./data/image/media/image30133.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，2![](./data/image/media/image30133.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}） 综上所述，V=![](./data/image/media/image30134.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image30132.png){width="1.0194444444444444in" height="0.5451388888888888in"}，t∈（0，2![](./data/image/media/image30133.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}） 令m=![](./data/image/media/image30135.png){width="0.9875in" height="0.26944444444444443in"}∈\[1，2），则V=![](./data/image/media/image30136.png){width="0.6541666666666667in" height="0.42916666666666664in"}，∴m=1时，V~max~=![](./data/image/media/image30137.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image30137.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查体积最大值的计算，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学思想，对思维能力和解题技巧有一定要求，难度大． 15．（4分）已知向量![](./data/image/media/image30138.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image30139.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，\|![](./data/image/media/image30138.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=1，\|![](./data/image/media/image30139.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=2，若对任意单位向量![](./data/image/media/image30140.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，均有\|![](./data/image/media/image30138.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30140.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|+\|![](./data/image/media/image30141.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30142.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|≤![](./data/image/media/image30143.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，则![](./data/image/media/image30144.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30141.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}的最大值是[　]{.underline}![](./data/image/media/image30145.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【分析】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论． 【解答】解：由绝对值不等式得![](./data/image/media/image30143.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}≥\|![](./data/image/media/image30144.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30146.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|+\|![](./data/image/media/image19395.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30146.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|≥\|![](./data/image/media/image19394.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30146.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image19395.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30146.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=\|（![](./data/image/media/image19394.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30147.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}）•![](./data/image/media/image30148.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|， 于是对任意的单位向量![](./data/image/media/image30148.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，均有\|（![](./data/image/media/image30149.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30147.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}）•![](./data/image/media/image30148.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|≤![](./data/image/media/image30150.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， ∵\|（![](./data/image/media/image16067.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image16066.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}）\|^2^=\|![](./data/image/media/image16067.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^+\|![](./data/image/media/image16066.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^+2![](./data/image/media/image16067.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image16066.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=5+2![](./data/image/media/image16067.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30151.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}， ∴\|（![](./data/image/media/image30152.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30151.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}）\|=![](./data/image/media/image30153.png){width="0.6861111111111111in" height="0.23055555555555557in"}， 因此\|（![](./data/image/media/image30152.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30151.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}）•![](./data/image/media/image30154.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|的最大值![](./data/image/media/image30155.png){width="0.6861111111111111in" height="0.23055555555555557in"}≤![](./data/image/media/image24475.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 则![](./data/image/media/image30156.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30157.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}≤![](./data/image/media/image30158.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 下面证明：![](./data/image/media/image30156.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30159.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}可以取得![](./data/image/media/image30160.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， （1）若\|![](./data/image/media/image30161.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30162.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|+\|![](./data/image/media/image30159.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30162.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=\|![](./data/image/media/image30161.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30162.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30163.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30164.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|，则显然满足条件． （2）若\|![](./data/image/media/image30165.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30164.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|+\|![](./data/image/media/image30163.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30164.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=\|![](./data/image/media/image30165.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30166.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}﹣![](./data/image/media/image30167.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30166.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|，此时\|![](./data/image/media/image30168.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}﹣![](./data/image/media/image30167.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^=\|![](./data/image/media/image30168.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^+\|![](./data/image/media/image30167.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^﹣2![](./data/image/media/image30168.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30169.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=5﹣1=4， 此时\|![](./data/image/media/image30170.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}﹣![](./data/image/media/image30169.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=2于是\|![](./data/image/media/image30170.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30171.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|+\|![](./data/image/media/image30169.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30171.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=\|![](./data/image/media/image30170.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30172.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}﹣![](./data/image/media/image30173.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30172.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|≤2，符合题意， 综上![](./data/image/media/image30174.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30173.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}的最大值是![](./data/image/media/image18884.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 法2：由于任意单位向量![](./data/image/media/image30172.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，可设![](./data/image/media/image30172.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30175.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4486111111111111in"}， 则\|![](./data/image/media/image30176.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30177.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|+\|![](./data/image/media/image30178.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30177.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=\|![](./data/image/media/image30179.png){width="0.7375in" height="0.4486111111111111in"}\|+\|![](./data/image/media/image30180.png){width="0.7375in" height="0.4486111111111111in"}\|≥\|\|![](./data/image/media/image30181.png){width="0.7375in" height="0.4486111111111111in"}+![](./data/image/media/image30180.png){width="0.7375in" height="0.4486111111111111in"}\|=\|![](./data/image/media/image30182.png){width="1.1347222222222222in" height="0.4486111111111111in"}\|=\|![](./data/image/media/image30183.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30184.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|， ∵\|![](./data/image/media/image30185.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30186.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|+\|![](./data/image/media/image30184.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30186.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|≤![](./data/image/media/image30187.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，∴\|![](./data/image/media/image30185.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30188.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|≤![](./data/image/media/image30189.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 即（![](./data/image/media/image30190.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30188.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}）^2^≤6， 即\|![](./data/image/media/image30190.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^+\|![](./data/image/media/image30188.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^+2![](./data/image/media/image30190.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30188.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}≤6， ∵\|![](./data/image/media/image30191.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=1，\|![](./data/image/media/image30192.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=2， ∴![](./data/image/media/image30191.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30192.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}≤![](./data/image/media/image228.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 即![](./data/image/media/image30191.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30192.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}的最大值是![](./data/image/media/image10237.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 法三：设![](./data/image/media/image21496.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30193.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image21497.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30194.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image30195.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30196.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}， 则![](./data/image/media/image30197.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30198.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30199.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image30200.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30198.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}﹣![](./data/image/media/image30199.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}， \|![](./data/image/media/image30201.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30202.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|+\|![](./data/image/media/image30203.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30202.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=\|![](./data/image/media/image30204.png){width="0.3013888888888889in" height="0.26944444444444443in"}\|+\|![](./data/image/media/image30205.png){width="0.38472222222222224in" height="0.26944444444444443in"}\|=\|![](./data/image/media/image30206.png){width="0.3013888888888889in" height="0.26944444444444443in"}\|≤\|![](./data/image/media/image30207.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}\|， 由题设当且仅当![](./data/image/media/image30208.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}与![](./data/image/media/image30207.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}同向时，等号成立，此时（![](./data/image/media/image30209.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30210.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}）^2^取得最大值6， 由于\|![](./data/image/media/image30209.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30211.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^+\|![](./data/image/media/image30212.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}﹣![](./data/image/media/image30211.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|）^2^=2（\|![](./data/image/media/image30212.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^+\|![](./data/image/media/image30211.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^）=10， 于是（![](./data/image/media/image30212.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}﹣![](./data/image/media/image30213.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}）^2^取得最小值4， 则![](./data/image/media/image30214.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30213.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30215.png){width="1.3333333333333333in" height="0.42916666666666664in"}![](./data/image/media/image30216.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}， ![](./data/image/media/image30214.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30213.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}的最大值是![](./data/image/media/image30217.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image30217.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30218.png){width="1.9805555555555556in" height="1.8138888888888889in"} 【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． **三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．** 16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB． （Ⅰ）证明：A=2B； （Ⅱ）若△ABC的面积S=![](./data/image/media/image30219.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}，求角A的大小． 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A=2B （Ⅱ）若△ABC的面积S=![](./data/image/media/image30219.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}，则![](./data/image/media/image19420.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}bcsinA=![](./data/image/media/image30219.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小． 【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB， ∴sinB+sinC=2sinAcosB， ∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB ∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB ∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B） ∵A，B是三角形中的角， ∴B=A﹣B， ∴A=2B； （Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=![](./data/image/media/image30219.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}， ∴![](./data/image/media/image19420.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}bcsinA=![](./data/image/media/image30220.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}， ∴2bcsinA=a^2^， ∴2sinBsinC=sinA=sin2B， ∴sinC=cosB， ∴B+C=90°，或C=B+90°， ∴A=90°或A=45°． 【点评】本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题． 17．（15分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3， （Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD； （Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30221.png){width="1.6027777777777779in" height="0.9680555555555556in"} 【分析】（I）先证明BF⊥AC，再证明BF⊥CK，进而得到BF⊥平面ACFD． （II）方法一：先找二面角B﹣AD﹣F的平面角，再在Rt△BQF中计算，即可得出； 方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面ACK与平面ABK的法向量，进而可得二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值． 【解答】（I）证明：延长AD，BE，CF相交于点K，如图所示，∵平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°， ∴AC⊥平面BCK，∴BF⊥AC． 又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK， ∴BF⊥平面ACFD． （II）方法一：过点F作FQ⊥AK，连接BQ，∵BF⊥平面ACFD．∴BF⊥AK，则AK⊥平面BQF， ∴BQ⊥AK．∴∠BQF是二面角B﹣AD﹣F的平面角． 在Rt△ACK中，AC=3，CK=2，可得FQ=![](./data/image/media/image30222.png){width="0.42916666666666664in" height="0.38472222222222224in"}． 在Rt△BQF中，BF=![](./data/image/media/image30223.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，FQ=![](./data/image/media/image30222.png){width="0.42916666666666664in" height="0.38472222222222224in"}．可得：cos∠BQF=![](./data/image/media/image30224.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． ∴二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值为![](./data/image/media/image30225.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． 方法二：如图，延长AD，BE，CF相交于点K，则△BCK为等边三角形， 取BC的中点，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，∴KO⊥平面BAC， 以点O为原点，分别以OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz． 可得：B（1，0，0），C（﹣1，0，0），K（0，0，![](./data/image/media/image30226.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}），A（﹣1，﹣3，0），![](./data/image/media/image30227.png){width="1.1027777777777779in" height="0.38472222222222224in"}，![](./data/image/media/image30228.png){width="1.1861111111111111in" height="0.38472222222222224in"}． ![](./data/image/media/image30229.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（0，3，0），![](./data/image/media/image30230.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30231.png){width="0.9166666666666666in" height="0.21180555555555555in"}， ![](./data/image/media/image30232.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（2，3，0）． 设平面ACK的法向量为![](./data/image/media/image30233.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（x~1~，y~1~，z~1~），平面ABK的法向量为![](./data/image/media/image30234.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（x~2~，y~2~，z~2~），由![](./data/image/media/image30235.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}，可得![](./data/image/media/image30236.png){width="1.3784722222222223in" height="0.5319444444444444in"}， 取![](./data/image/media/image30237.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30238.png){width="1.0in" height="0.21180555555555555in"}． 由![](./data/image/media/image30239.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}，可得![](./data/image/media/image30240.png){width="1.3784722222222223in" height="0.5319444444444444in"}，取![](./data/image/media/image30241.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30242.png){width="1.0in" height="0.21180555555555555in"}． ∴![](./data/image/media/image30243.png){width="1.0194444444444444in" height="0.23055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30244.png){width="0.6347222222222222in" height="0.4486111111111111in"}=![](./data/image/media/image30245.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． ∴二面角B﹣AD﹣F的余弦值为![](./data/image/media/image30246.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30247.png){width="1.8208333333333333in" height="1.8208333333333333in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30248.png){width="1.6027777777777779in" height="1.3208333333333333in"} 【点评】本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题． 18．（15分）已知a≥3，函数F（x）=min{2\|x﹣1\|，x^2^﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）=![](./data/image/media/image30249.png){width="0.7118055555555556in" height="0.46805555555555556in"} （Ⅰ）求使得等式F（x）=x^2^﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围 （Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a） （ii）求F（x）在\[0，6\]上的最大值M（a） 【分析】（Ⅰ）由a≥3，讨论x≤1时，x＞1，去掉绝对值，化简x^2^﹣2ax+4a﹣2﹣2\|x﹣1\|，判断符号，即可得到F（x）=x^2^﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围； （Ⅱ）（i）设f（x）=2\|x﹣1\|，g（x）=x^2^﹣2ax+4a﹣2，求得f（x）和g（x）的最小值，再由新定义，可得F（x）的最小值； （ii）分别对当0≤x≤2时，当2＜x≤6时，讨论F（x）的最大值，即可得到F（x）在\[0，6\]上的最大值M（a）． 【解答】解：（Ⅰ）由a≥3，故x≤1时， x^2^﹣2ax+4a﹣2﹣2\|x﹣1\|=x^2^+2（a﹣1）（2﹣x）＞0； 当x＞1时，x^2^﹣2ax+4a﹣2﹣2\|x﹣1\|=x^2^﹣（2+2a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a）， 则等式F（x）=x^2^﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围是\[2，2a\]； （Ⅱ）（i）设f（x）=2\|x﹣1\|，g（x）=x^2^﹣2ax+4a﹣2， 则f（x）~min~=f（1）=0，g（x）~min~=g（a）=﹣a^2^+4a﹣2． 由﹣a^2^+4a﹣2=0，解得a~1~=2+![](./data/image/media/image30250.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，a~2~=2﹣![](./data/image/media/image30250.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}（负的舍去）， 由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}， 即m（a）=![](./data/image/media/image30251.png){width="1.6347222222222222in" height="0.5125in"}； （ii）当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）； 当2＜x≤6时，f（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）} =max{2，34﹣8a}=max{f（2），f（6）}． 则M（a）=![](./data/image/media/image30252.png){width="1.2951388888888888in" height="0.4486111111111111in"}． 【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 19．（15分）如图，设椭圆C：![](./data/image/media/image30253.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}+y^2^=1（a＞1） （Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示） （Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30254.png){width="2.0833333333333335in" height="1.4618055555555556in"} 【分析】（Ⅰ）联立直线y=kx+1与椭圆方程，利用弦长公式求解即可． （Ⅱ）写出圆的方程，假设圆A与椭圆有4个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意一A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，a的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：![](./data/image/media/image30255.png){width="0.8138888888888889in" height="0.7180555555555556in"}，可得：（1+a^2^k^2^）x^2^+2ka^2^x=0， 得x~1~=0或x~2~=![](./data/image/media/image30256.png){width="0.6027777777777777in" height="0.48055555555555557in"}， 直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为：![](./data/image/media/image30257.png){width="1.1861111111111111in" height="0.28194444444444444in"}=![](./data/image/media/image30258.png){width="1.0958333333333334in" height="0.48055555555555557in"}． （Ⅱ）假设圆A与椭圆有4个公共点，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足\|AP\|=\|AQ\|， 记直线AP，AQ的斜率分别为：k~1~，k~2~；且k~1~，k~2~＞0，k~1~≠k~2~，由（1）可知\|AP\|=![](./data/image/media/image30259.png){width="1.301388888888889in" height="0.6027777777777777in"}， \|AQ\|=![](./data/image/media/image30260.png){width="1.301388888888889in" height="0.6027777777777777in"}， 故：![](./data/image/media/image30259.png){width="1.301388888888889in" height="0.6027777777777777in"}=![](./data/image/media/image30261.png){width="1.301388888888889in" height="0.6027777777777777in"}， 所以，（k~1~^2^﹣k~2~^2^）\[1+k~1~^2^+k~2~^2^+a^2^（2﹣a^2^）k~1~^2^k~2~^2^\]=0，由k~1~≠k~2~， k~1~，k~2~＞0，可得：1+k~1~^2^+k~2~^2^+a^2^（2﹣a^2^）k~1~^2^k~2~^2^=0， 因此![](./data/image/media/image30262.png){width="1.6027777777777779in" height="0.48055555555555557in"}a^2^（a^2^﹣2）①， 因为①式关于k~1~，k~2~的方程有解的充要条件是：1+a^2^（a^2^﹣2）＞1， 所以a＞![](./data/image/media/image19054.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． 因此，任意点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为：1＜a≤![](./data/image/media/image19054.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， e=![](./data/image/media/image22240.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image30263.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4486111111111111in"}得，所求离心率的取值范围是：![](./data/image/media/image30264.png){width="0.7625in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想以及计算能力． 20．（15分）设数列满足\|a~n~﹣![](./data/image/media/image30265.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42916666666666664in"}\|≤1，n∈N^\*^． （Ⅰ）求证：\|a~n~\|≥2^n﹣1^（\|a~1~\|﹣2）（n∈N^\*^） （Ⅱ）若\|a~n~\|≤（![](./data/image/media/image30266.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）^n^，n∈N^\*^，证明：\|a~n~\|≤2，n∈N^\*^． 【分析】（I）使用三角不等式得出\|a~n~\|﹣![](./data/image/media/image21577.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|a~n+1~\|≤1，变形得![](./data/image/media/image30267.png){width="0.4361111111111111in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image30268.png){width="0.5708333333333333in" height="0.48055555555555557in"}≤![](./data/image/media/image30269.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}，使用累加法可求得![](./data/image/media/image30270.png){width="0.9680555555555556in" height="0.48055555555555557in"}＜1，即结论成立； （II）利用（I）的结论得出![](./data/image/media/image30271.png){width="0.4361111111111111in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image30272.png){width="0.4361111111111111in" height="0.48055555555555557in"}＜![](./data/image/media/image30273.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42916666666666664in"}，进而得出\|a~n~\|＜2+（![](./data/image/media/image18991.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）^m^•2^n^，利用m的任意性可证\|a~n~\|≤2． 【解答】解：（I）∵\|a~n~﹣![](./data/image/media/image30274.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42916666666666664in"}\|≤1，∴\|a~n~\|﹣![](./data/image/media/image19415.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|a~n+1~\|≤1， ∴![](./data/image/media/image30275.png){width="0.4361111111111111in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image30276.png){width="0.5708333333333333in" height="0.48055555555555557in"}≤![](./data/image/media/image30277.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}，n∈N^\*^， ∴![](./data/image/media/image30278.png){width="0.9680555555555556in" height="0.48055555555555557in"}=（![](./data/image/media/image30279.png){width="0.4361111111111111in" height="0.42916666666666664in"}﹣![](./data/image/media/image30280.png){width="0.4361111111111111in" height="0.48055555555555557in"}）+（![](./data/image/media/image30280.png){width="0.4361111111111111in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image30281.png){width="0.4361111111111111in" height="0.48055555555555557in"}）+...+（![](./data/image/media/image30282.png){width="0.5708333333333333in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image30283.png){width="0.4361111111111111in" height="0.48055555555555557in"}）≤![](./data/image/media/image30284.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30285.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}+![](./data/image/media/image30286.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}+...+![](./data/image/media/image30287.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image30288.png){width="0.9041666666666667in" height="0.8208333333333333in"}=1﹣![](./data/image/media/image30287.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42916666666666664in"}＜1． ∴\|a~n~\|≥2^n﹣1^（\|a~1~\|﹣2）（n∈N^\*^）． （II）任取n∈N^\*^，由（I）知，对于任意m＞n， ![](./data/image/media/image30289.png){width="0.4361111111111111in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image30290.png){width="0.4361111111111111in" height="0.48055555555555557in"}=（![](./data/image/media/image30291.png){width="0.4361111111111111in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image30292.png){width="0.5708333333333333in" height="0.48055555555555557in"}）+（![](./data/image/media/image30292.png){width="0.5708333333333333in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image30293.png){width="0.5708333333333333in" height="0.48055555555555557in"}）+...+（![](./data/image/media/image30294.png){width="0.5708333333333333in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image30295.png){width="0.4361111111111111in" height="0.48055555555555557in"}） ≤![](./data/image/media/image30296.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}+![](./data/image/media/image30297.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42916666666666664in"}+...+![](./data/image/media/image30298.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image30299.png){width="1.1284722222222223in" height="0.8208333333333333in"}＜![](./data/image/media/image30300.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42916666666666664in"}． ∴\|a~n~\|＜（![](./data/image/media/image30301.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42916666666666664in"}+![](./data/image/media/image30302.png){width="0.4361111111111111in" height="0.48055555555555557in"}）•2^n^≤\[![](./data/image/media/image30301.png){width="0.36527777777777776in" height="0.42916666666666664in"}+![](./data/image/media/image30303.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}•（![](./data/image/media/image30304.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）^m^\]•2^n^=2+（![](./data/image/media/image30305.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）^m^•2^n^．① 由m的任意性可知\|a~n~\|≤2． 否则，存在n~0~∈N^\*^，使得\|a![](./data/image/media/image30306.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}\|＞2， 取正整数m~0~＞log![](./data/image/media/image30307.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}![](./data/image/media/image30308.png){width="0.6791666666666667in" height="0.5513888888888889in"}且m~0~＞n~0~，则 2![](./data/image/media/image30309.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}•（![](./data/image/media/image29837.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）![](./data/image/media/image30310.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}＜2![](./data/image/media/image30311.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}•（![](./data/image/media/image30312.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）![](./data/image/media/image30313.png){width="1.0194444444444444in" height="0.5513888888888889in"}=\|a![](./data/image/media/image30314.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2625in"}\|﹣2，与①式矛盾． 综上，对于任意n∈N^\*^，都有\|a~n~\|≤2． 【点评】本题考查了不等式的应用与证明，等比数列的求和公式，放缩法证明不等式，难度较大． 2016年浙江省高考数学试卷（文科） ================================ **参考答案与试题解析** **一、选择题** 1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁~U~P）∪Q=（　　） A．{1} B．{3，5} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5} 【分析】先求出∁~U~P，再得出（∁~U~P）∪Q． 【解答】解：∁~U~P={2，4，6}， （∁~U~P）∪Q={2，4，6}∪{1，2，4}={1，2，4，6}． 故选：C． 【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题． 2．（5分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　） A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 【分析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l． 【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α， ∴m∥β或m⊂β或m与β相交，l⊂β， ∵n⊥β， ∴n⊥l． 故选：C． 【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 3．（5分）函数y=sinx^2^的图象是（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30315.png){width="1.2375in" height="1.0833333333333333in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30316.png){width="1.2180555555555554in" height="1.0708333333333333in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30317.png){width="1.2375in" height="1.0708333333333333in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30318.png){width="1.2375in" height="1.0833333333333333in"} 【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可． 【解答】解：∵sin（﹣x）^2^=sinx^2^， ∴函数y=sinx^2^是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C； 由y=sinx^2^=0， 则x^2^=kπ，k≥0， 则x=±![](./data/image/media/image30319.png){width="0.3784722222222222in" height="0.18611111111111112in"}，k≥0， 故函数有无穷多个零点，排除B， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键．比较基础． 4．（5分）若平面区域![](./data/image/media/image30320.png){width="0.8784722222222222in" height="0.6541666666666667in"}，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（　　） A．![](./data/image/media/image30321.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"} B．![](./data/image/media/image30322.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} C．![](./data/image/media/image30323.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"} D．![](./data/image/media/image30324.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"} 【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离． 【解答】解：作出平面区域如图所示： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30325.png){width="2.7694444444444444in" height="2.6666666666666665in"} ∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等． 联立方程组![](./data/image/media/image30326.png){width="0.7951388888888888in" height="0.4166666666666667in"}，解得A（2，1）， 联立方程组![](./data/image/media/image30327.png){width="0.7951388888888888in" height="0.4166666666666667in"}，解得B（1，2）． 两条平行线分别为y=x﹣1，y=x+1，即x﹣y﹣1=0，x﹣y+1=0． ∴平行线间的距离为d=![](./data/image/media/image30328.png){width="0.5513888888888889in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image30329.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 故选：B． 【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题． 5．（5分）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log~a~b＞1，则（　　） A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b﹣1）（b﹣a）＞0 【分析】根据对数的运算性质，结合a＞1或0＜a＜1进行判断即可． 【解答】解：若a＞1，则由log~a~b＞1得log~a~b＞log~a~a，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0， 若0＜a＜1，则由log~a~b＞1得log~a~b＞log~a~a，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0， 综上（b﹣1）（b﹣a）＞0， 故选：D． 【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．比较基础． 6．（5分）已知函数f（x）=x^2^+bx，则"b＜0"是"f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】求出f（x）的最小值及极小值点，分别把"b＜0"和"f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等"当做条件，看能否推出另一结论即可判断． 【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣![](./data/image/media/image30330.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，f~min~（x）=﹣![](./data/image/media/image30331.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}． （1）若b＜0，则﹣![](./data/image/media/image30332.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＞﹣![](./data/image/media/image30333.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}，∴当f（x）=﹣![](./data/image/media/image30332.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，f（f（x））取得最小值f（﹣![](./data/image/media/image30332.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）=﹣![](./data/image/media/image30333.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}， 即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等． ∴"b＜0"是"f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等"的充分条件． （2）设f（x）=t，则f（f（x））=f（t）， ∴f（t）在（﹣![](./data/image/media/image30333.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}，﹣![](./data/image/media/image30332.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）上单调递减，在（﹣![](./data/image/media/image30332.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，+∞）上单调递增， 若f（f（x））=f（t）的最小值与f（x）的最小值相等， 则﹣![](./data/image/media/image30333.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}≤﹣![](./data/image/media/image30332.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，解得b≤0或b≥2． ∴"b＜0"不是"f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等"的必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题． 7．（5分）已知函数f（x）满足：f（x）≥\|x\|且f（x）≥2^x^，x∈R．（　　） A．若f（a）≤\|b\|，则a≤b B．若f（a）≤2^b^，则a≤b C．若f（a）≥\|b\|，则a≥b D．若f（a）≥2^b^，则a≥b 【分析】根据不等式的性质，分别进行递推判断即可． 【解答】解：A．若f（a）≤\|b\|，则由条件f（x）≥\|x\|得f（a）≥\|a\|， 即\|a\|≤\|b\|，则a≤b不一定成立，故A错误， B．若f（a）≤2^b^， 则由条件知f（x）≥2^x^， 即f（a）≥2^a^，则2^a^≤f（a）≤2^b^， 则a≤b，故B正确， C．若f（a）≥\|b\|，则由条件f（x）≥\|x\|得f（a）≥\|a\|，则\|a\|≥\|b\|不一定成立，故C错误， D．若f（a）≥2^b^，则由条件f（x）≥2^x^，得f（a）≥2^a^，则2^a^≥2^b^，不一定成立，即a≥b不一定成立，故D错误， 故选：B． 【点评】本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 8．（5分）如图，点列{A~n~}、{B~n~}分别在某锐角的两边上，且\|A~n~A~n+1~\|=\|A~n+1~A~n+2~\|，A~n~≠A~n+1~，n∈N^\*^，\|B~n~B~n+1~\|=\|B~n+1~B~n+2~\|，B~n~≠B~n+1~，n∈N^\*^，（P≠Q表示点P与Q不重合）若d~n~=\|A~n~B~n~\|，S~n~为△A~n~B~n~B~n+1~的面积，则（　　）![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30334.png){width="2.198611111111111in" height="1.2951388888888888in"} A．{S~n~}是等差数列 B．{S~n~^2^}是等差数列 C．{d~n~}是等差数列 D．{d~n~^2^}是等差数列 【分析】设锐角的顶点为O，再设\|OA~1~\|=a，\|OB~1~\|=c，\|A~n~A~n+1~\|=\|A~n+1~A~n+2~\|=b，\|B~n~B~n+1~\|=\|B~n+1~B~n+2~\|=d，由于a，c不确定，判断C，D不正确，设△A~n~B~n~B~n+1~的底边B~n~B~n+1~上的高为h~n~，运用三角形相似知识，h~n~+h~n+2~=2h~n+1~，由S~n~=![](./data/image/media/image18692.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}d•h~n~，可得S~n~+S~n+2~=2S~n+1~，进而得到数列{S~n~}为等差数列． 【解答】解：设锐角的顶点为O，\|OA~1~\|=a，\|OB~1~\|=c， \|A~n~A~n+1~\|=\|A~n+1~A~n+2~\|=b，\|B~n~B~n+1~\|=\|B~n+1~B~n+2~\|=d， 由于a，c不确定，则{d~n~}不一定是等差数列， {d~n~^2^}不一定是等差数列， 设△A~n~B~n~B~n+1~的底边B~n~B~n+1~上的高为h~n~， 由三角形的相似可得![](./data/image/media/image30335.png){width="0.36527777777777776in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30336.png){width="0.46805555555555556in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30337.png){width="0.7180555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， ![](./data/image/media/image30338.png){width="0.36527777777777776in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30339.png){width="0.46805555555555556in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30340.png){width="0.7180555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 两式相加可得，![](./data/image/media/image30341.png){width="0.6541666666666667in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30342.png){width="0.5513888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=2， 即有h~n~+h~n+2~=2h~n+1~， 由S~n~=![](./data/image/media/image30343.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}d•h~n~，可得S~n~+S~n+2~=2S~n+1~， 即为S~n+2~﹣S~n+1~=S~n+1~﹣S~n~， 则数列{S~n~}为等差数列． 另解：可设△A~1~B~1~B~2~，△A~2~B~2~B~3~，...，A~n~B~n~B~n+1~为直角三角形， 且A~1~B~1~，A~2~B~2~，...，A~n~B~n~为直角边， 即有h~n~+h~n+2~=2h~n+1~， 由S~n~=![](./data/image/media/image30343.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}d•h~n~，可得S~n~+S~n+2~=2S~n+1~， 即为S~n+2~﹣S~n+1~=S~n+1~﹣S~n~， 则数列{S~n~}为等差数列． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30344.png){width="3.3652777777777776in" height="1.301388888888889in"} 【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题． **二、填空题** 9．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是[　80　]{.underline}cm^2^，体积是[　40　]{.underline}cm^3^． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30345.png){width="1.6284722222222223in" height="1.8972222222222221in"} 【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体下部为长方体，上部为正方体的组合体，结合图中数据求出它的表面积和体积即可． 【解答】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2， 表面积为2×4×4+2×4^2^=64cm^2^，体积为2×4^2^=32cm^3^； 上部为正方体，其棱长为2， 表面积是6×2^2^=24 cm^2^，体积为2^3^=8cm^3^； 所以几何体的表面积为64+24﹣2×2^2^=80cm^2^， 体积为32+8=40cm^3^． 故答案为：80；40． 【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了空间想象和计算能力，是基础题． 10．（6分）已知a∈R，方程a^2^x^2^+（a+2）y^2^+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是[　（﹣2，﹣4）　]{.underline}，半径是[　5　]{.underline}． 【分析】由已知可得a^2^=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2，把a=﹣1代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把a=2代入原方程，由D^2^+E^2^﹣4F＜0说明方程不表示圆，则答案可求． 【解答】解：∵方程a^2^x^2^+（a+2）y^2^+4x+8y+5a=0表示圆， ∴a^2^=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2． 当a=﹣1时，方程化为x^2^+y^2^+4x+8y﹣5=0， 配方得（x+2）^2^+（y+4）^2^=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5； 当a=2时，方程化为![](./data/image/media/image30346.png){width="1.3333333333333333in" height="0.36527777777777776in"}， 此时![](./data/image/media/image30347.png){width="2.0833333333333335in" height="0.36527777777777776in"}，方程不表示圆， 故答案为：（﹣2，﹣4），5． 【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题． 11．（6分）已知2cos^2^x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=[　]{.underline}![](./data/image/media/image30348.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}[　]{.underline}，b=[　1　]{.underline}． 【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案． 【解答】解：∵2cos^2^x+sin2x=1+cos2x+sin2x =1+![](./data/image/media/image30348.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}（![](./data/image/media/image30349.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}cos2x+![](./data/image/media/image30349.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}sin2x） =![](./data/image/media/image30348.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}sin（2x+![](./data/image/media/image30350.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）+1， ∴A=![](./data/image/media/image30351.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，b=1， 故答案为：![](./data/image/media/image30351.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}；1． 【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 12．（6分）设函数f（x）=x^3^+3x^2^+1，已知a≠0，且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）^2^，x∈R，则实数a=[　﹣2　]{.underline}，b=[　1　]{.underline}． 【分析】根据函数解析式化简f（x）﹣f（a），再化简（x﹣b）（x﹣a）^2^，根据等式两边对应项的系数相等列出方程组，求出a、b的值． 【解答】解：∵f（x）=x^3^+3x^2^+1， ∴f（x）﹣f（a）=x^3^+3x^2^+1﹣（a^3^+3a^2^+1） =x^3^+3x^2^﹣（a^3^+3a^2^） ∵（x﹣b）（x﹣a）^2^=（x﹣b）（x^2^﹣2ax+a^2^）=x^3^﹣（2a+b）x^2^+（a^2^+2ab）x﹣a^2^b， 且f（x）﹣f（a）=（x﹣b）（x﹣a）^2^， ∴![](./data/image/media/image30352.png){width="1.0833333333333333in" height="0.7375in"}，解得![](./data/image/media/image30353.png){width="0.4618055555555556in" height="0.3972222222222222in"}或![](./data/image/media/image30354.png){width="0.4618055555555556in" height="0.3972222222222222in"}（舍去）， 故答案为：﹣2；1． 【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题． 13．（4分）设双曲线x^2^﹣![](./data/image/media/image30355.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，若点P在双曲线上，且△F~1~PF~2~为锐角三角形，则\|PF~1~\|+\|PF~2~\|的取值范围是[　]{.underline}![](./data/image/media/image30356.png){width="0.75in" height="0.21180555555555555in"}[　]{.underline}． 【分析】由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出∠PF~2~F~1~和∠F~1~PF~2~为直角时\|PF~1~\|+\|PF~2~\|的值，可得△F~1~PF~2~为锐角三角形时\|PF~1~\|+\|PF~2~\|的取值范围． 【解答】解：如图， 由双曲线x^2^﹣![](./data/image/media/image30355.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1，得a^2^=1，b^2^=3， ∴![](./data/image/media/image30357.png){width="0.9680555555555556in" height="0.25in"}． 不妨以P在双曲线右支为例，当PF~2~⊥x轴时， 把x=2代入x^2^﹣![](./data/image/media/image30355.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1，得y=±3，即\|PF~2~\|=3， 此时\|PF~1~\|=\|PF~2~\|+2=5，则\|PF~1~\|+\|PF~2~\|=8； 由PF~1~⊥PF~2~，得![](./data/image/media/image30358.png){width="2.647222222222222in" height="0.28194444444444444in"}， 又\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|=2，① 两边平方得：![](./data/image/media/image30359.png){width="2.5125in" height="0.28194444444444444in"}， ∴\|PF~1~\|\|PF~2~\|=6，② 联立①②解得：![](./data/image/media/image30360.png){width="2.1347222222222224in" height="0.2375in"}， 此时\|PF~1~\|+\|PF~2~\|=![](./data/image/media/image30361.png){width="0.3138888888888889in" height="0.18611111111111112in"}． ∴使△F~1~PF~2~为锐角三角形的\|PF~1~\|+\|PF~2~\|的取值范围是（![](./data/image/media/image30362.png){width="0.5833333333333334in" height="0.21180555555555555in"}）． 故答案为：（![](./data/image/media/image30362.png){width="0.5833333333333334in" height="0.21180555555555555in"}）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30363.png){width="1.8458333333333334in" height="1.7180555555555554in"} 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题． 14．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=![](./data/image/media/image21537.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是[　]{.underline}![](./data/image/media/image30364.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}[　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30365.png){width="1.4805555555555556in" height="1.3652777777777778in"} 【分析】如图所示，取AC的中点O，AB=BC=3，可得BO⊥AC，在Rt△ACD′中，AC=![](./data/image/media/image30366.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E=![](./data/image/media/image30367.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}．CO=![](./data/image/media/image30368.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，CE=![](./data/image/media/image30369.png){width="0.4875in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image30370.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，EO=CO﹣CE=![](./data/image/media/image20544.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}．过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩形，BF=EO=![](./data/image/media/image20544.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}．EF=BO=![](./data/image/media/image30371.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．利用余弦定理求出D′F^2^的最小值即可得出． 【解答】解：如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC， 在Rt△ACD′中，![](./data/image/media/image30372.png){width="1.1541666666666666in" height="0.26944444444444443in"}=![](./data/image/media/image30373.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． 作D′E⊥AC，垂足为E，D′E=![](./data/image/media/image30374.png){width="0.5125in" height="0.4041666666666667in"}=![](./data/image/media/image30375.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}． CO=![](./data/image/media/image30376.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，CE=![](./data/image/media/image30377.png){width="0.4875in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image30378.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image30379.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}， ∴EO=CO﹣CE=![](./data/image/media/image30380.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． 过点B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角． 则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO=![](./data/image/media/image30380.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． EF=BO=![](./data/image/media/image30381.png){width="0.9166666666666666in" height="0.4041666666666667in"}=![](./data/image/media/image30382.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}． 则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ． 则D′F^2^=![](./data/image/media/image30383.png){width="0.6284722222222222in" height="0.38472222222222224in"}+![](./data/image/media/image30384.png){width="0.6284722222222222in" height="0.38472222222222224in"}﹣2×![](./data/image/media/image30385.png){width="0.8333333333333334in" height="0.38472222222222224in"}cosθ=![](./data/image/media/image30386.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣5cosθ≥![](./data/image/media/image30387.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，cosθ=1时取等号． ∴D′B的最小值=![](./data/image/media/image30388.png){width="0.9486111111111111in" height="0.4041666666666667in"}=2． ∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值=![](./data/image/media/image30389.png){width="0.3972222222222222in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image30390.png){width="0.26944444444444443in" height="0.5833333333333334in"}=![](./data/image/media/image30391.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． 也可以考虑利用向量法求解． 故答案为：![](./data/image/media/image30391.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30392.png){width="1.8208333333333333in" height="1.3652777777777778in"} 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题． 15．（4分）已知平面向量![](./data/image/media/image30393.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image30394.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，\|![](./data/image/media/image30393.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=1，\|![](./data/image/media/image30394.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=2，![](./data/image/media/image30395.png){width="0.3138888888888889in" height="0.21180555555555555in"}=1，若![](./data/image/media/image30396.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}为平面单位向量，则\|![](./data/image/media/image30397.png){width="0.3138888888888889in" height="0.21180555555555555in"}\|+\|![](./data/image/media/image30398.png){width="0.3138888888888889in" height="0.21180555555555555in"}\|的最大值是[　]{.underline}![](./data/image/media/image30399.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}[　]{.underline}． 【分析】由题意可知，\|![](./data/image/media/image30400.png){width="0.3138888888888889in" height="0.21180555555555555in"}\|+\|![](./data/image/media/image30398.png){width="0.3138888888888889in" height="0.21180555555555555in"}\|为![](./data/image/media/image30401.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}在![](./data/image/media/image30402.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}上的投影的绝对值与![](./data/image/media/image30403.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}在![](./data/image/media/image30404.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}上投影的绝对值的和，由此可知，当![](./data/image/media/image30404.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}与![](./data/image/media/image30405.png){width="0.3138888888888889in" height="0.21180555555555555in"}共线时，\|![](./data/image/media/image30406.png){width="0.3138888888888889in" height="0.21180555555555555in"}\|+\|![](./data/image/media/image30407.png){width="0.3138888888888889in" height="0.21180555555555555in"}\|取得最大值，即![](./data/image/media/image30408.png){width="0.5194444444444445in" height="0.21180555555555555in"}． 【解答】解：\|![](./data/image/media/image30409.png){width="0.3138888888888889in" height="0.21180555555555555in"}\|+\|![](./data/image/media/image30410.png){width="0.3138888888888889in" height="0.21180555555555555in"}\|=![](./data/image/media/image30411.png){width="1.1666666666666667in" height="0.4486111111111111in"}， 其几何意义为![](./data/image/media/image30412.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}在![](./data/image/media/image30413.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}上的投影的绝对值与![](./data/image/media/image30414.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}在![](./data/image/media/image30413.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}上投影的绝对值的和， 当![](./data/image/media/image30413.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}与![](./data/image/media/image30415.png){width="0.3138888888888889in" height="0.21180555555555555in"}共线时，取得最大值． ∴![](./data/image/media/image30416.png){width="2.1284722222222223in" height="0.26944444444444443in"}=![](./data/image/media/image30417.png){width="1.801388888888889in" height="0.25in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image30418.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题． **三、解答题** 16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB． （1）证明：A=2B； （2）若cosB=![](./data/image/media/image30419.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，求cosC的值． 【分析】（1）由b+c=2acosB，利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得：sinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），可得0＜A﹣B＜π，即可证明． （II）cosB=![](./data/image/media/image30419.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，可得sinB=![](./data/image/media/image30420.png){width="0.7625in" height="0.25in"}．cosA=cos2B=2cos^2^B﹣1，sinA=![](./data/image/media/image30421.png){width="0.7625in" height="0.25in"}．利用cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出． 【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB， ∴sinB+sinC=2sinAcosB， ∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB， ∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π）， ∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）． ∴A=2B． （II）解：cosB=![](./data/image/media/image30419.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，∴sinB=![](./data/image/media/image30420.png){width="0.7625in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image30422.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． cosA=cos2B=2cos^2^B﹣1=![](./data/image/media/image30423.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}，sinA=![](./data/image/media/image30424.png){width="0.7625in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image30425.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}． ∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=![](./data/image/media/image30426.png){width="0.8333333333333334in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30422.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}×![](./data/image/media/image30425.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image30427.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．（15分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，已知S~2~=4，a~n+1~=2S~n~+1，n∈N^\*^． （Ⅰ）求通项公式a~n~； （Ⅱ）求数列{\|a~n~﹣n﹣2\|}的前n项和． 【分析】（Ⅰ）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列{a~n~}是公比q=3的等比数列，即可求通项公式a~n~； （Ⅱ）讨论n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{\|a~n~﹣n﹣2\|}的前n项和． 【解答】解：（Ⅰ）∵S~2~=4，a~n+1~=2S~n~+1，n∈N^\*^． ∴a~1~+a~2~=4，a~2~=2S~1~+1=2a~1~+1， 解得a~1~=1，a~2~=3， 当n≥2时，a~n+1~=2S~n~+1，a~n~=2S~n﹣1~+1， 两式相减得a~n+1~﹣a~n~=2（S~n~﹣S~n﹣1~）=2a~n~， 即a~n+1~=3a~n~，当n=1时，a~1~=1，a~2~=3， 满足a~n+1~=3a~n~， ∴![](./data/image/media/image30428.png){width="0.36527777777777776in" height="0.48055555555555557in"}=3，则数列{a~n~}是公比q=3的等比数列， 则通项公式a~n~=3^n﹣1^． （Ⅱ）a~n~﹣n﹣2=3^n﹣1^﹣n﹣2， 设b~n~=\|a~n~﹣n﹣2\|=\|3^n﹣1^﹣n﹣2\|， 则b~1~=\|3^0^﹣1﹣2\|=2，b~2~=\|3﹣2﹣2\|=1， 当n≥3时，3^n﹣1^﹣n﹣2＞0， 则b~n~=\|a~n~﹣n﹣2\|=3^n﹣1^﹣n﹣2， 此时数列{\|a~n~﹣n﹣2\|}的前n项和T~n~=3+![](./data/image/media/image30429.png){width="0.8208333333333333in" height="0.42916666666666664in"}﹣![](./data/image/media/image30430.png){width="1.051388888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image30431.png){width="1.0451388888888888in" height="0.42916666666666664in"}， 则T~n~=![](./data/image/media/image30432.png){width="1.75in" height="0.9291666666666667in"}=![](./data/image/media/image30433.png){width="1.75in" height="0.6791666666666667in"}． 【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a~n~}是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和． 18．（15分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3． （Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD； （Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30434.png){width="1.4875in" height="1.1347222222222222in"} 【分析】（Ⅰ）根据三棱台的定义，可知分别延长AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为K，并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK，进而得出BF⊥AC．而根据条件可以判断出点E，F分别为边BK，CK的中点，从而得出△BCK为等边三角形，进而得出BF⊥CK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD； （Ⅱ）由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角，根据条件可以求出BF=![](./data/image/media/image30435.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，DF=![](./data/image/media/image16847.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，从而在Rt△BDF中可以求出BD的值，从而得出cos∠BDF的值，即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC； ∴AC⊥平面BCK，BF⊂平面BCK； ∴BF⊥AC； 又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2； ∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点； ∴BF⊥CK，且AC∩CK=C； ∴BF⊥平面ACFD； （Ⅱ）∵BF⊥平面ACFD； ∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角； ∵F为CK中点，且DF∥AC； ∴DF为△ACK的中位线，且AC=3； ∴![](./data/image/media/image30436.png){width="0.4041666666666667in" height="0.36527777777777776in"}； 又![](./data/image/media/image30437.png){width="0.48055555555555557in" height="0.18611111111111112in"}； ∴在Rt△BFD中，![](./data/image/media/image30438.png){width="1.1284722222222223in" height="0.4041666666666667in"}，cos![](./data/image/media/image30439.png){width="1.6284722222222223in" height="0.7819444444444444in"}； 即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为![](./data/image/media/image30440.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30441.png){width="2.352777777777778in" height="2.045138888888889in"} 【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义． 19．（15分）如图，设抛物线y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于\|AF\|﹣1， （Ⅰ）求p的值； （Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30442.png){width="1.8138888888888889in" height="1.7819444444444446in"} 【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p值； （Ⅱ）设出直线AF的方程，与抛物线联立，求出B的坐标，求出直线AB，FN的斜率，从而求出直线BN的方程，根据A、M、N三点共线，可求出M的横坐标的表达式，从而求出m的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离， 由抛物线定义得，![](./data/image/media/image30443.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}，即p=2； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y^2^=4x，F（1，0），可设（t^2^，2t），t≠0，t≠±1， ∵AF不垂直y轴， ∴设直线AF：x=sy+1（s≠0）， 联立![](./data/image/media/image30444.png){width="0.6284722222222222in" height="0.48055555555555557in"}，得y^2^﹣4sy﹣4=0． y~1~y~2~=﹣4， ∴B（![](./data/image/media/image30445.png){width="0.6347222222222222in" height="0.42916666666666664in"}）， 又直线AB的斜率为![](./data/image/media/image30446.png){width="0.4166666666666667in" height="0.42916666666666664in"}，故直线FN的斜率为![](./data/image/media/image30447.png){width="0.4166666666666667in" height="0.42916666666666664in"}， 从而得FN：![](./data/image/media/image30448.png){width="1.1284722222222223in" height="0.42916666666666664in"}，直线BN：y=﹣![](./data/image/media/image30449.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 则N（![](./data/image/media/image30450.png){width="0.8208333333333333in" height="0.48055555555555557in"}）， 设M（m，0），由A、M、N三点共线，得![](./data/image/media/image30451.png){width="1.2625in" height="0.8784722222222222in"}， 于是m=![](./data/image/media/image30452.png){width="0.4166666666666667in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30453.png){width="0.4486111111111111in" height="0.6284722222222222in"}，得m＜0或m＞2． 经检验，m＜0或m＞2满足题意． ∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）． 【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题． 20．（15分）设函数f（x）=x^3^+![](./data/image/media/image30454.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，x∈\[0，1\]，证明： （Ⅰ）f（x）≥1﹣x+x^2^ （Ⅱ）![](./data/image/media/image30455.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＜f（x）≤![](./data/image/media/image30456.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【分析】（Ⅰ）根据题意，1﹣x+x^2^﹣x^3^=![](./data/image/media/image30457.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42916666666666664in"}，利用放缩法得![](./data/image/media/image30458.png){width="0.4166666666666667in" height="0.42916666666666664in"}≤![](./data/image/media/image30459.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，即可证明结论成立； （Ⅱ）利用0≤x≤1时x^3^≤x，证明f（x）≤![](./data/image/media/image30456.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，再利用配方法证明f（x）≥![](./data/image/media/image30455.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，结合函数的最小值得出f（x）＞![](./data/image/media/image30455.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，即证结论成立． 【解答】解：（Ⅰ）证明：因为f（x）=x^3^+![](./data/image/media/image30460.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，x∈\[0，1\]， 且1﹣x+x^2^﹣x^3^=![](./data/image/media/image30461.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image30462.png){width="0.4166666666666667in" height="0.42916666666666664in"}， 所以![](./data/image/media/image30462.png){width="0.4166666666666667in" height="0.42916666666666664in"}≤![](./data/image/media/image30463.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 所以1﹣x+x^2^﹣x^3^≤![](./data/image/media/image30460.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 即f（x）≥1﹣x+x^2^； （Ⅱ）证明：因为0≤x≤1，所以x^3^≤x， 所以f（x）=x^3^+![](./data/image/media/image30460.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}≤x+![](./data/image/media/image30460.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=x+![](./data/image/media/image30460.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image30464.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30464.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image30465.png){width="0.9680555555555556in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30464.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}≤![](./data/image/media/image30464.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}； 由（Ⅰ）得，f（x）≥1﹣x+x^2^=![](./data/image/media/image30466.png){width="0.6027777777777777in" height="0.42916666666666664in"}+![](./data/image/media/image30467.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}≥![](./data/image/media/image30467.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 且f（![](./data/image/media/image30468.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）=![](./data/image/media/image30469.png){width="0.4361111111111111in" height="0.42916666666666664in"}+![](./data/image/media/image30470.png){width="0.3527777777777778in" height="0.5638888888888889in"}=![](./data/image/media/image30471.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}＞![](./data/image/media/image30472.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 所以f（x）＞![](./data/image/media/image30472.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}； 综上，![](./data/image/media/image30472.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＜f（x）≤![](./data/image/media/image30473.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目． 2016年山东省高考数学试卷（理科） ================================ **参考答案与试题解析** **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.** 1．（5分）若复数z满足2z+![](./data/image/media/image30474.png){width="0.10277777777777777in" height="0.18611111111111112in"}=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（　　） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可． 【解答】解：复数z满足2z+![](./data/image/media/image30474.png){width="0.10277777777777777in" height="0.18611111111111112in"}=3﹣2i， 设z=a+bi， 可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i． 解得a=1，b=﹣2． z=1﹣2i． 故选：B． 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力． 2．（5分）设集合A={y\|y=2^x^，x∈R}，B={x\|x^2^﹣1＜0}，则A∪B=（　　） A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞） 【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并集运算得答案． 【解答】解：∵A={y\|y=2^x^，x∈R}=（0，+∞）， B={x\|x^2^﹣1＜0}=（﹣1，1）， ∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）． 故选：C． 【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题． 3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是\[17.5，30\]，样本数据分组为\[17.5，20），\[20，22.5），\[22.5，25），\[25，27.5），\[27.5，30\]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30475.png){width="3.063888888888889in" height="1.7819444444444446in"} A．56 B．60 C．120 D．140 【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数． 【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7， 故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目． 4．（5分）若变量x，y满足![](./data/image/media/image30476.png){width="0.7951388888888888in" height="0.6472222222222223in"}，则x^2^+y^2^的最大值是（　　） A．4 B．9 C．10 D．12 【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x^2^+y^2^的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x^2^+y^2^的最大值． 【解答】解：由约束条件![](./data/image/media/image30476.png){width="0.7951388888888888in" height="0.6472222222222223in"}作出可行域如图， ∵A（0，﹣3），C（0，2）， ∴\|OA\|＞\|OC\|， 联立![](./data/image/media/image30477.png){width="0.7118055555555556in" height="0.4166666666666667in"}，解得B（3，﹣1）． ∵![](./data/image/media/image30478.png){width="1.9618055555555556in" height="0.25in"}， ∴x^2^+y^2^的最大值是10． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30479.png){width="2.0125in" height="1.5958333333333334in"} 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题． 5．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30480.png){width="2.0319444444444446in" height="2.686111111111111in"} A．![](./data/image/media/image30481.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30482.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}π B．![](./data/image/media/image30483.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30484.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}π C．![](./data/image/media/image30483.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30485.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}π D．1+![](./data/image/media/image30485.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}π 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线， 由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=![](./data/image/media/image30486.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． 故R=![](./data/image/media/image30487.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，故半球的体积为：![](./data/image/media/image30488.png){width="0.9291666666666667in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image30489.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}π， 棱锥的底面面积为：1，高为1， 故棱锥的体积V=![](./data/image/media/image30490.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 故组合体的体积为：![](./data/image/media/image30490.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30489.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}π， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 6．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则"直线a和直线b相交"是"平面α和平面β相交"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则"直线a和直线b相交"⇒"平面α和平面β相交"，反之不成立． 【解答】解：直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则"直线a和直线b相交"⇒"平面α和平面β相交"， 反之不成立． ∴"直线a和直线b相交"是"平面α和平面β相交"的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题． 7．（5分）函数f（x）=（![](./data/image/media/image30491.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}sinx+cosx）（![](./data/image/media/image30491.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosx﹣sinx）的最小正周期是（　　） A．![](./data/image/media/image26636.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} B．π C．![](./data/image/media/image30492.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"} D．2π 【分析】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期． 【解答】解：函数f（x）=（![](./data/image/media/image30491.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}sinx+cosx）（![](./data/image/media/image30491.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cosx﹣sinx）=2sin（x+![](./data/image/media/image30493.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）•2cos（x+![](./data/image/media/image30493.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=2sin（2x+![](./data/image/media/image30494.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）， ∴T=π， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档． 8．（5分）已知非零向量![](./data/image/media/image30495.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image30496.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}满足4\|![](./data/image/media/image30497.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=3\|![](./data/image/media/image30498.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|，cos＜![](./data/image/media/image30497.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image30498.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}＞=![](./data/image/media/image30499.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}．若![](./data/image/media/image30498.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}⊥（t![](./data/image/media/image30497.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30498.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}），则实数t的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．![](./data/image/media/image30500.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} D．﹣![](./data/image/media/image30500.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】若![](./data/image/media/image30501.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}⊥（t![](./data/image/media/image30502.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30501.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}），则![](./data/image/media/image30501.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•（t![](./data/image/media/image30502.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30501.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}）=0，进而可得实数t的值． 【解答】解：∵4\|![](./data/image/media/image30502.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|=3\|![](./data/image/media/image30503.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|，cos＜![](./data/image/media/image30504.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image30503.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}＞=![](./data/image/media/image30505.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image30503.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}⊥（t![](./data/image/media/image30504.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30503.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}）， ∴![](./data/image/media/image30503.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•（t![](./data/image/media/image30504.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30506.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}）=t![](./data/image/media/image30507.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30506.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30506.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}^2^=t\|![](./data/image/media/image30507.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|•\|![](./data/image/media/image30506.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|•![](./data/image/media/image30508.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+\|![](./data/image/media/image30506.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^=（![](./data/image/media/image30509.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}）\|![](./data/image/media/image30510.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^=0， 解得：t=﹣4， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题． 9．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x^3^﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞![](./data/image/media/image30511.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，f（x+![](./data/image/media/image30511.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）=f（x﹣![](./data/image/media/image30511.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）．则f（6）=（　　） A．﹣2 B．1 C．0 D．2 【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x^3^﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论． 【解答】解：∵当x＞![](./data/image/media/image30512.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，f（x+![](./data/image/media/image30512.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）=f（x﹣![](./data/image/media/image30512.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）， ∴当x＞![](./data/image/media/image30512.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，f（x+1）=f（x），即周期为1． ∴f（6）=f（1）， ∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（1）=﹣f（﹣1）， ∵当x＜0时，f（x）=x^3^﹣1， ∴f（﹣1）=﹣2， ∴f（1）=﹣f（﹣1）=2， ∴f（6）=2． 故选：D． 【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题． 10．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　） A．y=sinx B．y=lnx C．y=e^x^ D．y=x^3^ 【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案． 【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 当y=sinx时，y′=cosx，满足条件； 当y=lnx时，y′=![](./data/image/media/image30513.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＞0恒成立，不满足条件； 当y=e^x^时，y′=e^x^＞0恒成立，不满足条件； 当y=x^3^时，y′=3x^2^＞0恒成立，不满足条件； 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档． **二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.** 11．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为[　3　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30514.png){width="1.9805555555555556in" height="3.1284722222222223in"} 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1． 第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＞b，故i=2； 第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＞b，故i=3； 第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＞b， 故输出的i值为：3， 故答案为：3 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． 12．（5分）若（ax^2^+![](./data/image/media/image30515.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}）^5^的展开式中x^5^的系数是﹣80，则实数a=[　﹣2　]{.underline}． 【分析】利用二项展开式的通项公式T~r+1~=![](./data/image/media/image30516.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}（ax^2^）^5﹣r^![](./data/image/media/image30517.png){width="0.5451388888888888in" height="0.38472222222222224in"}，化简可得求的x^5^的系数． 【解答】解：（ax^2^+![](./data/image/media/image30518.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}）^5^的展开式的通项公式T~r+1~=![](./data/image/media/image30516.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}（ax^2^）^5﹣r^![](./data/image/media/image30517.png){width="0.5451388888888888in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image30516.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}a^5﹣r^![](./data/image/media/image30519.png){width="0.5125in" height="0.38472222222222224in"}， 令10﹣![](./data/image/media/image30520.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=5，解得r=2． ∵（ax^2^+![](./data/image/media/image30521.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}）^5^的展开式中x^5^的系数是﹣80 ∴![](./data/image/media/image17812.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}a^3^=﹣80， 得a=﹣2． 【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型． 13．（5分）已知双曲线E：![](./data/image/media/image16581.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image30522.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2\|AB\|=3\|BC\|，则E的离心率是[　2　]{.underline}． 【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±![](./data/image/media/image30523.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2\|AB\|=3\|BC\|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值． 【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b![](./data/image/media/image30524.png){width="0.5194444444444445in" height="0.5in"}=±![](./data/image/media/image30523.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}， 由题意可设A（﹣c，![](./data/image/media/image30523.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}），B（﹣c，﹣![](./data/image/media/image30523.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}），C（c，﹣![](./data/image/media/image30525.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}），D（c，![](./data/image/media/image30525.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}）， 由2\|AB\|=3\|BC\|，可得 2•![](./data/image/media/image30526.png){width="0.3333333333333333in" height="0.42916666666666664in"}=3•2c，即为2b^2^=3ac， 由b^2^=c^2^﹣a^2^，e=![](./data/image/media/image30527.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，可得2e^2^﹣3e﹣2=0， 解得e=2（负的舍去）． 故答案为：2． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30528.png){width="2.102777777777778in" height="2.1666666666666665in"} 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题． 14．（5分）在\[﹣1，1\]上随机地取一个数k，则事件"直线y=kx与圆（x﹣5）^2^+y^2^=9相交"发生的概率为[　]{.underline}![](./data/image/media/image20241.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求． 【解答】解：圆（x﹣5）^2^+y^2^=9的圆心为（5，0），半径为3． 圆心到直线y=kx的距离为![](./data/image/media/image30529.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4486111111111111in"}， 要使直线y=kx与圆（x﹣5）^2^+y^2^=9相交，则![](./data/image/media/image30529.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4486111111111111in"}＜3，解得﹣![](./data/image/media/image20241.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＜k＜![](./data/image/media/image20241.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． ∴在区间\[﹣1，1\]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）^2^+y^2^=9相交相交的概率为![](./data/image/media/image30530.png){width="0.4041666666666667in" height="0.5638888888888889in"}=![](./data/image/media/image30531.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image30531.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题． 15．（5分）已知函数f（x）=![](./data/image/media/image30532.png){width="1.4041666666666666in" height="0.4875in"}，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是[　（3，+∞）　]{.underline}． 【分析】作出函数f（x）=![](./data/image/media/image30532.png){width="1.4041666666666666in" height="0.4875in"}的图象，依题意，可得4m﹣m^2^＜m（m＞0），解之即可． 【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=![](./data/image/media/image30532.png){width="1.4041666666666666in" height="0.4875in"}的图象如下： ∵x＞m时，f（x）=x^2^﹣2mx+4m=（x﹣m）^2^+4m﹣m^2^＞4m﹣m^2^， ∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根， 必须4m﹣m^2^＜m（m＞0）， 即m^2^＞3m（m＞0）， 解得m＞3， ∴m的取值范围是（3，+∞）， 故答案为：（3，+∞）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30533.png){width="4.666666666666667in" height="2.6284722222222223in"} 【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m﹣m^2^＜m是难点，属于中档题． **三、解答题,：本大题共6小题，共75分.** 16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=![](./data/image/media/image30534.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30535.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}． （Ⅰ）证明：a+b=2c； （Ⅱ）求cosC的最小值． 【分析】（Ⅰ）由切化弦公式![](./data/image/media/image30536.png){width="1.8138888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，带入![](./data/image/media/image30537.png){width="1.9805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出a+b=2c； （Ⅱ）根据a+b=2c，两边平方便可得出a^2^+b^2^+2ab=4c^2^，从而得出a^2^+b^2^=4c^2^﹣2ab，并由不等式a^2^+b^2^≥2ab得出c^2^≥ab，也就得到了![](./data/image/media/image30538.png){width="0.5in" height="0.42916666666666664in"}，这样由余弦定理便可得出![](./data/image/media/image30539.png){width="0.9618055555555556in" height="0.42916666666666664in"}，从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：由![](./data/image/media/image30537.png){width="1.9805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}得： ![](./data/image/media/image30540.png){width="2.795138888888889in" height="0.36527777777777776in"}； ∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB； ∴2sin（A+B）=sinA+sinB； 即sinA+sinB=2sinC（1）； 根据正弦定理，![](./data/image/media/image30541.png){width="1.6347222222222222in" height="0.36527777777777776in"}； ∴![](./data/image/media/image30542.png){width="2.301388888888889in" height="0.36527777777777776in"}，带入（1）得：![](./data/image/media/image30543.png){width="0.8652777777777778in" height="0.36527777777777776in"}； ∴a+b=2c； （Ⅱ）a+b=2c； ∴（a+b）^2^=a^2^+b^2^+2ab=4c^2^； ∴a^2^+b^2^=4c^2^﹣2ab，且4c^2^≥4ab，当且仅当a=b时取等号； 又a，b＞0； ∴![](./data/image/media/image30544.png){width="0.5in" height="0.42916666666666664in"}； ∴由余弦定理，![](./data/image/media/image30545.png){width="1.2625in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image30546.png){width="1.4361111111111111in" height="0.42916666666666664in"}![](./data/image/media/image30547.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}； ∴cosC的最小值为![](./data/image/media/image22126.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式a^2^+b^2^≥2ab的应用，不等式的性质． 17．（12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线． （I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC； （Ⅱ）已知EF=FB=![](./data/image/media/image30548.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}AC=2![](./data/image/media/image30549.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30550.png){width="1.551388888888889in" height="1.1541666666666666in"} 【分析】（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC． （Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH， ∵G、H为EC、FB的中点， ∴GQ![](./data/image/media/image30551.png){width="0.18611111111111112in" height="0.23055555555555557in"}![](./data/image/media/image30552.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}，QH![](./data/image/media/image30553.png){width="0.15416666666666667in" height="0.1986111111111111in"}![](./data/image/media/image30554.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}， 又∵EF∥BO，∴GQ∥BO， ∵QH∩GQ=Q，BC∩BO=B， ∴平面GQH∥平面ABC， ∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC． 解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC， 又∵OO′⊥面ABC， ∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系， 则A（![](./data/image/media/image30555.png){width="0.3138888888888889in" height="0.18611111111111112in"}，0，0），C（﹣2![](./data/image/media/image22136.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，0，0），B（0，2![](./data/image/media/image22136.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，0），O′（0，0，3），F（0，![](./data/image/media/image22136.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，3）， ![](./data/image/media/image30556.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（﹣2![](./data/image/media/image22136.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，﹣![](./data/image/media/image22136.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，﹣3），![](./data/image/media/image30557.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（2![](./data/image/media/image22136.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，2![](./data/image/media/image30558.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，0）， 由题意可知面ABC的法向量为![](./data/image/media/image30559.png){width="0.36527777777777776in" height="0.26944444444444443in"}=（0，0，3）， 设![](./data/image/media/image30560.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（x~0~，y~0~，z~0~）为面FCB的法向量， 则![](./data/image/media/image30561.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}，即![](./data/image/media/image30562.png){width="1.7694444444444444in" height="0.5319444444444444in"}， 取x~0~=1，则![](./data/image/media/image30563.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（1，﹣1，﹣![](./data/image/media/image30564.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}）， ∴cos＜![](./data/image/media/image30565.png){width="0.36527777777777776in" height="0.26944444444444443in"}，![](./data/image/media/image30563.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}＞=![](./data/image/media/image30566.png){width="0.9805555555555555in" height="0.5638888888888889in"}=﹣![](./data/image/media/image30567.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． ∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角， ∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为![](./data/image/media/image30567.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30568.png){width="1.9805555555555556in" height="1.7305555555555556in"} 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 18．（12分）已知数列{a~n~}的前n项和S~n~=3n^2^+8n，{b~n~}是等差数列，且a~n~=b~n~+b~n+1~． （Ⅰ）求数列{b~n~}的通项公式； （Ⅱ）令c~n~=![](./data/image/media/image30569.png){width="0.8458333333333333in" height="0.5833333333333334in"}，求数列{c~n~}的前n项和T~n~． 【分析】（Ⅰ）求出数列{a~n~}的通项公式，再求数列{b~n~}的通项公式； （Ⅱ）求出数列{c~n~}的通项，利用错位相减法求数列{c~n~}的前n项和T~n~． 【解答】解：（Ⅰ）S~n~=3n^2^+8n， ∴n≥2时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~=6n+5， n=1时，a~1~=S~1~=11，∴a~n~=6n+5； ∵a~n~=b~n~+b~n+1~， ∴a~n﹣1~=b~n﹣1~+b~n~， ∴a~n~﹣a~n﹣1~=b~n+1~﹣b~n﹣1~． ∴2d=6， ∴d=3， ∵a~1~=b~1~+b~2~， ∴11=2b~1~+3， ∴b~1~=4， ∴b~n~=4+3（n﹣1）=3n+1； （Ⅱ）c~n~=![](./data/image/media/image30569.png){width="0.8458333333333333in" height="0.5833333333333334in"}=![](./data/image/media/image30570.png){width="0.8013888888888889in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30571.png){width="1.1861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30572.png){width="1.2951388888888888in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30573.png){width="0.75in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30574.png){width="1.1861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30575.png){width="1.1861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}=6（n+1）•2^n^， ∴T~n~=6\[2•2+3•2^2^+...+（n+1）•2^n^\]①， ∴2T~n~=6\[2•2^2^+3•2^3^+...+n•2^n^+（n+1）•2^n+1^\]②， ①﹣②可得 ﹣T~n~=6\[2•2+2^2^+2^3^+...+2^n^﹣（n+1）•2^n+1^\] =12+6×![](./data/image/media/image30576.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42916666666666664in"}﹣6（n+1）•2^n+1^ =（﹣6n）•2^n+1^=﹣3n•2^n+2^， ∴T~n~=3n•2^n+2^． 【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题． 19．（12分）甲、乙两人组成"星队"参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则"星队"得3分；如果只有一个人猜对，则"星队"得1分；如果两人都没猜对，则"星队"得0分．已知甲每轮猜对的概率是![](./data/image/media/image30577.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，乙每轮猜对的概率是![](./data/image/media/image30578.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设"星队"参加两轮活动，求： （I）"星队"至少猜对3个成语的概率； （II）"星队"两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX． 【分析】（I）"星队"至少猜对3个成语包含"甲猜对1个，乙猜对2个"，"甲猜对2个，乙猜对1个"，"甲猜对2个，乙猜对2个"三个基本事件，进而可得答案； （II）由已知可得："星队"两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到X的分布列和数学期望． 【解答】解：（I）"星队"至少猜对3个成语包含"甲猜对1个，乙猜对2个"，"甲猜对2个，乙猜对1个"，"甲猜对2个，乙猜对2个"三个基本事件， 故概率P=![](./data/image/media/image30579.png){width="1.5194444444444444in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30580.png){width="1.5451388888888888in" height="0.5319444444444444in"}+![](./data/image/media/image30581.png){width="0.9680555555555556in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image30582.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30583.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30583.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image30584.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， （II）"星队"两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6， 则P（X=0）=![](./data/image/media/image30585.png){width="1.301388888888889in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image30586.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， P（X=1）=2×\[![](./data/image/media/image30587.png){width="1.5194444444444444in" height="0.42916666666666664in"}+![](./data/image/media/image30588.png){width="1.5451388888888888in" height="0.42916666666666664in"}\]=![](./data/image/media/image30589.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， P（X=2）=![](./data/image/media/image30590.png){width="1.7819444444444446in" height="0.42916666666666664in"}+![](./data/image/media/image30591.png){width="1.7375in" height="0.42916666666666664in"}+![](./data/image/media/image30592.png){width="1.7625in" height="0.42916666666666664in"}+![](./data/image/media/image30593.png){width="1.7180555555555554in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image30594.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， P（X=3）=2×![](./data/image/media/image30595.png){width="1.7375in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image30596.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， P（X=4）=2×\[![](./data/image/media/image30597.png){width="1.3527777777777779in" height="0.42916666666666664in"}+![](./data/image/media/image30598.png){width="1.3527777777777779in" height="0.42916666666666664in"}\]=![](./data/image/media/image30599.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"} P（X=6）=![](./data/image/media/image30600.png){width="1.0638888888888889in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30601.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"} 故X的分布列如下图所示： --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- X 0 1 2 3 4 6 P ![](./data/image/media/image30602.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"} ![](./data/image/media/image30603.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"} ![](./data/image/media/image30604.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"} ![](./data/image/media/image30605.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"} ![](./data/image/media/image30606.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"} ![](./data/image/media/image30607.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ∴数学期望EX=0×![](./data/image/media/image30608.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+1×![](./data/image/media/image30609.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+2×![](./data/image/media/image30610.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+3×![](./data/image/media/image30611.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+4×![](./data/image/media/image30612.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+6×![](./data/image/media/image30613.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image30614.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image30615.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题． 20．（13分）已知f（x）=a（x﹣lnx）+![](./data/image/media/image30616.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42916666666666664in"}，a∈R． （I）讨论f（x）的单调性； （II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+![](./data/image/media/image30617.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}对于任意的x∈\[1，2\]成立． 【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性； （Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣f′（x），令g（x）=x﹣lnx，h（x）=![](./data/image/media/image30618.png){width="0.46805555555555556in" height="0.42916666666666664in"}![](./data/image/media/image30619.png){width="0.5194444444444445in" height="0.42916666666666664in"}．则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），利用导数分别求g（x）与h（x）的最小值得到F（x）＞![](./data/image/media/image30620.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+![](./data/image/media/image30620.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}对于任意的x∈\[1，2\]成立． 【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+![](./data/image/media/image30621.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42916666666666664in"}， 得f′（x）=a（1﹣![](./data/image/media/image30622.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）+![](./data/image/media/image30623.png){width="1.1861111111111111in" height="0.48055555555555557in"} =![](./data/image/media/image30624.png){width="0.8784722222222222in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image30625.png){width="2.352777777777778in" height="0.48055555555555557in"}（x＞0）． 若a≤0，则ax^2^﹣2＜0恒成立， ∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数； 当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（![](./data/image/media/image30626.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 当x∈（1，![](./data/image/media/image30626.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数； 若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数； 若a＞2，当x∈（0，![](./data/image/media/image30627.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数， 当x∈（![](./data/image/media/image30627.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数； （Ⅱ）解：∵a=1， 令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx![](./data/image/media/image30628.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image30629.png){width="0.3333333333333333in" height="0.42916666666666664in"}﹣1![](./data/image/media/image30630.png){width="0.8972222222222223in" height="0.42916666666666664in"}=x﹣lnx+![](./data/image/media/image30631.png){width="0.46805555555555556in" height="0.42916666666666664in"}![](./data/image/media/image30632.png){width="0.5194444444444445in" height="0.42916666666666664in"}． 令g（x）=x﹣lnx，h（x）=![](./data/image/media/image30631.png){width="0.46805555555555556in" height="0.42916666666666664in"}![](./data/image/media/image30632.png){width="0.5194444444444445in" height="0.42916666666666664in"}． 则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）， 由![](./data/image/media/image30633.png){width="1.1791666666666667in" height="0.36527777777777776in"}，可得g（x）≥g（1）=1，当且仅当x=1时取等号； 又![](./data/image/media/image30634.png){width="1.4618055555555556in" height="0.48055555555555557in"}， 设φ（x）=﹣3x^2^﹣2x+6，则φ（x）在\[1，2\]上单调递减， 且φ（1）=1，φ（2）=﹣10， ∴在\[1，2\]上存在x~0~，使得x∈（1，x~0~） 时φ（x~0~）＞0，x∈（x~0~，2）时，φ（x~0~）＜0， ∴函数h（x）在（1，x~0~）上单调递增；在（x~0~，2）上单调递减， 由于h（1）=1，h（2）=![](./data/image/media/image29503.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，因此h（x）≥h（2）=![](./data/image/media/image29503.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，当且仅当x=2取等号， ∴f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）=![](./data/image/media/image30635.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴F（x）＞![](./data/image/media/image30635.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}恒成立． 即f（x）＞f′（x）+![](./data/image/media/image30635.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}对于任意的x∈\[1，2\]成立． 【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题． 21．（14分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：![](./data/image/media/image30636.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}+![](./data/image/media/image30637.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（a＞b＞0）的离心率是![](./data/image/media/image30638.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，抛物线E：x^2^=2y的焦点F是C的一个顶点． （I）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M． （i）求证：点M在定直线上； （ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S~1~，△PDM的面积为S~2~，求![](./data/image/media/image30639.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}的最大值及取得最大值时点P的坐标． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30640.png){width="1.7951388888888888in" height="1.25in"} 【分析】（I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程； （Ⅱ）（i）设P（x~0~，y~0~），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x=x~0~，可得y=﹣![](./data/image/media/image30641.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}．进而得到定直线； （ii）由直线l的方程为y=x~0~x﹣y~0~，令x=0，可得G（0，﹣y~0~），运用三角形的面积公式，可得S~1~=![](./data/image/media/image30642.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|FG\|•\|x~0~\|=![](./data/image/media/image30643.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}x~0~•（![](./data/image/media/image30643.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+y~0~），S~2~=![](./data/image/media/image30643.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|PM\|•\|x~0~﹣![](./data/image/media/image30644.png){width="0.5833333333333334in" height="0.5451388888888888in"}\|，化简整理，再1+2x~0~^2^=t（t≥1），整理可得t的二次方程，进而得到最大值及此时P的坐标． 【解答】解：（I）由题意可得e=![](./data/image/media/image30645.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image30646.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，抛物线E：x^2^=2y的焦点F为（0，![](./data/image/media/image11947.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）， 即有b=![](./data/image/media/image11947.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，a^2^﹣c^2^=![](./data/image/media/image30647.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 解得a=1，c=![](./data/image/media/image30648.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}， 可得椭圆的方程为x^2^+4y^2^=1； （Ⅱ）（i）证明：设P（x~0~，y~0~），可得x~0~^2^=2y~0~， 由y=![](./data/image/media/image11947.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}x^2^的导数为y′=x，即有切线的斜率为x~0~， 则切线的方程为y﹣y~0~=x~0~（x﹣x~0~）， 可化为y=x~0~x﹣y~0~，代入椭圆方程， 可得（1+4x~0~^2^）x^2^﹣8x~0~y~0~x+4y~0~^2^﹣1=0， △=64x~0~^2^y~0~^2^﹣4（1+4x~0~^2^）（4y~0~^2^﹣1）＞0，可得1+4x~0~^2^＞4y~0~^2^． 设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）， 可得x~1~+x~2~=![](./data/image/media/image30649.png){width="0.5833333333333334in" height="0.5451388888888888in"}，即有中点D（![](./data/image/media/image30650.png){width="0.5833333333333334in" height="0.5451388888888888in"}，﹣![](./data/image/media/image30651.png){width="0.5833333333333334in" height="0.5451388888888888in"}）， 直线OD的方程为y=﹣![](./data/image/media/image30652.png){width="0.3333333333333333in" height="0.42916666666666664in"}x，可令x=x~0~，可得y=﹣![](./data/image/media/image30653.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 即有点M在定直线y=﹣![](./data/image/media/image30653.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}上； （ii）直线l的方程为y=x~0~x﹣y~0~，令x=0，可得G（0，﹣y~0~）， 则S~1~=![](./data/image/media/image30654.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|FG\|•\|x~0~\|=![](./data/image/media/image28239.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}x~0~•（![](./data/image/media/image28239.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+y~0~）=![](./data/image/media/image20941.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}x~0~（1+x~0~^2^）； S~2~=![](./data/image/media/image28239.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|PM\|•\|x~0~﹣![](./data/image/media/image30655.png){width="0.5833333333333334in" height="0.5451388888888888in"}\|=![](./data/image/media/image28239.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}（y~0~+![](./data/image/media/image16680.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）•![](./data/image/media/image30656.png){width="1.2625in" height="0.5833333333333334in"}=![](./data/image/media/image30657.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}x~0~•![](./data/image/media/image30658.png){width="0.8652777777777778in" height="0.5833333333333334in"}， 则![](./data/image/media/image30659.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30660.png){width="1.4875in" height="0.5833333333333334in"}， 令1+2x~0~^2^=t（t≥1），则![](./data/image/media/image30661.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30662.png){width="1.4618055555555556in" height="0.6284722222222222in"}=![](./data/image/media/image30663.png){width="0.9680555555555556in" height="0.42916666666666664in"} =![](./data/image/media/image30664.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}=2+![](./data/image/media/image30665.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image30666.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}=﹣（![](./data/image/media/image30665.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image30667.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）^2^+![](./data/image/media/image30668.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 则当t=2，即x~0~=![](./data/image/media/image30669.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}时，![](./data/image/media/image30670.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}取得最大值![](./data/image/media/image30671.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 此时点P的坐标为（![](./data/image/media/image26703.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，![](./data/image/media/image30672.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）． 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题． 2016年山东省高考数学试卷（文科） ================================ **参考答案与试题解析** **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的.** 1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则∁~U~（A∪B）=（　　） A．{2，6} B．{3，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6} 【分析】求出A与B的并集，然后求解补集即可． 【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}， 则A∪B={1，3，4，5}． ∁~U~（A∪B）={2，6}． 故选：A． 【点评】本题考查集合的交、并、补的运算，考查计算能力． 2．（5分）若复数z=![](./data/image/media/image30673.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，其中i为虚数单位，则![](./data/image/media/image30674.png){width="0.10277777777777777in" height="0.18611111111111112in"}=（　　） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【分析】根据复数的四则运算先求出z，然后根据共轭复数的定义进行求解即可． 【解答】解：∵z=![](./data/image/media/image30675.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image30676.png){width="1.5451388888888888in" height="0.36527777777777776in"}=1+i， ∴![](./data/image/media/image30674.png){width="0.10277777777777777in" height="0.18611111111111112in"}=1﹣i， 故选：B． 【点评】本题主要考查复数的计算，根据复数的四则运算以及共轭复数的定义是解决本题的关键．比较基础． 3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是\[17.5，30\]，样本数据分组为\[17.5，20），\[20，22.5），\[22.5，25），\[25，27.5），\[27.5，30\]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30677.png){width="3.063888888888889in" height="1.7819444444444446in"} A．56 B．60 C．120 D．140 【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数． 【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7， 故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目． 4．（5分）若变量x，y满足![](./data/image/media/image30678.png){width="0.7951388888888888in" height="0.6472222222222223in"}，则x^2^+y^2^的最大值是（　　） A．4 B．9 C．10 D．12 【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x^2^+y^2^的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x^2^+y^2^的最大值． 【解答】解：由约束条件![](./data/image/media/image30678.png){width="0.7951388888888888in" height="0.6472222222222223in"}作出可行域如图， ∵A（0，﹣3），C（0，2）， ∴\|OA\|＞\|OC\|， 联立![](./data/image/media/image30679.png){width="0.7118055555555556in" height="0.4166666666666667in"}，解得B（3，﹣1）． ∵![](./data/image/media/image30680.png){width="1.9618055555555556in" height="0.25in"}， ∴x^2^+y^2^的最大值是10． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30681.png){width="2.0125in" height="1.5958333333333334in"} 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题． 5．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30682.png){width="2.0319444444444446in" height="2.686111111111111in"} A．![](./data/image/media/image30683.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30684.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}π B．![](./data/image/media/image30685.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30686.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}π C．![](./data/image/media/image30685.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30687.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}π D．1+![](./data/image/media/image30687.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}π 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥， 半球的直径为棱锥的底面对角线， 由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=![](./data/image/media/image30688.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． 故R=![](./data/image/media/image30689.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，故半球的体积为：![](./data/image/media/image30690.png){width="0.9291666666666667in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image30687.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}π， 棱锥的底面面积为：1，高为1， 故棱锥的体积V=![](./data/image/media/image30685.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 故组合体的体积为：![](./data/image/media/image30685.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30687.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}π， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 6．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则"直线a和直线b相交"是"平面α和平面β相交"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则"直线a和直线b相交"⇒"平面α和平面β相交"，反之不成立． 【解答】解：直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则"直线a和直线b相交"⇒"平面α和平面β相交"， 反之不成立． ∴"直线a和直线b相交"是"平面α和平面β相交"的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题． 7．（5分）已知圆M：x^2^+y^2^﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2![](./data/image/media/image30691.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，则圆M与圆N：（x﹣1）^2^+（y﹣1）^2^=1的位置关系是（　　） A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可． 【解答】解：圆的标准方程为M：x^2^+（y﹣a）^2^=a^2^ （a＞0）， 则圆心为（0，a），半径R=a， 圆心到直线x+y=0的距离d=![](./data/image/media/image30692.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}， ∵圆M：x^2^+y^2^﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2![](./data/image/media/image30693.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， ∴2![](./data/image/media/image30694.png){width="0.5958333333333333in" height="0.25in"}=2![](./data/image/media/image30695.png){width="0.6284722222222222in" height="0.4486111111111111in"}=2![](./data/image/media/image30696.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4486111111111111in"}=2![](./data/image/media/image30693.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 即![](./data/image/media/image30696.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4486111111111111in"}=![](./data/image/media/image30693.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，即a^2^=4，a=2， 则圆心为M（0，2），半径R=2， 圆N：（x﹣1）^2^+（y﹣1）^2^=1的圆心为N（1，1），半径r=1， 则MN=![](./data/image/media/image30697.png){width="0.5958333333333333in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image30693.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， ∵R+r=3，R﹣r=1， ∴R﹣r＜MN＜R+r， 即两个圆相交． 故选：B． 【点评】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键． 8．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a^2^=2b^2^（1﹣sinA），则A=（　　） A．![](./data/image/media/image30698.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image30699.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image30700.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} D．![](./data/image/media/image30701.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} 【分析】利用余弦定理，建立方程关系得到1﹣cosA=1﹣sinA，即sinA=cosA，进行求解即可． 【解答】解：∵b=c， ∴a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA=2b^2^﹣2b^2^cosA=2b^2^（1﹣cosA）， ∵a^2^=2b^2^（1﹣sinA）， ∴1﹣cosA=1﹣sinA， 则sinA=cosA，即tanA=1， 即A=![](./data/image/media/image30700.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 故选：C． 【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理建立方程关系是解决本题的关键． 9．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x^3^﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞![](./data/image/media/image30702.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，f（x+![](./data/image/media/image30702.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）=f（x﹣![](./data/image/media/image30702.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）．则f（6）=（　　） A．﹣2 B．1 C．0 D．2 【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x^3^﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论． 【解答】解：∵当x＞![](./data/image/media/image30702.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，f（x+![](./data/image/media/image30702.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）=f（x﹣![](./data/image/media/image30702.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）， ∴当x＞![](./data/image/media/image30702.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，f（x+1）=f（x），即周期为1． ∴f（6）=f（1）， ∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）， ∴f（1）=﹣f（﹣1）， ∵当x＜0时，f（x）=x^3^﹣1， ∴f（﹣1）=﹣2， ∴f（1）=﹣f（﹣1）=2， ∴f（6）=2． 故选：D． 【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题． 10．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　） A．y=sinx B．y=lnx C．y=e^x^ D．y=x^3^ 【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案． 【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 当y=sinx时，y′=cosx，满足条件； 当y=lnx时，y′=![](./data/image/media/image30703.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＞0恒成立，不满足条件； 当y=e^x^时，y′=e^x^＞0恒成立，不满足条件； 当y=x^3^时，y′=3x^2^＞0恒成立，不满足条件； 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档． **二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.** 11．（5分）执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为[　1　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30704.png){width="2.198611111111111in" height="3.5319444444444446in"} 【分析】根据程序框图进行模拟计算即可． 【解答】解：若输入n的值为3， 则第一次循环，S=0+![](./data/image/media/image30705.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}﹣1=![](./data/image/media/image30705.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}﹣1，1≥3不成立， 第二次循环，S=![](./data/image/media/image30705.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}﹣1+![](./data/image/media/image30706.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}![](./data/image/media/image30707.png){width="0.3138888888888889in" height="0.18611111111111112in"}=![](./data/image/media/image30706.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}﹣1，2≥3不成立， 第三次循环，S=![](./data/image/media/image30708.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}﹣1+![](./data/image/media/image30709.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}﹣![](./data/image/media/image30708.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}=![](./data/image/media/image30709.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}﹣1=2﹣1=1，3≥3成立， 程序终止，输出S=1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，进行模拟运算是解决本题的关键． 12．（5分）观察下列等式： （sin![](./data/image/media/image30710.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+（sin![](./data/image/media/image30711.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^=![](./data/image/media/image30712.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×1×2； （sin![](./data/image/media/image30713.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+（sin![](./data/image/media/image30714.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+（sin![](./data/image/media/image30715.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+sin（![](./data/image/media/image30716.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^=![](./data/image/media/image30712.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×2×3； （sin![](./data/image/media/image30717.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+（sin![](./data/image/media/image30718.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+（sin![](./data/image/media/image30719.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+...+sin（![](./data/image/media/image30720.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^=![](./data/image/media/image30721.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×3×4； （sin![](./data/image/media/image30722.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+（sin![](./data/image/media/image30723.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+（sin![](./data/image/media/image30724.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+...+sin（![](./data/image/media/image30725.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^=![](./data/image/media/image30721.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×4×5； ... 照此规律， （sin![](./data/image/media/image30726.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+（sin![](./data/image/media/image30727.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+（sin![](./data/image/media/image30728.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+...+（sin![](./data/image/media/image30729.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^=[　]{.underline}![](./data/image/media/image30730.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}[n（n+1）　]{.underline}． 【分析】由题意可以直接得到答案． 【解答】解：观察下列等式： （sin![](./data/image/media/image30731.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+（sin![](./data/image/media/image30732.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^=![](./data/image/media/image30730.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×1×2； （sin![](./data/image/media/image30733.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+（sin![](./data/image/media/image30734.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+（sin![](./data/image/media/image30735.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+sin（![](./data/image/media/image30736.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^=![](./data/image/media/image30730.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×2×3； （sin![](./data/image/media/image30737.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+（sin![](./data/image/media/image30738.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+（sin![](./data/image/media/image30739.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+...+sin（![](./data/image/media/image30740.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^=![](./data/image/media/image30741.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×3×4； （sin![](./data/image/media/image30742.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+（sin![](./data/image/media/image30743.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+（sin![](./data/image/media/image30744.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+...+sin（![](./data/image/media/image30745.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^=![](./data/image/media/image30741.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×4×5； ... 照此规律（sin![](./data/image/media/image30746.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+（sin![](./data/image/media/image30747.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+（sin![](./data/image/media/image30748.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^+...+（sin![](./data/image/media/image30749.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}）^﹣2^=![](./data/image/media/image30750.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×n（n+1）， 故答案为：![](./data/image/media/image30750.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}n（n+1） 【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键是找到相对应的规律，属于基础题． 13．（5分）已知向量![](./data/image/media/image30751.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（1，﹣1），![](./data/image/media/image30752.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（6，﹣4），若![](./data/image/media/image30751.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}⊥（t![](./data/image/media/image30751.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30753.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}），则实数t的值为[　﹣5　]{.underline}． 【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可． 【解答】解：∵向量![](./data/image/media/image30754.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（1，﹣1），![](./data/image/media/image30753.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（6，﹣4）， ∴t![](./data/image/media/image30754.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30753.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（t+6，﹣t﹣4）， ∵![](./data/image/media/image30754.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}⊥（t![](./data/image/media/image30754.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30753.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}）， ∴![](./data/image/media/image30754.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}•（t![](./data/image/media/image30754.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30753.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}）=t+6+t+4=0， 解得t=﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了向量的数量积的运算以及向量垂直的条件，属于基础题． 14．（5分）已知双曲线E：![](./data/image/media/image30755.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}﹣![](./data/image/media/image30756.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2\|AB\|=3\|BC\|，则E的离心率是[　2　]{.underline}． 【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±![](./data/image/media/image30757.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2\|AB\|=3\|BC\|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值． 【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b![](./data/image/media/image30758.png){width="0.5194444444444445in" height="0.5in"}=±![](./data/image/media/image30759.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}， 由题意可设A（﹣c，![](./data/image/media/image30759.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}），B（﹣c，﹣![](./data/image/media/image30759.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}），C（c，﹣![](./data/image/media/image30759.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}），D（c，![](./data/image/media/image30759.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}）， 由2\|AB\|=3\|BC\|，可得 2•![](./data/image/media/image30760.png){width="0.3333333333333333in" height="0.42916666666666664in"}=3•2c，即为2b^2^=3ac， 由b^2^=c^2^﹣a^2^，e=![](./data/image/media/image30761.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，可得2e^2^﹣3e﹣2=0， 解得e=2（负的舍去）． 故答案为：2． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30762.png){width="2.102777777777778in" height="2.1666666666666665in"} 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题． 15．（5分）已知函数f（x）=![](./data/image/media/image30763.png){width="1.4041666666666666in" height="0.4875in"}，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是[　（3，+∞）　]{.underline}． 【分析】作出函数f（x）=![](./data/image/media/image30763.png){width="1.4041666666666666in" height="0.4875in"}的图象，依题意，可得4m﹣m^2^＜m（m＞0），解之即可． 【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=![](./data/image/media/image30763.png){width="1.4041666666666666in" height="0.4875in"}的图象如下： ∵x＞m时，f（x）=x^2^﹣2mx+4m=（x﹣m）^2^+4m﹣m^2^＞4m﹣m^2^， ∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根， 必须4m﹣m^2^＜m（m＞0）， 即m^2^＞3m（m＞0）， 解得m＞3， ∴m的取值范围是（3，+∞）， 故答案为：（3，+∞）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30764.png){width="4.666666666666667in" height="2.6284722222222223in"} 【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m﹣m^2^＜m是难点，属于中档题． **三、解答题：本大题共6小题，共75分** 16．（12分）某儿童节在"六一"儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下： ①若xy≤3，则奖励玩具一个； ②若xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． （Ⅰ）求小亮获得玩具的概率； （Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30765.png){width="1.0638888888888889in" height="1.6152777777777778in"} 【分析】（Ⅰ）确定基本事件的概率，利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具的概率； （Ⅱ）求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（3，3），（4，2），（4，3），（4，4），共16个， 满足xy≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ∴小亮获得玩具的概率为![](./data/image/media/image30766.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}； （Ⅱ）满足xy≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个，∴小亮获得水杯的概率为![](./data/image/media/image30767.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}； 小亮获得饮料的概率为1﹣![](./data/image/media/image30768.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image30769.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image30768.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率． 【点评】本题考查概率的计算，考查古典概型，确定基本事件的个数是关键． 17．（12分）设f（x）=2![](./data/image/media/image30770.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）^2^． （Ⅰ）求f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移![](./data/image/media/image30771.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（![](./data/image/media/image30772.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）的值． 【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间． （Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（![](./data/image/media/image30772.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2![](./data/image/media/image16244.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）^2^ =2![](./data/image/media/image16244.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}sin^2^x﹣1+sin2x=2![](./data/image/media/image16244.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}•![](./data/image/media/image30773.png){width="0.6347222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣1+sin2x =sin2x﹣![](./data/image/media/image16244.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}cos2x+![](./data/image/media/image16244.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}﹣1=2sin（2x﹣![](./data/image/media/image16245.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）+![](./data/image/media/image16244.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}﹣1， 令2kπ﹣![](./data/image/media/image16242.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}≤2x﹣![](./data/image/media/image16245.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}≤2kπ+![](./data/image/media/image30774.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，求得kπ﹣![](./data/image/media/image30775.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}≤x≤kπ+![](./data/image/media/image30776.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 可得函数的增区间为\[kπ﹣![](./data/image/media/image30775.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，kπ+![](./data/image/media/image30776.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}\]，k∈Z． （Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣![](./data/image/media/image30777.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）+![](./data/image/media/image30778.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}﹣1的图象； 再把得到的图象向左平移![](./data/image/media/image30777.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+![](./data/image/media/image30778.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}﹣1的图象， ∴g（![](./data/image/media/image30779.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=2sin![](./data/image/media/image30779.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30780.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}﹣1=![](./data/image/media/image30780.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． 【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题． 18．（12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB． （Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB； （Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30781.png){width="1.6027777777777779in" height="1.8333333333333333in"} 【分析】（Ⅰ）由条件利用等腰三角形的性质，证得BD⊥AC，ED⊥AC，再利用直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面EFBD，从而证得AC⊥FB． （Ⅱ）再取CF的中点O，利用直线和平面平行的判定定理证明 OG∥平面ABC，OH∥平面ABC，可得平面OGH∥平面ABC，从而证得GH∥平面ABC． 【解答】（Ⅰ）证明：如图所示，∵D是AC的中点，AB=BC，AE=EC， ∴△BAC、△EAC都是等腰三角形， ∴BD⊥AC，ED⊥AC． ∵EF∥DB，∴E、F、B、D四点共面，这样， AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD， ∴AC⊥平面EFBD． 显然，FB⊂平面EFBD，∴AC⊥FB． （Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O， 则OG∥EF，又∵EF∥DB，故有OG∥BD， 而BD⊂平面ABC，∴OG∥平面ABC． 同理，OH∥BC，而BC⊂平面ABC，∴OH∥平面ABC． ∵OG∩OH=O，∴平面OGH∥平面ABC，∴GH∥平面ABC． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30782.png){width="2.1347222222222224in" height="2.095833333333333in"} 【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定和性质，直线和平面平行的判定与性质，属于中档题． 19．（12分）已知数列{a~n~}的前n项和S~n~=3n^2^+8n，{b~n~}是等差数列，且a~n~=b~n~+b~n+1~． （Ⅰ）求数列{b~n~}的通项公式； （Ⅱ）令c~n~=![](./data/image/media/image30783.png){width="0.8458333333333333in" height="0.5833333333333334in"}，求数列{c~n~}的前n项和T~n~． 【分析】（Ⅰ）求出数列{a~n~}的通项公式，再求数列{b~n~}的通项公式； （Ⅱ）求出数列{c~n~}的通项，利用错位相减法求数列{c~n~}的前n项和T~n~． 【解答】解：（Ⅰ）S~n~=3n^2^+8n， ∴n≥2时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~=6n+5， n=1时，a~1~=S~1~=11，∴a~n~=6n+5； ∵a~n~=b~n~+b~n+1~， ∴a~n﹣1~=b~n﹣1~+b~n~， ∴a~n~﹣a~n﹣1~=b~n+1~﹣b~n﹣1~． ∴2d=6， ∴d=3， ∵a~1~=b~1~+b~2~， ∴11=2b~1~+3， ∴b~1~=4， ∴b~n~=4+3（n﹣1）=3n+1； （Ⅱ）c~n~=![](./data/image/media/image30783.png){width="0.8458333333333333in" height="0.5833333333333334in"}=![](./data/image/media/image30784.png){width="0.8013888888888889in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30785.png){width="1.1861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30786.png){width="1.2951388888888888in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30787.png){width="0.75in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30788.png){width="1.1861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30788.png){width="1.1861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}=6（n+1）•2^n^， ∴T~n~=6\[2•2+3•2^2^+...+（n+1）•2^n^\]①， ∴2T~n~=6\[2•2^2^+3•2^3^+...+n•2^n^+（n+1）•2^n+1^\]②， ①﹣②可得 ﹣T~n~=6\[2•2+2^2^+2^3^+...+2^n^﹣（n+1）•2^n+1^\] =12+6×![](./data/image/media/image30789.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42916666666666664in"}﹣6（n+1）•2^n+1^ =（﹣6n）•2^n+1^=﹣3n•2^n+2^， ∴T~n~=3n•2^n+2^． 【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题． 20．（13分）设f（x）=xln x﹣ax^2^+（2a﹣1）x，a∈R． （1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间； （2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求正实数a的取值范围． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数g（x）的单调区间即可； （2）通过讨论a的范围，得到函数f（x）的单调区间，结合函数的极大值，求出a的范围即可． 【解答】解：（1）由f′（x）=ln x﹣2ax+2a， 可得g（x）=ln x﹣2ax+2a，x∈（0，+∞）， 所以g′（x）=![](./data/image/media/image30790.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣2a=![](./data/image/media/image30791.png){width="0.46805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 当a≤0，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增； 当a＞0，x∈（0，![](./data/image/media/image30792.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增， x∈（![](./data/image/media/image30792.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减． 所以当a≤0时，g（x）的单调增区间为（0，+∞）； 当a＞0时，g（x）的单调增区间为（0，![](./data/image/media/image30792.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}），单调减区间为（![](./data/image/media/image30792.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，+∞）．...（6分） （2）由（1）知，f′（1）=0． ①当0＜a＜![](./data/image/media/image30793.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，![](./data/image/media/image30794.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}＞1，由（1）知f′（x）在（0，![](./data/image/media/image30794.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）内单调递增， 可得当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，![](./data/image/media/image30794.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）时，f′（x）＞0． 所以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，![](./data/image/media/image30794.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）内单调递增， 所以f（x）在x=1处取得极小值，不合题意． ②当a=![](./data/image/media/image30795.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，![](./data/image/media/image30794.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减， 所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意． ③当a＞![](./data/image/media/image30795.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，0＜![](./data/image/media/image30794.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}＜1，当x∈（![](./data/image/media/image30794.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减． 所以f（x）在x=1处取极大值，符合题意． 综上可知，正实数a的取值范围为（![](./data/image/media/image30796.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，+∞）．...（12分） 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 21．（14分）已知椭圆 ![](./data/image/media/image30797.png){width="1.7625in" height="0.4875in"}的长轴长为4，焦距为![](./data/image/media/image30798.png){width="0.3138888888888889in" height="0.18611111111111112in"}． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B． （ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k~1~，k~2~，证明![](./data/image/media/image30799.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}为定值； （ⅱ）求直线AB的斜率的最小值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30800.png){width="2.0708333333333333in" height="1.5in"} 【分析】（Ⅰ）结合题意分别求出a，c的值，再求出b的值，求出椭圆方程即可； （Ⅱ）（i）设出P的坐标，表示出直线PM，QM的斜率，作比即可； （ii）设出A，B的坐标，分别求出PA，QB的方程，联立方程组，求出直线AB的斜率的解析式，根据不等式的性质计算即可． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c．由题意知![](./data/image/media/image30801.png){width="1.0638888888888889in" height="0.21180555555555555in"}， 所以![](./data/image/media/image30802.png){width="1.5125in" height="0.25in"}．所以椭圆C的方程为![](./data/image/media/image30803.png){width="0.7375in" height="0.4361111111111111in"}． （Ⅱ）证明：（ⅰ）设P（x~0~，y~0~）（x~0~＞0，y~0~＞0）， 由M（0，m），可得P（x~0~，2m），Q（x~0~，﹣2m）． 所以直线PM的斜率k~1~=![](./data/image/media/image30804.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image30805.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}，直线QM的斜率k~2~=![](./data/image/media/image30806.png){width="0.46805555555555556in" height="0.42916666666666664in"}=﹣![](./data/image/media/image30807.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}， 此时![](./data/image/media/image30808.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}=﹣3．所以![](./data/image/media/image30808.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}为定值﹣3． （ⅱ）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）．直线PA的方程为y=kx+m， 直线QB的方程为y=﹣3kx+m． 联立 ![](./data/image/media/image30809.png){width="0.8458333333333333in" height="0.6791666666666667in"}整理得（2k^2^+1）x^2^+4mkx+2m^2^﹣4=0． 由![](./data/image/media/image30810.png){width="1.0125in" height="0.48055555555555557in"}，可得![](./data/image/media/image30811.png){width="1.1791666666666667in" height="0.5319444444444444in"}， 所以![](./data/image/media/image30812.png){width="1.9041666666666666in" height="0.5319444444444444in"}．同理![](./data/image/media/image30813.png){width="2.8847222222222224in" height="0.5319444444444444in"}． 所以![](./data/image/media/image30814.png){width="4.218055555555556in" height="0.5319444444444444in"}， ![](./data/image/media/image30815.png){width="4.551388888888889in" height="0.5319444444444444in"}， 所以![](./data/image/media/image30816.png){width="2.3333333333333335in" height="0.4875in"}．由m＞0，x~0~＞0，可知k＞0， 所以![](./data/image/media/image30817.png){width="0.8847222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，等号当且仅当![](./data/image/media/image30818.png){width="0.42916666666666664in" height="0.38472222222222224in"}时取得， 此时![](./data/image/media/image30819.png){width="0.9486111111111111in" height="0.46805555555555556in"}，即![](./data/image/media/image30820.png){width="0.5125in" height="0.38472222222222224in"}， 所以直线AB 的斜率的最小值为![](./data/image/media/image30821.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查了椭圆的方程问题，考查直线的斜率以及椭圆的性质，考查函数求最值问题，是一道综合题． 2016年四川省高考数学试卷（理科） ================================ **参考答案与试题解析** **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．** 1．（5分）设集合A={x\|﹣2≤x≤2}，Z为整数集，则A∩Z中元素的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由A与Z，求出两集合的交集，即可作出判断． 【解答】解：∵A={x\|﹣2≤x≤2}，Z为整数集， ∴A∩Z={﹣2，﹣1，0，1，2}， 则A∩Z中元素的个数是5， 故选：C． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5分）设i为虚数单位，则（x+i）^6^的展开式中含x^4^的项为（　　） A．﹣15x^4^ B．15x^4^ C．﹣20ix^4^ D．20ix^4^ 【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案． 【解答】解：（x+i）^6^的展开式中含x^4^的项为![](./data/image/media/image30822.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}x^4^•i^2^=﹣15x^4^， 故选：A． 【点评】本题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键，属于中档题． 3．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣![](./data/image/media/image30823.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（　　） A．向左平行移动![](./data/image/media/image30823.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度 B．向右平行移动![](./data/image/media/image30823.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度 C．向左平行移动![](./data/image/media/image24061.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度 D．向右平行移动![](./data/image/media/image24061.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度 【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论． 【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移![](./data/image/media/image24061.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣![](./data/image/media/image24061.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=sin（2x﹣![](./data/image/media/image30824.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）的图象， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题． 4．（5分）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（　　） A．24 B．48 C．60 D．72 【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可． 【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法， 然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有![](./data/image/media/image30825.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}=24种排法． 由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个． 故选：D． 【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做到合理的分布，是基础题． 5．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（　　） （参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30） A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）^n﹣2015^＞200，两边取对数即可得出． 【解答】解：设第n年开始超过200万元， 则130×（1+12%）^n﹣2015^＞200， 化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3， n﹣2015＞![](./data/image/media/image30826.png){width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=3.8． 取n=2019． 因此开始超过200万元的年份是2019年． 故选：B． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30827.png){width="2.095833333333333in" height="4.154166666666667in"} A．9 B．18 C．20 D．35 【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为18． 【解答】解：初始值n=3，x=2，程序运行过程如下表所示： v=1 i=2 v=1×2+2=4 i=1 v=4×2+1=9 i=0 v=9×2+0=18 i=﹣1 跳出循环，输出v的值为18． 故选：B． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i，v的值是解题的关键，属于基础题． 7．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）^2^+（y﹣1）^2^≤2，q：实数x，y满足![](./data/image/media/image30828.png){width="0.6284722222222222in" height="0.6541666666666667in"}，则p是q的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案． 【解答】解：（x﹣1）^2^+（y﹣1）^2^≤2表示以（1，1）为圆心，以![](./data/image/media/image30829.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}为半径的圆内区域（包括边界）； 满足![](./data/image/media/image30828.png){width="0.6284722222222222in" height="0.6541666666666667in"}的可行域如图有阴影部分所示， ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30830.png){width="2.095833333333333in" height="2.095833333333333in"} 故p是q的必要不充分条件， 故选：A． 【点评】本题考查的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档． 8．（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y^2^=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且\|PM\|=2\|MF\|，则直线OM的斜率的最大值为（　　） A．![](./data/image/media/image30831.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} B．![](./data/image/media/image30832.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image30833.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} D．1 【分析】由题意可得F（![](./data/image/media/image30834.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，0），设P（![](./data/image/media/image30835.png){width="0.3138888888888889in" height="0.4875in"}，y~0~），要求k~OM~的最大值，设y~0~＞0，运用向量的加减运算可得![](./data/image/media/image30836.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image17397.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image30837.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image17399.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image30838.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（![](./data/image/media/image30839.png){width="0.3138888888888889in" height="0.4875in"}+![](./data/image/media/image30840.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image30841.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值． 【解答】解：由题意可得F（![](./data/image/media/image30842.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，0），设P（![](./data/image/media/image30843.png){width="0.3138888888888889in" height="0.4875in"}，y~0~）， 显然当y~0~＜0，k~OM~＜0；当y~0~＞0，k~OM~＞0． 要求k~OM~的最大值，设y~0~＞0， 则![](./data/image/media/image30844.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30845.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30846.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30845.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30847.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image30848.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30849.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image30847.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}（![](./data/image/media/image30850.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}﹣![](./data/image/media/image30849.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}） =![](./data/image/media/image30847.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image30850.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image19075.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}![](./data/image/media/image30851.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（![](./data/image/media/image30852.png){width="0.3138888888888889in" height="0.4875in"}+![](./data/image/media/image30853.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image30854.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}）， 可得k~OM~=![](./data/image/media/image30855.png){width="0.5833333333333334in" height="0.9486111111111111in"}=![](./data/image/media/image30856.png){width="0.5833333333333334in" height="0.6986111111111111in"}≤![](./data/image/media/image30857.png){width="0.7951388888888888in" height="0.7180555555555556in"}=![](./data/image/media/image30858.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}， 当且仅当y~0~^2^=2p^2^，取得等号． 故选：C． 【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题． 9．（5分）设直线l~1~，l~2~分别是函数f（x）=![](./data/image/media/image30859.png){width="1.2118055555555556in" height="0.4486111111111111in"}图象上点P~1~，P~2~处的切线，l~1~与l~2~垂直相交于点P，且l~1~，l~2~分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞） 【分析】设出点P~1~，P~2~的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l~1~与l~2~的斜率，由两直线垂直求得P~1~，P~2~的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到\|AB\|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围． 【解答】解：设P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~）（0＜x~1~＜1＜x~2~）， 当0＜x＜1时，f′（x）=![](./data/image/media/image30860.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}，当x＞1时，f′（x）=![](./data/image/media/image30861.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴l~1~的斜率![](./data/image/media/image30862.png){width="0.6027777777777777in" height="0.42916666666666664in"}，l~2~的斜率![](./data/image/media/image30863.png){width="0.5194444444444445in" height="0.42916666666666664in"}， ∵l~1~与l~2~垂直，且x~2~＞x~1~＞0， ∴![](./data/image/media/image30864.png){width="1.5in" height="0.42916666666666664in"}，即x~1~x~2~=1． 直线l~1~：![](./data/image/media/image30865.png){width="1.5125in" height="0.42916666666666664in"}，l~2~：![](./data/image/media/image30866.png){width="1.4291666666666667in" height="0.42916666666666664in"}． 取x=0分别得到A（0，1﹣lnx~1~），B（0，﹣1+lnx~2~）， \|AB\|=\|1﹣lnx~1~﹣（﹣1+lnx~2~）\|=\|2﹣（lnx~1~+lnx~2~）\|=\|2﹣lnx~1~x~2~\|=2． 联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=![](./data/image/media/image30867.png){width="0.5194444444444445in" height="0.48055555555555557in"}， ∴![](./data/image/media/image30868.png){width="0.6986111111111111in" height="0.36527777777777776in"}\|AB\|•\|x~P~\|=![](./data/image/media/image30869.png){width="1.0958333333333334in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30870.png){width="1.1791666666666667in" height="0.6284722222222222in"}． ∵函数y=x+![](./data/image/media/image30871.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}在（0，1）上为减函数，且0＜x~1~＜1， ∴![](./data/image/media/image30872.png){width="1.1284722222222223in" height="0.42916666666666664in"}，则![](./data/image/media/image30873.png){width="1.1472222222222221in" height="0.6284722222222222in"}， ∴![](./data/image/media/image30874.png){width="1.0958333333333334in" height="0.6284722222222222in"}． ∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）． 故选：A． 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题． 10．（5分）在平面内，定点A，B，C，D满足![](./data/image/media/image30875.png){width="0.3972222222222222in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30876.png){width="0.3972222222222222in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30877.png){width="0.3972222222222222in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image30878.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30879.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30880.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30881.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30881.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30882.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=﹣2，动点P，M满足![](./data/image/media/image30883.png){width="0.3972222222222222in" height="0.21180555555555555in"}=1，![](./data/image/media/image30884.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30885.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，则\|![](./data/image/media/image30886.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^的最大值是（　　） A．![](./data/image/media/image30887.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image30888.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image30889.png){width="0.5958333333333333in" height="0.38472222222222224in"} D．![](./data/image/media/image30890.png){width="0.6791666666666667in" height="0.38472222222222224in"} 【分析】由![](./data/image/media/image30891.png){width="0.3972222222222222in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30892.png){width="0.3972222222222222in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30893.png){width="0.3972222222222222in" height="0.21180555555555555in"}，可得D为△ABC的外心，又![](./data/image/media/image30894.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30895.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30895.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30896.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30896.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30894.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值． 【解答】解：由![](./data/image/media/image30897.png){width="0.3972222222222222in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30898.png){width="0.3972222222222222in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30899.png){width="0.3972222222222222in" height="0.21180555555555555in"}，可得D为△ABC的外心， 又![](./data/image/media/image30900.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30901.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30901.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30902.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30902.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30900.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，可得 ![](./data/image/media/image30901.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•（![](./data/image/media/image30903.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}﹣![](./data/image/media/image30904.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}）=0，![](./data/image/media/image30904.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•（![](./data/image/media/image30905.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}﹣![](./data/image/media/image30903.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}）=0， 即![](./data/image/media/image30905.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30906.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30904.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30907.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=0， 即有![](./data/image/media/image30908.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}⊥![](./data/image/media/image30909.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，![](./data/image/media/image30910.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}⊥![](./data/image/media/image30911.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，可得D为△ABC的垂心， 则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形． 由![](./data/image/media/image30912.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image30908.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=﹣2，即有\|![](./data/image/media/image30912.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}\|•\|![](./data/image/media/image30912.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}\|cos120°=﹣2， 解得\|![](./data/image/media/image30913.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}\|=2，△ABC的边长为4cos30°=2![](./data/image/media/image30914.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy， 可得B（3，﹣![](./data/image/media/image30914.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}），C（3，![](./data/image/media/image30914.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}），D（2，0）， 由![](./data/image/media/image30915.png){width="0.3972222222222222in" height="0.21180555555555555in"}=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π）， 由![](./data/image/media/image30916.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image30917.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，可得M为PC的中点，即有M（![](./data/image/media/image30918.png){width="0.6347222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image30919.png){width="0.7625in" height="0.38472222222222224in"}）， 则\|![](./data/image/media/image30920.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^=（3﹣![](./data/image/media/image30918.png){width="0.6347222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）^2^+（![](./data/image/media/image30919.png){width="0.7625in" height="0.38472222222222224in"}+![](./data/image/media/image22551.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}）^2^ =![](./data/image/media/image30921.png){width="0.9166666666666666in" height="0.42916666666666664in"}+![](./data/image/media/image30922.png){width="1.1472222222222221in" height="0.4486111111111111in"}=![](./data/image/media/image30923.png){width="1.6152777777777778in" height="0.38472222222222224in"} =![](./data/image/media/image30924.png){width="1.3784722222222223in" height="0.5638888888888889in"}， 当sin（θ﹣![](./data/image/media/image30925.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=1，即θ=![](./data/image/media/image30926.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}时，取得最大值，且为![](./data/image/media/image30927.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30928.png){width="1.8972222222222221in" height="2.2694444444444444in"} 【点评】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题． **二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．** 11．（5分）![](./data/image/media/image30929.png){width="0.5833333333333334in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image30930.png){width="0.5833333333333334in" height="0.36527777777777776in"}=[　]{.underline}![](./data/image/media/image30931.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}[　]{.underline}． 【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值． 【解答】解：cos^2^![](./data/image/media/image30932.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣sin^2^![](./data/image/media/image30932.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} =cos（2×![](./data/image/media/image30932.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=cos![](./data/image/media/image30933.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image30934.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image30934.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} 【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键． 12．（5分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是[　]{.underline}![](./data/image/media/image30935.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【分析】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在2次试验中成功次数X～B（2，![](./data/image/media/image30936.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}），由此能求出在2次试验中成功次数X的均值E（X）． 【解答】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功， ∴这次试验成功的概率p=1﹣（![](./data/image/media/image30937.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）^2^=![](./data/image/media/image30936.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴在2次试验中成功次数X～B（2，![](./data/image/media/image30936.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）， ∴在2次试验中成功次数X的均值E（X）=![](./data/image/media/image30938.png){width="0.4041666666666667in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image30939.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image30939.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用． 13．（5分）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是[　]{.underline}![](./data/image/media/image30940.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}[　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30941.png){width="1.4680555555555554in" height="0.8652777777777778in"} 【分析】由已知结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2![](./data/image/media/image30942.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，高为1，棱锥的高为1，进而得到答案． 【解答】解：∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形， 结合给定的三棱锥的正视图， 可得：三棱锥的底面是底为2![](./data/image/media/image30943.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，高为1， 棱锥的高为1， 故棱锥的体积V=![](./data/image/media/image30944.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×（![](./data/image/media/image24678.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×2![](./data/image/media/image30943.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}×1）×1=![](./data/image/media/image30945.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}， 故答案为：![](./data/image/media/image30945.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"} 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键． 14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x^，则f（﹣![](./data/image/media/image30946.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）+f（2）=[　﹣2　]{.underline}． 【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可． 【解答】解：∵函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x^， ∴f（2）=f（0）=0， f（﹣![](./data/image/media/image30946.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）=f（﹣![](./data/image/media/image30946.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+2）=f（﹣![](./data/image/media/image22574.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）=﹣f（![](./data/image/media/image22574.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）=﹣![](./data/image/media/image30947.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}=﹣![](./data/image/media/image30948.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}=﹣2， 则f（﹣![](./data/image/media/image30946.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）+f（2）=﹣2+0=﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键． 15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的"伴随点"为P′（![](./data/image/media/image30949.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4486111111111111in"}，![](./data/image/media/image30950.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4361111111111111in"}）；当P是原点时，定义P的"伴随点"为它自身，平面曲线C上所有点的"伴随点"所构成的曲线C′定义为曲线C的"伴随曲线"．现有下列命题： ①若点A的"伴随点"是点A′，则点A′的"伴随点"是点A； ②单位圆的"伴随曲线"是它自身； ③若曲线C关于x轴对称，则其"伴随曲线"C′关于y轴对称； ④一条直线的"伴随曲线"是一条直线． 其中的真命题是[　②③　]{.underline}（写出所有真命题的序列）． 【分析】利用新定义，对4个命题分别进行判断，即可得出结论． 【解答】解：①若点A（x，y）的"伴随点"是点A′（![](./data/image/media/image30949.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4486111111111111in"}，![](./data/image/media/image30951.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4361111111111111in"}），则点A′（![](./data/image/media/image30952.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4486111111111111in"}，![](./data/image/media/image30951.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4361111111111111in"}）的"伴随点"是点（﹣x，﹣y），故不正确； ②由①可知，单位圆的"伴随曲线"是它自身，故正确； ③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），"伴随点"是点A′（﹣![](./data/image/media/image30952.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4486111111111111in"}，![](./data/image/media/image30951.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4361111111111111in"}），则其"伴随曲线"C′关于y轴对称，故正确； ④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的"伴随点"是点A′（m，n），则 ∵点A（x，y）的"伴随点"是点A′（![](./data/image/media/image30952.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4486111111111111in"}，![](./data/image/media/image30953.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4361111111111111in"}），∴![](./data/image/media/image30954.png){width="0.4618055555555556in" height="0.3784722222222222in"}，∴x=﹣![](./data/image/media/image30955.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，y=![](./data/image/media/image30956.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"} ∵m=![](./data/image/media/image30957.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4486111111111111in"}，∴代入整理可得![](./data/image/media/image30958.png){width="0.7305555555555555in" height="0.36527777777777776in"}n﹣1=0表示圆，故不正确． 故答案为：②③． 【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解"伴随点"的定义是解题的关键． **三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．** 16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照\[0，0.5），\[0.5，1），...，\[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求直方图中a的值； （Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30959.png){width="3.295138888888889in" height="2.063888888888889in"} 【分析】（Ⅰ）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值； （Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数； （Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值． 【解答】解：（Ⅰ）∵0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1， ∴a=0.3； （Ⅱ）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12， 由30×0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万； （Ⅲ）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73＜85%； 月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88＞85%； 则x=2.5+0.5×![](./data/image/media/image30960.png){width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=2.9吨 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题． 17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且![](./data/image/media/image30961.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30962.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image30963.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}． （Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC； （Ⅱ）若b^2^+c^2^﹣a^2^=![](./data/image/media/image30964.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}bc，求tanB． 【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明． （Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可． 【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵![](./data/image/media/image30961.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30965.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image30966.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}， ∴由正弦定理得：![](./data/image/media/image30967.png){width="1.3652777777777778in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![](./data/image/media/image30968.png){width="1.4680555555555554in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image30969.png){width="0.9041666666666667in" height="0.36527777777777776in"}， ∵sin（A+B）=sinC． ∴整理可得：sinAsinB=sinC， （Ⅱ）解：b^2^+c^2^﹣a^2^=![](./data/image/media/image30970.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}bc，由余弦定理可得cosA=![](./data/image/media/image30971.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． sinA=![](./data/image/media/image30972.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image30973.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image30974.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} ![](./data/image/media/image30975.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image30976.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image30977.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=1，![](./data/image/media/image30976.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image30978.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， tanB=4． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题． 18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=![](./data/image/media/image27951.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°． （Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由； （Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30979.png){width="1.8208333333333333in" height="1.448611111111111in"} 【分析】（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=![](./data/image/media/image21922.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}AD，由BC=CD=![](./data/image/media/image21922.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可． （II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=![](./data/image/media/image21922.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出． 【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=![](./data/image/media/image21922.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}AD， ∵BC=CD=![](./data/image/media/image21922.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}AD，∴ED=BC， ∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD． ∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE， ∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE， ∵M∈AB，AB⊂平面PAB， ∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE． （II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M， ∴AP⊥平面ABCD． ∴CD⊥PD，PA⊥AD． 因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°． ∴PA=AD． 不妨设AD=2，则BC=CD=![](./data/image/media/image30980.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0）， ∴![](./data/image/media/image30981.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（﹣1，1，0），![](./data/image/media/image30982.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（0，1，﹣2），![](./data/image/media/image30983.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（0，0，2）， 设平面PCE的法向量为![](./data/image/media/image30984.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（x，y，z），则![](./data/image/media/image30985.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}，可得：![](./data/image/media/image30986.png){width="0.6284722222222222in" height="0.4166666666666667in"}． 令y=2，则x=2，z=1，∴![](./data/image/media/image30987.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}=（2，2，1）． 设直线PA与平面PCE所成角为θ， 则sinθ=![](./data/image/media/image30988.png){width="1.2694444444444444in" height="0.23055555555555557in"}=![](./data/image/media/image30989.png){width="0.7180555555555556in" height="0.4486111111111111in"}=![](./data/image/media/image30990.png){width="0.5125in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image30991.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image30992.png){width="2.313888888888889in" height="1.7951388888888888in"} 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题． 19．（12分）已知数列{a~n~}的首项为1，S~n~为数列{a~n~}的前n项和，S~n+1~=qS~n~+1，其中q＞0，n∈N^\*^． （Ⅰ）若2a~2~，a~3~，a~2~+2成等差数列，求a~n~的通项公式； （Ⅱ）设双曲线x^2^﹣![](./data/image/media/image30993.png){width="0.23055555555555557in" height="0.5451388888888888in"}=1的离心率为e~n~，且e~2~=![](./data/image/media/image30994.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，证明：e~1~+e~2~+⋅⋅⋅+e~n~＞![](./data/image/media/image30995.png){width="0.5194444444444445in" height="0.48055555555555557in"}． 【分析】（Ⅰ）由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列{a~n~}为首项等于1、公比为q的等比数列，再根据2a~2~，a~3~，a~2~+2成等差数列求得公比q的值，可得{a~n~}的通项公式． （Ⅱ）利用双曲线的定义和简单性质求得e~n~=![](./data/image/media/image30996.png){width="0.5708333333333333in" height="0.3013888888888889in"}，根据e~2~=![](./data/image/media/image30997.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image30998.png){width="0.46805555555555556in" height="0.2625in"}，求得q的值，可得{a~n~}的解析式，再利用放缩法可得∴e~n~=![](./data/image/media/image30999.png){width="0.5708333333333333in" height="0.3013888888888889in"}＞![](./data/image/media/image31000.png){width="0.5708333333333333in" height="0.42916666666666664in"}，从而证得不等式成立． 【解答】解：（Ⅰ）∵S~n+1~=qS~n~+1 ①，∴当n≥2时，S~n~=qS~n﹣1~+1 ②，两式相减可得a~n+1~=q•a~n~， 即从第二项开始，数列{a~n~}为等比数列，公比为q． 当n=1时，∵数列{a~n~}的首项为1，∴a~1~+a~2~=S~2~=q•a~1~+1，∴a~2~ =a~1~•q， ∴数列{a~n~}为等比数列，公比为q． ∵2a~2~，a~3~，a~2~+2成等差数列，∴2a~3~ =2a~2~+a~2~+2，∴2q^2^=2q+q+2，求得q=2，或 q=﹣![](./data/image/media/image22572.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 根据q＞0，故取q=2，∴a~n~=2^n﹣1^，n∈N^\*^． （Ⅱ）证明：设双曲线x^2^﹣![](./data/image/media/image31001.png){width="0.23055555555555557in" height="0.5451388888888888in"}=1的离心率为e~n~， ∴e~n~=![](./data/image/media/image31002.png){width="0.6027777777777777in" height="0.5in"}=![](./data/image/media/image31003.png){width="0.5708333333333333in" height="0.3013888888888889in"}． 由于数列{a~n~}为首项等于1、公比为q的等比数列， ∴e~2~=![](./data/image/media/image31004.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31005.png){width="0.5708333333333333in" height="0.3013888888888889in"}=![](./data/image/media/image31006.png){width="0.46805555555555556in" height="0.2625in"}，q=![](./data/image/media/image31007.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴a~n~=![](./data/image/media/image31008.png){width="0.5708333333333333in" height="0.42916666666666664in"}，∴e~n~=![](./data/image/media/image31009.png){width="0.5708333333333333in" height="0.3013888888888889in"}=![](./data/image/media/image31010.png){width="0.9291666666666667in" height="0.4486111111111111in"}＞![](./data/image/media/image31011.png){width="0.7375in" height="0.4486111111111111in"}=![](./data/image/media/image31012.png){width="0.5708333333333333in" height="0.42916666666666664in"}． ∴e~1~+e~2~+⋅⋅⋅+e~n~＞1+![](./data/image/media/image31013.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image31014.png){width="0.4361111111111111in" height="0.42916666666666664in"}+...+![](./data/image/media/image31012.png){width="0.5708333333333333in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image31015.png){width="0.6541666666666667in" height="0.8208333333333333in"}=![](./data/image/media/image31016.png){width="0.5194444444444445in" height="0.48055555555555557in"}，原不等式得证． 【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，用放缩法进行数列求和，双曲线的简单性质，属于难题． 20．（13分）已知椭圆E：![](./data/image/media/image31017.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}+![](./data/image/media/image31018.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T． （Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标； （Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得\|PT\|^2^=λ\|PA\|•\|PB\|，并求λ的值． 【分析】（Ⅰ）根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F~1~、F~2~构成等腰直角三角形，结合直线l与椭圆E只有一个交点， 利用判别式△=0，即可求出椭圆E的方程和点T的坐标； （Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′=![](./data/image/media/image31019.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}y，把椭圆E变为圆E′，利用圆幂定理求出λ的值， 从而证明命题成立． 【解法二】设出点P的坐标，根据l′∥OT写出l′的参数方程，代入椭圆E的方程中，整理得出方程， 再根据参数的几何意义求出\|PT\|^2^、\|PA\|和\|PB\|，由\|PT\|^2^=λ\|PA\|•\|PB\|求出λ的值． 【解答】解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F~1~（﹣c，0）， F~2~（c，0），其中c＞0，则c^2^+b^2^=a^2^； 由题意，△F~1~F~2~C为直角三角形， ∴![](./data/image/media/image31020.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}=![](./data/image/media/image31021.png){width="0.5513888888888889in" height="0.28194444444444444in"}+![](./data/image/media/image31022.png){width="0.5513888888888889in" height="0.28194444444444444in"}，解得b=c=![](./data/image/media/image31023.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}a， ∴椭圆E的方程为![](./data/image/media/image31024.png){width="0.3138888888888889in" height="0.48055555555555557in"}+![](./data/image/media/image31025.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1； 代入直线l：y=﹣x+3，可得3x^2^﹣12x+18﹣2b^2^=0， 又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=12^2^﹣4×3（18﹣2b^2^）=0，解得b^2^=3， ∴椭圆E的方程为![](./data/image/media/image31026.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}+![](./data/image/media/image31027.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1； 由b^2^=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）； （Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′=![](./data/image/media/image14511.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}y， 则椭圆E变为圆E′：x′^2^+y′^2^=6， 设此时P、A、B、T对应的点分别为P′、A′、B′、T′， 如图所示； ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31028.png){width="3.602777777777778in" height="1.6027777777777779in"} 则![](./data/image/media/image31029.png){width="0.8138888888888889in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image31030.png){width="0.9166666666666666in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image31031.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ![](./data/image/media/image31032.png){width="1.4680555555555554in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31033.png){width="0.9041666666666667in" height="0.8784722222222222in"}=![](./data/image/media/image31034.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 两式相比，得![](./data/image/media/image31035.png){width="0.8138888888888889in" height="0.48055555555555557in"}：![](./data/image/media/image31036.png){width="1.4680555555555554in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31037.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 由圆幂定理得，\|P′T′\|^2^=\|P′A′\|•\|P′B′\|， 所以![](./data/image/media/image31038.png){width="0.8013888888888889in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image31039.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，即λ=![](./data/image/media/image31039.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，原命题成立． 【解法二】设P（x~0~，3﹣x~0~）在l上，由k~OT~=![](./data/image/media/image31040.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，l′平行OT， 得l′的参数方程为![](./data/image/media/image31041.png){width="0.8458333333333333in" height="0.5125in"}， 代入椭圆E中，得![](./data/image/media/image31042.png){width="0.7180555555555556in" height="0.28194444444444444in"}+2![](./data/image/media/image31043.png){width="0.8208333333333333in" height="0.28194444444444444in"}=6， 整理得2t^2^+4t+![](./data/image/media/image31044.png){width="0.28194444444444444in" height="0.28194444444444444in"}﹣4x~0~+4=0； 设两根为t~A~，t~B~，则有t~A~•t~B~=![](./data/image/media/image31045.png){width="0.6666666666666666in" height="0.48055555555555557in"}； 而\|PT\|^2^=![](./data/image/media/image31046.png){width="1.9361111111111111in" height="0.3527777777777778in"}=2![](./data/image/media/image31047.png){width="0.6347222222222222in" height="0.28194444444444444in"}， \|PA\|=![](./data/image/media/image31048.png){width="3.2305555555555556in" height="0.3013888888888889in"}=\|![](./data/image/media/image31049.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}t~A~\|， \|PB\|=![](./data/image/media/image31050.png){width="3.25in" height="0.3013888888888889in"}=\|![](./data/image/media/image31051.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}t~B~\|， 且\|PT\|^2^=λ\|PA\|•\|PB\|， ∴λ=![](./data/image/media/image31052.png){width="0.8013888888888889in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image31053.png){width="0.8013888888888889in" height="0.7305555555555555in"}=![](./data/image/media/image31054.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 即存在满足题意的λ值． 【另解】，判断出c=b，e=![](./data/image/media/image31055.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，经仿射变换![](./data/image/media/image31056.png){width="0.4041666666666667in" height="0.5194444444444445in"}=![](./data/image/media/image31057.png){width="0.25in" height="0.4041666666666667in"}×![](./data/image/media/image31058.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4166666666666667in"} E→⊙O′：x′^2^+y′^2^=a^2^； l~PT~→l~P′T′~：![](./data/image/media/image31059.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}x+y﹣3![](./data/image/media/image31060.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}=0； ∴![](./data/image/media/image31061.png){width="0.3458333333333333in" height="0.4041666666666667in"}=a=![](./data/image/media/image31062.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，b=![](./data/image/media/image31063.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}a=![](./data/image/media/image31064.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， ∴E：![](./data/image/media/image31065.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}+![](./data/image/media/image31066.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1； 设T（x~0~，y~0~），PT为切线也是极线方程． ：![](./data/image/media/image31067.png){width="0.3333333333333333in" height="0.42916666666666664in"}+![](./data/image/media/image31068.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4361111111111111in"}=1⇔x~0~x+2y~0~y﹣6=0⇔2x+2y﹣6=0， ∴T（2，1）； 证明：由图知，根据圆幂定理： \|P′T′\|^2^=\|P′A′\|•\|P′B′\|，K~OT~=![](./data/image/media/image31069.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，K~O′T′~=![](./data/image/media/image31070.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}， K~PT~=﹣1，K~P′T′~=﹣![](./data/image/media/image31071.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， ∴\|PT\|^2^=λ\|PA\|•\|PB\|， ∴![](./data/image/media/image31072.png){width="1.4680555555555554in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31073.png){width="0.3527777777777778in" height="0.7625in"}=![](./data/image/media/image31074.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 又![](./data/image/media/image31075.png){width="0.8138888888888889in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image31076.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31077.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴对比λ=![](./data/image/media/image31078.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，原命题成立． 【点评】本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了参数方程的应用问题，是难题． 21．（14分）设函数f（x）=ax^2^﹣a﹣lnx，其中a∈R． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞![](./data/image/media/image31079.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣e^1﹣x^在区间（1，+∞）内恒成立（e=2.718...为自然对数的底数）． 【分析】（I）利用导数的运算法则得出f′（x），通过对a分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性； （Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣![](./data/image/media/image31079.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+e^1﹣x^=ax^2^﹣lnx﹣![](./data/image/media/image31080.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+e^1﹣x^﹣a，可得g（1）=0，从而g′（1）≥0，解得得a![](./data/image/media/image31081.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}， 又，当a![](./data/image/media/image31081.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}时，F′（x）=2a+![](./data/image/media/image31082.png){width="0.9805555555555555in" height="0.42916666666666664in"}≥![](./data/image/media/image31083.png){width="0.5833333333333334in" height="0.48055555555555557in"}+e^1﹣x^，可得F′（x）在a![](./data/image/media/image31084.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}时恒大于0，即F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．由F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，可得g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增，进而利用g（x）＞g（1）=0，可得g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0，综合可得a所有可能取值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，f′（x）=2ax﹣![](./data/image/media/image31085.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31086.png){width="0.6027777777777777in" height="0.42916666666666664in"}，x＞0， ①当a≤0时，2ax^2^﹣1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减． ②当a＞0时，f′（x）=![](./data/image/media/image31087.png){width="1.5708333333333333in" height="0.5833333333333334in"}，当x∈（0，![](./data/image/media/image31088.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}）时，f′（x）＜0， 当x∈（![](./data/image/media/image31088.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}，+∞）时，f′（x）＞0， 故f（x）在（0，![](./data/image/media/image31088.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}）上单调递减，在（![](./data/image/media/image31088.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}，+∞）上单调递增． （Ⅱ）原不等式等价于f（x）﹣![](./data/image/media/image31089.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+e^1﹣x^＞0在x∈（1．+∞）上恒成立， 一方面，令g（x）=f（x）﹣![](./data/image/media/image31090.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+e^1﹣x^=ax^2^﹣lnx﹣![](./data/image/media/image31090.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+e^1﹣x^﹣a， 只需g（x）在x∈（1．+∞）上恒大于0即可， 又∵g（1）=0，故g′（x）在x=1处必大于等于0． 令F（x）=g′（x）=2ax﹣![](./data/image/media/image31090.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image31091.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}﹣e^1﹣x^，g′（1）≥0，可得a![](./data/image/media/image31092.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}． 另一方面，当a![](./data/image/media/image31093.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}时，F′（x）=2a+![](./data/image/media/image31094.png){width="0.9805555555555555in" height="0.42916666666666664in"}≥1+![](./data/image/media/image31094.png){width="0.9805555555555555in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image31095.png){width="0.5833333333333334in" height="0.48055555555555557in"}+e^1﹣x^， ∵x∈（1，+∞），故x^3^+x﹣2＞0，又e^1﹣x^＞0，故F′（x）在a![](./data/image/media/image31096.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}时恒大于0． ∴当a![](./data/image/media/image31096.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}时，F（x）在x∈（1，+∞）单调递增． ∴F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增． ∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0． 综上，a![](./data/image/media/image31096.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键． 2016年四川省高考数学试卷（文科） ================================ **参考答案与试题解析** **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．** 1．（5分）设i为虚数单位，则复数（1+i）^2^=（　　） A．0 B．2 C．2i D．2+2i 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：（1+i）^2^=1+i^2^+2i=1﹣1+2i=2i， 故选：C． 【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．（5分）设集合A={x\|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】利用交集的运算性质即可得出． 【解答】解：∵集合A={x\|1≤x≤5}，Z为整数集， 则集合A∩Z={1，2，3，4，5}． ∴集合A∩Z中元素的个数是5． 故选：B． 【点评】本题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．（5分）抛物线y^2^=4x的焦点坐标是（　　） A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0） 【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案． 【解答】解：抛物线y^2^=4x的焦点坐标是（1，0）， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题． 4．（5分）为了得到函数y=sin（x+![](./data/image/media/image31097.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（　　） A．向左平行移动![](./data/image/media/image31097.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度 B．向右平行移动![](./data/image/media/image31097.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度 C．向上平行移动![](./data/image/media/image31097.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度 D．向下平行移动![](./data/image/media/image31097.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度 【分析】根据函数图象平移"左加右减"的原则，结合平移前后函数的解析式，可得答案． 【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx， 平移后函数解析式为：y=sin（x+![](./data/image/media/image31097.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）， 可得平移量为向左平行移动![](./data/image/media/image31098.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}个单位长度， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移"左加右减"的原则，是解答的关键． 5．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立，例如取x=3，y=![](./data/image/media/image31099.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【解答】解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x=3，y=![](./data/image/media/image31099.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． ∴p是q的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6．（5分）已知a为函数f（x）=x^3^﹣12x的极小值点，则a=（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2 【分析】可求导数得到f′（x）=3x^2^﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值． 【解答】解：f′（x）=3x^2^﹣12； ∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0； ∴x=2是f（x）的极小值点； 又a为f（x）的极小值点； ∴a=2． 故选：D． 【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象． 7．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（　　） （参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30） A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）^n﹣2015^＞200，两边取对数即可得出． 【解答】解：设第n年开始超过200万元， 则130×（1+12%）^n﹣2015^＞200， 化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3， n﹣2015＞![](./data/image/media/image31100.png){width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=3.8． 取n=2019． 因此开始超过200万元的年份是2019年． 故选：B． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31101.png){width="1.9805555555555556in" height="4.051388888888889in"} A．35 B．20 C．18 D．9 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：∵输入的x=2，n=3， 故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1， 满足进行循环的条件，v=9，i=0， 满足进行循环的条件，v=18，i=﹣1 不满足进行循环的条件， 故输出的v值为： 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． 9．（5分）已知正三角形ABC的边长为2![](./data/image/media/image31102.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，平面ABC内的动点P，M满足\|![](./data/image/media/image31103.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}\|=1，![](./data/image/media/image31104.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image31105.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，则\|![](./data/image/media/image31106.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^的最大值是（　　） A．![](./data/image/media/image31107.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} B．![](./data/image/media/image31108.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"} C．![](./data/image/media/image31109.png){width="0.5958333333333333in" height="0.38472222222222224in"} D．![](./data/image/media/image31110.png){width="0.6791666666666667in" height="0.38472222222222224in"} 【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C![](./data/image/media/image31111.png){width="0.75in" height="0.21180555555555555in"}．A![](./data/image/media/image31112.png){width="0.6666666666666666in" height="0.21180555555555555in"}．点P的轨迹方程为：![](./data/image/media/image31113.png){width="1.301388888888889in" height="0.25in"}=1，令x=![](./data/image/media/image31114.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}+cosθ，y=3+sinθ，θ∈\[0，2π）．又![](./data/image/media/image31115.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image31116.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，可得M![](./data/image/media/image31117.png){width="2.186111111111111in" height="0.36527777777777776in"}，代入\|![](./data/image/media/image31118.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^=![](./data/image/media/image31119.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}+3sin![](./data/image/media/image31120.png){width="0.6791666666666667in" height="0.36527777777777776in"}，即可得出． 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系． B（0，0），C![](./data/image/media/image31121.png){width="0.75in" height="0.21180555555555555in"}． A![](./data/image/media/image31122.png){width="0.6666666666666666in" height="0.21180555555555555in"}． ∵M满足\|![](./data/image/media/image31123.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}\|=1， ∴点P的轨迹方程为：![](./data/image/media/image31124.png){width="1.301388888888889in" height="0.25in"}=1， 令x=![](./data/image/media/image31125.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}+cosθ，y=3+sinθ，θ∈\[0，2π）． 又![](./data/image/media/image31126.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=![](./data/image/media/image31127.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}，则M![](./data/image/media/image31128.png){width="2.186111111111111in" height="0.36527777777777776in"}， ∴\|![](./data/image/media/image31129.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^=![](./data/image/media/image31130.png){width="1.3208333333333333in" height="0.38472222222222224in"}+![](./data/image/media/image31131.png){width="1.1152777777777778in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31132.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}+3sin![](./data/image/media/image31133.png){width="0.6791666666666667in" height="0.36527777777777776in"}≤![](./data/image/media/image31134.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． ∴\|![](./data/image/media/image31135.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}\|^2^的最大值是![](./data/image/media/image31134.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 也可以以点A为坐标原点建立坐标系． 解法二：取AC中点N，MN=![](./data/image/media/image22228.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，从而M轨迹为以N为圆心，![](./data/image/media/image22228.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}为半径的圆，B，N，M三点共线时，BM为最大值．所以BM最大值为3+![](./data/image/media/image22228.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31136.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31137.png){width="1.801388888888889in" height="1.6791666666666667in"} 【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．（5分）设直线l~1~，l~2~分别是函数f（x）=![](./data/image/media/image31138.png){width="1.2118055555555556in" height="0.4486111111111111in"}图象上点P~1~，P~2~处的切线，l~1~与l~2~垂直相交于点P，且l~1~，l~2~分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞） 【分析】设出点P~1~，P~2~的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l~1~与l~2~的斜率，由两直线垂直求得P~1~，P~2~的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到\|AB\|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围． 【解答】解：设P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~）（0＜x~1~＜1＜x~2~）， 当0＜x＜1时，f′（x）=![](./data/image/media/image31139.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}，当x＞1时，f′（x）=![](./data/image/media/image31140.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴l~1~的斜率![](./data/image/media/image31141.png){width="0.6027777777777777in" height="0.42916666666666664in"}，l~2~的斜率![](./data/image/media/image31142.png){width="0.5194444444444445in" height="0.42916666666666664in"}， ∵l~1~与l~2~垂直，且x~2~＞x~1~＞0， ∴![](./data/image/media/image31143.png){width="1.5in" height="0.42916666666666664in"}，即x~1~x~2~=1． 直线l~1~：![](./data/image/media/image31144.png){width="1.5125in" height="0.42916666666666664in"}，l~2~：![](./data/image/media/image31145.png){width="1.4291666666666667in" height="0.42916666666666664in"}． 取x=0分别得到A（0，1﹣lnx~1~），B（0，﹣1+lnx~2~）， \|AB\|=\|1﹣lnx~1~﹣（﹣1+lnx~2~）\|=\|2﹣（lnx~1~+lnx~2~）\|=\|2﹣lnx~1~x~2~\|=2． 联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=![](./data/image/media/image31146.png){width="0.5194444444444445in" height="0.48055555555555557in"}， ∴![](./data/image/media/image31147.png){width="0.6986111111111111in" height="0.36527777777777776in"}\|AB\|•\|x~P~\|=![](./data/image/media/image31148.png){width="1.0958333333333334in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image31149.png){width="1.1791666666666667in" height="0.6284722222222222in"}． ∵函数y=x+![](./data/image/media/image31150.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}在（0，1）上为减函数，且0＜x~1~＜1， ∴![](./data/image/media/image31151.png){width="1.1284722222222223in" height="0.42916666666666664in"}，则![](./data/image/media/image31152.png){width="1.1472222222222221in" height="0.6284722222222222in"}， ∴![](./data/image/media/image31153.png){width="1.0958333333333334in" height="0.6284722222222222in"}． ∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）． 故选：A． 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题． **二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.** 11．（5分）sin750°=[　]{.underline}![](./data/image/media/image31154.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案． 【解答】解：sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=![](./data/image/media/image31154.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 故答案为：![](./data/image/media/image31154.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题． 12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是[　]{.underline}![](./data/image/media/image31155.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}[　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31156.png){width="2.2118055555555554in" height="1.9166666666666667in"} 【分析】几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，棱锥的高为1，代入体积公式计算即可． 【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S=![](./data/image/media/image31157.png){width="0.8847222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image22252.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，棱锥的高为h=1， ∴棱锥的体积V=![](./data/image/media/image31158.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}Sh=![](./data/image/media/image31159.png){width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31160.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image31160.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，是基础题． 13．（5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log~a~b为整数的概率是[　]{.underline}![](./data/image/media/image27886.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【分析】由已知条件先求出基本事件总数，再利用列举法求出log~a~b为整数满足的基本事件个数，由此能求出log~a~b为整数的概率． 【解答】解：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b， 基本事件总数n=![](./data/image/media/image31161.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}=12， log~a~b为整数满足的基本事件个数为（2，8），（3，9），共2个， ∴log~a~b为整数的概率p=![](./data/image/media/image31162.png){width="0.4618055555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image27886.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x^，则f（﹣![](./data/image/media/image31163.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）+f（2）=[　﹣2　]{.underline}． 【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可． 【解答】解：∵函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4^x^， ∴f（2）=f（0）=0， f（﹣![](./data/image/media/image31163.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）=f（﹣![](./data/image/media/image31163.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+2）=f（﹣![](./data/image/media/image22258.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）=﹣f（![](./data/image/media/image22258.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）=﹣![](./data/image/media/image31164.png){width="0.23055555555555557in" height="0.38472222222222224in"}=﹣![](./data/image/media/image31165.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}=﹣2， 则f（﹣![](./data/image/media/image31163.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）+f（2）=﹣2+0=﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键． 15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的"伴随点"为P′（![](./data/image/media/image31166.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4486111111111111in"}，![](./data/image/media/image31167.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4361111111111111in"}），当P是原点时，定义"伴随点"为它自身，现有下列命题： ①若点A的"伴随点"是点A′，则点A′的"伴随点"是点A． ‚②单元圆上的"伴随点"还在单位圆上． ƒ③若两点关于x轴对称，则他们的"伴随点"关于y轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的"伴随点"一定共线． 其中的真命题是[　②③　]{.underline}． 【分析】根据"伴随点"的定义，分别进行判断即可，对应不成立的命题，利用特殊值法进行排除即可． 【解答】解：①设A（0，1），则A的"伴随点"为A′（1，0）， 而A′（1，0）的"伴随点"为（0，﹣1），不是A，故①错误， ②若点在单位圆上，则x^2^+y^2^=1， 即P（x，y）不是原点时，定义P的"伴随点"为P（y，﹣x）， 满足y^2^+（﹣x）^2^=1，即P′也在单位圆上，故②正确， ③若两点关于x轴对称，设P（x，y），对称点为Q（x，﹣y）， 则Q（x，﹣y）的"伴随点"为Q′（﹣![](./data/image/media/image31166.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4486111111111111in"}，![](./data/image/media/image31167.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4361111111111111in"}）， 则Q′（﹣![](./data/image/media/image31166.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4486111111111111in"}，![](./data/image/media/image31168.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4361111111111111in"}）与P′（![](./data/image/media/image31169.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4486111111111111in"}，![](./data/image/media/image31168.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4361111111111111in"}）关于y轴对称，故③正确， ④∵（﹣1，1），（0，1），（1，1）三点在直线y=1上， ∴（﹣1，1）的"伴随点"为（![](./data/image/media/image31170.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image31170.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}），即（![](./data/image/media/image31171.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image31171.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）， （0，1）的"伴随点"为（1，0），（1，1的"伴随点"为（![](./data/image/media/image31170.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，﹣![](./data/image/media/image31170.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}），即（![](./data/image/media/image31172.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，﹣![](./data/image/media/image31172.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）， 则（![](./data/image/media/image31172.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image31172.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}），（1，0），（![](./data/image/media/image31172.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，﹣![](./data/image/media/image31172.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）三点不在同一直线上，故④错误， 故答案为：②③ 【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确理解"伴随点"的定义是解决本题的关键．考查学生的推理能力． **三、解答题（共6小题，满分75分）** 16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照\[0，0.5），\[0.5，1），...，\[4，4.5\]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求直方图中a的值； （Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （Ⅲ）估计居民月均水量的中位数． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31173.png){width="3.345833333333333in" height="2.1152777777777776in"} 【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值； （II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解． （Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值． 【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5， 整理可得：2=1.4+2a， ∴解得：a=0.3． （II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下： 由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12， 又样本容量为30万， 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万． （Ⅲ）根据频率分布直方图，得； 0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5， 0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5， ∴中位数应在（2，2.5\]组内，设出未知数x， 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5， 解得x=0.04； ∴中位数是2+0.04=2.04． 【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×![](./data/image/media/image31174.png){width="0.38472222222222224in" height="0.4166666666666667in"}，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型． 17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=![](./data/image/media/image27912.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}AD． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31175.png){width="1.7694444444444444in" height="1.3972222222222221in"} （I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由； （II）证明：平面PAB⊥平面PBD． 【分析】（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，证明平面CME∥平面PAB，即可证明直线CM∥平面PAB； （II）证明：BD⊥平面PAB，即可证明平面PAB⊥平面PBD． 【解答】证明：（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31176.png){width="1.7951388888888888in" height="1.4166666666666667in"} 取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA， ∵ME⊄平面PAB，PA⊂平面PAB， ∴ME∥平面PAB． ∵AD∥BC，BC=AE， ∴ABCE是平行四边形， ∴CE∥AB． ∵CE⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴CE∥平面PAB． ∵ME∩CE=E， ∴平面CME∥平面PAB， ∵CM⊂平面CME， ∴CM∥平面PAB 若M为AD的中点，连接CM， 由四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=![](./data/image/media/image27912.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}AD． 可得四边形ABCM为平行四边形，即有CM∥AB， CM⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴CM∥平面PAB； （II）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交， ∴PA⊥平面ABCD， ∵BD⊂平面ABCD， ∴PA⊥BD， 由（I）及BC=CD=![](./data/image/media/image27912.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}AD，可得∠BAD=∠BDA=45°， ∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB， ∵PA∩AB=A， ∴BD⊥平面PAB， ∵BD⊂平面PBD， ∴平面PAB⊥平面PBD． 【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题． 18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且![](./data/image/media/image31177.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image31178.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31179.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}． （Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC； （Ⅱ）若b^2^+c^2^﹣a^2^=![](./data/image/media/image31180.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}bc，求tanB． 【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明． （Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可． 【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵![](./data/image/media/image31181.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image31178.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31179.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}， ∴由正弦定理得：![](./data/image/media/image31182.png){width="1.3652777777777778in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![](./data/image/media/image31183.png){width="1.4680555555555554in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31184.png){width="0.9041666666666667in" height="0.36527777777777776in"}， ∵sin（A+B）=sinC． ∴整理可得：sinAsinB=sinC， （Ⅱ）解：b^2^+c^2^﹣a^2^=![](./data/image/media/image31185.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}bc，由余弦定理可得cosA=![](./data/image/media/image31186.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． sinA=![](./data/image/media/image31187.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image31188.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31189.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"} ![](./data/image/media/image31188.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}+![](./data/image/media/image31190.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31191.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=1，![](./data/image/media/image31190.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31192.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， tanB=4． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题． 19．（12分）已知数列{a~n~}的首项为1，S~n~为数列{a~n~}的前n项和，S~n+1~=qS~n~+1，其中q＞0，n∈N^+^ （Ⅰ）若a~2~，a~3~，a~2~+a~3~成等差数列，求数列{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）设双曲线x^2^﹣![](./data/image/media/image31193.png){width="0.3138888888888889in" height="0.5451388888888888in"}=1的离心率为e~n~，且e~2~=2，求e~1~^2^+e~2~^2^+...+e~n~^2^． 【分析】（Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式可得a~2~与a~3~的值，又由a~2~，a~3~，a~2~+a~3~成等差数列，可得2a~3~=a~2~+（a~2~+a~3~），代入a~2~与a~3~的值可得q^2^=2q，解可得q的值，进而可得S~n+1~=2S~n~+1，进而可得S~n~=2S~n﹣1~+1，将两式相减可得a~n~=2a~n﹣1~，即可得数列{a~n~}是以1为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案； （Ⅱ）根据题意S~n+1~=qS~n~+1，同理有S~n~=qS~n﹣1~+1，将两式相减可得a~n~=qa~n﹣1~，分析可得a~n~=q^n﹣1^；又由双曲线x^2^﹣![](./data/image/media/image31194.png){width="0.3138888888888889in" height="0.5451388888888888in"}=1的离心率为e~n~，且e~2~=2，分析可得e~2~=![](./data/image/media/image31195.png){width="0.5638888888888889in" height="0.28194444444444444in"}=2， 解可得a~2~的值，由a~n~=q^n﹣1^可得q的值，进而可得数列{a~n~}的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得e~n~^2^=1+a~n~^2^=1+3^n﹣1^，运用分组求和法计算可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a~n~}的首项为1，即a~1~=1， 又由S~n+1~=qS~n~+1，则S~2~=qa~1~+1，则a~2~=q， 又有S~3~=qS~2~+1，则有a~3~=q^2^， 若a~2~，a~3~，a~2~+a~3~成等差数列，即2a~3~=a~2~+（a~2~+a~3~）， 则可得q^2^=2q，（q＞0）， 解可得q=2， 则有S~n+1~=2S~n~+1，① 进而有S~n~=2S~n﹣1~+1，② ①﹣②可得a~n~=2a~n﹣1~， 则数列{a~n~}是以1为首项，公比为2的等比数列， 则a~n~=1×2^n﹣1^=2^n﹣1^； （Ⅱ）根据题意，有S~n+1~=qS~n~+1，③ 同理可得S~n~=qS~n﹣1~+1，④ ③﹣④可得：a~n~=qa~n﹣1~， 又由q＞0， 则数列{a~n~}是以1为首项，公比为q的等比数列，则a~n~=1×q^n﹣1^=q^n﹣1^； 若e~2~=2，则e~2~=![](./data/image/media/image31195.png){width="0.5638888888888889in" height="0.28194444444444444in"}=2， 解可得a~2~=![](./data/image/media/image20190.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 则a~2~=q=![](./data/image/media/image20190.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，即q=![](./data/image/media/image20190.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， a~n~=1×q^n﹣1^=q^n﹣1^=（![](./data/image/media/image20190.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}）^n﹣1^， 则e~n~^2^=1+a~n~^2^=1+3^n﹣1^， 故e~1~^2^+e~2~^2^+...+e~n~^2^=n+（1+3+3^2^+...+3^n﹣1^）=n+![](./data/image/media/image31196.png){width="0.4166666666666667in" height="0.42916666666666664in"}． 【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件． 20．（13分）已知椭圆E：![](./data/image/media/image31197.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}+![](./data/image/media/image31198.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（![](./data/image/media/image31199.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，![](./data/image/media/image31200.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）在椭圆E上． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）设不过原点O且斜率为![](./data/image/media/image31200.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳ 【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案； （Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把︳MA︳•︳MB︳化为（![](./data/image/media/image31200.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}\|AB\|）^2^，再由两点间的距离公式求得︳MC︳•︳MD︳的值得答案． 【解答】（Ⅰ）解：如图， 由题意可得![](./data/image/media/image31201.png){width="0.9486111111111111in" height="0.9361111111111111in"}，解得a^2^=4，b^2^=1， ∴椭圆E的方程为![](./data/image/media/image31202.png){width="0.7118055555555556in" height="0.42916666666666664in"}； （Ⅱ）证明：设AB所在直线方程为y=![](./data/image/media/image31203.png){width="0.4041666666666667in" height="0.36527777777777776in"}， 联立![](./data/image/media/image31204.png){width="0.8138888888888889in" height="0.8527777777777777in"}，得x^2^+2mx+2m^2^﹣2=0． ∴△=4m^2^﹣4（2m^2^﹣2）=8﹣4m^2^＞0，即![](./data/image/media/image31205.png){width="0.9618055555555556in" height="0.21180555555555555in"}． 设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），M（x~0~，y~0~）， 则![](./data/image/media/image31206.png){width="1.9618055555555556in" height="0.28194444444444444in"}， \|AB\|=![](./data/image/media/image31207.png){width="2.904166666666667in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image31208.png){width="2.2180555555555554in" height="0.38472222222222224in"}． ∴x~0~=﹣m，![](./data/image/media/image31209.png){width="1.0319444444444446in" height="0.36527777777777776in"}，即M（![](./data/image/media/image31210.png){width="0.4875in" height="0.36527777777777776in"}）， 则OM所在直线方程为y=﹣![](./data/image/media/image31211.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}， 联立![](./data/image/media/image31212.png){width="0.8138888888888889in" height="0.8527777777777777in"}，得![](./data/image/media/image31213.png){width="0.5833333333333334in" height="0.6347222222222222in"}或![](./data/image/media/image31214.png){width="0.6152777777777778in" height="0.6347222222222222in"}． ∴C（﹣![](./data/image/media/image31215.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，![](./data/image/media/image31216.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}），D（![](./data/image/media/image31215.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，﹣![](./data/image/media/image31216.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}）． 则︳MC︳•︳MD︳=![](./data/image/media/image31217.png){width="1.7180555555555554in" height="0.4041666666666667in"}![](./data/image/media/image31218.png){width="1.8208333333333333in" height="0.4041666666666667in"} =![](./data/image/media/image31219.png){width="2.7819444444444446in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image31220.png){width="1.6472222222222221in" height="0.38472222222222224in"}． 而︳MA︳•︳MB︳=![](./data/image/media/image31221.png){width="1.0319444444444446in" height="0.36527777777777776in"}（10﹣5m^2^）=![](./data/image/media/image31222.png){width="0.5708333333333333in" height="0.42916666666666664in"}． ∴︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31223.png){width="2.095833333333333in" height="1.8138888888888889in"} 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题． 21．（14分）设函数f（x）=ax^2^﹣a﹣ln x，g（x）=![](./data/image/media/image31224.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image31225.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}，其中a∈R，e=2.718^...^为自然对数的底数． （1）讨论f（x）的单调性； （2）证明：当x＞1时，g（x）＞0； （3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立． 【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，即可讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）要证g（x）＞0（x＞1），即![](./data/image/media/image31224.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image31225.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}＞0，即证![](./data/image/media/image31226.png){width="0.5513888888888889in" height="0.42916666666666664in"}，也就是证![](./data/image/media/image31227.png){width="0.5in" height="0.42916666666666664in"}； （Ⅲ）由f（x）＞g（x），得![](./data/image/media/image31228.png){width="1.7375in" height="0.36527777777777776in"}，设t（x）=![](./data/image/media/image31229.png){width="1.4680555555555554in" height="0.36527777777777776in"}，由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，再构造函数，求导数，即可确定a的取值范围． 【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=ax^2^﹣a﹣lnx，得f′（x）=2ax﹣![](./data/image/media/image31230.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31231.png){width="0.6027777777777777in" height="0.42916666666666664in"}（x＞0）， 当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，则f（x）为（0，+∞）上的减函数； 当a＞0时，由f′（x）=0，得x=![](./data/image/media/image31232.png){width="0.5125in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image31233.png){width="0.5125in" height="0.38472222222222224in"}， ∴当x∈（0，![](./data/image/media/image31234.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}）时，f′（x）＜0，当x∈（![](./data/image/media/image31234.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}，+∞）时，f′（x）＞0， 则f（x）在（0，![](./data/image/media/image31234.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}）上为减函数，在（![](./data/image/media/image31234.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}，+∞）上为增函数； 综上，当a≤0时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当a＞0时，f（x）在（0，![](./data/image/media/image31235.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}）上为减函数，在（![](./data/image/media/image31235.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}，+∞）上为增函数； （Ⅱ）证明：要证g（x）＞0（x＞1），即![](./data/image/media/image31236.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image31237.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}＞0， 即证![](./data/image/media/image31238.png){width="0.5513888888888889in" height="0.42916666666666664in"}，也就是证![](./data/image/media/image31239.png){width="0.5in" height="0.42916666666666664in"}， 令h（x）=![](./data/image/media/image31240.png){width="0.23055555555555557in" height="0.42916666666666664in"}，则h′（x）=![](./data/image/media/image31241.png){width="0.6666666666666666in" height="0.48055555555555557in"}， ∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）~min~=h（1）=e， 即当x＞1时，h（x）＞e，∴当x＞1时，g（x）＞0； （Ⅲ）解：由f（x）＞g（x），得![](./data/image/media/image31242.png){width="1.7375in" height="0.36527777777777776in"}， 设t（x）=![](./data/image/media/image31243.png){width="1.4680555555555554in" height="0.36527777777777776in"}， 由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立， ∵t（1）=0， ∴有t′（x）=2ax![](./data/image/media/image31244.png){width="1.0in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image31245.png){width="1.0958333333333334in" height="0.42916666666666664in"}≥0在（1，+∞）内恒成立， 令φ（x）=![](./data/image/media/image31245.png){width="1.0958333333333334in" height="0.42916666666666664in"}， 则φ′（x）=2a![](./data/image/media/image31246.png){width="1.0833333333333333in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image31247.png){width="1.0125in" height="0.42916666666666664in"}， 当x≥2时，φ′（x）＞0， 令h（x）=![](./data/image/media/image31248.png){width="0.3013888888888889in" height="0.42916666666666664in"}，h′（x）=![](./data/image/media/image31249.png){width="0.46805555555555556in" height="0.42916666666666664in"}，函数在\[1，2）上单调递增， ∴h（x）~min~=h（1）=﹣1． e^1﹣x^＞0，∴1＜x＜2，φ′（x）＞0， 综上所述，x＞1，φ′（x）＞0，φ（x）在区间（1，+∞）单调递增， ∴t′（x）＞t′（1）≥0，即t（x）在区间（1，+∞）单调递增， 由2a﹣1≥0， ∴a≥![](./data/image/media/image31250.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，不等式的证明，考查恒成立成立问题，正确构造函数，求导数是关键． 2016年上海市高考数学试卷（理科） ================================ **参考答案与试题解析** **一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.** 1．（4分）设x∈R，则不等式\|x﹣3\|＜1的解集为[　（2，4）　]{.underline}． 【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式\|x﹣3\|＜1的解集． 【解答】解：∵x∈R，不等式\|x﹣3\|＜1， ∴﹣1＜x﹣3＜1， 解得2＜x＜4． ∴不等式\|x﹣3\|＜1的解集为（2，4）． 故答案为：（2，4）． 【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用． 2．（4分）设z=![](./data/image/media/image31251.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}，其中i为虚数单位，则Imz=[　﹣3　]{.underline}． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数z的最简形式，由此能求出Imz． 【解答】解：∵Z=![](./data/image/media/image31251.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31252.png){width="0.5833333333333334in" height="0.48055555555555557in"}=![](./data/image/media/image31253.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=2﹣3i， ∴Imz=﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用． 3．（4分）已知平行直线l~1~：2x+y﹣1=0，l~2~：2x+y+1=0，则l~1~，l~2~的距离[　]{.underline}![](./data/image/media/image31254.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}[　]{.underline}． 【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可． 【解答】解：平行直线l~1~：2x+y﹣1=0，l~2~：2x+y+1=0，则l~1~，l~2~的距离：![](./data/image/media/image31255.png){width="0.6284722222222222in" height="0.4486111111111111in"}=![](./data/image/media/image31254.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image31254.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力． 4．（4分）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是[　1.76　]{.underline}（米）． 【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数． 【解答】解：∵6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77， 从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80， 位于中间的两个数值为1.75，1.77， ∴这组数据的中位数是：![](./data/image/media/image31256.png){width="0.8013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=1.76（米）． 故答案为：1.76． 【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用． 5．（4分）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a^x^的图象上，则f（x）的反函数f^﹣1^（x）=[　log~2~（x﹣1）（x＞1）　]{.underline}． 【分析】由于点（3，9）在函数f（x）=1+a^x^的图象上，可得9=1+a^3^，解得a=2．可得f（x）=1+2^x^，由1+2^x^=y，解得x=log~2~（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换即可得出f（x）的反函数f^﹣1^（x）． 【解答】解：∵点（3，9）在函数f（x）=1+a^x^的图象上，∴9=1+a^3^，解得a=2． ∴f（x）=1+2^x^，由1+2^x^=y，解得x=log~2~（y﹣1），（y＞1）． 把x与y互换可得：f（x）的反函数f^﹣1^（x）=log~2~（x﹣1）． 故答案为：log~2~（x﹣1），（x＞1）． 【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6．（4分）在正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，底面ABCD的边长为3，BD~1~与底面所成角的大小为arctan![](./data/image/media/image31257.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，则该正四棱柱的高等于[　2]{.underline}![](./data/image/media/image31258.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}[　]{.underline}． 【分析】根据正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的侧棱D~1~D⊥底面ABCD，判断∠D~1~BD为直线BD~1~与底面ABCD所成的角，即可求出正四棱柱的高． 【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的侧棱D~1~D⊥底面ABCD， ∴∠D~1~BD为直线BD~1~与底面ABCD所成的角， ∴tan∠D~1~BD=![](./data/image/media/image31257.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∵正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，底面ABCD的边长为3， ∴BD=3![](./data/image/media/image31258.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， ∴正四棱柱的高=3![](./data/image/media/image31258.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}×![](./data/image/media/image31257.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=2![](./data/image/media/image31258.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}， 故答案为：2![](./data/image/media/image31258.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31259.png){width="1.6284722222222223in" height="1.6472222222222221in"} 【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成的角． 7．（4分）方程3sinx=1+cos2x在区间\[0，2π\]上的解为[　]{.underline}![](./data/image/media/image28265.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}[或]{.underline}![](./data/image/media/image31260.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． 【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可． 【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin^2^x， 即2sin^2^x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=![](./data/image/media/image28264.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，x∈\[0，2π\] 解得x=![](./data/image/media/image28265.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}或![](./data/image/media/image31260.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image31261.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}或![](./data/image/media/image31262.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力． 8．（4分）在（![](./data/image/media/image31263.png){width="0.25in" height="0.2375in"}﹣![](./data/image/media/image31264.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）^n^的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于[　112　]{.underline}． 【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2^n^=256，求得 n=8．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项． 【解答】解：∵在（![](./data/image/media/image31263.png){width="0.25in" height="0.2375in"}﹣![](./data/image/media/image31264.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）^n^的二项式中，所有的二项式系数之和为256， ∴2^n^=256，解得n=8， ∴（![](./data/image/media/image31263.png){width="0.25in" height="0.2375in"}﹣![](./data/image/media/image31265.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}）^8^中，T~r+1~=![](./data/image/media/image31266.png){width="1.3847222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31267.png){width="1.0833333333333333in" height="0.4361111111111111in"}， ∴当![](./data/image/media/image31268.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}=0，即r=2时，常数项为T~3~=（﹣2）^2^![](./data/image/media/image31269.png){width="0.1986111111111111in" height="0.28194444444444444in"}=112． 故答案为：112． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 9．（4分）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于[　]{.underline}![](./data/image/media/image31270.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}[　]{.underline}． 【分析】可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为![](./data/image/media/image31271.png){width="0.46805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，代入计算即可得到所求值． 【解答】解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7， 由余弦定理可得，cosC=![](./data/image/media/image31272.png){width="0.8208333333333333in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image31273.png){width="0.6347222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=﹣![](./data/image/media/image31274.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 可得sinC=![](./data/image/media/image31275.png){width="0.7625in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image31276.png){width="0.42916666666666664in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image31277.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}， 可得该三角形的外接圆半径为![](./data/image/media/image31278.png){width="0.46805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31279.png){width="0.5451388888888888in" height="0.5833333333333334in"}=![](./data/image/media/image31280.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image31280.png){width="0.3458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题． 10．（4分）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组![](./data/image/media/image31281.png){width="0.6284722222222222in" height="0.4166666666666667in"}无解，则a+b的取值范围为[　（2，+∞）　]{.underline}． 【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b的方程关系，利用转化法，利用基本不等式的性质进行求解即可． 【解答】解：∵关于x，y的方程组![](./data/image/media/image31282.png){width="0.6284722222222222in" height="0.4166666666666667in"}无解， ∴直线ax+y=1与x+by=1平行， ∵a＞0，b＞0， ∴![](./data/image/media/image31283.png){width="0.3784722222222222in" height="0.36527777777777776in"}≠![](./data/image/media/image31284.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 即a≠1，b≠1，且ab=1，则b=![](./data/image/media/image31285.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 由基本不等式有： a+b=a+![](./data/image/media/image31285.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}≥2![](./data/image/media/image31286.png){width="0.42916666666666664in" height="0.38472222222222224in"}=2，当且仅当a=1时取等，而a的范围为a＞0且a≠1，不满足取等条件， ∴a+b＞2， 故答案为：（2，+∞）． 【点评】本题主要考查直线平行的应用以基本不等式的应用，考查学生的计算能力． 11．（4分）无穷数列{a~n~}由k个不同的数组成，S~n~为{a~n~}的前n项和，若对任意n∈N^\*^，S~n~∈{2，3}，则k的最大值为[　4　]{.underline}． 【分析】对任意n∈N^\*^，S~n~∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4的情况，归纳可得n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4． 【解答】解：对任意n∈N^\*^，S~n~∈{2，3}，可得 当n=1时，a~1~=S~1~=2或3； 若n=2，由S~2~∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1； 若n=3，由S~3~∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1； 或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1； 若n=4，由S~3~∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1； 或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1； 或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1； 或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1； 或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1； ... 即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4， 不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1． 故答案为：4． 【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题． 12．（4分）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=![](./data/image/media/image31287.png){width="0.4875in" height="0.25in"}上一个动点，则![](./data/image/media/image31288.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image31289.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}的取值范围是[　\[0，1+]{.underline}![](./data/image/media/image31290.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}[\]　]{.underline}． 【分析】设P（cosα，sinα），α∈\[0，π\]，则![](./data/image/media/image31291.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（1，1），![](./data/image/media/image31292.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（cosα，sinα+1），由此能求出![](./data/image/media/image31292.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image31291.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}的取值范围． 【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1）， P是曲线y=![](./data/image/media/image31293.png){width="0.4875in" height="0.25in"}上一个动点， ∴设P（cosα，sinα），α∈\[0，π\]， ∴![](./data/image/media/image31291.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（1，1），![](./data/image/media/image31292.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=（cosα，sinα+1）， ![](./data/image/media/image31294.png){width="0.48055555555555557in" height="0.21180555555555555in"}=cosα+sinα+1=![](./data/image/media/image31295.png){width="1.301388888888889in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![](./data/image/media/image31296.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}•![](./data/image/media/image31297.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}的取值范围是\[0，1+![](./data/image/media/image31298.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}\]． 故答案为：\[0，1+![](./data/image/media/image31298.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}\]． 【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用． 13．（4分）设a，b∈R，c∈\[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣![](./data/image/media/image18676.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为[　4　]{.underline}． 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同． 【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣![](./data/image/media/image18676.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=asin（bx+c）， ∴必有\|a\|=2， 若a=2，则方程等价为sin（3x﹣![](./data/image/media/image18676.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=sin（bx+c）， 则函数的周期相同，若b=3，此时C=![](./data/image/media/image31299.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 若b=﹣3，则C=![](./data/image/media/image31300.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣![](./data/image/media/image30731.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c）， 若b=﹣3，则C=![](./data/image/media/image30731.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，若b=3，则C=![](./data/image/media/image30732.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，![](./data/image/media/image31301.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}），（2，﹣3，![](./data/image/media/image31302.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}），（﹣2，﹣3，![](./data/image/media/image30731.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}），（﹣2，3，![](./data/image/media/image30732.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）， 共有4组， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键． 14．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A~1~A~2~...A~8~的中心，A~1~（1，0）任取不同的两点A~i~，A~j~，点P满足![](./data/image/media/image31303.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image31304.png){width="0.3013888888888889in" height="0.26944444444444443in"}+![](./data/image/media/image31305.png){width="0.3013888888888889in" height="0.26944444444444443in"}=![](./data/image/media/image31306.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，则点P落在第一象限的概率是[　]{.underline}![](./data/image/media/image31307.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}[　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31308.png){width="1.8784722222222223in" height="1.5194444444444444in"} 【分析】利用组合数公式求出从正八边形A~1~A~2~...A~8~的八个顶点中任取两个的事件总数，满足![](./data/image/media/image31309.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image31310.png){width="0.3013888888888889in" height="0.26944444444444443in"}+![](./data/image/media/image31311.png){width="0.3013888888888889in" height="0.26944444444444443in"}=![](./data/image/media/image31312.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，且点P落在第一象限，则需向量![](./data/image/media/image31310.png){width="0.3013888888888889in" height="0.26944444444444443in"}+![](./data/image/media/image31311.png){width="0.3013888888888889in" height="0.26944444444444443in"}的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案． 【解答】解：从正八边形A~1~A~2~...A~8~的八个顶点中任取两个，基本事件总数为![](./data/image/media/image31313.png){width="0.46805555555555556in" height="0.28194444444444444in"}． 满足![](./data/image/media/image31314.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}+![](./data/image/media/image31315.png){width="0.3013888888888889in" height="0.26944444444444443in"}+![](./data/image/media/image31316.png){width="0.3013888888888889in" height="0.26944444444444443in"}=![](./data/image/media/image31317.png){width="0.10277777777777777in" height="0.21180555555555555in"}，且点P落在第一象限，对应的A~i~，A~j~，为： （A~4~，A~7~），（A~5~，A~8~），（A~5~，A~6~），（A~6~，A~7~），（A~5~，A~7~）共5种取法． ∴点P落在第一象限的概率是![](./data/image/media/image31318.png){width="0.4041666666666667in" height="0.36527777777777776in"}， 故答案为：![](./data/image/media/image31319.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式，理解题意是关键，是中档题． **二、选择题（5&\#215;4=20分）** 15．（5分）设a∈R，则"a＞1"是"a^2^＞1"的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由a^2^＞1得a＞1或a＜﹣1， 即"a＞1"是"a^2^＞1"的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础． 16．（5分）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31320.png){width="1.4166666666666667in" height="1.1791666666666667in"} A．ρ=6+5cosθ B．ρ=6+5sinθ C．ρ=6﹣5cosθ D．ρ=6﹣5sinθ 【分析】由图形可知：![](./data/image/media/image31321.png){width="0.5708333333333333in" height="0.36527777777777776in"}时，ρ取得最大值，即可判断出结论． 【解答】解：由图形可知：![](./data/image/media/image31322.png){width="0.5708333333333333in" height="0.36527777777777776in"}时，ρ取得最大值， 只有D满足上述条件． 故选：D． 【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．（5分）已知无穷等比数列{a~n~}的公比为q，前n项和为S~n~，且![](./data/image/media/image31323.png){width="0.5513888888888889in" height="0.3138888888888889in"}=S，下列条件中，使得2S~n~＜S（n∈N^\*^）恒成立的是（　　） A．a~1~＞0，0.6＜q＜0.7 B．a~1~＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6 C．a~1~＞0，0.7＜q＜0.8 D．a~1~＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7 【分析】由已知推导出![](./data/image/media/image31324.png){width="1.0958333333333334in" height="0.28194444444444444in"}，由此利用排除法能求出结果． 【解答】解：∵![](./data/image/media/image31325.png){width="1.0958333333333334in" height="0.4875in"}，S=![](./data/image/media/image31326.png){width="0.5513888888888889in" height="0.3138888888888889in"}=![](./data/image/media/image31327.png){width="0.3013888888888889in" height="0.4361111111111111in"}，﹣1＜q＜1， 2S~n~＜S， ∴![](./data/image/media/image31328.png){width="1.0958333333333334in" height="0.28194444444444444in"}， 若a~1~＞0，则![](./data/image/media/image31329.png){width="0.5194444444444445in" height="0.36527777777777776in"}，故A与C不可能成立； 若a~1~＜0，则q^n^![](./data/image/media/image31330.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}， 在B中，a~1~＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6故B成立； 在D中，a~1~＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7，此时q^2^＞![](./data/image/media/image24594.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，D不成立． 故选：B． 【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用． 18．（5分）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（　　） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【分析】①不成立．可举反例：f（x）=![](./data/image/media/image31331.png){width="0.9618055555555556in" height="0.4486111111111111in"}．g（x）=![](./data/image/media/image31332.png){width="1.2118055555555556in" height="0.6986111111111111in"}，h（x）=![](./data/image/media/image31333.png){width="0.7951388888888888in" height="0.4486111111111111in"}． ②由题意可得：f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真假． 【解答】解：①不成立．可举反例：f（x）=![](./data/image/media/image31334.png){width="0.9618055555555556in" height="0.4486111111111111in"}．g（x）=![](./data/image/media/image31335.png){width="1.2118055555555556in" height="0.6986111111111111in"}，h（x）=![](./data/image/media/image31333.png){width="0.7951388888888888in" height="0.4486111111111111in"}． ②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T）， 前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正确． 故选：D． 【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． **三、解答题（74分）** 19．（12分）将边长为1的正方形AA~1~O~1~O（及其内部）绕OO~1~旋转一周形成圆柱，如图，![](./data/image/media/image31336.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}长为![](./data/image/media/image31337.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}π，![](./data/image/media/image31338.png){width="0.3527777777777778in" height="0.21180555555555555in"}长为![](./data/image/media/image31339.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，其中B~1~与C在平面AA~1~O~1~O的同侧． （1）求三棱锥C﹣O~1~A~1~B~1~的体积； （2）求异面直线B~1~C与AA~1~所成的角的大小． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31340.png){width="1.8138888888888889in" height="1.5319444444444446in"} 【分析】（1）连结O~1~B~1~，推导出△O~1~A~1~B~1~为正三角形，从而![](./data/image/media/image31341.png){width="0.75in" height="0.2625in"}=![](./data/image/media/image31342.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}，由此能求出三棱锥C﹣O~1~A~1~B~1~的体积． （2）设点B~1~在下底面圆周的射影为B，连结BB~1~，则BB~1~∥AA~1~，∠BB~1~C为直线B~1~C与AA~1~所成角（或补角），由此能求出直线B~1~C与AA~1~所成角大小． 【解答】解：（1）连结O~1~B~1~，则∠O~1~A~1~B~1~=∠A~1~O~1~B~1~=![](./data/image/media/image31343.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， ∴△O~1~A~1~B~1~为正三角形， ∴![](./data/image/media/image31344.png){width="0.75in" height="0.2625in"}=![](./data/image/media/image31342.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}， ![](./data/image/media/image31345.png){width="0.75in" height="0.2625in"}=![](./data/image/media/image31346.png){width="1.5319444444444446in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31347.png){width="0.2375in" height="0.38472222222222224in"}． （2）设点B~1~在下底面圆周的射影为B，连结BB~1~，则BB~1~∥AA~1~， ∴∠BB~1~C为直线B~1~C与AA~1~所成角（或补角）， BB~1~=AA~1~=1， 连结BC、BO、OC， ∠AOB=∠A~1~O~1~B~1~=![](./data/image/media/image31348.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，![](./data/image/media/image31349.png){width="0.8208333333333333in" height="0.36527777777777776in"}，∴∠BOC=![](./data/image/media/image31348.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， ∴△BOC为正三角形， ∴BC=BO=1，∴tan∠BB~1~C=1， ∴直线B~1~C与AA~1~所成角大小为45°． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31350.png){width="1.8138888888888889in" height="1.551388888888889in"} 【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 20．（14分）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S~1~和S~2~，其中S~1~中的蔬菜运到河边较近，S~2~中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S~1~和S~2~的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图 （1）求菜地内的分界线C的方程； （2）菜农从蔬菜运量估计出S~1~面积是S~2~面积的两倍，由此得到S~1~面积的经验值为![](./data/image/media/image31351.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S~1~面积的"经验值"． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31352.png){width="1.8847222222222222in" height="1.7180555555555554in"} 【分析】（1）设分界线上任意一点为（x，y），根据条件建立方程关系进行求解即可． （2）设M（x~0~，y~0~），则y~0~=1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH的面积，进行比较即可． 【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（x，y），由题意得\|x+1\|=![](./data/image/media/image31353.png){width="0.9486111111111111in" height="0.2625in"}，得y=2![](./data/image/media/image31354.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，（0≤x≤1）， （2）设M（x~0~，y~0~），则y~0~=1， ∴x~0~=![](./data/image/media/image31355.png){width="0.3138888888888889in" height="0.4875in"}=![](./data/image/media/image31356.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴设所表述的矩形面积为S~3~，则S~3~=2×（![](./data/image/media/image31356.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+1）=2×![](./data/image/media/image31357.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31358.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 设五边形EMOGH的面积为S~4~，则S~4~=S~3~﹣S~△OMP~+S~△MGN~=![](./data/image/media/image31358.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image21457.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×![](./data/image/media/image31359.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}×1+![](./data/image/media/image31360.png){width="0.7305555555555555in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31361.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， S~1~﹣S~3~=![](./data/image/media/image31362.png){width="0.3784722222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31363.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，S~4~﹣S~1~=![](./data/image/media/image31361.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image31364.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31365.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}＜![](./data/image/media/image31363.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴五边形EMOGH的面积更接近S~1~的面积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31366.png){width="1.7625in" height="1.6472222222222221in"} 【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大． 21．（14分）双曲线x^2^﹣![](./data/image/media/image31367.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，直线l过F~2~且与双曲线交于A，B两点． （1）直线l的倾斜角为![](./data/image/media/image31368.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，△F~1~AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设b=![](./data/image/media/image31369.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，若l的斜率存在，且（![](./data/image/media/image31370.png){width="0.3013888888888889in" height="0.26944444444444443in"}+![](./data/image/media/image31371.png){width="0.3013888888888889in" height="0.26944444444444443in"}）•![](./data/image/media/image31372.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=0，求l的斜率． 【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到双曲线方程． （2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A、B坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率． 【解答】解：（1）双曲线x^2^﹣![](./data/image/media/image31373.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4875in"}=1（b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，a=1，c^2^=1+b^2^， 直线l过F~2~且与双曲线交于A，B两点， 直线l的倾斜角为![](./data/image/media/image31374.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，△F~1~AB是等边三角形， 可得：A（c，b^2^），可得：![](./data/image/media/image31375.png){width="0.8972222222222223in" height="0.38472222222222224in"}， 3b^4^=4（a^2^+b^2^）， 即3b^4^﹣4b^2^﹣4=0， b＞0，解得b^2^=2． 所求双曲线方程为：x^2^﹣![](./data/image/media/image31376.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1， 其渐近线方程为y=±![](./data/image/media/image10155.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}x． （2）b=![](./data/image/media/image31377.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}，双曲线x^2^﹣![](./data/image/media/image31378.png){width="0.23055555555555557in" height="0.4361111111111111in"}=1，可得F~1~（﹣2，0），F~2~（2，0）． 设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），直线的斜率为：k=![](./data/image/media/image31379.png){width="0.5194444444444445in" height="0.4875in"}， 直线l的方程为：y=k（x﹣2）， 由题意可得：![](./data/image/media/image31380.png){width="0.8138888888888889in" height="0.6791666666666667in"}，消去y可得：（3﹣k^2^）x^2^+4k^2^x﹣4k^2^﹣3=0， △=36（1+k^2^）＞0且3﹣k^2^≠0， 可得x~1~+x~2~=![](./data/image/media/image31381.png){width="0.4166666666666667in" height="0.48055555555555557in"}， 则y~1~+y~2~=k（x~1~+x~2~﹣4）=k（![](./data/image/media/image31381.png){width="0.4166666666666667in" height="0.48055555555555557in"}﹣4）=![](./data/image/media/image31382.png){width="0.4166666666666667in" height="0.42916666666666664in"}． ![](./data/image/media/image31383.png){width="0.3013888888888889in" height="0.26944444444444443in"}=（x~1~+2，y~1~）， ![](./data/image/media/image31384.png){width="0.3013888888888889in" height="0.26944444444444443in"}=（x~2~+2，y~2~）， （![](./data/image/media/image31385.png){width="0.3013888888888889in" height="0.26944444444444443in"}+![](./data/image/media/image31386.png){width="0.3013888888888889in" height="0.26944444444444443in"}）•![](./data/image/media/image24094.png){width="0.18611111111111112in" height="0.21180555555555555in"}=0可得：（x~1~+x~2~+4，y~1~+y~2~）•（x~1~﹣x~2~，y~1~﹣y~2~）=0， 可得x~1~+x~2~+4+（y~1~+y~2~）k=0， 得![](./data/image/media/image31387.png){width="0.4166666666666667in" height="0.48055555555555557in"}+4+![](./data/image/media/image31388.png){width="0.4166666666666667in" height="0.42916666666666664in"}•k=0 可得：k^2^=![](./data/image/media/image31389.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 解得k=±![](./data/image/media/image31390.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}． l的斜率为：±![](./data/image/media/image31390.png){width="0.32083333333333336in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用． 22．（16分）已知a∈R，函数f（x）=log~2~（![](./data/image/media/image31391.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+a）． （1）当a=5时，解不等式f（x）＞0； （2）若关于x的方程f（x）﹣log~2~\[（a﹣4）x+2a﹣5\]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围． （3）设a＞0，若对任意t∈\[![](./data/image/media/image18892.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，1\]，函数f（x）在区间\[t，t+1\]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围． 【分析】（1）当a=5时，解导数不等式即可． （2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可． （3）根据条件得到f（t）﹣f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可． 【解答】解：（1）当a=5时，f（x）=log~2~（![](./data/image/media/image31392.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+5）， 由f（x）＞0；得log~2~（![](./data/image/media/image31392.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+5）＞0， 即![](./data/image/media/image31392.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+5＞1，则![](./data/image/media/image31392.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}＞﹣4，则![](./data/image/media/image31392.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+4=![](./data/image/media/image31393.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}＞0，即x＞0或x＜﹣![](./data/image/media/image31394.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， 即不等式的解集为{x\|x＞0或x＜﹣![](./data/image/media/image31394.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}}． （2）由f（x）﹣log~2~\[（a﹣4）x+2a﹣5\]=0得log~2~（![](./data/image/media/image31395.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+a）﹣log~2~\[（a﹣4）x+2a﹣5\]=0． 即log~2~（![](./data/image/media/image31395.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+a）=log~2~\[（a﹣4）x+2a﹣5\]， 即![](./data/image/media/image31395.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，① 则（a﹣4）x^2^+（a﹣5）x﹣1=0， 即（x+1）\[（a﹣4）x﹣1\]=0，②， 当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立 当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立 当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=![](./data/image/media/image31396.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 若x=﹣1是方程①的解，则![](./data/image/media/image31397.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+a=a﹣1＞0，即a＞1， 若x=![](./data/image/media/image31396.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}是方程①的解，则![](./data/image/media/image31397.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+a=2a﹣4＞0，即a＞2， 则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2． 综上，若方程f（x）﹣log~2~\[（a﹣4）x+2a﹣5\]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4． （3）函数f（x）在区间\[t，t+1\]上单调递减， 由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1， 即log~2~（![](./data/image/media/image31398.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+a）﹣log~2~（![](./data/image/media/image31399.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+a）≤1， 即![](./data/image/media/image31400.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}+a≤2（![](./data/image/media/image31399.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}+a），即a≥![](./data/image/media/image31400.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}﹣![](./data/image/media/image31401.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31402.png){width="0.5513888888888889in" height="0.36527777777777776in"} 设1﹣t=r，则0≤r≤![](./data/image/media/image31403.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ![](./data/image/media/image31404.png){width="0.5513888888888889in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31405.png){width="0.8847222222222222in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31406.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42916666666666664in"}， 当r=0时，![](./data/image/media/image31406.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42916666666666664in"}=0， 当0＜r≤![](./data/image/media/image31407.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，![](./data/image/media/image31408.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image31409.png){width="0.5451388888888888in" height="0.5638888888888889in"}， ∵y=r+![](./data/image/media/image31410.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}在（0，![](./data/image/media/image31411.png){width="0.21180555555555555in" height="0.18611111111111112in"}）上递减， ∴r+![](./data/image/media/image31410.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}≥![](./data/image/media/image31412.png){width="0.32083333333333336in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31413.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴![](./data/image/media/image31414.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42916666666666664in"}=![](./data/image/media/image31415.png){width="0.5451388888888888in" height="0.5638888888888889in"}![](./data/image/media/image31416.png){width="0.5451388888888888in" height="0.5638888888888889in"}=![](./data/image/media/image31417.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}， ∴实数a的取值范围是a≥![](./data/image/media/image31418.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 23．（18分）若无穷数列{a~n~}满足：只要a~p~=a~q~（p，q∈N^\*^），必有a~p+1~=a~q+1~，则称{a~n~}具有性质P． （1）若{a~n~}具有性质P，且a~1~=1，a~2~=2，a~4~=3，a~5~=2，a~6~+a~7~+a~8~=21，求a~3~； （2）若无穷数列{b~n~}是等差数列，无穷数列{c~n~}是公比为正数的等比数列，b~1~=c~5~=1；b~5~=c~1~=81，a~n~=b~n~+c~n~，判断{a~n~}是否具有性质P，并说明理由； （3）设{b~n~}是无穷数列，已知a~n+1~=b~n~+sina~n~（n∈N^\*^），求证："对任意a~1~，{a~n~}都具有性质P"的充要条件为"{b~n~}是常数列"． 【分析】（1）利用已知条件通过a~2~=a~5~=2，推出a~3~=a~6~，a~4~=a~7~，转化求解a~3~即可． （2）设无穷数列{b~n~}的公差为：d，无穷数列{c~n~}的公比为q，则q＞0，利用条件求出，d与q，求出b~n~，c~n~得到a~n~的表达式，推出a~2~≠a~6~，说明{a~n~}不具有性质P． （3）充分性：若{b~n~}是常数列，设b~n~=C，通过a~n+1~=C+sina~n~，证明a~p+1~=a~q+1~，得到{a~n~}具有性质P． 必要性：若对于任意a~1~，{a~n~}具有性质P，得到a~2~=b~1~+sina~1~，设函数f（x）=x﹣b~1~，g（x）=sinx，说明b~n+1~=b~n~，即可说明{b~n~}是常数列． 【解答】解：（1）∵a~2~=a~5~=2，∴a~3~=a~6~， a~4~=a~7~=3，∴a~5~=a~8~=2，a~6~=21﹣a~7~﹣a~8~=16，∴a~3~=16． （2）设无穷数列{b~n~}的公差为：d，无穷数列{c~n~}的公比为q，则q＞0， b~5~﹣b~1~=4d=80， ∴d=20，∴b~n~=20n﹣19，![](./data/image/media/image31419.png){width="0.23055555555555557in" height="0.48055555555555557in"}=q^4^=![](./data/image/media/image31420.png){width="0.21805555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，∴q=![](./data/image/media/image31421.png){width="0.13472222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，∴c~n~=![](./data/image/media/image31422.png){width="0.5708333333333333in" height="0.36527777777777776in"} ∴a~n~=b~n~+c~n~=20n﹣19+![](./data/image/media/image31422.png){width="0.5708333333333333in" height="0.36527777777777776in"}． ∵a~1~=a~5~=82， 而a~2~=21+27=48，a~6~=101![](./data/image/media/image31423.png){width="0.2375in" height="0.36527777777777776in"}=![](./data/image/media/image31424.png){width="0.3013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}．a~1~=a~5~，但是a~2~≠a~6~，{a~n~}不具有性质P． （3）充分性：若{b~n~}是常数列， 设b~n~=C，则a~n+1~=C+sina~n~， 若存在p，q使得a~p~=a~q~，则a~p+1~=C+sina~p~=C+sina~q~=a~q+1~， 故{a~n~}具有性质P． 必要性：若对于任意a~1~，{a~n~}具有性质P， 则a~2~=b~1~+sina~1~， 设函数f（x）=x﹣b~1~，g（x）=sinx， 由f（x），g（x）图象可得，对于任意的b~1~，二者图象必有一个交点， ∴一定能找到一个a~1~，使得a~1~﹣b~1~=sina~1~， ∴a~2~=b~1~+sina~1~=a~1~，∴a~n~=a~n+1~， 故b~n+1~=a~n+2~﹣sina~n+1~=a~n+1~﹣sina~n~=b~n~， ∴{b~n~}是常数列． 【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大． 2016年上海市高考数学试卷（文科） ================================ **参考答案与试题解析** **一、填空题（本大题共14题，每小题4分，共56分）.** 1．（4分）设x∈R，则不等式\|x﹣3\|＜1的解集为[　（2，4）　]{.underline}． 【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式\|x﹣3\|＜1的解集． 【解答】解：∵x∈R，不等式\|x﹣3\|＜1， ∴﹣1＜x﹣3＜1， 解得2＜x＜4． ∴不等式\|x﹣3\|＜1的解集为（2，4）． 故答案为：（2，4）． 【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用． 2．（4分）设z=![](./data/image/media/image31425.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3333333333333333in"}，其中i为虚数单位，则z的虚部等于[　﹣3　]{.underline}． 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：z=![](./data/image/media/image31425.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3333333333333333in"}=![](./data/image/media/image31426.png){width="0.75in" height="0.3333333333333333in"}=﹣3i+2，则z的虚部为﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．（4分）已知平行直线l~1~：2x+y﹣1=0，l~2~：2x+y+1=0，则l~1~，l~2~的距离[　]{.underline}![](./data/image/media/image31427.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"}[　]{.underline}． 【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可． 【解答】解：平行直线l~1~：2x+y﹣1=0，l~2~：2x+y+1=0，则l~1~，l~2~的距离：![](./data/image/media/image31428.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}=![](./data/image/media/image31429.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image31429.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"}． 【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力． 4．（4分）某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76．则这组数据的中位数是[　1.76　]{.underline}（米）． 【分析】将数据从小到大进行重新排列，根据中位数的定义进行求解即可． 【解答】解：将5位同学的身高按照从小到大进行排列为1.69，1.72，1.76，1.78，1.80． 则位于中间的数为1.76，即中位数为1.76， 故答案为：1.76 【点评】本题主要考查中位数的求解，根据中位数的定义，将数据从小到大进行排列是解决本题的关键． 5．（4分）若函数f（x）=4sinx+acosx的最大值为5，则常数a=[　±3　]{.underline}． 【分析】利用辅助角公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的最大值为5，求得a的值． 【解答】解：由于函数f（x）=4sinx+acosx=![](./data/image/media/image31430.png){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}sin（x+θ），其中，cosθ=![](./data/image/media/image31431.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4166666666666667in"}，sinθ=![](./data/image/media/image31432.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4166666666666667in"}， 故f（x）的最大值为![](./data/image/media/image31433.png){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}=5，∴a=±3， 故答案为：±3． 【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题． 6．（4分）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a^x^的图象上，则f（x）的反函数f^﹣1^（x）=[　log~2~（x﹣1）（x＞1）　]{.underline}． 【分析】由于点（3，9）在函数f（x）=1+a^x^的图象上，可得9=1+a^3^，解得a=2．可得f（x）=1+2^x^，由1+2^x^=y，解得x=log~2~（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换即可得出f（x）的反函数f^﹣1^（x）． 【解答】解：∵点（3，9）在函数f（x）=1+a^x^的图象上，∴9=1+a^3^，解得a=2． ∴f（x）=1+2^x^，由1+2^x^=y，解得x=log~2~（y﹣1），（y＞1）． 把x与y互换可得：f（x）的反函数f^﹣1^（x）=log~2~（x﹣1）． 故答案为：log~2~（x﹣1），（x＞1）． 【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．（4分）若x，y满足![](./data/image/media/image31434.png){width="0.6666666666666666in" height="0.6666666666666666in"}，则x﹣2y的最大值为[　﹣2　]{.underline}． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 【解答】解：画出可行域（如图），设z=x﹣2y⇒y=![](./data/image/media/image31435.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}x﹣![](./data/image/media/image31435.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}z， 由图可知， 当直线l经过点A（0，1）时，z最大，且最大值为z~max~=0﹣2×1=﹣2． 故答案为：﹣2． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31436.png){width="3.5833333333333335in" height="3.8333333333333335in"} 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法． 8．（4分）方程3sinx=1+cos2x在区间\[0，2π\]上的解为[　]{.underline}![](./data/image/media/image31437.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}[或]{.underline}![](./data/image/media/image31438.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可． 【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin^2^x， 即2sin^2^x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=![](./data/image/media/image31439.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}，x∈\[0，2π\] 解得x=![](./data/image/media/image31437.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}或![](./data/image/media/image31438.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image31437.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}或![](./data/image/media/image31440.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"}． 【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力． 9．（4分）在（![](./data/image/media/image31441.png){width="0.25in" height="0.25in"}﹣![](./data/image/media/image31442.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}）^n^的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于[　112　]{.underline}． 【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2^n^=256，求得 n=8．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项． 【解答】解：∵在（![](./data/image/media/image31441.png){width="0.25in" height="0.25in"}﹣![](./data/image/media/image31442.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}）^n^的二项式中，所有的二项式系数之和为256， ∴2^n^=256，解得n=8， ∴（![](./data/image/media/image31441.png){width="0.25in" height="0.25in"}﹣![](./data/image/media/image31443.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}）^8^中，T~r+1~=![](./data/image/media/image31444.png){width="1.4166666666666667in" height="0.3333333333333333in"}=![](./data/image/media/image31445.png){width="1.0833333333333333in" height="0.4166666666666667in"}， ∴当![](./data/image/media/image31446.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3333333333333333in"}=0，即r=2时，常数项为T~3~=（﹣2）^2^![](./data/image/media/image31447.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}=112． 故答案为：112． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 10．（4分）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于[　]{.underline}![](./data/image/media/image31448.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"}[　]{.underline}． 【分析】可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为![](./data/image/media/image31449.png){width="0.5in" height="0.3333333333333333in"}，代入计算即可得到所求值． 【解答】解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7， 由余弦定理可得，cosC=![](./data/image/media/image31450.png){width="0.8333333333333334in" height="0.4166666666666667in"}=![](./data/image/media/image31451.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}=﹣![](./data/image/media/image31452.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}， 可得sinC=![](./data/image/media/image31453.png){width="0.75in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image31454.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"}=![](./data/image/media/image31455.png){width="0.25in" height="0.4166666666666667in"}， 可得该三角形的外接圆半径为![](./data/image/media/image31456.png){width="0.5in" height="0.3333333333333333in"}=![](./data/image/media/image31457.png){width="0.5833333333333334in" height="0.5833333333333334in"}=![](./data/image/media/image31458.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image31458.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4166666666666667in"}． 【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题． 11．（4分）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为[　]{.underline}![](./data/image/media/image31459.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】利用分步乘法求出两同学总的选法种数，再求出选法相同的选法种数，利用古典概型概率计算公式得答案． 【解答】解：甲同学从四种水果中选两种，选法种数为![](./data/image/media/image31460.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}，乙同学的选法种数为![](./data/image/media/image31460.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}， 则两同学的选法种数为![](./data/image/media/image31461.png){width="0.5in" height="0.25in"}种． 两同学相同的选法种数为![](./data/image/media/image31460.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}． 由古典概型概率计算公式可得：甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为![](./data/image/media/image31462.png){width="1.0833333333333333in" height="0.5833333333333334in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image31463.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}． 【点评】本题考查古典概型概率计算公式的应用，考查了组合及组合数公式，是基础题． 12．（4分）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=![](./data/image/media/image31464.png){width="0.5in" height="0.25in"}上一个动点，则![](./data/image/media/image31465.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image31466.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的取值范围是[　\[﹣1，]{.underline}![](./data/image/media/image21850.png){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}[\]　]{.underline}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31467.png){width="1.3333333333333333in" height="1.25in"} 【分析】设出![](./data/image/media/image31468.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}=（x，y），得到![](./data/image/media/image31468.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image31469.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}=x+![](./data/image/media/image31470.png){width="0.5in" height="0.25in"}，令x=cosθ，根据三角函数的性质得到![](./data/image/media/image31468.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image31469.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}=sinθ+cosθ=![](./data/image/media/image31471.png){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}sin（θ+![](./data/image/media/image28798.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}），从而求出![](./data/image/media/image31468.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image31472.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的范围即可． 【解答】解：设![](./data/image/media/image31473.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}=（x，y），则![](./data/image/media/image31473.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}=（x，![](./data/image/media/image31474.png){width="0.5in" height="0.25in"}）， 由A（1，0），B（0，﹣1），得：![](./data/image/media/image31472.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}=（1，1）， ∴![](./data/image/media/image31473.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image31472.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}=x+![](./data/image/media/image31474.png){width="0.5in" height="0.25in"}， 令x=cosθ，θ∈\[0，π\]， 则![](./data/image/media/image31475.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image31476.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}=sinθ+cosθ=![](./data/image/media/image31477.png){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}sin（θ+![](./data/image/media/image31478.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}），θ∈\[0，π\]， 故![](./data/image/media/image31475.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image31476.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}的范围是\[﹣，1，![](./data/image/media/image31477.png){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}\]， 故答案为：\[﹣1，![](./data/image/media/image31477.png){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}\]． 【点评】本题考查了向量的运算性质，考查三角函数问题，是一道基础题． 13．（4分）设a＞0，b＞0．若关于x，y的方程组![](./data/image/media/image31479.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}无解，则a+b的取值范围是[　（2，+∞）　]{.underline}． 【分析】根据方程组无解可知两直线平行，利用斜率得出a，b的关系，再使用基本不等式得出答案． 【解答】解：∵关于x，y的方程组![](./data/image/media/image31479.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}无解， ∴直线ax+y﹣1=0与直线x+by﹣1=0平行， ∴﹣a=﹣![](./data/image/media/image31480.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}，且![](./data/image/media/image31481.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3333333333333333in"}． 即a=![](./data/image/media/image31480.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}且b≠1． ∵a＞0，b＞0．∴a+b=b+![](./data/image/media/image31482.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}＞2． 故答案为：（2，+∞）． 【点评】本题考查了直线平行与斜率的关系，基本不等式的应用，属于基础题． 14．（4分）无穷数列{a~n~}由k个不同的数组成，S~n~为{a~n~}的前n项和，若对任意n∈N^\*^，S~n~∈{2，3}，则k的最大值为[　4　]{.underline}． 【分析】对任意n∈N^\*^，S~n~∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4的情况，归纳可得n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4． 【解答】解：对任意n∈N^\*^，S~n~∈{2，3}，可得 当n=1时，a~1~=S~1~=2或3； 若n=2，由S~2~∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1； 若n=3，由S~3~∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1； 或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1； 若n=4，由S~3~∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1； 或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1； 或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1； 或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1； 或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1； ... 即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4， 不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1． 故答案为：4． 【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题． **二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一脸得零分）.** 15．（5分）设a∈R，则"a＞1"是"a^2^＞1"的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由a^2^＞1得a＞1或a＜﹣1， 即"a＞1"是"a^2^＞1"的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础． 16．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E、F分别为BC、BB~1~的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31483.png){width="1.4166666666666667in" height="1.3333333333333333in"} A．直线AA~1~ B．直线A~1~B~1~ C．直线A~1~D~1~ D．直线B~1~C~1~ 【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A，B，C的直线都和直线EF异面，而由图形即可看出直线B~1~C~1~和直线相交，从而便可得出正确选项． 【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA~1~，A~1~B~1~，A~1~D~1~都和直线EF为异面直线； B~1~C~1~和EF在同一平面内，且这两直线不平行； ∴直线B~1~C~1~和直线EF相交，即选项D正确． 故选：D． 【点评】考查异面直线的概念及判断，平行直线和相交直线的概念及判断，并熟悉正方体的图形形状． 17．（5分）设a∈R，b∈\[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣![](./data/image/media/image17180.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同． 【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣![](./data/image/media/image17180.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}）=sin（ax+b）， 则函数的周期相同，若a=3， 此时sin（3x﹣![](./data/image/media/image17180.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}）=sin（3x+b）， 此时b=﹣![](./data/image/media/image17180.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}+2π=![](./data/image/media/image31484.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"}， 若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣![](./data/image/media/image17180.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b）=sin（3x﹣b+π）， 则﹣![](./data/image/media/image31485.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}=﹣b+π，则b=![](./data/image/media/image31486.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"}， 综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，![](./data/image/media/image31487.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"}），（﹣3，![](./data/image/media/image31486.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"}）， 共有2组， 故选：B． 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键． 18．（5分）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（　　） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【分析】①举反例说明命题不成立； ②根据定义得f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T）， 由此得出：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真假． 【解答】解：对于①，举反例说明：f（x）=2x，g（x）=﹣x，h（x）=3x； f（x）+g（x）=x，f（x）+h（x）=5x，g（x）+h（x）=2x都是定义域R上的增函数， 但g（x）=﹣x不是增函数，所以①是假命题； 对于②，根据周期函数的定义，f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T）， f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T）， h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T）， 前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T）， 结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T）， 同理可得：f（x）=f（x+T），所以②是真命题． 故选：D． 【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题目． **三、简答题：本大题共5题，满分74分** 19．（12分）将边长为1的正方形AA~1~O~1~O（及其内部）绕OO~1~旋转一周形成圆柱，如图，![](./data/image/media/image31488.png){width="0.16666666666666666in" height="0.25in"}长为![](./data/image/media/image31489.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"}，![](./data/image/media/image31490.png){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}长为![](./data/image/media/image31491.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}，其中B~1~与C在平面AA~1~O~1~O的同侧． （1）求圆柱的体积与侧面积； （2）求异面直线O~1~B~1~与OC所成的角的大小． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31492.png){width="1.75in" height="1.5833333333333333in"} 【分析】（1）直接利用圆柱的体积公式，侧面积公式求解即可． （2）设点B~1~在下底面圆周的射影为B，连结BB~1~，即可求解所求角的大小． 【解答】解：（1）将边长为1的正方形AA~1~O~1~O（及其内部）绕OO~1~旋转一周形成圆柱，圆柱的体积为：π•1^2^•1=π． 侧面积为：2π•1=2π． （2）设点B~1~在下底面圆周的射影为B，连结BB~1~，OB，则OB∥O~1~B， ∴∠AOB=![](./data/image/media/image31491.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}，异面直线O~1~B~1~与OC所成的角的大小就是∠COB， 大小为：![](./data/image/media/image31489.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3333333333333333in"}﹣![](./data/image/media/image31491.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}=![](./data/image/media/image31493.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31494.png){width="1.75in" height="1.5in"} 【点评】本题考查几何体的体积侧面积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 20．（14分）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S~1~和S~2~，其中S~1~中的蔬菜运到河边较近，S~2~中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S~1~和S~2~的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图 （1）求菜地内的分界线C的方程； （2）菜农从蔬菜运量估计出S~1~面积是S~2~面积的两倍，由此得到S~1~面积的经验值为![](./data/image/media/image31495.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S~1~面积的"经验值"． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31496.png){width="1.9166666666666667in" height="1.75in"} 【分析】（1）设分界线上任意一点为（x，y），根据条件建立方程关系进行求解即可． （2）设M（x~0~，y~0~），则y~0~=1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH的面积，进行比较即可． 【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（x，y），由题意得\|x+1\|=![](./data/image/media/image31497.png){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，得y=2![](./data/image/media/image31498.png){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}，（0≤x≤1）， （2）设M（x~0~，y~0~），则y~0~=1， ∴x~0~=![](./data/image/media/image31499.png){width="0.3333333333333333in" height="0.5in"}=![](./data/image/media/image31500.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}， ∴设所表述的矩形面积为S~3~，则S~3~=2×（![](./data/image/media/image31500.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}+1）=2×![](./data/image/media/image31501.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}=![](./data/image/media/image31502.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}， 设五边形EMOGH的面积为S~4~，则S~4~=S~3~﹣S~△OMP~+S~△MGN~=![](./data/image/media/image31502.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}﹣![](./data/image/media/image30511.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}×![](./data/image/media/image31500.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}×1+![](./data/image/media/image31503.png){width="0.75in" height="0.3333333333333333in"}=![](./data/image/media/image31504.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}， S~1~﹣S~3~=![](./data/image/media/image31505.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3333333333333333in"}=![](./data/image/media/image31506.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}，S~4~﹣S~1~=![](./data/image/media/image31504.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}﹣![](./data/image/media/image31507.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}=![](./data/image/media/image31508.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}＜![](./data/image/media/image31506.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}， ∴五边形EMOGH的面积更接近S~1~的面积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image31509.png){width="1.75in" height="1.6666666666666667in"} 【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大． 21．（14分）双曲线x^2^﹣![](./data/image/media/image31510.png){width="0.25in" height="0.5in"}=1（b＞0）的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，直线l过F~2~且与双曲线交于A、B两点． （1）若l的倾斜角为![](./data/image/media/image31511.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}，△F~1~AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设b=![](./data/image/media/image31512.png){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}，若l的斜率存在，且\|AB\|=4，求l的斜率． 【分析】（1）由题意求出A点纵坐标，由△F~1~AB是等边三角形，可得tan∠AF~1~F~2~=tan![](./data/image/media/image31513.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}=![](./data/image/media/image31514.png){width="0.6666666666666666in" height="0.5in"}，从而求得b值，则双曲线的渐近线方程可求； （2）写出直线l的方程y﹣0=k（x﹣2），即y=kx﹣2k，与双曲线方程联立，利用弦长公式列式求得k值． 【解答】解：（1）若l的倾斜角为![](./data/image/media/image31511.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}，△F~1~AB是等边三角形， 把x=c=![](./data/image/media/image31515.png){width="0.5in" height="0.25in"}代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b^2^， 由tan∠AF~1~F~2~=tan![](./data/image/media/image31513.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}=![](./data/image/media/image31516.png){width="0.25in" height="0.4166666666666667in"}=![](./data/image/media/image31517.png){width="0.6666666666666666in" height="0.5in"}，求得b^2^=2，b=![](./data/image/media/image21850.png){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}， 故双曲线的渐近线方程为y=±bx=±![](./data/image/media/image21850.png){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}x， 即双曲线的渐近线方程为y=±![](./data/image/media/image21850.png){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}x． （2）设b=![](./data/image/media/image31518.png){width="0.25in" height="0.16666666666666666in"}，则双曲线为 x^2^﹣![](./data/image/media/image31519.png){width="0.25in" height="0.4166666666666667in"}=1，F~2~（2，0）， 若l的斜率存在，设l的斜率为k，则l的方程为y﹣0=k（x﹣2），即y=kx﹣2k， 联立![](./data/image/media/image31520.png){width="0.8333333333333334in" height="0.6666666666666666in"}，可得（3﹣k^2^）x^2^+4k^2^x﹣4k^2^﹣3=0， 由直线与双曲线有两个交点，则3﹣k^2^≠0，即k![](./data/image/media/image31521.png){width="0.5833333333333334in" height="0.16666666666666666in"}． △=36（1+k^2^）＞0． x~1~+x~2~=![](./data/image/media/image31522.png){width="0.4166666666666667in" height="0.5in"}，x~1~•x~2~=![](./data/image/media/image31523.png){width="0.5in" height="0.5in"}． ∵\|AB\|=![](./data/image/media/image31524.png){width="0.5in" height="0.25in"}•\|x~1~﹣x~2~\|=![](./data/image/media/image31525.png){width="0.5in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image20185.png){width="1.5in" height="0.3333333333333333in"} =![](./data/image/media/image31525.png){width="0.5in" height="0.25in"}•![](./data/image/media/image31526.png){width="1.5833333333333333in" height="0.5833333333333334in"}=4， 化简可得，5k^4^+42k^2^﹣27=0，解得k^2^=![](./data/image/media/image31527.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}， 求得k=![](./data/image/media/image31528.png){width="0.5in" height="0.4166666666666667in"}． ∴l的斜率为![](./data/image/media/image31528.png){width="0.5in" height="0.4166666666666667in"}． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了双曲线的简单性质，考查弦长公式的应用，体现了"设而不求"的解题思想方法，是中档题． 22．（16分）对于无穷数列{a~n~}与{b~n~}，记A={x\|x=a~n~，n∈N^\*^}，B={x\|x=b~n~，n∈N^\*^}，若同时满足条件：①{a~n~}，{b~n~}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N^\*^，则称{a~n~}与{b~n~}是无穷互补数列． （1）若a~n~=2n﹣1，b~n~=4n﹣2，判断{a~n~}与{b~n~}是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若a~n~=2^n^且{a~n~}与{b~n~}是无穷互补数列，求数量{b~n~}的前16项的和； （3）若{a~n~}与{b~n~}是无穷互补数列，{a~n~}为等差数列且a~16~=36，求{a~n~}与{b~n~}的通项公式． 【分析】（1）{a~n~}与{b~n~}不是无穷互补数列．由4∉A，4∉B，4∉A∪B=N^\*^，即可判断； （2）由a~n~=2^n^，可得a~4~=16，a~5~=32，再由新定义可得b~16~=16+4=20，运用等差数列的求和公式，计算即可得到所求和； （3）运用等差数列的通项公式，结合首项大于等于1，可得d=1或2，讨论d=1，2求得通项公式，结合新定义，即可得到所求数列的通项公式． 【解答】解：（1）{a~n~}与{b~n~}不是无穷互补数列． 理由：由a~n~=2n﹣1，b~n~=4n﹣2，可得4∉A，4∉B， 即有4∉A∪B=N^\*^，即有{a~n~}与{b~n~}不是无穷互补数列； （2）由a~n~=2^n^，可得a~4~=16，a~5~=32， 由{a~n~}与{b~n~}是无穷互补数列，可得b~16~=16+4=20， 即有数列{b~n~}的前16项的和为 （1+2+3+...+20）﹣（2+4+8+16）=![](./data/image/media/image31529.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3333333333333333in"}×20﹣30=180； （3）设{a~n~}为公差为d（d为正整数）的等差数列且a~16~=36，则a~1~+15d=36， 由a~1~=36﹣15d≥1，可得d=1或2， 若d=1，则a~1~=21，a~n~=n+20，b~n~=n（1≤n≤20）， 与{a~n~}与{b~n~}是无穷互补数列矛盾，舍去； 若d=2，则a~1~=6，a~n~=2n+4，b~n~=![](./data/image/media/image31530.png){width="1.0in" height="0.4166666666666667in"}． 综上可得，a~n~=2n+4，b~n~=![](./data/image/media/image31530.png){width="1.0in" height="0.4166666666666667in"}． 【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算和推理能力，属于中档题． 23．（18分）已知a∈R，函数f（x）=log~2~（![](./data/image/media/image31531.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}+a）． （1）当a=1时，解不等式f（x）＞1； （2）若关于x的方程f（x）+log~2~（x^2^）=0的解集中恰有一个元素，求a的值； （3）设a＞0，若对任意t∈\[![](./data/image/media/image31532.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}，1\]，函数f（x）在区间\[t，t+1\]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围． 【分析】（1）当a=1时，不等式f（x）＞1化为：![](./data/image/media/image31533.png){width="0.9166666666666666in" height="0.3333333333333333in"}＞1，因此![](./data/image/media/image31534.png){width="0.5in" height="0.3333333333333333in"}2，解出并且验证即可得出． （2）方程f（x）+log~2~（x^2^）=0即log~2~（![](./data/image/media/image31535.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}+a）+log~2~（x^2^）=0，（![](./data/image/media/image31535.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}+a）x^2^=1，化为：ax^2^+x﹣1=0，对a分类讨论解出即可得出． （3）a＞0，对任意t∈\[![](./data/image/media/image31536.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}，1\]，函数f（x）在区间\[t，t+1\]上单调递减，由题意可得![](./data/image/media/image31537.png){width="0.9166666666666666in" height="0.3333333333333333in"}﹣![](./data/image/media/image31538.png){width="1.0833333333333333in" height="0.3333333333333333in"}≤1，因此![](./data/image/media/image31539.png){width="1.0in" height="0.3333333333333333in"}≤2，化为：a≥![](./data/image/media/image31540.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"}=g（t），t∈\[![](./data/image/media/image31541.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}，1\]，利用导数研究函数的单调性即可得出． 【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）＞1化为：![](./data/image/media/image31542.png){width="0.9166666666666666in" height="0.3333333333333333in"}＞1， ∴![](./data/image/media/image31543.png){width="0.5in" height="0.3333333333333333in"}2，化为：![](./data/image/media/image31544.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3333333333333333in"}，解得0＜x＜1， 经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（0，1）． （2）方程f（x）+log~2~（x^2^）=0即log~2~（![](./data/image/media/image31545.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}+a）+log~2~（x^2^）=0，∴（![](./data/image/media/image31545.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}+a）x^2^=1，化为：ax^2^+x﹣1=0， 若a=0，化为x﹣1=0，解得x=1，经过验证满足：关于x的方程f（x）+log~2~（x^2^）=0的解集中恰有一个元素1． 若a≠0，令△=1+4a=0，解得a=![](./data/image/media/image31546.png){width="0.25in" height="0.3333333333333333in"}，解得x=2．经过验证满足：关于x的方程f（x）+log~2~（x^2^）=0的解集中恰有一个元素1． 综上可得：a=0或﹣![](./data/image/media/image31547.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}． （3）a＞0，对任意t∈\[![](./data/image/media/image26643.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}，1\]，函数f（x）在区间\[t，t+1\]上单调递减， ∴![](./data/image/media/image31548.png){width="0.9166666666666666in" height="0.3333333333333333in"}﹣![](./data/image/media/image31549.png){width="1.0833333333333333in" height="0.3333333333333333in"}≤1， ∴![](./data/image/media/image31550.png){width="1.0in" height="0.3333333333333333in"}≤2， 化为：a≥![](./data/image/media/image31551.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4166666666666667in"}=g（t），t∈\[![](./data/image/media/image22572.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}，1\]， g′（t）=![](./data/image/media/image31552.png){width="1.6666666666666667in" height="0.5in"}=![](./data/image/media/image31553.png){width="0.75in" height="0.5in"}=![](./data/image/media/image31554.png){width="0.75in" height="0.5in"}≤![](./data/image/media/image31555.png){width="0.8333333333333334in" height="0.75in"}＜0， ∴g（t）在t∈\[![](./data/image/media/image22574.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}，1\]上单调递减，∴t=![](./data/image/media/image22574.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}时，g（t）取得最大值，![](./data/image/media/image31556.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3333333333333333in"}=![](./data/image/media/image31557.png){width="0.16666666666666666in" height="0.3333333333333333in"}． ∴![](./data/image/media/image31558.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3333333333333333in"}． ∴a的取值范围是![](./data/image/media/image31559.png){width="0.75in" height="0.3333333333333333in"}． 【点评】本题考查了对数函数的运算法则单调性、不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题． 2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） ============================================= **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．** 1．（5分）已知集合A={x\|x＜1}，B={x\|3^x^＜1}，则（　　） A．A∩B={x\|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x\|x＞1} D．A∩B=∅ 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果． 【解答】解：∵集合A={x\|x＜1}， B={x\|3^x^＜1}={x\|x＜0}， ∴A∩B={x\|x＜0}，故A正确，D错误； A∪B={x\|x＜1}，故B和C都错误． 故选：A． 【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用． 　 2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　） ![](./data/image/media/image31560.png){width="1.5520833333333333in" height="1.4166666666666667in"} A．![](./data/image/media/image31561.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} B．![](./data/image/media/image31562.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} C．![](./data/image/media/image31563.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} D．![](./data/image/media/image31564.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} 【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2， 则黑色部分的面积S=![](./data/image/media/image31565.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}， 则对应概率P=![](./data/image/media/image31566.png){width="0.25in" height="0.5625in"}=![](./data/image/media/image31567.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：B． 【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键． 　 3．（5分）设有下面四个命题 p~1~：若复数z满足![](./data/image/media/image31568.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}∈R，则z∈R； p~2~：若复数z满足z^2^∈R，则z∈R； p~3~：若复数z~1~，z~2~满足z~1~z~2~∈R，则z~1~=![](./data/image/media/image31569.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}； p~4~：若复数z∈R，则![](./data/image/media/image31570.png){width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}∈R． 其中的真命题为（　　） A．p~1~，p~3~ B．p~1~，p~4~ C．p~2~，p~3~ D．p~2~，p~4~ 【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数． 【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：若复数z满足![](./data/image/media/image31571.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}∈R，则z∈R，故命题p~1~为真命题； p~2~：复数z=i满足z^2^=﹣1∈R，则z∉R，故命题p~2~为假命题； p~3~：若复数z~1~=i，z~2~=2i满足z~1~z~2~∈R，但z~1~≠![](./data/image/media/image31572.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}，故命题p~3~为假命题； p~4~：若复数z∈R，则![](./data/image/media/image31573.png){width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}=z∈R，故命题p~4~为真命题． 故选：B． 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题． 　 4．（5分）记S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和．若a~4~+a~5~=24，S~6~=48，则{a~n~}的公差为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a~n~}的公差． 【解答】解：∵S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，a~4~+a~5~=24，S~6~=48， ∴![](./data/image/media/image31574.png){width="1.3652777777777778in" height="0.6555555555555556in"}， 解得a~1~=﹣2，d=4， ∴{a~n~}的公差为4． 故选：C． 【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 　 5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　） A．\[﹣2，2\] B．\[﹣1，1\] C．\[0，4\] D．\[1，3\] 【考点】3P：抽象函数及其应用．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案． 【解答】解：∵函数f（x）为奇函数． 若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1， 又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1， ∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1）， ∴﹣1≤x﹣2≤1， 解得：x∈\[1，3\]， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档． 　 6．（5分）（1+![](./data/image/media/image31575.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）（1+x）^6^展开式中x^2^的系数为（　　） A．15 B．20 C．30 D．35 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法． 【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可． 【解答】解：（1+![](./data/image/media/image31576.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）（1+x）^6^展开式中： 若（1+![](./data/image/media/image31576.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）=（1+x^﹣2^）提供常数项1，则（1+x）^6^提供含有x^2^的项，可得展开式中x^2^的系数： 若（1+![](./data/image/media/image31576.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）提供x^﹣2^项，则（1+x）^6^提供含有x^4^的项，可得展开式中x^2^的系数： 由（1+x）^6^通项公式可得![](./data/image/media/image31577.png){width="0.38472222222222224in" height="0.28055555555555556in"}． 可知r=2时，可得展开式中x^2^的系数为![](./data/image/media/image31578.png){width="0.46875in" height="0.28055555555555556in"}． 可知r=4时，可得展开式中x^2^的系数为![](./data/image/media/image31579.png){width="0.46875in" height="0.28055555555555556in"}． （1+![](./data/image/media/image31580.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）（1+x）^6^展开式中x^2^的系数为：15+15=30． 故选：C． 【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题． 　 7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（　　） ![](./data/image/media/image31581.png){width="1.3020833333333333in" height="1.7916666666666667in"} A．10 B．12 C．14 D．16 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何． 【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可 【解答】解：由三视图可画出直观图， 该立体图中只有两个相同的梯形的面， S~梯形~=![](./data/image/media/image31582.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}×2×（2+4）=6， ∴这些梯形的面积之和为6×2=12， 故选：B． ![](./data/image/media/image31583.png){width="1.0409722222222222in" height="1.6875in"} 【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3^n^﹣2^n^＞1000的最小偶数n，那么在![](./data/image/media/image31584.png){width="0.6243055555555556in" height="0.3951388888888889in"}和![](./data/image/media/image31585.png){width="0.5618055555555556in" height="0.3326388888888889in"}两个空白框中，可以分别填入（　　） ![](./data/image/media/image31586.png){width="1.5416666666666667in" height="2.7819444444444446in"} A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2 C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图． 【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在"否"时输出确定"![](./data/image/media/image31587.png){width="0.6243055555555556in" height="0.3951388888888889in"}"内不能输入"A＞1000"，进而通过偶数的特征确定n=n+2． 【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在"否"时输出， 所以"![](./data/image/media/image31587.png){width="0.6243055555555556in" height="0.3951388888888889in"}"内不能输入"A＞1000"， 又要求n为偶数，且n的初始值为0， 所以"![](./data/image/media/image31588.png){width="0.5618055555555556in" height="0.3326388888888889in"}"中n依次加2可保证其为偶数， 所以D选项满足要求， 故选：D． 【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分． 　 9．（5分）已知曲线C~1~：y=cosx，C~2~：y=sin（2x+![](./data/image/media/image31589.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}），则下面结论正确的是（　　） A．把C~1~上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移![](./data/image/media/image31590.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度，得到曲线C~2~ B．把C~1~上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移![](./data/image/media/image31591.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度，得到曲线C~2~ C．把C~1~上各点的横坐标缩短到原来的![](./data/image/media/image12459.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移![](./data/image/media/image31592.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度，得到曲线C~2~ D．把C~1~上各点的横坐标缩短到原来的![](./data/image/media/image31593.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移![](./data/image/media/image31594.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度，得到曲线C~2~ 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可． 【解答】解：把C~1~上各点的横坐标缩短到原来的![](./data/image/media/image31593.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移![](./data/image/media/image31594.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度，得到函数y=cos2（x+![](./data/image/media/image31594.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）=cos（2x+![](./data/image/media/image31592.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）=sin（2x+![](./data/image/media/image31595.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）的图象，即曲线C~2~， 故选：D． 【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力． 　 10．（5分）已知F为抛物线C：y^2^=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l~1~，l~2~，直线l~1~与C交于A、B两点，直线l~2~与C交于D、E两点，则\|AB\|+\|DE\|的最小值为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，\|AB\|+\|DE\|最小，根据弦长公式计算即可． 方法二：设直线l~1~的倾斜角为θ，则l~2~的倾斜角为 ![](./data/image/media/image10220.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出\|AB\|，\|DE\|，整理求得答案 【解答】解：如图，l~1~⊥l~2~，直线l~1~与C交于A、B两点， 直线l~2~与C交于D、E两点， 要使\|AB\|+\|DE\|最小， 则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1， 又直线l~2~过点（1，0）， 则直线l~2~的方程为y=x﹣1， 联立方程组![](./data/image/media/image31596.png){width="0.5729166666666666in" height="0.4798611111111111in"}，则y^2^﹣4y﹣4=0， ∴y~1~+y~2~=4，y~1~y~2~=﹣4， ∴\|DE\|=![](./data/image/media/image31597.png){width="0.5208333333333334in" height="0.44722222222222224in"}•\|y~1~﹣y~2~\|=![](./data/image/media/image31598.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}×![](./data/image/media/image31599.png){width="0.29097222222222224in" height="0.18680555555555556in"}=8， ∴\|AB\|+\|DE\|的最小值为2\|DE\|=16， 方法二：设直线l~1~的倾斜角为θ，则l~2~的倾斜角为 ![](./data/image/media/image10220.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}+θ， 根据焦点弦长公式可得\|AB\|=![](./data/image/media/image31600.png){width="0.6034722222222222in" height="0.42569444444444443in"}=![](./data/image/media/image31601.png){width="0.6034722222222222in" height="0.42569444444444443in"} \|DE\|=![](./data/image/media/image31602.png){width="1.09375in" height="0.5625in"}=![](./data/image/media/image31603.png){width="0.6034722222222222in" height="0.42569444444444443in"}=![](./data/image/media/image31604.png){width="0.6034722222222222in" height="0.42569444444444443in"} ∴\|AB\|+\|DE\|=![](./data/image/media/image31601.png){width="0.6034722222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![](./data/image/media/image31604.png){width="0.6034722222222222in" height="0.42569444444444443in"}=![](./data/image/media/image31605.png){width="1.1458333333333333in" height="0.42569444444444443in"}=![](./data/image/media/image31606.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}， ∵0＜sin^2^2θ≤1， ∴当θ=45°时，\|AB\|+\|DE\|的最小，最小为16， 故选：A． ![](./data/image/media/image31607.png){width="2.8340277777777776in" height="3.71875in"} 【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题． 　 11．（5分）设x、y、z为正数，且2^x^=3^y^=5^z^，则（　　） A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 【考点】72：不等式比较大小．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用． 【分析】x、y、z为正数，令2^x^=3^y^=5^z^=k＞1．lgk＞0．可得x=![](./data/image/media/image31608.png){width="0.3020833333333333in" height="0.38472222222222224in"}，y=![](./data/image/media/image31609.png){width="0.3020833333333333in" height="0.38472222222222224in"}，z=![](./data/image/media/image31610.png){width="0.3020833333333333in" height="0.38472222222222224in"}．可得3y=![](./data/image/media/image31611.png){width="0.46875in" height="0.44722222222222224in"}，2x=![](./data/image/media/image31612.png){width="0.42569444444444443in" height="0.40625in"}，5z=![](./data/image/media/image31613.png){width="0.46875in" height="0.44722222222222224in"}．根据![](./data/image/media/image31614.png){width="0.25in" height="0.2388888888888889in"}=![](./data/image/media/image31615.png){width="0.25in" height="0.2388888888888889in"}![](./data/image/media/image31616.png){width="0.4361111111111111in" height="0.2388888888888889in"}=![](./data/image/media/image31617.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，![](./data/image/media/image31618.png){width="0.7076388888888889in" height="0.2388888888888889in"}＞![](./data/image/media/image31619.png){width="0.3951388888888889in" height="0.2388888888888889in"}=![](./data/image/media/image31620.png){width="0.25in" height="0.2388888888888889in"}．即可得出大小关系． 另解：x、y、z为正数，令2^x^=3^y^=5^z^=k＞1．lgk＞0．可得x=![](./data/image/media/image31621.png){width="0.3020833333333333in" height="0.38472222222222224in"}，y=![](./data/image/media/image31622.png){width="0.3020833333333333in" height="0.38472222222222224in"}，z=![](./data/image/media/image31623.png){width="0.3020833333333333in" height="0.38472222222222224in"}．![](./data/image/media/image31624.png){width="0.21944444444444444in" height="0.37569444444444444in"}=![](./data/image/media/image31625.png){width="0.625in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image31626.png){width="0.3020833333333333in" height="0.38472222222222224in"}＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x． 【解答】解：x、y、z为正数， 令2^x^=3^y^=5^z^=k＞1．lgk＞0． 则x=![](./data/image/media/image31621.png){width="0.3020833333333333in" height="0.38472222222222224in"}，y=![](./data/image/media/image31627.png){width="0.3020833333333333in" height="0.38472222222222224in"}，z=![](./data/image/media/image31628.png){width="0.3020833333333333in" height="0.38472222222222224in"}． ∴3y=![](./data/image/media/image31629.png){width="0.46875in" height="0.44722222222222224in"}，2x=![](./data/image/media/image31630.png){width="0.42569444444444443in" height="0.40625in"}，5z=![](./data/image/media/image31631.png){width="0.46875in" height="0.44722222222222224in"}． ∵![](./data/image/media/image31632.png){width="0.25in" height="0.2388888888888889in"}=![](./data/image/media/image31633.png){width="0.25in" height="0.2388888888888889in"}![](./data/image/media/image31634.png){width="0.4361111111111111in" height="0.2388888888888889in"}=![](./data/image/media/image31635.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，![](./data/image/media/image31636.png){width="0.7076388888888889in" height="0.2388888888888889in"}＞![](./data/image/media/image31637.png){width="0.3951388888888889in" height="0.2388888888888889in"}=![](./data/image/media/image31638.png){width="0.25in" height="0.2388888888888889in"}． ∴![](./data/image/media/image31639.png){width="0.4361111111111111in" height="0.2388888888888889in"}＞lg![](./data/image/media/image31635.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}＞![](./data/image/media/image31640.png){width="0.4361111111111111in" height="0.2388888888888889in"}＞0． ∴3y＜2x＜5z． 另解：x、y、z为正数， 令2^x^=3^y^=5^z^=k＞1．lgk＞0． 则x=![](./data/image/media/image31641.png){width="0.3020833333333333in" height="0.38472222222222224in"}，y=![](./data/image/media/image31642.png){width="0.3020833333333333in" height="0.38472222222222224in"}，z=![](./data/image/media/image31643.png){width="0.3020833333333333in" height="0.38472222222222224in"}． ∴![](./data/image/media/image31644.png){width="0.21944444444444444in" height="0.37569444444444444in"}=![](./data/image/media/image31645.png){width="0.625in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image31646.png){width="0.3020833333333333in" height="0.38472222222222224in"}＞1，可得2x＞3y， ![](./data/image/media/image31647.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image31648.png){width="0.625in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image31649.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4888888888888889in"}＞1．可得5z＞2x． 综上可得：5z＞2x＞3y． 解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系． 故选：D． 【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了"解数学题获取软件激活码"的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，...，其中第一项是2^0^，接下来的两项是2^0^，2^1^，再接下来的三项是2^0^，2^1^，2^2^，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（　　） A．440 B．330 C．220 D．110 【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列． 【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b~n~}的通项公式及前n项和，可知当N为![](./data/image/media/image31650.png){width="0.5513888888888889in" height="0.3645833333333333in"}时（n∈N~+~），数列{a~n~}的前N项和为数列{b~n~}的前n项和，即为2^n+1^﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码； 方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S~n~=2^n+1^﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2^n+1^为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值． 【解答】解：设该数列为{a~n~}，设b~n~=![](./data/image/media/image31651.png){width="0.71875in" height="0.38472222222222224in"}+...+![](./data/image/media/image31652.png){width="0.5625in" height="0.38472222222222224in"}=2^n+1^﹣1，（n∈N~+~），则![](./data/image/media/image31653.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4798611111111111in"}=![](./data/image/media/image31654.png){width="0.4583333333333333in" height="0.6451388888888889in"}a~i~， 由题意可设数列{a~n~}的前N项和为S~N~，数列{b~n~}的前n项和为T~n~，则T~n~=2^1^﹣1+2^2^﹣1+...+2^n+1^﹣1=2^n+1^﹣n﹣2， 可知当N为![](./data/image/media/image31655.png){width="0.5513888888888889in" height="0.3645833333333333in"}时（n∈N~+~），数列{a~n~}的前N项和为数列{b~n~}的前n项和，即为2^n+1^﹣n﹣2， 容易得到N＞100时，n≥14， A项，由![](./data/image/media/image31656.png){width="0.5513888888888889in" height="0.3645833333333333in"}=435，440=435+5，可知S~440~=T~29~+b~5~=2^30^﹣29﹣2+2^5^﹣1=2^30^，故A项符合题意． B项，仿上可知![](./data/image/media/image31657.png){width="0.5513888888888889in" height="0.3645833333333333in"}=325，可知S~330~=T~25~+b~5~=2^26^﹣25﹣2+2^5^﹣1=2^26^+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意． C项，仿上可知![](./data/image/media/image31658.png){width="0.5513888888888889in" height="0.3645833333333333in"}=210，可知S~220~=T~20~+b~10~=2^21^﹣20﹣2+2^10^﹣1=2^21^+2^10^﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意． D项，仿上可知![](./data/image/media/image31659.png){width="0.5513888888888889in" height="0.3645833333333333in"}=105，可知S~110~=T~14~+b~5~=2^15^﹣14﹣2+2^5^﹣1=2^15^+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意． 故选A． 方法二：由题意可知：![](./data/image/media/image31660.png){width="0.42569444444444443in" height="0.16527777777777777in"}，![](./data/image/media/image31661.png){width="0.6034722222222222in" height="0.4583333333333333in"}，![](./data/image/media/image31662.png){width="0.9895833333333334in" height="0.4583333333333333in"}，...![](./data/image/media/image31663.png){width="1.8340277777777778in" height="0.4583333333333333in"}， 根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：2^1^﹣1，2^2^﹣1，2^3^﹣1，...，2^n^﹣1， 每项含有的项数为：1，2，3，...，n， 总共的项数为N=1+2+3+...+n=![](./data/image/media/image31664.png){width="0.5513888888888889in" height="0.3645833333333333in"}， 所有项数的和为S~n~：2^1^﹣1+2^2^﹣1+2^3^﹣1+...+2^n^﹣1=（2^1^+2^2^+2^3^+...+2^n^）﹣n=![](./data/image/media/image31665.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}﹣n=2^n+1^﹣2﹣n， 由题意可知：2^n+1^为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可， 则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有![](./data/image/media/image31666.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}+2=3，不满足N＞100， ②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有![](./data/image/media/image31667.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}+3=18，不满足N＞100， ③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有![](./data/image/media/image31668.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}+4=95，不满足N＞100， ④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有![](./data/image/media/image31669.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}+5=440，满足N＞100， ∴该款软件的激活码440． 故选：A． 【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题． 　 **二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．** 13．（5分）已知向量![](./data/image/media/image31670.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image31671.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为60°，\|![](./data/image/media/image31670.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=2，\|![](./data/image/media/image31671.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，则\|![](./data/image/media/image13174.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+2![](./data/image/media/image13175.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=[　2]{.underline}![](./data/image/media/image31672.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}[　]{.underline}． 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可． 【解答】解：【解法一】向量![](./data/image/media/image13174.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image13175.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为60°，且\|![](./data/image/media/image31673.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=2，\|![](./data/image/media/image31674.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1， ∴![](./data/image/media/image31675.png){width="0.6972222222222222in" height="0.26944444444444443in"}=![](./data/image/media/image31676.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}+4![](./data/image/media/image31673.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image31674.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+4![](./data/image/media/image31677.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"} =2^2^+4×2×1×cos60°+4×1^2^ =12， ∴\|![](./data/image/media/image31678.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+2![](./data/image/media/image31679.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=2![](./data/image/media/image31680.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}． 【解法二】根据题意画出图形，如图所示； 结合图形![](./data/image/media/image31681.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=![](./data/image/media/image31682.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image31683.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=![](./data/image/media/image31678.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+2![](./data/image/media/image31679.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}； 在△OAC中，由余弦定理得 \|![](./data/image/media/image31681.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}\|=![](./data/image/media/image31684.png){width="2.092361111111111in" height="0.25in"}=2![](./data/image/media/image31685.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}， 即\|![](./data/image/media/image31686.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+2![](./data/image/media/image31687.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=2![](./data/image/media/image31685.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}． 故答案为：2![](./data/image/media/image31685.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}． ![](./data/image/media/image31688.png){width="2.5527777777777776in" height="1.3645833333333333in"} 【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题． 　 14．（5分）设x，y满足约束条件![](./data/image/media/image31689.png){width="0.7923611111111111in" height="0.6555555555555556in"}，则z=3x﹣2y的最小值为[　﹣5　]{.underline}． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式． 【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 【解答】解：由x，y满足约束条件![](./data/image/media/image31690.png){width="0.7923611111111111in" height="0.6555555555555556in"}作出可行域如图， 由图可知，目标函数的最优解为A， 联立![](./data/image/media/image31691.png){width="0.7076388888888889in" height="0.4166666666666667in"}，解得A（﹣1，1）． ∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5． 故答案为：﹣5． ![](./data/image/media/image31692.png){width="2.3958333333333335in" height="2.4375in"} 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 　 15．（5分）已知双曲线C：![](./data/image/media/image31693.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4798611111111111in"}﹣![](./data/image/media/image31694.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为[　]{.underline}![](./data/image/media/image31695.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}[　]{.underline}． 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线C：![](./data/image/media/image31696.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4798611111111111in"}﹣![](./data/image/media/image31697.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0）， 以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点． 若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=![](./data/image/media/image31698.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}， 可得：![](./data/image/media/image31699.png){width="0.625in" height="0.44722222222222224in"}=![](./data/image/media/image31700.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}，即![](./data/image/media/image31701.png){width="0.4798611111111111in" height="0.38472222222222224in"}，可得离心率为：e=![](./data/image/media/image31702.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image31702.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力． 　 16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm^3^）的最大值为[　4]{.underline}![](./data/image/media/image31703.png){width="0.29097222222222224in" height="0.18680555555555556in"}[cm^3^　]{.underline}． ![](./data/image/media/image31704.png){width="1.5520833333333333in" height="1.4583333333333333in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=![](./data/image/media/image31705.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}BC，设OG=x，则BC=2![](./data/image/media/image31706.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=![](./data/image/media/image31707.png){width="0.625in" height="0.18680555555555556in"}，求出S~△ABC~=3![](./data/image/media/image31708.png){width="0.40625in" height="0.25in"}，V=![](./data/image/media/image31709.png){width="0.8638888888888889in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image31710.png){width="1.261111111111111in" height="0.25in"}，令f（x）=25x^4^﹣10x^5^，x∈（0，![](./data/image/media/image31711.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}），f′（x）=100x^3^﹣50x^4^，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值． 法二：设正三角形的边长为x，则OG=![](./data/image/media/image31712.png){width="1.09375in" height="0.38472222222222224in"}，FG=SG=5﹣![](./data/image/media/image31713.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}，SO=h=![](./data/image/media/image31714.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image31715.png){width="1.6340277777777779in" height="0.40625in"}=![](./data/image/media/image31716.png){width="0.8006944444444445in" height="0.40625in"}，由此能示出三棱锥的体积的最大值． 【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=![](./data/image/media/image31717.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}BC， 即OG的长度与BC的长度成正比， 设OG=x，则BC=2![](./data/image/media/image31718.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}x，DG=5﹣x， 三棱锥的高h=![](./data/image/media/image31719.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image31720.png){width="1.1979166666666667in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image31721.png){width="0.625in" height="0.18680555555555556in"}， ![](./data/image/media/image31722.png){width="1.9902777777777778in" height="0.38472222222222224in"}=3![](./data/image/media/image31723.png){width="0.40625in" height="0.25in"}， 则V=![](./data/image/media/image31724.png){width="0.8638888888888889in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image31725.png){width="1.2173611111111111in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image31726.png){width="1.261111111111111in" height="0.25in"}， 令f（x）=25x^4^﹣10x^5^，x∈（0，![](./data/image/media/image31727.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}），f′（x）=100x^3^﹣50x^4^， 令f′（x）≥0，即x^4^﹣2x^3^≤0，解得x≤2， 则f（x）≤f（2）=80， ∴V≤![](./data/image/media/image31728.png){width="0.6861111111111111in" height="0.18680555555555556in"}=4![](./data/image/media/image31729.png){width="0.29097222222222224in" height="0.18680555555555556in"}cm^3^，∴体积最大值为4![](./data/image/media/image31729.png){width="0.29097222222222224in" height="0.18680555555555556in"}cm^3^． 故答案为：4![](./data/image/media/image31730.png){width="0.29097222222222224in" height="0.18680555555555556in"}cm^3^． 解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=![](./data/image/media/image31731.png){width="1.09375in" height="0.38472222222222224in"}， ∴FG=SG=5﹣![](./data/image/media/image31732.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}， SO=h=![](./data/image/media/image31733.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image31734.png){width="1.6340277777777779in" height="0.40625in"}=![](./data/image/media/image31735.png){width="0.8006944444444445in" height="0.40625in"}， ∴三棱锥的体积V=![](./data/image/media/image31736.png){width="0.78125in" height="0.3645833333333333in"} =![](./data/image/media/image31737.png){width="1.6340277777777779in" height="0.40625in"}=![](./data/image/media/image31738.png){width="0.3236111111111111in" height="0.38472222222222224in"}![](./data/image/media/image31739.png){width="0.9375in" height="0.40625in"}， 令b（x）=5x^4^﹣![](./data/image/media/image31740.png){width="0.4361111111111111in" height="0.38472222222222224in"}，则![](./data/image/media/image31741.png){width="1.6145833333333333in" height="0.38472222222222224in"}， 令b^\'^（x）=0，则4x^3^﹣![](./data/image/media/image31742.png){width="0.2388888888888889in" height="0.44722222222222224in"}=0，解得x=4![](./data/image/media/image31743.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}， ∴![](./data/image/media/image31744.png){width="2.1354166666666665in" height="0.38472222222222224in"}（cm^3^）． 故答案为：4![](./data/image/media/image31745.png){width="0.29097222222222224in" height="0.18680555555555556in"}cm^3^． ![](./data/image/media/image31746.png){width="4.021527777777778in" height="2.8756944444444446in"} ![](./data/image/media/image31747.png){width="1.5833333333333333in" height="1.4791666666666667in"} 【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 　 **三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．** 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为![](./data/image/media/image31748.png){width="0.46875in" height="0.42569444444444443in"}． （1）求sinBsinC； （2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形． 【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案， （2）根据两角余弦公式可得cosA=![](./data/image/media/image31749.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，即可求出A=![](./data/image/media/image31750.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决． 【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S~△ABC~=![](./data/image/media/image31749.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}acsinB=![](./data/image/media/image31751.png){width="0.46875in" height="0.42569444444444443in"}， ∴3csinBsinA=2a， 由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA， ∵sinA≠0， ∴sinBsinC=![](./data/image/media/image31752.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}； （2）∵6cosBcosC=1， ∴cosBcosC=![](./data/image/media/image31753.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， ∴cosBcosC﹣sinBsinC=![](./data/image/media/image31753.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image31754.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![](./data/image/media/image31755.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， ∴cos（B+C）=﹣![](./data/image/media/image31755.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， ∴cosA=![](./data/image/media/image31755.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， ∵0＜A＜π， ∴A=![](./data/image/media/image31756.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}， ∵![](./data/image/media/image31757.png){width="0.38472222222222224in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image31758.png){width="0.38472222222222224in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image31759.png){width="0.38472222222222224in" height="0.3645833333333333in"}=2R=![](./data/image/media/image31760.png){width="0.26944444444444443in" height="0.5840277777777778in"}=2![](./data/image/media/image104.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}， ∴sinBsinC=![](./data/image/media/image31761.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}•![](./data/image/media/image31762.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image31763.png){width="0.625in" height="0.44722222222222224in"}=![](./data/image/media/image31764.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image31765.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， ∴bc=8， ∵a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA， ∴b^2^+c^2^﹣bc=9， ∴（b+c）^2^=9+3cb=9+24=33， ∴b+c=![](./data/image/media/image31766.png){width="0.29097222222222224in" height="0.18680555555555556in"} ∴周长a+b+c=3+![](./data/image/media/image31766.png){width="0.29097222222222224in" height="0.18680555555555556in"}． 【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题． 　 18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值． ![](./data/image/media/image31767.png){width="1.8854166666666667in" height="1.21875in"} 【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角． 【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD； （2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=![](./data/image/media/image31768.png){width="0.4166666666666667in" height="0.18680555555555556in"}．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得![](./data/image/media/image31769.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值． 【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD， ∵AB∥CD，∴AB⊥PD， 又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD； （2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形， 由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形， 在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形， 设PA=AB=2a，则AD=![](./data/image/media/image31768.png){width="0.4166666666666667in" height="0.18680555555555556in"}． 取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE， 以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则：D（![](./data/image/media/image31770.png){width="0.9159722222222222in" height="0.20833333333333334in"}），B（![](./data/image/media/image31771.png){width="0.8965277777777778in" height="0.20833333333333334in"}），P（0，0，![](./data/image/media/image31772.png){width="0.3125in" height="0.18680555555555556in"}），C（![](./data/image/media/image31773.png){width="1.0006944444444446in" height="0.20833333333333334in"}）． ![](./data/image/media/image31774.png){width="1.6666666666666667in" height="0.22847222222222222in"}，![](./data/image/media/image31775.png){width="1.6666666666666667in" height="0.22847222222222222in"}，![](./data/image/media/image31776.png){width="1.4368055555555554in" height="0.22847222222222222in"}． 设平面PBC的一个法向量为![](./data/image/media/image31777.png){width="0.9576388888888889in" height="0.22847222222222222in"}， 由![](./data/image/media/image31778.png){width="0.6861111111111111in" height="0.4798611111111111in"}，得![](./data/image/media/image31779.png){width="1.4777777777777779in" height="0.44722222222222224in"}，取y=1，得![](./data/image/media/image31780.png){width="1.104861111111111in" height="0.22847222222222222in"}． ∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD， 又PD⊥PA，PA∩AB=A， ∴PD⊥平面PAB，则![](./data/image/media/image31781.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}为平面PAB的一个法向量，![](./data/image/media/image31782.png){width="1.6666666666666667in" height="0.22847222222222222in"}． ∴cos＜![](./data/image/media/image31783.png){width="0.4798611111111111in" height="0.22847222222222222in"}＞=![](./data/image/media/image31784.png){width="0.71875in" height="0.44722222222222224in"}=![](./data/image/media/image31785.png){width="1.020138888888889in" height="0.40625in"}． 由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角， ∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为![](./data/image/media/image31786.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}． ![](./data/image/media/image31787.png){width="2.4375in" height="2.0104166666666665in"} 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题． 　 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ^2^）． （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- 经计算得![](./data/image/media/image31788.png){width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}=![](./data/image/media/image31789.png){width="0.6361111111111111in" height="0.4798611111111111in"}=9.97，s=![](./data/image/media/image31790.png){width="1.238888888888889in" height="0.49930555555555556in"}=![](./data/image/media/image31791.png){width="1.5in" height="0.49930555555555556in"}≈0.212，其中x~i~为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，...，16． 用样本平均数![](./data/image/media/image31792.png){width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}作为μ的估计值![](./data/image/media/image31793.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}，用样本标准差s作为σ的估计值![](./data/image/media/image31794.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（![](./data/image/media/image31793.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}﹣3![](./data/image/media/image31795.png){width="0.5625in" height="0.3326388888888889in"}+3![](./data/image/media/image31794.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）． 附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ^2^），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.9974^16^≈0.9592，![](./data/image/media/image31796.png){width="0.5409722222222222in" height="0.18680555555555556in"}≈0.09． 【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计． 【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论； （2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理； （ⅱ）通过样本平均数![](./data/image/media/image31797.png){width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}、样本标准差s估计![](./data/image/media/image31798.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}、![](./data/image/media/image31799.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}可知（![](./data/image/media/image31800.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}﹣3![](./data/image/media/image31801.png){width="0.5625in" height="0.3326388888888889in"}+3![](./data/image/media/image31802.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}）=（9.334，10.606），进而需剔除（![](./data/image/media/image31800.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}﹣3![](./data/image/media/image31801.png){width="0.5625in" height="0.3326388888888889in"}+3![](./data/image/media/image31802.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论． 【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974， 则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026， 因为P（X=0）=![](./data/image/media/image31803.png){width="0.2604166666666667in" height="0.28055555555555556in"}×（1﹣0.9974）^0^×0.9974^16^≈0.9592， 所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408， 又因为X～B（16，0.0026）， 所以E（X）=16×0.0026=0.0416； （2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（![](./data/image/media/image31804.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}﹣3![](./data/image/media/image31805.png){width="0.5625in" height="0.3326388888888889in"}+3![](./data/image/media/image31806.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（![](./data/image/media/image31804.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}﹣3![](./data/image/media/image31805.png){width="0.5625in" height="0.3326388888888889in"}+3![](./data/image/media/image31807.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的． （ⅱ）由![](./data/image/media/image31808.png){width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为![](./data/image/media/image31809.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}=9.97，σ的估计值为![](./data/image/media/image31807.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}=0.212，由样本数据可以看出一个 零件的尺寸在（![](./data/image/media/image31809.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}﹣3![](./data/image/media/image31810.png){width="0.5625in" height="0.3326388888888889in"}+3![](./data/image/media/image31811.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}）之外，因此需对当天的生产过程进行检查． 剔除（![](./data/image/media/image31812.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}﹣3![](./data/image/media/image31813.png){width="0.5625in" height="0.3326388888888889in"}+3![](./data/image/media/image31811.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为 ![](./data/image/media/image31814.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}（16×9.97﹣9.22）=10.02， 因此μ的估计值为10.02． ![](./data/image/media/image31815.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4798611111111111in"}^2^=16×0.212^2^+16×9.97^2^≈1591.134， 剔除（![](./data/image/media/image31816.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}﹣3![](./data/image/media/image31817.png){width="0.5625in" height="0.3326388888888889in"}+3![](./data/image/media/image31818.png){width="0.18680555555555556in" height="0.3236111111111111in"}）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为 ![](./data/image/media/image31819.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}（1591.134﹣9.22^2^﹣15×10.02^2^）≈0.008， 因此σ的估计值为![](./data/image/media/image31820.png){width="0.5409722222222222in" height="0.18680555555555556in"}≈0.09． 【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 20．（12分）已知椭圆C：![](./data/image/media/image31821.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4798611111111111in"}+![](./data/image/media/image31822.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0），四点P~1~（1，1），P~2~（0，1），P~3~（﹣1，![](./data/image/media/image31823.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}），P~4~（1，![](./data/image/media/image31823.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}）中恰有三点在椭圆C上． （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P~2~点且与C相交于A，B两点．若直线P~2~A与直线P~2~B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点． 【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P~2~（0，1），P~3~（﹣1，![](./data/image/media/image31824.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}），P~4~（1，![](./data/image/media/image31824.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}）三点在椭圆C上．把P~2~（0，1），P~3~（﹣1，![](./data/image/media/image31824.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}）代入椭圆C，求出a^2^=4，b^2^=1，由此能求出椭圆C的方程． （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立![](./data/image/media/image31825.png){width="1.03125in" height="0.4798611111111111in"}，得（1+4k^2^）x^2^+8ktx+4t^2^﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）． 【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P~3~（﹣1，![](./data/image/media/image31826.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}），P~4~（1，![](./data/image/media/image31826.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}）两点必在椭圆C上， 又P~4~的横坐标为1，∴椭圆必不过P~1~（1，1）， ∴P~2~（0，1），P~3~（﹣1，![](./data/image/media/image31826.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}），P~4~（1，![](./data/image/media/image31826.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}）三点在椭圆C上． 把P~2~（0，1），P~3~（﹣1，![](./data/image/media/image31826.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}）代入椭圆C，得： ![](./data/image/media/image31827.png){width="0.9486111111111111in" height="0.9048611111111111in"}，解得a^2^=4，b^2^=1， ∴椭圆C的方程为![](./data/image/media/image31828.png){width="0.5208333333333334in" height="0.42569444444444443in"}=1． 证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y~A~），B（m，﹣y~A~）， ∵直线P~2~A与直线P~2~B的斜率的和为﹣1， ∴![](./data/image/media/image31829.png){width="0.8118055555555556in" height="0.2604166666666667in"}=![](./data/image/media/image31830.png){width="1.03125in" height="0.4361111111111111in"}=![](./data/image/media/image31831.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}=﹣1， 解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）， 联立![](./data/image/media/image31832.png){width="1.03125in" height="0.4798611111111111in"}，整理，得（1+4k^2^）x^2^+8ktx+4t^2^﹣4=0， ![](./data/image/media/image31833.png){width="1.09375in" height="0.42569444444444443in"}，x~1~x~2~=![](./data/image/media/image31834.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4798611111111111in"}， 则![](./data/image/media/image31835.png){width="0.8118055555555556in" height="0.2604166666666667in"}=![](./data/image/media/image31836.png){width="0.9270833333333334in" height="0.4888888888888889in"}=![](./data/image/media/image31837.png){width="2.373611111111111in" height="0.4798611111111111in"} =![](./data/image/media/image31838.png){width="1.5104166666666667in" height="0.9791666666666666in"}=![](./data/image/media/image31839.png){width="0.9680555555555556in" height="0.3645833333333333in"}=﹣1，又t≠1， ∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立， ∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1， 当x=2时，y=﹣1， ∴l过定点（2，﹣1）． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=ae^2x^+（a﹣2）e^x^﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性； （2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）~min~＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）~min~=g（e^﹣2^）=e^﹣2^lne^﹣2^+e^﹣2^﹣1=﹣![](./data/image/media/image31840.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围． （1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性； （2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围． 【解答】解：（1）由f（x）=ae^2x^+（a﹣2）e^x^﹣x，求导f′（x）=2ae^2x^+（a﹣2）e^x^﹣1， 当a=0时，f′（x）=﹣2e^x^﹣1＜0， ∴当x∈R，f（x）单调递减， 当a＞0时，f′（x）=（2e^x^+1）（ae^x^﹣1）=2a（e^x^+![](./data/image/media/image17985.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）（e^x^﹣![](./data/image/media/image31841.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）， 令f′（x）=0，解得：x=ln![](./data/image/media/image31841.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， 当f′（x）＞0，解得：x＞ln![](./data/image/media/image31842.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， 当f′（x）＜0，解得：x＜ln![](./data/image/media/image31842.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， ∴x∈（﹣∞，ln![](./data/image/media/image31842.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）时，f（x）单调递减，x∈（ln![](./data/image/media/image31842.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）单调递增； 当a＜0时，f′（x）=2a（e^x^+![](./data/image/media/image17986.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）（e^x^﹣![](./data/image/media/image31842.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）＜0，恒成立， ∴当x∈R，f（x）单调递减， 综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数， 当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln![](./data/image/media/image31842.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）是减函数，在（ln![](./data/image/media/image31843.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）是增函数； （2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点， 当a＞0时，f（x）=ae^2x^+（a﹣2）e^x^﹣x， 当x→﹣∞时，e^2x^→0，e^x^→0， ∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞， 当x→∞，e^2x^→+∞，且远远大于e^x^和x， ∴当x→∞，f（x）→+∞， ∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可， 由f（x）在（﹣∞，ln![](./data/image/media/image31843.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）是减函数，在（ln![](./data/image/media/image31843.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）是增函数， ∴f（x）~min~=f（ln![](./data/image/media/image31843.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）=a×（![](./data/image/media/image31844.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）+（a﹣2）×![](./data/image/media/image31843.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}﹣ln![](./data/image/media/image31845.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}＜0， ∴1﹣![](./data/image/media/image31845.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}﹣ln![](./data/image/media/image31845.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}＜0，即ln![](./data/image/media/image31845.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image31845.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}﹣1＞0， 设t=![](./data/image/media/image31845.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0）， 求导g′（t）=![](./data/image/media/image31846.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}+1，由g（1）=0， ∴t=![](./data/image/media/image31847.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}＞1，解得：0＜a＜1， ∴a的取值范围（0，1）． 方法二：（1）由f（x）=ae^2x^+（a﹣2）e^x^﹣x，求导f′（x）=2ae^2x^+（a﹣2）e^x^﹣1， 当a=0时，f′（x）=﹣2e^x^﹣1＜0， ∴当x∈R，f（x）单调递减， 当a＞0时，f′（x）=（2e^x^+1）（ae^x^﹣1）=2a（e^x^+![](./data/image/media/image31848.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）（e^x^﹣![](./data/image/media/image31847.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）， 令f′（x）=0，解得：x=﹣lna， 当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna， 当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna， ∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增； 当a＜0时，f′（x）=2a（e^x^+![](./data/image/media/image31848.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）（e^x^﹣![](./data/image/media/image31847.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）＜0，恒成立， ∴当x∈R，f（x）单调递减， 综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数， 当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数； （2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点， ②当a＞0时，由（1）可知：当x=﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）~min~=f（﹣lna）=1﹣![](./data/image/media/image31849.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}﹣ln![](./data/image/media/image31849.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， 当a=1，时，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一个零点， 当a∈（1，+∞）时，由1﹣![](./data/image/media/image31849.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}﹣ln![](./data/image/media/image31849.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}＞0，即f（﹣lna）＞0， 故f（x）没有零点， 当a∈（0，1）时，1﹣![](./data/image/media/image31849.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}﹣ln![](./data/image/media/image31849.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}＜0，f（﹣lna）＜0， 由f（﹣2）=ae^﹣4^+（a﹣2）e^﹣2^+2＞﹣2e^﹣2^+2＞0， 故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点， 假设存在正整数n~0~，满足n~0~＞ln（![](./data/image/media/image31850.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}﹣1），则f（n~0~）=![](./data/image/media/image31851.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2604166666666667in"}（a![](./data/image/media/image31851.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2604166666666667in"}+a﹣2）﹣n~0~＞![](./data/image/media/image31851.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2604166666666667in"}﹣n~0~＞![](./data/image/media/image31852.png){width="0.26944444444444443in" height="0.2604166666666667in"}﹣n~0~＞0， 由ln（![](./data/image/media/image31853.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}﹣1）＞﹣lna， 因此在（﹣lna，+∞）有一个零点． ∴a的取值范围（0，1）． 【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性及最值，考查函数零点的判断，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于中档题． 　 **\[选修4-4，坐标系与参数方程\]** 22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为![](./data/image/media/image31854.png){width="0.7923611111111111in" height="0.40625in"}，（θ为参数），直线l的参数方程为 ![](./data/image/media/image31855.png){width="0.625in" height="0.40625in"}，（t为参数）． （1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l距离的最大值为![](./data/image/media/image31856.png){width="0.29097222222222224in" height="0.18680555555555556in"}，求a． 【考点】IT：点到直线的距离公式；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4Q：参数法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标； （2）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈\[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为![](./data/image/media/image31857.png){width="0.29097222222222224in" height="0.18680555555555556in"}进行分析，可以求出a的值． 【解答】解：（1）曲线C的参数方程为![](./data/image/media/image31858.png){width="0.7923611111111111in" height="0.40625in"}（θ为参数），化为标准方程是：![](./data/image/media/image31859.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y^2^=1； a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0； 联立方程![](./data/image/media/image31860.png){width="0.8118055555555556in" height="0.6666666666666666in"}， 解得![](./data/image/media/image31861.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}或![](./data/image/media/image31862.png){width="0.5923611111111111in" height="0.7923611111111111in"}， 所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣![](./data/image/media/image31863.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image31864.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）． （2）l的参数方程![](./data/image/media/image31865.png){width="0.625in" height="0.40625in"}（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0， 椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈\[0，2π）， 所以点P到直线l的距离d为： d=![](./data/image/media/image31866.png){width="1.6340277777777779in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image31867.png){width="1.4694444444444446in" height="0.38472222222222224in"}，φ满足tanφ=![](./data/image/media/image31868.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，且的d的最大值为![](./data/image/media/image31869.png){width="0.29097222222222224in" height="0.18680555555555556in"}． ①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时， \|5sin（θ+4）﹣a﹣4\|≤\|﹣5﹣a﹣4\|=5+a+4=17 解得a=8≥﹣4，符合题意． ②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时 \|5sin（θ+4）﹣a﹣4\|≤\|5﹣a﹣4\|=5﹣a﹣4=1﹣a=17 解得a=﹣16＜﹣4，符合题意． 【点评】本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a． 　 **\[选修4-5：不等式选讲\]** 23．已知函数f（x）=﹣x^2^+ax+4，g（x）=\|x+1\|+\|x﹣1\|． （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含\[﹣1，1\]，求a的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式． 【分析】（1）当a=1时，f（x）=﹣x^2^+x+4，g（x）=\|x+1\|+\|x﹣1\|=![](./data/image/media/image31870.png){width="1.0416666666666667in" height="0.6972222222222222in"}，分x＞1、x∈\[﹣1，1\]、x∈（﹣∞，﹣1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可求得f（x）≥g（x）的解集为\[﹣1，![](./data/image/media/image31871.png){width="0.5104166666666666in" height="0.38472222222222224in"}\]； （2）依题意得：﹣x^2^+ax+4≥2在\[﹣1，1\]恒成立⇔x^2^﹣ax﹣2≤0在\[﹣1，1\]恒成立，只需![](./data/image/media/image31872.png){width="1.488888888888889in" height="0.5104166666666666in"}，解之即可得a的取值范围． 【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x^2^+x+4，是开口向下，对称轴为x=![](./data/image/media/image31873.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}的二次函数， g（x）=\|x+1\|+\|x﹣1\|=![](./data/image/media/image31874.png){width="1.0416666666666667in" height="0.6972222222222222in"}， 当x∈（1，+∞）时，令﹣x^2^+x+4=2x，解得x=![](./data/image/media/image31875.png){width="0.5104166666666666in" height="0.38472222222222224in"}，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，![](./data/image/media/image31875.png){width="0.5104166666666666in" height="0.38472222222222224in"}\]； 当x∈\[﹣1，1\]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2． 当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2． 综上所述，f（x）≥g（x）的解集为\[﹣1，![](./data/image/media/image31875.png){width="0.5104166666666666in" height="0.38472222222222224in"}\]； （2）依题意得：﹣x^2^+ax+4≥2在\[﹣1，1\]恒成立，即x^2^﹣ax﹣2≤0在\[﹣1，1\]恒成立，则只需![](./data/image/media/image31876.png){width="1.488888888888889in" height="0.5104166666666666in"}，解得﹣1≤a≤1， 故a的取值范围是\[﹣1，1\]． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题． 　 **\ 2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。** 1．（5分）已知集合A={x\|x＜2}，B={x\|3﹣2x＞0}，则（　　） A．A∩B={x\|x＜![](./data/image/media/image31877.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}} B．A∩B=∅ C．A∪B={x\|x＜![](./data/image/media/image31877.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}} D．A∪B=R 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；37：集合思想；5J：集合． 【分析】解不等式求出集合B，结合集合交集和并集的定义，可得结论． 【解答】解：∵集合A={x\|x＜2}，B={x\|3﹣2x＞0}={x\|x＜![](./data/image/media/image31877.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}}， ∴A∩B={x\|x＜![](./data/image/media/image31877.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}}，故A正确，B错误； A∪B={x\|\|x＜2}，故C，D错误； 故选：A． 【点评】本题考查的知识点集合的交集和并集运算，难度不大，属于基础题． 　 2．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x~1~，x~2~，...，x~n~，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（　　） A．x~1~，x~2~，...，x~n~的平均数 B．x~1~，x~2~，...，x~n~的标准差 C．x~1~，x~2~，...，x~n~的最大值 D．x~1~，x~2~，...，x~n~的中位数 【考点】BC：极差、方差与标准差．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】利用平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义直接求解． 【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标， 故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的"中等水平"， 故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度． 故选：B． 【点评】本题考查可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的量的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义的合理运用． 　 3．（5分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（　　） A．i（1+i）^2^ B．i^2^（1﹣i） C．（1+i）^2^ D．i（1+i） 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论． 【解答】解：A．i（1+i）^2^=i•2i=﹣2，是实数． B．i^2^（1﹣i）=﹣1+i，不是纯虚数． C．（1+i）^2^=2i为纯虚数． D．i（1+i）=i﹣1不是纯虚数． 故选：C． 【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 4．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　） ![](./data/image/media/image31878.png){width="1.5520833333333333in" height="1.4166666666666667in"} A．![](./data/image/media/image31879.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} B．![](./data/image/media/image31880.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} C．![](./data/image/media/image31881.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} D．![](./data/image/media/image31882.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} 【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2， 则黑色部分的面积S=![](./data/image/media/image30774.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}， 则对应概率P=![](./data/image/media/image31883.png){width="0.25in" height="0.5625in"}=![](./data/image/media/image31880.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：B． 【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键． 　 5．（5分）已知F是双曲线C：x^2^﹣![](./data/image/media/image31884.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（　　） A．![](./data/image/media/image31885.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} B．![](./data/image/media/image30793.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} C．![](./data/image/media/image31886.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} D．![](./data/image/media/image31887.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意求得双曲线的右焦点F（2，0），由PF与x轴垂直，代入即可求得P点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△APF的面积． 【解答】解：由双曲线C：x^2^﹣![](./data/image/media/image31888.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=1的右焦点F（2，0）， PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3， 则P（2，3）， ∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3， ∴△APF的面积S=![](./data/image/media/image30795.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}×丨AP丨×丨PF丨=![](./data/image/media/image31889.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， 同理当y＜0时，则△APF的面积S=![](./data/image/media/image31889.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：D． ![](./data/image/media/image31890.png){width="2.667361111111111in" height="2.3958333333333335in"} 【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题． 　 6．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（　　） A．![](./data/image/media/image31891.png){width="1.2708333333333333in" height="1.1666666666666667in"} B．![](./data/image/media/image31892.png){width="1.2395833333333333in" height="1.1875in"} C．![](./data/image/media/image31893.png){width="1.1458333333333333in" height="1.0409722222222222in"} D．![](./data/image/media/image31894.png){width="1.1347222222222222in" height="1.1034722222222222in"} 【考点】LS：直线与平面平行．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案． 【解答】解：对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意； 对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意； 对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意； 所以选项A满足题意， 故选：A． 【点评】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 7．（5分）设x，y满足约束条件![](./data/image/media/image31895.png){width="0.7076388888888889in" height="0.6555555555555556in"}，则z=x+y的最大值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可． 【解答】解：x，y满足约束条件![](./data/image/media/image31896.png){width="0.7076388888888889in" height="0.6555555555555556in"}的可行域如图： ，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值， 由![](./data/image/media/image31897.png){width="0.625in" height="0.4166666666666667in"}解得A（3，0）， 所以z=x+y 的最大值为：3． 故选：D． ![](./data/image/media/image31898.png){width="1.6979166666666667in" height="1.6458333333333333in"} 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键． 　 8．（5分）函数y=![](./data/image/media/image31899.png){width="0.5513888888888889in" height="0.3645833333333333in"}的部分图象大致为（　　） A．![](./data/image/media/image31900.png){width="2.0729166666666665in" height="1.8125in"} B．![](./data/image/media/image31901.png){width="2.0729166666666665in" height="1.8020833333333333in"} C．![](./data/image/media/image31902.png){width="2.09375in" height="1.84375in"} D．![](./data/image/media/image31903.png){width="2.113888888888889in" height="1.8541666666666667in"} 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；51：函数的性质及应用． 【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可． 【解答】解：函数y=![](./data/image/media/image31904.png){width="0.5513888888888889in" height="0.3645833333333333in"}， 可知函数是奇函数，排除选项B， 当x=![](./data/image/media/image31905.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}时，f（![](./data/image/media/image31906.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）=![](./data/image/media/image31907.png){width="0.3541666666666667in" height="0.78125in"}=![](./data/image/media/image31908.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，排除A， x=π时，f（π）=0，排除D． 故选：C． 【点评】本题考查函数的图形的判断，三角函数化简，函数的奇偶性以及函数的特殊点是判断函数的图象的常用方法． 　 9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（　　） A．f（x）在（0，2）单调递增 B．f（x）在（0，2）单调递减 C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称 D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】由已知中函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），可得f（x）=f（2﹣x），进而可得函数图象的对称性． 【解答】解：∵函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）， ∴f（2﹣x）=ln（2﹣x）+lnx， 即f（x）=f（2﹣x）， 即y=f（x）的图象关于直线x=1对称， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，熟练掌握函数图象的对称性是解答的关键． 　 10．（5分）如图程序框图是为了求出满足3^n^﹣2^n^＞1000的最小偶数n，那么在![](./data/image/media/image31909.png){width="0.6243055555555556in" height="0.3951388888888889in"}和![](./data/image/media/image31910.png){width="0.5618055555555556in" height="0.3326388888888889in"}两个空白框中，可以分别填入（　　） ![](./data/image/media/image31911.png){width="1.5416666666666667in" height="2.7819444444444446in"} A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2 C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图． 【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在"否"时输出确定"![](./data/image/media/image31912.png){width="0.6243055555555556in" height="0.3951388888888889in"}"内不能输入"A＞1000"，进而通过偶数的特征确定n=n+2． 【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在"否"时输出， 所以"![](./data/image/media/image31912.png){width="0.6243055555555556in" height="0.3951388888888889in"}"内不能输入"A＞1000"， 又要求n为偶数，且n的初始值为0， 所以"![](./data/image/media/image31913.png){width="0.5618055555555556in" height="0.3326388888888889in"}"中n依次加2可保证其为偶数， 所以D选项满足要求， 故选：D． 【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分． 　 11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=![](./data/image/media/image31914.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，则C=（　　） A．![](./data/image/media/image31915.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} B．![](./data/image/media/image31916.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} C．![](./data/image/media/image31917.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} D．![](./data/image/media/image31918.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} 【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值；58：解三角形． 【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 【解答】解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， ∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0， ∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosA=﹣sinA， ∴tanA=﹣1， ∵![](./data/image/media/image31368.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}＜A＜π， ∴A=![](./data/image/media/image31919.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 由正弦定理可得![](./data/image/media/image31920.png){width="0.38472222222222224in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image31921.png){width="0.38472222222222224in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sinC=![](./data/image/media/image31922.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}， ∵a=2，c=![](./data/image/media/image10155.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}， ∴sinC=![](./data/image/media/image31922.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image31923.png){width="0.6666666666666666in" height="0.5840277777777778in"}=![](./data/image/media/image31924.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， ∵a＞c， ∴C=![](./data/image/media/image31925.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：B． 【点评】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题 　 12．（5分）设A，B是椭圆C：![](./data/image/media/image31926.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![](./data/image/media/image31927.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（　　） A．（0，1\]∪\[9，+∞） B．（0，![](./data/image/media/image31377.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}\]∪\[9，+∞） C．（0，1\]∪\[4，+∞） D．（0，![](./data/image/media/image31928.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}\]∪\[4，+∞） 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】分类讨论，由要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，当假设椭圆的焦点在x轴上，tan∠AMO=![](./data/image/media/image31929.png){width="0.2388888888888889in" height="0.40625in"}≥tan60°，当即可求得椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，tan∠AMO=![](./data/image/media/image31930.png){width="0.2388888888888889in" height="0.40625in"}≥tan60°=![](./data/image/media/image16867.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，即可求得m的取值范围． 【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，则0＜m＜3时， 设椭圆的方程为：![](./data/image/media/image31931.png){width="0.7402777777777778in" height="0.4888888888888889in"}（a＞b＞0），设A（﹣a，0），B（a，0），M（x，y），y＞0， 则a^2^﹣x^2^=![](./data/image/media/image31932.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4888888888888889in"}， ∠MAB=α，∠MBA=β，∠AMB=γ，tanα=![](./data/image/media/image31933.png){width="0.3020833333333333in" height="0.37569444444444444in"}，tanβ=![](./data/image/media/image31934.png){width="0.3020833333333333in" height="0.37569444444444444in"}， 则tanγ=tan\[π﹣（α+β）\]=﹣tan（α+β）=﹣![](./data/image/media/image31935.png){width="1.0506944444444444in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![](./data/image/media/image31936.png){width="0.8229166666666666in" height="0.44722222222222224in"}=﹣![](./data/image/media/image31937.png){width="0.7486111111111111in" height="0.6972222222222222in"}=﹣![](./data/image/media/image31938.png){width="0.8118055555555556in" height="0.4798611111111111in"}=﹣![](./data/image/media/image31939.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4798611111111111in"}， ∴tanγ=﹣![](./data/image/media/image31939.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4798611111111111in"}，当y最大时，即y=b时，∠AMB取最大值， ∴M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°， ∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=![](./data/image/media/image31940.png){width="0.2388888888888889in" height="0.40625in"}≥tan60°=![](./data/image/media/image17818.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}， 解得：0＜m≤1； ![](./data/image/media/image31941.png){width="3.5527777777777776in" height="2.3854166666666665in"} 当椭圆的焦点在y轴上时，m＞3， 当M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°， ∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=![](./data/image/media/image31942.png){width="0.2388888888888889in" height="0.40625in"}≥tan60°=![](./data/image/media/image31943.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，解得：m≥9， ∴m的取值范围是（0，1\]∪\[9，+∞） 故选A． ![](./data/image/media/image31944.png){width="2.40625in" height="2.8965277777777776in"} 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题． 　 **二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。** 13．（5分）已知向量![](./data/image/media/image31945.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，2），![](./data/image/media/image31946.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（m，1），若向量![](./data/image/media/image31945.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image31946.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![](./data/image/media/image31945.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}垂直，则m=[　7　]{.underline}． 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出![](./data/image/media/image31947.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}，再由向量![](./data/image/media/image31948.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image31949.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![](./data/image/media/image31948.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值． 【解答】解：∵向量![](./data/image/media/image31948.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，2），![](./data/image/media/image31949.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（m，1）， ∴![](./data/image/media/image31950.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1+m，3）， ∵向量![](./data/image/media/image31948.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image31949.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![](./data/image/media/image31948.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}垂直， ∴（![](./data/image/media/image31950.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}）•![](./data/image/media/image31948.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0， 解得m=7． 故答案为：7． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用． 　 14．（5分）曲线y=x^2^+![](./data/image/media/image31951.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}在点（1，2）处的切线方程为[　x﹣y+1=0　]{.underline}． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可． 【解答】解：曲线y=x^2^+![](./data/image/media/image31952.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，可得y′=2x﹣![](./data/image/media/image31953.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}， 切线的斜率为：k=2﹣1=1． 切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0． 故答案为：x﹣y+1=0． 【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力． 　 15．（5分）已知α∈（0，![](./data/image/media/image31954.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}），tanα=2，则cos（α﹣![](./data/image/media/image31955.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）=[　]{.underline}![](./data/image/media/image31956.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}[　]{.underline}． 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】根据同角的三角函数的关系求出sinα=![](./data/image/media/image31957.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}，cosα=![](./data/image/media/image31958.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}，再根据两角差的余弦公式即可求出． 【解答】解：∵α∈（0，![](./data/image/media/image31959.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}），tanα=2， ∴sinα=2cosα， ∵sin^2^α+cos^2^α=1， 解得sinα=![](./data/image/media/image31960.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}，cosα=![](./data/image/media/image31961.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}， ∴cos（α﹣![](./data/image/media/image31962.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）=cosαcos![](./data/image/media/image31962.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}+sinαsin![](./data/image/media/image31962.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image31961.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}×![](./data/image/media/image31963.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}+![](./data/image/media/image31960.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}×![](./data/image/media/image31963.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image31964.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}， 故答案为：![](./data/image/media/image31965.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"} 【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦公式，考查了学生的运算能力，属于基础题． 　 16．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为[　36π　]{.underline}． 【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离． 【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的表面积． 【解答】解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9， 可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r， 可得![](./data/image/media/image31966.png){width="1.4777777777777779in" height="0.3645833333333333in"}，解得r=3． 球O的表面积为：4πr^2^=36π． 故答案为：36π． ![](./data/image/media/image31967.png){width="1.8229166666666667in" height="1.9479166666666667in"} 【点评】本题考查球的內接体，三棱锥的体积以及球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 **三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第17～21题为必选题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。** 17．（12分）记S~n~为等比数列{a~n~}的前n项和．已知S~2~=2，S~3~=﹣6． （1）求{a~n~}的通项公式； （2）求S~n~，并判断S~n+1~，S~n~，S~n+2~是否成等差数列． 【考点】89：等比数列的前n项和；8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）由题意可知a~3~=S~3~﹣S~2~=﹣6﹣2=﹣8，a~1~=![](./data/image/media/image31968.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=![](./data/image/media/image31969.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}，a~2~=![](./data/image/media/image31970.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=![](./data/image/media/image31971.png){width="0.21944444444444444in" height="0.37569444444444444in"}，由a~1~+a~2~=2，列方程即可求得q及a~1~，根据等比数列通项公式，即可求得{a~n~}的通项公式； （2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S~n~，分别求得S~n+1~，S~n+2~，显然S~n+1~+S~n+2~=2S~n~，则S~n+1~，S~n~，S~n+2~成等差数列． 【解答】解：（1）设等比数列{a~n~}首项为a~1~，公比为q， 则a~3~=S~3~﹣S~2~=﹣6﹣2=﹣8，则a~1~=![](./data/image/media/image31968.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=![](./data/image/media/image31972.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}，a~2~=![](./data/image/media/image31973.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=![](./data/image/media/image31974.png){width="0.21944444444444444in" height="0.37569444444444444in"}， 由a~1~+a~2~=2，![](./data/image/media/image31972.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}+![](./data/image/media/image31974.png){width="0.21944444444444444in" height="0.37569444444444444in"}=2，整理得：q^2^+4q+4=0，解得：q=﹣2， 则a~1~=﹣2，a~n~=（﹣2）（﹣2）^n﹣1^=（﹣2）^n^， ∴{a~n~}的通项公式a~n~=（﹣2）^n^； （2）由（1）可知：S~n~=![](./data/image/media/image31975.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4888888888888889in"}=![](./data/image/media/image31976.png){width="1.020138888888889in" height="0.42569444444444443in"}=﹣![](./data/image/media/image31977.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}\[2+（﹣2）^n+1^\]， 则S~n+1~=﹣![](./data/image/media/image31977.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}\[2+（﹣2）^n+2^\]，S~n+2~=﹣![](./data/image/media/image31978.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}\[2+（﹣2）^n+3^\]， 由S~n+1~+S~n+2~=﹣![](./data/image/media/image31978.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}\[2+（﹣2）^n+2^\]﹣![](./data/image/media/image31978.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}\[2+（﹣2）^n+3^\]， =﹣![](./data/image/media/image31978.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}\[4+（﹣2）×（﹣2）^n+1^+（﹣2）^2^×（﹣2）^n+1^\]， =﹣![](./data/image/media/image31978.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}\[4+2（﹣2）^n+1^\]=2×\[﹣![](./data/image/media/image31978.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}（2+（﹣2）^n+1^）\]， =2S~n~， 即S~n+1~+S~n+2~=2S~n~， ∴S~n+1~，S~n~，S~n+2~成等差数列． 【点评】本题考查等比数列通项公式，等比数列前n项和，等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题． 　 18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为![](./data/image/media/image31979.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，求该四棱锥的侧面积． ![](./data/image/media/image31980.png){width="1.8854166666666667in" height="1.21875in"} 【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD． （2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且AD=![](./data/image/media/image31981.png){width="0.3125in" height="0.18680555555555556in"}，PO=![](./data/image/media/image31982.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}，由四棱锥P﹣ABCD的体积为![](./data/image/media/image31983.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，求出a=2，由此能求出该四棱锥的侧面积． 【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°， ∴AB⊥PA，CD⊥PD， 又AB∥CD，∴AB⊥PD， ∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD， ∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD． 解：（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO， ∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD， ∴PO⊥底面ABCD，且AD=![](./data/image/media/image31984.png){width="0.5923611111111111in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image31981.png){width="0.3125in" height="0.18680555555555556in"}，PO=![](./data/image/media/image31985.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}， ∵四棱锥P﹣ABCD的体积为![](./data/image/media/image31986.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， 由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD， ∴V~P﹣ABCD~=![](./data/image/media/image31987.png){width="1.4694444444444446in" height="0.3645833333333333in"} =![](./data/image/media/image31988.png){width="1.1569444444444446in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image31989.png){width="1.3958333333333333in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image31990.png){width="0.3326388888888889in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image31986.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， 解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2![](./data/image/media/image222.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，PO=![](./data/image/media/image222.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}， ∴PB=PC=![](./data/image/media/image31991.png){width="0.37569444444444444in" height="0.18680555555555556in"}=2![](./data/image/media/image31992.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}， ∴该四棱锥的侧面积： S~侧~=S~△PAD~+S~△PAB~+S~△PDC~+S~△PBC~ =![](./data/image/media/image31993.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image31994.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image31995.png){width="0.8229166666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image31996.png){width="1.65625in" height="0.38472222222222224in"} =![](./data/image/media/image31997.png){width="3.3958333333333335in" height="0.3645833333333333in"} =6+2![](./data/image/media/image31998.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}． ![](./data/image/media/image31999.png){width="1.8854166666666667in" height="1.21875in"} 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 　 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： ---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 ---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- 经计算得 ![](./data/image/media/image32000.png){width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}=![](./data/image/media/image32001.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}![](./data/image/media/image32002.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4798611111111111in"}x~i~=9.97，s=![](./data/image/media/image32003.png){width="1.238888888888889in" height="0.49930555555555556in"}=![](./data/image/media/image32004.png){width="1.5in" height="0.49930555555555556in"}≈0.212，![](./data/image/media/image32005.png){width="1.0416666666666667in" height="0.49930555555555556in"}≈18.439，![](./data/image/media/image32006.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4798611111111111in"}（x~i~﹣![](./data/image/media/image32007.png){width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中x~i~为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，...，16． （1）求（x~i~，i）（i=1，2，...，16）的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若\|r\|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（![](./data/image/media/image32007.png){width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}﹣3s，![](./data/image/media/image32007.png){width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}+3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （ⅱ）在（![](./data/image/media/image32007.png){width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}﹣3s，![](./data/image/media/image32007.png){width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}+3s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01） 附：样本（x~i~，y~i~）（i=1，2，...，n）的相关系数r=![](./data/image/media/image32008.png){width="2.0729166666666665in" height="1.0006944444444446in"}，![](./data/image/media/image32009.png){width="0.5409722222222222in" height="0.18680555555555556in"}≈0.09． 【考点】BS：相关系数．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】（1）代入数据计算，比较\|r\|与0.25的大小作出结论； （2）（i）计算合格零件尺寸范围，得出结论； （ii）代入公式计算即可． 【解答】解：（1）r=![](./data/image/media/image32010.png){width="2.092361111111111in" height="1.0006944444444446in"}=![](./data/image/media/image32011.png){width="1.6145833333333333in" height="0.38472222222222224in"}=﹣0.18． ∵\|r\|＜0.25，∴可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小． （2）（i）![](./data/image/media/image32012.png){width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}=9.97，s=0.212，∴合格零件尺寸范围是（9.334，10.606）， 显然第13号零件尺寸不在此范围之内， ∴需要对当天的生产过程进行检查． （ii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为![](./data/image/media/image32013.png){width="1.488888888888889in" height="0.3645833333333333in"}=10.02， ![](./data/image/media/image32014.png){width="0.49930555555555556in" height="0.4798611111111111in"}=16×0.212^2^+16×9.97^2^=1591.134， ∴剔除离群值后样本方差为![](./data/image/media/image32015.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}（1591.134﹣9.22^2^﹣15×10.02^2^）=0.008， ∴剔除离群值后样本标准差为![](./data/image/media/image32016.png){width="0.5409722222222222in" height="0.18680555555555556in"}≈0.09． 【点评】本题考查了相关系数的计算，样本均值与标准差的计算，属于中档题． 　 20．（12分）设A，B为曲线C：y=![](./data/image/media/image32017.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}上两点，A与B的横坐标之和为4． （1）求直线AB的斜率； （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程． 【考点】I3：直线的斜率；KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）设A（x~1~，![](./data/image/media/image32018.png){width="0.3125in" height="0.4798611111111111in"}），B（x~2~，![](./data/image/media/image32019.png){width="0.3125in" height="0.4798611111111111in"}），运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求； （2）设M（m，![](./data/image/media/image32020.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}），求出y=![](./data/image/media/image17895.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m，即有M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得x~1~，x~2~的关系式，再由直线AB：y=x+t与y=![](./data/image/media/image17895.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}联立，运用韦达定理，即可得到t的方程，解得t的值，即可得到所求直线方程． 【解答】解：（1）设A（x~1~，![](./data/image/media/image32018.png){width="0.3125in" height="0.4798611111111111in"}），B（x~2~，![](./data/image/media/image32019.png){width="0.3125in" height="0.4798611111111111in"}）为曲线C：y=![](./data/image/media/image32021.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}上两点， 则直线AB的斜率为k=![](./data/image/media/image32022.png){width="0.7597222222222222in" height="0.7291666666666666in"}=![](./data/image/media/image32023.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}（x~1~+x~2~）=![](./data/image/media/image32023.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}×4=1； （2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y=![](./data/image/media/image32021.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}， 可得x^2^﹣4x﹣4t=0，即有x~1~+x~2~=4，x~1~x~2~=﹣4t， 再由y=![](./data/image/media/image32021.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}的导数为y′=![](./data/image/media/image20684.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}x， 设M（m，![](./data/image/media/image32024.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}），可得M处切线的斜率为![](./data/image/media/image20684.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}m， 由C在M处的切线与直线AB平行，可得![](./data/image/media/image29469.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}m=1， 解得m=2，即M（2，1）， 由AM⊥BM可得，k~AM~•k~BM~=﹣1， 即为![](./data/image/media/image32025.png){width="0.5298611111111111in" height="0.7291666666666666in"}•![](./data/image/media/image32026.png){width="0.5298611111111111in" height="0.7291666666666666in"}=﹣1， 化为x~1~x~2~+2（x~1~+x~2~）+20=0， 即为﹣4t+8+20=0， 解得t=7． 则直线AB的方程为y=x+7． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=e^x^（e^x^﹣a）﹣a^2^x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断， （2）根据（1）的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围． 【解答】解：（1）f（x）=e^x^（e^x^﹣a）﹣a^2^x=e^2x^﹣e^x^a﹣a^2^x， ∴f′（x）=2e^2x^﹣ae^x^﹣a^2^=（2e^x^+a）（e^x^﹣a）， ①当a=0时，f′（x）＞0恒成立， ∴f（x）在R上单调递增， ②当a＞0时，2e^x^+a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna， 当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， ③当a＜0时，e^x^﹣a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣![](./data/image/media/image32027.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）， 当x＜ln（﹣![](./data/image/media/image32027.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当x＞ln（﹣![](./data/image/media/image9782.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增， 综上所述，当a=0时，f（x）在R上单调递增， 当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增， 当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣![](./data/image/media/image9782.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}））上单调递减，在（ln（﹣![](./data/image/media/image9782.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}），+∞）上单调递增， （2）①当a=0时，f（x）=e^2x^＞0恒成立， ②当a＞0时，由（1）可得f（x）~min~=f（lna）=﹣a^2^lna≥0， ∴lna≤0，∴0＜a≤1， ③当a＜0时，由（1）可得： f（x）~min~=f（ln（﹣![](./data/image/media/image9782.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}））=![](./data/image/media/image32028.png){width="0.3125in" height="0.42569444444444443in"}﹣a^2^ln（﹣![](./data/image/media/image9782.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）≥0， ∴ln（﹣![](./data/image/media/image9782.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）≤![](./data/image/media/image32029.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， ∴﹣2![](./data/image/media/image32030.png){width="0.22847222222222222in" height="0.38472222222222224in"}≤a＜0， 综上所述a的取值范围为\[﹣2![](./data/image/media/image32031.png){width="0.22847222222222222in" height="0.38472222222222224in"}，1\] 【点评】本题考查了导数和函数的单调性和函数最值的关系，以及分类讨论的思想，考查了运算能力和化归能力，属于中档题． 　 **（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程选讲\]（10分）** 22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为![](./data/image/media/image32032.png){width="0.7923611111111111in" height="0.40625in"}，（θ为参数），直线l的参数方程为 ![](./data/image/media/image32033.png){width="0.625in" height="0.40625in"}，（t为参数）． （1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l距离的最大值为![](./data/image/media/image32034.png){width="0.29097222222222224in" height="0.18680555555555556in"}，求a． 【考点】IT：点到直线的距离公式；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4Q：参数法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标； （2）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈\[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为![](./data/image/media/image32034.png){width="0.29097222222222224in" height="0.18680555555555556in"}进行分析，可以求出a的值． 【解答】解：（1）曲线C的参数方程为![](./data/image/media/image32032.png){width="0.7923611111111111in" height="0.40625in"}（θ为参数），化为标准方程是：![](./data/image/media/image32035.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y^2^=1； a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0； 联立方程![](./data/image/media/image32036.png){width="0.8118055555555556in" height="0.6666666666666666in"}， 解得![](./data/image/media/image32037.png){width="0.37569444444444444in" height="0.40625in"}或![](./data/image/media/image32038.png){width="0.5923611111111111in" height="0.7923611111111111in"}， 所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣![](./data/image/media/image32039.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image32040.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）． （2）l的参数方程![](./data/image/media/image32041.png){width="0.625in" height="0.40625in"}（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0， 椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈\[0，2π）， 所以点P到直线l的距离d为： d=![](./data/image/media/image32042.png){width="1.6340277777777779in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image32043.png){width="1.4694444444444446in" height="0.38472222222222224in"}，φ满足tanφ=![](./data/image/media/image32044.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，且的d的最大值为![](./data/image/media/image32045.png){width="0.29097222222222224in" height="0.18680555555555556in"}． ①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时， \|5sin（θ+4）﹣a﹣4\|≤\|﹣5﹣a﹣4\|=5+a+4=17 解得a=8≥﹣4，符合题意． ②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时 \|5sin（θ+4）﹣a﹣4\|≤\|5﹣a﹣4\|=5﹣a﹣4=1﹣a=17 解得a=﹣16＜﹣4，符合题意． 【点评】本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a． 　 **\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）** 23．已知函数f（x）=﹣x^2^+ax+4，g（x）=\|x+1\|+\|x﹣1\|． （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含\[﹣1，1\]，求a的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式． 【分析】（1）当a=1时，f（x）=﹣x^2^+x+4，g（x）=\|x+1\|+\|x﹣1\|=![](./data/image/media/image32046.png){width="1.0416666666666667in" height="0.6972222222222222in"}，分x＞1、x∈\[﹣1，1\]、x∈（﹣∞，﹣1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可求得f（x）≥g（x）的解集为\[﹣1，![](./data/image/media/image32047.png){width="0.5104166666666666in" height="0.38472222222222224in"}\]； （2）依题意得：﹣x^2^+ax+4≥2在\[﹣1，1\]恒成立⇔x^2^﹣ax﹣2≤0在\[﹣1，1\]恒成立，只需![](./data/image/media/image32048.png){width="1.488888888888889in" height="0.5104166666666666in"}，解之即可得a的取值范围． 【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x^2^+x+4，是开口向下，对称轴为x=![](./data/image/media/image32049.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}的二次函数， g（x）=\|x+1\|+\|x﹣1\|=![](./data/image/media/image32046.png){width="1.0416666666666667in" height="0.6972222222222222in"}， 当x∈（1，+∞）时，令﹣x^2^+x+4=2x，解得x=![](./data/image/media/image32047.png){width="0.5104166666666666in" height="0.38472222222222224in"}，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，![](./data/image/media/image32047.png){width="0.5104166666666666in" height="0.38472222222222224in"}\]； 当x∈\[﹣1，1\]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2． 当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2． 综上所述，f（x）≥g（x）的解集为\[﹣1，![](./data/image/media/image32050.png){width="0.5104166666666666in" height="0.38472222222222224in"}\]； （2）依题意得：﹣x^2^+ax+4≥2在\[﹣1，1\]恒成立，即x^2^﹣ax﹣2≤0在\[﹣1，1\]恒成立，则只需![](./data/image/media/image32051.png){width="1.488888888888889in" height="0.5104166666666666in"}，解得﹣1≤a≤1， 故a的取值范围是\[﹣1，1\]． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题． 　 **\ 2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。** 1．（5分）![](./data/image/media/image32052.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}=（　　） A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果． 【解答】解：![](./data/image/media/image32052.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}=![](./data/image/media/image32053.png){width="0.8868055555555555in" height="0.3659722222222222in"}=![](./data/image/media/image32054.png){width="0.38333333333333336in" height="0.3659722222222222in"}=2﹣i， 故选：D． 【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数． 　 2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x\|x^2^﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（　　） A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B． 【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x\|x^2^﹣4x+m=0}． 若A∩B={1}，则1∈A且1∈B， 可得1﹣4+m=0，解得m=3， 即有B={x\|x^2^﹣4x+3=0}={1，3}． 故选：C． 【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题． 　 3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题："远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？"意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（　　） A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】设塔顶的a~1~盏灯，由题意{a~n~}是公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式列出方程，能求出结果． 【解答】解：设塔顶的a~1~盏灯， 由题意{a~n~}是公比为2的等比数列， ∴S~7~=![](./data/image/media/image32055.png){width="0.79375in" height="0.4798611111111111in"}=381， 解得a~1~=3． 故选：B． 【点评】本题考查等比数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用． 　 4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（　　） ![](./data/image/media/image32056.png){width="2.1875in" height="2.7090277777777776in"} A．90π B．63π C．42π D．36π 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何． 【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积． 【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半， V=π•3^2^×10﹣![](./data/image/media/image22730.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}•π•3^2^×6=63π， 故选：B． ![](./data/image/media/image32057.png){width="0.9166666666666666in" height="1.6041666666666667in"} 【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 5．（5分）设x，y满足约束条件![](./data/image/media/image32058.png){width="0.9555555555555556in" height="0.6555555555555556in"}，则z=2x+y的最小值是（　　） A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可． 【解答】解：x、y满足约束条件![](./data/image/media/image32059.png){width="0.9555555555555556in" height="0.6555555555555556in"}的可行域如图： z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值， 由![](./data/image/media/image32060.png){width="0.875in" height="0.41805555555555557in"}解得A（﹣6，﹣3）， 则z=2x+y 的最小值是：﹣15． 故选：A． ![](./data/image/media/image32061.png){width="1.9270833333333333in" height="1.5833333333333333in"} 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力． 　 6．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（　　） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；49：综合法；5O：排列组合． 【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可． 【解答】解：4项工作分成3组，可得：![](./data/image/media/image32062.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2791666666666667in"}=6， 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 可得：6×![](./data/image/media/image32063.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2791666666666667in"}=36种． 故选：D． 【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力． 　 7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（　　） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 【专题】2A：探究型；35：转化思想；48：分析法；5M：推理和证明． 【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案 【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩 →乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩） →乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 →丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩， 给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了 故选：D． 【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题． 　 8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（　　） ![](./data/image/media/image32064.png){width="1.7916666666666667in" height="4.771527777777778in"} A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图． 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K值，当K=7时，程序终止即可得到结论． 【解答】解：执行程序框图，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循环， 第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2； 满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3； 满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4； 满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5； 满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6； 满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7； K≤6不成立，退出循环输出S的值为3． 故选：B． 【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础． 　 9．（5分）若双曲线C：![](./data/image/media/image32065.png){width="0.22708333333333333in" height="0.4798611111111111in"}﹣![](./data/image/media/image32066.png){width="0.22708333333333333in" height="0.48680555555555555in"}=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）^2^+y^2^=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（　　） A．2 B．![](./data/image/media/image32067.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"} C．![](./data/image/media/image32068.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"} D．![](./data/image/media/image32069.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38333333333333336in"} 【考点】KC：双曲线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线C：![](./data/image/media/image32070.png){width="0.22708333333333333in" height="0.4798611111111111in"}﹣![](./data/image/media/image32071.png){width="0.22708333333333333in" height="0.48680555555555555in"}=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0， 圆（x﹣2）^2^+y^2^=4的圆心（2，0），半径为：2， 双曲线C：![](./data/image/media/image32070.png){width="0.22708333333333333in" height="0.4798611111111111in"}﹣![](./data/image/media/image32071.png){width="0.22708333333333333in" height="0.48680555555555555in"}=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）^2^+y^2^=4所截得的弦长为2， 可得圆心到直线的距离为：![](./data/image/media/image32072.png){width="0.9034722222222222in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image32073.png){width="0.6263888888888889in" height="0.44722222222222224in"}， 解得：![](./data/image/media/image32074.png){width="0.8979166666666667in" height="0.4798611111111111in"}，可得e^2^=4，即e=2． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力． 　 10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC~1~=1，则异面直线AB~1~与BC~1~所成角的余弦值为（　　） A．![](./data/image/media/image29701.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38333333333333336in"} B．![](./data/image/media/image32075.png){width="0.3236111111111111in" height="0.38333333333333336in"} C．![](./data/image/media/image32076.png){width="0.3236111111111111in" height="0.38333333333333336in"} D．![](./data/image/media/image32077.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38333333333333336in"} 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4O：定义法；5G：空间角． 【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB~1~和B~1~C~1~的中点，得出AB~1~、BC~1~夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可． 【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁． 【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB~1~和B~1~C~1~的中点， 则AB~1~、BC~1~夹角为MN和NP夹角或其补角 （因异面直线所成角为（0，![](./data/image/media/image32078.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3659722222222222in"}\]）， 可知MN=![](./data/image/media/image32079.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}AB~1~=![](./data/image/media/image32080.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38333333333333336in"}， NP=![](./data/image/media/image32079.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}BC~1~=![](./data/image/media/image32081.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38333333333333336in"}； 作BC中点Q，则△PQM为直角三角形； ∵PQ=1，MQ=![](./data/image/media/image32079.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}AC， △ABC中，由余弦定理得 AC^2^=AB^2^+BC^2^﹣2AB•BC•cos∠ABC =4+1﹣2×2×1×（﹣![](./data/image/media/image32079.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}） =7， ∴AC=![](./data/image/media/image32082.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}， ∴MQ=![](./data/image/media/image32083.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38333333333333336in"}； 在△MQP中，MP=![](./data/image/media/image32084.png){width="0.7416666666666667in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image32085.png){width="0.3236111111111111in" height="0.38333333333333336in"}； 在△PMN中，由余弦定理得 cos∠MNP=![](./data/image/media/image32086.png){width="1.03125in" height="0.425in"}=![](./data/image/media/image32087.png){width="1.895138888888889in" height="0.8638888888888889in"}=﹣![](./data/image/media/image32088.png){width="0.3236111111111111in" height="0.38333333333333336in"}； 又异面直线所成角的范围是（0，![](./data/image/media/image32089.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3659722222222222in"}\]， ∴AB~1~与BC~1~所成角的余弦值为![](./data/image/media/image32090.png){width="0.3236111111111111in" height="0.38333333333333336in"}． 【解法二】如图所示， ![](./data/image/media/image32091.png){width="1.875in" height="2.020138888888889in"} 补成四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~，求∠BC~1~D即可； BC~1~=![](./data/image/media/image32092.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}，BD=![](./data/image/media/image32093.png){width="2.0097222222222224in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image32094.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}， C~1~D=![](./data/image/media/image32095.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}， ∴![](./data/image/media/image32096.png){width="0.3659722222222222in" height="0.2791666666666667in"}+BD^2^=![](./data/image/media/image32097.png){width="0.38333333333333336in" height="0.2791666666666667in"}， ∴∠DBC~1~=90°， ∴cos∠BC~1~D=![](./data/image/media/image32098.png){width="0.2388888888888889in" height="0.40625in"}=![](./data/image/media/image32099.png){width="0.3236111111111111in" height="0.38333333333333336in"}． 故选：C． ![](./data/image/media/image32100.png){width="2.4791666666666665in" height="1.9895833333333333in"} 【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题． 　 11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x^2^+ax﹣1）e^x﹣1^的极值点，则f（x）的极小值为（　　） A．﹣1 B．﹣2e^﹣3^ C．5e^﹣3^ D．1 【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可． 【解答】解：函数f（x）=（x^2^+ax﹣1）e^x﹣1^， 可得f′（x）=（2x+a）e^x﹣1^+（x^2^+ax﹣1）e^x﹣1^， x=﹣2是函数f（x）=（x^2^+ax﹣1）e^x﹣1^的极值点， 可得：f′（﹣2）=（﹣4+a）e^﹣3^+（4﹣2a﹣1）e^﹣3^=0，即﹣4+a+（3﹣2a）=0． 解得a=﹣1． 可得f′（x）=（2x﹣1）e^x﹣1^+（x^2^﹣x﹣1）e^x﹣1^， =（x^2^+x﹣2）e^x﹣1^，函数的极值点为：x=﹣2，x=1， 当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数， x=1时，函数取得极小值：f（1）=（1^2^﹣1﹣1）e^1﹣1^=﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力． 　 12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则![](./data/image/media/image32101.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}•（![](./data/image/media/image32102.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}+![](./data/image/media/image32103.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}）的最小值是（　　） A．﹣2 B．﹣![](./data/image/media/image32104.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"} C．﹣![](./data/image/media/image32105.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"} D．﹣1 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4R：转化法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点， 则A（0，![](./data/image/media/image32106.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}），B（﹣1，0），C（1，0）， 设P（x，y），则![](./data/image/media/image32107.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=（﹣x，![](./data/image/media/image32108.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}﹣y），![](./data/image/media/image32109.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=（﹣1﹣x，﹣y），![](./data/image/media/image32110.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=（1﹣x，﹣y）， 则![](./data/image/media/image32111.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}•（![](./data/image/media/image32109.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}+![](./data/image/media/image32110.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}）=2x^2^﹣2![](./data/image/media/image32108.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}y+2y^2^=2\[x^2^+（y﹣![](./data/image/media/image32112.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38333333333333336in"}）^2^﹣![](./data/image/media/image32113.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}\] ∴当x=0，y=![](./data/image/media/image32112.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38333333333333336in"}时，取得最小值2×（﹣![](./data/image/media/image32114.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}）=﹣![](./data/image/media/image32115.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}， 故选：B． ![](./data/image/media/image32116.png){width="2.573611111111111in" height="1.8958333333333333in"} 【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键． 　 **二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。** 13．（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX=[　1.96　]{.underline}． 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计． 【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可． 【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100， 则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96． 故答案为：1.96． 【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断概率类型满足二项分布是解题的关键． 　 14．（5分）函数f（x）=sin^2^x+![](./data/image/media/image32117.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}cosx﹣![](./data/image/media/image32114.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}（x∈\[0，![](./data/image/media/image32118.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3659722222222222in"}\]）的最大值是[　1　]{.underline}． 【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；33：函数思想；4J：换元法；51：函数的性质及应用；57：三角函数的图像与性质． 【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出． 【解答】解：f（x）=sin^2^x+![](./data/image/media/image32119.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}cosx﹣![](./data/image/media/image32120.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}=1﹣cos^2^x+![](./data/image/media/image32119.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}cosx﹣![](./data/image/media/image32120.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}， 令cosx=t且t∈\[0，1\]， 则y=﹣t^2^+![](./data/image/media/image32119.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}t+![](./data/image/media/image32121.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}=﹣（t﹣![](./data/image/media/image32122.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38333333333333336in"}）^2^+1， 当t=![](./data/image/media/image32122.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38333333333333336in"}时，f（t）~max~=1， 即f（x）的最大值为1， 故答案为：1 【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题 　 15．（5分）等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，a~3~=3，S~4~=10，则 ![](./data/image/media/image32123.png){width="0.22708333333333333in" height="0.4798611111111111in"}![](./data/image/media/image32124.png){width="0.22708333333333333in" height="0.425in"}=[　]{.underline}![](./data/image/media/image32125.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}[　]{.underline}． 【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列． 【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可． 【解答】解：等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，a~3~=3，S~4~=10，S~4~=2（a~2~+a~3~）=10， 可得a~2~=2，数列的首项为1，公差为1， S~n~=![](./data/image/media/image32126.png){width="0.5513888888888889in" height="0.3659722222222222in"}，![](./data/image/media/image32127.png){width="0.22708333333333333in" height="0.425in"}=![](./data/image/media/image32128.png){width="1.4708333333333334in" height="0.3659722222222222in"}， 则 ![](./data/image/media/image32129.png){width="0.22708333333333333in" height="0.4798611111111111in"}![](./data/image/media/image32124.png){width="0.22708333333333333in" height="0.425in"}=2\[1﹣![](./data/image/media/image32130.png){width="0.6145833333333334in" height="0.3659722222222222in"}+![](./data/image/media/image32131.png){width="0.37569444444444444in" height="0.3659722222222222in"}+...+![](./data/image/media/image32132.png){width="0.5388888888888889in" height="0.3659722222222222in"}\]=2（1﹣![](./data/image/media/image32133.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}）=![](./data/image/media/image32134.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image32134.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}． 【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力． 　 16．（5分）已知F是抛物线C：y^2^=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则\|FN\|=[　6　]{.underline}． 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可． 【解答】解：抛物线C：y^2^=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点， 可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：![](./data/image/media/image32135.png){width="0.4798611111111111in" height="0.18680555555555556in"}， \|FN\|=2\|FM\|=2![](./data/image/media/image32136.png){width="1.6784722222222221in" height="0.26944444444444443in"}=6． 故答案为：6． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 　 **三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分。** 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin^2^![](./data/image/media/image32137.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}． （1）求cosB； （2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b． 【考点】GS：二倍角的三角函数；HP：正弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin（A+C），利用降幂公式化简8sin^2^![](./data/image/media/image32138.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}，结合sin^2^B+cos^2^B=1，求出cosB， （2）由（1）可知sinB=![](./data/image/media/image32139.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3659722222222222in"}，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b． 【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin^2^![](./data/image/media/image32138.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}， ∴sinB=4（1﹣cosB）， ∵sin^2^B+cos^2^B=1， ∴16（1﹣cosB）^2^+cos^2^B=1， ∴16（1﹣cosB）^2^+cos^2^B﹣1=0， ∴16（cosB﹣1）^2^+（cosB﹣1）（cosB+1）=0， ∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0， ∴cosB=![](./data/image/media/image32140.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3659722222222222in"}； （2）由（1）可知sinB=![](./data/image/media/image32139.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3659722222222222in"}， ∵S~△ABC~=![](./data/image/media/image22731.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}ac•sinB=2， ∴ac=![](./data/image/media/image32141.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3659722222222222in"}， ∴b^2^=a^2^+c^2^﹣2accosB=a^2^+c^2^﹣2×![](./data/image/media/image32141.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3659722222222222in"}×![](./data/image/media/image32142.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3659722222222222in"} =a^2^+c^2^﹣15=（a+c）^2^﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4， ∴b=2． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题 　 18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图： ![](./data/image/media/image32143.png){width="5.969444444444444in" height="2.0625in"} （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件"旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg"，估计A的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： ---------- -------------- ------------- 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 ---------- -------------- ------------- （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）． 附： ------------- ------- ------- -------- P（K^2^≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 ------------- ------- ------- -------- K^2^=![](./data/image/media/image32144.png){width="1.7201388888888889in" height="0.425in"}． 【考点】B8：频率分布直方图；BE：用样本的数字特征估计总体的数字特征；BL：独立性检验．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计． 【分析】（1）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率； （2）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： （3）根据频率分布直方图即可求得其中位数． 【解答】解：（1）记B表示事件"旧养殖法的箱产量低于50kg"，C表示事件"新养殖法的箱产量不低于50kg"， 由P（A）=P（BC）=P（B）P（C）， 则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62， 故P（B）的估计值0.62， 新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66， 故P（C）的估计值为， 则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092； ∴A发生的概率为0.4092； （2）2×2列联表： ---------- -------------- ------------- ------ 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 总计 96 104 200 ---------- -------------- ------------- ------ 则K^2^=![](./data/image/media/image32145.png){width="1.6680555555555556in" height="0.425in"}≈15.705， 由15.705＞6.635， ∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； （3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积： （0.004+0.020+0.044）×5=0.34， 箱产量低于55kg的直方图面积为： （0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5， 故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+![](./data/image/media/image32146.png){width="0.71875in" height="0.3659722222222222in"}≈52.35（kg）， 新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）． 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题． 　 19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=![](./data/image/media/image32147.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点． （1）证明：直线CE∥平面PAB； （2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值． ![](./data/image/media/image32148.png){width="1.875in" height="1.5208333333333333in"} 【考点】LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角． 【分析】（1）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可． （2）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可． 【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点， 所以EF![](./data/image/media/image32149.png){width="0.18680555555555556in" height="0.22708333333333333in"}![](./data/image/media/image32150.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}AD，AB=BC=![](./data/image/media/image32150.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥![](./data/image/media/image18644.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}AD， ∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB， ∴直线CE∥平面PAB； （2）解：四棱锥P﹣ABCD中， 侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=![](./data/image/media/image18644.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}AD， ∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点． 取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP=![](./data/image/media/image32151.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}， ∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°， 可得：BN=MN，CN=![](./data/image/media/image32152.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38333333333333336in"}MN，BC=1， 可得：1+![](./data/image/media/image32153.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}BN^2^=BN^2^，BN=![](./data/image/media/image32154.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38333333333333336in"}，MN=![](./data/image/media/image32154.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38333333333333336in"}， 作NQ⊥AB于Q，连接MQ，AB⊥MN， 所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ=![](./data/image/media/image32155.png){width="0.9159722222222222in" height="0.40625in"} =![](./data/image/media/image32156.png){width="0.3236111111111111in" height="0.38333333333333336in"}， 二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：![](./data/image/media/image32157.png){width="0.3541666666666667in" height="0.5861111111111111in"}=![](./data/image/media/image32158.png){width="0.3236111111111111in" height="0.38333333333333336in"}． ![](./data/image/media/image32159.png){width="1.875in" height="1.5208333333333333in"} ![](./data/image/media/image32160.png){width="1.8333333333333333in" height="1.4791666666666667in"} 【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：![](./data/image/media/image32161.png){width="0.22708333333333333in" height="0.425in"}+y^2^=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足![](./data/image/media/image32162.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=![](./data/image/media/image32163.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}![](./data/image/media/image32164.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}． （1）求点P的轨迹方程； （2）设点Q在直线x=﹣3上，且![](./data/image/media/image32165.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}•![](./data/image/media/image32166.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 【考点】J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆． 【分析】（1）设M（x~0~，y~0~），由题意可得N（x~0~，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程； （2）设Q（﹣3，m），P（![](./data/image/media/image32167.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}cosα，![](./data/image/media/image32167.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证． 【解答】解：（1）设M（x~0~，y~0~），由题意可得N（x~0~，0）， 设P（x，y），由点P满足![](./data/image/media/image32168.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=![](./data/image/media/image32167.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}![](./data/image/media/image32169.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}． 可得（x﹣x~0~，y）=![](./data/image/media/image32167.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}（0，y~0~）， 可得x﹣x~0~=0，y=![](./data/image/media/image32167.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}y~0~， 即有x~0~=x，y~0~=![](./data/image/media/image32170.png){width="0.2388888888888889in" height="0.3951388888888889in"}， 代入椭圆方程![](./data/image/media/image32171.png){width="0.22708333333333333in" height="0.425in"}+y^2^=1，可得![](./data/image/media/image32171.png){width="0.22708333333333333in" height="0.425in"}+![](./data/image/media/image32172.png){width="0.22708333333333333in" height="0.4354166666666667in"}=1， 即有点P的轨迹方程为圆x^2^+y^2^=2； （2）证明：设Q（﹣3，m），P（![](./data/image/media/image32173.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}cosα，![](./data/image/media/image32173.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}sinα），（0≤α＜2π）， ![](./data/image/media/image32174.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}•![](./data/image/media/image32175.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=1，可得（![](./data/image/media/image32173.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}cosα，![](./data/image/media/image32173.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}sinα）•（﹣3﹣![](./data/image/media/image32176.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}cosα，m﹣![](./data/image/media/image32176.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}sinα）=1， 即为﹣3![](./data/image/media/image32176.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}cosα﹣2cos^2^α+![](./data/image/media/image32176.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}msinα﹣2sin^2^α=1， 当α=0时，上式不成立，则0＜α＜2π， 解得m=![](./data/image/media/image32177.png){width="1.1125in" height="0.40625in"}， 即有Q（﹣3，![](./data/image/media/image32177.png){width="1.1125in" height="0.40625in"}）， 椭圆![](./data/image/media/image32178.png){width="0.22708333333333333in" height="0.425in"}+y^2^=1的左焦点F（﹣1，0）， 由![](./data/image/media/image32179.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}•![](./data/image/media/image32180.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=（﹣1﹣![](./data/image/media/image32176.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}cosα，﹣![](./data/image/media/image32181.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}sinα）•（﹣3，![](./data/image/media/image32182.png){width="1.1125in" height="0.40625in"}） =3+3![](./data/image/media/image32181.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}cosα﹣3（1+![](./data/image/media/image32181.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}cosα）=0． 可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由![](./data/image/media/image32183.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}•![](./data/image/media/image32184.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=1， 可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m^2^+nt﹣n^2^=1， 又P在圆x^2^+y^2^=2上，可得m^2^+n^2^=2， 即有nt=3+3m， 又椭圆的左焦点F（﹣1，0）， ![](./data/image/media/image32185.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}•![](./data/image/media/image32186.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}=（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）=3+3m﹣nt =3+3m﹣3﹣3m=0， 则![](./data/image/media/image32185.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}⊥![](./data/image/media/image32186.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20972222222222223in"}， 可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=ax^2^﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x~0~，且e^﹣2^＜f（x~0~）＜2^﹣2^． 【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）=a﹣![](./data/image/media/image32187.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}可得h（x）~min~=h（![](./data/image/media/image32188.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}），从而可得结论； （2）通过（1）可知f（x）=x^2^﹣x﹣xlnx，记t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）~min~=t（![](./data/image/media/image32189.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}）=ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）=0存在两根x~0~，x~2~，利用f（x）必存在唯一极大值点x~0~及x~0~＜![](./data/image/media/image32189.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}可知f（x~0~）＜![](./data/image/media/image32190.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}，另一方面可知f（x~0~）＞f（![](./data/image/media/image32191.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}）=![](./data/image/media/image32192.png){width="0.22708333333333333in" height="0.425in"}． 【解答】（1）解：因为f（x）=ax^2^﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0）， 则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）=a﹣![](./data/image/media/image32193.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}． 则当a≤0时h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞）上单调递减， 所以当x~0~＞1时，h（x~0~）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0． 因为当0＜x＜![](./data/image/media/image32194.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}时h′（x）＜0、当x＞![](./data/image/media/image32194.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}时h′（x）＞0， 所以h（x）~min~=h（![](./data/image/media/image32194.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}）， 又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0， 所以![](./data/image/media/image32194.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}=1，解得a=1； 另解：因为f（1）=0，所以f（x）≥0等价于f（x）在x＞0时的最小值为f（1）， 所以等价于f（x）在x=1处是极小值， 所以解得a=1； （2）证明：由（1）可知f（x）=x^2^﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx， 令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣![](./data/image/media/image32193.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}， 令t′（x）=0，解得：x=![](./data/image/media/image18662.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}， 所以t（x）在区间（0，![](./data/image/media/image18662.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}）上单调递减，在（![](./data/image/media/image18662.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}，+∞）上单调递增， 所以t（x）~min~=t（![](./data/image/media/image32195.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x~0~，x~2~， 且不妨设f′（x）在（0，x~0~）上为正、在（x~0~，x~2~）上为负、在（x~2~，+∞）上为正， 所以f（x）必存在唯一极大值点x~0~，且2x~0~﹣2﹣lnx~0~=0， 所以f（x~0~）=![](./data/image/media/image32196.png){width="0.2791666666666667in" height="0.2791666666666667in"}﹣x~0~﹣x~0~lnx~0~=![](./data/image/media/image32196.png){width="0.2791666666666667in" height="0.2791666666666667in"}﹣x~0~+2x~0~﹣2![](./data/image/media/image32196.png){width="0.2791666666666667in" height="0.2791666666666667in"}=x~0~﹣![](./data/image/media/image32196.png){width="0.2791666666666667in" height="0.2791666666666667in"}， 由x~0~＜![](./data/image/media/image32195.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}可知f（x~0~）＜（x~0~﹣![](./data/image/media/image32196.png){width="0.2791666666666667in" height="0.2791666666666667in"}）~max~=﹣![](./data/image/media/image32197.png){width="0.22708333333333333in" height="0.425in"}+![](./data/image/media/image32195.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}=![](./data/image/media/image32198.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}； 由f′（![](./data/image/media/image32199.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}）＜0可知x~0~＜![](./data/image/media/image32199.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}＜![](./data/image/media/image32200.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}， 所以f（x）在（0，x~0~）上单调递增，在（x~0~，![](./data/image/media/image32199.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}）上单调递减， 所以f（x~0~）＞f（![](./data/image/media/image32199.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}）=![](./data/image/media/image32201.png){width="0.22708333333333333in" height="0.425in"}； 综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x~0~，且e^﹣2^＜f（x~0~）＜2^﹣2^． 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题． 　 **（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）** 22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C~1~的极坐标方程为ρcosθ=4． （1）M为曲线C~1~上的动点，点P在线段OM上，且满足\|OM\|•\|OP\|=16，求点P的轨迹C~2~的直角坐标方程； （2）设点A的极坐标为（2，![](./data/image/media/image32202.png){width="0.2222222222222222in" height="0.3659722222222222in"}），点B在曲线C~2~上，求△OAB面积的最大值． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据\|OM\|•\|OP\|=16列方程化简即可； （2）求出曲线C~2~的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积． 【解答】解：（1）曲线C~1~的直角坐标方程为：x=4， 设P（x，y），M（4，y~0~），则![](./data/image/media/image32203.png){width="0.4701388888888889in" height="0.44722222222222224in"}，∴y~0~=![](./data/image/media/image32204.png){width="0.2222222222222222in" height="0.37569444444444444in"}， ∵\|OM\|\|OP\|=16， ∴![](./data/image/media/image32205.png){width="0.5916666666666667in" height="0.26180555555555557in"}![](./data/image/media/image32206.png){width="0.6555555555555556in" height="0.3138888888888889in"}=16， 即（x^2^+y^2^）（1+![](./data/image/media/image32207.png){width="0.22708333333333333in" height="0.48680555555555555in"}）=16， ∴x^4^+2x^2^y^2^+y^4^=16x^2^，即（x^2^+y^2^）^2^=16x^2^， 两边开方得：x^2^+y^2^=4x， 整理得：（x﹣2）^2^+y^2^=4（x≠0）， ∴点P的轨迹C~2~的直角坐标方程：（x﹣2）^2^+y^2^=4（x≠0）． （2）点A的直角坐标为A（1，![](./data/image/media/image32208.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}），显然点A在曲线C~2~上，\|OA\|=2， ∴曲线C~2~的圆心（2，0）到弦OA的距离d=![](./data/image/media/image32209.png){width="0.37569444444444444in" height="0.18680555555555556in"}=![](./data/image/media/image32210.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}， ∴△AOB的最大面积S=![](./data/image/media/image23375.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}\|OA\|•（2+![](./data/image/media/image32210.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}）=2+![](./data/image/media/image32210.png){width="0.20972222222222223in" height="0.18680555555555556in"}． 【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题． 　 **\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）** 23．已知a＞0，b＞0，a^3^+b^3^=2．证明： （1）（a+b）（a^5^+b^5^）≥4； （2）a+b≤2． 【考点】R6：不等式的证明．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式． 【分析】（1）由柯西不等式即可证明， （2）由a^3^+b^3^=2转化为![](./data/image/media/image32211.png){width="0.7708333333333334in" height="0.425in"}=ab，再由均值不等式可得：![](./data/image/media/image32212.png){width="0.7708333333333334in" height="0.425in"}=ab≤（![](./data/image/media/image32213.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}）^2^，即可得到![](./data/image/media/image32214.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}（a+b）^3^≤2，问题得以证明． 【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a^5^+b^5^）≥（![](./data/image/media/image32215.png){width="0.48680555555555555in" height="0.25in"}+![](./data/image/media/image32216.png){width="0.48680555555555555in" height="0.25in"}）^2^=（a^3^+b^3^）^2^≥4， 当且仅当![](./data/image/media/image32217.png){width="0.40625in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image32218.png){width="0.40625in" height="0.25in"}，即a=b=1时取等号， （2）∵a^3^+b^3^=2， ∴（a+b）（a^2^﹣ab+b^2^）=2， ∴（a+b）\[（a+b）^2^﹣3ab\]=2， ∴（a+b）^3^﹣3ab（a+b）=2， ∴![](./data/image/media/image32212.png){width="0.7708333333333334in" height="0.425in"}=ab， 由均值不等式可得：![](./data/image/media/image32219.png){width="0.7708333333333334in" height="0.425in"}=ab≤（![](./data/image/media/image32220.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}）^2^， ∴（a+b）^3^﹣2≤![](./data/image/media/image32221.png){width="0.6666666666666666in" height="0.425in"}， ∴![](./data/image/media/image32222.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3659722222222222in"}（a+b）^3^≤2， ∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立． 【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题 　 **\ 2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．** 1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（　　） A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4} 【考点】1D：并集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；49：综合法． 【分析】集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，求A∪B，可用并集的定义直接求出两集合的并集． 【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，4}， ∴A∪B={1，2，3，4} 故选：A． 【点评】本题考查并集及其运算，解题的关系是正确理解并集的定义及求并集的运算规则，是集合中的基本概念型题． 　 2．（5分）（1+i）（2+i）=（　　） A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：原式=2﹣1+3i=1+3i． 故选：B． 【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 3．（5分）函数f（x）=sin（2x+![](./data/image/media/image32223.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）的最小正周期为（　　） A．4π B．2π C．π D．![](./data/image/media/image13258.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} 【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用三角函数周期公式，直接求解即可． 【解答】解：函数f（x）=sin（2x+![](./data/image/media/image32223.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）的最小正周期为：![](./data/image/media/image13264.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=π． 故选：C． 【点评】本题考查三角函数的周期的求法，是基础题． 　 4．（5分）设非零向量![](./data/image/media/image32224.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image32225.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足\|![](./data/image/media/image32224.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image32225.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|![](./data/image/media/image32224.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![](./data/image/media/image32225.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|则（　　） A．![](./data/image/media/image32224.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥![](./data/image/media/image32225.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"} B．\|![](./data/image/media/image32224.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|![](./data/image/media/image32225.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\| C．![](./data/image/media/image32226.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![](./data/image/media/image32227.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"} D．\|![](./data/image/media/image32226.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|＞\|![](./data/image/media/image32227.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\| 【考点】91：向量的概念与向量的模．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】由已知得![](./data/image/media/image32228.png){width="1.3020833333333333in" height="0.22847222222222222in"}，从而![](./data/image/media/image32229.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}=0，由此得到![](./data/image/media/image32230.png){width="0.3951388888888889in" height="0.20833333333333334in"}． 【解答】解：∵非零向量![](./data/image/media/image32226.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image32227.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足\|![](./data/image/media/image32226.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image32227.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|![](./data/image/media/image32231.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![](./data/image/media/image32232.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|， ∴![](./data/image/media/image32233.png){width="1.3020833333333333in" height="0.22847222222222222in"}， ![](./data/image/media/image32234.png){width="1.875in" height="0.26944444444444443in"}， ![](./data/image/media/image32235.png){width="0.49930555555555556in" height="0.20833333333333334in"}， 解得![](./data/image/media/image32236.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}=0， ∴![](./data/image/media/image32237.png){width="0.3951388888888889in" height="0.20833333333333334in"}． 故选：A． 【点评】本题考查两个向量的关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的模的性质的合理运用． 　 5．（5分）若a＞1，则双曲线![](./data/image/media/image32238.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4798611111111111in"}﹣y^2^=1的离心率的取值范围是（　　） A．（![](./data/image/media/image32239.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，+∞） B．（![](./data/image/media/image32239.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，2） C．（1，![](./data/image/media/image32239.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}） D．（1，2） 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线方程，求出a，c然后求解双曲线的离心率的范围即可． 【解答】解：a＞1，则双曲线![](./data/image/media/image32240.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4798611111111111in"}﹣y^2^=1的离心率为：![](./data/image/media/image32241.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32242.png){width="0.5208333333333334in" height="0.44722222222222224in"}=![](./data/image/media/image32243.png){width="0.5208333333333334in" height="0.44722222222222224in"}∈（1，![](./data/image/media/image32239.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}）． 故选：C． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 　 6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（　　） ![](./data/image/media/image32244.png){width="2.1875in" height="2.7090277777777776in"} A．90π B．63π C．42π D．36π 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何． 【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积． 【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半， V=π•3^2^×10﹣![](./data/image/media/image24708.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}•π•3^2^×6=63π， 故选：B． ![](./data/image/media/image32245.png){width="0.9166666666666666in" height="1.6041666666666667in"} 【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 7．（5分）设x，y满足约束条件![](./data/image/media/image32246.png){width="0.9576388888888889in" height="0.6555555555555556in"}，则z=2x+y的最小值是（　　） A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可． 【解答】解：x、y满足约束条件![](./data/image/media/image32246.png){width="0.9576388888888889in" height="0.6555555555555556in"}的可行域如图： z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值， 由![](./data/image/media/image32247.png){width="0.875in" height="0.4166666666666667in"}解得A（﹣6，﹣3）， 则z=2x+y 的最小值是：﹣15． 故选：A． ![](./data/image/media/image32248.png){width="1.9270833333333333in" height="1.5833333333333333in"} 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力． 　 8．（5分）函数f（x）=ln（x^2^﹣2x﹣8）的单调递增区间是（　　） A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞） 【考点】3G：复合函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】由x^2^﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t=x^2^﹣2x﹣8，则y=lnt，结合复合函数单调性"同增异减"的原则，可得答案． 【解答】解：由x^2^﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）， 令t=x^2^﹣2x﹣8，则y=lnt， ∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t=x^2^﹣2x﹣8为减函数； x∈（4，+∞）时，t=x^2^﹣2x﹣8为增函数； y=lnt为增函数， 故函数f（x）=ln（x^2^﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞）， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次数函数的图象和性质，难度中档． 　 9．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（　　） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 【专题】2A：探究型；35：转化思想；48：分析法；5M：推理和证明． 【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案 【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩 →乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩） →乙看到了丙的成绩，知自己的成绩 →丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩， 给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了 故选：D． 【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题． 　 10．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（　　） ![](./data/image/media/image32249.png){width="1.7916666666666667in" height="4.771527777777778in"} A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图． 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K值，当K=7时，程序终止即可得到结论． 【解答】解：执行程序框图，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循环， 第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2； 满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3； 满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4； 满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5； 满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6； 满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7； K≤6不成立，退出循环输出S的值为3． 故选：B． 【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础． 　 11．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（　　） A．![](./data/image/media/image32250.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} B．![](./data/image/media/image32251.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} C．![](./data/image/media/image32252.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} D．![](./data/image/media/image32253.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】先求出基本事件总数n=5×5=25，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率． 【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： （2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件， ∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=![](./data/image/media/image32254.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32253.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：D． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 　 12．（5分）过抛物线C：y^2^=4x的焦点F，且斜率为![](./data/image/media/image32255.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（　　） A．![](./data/image/media/image32256.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"} B．2![](./data/image/media/image32257.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"} C．2![](./data/image/media/image32258.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"} D．3![](./data/image/media/image32258.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"} 【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用已知条件求出M的坐标，求出N的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可． 【解答】解：抛物线C：y^2^=4x的焦点F（1，0），且斜率为![](./data/image/media/image32258.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}的直线：y=![](./data/image/media/image32258.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}（x﹣1）， 过抛物线C：y^2^=4x的焦点F，且斜率为![](./data/image/media/image32258.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}的直线交C于点M（M在x轴上方），l 可知：![](./data/image/media/image32259.png){width="0.9375in" height="0.4888888888888889in"}，解得M（3，2![](./data/image/media/image32258.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}）． 可得N（﹣1，2![](./data/image/media/image32258.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}），NF的方程为：y=﹣![](./data/image/media/image32258.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}（x﹣1），即![](./data/image/media/image32260.png){width="0.9576388888888889in" height="0.19791666666666666in"}， 则M到直线NF的距离为：![](./data/image/media/image32261.png){width="1.238888888888889in" height="0.40625in"}=2![](./data/image/media/image12019.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}． 故选：C． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力． 　 **二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分** 13．（5分）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为[　]{.underline}![](./data/image/media/image32262.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}[　]{.underline}． 【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可． 【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx=![](./data/image/media/image32262.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}（![](./data/image/media/image32263.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}cosx+![](./data/image/media/image32264.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}sinx）=![](./data/image/media/image32262.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}sin（x+θ），其中tanθ=2， 可知函数的最大值为：![](./data/image/media/image32262.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image32262.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，正弦函数的有界性的应用，考查计算能力． 　 14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x^3^+x^2^，则f（2）=[　12　]{.underline}． 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3P：抽象函数及其应用．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】由已知中当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x^3^+x^2^，先求出f（﹣2），进而根据奇函数的性质，可得答案． 【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x^3^+x^2^， ∴f（﹣2）=﹣12， 又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（2）=12， 故答案为：12 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题． 　 15．（5分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为[　14π　]{.underline}． 【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离． 【分析】求出球的半径，然后求解球的表面积． 【解答】解：长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，可知长方体的对角线的长就是球的直径， 所以球的半径为：![](./data/image/media/image32265.png){width="1.03125in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32266.png){width="0.3236111111111111in" height="0.38472222222222224in"}． 则球O的表面积为：4×![](./data/image/media/image32267.png){width="0.8118055555555556in" height="0.38472222222222224in"}=14π． 故答案为：14π． 【点评】本题考查长方体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=[　]{.underline}![](./data/image/media/image32268.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值；58：解三角形． 【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可 【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得， 2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB， ∵sinB≠0， ∴cosB=![](./data/image/media/image32269.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， ∵0＜B＜π， ∴B=![](./data/image/media/image32268.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：![](./data/image/media/image32270.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题 　 **三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．** 17．（12分）已知等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，等比数列{b~n~}的前n项和为T~n~，a~1~=﹣1，b~1~=1，a~2~+b~2~=2． （1）若a~3~+b~3~=5，求{b~n~}的通项公式； （2）若T~3~=21，求S~3~． 【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）设等差数列{a~n~}的公差为d，等比数列{b~n~}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得d，q，即可得到所求通项公式； （2）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得到所求和． 【解答】解：（1）设等差数列{a~n~}的公差为d，等比数列{b~n~}的公比为q， a~1~=﹣1，b~1~=1，a~2~+b~2~=2，a~3~+b~3~=5， 可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q^2^=5， 解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去）， 则{b~n~}的通项公式为b~n~=2^n﹣1^，n∈N\*； （2）b~1~=1，T~3~=21， 可得1+q+q^2^=21， 解得q=4或﹣5， 当q=4时，b~2~=4，a~2~=2﹣4=﹣2， d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S~3~=﹣1﹣2﹣3=﹣6； 当q=﹣5时，b~2~=﹣5，a~2~=2﹣（﹣5）=7， d=7﹣（﹣1）=8，S~3~=﹣1+7+15=21． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，求出公差和公比是解题的关键，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于基础题． 　 18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=![](./data/image/media/image32271.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}AD，∠BAD=∠ABC=90°． （1）证明：直线BC∥平面PAD； （2）若△PCD面积为2![](./data/image/media/image32272.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，求四棱锥P﹣ABCD的体积． ![](./data/image/media/image32273.png){width="1.8125in" height="1.4479166666666667in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理证明即可． （2）利用已知条件转化求解几何体的线段长，然后求解几何体的体积即可． 【解答】（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD， ∴直线BC∥平面PAD； （2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=![](./data/image/media/image32274.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x， 则AB=BC=x，CD=![](./data/image/media/image32275.png){width="0.3125in" height="0.18680555555555556in"}，O是AD的中点， 连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE， 则OE=![](./data/image/media/image32276.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}，PO=![](./data/image/media/image32277.png){width="0.3125in" height="0.18680555555555556in"}，PE=![](./data/image/media/image32278.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image32279.png){width="0.34305555555555556in" height="0.40625in"}， △PCD面积为2![](./data/image/media/image32280.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，可得：![](./data/image/media/image32281.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2![](./data/image/media/image32282.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}， 即：![](./data/image/media/image32283.png){width="1.4368055555555554in" height="0.40625in"}，解得x=2，PO=2![](./data/image/media/image32284.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}． 则V ~P﹣ABCD~=![](./data/image/media/image19877.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}×![](./data/image/media/image32285.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}（BC+AD）×AB×PO=![](./data/image/media/image32286.png){width="1.7708333333333333in" height="0.3645833333333333in"}=4![](./data/image/media/image32284.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}． ![](./data/image/media/image32287.png){width="1.84375in" height="1.4895833333333333in"} 【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： ![](./data/image/media/image32288.png){width="5.969444444444444in" height="2.0625in"} （1）记A表示事件"旧养殖法的箱产量低于50kg"，估计A的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： ---------- -------------- ------------- 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 ---------- -------------- ------------- （3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较． 附： ------------- ------- ------- -------- P（K^2^≥K） 0.050 0.010 0.001 K 3.841 6.635 10.828 ------------- ------- ------- -------- K^2^=![](./data/image/media/image32289.png){width="1.71875in" height="0.42569444444444443in"}． 【考点】B8：频率分布直方图；BL：独立性检验．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；5I：概率与统计． 【分析】（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图计算可得答案； （2）由频率分布直方图可以将列联表补全，进而计算可得K^2^=![](./data/image/media/image32290.png){width="1.6666666666666667in" height="0.42569444444444443in"}≈15.705＞6.635，与附表比较即可得答案； （3）由频率分布直方图计算新旧养殖法产量的平均数，比较即可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，由旧养殖法的频率分布直方图可得： P（A）=（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62； （2）根据题意，补全列联表可得： ---------- -------------- ------------- ------ 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 总计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 总计 96 104 200 ---------- -------------- ------------- ------ 则有K^2^=![](./data/image/media/image32290.png){width="1.6666666666666667in" height="0.42569444444444443in"}≈15.705＞6.635， 故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； （3）由频率分布直方图可得： 旧养殖法100个网箱产量的平均数![](./data/image/media/image32291.png){width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}~1~=（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5=5×9.42=47.1； 新养殖法100个网箱产量的平均数![](./data/image/media/image32291.png){width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}~2~=（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5=5×10.47=52.35； 比较可得：![](./data/image/media/image32291.png){width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}~1~＜![](./data/image/media/image32291.png){width="0.10416666666666667in" height="0.18680555555555556in"}~2~， 故新养殖法更加优于旧养殖法． 【点评】本题考查频率分布直方图、独立性检验的应用，涉及数据平均数、方差的计算，关键认真分析频率分布直方图． 　 20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：![](./data/image/media/image32292.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y^2^=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足![](./data/image/media/image32293.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=![](./data/image/media/image32294.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}![](./data/image/media/image32295.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}． （1）求点P的轨迹方程； （2）设点Q在直线x=﹣3上，且![](./data/image/media/image32296.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32297.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 【考点】J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆． 【分析】（1）设M（x~0~，y~0~），由题意可得N（x~0~，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程； （2）设Q（﹣3，m），P（![](./data/image/media/image32294.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}cosα，![](./data/image/media/image32294.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证． 【解答】解：（1）设M（x~0~，y~0~），由题意可得N（x~0~，0）， 设P（x，y），由点P满足![](./data/image/media/image32293.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=![](./data/image/media/image32298.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}![](./data/image/media/image32299.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}． 可得（x﹣x~0~，y）=![](./data/image/media/image32298.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}（0，y~0~）， 可得x﹣x~0~=0，y=![](./data/image/media/image32298.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}y~0~， 即有x~0~=x，y~0~=![](./data/image/media/image32300.png){width="0.2388888888888889in" height="0.3951388888888889in"}， 代入椭圆方程![](./data/image/media/image32301.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y^2^=1，可得![](./data/image/media/image32301.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![](./data/image/media/image32302.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=1， 即有点P的轨迹方程为圆x^2^+y^2^=2； （2）证明：设Q（﹣3，m），P（![](./data/image/media/image32298.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}cosα，![](./data/image/media/image32298.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}sinα），（0≤α＜2π）， ![](./data/image/media/image32303.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32304.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=1，可得（![](./data/image/media/image32305.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}cosα，![](./data/image/media/image32305.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}sinα）•（﹣3﹣![](./data/image/media/image32305.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}cosα，m﹣![](./data/image/media/image32305.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}sinα）=1， 即为﹣3![](./data/image/media/image32305.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}cosα﹣2cos^2^α+![](./data/image/media/image32305.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}msinα﹣2sin^2^α=1， 当α=0时，上式不成立，则0＜α＜2π， 解得m=![](./data/image/media/image32306.png){width="1.1131944444444444in" height="0.40625in"}， 即有Q（﹣3，![](./data/image/media/image32306.png){width="1.1131944444444444in" height="0.40625in"}）， 椭圆![](./data/image/media/image32307.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y^2^=1的左焦点F（﹣1，0）， 由![](./data/image/media/image32308.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32309.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1﹣![](./data/image/media/image362.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}cosα，﹣![](./data/image/media/image362.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}sinα）•（﹣3，![](./data/image/media/image32310.png){width="1.1131944444444444in" height="0.40625in"}） =3+3![](./data/image/media/image362.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}cosα﹣3（1+![](./data/image/media/image362.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}cosα）=0． 可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由![](./data/image/media/image32311.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32312.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=1， 可得（m，n）•（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m^2^+nt﹣n^2^=1， 又P在圆x^2^+y^2^=2上，可得m^2^+n^2^=2， 即有nt=3+3m， 又椭圆的左焦点F（﹣1，0）， ![](./data/image/media/image32313.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32314.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1﹣m，﹣n）•（﹣3，t）=3+3m﹣nt =3+3m﹣3﹣3m=0， 则![](./data/image/media/image32313.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}⊥![](./data/image/media/image32314.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}， 可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数量积的坐标表示和两直线垂直的条件：向量数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 　 21．（12分）设函数f（x）=（1﹣x^2^）e^x^． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可． （2）化简f（x）=（1﹣x）（1+x）e^x^．f（x）≤ax+1，下面对a的范围进行讨论： ①当a≥1时，②当0＜a＜1时，设函数g（x）=e^x^﹣x﹣1，则g′（x）=e^x^﹣1＞0（x＞0），推出结论；③当a≤0时，推出结果，然后得到a的取值范围． 【解答】解：（1）因为f（x）=（1﹣x^2^）e^x^，x∈R， 所以f′（x）=（1﹣2x﹣x^2^）e^x^， 令f′（x）=0可知x=﹣1±![](./data/image/media/image28941.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}， 当x＜﹣1﹣![](./data/image/media/image28941.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}或x＞﹣1+![](./data/image/media/image32315.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}时f′（x）＜0，当﹣1﹣![](./data/image/media/image32315.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}＜x＜﹣1+![](./data/image/media/image32315.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}时f′（x）＞0， 所以f（x）在（﹣∞，﹣1﹣![](./data/image/media/image32315.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}），（﹣1+![](./data/image/media/image32315.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，+∞）上单调递减，在（﹣1﹣![](./data/image/media/image32315.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，﹣1+![](./data/image/media/image32315.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}）上单调递增； （2）由题可知f（x）=（1﹣x）（1+x）e^x^．下面对a的范围进行讨论： ①当a≥1时，设函数h（x）=（1﹣x）e^x^，则h′（x）=﹣xe^x^＜0（x＞0）， 因此h（x）在\[0，+∞）上单调递减， 又因为h（0）=1，所以h（x）≤1， 所以f（x）=（1+x）h（x）≤x+1≤ax+1； ②当0＜a＜1时，设函数g（x）=e^x^﹣x﹣1，则g′（x）=e^x^﹣1＞0（x＞0）， 所以g（x）在\[0，+∞）上单调递增， 又g（0）=1﹣0﹣1=0， 所以e^x^≥x+1． 因为当0＜x＜1时f（x）＞（1﹣x）（1+x）^2^， 所以（1﹣x）（1+x）^2^﹣ax﹣1=x（1﹣a﹣x﹣x^2^）， 取x~0~=![](./data/image/media/image32316.png){width="0.6770833333333334in" height="0.38472222222222224in"}∈（0，1），则（1﹣x~0~）（1+x~0~）^2^﹣ax~0~﹣1=0， 所以f（x~0~）＞ax~0~+1，矛盾； ③当a≤0时，取x~0~=![](./data/image/media/image32317.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}∈（0，1），则f（x~0~）＞（1﹣x~0~）（1+x~0~）^2^=1≥ax~0~+1，矛盾； 综上所述，a的取值范围是\[1，+∞）． 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力． 　 **选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]** 22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C~1~的极坐标方程为ρcosθ=4． （1）M为曲线C~1~上的动点，点P在线段OM上，且满足\|OM\|•\|OP\|=16，求点P的轨迹C~2~的直角坐标方程； （2）设点A的极坐标为（2，![](./data/image/media/image32318.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}），点B在曲线C~2~上，求△OAB面积的最大值． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据\|OM\|•\|OP\|=16列方程化简即可； （2）求出曲线C~2~的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积． 【解答】解：（1）曲线C~1~的直角坐标方程为：x=4， 设P（x，y），M（4，y~0~），则![](./data/image/media/image32319.png){width="0.46875in" height="0.44722222222222224in"}，∴y~0~=![](./data/image/media/image32320.png){width="0.21944444444444444in" height="0.37569444444444444in"}， ∵\|OM\|\|OP\|=16， ∴![](./data/image/media/image32321.png){width="0.5923611111111111in" height="0.2604166666666667in"}![](./data/image/media/image32322.png){width="0.6555555555555556in" height="0.3125in"}=16， 即（x^2^+y^2^）（1+![](./data/image/media/image32323.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}）=16， ∴x^4^+2x^2^y^2^+y^4^=16x^2^，即（x^2^+y^2^）^2^=16x^2^， 两边开方得：x^2^+y^2^=4x， 整理得：（x﹣2）^2^+y^2^=4（x≠0）， ∴点P的轨迹C~2~的直角坐标方程：（x﹣2）^2^+y^2^=4（x≠0）． （2）点A的直角坐标为A（1，![](./data/image/media/image24775.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}），显然点A在曲线C~2~上，\|OA\|=2， ∴曲线C~2~的圆心（2，0）到弦OA的距离d=![](./data/image/media/image32324.png){width="0.37569444444444444in" height="0.18680555555555556in"}=![](./data/image/media/image24775.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}， ∴△AOB的最大面积S=![](./data/image/media/image18330.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}\|OA\|•（2+![](./data/image/media/image24775.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}）=2+![](./data/image/media/image24775.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}． 【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题． 　 **\[选修4-5：不等式选讲\]** 23．已知a＞0，b＞0，a^3^+b^3^=2．证明： （1）（a+b）（a^5^+b^5^）≥4； （2）a+b≤2． 【考点】R6：不等式的证明．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式． 【分析】（1）由柯西不等式即可证明， （2）由a^3^+b^3^=2转化为![](./data/image/media/image32325.png){width="0.7708333333333334in" height="0.42569444444444443in"}=ab，再由均值不等式可得：![](./data/image/media/image32325.png){width="0.7708333333333334in" height="0.42569444444444443in"}=ab≤（![](./data/image/media/image32326.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）^2^，即可得到![](./data/image/media/image32327.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}（a+b）^3^≤2，问题得以证明． 【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a^5^+b^5^）≥（![](./data/image/media/image32328.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}+![](./data/image/media/image32329.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}）^2^=（a^3^+b^3^）^2^≥4， 当且仅当![](./data/image/media/image32330.png){width="0.40625in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image32331.png){width="0.40625in" height="0.25in"}，即a=b=1时取等号， （2）∵a^3^+b^3^=2， ∴（a+b）（a^2^﹣ab+b^2^）=2， ∴（a+b）\[（a+b）^2^﹣3ab\]=2， ∴（a+b）^3^﹣3ab（a+b）=2， ∴![](./data/image/media/image32332.png){width="0.7708333333333334in" height="0.42569444444444443in"}=ab， 由均值不等式可得：![](./data/image/media/image32332.png){width="0.7708333333333334in" height="0.42569444444444443in"}=ab≤（![](./data/image/media/image32333.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）^2^， ∴（a+b）^3^﹣2≤![](./data/image/media/image32334.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}， ∴![](./data/image/media/image32198.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}（a+b）^3^≤2， ∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立． 【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题 　 **\ 2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。** 1．（5分）已知集合A={（x，y）\|x^2^+y^2^=1}，B={（x，y）\|y=x}，则A∩B中元素的个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】解不等式组求出元素的个数即可． 【解答】解：由![](./data/image/media/image32335.png){width="0.7597222222222222in" height="0.4798611111111111in"}，解得：![](./data/image/media/image32336.png){width="0.5298611111111111in" height="0.8333333333333334in"}或![](./data/image/media/image32337.png){width="0.6145833333333334in" height="0.8333333333333334in"}， ∴A∩B的元素的个数是2个， 故选：B． 【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题． 　 2．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则\|z\|=（　　） A．![](./data/image/media/image32338.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} B．![](./data/image/media/image32339.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"} C．![](./data/image/media/image23994.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"} D．2 【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1． 则\|z\|=![](./data/image/media/image24494.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}． 故选：C． 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． ![](./data/image/media/image32340.png){width="6.260416666666667in" height="1.9166666666666667in"} 根据该折线图，下列结论错误的是（　　） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线．菁优网版权所有 【专题】27：图表型；2A：探究型；5I：概率与统计． 【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案． 【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得： 月接待游客量逐月有增有减，故A错误； 年接待游客量逐年增加，故B正确； 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确； 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确； 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题． 　 4．（5分）（x+y）（2x﹣y）^5^的展开式中的x^3^y^3^系数为 （　　） A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；5P：二项式定理． 【分析】（2x﹣y）^5^的展开式的通项公式：T~r+1~=![](./data/image/media/image32341.png){width="0.19791666666666666in" height="0.3020833333333333in"}（2x）^5﹣r^（﹣y）^r^=2^5﹣r^（﹣1）^r^![](./data/image/media/image32341.png){width="0.19791666666666666in" height="0.3020833333333333in"}x^5﹣r^y^r^．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．即可得出． 【解答】解：（2x﹣y）^5^的展开式的通项公式：T~r+1~=![](./data/image/media/image32342.png){width="0.19791666666666666in" height="0.3020833333333333in"}（2x）^5﹣r^（﹣y）^r^=2^5﹣r^（﹣1）^r^![](./data/image/media/image32342.png){width="0.19791666666666666in" height="0.3020833333333333in"}x^5﹣r^y^r^． 令5﹣r=2，r=3，解得r=3． 令5﹣r=3，r=2，解得r=2． ∴（x+y）（2x﹣y）^5^的展开式中的x^3^y^3^系数=2^2^×（﹣1）^3^![](./data/image/media/image32343.png){width="0.19791666666666666in" height="0.3020833333333333in"}+2^3^×![](./data/image/media/image32344.png){width="0.46875in" height="0.3020833333333333in"}=40． 故选：C． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 5．（5分）已知双曲线C：![](./data/image/media/image32345.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4798611111111111in"}﹣![](./data/image/media/image32346.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=![](./data/image/media/image32347.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}x，且与椭圆![](./data/image/media/image32348.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![](./data/image/media/image32349.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=1有公共焦点，则C的方程为（　　） A．![](./data/image/media/image32350.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![](./data/image/media/image32351.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=1 B．![](./data/image/media/image32352.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![](./data/image/media/image32353.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=1 C．![](./data/image/media/image32354.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![](./data/image/media/image32355.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=1 D．![](./data/image/media/image32356.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![](./data/image/media/image32357.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=1 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程． 【解答】解：椭圆![](./data/image/media/image32358.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![](./data/image/media/image32357.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=1的焦点坐标（±3，0）， 则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3， 双曲线C：![](./data/image/media/image32359.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4798611111111111in"}﹣![](./data/image/media/image32360.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=![](./data/image/media/image32361.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}x， 可得![](./data/image/media/image32362.png){width="0.4798611111111111in" height="0.38472222222222224in"}，即![](./data/image/media/image32363.png){width="0.7597222222222222in" height="0.4798611111111111in"}，可得![](./data/image/media/image32364.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32365.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，解得a=2，b=![](./data/image/media/image32366.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}， 所求的双曲线方程为：![](./data/image/media/image32367.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣![](./data/image/media/image32368.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4361111111111111in"}=1． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力． 　 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+![](./data/image/media/image32369.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}），则下列结论错误的是（　　） A．f（x）的一个周期为﹣2π B．y=f（x）的图象关于直线x=![](./data/image/media/image32370.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}对称 C．f（x+π）的一个零点为x=![](./data/image/media/image32371.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} D．f（x）在（![](./data/image/media/image32372.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}，π）单调递减 【考点】H7：余弦函数的图象．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可． 【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确， B．当x=![](./data/image/media/image32373.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}时，cos（x+![](./data/image/media/image32374.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）=cos（![](./data/image/media/image32373.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image32374.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）=cos![](./data/image/media/image32375.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=![](./data/image/media/image32373.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}对称，故B正确， C当x=![](./data/image/media/image32376.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}时，f（![](./data/image/media/image32376.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}+π）=cos（![](./data/image/media/image32376.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}+π+![](./data/image/media/image32377.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）=cos![](./data/image/media/image32378.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=0，则f（x+π）的一个零点为x=![](./data/image/media/image32379.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}，故C正确， D．当![](./data/image/media/image32380.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}＜x＜π时，![](./data/image/media/image32381.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}＜x+![](./data/image/media/image32377.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}＜![](./data/image/media/image32382.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，此时函数f（x）不是单调函数，故D错误， 故选：D． 【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键． 　 7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（　　） ![](./data/image/media/image32383.png){width="1.8958333333333333in" height="3.073611111111111in"} A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；39：运动思想；49：综合法；5K：算法和程序框图． 【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论． 【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0， 要使输出S的值小于91，应满足"t≤N"， 则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2， 要使输出S的值小于91，应接着满足"t≤N"， 则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3， 要使输出S的值小于91，应不满足"t≤N"，跳出循环体， 此时N的最小值为2， 故选：D． 【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 8．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　） A．π B．![](./data/image/media/image32384.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} C．![](./data/image/media/image32385.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} D．![](./data/image/media/image32386.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5Q：立体几何． 【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r=![](./data/image/media/image32387.png){width="0.8118055555555556in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image32388.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}，由此能求出该圆柱的体积． 【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上， ∴该圆柱底面圆周半径r=![](./data/image/media/image32389.png){width="0.8118055555555556in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image32388.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}， ∴该圆柱的体积：V=Sh=![](./data/image/media/image32390.png){width="1.1458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image32391.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． ![](./data/image/media/image32392.png){width="1.1347222222222222in" height="1.1347222222222222in"} 【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题． 　 9．（5分）等差数列{a~n~}的首项为1，公差不为0．若a~2~，a~3~，a~6~成等比数列，则{a~n~}前6项的和为（　　） A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8 【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{a~n~}前6项的和． 【解答】解：∵等差数列{a~n~}的首项为1，公差不为0．a~2~，a~3~，a~6~成等比数列， ∴![](./data/image/media/image32393.png){width="0.875in" height="0.28055555555555556in"}， ∴（a~1~+2d）^2^=（a~1~+d）（a~1~+5d），且a~1~=1，d≠0， 解得d=﹣2， ∴{a~n~}前6项的和为![](./data/image/media/image32394.png){width="1.1652777777777779in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32395.png){width="1.3430555555555554in" height="0.3645833333333333in"}=﹣24． 故选：A． 【点评】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用． 　 10．（5分）已知椭圆C：![](./data/image/media/image32396.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A~1~，A~2~，且以线段A~1~A~2~为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　） A．![](./data/image/media/image32397.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"} B．![](./data/image/media/image32398.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"} C．![](./data/image/media/image32399.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"} D．![](./data/image/media/image32400.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】以线段A~1~A~2~为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离![](./data/image/media/image32401.png){width="0.625in" height="0.44722222222222224in"}=a，化简即可得出． 【解答】解：以线段A~1~A~2~为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离![](./data/image/media/image32401.png){width="0.625in" height="0.44722222222222224in"}=a，化为：a^2^=3b^2^． ∴椭圆C的离心率e=![](./data/image/media/image32402.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32403.png){width="0.5208333333333334in" height="0.49930555555555556in"}=![](./data/image/media/image32404.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}． 故选：A． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 11．（5分）已知函数f（x）=x^2^﹣2x+a（e^x﹣1^+e^﹣x+1^）有唯一零点，则a=（　　） A．﹣![](./data/image/media/image32405.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} B．![](./data/image/media/image32406.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} C．![](./data/image/media/image32405.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} D．1 【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用． 【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象与y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image32407.png){width="0.3645833333333333in" height="0.42569444444444443in"}）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论． 【解答】解：因为f（x）=x^2^﹣2x+a（e^x﹣1^+e^﹣x+1^）=﹣1+（x﹣1）^2^+a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image32407.png){width="0.3645833333333333in" height="0.42569444444444443in"}）=0， 所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）^2^=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image32407.png){width="0.3645833333333333in" height="0.42569444444444443in"}）有唯一解， 等价于函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象与y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image32407.png){width="0.3645833333333333in" height="0.42569444444444443in"}）的图象只有一个交点． ①当a=0时，f（x）=x^2^﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾； ②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）^2^在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image32407.png){width="0.3645833333333333in" height="0.42569444444444443in"}）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 所以函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象的最高点为A（1，1），y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image32408.png){width="0.3645833333333333in" height="0.42569444444444443in"}）的图象的最高点为B（1，2a）， 由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象与y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image32408.png){width="0.3645833333333333in" height="0.42569444444444443in"}）的图象有两个交点，矛盾； ③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）^2^在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image32408.png){width="0.3645833333333333in" height="0.42569444444444443in"}）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增， 所以函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象的最高点为A（1，1），y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image32408.png){width="0.3645833333333333in" height="0.42569444444444443in"}）的图象的最低点为B（1，2a）， 由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=![](./data/image/media/image20353.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，符合条件； 综上所述，a=![](./data/image/media/image20353.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：C． 【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题． 　 12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若![](./data/image/media/image32409.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=λ![](./data/image/media/image32410.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}+μ![](./data/image/media/image32411.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}，则λ+μ的最大值为（　　） A．3 B．2![](./data/image/media/image32412.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"} C．![](./data/image/media/image32413.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"} D．2 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆． 【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（![](./data/image/media/image32414.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}cosθ+1，![](./data/image/media/image32414.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}sinθ+2），根据![](./data/image/media/image32415.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=λ![](./data/image/media/image32416.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}+μ![](./data/image/media/image32417.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值． 【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系， 则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2）， ∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上， 设圆的半径为r， ∵BC=2，CD=1， ∴BD=![](./data/image/media/image32418.png){width="0.5923611111111111in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image32419.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"} ∴![](./data/image/media/image32420.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}BC•CD=![](./data/image/media/image32420.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}BD•r， ∴r=![](./data/image/media/image32421.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}， ∴圆的方程为（x﹣1）^2^+（y﹣2）^2^=![](./data/image/media/image32422.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， 设点P的坐标为（![](./data/image/media/image32423.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}cosθ+1，![](./data/image/media/image32423.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}sinθ+2）， ∵![](./data/image/media/image32424.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=λ![](./data/image/media/image32425.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}+μ![](./data/image/media/image32426.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}， ∴（![](./data/image/media/image32427.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}cosθ+1，![](./data/image/media/image32427.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴![](./data/image/media/image32427.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}cosθ+1=λ，![](./data/image/media/image32427.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}sinθ+2=2μ， ∴λ+μ=![](./data/image/media/image32427.png){width="0.34305555555555556in" height="0.38472222222222224in"}cosθ+![](./data/image/media/image32428.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3， 故λ+μ的最大值为3， 故选：A． ![](./data/image/media/image32429.png){width="1.5833333333333333in" height="1.5833333333333333in"} 【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题． 　 **二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。** 13．（5分）若x，y满足约束条件![](./data/image/media/image32430.png){width="0.7923611111111111in" height="0.6555555555555556in"}，则z=3x﹣4y的最小值为[　﹣1　]{.underline}． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5T：不等式． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x﹣4y的最小值． 【解答】解：由z=3x﹣4y，得y=![](./data/image/media/image32431.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}x﹣![](./data/image/media/image32432.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线y=![](./data/image/media/image32433.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}x﹣![](./data/image/media/image32432.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，由平移可知当直线y=![](./data/image/media/image32433.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}x﹣![](./data/image/media/image32432.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， 经过点B（1，1）时，直线y=![](./data/image/media/image32433.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}x﹣![](./data/image/media/image32432.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}的截距最大，此时z取得最小值， 将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1， 即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1． ![](./data/image/media/image32434.png){width="1.6875in" height="1.6354166666666667in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 　 14．（5分）设等比数列{a~n~}满足a~1~+a~2~=﹣1，a~1~﹣a~3~=﹣3，则a~4~=[　﹣8　]{.underline}． 【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列． 【分析】设等比数列{a~n~}的公比为q，由a~1~+a~2~=﹣1，a~1~﹣a~3~=﹣3，可得：a~1~（1+q）=﹣1，a~1~（1﹣q^2^）=﹣3，解出即可得出． 【解答】解：设等比数列{a~n~}的公比为q，∵a~1~+a~2~=﹣1，a~1~﹣a~3~=﹣3， ∴a~1~（1+q）=﹣1，a~1~（1﹣q^2^）=﹣3， 解得a~1~=1，q=﹣2． 则a~4~=（﹣2）^3^=﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 15．（5分）设函数f（x）=![](./data/image/media/image32435.png){width="0.875in" height="0.4888888888888889in"}，则满足f（x）+f（x﹣![](./data/image/media/image32436.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）＞1的x的取值范围是[　（]{.underline}![](./data/image/media/image32437.png){width="0.2388888888888889in" height="0.3645833333333333in"}[，+∞）　]{.underline}． 【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可． 【解答】解：若x≤0，则x﹣![](./data/image/media/image20395.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}≤﹣![](./data/image/media/image20395.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， 则f（x）+f（x﹣![](./data/image/media/image20395.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）＞1等价为x+1+x﹣![](./data/image/media/image20395.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}+1＞1，即2x＞﹣![](./data/image/media/image20395.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，则x＞![](./data/image/media/image32438.png){width="0.2388888888888889in" height="0.3645833333333333in"}， 此时![](./data/image/media/image32438.png){width="0.2388888888888889in" height="0.3645833333333333in"}＜x≤0， 当x＞0时，f（x）=2^x^＞1，x﹣![](./data/image/media/image32439.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}＞﹣![](./data/image/media/image32439.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， 当x﹣![](./data/image/media/image32439.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}＞0即x＞![](./data/image/media/image32439.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}时，满足f（x）+f（x﹣![](./data/image/media/image32439.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）＞1恒成立， 当0≥x﹣![](./data/image/media/image32439.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}＞﹣![](./data/image/media/image32439.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，即![](./data/image/media/image32439.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}≥x＞0时，f（x﹣![](./data/image/media/image32440.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）=x﹣![](./data/image/media/image32440.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}+1=x+![](./data/image/media/image32440.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}![](./data/image/media/image32441.png){width="0.3236111111111111in" height="0.3645833333333333in"}， 此时f（x）+f（x﹣![](./data/image/media/image32440.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）＞1恒成立， 综上x＞![](./data/image/media/image32442.png){width="0.2388888888888889in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：（![](./data/image/media/image32442.png){width="0.2388888888888889in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）． 【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键． 　 16．（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最小值为60°； 其中正确的是[　②③　]{.underline}．（填写所有正确结论的编号） 【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，\|AC\|=1，\|AB\|=![](./data/image/media/image32443.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【解答】解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图， 不妨设图中所示正方体边长为1， 故\|AC\|=1，\|AB\|=![](./data/image/media/image32443.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，\\ 斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变， B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆， 以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系， 则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量![](./data/image/media/image32444.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（0，1，0），\|![](./data/image/media/image32444.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1， 直线b的方向单位向量![](./data/image/media/image32445.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，0，0），\|![](./data/image/media/image32445.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1， 设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0）， 其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈\[0，2π）， ∴AB′在运动过程中的向量，![](./data/image/media/image32446.png){width="0.3645833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=（cosθ，sinθ，﹣1），\|![](./data/image/media/image32446.png){width="0.3645833333333333in" height="0.26944444444444443in"}\|=![](./data/image/media/image32447.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}， 设![](./data/image/media/image32448.png){width="0.3645833333333333in" height="0.26944444444444443in"}与![](./data/image/media/image32449.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}所成夹角为α∈\[0，![](./data/image/media/image32450.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}\]， 则cosα=![](./data/image/media/image32451.png){width="2.634027777777778in" height="0.4888888888888889in"}=![](./data/image/media/image32452.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}\|sinθ\|∈\[0，![](./data/image/media/image32452.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}\]， ∴α∈\[![](./data/image/media/image32453.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image32454.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}\]，∴③正确，④错误． 设![](./data/image/media/image32455.png){width="0.3645833333333333in" height="0.26944444444444443in"}与![](./data/image/media/image32456.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}所成夹角为β∈\[0，![](./data/image/media/image32454.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}\]， cosβ=![](./data/image/media/image32457.png){width="0.9791666666666666in" height="0.5625in"}=![](./data/image/media/image32458.png){width="2.5520833333333335in" height="0.4888888888888889in"}=![](./data/image/media/image30349.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}\|cosθ\|， 当![](./data/image/media/image32459.png){width="0.3645833333333333in" height="0.26944444444444443in"}与![](./data/image/media/image32460.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}夹角为60°时，即α=![](./data/image/media/image32461.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}， \|sinθ\|=![](./data/image/media/image32462.png){width="0.6451388888888889in" height="0.18680555555555556in"}=![](./data/image/media/image32463.png){width="0.6972222222222222in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32464.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}， ∵cos^2^θ+sin^2^θ=1，∴cosβ=![](./data/image/media/image32464.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}\|cosθ\|=![](./data/image/media/image32465.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， ∵β∈\[0，![](./data/image/media/image32466.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}\]，∴β=![](./data/image/media/image32467.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}，此时![](./data/image/media/image32468.png){width="0.3645833333333333in" height="0.26944444444444443in"}与![](./data/image/media/image32469.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为60°， ∴②正确，①错误． 故答案为：②③． ![](./data/image/media/image32470.png){width="2.270138888888889in" height="1.6458333333333333in"} 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 　 **三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。** 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+![](./data/image/media/image32471.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}cosA=0，a=2![](./data/image/media/image32472.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，b=2． （1）求c； （2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形． 【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出， （2）先根据夹角求出cosC，求出CD的长，得到S~△ABD~=![](./data/image/media/image20058.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}S~△ABC~． 【解答】解：（1）∵sinA+![](./data/image/media/image32473.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}cosA=0， ∴tanA=![](./data/image/media/image32474.png){width="0.3125in" height="0.18680555555555556in"}， ∵0＜A＜π， ∴A=![](./data/image/media/image32475.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 由余弦定理可得a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA， 即28=4+c^2^﹣2×2c×（﹣![](./data/image/media/image20058.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）， 即c^2^+2c﹣24=0， 解得c=﹣6（舍去）或c=4， 故c=4． （2）∵c^2^=b^2^+a^2^﹣2abcosC， ∴16=28+4﹣2×2![](./data/image/media/image32476.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}×2×cosC， ∴cosC=![](./data/image/media/image32477.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}， ∴CD=![](./data/image/media/image32478.png){width="0.38472222222222224in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32479.png){width="0.26944444444444443in" height="0.5840277777777778in"}=![](./data/image/media/image32476.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"} ∴CD=![](./data/image/media/image32480.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}BC ∵S~△ABC~=![](./data/image/media/image32481.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}AB•AC•sin∠BAC=![](./data/image/media/image32481.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}×4×2×![](./data/image/media/image32482.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}=2![](./data/image/media/image32483.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}， ∴S~△ABD~=![](./data/image/media/image32481.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}S~△ABC~=![](./data/image/media/image32483.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"} ![](./data/image/media/image32484.png){width="3.167361111111111in" height="0.9270833333333334in"} 【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题 　 18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间\[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： ---------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ 最高气温 \[10，15） \[15，20） \[20，25） \[25，30） \[30，35） \[35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 ---------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列． （2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200≤n≤500，根据300≤n≤500和200≤n≤300分类讨论经，能得到当n=300时，EY最大值为520元． 【解答】解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500， P（X=200）=![](./data/image/media/image32485.png){width="0.38472222222222224in" height="0.3645833333333333in"}=0.2， P（X=300）=![](./data/image/media/image32486.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}， P（X=500）=![](./data/image/media/image32487.png){width="0.5513888888888889in" height="0.3645833333333333in"}=0.4， ∴X的分布列为： --- ----- ----- ----- X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 --- ----- ----- ----- （2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶， ∴只需考虑200≤n≤500， 当300≤n≤500时， 若最高气温不低于25，则Y=6n﹣4n=2n； 若最高气温位于区间\[20，25），则Y=6×300+2（n﹣300）﹣4n=1200﹣2n； 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n， ∴EY=2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2=640﹣0.4n， 当200≤n≤300时， 若最高气温不低于20，则Y=6n﹣4n=2n， 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n， ∴EY=2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2=160+1.2n． ∴n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题． 　 19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC； （2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值． ![](./data/image/media/image32488.png){width="2.207638888888889in" height="1.5520833333333333in"} 【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角． 【分析】（1）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO=![](./data/image/media/image32489.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}AC．利用DO^2^+BO^2^=AB^2^=BD^2^．可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明． （2）设点D，B到平面ACE的距离分别为h~D~，h~E~．则![](./data/image/media/image32490.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4798611111111111in"}=![](./data/image/media/image32491.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}．根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得![](./data/image/media/image32492.png){width="0.9270833333333334in" height="0.7597222222222222in"}=![](./data/image/media/image32493.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4798611111111111in"}=![](./data/image/media/image32494.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}=1，即点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出． 【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD． ∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC． △ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD， ∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD． ∵△ACD是直角三角形， ∴AC是斜边，∴∠ADC=90°． ∴DO=![](./data/image/media/image32495.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}AC． ∴DO^2^+BO^2^=AB^2^=BD^2^． ∴∠BOD=90°． ∴OB⊥OD． 又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD． 又OB⊂平面ABC， ∴平面ACD⊥平面ABC． （2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h~D~，h~E~．则![](./data/image/media/image32493.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4798611111111111in"}=![](./data/image/media/image32494.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}． ∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分， ∴![](./data/image/media/image32496.png){width="0.9270833333333334in" height="0.7597222222222222in"}=![](./data/image/media/image32497.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4798611111111111in"}=![](./data/image/media/image32498.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}=1． ∴点E是BD的中点． 建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2． 则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，![](./data/image/media/image32499.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，0），E![](./data/image/media/image32500.png){width="1.020138888888889in" height="0.38472222222222224in"}． ![](./data/image/media/image32501.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，0，1），![](./data/image/media/image32502.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=![](./data/image/media/image32503.png){width="1.104861111111111in" height="0.38472222222222224in"}，![](./data/image/media/image32504.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣2，0，0）． 设平面ADE的法向量为![](./data/image/media/image32505.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y，z），则![](./data/image/media/image32506.png){width="0.6861111111111111in" height="0.4798611111111111in"}，即![](./data/image/media/image32507.png){width="1.2090277777777778in" height="0.6145833333333334in"}，取![](./data/image/media/image32508.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![](./data/image/media/image32509.png){width="0.9159722222222222in" height="0.20833333333333334in"}． 同理可得：平面ACE的法向量为![](./data/image/media/image32510.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（0，1，![](./data/image/media/image32511.png){width="0.3125in" height="0.18680555555555556in"}）． ∴cos![](./data/image/media/image32512.png){width="0.7708333333333334in" height="0.22847222222222222in"}=![](./data/image/media/image32513.png){width="0.6361111111111111in" height="0.44722222222222224in"}=![](./data/image/media/image32514.png){width="0.5923611111111111in" height="0.40625in"}=﹣![](./data/image/media/image32515.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}． ∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为![](./data/image/media/image32515.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}． ![](./data/image/media/image32516.png){width="2.823611111111111in" height="1.9895833333333333in"} 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 20．（12分）已知抛物线C：y^2^=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （1）证明：坐标原点O在圆M上； （2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程． 【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；41：向量法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由![](./data/image/media/image32517.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32518.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得![](./data/image/media/image32519.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32518.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=0，则坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得![](./data/image/media/image32519.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32518.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=0，则坐标原点O在圆M上； （2）由题意可知：![](./data/image/media/image32520.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32521.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程． 【解答】解：方法一：证明：（1）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2）， 则![](./data/image/media/image32522.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=（2，2），![](./data/image/media/image32523.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=（2，﹣2），则![](./data/image/media/image32522.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32523.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=0， ∴![](./data/image/media/image32522.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}⊥![](./data/image/media/image32523.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}， 则坐标原点O在圆M上； 当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）， ![](./data/image/media/image32524.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4798611111111111in"}，整理得：k^2^x^2^﹣（4k^2^+2）x+4k^2^=0， 则x~1~x~2~=4，4x~1~x~2~=y~1~^2^y~2~^2^=（y~1~y~2~）^2^，由y~1~y~2~＜0， 则y~1~y~2~=﹣4， 由![](./data/image/media/image32525.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32526.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=x~1~x~2~+y~1~y~2~=0， 则![](./data/image/media/image32525.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}⊥![](./data/image/media/image32526.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}，则坐标原点O在圆M上， 综上可知：坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2， ![](./data/image/media/image32527.png){width="0.625in" height="0.4798611111111111in"}，整理得：y^2^﹣2my﹣4=0，A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）， 则y~1~y~2~=﹣4， 则（y~1~y~2~）^2^=4x~1~x~2~，则x~1~x~2~=4，则![](./data/image/media/image32528.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32529.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=x~1~x~2~+y~1~y~2~=0， 则![](./data/image/media/image32528.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}⊥![](./data/image/media/image32529.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}，则坐标原点O在圆M上， ∴坐标原点O在圆M上； （2）由（1）可知：x~1~x~2~=4，x~1~+x~2~=![](./data/image/media/image32530.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4798611111111111in"}，y~1~+y~2~=![](./data/image/media/image32531.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，y~1~y~2~=﹣4， 圆M过点P（4，﹣2），则![](./data/image/media/image31123.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=（4﹣x~1~，﹣2﹣y~1~），![](./data/image/media/image32532.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=（4﹣x~2~，﹣2﹣y~2~）， 由![](./data/image/media/image31123.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32532.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=0，则（4﹣x~1~）（4﹣x~2~）+（﹣2﹣y~1~）（﹣2﹣y~2~）=0， 整理得：k^2^+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1， 当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4， 则x~1~+x~2~=![](./data/image/media/image32533.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，y~1~+y~2~=﹣1， 则M（![](./data/image/media/image32534.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，﹣![](./data/image/media/image32535.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}），半径为r=丨MP丨=![](./data/image/media/image32536.png){width="1.4694444444444446in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image32537.png){width="0.3236111111111111in" height="0.38472222222222224in"}， ∴圆M的方程（x﹣![](./data/image/media/image32534.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）^2^+（y+![](./data/image/media/image32535.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）^2^=![](./data/image/media/image32538.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}． 当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2， 同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨=![](./data/image/media/image32539.png){width="0.29097222222222224in" height="0.18680555555555556in"}， ∴圆M的方程为（x﹣3）^2^+（y﹣1）^2^=10， 综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣![](./data/image/media/image32540.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）^2^+（y+![](./data/image/media/image32541.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）^2^=![](./data/image/media/image32538.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}， 或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）^2^+（y﹣1）^2^=10． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+![](./data/image/media/image32542.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）（1+![](./data/image/media/image32543.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）...（1+![](./data/image/media/image32544.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）＜m，求m的最小值． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）通过对函数f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求导，分a≤0、a＞0两种情况考虑导函数f′（x）与0的大小关系可得结论； （2）通过（1）可知lnx≤x﹣1，进而取特殊值可知ln（1+![](./data/image/media/image32545.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）＜![](./data/image/media/image32546.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}，k∈N^\*^．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+![](./data/image/media/image22062.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）（1+![](./data/image/media/image32547.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）...（1+![](./data/image/media/image32548.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）＜e，另一方面可知（1+![](./data/image/media/image22062.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）（1+![](./data/image/media/image32547.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）...（1+![](./data/image/media/image32549.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）＞2，从而当n≥3时，（1+![](./data/image/media/image32550.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）（1+![](./data/image/media/image32551.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）...（1+![](./data/image/media/image32549.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）∈（2，e），比较可得结论． 【解答】解：（1）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0， 所以f′（x）=1﹣![](./data/image/media/image32552.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32553.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，且f（1）=0． 所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，这与f（x）≥0矛盾； 当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a， 所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）~min~=f（a）， 若a≠1，则f（a）＜f（1）=0，从而与f（x）≥0矛盾； 所以a=1； （2）由（1）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1， 所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号， 所以ln（1+![](./data/image/media/image32554.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）＜![](./data/image/media/image32554.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}，k∈N^\*^． ln（1+![](./data/image/media/image32555.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）+ln（1+![](./data/image/media/image32556.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）+...+ln（1+![](./data/image/media/image32557.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）＜![](./data/image/media/image32555.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image32558.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+...+![](./data/image/media/image32559.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}=1﹣![](./data/image/media/image32559.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}＜1， 即（1+![](./data/image/media/image32560.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）（1+![](./data/image/media/image32558.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）...（1+![](./data/image/media/image32561.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）＜e； 因为m为整数，且对于任意正整数n，（1+![](./data/image/media/image22255.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）（1+![](./data/image/media/image32562.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）...（1+![](./data/image/media/image32561.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）＜m成立， 当n=3时，不等式左边大于2， 所以m的最小值为3． 【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题． 　 **（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]** 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l~1~的参数方程为![](./data/image/media/image32563.png){width="0.5409722222222222in" height="0.40625in"}，（t为参数），直线l~2~的参数方程为![](./data/image/media/image32564.png){width="0.625in" height="0.5923611111111111in"}，（m为参数）．设l~1~与l~2~的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （1）写出C的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l~3~：ρ（cosθ+sinθ）﹣![](./data/image/media/image32565.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}=0，M为l~3~与C的交点，求M的极径． 【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4Q：参数法；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】解：（1）分别消掉参数t与m可得直线l~1~与直线l~2~的普通方程为y=k（x﹣2）①与x=﹣2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x^2^﹣y^2^=4； （2）将l~3~的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣![](./data/image/media/image32565.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}=0化为普通方程：x+y﹣![](./data/image/media/image32566.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}=0，再与曲线C的方程联立，可得![](./data/image/media/image32567.png){width="0.6361111111111111in" height="0.8333333333333334in"}，即可求得l~3~与C的交点M的极径为ρ=![](./data/image/media/image32568.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}． 【解答】解：（1）∵直线l~1~的参数方程为![](./data/image/media/image32569.png){width="0.5409722222222222in" height="0.40625in"}，（t为参数）， ∴消掉参数t得：直线l~1~的普通方程为：y=k（x﹣2）①； 又直线l~2~的参数方程为![](./data/image/media/image32570.png){width="0.625in" height="0.5923611111111111in"}，（m为参数）， 同理可得，直线l~2~的普通方程为：x=﹣2+ky②； 联立①②，消去k得：x^2^﹣y^2^=4，即C的普通方程为x^2^﹣y^2^=4（x≠2且y≠0）； （2）∵l~3~的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣![](./data/image/media/image32571.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}=0， ∴其普通方程为：x+y﹣![](./data/image/media/image32571.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}=0， 联立![](./data/image/media/image32572.png){width="0.7597222222222222in" height="0.4888888888888889in"}得：![](./data/image/media/image32573.png){width="0.6361111111111111in" height="0.8333333333333334in"}， ∴ρ^2^=x^2^+y^2^=![](./data/image/media/image32574.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image32575.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}=5． ∴l~3~与C的交点M的极径为ρ=![](./data/image/media/image32576.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}． 【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题． 　 **\[选修4-5：不等式选讲\]** 23．已知函数f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣2\|． （1）求不等式f（x）≥1的解集； （2）若不等式f（x）≥x^2^﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式． 【分析】（1）由于f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣2\|=![](./data/image/media/image32577.png){width="1.2909722222222222in" height="0.6972222222222222in"}，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集； （2）依题意可得m≤\[f（x）﹣x^2^+x\]~max~，设g（x）=f（x）﹣x^2^+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）~max~=![](./data/image/media/image32578.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，从而可得m的取值范围． 【解答】解：（1）∵f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣2\|=![](./data/image/media/image32577.png){width="1.2909722222222222in" height="0.6972222222222222in"}，f（x）≥1， ∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2； 当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2； 综上，不等式f（x）≥1的解集为{x\|x≥1}． （2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x^2^+x≥m成立， 即m≤\[f（x）﹣x^2^+x\]~max~，设g（x）=f（x）﹣x^2^+x． 由（1）知，g（x）=![](./data/image/media/image32579.png){width="1.65625in" height="0.8229166666666666in"}， 当x≤﹣1时，g（x）=﹣x^2^+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=![](./data/image/media/image19099.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}＞﹣1， ∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5； 当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x^2^+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=![](./data/image/media/image32580.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}∈（﹣1，2）， ∴g（x）≤g（![](./data/image/media/image32580.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣![](./data/image/media/image32581.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image32582.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}﹣1=![](./data/image/media/image32583.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}； 当x≥2时，g（x）=﹣x^2^+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=![](./data/image/media/image28755.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}＜2， ∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1； 综上，g（x）~max~=![](./data/image/media/image32583.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， ∴m的取值范围为（﹣∞，![](./data/image/media/image32583.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}\]． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题． 　 **\ 2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。** 1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数． 【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}， ∴A∩B={2，4}， ∴A∩B中元素的个数为2． 故选：B． 【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 　 2．（5分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【解答】解：z=i（﹣2+i）=﹣2i﹣1对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限． 故选：C． 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． ![](./data/image/media/image32584.png){width="6.260416666666667in" height="1.9166666666666667in"} 根据该折线图，下列结论错误的是（　　） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线．菁优网版权所有 【专题】27：图表型；2A：探究型；5I：概率与统计． 【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案． 【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得： 月接待游客量逐月有增有减，故A错误； 年接待游客量逐年增加，故B正确； 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确； 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确； 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题． 　 4．（5分）已知sinα﹣cosα=![](./data/image/media/image32585.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，则sin2α=（　　） A．﹣![](./data/image/media/image32586.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} B．﹣![](./data/image/media/image32587.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} C．![](./data/image/media/image32587.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} D．![](./data/image/media/image32586.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} 【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值． 【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出． 【解答】解：∵sinα﹣cosα=![](./data/image/media/image32588.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， ∴（sinα﹣cosα）^2^=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=![](./data/image/media/image32589.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sin2α=﹣![](./data/image/media/image32586.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：A． 【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题． 　 5．（5分）设x，y满足约束条件![](./data/image/media/image32590.png){width="0.9576388888888889in" height="0.6451388888888889in"}则z=x﹣y的取值范围是（　　） A．\[﹣3，0\] B．\[﹣3，2\] C．\[0，2\] D．\[0，3\] 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可． 【解答】解：x，y满足约束条件![](./data/image/media/image32591.png){width="0.9576388888888889in" height="0.6451388888888889in"}的可行域如图： 目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值， 由![](./data/image/media/image32592.png){width="0.875in" height="0.40625in"}解得A（0，3）， 由![](./data/image/media/image32593.png){width="0.875in" height="0.4166666666666667in"}解得B（2，0）， 目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3， 目标函数的取值范围：\[﹣3，2\]． 故选：B． ![](./data/image/media/image32594.png){width="2.3958333333333335in" height="2.3645833333333335in"} 【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键． 　 6．（5分）函数f（x）=![](./data/image/media/image32595.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}sin（x+![](./data/image/media/image32596.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）+cos（x﹣![](./data/image/media/image32597.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）的最大值为（　　） A．![](./data/image/media/image32598.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} B．1 C．![](./data/image/media/image32599.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} D．![](./data/image/media/image32595.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} 【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可． 【解答】解：函数f（x）=![](./data/image/media/image32595.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}sin（x+![](./data/image/media/image32596.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）+cos（x﹣![](./data/image/media/image32600.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）=![](./data/image/media/image32601.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}sin（x+![](./data/image/media/image32602.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）+cos（﹣x+![](./data/image/media/image32600.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）=![](./data/image/media/image32601.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}sin（x+![](./data/image/media/image32602.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）+sin（x+![](./data/image/media/image32602.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}） =![](./data/image/media/image32603.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}sin（x+![](./data/image/media/image32602.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）![](./data/image/media/image32604.png){width="0.3236111111111111in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：A． 【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力． 　 7．（5分）函数y=1+x+![](./data/image/media/image32605.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}的部分图象大致为（　　） A．![](./data/image/media/image32606.png){width="2.020138888888889in" height="2.15625in"} B．![](./data/image/media/image32607.png){width="1.9270833333333333in" height="2.09375in"} C．![](./data/image/media/image32608.png){width="1.9895833333333333in" height="2.125in"} D．![](./data/image/media/image32609.png){width="2.051388888888889in" height="2.1041666666666665in"} 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；51：函数的性质及应用． 【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可． 【解答】解：函数y=1+x+![](./data/image/media/image32610.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}，可知：f（x）=x+![](./data/image/media/image32610.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}是奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 则函数y=1+x+![](./data/image/media/image32610.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}的图象关于（0，1）对称， 当x→0^+^，f（x）＞0，排除A、C，当x=π时，y=1+π，排除B． 故选：D． 【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法． 　 8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（　　） ![](./data/image/media/image32611.png){width="1.8958333333333333in" height="3.073611111111111in"} A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；39：运动思想；49：综合法；5K：算法和程序框图． 【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论． 【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0， 要使输出S的值小于91，应满足"t≤N"， 则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2， 要使输出S的值小于91，应接着满足"t≤N"， 则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3， 要使输出S的值小于91，应不满足"t≤N"，跳出循环体， 此时N的最小值为2， 故选：D． 【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 9．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　） A．π B．![](./data/image/media/image32612.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} C．![](./data/image/media/image28086.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} D．![](./data/image/media/image28087.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5Q：立体几何． 【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r=![](./data/image/media/image32613.png){width="0.8118055555555556in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image32614.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}，由此能求出该圆柱的体积． 【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上， ∴该圆柱底面圆周半径r=![](./data/image/media/image32613.png){width="0.8118055555555556in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image32614.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}， ∴该圆柱的体积：V=Sh=![](./data/image/media/image32615.png){width="1.1458333333333333in" height="0.38472222222222224in"}=![](./data/image/media/image32616.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：B． ![](./data/image/media/image32617.png){width="1.1347222222222222in" height="1.1347222222222222in"} 【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题． 　 10．（5分）在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E为棱CD的中点，则（　　） A．A~1~E⊥DC~1~ B．A~1~E⊥BD C．A~1~E⊥BC~1~ D．A~1~E⊥AC 【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角． 【分析】法一：连B~1~C，推导出BC~1~⊥B~1~C，A~1~B~1~⊥BC~1~，从而BC~1~⊥平面A~1~ECB~1~，由此得到A~1~E⊥BC~1~． 法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD~1~为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【解答】解：法一：连B~1~C，由题意得BC~1~⊥B~1~C， ∵A~1~B~1~⊥平面B~1~BCC~1~，且BC~1~⊂平面B~1~BCC~1~， ∴A~1~B~1~⊥BC~1~， ∵A~1~B~1~∩B~1~C=B~1~， ∴BC~1~⊥平面A~1~ECB~1~， ∵A~1~E⊂平面A~1~ECB~1~， ∴A~1~E⊥BC~1~． 故选：C． 法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD~1~为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中棱长为2， 则A~1~（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C~1~（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0）， ![](./data/image/media/image32618.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=（﹣2，1，﹣2），![](./data/image/media/image32619.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=（0，2，2），![](./data/image/media/image32620.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣2，﹣2，0）， ![](./data/image/media/image32621.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=（﹣2，0，2），![](./data/image/media/image32622.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣2，2，0）， ∵![](./data/image/media/image32618.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}•![](./data/image/media/image32623.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=﹣2，![](./data/image/media/image32624.png){width="0.5923611111111111in" height="0.26944444444444443in"}=2，![](./data/image/media/image32625.png){width="0.6972222222222222in" height="0.26944444444444443in"}=0，![](./data/image/media/image32626.png){width="0.5923611111111111in" height="0.26944444444444443in"}=6， ∴A~1~E⊥BC~1~． 故选：C． ![](./data/image/media/image32627.png){width="1.6770833333333333in" height="1.59375in"} 【点评】本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 　 11．（5分）已知椭圆C：![](./data/image/media/image32628.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A~1~，A~2~，且以线段A~1~A~2~为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　） A．![](./data/image/media/image32629.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"} B．![](./data/image/media/image32630.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"} C．![](./data/image/media/image32631.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"} D．![](./data/image/media/image32632.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】以线段A~1~A~2~为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离![](./data/image/media/image32633.png){width="0.625in" height="0.44722222222222224in"}=a，化简即可得出． 【解答】解：以线段A~1~A~2~为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离![](./data/image/media/image32633.png){width="0.625in" height="0.44722222222222224in"}=a，化为：a^2^=3b^2^． ∴椭圆C的离心率e=![](./data/image/media/image32634.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32635.png){width="0.5208333333333334in" height="0.49930555555555556in"}=![](./data/image/media/image32636.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}． 故选：A． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 12．（5分）已知函数f（x）=x^2^﹣2x+a（e^x﹣1^+e^﹣x+1^）有唯一零点，则a=（　　） A．﹣![](./data/image/media/image32637.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} B．![](./data/image/media/image32638.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} C．![](./data/image/media/image32637.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"} D．1 【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用． 【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象与y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image32639.png){width="0.3645833333333333in" height="0.42569444444444443in"}）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论． 【解答】解：因为f（x）=x^2^﹣2x+a（e^x﹣1^+e^﹣x+1^）=﹣1+（x﹣1）^2^+a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image32639.png){width="0.3645833333333333in" height="0.42569444444444443in"}）=0， 所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）^2^=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image32640.png){width="0.3645833333333333in" height="0.42569444444444443in"}）有唯一解， 等价于函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象与y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image32640.png){width="0.3645833333333333in" height="0.42569444444444443in"}）的图象只有一个交点． ①当a=0时，f（x）=x^2^﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾； ②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）^2^在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image32640.png){width="0.3645833333333333in" height="0.42569444444444443in"}）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 所以函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象的最高点为A（1，1），y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image32640.png){width="0.3645833333333333in" height="0.42569444444444443in"}）的图象的最高点为B（1，2a）， 由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象与y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image32640.png){width="0.3645833333333333in" height="0.42569444444444443in"}）的图象有两个交点，矛盾； ③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）^2^在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image32640.png){width="0.3645833333333333in" height="0.42569444444444443in"}）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增， 所以函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象的最高点为A（1，1），y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image32640.png){width="0.3645833333333333in" height="0.42569444444444443in"}）的图象的最低点为B（1，2a）， 由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=![](./data/image/media/image28047.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，符合条件； 综上所述，a=![](./data/image/media/image28047.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：C． 【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题． 　 **二、填空题** 13．（5分）已知向量![](./data/image/media/image32641.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣2，3），![](./data/image/media/image32642.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（3，m），且![](./data/image/media/image32643.png){width="0.3951388888888889in" height="0.20833333333333334in"}，则m=[　2　]{.underline}． 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解． 【解答】解：∵向量![](./data/image/media/image32644.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣2，3），![](./data/image/media/image32642.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（3，m），且![](./data/image/media/image32643.png){width="0.3951388888888889in" height="0.20833333333333334in"}， ∴![](./data/image/media/image32645.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}=﹣6+3m=0， 解得m=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用． 　 14．（5分）双曲线![](./data/image/media/image32646.png){width="0.7402777777777778in" height="0.4888888888888889in"}（a＞0）的一条渐近线方程为y=![](./data/image/media/image32647.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}x，则a=[　5　]{.underline}． 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解a即可． 【解答】解：双曲线![](./data/image/media/image32648.png){width="0.7402777777777778in" height="0.4888888888888889in"}（a＞0）的一条渐近线方程为y=![](./data/image/media/image32649.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}x， 可得![](./data/image/media/image32650.png){width="0.37569444444444444in" height="0.3645833333333333in"}，解得a=5． 故答案为：5． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 　 15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=![](./data/image/media/image32651.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，c=3，则A=[　75°　]{.underline}． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形． 【分析】根据正弦定理和三角形的内角和计算即可 【解答】解：根据正弦定理可得![](./data/image/media/image32652.png){width="0.38472222222222224in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32653.png){width="0.38472222222222224in" height="0.3645833333333333in"}，C=60°，b=![](./data/image/media/image32651.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，c=3， ∴sinB=![](./data/image/media/image32654.png){width="0.6666666666666666in" height="0.5840277777777778in"}=![](./data/image/media/image32655.png){width="0.2388888888888889in" height="0.38472222222222224in"}， ∵b＜c， ∴B=45°， ∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°， 故答案为：75°． 【点评】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题 　 16．（5分）设函数f（x）=![](./data/image/media/image32656.png){width="0.875in" height="0.4888888888888889in"}，则满足f（x）+f（x﹣![](./data/image/media/image28952.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）＞1的x的取值范围是[　（]{.underline}![](./data/image/media/image32657.png){width="0.2388888888888889in" height="0.3645833333333333in"}[，+∞）　]{.underline}． 【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可． 【解答】解：若x≤0，则x﹣![](./data/image/media/image28952.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}≤﹣![](./data/image/media/image28952.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， 则f（x）+f（x﹣![](./data/image/media/image28952.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）＞1等价为x+1+x﹣![](./data/image/media/image28952.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}+1＞1，即2x＞﹣![](./data/image/media/image28952.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，则x＞![](./data/image/media/image32657.png){width="0.2388888888888889in" height="0.3645833333333333in"}， 此时![](./data/image/media/image32658.png){width="0.2388888888888889in" height="0.3645833333333333in"}＜x≤0， 当x＞0时，f（x）=2^x^＞1，x﹣![](./data/image/media/image29572.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}＞﹣![](./data/image/media/image29572.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， 当x﹣![](./data/image/media/image29572.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}＞0即x＞![](./data/image/media/image29572.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}时，满足f（x）+f（x﹣![](./data/image/media/image29572.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）＞1恒成立， 当0≥x﹣![](./data/image/media/image29572.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}＞﹣![](./data/image/media/image29572.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，即![](./data/image/media/image29572.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}≥x＞0时，f（x﹣![](./data/image/media/image29572.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）=x﹣![](./data/image/media/image29572.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}+1=x+![](./data/image/media/image29572.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}![](./data/image/media/image32659.png){width="0.3236111111111111in" height="0.3645833333333333in"}， 此时f（x）+f（x﹣![](./data/image/media/image10321.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）＞1恒成立， 综上x＞![](./data/image/media/image32660.png){width="0.2388888888888889in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：（![](./data/image/media/image32660.png){width="0.2388888888888889in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）． 【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键． 　 **三、解答题** 17．（12分）设数列{a~n~}满足a~1~+3a~2~+...+（2n﹣1）a~n~=2n． （1）求{a~n~}的通项公式； （2）求数列{![](./data/image/media/image32661.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}}的前n项和． 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）利用数列递推关系即可得出． （2）![](./data/image/media/image32661.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}=![](./data/image/media/image32662.png){width="1.0506944444444444in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32663.png){width="0.38472222222222224in" height="0.3645833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image32664.png){width="0.38472222222222224in" height="0.3645833333333333in"}．利用裂项求和方法即可得出． 【解答】解：（1）数列{a~n~}满足a~1~+3a~2~+...+（2n﹣1）a~n~=2n． n≥2时，a~1~+3a~2~+...+（2n﹣3）a~n﹣1~=2（n﹣1）． ∴（2n﹣1）a~n~=2．∴a~n~=![](./data/image/media/image32665.png){width="0.38472222222222224in" height="0.3645833333333333in"}． 当n=1时，a~1~=2，上式也成立． ∴a~n~=![](./data/image/media/image32665.png){width="0.38472222222222224in" height="0.3645833333333333in"}． （2）![](./data/image/media/image32666.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}=![](./data/image/media/image32667.png){width="1.0506944444444444in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32668.png){width="0.38472222222222224in" height="0.3645833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image32664.png){width="0.38472222222222224in" height="0.3645833333333333in"}． ∴数列{![](./data/image/media/image32666.png){width="0.38472222222222224in" height="0.42569444444444443in"}}的前n项和=![](./data/image/media/image32669.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image32670.png){width="0.5840277777777778in" height="0.3645833333333333in"}+...+![](./data/image/media/image32671.png){width="1.0833333333333333in" height="0.3645833333333333in"}=1﹣![](./data/image/media/image32672.png){width="0.38472222222222224in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32673.png){width="0.38472222222222224in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间\[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： ---------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ 最高气温 \[10，15） \[15，20） \[20，25） \[25，30） \[30，35） \[35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 ---------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间\[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率． （2）当温度大于等于25°C时，需求量为500，求出Y=900元；当温度在\[20，25）°C时，需求量为300，求出Y=300元；当温度低于20°C时，需求量为200，求出Y=﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率． 【解答】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据， 得到最高气温位于区间\[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36=54， 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关． 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶， 如果最高气温位于区间\[20，25），需求量为300瓶， 如果最高气温低于20，需求量为200瓶， ∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p=![](./data/image/media/image32674.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32675.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}． （2）当温度大于等于25°C时，需求量为500， Y=450×2=900元， 当温度在\[20，25）°C时，需求量为300， Y=300×2﹣（450﹣300）×2=300元， 当温度低于20°C时，需求量为200， Y=400﹣（450﹣200）×2=﹣100元， 当温度大于等于20时，Y＞0， 由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20°C的天数有： 90﹣（2+16）=72， ∴估计Y大于零的概率P=![](./data/image/media/image32676.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 　 19．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD． （1）证明：AC⊥BD； （2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比． ![](./data/image/media/image32677.png){width="2.34375in" height="1.59375in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD． （2）法一：连结OE，设AD=CD=![](./data/image/media/image32678.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由BE=ED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，S~△DCE~=S~△BCE~，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．法二：设AD=CD=![](./data/image/media/image32678.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO=![](./data/image/media/image32679.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，推导出BO⊥DO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由AE⊥EC，求出DE=BE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比． 【解答】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO， ∵△ABC是正三角形，AD=CD， ∴DO⊥AC，BO⊥AC， ∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO， ∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD． 解：（2）法一：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD， ∵OE⊂平面OBD，∴OE⊥AC， 设AD=CD=![](./data/image/media/image32678.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，则OC=OA=1，EC=EA， ∵AE⊥CE，AC=2，∴EC^2^+EA^2^=AC^2^， ∴EC=EA=![](./data/image/media/image32678.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}=CD， ∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD=![](./data/image/media/image32678.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}， 由余弦定理得： cos∠CBD=![](./data/image/media/image32680.png){width="1.09375in" height="0.42569444444444443in"}=![](./data/image/media/image32681.png){width="1.09375in" height="0.42569444444444443in"}， 即![](./data/image/media/image32682.png){width="1.4583333333333333in" height="0.42569444444444443in"}，解得BE=1或BE=2， ∵BE＜＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED， ∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h， ∵BE=ED，∴S~△DCE~=S~△BCE~， ∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1． 法二：设AD=CD=![](./data/image/media/image30106.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1， ∴BO=![](./data/image/media/image32683.png){width="0.37569444444444444in" height="0.18680555555555556in"}=![](./data/image/media/image32684.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，∴BO^2^+DO^2^=BD^2^，∴BO⊥DO， 以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系， 则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，![](./data/image/media/image32684.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，0），A（1，0，0）， 设E（a，b，c），![](./data/image/media/image32685.png){width="0.6451388888888889in" height="0.20833333333333334in"}，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）=λ（0，![](./data/image/media/image32684.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}，﹣1），解得E（0，![](./data/image/media/image32686.png){width="0.3951388888888889in" height="0.18680555555555556in"}，1﹣λ）， ∴![](./data/image/media/image32687.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=（1，![](./data/image/media/image32688.png){width="0.8965277777777778in" height="0.20833333333333334in"}），![](./data/image/media/image32689.png){width="0.18680555555555556in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，![](./data/image/media/image32688.png){width="0.8965277777777778in" height="0.20833333333333334in"}）， ∵AE⊥EC，∴![](./data/image/media/image32690.png){width="0.4798611111111111in" height="0.20833333333333334in"}=﹣1+3λ^2^+（1﹣λ）^2^=0， 由λ∈\[0，1\]，解得![](./data/image/media/image32691.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，∴DE=BE， ∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h， ∵DE=BE，∴S~△DCE~=S~△BCE~， ∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1． ![](./data/image/media/image32692.png){width="3.3131944444444446in" height="2.792361111111111in"} 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 　 20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x^2^+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由； （2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值． 【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；43：待定系数法；5B：直线与圆． 【分析】（1）设曲线y=x^2^+mx﹣2与x轴交于A（x~1~，0），B（x~2~，0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况； （2）设过A、B、C三点的圆的方程为x^2^+y^2^+Dx+Ey+F=0（D^2^+E^2^﹣4F＞0），由题意可得D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值． 【解答】解：（1）曲线y=x^2^+mx﹣2与x轴交于A、B两点， 可设A（x~1~，0），B（x~2~，0）， 由韦达定理可得x~1~x~2~=﹣2， 若AC⊥BC，则k~AC~•k~BC~=﹣1， 即有![](./data/image/media/image32693.png){width="0.4166666666666667in" height="0.42569444444444443in"}•![](./data/image/media/image32694.png){width="0.4166666666666667in" height="0.42569444444444443in"}=﹣1， 即为x~1~x~2~=﹣1这与x~1~x~2~=﹣2矛盾， 故不出现AC⊥BC的情况； （2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x^2^+y^2^+Dx+Ey+F=0（D^2^+E^2^﹣4F＞0）， 由题意可得y=0时，x^2^+Dx+F=0与x^2^+mx﹣2=0等价， 可得D=m，F=﹣2， 圆的方程即为x^2^+y^2^+mx+Ey﹣2=0， 由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1， 则圆的方程即为x^2^+y^2^+mx+y﹣2=0， 另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d）， 则由相交弦定理可得\|OA\|•\|OB\|=\|OC\|•\|OH\|， 即有2=\|OH\|， 再令x=0，可得y^2^+y﹣2=0， 解得y=1或﹣2． 即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2）， 则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3． 【点评】本题考查直线与圆的方程的求法，注意运用韦达定理和直线的斜率公式，以及待定系数法，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax^2^+（2a+1）x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣![](./data/image/media/image32695.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}﹣2． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；32：分类讨论；48：分析法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）题干求导可知f′（x）=![](./data/image/media/image32696.png){width="1.0506944444444444in" height="0.3645833333333333in"}（x＞0），分a=0、a＞0、a＜0三种情况讨论f′（x）与0的大小关系可得结论； （2）通过（1）可知f（x）~max~=f（﹣![](./data/image/media/image32697.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣1﹣ln2﹣![](./data/image/media/image32698.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}+ln（﹣![](./data/image/media/image32699.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}），进而转化可知问题转化为证明：当t＞0时﹣![](./data/image/media/image9572.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}t+lnt≤﹣1+ln2．进而令g（t）=﹣![](./data/image/media/image9572.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}t+lnt，利用导数求出y=g（t）的最大值即可． 【解答】（1）解：因为f（x）=lnx+ax^2^+（2a+1）x， 求导f′（x）=![](./data/image/media/image32700.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}+2ax+（2a+1）=![](./data/image/media/image32701.png){width="1.2694444444444444in" height="0.42569444444444443in"}=![](./data/image/media/image32702.png){width="1.0506944444444444in" height="0.3645833333333333in"}，（x＞0）， ①当a=0时，f′（x）=![](./data/image/media/image32703.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}+1＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增； ②当a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增； ③当a＜0时，令f′（x）=0，解得：x=﹣![](./data/image/media/image32704.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}． 因为当x∈（0，﹣![](./data/image/media/image32704.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）f′（x）＞0、当x∈（﹣![](./data/image/media/image32704.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）f′（x）＜0， 所以y=f（x）在（0，﹣![](./data/image/media/image32704.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）上单调递增、在（﹣![](./data/image/media/image32704.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）上单调递减． 综上可知：当a≥0时f（x）在（0，+∞）上单调递增， 当a＜0时，f（x）在（0，﹣![](./data/image/media/image32704.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）上单调递增、在（﹣![](./data/image/media/image32705.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）上单调递减； （2）证明：由（1）可知：当a＜0时f（x）在（0，﹣![](./data/image/media/image32705.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）上单调递增、在（﹣![](./data/image/media/image32705.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）上单调递减， 所以当x=﹣![](./data/image/media/image32705.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}时函数y=f（x）取最大值f（x）~max~=f（﹣![](./data/image/media/image32705.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣1﹣ln2﹣![](./data/image/media/image32706.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}+ln（﹣![](./data/image/media/image32707.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）． 从而要证f（x）≤﹣![](./data/image/media/image32708.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}﹣2，即证f（﹣![](./data/image/media/image32709.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}）≤﹣![](./data/image/media/image32710.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}﹣2， 即证﹣1﹣ln2﹣![](./data/image/media/image32711.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}+ln（﹣![](./data/image/media/image32712.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）≤﹣![](./data/image/media/image32710.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}﹣2，即证﹣![](./data/image/media/image20575.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}（﹣![](./data/image/media/image32712.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）+ln（﹣![](./data/image/media/image32712.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）≤﹣1+ln2． 令t=﹣![](./data/image/media/image32712.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，则t＞0，问题转化为证明：﹣![](./data/image/media/image20575.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}t+lnt≤﹣1+ln2．...（\*） 令g（t）=﹣![](./data/image/media/image30086.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}t+lnt，则g′（t）=﹣![](./data/image/media/image30086.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image32713.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， 令g′（t）=0可知t=2，则当0＜t＜2时g′（t）＞0，当t＞2时g′（t）＜0， 所以y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减， 即g（t）≤g（2）=﹣![](./data/image/media/image30086.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}×2+ln2=﹣1+ln2，即（\*）式成立， 所以当a＜0时，f（x）≤﹣![](./data/image/media/image32714.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}﹣2成立． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想，考查转化能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 **\[选修4-4：坐标系与参数方程\]** 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l~1~的参数方程为![](./data/image/media/image32715.png){width="0.5409722222222222in" height="0.40625in"}，（t为参数），直线l~2~的参数方程为![](./data/image/media/image32716.png){width="0.625in" height="0.5923611111111111in"}，（m为参数）．设l~1~与l~2~的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （1）写出C的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l~3~：ρ（cosθ+sinθ）﹣![](./data/image/media/image32717.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}=0，M为l~3~与C的交点，求M的极径． 【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4Q：参数法；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】解：（1）分别消掉参数t与m可得直线l~1~与直线l~2~的普通方程为y=k（x﹣2）①与x=﹣2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x^2^﹣y^2^=4； （2）将l~3~的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣![](./data/image/media/image32718.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}=0化为普通方程：x+y﹣![](./data/image/media/image32718.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}=0，再与曲线C的方程联立，可得![](./data/image/media/image32719.png){width="0.6361111111111111in" height="0.8333333333333334in"}，即可求得l~3~与C的交点M的极径为ρ=![](./data/image/media/image32720.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}． 【解答】解：（1）∵直线l~1~的参数方程为![](./data/image/media/image32721.png){width="0.5409722222222222in" height="0.40625in"}，（t为参数）， ∴消掉参数t得：直线l~1~的普通方程为：y=k（x﹣2）①； 又直线l~2~的参数方程为![](./data/image/media/image32722.png){width="0.625in" height="0.5923611111111111in"}，（m为参数）， 同理可得，直线l~2~的普通方程为：x=﹣2+ky②； 联立①②，消去k得：x^2^﹣y^2^=4，即C的普通方程为x^2^﹣y^2^=4（x≠2且y≠0）； （2）∵l~3~的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣![](./data/image/media/image9600.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}=0， ∴其普通方程为：x+y﹣![](./data/image/media/image9600.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}=0， 联立![](./data/image/media/image32723.png){width="0.7597222222222222in" height="0.4888888888888889in"}得：![](./data/image/media/image32724.png){width="0.6361111111111111in" height="0.8333333333333334in"}， ∴ρ^2^=x^2^+y^2^=![](./data/image/media/image32725.png){width="0.21944444444444444in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image32726.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}=5． ∴l~3~与C的交点M的极径为ρ=![](./data/image/media/image32727.png){width="0.20833333333333334in" height="0.18680555555555556in"}． 【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题． 　 **\[选修4-5：不等式选讲\]** 23．已知函数f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣2\|． （1）求不等式f（x）≥1的解集； （2）若不等式f（x）≥x^2^﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式． 【分析】（1）由于f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣2\|=![](./data/image/media/image32728.png){width="1.2909722222222222in" height="0.6972222222222222in"}，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集； （2）依题意可得m≤\[f（x）﹣x^2^+x\]~max~，设g（x）=f（x）﹣x^2^+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）~max~=![](./data/image/media/image32729.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}，从而可得m的取值范围． 【解答】解：（1）∵f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣2\|=![](./data/image/media/image32728.png){width="1.2909722222222222in" height="0.6972222222222222in"}，f（x）≥1， ∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2； 当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2； 综上，不等式f（x）≥1的解集为{x\|x≥1}． （2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x^2^+x≥m成立， 即m≤\[f（x）﹣x^2^+x\]~max~，设g（x）=f（x）﹣x^2^+x． 由（1）知，g（x）=![](./data/image/media/image32730.png){width="1.65625in" height="0.8229166666666666in"}， 当x≤﹣1时，g（x）=﹣x^2^+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=![](./data/image/media/image9610.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}＞﹣1， ∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5； 当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x^2^+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=![](./data/image/media/image32731.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}∈（﹣1，2）， ∴g（x）≤g（![](./data/image/media/image32731.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣![](./data/image/media/image32732.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image32733.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}﹣1=![](./data/image/media/image32734.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}； 当x≥2时，g（x）=﹣x^2^+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=![](./data/image/media/image9610.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}＜2， ∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1； 综上，g（x）~max~=![](./data/image/media/image32734.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}， ∴m的取值范围为（﹣∞，![](./data/image/media/image32734.png){width="0.13472222222222222in" height="0.3645833333333333in"}\]． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题． 　 2017年北京市高考数学试卷（理科） ================================ **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题.（每小题5分）** 1．（5分）若集合A={x\|﹣2＜x＜1}，B={x\|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（　　） A．{x\|﹣2＜x＜﹣1} B．{x\|﹣2＜x＜3} C．{x\|﹣1＜x＜1} D．{x\|1＜x＜3} 【分析】根据已知中集合A和B，结合集合交集的定义，可得答案． 【解答】解：∵集合A={x\|﹣2＜x＜1}，B={x\|x＜﹣1或x＞3}， ∴A∩B={x\|﹣2＜x＜﹣1} 故选：A． 【点评】本题考查的知识点集合的交集运算，难度不大，属于基础题． 　 2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞） 【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得![](./data/image/media/image32735.png){width="0.625in" height="0.4479166666666667in"}，解得a范围． 【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限， ∴![](./data/image/media/image32735.png){width="0.625in" height="0.4479166666666667in"}，解得a＜﹣1． 则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）． 故选：B． 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　） ![](./data/image/media/image32736.png){width="2.1979166666666665in" height="2.5215277777777776in"} A．2 B．![](./data/image/media/image32737.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![](./data/image/media/image32738.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![](./data/image/media/image32739.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2， 当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=![](./data/image/media/image32737.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=![](./data/image/media/image32740.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 当k=3时，不满足进行循环的条件， 故输出结果为：![](./data/image/media/image32740.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 　 4．（5分）若x，y满足![](./data/image/media/image32741.png){width="0.625in" height="0.6458333333333334in"}，则x+2y的最大值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．9 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可． 【解答】解：x，y满足![](./data/image/media/image32741.png){width="0.625in" height="0.6458333333333334in"}的可行域如图： 由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由![](./data/image/media/image32742.png){width="0.375in" height="0.40625in"}，可得A（3，3）， 目标函数的最大值为：3+2×3=9． 故选：D． ![](./data/image/media/image32743.png){width="2.761111111111111in" height="2.46875in"} 【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键． 　 5．（5分）已知函数f（x）=3^x^﹣（![](./data/image/media/image32744.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^x^，则f（x）（　　） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3^x^为增函数，y=（![](./data/image/media/image32744.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^x^为减函数，结合"增"﹣"减"="增"可得答案． 【解答】解：f（x）=3^x^﹣（![](./data/image/media/image32744.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^x^=3^x^﹣3^﹣x^， ∴f（﹣x）=3^﹣x^﹣3^x^=﹣f（x）， 即函数f（x）为奇函数， 又由函数y=3^x^为增函数，y=（![](./data/image/media/image32744.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^x^为减函数， 故函数f（x）=3^x^﹣（![](./data/image/media/image32744.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^x^为增函数， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题． 　 6．（5分）设![](./data/image/media/image32745.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image32746.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}为非零向量，则"存在负数λ，使得![](./data/image/media/image32745.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=λ![](./data/image/media/image32746.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}"是"![](./data/image/media/image32747.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32748.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜0"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】![](./data/image/media/image32747.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image32748.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}为非零向量，存在负数λ，使得![](./data/image/media/image32747.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=λ![](./data/image/media/image32748.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则向量![](./data/image/media/image32747.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image32748.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}共线且方向相反，可得![](./data/image/media/image32747.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32748.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜0．反之不成立，非零向量![](./data/image/media/image32749.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image32750.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为钝角，满足![](./data/image/media/image32749.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32750.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜0，而![](./data/image/media/image32749.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=λ![](./data/image/media/image32750.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}不成立．即可判断出结论． 【解答】解：![](./data/image/media/image32749.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image32750.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}为非零向量，存在负数λ，使得![](./data/image/media/image32749.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=λ![](./data/image/media/image32751.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则向量![](./data/image/media/image32752.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image32751.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}共线且方向相反，可得![](./data/image/media/image32752.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32751.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜0． 反之不成立，非零向量![](./data/image/media/image32752.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image32751.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为钝角，满足![](./data/image/media/image32752.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32751.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜0，而![](./data/image/media/image32753.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=λ![](./data/image/media/image32754.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}不成立． ∴![](./data/image/media/image32753.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image32754.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}为非零向量，则"存在负数λ，使得![](./data/image/media/image32753.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=λ![](./data/image/media/image32754.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}"是![](./data/image/media/image32753.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32754.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜0"的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（　　） ![](./data/image/media/image32755.png){width="2.3229166666666665in" height="2.6569444444444446in"} A．3![](./data/image/media/image32756.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．2![](./data/image/media/image32757.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．2![](./data/image/media/image32758.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．2 【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可． 【解答】解：由三视图可得直观图， 再四棱锥P﹣ABCD中， 最长的棱为PA， 即PA=![](./data/image/media/image32759.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image32760.png){width="0.96875in" height="0.2708333333333333in"} =2![](./data/image/media/image32757.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 故选：B． ![](./data/image/media/image32761.png){width="3.511111111111111in" height="1.84375in"} 【点评】本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题． 　 8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3^361^，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为10^80^，则下列各数中与![](./data/image/media/image32762.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}最接近的是（　　） （参考数据：lg3≈0.48） A．10^33^ B．10^53^ C．10^73^ D．10^93^ 【分析】根据对数的性质：T=![](./data/image/media/image32763.png){width="0.5104166666666666in" height="0.2708333333333333in"}，可得：3=10^lg3^≈10^0.48^，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果． 【解答】解：由题意：M≈3^361^，N≈10^80^， 根据对数性质有：3=10^lg3^≈10^0.48^， ∴M≈3^361^≈（10^0.48^）^361^≈10^173^， ∴![](./data/image/media/image32764.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≈![](./data/image/media/image32765.png){width="0.46875in" height="0.4791666666666667in"}=10^93^， 故选：D． 【点评】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T=![](./data/image/media/image32766.png){width="0.5104166666666666in" height="0.2708333333333333in"}，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题． 　 **二、填空题（每小题5分）** 9．（5分）若双曲线x^2^﹣![](./data/image/media/image32767.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1的离心率为![](./data/image/media/image32768.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则实数m=[　2　]{.underline}． 【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可． 【解答】解：双曲线x^2^﹣![](./data/image/media/image32767.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1（m＞0）的离心率为![](./data/image/media/image32768.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 可得：![](./data/image/media/image32769.png){width="0.71875in" height="0.3854166666666667in"}， 解得m=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力． 　 10．（5分）若等差数列{a~n~}和等比数列{b~n~}满足a~1~=b~1~=﹣1，a~4~=b~4~=8，则![](./data/image/media/image32770.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=[　1　]{.underline}． 【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果． 【解答】解：等差数列{a~n~}和等比数列{b~n~}满足a~1~=b~1~=﹣1，a~4~=b~4~=8， 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q． 可得：8=﹣1+3d，d=3，a~2~=2； 8=﹣q^3^，解得q=﹣2，∴b~2~=2． 可得![](./data/image/media/image32770.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力． 　 11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ^2^﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，0），则\|AP\|的最小值为[　1　]{.underline}． 【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值． 【解答】解：设圆ρ^2^﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：x^2^+y^2^﹣2x﹣4y+4=0， 再化为标准方程：（x﹣1）^2^+（y﹣2）^2^=1； ![](./data/image/media/image32771.png){width="2.1354166666666665in" height="2.1979166666666665in"} 如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，\|AP\|最小为： \|AP\|~min~=\|CP\|﹣r~C~=2﹣1=1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值，难度不大． 　 12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=![](./data/image/media/image32772.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则cos（α﹣β）=[　﹣]{.underline}![](./data/image/media/image32773.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ=![](./data/image/media/image32772.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，cosα=﹣cosβ，以及两角差的余弦公式即可求出 方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出 【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称， ∴sinα=sinβ=![](./data/image/media/image32772.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，cosα=﹣cosβ， ∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣cos^2^α+sin^2^α=2sin^2^α﹣1=![](./data/image/media/image32774.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣1=﹣![](./data/image/media/image32775.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 方法二：∵sinα=![](./data/image/media/image32776.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 当α在第一象限时，cosα=![](./data/image/media/image32777.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∵α，β角的终边关于y轴对称， ∴β在第二象限时，sinβ=sinα=![](./data/image/media/image32776.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，cosβ=﹣cosα=﹣![](./data/image/media/image32777.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣![](./data/image/media/image32777.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}×![](./data/image/media/image32777.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}+![](./data/image/media/image32776.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![](./data/image/media/image32778.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![](./data/image/media/image32779.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ：∵sinα=![](./data/image/media/image32778.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 当α在第二象限时，cosα=﹣![](./data/image/media/image32780.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∵α，β角的终边关于y轴对称， ∴β在第一象限时，sinβ=sinα=![](./data/image/media/image32778.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，cosβ=﹣cosα=![](./data/image/media/image32780.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣![](./data/image/media/image32780.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}×![](./data/image/media/image32780.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}+![](./data/image/media/image32781.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![](./data/image/media/image32781.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![](./data/image/media/image32782.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 综上所述cos（α﹣β）=﹣![](./data/image/media/image32782.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：﹣![](./data/image/media/image32782.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题 　 13．（5分）能够说明"设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c"是假命题的一组整数a，b，c的值依次为[　﹣1，﹣2，﹣3　]{.underline}． 【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c"是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c"是真命题，举例即可，本题答案不唯一 【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c"是假命题， 则若a＞b＞c，则a+b≤c"是真命题， 可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一）， 故答案为：﹣1，﹣2，﹣3 【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题． 　 14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A~i~的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B~i~的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3． （1）记Q~i~为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q~1~，Q~2~，Q~3~中最大的是[　Q~1~　]{.underline}． （2）记p~i~为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p~1~，p~2~，p~3~中最大的是[　p~2~　]{.underline}． ![](./data/image/media/image32783.png){width="2.5215277777777776in" height="2.1875in"} 【分析】（1）若Q~i~为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q~i~=A~i~的综坐标+B~i~的纵坐标；进而得到答案． （2）若p~i~为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p~i~为A~i~B~i~中点与原点连线的斜率；进而得到答案． 【解答】解：（1）若Q~i~为第i名工人在这一天中加工的零件总数， Q~1~=A~1~的纵坐标+B~1~的纵坐标； Q~2~=A~2~的纵坐标+B~2~的纵坐标， Q~3~=A~3~的纵坐标+B~3~的纵坐标， 由已知中图象可得：Q~1~，Q~2~，Q~3~中最大的是Q~1~， （2）若p~i~为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数， 则p~i~为A~i~B~i~中点与原点连线的斜率， 故p~1~，p~2~，p~3~中最大的是p~2~ 故答案为：Q~1~，p~2~ 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Q~i~和p~i~的几何意义，是解答的关键． 　 **三、解答题** 15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c=![](./data/image/media/image32784.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a． （1）求sinC的值； （2）若a=7，求△ABC的面积． 【分析】（1）根据正弦定理即可求出答案， （2）根据同角的三角函数的关系求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∠A=60°，c=![](./data/image/media/image32784.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}a， 由正弦定理可得sinC=![](./data/image/media/image32784.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sinA=![](./data/image/media/image32784.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![](./data/image/media/image32785.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![](./data/image/media/image32786.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， （2）a=7，则c=3， ∴C＜A， 由（1）可得cosC=![](./data/image/media/image32787.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=![](./data/image/media/image32788.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}×![](./data/image/media/image32789.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image15059.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![](./data/image/media/image32790.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}=![](./data/image/media/image32791.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， ∴S~△ABC~=![](./data/image/media/image15059.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}acsinB=![](./data/image/media/image15059.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×7×3×![](./data/image/media/image32791.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}=6![](./data/image/media/image32792.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题 　 16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=![](./data/image/media/image32793.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． ![](./data/image/media/image32794.png){width="2.7819444444444446in" height="1.2708333333333333in"} 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求出![](./data/image/media/image32795.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的坐标，由![](./data/image/media/image32795.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则![](./data/image/media/image32796.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=![](./data/image/media/image32793.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，![](./data/image/media/image32797.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，![](./data/image/media/image32798.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）， ![](./data/image/media/image32799.png){width="1.2708333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，![](./data/image/media/image32800.png){width="1.125in" height="0.22916666666666666in"}． 设平面PBD的一个法向量为![](./data/image/media/image32801.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}， 则由![](./data/image/media/image32802.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}，得![](./data/image/media/image32803.png){width="0.9375in" height="0.4270833333333333in"}，取z=![](./data/image/media/image32804.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，得![](./data/image/media/image32805.png){width="1.1034722222222222in" height="0.22916666666666666in"}． 取平面PAD的一个法向量为![](./data/image/media/image32806.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}． ∴cos＜![](./data/image/media/image32807.png){width="0.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}＞=![](./data/image/media/image32808.png){width="0.6354166666666666in" height="0.4479166666666667in"}=![](./data/image/media/image32809.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}． ∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°； （3）解：![](./data/image/media/image32810.png){width="1.3854166666666667in" height="0.3854166666666667in"}，平面BDP的一个法向量为![](./data/image/media/image32811.png){width="1.1034722222222222in" height="0.22916666666666666in"}． ∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为\|cos＜![](./data/image/media/image32812.png){width="0.4791666666666667in" height="0.22916666666666666in"}＞\|=\|![](./data/image/media/image32813.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}\|=\|![](./data/image/media/image32814.png){width="0.8958333333333334in" height="0.5833333333333334in"}\|=![](./data/image/media/image32815.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． ![](./data/image/media/image32816.png){width="3.136111111111111in" height="2.0625in"} 【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题． 　 17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中"\*"表示服药者，"+"表示未服药者． （1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率； （2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）； （3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论） ![](./data/image/media/image32817.png){width="5.791666666666667in" height="2.34375in"} 【分析】（1）由图求出在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率． （2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）． （3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大． 【解答】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60， 则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为： p=![](./data/image/media/image32818.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32819.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． （2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7， 可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2， P（ξ=0）=![](./data/image/media/image32820.png){width="0.46875in" height="0.4791666666666667in"}， P（ξ=1）=![](./data/image/media/image32821.png){width="0.4166666666666667in" height="0.5833333333333334in"}=![](./data/image/media/image32822.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， P（ξ=2）=![](./data/image/media/image32823.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![](./data/image/media/image32824.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴ξ的分布列如下： --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ξ 0 1 2 P ![](./data/image/media/image32824.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![](./data/image/media/image32825.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![](./data/image/media/image32824.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- E（ξ）=![](./data/image/media/image32826.png){width="1.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=1． （3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大． 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 　 18．（14分）已知抛物线C：y^2^=2px过点P（1，1）．过点（0，![](./data/image/media/image32827.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点． （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A为线段BM的中点． 【分析】（1）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程； （2）设过点（0，![](./data/image/media/image32827.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）的直线方程为y=kx+![](./data/image/media/image32827.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，M（x~1~，y~1~），N（x~2~，y~2~），根据韦达定理得到x~1~+x~2~=![](./data/image/media/image32828.png){width="0.3020833333333333in" height="0.4270833333333333in"}，x~1~x~2~=![](./data/image/media/image32829.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，根据中点的定义即可证明． 【解答】解：（1）∵y^2^=2px过点P（1，1）， ∴1=2p， 解得p=![](./data/image/media/image32827.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴y^2^=x， ∴焦点坐标为（![](./data/image/media/image32830.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，0），准线为x=﹣![](./data/image/media/image32830.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， （2）证明：设过点（0，![](./data/image/media/image32831.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）的直线方程为 y=kx+![](./data/image/media/image32831.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，M（x~1~，y~1~），N（x~2~，y~2~）， ∴直线OP为y=x，直线ON为：y=![](./data/image/media/image32832.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}x， 由题意知A（x~1~，x~1~），B（x~1~，![](./data/image/media/image32833.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}）， 由![](./data/image/media/image32834.png){width="0.6770833333333334in" height="0.6666666666666666in"}，可得k^2^x^2^+（k﹣1）x+![](./data/image/media/image32835.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=0， ∴x~1~+x~2~=![](./data/image/media/image32836.png){width="0.3020833333333333in" height="0.4270833333333333in"}，x~1~x~2~=![](./data/image/media/image32837.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"} ∴y~1~+![](./data/image/media/image32838.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}=kx~1~+![](./data/image/media/image32839.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image32840.png){width="0.9479166666666666in" height="0.625in"}=2kx~1~+![](./data/image/media/image32841.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4791666666666667in"}=2kx~1~+![](./data/image/media/image32842.png){width="0.8229166666666666in" height="0.9270833333333334in"}=2kx~1~+（1﹣k）•2x~1~=2x~1~， ∴A为线段BM的中点． ![](./data/image/media/image32843.png){width="1.5625in" height="1.65625in"} 【点评】本题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦达定理和中点的定义，属于中档题． 　 19．（13分）已知函数f（x）=e^x^cosx﹣x． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间\[0，![](./data/image/media/image32844.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值和最小值． 【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程； （2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间\[0，![](./data/image/media/image32845.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值． 【解答】解：（1）函数f（x）=e^x^cosx﹣x的导数为f′（x）=e^x^（cosx﹣sinx）﹣1， 可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e^0^（cos0﹣sin0）﹣1=0， 切点为（0，e^0^cos0﹣0），即为（0，1）， 曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1； （2）函数f（x）=e^x^cosx﹣x的导数为f′（x）=e^x^（cosx﹣sinx）﹣1， 令g（x）=e^x^（cosx﹣sinx）﹣1， 则g（x）的导数为g′（x）=e^x^（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e^x^•sinx， 当x∈\[0，![](./data/image/media/image32845.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]，可得g′（x）=﹣2e^x^•sinx≤0， 即有g（x）在\[0，![](./data/image/media/image32845.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]递减，可得g（x）≤g（0）=0， 则f（x）在\[0，![](./data/image/media/image32845.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]递减， 即有函数f（x）在区间\[0，![](./data/image/media/image32845.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值为f（0）=e^0^cos0﹣0=1； 最小值为f（![](./data/image/media/image32845.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=e![](./data/image/media/image32846.png){width="0.2916666666666667in" height="0.3854166666666667in"}cos![](./data/image/media/image32847.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image32847.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![](./data/image/media/image32847.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题． 　 20．（13分）设{a~n~}和{b~n~}是两个等差数列，记c~n~=max{b~1~﹣a~1~n，b~2~﹣a~2~n，...，b~n~﹣a~n~n}（n=1，2，3，...），其中max{x~1~，x~2~，...，x~s~}表示x~1~，x~2~，...，x~s~这s个数中最大的数． （1）若a~n~=n，b~n~=2n﹣1，求c~1~，c~2~，c~3~的值，并证明{c~n~}是等差数列； （2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，![](./data/image/media/image32848.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＞M；或者存在正整数m，使得c~m~，c~m+1~，c~m+2~，...是等差数列． 【分析】（1）分别求得a~1~=1，a~2~=2，a~3~=3，b~1~=1，b~2~=3，b~3~=5，代入即可求得c~1~，c~2~，c~3~；由（b~k~﹣na~k~）﹣（b~1~﹣na~1~）≤0，则b~1~﹣na~1~≥b~k~﹣na~k~，则c~n~=b~1~﹣na~1~=1﹣n，c~n+1~﹣c~n~=﹣1对∀n∈N\*均成立； （2）由b~i~﹣a~i~n=\[b~1~+（i﹣1）d~1~\]﹣\[a~1~+（i﹣1）d~2~\]×n=（b~1~﹣a~1~n）+（i﹣1）（d~2~﹣d~1~×n），分类讨论d~1~=0，d~1~＞0，d~1~＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c~m~，c~m+1~，c~m+2~，...是等差数列；设![](./data/image/media/image32848.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=An+B+![](./data/image/media/image32849.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，![](./data/image/media/image32850.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，![](./data/image/media/image32850.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＞M． 【解答】解：（1）a~1~=1，a~2~=2，a~3~=3，b~1~=1，b~2~=3，b~3~=5， 当n=1时，c~1~=max{b~1~﹣a~1~}=max{0}=0， 当n=2时，c~2~=max{b~1~﹣2a~1~，b~2~﹣2a~2~}=max{﹣1，﹣1}=﹣1， 当n=3时，c~3~=max{b~1~﹣3a~1~，b~2~﹣3a~2~，b~3~﹣3a~3~}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2， 下面证明：对∀n∈N\*，且n≥2，都有c~n~=b~1~﹣na~1~， 当n∈N\*，且2≤k≤n时， 则（b~k~﹣na~k~）﹣（b~1~﹣na~1~）， =\[（2k﹣1）﹣nk\]﹣1+n， =（2k﹣2）﹣n（k﹣1）， =（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0， 则（b~k~﹣na~k~）﹣（b~1~﹣na~1~）≤0，则b~1~﹣na~1~≥b~k~﹣na~k~， 因此，对∀n∈N\*，且n≥2，c~n~=b~1~﹣na~1~=1﹣n， c~n+1~﹣c~n~=﹣1， ∴c~2~﹣c~1~=﹣1， ∴c~n+1~﹣c~n~=﹣1对∀n∈N\*均成立， ∴数列{c~n~}是等差数列； （2）证明：设数列{a~n~}和{b~n~}的公差分别为d~1~，d~2~，下面考虑的c~n~取值， 由b~1~﹣a~1~n，b~2~﹣a~2~n，...，b~n~﹣a~n~n， 考虑其中任意b~i~﹣a~i~n，（i∈N\*，且1≤i≤n）， 则b~i~﹣a~i~n=\[b~1~+（i﹣1）d~1~\]﹣\[a~1~+（i﹣1）d~2~\]×n， =（b~1~﹣a~1~n）+（i﹣1）（d~2~﹣d~1~×n）， 下面分d~1~=0，d~1~＞0，d~1~＜0三种情况进行讨论， ①若d~1~=0，则b~i~﹣a~i~n═（b~1~﹣a~1~n）+（i﹣1）d~2~， 当若d~2~≤0，则（b~i~﹣a~i~n）﹣（b~1~﹣a~1~n）=（i﹣1）d~2~≤0， 则对于给定的正整数n而言，c~n~=b~1~﹣a~1~n，此时c~n+1~﹣c~n~=﹣a~1~， ∴数列{c~n~}是等差数列； 当d~2~＞0，（b~i~﹣a~i~n）﹣（b~n~﹣a~n~n）=（i﹣n）d~2~＞0， 则对于给定的正整数n而言，c~n~=b~n~﹣a~n~n=b~n~﹣a~1~n， 此时c~n+1~﹣c~n~=d~2~﹣a~1~， ∴数列{c~n~}是等差数列； 此时取m=1，则c~1~，c~2~，...，是等差数列，命题成立； ②若d~1~＞0，则此时﹣d~1~n+d~2~为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数， 故必存在m∈N\*，使得n≥m时，﹣d~1~n+d~2~＜0， 则当n≥m时，（b~i~﹣a~i~n）﹣（b~1~﹣a~1~n）=（i﹣1）（﹣d~1~n+d~2~）≤0，（i∈N\*，1≤i≤n）， 因此当n≥m时，c~n~=b~1~﹣a~1~n， 此时c~n+1~﹣c~n~=﹣a~1~，故数列{c~n~}从第m项开始为等差数列，命题成立； ③若d~1~＜0，此时﹣d~1~n+d~2~为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数， 故必存在s∈N\*，使得n≥s时，﹣d~1~n+d~2~＞0， 则当n≥s时，（b~i~﹣a~i~n）﹣（b~n~﹣a~n~n）=（i﹣1）（﹣d~1~n+d~2~）≤0，（i∈N\*，1≤i≤n）， 因此，当n≥s时，c~n~=b~n~﹣a~n~n， 此时=![](./data/image/media/image32851.png){width="0.625in" height="0.4270833333333333in"}=﹣a~n~+![](./data/image/media/image32852.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， =﹣d~2~n+（d~1~﹣a~1~+d~2~）+![](./data/image/media/image32853.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4270833333333333in"}， 令﹣d~1~=A＞0，d~1~﹣a~1~+d~2~=B，b~1~﹣d~2~=C， 下面证明：![](./data/image/media/image32854.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=An+B+![](./data/image/media/image32855.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，![](./data/image/media/image32854.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＞M， 若C≥0，取m=\[![](./data/image/media/image32856.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}+1\]，\[x\]表示不大于x的最大整数， 当n≥m时，![](./data/image/media/image32854.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}≥An+B≥Am+B=A\[![](./data/image/media/image32856.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}+1\]+B＞A•![](./data/image/media/image32857.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+B=M， 此时命题成立； 若C＜0，取m=\[![](./data/image/media/image32858.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]+1， 当n≥m时， ![](./data/image/media/image32859.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}≥An+B+![](./data/image/media/image32860.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≥Am+B+C＞A•![](./data/image/media/image32858.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M， 此时命题成立， 因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，![](./data/image/media/image32859.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＞M； 综合以上三种情况，命题得证． 【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查"放缩法"的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题． 　 **\ 2017年北京市高考数学试卷（文科）** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题** 1．（5分）已知全集U=R，集合A={x\|x＜﹣2或x＞2}，则∁~U~A=（　　） A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．\[﹣2，2\] D．（﹣∞，﹣2\]∪\[2，+∞） 【分析】根据已知中集合A和U，结合补集的定义，可得答案． 【解答】解：∵集合A={x\|x＜﹣2或x＞2}=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），全集U=R， ∴∁~U~A=\[﹣2，2\]， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是集合的补集及其运算，难度不大，属于基础题． 　 2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞） 【分析】复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得![](./data/image/media/image32861.png){width="0.625in" height="0.4479166666666667in"}，解得a范围． 【解答】解：复数（1﹣i）（a+i）=a+1+（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限， ∴![](./data/image/media/image32861.png){width="0.625in" height="0.4479166666666667in"}，解得a＜﹣1． 则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）． 故选：B． 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　） ![](./data/image/media/image32862.png){width="2.1979166666666665in" height="2.5215277777777776in"} A．2 B．![](./data/image/media/image32863.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![](./data/image/media/image32864.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![](./data/image/media/image32865.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=1，S=2， 当k=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2，S=![](./data/image/media/image32866.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3，S=![](./data/image/media/image32867.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 当k=3时，不满足进行循环的条件， 故输出结果为：![](./data/image/media/image32867.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 　 4．（5分）若x，y满足![](./data/image/media/image32868.png){width="0.625in" height="0.6458333333333334in"}，则x+2y的最大值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．9 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可． 【解答】解：x，y满足![](./data/image/media/image32869.png){width="0.625in" height="0.6458333333333334in"}的可行域如图： 由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由![](./data/image/media/image32870.png){width="0.375in" height="0.40625in"}，可得A（3，3）， 目标函数的最大值为：3+2×3=9． 故选：D． ![](./data/image/media/image32871.png){width="2.761111111111111in" height="2.46875in"} 【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键． 　 5．（5分）已知函数f（x）=3^x^﹣（![](./data/image/media/image32872.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^x^，则f（x）（　　） A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数 C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y=3^x^为增函数，y=（![](./data/image/media/image32872.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^x^为减函数，结合"增"﹣"减"="增"可得答案． 【解答】解：f（x）=3^x^﹣（![](./data/image/media/image32872.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^x^=3^x^﹣3^﹣x^， ∴f（﹣x）=3^﹣x^﹣3^x^=﹣f（x）， 即函数f（x）为奇函数， 又由函数y=3^x^为增函数，y=（![](./data/image/media/image32872.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^x^为减函数， 故函数f（x）=3^x^﹣（![](./data/image/media/image32872.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^x^为增函数， 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题． 　 6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　） ![](./data/image/media/image32873.png){width="2.7819444444444446in" height="2.8444444444444446in"} A．60 B．30 C．20 D．10 【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示． 【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥， 该三棱锥的体积=![](./data/image/media/image32874.png){width="1.2291666666666667in" height="0.3645833333333333in"}=10． 故选：D． ![](./data/image/media/image32875.png){width="1.34375in" height="1.25in"} 【点评】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 7．（5分）设![](./data/image/media/image32876.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image32877.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}为非零向量，则"存在负数λ，使得![](./data/image/media/image32876.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=λ![](./data/image/media/image32877.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}"是"![](./data/image/media/image32876.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32877.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜0"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】![](./data/image/media/image32878.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image32879.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}为非零向量，存在负数λ，使得![](./data/image/media/image32878.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=λ![](./data/image/media/image32879.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则向量![](./data/image/media/image32878.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image32879.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}共线且方向相反，可得![](./data/image/media/image32878.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32879.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜0．反之不成立，非零向量![](./data/image/media/image32878.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image32879.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为钝角，满足![](./data/image/media/image32878.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32880.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜0，而![](./data/image/media/image32881.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=λ![](./data/image/media/image32880.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}不成立．即可判断出结论． 【解答】解：![](./data/image/media/image32881.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image32880.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}为非零向量，存在负数λ，使得![](./data/image/media/image32881.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=λ![](./data/image/media/image32880.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，则向量![](./data/image/media/image32881.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image32880.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}共线且方向相反，可得![](./data/image/media/image32881.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32882.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜0． 反之不成立，非零向量![](./data/image/media/image32883.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image32882.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为钝角，满足![](./data/image/media/image32883.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32882.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜0，而![](./data/image/media/image32883.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=λ![](./data/image/media/image32882.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}不成立． ∴![](./data/image/media/image32883.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image32882.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}为非零向量，则"存在负数λ，使得![](./data/image/media/image32883.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=λ![](./data/image/media/image32882.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}"是![](./data/image/media/image32884.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32885.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}＜0"的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3^361^，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为10^80^，则下列各数中与![](./data/image/media/image32886.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}最接近的是（　　） （参考数据：lg3≈0.48） A．10^33^ B．10^53^ C．10^73^ D．10^93^ 【分析】根据对数的性质：T=![](./data/image/media/image32887.png){width="0.5104166666666666in" height="0.2708333333333333in"}，可得：3=10^lg3^≈10^0.48^，代入M将M也化为10为底的指数形式，进而可得结果． 【解答】解：由题意：M≈3^361^，N≈10^80^， 根据对数性质有：3=10^lg3^≈10^0.48^， ∴M≈3^361^≈（10^0.48^）^361^≈10^173^， ∴![](./data/image/media/image32888.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≈![](./data/image/media/image32889.png){width="0.46875in" height="0.4791666666666667in"}=10^93^， 故选：D． 【点评】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T=![](./data/image/media/image32887.png){width="0.5104166666666666in" height="0.2708333333333333in"}，考查指数形式与对数形式的互化，属于简单题． 　 **二、填空题** 9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=![](./data/image/media/image32890.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则sinβ=[　]{.underline}![](./data/image/media/image32890.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】推导出α+β=π+2kπ，k∈Z，从而sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα，由此能求出结果． 【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称， ∴α+β=π+2kπ，k∈Z， ∵sinα=![](./data/image/media/image32891.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα=![](./data/image/media/image32891.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image32891.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查角的正弦值的求法，考查对称角、诱导公式，正弦函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题． 　 10．（5分）若双曲线x^2^﹣![](./data/image/media/image32892.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1的离心率为![](./data/image/media/image32893.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则实数m=[　2　]{.underline}． 【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可． 【解答】解：双曲线x^2^﹣![](./data/image/media/image32892.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1（m＞0）的离心率为![](./data/image/media/image32893.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 可得：![](./data/image/media/image32894.png){width="0.71875in" height="0.3854166666666667in"}， 解得m=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力． 　 11．（5分）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x^2^+y^2^的取值范围是[　\[]{.underline}![](./data/image/media/image32895.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[，1\]　]{.underline}． 【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可． 【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y=1，则x^2^+y^2^=x^2^+（1﹣x）^2^=2x^2^﹣2x+1，x∈\[0，1\]， 则令f（x）=2x^2^﹣2x+1，x∈\[0，1\]，函数的对称轴为：x=![](./data/image/media/image32895.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，开口向上， 所以函数的最小值为：f（![](./data/image/media/image32895.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![](./data/image/media/image32896.png){width="0.375in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32895.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 最大值为：f（1）=2﹣2+1=1． 则x^2^+y^2^的取值范围是：\[![](./data/image/media/image32897.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1\]． 故答案为：\[![](./data/image/media/image32897.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1\]． 【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 　 12．（5分）已知点P在圆x^2^+y^2^=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则![](./data/image/media/image32898.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32899.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的最大值为[　6　]{.underline}． 【分析】设P（cosα，sinα）．可得![](./data/image/media/image32898.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（2，0），![](./data/image/media/image32899.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出． 【解答】解：设P（cosα，sinα）.![](./data/image/media/image32898.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（2，0），![](./data/image/media/image32899.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（cosα+2，sinα）． 则![](./data/image/media/image32900.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image32901.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号． 故答案为：6． 【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性与值域、圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 13．（5分）能够说明"设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c"是假命题的一组整数a，b，c的值依次为[　﹣1，﹣2，﹣3　]{.underline}． 【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c"是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c"是真命题，举例即可，本题答案不唯一 【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c"是假命题， 则若a＞b＞c，则a+b≤c"是真命题， 可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一）， 故答案为：﹣1，﹣2，﹣3 【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题． 　 14．（5分）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （i）男学生人数多于女学生人数； （ii）女学生人数多于教师人数； （iii）教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为[　6　]{.underline}． ②该小组人数的最小值为[　12　]{.underline}． 【分析】①设男学生女学生分别为x，y人，若教师人数为4，则![](./data/image/media/image32902.png){width="0.7083333333333334in" height="0.71875in"}，进而可得答案； ②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z，则![](./data/image/media/image32903.png){width="0.5416666666666666in" height="0.71875in"}，进而可得答案； 【解答】解：①设男学生女学生分别为x，y人， 若教师人数为4， 则![](./data/image/media/image32904.png){width="0.7083333333333334in" height="0.71875in"}，即4＜y＜x＜8， 即x的最大值为7，y的最大值为6， 即女学生人数的最大值为6． ②设男学生女学生分别为x，y人，教师人数为z， 则![](./data/image/media/image32903.png){width="0.5416666666666666in" height="0.71875in"}，即z＜y＜x＜2z 即z最小为3才能满足条件， 此时x最小为5，y最小为4， 即该小组人数的最小值为12， 故答案为：6，12 【点评】本题考查的知识点是推理和证明，简易逻辑，线性规划，难度中档． 　 **三、解答题** 15．（13分）已知等差数列{a~n~}和等比数列{b~n~}满足a~1~=b~1~=1，a~2~+a~4~=10，b~2~b~4~=a~5~． （Ⅰ）求{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）求和：b~1~+b~3~+b~5~+...+b~2n﹣1~． 【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可． 【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a~n~}，a~1~=1，a~2~+a~4~=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2， 所以{a~n~}的通项公式：a~n~=1+（n﹣1）×2=2n﹣1． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得a~5~=a~1~+4d=9， 等比数列{b~n~}满足b~1~=1，b~2~b~4~=9．可得b~3~=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）． ∴q^2^=3， {b~2n﹣1~}是等比数列，公比为3，首项为1． b~1~+b~3~+b~5~+...+b~2n﹣1~=![](./data/image/media/image32905.png){width="0.75in" height="0.5in"}=![](./data/image/media/image32906.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}． 【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力． 　 16．（13分）已知函数f（x）=![](./data/image/media/image32907.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos（2x﹣![](./data/image/media/image32908.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）﹣2sinxcosx． （I）求f（x）的最小正周期； （II）求证：当x∈\[﹣![](./data/image/media/image32909.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image32909.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]时，f（x）≥﹣![](./data/image/media/image32910.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【分析】（Ⅰ）根据两角差的余弦公式和两角和正弦公式即可求出f（x）sin（2x+![](./data/image/media/image32908.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），根据周期的定义即可求出， （Ⅱ）根据正弦函数的图象和性质即可证明． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=![](./data/image/media/image32911.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos（2x﹣![](./data/image/media/image13232.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）﹣2sinxcosx， =![](./data/image/media/image32911.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}（![](./data/image/media/image29172.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}co2x+![](./data/image/media/image32912.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}sin2x）﹣sin2x， =![](./data/image/media/image32912.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}cos2x+![](./data/image/media/image29172.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sin2x， =sin（2x+![](./data/image/media/image13232.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， ∴T=![](./data/image/media/image32913.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=π， ∴f（x）的最小正周期为π， （Ⅱ）∵x∈\[﹣![](./data/image/media/image32914.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image32914.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]， ∴2x+![](./data/image/media/image32915.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}∈\[﹣![](./data/image/media/image32916.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image32917.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]， ∴﹣![](./data/image/media/image16661.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤sin（2x+![](./data/image/media/image32915.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）≤1， ∴f（x）≥﹣![](./data/image/media/image16661.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查了三角函数的化简以及周期的定义和正弦函数的图象和性质，属于基础题 　 17．（13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：\[20，30），\[30，40），...\[80，90\]，并整理得到如下频率分布直方图： ![](./data/image/media/image32918.png){width="3.636111111111111in" height="2.1041666666666665in"} （Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； （Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间\[40，50）内的人数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 【分析】（Ⅰ）根据频率=组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10； （Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间\[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间\[40，50）内的人数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案． 【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10=0.4 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05， 则分数在区间\[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05=0.05， 估计总体中分数在区间\[40，50）内的人数为400×0.05=20人， （Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70， 故男生的频率为：0.6， 即女生的频率为：0.4， 即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2． 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于基础题． 　 18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． （1）求证：PA⊥BD； （2）求证：平面BDE⊥平面PAC； （3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积． ![](./data/image/media/image32919.png){width="2.113888888888889in" height="1.6041666666666667in"} 【分析】（1）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证； （2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证； （3）由线面平行的性质定理可得PA∥DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值． 【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC， AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B， 可得PA⊥平面ABC， 由BD⊂平面ABC， 可得PA⊥BD； （2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点， 可得BD⊥AC， 由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC， 可得平面PAC⊥平面ABC， 又平面PAC∩平面ABC=AC， BD⊂平面ABC，且BD⊥AC， 即有BD⊥平面PAC， BD⊂平面BDE， 可得平面BDE⊥平面PAC； （3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC， 且平面PAC∩平面BDE=DE， 可得PA∥DE， 又D为AC的中点， 可得E为PC的中点，且DE=![](./data/image/media/image27960.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}PA=1， 由PA⊥平面ABC， 可得DE⊥平面ABC， 可得S~△BDC~=![](./data/image/media/image27960.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}S~△ABC~=![](./data/image/media/image32920.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![](./data/image/media/image32920.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×2×2=1， 则三棱锥E﹣BCD的体积为![](./data/image/media/image32921.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}DE•S~△BDC~=![](./data/image/media/image32921.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×1×1=![](./data/image/media/image32921.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ![](./data/image/media/image32922.png){width="2.113888888888889in" height="1.6041666666666667in"} 【点评】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题． 　 19．（14分）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为![](./data/image/media/image32923.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5． 【分析】（Ⅰ）由题意设椭圆方程，由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，则b^2^=a^2^﹣c^2^=1，即可求得椭圆的方程； （Ⅱ）由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联立即可求得E点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得![](./data/image/media/image32924.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4166666666666667in"}=![](./data/image/media/image32925.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，因此可得△BDE与△BDN的面积之比为4：5． 【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程：![](./data/image/media/image32926.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}（a＞b＞0）， 则a=2，e=![](./data/image/media/image32927.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32928.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，则c=![](./data/image/media/image17009.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， b^2^=a^2^﹣c^2^=1， ∴椭圆C的方程![](./data/image/media/image32929.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}； （Ⅱ）证明：设D（x~0~，0），（﹣2＜x~0~＜2），M（x~0~，y~0~），N（x~0~，﹣y~0~），y~0~＞0， 由M，N在椭圆上，则![](./data/image/media/image32930.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，则x~0~^2^=4﹣4y~0~^2^， 则直线AM的斜率k~AM~=![](./data/image/media/image32931.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}=![](./data/image/media/image32932.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}，直线DE的斜率k~DE~=﹣![](./data/image/media/image32933.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}， 直线DE的方程：y=﹣![](./data/image/media/image32933.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}（x﹣x~0~）， 直线BN的斜率k~BN~=![](./data/image/media/image32934.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}，直线BN的方程y=![](./data/image/media/image32935.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}（x﹣2）， ![](./data/image/media/image32936.png){width="1.3541666666666667in" height="1.03125in"}，解得：![](./data/image/media/image32937.png){width="0.8125in" height="0.8541666666666666in"}， 过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN， 则丨EH丨=![](./data/image/media/image32938.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"}， 则![](./data/image/media/image32939.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4166666666666667in"}=![](./data/image/media/image32940.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5． ![](./data/image/media/image32941.png){width="3.8645833333333335in" height="2.8340277777777776in"} 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，相似三角形的应用，考查数形结合思想，属于中档题． 　 20．（13分）已知函数f（x）=e^x^cosx﹣x． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间\[0，![](./data/image/media/image32942.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值和最小值． 【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程； （2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间\[0，![](./data/image/media/image32942.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值． 【解答】解：（1）函数f（x）=e^x^cosx﹣x的导数为f′（x）=e^x^（cosx﹣sinx）﹣1， 可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e^0^（cos0﹣sin0）﹣1=0， 切点为（0，e^0^cos0﹣0），即为（0，1）， 曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1； （2）函数f（x）=e^x^cosx﹣x的导数为f′（x）=e^x^（cosx﹣sinx）﹣1， 令g（x）=e^x^（cosx﹣sinx）﹣1， 则g（x）的导数为g′（x）=e^x^（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e^x^•sinx， 当x∈\[0，![](./data/image/media/image32942.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]，可得g′（x）=﹣2e^x^•sinx≤0， 即有g（x）在\[0，![](./data/image/media/image32942.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]递减，可得g（x）≤g（0）=0， 则f（x）在\[0，![](./data/image/media/image32942.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]递减， 即有函数f（x）在区间\[0，![](./data/image/media/image32942.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最大值为f（0）=e^0^cos0﹣0=1； 最小值为f（![](./data/image/media/image32942.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=e![](./data/image/media/image32943.png){width="0.2916666666666667in" height="0.3854166666666667in"}cos![](./data/image/media/image32944.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image32944.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![](./data/image/media/image32944.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题． 　 **\ 2017年天津市高考数学试卷（理科）** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R\|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=（　　） A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，5} D．{x∈R\|﹣1≤x≤5} 【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案． 【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}， 又C={x∈R\|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}． 故选：B． 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题． 　 2．（5分）设变量x，y满足约束条件![](./data/image/media/image32945.png){width="0.875in" height="0.8854166666666666in"}，则目标函数z=x+y的最大值为（　　） A．![](./data/image/media/image32946.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．1 C．![](./data/image/media/image32947.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．3 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可． 【解答】解：变量x，y满足约束条件![](./data/image/media/image32945.png){width="0.875in" height="0.8854166666666666in"}的可行域如图： 目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值， 由![](./data/image/media/image32948.png){width="0.375in" height="0.40625in"}可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3． 故选：D． ![](./data/image/media/image32949.png){width="2.176388888888889in" height="2.176388888888889in"} 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用． 　 3．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（　　） ![](./data/image/media/image32950.png){width="2.113888888888889in" height="3.5625in"} A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可． 【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N=![](./data/image/media/image32951.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}≤3不成立， 第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立， 第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N=![](./data/image/media/image32952.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2≤3成立， 输出N=2， 故选：C． 【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键． 　 4．（5分）设θ∈R，则"\|θ﹣![](./data/image/media/image32953.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\|＜![](./data/image/media/image32954.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}"是"sinθ＜![](./data/image/media/image18697.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论． 【解答】解：\|θ﹣![](./data/image/media/image32954.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\|＜![](./data/image/media/image32954.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}⇔﹣![](./data/image/media/image32954.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜θ﹣![](./data/image/media/image32954.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜![](./data/image/media/image32954.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}⇔0＜θ＜![](./data/image/media/image32955.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， sinθ＜![](./data/image/media/image18697.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}⇔﹣![](./data/image/media/image32956.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+2kπ＜θ＜![](./data/image/media/image32957.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+2kπ，k∈Z， 则（0，![](./data/image/media/image32957.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）⊊（﹣![](./data/image/media/image32958.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+2kπ，![](./data/image/media/image32957.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+2kπ），k∈Z， 可得"\|θ﹣![](./data/image/media/image32959.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\|＜![](./data/image/media/image32959.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}"是"sinθ＜![](./data/image/media/image32960.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}"的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题． 　 5．（5分）已知双曲线![](./data/image/media/image32961.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![](./data/image/media/image32962.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为![](./data/image/media/image24038.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（　　） A．![](./data/image/media/image32963.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4375in"}=1 B．![](./data/image/media/image32964.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4375in"}=1 C．![](./data/image/media/image32965.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4375in"}=1 D．![](./data/image/media/image32966.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4375in"}=1 【分析】由双曲线的离心率为![](./data/image/media/image32967.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程． 【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e=![](./data/image/media/image32968.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32967.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，c=![](./data/image/media/image32967.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}a， 则双曲线为等轴双曲线，即a=b， 双曲线的渐近线方程为y=±![](./data/image/media/image32969.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x=±x， 则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k=![](./data/image/media/image32970.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32971.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 则![](./data/image/media/image32971.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=1，c=4，则a=b=2![](./data/image/media/image32972.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴双曲线的标准方程：![](./data/image/media/image32973.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}； 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题． 　 6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log~2~5.1），b=g（2^0.8^），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则a=g（﹣log~2~5.1）=g（log~2~5.1），则2＜log~2~5.1＜3，1＜2^0.8^＜2，即可求得b＜a＜c 【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且f′（x）＞0， ∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0， ∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数， ∴a=g（﹣log~2~5.1）=g（log~2~5.1）， 则2＜log~2~5.1＜3，1＜2^0.8^＜2， 由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（2^0.8^）＜g（log~2~5.1）＜g（3）， ∴b＜a＜c， 故选：C． 【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于基础题． 　 7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，\|φ\|＜π．若f（![](./data/image/media/image32974.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=2，f（![](./data/image/media/image32975.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（　　） A．ω=![](./data/image/media/image32976.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，φ=![](./data/image/media/image32977.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．ω=![](./data/image/media/image32976.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，φ=﹣![](./data/image/media/image32978.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} C．ω=![](./data/image/media/image32979.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，φ=﹣![](./data/image/media/image32980.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} D．ω=![](./data/image/media/image32979.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，φ=![](./data/image/media/image32981.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】由题意求得![](./data/image/media/image32982.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，再由周期公式求得ω，最后由若f（![](./data/image/media/image32983.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=2求得φ值． 【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得![](./data/image/media/image32982.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![](./data/image/media/image32984.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}， 又f（![](./data/image/media/image32983.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=2，f（![](./data/image/media/image32985.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}）=0，得![](./data/image/media/image32986.png){width="1.4375in" height="0.3645833333333333in"}， ∴T=3π，则![](./data/image/media/image32987.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}，即![](./data/image/media/image32988.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}． ∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（![](./data/image/media/image32989.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x+φ）， 由f（![](./data/image/media/image32990.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=![](./data/image/media/image32991.png){width="1.5833333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，得sin（φ+![](./data/image/media/image32992.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=1． ∴φ+![](./data/image/media/image32992.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image32993.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z． 取k=0，得φ=![](./data/image/media/image32994.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜π． ∴![](./data/image/media/image32995.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，φ=![](./data/image/media/image32994.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：A． 【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题． 　 8．（5分）已知函数f（x）=![](./data/image/media/image32996.png){width="1.15625in" height="0.6666666666666666in"}，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥\|![](./data/image/media/image32997.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+a\|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　） A．\[﹣![](./data/image/media/image32998.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，2\] B．\[﹣![](./data/image/media/image32998.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image32999.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\] C．\[﹣2![](./data/image/media/image33000.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，2\] D．\[﹣2![](./data/image/media/image33000.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，![](./data/image/media/image32999.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\] 【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x^2^+![](./data/image/media/image22062.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x﹣3≤a≤x^2^﹣![](./data/image/media/image33001.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（![](./data/image/media/image33002.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x+![](./data/image/media/image33003.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）≤a≤![](./data/image/media/image33004.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image33003.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围． 【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥\|![](./data/image/media/image33004.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+a\|在R上恒成立， 即为﹣x^2^+x﹣3≤![](./data/image/media/image33004.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+a≤x^2^﹣x+3， 即有﹣x^2^+![](./data/image/media/image32550.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x﹣3≤a≤x^2^﹣![](./data/image/media/image33002.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x+3， 由y=﹣x^2^+![](./data/image/media/image32550.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x﹣3的对称轴为x=![](./data/image/media/image33005.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜1，可得x=![](./data/image/media/image33005.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}处取得最大值﹣![](./data/image/media/image33006.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； 由y=x^2^﹣![](./data/image/media/image33007.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x+3的对称轴为x=![](./data/image/media/image33008.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜1，可得x=![](./data/image/media/image33008.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}处取得最小值![](./data/image/media/image33009.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 则﹣![](./data/image/media/image33006.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤a≤![](./data/image/media/image33010.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}① 当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥\|![](./data/image/media/image33011.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+a\|在R上恒成立， 即为﹣（x+![](./data/image/media/image33012.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）≤![](./data/image/media/image33011.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+a≤x+![](./data/image/media/image33012.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 即有﹣（![](./data/image/media/image33013.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x+![](./data/image/media/image33012.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）≤a≤![](./data/image/media/image33011.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image18889.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 由y=﹣（![](./data/image/media/image33014.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x+![](./data/image/media/image18889.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）≤﹣2![](./data/image/media/image33015.png){width="0.5625in" height="0.3854166666666667in"}=﹣2![](./data/image/media/image33016.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}（当且仅当x=![](./data/image/media/image33017.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}＞1）取得最大值﹣2![](./data/image/media/image33016.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； 由y=![](./data/image/media/image18892.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x+![](./data/image/media/image33018.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≥2![](./data/image/media/image33019.png){width="0.5625in" height="0.3854166666666667in"}=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2． 则﹣2![](./data/image/media/image19332.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}≤a≤2② 由①②可得，﹣![](./data/image/media/image33020.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤a≤2． 另解：作出f（x）的图象和折线y=\|![](./data/image/media/image33021.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+a\| 当x≤1时，y=x^2^﹣x+3的导数为y′=2x﹣1， 由2x﹣1=﹣![](./data/image/media/image33022.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，可得x=![](./data/image/media/image33023.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 切点为（![](./data/image/media/image33023.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image33024.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）代入y=﹣![](./data/image/media/image33025.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a，解得a=﹣![](./data/image/media/image33026.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； 当x＞1时，y=x+![](./data/image/media/image33027.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的导数为y′=1﹣![](./data/image/media/image33028.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 由1﹣![](./data/image/media/image33028.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![](./data/image/media/image11175.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，可得x=2（﹣2舍去）， 切点为（2，3），代入y=![](./data/image/media/image33025.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+a，解得a=2． 由图象平移可得，﹣![](./data/image/media/image33029.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≤a≤2． 故选：A． ![](./data/image/media/image33030.png){width="2.125in" height="2.3333333333333335in"} 【点评】本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题． 　 **二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.** 9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若![](./data/image/media/image33031.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}为实数，则a的值为[　﹣2　]{.underline}． 【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简![](./data/image/media/image33031.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值． 【解答】解：a∈R，i为虚数单位， ![](./data/image/media/image33031.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33032.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33033.png){width="0.96875in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33034.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image33035.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}i 由![](./data/image/media/image33036.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}为实数， 可得﹣![](./data/image/media/image33035.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=0， 解得a=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题． 　 10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为[　]{.underline}![](./data/image/media/image33037.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可． 【解答】解：设正方体的棱长为a， ∵这个正方体的表面积为18， ∴6a^2^=18， 则a^2^=3，即a=![](./data/image/media/image33038.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∵一个正方体的所有顶点在一个球面上， ∴正方体的体对角线等于球的直径， 即![](./data/image/media/image33038.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}a=2R， 即R=![](./data/image/media/image33039.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 则球的体积V=![](./data/image/media/image33040.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}π•（![](./data/image/media/image33039.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^3^=![](./data/image/media/image33041.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}； 故答案为：![](./data/image/media/image33041.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键． 　 11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣![](./data/image/media/image33042.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为[　2　]{.underline}． 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比较即可得出位置关系． 【解答】解：直线4ρcos（θ﹣![](./data/image/media/image33042.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+1=0展开为：4ρ![](./data/image/media/image33043.png){width="1.5208333333333333in" height="0.3854166666666667in"}+1=0，化为：2![](./data/image/media/image33044.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}x+2y+1=0． 圆ρ=2sinθ即ρ^2^=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x^2^+y^2^=2y，配方为：x^2^+（y﹣1）^2^=1． ∴圆心C（0，1）到直线的距离d=![](./data/image/media/image33045.png){width="1.0208333333333333in" height="0.46875in"}=![](./data/image/media/image33046.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜1=R． ∴直线4ρcos（θ﹣![](./data/image/media/image33047.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则![](./data/image/media/image33048.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的最小值为[　4　]{.underline}． 【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么． 【方法二】将![](./data/image/media/image33049.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}拆成![](./data/image/media/image33050.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image33051.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，利用柯西不等式求出最小值． 【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0， ∴![](./data/image/media/image33052.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}≥![](./data/image/media/image33053.png){width="1.0in" height="0.4479166666666667in"} =![](./data/image/media/image33054.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"} =4ab+![](./data/image/media/image33055.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≥2![](./data/image/media/image33056.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3854166666666667in"}=4， 当且仅当![](./data/image/media/image33057.png){width="0.6770833333333334in" height="0.65625in"}， 即![](./data/image/media/image33058.png){width="0.7291666666666666in" height="0.65625in"}， 即a=![](./data/image/media/image33059.png){width="0.28125in" height="0.4375in"}，b=![](./data/image/media/image33060.png){width="0.28125in" height="0.4375in"}或a=﹣![](./data/image/media/image33059.png){width="0.28125in" height="0.4375in"}，b=﹣![](./data/image/media/image33061.png){width="0.28125in" height="0.4375in"}时取"="； ∴上式的最小值为4． 【解法二】a，b∈R，ab＞0， ∴![](./data/image/media/image33062.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![](./data/image/media/image33063.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![](./data/image/media/image33064.png){width="0.3125in" height="0.4270833333333333in"}+![](./data/image/media/image33065.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image33065.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}≥4![](./data/image/media/image33066.png){width="1.59375in" height="0.4479166666666667in"}=4， 当且仅当![](./data/image/media/image33067.png){width="0.6770833333333334in" height="0.65625in"}， 即![](./data/image/media/image33068.png){width="0.7291666666666666in" height="0.65625in"}， 即a=![](./data/image/media/image33069.png){width="0.28125in" height="0.4375in"}，b=![](./data/image/media/image33070.png){width="0.28125in" height="0.4375in"}或a=﹣![](./data/image/media/image33071.png){width="0.28125in" height="0.4375in"}，b=﹣![](./data/image/media/image33070.png){width="0.28125in" height="0.4375in"}时取"="； ∴上式的最小值为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题． 　 13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若![](./data/image/media/image33072.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![](./data/image/media/image33073.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image32502.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ![](./data/image/media/image33074.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣![](./data/image/media/image33075.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}（λ∈R），且![](./data/image/media/image33076.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=﹣4，则λ的值为[　]{.underline}![](./data/image/media/image33077.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用![](./data/image/media/image33078.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}、![](./data/image/media/image33079.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}表示出![](./data/image/media/image33080.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， 再根据平面向量的数量积![](./data/image/media/image33081.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}列出方程求出λ的值． 【解答】解：如图所示， △ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2， ![](./data/image/media/image33082.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![](./data/image/media/image33083.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， ∴![](./data/image/media/image33084.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![](./data/image/media/image33085.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image33086.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} =![](./data/image/media/image33085.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image33087.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![](./data/image/media/image33088.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} =![](./data/image/media/image33089.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image21812.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（![](./data/image/media/image33090.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣![](./data/image/media/image33089.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}） =![](./data/image/media/image33091.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![](./data/image/media/image33089.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image21812.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![](./data/image/media/image33092.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， 又![](./data/image/media/image33093.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ![](./data/image/media/image33092.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣![](./data/image/media/image33094.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}（λ∈R）， ∴![](./data/image/media/image33095.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（![](./data/image/media/image33096.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![](./data/image/media/image33097.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image33098.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![](./data/image/media/image33099.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}）•（λ![](./data/image/media/image33099.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣![](./data/image/media/image33097.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}） =（![](./data/image/media/image33100.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}λ﹣![](./data/image/media/image33101.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）![](./data/image/media/image33102.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image33103.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣![](./data/image/media/image33100.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![](./data/image/media/image33104.png){width="0.28125in" height="0.2708333333333333in"}+![](./data/image/media/image33105.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}λ![](./data/image/media/image33106.png){width="0.28125in" height="0.2708333333333333in"} =（![](./data/image/media/image19399.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}λ﹣![](./data/image/media/image33105.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）×3×2×cos60°﹣![](./data/image/media/image19399.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×3^2^+![](./data/image/media/image33107.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}λ×2^2^=﹣4， ∴![](./data/image/media/image33108.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}λ=1， 解得λ=![](./data/image/media/image33109.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image33109.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． ![](./data/image/media/image33110.png){width="1.84375in" height="1.4583333333333333in"} 【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题． 　 14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有[　1080　]{.underline}个．（用数字作答） 【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分2种情况讨论： ①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可， 有A~5~^4^=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数； ②、四位数中只有一个偶数数字， 在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C~5~^3^•C~4~^1^=40种取法， 将取出的4个数字全排列，有A~4~^4^=24种顺序， 则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数； 则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个； 故答案为：1080． 【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意要分类讨论． 　 **三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．** 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=![](./data/image/media/image33111.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅰ）求b和sinA的值； （Ⅱ）求sin（2A+![](./data/image/media/image33112.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的值． 【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA； （Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的正弦得答案． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b， 故由sinB=![](./data/image/media/image33111.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，可得cosB=![](./data/image/media/image33113.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 由已知及余弦定理，有![](./data/image/media/image33114.png){width="2.9479166666666665in" height="0.3645833333333333in"}=13， ∴b=![](./data/image/media/image33115.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}． 由正弦定理![](./data/image/media/image33116.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}，得sinA=![](./data/image/media/image33117.png){width="1.0in" height="0.3854166666666667in"}． ∴b=![](./data/image/media/image33118.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，sinA=![](./data/image/media/image33119.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}； （Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=![](./data/image/media/image33120.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，∴sin2A=2sinAcosA=![](./data/image/media/image33121.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， cos2A=1﹣2sin^2^A=﹣![](./data/image/media/image33122.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故sin（2A+![](./data/image/media/image33123.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![](./data/image/media/image33124.png){width="1.8958333333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33125.png){width="1.84375in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题． 　 16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为![](./data/image/media/image33126.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image21842.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image33127.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； （Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值， 写出它的分布列，计算数学期望值； （Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值． 【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3； 则P（X=0）=（1﹣![](./data/image/media/image33128.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）×（1﹣![](./data/image/media/image21842.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）（1﹣![](./data/image/media/image33127.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![](./data/image/media/image33127.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， P（X=1）=![](./data/image/media/image29808.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×（1﹣![](./data/image/media/image33129.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）×（1﹣![](./data/image/media/image33130.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）+（1﹣![](./data/image/media/image29808.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）×![](./data/image/media/image33129.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×（1﹣![](./data/image/media/image33130.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）+（1﹣![](./data/image/media/image33131.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）×（1﹣![](./data/image/media/image33132.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）×![](./data/image/media/image33133.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33134.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， P（X=2）=（1﹣![](./data/image/media/image33131.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）×![](./data/image/media/image33132.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![](./data/image/media/image33133.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image26643.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×（1﹣![](./data/image/media/image30499.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）×![](./data/image/media/image31547.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image26643.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![](./data/image/media/image30499.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×（1﹣![](./data/image/media/image31547.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![](./data/image/media/image33135.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， P（X=3）=![](./data/image/media/image33136.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![](./data/image/media/image33137.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![](./data/image/media/image33135.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33138.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； 所以，随机变量X的分布列为 --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------- X 0 1 2 3 P ![](./data/image/media/image33135.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![](./data/image/media/image33139.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![](./data/image/media/image26651.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![](./data/image/media/image33140.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------- 随机变量X的数学期望为E（X）=0×![](./data/image/media/image26651.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+1×![](./data/image/media/image33141.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+2×![](./data/image/media/image33142.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+3×![](./data/image/media/image33143.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33144.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； （Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为 P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0） =P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0） =![](./data/image/media/image33142.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![](./data/image/media/image33145.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image33145.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}×![](./data/image/media/image33146.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} =![](./data/image/media/image33147.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为![](./data/image/media/image33147.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题． 　 17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2． （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值； （Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为![](./data/image/media/image33148.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，求线段AH的长． ![](./data/image/media/image33149.png){width="1.6770833333333333in" height="1.7395833333333333in"} 【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE； （Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值； （Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出![](./data/image/media/image33150.png){width="0.5625in" height="0.22916666666666666in"}的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为![](./data/image/media/image33151.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}列式求得线段AH的长． 【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF， ∵M为AD中点，∴MF∥BD， ∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE． ∵N为BC中点，∴NF∥AC， 又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE． ∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE． 又MF∩NF=F． ∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE； （Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°． ∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． ∵PA=AC=4，AB=2， ∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2）， 则![](./data/image/media/image33152.png){width="1.125in" height="0.22916666666666666in"}，![](./data/image/media/image33153.png){width="1.0409722222222222in" height="0.22916666666666666in"}， 设平面MEN的一个法向量为![](./data/image/media/image33154.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}， 由![](./data/image/media/image33155.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}，得![](./data/image/media/image33156.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，取z=2，得![](./data/image/media/image33157.png){width="1.0409722222222222in" height="0.22916666666666666in"}． 由图可得平面CME的一个法向量为![](./data/image/media/image33158.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}． ∴cos＜![](./data/image/media/image33159.png){width="0.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}＞=![](./data/image/media/image33160.png){width="1.8645833333333333in" height="0.4479166666666667in"}． ∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为![](./data/image/media/image33161.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}，则正弦值为![](./data/image/media/image33162.png){width="0.40625in" height="0.3854166666666667in"}； （Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），![](./data/image/media/image33163.png){width="1.2083333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，![](./data/image/media/image33164.png){width="1.125in" height="0.22916666666666666in"}． ∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为![](./data/image/media/image33165.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴\|cos＜![](./data/image/media/image33166.png){width="0.5625in" height="0.22916666666666666in"}＞\|=\|![](./data/image/media/image33167.png){width="0.8020833333333334in" height="0.4479166666666667in"}\|=\|![](./data/image/media/image33168.png){width="1.0in" height="0.4479166666666667in"}\|=![](./data/image/media/image33169.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 解得：t=![](./data/image/media/image33170.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或t=![](./data/image/media/image33171.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ∴线段AH的长为![](./data/image/media/image33170.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或![](./data/image/media/image10824.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ![](./data/image/media/image33172.png){width="2.051388888888889in" height="2.1041666666666665in"} 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题． 　 18．（13分）已知{a~n~}为等差数列，前n项和为S~n~（n∈N^+^），{b~n~}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b~2~+b~3~=12，b~3~=a~4~﹣2a~1~，S~11~=11b~4~． （Ⅰ）求{a~n~}和{b~n~}的通项公式； （Ⅱ）求数列{a~2n~b~2n﹣1~}的前n项和（n∈N^+^）． 【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{a~n~}和{b~n~}的通项公式； （Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可． 【解答】解：（I）设等差数列{a~n~}的公差为d，等比数列{b~n~}的公比为q． 由已知b~2~+b~3~=12，得b~1~（q+q^2^）=12，而b~1~=2，所以q+q^2^﹣6=0． 又因为q＞0，解得q=2．所以，b~n~=2^n^． 由b~3~=a~4~﹣2a~1~，可得3d﹣a~1~=8①． 由S~11~=11b~4~，可得a~1~+5d=16②， 联立①②，解得a~1~=1，d=3，由此可得a~n~=3n﹣2． 所以，数列{a~n~}的通项公式为a~n~=3n﹣2，数列{b~n~}的通项公式为b~n~=2^n^． （II）设数列{a~2n~b~2n﹣1~}的前n项和为T~n~， 由a~2n~=6n﹣2，b~2n﹣1~=![](./data/image/media/image33173.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}4^n^，有a~2n~b~2n﹣1~=（3n﹣1）4^n^， 故T~n~=2×4+5×4^2^+8×4^3^+...+（3n﹣1）4^n^， 4T~n~=2×4^2^+5×4^3^+8×4^4^+...+（3n﹣1）4^n+1^， 上述两式相减，得﹣3T~n~=2×4+3×4^2^+3×4^3^+...+3×4^n^﹣（3n﹣1）4^n+1^ =![](./data/image/media/image33174.png){width="2.03125in" height="0.4270833333333333in"}=﹣（3n﹣2）4^n+1^﹣8 得T~n~=![](./data/image/media/image33175.png){width="1.1458333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 所以，数列{a~2n~b~2n﹣1~}的前n项和为![](./data/image/media/image33175.png){width="1.1458333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力． 　 19．（14分）设椭圆![](./data/image/media/image33176.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![](./data/image/media/image33177.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为![](./data/image/media/image16817.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．已知A是抛物线y^2^=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为![](./data/image/media/image16817.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （I）求椭圆的方程和抛物线的方程； （II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为![](./data/image/media/image33178.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，求直线AP的方程． 【分析】（I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程； （II）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案． 【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）． 依题意可得![](./data/image/media/image33179.png){width="0.59375in" height="1.21875in"}， 解得a=1，c=![](./data/image/media/image9641.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，p=2，于是b^2^=a^2^﹣c^2^=![](./data/image/media/image33180.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 所以，椭圆的方程为x^2^+![](./data/image/media/image33181.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"}=1，抛物线的方程为y^2^=4x． （Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0）， 联立方程组![](./data/image/media/image33182.png){width="0.625in" height="0.40625in"}，解得点P（﹣1，﹣![](./data/image/media/image33183.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），故Q（﹣1，![](./data/image/media/image33183.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）． 联立方程组![](./data/image/media/image33184.png){width="0.9166666666666666in" height="0.6770833333333334in"}，消去x，整理得（3m^2^+4）y^2^+6my=0，解得y=0，或y=﹣![](./data/image/media/image33185.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4270833333333333in"}． ∴B（![](./data/image/media/image33186.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，![](./data/image/media/image33187.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4270833333333333in"}）． ∴直线BQ的方程为（![](./data/image/media/image33187.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image33188.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）（x+1）﹣（![](./data/image/media/image33189.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}）（y﹣![](./data/image/media/image33188.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=0， 令y=0，解得x=![](./data/image/media/image33190.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4791666666666667in"}，故D（![](./data/image/media/image33190.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4791666666666667in"}，0）． ∴\|AD\|=1﹣![](./data/image/media/image33190.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4791666666666667in"}=![](./data/image/media/image33191.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4791666666666667in"}． 又∵△APD的面积为![](./data/image/media/image33192.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，∴![](./data/image/media/image33193.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}![](./data/image/media/image33194.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4791666666666667in"}×![](./data/image/media/image33195.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33192.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 整理得3m^2^﹣2![](./data/image/media/image33196.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\|m\|+2=0，解得\|m\|=![](./data/image/media/image17855.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，∴m=±![](./data/image/media/image17855.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ∴直线AP的方程为3x+![](./data/image/media/image33197.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}y﹣3=0，或3x﹣![](./data/image/media/image33197.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}y﹣3=0． 【点评】本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题． 　 20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x^4^+3x^3^﹣3x^2^﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x~0~，g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间； （Ⅱ）设m∈\[1，x~0~）∪（x~0~，2\]，函数h（x）=g（x）（m﹣x~0~）﹣f（m），求证：h（m）h（x~0~）＜0； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且![](./data/image/media/image33198.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}∈\[1，x~0~）∪（x~0~，2\]，满足\|![](./data/image/media/image33198.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}﹣x~0~\|≥![](./data/image/media/image33199.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"}． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x^3^+9x^2^﹣6x﹣6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可． （Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x~0~）﹣f（m），推出h（m）=g（m）（m﹣x~0~）﹣f（m）， 令函数H~1~（x）=g（x）（x﹣x~0~）﹣f（x），求出导函数H′~1~（x）利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x~0~）＜0． （Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且![](./data/image/media/image33200.png){width="1.75in" height="0.375in"}，令m=![](./data/image/media/image33201.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}，函数h（x）=g（x）（m﹣x~0~）﹣f（m）． 由（Ⅱ）知，当m∈\[1，x~0~）时，当m∈（x~0~，2\]时，通过h（x）的零点．转化推出\|![](./data/image/media/image33201.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}﹣x~0~\|=![](./data/image/media/image33202.png){width="0.7291666666666666in" height="0.6354166666666666in"}≥![](./data/image/media/image33203.png){width="0.625in" height="0.5833333333333334in"}=![](./data/image/media/image33204.png){width="2.3958333333333335in" height="0.5in"}．推出\|2p^4^+3p^3^q﹣3p^2^q^2^﹣6pq^3^+aq^4^\|≥1．然后推出结果． 【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=2x^4^+3x^3^﹣3x^2^﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x^3^+9x^2^﹣6x﹣6， 进而可得g′（x）=24x^2^+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=![](./data/image/media/image33205.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表： --------- -------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x （﹣∞，﹣1） （﹣1，![](./data/image/media/image33205.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}） （![](./data/image/media/image33205.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞） g′（x） \+ ﹣ \+ g（x） ↗ ↘ ↗ --------- -------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（![](./data/image/media/image33205.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞），单调递减区间是（﹣1，![](./data/image/media/image33206.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）． （Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x~0~）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x~0~）﹣f（m）， h（x~0~）=g（x~0~）（m﹣x~0~）﹣f（m）． 令函数H~1~（x）=g（x）（x﹣x~0~）﹣f（x），则H′~1~（x）=g′（x）（x﹣x~0~）． 由（Ⅰ）知，当x∈\[1，2\]时，g′（x）＞0， 故当x∈\[1，x~0~）时，H′~1~（x）＜0，H~1~（x）单调递减； 当x∈（x~0~，2\]时，H′~1~（x）＞0，H~1~（x）单调递增． 因此，当x∈\[1，x~0~）∪（x~0~，2\]时，H~1~（x）＞H~1~（x~0~）=﹣f（x~0~）=0，可得H~1~（m）＞0即h（m）＞0， 令函数H~2~（x）=g（x~0~）（x﹣x~0~）﹣f（x），则H′~2~（x）=g（x~0~）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在\[1，2\]上单调递增，故当x∈\[1，x~0~）时，H′~2~（x）＞0，H~2~（x）单调递增；当x∈（x~0~，2\]时，H′~2~（x）＜0，H~2~（x）单调递减．因此，当x∈\[1，x~0~）∪（x~0~，2\]时，H~2~（x）＞H~2~（x~0~）=0，可得得H~2~（m）＜0即h（x~0~）＜0，． 所以，h（m）h（x~0~）＜0． （Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且![](./data/image/media/image33207.png){width="1.75in" height="0.375in"}， 令m=![](./data/image/media/image33208.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}，函数h（x）=g（x）（m﹣x~0~）﹣f（m）． 由（Ⅱ）知，当m∈\[1，x~0~）时，h（x）在区间（m，x~0~）内有零点； 当m∈（x~0~，2\]时，h（x）在区间（x~0~，m）内有零点． 所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x~1~，则h（x~1~）=g（x~1~）（![](./data/image/media/image33208.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}﹣x~0~）﹣f（![](./data/image/media/image33209.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}）=0． 由（Ⅰ）知g（x）在\[1，2\]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x~1~）＜g（2）， 于是\|![](./data/image/media/image33209.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}﹣x~0~\|=![](./data/image/media/image33210.png){width="0.7291666666666666in" height="0.6354166666666666in"}≥![](./data/image/media/image33211.png){width="0.625in" height="0.5833333333333334in"}=![](./data/image/media/image33212.png){width="2.3958333333333335in" height="0.5in"}． 因为当x∈\[1，2\]时，g（x）＞0，故f（x）在\[1，2\]上单调递增， 所以f（x）在区间\[1，2\]上除x~0~外没有其他的零点，而![](./data/image/media/image33213.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}≠x~0~，故f（![](./data/image/media/image33213.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}）≠0． 又因为p，q，a均为整数，所以\|2p^4^+3p^3^q﹣3p^2^q^2^﹣6pq^3^+aq^4^\|是正整数， 从而\|2p^4^+3p^3^q﹣3p^2^q^2^﹣6pq^3^+aq^4^\|≥1． 所以\|![](./data/image/media/image33213.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}﹣x~0~\|≥![](./data/image/media/image33214.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4375in"}．所以，只要取A=g（2），就有\|![](./data/image/media/image33215.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}﹣x~0~\|≥![](./data/image/media/image33216.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"}． 【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难度比较大的题目． 　 **2017年天津市高考数学试卷（文科）** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（　　） A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6} 【分析】由并集定义先求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C． 【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}， ∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}． 故选：B． 【点评】本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和交集定义的合理运用． 　 2．（5分）设x∈R，则"2﹣x≥0"是"\|x﹣1\|≤1"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2， 由\|x﹣1\|≤1得﹣1≤x﹣1≤1， 得0≤x≤2． 则"2﹣x≥0"是"\|x﹣1\|≤1"的必要不充分条件， 故选：B． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键． 　 3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（　　） A．![](./data/image/media/image33217.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![](./data/image/media/image33218.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![](./data/image/media/image33219.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![](./data/image/media/image33220.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】先求出基本事件总数n=![](./data/image/media/image33221.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m=![](./data/image/media/image33222.png){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}=4，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率． 【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫， 从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔， 基本事件总数n=![](./data/image/media/image33223.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=10， 取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m=![](./data/image/media/image33222.png){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}=4， ∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p=![](./data/image/media/image33224.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33225.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：C． 【点评】本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是基础题． 　 4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（　　） ![](./data/image/media/image33226.png){width="2.113888888888889in" height="3.5625in"} A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可． 【解答】解：第一次N=19，不能被3整除，N=19﹣1=18≤3不成立， 第二次N=18，18能被3整除，N=![](./data/image/media/image33227.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=6，N=6≤3不成立， 第三次N=6，能被3整除，N═![](./data/image/media/image33228.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2≤3成立， 输出N=2， 故选：C． 【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键． 　 5．（5分）已知双曲线![](./data/image/media/image33229.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![](./data/image/media/image33230.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（　　） A．![](./data/image/media/image33231.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"} B．![](./data/image/media/image33232.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"} C．![](./data/image/media/image33233.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"} D．![](./data/image/media/image33234.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"} 【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程． 【解答】解：双曲线![](./data/image/media/image33235.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![](./data/image/media/image33236.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点）， 可得c=2，![](./data/image/media/image33237.png){width="0.4479166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，即![](./data/image/media/image33238.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，![](./data/image/media/image33239.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4791666666666667in"}， 解得a=1，b=![](./data/image/media/image30491.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：![](./data/image/media/image33240.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4375in"}． 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 　 6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（![](./data/image/media/image33241.png){width="0.5201388888888889in" height="0.3645833333333333in"}），b=f（log~2~4.1），c=f（2^0.8^），则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c的大小． 【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数， ∴a=﹣f（![](./data/image/media/image33241.png){width="0.5201388888888889in" height="0.3645833333333333in"}）=f（log~2~5）， b=f（log~2~4.1）， c=f（2^0.8^）， 又1＜2^0.8^＜2＜log~2~4.1＜log~2~5， ∴f（2^0.8^）＜f（log~2~4.1）＜f（log~2~5）， 即c＜b＜a． 故选：C． 【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题． 　 7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，\|φ\|＜π．若f（![](./data/image/media/image33242.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=2，f（![](./data/image/media/image33243.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（　　） A．ω=![](./data/image/media/image33244.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，φ=![](./data/image/media/image33245.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．ω=![](./data/image/media/image33244.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，φ=﹣![](./data/image/media/image33246.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} C．ω=![](./data/image/media/image30499.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，φ=﹣![](./data/image/media/image33247.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} D．ω=![](./data/image/media/image33248.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，φ=![](./data/image/media/image33249.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】由题意求得![](./data/image/media/image33250.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，再由周期公式求得ω，最后由若f（![](./data/image/media/image33251.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=2求得φ值． 【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得![](./data/image/media/image33250.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![](./data/image/media/image33252.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}， 又f（![](./data/image/media/image33251.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=2，f（![](./data/image/media/image33253.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}）=0，得![](./data/image/media/image33254.png){width="1.4375in" height="0.3645833333333333in"}， ∴T=3π，则![](./data/image/media/image33255.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}，即![](./data/image/media/image33256.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}． ∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（![](./data/image/media/image33257.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x+φ）， 由f（![](./data/image/media/image33258.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=![](./data/image/media/image33259.png){width="1.5833333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，得sin（φ+![](./data/image/media/image33260.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=1． ∴φ+![](./data/image/media/image33260.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33261.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z． 取k=0，得φ=![](./data/image/media/image33262.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}＜π． ∴![](./data/image/media/image33263.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，φ=![](./data/image/media/image33262.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：A． 【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题． 　 8．（5分）已知函数f（x）=![](./data/image/media/image33264.png){width="1.0409722222222222in" height="0.625in"}，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥\|![](./data/image/media/image33265.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+a\|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　） A．\[﹣2，2\] B．![](./data/image/media/image33266.png){width="0.8333333333333334in" height="0.20833333333333334in"} C．![](./data/image/media/image33267.png){width="0.8333333333333334in" height="0.20833333333333334in"} D．![](./data/image/media/image33268.png){width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"} 【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）=\|![](./data/image/media/image33265.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+a\|，分析g（x）的图象特点，将不等式f（x）≥\|![](./data/image/media/image33265.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+a\|在R上恒成立转化为函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交的问题，分析可得f（0）≥g（0），即2≥\|a\|，解可得a的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f（x）=![](./data/image/media/image33269.png){width="1.0409722222222222in" height="0.625in"}的图象如图： 令g（x）=\|![](./data/image/media/image33270.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+a\|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0）， 在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数， 若不等式f（x）≥\|![](./data/image/media/image33270.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+a\|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在 g（x）上的上方或相交， 则必有f（0）≥g（0）， 即2≥\|a\|， 解可得﹣2≤a≤2， 故选：A． ![](./data/image/media/image33271.png){width="2.34375in" height="2.5631944444444446in"} 【点评】本题考查分段函数的应用，关键是作出函数f（x）的图象，将函数的恒成立问题转化为图象的上下位置关系． 　 **二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.** 9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若![](./data/image/media/image33272.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}为实数，则a的值为[　﹣2　]{.underline}． 【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简![](./data/image/media/image33272.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值． 【解答】解：a∈R，i为虚数单位， ![](./data/image/media/image33273.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33274.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33275.png){width="0.96875in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33276.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image33277.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}i 由![](./data/image/media/image33273.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}为实数， 可得﹣![](./data/image/media/image33277.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=0， 解得a=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题． 　 10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为[　1　]{.underline}． 【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y轴上的截距． 【解答】解：函数f（x）=ax﹣lnx，可得f′（x）=a﹣![](./data/image/media/image33278.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，切线的斜率为：k=f′（1）=a﹣1， 切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1）， l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力． 　 11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为[　]{.underline}![](./data/image/media/image33279.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可． 【解答】解：设正方体的棱长为a， ∵这个正方体的表面积为18， ∴6a^2^=18， 则a^2^=3，即a=![](./data/image/media/image33280.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∵一个正方体的所有顶点在一个球面上， ∴正方体的体对角线等于球的直径， 即![](./data/image/media/image33280.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}a=2R， 即R=![](./data/image/media/image33281.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 则球的体积V=![](./data/image/media/image33282.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}π•（![](./data/image/media/image33281.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^3^=![](./data/image/media/image33283.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}； 故答案为：![](./data/image/media/image33283.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键． 　 12．（5分）设抛物线y^2^=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为[　（x+1）^2^+]{.underline}![](./data/image/media/image33284.png){width="0.6770833333333334in" height="0.25in"}[=1　]{.underline}． 【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA=![](./data/image/media/image33285.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}=1，由此求得OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程． 【解答】解：设抛物线y^2^=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A， ∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA=![](./data/image/media/image33286.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33287.png){width="0.2708333333333333in" height="0.5833333333333334in"}=1，∴OA=![](./data/image/media/image33288.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∴A（0，![](./data/image/media/image33288.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），如图所示： ∴C（﹣1，![](./data/image/media/image33288.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为 ![](./data/image/media/image33289.png){width="1.4895833333333333in" height="0.25in"}， 故答案为：（x+1）^2^+![](./data/image/media/image33290.png){width="0.6770833333333334in" height="0.25in"}=1． ![](./data/image/media/image33291.png){width="2.3229166666666665in" height="2.207638888888889in"} 【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档题． 　 13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则![](./data/image/media/image33292.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的最小值为[　4　]{.underline}． 【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么． 【方法二】将![](./data/image/media/image33293.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}拆成![](./data/image/media/image33294.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image33295.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，利用柯西不等式求出最小值． 【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0， ∴![](./data/image/media/image33296.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}≥![](./data/image/media/image33297.png){width="1.0in" height="0.4479166666666667in"} =![](./data/image/media/image33298.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"} =4ab+![](./data/image/media/image33299.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≥2![](./data/image/media/image33300.png){width="0.6770833333333334in" height="0.3854166666666667in"}=4， 当且仅当![](./data/image/media/image33301.png){width="0.6770833333333334in" height="0.65625in"}， 即![](./data/image/media/image33302.png){width="0.7291666666666666in" height="0.65625in"}， 即a=![](./data/image/media/image33303.png){width="0.28125in" height="0.4375in"}，b=![](./data/image/media/image33304.png){width="0.28125in" height="0.4375in"}或a=﹣![](./data/image/media/image33303.png){width="0.28125in" height="0.4375in"}，b=﹣![](./data/image/media/image33305.png){width="0.28125in" height="0.4375in"}时取"="； ∴上式的最小值为4． 【解法二】a，b∈R，ab＞0， ∴![](./data/image/media/image33306.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![](./data/image/media/image33307.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![](./data/image/media/image33308.png){width="0.3125in" height="0.4270833333333333in"}+![](./data/image/media/image33309.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image33309.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}≥4![](./data/image/media/image33310.png){width="1.59375in" height="0.4479166666666667in"}=4， 当且仅当![](./data/image/media/image33311.png){width="0.6770833333333334in" height="0.65625in"}， 即![](./data/image/media/image33312.png){width="0.7291666666666666in" height="0.65625in"}， 即a=![](./data/image/media/image33313.png){width="0.28125in" height="0.4375in"}，b=![](./data/image/media/image33314.png){width="0.28125in" height="0.4375in"}或a=﹣![](./data/image/media/image33313.png){width="0.28125in" height="0.4375in"}，b=﹣![](./data/image/media/image33315.png){width="0.28125in" height="0.4375in"}时取"="； ∴上式的最小值为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题． 　 14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若![](./data/image/media/image33316.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![](./data/image/media/image33317.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image33318.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ![](./data/image/media/image33319.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣![](./data/image/media/image33320.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}（λ∈R），且![](./data/image/media/image33321.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=﹣4，则λ的值为[　]{.underline}![](./data/image/media/image33322.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用![](./data/image/media/image19139.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}、![](./data/image/media/image33323.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}表示出![](./data/image/media/image19140.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， 再根据平面向量的数量积![](./data/image/media/image33324.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}列出方程求出λ的值． 【解答】解：如图所示， △ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2， ![](./data/image/media/image33325.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![](./data/image/media/image33326.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， ∴![](./data/image/media/image19140.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![](./data/image/media/image19139.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image33325.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} =![](./data/image/media/image33327.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image33328.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![](./data/image/media/image33329.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} =![](./data/image/media/image33327.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image33328.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（![](./data/image/media/image33330.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣![](./data/image/media/image33327.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}） =![](./data/image/media/image33331.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![](./data/image/media/image33332.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image33333.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![](./data/image/media/image33334.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， 又![](./data/image/media/image33335.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ![](./data/image/media/image33334.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣![](./data/image/media/image33332.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}（λ∈R）， ∴![](./data/image/media/image33336.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（![](./data/image/media/image33337.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![](./data/image/media/image33338.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image33339.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![](./data/image/media/image33340.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}）•（λ![](./data/image/media/image33340.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣![](./data/image/media/image33338.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}） =（![](./data/image/media/image33341.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}λ﹣![](./data/image/media/image33339.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）![](./data/image/media/image33338.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image33342.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣![](./data/image/media/image33343.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}![](./data/image/media/image33344.png){width="0.28125in" height="0.2708333333333333in"}+![](./data/image/media/image33345.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}λ![](./data/image/media/image33346.png){width="0.28125in" height="0.2708333333333333in"} =（![](./data/image/media/image33343.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}λ﹣![](./data/image/media/image33345.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）×3×2×cos60°﹣![](./data/image/media/image33343.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×3^2^+![](./data/image/media/image33347.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}λ×2^2^=﹣4， ∴![](./data/image/media/image33348.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}λ=1， 解得λ=![](./data/image/media/image33349.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image33349.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． ![](./data/image/media/image33350.png){width="1.84375in" height="1.4583333333333333in"} 【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题． 　 **三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．** 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=![](./data/image/media/image9722.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}（a^2^﹣b^2^﹣c^2^） （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值． 【分析】（Ⅰ）由正弦定理得asinB=bsinA，结合asinA=4bsinB，得a=2b．再由![](./data/image/media/image33351.png){width="1.4791666666666667in" height="0.25in"}，得![](./data/image/media/image33352.png){width="1.40625in" height="0.3854166666666667in"}，代入余弦定理的推论可求cosA的值； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得![](./data/image/media/image33353.png){width="0.78125in" height="0.3854166666666667in"}，代入asinA=4bsinB，得sinB，进一步求得cosB．利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B﹣A）的值． 【解答】（Ⅰ）解：由![](./data/image/media/image33354.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}，得asinB=bsinA， 又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA， 两式作比得：![](./data/image/media/image33355.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，∴a=2b． 由![](./data/image/media/image33356.png){width="1.4791666666666667in" height="0.25in"}，得![](./data/image/media/image33357.png){width="1.40625in" height="0.3854166666666667in"}， 由余弦定理，得![](./data/image/media/image33358.png){width="2.3541666666666665in" height="0.5833333333333334in"}； （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得![](./data/image/media/image33359.png){width="0.78125in" height="0.3854166666666667in"}，代入asinA=4bsinB，得![](./data/image/media/image33360.png){width="1.25in" height="0.3854166666666667in"}． 由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角， ∴![](./data/image/media/image33361.png){width="1.6458333333333333in" height="0.3854166666666667in"}． 于是![](./data/image/media/image33362.png){width="1.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image33363.png){width="1.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 故![](./data/image/media/image33364.png){width="4.635416666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题． 　 16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： ---- ------------------------ ---------------------- ---------------- 连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万） 甲 70 5 60 乙 60 5 25 ---- ------------------------ ---------------------- ---------------- 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数． （I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域； （Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】（Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为![](./data/image/media/image33365.png){width="1.125in" height="1.125in"}，即![](./data/image/media/image33366.png){width="0.875in" height="1.125in"}． 该二元一次不等式组所表示的平面区域如图： （Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y． 考虑z=60x+25y，将它变形为![](./data/image/media/image33367.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，这是斜率为![](./data/image/media/image33368.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，随z变化的一族平行直线． ![](./data/image/media/image33369.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}为直线在y轴上的截距，当![](./data/image/media/image33369.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}取得最大值时，z的值最大． 又∵x，y满足约束条件， ∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距![](./data/image/media/image33369.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}最大，即z最大． 解方程组![](./data/image/media/image33370.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4166666666666667in"}，得点M的坐标为（6，3）． ∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多． ![](./data/image/media/image33371.png){width="2.792361111111111in" height="2.5631944444444446in"} 【点评】本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题． 　 17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2． （Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC； （Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值． ![](./data/image/media/image33372.png){width="2.5006944444444446in" height="1.5208333333333333in"} 【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值． （Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC． （Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值． 【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC， 故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角． 因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD． 在Rt△PDA中，由已知，得![](./data/image/media/image33373.png){width="1.3645833333333333in" height="0.25in"}， 故![](./data/image/media/image33374.png){width="1.3333333333333333in" height="0.3854166666666667in"}． 所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为![](./data/image/media/image33375.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC， 所以AD⊥PD． 又因为BC∥AD，所以PD⊥BC， 又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC． 解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF， 则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角． 因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影， 所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角． 由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1， 由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC， 在Rt△DCF中，可得![](./data/image/media/image33376.png){width="1.3333333333333333in" height="0.3854166666666667in"}． 所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为![](./data/image/media/image33377.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ![](./data/image/media/image33378.png){width="2.5006944444444446in" height="1.5208333333333333in"} 【点评】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，是中档题． 　 18．（13分）已知{a~n~}为等差数列，前n项和为S~n~（n∈N^\*^），{b~n~}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b~2~+b~3~=12，b~3~=a~4~﹣2a~1~，S~11~=11b~4~． （Ⅰ）求{a~n~}和{b~n~}的通项公式； （Ⅱ）求数列{a~2n~b~n~}的前n项和（n∈N^\*^）． 【分析】（Ⅰ）设等差数列{a~n~}的公差为d，等比数列{b~n~}的公比为q．通过b~2~+b~3~=12，求出q，得到![](./data/image/media/image33379.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}．然后求出公差d，推出a~n~=3n﹣2． （Ⅱ）设数列{a~2n~b~n~}的前n项和为T~n~，利用错位相减法，转化求解数列{a~2n~b~n~}的前n项和即可． 【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a~n~}的公差为d，等比数列{b~n~}的公比为q．由已知b~2~+b~3~=12，得![](./data/image/media/image33380.png){width="1.0097222222222222in" height="0.28125in"}，而b~1~=2，所以q^2^+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，![](./data/image/media/image33379.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}． 由b~3~=a~4~﹣2a~1~，可得3d﹣a~1~=8． 由S~11~=11b~4~，可得a~1~+5d=16，联立①②，解得a~1~=1，d=3， 由此可得a~n~=3n﹣2． 所以，{a~n~}的通项公式为a~n~=3n﹣2，{b~n~}的通项公式为![](./data/image/media/image33379.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}． （Ⅱ）解：设数列{a~2n~b~n~}的前n项和为T~n~，由a~2n~=6n﹣2，有![](./data/image/media/image33381.png){width="3.0833333333333335in" height="0.28125in"}，![](./data/image/media/image33382.png){width="4.415972222222222in" height="0.28125in"}， 上述两式相减，得![](./data/image/media/image33383.png){width="3.6979166666666665in" height="0.28125in"}=![](./data/image/media/image33384.png){width="3.4791666666666665in" height="0.4270833333333333in"}． 得![](./data/image/media/image33385.png){width="1.3958333333333333in" height="0.28125in"}． 所以，数列{a~2n~b~n~}的前n项和为（3n﹣4）2^n+2^+16． 【点评】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思想以及计算能力． 　 19．（14分）设a，b∈R，\|a\|≤1．已知函数f（x）=x^3^﹣6x^2^﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e^x^f（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e^x^的图象在公共点（x~0~，y~0~）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在x=x~0~处的导数等于0； （ii）若关于x的不等式g（x）≤e^x^在区间\[x~0~﹣1，x~0~+1\]上恒成立，求b的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f（x）的单调区间； （Ⅱ）（i）求出g（x）的导函数，由题意知![](./data/image/media/image33386.png){width="1.1034722222222222in" height="0.6979166666666666in"}，求解可得![](./data/image/media/image33387.png){width="0.9270833333333334in" height="0.5104166666666666in"}．得到f（x）在x=x~0~处的导数等于0； （ii）由（I）知x~0~=a．且f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x~0~=a时，f（x）≤f（a）=1在\[a﹣1，a+1\]上恒成立，从而g（x）≤e^x^在\[x~0~﹣1，x~0~+1\]上恒成立．由f（a）=a^3^﹣6a^2^﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a^3^﹣6a^2^+1，﹣1≤a≤1．构造函数t（x）=2x^3^﹣6x^2^+1，x∈\[﹣1，1\]，利用导数求其值域可得b的范围． 【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=x^3^﹣6x^2^﹣3a（a﹣4）x+b，可得f\'（x）=3x^2^﹣12x﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a））， 令f\'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由\|a\|≤1，得a＜4﹣a． 当x变化时，f\'（x），f（x）的变化情况如下表： ---------- ------------ ------------- -------------- x （﹣∞，a） （a，4﹣a） （4﹣a，+∞） f\'（x） \+ ﹣ \+ f（x） ↗ ↘ ↗ ---------- ------------ ------------- -------------- ∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）； （Ⅱ）（i）证明：∵g\'（x）=e^x^（f（x）+f\'（x）），由题意知![](./data/image/media/image33386.png){width="1.1034722222222222in" height="0.6979166666666666in"}， ∴![](./data/image/media/image33388.png){width="2.082638888888889in" height="0.6979166666666666in"}，解得![](./data/image/media/image33389.png){width="0.9270833333333334in" height="0.5104166666666666in"}． ∴f（x）在x=x~0~处的导数等于0； （ii）解：∵g（x）≤e^x^，x∈\[x~0~﹣1，x~0~+1\]，由e^x^＞0，可得f（x）≤1． 又∵f（x~0~）=1，f\'（x~0~）=0， 故x~0~为f（x）的极大值点，由（I）知x~0~=a． 另一方面，由于\|a\|≤1，故a+1＜4﹣a， 由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减， 故当x~0~=a时，f（x）≤f（a）=1在\[a﹣1，a+1\]上恒成立，从而g（x）≤e^x^在\[x~0~﹣1，x~0~+1\]上恒成立． 由f（a）=a^3^﹣6a^2^﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a^3^﹣6a^2^+1，﹣1≤a≤1． 令t（x）=2x^3^﹣6x^2^+1，x∈\[﹣1，1\]， ∴t\'（x）=6x^2^﹣12x， 令t\'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0． ∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域为\[﹣7，1\]． ∴b的取值范围是\[﹣7，1\]． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题． 　 20．（14分）已知椭圆![](./data/image/media/image33390.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![](./data/image/media/image33391.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为![](./data/image/media/image33392.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}． （I）求椭圆的离心率； （II）设点Q在线段AE上，\|FQ\|=![](./data/image/media/image33393.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c． （i）求直线FP的斜率； （ii）求椭圆的方程． 【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过![](./data/image/media/image33394.png){width="0.96875in" height="0.4270833333333333in"}．转化求解椭圆的离心率． （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为![](./data/image/media/image33395.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．通过a=2c，可得直线AE的方程为![](./data/image/media/image33396.png){width="0.6458333333333334in" height="0.375in"}，求解点Q的坐标为![](./data/image/media/image33397.png){width="1.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}．利用\|FQ\|=![](./data/image/media/image33398.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，求出m，然后求解直线FP的斜率． （ii）求出椭圆方程的表达式，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立通过![](./data/image/media/image33399.png){width="2.0104166666666665in" height="0.4479166666666667in"}，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得![](./data/image/media/image33400.png){width="0.96875in" height="0.4270833333333333in"}．又由b^2^=a^2^﹣c^2^，可得2c^2^+ac﹣a^2^=0，即2e^2^+e﹣1=0．又因为0＜e＜1，解得![](./data/image/media/image33401.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 所以，椭圆的离心率为![](./data/image/media/image33402.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为![](./data/image/media/image33403.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE的方程为![](./data/image/media/image33404.png){width="0.6458333333333334in" height="0.375in"}，即x+2y﹣2c=0，与直线FP的方程联立，可解得![](./data/image/media/image33405.png){width="1.4791666666666667in" height="0.3645833333333333in"}，即点Q的坐标为![](./data/image/media/image33406.png){width="1.3333333333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 由已知\|FQ\|=![](./data/image/media/image33407.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，有![](./data/image/media/image33408.png){width="2.40625in" height="0.3645833333333333in"}，整理得3m^2^﹣4m=0，所以![](./data/image/media/image33409.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，即直线FP的斜率为![](./data/image/media/image33410.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （ii）解：由a=2c，可得![](./data/image/media/image33411.png){width="0.5in" height="0.1875in"}，故椭圆方程可以表示为![](./data/image/media/image33412.png){width="0.9479166666666666in" height="0.4895833333333333in"}． 由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立![](./data/image/media/image33413.png){width="1.0520833333333333in" height="0.7291666666666666in"}消去y，整理得7x^2^+6cx﹣13c^2^=0，解得![](./data/image/media/image33414.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}（舍去），或x=c．因此可得点![](./data/image/media/image33415.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，进而可得![](./data/image/media/image33416.png){width="2.0104166666666665in" height="0.4479166666666667in"}，所以![](./data/image/media/image33417.png){width="2.0in" height="0.3645833333333333in"}．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP． 因为QN⊥FP，所以![](./data/image/media/image33418.png){width="2.46875in" height="0.3645833333333333in"}，所以¡÷FQN的面积为![](./data/image/media/image33419.png){width="1.3229166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，同理¡÷FPM的面积等于![](./data/image/media/image33420.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，由四边形PQNM的面积为3c，得![](./data/image/media/image33421.png){width="1.1979166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，整理得c^2^=2c，又由c＞0，得c=2． 所以，椭圆的方程为![](./data/image/media/image33422.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}． 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． 　 **\ 2017年山东省高考数学试卷（理科）** 　 **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.** 1．（5分）设函数y=![](./data/image/media/image33423.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（　　） A．（1，2） B．（1，2\] C．（﹣2，1） D．\[﹣2，1） 2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+![](./data/image/media/image33424.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}i，z•![](./data/image/media/image33425.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=4，则a=（　　） A．1或﹣1 B．![](./data/image/media/image33426.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}或﹣![](./data/image/media/image33426.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．﹣![](./data/image/media/image28718.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．![](./data/image/media/image28718.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a^2^＞b^2^，下列命题为真命题的是（　　） A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q 4．（5分）已知x，y满足约束条件![](./data/image/media/image33427.png){width="0.875in" height="0.6458333333333334in"}，则z=x+2y的最大值是（　　） A．0 B．2 C．5 D．6 5．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为![](./data/image/media/image33428.png){width="0.15625in" height="0.3125in"}=![](./data/image/media/image33429.png){width="0.15625in" height="0.3020833333333333in"}x+![](./data/image/media/image33430.png){width="0.15625in" height="0.3020833333333333in"}，已知![](./data/image/media/image33431.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}x~i~=22.5，![](./data/image/media/image33432.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}y~i~=160，![](./data/image/media/image33433.png){width="0.15625in" height="0.3020833333333333in"}=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（　　） A．160 B．163 C．166 D．170 6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（　　） ![](./data/image/media/image33434.png){width="2.4270833333333335in" height="3.71875in"} A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0 7．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（　　） A．a+![](./data/image/media/image33435.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜![](./data/image/media/image33436.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＜log~2~（a+b）） B．![](./data/image/media/image33437.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}＜log~2~（a+b）＜a+![](./data/image/media/image33438.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．a+![](./data/image/media/image33438.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜log~2~（a+b）＜![](./data/image/media/image33437.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"} D．log~2~（a+b））＜a+![](./data/image/media/image33438.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜![](./data/image/media/image33437.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"} 8．（5分）从分别标有1，2，...，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（　　） A．![](./data/image/media/image33439.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．![](./data/image/media/image33440.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![](./data/image/media/image33441.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![](./data/image/media/image33442.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（　　） A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A 10．（5分）已知当x∈\[0，1\]时，函数y=（mx﹣1）^2^ 的图象与y=![](./data/image/media/image33443.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（　　） A．（0，1\]∪\[2![](./data/image/media/image33444.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，+∞） B．（0，1\]∪\[3，+∞） C．（0，![](./data/image/media/image33445.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）∪\[2![](./data/image/media/image33444.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，+∞） D．（0，![](./data/image/media/image33445.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}\]∪\[3，+∞） 　 **二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分** 11．（5分）已知（1+3x）^n^的展开式中含有x^2^的系数是54，则n=[　 　]{.underline}． 12．（5分）已知![](./data/image/media/image33446.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}，![](./data/image/media/image33447.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"} 是互相垂直的单位向量，若![](./data/image/media/image33448.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}![](./data/image/media/image33449.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}﹣![](./data/image/media/image33447.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"} 与![](./data/image/media/image33449.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}+λ![](./data/image/media/image33447.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}的夹角为60°，则实数λ的值是[　 　]{.underline}． 13．（5分）由一个长方体和两个![](./data/image/media/image33450.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为[　 　]{.underline}． ![](./data/image/media/image33451.png){width="3.229861111111111in" height="1.9270833333333333in"} 14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线![](./data/image/media/image33452.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x^2^=2py（p＞0）交于A，B两点，若\|AF\|+\|BF\|=4\|OF\|，则该双曲线的渐近线方程为[　 　]{.underline}． 15．（5分）若函数e^x^f（x）（e≈2.71828...是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为[　 　]{.underline}． ①f（x）=2^﹣x^②f（x）=3^﹣x^③f（x）=x^3^④f（x）=x^2^+2． 　 **三、解答题（共6小题，满分75分）** 16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣![](./data/image/media/image33453.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+sin（ωx﹣![](./data/image/media/image33454.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），其中0＜ω＜3，已知f（![](./data/image/media/image33453.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=0． （Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移![](./data/image/media/image33455.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在\[﹣![](./data/image/media/image33455.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image33456.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上的最小值． 17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是![](./data/image/media/image33457.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的中点． （Ⅰ）设P是![](./data/image/media/image33458.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； （Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小． ![](./data/image/media/image33459.png){width="1.3541666666666667in" height="1.4166666666666667in"} 18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A~1~，A~2~，A~3~，A~4~，A~5~，A~6~和4名女志愿者B~1~，B~2~，B~3~，B~4~，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． （Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A~1~但不包含B~1~的概率． （Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX． 19．（12分）已知{x~n~}是各项均为正数的等比数列，且x~1~+x~2~=3，x~3~﹣x~2~=2． （Ⅰ）求数列{x~n~}的通项公式； （Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P~1~（x~1~，1），P~2~（x~2~，2）...P~n+1~（x~n+1~，n+1）得到折线P~1~ P~2~...P~n+1~，求由该折线与直线y=0，x=x~1~，x=x~n+1~所围成的区域的面积T~n~． ![](./data/image/media/image33460.png){width="1.9270833333333333in" height="1.1979166666666667in"} 20．（13分）已知函数f（x）=x^2^+2cosx，g（x）=e^x^（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.71828...是自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：![](./data/image/media/image33461.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的离心率为![](./data/image/media/image33462.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，焦距为2． （Ⅰ）求椭圆E的方程． （Ⅱ）如图，动直线l：y=k~1~x﹣![](./data/image/media/image17089.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k~2~，且k~1~k~2~=![](./data/image/media/image33463.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，M是线段OC延长线上一点，且\|MC\|：\|AB\|=2：3，⊙M的半径为\|MC\|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率． ![](./data/image/media/image33464.png){width="2.207638888888889in" height="2.0416666666666665in"} 　 **2017年山东省高考数学试卷（文科）** 　 **一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。** 1．（5分）设集合M={x\|\|x﹣1\|＜1}，N={x\|x＜2}，则M∩N=（　　） A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2） 2．（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z^2^=（　　） A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2 3．（5分）已知x，y满足约束条件![](./data/image/media/image33465.png){width="0.875in" height="0.6458333333333334in"}则z=x+2y的最大值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 4．（5分）已知cosx=![](./data/image/media/image33466.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则cos2x=（　　） A．﹣![](./data/image/media/image22107.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![](./data/image/media/image22107.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．﹣![](./data/image/media/image33467.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![](./data/image/media/image33467.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 5．（5分）已知命题p：∃x∈R，x^2^﹣x+1≥0．命题q：若a^2^＜b^2^，则a＜b，下列命题为真命题的是（　　） A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q 6．（5分）若执行右侧的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（　　） ![](./data/image/media/image33468.png){width="1.5104166666666667in" height="2.729861111111111in"} A．x＞3 B．x＞4 C．x≤4 D．x≤5 7．（5分）函数y=![](./data/image/media/image33469.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin2x+cos2x的最小正周期为（　　） A．![](./data/image/media/image33470.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．![](./data/image/media/image33471.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} C．π D．2π 8．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（　　） ![](./data/image/media/image33472.png){width="1.59375in" height="0.9375in"} A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7 9．（5分）设f（x）=![](./data/image/media/image33473.png){width="1.125in" height="0.4583333333333333in"}若f（a）=f（a+1），则f（![](./data/image/media/image33474.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 10．（5分）若函数e^x^f（x）（e=2.71828...是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（　　） A．f（x）=2^﹣x^ B．f（x）=x^2^ C．f（x）=3^﹣x^ D．f（x）=cosx 　 **二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分** 11．（5分）已知向量![](./data/image/media/image33475.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（2，6），![](./data/image/media/image33476.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，λ），若![](./data/image/media/image33477.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，则λ=[　 　]{.underline}． 12．（5分）若直线![](./data/image/media/image33478.png){width="0.375in" height="0.375in"}=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为[　 　]{.underline}． 13．（5分）由一个长方体和两个![](./data/image/media/image33479.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为[　 　]{.underline}． ![](./data/image/media/image33480.png){width="3.229861111111111in" height="1.9270833333333333in"} 14．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）=f（x﹣2）．若当x∈\[﹣3，0\]时，f（x）=6^﹣x^，则f（919）=[　 　]{.underline}． 15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线![](./data/image/media/image33481.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x^2^=2py（p＞0）交于A，B两点，若\|AF\|+\|BF\|=4\|OF\|，则该双曲线的渐近线方程为[　 　]{.underline}． 　 **三、解答题** 16．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A~1~，A~2~，A~3~和3个欧洲国家B~1~，B~2~，B~3~中选择2个国家去旅游． （Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率； （Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A~1~但不包括B~1~的概率． 17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，![](./data/image/media/image33482.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=﹣6，S~△ABC~=3，求A和a． 18．（12分）由四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~截去三棱锥C~1~﹣B~1~CD~1~后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A~1~E⊥平面ABCD， （Ⅰ）证明：A~1~O∥平面B~1~CD~1~； （Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A~1~EM⊥平面B~1~CD~1~． ![](./data/image/media/image33483.png){width="2.5944444444444446in" height="1.1034722222222222in"} 19．（12分）已知{a~n~}是各项均为正数的等比数列，且a~1~+a~2~=6，a~1~a~2~=a~3~． （1）求数列{a~n~}通项公式； （2）{b~n~} 为各项非零的等差数列，其前n项和为S~n~，已知S~2n+1~=b~n~b~n+1~，求数列![](./data/image/media/image33484.png){width="0.4375in" height="0.4791666666666667in"}的前n项和T~n~． 20．（13分）已知函数f（x）=![](./data/image/media/image33485.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x^3^﹣![](./data/image/media/image33486.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}ax^2^，a∈R， （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：![](./data/image/media/image33487.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的离心率为![](./data/image/media/image33488.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2![](./data/image/media/image33489.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为\|NO\|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值． ![](./data/image/media/image33490.png){width="2.3541666666666665in" height="2.542361111111111in"} 　 2017年江苏省高考数学试卷 ======================== 　 **一.填空题** 1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a^2^+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为[　 　]{.underline}． 2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是[　 　]{.underline}． 3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取[　 　]{.underline}件． 4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为![](./data/image/media/image33491.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，则输出y的值是[　 　]{.underline}． ![](./data/image/media/image33492.png){width="2.1666666666666665in" height="2.7715277777777776in"} 5．（5分）若tan（α﹣![](./data/image/media/image33493.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![](./data/image/media/image33494.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．则tanα=[　 　]{.underline}． 6．（5分）如图，在圆柱O~1~O~2~内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O~1~O~2~的体积为V~1~，球O的体积为V~2~，则![](./data/image/media/image33495.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}的值是[　 　]{.underline}． ![](./data/image/media/image33496.png){width="1.1347222222222222in" height="1.59375in"} 7．（5分）记函数f（x）=![](./data/image/media/image33497.png){width="0.65625in" height="0.25in"}定义域为D．在区间\[﹣4，5\]上随机取一个数x，则x∈D的概率是[　 　]{.underline}． 8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线![](./data/image/media/image33498.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣y^2^=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F~1~，F~2~，则四边形F~1~PF~2~Q的面积是[　 　]{.underline}． 9．（5分）等比数列{a~n~}的各项均为实数，其前n项和为S~n~，已知S~3~=![](./data/image/media/image33499.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，S~6~=![](./data/image/media/image33500.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，则a~8~=[　 　]{.underline}． 10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是[　 　]{.underline}． 11．（5分）已知函数f（x）=x^3^﹣2x+e^x^﹣![](./data/image/media/image33501.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a^2^）≤0．则实数a的取值范围是[　 　]{.underline}． 12．（5分）如图，在同一个平面内，向量![](./data/image/media/image33502.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image33503.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image33504.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的模分别为1，1，![](./data/image/media/image13354.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，![](./data/image/media/image33502.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}与![](./data/image/media/image33504.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为α，且tanα=7，![](./data/image/media/image33505.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}与![](./data/image/media/image33506.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为45°．若![](./data/image/media/image33506.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=m![](./data/image/media/image33507.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+n![](./data/image/media/image33505.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}（m，n∈R），则m+n=[　 　]{.underline}． ![](./data/image/media/image33508.png){width="1.2395833333333333in" height="1.34375in"} 13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x^2^+y^2^=50上．若![](./data/image/media/image33509.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}≤20，则点P的横坐标的取值范围是[　 　]{.underline}． 14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间\[0，1）上，f（x）=![](./data/image/media/image33510.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4895833333333333in"}，其中集合D={x\|x=![](./data/image/media/image33511.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，n∈N^\*^}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是[　 　]{.underline}． 　 **二.解答题** 15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC． ![](./data/image/media/image33512.png){width="1.71875in" height="1.4375in"} 16．（14分）已知向量![](./data/image/media/image33513.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（cosx，sinx），![](./data/image/media/image33514.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（3，﹣![](./data/image/media/image33515.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），x∈\[0，π\]． （1）若![](./data/image/media/image33516.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，求x的值； （2）记f（x）=![](./data/image/media/image33517.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}![](./data/image/media/image33518.png){width="0.20833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值． 17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：![](./data/image/media/image33519.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，离心率为![](./data/image/media/image9183.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F~1~作直线PF~1~的垂线l~1~，过点F~2~作直线PF~2~的垂线l~2~． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线l~1~，l~2~的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标． ![](./data/image/media/image33520.png){width="2.1979166666666665in" height="1.9270833333333333in"} 18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10![](./data/image/media/image18549.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E~1~G~1~的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC~1~上，求l没入水中部分的长度； （2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG~1~上，求l没入水中部分的长度． ![](./data/image/media/image33521.png){width="3.886111111111111in" height="1.8854166666666667in"} 19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{a~n~}满足：a~n﹣k~+a~n﹣k+1~+...+a~n﹣1~+a~n+1~+...+a~n+k﹣1~+a~n+k~=2ka~n~对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a~n~}是"P（k）数列"． （1）证明：等差数列{a~n~}是"P（3）数列"； （2）若数列{a~n~}既是"P（2）数列"，又是"P（3）数列"，证明：{a~n~}是等差数列． 20．（16分）已知函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点． （Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （Ⅱ）证明：b^2^＞3a； （Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣![](./data/image/media/image33522.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求实数a的取值范围． 　 **二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）** 21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足． 求证：（1）∠PAC=∠CAB； （2）AC^2^ =AP•AB． ![](./data/image/media/image33523.png){width="1.6875in" height="0.96875in"} 　 **\[选修4-2：矩阵与变换\]** 22．已知矩阵A=![](./data/image/media/image33524.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}，B=![](./data/image/media/image33525.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}． （1）求AB； （2）若曲线C~1~：![](./data/image/media/image33526.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4375in"}=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C~2~，求C~2~的方程． 　 **\[选修4-4：坐标系与参数方程\]** 23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为![](./data/image/media/image33527.png){width="0.625in" height="0.59375in"}（t为参数），曲线C的参数方程为![](./data/image/media/image33528.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值． 　 **［选修4-5：不等式选讲］** 24．已知a，b，c，d为实数，且a^2^+b^2^=4，c^2^+d^2^=16，证明ac+bd≤8． 　 **【必做题】** 25．如图，在平行六面体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA~1~=![](./data/image/media/image24654.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∠BAD=120°． （1）求异面直线A~1~B与AC~1~所成角的余弦值； （2）求二面角B﹣A~1~D﹣A的正弦值． ![](./data/image/media/image33529.png){width="2.1666666666666665in" height="1.2708333333333333in"} 26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N^\*^，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，...，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，...，m+n）． --- --- --- ----- ----- 1 2 3 ... m+n --- --- --- ----- ----- （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p； （2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜![](./data/image/media/image33530.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 　 **2017年浙江省高考数学试卷** 　 **一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）** 1．（4分）已知集合P={x\|﹣1＜x＜1}，Q={x\|0＜x＜2}，那么P∪Q=（　　） A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2） 2．（4分）椭圆![](./data/image/media/image33531.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![](./data/image/media/image33532.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1的离心率是（　　） A．![](./data/image/media/image33533.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} B．![](./data/image/media/image33534.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．![](./data/image/media/image33535.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![](./data/image/media/image33536.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 3．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm^3^）是（　　） ![](./data/image/media/image33537.png){width="1.3854166666666667in" height="1.8020833333333333in"} A．![](./data/image/media/image16729.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+1 B．![](./data/image/media/image16729.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+3 C．![](./data/image/media/image33538.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+1 D．![](./data/image/media/image33538.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+3 4．（4分）若x、y满足约束条件![](./data/image/media/image33539.png){width="0.7916666666666666in" height="0.6458333333333334in"}，则z=x+2y的取值范围是（　　） A．\[0，6\] B．\[0，4\] C．\[6，+∞） D．\[4，+∞） 5．（4分）若函数f（x）=x^2^+ax+b在区间\[0，1\]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（　　） A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 6．（4分）已知等差数列{a~n~}的公差为d，前n项和为S~n~，则"d＞0"是"S~4~+S~6~＞2S~5~"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（　　） ![](./data/image/media/image33540.png){width="1.1458333333333333in" height="0.9895833333333334in"} A．![](./data/image/media/image33541.png){width="1.0625in" height="0.8645833333333334in"} B．![](./data/image/media/image33542.png){width="1.0722222222222222in" height="0.8541666666666666in"} C．![](./data/image/media/image33543.png){width="0.9895833333333334in" height="0.8333333333333334in"} D．![](./data/image/media/image33544.png){width="1.0625in" height="0.8645833333333334in"} 8．（4分）已知随机变量ξ~i~满足P（ξ~i~=1）=p~i~，P（ξ~i~=0）=1﹣p~i~，i=1，2．若0＜p~1~＜p~2~＜![](./data/image/media/image14426.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则（　　） A．E（ξ~1~）＜E（ξ~2~），D（ξ~1~）＜D（ξ~2~） B．E（ξ~1~）＜E（ξ~2~），D（ξ~1~）＞D（ξ~2~） C．E（ξ~1~）＞E（ξ~2~），D（ξ~1~）＜D（ξ~2~） D．E（ξ~1~）＞E（ξ~2~），D（ξ~1~）＞D（ξ~2~） 9．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，![](./data/image/media/image33545.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33546.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（　　） ![](./data/image/media/image33547.png){width="1.5in" height="1.28125in"} A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I~1~=![](./data/image/media/image33548.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image33549.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，I~2~=![](./data/image/media/image33550.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image33551.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，I~3~=![](./data/image/media/image33551.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image33552.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，则（　　） ![](./data/image/media/image33553.png){width="0.9583333333333334in" height="1.0409722222222222in"} A．I~1~＜I~2~＜I~3~ B．I~1~＜I~3~＜I~2~ C．I~3~＜I~1~＜I~2~ D．I~2~＜I~1~＜I~3~ 　 **二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分** 11．（4分）我国古代数学家刘徽创立的"割圆术"可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了"割圆术"，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，"割圆术"的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S~6~，S~6~=[　 　]{.underline}． 12．（6分）已知a、b∈R，（a+bi）^2^=3+4i（i是虚数单位），则a^2^+b^2^=[　 　]{.underline}，ab=[　 　]{.underline}． 13．（6分）已知多项式（x+1）^3^（x+2）^2^=x^5^+a~1~x^4^+a~2~x^3^+a~3~x^2^+a~4~x+a~5~，则a~4~=[　 　]{.underline}，a~5~=[　 　]{.underline}． 14．（6分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是[　 　]{.underline}，cos∠BDC=[　 　]{.underline}． 15．（6分）已知向量![](./data/image/media/image33554.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}、![](./data/image/media/image33555.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足\|![](./data/image/media/image33554.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，\|![](./data/image/media/image33555.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=2，则\|![](./data/image/media/image33556.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image33557.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|+\|![](./data/image/media/image33556.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![](./data/image/media/image33557.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|的最小值是[　 　]{.underline}，最大值是[　 　]{.underline}． 16．（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有[　 　]{.underline}种不同的选法．（用数字作答） 17．（4分）已知a∈R，函数f（x）=\|x+![](./data/image/media/image33558.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a\|+a在区间\[1，4\]上的最大值是5，则a的取值范围是[　 　]{.underline}． 　 **三、解答题（共5小题，满分74分）** 18．（14分）已知函数f（x）=sin^2^x﹣cos^2^x﹣2![](./data/image/media/image33559.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinx cosx（x∈R）． （Ⅰ）求f（![](./data/image/media/image33560.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）的值． （Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间． 19．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点． （Ⅰ）证明：CE∥平面PAB； （Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值． ![](./data/image/media/image33561.png){width="1.875in" height="1.4166666666666667in"} 20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣![](./data/image/media/image33562.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}）e^﹣x^（x≥![](./data/image/media/image14457.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间\[![](./data/image/media/image14457.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）上的取值范围． 21．（15分）如图，已知抛物线x^2^=y，点A（﹣![](./data/image/media/image14457.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image33563.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），B（![](./data/image/media/image33564.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image33565.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），抛物线上的点P（x，y）（﹣![](./data/image/media/image21922.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x＜![](./data/image/media/image33566.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． （Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求\|PA\|•\|PQ\|的最大值． ![](./data/image/media/image33567.png){width="1.5208333333333333in" height="1.3958333333333333in"} 22．（15分）已知数列{x~n~}满足：x~1~=1，x~n~=x~n+1~+ln（1+x~n+1~）（n∈N^\*^），证明：当n∈N^\*^时， （Ⅰ）0＜x~n+1~＜x~n~； （Ⅱ）2x~n+1~﹣x~n~≤![](./data/image/media/image33568.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4270833333333333in"}； （Ⅲ）![](./data/image/media/image33569.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}≤x~n~≤![](./data/image/media/image33570.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}． 　 **2017年上海市高考数学试卷** 　 **一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）** 1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=[　 　]{.underline}． 2．（4分）若排列数![](./data/image/media/image33571.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=6×5×4，则m=[　 　]{.underline}． 3．（4分）不等式![](./data/image/media/image33572.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}＞1的解集为[　 　]{.underline}． 4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于[　 　]{.underline}． 5．（4分）已知复数z满足z+![](./data/image/media/image33573.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=0，则\|z\|=[　 　]{.underline}． 6．（4分）设双曲线![](./data/image/media/image33574.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image33575.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（b＞0）的焦点为F~1~、F~2~，P为该双曲线上的一点，若\|PF~1~\|=5，则\|PF~2~\|=[　 　]{.underline}． 7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若![](./data/image/media/image33576.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}的坐标为（4，3，2），则![](./data/image/media/image33577.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}的坐标是[　 　]{.underline}． ![](./data/image/media/image33578.png){width="1.6145833333333333in" height="1.3854166666666667in"} 8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f^﹣1^（x），若g（x）=![](./data/image/media/image33579.png){width="0.9895833333333334in" height="0.4895833333333333in"}为奇函数，则f^﹣1^（x）=2的解为[　 　]{.underline}． 9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣![](./data/image/media/image33580.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，③y=x^3^，④y=x![](./data/image/media/image33581.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，从中任选2个，则事件"所选2个函数的图象有且仅有一个公共点"的概率为[　 　]{.underline}． 10．（5分）已知数列{a~n~}和{b~n~}，其中a~n~=n^2^，n∈N^\*^，{b~n~}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N^\*^，{b~n~}的第a~n~项等于{a~n~}的第b~n~项，则![](./data/image/media/image33582.png){width="1.2395833333333333in" height="0.4895833333333333in"}=[　 　]{.underline}． 11．（5分）设a~1~、a~2~∈R，且![](./data/image/media/image33583.png){width="1.8854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，则\|10π﹣a~1~﹣a~2~\|的最小值等于[　 　]{.underline}． 12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P~1~、P~2~、P~3~、P~4~以及四个标记为"▲"的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P~1~，P~2~，P~3~，P~4~}，点P∈Ω，过P作直线l~P~，使得不在l~P~上的"▲"的点分布在l~P~的两侧．用D~1~（l~P~）和D~2~（l~P~）分别表示l~P~一侧和另一侧的"▲"的点到l~P~的距离之和．若过P的直线l~P~中有且只有一条满足D~1~（l~P~）=D~2~（l~P~），则Ω中所有这样的P为[　 　]{.underline}． ![](./data/image/media/image33584.png){width="2.0in" height="1.4895833333333333in"} 　 **二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）** 13．（5分）关于x、y的二元一次方程组![](./data/image/media/image33585.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}的系数行列式D为（　　） A．![](./data/image/media/image33586.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} B．![](./data/image/media/image33587.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} C．![](./data/image/media/image33588.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} D．![](./data/image/media/image33589.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} 14．（5分）在数列{a~n~}中，a~n~=（﹣![](./data/image/media/image33590.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^n^，n∈N^\*^，则![](./data/image/media/image33591.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}a~n~（　　） A．等于![](./data/image/media/image33592.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} B．等于0 C．等于![](./data/image/media/image33590.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．不存在 15．（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x~n~}的通项x~n~=an^2^+bn+c，n∈N^\*^，则"存在k∈N^\*^，使得x~100+k~、x~200+k~、x~300+k~成等差数列"的一个必要条件是（　　） A．a≥0 B．b≤0 C．c=0 D．a﹣2b+c=0 16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C~1~：![](./data/image/media/image33593.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4375in"}=1和C~2~：x^2^+![](./data/image/media/image33594.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1．P为C~1~上的动点，Q为C~2~上的动点，w是![](./data/image/media/image33595.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的最大值．记Ω={（P，Q）\|P在C~1~上，Q在C~2~上，且![](./data/image/media/image33595.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=w}，则Ω中元素个数为（　　） A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个 　 **三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）** 17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA~1~的长为5． （1）求三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的体积； （2）设M是BC中点，求直线A~1~M与平面ABC所成角的大小． ![](./data/image/media/image33596.png){width="1.2291666666666667in" height="1.3020833333333333in"} 18．（14分）已知函数f（x）=cos^2^x﹣sin^2^x+![](./data/image/media/image23155.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，x∈（0，π）． （1）求f（x）的单调递增区间； （2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=![](./data/image/media/image33597.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积． 19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N^\*^）个月共享单车的投放量和损失量分别为a~n~和b~n~（单位：辆），其中a~n~=![](./data/image/media/image33598.png){width="1.5520833333333333in" height="0.59375in"}，b~n~=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S~n~=﹣4（n﹣46）^2^+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：![](./data/image/media/image33599.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4270833333333333in"}=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点． （1）若P在第一象限，且\|OP\|=![](./data/image/media/image33600.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求P的坐标； （2）设P（![](./data/image/media/image33601.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标； （3）若\|MA\|=\|MP\|，直线AQ与Γ交于另一点C，且![](./data/image/media/image33602.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image33603.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，求直线AQ的方程． 21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x~1~、x~2~∈R，当x~1~＜x~2~时，都有f（x~1~）≤f（x~2~）． （1）若f（x）=ax^3^+1，求a的取值范围； （2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数； （3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明："h（x）是周期函数"的充要条件是"f（x）是常值函数"． 　 2017年江苏省高考数学试卷 ======================== **参考答案与试题解析** 　 **一.填空题** 1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a^2^+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为[　1　]{.underline}． 【分析】利用交集定义直接求解． 【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a^2^+3}．A∩B={1}， ∴a=1或a^2^+3=1， 当a=1时，A={1，1}，B={1，4}，成立； a^2^+3=1无解． 综上，a=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用． 　 2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是[　]{.underline}![](./data/image/media/image33604.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i， ∴\|z\|=![](./data/image/media/image33605.png){width="0.8645833333333334in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image33604.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image33604.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取[　18　]{.underline}件． 【分析】由题意先求出抽样比例即为![](./data/image/media/image33606.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目． 【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60件进行检验，抽样比例为![](./data/image/media/image33607.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33608.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 则应从丙种型号的产品中抽取300×![](./data/image/media/image33608.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=18件， 故答案为：18 【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取． 　 4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为![](./data/image/media/image33609.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，则输出y的值是[　﹣2　]{.underline}． ![](./data/image/media/image33610.png){width="2.1666666666666665in" height="2.7715277777777776in"} 【分析】直接模拟程序即得结论． 【解答】解：初始值x=![](./data/image/media/image33611.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，不满足x≥1， 所以y=2+log~2~![](./data/image/media/image33611.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=2﹣![](./data/image/media/image33612.png){width="0.5729166666666666in" height="0.28125in"}=﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题． 　 5．（5分）若tan（α﹣![](./data/image/media/image33613.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![](./data/image/media/image33614.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．则tanα=[　]{.underline}![](./data/image/media/image33615.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可 【解答】解：∵tan（α﹣![](./data/image/media/image33616.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![](./data/image/media/image33617.png){width="1.1034722222222222in" height="0.7604166666666666in"}=![](./data/image/media/image33618.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33619.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ∴6tanα﹣6=tanα+1， 解得tanα=![](./data/image/media/image33615.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：![](./data/image/media/image33615.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题 　 6．（5分）如图，在圆柱O~1~O~2~内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O~1~O~2~的体积为V~1~，球O的体积为V~2~，则![](./data/image/media/image33620.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}的值是[　]{.underline}![](./data/image/media/image33621.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． ![](./data/image/media/image33622.png){width="1.1347222222222222in" height="1.59375in"} 【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果． 【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：![](./data/image/media/image33623.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}R^3^， 圆柱的体积为：πR^2^•2R=2πR^3^． 则![](./data/image/media/image33620.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![](./data/image/media/image33624.png){width="0.53125in" height="0.6770833333333334in"}=![](./data/image/media/image33625.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image33625.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 7．（5分）记函数f（x）=![](./data/image/media/image33626.png){width="0.65625in" height="0.25in"}定义域为D．在区间\[﹣4，5\]上随机取一个数x，则x∈D的概率是[　]{.underline}![](./data/image/media/image33627.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 【解答】解：由6+x﹣x^2^≥0得x^2^﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3， 则D=\[﹣2，3\]， 则在区间\[﹣4，5\]上随机取一个数x，则x∈D的概率P=![](./data/image/media/image33628.png){width="0.5513888888888889in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33629.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：![](./data/image/media/image33629.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键． 　 8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线![](./data/image/media/image33630.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣y^2^=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F~1~，F~2~，则四边形F~1~PF~2~Q的面积是[　]{.underline}![](./data/image/media/image33631.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积． 【解答】解：双曲线![](./data/image/media/image33630.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣y^2^=1的右准线：x=![](./data/image/media/image33632.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，双曲线渐近线方程为：y=±![](./data/image/media/image33633.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}x， 所以P（![](./data/image/media/image33634.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image33635.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），Q（![](./data/image/media/image33634.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，﹣![](./data/image/media/image33635.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），F~1~（﹣2，0）．F~2~（2，0）． 则四边形F~1~PF~2~Q的面积是：![](./data/image/media/image33636.png){width="0.78125in" height="0.3645833333333333in"}=2![](./data/image/media/image33637.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：2![](./data/image/media/image33637.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 　 9．（5分）等比数列{a~n~}的各项均为实数，其前n项和为S~n~，已知S~3~=![](./data/image/media/image33638.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，S~6~=![](./data/image/media/image33639.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，则a~8~=[　32　]{.underline}． 【分析】设等比数列{a~n~}的公比为q≠1，S~3~=![](./data/image/media/image33638.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，S~6~=![](./data/image/media/image33639.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，可得![](./data/image/media/image33640.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=![](./data/image/media/image33641.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image33642.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=![](./data/image/media/image33643.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，联立解出即可得出． 【解答】解：设等比数列{a~n~}的公比为q≠1， ∵S~3~=![](./data/image/media/image33641.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，S~6~=![](./data/image/media/image33643.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，∴![](./data/image/media/image33644.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=![](./data/image/media/image33641.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image33642.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=![](./data/image/media/image33645.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 解得a~1~=![](./data/image/media/image33646.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，q=2． 则a~8~=![](./data/image/media/image33647.png){width="0.5201388888888889in" height="0.3645833333333333in"}=32． 故答案为：32． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是[　30　]{.underline}． 【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=![](./data/image/media/image33648.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}+4x，利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=![](./data/image/media/image33648.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}+4x≥4×2×![](./data/image/media/image33649.png){width="0.59375in" height="0.3854166666666667in"}=240（万元）． 当且仅当x=30时取等号． 故答案为：30． 【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 11．（5分）已知函数f（x）=x^3^﹣2x+e^x^﹣![](./data/image/media/image33650.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a^2^）≤0．则实数a的取值范围是[　\[﹣1，]{.underline}![](./data/image/media/image33651.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[\]　]{.underline}． 【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a^2^≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围． 【解答】解：函数f（x）=x^3^﹣2x+e^x^﹣![](./data/image/media/image33650.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的导数为： f′（x）=3x^2^﹣2+e^x^+![](./data/image/media/image33650.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}≥﹣2+2![](./data/image/media/image33652.png){width="0.625in" height="0.4479166666666667in"}=0， 可得f（x）在R上递增； 又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）^3^+2x+e^﹣x^﹣e^x^+x^3^﹣2x+e^x^﹣![](./data/image/media/image33653.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=0， 可得f（x）为奇函数， 则f（a﹣1）+f（2a^2^）≤0， 即有f（2a^2^）≤﹣f（a﹣1） 由f（﹣（a﹣1））=﹣f（a﹣1）， f（2a^2^）≤f（1﹣a）， 即有2a^2^≤1﹣a， 解得﹣1≤a≤![](./data/image/media/image33654.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：\[﹣1，![](./data/image/media/image33654.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]． 【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题． 　 12．（5分）如图，在同一个平面内，向量![](./data/image/media/image33655.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image33656.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image33657.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的模分别为1，1，![](./data/image/media/image33658.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，![](./data/image/media/image33655.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}与![](./data/image/media/image33659.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为α，且tanα=7，![](./data/image/media/image33660.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}与![](./data/image/media/image33659.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为45°．若![](./data/image/media/image33659.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=m![](./data/image/media/image33661.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+n![](./data/image/media/image33660.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}（m，n∈R），则m+n=[　3　]{.underline}． ![](./data/image/media/image33662.png){width="1.2395833333333333in" height="1.34375in"} 【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由![](./data/image/media/image33661.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}与![](./data/image/media/image33663.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=![](./data/image/media/image33664.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，sinα=![](./data/image/media/image33665.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}．C![](./data/image/media/image33666.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．可得cos（α+45^°^）=![](./data/image/media/image33667.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}．sin（α+45^°^）=![](./data/image/media/image33668.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}．B![](./data/image/media/image33669.png){width="0.75in" height="0.3645833333333333in"}．利用![](./data/image/media/image33670.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=m![](./data/image/media/image33671.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+n![](./data/image/media/image33672.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}（m，n∈R），即可得出． 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）． 由![](./data/image/media/image33671.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}与![](./data/image/media/image33670.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为α，且tanα=7． ∴cosα=![](./data/image/media/image33673.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，sinα=![](./data/image/media/image33674.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． ∴C![](./data/image/media/image33675.png){width="0.6666666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． cos（α+45^°^）=![](./data/image/media/image33676.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}（cosα﹣sinα）=![](./data/image/media/image33677.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． sin（α+45^°^）=![](./data/image/media/image33676.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}（sinα+cosα）=![](./data/image/media/image33678.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ∴B![](./data/image/media/image33679.png){width="0.75in" height="0.3645833333333333in"}． ∵![](./data/image/media/image33680.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=m![](./data/image/media/image33681.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+n![](./data/image/media/image33682.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}（m，n∈R）， ∴![](./data/image/media/image33683.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=m﹣![](./data/image/media/image33684.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}n，![](./data/image/media/image33685.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=0+![](./data/image/media/image33686.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}n， 解得n=![](./data/image/media/image33687.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，m=![](./data/image/media/image33688.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 则m+n=3． 故答案为：3． ![](./data/image/media/image33689.png){width="1.75in" height="1.7291666666666667in"} 【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x^2^+y^2^=50上．若![](./data/image/media/image33690.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}≤20，则点P的横坐标的取值范围是[　\[﹣5]{.underline}![](./data/image/media/image33691.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}[，1\]　]{.underline}． 【分析】根据题意，设P（x~0~，y~0~），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x~0~+y~0~+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案． 【解答】解：根据题意，设P（x~0~，y~0~），则有x~0~^2^+y~0~^2^=50， ![](./data/image/media/image33692.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣12﹣x~0~，﹣y~0~）•（﹣x~0~，6﹣y~0~）=（12+x~0~）x~0~﹣y~0~（6﹣y~0~）=12x~0~+6y+x~0~^2^+y~0~^2^≤20， 化为：12x~0~﹣6y~0~+30≤0， 即2x~0~﹣y~0~+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域， 联立![](./data/image/media/image33693.png){width="1.0520833333333333in" height="0.5833333333333334in"}，解可得x~0~=﹣5或x~0~=1， 结合图形分析可得：点P的横坐标x~0~的取值范围是\[﹣5![](./data/image/media/image33691.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，1\]， 故答案为：\[﹣5![](./data/image/media/image33691.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，1\]． ![](./data/image/media/image33694.png){width="2.03125in" height="2.125in"} 【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x~0~、y~0~的关系式． 　 14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间\[0，1）上，f（x）=![](./data/image/media/image33695.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4895833333333333in"}，其中集合D={x\|x=![](./data/image/media/image33696.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，n∈N^\*^}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是[　8　]{.underline}． 【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间\[0，1）上，f（x）=![](./data/image/media/image33697.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4895833333333333in"}，其中集合D={x\|x=![](./data/image/media/image33698.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，n∈N^\*^}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案． 【解答】解：∵在区间\[0，1）上，f（x）=![](./data/image/media/image33697.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4895833333333333in"}， 第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数， 又f（x）是定义在R上且周期为1的函数， ∴在区间\[1，2）上，f（x）=![](./data/image/media/image33699.png){width="1.15625in" height="0.4895833333333333in"}，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 同理： 区间\[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间\[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间\[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间\[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间\[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间\[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 区间\[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点； 在区间\[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点； 故f（x）的图象与y=lgx有8个交点； 即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8， 故答案为：8 【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档． 　 **二.解答题** 15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC． ![](./data/image/media/image33700.png){width="1.71875in" height="1.4375in"} 【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论； （2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论． 【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面， 所以AB∥EF， 又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC； （2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC， 因为BC⊥BD，FG∥BC， 所以FG⊥BD， 又因为平面ABD⊥平面BCD， 所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD， 又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F， 所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG， 故AD⊥AC． ![](./data/image/media/image33701.png){width="1.71875in" height="1.4375in"} 【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 16．（14分）已知向量![](./data/image/media/image33702.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（cosx，sinx），![](./data/image/media/image33703.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（3，﹣![](./data/image/media/image33704.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），x∈\[0，π\]． （1）若![](./data/image/media/image33705.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，求x的值； （2）记f（x）=![](./data/image/media/image33702.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}![](./data/image/media/image33706.png){width="0.20833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值． 【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣![](./data/image/media/image33707.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，问题得以解决， （2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出 【解答】解：（1）∵![](./data/image/media/image33708.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（cosx，sinx），![](./data/image/media/image33709.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（3，﹣![](./data/image/media/image33710.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），![](./data/image/media/image33708.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}∥![](./data/image/media/image33709.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}， ∴﹣![](./data/image/media/image17733.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cosx=3sinx， ∴tanx=﹣![](./data/image/media/image33711.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∵x∈\[0，π\]， ∴x=![](./data/image/media/image33712.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， （2）f（x）=![](./data/image/media/image33713.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}![](./data/image/media/image33714.png){width="0.20833333333333334in" height="0.20833333333333334in"}=3cosx﹣![](./data/image/media/image17733.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinx=2![](./data/image/media/image17733.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}（![](./data/image/media/image33715.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}cosx﹣![](./data/image/media/image17986.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}sinx）=2![](./data/image/media/image33716.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cos（x+![](./data/image/media/image33717.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）， ∵x∈\[0，π\]， ∴x+![](./data/image/media/image33717.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}∈\[![](./data/image/media/image33717.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image33718.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]， ∴﹣1≤cos（x+![](./data/image/media/image33717.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）≤![](./data/image/media/image33719.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 当x=0时，f（x）有最大值，最大值3， 当x=![](./data/image/media/image33720.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}时，f（x）有最小值，最小值﹣2![](./data/image/media/image33721.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题 　 17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：![](./data/image/media/image33722.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，离心率为![](./data/image/media/image33723.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F~1~作直线PF~1~的垂线l~1~，过点F~2~作直线PF~2~的垂线l~2~． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线l~1~，l~2~的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标． ![](./data/image/media/image33724.png){width="2.1979166666666665in" height="1.9270833333333333in"} 【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±![](./data/image/media/image33725.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，则2×![](./data/image/media/image33725.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=8，即可求得a和c的值，则b^2^=a^2^﹣c^2^=3，即可求得椭圆方程； （2）设P点坐标，分别求得直线PF~2~的斜率及直线PF~1~的斜率，则即可求得l~2~及l~1~的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y~0~^2^=x~0~^2^﹣1，联立即可求得P点坐标； 方法二：设P（m，n），当m≠1时，![](./data/image/media/image33726.png){width="0.3541666666666667in" height="0.25972222222222224in"}=![](./data/image/media/image33727.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image33728.png){width="0.3541666666666667in" height="0.25972222222222224in"}=![](./data/image/media/image33729.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，求得直线l~1~及l~1~的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得![](./data/image/media/image33730.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}=±n^2^，联立椭圆方程，即可求得P点坐标． 【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e=![](./data/image/media/image33731.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33732.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则a=2c，① 椭圆的准线方程x=±![](./data/image/media/image33733.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，由2×![](./data/image/media/image33733.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=8，② 由①②解得：a=2，c=1， 则b^2^=a^2^﹣c^2^=3， ∴椭圆的标准方程：![](./data/image/media/image33734.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}； （2）方法一：设P（x~0~，y~0~），则直线PF~2~的斜率![](./data/image/media/image33735.png){width="0.3541666666666667in" height="0.25972222222222224in"}=![](./data/image/media/image33736.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}， 则直线l~2~的斜率k~2~=﹣![](./data/image/media/image33737.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}，直线l~2~的方程y=﹣![](./data/image/media/image33737.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}（x﹣1）， 直线PF~1~的斜率![](./data/image/media/image33738.png){width="0.3541666666666667in" height="0.25972222222222224in"}=![](./data/image/media/image33739.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}， 则直线l~2~的斜率k~1~=﹣![](./data/image/media/image33740.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}，直线l~1~的方程y=﹣![](./data/image/media/image33740.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}（x+1）， 联立![](./data/image/media/image33741.png){width="1.2291666666666667in" height="1.03125in"}，解得：![](./data/image/media/image33742.png){width="0.7083333333333334in" height="0.8229166666666666in"}，则Q（﹣x~0~，![](./data/image/media/image33743.png){width="0.4166666666666667in" height="0.5416666666666666in"}）， 由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y~0~=![](./data/image/media/image33743.png){width="0.4166666666666667in" height="0.5416666666666666in"}， ∴y~0~^2^=x~0~^2^﹣1， 则![](./data/image/media/image33744.png){width="0.84375in" height="0.8333333333333334in"}，解得：![](./data/image/media/image33745.png){width="0.625in" height="0.7916666666666666in"}，则![](./data/image/media/image33746.png){width="0.9166666666666666in" height="0.8333333333333334in"}， 又P在第一象限，所以P的坐标为： P（![](./data/image/media/image33747.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，![](./data/image/media/image33748.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}）． 方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0， 当m=1时，![](./data/image/media/image33749.png){width="0.3541666666666667in" height="0.25972222222222224in"}不存在，解得：Q与F~1~重合，不满足题意， 当m≠1时，![](./data/image/media/image33749.png){width="0.3541666666666667in" height="0.25972222222222224in"}=![](./data/image/media/image33750.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image33751.png){width="0.3541666666666667in" height="0.25972222222222224in"}=![](./data/image/media/image33752.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 由l~1~⊥PF~1~，l~2~⊥PF~2~，则![](./data/image/media/image33753.png){width="0.2708333333333333in" height="0.25972222222222224in"}=﹣![](./data/image/media/image33754.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image33755.png){width="0.2708333333333333in" height="0.25972222222222224in"}=﹣![](./data/image/media/image33756.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 直线l~1~的方程y=﹣![](./data/image/media/image33754.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}（x+1），①直线l~2~的方程y=﹣![](./data/image/media/image33757.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}（x﹣1），② 联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，![](./data/image/media/image33758.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}）， 由Q在椭圆方程，由对称性可得：![](./data/image/media/image33758.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}=±n^2^， 即m^2^﹣n^2^=1，或m^2^+n^2^=1， 由P（m，n），在椭圆方程，![](./data/image/media/image33759.png){width="0.84375in" height="0.7083333333333334in"}，解得：![](./data/image/media/image33760.png){width="0.625in" height="0.7916666666666666in"}，或![](./data/image/media/image33761.png){width="0.84375in" height="0.7083333333333334in"}，无解， 又P在第一象限，所以P的坐标为： P（![](./data/image/media/image33762.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，![](./data/image/media/image33763.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}）． ![](./data/image/media/image33764.png){width="3.6145833333333335in" height="3.0527777777777776in"} 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题． 　 18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10![](./data/image/media/image33765.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E~1~G~1~的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC~1~上，求l没入水中部分的长度； （2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG~1~上，求l没入水中部分的长度． ![](./data/image/media/image33766.png){width="3.886111111111111in" height="1.8854166666666667in"} 【分析】（1）设玻璃棒在CC~1~上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC~1~⊥平面ABCD，CC~1~⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度． （2）设玻璃棒在GG~1~上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E~1~G~1~，交E~1~G~1~于点Q，推导出EE~1~G~1~G为等腰梯形，求出E~1~Q=24cm，E~1~E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=![](./data/image/media/image33767.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度． 【解答】解：（1）设玻璃棒在CC~1~上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N， 在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P， ∵ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~为正四棱柱，∴CC~1~⊥平面ABCD， 又∵AC⊂平面ABCD，∴CC~1~⊥AC，∴NP⊥AC， ∴NP=12cm，且AM^2^=AC^2^+MC^2^，解得MC=30cm， ∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC， ∴![](./data/image/media/image33768.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33769.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image33770.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，得AN=16cm． ∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm． （2）设玻璃棒在GG~1~上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N， 在平面E~1~EGG~1~中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P， 过点E作EQ⊥E~1~G~1~，交E~1~G~1~于点Q， ∵EFGH﹣E~1~F~1~G~1~H~1~为正四棱台，∴EE~1~=GG~1~，EG∥E~1~G~1~， EG≠E~1~G~1~， ∴EE~1~G~1~G为等腰梯形，画出平面E~1~EGG~1~的平面图， ∵E~1~G~1~=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm， ∴E~1~Q=24cm， 由勾股定理得：E~1~E=40cm， ∴sin∠EE~1~G~1~=![](./data/image/media/image33771.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，sin∠EGM=sin∠EE~1~G~1~=![](./data/image/media/image33771.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，cos∠EGM=﹣![](./data/image/media/image33772.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 根据正弦定理得：![](./data/image/media/image33773.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33774.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}，∴sin∠EMG=![](./data/image/media/image33775.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，cos∠EMG=![](./data/image/media/image33776.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=![](./data/image/media/image33777.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴EN=![](./data/image/media/image33778.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33779.png){width="0.21875in" height="0.5625in"}=20cm． ∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm． ![](./data/image/media/image33780.png){width="2.2291666666666665in" height="1.2604166666666667in"} ![](./data/image/media/image33781.png){width="1.40625in" height="1.96875in"} 【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 　 19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{a~n~}满足：a~n﹣k~+a~n﹣k+1~+...+a~n﹣1~+a~n+1~+...+a~n+k﹣1~+a~n+k~=2ka~n~对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a~n~}是"P（k）数列"． （1）证明：等差数列{a~n~}是"P（3）数列"； （2）若数列{a~n~}既是"P（2）数列"，又是"P（3）数列"，证明：{a~n~}是等差数列． 【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a~n﹣3~+a~n﹣2~+a~n﹣1~+a~n+1~+a~n+2~+a~n+3~=（a~n﹣3~+a~n+3~）+（a~n﹣2~+a~n+2~）+（a~n﹣1~+a~n+1~）═2×3a~n~，根据"P（k）数列"的定义，可得数列{a~n~}是"P（3）数列"； （2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a~n~}从第3项起为等差数列，再通过判断a~2~与a~3~的关系和a~1~与a~2~的关系，可知{a~n~}为等差数列． 【解答】解：（1）证明：设等差数列{a~n~}首项为a~1~，公差为d，则a~n~=a~1~+（n﹣1）d， 则a~n﹣3~+a~n﹣2~+a~n﹣1~+a~n+1~+a~n+2~+a~n+3~， =（a~n﹣3~+a~n+3~）+（a~n﹣2~+a~n+2~）+（a~n﹣1~+a~n+1~）， =2a~n~+2a~n~+2a~n~， =2×3a~n~， ∴等差数列{a~n~}是"P（3）数列"； （2）证明：当n≥4时，因为数列{a~n~}是P（3）数列，则a~n﹣3~+a~n﹣2~+a~n﹣1~+a~n+1~+a~n+2~+a~n+3~=6a~n~，① 因为数列{a~n~}是"P（2）数列"，所以a~n﹣2~+a~n﹣1~+a~n+1~+a~n+2~=4a~n~，② 则a~n﹣1~+a~n~+a~n+2~+a~n+3~=4a~n+1~，③， ②+③﹣①，得2a~n~=4a~n﹣1~+4a~n+1~﹣6a~n~，即2a~n~=a~n﹣1~+a~n+1~，（n≥4）， 因此n≥4从第3项起为等差数列，设公差为d，注意到a~2~+a~3~+a~5~+a~6~=4a~4~， 所以a~2~=4a~4~﹣a~3~﹣a~5~﹣a~6~=4（a~3~+d）﹣a~3~﹣（a~3~+2d）﹣（a~3~+3d）=a~3~﹣d， 因为a~1~+a~2~+a~4~+a~5~=4a~3~，所以a~1~=4a~3~﹣a~2~﹣a~4~﹣a~5~=4（a~2~+d）﹣a~2~﹣（a~2~+2d）﹣（a~2~+3d）=a~2~﹣d， 也即前3项满足等差数列的通项公式， 所以{a~n~}为等差数列． 【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题． 　 20．（16分）已知函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点． （Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （Ⅱ）证明：b^2^＞3a； （Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣![](./data/image/media/image33782.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求实数a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）通过对f（x）=x^3^+ax^2^+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x^2^+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣![](./data/image/media/image33783.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，从而f（﹣![](./data/image/media/image33783.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=0，整理可知b=![](./data/image/media/image33784.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}+![](./data/image/media/image33785.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（a＞0），结合f（x）=x^3^+ax^2^+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3． （Ⅱ）通过（1）构造函数h（a）=b^2^﹣3a=![](./data/image/media/image33786.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image33787.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image33788.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![](./data/image/media/image33789.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}（4a^3^﹣27）（a^3^﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论； （Ⅲ）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣![](./data/image/media/image33790.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=b﹣![](./data/image/media/image33791.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为![](./data/image/media/image33792.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image33793.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+2，进而问题转化为解不等式b﹣![](./data/image/media/image33794.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![](./data/image/media/image33795.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image33793.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+2=![](./data/image/media/image33796.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image33797.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}≥﹣![](./data/image/media/image33798.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，因式分解即得结论． 【解答】（Ⅰ）解：因为f（x）=x^3^+ax^2^+bx+1， 所以g（x）=f′（x）=3x^2^+2ax+b，g′（x）=6x+2a， 令g′（x）=0，解得x=﹣![](./data/image/media/image33799.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 由于当x＞﹣![](./data/image/media/image33799.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣![](./data/image/media/image33799.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减； 所以f′（x）的极小值点为x=﹣![](./data/image/media/image33799.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点， 所以f（﹣![](./data/image/media/image33799.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=0，即﹣![](./data/image/media/image33800.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![](./data/image/media/image33801.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image33802.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+1=0， 所以b=![](./data/image/media/image33803.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}+![](./data/image/media/image33804.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（a＞0）． 因为f（x）=x^3^+ax^2^+bx+1（a＞0，b∈R）有极值， 所以f′（x）=3x^2^+2ax+b=0的实根， 所以4a^2^﹣12b≥0，即a^2^﹣![](./data/image/media/image33805.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}+![](./data/image/media/image33806.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≥0，解得a≥3， 所以b=![](./data/image/media/image33807.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}+![](./data/image/media/image33808.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（a＞3）． （Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）=b^2^﹣3a=![](./data/image/media/image33809.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image33810.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image33811.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![](./data/image/media/image33812.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}（4a^3^﹣27）（a^3^﹣27）， 由于a＞3，所以h（a）＞0，即b^2^＞3a； （Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣![](./data/image/media/image33813.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=b﹣![](./data/image/media/image33814.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 设x~1~，x~2~是y=f（x）的两个极值点，则x~1~+x~2~=![](./data/image/media/image33815.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，x~1~x~2~=![](./data/image/media/image33816.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 所以f（x~1~）+f（x~2~）=![](./data/image/media/image33817.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}+![](./data/image/media/image33818.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}+a（![](./data/image/media/image33819.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}+![](./data/image/media/image33820.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}）+b（x~1~+x~2~）+2 =（x~1~+x~2~）\[（x~1~+x~2~）^2^﹣3x~1~x~2~\]+a\[（x~1~+x~2~）^2^﹣2x~1~x~2~\]+b（x~1~+x~2~）+2 =![](./data/image/media/image33821.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image33822.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+2， 又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣![](./data/image/media/image33823.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 所以b﹣![](./data/image/media/image33824.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![](./data/image/media/image33825.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image33826.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+2=![](./data/image/media/image33827.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image33828.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}≥﹣![](./data/image/media/image33829.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 因为a＞3，所以2a^3^﹣63a﹣54≤0， 所以2a（a^2^﹣36）+9（a﹣6）≤0， 所以（a﹣6）（2a^2^+12a+9）≤0， 由于a＞3时2a^2^+12a+9＞0， 所以a﹣6≤0，解得a≤6， 所以a的取值范围是（3，6\]． 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题． 　 **二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）** 21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足． 求证：（1）∠PAC=∠CAB； （2）AC^2^ =AP•AB． ![](./data/image/media/image33830.png){width="1.6875in" height="0.96875in"} 【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明． （2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明． 【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC． ∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°． ∵AP⊥PC，∴∠APC=90°． ∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC， ∴∠PAC=∠CAB． （2）由（1）可得：△APC∽△ACB， ∴![](./data/image/media/image33831.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33832.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． ∴AC^2^ =AP•AB． ![](./data/image/media/image33833.png){width="1.6875in" height="0.96875in"} 【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 **\[选修4-2：矩阵与变换\]** 22．已知矩阵A=![](./data/image/media/image33834.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}，B=![](./data/image/media/image33835.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}． （1）求AB； （2）若曲线C~1~：![](./data/image/media/image33836.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4375in"}=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C~2~，求C~2~的方程． 【分析】（1）按矩阵乘法规律计算； （2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C~1~的方程化简即可． 【解答】解：（1）AB=![](./data/image/media/image33837.png){width="0.4375in" height="0.3958333333333333in"}![](./data/image/media/image33838.png){width="0.4375in" height="0.3958333333333333in"}=![](./data/image/media/image33839.png){width="0.4375in" height="0.3958333333333333in"}， （2）设点P（x，y）为曲线C~1~的任意一点， 点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x~0~，y~0~）， 则![](./data/image/media/image33839.png){width="0.4375in" height="0.3958333333333333in"}![](./data/image/media/image33840.png){width="0.2708333333333333in" height="0.40625in"}=![](./data/image/media/image33841.png){width="0.3541666666666667in" height="0.40625in"}，即x~0~=2y，y~0~=x， ∴x=y~0~，y=![](./data/image/media/image33842.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， ∴![](./data/image/media/image33843.png){width="0.9166666666666666in" height="0.4895833333333333in"}，即x~0~^2^+y~0~^2^=8， ∴曲线C~2~的方程为x^2^+y^2^=8． 【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题． 　 **\[选修4-4：坐标系与参数方程\]** 23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为![](./data/image/media/image33844.png){width="0.625in" height="0.59375in"}（t为参数），曲线C的参数方程为![](./data/image/media/image33845.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值． 【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离． 【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0， ∴P到直线l的距离d=![](./data/image/media/image33846.png){width="1.1666666666666667in" height="0.46875in"}=![](./data/image/media/image33847.png){width="1.0in" height="0.46875in"}， ∴当s=![](./data/image/media/image33848.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}时，d取得最小值![](./data/image/media/image33849.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![](./data/image/media/image33850.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题． 　 **［选修4-5：不等式选讲］** 24．已知a，b，c，d为实数，且a^2^+b^2^=4，c^2^+d^2^=16，证明ac+bd≤8． 【分析】a^2^+b^2^=4，c^2^+d^2^=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）^2^≤（a^2^+b^2^）（c^2^+d^2^），即可得出． 【解答】证明：∵a^2^+b^2^=4，c^2^+d^2^=16， 令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ． ∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号． 因此ac+bd≤8． 另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）^2^≤（a^2^+b^2^）（c^2^+d^2^）=4×16=64，当且仅当![](./data/image/media/image33851.png){width="0.375in" height="0.3645833333333333in"}时取等号． ∴﹣8≤ac+bd≤8． 【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 **【必做题】** 25．如图，在平行六面体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA~1~=![](./data/image/media/image33852.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∠BAD=120°． （1）求异面直线A~1~B与AC~1~所成角的余弦值； （2）求二面角B﹣A~1~D﹣A的正弦值． ![](./data/image/media/image33853.png){width="2.1666666666666665in" height="1.2708333333333333in"} 【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA~1~⊥平面ABCD，可得AA~1~⊥Ax，AA~1~⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA~1~所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A~1~，C~1~ 的坐标，进一步求出![](./data/image/media/image33854.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}，![](./data/image/media/image33855.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}，![](./data/image/media/image33856.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image33857.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}的坐标． （1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A~1~B与AC~1~所成角的余弦值； （2）求出平面BA~1~D与平面A~1~AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A~1~D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值． 【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD， ∵AA~1~⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD， ∴AA~1~⊥Ax，AA~1~⊥AD， 以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA~1~所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． ∵AB=AD=2，AA~1~=![](./data/image/media/image33858.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∠BAD=120°， ∴A（0，0，0），B（![](./data/image/media/image33859.png){width="0.8125in" height="0.20833333333333334in"}），C（![](./data/image/media/image33858.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，1，0）， D（0，2，0）， A~1~（0，0，![](./data/image/media/image33860.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），C~1~（![](./data/image/media/image33861.png){width="0.8541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}）． ![](./data/image/media/image33862.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（![](./data/image/media/image33863.png){width="1.0208333333333333in" height="0.20833333333333334in"}），![](./data/image/media/image33864.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（![](./data/image/media/image33865.png){width="0.8541666666666666in" height="0.20833333333333334in"}），![](./data/image/media/image33866.png){width="1.2708333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，![](./data/image/media/image33867.png){width="1.3854166666666667in" height="0.2708333333333333in"}． （1）∵cos＜![](./data/image/media/image33868.png){width="0.78125in" height="0.2708333333333333in"}＞=![](./data/image/media/image33869.png){width="1.0208333333333333in" height="0.5625in"}=![](./data/image/media/image33870.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ∴异面直线A~1~B与AC~1~所成角的余弦值为![](./data/image/media/image33871.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； （2）设平面BA~1~D的一个法向量为![](./data/image/media/image33872.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}， 由![](./data/image/media/image33873.png){width="0.8020833333333334in" height="0.5416666666666666in"}，得![](./data/image/media/image33874.png){width="0.9375in" height="0.4479166666666667in"}，取x=![](./data/image/media/image33875.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，得![](./data/image/media/image33876.png){width="1.3854166666666667in" height="0.3854166666666667in"}； 取平面A~1~AD的一个法向量为![](./data/image/media/image33877.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}． ∴cos＜![](./data/image/media/image33878.png){width="0.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}＞=![](./data/image/media/image33879.png){width="0.6354166666666666in" height="0.4479166666666667in"}=![](./data/image/media/image33880.png){width="1.1347222222222222in" height="0.6041666666666666in"}． ∴二面角B﹣A~1~D﹣A的余弦值为![](./data/image/media/image33881.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则二面角B﹣A~1~D﹣A的正弦值为![](./data/image/media/image33882.png){width="1.0520833333333333in" height="0.40625in"}． ![](./data/image/media/image33883.png){width="2.3854166666666665in" height="1.71875in"} 【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题． 　 26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N^\*^，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，...，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，...，m+n）． --- --- --- ----- ----- 1 2 3 ... m+n --- --- --- ----- ----- （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p； （2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜![](./data/image/media/image33884.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【分析】（1）法一：设事件A~i~表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A~2~）=P（A~2~\|A~1~）P（A~1~）+P（A~2~\|![](./data/image/media/image33885.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}）P（![](./data/image/media/image33885.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率． 法二：按照同种模型的方法，对黑球共有m+n个位置，故总排法有![](./data/image/media/image33886.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}种，除去第二个位置放的黑球，还剩下n+m﹣1个位置，由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率． （2）X的所有可能取值为![](./data/image/media/image33887.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}，...，![](./data/image/media/image33888.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，P（x=![](./data/image/media/image33889.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![](./data/image/media/image33890.png){width="0.3645833333333333in" height="0.5833333333333334in"}，k=n，n+1，n+2，...，n+m，从而E（X）=![](./data/image/media/image33891.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}（![](./data/image/media/image33892.png){width="0.6041666666666666in" height="0.5833333333333334in"}）=![](./data/image/media/image33893.png){width="1.0409722222222222in" height="0.5833333333333334in"}，由此能证明E（X）＜![](./data/image/media/image33894.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【解答】解：（1）解法一：设事件A~i~表示编号为i的抽屉里放的是黑球， 则p=p（A~2~）=P（A~2~\|A~1~）P（A~1~）+P（A~2~\|![](./data/image/media/image33895.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}）P（![](./data/image/media/image33895.png){width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}） =![](./data/image/media/image33896.png){width="2.020138888888889in" height="0.3645833333333333in"} =![](./data/image/media/image33897.png){width="1.0520833333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![](./data/image/media/image33898.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 解法二：按照同种模型的方法，对黑球共有m+n个位置， 故总排法有![](./data/image/media/image33899.png){width="0.3333333333333333in" height="0.28125in"}种， 除去第二个位置放的黑球，还剩下n+m﹣1个位置， ∴编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p=![](./data/image/media/image33900.png){width="0.6770833333333334in" height="0.5833333333333334in"}=![](./data/image/media/image33898.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 证明：（2）∵X的所有可能取值为![](./data/image/media/image33901.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}，...，![](./data/image/media/image33902.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， P（x=![](./data/image/media/image33903.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![](./data/image/media/image33904.png){width="0.3645833333333333in" height="0.5833333333333334in"}，k=n，n+1，n+2，...，n+m， ∴E（X）=![](./data/image/media/image33905.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}（![](./data/image/media/image33906.png){width="0.6041666666666666in" height="0.5833333333333334in"}）=![](./data/image/media/image33907.png){width="1.0409722222222222in" height="0.5833333333333334in"} =![](./data/image/media/image33907.png){width="1.0409722222222222in" height="0.5833333333333334in"}＜![](./data/image/media/image33908.png){width="1.0409722222222222in" height="0.5833333333333334in"}=![](./data/image/media/image33909.png){width="1.0409722222222222in" height="0.5833333333333334in"} =![](./data/image/media/image33910.png){width="0.8020833333333334in" height="0.4791666666666667in"}•（![](./data/image/media/image33911.png){width="1.5729166666666667in" height="0.28125in"}） =![](./data/image/media/image33912.png){width="1.3645833333333333in" height="0.4791666666666667in"}=![](./data/image/media/image33913.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴E（X）＜![](./data/image/media/image33913.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 　 **\ 2017年浙江省高考数学试卷** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）** 1．（4分）已知集合P={x\|﹣1＜x＜1}，Q={x\|0＜x＜2}，那么P∪Q=（　　） A．（﹣1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（1，2） 【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可． 【解答】解：集合P={x\|﹣1＜x＜1}，Q={x\|0＜x＜2}， 那么P∪Q={x\|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）． 故选：A． 【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力． 　 2．（4分）椭圆![](./data/image/media/image33914.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![](./data/image/media/image33915.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1的离心率是（　　） A．![](./data/image/media/image33916.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} B．![](./data/image/media/image33917.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．![](./data/image/media/image33918.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![](./data/image/media/image33919.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可． 【解答】解：椭圆![](./data/image/media/image33914.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![](./data/image/media/image33915.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1，可得a=3，b=2，则c=![](./data/image/media/image33920.png){width="0.375in" height="0.1875in"}=![](./data/image/media/image33921.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 所以椭圆的离心率为：![](./data/image/media/image33922.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33923.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 　 3．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm^3^）是（　　） ![](./data/image/media/image33924.png){width="1.3854166666666667in" height="1.8020833333333333in"} A．![](./data/image/media/image33925.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+1 B．![](./data/image/media/image33925.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+3 C．![](./data/image/media/image33926.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+1 D．![](./data/image/media/image33926.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+3 【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积． 【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成， 圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3， 故该几何体的体积为![](./data/image/media/image26643.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![](./data/image/media/image30499.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×π×1^2^×3+![](./data/image/media/image30499.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![](./data/image/media/image26643.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![](./data/image/media/image21945.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}×![](./data/image/media/image21945.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}×3=![](./data/image/media/image33927.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+1， 故选：A． ![](./data/image/media/image33928.png){width="2.125in" height="2.0104166666666665in"} 【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目． 　 4．（4分）若x、y满足约束条件![](./data/image/media/image33929.png){width="0.7916666666666666in" height="0.6458333333333334in"}，则z=x+2y的取值范围是（　　） A．\[0，6\] B．\[0，4\] C．\[6，+∞） D．\[4，+∞） 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可． 【解答】解：x、y满足约束条件![](./data/image/media/image33929.png){width="0.7916666666666666in" height="0.6458333333333334in"}，表示的可行域如图： 目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值， 由![](./data/image/media/image33930.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}解得C（2，1）， 目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是\[4，+∞）． 故选：D． ![](./data/image/media/image33931.png){width="2.03125in" height="1.6458333333333333in"} 【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键． 　 5．（4分）若函数f（x）=x^2^+ax+b在区间\[0，1\]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（　　） A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下M﹣m的取值与a，b的关系，综合可得答案． 【解答】解：函数f（x）=x^2^+ax+b的图象是开口朝上且以直线x=﹣![](./data/image/media/image33932.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}为对称轴的抛物线， ①当﹣![](./data/image/media/image33932.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＞1或﹣![](./data/image/media/image33932.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜0，即a＜﹣2，或a＞0时， 函数f（x）在区间\[0，1\]上单调， 此时M﹣m=\|f（1）﹣f（0）\|=\|a+1\|， 故M﹣m的值与a有关，与b无关 ②当![](./data/image/media/image30512.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤﹣![](./data/image/media/image33932.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤1，即﹣2≤a≤﹣1时， 函数f（x）在区间\[0，﹣![](./data/image/media/image33932.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]上递减，在\[﹣![](./data/image/media/image33932.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1\]上递增， 且f（0）＞f（1）， 此时M﹣m=f（0）﹣f（﹣![](./data/image/media/image33932.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![](./data/image/media/image33933.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 故M﹣m的值与a有关，与b无关 ③当0≤﹣![](./data/image/media/image33934.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜![](./data/image/media/image20226.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，即﹣1＜a≤0时， 函数f（x）在区间\[0，﹣![](./data/image/media/image33934.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]上递减，在\[﹣![](./data/image/media/image33934.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1\]上递增， 且f（0）＜f（1）， 此时M﹣m=f（1）﹣f（﹣![](./data/image/media/image33934.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=1+a+![](./data/image/media/image33935.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 故M﹣m的值与a有关，与b无关 综上可得：M﹣m的值与a有关，与b无关 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 　 6．（4分）已知等差数列{a~n~}的公差为d，前n项和为S~n~，则"d＞0"是"S~4~+S~6~＞2S~5~"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据等差数列的求和公式和S~4~+S~6~＞2S~5~，可以得到d＞0，根据充分必要条件的定义即可判断． 【解答】解：∵S~4~+S~6~＞2S~5~， ∴4a~1~+6d+6a~1~+15d＞2（5a~1~+10d）， ∴21d＞20d， ∴d＞0， 故"d＞0"是"S~4~+S~6~＞2S~5~"充分必要条件， 故选：C． 【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题 　 7．（4分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（　　） ![](./data/image/media/image33936.png){width="1.1458333333333333in" height="0.9895833333333334in"} A．![](./data/image/media/image33937.png){width="1.0625in" height="0.8645833333333334in"} B．![](./data/image/media/image33938.png){width="1.0722222222222222in" height="0.8541666666666666in"} C．![](./data/image/media/image33939.png){width="0.9895833333333334in" height="0.8333333333333334in"} D．![](./data/image/media/image33940.png){width="1.0625in" height="0.8645833333333334in"} 【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f（x）的图象可能 【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增， 则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C， 且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B， 故选：D． 【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题． 　 8．（4分）已知随机变量ξ~i~满足P（ξ~i~=1）=p~i~，P（ξ~i~=0）=1﹣p~i~，i=1，2．若0＜p~1~＜p~2~＜![](./data/image/media/image21118.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则（　　） A．E（ξ~1~）＜E（ξ~2~），D（ξ~1~）＜D（ξ~2~） B．E（ξ~1~）＜E（ξ~2~），D（ξ~1~）＞D（ξ~2~） C．E（ξ~1~）＞E（ξ~2~），D（ξ~1~）＜D（ξ~2~） D．E（ξ~1~）＞E（ξ~2~），D（ξ~1~）＞D（ξ~2~） 【分析】由已知得0＜p~1~＜p~2~＜![](./data/image/media/image21118.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image21118.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜1﹣p~2~＜1﹣p~1~＜1，求出E（ξ~1~）=p~1~，E（ξ~2~）=p~2~，从而求出D（ξ~1~），D（ξ~2~），由此能求出结果． 【解答】解：∵随机变量ξ~i~满足P（ξ~i~=1）=p~i~，P（ξ~i~=0）=1﹣p~i~，i=1，2，...， 0＜p~1~＜p~2~＜![](./data/image/media/image21118.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![](./data/image/media/image21118.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜1﹣p~2~＜1﹣p~1~＜1， E（ξ~1~）=1×p~1~+0×（1﹣p~1~）=p~1~， E（ξ~2~）=1×p~2~+0×（1﹣p~2~）=p~2~， D（ξ~1~）=（1﹣p~1~）^2^p~1~+（0﹣p~1~）^2^（1﹣p~1~）=![](./data/image/media/image33941.png){width="0.5833333333333334in" height="0.28125in"}， D（ξ~2~）=（1﹣p~2~）^2^p~2~+（0﹣p~2~）^2^（1﹣p~2~）=![](./data/image/media/image33942.png){width="0.5833333333333334in" height="0.28125in"}， D（ξ~1~）﹣D（ξ~2~）=p~1~﹣p~1~^2^﹣（![](./data/image/media/image33943.png){width="0.5833333333333334in" height="0.28125in"}）=（p~2~﹣p~1~）（p~1~+p~2~﹣1）＜0， ∴E（ξ~1~）＜E（ξ~2~），D（ξ~1~）＜D（ξ~2~）． 故选：A． 【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 　 9．（4分）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，![](./data/image/media/image33944.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image33945.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（　　） ![](./data/image/media/image33946.png){width="1.5in" height="1.28125in"} A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6![](./data/image/media/image26721.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），Q![](./data/image/media/image33947.png){width="0.9166666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，R![](./data/image/media/image33948.png){width="1.0833333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，利用法向量的夹角公式即可得出二面角． 解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG．．可得tanα=![](./data/image/media/image33949.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}．tanβ=![](./data/image/media/image33950.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，tanγ=![](./data/image/media/image33951.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}．由已知可得：OE＞OG＞OF．即可得出． 【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O． 不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，6，0），D（0，0，6![](./data/image/media/image33952.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），B（3![](./data/image/media/image33953.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，﹣3，0）．Q![](./data/image/media/image33954.png){width="0.9166666666666666in" height="0.20833333333333334in"}，R![](./data/image/media/image33948.png){width="1.0833333333333333in" height="0.20833333333333334in"}， ![](./data/image/media/image33955.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![](./data/image/media/image33956.png){width="1.0833333333333333in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image33957.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，3，6![](./data/image/media/image15590.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），![](./data/image/media/image33958.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（![](./data/image/media/image33959.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，6，0），![](./data/image/media/image33960.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![](./data/image/media/image33961.png){width="1.1666666666666667in" height="0.20833333333333334in"}， ![](./data/image/media/image33962.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![](./data/image/media/image33963.png){width="1.3125in" height="0.20833333333333334in"}． 设平面PDR的法向量为![](./data/image/media/image33964.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y，z），则![](./data/image/media/image33965.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}，可得![](./data/image/media/image33966.png){width="1.0208333333333333in" height="0.4479166666666667in"}， 可得![](./data/image/media/image33964.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![](./data/image/media/image33967.png){width="1.2291666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，取平面ABC的法向量![](./data/image/media/image33968.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（0，0，1）． 则cos![](./data/image/media/image33969.png){width="0.7708333333333334in" height="0.22916666666666666in"}=![](./data/image/media/image33970.png){width="0.6354166666666666in" height="0.4479166666666667in"}=![](./data/image/media/image33971.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}，取α=arccos![](./data/image/media/image33972.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 同理可得：β=arccos![](./data/image/media/image33973.png){width="0.40625in" height="0.3854166666666667in"}．γ=arccos![](./data/image/media/image33974.png){width="0.3229166666666667in" height="0.40625in"}． ∵![](./data/image/media/image33975.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}＞![](./data/image/media/image33976.png){width="0.3229166666666667in" height="0.40625in"}＞![](./data/image/media/image33977.png){width="0.40625in" height="0.3854166666666667in"}． ∴α＜γ＜β． 解法二：如图所示，连接OP，OQ，OR，过点O分别作垂线：OE⊥PR，OF⊥PQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接DE，DF，DG． 设OD=h． 则tanα=![](./data/image/media/image33978.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 同理可得：tanβ=![](./data/image/media/image33979.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，tanγ=![](./data/image/media/image33980.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 由已知可得：OE＞OG＞OF． ∴tanα＜tanγ＜tanβ，α，β，γ为锐角． ∴α＜γ＜β． 故选：B． ![](./data/image/media/image33981.png){width="1.84375in" height="1.4375in"} ![](./data/image/media/image33982.png){width="1.53125in" height="1.3229166666666667in"} ![](./data/image/media/image33983.png){width="1.6666666666666667in" height="1.6875in"} 【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 　 10．（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I~1~=![](./data/image/media/image33984.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image33985.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，I~2~=![](./data/image/media/image33985.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image33986.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，I~3~=![](./data/image/media/image33986.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image33987.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，则（　　） ![](./data/image/media/image33988.png){width="0.9583333333333334in" height="1.0409722222222222in"} A．I~1~＜I~2~＜I~3~ B．I~1~＜I~3~＜I~2~ C．I~3~＜I~1~＜I~2~ D．I~2~＜I~1~＜I~3~ 【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可． 【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3， ∴AC=2![](./data/image/media/image33989.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴∠AOB=∠COD＞90°， 由图象知OA＜OC，OB＜OD， ∴0＞![](./data/image/media/image33990.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image33991.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}＞![](./data/image/media/image33992.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image33993.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image33991.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image33992.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}＞0， 即I~3~＜I~1~＜I~2~， 故选：C． 【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键． 　 **二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分** 11．（4分）我国古代数学家刘徽创立的"割圆术"可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了"割圆术"，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，"割圆术"的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S~6~，S~6~=[　]{.underline}![](./data/image/media/image33994.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}[　]{.underline}． 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积． 【解答】解：如图所示， 单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中， △AOB是边长为1的正三角形， 所以正六边形ABCDEF的面积为 S~6~=6×![](./data/image/media/image33995.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×1×1×sin60°=![](./data/image/media/image33996.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image33996.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． ![](./data/image/media/image33997.png){width="1.1666666666666667in" height="1.40625in"} 【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题． 　 12．（6分）已知a、b∈R，（a+bi）^2^=3+4i（i是虚数单位），则a^2^+b^2^=[　5　]{.underline}，ab=[　2　]{.underline}． 【分析】a、b∈R，（a+bi）^2^=3+4i（i是虚数单位），可得3+4i=a^2^﹣b^2^+2abi，可得3=a^2^﹣b^2^，2ab=4，解出即可得出． 【解答】解：a、b∈R，（a+bi）^2^=3+4i（i是虚数单位）， ∴3+4i=a^2^﹣b^2^+2abi， ∴3=a^2^﹣b^2^，2ab=4， 解得ab=2，![](./data/image/media/image33998.png){width="0.375in" height="0.3958333333333333in"}，![](./data/image/media/image33999.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3958333333333333in"}． 则a^2^+b^2^=5， 故答案为：5，2． 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 13．（6分）已知多项式（x+1）^3^（x+2）^2^=x^5^+a~1~x^4^+a~2~x^3^+a~3~x^2^+a~4~x+a~5~，则a~4~=[　16　]{.underline}，a~5~=[　4　]{.underline}． 【分析】利用二项式定理的展开式，求解x的系数就是两个多项式的展开式中x与常数乘积之和，a~5~就是常数的乘积． 【解答】解：多项式（x+1）^3^（x+2）^2^=x^5^+a~1~x^4^+a~2~x^3^+a~3~x^2^+a~4~x+a~5~， （x+1）^3^中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）^2^中x的系数是4，常数是4， a~4~=3×4+1×4=16； a~5~=1×4=4． 故答案为：16；4． 【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题． 　 14．（6分）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是[　]{.underline}![](./data/image/media/image34000.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}[　]{.underline}，cos∠BDC=[　]{.underline}![](./data/image/media/image34001.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}[　]{.underline}． 【分析】如图，取BC得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出S~△ABC~，再根据S~△BDC~=![](./data/image/media/image34002.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}S~△ABC~即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出 【解答】解：如图，取BC得中点E， ∵AB=AC=4，BC=2， ∴BE=![](./data/image/media/image34002.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}BC=1，AE⊥BC， ∴AE=![](./data/image/media/image34003.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image34004.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， ∴S~△ABC~=![](./data/image/media/image34005.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}BC•AE=![](./data/image/media/image34005.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×2×![](./data/image/media/image34004.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}=![](./data/image/media/image34004.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， ∵BD=2， ∴S~△BDC~=![](./data/image/media/image34005.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}S~△ABC~=![](./data/image/media/image34006.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}， ∵BC=BD=2， ∴∠BDC=∠BCD， ∴∠ABE=2∠BDC 在Rt△ABE中， ∵cos∠ABE=![](./data/image/media/image34007.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image34008.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴cos∠ABE=2cos^2^∠BDC﹣1=![](./data/image/media/image34008.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴cos∠BDC=![](./data/image/media/image34009.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}， 故答案为：![](./data/image/media/image34010.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}，![](./data/image/media/image34009.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"} ![](./data/image/media/image34011.png){width="1.3333333333333333in" height="1.7916666666666667in"} 【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题 　 15．（6分）已知向量![](./data/image/media/image34012.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}、![](./data/image/media/image34013.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足\|![](./data/image/media/image34012.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=1，\|![](./data/image/media/image34013.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=2，则\|![](./data/image/media/image34012.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image34013.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|+\|![](./data/image/media/image34014.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![](./data/image/media/image34015.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|的最小值是[　4　]{.underline}，最大值是[　]{.underline}![](./data/image/media/image34016.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知\|![](./data/image/media/image34014.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image34015.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=![](./data/image/media/image34017.png){width="0.7916666666666666in" height="0.1875in"}、\|![](./data/image/media/image34014.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![](./data/image/media/image34015.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=![](./data/image/media/image34018.png){width="0.7916666666666666in" height="0.1875in"}，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论． 【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图， 由余弦定理可得： \|![](./data/image/media/image34019.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image34020.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=![](./data/image/media/image34021.png){width="0.7916666666666666in" height="0.1875in"}， \|![](./data/image/media/image34019.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![](./data/image/media/image34020.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=![](./data/image/media/image34018.png){width="0.7916666666666666in" height="0.1875in"}， 令x=![](./data/image/media/image34018.png){width="0.7916666666666666in" height="0.1875in"}，y=![](./data/image/media/image34022.png){width="0.7916666666666666in" height="0.1875in"}， 则x^2^+y^2^=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图， 令z=x+y，则y=﹣x+z， 则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为z~min~=1+3=3+1=4， 当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大， 由平面几何知识易知z~max~即为原点到切线的距离的![](./data/image/media/image34023.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}倍， 也就是圆弧MN所在圆的半径的![](./data/image/media/image34023.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}倍， 所以z~max~=![](./data/image/media/image34023.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}×![](./data/image/media/image34024.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}=![](./data/image/media/image34025.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}． 综上所述，\|![](./data/image/media/image34026.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![](./data/image/media/image34027.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|+\|![](./data/image/media/image34028.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![](./data/image/media/image34027.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|的最小值是4，最大值是![](./data/image/media/image34029.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}． 故答案为：4、![](./data/image/media/image34029.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}． ![](./data/image/media/image34030.png){width="2.1875in" height="1.9583333333333333in"} ![](./data/image/media/image34031.png){width="1.71875in" height="1.15625in"} 【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 16．（4分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有[　660　]{.underline}种不同的选法．（用数字作答） 【分析】由题意分两类选1女3男或选2女2男，再计算即可 【解答】解：第一类，先选1女3男，有C~6~^3^C~2~^1^=40种，这4人选2人作为队长和副队有A~4~^2^=12种，故有40×12=480种， 第二类，先选2女2男，有C~6~^2^C~2~^2^=15种，这4人选2人作为队长和副队有A~4~^2^=12种，故有15×12=180种， 根据分类计数原理共有480+180=660种， 故答案为：660 【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题 　 17．（4分）已知a∈R，函数f（x）=\|x+![](./data/image/media/image34032.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a\|+a在区间\[1，4\]上的最大值是5，则a的取值范围是[　（﹣∞，]{.underline}![](./data/image/media/image34033.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[\]　]{.underline}． 【分析】通过转化可知\|x+![](./data/image/media/image34032.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a\|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+![](./data/image/media/image34032.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤5，进而计算可得结论． 【解答】解：由题可知\|x+![](./data/image/media/image34034.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a\|+a≤5，即\|x+![](./data/image/media/image34034.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a\|≤5﹣a，所以a≤5， 又因为\|x+![](./data/image/media/image34034.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a\|≤5﹣a， 所以a﹣5≤x+![](./data/image/media/image34034.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a≤5﹣a， 所以2a﹣5≤x+![](./data/image/media/image34034.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤5， 又因为1≤x≤4，4≤x+![](./data/image/media/image34034.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤5， 所以2a﹣5≤4，解得a≤![](./data/image/media/image34035.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：（﹣∞，![](./data/image/media/image34035.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]． 【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 **三、解答题（共5小题，满分74分）** 18．（14分）已知函数f（x）=sin^2^x﹣cos^2^x﹣2![](./data/image/media/image28036.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinx cosx（x∈R）． （Ⅰ）求f（![](./data/image/media/image34036.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）的值． （Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间． 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式， （Ⅰ）代入可得：f（![](./data/image/media/image34036.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）的值． （Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间 【解答】解：∵函数f（x）=sin^2^x﹣cos^2^x﹣2![](./data/image/media/image28036.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinx cosx=﹣![](./data/image/media/image34037.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin2x﹣cos2x=2sin（2x+![](./data/image/media/image34038.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}） （Ⅰ）f（![](./data/image/media/image34039.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=2sin（2×![](./data/image/media/image34039.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image34038.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）=2sin![](./data/image/media/image34040.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=2， （Ⅱ）∵ω=2，故T=π， 即f（x）的最小正周期为π， 由2x+![](./data/image/media/image34038.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}∈\[﹣![](./data/image/media/image28612.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+2kπ，![](./data/image/media/image28612.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+2kπ\]，k∈Z得： x∈\[﹣![](./data/image/media/image34041.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+kπ，﹣![](./data/image/media/image355.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+kπ\]，k∈Z， 故f（x）的单调递增区间为\[﹣![](./data/image/media/image34041.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+kπ，﹣![](./data/image/media/image355.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+kπ\]或写成\[kπ+![](./data/image/media/image34042.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，kπ+![](./data/image/media/image34043.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]，k∈Z． 【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档． 　 19．（15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点． （Ⅰ）证明：CE∥平面PAB； （Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值． ![](./data/image/media/image34044.png){width="1.875in" height="1.4166666666666667in"} 【分析】（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，推导出EF∥PA，CF∥AB，从而平面EFC∥平面ABP，由此能证明EC∥平面PAB． （Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而BF⊥AD，进而AD⊥平面PBF，由AD∥BC，得BC⊥PB，再求出BC⊥MF，由此能求出sinθ． 【解答】证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF， ∵E为PD的中点，∴EF∥PA， 在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点， ∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP， ∵EC⊂平面EFC， ∴EC∥平面PAB． 解：（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF， ∵PA=PD，∴PF⊥AD， 推导出四边形BCDF为矩形，∴BF⊥AD， ∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC， ∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB， 设DC=CB=1，由PC=AD=2DC=2CB，得AD=PC=2， ∴PB=![](./data/image/media/image34045.png){width="0.78125in" height="0.25in"}=![](./data/image/media/image34046.png){width="0.375in" height="0.1875in"}=![](./data/image/media/image34047.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， BF=PF=1，∴MF=![](./data/image/media/image34048.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF， ∴MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为![](./data/image/media/image34048.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∵MF=![](./data/image/media/image34048.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为![](./data/image/media/image34048.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线， ∴E到平面PBC的距离为![](./data/image/media/image34049.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 在![](./data/image/media/image34050.png){width="2.2291666666666665in" height="0.20833333333333334in"}， 由余弦定理得CE=![](./data/image/media/image24644.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ=![](./data/image/media/image34051.png){width="0.21875in" height="0.5625in"}=![](./data/image/media/image34052.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ![](./data/image/media/image34053.png){width="1.875in" height="1.4166666666666667in"} 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 　 20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣![](./data/image/media/image34054.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}）e^﹣x^（x≥![](./data/image/media/image372.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间\[![](./data/image/media/image372.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）上的取值范围． 【分析】（1）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求； （2）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当![](./data/image/media/image372.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x＜1时，当1＜x＜![](./data/image/media/image34055.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，当x＞![](./data/image/media/image34056.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，f（x）的单调性，判断f（x）≥0，计算f（![](./data/image/media/image34057.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），f（1），f（![](./data/image/media/image34056.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），即可得到所求取值范围． 【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣![](./data/image/media/image34058.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}）e^﹣x^（x≥![](./data/image/media/image34057.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）， 导数f′（x）=（1﹣![](./data/image/media/image34057.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•![](./data/image/media/image34059.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3854166666666667in"}•2）e^﹣x^﹣（x﹣![](./data/image/media/image34060.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}）e^﹣x^ =（1﹣x+![](./data/image/media/image34061.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3854166666666667in"}）e^﹣x^=（1﹣x）（1﹣![](./data/image/media/image34062.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3854166666666667in"}）e^﹣x^； （2）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣![](./data/image/media/image34062.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3854166666666667in"}）e^﹣x^， 可得f′（x）=0时，x=1或![](./data/image/media/image34063.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 当![](./data/image/media/image34064.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减； 当1＜x＜![](./data/image/media/image34065.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，f′（x）＞0，f（x）递增； 当x＞![](./data/image/media/image34065.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，f′（x）＜0，f（x）递减， 且x≥![](./data/image/media/image34066.png){width="0.4583333333333333in" height="0.1875in"}⇔x^2^≥2x﹣1⇔（x﹣1）^2^≥0， 则f（x）≥0． 由f（![](./data/image/media/image34067.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![](./data/image/media/image34067.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}e![](./data/image/media/image34068.png){width="0.3125in" height="0.3854166666666667in"}，f（1）=0，f（![](./data/image/media/image34069.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![](./data/image/media/image34067.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}e![](./data/image/media/image34070.png){width="0.3125in" height="0.3854166666666667in"}， 即有f（x）的最大值为![](./data/image/media/image394.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}e![](./data/image/media/image34071.png){width="0.3125in" height="0.3854166666666667in"}，最小值为f（1）=0． 则f（x）在区间\[![](./data/image/media/image394.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）上的取值范围是\[0，![](./data/image/media/image394.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}e![](./data/image/media/image34071.png){width="0.3125in" height="0.3854166666666667in"}\]． 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题． 　 21．（15分）如图，已知抛物线x^2^=y，点A（﹣![](./data/image/media/image34072.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image34073.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），B（![](./data/image/media/image34074.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image34075.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），抛物线上的点P（x，y）（﹣![](./data/image/media/image34076.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x＜![](./data/image/media/image34077.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． （Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求\|PA\|•\|PQ\|的最大值． ![](./data/image/media/image34078.png){width="1.5208333333333333in" height="1.3958333333333333in"} 【分析】（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x^2^），利用斜率公式结合﹣![](./data/image/media/image34076.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x＜![](./data/image/media/image34077.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}可得结论； （Ⅱ）通过（I）知P（x，x^2^）、﹣![](./data/image/media/image34079.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x＜![](./data/image/media/image34080.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BQ方程可知Q点坐标，进而可用k表示出![](./data/image/media/image34081.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}、![](./data/image/media/image34082.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，计算可知\|PA\|•\|PQ\|=（1+k）^3^（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）^3^（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x^2^），﹣![](./data/image/media/image34079.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x＜![](./data/image/media/image34080.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 所以k~AP~=![](./data/image/media/image34083.png){width="0.46875in" height="0.7604166666666666in"}=x﹣![](./data/image/media/image34084.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}∈（﹣1，1）， 故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）； （Ⅱ）由（I）知P（x，x^2^），﹣![](./data/image/media/image34084.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x＜![](./data/image/media/image24685.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 所以![](./data/image/media/image34085.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣![](./data/image/media/image34084.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣x，![](./data/image/media/image34086.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣x^2^）， 设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+![](./data/image/media/image34084.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}k+![](./data/image/media/image34087.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，BQ：y=﹣![](./data/image/media/image34088.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x+![](./data/image/media/image34089.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![](./data/image/media/image34090.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 联立直线AP、BQ方程可知Q（![](./data/image/media/image34091.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，![](./data/image/media/image34092.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4791666666666667in"}）， 故![](./data/image/media/image34093.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（![](./data/image/media/image34094.png){width="0.875in" height="0.4791666666666667in"}，![](./data/image/media/image34095.png){width="1.1145833333333333in" height="0.4791666666666667in"}）， 又因为![](./data/image/media/image34096.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1﹣k，﹣k^2^﹣k）， 故﹣\|PA\|•\|PQ\|=![](./data/image/media/image34096.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image34097.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![](./data/image/media/image34098.png){width="1.0208333333333333in" height="0.4791666666666667in"}+![](./data/image/media/image34099.png){width="1.2083333333333333in" height="0.4791666666666667in"}=（1+k）^3^（k﹣1）， 所以\|PA\|•\|PQ\|=（1+k）^3^（1﹣k）， 令f（x）=（1+x）^3^（1﹣x），﹣1＜x＜1， 则f′（x）=（1+x）^2^（2﹣4x）=﹣2（1+x）^2^（2x﹣1）， 由于当﹣1＜x＜![](./data/image/media/image28705.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时f′（x）＞0，当![](./data/image/media/image28705.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x＜1时f′（x）＜0， 故f（x）~max~=f（![](./data/image/media/image28705.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![](./data/image/media/image34100.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，即\|PA\|•\|PQ\|的最大值为![](./data/image/media/image34100.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 22．（15分）已知数列{x~n~}满足：x~1~=1，x~n~=x~n+1~+ln（1+x~n+1~）（n∈N^\*^），证明：当n∈N^\*^时， （Ⅰ）0＜x~n+1~＜x~n~； （Ⅱ）2x~n+1~﹣x~n~≤![](./data/image/media/image34101.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4270833333333333in"}； （Ⅲ）![](./data/image/media/image34102.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}≤x~n~≤![](./data/image/media/image34103.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}． 【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明， （Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明， （Ⅲ）由![](./data/image/media/image34101.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4270833333333333in"}≥2x~n+1~﹣x~n~得![](./data/image/media/image34104.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image34105.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≥2（![](./data/image/media/image34106.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image34105.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）＞0，继续放缩即可证明 【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：x~n~＞0， 当n=1时，x~1~=1＞0，成立， 假设当n=k时成立，则x~k~＞0， 那么n=k+1时，若x~k+1~＜0，则0＜x~k~=x~k+1~+ln（1+x~k+1~）＜0，矛盾， 故x~n+1~＞0， 因此x~n~＞0，（n∈N\*） ∴x~n~=x~n+1~+ln（1+x~n+1~）＞x~n+1~， 因此0＜x~n+1~＜x~n~（n∈N^\*^）， （Ⅱ）由x~n~=x~n+1~+ln（1+x~n+1~）得x~n~x~n+1~﹣4x~n+1~+2x~n~=x~n+1~^2^﹣2x~n+1~+（x~n+1~+2）ln（1+x~n+1~）， 记函数f（x）=x^2^﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0 ∴f′（x）=![](./data/image/media/image34107.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4270833333333333in"}+ln（1+x）＞0， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴f（x）≥f（0）=0， 因此x~n+1~^2^﹣2x~n+1~+（x~n+1~+2）ln（1+x~n+1~）≥0， 故2x~n+1~﹣x~n~≤![](./data/image/media/image34108.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4270833333333333in"}； （Ⅲ）∵x~n~=x~n+1~+ln（1+x~n+1~）≤x~n+1~+x~n+1~=2x~n+1~， ∴x~n~≥![](./data/image/media/image34109.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}， 由![](./data/image/media/image34108.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4270833333333333in"}≥2x~n+1~﹣x~n~得![](./data/image/media/image34110.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image28722.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≥2（![](./data/image/media/image34111.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image34112.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）＞0， ∴![](./data/image/media/image34111.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image34112.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≥2（![](./data/image/media/image34113.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image34112.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）≥...≥2^n﹣1^（![](./data/image/media/image34114.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image34115.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=2^n﹣2^， ∴x~n~≤![](./data/image/media/image34116.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}， 综上所述![](./data/image/media/image34117.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}≤x~n~≤![](./data/image/media/image34116.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}． 【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题 　 2017年上海市高考数学试卷 ======================== **参考答案与试题解析** 　 **一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）** 1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=[　{3，4}　]{.underline}． 【分析】利用交集定义直接求解． 【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}， ∴A∩B={3，4}． 故答案为：{3，4}． 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 　 2．（4分）若排列数![](./data/image/media/image34118.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=6×5×4，则m=[　3　]{.underline}． 【分析】利用排列数公式直接求解． 【解答】解：∵排列数![](./data/image/media/image34118.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=6×5×4， ∴由排列数公式得![](./data/image/media/image34119.png){width="0.8854166666666666in" height="0.28125in"}， ∴m=3． 故答案为：m=3． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用． 　 3．（4分）不等式![](./data/image/media/image34120.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}＞1的解集为[　（﹣∞，0）　]{.underline}． 【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可． 【解答】解：由![](./data/image/media/image34120.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}＞1得： ![](./data/image/media/image34121.png){width="1.6666666666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 故不等式的解集为：（﹣∞，0）， 故答案为：（﹣∞，0）． 【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题． 　 4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于[　9π　]{.underline}． 【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积． 【解答】解：球的体积为36π， 设球的半径为R，可得![](./data/image/media/image34122.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}πR^3^=36π， 可得R=3， 该球主视图为半径为3的圆， 可得面积为πR^2^=9π． 故答案为：9π． ![](./data/image/media/image34123.png){width="1.1458333333333333in" height="1.1347222222222222in"} 【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题． 　 5．（4分）已知复数z满足z+![](./data/image/media/image34124.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=0，则\|z\|=[　]{.underline}![](./data/image/media/image34125.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z^2^=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b的值得答案． 【解答】解：由z+![](./data/image/media/image34126.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=0， 得z^2^=﹣3， 设z=a+bi（a，b∈R）， 由z^2^=﹣3，得（a+bi）^2^=a^2^﹣b^2^+2abi=﹣3， 即![](./data/image/media/image34127.png){width="0.8645833333333334in" height="0.4583333333333333in"}，解得：![](./data/image/media/image34128.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}． ∴![](./data/image/media/image34129.png){width="0.6666666666666666in" height="0.1875in"}． 则\|z\|=![](./data/image/media/image34125.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image34125.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题． 　 6．（4分）设双曲线![](./data/image/media/image34130.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image34131.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（b＞0）的焦点为F~1~、F~2~，P为该双曲线上的一点，若\|PF~1~\|=5，则\|PF~2~\|=[　11　]{.underline}． 【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得\|\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|\|=6，解可得\|PF~2~\|的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：![](./data/image/media/image34130.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image34131.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1， 其中a=![](./data/image/media/image34132.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=3， 则有\|\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|\|=6， 又由\|PF~1~\|=5， 解可得\|PF~2~\|=11或﹣1（舍） 故\|PF~2~\|=11， 故答案为：11． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义． 　 7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若![](./data/image/media/image34133.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}的坐标为（4，3，2），则![](./data/image/media/image34134.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}的坐标是[　（﹣4，3，2）　]{.underline}． ![](./data/image/media/image34135.png){width="1.6145833333333333in" height="1.3854166666666667in"} 【分析】由![](./data/image/media/image34133.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}的坐标为（4，3，2），分别求出A和C~1~的坐标，由此能求出结果． 【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的顶点D为坐标原点， 过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， ∵![](./data/image/media/image34136.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C~1~（0，3，2）， ∴![](./data/image/media/image34137.png){width="1.2395833333333333in" height="0.2708333333333333in"}． 故答案为：（﹣4，3，2）． ![](./data/image/media/image34138.png){width="1.6145833333333333in" height="1.3854166666666667in"} 【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 　 8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f^﹣1^（x），若g（x）=![](./data/image/media/image34139.png){width="0.9895833333333334in" height="0.4895833333333333in"}为奇函数，则f^﹣1^（x）=2的解为[　]{.underline}![](./data/image/media/image34140.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值． 【解答】解：若g（x）=![](./data/image/media/image34141.png){width="0.9895833333333334in" height="0.4895833333333333in"}为奇函数， 可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3^﹣x^﹣1， 由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x）， 则g（x）=f（x）=1﹣3^﹣x^，x＞0， 由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f^﹣1^（x）， 且f^﹣1^（x）=2， 可由f（2）=1﹣3^﹣2^=![](./data/image/media/image34140.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 可得f^﹣1^（x）=2的解为x=![](./data/image/media/image34140.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image34140.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题． 　 9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣![](./data/image/media/image34142.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，③y=x^3^，④y=x![](./data/image/media/image34143.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，从中任选2个，则事件"所选2个函数的图象有且仅有一个公共点"的概率为[　]{.underline}![](./data/image/media/image34144.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=![](./data/image/media/image34145.png){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}，再利用列举法求出事件A："所选2个函数的图象有且只有一个公共点"包含的基本事件的个数，由此能求出事件A："所选2个函数的图象有且只有一个公共点"的概率． 【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣![](./data/image/media/image34142.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，③y=x^3^，④y=x![](./data/image/media/image34143.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}， 从四个函数中任选2个，基本事件总数n=![](./data/image/media/image34145.png){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}， ③④有两个公共点（0，0），（1，1）． 事件A："所选2个函数的图象有且只有一个公共点"包含的基本事件有： ①③，①④共2个， ∴事件A："所选2个函数的图象有且只有一个公共点"的概率为P（A）=![](./data/image/media/image34146.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image34147.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image34147.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 　 10．（5分）已知数列{a~n~}和{b~n~}，其中a~n~=n^2^，n∈N^\*^，{b~n~}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N^\*^，{b~n~}的第a~n~项等于{a~n~}的第b~n~项，则![](./data/image/media/image34148.png){width="1.2395833333333333in" height="0.4895833333333333in"}=[　2　]{.underline}． 【分析】a~n~=n^2^，n∈N^\*^，若对于一切n∈N^\*^，{b~n~}中的第a~n~项恒等于{a~n~}中的第b~n~项，可得![](./data/image/media/image34149.png){width="0.2708333333333333in" height="0.25972222222222224in"}=![](./data/image/media/image34150.png){width="0.2708333333333333in" height="0.25972222222222224in"}=![](./data/image/media/image34151.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}．于是b~1~=a~1~=1，![](./data/image/media/image34152.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}=b~4~，![](./data/image/media/image34153.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}=b~9~，![](./data/image/media/image34154.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}=b~16~．即可得出． 【解答】解：∵a~n~=n^2^，n∈N^\*^，若对于一切n∈N^\*^，{b~n~}中的第a~n~项恒等于{a~n~}中的第b~n~项， ∴![](./data/image/media/image34149.png){width="0.2708333333333333in" height="0.25972222222222224in"}=![](./data/image/media/image34155.png){width="0.2708333333333333in" height="0.25972222222222224in"}=![](./data/image/media/image34156.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}． ∴b~1~=a~1~=1，![](./data/image/media/image34157.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}=b~4~，![](./data/image/media/image34158.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}=b~9~，![](./data/image/media/image34159.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}=b~16~． ∴b~1~b~4~b~9~b~16~=![](./data/image/media/image34160.png){width="1.0625in" height="0.28125in"}． ∴![](./data/image/media/image34161.png){width="1.2395833333333333in" height="0.4895833333333333in"}=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 11．（5分）设a~1~、a~2~∈R，且![](./data/image/media/image34162.png){width="1.8854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，则\|10π﹣a~1~﹣a~2~\|的最小值等于[　]{.underline}![](./data/image/media/image34163.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】由题意，要使![](./data/image/media/image34164.png){width="0.75in" height="0.4270833333333333in"}+![](./data/image/media/image34165.png){width="0.8333333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=2，可得sinα~1~=﹣1，sin2α~2~=﹣1．求出α~1~和α~2~，即可求出\|10π﹣α~1~﹣α~2~\|的最小值 【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα~1~，sin2α~2~的范围在\[﹣1，1\]， 要使![](./data/image/media/image34166.png){width="0.75in" height="0.4270833333333333in"}+![](./data/image/media/image34165.png){width="0.8333333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=2， ∴sinα~1~=﹣1，sin2α~2~=﹣1． 则：![](./data/image/media/image34167.png){width="1.25in" height="0.3645833333333333in"}，k~1~∈Z． ![](./data/image/media/image34168.png){width="1.3541666666666667in" height="0.3645833333333333in"}，即![](./data/image/media/image34169.png){width="1.1666666666666667in" height="0.3645833333333333in"}，k~2~∈Z． 那么：α~1~+α~2~=（2k~1~+k~2~）π![](./data/image/media/image34170.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，k~1~、k~2~∈Z． ∴\|10π﹣α~1~﹣α~2~\|=\|10π![](./data/image/media/image34171.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}﹣（2k~1~+k~2~）π\|的最小值为![](./data/image/media/image34172.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image34172.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查． 　 12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P~1~、P~2~、P~3~、P~4~以及四个标记为"▲"的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P~1~，P~2~，P~3~，P~4~}，点P∈Ω，过P作直线l~P~，使得不在l~P~上的"▲"的点分布在l~P~的两侧．用D~1~（l~P~）和D~2~（l~P~）分别表示l~P~一侧和另一侧的"▲"的点到l~P~的距离之和．若过P的直线l~P~中有且只有一条满足D~1~（l~P~）=D~2~（l~P~），则Ω中所有这样的P为[　P~1~、P~3~、P~4~　]{.underline}． ![](./data/image/media/image34173.png){width="2.0in" height="1.4895833333333333in"} 【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点， 过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧， 则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论． 【解答】解：设记为"▲"的四个点是A，B，C，D， 线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H， 易知EFGH为平行四边形，如图所示； 又平行四边形EFGH的对角线交于点P~2~， 则符合条件的直线l~P~一定经过点P~2~， 且过点P~2~的直线有无数条； 由过点P~1~和P~2~的直线有且仅有1条， 过点P~3~和P~2~的直线有且仅有1条， 过点P~4~和P~2~的直线有且仅有1条， 所以符合条件的点是P~1~、P~3~、P~4~． 故答案为：P~1~、P~3~、P~4~． ![](./data/image/media/image34174.png){width="2.113888888888889in" height="1.6041666666666667in"} 【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力． 　 **二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）** 13．（5分）关于x、y的二元一次方程组![](./data/image/media/image34175.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}的系数行列式D为（　　） A．![](./data/image/media/image34176.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} B．![](./data/image/media/image34177.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} C．![](./data/image/media/image34178.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} D．![](./data/image/media/image34179.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} 【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解． 【解答】解：关于x、y的二元一次方程组![](./data/image/media/image34180.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}的系数行列式： D=![](./data/image/media/image34178.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"}． 故选：C． 【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用． 　 14．（5分）在数列{a~n~}中，a~n~=（﹣![](./data/image/media/image34181.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^n^，n∈N^\*^，则![](./data/image/media/image34182.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}a~n~（　　） A．等于![](./data/image/media/image34183.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} B．等于0 C．等于![](./data/image/media/image34181.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．不存在 【分析】根据极限的定义，求出![](./data/image/media/image34184.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}a~n~=![](./data/image/media/image34184.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}![](./data/image/media/image34185.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4270833333333333in"}的值． 【解答】解：数列{a~n~}中，a~n~=（﹣![](./data/image/media/image34186.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^n^，n∈N^\*^， 则![](./data/image/media/image34184.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}a~n~=![](./data/image/media/image34184.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}![](./data/image/media/image34185.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4270833333333333in"}=0． 故选：B． 【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题． 　 15．（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x~n~}的通项x~n~=an^2^+bn+c，n∈N^\*^，则"存在k∈N^\*^，使得x~100+k~、x~200+k~、x~300+k~成等差数列"的一个必要条件是（　　） A．a≥0 B．b≤0 C．c=0 D．a﹣2b+c=0 【分析】由x~100+k~，x~200+k~，x~300+k~成等差数列，可得：2x~200+k~=x~100+k~x~300+k~，代入化简即可得出． 【解答】解：存在k∈N^\*^，使得x~100+k~、x~200+k~、x~300+k~成等差数列，可得：2\[a（200+k）^2^+b（200+k）+c\]=a（100+k）^2^+b（100+k）+c+a（300+k）^2^+b（300+k）+c，化为：a=0． ∴使得x~100+k~，x~200+k~，x~300+k~成等差数列的必要条件是a≥0． 故选：A． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C~1~：![](./data/image/media/image34187.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4375in"}=1和C~2~：x^2^+![](./data/image/media/image34188.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1．P为C~1~上的动点，Q为C~2~上的动点，w是![](./data/image/media/image34189.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的最大值．记Ω={（P，Q）\|P在C~1~上，Q在C~2~上，且![](./data/image/media/image34190.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=w}，则Ω中元素个数为（　　） A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个 【分析】设出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数． 【解答】解：椭圆C~1~：![](./data/image/media/image34191.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4375in"}=1和C~2~：x^2^+![](./data/image/media/image34192.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1．P为C~1~上的动点，Q为C~2~上的动点， 可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\\β＜2π， 则![](./data/image/media/image34190.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β）， 当α﹣β=2kπ，k∈Z时，w取得最大值6， 则Ω={（P，Q）\|P在C~1~上，Q在C~2~上，且![](./data/image/media/image34190.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=w}中的元素有无穷多对． 另解：令P（m，n），Q（u，v），则m^2^+9n^2^=36，9u^2^+v^2^=9， 由柯西不等式（m^2^+9n^2^）（9u^2^+v^2^）=324≥（3mu+3nv）^2^， 当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6， 显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确． 故选：D． 【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题． 　 **三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）** 17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA~1~的长为5． （1）求三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的体积； （2）设M是BC中点，求直线A~1~M与平面ABC所成角的大小． ![](./data/image/media/image34193.png){width="1.2291666666666667in" height="1.3020833333333333in"} 【分析】（1）三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的体积V=S~△ABC~×AA~1~=![](./data/image/media/image34194.png){width="1.2708333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，由此能求出结果． （2）连结AM，∠A~1~MA是直线A~1~M与平面ABC所成角，由此能求出直线A~1~M与平面ABC所成角的大小． 【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的底面为直角三角形， 两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA~1~的长为5． ∴三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的体积： V=S~△ABC~×AA~1~ =![](./data/image/media/image34195.png){width="1.2708333333333333in" height="0.3645833333333333in"} =![](./data/image/media/image34196.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}=20． （2）连结AM， ∵直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的底面为直角三角形， 两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA~1~的长为5，M是BC中点， ∴AA~1~⊥底面ABC，AM=![](./data/image/media/image34197.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image34198.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴∠A~1~MA是直线A~1~M与平面ABC所成角， tan∠A~1~MA=![](./data/image/media/image34199.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![](./data/image/media/image34200.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![](./data/image/media/image34198.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴直线A~1~M与平面ABC所成角的大小为arctan![](./data/image/media/image34201.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． ![](./data/image/media/image34202.png){width="1.2291666666666667in" height="1.3020833333333333in"} 【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 　 18．（14分）已知函数f（x）=cos^2^x﹣sin^2^x+![](./data/image/media/image34203.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，x∈（0，π）． （1）求f（x）的单调递增区间； （2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=![](./data/image/media/image34204.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积． 【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间； （2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 【解答】解：（1）函数f（x）=cos^2^x﹣sin^2^x+![](./data/image/media/image34205.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} =cos2x+![](./data/image/media/image34205.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，x∈（0，π）， 由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣![](./data/image/media/image34205.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}π≤x≤kπ，k∈Z， k=1时，![](./data/image/media/image34205.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}π≤x≤π， 可得f（x）的增区间为\[![](./data/image/media/image34206.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π）； （2）设△ABC为锐角三角形， 角A所对边a=![](./data/image/media/image34207.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，角B所对边b=5， 若f（A）=0，即有cos2A+![](./data/image/media/image34205.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=0， 解得2A=![](./data/image/media/image34208.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}π，即A=![](./data/image/media/image34209.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}π， 由余弦定理可得a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA， 化为c^2^﹣5c+6=0， 解得c=2或3， 若c=2，则cosB=![](./data/image/media/image34210.png){width="0.8645833333333334in" height="0.3854166666666667in"}＜0， 即有B为钝角，c=2不成立， 则c=3， △ABC的面积为S=![](./data/image/media/image34211.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}bcsinA=![](./data/image/media/image34211.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×5×3×![](./data/image/media/image34212.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![](./data/image/media/image34213.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题． 　 19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N^\*^）个月共享单车的投放量和损失量分别为a~n~和b~n~（单位：辆），其中a~n~=![](./data/image/media/image34214.png){width="1.5520833333333333in" height="0.59375in"}，b~n~=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S~n~=﹣4（n﹣46）^2^+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【分析】（1）计算出{a~n~}和{b~n~}的前4项和的差即可得出答案； （2）令a~n~≥b~n~得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论． 【解答】解：（1）∵a~n~=![](./data/image/media/image34215.png){width="1.5520833333333333in" height="0.59375in"}，b~n~=n+5 ∴a~1~=5×1^4^+15=20 a~2~=5×2^4^+15=95 a~3~=5×3^4^+15=420 a~4~=﹣10×4+470=430 b~1~=1+5=6 b~2~=2+5=7 b~3~=3+5=8 b~4~=4+5=9 ∴前4个月共投放单车为a~1~+a~2~+a~3~+a~4~=20+95+420+430=965， 前4个月共损失单车为b~1~+b~2~+b~3~+b~4~=6+7+8+9=30， ∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935． （2）令a~n~≥b~n~，显然n≤3时恒成立， 当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤![](./data/image/media/image34216.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴第42个月底，保有量达到最大． 当n≥4，{a~n~}为公差为﹣10等差数列，而{b~n~}为等差为1的等差数列， ∴到第42个月底，单车保有量为![](./data/image/media/image34217.png){width="0.59375in" height="0.4270833333333333in"}×39+535﹣![](./data/image/media/image34218.png){width="0.59375in" height="0.4270833333333333in"}×42=![](./data/image/media/image34219.png){width="0.5513888888888889in" height="0.3645833333333333in"}×39+535﹣![](./data/image/media/image34220.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}×42=8782． S~42~=﹣4×16+8800=8736． ∵8782＞8736， ∴第42个月底单车保有量超过了容纳量． 【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题． 　 20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：![](./data/image/media/image34221.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4270833333333333in"}=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点． （1）若P在第一象限，且\|OP\|=![](./data/image/media/image34222.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求P的坐标； （2）设P（![](./data/image/media/image34223.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标； （3）若\|MA\|=\|MP\|，直线AQ与Γ交于另一点C，且![](./data/image/media/image34224.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image34225.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，求直线AQ的方程． 【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立![](./data/image/media/image34226.png){width="0.8125in" height="0.71875in"}，能求出P点坐标． （2）设M（x~0~，0），A（0，1），P（![](./data/image/media/image34227.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}），由∠P=90°，求出x~0~=![](./data/image/media/image34228.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}；由∠M=90°，求出x~0~=1或x~0~=![](./data/image/media/image34229.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标． （3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x~0~，0）推导出x~0~=![](./data/image/media/image34230.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cosβ，从而 4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣![](./data/image/media/image34231.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cosα，且sinα=![](./data/image/media/image34232.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ． 【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0）， ∵椭圆Γ：![](./data/image/media/image34233.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4270833333333333in"}=1，A为Γ的上顶点， P为Γ上异于上、下顶点的动点， P在第一象限，且\|OP\|=![](./data/image/media/image34234.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴联立![](./data/image/media/image34235.png){width="0.8125in" height="0.71875in"}， 解得P（![](./data/image/media/image34236.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，![](./data/image/media/image34237.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）． （2）设M（x~0~，0），A（0，1）， P（![](./data/image/media/image34238.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}）， 若∠P=90°，则![](./data/image/media/image34239.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image34240.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，即（x~0~﹣![](./data/image/media/image34241.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，﹣![](./data/image/media/image34242.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）•（﹣![](./data/image/media/image34243.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image34244.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=0， ∴（﹣![](./data/image/media/image34243.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）x~0~+![](./data/image/media/image34245.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image34246.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=0，解得x~0~=![](./data/image/media/image34247.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 如图，若∠M=90°，则![](./data/image/media/image34248.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image34249.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=0，即（﹣x~0~，1）•（![](./data/image/media/image34250.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣x~0~，![](./data/image/media/image34251.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=0， ∴![](./data/image/media/image34252.png){width="1.0409722222222222in" height="0.4270833333333333in"}=0，解得x~0~=1或x~0~=![](./data/image/media/image34251.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意． ∴点M的横坐标为![](./data/image/media/image34253.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，或1，或![](./data/image/media/image34251.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （3）设C（2cosα，sinα）， ∵![](./data/image/media/image34254.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，A（0，1）， ∴Q（4cosα，2sinα﹣1）， 又设P（2cosβ，sinβ），M（x~0~，0）， ∵\|MA\|=\|MP\|，∴x~0~^2^+1=（2cosβ﹣x~0~）^2^+（sinβ）^2^， 整理得：x~0~=![](./data/image/media/image34255.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cosβ， ∵![](./data/image/media/image34256.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），![](./data/image/media/image34257.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣![](./data/image/media/image34258.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cosβ，﹣sinβ），![](./data/image/media/image34259.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}， ∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ， 且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ， ∴cosβ=﹣![](./data/image/media/image34260.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cosα，且sinα=![](./data/image/media/image34261.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（1﹣2sinα）， 以上两式平方相加，整理得3（sinα）^2^+sinα﹣2=0，∴sinα=![](./data/image/media/image34262.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，或sinα=﹣1（舍去）， 此时，直线AC的斜率k~AC~=﹣![](./data/image/media/image34263.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image34264.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} （负值已舍去），如图． ∴直线AQ为y=![](./data/image/media/image34264.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}x+1． ![](./data/image/media/image34265.png){width="3.84375in" height="2.3958333333333335in"} ![](./data/image/media/image34266.png){width="3.854861111111111in" height="2.0625in"} 【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题． 　 21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x~1~、x~2~∈R，当x~1~＜x~2~时，都有f（x~1~）≤f（x~2~）． （1）若f（x）=ax^3^+1，求a的取值范围； （2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数； （3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明："h（x）是周期函数"的充要条件是"f（x）是常值函数"． 【分析】（1）直接由f（x~1~）﹣f（x~2~）≤0求得a的取值范围； （2）若f（x）是周期函数，记其周期为T~k~，任取x~0~∈R，则有f（x~0~）=f（x~0~+T~k~），证明对任意x∈\[x~0~，x~0~+T~k~\]，f（x~0~）≤f（x）≤f（x~0~+T~k~），可得f（x~0~）=f（x~0~+nT~k~），n∈Z，再由...∪\[x~0~﹣3T~k~，x~0~﹣2T~k~\]∪\[x~0~﹣2T~k~，x~0~﹣T~k~\]∪\[x~0~﹣T~k~，x~0~\]∪\[x~0~，x~0~+T~k~\]∪\[x~0~+T~k~，x~0~+2T~k~\]∪...=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x~0~）=C，为常数； （3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明． 【解答】（1）解：由f（x~1~）≤f（x~2~），得f（x~1~）﹣f（x~2~）=a（x~1~^3^﹣x~2~^3^）≤0， ∵x~1~＜x~2~，∴x~1~^3^﹣x~2~^3^＜0，得a≥0． 故a的范围是\[0，+∞）； （2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T~k~，任取x~0~∈R，则有 f（x~0~）=f（x~0~+T~k~）， 由题意，对任意x∈\[x~0~，x~0~+T~k~\]，f（x~0~）≤f（x）≤f（x~0~+T~k~）， ∴f（x~0~）=f（x）=f（x~0~+T~k~）． 又∵f（x~0~）=f（x~0~+nT~k~），n∈Z，并且 ...∪\[x~0~﹣3T~k~，x~0~﹣2T~k~\]∪\[x~0~﹣2T~k~，x~0~﹣T~k~\]∪\[x~0~﹣T~k~，x~0~\]∪\[x~0~，x~0~+T~k~\]∪\[x~0~+T~k~，x~0~+2T~k~\]∪...=R， ∴对任意x∈R，f（x）=f（x~0~）=C，为常数； （3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c~1~，设g（x）的一个周期为T~g~，则 h（x）=c~1~•g（x），则对任意x~0~∈R， h（x~0~+T~g~）=c~1~•g（x~0~+T~g~）=c~1~•g（x~0~）=h（x~0~）， 故h（x）是周期函数； 必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T~h~． 若存在x~1~，x~2~，使得f（x~1~）＞0，且f（x~2~）＜0，则由题意可知， x~1~＞x~2~，那么必然存在正整数N~1~，使得x~2~+N~1~T~k~＞x~1~， ∴f（x~2~+N~1~T~k~）＞f（x~1~）＞0，且h（x~2~+N~1~T~k~）=h（x~2~）． 又h（x~2~）=g（x~2~）f（x~2~）＜0，而 h（x~2~+N~1~T~k~）=g（x~2~+N~1~T~k~）f（x~2~+N~1~T~k~）＞0≠h（x~2~），矛盾． 综上，f（x）＞0恒成立． 由f（x）＞0恒成立， 任取x~0~∈A，则必存在N~2~∈N，使得x~0~﹣N~2~T~h~≤x~0~﹣T~g~， 即\[x~0~﹣T~g~，x~0~\]⊆\[x~0~﹣N~2~T~h~，x~0~\]， ∵...∪\[x~0~﹣3T~k~，x~0~﹣2T~k~\]∪\[x~0~﹣2T~k~，x~0~﹣T~k~\]∪\[x~0~﹣T~k~，x~0~\]∪\[x~0~，x~0~+T~k~\]∪\[x~0~+T~k~，x~0~+2T~k~\]∪...=R， ∴...∪\[x~0~﹣2N~2~T~h~，x~0~﹣N~2~T~h~\]∪\[x~0~﹣N~2~T~h~，x~0~\]∪\[x~0~，x~0~+N~2~T~h~\]∪\[x~0~+N~2~T~h~，x~0~+2N~2~T~h~\]∪...=R． h（x~0~）=g（x~0~）•f（x~0~）=h（x~0~﹣N~2~T~h~）=g（x~0~﹣N~2~T~h~）•f（x~0~﹣N~2~T~h~）， ∵g（x~0~）=M≥g（x~0~﹣N~2~T~h~）＞0，f（x~0~）≥f（x~0~﹣N~2~T~h~）＞0． 因此若h（x~0~）=h（x~0~﹣N~2~T~h~），必有g（x~0~）=M=g（x~0~﹣N~2~T~h~），且f（x~0~）=f（x~0~﹣N~2~T~h~）=c． 而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x~0~）=C，为常数． 综上，必要性得证． 【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大． 　 **\ 2017年上海市高考数学试卷** **参考答案与试题解析** 　 **一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）** 1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=[　{3，4}　]{.underline}． 【分析】利用交集定义直接求解． 【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}， ∴A∩B={3，4}． 故答案为：{3，4}． 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 　 2．（4分）若排列数![](./data/image/media/image34118.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=6×5×4，则m=[　3　]{.underline}． 【分析】利用排列数公式直接求解． 【解答】解：∵排列数![](./data/image/media/image34118.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=6×5×4， ∴由排列数公式得![](./data/image/media/image34119.png){width="0.8854166666666666in" height="0.28125in"}， ∴m=3． 故答案为：m=3． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用． 　 3．（4分）不等式![](./data/image/media/image34120.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}＞1的解集为[　（﹣∞，0）　]{.underline}． 【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可． 【解答】解：由![](./data/image/media/image34120.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}＞1得： ![](./data/image/media/image34121.png){width="1.6666666666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 故不等式的解集为：（﹣∞，0）， 故答案为：（﹣∞，0）． 【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题． 　 4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于[　9π　]{.underline}． 【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积． 【解答】解：球的体积为36π， 设球的半径为R，可得![](./data/image/media/image34122.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}πR^3^=36π， 可得R=3， 该球主视图为半径为3的圆， 可得面积为πR^2^=9π． 故答案为：9π． ![](./data/image/media/image34123.png){width="1.1458333333333333in" height="1.1347222222222222in"} 【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题． 　 5．（4分）已知复数z满足z+![](./data/image/media/image34124.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=0，则\|z\|=[　]{.underline}![](./data/image/media/image34125.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}[　]{.underline}． 【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z^2^=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b的值得答案． 【解答】解：由z+![](./data/image/media/image34126.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=0， 得z^2^=﹣3， 设z=a+bi（a，b∈R）， 由z^2^=﹣3，得（a+bi）^2^=a^2^﹣b^2^+2abi=﹣3， 即![](./data/image/media/image34127.png){width="0.8645833333333334in" height="0.4583333333333333in"}，解得：![](./data/image/media/image34128.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}． ∴![](./data/image/media/image34129.png){width="0.6666666666666666in" height="0.1875in"}． 则\|z\|=![](./data/image/media/image34125.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image34125.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题． 　 6．（4分）设双曲线![](./data/image/media/image34130.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image34131.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（b＞0）的焦点为F~1~、F~2~，P为该双曲线上的一点，若\|PF~1~\|=5，则\|PF~2~\|=[　11　]{.underline}． 【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得\|\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|\|=6，解可得\|PF~2~\|的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：![](./data/image/media/image34130.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image34131.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1， 其中a=![](./data/image/media/image34132.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=3， 则有\|\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|\|=6， 又由\|PF~1~\|=5， 解可得\|PF~2~\|=11或﹣1（舍） 故\|PF~2~\|=11， 故答案为：11． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义． 　 7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若![](./data/image/media/image34133.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}的坐标为（4，3，2），则![](./data/image/media/image34134.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}的坐标是[　（﹣4，3，2）　]{.underline}． ![](./data/image/media/image34135.png){width="1.6145833333333333in" height="1.3854166666666667in"} 【分析】由![](./data/image/media/image34133.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}的坐标为（4，3，2），分别求出A和C~1~的坐标，由此能求出结果． 【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的顶点D为坐标原点， 过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， ∵![](./data/image/media/image34136.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C~1~（0，3，2）， ∴![](./data/image/media/image34137.png){width="1.2395833333333333in" height="0.2708333333333333in"}． 故答案为：（﹣4，3，2）． ![](./data/image/media/image34138.png){width="1.6145833333333333in" height="1.3854166666666667in"} 【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 　 8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f^﹣1^（x），若g（x）=![](./data/image/media/image34139.png){width="0.9895833333333334in" height="0.4895833333333333in"}为奇函数，则f^﹣1^（x）=2的解为[　]{.underline}![](./data/image/media/image34140.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值． 【解答】解：若g（x）=![](./data/image/media/image34141.png){width="0.9895833333333334in" height="0.4895833333333333in"}为奇函数， 可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3^﹣x^﹣1， 由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x）， 则g（x）=f（x）=1﹣3^﹣x^，x＞0， 由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f^﹣1^（x）， 且f^﹣1^（x）=2， 可由f（2）=1﹣3^﹣2^=![](./data/image/media/image34140.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 可得f^﹣1^（x）=2的解为x=![](./data/image/media/image34140.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image34140.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题． 　 9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣![](./data/image/media/image34142.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，③y=x^3^，④y=x![](./data/image/media/image34143.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，从中任选2个，则事件"所选2个函数的图象有且仅有一个公共点"的概率为[　]{.underline}![](./data/image/media/image34144.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=![](./data/image/media/image34145.png){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}，再利用列举法求出事件A："所选2个函数的图象有且只有一个公共点"包含的基本事件的个数，由此能求出事件A："所选2个函数的图象有且只有一个公共点"的概率． 【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣![](./data/image/media/image34142.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，③y=x^3^，④y=x![](./data/image/media/image34143.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}， 从四个函数中任选2个，基本事件总数n=![](./data/image/media/image34145.png){width="0.3854166666666667in" height="0.28125in"}， ③④有两个公共点（0，0），（1，1）． 事件A："所选2个函数的图象有且只有一个公共点"包含的基本事件有： ①③，①④共2个， ∴事件A："所选2个函数的图象有且只有一个公共点"的概率为P（A）=![](./data/image/media/image34146.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image34147.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image34147.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 　 10．（5分）已知数列{a~n~}和{b~n~}，其中a~n~=n^2^，n∈N^\*^，{b~n~}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N^\*^，{b~n~}的第a~n~项等于{a~n~}的第b~n~项，则![](./data/image/media/image34148.png){width="1.2395833333333333in" height="0.4895833333333333in"}=[　2　]{.underline}． 【分析】a~n~=n^2^，n∈N^\*^，若对于一切n∈N^\*^，{b~n~}中的第a~n~项恒等于{a~n~}中的第b~n~项，可得![](./data/image/media/image34149.png){width="0.2708333333333333in" height="0.25972222222222224in"}=![](./data/image/media/image34150.png){width="0.2708333333333333in" height="0.25972222222222224in"}=![](./data/image/media/image34151.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}．于是b~1~=a~1~=1，![](./data/image/media/image34152.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}=b~4~，![](./data/image/media/image34153.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}=b~9~，![](./data/image/media/image34154.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}=b~16~．即可得出． 【解答】解：∵a~n~=n^2^，n∈N^\*^，若对于一切n∈N^\*^，{b~n~}中的第a~n~项恒等于{a~n~}中的第b~n~项， ∴![](./data/image/media/image34149.png){width="0.2708333333333333in" height="0.25972222222222224in"}=![](./data/image/media/image34155.png){width="0.2708333333333333in" height="0.25972222222222224in"}=![](./data/image/media/image34156.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}． ∴b~1~=a~1~=1，![](./data/image/media/image34157.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}=b~4~，![](./data/image/media/image34158.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}=b~9~，![](./data/image/media/image34159.png){width="0.4895833333333333in" height="0.28125in"}=b~16~． ∴b~1~b~4~b~9~b~16~=![](./data/image/media/image34160.png){width="1.0625in" height="0.28125in"}． ∴![](./data/image/media/image34161.png){width="1.2395833333333333in" height="0.4895833333333333in"}=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 11．（5分）设a~1~、a~2~∈R，且![](./data/image/media/image34162.png){width="1.8854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，则\|10π﹣a~1~﹣a~2~\|的最小值等于[　]{.underline}![](./data/image/media/image34163.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}[　]{.underline}． 【分析】由题意，要使![](./data/image/media/image34164.png){width="0.75in" height="0.4270833333333333in"}+![](./data/image/media/image34165.png){width="0.8333333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=2，可得sinα~1~=﹣1，sin2α~2~=﹣1．求出α~1~和α~2~，即可求出\|10π﹣α~1~﹣α~2~\|的最小值 【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα~1~，sin2α~2~的范围在\[﹣1，1\]， 要使![](./data/image/media/image34166.png){width="0.75in" height="0.4270833333333333in"}+![](./data/image/media/image34165.png){width="0.8333333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=2， ∴sinα~1~=﹣1，sin2α~2~=﹣1． 则：![](./data/image/media/image34167.png){width="1.25in" height="0.3645833333333333in"}，k~1~∈Z． ![](./data/image/media/image34168.png){width="1.3541666666666667in" height="0.3645833333333333in"}，即![](./data/image/media/image34169.png){width="1.1666666666666667in" height="0.3645833333333333in"}，k~2~∈Z． 那么：α~1~+α~2~=（2k~1~+k~2~）π![](./data/image/media/image34170.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，k~1~、k~2~∈Z． ∴\|10π﹣α~1~﹣α~2~\|=\|10π![](./data/image/media/image34171.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}﹣（2k~1~+k~2~）π\|的最小值为![](./data/image/media/image34172.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![](./data/image/media/image34172.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查． 　 12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P~1~、P~2~、P~3~、P~4~以及四个标记为"▲"的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P~1~，P~2~，P~3~，P~4~}，点P∈Ω，过P作直线l~P~，使得不在l~P~上的"▲"的点分布在l~P~的两侧．用D~1~（l~P~）和D~2~（l~P~）分别表示l~P~一侧和另一侧的"▲"的点到l~P~的距离之和．若过P的直线l~P~中有且只有一条满足D~1~（l~P~）=D~2~（l~P~），则Ω中所有这样的P为[　P~1~、P~3~、P~4~　]{.underline}． ![](./data/image/media/image34173.png){width="2.0in" height="1.4895833333333333in"} 【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点， 过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧， 则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论． 【解答】解：设记为"▲"的四个点是A，B，C，D， 线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H， 易知EFGH为平行四边形，如图所示； 又平行四边形EFGH的对角线交于点P~2~， 则符合条件的直线l~P~一定经过点P~2~， 且过点P~2~的直线有无数条； 由过点P~1~和P~2~的直线有且仅有1条， 过点P~3~和P~2~的直线有且仅有1条， 过点P~4~和P~2~的直线有且仅有1条， 所以符合条件的点是P~1~、P~3~、P~4~． 故答案为：P~1~、P~3~、P~4~． ![](./data/image/media/image34174.png){width="2.113888888888889in" height="1.6041666666666667in"} 【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力． 　 **二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）** 13．（5分）关于x、y的二元一次方程组![](./data/image/media/image34175.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}的系数行列式D为（　　） A．![](./data/image/media/image34176.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} B．![](./data/image/media/image34177.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} C．![](./data/image/media/image34178.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} D．![](./data/image/media/image34179.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"} 【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解． 【解答】解：关于x、y的二元一次方程组![](./data/image/media/image34180.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}的系数行列式： D=![](./data/image/media/image34178.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"}． 故选：C． 【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用． 　 14．（5分）在数列{a~n~}中，a~n~=（﹣![](./data/image/media/image34181.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^n^，n∈N^\*^，则![](./data/image/media/image34182.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}a~n~（　　） A．等于![](./data/image/media/image34183.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} B．等于0 C．等于![](./data/image/media/image34181.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．不存在 【分析】根据极限的定义，求出![](./data/image/media/image34184.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}a~n~=![](./data/image/media/image34184.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}![](./data/image/media/image34185.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4270833333333333in"}的值． 【解答】解：数列{a~n~}中，a~n~=（﹣![](./data/image/media/image34186.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）^n^，n∈N^\*^， 则![](./data/image/media/image34184.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}a~n~=![](./data/image/media/image34184.png){width="0.3541666666666667in" height="0.3125in"}![](./data/image/media/image34185.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4270833333333333in"}=0． 故选：B． 【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题． 　 15．（5分）已知a、b、c为实常数，数列{x~n~}的通项x~n~=an^2^+bn+c，n∈N^\*^，则"存在k∈N^\*^，使得x~100+k~、x~200+k~、x~300+k~成等差数列"的一个必要条件是（　　） A．a≥0 B．b≤0 C．c=0 D．a﹣2b+c=0 【分析】由x~100+k~，x~200+k~，x~300+k~成等差数列，可得：2x~200+k~=x~100+k~x~300+k~，代入化简即可得出． 【解答】解：存在k∈N^\*^，使得x~100+k~、x~200+k~、x~300+k~成等差数列，可得：2\[a（200+k）^2^+b（200+k）+c\]=a（100+k）^2^+b（100+k）+c+a（300+k）^2^+b（300+k）+c，化为：a=0． ∴使得x~100+k~，x~200+k~，x~300+k~成等差数列的必要条件是a≥0． 故选：A． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C~1~：![](./data/image/media/image34187.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4375in"}=1和C~2~：x^2^+![](./data/image/media/image34188.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1．P为C~1~上的动点，Q为C~2~上的动点，w是![](./data/image/media/image34189.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的最大值．记Ω={（P，Q）\|P在C~1~上，Q在C~2~上，且![](./data/image/media/image34190.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=w}，则Ω中元素个数为（　　） A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个 【分析】设出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数． 【解答】解：椭圆C~1~：![](./data/image/media/image34191.png){width="0.5513888888888889in" height="0.4375in"}=1和C~2~：x^2^+![](./data/image/media/image34192.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1．P为C~1~上的动点，Q为C~2~上的动点， 可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\\β＜2π， 则![](./data/image/media/image34190.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β）， 当α﹣β=2kπ，k∈Z时，w取得最大值6， 则Ω={（P，Q）\|P在C~1~上，Q在C~2~上，且![](./data/image/media/image34190.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=w}中的元素有无穷多对． 另解：令P（m，n），Q（u，v），则m^2^+9n^2^=36，9u^2^+v^2^=9， 由柯西不等式（m^2^+9n^2^）（9u^2^+v^2^）=324≥（3mu+3nv）^2^， 当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6， 显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确． 故选：D． 【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题． 　 **三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）** 17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA~1~的长为5． （1）求三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的体积； （2）设M是BC中点，求直线A~1~M与平面ABC所成角的大小． ![](./data/image/media/image34193.png){width="1.2291666666666667in" height="1.3020833333333333in"} 【分析】（1）三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的体积V=S~△ABC~×AA~1~=![](./data/image/media/image34194.png){width="1.2708333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，由此能求出结果． （2）连结AM，∠A~1~MA是直线A~1~M与平面ABC所成角，由此能求出直线A~1~M与平面ABC所成角的大小． 【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的底面为直角三角形， 两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA~1~的长为5． ∴三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的体积： V=S~△ABC~×AA~1~ =![](./data/image/media/image34195.png){width="1.2708333333333333in" height="0.3645833333333333in"} =![](./data/image/media/image34196.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}=20． （2）连结AM， ∵直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的底面为直角三角形， 两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA~1~的长为5，M是BC中点， ∴AA~1~⊥底面ABC，AM=![](./data/image/media/image34197.png){width="1.0in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image34198.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴∠A~1~MA是直线A~1~M与平面ABC所成角， tan∠A~1~MA=![](./data/image/media/image34199.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![](./data/image/media/image34200.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![](./data/image/media/image34198.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴直线A~1~M与平面ABC所成角的大小为arctan![](./data/image/media/image34201.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． ![](./data/image/media/image34202.png){width="1.2291666666666667in" height="1.3020833333333333in"} 【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 　 18．（14分）已知函数f（x）=cos^2^x﹣sin^2^x+![](./data/image/media/image34203.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，x∈（0，π）． （1）求f（x）的单调递增区间； （2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=![](./data/image/media/image34204.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积． 【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间； （2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 【解答】解：（1）函数f（x）=cos^2^x﹣sin^2^x+![](./data/image/media/image34205.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} =cos2x+![](./data/image/media/image34205.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，x∈（0，π）， 由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣![](./data/image/media/image34205.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}π≤x≤kπ，k∈Z， k=1时，![](./data/image/media/image34205.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}π≤x≤π， 可得f（x）的增区间为\[![](./data/image/media/image34206.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π）； （2）设△ABC为锐角三角形， 角A所对边a=![](./data/image/media/image34207.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，角B所对边b=5， 若f（A）=0，即有cos2A+![](./data/image/media/image34205.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=0， 解得2A=![](./data/image/media/image34208.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}π，即A=![](./data/image/media/image34209.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}π， 由余弦定理可得a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA， 化为c^2^﹣5c+6=0， 解得c=2或3， 若c=2，则cosB=![](./data/image/media/image34210.png){width="0.8645833333333334in" height="0.3854166666666667in"}＜0， 即有B为钝角，c=2不成立， 则c=3， △ABC的面积为S=![](./data/image/media/image34211.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}bcsinA=![](./data/image/media/image34211.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×5×3×![](./data/image/media/image34212.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![](./data/image/media/image34213.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题． 　 19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N^\*^）个月共享单车的投放量和损失量分别为a~n~和b~n~（单位：辆），其中a~n~=![](./data/image/media/image34214.png){width="1.5520833333333333in" height="0.59375in"}，b~n~=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差． （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S~n~=﹣4（n﹣46）^2^+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【分析】（1）计算出{a~n~}和{b~n~}的前4项和的差即可得出答案； （2）令a~n~≥b~n~得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论． 【解答】解：（1）∵a~n~=![](./data/image/media/image34215.png){width="1.5520833333333333in" height="0.59375in"}，b~n~=n+5 ∴a~1~=5×1^4^+15=20 a~2~=5×2^4^+15=95 a~3~=5×3^4^+15=420 a~4~=﹣10×4+470=430 b~1~=1+5=6 b~2~=2+5=7 b~3~=3+5=8 b~4~=4+5=9 ∴前4个月共投放单车为a~1~+a~2~+a~3~+a~4~=20+95+420+430=965， 前4个月共损失单车为b~1~+b~2~+b~3~+b~4~=6+7+8+9=30， ∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935． （2）令a~n~≥b~n~，显然n≤3时恒成立， 当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤![](./data/image/media/image34216.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴第42个月底，保有量达到最大． 当n≥4，{a~n~}为公差为﹣10等差数列，而{b~n~}为等差为1的等差数列， ∴到第42个月底，单车保有量为![](./data/image/media/image34217.png){width="0.59375in" height="0.4270833333333333in"}×39+535﹣![](./data/image/media/image34218.png){width="0.59375in" height="0.4270833333333333in"}×42=![](./data/image/media/image34219.png){width="0.5513888888888889in" height="0.3645833333333333in"}×39+535﹣![](./data/image/media/image34220.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}×42=8782． S~42~=﹣4×16+8800=8736． ∵8782＞8736， ∴第42个月底单车保有量超过了容纳量． 【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题． 　 20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：![](./data/image/media/image34221.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4270833333333333in"}=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点． （1）若P在第一象限，且\|OP\|=![](./data/image/media/image34222.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求P的坐标； （2）设P（![](./data/image/media/image34223.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标； （3）若\|MA\|=\|MP\|，直线AQ与Γ交于另一点C，且![](./data/image/media/image34224.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，![](./data/image/media/image34225.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，求直线AQ的方程． 【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立![](./data/image/media/image34226.png){width="0.8125in" height="0.71875in"}，能求出P点坐标． （2）设M（x~0~，0），A（0，1），P（![](./data/image/media/image34227.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}），由∠P=90°，求出x~0~=![](./data/image/media/image34228.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}；由∠M=90°，求出x~0~=1或x~0~=![](./data/image/media/image34229.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标． （3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x~0~，0）推导出x~0~=![](./data/image/media/image34230.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cosβ，从而 4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣![](./data/image/media/image34231.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cosα，且sinα=![](./data/image/media/image34232.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ． 【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0）， ∵椭圆Γ：![](./data/image/media/image34233.png){width="0.5201388888888889in" height="0.4270833333333333in"}=1，A为Γ的上顶点， P为Γ上异于上、下顶点的动点， P在第一象限，且\|OP\|=![](./data/image/media/image34234.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴联立![](./data/image/media/image34235.png){width="0.8125in" height="0.71875in"}， 解得P（![](./data/image/media/image34236.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，![](./data/image/media/image34237.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）． （2）设M（x~0~，0），A（0，1）， P（![](./data/image/media/image34238.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}）， 若∠P=90°，则![](./data/image/media/image34239.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image34240.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，即（x~0~﹣![](./data/image/media/image34241.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，﹣![](./data/image/media/image34242.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）•（﹣![](./data/image/media/image34243.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![](./data/image/media/image34244.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=0， ∴（﹣![](./data/image/media/image34243.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）x~0~+![](./data/image/media/image34245.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣![](./data/image/media/image34246.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=0，解得x~0~=![](./data/image/media/image34247.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 如图，若∠M=90°，则![](./data/image/media/image34248.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![](./data/image/media/image34249.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=0，即（﹣x~0~，1）•（![](./data/image/media/image34250.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣x~0~，![](./data/image/media/image34251.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=0， ∴![](./data/image/media/image34252.png){width="1.0409722222222222in" height="0.4270833333333333in"}=0，解得x~0~=1或x~0~=![](./data/image/media/image34251.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意． ∴点M的横坐标为![](./data/image/media/image34253.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，或1，或![](./data/image/media/image34251.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （3）设C（2cosα，sinα）， ∵![](./data/image/media/image34254.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}，A（0，1）， ∴Q（4cosα，2sinα﹣1）， 又设P（2cosβ，sinβ），M（x~0~，0）， ∵\|MA\|=\|MP\|，∴x~0~^2^+1=（2cosβ﹣x~0~）^2^+（sinβ）^2^， 整理得：x~0~=![](./data/image/media/image34255.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cosβ， ∵![](./data/image/media/image34256.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），![](./data/image/media/image34257.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣![](./data/image/media/image34258.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cosβ，﹣sinβ），![](./data/image/media/image34259.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}， ∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ， 且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ， ∴cosβ=﹣![](./data/image/media/image34260.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}cosα，且sinα=![](./data/image/media/image34261.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（1﹣2sinα）， 以上两式平方相加，整理得3（sinα）^2^+sinα﹣2=0，∴sinα=![](./data/image/media/image34262.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，或sinα=﹣1（舍去）， 此时，直线AC的斜率k~AC~=﹣![](./data/image/media/image34263.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![](./data/image/media/image34264.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} （负值已舍去），如图． ∴直线AQ为y=![](./data/image/media/image34264.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}x+1． ![](./data/image/media/image34265.png){width="3.84375in" height="2.3958333333333335in"} ![](./data/image/media/image34266.png){width="3.854861111111111in" height="2.0625in"} 【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题． 　 21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x~1~、x~2~∈R，当x~1~＜x~2~时，都有f（x~1~）≤f（x~2~）． （1）若f（x）=ax^3^+1，求a的取值范围； （2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数； （3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明："h（x）是周期函数"的充要条件是"f（x）是常值函数"． 【分析】（1）直接由f（x~1~）﹣f（x~2~）≤0求得a的取值范围； （2）若f（x）是周期函数，记其周期为T~k~，任取x~0~∈R，则有f（x~0~）=f（x~0~+T~k~），证明对任意x∈\[x~0~，x~0~+T~k~\]，f（x~0~）≤f（x）≤f（x~0~+T~k~），可得f（x~0~）=f（x~0~+nT~k~），n∈Z，再由...∪\[x~0~﹣3T~k~，x~0~﹣2T~k~\]∪\[x~0~﹣2T~k~，x~0~﹣T~k~\]∪\[x~0~﹣T~k~，x~0~\]∪\[x~0~，x~0~+T~k~\]∪\[x~0~+T~k~，x~0~+2T~k~\]∪...=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x~0~）=C，为常数； （3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明． 【解答】（1）解：由f（x~1~）≤f（x~2~），得f（x~1~）﹣f（x~2~）=a（x~1~^3^﹣x~2~^3^）≤0， ∵x~1~＜x~2~，∴x~1~^3^﹣x~2~^3^＜0，得a≥0． 故a的范围是\[0，+∞）； （2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T~k~，任取x~0~∈R，则有 f（x~0~）=f（x~0~+T~k~）， 由题意，对任意x∈\[x~0~，x~0~+T~k~\]，f（x~0~）≤f（x）≤f（x~0~+T~k~）， ∴f（x~0~）=f（x）=f（x~0~+T~k~）． 又∵f（x~0~）=f（x~0~+nT~k~），n∈Z，并且 ...∪\[x~0~﹣3T~k~，x~0~﹣2T~k~\]∪\[x~0~﹣2T~k~，x~0~﹣T~k~\]∪\[x~0~﹣T~k~，x~0~\]∪\[x~0~，x~0~+T~k~\]∪\[x~0~+T~k~，x~0~+2T~k~\]∪...=R， ∴对任意x∈R，f（x）=f（x~0~）=C，为常数； （3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c~1~，设g（x）的一个周期为T~g~，则 h（x）=c~1~•g（x），则对任意x~0~∈R， h（x~0~+T~g~）=c~1~•g（x~0~+T~g~）=c~1~•g（x~0~）=h（x~0~）， 故h（x）是周期函数； 必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T~h~． 若存在x~1~，x~2~，使得f（x~1~）＞0，且f（x~2~）＜0，则由题意可知， x~1~＞x~2~，那么必然存在正整数N~1~，使得x~2~+N~1~T~k~＞x~1~， ∴f（x~2~+N~1~T~k~）＞f（x~1~）＞0，且h（x~2~+N~1~T~k~）=h（x~2~）． 又h（x~2~）=g（x~2~）f（x~2~）＜0，而 h（x~2~+N~1~T~k~）=g（x~2~+N~1~T~k~）f（x~2~+N~1~T~k~）＞0≠h（x~2~），矛盾． 综上，f（x）＞0恒成立． 由f（x）＞0恒成立， 任取x~0~∈A，则必存在N~2~∈N，使得x~0~﹣N~2~T~h~≤x~0~﹣T~g~， 即\[x~0~﹣T~g~，x~0~\]⊆\[x~0~﹣N~2~T~h~，x~0~\]， ∵...∪\[x~0~﹣3T~k~，x~0~﹣2T~k~\]∪\[x~0~﹣2T~k~，x~0~﹣T~k~\]∪\[x~0~﹣T~k~，x~0~\]∪\[x~0~，x~0~+T~k~\]∪\[x~0~+T~k~，x~0~+2T~k~\]∪...=R， ∴...∪\[x~0~﹣2N~2~T~h~，x~0~﹣N~2~T~h~\]∪\[x~0~﹣N~2~T~h~，x~0~\]∪\[x~0~，x~0~+N~2~T~h~\]∪\[x~0~+N~2~T~h~，x~0~+2N~2~T~h~\]∪...=R． h（x~0~）=g（x~0~）•f（x~0~）=h（x~0~﹣N~2~T~h~）=g（x~0~﹣N~2~T~h~）•f（x~0~﹣N~2~T~h~）， ∵g（x~0~）=M≥g（x~0~﹣N~2~T~h~）＞0，f（x~0~）≥f（x~0~﹣N~2~T~h~）＞0． 因此若h（x~0~）=h（x~0~﹣N~2~T~h~），必有g（x~0~）=M=g（x~0~﹣N~2~T~h~），且f（x~0~）=f（x~0~﹣N~2~T~h~）=c． 而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x~0~）=C，为常数． 综上，必要性得证． 【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大． 　 2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） ============================================= 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）设z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34267.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+2i，则\|z\|=（　　） A．0 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34268.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．1 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34269.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模． 【解答】解：z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34270.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}+2i=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34271.png){width="0.8861111111111111in" height="0.36527777777777776in"}+2i=﹣i+2i=i， 则\|z\|=1． 故选：C． 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力． 　 2．（5分）已知集合A={x\|x2﹣x﹣2＞0}，则∁RA=（　　） A．{x\|﹣1＜x＜2} B．{x\|﹣1≤x≤2} C．{x\|x＜﹣1}∪{x\|x＞2} D．{x\|x≤﹣1}∪{x\|x≥2} 【考点】1F：补集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5J：集合；5T：不等式． 【分析】通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可． 【解答】解：集合A={x\|x2﹣x﹣2＞0}， 可得A={x\|x＜﹣1或x＞2}， 则：∁RA={x\|﹣1≤x≤2}． 故选：B． 【点评】本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查． 　 3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34272.png){width="5.959027777777778in" height="1.9479166666666667in"} 则下面结论中不正确的是（　　） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【考点】2K：命题的真假判断与应用；CS：概率的应用．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计；5L：简易逻辑． 【分析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果． 【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a． A项，种植收入37%×2a﹣60%a=14%a＞0， 故建设后，种植收入增加，故A项错误． B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a， 建设前，其他收入为4%a， 故10%a÷4%a=2.5＞2， 故B项正确． C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a， 建设前，养殖收入为30%a， 故60%a÷30%a=2， 故C项正确． D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为 （30%+28%）×2a=58%×2a， 经济收入为2a， 故（58%×2a）÷2a=58%＞50%， 故D项正确． 因为是选择不正确的一项， 故选：A． 【点评】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问题解决问题的能力． 　 4．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（　　） A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12 【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出a5的值． 【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34273.png){width="1.3131944444444446in" height="0.36527777777777776in"}=a1+a1+d+4a1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34274.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}d， 把a1=2，代入得d=﹣3 ∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10． 故选：B． 【点评】本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 5．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　） A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程． 【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数， 可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1， 曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1， 则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x． 故选：D． 【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力． 　 6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34275.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34276.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34277.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34278.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34279.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34280.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34281.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34282.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34283.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34282.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34281.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34280.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34283.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34280.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34284.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34285.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34286.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"} 【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及应用． 【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量． 【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34287.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34284.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34288.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34284.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34289.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34290.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34291.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34292.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34292.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34291.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34293.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34294.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34291.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34295.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34293.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}， 故选：A． 【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题． 　 7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34296.png){width="1.8333333333333333in" height="1.3541666666666667in"} A．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34297.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} B．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34298.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．3 D．2 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可． 【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2， 直观图以及侧面展开图如图： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34299.png){width="4.406944444444444in" height="1.2916666666666667in"} 圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34300.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34301.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 故选：B． 【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力． 　 8．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34302.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}的直线与C交于M，N两点，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34303.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34304.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5A：平面向量及应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可． 【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34305.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}的直线为：3y=2x+4， 联立直线与抛物线C：y2=4x，消去x可得：y2﹣6y+8=0， 解得y1=2，y2=4，不妨M（1，2），N（4，4），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34306.png){width="0.7923611111111111in" height="0.22847222222222222in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34307.png){width="0.7923611111111111in" height="0.22847222222222222in"}． 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34308.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34309.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（0，2）•（3，4）=8． 故选：D． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力． 　 9．（5分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34310.png){width="0.875in" height="0.4888888888888889in"}，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　） A．\[﹣1，0） B．\[0，+∞） C．\[﹣1，+∞） D．\[1，+∞） 【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可． 【解答】解：由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a， 作出函数f（x）和y=﹣x﹣a的图象如图： 当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点， 即函数g（x）存在2个零点， 故实数a的取值范围是\[﹣1，+∞）， 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34311.png){width="2.5215277777777776in" height="2.636111111111111in"} 【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键． 　 10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34312.png){width="2.3958333333333335in" height="1.4166666666666667in"} A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3 【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】如图：设BC=2r1，AB=2r2，AC=2r3，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到答案． 【解答】解：如图：设BC=2r1，AB=2r2，AC=2r3， ∴r12=r22+r32， ∴SⅠ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34313.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×4r2r3=2r2r3，SⅢ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34313.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×πr12﹣2r2r3， SⅡ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34313.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×πr32+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34314.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×πr22﹣SⅢ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34314.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×πr32+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34314.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×πr22﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34314.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}×πr12+2r2r3=2r2r3， ∴SⅠ=SⅡ， ∴P1=P2， 故选：A． 【点评】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题． 　 11．（5分）已知双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34315.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则\|MN\|=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34316.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．3 C．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34317.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．4 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4：解题方法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN的坐标，然后求解\|MN\|． 【解答】解：双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34318.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣y2=1的渐近线方程为：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34319.png){width="0.5298611111111111in" height="0.38472222222222224in"}，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34320.png){width="0.6451388888888889in" height="0.1875in"}， 则：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34321.png){width="0.9381944444444444in" height="0.6451388888888889in"}解得M（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34322.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34323.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34324.png){width="0.9381944444444444in" height="0.6451388888888889in"}解得：N（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34325.png){width="0.48055555555555557in" height="0.20902777777777778in"}）， 则\|MN\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34326.png){width="1.6347222222222222in" height="0.40625in"}=3． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 　 12．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34327.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34328.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34329.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34330.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"} 【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角． 【分析】利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，然后求解α截此正方体所得截面面积的最大值． 【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大， 此时正六边形的边长![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34331.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， α截此正方体所得截面最大值为：6×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34332.png){width="0.9486111111111111in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34333.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34334.png){width="1.40625in" height="1.2916666666666667in"} 【点评】本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，有一定的难度． 　 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）若x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34335.png){width="0.875in" height="0.65625in"}，则z=3x+2y的最大值为　6　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=3x+2y得y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34336.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34337.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}z， 平移直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34336.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34337.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}z， 由图象知当直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34336.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34337.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大， 最大值为z=3×2=6， 故答案为：6 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34338.png){width="4.115277777777778in" height="3.5319444444444446in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键． 　 14．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn=2an+1，则S6=　﹣63　． 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列． 【分析】先根据数列的递推公式可得{an}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可． 【解答】解：Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2an+1，① 当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1， 当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1+1，②， 由①﹣②可得an=2an﹣2an﹣1， ∴an=2an﹣1， ∴{an}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列， ∴S6=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34339.png){width="0.9381944444444444in" height="0.42569444444444443in"}=﹣63， 故答案为：﹣63 【点评】本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于基础题． 　 15．（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有　16　种．（用数字填写答案） 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5O：排列组合． 【分析】方法一：直接法，分类即可求出， 方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数． 【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42=12，2女1男，有C22C41=4 根据分类计数原理可得，共有12+4=16种， 方法二，间接法：C63﹣C43=20﹣4=16种， 故答案为：16 【点评】本题考查了分类计数原理，属于基础题 　 16．（5分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34340.png){width="0.4479166666666667in" height="0.38472222222222224in"}　． 【考点】6E：利用导数研究函数的最值；HW：三角函数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值． 【分析】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在\[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得． 【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期， 故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在\[0，2π）上的值域， 先来求该函数在\[0，2π）上的极值点， 求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x =2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1）， 令f′（x）=0可解得cosx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34341.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}或cosx=﹣1， 可得此时x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34342.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，π或 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34343.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}； ∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34344.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，π或 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34345.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}和边界点x=0中取到， 计算可得f（ ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34344.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34346.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，f（π）=0，f（ ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34345.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34346.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}，f（0）=0， ∴函数的最小值为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34346.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34347.png){width="0.4479166666666667in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题． 　 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5． （1）求cos∠ADB； （2）若DC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34348.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，求BC． 【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；58：解三角形． 【分析】（1）由正弦定理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34349.png){width="0.71875in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34350.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}，求出sin∠ADB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34351.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，由此能求出cos∠ADB； （2）由∠ADC=90°，得cos∠BDC=sin∠ADB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34351.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，再由DC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34352.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，利用余弦定理能求出BC． 【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5． ∴由正弦定理得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34353.png){width="0.71875in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34354.png){width="0.5520833333333334in" height="0.36527777777777776in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34355.png){width="0.71875in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34356.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36527777777777776in"}， ∴sin∠ADB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34357.png){width="0.71875in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34358.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A， ∴cos∠ADB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34359.png){width="0.8118055555555556in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34360.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38472222222222224in"}． （2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34358.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∵DC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34361.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∴BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34362.png){width="2.4694444444444446in" height="0.25in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34363.png){width="1.7604166666666667in" height="0.40625in"}=5． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34364.png){width="1.8854166666666667in" height="1.875in"} 【点评】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF． （1）证明：平面PEF⊥平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34365.png){width="2.8444444444444446in" height="1.4270833333333333in"} 【考点】LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角． 【分析】（1）利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可． （2）利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角． 【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34366.png){width="0.5930555555555556in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34367.png){width="0.5930555555555556in" height="0.36527777777777776in"}， 由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC． 由于PF⊥BF，EF∩PF=F，则BF⊥平面PEF． 又因为BF⊂平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD． （2）在平面DEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH， 由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF， 则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH． 在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH， 因为DE∥BF且PF⊥BF， 所以PF⊥DE， 又因为△PDF≌△CDF， 所以∠FPD=∠FCD=90°， 所以PF⊥PD， 由于DE∩PD=D，则PF⊥平面PDE， 故VF﹣PDE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34368.png){width="0.8645833333333334in" height="0.36527777777777776in"}， 因为BF∥DA且BF⊥面PEF， 所以DA⊥面PEF， 所以DE⊥EP． 设正方形边长为2a，则PD=2a，DE=a 在△PDE中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34369.png){width="0.5840277777777778in" height="0.1875in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34370.png){width="1.0013888888888889in" height="0.38472222222222224in"}， 故VF﹣PDE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34371.png){width="0.43680555555555556in" height="0.38472222222222224in"}， 又因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34372.png){width="1.332638888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 所以PH=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34373.png){width="0.5930555555555556in" height="0.48055555555555557in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34374.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}， 所以在△PHD中，sin∠PDH=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34375.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34376.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， 即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34376.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34377.png){width="2.4791666666666665in" height="1.5104166666666667in"} 【点评】本题主要考查点、直线、平面的位置关系．直线与平面所成角的求法．几何法的应用，考查转化思想以及计算能力． 　 19．（12分）设椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34378.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）． （1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB． 【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（1）先得到F的坐标，再求出点A的方程，根据两点式可得直线方程， （2）分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，以及韦达定理，即可证明． 【解答】解：（1）c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34379.png){width="0.37569444444444444in" height="0.1875in"}=1， ∴F（1，0）， ∵l与x轴垂直， ∴x=1， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34380.png){width="0.8118055555555556in" height="0.65625in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34381.png){width="0.5298611111111111in" height="0.6145833333333334in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34382.png){width="0.6145833333333334in" height="0.6145833333333334in"}， ∴A（1.![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34383.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}），或（1，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34383.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}）， ∴直线AM的方程为y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34383.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34384.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34383.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34384.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°， 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB， 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1），k≠0， A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34384.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，x2＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34385.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34386.png){width="0.4173611111111111in" height="0.4888888888888889in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34387.png){width="0.4173611111111111in" height="0.4888888888888889in"}， 由y1=kx1﹣k，y2=kx2﹣k得kMA+kMB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34388.png){width="1.8020833333333333in" height="0.48055555555555557in"}， 将y=k（x﹣1）代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34389.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+y2=1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0， ∴x1+x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34390.png){width="0.5215277777777778in" height="0.48055555555555557in"}，x1x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34391.png){width="0.5215277777777778in" height="0.48055555555555557in"}， ∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34392.png){width="0.5215277777777778in" height="0.42569444444444443in"}（4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）=0 从而kMA+kMB=0， 故MA，MB的倾斜角互补， ∴∠OMA=∠OMB， 综上∠OMA=∠OMB． 【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，以韦达定理，考查了运算能力和转化能力，属于中档题． 　 20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f （p）的最大值点p0． （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX； （ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】（1）求出f（p）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34393.png){width="1.0618055555555554in" height="0.28055555555555556in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34394.png){width="2.9166666666666665in" height="0.28055555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34395.png){width="1.667361111111111in" height="0.28055555555555556in"}，利用导数性质能求出f （p）的最大值点p0=0.1． （2）（i）由p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），再由X=20×2+25Y，即X=40+25Y，能求出E（X）． （ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，E（X）=490＞400，从而应该对余下的产品进行检验． 【解答】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p）， 则f（p）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34396.png){width="1.0618055555555554in" height="0.28055555555555556in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34394.png){width="2.9166666666666665in" height="0.28055555555555556in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34397.png){width="1.667361111111111in" height="0.28055555555555556in"}， 令f′（p）=0，得p=0.1， 当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0， 当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0， ∴f （p）的最大值点p0=0.1． （2）（i）由（1）知p=0.1， 令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1）， X=20×2+25Y，即X=40+25Y， ∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490． （ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元， ∵E（X）=490＞400， ∴应该对余下的产品进行检验． 【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34398.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣x+alnx． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34399.png){width="1.0618055555555554in" height="0.48055555555555557in"}＜a﹣2． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；4R：转化法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可． （2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论． 【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）， 函数的导数f′（x）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34400.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34401.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34402.png){width="0.6666666666666666in" height="0.48055555555555557in"}， 设g（x）=x2﹣ax+1， 当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数， 当a＞0时，判别式△=a2﹣4， ①当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数， ②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表： --------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ x （0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34403.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}） ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34403.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"} （![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34403.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34404.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}） ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34404.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"} （![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34405.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，+∞） f′（x） ﹣ 0 \+ 0 ﹣ f（x） 递减 递增 递减 --------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数， 当a＞2时，在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34406.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}），和（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34405.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，+∞）上是减函数， 则（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34406.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34405.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}）上是增函数． （2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2=1， 则f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34407.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}）+a（lnx1﹣lnx2）=2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34408.png){width="1.0618055555555554in" height="0.48055555555555557in"}=﹣2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34409.png){width="1.1465277777777778in" height="0.48055555555555557in"}， 则问题转为证明![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34410.png){width="0.875in" height="0.48055555555555557in"}＜1即可， 即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2， 则lnx1﹣ln![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34411.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}＞x1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34411.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}， 即lnx1+lnx1＞x1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34412.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}， 即证2lnx1＞x1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34412.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}在（0，1）上恒成立， 设h（x）=2lnx﹣x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34413.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，（0＜x＜1），其中h（1）=0， 求导得h′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34414.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34415.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34416.png){width="0.6666666666666666in" height="0.48055555555555557in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34417.png){width="0.5840277777777778in" height="0.48055555555555557in"}＜0， 则h（x）在（0，1）上单调递减， ∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34418.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＞0， 故2lnx＞x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34418.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34419.png){width="1.0618055555555554in" height="0.48055555555555557in"}＜a﹣2成立． （2）另解：注意到f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34418.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34418.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}﹣alnx=﹣f（x）， 即f（x）+f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34418.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）=0， 由韦达定理得x1x2=1，x1+x2=a＞2，得0＜x1＜1＜x2，x1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34420.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}， 可得f（x2）+f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34420.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}）=0，即f（x1）+f（x2）=0， 要证![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34421.png){width="1.0618055555555554in" height="0.48055555555555557in"}＜a﹣2，只要证![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34422.png){width="1.1465277777777778in" height="0.48055555555555557in"}＜a﹣2， 即证2alnx2﹣ax2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34423.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}＜0，（x2＞1）， 构造函数h（x）=2alnx﹣ax+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34424.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，（x＞1），h′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34425.png){width="0.7493055555555556in" height="0.48055555555555557in"}≤0， ∴h（x）在（1，+∞）上单调递减， ∴h（x）＜h（1）=0， ∴2alnx﹣ax+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34426.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜0成立，即2alnx2﹣ax2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34427.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}＜0，（x2＞1）成立． 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34428.png){width="1.0618055555555554in" height="0.48055555555555557in"}＜a﹣2成立． 【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 　 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分） 22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k\|x\|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0． （1）求C2的直角坐标方程； （2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． （2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果． 【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0． 转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0， 转换为标准式为：（x+1）2+y2=4． （2）由于曲线C1的方程为y=k\|x\|+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）． 由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点． 所以：必有一直线相切，一直线相交． 则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2． 故：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34429.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34430.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"} 解得：k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34431.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36527777777777776in"}或0，（0舍去）或k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34432.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}或0 经检验，直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34433.png){width="0.5930555555555556in" height="0.36527777777777776in"}与曲线C2没有公共点． 故C1的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34434.png){width="0.8444444444444444in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用． 　 \[选修4-5：不等式选讲\]（10分） 23．已知f（x）=\|x+1\|﹣\|ax﹣1\|． （1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集； （2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式． 【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集， （2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，转化为即\|ax﹣1\|＜1，即0＜ax＜2，转化为a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34435.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，且a＞0，即可求出a的范围． 【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34436.png){width="1.1243055555555554in" height="0.6972222222222222in"}， 由f（x）＞1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34437.png){width="0.7923611111111111in" height="0.42569444444444443in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34438.png){width="0.4583333333333333in" height="0.4479166666666667in"}， 解得x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34439.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， 故不等式f（x）＞1的解集为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34439.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，+∞）， （2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立， ∴\|x+1\|﹣\|ax﹣1\|﹣x＞0， 即x+1﹣\|ax﹣1\|﹣x＞0， 即\|ax﹣1\|＜1， ∴﹣1＜ax﹣1＜1， ∴0＜ax＜2， ∵x∈（0，1）， ∴a＞0， ∴0＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34440.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34441.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34441.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＞2， ∴0＜a≤2， 故a的取值范围为（0，2\]． 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题． 2018年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ） ================================================= 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（　　） A．{0，2} B．{1，2} C．{0} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；49：综合法；5J：集合． 【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可． 【解答】解：集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}， 则A∩B={0，2}． 故选：A． 【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，是基本知识的考查． 　 2．（5分）设z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34442.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36666666666666664in"}+2i，则\|z\|=（　　） A．0 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34443.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} C．1 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34444.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"} 【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模． 【解答】解：z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34445.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36666666666666664in"}+2i=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34446.png){width="0.8875in" height="0.36666666666666664in"}+2i=﹣i+2i=i， 则\|z\|=1． 故选：C． 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力． 　 3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34447.png){width="5.959027777777778in" height="1.9479166666666667in"} 则下面结论中不正确的是（　　） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【考点】2K：命题的真假判断与应用；CS：概率的应用．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计；5L：简易逻辑． 【分析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果． 【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a． A项，种植收入37%×2a﹣60%a=14%a＞0， 故建设后，种植收入增加，故A项错误． B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a， 建设前，其他收入为4%a， 故10%a÷4%a=2.5＞2， 故B项正确． C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a， 建设前，养殖收入为30%a， 故60%a÷30%a=2， 故C项正确． D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为 （30%+28%）×2a=58%×2a， 经济收入为2a， 故（58%×2a）÷2a=58%＞50%， 故D项正确． 因为是选择不正确的一项， 故选：A． 【点评】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问题解决问题的能力． 　 4．（5分）已知椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34448.png){width="0.22708333333333333in" height="0.4798611111111111in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34449.png){width="0.22708333333333333in" height="0.4354166666666667in"}=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34450.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34451.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34452.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34453.png){width="0.34375in" height="0.38333333333333336in"} 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用椭圆的焦点坐标，求出a，然后求解椭圆的离心率即可． 【解答】解：椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34454.png){width="0.22708333333333333in" height="0.4798611111111111in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34455.png){width="0.22708333333333333in" height="0.4354166666666667in"}=1的一个焦点为（2，0）， 可得a2﹣4=4，解得a=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34456.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}， ∵c=2， ∴e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34457.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34458.png){width="0.34375in" height="0.38333333333333336in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34459.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}． 故选：C． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 　 5．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（　　） A．12![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34460.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}π B．12π C．8![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34460.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}π D．10π 【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积． 【解答】解：设圆柱的底面直径为2R，则高为2R， 圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2， 过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形， 可得：4R2=8，解得R=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34460.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}， 则该圆柱的表面积为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34461.png){width="2.051388888888889in" height="0.25in"}=12π． 故选：B． 【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查． 　 6．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　） A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程． 【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数， 可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1， 曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1， 则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x． 故选：D． 【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力． 　 7．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34462.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34463.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34464.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34465.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34466.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34467.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34468.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34469.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34470.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34469.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34468.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34467.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34470.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34471.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34472.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34473.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34474.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"} 【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及应用． 【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量． 【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34475.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34472.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34476.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34472.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34477.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34478.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34479.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34480.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34480.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34479.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34481.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34482.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34479.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34483.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34484.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}， 故选：A． 【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题． 　 8．（5分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（　　） A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3 B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4 C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3 D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4 【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质． 【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦函数的性质求出结果． 【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2， =2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x， =4cos2x+sin2x， =3cos2x+1， =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34485.png){width="1.0083333333333333in" height="0.36666666666666664in"}， =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34486.png){width="0.7944444444444444in" height="0.36666666666666664in"}， 故函数的最小正周期为π， 函数的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34487.png){width="0.5625in" height="0.36666666666666664in"}， 故选：B． 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用． 　 9．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34488.png){width="1.8333333333333333in" height="1.3541666666666667in"} A．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34489.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} B．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34490.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"} C．3 D．2 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可． 【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2， 直观图以及侧面展开图如图： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34491.png){width="4.406944444444444in" height="1.2916666666666667in"} 圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34492.png){width="0.5916666666666667in" height="0.25in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34493.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}． 故选：B． 【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力． 　 10．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（　　） A．8 B．6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34494.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"} C．8![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34494.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"} D．8![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34495.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"} 【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可． 【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2， AC1与平面BB1C1C所成的角为30°， 即∠AC1B=30°，可得BC1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34496.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36666666666666664in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34497.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}． 可得BB1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34498.png){width="0.9916666666666667in" height="0.26944444444444443in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34499.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}． 所以该长方体的体积为：2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34500.png){width="0.5625in" height="0.1875in"}=8![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34499.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34501.png){width="1.8541666666666667in" height="1.3020833333333333in"} 【点评】本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力． 　 11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34502.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，则\|a﹣b\|=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34503.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34504.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34505.png){width="0.34375in" height="0.38333333333333336in"} D．1 【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】推导出cos2α=2cos2α﹣1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34506.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，从而\|cosα\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34507.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38333333333333336in"}，进而\|tanα\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34508.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36666666666666664in"}\|=\|a﹣b\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34509.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}．由此能求出结果． 【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合， 终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34510.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}， ∴cos2α=2cos2α﹣1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34510.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，解得cos2α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34511.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}， ∴\|cosα\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34507.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38333333333333336in"}，∴\|sinα\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34512.png){width="0.5104166666666666in" height="0.38333333333333336in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34513.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}， \|tanα\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34514.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36666666666666664in"}\|=\|a﹣b\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34515.png){width="0.6368055555555555in" height="0.36666666666666664in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34516.png){width="0.3541666666666667in" height="0.8in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34517.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}． 故选：B． 【点评】本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 12．（5分）设函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34518.png){width="0.8875in" height="0.4875in"}，则满足f（x+1）＜f（2x）的x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1\] B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，0） 【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；51：函数的性质及应用． 【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可． 【解答】解：函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34519.png){width="0.8875in" height="0.4875in"}，的图象如图： 满足f（x+1）＜f（2x）， 可得：2x＜0＜x+1或2x＜x+1≤0， 解得x∈（﹣∞，0）． 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34520.png){width="2.40625in" height="2.542361111111111in"} 【点评】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力． 　 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）已知函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，则a=　﹣7　． 【考点】3T：函数的值；53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用． 【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可． 【解答】解：函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1， 可得：log2（9+a）=1，可得a=﹣7． 故答案为：﹣7． 【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数的领导与方程根的关系，是基本知识的考查． 　 14．（5分）若x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34521.png){width="0.875in" height="0.65625in"}，则z=3x+2y的最大值为　6　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=3x+2y得y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34522.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34523.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}z， 平移直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34522.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34523.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}z， 由图象知当直线y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34522.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34523.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大， 最大值为z=3×2=6， 故答案为：6 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34524.png){width="4.115277777777778in" height="3.5319444444444446in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键． 　 15．（5分）直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则\|AB\|=　2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34525.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}　． 【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆． 【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可． 【解答】解：圆x2+y2+2y﹣3=0的圆心（0，﹣1），半径为：2， 圆心到直线的距离为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34526.png){width="0.6368055555555555in" height="0.38333333333333336in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34527.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}， 所以\|AB\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34528.png){width="0.8875in" height="0.26944444444444443in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34527.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}． 故答案为：2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34527.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力． 　 16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34529.png){width="0.34375in" height="0.38333333333333336in"}　． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；58：解三角形． 【分析】直接利用正弦定理求出A的值，进一步利用余弦定理求出bc的值，最后求出三角形的面积． 【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c． bsinC+csinB=4asinBsinC， 利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC， 由于0＜B＜π，0＜C＜π， 所以sinBsinC≠0， 所以sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34530.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}， 则A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34531.png){width="0.7083333333333334in" height="0.36666666666666664in"} 由于b2+c2﹣a2=8， 则：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34532.png){width="1.2631944444444445in" height="0.42569444444444443in"}， ①当A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34533.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34534.png){width="0.64375in" height="0.38333333333333336in"}， 解得bc=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34535.png){width="0.34375in" height="0.38333333333333336in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34536.png){width="1.6458333333333333in" height="0.38333333333333336in"}． ②当A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34537.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36666666666666664in"}时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34538.png){width="0.7479166666666667in" height="0.38333333333333336in"}， 解得bc=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34539.png){width="0.34375in" height="0.38333333333333336in"}（不合题意），舍去． 故：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34540.png){width="0.9041666666666667in" height="0.38333333333333336in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34541.png){width="0.34375in" height="0.38333333333333336in"}． 【点评】本体考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用． 　 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an，设bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34542.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}． （1）求b1，b2，b3； （2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； （3）求{an}的通项公式． 【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的各项． （2）利用定义说明数列为等比数列． （3）利用（1）（2）的结论，直接求出数列的通项公式． 【解答】解：（1）数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an， 则：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34543.png){width="0.5861111111111111in" height="0.875in"}（常数）， 由于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34544.png){width="0.5229166666666667in" height="0.42569444444444443in"}， 故：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34545.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4798611111111111in"}， 数列{bn}是以b1为首项，2为公比的等比数列． 整理得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34546.png){width="1.3555555555555556in" height="0.2791666666666667in"}， 所以：b1=1，b2=2，b3=4． （2）数列{bn}是为等比数列， 由于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34547.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4798611111111111in"}（常数）； （3）由（1）得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34548.png){width="0.6270833333333333in" height="0.2791666666666667in"}， 根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34549.png){width="0.5229166666666667in" height="0.42569444444444443in"}， 所以：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34550.png){width="0.7944444444444444in" height="0.2791666666666667in"}． 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用． 　 18．（12分）如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC； （2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34551.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}DA，求三棱锥Q﹣ABP的体积． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34552.png){width="3.0840277777777776in" height="1.9583333333333333in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）可得AB⊥AC，AB⊥DA．且AD∩AC=A，即可得AB⊥面ADC，平面ACD⊥平面ABC； （2）首先证明DC⊥面ABC，再根据BP=DQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34551.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}DA，可得三棱锥Q﹣ABP的高，求出三角形ABP的面积即可求得三棱锥Q﹣ABP的体积． 【解答】解：（1）证明：∵在平行四边形ABCM中，∠ACM=90°，∴AB⊥AC， 又AB⊥DA．且AD∩AC=A， ∴AB⊥面ADC，∴AB⊂面ABC， ∴平面ACD⊥平面ABC； （2）∵AB=AC=3，∠ACM=90°，∴AD=AM=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34553.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}， ∴BP=DQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34554.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}DA=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34553.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}， 由（1）得DC⊥AB，又DC⊥CA，∴DC⊥面ABC， ∴三棱锥Q﹣ABP的体积V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34555.png){width="1.10625in" height="0.36666666666666664in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34556.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34557.png){width="0.5916666666666667in" height="0.36666666666666664in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34558.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36666666666666664in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34559.png){width="1.8770833333333334in" height="0.36666666666666664in"}=1． 【点评】本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 19．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 ---------- ------------ -------------- -------------- -------------- -------------- -------------- -------------- 日用水量 \[0，0.1） \[0.1，0.2） \[0.2，0.3） \[0.3，0.4） \[0.4，0.5） \[0.5，0.6） \[0.6，0.7） 频数 1 3 2 4 9 26 5 ---------- ------------ -------------- -------------- -------------- -------------- -------------- -------------- 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 ---------- ------------ -------------- -------------- -------------- -------------- -------------- 日用水量 \[0，0.1） \[0.1，0.2） \[0.2，0.3） \[0.3，0.4） \[0.4，0.5） \[0.5，0.6） 频数 1 5 13 10 16 5 ---------- ------------ -------------- -------------- -------------- -------------- -------------- （1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图； ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34560.png){width="4.709027777777778in" height="3.979861111111111in"} （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率； （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） 【考点】B7：分布和频率分布表；B8：频率分布直方图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表能作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图． （2）根据频率分布直方图能求出该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率． （3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为0.48，使用节水龙头50天的日均用水量为0.35，能此能估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水． 【解答】解：（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表， 作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34561.png){width="4.709027777777778in" height="3.979861111111111in"} （2）根据频率分布直方图得： 该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率为： p=（0.2+1.0+2.6+1）×0.1=0.48． （3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34562.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}（1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65）=0.48， 使用节水龙头50天的日均用水量为： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34563.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}（1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55）=0.35， ∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：365×（0.48﹣0.35）=47.45m3． 【点评】本题考查频率分由直方图的作法，考查概率的求法，考查平均数的求法及应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 20．（12分）设抛物线C：y2=2x，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点． （1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； （2）证明：∠ABM=∠ABN． 【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）当x=2时，代入求得M点坐标，即可求得直线BM的方程； （2）设直线l的方程，联立，利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得kBN+kBM=0，即可证明∠ABM=∠ABN． 【解答】解：（1）当l与x轴垂直时，x=2，代入抛物线解得y=±2， 所以M（2，2）或M（2，﹣2）， 直线BM的方程：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34564.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}x+1，或：y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34564.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}x﹣1． （2）证明：设直线l的方程为l：x=ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立直线l与抛物线方程得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34565.png){width="0.6270833333333333in" height="0.4798611111111111in"}，消x得y2﹣2ty﹣4=0， 即y1+y2=2t，y1y2=﹣4， 则有kBN+kBM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34566.png){width="0.41875in" height="0.4875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34567.png){width="0.41875in" height="0.4875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34568.png){width="2.3958333333333335in" height="0.7416666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34569.png){width="1.5in" height="0.6861111111111111in"}=0， 所以直线BN与BM的倾斜角互补， ∴∠ABM=∠ABN． 【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查转化思想，属于中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=aex﹣lnx﹣1． （1）设x=2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间； （2）证明：当a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34570.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}时，f（x）≥0． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）推导出x＞0，f′（x）=aex﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34571.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，由x=2是f（x）的极值点，解得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34572.png){width="0.33125in" height="0.42569444444444443in"}，从而f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34572.png){width="0.33125in" height="0.42569444444444443in"}ex﹣lnx﹣1，进而f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34573.png){width="0.33125in" height="0.42569444444444443in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34574.png){width="0.4354166666666667in" height="0.36666666666666664in"}，由此能求出f（x）的单调区间． （2）当a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34575.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}时，f（x）≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34576.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}﹣lnx﹣1，设g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34576.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}﹣lnx﹣1，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34577.png){width="0.8423611111111111in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34578.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，由此利用导数性质能证明当a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34579.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}时，f（x）≥0． 【解答】解：（1）∵函数f（x）=aex﹣lnx﹣1． ∴x＞0，f′（x）=aex﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34578.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}， ∵x=2是f（x）的极值点， ∴f′（2）=ae2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34580.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}=0，解得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34581.png){width="0.33125in" height="0.42569444444444443in"}， ∴f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34581.png){width="0.33125in" height="0.42569444444444443in"}ex﹣lnx﹣1，∴f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34581.png){width="0.33125in" height="0.42569444444444443in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34582.png){width="0.4354166666666667in" height="0.36666666666666664in"}， 当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． （2）证明：当a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34583.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}时，f（x）≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34584.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}﹣lnx﹣1， 设g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34584.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}﹣lnx﹣1，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34585.png){width="0.8423611111111111in" height="0.42569444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34586.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}， 当0＜x＜1时，g′（x）＜0， 当x＞1时，g′（x）＞0， ∴x=1是g（x）的最小值点， 故当x＞0时，g（x）≥g（1）=0， ∴当a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34583.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}时，f（x）≥0． 【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题． 　 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分） 22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k\|x\|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0． （1）求C2的直角坐标方程； （2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． （2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果． 【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0． 转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0， 转换为标准式为：（x+1）2+y2=4． （2）由于曲线C1的方程为y=k\|x\|+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）． 由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点． 所以：必有一直线相切，一直线相交． 则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2． 故：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34587.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34588.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4479166666666667in"} 解得：k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34589.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36666666666666664in"}或0，（0舍去）或k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34590.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}或0 经检验，直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34591.png){width="0.5916666666666667in" height="0.36666666666666664in"}与曲线C2没有公共点． 故C1的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34592.png){width="0.8423611111111111in" height="0.36666666666666664in"}． 【点评】本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用． 　 \[选修4-5：不等式选讲\]（10分） 23．已知f（x）=\|x+1\|﹣\|ax﹣1\|． （1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集； （2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式． 【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集， （2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，转化为即\|ax﹣1\|＜1，即0＜ax＜2，转化为a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34593.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，且a＞0，即可求出a的范围． 【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34594.png){width="1.1243055555555554in" height="0.6958333333333333in"}， 由f（x）＞1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34595.png){width="0.7944444444444444in" height="0.42569444444444443in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34596.png){width="0.4583333333333333in" height="0.4479166666666667in"}， 解得x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34597.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}， 故不等式f（x）＞1的解集为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34597.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，+∞）， （2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立， ∴\|x+1\|﹣\|ax﹣1\|﹣x＞0， 即x+1﹣\|ax﹣1\|﹣x＞0， 即\|ax﹣1\|＜1， ∴﹣1＜ax﹣1＜1， ∴0＜ax＜2， ∵x∈（0，1）， ∴a＞0， ∴0＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34598.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}， ∴a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34599.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34599.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}＞2， ∴0＜a≤2， 故a的取值范围为（0，2\]． 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题． 　 2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） ============================================= 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34600.png){width="0.38333333333333336in" height="0.36666666666666664in"}=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34601.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36666666666666664in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34602.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36666666666666664in"}i B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34601.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36666666666666664in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34603.png){width="0.34375in" height="0.36666666666666664in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34602.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36666666666666664in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34604.png){width="0.34375in" height="0.36666666666666664in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34605.png){width="0.5861111111111111in" height="0.36666666666666664in"} 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34606.png){width="0.38333333333333336in" height="0.36666666666666664in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34607.png){width="1.0506944444444444in" height="0.36666666666666664in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34608.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36666666666666664in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34609.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36666666666666664in"}． 故选：D． 【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查． 　 2．（5分）已知集合A={（x，y）\|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 【考点】1A：集合中元素个数的最值．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；4O：定义法；5J：集合． 【分析】分别令x=﹣1，0，1，进行求解即可． 【解答】解：当x=﹣1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1， 当x=0时，y2≤3，得y=﹣1，0，1， 当x=1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1， 即集合A中元素有9个， 故选：A． 【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键． 　 3．（5分）函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34610.png){width="0.5916666666666667in" height="0.4798611111111111in"}的图象大致为（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34611.png){width="1.5in" height="1.4895833333333333in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34612.png){width="1.5208333333333333in" height="1.5729166666666667in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34613.png){width="1.4895833333333333in" height="1.53125in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34614.png){width="1.4479166666666667in" height="1.53125in"} 【考点】3A：函数的图象与图象的变换；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可． 【解答】解：函数f（﹣x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34615.png){width="0.5916666666666667in" height="0.4798611111111111in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34616.png){width="0.5916666666666667in" height="0.4798611111111111in"}=﹣f（x）， 则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A， 当x=1时，f（1）=e﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34617.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}＞0，排除D． 当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C， 故选：B． 【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键． 　 4．（5分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34618.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34619.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34618.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}\|=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34618.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34620.png){width="0.21041666666666667in" height="0.21041666666666667in"}=﹣1，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34618.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}•（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34618.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34621.png){width="0.21041666666666667in" height="0.21041666666666667in"}）=（　　） A．4 B．3 C．2 D．0 【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量的数量积公式计算即可． 【解答】解：向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34622.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34623.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34622.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}\|=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34622.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34624.png){width="0.21041666666666667in" height="0.21041666666666667in"}=﹣1，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34622.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}•（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34622.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34625.png){width="0.21041666666666667in" height="0.21041666666666667in"}）=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34626.png){width="0.19791666666666666in" height="0.26944444444444443in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34627.png){width="0.3145833333333333in" height="0.21041666666666667in"}=2+1=3， 故选：B． 【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题 　 5．（5分）双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34628.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4875in"}=1（a＞0，b＞0）的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34629.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，则其渐近线方程为（　　） A．y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34630.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}x B．y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34629.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}x C．y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34631.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}x D．y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34632.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}x 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进行求解即可． 【解答】解：∵双曲线的离心率为e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34633.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34634.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34635.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34636.png){width="0.33125in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34637.png){width="0.6270833333333333in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34638.png){width="0.73125in" height="0.38333333333333336in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34639.png){width="0.37569444444444444in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34640.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}， 即双曲线的渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34641.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}x=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34640.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}x， 故选：A． 【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键． 　 6．（5分）在△ABC中，cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34642.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34643.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}，BC=1，AC=5，则AB=（　　） A．4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34644.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34645.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34646.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} D．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34647.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"} 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形． 【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可． 【解答】解：在△ABC中，cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34648.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34649.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}，cosC=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34650.png){width="0.73125in" height="0.38333333333333336in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34651.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}， BC=1，AC=5，则AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34652.png){width="1.7201388888888889in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34653.png){width="1.425in" height="0.38333333333333336in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34654.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34655.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}． 故选：A． 【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力． 　 7．（5分）为计算S=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34656.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34657.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34658.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34659.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34660.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36666666666666664in"}，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34661.png){width="2.636111111111111in" height="3.5840277777777776in"} A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4 【考点】E7：循环结构；EH：绘制程序框图解决问题．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图． 【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T， 由此知空白处应填入的条件． 【解答】解：模拟程序框图的运行过程知， 该程序运行后输出的是 S=N﹣T=（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34662.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}）+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34663.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34664.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}）+...+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34665.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34666.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36666666666666664in"}）； 累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2． 故选：B． 【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题． 　 8．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是"每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和"，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34667.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34668.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34669.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34670.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可． 【解答】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个， 从中选2个不同的数有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34671.png){width="0.2625in" height="0.2791666666666667in"}=45种， 和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种， 则对应的概率P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34672.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34673.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}， 故选：C． 【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键． 　 9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34674.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34675.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34676.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34677.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34678.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"} 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角． 【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值． 【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， ∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1， AA1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34679.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}， ∴A（1，0，0），D1（0，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34679.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}），D（0，0，0）， B1（1，1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34679.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34680.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=（﹣1，0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34681.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34682.png){width="0.3020833333333333in" height="0.26944444444444443in"}=（1，1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34681.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}）， 设异面直线AD1与DB1所成角为θ， 则cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34683.png){width="1.10625in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34684.png){width="0.34375in" height="0.38333333333333336in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34685.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}， ∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34685.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34686.png){width="2.7402777777777776in" height="2.573611111111111in"} 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在\[﹣a，a\]是减函数，则a的最大值是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34687.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34688.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34689.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36666666666666664in"} D．π 【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34690.png){width="2.1555555555555554in" height="0.36666666666666664in"}，k∈Z，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34691.png){width="1.9166666666666667in" height="0.36666666666666664in"}，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34692.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36666666666666664in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34693.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36666666666666664in"}\]，结合已知条件即可求出a的最大值． 【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34694.png){width="1.1583333333333334in" height="0.36666666666666664in"}， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34695.png){width="2.1555555555555554in" height="0.36666666666666664in"}，k∈Z， 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34696.png){width="1.9166666666666667in" height="0.36666666666666664in"}，k∈Z， 取k=0，得f（x）的一个减区间为\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34697.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36666666666666664in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34693.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36666666666666664in"}\]， 由f（x）在\[﹣a，a\]是减函数， 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34698.png){width="0.7597222222222222in" height="0.7944444444444444in"}，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34699.png){width="0.4875in" height="0.36666666666666664in"}． 则a的最大值是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34700.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}． 故选：A． 【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题． 　 11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+...+f（50）=（　　） A．﹣50 B．0 C．2 D．50 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】36：整体思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可． 【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x）， ∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0， 则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， 即函数f（x）是周期为4的周期函数， ∵f（1）=2， ∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2， f（4）=f（0）=0， 则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0， 则f（1）+f（2）+f（3）+...+f（50）=12\[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）\]+f（49）+f（50） =f（1）+f（2）=2+0=2， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键． 　 12．（5分）已知F1，F2是椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34701.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4875in"}=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34702.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34703.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34704.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34705.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34706.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"} 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求得直线AP的方程：根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率． 【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0）， 直线AP的方程为：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34707.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}（x+a）， 由∠F1F2P=120°，\|PF2\|=\|F1F2\|=2c，则P（2c，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34708.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}c）， 代入直线AP：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34708.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34709.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}（2c+a），整理得：a=4c， ∴题意的离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34710.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34711.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}． 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34712.png){width="4.313194444444444in" height="2.7402777777777776in"} 【点评】本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题． 　 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为　y=2x　． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：∵y=2ln（x+1）， ∴y′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34713.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36666666666666664in"}， 当x=0时，y′=2， ∴曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x． 故答案为：y=2x． 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 　 14．（5分）若x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34714.png){width="0.875in" height="0.64375in"}，则z=x+y的最大值为　9　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式． 【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34714.png){width="0.875in" height="0.64375in"}作出可行域如图， 化目标函数z=x+y为y=﹣x+z， 由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34715.png){width="0.7944444444444444in" height="0.40625in"}，解得A（5，4）， 目标函数有最大值，为z=9． 故答案为：9． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34716.png){width="2.6152777777777776in" height="2.4166666666666665in"} 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 　 15．（5分）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34717.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36666666666666664in"}　． 【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；48：分析法；56：三角函数的求值． 【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin（α+β）=﹣1，可得结果． 【解答】解：sinα+cosβ=1， 两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①， cosα+sinβ=0， 两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②， 由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1， ∴2sin（α+β）=﹣1． ∴sin（α+β）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34718.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36666666666666664in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34718.png){width="0.23958333333333334in" height="0.36666666666666664in"}． 【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题． 　 16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34719.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34720.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，则该圆锥的侧面积为　40![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34721.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}π　． 【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积． 【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34719.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}，可得sin∠ASB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34722.png){width="0.7083333333333334in" height="0.38333333333333336in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34723.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38333333333333336in"}． △SAB的面积为5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34724.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34725.png){width="0.4354166666666667in" height="0.36666666666666664in"}sin∠ASB=5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34724.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34725.png){width="0.4354166666666667in" height="0.36666666666666664in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34726.png){width="0.32430555555555557in" height="0.38333333333333336in"}=5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34727.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，即SA=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34728.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}． SA与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34729.png){width="0.71875in" height="0.38333333333333336in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34730.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}． 则该圆锥的侧面积：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34731.png){width="1.176388888888889in" height="0.36666666666666664in"}π=40![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34732.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}π． 故答案为：40![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34733.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}π． 【点评】本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的截面面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根要求作答。（一)必考题：共60分。 17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． 【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）根据a1=﹣7，S3=﹣15，可得a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，求出等差数列{an}的公差，然后求出an即可； （2）由a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，得Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34734.png){width="0.8354166666666667in" height="0.36666666666666664in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34735.png){width="0.95625in" height="0.36666666666666664in"}=n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，由此可求出Sn以及Sn的最小值． 【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a1=﹣7，S3=﹣15， ∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2， ∴an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9； （2）∵a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9， ∴Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34736.png){width="0.8354166666666667in" height="0.36666666666666664in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34737.png){width="0.95625in" height="0.36666666666666664in"}=n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16， ∴当n=4时，前n项的和Sn取得最小值为﹣16． 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于中档题． 　 18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34738.png){width="6.438194444444444in" height="3.0631944444444446in"} 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，...，17）建立模型①：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34739.png){width="0.10625in" height="0.22291666666666668in"}=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，...，7）建立模型②：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34739.png){width="0.10625in" height="0.22291666666666668in"}=99+17.5t． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】（1）根据模型①计算t=19时![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34740.png){width="0.10625in" height="0.22291666666666668in"}的值，根据模型②计算t=9时![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34740.png){width="0.10625in" height="0.22291666666666668in"}的值即可； （2）从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的幅度比较， 即可得出模型②的预测值更可靠些． 【解答】解：（1）根据模型①：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34740.png){width="0.10625in" height="0.22291666666666668in"}=﹣30.4+13.5t， 计算t=19时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34740.png){width="0.10625in" height="0.22291666666666668in"}=﹣30.4+13.5×19=226.1； 利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元； 根据模型②：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34740.png){width="0.10625in" height="0.22291666666666668in"}=99+17.5t， 计算t=9时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34740.png){width="0.10625in" height="0.22291666666666668in"}=99+17.5×9=256.5；． 利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元； （2）模型②得到的预测值更可靠； 因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的， 而从2000年到2009年间递增的幅度较小些， 从2010年到2016年间递增的幅度较大些， 所以，利用模型②的预测值更可靠些． 【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题． 　 19．（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，\|AB\|=8． （1）求l的方程； （2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程； 方法二：根据抛物线的焦点弦公式\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34741.png){width="0.6041666666666666in" height="0.42569444444444443in"}，求得直线AB的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l的方程； （2）根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程． 【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0）， 设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34742.png){width="0.7944444444444444in" height="0.4798611111111111in"}，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34743.png){width="0.6861111111111111in" height="0.4798611111111111in"}，x1x2=1， 由\|AB\|=x1+x2+p=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34743.png){width="0.6861111111111111in" height="0.4798611111111111in"}+2=8，解得：k2=1，则k=1， ∴直线l的方程y=x﹣1； 方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34744.png){width="0.6041666666666666in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34745.png){width="0.6041666666666666in" height="0.42569444444444443in"}=8，解得：sin2θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34746.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}， ∴θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34747.png){width="0.22291666666666668in" height="0.36666666666666664in"}，则直线的斜率k=1， ∴直线l的方程y=x﹣1； （2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣（x﹣3），即y=﹣x+5， 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34748.png){width="2.1555555555555554in" height="0.7708333333333334in"}， 解得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34749.png){width="0.4875in" height="0.5229166666666667in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34750.png){width="0.575in" height="0.5229166666666667in"}， 因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16或（x﹣11）2+（y+6）2=144． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34751.png){width="2.636111111111111in" height="3.261111111111111in"} 【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题． 　 20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34752.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34753.png){width="1.9375in" height="1.9895833333333333in"} 【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；41：向量法；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用． 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明PO⊥AC，PO⊥OB即可； （2）根据二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接BO， ∵AB=BC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34754.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，O是AC的中点， ∴BO⊥AC，且BO=2， 又PA=PC=PB=AC=4， ∴PO⊥AC，PO=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34755.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}， 则PB2=PO2+BO2， 则PO⊥OB， ∵OB∩AC=O， ∴PO⊥平面ABC； （2）建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图： A（0，﹣2，0），P（0，0，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34756.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}），C（0，2，0），B（2，0，0）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34757.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}=（﹣2，2，0）， 设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34758.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}=λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34757.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}=（﹣2λ，2λ，0），0＜λ＜1 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34759.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34758.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34760.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}=（﹣2λ，2λ，0）﹣（﹣2，﹣2，0）=（2﹣2λ，2λ+2，0）， 则平面PAC的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34761.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}=（1，0，0）， 设平面MPA的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34762.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}=（x，y，z）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34763.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}=（0，﹣2，﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34764.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34762.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34763.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}=﹣2y﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34764.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}z=0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34765.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34766.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}=（2﹣2λ）x+（2λ+2）y=0 令z=1，则y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34767.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34768.png){width="0.7597222222222222in" height="0.38333333333333336in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34765.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34768.png){width="0.7597222222222222in" height="0.38333333333333336in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34767.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，1）， ∵二面角M﹣PA﹣C为30°， ∴cos30°=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34769.png){width="0.6368055555555555in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34770.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34771.png){width="1.6791666666666667in" height="0.8in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34770.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}， 解得λ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34772.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}或λ=3（舍）， 则平面MPA的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34773.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}=（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34774.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34774.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}，1）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34775.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}=（0，2，﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34774.png){width="0.21041666666666667in" height="0.1875in"}）， PC与平面PAM所成角的正弦值sinθ=\|cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34775.png){width="0.1875in" height="0.21041666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34776.png){width="0.10625in" height="0.21041666666666667in"}＞\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34777.png){width="0.8229166666666666in" height="0.40625in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34778.png){width="0.34375in" height="0.38333333333333336in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34779.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38333333333333336in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34780.png){width="2.5215277777777776in" height="2.4791666666666665in"} 【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角，线面角的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键． 　 21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣ax2． （1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1； （2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a． 【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明， （2）方法一、分离参数可得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34781.png){width="0.22708333333333333in" height="0.4798611111111111in"}在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a与G（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34781.png){width="0.22708333333333333in" height="0.4798611111111111in"}的图象在（0，+∞）只有一个交点．结合图象即可求得a． 方法二、：①当a≤0时，f（x）=ex﹣ax2＞0，f（x）在（0，+∞）没有零点．． ②当a≤0时，设函数h（x）=1﹣ax2e﹣x．f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔h（x）在（0，+∞）只有一个零点． 利用 h′（x）=x（x﹣2）e﹣x，可得h（x））在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，结合函数h（x）图象即可求得a． 【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=ex﹣x2． 则f′（x）=ex﹣2x， 令g（x）=ex﹣2x，则g′（x）=ex﹣2， 令g′（x）=0，得x=ln2． 当x∈（0，ln2）时，g′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0， ∴g（x）≥g（ln2）=eln2﹣2•ln2=2﹣2ln2＞0， ∴f（x）在\[0，+∞）单调递增，∴f（x）≥f（0）=1， 解：（2）方法一、，f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔方程ex﹣ax2=0在（0，+∞）只有一个根， ⇔a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34781.png){width="0.22708333333333333in" height="0.4798611111111111in"}在（0，+∞）只有一个根， 即函数y=a与G（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34782.png){width="0.22708333333333333in" height="0.4798611111111111in"}的图象在（0，+∞）只有一个交点． G![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34783.png){width="1.1875in" height="0.4798611111111111in"}， 当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，当∈（2，+∞）时，G′（x）＞0， ∴G（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增， 当→0时，G（x）→+∞，当→+∞时，G（x）→+∞， ∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=G（2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34784.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}． 方法二：①当a≤0时，f（x）=ex﹣ax2＞0，f（x）在（0，+∞）没有零点．． ②当a＞0时，设函数h（x）=1﹣ax2e﹣x．f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔h（x）在（0，+∞）只有一个零点． h′（x）=x（x﹣2）e﹣x，当x∈（0，2）时，h′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0， ∴h（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34785.png){width="1.511111111111111in" height="0.42569444444444443in"}，（x≥0）． 当h（2）＜0时，即a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34786.png){width="0.41875in" height="0.42569444444444443in"}，由于h（0）=1，当x＞0时，ex＞x2，可得h（4a）=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34787.png){width="0.41875in" height="0.4798611111111111in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34788.png){width="0.7833333333333333in" height="0.4798611111111111in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34789.png){width="0.8520833333333333in" height="0.4798611111111111in"}=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34790.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36666666666666664in"}＞0．h（x）在（0，+∞）有2个零点 当h（2）＞0时，即a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34791.png){width="0.41875in" height="0.42569444444444443in"}，h（x）在（0，+∞）没有零点， 当h（2）=0时，即a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34792.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}，h（x）在（0，+∞）只有一个零点， 综上，f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34792.png){width="0.22708333333333333in" height="0.42569444444444443in"}． 【点评】本题考查了利用导数探究函数单调性，以及函数零点问题，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题． 　 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34793.png){width="0.7944444444444444in" height="0.40625in"}，（θ为参数），直线l的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34794.png){width="0.95625in" height="0.40625in"}，（t为参数）． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率． 【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． （2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果． 【解答】解：（1）曲线C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34795.png){width="0.7944444444444444in" height="0.40625in"}（θ为参数）， 转换为直角坐标方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34796.png){width="0.7416666666666667in" height="0.4354166666666667in"}． 直线l的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34797.png){width="0.95625in" height="0.40625in"}（t为参数）． 转换为直角坐标方程为：xsinα﹣ycosα+2cosα﹣sinα=0． （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34798.png){width="1.0027777777777778in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34799.png){width="1.0027777777777778in" height="0.42569444444444443in"}=1 整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0， 则：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34800.png){width="1.992361111111111in" height="0.42569444444444443in"}， 由于（1，2）为中点坐标， ①当直线的斜率不存时，x=1． 无解故舍去． ②当直线的斜率存在时，（由于t1和t2为A、B对应的参数） 所以利用中点坐标公式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34801.png){width="0.7083333333333334in" height="0.42569444444444443in"}， 则：8cosα+4sinα=0， 解得：tanα=﹣2， 即：直线l的斜率为﹣2． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，中点坐标的应用． 　 \[选修4-5：不等式选讲\] 23．设函数f（x）=5﹣\|x+a\|﹣\|x﹣2\|． （1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集； （2）若f（x）≤1，求a的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式． 【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可， （2）由题意可得\|x+a\|+\|x﹣2\|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出 【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=5﹣\|x+1\|﹣\|x﹣2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34802.png){width="1.04375in" height="0.6958333333333333in"}． 当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1， 当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2， 当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3， 综上所述不等式f（x）≥0的解集为\[﹣2，3\]， （2）∵f（x）≤1， ∴5﹣\|x+a\|﹣\|x﹣2\|≤1， ∴\|x+a\|+\|x﹣2\|≥4， ∴\|x+a\|+\|x﹣2\|=\|x+a\|+\|2﹣x\|≥\|x+a+2﹣x\|=\|a+2\|， ∴\|a+2\|≥4， 解得a≤﹣6或a≥2， 故a的取值范围（﹣∞，﹣6\]∪\[2，+∞）． 【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题 　 2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） ============================================= 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）i（2+3i）=（　　） A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则直接求解． 【解答】解：i（2+3i）=2i+3i2=﹣3+2i． 故选：D． 【点评】本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（　　） A．{3} B．{5} C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】利用交集定义直接求解． 【解答】解：∵集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}， ∴A∩B={3，5}． 故选：C． 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 3．（5分）函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34803.png){width="0.5923611111111111in" height="0.48125in"}的图象大致为（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34804.png){width="1.5in" height="1.4895833333333333in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34805.png){width="1.5208333333333333in" height="1.5729166666666667in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34806.png){width="1.4895833333333333in" height="1.53125in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34807.png){width="1.4479166666666667in" height="1.53125in"} 【考点】3A：函数的图象与图象的变换；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可． 【解答】解：函数f（﹣x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34808.png){width="0.5923611111111111in" height="0.48125in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34809.png){width="0.5923611111111111in" height="0.48125in"}=﹣f（x）， 则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A， 当x=1时，f（1）=e﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34810.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}＞0，排除D． 当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C， 故选：B． 【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键． 　 4．（5分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34811.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34812.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34813.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}\|=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34813.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34814.png){width="0.20972222222222223in" height="0.20972222222222223in"}=﹣1，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34813.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}•（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34813.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34815.png){width="0.20972222222222223in" height="0.20972222222222223in"}）=（　　） A．4 B．3 C．2 D．0 【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量的数量积公式计算即可． 【解答】解：向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34816.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27262.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}满足\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34816.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}\|=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34816.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34817.png){width="0.20972222222222223in" height="0.20972222222222223in"}=﹣1，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34816.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}•（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34816.png){width="0.10555555555555556in" height="0.20972222222222223in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34818.png){width="0.20972222222222223in" height="0.20972222222222223in"}）=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34819.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34820.png){width="0.3138888888888889in" height="0.20972222222222223in"}=2+1=3， 故选：B． 【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题 　 5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（　　） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，根据概率公式计算即可， （适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可 【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种， 故选中的2人都是女同学的概率P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34821.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}=0.3， （适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C， 则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种， 故选中的2人都是女同学的概率P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34821.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}=0.3， 故选：D． 【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题． 　 6．（5分）双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34822.png){width="0.5520833333333334in" height="0.48819444444444443in"}=1（a＞0，b＞0）的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34823.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，则其渐近线方程为（　　） A．y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34824.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}x B．y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34823.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}x C．y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34825.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}x D．y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27277.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}x 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进行求解即可． 【解答】解：∵双曲线的离心率为e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34826.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34827.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34828.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34829.png){width="0.33194444444444443in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34830.png){width="0.6263888888888889in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34831.png){width="0.7305555555555555in" height="0.3840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34832.png){width="0.3770833333333333in" height="0.1875in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34833.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}， 即双曲线的渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34834.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}x=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34833.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}x， 故选：A． 【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键． 　 7．（5分）在△ABC中，cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34835.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34836.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}，BC=1，AC=5，则AB=（　　） A．4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34837.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34838.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34839.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"} D．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34840.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"} 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形． 【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可． 【解答】解：在△ABC中，cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34841.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34842.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}，cosC=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34843.png){width="0.7305555555555555in" height="0.3840277777777778in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34844.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}， BC=1，AC=5，则AB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34845.png){width="1.7201388888888889in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34846.png){width="1.4256944444444444in" height="0.3840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34847.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}=4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34848.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}． 故选：A． 【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力． 　 8．（5分）为计算S=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34849.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34850.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34851.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}+...+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34852.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34853.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34854.png){width="2.636111111111111in" height="3.5840277777777776in"} A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4 【考点】E7：循环结构；EH：绘制程序框图解决问题．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图． 【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T， 由此知空白处应填入的条件． 【解答】解：模拟程序框图的运行过程知， 该程序运行后输出的是 S=N﹣T=（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34855.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}）+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34856.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34857.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}）+...+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34858.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34859.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}）； 累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2． 故选：B． 【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题． 　 9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34860.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34861.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34862.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34863.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"} 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角． 【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与CD所成角的正切值． 【解答】解以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2， 则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0）， C（0，2，0）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34864.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=（﹣2，2，1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34865.png){width="0.1875in" height="0.20972222222222223in"}=（0，﹣2，0）， 设异面直线AE与CD所成角为θ， 则cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34866.png){width="0.8868055555555555in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34867.png){width="0.4263888888888889in" height="0.3840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34868.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}， sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34869.png){width="0.7083333333333334in" height="0.3840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34870.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}， ∴tanθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34871.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}． ∴异面直线AE与CD所成角的正切值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34871.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34872.png){width="2.0208333333333335in" height="1.9166666666666667in"} 【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在\[0，a\]是减函数，则a的最大值是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34873.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34874.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34875.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"} D．π 【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34874.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}+2kπ≤x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34876.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34874.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}+2kπ，k∈Z，得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34877.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}+2kπ≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34878.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3659722222222222in"}+2kπ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34877.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34879.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}\]，结合已知条件即可求出a的最大值． 【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34880.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}sin（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34877.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}）， 由﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34881.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}+2kπ≤x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34877.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34882.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}+2kπ，k∈Z， 得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34883.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}+2kπ≤x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34884.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3659722222222222in"}+2kπ，k∈Z， 取k=0，得f（x）的一个减区间为\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34883.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34885.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}\]， 由f（x）在\[0，a\]是减函数， 得a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34885.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}． 则a的最大值是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34885.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}． 故选：C． 【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题． 　 11．（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（　　） A．1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34886.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"} B．2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34887.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34888.png){width="0.4263888888888889in" height="0.3840277777777778in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34887.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}﹣1 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用已知条件求出P的坐标，代入椭圆方程，然后求解椭圆的离心率即可． 【解答】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，可得椭圆的焦点坐标F2（c，0）， 所以P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34889.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}c，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34890.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3840277777777778in"}c）．可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34891.png){width="0.9493055555555555in" height="0.48125in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34892.png){width="1.332638888888889in" height="0.6263888888888889in"}，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1）， 解得e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34893.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}． 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34894.png){width="2.2604166666666665in" height="2.375in"} 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 　 12．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+...+f（50）=（　　） A．﹣50 B．0 C．2 D．50 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】36：整体思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可． 【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x）， ∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0， 则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， 即函数f（x）是周期为4的周期函数， ∵f（1）=2， ∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2， f（4）=f（0）=0， 则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0， 则f（1）+f（2）+f（3）+...+f（50）=12\[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）\]+f（49）+f（50） =f（1）+f（2）=2+0=2， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键． 　 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为　y=2x﹣2　． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：∵y=2lnx， ∴y′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34895.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}， 当x=1时，y′=2 ∴曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为y=2x﹣2． 故答案为：y=2x﹣2． 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 　 14．（5分）若x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34896.png){width="0.875in" height="0.6444444444444445in"}，则z=x+y的最大值为　9　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式． 【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34897.png){width="0.875in" height="0.6444444444444445in"}作出可行域如图， 化目标函数z=x+y为y=﹣x+z， 由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34898.png){width="0.7930555555555555in" height="0.40625in"}，解得A（5，4）， 目标函数有最大值，为z=9． 故答案为：9． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34899.png){width="2.6152777777777776in" height="2.4166666666666665in"} 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 　 15．（5分）已知tan（α﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34900.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34901.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}，则tanα=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34902.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}　． 【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】根据三角函数的诱导公式以及两角和差的正切公式进行计算即可． 【解答】解：∵tan（α﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34900.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34901.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}， ∴tan（α![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34903.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3659722222222222in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34904.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}， 则tanα=tan（α![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34905.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3659722222222222in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34906.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34907.png){width="1.5930555555555554in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34908.png){width="0.6263888888888889in" height="0.7597222222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34909.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34910.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34911.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34911.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}． 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的正切公式进行转化是解决本题的关键． 　 16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为　8π　． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角． 【分析】利用已知条件求出母线长度，然后求解底面半径，以及圆锥的高．然后求解体积即可． 【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，△SAB的面积为8，可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34912.png){width="0.6263888888888889in" height="0.3659722222222222in"}，解得SA=4， SA与圆锥底面所成角为30°．可得圆锥的底面半径为：2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34913.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，圆锥的高为：2， 则该圆锥的体积为：V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34914.png){width="1.5in" height="0.3659722222222222in"}=8π． 故答案为：8π． 【点评】本题考查圆锥的体积的求法，母线以及底面所成角的应用，考查转化思想以及计算能力． 　 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． 【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）根据a1=﹣7，S3=﹣15，可得a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，求出等差数列{an}的公差，然后求出an即可； （2）由a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，得Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34915.png){width="0.8347222222222223in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34916.png){width="0.9569444444444445in" height="0.3659722222222222in"}=n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，由此可求出Sn以及Sn的最小值． 【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a1=﹣7，S3=﹣15， ∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2， ∴an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9； （2）∵a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9， ∴Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34917.png){width="0.8347222222222223in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34916.png){width="0.9569444444444445in" height="0.3659722222222222in"}=n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16， ∴当n=4时，前n项的和Sn取得最小值为﹣16． 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于中档题． 　 18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34918.png){width="6.438194444444444in" height="3.0631944444444446in"} 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，...，17）建立模型①：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34919.png){width="0.10555555555555556in" height="0.22152777777777777in"}=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，...，7）建立模型②：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34920.png){width="0.10555555555555556in" height="0.22152777777777777in"}=99+17.5t． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】（1）根据模型①计算t=19时![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34920.png){width="0.10555555555555556in" height="0.22152777777777777in"}的值，根据模型②计算t=9时![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34920.png){width="0.10555555555555556in" height="0.22152777777777777in"}的值即可； （2）从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的幅度比较， 即可得出模型②的预测值更可靠些． 【解答】解：（1）根据模型①：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34920.png){width="0.10555555555555556in" height="0.22152777777777777in"}=﹣30.4+13.5t， 计算t=19时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34920.png){width="0.10555555555555556in" height="0.22152777777777777in"}=﹣30.4+13.5×19=226.1； 利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元； 根据模型②：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34920.png){width="0.10555555555555556in" height="0.22152777777777777in"}=99+17.5t， 计算t=9时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34921.png){width="0.10555555555555556in" height="0.22152777777777777in"}=99+17.5×9=256.5；． 利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元； （2）模型②得到的预测值更可靠； 因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的， 而从2000年到2009年间递增的幅度较小些， 从2010年到2016年间递增的幅度较大些， 所以，利用模型②的预测值更可靠些． 【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题． 　 19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34922.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34923.png){width="2.0729166666666665in" height="1.9479166666666667in"} 【考点】LW：直线与平面垂直；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）证明：可得AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三角形， 又POA≌△POB≌△POC，可得∠POA=∠POB=∠POC=90°，即可证明PO⊥平面ABC； （2）设点C到平面POM的距离为d．由VP﹣OMC=VC﹣POM⇒![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34924.png){width="2.1875in" height="0.3659722222222222in"}，解得d即可 【解答】（1）证明：∵AB=BC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34925.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三角形， 又O为AC的中点，∴OA=OB=OC， ∵PA=PB=PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA=∠POB=∠POC=90°， ∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=0，∴PO⊥平面ABC； （2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，PO=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34926.png){width="1.176388888888889in" height="0.25in"}， 在△COM中，OM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34927.png){width="1.9166666666666667in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34928.png){width="0.34375in" height="0.3840277777777778in"}． S![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34929.png){width="1.3847222222222222in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34930.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34931.png){width="0.3138888888888889in" height="0.1875in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34932.png){width="0.34375in" height="0.3840277777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34933.png){width="0.4263888888888889in" height="0.3840277777777778in"}， S△COM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34934.png){width="1.1055555555555556in" height="0.3659722222222222in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34935.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}． 设点C到平面POM的距离为d．由VP﹣OMC=VC﹣POM⇒![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34936.png){width="2.1875in" height="0.3659722222222222in"}， 解得d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34937.png){width="0.34375in" height="0.3840277777777778in"}， ∴点C到平面POM的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34937.png){width="0.34375in" height="0.3840277777777778in"}． 【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，等体积法求距离，属于中档题． 　 20．（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，\|AB\|=8． （1）求l的方程； （2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程； 方法二：根据抛物线的焦点弦公式\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34938.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4263888888888889in"}，求得直线AB的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l的方程； （2）根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程． 【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0）， 设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34939.png){width="0.7930555555555555in" height="0.48125in"}，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34940.png){width="0.6868055555555556in" height="0.48125in"}，x1x2=1， 由\|AB\|=x1+x2+p=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34940.png){width="0.6868055555555556in" height="0.48125in"}+2=8，解得：k2=1，则k=1， ∴直线l的方程y=x﹣1； 方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34941.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4263888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34942.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4263888888888889in"}=8，解得：sin2θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34943.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}， ∴θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34944.png){width="0.22152777777777777in" height="0.3659722222222222in"}，则直线的斜率k=1， ∴直线l的方程y=x﹣1； （2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣（x﹣3），即y=﹣x+5， 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34945.png){width="2.154861111111111in" height="0.7708333333333334in"}， 解得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34946.png){width="0.48819444444444443in" height="0.5222222222222223in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34947.png){width="0.5743055555555555in" height="0.5222222222222223in"}， 因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16或（x﹣11）2+（y+6）2=144． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34948.png){width="2.636111111111111in" height="3.261111111111111in"} 【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image27533.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}x3﹣a（x2+x+1）． （1）若a=3，求f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）只有一个零点． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；33：函数思想；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）利用导数，求出极值点，判断导函数的符号，即可得到结果． （2）分离参数后求导，先找点确定零点的存在性，再利用单调性确定唯一性． 【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34949.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}x3﹣a（x2+x+1）， 所以f′（x）=x2﹣6x﹣3时，令f′（x）=0解得x=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34950.png){width="0.48125in" height="0.1875in"}， 当x∈（﹣∞，3﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34951.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}），x∈（3+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34951.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数， 当x∈（3﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34952.png){width="0.9569444444444445in" height="0.20972222222222223in"}时，f′（x）＜0，函数是单调递减， 综上，f（x）在（﹣∞，3﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34953.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}），（3+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34953.png){width="0.20972222222222223in" height="0.1875in"}，+∞），上是增函数，在（3﹣2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34954.png){width="0.9569444444444445in" height="0.20972222222222223in"}上递减． （2）证明：因为x2+x+1=（x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34955.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}）2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34956.png){width="0.40625in" height="0.3659722222222222in"}， 所以f（x）=0等价于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34957.png){width="1.2097222222222221in" height="0.48125in"}， 令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34958.png){width="1.4777777777777779in" height="0.48125in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34959.png){width="1.9986111111111111in" height="0.48125in"}，仅当x=0时，g′（x）=0，所以g（x）在R上是增函数； g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点． 又因为f（3a﹣1）=﹣6a2+2a﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34960.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}=﹣6（a﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34961.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}）2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34961.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}＜0， f（3a+1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34962.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3659722222222222in"}＞0， 故f（x）有一个零点， 综上，f（x）只有一个零点． 【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用．考查发现问题解决问题的能力，转化思想的应用． 　 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分） 22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34963.png){width="0.7930555555555555in" height="0.40625in"}，（θ为参数），直线l的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34964.png){width="0.9569444444444445in" height="0.40625in"}，（t为参数）． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率． 【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． （2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果． 【解答】解：（1）曲线C的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34963.png){width="0.7930555555555555in" height="0.40625in"}（θ为参数）， 转换为直角坐标方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34965.png){width="0.7409722222222223in" height="0.4361111111111111in"}． 直线l的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34966.png){width="0.9569444444444445in" height="0.40625in"}（t为参数）． 转换为直角坐标方程为：xsinα﹣ycosα+2cosα﹣sinα=0． （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34967.png){width="1.0020833333333334in" height="0.4263888888888889in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34968.png){width="1.0020833333333334in" height="0.4263888888888889in"}=1 整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0， 则：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34969.png){width="1.9916666666666667in" height="0.4263888888888889in"}， 由于（1，2）为中点坐标， ①当直线的斜率不存时，x=1． 无解故舍去． ②当直线的斜率存在时，（由于t1和t2为A、B对应的参数） 所以利用中点坐标公式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34970.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4263888888888889in"}， 则：8cosα+4sinα=0， 解得：tanα=﹣2， 即：直线l的斜率为﹣2． 【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，中点坐标的应用． 　 \[选修4-5：不等式选讲\]（10分） 23．设函数f（x）=5﹣\|x+a\|﹣\|x﹣2\|． （1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集； （2）若f（x）≤1，求a的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式． 【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可， （2）由题意可得\|x+a\|+\|x﹣2\|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出 【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=5﹣\|x+1\|﹣\|x﹣2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34971.png){width="1.0430555555555556in" height="0.6965277777777777in"}． 当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1， 当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2， 当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3， 综上所述不等式f（x）≥0的解集为\[﹣2，3\]， （2）∵f（x）≤1， ∴5﹣\|x+a\|﹣\|x﹣2\|≤1， ∴\|x+a\|+\|x﹣2\|≥4， ∴\|x+a\|+\|x﹣2\|=\|x+a\|+\|2﹣x\|≥\|x+a+2﹣x\|=\|a+2\|， ∴\|a+2\|≥4， 解得a≤﹣6或a≥2， 故a的取值范围（﹣∞，﹣6\]∪\[2，+∞）． 【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题 　 2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） ============================================= 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A={x\|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（　　） A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合． 【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案． 【解答】解：∵A={x\|x﹣1≥0}={x\|x≥1}，B={0，1，2}， ∴A∩B={x\|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}． 故选：C． 【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题． 　 2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（　　） A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i． 故选：D． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题． 　 3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34972.png){width="2.1458333333333335in" height="1.3958333333333333in"} A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34973.png){width="1.1770833333333333in" height="0.71875in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34974.png){width="1.1770833333333333in" height="0.71875in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34975.png){width="1.1770833333333333in" height="0.71875in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34976.png){width="1.1770833333333333in" height="0.71875in"} 【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可． 【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image34977.png){width="1.1770833333333333in" height="0.71875in"} 故选：A． 【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查． 　 4．（5分）若sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34978.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则cos2α=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34979.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34980.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34981.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34982.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；56：三角函数的求值． 【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出结果． 【解答】解：∵sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34983.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34984.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34981.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：B． 【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 5．（5分）（x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34985.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）5的展开式中x4的系数为（　　） A．10 B．20 C．40 D．80 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5P：二项式定理． 【分析】由二项式定理得（x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34986.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）5的展开式的通项为：Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34987.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}（x2）5﹣r（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34986.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34988.png){width="0.8444444444444444in" height="0.28055555555555556in"}，由10﹣3r=4，解得r=2，由此能求出（x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34986.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）5的展开式中x4的系数． 【解答】解：由二项式定理得（x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34986.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）5的展开式的通项为： Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34989.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28055555555555556in"}（x2）5﹣r（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34990.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）r=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34991.png){width="0.8444444444444444in" height="0.28055555555555556in"}， 由10﹣3r=4，解得r=2， ∴（x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34990.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}）5的展开式中x4的系数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34992.png){width="0.38472222222222224in" height="0.28055555555555556in"}=40． 故选：C． 【点评】本题考查二项展开式中x4的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 6．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（　　） A．\[2，6\] B．\[4，8\] C．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34993.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34993.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\] D．\[2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34993.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34993.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\] 【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆． 【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），\|AB\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34993.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，设P（2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34994.png){width="0.6451388888888889in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34995.png){width="0.6451388888888889in" height="0.1875in"}），点P到直线x+y+2=0的距离：d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34996.png){width="1.9277777777777778in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34997.png){width="1.3743055555555554in" height="0.5840277777777778in"}∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34998.png){width="0.6861111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\]，由此能求出△ABP面积的取值范围． 【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点， ∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image34999.png){width="0.37569444444444444in" height="0.1875in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35000.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∵点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，∴设P（2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35001.png){width="0.6451388888888889in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35002.png){width="0.6451388888888889in" height="0.1875in"}）， ∴点P到直线x+y+2=0的距离： d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35003.png){width="1.9277777777777778in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35004.png){width="1.3743055555555554in" height="0.5840277777777778in"}， ∵sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35005.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）∈\[﹣1，1\]，∴d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35006.png){width="1.3743055555555554in" height="0.5840277777777778in"}∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35007.png){width="0.6861111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\]， ∴△ABP面积的取值范围是： \[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35008.png){width="1.0097222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35009.png){width="1.0944444444444446in" height="0.36527777777777776in"}\]=\[2，6\]． 故选：A． 【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35010.png){width="1.8229166666666667in" height="1.5in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35011.png){width="1.78125in" height="1.4791666666666667in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35012.png){width="1.8229166666666667in" height="1.4895833333333333in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35013.png){width="1.7708333333333333in" height="1.4895833333333333in"} 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可． 【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B． 函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1）， 由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0， 得x＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35014.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}或0＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35014.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0， 得x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35015.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}或﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35015.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}＜x＜0，此时函数单调递减，排除C， 也可以利用f（1）=﹣1+1+2=2＞0，排除A，B， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键． 　 8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（　　） A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可． 【解答】解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B（10，p）， P（x=4）＜P（X=6），可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35016.png){width="2.1875in" height="0.28055555555555556in"}，可得1﹣2p＜0．即p![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35017.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}． 因为DX=2.4，可得10p（1﹣p）=2.4，解得p=0.6或p=0.4（舍去）． 故选：B． 【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，独立重复事件的应用，考查转化思想以及计算能力． 　 9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35018.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}，则C=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35019.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18676.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28088.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35020.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形． 【分析】推导出S△ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35021.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35022.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}，从而sinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35023.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}=cosC，由此能求出结果． 【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c． △ABC的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35022.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}， ∴S△ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35021.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35024.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}， ∴sinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35025.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}=cosC， ∵0＜C＜π，∴C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28104.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：C． 【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35026.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（　　） A．12![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35027.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．18![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35027.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．24![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35027.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．54![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35028.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】求出，△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可． 【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35029.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35030.png){width="1.104861111111111in" height="0.38472222222222224in"}，解得AB=6， 球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图： O′C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35031.png){width="0.8340277777777778in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35032.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}，OO′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35033.png){width="0.96875in" height="0.26944444444444443in"}=2， 则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6， 则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35034.png){width="0.9486111111111111in" height="0.38472222222222224in"}=18![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24040.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35035.png){width="1.1354166666666667in" height="1.2395833333333333in"} 【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 11．（5分）设F1，F2是双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35036.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35037.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若\|PF1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35038.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\|OP\|，则C的离心率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35039.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．2 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35040.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35041.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】先根据点到直线的距离求出\|PF2\|=b，再求出\|OP\|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得\|PF1\|2=\|PF2\|2+\|F1F2\|2﹣2\|PF2\|•\|F1F2\|cos∠PF2O，代值化简整理可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35042.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}a=c，问题得以解决． 【解答】解：双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35043.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35044.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35045.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x， ∴点F2到渐近线的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35046.png){width="0.6256944444444444in" height="0.4479166666666667in"}=b，即\|PF2\|=b， ∴\|OP\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35047.png){width="1.332638888888889in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35048.png){width="0.5930555555555556in" height="0.25in"}=a，cos∠PF2O=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35049.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∵\|PF1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35050.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\|OP\|， ∴\|PF1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35050.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}a， 在三角形F1PF2中，由余弦定理可得\|PF1\|2=\|PF2\|2+\|F1F2\|2﹣2\|PF2\|•\|F1F2\|COS∠PF2O， ∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35049.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2）， 即3a2=c2， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35051.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}a=c， ∴e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35052.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35051.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 故选：C． 【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题． 　 12．（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（　　） A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用． 【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案． 【解答】解：∵a=log0.20.3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35053.png){width="0.46944444444444444in" height="0.38472222222222224in"}，b=log20.3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35054.png){width="0.46944444444444444in" height="0.38472222222222224in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35055.png){width="2.7194444444444446in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35056.png){width="0.7708333333333334in" height="0.5736111111111111in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35057.png){width="2.4368055555555554in" height="0.5736111111111111in"}， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35058.png){width="0.8965277777777778in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35059.png){width="0.8229166666666666in" height="0.38472222222222224in"}， ∴ab＜a+b＜0． 故选：B． 【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题． 　 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35060.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35061.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（2，﹣2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35062.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，λ）．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35063.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}∥（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35064.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35065.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}），则λ=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35066.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}　． 【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】利用向量坐标运算法则求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35067.png){width="0.4173611111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（4，2），再由向量平行的性质能求出λ的值． 【解答】解：∵向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35064.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35065.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（2，﹣2）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35068.png){width="0.4173611111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（4，2）， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35069.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，λ），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35069.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}∥（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35070.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35071.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35072.png){width="0.4583333333333333in" height="0.36527777777777776in"}， 解得λ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23378.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23378.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 14．（5分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=　﹣3　． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可． 【解答】解：曲线y=（ax+1）ex，可得y′=aex+（ax+1）ex， 曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2， 可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力． 　 15．（5分）函数f（x）=cos（3x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35073.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）在\[0，π\]的零点个数为　3　． 【考点】51：函数的零点．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】由题意可得f（x）=cos（3x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35073.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=0，可得3x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35073.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35074.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+kπ，k∈Z，即x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35075.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35076.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}kπ，即可求出． 【解答】解：∵f（x）=cos（3x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35077.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}）=0， ∴3x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35077.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35078.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+kπ，k∈Z， ∴x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35079.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35080.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}kπ，k∈Z， 当k=0时，x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35079.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}， 当k=1时，x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35081.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}π， 当k=2时，x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35082.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}π， 当k=3时，x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35083.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}π， ∵x∈\[0，π\]， ∴x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35084.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，或x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35085.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}π，或x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35086.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}π， 故零点的个数为3， 故答案为：3 【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题． 　 16．（5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k= 　2　． 【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由已知可求过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1），然后联立直线与抛物线方程组可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，可表示x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，由∠AMB=90°，向量的数量积为0，代入整理可求k． 【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0）， ∴过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1）， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35087.png){width="0.7923611111111111in" height="0.48055555555555557in"}可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 x1+x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35088.png){width="0.5in" height="0.48055555555555557in"}，x1x2=1， ∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35089.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2\[x1x2﹣（x1+x2）+1\]=﹣4， ∵M（﹣1，1）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35090.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（x1+1，y1﹣1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35091.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（x2+1，y2﹣1）， ∵∠AMB=90°，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35090.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35091.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=0 ∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0， 整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0， ∴1+2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35092.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣4﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35093.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}+2=0， 即k2﹣4k+4=0， ∴k=2． 故答案为：2 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量． 　 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． （1）求{an}的通项公式； （2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m． 【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{an}的通项公式． （2）当a1=1，q=﹣2时，Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35094.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}，由Sm=63，得Sm=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35095.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}=63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，Sn=2n﹣1，由此能求出m． 【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． ∴1×q4=4×（1×q2）， 解得q=±2， 当q=2时，an=2n﹣1， 当q=﹣2时，an=（﹣2）n﹣1， ∴{an}的通项公式为，an=2n﹣1，或an=（﹣2）n﹣1． （2）记Sn为{an}的前n项和． 当a1=1，q=﹣2时，Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35096.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4888888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35097.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35098.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}， 由Sm=63，得Sm=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35095.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}=63，m∈N，无解； 当a1=1，q=2时，Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35096.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4888888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35099.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}=2n﹣1， 由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N， 解得m=6． 【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35100.png){width="4.709027777777778in" height="1.25in"} （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表： ---------------- ------- --------- 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 ---------------- ------- --------- （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：K2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35101.png){width="1.7194444444444446in" height="0.42569444444444443in"}， ----------- ------- ------- -------- P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 ----------- ------- ------- -------- 【考点】BL：独立性检验．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计． 【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高； （2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表； （3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论． 【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知， 第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间， 第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间， 所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高； （2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后， 排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35102.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}=80； 由此填写列联表如下； ---------------- ------- --------- ------ 超过m 不超过m 总计 第一种生产方式 15 5 20 第二种生产方式 5 15 20 总计 20 20 40 ---------------- ------- --------- ------ （3）根据（2）中的列联表，计算 K2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35103.png){width="1.7194444444444446in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35104.png){width="1.582638888888889in" height="0.42569444444444443in"}=10＞6.635， ∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异． 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题． 　 19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35105.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}所在平面垂直，M是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35105.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35106.png){width="2.0416666666666665in" height="1.2708333333333333in"} 【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用． 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明MC⊥平面ADM即可． （2）根据三棱锥的体积最大，确定M的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法进行求解即可． 【解答】解：（1）证明：在半圆中，DM⊥MC， ∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35105.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}所在平面垂直， ∴AD⊥平面DCM，则AD⊥MC， ∵AD∩DM=D， ∴MC⊥平面ADM， ∵MC⊂平面MBC， ∴平面AMD⊥平面BMC． （2）∵△ABC的面积为定值， ∴要使三棱锥M﹣ABC体积最大，则三棱锥的高最大， 此时M为圆弧的中点， 建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图 ∵正方形ABCD的边长为2， ∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1）， 则平面MCD的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35107.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，0，0）， 设平面MAB的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35108.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（x，y，z） 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35109.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（0，2，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35110.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=（﹣2，1，1）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35108.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35109.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=2y=0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35108.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35110.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=﹣2x+y+z=0， 令x=1， 则y=0，z=2，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35108.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，0，2）， 则cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35111.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35112.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35113.png){width="0.6368055555555555in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35114.png){width="0.6777777777777778in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35115.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}， 则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35116.png){width="0.8118055555555556in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35117.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35118.png){width="2.28125in" height="2.0104166666666665in"} 【点评】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键． 　 20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35119.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image31884.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）． （1）证明：k＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image31881.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35120.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35121.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35122.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35123.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}．证明：\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35124.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35125.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|，\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35122.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|成等差数列，并求该数列的公差． 【考点】K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35126.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4888888888888889in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35127.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35128.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 又点M（1，m）在椭圆内，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35129.png){width="1.4069444444444446in" height="0.42569444444444443in"}，解得m的取值范围，即可得k＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35130.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35131.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35132.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35133.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35134.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，可得x3﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则\|FA\|=a﹣ex1=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35135.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x1，\|FB\|=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35135.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x2，\|FP\|=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35135.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35136.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．即可证明\|FA\|+\|FB\|=2\|FP\|，求得A，B坐标再求公差． 【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵线段AB的中点为M（1，m）， ∴x1+x2=2，y1+y2=2m 将A，B代入椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35137.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35138.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1中，可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35139.png){width="1.0506944444444444in" height="0.6368055555555555in"}， 两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0， 即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0， ∴k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35140.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4888888888888889in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35141.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35142.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 点M（1，m）在椭圆内，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35143.png){width="1.4069444444444446in" height="0.42569444444444443in"}， 解得0＜m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35144.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35145.png){width="0.8965277777777778in" height="0.36527777777777776in"}． （2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3）， 可得x1+x2=2， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35146.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35147.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35148.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35149.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，y1+y2+y3=0， ∴x3=1，y3=﹣（y1+y2）=﹣2m ∵m＞0，可得P在第四象限，故y3=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35150.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35151.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，k=﹣1 由椭圆的焦半径公式得则\|FA\|=a﹣ex1=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35152.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x1，\|FB\|=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35152.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x2，\|FP\|=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35152.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35150.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 则\|FA\|+\|FB\|=4﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35153.png){width="1.0013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}，∴\|FA\|+\|FB\|=2\|FP\|， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35154.png){width="1.0506944444444444in" height="0.6666666666666666in"}，可得\|x1﹣x2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35155.png){width="1.9909722222222221in" height="0.38472222222222224in"} 所以该数列的公差d满足2d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35156.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"}\|x1﹣x2\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35157.png){width="0.6145833333333334in" height="0.38472222222222224in"}， ∴该数列的公差为±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35158.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}． 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．属于中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x． （1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0； （2）若x=0是f（x）的极大值点，求a． 【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；35：转化思想；48：分析法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）对函数f（x）两次求导数，分别判断f′（x）和f（x）的单调性，结合f（0）=0即可得出结论； （2）令h（x）为f′（x）的分子，令h″（0）计算a，讨论a的范围，得出f（x）的单调性，从而得出a的值． 【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35159.png){width="1.573611111111111in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35160.png){width="1.1875in" height="0.42569444444444443in"}， 可得x∈（﹣1，0）时，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）时，f″（x）≥0 ∴f′（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增， ∴f′（x）≥f′（0）=0， ∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x在（﹣1，+∞）上单调递增，又f（0）=0． ∴当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0． （2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得 f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35161.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}﹣2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35162.png){width="2.1875in" height="0.42569444444444443in"}， 令h（x）=ax2﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1）， h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）． 当a≥0，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增， ∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意． 当a＜0时，h″（x）=8a+4aln（x+1）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35163.png){width="0.38472222222222224in" height="0.36527777777777776in"}， 显然h″（x）单调递减， ①令h″（0）=0，解得a=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35164.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． ∴当﹣1＜x＜0时，h″（x）＞0，当x＞0时，h″（x）＜0， ∴h′（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减， ∴h′（x）≤h′（0）=0， ∴h（x）单调递减，又h（0）=0， ∴当﹣1＜x＜0时，h（x）＞0，即f′（x）＞0， 当x＞0时，h（x）＜0，即f′（x）＜0， ∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减， ∴x=0是f（x）的极大值点，符合题意； ②若﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35164.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜a＜0，则h″（0）=1+6a＞0，h″（e![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35165.png){width="0.5104166666666666in" height="0.38472222222222224in"}﹣1）=（2a﹣1）（1﹣e![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35166.png){width="0.42569444444444443in" height="0.38472222222222224in"}）＜0， ∴h″（x）=0在（0，+∞）上有唯一一个零点，设为x0， ∴当0＜x＜x0时，h″（x）＞0，h′（x）单调递增， ∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意； ③若a＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35164.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则h″（0）=1+6a＜0，h″（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35167.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}﹣1）=（1﹣2a）e2＞0， ∴h″（x）=0在（﹣1，0）上有唯一一个零点，设为x1， ∴当x1＜x＜0时，h″（x）＜0，h′（x）单调递减， ∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）单调递增， ∴h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0， ∴f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意． 综上，a=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35168.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与极值的计算，零点的存在性定理，属于难题． 　 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分） 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35169.png){width="0.7083333333333334in" height="0.40625in"}，（θ为参数），过点（0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35170.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点． （1）求α的取值范围； （2）求AB中点P的轨迹的参数方程． 【考点】QK：圆的参数方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35171.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}时，直线l的方程为x=0，成立；当α≠![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35171.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}时，过点（0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35172.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35172.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，从而圆心O（0，0）到直线l的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35173.png){width="0.875in" height="0.46944444444444444in"}＜1，进而求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35174.png){width="0.9576388888888889in" height="0.36527777777777776in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35175.png){width="1.042361111111111in" height="0.36527777777777776in"}，由此能求出α的取值范围． （2）设直线l的方程为x=m（y+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35176.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}），联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35177.png){width="0.9381944444444444in" height="0.4888888888888889in"}，得（m2+1）y2+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35178.png){width="0.5104166666666666in" height="0.25in"}+2m2﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程． 【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35179.png){width="0.7083333333333334in" height="0.40625in"}（θ为参数）， ∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1， 当α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35180.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}时，过点（0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35181.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立； 当α≠![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35180.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}时，过点（0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35181.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35181.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点， ∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35182.png){width="0.875in" height="0.46944444444444444in"}＜1， ∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35183.png){width="0.9576388888888889in" height="0.36527777777777776in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35184.png){width="1.042361111111111in" height="0.36527777777777776in"}， 综上α的取值范围是（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image33123.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35185.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）． （2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image31992.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）， 设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3）， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35186.png){width="0.9381944444444444in" height="0.4888888888888889in"}，得（m2+1）y2+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35187.png){width="0.5104166666666666in" height="0.25in"}+2m2﹣1=0， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35188.png){width="1.3222222222222222in" height="1.03125in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35189.png){width="2.2284722222222224in" height="0.23958333333333334in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35190.png){width="0.5409722222222222in" height="0.5in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35191.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35192.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35193.png){width="0.4173611111111111in" height="0.4479166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35194.png){width="0.8229166666666666in" height="0.43680555555555556in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35195.png){width="0.43680555555555556in" height="0.5in"}， ∴AB中点P的轨迹的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35196.png){width="0.8118055555555556in" height="1.0013888888888889in"}，（m为参数），（﹣1＜m＜1）． 【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 \[选修4-5：不等式选讲\]（10分） 23．设函数f（x）=\|2x+1\|+\|x﹣1\|． （1）画出y=f（x）的图象； （2）当x∈\[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35197.png){width="2.7402777777777776in" height="2.7715277777777776in"} 【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；5B：分段函数的应用．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用． 【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可． （2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可． 【解答】解：（1）当x≤﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35198.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x， 当﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image20555.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2， 当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x， 则f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35199.png){width="1.3652777777777778in" height="1.0506944444444444in"}对应的图象为： 画出y=f（x）的图象； （2）当x∈\[0，+∞）时，f（x）≤ax+b， 当x=0时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2， 当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立， 则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上， ∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2， 且各部分直线的斜率的最大值为3， 故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在\[0，+∞）上成立， 即a+b的最小值为5． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35200.png){width="2.1458333333333335in" height="3.042361111111111in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35201.png){width="2.1354166666666665in" height="3.042361111111111in"} 【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键． 　 2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） ============================================= 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A={x\|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（　　） A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合． 【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案． 【解答】解：∵A={x\|x﹣1≥0}={x\|x≥1}，B={0，1，2}， ∴A∩B={x\|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}． 故选：C． 【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题． 　 2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（　　） A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i． 故选：D． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题． 　 3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35202.png){width="2.1458333333333335in" height="1.3958333333333333in"} A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35203.png){width="1.1770833333333333in" height="0.71875in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35204.png){width="1.1770833333333333in" height="0.71875in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35205.png){width="1.1770833333333333in" height="0.71875in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35206.png){width="1.1770833333333333in" height="0.71875in"} 【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可． 【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35207.png){width="1.1770833333333333in" height="0.71875in"} 故选：A． 【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查． 　 4．（5分）若sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35208.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则cos2α=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35209.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35210.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} C．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35210.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} D．﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35211.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；56：三角函数的求值． 【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出结果． 【解答】解：∵sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35212.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， ∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35213.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35210.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：B． 【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 5．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可． 【解答】解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件， 所以不用现金支付的概率为：1﹣0.45﹣0.15=0.4． 故选：B． 【点评】本题考查互斥事件的概率的求法，判断事件是互斥事件是解题的关键，是基本知识的考查． 　 6．（5分）函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35214.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}的最小正周期为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35215.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35216.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．π D．2π 【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论． 【解答】解：函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35214.png){width="0.6861111111111111in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35217.png){width="1.042361111111111in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35218.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}sin2x的最小正周期为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35219.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}=π， 故选：C． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题． 　 7．（5分）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是（　　） A．y=ln（1﹣x） B．y=ln（2﹣x） C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x） 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用． 【分析】直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果． 【解答】解：首先根据函数y=lnx的图象， 则：函数y=lnx的图象与y=ln（﹣x）的图象关于y轴对称． 由于函数y=lnx的图象关于直线x=1对称． 则：把函数y=ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y=ln（2﹣x）． 即所求得解析式为：y=ln（2﹣x）． 故选：B． 【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的对称和平移变换． 　 8．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（　　） A．\[2，6\] B．\[4，8\] C．\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35220.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35220.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\] D．\[2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35220.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35220.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}\] 【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆． 【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），\|AB\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35220.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，设P（2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35221.png){width="0.6451388888888889in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35222.png){width="0.6451388888888889in" height="0.1875in"}），点P到直线x+y+2=0的距离：d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35223.png){width="1.9277777777777778in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35224.png){width="1.3743055555555554in" height="0.5840277777777778in"}∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35225.png){width="0.6861111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\]，由此能求出△ABP面积的取值范围． 【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点， ∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35226.png){width="0.37569444444444444in" height="0.1875in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35227.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∵点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，∴设P（2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35228.png){width="0.6451388888888889in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35229.png){width="0.6451388888888889in" height="0.1875in"}）， ∴点P到直线x+y+2=0的距离： d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35230.png){width="1.9277777777777778in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35231.png){width="1.3743055555555554in" height="0.5840277777777778in"}， ∵sin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35232.png){width="0.4888888888888889in" height="0.36527777777777776in"}）∈\[﹣1，1\]，∴d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35231.png){width="1.3743055555555554in" height="0.5840277777777778in"}∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35233.png){width="0.6861111111111111in" height="0.20902777777777778in"}\]， ∴△ABP面积的取值范围是： \[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35234.png){width="1.0097222222222222in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35235.png){width="1.0944444444444446in" height="0.36527777777777776in"}\]=\[2，6\]． 故选：A． 【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 9．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35236.png){width="1.8229166666666667in" height="1.5in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35237.png){width="1.78125in" height="1.4791666666666667in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35238.png){width="1.8229166666666667in" height="1.4895833333333333in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35239.png){width="1.7708333333333333in" height="1.4895833333333333in"} 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可． 【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B． 函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1）， 由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0， 得x＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35240.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}或0＜x＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35240.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}，此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0， 得x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35240.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}或﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35240.png){width="0.23958333333333334in" height="0.38472222222222224in"}＜x＜0，此时函数单调递减，排除C， 也可以利用f（1）=﹣1+1+2=2＞0，排除A，B， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键． 　 10．（5分）已知双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35241.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35242.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35243.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35243.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．2 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35244.png){width="0.34375in" height="0.38472222222222224in"} D．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35243.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线的离心率求出a，b的关系，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求解即可． 【解答】解：双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35245.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35246.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞0，b＞0）的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35247.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35248.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35247.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，即：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35249.png){width="0.7083333333333334in" height="0.48055555555555557in"}，解得a=b， 双曲线C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35245.png){width="0.22847222222222222in" height="0.48055555555555557in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35246.png){width="0.22847222222222222in" height="0.4888888888888889in"}=1（a＞b＞0）的渐近线方程玩：y=±x， 点（4，0）到C的渐近线的距离为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35250.png){width="0.46944444444444444in" height="0.38472222222222224in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35251.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 故选：D． 【点评】本题看出双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 　 11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35252.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}，则C=（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35253.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35254.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35255.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35256.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形． 【分析】推导出S△ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35257.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35258.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}，从而sinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35259.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}=cosC，由此能求出结果． 【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c． △ABC的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35260.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}， ∴S△ABC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35261.png){width="0.65625in" height="0.36527777777777776in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35260.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}， ∴sinC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35262.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}=cosC， ∵0＜C＜π，∴C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35263.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}． 故选：C． 【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 12．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35264.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（　　） A．12![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35265.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} B．18![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35265.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} C．24![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35265.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} D．54![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35265.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"} 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】求出，△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可． 【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35266.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35267.png){width="1.104861111111111in" height="0.38472222222222224in"}，解得AB=6， 球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图： O′C=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35268.png){width="0.8340277777777778in" height="0.38472222222222224in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35269.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}，OO′=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35270.png){width="0.96875in" height="0.26944444444444443in"}=2， 则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6， 则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35271.png){width="0.9486111111111111in" height="0.38472222222222224in"}=18![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35272.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}． 故选：B． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35273.png){width="1.1354166666666667in" height="1.2395833333333333in"} 【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）已知向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35274.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35275.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（2，﹣2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35276.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，λ）．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35277.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}∥（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35278.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35279.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}），则λ=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35280.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}　． 【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】利用向量坐标运算法则求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35281.png){width="0.4173611111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（4，2），再由向量平行的性质能求出λ的值． 【解答】解：∵向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35278.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35279.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（2，﹣2）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35282.png){width="0.4173611111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（4，2）， ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35283.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}=（1，λ），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35283.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}∥（2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35284.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35285.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35286.png){width="0.4583333333333333in" height="0.36527777777777776in"}， 解得λ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35287.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35287.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 14．（5分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是　分层抽样　． 【考点】B3：分层抽样方法；B4：系统抽样方法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、性质直接求解． 【解答】解：某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异， 为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查， 可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样， 则最合适的抽样方法是分层抽样． 故答案为：分层抽样． 【点评】本题考查抽样方法的判断，考查简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 15．（5分）若变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35288.png){width="0.875in" height="0.6451388888888889in"}，则z=x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35289.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}y的最大值是　3　． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式． 【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过（2，3）时，z最大． 【解答】解：画出变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35290.png){width="0.875in" height="0.6451388888888889in"}表示的平面区域如图：由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35291.png){width="0.7923611111111111in" height="0.40625in"}解得A（2，3）． z=x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35292.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}y变形为y=﹣3x+3z，作出目标函数对应的直线， 当直线过A（2，3）时，直线的纵截距最小，z最大， 最大值为2+3×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35292.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}=3， 故答案为：3． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35293.png){width="2.5840277777777776in" height="2.979861111111111in"} 【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值． 　 16．（5分）已知函数f（x）=ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35294.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）=　﹣2　． 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用． 【分析】利用函数的奇偶性的性质以及函数值，转化求解即可． 【解答】解：函数g（x）=ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35294.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}﹣x） 满足g（﹣x）=ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35294.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}+x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35295.png){width="0.8965277777777778in" height="0.4479166666666667in"}=﹣ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35294.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}﹣x）=﹣g（x）， 所以g（x）是奇函数． 函数f（x）=ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35296.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}﹣x）+1，f（a）=4， 可得f（a）=4=ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35297.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}﹣a）+1，可得ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35297.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}﹣a）=3， 则f（﹣a）=﹣ln（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35297.png){width="0.4888888888888889in" height="0.25in"}﹣a）+1=﹣3+1=﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查奇函数的简单性质以及函数值的求法，考查计算能力． 　 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． （1）求{an}的通项公式； （2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m． 【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{an}的通项公式． （2）当a1=1，q=﹣2时，Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35298.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}，由Sm=63，得Sm=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35299.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}=63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，Sn=2n﹣1，由此能求出m． 【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． ∴1×q4=4×（1×q2）， 解得q=±2， 当q=2时，an=2n﹣1， 当q=﹣2时，an=（﹣2）n﹣1， ∴{an}的通项公式为，an=2n﹣1，或an=（﹣2）n﹣1． （2）记Sn为{an}的前n项和． 当a1=1，q=﹣2时，Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35300.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4888888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35301.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35298.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}， 由Sm=63，得Sm=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35302.png){width="0.6666666666666666in" height="0.42569444444444443in"}=63，m∈N，无解； 当a1=1，q=2时，Sn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35303.png){width="0.7923611111111111in" height="0.4888888888888889in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35304.png){width="0.4173611111111111in" height="0.42569444444444443in"}=2n﹣1， 由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N， 解得m=6． 【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35305.png){width="4.709027777777778in" height="1.25in"} （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表： ---------------- ------- --------- 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 ---------------- ------- --------- （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：K2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35306.png){width="1.7194444444444446in" height="0.42569444444444443in"}， ----------- ------- ------- -------- P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 ----------- ------- ------- -------- 【考点】BL：独立性检验．菁优网版权所有 【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计． 【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高； （2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表； （3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论． 【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知， 第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间， 第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间， 所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高； （2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后， 排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35307.png){width="0.46944444444444444in" height="0.36527777777777776in"}=80； 由此填写列联表如下； ---------------- ------- --------- ------ 超过m 不超过m 总计 第一种生产方式 15 5 20 第二种生产方式 5 15 20 总计 20 20 40 ---------------- ------- --------- ------ （3）根据（2）中的列联表，计算 K2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35308.png){width="1.7194444444444446in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35309.png){width="1.582638888888889in" height="0.42569444444444443in"}=10＞6.635， ∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异． 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题． 　 19．（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35310.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}所在平面垂直，M是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35310.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35311.png){width="2.0416666666666665in" height="1.2708333333333333in"} 【考点】LS：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）通过证明CD⊥AD，CD⊥DM，证明CM⊥平面AMD，然后证明平面AMD⊥平面BMC； （2）存在P是AM的中点，利用直线与平面培训的判断定理说明即可． 【解答】（1）证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35312.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}所在平面垂直，所以AD⊥半圆弦![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35312.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}所在平面，CM⊂半圆弦![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35312.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}所在平面， ∴CM⊥AD， M是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35312.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}上异于C，D的点．∴CM⊥DM，DM∩AD=D，∴CM⊥平面AMD，CM⊂平面CMB， ∴平面AMD⊥平面BMC； （2）解：存在P是AM的中点， 理由： 连接BD交AC于O，取AM的中点P，连接OP，可得MC∥OP，MC⊄平面BDP，OP⊂平面BDP， 所以MC∥平面PBD． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35313.png){width="1.4895833333333333in" height="0.90625in"} 【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面培训的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力． 　 20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35314.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35315.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）． （1）证明：k＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35316.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}； （2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35317.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35318.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35319.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35320.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，证明：2\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35317.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35318.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|+\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35319.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}\|． 【考点】K4：椭圆的性质；KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4P：设而不求法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35321.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4888888888888889in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35322.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35323.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 又点M（1，m）在椭圆内，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35324.png){width="1.4069444444444446in" height="0.42569444444444443in"}，解得m的取值范围，即可得k＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35325.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}， （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35326.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35327.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35328.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35329.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，可得x3﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则\|FA\|=a﹣ex1=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35330.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x1，\|FB\|=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35330.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x2，\|FP\|=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35330.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35331.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}．即可证明\|FA\|+\|FB\|=2\|FP\|． 【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵线段AB的中点为M（1，m）， ∴x1+x2=2，y1+y2=2m 将A，B代入椭圆C：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35332.png){width="0.22847222222222222in" height="0.42569444444444443in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35333.png){width="0.22847222222222222in" height="0.43680555555555556in"}=1中，可得 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35334.png){width="1.0506944444444444in" height="0.6368055555555555in"}， 两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0， 即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0， ∴k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35335.png){width="0.5215277777777778in" height="0.4888888888888889in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35336.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35337.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"} 点M（1，m）在椭圆内，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35338.png){width="1.4069444444444446in" height="0.42569444444444443in"}， 解得0＜m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35339.png){width="0.32430555555555557in" height="0.36527777777777776in"} ∴k=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35340.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35341.png){width="0.40625in" height="0.36527777777777776in"}． （2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3）， 可得x1+x2=2 ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35342.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35343.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35344.png){width="0.1875in" height="0.20902777777777778in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35345.png){width="0.10486111111111111in" height="0.20902777777777778in"}，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0， ∴x3=1 由椭圆的焦半径公式得则\|FA\|=a﹣ex1=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35346.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x1，\|FB\|=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35346.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x2，\|FP\|=2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35346.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}x3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35347.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}． 则\|FA\|+\|FB\|=4﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35348.png){width="1.0013888888888889in" height="0.36527777777777776in"}， ∴\|FA\|+\|FB\|=2\|FP\|， 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．属于中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35349.png){width="0.6861111111111111in" height="0.48055555555555557in"}． （1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程； （2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0． 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35350.png){width="2.5305555555555554in" height="0.48055555555555557in"} 由f′（0）=2，可得切线斜率k=2，即可得到切线方程． （2）可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35351.png){width="2.5305555555555554in" height="0.48055555555555557in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35352.png){width="0.96875in" height="0.42569444444444443in"}．可得f（x）在（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35353.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}），（2，+∞）递减，在（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35354.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，2）递增，注意到a≥1时，函数g（x）=ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（2）=4a+1＞0 只需（x）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35355.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"}≥﹣e，即可． 【解答】解：（1）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35356.png){width="2.5305555555555554in" height="0.48055555555555557in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35357.png){width="0.96875in" height="0.42569444444444443in"}． ∴f′（0）=2，即曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率k=2， ∴曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为y﹣（﹣1）=2x． 即2x﹣y﹣1=0为所求． （2）证明：函数f（x）的定义域为：R， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35356.png){width="2.5305555555555554in" height="0.48055555555555557in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35357.png){width="0.96875in" height="0.42569444444444443in"}． 令f′（x）=0，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35358.png){width="1.332638888888889in" height="0.36527777777777776in"}， 当x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35359.png){width="1.0097222222222222in" height="0.36527777777777776in"}时，f′（x）＜0，x![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35360.png){width="0.8444444444444444in" height="0.36527777777777776in"}时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0． ∴f（x）在（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35361.png){width="0.5736111111111111in" height="0.36527777777777776in"}），（2，+∞）递减，在（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35362.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}，2）递增， 注意到a≥1时，函数g（x）=ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（2）=4a+1＞0 函数f（x）的图象如下： ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35363.png){width="3.3652777777777776in" height="1.7291666666666667in"} ∵a≥1，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35364.png){width="0.8229166666666666in" height="0.36527777777777776in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35365.png){width="0.9055555555555556in" height="0.4888888888888889in"}≥﹣e， ∴f（x）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35366.png){width="0.7402777777777778in" height="0.43680555555555556in"}≥﹣e， ∴当a≥1时，f（x）+e≥0． 【点评】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题． 　 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分） 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35367.png){width="0.7083333333333334in" height="0.40625in"}，（θ为参数），过点（0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35368.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点． （1）求α的取值范围； （2）求AB中点P的轨迹的参数方程． 【考点】QK：圆的参数方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35369.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}时，直线l的方程为x=0，成立；当α≠![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35369.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}时，过点（0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35370.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35370.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}，从而圆心O（0，0）到直线l的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35371.png){width="0.875in" height="0.46944444444444444in"}＜1，进而求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35372.png){width="0.9576388888888889in" height="0.36527777777777776in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35373.png){width="1.042361111111111in" height="0.36527777777777776in"}，由此能求出α的取值范围． （2）设直线l的方程为x=m（y+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35374.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}），联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35375.png){width="0.9381944444444444in" height="0.4888888888888889in"}，得（m2+1）y2+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35376.png){width="0.5104166666666666in" height="0.25in"}+2m2﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程． 【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35377.png){width="0.7083333333333334in" height="0.40625in"}（θ为参数）， ∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1， 当α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35378.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}时，过点（0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35379.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立； 当α≠![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35378.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}时，过点（0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35380.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35380.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}， ∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点， ∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35381.png){width="0.875in" height="0.46944444444444444in"}＜1， ∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35382.png){width="0.9576388888888889in" height="0.36527777777777776in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35383.png){width="1.042361111111111in" height="0.36527777777777776in"}， 综上α的取值范围是（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35384.png){width="0.22013888888888888in" height="0.36527777777777776in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35385.png){width="0.3020833333333333in" height="0.36527777777777776in"}）． （2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35386.png){width="0.20902777777777778in" height="0.1875in"}）， 设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3）， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35387.png){width="0.9381944444444444in" height="0.4888888888888889in"}，得（m2+1）y2+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35388.png){width="0.5104166666666666in" height="0.25in"}+2m2﹣1=0， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35389.png){width="1.3222222222222222in" height="1.03125in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35390.png){width="2.2284722222222224in" height="0.23958333333333334in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35391.png){width="0.5409722222222222in" height="0.5in"}+2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35392.png){width="0.31319444444444444in" height="0.1875in"}， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35393.png){width="0.8229166666666666in" height="0.42569444444444443in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35394.png){width="0.4173611111111111in" height="0.4479166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35395.png){width="0.8229166666666666in" height="0.43680555555555556in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35396.png){width="0.43680555555555556in" height="0.5in"}， ∴AB中点P的轨迹的参数方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35397.png){width="0.8118055555555556in" height="1.0013888888888889in"}，（m为参数），（﹣1＜m＜1）． 【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 \[选修4-5：不等式选讲\]（10分） 23．设函数f（x）=\|2x+1\|+\|x﹣1\|． （1）画出y=f（x）的图象； （2）当x∈\[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35398.png){width="2.7402777777777776in" height="2.7715277777777776in"} 【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；5B：分段函数的应用．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用． 【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可． （2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可． 【解答】解：（1）当x≤﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35399.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x， 当﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35399.png){width="0.13541666666666666in" height="0.36527777777777776in"}＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2， 当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x， 则f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35400.png){width="1.3652777777777778in" height="1.0506944444444444in"}对应的图象为： 画出y=f（x）的图象； （2）当x∈\[0，+∞）时，f（x）≤ax+b， 当x=0时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2， 当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立， 则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上， ∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2， 且各部分直线的斜率的最大值为3， 故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在\[0，+∞）上成立， 即a+b的最小值为5． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35401.png){width="2.1458333333333335in" height="3.042361111111111in"} ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35402.png){width="2.1354166666666665in" height="3.042361111111111in"} 【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键． 　 2018年北京市高考数学试卷（理科） ================================ 参考答案与试题解析 　 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．（5.00分）已知集合A={x\|\|x\|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（　　） A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 【分析】根据集合的基本运算进行计算即可． 【解答】解：A={x\|\|x\|＜2}={x\|﹣2＜x＜2}，B={﹣2，0，1，2}， 则A∩B={0，1}， 故选：A． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义是解决本题的关键．比较基础． 　 2．（5.00分）在复平面内，复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35403.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}的共轭复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】利用复数的除法运算法则，化简求解即可． 【解答】解：复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35403.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35404.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35405.png){width="0.4791666666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 共轭复数对应点的坐标（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35406.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22030.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基本知识的考查． 　 3．（5.00分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35407.png){width="1.78125in" height="3.6777777777777776in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22030.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35408.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35409.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35410.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】直接利用程序框图的应用求出结果． 【解答】解：执行循环前：k=1，S=1． 在执行第一次循环时，S=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35411.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35411.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 由于k=2≤3， 所以执行下一次循环．S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35412.png){width="0.6145833333333334in" height="0.3645833333333333in"}， k=3，直接输出S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35408.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：B． 【点评】本题考查的知识要点：程序框图和循环结构的应用． 　 4．（5.00分）"十二平均律"是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35413.png){width="0.3125in" height="0.23958333333333334in"}．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35414.png){width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}f B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35415.png){width="0.3333333333333333in" height="0.2708333333333333in"}f C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35416.png){width="0.40625in" height="0.2708333333333333in"}f D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35417.png){width="0.40625in" height="0.2708333333333333in"}f 【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解即可． 【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35413.png){width="0.3125in" height="0.23958333333333334in"}． 若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35418.png){width="0.8020833333333334in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35419.png){width="0.5104166666666666in" height="0.2708333333333333in"}． 故选：D． 【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力． 　 5．（5.00分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（　　）![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35420.png){width="2.4375in" height="2.6777777777777776in"} A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果． 【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD， AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35421.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，CD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35421.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， PC=3，PD=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35422.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，可得三角形PCD不是直角三角形． 所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC， △PAD． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35423.png){width="2.2604166666666665in" height="1.9270833333333333in"} 【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，是基本知识的考查． 　 6．（5.00分）设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35424.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35425.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}均为单位向量，则"\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35424.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35425.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35424.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35425.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|"是"![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35426.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35427.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的对应进行判断即可． 【解答】解：∵"\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35426.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35427.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35426.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35427.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|" ∴平方得\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35426.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|2+9\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35427.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|2﹣6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35428.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35429.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=9\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35428.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|2+\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35429.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|2+6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35428.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35429.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}， 即1+9﹣6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35428.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35429.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=9+1+6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35430.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35431.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}， 即12![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35430.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35431.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35430.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35431.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35430.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35431.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}， 则"\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35430.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35432.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|=\|3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35433.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35432.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|"是"![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35433.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35432.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}"的充要条件， 故选：C． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的公式进行转化是解决本题的关键． 　 7．（5.00分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由题意d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35434.png){width="1.3854166666666667in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35435.png){width="1.7291666666666667in" height="0.5208333333333334in"}，当sin（θ+α）=﹣1时，dmax=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35436.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4479166666666667in"}≤3．由此能求出d的最大值． 【解答】解：由题意d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35434.png){width="1.3854166666666667in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35435.png){width="1.7291666666666667in" height="0.5208333333333334in"}，tanα=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35437.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴当sin（θ+α）=﹣1时， dmax=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35438.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4479166666666667in"}≤3． ∴d的最大值为3． 故选：C． 【点评】本题考查点到直线的距离的最大值的求法，考查点到直线的距离公式、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 8．（5.00分）设集合A={（x，y）\|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（　　） A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉A C．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image32580.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，（2，1）∉A 【分析】利用a的取值，反例判断（2，1）∈A是否成立即可． 【解答】解：当a=﹣1时，集合A={（x，y）\|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）\|x﹣y≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正确； 当a=4，集合A={（x，y）\|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）\|x﹣y≥1，4x+y＞4，x﹣4y≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以B不正确； 故选：D． 【点评】本题考查线性规划的解答应用，利用特殊点以及特殊值转化求解，避免可行域的画法，简洁明了． 　 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9．（5.00分）设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为　an=6n﹣3　． 【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=3，d=6，由此能求出{an}的通项公式． 【解答】解：∵{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35439.png){width="1.28125in" height="0.5104166666666666in"}， 解得a1=3，d=6， ∴an=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3． ∴{an}的通项公式为an=6n﹣3． 故答案为：an=6n﹣3． 【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 10．（5.00分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=　1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35172.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}　． 【分析】首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果． 【解答】解：圆ρ=2cosθ， 转化成：ρ2=2ρcosθ， 进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1， 把直线ρ（cosθ+sinθ）=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0． 由于直线和圆相切， 所以：利用圆心到直线的距离等于半径． 则：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35440.png){width="0.46875in" height="0.3854166666666667in"}=1， 解得：a=1±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35441.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．a＞0 则负值舍去． 故：a=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35441.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故答案为：1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35441.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充要条件的应用． 　 11．（5.00分）设函数f（x）=cos（ωx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35442.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）（ω＞0），若f（x）≤f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24106.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35443.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可． 【解答】解：函数f（x）=cos（ωx﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35442.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）（ω＞0），若f（x）≤f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24106.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）对任意的实数x都成立， 可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35444.png){width="1.25in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z，解得ω=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35445.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z，ω＞0 则ω的最小值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35446.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35446.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力． 　 12．（5.00分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是　3　． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设z=2y﹣x，则y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35447.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35447.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}z， 平移y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35447.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35447.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}z， 由图象知当直线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35447.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35447.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}z经过点A时， 直线的截距最小，此时z最小， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35448.png){width="0.5416666666666666in" height="0.4166666666666667in"}得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35449.png){width="0.375in" height="0.40625in"}，即A（1，2）， 此时z=2×2﹣1=3， 故答案为：3 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35450.png){width="3.0840277777777776in" height="2.7715277777777776in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键． 　 13．（5.00分）能说明"若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2\]都成立，则f（x）在\[0，2\]上是增函数"为假命题的一个函数是　f（x）=sinx　． 【分析】本题答案不唯一，符合要求即可． 【解答】解：例如f（x）=sinx， 尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2\]都成立， 当x∈\[0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35451.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）上为增函数，在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35451.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，2\]为减函数， 故答案为：f（x）=sinx． 【点评】本题考查了函数的单调性，属于基础题． 　 14．（5.00分）已知椭圆M：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35452.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35453.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0），双曲线N：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35454.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35455.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35456.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}　；双曲线N的离心率为　2　． 【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：椭圆M：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35452.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image33177.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0），双曲线N：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35457.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35458.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35459.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35460.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}），可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35461.png){width="0.9479166666666666in" height="0.4791666666666667in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35462.png){width="1.3333333333333333in" height="0.625in"}，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1）， 解得e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35463.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}． 同时，双曲线的渐近线的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image31518.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35464.png){width="0.4479166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35465.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35466.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4791666666666667in"}， 可得双曲线的离心率为e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35467.png){width="0.625in" height="0.5in"}=2． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35468.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}；2． 【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 　 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（13.00分）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35469.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅰ）求∠A； （Ⅱ）求AC边上的高． 【分析】（Ⅰ）由正弦定理结合大边对大角进行求解即可． （Ⅱ）利用余弦定理求出c的值，结合三角函数的高与斜边的关系进行求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角， ∵cosB=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35469.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，∴sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35470.png){width="0.7604166666666666in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35471.png){width="0.7916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35472.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 由正弦定理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35473.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35474.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}得sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35475.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35476.png){width="0.6458333333333334in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35477.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 则A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35478.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB， 即64=49+c2+2×7×c×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35479.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 即c2+2c﹣15=0， 得（c﹣3）（c+5）=0， 得c=3或c=﹣5（舍）， 则AC边上的高h=csinA=3×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35480.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35481.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及余弦定理建立方程关系是解决本题的关键． 　 16．（14.00分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35482.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，AC=AA1=2． （Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF； （Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值； （Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35483.png){width="1.7291666666666667in" height="1.9375in"} 【分析】（I）证明AC⊥BE，AC⊥EF即可得出AC⊥平面BEF； （II）建立坐标系，求出平面BCD的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35484.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，通过计算![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35485.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35486.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的夹角得出二面角的大小； （III）计算![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35487.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35485.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的数量积即可得出结论． 【解答】（I）证明：∵E，F分别是AC，A1C1的中点，∴EF∥CC1， ∵CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC， 又AC⊂平面ABC，∴EF⊥AC， ∵AB=BC，E是AC的中点， ∴BE⊥AC， 又BE∩EF=E，BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF， ∴AC⊥平面BEF． （II）解：以E为原点，以EB，EC，EF为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示： 则B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，1）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35488.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣2，1，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35489.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，﹣2，1）， 设平面BCD的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35485.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y，z），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35490.png){width="0.6875in" height="0.4791666666666667in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35491.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}， 令y=2可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35492.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，2，4），又EB⊥平面ACC1A1， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35493.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（2，0，0）为平面CD﹣C1的一个法向量， ∴cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35492.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35493.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35494.png){width="0.71875in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35495.png){width="0.59375in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35496.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 由图形可知二面角B﹣CD﹣C1为钝二面角， ∴二面角B﹣CD﹣C1的余弦值为﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35496.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． （III）证明：F（0，0，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35497.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}（2，0，1），∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35498.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（2，0，﹣1）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35498.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35499.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=2+0﹣4=﹣2≠0， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35500.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35501.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}不垂直， ∴FG与平面BCD不平行，又FG⊄平面BCD， ∴FG与平面BCD相交． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35502.png){width="1.9895833333333333in" height="2.0416666666666665in"} 【点评】本题考查了线面垂直的判定，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题． 　 17．（12.00分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： ---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 ---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立． （Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用"ξk=1"表示第k类电影得到人们喜欢．"ξk=0"表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系． 【分析】（Ⅰ）先求出总数，再求出第四类电影中获得好评的电影的部数，利用古典概型概率计算公式直接求解． （Ⅱ）设事件B表示"从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评"，第四类获得好评的有50部，第五类获得好评的有160部，由此能求出从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率． （Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：ξk=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35503.png){width="2.4583333333333335in" height="0.4479166666666667in"}，则ξk服从两点分布，分别求出六类电影的分布列及方差由此能写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系． 【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示"从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影"， 总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部， 第四类电影中获得好评的电影有：200×0.25=50部， ∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为： P（A）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35504.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=0.025． （Ⅱ）设事件B表示"从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评"， 第四类获得好评的有：200×0.25=50部， 第五类获得好评的有：800×0.2=160部， 则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率： P（B）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35505.png){width="2.3020833333333335in" height="0.3645833333333333in"}=0.35． （Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下： ξk=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35506.png){width="2.4583333333333335in" height="0.4479166666666667in"}， 则ξk服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下： 第一类电影： ---- ----- ----- ξ1 1 0 P 0.4 0.6 ---- ----- ----- E（ξ1）=1×0.4+0×0.6=0.4， D（ξ1）=（1﹣0.4）2×0.4+（0﹣0.4）2×0.6=0.24． 第二类电影： ---- ----- ----- ξ2 1 0 P 0.2 0.8 ---- ----- ----- E（ξ2）=1×0.2+0×0.8=0.2， D（ξ2）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16． 第三类电影： ---- ------ ------ ξ3 1 0 P 0.15 0.85 ---- ------ ------ E（ξ3）=1×0.15+0×0.85=0.15， D（ξ3）=（1﹣0.15）2×0.15+（0﹣0.85）2×0.85=0.1275． 第四类电影： ---- ------ ------ ξ4 1 0 P 0.25 0.75 ---- ------ ------ E（ξ4）=1×0.25+0×0.75=0.15， D（ξ4）=（1﹣0.25）2×0.25+（0﹣0.75）2×0.75=0.1875． 第五类电影： ---- ----- ----- ξ5 1 0 P 0.2 0.8 ---- ----- ----- E（ξ5）=1×0.2+0×0.8=0.2， D（ξ5）=（1﹣0.2）2×0.2+（0﹣0.2）2×0.8=0.16． 第六类电影： ---- ----- ----- ξ6 1 0 P 0.1 0.9 ---- ----- ----- E（ξ6）=1×0.1+0×0.9=0.1， D（ξ5）=（1﹣0.1）2×0.1+（0﹣0.1）2×0.9=0.09． ∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系为： Dξ6＜Dξ3＜Dξ2=Dξ5＜Dξ4＜Dξ1． 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，考查古典概型、两点分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 18．（13.00分）设函数f（x）=\[ax2﹣（4a+1）x+4a+3\]ex． （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a； （Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得f′（1）=0，解方程可得a的值； （Ⅱ）求得f（x）的导数，注意分解因式，讨论a=0，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35507.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，a＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35507.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，0＜a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35507.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，a＜0，由极小值的定义，即可得到所求a的范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=\[ax2﹣（4a+1）x+4a+3\]ex的导数为 f′（x）=\[ax2﹣（2a+1）x+2\]ex． 由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0， 可得（a﹣2a﹣1+2）e=0， 解得a=1； （Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=\[ax2﹣（2a+1）x+2\]ex=（x﹣2）（ax﹣1）ex， 若a=0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减． x=2处f（x）取得极大值，不符题意； 若a＞0，且a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35507.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35507.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（x﹣2）2ex≥0，f（x）递增，无极值； 若a＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35508.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15665.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜2，f（x）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15665.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15665.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）递增， 可得f（x）在x=2处取得极小值； 若0＜a＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35508.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15665.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＞2，f（x）在（2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15665.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）递减；在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15665.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞），（﹣∞，2）递增， 可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意； 若a＜0，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35509.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜2，f（x）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35509.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35509.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）递减， 可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意． 综上可得，a的范围是（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image30511.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题． 　 19．（14.00分）已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． （Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围； （Ⅱ）设O为原点，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35510.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35511.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35512.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=μ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35511.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，求证：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35513.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35514.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}为定值． 【分析】（Ⅰ）将P代入抛物线方程，即可求得p的值，设直线AB的方程，代入椭圆方程，由△＞0，即可求得k的取值范围； （Ⅱ）根据向量的共线定理即可求得λ=1﹣yM，μ=1﹣yN，求得直线PA的方程，令x=0，求得M点坐标，同理求得N点坐标，根据韦达定理即可求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35515.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35516.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}为定值． 【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2=2px经过点 P（1，2），∴4=2p，解得p=2， 设过点（0，1）的直线方程为y=kx+1， 设A（x1，y1），B（x2，y2） 联立方程组可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35517.png){width="0.625in" height="0.4791666666666667in"}， 消y可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0， ∴△=（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1， 且k≠0，x1+x2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35518.png){width="0.3854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}，x1x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35519.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 故直线l的斜率的取值范围（﹣∞，0）∪（0，1）； （Ⅱ）证明：设点M（0，yM），N（0，yN）， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35520.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，yM﹣1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35521.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，﹣1） 因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35522.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=λ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35521.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，所以yM﹣1=﹣yM﹣1，故λ=1﹣yM，同理μ=1﹣yN， 直线PA的方程为y﹣2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35523.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}（x﹣1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35524.png){width="0.4479166666666667in" height="0.75in"}（x﹣1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35525.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}（x﹣1）， 令x=0，得yM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35526.png){width="0.4166666666666667in" height="0.5in"}，同理可得yN=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35527.png){width="0.4166666666666667in" height="0.5in"}， 因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35528.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35529.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35530.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35531.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35532.png){width="0.4166666666666667in" height="0.5in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35533.png){width="0.4166666666666667in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35534.png){width="1.1458333333333333in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35535.png){width="1.6354166666666667in" height="0.53125in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35536.png){width="1.9895833333333333in" height="0.5833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35537.png){width="1.2083333333333333in" height="0.7604166666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35538.png){width="0.8541666666666666in" height="0.7604166666666666in"}=2， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35539.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35540.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=2，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35541.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35540.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}为定值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35542.png){width="3.261111111111111in" height="3.073611111111111in"} 【点评】本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题． 　 20．（14.00分）设n为正整数，集合A={α\|α=（t1，t2，...tn），tk∈{0，1}，k=1，2，...，n}，对于集合A中的任意元素α=（x1，x2，...，xn）和β=（y1，y2，...yn），记 M（α，β）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17901.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\[（x1+y1﹣\|x1﹣y1\|）+（x2+y2﹣\|x2﹣y2\|）+...（xn+yn﹣\|xn﹣yn\|）\] （Ⅰ）当n=3时，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值； （Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中元素个数的最大值； （Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M（α，β）=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由． 【分析】（Ⅰ）直接根据定义计算． （Ⅱ）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明． （Ⅲ）根据抽屉原理即可得证． 【解答】解：（I ） M（α，α）=1+1+0=2，M（α，β）=0+1+0=1． （II）考虑数对（xk，yk）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相应的![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35543.png){width="1.3020833333333333in" height="0.4375in"}分别为0、0、0、1， 所以B中的每个元素应有奇数个1， 所以B中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）： （1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）， （0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0）， 对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M（α，β）是偶数， 所以四元集合B={（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）}满足 题意， 假设B中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素， 除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α， 则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M（α，β）=1不合题意， 故B中元素个数的最大值为4． （Ⅲ） B={（0，0，0，...0），（1，0，0...，0），（0，1，0，...0），（0，0，1...0）...， （0，0，0，...，1）}， 此时B中有n+1个元素，下证其为最大． 对于任意两个不同的元素α，β，满足M（α，β）=0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1， 假设存在B有多于n+1个元素，由于α=（0，0，0，...，0）与任意元素β都有M（α，β）=0， 所以除（0，0，0，...，0）外至少有n+1个元素含有1， 根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足xi=yi=l，此时M（α，β）≥1不满足题意， 故B中最多有n+1个元素． 【点评】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较大． 2018年北京市高考数学试卷（文科） ================================ 参考答案与试题解析 　 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．（5.00分）已知集合A={x\|\|x\|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（　　） A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 【分析】根据集合的交集的定义进行求解即可． 【解答】解：∵集合A={x\|\|x\|＜2}={x\|﹣2＜x＜2}，B={﹣2，0，1，2}， ∴A∩B={0，1}， 故选：A． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 　 2．（5.00分）在复平面内，复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35544.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}的共轭复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】利用复数的除法运算法则，化简求解即可． 【解答】解：复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35544.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35545.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35546.png){width="0.4791666666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 共轭复数对应点的坐标（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35547.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35547.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是基本知识的考查． 　 3．（5.00分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35548.png){width="1.78125in" height="3.6777777777777776in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35547.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35549.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35550.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35551.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} 【分析】直接利用程序框图的应用求出结果． 【解答】解：执行循环前：k=1，S=1． 在执行第一次循环时，S=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22723.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image22723.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 由于k=2≤3， 所以执行下一次循环．S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35552.png){width="0.6145833333333334in" height="0.3645833333333333in"}， k=3，直接输出S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35553.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故选：B． 【点评】本题考查的知识要点：程序框图和循环结构的应用． 　 4．（5.00分）设a，b，c，d是非零实数，则"ad=bc"是"a，b，c，d成等比数列"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可． 【解答】解：若a，b，c，d成等比数列，则ad=bc， 反之数列﹣1，﹣1，1，1．满足﹣1×1=﹣1×1， 但数列﹣1，﹣1，1，1不是等比数列， 即"ad=bc"是"a，b，c，d成等比数列"的必要不充分条件． 故选：B． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键． 　 5．（5.00分）"十二平均律"是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35554.png){width="0.3125in" height="0.23958333333333334in"}．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35555.png){width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}f B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35556.png){width="0.3333333333333333in" height="0.2708333333333333in"}f C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35557.png){width="0.40625in" height="0.2708333333333333in"}f D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35558.png){width="0.40625in" height="0.2708333333333333in"}f 【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解即可． 【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35559.png){width="0.3125in" height="0.23958333333333334in"}． 若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35560.png){width="0.8020833333333334in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35561.png){width="0.5104166666666666in" height="0.2708333333333333in"}． 故选：D． 【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力． 　 6．（5.00分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（　　）![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35562.png){width="2.4375in" height="2.6777777777777776in"} A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果． 【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD， AC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35563.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，CD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35563.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， PC=3，PD=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35564.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，可得三角形PCD不是直角三角形． 所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC， △PAD． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35565.png){width="2.2604166666666665in" height="1.9270833333333333in"} 【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，是基本知识的考查． 　 7．（5.00分）在平面直角坐标系中，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35566.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35567.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35568.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35569.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35570.png){width="1.7708333333333333in" height="1.8020833333333333in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35571.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35572.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35573.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35574.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} 【分析】根据三角函数线的定义，分别进行判断排除即可． 【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件． B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件． C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正， 满足tanα＜cosα＜sinα， D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值， 满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35575.png){width="2.3020833333333335in" height="2.4375in"} 【点评】本题主要考查三角函数象限和符号的应用，分别判断三角函数线的大小是解决本题的关键． 　 8．（5.00分）设集合A={（x，y）\|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（　　） A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉A C．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35576.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，（2，1）∉A 【分析】利用a的取值，反例判断（2，1）∈A是否成立即可． 【解答】解：当a=﹣1时，集合A={（x，y）\|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）\|x﹣y≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正确； 当a=4，集合A={（x，y）\|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）\|x﹣y≥1，4x+y＞4，x﹣4y≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以B不正确； 故选：D． 【点评】本题考查线性规划的解答应用，利用特殊点以及特殊值转化求解，避免可行域的画法，简洁明了． 　 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9．（5.00分）设向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13389.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13391.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，m）．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13389.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥（m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13389.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13391.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}），则m=　﹣1　． 【分析】利用向量的坐标运算，以及向量的垂直，列出方程求解即可． 【解答】解：向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13389.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（1，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13391.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，m）． m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13389.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13391.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（m+1，﹣m）． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13389.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}⊥（m![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35577.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35578.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}）， ∴m+1=0，解得m=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力． 　 10．（5.00分）已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴．若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为　（1，0）　． 【分析】先求出直线x=1，代入抛物线中，求出y，根据l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，即可求出a，问题得以解决． 【解答】解：∵直线l过点（1，0）且垂直于x轴， ∴x=1， 代入到y2=4ax，可得y2=4a，显然a＞0， ∴y=±2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35579.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∵l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4， ∴4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35579.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=4， 解得a=1， ∴y2=4x， ∴抛物线的焦点坐标为（1，0）， 故答案为：（1，0） 【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，属于基础题． 　 11．（5.00分）能说明"若a＞b，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35580.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35581.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}"为假命题的一组a，b的值依次为　a=1，b=﹣1　． 【分析】根据不等式的性质，利用特殊值法进行求解即可． 【解答】解：当a＞0，b＜0时，满足a＞b，但![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35580.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35581.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}为假命题， 故答案可以是a=1，b=﹣1， 故答案为：a=1，b=﹣1． 【点评】本题主要考查命题的真假的应用，根据不等式的性质是解决本题的关键．比较基础． 　 12．（5.00分）若双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35582.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35583.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1（a＞0）的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35584.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，则a=　4　． 【分析】利用双曲线的简单性质，直接求解即可． 【解答】解：双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35582.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35583.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1（a＞0）的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35584.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35585.png){width="0.65625in" height="0.4791666666666667in"}，解得a=4． 故答案为：4． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 　 13．（5.00分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是　3　． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设z=2y﹣x，则y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35586.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35586.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}z， 平移y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35586.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35586.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}z， 由图象知当直线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35586.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35586.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}z经过点A时， 直线的截距最小，此时z最小， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35587.png){width="0.5416666666666666in" height="0.4166666666666667in"}得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35588.png){width="0.375in" height="0.40625in"}，即A（1，2）， 此时z=2×2﹣1=3， 故答案为：3 ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35589.png){width="3.0840277777777776in" height="2.7715277777777776in"} 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键． 　 14．（5.00分）若△ABC的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35590.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35591.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}　；![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9225.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的取值范围是　（2，+∞）　． 【分析】利用余弦定理，转化求解即可． 【解答】解：△ABC的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35590.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}（a2+c2﹣b2）， 可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35590.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}（a2+c2﹣b2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35592.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}acsinB，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35593.png){width="0.6979166666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 可得：tanB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35594.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，所以B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35595.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，∠C为钝角，A∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35596.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），cotA∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35597.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，+∞）． ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35598.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35599.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35600.png){width="0.71875in" height="0.3645833333333333in"}=cosB+cotAsinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35601.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35602.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}cotA∈（2，+∞）． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35595.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}；（2，+∞）． 【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力． 　 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（13.00分）设{an}是等差数列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求e![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35603.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}+e![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35604.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}+...+e![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35605.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}． 【分析】（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）化简数列的通项公式，利用等比数列求和公式求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）{an}是等差数列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2． 可得：2a1+3d=5ln2，可得d=ln2， {an}的通项公式；an=a1+（n﹣1）d=nln2， （Ⅱ）e![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35605.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35606.png){width="0.4270833333333333in" height="0.2604166666666667in"}=2n， ∴e![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35603.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}+e![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35604.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}+...+e![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35605.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}=21+22+23+...+2n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35607.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}=2n+1﹣2． 【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列的通项公式以及数列求和，考查计算能力． 　 16．（13.00分）已知函数f（x）=sin2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image32094.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinxcosx． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）若f（x）在区间\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35608.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，m\]上的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image31077.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，求m的最小值． 【分析】（I）运用二倍角公式的降幂公式和两角差的正弦公式和周期公式，即可得到所求值； （Ⅱ）求得2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35609.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}的范围，结合正弦函数的图象可得2m﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35609.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35610.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，即可得到所求最小值． 【解答】解：（I）函数f（x）=sin2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image32094.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sinxcosx=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35611.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35612.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}sin2x =sin（2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35609.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35613.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， f（x）的最小正周期为T=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35614.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=π； （Ⅱ）若f（x）在区间\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35615.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，m\]上的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35616.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 可得2x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35617.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35618.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，2m﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35617.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]， 即有2m﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35617.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35619.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，解得m≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35615.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 则m的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35615.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算能力，属于中档题． 　 17．（13.00分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： ---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 ---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． （Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； （Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论） 【分析】（Ⅰ）先求出总数，即可求出答案， （Ⅱ）根据互斥事件的概率公式计算即可， （Ⅲ）由题意可得，增加电影部数多的，减少部数少的，即可得到． 【解答】解：（Ⅰ）总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部， 获得好评的第四类电影200×0.25=50， 故从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35620.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35621.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； （Ⅱ）获得好评的电影部数为140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=372， 估计这部电影没有获得好评的概率为1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35622.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=0.814， （Ⅲ）故只要第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，则使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大． 【点评】本题考查了用频率来估计概率，属于基础题． 　 18．（14.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点． （Ⅰ）求证：PE⊥BC； （Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD； （Ⅲ）求证：EF∥平面PCD． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35623.png){width="2.761111111111111in" height="1.4375in"} 【分析】（Ⅰ）由等腰三角形的三线合一性质和矩形的对边平行性质，即可得证； （Ⅱ）作出平面PAB和平面PCD的交线，注意运用公理4，再由面面垂直的性质和两个平面所成角的定义，即可得证； （Ⅲ）取PC的中点H，连接DH，FH，运用中位线定理和平行四边形的判断和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证． 【解答】证明：（Ⅰ）PA=PD，E为AD的中点， 可得PE⊥AD， 底面ABCD为矩形，可得BC∥AD， 则PE⊥BC； （Ⅱ）由于平面PAB和平面PCD有一个公共点P， 且AB∥CD， 在平面PAB内过P作直线PG∥AB， 可得PG∥CD， 即有平面PAB∩平面PCD=PG， 由平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD， 可得AB⊥平面PAD，即有AB⊥PA， PA⊥PG； 同理可得CD⊥PD，即有PD⊥PG， 可得∠APD为平面PAB和平面PCD的平面角， 由PA⊥PD， 可得平面PAB⊥平面PCD； （Ⅲ）取PC的中点H，连接DH，FH， 在三角形PCD中，FH为中位线，可得FH∥BC， FH=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23307.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}BC， 由DE∥BC，DE=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23307.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}BC， 可得DE=FH，DE∥FH， 四边形EFHD为平行四边形， 可得EF∥DH， EF⊄平面PCD，DH⊂平面PCD， 即有EF∥平面PCD． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35624.png){width="2.823611111111111in" height="1.53125in"} 【点评】本题考查线面和面面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，以及面面垂直的判断和性质，注意运用转化思想，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题． 　 19．（13.00分）设函数f（x）=\[ax2﹣（3a+1）x+3a+2\]ex． （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a； （Ⅱ）若f（x）在x=1处取得极小值，求a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得f′（2）=0，解方程可得a的值； （Ⅱ）求得f（x）的导数，注意分解因式，讨论a=0，a=1，a＞1，0＜a＜1，a＜0，由极小值的定义，即可得到所求a的范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=\[ax2﹣（3a+1）x+3a+2\]ex的导数为 f′（x）=\[ax2﹣（a+1）x+1\]ex． 曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0， 可得（4a﹣2a﹣2+1）e2=0， 解得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23307.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； （Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=\[ax2﹣（a+1）x+1\]ex=（x﹣1）（ax﹣1）ex， 若a=0则x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1，f′（x）＜0，f（x）递减． x=1处f（x）取得极大值，不符题意； 若a＞0，且a=1，则f′（x）=（x﹣1）2ex≥0，f（x）递增，无极值； 若a＞1，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35625.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜1，f（x）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35626.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1）递减；在（1，+∞），（﹣∞，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35626.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）递增， 可得f（x）在x=1处取得极小值； 若0＜a＜1，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35626.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＞1，f（x）在（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35626.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）递减；在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35626.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞），（﹣∞，1）递增， 可得f（x）在x=1处取得极大值，不符题意； 若a＜0，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35626.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜1，f（x）在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35626.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1）递增；在（1，+∞），（﹣∞，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35626.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）递减， 可得f（x）在x=1处取得极大值，不符题意． 综上可得，a的范围是（1，+∞）． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题． 　 20．（14.00分）已知椭圆M：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35627.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35628.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35629.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，焦距为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35630.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B． （Ⅰ）求椭圆M的方程； （Ⅱ）若k=1，求\|AB\|的最大值； （Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35631.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35632.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）共线，求k． 【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式即可求得a的值，即可求得b的值，求得椭圆方程； （Ⅱ）当k=1时，设直线AB的方程，代入椭圆方程，根据弦长公式即可求得\|AB\|的最大值； （Ⅲ）求得直线PA的方程，代入椭圆方程，即可根据韦达定理即可求得C点坐标，同理求得D点坐标，即可求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35633.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35634.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，根据向量的共线定理，即可求得直线AB的斜率． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2c=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35635.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35635.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，椭圆的离心率e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35636.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35637.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，则a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35638.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， b2=a2﹣c2=1， ∴椭圆的标准方程：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35639.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}； （Ⅱ）设直线AB的方程为：y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35640.png){width="0.8125in" height="0.6666666666666666in"}，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3=0，△=（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）＞0，整理得：m2＜4， x1+x2=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35641.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，x1x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35642.png){width="0.6875in" height="0.4270833333333333in"}， ∴\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35643.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35644.png){width="1.4583333333333333in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35645.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35646.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}， ∴当m=0时，\|AB\|取最大值，最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35647.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； （Ⅲ）设直线PA的斜率kPA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35648.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}，直线PA的方程为：y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35648.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}（x+2）， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35649.png){width="1.1458333333333333in" height="0.96875in"}，消去y整理得：（x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y12﹣3x12﹣12x1﹣12）=0， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35650.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4791666666666667in"}代入上式得，整理得：（4x1+7）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）=0， x1•xC=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35651.png){width="0.9791666666666666in" height="0.53125in"}，xC=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35652.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，则yC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35653.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4895833333333333in"}（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35652.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35654.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4895833333333333in"}， 则C（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35655.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35654.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4895833333333333in"}），同理可得：D（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35656.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35657.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4895833333333333in"}）， 由Q（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35658.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35659.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35660.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35661.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35662.png){width="0.8958333333333334in" height="0.4895833333333333in"}），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35663.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35664.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35665.png){width="0.8958333333333334in" height="0.4895833333333333in"}）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35666.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35663.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}三点共线，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35667.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35668.png){width="0.8958333333333334in" height="0.4895833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35669.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35670.png){width="0.8958333333333334in" height="0.4895833333333333in"}， 整理得：y2﹣x2=y1﹣x1，则直线AB的斜率k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35671.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1， ∴k的值为1． 【点评】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，向量的共线定理，考查转化思想，属于中档题． 　 2018年江苏省高考数学试卷 ======================== 参考答案与试题解析 　 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=　{1，8}　． 【分析】直接利用交集运算得答案． 【解答】解：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}， ∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}， 故答案为：{1，8}． 【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题． 　 2．（5.00分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为　2　． 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由i•z=1+2i， 得z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35672.png){width="1.7291666666666667in" height="0.4270833333333333in"}， ∴z的实部为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 　 3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为　90　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35673.png){width="0.5625in" height="0.625in"} 【分析】根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可． 【解答】解：根据茎叶图中的数据知， 这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91， 它们的平均数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35674.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×（89+89+90+91+91）=90． 故答案为：90． 【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题． 　 4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为　8　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35675.png){width="1.3125in" height="1.8125in"} 【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值． 【解答】解：模拟程序的运行过程如下； I=1，S=1， I=3，S=2， I=5，S=4， I=7，S=8， 此时不满足循环条件，则输出S=8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法． 　 5．（5.00分）函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35676.png){width="0.7604166666666666in" height="0.2604166666666667in"}的定义域为　\[2，+∞）　． 【分析】解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可． 【解答】解：由题意得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35677.png){width="0.3645833333333333in" height="0.2916666666666667in"}≥1， 解得：x≥2， ∴函数f（x）的定义域是\[2，+∞）． 故答案为：\[2，+∞）． 【点评】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题． 　 6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为　0.3　． 【分析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，根据概率公式计算即可， （适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可 【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务， 共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种， 故选中的2人都是女同学的概率P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35678.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=0.3， （适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C， 则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种， 其中全是女生为AB，AC，BC共3种， 故选中的2人都是女同学的概率P=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35678.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=0.3， 故答案为：0.3 【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题． 　 7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35679.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}φ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35680.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象关于直线x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35681.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}对称，则φ的值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35682.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可． 【解答】解：∵y=sin（2x+φ）（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35679.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}φ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35680.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象关于直线x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35681.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}对称， ∴2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35681.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+φ=kπ+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35680.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z， 即φ=kπ﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35683.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∵﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35684.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}φ＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35685.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴当k=0时，φ=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35683.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35683.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键． 　 8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35686.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35687.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35688.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}c，则其离心率的值为　2　． 【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可． 【解答】解：双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35689.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35690.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}x的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35691.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}c， 可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35692.png){width="0.7395833333333334in" height="0.78125in"}=b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35693.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35694.png){width="0.9270833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，即c=2a， 所以双曲线的离心率为：e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35695.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：2． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 　 9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2\]上，f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35696.png){width="1.4479166666666667in" height="0.7916666666666666in"}，则f（f（15））的值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35697.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}　． 【分析】根据函数的周期性，进行转化求解即可． 【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数， 则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=\|﹣1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18884.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18884.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18884.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=cos（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35698.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35699.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35700.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 即f（f（15））=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35700.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35700.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} 【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键． 　 10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35701.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35702.png){width="1.4895833333333333in" height="1.5104166666666667in"} 【分析】求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可． 【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35703.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1， 多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35704.png){width="1.1979166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35705.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35705.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35706.png){width="1.4895833333333333in" height="1.5104166666666667in"} 【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在\[﹣1，1\]上的最大值与最小值的和为　﹣3　． 【分析】推导出f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点；当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35707.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，f（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35707.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）上递减，在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35707.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）递增，由f（x）只有一个零点，解得a=3，从而f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈\[﹣1，1\]，利用导数性质能求出f（x）在\[﹣1，1\]上的最大值与最小值的和． 【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点， ∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞）， ①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0， 函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去； ②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35707.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴f（x）在（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35707.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）上递减，在（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35707.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，+∞）递增， 又f（x）只有一个零点， ∴f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35707.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35708.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+1=0，解得a=3， f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈\[﹣1，1\]， f′（x）＞0的解集为（﹣1，0）， f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减， f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0， ∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1， ∴f（x）在\[﹣1，1\]上的最大值与最小值的和为： f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3． 【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题． 　 12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35709.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35710.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0，则点A的横坐标为　3　． 【分析】设A（a，2a），a＞0，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，结合![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35709.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35710.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=0求得a值得答案． 【解答】解：设A（a，2a），a＞0， ∵B（5，0），∴C（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35711.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，a）， 则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0． 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35712.png){width="1.7916666666666667in" height="0.4166666666666667in"}，解得D（1，2）． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35713.png){width="2.4895833333333335in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35714.png){width="1.5625in" height="0.4270833333333333in"}． 解得：a=3或a=﹣1． 又a＞0，∴a=3． 即A的横坐标为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题． 　 13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为　9　． 【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【解答】解：由题意得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35715.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}acsin120°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35715.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}asin60°+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35715.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}csin60°， 即ac=a+c， 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35716.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35717.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=1， 得4a+c=（4a+c）（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35716.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35717.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35718.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35719.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+5≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35720.png){width="0.5625in" height="0.3854166666666667in"}+5=4+5=9， 当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35718.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35719.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，即c=2a时，取等号， 故答案为：9． 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键． 　 14．（5.00分）已知集合A={x\|x=2n﹣1，n∈N\*}，B={x\|x=2n，n∈N\*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn＞12an+1成立的n的最小值为　27　． 【分析】采用列举法，验证n=26，n=27即可． 【解答】解：利用列举法可得：当n=26时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}， 所以数列{an}的前26项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，...41，2，4，8，16，32． S26=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35721.png){width="2.4479166666666665in" height="0.4270833333333333in"}，a27=43，⇒12a27=516，不符合题意． 当n=27时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}， 所以数列{an}的前26项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，...41，43，2，4，8，16，32． S27=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35722.png){width="1.5104166666666667in" height="0.4270833333333333in"}=546，a28=45⇒12a28=540，符合题意， 故答案为：27． 【点评】本题考查了集合、数列的求和，属于中档题． 　 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1． 求证：（1）AB∥平面A1B1C； （2）平面ABB1A1⊥平面A1BC． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35723.png){width="2.2083333333333335in" height="1.5208333333333333in"} 【分析】（1）由 ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35724.png){width="1.625in" height="0.8125in"}⇒AB∥平面A1B1C； （2）可得四边形ABB1A1是菱形，AB1⊥A1B， 由AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC⇒AB1⊥面A1BC，⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC． 【解答】证明：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1， AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂∥平面A1B1C⇒AB∥平面A1B1C； （2）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，⇒四边形ABB1A1是菱形，⊥AB1⊥A1B． 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35725.png){width="2.1666666666666665in" height="0.8125in"} ⇒AB1⊥面A1BC，且AB1⊂平面ABB1A1⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC． 【点评】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题． 　 16．（14.00分）已知α，β为锐角，tanα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35726.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，cos（α+β）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35727.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． （1）求cos2α的值； （2）求tan（α﹣β）的值． 【分析】（1）由已知结合平方关系求得sinα，cosα的值，再由倍角公式得cos2α的值； （2）由（1）求得tan2α，再由cos（α+β）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35727.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}求得tan（α+β），利用tan（α﹣β）=tan\[2α﹣（α+β）\]，展开两角差的正切求解． 【解答】解：（1）由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35728.png){width="1.46875in" height="0.90625in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35729.png){width="0.7604166666666666in" height="0.7916666666666666in"}， ∴cos2α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35730.png){width="1.5833333333333333in" height="0.3645833333333333in"}； （2）由（1）得，sin2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35731.png){width="1.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，则tan2α=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35732.png){width="0.9583333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． ∵α，β∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35733.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），∴α+β∈（0，π）， ∴sin（α+β）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35734.png){width="1.2604166666666667in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35735.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 则tan（α+β）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35736.png){width="1.15625in" height="0.3645833333333333in"}． ∴tan（α﹣β）=tan\[2α﹣（α+β）\]=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35737.png){width="1.5520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35738.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题． 　 17．（14.00分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35739.png){width="0.2708333333333333in" height="0.20833333333333334in"}（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ． （1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围； （2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35740.png){width="2.0in" height="1.2708333333333333in"} 【分析】（1）根据图形计算矩形ABCD和△CDP的面积，求出sinθ的取值范围； （2）根据题意求出年总产值y的解析式，构造函数f（θ）， 利用导数求f（θ）的最大值，即可得出θ为何值时年总产值最大． 【解答】解：（1）S矩形ABCD=（40sinθ+10）•80cosθ =800（4sinθcosθ+cosθ）， S△CDP=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35741.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•80cosθ（40﹣40sinθ） =1600（cosθ﹣cosθsinθ）， 当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35742.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1， ∴sinθ的取值范围是\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35742.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1）； （2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t， 则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ） =8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35742.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1）； 设f（θ）=sinθcosθ+cosθ， 则f′（θ）=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ =﹣2sin2θ﹣sinθ+1； 令f′（θ）=0，解得sinθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35741.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，此时θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35743.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35744.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}； 当sinθ∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35742.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35745.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增； 当sinθ∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35745.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减； ∴θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35746.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大． 答：（1）S矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ）， S△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ）， sinθ∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35747.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1）； θ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35746.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时总产值y最大． 【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函数的最值问题，是中档题． 　 18．（16.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35748.png){width="0.53125in" height="0.3645833333333333in"}），焦点F1（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35749.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），F2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35749.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），圆O的直径为F1F2． （1）求椭圆C及圆O的方程； （2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P． ①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标； ②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35750.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}，求直线l的方程． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35751.png){width="2.1458333333333335in" height="2.0in"} 【分析】（1）由题意可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35752.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35753.png){width="0.84375in" height="0.4270833333333333in"}，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1即可． （2）①可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35754.png){width="1.6770833333333333in" height="0.4791666666666667in"}． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35755.png){width="0.9479166666666666in" height="0.4791666666666667in"}，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，解得k=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35756.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，m=3．即可 ②设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0， O到直线l的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35757.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35758.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}\|x2﹣x1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35759.png){width="1.0in" height="0.5in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35760.png){width="0.59375in" height="0.25in"}， △OAB的面积为S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35761.png){width="2.1041666666666665in" height="0.5in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35762.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35763.png){width="2.0104166666666665in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35764.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 解得k=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35765.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，（正值舍去），m=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35766.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}．即可 【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35767.png){width="1.65625in" height="0.4895833333333333in"}， ∵焦点F1（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16108.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），F2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16108.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35768.png){width="0.3958333333333333in" height="0.1875in"}． ∵∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35769.png){width="0.84375in" height="0.4270833333333333in"}，又a2﹣b2=c2=3， 解得a=2，b=1． ∴椭圆C的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35770.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，圆O的方程为：x2+y2=3． （2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限， ∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）． 由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35771.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35772.png){width="1.6770833333333333in" height="0.4791666666666667in"}． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35773.png){width="0.8645833333333334in" height="0.4791666666666667in"}，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0， △=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0， 可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35774.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，m=3． 将k=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35775.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，m=3代入![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35776.png){width="0.78125in" height="0.4791666666666667in"}可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35777.png){width="1.03125in" height="0.25in"}， 解得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35775.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，y=1，故点P的坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35778.png){width="0.5625in" height="0.20833333333333334in"}． ②设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35779.png){width="0.9583333333333334in" height="0.7291666666666666in"}⇒k＜﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35780.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0， \|x2﹣x1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35781.png){width="1.4583333333333333in" height="0.3020833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35782.png){width="1.0in" height="0.5in"}， O到直线l的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35783.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4479166666666667in"}， \|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35784.png){width="0.4895833333333333in" height="0.25in"}\|x2﹣x1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35785.png){width="1.0in" height="0.5in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35786.png){width="0.59375in" height="0.25in"}， △OAB的面积为S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35787.png){width="2.1041666666666665in" height="0.5in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35788.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35789.png){width="2.0104166666666665in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35790.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， 解得k=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35791.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，（正值舍去），m=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35792.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． ∴y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35793.png){width="0.6875in" height="0.1875in"}为所求． 【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题． 　 19．（16.00分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个"S点"． （1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在"S点"； （2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在"S点"，求实数a的值； （3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35794.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在"S点"，并说明理由． 【分析】（1）根据"S点"的定义解两个方程，判断方程是否有解即可； （2）根据"S点"的定义解两个方程即可； （3）分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可． 【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2， 则由定义得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35795.png){width="0.9270833333333334in" height="0.4583333333333333in"}，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在"S点"； （2）f′（x）=2ax，g′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35796.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，x＞0， 由f′（x）=g′（x）得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35796.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=2ax，得x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35797.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}， f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35797.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image313.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=g（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35798.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12392.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}lna2，得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35799.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； （3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35800.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，（x≠0）， 由f′（x0）=g′（x0），假设b＞0，得b![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35801.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35802.png){width="0.4166666666666667in" height="0.53125in"}＞0，得0＜x0＜1， 由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35803.png){width="0.40625in" height="0.5208333333333334in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35804.png){width="0.4166666666666667in" height="0.53125in"}，得a=x02﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35804.png){width="0.4166666666666667in" height="0.53125in"}， 令h（x）=x2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35805.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35806.png){width="1.1458333333333333in" height="0.4270833333333333in"}，（a＞0，0＜x＜1）， 设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1）， 则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0， 又m（x）的图象在（0，1）上连续不断， 则m（x）在（0，1）上有零点， 则h（x）在（0，1）上有零点， 则存在b＞0，使f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在"S"点． 【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键． 　 20．（16.00分）设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列． （1）设a1=0，b1=1，q=2，若\|an﹣bn\|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围； （2）若a1=b1＞0，m∈N\*，q∈（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35807.png){width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}\]，证明：存在d∈R，使得\|an﹣bn\|≤b1对n=2，3，...，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）． 【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可； （2）根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意可知\|an﹣bn\|≤1对任意n=1，2，3，4均成立， ∵a1=0，q=2， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35808.png){width="0.875in" height="0.8541666666666666in"}，解得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35809.png){width="0.8125in" height="1.0208333333333333in"}．即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35810.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤d≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35811.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 证明：（2）∵an=a1+（n﹣1）d，bn=b1•qn﹣1， 若存在d∈R，使得\|an﹣bn\|≤b1对n=2，3，...，m+1均成立， 则\|b1+（n﹣1）d﹣b1•qn﹣1\|≤b1，（n=2，3，...，m+1）， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35812.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4375in"}b1≤d≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35813.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4791666666666667in"}，（n=2，3，...，m+1）， ∵q∈（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35814.png){width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}\]，∴则1＜qn﹣1≤qm≤2，（n=2，3，...，m+1）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35815.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4375in"}b1≤0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35816.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4791666666666667in"}＞0， 因此取d=0时，\|an﹣bn\|≤b1对n=2，3，...，m+1均成立， 下面讨论数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35815.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4375in"}}的最大值和数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35817.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4375in"}}的最小值， ①当2≤n≤m时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35818.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35815.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35819.png){width="1.3229166666666667in" height="0.4375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35820.png){width="1.40625in" height="0.4375in"}， 当1＜q≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35821.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}时，有qn≤qm≤2， 从而n（qn﹣qn﹣1）﹣qn+2＞0， 因此当2≤n≤m+1时，数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35822.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4375in"}}单调递增， 故数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35822.png){width="0.5520833333333334in" height="0.4375in"}}的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35823.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}． ②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0， ∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1， 当2≤n≤m时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35824.png){width="0.3958333333333333in" height="0.8958333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35825.png){width="0.5520833333333334in" height="0.375in"}≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35826.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}（1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35827.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35827.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）＜1， 因此当2≤n≤m+1时，数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35828.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4375in"}}单调递递减， 故数列{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35829.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4375in"}}的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35830.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35831.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4791666666666667in"} ∴d的取值范围是d∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35831.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35832.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4791666666666667in"}\]． 【点评】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大． 　 数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.\[选修4-1：几何证明选讲\]（本小题满分10分） 21．（10.00分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35833.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，求BC的长． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35834.png){width="2.542361111111111in" height="1.6145833333333333in"} 【分析】连接OC，由题意，CP为圆O的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理，可以得到PO的长，即可判断△COB是等边三角形，BC的长． 【解答】解：连接OC， 因为PC为切线且切点为C， 所以OC⊥CP． 因为圆O的半径为2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35835.png){width="0.5625in" height="0.1875in"}， 所以BO=OC=2，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35836.png){width="1.2395833333333333in" height="0.25in"}， 所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35837.png){width="0.90625in" height="0.3645833333333333in"}， 所以∠COP=60°， 所以△COB为等边三角形， 所以BC=BO=2． 【点评】本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的应用，考查发现问题解决问题的能力． 　 B.\[选修4-2：矩阵与变换\]（本小题满分10分） 22．（10.00分）已知矩阵A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35838.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}． （1）求A的逆矩阵A﹣1； （2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标． 【分析】（1）矩阵A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35838.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}，求出det（A）=1≠0，A可逆，然后求解A的逆矩阵A﹣1． （2）设P（x，y），通过![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35838.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35839.png){width="0.25in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35840.png){width="0.25in" height="0.3958333333333333in"}，求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35839.png){width="0.25in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35841.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"}，即可得到点P的坐标． 【解答】解：（1）矩阵A=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35842.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}，det（A）=2×2﹣1×3=1≠0，所以A可逆， 从而：A的逆矩阵A﹣1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35843.png){width="0.5833333333333334in" height="0.3958333333333333in"}． （2）设P（x，y），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35844.png){width="0.4166666666666667in" height="0.3958333333333333in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35845.png){width="0.25in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35846.png){width="0.25in" height="0.3958333333333333in"}，所以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35845.png){width="0.25in" height="0.40625in"}=A﹣1![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35846.png){width="0.25in" height="0.3958333333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35847.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"}， 因此点P的坐标为（3，﹣1）． 【点评】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，考查转化思想的应用，是基本知识的考查． 　 C.\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（本小题满分0分） 23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35848.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长． 【分析】将直线l、曲线C的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解． 【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x， ∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆． ∵直线l的方程为ρsin（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35848.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}﹣θ）=2，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35849.png){width="0.7395833333333334in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35850.png){width="0.84375in" height="0.3854166666666667in"}=2， ∴直线l的普通方程为：x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35851.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}y=4． 圆心C到直线l的距离为d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35852.png){width="0.59375in" height="0.3854166666666667in"}， ∴直线l被曲线C截得的弦长为2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35853.png){width="1.5520833333333333in" height="0.25in"}． 【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到直线的距离公式，属于中档题． 　 D.\[选修4-5：不等式选讲\]（本小题满分0分） 24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值． 【分析】根据柯西不等式进行证明即可． 【解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）≥（x+2y+2z）2， ∵x+2y+2z=6，∴x2+y2+z2≥4 是当且仅当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35854.png){width="0.6145833333333334in" height="0.375in"}时，不等式取等号，此时x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35855.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35856.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35856.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴x2+y2+z2的最小值为4 【点评】本题主要考查不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键．， 　 【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点． （1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； （2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35857.png){width="2.0in" height="2.2395833333333335in"} 【分析】设AC，A1C1的中点分别为O，O1，以{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35858.png){width="1.0520833333333333in" height="0.2708333333333333in"}}为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz， （1）由\|cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35859.png){width="1.0520833333333333in" height="0.2708333333333333in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35860.png){width="1.0in" height="0.5625in"}可得异面直线BP与AC1所成角的余弦值； （2）求得平面AQC1的一个法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35861.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ， 可得sinθ=\|cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35862.png){width="0.96875in" height="0.2708333333333333in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35863.png){width="0.9166666666666666in" height="0.5625in"}，即可得直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值． 【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中， 设AC，A1C1的中点分别为O，O1， 则，OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB， 故以{![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35864.png){width="1.0520833333333333in" height="0.2708333333333333in"}}为基底， 建立空间直角坐标系O﹣xyz， ∵AB=AA1=2，A（0，﹣1，0），B（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35865.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0，0）， C（0，1，0）， A1（0，﹣1，2），B1（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35865.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0，2），C1（0，1，2）． （1）点P为A1B1的中点．∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35866.png){width="1.1875in" height="0.3854166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35867.png){width="1.4583333333333333in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35868.png){width="1.15625in" height="0.2708333333333333in"}． \|cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35869.png){width="1.0520833333333333in" height="0.2708333333333333in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35870.png){width="1.0in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35871.png){width="0.71875in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35872.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}． ∴异面直线BP与AC1所成角的余弦值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35872.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}； （2）∵Q为BC的中点．∴Q（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35873.png){width="0.8333333333333334in" height="0.3854166666666667in"}） ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35874.png){width="1.2916666666666667in" height="0.3854166666666667in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35875.png){width="2.46875in" height="0.2708333333333333in"}， 设平面AQC1的一个法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35876.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y，z）， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35877.png){width="1.4375in" height="0.71875in"}，可取![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35876.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image30223.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，﹣1，1）， 设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ， sinθ=\|cos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35878.png){width="0.96875in" height="0.2708333333333333in"}\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35879.png){width="0.9166666666666666in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35880.png){width="0.8541666666666666in" height="0.40625in"}， ∴直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35881.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35882.png){width="2.375in" height="2.886111111111111in"} 【点评】本题考查了向量法求空间角，属于中档题． 　 26．设n∈N\*，对1，2，......，n的一个排列i1i2......in，如果当s＜t时，有is＞it，则称（is，it）是排列i1i2......in的一个逆序，排列i1i2......in的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记fn（k）为1，2，...，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数． （1）求f3（2），f4（2）的值； （2）求fn（2）（n≥5）的表达式（用n表示）． 【分析】（1）由题意直接求得f3（2）的值，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得f4（2）的值； （2）对一般的n（n≥4）的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆序数为1的排列只能是将排列12...n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，fn（1）=n﹣1． 为计算fn+1（2），当1，2，...，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得fn+1（2）=fn（2）+fn（1）+fn（0）=fn（2）+n，则当n≥5时，fn（2）=\[fn（2）﹣fn﹣1（2）\]+\[fn﹣1（2）﹣fn﹣2（2）\]+...+\[f5（2）﹣f4（2）\]+f4（2），则fn（2）（n≥5）的表达式可求． 【解答】解：（1）记μ（abc）为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有 μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3， ∴f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2， 对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5； （2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12...n，∴fn（0）=1． 逆序数为1的排列只能是将排列12...n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，fn（1）=n﹣1． 为计算fn+1（2），当1，2，...，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，fn+1（2）=fn（2）+fn（1）+fn（0）=fn（2）+n． 当n≥5时，fn（2）=\[fn（2）﹣fn﹣1（2）\]+\[fn﹣1（2）﹣fn﹣2（2）\]+...+\[f5（2）﹣f4（2）\]+f4（2） =（n﹣1）+（n﹣2）+...+4+f4（2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35883.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}． 因此，当n≥5时，fn（2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35883.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4270833333333333in"}． 【点评】本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题． 2018年上海市高考数学试卷 ======================== 参考答案与试题解析 　 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1\~6题每题4分，第7\~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1．（4.00分）行列式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35884.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"}的值为　18　． 【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可． 【解答】解：行列式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35884.png){width="0.3333333333333333in" height="0.3958333333333333in"}=4×5﹣2×1=18． 故答案为：18． 【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查． 　 2．（4.00分）双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35885.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣y2=1的渐近线方程为　±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35886.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程． 【解答】解：∵双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35887.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}的a=2，b=1，焦点在x轴上 而双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35888.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4895833333333333in"}的渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35889.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} ∴双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35887.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4270833333333333in"}的渐近线方程为y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35890.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} 故答案为：y=±![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35890.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想 　 3．（4.00分）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为　21　（结果用数值表示）． 【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数． 【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为 Tr+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35891.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}•xr， 令r=2，得展开式中x2的系数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35892.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=21． 故答案为：21． 【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题． 　 4．（4.00分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=　7　． 【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a． 【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）． f（x）的反函数的图象经过点（3，1）， ∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3）， ∴log2（1+a）=3， 解得a=7． 故答案为：7． 【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 5．（4.00分）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则\|z\|=　5　． 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案． 【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i， 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35893.png){width="2.7395833333333335in" height="0.3645833333333333in"}， 则\|z\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35894.png){width="1.3020833333333333in" height="0.25in"}． 故答案为：5． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题． 　 6．（4.00分）记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7=　14　． 【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7． 【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=0，a6+a7=14， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35895.png){width="1.3645833333333333in" height="0.5104166666666666in"}， 解得a1=﹣4，d=2， ∴S7=7a1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35896.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=﹣28+42=14． 故答案为：14． 【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 7．（5.00分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35897.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=　﹣1　． 【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值． 【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35898.png){width="0.4583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}，1，2，3}， 幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减， ∴a是奇数，且a＜0， ∴a=﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 8．（5.00分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35899.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|=2，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35900.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35901.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的最小值为　﹣3　． 【分析】据题意可设E（0，a），F（0，b），从而得出\|a﹣b\|=2，即a=b+2，或b=a+2，并可求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35902.png){width="1.0in" height="0.20833333333333334in"}，将a=b+2带入上式即可求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35903.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的最小值，同理将b=a+2带入，也可求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35903.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的最小值． 【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35904.png){width="1.0625in" height="0.20833333333333334in"}； ∴a=b+2，或b=a+2； 且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35905.png){width="1.8333333333333333in" height="0.22916666666666666in"}； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35902.png){width="1.0in" height="0.20833333333333334in"}； 当a=b+2时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35906.png){width="2.1354166666666665in" height="0.22916666666666666in"}； ∵b2+2b﹣2的最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35907.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}； ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35908.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35908.png){width="0.4791666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式． 　 9．（5.00分）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35909.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　（结果用最简分数表示）． 【分析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可． 【解答】解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个， 从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况， 所有的事件总数为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35910.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}=10， 这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个， 所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35911.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35909.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35909.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查古典概型的概率的求法，是基本知识的考查． 　 10．（5.00分）设等比数列{an}的通项公式为an=qn﹣1（n∈N\*），前n项和为Sn．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35912.png){width="0.71875in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35913.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则q=　3　． 【分析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可． 【解答】解：等比数列{an}的通项公式为a![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35914.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}=qn﹣1（n∈N\*），可得a1=1， 因为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35912.png){width="0.71875in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35913.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，所以数列的公比不是1， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35915.png){width="1.09375in" height="0.4895833333333333in"}，an+1=qn． 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35916.png){width="0.8020833333333334in" height="0.7083333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35917.png){width="1.0208333333333333in" height="0.5in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35918.png){width="0.8020833333333334in" height="0.6770833333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35919.png){width="0.3020833333333333in" height="0.375in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35920.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 可得q=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，等比数列求和以及等比数列的简单性质的应用，是基本知识的考查． 　 11．（5.00分）已知常数a＞0，函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35921.png){width="0.5in" height="0.4791666666666667in"}的图象经过点P（p，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35922.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），Q（q，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35923.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}）．若2p+q=36pq，则a=　6　． 【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值． 【解答】解：函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35921.png){width="0.5in" height="0.4791666666666667in"}的图象经过点P（p，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35922.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}），Q（q，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35923.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}）． 则：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35924.png){width="1.7604166666666667in" height="0.4895833333333333in"}， 整理得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35925.png){width="1.7708333333333333in" height="0.5in"}=1， 解得：2p+q=a2pq， 由于：2p+q=36pq， 所以：a2=36， 由于a＞0， 故：a=6． 故答案为：6 【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用． 　 12．（5.00分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35926.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35927.png){width="0.8958333333333334in" height="0.4583333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35928.png){width="0.8958333333333334in" height="0.4583333333333333in"}的最大值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35929.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35930.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}　． 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35931.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（x1，y1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35932.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（x2，y2），由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB为等边三角形，AB=1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35933.png){width="0.8958333333333334in" height="0.4583333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35934.png){width="0.8958333333333334in" height="0.4583333333333333in"}的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35931.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（x1，y1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35932.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（x2，y2）， 由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image452.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 可得A，B两点在圆x2+y2=1上， 且![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35931.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35932.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=1×1×cos∠AOB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image452.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 即有∠AOB=60°， 即三角形OAB为等边三角形， AB=1， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35933.png){width="0.8958333333333334in" height="0.4583333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35935.png){width="0.8958333333333334in" height="0.4583333333333333in"}的几何意义为点A，B两点 到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和， 显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行， 可设AB：x+y+t=0，（t＞0）， 由圆心O到直线AB的距离d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35936.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3854166666666667in"}， 可得2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35937.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4479166666666667in"}=1，解得t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35938.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 即有两平行线的距离为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35939.png){width="0.4583333333333333in" height="0.6041666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35940.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35941.png){width="0.8958333333333334in" height="0.4583333333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35935.png){width="0.8958333333333334in" height="0.4583333333333333in"}的最大值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35942.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10956.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35943.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10956.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题． 　 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13．（5.00分）设P是椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35944.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35945.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"}=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（　　） A．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35943.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10956.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} C．2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35946.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} D．4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35943.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可． 【解答】解：椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35947.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35948.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"}=1的焦点坐标在x轴，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35949.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， P是椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35947.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35948.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4375in"}=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35949.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 故选：C． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查． 　 14．（5.00分）已知a∈R，则"a＞1"是"![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35950.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜1"的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【分析】"a＞1"⇒"![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35951.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}"，"![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35952.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}"⇒"a＞1或a＜0"，由此能求出结果． 【解答】解：a∈R，则"a＞1"⇒"![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35952.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}"， "![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35952.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}"⇒"a＞1或a＜0"， ∴"a＞1"是"![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35952.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}"的充分非必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 15．（5.00分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35953.png){width="1.1770833333333333in" height="1.4895833333333333in"} A．4 B．8 C．12 D．16 【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案． 【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×6=12， 当A1ACC1为底面矩形，有2个满足题意， 当A1AEE1为底面矩形，有2个满足题意， 故有12+2+2=16 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35954.png){width="1.4479166666666667in" height="1.6145833333333333in"} 【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题． 　 16．（5.00分）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10889.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image25455.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35955.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35956.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"} D．0 【分析】直接利用定义函数的应用求出结果． 【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35957.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位后与下一个点会重合． 我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35958.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35956.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，0时，此时得到的圆心角为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35959.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35957.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35955.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，此时旋转![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35957.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B． 故选：B． 【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用． 　 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．（14.00分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2． （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积； （2）设PO=4，OA、OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35960.png){width="1.3541666666666667in" height="1.71875in"} 【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积． （2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角． 【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4， ∴圆锥的体积V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35961.png){width="1.125in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35962.png){width="1.6354166666666667in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35963.png){width="0.53125in" height="0.3854166666666667in"}． （2）∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°， M为线段AB的中点， ∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴， 建立空间直角坐标系， P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0）， M（1，1，0），O（0，0，0）， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35964.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（1，1，﹣4），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35965.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（0，2，0）， 设异面直线PM与OB所成的角为θ， 则cosθ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35966.png){width="0.8854166666666666in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35967.png){width="0.5104166666666666in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35968.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ∴θ=arccos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35968.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35968.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image35969.png){width="1.875in" height="2.511111111111111in"} 【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 　 18．（14.00分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x． （1）若f（x）为偶函数，求a的值； （2）若f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35970.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10977.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+1，求方程f（x）=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35971.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}在区间\[﹣π，π\]上的解． 【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出， （2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x， ∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x， ∵f（x）为偶函数， ∴f（﹣x）=f（x）， ∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x， ∴2asin2x=0， ∴a=0； （2）∵f（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35970.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10977.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+1， ∴asin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image9528.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+2cos2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35970.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=a+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10977.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+1， ∴a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10977.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10977.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin2x+2cos2x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image10977.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}sin2x+cos2x+1=2sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35972.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+1， ∵f（x）=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35973.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴2sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35974.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+1=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35973.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35974.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35975.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35974.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35976.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+2kπ，或2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35974.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35977.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}π+2kπ，k∈Z， ∴x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35978.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}π+kπ，或x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35979.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}π+kπ，k∈Z， ∵x∈\[﹣π，π\]， ∴x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35980.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}或x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35981.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}或x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35982.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}或x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35983.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"} 【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题． 　 19．（14.00分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35984.png){width="2.03125in" height="0.625in"}（单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义． 【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可； （2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义． 【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时， f（x）=2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35985.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}﹣90＞40， 即x2﹣65x+900＞0， 解得x＜20或x＞45， ∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当0＜x≤30时， g（x）=30•x%+40（1﹣x%）=40﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35986.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； 当30＜x＜100时， g（x）=（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35987.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}﹣90）•x%+40（1﹣x%）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35988.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35989.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}x+58； ∴g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35990.png){width="1.0104166666666667in" height="0.8541666666666666in"}； 当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减； 当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增； 说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少． 【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力． 　 20．（16.00分）设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点． （1）用t表示点B到点F的距离； （2）设t=3，\|FQ\|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积； （3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得\|BF\|； 方法二：根据抛物线的定义，即可求得\|BF\|； （2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积； （3）设P及E点坐标，根据直线kPF•kFQ=﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35991.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35992.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35993.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，求得E点坐标，则（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35994.png){width="0.5in" height="0.4479166666666667in"}）2=8（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35995.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}+6），即可求得P点坐标． 【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35996.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}t）， 则\|BF\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35997.png){width="0.9270833333333334in" height="0.25in"}=t+2， ∴\|BF\|=t+2； 方法二：由题意可知：设B（t，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35996.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}t）， 由抛物线的性质可知：\|BF\|=t+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35998.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=t+2，∴\|BF\|=t+2； （2）F（2，0），\|FQ\|=2，t=3，则\|FA\|=1， ∴\|AQ\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35999.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∴Q（3，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35999.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），设OQ的中点D， D（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36000.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36001.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）， kQF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36002.png){width="0.4583333333333333in" height="0.78125in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35999.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则直线PF方程：y=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35999.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}（x﹣2）， 联立![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36003.png){width="1.0208333333333333in" height="0.4895833333333333in"}，整理得：3x2﹣20x+12=0， 解得：x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36004.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，x=6（舍去）， ∴△AQP的面积S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18262.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35999.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36005.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36006.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}； （3）存在，设P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36007.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}，y），E（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36008.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，m），则kPF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36009.png){width="0.4479166666666667in" height="0.6458333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36010.png){width="0.5in" height="0.4479166666666667in"}，kFQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36011.png){width="0.5in" height="0.4479166666666667in"}， 直线QF方程为y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36011.png){width="0.5in" height="0.4479166666666667in"}（x﹣2），∴yQ=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36011.png){width="0.5in" height="0.4479166666666667in"}（8﹣2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36012.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4479166666666667in"}，Q（8，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36012.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4479166666666667in"}）， 根据![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36013.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36014.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36015.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，则E（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36016.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}+6，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36017.png){width="0.5in" height="0.4479166666666667in"}）， ∴（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36017.png){width="0.5in" height="0.4479166666666667in"}）2=8（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36016.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}+6），解得：y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36018.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36019.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36020.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36021.png){width="3.0319444444444446in" height="3.136111111111111in"} 【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题． 　 21．（18.00分）给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N\*，都有\|bn﹣an\|≤1，则称{bn}与{an}"接近"． （1）设{an}是首项为1，公比为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12021.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的等比数列，bn=an+1+1，n∈N\*，判断数列{bn}是否与{an}接近，并说明理由； （2）设数列{an}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M={x\|x=bi，i=1，2，3，4}，求M中元素的个数m； （3）已知{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b2﹣b1，b3﹣b2，...，b201﹣b200中至少有100个为正数，求d的取值范围． 【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义"接近"，即可判断； （2）由新定义可得an﹣1≤bn≤an+1，求得bi，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数； （3）运用等差数列的通项公式可得an，讨论公差d＞0，d=0，﹣2＜d＜0，d≤﹣2，结合新定义"接近"，推理和运算，即可得到所求范围． 【解答】解：（1）数列{bn}与{an}接近． 理由：{an}是首项为1，公比为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image12021.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}的等比数列， 可得an=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36022.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}，bn=an+1+1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36023.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+1， 则\|bn﹣an\|=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36024.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36025.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}\|=1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36025.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}＜1，n∈N\*， 可得数列{bn}与{an}接近； （2）{bn}是一个与{an}接近的数列， 可得an﹣1≤bn≤an+1， 数列{an}的前四项为：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8， 可得b1∈\[0，2\]，b2∈\[1，3\]，b3∈\[3，5\]，b4∈\[7，9\]， 可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b4与b3不相等， 集合M={x\|x=bi，i=1，2，3，4}， M中元素的个数m=3或4； （3）{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近， 可得an=a1+（n﹣1）d， ①若d＞0，取bn=an，可得bn+1﹣bn=an+1﹣an=d＞0， 则b2﹣b1，b3﹣b2，...，b201﹣b200中有200个正数，符合题意； ②若d=0，取bn=a1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36026.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则\|bn﹣an\|=\|a1﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36026.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣a1\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36026.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜1，n∈N\*， 可得bn+1﹣bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36026.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36027.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}＞0， 则b2﹣b1，b3﹣b2，...，b201﹣b200中有200个正数，符合题意； ③若﹣2＜d＜0，可令b2n﹣1=a2n﹣1﹣1，b2n=a2n+1， 则b2n﹣b2n﹣1=a2n+1﹣（a2n﹣1﹣1）=2+d＞0， 则b2﹣b1，b3﹣b2，...，b201﹣b200中恰有100个正数，符合题意； ④若d≤﹣2，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近， 即为an﹣1≤bn≤an+1，an+1﹣1≤bn+1≤an+1+1， 可得bn+1﹣bn≤an+1+1﹣（an﹣1）=2+d≤0， b2﹣b1，b3﹣b2，...，b201﹣b200中无正数，不符合题意． 综上可得，d的范围是（﹣2，+∞）． 【点评】本题考查新定义"接近"的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题． 　 2018年天津市高考数学试卷（理科） ================================ 参考答案与试题解析 　 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5.00分）设全集为R，集合A={x\|0＜x＜2}，B={x\|x≥1}，则A∩（∁RB）=（　　） A．{x\|0＜x≤1} B．{x\|0＜x＜1} C．{x\|1≤x＜2} D．{x\|0＜x＜2} 【分析】根据补集、交集的定义即可求出． 【解答】解：∵A={x\|0＜x＜2}，B={x\|x≥1}， ∴∁RB={x\|x＜1}， ∴A∩（∁RB）={x\|0＜x＜1}． 故选：B． 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目． 　 2．（5.00分）设变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36028.png){width="0.7083333333333334in" height="0.8958333333333334in"}，则目标函数z=3x+5y的最大值为（　　） A．6 B．19 C．21 D．45 【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y的最大值． 【解答】解：由变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36028.png){width="0.7083333333333334in" height="0.8958333333333334in"}， 得如图所示的可行域，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36029.png){width="0.625in" height="0.4166666666666667in"}解得A（2，3）． 当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大， z取得最大值． 将其代入得z的值为21， 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36030.png){width="2.7715277777777776in" height="2.3958333333333335in"} 【点评】在解决线性规划的小题时，常用"角点法"，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值． 　 3．（5.00分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36031.png){width="2.1770833333333335in" height="4.500694444444444in"} A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据程序框图进行模拟计算即可． 【解答】解：若输入N=20， 则i=2，T=0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36032.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36033.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=10是整数，满足条件．T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5不成立， 循环，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36032.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36034.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}不是整数，不满足条件．，i=3+1=4，i≥5不成立， 循环，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36032.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36035.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=5是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5成立， 输出T=2， 故选：B． 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键． 　 4．（5.00分）设x∈R，则"\|x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36036.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36036.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}"是"x3＜1"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】先解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可求出． 【解答】解：由\|x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36036.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36036.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}可得﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36036.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36036.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36036.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，解得0＜x＜1， 由x3＜1，解得x＜1， 故"\|x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36036.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36036.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}"是"x3＜1"的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题考查了不等式的解法和充分必要条件，属于基础题． 　 5．（5.00分）已知a=log2e，b=ln2，c=log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36037.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36038.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【分析】根据对数函数的单调性即可比较． 【解答】解：a=log2e＞1，0＜b=ln2＜1，c=log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36037.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36038.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=log23＞log2e=a， 则a，b，c的大小关系c＞a＞b， 故选：D． 【点评】本题考查了对数函数的图象和性质，属于基础题， 　 6．（5.00分）将函数y=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36039.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36040.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度，所得图象对应的函数（　　） A．在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36041.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36042.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递增 B．在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36041.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，π\]上单调递减 C．在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36043.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36044.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递增 D．在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36044.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，2π\]上单调递减 【分析】将函数y=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36045.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36046.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间为\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36047.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+kπ，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36047.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+kπ\]，k∈Z，减区间为\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36047.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+kπ，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36048.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+kπ\]，k∈Z，由此能求出结果． 【解答】解：将函数y=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36049.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36050.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度， 得到的函数为：y=sin2x， 增区间满足：﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36051.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+2kπ≤2x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36052.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z， 减区间满足：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36052.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}≤2x≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36053.png){width="0.7395833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，k∈Z， ∴增区间为\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36054.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+kπ，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36054.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+kπ\]，k∈Z， 减区间为\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36054.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+kπ，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36055.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+kπ\]，k∈Z， ∴将函数y=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36056.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36057.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度， 所得图象对应的函数在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36058.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36059.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递增． 故选：A． 【点评】本题考查三角函数的单调区间的确定，考查三角函数的图象与性质、平移等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 7．（5.00分）已知双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36060.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36061.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36062.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36063.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36064.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36065.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36066.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36067.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36068.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36069.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可． 【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线 y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36070.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，即bx﹣ay=0，F（c，0）， AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形， F是AB的中点，EF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36071.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=3， EF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36072.png){width="0.625in" height="0.4479166666666667in"}=b， 所以b=3，双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36073.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36074.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36075.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36076.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，解得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image15827.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 则双曲线的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36077.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36078.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1． 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36079.png){width="2.7090277777777776in" height="2.28125in"} 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力． 　 8．（5.00分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36080.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36081.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的最小值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36082.png){width="2.1354166666666665in" height="2.4583333333333335in"} A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36083.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36084.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36085.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} D．3 【分析】如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，求出A，B，C的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出． 【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴， 以DC所在的直线为y轴， 过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴， ∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1， ∴AN=ABcos60°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18262.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，BN=ABsin60°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36086.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴DN=1+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image18262.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36000.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴BM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36000.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴CM=MBtan30°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36086.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴DC=DM+MC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image35999.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴A（1，0），B（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36000.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36087.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），C（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36088.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）， 设E（0，m）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36089.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣1，m），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36090.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36091.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，m﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36087.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}），0≤m≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36088.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36089.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36092.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36093.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+m2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36094.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}m=（m﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36095.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36093.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36096.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=（m﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36095.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36097.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 当m=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36095.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}时，取得最小值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36098.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36099.png){width="2.9590277777777776in" height="2.7402777777777776in"} 【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题． 　 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5.00分）i是虚数单位，复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36100.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=　4﹣i　． 【分析】根据复数的运算法则计算即可． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36100.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36101.png){width="1.0520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36102.png){width="0.96875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36103.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=4﹣i， 故答案为：4﹣i 【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题． 　 10．（5.00分）在（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36104.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}）5的展开式中，x2的系数为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36105.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求． 【解答】解：（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36104.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}）5的二项展开式的通项为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36106.png){width="1.8645833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36107.png){width="1.40625in" height="0.4895833333333333in"}． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36108.png){width="0.65625in" height="0.3645833333333333in"}，得r=2． ∴x2的系数为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36109.png){width="1.0520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36110.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 　 11．（5.00分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M﹣EFGH的体积为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36111.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36112.png){width="2.573611111111111in" height="2.46875in"} 【分析】求出四棱锥中的底面的面积，求出棱锥的高，然后利用体积公式求解即可． 【解答】解：正方体的棱长为1，M﹣EFGH的底面是正方形的边长为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24469.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36113.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 四棱锥M﹣EFGH的体积：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36114.png){width="1.1666666666666667in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36115.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36115.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36116.png){width="2.573611111111111in" height="2.46875in"} 【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 12．（5.00分）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36117.png){width="0.8854166666666666in" height="0.8333333333333334in"}，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36118.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】把圆的方程化为标准方程，写出圆心与半径； 直线的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离， 计算弦长\|AB\|，利用三角形面积公式求出△ABC的面积． 【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1； 直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36117.png){width="0.8854166666666666in" height="0.8333333333333334in"}化为普通方程是x+y﹣2=0， 则圆心C到该直线的距离为d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36119.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36120.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， 弦长\|AB\|=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36121.png){width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36122.png){width="0.4270833333333333in" height="0.3854166666666667in"}=2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36120.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16077.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴△ABC的面积为S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16076.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•\|AB\|•d=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36123.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36124.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36125.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36123.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36123.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了参数方程应用问题，是基础题． 　 13．（5.00分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36126.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的最小值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36127.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可． 【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0， 可得：3b=a+6， 则2a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36128.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36129.png){width="0.65625in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36130.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36131.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36132.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 当且仅当2a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36133.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}．即a=﹣3时取等号． 函数的最小值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36134.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36134.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值．考查计算能力． 　 14．（5.00分）已知a＞0，函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36135.png){width="1.5104166666666667in" height="0.53125in"}．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是　（4，8）　． 【分析】分别讨论当x≤0和x＞0时，利用参数分离法进行求解即可． 【解答】解：当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax， 得x2+ax+a=0， 得a（x+1）=﹣x2， 得a=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36136.png){width="0.3020833333333333in" height="0.4270833333333333in"}， 设g（x）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36136.png){width="0.3020833333333333in" height="0.4270833333333333in"}，则g′（x）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36137.png){width="0.9166666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36138.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4791666666666667in"}， 由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增， 由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4， 当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax， 得x2﹣ax+2a=0， 得a（x﹣2）=x2，当x=2时，方程不成立， 当x≠2时，a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36139.png){width="0.3020833333333333in" height="0.4270833333333333in"} 设h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36139.png){width="0.3020833333333333in" height="0.4270833333333333in"}，则h′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36140.png){width="0.9166666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36141.png){width="0.5833333333333334in" height="0.4791666666666667in"}， 由h′（x）＞0得x＞4，此时递增， 由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8， 要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解， 则由图象知4＜a＜8， 故答案为：（4，8） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36142.png){width="2.7402777777777776in" height="2.9590277777777776in"} 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法结合函数的极值和导数之间的关系以及数形结合是解决本题的关键． 　 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36143.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值． 【分析】（Ⅰ）由正弦定理得bsinA=asinB，与bsinA=acos（B﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36143.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）．由此能求出B． （Ⅱ）由余弦定理得b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36144.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，由bsinA=acos（B﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36143.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），得sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36145.png){width="0.23958333333333334in" height="0.40625in"}，cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36146.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，由此能求出sin（2A﹣B）． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36147.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}，得bsinA=asinB， 又bsinA=acos（B﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36148.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）． ∴asinB=acos（B﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36148.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），即sinB=cos（B﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36148.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=cosBcos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36148.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+sinBsin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36148.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36149.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}cosB+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36150.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴tanB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36151.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 又B∈（0，π），∴B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36152.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36152.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 由余弦定理得b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36153.png){width="1.28125in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36154.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，由bsinA=acos（B﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36155.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），得sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36156.png){width="0.23958333333333334in" height="0.40625in"}， ∵a＜c，∴cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36157.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴sin2A=2sinAcosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36158.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， cos2A=2cos2A﹣1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36159.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36160.png){width="1.3333333333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36161.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 16．（13.00分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； （ii）设A为事件"抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工"，求事件A发生的概率． 【分析】（Ⅰ）利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数； （Ⅱ）若（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率，得到随机变量X的分布列，然后求解数学期望； （ii）利用互斥事件的概率求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3：2：2， 从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人． （Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数， 随机变量X的取值为：0，1，2，3，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36162.png){width="1.2604166666666667in" height="0.5833333333333334in"}，k=0，1，2，3． 所以随机变量的分布列为： --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- X 0 1 2 3 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36163.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36164.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36165.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36166.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"} --- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 随机变量X的数学期望E（X）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36167.png){width="2.2083333333333335in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36168.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； （ii）设A为事件"抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工"， 设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中， 睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人， 则：A=B∪C，且P（B）=P（X=2），P（C）=P（X=1）， 故P（A）=P（B∪C）=P（X=2）+P（X=1）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36169.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 所以事件A发生的概率：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36169.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查分层抽样，考查对立事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定X的可能取值，求出相应的概率是关键． 　 17．（13.00分）如图，AD∥BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG=AD，CD∥FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2． （Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE； （Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F的正弦值； （Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36170.png){width="1.4166666666666667in" height="1.3958333333333333in"} 【分析】（Ⅰ）依题意，以D为坐标原点，分别以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36171.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36172.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36173.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．求出对应点的坐标，求出平面CDE的法向![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36174.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}量及![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36175.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36176.png){width="0.6770833333333334in" height="0.2708333333333333in"}，结合直线MN⊄平面CDE，可得MN∥平面CDE； （Ⅱ）分别求出平面BCE与平面平面BCF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣BC﹣F的正弦值； （Ⅲ）设线段DP的长为h，（h∈\[0，2\]），则点P的坐标为（0，0，h），求出![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36177.png){width="1.2083333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36178.png){width="1.0416666666666667in" height="0.22916666666666666in"}为平面ADGE的一个法向量，由直线BP与平面ADGE所成的角为60°，可得线段DP的长． 【解答】（Ⅰ）证明：依题意，以D为坐标原点，分别以![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36179.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36180.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}、![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36181.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}的方向为x轴， y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系． 可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0）， E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36182.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1），N（1，0，2）． 设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36183.png){width="1.0520833333333333in" height="0.2708333333333333in"}为平面CDE的法向量， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36184.png){width="1.28125in" height="0.59375in"}，不妨令z=﹣1，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36185.png){width="1.1354166666666667in" height="0.2708333333333333in"}； 又![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36186.png){width="1.1979166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36187.png){width="0.6770833333333334in" height="0.2708333333333333in"}． 又∵直线MN⊄平面CDE， ∴MN∥平面CDE； （Ⅱ）解：依题意，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36188.png){width="1.125in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36189.png){width="1.125in" height="0.22916666666666666in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36190.png){width="1.125in" height="0.22916666666666666in"}． 设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36191.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}为平面BCE的法向量， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36192.png){width="1.3541666666666667in" height="0.4895833333333333in"}，不妨令z=1，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36193.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}． 设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36194.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}为平面BCF的法向量， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36195.png){width="1.1875in" height="0.4895833333333333in"}，不妨令z=1，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36196.png){width="0.9583333333333334in" height="0.22916666666666666in"}． 因此有cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36197.png){width="0.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36198.png){width="1.25in" height="0.4479166666666667in"}，于是sin＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36197.png){width="0.3958333333333333in" height="0.22916666666666666in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36199.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． ∴二面角E﹣BC﹣F的正弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36200.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}； （Ⅲ）解：设线段DP的长为h，（h∈\[0，2\]），则点P的坐标为（0，0，h）， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36201.png){width="1.2083333333333333in" height="0.22916666666666666in"}，而![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36202.png){width="1.0416666666666667in" height="0.22916666666666666in"}为平面ADGE的一个法向量， 故\|cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36203.png){width="0.5625in" height="0.22916666666666666in"}＞\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36204.png){width="1.5104166666666667in" height="0.4895833333333333in"}． 由题意，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36205.png){width="1.53125in" height="0.46875in"}，解得h=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36206.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}∈\[0，2\]． ∴线段DP的长为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36206.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36207.png){width="1.8541666666666667in" height="1.8229166666666667in"} 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题． 　 18．（13.00分）设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn（n∈N\*），{bn}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设数列{Sn}的前n项和为Tn（n∈N\*）， （i）求Tn； （ii）证明![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36208.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36209.png){width="1.0520833333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36210.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣2（n∈N\*）． 【分析】（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{an}的通项公式可求；等差数列{bn}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，可得等差数列的通项公式； （Ⅱ）（i）由等比数列的前n项和公式求得Sn，再由分组求和及等比数列的前n项和求得数列{Sn}的前n项和为Tn； （ii）化简整理![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36211.png){width="1.0520833333333333in" height="0.4270833333333333in"}，再由裂项相消法证明结论． 【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{an}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q﹣2=0． ∵q＞0，可得q=2． 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36212.png){width="0.625in" height="0.28125in"}． 设等差数列{bn}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4， 由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16， ∴b1=d=1． 故bn=n； （Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36213.png){width="1.1979166666666667in" height="0.4270833333333333in"}， 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36214.png){width="1.7708333333333333in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36215.png){width="1.8020833333333333in" height="0.4270833333333333in"}； （ii）证明：∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36216.png){width="1.0520833333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36217.png){width="2.3125in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36218.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36219.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36220.png){width="1.0520833333333333in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36221.png){width="2.9166666666666665in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36222.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}﹣2． 【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题． 　 19．（14.00分）设椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36223.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36224.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36225.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，点A的坐标为（b，0），且\|FB\|•\|AB\|=6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36226.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36227.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36228.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}sin∠AOQ（O为原点），求k的值． 【分析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，根据椭圆的几何性质与已知条件， 求出a、b的值，再写出椭圆的方程； （Ⅱ）设出点P、Q的坐标，由题意利用方程思想， 求得直线AB的方程以及k的值． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36229.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36230.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的焦距为2c， 由椭圆的离心率为e=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36231.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36232.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36233.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 又a2=b2+c2， ∴2a=3b， 由\|FB\|=a，\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36234.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}b，且\|FB\|•\|AB\|=6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36234.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； 可得ab=6， 从而解得a=3，b=2， ∴椭圆的方程为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36235.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36236.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1； （Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1＞y2＞0； ∴\|PQ\|sin∠AOQ=y1﹣y2； 又\|AQ\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36237.png){width="0.71875in" height="0.4375in"}，且∠OAB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36238.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， ∴\|AQ\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image305.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}y2， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36239.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36240.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}sin∠AOQ，可得5y1=9y2； 由方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36241.png){width="0.84375in" height="0.6770833333333334in"}，消去x，可得y1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36242.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4479166666666667in"}， ∴直线AB的方程为x+y﹣2=0； 由方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36243.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}，消去x，可得y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36244.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}； 由5y1=9y2，可得5（k+1）=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36245.png){width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}， 两边平方，整理得56k2﹣50k+11=0， 解得k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image32436.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36246.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}； ∴k的值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image32436.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36246.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线方程等知识的应用问题，也考查了利用代数方法求研究圆锥曲线的性质应用问题，考查了运算求解能力与运用方程思想解决问题的能力． 　 20．（14.00分）已知函数f（x）=ax，g（x）=logax，其中a＞1． （Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间； （Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36247.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}； （Ⅲ）证明当a≥e![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36248.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线． 【分析】（Ⅰ）把f（x）的解析式代入函数h（x）=f（x）﹣xlna，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调区间； （Ⅱ）分别求出函数y=f（x）在点（x1，f（x1））处与y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线的斜率，由斜率相等，两边取对数可得结论； （Ⅲ）分别求出曲线y=f（x）在点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36249.png){width="0.6458333333333334in" height="0.3229166666666667in"}）处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，logax2）处的切线方程，把问题转化为证明当a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36250.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}时，存在x1∈（﹣∞，+∞），x2∈（0，+∞）使得l1与l2重合，进一步转化为证明当a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36250.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}时，方程![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36251.png){width="2.625in" height="0.3645833333333333in"}存在实数解．然后利用导数证明即可． 【解答】（Ⅰ）解：由已知，h（x）=ax﹣xlna，有h′（x）=axlna﹣lna， 令h′（x）=0，解得x=0． 由a＞1，可知当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表： --------- ------------ -------- ----------- x （﹣∞，0） 0 （0，+∞） h′（x） ﹣ 0 \+ h（x） ↓ 极小值 ↑ --------- ------------ -------- ----------- ∴函数h（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）； （Ⅱ）证明：由f′（x）=axlna，可得曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36252.png){width="0.2708333333333333in" height="0.2604166666666667in"}lna． 由g′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36253.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，可得曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线的斜率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36254.png){width="0.5in" height="0.4270833333333333in"}． ∵这两条切线平行，故有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36255.png){width="1.1145833333333333in" height="0.4270833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36256.png){width="1.1979166666666667in" height="0.3229166666666667in"}， 两边取以a为底数的对数，得logax2+x1+2logalna=0， ∴x1+g（x2）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36257.png){width="0.5520833333333334in" height="0.3645833333333333in"}； （Ⅲ）证明：曲线y=f（x）在点（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36258.png){width="0.6458333333333334in" height="0.3229166666666667in"}）处的切线l1：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36259.png){width="1.6458333333333333in" height="0.3229166666666667in"}， 曲线y=g（x）在点（x2，logax2）处的切线l2：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36260.png){width="1.90625in" height="0.4270833333333333in"}． 要证明当a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36261.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线， 只需证明当a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36262.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}时，存在x1∈（﹣∞，+∞），x2∈（0，+∞）使得l1与l2重合， 即只需证明当a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36262.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}时，方程组![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36263.png){width="2.4375in" height="0.8541666666666666in"} 由①得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36264.png){width="1.1458333333333333in" height="0.4583333333333333in"}，代入②得： ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36265.png){width="2.625in" height="0.3645833333333333in"}，③ 因此，只需证明当a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36266.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}时，关于x1 的方程③存在实数解． 设函数u（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36267.png){width="2.0520833333333335in" height="0.3645833333333333in"}，既要证明当a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36268.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}时，函数y=u（x）存在零点． u′（x）=1﹣（lna）2xax，可知x∈（﹣∞，0）时，u′（x）＞0；x∈（0，+∞）时，u′（x）单调递减， 又u′（0）=1＞0，u′![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36269.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36270.png){width="0.78125in" height="0.4270833333333333in"}＜0， 故存在唯一的x0，且x0＞0，使得u′（x0）=0，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36271.png){width="1.3645833333333333in" height="0.3229166666666667in"}． 由此可得，u（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减， u（x）在x=x0处取得极大值u（x0）． ∵![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36272.png){width="0.5in" height="0.3854166666666667in"}，故lnlna≥﹣1． ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36273.png){width="3.0104166666666665in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36274.png){width="2.90625in" height="0.4791666666666667in"}． 下面证明存在实数t，使得u（t）＜0， 由（Ⅰ）可得ax≥1+xlna，当![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36275.png){width="0.5729166666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，有 u（x）≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36276.png){width="2.5625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36277.png){width="2.21875in" height="0.3645833333333333in"}． ∴存在实数t，使得u（t）＜0． 因此，当a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36278.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}时，存在x1∈（﹣∞，+∞），使得u（x1）=0． ∴当a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36278.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线． 【点评】本题考查导数的运算，导数的几何意义，运用导数研究指数函数与对数公式的性质等基础知识和方法，考查函数与方程思想，化归思想，考查抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，是难题． 　 2018年天津市高考数学试卷（文科） ================================ 参考答案与试题解析 　 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5.00分）设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R\|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（　　） A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{2，3，4} 【分析】直接利用交集、并集运算得答案． 【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}， ∴（A∪B）={1，2，3，4}∪{﹣1，0，2，3}={﹣1，0，1，2，3，4}， 又C={x∈R\|﹣1≤x＜2}， ∴（A∪B）∩C={﹣1，0，1}． 故选：C． 【点评】本题考查交集、并集及其运算，是基础的计算题． 　 2．（5.00分）设变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36279.png){width="0.7083333333333334in" height="0.8958333333333334in"}，则目标函数z=3x+5y的最大值为（　　） A．6 B．19 C．21 D．45 【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y的最大值． 【解答】解：由变量x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36279.png){width="0.7083333333333334in" height="0.8958333333333334in"}， 得如图所示的可行域，由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36280.png){width="0.625in" height="0.4166666666666667in"}解得A（2，3）． 当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大， z取得最大值． 将其代入得z的值为21， 故选：C． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36281.png){width="2.7715277777777776in" height="2.3958333333333335in"} 【点评】在解决线性规划的小题时，常用"角点法"，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值． 　 3．（5.00分）设x∈R，则"x3＞8"是"\|x\|＞2"的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由x3＞8得到\|x\|＞2，由\|x\|＞2不一定得到x3＞8，然后结合查充分条件、必要条件的判定方法得答案． 【解答】解：由x3＞8，得x＞2，则\|x\|＞2， 反之，由\|x\|＞2，得x＜﹣2或x＞2， 则x3＜﹣8或x3＞8． 即"x3＞8"是"\|x\|＞2"的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查充分条件、必要条件及其判定方法，是基础题． 　 4．（5.00分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36282.png){width="2.1770833333333335in" height="4.500694444444444in"} A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据程序框图进行模拟计算即可． 【解答】解：若输入N=20， 则i=2，T=0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36283.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36284.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=10是整数，满足条件．T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5不成立， 循环，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36285.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36286.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}不是整数，不满足条件．，i=3+1=4，i≥5不成立， 循环，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36285.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36287.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=5是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5成立， 输出T=2， 故选：B． 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键． 　 5．（5.00分）已知a=log3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36288.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，b=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36289.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36290.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}，c=log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36291.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36292.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【分析】把a，c化为同底数，然后利用对数函数的单调性及1的关系进行比较． 【解答】解：∵a=log3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36293.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，c=log![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36291.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36292.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=log35，且5![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36294.png){width="0.59375in" height="0.3645833333333333in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36295.png){width="1.4166666666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 则b=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36296.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36290.png){width="0.22916666666666666in" height="0.3854166666666667in"}＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36297.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}， ∴c＞a＞b． 故选：D． 【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数式的单调性，是基础题． 　 6．（5.00分）将函数y=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36298.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36299.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度，所得图象对应的函数（　　） A．在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36300.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递增 B．在区间\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36301.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，0\]上单调递减 C．在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36302.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}\]上单调递增 D．在区间\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36303.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π\]上单调递减 【分析】由函数的图象平移求得平移后函数的解析式，结合y=Asin（ωx+φ）型函数的单调性得答案． 【解答】解：将函数y=sin（2x+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36298.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）的图象向右平移![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36304.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}个单位长度， 所得图象对应的函数解析式为y=sin\[2（x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36304.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36305.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]=sin2x． 当x∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36306.png){width="0.7291666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\]时，2x∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36307.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36308.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]，函数单调递增； 当x∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36309.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36308.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}\]时，2x∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36308.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π\]，函数单调递减； 当x∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36309.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，0\]时，2x∈\[﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36308.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，0\]，函数单调递增； 当x∈\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36308.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，π\]时，2x∈\[π，2π\]，函数先减后增． 故选：A． 【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换及其性质，是中档题． 　 7．（5.00分）已知双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36310.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36311.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36312.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36313.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36314.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36315.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 C．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36316.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36317.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 D．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36318.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36319.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1 【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可． 【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线 y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36320.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，即bx﹣ay=0，F（c，0）， AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形， F是AB的中点，EF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36321.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4270833333333333in"}=3， EF=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36322.png){width="0.625in" height="0.4479166666666667in"}=b， 所以b=3，双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36323.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36324.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36325.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 可得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36326.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4791666666666667in"}，解得a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36327.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}． 则双曲线的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16585.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36328.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36329.png){width="2.6569444444444446in" height="2.2916666666666665in"} 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力． 　 8．（5.00分）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36330.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36331.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36332.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36333.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36334.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36335.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的值为（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36336.png){width="1.53125in" height="1.0104166666666667in"} A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0 【分析】解法Ⅰ，由题意判断BC∥MN，且BC=3MN， 再利用余弦定理求出MN和∠OMN的余弦值，计算![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36337.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36338.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}即可． 解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形OMAN是平行四边形， 由题意求得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36337.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36339.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的值． 【解答】解：解法Ⅰ，由题意，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36340.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36341.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36342.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36343.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36344.png){width="1.4895833333333333in" height="0.96875in"} ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36345.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36346.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=2，∴BC∥MN，且BC=3MN， 又MN2=OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°=1+4﹣2×1×2×（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36347.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）=7， ∴MN=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36348.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； ∴BC=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36348.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， ∴cos∠OMN=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36349.png){width="1.03125in" height="0.4791666666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36350.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36351.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36352.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36353.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36352.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|×\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36353.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}\|cos（π﹣∠OMN）=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36348.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}×1×（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36351.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}）=﹣6． 解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形， 由OM=1，ON=2，∠MON=120°，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36354.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36355.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36356.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36357.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， 知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36358.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36359.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36360.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36361.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}﹣3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36362.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=﹣3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36363.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36364.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36358.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36365.png){width="0.2916666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36363.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}+3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36366.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36367.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} =﹣3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36368.png){width="0.28125in" height="0.2708333333333333in"}+3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36366.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36367.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"} =﹣3×12+3×2×1×cos120° =﹣6． 故选：C． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题． 　 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5.00分）i是虚数单位，复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36369.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=　4﹣i　． 【分析】根据复数的运算法则计算即可． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36369.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36370.png){width="1.0520833333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36371.png){width="0.96875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36372.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}=4﹣i， 故答案为：4﹣i 【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题． 　 10．（5.00分）已知函数f（x）=exlnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为　e　． 【分析】根据导数的运算法则求出函数f（x）的导函数，再计算f′（1）的值． 【解答】解：函数f（x）=exlnx， 则f′（x）=exlnx+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36373.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}•ex； ∴f′（1）=e•ln1+1•e=e． 故答案为：e． 【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题． 　 11．（5.00分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36374.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36375.png){width="1.5729166666666667in" height="1.4479166666666667in"} 【分析】求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积． 【解答】解：由题意可知四棱锥A1﹣BB1D1D的底面是矩形，边长：1和![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36376.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 四棱锥的高：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36377.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}A1C1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36378.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． 则四棱锥A1﹣BB1D1D的体积为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36379.png){width="1.2083333333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image7.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image7.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36380.png){width="1.5729166666666667in" height="1.4479166666666667in"} 【点评】本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键． 　 12．（5.00分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为　（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）　． 【分析】【方法一】根据题意画出图形，结合图形求得圆心与半径，写出圆的方程． 【方法二】设圆的一般方程，把点的坐标代入求得圆的方程． 【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示， 结合图形知经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆， 其圆心为（1，0），半径为1， 则该圆的方程为（x﹣1）2+y2=1． 【方法二】设该圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36381.png){width="0.875in" height="0.625in"}， 解得D=﹣2，E=F=0； ∴所求圆的方程为x2+y2﹣2x=0． 故答案为：（x﹣1）2+y2=1（或x2+y2﹣2x=0）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36382.png){width="1.8333333333333333in" height="1.40625in"} 【点评】本题考查了圆的方程与应用问题，是基础题． 　 13．（5.00分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36383.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}的最小值为　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13250.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}　． 【分析】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可． 【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0， 可得：3b=a+6， 则2a+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36383.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36384.png){width="0.65625in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36385.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4270833333333333in"}≥2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36386.png){width="0.8229166666666666in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image13250.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 当且仅当2a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36387.png){width="0.3645833333333333in" height="0.4270833333333333in"}．即a=﹣3时取等号． 函数的最小值为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36388.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36388.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值．考查计算能力． 　 14．（5.00分）已知a∈R，函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36389.png){width="1.4270833333333333in" height="0.53125in"}．若对任意x∈\[﹣3，+∞），f（x）≤\|x\|恒成立，则a的取值范围是　\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36390.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}\]　． 【分析】根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可． 【解答】解：当x≤0时，函数f（x）=x2+2x+a﹣2的对称轴为x=﹣1，抛物线开口向上， 要使x≤0时，对任意x∈\[﹣3，+∞），f（x）≤\|x\|恒成立， 则只需要f（﹣3）≤\|﹣3\|=3， 即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2， 当x＞0时，要使f（x）≤\|x\|恒成立，即f（x）=﹣x2+2x﹣2a，则直线y=x的下方或在y=x上， 由﹣x2+2x﹣2a=x，即x2﹣x+2a=0，由判别式△=1﹣8a≤0， 得a≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36391.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 综上![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36391.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}≤a≤2， 故答案为：\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36391.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，2\]． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36392.png){width="2.6777777777777776in" height="2.8027777777777776in"} 【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用分段函数的不等式分别进行转化求解即可．注意数形结合． 　 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13.00分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设M为事件"抽取的2名同学来自同一年级"，求事件M发生的概率． 【分析】（Ⅰ）利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学，利用列举法能求出所有可能结果． （ii）设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，M为事件"抽取的2名同学来自同一年级"，利用列举法能求出事件M发生的概率． 【解答】解：（Ⅰ）由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学， ∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得3人，2人，2人． （Ⅱ）（i）从抽取的7名同学中抽取2名同学的所有可能结果为： {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}， {B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}， {D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21个． （i）设抽取的7名学生中，来自甲年级的是A，B，C， 来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G， M为事件"抽取的2名同学来自同一年级"， 则事件M包含的基本事件有： {A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5个基本事件， ∴事件M发生的概率P（M）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36393.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力． 　 16．（13.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36394.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值． 【分析】（Ⅰ）由正弦定理得bsinA=asinB，与bsinA=acos（B﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36394.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）．由此能求出B． （Ⅱ）由余弦定理得b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36395.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，由bsinA=acos（B﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36394.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），得sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36396.png){width="0.23958333333333334in" height="0.40625in"}，cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36397.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，由此能求出sin（2A﹣B）． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36398.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}，得bsinA=asinB， 又bsinA=acos（B﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36394.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）． ∴asinB=acos（B﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36394.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），即sinB=cos（B﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36399.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）=cosBcos![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36399.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}+sinBsin![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36399.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36400.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}cosB+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36401.png){width="0.4895833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， ∴tanB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36402.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 又B∈（0，π），∴B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36403.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． （Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36403.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 由余弦定理得b=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36404.png){width="1.28125in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36405.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，由bsinA=acos（B﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36406.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}），得sinA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36407.png){width="0.23958333333333334in" height="0.40625in"}， ∵a＜c，∴cosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36408.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}， ∴sin2A=2sinAcosA=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36409.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}， cos2A=2cos2A﹣1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36410.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36411.png){width="1.3333333333333333in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36412.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}． 【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 17．（13.00分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11924.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∠BAD=90°． （Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36413.png){width="1.9583333333333333in" height="1.03125in"} 【分析】（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，结合面面垂直的性质可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC； （Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND，又M为棱AB的中点，可得∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角，求解三角形可得异面直线BC与MD所成角的余弦； （Ⅲ）连接CM，由△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，可得CM⊥AB，且CM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36414.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，再由面面垂直的性质可得CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角，求解三角形可得直线CD与平面ABD所成角的正弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB， 得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC； （Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND， ∵M为棱AB的中点，故MN∥BC， ∴∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成角， 在Rt△DAM中，AM=1，故DM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36415.png){width="1.1770833333333333in" height="0.25in"}， ∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC， 在Rt△DAN中，AN=1，故DN=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36416.png){width="1.1770833333333333in" height="0.25in"}， 在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos∠DMN=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36417.png){width="0.78125in" height="0.5625in"}． ∴异面直线BC与MD所成角的余弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36418.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}； （Ⅲ）解：连接CM，∵△ABC为等边三角形，M为边AB的中点， 故CM⊥AB，CM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36414.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM⊂平面ABC， 故CM⊥平面ABD，则∠CDM为直线CD与平面ABD所成角． 在Rt△CAD中，CD=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36419.png){width="0.96875in" height="0.25in"}， 在Rt△CMD中，sin∠CDM=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36420.png){width="0.5625in" height="0.3854166666666667in"}． ∴直线CD与平面ABD所成角的正弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36421.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36422.png){width="1.9583333333333333in" height="1.0208333333333333in"} 【点评】本题考查异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面垂直等基本知识，考查空间想象能力、运算求解能力与推理论证能力，属中档题． 　 18．（13.00分）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N\*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N\*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （Ⅰ）求Sn和Tn； （Ⅱ）若Sn+（T1+T2+......+Tn）=an+4bn，求正整数n的值． 【分析】（Ⅰ）设等比数列{bn}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{bn}的通项公式与前n项和可求；等差数列{an}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式与前n项和公式可得Sn； （Ⅱ）由（Ⅰ）求出T1+T2+......+Tn，代入Sn+（T1+T2+......+Tn）=an+4bn，化为关于n的一元二次方程求解正整数n的值． 【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{bn}的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得q2﹣q﹣2=0． ∵q＞0，可得q=2． 故![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36423.png){width="0.625in" height="0.28125in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36424.png){width="1.1979166666666667in" height="0.4270833333333333in"}； 设等差数列{an}的公差为d，由b4=a3+a5，得a1+3d=4， 由b5=a4+2a6，得3a1+13d=16， ∴a1=d=1． 故an=n，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36425.png){width="0.8541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； （Ⅱ）由（Ⅰ），可得T1+T2+......+Tn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36426.png){width="2.53125in" height="0.4270833333333333in"}=2n+1﹣n﹣2． 由Sn+（T1+T2+......+Tn）=an+4bn， 可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36427.png){width="1.9166666666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 整理得：n2﹣3n﹣4=0，解得n=﹣1（舍）或n=4． ∴n的值为4． 【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题． 　 19．（14.00分）设椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36428.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4791666666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36429.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4895833333333333in"}=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36430.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}，\|AB\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36431.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值． 【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36432.png){width="0.46875in" height="0.4791666666666667in"}，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，即可． （Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）． 由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得x2﹣x1=2\[x1﹣（﹣x1）\]，x2=5x1， 联立方程求出由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36433.png){width="0.6875in" height="0.3645833333333333in"}＞0.![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36434.png){width="0.9166666666666666in" height="0.4479166666666667in"}，可得k． 【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c， 由已知可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36432.png){width="0.46875in" height="0.4791666666666667in"}，又a2=b2+c2， 解得a=3，b=2， ∴椭圆的方程为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36435.png){width="0.7395833333333334in" height="0.4375in"}， （Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）． ∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴\|PM\|=2\|PQ\|，从而x2﹣x1=2\[x1﹣（﹣x1）\]， ∴x2=5x1， 易知直线AB的方程为：2x+3y=6． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36436.png){width="0.7083333333333334in" height="0.4166666666666667in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36437.png){width="0.6875in" height="0.3645833333333333in"}＞0． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36438.png){width="1.0520833333333333in" height="0.4791666666666667in"}，可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36439.png){width="0.9166666666666666in" height="0.4479166666666667in"}， ⇒![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36440.png){width="1.28125in" height="0.25in"}，⇒18k2+25k+8=0，解得k=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36441.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}或k=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image16661.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}． 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36442.png){width="0.6875in" height="0.3645833333333333in"}＞0．可得k![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36443.png){width="0.40625in" height="0.3645833333333333in"}，故k=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image167.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 【点评】本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题． 　 20．（14.00分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列． （Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值； （Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36444.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}有三个互异的公共点，求d的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求出t2=0，d=1时f（x）的导数，利用导数求斜率，再写出切线方程； （Ⅱ）计算d=3时f（x）的导数，利用导数判断f（x）的单调性，求出f（x）的极值； （Ⅲ）曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36444.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}有三个互异的公共点， 等价于关于x的方程f（x）+（x﹣t2）﹣6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36444.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=0有三个互异的实数根， 利用换元法研究函数的单调性与极值，求出满足条件的d的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3）， t2=0，d=1时，f（x）=x（x+1）（x﹣1）=x3﹣x， ∴f′（x）=3x2﹣1， f（0）=0，f′（0）=﹣1， ∴y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣0）， 即x+y=0； （Ⅱ）d=3时，f（x）=（x﹣t2+3）（x﹣t2）（x﹣t2﹣3） =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36445.png){width="0.65625in" height="0.28125in"}﹣9（x﹣t2） =x3﹣3t2x2+（3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36446.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}﹣9）x﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36447.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}+9t2； ∴f′（x）=3x2﹣6t2x+3![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36446.png){width="0.28125in" height="0.28125in"}﹣9， 令f′（x）=0，解得x=t2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36444.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}或x=t2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36448.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表； +---------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | x | （﹣∞， | t2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36448.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} | （t2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36448.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， | t2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36448.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} | （t2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36448.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， | | | | | | | | | | t2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36448.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}） | | t2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36448.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}） | | +∞） | +---------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | f′（x） | \+ | 0 | ﹣ | 0 | \+ | +---------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | f（x） | 单调增 | 极大值 | 单调减 | 极小值 | 单调增 | +---------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ ∴f（x）的极大值为f（t2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36448.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36449.png){width="0.59375in" height="0.25in"}﹣9×（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36448.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）=6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19891.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 极小值为f（t2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19891.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36450.png){width="0.5104166666666666in" height="0.25in"}﹣9×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19891.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=﹣6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19891.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； （Ⅲ）曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19891.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}有三个互异的公共点， 等价于关于x的方程（x﹣t2+d）（x﹣t2）（x﹣t2﹣d）+（x﹣t2）﹣6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19891.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=0有三个互异的实数根， 令u=x﹣t2，可得u3+（1﹣d2）u+6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19891.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}=0； 设函数g（x）=x3+（1﹣d2）x+6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19891.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，则 曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image19891.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}有3个互异的公共点， 等价于函数y=g（x）有三个不同的零点； 又g′（x）=3x2+（1﹣d2）， 当d2≤1时，g′（x）≥0恒成立，此时g（x）在R上单调递增，不合题意； 当d2＞1时，令g′（x）=0，解得x1=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36451.png){width="0.5208333333333334in" height="0.46875in"}，x2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36451.png){width="0.5208333333333334in" height="0.46875in"}； ∴g（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减， 在（x2，+∞）上也单调递增； ∴g（x）的极大值为g（x1）=g（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36451.png){width="0.5208333333333334in" height="0.46875in"}）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36452.png){width="1.0104166666666667in" height="0.625in"}+6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image17009.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}＞0； 极小值为g（x2）=g（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36451.png){width="0.5208333333333334in" height="0.46875in"}）=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36452.png){width="1.0104166666666667in" height="0.625in"}+6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36453.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； 若g（x2）≥0，由g（x）的单调性可知， 函数g（x）至多有两个零点，不合题意； 若g（x2）＜0，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36454.png){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"}＞27，解得\|d\|＞![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36455.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}， 此时\|d\|＞x2，g（\|d\|）=\|d\|+6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36453.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}＞0，且﹣2\|d\|＜x1； g（﹣2\|d\|）=﹣6\|d\|3﹣2\|d\|+6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36453.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}＜0， 从而由g（x）的单调性可知， 函数y=g（x）在区间（﹣2\|d\|，x1），（x1，x2），（x2，\|d\|）内各有一个零点，符合题意； ∴d的取值范围是（﹣∞，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36455.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}）∪（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36455.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}，+∞）． 【点评】本题主要考查了导数的运算以及导数的几何意义，运用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，是综合题． 2018年浙江省高考数学试卷 ======================== 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4.00分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁UA=（　　） A．∅ B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5} 【分析】根据补集的定义直接求解：∁UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合． 【解答】解：根据补集的定义，∁UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件． ∁UA={2，4，5} 故选：C． 【点评】本题考查了补集的定义以及简单求解，属于简单题． 　 2．（4.00分）双曲线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36456.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}﹣y2=1的焦点坐标是（　　） A．（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36457.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36457.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0） B．（﹣2，0），（2，0） C．（0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36458.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}），（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36458.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}） D．（0，﹣2），（0，2） 【分析】根据双曲线方程，可得该双曲线的焦点在x轴上，由平方关系算出c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36459.png){width="0.59375in" height="0.25in"}=2，即可得到双曲线的焦点坐标． 【解答】解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1， 由此可得c=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36460.png){width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}=2， ∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0） 故选：B． 【点评】本题考查双曲线焦点坐标，着重考查了双曲线的标准方程和焦点坐标求法等知识，属于基础题． 　 3．（4.00分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（　　） ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36461.png){width="1.9583333333333333in" height="2.28125in"} A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】直接利用三视图的复原图求出几何体的体积． 【解答】解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱． 如图所示：![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36462.png){width="1.2916666666666667in" height="1.3854166666666667in"} 故该几何体的体积为：V=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36463.png){width="1.0729166666666667in" height="0.3645833333333333in"}． 故选：C． 【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用． 　 4．（4.00分）复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36464.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}（i为虚数单位）的共轭复数是（　　） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【分析】化简已知复数z，由共轭复数的定义可得． 【解答】解：化简可得z=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36464.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36465.png){width="0.8854166666666666in" height="0.3645833333333333in"}=1+i， ∴z的共轭复数![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36466.png){width="0.10416666666666667in" height="0.1875in"}=1﹣i 故选：B． 【点评】本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题． 　 5．（4.00分）函数y=2\|x\|sin2x的图象可能是（　　） A．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36467.png){width="1.4166666666666667in" height="1.8020833333333333in"} B．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36468.png){width="1.4166666666666667in" height="1.8020833333333333in"} C．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36469.png){width="1.4166666666666667in" height="1.8020833333333333in"} D．![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36470.png){width="1.4166666666666667in" height="1.8020833333333333in"} 【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果． 【解答】解：根据函数的解析式y=2\|x\|sin2x，得到：函数的图象为奇函数， 故排除A和B． 当x=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36471.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}时，函数的值也为0， 故排除C． 故选：D． 【点评】本题考查的知识要点：函数的性质和赋值法的应用． 　 6．（4.00分）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则"m∥n"是"m∥α"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：∵m⊄α，n⊂α， ∴当m∥n时，m∥α成立，即充分性成立， 当m∥α时，m∥n不一定成立，即必要性不成立， 则"m∥n"是"m∥α"的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决本题的关键，是基础题． 　 7．（4.00分）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是 --- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ξ 0 1 2 P ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36472.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36473.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36474.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} --- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 则当p在（0，1）内增大时，（　　） A．D（ξ）减小 B．D（ξ）增大 C．D（ξ）先减小后增大 D．D（ξ）先增大后减小 【分析】求出随机变量ξ的分布列与方差，再讨论D（ξ）的单调情况． 【解答】解：设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是 E（ξ）=0×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36472.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+1×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36473.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+2×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36474.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}=p+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36473.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}； 方差是D（ξ）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36475.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36472.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36476.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36477.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36478.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}×![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36479.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} =﹣p2+p+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36480.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"} =﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36481.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36477.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∴p∈（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36477.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）时，D（ξ）单调递增； p∈（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36482.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，1）时，D（ξ）单调递减； ∴D（ξ）先增大后减小． 故选：D． 【点评】本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 　 8．（4.00分）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（　　） A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1 【分析】作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小． 【解答】解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心． 过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N， 连接SN， 取AB中点M，连接SM，OM，OE，则EN=OM， 则θ1=∠SEN，θ2=∠SEO，θ3=∠SMO． 显然，θ1，θ2，θ3均为锐角． ∵tanθ1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36483.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36484.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，tanθ3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36485.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，SN≥SO， ∴θ1≥θ3， 又sinθ3=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36486.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，sinθ2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36487.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，SE≥SM， ∴θ3≥θ2． 故选：D． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36488.png){width="1.71875in" height="1.5104166666666667in"} 【点评】本题考查了空间角的计算，三角函数的应用，属于中档题． 　 9．（4.00分）已知![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36489.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36490.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36491.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}是平面向量，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36491.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}是单位向量．若非零向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36489.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36492.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28268.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36493.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36494.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}﹣4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36492.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36493.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+3=0，则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36495.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36493.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|的最小值是（　　） A．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11096.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣1 B．![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image11096.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}+1 C．2 D．2﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36496.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"} 【分析】把等式![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36497.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}﹣4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36498.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36499.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+3=0变形，可得得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36500.png){width="1.3541666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，即（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36501.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}）⊥（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36502.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}），设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36503.png){width="0.7083333333333334in" height="0.22916666666666666in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36504.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36505.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的终点在不含端点O的两条射线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36506.png){width="0.5in" height="0.1875in"}（x＞0）上，画出图形，数形结合得答案． 【解答】解：由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36507.png){width="0.19791666666666666in" height="0.2708333333333333in"}﹣4![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36508.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36504.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}+3=0，得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36509.png){width="1.3541666666666667in" height="0.20833333333333334in"}， ∴（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36510.png){width="0.3125in" height="0.20833333333333334in"}）⊥（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36511.png){width="0.3958333333333333in" height="0.20833333333333334in"}）， 如图，不妨设![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36512.png){width="0.7083333333333334in" height="0.22916666666666666in"}， 则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36513.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上， 又非零向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36514.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36515.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的夹角为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36516.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36514.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}的终点在不含端点O的两条射线y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36517.png){width="0.5in" height="0.1875in"}（x＞0）上． 不妨以y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36518.png){width="0.3125in" height="0.1875in"}为例，则\|![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36519.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36520.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}\|的最小值是（2，0）到直线![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36521.png){width="0.6458333333333334in" height="0.19791666666666666in"}的距离减1． 即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36522.png){width="1.1979166666666667in" height="0.40625in"}． 故选：A． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36523.png){width="2.3541666666666665in" height="2.886111111111111in"} 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题． 　 10．（4.00分）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（　　） A．a1＜a3，a2＜a4 B．a1＞a3，a2＜a4 C．a1＜a3，a2＞a4 D．a1＞a3，a2＞a4 【分析】利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可． 【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同， a1＞1，设公比为q， 当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立， 即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D． 当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1； 当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立， 当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立， 故选：B． 【点评】本题考查等比数列的性质的应用，函数的值的判断，对数函数的性质，考查发现问题解决问题的能力，难度比较大． 　 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11．（6.00分）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题："今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？"设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36524.png){width="1.1979166666666667in" height="0.6041666666666666in"}，当z=81时，x=　8　，y=　11　． 【分析】直接利用方程组以及z的值，求解即可． 【解答】解：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36524.png){width="1.1979166666666667in" height="0.6041666666666666in"}，当z=81时，化为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36525.png){width="0.7916666666666666in" height="0.4166666666666667in"}， 解得 x=8，y=11． 故答案为：8；11． 【点评】本题考查方程组的解法，是基本知识的考查． 　 12．（6.00分）若x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36526.png){width="0.7083333333333334in" height="0.65625in"}，则z=x+3y的最小值是　﹣2　，最大值是　8　． 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，然后求解最优解得到结果． 【解答】解：作出x，y满足约束条件![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36526.png){width="0.7083333333333334in" height="0.65625in"}表示的平面区域， 如图： 其中B（4，﹣2），A（2，2）． 设z=F（x，y）=x+3y， 将直线l：z=x+3y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化， 可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值． ∴z最小值=F（4，﹣2）=﹣2． 可得当l经过点A时，目标函数z达到最最大值： z最大值=F（2，2）=8． 故答案为：﹣2；8． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36527.png){width="2.3125in" height="2.3333333333333335in"} 【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题． 　 13．（6.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36528.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，b=2，A=60°，则sinB=　![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36529.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}　，c=　3　． 【分析】由正弦定理得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36530.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36531.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}，由此能求出sinB，由余弦定理得cos60°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36532.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}，由此能求出c． 【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． a=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36533.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，b=2，A=60°， ∴由正弦定理得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36534.png){width="0.875in" height="0.3645833333333333in"}，即![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36535.png){width="0.6354166666666666in" height="0.3854166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36536.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}， 解得sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36537.png){width="0.5416666666666666in" height="0.6041666666666666in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36538.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 由余弦定理得： cos60°=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36539.png){width="0.6041666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， 解得c=3或c=﹣1（舍）， ∴sinB=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36540.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}，c=3． 故答案为：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36540.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}，3． 【点评】本题考查三角形中角的正弦值、边长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 14．（4.00分）二项式（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36541.png){width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36542.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）8的展开式的常数项是　7　． 【分析】写出二项展开式的通项并整理，由x的指数为0求得r值，则答案可求． 【解答】解：由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36543.png){width="1.9583333333333333in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36544.png){width="1.2395833333333333in" height="0.4895833333333333in"}． 令![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36545.png){width="0.3854166666666667in" height="0.3645833333333333in"}=0，得r=2． ∴二项式（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36546.png){width="0.25in" height="0.23958333333333334in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36547.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}）8的展开式的常数项是![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36548.png){width="0.8958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}． 故答案为：7． 【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 　 15．（6.00分）已知λ∈R，函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36549.png){width="1.3229166666666667in" height="0.4895833333333333in"}，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是　{x\|1＜x＜4}　．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是　（1，3\]∪（4，+∞）　． 【分析】利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可． 【解答】解：当λ=2时函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36550.png){width="1.2395833333333333in" height="0.4895833333333333in"}，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x\|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x\|1＜x＜4}． 函数f（x）恰有2个零点， 函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36551.png){width="1.3229166666666667in" height="0.4895833333333333in"}的草图如图： 函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4． 故答案为：{x\|1＜x＜4}；（1，3\]∪（4，+∞）． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36552.png){width="2.886111111111111in" height="2.4166666666666665in"} 【点评】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题解决问题的能力． 　 16．（4.00分）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成　1260　个没有重复数字的四位数．（用数字作答） 【分析】可先从1，3，5，7，9中任取2个数字，然后通过0是否存在，求解即可． 【解答】解：从1，3，5，7，9中任取2个数字有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36553.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}种方法， 从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36554.png){width="0.19791666666666666in" height="0.28125in"}种方法， 可以组成![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36555.png){width="0.7916666666666666in" height="0.28125in"}=720个没有重复数字的四位数； 含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36556.png){width="1.0833333333333333in" height="0.28125in"}=540， 故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数． 故答案为：1260． 【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，先选后排是解决问题的关键，注意"0"是否在4位数中去易错点，是中档题． 　 17．（4.00分）已知点P（0，1），椭圆![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36557.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}+y2=m（m＞1）上两点A，B满足![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36558.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36559.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}，则当m=　5　时，点B横坐标的绝对值最大． 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得y1，y2，有x22=m﹣（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36560.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）2，运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和m的值． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由P（0，1），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36561.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36559.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}， 可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1）， 即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3， 又x12+4y12=4m， 即为x22+y12=m，① x22+4y22=4m，② ①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m， 可得y1﹣2y2=﹣m， 解得y1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36560.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}，y2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36562.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}， 则m=x22+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36560.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）2， 即有x22=m﹣（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36563.png){width="0.3020833333333333in" height="0.3645833333333333in"}）2=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36564.png){width="0.8541666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36565.png){width="0.9375in" height="0.4270833333333333in"}， 即有m=5时，x22有最大值4， 即点B横坐标的绝对值最大． 故答案为：5． 【点评】本题考查椭圆的方程和应用，考查向量共线的坐标表示和方程思想、转化思想，以及二次函数的最值的求法，属于中档题． 　 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（14.00分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36566.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36567.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36568.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}，求cosβ的值． 【分析】（Ⅰ）由已知条件即可求r，则sin（α+π）的值可得； （Ⅱ）由已知条件即可求sinα，cosα，cos（α+β），再由cosβ=cos\[（α+β）﹣α\]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα代值计算得答案． 【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36569.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36570.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）． ∴x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36569.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36571.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，r=\|OP\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36572.png){width="1.40625in" height="0.3854166666666667in"}， ∴sin（α+π）=﹣sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36573.png){width="0.4791666666666667in" height="0.375in"}； （Ⅱ）由x=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36574.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，y=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36575.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3645833333333333in"}，r=\|OP\|=1， 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36576.png){width="0.7395833333333334in" height="0.3645833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36577.png){width="0.7395833333333334in" height="0.3645833333333333in"}， 又由sin（α+β）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36578.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}， 得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36579.png){width="2.3645833333333335in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36580.png){width="1.46875in" height="0.3854166666666667in"}， 则cosβ=cos\[（α+β）﹣α\]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36581.png){width="2.09375in" height="0.3645833333333333in"}， 或cosβ=cos\[（α+β）﹣α\]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36582.png){width="2.1145833333333335in" height="0.3645833333333333in"}． ∴cosβ的值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36583.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3645833333333333in"}或![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36584.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}． 【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题． 　 19．（15.00分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=l，AB=BC=B1B=2． （Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36585.png){width="1.6770833333333333in" height="1.90625in"} 【分析】（I）利用勾股定理的逆定理证明AB1⊥A1B1，AB1⊥B1C1，从而可得AB1⊥平面A1B1C1； （II）以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1的法向量![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36586.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}，计算![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36586.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}与![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36587.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}的夹角即可得出线面角的大小． 【解答】（I）证明：∵A1A⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC， ∴AA1∥BB1， ∵AA1=4，BB1=2，AB=2， ∴A1B1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36588.png){width="1.6041666666666667in" height="0.3020833333333333in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36589.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 又AB1=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36590.png){width="0.875in" height="0.3020833333333333in"}=2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36591.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，∴AA12=AB12+A1B12， ∴AB1⊥A1B1， 同理可得：AB1⊥B1C1， 又A1B1∩B1C1=B1， ∴AB1⊥平面A1B1C1． （II）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A1C1于D， ∵AB=BC，∴OB⊥OC， ∵AB=BC=2，∠BAC=120°，∴OB=1，OA=OC=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36592.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示： 则A（0，﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36592.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），B（1，0，0），B1（1，0，2），C1（0，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36592.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，1）， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36593.png){width="0.1875in" height="0.20833333333333334in"}=（1，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36592.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，0），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36594.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（0，0，2），![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36595.png){width="0.3020833333333333in" height="0.2708333333333333in"}=（0，2![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36596.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，1）， 设平面ABB1的法向量为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36597.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（x，y，z），则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36598.png){width="0.8020833333333334in" height="0.5416666666666666in"}， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36599.png){width="0.7708333333333334in" height="0.4270833333333333in"}，令y=1可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36600.png){width="0.10416666666666667in" height="0.20833333333333334in"}=（﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36601.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，1，0）， ∴cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36602.png){width="0.59375in" height="0.2708333333333333in"}＞=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36603.png){width="0.8333333333333334in" height="0.5625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36604.png){width="0.59375in" height="0.40625in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36605.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． 设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ，则sinθ=\|cos＜![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36606.png){width="0.59375in" height="0.2708333333333333in"}＞\|=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36605.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． ∴直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36605.png){width="0.3229166666666667in" height="0.3854166666666667in"}． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36607.png){width="1.96875in" height="2.1354166666666665in"} 【点评】本题考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，属于中档题． 　 20．（15.00分）已知等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1﹣bn）an}的前n项和为2n2+n． （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）求数列{bn}的通项公式． 【分析】（Ⅰ）运用等比数列的通项公式和等差数列中项性质，解方程可得公比q； （Ⅱ）设cn=（bn+1﹣bn）an=（bn+1﹣bn）2n﹣1，运用数列的递推式可得cn=4n﹣1，再由数列的恒等式求得bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+...+（bn﹣bn﹣1），运用错位相减法，可得所求数列的通项公式． 【解答】解：（Ⅰ）等比数列{an}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项， 可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4， 解得a4=8， 由![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36608.png){width="0.13541666666666666in" height="0.375in"}+8+8q=28，可得q=2（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36609.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}舍去）， 则q的值为2； （Ⅱ）设cn=（bn+1﹣bn）an=（bn+1﹣bn）2n﹣1， 可得n=1时，c1=2+1=3， n≥2时，可得cn=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1， 上式对n=1也成立， 则（bn+1﹣bn）an=4n﹣1， 即有bn+1﹣bn=（4n﹣1）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36609.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）n﹣1， 可得bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+...+（bn﹣bn﹣1） =1+3•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36609.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）0+7•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36609.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）1+...+（4n﹣5）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36609.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）n﹣2， ![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36609.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36609.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+3•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24024.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）+7•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24024.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2+...+（4n﹣5）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24024.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）n﹣1， 相减可得![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24024.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}bn=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36610.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+4\[（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24024.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24024.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）2+...+（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image24024.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）n﹣2\]﹣（4n﹣5）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36611.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）n﹣1 =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36612.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}+4•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36613.png){width="0.90625in" height="0.8229166666666666in"}﹣（4n﹣5）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36611.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）n﹣1， 化简可得bn=15﹣（4n+3）•（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36611.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}）n﹣2． 【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查数列的恒等式和错位相减法的运用，考查运算能力，属于中档题． 　 21．（15.00分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． （Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； （Ⅱ）若P是半椭圆x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36614.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36615.png){width="1.6875in" height="2.3125in"} 【分析】（Ⅰ）设P（m，n），A（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36616.png){width="0.3125in" height="0.4895833333333333in"}，y1），B（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36617.png){width="0.3125in" height="0.4895833333333333in"}，y2），运用中点坐标公式可得M的坐标，再由中点坐标公式和点在抛物线上，代入化简整理可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0的两根，由韦达定理即可得到结论； （Ⅱ）由题意可得m2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36618.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=1，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，可得△PAB面积为S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image23378.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|PM\|•\|y1﹣y2\|，再由配方和换元法，可得面积S关于新元的三次函数，运用单调性可得所求范围． 【解答】解：（Ⅰ）证明：可设P（m，n），A（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36616.png){width="0.3125in" height="0.4895833333333333in"}，y1），B（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36619.png){width="0.3125in" height="0.4895833333333333in"}，y2）， AB中点为M的坐标为（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36620.png){width="0.6979166666666666in" height="0.4895833333333333in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36621.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4375in"}）， 抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上， 可得（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36622.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}）2=4•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36623.png){width="0.53125in" height="0.6875in"}， （![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36624.png){width="0.4166666666666667in" height="0.4375in"}）2=4•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36625.png){width="0.6354166666666666in" height="0.5625in"}， 化简可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0的两根， 可得y1+y2=2n，y1y2=8m﹣n2， 可得n=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36626.png){width="0.5208333333333334in" height="0.4375in"}， 则PM垂直于y轴； （Ⅱ）若P是半椭圆x2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36627.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4375in"}=1（x＜0）上的动点， 可得m2+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36628.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}=1，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2， 由（Ⅰ）可得y1+y2=2n，y1y2=8m﹣n2， 由PM垂直于y轴，可得△PAB面积为S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36629.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}\|PM\|•\|y1﹣y2\| =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36630.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36631.png){width="0.6979166666666666in" height="0.4895833333333333in"}﹣m）•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36632.png){width="1.4583333333333333in" height="0.3020833333333333in"} =\[![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36633.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}•（4n2﹣16m+2n2）﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36630.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}m\]•![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36634.png){width="1.1145833333333333in" height="0.25in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36635.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}（n2﹣4m）![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36636.png){width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}， 可令t=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36636.png){width="0.5729166666666666in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36637.png){width="0.84375in" height="0.25in"} =![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36638.png){width="1.0625in" height="0.3854166666666667in"}， 可得m=﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image28743.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}时，t取得最大值![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36639.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}； m=﹣1时，t取得最小值2， 即2≤t≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36639.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}， 则S=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36640.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}t3在2≤t≤![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36639.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}递增，可得S∈\[6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36641.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36642.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36643.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}\]， △PAB面积的取值范围为\[6![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36644.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}，![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36645.png){width="0.21875in" height="0.3645833333333333in"}![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36643.png){width="0.2916666666666667in" height="0.1875in"}\]． ![菁优网：http://www.jyeoo.com](./data/image/media/image36646.png){width="1.6875in" height="2.3125in"} 【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查转化思想和运算能力，以及换元法和三次函数的单调性，属于难题． 　 22．（15.00分）已知函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36647.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣lnx． （Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2； （Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点． 【分析】（Ⅰ）推导出x＞0，f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36648.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36649.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，由f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，得到![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36650.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4479166666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36651.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36652.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}，由基本不等式得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36653.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36654.png){width="0.6979166666666666in" height="0.25in"}≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36655.png){width="0.6354166666666666in" height="0.2708333333333333in"}，从而x1x2＞256，由题意得f（x1）+f（x2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36656.png){width="1.625in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36657.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}﹣ln（x1x2），设g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36658.png){width="0.6979166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36659.png){width="1.4166666666666667in" height="0.3645833333333333in"}，利用导数性质能证明f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2． （Ⅱ）令m=e﹣（\|a\|+k），n=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36660.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}）2+1，则f（m）﹣km﹣a＞\|a\|+k﹣k﹣a≥0，推导出存在x0∈（m，n），使f（x0）=kx0+a，对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点，由f（x）=kx+a，得k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36661.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，设h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36661.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，则h′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36662.png){width="0.9791666666666666in" height="0.6458333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36663.png){width="0.8020833333333334in" height="0.4375in"}，利用导数性质能证明a≤3﹣4ln2时，对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点． 【解答】证明：（Ⅰ）∵函数f（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36664.png){width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}﹣lnx， ∴x＞0，f′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36665.png){width="0.34375in" height="0.3854166666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36666.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， ∵f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等， ∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36667.png){width="0.7604166666666666in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36668.png){width="0.4375in" height="0.4479166666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36669.png){width="0.22916666666666666in" height="0.4270833333333333in"}， ∵x1≠x2，∴![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36670.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4479166666666667in"}+![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36671.png){width="0.3333333333333333in" height="0.4479166666666667in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image32535.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}， 由基本不等式得：![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36672.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36673.png){width="0.6979166666666666in" height="0.25in"}≥![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36674.png){width="0.6354166666666666in" height="0.2708333333333333in"}， ∵x1≠x2，∴x1x2＞256， 由题意得f（x1）+f（x2）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36675.png){width="1.625in" height="0.25in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36676.png){width="0.625in" height="0.3645833333333333in"}﹣ln（x1x2）， 设g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36677.png){width="0.6979166666666666in" height="0.3645833333333333in"}，则![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36678.png){width="1.4166666666666667in" height="0.3645833333333333in"}， ∴列表讨论： --------- ----------- --------- ------------ x （0，16） 16 （16，+∞） g′（x） ﹣ 0 \+ g（x） ↓ 2﹣4ln2 ↑ --------- ----------- --------- ------------ ∴g（x）在\[256，+∞）上单调递增， ∴g（x1x2）＞g（256）=8﹣8ln2， ∴f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2． （Ⅱ）令m=e﹣（\|a\|+k），n=（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36679.png){width="0.46875in" height="0.3645833333333333in"}）2+1， 则f（m）﹣km﹣a＞\|a\|+k﹣k﹣a≥0， f（n）﹣kn﹣a＜n（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36680.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}﹣![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36681.png){width="0.13541666666666666in" height="0.3645833333333333in"}﹣k）≤n（![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36682.png){width="0.46875in" height="0.3854166666666667in"}﹣k）＜0， ∴存在x0∈（m，n），使f（x0）=kx0+a， ∴对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点， 由f（x）=kx+a，得k=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36683.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}， 设h（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36683.png){width="0.7604166666666666in" height="0.3854166666666667in"}，则h′（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36684.png){width="0.9791666666666666in" height="0.6458333333333334in"}=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36685.png){width="0.8020833333333334in" height="0.4375in"}， 其中g（x）=![菁优网-jyeoo](./data/image/media/image36686.png){width="0.23958333333333334in" height="0.3854166666666667in"}﹣lnx， 由（1）知g（x）≥g（16）， 又a≤3﹣4ln2，∴﹣g（x）﹣1+a≤﹣g（16）﹣1+a=﹣3+4ln2+a≤0， ∴h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减， ∴方程f（x）﹣kx﹣a=0至多有一个实根， 综上，a≤3﹣4ln2时，对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点． 【点评】本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题． 　
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20系统班小说真题训练7 第六次作业答案： 1.B; 石钵头不肯卖肉给华昌主要是因为他内心对华昌这样的读书人的憎恶和鄙视。 2.①斯文谦和,穷困落魄; ②身怀绝技,隐忍退让; ③正直善良,宽容大度。 3.①精瘦落魄的读书人竟能徒手分砚,小说结尾出人意料,但巧设伏笔,使故事的发展合乎情理,使人信服。 ②出人意料的结尾,使小说情节跌宕起伏,引人深思。 ③华昌明明身怀绝技,却不计较石钵头的多次挑衅,突出表现了他的隐忍大度,丰富了人物的形象。 ④小说结尾意味深长,更好地揭示了作品的主题:生活中应当尊重他人、宽容大度。 阅读下面文字,完成下列小题。 桥墩 杨祥生 江心乡大桥通车庆典活动准备就绪。晶莹闪亮的44根灯杆上的彩旗哗啦啦地飞舞,四只大彩球凌空飘扬,穿着节日盛装的人群潮水般涌来,历尽"隔江千里远"之苦的人们沉浸在无限欢乐的氛围中。 庆典活动下午两时整举行,倒计时还剩下三个小时,然而为大桥通车剪彩的乔厅长尚未驾到,真急煞人呀!半月前发出的请柬没回音,打宅电嘀嘀忙音,加急电报也如石沉大海。万般无奈,乡政府只得请乔厅长的救命恩人田大爷出山赴省城面请,按理田大爷昨日可归,可眼下却杳无音信,急得赵乡长团团转。 大桥通车剪彩非乔厅长莫属,这是江心人的强烈呼声。乔厅长不仅是江心人相识中职务最高的官儿,更重要的是他是建桥的"第一功臣"。战争年代,乔厅长在一次战斗中身负重伤,是田大爷冒着枪林弹雨将他用木盆送过江。从此乔厅长与江心乡结下不解之缘,多次大声疾呼要造桥,甩掉贫困帽,并捐款三万元。江心乡人都清楚,乔厅长是清官,这笔巨款是他从牙缝里省出来的,大家都哭了。乔厅长不剪彩,有谁能担当此殊荣呢? 赵乡长脑海里闪现着斗大的问号:难道乔厅长有意退避,以此不显山不露水永葆美名?否!乔厅长在大庭广众中曾亮底:"大桥通车,我只要有口气,爬也爬来参加祝贺!"难道是政务繁忙难以脱身?否!乔厅长已离休三载,"为江心乡造大桥是我晚年最大的事!"难道子女尽孝心,带着他游山玩水享清福?否!乔厅长无儿无女,"为江心乡造大桥尽微薄之力是我晚年最大的清福!" 为......为什么?赵乡长百思不解。 正当焦急万分之时,田大爷气喘吁吁赶到,赵乡长迫不及待地问:"乔厅长怎没来?" "没......没见到。"田大爷捋着雪白的胡须,嗫嗫嚅嚅。 "什么人都没有见到?"赵乡长呼吸急促起来。 "见......见到乔厅长老伴,说乔厅长身体不适,不参加庆典,晚上来看看。"田大爷声音冷冰冰的。 "唉......"赵乡长十分失望,大会筹委会开了紧急会议,临时请来宾中的副市长剪彩。 夜幕降临,桥灯齐明,人头攒动。来啦!一辆黑轿车缓缓驶上桥来,人们呼地一下呼喊着。 车上下来一位老太太,穿着一身黑衣服,一副憔悴的面容。砰,车门关紧。 "乔厅长呢?"赵乡长问道。 "老头子在里面,他很累。"老太太平静如水。 赵乡长缓缓走向车门:"乔厅长,请您老人家下来看看吧,乡亲们已恭候您半天啦!" 突然老太太揉了揉眼,亮开了沙哑的老声:"好吧,我来请老头子下车。"少顷,老太太下了车,人们目光顿时定了格:老太太捧着只黑色的骨灰盒:"老头子五天前已去世,这是他的遗信。" 赵乡长虔诚地双手接过信,悲哀的语音在桥四周弥漫:"我以一个离休老干部的身份衷心祝贺大桥通车!......我恳求将我的骨灰埋在大桥底,请允许我当个桥墩吧......" 1.下列对这篇小说思想内容与艺术特色的分析和鉴赏,最恰当的一项是( ) A.小说开篇对江心乡大桥通车活动的热闹气氛进行描写,是为了说明这次活动在当地人心中的重要性,也为下文情节的发展蓄势。 B.赵乡长千方百计地邀请乔厅长出席庆典活动,一方面是满足老百姓的呼声需求,另一方面则是为了展示政绩求得进一步的提拔。 C.田大爷赴省城面请乔厅长未果,面对赵乡长的问话他回答的"声音冷冰冰"是为自己未完成任务而内疚自责。 D.小说的结尾处既表达了江心乡的干部群众对乔厅长的敬重和缅怀,也是对官场不正之风的无声反抗。 2.小说在情节安排上有许多独特之处,请选择两点简要分析。 3."桥墩"作为小说的标题,包含着丰富的意蕴。请结合全文谈谈你的理解。
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**2008年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）** **一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）** 1．（5分）函数y=![](./data/image/media/image1.png)+![](./data/image/media/image2.png)的定义域为（　　） A．{x\|x≤1} B．{x\|x≥0} C．{x\|x≥1或x≤0} D．{x\|0≤x≤1} 2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（　　） A．![](./data/image/media/image3.png) B．![](./data/image/media/image4.png) C．![](./data/image/media/image5.png) D．![](./data/image/media/image6.png) 3．（5分）（1+![](./data/image/media/image7.png)）^5^的展开式中x^2^的系数（　　） A．10 B．5 C．![](./data/image/media/image8.png) D．1 4．（5分）曲线y=x^3^﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 5．（5分）在△ABC中，![](./data/image/media/image9.png)=![](./data/image/media/image10.png)，![](./data/image/media/image11.png)=![](./data/image/media/image12.png)．若点D满足![](./data/image/media/image13.png)=2![](./data/image/media/image14.png)，则![](./data/image/media/image15.png)=（　　） A．![](./data/image/media/image16.png) B．![](./data/image/media/image17.png) C．![](./data/image/media/image18.png) D．![](./data/image/media/image19.png) 6．（5分）y=（sinx﹣cosx）^2^﹣1是（　　） A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数 7．（5分）已知等比数列{a~n~}满足a~1~+a~2~=3，a~2~+a~3~=6，则a~7~=（　　） A．64 B．81 C．128 D．243 8．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln![](./data/image/media/image20.png)的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（　　） A．e^2x﹣2^ B．e^2x^ C．e^2x+1^ D．e^2x+2^ 9．（5分）为得到函数![](./data/image/media/image21.png)的图象，只需将函数y=sin2x的图象（　　） A．向左平移![](./data/image/media/image22.png)个长度单位 B．向右平移![](./data/image/media/image22.png)个长度单位 C．向左平移![](./data/image/media/image23.png)个长度单位 D．向右平移![](./data/image/media/image23.png)个长度单位 10．（5分）若直线![](./data/image/media/image24.png)=1与圆x^2^+y^2^=1有公共点，则（　　） A．a^2^+b^2^≤1 B．a^2^+b^2^≥1 C．![](./data/image/media/image25.png) D．![](./data/image/media/image26.png) 11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的侧棱与底面边长都相等，A~1~在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB~1~与底面ABC所成角的正弦值等于（　　） ![](./data/image/media/image27.png) A．![](./data/image/media/image28.png) B．![](./data/image/media/image29.png) C．![](./data/image/media/image30.png) D．![](./data/image/media/image31.png) 12．（5分）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（　　） ![](./data/image/media/image32.png) A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 　 **二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）** 13．（5分）若x，y满足约束条件![](./data/image/media/image33.png)，则z=2x﹣y的最大值为[　 　]{.underline}． 14．（5分）已知抛物线y=ax^2^﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为[　 　]{.underline}． 15．（5分）在△ABC中，∠A=90°，tanB=![](./data/image/media/image34.png)．若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=[　 　]{.underline}． 16．（5分）已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A﹣BD﹣C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于[　 　]{.underline}． 　 **三、解答题（共6小题，满分70分）** 17．（10分）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB=3，bsinA=4． （Ⅰ）求边长a； （Ⅱ）若△ABC的面积S=10，求△ABC的周长l． ![](./data/image/media/image35.png) 18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，![](./data/image/media/image36.png)，AB=AC． （Ⅰ）证明：AD⊥CE； （Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小． ![](./data/image/media/image37.png) 19．（12分）在数列{a~n~}中，a~1~=1，a~n+1~=2a~n~+2^n^． （Ⅰ）设b~n~=![](./data/image/media/image38.png)．证明：数列{b~n~}是等差数列； （Ⅱ）求数列{a~n~}的前n项和S~n~． 20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率． 21．（12分）已知函数f（x）=﹣x^2^+ax+1﹣lnx． （Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）若f（x）在区间（0，![](./data/image/media/image39.png)）上是减函数，求实数a的取值范围． 22．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l~1~，l~2~，经过右焦点F垂直于l~1~的直线分别交l~1~，l~2~于A，B两点．已知\|![](./data/image/media/image40.png)\|、\|![](./data/image/media/image41.png)\|、\|![](./data/image/media/image42.png)\|成等差数列，且![](./data/image/media/image43.png)与![](./data/image/media/image44.png)同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 　 **2008年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）** 1．（5分）函数y=![](./data/image/media/image45.png)+![](./data/image/media/image46.png)的定义域为（　　） A．{x\|x≤1} B．{x\|x≥0} C．{x\|x≥1或x≤0} D．{x\|0≤x≤1} 【考点】33：函数的定义域及其求法．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】保证两个根式都有意义的自变量x的集合为函数的定义域． 【解答】解：要使原函数有意义，则需![](./data/image/media/image47.png)， 解得0≤x≤1， 所以，原函数定义域为\[0，1\]． 故选：D． 【点评】本题考查了函数定义域的求法，求解函数的定义域，是求使的构成函数解析式的各个部分都有意义的自变量x的取值集合． 　 2．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（　　） A．![](./data/image/media/image48.png) B．![](./data/image/media/image49.png) C．![](./data/image/media/image50.png) D．![](./data/image/media/image51.png) 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；31：数形结合． 【分析】由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，汽车的行驶路程s看作时间t的函数，我们可以根据实际分析函数值S（路程）与自变量t（时间）之间变化趋势，分析四个答案即可得到结论． 【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段， 路程随时间上升的速度越来越快， 故图象的前边部分为凹升的形状； 在汽车的匀速行驶阶段， 路程随时间上升的速度保持不变 故图象的中间部分为平升的形状； 在汽车减速行驶之后停车阶段， 路程随时间上升的速度越来越慢， 故图象的前边部分为凸升的形状； 分析四个答案中的图象， 只有A答案满足要求， 故选：A． 【点评】从左向右看图象，如果图象是凸起上升的，表明相应的量增长速度越来越慢；如果图象是凹陷上升的，表明相应的量增长速度越来越快；如果图象是直线上升的，表明相应的量增长速度保持不变；如果图象是水平直线，表明相应的量保持不变，即不增长也不降低；如果图象是凸起下降的，表明相应的量降低速度越来越快；如果图象是凹陷下降的，表明相应的量降低速度越来越慢；如果图象是直线下降的，表明相应的量降低速度保持不变． 　 3．（5分）（1+![](./data/image/media/image52.png)）^5^的展开式中x^2^的系数（　　） A．10 B．5 C．![](./data/image/media/image53.png) D．1 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中x^2^的系数 【解答】解：![](./data/image/media/image54.png)， 故选：C． 【点评】本题主要考查了利用待定系数法或生成法求二项式中指定项． 　 4．（5分）曲线y=x^3^﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′\|~x=1~，再结合正切函数的值求出角α的值即可． 【解答】解：y′=3x^2^﹣2，切线的斜率k=3×1^2^﹣2=1．故倾斜角为45°． 故选：B． 【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题． 　 5．（5分）在△ABC中，![](./data/image/media/image55.png)=![](./data/image/media/image56.png)，![](./data/image/media/image57.png)=![](./data/image/media/image58.png)．若点D满足![](./data/image/media/image59.png)=2![](./data/image/media/image60.png)，则![](./data/image/media/image61.png)=（　　） A．![](./data/image/media/image62.png) B．![](./data/image/media/image63.png) C．![](./data/image/media/image64.png) D．![](./data/image/media/image65.png) 【考点】9B：向量加减混合运算．菁优网版权所有 【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手． 【解答】解：∵由![](./data/image/media/image66.png)， ∴![](./data/image/media/image67.png)， ∴![](./data/image/media/image68.png)． 故选：A． 【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的 　 6．（5分）y=（sinx﹣cosx）^2^﹣1是（　　） A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有 【分析】把三角函数式整理，平方展开，合并同类项，逆用正弦的二倍角公式，得到y=Asin（ωx+φ）的形式，这样就可以进行三角函数性质的运算． 【解答】解：∵y=（sinx﹣cosx）^2^﹣1 =1﹣2sinxcosx﹣1 =﹣sin2x， ∴T=π且为奇函数， 故选：D． 【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的六种三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．单在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义． 　 7．（5分）已知等比数列{a~n~}满足a~1~+a~2~=3，a~2~+a~3~=6，则a~7~=（　　） A．64 B．81 C．128 D．243 【考点】87：等比数列的性质．菁优网版权所有 【分析】由a~1~+a~2~=3，a~2~+a~3~=6的关系求得q，进而求得a~1~，再由等比数列通项公式求解． 【解答】解：由a~2~+a~3~=q（a~1~+a~2~）=3q=6， ∴q=2， ∴a~1~（1+q）=3， ∴a~1~=1， ∴a~7~=2^6^=64． 故选：A． 【点评】本题主要考查了等比数列的通项及整体运算． 　 8．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln![](./data/image/media/image69.png)的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（　　） A．e^2x﹣2^ B．e^2x^ C．e^2x+1^ D．e^2x+2^ 【考点】4R：反函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln![](./data/image/media/image70.png)的图象关于直线y=x对称知这两个函数互为反函数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数y=ln![](./data/image/media/image70.png)中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式． 【解答】解：∵![](./data/image/media/image71.png)，∴![](./data/image/media/image72.png)，∴x=（e^y﹣1^）^2^=e^2y﹣2^，改写为：y=e^2x﹣2^ ∴答案为A． 【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法． 　 9．（5分）为得到函数![](./data/image/media/image73.png)的图象，只需将函数y=sin2x的图象（　　） A．向左平移![](./data/image/media/image74.png)个长度单位 B．向右平移![](./data/image/media/image74.png)个长度单位 C．向左平移![](./data/image/media/image75.png)个长度单位 D．向右平移![](./data/image/media/image76.png)个长度单位 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先根据诱导公式将函数![](./data/image/media/image77.png)化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案． 【解答】解：∵![](./data/image/media/image78.png)， 只需将函数y=sin2x的图象向左平移![](./data/image/media/image79.png)个单位得到函数![](./data/image/media/image77.png)的图象． 故选：A． 【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题． 　 10．（5分）若直线![](./data/image/media/image80.png)=1与圆x^2^+y^2^=1有公共点，则（　　） A．a^2^+b^2^≤1 B．a^2^+b^2^≥1 C．![](./data/image/media/image81.png) D．![](./data/image/media/image82.png) 【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有 【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果． 【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r ![](./data/image/media/image83.png)，∴![](./data/image/media/image82.png)， 故选：D． 【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，是基础题． 　 11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的侧棱与底面边长都相等，A~1~在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB~1~与底面ABC所成角的正弦值等于（　　） ![](./data/image/media/image84.png) A．![](./data/image/media/image85.png) B．![](./data/image/media/image86.png) C．![](./data/image/media/image87.png) D．![](./data/image/media/image88.png) 【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；5G：空间角． 【分析】法一：由题意可知三棱锥A~1~﹣ABC为正四面体，设棱长为2，求出AB~1~及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案； 法二：先求出点A~1~到底面的距离A~1~D的长度，即知点B~1~到底面的距离B~1~E的长度，再求出AE的长度，在直角三角形AEB~1~中求AB~1~与底面ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦． 【解答】解：（法一）因为三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的侧棱与底面边长都相等，A~1~在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D， 所以三棱锥A~1~﹣ABC为正四面体，设棱长为2， 则△AA~1~B~1~是顶角为120°等腰三角形， 所以AB~1~=2×2×sin60°=2![](./data/image/media/image89.png)，A~1~D=![](./data/image/media/image90.png)=![](./data/image/media/image91.png)， 所以AB~1~与底面ABC所成角的正弦值为![](./data/image/media/image92.png)=![](./data/image/media/image93.png)=![](./data/image/media/image94.png)； （法二）由题意不妨令棱长为2，点B~1~到底面的距离是B~1~E， 如图，A~1~在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D， 故DA=![](./data/image/media/image95.png)， 由勾股定理得A~1~D=![](./data/image/media/image96.png)=![](./data/image/media/image97.png)故B~1~E=![](./data/image/media/image97.png)， 如图作A~1~S⊥AB于中点S，过B1作AB的垂线段，垂足为F， BF=1，B~1~F=A~1~S=![](./data/image/media/image98.png)，AF=3， 在直角三角形B~1~AF中用勾股定理得：AB~1~=2![](./data/image/media/image98.png)， 所以AB~1~与底面ABC所成角的正弦值sin∠B~1~AE=![](./data/image/media/image99.png)=![](./data/image/media/image100.png)． 故选：B． ![](./data/image/media/image101.png) 【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力． 　 12．（5分）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（　　） ![](./data/image/media/image102.png) A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 【考点】D4：排列及排列数公式．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题． 【分析】填好第一行和第一列，其他的行和列就确定，因此只要选好第一行的顺序再确定第一列的顺序，就可以得到符合要求的排列． 【解答】解：填好第一行和第一列， 其他的行和列就确定， ∴A~3~^3^A~2~^2^=12， 故选：B． 【点评】排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素． 　 **二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）** 13．（5分）若x，y满足约束条件![](./data/image/media/image103.png)，则z=2x﹣y的最大值为[　9　]{.underline}． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；13：作图题． 【分析】首先作出可行域，再作出直线l~0~：y=2x，将l~0~平移与可行域有公共点，直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x﹣y中即可． 【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l~0~：y=2x，将l~0~平移至过点A处时，函数z=2x﹣y有最大值9． ![](./data/image/media/image104.png) 【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想． 　 14．（5分）已知抛物线y=ax^2^﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为[　2　]{.underline}． 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】先根据抛物线y=ax^2^﹣1的焦点坐标为坐标原点，求得a，得到抛物线方程，进而可知与坐标轴的交点的坐标，进而可得答案． 【解答】解：由抛物线y=ax^2^﹣1的焦点坐标为![](./data/image/media/image105.png)坐标原点得， ![](./data/image/media/image106.png)，则![](./data/image/media/image107.png) 与坐标轴的交点为（0，﹣1），（﹣2，0），（2，0） ，则以这三点围成的三角形的面积为![](./data/image/media/image108.png) 故答案为2 【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力． 　 15．（5分）在△ABC中，∠A=90°，tanB=![](./data/image/media/image109.png)．若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=[　]{.underline}![](./data/image/media/image110.png)[　]{.underline}． 【考点】K2：椭圆的定义．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】令AB=4，椭圆的c可得，AC=3，BC=5依据椭圆定义求得a，则离心率可得． 【解答】解：令AB=4，则AC=3，BC=5 则2c=4，∴c=2，2a=3+5=8 ∴a=4，∴e=![](./data/image/media/image111.png) 故答案为![](./data/image/media/image110.png)． 【点评】本题主要考查了椭圆的定义．要熟练掌握椭圆的第一和第二定义． 　 16．（5分）已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A﹣BD﹣C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于[　]{.underline}![](./data/image/media/image112.png)[　]{.underline}． 【考点】MJ：二面角的平面角及求法；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】本题考查了立体几何中的折叠问题，及定义法求二面角和点到平面的距离，我们由已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A﹣BD﹣C为120°，及菱形的性质：对角线互相垂直，我们易得∴∠AOC即为二面角A﹣BD﹣C的平面角，解△AOC后，OC边的高即为A点到平面BCD的距离． 【解答】解：已知如下图所示： 设AC∩BD=O，则AO⊥BD，CO⊥BD， ∴∠AOC即为二面角A﹣BD﹣C的平面角 ∴∠AOC=120°，且AO=1， ∴d=1×sin60°=![](./data/image/media/image113.png) ![](./data/image/media/image114.png) 故答案为：![](./data/image/media/image113.png) 【点评】根据二面角的大小解三角形，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AOC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，通过解∠AOC所在的三角形求得∠AOC．其解题过程为：作∠AOC→证∠AOC是二面角的平面角→利用∠AOC解三角形AOC，简记为"作、证、算"． 　 **三、解答题（共6小题，满分70分）** 17．（10分）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB=3，bsinA=4． （Ⅰ）求边长a； （Ⅱ）若△ABC的面积S=10，求△ABC的周长l． ![](./data/image/media/image115.png) 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】（I）由图及已知作CD垂直于AB，在直角三角形BDC中求BC的长． （II）由面积公式解出边长c，再由余弦定理解出边长b，求三边的和即周长． 【解答】解：（I）过C作CD⊥AB于D，则由CD=bsinA=4，BD=acosB=3 ∴在Rt△BCD中，a=BC=![](./data/image/media/image116.png)=5 （II）由面积公式得S=![](./data/image/media/image117.png)×AB×CD=![](./data/image/media/image117.png)×AB×4=10得AB=5 又acosB=3，得cosB=![](./data/image/media/image118.png) 由余弦定理得：b=![](./data/image/media/image119.png)=![](./data/image/media/image120.png)=2![](./data/image/media/image121.png) △ABC的周长l=5+5+2![](./data/image/media/image121.png)=10+2![](./data/image/media/image122.png) 答：（I）a=5；（II）l=10+2![](./data/image/media/image122.png) 【点评】本题主要考查了射影定理及余弦定理． 　 18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，![](./data/image/media/image123.png)，AB=AC． （Ⅰ）证明：AD⊥CE； （Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小． ![](./data/image/media/image124.png) 【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】（1）取BC中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的． （2）在面AED内过点E作AD的垂线，垂足为G，由（1）知，CE⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大小． 【解答】解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O， ∵AB=AC，∴AF⊥BC． 又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE． 再根据 ![](./data/image/media/image125.png)，可得∠CED=∠FDC． 又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°， ∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD． （2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G． ∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD， 则∠CGE即为所求二面角的平面角． 作CH⊥AB，H为垂足． ∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH⊂平面ABC， 故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE， ∴∠CEH=45°为CE与平面ABE所成的角． ∵CE=![](./data/image/media/image126.png)，∴CH=EH=![](./data/image/media/image127.png)． 直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH=![](./data/image/media/image128.png)=![](./data/image/media/image129.png)=1，∴AH=AB﹣BH=AC﹣1； 直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC^2^=CH^2^+AH^2^=3+（AC﹣1）^2^，∴AB=AC=2． 由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC， 故△ACD为直角三角形，AD=![](./data/image/media/image130.png)=![](./data/image/media/image131.png)=![](./data/image/media/image132.png)， 故CG=![](./data/image/media/image133.png)=![](./data/image/media/image134.png)=![](./data/image/media/image135.png)，DG=![](./data/image/media/image136.png)=![](./data/image/media/image137.png)， ![](./data/image/media/image138.png)，又 ![](./data/image/media/image139.png)， 则![](./data/image/media/image140.png)， ∴![](./data/image/media/image141.png)， 即二面角C﹣AD﹣E的大小![](./data/image/media/image142.png)． ![](./data/image/media/image143.png) 【点评】本题主要考查通过证明线面垂直来证明线线垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，属于中档题． 　 19．（12分）在数列{a~n~}中，a~1~=1，a~n+1~=2a~n~+2^n^． （Ⅰ）设b~n~=![](./data/image/media/image144.png)．证明：数列{b~n~}是等差数列； （Ⅱ）求数列{a~n~}的前n项和S~n~． 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题． 【分析】（1）由a~n+1~=2a~n~+2^n^构造可得![](./data/image/media/image145.png)即数列{b~n~}为等差数列 （2）由（1）可求![](./data/image/media/image146.png)=n，从而可得a~n~=n•2^n﹣1^ 利用错位相减求数列{a~n~}的和 【解答】解：由a~n+1~=2a~n~+2^n^．两边同除以2^n^得![](./data/image/media/image147.png) ∴![](./data/image/media/image148.png)，即b~n+1~﹣b~n~=1 ∴{b~n~}以1为首项，1为公差的等差数列 （2）由（1）得![](./data/image/media/image149.png) ∴a~n~=n•2^n﹣1^ S~n~=2^0^+2×2^1^+3×2^2^+...+n•2^n﹣1^ 2S~n~=2^1^+2×2^2^+...+（n﹣1）•2^n﹣1^+n•2^n^ ∴﹣S~n~=2^0^+2^1^+2^2^+...+2^n﹣1^﹣n•2^n^ =![](./data/image/media/image150.png) ∴S~n~=（n﹣1）•2^n^+1 【点评】本题考查利用构造法构造特殊的等差等比数列及错位相减求数列的和，构造法求数列的通项及错位相减求数列的和是数列部分的重点及热点，要注意该方法的掌握． 　 20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率． 【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想． 【分析】（解法一）主要依乙所验的次数分类，并求出每种情况下被验中的概率，再求甲种方案的次数不少于乙种次数的概率； （解法二）先求所求事件的对立事件即甲的次数小于乙的次数，再求出它包含的两个事件"甲进行的一次即验出了和甲进行了两次，乙进行了3次"的概率，再代入对立事件的概率公式求解． 【解答】解：（解法一）：主要依乙所验的次数分类： 若乙验两次时，有两种可能： ①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为： ![](./data/image/media/image151.png)（也可以用![](./data/image/media/image152.png)） ②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次验中没有，均可以在第二次结束） ![](./data/image/media/image153.png)（![](./data/image/media/image154.png)） ∴乙只用两次的概率为![](./data/image/media/image155.png)． 若乙验三次时，只有一种可能： 先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为：∴在三次验出时概率为![](./data/image/media/image156.png) ∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为： ![](./data/image/media/image157.png) （解法二）：设A为甲的次数不小于乙的次数，则![](./data/image/media/image158.png)表示甲的次数小于乙的次数， 则只有两种情况，甲进行的一次即验出了和甲进行了两次，乙进行了3次． 则设A~1~，A~2~分别表示甲在第一次、二次验出，并设乙在三次验出为B ![](./data/image/media/image159.png) ∴![](./data/image/media/image160.png) ∴![](./data/image/media/image161.png) 【点评】本题考查了用计数原理来求事件的概率，并且所求的事件遇过于复杂的，要主动去分析和应用对立事件来处理． 　 21．（12分）已知函数f（x）=﹣x^2^+ax+1﹣lnx． （Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）若f（x）在区间（0，![](./data/image/media/image162.png)）上是减函数，求实数a的取值范围． 【考点】3D：函数的单调性及单调区间；3E：函数单调性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题． 【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可． （2）已知f（x）在区间（0，![](./data/image/media/image163.png)）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0，![](./data/image/media/image163.png)）上恒成立，然后用分离参数求最值即可． 【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x^2^+3x+1﹣lnx ∴![](./data/image/media/image164.png) 解f′（x）＞0， 即：2x^2^﹣3x+1＜0 函数f（x）的单调递增区间是![](./data/image/media/image165.png)． （Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣![](./data/image/media/image166.png)， ∵f（x）在![](./data/image/media/image167.png)上为减函数， ∴x∈![](./data/image/media/image167.png)时﹣2x+a﹣![](./data/image/media/image166.png)≤0恒成立． 即a≤2x+![](./data/image/media/image168.png)恒成立． 设![](./data/image/media/image169.png)，则![](./data/image/media/image170.png) ∵x∈![](./data/image/media/image171.png)时，![](./data/image/media/image172.png)＞4， ∴g′（x）＜0， ∴g（x）在![](./data/image/media/image171.png)上递减， ∴g（x）＞g（![](./data/image/media/image173.png)）=3， ∴a≤3． 【点评】本题考查函数单调性的判断和已知函数单调性求参数的范围，此类问题一般用导数解决，综合性较强． 　 22．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l~1~，l~2~，经过右焦点F垂直于l~1~的直线分别交l~1~，l~2~于A，B两点．已知\|![](./data/image/media/image174.png)\|、\|![](./data/image/media/image175.png)\|、\|![](./data/image/media/image176.png)\|成等差数列，且![](./data/image/media/image177.png)与![](./data/image/media/image178.png)同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 【考点】KB：双曲线的标准方程；KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】（1）由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率． （2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，求出待定系数，即可求出双曲线方程． 【解答】解：（1）设双曲线方程为![](./data/image/media/image179.png)，由![](./data/image/media/image177.png)，![](./data/image/media/image180.png)同向， ∴渐近线的倾斜角范围为（0，![](./data/image/media/image181.png)）， ∴渐近线斜率为：![](./data/image/media/image182.png)，∴![](./data/image/media/image183.png)． ∵\|![](./data/image/media/image184.png)\|、\|![](./data/image/media/image185.png)\|、\|![](./data/image/media/image186.png)\|成等差数列，∴\|OB\|+\|OA\|=2\|AB\|， ∴\|AB\|^2^=（\|OB\|﹣\|OA\|）（\|OB\|+\|OA\|）=（\|OB\|﹣\|OA\|）•2\|AB\|， ∴![](./data/image/media/image187.png)， ∴![](./data/image/media/image188.png)， 可得：![](./data/image/media/image189.png)，而在直角三角形OAB中， 注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=![](./data/image/media/image190.png)， 而由对称性可知：OA的斜率为k=tan![](./data/image/media/image191.png)， ∴![](./data/image/media/image192.png)，∴2k^2^+3k﹣2=0，∴![](./data/image/media/image193.png)； ∴![](./data/image/media/image194.png)，∴![](./data/image/media/image195.png)，∴![](./data/image/media/image196.png)． （2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为![](./data/image/media/image197.png)﹣![](./data/image/media/image198.png)=1，∴c=![](./data/image/media/image199.png)b． 由于AB的倾斜角为![](./data/image/media/image200.png)+![](./data/image/media/image201.png)∠AOB，故AB的斜率为tan（![](./data/image/media/image200.png)+![](./data/image/media/image201.png)∠AOB ）=﹣cot（![](./data/image/media/image201.png)∠AOB）=﹣2， ∴AB的直线方程为 y=﹣2（x﹣![](./data/image/media/image199.png)b），代入双曲线方程得：15x^2^﹣32![](./data/image/media/image202.png)bx+84b^2^=0， ∴x~1~+x~2~=![](./data/image/media/image203.png)，x~1~•x~2~=![](./data/image/media/image204.png)， ∴4=![](./data/image/media/image205.png)•![](./data/image/media/image206.png)=![](./data/image/media/image202.png)•![](./data/image/media/image207.png)，即16=![](./data/image/media/image208.png)﹣112b^2^， ∴b^2^=9，所求双曲线方程为：![](./data/image/media/image209.png)﹣![](./data/image/media/image210.png)=1． 【点评】做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据![](./data/image/media/image211.png)，联想到对应的是2渐近线的夹角的正切值，属于中档题． 　
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)** **第3单元 第五节：小小养殖场** 1、按![](./data/image/media/image1.png)顺序填数 -- --- -- -- ---- -- 8 11 -- --- -- -- ---- -- ------------------------------------ ---- ------------------------------------ -- ![](./data/image/media/image1.png) 14 ![](./data/image/media/image1.png) ------------------------------------ ---- ------------------------------------ -- 2、1个十和6个一合起来是（ ）![](./data/image/media/image1.png)，个位上的数是（ ），十位上的数是（ ）。 3、7个一和1个十合起来是（ ），个位上的数是（ ），表示（ ）个（ ），十位上的数是（ ），表示（ ）个（ ）。 4、18里面有（ ）个一和（ ）个十。 ![](./data/image/media/image1.png) 5、（ ）个一是1个十。10个一就是（ ） 6、20里面有（ ）个十。20里面有（ ）个一。 ![](./data/image/media/image1.png)7、5个一和1个十组成的数是（ ）![](./data/image/media/image1.png)，和他相邻的数是（ ![](./data/image/media/image1.png) ）和（ ）。 8、16的相邻数是（ ）和（ ）。 9、13后面的第4个数是（ ）。 10、按照从大到小的顺序写出比10大比20小的5个数 > [ ]{.underline} [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image1.png) [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} 11、想一想，再往下接着写 　（1）3、6、9、（    ）、（ ）、（    ）． 　（2）19、17、15、（    ）、（ ）、（    ）、（    ）、（ ） 　（3）20、16、12、（    ）、（ ）、（    ）． 　（4）5、10、（    ）、20．\[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\] **12、想一想，填一填。在你认为合适的答案下面画"**![](./data/image/media/image2.png)**"。** （1）笑笑摘了32个桃，淘气摘的要比笑笑多一些。淘气可能摘了多少个桃？![](./data/image/media/image1.png) ---- ---- ---- 90 45 32 ---- ---- ---- （2）科技书有48本，故事书比科技书多得多。故事书可能有多少本？ ---- ---- ---- ---- 96 39 49 99 ---- ---- ---- ---- \[来源:学科网\] 答案 1、按顺序填数 --- --- --- ---- ---- ---- 7 8 9 10 11 12 --- --- --- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- 13 14 15 16 ---- ---- ---- ---- 2、![](./data/image/media/image1.png)16 6 ![](./data/image/media/image1.png) 1 3、17 7 7 1； 1 1 10 4、8 1 5、10 10 6、2 20 7、15 14 16 8、15 17 9、17\[来源:学&科&网\] 10、19 18 17 16 15 [ ]{.underline} 11、想一想，再往下接着写 　（1）3、6、9、（12）、（15）、（18） 　（2）19、17、15、（13）、（11）、（9![](./data/image/media/image1.png)）、（7 ）、（5） 　（3）20、16、12、（8）、（4）、（0）\[来源:Z。xx。k.Com\] 　（4）5、10、（15）、20． **12、想一想，填一填。在你认为合适的答案下面画"**![](./data/image/media/image2.png)**"。** （1）笑笑摘了32个桃![](./data/image/media/image1.png)，淘气摘的要比笑笑多一些。淘气可能摘了多少个桃？ ---- ------------------------------------ ---- 90 45 32 ![](./data/image/media/image2.png) ---- ------------------------------------ ---- （2）科技书有48本，故事书比科技书多得多。故事书可能有多少本？ ------------------------------------ ---- ---- ------------------------------------ 96 39 49 99 ![](./data/image/media/image2.png) ![](./data/image/media/image2.png) ------------------------------------ ---- ---- ------------------------------------
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2022届新高考开学数学摸底考试卷15 **一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．** 1．复平面内表示复数的点位于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．已知集合，则满足的集合的个数是 （ ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知，且是第四象限角，则的值是 （ ） A． B． C． D． 4．**已知""是""的充分不必要条件，则的取值范围是 （ ）** A． B． C． D． 5．给定函数：①；②；③；④，其中偶函数是 （ ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 6．已知直线和平面满足，下列命题： ①∥；②∥；③∥； ④∥ 正确命题的序号是 ( ) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 7．已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为 （ ） A． B． C． D． 8．若函数存在两个不同零点，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． **二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）** 9．已知函数，则下列结论正确的是 （ ） A．函数的最小正周期为 B．函数在上有三个零点 C．当时，函数取得最大值 D．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） 10．若，，则下面有几个结论正确的有 （ ） A. 若，，则 B. C. 若，则 D. 若，则 11．若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是 （ ） A． B． C． D． 12．已知的展开式中各项系数的和为，则下列结论正确的有 （ ） A．*a*＝1 B．展开式中常数项为160 C．展开式系数的绝对值的和1458 D．若*r*为偶数，则展开式中和的系数相 **二、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．** 13．设口袋中有黑球、白球共有个，从中任取个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为 [ ]{.underline} . 14．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为 [ ]{.underline} . 15．已知双曲线的一条渐近线的斜率为,且 右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的方程为 [ ]{.underline} ． 16\. 如图，在△ABC中，，分别是直线AB,AC 上的点，，，且，则∠BAC= [ ]{.underline} . **三、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．** 17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为*a*，*b*，*c*．已知*a*，*b*，*c*成等差数列，且． （1）求的值；（2）求 18．设椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为为坐标原点，点到直线的距离为为等腰三角形. （1）求椭圆的标准方程；（2）若倾斜角为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于两点（点在点的上方）求线段与的长度之比. 19．如图，要利用一半径为5cm的圆形纸片制作三棱锥形包装盒．已知该纸片的圆心为O，先以O为中心作边长为2*x*（单位：cm）的等边三角形ABC，再分别在圆O上取三个点D，E，F，使△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合于点P，即可得到正三棱锥P---ABC． （1）若三棱锥P---ABC是正四面体，求*x*的值； （2）求三棱锥P---ABC的体积*V*的最大值，并指出相应*x*的值． ![](./data/image/media/image112.png) 20．已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 21．如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点满足. ![](./data/image/media/image128.png)（1）若，求二面角的大小； （2）若直线与平面所成角的正弦值，求的值. 22．已知数列满足，． （1）若(*n*)．①设，求证：数列是等比数列；②若数列的前*n*项和满足(*n*)，求实数*m*的最小值： （2）若数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，且(*n*)，，求数列的通项公式． 2022届新高考开学数学摸底考试卷15 **参考答案** **一、选择题** -------------------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ---------- --------- --------- --------- [题号]{.underline} **1** **2** **3** **4** **5** **6** **7** **8** **9** **10** **11** **12** [答案]{.underline} **C** **A** **B** **B** **C** **D** **A** **B** **ABCD** **BCD** **BCD** **ACD** -------------------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ---------- --------- --------- --------- **二、填空题．** **13**. ； 14．； 15\. ； 16．； **三、解答题** 17．解：（1）在中，有正弦定理，得. 又由，得, 又因为， 又由成等差数列，得 所以， 由余弦定理 （3）在中，由（1）可得, 从而， ， 故 18．（1）由题意知，直线的方程为， 即， 则， 因为为等腰三角形，所以， 又， 所以椭圆的方程为； （2）联立， 所以 ![](./data/image/media/image176.png) 19．解：（1）连接,交于点，连接， 在中，， ， 因为三棱锥是正四面体， 所以是正三角形， 所以； （2）在， 所以高， 由， 所以三棱锥的体积 设函数， 令 ，列表如下： -- -- -------- -- 极大值 -- -- -------- -- 所以在时取最大值， 所以，此时 20．解：（1）当时，，， 令，解得，令，解得， 所以的减区间为，增区间为； （2）若有两个零点，即有两个解， 从方程可知，不成立，即有两个解， 令，则有， 令，解得，令，解得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 而时，，当时，， 所以当有两个解时，有， 所以满足条件的的取值范围是：. 21．解：（1）以*O*为坐标原点，建立坐标系，则 ，，，，， 所以，，设，则 ， ，所以，易知平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，则，， 所以，， 由图形可得，二面角为锐角，所以二面角的大小为. （2），，设， 则，，所以， ![](./data/image/media/image263.png)设平面的一个法向量，则 ， 令，则， ， 因为直线与平面所成角的正弦值， 则， ，解得：，. 22．解：（1）①因为 所以数列是以为首项，为公比的等比数列 ②由①知，， 则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 当时，有最大值，所以实数的最小值为； （2）设奇数项所成等差数列的公差为，偶数项所成等差数列的公差为， ①当为奇数时，， 则， ②当为偶数时， 则 ， 综上可得，， 又， 所以当为奇数时， 当为偶数时，， 故数列的通项公式为
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**2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）** \\**一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．** 1．（5分）已知集合M={x\|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣3，﹣2，﹣1} 2．（5分）![](./data/image/media/image1.png)=（　　） A．2![](./data/image/media/image2.png) B．2 C．![](./data/image/media/image2.png) D．1 3．（5分）设x，y满足约束条件 ![](./data/image/media/image3.png)，则z=2x﹣3y的最小值是（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3 4．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=![](./data/image/media/image4.png)，C=![](./data/image/media/image5.png)，则△ABC的面积为（　　） A．2![](./data/image/media/image6.png)+2 B．![](./data/image/media/image7.png) C．2![](./data/image/media/image8.png)﹣2 D．![](./data/image/media/image8.png)﹣1 5．（5分）设椭圆C：![](./data/image/media/image9.png)=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，P是C上的点PF~2~⊥F~1~F~2~，∠PF~1~F~2~=30°，则C的离心率为（　　） A．![](./data/image/media/image10.png) B．![](./data/image/media/image11.png) C．![](./data/image/media/image12.png) D．![](./data/image/media/image13.png) 6．（5分）已知sin2α=![](./data/image/media/image14.png)，则cos^2^（α+![](./data/image/media/image15.png)）=（　　） A．![](./data/image/media/image16.png) B．![](./data/image/media/image11.png) C．![](./data/image/media/image17.png) D．![](./data/image/media/image18.png) 7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（　　） ![](./data/image/media/image19.png) A．1+![](./data/image/media/image20.png)+![](./data/image/media/image21.png)+![](./data/image/media/image22.png) B．1+![](./data/image/media/image20.png)+![](./data/image/media/image23.png)+![](./data/image/media/image24.png) C．1+![](./data/image/media/image20.png)+![](./data/image/media/image21.png)+![](./data/image/media/image25.png)+![](./data/image/media/image26.png) D．1+![](./data/image/media/image27.png)+![](./data/image/media/image28.png)+![](./data/image/media/image29.png)+![](./data/image/media/image30.png) 8．（5分）设a=log~3~2，b=log~5~2，c=log~2~3，则（　　） A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 9．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（　　） A．![](./data/image/media/image31.png) B．![](./data/image/media/image32.png) C．![](./data/image/media/image33.png) D．![](./data/image/media/image34.png) 10．（5分）设抛物线C：y^2^=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若\|AF\|=3\|BF\|，则l的方程为（　　） A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y=![](./data/image/media/image35.png)（x﹣1）或 y=﹣![](./data/image/media/image35.png)（x﹣1） C．y=![](./data/image/media/image36.png)（x﹣1）或 y=﹣![](./data/image/media/image36.png)（x﹣1） D．y=![](./data/image/media/image37.png)（x﹣1）或 y=﹣![](./data/image/media/image38.png)（x﹣1） 11．（5分）已知函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c，下列结论中错误的是（　　） A．∃x~0~∈R，f（x~0~）=0 B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形 C．若x~0~是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（﹣∞，x~0~）上单调递减 D．若x~0~是f（x）的极值点，则f′（x~0~ ）=0 12．（5分）若存在正数x使2^x^（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣1，+∞） 　 **二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．** 13．（4分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是[　 　]{.underline}． 14．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则![](./data/image/media/image39.png)•![](./data/image/media/image40.png)=[　 　]{.underline}． 15．（4分）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为![](./data/image/media/image41.png)，底面边长为![](./data/image/media/image42.png)，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为[　 　]{.underline}． 16．（4分）函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移![](./data/image/media/image43.png)个单位后，与函数y=sin（2x+![](./data/image/media/image44.png)）的图象重合，则φ=[　 　]{.underline}． 　 **三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．** 17．（12分）已知等差数列{a~n~}的公差不为零，a~1~=25，且a~1~，a~11~，a~13~成等比数列． （Ⅰ）求{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）求a~1~+a~4~+a~7~+...+a~3n﹣2~． 18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，D，E分别是AB，BB~1~的中点 （Ⅰ）证明：BC~1~∥平面A~1~CD； （Ⅱ）AA~1~=AC=CB=2，AB=![](./data/image/media/image45.png)，求三棱锥C﹣A~1~DE的体积． ![](./data/image/media/image46.png) 19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． ![](./data/image/media/image47.png) （Ⅰ）将T表示为X的函数； （Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2![](./data/image/media/image48.png)，在y轴上截得线段长为2![](./data/image/media/image49.png)． （Ⅰ）求圆心P的轨迹方程； （Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为![](./data/image/media/image50.png)，求圆P的方程． 21．（12分）已知函数f（x）=x^2^e^﹣x^ （Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值； （Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围． 　 **选做题．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号．** 22．【选修4﹣1几何证明选讲】 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆． （1）证明：CA是△ABC外接圆的直径； （2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值． ![](./data/image/media/image51.png) 23．已知动点P、Q都在曲线![](./data/image/media/image52.png)（β为参数）上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点． （1）求M的轨迹的参数方程； （2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点． 24．（14分）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】 设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）![](./data/image/media/image53.png) （Ⅱ）![](./data/image/media/image54.png)． 　 **2013年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．** 1．（5分）已知集合M={x\|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣3，﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣3，﹣2，﹣1} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】找出集合M与N的公共元素，即可求出两集合的交集． 【解答】解：∵集合M={x\|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}， ∴M∩N={﹣2，﹣1，0}． 故选：C． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 2．（5分）![](./data/image/media/image55.png)=（　　） A．2![](./data/image/media/image56.png) B．2 C．![](./data/image/media/image56.png) D．1 【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果． 【解答】解：![](./data/image/media/image57.png)=![](./data/image/media/image58.png)=![](./data/image/media/image59.png)=![](./data/image/media/image60.png)． 故选：C． 【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力． 　 3．（5分）设x，y满足约束条件 ![](./data/image/media/image61.png)，则z=2x﹣3y的最小值是（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】先画出满足约束条件：![](./data/image/media/image62.png)，的平面区域，求出平面区域的各角点，然后将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=2x﹣3y的最小值． 【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图所示， 由![](./data/image/media/image63.png)得![](./data/image/media/image64.png)， 由图可知目标函数在点A（3，4）取最小值z=2×3﹣3×4=﹣6． 故选：B． ![](./data/image/media/image65.png) 【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解． 　 4．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=![](./data/image/media/image66.png)，C=![](./data/image/media/image67.png)，则△ABC的面积为（　　） A．2![](./data/image/media/image68.png)+2 B．![](./data/image/media/image69.png) C．2![](./data/image/media/image70.png)﹣2 D．![](./data/image/media/image70.png)﹣1 【考点】%H：三角形的面积公式；HP：正弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】由sinB，sinC及b的值，利用正弦定理求出c的值，再求出A的度数，由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积． 【解答】解：∵b=2，B=![](./data/image/media/image71.png)，C=![](./data/image/media/image72.png)， ∴由正弦定理![](./data/image/media/image73.png)=![](./data/image/media/image74.png)得：c=![](./data/image/media/image75.png)=![](./data/image/media/image76.png)=2![](./data/image/media/image77.png)，A=![](./data/image/media/image78.png)， ∴sinA=sin（![](./data/image/media/image79.png)+![](./data/image/media/image80.png)）=cos![](./data/image/media/image80.png)=![](./data/image/media/image81.png)， 则S~△ABC~=![](./data/image/media/image82.png)bcsinA=![](./data/image/media/image82.png)×2×2![](./data/image/media/image77.png)×![](./data/image/media/image83.png)=![](./data/image/media/image84.png)+1． 故选：B． 【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 　 5．（5分）设椭圆C：![](./data/image/media/image85.png)=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，P是C上的点PF~2~⊥F~1~F~2~，∠PF~1~F~2~=30°，则C的离心率为（　　） A．![](./data/image/media/image86.png) B．![](./data/image/media/image87.png) C．![](./data/image/media/image88.png) D．![](./data/image/media/image89.png) 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设\|PF~2~\|=x，在直角三角形PF~1~F~2~中，依题意可求得\|PF~1~\|与\|F~1~F~2~\|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案． 【解答】解：\|PF~2~\|=x，∵PF~2~⊥F~1~F~2~，∠PF~1~F~2~=30°， ∴\|PF~1~\|=2x，\|F~1~F~2~\|=![](./data/image/media/image90.png)x， 又\|PF~1~\|+\|PF~2~\|=2a，\|F~1~F~2~\|=2c ∴2a=3x，2c=![](./data/image/media/image90.png)x， ∴C的离心率为：e=![](./data/image/media/image91.png)=![](./data/image/media/image92.png)． 故选：D． 【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得\|PF~1~\|与\|PF~2~\|及\|F~1~F~2~\|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题． 　 6．（5分）已知sin2α=![](./data/image/media/image93.png)，则cos^2^（α+![](./data/image/media/image94.png)）=（　　） A．![](./data/image/media/image95.png) B．![](./data/image/media/image96.png) C．![](./data/image/media/image97.png) D．![](./data/image/media/image98.png) 【考点】GE：诱导公式；GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：∵sin2α=![](./data/image/media/image98.png)， ∴cos^2^（α+![](./data/image/media/image99.png)）=![](./data/image/media/image100.png)\[1+cos（2α+![](./data/image/media/image101.png)）\]=![](./data/image/media/image100.png)（1﹣sin2α）=![](./data/image/media/image100.png)×（1﹣![](./data/image/media/image98.png)）=![](./data/image/media/image102.png)． 故选：A． 【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 　 7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（　　） ![](./data/image/media/image103.png) A．1+![](./data/image/media/image104.png)+![](./data/image/media/image105.png)+![](./data/image/media/image106.png) B．1+![](./data/image/media/image107.png)+![](./data/image/media/image108.png)+![](./data/image/media/image109.png) C．1+![](./data/image/media/image107.png)+![](./data/image/media/image105.png)+![](./data/image/media/image106.png)+![](./data/image/media/image110.png) D．1+![](./data/image/media/image111.png)+![](./data/image/media/image112.png)+![](./data/image/media/image113.png)+![](./data/image/media/image114.png) 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】27：图表型． 【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序可知当条件满足时，用S+![](./data/image/media/image115.png)的值代替S得到新的S，并用k+1代替k，直到条件不能满足时输出最后算出的S值，由此即可得到本题答案． 【解答】解：根据题意，可知该按以下步骤运行 第一次：S=1， 第二次：S=1+![](./data/image/media/image116.png)， 第三次：S=1+![](./data/image/media/image116.png)+![](./data/image/media/image117.png)， 第四次：S=1+![](./data/image/media/image116.png)+![](./data/image/media/image117.png)+![](./data/image/media/image118.png)． 此时k=5时，符合k＞N=4，输出S的值． ∴S=1+![](./data/image/media/image116.png)+![](./data/image/media/image117.png)+![](./data/image/media/image119.png) 故选：B． ![](./data/image/media/image120.png) 【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，以及表格法的运用，属于基础题． 　 8．（5分）设a=log~3~2，b=log~5~2，c=log~2~3，则（　　） A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可． 【解答】解：由题意可知：a=log~3~2∈（0，1），b=log~5~2∈（0，1），c=log~2~3＞1， 所以a=log~3~2，b=log~5~2=![](./data/image/media/image121.png)， 所以c＞a＞b， 故选：C． 【点评】本题考查对数值的大小比较，换底公式的应用，基本知识的考查． 　 9．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（　　） A．![](./data/image/media/image122.png) B．![](./data/image/media/image123.png) C．![](./data/image/media/image124.png) D．![](./data/image/media/image125.png) 【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；13：作图题． 【分析】由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可． 【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：![](./data/image/media/image126.png) 故选：A． ![](./data/image/media/image127.png) 【点评】本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力． 　 10．（5分）设抛物线C：y^2^=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若\|AF\|=3\|BF\|，则l的方程为（　　） A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y=![](./data/image/media/image128.png)（x﹣1）或 y=﹣![](./data/image/media/image128.png)（x﹣1） C．y=![](./data/image/media/image129.png)（x﹣1）或 y=﹣![](./data/image/media/image129.png)（x﹣1） D．y=![](./data/image/media/image130.png)（x﹣1）或 y=﹣![](./data/image/media/image130.png)（x﹣1） 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据题意，可得抛物线焦点为F（1，0），由此设直线l方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联解消去x，得![](./data/image/media/image131.png)﹣y﹣k=0．再设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），由根与系数的关系和\|AF\|=3\|BF\|，建立关于y~1~、y~2~和k的方程组，解之可得k值，从而得到直线l的方程． 【解答】解：∵抛物线C方程为y^2^=4x，可得它的焦点为F（1，0）， ∴设直线l方程为y=k（x﹣1） 由![](./data/image/media/image132.png)消去x，得![](./data/image/media/image133.png)﹣y﹣k=0 设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）， 可得y~1~+y~2~=![](./data/image/media/image134.png)，y~1~y~2~=﹣4...（\*） ∵\|AF\|=3\|BF\|， ∴y~1~+3y~2~=0，可得y~1~=﹣3y~2~，代入（\*）得﹣2y~2~=![](./data/image/media/image134.png)且﹣3y~2~^2^=﹣4， 消去y~2~得k^2^=3，解之得k=![](./data/image/media/image135.png) ∴直线l方程为y=![](./data/image/media/image136.png)（x﹣1）或y=﹣![](./data/image/media/image136.png)（x﹣1） 故选：C． ![](./data/image/media/image137.png) 【点评】本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点F分成1：3的两部分，求直线AB的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题． 　 11．（5分）已知函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c，下列结论中错误的是（　　） A．∃x~0~∈R，f（x~0~）=0 B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形 C．若x~0~是f（x）的极小值点，则f（x ）在区间（﹣∞，x~0~）上单调递减 D．若x~0~是f（x）的极值点，则f′（x~0~ ）=0 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用． 【分析】对于A，对于三次函数f（x ）=x^3^+ax^2^+bx+c，由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞，故在区间（﹣∞，+∞）肯定存在零点； 对于B，根据对称变换法则，求出对应中心坐标，可以判断； 对于C：采用取特殊函数的方法，若取a=﹣1，b=﹣1，c=0，则f（x）=x^3^﹣x^2^﹣x，利用导数研究其极值和单调性进行判断； D：若x~0~是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x~0~ ）=0，正确． 【解答】解： A、对于三次函数f （x ）=x^3^+ax^2^+bx+c， A：由于当x→﹣∞时，y→﹣∞，当x→+∞时，y→+∞， 故∃x~0~∈R，f（x~0~）=0，故A正确； B、∵f（﹣![](./data/image/media/image138.png)﹣x）+f（x）=（﹣![](./data/image/media/image138.png)﹣x）^3^+a（﹣![](./data/image/media/image138.png)﹣x）^2^+b（﹣![](./data/image/media/image138.png)﹣x）+c+x^3^+ax^2^+bx+c=![](./data/image/media/image139.png)﹣![](./data/image/media/image140.png)+2c， f（﹣![](./data/image/media/image141.png)）=（﹣![](./data/image/media/image141.png)）^3^+a（﹣![](./data/image/media/image141.png)）^2^+b（﹣![](./data/image/media/image141.png)）+c=![](./data/image/media/image142.png)﹣![](./data/image/media/image143.png)+c， ∵f（﹣![](./data/image/media/image144.png)﹣x）+f（x）=2f（﹣![](./data/image/media/image141.png)）， ∴点P（﹣![](./data/image/media/image145.png)，f（﹣![](./data/image/media/image145.png)））为对称中心，故B正确． C、若取a=﹣1，b=﹣1，c=0，则f（x）=x^3^﹣x^2^﹣x， 对于f（x）=x^3^﹣x^2^﹣x，∵f′（x）=3x^2^﹣2x﹣1 ∴由f′（x）=3x^2^﹣2x﹣1＞0得x∈（﹣∞，﹣![](./data/image/media/image146.png)）∪（1，+∞） 由f′（x）=3x^2^﹣2x﹣1＜0得x∈（﹣![](./data/image/media/image146.png)，1） ∴函数f（x）的单调增区间为：（﹣∞，﹣![](./data/image/media/image146.png)），（1，+∞），减区间为：（﹣![](./data/image/media/image146.png)，1）， 故1是f（x）的极小值点，但f（x ）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故C错误； D：若x~0~是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f′（x~0~ ）=0，故D正确． 由于该题选择错误的，故选：C． ![](./data/image/media/image147.png) 【点评】本题考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，及导数的运算． 　 12．（5分）若存在正数x使2^x^（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣1，+∞） 【考点】3E：函数单调性的性质与判断；7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】转化不等式为![](./data/image/media/image148.png)，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可． 【解答】解：因为2^x^（x﹣a）＜1，所以![](./data/image/media/image148.png)， 函数y=![](./data/image/media/image149.png)是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1， 所以a的取值范围是（﹣1，+∞）． 故选：D． 【点评】本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力． 　 **二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．** 13．（4分）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是[　0.2　]{.underline}． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】由题意结合组合数公式可得总的基本事件数，再找出和为5的情形，由古典概型的概率公式可得答案． 【解答】解：从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数共有![](./data/image/media/image150.png)=10种情况， 和为5的有（1，4）（2，3）两种情况， 故所求的概率为：![](./data/image/media/image151.png)=0.2 故答案为：0.2 【点评】本题考查古典概型及其概率公式，属基础题． 　 14．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则![](./data/image/media/image152.png)•![](./data/image/media/image153.png)=[　2　]{.underline}． 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（![](./data/image/media/image154.png)）•（![](./data/image/media/image155.png)），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果． 【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 ![](./data/image/media/image156.png)=0， 故 ![](./data/image/media/image157.png)=（ ![](./data/image/media/image158.png) ）•（![](./data/image/media/image159.png)）=（![](./data/image/media/image160.png)）•（![](./data/image/media/image161.png)）=![](./data/image/media/image162.png)﹣![](./data/image/media/image163.png)+![](./data/image/media/image164.png)﹣![](./data/image/media/image165.png)![](./data/image/media/image166.png)=4+0﹣0﹣![](./data/image/media/image167.png)=2， 故答案为 2． 【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题． 　 15．（4分）已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为![](./data/image/media/image168.png)，底面边长为![](./data/image/media/image169.png)，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为[　24π　]{.underline}． 【考点】L3：棱锥的结构特征；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离． 【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O﹣ABCD的高，再利用直角三角形求出正四棱锥O﹣ABCD的侧棱长OA，最后根据球的表面积公式计算即得． 【解答】解：如图，正四棱锥O﹣ABCD的体积V=![](./data/image/media/image170.png)sh=![](./data/image/media/image170.png)（![](./data/image/media/image171.png)×![](./data/image/media/image171.png)）×OH=![](./data/image/media/image172.png)， ∴OH=![](./data/image/media/image173.png)， 在直角三角形OAH中，OA=![](./data/image/media/image174.png)=![](./data/image/media/image175.png)=![](./data/image/media/image176.png) 所以表面积为4πr^2^=24π； 故答案为：24π． ![](./data/image/media/image177.png) 【点评】本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属基础题． 　 16．（4分）函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移![](./data/image/media/image178.png)个单位后，与函数y=sin（2x+![](./data/image/media/image179.png)）的图象重合，则φ=[　]{.underline}![](./data/image/media/image180.png)[　]{.underline}． 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题；57：三角函数的图像与性质． 【分析】根据函数图象平移的公式，可得平移后的图象为y=cos\[2（x﹣![](./data/image/media/image178.png)）+φ\]的图象，即y=cos（2x+φ﹣π）的图象．结合题意得函数y=sin（2x+![](./data/image/media/image179.png)）=![](./data/image/media/image181.png)的图象与y=cos（2x+φ﹣π）图象重合，由此结合三角函数的诱导公式即可算出φ的值． 【解答】解：函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移 ![](./data/image/media/image182.png)个单位后，得平移后的图象的函数解析式为 y=cos\[2（x﹣![](./data/image/media/image182.png)）+φ\]=cos（2x+φ﹣π）， 而函数y=sin（2x+![](./data/image/media/image183.png)）=![](./data/image/media/image184.png)， 由函数y=cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移 ![](./data/image/media/image182.png)个单位后，与函数y=sin（2x+![](./data/image/media/image183.png)）的图象重合，得 2x+φ﹣π=![](./data/image/media/image185.png)，解得：φ=![](./data/image/media/image186.png)． 符合﹣π≤φ＜π． 故答案为![](./data/image/media/image186.png)． 【点评】本题给出函数y=cos（2x+φ）的图象平移，求参数φ的值．着重考查了函数图象平移的公式、三角函数的诱导公式和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换等知识，属于基础题． 　 **三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．** 17．（12分）已知等差数列{a~n~}的公差不为零，a~1~=25，且a~1~，a~11~，a~13~成等比数列． （Ⅰ）求{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）求a~1~+a~4~+a~7~+...+a~3n﹣2~． 【考点】84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】（I）设等差数列{a~n~}的公差为d≠0，利用成等比数列的定义可得，![](./data/image/media/image187.png)，再利用等差数列的通项公式可得![](./data/image/media/image188.png)，化为d（2a~1~+25d）=0，解出d即可得到通项公式a~n~； （II）由（I）可得a~3n﹣2~=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，﹣6为公差的等差数列．利用等差数列的前n项和公式即可得出a~1~+a~4~+a~7~+...+a~3n﹣2~． 【解答】解：（I）设等差数列{a~n~}的公差为d≠0， 由题意a~1~，a~11~，a~13~成等比数列，∴![](./data/image/media/image189.png)， ∴![](./data/image/media/image188.png)，化为d（2a~1~+25d）=0， ∵d≠0，∴2×25+25d=0，解得d=﹣2． ∴a~n~=25+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+27． （II）由（I）可得a~3n﹣2~=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，﹣6为公差的等差数列． ∴S~n~=a~1~+a~4~+a~7~+...+a~3n﹣2~=![](./data/image/media/image190.png) =![](./data/image/media/image191.png) =﹣3n^2^+28n． 【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键． 　 18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，D，E分别是AB，BB~1~的中点 （Ⅰ）证明：BC~1~∥平面A~1~CD； （Ⅱ）AA~1~=AC=CB=2，AB=![](./data/image/media/image192.png)，求三棱锥C﹣A~1~DE的体积． ![](./data/image/media/image193.png) 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）连接AC~1~ 交A~1~C于点F，则DF为三角形ABC~1~的中位线，故DF∥BC~1~．再根据直线和平面平行的判定定理证得 BC~1~∥平面A~1~CD． （Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB~1~A~1~．求得CD的值，利用 勾股定理求得A~1~D、DE和A~1~E的值，可得A~1~D⊥DE．进而求得![](./data/image/media/image194.png)的值，再根据三棱锥C﹣A~1~DE的体积 为![](./data/image/media/image195.png)•![](./data/image/media/image194.png)•CD，运算求得结果． 【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AC~1~ 交A~1~C于点F，则F为AC~1~的中点． ∵直棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，D，E分别是AB，BB~1~的中点，故DF为三角形ABC~1~的中位线，故DF∥BC~1~． 由于DF⊂平面A~1~CD，而BC~1~不在平面A~1~CD中，故有BC~1~∥平面A~1~CD． ![](./data/image/media/image196.png) （Ⅱ）∵AA~1~=AC=CB=2，AB=2![](./data/image/media/image197.png)，故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形． 由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB~1~A~1~ ，∴CD=![](./data/image/media/image198.png)=![](./data/image/media/image197.png)． ∵A~1~D=![](./data/image/media/image199.png)=![](./data/image/media/image200.png)，同理，利用勾股定理求得 DE=![](./data/image/media/image201.png)，A~1~E=3． 再由勾股定理可得![](./data/image/media/image202.png)+DE^2^=![](./data/image/media/image203.png)，∴A~1~D⊥DE． ∴![](./data/image/media/image204.png)=![](./data/image/media/image205.png)=![](./data/image/media/image206.png)， ∴![](./data/image/media/image207.png)=![](./data/image/media/image208.png)•![](./data/image/media/image209.png)•CD=1． 【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积，体现了数形结合的数学思想，属于中档题． 　 19．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． ![](./data/image/media/image210.png) （Ⅰ）将T表示为X的函数； （Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率． 【考点】B8：频率分布直方图．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】（I）由题意先分段写出，当X∈\[100，130）时，当X∈\[130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可． （II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．再由直方图知需求量X∈\[120，150\]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值． 【解答】解：（I）由题意得，当X∈\[100，130）时，T=500X﹣300（130﹣X）=800X﹣39000， 当X∈\[130，150\]时，T=500×130=65000， ∴T=![](./data/image/media/image211.png)． （II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150． 由直方图知需求量X∈\[120，150\]的频率为0.7， 所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7． 【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义． 　 20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2![](./data/image/media/image212.png)，在y轴上截得线段长为2![](./data/image/media/image213.png)． （Ⅰ）求圆心P的轨迹方程； （Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为![](./data/image/media/image214.png)，求圆P的方程． 【考点】J1：圆的标准方程；J3：轨迹方程．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由题意，可直接在弦心距、弦的一半及半径三者组成的直角三角形中利用勾股定理建立关于点P的横纵坐标的方程，整理即可得到所求的轨迹方程； （Ⅱ）由题，可先由点到直线的距离公式建立关于点P的横纵坐标的方程，将此方程与（I）所求的轨迹方程联立，解出点P的坐标，进而解出圆的半径即可写出圆P的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设圆心P（x，y），由题意得圆心到x轴的距离与半径之间的关系为2=﹣y^2^+r^2^，同理圆心到y轴的距离与半径之间的关系为3=﹣x^2^+r^2^，由两式整理得x^2^+3=y^2^+2，整理得y^2^﹣x^2^=1即为圆心P的轨迹方程，此轨迹是等轴双曲线 （Ⅱ）由P点到直线y=x的距离为![](./data/image/media/image214.png)得，![](./data/image/media/image214.png)=![](./data/image/media/image215.png)，即\|x﹣y\|=1，即x=y+1或y=x+1，分别代入y^2^﹣x^2^=1解得P（0，﹣1）或P（0，1） 若P（0，﹣1），此时点P在y轴上，故半径为![](./data/image/media/image216.png)，所以圆P的方程为（y+1）^2^+x^2^=3； 若P（0，1），此时点P在y轴上，故半径为![](./data/image/media/image216.png)，所以圆P的方程为（y﹣1）^2^+x^2^=3； 综上，圆P的方程为（y+1）^2^+x^2^=3或（y﹣1）^2^+x^2^=3 【点评】本题考查求轨迹方程的方法解析法及点的直线的距离公式、圆的标准方程与圆的性质，解题的关键是理解圆的几何特征，将几何特征转化为方程 　 21．（12分）已知函数f（x）=x^2^e^﹣x^ （Ⅰ）求f（x）的极小值和极大值； （Ⅱ）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围． 【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出f′（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值； （Ⅱ）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x^2^e^﹣x^， ∴f′（x）=2xe^﹣x^﹣x^2^e^﹣x^=e^﹣x^（2x﹣x^2^）， 令f′（x）=0，解得x=0或x=2， 令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2； 令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2， 故函数在区间（﹣∞，0）与（2，+∞）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数． ∴x=0是极小值点，x=2极大值点，又f（0）=0，f（2）=![](./data/image/media/image217.png)． 故f（x）的极小值和极大值分别为0，![](./data/image/media/image217.png)． （Ⅱ）设切点为（![](./data/image/media/image218.png)）， 则切线方程为y﹣![](./data/image/media/image219.png)=![](./data/image/media/image220.png)（x﹣x~0~）， 令y=0，解得x=![](./data/image/media/image221.png)=![](./data/image/media/image222.png)， ∵曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数， ∴![](./data/image/media/image223.png)（![](./data/image/media/image224.png)＜0， ∴x~0~＜0或x~0~＞2， 令![](./data/image/media/image225.png)， 则![](./data/image/media/image226.png)=![](./data/image/media/image227.png)． ①当x~0~＜0时，![](./data/image/media/image228.png)0，即f′（x~0~）＞0，∴f（x~0~）在（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x~0~）＜f（0）=0； ②当x~0~＞2时，令f′（x~0~）=0，解得![](./data/image/media/image229.png)． 当![](./data/image/media/image230.png)时，f′（x~0~）＞0，函数f（x~0~）单调递增；当![](./data/image/media/image231.png)时，f′（x~0~）＜0，函数f（x~0~）单调递减． 故当![](./data/image/media/image229.png)时，函数f（x~0~）取得极小值，也即最小值，且![](./data/image/media/image232.png)=![](./data/image/media/image233.png)． 综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（﹣∞，0）∪![](./data/image/media/image234.png)． 【点评】本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力． 　 **选做题．请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，作答时请写清题号．** 22．【选修4﹣1几何证明选讲】 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆． （1）证明：CA是△ABC外接圆的直径； （2）若DB=BE=EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值． ![](./data/image/media/image235.png) 【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】（1）已知CD为△ABC外接圆的切线，利用弦切角定理可得∠DCB=∠A，及BC•AE=DC•AF，可知△CDB∽△AEF，于是∠CBD=∠AFE． 利用B、E、F、C四点共圆，可得∠CFE=∠DBC，进而得到∠CFE=∠AFE=90°即可证明CA是△ABC外接圆的直径； （2）要求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．只需求出其外接圆的直径的平方之比即可．由过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，及DB=BE，可得CE=DC，利用切割线定理可得DC^2^=DB•DA，CA^2^=CB^2^+BA^2^，都用DB表示即可． 【解答】（1）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠DCB=∠A， ∵BC•AE=DC•AF，∴![](./data/image/media/image236.png)． ∴△CDB∽△AEF，∴∠CBD=∠AFE． ∵B、E、F、C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，∴∠CFE=∠AFE=90°． ∴∠CBA=90°，∴CA是△ABC外接圆的直径； （2）连接CE，∵∠CBE=90°， ∴过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，得CE=DC， 又BC^2^=DB•BA=2DB^2^， ∴CA^2^=4DB^2^+BC^2^=6DB^2^． 而DC^2^=DB•DA=3DB^2^， 故过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC面积的外接圆的面积比值=![](./data/image/media/image237.png)=![](./data/image/media/image238.png)． 【点评】熟练掌握弦切角定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的性质、直径的判定、切割线定理、勾股定理等腰三角形的性质是解题的关键． 　 23．已知动点P、Q都在曲线![](./data/image/media/image239.png)（β为参数）上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点． （1）求M的轨迹的参数方程； （2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点． 【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出； （2）利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出． 【解答】解：（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α）， 因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）． M的轨迹的参数方程为![](./data/image/media/image240.png)为参数，0＜α＜2π）． （2）M点到坐标原点的距离d=![](./data/image/media/image241.png)（0＜α＜2π）． 当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点． 【点评】本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 24．（14分）【选修4﹣﹣5；不等式选讲】 设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）![](./data/image/media/image242.png) （Ⅱ）![](./data/image/media/image243.png)． 【考点】R6：不等式的证明．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；16：压轴题． 【分析】（Ⅰ）依题意，由a+b+c=1⇒（a+b+c）^2^=1⇒a^2^+b^2^+c^2^+2ab+2bc+2ca=1，利用基本不等式可得3（ab+bc+ca）≤1，从而得证； （Ⅱ）利用基本不等式可证得：![](./data/image/media/image244.png)+b≥2a，![](./data/image/media/image245.png)+c≥2b，![](./data/image/media/image246.png)+a≥2c，三式累加即可证得结论． 【解答】证明：（Ⅰ）由a^2^+b^2^≥2ab，b^2^+c^2^≥2bc，c^2^+a^2^≥2ca得： a^2^+b^2^+c^2^≥ab+bc+ca， 由题设得（a+b+c）^2^=1，即a^2^+b^2^+c^2^+2ab+2bc+2ca=1， 所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤![](./data/image/media/image247.png)． （Ⅱ）因为![](./data/image/media/image248.png)+b≥2a，![](./data/image/media/image249.png)+c≥2b，![](./data/image/media/image246.png)+a≥2c， 故![](./data/image/media/image248.png)+![](./data/image/media/image249.png)+![](./data/image/media/image250.png)+（a+b+c）≥2（a+b+c），即![](./data/image/media/image251.png)+![](./data/image/media/image252.png)+![](./data/image/media/image250.png)≥a+b+c． 所以![](./data/image/media/image251.png)+![](./data/image/media/image252.png)+![](./data/image/media/image253.png)≥1． 【点评】本题考查不等式的证明，突出考查基本不等式与综合法的应用，考查推理论证能力，属于中档题． 　
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**2013年湖南省高考数学试卷（理科）** 　 **一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．** 1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（　　） A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=![](./data/image/media/image1.png)b，则角A等于（　　） A．![](./data/image/media/image2.png) B．![](./data/image/media/image3.png) C．![](./data/image/media/image4.png) D．![](./data/image/media/image5.png) 4．（5分）若变量x，y满足约束条件![](./data/image/media/image6.png)，则x+2y的最大值是（　　） A．![](./data/image/media/image7.png) B．0 C．![](./data/image/media/image8.png) D．![](./data/image/media/image9.png) 5．（5分）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x^2^﹣4x+5的图象的交点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 6．（5分）已知![](./data/image/media/image10.png)，![](./data/image/media/image11.png)是单位向量，![](./data/image/media/image12.png)，若向量![](./data/image/media/image13.png)满足![](./data/image/media/image14.png)，则![](./data/image/media/image15.png)的取值范围为（　　） A．![](./data/image/media/image16.png) B．![](./data/image/media/image17.png) C．![](./data/image/media/image18.png) D．![](./data/image/media/image19.png) 7．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（　　） A．1 B．![](./data/image/media/image20.png) C．![](./data/image/media/image21.png) D．![](./data/image/media/image22.png) 8．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（　　） ![](./data/image/media/image23.png) A．2 B．1 C．![](./data/image/media/image24.png) D．![](./data/image/media/image25.png) 　 **二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）** 9．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：![](./data/image/media/image26.png)，（t为参数）过椭圆C：![](./data/image/media/image27.png)（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为[　 　]{.underline}． 10．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a^2^+4b^2^+9c^2^的最小值为[　 　]{.underline}． 11．（5分）如图，在半径为![](./data/image/media/image28.png)的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为[　 　]{.underline}． ![](./data/image/media/image29.png) 12．（5分）若![](./data/image/media/image30.png)x^2^dx=9，则常数T的值为[　 　]{.underline}． 13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为[　 　]{.underline}． ![](./data/image/media/image31.png) 14．（5分）设F~1~，F~2~是双曲线C：![](./data/image/media/image32.png)（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若\|PF~1~\|+\|PF~2~\|=6a，且△PF~1~F~2~的最小内角为30°，则C的离心率为[　 　]{.underline}． 15．（5分）设S~n~为数列{a~n~}的前n项和，S~n~=（﹣1）^n^a~n~﹣![](./data/image/media/image33.png)，n∈N^\*^，则 （1）a~3~=[　 　]{.underline}； （2）S~1~+S~2~+...+S~100~=[　 　]{.underline}． 16．（5分）设函数f（x）=a^x^+b^x^﹣c^x^，其中c＞a＞0，c＞b＞0． （1）记集合M={（a，b，c）\|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为[　 　]{.underline}． （2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是[　 　]{.underline}．（写出所有正确结论的序号） ①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0； ②∃x∈R，使a^x^，b^x^，c^x^不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0． 　 **三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．** 17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣![](./data/image/media/image34.png)）+cos（x﹣![](./data/image/media/image35.png)），g（x）=2sin^2^![](./data/image/media/image36.png)． （Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=![](./data/image/media/image37.png)，求g（α）的值； （Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合． 18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的"相近"作物株数X之间的关系如下表所示： --- ---- ---- ---- ---- X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 --- ---- ---- ---- ---- 这里，两株作物"相近"是指它们之间的直线距离不超过1米． （I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好"相近"的概率； （II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望． ![](./data/image/media/image38.png) 19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA~1~=3． （Ⅰ）证明：AC⊥B~1~D； （Ⅱ）求直线B~1~C~1~与平面ACD~1~所成的角的正弦值． ![](./data/image/media/image39.png) 20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条"L路径"．如图所示的路径MM~1~M~2~M~3~N与路径MN~1~N都是M到N的"L路径"．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心． （I）写出点P到居民区A的"L路径"长度最小值的表达式（不要求证明）； （II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，"L路径"不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的"L路径"长度之和最小． ![](./data/image/media/image40.png) 21．（13分）过抛物线E：x^2^=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k~1~，k~2~的两条不同直线l~1~，l~2~，且k~1~+k~2~=2．l~1~与E交于点A，B，l~2~与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l． （Ⅰ）若k~1~＞0，k~2~＞0，证明：![](./data/image/media/image41.png)； （Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为![](./data/image/media/image42.png)，求抛物线E的方程． 22．（13分）已知a＞0，函数![](./data/image/media/image43.png)． （Ⅰ）记f（x）在区间\[0，4\]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式； （Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 　 **2013年湖南省高考数学试卷（理科）** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．** 1．（5分）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案． 【解答】解：z=i•（1+i）=﹣1+i， 故复数z对应的点为（﹣1，1）， 在复平面的第二象限， 故选：B． 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题． 　 2．（5分）某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（　　） A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样． 【解答】解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1． 故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法． 故选：D． 【点评】本小题主要考查抽样方法，属基本题． 　 3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=![](./data/image/media/image44.png)b，则角A等于（　　） A．![](./data/image/media/image45.png) B．![](./data/image/media/image46.png) C．![](./data/image/media/image47.png) D．![](./data/image/media/image48.png) 【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A． 【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=![](./data/image/media/image44.png)b， ∴由正弦定理![](./data/image/media/image49.png)=![](./data/image/media/image50.png)=2R得：2sinAsinB=![](./data/image/media/image51.png)sinB， ∴sinA=![](./data/image/media/image52.png)，又△ABC为锐角三角形， ∴A=![](./data/image/media/image53.png)． 故选：A． 【点评】本题考查正弦定理，将"边"化所对"角"的正弦是关键，属于基础题． 　 4．（5分）若变量x，y满足约束条件![](./data/image/media/image54.png)，则x+2y的最大值是（　　） A．![](./data/image/media/image55.png) B．0 C．![](./data/image/media/image56.png) D．![](./data/image/media/image57.png) 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=![](./data/image/media/image58.png)，y=![](./data/image/media/image59.png)时，x+2y取得最大值为![](./data/image/media/image60.png)． 【解答】解：作出不等式组![](./data/image/media/image61.png)表示的平面区域， 得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣![](./data/image/media/image62.png)，﹣1），B（![](./data/image/media/image63.png)，![](./data/image/media/image59.png)），C（2，﹣1） 设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移， 当l经过点B时，目标函数z达到最大值 ∴z~最大值~=F（![](./data/image/media/image63.png)，![](./data/image/media/image59.png)）=![](./data/image/media/image64.png) 故选：C． ![](./data/image/media/image65.png) 【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 　 5．（5分）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x^2^﹣4x+5的图象的交点个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x^2^﹣4x+5的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案． 【解答】解：在同一坐标系下，画出函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x^2^﹣4x+5的图象如图： 由图可知，两个函数图象共有2个交点 故选：B． ![](./data/image/media/image66.png) 【点评】求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案． 　 6．（5分）已知![](./data/image/media/image67.png)，![](./data/image/media/image68.png)是单位向量，![](./data/image/media/image69.png)，若向量![](./data/image/media/image70.png)满足![](./data/image/media/image71.png)，则![](./data/image/media/image72.png)的取值范围为（　　） A．![](./data/image/media/image73.png) B．![](./data/image/media/image74.png) C．![](./data/image/media/image75.png) D．![](./data/image/media/image76.png) 【分析】令![](./data/image/media/image77.png)，![](./data/image/media/image78.png)，![](./data/image/media/image79.png)，作出图象，根据图象可求出![](./data/image/media/image80.png)的最大值、最小值． 【解答】解：令![](./data/image/media/image81.png)，![](./data/image/media/image78.png)，![](./data/image/media/image79.png)， 如图所示：则![](./data/image/media/image82.png)， 又![](./data/image/media/image83.png)，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上， 易知点C与O、D共线时![](./data/image/media/image84.png)达到最值，最大值为![](./data/image/media/image85.png)+1，最小值为![](./data/image/media/image85.png)﹣1， 所以![](./data/image/media/image86.png)的取值范围为\[![](./data/image/media/image85.png)﹣1，![](./data/image/media/image85.png)+1\]． 故选：A． ![](./data/image/media/image87.png) 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具． 　 7．（5分）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（　　） A．1 B．![](./data/image/media/image88.png) C．![](./data/image/media/image89.png) D．![](./data/image/media/image90.png) 【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为![](./data/image/media/image91.png)即可得出． 【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为![](./data/image/media/image92.png)． 因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为![](./data/image/media/image91.png)． 因此可知：A，B，D皆有可能，而![](./data/image/media/image93.png)＜1，故C不可能． 故选：C． 【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为![](./data/image/media/image91.png)是解题的关键． 　 8．（5分）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（　　） ![](./data/image/media/image94.png) A．2 B．1 C．![](./data/image/media/image95.png) D．![](./data/image/media/image96.png) 【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P~1~的坐标，和P关于y轴的对称点P~2~的坐标，由P~1~，Q，R，P~2~四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值． 【解答】解：建立如图所示的坐标系： 可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4， △ABC的重心为（![](./data/image/media/image97.png)，![](./data/image/media/image98.png)），设P（a，0），其中0＜a＜4， 则点P关于直线BC的对称点P~1~（x，y），满足![](./data/image/media/image99.png)， 解得![](./data/image/media/image100.png)，即P~1~（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P~2~（﹣a，0）， 由光的反射原理可知P~1~，Q，R，P~2~四点共线， 直线QR的斜率为k=![](./data/image/media/image101.png)=![](./data/image/media/image102.png)，故直线QR的方程为y=![](./data/image/media/image102.png)（x+a）， 由于直线QR过△ABC的重心（![](./data/image/media/image103.png)，![](./data/image/media/image103.png)），代入化简可得3a^2^﹣4a=0， 解得a=![](./data/image/media/image103.png)，或a=0（舍去），故P（![](./data/image/media/image103.png)，0），故AP=![](./data/image/media/image103.png) 故选：D． ![](./data/image/media/image104.png) 【点评】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题． 　 **二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）** 9．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：![](./data/image/media/image105.png)，（t为参数）过椭圆C：![](./data/image/media/image106.png)（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为[　3　]{.underline}． 【分析】直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值． 【解答】解：由直线l：![](./data/image/media/image107.png)，得y=x﹣a， 再由椭圆C：![](./data/image/media/image108.png)，得![](./data/image/media/image109.png)， ①^2^+②^2^得，![](./data/image/media/image110.png)． 所以椭圆C：![](./data/image/media/image108.png)的右顶点为（3，0）． 因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3． 故答案为3． 【点评】本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题． 　 10．（5分）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a^2^+4b^2^+9c^2^的最小值为[　12　]{.underline}． 【分析】根据柯西不等式，得（a+2b+3c）^2^=（1×a+1×2b+1×3c）^2^≤（1^2^+1^2^+1^2^）（a^2^+4b^2^+9c^2^）=3（a^2^+4b^2^+9c^2^），化简得a^2^+4b^2^+9c^2^≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=![](./data/image/media/image111.png)时，a^2^+4b^2^+9c^2^的最小值为12． 【解答】解：∵a+2b+3c=6， ∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）^2^=（1×a+1×2b+1×3c）^2^≤（1^2^+1^2^+1^2^）\[a^2^+（2b）^2^+（3c）^2^\] 化简得6^2^≤3（a^2^+4b^2^+9c^2^），即36≤3（a^2^+4b^2^+9c^2^） ∴a^2^+4b^2^+9c^2^≥12， 当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=![](./data/image/media/image111.png)时等号成立 由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=![](./data/image/media/image111.png)时，a^2^+4b^2^+9c^2^的最小值为12 故答案为：12 【点评】本题给出等式a+2b+3c=6，求式子a^2^+4b^2^+9c^2^的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题． 　 11．（5分）如图，在半径为![](./data/image/media/image112.png)的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为[　]{.underline}![](./data/image/media/image113.png)[　]{.underline}． ![](./data/image/media/image114.png) 【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率． 【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD， ∴2×2=CP•1， 解得：CP=4，又PD=1， ∴CD=5， 又⊙O的半径为![](./data/image/media/image112.png)， 则圆心O到弦CD的距离为d=![](./data/image/media/image115.png)=![](./data/image/media/image116.png)=![](./data/image/media/image117.png)． 故答案为：![](./data/image/media/image117.png)． 【点评】此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中、高考题的热点问题． 　 12．（5分）若![](./data/image/media/image118.png)x^2^dx=9，则常数T的值为[　3　]{.underline}． 【分析】利用微积分基本定理即可求得． 【解答】解：![](./data/image/media/image119.png)=![](./data/image/media/image120.png)=9，解得T=3， 故答案为：3． 【点评】本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题． 　 13．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为[　32　]{.underline}． ![](./data/image/media/image121.png) 【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a的值，当a=32时，满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32． 【解答】解：模拟执行程序，可得 a=1，b=2 不满足条件a＞31，a=2 不满足条件a＞31，a=4 不满足条件a＞31，a=8 不满足条件a＞31，a=16 不满足条件a＞31，a=32 满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32． 故答案为：32． 【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 　 14．（5分）设F~1~，F~2~是双曲线C：![](./data/image/media/image122.png)（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若\|PF~1~\|+\|PF~2~\|=6a，且△PF~1~F~2~的最小内角为30°，则C的离心率为[　]{.underline}![](./data/image/media/image123.png)[　]{.underline}． 【分析】利用双曲线的定义求出\|PF~1~\|，\|F~1~F~2~\|，\|PF~2~\|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率． 【解答】解：因为F~1~、F~2~是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足\|PF~1~\|+\|PF~2~\|=6a， 不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|=2a 所以\|F~1~F~2~\|=2c，\|PF~1~\|=4a，\|PF~2~\|=2a， ∵△PF~1~F~2~的最小内角∠PF~1~F~2~=30°，由余弦定理， ∴\|PF~2~\|^2^=\|F~1~F~2~\|^2^+\|PF~1~\|^2^﹣2\|F~1~F~2~\|\|PF~1~\|cos∠PF~1~F~2~， 即4a^2^=4c^2^+16a^2^﹣2×2c×4a×![](./data/image/media/image124.png)， ∴c^2^﹣2![](./data/image/media/image123.png)ca+3a^2^=0， ∴c=![](./data/image/media/image125.png)a 所以e=![](./data/image/media/image126.png)=![](./data/image/media/image125.png)． 故答案为：![](./data/image/media/image125.png)． 【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力． 　 15．（5分）设S~n~为数列{a~n~}的前n项和，S~n~=（﹣1）^n^a~n~﹣![](./data/image/media/image127.png)，n∈N^\*^，则 （1）a~3~=[　﹣]{.underline}![](./data/image/media/image128.png)[　]{.underline}； （2）S~1~+S~2~+...+S~100~=[　]{.underline}![](./data/image/media/image129.png)[　]{.underline}． 【分析】（1）把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式![](./data/image/media/image130.png)．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a~3~可求； （2）把（1）中求出的数列的通项公式代入![](./data/image/media/image131.png)，n∈N^\*^，则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果． 【解答】解：由![](./data/image/media/image132.png)，n∈N^\*^， 当n=1时，有![](./data/image/media/image133.png)，得![](./data/image/media/image134.png)． 当n≥2时，![](./data/image/media/image135.png)． 即![](./data/image/media/image136.png)． 若n为偶数，则![](./data/image/media/image137.png)． 所以![](./data/image/media/image138.png)（n为正奇数）； 若n为奇数，则![](./data/image/media/image139.png)=![](./data/image/media/image140.png)． 所以![](./data/image/media/image141.png)（n为正偶数）． 所以（1）![](./data/image/media/image142.png)． 故答案为﹣![](./data/image/media/image143.png)； （2）因为![](./data/image/media/image144.png)（n为正奇数），所以﹣![](./data/image/media/image145.png)， 又![](./data/image/media/image146.png)（n为正偶数），所以![](./data/image/media/image147.png)． 则![](./data/image/media/image148.png)． ![](./data/image/media/image149.png)，![](./data/image/media/image150.png)． 则![](./data/image/media/image151.png)． ... ![](./data/image/media/image152.png)． 所以，S~1~+S~2~+S~3~+S~4~+...+S~99~+S~100~ =![](./data/image/media/image153.png) =![](./data/image/media/image154.png) =![](./data/image/media/image155.png) =![](./data/image/media/image156.png)． 故答案为![](./data/image/media/image156.png)． 【点评】本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题． 　 16．（5分）设函数f（x）=a^x^+b^x^﹣c^x^，其中c＞a＞0，c＞b＞0． （1）记集合M={（a，b，c）\|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为[　{x\|0＜x≤1}　]{.underline}． （2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是[　①②③　]{.underline}．（写出所有正确结论的序号） ①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0； ②∃x∈R，使a^x^，b^x^，c^x^不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0． 【分析】（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得![](./data/image/media/image157.png)的范围，解出函数f（x）=a^x^+b^x^﹣c^x^的零点，利用不等式可得零点x的取值集合； （2）对于①，把函数式f（x）=a^x^+b^x^﹣c^x^变形为![](./data/image/media/image158.png)，利用指数函数的单调性即可证得结论成立； 对于②，利用取特值法说明命题是正确的； 对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确． 【解答】解：（1）因为c＞a，由a，b，c不能构成一个三角形的三条边长得c≥a+b=2a，所以![](./data/image/media/image159.png)，则![](./data/image/media/image160.png)． 令f（x）=a^x^+b^x^﹣c^x^=![](./data/image/media/image161.png)． 得![](./data/image/media/image162.png)，所以![](./data/image/media/image163.png)![](./data/image/media/image164.png)． 又∵![](./data/image/media/image165.png)＞1，则ln![](./data/image/media/image165.png)＞0，所以x=![](./data/image/media/image166.png)＞0， 所以0＜x≤1． 故答案为{x\|0＜x≤1}； （2）①因为![](./data/image/media/image167.png)， 又![](./data/image/media/image168.png)， 所以对∀x∈（﹣∞，1），![](./data/image/media/image169.png)． 所以命题①正确； ②令x=﹣1，a=2，b=4，c=5．则a^x^=![](./data/image/media/image170.png)，b^x^=![](./data/image/media/image171.png)，c^x^=![](./data/image/media/image172.png)．不能构成一个三角形的三条边长． 所以命题②正确； ③若三角形为钝角三角形，则a^2^+b^2^﹣c^2^＜0． f（1）=a+b﹣c＞0，f（2）=a^2^+b^2^﹣c^2^＜0． 所以∃x∈（1，2），使f（x）=0． 所以命题③正确． 故答案为①②③． 【点评】本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题． 　 **三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．** 17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣![](./data/image/media/image173.png)）+cos（x﹣![](./data/image/media/image174.png)），g（x）=2sin^2^![](./data/image/media/image175.png)． （Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=![](./data/image/media/image176.png)，求g（α）的值； （Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合． 【分析】（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（x）的解析式，可得f（α）的解析式，再根据f（α）=![](./data/image/media/image176.png)，求得cosα的值，从而求得g（α）=2sin^2^![](./data/image/media/image177.png)=1﹣cosα的值． （2）由不等式可得 sin（x+![](./data/image/media/image178.png)）≥![](./data/image/media/image179.png)，解不等式 2kπ+![](./data/image/media/image178.png)≤x+![](./data/image/media/image178.png)≤2kπ+![](./data/image/media/image180.png)，k∈z，求得x的取值集合． 【解答】解：（1）∵f（x）=![](./data/image/media/image181.png)sinx﹣![](./data/image/media/image182.png)cosx+![](./data/image/media/image182.png)cosx+![](./data/image/media/image181.png)sinx=![](./data/image/media/image183.png)sinx， 所以f（α）=![](./data/image/media/image183.png)sinα=![](./data/image/media/image184.png)，所以sinα=![](./data/image/media/image185.png)． 又α∈（0，![](./data/image/media/image186.png)），所以cosα=![](./data/image/media/image187.png)， 所以g（α）=2sin^2^![](./data/image/media/image188.png)=1﹣cosα=![](./data/image/media/image189.png)． （2）由f（x）≥g（x）得![](./data/image/media/image190.png)sinx≥1﹣cosx， 所以![](./data/image/media/image191.png)sinx+![](./data/image/media/image192.png)cosx=sin（x+![](./data/image/media/image193.png)）≥![](./data/image/media/image192.png)． 解2kπ+![](./data/image/media/image193.png)≤x+![](./data/image/media/image193.png)≤2kπ+![](./data/image/media/image194.png)，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+![](./data/image/media/image195.png)，k∈z， 所以x的取值范围为〔2kπ，2kπ+![](./data/image/media/image195.png)〕k∈z． 【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，解三角不等式，正弦函数的图象及性质，属于中档题． 　 18．（12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的"相近"作物株数X之间的关系如下表所示： --- ---- ---- ---- ---- X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 --- ---- ---- ---- ---- 这里，两株作物"相近"是指它们之间的直线距离不超过1米． （I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好"相近"的概率； （II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望． ![](./data/image/media/image196.png) 【分析】（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好"相近"的概率； （II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望． 【解答】解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有![](./data/image/media/image197.png)=36种，选取的两株作物恰好"相近"的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好"相近"的概率为![](./data/image/media/image198.png)=![](./data/image/media/image199.png)； （II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列 ∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4） ∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可 记n~k~为其"相近"作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n~1~=2，n~2~=4，n~3~=6，n~4~=3 由P（X=k）=![](./data/image/media/image200.png)得P（X=1）=![](./data/image/media/image201.png)，P（X=2）=![](./data/image/media/image202.png)，P（X=3）=![](./data/image/media/image203.png)=![](./data/image/media/image204.png)，P（X=4）=![](./data/image/media/image205.png)=![](./data/image/media/image206.png) ∴所求的分布列为 --- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- Y 51 48 45 42 P ![](./data/image/media/image207.png) ![](./data/image/media/image208.png) ![](./data/image/media/image204.png) ![](./data/image/media/image209.png) --- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- 数学期望为E（Y）=51×![](./data/image/media/image210.png)+48×![](./data/image/media/image211.png)+45×![](./data/image/media/image212.png)+42×![](./data/image/media/image209.png)=46 【点评】本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA~1~=3． （Ⅰ）证明：AC⊥B~1~D； （Ⅱ）求直线B~1~C~1~与平面ACD~1~所成的角的正弦值． ![](./data/image/media/image213.png) 【分析】（I）根据直棱柱性质，得BB~1~⊥平面ABCD，从而AC⊥BB~1~，结合BB~1~∩BD=B，证出AC⊥平面BB~1~D，从而得到AC⊥B~1~D； （II）根据题意得AD∥B~1~C~1~，可得直线B~1~C~1~与平面ACD~1~所成的角即为直线AD与平面ACD~1~所成的角．连接A~1~D，利用线面垂直的性质与判定证出AD~1~⊥平面A~1~B~1~D，从而可得AD~1~⊥B~1~D．由AC⊥B~1~D，可得B~1~D⊥平面ACD~1~，从而得到∠ADB~1~与AD与平面ACD~1~所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根据Rt△ABC∽Rt△DAB，算出AB=![](./data/image/media/image214.png)，最后在Rt△AB~1~D中算出B~1~D=![](./data/image/media/image215.png)，可得cos∠ADB~1~=![](./data/image/media/image216.png)，由此即可得出直线B~1~C~1~与平面ACD~1~所成的角的正弦值． 【解答】解：（I）∵BB~1~⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB~1~， 又∵AC⊥BD，BB~1~、BD是平面BB~1~D内的相交直线 ∴AC⊥平面BB~1~D， ∵B~1~D⊂平面BB~1~D，∴AC⊥B~1~D； （II）∵AD∥BC，B~1~C~1~∥BC，∴AD∥B~1~C~1~， 由此可得：直线B~1~C~1~与平面ACD~1~所成的角等于直线AD与平面ACD~1~所成 的角（记为θ），连接A~1~D， ∵直棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，∠BAD=∠B~1~A~1~D~1~=90°， ∴B~1~A~1~⊥平面A~1~D~1~DA，结合AD~1~⊂平面A~1~D~1~DA，得B~1~A~1~⊥AD~1~ 又∵AD=AA~1~=3，∴四边形A~1~D~1~DA是正方形，可得AD~1~⊥A~1~D ∵B~1~A~1~、A~1~D是平面A~1~B~1~D内的相交直线，∴AD~1~⊥平面A~1~B~1~D，可得AD~1~⊥B~1~D， 由（I）知AC⊥B~1~D，结合AD~1~∩AC=A可得B~1~D⊥平面ACD~1~，从而得到∠ADB~1~=90°﹣θ， ∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB 因此，![](./data/image/media/image217.png)，可得AB=![](./data/image/media/image218.png)=![](./data/image/media/image219.png) 连接AB~1~，可得△AB~1~D是直角三角形， ∴B~1~D^2^=B~1~B^2^+BD^2^=B~1~B^2^+AB^2^+BD^2^=21，B~1~D=![](./data/image/media/image220.png) 在Rt△AB~1~D中，cos∠ADB~1~=![](./data/image/media/image221.png)=![](./data/image/media/image222.png)=![](./data/image/media/image223.png)， 即cos（90°﹣θ）=sinθ=![](./data/image/media/image223.png)，可得直线B~1~C~1~与平面ACD~1~所成的角的正弦值为![](./data/image/media/image223.png)． ![](./data/image/media/image224.png) 【点评】本题给出直四棱柱，求证异面直线垂直并求直线与平面所成角的正弦之值，着重考查了直四棱柱的性质、线面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的定义等知识，属于中档题． 　 20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条"L路径"．如图所示的路径MM~1~M~2~M~3~N与路径MN~1~N都是M到N的"L路径"．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心． （I）写出点P到居民区A的"L路径"长度最小值的表达式（不要求证明）； （II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，"L路径"不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的"L路径"长度之和最小． ![](./data/image/media/image225.png) 【分析】（I）根据"L路径"的定义，可得点P到居民区A的"L路径"长度最小值； （II）由题意知，点P到三个居民区的"L路径"长度之和的最小值为点P到三个居民区的"L路径"长度最小值之和（记为d）的最小值，分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可求得点P的坐标． 【解答】解：设点P的坐标为（x，y），则 （I）点P到居民区A的"L路径"长度最小值为\|x﹣3\|+\|y﹣20\|，y∈\[0，+∞）； （II）由题意知，点P到三个居民区的"L路径"长度之和的最小值为点P到三个居民区的"L路径"长度最小值之和（记为d）的最小值 ①当y≥1时，d=\|x+10\|+\|x﹣14\|+\|x﹣3\|+2\|y\|+\|y﹣20\| ∵d~1~（x）=\|x+10\|+\|x﹣14\|+\|x﹣3\|≥\|x+10\|+\|x﹣14\|≥24 ∴当且仅当x=3时，d~1~（x）=\|x+10\|+\|x﹣14\|+\|x﹣3\|的最小值为24 ∵d~2~（y）=2\|y\|+\|y﹣20\|≥21 ∴当且仅当y=1时，d~2~（y）=2\|y\|+\|y﹣20\|的最小值为21 ∴点P的坐标为（3，1）时，点P到三个居民区的"L路径"长度之和的最小，且最小值为45； ②当0≤y≤1时，由于"L路径"不能进入保护区，∴d=\|x+10\|+\|x﹣14\|+\|x﹣3\|+1+\|1﹣y\|+\|y\|+\|y﹣20\| 此时d~1~（x）=\|x+10\|+\|x﹣14\|+\|x﹣3\|，d~2~（y）=1+\|1﹣y\|+\|y\|+\|y﹣20\|=22﹣y≥21 由①知d~1~（x）=\|x+10\|+\|x﹣14\|+\|x﹣3\|≥24，∴d~1~（x）+d~2~（y）≥45，当且仅当x=3，y=1时等号成立 综上所述，在点P（3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的"L路径"长度之和最小． 【点评】本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生建模的能力，同时考查学生的理解能力，属于难题． 　 21．（13分）过抛物线E：x^2^=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k~1~，k~2~的两条不同直线l~1~，l~2~，且k~1~+k~2~=2．l~1~与E交于点A，B，l~2~与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l． （Ⅰ）若k~1~＞0，k~2~＞0，证明：![](./data/image/media/image226.png)； （Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为![](./data/image/media/image227.png)，求抛物线E的方程． 【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程和抛物线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量![](./data/image/media/image228.png)和![](./data/image/media/image229.png)的坐标，求出数量积后转化为关于k~1~和k~2~的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论； （Ⅱ）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k~1~+k~2~=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于![](./data/image/media/image230.png)求出p的值，则抛物线E的方程可求． 【解答】解：（I） 由题意，抛物线E的焦点为![](./data/image/media/image231.png)，直线l~1~的方程为![](./data/image/media/image232.png)． 由![](./data/image/media/image233.png)，得![](./data/image/media/image234.png)． 设A，B两点的坐标分别为（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~），则x~1~，x~2~是上述方程的两个实数根． 从而x~1~+x~2~=2pk~1~，![](./data/image/media/image235.png)． 所以点M的坐标为![](./data/image/media/image236.png)，![](./data/image/media/image237.png)． 同理可得点N的坐标为![](./data/image/media/image238.png)，![](./data/image/media/image239.png)． 于是![](./data/image/media/image240.png)． 由题设k~1~+k~2~=2，k~1~＞0，k~2~＞0，k~1~≠k~2~，所以0＜![](./data/image/media/image241.png)． 故![](./data/image/media/image242.png)． （Ⅱ）由抛物线的定义得![](./data/image/media/image243.png)，![](./data/image/media/image244.png)， 所以![](./data/image/media/image245.png)，从而圆M的半径![](./data/image/media/image246.png)． 故圆M的方程为![](./data/image/media/image247.png)， 化简得![](./data/image/media/image248.png)． 同理可得圆N的方程为![](./data/image/media/image249.png) 于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为![](./data/image/media/image250.png)． 又k~2~﹣k~1~≠0，k~1~+k~2~=2，则l的方程为x+2y=0． 因为p＞0，所以点M到直线l的距离为 ![](./data/image/media/image251.png)=![](./data/image/media/image252.png)． 故当![](./data/image/media/image253.png)时，d取最小值![](./data/image/media/image254.png)．由题设![](./data/image/media/image255.png)，解得p=8． 故所求抛物线E的方程为x^2^=16y． 【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题． 　 22．（13分）已知a＞0，函数![](./data/image/media/image256.png)． （Ⅰ）记f（x）在区间\[0，4\]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式； （Ⅱ）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式； （II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论． 【解答】解：（I）当0≤x≤a时，![](./data/image/media/image257.png)；当x＞a时，![](./data/image/media/image258.png) ∴当0≤x≤a时，![](./data/image/media/image259.png)，f（x）在（0，a）上单调递减； 当x＞a时，![](./data/image/media/image260.png)，f（x）在（a，+∞）上单调递增． ①若a≥4，则f（x）在（0，4）上单调递减，g（a）=f（0）=![](./data/image/media/image261.png) ②若0＜a＜4，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增 ∴g（a）=max{f（0），f（4）} ∵f（0）﹣f（4）=![](./data/image/media/image262.png)=![](./data/image/media/image263.png) ∴当0＜a≤1时，g（a）=f（4）=![](./data/image/media/image264.png)；当1＜a＜4时，g（a）=f（0）=![](./data/image/media/image265.png)， 综上所述，g（a）=![](./data/image/media/image266.png)； （II）由（I）知，当a≥4时，f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求； 当0＜a＜4时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，若存在x~1~，x~2~∈（0，4）（x~1~＜x~2~），使曲线y=f（x）在 两点处的切线互相垂直，则x~1~∈（0，a），x~2~∈（a，4），且f′（x~1~）f′（x~2~）=﹣1 ∴![](./data/image/media/image267.png)•![](./data/image/media/image268.png)=﹣1 ∴![](./data/image/media/image269.png)① ∵x~1~∈（0，a），x~2~∈（a，4）， ∴x~1~+2a∈（2a，3a），![](./data/image/media/image270.png)∈（![](./data/image/media/image271.png)，1） ∴①成立等价于A=（2a，3a）与B=（![](./data/image/media/image271.png)，1）的交集非空 ∵![](./data/image/media/image272.png)，∴当且仅当0＜2a＜1，即![](./data/image/media/image273.png)时，A∩B≠∅ 综上所述，存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0，![](./data/image/media/image274.png)）． 【点评】本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键． 　
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![](./data/image/media/image1.png)**宜宾市2020年初中学业水平即高中阶段学校招生考试** **数学** **一、选择题** 1.6的相反数为　　 A. -6 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据相反数的定义进行求解. 【详解】6的相反数为：﹣6．故选A. 【点睛】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答的关键，绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. 2.我国自主研发的北斗系统技术世界领先，2020年6月23日在西昌卫星发射中心成功发射最后一颗北斗三号组网卫星，该卫星发射升空的速度是7100米/秒，将7100用科学记数法表示为（ ） A. 7100 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】7100＝． 故选：D． 【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3.如图所示，圆柱的主视图是（ ） ![](./data/image/media/image9.png) A. ![](./data/image/media/image10.png) B. ![](./data/image/media/image11.png) C. ![](./data/image/media/image12.png) D. ![](./data/image/media/image13.png) 【答案】B 【解析】 【分析】 根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：从正面看圆柱的主视图是矩形，\ 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 4.计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 对每个选项进行计算判断即可． 【详解】解：A. 和不是同类项，不能合并，选项错误； B. ，选项错误； C. ，选项正确； D. ，选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 5.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. ![](./data/image/media/image23.png) B. ![](./data/image/media/image24.png) C. ![](./data/image/media/image25.png) D. ![](./data/image/media/image26.png) 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出各不等式的解集，然后得到不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 故选：A． 【点睛】本题考查了解不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式是解题的关键． 6.7名学生![](./data/image/media/image31.wmf)鞋号（单位：厘米）由小到大是：20，21，22，22，23，23，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 20，21 B. 21，22 C. 22，22 D. 22，23 【答案】C 【解析】 【分析】 根据中位数和众数的定义进行求解即可． 【详解】解：数据按从小到大的顺序排列为20，21，22，22，22，23，23，所以中位数是22；\ 数据22出现了3次，出现次数最多，所以众数是22．\ 故选：C． 【点睛】本题考查了众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；众数是出现次数最多的数据． 7.如图，M，N分别是的边AB，AC的中点，若，则=（ ） ![](./data/image/media/image35.png) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由M，N分别是的边AB，AC的中点，可知MN为△ABC的中位线，即可得到，从而可求出∠B的值． 【详解】解：∵M，N分别是的边AB，AC的中点， ∴MN∥BC， ∴∠ANM=∠C， ∵， ∴， 又∵ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，注意三角形的中位线平行于第三边是解题的关键． 8.学校为了丰富学生的知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学书的本数相等，设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设文学类图书平均每本x元，根据购买的书本数相等即可列出方程． 【详解】设文学类图书平均每本x元，依题意可得 故选B． 【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程． 9.如图，AB是的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作于D，且，则的周长为（ ） ![](./data/image/media/image51.png) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据勾股定理求出BC，再根据圆周角的性质得到AC⊥BC，得到cosB=,代入即可求出AB，故可求出的周长． 【详解】∵，， ∴BC= ∵AB是的直径， ∴AC⊥BC， ∴cosB= 即 解得AB= ∴的周长为 故选A． 【点睛】此题主要考查圆内线段的求解，解题的关键是熟知圆周角定理、三角函数的运用． 10.某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【答案】B 【解析】 【分析】 设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x），然后根据题意列出不等式组，确定不等式组整数解的个数即可． 【详解】解：设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x）个 由题意得：，解得4≤x≤6 则x可取4、5、6，即有三种不同的购买方式． 故答案为B． 【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用，弄清题意、列出不等式组并确定不等式组的整数解是解答本题的关键． 11.如图，都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且，则的形状是（ ） ![](./data/image/media/image65.png) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 先证明，得到，根据已知条件可得，证明，得到，即可得到结果； 【详解】∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，正确分析题目条件是解题的关键． 12.函数的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)，其中，以下结论正确的是（ ） ①； ②函数在处的函数值相等； ③函数的图象与的函数图象总有两个不同的交点； ④函数在内既有最大值又有最小值． A. ①③ B. ①②③ C. ①④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意作出函数图像，根据系数与图像的关系即可求解． 【详解】如图，根据题意作图， 故a＜0，b＜0，c＞0 ∴，①正确； ∵对称轴为x=-1 ∴函数在处的函数值相等，故②错误； 图中函数的图象与的函数图象无交点，故③错误； 当时，x=-1时，函数有最大值 x=3时，函数有最小值，故④正确； 故选C． ![](./data/image/media/image96.png) 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意画出函数大致图像进行求解． **二、填空题** 13.分解因式：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． 【答案】. 【解析】 【分析】 首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】==． 故答案为． > 14.如图，A，B，C是上的三点，若是等边三角形，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． > > ![](./data/image/media/image104.png) 【答案】 【解析】 【分析】 由△OBC是等边三角形、则∠COB =60°，然后由圆周角定理可得∠A=30°,然后运用余弦定义求解即可． 【详解】解：∵△OBC是等边三角形 ∴∠COB=60° ∴∠A==30° ∴=． 故答案为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和圆周角定理，掌握同弦所对的圆周角为圆心角的一半是解答本题的关键． 15.一元二次方程的两根为，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据根与系数![](./data/image/media/image31.wmf)关系表示出和即可； 【详解】∵， ∴，，， ∴，， ∴， =， =． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键． 16.如图，四边形中，是AB上一动点，则的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ ![](./data/image/media/image125.png) 【答案】 【解析】 【分析】 作C点关于AB![](./data/image/media/image31.wmf)对称点C'，连接C'D，的最小值即为C'D的长，作C'E⊥DA的延长线于点E，根据勾股定理即可求解． 【详解】如图，作C点关于AB的对称点C'，连接C'D，的最小值即为C'D的长， 作C'E⊥DA的延长线于点E， ∴四边形ABC'E是矩形 ∴DE=AD+AE=AD+BC'=5, ∴C'D= 故答案为：． ![](./data/image/media/image128.png) 【点睛】此题主要考查对称性的应用，解题的关键是熟知对称的性质及勾股定理的应用． 17.定义：分数（m，n为正整数且互为质数）的连分数（其中为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1），记作：例如，的连分数是，记作，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． 【答案】 【解析】 【分析】 根据连分数的定义即可求解． 【详解】依题意可设a ∴a= 故答案为：． 【点睛】此题主要考查新定义运算，解题的关键是根据题意进行求解． 18.在直角三角形ABC中，是AB的中点，BE平分交AC于点E连接CD交BE于点O，若，则OE的长是\_\_\_\_\_\_\_\_． ![](./data/image/media/image141.png) 【答案】 【解析】 【分析】 过E点作EG⊥AB于G点，根据三角形面积公式求出CE=EG=3，延长CD交过B作BF⊥BC于F，可得△ACD≌△BFD，得到BF=8,再根据△CEO∽△FBO，找到比例关系得到EO=BE，再求出BE即可求解． 【详解】过E点作EG⊥AB于G点， ∵BE平分 ∴CE=EG, 设CE=EG=x, ∵, ∴AB= ∵S~△ABC~= S~△ABE~+S~△BCE~， 故 即 解得x=3 ∴CE=3, 延长CD交过B作BF⊥BC于F， ∵D是AB中点 ∴AD=BD 又AC∥BF ∴∠A=∠DBF,由∠ADC=∠DBF ∴△ACD≌△BFD， ∴BF=AC=8, ∵AC∥BF ∴△CEO∽△FBO， ∴ ∴EO=BE=×=， 故答案为：． ![](./data/image/media/image150.png) 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定、角平分线的性质及相似三角形的判定与性质． **三、解答题** 19.（1）计算： （2）化简： 【答案】（1）1；（2）2 【解析】 【分析】 （1）运用负指数幂、零指数幂、绝对值性质进行求解即可； （2）先算括号里面的，然后进行分式乘除运算即可； 【详解】（1）原式=4-1-3+1， =1． （2）原式= ， ， ， =2． 【点睛】本题主要考查了实数的计算和分式的化简，计算准确是解题的关键． 20.如图，在三角形ABC中，点D是BC上的中点，连接AD并延长到点E，使，连接CE． （1）求证： （2）若的面积为5，求的面积． ![](./data/image/media/image160.png) 【答案】（1）详见解析；（2）10． 【解析】 【分析】 （1）根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用SAS即可证明； （2）先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到、，再结合以及解答即可． 【详解】证明：（1）∵D是BC的中点， ∴BD=CD 在△ABD和△CED中， 所以； (2)∵在△ABC中，D 是BC的中点 ∴ ∵ ． 答：三角形ACE的面积为10． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质等知识，其中掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 21.在疫情期间，为落实停课不停学，某校对本校学生某一学科在家学习的情况进行抽样调查，了解到学生的学习方式有：电视直播、任教老师在线辅导、教育机构远程教学、自主学习，参入调查的学生只能选择一种学习方式，将调查结果绘制成不完整的扇形统计图和条形统计图，解答下列问题． （1）本次受调查的学生有\_\_\_\_\_\_\_\_人； （2）补全条形统计图； （3）根据调查结果，若本校有1800名学生，估计有多少名学生与任课教师![](./data/image/media/image169.wmf)线辅导？ ![](./data/image/media/image170.png) 【答案】（1）60；（2）详见解析；（3）900 【解析】 【分析】 （1）根据A得占比和人数已知可得结果； （2）算出C的人数，然后补全条形统计图； （3）用总人数乘以在线辅导的学生占比即可； 【详解】（1）由题可知受调查人数， 故答案为60． （2）补全图形如图：C的人数=， ![](./data/image/media/image173.png) （3）学生数为 答：在线辅导的有900人． 【点睛】本题主要考查了数据分析的知识点应用，准确分析题中数据是解题的关键． 22.如图，两楼地面距离BC为米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD顶部点D的仰角为45度． （1）求的大小； （2）求楼CD的高度（结果保留根号）． ![](./data/image/media/image178.png) 【答案】（1）75°；（2） 【解析】 【分析】 （1）如图：过点A作于点E，在Rt△ABC中运用三角函数可得，即、进一步可得∠EAC=30°，再结合即可解答； （2）先根据题意求得DE=AE=,然后在Rt△ACE中解直角三角形求得CE，最后利用CD=CE+DE进行计算即可． 【详解】（1）如图：过点A作于点E， ∵在Rt△ABC中， ∵AE//BC ； ![](./data/image/media/image190.png) (2)∵![](./data/image/media/image169.wmf)RtAED中，AE=BC=，∠DAE=45° ∴DE=AE= ∵在Rt△ACE中，∠CAE=30° ∴CE=tan30°·AE=30 ． 【点睛】本题主要考查了运用三角函数值求角的大小和解直角三角形，灵活应用三角函数知识是解答本题的关键． 23.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，过点A作于点P． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求四边形ABOC的面积． ![](./data/image/media/image196.png) 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）将点B(-1，-3)代入，可得反比例函数解析式，即可求出A点的坐标，将A、B代入解析式即可求解； （2）过点B作BE垂直于y轴于点E，根据关系式可求解； 【详解】解：（1）将点B(-1，-3)代入， 解得 所以反比例函数的表达式为； 将点A(-3，n)代入有，n=-1 将A，B代入得 解得 所以一次函数表达式为； （2）过点B作BE垂直于y轴于点E， ![](./data/image/media/image205.png) 答：四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，准确利用函数性质进行求解是解题的关键． 24.如图，已知AB是圆O的直径，点C是圆上异于A，B的一点，连接BC并延长至点D，使得，连接AD交于点E，连接BE． （1）求证：是等腰三角形； （2）连接OC并延长，与B以为切点的切线交于点F，若，求的长． ![](./data/image/media/image215.png) 【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据直径所对圆周角是直角及三线合一性质求解即可； （2）根据等腰三角形的性质和切线的性质证明，可得，即可求出DE． 【详解】（1）证明：因为AB是圆O的直径， 所以， ， ， 所以点C是BD的中点， 所以AB=AD， 所以三角形ABD是等腰三角形． （2）因为三角形ABD是等腰三角形， ， ， ， 因为BF是切线， 所以， 因为AB是直径， 所以， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，准确运用相似三角形的性质是解题的关键． 25.如图，已知二次函数图像的顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图像上，过点F(0，1)作x轴的平行线交二次函数的图像于M，N两点 （1）求二次函数的表达式； （2）P为平面内一点，当时等边三角形时，求点P的坐标； （3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和和点N，且与直线相切，若存在，求出点E的坐标，并求的半径；若不存在，说明理由． ![](./data/image/media/image235.png) 【答案】（1）；（2）或；（3）在二次函数图像上存在点E，使得以点E为圆心，半径为的圆，过点F，N且与直线相切． 【解析】 【分析】 （1）由二次函数的顶点是原点，则设二次函数的解析式为，然后将（2，1）代入求得a即可； （2）将y=1代入解得，可确定M、N的坐标，进而确定MN的长度；再根据是等边三角形确定PM的长，然后解三角形确定PF的长，最后结合F点坐标即可解答； （3）先假设这样的点存在，设点Q是FN的中点，即 Q(1，1) 【详解】解：（1）∵二次函数的顶点是原点 ∴设二次函数的解析式为， 将（2，1）代入， 解得 所以二次函数的解析式为； （2）如图：将y=1代入，得，解得 是等边三角形 ∴点P在y轴上且PM=4 ∴ 或； ![](./data/image/media/image251.png) （3）假设在二次函数的图像上存在点E满足条件 设点Q是FN的中点，即 Q(1，1) ∴点E在FN的垂直平分线上 ∴点E是FN的垂直平分线x=1与的图像的交点，即 ， ∴ ∴点E到直线y=-1的距离为 ∴在二次函数图像上存在点E，使得以点E为圆心，半径为的圆，过点F，N且与直线相切． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的解析式、等边三角形、解三角形、垂直平分线等知识，掌握并综合应用所学知识是解答本题的关键．
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**北师大版小学数学总复习《数与代数》检测试题一（附答案）** 一、快乐小帮手。 1．11÷7的商用循环小数记作( )，小数点后面第2004位上的数是( )。 2．一根木棒锯成同样长的小段，5次锯完，每小段占这根木棒全长的( )。 3．50以内8的倍数有( )。 4．与:能组成比例的是( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/ 5．57300421的最高位是( )位，其中"3"表示( )。 6．把0.166，，16％，0.按从小到大用"\<"连接是( )。 二、我是小法官。(对的打"√"，错的打"×") 1．相邻的两个非零自然数一定互质。( ) 2．分数的分子和分母同时乘5，分数值扩大5倍。( ) 3．甲数是乙数的5倍，表示甲数比乙数多5。( ) 4．真分数大于1，假分数小于1。( ) 5．给小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。( ) 三、对号入座。(将正确答案的序号填在括号里) 1．已知ɑ能被17整除，那么ɑ( )。 A．只能是17 B．是1或17来源：www.bcjy123.com/tiku/ C．是17的倍数 2．两个正方形的边长比是5:4，它们的面积比是( )。 A．5:4 B．25:16 C．16:25 3．0.090的计数单位是( )。 A．十分之一 B．百分之一 C．千分之一 四、我会改写。(将下列各数改成用"万"作单位的数) 409000 1732000 来源：www.bcjy123.com/tiku/ 937042000 4560000 五、解决问题。 1．一个两位数，其个位、十位上数字和是9，如果此数减去27，那么个位、十位上两个数字交换。原来的这个两位数是多少？ 2．国家游泳中心"水立方"建筑面积79532平方米，国家体育场"鸟巢"建筑面积是258000平方米。比一比，哪个面积大？大多少？ 六、你会做吗？ 在庆祝北京奥运会召开的队会上，"智多星"聪聪为同学们用"北京奥运"列了一道加法算式： 北 京 奥 运 奥 运 \+ 奥 运 2 0 0 8 你知道"北""京""奥""运"各表示哪个数字吗? **参考答案** 一、1．1.7142 8 2． 3．8、16、24、32、40、48 4．15:18(答案不唯一) 5．千万 3个十万 6．16％\<0. \<0.166\< 二、1．√ 2．× 3．× 4．× 5．√ 三、1．C 2．B 3．C 四、40.9万 173.2万 93704.2万 456万 五、1．63 2．鸟巢面积大 178468平方米 六、北1 京9 奥3 运6
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**五年级数学试题 上册期末检测卷** 班级**\_\_\_\_\_\_\_**姓名**\_\_\_\_\_\_\_**分数**\_\_\_\_\_\_\_** **一、认真细致，用心计算，不出错！** 1.看谁算得又对又快。（8分） ＋= 1－ = ＋0.3 = 2－ = ＋= －= 3÷7 = 1＋＝ 2.计算下面图形的面积。(单位：米)（6分） 3.估计下面图形的面积。（每个小方格的面积表示1cm^2^）（3分） ![](./data/image/media/image2.jpeg)![](./data/image/media/image2.jpeg)![](./data/image/media/image3.jpeg)![](./data/image/media/image4.jpeg) 面积约为（　　 ）cm^2　　　\ 　^面积约为（　 　）cm^2^ 4.用你喜欢的方法计算。（9分） ①5－－ ②＋－　 ③ ＋－ 5.解方程。（9分） ① 12 x－9x =8.7 ② + m = ③ x－＝ **二、冷静思考，正确填写，我能行！** 1.在0， 0.31， ， 3， 4， 17， 30中 > 质数有（ ） > > 合数有（ ） > > （　　 ）是（　　）的因数 > > 同时是2、3、5的倍数的数是（ ）。 2.里有（ ）个，再添上（ ）个就是最小质数。 3.晚上，小明正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了15下开关，这时灯是（　　）着的，如果再按50下，这时灯是（　　）着的。（填"开"或"关"） 4.分母是6的最简真分数有（ ）个，它们的和是（ ）。 5.把3米长的绳子平均分成5份，每份占全长的（ ），每份长有（ ）米。 6.比较各组数的大小。 1○ ○0.81 ○ 0.05○ 7.a和b是相邻的两个自然数，它们的最大公因数是（ ）；最小公倍数是（ ）。 8.鸡兔同笼，有17个头，42条腿。鸡有（ ）只，兔有（ ）只。 9.3÷5＝＝＝＝（ ）÷30。 10.口袋里有大小相同的8个红球和4个黄球，从中任意摸出1个球； > 摸出红球的可能性是（ ），摸出黄球的可能性是（ ）。 > > 摸出（ ）球的可能性最大。 **三、仔细推敲，辨析正误，不含糊！** 1.所有的假分数都比1大。 （ ） 2.像0、1、2、－1、－2......这样的数都是整数。（ ） 3.等底等高的两个三角形面积相等。 （ ） 4.2化成假分数是。 （ ） 5.最小的质数是2，最小的偶数也是2。（ ） 6.因为4×5=20，所以4和5都是因数，20是倍数。（ ） **四、反复比较，谨慎挑选，无差错！** 1.下列四个算式中，和是奇数的有（ ）。 11112+11302 10256+12322 33322+22145 22011+32213 A.1个 B.2个 C.3个 2.一个三角形的底不变，如果高扩大4倍，那么它的面积（ ）。 A.扩大4倍 B.扩大2倍 C.无法确定。 3.一条线段的 是2cm，这条线段的长是（ ）。 A.2cm B.4cm C.6cm 4.下面分数中，最接近1的分数是 （ ）。 A. B. C. 5.学校教学楼有四层。小青第一节课到四楼上数学课，第二节到二楼上艺术课，第三节到三楼上科学课，中午到一楼食堂吃饭。下面比较准确地描述这件事是（　　 ）图。 ![](./data/image/media/image12.png)![](./data/image/media/image13.png) 6.......，第五个点阵中点的个数是（ ）。 A.1＋4×4＝17 B.1＋4×5＝21 C.1＋4×6＝25 **五、 走进生活，解决问题，我最棒！** 1.一个果园里种植了三种水果，梨树的种植面积占果园总面积的，桃树的种植面积占果园总面积的，其余的都种苹果树。 （1）请画出这个果园里三种水果种植面积的示意图。（1分） （2）你能算出苹果树的种植面积占果园总面积的几分之几吗？（4分） 2.北京和呼和浩特相距660千米，一辆慢车从呼和浩特开出，每小时行使52千米；一辆快车从北京开出，每小时行驶80千米。两车同时开出，相向而行。 （1）估计两车在何处相遇，并在图上标出。（1分） （2）两车出发后几小时相遇？（4分） ![](./data/image/media/image15.png) 3.NBA某篮球队在56场比赛中共胜了35场，输了21场。请你用最简分数表示胜的场数占总场数的几分之几，输的场数占总场数的几分之几。（5分） > 4.有35支铅笔和42本练习薄，平均奖给几个三好学生，结果铅笔缺少1支，练习薄多2本。得奖的三好学生有多少个？（5分） 5.假日旅行社推出一日游A、B两种优惠方案。（5分） A方案：小孩每位40元，大人每位60元。 B方案：团体5人以上（含5人），每位50元. 3个大人带4个小孩应选择何种方案比较省钱，你的理由是什么？ **参考答案** **一、计算题。（共35分）** 1.看谁算得又对又快。（每小题1分，共8分） 1； ； ； 或1； ； ； ； 2 2.计算图形的面积。（每小题3分，共6分） （13.5+8）×21÷2.........2分 8×3+8×1.4÷2.........2分 = 21.5×21÷2 =24+11.2÷2 =451.5÷2 =24+5.6 =225.75（平方米）.........3分 =29.6（平方米）.........3分 3.估计下面图形的面积（每小题1.5分，共3分） 10； 22 4.用你喜欢的方法计算。（每小题3分，共9分） ①原式=5-（+）......1分 ②原式=+-......1分 ③原式=-+......1分 =5-1......2分 =-......2分 =0+......2分 =4......3分 =0......3分 =......3分 5.解方程。（每小题3分，共9分） ①解：3x=8.7......1.5分 ②解：m=-......1.5分 ③解：x=+......1.5分 x=2.9......3分 m=......3分 x=......3分 **二、填空（每空1分，共28分）** （1）3、7；4、30；4、30；30 （2）7；9 （3）关；关 （4）2；1 （5）； （6）\>；\<；\<；\< （7）1；ab （8）13；4 （9）5；9；30；18 （10）或；或；红 **三、判断题。（每小题1分，共6分）** 1.×；2.√；3.√；4.×；5.×；6.× **四、选择题。（每小题1分，共6分）** 1.A 2.A 3.B 4.A 5.B 6.A **五、解决问题。（每题5分，共25分）** ------ ---- ---- 梨树 桃 树 苹 果 树 ------ ---- ---- 1.（1）如右图：......1分 （2）1－－......2分 ＝－－......1分 ＝＝......0.5分 答：...............0.5分。 2.（1）集宁附近......1分 或 解：设两车出发后x小时相遇......0.5分 （2）660÷（52＋80）......2分 52x＋80x＝660......2分 ＝660÷132 ......1分 x＝660......0.5分 ＝5（小时） ......0.5分 x＝5......0.5分 答：.....................0.5分。 答：.....................0.5分。 3\. ......1分 ......1分 ＝......1分 ＝......1分 答：..................1分 4.35＋1＝36（支）......1分 42－2＝40（本）......1分 因为36和40的最大公因数是4。 所以，得奖的三好学生有4人。......2.5分 答：.....................0.5分。 5.A方案：60×3＋40×4＝340（元）......2分 B方案：50×7＝350（元）............2分 因为340\<350，所以A方案比较省钱。......0.5分 答：..................0.5分。
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**一年级第一学期数学综合试卷** 姓名\_\_\_\_\_\_\_\_\_年级\_\_\_\_\_\_\_\_\_学校\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 1. ![](./data/image/media/image1.png)看图写数，注意把数写匀称。(7分) 二、口算(25分) > 10－1＝　　　　　7＋9＝　　　　6＋8＝　　　　　5＋7＝　 > > 8＋9＝　　　　　 10－3＝　　　 10＋8＝　　　　 6＋8＝ > > 9－5＝　　　　　 7＋6＝　　　　13－2＝　　　　 11－3＝ > > 7＋7＝　　 　　　9－8＝　　　　5＋7＝　　　　　12－3－6＝ > > 8－2＝　　　　　 3＋3＝　　　　9－2＝　　　　　9＋1－4＝ > > 1＋5＝　　　　　 8－3＝　　　　2＋5＝　　　　　16－7＝ > > 7－6＝　　 　　　2＋8＝　　　　8－4＝　　　　　5＋4＝ > > 0＋9＝　　　　　 7－7＝　　　　13－7＝　　　　 15－7＝ > > 12－81＝　　　 　12－6＝　　　 7－5＝　　　　　8－6＝ > > 15－9＝　　　 　11－3＝　　　 4＋6＝　　　　　16－7＝ 三、在○里填上在"＝"、"＞"或"＜"。(6分) 　3＋6○9　　　 　10＋7○16　　　　　7○17－7 　12－5○8　　　　12○8－4　　　　　 15－8○9 四、哪个重，画上"√"(3分) 　 ![](./data/image/media/image2.png)□ □ 五、把学习用品圈起来。(3分) ![](./data/image/media/image3.png) 六、数一数填空。(4分) 　 长方体有( )个，正方体有( )个， 圆柱有( )个，球有( )个。 七、看图填空。(5分) ![](./data/image/media/image5.png)　 　 1、从左边数小象排第( )。 　2、从右边数公鸡排第( )。 　3、从( )边数小猴子排第一。 ![](./data/image/media/image6.png)八、看钟面填空。(4分) 　 (　)时　　　　　(　　)时　　　(　　)时刚过　　　快到(　)时 九、画一画(4分) 1、画和○同样多的△　　　　　　　2、画比○多2个的△ ○○○○○○　　　　　　　　　　　○○○○○○○○ 十、连线。(8分) 　8＋9　　　　 3＋7　　　　　 6－5　　　　　　　　　15－8 　11－5　　　 3＋2　　　　 　4＋3　　　　　　　　　5＋5 　9－4 　　 9＋8 13－3　　　　　　　　 9－8 4＋6 12－6 6＋8 16－2 十一、填( )。(11分) 1. 15里面有( )个十和( )个一。 2. ( )＋8＝12　　　　5＋( )＝13 > 6＋( )＝6　　　　 3＋( )＝11 3. 与17相邻的两个数是( )和( )。 4. 一个数十位上是1，个位上是9，这个数是( )。 5. 1前面的数( )，1后面的数是( )。 十二、看图列式计算：(10分) ![](./data/image/media/image7.png)　 □○□＝□　　　　□○□＝□ □○□＝□　　　　□○□＝□ □○□＝□　　　　□○□＝□ □○□＝□　　　　□○□＝□ ![](./data/image/media/image8.png)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?本　　 　　　　　　 12枝　 □○□＝□　　　　　　□○□＝□ 十三、算一算(6分) 　 8 6 5 9 7 4 8 ＋　　　　－　　　　　＋　　　　－　　　　 ＋　　　　＋ 十四、附加题。(10分) 　找规律填数 2，4，6，\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_ 5，10，\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_ 16，12， \_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_ 正确答案： 一、7、3、2、6、20、12、14 二、9　16　14　12　17　7　18　14　4　13　11　8　14　1　12　3　6　6　7　6　6　5　7　9　1　10　4　9　9　0　6　8　4　6　2　2　6　8　10　9 三、＝、＞、＜、＜、＞、＜、 四、□ 五、略 六、长方体有( 4 )个，正方体有( 2 )个， 圆柱有( 3 )个，球有( 2 )个。 七、1、(五)2、(七)3、(右) 八、9时　2时　7时刚过　快到6时　 九、△△△△△△　　　　△△△△△△△△△△ 十、略 十一、1、　(1)　(5)　2、 4 0 8 8 3、 16　18 4、　19　　5、　0　2 十二、 3＋5＝8　　　　　　4＋9＝13 5＋3＝8　　　　　　9＋4＝13 　　　8－3＝5　　　　　　13－9＝4 8－5＝3　　　　　　13－4＝9 　　　12－3＝9　　　　　 5＋3＝8 十三、14　1　14　2　11　12 十四、[　8　]{.underline} 　 [10　]{.underline}　[12]{.underline}　[15　]{.underline} [20　]{.underline} [25　]{.underline} [8　]{.underline} [4]{.underline} [　0]{.underline}
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![](./data/image/media/image1.png)**第Ⅰ卷（共60分）** 一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项** **是符合题目要求的.** 1.已知全集，，，则集合为（ ） A． B．![](./data/image/media/image8.png) C． D． 【答案】C\[来源:学科网ZXXK\] ![](./data/image/media/image11.png) 考点：集合运算 【名师点睛】 1.求集合![](./data/image/media/image8.png)的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 2．求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解． 3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 4．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解． 2.下列命题中正确的是（ ） A．若为真命题，则为真命题 B．"，"是""的充分必要条件 C．命题"若，则或"的逆否命题为"若或，则" D．命题，使得，则，使得\[来源:学科网ZXXK\] 【答案】D 【解析】 试题分析：若为![](./data/image/media/image8.png)真命题，则中至少一个为真命题，因此不一定为真命题； "，"时""，充分性成立， 而，即"，"不一定成立，即必要性不成立；命题"若，则或"的逆否命题为"若且，则"； 命题"，使得"的否定，使得，所以选D. 考点：充要关系，复合命题真假 【名师点睛】 充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即"p⇒q"⇔"q⇐p"； (2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件． 注意区分"p是q的充分不必要条件"与"p的一个充分不必要条件是q"两者的不同，前者是"p⇒q"而后者是"q⇒p"． 3.函数（）的大致图象是（ ） ![](./data/image/media/image34.png) A． B． C． D． 【答案】C ![](./data/image/media/image35.png)考点：函数图像与性质 【名师点睛】 函数图象的辨识可从以下几方面入手： (1)从函数的定义域判断图象的左右位置；从函数的值域判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性判断图象的对称性； (4)从函数的周期性判断图象的循环往复； (5)从函数的特殊点判断图象的相对位置等． 4.已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A ![](./data/image/media/image50.png)考点：等差数列与等比数列综合，基本不等式求最值学科网 【名师![](./data/image/media/image8.png)点睛】 1.等差或等比数列的通项公式及前*n*项和公式，共涉及五个量*a*~1~，*a~n~*，*d*（*q*），*n*，*S~n~*，知三求二，体现了方程思想的应用． 2．数列的通项公式和前*n*项和公式在解题中起到变量代换作用，而*a*~1~和*d*（*q*）是等差（等比）数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法． 5.如图，已知正方体的棱长为，动点、、分别在线段，，上．当三棱锥的俯视图如图所示时，三棱锥的正视图面积等于（ ） ![](./data/image/media/image63.png) A． B． C． D． 【答案】B ![](./data/image/media/image68.png)考点：三视图 【名师点睛】 1.解答三视图的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中"正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽"，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的![](./data/image/media/image8.png)位置关系及相关数据． 6.设，满足约束条件，若目标函数（）的最大值为，则的图象向右平移后的表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：可行域为三角形ABC及其内部，其中，因此目标函数（）过时取最大值，即，从而，向右平移后的表达式为，选C. 考点：线性规划求最值，三角函数图像变换 【名师点睛】 1.对*y*＝*A*sin(*ωx*＋*φ*)进行图象变换时应注意以下两点： (1)平移变换时，*x*变为*x*±*a*(*a*＞0)，变换后![](./data/image/media/image8.png)的函数解析式为*y*＝*A*sin\[*ω*(*x*±*a*)＋*φ*\]； (2)伸缩变换时，*x*变为(横坐标变为原来的*k*倍)，变换后的函数解析式为*y*＝*A*sin(*x*＋*φ*)． 2.两种变换的差异 先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是\|*φ*\|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(*ω*＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对*x*而言的． 7.已知，，，是函数（，）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，，为轴上的点，为图象上的最低点，为该函数图象的一个对称中心，与关于点对称，在轴上的投影为，则，的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A ![](./data/image/media/image112.png)考点：三角函数解析式 【名师点睛】 1.求参数*φ*是确定函数解析式的关键，由特殊点求*φ*时，一定要分清特殊点是"五点法"的第几个点． 2．用五点法求φ值时，往往以寻找"五点法"中的第一个点为突破口．"第一点"(即图象上升时与x轴的交点)时*ωx*＋*φ*＝0."第二点"(即图象的"峰点")时，*ωx*＋*φ*＝；"第三点"(即![](./data/image/media/image8.png)图象下降时与*x*轴的交点)时*ωx*＋*φ*＝π；"第四点"(即图象的"谷点")时*ωx*＋*φ*＝；"第五点"时*ωx*＋*φ*＝2π. 8.已知不等式对任意实数，都成立，则常数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析：由题意得：，而，因此，而，当且仅当时取等号，即选D.学科网 考点：基本不等式求最值 【名师点睛】 利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有"和"式或"积"式，通过将"和"式转化为"积"式或将"![](./data/image/media/image8.png)积"式转化为"和"式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用"拆、拼、凑"的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到． 9.如图，正方体的棱线长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（ ） A． B．平面 C．三棱锥的体积为定值 D．异面直线，所成的角为定值 ![](./data/image/media/image139.png) 【答案】D ![](./data/image/media/image140.png)考点：线面关系判定，三棱锥体积，异面直线所成角 【名师点睛】 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． 2．求异面直线所成的角的三步曲为：即"一作、二证、三求"．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择"端点、中点、等分点"，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成角，转化为解三角形问题，进而求解． 3．异面直线所成的角范围是. 10.已知三棱锥，，，两两垂直且长度均为，长为的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ） A． B．或 C． D．或 ![](./data/image/media/image160.png) 【答案】D ![](./data/image/media/image161.png)考点：球体积 11.设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为（ ） A． ![](./data/image/media/image8.png) B． C． D． 【答案】A 【解析】 试题分析：由题意得：使得，即值域为值域的子集，从而，即，选A. 考点：恒成立与存在性问题 【名师点睛】 恒成立与存在性问题可以转化为最值问题求解,若不能分离参数,可以将参数看成常数直接求解. **若不等式**![](./data/image/media/image179.wmf)**在区间D上恒成立,则等价于在区间D上**![](./data/image/media/image180.wmf) **若不等式**![](./data/image/media/image181.wmf)**在区间D上恒成立,则等价于在区间D上**![](./data/image/media/image182.wmf) **若在区间**![](./data/image/media/image183.wmf)**上存在实数**![](./data/image/media/image184.wmf)**使不等式**![](./data/image/media/image185.wmf)**成立,则等价于在区间D上**![](./data/image/media/image186.wmf)**；** **若在区间D上存在实数**![](./data/image/media/image187.wmf)**使不等式**![](./data/image/media/image188.wmf)**成立,则等价于在区间D上的**![](./data/image/media/image189.wmf)**.** 12.设函数满足，，则时（ ） A．**有极大值，无极小值** B．**有极小值，无极大值** C．**既有极大值又有极小值** D．既无极大值也无极小值 【答案】D ![](./data/image/media/image195.png) 考点：函数极值 【名师点睛】 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解， **第Ⅱ卷（共90分）** **二、填空题（每题4分，满分20分**![](./data/image/media/image8.png)**，将答案填在答题纸上）** 13.已知数列对于任意，，有，若，则 [ ]{.underline} ． 【答案】 ![](./data/image/media/image203.png)考点：数列递推关系 【名师点睛】 递推式的类型 ------------------------------------------------------------------- -------------- -------------------------------------------- 递推式 方法 示例 *a~n~*~＋~![](./data/image/media/image8.png)~1~＝*a~n~*＋*f*(*n*) 叠加法 *a*~1~＝1，*a~n~*~＋1~＝*a~n~*＋2*n* ＝*f*(*n*) 叠乘法 *a*~1~＝1，＝2*^n^* *a~n~*~＋1~＝*pa~n~*＋*q* (*p*≠0,1，*q*≠0) 化为等比数列 *a*~1~＝1，*a~n~*~＋1~＝2*a~n~*＋1 *a~n~*~＋1~＝*pa~n~*＋*q*·*p^n^*^＋1^ (*p*≠0,1，*q*≠0) 化为等差数列 *a*~1~＝1，*a~n~*~＋1~＝3*a~n~*＋3^*n*＋1^ ------------------------------------------------------------------- -------------- -------------------------------------------- 14.利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥，其中底面四边形是边长为的正方形，，且平面，则球体毛坯体积的最小值应为 [ ]{.underline} ． 【答案】 【解析】 试题分析：将四棱锥补成一个正方体，则球体毛坯体积的最小时应为正方体的外接球，此时直径为，体积为 考点：正方体外接球体积 【名师点睛】 1\. 某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过"补形"补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的几何问题，这是一种重要的解题策略------补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形． 2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或"切点"、"接点"作出截面图，把空间问题化归为平面问题． 15.若的内角，满足，则当取最大值时，角大小为 [ ]{.underline} ． 【答案】 ![](./data/image/media/image220.png)考点：两角和正弦公式，基本不等式求最值 16.定义函数，，若存在常数，对于任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的"均值"为，已知，，则函数在上的"均值"为 [ ]{.underline} ． 【答案】 【解析】 ![](./data/image/media/image8.png)试题分析：由题意得：存在唯一的， 满足， 而，当且仅当时取等号， 因此"均值"为 考点：新定义 【名师点睛】对于新定义问题要做到以下两点1.准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,将题目所给定义转化成题目要求的形式,切忌同已有概念或定义相混淆.2.方法选取:对于新定义问题,搞清定义是关键,仔细认真地从具体处体会题意,从而找到恰当的解决方法. **三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）** 17.（本小题满分12分） 在中，角，，所对的边为，，，且满足 ． （1）求角的值； （2）若且，求的取值范围． 【答案】（1）或（2） ![](./data/image/media/image255.png) 试题解析：解：（1）由已知，， 得， ![](./data/image/media/image258.png) 考点：二倍角公式、两角和与差余弦公式，正弦定理 【名师点睛】 正弦定理的应用技巧 ![](./data/image/media/image259.wmf)(1)求边:利用公式 或其他相应变形公式求解. ![](./data/image/media/image260.wmf)![](./data/image/media/image261.wmf)![](./data/image/media/image262.wmf)(2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sinA= si![](./data/image/media/image8.png)nB= sinC= 或其他相应变形公式求解. ![](./data/image/media/image263.wmf)(3)相同的元素归到等号的一边:即 可应用这些公式解决边或角的比例关系问题. 18.（本小题满分12分） 已知四棱锥的底面是菱形，，，，与交于点，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． ![](./data/image/media/image279.png) 【答案】（1）详见解析（2） ![](./data/image/media/image281.png)（2）过点作，所以平面． 如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系． ![](./data/image/media/image293.png) 可得，，，，，． ![](./data/image/media/image299.png) 考点：线面垂直的判定与性质定理，利用空间向量求线面角 【名师点睛】 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(*a*∥*b*，*a*⊥*α*⇒*b*⊥*α*)；(3)面面平行的性质(*a*⊥*α*，*α*∥*β*⇒*a*⊥*β*)；(4)面面垂直的性质． 2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 3．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直． 19.（本小题满分12分） 已知等差数列的公差为，前项和为，且． （1）求数列的通项公式与前项和； （2）将数列的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前三项，记数列的前项和为，若存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 试题分析：（1）求等差数列通项公式，一般利用待定系数法，本题已知公差，因此只需确定一项即可：由利用等差数列性质得，，再根据等差数列广义通项公式得：，最后利用等差数列和项公式求前项和，（2）先根据题意确定数列的前四项抽取的是哪一项，再根据剩下三项，利用待定系数法求等比数列通项，然后利用错位相减法求数列的前项和为，对存在性问题及恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：，为二次函数，可根据对称轴求其最大值，需注意，而的最值，需根据数列单调性确定. 试题解析： 解：（1）为等差数列，且，，即， 又公差，，． ，． （3分） ![](./data/image/media/image335.png) ![](./data/image/media/image336.png) 考点：等差数列通项及求和，错位相减法求和 【名师点睛】 一般地，如果数列{*a~n~*}是等差数列，{*b~n~*}是等比数列，求数列{*a~n~*·*b~n~*}的前n项和时，可采用错位相减法． 用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意． (2)在写出"*S~n~*"和"*qS~n~*"的表达式时应特别注意将两式"错项对齐"以便于下一步准确写出"*S~n~*－*qS~n~*"的表达式． 20.（本题小满分12分） 如图，在直角梯形中，，，平面，，． （1）求证：平面； （2）在直线上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． ![](./data/image/media/image351.png) 【答案】（1）详见解析（2） ![](./data/image/media/image353.png) 且，，即点在平面内． 由平面，知， 四边形为正方形，四边形为平行四边形， （2分） 为的中点，为的中点， ． 平面，平面， 平面． （4分） （2）法一：如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系．\[来源:学科网\] ![](./data/image/media/image390.png) 则，，， 设， ![](./data/image/media/image395.png) 考点：线面平行判定定理，利用空间向量研究二面角 【名师点睛】 1.判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(*a*⊄*α*，*b*⊂*α*，*a*∥*b*⇒*a*∥*α*)；(3)利用面面平行的性质定理(*α*∥*β*，*a*⊂*α*⇒*a*∥*β*)；(4)利用面面平行的性质(*α*∥*β*，*a*⊄*β*，*a*∥*α*⇒*a*∥*β*)． 2．利用判定定理判定直线与平面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线． 21.（本小题满分12分） 已知函数，． （1）若在上的最大值为，求实数的值； （2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点、，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）存在 ![](./data/image/media/image416.png)试题解析：解：（1）由，得， 令，得或． 函数，在上的变化情况如下表： -- -- ---------- -------- ---------- -------- ----------------- \[来源:学科网\] 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 -- -- ---------- -------- ---------- -------- ----------------- ，，． 即最大值为，． （3分） ![](./data/image/media/image447.png) （3）由条件． 假设曲线上存在两点，满足题意，则，只能在轴的两侧，不妨设（），则（）． 是以（是坐标原点）为直角顶点的直角三角形，， ，是否存在，等价于该方程且是否有根． 当时，方程可化为，化简得，此时方程无解； 当时，方程为，即， 设（），则（）， 显然，当时，，即在区间上是增函数，的值域是，即． 当时方程总有解，即对于任意正实数，曲线上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上． （12分） 考点：利用导数求函数最值，利用导数研究函数值域，不等式恒成立 【名师点睛】 导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用． **请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．** 22.（本小题满分10分） 如图，已知圆是的外接圆，，是边上的高，是圆的直径．过点作圆的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． ![](./data/image/media/image513.png) 【答案】（1）详见解析（2） ![](./data/image/media/image515.png)![](./data/image/media/image516.png) 考点：三角形相似，切割线定理 【名师点睛】 1.解决与圆有关的成比例线段问题的![](./data/image/media/image8.png)两种思路\[来源:学,科,网Z,X,X,K\] (1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为"相似三角![](./data/image/media/image8.png)形→比例式→等积式"．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握． 2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． 23.（本小题满分10分） 已知函数，． （1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围； （2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 试题分析： ![](./data/image/media/image527.png)令， 因为当时，；当时，， 所以，故此时． （9分） 综合①②，得所求实数的取值范围是． （10分） 考点：含绝对值不等式
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**湖南省2021年普通高中学业水平选择性考试** **物理** **注意事项：** **1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。** **2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。** **3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。** **一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。** 1\. 核废料具有很强的放射性，需要妥善处理。下列说法正确的是（　　） A. 放射性元素经过两个完整的半衰期后，将完全衰变殆尽 B. 原子核衰变时电荷数守恒，质量数不守恒 C. 改变压力、温度或浓度，将改变放射性元素的半衰期 D. 过量放射性辐射对人体组织有破坏作用，但辐射强度在安全剂量内则没有伤害 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】A．放射性元素的半衰期是大量的放射性元素衰变的统计规律，对少量的个别的原子核无意义，则放射性元素完全衰变殆尽的说法错误，故A错误； B．原子核衰变时满足电荷数守恒，质量数守恒，故B错误； C．放射性元素的半衰期是由原子核的自身结构决定的，而与物理环境如压力、温度或浓度无关，与化学状态无关，故C错误； D．过量放射性辐射包含大量的射线，对人体组织有破坏作用，但辐射强度在安全剂量内则没有伤害，故D正确； 故选D。 2\. 物体的运动状态可用位置和动量描述，称为相，对应图像中的一个点。物体运动状态的变化可用图像中的一条曲线来描述，称为相轨迹。假如一质点沿轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，则对应的相轨迹可能是（　　） A. ![](./data/image/media/image7.png) B. ![](./data/image/media/image8.png) C. ![](./data/image/media/image9.png) D. ![](./data/image/media/image10.png) 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】质点沿轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，则有 而动量为 联立可得 动量关于为幂函数，且，故正确的相轨迹图像为D。 故选D。 3\. "复兴号"动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为，若动车组所受的阻力与其速率成正比（，为常量），动车组能达到的最大速度为。下列说法正确的是（　　） A. 动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变 B. 若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动 C. 若四节动力车厢输出的总功率为，则动车组匀速行驶的速度为 D. 若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间达到最大速度，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】A．对动车由牛顿第二定律有 若动车组在匀加速启动，即加速度恒定，但随速度增大而增大，则牵引力也随阻力增大而变大，故A错误； B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则总功率为4*P*，由牛顿第二定律有 故可知加速启动的过程，牵引力减小，阻力增大，则加速度逐渐减小，故B错误； C．若四节动力车厢输出的总功率为，则动车组匀速行驶时加速度为零，有 而以额定功率匀速时，有 联立解得 故C正确； D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间达到最大速度，由动能定理可知 可得动车组克服阻力做的功为 故D错误； 故选C。 4\. 如图，在位置放置电荷量为的正点电荷，在位置放置电荷量为的负点电荷，在距为的某点处放置正点电荷*Q*，使得点的电场强度为零。则*Q*的位置及电荷量分别为（　　） ![](./data/image/media/image39.png) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】![](./data/image/media/image44.png) 根据点电荷场强公式 两点量异种点电荷在*P*点的场强大小为 ，方向如图所示 两点量异种点电荷在*P*点的合场强为 ，方向与+*q*点电荷与-*q*点电荷的连线平行如图所示 *Q*点电荷在*p*点的场强大小为 三点电荷的合场强为0，则方向如图所示，大小有 解得 由几何关系可知*Q*的坐标为（0，2*a*） 故选B。 5\. 质量为的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，为半圆的最低点，为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为的小滑块。用推力推动小滑块由*A*点向点缓慢移动，力的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是（　　） ![](./data/image/media/image56.png) A. 推力先增大后减小 B. 凹槽对滑块的支持力先减小后增大 C. 墙面对凹槽的压力先增大后减小 D. 水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】AB ．对滑块受力分析，由平衡条件有 滑块从*A*缓慢移动*B*点时，越来越大，则推力*F*越来越大，支持力*N*越来越小，所以AB错误； C．对凹槽与滑块整体分析，有墙面对凹槽的压力为 则越来越大时，墙面对凹槽的压力先增大后减小，所以C正确； D．水平地面对凹槽![](./data/image/media/image61.wmf)支持力为 则越来越大时，水平地面对凹槽的支持力越来越小，所以D错误； 故选C。 6\. 如图，理想变压器原、副线圈匝数比为，输入端、接入电压有效值恒定的交变电源，灯泡L~1~、L~2~的阻值始终与定值电阻的阻值相同。在滑动变阻器的滑片从端滑动到端的过程中，两个灯泡始终发光且工作在额定电压以内，下列说法正确的是（　　） ![](./data/image/media/image69.png) A. L~1~先变暗后变亮，L~2~一直变亮 B. L~1~先变亮后变暗，L~2~一直变亮 C. L~1~先变暗后变亮，L~2~先变亮后变暗 D. L~1~先变亮后变暗，L~2~先变亮后变暗 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】副线圈的总电阻为 解得 则滑动变阻器*R*的滑片从*a*端滑到*b*端过程中，副线圈的总电阻选增大后减小，根据等效电阻关系有 则等效电阻先增大后减小，由欧姆定律有 ， 先减小后增大，先减小后增大，则先变暗后变亮，根据 ， 由于先减小后增大，则副线圈的电压先增大后减小，通过L~2~的电流为 则滑动变阻器*R*的滑片从*a*端滑到*b*端过程中，逐渐减小，副线圈的电压增大过程中 增大；在副线圈的电压减小过程中，通过*R*~0~的电流为 逐渐增大，则越来越小，则 则先变暗后变亮，一直变亮； 故选A。 **二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。** 7\. 2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。根据任务安排，后续将发射问天实验舱和梦天实验舱，计划2022年完成空间站在轨建造。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的。下列说法正确的是（　　） A. 核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的倍 B. 核心舱在轨道上飞行的速度大于 C. 核心舱在轨道上飞行的周期小于 D. 后续加挂实验舱后，空间站由于质量增大，轨道半径将变小 【答案】AC 【解析】 【分析】 【详解】A．根据万有引力定律有 核心舱进入轨道后的万有引力与地面上万有引力之比为 所以A正确； B．核心舱在轨道上飞行的速度小于7.9km/s，因为第一宇宙速度是最大的环绕速度，所以B错误； C．根据 可知轨道半径越大周期越大，则其周期比同步卫星的周期小，小于24h，所以C正确； D．卫星做圆周运动时万有引力提供向心力有 解得 则卫星的环绕速度与卫星的质量无关，所以变轨时需要点火减速或者点火加速，增加质量不会改变轨道半径，所以D错误； 故选AC。 8\. 如图（*a*），质量分别为*m*~A~、*m*~B~的A、B两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力作用在A上，系统静止在光滑水平面上（B靠墙面），此时弹簧形变量为。撤去外力并开始计时，A、B两物体运动的图像如图（*b*）所示，表示0到时间内的图线与坐标轴所围面积大小，、分别表示到时间内A、B的图线与坐标轴所围面积大小。A在时刻的速度为。下列说法正确的是（　　） ![](./data/image/media/image105.png) A. 0到时间内，墙对B的冲量等于*m*~A~*v*~0~ B. *m*~A~ *\> m*~B~ C. B运动后，弹簧![](./data/image/media/image61.wmf)最大形变量等于 D. 【答案】ABD 【解析】 ![](./data/image/media/image107.wmf)分析】 【详解】A．由于在0 \~ *t*~1~时间内，物体B静止，则对B受力分析有 *F*~墙~ *=* *F*~弹~ 则墙对B的冲量大小等于弹簧对B的冲量大小，而弹簧既作用于B也作用于A，则可将研究对象转为A，撤去*F*后A只受弹力作用，则根据动量定理有 *I* *=* *m*~A~*v*~0~（方向向右） 则墙对B的冲量与弹簧对A的冲量大小相等、方向相同，A正确； B．由*a*---*t*图可知*t*~1~后弹簧被拉伸，在*t*~2~时刻弹簧的拉伸量达到最大，根据牛顿第二定律有 *F*~弹~ *=* *m*~A~*a*~A~*=* *m*~B~*a*~B~ 由图可知 *a*~B~ \> *a*~A~ 则 *m*~B~ \< *m*~A~ B正确； C．由图可得，*t*~1~时刻B开始运动，此时A速度为*v*~0~，之后AB动量守恒，AB和弹簧整个系统能量守恒，则 可得AB整体的动能不等于0，即弹簧的弹性势能会转化为AB系统的动能，弹簧的形变量小于*x*，C错误； D．由*a*---*t*图可知*t*~1~后B脱离墙壁，且弹簧被拉伸，在*t*~1~---*t*~2~时间内AB组成的系统动量守恒，且在*t*~2~时刻弹簧的拉伸量达到最大，A、B共速，由*a*---*t*图像的面积为∆*v*，在*t*~2~时刻AB的速度分别为 ， A、B共速，则 D正确。 故选ABD。 9\. 如图，圆心为的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行，和为该圆直径。将电荷量为的粒子从点移动到点，电场力做功为；若将该粒子从点移动到点，电场力做功为。下列说法正确的是（　　） ![](./data/image/media/image119.png) A. 该匀强电场的场强方向与平行 B. 将该粒子从点移动到点，电场力做功为 C. 点电势低于点电势 D. 若只受电场力，从点射入圆形电场区域的所有带电粒子都做曲线运动 【答案】AB 【解析】 【分析】 【详解】A．由于该电场为匀强电场，可采用矢量分解的的思路，沿*cd*方向建立*x*轴，垂直与*cd*方向建立*y*轴如下图所示 ![](./data/image/media/image121.png) 在*x*方向有 *W* *=* *E~x~q*2*R* 在*y*方向有 2*W* *=* *E~y~qR* + *E~x~qR* 经过计算有 *E~x~* *=* ，*E~y~* *=* ，*E* *=* ，tan*θ* *=* 由于电场方向与水平方向成60°，则电场与*ab*平行，且沿*a*指向*b*，A正确； B．该粒从*d*点运动到*b*点，电场力做的功为 *W*′ *=* *Eq* *=* 0.5*W* B正确； C．沿电场线方向电势逐渐降低，则*a*点的电势高于*c*点的电势，C错误； D．若粒子的初速度方向与*ab*平行则粒子做匀变速直线运动，D错误。 故选AB。 10\. 两个完全相同的正方形匀质金属框，边长为，通过长为的绝缘轻质杆相连，构成如图所示的组合体。距离组合体下底边处有一方向水平、垂直纸面向里的匀强磁场。磁场区域上下边界水平，高度为，左右宽度足够大。把该组合体在垂直磁场的平面内以初速度水平无旋转抛出，设置合适的磁感应强度大小使其匀速通过磁场，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） ![](./data/image/media/image130.png) A. 与无关，与成反比 B. 通过磁场的过程中，金属框中电流的大小和方向保持不变 C. 通过磁场的过程中，组合体克服安培力做功的功率与重力做功的功率相等 D. 调节、和，只要组合体仍能匀速通过磁场，则其通过磁场的过程中产生的热量不变 【答案】CD 【解析】 【分析】 【详解】A．将组合体以初速度*v*~0~水平无旋转抛出后，组合体做平抛运动，后进入磁场做匀速运动，由于水平方向切割磁感线产生![](./data/image/media/image61.wmf)感应电动势相互低消，则有 *mg* *=* *F*~安~ *=* ，*v~y~* *=* 综合有 *B* *=* 则*B*与成正比，A错误； B．当金属框刚进入磁场时金属框的磁通量增加，此时感应电流的方向为逆时针方向，当金属框刚出磁场时金属框的磁通量减少，此时感应电流的方向为顺时针方向，B错误； C．由于组合体进入磁场后做匀速运动，由于水平方向的感应电动势相互低消，有 *mg* *=* *F*~安~ *=* 则组合体克服安培力做功的功率等于重力做功的功率，C正确； D．无论调节哪个物理量，只要组合体仍能匀速通过磁场，都有 *mg* *=* *F*~安~ 则安培力做的功都为 *W* *=* *F*~安~3*L* 则组合体通过磁场过程中产生的焦耳热不变，D正确。 故选CD。 **三、非选择题：共56分。第11\~14题为必考题，每个试题考生都必须作答。第15、16题为选考题，考生根据要求作答。** **（一）必考题：共43分。** 11\. 某实验小组利用图（a）所示装置探究加速度与物体所受合外力的关系。主要实验步骤如下： ![](./data/image/media/image136.png) （1）用游标卡尺测量垫块厚度，示数如图（b）所示，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_； （2）接通气泵，将滑块轻放在气垫导轨上，调节导轨至水平； （3）在右支点下放一垫块，改变气垫导轨的倾斜角度； （4）在气垫导轨合适位置释放滑块，记录垫块个数和滑块对应的加速度； （5）在右支点下增加垫块个数（垫块完全相同），重复步骤（4），记录数据如下表： -- ------- ------- ------- --- ------- ------- 1 2 3 4 5 6 0.087 0.180 0.260 0.425 0.519 -- ------- ------- ------- --- ------- ------- 根据表中数据在图（*c*）上描点，绘制图线\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 ![](./data/image/media/image142.png) 如果表中缺少的第4组数据是正确的，其应该是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（保留三位有效数字）。 【答案】 (1). 1.02 (2). ![](./data/image/media/image144.png) (3). 0.342 【解析】 【分析】 【详解】（1）\[1\]垫块的厚度为 *h*=1cm+2×0.1mm=1.02cm （5）\[2\]绘制图线如图； ![](./data/image/media/image144.png) \[3\]根据 可知*a*与*n*成正比关系，则根据图像可知，斜率 解得 *a*=0.342m/s^2^ 12\. 某实验小组需测定电池的电动势和内阻，器材有：一节待测电池、一个单刀双掷开关、一个定值电阻（阻值为）、一个电流表（内阻为）、一根均匀电阻丝（电阻丝总阻值大于，并配有可在电阻丝上移动的金属夹）、导线若干。由于缺少刻度尺，无法测量电阻丝长度，但发现桌上有一个圆形时钟表盘。某同学提出将电阻丝绕在该表盘上，利用圆心角来表示接入电路的电阻丝长度。主要实验步骤如下： （1）将器材如图（a）连接： ![](./data/image/media/image148.png) （2）开关闭合前，金属夹应夹在电阻丝的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_端（填"*a*"或"*b*"）； （3）改变金属夹的位置，闭合开关，记录每次接入电路的电阻丝对应的圆心角和电流表示数，得到多组数据； （4）整理数据并在坐标纸上描点绘图，所得图像如图（b）所示，图线斜率为，与纵轴截距为，设单位角度对应电阻丝的阻值为，该电池电动势和内阻可表示为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（用、、、、表示） （5）为进一步确定结果，还需要测量单位角度对应电阻丝的阻值。利用现有器材设计实验，在图（c）方框中画出实验电路图\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（电阻丝用滑动变阻器符号表示）； （6）利用测出的，可得该电池的电动势和内阻。 【答案】 (1). (2). (3). (4). ![](./data/image/media/image156.png) 【解析】 【分析】 【详解】（2）\[1\]开关闭合前，为了保护电路中的元件，应将电阻丝的最大阻值接入电路，根据电阻定律可知电阻丝接入越长，接入电阻越大，金属夹应夹在电阻丝的端。 （4）\[2\]设圆心角为时，电阻丝接入电路中的电阻为，根据闭合电路欧姆定律可知 整理得 结合图象的斜率和截距满足 ， 解得电源电动势和内阻为 （5）\[3\]实验器材中有定值电阻和单刀双掷开关，考虑使用等效法测量电阻丝电阻，如图 ![](./data/image/media/image156.png) 原理的简单说明： ① 将开关置于位置，读出电流表示数； ② 将开关置于电阻丝处，调节电阻丝的角度，直到电流表示数为，读出此时角度θ ； ③ 此时，即可求得![](./data/image/media/image61.wmf)数值。 13\. 带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流（每个粒子的质量为、电荷量为）以初速度垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在平面内的粒子，求解以下问题。 （1）如图（a），宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入圆心为、半径为的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点，求该磁场磁感应强度的大小； （2）如图（a），虚线框为边长等于的正方形，其几何中心位于。在虚线框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到点的带电粒子流经过该区域后宽度变为，并沿轴正方向射出。求该磁场磁感应强度的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）； （3）如图（b），虛线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为的带电粒子流沿轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为，并沿轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）。 ![](./data/image/media/image182.png) 【答案】（1）；（2），垂直与纸面向里，；（3），，， 【解析】 【分析】 【详解】（1）粒子垂直进入圆形磁场，在坐标原点汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在磁场中运动的半径等于圆形磁场的半径，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力 解得 （2）粒子从点进入下方虚线区域，若要从聚焦的点飞入然后平行轴飞出，为磁发散的过程，即粒子在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图所示，图中圆形磁场即为最小的匀强磁场区域 ![](./data/image/media/image192.png) 磁场半径为，根据可知磁感应强度为 根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为 （3）粒子在磁场中运动，3和4为粒子运动的轨迹圆，1和2为粒子运动的磁场的圆周 ![](./data/image/media/image196.png) 根据可知I和III中的磁感应强度为 ， 图中箭头部分的实线为粒子运动的轨迹，可知磁场的最小面积为叶子形状，取I区域如图 ![](./data/image/media/image197.png) 图中阴影部分面积的一半为四分之一圆周与三角形之差，所以阴影部分的面积为 类似地可知IV区域的阴影部分面积为 根据对称性可知II中的匀强磁场面积为 14\. 如图，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一长为的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右下方有一段弧形轨道。质量为的小物块A与水平轨道间的动摩擦因数为。以水平轨道末端点为坐标原点建立平面直角坐标系，轴的正方向水平向右，轴的正方向竖直向下，弧形轨道端坐标为，端在轴上。重力加速度为。 （1）若A从倾斜轨道上距轴高度为的位置由静止开始下滑，求经过点时的速度大小； （2）若A从倾斜轨道上不同位置由静止开始下滑，经过点落在弧形轨道上的动能均相同，求的曲线方程； （3）将质量为（为常数且）的小物块置于点，A沿倾斜轨道由静止开始下滑，与B发生弹性碰撞（碰撞时间极短），要使A和B均能落在弧形轨道上，且A落在B落点的右侧，求A下滑的初始位置距轴高度的取值范围。 ![](./data/image/media/image212.png) 【答案】（1）；（2）（其中，）；（3） 【解析】 【分析】 【详解】（1）物块从光滑轨道滑至点，根据动能定理 解得 （2）物块从点飞出后做平抛运动，设飞出的初速度为，落在弧形轨道上的坐标为，将平抛运动分别分解到水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，有 ， 解得水平初速度为 物块从点到落点，根据动能定理可知 解得落点处动能为 因为物块从点到弧形轨道上动能均相同，将落点的坐标代入，可得 化简可得 即 （其中，） （3）物块在倾斜轨道上从距轴高处静止滑下，到达点与物块碰前，其速度为，根据动能定理可知 解得 \-\-\-\-\-\-- ① 物块与发生弹性碰撞，使A和B均能落在弧形轨道上，且A落在B落点的右侧，则A与B碰撞后需要反弹后再经过水平轨道-倾斜轨道-水平轨道再次到达*O*点。规定水平向右为正方向，碰后AB的速度大小分别为和，在物块与碰撞过程中，动量守恒，能量守恒。则 解得 \-\-\-\-\-\--② \-\-\-\-\-\--③ 设碰后物块反弹，再次到达点时速度为，根据动能定理可知 解得 \-\-\-\-\-\--④ 据题意， A落在B落点的右侧，则 \-\-\-\-\-\--⑤ 据题意，A和B均能落在弧形轨道上，则A必须落在P点的左侧，即： \-\-\-\-\-\--⑥ 联立以上，可得的取值范围为 **（二）选考题：共13分。请考生从两道题中任选一题作答。如果多做，则按第一题计分。** **\[物理------选修3-3\]** 15\. 如图，两端开口、下端连通的导热汽缸，用两个轻质绝热活塞（截面积分别为和）封闭一定质量的理想气体，活塞与汽缸壁间无摩擦。在左端活塞上缓慢加细沙，活塞从下降高度到位置时，活塞上细沙的总质量为。在此过程中，用外力作用在右端活塞上，使活塞位置始终不变。整个过程环境温度和大气压强保持不变，系统始终处于平衡状态，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） ![](./data/image/media/image246.png) A. 整个过程，外力做功大于0，小于 B. 整个过程，理想气体的分子平均动能保持不变 C. 整个过程，理想气体的内能增大 D. 整个过程，理想气体向外界释放的热量小于 E. 左端活塞到达位置时，外力等于 【答案】BDE 【解析】 【分析】 【详解】A. 根据做功的两个必要因素有力和在力的方向上有位移，由于活塞没有移动，可知整个过程，外力*F*做功等于0，A错误； BC. 根据气缸导热且环境温度没有变，可知气缸内的温度也保持不变，则整个过程，理想气体的分子平均动能保持不变，内能不变，B正确，C错误； D. 由内能不变可知理想气体向外界释放的热量等于外界对理想气体做的功： D正确； E. 左端活塞到达 B 位置时，根据压强平衡可得： 即： E正确。 故选BDE。 16\. 小赞同学设计了一个用电子天平测量环境温度的实验装置，如图所示。导热汽缸开口向上并固定在桌面上，用质量、截面积的活塞封闭一定质量的理想气体，活塞与汽缸壁间无摩擦。一轻质直杆中心置于固定支点上，左端用不可伸长的细绳竖直悬挂活塞，右端用相同细绳竖直悬挂一个质量的铁块，并将铁块放置到电子天平上。当电子天平示数为时，测得环境温度。设外界大气压强，重力加速度。 （1）当电子天平示数为时，环境温度为多少？ （2）该装置可测量的最高环境温度为多少？ ![](./data/image/media/image263.png) 【答案】（1）297K；（2）309K 【解析】 【分析】 【详解】（1）由电子天平示数为600.0g时，则细绳对铁块拉力为 又：铁块和活塞对细绳的拉力相等，则气缸内气体压强等于大气压强 ① 当电子天平示数为400.0g时，设此时气缸内气体压强为*p*~2~，对受力分析有 ② 由题意可知，气缸内气体体积不变，则压强与温度成正比： ③ 联立①②③式解得 （2）环境温度越高，气缸内气体压强越大，活塞对细绳的拉力越小，则电子秤示数越大，由于细绳对铁块的拉力最大为0，即电子天平的示数恰好为1200g时，此时对应的环境温度为装置可以测量最高环境温度。设此时气缸内气体压强为*p*~3~，对受力分析有 ④ 又由气缸内气体体积不变，则压强与温度成正比 ⑤ 联立①④⑤式解得 **\[物理------选修3-4\]** 17\. 均匀介质中，波源位于*O*点的简谐横波在*xOy*水平面内传播，波面为圆。*t* *=* 0时刻，波面分布如图（*a*）所示，其中实线表示波峰，虚线表示相邻的波谷。*A*处质点的振动图像如图（*b*）所示，*z*轴正方向竖直向上。下列说法正确的是（ ） ![](./data/image/media/image273.png) A. 该波从*A*点传播到*B*点，所需时间为 B. 时，处质点位于波峰 C. 时，处质点振动速度方向竖直向上 D. 时，处质点所受回复力方向竖直向上 E. 处质点起振后，内经过的路程为 【答案】ACE 【解析】 【分析】 【详解】A．由图*a*、*b*可看出，该波的波长、周期分别为 *λ* *=* 10m，*T* *=* 4s 则根据波速公式 *v* *=* *=* 2.5m/s 则该波从*A*点传播到*B*点，所需时间为 *t* *=* m/s *=* 4m/s A正确； B．由选项A可知，则该波从*A*点传播到*B*点，所需时间为4s，则在*t* *=* 6s时，*B*点运动了2s，即，则*B*处质点位于波谷，B错误； C．波从*AE*波面传播到*C*的距离为 *x* =(10 - 10)m 则波从*AE*波面传播到*C*的时间为 *t =* 则*t* *=* 8s时，*C*处质点动了3.1s，则此时质点速度方向向上，C正确； D．波从*AE*波面传播到*D*的距离为 则波从*AE*波面传播到*C*的时间为 *t* *=* 则*t* *=* 10s时，*C*处质点动了8.3s，则此时质点位于*z*轴上方，回复力方向向下，D错误； E．由选项A知 *T =* 4s，12s *=* 3*T* 一个周期质点运动的路程为4cm，则3T质点运动的路程为12cm，E正确。 故选ACE。 18\. 我国古代著作《墨经》中记载了小孔成倒像的实验，认识到光沿直线传播。身高的人站在水平地面上，其正前方处的竖直木板墙上有一个圆柱形孔洞，直径为、深度为，孔洞距水平地面的高度是人身高的一半。此时，由于孔洞深度过大，使得成像不完整，如图所示。现在孔洞中填充厚度等于洞深的某种均匀透明介质，不考虑光在透明介质中的反射。 （i）若该人通过小孔能成完整的像，透明介质的折射率最小为多少？ （ii）若让掠射进入孔洞的光能成功出射，透明介质的折射率最小为多少？ ![](./data/image/media/image292.png) 【答案】（i）1.38；（ii）1.7 【解析】 【分析】 【详解】（i）根据题意作出如下光路图 ![](./data/image/media/image293.png) 当孔在人身高一半时有 tan*θ* *=* *=* ≈ ，sin*θ* *=* 0.8， tan*α* *=* ，sin*α* *=* 由折射定律有 *n* *=* （ii）若让掠射进入孔洞的光能成功出射，则可画出如下光路图 ![](./data/image/media/image300.png) 根据几何关系有 ![](./data/image/media/image302.png) 本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。 > 登录组卷网可对本试卷进行**单题组卷**、**细目表分析**、**布置作业**、**举一反三**等操作。 试卷地址：[[在组卷网浏览本卷]{.underline}](http://zujuan.xkw.com/qbm/paper/2738555974795264) 组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过900万精品解析试题。 关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。 ![](./data/image/media/image303.jpeg) 学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。 钱老师 QQ：537008204    曹老师 QQ：713000635
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**2017年湖南省郴州市中考数学试卷** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）** 1．2017的相反数是（　　） A．﹣2017 B．2017 C．![](./data/image/media/image1.jpeg) D．﹣![](./data/image/media/image2.jpeg) 【分析】根据相反数的定义求解即可． 【解答】解：2017的相反数是﹣2017， 故选：A． 【点评】本题考查了相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上"﹣"号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆． 　 2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．![](./data/image/media/image3.jpeg) B．![](./data/image/media/image4.jpeg) C．![](./data/image/media/image5.jpeg) D．![](./data/image/media/image6.jpeg) 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选B． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 　 3．某市今年约有140000人报名参加初中学业水平考试，用科学记数法表示140000为（　　） A．14×10^4^ B．14×10^3^ C．1.4×10^4^ D．1.4×10^5^ 【分析】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将140000用科学记数法表示为：1.4×10^5^． 故选D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 　 4．下列运算正确的是（　　） A．（a﹣b）=a^2^+b^2^ 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式=a^6^，不符合题意； B、原式=a^5^，符合题意； C、原式=![](./data/image/media/image7.jpeg)，不符合题意； D、原式=a^2^﹣b^2^，不符合题意， 故选B 【点评】此题考查了整式的混合运算，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 5．在创建"全国园林城市"期间，郴州市某中学组织共青团员去植树，其中七位同学植树的棵树分别为：3，1，1，3，2，3，2，这组数据的中位数和众数分别是（　　） A．3，2 B．2，3 C．2，2 D．3，3 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中3是出现次数最多的，故众数是3；处于这组数据中间位置的那个数是2，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是2． 【解答】解：在这一组数据中3是出现次数最多的，故众数是3； 处于这组数据中间位置的那个数是2，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是2． 故选B． 【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，解题时要细心． 　 6．已知反比例函数y=![](./data/image/media/image8.jpeg)的图象过点A（1，﹣2），则k的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1 【分析】直接把点（1，﹣2）代入反比例函数y=![](./data/image/media/image8.jpeg)即可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数y=![](./data/image/media/image8.jpeg)的图象过点A（1，﹣2）， ∴﹣2=![](./data/image/media/image9.jpeg)， 解得k=﹣2． 故选C． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 　 7．如图所示的圆锥的主视图是（　　） ![](./data/image/media/image10.jpeg) A．![](./data/image/media/image11.jpeg) B．![](./data/image/media/image12.jpeg) C．![](./data/image/media/image13.jpeg) D．![](./data/image/media/image14.jpeg) 【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答． 【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示： ![](./data/image/media/image11.jpeg) 故选：A． 【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，主视图是从物体的正面看得到的视图． 　 8．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（　　） ![](./data/image/media/image15.jpeg) A．180 B．210 C．360 D．270 【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可． 【解答】解：∠α=∠1+∠D， ∠β=∠4+∠F， ∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F =∠2+∠D+∠3+∠F =∠2+∠3+30°+90° =210°， 故选：B． ![](./data/image/media/image16.jpeg) 【点评】本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 　 **二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）** 9．在平面直角坐标系中，把点A（2，3）向左平移一个单位得到点A′，则点A′的坐标为[　（1，3）　]{.underline}． 【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可． 【解答】解：∵点A（2，3）向左平移1个单位长度， ∴点A′的横坐标为2﹣1=1，纵坐标不变， ∴A′的坐标为（1，3）． 故答案为：（1，3）． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 　 10．函数y=![](./data/image/media/image17.jpeg)的自变量x的取值范围为[　x≥﹣1　]{.underline}． 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为：x≥﹣1． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 　 11．把多项式3x^2^﹣12因式分解的结果是[　3（x﹣2）（x+2）　]{.underline}． 【分析】首先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【解答】解：3x^2^﹣12=3（x^2^﹣4）=3（x﹣2）（x+2）． 故答案为：3（x﹣2）（x+2）． 【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，在分解因式时首先要考虑提取公因式，再考虑运用公式法，注意分解一定要彻底． 　 12．为从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加市锦标赛，特统计了他们最近10次射击训练的成绩，其中，他们射击的平均成绩都为8.9环，方差分别是S~甲~^2^=0.8，S~乙~^2^=1.3，从稳定性的角度来看[　甲　]{.underline}的成绩更稳定．（填"甲"或"乙"） 【分析】根据方差的意义即可得． 【解答】解：∵S~甲~^2^=0.8，S~乙~^2^=1.3， ∴S~甲~^2^＜S~乙~^2^， ∴成绩最稳定的运动员是甲， 故答案是：甲． 【点评】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义：方差越小，数据的密集度越高，波动幅度越小是解题的关键． 　 13．如图，直线EF分别交AB、CD于点E，F，且AB∥CD，若∠1=60°，则∠2=[　120°　]{.underline}． ![](./data/image/media/image18.jpeg) 【分析】两直线平行，同位角相等，据此可得到∠EFD，然后根据邻补角概念即可求出∠2． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠DFE=∠1=60°， ∴∠2=180°﹣∠DFE=120°． 故答案为：120°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等． 　 14．已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为[　15π　]{.underline}cm^2^（结果保留π） ![](./data/image/media/image19.jpeg) 【分析】首先利用勾股定理求得圆锥的底面半径，然后利用圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 【解答】解：∵圆锥的高是4cm，母线长5cm， ∴勾股定理得圆锥的底面半径为3cm， ∴圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm^2^． 故答案为：15π． 【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键． 　 15．从1、﹣1、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率是[　]{.underline}![](./data/image/media/image20.jpeg)[　]{.underline}． 【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出刚好在坐标轴上的点个数，即可求出所求的概率． 【解答】解：列表得： ----- ------------ ------------ ------------ ﹣1 1 0 ﹣1 ﹣﹣﹣ （1，﹣1） （0，﹣1） 1 （﹣1，1） ﹣﹣﹣ （0，1） 0 （﹣1，0） （1，0） ﹣﹣﹣ ----- ------------ ------------ ------------ 所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种， 所以该点在坐标轴上的概率=![](./data/image/media/image21.jpeg)=![](./data/image/media/image20.jpeg)， 故答案为：![](./data/image/media/image20.jpeg)． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了点的坐标特征． 　 16．已知a~1~=﹣![](./data/image/media/image22.jpeg)，a~2~=![](./data/image/media/image23.jpeg)，a~3~=﹣![](./data/image/media/image24.jpeg)，a~4~=![](./data/image/media/image25.jpeg)，a~5~=﹣![](./data/image/media/image26.jpeg)，...，则a~8~=[　]{.underline}![](./data/image/media/image27.jpeg)[　]{.underline}． 【分析】根据已给出的5个数即可求出a~8~的值； 【解答】解：由题意给出的5个数可知：a~n~=![](./data/image/media/image28.jpeg) 当n=8时，a~8~=![](./data/image/media/image27.jpeg) 故答案为：![](./data/image/media/image27.jpeg) 【点评】本题考查数字规律问题，解题的关键是正确找出规律，本题属于中等题型． 　 **三、解答题（共82分）** 17．计算：2sin30°+（π﹣3.14）^0^+\|1﹣![](./data/image/media/image29.jpeg)\|+（﹣1）^2017^． 【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可得到结果． 【解答】解：原式=1+1+![](./data/image/media/image30.jpeg)﹣1﹣1=![](./data/image/media/image30.jpeg)． 【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 18．先化简，再求值：![](./data/image/media/image31.jpeg)﹣![](./data/image/media/image32.jpeg)，其中a=1． 【分析】先根据异分母分式的加法法则化简原式，再将a的值代入即可得． 【解答】解：原式=![](./data/image/media/image33.jpeg)﹣![](./data/image/media/image34.jpeg) =![](./data/image/media/image35.jpeg) =![](./data/image/media/image36.jpeg)， 当a=1时， 原式=![](./data/image/media/image37.jpeg)=![](./data/image/media/image38.jpeg)． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关键． 　 19．已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE=CD． ![](./data/image/media/image39.jpeg) 【分析】由∠ABC=∠ACB可得AB=AC，又点D、E分别是AB、AC的中点．得到AD=AE，通过△ABE≌△ACD，即可得到结果． 【解答】证明：∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∵点D、E分别是AB、AC的中点． ∴AD=AE， 在△ABE与△ACD中， ![](./data/image/media/image40.jpeg)， ∴△ABE≌△ACD， ∴BE=CD． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记定理是解题的关键． 　 20．某报社为了解市民对"社会主义核心价值观"的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果分为"A．非常了解"、"B．了解"、"C．基本了解"三个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． ![](./data/image/media/image41.jpeg) （1）这次调查的市民人数为[　500　]{.underline}人，m=[　12　]{.underline}，n=[　32　]{.underline}； （2）补全条形统计图； （2）若该市约有市民100000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对"社会主义核心价值观"达到"A．非常了解"的程度． 【分析】（1）根据项目B的人数以及百分比，即可得到这次调查的市民人数，据此可得项目A，C的百分比； （2）根据对"社会主义核心价值观"达到"A．非常了解"的人数为：32%×500=160，补全条形统计图； （3）根据全市总人数乘以A项目所占百分比，即可得到该市对"社会主义核心价值观"达到"A非常了解"的程度的人数． 【解答】解：（1）280÷56%=500人，60÷500=12%，1﹣56%﹣12%=32%， 故答案为：500，12，32； （2）对"社会主义核心价值观"达到"A．非常了解"的人数为：32%×500=160， 补全条形统计图如下： ![](./data/image/media/image42.jpeg) （3）100000×32%=32000（人）， 答：该市大约有32000人对"社会主义核心价值观"达到"A．非常了解"的程度． 【点评】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的运用，解题时注意：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系． 　 21．某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg．现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题： （1）生产A，B两种产品的方案有哪几种； （2）设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润． 【分析】（1）根据两种产品所需要的甲、乙两种原料列出不等式组，然后求解即可； （2）根据总利润等于两种产品的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性求出最大利润即可． 【解答】解：（1）根据题意得：![](./data/image/media/image43.jpeg)， 解得18≤x≤20， ∵x是正整数， ∴x=18、19、20， 共有三种方案： 方案一：A产品18件，B产品12件， 方案二：A产品19件，B产品11件， 方案三：A产品20件，B产品10件； （2）根据题意得：y=：700x+900（30﹣x）=﹣200x+27000， ∵﹣200＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴x=18时，y有最大值， y~最大~=﹣200×18+27000=23400元． 答：利润最大的方案是方案一：A产品18件，B产品12件，最大利润为23400元． 【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确找出题中的等量关系和不等量关系是解题的关键． 　 22．如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：![](./data/image/media/image44.jpeg)≈1.73） ![](./data/image/media/image45.jpeg) 【分析】作PH⊥AC于H．求出PH与100比较即可解决问题． 【解答】解：结论；不会．理由如下： 作PH⊥AC于H． ![](./data/image/media/image46.jpeg) 由题意可知：∠EAP=60°，∠FBP=30°， ∴∠PAB=30°，∠PBH=60°， ∵∠PBH=∠PAB+∠APB， ∴∠BAP=∠BPA=30°， ∴BA=BP=120， 在Rt△PBH中，sin∠PBH=![](./data/image/media/image47.jpeg)， ∴PH=PBsin60°=120×![](./data/image/media/image48.jpeg)≈103.80， ∵103.80＞100， ∴这条高速公路不会穿越保护区． 【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 　 23．如图，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是⊙O的半径，且OA=3． （1）求证：AB平分∠OAD； （2）若点E是优弧![](./data/image/media/image49.jpeg)上一点，且∠AEB=60°，求扇形OAB的面积．（计算结果保留π） ![](./data/image/media/image50.jpeg) 【分析】（1）连接OB，由切线的性质得出OB⊥BC，证出AD∥OB，由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠DAB=∠OAB，即可得出结论； （2）由圆周角定理得出∠AOB=120°，由扇形面积公式即可得出答案． 【解答】（1）证明：连接OB，如图所示： ∵BC切⊙O于点B， ∴OB⊥BC， ∵AD⊥BC， ∴AD∥OB， ∴∠DAB=∠OBA， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∴∠DAB=∠OAB， ∴AB平分∠OAD； （2）解：∵点E是优弧![](./data/image/media/image51.jpeg)上一点，且∠AEB=60°， ∴∠AOB=2∠AEB=120°， ∴扇形OAB的面积=![](./data/image/media/image52.jpeg)=3π． ![](./data/image/media/image53.jpeg) 【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周角定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键． 　 24．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}=﹣1，max{1，2}=2，max{4，3}=4，参照上面的材料，解答下列问题： （1）max{5，2}=[　5　]{.underline}，max{0，3}=[　3　]{.underline}； （2）若max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，求x的取值范围； （3）求函数y=x^2^﹣2x﹣4与y=﹣x+2的图象的交点坐标，函数y=x^2^﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y=﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x^2^﹣2x﹣4}的最小值． ![](./data/image/media/image54.jpeg) 【分析】（1）根据max{a，b}表示a、b两数中较大者，即可求出结论； （2）根据max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论； （3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y=﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，x^2^﹣2x﹣4}的最小值． 【解答】解：（1）max{5，2}=5，max{0，3}=3． 故答案为：5；3． （2）∵max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1， ∴3x+1≤﹣x+1， 解得：x≤0． （3）联立两函数解析式成方程组， ![](./data/image/media/image55.jpeg)，解得：![](./data/image/media/image56.jpeg)，![](./data/image/media/image57.jpeg)， ∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）． 画出直线y=﹣x+2，如图所示， 观察函数图象可知：当x=3时，max{﹣x+2，x^2^﹣2x﹣4}取最小值﹣1． ![](./data/image/media/image58.jpeg) 【点评】本题考查了二次函数的最值、一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是：（1）读懂题意，弄清max的意思；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，找出关于x的一元一次不等式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标． 　 25．如图，已知抛物线y=ax^2^+![](./data/image/media/image59.jpeg)x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），直线l：y=﹣![](./data/image/media/image60.jpeg)x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax^2^+![](./data/image/media/image61.jpeg)x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F． ![](./data/image/media/image62.jpeg) （1）试求该抛物线表达式； （2）如图（1），过点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标； （3）如图（2），过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC． ①求证：△ACD是直角三角形； ②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？ 【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a、c的方程组，然后解方程组求得a、c的值即可； （2）设P（m，![](./data/image/media/image63.jpeg) m^2^+![](./data/image/media/image61.jpeg)m﹣4），则F（m，﹣![](./data/image/media/image64.jpeg) m﹣4），则PF=﹣![](./data/image/media/image65.jpeg)m^2^﹣![](./data/image/media/image66.jpeg)m，当PF=OC时，四边形PCOF是平行四边形，然后依据PF=OC列方程求解即可； （3）①先求得点D的坐标，然后再求得AC、DC、AD的长，最后依据勾股定理的逆定理求解即可；②分为△ACD∽△CHP、△ACD∽△PHC两种情况，然后依据相似三角形对应成比例列方程求解即可 【解答】解：（1）由题意得：![](./data/image/media/image67.jpeg)，解得：![](./data/image/media/image68.jpeg)， ∴抛物线的表达式为y=![](./data/image/media/image65.jpeg)x^2^+![](./data/image/media/image69.jpeg)x﹣4． （2）设P（m，![](./data/image/media/image65.jpeg) m^2^+![](./data/image/media/image61.jpeg)m﹣4），则F（m，﹣![](./data/image/media/image60.jpeg) m﹣4）． ∴PF=（﹣![](./data/image/media/image60.jpeg)m﹣4）﹣（![](./data/image/media/image63.jpeg)m^2^+![](./data/image/media/image61.jpeg)m﹣4）=﹣![](./data/image/media/image63.jpeg)m^2^﹣![](./data/image/media/image70.jpeg)m． ∵PE⊥x轴， ∴PF∥OC． ∴PF=OC时，四边形PCOF是平行四边形． ∴﹣![](./data/image/media/image63.jpeg)m^2^﹣![](./data/image/media/image70.jpeg)m=4，解得：m=﹣![](./data/image/media/image71.jpeg)或m=﹣8． 当m=﹣![](./data/image/media/image71.jpeg)时，![](./data/image/media/image63.jpeg) m^2^+![](./data/image/media/image61.jpeg)m﹣4=﹣![](./data/image/media/image72.jpeg)， 当m=﹣8时，![](./data/image/media/image63.jpeg) m^2^+![](./data/image/media/image61.jpeg)m﹣4=﹣4． ∴点P的坐标为（﹣![](./data/image/media/image71.jpeg)，﹣![](./data/image/media/image72.jpeg)）或（﹣8，﹣4）． （3）①证明：把y=0代入y=﹣![](./data/image/media/image60.jpeg)x﹣4得：﹣![](./data/image/media/image73.jpeg) x﹣4=0，解得：x=﹣8． ∴D（﹣8，0）． ∴OD=8． ∵A（2，0），C（0，﹣4）， ∴AD=2﹣（﹣8）=10． 由两点间的距离公式可知：AC^2^=2^2^+4^2^=20，DC^2^=8^2^+4^2^=80，AD^2^=100， ∴AC^2^+CD^2^=AD^2^． ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°． ②由①得∠ACD=90°． 当△ACD∽△CHP时，![](./data/image/media/image74.jpeg) =![](./data/image/media/image75.jpeg)，即![](./data/image/media/image76.jpeg)=![](./data/image/media/image77.jpeg)或![](./data/image/media/image76.jpeg)=![](./data/image/media/image78.jpeg)， 解得：n=0（舍去）或n=﹣5.5或n=﹣10.5． 当△ACD∽△PHC时，![](./data/image/media/image74.jpeg) =![](./data/image/media/image79.jpeg)，即![](./data/image/media/image76.jpeg)=![](./data/image/media/image80.jpeg)或即![](./data/image/media/image76.jpeg)=![](./data/image/media/image81.jpeg)． 解得：n=0（舍去）或n=2或n=﹣18． 综上所述，点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似． 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、相似三角形的性质，依据平行线的对边相等列出关于m的方程是解答问题（2）的关键，利用相似三角形的性质列出关于n的方程是解答问题（3）的关键． 　 26．如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE． （1）求证：△CDE是等边三角形； （2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． ![](./data/image/media/image82.jpeg) 【分析】（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论； （2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C~△DBE~=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论； （3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA﹣DA=6﹣4=2，于是得到t=2÷1=2s；③当6＜t＜10s时，此时不存在；④当t＞10s时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14÷1=14s． 【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE， ∴∠DCE=60°，DC=EC， ∴△CDE是等边三角形； （2）存在，当6＜t＜10时， 由旋转的性质得，BE=AD， ∴C~△DBE~=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE， 由（1）知，△CDE是等边三角形， ∴DE=CD， ∴C~△DBE~=CD+4， 由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小， 此时，CD=2![](./data/image/media/image83.jpeg)cm， ∴△BDE的最小周长=CD+4=2![](./data/image/media/image83.jpeg)+4； （3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形， ∴当点D与点B重合时，不符合题意， ②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE=60°，∠BDE＜60°， ∴∠BED=90°， 由（1）可知，△CDE是等边三角形， ∴∠DEB=60°， ∴∠CEB=30°， ∵∠CEB=∠CDA， ∴∠CDA=30°， ∵∠CAB=60°， ∴∠ACD=∠ADC=30°， ∴DA=CA=4， ∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2， ∴t=2÷1=2s； ③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°， ∴此时不存在； ④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°， 又由（1）知∠CDE=60°， ∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC， 而∠BDC＞0°， ∴∠BDE＞60°， ∴只能∠BDE=90°， 从而∠BCD=30°， ∴BD=BC=4， ∴OD=14cm， ∴t=14÷1=14s， 综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 　
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**-北师大版五年级（下）期中数学模拟试卷（2）** 　 **一、填空（每空1分，共20分）** 1．1时的![](./data/image/media/image1.jpeg)是[　　　　　　]{.underline}分；5米的![](./data/image/media/image2.jpeg)是[　　　　　　]{.underline}厘米． 2．小红用一张纸的![](./data/image/media/image3.jpeg)折了一只纸鹤，又用剩下的![](./data/image/media/image4.jpeg)折了一架飞机，折纸飞机用去了[　　　　　　]{.underline}． 3．把一根2米长的绳子平均分成3段，每段是[　　　　　　]{.underline}米，每段是全长的[　　　　　　]{.underline}． 4．一个长方体的长是15厘米、宽12厘米、高是8厘米，这个长方体的表面积是[　　　　　　]{.underline}平方厘米，体积是[　　　　　　]{.underline}立方厘米． 5．一个正方体的棱长和是36厘米，它的表面积是[　　　　　　]{.underline}，体积是[　　　　　　]{.underline}． 6．五年级有学生45人，其中男生占![](./data/image/media/image5.jpeg)，女生占全班人数的![](./data/image/media/image6.jpeg)，女生有[　　　　　　]{.underline}人． 7．一个书包的价钱是40元，打八折后是[　　　　　　]{.underline}元． 8．![](./data/image/media/image7.jpeg)的倒数是[　　　　　　]{.underline}，[　　　　　　]{.underline}没有倒数． 9．一个长方体的长5厘米，宽4厘米，高3厘米，它的棱长总和是[　　　　　　]{.underline}厘米． 10．果园里有40棵苹果树，刚好占果树总数的![](./data/image/media/image8.jpeg)，果园里有果树[　　　　　　]{.underline}棵． 11．500厘米^2^=[　　　　　　]{.underline}分米^2^ 5400毫升=[　　　　　　]{.underline}升． 12．正方形的边长![](./data/image/media/image9.jpeg)米，它的周长是[　　　　　　]{.underline}米，面积是[　　　　　　]{.underline}平方米． 　 **二、判断对错** 13．长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高来计算．[　　　　　　]{.underline}．（判断对错） 14．一根木料长3米，用去![](./data/image/media/image7.jpeg)，则还剩下![](./data/image/media/image7.jpeg)米．[　　　　　　]{.underline}（判断对错） 15．正方体的棱长扩大5倍，它的表面积就扩大10倍．[　　　　　　]{.underline}．（判断对错） 16．一个棱长6米的正方体，它的体积和表面积相等．[　　　　　　]{.underline}．（判断对错） 17．一盒糖，小明先取走了其中的![](./data/image/media/image10.jpeg)，小红取走余下的![](./data/image/media/image11.jpeg)，两人取走的糖一样多．[　　　　　　]{.underline}．（判断对错） 　 **三、选择正确答案的序号** 18．甲数的![](./data/image/media/image12.jpeg)是12，乙数是12的![](./data/image/media/image12.jpeg)，甲乙两数比较（　　） A．甲数大 B．乙数大 C．一样大 19．一个数的![](./data/image/media/image13.jpeg)是![](./data/image/media/image14.jpeg)，求这个数．正确的列式是（　　） A．![](./data/image/media/image13.jpeg)×![](./data/image/media/image14.jpeg) B．![](./data/image/media/image13.jpeg)÷![](./data/image/media/image14.jpeg) C．![](./data/image/media/image14.jpeg)÷![](./data/image/media/image15.jpeg) 20．3个![](./data/image/media/image16.jpeg)的和是（　　） A．![](./data/image/media/image15.jpeg) B．![](./data/image/media/image17.jpeg) C．![](./data/image/media/image18.jpeg) 21．做一个棱长为6米的正方体铁盒，至少需要（　　）平方米的铁皮． A．36m^2^ B．72m^2^ C．216m^2^ 22．倒数大于1的是（　　） A．非0的自然数 B．假分数 C．真分数 　 **四、计算** 23． +---------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------+ | 直接写得数 | ![](./data/image/media/image19.jpeg)﹣![](./data/image/media/image20.jpeg)= | ![](./data/image/media/image9.jpeg)×![](./data/image/media/image21.jpeg)= | ![](./data/image/media/image19.jpeg)×5= | | | | | | | ![](./data/image/media/image9.jpeg)+![](./data/image/media/image10.jpeg)= | | | | +---------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------+ | 2﹣![](./data/image/media/image22.jpeg)= | 3÷7= | ![](./data/image/media/image23.jpeg)÷![](./data/image/media/image24.jpeg)= | ![](./data/image/media/image25.jpeg)÷4= | +---------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------+ 24．解方程 ![](./data/image/media/image26.jpeg)x=![](./data/image/media/image27.jpeg) ![](./data/image/media/image28.jpeg)÷x=![](./data/image/media/image29.jpeg) 4x+![](./data/image/media/image28.jpeg)=![](./data/image/media/image30.jpeg)． 　 **五、解答题（共1小题，满分6分）** 25．列式计算 （1）18里面有几个![](./data/image/media/image31.jpeg)？ （2）![](./data/image/media/image26.jpeg)吨的![](./data/image/media/image32.jpeg)是多少？ 　 **六、解决问题．** 26．春雷小学去年毕业的学生有160人，今年毕业的学生人数比去年增加了![](./data/image/media/image33.jpeg)，今年毕业的学生比去年多多少？ 27．制作一个长8分米，宽5分米，高4分米的无盖玻璃鱼缸，至少需要多少平方米的玻璃？ 28．花篮里有百合花15枝，百合花的枝数占玫瑰花的![](./data/image/media/image34.jpeg)，玫瑰花的枝数相当于康乃馨的![](./data/image/media/image35.jpeg)，这个花篮里有玫瑰花和康乃馨各多少枝？ 29．小明今年8岁，小明的年龄相当于爷爷的年龄的![](./data/image/media/image36.jpeg)，爷爷今年有多少岁？ 30．一根长方体钢材的横截面的面积是18分米^2^，长1米．如果每立方分米钢重7.8千克，这根钢材重多少千克？ 31．小珍要给长15厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体纸盒的每条棱上贴上金色丝带，至少需要丝带多少厘米？ 　 **-北师大版五年级（下）期中数学模拟试卷（2）** **参考答案与试题解析** 　 **一、填空（每空1分，共20分）** 1．1时的![](./data/image/media/image37.jpeg)是[　45　]{.underline}分；5米的![](./data/image/media/image38.jpeg)是[　140　]{.underline}厘米． 【考点】分数乘法；时、分、秒及其关系、单位换算与计算；长度的单位换算． 【分析】（1）要求1时的![](./data/image/media/image37.jpeg)是多少分，先把1时换算成60分，再用60×![](./data/image/media/image37.jpeg)即可得解； （2）要求5米的![](./data/image/media/image38.jpeg)是多少厘米，先把5米换算成500厘米，再用500×![](./data/image/media/image38.jpeg)即可得解． 【解答】解：（1）1时=60分 60×![](./data/image/media/image37.jpeg)=45（分）； 答：1时的![](./data/image/media/image37.jpeg)是 45分． （2）5米=500厘米 500×![](./data/image/media/image38.jpeg)=140（厘米）； 答：5米的![](./data/image/media/image39.jpeg)是 140厘米． 故答案为：45、140． 　 2．小红用一张纸的![](./data/image/media/image40.jpeg)折了一只纸鹤，又用剩下的![](./data/image/media/image41.jpeg)折了一架飞机，折纸飞机用去了[　]{.underline}![](./data/image/media/image42.jpeg)[　]{.underline}． 【考点】分数乘法应用题． 【分析】把这张纸的总面积看作单位"1"，小红用一张纸的![](./data/image/media/image40.jpeg)折了一只纸鹤，则还剩下这张纸总面积的（1﹣![](./data/image/media/image40.jpeg)），然后根据一个数乘分数的意义，用乘法求出折飞机的面积． 【解答】解：（1﹣![](./data/image/media/image40.jpeg)）×![](./data/image/media/image41.jpeg) =![](./data/image/media/image43.jpeg)×![](./data/image/media/image41.jpeg) =![](./data/image/media/image42.jpeg) 答：折纸飞机用去了![](./data/image/media/image42.jpeg)． 故答案为：![](./data/image/media/image44.jpeg)． 　 3．把一根2米长的绳子平均分成3段，每段是[　]{.underline}![](./data/image/media/image21.jpeg)[　]{.underline}米，每段是全长的[　]{.underline}![](./data/image/media/image45.jpeg)[　]{.underline}． 【考点】2、3、5的倍数特征；分数除法． 【分析】（1）求每段长多少米，用这根绳子的全长除以段数即可； （2）把这根绳子的全长看作单位"1"，平均分为3段，求一段是这根绳子的全长的几分之几，用1÷3解答． 【解答】解：（1）每段长：2÷3=![](./data/image/media/image21.jpeg)（米）； （2）每段占全长的：1÷3=![](./data/image/media/image45.jpeg)． 答：每段是![](./data/image/media/image21.jpeg)米，每段是全长的![](./data/image/media/image45.jpeg)． 故答案为：![](./data/image/media/image21.jpeg)，![](./data/image/media/image45.jpeg)． 　 4．一个长方体的长是15厘米、宽12厘米、高是8厘米，这个长方体的表面积是[　792　]{.underline}平方厘米，体积是[　1440　]{.underline}立方厘米． 【考点】长方体和正方体的表面积；长方体和正方体的体积． 【分析】根据长方体的表面积公式：s=（ab+ah+bh）×2，体积公式：v=abh，把数据分别代入公式解答． 【解答】解：（15×12+15×8+12×8）×2 =×2 =396×2 =792（平方厘米）； 15×12×8=1440（立方厘米）； 答：这个长方体的表面积是792平方厘米，体积是1440立方厘米． 故答案为：792平方厘米 1440立方厘米． 　 5．一个正方体的棱长和是36厘米，它的表面积是[　54平方厘米　]{.underline}，体积是[　27立方厘米　]{.underline}． 【考点】长方体和正方体的表面积；正方体的特征；长方体和正方体的体积． 【分析】根据正方体的特征，它的12条棱的长度都相等，正方体的棱长总和=棱长×12，由此已知棱长总和求出棱长；再根据正方体的表面积公式s=6a^2^，体积公式v=a^3^，列式解答． 【解答】解：36÷12=3（厘米）； 3×3×6=54（平方厘米）； 3×3×3=27（立方厘米）； 答：它的表面积是54平方厘米，体积是27立方厘米． 故答案为：54平方厘米，27立方厘米． 　 6．五年级有学生45人，其中男生占![](./data/image/media/image46.jpeg)，女生占全班人数的![](./data/image/media/image47.jpeg)，女生有[　18　]{.underline}人． 【考点】分数乘法． 【分析】把全班的人数看成单位"1"，用全班的人数减去男生的分数就是女生的分数，再用单位"1"的量乘这个分数就是女生的人数． 【解答】解：1﹣![](./data/image/media/image46.jpeg)=![](./data/image/media/image48.jpeg)； 45×![](./data/image/media/image48.jpeg)=18（人）； 答：女生占全班人数的![](./data/image/media/image48.jpeg)，有18人． 故答案为：![](./data/image/media/image48.jpeg)，18． 　 7．一个书包的价钱是40元，打八折后是[　32　]{.underline}元． 【考点】百分数的实际应用． 【分析】一个书包的价钱是40元，打八折后即按原价的80%出售，根据分数乘法的意义，打折后的价格是40×80%元． 【解答】解：40×80%=32（元） 答：打八折后的价钱是32元． 故答案为：32． 　 8．![](./data/image/media/image49.jpeg)的倒数是[　2　]{.underline}，[　0　]{.underline}没有倒数． 【考点】倒数的认识． 【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数．求一个数的倒数就是用1除以这个数，0没有倒数．由此解答． 【解答】解：![](./data/image/media/image49.jpeg)的倒数是：1÷![](./data/image/media/image49.jpeg)=2；0没有倒数． 故答案为：2，0． 　 9．一个长方体的长5厘米，宽4厘米，高3厘米，它的棱长总和是[　48　]{.underline}厘米． 【考点】长方体的特征． 【分析】长方体的棱长和=（长+宽+高）×4，长宽高已知，于是可以求出这个长方体棱长的和． 【解答】解：（5+4+3）×4 =12×4 =48（厘米） 答：这个长方体的棱长之和是48厘米． 故答案为：48 　 10．果园里有40棵苹果树，刚好占果树总数的![](./data/image/media/image50.jpeg)，果园里有果树[　64　]{.underline}棵． 【考点】分数除法． 【分析】把果树的总棵数看做单位"1"，单位"1"的量是未知的，此题是已知单位"1"的![](./data/image/media/image50.jpeg)是40棵，求单位"1"的量，用除法计算． 【解答】解：果树的总棵数：40![](./data/image/media/image51.jpeg)=64（棵）． 答：果园里有果树64棵． 故答案为：64． 　 11．500厘米^2^=[　5　]{.underline}分米^2^ 5400毫升=[　5.4　]{.underline}升． 【考点】面积单位间的进率及单位换算． 【分析】（1）低级单位平方厘米化高级单位平方分米除以进率100． （2）低级单位毫升化高级单位升除以进率1000． 【解答】解：（1）500厘米^2^=5分米^2^； （2）5400毫升=5.4升． 故答案为：5，5.4． 　 12．正方形的边长![](./data/image/media/image52.jpeg)米，它的周长是[　3　]{.underline}米，面积是[　]{.underline}![](./data/image/media/image53.jpeg)[　]{.underline}平方米． 【考点】正方形的周长；长方形、正方形的面积． 【分析】（1）根据正方形的周长公式C=4a，把正方形的边长![](./data/image/media/image52.jpeg)米，代入公式，即可求出它的周长； （2）根据正方形的面积公式S=a×a=a^2^，把正方形的边长![](./data/image/media/image52.jpeg)米，代入公式，即可求出它的面积． 【解答】解：（1）正方形的周长是：![](./data/image/media/image52.jpeg)×4=3（米）； 正方形的面积是：![](./data/image/media/image9.jpeg)×![](./data/image/media/image9.jpeg)=![](./data/image/media/image54.jpeg)（平方米）； 答：正方形的周长是3米；面积是![](./data/image/media/image54.jpeg)平方米； 故答案为：3；![](./data/image/media/image54.jpeg)． 　 **二、判断对错** 13．长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高来计算．[　正确　]{.underline}．（判断对错） 【考点】长方体和正方体的体积． 【分析】根据长方体和正方体的体积公式，长方体的长×宽=长方体的底面积；正方体的棱长×棱长=正方体的底面积；由此解答． 【解答】解：长方体的体积=底面积×高，正方体的体积=底面积×高； 因此正方体和长方体的体积都可以用底面积乘以高来进行计算，这种说法是正确的． 故答案为：正确． 　 14．一根木料长3米，用去![](./data/image/media/image7.jpeg)，则还剩下![](./data/image/media/image7.jpeg)米．[　×　]{.underline}（判断对错） 【考点】分数乘法应用题． 【分析】首先把这根木料的长度看作单位"1"，根据分数乘法的意义，用这根木料的长度乘以用去的占的分率，求出用去的木料的长度是多少米；然后用这根木料的长度减去用去的长度，求出还剩下多少米即可． 【解答】解：3﹣3×![](./data/image/media/image7.jpeg) =3﹣![](./data/image/media/image55.jpeg) =![](./data/image/media/image55.jpeg)（米） 答：还剩下![](./data/image/media/image56.jpeg)米． 故答案为：×． 　 15．正方体的棱长扩大5倍，它的表面积就扩大10倍．[　×　]{.underline}．（判断对错） 【考点】长方体和正方体的表面积；积的变化规律． 【分析】根据积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积；再根据正方体表面积公式（s=6a^2^）解答即可． 【解答】解：如果正方体的棱长扩大5倍，它的表面积扩大5×5=25倍； 所以正方体的棱长扩大5倍，则表面积扩大10倍，错误； 故答案为：×． 　 16．一个棱长6米的正方体，它的体积和表面积相等．[　×　]{.underline}．（判断对错） 【考点】长方体和正方体的表面积；长方体和正方体的体积． 【分析】一个棱长6米的正方体，它的体积和表面积数值相等，但意义不同，体积单位和面积单位，单位不同，不能直接比较． 【解答】解：表面积是： 6^2^×6=216（平方米）， 体积是： 6×6×6=216（立方米）， 216与216的数值是相等的，但带上单位，216平方米与216立方米，面积与体积具有不可比性， 所以题干中的说法是错误的， 故答案为：×． 　 17．一盒糖，小明先取走了其中的![](./data/image/media/image57.jpeg)，小红取走余下的![](./data/image/media/image57.jpeg)，两人取走的糖一样多．[　×　]{.underline}．（判断对错） 【考点】分数大小的比较． 【分析】把这盒糖的块数看作单位"1"，小明先取走了其中的![](./data/image/media/image57.jpeg)所对应的单位"1"是这盒糖的块数，而小红取走余下的![](./data/image/media/image57.jpeg)所对应的单位"1"是这盒糖余下的块数即小红取走这盒糖的（1﹣![](./data/image/media/image57.jpeg)）的![](./data/image/media/image57.jpeg)据此解答． 【解答】解：小红取走这盒糖的： （1﹣![](./data/image/media/image57.jpeg)）×![](./data/image/media/image57.jpeg)， =![](./data/image/media/image34.jpeg)×![](./data/image/media/image58.jpeg)， =![](./data/image/media/image59.jpeg)， ![](./data/image/media/image58.jpeg)=![](./data/image/media/image60.jpeg)， 因为![](./data/image/media/image59.jpeg)＜![](./data/image/media/image60.jpeg)，即![](./data/image/media/image59.jpeg)＜![](./data/image/media/image58.jpeg)， 所以小明取走的糖＞小红取走的糖； 故答案为：×． 　 **三、选择正确答案的序号** 18．甲数的![](./data/image/media/image61.jpeg)是12，乙数是12的![](./data/image/media/image43.jpeg)，甲乙两数比较（　　） A．甲数大 B．乙数大 C．一样大 【考点】分数乘法；分数除法． 【分析】先把甲数看成单位"1"，它的![](./data/image/media/image43.jpeg)对应的数量是12，用除法求出甲数；再把12看成单位"1"，用乘法求出它的![](./data/image/media/image43.jpeg)就是乙数，然后比较甲乙两数． 【解答】解：甲数是：12![](./data/image/media/image62.jpeg)=18； 乙数是：12×![](./data/image/media/image43.jpeg)=8； 18＞8，甲数＞乙数． 故选：A． 　 19．一个数的![](./data/image/media/image63.jpeg)是![](./data/image/media/image64.jpeg)，求这个数．正确的列式是（　　） A．![](./data/image/media/image63.jpeg)×![](./data/image/media/image64.jpeg) B．![](./data/image/media/image63.jpeg)÷![](./data/image/media/image64.jpeg) C．![](./data/image/media/image64.jpeg)÷![](./data/image/media/image63.jpeg) 【考点】分数除法． 【分析】把这个数看成单位"1"，它的![](./data/image/media/image63.jpeg)对应的数量是![](./data/image/media/image64.jpeg)，用数量除以它对应的分数就是这个数． 【解答】解：这个数可以表示为： ![](./data/image/media/image64.jpeg)![](./data/image/media/image65.jpeg)． 故选：C． 　 20．3个![](./data/image/media/image66.jpeg)的和是（　　） A．![](./data/image/media/image67.jpeg) B．![](./data/image/media/image31.jpeg) C．![](./data/image/media/image68.jpeg) 【考点】分数乘法． 【分析】求几个相同分数的和的简便运算，叫做分数乘法，据此列式计算即可得解． 【解答】解：![](./data/image/media/image69.jpeg)×3=![](./data/image/media/image31.jpeg) 答：3个![](./data/image/media/image69.jpeg)的和是![](./data/image/media/image31.jpeg)． 故选：B． 　 21．做一个棱长为6米的正方体铁盒，至少需要（　　）平方米的铁皮． A．36m^2^ B．72m^2^ C．216m^2^ 【考点】长方体和正方体的表面积． 【分析】根据正方体的表面积公式：s=6a^2^，把数据代入公式解答即可． 【解答】解：6×6×6=216（平方米）， 答：至少需要216平方米的铁皮． 故选：C． 　 22．倒数大于1的是（　　） A．非0的自然数 B．假分数 C．真分数 【考点】倒数的认识． 【分析】真分数是分母大于分子的分数，分子分母互换位置即可得到它的倒数，这时分子大于分母，分数值大于1，据此可判断选择． 【解答】解：假分数如![](./data/image/media/image70.jpeg)的倒数是1等于1，![](./data/image/media/image71.jpeg)的倒数是![](./data/image/media/image72.jpeg)小于1； 非0的自然数如；1的倒数是1等于1，2，3，4，...，的倒数是![](./data/image/media/image73.jpeg)，![](./data/image/media/image40.jpeg)，![](./data/image/media/image74.jpeg)...都小于1； 真分数如![](./data/image/media/image75.jpeg)的倒数是2，![](./data/image/media/image52.jpeg) 的倒数是![](./data/image/media/image76.jpeg)大于1； 所以倒数大于1的是真分数． 故选：C 　 **四、计算** 23． +----------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------+ | 直接写得数 | ![](./data/image/media/image41.jpeg)﹣![](./data/image/media/image77.jpeg)= | ![](./data/image/media/image52.jpeg)×![](./data/image/media/image43.jpeg)= | ![](./data/image/media/image41.jpeg)×5= | | | | | | | ![](./data/image/media/image52.jpeg)+![](./data/image/media/image74.jpeg)= | | | | +----------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------+ | 2﹣![](./data/image/media/image78.jpeg)= | 3÷7= | ![](./data/image/media/image79.jpeg)÷![](./data/image/media/image80.jpeg)= | ![](./data/image/media/image81.jpeg)÷4= | +----------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------+ 【考点】分数的加法和减法；分数乘法；分数除法． 【分析】（1）、（2）题，![](./data/image/media/image52.jpeg) +![](./data/image/media/image82.jpeg)和![](./data/image/media/image83.jpeg)，同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变； （3）![](./data/image/media/image84.jpeg)，注意约分； （4）![](./data/image/media/image85.jpeg)5，整数与分数相乘，把整数和分子相乘，然后化成带分数； （5）2﹣![](./data/image/media/image86.jpeg)，把整数2化成分数再相减； （6）3÷7，此题除不尽，用分数表示； （7）、（8）题![](./data/image/media/image87.jpeg)、![](./data/image/media/image81.jpeg)÷4，除以一个数等于乘这个数的倒数． 【解答】解：（1）![](./data/image/media/image52.jpeg)+![](./data/image/media/image74.jpeg)=1； （2）![](./data/image/media/image88.jpeg)=![](./data/image/media/image43.jpeg)； （3）![](./data/image/media/image89.jpeg)=![](./data/image/media/image75.jpeg)； （4）![](./data/image/media/image90.jpeg)5=![](./data/image/media/image91.jpeg)； （5）2﹣![](./data/image/media/image78.jpeg)=![](./data/image/media/image92.jpeg)； （6）3÷7=![](./data/image/media/image93.jpeg)； （7）![](./data/image/media/image94.jpeg)=![](./data/image/media/image95.jpeg)； （8）![](./data/image/media/image96.jpeg)4=![](./data/image/media/image97.jpeg)． 　 24．解方程 ![](./data/image/media/image50.jpeg)x=![](./data/image/media/image98.jpeg) ![](./data/image/media/image99.jpeg)÷x=![](./data/image/media/image100.jpeg) 4x+![](./data/image/media/image99.jpeg)=![](./data/image/media/image101.jpeg)． 【考点】方程的解和解方程． 【分析】（1）根据等式的基本性质，方程两边同时除以![](./data/image/media/image102.jpeg)即可得解； （2）根据等式的基本性质，方程两边同时乘以x，再同时除以![](./data/image/media/image100.jpeg)即可得解； （3）利用等式的基本性质，方程两边同时减![](./data/image/media/image99.jpeg)，再同时除以4即可求解． 【解答】解：（1）![](./data/image/media/image102.jpeg)x=![](./data/image/media/image98.jpeg) ![](./data/image/media/image103.jpeg)x÷![](./data/image/media/image103.jpeg)=![](./data/image/media/image104.jpeg)÷![](./data/image/media/image103.jpeg) x=![](./data/image/media/image105.jpeg)； （2）![](./data/image/media/image61.jpeg)÷x=![](./data/image/media/image106.jpeg) ![](./data/image/media/image61.jpeg)÷x×x=![](./data/image/media/image106.jpeg)x ![](./data/image/media/image106.jpeg)x÷![](./data/image/media/image77.jpeg)=![](./data/image/media/image107.jpeg) x=4； （3）4x+![](./data/image/media/image43.jpeg)=![](./data/image/media/image108.jpeg) 4x+![](./data/image/media/image43.jpeg)﹣![](./data/image/media/image43.jpeg)=![](./data/image/media/image108.jpeg)﹣![](./data/image/media/image43.jpeg) 4x÷4=5÷4 x=1.25． 　 **五、解答题（共1小题，满分6分）** 25．列式计算 （1）18里面有几个![](./data/image/media/image109.jpeg)？ （2）![](./data/image/media/image110.jpeg)吨的![](./data/image/media/image111.jpeg)是多少？ 【考点】分数除法；分数乘法． 【分析】（1）求一个数里面有几个另一个数，用除法； （2）求一个数的几分之几是多少，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答即可． 【解答】解：（1）18÷![](./data/image/media/image109.jpeg)=78（个）； 答：18里面有78个![](./data/image/media/image109.jpeg)． （2）![](./data/image/media/image110.jpeg)×![](./data/image/media/image111.jpeg)=![](./data/image/media/image112.jpeg)（吨） 答：![](./data/image/media/image110.jpeg)吨的![](./data/image/media/image111.jpeg)是![](./data/image/media/image113.jpeg)吨． 　 **六、解决问题．** 26．春雷小学去年毕业的学生有160人，今年毕业的学生人数比去年增加了![](./data/image/media/image114.jpeg)，今年毕业的学生比去年多多少？ 【考点】分数乘法应用题． 【分析】把去年毕业的学生数看作单位"1"，今年毕业的学生人数比去年增加了![](./data/image/media/image114.jpeg)，增加了去年毕业学生数的![](./data/image/media/image114.jpeg)，求今年毕业的学生比去年多多少，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答即可． 【解答】解：160×![](./data/image/media/image114.jpeg)=48（人） 答：今年毕业的学生比去年多48人． 　 27．制作一个长8分米，宽5分米，高4分米的无盖玻璃鱼缸，至少需要多少平方米的玻璃？ 【考点】长方体和正方体的表面积． 【分析】由题意可知，玻璃鱼缸无盖，也就是求5个面的面积，长×宽的面只求一个，长×高和宽×高的各两个，由此列式解答． 【解答】解：8×5+8×4×2+5×4×2， =40+64+40， =144（平方分米）； 答：至少需要144平方米的玻璃． 　 28．花篮里有百合花15枝，百合花的枝数占玫瑰花的![](./data/image/media/image9.jpeg)，玫瑰花的枝数相当于康乃馨的![](./data/image/media/image115.jpeg)，这个花篮里有玫瑰花和康乃馨各多少枝？ 【考点】分数除法应用题． 【分析】先把玫瑰花的枝数看成单位"1"，它的![](./data/image/media/image116.jpeg)就是百合花的只数15枝，由此用除法求出玫瑰花的只数；再把康乃馨的枝数看成单位"1"，它的![](./data/image/media/image117.jpeg)就是玫瑰花的只数，再用除法即可求出康乃馨的枝数． 【解答】解：15÷![](./data/image/media/image116.jpeg)=20（枝） 20÷![](./data/image/media/image117.jpeg)=8（枝） 答：这个花篮里有玫瑰花20枝，康乃馨8枝． 　 29．小明今年8岁，小明的年龄相当于爷爷的年龄的![](./data/image/media/image118.jpeg)，爷爷今年有多少岁？ 【考点】分数除法应用题． 【分析】把爷爷的年龄看成单位"1"，它的![](./data/image/media/image118.jpeg)就是小明的年龄8岁，由此用除法求出爷爷的年龄． 【解答】解：8÷![](./data/image/media/image118.jpeg)=72（岁） 答：爷爷今年72岁． 　 30．一根长方体钢材的横截面的面积是18分米^2^，长1米．如果每立方分米钢重7.8千克，这根钢材重多少千克？ 【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用． 【分析】把这块钢材看成一个长方体，它的横截面就是底面，长度看成高，用底面积乘高就是它的体积；用求出的体积乘上7.8千克，就是这根钢材的重量． 【解答】解：1米=10分米， 18×10×7.8 =180×7.8 =1404（千克） 答：这根长方体钢材重1404千克． 　 31．小珍要给长15厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体纸盒的每条棱上贴上金色丝带，至少需要丝带多少厘米？ 【考点】长方体的特征． 【分析】根据长方体的棱的特征，12条棱分为互相平行（相对）的3组，每组4条棱的长度相等，已知在每条棱上贴上金色丝带，也就是求这个长方体的棱长总和，根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，列式解答即可． 【解答】解：（15+8+5）×4， =28×4， =112（厘米）； 答：至少需要丝带112厘米． 　 **2016年8月20日**
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**小学四年级上册数学奥数知识点讲解第7课《几何中的计数问题1》试题附答案** ![](./data/image/media/image1.png) ![](./data/image/media/image2.png)![](./data/image/media/image3.png)![](./data/image/media/image4.png) ![](./data/image/media/image5.png) ![](./data/image/media/image6.png) ![](./data/image/media/image7.png) ![](./data/image/media/image8.png) ![](./data/image/media/image9.png) ![](./data/image/media/image10.png) ![](./data/image/media/image11.png) ![](./data/image/media/image12.png) **答案**![](./data/image/media/image13.jpeg) ![](./data/image/media/image14.jpeg) ![](./data/image/media/image15.jpeg) ![](./data/image/media/image16.jpeg) ![](./data/image/media/image17.jpeg) ![](./data/image/media/image18.jpeg) ![](./data/image/media/image19.jpeg) ![](./data/image/media/image20.jpeg) ![](./data/image/media/image21.jpeg) ![](./data/image/media/image22.jpeg) ![](./data/image/media/image23.jpeg) ![](./data/image/media/image24.jpeg) ![](./data/image/media/image25.jpeg) ![](./data/image/media/image26.jpeg) ![](./data/image/media/image27.jpeg) ![](./data/image/media/image28.jpeg) ![](./data/image/media/image29.jpeg) ![](./data/image/media/image30.jpeg) ![](./data/image/media/image31.jpeg) ![](./data/image/media/image32.jpeg) ![](./data/image/media/image33.jpeg) ![](./data/image/media/image34.jpeg)四年级奥数上册：第七讲 几何中的计数问题（一）习题解答 ![](./data/image/media/image35.jpeg) ![](./data/image/media/image36.jpeg) ![](./data/image/media/image37.jpeg)
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**2019年江苏省苏州市中考数学试卷** **一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．** 1．（3分）（2019•苏州）5的相反数是　　 A． B． C．5 D． 2．（3分）（2019•苏州）有一组数据：2，2，4，5，7，这组数据的中位数为　　 A．2 B．4 C．5 D．7 3．（3分）（2019•苏州）苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26000000万元，数据26000000用科学记数法可表示为　　 A． B． C． D． 4．（3分）（2019•苏州）如图，已知直线，直线与直线，分别交于点，．若，则等于　　 ![](./data/image/media/image24.png) A． B． C． D． 5．（3分）（2019•苏州）如图，为的切线，切点为连接、，与交于点，延长与交于点，连接．若，则的度数为　　 ![](./data/image/media/image45.png) A． B． C． D． 6．（3分）（2019•苏州）小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为　　 A． B． C． D． 7．（3分）（2019•苏州）若一次函数，为常数，且的图象经过点，，则不等式的解为　　 A． B． C． D． 8．（3分）（2019•苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上若测角仪的高度是．测得教学楼的顶部处的仰角为．则教学楼的高度是　　 ![](./data/image/media/image77.png) A． B． C． D． 9．（3分）（2019•苏州）如图，菱形的对角线，交于点，，，将沿点到点的方向平移，得到△．当点与点重合时，点与点之间的距离为　　 ![](./data/image/media/image98.png) A．6 B．8 C．10 D．12 10．（3分）（2019•苏州）如图，在中，点为边上的一点，且，．过点作，交于点．若，则的面积为　　 ![](./data/image/media/image113.png) A． B．4 C． D．8 **二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．** 11．（3分）（2019•苏州）计算：[　　]{.underline}． 12．（3分）（2019•苏州）因式分解：[　　]{.underline}． 13．（3分）（2019•苏州）若在实数范围内有意义，则的取值范围为[　　]{.underline}． 14．（3分）（2019•苏州）若，，则的值为[　　]{.underline}． 15．（3分）（2019•苏州）"七巧板"是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为"东方魔板"．图①是由边长为的正方形薄板分为7块制作成的"七巧板"，图②是用该"七巧板"拼成的一个"家"的图形．该"七巧板"中7块图形之一的正方形边长为[　　]{.underline}（结果保留根号）． ![](./data/image/media/image125.png) 16．（3分）（2019•苏州）如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为[　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image126.png) 17．（3分）（2019•苏州）如图，扇形中，．为弧上的一点，过点作，垂足为，与交于点．若，，则该扇形的半径长为[　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image139.png) 18．（3分）（2019•苏州）如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为，则图中阴影部分的面积为[　　]{.underline}（结果保留根号）． ![](./data/image/media/image144.png) **三、解答题；本大题共10小题，共76分．把解答过程写答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔或黑色墨水签宇笔．** 19．（5分）（2019•苏州）计算： 20．（5分）（2019•苏州）解不等式组： 21．（6分）（2019•苏州）先化简，再求值：，其中，． 22．（6分）（2019•苏州）在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀． （1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是[　　]{.underline}； （2）先从盒了中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）． 23．（8分）（2019•苏州）某校计划组织学生参加"书法"、"摄影"、"航模、"围棋"四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题： （1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）； （2）[　　]{.underline}，[　　]{.underline}； （3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择"围棋"课外兴趣小组的学生有多少人？ ![](./data/image/media/image151.png) 24．（8分）（2019•苏州）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． ![](./data/image/media/image168.png) 25．（8分）（2019•苏州）如图，为反比例函数（其中图象上的一点，在轴正半轴上有一点，．连接，，且． （1）求的值； （2）过点作，交反比例函数（其中的图象于点，连接交于点，求的值． ![](./data/image/media/image188.png) 26．（10分）（2019•苏州）如图，为的直径，为上一点，是弧的中点，与、分别交于点、． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的值． ![](./data/image/media/image204.png) 27．（10分）（2019•苏州）已知矩形中，，点为对角线上的一点，且．如图①，动点从点出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动（不包含点．设动点的运动时间为，的面积为，与的函数关系如图②所示． （1）直接写出动点的运动速度为[　　]{.underline}，的长度为[　　]{.underline}； （2）如图③，动点重新从点出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点从点出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点的运动速度为．已知两动点，经过时间在线段上相遇（不包含点，动点，相遇后立即同时停止运动，记此时与的面积分别为， ①求动点运动速度的取值范围； ②试探究是否存在最大值，若存在，求出的最大值并确定运动时间的值；若不存在，请说明理由 ． ![](./data/image/media/image247.png) 28．（10分）（2019•苏州）如图①，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴交于点．已知的面积是6． （1）求的值； （2）求外接圆圆心的坐标； （3）如图②，是抛物线上一点，为射线上一点，且、两点均在第三象限内，、是位于直线同侧的不同两点，若点到轴的距离为，的面积为，且，求点的坐标． ![](./data/image/media/image274.png) **2019年江苏省苏州市中考数学试卷** **参考答案与试题解析** **一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上．** 1．（3分）5的相反数是　　 A． B． C．5 D． 【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答． 【解答】解：5的相反数是． 故选：． 2．（3分）有一组数据：2，2，4，5，7，这组数据的中位数为　　 A．2 B．4 C．5 D．7 【分析】将数据从小到大重新排列后根据中位数的定义求解可得． 【解答】解：这组数据排列顺序为：2，2，4，5，7， 这组数据的中位数为4， 故选：． 3．（3分）苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26000000万元，数据26000000用科学记数法可表示为　　 A． B． C． D． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：将26000000用科学记数法表示为：． 故选：． 4．（3分）如图，已知直线，直线与直线，分别交于点，．若，则等于　　 ![](./data/image/media/image24.png) A． B． C． D． 【分析】直接利用平行线的性质得出的度数，再利用邻补角的性质得出答案． 【解答】解：如图所示： ，， ， ． 故选：． ![](./data/image/media/image297.png) 5．（3分）如图，为的切线，切点为连接、，与交于点，延长与交于点，连接．若，则的度数为　　 ![](./data/image/media/image45.png) A． B． C． D． 【分析】由切线的性质得出，由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，再由三角形的外角性质即可得出答案． 【解答】解：为的切线， ， ， ， ， ， ， ； 故选：． 6．（3分）小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本，得出等式求出答案． 【解答】解：设软面笔记本每本售价为元， 根据题意可列出的方程为：． 故选：． 7．（3分）若一次函数，为常数，且的图象经过点，，则不等式的解为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答案． 【解答】解：如图所示：不等式的解为：． 故选：． ![](./data/image/media/image317.png) 8．（3分）如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上若测角仪的高度是．测得教学楼的顶部处的仰角为．则教学楼的高度是　　 ![](./data/image/media/image77.png) A． B． C． D． 【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：过作， 在处测得旗杆顶端的仰角为， ， ， ， ， 故选：． ![](./data/image/media/image329.png) 9．（3分）如图，菱形的对角线，交于点，，，将沿点到点的方向平移，得到△．当点与点重合时，点与点之间的距离为　　 ![](./data/image/media/image98.png) A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】由菱形的性质得出，，，由平移的性质得出，，，得出，由勾股定理即可得出答案． 【解答】解：四边形是菱形， ，，， 沿点到点的方向平移，得到△，点与点重合， ，，， ， ； 故选：． 10．（3分）如图，在中，点为边上的一点，且，．过点作，交于点．若，则的面积为　　 ![](./data/image/media/image113.png) A． B．4 C． D．8 【分析】由题意得到三角形与三角形相似，由相似三角形面积之比等于相似比的平方两三角形面积之比，进而求出四边形与三角形面积之比，求出四边形面积，即可确定出三角形面积． 【解答】解：，， ， ， ， ， ， ，，即， ， ， ， ， 故选：． **二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上．** 11．（3分）计算：[　　]{.underline}． 【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可． 【解答】解：． 故答案为：． 12．（3分）因式分解：[　　]{.underline}． 【分析】直接提取公因式，进而分解因式即可． 【解答】解：． 故答案为：． 13．（3分）若在实数范围内有意义，则的取值范围为[　　]{.underline}． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：若在实数范围内有意义， 则， 解得：． 故答案为：． 14．（3分）若，，则的值为[　5　]{.underline}． 【分析】直接利用已知解方程组进而得出答案． 【解答】解：，， 则， 代入， 解得：， 则， 故． 故答案为：5． 15．（3分）"七巧板"是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为"东方魔板"．图①是由边长为的正方形薄板分为7块制作成的"七巧板"，图②是用该"七巧板"拼成的一个"家"的图形．该"七巧板"中7块图形之一的正方形边长为[　　]{.underline}（结果保留根号）． ![](./data/image/media/image404.png) 【分析】观察图形可知该"七巧板"中7块图形之一的正方形面积是大正方形面积的，先根据正方形面积公式求出大正方形面积，从而得到小正方形面积，进一步得到该"七巧板"中7块图形之一的正方形边长． 【解答】解： 答：该"七巧板"中7块图形之一的正方形边长为． 故答案为：． 16．（3分）如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为[　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image411.png) 【分析】直接根据题意得出恰有三个面涂有红色的有8个，再利用概率公式求出答案． 【解答】解：由题意可得：小立方体一共有27个，恰有三个面涂有红色的有8个， 故取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为：． 故答案为：． 17．（3分）如图，扇形中，．为弧上的一点，过点作，垂足为，与交于点．若，，则该扇形的半径长为[　5　]{.underline}． ![](./data/image/media/image426.png) 【分析】连接，利用等腰三角形的性质可得出，结合可得出为等腰直角三角形，进而可得出，设该扇形的半径长为，则，在中，利用勾股定理可得出关于的方程，解之即可得出结论． 【解答】解：连接，如图所示． ，， ． ， 为等腰直角三角形， ． 设该扇形的半径长为，则， 在中，，， ，即， 解得：． 故答案为：5． ![](./data/image/media/image451.png) 18．（3分）如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为，则图中阴影部分的面积为[　　]{.underline}（结果保留根号）． ![](./data/image/media/image457.png) 【分析】图中阴影部分的面积外框大直角三角板的面积内框小直角三角板的面积，根据等腰直角三角形的性质求出内框直角边长，再根据三角形面积公式计算即可求解． 【解答】解：如图， ， 含有角的直角三角板， ，， ， 图中阴影部分的面积为： 答：图中阴影部分的面积为． 故答案为：． ![](./data/image/media/image472.png) **三、解答题；本大题共10小题，共76分．把解答过程写答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用2B铅笔或黑色墨水签宇笔．** 19．（5分）计算： 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式 ． 20．（5分）解不等式组： 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为． 21．（6分）先化简，再求值：，其中，． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得． 【解答】解：原式 ， 当时， 原式． 22．（6分）在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀． （1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是[　　]{.underline}； （2）先从盒了中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）． 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）用列表法将所有等可能的结果一一列举出来即可，找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算． 【解答】解：（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是为， 故答案为：． （2）根据题意列表得： --- --- --- --- --- 1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 5 6 3 4 5 7 4 5 6 7 --- --- --- --- --- 由表可知，共有12种等可能结果，其中抽取的2张卡片标有数字之和大于4的有8种结果， 所以抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率为． 23．（8分）某校计划组织学生参加"书法"、"摄影"、"航模、"围棋"四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题： （1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）； （2）[　36　]{.underline}，[　　]{.underline}； （3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择"围棋"课外兴趣小组的学生有多少人？ ![](./data/image/media/image493.png) 【分析】（1）由书法小组人数及其对应百分比可得总人数，再根据各小组人数之和等于总人数求得航模人数，从而补全图形； （2）根据百分比的概念可得、的值； （3）总人数乘以样本中围棋的人数所占百分比． 【解答】解：（1）参加这次问卷调查的学生人数为（人， 航模的人数为（人， 补全图形如下： ![](./data/image/media/image500.png) （2），， 即、， 故答案为：36、16； （3）估计该校选择"围棋"课外兴趣小组的学生有（人． 24．（8分）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． ![](./data/image/media/image168.png) 【分析】（1）由旋转的性质可得，利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出； （2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么．由，得出，再根据三角形外角的性质即可求出． 【解答】（1）证明：， ． 将线段绕点旋转到的位置， ． 在与中， ， ， ； （2）解：，， ， ． ， ， ． 25．（8分）如图，为反比例函数（其中图象上的一点，在轴正半轴上有一点，．连接，，且． （1）求的值； （2）过点作，交反比例函数（其中的图象于点，连接交于点，求的值． ![](./data/image/media/image188.png) 【分析】（1）过点作轴，垂足为点，交于点，利用等腰三角形的性质可得出的长，利用勾股定理可得出的长，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出值； （2）由的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出的长，利用三角形中位线定理可求出的长，进而可得出的长，由可得出，利用相似三角形的性质即可求出的值． 【解答】解：（1）过点作轴，垂足为点，交于点，如图所示． ，， ， ， 点的坐标为． 为反比例函数图象上的一点， ． （2）轴，，点在反比例函数上， ． ，， ， ． ， ， ． ![](./data/image/media/image581.png) 26．（10分）如图，为的直径，为上一点，是弧的中点，与、分别交于点、． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的值． ![](./data/image/media/image204.png) 【分析】（1）点是中点，是圆的半径，又，而是圆的直径，则，故：； （2）证明，即可求解； （3），即和的相似比为3，设：，则，，，则，，即可求解． 【解答】解：（1）点是中点，是圆的半径， ， 是圆的直径， ， ； （2）， ， ， ； （3）， 和的相似比为：， 设：，则，，， ， 即和的相似比为3， 设：，则，， ， ，， ． 27．（10分）已知矩形中，，点为对角线上的一点，且．如图①，动点从点出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动（不包含点．设动点的运动时间为，的面积为，与的函数关系如图②所示． （1）直接写出动点的运动速度为[　2　]{.underline}，的长度为[　　]{.underline}； （2）如图③，动点重新从点出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点从点出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点的运动速度为．已知两动点，经过时间在线段上相遇（不包含点，动点，相遇后立即同时停止运动，记此时与的面积分别为， ①求动点运动速度的取值范围； ②试探究是否存在最大值，若存在，求出的最大值并确定运动时间的值；若不存在，请说明理由 ． ![](./data/image/media/image673.png) 【分析】（1）由题意得时，函数图象发生改变，得出时，运动到点处，得出动点的运动速度为：，由时，，得出时，运动到点处，得出； （2）①由题意得出当在点相遇时，，当在点相遇时，，即可得出答案； ②过作于，交于，则，由平行线得出，得出，，，由勾股定理得出，得出，求出，，得出，即可得出结果． 【解答】解：（1）时，函数图象发生改变， 时，运动到点处， 动点的运动速度为：， 时，， 时，运动到点处， ， 故答案为：2，10； （2）①两动点，在线段上相遇（不包含点， 当在点相遇时，， 当在点相遇时，， 动点运动速度的取值范围为； ②过作于，交于，如图3所示： 则，， ， ， ， 解得：， ，，， ， ， ， ， ，在边上可取， 当时，的最大值为． ![](./data/image/media/image758.png) 28．（10分）如图①，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴交于点．已知的面积是6． （1）求的值； （2）求外接圆圆心的坐标； （3）如图②，是抛物线上一点，为射线上一点，且、两点均在第三象限内，、是位于直线同侧的不同两点，若点到轴的距离为，的面积为，且，求点的坐标． ![](./data/image/media/image274.png) 【分析】（1）由，令，即，可求出、坐标结合三角形的面积，解出；（2）三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，求出两边垂直平分线，解交点可求出；（3）作轴，则 由 可得、到的距离相等，得到，求出直线的解析式，以抛物线解析式联立得出点坐标，由于，可得，利用两点间距离公式，解出值． 【解答】解：（1）![](./data/image/media/image777.png) 令，即 解得， 由图象知： ， 解得：，舍去） （2）设直线， 由，， 可得，且 即直线， 、的中点坐标为， 线段的垂直平分线解析式为：， 线段的垂直平分线为 代入， 解得： 外接圆圆心的坐标 （3）![](./data/image/media/image812.png) 作轴，则 、到的距离相等， 设直线解析式为： 直线经过点 所以：直线的解析式为 联立 解得： 点坐标为 又 可得： 设 由得： 解得：，（舍去） 坐标为
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**2020-2021学年广东省广州市番禺区六年级（上）期末数学试卷** **一、仔细审题，我能算。（共28分）** 1．（12分）直接写出得数。 -- -- -- -- -- -- -- -- 2．（12分）计算下面各题。 -- -- -- -- -- -- 3．（4分）解下列方程。 -- -- -- -- **二、用心思考，我会题（共24分）** 4．（2分）的倒数是[　 　]{.underline}，2.5的倒数是[　 　]{.underline}。 5．（2分）如图中深色部分表示求。 6．（4分）17：2034÷[　 　]{.underline}＝[　 　]{.underline}%＝[　 　]{.underline}（小数）。 7．（2分）把一条长1米的绳子平均分成9份，每份长[　 　]{.underline}米，每份占这条绳子的[　 　]{.underline}。 8．（4分） ------------------------------------- ------------------------------ ------------------------------------- ------------------------------ 3千克的30%是[　 　]{.underline}千克 米是5米的[　 　]{.underline} 比4米多75%的是[　 　]{.underline}米 4米比[　 　]{.underline}米少 ------------------------------------- ------------------------------ ------------------------------------- ------------------------------ 9．（2分）有一批大米要运往灾区，运了8车才运走，平均每车运走这批大米的，这批大米需要[　 　]{.underline}车才能运完。 10．（4分）在〇里填上"＞""＜"或"＝"号。 500米的〇2千米的 1.25〇1 ------------------ --------- 1米的〇7米的 3〇3 11．（2分）把0.875：化成最简单的整数比是[　 　]{.underline}，比值是[　 　]{.underline}。 12．（1分）油菜籽的出油率是42%，一个榨油厂有2000千克油菜籽，可以榨出[　 　]{.underline}千克菜籽油。 13．（1分）如图，大圆直径是4*cm*，大圆中有四个直径相等的半圆，涂色部分的面积是[　 　]{.underline}平方厘米。 **三、仔细推敲，我来选。（选择正确答案的字母编号填在括号里，共5分）** 14．（1分）下面的说法正确的是（　　） A．0.5的倒数是5 B．比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变 C．小圆的圆周率比大圆的圆周率小 D．用90颗种子做发芽实验，全部发芽，这些种子的发芽率是90% 15．（1分）某小区今年拥有电脑的家庭有120户，比去年增加了，去年拥有电脑的家庭是多少户？下面图（　　）正确表达了题目的意思。 A． B． C． D． 16．（1分）如图中的大圆半径等于小圆的直径，阴影部分的面积是（　　）*cm*^2^。 A．12.56 B．28.26 C．84.78 D．113.04 17．（1分）下面说法中，错误的是（　　） A．乘积是1的两个数互为倒数 B．一个真分数的倒数一定比这个真分数大 C．在同一个圆里，圆心角越大，扇形的面积就越大 D．打同一篇稿件，小强用了10分钟，小玲用了12分钟，小强和小玲打字的速度之比是5：6 18．（1分）某只股票在连续三个交易日中，第一天的收市价格是*a*元（*a*＞0），第二天比第一天涨了10%，第三天比第二天跌了10%，那么第三个交易日的收市价格是（　　） A．低于*a*元 B．等于*a*元 C．高于*a*元 D．无法确定 **四、火眼金睛，我来判。（对的打"√"，错的打"×"，共5分）** 19．（1分）一个数乘分数的积一定比原来的数小．[　 　]{.underline}（判断对错） 20．（1分）甲数的和乙数相等，则甲乙两数的比是4：3.[　 　]{.underline}（判断对错） 21．（1分）圆的半径扩大到原来的4倍，周长和面积也扩大到原来的4倍。[　 　]{.underline}（判断对错） 22．（1分）半圆的周长等于整圆的周长的一半。[　 　]{.underline}（判断对错） 23．（1分）0.86千米，可以写成千米，也可以写成86%千米。[　 　]{.underline}（判断对错） **五、心灵手巧，我会画。（共10分）** 24．（6分）按要求完成下列任务。 > （1）用圆规在下面画一个直径4*cm*的圆。并标出圆心*O*和半径*r*。 > > （2）再在圆中画一个圆心角是90°的扇形。 > > （3）求出所画圆的面积。 25．（4分）如图，按要求填空与画图。 > （1）小明家在学校的[　 　]{.underline}偏[　 　　 　]{.underline}°方向上，距离是[　 　]{.underline}*m*。 > > （2）小红家在学校的北偏西35°方向的1000*m*。在图中标出小红家的位置。 **六、我会解决问题。（共28分）** 26．（4分）有一种蜂蜜，果糖和葡萄糖的质量占蜂蜜总质量的。如果有2.5*kg*的这种蜂蜜，那么果糖和葡萄糖占多少千克？ 27．（4分）小明看一本书，第一天看了全书的20%，第二天看了全书的，还剩下120页，这本书共有多少页？ 28．（4分）三种果树的面积分别是多少平方米？ > 爷爷：我家果园共有1800平方米，我准备用栽苹果树。 > > 小明：剩下的面积按3：2栽桃树和梨树。 29．（4分）甲乙两个注水管，单开甲管10小时可以注满一池水，单开管15小时可以注满一池水。两管齐开同时注水，多少小时能注满一池水？ 30．（4分）李芳骑自行车绕圆形场地行驶一周，需要4分钟，自行车每分钟行驶314米。 > （1）这个圆形场地的周长和直径分别是多少米？ > > （2）这个圆形场地占地面积是多少平方米？ 31．（8分）为推动劳动教育在中小学全面开展，倡议中小学生"每天劳动不少于1小时"调查组随机调查了600名学生，调查内容是"每天劳动的时间"。根据所得数据初步制成了以下的扇形统计图和条形统计图。请根据要求完成所提出的问题。 > （1）把条形统计图补充完整及填写扇形统计图中的括号。 > > （2）劳动时间"小于30分钟"的人数比"超过1小时"的人数少[　 　]{.underline}%。 > > （3）劳动时间在"30分钟～1小时"的人数和"超过1小时"的人数比为[　 　]{.underline}：[　 　]{.underline}。 **2020-2021学年广东省广州市番禺区六年级（上）期末数学试卷** **参考答案** **一、仔细审题，我能算。（共28分）** 1．[　　　]{.underline}； 2．[　　　]{.underline}； 3．[　　　]{.underline}； **二、用心思考，我会题（共24分）** 4．[]{.underline}； []{.underline}； 5．[　　　]{.underline}； 6．[40]{.underline}； [85]{.underline}； [0.85]{.underline}； 7．[]{.underline}； []{.underline}； 8．[0.9]{.underline}； []{.underline}； [7]{.underline}； [5]{.underline}； 9．[28]{.underline}； 10．[　　　]{.underline}； 11．[7：1]{.underline}； [7]{.underline}； 12．[840]{.underline}； 13．[6.28]{.underline}； **三、仔细推敲，我来选。（选择正确答案的字母编号填在括号里，共5分）** 14．B； 15．B； 16．C； 17．D； 18．A； **四、火眼金睛，我来判。（对的打"√"，错的打"&\#215;"，共5分）** 19．[×]{.underline}； 20．[√]{.underline}； 21．[×]{.underline}； 22．[×]{.underline}； 23．[×]{.underline}； **五、心灵手巧，我会画。（共10分）** 24．[　　　]{.underline}； 25．[东]{.underline}； [北]{.underline}； [25]{.underline}； [2000]{.underline}； **六、我会解决问题。（共28分）** 26．[　　　]{.underline}； 27．[　　　]{.underline}； 28．[　　　]{.underline}； 29．[　　　]{.underline}； 30．[　　　]{.underline}； 31．[50]{.underline}； [5]{.underline}； [2]{.underline}； 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2021/4/27 11:12:24；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**北师大版小学五年级上册数学第5单元《分数的意义》单元检测1（附答案）** 1．填一填。 (1)里面有( )个；( )个是1；6个是( )；2里面有( )个。 (2)3的分数单位是( )，它再增加( )个这样的单位就等于4；5的分数 单位是( )，它要变成质数，应该减少( )个这样的单位。 (3)把5米长的铁丝平均截成6段，每段长是全长的( )，每段长( )米。 (4)（ ）来源：www.bcjy123.com/tiku/ (5)在、、、四个分数中，( )是真分数，( )是假分数，( ) 是最简分数。 (6)6和8的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。4和9的最大公因数是 ( )，最小公倍数是( )。10和5的最大公因数是( )，最小公倍数是 ( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/ (7)在、、、、中，最接近0的分数是( )，最接近1的分数是( )。 (8)的分子增加10，要使分数的大小不变，分母应增加( )。 2．看看谁是投篮高手。(连一连) 3．选择正确答案，将序号填在括号里。 (1)小强拿出自己零花钱的捐给汶川地震灾区，小斌也拿出自己零花钱的捐 给灾区。两人捐的钱数( )。 ①一样多。来源：[②不一样多](http://www.bcjy123.com/tiku/②不一样多) ③可能一样多，也可能不一样多 (2)假分数的分子( )。 ①比分母小 ②比分母大 ③不小于分母 (3)下列分数中，与不相等的分数是( )。 ① ② ③ (4)分母是8的最简真分数的和是( )。 ①2 ②3 ③4 4．比较分数大小。 ○ ○ ○ ○ 2○1 ○2 5．求下列各组数的最大公倍数和最小公倍数。 5和7 6和18 4和14 最大公因数：( ) ( ) ( ) 最小公倍数：( ) ( ) ( ) 6．把下面各组数通分。 7．把下列分数化成最简分数。 8．分一分。 接近 接近1 ![](./data/image/media/image67.png) 9．解决问题。 (1)五(1)班15名同学收集废电池，一天共收集废电池19节，这一天平均每人收集多少节？(用带分数表示结果) (2)有一瓶饮料。小猪喝了这瓶饮料的，老鼠喝了这瓶饮料的 小猪觉得自己喝得最多，可高兴了。你觉得小猪的想法对吗？为什么？ > (3)两站间的铁路长400km。一列货车和一列客车同时从这两站相对开出，客车每小时行110km，货车每小时行90km。经过几小时两车相遇？来源：www.bcjy123.com/tiku/ > > (4)小强和小明家相距2400m，两人同时从家中出发，相向而行，小强每分钟走70m，小明每分钟走50m。 ![](./data/image/media/image70.png) ①估计两人在何处相遇，在图上用"△"标出。 ②他们经过多长时间相遇？相遇时，小强走了多远？ (5)五(1)班的同学登天台山，从学校到天台山的行程情况如下： ![](./data/image/media/image71.png) ①同学们经过 [ ]{.underline} h到达山顶。 ②哪个时间段他们在休息？休息了几次？共多长时间？ ③请你描述五(1)班去登天台山的行程情况。 (6)青年旅行社推出A、B两种优惠方案。 A方案 B方案 团体5人(含5人) 成人每人500元 以上每人400元 儿童每人240元 4个大人带2个孩子，选择哪种方案最省钱？省多少钱？ ![](./data/image/media/image72.jpeg) **来源：www.bcjy123.com/tiku/** **来源：www.bcjy123.com/tiku/**
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**2014年天津市高考数学试卷（文科）** 　 **一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** 1．（5分）i是虚数单位，复数![](./data/image/media/image1.png)=（　　） A．1﹣i B．﹣1+i C．![](./data/image/media/image2.png)+![](./data/image/media/image3.png)i D．﹣![](./data/image/media/image4.png)+![](./data/image/media/image5.png)i 2．（5分）设变量x，y满足约束条件![](./data/image/media/image6.png)，则目标函数z=x+2y的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e^x^＞1，则￢p为（　　） A．∃x~0~≤0，使得（x~0~+1）e![](./data/image/media/image7.png)≤1 B．∃x~0~＞0，使得（x~0~+1）e![](./data/image/media/image7.png)≤1 C．∀x＞0，总有（x+1）e^x^≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e^x^≤1 4．（5分）设a=log~2~π，b=log![](./data/image/media/image8.png)π，c=π^﹣2^，则（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 5．（5分）设{a~n~}的首项为a~1~，公差为﹣1的等差数列，S~n~为其前n项和，若S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，则a~1~=（　　） A．2 B．﹣2 C．![](./data/image/media/image9.png) D．﹣![](./data/image/media/image9.png) 6．（5分）已知双曲线![](./data/image/media/image10.png)﹣![](./data/image/media/image11.png)=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　） A．![](./data/image/media/image12.png)﹣![](./data/image/media/image13.png)=1 B．![](./data/image/media/image14.png)﹣![](./data/image/media/image15.png)=1 C．![](./data/image/media/image16.png)﹣![](./data/image/media/image17.png)=1 D．![](./data/image/media/image18.png)﹣![](./data/image/media/image19.png)=1 7．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD平分∠CBF； ②FB^2^=FD•FA； ③AE•CE=BE•DE； ④AF•BD=AB•BF． 所有正确结论的序号是（　　） ![](./data/image/media/image20.png) A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 8．（5分）已知函数f（x）=![](./data/image/media/image21.png)sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为![](./data/image/media/image22.png)，则f（x）的最小正周期为（　　） A．![](./data/image/media/image23.png) B．![](./data/image/media/image24.png) C．π D．2π 　 **二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.** 9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取[　 　]{.underline}名学生． 10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为[　 　]{.underline}m^3^． ![](./data/image/media/image25.png) 11．（5分）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为[　 　]{.underline}． ![](./data/image/media/image26.png) 12．（5分）函数f（x）=lgx^2^的单调递减区间是[　 　]{.underline}． 13．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若![](./data/image/media/image27.png)•![](./data/image/media/image28.png)=1，则λ的值为[　 　]{.underline}． 14．（5分）已知函数f（x）=![](./data/image/media/image29.png)，若函数y=f（x）﹣a\|x\|恰有4个零点，则实数a的取值范围为[　 　]{.underline}． 　 **三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.** 15．（13分）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表： -------- -------- -------- -------- 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z -------- -------- -------- -------- 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同） （Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果； （Ⅱ）设M为事件"选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学"，求事件M发生的概率． 16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=![](./data/image/media/image30.png)b，sinB=![](./data/image/media/image31.png)sinC， （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求cos（2A﹣![](./data/image/media/image32.png)）的值． 17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=![](./data/image/media/image33.png)，AD=2，PA=PD=![](./data/image/media/image34.png)，E，F分别是棱AD，PC的中点． （Ⅰ）证明EF∥平面PAB； （Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°， （i）证明平面PBC⊥平面ABCD； （ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值． ![](./data/image/media/image35.png) 18．（13分）设椭圆![](./data/image/media/image36.png)+![](./data/image/media/image37.png)=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，右顶点为A，上顶点为B，已知\|AB\|=![](./data/image/media/image38.png)\|F~1~F~2~\|． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F~1~，经过点F~2~的直线l与该圆相切于点M，\|MF~2~\|=2![](./data/image/media/image39.png)，求椭圆的方程． 19．（14分）已知函数f（x）=x^2^﹣![](./data/image/media/image40.png)ax^3^（a＞0），x∈R． （Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）若对于任意的x~1~∈（2，+∞），都存在x~2~∈（1，+∞），使得f（x~1~）•f（x~2~）=1，求a的取值范围． 20．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，...，q﹣1}，集合A={x\|x=x~1~+x~2~q+...+x~n~q^n﹣1^，x~i~∈M，i=1，2，...n}． （Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A； （Ⅱ）设s，t∈A，s=a~1~+a~2~q+...+a~n~q^n﹣1^，t=b~1~+b~2~q+...+b~n~q^n﹣1^，其中a~i~，b~i~∈M，i=1，2，...，n．证明：若a~n~＜b~n~，则s＜t． 　 **2014年天津市高考数学试卷（文科）** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** 1．（5分）i是虚数单位，复数![](./data/image/media/image41.png)=（　　） A．1﹣i B．﹣1+i C．![](./data/image/media/image42.png)+![](./data/image/media/image43.png)i D．﹣![](./data/image/media/image44.png)+![](./data/image/media/image45.png)i 【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值． 【解答】解：复数![](./data/image/media/image46.png)=![](./data/image/media/image47.png)=![](./data/image/media/image48.png)， 故选：A． 【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题． 　 2．（5分）设变量x，y满足约束条件![](./data/image/media/image49.png)，则目标函数z=x+2y的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 【解答】解：作出不等式对应的平面区域， 由z=x+2y，得y=﹣![](./data/image/media/image50.png)， 平移直线y=﹣![](./data/image/media/image50.png)，由图象可知当直线y=﹣![](./data/image/media/image50.png)经过点B（1，1）时，直线y=﹣![](./data/image/media/image50.png)的截距最小，此时z最小． 此时z的最小值为z=1+2×1=3， 故选：B． ![](./data/image/media/image51.png) 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 　 3．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e^x^＞1，则￢p为（　　） A．∃x~0~≤0，使得（x~0~+1）e![](./data/image/media/image52.png)≤1 B．∃x~0~＞0，使得（x~0~+1）e![](./data/image/media/image52.png)≤1 C．∀x＞0，总有（x+1）e^x^≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e^x^≤1 【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定． 【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x~0~＞0，使得（x~0~+1）e![](./data/image/media/image52.png)≤1， 故选：B． 【点评】本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题． 　 4．（5分）设a=log~2~π，b=log![](./data/image/media/image53.png)π，c=π^﹣2^，则（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论． 【解答】解：log~2~π＞1，log![](./data/image/media/image53.png)π＜0，0＜π^﹣2^＜1， 即a＞1，b＜0，0＜c＜1， ∴a＞c＞b， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础． 　 5．（5分）设{a~n~}的首项为a~1~，公差为﹣1的等差数列，S~n~为其前n项和，若S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，则a~1~=（　　） A．2 B．﹣2 C．![](./data/image/media/image54.png) D．﹣![](./data/image/media/image54.png) 【分析】由等差数列的前n项和求出S~1~，S~2~，S~4~，然后再由S~1~，S~2~，S~4~成等比数列列式求解a~1~． 【解答】解：∵{a~n~}是首项为a~1~，公差为﹣1的等差数列，S~n~为其前n项和， ∴S~1~=a~1~，S~2~=2a~1~﹣1，S~4~=4a~1~﹣6， 由S~1~，S~2~，S~4~成等比数列，得：![](./data/image/media/image55.png)， 即![](./data/image/media/image56.png)，解得：![](./data/image/media/image57.png)． 故选：D． 【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题． 　 6．（5分）已知双曲线![](./data/image/media/image58.png)﹣![](./data/image/media/image59.png)=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　） A．![](./data/image/media/image60.png)﹣![](./data/image/media/image61.png)=1 B．![](./data/image/media/image62.png)﹣![](./data/image/media/image63.png)=1 C．![](./data/image/media/image64.png)﹣![](./data/image/media/image65.png)=1 D．![](./data/image/media/image66.png)﹣![](./data/image/media/image67.png)=1 【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线![](./data/image/media/image68.png)﹣![](./data/image/media/image69.png)=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得![](./data/image/media/image70.png)=2，结合c^2^=a^2^+b^2^，求出a，b，即可求出双曲线的方程． 【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上， 令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5， ∵双曲线![](./data/image/media/image71.png)﹣![](./data/image/media/image69.png)=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10， ∴![](./data/image/media/image70.png)=2， ∵c^2^=a^2^+b^2^， ∴a^2^=5，b^2^=20， ∴双曲线的方程为![](./data/image/media/image72.png)﹣![](./data/image/media/image73.png)=1． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 7．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD平分∠CBF； ②FB^2^=FD•FA； ③AE•CE=BE•DE； ④AF•BD=AB•BF． 所有正确结论的序号是（　　） ![](./data/image/media/image74.png) A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项． 【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD， ∴∠DBC=∠DAC． ∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD， ∴∠FBD=∠BAF． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAF=∠DAC． ∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确． 又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB． 由![](./data/image/media/image75.png)，FB^2^=FD•FA．即结论②成立． 由![](./data/image/media/image76.png)，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立． 正确结论有①②④． 故选：D． 【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题． 　 8．（5分）已知函数f（x）=![](./data/image/media/image77.png)sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为![](./data/image/media/image78.png)，则f（x）的最小正周期为（　　） A．![](./data/image/media/image79.png) B．![](./data/image/media/image80.png) C．π D．2π 【分析】根据f（x）=2sin（ωx+![](./data/image/media/image81.png)），再根据曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值为![](./data/image/media/image78.png)，正好等于f（x）的周期的![](./data/image/media/image82.png)倍，求得函数f（x）的周期T的值． 【解答】解：∵已知函数f（x）=![](./data/image/media/image77.png)sinωx+cosωx=2sin（ωx+![](./data/image/media/image81.png)）（ω＞0），x∈R， 在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为![](./data/image/media/image78.png)，正好等于f（x）的周期的![](./data/image/media/image83.png)倍， 设函数f（x）的最小正周期为T，则![](./data/image/media/image84.png)=![](./data/image/media/image85.png)，∴T=π， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，得到![](./data/image/media/image85.png)正好等于f（x）的周期的![](./data/image/media/image83.png)倍，是解题的关键，属于中档题． 　 **二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.** 9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取[　60　]{.underline}名学生． 【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求． 【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为![](./data/image/media/image86.png)=![](./data/image/media/image87.png)， 故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×![](./data/image/media/image87.png)=60， 故答案为：60． 【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题． 　 10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为[　]{.underline}![](./data/image/media/image88.png)[　]{.underline}m^3^． ![](./data/image/media/image89.png) 【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算． 【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体， 其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4， ∴几何体的体积V=π×1^2^×4+![](./data/image/media/image90.png)×π×2^2^×2=4π+![](./data/image/media/image91.png)π=![](./data/image/media/image92.png)π． 故答案为：![](./data/image/media/image88.png)． 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键． 　 11．（5分）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为[　﹣4　]{.underline}． ![](./data/image/media/image93.png) 【分析】写出前二次循环，满足判断框条件，输出结果． 【解答】解：由框图知，第一次循环得到：S=﹣8，n=2； 第二次循环得到：S=﹣4，n=1；退出循环，输出﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查循环结构，判断框中n≤1退出循环是解题的关键，考查计算能力． 　 12．（5分）函数f（x）=lgx^2^的单调递减区间是[　（﹣∞，0）　]{.underline}． 【分析】先将f（x）化简，注意到x≠0，即f（x）=2lg\|x\|，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由![](./data/image/media/image94.png)复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据"同増异减"再来判断． 【解答】解：方法一：y=lgx^2^=2lg\|x\|， ∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数； 当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数． ∴函数f（x）=lgx^2^的单调递减区间是（﹣∞，0）． 故答案为：（﹣∞，0）． 方法二：原函数是由![](./data/image/media/image94.png)复合而成， ∵t=x^2^在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数； 又y=lgt在其定义域上为增函数， ∴f（x）=lgx^2^在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数， ∴函数f（x）=lgx^2^的单调递减区间是（﹣∞，0）． 故答案为：（﹣∞，0）． 【点评】本题是易错题，学生在方法一中，化简时容易将y=lgx^2^=2lg\|x\|中的绝对值丢掉，方法二对复合函数的结构分析也是最常用的方法，此外，本题还可以利用数形结合的方式，即画出y=2lg\|x\|的图象，得到函数的递减区间． 　 13．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若![](./data/image/media/image95.png)•![](./data/image/media/image96.png)=1，则λ的值为[　2　]{.underline}． 【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论． 【解答】解：∵BC=3BE，DC=λDF， ∴![](./data/image/media/image97.png)=![](./data/image/media/image98.png)![](./data/image/media/image99.png)，![](./data/image/media/image100.png)=![](./data/image/media/image101.png)![](./data/image/media/image102.png)， ![](./data/image/media/image103.png)=![](./data/image/media/image104.png)+![](./data/image/media/image97.png)=![](./data/image/media/image104.png)+![](./data/image/media/image98.png)![](./data/image/media/image105.png)=![](./data/image/media/image106.png)+![](./data/image/media/image107.png)![](./data/image/media/image108.png)，![](./data/image/media/image109.png)=![](./data/image/media/image108.png)+![](./data/image/media/image110.png)=![](./data/image/media/image108.png)+![](./data/image/media/image111.png)![](./data/image/media/image112.png)=![](./data/image/media/image108.png)+![](./data/image/media/image111.png)![](./data/image/media/image106.png)， ∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°， ∴\|![](./data/image/media/image113.png)\|=\|![](./data/image/media/image114.png)\|=2，![](./data/image/media/image113.png)•![](./data/image/media/image114.png)=2×2×cos120°=﹣2， ∵![](./data/image/media/image115.png)•![](./data/image/media/image116.png)=1， ∴（![](./data/image/media/image113.png)+![](./data/image/media/image117.png)![](./data/image/media/image114.png)）•（![](./data/image/media/image114.png)+![](./data/image/media/image118.png)![](./data/image/media/image113.png)）=![](./data/image/media/image119.png)![](./data/image/media/image120.png)+![](./data/image/media/image121.png)![](./data/image/media/image122.png)+（1+![](./data/image/media/image123.png)）![](./data/image/media/image124.png)•![](./data/image/media/image125.png)=1， 即![](./data/image/media/image119.png)×4+![](./data/image/media/image121.png)×4﹣2（1+![](./data/image/media/image123.png)）=1， 整理得![](./data/image/media/image126.png)， 解得λ=2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式． 　 14．（5分）已知函数f（x）=![](./data/image/media/image127.png)，若函数y=f（x）﹣a\|x\|恰有4个零点，则实数a的取值范围为[　（1，2）　]{.underline}． 【分析】由y=f（x）﹣a\|x\|=0得f（x）=a\|x\|，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：由y=f（x）﹣a\|x\|=0得f（x）=a\|x\|， 作出函数y=f（x），y=a\|x\|的图象， 当a≤0，不满足条件， ∴a＞0， 当a≥2时，此时y=a\|x\|与f（x）有三个 交点， 当a=1时， 当x＜0时，f（x）=﹣x^2^﹣5x﹣4， 由f（x）=﹣x^2^﹣5x﹣4=﹣x 得x^2^+4x+4=0， 则判别式△=16﹣4×4=0， 即此时直线y=﹣x与f（x）相切， 此时y=a\|x\|与f（x）有五个交点， ∴要使函数y=f（x）﹣a\|x\|恰有4个零点， 则1＜a＜2， 故答案为：（1，2） ![](./data/image/media/image128.png) 【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 　 **三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.** 15．（13分）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表： -------- -------- -------- -------- 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z -------- -------- -------- -------- 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同） （Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果； （Ⅱ）设M为事件"选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学"，求事件M发生的概率． 【分析】（Ⅰ）用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15个． （Ⅱ）用列举法求出事件M包含的结果有6个，而所有的结果共15个，由此求得事件M发生的概率． 【解答】解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、 （B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、 （X，Z ）、（Y，Z），共计15个结果． （Ⅱ）设M为事件"选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学"， 则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计6个结果， 故事件M发生的概率为 ![](./data/image/media/image129.png)=![](./data/image/media/image130.png)． 【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题． 　 16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=![](./data/image/media/image131.png)b，sinB=![](./data/image/media/image132.png)sinC， （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求cos（2A﹣![](./data/image/media/image133.png)）的值． 【分析】（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值； （Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（Ⅰ）将sinB=![](./data/image/media/image134.png)sinC，利用正弦定理化简得：b=![](./data/image/media/image134.png)c， 代入a﹣c=![](./data/image/media/image135.png)b，得：a﹣c=c，即a=2c， ∴cosA=![](./data/image/media/image136.png)=![](./data/image/media/image137.png)=![](./data/image/media/image138.png)； （Ⅱ）∵cosA=![](./data/image/media/image138.png)，A为三角形内角， ∴sinA=![](./data/image/media/image139.png)=![](./data/image/media/image140.png)， ∴cos2A=2cos^2^A﹣1=﹣![](./data/image/media/image141.png)，sin2A=2sinAcosA=![](./data/image/media/image142.png)， 则cos（2A﹣![](./data/image/media/image143.png)）=cos2Acos![](./data/image/media/image143.png)+sin2Asin![](./data/image/media/image143.png)=﹣![](./data/image/media/image141.png)×![](./data/image/media/image144.png)+![](./data/image/media/image142.png)×![](./data/image/media/image145.png)=![](./data/image/media/image146.png)． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 　 17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=![](./data/image/media/image147.png)，AD=2，PA=PD=![](./data/image/media/image148.png)，E，F分别是棱AD，PC的中点． （Ⅰ）证明EF∥平面PAB； （Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°， （i）证明平面PBC⊥平面ABCD； （ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值． ![](./data/image/media/image149.png) 【分析】（Ⅰ）要证明EF∥平面PAB，可以先证明平面EFH∥平面PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证； （Ⅱ）（i）要证明平面PBC⊥平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB⊥平面ABCD即可； （ii）由（i）知，BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系B﹣DAP，得到直线EF的方向向量与平面PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H， ∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点， ∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB， 又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB． 同理可证，FH∥平面PAB． 又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB， ∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB； ![](./data/image/media/image150.png) （Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE． ∵BA=BD=![](./data/image/media/image151.png)，AD=2，PA=PD=![](./data/image/media/image152.png)，∴BE=1，PE=2． 又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD， ∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=![](./data/image/media/image153.png)． ∵△PBD中，BD^2^+PB^2^=PD^2^，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA， ∴PB⊥平面ABD， ∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD； （ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA， ∵BA=BD=![](./data/image/media/image151.png)，AD=2，∴BD⊥BA， ∴BD，BA，BP两两垂直， 以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣DAP， 则有A（0，![](./data/image/media/image151.png)，0），B（0，0，0），C（![](./data/image/media/image151.png)，﹣![](./data/image/media/image151.png)，0），D（![](./data/image/media/image151.png)，0，0），P（0，0，![](./data/image/media/image153.png)）， ∴![](./data/image/media/image154.png)=（![](./data/image/media/image155.png)，﹣![](./data/image/media/image155.png)，0），![](./data/image/media/image156.png)=（0，0，![](./data/image/media/image157.png)）， 设平面PBC的法向量为![](./data/image/media/image158.png)， ∵![](./data/image/media/image159.png)，∴![](./data/image/media/image160.png)，令x=1，则y=1，z=0， 故![](./data/image/media/image161.png)=（1，1，0）， ∵E，F分别是棱AD，PC的中点， ∴E（![](./data/image/media/image162.png)，![](./data/image/media/image162.png)，0），F（![](./data/image/media/image162.png)，﹣![](./data/image/media/image162.png)，![](./data/image/media/image163.png)）， ∴![](./data/image/media/image164.png)=（0，![](./data/image/media/image165.png)，![](./data/image/media/image163.png)）， ∴sinθ=![](./data/image/media/image166.png)=![](./data/image/media/image167.png)=![](./data/image/media/image168.png)=﹣![](./data/image/media/image169.png)， 即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为![](./data/image/media/image169.png)． 【点评】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理． 　 18．（13分）设椭圆![](./data/image/media/image170.png)+![](./data/image/media/image171.png)=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，右顶点为A，上顶点为B，已知\|AB\|=![](./data/image/media/image172.png)\|F~1~F~2~\|． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F~1~，经过点F~2~的直线l与该圆相切于点M，\|MF~2~\|=2![](./data/image/media/image173.png)，求椭圆的方程． 【分析】（Ⅰ）分别用a，b，c表示出\|AB\|和\|F~1~F~2~\|，根据已知建立等式求得a和c的关系，进而求得离心率e． （Ⅱ）根据（1）中a和c的关系，用c表示出椭圆的方程，设出P点的坐标，根据PB为直径，推断出BF~1~⊥PF~1~，进而知两直线斜率相乘得﹣1，进而求得sinθ和cosθ，表示出P点坐标，利用P，B求得圆心坐标，则可利用两点间的距离公式分别表示出\|OB\|，\|OF~2~\|，利用勾股定理建立等式求得c，则椭圆的方程可得． 【解答】解：（Ⅰ）依题意可知![](./data/image/media/image174.png)=![](./data/image/media/image172.png)•2c， ∵b^2^=a^2^﹣c^2^， ∴a^2^+b^2^=2a^2^﹣c^2^=3c^2^， ∴a^2^=2c^2^， ∴e=![](./data/image/media/image175.png)=![](./data/image/media/image176.png)． （Ⅱ）由（Ⅰ）知a^2^=2c^2^， ∴b^2^=a^2^﹣c^2^=c^2^， ∴椭圆方程为![](./data/image/media/image177.png)+![](./data/image/media/image178.png)=1，B（0，c），F~1~（﹣c，0） 设P点坐标（![](./data/image/media/image179.png)csinθ，ccosθ），以线段PB为直径的圆的圆心为O， ∵PB为直径， ∴BF~1~⊥PF~1~， ∴k~BF1~•k~PF1~=![](./data/image/media/image180.png)•![](./data/image/media/image181.png)=﹣1， 求得sinθ=﹣![](./data/image/media/image182.png)或0（舍去）， 由椭圆对称性可知，P在x轴下方和上方结果相同，只看在x轴上方时， cosθ=![](./data/image/media/image183.png)=![](./data/image/media/image184.png)， ∴P坐标为（﹣![](./data/image/media/image185.png)c，![](./data/image/media/image184.png)c）， ∴圆心O的坐标为（﹣![](./data/image/media/image186.png)c，![](./data/image/media/image186.png)c）， ∴r=\|OB\|=![](./data/image/media/image187.png)=![](./data/image/media/image188.png)c，\|OF~2~\|=![](./data/image/media/image189.png)=![](./data/image/media/image190.png)c， ∵r^2^+\|MF~2~\|^2^=\|OF~2~\|^2^， ∴![](./data/image/media/image191.png)+8=![](./data/image/media/image192.png)c^2^， ∴c^2^=3， ∴a^2^=6，b^2^=3， ∴椭圆的方程为![](./data/image/media/image193.png)+![](./data/image/media/image194.png)=1． 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．第（1）相对简单，主要是求得a和c的关系；第（2）问较难，利用参数法设出P点坐标是关键． 　 19．（14分）已知函数f（x）=x^2^﹣![](./data/image/media/image195.png)ax^3^（a＞0），x∈R． （Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）若对于任意的x~1~∈（2，+∞），都存在x~2~∈（1，+∞），使得f（x~1~）•f（x~2~）=1，求a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值； （Ⅱ）由f（0）=f（![](./data/image/media/image196.png)）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，![](./data/image/media/image196.png)）时，f（x）＞0；当x∈（![](./data/image/media/image196.png)，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）\|x∈（2，+∞）}，集合B={![](./data/image/media/image197.png)\|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x~1~∈（2，+∞），都存在x~2~∈（1，+∞），使得f（x~1~）•f（x~2~）=1，等价于A⊆B，分类讨论，即可求a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣2ax^2^=2x（1﹣ax），令f′（x）=0，解得x=0或x=![](./data/image/media/image198.png)． 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表： --------- ------------ --- --------------------------------------------- -------------------------------------- ---------------------------------------------- x （﹣∞，0） 0 （0，![](./data/image/media/image198.png)） ![](./data/image/media/image198.png) （![](./data/image/media/image198.png)，+∞） f′（x） ﹣ 0 \+ 0 ﹣ f（x） 递减 0 递增 ![](./data/image/media/image199.png) 递减 --------- ------------ --- --------------------------------------------- -------------------------------------- ---------------------------------------------- 所以，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，0）和![](./data/image/media/image200.png)，单调递增区间为![](./data/image/media/image201.png)， 当x=0时，有极小值f（0）=0，当x=![](./data/image/media/image198.png)时，有极大值f（![](./data/image/media/image198.png)）=![](./data/image/media/image202.png)； （Ⅱ）由f（0）=f（![](./data/image/media/image203.png)）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，![](./data/image/media/image203.png)）时，f（x）＞0；当x∈（![](./data/image/media/image203.png)，+∞）时，f（x）＜0． 设集合A={f（x）\|x∈（2，+∞）}，集合B={![](./data/image/media/image204.png)\|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x~1~∈（2，+∞），都存在x~2~∈（1，+∞），使得f（x~1~）•f（x~2~）=1，等价于A⊆B，显然A≠∅ 下面分三种情况讨论： ①当![](./data/image/media/image203.png)＞2，即0＜a＜![](./data/image/media/image205.png)时，由f（![](./data/image/media/image203.png)）=0可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集； ②当1≤![](./data/image/media/image203.png)≤2，即![](./data/image/media/image206.png)时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f（2）），∴A⊆（﹣∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B； ③当![](./data/image/media/image207.png)＜1，即a＞![](./data/image/media/image208.png)时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（![](./data/image/media/image209.png)，0），A=（﹣∞，f（2）），∴A不是B的子集． 综上，a的取值范围是\[![](./data/image/media/image210.png)\]． 【点评】利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论． 　 20．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，...，q﹣1}，集合A={x\|x=x~1~+x~2~q+...+x~n~q^n﹣1^，x~i~∈M，i=1，2，...n}． （Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A； （Ⅱ）设s，t∈A，s=a~1~+a~2~q+...+a~n~q^n﹣1^，t=b~1~+b~2~q+...+b~n~q^n﹣1^，其中a~i~，b~i~∈M，i=1，2，...，n．证明：若a~n~＜b~n~，则s＜t． 【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x\|x=x~1~+x~2~•2+x~3~•2^2^，x~i~∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A． （Ⅱ）由于a~i~，b~i~∈M，i=1，2，...，n．a~n~＜b~n~，可得a~n~﹣b~n~≤﹣1． 由题意可得s﹣t=（a~1~﹣b~1~）+（a~2~﹣b~2~）q+...+（a~n﹣1~﹣b~n﹣1~）q^n﹣2^+（a~n~﹣b~n~）q^n﹣1^≤（q﹣1）+（q﹣1）q+...+（q﹣1）q^n﹣2^﹣q^n﹣1^ 再利用等比数列的前n项和公式即可得出． 【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时， M={0，1}，A={x\|x=x~1~+x~2~•2+x~3~•2^2^，x~i~∈M，i=1，2，3}． 可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}． （Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a~1~+a~2~q+...+a~n~q^n﹣1^，t=b~1~+b~2~q+...+b~n~q^n﹣1^，其中a~i~，b~i~∈M，i=1，2，...，n．a~n~＜b~n~，∴s﹣t=（a~1~﹣b~1~）+（a~2~﹣b~2~）q+...+（a~n﹣1~﹣b~n﹣1~）q^n﹣2^+（a~n~﹣b~n~）q^n﹣1^ ≤（q﹣1）+（q﹣1）q+...+（q﹣1）q^n﹣2^﹣q^n﹣1^ =（q﹣1）（1+q+...+q^n﹣2^）﹣q^n﹣1^ =![](./data/image/media/image211.png)﹣q^n﹣1^ =﹣1＜0． ∴s＜t． 【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 　
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1. 某校同学排队上操.如果每行站9人，则多37人；如果每行站12人，则少20人.一共有多少学生？ 2. 老师给同学们分西瓜，如果第一个同学分到10个瓜，其他同学每人分到5个瓜，就会剩下6个瓜；如果每个同学都分到8个瓜，就会缺4个瓜．那么共有多少个同学？ 3. 老师给同学们分苹果，如果每人分3个苹果，就会剩下5个．如果男生每人分3个，女生每人分6个，就会少16个．已知男生人数是女生的2倍，那么一共有多少人？ 4. 阿呆和阿瓜各带了相同数目的钱去买面包，阿呆买了5个小面包，剩下50元；阿瓜买了8个大面包，剩下5元．已知大面包比小面包贵3元，那么阿呆带了多少元钱？
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1\. 完成下列横式填空，其中算术中的数字关于等号左右对称。 2\. 满足等式"囗囗囗囗×囗=8688囗"的四位乘数是多少？ 3\. 满足等式"囗17×2囗=3囗囗3"的乘积是多少？
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![](./data/image/media/image1.png)**山东省潍坊市2020年中考数学真题** **第Ⅰ卷 （选择题 共36分）** **一、选择题（本大题共12小题，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分．）** 1.下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. ![](./data/image/media/image2.png) B. ![](./data/image/media/image3.png) C. ![](./data/image/media/image4.png) D. ![](./data/image/media/image5.png) 【答案】C 【解析】 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念依次对各项进行判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2.下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据合并同类项、幂的乘方，同底数幂乘法以及完全平方公式，逐项判断即可． 【详解】A、不是同类项，不能合并，故选项A计算错误； B、，故选项B计算正确； C、，故选项C计算错误； D、，故选项D计算错误． 故选B． 【点睛】本题考查合了并同类项，同底数幂的乘法和积的乘方、以及完全平方公式，解题关键是熟记运算法则和公式． 3.今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为a×10^n^，其中1≤\|a\|＜10，n为整数，故先将1109万换成11090000，再按照科学记数法的表示方法表示即可得出答案． 【详解】∵1109万=11090000， ∴11090000=1.109×10^7^． 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法的简单应用，属于基础知识的考查，比较简单． 4.将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） ![](./data/image/media/image16.png) A. ![](./data/image/media/image17.png) B. ![](./data/image/media/image18.png) C. ![](./data/image/media/image19.png) D. ![](./data/image/media/image20.png) 【答案】D 【解析】 【分析】 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 【详解】从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线，\ 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示． 5.为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表： ---------------------- ----- ----- ----- ----- 一分钟跳绳个数（个） 141 144 145 146 学生人数（名） 5 2 1 2 ---------------------- ----- ----- ----- ----- 则关于这组数据的结论正确的是（ ） A. 平均数是144 B. 众数是141 C. 中位数是144.5 D. 方差是5.4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平均数，众数，中位数，方差的性质分别计算出结果，然后判判断即可． 【详解】解：根据题目给出的数据，可得： 平均数为：，故A选项错误； 众数是：141，故B选项正确； 中位数是：，故C选项错误； 方差是：，故D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的性质和计算，熟悉相关性质是解题的关键． 6.若，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 把所求代数式变形为，然后把条件整体代入求值即可． 【详解】∵， ∴ = =4×1-3 =1． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了代数式求值以及"整体代入"思想，解题的关键是把代数式变形为． 7.如图，点E是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点F，若，则的周长为（ ） ![](./data/image/media/image34.png) A. 21 B. 28 C. 34 D. 42 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CF，AB=CD， ∴△ABE∽△DFE， ∴， ∵， ∴AE=6，AB=8， ∴AD=AE+DE=6+3=9， ∴的周长为：（8+9）×2=34． 故选：C． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答． 8.关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】 先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）^2^+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根． 【详解】△=(k-3)^2^-4(1-k) =k^2^-6k+9-4+4k =k^2^-2k+5 =(k-1)^2^+4， ∴（k-1）^2^+4＞0，即△＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax^2^+bx+c=0（a≠0）的根与△=b^2^-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 9.如图，函数与![](./data/image/media/image39.wmf)图象相交于点两点，则不等式的解集为（ ） ![](./data/image/media/image42.png) A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 结合图像，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵函数与的图象相交于点两点， ∴不等式的解集为：或， 故选：*D*． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用． 10.如图，在中，，以点O为圆心，2为半径的圆与交于点C，过点C作交于点D，点P是边上的动点．当最小时，的长为（ ） ![](./data/image/media/image58.png) A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 延长CO交于点E，连接EP，交AO于点P，则PC+PD的值最小，利用平行线份线段成比例分别求出CD，PO的长即可． 【详解】延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，如图， ![](./data/image/media/image63.png) ∵CD⊥OB， ∴∠DCB=90°, 又， ∴∠DCB=∠AOB， ∴CD//AO ∴ ∵OC=2，OB=4， ∴BC=2, ∴，解得，CD=； ∵CD//AO， ∴，即，解得，PO= 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称\-\--最短距离问题，同时考查了平行线分线段成比例，掌握轴对称性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 11.若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出不等式组的解集（含有字母*a*），利用不等式组有三个整数解，逆推出*a*的取值范围即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组有三个整数解， ∴三个整数解为：2，3，4， ∴， 解得：， 故选：*C*． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键就是根据整数解的个数求出关于*a*的不等式组． 12.若定义一种新运算：例如：；．则函数的图象大致是（ ） A. ![](./data/image/media/image84.png) B. ![](./data/image/media/image85.png) C. ![](./data/image/media/image86.png) D. ![](./data/image/media/image87.png) 【答案】A 【解析】 【分析】 根据，可得当时，，分两种情况当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可． 【详解】解：当时，， ∴当时，， 即：， 当时，， 即：，∴， ∴当时，，函数图像向上，随的增大而增大， 综上所述，A选项符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键 **第Ⅱ卷（非选择题 共84分）** **说明：将第Ⅱ卷答案用0.5mm的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上．** **二、填空题（本大题共6小题，共18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．）** 13.因式分解：x^2^y﹣9y＝\_\_\_\_\_． 【答案】y（x+3）（x﹣3） 【解析】 【分析】 先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：x^2^y﹣9y， ＝y（x^2^﹣9）， ＝y（x+3）（x﹣3）． 【点睛】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键． 14.若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_． 【答案】5 【解析】 【分析】 根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】根据题意得，，， 解得，， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了绝对值非负性，算术平方根非负性的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． 15.如图，在中，，，垂直平分，垂足为Q，交于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线．若与的夹角为，则\_\_\_\_\_\_\_\_°． ![](./data/image/media/image117.png) 【答案】55°． 【解析】 【分析】 根据直角三角形两锐角互余得∠BAC=70°，由角平分线![](./data/image/media/image39.wmf)定义得∠2=35°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠1+∠2=90°，从而可得∠1=55°，最后根据对顶角相等求出． ![](./data/image/media/image118.wmf)详解】如图， ![](./data/image/media/image119.png) ∵△ABC是直角三角形，∠C=90°， ， ， ， ∵是的平分线， ， 是的垂直平分线， 是直角三角形， ， ， ∵∠α与∠1是对顶角， ． 故答案为：55°． 【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键． 16.若关于x的分式方程有增根，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_． 【答案】． 【解析】 【分析】 先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出的值． 【详解】解：去分母得：，整理得：， ∵关于的分式方程有增根，即， ∴， 把代入到中得：，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值． 17.如图，矩形中，点G，E分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，则\_\_\_\_\_\_\_． ![](./data/image/media/image150.png) 【答案】 【解析】 【分析】 根据折叠的性质结合勾股定理求得GE，BC=AD=8，证得Rt△EGFRt△EAG，求得，再利用勾股定理得到DE的长，即可求解． 【详解】矩形中，GC=4，CE =3，∠C=90， ∴GE=， ![](./data/image/media/image157.png) 根据折叠的性质：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90， ∴BG=GF=GC=4， ∴BC=AD=8， ∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180， ∴∠AGE=90， ∴Rt△EGFRt△EAG， ∴，即， ∴， ∴DE=， ∴， 故答案为：． 【点睛】本考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键． 18.如图，四边形是正方形，曲线是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为； 的圆心为点B，半径为； 的圆心为点C，半径为； 的圆心为点D，半径为；... 的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形的边长为1，则的长是\_\_\_\_\_\_\_\_\_． ![](./data/image/media/image172.png) 【答案】 【解析】 【分析】 曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，到，，再计算弧长． 【详解】解：由图可知，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1， ，，......， ，， 故的半径为， ![](./data/image/media/image39.wmf)弧长=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：，找到每段弧的半径变化规律是解题关键． **三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应与出文字说明、证明过程或演算步骤．）** 19.先化简，再求值：，其中x是16的算术平方根． 【答案】 【解析】 【分析】 先将括号里的进行通分运算，然后再计算括号外的除法，把除法运算转化为乘法运算，进行约分，得到最简分式，最后把x值代入运算即可． 【详解】解：原式＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ． ∵x是16的算术平方根， ∴x=4， 当x=4时，原式=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 20.某校"综合与实践"小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥的长度． ![](./data/image/media/image187.png)![](./data/image/media/image188.png) 【答案】 【解析】 【分析】 过C地点作交AB于D点，根据桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，可得，，利用特殊角懂得三角函数求解即可． 【详解】解：如图示：过C地点作交AB于D点， ![](./data/image/media/image193.png) 则有：，， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的运算，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键． 21.在4月23日"世界读书日"来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： ①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； ②图1和图2是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： ![](./data/image/media/image201.png) （1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整； （2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数； （3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率． 【答案】（1）40人，补全图形见解析；（2）480人；（3） 【解析】 【分析】 （1）用A档和D档所有数据数减去D档人数即可得到A档人数，用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图； （2）先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论； （3）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可. 【详解】（1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个， 因此A档共有：12-4=8人， 8÷20%=40人， 补全图形如下： ![](./data/image/media/image203.png) （2）1200×（人） 答：全校B档的人数为480人， （3）用A表示七年级学生，用B 表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下， ![](./data/image/media/image205.png) 所以P~（2名学生来自不同年级）~= 【点睛】本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中"写出所有可能的结果"的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏． 22.如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接． ![](./data/image/media/image210.png) （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】 （1）连接BF，证明BF//CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论； （2）连接OF，求出扇形FOC![](./data/image/media/image39.wmf)面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）连接， ![](./data/image/media/image215.png) 是的直径， ，即， ， 连接， ∵点C为劣弧的中点， ， ∵， ∵OC是的半径， ∴CE是的切线； （2）连接 ，， ∵点C为劣弧的中点， ， ， ， ， ∴S~扇形FOC~=， 即阴影部分的面积为：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键． 23.因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． ![](./data/image/media/image234.png) （1）求y与x之间的函数表达式； （2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利涧=销售价-进价） 【答案】（1）函数的表达式为：y=-2x+220；（2）80元，1800元． 【解析】 【分析】 （1）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b， ，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）^2^+1800，即可求解． 【详解】（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b， 将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得： ， 解得：， 故函数的表达式为：y=-2x+220； （2）设药店每天获得的利润为W元，由题意得： w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）^2^+1800， ∵-2＜0，函数有最大值， ∴当x=80时，w有最大值，此时最大值是1800， 故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键． 24.如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接． ![](./data/image/media/image245.png) ![](./data/image/media/image246.png) ![](./data/image/media/image247.png) （1）当时，求证：； （2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分； （3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）的面积的最大值为，旋转角的度数为 【解析】 【分析】 （1）利用 "SAS"证得△ACE△ABD即可得到结论； （2）利用 "SAS"证得△ACE△ABD，推出∠ACE=∠ABD，计算得出AD=BC=，利用等腰三角形"三线合一"的性质即可得到结论； （3）观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90， ∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90， ∴∠CAE=∠BAD， 在△ACE和△ABD中，， ∴△ACE△ABD(SAS)， ∴CE=BD； （2）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90， 在△ACE和△ABD中，， ∴△ACE△ABD(SAS)， ∴∠ACE=∠ABD， ∵∠ACE+∠AEC=90，且∠AEC=∠FEB， ∴∠ABD+∠FEB=90， ∴∠EFB=90， ∴CF⊥BD， ∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90， ∴BC=AB =，CD= AC+ AD=， ∴BC= CD， ∵CF⊥BD， ∴CF是线段BD的垂直平分线； （3）中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时的面积有最大值， ∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图： ![](./data/image/media/image262.png) ∵∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，DG⊥BC于G， ∴AG=BC=，∠GAB=45， ∴DG=AG+AD=，∠DAB=180-45=135， ∴的面积的最大值为：， 旋转角． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 25.如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E． ![](./data/image/media/image271.png) （1）求抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标； （3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或． 【解析】 【分析】 （1）直接将和点代入，解出a，b的值即可得出答案； （2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标； （3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案． 【详解】（1）抛物线过点和点 抛物线解析式为： （2）当时， 直线BC解析式为： 过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F 设 即 ![](./data/image/media/image299.png) （3） 为等腰直角三角形 抛物线的对称轴为 点E的横坐标为3 又点E在直线BC上 点E的纵坐标为5 设 ①当MN=EM，,时 解得或（舍去） 此时点M的坐标为 ![](./data/image/media/image310.png) ②当ME=EN，时 解得：或（舍去） 此时点M的坐标为 ![](./data/image/media/image315.png) ③当MN=EN，时 连接CM，易知当N为C关于对称轴l的对称点时，， 此时四边形CMNE为正方形 解得：（舍去） 此时点M的坐标为 ![](./data/image/media/image323.png) 在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或． 【点睛】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线．
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概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。 1. 集合与简易逻辑 二、函数\ 三、数列\ 四、三角函数\ 五、平面向量\ 六、不等式\ 七、直线和圆\ 八、圆锥曲线\ 九、直线、平面、简单多面体\ 十、排列、组合和二项式定理\ 十一、概率\ 十二、统 计\ 十三、导 数\ 十四、高考数学选择题的解题策略\ 十五、高考数学填空题的解题策略\ 十六、高考数学应试技巧 **一、集合与简易逻辑** 一．集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，**尤其要注意元素的互异性**，**如** （1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，若，，则P+Q中元素的有\_\_\_\_\_\_\_\_个。 （答：8） （2）设，，，那么点的充要条件是\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：）； （3）非空集合，且满足"若，则"，这样的共有\_\_\_\_\_个 （答：7） 二．遇到时，你是否注意到"极端"情况：或；同样当时，你是否忘记的情形？要注意到**是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集**。**如** > 集合，，且，则实数＝\_\_\_. （答：） 三．对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 **如** > 满足集合M有\_\_\_\_\_\_个。 （答：7） 四．集合的运算性质： ⑴； ⑵； ⑶； ⑷； ⑸； ⑹； ⑺. **如：**设全集，若，，，则A＝\_\_\_\_\_，B＝\_\_\_. （答：，） 五．研究集合问题，一定要**理解集合的意义――抓住集合的代表元素**。如：---函数的定义域；---函数的值域；---函数图象上的点集，**如** **（1）**设集合，集合N＝，则\_\_\_ （答：）； **（2）**设集合，，，则\_\_\_\_\_ （答：） 六．数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体**计算时不要忘了集合本身和空集**这两种特殊情况，**补集思想**常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。**如：** 已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。 （答：） 七.复合命题真假的判断。"**或命题**"的真假特点是"一真即真，要假全假"；"**且命题**"的真假特点是"一假即假，要真全真"；"**非命题**"的真假特点是"真假相反"。**如：** > 在下列说法中：⑴"且"为真是"或"为真的充分不必要条件； > > ⑵"且"为假是"或"为真的充分不必要条件； > > ⑶"或"为真是"非"为假的必要不充分条件； > > ⑷"非"为真是"且"为假的必要不充分条件。 > > 其中正确的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：⑴⑶） **八．四种命题及其相互关系**。若原命题是"若p则q"，则逆命题为"若q则p"；否命题为"若﹁p 则﹁q" ；逆否命题为"若﹁q 则﹁p"。 **提醒**： **（1）**互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价； **（2）**在写出一个含有"或"、"且"命题的否命题时，要注意"**非或即且，非且即或**"； **（3）**要注意区别"否命题"与"命题的否定"：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定； **（4）**对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系""判断其真假，这也是反证法的理论依据。 **（5）**哪些命题宜用反证法？ **如：** **（1）**"在△ABC中，若∠C=90^0^，则∠A、∠B都是锐角"的否命题为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：在中，若，则不都是锐角）； **（2）**已知函数，证明方程没有负数根。 九．**充要条件**。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。**如：** **（1）**给出下列命题： ① 实数是直线与平行的充要条件； ② 若是成立的充要条件； > ③ 已知，"若，则或"的逆否命题是"若或则"； ④"若和都是偶数，则是偶数"的否命题是假命题 。 其中正确命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_ （答：①④）； **（2）**设命题p：；命题q:。若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数*a*的取值范围是 [ ]{.underline} （答：） 十．**一元一次不等式的解法**：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。**如** 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为\_\_\_\_\_\_\_ （答：） 十一．**一元二次不等式的解集**（联系图象）。尤其当和时的解集你会正确表示吗？设,是方程的两实根，且，则其解集如下表： -- ---- ---- -- -- 或 或 R R R -- ---- ---- -- -- **如**解关于的不等式：。 （答：**当时，；当时，或；当时，；当时，；当时，**） 十二．**对于方程有实数解的问题**。首先要讨论最高次项系数是否为0，其次若，则一定有。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？ **如：（1）**对一切恒成立，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_ （答：）； **（2）**关于的方程有解的条件是什么？(答：，其中为的值域)，特别地，若在内有两个不等的实根满足等式，则实数的范围是\_\_\_\_\_\_\_. （答：） 十三．**一元二次方程根的分布理论**。方程在上有两根、在上有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么？ ![](./data/image/media/image162.wmf)（、、）。根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况． **如**实系数方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：（，1）） 十四．二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程的两个根即为二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标。 **如（1）**不等式的解集是，则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：）； **（2）**若关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：）； **（3）**不等式对恒成立，则实数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_ （答：）。 **二、函数** 一．映射: AB的概念。在**理解映射概念时要注意：㈠**中元素必须都有象且唯一；㈡B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。**如：** **（1）**设是集合到的映射，下列说法正确的是　A、中每一个元素在中必有象 B、中每一个元素在中必有原象　　C、中每一个元素在中的原象是唯一的 　D、是中所在元素的象的集合 （答：A）； **（2）**点在映射的作用下的象是，则在作用下点的原象为点\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：（2，－1））； **（3）**若，，，则到的映射有 [ ]{.underline} 个，到的映射有 [ ]{.underline} 个，到的函数有 [ ]{.underline} 个 （答：81,64,81）； **（4）**设集合，映射满足条件"对任意的，是奇数"，这样的映射有\_\_\_\_个 （答：12）； **（5）**设是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则一定是\_\_\_\_\_ （答：或{1}）. 二．**函数: AB是特殊的映射**。特殊在**定义域A和值域B都是非空数集**！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。**如：** **（1）**已知函数，，那么集合中所含元素的个数有 [ ]{.underline} 个 （答： 0或1）； **（2）**若函数的定义域、值域都是闭区间，则＝ [ ]{.underline} （答：2） 三．同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此**当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数**。**如** 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为"天一函数"，那么解析式为，值域为{4，1}的"天一函数"共有\_\_\_\_\_\_个 （答：9） 四．求函数定义域的常用方法（在**研究函数问题时要树立定义域优先的原则**）： 1．根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且，三角形中, 最大角，最小角等。**如** **（1）**函数的定义域是\_\_\_\_ (答：)； **（2）**若函数的定义域为R，则\_\_\_\_\_\_\_ (答：)； **（3）**函数的定义域是，，则函数的定义域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ (答：)； **（4）**设函数，①若的定义域是**R**，求实数的取值范围；②若的值域是**R**，求实数的取值范围 （答：①；②） 2．根据实际问题的要求确定自变量的范围。 3．复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）。**如** **（1）**若函数的定义域为，则的定义域为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：）； **（2）**若函数的定义域为，则函数的定义域为\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：\[1,5\]）． 五．求函数值域（最值）的方法： 1．**配方法**――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求**二次函数的最值问题，勿忘数形结合**，注意"**两看**"：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），**如** **（1）**求函数的值域 （答：\[4,8\]）； **（2）**当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是\_\_\_ （答：）； **（3）**已知的图象过点（2,1），则的值域为\_\_\_\_\_\_ （答：\[2, 5\]） 2．**换元法**――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，**如** **（1）**的值域为\_\_\_\_\_ （答：）； **（2）**的值域为\_\_\_\_\_ （答：） **（3）**的值域为\_\_\_\_ （答：）； **（4）**的值域为\_\_\_\_ （答：）； 3．**函数有界性法**――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，**如** 求函数，，的值域 （答： 、（0,1）、）； 4．**单调性法**――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，**如** 求，，的值域 （答：、、）； 5．**数形结合法**――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，**如** **（1）**已知点在圆上，求及的取值范围 （答：、）； **（2）**求函数的值域 （答：）； **（3）**求函数及的值域 （答：、） **注意**：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴的同侧。 6．**判别式法**――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式： ①型，可直接用不等式性质，**如** 求的值域 （答：） ②型，先化简，再用均值不等式，**如** **（1）**求的值域 （答：）； **（2）**求函数的值域 （答：） ③型，通常用判别式法；**如** 已知函数的定义域为R，值域为\[0，2\]，求常数的值 （答：） ④型，可用判别式法或均值不等式法，**如** 求的值域 （答：） 7．**不等式法**――利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。**如** 设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是\_\_. （答：）。 8．**导数法**――一般适用于高次多项式函数，**如** 求函数，的最小值。 （答：－48） **提醒**：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？ （2）函数的最值与值域之间有何关系？ 六．分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在**求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集**。**如** **（1）**设函数，则使得的自变量的取值范围是\_\_ （答：）； **（2）**已知，则不等式的解集\_\_\_\_\_ （答：） 七．求函数解析式的常用方法： **1．待定系数法**――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式：；零点式：，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。**如** 已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 。 （答：） 2．**代换（配凑）法**――已知形如的表达式，求的表达式。**如** **（1）**已知求的解析式 （答：）； **（2）**若，则函数=\_\_\_\_\_ （答：）； **（3）**若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，那么当时，=\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：）. 这里需**值得注意**的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域。 3．**方程的思想**――已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。**如** **（1）**已知，求的解析式 （答：）； **（2）**已知是奇函数，是偶函数，且+= ,则= [\_]{.underline} （答：）。 八．反函数： 1．**存在反函数的条件**是对于原来函数**值域中的任一个值，都有唯一的值与之对应**，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有有反函数；周期函数一定不存在反函数。**如** 函数在区间\[1, 2\]上存在反函数的充要条件是 A、　B、　　C、　　D、 　（答：D） 2．求反函数的步骤：①反求；②互换 、；③注明反函数的定义域（原来函数的值域）。**注意**函数的反函数不是，而是。**如** 设.求的反函数 （答：）． 3．反函数的性质： ①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。**如** 单调递增函数满足条件= *x* ，其中≠ 0 ，若的反函数的定义域为 ，则的定义域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：\[4,7\]）. ②函数的图象与其反函数的图象关于直线对称，**注意**函数的图象与的图象相同。**如** **（1）**已知函数的图象过点(1,1),那么的反函数的图象一定经过点\_ （答：（1,3））； **（2）**已知函数，若函数与的图象关于直线对称，求的值 （答：）； ③。**如** **（1）**已知函数，则方程的解\_\_\_\_\_\_ （答：1）； **（2）**设函数*f*(*x*)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数，*f* (4)＝0，则＝[　]{.underline} （答：－2） ④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。**如** 已知是上的增函数，点在它的图象上，是它的反函数，那么不等式的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：（2,8））； ⑤设的定义域为A，值域为B，则有， ，但。 九．**函数的奇偶性**。 1．具有奇偶性的函数的**定义域的特征：定义域必须关于原点对称**！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。**如** 若函数，为奇函数，其中，则的值是 [ ]{.underline} （答：0）； 2．确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）： ①定义法：**如**判断函数的奇偶性\_\_\_\_（答：奇函数）。 ②利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。**如** 判断的奇偶性\_\_\_.（答：偶函数） ③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。 3．函数奇偶性的性质： ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. ③若为偶函数，则.**如** 若定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为\_\_\_\_\_\_. （答：） ④若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。**如** 若为奇函数，则实数＝\_\_\_\_（答：1）. ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成"一个奇函数与一个偶函数的和（或差）"。**如** 设是定义域为R的任一函数， ，。①判断与的奇偶性； ②若将函数，表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则＝\_\_\_\_ （答：①为偶函数，为奇函数；②＝） ⑥复合函数的奇偶性特点是："**内偶则偶，内奇同外**". ⑦既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）. 十．**函数的单调性**。 1．确定函数的单调性或单调区间的常用方法： ①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请**注意两者的区别**所在。**如** 已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是\_\_\_\_ (答：）)； ②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，**特别要注意** 型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为.**如** **（1）**若函数 在区间（－∞，4\] 上是减函数，那么实数的取值范围是\_\_\_\_\_\_ (答：）)； **（2）**已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围\_\_\_\_\_ （答：）； **（3）**若函数的值域为R，则实数的取值范围是\_\_\_\_\_\_ (答：且）)； ③复合函数法：复合函数单调性的特点是**同增异减**，**如** 函数的单调递增区间是\_\_\_\_\_\_\_\_ (答：（1,2）)。 **2．特别提醒：**求单调区间时，一是勿忘定义域，**如**若函数在区间上为减函数，求的取值范围（答：）；二是**在多个单调区间之间不一定能添加符号""和"或"**；三是单调区间应该用区间表示，不能用**集合或不等式**表示． 3．你注意到函数**单调性与奇偶性的逆用**了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.**如**已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围。（答：） 十一．**常见的图象变换** 1．函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的。**如** 设的图像与的图像关于直线对称，的图像由的图像向右平移1个单位得到，则为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ (答： ) 2．函数(的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的。**如** **（1）**若，则函数的最小值为\_\_\_\_ (答：2)； **（2）**要得到的图像，只需作关于\_\_\_\_\_轴对称的图像，再向\_\_\_\_平移3个单位而得到 (答：；右)； **（3）**函数的图象与轴的交点个数有\_\_\_\_个 (答：2) 3．函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的； 4．函数+的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的；**如** 将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线对称,那么 　　(答：C) 5．函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的得到的。**如** **（1）**将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为\_\_\_\_\_ (答：)； **（2）**如若函数是偶函数，则函数的对称轴方程是\_\_\_\_\_\_\_ (答：)． 6．函数的图象是把函数的图象沿轴伸缩为原来的倍得到的. 十二．**函数的对称性**。 1．满足条件的函数的图象关于直线对称。**如** 已知二次函数满足条件且方程有等根，则＝\_\_\_\_\_ (答：)； 2．点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为； 3．点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为； 4．点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为； 5．点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。特别地，点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为 ；点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。**如** 己知函数,若的图像是,它关于直线对称图像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：）； 6．曲线关于点的对称曲线的方程为。**如** 若函数与的图象关于点（-2，3）对称，则＝\_\_\_\_\_\_ （答：） 7．形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点。**如** 已知函数图象与关于直线对称，且图象关于点（2，－3）对称，则*a*的值为\_\_\_\_\_\_ （答：2） 8．的图象先保留原来在轴上方的图象，作出轴下方的图象关于轴的对称图形，然后擦去轴下方的图象得到；的图象先保留在轴右方的图象，擦去轴左方的图象，然后作出轴右方的图象关于轴的对称图形得到。**如** **（1）**作出函数及的图象； **（2）**若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于\_\_\_\_对称 （答：轴）　　 **提醒**：（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像与的对称性，**需证两方面**：①证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上；②证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上。**如** **（1）**已知函数。求证：函数的图像关于点成中心对称图形； **（2）**设曲线C的方程是,将C沿轴, 轴正方向分别平行移动单位长度后得曲线。①写出曲线的方程 （答：）；②证明曲线C与关于点对称。 十三．**函数的周期性**。 1．**类比"三角函数图像"得**： ①若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为； ②若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为； ③如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为； **如**已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_个实数根（答：5） 2．**由周期函数的定义**"函数满足，则是周期为的周期函数"**得**： ①函数满足，则是周期为2的周期函数； ②若恒成立，则； ③若恒成立，则. **如(1)** 设是上的奇函数，，当时，，则等于\_\_\_\_\_ (答：)； **(2)**定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为\_\_\_\_\_\_\_\_ \_(答：)； **（3）**已知是偶函数，且=993，=是奇函数，求的值 (答：993)； **（4）**设是定义域为R的函数，且，又，则= [ ]{.underline} (答：) 十四．**指数式、对数式**： ，，，，，，，，，，， 。**如** **（1）**的值为\_\_\_\_\_\_\_\_ (答：8)； **（2）**的值为\_\_\_\_\_\_\_\_ (答：) 十五．**指数、对数值的大小比较**： > （1）化同底后利用函数的单调性； > > （2）作差或作商法； > > （3）利用中间量（0或1）； > > （4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。 十六．**函数的应用**。（1）求解数学应用题的一般步骤：①审题――认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；②建模――通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，**别忘了注上符合实际意义的定义域**；③解模――求解所得的数学问题；④回归――将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。（2）常见的函数模型有：①建立一次函数或二次函数模型；②建立分段函数模型；③建立指数函数模型；④建立型。 **十七．抽象函数**：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是： **1．借鉴模型函数进行类比探究**。几类常见的抽象函数 ： **①正比例函数型： \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--；** **②幂函数型： \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--，；** **③指数函数型： \-\-\-\-\-\-\-\-\-\-\--，；** **④对数函数型： \-\-\-\--，；** **⑤三角函数型： *\-\-\-\--*** **。如**已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则\_\_\_\_（答：0） 2．**利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究**：**如** **（1）**设函数表示除以3的余数，则对任意的，都有 A、 B、 C、 D、 （答：A）； **（2）**设是定义在实数集R上的函数，且满足，如果，，求 （答：1）； **（3）**如设是定义在上的奇函数，且，证明：直线是函数图象的一条对称轴； **（4）**已知定义域为的函数满足，且当时，单调递增。如果，且，则的值的符号是\_\_\_\_ （答：负数） 3．**利用一些方法（如赋值法（令＝0或1，求出或、令或等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究**。**如** **（1）**若，满足，则的奇偶性是\_\_\_\_\_\_ （答：奇函数）； **（2）**若，满足，则的奇偶性是\_\_\_\_\_\_ （答：偶函数）； **（3）**已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如右图所示，那么不等式的解集是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：）； **（4）**设的定义域为，对任意，都有，且时，，又，①求证为减函数；②解不等式. （答：）． **三、数列** > **一．数列的概念：**数列是一个定义域为正整数集N\*（或它的有限子集｛1,2，3，...，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。**如** > > **（1）**已知，则在数列的最大项为\_\_ > > （答：）； > > **（2）**数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为\_\_\_ > > （答：）； > > **（3）**已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围 > > （答：）； > > **（4）**一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是 （） > > （答：A） > > ![](./data/image/media/image691.png) A B C D **二．等差数列的有关概念：** **1．等差数列的判断方法：**定义法或。**如** > 设 是等差数列，求证：以b~n~= 为通项公式的数列为等差数列。 **2．等差数列的通项：**或。**如** **(1)**等差数列中，，，则通项[　　　　]{.underline} （答：）； **（2）**首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是\_\_\_\_\_\_ （答：） **3．等差数列的前和：**，。**如** **（1）**数列 中，，，前n项和，则＝＿，＝＿ （答：，）； **（2）**已知数列 的前n项和，求数列的前项和 （答：）. **4．等差中项：**若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 **提醒**： **（1）**等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 **（2）**为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为...，...（公差为）；偶数个数成等差，可设为...，,...（公差为2） **三．等差数列的性质：** 1．当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0. 2．若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。 3．当时,则有，特别地，当时，则有.**如** **（1）**等差数列中，，则＝\_\_\_\_ （答：27）； **（2）**在等差数列中，，且，是其前项和，则 　　A、都小于0，都大于0 　　B、都小于0，都大于0 　　C、都小于0，都大于0 　　D、都小于0，都大于0　 （答：B） 4．若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、 ，...也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列. **如** 等差数列的前*n*项和为25，前2*n*项和为100，则它的前3*n*和为 [ ]{.underline} 。 （答：225） 5．在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；。**如** **（1）**在等差数列中，S~11~＝22，则＝\_\_\_\_\_\_ （答：2）； **（2）**项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数 （答：5；31）. 6．若等差数列、的前和分别为、，且，则 .**如** 设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：） 7．"首正"的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；"首负"的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？**如** **（1）**等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。 （答：前13项和最大，最大值为169）； **（2）**若是等差数列，首项， ，则使前*n*项和成立的最大正整数*n*是 [ ]{.underline} （答：4006） 8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. **注意**：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究. **四．等比数列的有关概念：** **1．等比数列的判断方法：**定义法，其中或 。**如** **（1）**一个等比数列{}共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为\_\_\_\_ （答：）； **（2）**数列中，=4+1 ()且=1，若 ，求证：数列｛｝是等比数列。 **2．等比数列的通项：**或。**如** 设等比数列中，，，前项和＝126，求和公比. （答：，或2） **3．等比数列的前和：**当时，；当时，。**如** **（1）**等比数列中，＝2，S~99~=77，求 （答：44）； **（2）**的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：2046）； **特别提醒：**等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。 **4．等比中项：**若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。**提醒**：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为\_\_\_\_\_\_（答：A＞B） **提醒**：**（1）**等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；**（2）**为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为...，...（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为...，...，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。**如**有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） **5.等比数列的性质：** （1）当时，则有，特别地，当时，则有.**如** **（1）**在等比数列中，，公比q是整数，则=\_\_\_ （答：512）； **（2）**各项均为正数的等比数列中，若，则 [ ]{.underline} （答：10）。 > \(2\) 若是等比数列，则**、**、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列 ，...也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，...是常数数列0，它不是等比数列. **如** > > **（1）**已知且，设数列满足，且，则[　　　　　]{.underline}. > > （答：）； > > **（2）**在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为\_\_\_\_\_\_ > > （答：40） (3)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列. \(4\) 当时，，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。**如**若是等比数列，且，则＝ [ ]{.underline} （答：－1） \(5\) .**如**设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为­­\_\_\_\_\_ （答：－2） \(6\) 在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，. (7)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。**如**设 数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：①若，则既是等差数列又是等比数列；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 [ ]{.underline} （答：②③） **五.数列的通项的求法：** ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。**如**已知数列试写出其一个通项公式：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：） ⑵已知（即）求，用作差法：。**如** **①**已知的前项和满足，求 （答：）； **②**数列满足，求 （答：） ⑶已知求，用作商法：。**如**数列中，对所有的都有，则\_\_\_\_\_\_ （答：） ⑷若求用累加法： 。**如**已知数列满足，，则=\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：） ⑸已知求，用累乘法：。**如**已知数列中，，前项和，若，求 （答：） ⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，**（1）形如**、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。**如①**已知，求（答：）；**②**已知，求（答：）；**（2）形如**的递推数列都可以用倒数法求通项。**如①**已知，求（答：）；**②**已知数列满足=1，，求（答：） **注意**：**（1）**用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；**（2）**一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。**如**数列满足，求（答：） **六.数列求和的常用方法：** 1．**公式法**：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，**特别声明**：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：，，.**如** **（1）**等比数列的前项和S~ｎ~＝2^ｎ^－１，则＝\_\_\_\_\_ （答：）； **（2）**计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即"逢2进1"，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是\_\_\_\_\_\_\_ （答：） 2．**分组求和法**：在直接运用公式法求和有困难时，常将"和式"中"同类项"先合并在一起，再运用公式法求和. **如**求：（答：） 3．**倒序相加法**：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. **如** **①**求证：； **②**已知，则＝\_\_\_\_\_\_ （答：） 4．**错位相减法**：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）. **如（1）**设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.（答：①，；②）； **（2）**设函数，数列满足： ，①求证：数列是等比数列；②令 ，求函数在点处的导数，并比较与的大小。（答：①略；②，当时，＝；当时，\<；当时，\>） 5．**裂项相消法**：如果数列的通项可"分裂成两项差"的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①； ②； ③，； ④ ；⑤； ⑥. **如（1）**求和： [ ]{.underline} （答：）； **（2）**在数列中，，且S~ｎ~＝９，则n＝\_\_\_\_\_ （答：99）； 6．**通项转换法**：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。**如** **①**求数列1×4，2×5，3×6，...，，...前项和= [　]{.underline} （答：）； **②**求和： [ ]{.underline} （答：） **七．"分期付款"、"森林木材"型应用问题** 1．这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必"卡手指"，细心计算"年限".对于"森林木材"既增长又砍伐的问题，则**常选用"统一法"统一到"最后"解决.** 2．利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金元，每期利率为，则期后本利和为： （等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款）元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分期还清。如果每期利率为（按复利），那么每期等额还款元应满足：（等比数列问题）. **四、三角函数** **1、角的概念的推广**：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 **2、象限角的概念**：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 **3. 终边相同的角的表示**： **（1）**终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)，**注意**：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.**如**与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 （答：；） （2）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上) . （3）终边与终边关于轴对称. （4）终边与终边关于轴对称. （5）终边与终边关于原点对称. （6）终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表示为：；终边在坐标轴上的角可表示为：.**如**的终边与的终边关于直线对称，则＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 （答：） **4**、**与的终边关系**：由"两等分各象限、一二三四"确定.**如**若是第二象限角，则是第\_\_\_\_\_象限角 （答：一、三） **5.弧长公式**：，扇形面积公式：，1弧度(1rad). **如**已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （答：2） **6、任意角的三角函数的定义**：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，，，，。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。**如** **（1）**已知角的终边经过点P(5，－12)，则的值为＿＿。 （答：）； **（2）**设是第三、四象限角，，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_ （答：（－1，）； **（3）**若，试判断的符号 （答：负） ![](./data/image/media/image1047.wmf)**7**.**三角函数线的特征**是：正弦线MP"站在轴上(起点在轴上)"、余弦线OM"躺在轴上(起点是原点)"、正切线AT"站在点处(起点是)".**三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式**。**如** **（1）**若，则的大小关系为\_\_\_\_\_ (答：)； **（2）**若为锐角，则的大小关系为\_\_\_\_\_\_\_ （答：）； **（3）**函数的定义域是\_\_\_\_\_\_\_ （答：） **8.特殊角的三角函数值**： -- ----- ----- ----- ---- ----- ------ ------ ----- ----- 30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 15° 75° 0 1 0 －1 1 0 －1 0 1 0 0 2- 2+ 1 0 0 2+ 2- -- ----- ----- ----- ---- ----- ------ ------ ----- ----- **9.** **同角三角函数的基本关系式**： （1）平方关系： （2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1, （3）商数关系： 同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。**如** **（1）**函数的值的符号为\_\_\_\_ （答：大于0）； **（2）**若，则使成立的的取值范围是\_\_\_\_ （答：）； **（3）**已知，，则＝\_\_\_\_ （答：）； **（4）**已知，则＝\_\_\_；＝\_\_\_\_ （答：；）； **（5）**已知，则等于 　　A、　　B、　　C、　　　D、 （答：B）； **（6）**已知，则的值为\_\_\_\_\_\_ （答：－1）。 **10.三角函数诱导公式（）**的本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,；(2)转化为锐角三角函数。**如** **（1）**的值为\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：）； **（2）**已知，则\_\_\_\_\_\_，若为第二象限角，则\_\_\_\_\_\_\_\_。 （答：；） **11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式**： **如（1）**下列各式中，值为的是 A、 　B、 　 C、　　D、 　（答：C）； **（2）**命题P：，命题Q：，则P是Q的 　 A、充要条件　　B、充分不必要条件 　　　C、必要不充分条件　D、既不充分也不必要条件 （答：C）； **（3）**已知，那么的值为\_\_\_\_ （答：）； **（4）**的值是\_\_\_\_\_\_ （答：4）； **(5)**已知，求的值（用a表示）甲求得的结果是，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是\_\_\_\_\_\_ （答：甲、乙都对） **12.** **三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路**是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，**角的变换是三角函数变换的核心！**第二看函数名称之间的关系，通常"切化弦"；第三观察代数式的结构特点。**基本的技巧有:** **（1）巧变角**（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，，，，等），**如** **（1）**已知，，那么的值是\_\_\_\_\_ （答：）； **（2）**已知，且，，求的值 （答：）； **（3）**已知为锐角，，，则与的函数关系为\_\_\_\_\_\_ （答：） (2)**三角函数名互化**(切割化弦)，**如** **（1）**求值 （答：1）； **（2）**已知，求的值 （答：） (3)**公式变形使用**（。**如** **（1）**已知A、B为锐角，且满足，则＝\_\_\_\_\_ （答：）； **(2)**设中，，，则此三角形是\_\_\_\_三角形 （答：等边） (4)**三角函数次数的降升**(降幂公式：，与升幂公式：，)。**如** **(1)**若，化简为\_\_\_\_\_ （答：）； **（2）**函数的单调递增区间为\_\_\_\_ （答：） (5)**式子结构的转化**(对角、函数名、式子结构化同)。**如** **（1）** （答：）； **（2）**求证：； **（3）**化简： （答：） **(6)常值变换主要指"1"的变换**（ 等），**如**已知，求（答：）. **(7)**正余弦"**三兄妹**---"的内存联系――"知一求二"，**如** **（1）**若 ，则 [\_\_]{.underline} （答：)，**特别提醒**：这里； **（2）**若**，**求的值。 （答：）； **（3）**已知，试用表示的值 （答：）。 **13、辅助角公式中辅助角的确定**：(其中角所在的象限由*a*, *b*的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。**如** **（1）**若方程有实数解，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. （答：\[－2,2\]）； **（2）**当函数取得最大值时，的值是\_\_\_\_\_\_ (答：)； **（3）**如果是奇函数，则= [ ]{.underline} (答：－2)； **（4）**求值：\_\_\_\_\_\_\_\_ (答：32) **14、正弦函数和余弦函数的图象**：正弦函数和余弦函数图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 **15、正弦函数、余弦函数的性质**： **（1）定义域**：都是R。 **（2）值域**：都是，对，当时，取最大值1；当时，取最小值－1；对，当时，取最大值1，当时，取最小值－1。**如** **（1）**若函数的最大值为，最小值为，则\_\_，＿ （答：或）； **（2）**函数（）的值域是\_\_\_\_ （答：\[－1, 2\]）； **（3）**若，则的最大值和最小值分别是\_\_\_\_ 、\_\_\_\_\_ （答：7；－5）； **（4）**函数的最小值是\_\_\_\_\_，此时＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：2；）； **（5）**己知，求的变化范围 （答：）； **（6）**若，求的最大、最小值 （答：，） 。**特别提醒**：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？ **（3）周期性**：①、的最小正周期都是2；②和的最小正周期都是。**如** **(1)**若，则＝\_\_\_ （答：0）； **(2)** 函数的最小正周期为\_\_\_\_ （答：）； **(3)** 设函数，若对任意都有成立，则的最小值为\_\_\_\_ （答：2） **（4）奇偶性与对称性**：正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴的交点）。**如** **（1）**函数的奇偶性是\_\_\_\_\_\_、 （答：偶函数）； **（2）**已知函数为常数），且，则\_\_\_\_\_\_ （答：－5）； **（3）**函数的图象的对称中心和对称轴分别是\_\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_\_ （答：、）； **（4）**已知为偶函数，求的值。 （答：） **（5）单调性**：上单调递增，在单调递减；在上单调递减，在上单调递增。**特别提醒**，别忘了！ **16、形如的函数：** ![](./data/image/media/image1269.emf)**（1）几个物理量**：A―振幅；―频率（周期的倒数）；―相位；―初相； **（2）函数表达式的确定**：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，**如**，的图象如图所示，则＝\_\_\_\_\_（答：）； **（3）函数图象的画法**：①"五点法"――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 **（4）函数的图象与图象间的关系**：①函数的图象纵坐标不变，横坐标向左（\>0）或向右（\<0）平移个单位得的图象；②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；④函数图象的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图象。要**特别注意**，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，**如** **（1）**函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？ （答：向上平移1个单位得的图象，再向左平移个单位得的图象，横坐标扩大到原来的2倍得的图象，最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象）； **(2)** 要得到函数的图象，只需把函数的图象向\_\_\_平移\_\_\_\_个单位 （答：左；）； **（3）**将函数图像，按向量平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量 （答：存在但不唯一，模最小的向量）； **（4）**若函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点，则的取值范围是 [ ]{.underline} （答：） **（5）研究函数性质的方法：类比于研究的性质**，只需将中的看成中的，但在**求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。如** **（1）**函数的递减区间是\_\_\_\_\_\_ （答：）； **（2）**的递减区间是\_\_\_\_\_\_\_ （答：）； **（3）**设函数的图象关于直线对称，它的周期是，则 A、 B、在区间上是减函数 C、 D、的最大值是A （答：C）； **（4）**对于函数给出下列结论： ①图象关于原点成中心对称； ②图象关于直线成轴对称； ③图象可由函数的图像向左平移个单位得到 ；④图像向左平移个单位，即得到函数的图像。 其中正确结论是\_\_\_\_\_\_\_ （答：②④）； **（5）**已知函数图象与直线的交点中，距离最近两点间的距离为，那么此函数的周期是\_\_\_\_\_\_\_ （答：） **17、正切函数的图象和性质**： （1）定义域：。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？ （2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个周期。**绝对值或平方对三角函数周期性的影响**：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：**弦减半、切不变**．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如的周期都是, 但 的周期为，而，的周期不变； （4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是，**特别提醒**：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。 （5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但**要注意在整个定义域上不具有单调性**。如下图： > ![](./data/image/media/image1345.wmf) **18. 三角形中的有关公式**： (1)**内角和定理**：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！**任意两角和**与第三个角总互补，**任意两半角和**与第三个角的半角总互余.**锐角三角形**三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方. (2)**正弦定理**：(*R*为三角形外接圆的半径).**注意**：①正弦定理的一些变式：； ；；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. (3)**余弦定理**：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状. (4)**面积公式**：（其中为三角形内切圆半径）.如中，若，判断的形状（答：直角三角形）。 **特别提醒**：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。**如** **（1）**中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 （答：C）； **（2）**在中，A＞B是成立的\_\_\_\_\_条件 （答：充要）； **（3）**在中， ，则＝\_\_\_\_\_ （答：）； **(4)**在中，分别是角A、B、C所对的边，若，则＝\_\_\_\_ （答：）； **（5）**在中，若其面积，则=\_\_\_\_ （答：）； **（6）**在中，，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是\_\_\_\_\_\_\_ （答：）； **（7）**在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，= [ ]{.underline} ，的最大值为 [ ]{.underline} （答：）； **（8）**在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 [ ]{.underline} （答：）； **（9）**设O是锐角三角形ABC的外心，若，且的面积满足关系式，求（ 答：）． **19.反三角函数**：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：表示一个角，这个角的正弦值为,且这个角在内。(2)反正弦、反余弦、反正切的取值范围分别是. 在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、到的角、与的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？，， ． **20**、**求角的方法**：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。**如** **（1）**若，且、是方程的两根，则求的值\_\_\_\_\_\_ （答：）； **（2）**中，，则＝\_\_\_\_\_\_\_ （答：）； **（3）**若且，，求的值 （答：）. **五、平面向量** **一．向量有关概念**： 1．**向量的概念**：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意**不能说向量就是有向线段**，为什么？（向量可以平移）。**如：** 已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是\_\_\_\_\_（答：（3,0）） 2．**零向量**：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意**零向量的方向是任意的**； 3．**单位向量**：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)； 4．**相等向量**：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．**平行向量（也叫共线向量）**：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，**规定零向量和任何向量平行**。 **提醒**： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行**包含两个向量共线**, 但两条直线平行**不包含两条直线重合**； ③**平行向量无传递性**！（因为有)； ④三点共线共线； 6．**相反向量**：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。**如** 下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是\_\_\_\_\_\_\_ （答：（4）（5）） **二．向量的表示方法**： 1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等； 3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果**向量的起点在原点**，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 **三．平面向量的基本定理**：如果***e***~1~和***e***~2~是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量***a***，有且只有一对实数、，使***a***=***e***~1~＋***e***~2~。**如** > **（1）**若，则\_\_\_\_\_\_ > > （答：）； > > **（2）**下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 > > A. B. > > C. D. > > （答：B）； > > **（3）**已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为\_\_\_\_\_ > > （答：）； > > **（4）**已知中，点在边上，且，，则的值是\_\_\_ > > （答：0） **四．实数与向量的积**：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当\>0时，的方向与的方向相同，当\<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，**注意**：≠0。 **五．平面向量的数量积**： 1．**两个向量的夹角**：对于非零向量，，作， 称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。 2．**平面向量的数量积**：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，**注意数量积是一个实数，不再是一个向量**。**如** **（1）**△ABC中，，，，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：－9）； **（2）**已知，与的夹角为，则等于\_\_\_\_ （答：1）； **（3）**已知，则等于\_\_\_\_ （答：）； **（4）**已知是两个非零向量，且，则的夹角为\_\_\_\_ （答：） 3．**在上的投影**为，它是一个实数，但不一定大于0。**如** 已知，，且，则向量在向量上的投影为\_\_\_\_\_\_ （答：） **4．的几何意义**：数量积等于的模与在上的投影的积。 5．**向量数量积的性质**：设两个非零向量，，其夹角为，则： ①； ②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，**是为锐角的必要非充分条件**；当为钝角时，＜0，且不反向，**是为钝角的必要非充分条件**； ③非零向量，夹角的计算公式：；④。**如** **（1）**已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_ （答：**或且）；** **（2）**已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：**）；** **（3）**已知与之间有关系式，①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小 （答：①；②最小值为，**）** **六．向量的运算**： 1．**几何运算**： ①向量加法：利用"平行四边形法则"进行，但"平行四边形法则"只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用"三角形法则"：设，那么向量叫做与的和，即； ②向量的减法：用"三角形法则"：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。**如** **（1）**化简：①\_\_\_；②\_\_\_\_；③\_\_\_\_\_ （答：①；②；③）； **（2）**若正方形的边长为1，，则＝\_\_\_\_\_ （答：）； **（3）**若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为\_\_\_\_ （答：直角三角形）； **（4）**若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为\_\_\_ （答：2）； **（5）**若点是的外心，且，则的内角为\_\_\_\_ （答：）； 2．**坐标运算**：设，则： ①**向量的加减法运算**：，。**如** **（1）**已知点，，若，则当＝\_\_\_\_时，点P在第一、三象限的角平分线上 （答：）； **（2）**已知，，则 [ ]{.underline} （答：或）； **（3）**已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是 [ ]{.underline} （答：（9,1）） ②**实数与向量的积**：。 ③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。**如** 设，且，，则C、D的坐标分别是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：）； ④**平面向量数量积**：。**如** 已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量、的夹角；（2）若x∈，函数的最大值为，求的值 （答：或）； ⑤**向量的模**：。**如** 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝\_\_\_\_\_ （答：）； ⑥**两点间的距离**：若，则。**如** ![](./data/image/media/image1610.png)如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与*x*轴、*y*轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为。（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程。 （答：（1）2；（2））； **七．向量的运算律**： 1．交换律：，，； 2．结合律：，； 3．分配律：，。 **如** 下列命题中：① ；② ；③ ；④ 若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正确的是\_\_\_\_\_\_ （答：①⑥⑨） **提醒：（1）**向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，**切记两向量不能相除(相约)**；**（2）向量的"乘法"不满足结合律**，即，为什么？ **八．向量平行(共线)的充要条件**：＝0。**如** **(1)**若向量，当＝\_\_\_\_\_时与共线且方向相同 （答：2）； **（2）**已知，，，且，则*x＝\_\_\_\_\_\_* （答：4）； **（3）**设，则*k＝\_\_\_\_\_*时，A,B,C共线 （答：－2或11） **九．向量垂直的充要条件**： .特别地。**如** **(1)**已知，若，则 [ ]{.underline} （答：）； **（2）**以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：(1,3)或（3，－1））； **（3）**已知向量，且，则的坐标是\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：） **十．线段的定比分点**： **1．定比分点的概念**：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数 ，使，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点； **2．的符号与分点P的位置之间的关系**：当P点在线段 PP上时\>0；当P点在线段 PP的延长线上时\<－1；当P点在线段PP的延长线上时；若点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为。**如** 若点分所成的比为，则分所成的比为\_\_\_\_\_\_\_ （答：） **3．线段的定比分点公式**：设、，分有向线段所成的比为，则，特别地，当＝1时，就得到线段PP的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。**如** **（1）**若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为\_\_\_\_\_\_\_ （答：）； **（2）**已知，直线与线段交于，且，则等于\_\_\_\_\_\_\_ （答：２或－４） **十一．平移公式**：如果点按向量平移至，则；曲线按向量平移得曲线.**注意**：**（1）**函数按向量平移与平常"左加右减"有何联系？**（2）**向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！**如** **（1）**按向量把平移到，则按向量把点平移到点\_\_\_\_\_\_ （答：（－８，３））； **（2）**函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则＝\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：） **12、向量中一些常用的结论**： （1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； （2），特别地，当**同向或有** ![](./data/image/media/image1713.wmf)![](./data/image/media/image1714.wmf)；当![](./data/image/media/image1709.wmf)**反向或有**![](./data/image/media/image1710.wmf)![](./data/image/media/image1711.wmf)![](./data/image/media/image1715.wmf)![](./data/image/media/image1713.wmf)![](./data/image/media/image1716.wmf)；当![](./data/image/media/image1709.wmf)**不共线**![](./data/image/media/image1711.wmf)![](./data/image/media/image1717.wmf)(这些和实数比较类似). （3）在![](./data/image/media/image1718.wmf)中，①若![](./data/image/media/image1719.wmf)，则其重心的坐标为![](./data/image/media/image1720.wmf)。**如** 若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、　　　（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为\_\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image1721.wmf)）； ②![](./data/image/media/image1722.wmf)![](./data/image/media/image1723.wmf)![](./data/image/media/image1724.wmf)为![](./data/image/media/image1718.wmf)的重心，特别地![](./data/image/media/image1725.wmf)为![](./data/image/media/image1718.wmf)的重心； ③![](./data/image/media/image1726.wmf)为![](./data/image/media/image1718.wmf)的垂心； ④向量![](./data/image/media/image1727.wmf)所在直线过![](./data/image/media/image1718.wmf)的内心(是![](./data/image/media/image1728.wmf)的角平分线所在直线)； ⑤![](./data/image/media/image1729.wmf)![](./data/image/media/image1718.wmf)的内心； （3）若P分有向线段![](./data/image/media/image1667.wmf)所成的比为![](./data/image/media/image1470.wmf)，点![](./data/image/media/image195.wmf)为平面内的任一点，则![](./data/image/media/image1730.wmf)，特别地![](./data/image/media/image1731.wmf)为![](./data/image/media/image1732.wmf)的中点![](./data/image/media/image1733.wmf)； （4）向量![](./data/image/media/image1734.wmf)中三终点![](./data/image/media/image1735.wmf)共线![](./data/image/media/image1711.wmf)存在实数![](./data/image/media/image1736.wmf)使得![](./data/image/media/image1737.wmf)且![](./data/image/media/image1738.wmf).**如** 平面直角坐标系中，![](./data/image/media/image1739.wmf)为坐标原点，已知两点![](./data/image/media/image1740.wmf),![](./data/image/media/image1741.wmf),若点![](./data/image/media/image1742.wmf)满足![](./data/image/media/image1743.wmf)![](./data/image/media/image1744.wmf),其中![](./data/image/media/image1745.wmf)且![](./data/image/media/image1746.wmf),则点![](./data/image/media/image1742.wmf)的轨迹是\_\_\_\_\_\_\_ （答：直线AB） **六、不等式** **一．不等式的性质**： 1．**同向不等式可以相加；异向不等式可以相减**：若![](./data/image/media/image1747.wmf)，则![](./data/image/media/image1748.wmf)（若![](./data/image/media/image1749.wmf)，则![](./data/image/media/image1750.wmf)），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．**左右同正不等式：同向的不等式可以相乘**，但不能相除；**异向不等式可以相除**，但不能相乘：若![](./data/image/media/image1751.wmf)，则![](./data/image/media/image1752.wmf)（若![](./data/image/media/image1753.wmf)，则![](./data/image/media/image1754.wmf)）； 3．**左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方**：若![](./data/image/media/image1755.wmf)，则![](./data/image/media/image1756.wmf)或![](./data/image/media/image1757.wmf)； 4．若![](./data/image/media/image1758.wmf)，![](./data/image/media/image1759.wmf)，则![](./data/image/media/image1760.wmf)；若![](./data/image/media/image1761.wmf)，![](./data/image/media/image1759.wmf)，则![](./data/image/media/image1762.wmf)。**如** **（1）**对于实数![](./data/image/media/image1763.wmf)中，给出下列命题： ①![](./data/image/media/image1764.wmf)； ②![](./data/image/media/image1765.wmf)； ③![](./data/image/media/image1766.wmf)； ④![](./data/image/media/image1767.wmf)； ⑤![](./data/image/media/image1768.wmf)； ⑥![](./data/image/media/image1769.wmf)； ⑦![](./data/image/media/image1770.wmf)； ⑧![](./data/image/media/image1771.wmf)，则![](./data/image/media/image1772.wmf)。 其中正确的命题是\_\_\_\_\_\_ （答：②③⑥⑦⑧）； **（2）**已知![](./data/image/media/image1773.wmf)，![](./data/image/media/image1774.wmf)，则![](./data/image/media/image1775.wmf)的取值范围是\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image1776.wmf)）； **（3）**已知![](./data/image/media/image1777.wmf)，且![](./data/image/media/image1778.wmf)则![](./data/image/media/image1779.wmf)的取值范围是\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image1780.wmf)） **二．不等式大小比较的常用方法**： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。**如** **（1）**设![](./data/image/media/image1781.wmf)，比较![](./data/image/media/image1782.wmf)的大小 （答：当![](./data/image/media/image1783.wmf)时，![](./data/image/media/image1784.wmf)（![](./data/image/media/image1785.wmf)时取等号）；当![](./data/image/media/image1786.wmf)时，![](./data/image/media/image1787.wmf)（![](./data/image/media/image1785.wmf)时取等号））； **（2）**设![](./data/image/media/image1788.wmf)，![](./data/image/media/image1789.wmf)，![](./data/image/media/image1790.wmf)，试比较![](./data/image/media/image1791.wmf)的大小 （答：![](./data/image/media/image1792.wmf)）； **（3）**比较1+![](./data/image/media/image1793.wmf)与![](./data/image/media/image1794.wmf)的大小 （答：当![](./data/image/media/image1795.wmf)或![](./data/image/media/image1796.wmf)时，1+![](./data/image/media/image1793.wmf)＞![](./data/image/media/image1797.wmf)；当![](./data/image/media/image1798.wmf)时，1+![](./data/image/media/image1793.wmf)＜![](./data/image/media/image1797.wmf)；当![](./data/image/media/image1799.wmf)时，1+![](./data/image/media/image1793.wmf)＝![](./data/image/media/image1797.wmf)） **三．利用重要不等式求函数最值**时，你是否注意到："**一正二定三相等，和定积最大，积定和最小**"这17字方针。**如** > **（1）**下列命题中正确的是 > > A、![](./data/image/media/image1800.wmf)的最小值是2 > > B、![](./data/image/media/image1801.wmf)的最小值是2 > > C、![](./data/image/media/image1802.wmf)的最大值是![](./data/image/media/image1803.wmf) > > D、![](./data/image/media/image1802.wmf)的最小值是![](./data/image/media/image1803.wmf) > > （答：C）； > > **（2）**若![](./data/image/media/image1804.wmf)，则![](./data/image/media/image1805.wmf)的最小值是\_\_\_\_\_\_ > > （答：![](./data/image/media/image1806.wmf)）； > > **（3）**正数![](./data/image/media/image1807.wmf)满足![](./data/image/media/image1808.wmf)，则![](./data/image/media/image1809.wmf)的最小值为\_\_\_\_\_\_ > > （答：![](./data/image/media/image1810.wmf)）； **4.常用不等式**有：（1）![](./data/image/media/image1811.wmf)(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）*a*、*b*、*c*![](./data/image/media/image1812.wmf)**R**，![](./data/image/media/image1813.wmf)（当且仅当![](./data/image/media/image1814.wmf)时，取等号）；（3）若![](./data/image/media/image1815.wmf)，则![](./data/image/media/image1816.wmf)（糖水的浓度问题）。**如** 如果正数![](./data/image/media/image1817.wmf)、![](./data/image/media/image1818.wmf)满足![](./data/image/media/image1819.wmf)，则![](./data/image/media/image1820.wmf)的取值范围是­\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image1821.wmf)） **五．证明不等式的方法**：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。). > 常用的放缩技巧有：![](./data/image/media/image1822.wmf) > > ![](./data/image/media/image1823.wmf) **如（1）**已知![](./data/image/media/image1824.wmf)，求证：![](./data/image/media/image1825.wmf) ； **(2)** 已知![](./data/image/media/image1826.wmf)，求证：![](./data/image/media/image1827.wmf)； **（3）**已知![](./data/image/media/image1828.wmf)，且![](./data/image/media/image1829.wmf)，求证：![](./data/image/media/image1830.wmf)； **(4)**若a、b、c是不全相等的正数，求证：![](./data/image/media/image1831.wmf)； **（5）**已知![](./data/image/media/image1826.wmf)，求证：![](./data/image/media/image1832.wmf)![](./data/image/media/image1833.wmf)； **(6)**若![](./data/image/media/image1834.wmf)，求证：![](./data/image/media/image1835.wmf)![](./data/image/media/image1836.wmf)； **(7)**已知![](./data/image/media/image1837.wmf)，求证：![](./data/image/media/image1838.wmf)； **（8）**求证：![](./data/image/media/image1839.wmf)。 **六．简单的一元高次不等式的解法**：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，**并使每一个因式中最高次项的系数为正**；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意**奇穿过偶弹回**；（3）根据曲线显现![](./data/image/media/image256.wmf)的符号变化规律，写出不等式的解集。**如** **（1）**解不等式![](./data/image/media/image1840.wmf)。 （答：![](./data/image/media/image1841.wmf)或![](./data/image/media/image1842.wmf)）； **（2）**不等式![](./data/image/media/image1843.wmf)的解集是\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image1844.wmf)**或**![](./data/image/media/image1845.wmf)）； **（3）**设函数![](./data/image/media/image256.wmf)、![](./data/image/media/image470.wmf)的定义域都是R，且![](./data/image/media/image1846.wmf)的解集为![](./data/image/media/image1847.wmf)，![](./data/image/media/image1848.wmf)的解集为![](./data/image/media/image1849.wmf)，则不等式![](./data/image/media/image1850.wmf)的解集为\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image1851.wmf)）； **（4）**要使满足关于![](./data/image/media/image182.wmf)的不等式![](./data/image/media/image1852.wmf)（解集非空）的每一个![](./data/image/media/image182.wmf)的值至少满足不等式![](./data/image/media/image1853.wmf)中的一个，则实数![](./data/image/media/image262.wmf)的取值范围是\_\_\_\_\_\_. （答：![](./data/image/media/image1854.wmf)**）** **七．分式不等式的解法**：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，**并使每一个因式中最高次项的系数为正**，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。**如** > **（1）**解不等式![](./data/image/media/image1855.wmf) > > （答：![](./data/image/media/image1856.wmf)）； > > **（2）**关于![](./data/image/media/image103.wmf)的不等式![](./data/image/media/image1857.wmf)的解集为![](./data/image/media/image1858.wmf)，则关于![](./data/image/media/image106.wmf)的不等式![](./data/image/media/image1859.wmf)的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ > > （答：![](./data/image/media/image1860.wmf)**）**. **八．绝对值不等式的解法**： 1．分段讨论法（**最后结果应取各段的并集**）：**如**解不等式![](./data/image/media/image1861.wmf) （答：![](./data/image/media/image1862.wmf)）； （2）利用绝对值的定义； （3）数形结合；**如**解不等式![](./data/image/media/image1863.wmf) （答：![](./data/image/media/image1864.wmf)） （4）两边平方：**如** 若不等式![](./data/image/media/image1865.wmf)对![](./data/image/media/image1866.wmf)恒成立，则实数![](./data/image/media/image23.wmf)的取值范围为\_\_\_\_\_\_。（答：![](./data/image/media/image1867.wmf)） > **九．含参不等式的解法**：求解的通法是"定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．"注意解完之后要写上："综上，原不等式的解集是..."。**注意**：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. **如** > > **（1）**若![](./data/image/media/image1868.wmf)，则![](./data/image/media/image180.wmf)的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ > > （答：![](./data/image/media/image1869.wmf)或![](./data/image/media/image1870.wmf)）； > > **（2）**解不等式![](./data/image/media/image1871.wmf) > > （答：![](./data/image/media/image1872.wmf)时，![](./data/image/media/image1873.wmf)![](./data/image/media/image1874.wmf)；![](./data/image/media/image1875.wmf)时，![](./data/image/media/image1876.wmf)或![](./data/image/media/image1874.wmf)；![](./data/image/media/image1877.wmf)时，![](./data/image/media/image1878.wmf)或![](./data/image/media/image1874.wmf)） > > **提醒：（1）**解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；**（2）**不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。**如**关于![](./data/image/media/image130.wmf)的不等式![](./data/image/media/image1879.wmf) 的解集为![](./data/image/media/image1880.wmf)，则不等式![](./data/image/media/image1881.wmf)的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：（－1,2）） **十一．含绝对值不等式的性质**： ![](./data/image/media/image1882.wmf)**同号或有**![](./data/image/media/image1883.wmf)![](./data/image/media/image1711.wmf)![](./data/image/media/image1884.wmf)![](./data/image/media/image1713.wmf)![](./data/image/media/image1885.wmf)； ![](./data/image/media/image1882.wmf)**异号或有**![](./data/image/media/image1883.wmf)![](./data/image/media/image1711.wmf)![](./data/image/media/image1886.wmf)![](./data/image/media/image1713.wmf)![](./data/image/media/image1887.wmf). **如**设![](./data/image/media/image1888.wmf)，实数![](./data/image/media/image180.wmf)满足![](./data/image/media/image1889.wmf)，求证：![](./data/image/media/image1890.wmf) **十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题**：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和"分离变量法"转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） **1).恒成立问题** 若不等式![](./data/image/media/image1891.wmf)在区间![](./data/image/media/image1892.wmf)上恒成立,则等价于在区间![](./data/image/media/image1892.wmf)上![](./data/image/media/image1893.wmf) 若不等式![](./data/image/media/image1894.wmf)在区间![](./data/image/media/image1892.wmf)上恒成立,则等价于在区间![](./data/image/media/image1892.wmf)上![](./data/image/media/image1895.wmf) **如（1）**设实数![](./data/image/media/image1807.wmf)满足![](./data/image/media/image1896.wmf)，当![](./data/image/media/image1897.wmf)时，![](./data/image/media/image1898.wmf)的取值范围是\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image1899.wmf)）； **（2）**不等式![](./data/image/media/image1900.wmf)对一切实数![](./data/image/media/image1901.wmf)恒成立，求实数![](./data/image/media/image1817.wmf)的取值范围\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image1902.wmf)）； **（3）**若不等式![](./data/image/media/image1903.wmf)对满足![](./data/image/media/image1904.wmf)的所有![](./data/image/media/image1905.wmf)都成立，则![](./data/image/media/image1906.wmf)的取值范围\_\_\_\_\_ （答：（![](./data/image/media/image1907.wmf),![](./data/image/media/image1908.wmf)））； **（4）**若不等式![](./data/image/media/image1909.wmf)对于任意正整数![](./data/image/media/image1910.wmf)恒成立，则实数![](./data/image/media/image1911.wmf)的取值范围是\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image1912.wmf)）； **（5）**若不等式![](./data/image/media/image1913.wmf)对![](./data/image/media/image1914.wmf)的所有实数![](./data/image/media/image130.wmf)都成立，求![](./data/image/media/image1915.wmf)的取值范围. （答：![](./data/image/media/image1916.wmf)） **2).** **能成立问题** 若在区间![](./data/image/media/image1892.wmf)上存在实数![](./data/image/media/image182.wmf)使不等式![](./data/image/media/image1891.wmf)成立,则等价于在区间![](./data/image/media/image1892.wmf)上![](./data/image/media/image1917.wmf)； 若在区间![](./data/image/media/image1892.wmf)上存在实数![](./data/image/media/image182.wmf)使不等式![](./data/image/media/image1918.wmf)成立,则等价于在区间![](./data/image/media/image1892.wmf)上的![](./data/image/media/image1919.wmf).**如** 已知不等式![](./data/image/media/image1920.wmf)在实数集![](./data/image/media/image1921.wmf)上的解集不是空集，求实数![](./data/image/media/image1817.wmf)的取值范围\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image1922.wmf)） **3).** **恰成立问题** 若不等式![](./data/image/media/image1891.wmf)在区间![](./data/image/media/image1892.wmf)上恰成立, 则等价于不等式![](./data/image/media/image1891.wmf)的解集为![](./data/image/media/image1892.wmf)； 若不等式![](./data/image/media/image1923.wmf)在区间![](./data/image/media/image1892.wmf)上恰成立, 则等价于不等式![](./data/image/media/image1924.wmf)的解集为![](./data/image/media/image1892.wmf). **七、直线和圆** **一．直线的倾斜角**： 1．**定义**：在平面直角坐标系中，对于一条与![](./data/image/media/image130.wmf)轴相交的直线![](./data/image/media/image1925.wmf)，如果把![](./data/image/media/image130.wmf)轴绕着交点按**逆时针方向转**到和**直线**![](./data/image/media/image1925.wmf)**重合**时所转的**最小正角**记为![](./data/image/media/image1014.wmf)，那么![](./data/image/media/image1014.wmf)就叫做直线的倾斜角。当直线![](./data/image/media/image1925.wmf)与![](./data/image/media/image130.wmf)轴重合或平行时，规定倾斜角为0； 2．**倾斜角的范围**![](./data/image/media/image1926.wmf)。**如** **（1）**直线![](./data/image/media/image1927.wmf)的倾斜角的范围是\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image1928.wmf)）； **（2）**过点![](./data/image/media/image1929.wmf)的直线的倾斜角的范围![](./data/image/media/image1930.wmf)值的范围是\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image1931.wmf)） **二．直线的斜率**： 1．**定义**：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率![](./data/image/media/image921.wmf)，即![](./data/image/media/image921.wmf)＝tan![](./data/image/media/image1014.wmf)(![](./data/image/media/image1014.wmf)≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（ 2．**斜率公式**：经过两点![](./data/image/media/image1679.wmf)、![](./data/image/media/image1680.wmf)的直线的斜率为![](./data/image/media/image1932.wmf)； 3．**直线的方向向量**![](./data/image/media/image1933.wmf)，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ 4．**应用**：证明三点共线： ![](./data/image/media/image1934.wmf)。**如** **(1)** 两条直线钭率相等是这两条直线平行的\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_条件 （答：既不充分也不必要）； **（2）**实数![](./data/image/media/image1807.wmf)满足![](./data/image/media/image1935.wmf) (![](./data/image/media/image1936.wmf))，则![](./data/image/media/image1937.wmf)的最大值、最小值分别为\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image1938.wmf)） **三．直线的方程**： 1．**点斜式**：已知直线过点![](./data/image/media/image1939.wmf)斜率为![](./data/image/media/image921.wmf)，则直线方程为![](./data/image/media/image1940.wmf),它不包括垂直于![](./data/image/media/image130.wmf)轴的直线。 2．**斜截式**：已知直线在![](./data/image/media/image353.wmf)轴上的截距为![](./data/image/media/image224.wmf)和斜率![](./data/image/media/image921.wmf)，则直线方程为![](./data/image/media/image1941.wmf),它不包括垂直于![](./data/image/media/image130.wmf)轴的直线。 3．**两点式**：已知直线经过![](./data/image/media/image1679.wmf)、![](./data/image/media/image1680.wmf)两点，则直线方程为![](./data/image/media/image1942.wmf)，它不包括垂直于坐标轴的直线。 4．**截距式**：已知直线在![](./data/image/media/image130.wmf)轴和![](./data/image/media/image353.wmf)轴上的截距为![](./data/image/media/image1943.wmf),则直线方程为![](./data/image/media/image1944.wmf)，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 5．**一般式**：任何直线均可写成![](./data/image/media/image1945.wmf)(A,B不同时为0)的形式。**如** **（1）**经过点（2，1）且方向向量为![](./data/image/media/image1946.wmf)=(－1,![](./data/image/media/image1947.wmf))的直线的点斜式方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image1948.wmf)）； **（2）**直线![](./data/image/media/image1949.wmf)，不管![](./data/image/media/image1915.wmf)怎样变化恒过点\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image1950.wmf)）； **（3）**若曲线![](./data/image/media/image1951.wmf)与![](./data/image/media/image1952.wmf)有两个公共点，则![](./data/image/media/image1953.wmf)的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image1954.wmf)） **提醒**：**(1)**直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；**(2)**直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等![](./data/image/media/image1955.wmf)直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数![](./data/image/media/image1955.wmf)直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等![](./data/image/media/image1955.wmf)直线的斜率为![](./data/image/media/image1956.wmf)或直线过原点。**如**过点![](./data/image/media/image1957.wmf)，且纵横截距的绝对值相等的直线共有\_\_\_条（答：3） **四．设直线方程的一些常用技巧**： 1．知直线纵截距![](./data/image/media/image1958.wmf)，常设其方程为![](./data/image/media/image1959.wmf)； 2．知直线横截距![](./data/image/media/image1960.wmf)，常设其方程为![](./data/image/media/image1961.wmf)(它不适用于斜率为0的直线)； 3．知直线过点![](./data/image/media/image1962.wmf)，当斜率![](./data/image/media/image1963.wmf)存在时，常设其方程为![](./data/image/media/image1964.wmf)，当斜率![](./data/image/media/image1963.wmf)不存在时，则其方程为![](./data/image/media/image1965.wmf)； 4．与直线![](./data/image/media/image1966.wmf)平行的直线可表示为![](./data/image/media/image1967.wmf)； 5．与直线![](./data/image/media/image1966.wmf)垂直的直线可表示为![](./data/image/media/image1968.wmf). **提醒**：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 **五．点到直线的距离及两平行直线间的距离**： （1）点![](./data/image/media/image1969.wmf)到直线![](./data/image/media/image1945.wmf)的距离![](./data/image/media/image1970.wmf)； （2）两平行线![](./data/image/media/image1971.wmf)间的距离为![](./data/image/media/image1972.wmf)。 **六．直线**![](./data/image/media/image1973.wmf)**与直线**![](./data/image/media/image1974.wmf)**的位置关系**： 1．平行![](./data/image/media/image1975.wmf)![](./data/image/media/image1976.wmf)（斜率）且![](./data/image/media/image1977.wmf)（在![](./data/image/media/image1978.wmf)轴上截距）； 2．相交![](./data/image/media/image1975.wmf)![](./data/image/media/image1979.wmf)； 3．重合![](./data/image/media/image1975.wmf)![](./data/image/media/image1976.wmf)且![](./data/image/media/image1980.wmf)。 **提醒**：**（1）** ![](./data/image/media/image1981.wmf)、![](./data/image/media/image1982.wmf)、![](./data/image/media/image1983.wmf)仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？**（2）**在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；**（3）**直线![](./data/image/media/image1973.wmf)与直线![](./data/image/media/image1974.wmf)**垂直**![](./data/image/media/image1975.wmf)![](./data/image/media/image1984.wmf)。 **如（1）**设直线![](./data/image/media/image1985.wmf)和![](./data/image/media/image1986.wmf)，当![](./data/image/media/image1915.wmf)＝\_\_\_\_\_\_\_时![](./data/image/media/image1987.wmf)∥![](./data/image/media/image1988.wmf)；当![](./data/image/media/image1915.wmf)＝\_\_\_\_\_\_\_\_时![](./data/image/media/image1987.wmf)![](./data/image/media/image1989.wmf)![](./data/image/media/image1988.wmf)；当![](./data/image/media/image1915.wmf)\_\_\_\_\_\_\_\_\_时![](./data/image/media/image1987.wmf)与![](./data/image/media/image1988.wmf)相交；当![](./data/image/media/image1915.wmf)＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_时![](./data/image/media/image1987.wmf)与![](./data/image/media/image1988.wmf)重合 （答：－1；![](./data/image/media/image1990.wmf)；![](./data/image/media/image1991.wmf)；3）； **（2）**已知直线![](./data/image/media/image1925.wmf)的方程为![](./data/image/media/image1992.wmf)，则与![](./data/image/media/image1925.wmf)平行，且过点（---1，3）的直线方程是\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image1993.wmf)）； **（3）**两条直线![](./data/image/media/image1994.wmf)与![](./data/image/media/image1995.wmf)相交于第一象限，则实数![](./data/image/media/image180.wmf)的取值范围是\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image1996.wmf)）； **（4）**设![](./data/image/media/image1997.wmf)分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线![](./data/image/media/image1998.wmf)与![](./data/image/media/image1999.wmf)的位置关系是\_\_\_\_ （答：垂直）； **（5）**已知点![](./data/image/media/image2000.wmf)是直线![](./data/image/media/image2001.wmf)上一点，![](./data/image/media/image2002.wmf)是直线![](./data/image/media/image1925.wmf)外一点，则方程![](./data/image/media/image2003.wmf)＝0所表示的直线与![](./data/image/media/image1925.wmf)的关系是\_\_\_\_ （答：平行）； **（6）**直线![](./data/image/media/image1925.wmf)过点（１，０），且被两平行直线![](./data/image/media/image2004.wmf)和![](./data/image/media/image2005.wmf)所截得的线段长为9，则直线![](./data/image/media/image1925.wmf)的方程是\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image2006.wmf)） **七．到角和夹角公式**： 1．![](./data/image/media/image2007.wmf)到![](./data/image/media/image2008.wmf)的角是指直线![](./data/image/media/image2007.wmf)绕着交点按逆时针方向转到和直线![](./data/image/media/image2008.wmf)重合所转的角![](./data/image/media/image1190.wmf)，![](./data/image/media/image1190.wmf)![](./data/image/media/image2009.wmf)且tan![](./data/image/media/image1190.wmf)=![](./data/image/media/image2010.wmf)(![](./data/image/media/image2011.wmf))； （2）![](./data/image/media/image2007.wmf)与![](./data/image/media/image2008.wmf)的夹角是指不大于直角的角![](./data/image/media/image2012.wmf)且tan![](./data/image/media/image1190.wmf)=︱![](./data/image/media/image2010.wmf)︱(![](./data/image/media/image2011.wmf))。 **提醒**：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。**如** 已知点M是直线![](./data/image/media/image2013.wmf)与![](./data/image/media/image130.wmf)轴的交点，把直线![](./data/image/media/image1925.wmf)绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image2014.wmf)） **八．对称**（中心对称和轴对称）**问题------代入法**：**如** **（1）**已知点![](./data/image/media/image2015.wmf)与点![](./data/image/media/image196.wmf)关于![](./data/image/media/image2016.wmf)轴对称，点P与点N关于![](./data/image/media/image353.wmf)轴对称，点Q与点P关于直线![](./data/image/media/image2017.wmf)对称，则点Q的坐标为\_\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image2018.wmf)） **（2）**已知直线![](./data/image/media/image1987.wmf)与![](./data/image/media/image1988.wmf)的夹角平分线为![](./data/image/media/image2019.wmf)，若![](./data/image/media/image1987.wmf)的方程为![](./data/image/media/image2020.wmf)，那么![](./data/image/media/image1988.wmf)的方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image2021.wmf)）； **（3）**点Ａ（４，５）关于直线![](./data/image/media/image1925.wmf)的对称点为Ｂ(－2,7)，则![](./data/image/media/image1925.wmf)的方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image2022.wmf)）； **（4）**已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线![](./data/image/media/image1925.wmf):3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image2023.wmf)）； **（5）**已知ΔABC顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程 （答：![](./data/image/media/image2024.wmf)）； **（6）**直线2x―y―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是\_\_\_\_\_\_ （答：（5,6））； **（7）**已知![](./data/image/media/image2025.wmf)轴，![](./data/image/media/image2026.wmf)，C（2，1），![](./data/image/media/image2027.wmf)周长的最小值为[\_\_\_\_\_\_]{.underline} （答：![](./data/image/media/image2028.wmf)）。 **提醒**：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。 **九．简单的线性规划**： 1．二元一次不等式表示的平面区域：①法一：先把二元一次不等式改写成![](./data/image/media/image2029.wmf)或![](./data/image/media/image2030.wmf)的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；②无等号时用虚线表示不包含直线![](./data/image/media/image1925.wmf)，有等号时用实线表示包含直线![](./data/image/media/image1925.wmf)；③设点![](./data/image/media/image2031.wmf)，![](./data/image/media/image2032.wmf)，若![](./data/image/media/image2033.wmf)与![](./data/image/media/image2034.wmf)同号，则P，Q在直线![](./data/image/media/image1925.wmf)的同侧，异号则在直线![](./data/image/media/image1925.wmf)的异侧。**如** 已知点A（---2，4），B（4，2），且直线![](./data/image/media/image2035.wmf)与线段AB恒相交，则![](./data/image/media/image156.wmf)的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image2036.wmf)） 2．线性规划问题中的有关概念： ①满足关于![](./data/image/media/image1807.wmf)的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。 ②关于变量![](./data/image/media/image1807.wmf)的解析式叫目标函数，关于变量![](./data/image/media/image1807.wmf)一次式的目标函数叫线性目标函数； ③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题； ④满足线性约束条件的解（![](./data/image/media/image1807.wmf)）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域； ⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解； 3．求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。**如** **（1）**线性目标函数z=2x－y在线性约束条件![](./data/image/media/image2037.wmf)下，取最小值的最优解是\_\_\_\_ （答：（－1，1））； **（2）**点（－２，![](./data/image/media/image2038.wmf)）在直线2x－3y+6=0的上方，则![](./data/image/media/image2038.wmf)的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image2039.wmf)）； **（3）**不等式![](./data/image/media/image2040.wmf)表示的平面区域的面积是\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：8）； **（4）**如果实数![](./data/image/media/image2041.wmf)满足![](./data/image/media/image2042.wmf)，则![](./data/image/media/image2043.wmf)的最大值\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：21） **4．在求解线性规划问题时要注意**：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范。 **十．圆的方程**： 1．圆的标准方程：![](./data/image/media/image2044.wmf)。 2．圆的一般方程：![](./data/image/media/image2045.wmf)，**特别提醒**：只有当![](./data/image/media/image2046.wmf)时，方程![](./data/image/media/image2047.wmf)才表示圆心为![](./data/image/media/image2048.wmf)，半径为![](./data/image/media/image2049.wmf)的圆（二元二次方程![](./data/image/media/image2050.wmf)表示圆的充要条件是什么？ （![](./data/image/media/image2051.wmf)且![](./data/image/media/image2052.wmf)且![](./data/image/media/image2053.wmf)））； 3．圆的参数方程：![](./data/image/media/image2054.wmf)（![](./data/image/media/image2055.wmf)为参数），其中圆心为![](./data/image/media/image435.wmf)，半径为![](./data/image/media/image997.wmf)。圆的参数方程的主要应用是三角换元：![](./data/image/media/image2056.wmf)；![](./data/image/media/image2057.wmf) ![](./data/image/media/image2058.wmf)。 4．![](./data/image/media/image2059.wmf)为直径端点的圆方程![](./data/image/media/image2060.wmf)**如** **（1）**圆C与圆![](./data/image/media/image2061.wmf)关于直线![](./data/image/media/image2062.wmf)对称，则圆C的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image2063.wmf)）； **（2）**圆心在直线![](./data/image/media/image2064.wmf)上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image2065.wmf)或![](./data/image/media/image2066.wmf)）； **（3）**已知![](./data/image/media/image2067.wmf)是圆![](./data/image/media/image2068.wmf)（![](./data/image/media/image2055.wmf)为参数，![](./data/image/media/image2069.wmf)上的点，则圆的普通方程为\_\_\_\_\_\_\_\_，P点对应的![](./data/image/media/image2070.wmf)值为\_\_\_\_\_\_\_，过P点的圆的切线方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image2071.wmf)；![](./data/image/media/image2072.wmf)；![](./data/image/media/image2073.wmf)）； **（4）**如果直线![](./data/image/media/image1925.wmf)将圆：x^2^+y^2^-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么![](./data/image/media/image1925.wmf)的斜率的取值范围是\_\_ （答：\[0，2\]）； **（5）**方程x^2^+y^２^－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image2074.wmf)）； **（6）**若![](./data/image/media/image2075.wmf)（![](./data/image/media/image2076.wmf)为参数，![](./data/image/media/image2077.wmf)，![](./data/image/media/image2078.wmf)，若![](./data/image/media/image2079.wmf)，则b的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image2080.wmf)） **十一．点与圆的位置关系**：已知点![](./data/image/media/image2081.wmf)及圆![](./data/image/media/image2082.wmf)， （1）点M在圆C外![](./data/image/media/image2083.wmf)； （2）点M在圆C内![](./data/image/media/image2084.wmf)![](./data/image/media/image2085.wmf)； （3）点M在圆C上![](./data/image/media/image2086.wmf)![](./data/image/media/image2087.wmf)。**如** 点P(5a+1,12a)在圆(x－１)^２^＋y^2^=1的内部,则a的取值范围是\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2088.wmf)） **十二。直线与圆的位置关系**： 直线![](./data/image/media/image2089.wmf)和圆![](./data/image/media/image2090.wmf)![](./data/image/media/image2091.wmf)有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断： （1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：![](./data/image/media/image2092.wmf)相交；![](./data/image/media/image2093.wmf)相离；![](./data/image/media/image2094.wmf)相切； （2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为![](./data/image/media/image2095.wmf)，则![](./data/image/media/image2096.wmf)相交；![](./data/image/media/image2097.wmf)相离；![](./data/image/media/image2098.wmf)相切。**提醒**：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。**如** **（1）**圆![](./data/image/media/image2099.wmf)与直线![](./data/image/media/image2100.wmf)![](./data/image/media/image2101.wmf)，![](./data/image/media/image2102.wmf)的位置关系为\_\_\_\_ （答：相离）； **（2）**若直线![](./data/image/media/image2103.wmf)与圆![](./data/image/media/image2104.wmf)切于点![](./data/image/media/image2105.wmf)，则![](./data/image/media/image2106.wmf)的值\_\_\_\_ （答：2）； **（3）**直线![](./data/image/media/image2107.wmf)被曲线![](./data/image/media/image2108.wmf)![](./data/image/media/image2109.wmf)所截得的弦长等于 [ ]{.underline} （答：![](./data/image/media/image2110.wmf)**）；** **（4）**一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)^2^+(y-3)^2^=1上的最短路程是 [ ]{.underline} （答：**4）；** **（5）**已知![](./data/image/media/image2111.wmf)是圆![](./data/image/media/image2112.wmf)内一点，现有以![](./data/image/media/image2113.wmf)为中点的弦所在直线![](./data/image/media/image2114.wmf)和直线![](./data/image/media/image2115.wmf)，则 　　A．![](./data/image/media/image2116.wmf)，且![](./data/image/media/image2117.wmf)与圆相交 　 B．![](./data/image/media/image2118.wmf)，且![](./data/image/media/image2119.wmf)与圆相交 　　C．![](./data/image/media/image2120.wmf)，且![](./data/image/media/image2121.wmf)与圆相离 D．![](./data/image/media/image2122.wmf)，且![](./data/image/media/image2123.wmf)与圆相离 （答：**C）；** **（6）**已知圆C：![](./data/image/media/image2124.wmf)，直线L：![](./data/image/media/image2125.wmf)。①求证：对![](./data/image/media/image2126.wmf)，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若![](./data/image/media/image2127.wmf)，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答：②![](./data/image/media/image2128.wmf)**或**![](./data/image/media/image2129.wmf)**　　**③**最长：**![](./data/image/media/image2130.wmf)**，最短：**![](./data/image/media/image2131.wmf)） **十三．圆与圆的位置关系**（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为![](./data/image/media/image2132.wmf)，半径分别为![](./data/image/media/image2133.wmf)，则 > （1）当![](./data/image/media/image2134.wmf)时，两圆外离； > > （2）当![](./data/image/media/image2135.wmf)时，两圆外切； > > （3）当![](./data/image/media/image2136.wmf)时，两圆相交； > > （4）当![](./data/image/media/image2137.wmf)时，两圆内切； > > （5）当![](./data/image/media/image2138.wmf)时，两圆内含。**如** > > 双曲线![](./data/image/media/image2139.wmf)的左焦点为F~1~，顶点为A~1~、A~2~，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF~1~、A~1~A~2~为直径的两圆位置关系为 [ ]{.underline} > > （答：**内切）** **十四．圆的切线与弦长**： (1)切线：①**过圆**![](./data/image/media/image2140.wmf)**上一点**![](./data/image/media/image2141.wmf)**圆的切线方程**是：![](./data/image/media/image2142.wmf)，过圆![](./data/image/media/image2143.wmf)上一点![](./data/image/media/image2141.wmf)圆的切线方程是：![](./data/image/media/image2144.wmf)，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径）；②从**圆外一点引圆的切线一定有两条**，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即"切点弦"）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③**切线长**：过圆![](./data/image/media/image2145.wmf)（![](./data/image/media/image2143.wmf)）外一点![](./data/image/media/image2141.wmf)所引圆的切线的长为![](./data/image/media/image2146.wmf)（![](./data/image/media/image2147.wmf)）；**如** 设A为圆![](./data/image/media/image2148.wmf)上动点，PA是圆的切线，且\|PA\|=1，则P点的轨迹方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image2149.wmf)**）；** （2）**弦长问题**：①圆的弦长的计算：常用弦心距![](./data/image/media/image2095.wmf)，弦长一半![](./data/image/media/image2150.wmf)及圆的半径![](./data/image/media/image997.wmf)所构成的直角三角形来解：![](./data/image/media/image2151.wmf)；②过两圆![](./data/image/media/image2152.wmf)、![](./data/image/media/image2153.wmf)交点的圆(公共弦)系为![](./data/image/media/image2154.wmf)，当![](./data/image/media/image2155.wmf)时，方程![](./data/image/media/image2154.wmf)为两圆公共弦所在直线方程.。 **十五．**解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的**平面几何性质的作用**(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)! **八、圆锥曲线** **1.圆锥曲线的两个定义**： （1）**第一定义**中要**重视"括号"内的限制条件**：**椭圆中**，与两个定点F![](./data/image/media/image2156.wmf)，F![](./data/image/media/image2157.wmf)的距离的和等于常数![](./data/image/media/image2158.wmf)，且此**常数**![](./data/image/media/image2158.wmf)**一定要大于**![](./data/image/media/image2159.wmf)，当常数等于![](./data/image/media/image2159.wmf)时，轨迹是线段F![](./data/image/media/image2156.wmf)F![](./data/image/media/image2157.wmf)，当常数小于![](./data/image/media/image2159.wmf)时，无轨迹；**双曲线中**，与两定点F![](./data/image/media/image2156.wmf)，F![](./data/image/media/image2157.wmf)的距离的差的绝对值等于常数![](./data/image/media/image2158.wmf)，且此常数![](./data/image/media/image2158.wmf)一定要小于\|F![](./data/image/media/image2156.wmf)F![](./data/image/media/image2157.wmf)\|，定义中的**"绝对值"与**![](./data/image/media/image2158.wmf)**＜\|F**![](./data/image/media/image2156.wmf)**F**![](./data/image/media/image2157.wmf)**\|不可忽视**。若![](./data/image/media/image2158.wmf)＝\|F![](./data/image/media/image2156.wmf)F![](./data/image/media/image2157.wmf)\|，则轨迹是以F![](./data/image/media/image2156.wmf)，F![](./data/image/media/image2157.wmf)为端点的两条射线，若![](./data/image/media/image2158.wmf)﹥\|F![](./data/image/media/image2156.wmf)F![](./data/image/media/image2157.wmf)\|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。**如（1）**已知定点![](./data/image/media/image2160.wmf)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A．![](./data/image/media/image2161.wmf) B．![](./data/image/media/image2162.wmf) C．![](./data/image/media/image2163.wmf) D．![](./data/image/media/image2164.wmf)（答：C）；**（2）**方程![](./data/image/media/image2165.wmf)表示的曲线是\_\_\_\_\_（答：双曲线的左支） （2）**第二定义**中要**注意定点和定直线是相应的焦点和准线**，且"**点点距为分子、点线距为分母**"，其商即是离心率![](./data/image/media/image2166.wmf)。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于**运用第二定义对它们进行相互转化**。**如**已知点![](./data/image/media/image2167.wmf)及抛物线![](./data/image/media/image2168.wmf)上一动点P（*x*,y）,则y+\|PQ\|的最小值是\_\_\_\_\_（答：2） **2.圆锥曲线的标准方程**（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）**椭圆**：焦点在![](./data/image/media/image130.wmf)轴上时![](./data/image/media/image2169.wmf)（![](./data/image/media/image2170.wmf)）![](./data/image/media/image2171.wmf)![](./data/image/media/image2172.wmf)（参数方程，其中![](./data/image/media/image2173.wmf)为参数），焦点在![](./data/image/media/image353.wmf)轴上时![](./data/image/media/image2174.wmf)＝1（![](./data/image/media/image2170.wmf)）。方程![](./data/image/media/image2175.wmf)表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。**如（1）**已知方程![](./data/image/media/image2176.wmf)表示椭圆，则![](./data/image/media/image2177.wmf)的取值范围为\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2178.wmf)）；**（2）**若![](./data/image/media/image2179.wmf)，且![](./data/image/media/image2180.wmf)，则![](./data/image/media/image2181.wmf)的最大值是\_\_\_\_，![](./data/image/media/image2182.wmf)的最小值是\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2183.wmf)） （2）**双曲线**：焦点在![](./data/image/media/image130.wmf)轴上：![](./data/image/media/image2184.wmf) =1，焦点在![](./data/image/media/image353.wmf)轴上：![](./data/image/media/image2185.wmf)＝1（![](./data/image/media/image2186.wmf)）。方程![](./data/image/media/image2175.wmf)表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。**如（1）**双曲线的离心率等于![](./data/image/media/image2187.wmf)，且与椭圆![](./data/image/media/image2188.wmf)有公共焦点，则该双曲线的方程\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2189.wmf)）；**（2）**设中心在坐标原点![](./data/image/media/image2190.wmf)，焦点![](./data/image/media/image2191.wmf)、![](./data/image/media/image2192.wmf)在坐标轴上，离心率![](./data/image/media/image2193.wmf)的双曲线C过点![](./data/image/media/image2194.wmf)，则C的方程为\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2195.wmf)） （3）**抛物线**：开口向右时![](./data/image/media/image2196.wmf)，开口向左时![](./data/image/media/image2197.wmf)，开口向上时![](./data/image/media/image2198.wmf)，开口向下时![](./data/image/media/image2199.wmf)。 **3.圆锥曲线焦点位置的判断**（首先化成标准方程，然后再判断）**：** （1）**椭圆**：由![](./data/image/media/image130.wmf)![](./data/image/media/image2200.wmf),![](./data/image/media/image353.wmf)![](./data/image/media/image2200.wmf)分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。**如**已知方程![](./data/image/media/image2201.wmf)表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是\_\_（答：![](./data/image/media/image2202.wmf)） （2）**双曲线**：由![](./data/image/media/image130.wmf)![](./data/image/media/image2200.wmf),![](./data/image/media/image353.wmf)![](./data/image/media/image2200.wmf)项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）**抛物线**：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 **特别提醒**：**（1）**在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F![](./data/image/media/image2156.wmf)，F![](./data/image/media/image2157.wmf)的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数![](./data/image/media/image1943.wmf)，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，![](./data/image/media/image180.wmf)最大，![](./data/image/media/image2203.wmf)，在双曲线中，![](./data/image/media/image1898.wmf)最大，![](./data/image/media/image2204.wmf)。 **4.圆锥曲线的几何性质**： （1）**椭圆**（以![](./data/image/media/image2169.wmf)（![](./data/image/media/image2170.wmf)）为例）：①范围：![](./data/image/media/image2205.wmf)；②焦点：两个焦点![](./data/image/media/image2206.wmf)；③对称性：两条对称轴![](./data/image/media/image2207.wmf)，一个对称中心（0,0），四个顶点![](./data/image/media/image2208.wmf)，其中长轴长为2![](./data/image/media/image2209.wmf)，短轴长为2![](./data/image/media/image2210.wmf)；④准线：两条准线![](./data/image/media/image2211.wmf)； ⑤离心率：![](./data/image/media/image2212.wmf)，椭圆![](./data/image/media/image2213.wmf)![](./data/image/media/image2214.wmf)，![](./data/image/media/image2215.wmf)越小，椭圆越圆；![](./data/image/media/image2216.wmf)越大，椭圆越扁。**如（1）**若椭圆![](./data/image/media/image2217.wmf)的离心率![](./data/image/media/image2218.wmf)，则![](./data/image/media/image2219.wmf)的值是\_\_（答：3或![](./data/image/media/image2220.wmf)）；**（2）**以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为\_\_（答：![](./data/image/media/image2221.wmf)） （2）**双曲线**（以![](./data/image/media/image2222.wmf)（![](./data/image/media/image2223.wmf)）为例）：①范围：![](./data/image/media/image2224.wmf)或![](./data/image/media/image2225.wmf)；②焦点：两个焦点![](./data/image/media/image2206.wmf)；③对称性：两条对称轴![](./data/image/media/image2207.wmf)，一个对称中心（0,0），两个顶点![](./data/image/media/image2226.wmf)，其中实轴长为2![](./data/image/media/image2209.wmf)，虚轴长为2![](./data/image/media/image2210.wmf)，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为![](./data/image/media/image2227.wmf)；④准线：两条准线![](./data/image/media/image2211.wmf)； ⑤离心率：![](./data/image/media/image2212.wmf)，双曲线![](./data/image/media/image2213.wmf)![](./data/image/media/image2228.wmf)，等轴双曲线![](./data/image/media/image2213.wmf)![](./data/image/media/image2229.wmf)，![](./data/image/media/image2215.wmf)越小，开口越小，![](./data/image/media/image2216.wmf)越大，开口越大；⑥两条渐近线：![](./data/image/media/image2230.wmf)。**如（1）**双曲线的渐近线方程是![](./data/image/media/image2231.wmf)，则该双曲线的离心率等于\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2232.wmf)或![](./data/image/media/image2233.wmf)）；**（2）**双曲线![](./data/image/media/image2234.wmf)的离心率为![](./data/image/media/image2235.wmf)，则![](./data/image/media/image2236.wmf)= [ ]{.underline} （答：4或![](./data/image/media/image2237.wmf)）；**（3）**设双曲线![](./data/image/media/image2238.wmf)（a\>0,b\>0）中，离心率e∈\[![](./data/image/media/image2239.wmf),2\],则两条渐近线夹角θ的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2240.wmf)）； （3）**抛物线**（以![](./data/image/media/image2196.wmf)为例）：①范围：![](./data/image/media/image2241.wmf)；②焦点：一个焦点![](./data/image/media/image2242.wmf)，其中![](./data/image/media/image996.wmf)的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴![](./data/image/media/image2243.wmf)，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线![](./data/image/media/image2244.wmf)； ⑤离心率：![](./data/image/media/image2212.wmf)，抛物线![](./data/image/media/image2213.wmf)![](./data/image/media/image2245.wmf)。**如**设![](./data/image/media/image2246.wmf)，则抛物线![](./data/image/media/image2247.wmf)的焦点坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2248.wmf)）； **5、点**![](./data/image/media/image2249.wmf)**和椭圆**![](./data/image/media/image2169.wmf)**（**![](./data/image/media/image2170.wmf)**）的关系**：（1）点![](./data/image/media/image2249.wmf)在椭圆外![](./data/image/media/image2171.wmf)![](./data/image/media/image2250.wmf)；（2）点![](./data/image/media/image2249.wmf)在椭圆上![](./data/image/media/image2171.wmf)![](./data/image/media/image2251.wmf)＝1；（3）点![](./data/image/media/image2249.wmf)在椭圆内![](./data/image/media/image2171.wmf)![](./data/image/media/image2252.wmf) **6．直线与圆锥曲线的位置关系**： （1）相交：![](./data/image/media/image2253.wmf)![](./data/image/media/image2213.wmf)直线与椭圆相交； ![](./data/image/media/image2254.wmf)直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有![](./data/image/media/image2253.wmf)，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故![](./data/image/media/image2253.wmf)是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；![](./data/image/media/image2254.wmf)直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有![](./data/image/media/image2253.wmf)，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故![](./data/image/media/image2253.wmf)也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。**如（1）**若直线y=kx+2与双曲线x^2^-y^2^=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_（答：(-![](./data/image/media/image2255.wmf),-1)）；**（2）**直线y―kx―1=0与椭圆![](./data/image/media/image2256.wmf)恒有公共点，则m的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_（答：\[1，5）∪（5，+∞））；**（3）**过双曲线![](./data/image/media/image2257.wmf)的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有\_\_\_\_\_条（答：3）； （2）相切：![](./data/image/media/image2258.wmf)![](./data/image/media/image2213.wmf)直线与椭圆相切；![](./data/image/media/image2258.wmf)![](./data/image/media/image2213.wmf)直线与双曲线相切；![](./data/image/media/image2258.wmf)![](./data/image/media/image2213.wmf)直线与抛物线相切； （3）相离：![](./data/image/media/image2259.wmf)![](./data/image/media/image2213.wmf)直线与椭圆相离；![](./data/image/media/image2259.wmf)![](./data/image/media/image2213.wmf)直线与双曲线相离；![](./data/image/media/image2259.wmf)![](./data/image/media/image2213.wmf)直线与抛物线相离。 **特别提醒**：**（1）**直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线**相交**,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线**相交**,也只有一个交点；**（2）**过双曲线![](./data/image/media/image2184.wmf)＝1外一点![](./data/image/media/image2249.wmf)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；**（3）**过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。**如（1）**过点![](./data/image/media/image2260.wmf)作直线与抛物线![](./data/image/media/image2261.wmf)只有一个公共点，这样的直线有\_\_\_\_\_\_（答：2）；**（2）**过点(0,2)与双曲线![](./data/image/media/image2262.wmf)有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2263.wmf)）；**（3）**过双曲线![](./data/image/media/image2264.wmf)的右焦点作直线![](./data/image/media/image2265.wmf)交双曲线于A、B两点，若![](./data/image/media/image2266.wmf)4，则满足条件的直线![](./data/image/media/image2265.wmf)有\_\_\_\_条（答：3）；**（4）**对于抛物线C：![](./data/image/media/image2267.wmf)，我们称满足![](./data/image/media/image2268.wmf)的点![](./data/image/media/image2269.wmf)在抛物线的内部，若点![](./data/image/media/image2270.wmf)在抛物线的内部，则直线![](./data/image/media/image2271.wmf)：![](./data/image/media/image2272.wmf)与抛物线C的位置关系是\_\_\_\_\_\_\_（答：相离）；**（5）**过抛物线![](./data/image/media/image2273.wmf)的焦点![](./data/image/media/image2274.wmf)作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是![](./data/image/media/image2275.wmf)、![](./data/image/media/image2276.wmf)，则![](./data/image/media/image2277.wmf)\_\_\_\_\_\_\_（答：1）；**（6）**设双曲线![](./data/image/media/image2278.wmf)的右焦点为![](./data/image/media/image2279.wmf)，右准线为![](./data/image/media/image2280.wmf)，设某直线![](./data/image/media/image2281.wmf)交其左支、右支和右准线分别于![](./data/image/media/image2282.wmf)，则![](./data/image/media/image2283.wmf)和![](./data/image/media/image2284.wmf)的大小关系为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(填大于、小于或等于) （答：等于）；**（7）**求椭圆![](./data/image/media/image2285.wmf)上的点到直线![](./data/image/media/image2286.wmf)的最短距离（答：![](./data/image/media/image2287.wmf)）；**（8）**直线![](./data/image/media/image2288.wmf)与双曲线![](./data/image/media/image2289.wmf)交于![](./data/image/media/image2290.wmf)、![](./data/image/media/image2291.wmf)两点。①当![](./data/image/media/image2292.wmf)为何值时，![](./data/image/media/image2290.wmf)、![](./data/image/media/image2291.wmf)分别在双曲线的两支上？②当![](./data/image/media/image2292.wmf)为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①![](./data/image/media/image2293.wmf)；②![](./data/image/media/image2294.wmf)）； **7、焦半径**（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）**的计算方法**：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径![](./data/image/media/image2295.wmf)，其中![](./data/image/media/image2095.wmf)表示P到与F所对应的准线的距离。**如（1）**已知椭圆![](./data/image/media/image2296.wmf)上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2297.wmf)）；**（2）**已知抛物线方程为![](./data/image/media/image2298.wmf)，若抛物线上一点到![](./data/image/media/image2299.wmf)轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于\_\_\_\_；**（3）**若该抛物线上的点![](./data/image/media/image2300.wmf)到焦点的距离是4，则点![](./data/image/media/image2301.wmf)的坐标为\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2302.wmf)）；**（4）**点P在椭圆![](./data/image/media/image2303.wmf)上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2304.wmf)）；**（5）**抛物线![](./data/image/media/image2305.wmf)上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到![](./data/image/media/image2306.wmf)轴的距离为\_\_\_\_\_\_（答：2）；**（6）**椭圆![](./data/image/media/image2307.wmf)内有一点![](./data/image/media/image2308.wmf)，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使![](./data/image/media/image2309.wmf) 之值最小，则点M的坐标为\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2310.wmf)）； > **8、焦点三角形**（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）**问题**：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点![](./data/image/media/image2249.wmf)到两焦点![](./data/image/media/image2311.wmf)的距离分别为![](./data/image/media/image2312.wmf)，焦点![](./data/image/media/image2313.wmf)的面积为![](./data/image/media/image2314.wmf)，则在椭圆![](./data/image/media/image2169.wmf)中， ①![](./data/image/media/image1190.wmf)＝![](./data/image/media/image2315.wmf)，且当![](./data/image/media/image2316.wmf)即![](./data/image/media/image2317.wmf)为短轴端点时，![](./data/image/media/image1190.wmf)最大为![](./data/image/media/image1190.wmf)![](./data/image/media/image2318.wmf)＝![](./data/image/media/image2319.wmf)；②![](./data/image/media/image2320.wmf)，当![](./data/image/media/image2321.wmf)即![](./data/image/media/image2317.wmf)为短轴端点时，![](./data/image/media/image2322.wmf)的最大值为bc；对于双曲线![](./data/image/media/image2323.wmf)的焦点三角形有：①![](./data/image/media/image2324.wmf)；②![](./data/image/media/image2325.wmf)。**如（1）**短轴长为![](./data/image/media/image2326.wmf)，离心率![](./data/image/media/image2327.wmf)的椭圆的两焦点为![](./data/image/media/image2328.wmf)、![](./data/image/media/image2329.wmf)，过![](./data/image/media/image2328.wmf)作直线交椭圆于A、B两点，则![](./data/image/media/image2330.wmf)的周长为\_\_\_\_\_\_\_\_（答：**6**）；**（2）**设P是等轴双曲线![](./data/image/media/image2331.wmf)右支上一点，F~1~、F~2~是左右焦点，若![](./data/image/media/image2332.wmf)，\|PF~1~\|=6，则该双曲线的方程为 [ ]{.underline} （答：![](./data/image/media/image2333.wmf)）**；（3）**椭圆![](./data/image/media/image2334.wmf)的焦点为F~1~、F~2~，点P为椭圆上的动点，当·\<0时，点P的横坐标的取值范围是 [ ]{.underline} （答：![](./data/image/media/image2335.wmf)）；**（4）**双曲线的虚轴长为4，离心率e＝![](./data/image/media/image2336.wmf)，F~1~、F~2~是它的左右焦点，若过F~1~的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且![](./data/image/media/image2337.wmf)是![](./data/image/media/image2338.wmf)与![](./data/image/media/image2339.wmf)等差中项，则![](./data/image/media/image2337.wmf)＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2340.wmf)）；**（5）**已知双曲线的离心率为2，F~1~、F~2~是左右焦点，P为双曲线上一点，且![](./data/image/media/image2341.wmf)，![](./data/image/media/image2342.wmf)．求该双曲线的标准方程（答：![](./data/image/media/image2343.wmf)）； **9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质**：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A![](./data/image/media/image2156.wmf)，B![](./data/image/media/image2156.wmf)，若P为A![](./data/image/media/image2156.wmf)B![](./data/image/media/image2156.wmf)的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 **10、弦长公式**：若直线![](./data/image/media/image2344.wmf)与圆锥曲线相交于两点A、B，且![](./data/image/media/image2345.wmf)分别为A、B的横坐标，则![](./data/image/media/image2346.wmf)＝![](./data/image/media/image2347.wmf)，若![](./data/image/media/image2348.wmf)分别为A、B的纵坐标，则![](./data/image/media/image2346.wmf)＝![](./data/image/media/image2349.wmf)，若弦AB所在直线方程设为![](./data/image/media/image2350.wmf)，则![](./data/image/media/image2346.wmf)＝![](./data/image/media/image2351.wmf)。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。**如（1）**过抛物线y^2^=4x的焦点作直线交抛物线于A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）两点，若x~1~+x~2~=6，那么\|AB\|等于\_\_\_\_\_\_\_（答：8）；**（2）**过抛物线![](./data/image/media/image2352.wmf)焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知\|AB\|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为\_\_\_\_\_\_\_（答：3）； **11、圆锥曲线的中点弦问题：**遇到中点弦问题常用**"韦达定理"或"点差法"**求解。在椭圆![](./data/image/media/image2169.wmf)中，以![](./data/image/media/image2249.wmf)为中点的弦所在直线的斜率k=－![](./data/image/media/image2353.wmf)；在双曲线![](./data/image/media/image2323.wmf)中，以![](./data/image/media/image2249.wmf)为中点的弦所在直线的斜率k=![](./data/image/media/image2353.wmf)；在抛物线![](./data/image/media/image2354.wmf)中，以![](./data/image/media/image2249.wmf)为中点的弦所在直线的斜率k=![](./data/image/media/image2355.wmf)。**如（1）**如果椭圆![](./data/image/media/image2356.wmf)弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 [ ]{.underline} （答：![](./data/image/media/image2357.wmf)**）**；**（2）**已知直线y=－x+1与椭圆![](./data/image/media/image2358.wmf)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2359.wmf)**）；（3）**试确定m的取值范围，使得椭圆![](./data/image/media/image2360.wmf)上有不同的两点关于直线![](./data/image/media/image2361.wmf)对称（答：![](./data/image/media/image2362.wmf)**）；** **特别提醒**：因为![](./data/image/media/image2253.wmf)是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验![](./data/image/media/image2253.wmf)！ **12．你了解下列结论吗**？ （1）双曲线![](./data/image/media/image2363.wmf)的渐近线方程为![](./data/image/media/image2364.wmf)； （2）以![](./data/image/media/image2365.wmf)为渐近线（即与双曲线![](./data/image/media/image2363.wmf)共渐近线）的双曲线方程为![](./data/image/media/image2366.wmf)为参数，![](./data/image/media/image2367.wmf)≠0）。**如**与双曲线![](./data/image/media/image2368.wmf)有共同的渐近线，且过点![](./data/image/media/image2369.wmf)的双曲线方程为\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2370.wmf)**）** （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为![](./data/image/media/image2371.wmf)； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为![](./data/image/media/image2372.wmf)，焦准距（焦点到相应准线的距离）为![](./data/image/media/image2373.wmf)，抛物线的通径为![](./data/image/media/image2374.wmf)，焦准距为![](./data/image/media/image2375.wmf)； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线![](./data/image/media/image2354.wmf)的焦点弦为AB，![](./data/image/media/image2376.wmf)，则①![](./data/image/media/image2377.wmf)；②![](./data/image/media/image2378.wmf) （7）若OA、OB是过抛物线![](./data/image/media/image2354.wmf)顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点![](./data/image/media/image2379.wmf) **13．动点轨迹方程**： （1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法： ①直接法：直接利用条件建立![](./data/image/media/image2380.wmf)之间的关系![](./data/image/media/image2381.wmf)；**如**已知动点P到定点F(1,0)和直线![](./data/image/media/image2382.wmf)的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：![](./data/image/media/image2383.wmf)或![](./data/image/media/image2384.wmf)）； ②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。**如**线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）![](./data/image/media/image2385.wmf)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 [ ]{.underline} （答：![](./data/image/media/image2386.wmf)）；　 ③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；**如(1)**由动点P向圆![](./data/image/media/image2387.wmf)作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60^0^，则动点P的轨迹方程为 [ ]{.underline} （答：![](./data/image/media/image2388.wmf)）；**（2）**点M与点F(4,0)的距离比它到直线![](./data/image/media/image2389.wmf)的距离小于1，则点M的轨迹方程是\_\_\_\_\_\_\_ （答：![](./data/image/media/image2390.wmf)）；**(3)** 一动圆与两圆⊙M：![](./data/image/media/image2391.wmf)和⊙N：![](./data/image/media/image2392.wmf)都外切，则动圆圆心的轨迹为 [ ]{.underline} （答：双曲线的一支）； ④代入转移法：动点![](./data/image/media/image2393.wmf)依赖于另一动点![](./data/image/media/image2394.wmf)的变化而变化，并且![](./data/image/media/image2394.wmf)又在某已知曲线上，则可先用![](./data/image/media/image2380.wmf)的代数式表示![](./data/image/media/image2395.wmf)，再将![](./data/image/media/image2395.wmf)代入已知曲线得要求的轨迹方程；**如**动点P是抛物线![](./data/image/media/image2396.wmf)上任一点，定点为![](./data/image/media/image2397.wmf),点M分![](./data/image/media/image2398.wmf)所成的比为2，则M的轨迹方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2399.wmf)）； ⑤参数法：当动点![](./data/image/media/image2393.wmf)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将![](./data/image/media/image2380.wmf)均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。**如（1）**AB是圆O的直径，且\|AB\|=2*a*，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点![](./data/image/media/image2400.wmf)，使![](./data/image/media/image2401.wmf)，求点![](./data/image/media/image2400.wmf)的轨迹。（答：![](./data/image/media/image2402.wmf)）；**（2）**若点![](./data/image/media/image2403.wmf)在圆![](./data/image/media/image2404.wmf)上运动，则点![](./data/image/media/image2405.wmf)的轨迹方程是\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2406.wmf)）；**（3）**过抛物线![](./data/image/media/image2407.wmf)的焦点F作直线![](./data/image/media/image2271.wmf)交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是\_\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2408.wmf)）； ![](./data/image/media/image2409.png)**注意**：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行"摘帽子或脱靴子"转化，还是选择向量的代数形式进行"摘帽子或脱靴子"转化。**如**已知椭圆![](./data/image/media/image2410.wmf)的左、右焦点分别是F~1~（－c，0）、F~2~（c，0），Q是椭圆外的动点，满足![](./data/image/media/image2411.wmf)点P是线段F~1~Q与该椭圆的交点，点T在线段F~2~Q上，并且满足![](./data/image/media/image2412.wmf)（1）设![](./data/image/media/image2413.wmf)为点P的横坐标，证明![](./data/image/media/image2414.wmf)；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F~1~MF~2~的面积S=![](./data/image/media/image2415.wmf)若存在，求∠F~1~MF~2~的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2）![](./data/image/media/image2416.wmf)；（3）当![](./data/image/media/image2417.wmf)时不存在；当![](./data/image/media/image2418.wmf)时存在，此时∠F~1~MF~2~＝2） ②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上**特殊点**对轨迹的"完备性与纯粹性"的影响. ③在与圆锥曲线相关的综合题中，**常借助于**"平面几何性质"数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、"方程与函数性质"化解析几何问题为代数问题、"分类讨论思想"化整为零分化处理、"求值构造等式、求变量范围构造不等关系"等等. ④如果在一条直线上**出现"三个或三个以上的点**"，那么**可选择应用"斜率或向量"为桥梁**转化. **14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：** **（1）** 给出直线的方向向量![](./data/image/media/image2419.wmf)或![](./data/image/media/image2420.wmf)； **（2）**给出![](./data/image/media/image2421.wmf)与![](./data/image/media/image2422.wmf)相交,等于已知![](./data/image/media/image2423.wmf)过![](./data/image/media/image2424.wmf)的中点; **（3）**给出![](./data/image/media/image2425.wmf),等于已知![](./data/image/media/image2426.wmf)是![](./data/image/media/image2427.wmf)的中点; **（4）**给出![](./data/image/media/image2428.wmf),等于已知![](./data/image/media/image2429.wmf)与![](./data/image/media/image2422.wmf)的中点三点共线; **（5）** 给出以下情形之一：①![](./data/image/media/image2430.wmf)；②存在实数![](./data/image/media/image2431.wmf)；③若存在实数![](./data/image/media/image2432.wmf),等于已知![](./data/image/media/image2433.wmf)三点共线. **（6）** 给出![](./data/image/media/image2434.wmf)，等于已知![](./data/image/media/image2435.wmf)是![](./data/image/media/image2436.wmf)的定比分点，![](./data/image/media/image2437.wmf)为定比，即![](./data/image/media/image2438.wmf) **（7）** 给出![](./data/image/media/image2439.wmf),等于已知![](./data/image/media/image2440.wmf),即![](./data/image/media/image2441.wmf)是直角,给出![](./data/image/media/image2442.wmf),等于已知![](./data/image/media/image2441.wmf)是钝角, 给出![](./data/image/media/image2443.wmf),等于已知![](./data/image/media/image2441.wmf)是锐角, **（8）**给出![](./data/image/media/image2444.wmf),等于已知![](./data/image/media/image2445.wmf)是![](./data/image/media/image2446.wmf)的平分线/ **（9）**在平行四边形![](./data/image/media/image2447.wmf)中，给出![](./data/image/media/image2448.wmf)，等于已知![](./data/image/media/image2447.wmf)是菱形; **（10）** 在平行四边形![](./data/image/media/image2447.wmf)中，给出![](./data/image/media/image2449.wmf)，等于已知![](./data/image/media/image2447.wmf)是矩形; **（11）**在![](./data/image/media/image2450.wmf)中，给出![](./data/image/media/image2451.wmf)，等于已知![](./data/image/media/image2452.wmf)是![](./data/image/media/image2453.wmf)的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； **（12）** 在![](./data/image/media/image2450.wmf)中，给出![](./data/image/media/image2454.wmf)，等于已知![](./data/image/media/image2452.wmf)是![](./data/image/media/image2453.wmf)的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； **（13）**在![](./data/image/media/image2450.wmf)中，给出![](./data/image/media/image2455.wmf)，等于已知![](./data/image/media/image2452.wmf)是![](./data/image/media/image2453.wmf)的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； **（14）**在![](./data/image/media/image2450.wmf)中，给出![](./data/image/media/image2456.wmf)![](./data/image/media/image2457.wmf)![](./data/image/media/image2458.wmf)等于已知![](./data/image/media/image2459.wmf)通过![](./data/image/media/image2453.wmf)的内心； **（15）**在![](./data/image/media/image2450.wmf)中，给出![](./data/image/media/image2460.wmf)等于已知![](./data/image/media/image2452.wmf)是![](./data/image/media/image2453.wmf)的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； **（16）** 在![](./data/image/media/image2450.wmf)中，给出![](./data/image/media/image2461.wmf),等于已知![](./data/image/media/image2462.wmf)是![](./data/image/media/image2453.wmf)中![](./data/image/media/image1466.wmf)边的中线; **九、直线、平面、简单多面体** **1、三个公理和三条推论**： （1）**公理1**：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是**判断直线在平面内的常用方法**。 （2）**公理2**、如果两个平面有两个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是**判断几点共线**（证这几点是两个平面的公共点）和**三条直线共点**（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。 （3）**公理**3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。公理3和三个推论是**确定平面的依据**。**如（1）**在空间四点中，三点共线是四点共面的\_\_\_\_\_条件（答：充分非必要）；**（2）**给出命题：①若A∈*l*，A∈α，B∈*l* ，B∈α，则 *l* ![](./data/image/media/image2463.wmf)α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；③若*l*![](./data/image/media/image2464.wmf)α　，A∈*l*，则A![](./data/image/media/image2465.wmf)α　④若A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共线，则α与β重合。上述命题中，真命题是\_\_\_\_\_（答：①②④）；**（3）**长方体中ABCD-A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=8，BC=6，在线段BD，A~1~C~1~上各有一点P、Q，在PQ上有一点M，且PM=MQ，则M点的轨迹图形的面积为\_\_\_\_\_\_\_（答：24） **2、直观图的画法（斜二侧画法规则）**：在画直观图时，要注意：（1）使![](./data/image/media/image2466.wmf)，![](./data/image/media/image2467.wmf)所确定的平面表示水平平面。（2）已知图形中平行于![](./data/image/media/image130.wmf)轴和![](./data/image/media/image2468.wmf)轴的线段，在直观图中保持长度和平行性不变，**平行于**![](./data/image/media/image2469.wmf)**轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原来的一半**。**如（1）**用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（　　）（答：A） ![](./data/image/media/image2470.png) **（2）**已知正![](./data/image/media/image2471.wmf)的边长为![](./data/image/media/image180.wmf)，那么![](./data/image/media/image2471.wmf)的平面直观图![](./data/image/media/image2472.wmf)的面积为\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2473.wmf)） **3、空间直线的位置关系**：（1）相交直线――有且只有一个公共点。（2）平行直线――在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线――不在同一平面内，也没有公共点**。如（1）**空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的中点，则直线EG和FH的位置关系\_\_\_\_\_（答：相交）；**（2）**给出下列四个命题：①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；②两异面直线![](./data/image/media/image2474.wmf)，如果![](./data/image/media/image2475.wmf)平行于平面![](./data/image/media/image2476.wmf)，那么![](./data/image/media/image2477.wmf)不平行平面![](./data/image/media/image2478.wmf)；③两异面直线![](./data/image/media/image2479.wmf)，如果![](./data/image/media/image2480.wmf)平面![](./data/image/media/image2481.wmf)，那么![](./data/image/media/image2482.wmf)不垂直于平面![](./data/image/media/image2478.wmf)；④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。其中正确的命题是\_\_\_\_\_（答：①③） **4、异面直线的判定**：反证法。 **如（1）**"ａ、ｂ为异面直线"是指：①ａ∩ｂ＝Φ，但ａ不平行于ｂ；②ａ![](./data/image/media/image2463.wmf)面α，ｂ![](./data/image/media/image2463.wmf)面β且a∩b＝Φ；③ａ![](./data/image/media/image2463.wmf)面α，ｂ![](./data/image/media/image2463.wmf)面β且α∩β＝Φ；④ａ![](./data/image/media/image2463.wmf)面α，b![](./data/image/media/image2464.wmf)面α　；⑤不存在平面α，能使ａ![](./data/image/media/image2463.wmf)面α且ｂ![](./data/image/media/image2463.wmf)面α成立。上述结论中，正确的是\_\_\_\_\_（答：①⑤）；**（2）**在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，设BC+AD=2a，则MN与a的大小关系是\_\_\_\_\_（答：MN\<a）；**（3）**若E、F、G、H顺次为空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，且EG=3，FH=4，则AC^2^+BD^2^= [ ]{.underline} \_\_\_\_\_（答：50）；**（4）**如果ａ、ｂ是异面直线，P是不在ａ、ｂ上的任意一点，下列四个结论：①过点P一定可以作直线![](./data/image/media/image2483.wmf)与ａ、ｂ都相交；　②过点P一定可以作直线![](./data/image/media/image2484.wmf)与ａ、ｂ都垂直；③过点P一定可以作平面α与ａ、ｂ都平行；　④过点P一定可以作直线![](./data/image/media/image2484.wmf)与ａ、ｂ都平行。其中正确的结论是\_\_\_\_\_（答：②）；**（5）**如果两条异面直线称作一对，那么正方体的十二条棱中异面直线的对数为\_\_\_\_\_（答：24）；**（6）**已知平面![](./data/image/media/image2485.wmf)求证：b、c是异面直线． **5、异面直线所成角**![](./data/image/media/image2486.wmf)**的求法**：（1）**范围**：![](./data/image/media/image2487.wmf)；（2）**求法**：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。**如（1）**正四棱锥![](./data/image/media/image2488.wmf)的所有棱长相等，![](./data/image/media/image2489.wmf)是![](./data/image/media/image2490.wmf)的中点，那么异面直线![](./data/image/media/image2491.wmf)与![](./data/image/media/image2492.wmf)所成的角的余弦值等于\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2493.wmf)）；**（2）**在正方体AC~1~中，M是侧棱DD~1~的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A~1~B~1~上的一点，则OP与AM所成的角的大小为\_\_\_\_（答：90°）；**（3）**已知异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一点，则过P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有\_\_\_\_条（答：2）；**（4）**若异面直线![](./data/image/media/image2494.wmf)所成的角为![](./data/image/media/image2495.wmf)，且直线![](./data/image/media/image2496.wmf)，则异面直线![](./data/image/media/image2497.wmf)所成角的范围是\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2498.wmf)）； ![](./data/image/media/image2499.emf)**6、异面直线的距离的概念**：和两条异面直线**都垂直相交**的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交。**如（1）**ABCD是矩形，沿对角线AC把ΔADC折起，使AD⊥BC，求证：BD是异面直线AD与BC的公垂线；**（2）**如图，在正方体*ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~*中，*EF*是异面直线*AC*与*A*~1~*D*的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与*EF*平行的直线有\_\_\_\_条（答：1）； **7、两直线平行的判定**：（1）**公理4**：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）**线面平行的性质**：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）**面面平行的性质**：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）**线面垂直的性质**：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。 **8、两直线垂直的判定**：（1）转化为证线面垂直；（2）三垂线定理及逆定理。 **9、直线与平面的位置关系**：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交。其中，如果一条直线和平面内**任何一条**直线都垂直，那么这条**直线和这个平面垂直**。**注意**：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。**如（1）**下列命题中，正确的是 Ａ、若直线![](./data/image/media/image2500.wmf)平行于平面![](./data/image/media/image2501.wmf)内的一条直线b , 则 ![](./data/image/media/image2500.wmf)// ![](./data/image/media/image2501.wmf)　Ｂ、若直线![](./data/image/media/image2500.wmf)垂直于平面![](./data/image/media/image2501.wmf)的斜线b在平面![](./data/image/media/image2501.wmf)内的射影，则![](./data/image/media/image2500.wmf)⊥b　　Ｃ、若直线![](./data/image/media/image2500.wmf)垂直于平面![](./data/image/media/image2501.wmf),直线b是平面![](./data/image/media/image2501.wmf)的斜线，则![](./data/image/media/image2500.wmf)与b是异面直线　　Ｄ、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥（答：D）；**（2）**正方体ABCD-A~1~B~1~C~1~D~1~中，点P在侧面BCC~1~B~1~及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD~1~，则动点P的轨迹是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：线段B~1~C）。 > **10、直线与平面平行的判定和性质**：（1）**判定**：①**判定定理**：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行；②**面面平行的性质**：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。（2）**性质**：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。**在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质**。**如（1）**α、β表示平面，a、b表示直线，则a∥α的一个充分不必要条件是　A、α⊥β，a⊥β　　　　　　B、α∩β＝b，且a∥b　C、a∥b且b∥α　D、α∥β且a![](./data/image/media/image2463.wmf)β（答：*D*）；**（2）**正方体ABCD-A~１~B~１~C~１~D~１~中，点N在BD上，点M在B~1~C上，且CM=DN，求证：MN∥面AA~1~B~1~B。 **11、直线和平面垂直的判定和性质**：（1）**判定**：①如果一条直线和一个平面内的**两条相交**直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。（2）**性质**：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。**如（1）**如果命题"若![](./data/image/media/image2502.wmf)∥z，则![](./data/image/media/image2503.wmf)"不成立，那么字母*x*、y、z在空间所表示的几何图形一定是\_\_\_\_\_（答：*x*、y是直线，z是平面）；**（2）**已知a，b，c是直线，α、β是平面，下列条件中能得出直线a⊥平面α的是　 A、a⊥b，ａ⊥ｃ其中ｂ![](./data/image/media/image2504.wmf)α，ｃ![](./data/image/media/image2505.wmf)α　　B、a⊥b ，ｂ∥α　C、α⊥β，ａ∥β　 D、ａ∥ｂ，ｂ⊥α（答：*D*）；**（3）**AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，求证：BD⊥平面AEF。 **12、三垂线定理及逆定理**：（1）**定理**：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（2）**逆定理**：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。**其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角**。 **13、直线和平面所成的角**：（1）**定义**：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）**范围**：![](./data/image/media/image2506.wmf)；（3）**求法**：作出直线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的**特征**：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。**如（1）**在正三棱柱ABC-A~1~B~1~C~1~中，已知AB=1，D在棱BB~1~上，BD=1，则AD与平面AA~1~C~1~C所成的角为\_\_\_\_\_\_（答：arcsin![](./data/image/media/image2507.wmf)）；**（2）**正方体ABCD-A~1~B~1~C~1~D~1~中，E、F分别是AB、C~1~D~1~的中点，则棱 A~1~B~1~ 与截面A~1~ECF所成的角的余弦值是\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2508.wmf)）；**（3）**![](./data/image/media/image2509.wmf)是从点![](./data/image/media/image2426.wmf)引出的三条射线，每两条的夹角都是![](./data/image/media/image2510.wmf)，则直线![](./data/image/media/image2511.wmf)与平面![](./data/image/media/image2512.wmf)所成角的余弦值为\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2493.wmf)）；**（4）**若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角θ，则sinθ的值为\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2493.wmf)）。 **14、平面与平面的位置关系**：（1）平行――没有公共点；（2）相交――有一条公共直线。 > **15、两个平面平行的判定和性质**：（1）**判定**：一个如果平面内有**两条相交**直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。（2）**性质**：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。**如（1）**![](./data/image/media/image2513.wmf)是两个不重合的平面，在下列条件中，不能判定平面![](./data/image/media/image2514.wmf)的条件是A、![](./data/image/media/image2515.wmf)是![](./data/image/media/image2516.wmf)内一个三角形的两条边，且![](./data/image/media/image2517.wmf)　　B、![](./data/image/media/image2518.wmf)内有不共线的三点到![](./data/image/media/image2519.wmf)的距离都相等　　C、![](./data/image/media/image2513.wmf)都垂直于同一条直线![](./data/image/media/image87.wmf)　　D、![](./data/image/media/image2515.wmf)是两条异面直线，![](./data/image/media/image2520.wmf)，且![](./data/image/media/image2521.wmf)（答：B）；**（2）**给出以下六个命题：①垂直于同一直线的两个平面平行；②平行于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行；⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；⑥两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。其中正确的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：①③⑤）；**（3）**正方体ABCD-A~１~B~１~C~１~D~１~中AB=![](./data/image/media/image180.wmf)。①求证：平面AD~1~B~1~∥平面C~1~DB；②求证：A~1~C⊥平面AD~1~B~1~ ；③求平面AD~1~B~1~与平面C~1~DB间的距离（答：![](./data/image/media/image2522.wmf)）； **16、二面角**：（1）**平面角的三要素**：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直。（2）**作平面角的主要方法**：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；②三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）**二面角的范围**：![](./data/image/media/image2523.wmf)；（4）**二面角的求法**：①转化为求平面角；②面积射影法：利用面积射影公式![](./data/image/media/image2524.wmf)，其中![](./data/image/media/image2525.wmf)为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）。**如（1）**正方形ABCD-A~1~B~1~C~1~D~1~中，二面角B-A~1~C-A的大小为\_\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2526.wmf)）；**（2）**将∠A为60°的棱形ABCD沿对角线BD折叠，使A、C的距离等于BD，则二面角A-BD-C的余弦值是\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image488.wmf)）；**（3）**正四棱柱ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~中对角线BD~1~＝8，BD~1~与侧面B~1~BCC~1~所成的为30°，则二面角C~1~---BD~1~---B~1~的大小为\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2527.wmf)）；**（4）**从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B-PA-C的余弦值是\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image488.wmf)）；**（5）**二面角α-![](./data/image/media/image2483.wmf)-β的平面角为120°，A、B∈![](./data/image/media/image2483.wmf)，AC![](./data/image/media/image2528.wmf)α，BD![](./data/image/media/image2529.wmf)β，AC⊥![](./data/image/media/image2483.wmf)，BD⊥![](./data/image/media/image2483.wmf)，若AB=AC=BD=1，则CD的长\_\_\_\_\_\_（答：2）；**（6）**ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，则面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小为\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2530.wmf)）。 **17、两个平面垂直的判定和性质**：（1）**判定**：①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；（2）**性质**：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。**如（1）**三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，P到三个面的距离分别为3、4、5，则OP的长为\_\_\_\_\_（答：5）；**（2）**在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_时，平面MBD⊥平面PCD（答：![](./data/image/media/image2531.wmf)）；**（3）**过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC＝90°，求证：平面ABC⊥平面BSC。 **特别指出**：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即： ![](./data/image/media/image2532.wmf) **如（1）**已知直线![](./data/image/media/image2533.wmf)![](./data/image/media/image2534.wmf)平面![](./data/image/media/image2535.wmf)，直线![](./data/image/media/image2536.wmf)![](./data/image/media/image2537.wmf)平面![](./data/image/media/image2538.wmf)，给出下列四个命题：①![](./data/image/media/image2539.wmf) ②![](./data/image/media/image2540.wmf)；③![](./data/image/media/image2541.wmf)；④![](./data/image/media/image2542.wmf)。其中正确的命题是\_\_\_\_\_（答：①③）；**（2）**设![](./data/image/media/image2543.wmf)是两条不同直线，![](./data/image/media/image2544.wmf)是两个不同平面，给出下列四个命题：①若![](./data/image/media/image2545.wmf)则![](./data/image/media/image2546.wmf)；②若![](./data/image/media/image2547.wmf)，则![](./data/image/media/image2548.wmf)；③若![](./data/image/media/image2549.wmf)，则![](./data/image/media/image2550.wmf)或![](./data/image/media/image2551.wmf)；④若![](./data/image/media/image2552.wmf)则![](./data/image/media/image2553.wmf)。其中正确的命题是\_\_\_\_\_（答：①③④） **18、空间距离的求法**：（**特别强调**：立体几何中有关角和距离的计算，要遵循"一作，二证，三计算"的原则） （1）异面直线的距离：①直接找公垂线段而求之；②转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。③转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面。**如**已知正方体ABCD- A~1~B~1~C~1~D~1~的棱长为![](./data/image/media/image2554.wmf)，则异面直线BD与B~1~C的距离为\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2555.wmf)）。 （2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解。**如（1）**等边三角形![](./data/image/media/image2556.wmf)的边长为![](./data/image/media/image2557.wmf)，![](./data/image/media/image2558.wmf)是![](./data/image/media/image1466.wmf)边上的高，将![](./data/image/media/image2559.wmf)沿![](./data/image/media/image2462.wmf)折起，使之与![](./data/image/media/image2560.wmf)所在平面成![](./data/image/media/image2561.wmf)的二面角，这时![](./data/image/media/image2562.wmf)点到![](./data/image/media/image1466.wmf)的距离是\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2563.wmf)）；**（2）**点P是120°的二面角α-![](./data/image/media/image2483.wmf)-β内的一点，点P到α、β的距离分别是3、4，则P到![](./data/image/media/image2483.wmf)的距离为　\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2564.wmf)）；**（3）**在正方体ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~的侧面AB~1~内有一动点P到棱A~1~B~1~与棱BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为\_\_\_\_\_\_\_（答：抛物线弧）。 （3）点到平面的距离：①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②体积法：转化为求三棱锥的高；③等价转移法。**如（1）**长方体![](./data/image/media/image2565.wmf)的棱![](./data/image/media/image2566.wmf)，则点![](./data/image/media/image2567.wmf)到平面![](./data/image/media/image2568.wmf)　的距离等于\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2569.wmf)）；**（2）**在棱长为a的正方体ABCD-A~1~B~1~C~1~D~1~中，M是AA~1~的中点，则A~1~到平面MBD的距离为\_\_\_\_\_\_（答：a）。 （4）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。 （5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。 （6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点A、B间的距离的步骤：①计算线段AB的长；②计算球心角∠AOB的弧度数；③用弧长公式计算劣弧AB的长。**如（1）**设地球半径为![](./data/image/media/image2570.wmf)，在北纬![](./data/image/media/image2571.wmf)圈上有![](./data/image/media/image2572.wmf)两地，它们的纬度圈上的弧长等于![](./data/image/media/image2573.wmf)，求![](./data/image/media/image2574.wmf)两地间的球面距离（答：![](./data/image/media/image2575.wmf)**）**；**（2）**球面上有3点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的![](./data/image/media/image2576.wmf)，经过这3点的小圆的周长为![](./data/image/media/image2577.wmf)，那么这个球的半径为\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2578.wmf)）；**（3）**三棱锥![](./data/image/media/image2579.wmf)的三个侧面两两垂直，![](./data/image/media/image2580.wmf)，若![](./data/image/media/image2581.wmf)四个点都在同一球面上，则此球面上两点A、B之间的球面距离是\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2582.wmf)）。 **19、多面体有关概念**：（1）**多面体**：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。**多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱**。（2）**多面体的对角线**：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。（3）**凸多面体**：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。 **20、棱柱**：（1）**棱柱的分类**：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面），其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形...，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，...；（2）**棱柱的性质**：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。**如（1）**斜三棱柱A~1~B~1~C~1~－ABC，各棱长为![](./data/image/media/image2554.wmf)，A~1~B=A~1~C=![](./data/image/media/image2554.wmf)，则侧面BCC~1~B~1~是\_\_\_\_形，棱柱的高为\_\_\_\_\_（答：正方；![](./data/image/media/image2583.wmf)）；**（2）**下列关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱。其中真命题的为\_\_\_\_\_（答：②④）。 **21、平行六面体**： （1）**定义**：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体； （2）**几类特殊的平行六面体**：{平行六面体}![](./data/image/media/image2584.wmf){直平行六面体}![](./data/image/media/image2584.wmf){长方体}![](./data/image/media/image2584.wmf){正四棱柱}![](./data/image/media/image2584.wmf){正方体}； （3）**性质**：①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。**如**长方体三度之和为a+b+c＝6，全面积为11，则其对角线为\_\_\_\_\_（答：5） **22、棱锥的性质**：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比，截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比。**如**若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面积的，则锥体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为\_\_\_\_\_（答：1∶8） ![](./data/image/media/image2585.png)**23、正棱锥**：（1）**定义**：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做**正四面体**。**如**四面体![](./data/image/media/image2586.wmf)中，有如下命题：①若![](./data/image/media/image2587.wmf)，则![](./data/image/media/image2588.wmf)；②若![](./data/image/media/image2589.wmf)分别是![](./data/image/media/image2590.wmf)的中点，则![](./data/image/media/image2591.wmf)的大小等于异面直线![](./data/image/media/image2592.wmf)与![](./data/image/media/image2593.wmf)所成角的大小；③若点![](./data/image/media/image1739.wmf)是四面体![](./data/image/media/image2586.wmf)外接球的球心，则![](./data/image/media/image2594.wmf)在面![](./data/image/media/image2595.wmf)上的射影是![](./data/image/media/image2596.wmf)外心；④若四个面是全等的三角形，则![](./data/image/media/image2586.wmf)为正四面体。其中正确的是\_\_\_（答：①③） （2）**性质**：①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。②正棱锥的高![](./data/image/media/image2597.wmf)、斜高![](./data/image/media/image2598.wmf)、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径![](./data/image/media/image997.wmf)）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径![](./data/image/media/image2599.wmf)）、底面的半边长可组成四个直角三角形。如图，正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：![](./data/image/media/image2600.wmf)，![](./data/image/media/image2601.wmf)，其中![](./data/image/media/image2602.wmf)分别表示底面边长、侧棱长、侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角。**如（1）**在三棱锥的四个面中，最多有\_\_\_个面为直角三角形（答：4）；**（2）**把四个半径为R的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，则上层小球最高处离桌面的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2603.wmf)）。 **24、侧面积**（各个侧面面积之和）： （1）**棱柱**：侧面积![](./data/image/media/image2314.wmf)＝直截面（与各侧棱都垂直相交的截面）周长×侧棱长，特别地，直棱柱的侧面积![](./data/image/media/image2314.wmf)＝底面周长×侧棱长。**如（1）**长方体的高为h，底面积为Q，垂直于底的对角面的面积为M，则此长方体的侧面积为\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2604.wmf)）；**（2）**斜三棱柱ABC- A~1~B~1~C~1~中，二面角C-A~1~A-B为120°，侧棱AA~1~于另外两条棱的距离分别为7cm、8cm，AA~1~=12cm，则斜三棱柱的侧面积为\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2605.wmf)）；**（3）**若斜三棱柱的高为4，侧棱与底面所成的角为60°，相邻两侧棱之间的距离都为5，则该三棱柱的侧面积为\_\_\_\_\_\_（答：120）。 （2）**正棱锥**：正棱锥的侧面积![](./data/image/media/image2314.wmf)＝![](./data/image/media/image1301.wmf)×底面周长×斜高。**如（1）已知正四棱锥*P*－*ABCD*的高为4，侧棱与底面所成的角为60°，则该正四棱锥的侧面积是**\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2606.wmf)）；**（2）**已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于\_\_\_\_\_\_（答：）。**提醒**：全面积（也称表面积）是各个表面面积之和，故棱柱的全面积＝侧面积＋2×底面积；棱锥的全面积＝侧面积＋底面积。 **25、体积**： （1）**棱柱**：体积＝底面积×高，或体积![](./data/image/media/image2607.wmf)＝直截面面积×侧棱长，特别地，直棱柱的体积＝底面积×侧棱长；三棱柱的体积![](./data/image/media/image2608.wmf)（其中![](./data/image/media/image2314.wmf)为三棱柱一个侧面的面积，![](./data/image/media/image2095.wmf)为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）。**如（1）**设长方体的三条棱长分别为a、b、c，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则![](./data/image/media/image2609.wmf)等于\_\_（答：）；**（2）**斜三棱柱![](./data/image/media/image2610.wmf)的底面是边长为![](./data/image/media/image23.wmf)的正三角形，侧棱长为![](./data/image/media/image2611.wmf)，侧棱AA~1~和AB、AC都成45°的角，则棱柱的侧面积为\_\_\_，体积为\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2612.wmf)**；**![](./data/image/media/image2613.wmf)）。 ![](./data/image/media/image2614.emf)（2）**棱锥**：体积＝![](./data/image/media/image2615.wmf)×底面积×高。**如（1）**已知棱长为1的正方体容器ABCD---A~1~B~1~C~1~D~1~中，在A~1~B、A~1~B~1~、B~1~C~1~的中点E、F、G处各开有一个小孔，若此容器可以任意放置，则装水较多的容积（小孔面积对容积的影响忽略不计）是\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2616.wmf)）；**（2）**在正三棱锥A-BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，若BC=![](./data/image/media/image180.wmf)，则正三棱锥A-BCD的体积为\_\_（答：![](./data/image/media/image2617.wmf)）；**（3）**已知正三棱锥![](./data/image/media/image2618.wmf)底面边长为![](./data/image/media/image2619.wmf)，体积为![](./data/image/media/image2620.wmf)，则底面三角形![](./data/image/media/image2621.wmf)的中心![](./data/image/media/image2622.wmf)到侧面![](./data/image/media/image2623.wmf)的距离为\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2624.wmf)）；**（4）**在平面几何中有：Rt△ABC的直角边分别为a,b，斜边上的高为h，则![](./data/image/media/image2625.wmf)。类比这一结论，在三棱锥P---ABC中，PA、PB、PC两点互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱锥P---ABC的高为h，则结论为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2626.wmf)）． **特别提醒**：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体。**补形**：三棱锥![](./data/image/media/image2627.wmf)三棱柱![](./data/image/media/image2627.wmf)平行六面体；**分割**：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是 [ ]{.underline} （答：1：2：3）和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.**如（1）**用平面去截三棱锥![](./data/image/media/image2628.wmf)，与三条侧棱交于![](./data/image/media/image2629.wmf)三点，若![](./data/image/media/image2630.wmf)，![](./data/image/media/image2631.wmf) ![](./data/image/media/image2632.emf)![](./data/image/media/image2633.wmf)，则多面体![](./data/image/media/image2634.wmf)的体积为\_\_\_\_\_（答：**7**）；**（2）**直三棱柱ABC---A~1~B~1~C~1~的体积为![](./data/image/media/image2635.wmf)，P、Q分别是侧棱AA~1~、CC~1~上的点，且AP=C~1~Q，则四棱锥B---APQC的体积为 [ ]{.underline} （答：![](./data/image/media/image2636.wmf)）；**（3）**如图的多面体ABC-DEFG中，AB、AC、AD两两垂直，平面ABC∥DEFG，平面BEF∥ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_（答：**4**）。 **26、正多面体**：（1）**定义**：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。（2）正多面体的**种类**：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中正四面体、正八面体和正二十面体的每个面都是正三角形，正六面体的每个面都是正方形，正十二面体的每个面都是正五形边，如下图： ![](./data/image/media/image2637.png)![](./data/image/media/image2638.png) ![](./data/image/media/image2639.png) ![](./data/image/media/image2640.png) ![](./data/image/media/image2641.png) ![](./data/image/media/image2642.png) 正四面体　　正六面体　　正八面体　　　正十二面体　　　正二十面体 **27、球的截面的性质**：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是r＝![](./data/image/media/image2643.wmf)。**提醒**：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部）。**如（1）**在半径为10![](./data/image/media/image2644.wmf)的球面上有![](./data/image/media/image2645.wmf)三点，如果![](./data/image/media/image2646.wmf)，则球心![](./data/image/media/image1739.wmf)到平面![](./data/image/media/image2647.wmf)的距离为\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2648.wmf)）；**（2）**已知球面上的三点A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，则球心到平面ABC的距离为\_\_\_\_\_\_（答：12） **28、球的体积和表面积公式**：V＝![](./data/image/media/image2649.wmf)。**如（1）**在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49![](./data/image/media/image2650.wmf)cm^2^、400![](./data/image/media/image2651.wmf)cm^2^，则球的表面积为\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2652.wmf)）；**（2）**三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC内接于球O，求球O的表面积与体积。（答：表面积![](./data/image/media/image2653.wmf)，体积![](./data/image/media/image2654.wmf)）；**（3）**已知直平行六面体![](./data/image/media/image2655.wmf)的各条棱长均为3，![](./data/image/media/image2656.wmf)，长为2的线段![](./data/image/media/image2657.wmf)的一个端点![](./data/image/media/image2658.wmf)在![](./data/image/media/image2659.wmf)上运动，另一端点![](./data/image/media/image2660.wmf)在底面![](./data/image/media/image2586.wmf)上运动，则![](./data/image/media/image2427.wmf)的中点![](./data/image/media/image2426.wmf)的轨迹（曲面）与共一顶点![](./data/image/media/image2661.wmf)的三个面所围成的几何体的体积为为\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2662.wmf)）； **29、立体几何问题的求解策略**是通过降维，转化为平面几何问题，具体方法表现为： （1）求空间角、距离，归到三角形中求解； （2）对于球的内接外切问题，作适当的截面――既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系**。如（1）**甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为\_\_\_\_\_（答：1∶2∶3）；**（2）**若正四面体的棱长为![](./data/image/media/image2663.wmf)，则此正四面体的外接球的表面积为\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2664.wmf)）；**（3）**已知一个半径为![](./data/image/media/image2665.wmf)的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2666.wmf)）； （3）求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离。**如**已知正方体![](./data/image/media/image2667.wmf)的棱长为1，![](./data/image/media/image2668.wmf)是![](./data/image/media/image2669.wmf)的中点，![](./data/image/media/image2670.wmf)是![](./data/image/media/image2671.wmf)上的一点，则![](./data/image/media/image2672.wmf)的最小值是\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2673.wmf)）； **30、你熟悉下列结论吗**？ ⑴三个平面两两相交得到三条交线，如果其中的两条交线交于一点，那么第三条交线也经过这一点； ⑵从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上； ⑶AB和平面所成的角是![](./data/image/media/image2674.wmf)，AC在平面内，AC和AB的射影![](./data/image/media/image2675.wmf)成![](./data/image/media/image2676.wmf)，设∠BAC=![](./data/image/media/image2677.wmf),则cos![](./data/image/media/image2678.wmf)cos![](./data/image/media/image2679.wmf)=cos![](./data/image/media/image2680.wmf)； ⑷如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线也垂直于第三个平面； ⑸若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为![](./data/image/media/image2681.wmf)，则cos^2^![](./data/image/media/image2682.wmf)+ cos^2^![](./data/image/media/image2683.wmf)+cos^2^![](./data/image/media/image2684.wmf)=1；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为![](./data/image/media/image2685.wmf)则cos^2^![](./data/image/media/image2682.wmf)+cos^2^![](./data/image/media/image2686.wmf)+cos^2^![](./data/image/media/image2687.wmf)=2。**如（1）**长方体中若一条对角线与过同一顶点的三个面中的二个面所成的角为30°、45°，则与第三个面所成的角为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：30°）；**（2）**若一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为![](./data/image/media/image2688.wmf)，则![](./data/image/media/image2689.wmf)的关系为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。（答：![](./data/image/media/image2690.wmf)） ⑹若正棱锥的侧面与底面所成的角为![](./data/image/media/image2691.wmf)，则![](./data/image/media/image2692.wmf)。如若正三棱锥的一个侧面的面积与底面面积之比为，则这个三棱锥的侧面和底面所成的二面角等于\_\_（答：![](./data/image/media/image2693.wmf)） ⑺在三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)![](./data/image/media/image2694.wmf)顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)![](./data/image/media/image2694.wmf)顶点在底上射影为底面垂心；③顶点到底面三角形各边的距离相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底面上的射影在底面三角形内![](./data/image/media/image2694.wmf)顶点在底上射影为底面内心.提醒：③若顶点在底面上的射影在底面三角形外，则顶点在底上射影为底面的旁心。 ⑻正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。 **十、排列、组合和二项式定理** **1.排列数**![](./data/image/media/image2695.wmf)**中**![](./data/image/media/image2696.wmf)**、组合数**![](./data/image/media/image2697.wmf)中![](./data/image/media/image2698.wmf). **(1)排列数公式** ![](./data/image/media/image2699.wmf)；![](./data/image/media/image2700.wmf)。**如（1）**1！+2！+3！+...+n！（![](./data/image/media/image2701.wmf)）的个位数字为 [ ]{.underline} （答：3）；**（2）**满足![](./data/image/media/image2702.wmf)的![](./data/image/media/image130.wmf)＝ [ ]{.underline} （答：8） **(2)组合数公式** ![](./data/image/media/image2703.wmf)；规定![](./data/image/media/image2704.wmf)，![](./data/image/media/image2705.wmf).**如**已知![](./data/image/media/image2706.wmf)，求 n，m的值（答：m＝n＝2） **(3)排列数、组合数的性质：**①![](./data/image/media/image2707.wmf)；②![](./data/image/media/image2708.wmf)；③![](./data/image/media/image2709.wmf)；④![](./data/image/media/image2710.wmf)；⑤![](./data/image/media/image2711.wmf)；⑥![](./data/image/media/image2712.wmf). **2.解排列组合问题的依据是**：**分类相加**（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），**分步相乘**（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），**有序排列，无序组合**．**如（1）**将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 [ ]{.underline} 种（答：![](./data/image/media/image2713.wmf)）；**（2）**从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 [ ]{.underline} 种（答：70）；**（3）**从集合![](./data/image/media/image2714.wmf)和![](./data/image/media/image2715.wmf)中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是\_\_\_（答：23）；**（4）**72的正约数（包括1和72）共有 [ ]{.underline} 个（答：12）；**（5）**![](./data/image/media/image2716.wmf)的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同![](./data/image/media/image2716.wmf)的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成\_\_\_\_\_个三角形（答：90）；**（6）**用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 [ ]{.underline} 种不同涂法（答：480）；**（7）**同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 [ ]{.underline} 种（答：9）；**（8）**![](./data/image/media/image2717.wmf)是集合![](./data/image/media/image2718.wmf)到集合![](./data/image/media/image2719.wmf)的映射，且![](./data/image/media/image2720.wmf) ![](./data/image/media/image2721.wmf)，则不同的映射共有 [ ]{.underline} 个（答：7）；**（9）**满足![](./data/image/media/image2722.wmf)的集合A、B、C共有 [ ]{.underline} 组（答：![](./data/image/media/image2723.wmf)） **3.解排列组合问题的方法有**： （1）**特殊元素、特殊位置优先法**（**元素优先法**：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；**位置优先法**：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。**如（1）**某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有\_\_\_\_\_种（答：300）；**（2）**某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0. 千位、百位上都能取0. 这样设计出来的密码共有\_\_\_\_\_\_\_种（答：100）；**（3）**用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数\_\_\_\_\_\_\_个（答：156）；**（4）**某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为\_\_\_\_\_（答：6）；**（5）**四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。①恰有两个空盒的放法有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_种；②甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有\_\_\_\_\_\_\_\_\_种（答：84；96）；**（6）**设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有\_\_\_\_\_\_\_\_\_种（答：31） （2）**间接法**（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。**如**在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角形的个数为\_\_\_\_\_（答：15）。 （3）**相邻问题捆绑法**（把相邻的若干个特殊元素"捆绑"为一个大元素，然后再与其余"普通元素"全排列，最后再"松绑"，将特殊元素在这些位置上全排列）。**如（1）**把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为\_\_\_\_\_（答：2880）；**（2）**某人射击８枪，命中４枪，４枪命中中恰好有３枪连在一起的情况的不同种数为\_\_\_\_\_（答：20）；**（3）**把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是\_\_\_\_\_（答：144） （4）**不相邻(相间)问题插空法**（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。**如（1）**3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有\_\_\_\_\_\_\_种（答：24）；**（2）**某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为\_\_\_\_\_（答：42）。 （5）**多排问题单排法**。**如**若2n个学生排成一排的排法数为x，这2 n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x,y的大小关系为\_\_\_\_\_（答：相等）； （6）**多元问题分类法**。**如（1）**某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有\_\_\_\_\_\_\_种（答：15）；**（2）**某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有\_\_\_\_\_\_种（答：36）；**（3）**9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，选拨的方法有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_种（答：90）； （7）**有序问题组合法**。**如（1）**书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有 [ ]{.underline} 种不同的放法（答：20）；**（2）**百米决赛有6名运动A、B、C、D、E、F参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员A比运动员F先到终点的比赛结果共有\_\_\_\_\_种（答：360）；**（3）**学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩![](./data/image/media/image2724.wmf)且满足![](./data/image/media/image2725.wmf)，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有\_\_\_\_\_种（答：15）；**（4）**设集合![](./data/image/media/image2726.wmf)，对任意![](./data/image/media/image2727.wmf)，有![](./data/image/media/image2728.wmf)，则映射![](./data/image/media/image2729.wmf)的个数是\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2730.wmf)）；**（5）**如果一个三位正整数形如"![](./data/image/media/image2731.wmf)"满足![](./data/image/media/image2732.wmf)，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为\_\_\_\_\_（答：240）；**（6）**离心率等于![](./data/image/media/image2733.wmf)(其中![](./data/image/media/image2734.wmf)且![](./data/image/media/image2735.wmf))的不同形状的的双曲线的个数为\_\_\_\_\_（答：26）。 （8）**选取问题先选后排法**。**如**某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是\_\_\_\_\_（答：576）。 （9）**至多至少问题间接法**。**如**从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有\_\_\_\_\_\_\_种（答：596） （10）**相同元素分组可采用隔板法**。**如（1）**10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15）；**（2）**某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84） **4、分组问题**：要注意区分是**平均**分组还是**非平均**分组，**平均分成n组问题别忘除以n！**。**如**4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有\_\_\_\_\_\_\_种（答：37440）； **5.二项式定理**：![](./data/image/media/image2736.wmf)，其中组合数![](./data/image/media/image2737.wmf)叫做第*r*+1项的二项式系数；展开式共有*n*+1项，其中第*r*+l项![](./data/image/media/image2738.wmf) ![](./data/image/media/image2739.wmf)称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项.**特别提醒**：**（1）**项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如**在**![](./data/image/media/image2740.wmf)**的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为**![](./data/image/media/image2741.wmf)**，第ｒ＋１项的系数为**![](./data/image/media/image2742.wmf)；而![](./data/image/media/image2743.wmf)**的展开式中的系数就是二项式系数；（2）**当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；**（3）**审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？**如（1）**![](./data/image/media/image2744.wmf)的展开式中常数项是\_\_\_\_（答：14）；**（2）**![](./data/image/media/image2745.wmf)的展开式中的![](./data/image/media/image2746.wmf)的系数为\_\_\_\_\_\_ [ ]{.underline} （答：330）；**（3）**数![](./data/image/media/image2747.wmf)的末尾连续出现零的个数是\_\_\_\_（答：3）；**(4)**![](./data/image/media/image2748.wmf)展开后所得的![](./data/image/media/image130.wmf)的多项式中，系数为有理数的项共有\_\_\_\_项（答：7）；**(5)**若![](./data/image/media/image2749.wmf)的值能被5整除，则![](./data/image/media/image2750.wmf)的可取值的个数有\_\_\_\_个（答：5）；**(6)**若![](./data/image/media/image2751.wmf)二项式![](./data/image/media/image2752.wmf)按![](./data/image/media/image2753.wmf)降幂展开后，其第二项不大于第三项，则![](./data/image/media/image2754.wmf) 的取值范围是 [ ]{.underline} （答：![](./data/image/media/image2755.wmf)）；**(7)**函数![](./data/image/media/image2756.wmf)的最大值是\_\_\_\_\_\_\_（答：1024）. **6、二项式系数的性质：** （1）**对称性**：与首末两端"等距离"的两个二项式系数相等，即![](./data/image/media/image2757.wmf)； （2）**增减性与最大值**：当![](./data/image/media/image2758.wmf)时，二项式系数C![](./data/image/media/image2759.wmf)的值逐渐增大，当![](./data/image/media/image2760.wmf)时,C![](./data/image/media/image2759.wmf)的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第![](./data/image/media/image2761.wmf)＋1项）的二项式系数![](./data/image/media/image2762.wmf)取得最大值。当n为奇数时，中间两项（第![](./data/image/media/image2763.wmf)和![](./data/image/media/image2764.wmf)＋1项）的二项式系数![](./data/image/media/image2765.wmf)相等并同时取最大值。**如（1）**在二项式![](./data/image/media/image2766.wmf)的展开式中，系数最小的项的系数为\_\_\_\_\_\_（答：－426）；**（2）**在![](./data/image/media/image2767.wmf)的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则![](./data/image/media/image713.wmf)＝\_\_\_\_（答：17,18或19）。 （3）**二项式系数的和**：![](./data/image/media/image2768.wmf)![](./data/image/media/image2769.wmf)；![](./data/image/media/image2770.wmf) ![](./data/image/media/image2771.wmf)![](./data/image/media/image2772.wmf)。**如（1）**如果![](./data/image/media/image2773.wmf)，则![](./data/image/media/image2774.wmf) [ ]{.underline} （答：128）；**（2）**化简![](./data/image/media/image2775.wmf)（答：![](./data/image/media/image2776.wmf)） **7、赋值法**：应用"赋值法"可求得二项展开式中各项系数和为![](./data/image/media/image652.wmf)、"奇数 (偶次)项"系数和为![](./data/image/media/image2777.wmf)，以及"偶数 (奇次)项"系数和为![](./data/image/media/image2778.wmf)。**如（1）**已知![](./data/image/media/image2779.wmf)，则![](./data/image/media/image2780.wmf)等于\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2781.wmf)）；**（2）**![](./data/image/media/image2782.wmf)，则![](./data/image/media/image2783.wmf)＋ ![](./data/image/media/image2784.wmf)＝\_\_\_\_\_（答：2004）；**（3）**设![](./data/image/media/image2785.wmf),则![](./data/image/media/image2786.wmf)\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2787.wmf)）。 **8、系数最大项的求法：设第**![](./data/image/media/image2788.wmf)**项的系数**![](./data/image/media/image2789.wmf)最大，由不等式组![](./data/image/media/image2790.wmf)确定![](./data/image/media/image2788.wmf)。**如**求![](./data/image/media/image2791.wmf)的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。（答：系数绝对值最大的项为![](./data/image/media/image2792.wmf)，系数最大的项为![](./data/image/media/image2793.wmf)） **9、二项式定理的应用**：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。**如（1）**(0.998)^5^精确到0.001近似值为\_\_\_\_\_\_\_\_（答：0.990）；**（2）**![](./data/image/media/image2794.wmf)被4除所得的余数为\_\_\_\_\_（答：0）；**（3）**今天是星期一，100^45^天后是星期\_\_\_\_\_（答：二）；**（4）**求证：![](./data/image/media/image2795.wmf)能被64整除；**（5）**求证：![](./data/image/media/image2796.wmf) **十一、概率** **１．随机事件**![](./data/image/media/image2797.wmf)**的概率**![](./data/image/media/image2798.wmf)，其中当![](./data/image/media/image2799.wmf)**时称为必然事件**；当![](./data/image/media/image2800.wmf)**时称为不可能事件**P(A)=0； **2**.**等可能事件的概率**（古典概率）**：** P(A)=![](./data/image/media/image2801.wmf)。理解这里m、ｎ的意义。**如（1）**将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2802.wmf)）；**（2）**设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。（答：①![](./data/image/media/image2803.wmf)；②![](./data/image/media/image2804.wmf)；③![](./data/image/media/image2805.wmf)；④![](./data/image/media/image2804.wmf)） > **3、互斥事件**：（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生）。计算公式：*P*(*A*+*B*)＝*P*(*A*)+*P*(*B*)。**如（1）**有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率。（答：![](./data/image/media/image2806.wmf)）；**（2）**甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为0.3和0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.42^5^=0.013，结果保留两位小数）\_\_\_\_\_\_（答：0.51）；**（3）**有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得到 ![](./data/image/media/image2807.wmf) ，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P（0）的值是 [ ]{.underline} （答：![](./data/image/media/image2808.wmf)） **4、对立事件**：（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）。计算公式是：P（A）+ P(B)＝１；*P*(![](./data/image/media/image2809.wmf))=1－*P*(*A*)； > **5、独立事件：**（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A•B)＝P(A) • P(B) 。**提醒**：**（1）**如果事件A、B独立，那么事件A与![](./data/image/media/image2810.wmf)、![](./data/image/media/image2811.wmf)与![](./data/image/media/image2812.wmf)及事件![](./data/image/media/image2813.wmf)与![](./data/image/media/image2814.wmf)也都是独立事件；**（2）**如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（A![](./data/image/media/image2815.wmf)B）＝1－P(A)P(B)；**（3）**如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（![](./data/image/media/image2813.wmf)![](./data/image/media/image2816.wmf)![](./data/image/media/image2814.wmf)）＝1－P(![](./data/image/media/image2813.wmf))P(![](./data/image/media/image2814.wmf))。**如（1）**设两个独立事件A和B都不发生的概率为![](./data/image/media/image2817.wmf),A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2818.wmf)）；**（2）**某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得0分，假设这位同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响，则这名同学得300分的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_;这名同学至少得300分的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：0.228；0.564）；**（3）**袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2819.wmf)）；**（4）**一项"过关游戏"规则规定：在第![](./data/image/media/image2820.wmf)关要抛掷一颗骰子![](./data/image/media/image2820.wmf)次，如果这![](./data/image/media/image2820.wmf)次抛掷所出现的点数之和大于![](./data/image/media/image2821.wmf)，则算过关，那么，连过前二关的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2822.wmf)）；**（5）**有甲、乙两口袋，甲袋中有六张卡片，其中一张写有0，两张写有1，三张写有2；乙袋中有七张卡片，四张写有0，一张写有1，两张写有2，从甲袋中取一张卡片，乙袋中取两张卡片。设取出的三张卡片的数字乘积的可能值为![](./data/image/media/image2823.wmf)且![](./data/image/media/image2824.wmf)，其相应的概率记为![](./data/image/media/image2825.wmf)，则![](./data/image/media/image2826.wmf)的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2827.wmf)）；**（6）**平面上有两个质点A、B分别位于（0，0）、（2，2）点，在某一时刻同时开始每隔1秒钟向上下左右四个方向中的任何一个方向移动1个单位，已知质点A向左、右移动的概率都是![](./data/image/media/image2828.wmf)，向上、下移动的概率分别是![](./data/image/media/image2829.wmf)和p，质点B向四个方向中的任何一个方向移动的概率都是q。①求p和q的值；②试判断最少需要几秒钟，A、B能同时到达D（1，2）点？并求出在最短时间内同时到达的概率. （答：①![](./data/image/media/image2830.wmf)**；**②**3秒；**![](./data/image/media/image2831.wmf)） > > **6、独立事件重复试验**：事件A在n次独立重复试验中恰好发生了![](./data/image/media/image2832.wmf)次的概率![](./data/image/media/image2833.wmf)**(**是二项展开式![](./data/image/media/image2834.wmf)的第*k*+1项**)**，其中![](./data/image/media/image2835.wmf)为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。**如（1）**小王通过英语听力测试的概率是![](./data/image/media/image2836.wmf)，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2837.wmf)）；**（2）**冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等，则甲种饮料饮用完毕时乙种饮料还剩下3瓶的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2838.wmf)） **提醒：（1）探求**一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在*n*次实验中恰有*k*次发生的概率，但要注意公式的使用条件。**（2）**事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；**（3）**概率问题的解题规范：①先设事件A="..."， B="..."；②列式计算；③作答。 **十二.统计** > **1.抽样方法**：(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中的个体有明显差异。**共同点**：每个个体被抽到的概率都相等![](./data/image/media/image2839.wmf)。**如（1）**某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95。为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，把这种抽样记为A；某中学高中一年级有12名女排运动员，要从中选取3人调查学习负担的情况，把这种抽样记为B，那么完成上述两项调查应分别采用的抽样方法：A为\_\_\_\_\_\_\_，B为\_\_\_\_\_。（答：分层抽样，简单随机抽样）；**（2）**从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2840.wmf)）；**（3）**某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n= \_\_\_\_\_\_\_（答：200）；**（4）**容量为100的样本拆分成10组，前7组的频率之和为0.79，而剩下的三组的频数组成等比数列，且其公比不为1，则剩下的三组中频数最大的一组的频率是\_\_\_\_\_\_（答：0.16）；**（5）**用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，则某一个体![](./data/image/media/image2841.wmf)"第一次被抽到的概率"，"第一次未被抽到，第二次被抽到的概率"，"在整个抽样过程中被抽到的概率"分别是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2842.wmf)）；**（6）**某班试用电子投票系统选举班干部候选人。全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，...，k，规定：同意按"1"，不同意（含弃权）按"0"，令![](./data/image/media/image2843.wmf)，其中![](./data/image/media/image2844.wmf)，则同时同意第1,2号同学当选的人数为 A．![](./data/image/media/image2845.wmf) B．![](./data/image/media/image2846.wmf) C．![](./data/image/media/image2847.wmf) D．![](./data/image/media/image2848.wmf)（答：C） > > **2.总体分布的估计：**用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数估计总体平均数（即总体期望值――描述一个总体的平均水平）；用样本方差估计总体方差（方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差或标准差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即越稳定）。一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。总体估计要掌握：(1)"表"(频率分布表)；（2）"图"(频率分布直方图)。**提醒**：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，**小矩形的面积表示频率**。**如（1）**一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下： (10,20\],2；(20,30\],3；(30,40\],4；(40,50\],5；(50,60\],4；(60,70\],2；则样本在区间![](./data/image/media/image2849.wmf)上的频率为　　A．5% B．25% C．50% D．70%（答：D）；**（2）**已知样本：10 8 6 10 13 8 10 12 11 7 8 9 11 9 12 9 10 11 12 12 ，那么频率为0.3的范围是 A．5.5～7.5 B．7.5～9.5 C．9.5～11.5 D．11.5～13.5![](./data/image/media/image2850.wmf)（答：B）；**（3）**观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图1所示，则新生儿的体重在\[2700，3000\]的频率为\_\_\_\_\_\_\_（答：0.3）；**（4）**如图2是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=200），若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是[\_\_\_\_\_]{.underline}（答：120）； 图1　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2 > **（5）**对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下： ----------- ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- 寿命（h） 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600 个数 20 30 80 40 30 ----------- ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- > （1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率（答：（1）（2）略　（3）0.65） **3、样本平均数**： ![](./data/image/media/image2852.wmf)。**如**有一组数据：*x*~1~,*x*~2~,...,*x*~n~(*x*~1~≤*x*~2~≤...≤*x*~n~)，它们的算术平均值为20，若去掉其中的*x*~n~，余下数据的算术平均值为18，则*x*~n~关于n的表达式为 [ ]{.underline} （答：![](./data/image/media/image2853.wmf)）。 **4、样本方差**：![](./data/image/media/image2854.wmf)![](./data/image/media/image2855.wmf)； 样本标准差：![](./data/image/media/image2856.wmf)。 **如（1）**甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环) ---- ---- ---- --- --- --- 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 ---- ---- ---- --- --- --- 如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的应是 [ ]{.underline} （答：甲）；**（2）**已知实数![](./data/image/media/image2857.wmf)的期望值为![](./data/image/media/image2858.wmf)，方差为![](./data/image/media/image2859.wmf)，![](./data/image/media/image2860.wmf)，若![](./data/image/media/image2861.wmf)，则一定有 A．![](./data/image/media/image2862.wmf) B．![](./data/image/media/image2863.wmf) C．![](./data/image/media/image2864.wmf) D．![](./data/image/media/image2865.wmf)与![](./data/image/media/image2866.wmf)无法比较大小（答：B）；**（3）**某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表： +--------+--------+------+ | 统计量 | 平均分 | 方差 | | | | | | 组别 | | | +--------+--------+------+ | 第1组 | 80 | 16 | +--------+--------+------+ | 第2组 | 90 | 36 | +--------+--------+------+ > 则全班的平均分为\_\_\_\_\_\_\_，方差为\_\_\_\_\_\_（答：85,51） **提醒**：若![](./data/image/media/image2867.wmf)的平均数为![](./data/image/media/image2868.wmf)，方差为![](./data/image/media/image2869.wmf)，则![](./data/image/media/image2870.wmf)的平均数为![](./data/image/media/image2871.wmf)，方差为![](./data/image/media/image2872.wmf)。**如**已知数据![](./data/image/media/image2873.wmf)的平均数![](./data/image/media/image2874.wmf)，方差![](./data/image/media/image2875.wmf)，则数据![](./data/image/media/image2876.wmf)的平均数和标准差分别为 A．15，36 B．22，6 C．15，6 D．22，36 （答：B） **十三.导数** **1、导数的背景**：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 **如**一物体的运动方程是![](./data/image/media/image2877.wmf)，其中![](./data/image/media/image2878.wmf)的单位是米，![](./data/image/media/image2879.wmf)的单位是秒，那么物体在![](./data/image/media/image2880.wmf)时的瞬时速度为\_\_\_\_\_（答：5米/秒） **2、导函数的概念**：如果函数![](./data/image/media/image2881.wmf)在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个![](./data/image/media/image2882.wmf)，都对应着一个导数 ![](./data/image/media/image2883.wmf) ，这样![](./data/image/media/image2881.wmf)在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做![](./data/image/media/image2881.wmf)在开区间（a,b）内的导函数， 记作 ![](./data/image/media/image2884.wmf) ![](./data/image/media/image2885.wmf)，导函数也简称为导数。 **3、求**![](./data/image/media/image2886.wmf)**在**![](./data/image/media/image2887.wmf)**处的导数的步骤**：（1）求函数的改变量![](./data/image/media/image2888.wmf)；（2）求平均变化率![](./data/image/media/image2889.wmf)；（3）取极限，得导数![](./data/image/media/image2890.wmf)。 > **4、导数的几何意义**：函数![](./data/image/media/image2881.wmf)在点![](./data/image/media/image2882.wmf)处的导数的几何意义，就是曲线![](./data/image/media/image2891.wmf)在点![](./data/image/media/image2892.wmf)处的切线的斜率，即曲线![](./data/image/media/image2891.wmf)在点![](./data/image/media/image2892.wmf)处的切线的斜率是![](./data/image/media/image2893.wmf)，相应地切线的方程是![](./data/image/media/image2894.wmf)。**特别提醒**：**（1）**在求曲线的切线方程时，要注意**区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线**：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；**（2）**在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是![](./data/image/media/image2895.wmf)。**如（1）**P在曲线![](./data/image/media/image2896.wmf)上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2897.wmf)）；**（2）**直线![](./data/image/media/image2898.wmf)是曲线![](./data/image/media/image2899.wmf)的一条切线,则实数![](./data/image/media/image2900.wmf)的值为\_\_\_\_\_\_\_（答：－3或1）；**（3）**已知函数![](./data/image/media/image2901.wmf)（![](./data/image/media/image2902.wmf)为常数）图象上![](./data/image/media/image2562.wmf)处的切线与![](./data/image/media/image2903.wmf)的夹角为![](./data/image/media/image2904.wmf)，则![](./data/image/media/image2562.wmf)点的横坐标为\_\_\_\_\_（答：0或![](./data/image/media/image2905.wmf)）；**（4）**曲线![](./data/image/media/image2906.wmf)在点![](./data/image/media/image2907.wmf)处的切线方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2908.wmf)）；**（5）**已知函数![](./data/image/media/image2909.wmf)，又导函数![](./data/image/media/image2910.wmf)的图象与![](./data/image/media/image2753.wmf)轴交于![](./data/image/media/image2911.wmf)。①求![](./data/image/media/image87.wmf)的值；②求过点![](./data/image/media/image2912.wmf)的曲线![](./data/image/media/image2913.wmf)的切线方程（答：①1；②![](./data/image/media/image2914.wmf)或![](./data/image/media/image2915.wmf)）。 **5、导数的运算法则**：（1）常数函数的导数为0，即![](./data/image/media/image2916.wmf)（C为常数）；　（2）![](./data/image/media/image2917.wmf)，与此有关的如下：![](./data/image/media/image2918.wmf)；（3）若![](./data/image/media/image2919.wmf)有导数，则①![](./data/image/media/image2920.wmf)；②![](./data/image/media/image2921.wmf)。**如（1）**已知函数![](./data/image/media/image2922.wmf)的导数为![](./data/image/media/image2923.wmf)，则![](./data/image/media/image2924.wmf)\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2925.wmf)）；**（2）**函数![](./data/image/media/image2926.wmf)的导数为­­\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2927.wmf)）；**（3）**若对任意![](./data/image/media/image2928.wmf)，![](./data/image/media/image2929.wmf)，则![](./data/image/media/image2930.wmf)是\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2931.wmf)） **6、多项式函数的单调性：** **（1）多项式函数的导数与函数的单调性**： **①**若![](./data/image/media/image2932.wmf),则![](./data/image/media/image2933.wmf)为增函数；若![](./data/image/media/image2934.wmf),则![](./data/image/media/image2933.wmf)为减函数；若![](./data/image/media/image2935.wmf)恒成立,则![](./data/image/media/image2933.wmf)为常数函数；若![](./data/image/media/image2936.wmf)的符号不确定,则![](./data/image/media/image2933.wmf)不是单调函数。 **②**若函数![](./data/image/media/image2937.wmf)在区间（![](./data/image/media/image2938.wmf)）上单调递增，则![](./data/image/media/image2939.wmf)，**反之等号不成立**；若函数![](./data/image/media/image2937.wmf)在区间（![](./data/image/media/image2938.wmf)）上单调递减，则![](./data/image/media/image2940.wmf)，**反之等号不成立**。**如（1）**函数![](./data/image/media/image2941.wmf)，其中![](./data/image/media/image2942.wmf)为实数，当![](./data/image/media/image2943.wmf)时，![](./data/image/media/image2930.wmf)的单调性是\_\_\_\_\_\_（答：增函数）；**（2）**设![](./data/image/media/image2944.wmf)函数![](./data/image/media/image2945.wmf)在![](./data/image/media/image2946.wmf)上单调函数，则实数![](./data/image/media/image87.wmf)的取值范围\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2947.wmf)）；**（3）**已知函数![](./data/image/media/image2948.wmf)为常数）在区间![](./data/image/media/image2949.wmf)上单调递增，且方程![](./data/image/media/image2950.wmf)的根都在区间![](./data/image/media/image2951.wmf)内，则![](./data/image/media/image2482.wmf)的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2952.wmf)）；**（4）**已知![](./data/image/media/image2953.wmf)，![](./data/image/media/image2954.wmf)，设![](./data/image/media/image2955.wmf)，试问是否存在实数![](./data/image/media/image2956.wmf)，使![](./data/image/media/image2957.wmf)在![](./data/image/media/image2958.wmf)上是减函数，并且在![](./data/image/media/image2959.wmf)上是增函数？（答：![](./data/image/media/image2960.wmf)） **（2）利用导数求函数单调区间的步骤**：（1）求![](./data/image/media/image2936.wmf)；（2）求方程![](./data/image/media/image2935.wmf)的根，设根为![](./data/image/media/image2961.wmf)；（3）![](./data/image/media/image2961.wmf)将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断![](./data/image/media/image2936.wmf)的符号，由此确定每一子区间的单调性。**如**设函数![](./data/image/media/image2962.wmf)在![](./data/image/media/image2963.wmf)处有极值，且![](./data/image/media/image2964.wmf)，求![](./data/image/media/image647.wmf)的单调区间。（答：递增区间（－1,1），递减区间![](./data/image/media/image2965.wmf)） **7、函数的极值**： **（1）定义**：设函数![](./data/image/media/image2933.wmf)在点![](./data/image/media/image2887.wmf)附近有定义，如果对![](./data/image/media/image2887.wmf)附近所有的点，都有![](./data/image/media/image2966.wmf)，就说是![](./data/image/media/image320.wmf)函数![](./data/image/media/image2933.wmf)的一个极大值。记作![](./data/image/media/image2967.wmf)＝![](./data/image/media/image320.wmf)，如果对![](./data/image/media/image2887.wmf)附近所有的点，都有![](./data/image/media/image2968.wmf)，就说是![](./data/image/media/image320.wmf)函数![](./data/image/media/image2933.wmf)的一个极小值。记作![](./data/image/media/image2969.wmf)＝![](./data/image/media/image320.wmf)。极大值和极小值统称为极值。 **（2）求函数**![](./data/image/media/image2891.wmf)**在某个区间上的极值的步骤**：（i）求导数![](./data/image/media/image2936.wmf)；（ii）求方程![](./data/image/media/image2935.wmf)的根![](./data/image/media/image2887.wmf)；（iii）检查![](./data/image/media/image2936.wmf)在方程![](./data/image/media/image2935.wmf)的根![](./data/image/media/image2887.wmf)的左右的符号："左正右负"![](./data/image/media/image2970.wmf)![](./data/image/media/image422.wmf)在![](./data/image/media/image1960.wmf)处取极大值；"左负右正"![](./data/image/media/image2970.wmf)![](./data/image/media/image422.wmf)在![](./data/image/media/image1960.wmf)处取极小值。**特别提醒**：**（1）**![](./data/image/media/image2887.wmf)是极值点的充要条件是![](./data/image/media/image2887.wmf)点两侧导数异号，而不仅是![](./data/image/media/image2971.wmf)＝0，![](./data/image/media/image2971.wmf)＝0是![](./data/image/media/image2887.wmf)为极值点的必要而不充分条件。**（2）**给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑![](./data/image/media/image2972.wmf)，又要考虑检验"左正右负"("左负右正")的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ **如（1）**函数![](./data/image/media/image2973.wmf)的极值点是 A、极大值点![](./data/image/media/image2974.wmf) B、极大值点![](./data/image/media/image2975.wmf) C、极小值点![](./data/image/media/image2976.wmf) D、极小值点![](./data/image/media/image2977.wmf)（答：C）；**（2）**已知函数![](./data/image/media/image2978.wmf)有极大值和极小值，则实数![](./data/image/media/image2900.wmf)的取值范围是\_\_\_\_\_（答：![](./data/image/media/image2979.wmf)或![](./data/image/media/image2980.wmf)）；**（3）**函数![](./data/image/media/image2981.wmf)处有极小值10，则a+b的值为\_\_\_\_（答：－7）；**（4）**已知函数![](./data/image/media/image2982.wmf)在区间\[－1,2 \]上是减函数，那么*b*＋*c*有最\_\_\_值\_\_\_（答：大，![](./data/image/media/image2983.wmf)） **8、函数的最大值和最小值**： **（1）定义：**函数![](./data/image/media/image422.wmf)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的"最大值"；函数![](./data/image/media/image422.wmf)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的"最小值"。 **（2）求函数**![](./data/image/media/image2891.wmf)**在\[**![](./data/image/media/image2938.wmf)**\]上的最大值与最小值的步骤**：（1）求函数![](./data/image/media/image2891.wmf)在（![](./data/image/media/image2938.wmf)）内的极值（极大值或极小值）；（2）将![](./data/image/media/image2891.wmf)的各极值与![](./data/image/media/image2984.wmf)，![](./data/image/media/image2985.wmf)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。**如（1）**函数![](./data/image/media/image2986.wmf)在\[0，3\]上的最大值、最小值分别是\_\_\_\_\_\_（答：5；![](./data/image/media/image2987.wmf)）；**（2）**用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m。那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。（答：高为1.2米时，容积最大为![](./data/image/media/image2988.wmf)） > **特别注意**：（1）利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时，要注意列表！（2）要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题。**如（1）**![](./data/image/media/image2990.wmf)是![](./data/image/media/image2991.wmf)的导函数，![](./data/image/media/image2990.wmf)的图象如右图所示，则![](./data/image/media/image2991.wmf)的图象只可能是 ( 答：D ) **（2）**方程![](./data/image/media/image2993.wmf)的实根的个数为\_\_\_\_\_\_（答：1）；**（3）**已知函数![](./data/image/media/image2994.wmf)，抛物线![](./data/image/media/image2995.wmf)，当![](./data/image/media/image2996.wmf)时，函数![](./data/image/media/image647.wmf)的图象在抛物线![](./data/image/media/image2997.wmf)的上方，求![](./data/image/media/image2998.wmf)的取值范围（答：![](./data/image/media/image2999.wmf)）。 **十四、高考数学选择题的解题策略** 数学选择题在当今高考试卷中，不但题目多，而且占分比例高，即使今年江苏试题的题量发生了一些变化，选择题由原来的12题改为10题，但其分值仍占到试卷总分的三分之一。数学选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为高考成功的关键。 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免"超时失分"现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个"选"字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略。 **（一）数学选择题的解题方法** **1、直接法**：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 **例1**、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 　） ![](./data/image/media/image3000.wmf) **解析**：某人每次射中的概率为0.6，3次射击至少射中两次属独立重复实验。 ![](./data/image/media/image3001.wmf) 故选A。 **例2**、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线*l*有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直。其中正确命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 **解析**：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D。 **例3**、已知F~1~、F~2~是椭圆![](./data/image/media/image3002.wmf)+![](./data/image/media/image3003.wmf)=1的两焦点，经点F~2~的的直线交椭圆于点A、B，若\|AB\|=5，则\|AF~1~\|+\|BF~1~\|等于（ ） A．11 B．10 C．9 D．16 **解析**：由椭圆的定义可得\|AF~1~\|+\|AF~2~\|=2a=8,\|BF~1~\|+\|BF~2~\|=2a=8，两式相加后将\|AB\|=5=\|AF~2~\|+\|BF~2~\|代入，得\|AF~1~\|+\|BF~1~\|＝11，故选A。 **例4**、已知![](./data/image/media/image3004.wmf)在\[0，1\]上是![](./data/image/media/image3005.wmf)的减函数，则a的取值范围是（ ） A．（0，1） 　　B．（1，2）　　　C．（0，2） D．\[2，+∞） **解析**：∵a\>0,∴y~1~=2-ax是减函数，∵ ![](./data/image/media/image3004.wmf)在\[0，1\]上是减函数。 ∴a\>1，且2-a\>0，∴1\<a\<2，故选B。 **2、特例法**：就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。 **（1）特殊值** **例5**、若sinα\>tanα\>cotα(![](./data/image/media/image3006.wmf))，则α∈（ ） A．(![](./data/image/media/image3007.wmf)，![](./data/image/media/image3008.wmf)) B．（![](./data/image/media/image3009.wmf)，0）　　C．（0，![](./data/image/media/image3010.wmf)） D．（![](./data/image/media/image3011.wmf)，![](./data/image/media/image3012.wmf)） **解析**：因![](./data/image/media/image3006.wmf)，取α=－![](./data/image/media/image3013.wmf)代入sinα\>tanα\>cotα，满足条件式，则排除A、C、D，故选B。 **例6**、一个等差数列的前n项和为48，前2n项和为60，则它的前3n项和为（ ） A．－24 B．84 C．72 D．36 **解析**：结论中不含n，故本题结论的正确性与n取值无关，可对n取特殊值，如n=1，此时a~1~=48,a~2~=S~2~－S~1~=12，a~3~=a~1~+2d= －24，所以前3n项和为36，故选D。 **（2）特殊函数** **例7**、如果奇函数f(x) 是\[3，7\]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间\[－7，－3\]上是（ ） A.增函数且最小值为－5 B.减函数且最小值是－5 C.增函数且最大值为－5 D.减函数且最大值是－5 **解析**：构造特殊函数f(x)=![](./data/image/media/image3014.wmf)x，虽然满足题设条件，并易知f(x)在区间\[－7，－3\]上是增函数，且最大值为f(-3)=-5，故选C。 **例8**、定义在R上的奇函数f(x)为减函数，设a+b≤0，给出下列不等式：①f(a)·f(－a)≤0；②f(b)·f(－b)≥0；③f(a)+f(b)≤f(－a)+f(－b)；④f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b)。其中正确的不等式序号是（ ） A．①②④ B．①④ C．②④ D．①③ **解析**：取f(x)= －x，逐项检查可知①④正确。故选B。 **（3）特殊数列** **例9**、已知等差数列![](./data/image/media/image3015.wmf)满足![](./data/image/media/image3016.wmf)，则有　　　　　　　（　　　） A、![](./data/image/media/image3017.wmf)　　B、![](./data/image/media/image3018.wmf)　　C、![](./data/image/media/image3019.wmf)　　D、![](./data/image/media/image3020.wmf) **解析**：取满足题意的特殊数列![](./data/image/media/image3021.wmf)，则![](./data/image/media/image3022.wmf)，故选C。 **（4）特殊位置** **例10**、过![](./data/image/media/image3023.wmf)的焦点![](./data/image/media/image2279.wmf)作直线交抛物线与![](./data/image/media/image3024.wmf)两点，若![](./data/image/media/image3025.wmf)与![](./data/image/media/image3026.wmf)的长分别是![](./data/image/media/image3027.wmf)，则![](./data/image/media/image3028.wmf) （ ） A、![](./data/image/media/image3029.wmf) B、![](./data/image/media/image3030.wmf) C、![](./data/image/media/image3031.wmf) D、 ![](./data/image/media/image3032.wmf) **解析**：考虑特殊位置PQ⊥OP时，![](./data/image/media/image3033.wmf)，所以![](./data/image/media/image3034.wmf)，故选C。 **例11**、向高为![](./data/image/media/image3035.wmf)的水瓶中注水，注满为止，如果注水量![](./data/image/media/image3036.wmf)与水深![](./data/image/media/image3037.wmf)的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是 ( ) ![](./data/image/media/image3038.png)![](./data/image/media/image3039.png) **解析**：取![](./data/image/media/image3040.wmf)，由图象可知，此时注水量![](./data/image/media/image3036.wmf)大于容器容积的![](./data/image/media/image3041.wmf)，故选B。 **（5）特殊点** **例12**、设函数![](./data/image/media/image3042.wmf)，则其反函数![](./data/image/media/image3043.wmf)的图像是　　　　（ ） ![](./data/image/media/image3044.png) 　　　A、　　　　　　　B、　　　　　　　　C、　　　　　　　　　D、 **解析**：由函数![](./data/image/media/image3042.wmf)，可令x=0，得y=2；令x=4，得y=4，则特殊点(2,0)及(4,4)都应在反函数f^－1^(x)的图像上，观察得A、C。又因反函数f^－1^(x)的定义域为![](./data/image/media/image3045.wmf)，故选C。 **（6）特殊方程** **例13**、双曲线b^2^x^2^－a^2^y^2^=a^2^b^2^ (a\>b\>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos![](./data/image/media/image3046.wmf)等于（ ） A．e B．e^2^ C．![](./data/image/media/image3047.wmf) D．![](./data/image/media/image3048.wmf) **解析**：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为![](./data/image/media/image3049.wmf)－![](./data/image/media/image3050.wmf)=1，易得离心率e=![](./data/image/media/image3051.wmf),cos![](./data/image/media/image3046.wmf)=![](./data/image/media/image3052.wmf)，故选C。 **（7）特殊模型** **例14**、如果实数x,y满足等式(x－2)^2^+y^2^=3，那么![](./data/image/media/image3053.wmf)的最大值是（ ） A．![](./data/image/media/image1059.wmf) B．![](./data/image/media/image3054.wmf) C．![](./data/image/media/image3055.wmf) D．![](./data/image/media/image3056.wmf) **解析**：题中![](./data/image/media/image3057.wmf)可写成![](./data/image/media/image3058.wmf)。联想数学模型：过两点的直线的斜率公式k=![](./data/image/media/image3059.wmf)，可将问题看成圆(x－2)^2^+y^2^=3上的点与坐标原点O连线的斜率的最大值，即得D。 ![](./data/image/media/image3060.png)**3、图解法**：就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结合思想，每年高考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速。 **例15**、已知α、β都是第二象限角，且cosα\>cosβ，则（　） A．α\<β B．sinα\>sinβ C．tanα\>tanβ D．cotα\<cotβ **解析**：在第二象限角内通过余弦函数线cosα\>cosβ找出α、β的终边位置关系，再作出判断，得B。 **例16**、已知![](./data/image/media/image3064.wmf)、![](./data/image/media/image3065.wmf)均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜![](./data/image/media/image3064.wmf)＋3![](./data/image/media/image3065.wmf)\|=　　　　　　（　　） A．![](./data/image/media/image3066.wmf)　　B．![](./data/image/media/image3067.wmf)　　　C．![](./data/image/media/image3068.wmf) D．4 　　**解析**：如图，![](./data/image/media/image3064.wmf)＋3![](./data/image/media/image3065.wmf)＝![](./data/image/media/image3069.wmf)，在![](./data/image/media/image3070.wmf)中，![](./data/image/media/image3071.wmf)由余弦定理得｜![](./data/image/media/image3064.wmf)＋3![](./data/image/media/image3065.wmf)\|=｜![](./data/image/media/image3069.wmf)｜＝![](./data/image/media/image3068.wmf)，故选C。 **例17**、已知{a~n~}是等差数列，a~1~=-9,S~3~=S~7~,那么使其前n项和S~n~最小的n是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 **解析**：等差数列的前n项和S~n~=![](./data/image/media/image3073.wmf)n^2^+(a~1~-![](./data/image/media/image3074.wmf))n可表示 为过原点的抛物线，又本题中a~1~=-9\<0, S~3~=S~7~,可表示如图， 由图可知，n=![](./data/image/media/image3075.wmf),是抛物线的对称轴，所以n=5是抛 物线的对称轴，所以n=5时S~n~最小，故选B。 **4、验证法**：就是将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法。在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。 **例18**、计算机常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0---9和字母A---F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表： ---------- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ---- ---- ---- ---- 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ---------- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ---- ---- ---- ---- ---- 例如：用十六进制表示E+D=1B，则A×B=　　　　　　　　　　　　　　　　（　　） A.6E B.72 C.5F D.BO **解析**：采用代入检验法，A×B用十进制数表示为1×11=110,而 6E用十进制数表示为6×16＋14=110；72用十进制数表示为7×16＋2=114 5F用十进制数表示为5×16＋15=105；B0用十进制数表示为11×16＋0=176，故选A。 **例19**、方程![](./data/image/media/image3076.wmf)的解![](./data/image/media/image3077.wmf)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　( ) A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，+∞） **解析**：若![](./data/image/media/image3078.wmf)，则![](./data/image/media/image3079.wmf)，则![](./data/image/media/image3080.wmf)；若![](./data/image/media/image3081.wmf)，则![](./data/image/media/image3082.wmf)，则![](./data/image/media/image3083.wmf)；若![](./data/image/media/image3084.wmf)，则![](./data/image/media/image3082.wmf)，则![](./data/image/media/image3085.wmf)；若![](./data/image/media/image3086.wmf),则![](./data/image/media/image3087.wmf)，故选C。 **5、筛选法**（也叫排除法、淘汰法）：就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是"答案唯一"，即四个选项中有且只有一个答案正确。 **例20**、若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（ ） A．（1，![](./data/image/media/image3088.wmf)![](./data/image/media/image3089.wmf) B．（0，![](./data/image/media/image3055.wmf)![](./data/image/media/image3089.wmf) C．\[![](./data/image/media/image1059.wmf)，![](./data/image/media/image3090.wmf)\] 　D．（![](./data/image/media/image1059.wmf)，![](./data/image/media/image3090.wmf)![](./data/image/media/image3089.wmf) **解析**：因![](./data/image/media/image3091.wmf)为三角形中的最小内角，故![](./data/image/media/image3092.wmf)，由此可得y=sinx+cosx\>1，排除B,C,D，故应选A。 **例21**、原市话资费为每3分钟0.18元，现调整为前3分钟资费为0.22元，超过3分钟的，每分钟按0.11元计算，与调整前相比，一次通话提价的百分率（ ） A．不会提高70% B．会高于70%，但不会高于90% C．不会低于10% D．高于30%，但低于100% **解析**：取*x*＝4，*y*＝·100%≈－8.3%，排除C、D；取*x*＝30，*y* ＝ ·100%≈77.2%，排除A，故选B。 **例22**、给定四条曲线：①![](./data/image/media/image3093.wmf)，②![](./data/image/media/image3094.wmf)，③![](./data/image/media/image3095.wmf)，④![](./data/image/media/image3096.wmf),其中与直线![](./data/image/media/image3097.wmf)仅有一个交点的曲线是( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ **解析**：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选，而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆，故可先看②，显然直线和曲线![](./data/image/media/image3094.wmf)是相交的，因为直线上的点![](./data/image/media/image3098.wmf)在椭圆内，对照选项故选D。 **6、分析法**：就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择的方法。 ![](./data/image/media/image3099.png)（1）特征分析法------根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法，称为特征分析法。 **例23**、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线 表示它们有网线相联，连线标的数字表示该段网线单位时 间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传送信 息，信息可以分开沿不同的路线同时传送，则单位时间内 传递的最大信息量为（ ） A．26 B．24 C．20 D．19 **解析**：题设中数字所标最大通信量是限制条件，每一支要以最小值来计算，否则无法同时传送，则总数为3+4+6+6=19，故选D。 **例24**、设球的半径为R, P、Q是球面上北纬60^0^圈上的两点，这两点在纬度圈上的劣弧的长是![](./data/image/media/image3100.wmf)，则这两点的球面距离是　　　　　　　　　　　　　　　　（ ） A、![](./data/image/media/image3101.wmf) B、![](./data/image/media/image3102.wmf) C、![](./data/image/media/image3103.wmf) D、![](./data/image/media/image3104.wmf) **解析**：因纬线弧长＞球面距离＞直线距离，排除A、B、D，故选C。 **例25**、已知![](./data/image/media/image3105.wmf)，则![](./data/image/media/image3106.wmf)等于 （ ） A、![](./data/image/media/image3107.wmf) B、![](./data/image/media/image3108.wmf) C、![](./data/image/media/image2836.wmf) D、![](./data/image/media/image3109.wmf)　　 **解析**：由于受条件sin^2^θ+cos^2^θ=1的制约，故m为一确定的值，于是sinθ,cosθ的值应与m的值无关，进而推知tan![](./data/image/media/image3110.wmf)的值与m无关，又![](./data/image/media/image3111.wmf)\<θ\<π，![](./data/image/media/image3112.wmf)\<![](./data/image/media/image3110.wmf)\<![](./data/image/media/image3111.wmf),∴tan![](./data/image/media/image3110.wmf)\>1，故选D。 （2）逻辑分析法------通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，选出正确支的方法，称为逻辑分析法。 **例26**、设a,b是满足ab\<0的实数，那么　　　　　　　　　　　　　　　（ ） A．\|a+b\|\>\|a－b\| B．\|a+b\|\<\|a－b\| C．\|a－b\|\<\|a\|－\|b\| D．\|a－b\|\<\|a\|+\|b\| **解析**：∵A，B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C，D。又由ab\<0，可令a=1,b= －1，代入知B为真，故选B。 **例27**、![](./data/image/media/image3113.wmf)的三边![](./data/image/media/image3114.wmf)满足等式![](./data/image/media/image3115.wmf)，则此三角形必是（） 　　　A、以![](./data/image/media/image2998.wmf)为斜边的直角三角形　　B、以![](./data/image/media/image3116.wmf)为斜边的直角三角形 　　　C、等边三角形　　　　　　　　D、其它三角形 　　**解析**：在题设条件中的等式是关于![](./data/image/media/image3117.wmf)与![](./data/image/media/image3118.wmf)的对称式，因此选项在A、B为等价命题都被淘汰，若选项C正确，则有![](./data/image/media/image3119.wmf)，即![](./data/image/media/image3120.wmf)，从而C被淘汰，故选D。 **7、估算法**：就是把复杂问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，或把有关数值扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法。 **例28**、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。03年某地区农民人均收入为3150元（其中工资源共享性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自04年起的5年内，农民的工资源共享性收入将以每年的年增长率增长，其它性收入每年增加160元。根据以上数据，08年该地区人均收入介于　　　　　　　　　　　　　（ ） （A）4200元\~4400元 （B）4400元\~4460元 （C）4460元\~4800元 （D）4800元\~5000元 **解析**：08年农民工次性人均收入为：![](./data/image/media/image3121.wmf) ![](./data/image/media/image3122.wmf)![](./data/image/media/image3123.wmf)![](./data/image/media/image3124.wmf)![](./data/image/media/image3125.wmf) 又08年农民其它人均收入为1350+160![](./data/image/media/image3126.wmf)=2150 故08年农民人均总收入约为2405+2150=4555（元）。故选B。 **说明**：1、解选择题的方法很多，上面仅列举了几种常用的方法，这里由于限于篇幅，其它方法不再一一举例。需要指出的是对于有些题在解的过程中可以把上面的多种方法结合起来进行解题，会使题目求解过程简单化。 2、对于选择题一定要小题小做，小题巧做，切忌小题大做。"不择手段，多快好省"是解选择题的基本宗旨。 **（二）选择题的几种特色运算** **1、借助结论------速算** > **例29**、棱长都为![](./data/image/media/image3127.wmf)的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（　　） A、![](./data/image/media/image3128.wmf) B、![](./data/image/media/image3129.wmf) C、![](./data/image/media/image3130.wmf) D、![](./data/image/media/image3131.wmf) **解析：**借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的对角线就是球的直径。可以快速算出球的半径![](./data/image/media/image3132.wmf)，从而求出球的表面积为![](./data/image/media/image3133.wmf)，故选A。 **2、借用选项------验算** **例30**、若![](./data/image/media/image3134.wmf)满足![](./data/image/media/image3135.wmf)，则使得![](./data/image/media/image3136.wmf)的值最小的![](./data/image/media/image3137.wmf)是 （ ） A、（4.5，3） B、（3，6） C、（9，2） D、（6，4） **解析：**把各选项分别代入条件验算，易知B项满足条件，且![](./data/image/media/image3136.wmf)的值最小，故选B。 **3、极限思想------不算** **例31**、正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为![](./data/image/media/image3138.wmf)，侧面与底面所成的二面角的平面角为![](./data/image/media/image3139.wmf)，则![](./data/image/media/image3140.wmf)的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　） A、1　　　B、2　　　　C、－1　　　D、![](./data/image/media/image3141.wmf) **解析：**当正四棱锥的高无限增大时，![](./data/image/media/image3142.wmf)，则![](./data/image/media/image3143.wmf)故选C。 **4、平几辅助------巧算** **例32**、在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ） A、1条 B、2条 C、3条 D、4条 **解析：**选项暗示我们，只要判断出直线的条数就行，无须具体求出直线方程。以A（1，2）为圆心，1为半径作圆A，以B（3，1）为圆心，2为半径作圆B。由平面几何知识易知，满足题意的直线是两圆的公切线，而两圆的位置关系是相交，只有两条公切线。故选B。 **5、活用定义------活算** **例33**、若椭圆经过原点，且焦点F~1~（1，0），F~2­~（3，0），则其离心率为　（ ） A、![](./data/image/media/image3144.wmf) B、![](./data/image/media/image3145.wmf) C、![](./data/image/media/image3146.wmf) D、![](./data/image/media/image3147.wmf) **解析：**利用椭圆的定义可得![](./data/image/media/image3148.wmf)故离心率![](./data/image/media/image3149.wmf)故选C。 **6、整体思想------设而不算** **例34**、若![](./data/image/media/image3150.wmf)，则![](./data/image/media/image3151.wmf)![](./data/image/media/image3152.wmf)的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　） A、1 B、-1 C、0 D、2 ![](./data/image/media/image3153.png)**解析：**二项式中含有![](./data/image/media/image3154.wmf)，似乎增加了计算量和难度，但如果设![](./data/image/media/image3155.wmf)，![](./data/image/media/image3156.wmf)，则待求式子![](./data/image/media/image3157.wmf)。故选A。 **7、大胆取舍------估算** **例35**、如图，在多面体ABCDFE中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=![](./data/image/media/image3158.wmf)，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（ ） A、![](./data/image/media/image3159.wmf) B、5 C、6 　D、![](./data/image/media/image3160.wmf) **解析：**依题意可计算![](./data/image/media/image3161.wmf)，而![](./data/image/media/image3162.wmf)＝6，故选D。 **8、发现隐含------少算** **例36**、![](./data/image/media/image3163.wmf)交于A、B两点，且![](./data/image/media/image3164.wmf)，则直线AB的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　） A、![](./data/image/media/image3165.wmf) B、![](./data/image/media/image3166.wmf) C、![](./data/image/media/image3167.wmf) D、![](./data/image/media/image3168.wmf) **解析：**解此题具有很大的迷惑性，注意题目隐含直线AB的方程就是![](./data/image/media/image3169.wmf)，它过定点（0，2），只有C项满足。故选C。 **9、利用常识------避免计算** **例37**、我国储蓄存款采取实名制并征收利息税，利息税由各银行储蓄点代扣代收。某人在2001年9月存入人民币1万元，存期一年，年利率为2.25%，到期时净得本金和利息共计10180元，则利息税的税率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ） A、8% B、20% C、32% D、80% **解析：**生活常识告诉我们利息税的税率是20%。故选B。 **（三）选择题中的隐含信息之挖掘** **1、挖掘"词眼"** **例38**、过曲线![](./data/image/media/image3170.wmf)上一点![](./data/image/media/image3171.wmf)的切线方程为（ ） A、![](./data/image/media/image3172.wmf) B、![](./data/image/media/image3173.wmf) C、![](./data/image/media/image3174.wmf) D、![](./data/image/media/image3175.wmf) **错解：**![](./data/image/media/image3176.wmf)，从而以A点为切点的切线的斜率为--9，即所求切线方程为![](./data/image/media/image3177.wmf)故选C。 **剖析：**上述错误在于把"过点A的切线"当成了"在点A处的切线"，事实上当点A为切点时，所求的切线方程为![](./data/image/media/image3178.wmf)，而当A点不是切点时，所求的切线方程为![](./data/image/media/image3179.wmf)故选D。 **2、挖掘背景** **例39**、已知![](./data/image/media/image3180.wmf)，![](./data/image/media/image2998.wmf)为常数，且![](./data/image/media/image3181.wmf)，则函数![](./data/image/media/image3182.wmf)必有一周期为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ） A、2![](./data/image/media/image2998.wmf) B、3![](./data/image/media/image2998.wmf) C、4![](./data/image/media/image2998.wmf) D、5![](./data/image/media/image2998.wmf) **分析：**由于![](./data/image/media/image3183.wmf)，从而函数![](./data/image/media/image3184.wmf)的一个背景为正切函数tanx，取![](./data/image/media/image3185.wmf)，可得必有一周期为4![](./data/image/media/image2998.wmf)。故选C。 **3、挖掘范围** **例40**、设![](./data/image/media/image3186.wmf)、![](./data/image/media/image3187.wmf)是方程![](./data/image/media/image3188.wmf)的两根，且![](./data/image/media/image3189.wmf)，则![](./data/image/media/image3190.wmf)的值为　　　　　　　　　　　　　　（ ） A、![](./data/image/media/image3191.wmf) B、![](./data/image/media/image3192.wmf) C、![](./data/image/media/image3193.wmf) D、![](./data/image/media/image3194.wmf) **错解：**易得![](./data/image/media/image3195.wmf)，从而![](./data/image/media/image3196.wmf)故选C。 **剖析：**事实上，上述解法是错误的，它没有发现题中的隐含范围。由韦达定理知![](./data/image/media/image3197.wmf).从而![](./data/image/media/image3198.wmf)，故![](./data/image/media/image3199.wmf)故选A。 **4、挖掘伪装** **例41**、若函数![](./data/image/media/image3200.wmf)，满足对任意的![](./data/image/media/image3201.wmf)、![](./data/image/media/image3202.wmf)，当![](./data/image/media/image3203.wmf)时，![](./data/image/media/image3204.wmf)，则实数![](./data/image/media/image2998.wmf)的取值范围为（ ） A、![](./data/image/media/image3205.wmf) B、![](./data/image/media/image3206.wmf) C、![](./data/image/media/image3207.wmf) D、![](./data/image/media/image3208.wmf) **分析：**"对任意的x~1~、x~2~­，当![](./data/image/media/image3209.wmf)时，![](./data/image/media/image3210.wmf)"实质上就是"函数单调递减"的"伪装"，同时还隐含了"![](./data/image/media/image3211.wmf)有意义"。事实上由于![](./data/image/media/image3212.wmf)在![](./data/image/media/image3213.wmf)时递减，从而![](./data/image/media/image3214.wmf)由此得a的取值范围为![](./data/image/media/image3215.wmf)。故选D。 **5、挖掘特殊化** **例42**、不等式![](./data/image/media/image3216.wmf)的解集是（ ） A、![](./data/image/media/image3217.wmf) B、![](./data/image/media/image3218.wmf)　　C、{4，5，6} D、{4，4.5，5，5.5，6} **分析：**四个选项中只有答案D含有分数，这是何故？宜引起高度警觉，事实上，将x值取4.5代入验证，不等式成立，这说明正确选项正是D，而无需繁琐地解不等式。 **6、挖掘修饰语** **例43**、在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上，两校各派3名代表，校际间轮流发言，对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉，对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂，那么不同的发言顺序共有（ ） A、72种 B、36种 C、144种 D、108种 **分析：**去掉题中的修饰语，本题的实质就是学生所熟悉的这样一个题目：三男三女站成一排，男女相间而站，问有多少种站法？因而易得本题答案为![](./data/image/media/image3219.wmf)。故选A。 **7、挖掘思想** **例44**、方程![](./data/image/media/image3220.wmf)的正根个数为（ ） A、0 B、1 C、2 D、3 **分析：**本题学生很容易去分母得![](./data/image/media/image3221.wmf)，然后解方程，不易实现目标。 事实上，只要利用数形结合的思想，分别画出![](./data/image/media/image3222.wmf)的图象，容易发现在第一象限没有交点。故选A。 **8、挖掘数据** **例45**、定义函数![](./data/image/media/image3223.wmf)，若存在常数C，对任意的![](./data/image/media/image3224.wmf)，存在唯一的![](./data/image/media/image3225.wmf)，使得![](./data/image/media/image3226.wmf)，则称函数![](./data/image/media/image3227.wmf)在D上的均值为C。已知![](./data/image/media/image3228.wmf)，则函数![](./data/image/media/image3229.wmf)上的均值为（ ） A、![](./data/image/media/image3230.wmf) B、![](./data/image/media/image3231.wmf) C、![](./data/image/media/image3232.wmf) D、10 **分析：**![](./data/image/media/image3233.wmf)，从而对任意的![](./data/image/media/image3234.wmf)，存在唯一的![](./data/image/media/image3235.wmf)，使得![](./data/image/media/image3236.wmf)为常数。充分利用题中给出的常数10，100。令![](./data/image/media/image3237.wmf),当![](./data/image/media/image3234.wmf)时，![](./data/image/media/image3238.wmf)，由此得![](./data/image/media/image3239.wmf)故选A。 **（四）选择题解题的常见失误** **1、审题不慎** **例46**、设集合M＝｛直线｝，P＝｛圆｝，则集合![](./data/image/media/image3240.wmf)中的元素的个数为　　（ ） 　　A、0 B、1 C、2 D、0或1或2 **误解：**因为直线与圆的位置关系有三种，即交点的个数为0或1或2个，所以![](./data/image/media/image3240.wmf)中的元素的个数为0或1或2。故选D。 **剖析：**本题的失误是由于审题不慎引起的，误认为集合M，P就是直线与圆，从而错用直线与圆的位置关系解题。实际上，M，P表示元素分别为直线和圆的两个集合，它们没有公共元素。故选A。 **2、忽视隐含条件** **例47**、若![](./data/image/media/image3241.wmf)、![](./data/image/media/image3242.wmf)分别是![](./data/image/media/image3243.wmf)的等差中项和等比中项，则![](./data/image/media/image3244.wmf)的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ） A、![](./data/image/media/image3245.wmf) B、![](./data/image/media/image3246.wmf) C、![](./data/image/media/image3247.wmf) D、![](./data/image/media/image3248.wmf) **误解：**依题意有![](./data/image/media/image3249.wmf)， ①　　![](./data/image/media/image3250.wmf) ② 由①^2^-②×2得，![](./data/image/media/image3251.wmf)，解得![](./data/image/media/image3252.wmf)。故选C。 **剖析：**本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件。事实上，由![](./data/image/media/image3253.wmf)，得![](./data/image/media/image3254.wmf)，所以![](./data/image/media/image3255.wmf)不合题意。故选A。 **3、概念不清** **例48**、已知![](./data/image/media/image3256.wmf)，且![](./data/image/media/image3257.wmf)，则m的值为（ ） A、2 B、1 C、0 D、不存在 **误解：**由![](./data/image/media/image3258.wmf)，得![](./data/image/media/image3259.wmf)![](./data/image/media/image3260.wmf)，方程无解，m不存在。故选D。 **剖析：**本题的失误是由概念不清引起的，即![](./data/image/media/image3258.wmf)，则![](./data/image/media/image3261.wmf)，是以两直线的斜率都存在为前提的。若一直线的斜率不存在，另一直线的斜率为0，则两直线也垂直。当m=0时，显然有![](./data/image/media/image3258.wmf)；若![](./data/image/media/image3262.wmf)时，由前面的解法知m不存在。故选C。 **4、忽略特殊性** **例49**、已知定点A（1，1）和直线![](./data/image/media/image3263.wmf)，则到定点A的距离与到定直线![](./data/image/media/image3264.wmf)的距离相等的点的轨迹是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ） A、椭圆 B、双曲线 C、抛物线 D、直线 **误解：**由抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线。故选C。 **剖析：**本题的失误在于忽略了A点的特殊性，即A点落在直线![](./data/image/media/image3264.wmf)上。故选D。 ![](./data/image/media/image3265.png)**5、思维定势** **例50**、如图1，在正方体AC~1­~中盛满水，E、F、G分别为A~1­­~B~1~、BB~1~、BC~1~的中点。若三个小孔分别位于E、F、G三点处，则正方体中的水最多会剩下原体积的（ ） A、![](./data/image/media/image3266.wmf)　 B、![](./data/image/media/image3267.wmf) C、![](./data/image/media/image3268.wmf) D、![](./data/image/media/image3269.wmf) **误解：**设平面EFG与平面CDD~1~C~1~交于MN，则平面EFMN左边的体积即为所求，由三棱柱B~1~EF---C~1~NM的体积为![](./data/image/media/image3270.wmf)，故选B。 **剖析：**在图2中的三棱锥ABCD中，若三个小孔E、F、G分别位于所在棱的中点处，则在截面EFG下面的部分就是盛水最多的。本题的失误在于受图2的思维定势，即过三个小孔的平面为截面时分成的两部分中，较大部分即为所求。事实上，在图1中，取截面BEC~1~时，小孔F在此截面的上方，![](./data/image/media/image3271.wmf)，故选A。 **6、转化不等价** **例51**、函数![](./data/image/media/image3272.wmf)的值域为　　　　　　　　　　　（ ） A、![](./data/image/media/image3273.wmf) B、![](./data/image/media/image3274.wmf) C、![](./data/image/media/image3275.wmf) D、![](./data/image/media/image3276.wmf) **误解：**要求原函数的值域可转化为求反函数的定义域。因为反函数![](./data/image/media/image3277.wmf)，所以![](./data/image/media/image3278.wmf)，故选A。 **剖析：**本题的失误在于转化不等价。事实上，在求反函数时，由![](./data/image/media/image3279.wmf)，两边平方得![](./data/image/media/image3280.wmf)，这样的转化不等价，应加上条件![](./data/image/media/image3281.wmf)，即![](./data/image/media/image3282.wmf)，进而解得，![](./data/image/media/image3283.wmf)，故选D。 **十五、高考数学填空题的解题策略** 数学填空题在前几年江苏高考中题量一直为4题，从去年开始增加到6题，今年虽然保持不变，仍为6题，但分值增加，由原来的每题4分增加到每题5分，在高考数学试卷中占分达到了20%。它和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，**答案简短、明确、具体**，评分客观、公正、准确等。 根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型： 一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。 二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题。 在解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，所以对正确性的要求比解答题更高、更严格，**《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是"正确、合理、迅速"**。**为此在解填空题时要做到：快------运算要快，力戒小题大作；稳------变形要稳，不可操之过急；全------答案要全，力避残缺不齐；活------解题要活，不要生搬硬套；细------审题要细，不能粗心大意。** **（一）数学填空题的解题方法** **1、直接法**：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法。它是解填空题的最基本、最常用的方法。使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。 **例1、**乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛。3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有\_\_\_\_\_\_\_\_\_种（用数字作答）。 **解**：三名主力队员的排法有![](./data/image/media/image3284.wmf)种，其余7名队员选2名安排在第二、四位置上有![](./data/image/media/image3285.wmf)种排法，故共有排法数![](./data/image/media/image3284.wmf)![](./data/image/media/image3285.wmf)=252种。 **例2、**![](./data/image/media/image3286.wmf)的展开式中![](./data/image/media/image3287.wmf)的系数为 [ ]{.underline} 。 **解**：![](./data/image/media/image3288.wmf) 得展开式中![](./data/image/media/image3287.wmf)的系数为![](./data/image/media/image3289.wmf)![](./data/image/media/image3290.wmf)=179。 **例3、**已知函数![](./data/image/media/image3291.wmf)在区间![](./data/image/media/image3292.wmf)上为增函数，则实数![](./data/image/media/image2998.wmf)的取值范围是 [ ]{.underline} 。 **解：**![](./data/image/media/image3293.wmf)，由复合函数的增减性可知，![](./data/image/media/image3294.wmf)在![](./data/image/media/image3292.wmf)上为增函数，∴![](./data/image/media/image3295.wmf)，∴![](./data/image/media/image3296.wmf)。 **2、特殊化法：**当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量**选**取一些**符合条件的**恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）**进行处理，**从而得出探求的结论**。**这样可大大地简化推理、论证的过程。 **例4、**在![](./data/image/media/image3297.wmf)ABC中，角A、B、C所对的边分别为*a*、*b*、*c*，如果*a*、*b*、*c*成等差数列，则![](./data/image/media/image3298.wmf) [ ]{.underline} **解法一**：取特殊值*a*＝3, *b*＝4, *c*＝5 ,则cosA＝![](./data/image/media/image3299.wmf)cosC＝0, ![](./data/image/media/image3298.wmf)![](./data/image/media/image3300.wmf)。 **解法二**：取特殊角A＝B＝C＝60^0^ cosA＝cosC＝![](./data/image/media/image3301.wmf),![](./data/image/media/image3298.wmf)![](./data/image/media/image3300.wmf)。 **例5、**如果函数![](./data/image/media/image3302.wmf)对任意实数![](./data/image/media/image3303.wmf)都有![](./data/image/media/image3304.wmf)，那么![](./data/image/media/image3305.wmf)的大小关系是 [ ]{.underline} 。 **解：**由于![](./data/image/media/image3304.wmf)，故知![](./data/image/media/image3306.wmf)的对称轴是![](./data/image/media/image3307.wmf)。可取特殊函数![](./data/image/media/image3308.wmf)，即可求得![](./data/image/media/image3309.wmf)。∴![](./data/image/media/image3310.wmf)。 **例6、**已知SA，SB，SC两两所成角均为60°，则平面SAB与平面SAC所成的二面角为 [ ]{.underline} 。 **解：**取SA=SB=SC，则在正四面体S－ABC中，易得平面SAB与平面SAC所成的二面角为![](./data/image/media/image3311.wmf)。 ![](./data/image/media/image3312.png)**例7、**已知![](./data/image/media/image3313.wmf)是直线，![](./data/image/media/image3314.wmf)是平面，给出下列命题：①若![](./data/image/media/image3315.wmf)，则![](./data/image/media/image3316.wmf)∥![](./data/image/media/image3317.wmf)；②若![](./data/image/media/image3318.wmf)，则![](./data/image/media/image3316.wmf)∥![](./data/image/media/image3317.wmf)；③若![](./data/image/media/image3316.wmf)内不共线的三点到![](./data/image/media/image3317.wmf)的距离都相等，则![](./data/image/media/image3316.wmf)∥![](./data/image/media/image3317.wmf)；④若![](./data/image/media/image3319.wmf)，且![](./data/image/media/image3320.wmf)∥![](./data/image/media/image3317.wmf)，![](./data/image/media/image3321.wmf)∥![](./data/image/media/image3317.wmf)，则![](./data/image/media/image3316.wmf)∥![](./data/image/media/image3317.wmf)；⑤若![](./data/image/media/image3313.wmf)为异面直线，![](./data/image/media/image3320.wmf)![](./data/image/media/image3322.wmf)![](./data/image/media/image3316.wmf)，![](./data/image/media/image3320.wmf)∥![](./data/image/media/image3317.wmf)，![](./data/image/media/image3321.wmf)![](./data/image/media/image3322.wmf)![](./data/image/media/image3317.wmf),![](./data/image/media/image3321.wmf)∥![](./data/image/media/image3316.wmf)，则![](./data/image/media/image3316.wmf)∥![](./data/image/media/image3317.wmf)。则其中正确的命题是 [ ]{.underline} 。（把你认为正确的命题序号都填上） **解：**依题意可取特殊模型正方体AC~1~（如图），在正方体AC~1~中逐一判断各命题，易得正确的命题是②⑤。 **3、数形结合法：**对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、**判断**，则往往可以简捷地得出正确的结果。 **例8、已知向量**![](./data/image/media/image3323.wmf)**=**![](./data/image/media/image3324.wmf)**，向量**![](./data/image/media/image3325.wmf)**=**![](./data/image/media/image3326.wmf)**，则\|2**![](./data/image/media/image3323.wmf)**－**![](./data/image/media/image3325.wmf)**\|的最大值是 [ ]{.underline}** **解：因**![](./data/image/media/image3327.wmf)**，故向量2**![](./data/image/media/image3323.wmf)**和**![](./data/image/media/image3325.wmf)**所对应的点A、B都在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而\|2**![](./data/image/media/image3323.wmf)**－**![](./data/image/media/image3325.wmf)**\|的几何意义即表示弦AB的长，故\|2**![](./data/image/media/image3323.wmf)**－**![](./data/image/media/image3325.wmf)**\|的最大值为4。** ![](./data/image/media/image3328.png)**例9、**如果不等式![](./data/image/media/image3329.wmf)的解集为A，且![](./data/image/media/image3330.wmf)，那么实数![](./data/image/media/image2998.wmf)的取值范围是 [ ]{.underline} 。 **解：**根据不等式解集的几何意义，作函数![](./data/image/media/image3331.wmf)和 函数![](./data/image/media/image3332.wmf)的图象（如图），从图上容易得出实数![](./data/image/media/image2998.wmf)的取 值范围是![](./data/image/media/image3333.wmf)。 **例10、**设函数 *f*(*x*)＝*x*^3^＋*ax*^2^＋2*bx*＋*c*．若当 *x*∈（0，1）时，*f*(*x*)取得极大值；*x*∈（1，2）时，*f*(*x*)取得极小值，则 的取值范围是 [ ]{.underline} ． **解：***f*´(*x*)＝ *x*^2^＋*ax*＋2*b*，令*f*´(*x*)＝0，由条件知，上述方程应满足：一根在（0，1）之间，另一根在（1，2）之间，∴ ，得 ，在*aob*坐标系中，作出上述区域如图所示，而 的几何意义是过两点P(*a*，*b*)与A(1，2)的直线斜率，而P(*a*，*b*)在区域内，由图易知*k*~PA~∈（，1）． **4、等价转化法：**通过"化复杂为简单、化陌生为熟悉"将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果。 **例11、**不等式![](./data/image/media/image3334.wmf)的解集为![](./data/image/media/image3335.wmf)，则![](./data/image/media/image3336.wmf)\_\_\_\_\_\_\_，![](./data/image/media/image3337.wmf)\_\_\_\_\_\_\_\_。 **解：**设![](./data/image/media/image3338.wmf)，则原不等式可转化为：![](./data/image/media/image3339.wmf)∴a \> 0，且2与![](./data/image/media/image3340.wmf)是方程![](./data/image/media/image3341.wmf)的两根，由此可得：![](./data/image/media/image3342.wmf)。 **例12、**不论![](./data/image/media/image3343.wmf)为何实数，直线![](./data/image/media/image3344.wmf)与圆![](./data/image/media/image3345.wmf)恒有交点，则实数![](./data/image/media/image2998.wmf)的取值范围是 [ ]{.underline} 。 **解：**题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆![](./data/image/media/image3346.wmf)，∴![](./data/image/media/image3347.wmf)。 ![](./data/image/media/image3348.png)**5、构造法：**根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方法。 **例13、**如图，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为 [ ]{.underline} 。 **解：**根据题意可将此图补形成一正方体，在正方体中易求得PA与BD所成角为60°。 **例14、**4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒中，则只有1个空盒的放法共有 [ ]{.underline} 种（用数字作答）。 **解：**符合条件的放法是：有一个盒中放2个球，有2个盒中各放1个球。因此可先将球分成3堆（一堆2个，其余2堆各1个，即构造了球的"堆"），然后从4个盒中选出3个盒放3堆球，依分步计算原理，符合条件的放法有![](./data/image/media/image3349.wmf)（种）。 **例15、**椭圆 的焦点F~1~、F~2~，点P是椭圆上动点，当∠F~1~PF~2~为钝角时，点P的横坐标的取值范围是 [ ]{.underline} **解：**构造圆*x*^2^＋*y*^2^＝5，与椭圆 联立求得交点*x*~0~^2^ ＝ ![](./data/image/media/image3350.wmf)*x*~0~∈（－ ，） **6、分析法：**根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论。 **例16、**如右图，在直四棱柱![](./data/image/media/image3351.wmf)中，当底面四边形满足条件 [ ]{.underline} 时，有![](./data/image/media/image3352.wmf)（填上你认为正确的一个条件 即可，不必考虑所有可能性的情形）。 **解：**因四棱柱![](./data/image/media/image3351.wmf)为直四棱柱，故![](./data/image/media/image3353.wmf)为![](./data/image/media/image3354.wmf)在面![](./data/image/media/image3355.wmf)上的射影，从而要使![](./data/image/media/image3352.wmf)，只要![](./data/image/media/image3356.wmf)与![](./data/image/media/image3353.wmf)垂直，故底面四边形![](./data/image/media/image3355.wmf)只要满足条件![](./data/image/media/image3356.wmf)![](./data/image/media/image3357.wmf)![](./data/image/media/image3353.wmf)即可。 **例17、**以双曲线![](./data/image/media/image3358.wmf)的左焦点F，左准线*l*为相应的焦点和准线的椭圆截直线![](./data/image/media/image3359.wmf)所得的弦恰好被*x*轴平分，则*k*的取值范围是 [ ]{.underline} 。 **解：**左焦点F为（－2，0），左准线*l*：*x* ＝－，因椭圆截直线![](./data/image/media/image3359.wmf)所得的弦恰好被*x*轴平分，故根据椭圆的对称性知，椭圆的中心即为直线![](./data/image/media/image3359.wmf)与*x*轴的交点![](./data/image/media/image3360.wmf)，由![](./data/image/media/image3361.wmf) ，得0 ＜ *k* ＜ 。 **（二）减少填空题失分的检验方法** **1、回顾检验** **例18、**满足条件![](./data/image/media/image3362.wmf)的角![](./data/image/media/image3363.wmf)的集合为 [ ]{.underline} 。 **错解：**![](./data/image/media/image3364.wmf)![](./data/image/media/image3365.wmf) **检验：**根据题意，答案中的![](./data/image/media/image3366.wmf)不满足条件![](./data/image/media/image3367.wmf)，应改为![](./data/image/media/image3368.wmf)；其次，角![](./data/image/media/image3363.wmf)的取值要用集合表示。故正确答案为![](./data/image/media/image3369.wmf) **2、赋值检验。**若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误。 **例19、**已知数列![](./data/image/media/image3370.wmf)的前n项和为![](./data/image/media/image3371.wmf)，则通项公式![](./data/image/media/image3372.wmf)= [ ]{.underline} 。 **错解：**![](./data/image/media/image3373.wmf) ![](./data/image/media/image3374.wmf) **检验：**取n=1时，由条件得![](./data/image/media/image3375.wmf)，但由结论得*a*~1~=5。 故正确答案为![](./data/image/media/image3376.wmf) **3、逆代检验**。若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的允许值范围而产生增解致错。 **例20、**方程![](./data/image/media/image3377.wmf)的解是 [ ]{.underline} 。 **错解：**设![](./data/image/media/image3378.wmf)，则![](./data/image/media/image3379.wmf)，根据复数相等的定义得![](./data/image/media/image3380.wmf)解得![](./data/image/media/image3381.wmf)。故![](./data/image/media/image3382.wmf) **检验：**若![](./data/image/media/image3383.wmf)，则原方程成立；若![](./data/image/media/image3384.wmf)，则原方程不成立。 故原方程有且只有一解*z*=-*i*. **4、估算检验**。当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误。 **例21、**不等式![](./data/image/media/image3385.wmf)的解是 [ ]{.underline} 。 **错解：**两边平行得![](./data/image/media/image3386.wmf)，即![](./data/image/media/image3387.wmf)，解得![](./data/image/media/image3388.wmf)。 **检验：**先求定义域得![](./data/image/media/image3389.wmf)，原不等式成立；若![](./data/image/media/image3390.wmf)，原不等式不成立，故正确答案为x\>1。 **5、作图检验**。当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些脱离事实而主观臆断致错。 ![](./data/image/media/image3391.png)**例22、**函数![](./data/image/media/image3392.wmf)的递增区间是 [ ]{.underline} 。 **错解：**![](./data/image/media/image3393.wmf) **检验：**由![](./data/image/media/image3394.wmf) 作图可知正确答案为![](./data/image/media/image3395.wmf) **6、变法检验**。一种方法解答之后，再用其它方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成的策略性错误。 **例23、**若![](./data/image/media/image3396.wmf)，则![](./data/image/media/image3397.wmf)的最小值是 [ ]{.underline} 。 **错解：**![](./data/image/media/image3398.wmf) ![](./data/image/media/image3399.wmf) **检验：**上述错解在于两次使用重要不等式，等号不可能同时取到。 换一种解法为： ![](./data/image/media/image3400.wmf) ![](./data/image/media/image3401.wmf) **7、极端检验**。当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的错误。 **例24、**已知关于x的不等式![](./data/image/media/image3402.wmf)的解集是空集，求实数a的取值范围 [ ]{.underline} 。 **错解：**由![](./data/image/media/image3403.wmf)，解得![](./data/image/media/image3404.wmf) **检验：**若a=-2，则原不等式为![](./data/image/media/image3405.wmf)，解集是空集，满足题意；若![](./data/image/media/image3406.wmf)，则原不等式为![](./data/image/media/image3407.wmf)，即![](./data/image/media/image3408.wmf)，解得![](./data/image/media/image3409.wmf)，不满足题意。 故正确答案为![](./data/image/media/image3410.wmf) **切记：解填空题应方法恰当，争取一步到位，答题形式标准，避免丢三落四，"一知半解"。** **十六、高考数学应试技巧** 经过紧张有序的高中数学总复习，高校招生考试即将来临，不少同学认为高考数学的成败已成定局。其实不然，由于这次考试与期中、期末、模拟考试不同，社会的注目，家庭的热切关心，老师的期望，考试成绩又与同学们的切生利益相关，由于重要，可能导致部分同学精神上高度紧张，考前想的很多，会产生波动；但是，我们只要讲究高考数学应试的艺术，还是能把高考数学成绩提高一个档次。 **（一）高考应试心理、策略、技巧** 高考要取得好成绩，首先要有扎实的基础知识、熟练的基本技能和在长年累月的刻苦钻研中培养起来的数学能力，同时，也取决于临场的发挥，高考的特点是以学生解题能力的高低为标准的一次性选拔，这就使得临场发挥显得尤为重要，研究和总结临场解题策略，进行应试训练和心理辅导，已成为高考辅导的重要内容之一，正确运用数学高考临场解题策略，不仅可以预防各种心理障碍造成的不合理丢分和计算失误及笔误，而且能运用科学的检索方法，建立神经联系，挖掘思维和知识的潜能，考出最佳成绩。 **1、提前进入"角色"** 高考前一个晚上睡足八个小时，吃好清淡早餐，按清单带齐一切用具，提前半小时到达考区，一方面可以消除新异刺激，稳定情绪，从容进场，另一方面也留有时间提前进入"角色"------让大脑开始简单的数学活动，进入单一的数学情境。如： 1．清点一下用具是否带全(笔、橡皮、作图工具、准考证、手表等)。 2．把一些基本数据、常用公式、重要定理"过过电影"。 3．最后看一眼难记易忘的结论。（**这些你记住了吗？**） 4．互问互答一些不太复杂的问题。（**启动你的思维**） 通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。一些经验表明，"过电影"的成功顺利，互问互答的愉快轻松，不仅能够转移考前的恐惧，而且有利于把最佳竞技状态带进考场。 **2、精神要放松，情绪要自控** 情绪乐观、思维活跃、适度焦虑、激发动机、积极暗示、挖掘潜能、体育锻炼、心境乐观、学习之余学会休闲。最易导致心理紧张、焦虑和恐惧的是入场后与答卷前的"临战"阶段，此间保持心态平衡的方法有三种：①转移注意法：避开监考者的目光，把注意力转移到某一次你印象较深的数学模拟考试的评讲课上，回忆考试原则，有效得分时间。②自我安慰法：如"我经过的考试多了，没什么了不起"，"考试，老师监督下的独立作业，无非是换一换环境"等。③抑制思维法：闭目而坐，气贯丹田，四肢放松，深呼吸，慢吐气，如此进行到发卷时。 **3、迅速摸透"题情"** 刚拿到试卷，一般心情比较紧张，不忙匆匆作答，可先从头到尾、正面反面通览全卷，尽量从卷面上获取最多的信息，为实施正确的解题策略作全面调查，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生"旗开得胜"的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，以保证有良好的开端之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。。 通览全卷是克服"前面难题做不出，后面易题没时间做"的有效措施，也从根本上防止了"漏做题"。 4. **信心要充足，暗示靠自己** 答卷中，见到简单题，要细心，莫忘乎所以，谨防"大意失荆州"。面对偏难的题，要耐心，不能急。对于海中的学生要求做到：坚定信心、步步为营、力克难题。考试全程都要确定"人易我易，我不大意；人难我难，我不畏难"的必胜信念，使自己始终处于最佳竞技状态。 **5、八先八后** 在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪基本趋于稳定，大脑趋于亢奋，此后七八十分钟内就是最佳状态的发挥或收获丰硕果实的黄金季节了。实践证明，满分卷是极少数，绝大部分考生都只能拿下大部分题目或题目的大部分得分。因此，实施"八先八后"及"分段得分"的考试艺术是明智的。 1．先易后难。就是先做简单题，再做综合题。应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。 **２．先熟后生。**通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处。对后者，不要惊慌失措。应想到试题偏难对所有考生也难。通过这种暗示，确保情绪稳定。对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中高档题目的目的。 3．先同后异。就是说，可考虑先做同学科同类型的题目。这样思考比较集中，知识或方法的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益。一般说来，考试解题必须进行"兴奋灶" 转移，思考必须进行代数学科与几何学科的相互换位，必须进行从这一章节到那一章节的跳跃，但"先同后异"可以避免"兴奋灶"过急、过频和过陡的跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力。 **４．先小后大。**小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理气氛。 **５．先点后面。**近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的"梯度题"，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面。 **6．先局部后整体。**对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数。如从最初的把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成数学表达式，设应用题的未知数，设轨迹题的动点坐标，依题意正确画出图形等，都能得分。还有像完成数学归纳法的第一步，分类讨论，反证法的简单情形等，都能得分。而且可望在上述处理中，从感性到理性，从特殊到一般，从局部到整体，产生顿悟，形成思路，获得解题成功。 **7.先面后点。**解决应用性问题，首先要全面审察题意，迅速接受概念，此为"面"；透过冗长叙述，抓住重点词句，提出重点数据，此为"点"；综合联系，提炼关系，依靠数学方法，建立数学模型，此为"线"。如此将应用性问题转化为纯数学问题。当然，求解过程和结果都不能离开实际背景。 8．先高(分)后低(分)。这里主要是指在考试的后半段时要特别注重时间效益，如两道题都会做，先做高分题，后做低分题，以使时间不足时少失分；到了最后十分钟，也应对那些拿不下来的题目就高分题"分段得分"，以增加在时间不足前提下的得分。 八先八后，要结合实际，要因人而异，谨防"高分题久攻不下，低分题无暇顾及"。 **6、一细一实** 就是说，审题要细，做题要实。 题目本身是"怎样解这道题"的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，力求从语法结构、逻辑关系、数学含义等各方面真正看清题意。审题是整个解题过程的"基础工程"，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。解题实践表明，条件预示可知并启发解题手段，结论预告需知并诱导解题方向。凡是题目未明显写出的，一定是隐蔽给予的，只有细致的审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这一步不要怕慢。 找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，不要拖泥带水，啰嗦重复，尤忌画蛇添足。一般来说，一个原理写一步就可以了，至于不是题目考查的过渡知识，可以直接写出结论。高考允许合理省略非关键步骤。 为了提高书写效率，应尽量使用数学语言、符号，这比文字叙述要节省而严谨。 **7、分段得分** 对于同一道题目，有的人理解得深，有的人理解得浅，有的人解决得多，有的人解决得少。为了区分这种情况，高考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它"分段评分"，或者"踩点给分"------踩上知识点就得分，踩得多就多得分。 鉴于这一情况，高考中对于难度较大的题目采用"分段得分"的策略实为一种高招儿。其实，考生的"分段得分"是高考"分段评分"的逻辑必然。"分段得分"的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。 1．对于会做的题目，要解决"会而不对，对而不全"这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的------会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤------对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被"分段扣点分"。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分。 2．对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是"分段得分"的全部秘密。 1. 缺步解答 如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫"大题拿小分"，确实是个好主意。 ②跳步答题 解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一"卡壳处"。 由于考试时间的限制，"卡壳处"的攻克来不及了，那么可以把前面的写下来，再写出"证实某步之后，继续有......"一直做到底，这就是跳步解答。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面，"事实上，某步可证明或演算如下"，以保持卷面的工整。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作"已知"，"先做第二问"，这也是跳步解答。 > ③退步解答 "以退求进"是一个重要的解题策略。对于一个较一般的问题，如果你一时不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从参变量退到常量，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题，通过对"特殊"的思考与解决，启发思维，达到对"一般"的解决。为了不产生"以偏概全"的误解，应开门见山写上"本题分几种情况"。 ④逆向解答  对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展。顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证。如用分析法，从肯定结论或中间步骤入手，找充分条件；用反证法，从否定结论入手找必要条件。 ⑤辅助解答 一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举，既必不可少而又不困难。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。 书写也是辅助解答。"书写要工整、卷面能得分"是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应：书写认真---学习认真---成绩优良---给分偏高。 有些选择题，"大胆猜测"也是一种辅助解答，实际上猜测也是一种能力。 **8、以快为上** 高考数学试卷共有22个题，考试时间为两个小时，平均每题约为5.5分钟。为了给解答题的中高档题留下较充裕的时间，每道选择题、填空题应在二至三分钟之内解决。若这些题目用时太长，即使做对了也是"潜在丢分"，或"隐含失分"。一般，客观性试题与主观性试题的时间分配为4:6。 **9、立足中下题目，力争高水平** 平时做作业，都是按所有题目来完成的，但高考却不然，只有个别的同学能交满分卷，因为时间和个别题目的难度都不允许多数学生去做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，是考生得分的主要来源。学生能拿下这些题目，实际上就是数学科打了个胜仗，有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。 **10、确保运算正确，立足一次性成功** 高考是限时限量的选拔性考试，在１２０分钟时间内完成大小２2个题，时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要尽量准确运算（关键步骤，力求准确，宁慢勿快），立足一次成功。解题速度是建立在解题准确度基础上，更何况数学题的中间数据常常不但从"数量"上，而且从"性质"上影响着后继各步的解答。所以，在答卷时，要在以快为上的前提下，要稳扎稳打，字字有据，步步准确，，尽量一次性成功，提高成功率。不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。假如速度与准确不可兼得的说，就只好舍快求对了，因为解答不对，再快也无意义。 试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错。 **（二）解题思考步骤、程序表** +-------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 步 骤 | 思 考 程 序 | +-------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 观 察 | 1. 要求解（证）的问题是什么？它是哪种类型的问题？ | | | | | | 2. 已知条件（已知数据、图形、事项、及其与结论部分的联系方式）是什么？要求的结论（未知事项）是什么？ | | | | | | 3. 所给图形和式子有什么特点？能否用一个图形（几何的、函数的或示意的）或数学式子（对文字题）将问题表示出来？能否在图上加上适当的记号？ | | | | | | 4. 有什么隐含条件？ | +-------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 联 想 | 1. 这个题以前做过吗？ | | | | | | 2. 这个题以前在哪里见过吗？ | | | | | | 3. 以前做过或见过类似的问题吗？当时是怎样想的？ | | | | | | 4. 题中的一部分（条件，或结论，或式子，或图形）以前见过吗？在什么问题中见过的？ | | | | | | 5. 题中所给出的式子、图形，与记忆中的什么式子、图形相象？它们之间可能有什么联系？ | | | | | | 6. 解这类问题通常有哪几种方法？可能哪种方法较方便？试一试如何？ | | | | | | 7. 由已知条件能推得哪些可知事项和条件？要求未知结论，需要知道哪些条件（需知）？ | | | | | | 8. 与这个问题有关的结论（基本概念、定理、公式等）有哪些？ | +-------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 转 化 | 1. 能否将题中复杂的式子化简？ | | | | | | 2. 能否对条件进行划分，将大问题化为几个小问题？ | | | | | | 3. 能否将问题化归为基本命题？ | | | | | | 4. 能否进行变量替换、恒等变换或几何变换，将问题的形式变得较为明显一些？ | | | | | | 5. 能否形──数互化？利用几何方法来解代数问题？利用代数（解析）方法来解几何问题？ | | | | | | 6. 利用等价命题律（逆否命题律、同一法则、分断式命题律）或其他方法，可否将问题转化为一个较为熟悉的等价命题？ | | | | | | 7. 最终目的：将未知转化为已知。 | +-------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 答 题 | 1. 推理严密，运算准确，不跳步骤；实在不能完成时，该跳步就跳步； | | | | | | 2. 规范的表达，完整的步骤（不怕难题不得分，就怕每题都扣分）； | | | | | | 3. 检查、验证结论； | | | | | | 4. 注意答题卡（看清A、B卡）填涂正确无误。 | +-------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ **（三）如何解决综合性问题** 提高解数学综合性问题的能力是提高高考数学成绩的根本保证。解好综合题对于那些想考一流大学，并对数学成绩期望值较高的同学来说，是一道生命线，往往"成也萧何败也萧何"；对于那些定位在二流大学的学生而言，这里可是放手一搏的好地方。 **1、综合题在高考试卷中的位置与作用：** 　　数学综合性试题常常是高考试卷中把关题和压轴题。在高考中举足轻重，高考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标。目前的高考综合题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型尤其是创新能力型试题。综合题是高考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点。 **2、解综合性问题的三字诀：** "三性"：综合题从题设到结论，从题型到内容，条件隐蔽，变化多样，因此就决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。在审题思考中，要把握好"三性"，即（1）目的性：明确解题结果的终极目标和每一步骤分项目标。（2）准确性：提高概念把握的准确性和运算的准确性。（3）隐含性：注意题设条件的隐含性。审题这第一步，不要怕慢，其实慢中有快，解题方向明确，解题手段合理，这是提高解题速度和准确性的前提和保证。 　　"三化"：(1)问题具体化（包括抽象函数用具有相同性质的具体函数作为代表来研究，字母用常数来代表）。即把题目中所涉及的各种概念或概念之间的关系具体明确，有时可画表格或图形，以便于把一般原理、一般规律应用到具体的解题过程中去。(2)问题简单化。即把综合问题分解为与各相关知识相联系的简单问题，把复杂的形式转化为简单的形式。(3)问题和谐化。即强调变换问题的条件或结论，使其表现形式符合数或形内部固有的和谐统一的特点，或者突出所涉及的各种数学对象之间的知识联系。 　　"三转"：(1)语言转换能力。每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成。解综合题往往需要较强的语言转换能力。还需要有把普通语言转换成数学语言的能力。(2)概念转换能力：综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力。（3）数形转换能力。解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数与几何的结合上找出解题思路。运用数形转换策略要注意特殊性，否则解题会出现漏洞。 　　"三思"：（1）思路：由于综合题具有知识容量大，解题方法多，因此，审题时应考虑多种解题思路。（2）思想：高考综合题的设置往往会突显考查数学思想方法，解题时应注意数学思想方法的运用。（3）思辩：即在解综合题时注意思路的选择和运算方法的选择。 　　"三联"：（1）联系相关知识，（2）连接相似问题，（2）联想类似方法。 **3、对平时综合练习的反思**： 平时做完综合练习后，要注重反思这一环节，注意方法的优化。要把解题的过程抽象形成思维模块，注意方法的迁移和问题的拓展。再最后的自由复习阶段也可选取部分做过的综合卷中的"压轴题"进行反思，主要研究：审题分析的过程（如：寻求条件与结论联系，与基础知识的联系，与平时基本方法的联系）、隐含条件的运用、计算方法及准确性。 **（四）考好数学的"四大绝招"** 考试中,如何在有限的时间内发挥自己的水平,对每位同学来说是一件很重要的事。根据我的观察和分析，同学们可以从以下几个方面进行数学题的解答。 **1、  握审题与解题的关系** 有的同学对审题重视不够，匆匆一看便急于下笔，以致题目的条件与要求都没吃透，至于如何从题目中挖掘隐含条件、启发解题思路就更无从谈起，这样解题出错自然多。只要耐心仔细地审题，准确地把握题目中的关键词与量，从中获取尽可能多的信息，才能迅速找准解题方向。 **2、 握"会做"与"得分"的关系** 要将你的解题策略转化为得分,主要靠准确完整的数学语言表述,这一点往往容易被忽视。因此，考试结果出现"会而不对""对而不全"的情况 。所以,在做题时，尤其是做几何证明题时，在解题思路正确的情况下，要善于把"图形语言"准确地转译成"文字语言"和"符号语言"，只有重视解题过程中的语言表述，会做的题才能得分。         **3、把握快与准的关系** 在题量大、时间紧的情况下，"准"字显得尤为重要。只有"准"才能得分，只有"准"你才可以不必考虑再花时间检查。而"快"是平时训练的结果，不是考场上所能解决的问题，一味求快，只会落得错误百出。所以，适当地慢一点、准一点，可多得一点分，相反，快一点、错一片，花了时间还得不到分。 **4、把握难题与容易题的关系** 拿到试卷后，就将全卷通览一遍，一般来说，应按先易后难、先简后繁的顺序作答。有时考题的顺序并不完全是难易的顺序，因此在答题时要合理安排时间，不要在某个卡住的题上打"持久战"，那样既耗费了时间又拿不到分，会做的题又被耽误了，也有一些看似容易的题也会有"咬手"的关卡，看似难做的题也有可能得分之处。所以考试中看到"容易"的题不可掉以轻心，看到新面孔的"难"题不要胆怯，冷静思考、仔细分析，定能得到应有的分数。 **（五）十条锦囊妙计** **锦囊1、答卷前要不要浏览试卷？** 　　考生在答卷前，最好按试卷上题的顺序从头到尾看一遍，这样做可以使学生对试题的数量、试题的类型、试题的难度、试题所占的分数等有一个比较全面的了解，为制订答题时间的安排和答题的秩序打下基础。 　　有的考生拿起卷子就答，从头到尾一道一道来。由于对整个试卷题量及分数不了解，心中无数，影响答卷质量。如果浏览，浏览试卷不要用时间太长，不是细看，大致看一下，有的考生从头到尾细看一遍，结果失去了不少答题的时间，影响考试质量。 　有的考生心理素质较差，看到难题就心慌。这样的考生，也可不必通览试卷，可先按顺序挑简单的题答，以增强信心。 　　总之，要视自己的情况而定，有的学生如果有这么一个习惯也就这样了，没有这种习惯的也没有必要刻意培养。另外作文要不要看一看？许多同学认为不能看，一看不就分心了吗，实际上，我们认为还是该看一看以做到胸中有大局，但限度只在于看看题目就可以了，千万记住不能一边答题一边构思。 **锦囊2、考试时，碰上自己不会的题或想不起的知识怎么办？** 　　考试时遇到这种情况，切忌慌乱和胡乱尝试。首先考生应先分析一下自己不会做的大致原因：是忘记了有关知识，还是题目没理解透彻？或是题目线索太多，自己一时难以理出头绪？然后再根据自己分析的原因，考虑采取相应的对策。这样按程序有条理地去做，即使题目仍未解出，也不会去想\"这下晚了，我要考砸了\"之类无用而有害的事，而是可以自慰自励：\"这题对我难，对别人也难。\" 　　考生在考试时，有时会出现某些知识回忆不起来的现象。这时考生因急需解决问题而希望尽快回忆起来，往往就会心里着急，紧张地在记忆中胡乱搜索，企图\"碰上\"想要找到的东西。但是这种无秩序搜索的成功率一般都很低，并且随着时间的延长而更加重了自己的紧张慌乱。此时正确的策略是应该善于运用联想，你可联想老师讲这段知识的具体情景，也可联想与这段知识相关的知识，以寻找回忆的线索。如你忘了哺乳动物有什么特点，那么你就可以通过回忆鸟类的特点来与之对比回忆。 　　总之，时间分配一定要合理，在遇到一个难题时，做题时间不宜过长这样不仅耽误时间，而且影响自己的做题情绪，正确的做法是先放一放，为图大局，暂放一题，值得。平常训练时要有意识培养这种能力。 **锦囊3、正确面对新情景、新材料** 　　高考没有现成的成题，即使是最简单的题也是课本上的成题经改造后呈现出来的，材料没见过，情景以前都没出现过，应该说这也是命题者的初衷。但这类试题有个共同的特点：\"材料在外，答案在内\"、\"起点高，落点低\"。\"熟悉中考查陌生，陌生中考查熟悉\"这就是命题者考查考生直面社会热点问题、难点问题，运用已有知识支解新、分析、解决这些问题的能力。在平时掌握的课本知识中一定能找到相关的模型。因此，我们应该庆幸能遇到这样的题目，而且丝毫不用惊慌，新的情景，新的材料正是我们所要的，只要冷静细心，这些题目你都能得到分的。 **锦囊4、如何提高I卷选择题得分率？** 　　在理综的考查背景下，每个选择题6分，\"得分易失分更易\"所以我们更应重视Ⅰ卷的得分率。I卷有一个正确选项，其他选项叫干扰项，命题专家在设定干扰项的时候，常围绕正确选项进行干扰，其三个原则是：一要干扰，二要干扰有效，三要干扰出学生学习中典型的错误来。因此，要提高选择题的得分率，实际上就是提高考生的抗干扰能力，一要明确选择题的具体要求，二要仔细审题，确定试题内容，三要提高信息筛选能力；除此以外还要做到：信心十足、精神集中，排除分数的压力，不猜题、不押题，至于方法可采用选择法也可以采用排除法。 **锦囊5、合理安排答题的顺序** 　　理论上说试题的难度是从易到难，而且近几年大多数学科试题也是这么做的 但也有些学科发生过前边的试题开始就不容易。考生要先做容易的，考生做容易题一定要做一题对一题。有的考生特别是学习成绩好的考生，在做简单题时犯常识性错误。这些考生以为这些题很简单，无意之中放松了警惕性。或把题看错或分析过程中马虎大意，因此丢分较多。有些考生平时成绩不太好，对难题做起来几乎没有成功的可能。这样的考生不妨先读一遍难题，如感觉没有希望，就把时间用在克服简单题和中档题上，确保简单题全部得分。 　　答题是要处理好答题时准与快的关系。正确处理好答题中准与快是高考中的一个重要策略。在答题时要力求准与快结合，以准为基础。解题时一定要有的放矢，简明扼要，切忌画蛇添足，空谈泛谈。建议在考场上，可把手表放在桌子上，经常注意把握时间，但也不要过于频繁，做前面的容易题不要拖拉，做后面的难题也不要在一道题上用过多的时间。 **锦囊6、要学会\"挤\"分** 　　高考试题是\"题题设防，题题把关\"，高考试题每一道题目都\"长牙\"，每一道题目都\"咬人\"，只有这样才达到区分的目的。另一方面高考试题是分步赋分，做对几步就会得到几分，因此考生在答题时要学会\"挤\"分。 挤分的主要方法有：理科把主要方程式和计算结果写在显要位置，作文尤其主要开头和结尾，文科一般都按要点给分。所以每一道题都认真思考，能做几步就做几步，高考是按步赋分，千万不能产生定势，高考试题为了达到理想的压分度，住住是难度逐步加深，对于考生来说就是能做几分是几分。这是考试中最好的策略。 　　因此考生在考试时，不急燥，不气馁，要学会用\"挤\"的办法提高自己的得分率。 **锦囊7、题目答不完也能当状元** 　　有些学科的试卷在规定的时间里做不完，特别是数学、理综这些理科试卷，这也是正常现象，试卷有一个长度标准，试卷长度是指题量与考试时间的一个相宜程度。命题时对试卷的长度有一个限制：中等难度以上的考生在规定的时间里可以完成全卷这就是试卷的长度标准。为什么规定是中等程度以上的考生可以答完？这和录取率有关，就全国而言，平均录取率是在50%，因此指标就设定在中等程度以上考生。 　　有一个问题要提醒考生，没有做完是不是上线无望呢？不一定！第一，决定上线与否是总分，某一两个学科答不完不见的总分不够；第二，\"做完\"与\"做对\"是两个概念，如果后面个别题目没做完，前面的题目正确率高，也完全可以得高分。例如在99年高考中，陕西省理科状元数学就剩下一个多计算题做，但仍能成为状元，原因就是做过的都基本上做到不失分。 **锦囊8、考试中遇到\"怯场\"不可怕** 　　考生是在具备了扎实的基础知识基本技能，良好的心理品质后，高考时还应该掌握一定的应试策略，这里讲讲应试策略就是科学的应试，掌握一定的方法技巧，这对实现考试目标有着至关重要的作用，总有一些考生考试的\"怯场\"\"晕场\"，除了心理上的原因外，没有掌握科学的应试方法也是一个重要原因。命题组的专家认为难的题，考生从来也没有感觉到容易过，命题地专家认为，那些低中档题，考生有的时候还是觉得很难，因此考生参加高考一定要有充分的准备。我们应该记住这样一条规律\"办法总比困难多\"这里说的办法还包括应试策略，包括解题方法和答题技巧。 **锦囊9、争取一遍成功** 　　一部分考生在规定的时间内答不完试题，特别是数学理综，在这种情况下要不要抽出时间把前面的试题先检查一遍？不少杂志或报道认为需要检查。根据近四年来的带考经验，我们不主张特意抽出时间进行检查。当然有剩余时间检查固然很好。多年的高考实践证明：许多考生在最后时段中检查前面的试题过程中很难找到错误，因为在相对十分紧张的情况下，很难克服原来形成的定势思维，因此我们主张争取一遍成功，这样既提高了解题速度有能加强审题意识。 **锦囊10、考砸一科后怕影响后面几科的考试怎么办？** 　　考试结束后，考生们鱼贯而出，会看到有的考生兴高采烈，有的考生神情沮丧，甚至有可能止不住哭出来。这时考生不要与别人对答案，家长也尽量不要问，如果有人问考的如何，就告诉他\"还行\"就可以了。一是如果上门科目考的不错，于是忘乎所以容易产生松懈情绪，降低后续考试的动机水平和唤醒程度；二是如果感觉考的不好，与别人对答案不一致，造成情绪低沉和焦虑。 此时最恰当的方法是马上将这门科目完全放下，让思维和情绪完全丢开对这门科目的眷顾，并全面转入后一门科目繁荣复习中，对上一科考试失利的考生来说，学会遗忘，并迅速把注意力转移到下一科上显得更为重要。因为失利是难免的，重要的是迅速摆脱阴影，\"堤内损失堤外补\"在放松状态下，你的弱项完全可能成为你的强项。去年我所带班的一个考生在语文考试中整整漏做了30分的题，在老师们的鼓励和帮助下，他克制了万灰俱冷的感觉，在后两门考试中背水一战，放手一搏，最后如愿以偿考上重点大学。 　最后送给考生一句顺口溜：\"会的做对无怨无悔，会的做完不留遗憾\"。总之，实现高考目标需要有健康的体魄，良好的生活习惯，坚强的意志，优秀的品质等，只要考生能够很好地把握住这些要素，高考目标就一定能实现！ **（六）高考数学解题失误的"八道防线"** * **1、防审题错误*** 在各种解题失误中，审题错误可算是最常见而又最令人惋惜的失误了。一道对考生来讲挺简单的试题，本来是完全可以得满分的，结果却看错了题目。为此审题时要做到以下几点：（1）不漏掉条件；（2）不看错题目（3）充分运用题设的各项条件；（4）要引申条件，使条件和结论建立联系。 ***2、防手忙脚乱*** 高考时，由于时间紧、压力大等原因，有的同学做题时总是静不下心来，一想到时间不多了，却还有那么多题未做，就有点手忙脚乱，结果经常把一些相似的或容易混淆的东西混为一谈。比如，分类讨论只讨论了一种情况，而忽视了其他情况；函数图象应该是递增的，却画成了递减等。防止此类错误的主要方法是：考试时要沉着、冷静、细心，不要因为考试时间不多就慌乱起来，这样反而考得更差。对于这种情况应该本着"先易后难"的一般解题顺序一个一个地完成，不要这个题目动动手，那个题目动动手，又都想完成，结果一个题目也做不完。 ***3、防草率收兵*** 题目做完后，一定要经过认真的检查和分析，防止不必要的疏漏和错误，有的题目还要检验答案的正确性和可靠性，看是否符合题意，更不要没有检查就交卷。 ***4、防掉入陷阱*** 所谓陷阱，就是考生平时解题中容易出错的一些问题，是学生思维中的薄弱环节，命题人为了考查学生灵活应用知识的能力和识别能力，有意设置了这样的陷阱，如果思维不全面、仔细，极容易掉入陷阱中，因此，审题要当心。 ***5、防不求甚解*** 有些试题可能有多个正确答案，或是多种可能情况，比如两曲线的交点个数问题、分母不能为零，等等。解题时一定要全面思考，仔细推敲。 ***6、防思维僵化*** 考试中遇到困难时，不要始终抱着一种思想不放，应该善于变换角度去思考问题，运用多种方法去解题。 ***7、防概念不清*** 解题时，概念不清、公式错用、张冠李戴也是考试之大忌。如等差数列前n项和可看作关于n的不含常数项的二次函数，而解题时则错误地假设为S~­n~ =(n+1)k （k为常数）；应用等比数列求和公式时忘了对公比q不等于1的讨论。 ***8、防过程紊乱*** 今年来，教育部考试中心在全国进行的高考科研测试结果表明，高考解题中的思想紊乱、语言表达不清、格式紊乱是考生的通病。因此，提高思维能力、语言表达能力，规范解题格式已是目前考生要解决的一个重大问题。
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绝密★启用前 **2006年普通高等学校招生全国统一考试** **数 学（理工农医类）（北京卷）** 本试卷分第**Ⅰ**卷（选择题）和第**Ⅱ**卷（非选择题）两部分，第**Ⅰ**卷1至2页，第**Ⅱ**卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第**Ⅰ卷（选择题 共40分）** 注意事项： 1. 答第**Ⅰ**卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 ```{=html} <!-- --> ``` 1. 本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 ```{=html} <!-- --> ``` 1. 在复平面内，复数对应的点位于 > （A）第一象限 （B）第二象限 > > （C）第三象限 （D）第四象限 （2）若与都是非零向量，则""是""的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 > （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 （A）36个 （B）24个 > （C）18个 （D）6个 > > （4）平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是 > > （A）一条直线 （B）一个圆 > > （C）一个椭圆 （D）双曲线的一支 （5）已知是上的减函数，那么的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （6）在下列四个函数中，满足性质："对于区间上的任意，恒成立"的只有 （A） （B） > （C） （D） （7）设，则等于 （A） （B） （C） （D） > （8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口的机动车辆数如图所示，图中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50 > > ![](./data/image/media/image40.jpeg)（A） > > （B） > > （C） > > （D） 绝密★启用前 **2006年普通高等学校招生全国统一考试** **数 学（理工农医类）（北京卷）** 第**Ⅱ卷（共110分）** 注意事项： 1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 ```{=html} <!-- --> ``` 2. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 （9）的值等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. （10）在的展开式中，的系数中\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（用数字作答）. （11）若三点共线，则的值等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. （12）在中，若，则的大小是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. > （13）已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于\_\_\_\_\_\_\_,最大值等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. > > （14）已知三点在球心为，半径为的球面上，，且，那么两点的球面距离为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，球心到平面的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 3. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （15）（本小题共12分） 已知函数， ![](./data/image/media/image65.jpeg) （Ⅰ）求的定义域； （Ⅱ）设是第四象限的角，且，求的值. （16）（本小题共13分） 已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求： （Ⅰ）的值； （Ⅱ）的值. （17）（本小题共14分） > 如图，在底面为平行四边表的四棱锥中，，平面，且，点是的中点. ![](./data/image/media/image85.jpeg)（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求二面角的大小. （18）（本小题共13分） 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. （Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由） （19）（本小题共14分） 已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值. （20）（本小题共14分） > 在数列中，若是正整数，且，则称为"绝对差数列". （Ⅰ）举出一个前五项不为零的"绝对差数列"（只要求写出前十项）； > （Ⅱ）若"绝对差数列"中，，数列满足，，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； （Ⅲ）证明：任何"绝对差数列"中总含有无穷多个为零的项.
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![](./data/image/media/image1.png)**荆州市2020年初中学业水平考试** **数学试题** 一、选择题 1\. 有理数的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2\. 下列四个几何体中，俯视图与其他三个不同的是（ ） A. ![](./data/image/media/image6.png) B. ![](./data/image/media/image7.png) C. ![](./data/image/media/image8.png) D. ![](./data/image/media/image9.png) 3\. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像是（ ） A. ![](./data/image/media/image11.png) B. ![](./data/image/media/image12.png) C. ![](./data/image/media/image13.png) D. ![](./data/image/media/image14.png) 4\. 将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若，则的度数是（ ） ![](./data/image/media/image17.png) A. B. C. D. 5\. 八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度，若设骑车学生的速度为xkm/h,则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6\. 若x为实数，在的中添上一种运算符号（在＋，－，×、÷中选择） 后，其运算的结果是有理数，则x不可能的是（ ） A. B. C. D. 7.如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE,DF，对于下列条件：①②③④只选其中一个添加，不能确定的是（ ） ![](./data/image/media/image36.png) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 8\. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30度，C为OA的中点，BC=1,则A点的坐标为（ ） ![](./data/image/media/image38.png) A. B. C. D. 9\. 定义新运算，对于任意实数a,b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ） A. 有一个实根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D.没有实数根 10\. 如图，在 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C均在网格交点上，是的外接圆，则的值是（ ） ![](./data/image/media/image51.png) A. B. C. D. 二、填空题 11.若，则a,b,c的大小关系是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.（用\<号连接） 12.若单项式与是同类项，则的值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 13.已知：,求作的外接圆，作法：①分别作线段BC,AC的垂直平分线EF和MN,它们交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画弧，如图即为所求，以上作图用到的数学依据是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. ![](./data/image/media/image63.png) 14.若标有A,B,C的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只（摘B先摘C）,直到摘完，则最后一只摘到B的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. ![](./data/image/media/image64.png) 15."健康荆州，你我同行"，市民小张积极响应"全民健身动起来"号召，坚持在某环形步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的，其中,AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB的正中位置，E地与C地相距1km,若，小张某天沿路线跑一圈，则他跑了\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_km. ![](./data/image/media/image69.png) 16.我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为"整交点"，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 三、解答题 17.先化简，再求值：其中a是不等式组的最小整数解； 18.阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值 问题：解方程 提示：可以用换元法解方程 解：设，则有 原方程可化为： 续解： 19.如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD. （1）求证：; （2）若AB=4,BC=1，求A,C两点旋转所经过的路径长之和. ![](./data/image/media/image82.png) 20.6月26日是"国际禁毒日"某中学组织七、八年级全体学生开展了"禁毒知识"网上竞赛活动，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取10名学生的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90,95,95，80,85,90,85,90,85100；八年级：85,85,95,80,95,90,90,90,100,90； 整理数据： ![](./data/image/media/image83.png) 分析数据： ![](./data/image/media/image84.png) 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中的值 （2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由； （3）该校七八年级共600人，本次竞赛成绩不低于90分的为"优秀"估计这两个年级共多少名学生达到"优秀"？ 21.九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像和性质后，进一步研究了函数的图像与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图像，如图1， 列表;下表是x与y的几组对应值，其中； ![](./data/image/media/image88.png) 描点：根据表中各组对应值（x,y）在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像，请你把图像补充完整； （2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：①\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_;②\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_; （3）①观察发现：如图2，若直线y=2交函数的图像于A,B两点，连接OA,过点B作BC//OA交x轴于点C,则; ②探究思考：将①的直线y=2改为直线y=a(a\>0)，其他条件不变，则; ③类比猜想：若直线y=a(a\>0)交函数的图像于A,B两点，连接OA,过点B作BC//OA交x轴于C,则; ![](./data/image/media/image91.png) 22.如图矩形ABCD中，AB=20,点E是BC上一点，将沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上的点G处，点F在DG上，将沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时. （1）求证： （2）求AD的长； （3）求的值。 ![](./data/image/media/image97.png) 23.为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：（单位：吨） ![](./data/image/media/image98.png) （1）求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？ （2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A,B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； （3）当每吨运费降低m元，（且m为整数），按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元，求m的最小值. 24.如图1，在平面直角坐标系中，,以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO的延长线于C,连接AB,BC,过O作ED//BC分别交AB和半圆O于E,D,连接OB,CD. （1）求证：BC是半圆O的切线； （2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由； （3）如图2，若抛物线经过点D，且顶点为E，求此抛物线的解析式；点P 是此抛物线对称轴上的一动点，以E,,D,P为顶点的三角形与相似，问抛物线上是否存在点Q,使得，若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由. ![](./data/image/media/image103.png) **试题答案部分** 一、选择题 AACDC; CCBCB 二、填空题 11\. 12.2 13.线段的垂直平分线的性质 14\. 15.24 16. 或或 三解答题 17.解：（1）原式= （2）不等式的解集为， 所以a的最小值为2 所以原式= 18.续解： 解得 ， 经检验都是方程的解 19.（1）证明： 是等边三角形 所以 ; （2）依题意得：AD=BD=4,BC=BE=1, 所以A,C两点经过的路径长之和为 20解： （1） （2）七八年级成绩的众数和中位数相同，但是八年级的平均成绩比七年级的高，且从方差看，八年级的成绩整齐，综上八年级成绩较好. 21.解：（1）m=1 (2)函数图像关于y轴对称；当时，y随x增大而减少;函数的图像无限接近坐标轴，但不与其相交;函数没有最大值等等 （3）4, 4, 2k ![](./data/image/media/image127.png) 22.（1）证明：因为四边形ABCD是矩形 所以 , (2)解： (3)解：在直角三角形ADG中， 由折叠对称性知， 解得：x=6, 所以HF=6 在直角三角形GHF中，. 23.解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨； 则 解得： （2） 当x=240时运费最小 所以总运费的方案是：甲厂200吨全部运往B地；乙厂运往A地240吨，运往B地60吨. (3)由（2）知 当x=240时, , 所以m的最小值为10. 24.(1)如图1，设AB与y轴交于点M,则AM=2,OM=1,AB=5 则 是三角形的中位线 所以, 是直角三角形 即 所以BC是半圆的O的切线； （2）四边形OBCD是平行四边形 由图知： 所以四边形OBCD是平行四边形. （3）①由（2）知： E为AB的中点，过点D作轴，DN//ME, 设此抛物线的解析式为 则 所以此抛物线的解析式为 ![](./data/image/media/image178.png) ![](./data/image/media/image179.png)
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**北师大版小学五年级上册数学第1单元《小数除法------人民币兑换》同步检测1（附答案）** 一、在每个算式后面的括号里选出正确答案,画"√"。 0.23×0.1 （0.23 0.023） 4.5×0.2 （9 0.9） 2.4÷10 （0.24 24） 7.2÷0.6 （12 0.12） 1.2÷0.3 （40 4） 二、仔细想，认真填。 1.求一个小数的近似数，要根据需要用( )法保留小数位数；保留整数表示精确到( )位，保留一位小数表示精确到( )位。 2.163.2÷35的商保留整数约是( )，保留一位小数约是( )。 3.2.14×0.08的积是( )，保留两位小数约是( )。 4.一个三位小数，保留两位小数是8.30，这个数最大是( )，最小是( )。 三、选一选。 1.15.8÷2.5的商保留一位小数约是( )。 A.6.4 B.6.3 C.6.2. 来源：www.bcjy123.com/tiku/ 2.把l2.998保留两位小数大约是( )。 A.12.99 B.13 C.13.O0 3.求商的近似数时，如果要求精确到十分位，商一般应除到( )位，再进行"四舍五入"。 A.十分 B.百分 C.千分 4.两个乘数的积的近似数是5.47，这个积可能是( )。 A.5.474 B.5.475 C.5.464 四、用竖式计算。(得数保留两位小数) 2.36×0.18 1.88×2.4 7.26÷0.342 37.2÷42 五、填一填。 ----------- ---------- -------------- -------------- 保留整数 保留一位小数 保留两位小数 3.42×1.7 6.32÷0.55 2.71÷0.7 ----------- ---------- -------------- -------------- 六、解决问题。 1.美国小朋友琼斯给丁丁寄来一本《科学家的故事》，价格是5.20美元，一美元兑换人民币6.78元，折合人民币大约多少元？(得数保留两位小数) 来源：www.bcjy123.com/tiku/ 2.爸爸要到香港出差，用5000元人民币到银行可兑换多少港币？(得数保留整数) 一元港币兑换人民币0.87元。 拓展知识园 你知道吗？ ---------- ---------- ---------- 国家 货币名称 标准符号 中国 人民币 CNY 中国香港 港元 HKD 中国澳门 澳门元 MOP 日本 日元 JPY 马来西亚 马元 MYR 泰国 泰铢 THP ---------- ---------- ---------- 来源：www.bcjy123.com/tiku/ **参考答案** 一、0.023 0.9 0.24 12 4 二、l. 四舍五入 个 十分 2\. 5 4.7 3\. 0.1712 0.17 4\. 8.304 8.295 三、l.B 2.C 3.B 4.A 四、0.42 4.51 21.23 0.89 五、 ----------- ---------- -------------- -------------- 保留整数 保留一位小数 保留两位小数 3.42×1.7 6 5.8 5.81 6.32÷0.55 11 11.5 11.49 2.71÷0.7 4 3.9 3.87 ----------- ---------- -------------- -------------- 六、l. 5.20×6.78≈35.26(元) 2\. 5000÷0.87≈5747(元) 来源：www.bcjy123.com/tiku/ 来源：www.bcjy123.com/tiku/ 来源：www.bcjy123.com/tiku/ 来源：www.bcjy123.com/tiku/ 来源：www.bcjy123.com/tiku/ 来源：www.bcjy123.com/tiku/ 来源：www.bcjy123.com/tiku/
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**2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）** **一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。** 1．（5分）已知集合A={（x，y）\|x^2^+y^2^=1}，B={（x，y）\|y=x}，则A∩B中元素的个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则\|z\|=（　　） A．![](./data/image/media/image1.png) B．![](./data/image/media/image2.png) C．![](./data/image/media/image3.png) D．2 3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． ![](./data/image/media/image4.png) 根据该折线图，下列结论错误的是（　　） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．（5分）（x+y）（2x﹣y）^5^的展开式中的x^3^y^3^系数为 （　　） A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80 5．（5分）已知双曲线C：![](./data/image/media/image5.png)﹣![](./data/image/media/image6.png)=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=![](./data/image/media/image7.png)x，且与椭圆![](./data/image/media/image8.png)+![](./data/image/media/image9.png)=1有公共焦点，则C的方程为（　　） A．![](./data/image/media/image10.png)﹣![](./data/image/media/image11.png)=1 B．![](./data/image/media/image12.png)﹣![](./data/image/media/image13.png)=1 C．![](./data/image/media/image14.png)﹣![](./data/image/media/image15.png)=1 D．![](./data/image/media/image12.png)﹣![](./data/image/media/image16.png)=1 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+![](./data/image/media/image17.png)），则下列结论错误的是（　　） A．f（x）的一个周期为﹣2π B．y=f（x）的图象关于直线x=![](./data/image/media/image18.png)对称 C．f（x+π）的一个零点为x=![](./data/image/media/image19.png) D．f（x）在（![](./data/image/media/image20.png)，π）单调递减 7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（　　） ![](./data/image/media/image21.png) A．5 B．4 C．3 D．2 8．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　） A．π B．![](./data/image/media/image22.png) C．![](./data/image/media/image23.png) D．![](./data/image/media/image24.png) 9．（5分）等差数列{a~n~}的首项为1，公差不为0．若a~2~，a~3~，a~6~成等比数列，则{a~n~}前6项的和为（　　） A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8 10．（5分）已知椭圆C：![](./data/image/media/image25.png)=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A~1~，A~2~，且以线段A~1~A~2~为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　） A．![](./data/image/media/image26.png) B．![](./data/image/media/image27.png) C．![](./data/image/media/image28.png) D．![](./data/image/media/image29.png) 11．（5分）已知函数f（x）=x^2^﹣2x+a（e^x﹣1^+e^﹣x+1^）有唯一零点，则a=（　　） A．﹣![](./data/image/media/image30.png) B．![](./data/image/media/image29.png) C．![](./data/image/media/image30.png) D．1 12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若![](./data/image/media/image31.png)=λ![](./data/image/media/image32.png)+μ![](./data/image/media/image33.png)，则λ+μ的最大值为（　　） A．3 B．2![](./data/image/media/image34.png) C．![](./data/image/media/image35.png) D．2 　 **二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。** 13．（5分）若x，y满足约束条件![](./data/image/media/image36.png)，则z=3x﹣4y的最小值为[　 　]{.underline}． 14．（5分）设等比数列{a~n~}满足a~1~+a~2~=﹣1，a~1~﹣a~3~=﹣3，则a~4~=[　 　]{.underline}． 15．（5分）设函数f（x）=![](./data/image/media/image37.png)，则满足f（x）+f（x﹣![](./data/image/media/image38.png)）＞1的x的取值范围是[　 　]{.underline}． 16．（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最小值为60°； 其中正确的是[　 　]{.underline}．（填写所有正确结论的编号） 　 **三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。** 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+![](./data/image/media/image39.png)cosA=0，a=2![](./data/image/media/image40.png)，b=2． （1）求c； （2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间\[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： ---------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ 最高气温 \[10，15） \[15，20） \[20，25） \[25，30） \[30，35） \[35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 ---------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC； （2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值． ![](./data/image/media/image41.png) 20．（12分）已知抛物线C：y^2^=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （1）证明：坐标原点O在圆M上； （2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程． 21．（12分）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+![](./data/image/media/image42.png)）（1+![](./data/image/media/image43.png)）...（1+![](./data/image/media/image44.png)）＜m，求m的最小值． 　 **（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]** 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l~1~的参数方程为![](./data/image/media/image45.png)，（t为参数），直线l~2~的参数方程为![](./data/image/media/image46.png)，（m为参数）．设l~1~与l~2~的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （1）写出C的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l~3~：ρ（cosθ+sinθ）﹣![](./data/image/media/image47.png)=0，M为l~3~与C的交点，求M的极径． 　 **\[选修4-5：不等式选讲\]** 23．已知函数f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣2\|． （1）求不等式f（x）≥1的解集； （2）若不等式f（x）≥x^2^﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 　 **2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。** 1．（5分）已知集合A={（x，y）\|x^2^+y^2^=1}，B={（x，y）\|y=x}，则A∩B中元素的个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】解不等式组求出元素的个数即可． 【解答】解：由![](./data/image/media/image48.png)，解得：![](./data/image/media/image49.png)或![](./data/image/media/image50.png)， ∴A∩B的元素的个数是2个， 故选：B． 【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题． 　 2．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则\|z\|=（　　） A．![](./data/image/media/image51.png) B．![](./data/image/media/image52.png) C．![](./data/image/media/image53.png) D．2 【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1． 则\|z\|=![](./data/image/media/image54.png)． 故选：C． 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． ![](./data/image/media/image55.png) 根据该折线图，下列结论错误的是（　　） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线．菁优网版权所有 【专题】27：图表型；2A：探究型；5I：概率与统计． 【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案． 【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得： 月接待游客量逐月有增有减，故A错误； 年接待游客量逐年增加，故B正确； 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确； 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确； 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，属于基础题． 　 4．（5分）（x+y）（2x﹣y）^5^的展开式中的x^3^y^3^系数为 （　　） A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；5P：二项式定理． 【分析】（2x﹣y）^5^的展开式的通项公式：T~r+1~=![](./data/image/media/image56.png)（2x）^5﹣r^（﹣y）^r^=2^5﹣r^（﹣1）^r^![](./data/image/media/image56.png)x^5﹣r^y^r^．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．即可得出． 【解答】解：（2x﹣y）^5^的展开式的通项公式：T~r+1~=![](./data/image/media/image57.png)（2x）^5﹣r^（﹣y）^r^=2^5﹣r^（﹣1）^r^![](./data/image/media/image57.png)x^5﹣r^y^r^． 令5﹣r=2，r=3，解得r=3． 令5﹣r=3，r=2，解得r=2． ∴（x+y）（2x﹣y）^5^的展开式中的x^3^y^3^系数=2^2^×（﹣1）^3^![](./data/image/media/image58.png)+2^3^×![](./data/image/media/image59.png)=40． 故选：C． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 5．（5分）已知双曲线C：![](./data/image/media/image60.png)﹣![](./data/image/media/image61.png)=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=![](./data/image/media/image62.png)x，且与椭圆![](./data/image/media/image63.png)+![](./data/image/media/image64.png)=1有公共焦点，则C的方程为（　　） A．![](./data/image/media/image65.png)﹣![](./data/image/media/image66.png)=1 B．![](./data/image/media/image67.png)﹣![](./data/image/media/image68.png)=1 C．![](./data/image/media/image69.png)﹣![](./data/image/media/image70.png)=1 D．![](./data/image/media/image71.png)﹣![](./data/image/media/image72.png)=1 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程． 【解答】解：椭圆![](./data/image/media/image73.png)+![](./data/image/media/image72.png)=1的焦点坐标（±3，0）， 则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3， 双曲线C：![](./data/image/media/image74.png)﹣![](./data/image/media/image75.png)=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=![](./data/image/media/image76.png)x， 可得![](./data/image/media/image77.png)，即![](./data/image/media/image78.png)，可得![](./data/image/media/image79.png)=![](./data/image/media/image80.png)，解得a=2，b=![](./data/image/media/image81.png)， 所求的双曲线方程为：![](./data/image/media/image82.png)﹣![](./data/image/media/image83.png)=1． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力． 　 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+![](./data/image/media/image84.png)），则下列结论错误的是（　　） A．f（x）的一个周期为﹣2π B．y=f（x）的图象关于直线x=![](./data/image/media/image85.png)对称 C．f（x+π）的一个零点为x=![](./data/image/media/image86.png) D．f（x）在（![](./data/image/media/image87.png)，π）单调递减 【考点】H7：余弦函数的图象．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可． 【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确， B．当x=![](./data/image/media/image88.png)时，cos（x+![](./data/image/media/image89.png)）=cos（![](./data/image/media/image88.png)+![](./data/image/media/image89.png)）=cos![](./data/image/media/image90.png)=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=![](./data/image/media/image88.png)对称，故B正确， C当x=![](./data/image/media/image91.png)时，f（![](./data/image/media/image91.png)+π）=cos（![](./data/image/media/image91.png)+π+![](./data/image/media/image92.png)）=cos![](./data/image/media/image93.png)=0，则f（x+π）的一个零点为x=![](./data/image/media/image94.png)，故C正确， D．当![](./data/image/media/image95.png)＜x＜π时，![](./data/image/media/image96.png)＜x+![](./data/image/media/image92.png)＜![](./data/image/media/image97.png)，此时函数f（x）不是单调函数，故D错误， 故选：D． 【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键． 　 7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（　　） ![](./data/image/media/image98.png) A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；39：运动思想；49：综合法；5K：算法和程序框图． 【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论． 【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0， 要使输出S的值小于91，应满足"t≤N"， 则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2， 要使输出S的值小于91，应接着满足"t≤N"， 则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3， 要使输出S的值小于91，应不满足"t≤N"，跳出循环体， 此时N的最小值为2， 故选：D． 【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 8．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　） A．π B．![](./data/image/media/image99.png) C．![](./data/image/media/image100.png) D．![](./data/image/media/image101.png) 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5Q：立体几何． 【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r=![](./data/image/media/image102.png)=![](./data/image/media/image103.png)，由此能求出该圆柱的体积． 【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上， ∴该圆柱底面圆周半径r=![](./data/image/media/image104.png)=![](./data/image/media/image103.png)， ∴该圆柱的体积：V=Sh=![](./data/image/media/image105.png)=![](./data/image/media/image106.png)． 故选：B． ![](./data/image/media/image107.png) 【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题． 　 9．（5分）等差数列{a~n~}的首项为1，公差不为0．若a~2~，a~3~，a~6~成等比数列，则{a~n~}前6项的和为（　　） A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8 【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{a~n~}前6项的和． 【解答】解：∵等差数列{a~n~}的首项为1，公差不为0．a~2~，a~3~，a~6~成等比数列， ∴![](./data/image/media/image108.png)， ∴（a~1~+2d）^2^=（a~1~+d）（a~1~+5d），且a~1~=1，d≠0， 解得d=﹣2， ∴{a~n~}前6项的和为![](./data/image/media/image109.png)=![](./data/image/media/image110.png)=﹣24． 故选：A． 【点评】本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用． 　 10．（5分）已知椭圆C：![](./data/image/media/image111.png)=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A~1~，A~2~，且以线段A~1~A~2~为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　） A．![](./data/image/media/image112.png) B．![](./data/image/media/image113.png) C．![](./data/image/media/image114.png) D．![](./data/image/media/image115.png) 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】以线段A~1~A~2~为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离![](./data/image/media/image116.png)=a，化简即可得出． 【解答】解：以线段A~1~A~2~为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离![](./data/image/media/image116.png)=a，化为：a^2^=3b^2^． ∴椭圆C的离心率e=![](./data/image/media/image117.png)=![](./data/image/media/image118.png)=![](./data/image/media/image119.png)． 故选：A． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 11．（5分）已知函数f（x）=x^2^﹣2x+a（e^x﹣1^+e^﹣x+1^）有唯一零点，则a=（　　） A．﹣![](./data/image/media/image120.png) B．![](./data/image/media/image121.png) C．![](./data/image/media/image120.png) D．1 【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用． 【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象与y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image122.png)）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论． 【解答】解：因为f（x）=x^2^﹣2x+a（e^x﹣1^+e^﹣x+1^）=﹣1+（x﹣1）^2^+a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image122.png)）=0， 所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）^2^=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image122.png)）有唯一解， 等价于函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象与y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image122.png)）的图象只有一个交点． ①当a=0时，f（x）=x^2^﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾； ②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）^2^在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image122.png)）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 所以函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象的最高点为A（1，1），y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image123.png)）的图象的最高点为B（1，2a）， 由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象与y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image123.png)）的图象有两个交点，矛盾； ③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）^2^在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image123.png)）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增， 所以函数y=1﹣（x﹣1）^2^的图象的最高点为A（1，1），y=a（e^x﹣1^+![](./data/image/media/image123.png)）的图象的最低点为B（1，2a）， 由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=![](./data/image/media/image124.png)，符合条件； 综上所述，a=![](./data/image/media/image124.png)， 故选：C． 【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题． 　 12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若![](./data/image/media/image125.png)=λ![](./data/image/media/image126.png)+μ![](./data/image/media/image127.png)，则λ+μ的最大值为（　　） A．3 B．2![](./data/image/media/image128.png) C．![](./data/image/media/image129.png) D．2 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆． 【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（![](./data/image/media/image130.png)cosθ+1，![](./data/image/media/image130.png)sinθ+2），根据![](./data/image/media/image131.png)=λ![](./data/image/media/image132.png)+μ![](./data/image/media/image133.png)，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值． 【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系， 则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2）， ∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上， 设圆的半径为r， ∵BC=2，CD=1， ∴BD=![](./data/image/media/image134.png)=![](./data/image/media/image135.png) ∴![](./data/image/media/image136.png)BC•CD=![](./data/image/media/image136.png)BD•r， ∴r=![](./data/image/media/image137.png)， ∴圆的方程为（x﹣1）^2^+（y﹣2）^2^=![](./data/image/media/image138.png)， 设点P的坐标为（![](./data/image/media/image139.png)cosθ+1，![](./data/image/media/image139.png)sinθ+2）， ∵![](./data/image/media/image140.png)=λ![](./data/image/media/image141.png)+μ![](./data/image/media/image142.png)， ∴（![](./data/image/media/image143.png)cosθ+1，![](./data/image/media/image143.png)sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴![](./data/image/media/image143.png)cosθ+1=λ，![](./data/image/media/image143.png)sinθ+2=2μ， ∴λ+μ=![](./data/image/media/image143.png)cosθ+![](./data/image/media/image144.png)sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3， 故λ+μ的最大值为3， 故选：A． ![](./data/image/media/image145.png) 【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题． 　 **二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。** 13．（5分）若x，y满足约束条件![](./data/image/media/image146.png)，则z=3x﹣4y的最小值为[　﹣1　]{.underline}． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5T：不等式． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x﹣4y的最小值． 【解答】解：由z=3x﹣4y，得y=![](./data/image/media/image147.png)x﹣![](./data/image/media/image148.png)，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线y=![](./data/image/media/image149.png)x﹣![](./data/image/media/image148.png)，由平移可知当直线y=![](./data/image/media/image149.png)x﹣![](./data/image/media/image148.png)， 经过点B（1，1）时，直线y=![](./data/image/media/image149.png)x﹣![](./data/image/media/image148.png)的截距最大，此时z取得最小值， 将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1， 即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1． ![](./data/image/media/image150.png) 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 　 14．（5分）设等比数列{a~n~}满足a~1~+a~2~=﹣1，a~1~﹣a~3~=﹣3，则a~4~=[　﹣8　]{.underline}． 【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列． 【分析】设等比数列{a~n~}的公比为q，由a~1~+a~2~=﹣1，a~1~﹣a~3~=﹣3，可得：a~1~（1+q）=﹣1，a~1~（1﹣q^2^）=﹣3，解出即可得出． 【解答】解：设等比数列{a~n~}的公比为q，∵a~1~+a~2~=﹣1，a~1~﹣a~3~=﹣3， ∴a~1~（1+q）=﹣1，a~1~（1﹣q^2^）=﹣3， 解得a~1~=1，q=﹣2． 则a~4~=（﹣2）^3^=﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 15．（5分）设函数f（x）=![](./data/image/media/image151.png)，则满足f（x）+f（x﹣![](./data/image/media/image152.png)）＞1的x的取值范围是[　（]{.underline}![](./data/image/media/image153.png)[，+∞）　]{.underline}． 【考点】3T：函数的值．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可． 【解答】解：若x≤0，则x﹣![](./data/image/media/image154.png)≤﹣![](./data/image/media/image154.png)， 则f（x）+f（x﹣![](./data/image/media/image154.png)）＞1等价为x+1+x﹣![](./data/image/media/image154.png)+1＞1，即2x＞﹣![](./data/image/media/image154.png)，则x＞![](./data/image/media/image155.png)， 此时![](./data/image/media/image155.png)＜x≤0， 当x＞0时，f（x）=2^x^＞1，x﹣![](./data/image/media/image156.png)＞﹣![](./data/image/media/image156.png)， 当x﹣![](./data/image/media/image156.png)＞0即x＞![](./data/image/media/image156.png)时，满足f（x）+f（x﹣![](./data/image/media/image156.png)）＞1恒成立， 当0≥x﹣![](./data/image/media/image156.png)＞﹣![](./data/image/media/image156.png)，即![](./data/image/media/image156.png)≥x＞0时，f（x﹣![](./data/image/media/image157.png)）=x﹣![](./data/image/media/image157.png)+1=x+![](./data/image/media/image157.png)![](./data/image/media/image158.png)， 此时f（x）+f（x﹣![](./data/image/media/image157.png)）＞1恒成立， 综上x＞![](./data/image/media/image159.png)， 故答案为：（![](./data/image/media/image159.png)，+∞）． 【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键． 　 16．（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最小值为60°； 其中正确的是[　②③　]{.underline}．（填写所有正确结论的编号） 【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，\|AC\|=1，\|AB\|=![](./data/image/media/image160.png)，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【解答】解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图， 不妨设图中所示正方体边长为1， 故\|AC\|=1，\|AB\|=![](./data/image/media/image160.png)，\\ 斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变， B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆， 以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系， 则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量![](./data/image/media/image161.png)=（0，1，0），\|![](./data/image/media/image161.png)\|=1， 直线b的方向单位向量![](./data/image/media/image162.png)=（1，0，0），\|![](./data/image/media/image162.png)\|=1， 设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0）， 其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈\[0，2π）， ∴AB′在运动过程中的向量，![](./data/image/media/image163.png)=（cosθ，sinθ，﹣1），\|![](./data/image/media/image163.png)\|=![](./data/image/media/image164.png)， 设![](./data/image/media/image165.png)与![](./data/image/media/image166.png)所成夹角为α∈\[0，![](./data/image/media/image167.png)\]， 则cosα=![](./data/image/media/image168.png)=![](./data/image/media/image169.png)\|sinθ\|∈\[0，![](./data/image/media/image169.png)\]， ∴α∈\[![](./data/image/media/image170.png)，![](./data/image/media/image171.png)\]，∴③正确，④错误． 设![](./data/image/media/image172.png)与![](./data/image/media/image173.png)所成夹角为β∈\[0，![](./data/image/media/image171.png)\]， cosβ=![](./data/image/media/image174.png)=![](./data/image/media/image175.png)=![](./data/image/media/image176.png)\|cosθ\|， 当![](./data/image/media/image177.png)与![](./data/image/media/image178.png)夹角为60°时，即α=![](./data/image/media/image179.png)， \|sinθ\|=![](./data/image/media/image180.png)=![](./data/image/media/image181.png)=![](./data/image/media/image182.png)， ∵cos^2^θ+sin^2^θ=1，∴cosβ=![](./data/image/media/image182.png)\|cosθ\|=![](./data/image/media/image183.png)， ∵β∈\[0，![](./data/image/media/image184.png)\]，∴β=![](./data/image/media/image185.png)，此时![](./data/image/media/image186.png)与![](./data/image/media/image187.png)的夹角为60°， ∴②正确，①错误． 故答案为：②③． ![](./data/image/media/image188.png) 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 　 **三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。** 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+![](./data/image/media/image189.png)cosA=0，a=2![](./data/image/media/image190.png)，b=2． （1）求c； （2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形． 【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出， （2）先根据夹角求出cosC，求出CD的长，得到S~△ABD~=![](./data/image/media/image191.png)S~△ABC~． 【解答】解：（1）∵sinA+![](./data/image/media/image192.png)cosA=0， ∴tanA=![](./data/image/media/image193.png)， ∵0＜A＜π， ∴A=![](./data/image/media/image194.png)， 由余弦定理可得a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA， 即28=4+c^2^﹣2×2c×（﹣![](./data/image/media/image191.png)）， 即c^2^+2c﹣24=0， 解得c=﹣6（舍去）或c=4， 故c=4． （2）∵c^2^=b^2^+a^2^﹣2abcosC， ∴16=28+4﹣2×2![](./data/image/media/image195.png)×2×cosC， ∴cosC=![](./data/image/media/image196.png)， ∴CD=![](./data/image/media/image197.png)=![](./data/image/media/image198.png)=![](./data/image/media/image195.png) ∴CD=![](./data/image/media/image199.png)BC ∵S~△ABC~=![](./data/image/media/image200.png)AB•AC•sin∠BAC=![](./data/image/media/image200.png)×4×2×![](./data/image/media/image201.png)=2![](./data/image/media/image202.png)， ∴S~△ABD~=![](./data/image/media/image200.png)S~△ABC~=![](./data/image/media/image202.png) ![](./data/image/media/image203.png) 【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，属于中档题 　 18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间\[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： ---------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ 最高气温 \[10，15） \[15，20） \[20，25） \[25，30） \[30，35） \[35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 ---------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列． （2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200≤n≤500，根据300≤n≤500和200≤n≤300分类讨论经，能得到当n=300时，EY最大值为520元． 【解答】解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500， P（X=200）=![](./data/image/media/image204.png)=0.2， P（X=300）=![](./data/image/media/image205.png)， P（X=500）=![](./data/image/media/image206.png)=0.4， ∴X的分布列为： --- ----- ----- ----- X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 --- ----- ----- ----- （2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶， ∴只需考虑200≤n≤500， 当300≤n≤500时， 若最高气温不低于25，则Y=6n﹣4n=2n； 若最高气温位于区间\[20，25），则Y=6×300+2（n﹣300）﹣4n=1200﹣2n； 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n， ∴EY=2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2=640﹣0.4n， 当200≤n≤300时， 若最高气温不低于20，则Y=6n﹣4n=2n， 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n， ∴EY=2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2=160+1.2n． ∴n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查数学期望的最大值的求法，考查函数、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想，是中档题． 　 19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （1）证明：平面ACD⊥平面ABC； （2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值． ![](./data/image/media/image207.png) 【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角． 【分析】（1）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO=![](./data/image/media/image208.png)AC．利用DO^2^+BO^2^=AB^2^=BD^2^．可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明． （2）设点D，B到平面ACE的距离分别为h~D~，h~E~．则![](./data/image/media/image209.png)=![](./data/image/media/image210.png)．根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得![](./data/image/media/image211.png)=![](./data/image/media/image212.png)=![](./data/image/media/image213.png)=1，即点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出． 【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD． ∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC． △ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD， ∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD． ∵△ACD是直角三角形， ∴AC是斜边，∴∠ADC=90°． ∴DO=![](./data/image/media/image214.png)AC． ∴DO^2^+BO^2^=AB^2^=BD^2^． ∴∠BOD=90°． ∴OB⊥OD． 又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD． 又OB⊂平面ABC， ∴平面ACD⊥平面ABC． （2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h~D~，h~E~．则![](./data/image/media/image212.png)=![](./data/image/media/image213.png)． ∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分， ∴![](./data/image/media/image215.png)=![](./data/image/media/image216.png)=![](./data/image/media/image217.png)=1． ∴点E是BD的中点． 建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2． 则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，![](./data/image/media/image218.png)，0），E![](./data/image/media/image219.png)． ![](./data/image/media/image220.png)=（﹣1，0，1），![](./data/image/media/image221.png)=![](./data/image/media/image222.png)，![](./data/image/media/image223.png)=（﹣2，0，0）． 设平面ADE的法向量为![](./data/image/media/image224.png)=（x，y，z），则![](./data/image/media/image225.png)，即![](./data/image/media/image226.png)，取![](./data/image/media/image227.png)=![](./data/image/media/image228.png)． 同理可得：平面ACE的法向量为![](./data/image/media/image229.png)=（0，1，![](./data/image/media/image230.png)）． ∴cos![](./data/image/media/image231.png)=![](./data/image/media/image232.png)=![](./data/image/media/image233.png)=﹣![](./data/image/media/image234.png)． ∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为![](./data/image/media/image234.png)． ![](./data/image/media/image235.png) 【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、三棱锥的体积计算公式、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 20．（12分）已知抛物线C：y^2^=2x，过点（2，0）的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （1）证明：坐标原点O在圆M上； （2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程． 【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；41：向量法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由![](./data/image/media/image236.png)•![](./data/image/media/image237.png)=0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得![](./data/image/media/image238.png)•![](./data/image/media/image237.png)=0，则坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得![](./data/image/media/image238.png)•![](./data/image/media/image237.png)=0，则坐标原点O在圆M上； （2）由题意可知：![](./data/image/media/image239.png)•![](./data/image/media/image240.png)=0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程． 【解答】解：方法一：证明：（1）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2）， 则![](./data/image/media/image241.png)=（2，2），![](./data/image/media/image242.png)=（2，﹣2），则![](./data/image/media/image241.png)•![](./data/image/media/image242.png)=0， ∴![](./data/image/media/image241.png)⊥![](./data/image/media/image242.png)， 则坐标原点O在圆M上； 当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）， ![](./data/image/media/image243.png)，整理得：k^2^x^2^﹣（4k^2^+2）x+4k^2^=0， 则x~1~x~2~=4，4x~1~x~2~=y~1~^2^y~2~^2^=（y~1~y~2~）^2^，由y~1~y~2~＜0， 则y~1~y~2~=﹣4， 由![](./data/image/media/image244.png)•![](./data/image/media/image245.png)=x~1~x~2~+y~1~y~2~=0， 则![](./data/image/media/image244.png)⊥![](./data/image/media/image245.png)，则坐标原点O在圆M上， 综上可知：坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2， ![](./data/image/media/image246.png)，整理得：y^2^﹣2my﹣4=0，A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）， 则y~1~y~2~=﹣4， 则（y~1~y~2~）^2^=4x~1~x~2~，则x~1~x~2~=4，则![](./data/image/media/image247.png)•![](./data/image/media/image248.png)=x~1~x~2~+y~1~y~2~=0， 则![](./data/image/media/image247.png)⊥![](./data/image/media/image248.png)，则坐标原点O在圆M上， ∴坐标原点O在圆M上； （2）由（1）可知：x~1~x~2~=4，x~1~+x~2~=![](./data/image/media/image249.png)，y~1~+y~2~=![](./data/image/media/image250.png)，y~1~y~2~=﹣4， 圆M过点P（4，﹣2），则![](./data/image/media/image251.png)=（4﹣x~1~，﹣2﹣y~1~），![](./data/image/media/image252.png)=（4﹣x~2~，﹣2﹣y~2~）， 由![](./data/image/media/image251.png)•![](./data/image/media/image252.png)=0，则（4﹣x~1~）（4﹣x~2~）+（﹣2﹣y~1~）（﹣2﹣y~2~）=0， 整理得：k^2^+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1， 当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4， 则x~1~+x~2~=![](./data/image/media/image253.png)，y~1~+y~2~=﹣1， 则M（![](./data/image/media/image254.png)，﹣![](./data/image/media/image255.png)），半径为r=丨MP丨=![](./data/image/media/image256.png)=![](./data/image/media/image257.png)， ∴圆M的方程（x﹣![](./data/image/media/image254.png)）^2^+（y+![](./data/image/media/image255.png)）^2^=![](./data/image/media/image258.png)． 当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2， 同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨=![](./data/image/media/image259.png)， ∴圆M的方程为（x﹣3）^2^+（y﹣1）^2^=10， 综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣![](./data/image/media/image260.png)）^2^+（y+![](./data/image/media/image261.png)）^2^=![](./data/image/media/image258.png)， 或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）^2^+（y﹣1）^2^=10． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+![](./data/image/media/image262.png)）（1+![](./data/image/media/image263.png)）...（1+![](./data/image/media/image264.png)）＜m，求m的最小值． 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）通过对函数f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求导，分a≤0、a＞0两种情况考虑导函数f′（x）与0的大小关系可得结论； （2）通过（1）可知lnx≤x﹣1，进而取特殊值可知ln（1+![](./data/image/media/image265.png)）＜![](./data/image/media/image266.png)，k∈N^\*^．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+![](./data/image/media/image267.png)）（1+![](./data/image/media/image268.png)）...（1+![](./data/image/media/image269.png)）＜e，另一方面可知（1+![](./data/image/media/image267.png)）（1+![](./data/image/media/image268.png)）...（1+![](./data/image/media/image270.png)）＞2，从而当n≥3时，（1+![](./data/image/media/image271.png)）（1+![](./data/image/media/image272.png)）...（1+![](./data/image/media/image270.png)）∈（2，e），比较可得结论． 【解答】解：（1）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0， 所以f′（x）=1﹣![](./data/image/media/image273.png)=![](./data/image/media/image274.png)，且f（1）=0． 所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，这与f（x）≥0矛盾； 当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a， 所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）~min~=f（a）， 若a≠1，则f（a）＜f（1）=0，从而与f（x）≥0矛盾； 所以a=1； （2）由（1）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1， 所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号， 所以ln（1+![](./data/image/media/image275.png)）＜![](./data/image/media/image275.png)，k∈N^\*^． ln（1+![](./data/image/media/image276.png)）+ln（1+![](./data/image/media/image277.png)）+...+ln（1+![](./data/image/media/image278.png)）＜![](./data/image/media/image276.png)+![](./data/image/media/image279.png)+...+![](./data/image/media/image280.png)=1﹣![](./data/image/media/image280.png)＜1， 即（1+![](./data/image/media/image281.png)）（1+![](./data/image/media/image279.png)）...（1+![](./data/image/media/image282.png)）＜e； 因为m为整数，且对于任意正整数n，（1+![](./data/image/media/image283.png)）（1+![](./data/image/media/image284.png)）...（1+![](./data/image/media/image282.png)）＜m成立， 当n=3时，不等式左边大于2， 所以m的最小值为3． 【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题． 　 **（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]** 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l~1~的参数方程为![](./data/image/media/image285.png)，（t为参数），直线l~2~的参数方程为![](./data/image/media/image286.png)，（m为参数）．设l~1~与l~2~的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （1）写出C的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l~3~：ρ（cosθ+sinθ）﹣![](./data/image/media/image287.png)=0，M为l~3~与C的交点，求M的极径． 【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4Q：参数法；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】解：（1）分别消掉参数t与m可得直线l~1~与直线l~2~的普通方程为y=k（x﹣2）①与x=﹣2+ky②；联立①②，消去k可得C的普通方程为x^2^﹣y^2^=4； （2）将l~3~的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣![](./data/image/media/image287.png)=0化为普通方程：x+y﹣![](./data/image/media/image288.png)=0，再与曲线C的方程联立，可得![](./data/image/media/image289.png)，即可求得l~3~与C的交点M的极径为ρ=![](./data/image/media/image290.png)． 【解答】解：（1）∵直线l~1~的参数方程为![](./data/image/media/image291.png)，（t为参数）， ∴消掉参数t得：直线l~1~的普通方程为：y=k（x﹣2）①； 又直线l~2~的参数方程为![](./data/image/media/image292.png)，（m为参数）， 同理可得，直线l~2~的普通方程为：x=﹣2+ky②； 联立①②，消去k得：x^2^﹣y^2^=4，即C的普通方程为x^2^﹣y^2^=4（x≠2且y≠0）； （2）∵l~3~的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣![](./data/image/media/image293.png)=0， ∴其普通方程为：x+y﹣![](./data/image/media/image293.png)=0， 联立![](./data/image/media/image294.png)得：![](./data/image/media/image295.png)， ∴ρ^2^=x^2^+y^2^=![](./data/image/media/image296.png)+![](./data/image/media/image297.png)=5． ∴l~3~与C的交点M的极径为ρ=![](./data/image/media/image298.png)． 【点评】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题． 　 **\[选修4-5：不等式选讲\]** 23．已知函数f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣2\|． （1）求不等式f（x）≥1的解集； （2）若不等式f（x）≥x^2^﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式． 【分析】（1）由于f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣2\|=![](./data/image/media/image299.png)，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集； （2）依题意可得m≤\[f（x）﹣x^2^+x\]~max~，设g（x）=f（x）﹣x^2^+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）~max~=![](./data/image/media/image300.png)，从而可得m的取值范围． 【解答】解：（1）∵f（x）=\|x+1\|﹣\|x﹣2\|=![](./data/image/media/image299.png)，f（x）≥1， ∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2； 当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2； 综上，不等式f（x）≥1的解集为{x\|x≥1}． （2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x^2^+x≥m成立， 即m≤\[f（x）﹣x^2^+x\]~max~，设g（x）=f（x）﹣x^2^+x． 由（1）知，g（x）=![](./data/image/media/image301.png)， 当x≤﹣1时，g（x）=﹣x^2^+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=![](./data/image/media/image302.png)＞﹣1， ∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5； 当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x^2^+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=![](./data/image/media/image303.png)∈（﹣1，2）， ∴g（x）≤g（![](./data/image/media/image303.png)）=﹣![](./data/image/media/image304.png)+![](./data/image/media/image305.png)﹣1=![](./data/image/media/image306.png)； 当x≥2时，g（x）=﹣x^2^+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=![](./data/image/media/image307.png)＜2， ∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1； 综上，g（x）~max~=![](./data/image/media/image306.png)， ∴m的取值范围为（﹣∞，![](./data/image/media/image306.png)\]． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题． 　
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**2019年重庆市中考数学试卷（A卷）** **一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．** 1．（4分）（2019•重庆）下列各数中，比小的数是　　 A．2 B．1 C．0 D． 2．（4分）（2019•重庆）如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是　　 ![](./data/image/media/image7.png) A．![](./data/image/media/image8.png) B．![](./data/image/media/image9.png) C．![](./data/image/media/image10.png) D．![](./data/image/media/image11.png) 3．（4分）（2019•重庆）如图，，若，，，则的长是　　 ![](./data/image/media/image19.png) A．2 B．3 C．4 D．5 4．（4分）（2019•重庆）如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连结．若，则的度数为　　 ![](./data/image/media/image33.png) A． B． C． D． 5．（4分）（2019•重庆）下列命题正确的是　　 A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 6．（4分）（2019•重庆）估计的值应在　　 A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 7．（4分）（2019•重庆）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则可建立方程组为　　 A． B． C． D． 8．（4分）（2019•重庆）按如图所示的运算程序，能使输出值为1的是　　 ![](./data/image/media/image55.png) A．， B．， C．， D．， 9．（4分）（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上，对角线轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点．若点，，则的值为　　 ![](./data/image/media/image77.png) A．16 B．20 C．32 D．40 10．（4分）（2019•重庆）为践行"绿水青山就是金山银山"的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端到山脚点的距离米，在距山脚点水平距离6米的点处，测得古树顶端的仰角（古树与山坡的剖面、点在同一平面上，古树与直线垂直），则古树的高度约为　　 （参考数据：，， ![](./data/image/media/image99.png) A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米 11．（4分）（2019•重庆）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为　　 A．0 B．1 C．4 D．6 12．（4分）（2019•重庆）如图，在中，是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，与交于点，连结，若，，则点到的距离为　　 ![](./data/image/media/image125.png) A． B． C． D． **二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．** 13．（4分）（2019•重庆）计算：[　　]{.underline} 14．（4分）（2019•重庆）今年五一节期间，重庆市旅游持续火爆，全市共接待境内外游客超过25600000人次，请把数25600000用科学记数法表示为[　　]{.underline}． 15．（4分）（2019•重庆）一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为[　　]{.underline}． 16．（4分）（2019•重庆）如图，在菱形中，对角线，交于点，，，分别以点、点为圆心，以的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为[　　]{.underline}．（结果保留 ![](./data/image/media/image141.png) 17．（4分）（2019•重庆）某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程（米与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是[　　]{.underline}米． ![](./data/image/media/image145.png) 18．（4分）（2019•重庆）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收入．经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是[　　]{.underline}． **三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．** 19．（10分）（2019•重庆）计算： （1） （2） 20．（10分）（2019•重庆）如图，在中，，是边上的中点，连结，平分交于点，过点作交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． ![](./data/image/media/image168.png) 21．（10分）（2019•重庆）每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心秩首．今年某校为确保学生安全，开展了"远离溺水珍爱生命"的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．，下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82 八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，90，94 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 -------- -------- -------- 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 93 众数 100 方差 52 50.4 -------- -------- -------- 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中，，的值； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共730人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？ ![](./data/image/media/image186.png) 22．（10分）（2019•重庆）《道德经》中的"道生一，一生二，二生三，三生万物"道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数 "纯数"． 定义；对于自然数，在计算时，各数位都不产生进位，则称这个自然数为"纯数"， 例如：32是"纯数"，因为计算时，各数位都不产生进位； 23不是"纯数"，因为计算时，个位产生了进位． （1）判断2019和2020是否是"纯数"？请说明理由； （2）求出不大于100的"纯数"的个数． 23．（10分）（2019•重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了"确定函数的表达式利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题"的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义． 结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数中，当时，；当时，． （1）求这个函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象井写出这个函数的一条性质； （3）已知函的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． ![](./data/image/media/image202.png) 24．（10分）（2019•重庆）某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费． （1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？ （2）为建设"资源节约型社会"，该小区物管公司5月初推出活动一："垃圾分类送礼物"，50平方米和80平方米的住户分别有和参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二："拉圾分类抵扣物管费"，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少，求的值． 25．（10分）（2019•重庆）如图，在平行四边形中，点在边上，连结，，垂足为，交于点，，垂足为，，垂足为，交于点，点是上一点，连接． （1）若，，，求的面积． （2）若，，求证：． ![](./data/image/media/image235.png) **四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程成或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解作过程书写在答题卡中对应的位置上．** 26．（8分）（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点． （1）连结，点是线段上一动点（点不与端点，重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值； （2）在（1）中，当取得最大值，取得最小值时，把点向上平移个单位得到点，连结，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． ![](./data/image/media/image281.png) **2019年重庆市中考数学试卷（A卷）** **参考答案与试题解析** **一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．** 1．（4分）下列各数中，比小的数是　　 A．2 B．1 C．0 D． 【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案． 【解答】解：， 比小的数是， 故选：． 2．（4分）如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是　　 ![](./data/image/media/image7.png) A．![](./data/image/media/image8.png) B．![](./data/image/media/image9.png) C．![](./data/image/media/image10.png) D．![](./data/image/media/image11.png) 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有一个正方形，如图所示：![](./data/image/media/image287.png)． 故选：． 3．（4分）如图，，若，，，则的长是　　 ![](./data/image/media/image19.png) A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边之间的关系进而得出答案． 【解答】解：， ， ，，， ， 解得：． 故选：． 4．（4分）如图，是的直径，是的切线，为切点，与交于点，连结．若，则的度数为　　 ![](./data/image/media/image33.png) A． B． C． D． 【分析】由切线的性质得出，求出，由等腰三角形的性质得出，再由三角形的外角性质即可得出结果． 【解答】解：是的切线， ， ， ， ， ， ， ； 故选：． 5．（4分）下列命题正确的是　　 A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定方法判断即可． 【解答】解：、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题； 、四条边相等的四边形是菱形，是假命题； 、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题； 、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题； 故选：． 6．（4分）估计的值应在　　 A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再进行估算． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 7．（4分）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则可建立方程组为　　 A． B． C． D． 【分析】设甲的钱数为，人数为，根据"若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50"，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：设甲的钱数为，乙的钱数为， 依题意，得：． 故选：． 8．（4分）按如图所示的运算程序，能使输出值为1的是　　 ![](./data/image/media/image55.png) A．， B．， C．， D．， 【分析】根据题意一一计算即可判断． 【解答】解：当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 故选：． 9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上，对角线轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点．若点，，则的值为　　 ![](./data/image/media/image77.png) A．16 B．20 C．32 D．40 【分析】根据平行于轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设．利用矩形的性质得出为中点，．根据线段中点坐标公式得出，． 由勾股定理得出，列出方程，求出，得到点坐标，代入，利用待定系数法求出． 【解答】解：轴，， 、两点纵坐标相同，都为4， 可设． 矩形的对角线的交点为， 为中点，． ，． ， ， ，，， ， 解得， ． 反比例函数的图象经过点， ． 故选：． 10．（4分）为践行"绿水青山就是金山银山"的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端到山脚点的距离米，在距山脚点水平距离6米的点处，测得古树顶端的仰角（古树与山坡的剖面、点在同一平面上，古树与直线垂直），则古树的高度约为　　 （参考数据：，， ![](./data/image/media/image99.png) A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米 【分析】如图，根据已知条件得到，设，，根据勾股定理得到，求得，，得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：如图，， 设，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 答：古树的高度约为23.3米， 故选：． ![](./data/image/media/image410.png) 11．（4分）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为　　 A．0 B．1 C．4 D．6 【分析】先解关于的一元一次不等式组，再根据其解集是，得小于5；再解分式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出的值，再求和即可． 【解答】解：由不等式组得： 解集是， ； 由关于的分式方程得 ， 有非负整数解， ， ，且，（舍，此时分式方程为增根），， 它们的和为1． 故选：． 12．（4分）如图，在中，是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，与交于点，连结，若，，则点到的距离为　　 ![](./data/image/media/image125.png) A． B． C． D． 【分析】连接，交于点，过点作于点，由翻折知，，垂直平分，证为等边三角形，利用解直角三角形求出，，，在中，利用勾股定理求出的长，在中利用面积法求出的长． 【解答】解：如图，连接，交于点，过点作于点， ，是边上的中点， ， 由翻折知，，垂直平分， ，，， ， 为等边三角形， ， ， ， 在△中， ，， ，， ， 在中， ， ， ， ， 故选：． ![](./data/image/media/image486.png) **二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．** 13．（4分）计算：[　3　]{.underline} 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂计算可得． 【解答】解：原式， 故答案为：3． 14．（4分）今年五一节期间，重庆市旅游持续火爆，全市共接待境内外游客超过25600000人次，请把数25600000用科学记数法表示为[　　]{.underline}． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于25600000有8位，所以可以确定． 【解答】解：． 故答案为：． 15．（4分）一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为[　　]{.underline}． 【分析】先画树状图展示所有30种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为： 共有30种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为6， 所以两次都摸到红球的概率为． 故答案为：． ![](./data/image/media/image500.png) 16．（4分）如图，在菱形中，对角线，交于点，，，分别以点、点为圆心，以的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为[　　]{.underline}．（结果保留 ![](./data/image/media/image512.png) 【分析】根据菱形的性质得到，，，根据直角三角形的性质求出、，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可． 【解答】解：四边形是菱形， ，，， ， 由勾股定理得，， ，， 阴影部分的面积， 故答案为：． 17．（4分）某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程（米与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是[　6000　]{.underline}米． ![](./data/image/media/image533.png) 【分析】根据函数图象和题意可以分别求得甲乙的速度和乙从与甲相遇到返回公司用的时间，从而可以求得当乙回到公司时，甲距公司的路程． 【解答】解：由题意可得， 甲的速度为：米分， 乙的速度为：米分， 乙从与甲相遇到返回公司用的时间为4分钟， 则乙回到公司时，甲距公司的路程是：（米， 故答案为：6000． 18．（4分）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收入．经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是[　　]{.underline}． 【分析】设该村已种药材面积，余下土地面积为，还需种植贝母的面积为，则总面积为，川香已种植面积、贝母已种植面积，黄连已种植面积 依题意列出方程组，用的代数式分别表示、，然后进行计算即可． 【解答】解：设该村已种药材面积，余下土地面积为，还需种植贝母的面积为，则总面积为，川香已种植面积、贝母已种植面积，黄连已种植面积 依题意可得， 由①得③， 将③代入②，， 贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比， 故答案为． **三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．** 19．（10分）计算： （1） （2） 【分析】（1）根据完全平方公式、单项式乘多项式可以解答本题； （2）根据分式的加法和除法可以解答本题． 【解答】解：（1） ； （2） ． 20．（10分）如图，在中，，是边上的中点，连结，平分交于点，过点作交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． ![](./data/image/media/image168.png) 【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明，再利用等腰三角形的性质求出即可解决问题． （2）只要证明即可解决问题． 【解答】（1）解：， ， ， ， ，， ， ， ． （2）证明：平分， ， ， ， ， ． ![](./data/image/media/image595.png) 21．（10分）每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心秩首．今年某校为确保学生安全，开展了"远离溺水珍爱生命"的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．，下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82 八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，90，94 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 -------- -------- -------- 年级 七年级 八年级 平均数 92 92 中位数 93 众数 100 方差 52 50.4 -------- -------- -------- 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中，，的值； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共730人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？ ![](./data/image/media/image186.png) 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论； （2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【解答】解：（1）， 八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平方数， ； 在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多， ； （2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的中位数和众数均高于七年级． （3）参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数人， 答：参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是468人． 22．（10分）《道德经》中的"道生一，一生二，二生三，三生万物"道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数 "纯数"． 定义；对于自然数，在计算时，各数位都不产生进位，则称这个自然数为"纯数"， 例如：32是"纯数"，因为计算时，各数位都不产生进位； 23不是"纯数"，因为计算时，个位产生了进位． （1）判断2019和2020是否是"纯数"？请说明理由； （2）求出不大于100的"纯数"的个数． 【分析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是"纯数"； （2）根据题意可以推出不大于100的"纯数"的个数，本题得以解决． 【解答】解：（1）2019不是"纯数"，2020是"纯数"， 理由：当时，，， 个位是，需要进位， 不是"纯数"； 当时，，， 个位是，不需要进位，十位是，不需要进位，百位为，不需要进位，千位为，不需要进位， 是"纯数"； （2）由题意可得， 连续的三个自然数个位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时，不会产生进位， 当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，共三个， 当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，共九个， 当这个数是三位自然数是，只能是100， 由上可得，不大于100的"纯数"的个数为， 即不大于100的"纯数"的有13个． 23．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了"确定函数的表达式利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题"的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义． 结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数中，当时，；当时，． （1）求这个函数的表达式； （2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象井写出这个函数的一条性质； （3）已知函的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集． ![](./data/image/media/image202.png) 【分析】（1）根据在函数中，当时，；当时，，可以求得该函数的表达式； （2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象并写出它的一条性质； （3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集． 【解答】解：（1）在函数中，当时，；当时，， ，得， 这个函数的表达式是； （2）， ， 函数过点和点；函数过点和点； 该函数的图象如右图所示，性质是当时，随的增大而增大； （3）由函数图象可得， 不等式的解集是． ![](./data/image/media/image650.png) 24．（10分）某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费． （1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？ （2）为建设"资源节约型社会"，该小区物管公司5月初推出活动一："垃圾分类送礼物"，50平方米和80平方米的住户分别有和参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二："拉圾分类抵扣物管费"，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加，每户物管费将会减少．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少，求的值． 【分析】（1）设该小区有套80平方米住宅，则50平方米住宅有套，根据物管费90000元，可列方程求解； （2）50平方米住宅有户参与活动一，80平方米住宅有户参与活动一；50平方米住宅每户所交物管费为元，有户参与活动二；80平方米住宅每户所交物管费为元，有户参与活动二．根据参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少，列出方程求解即可． 【解答】（1）解：设该小区有套80平方米住宅，则50平方米住宅有套，由题意得： ， 解得 答：该小区共有250套80平方米的住宅． （2）参与活动一： 50平方米住宅每户所交物管费为100元，有户参与活动一， 80平方米住宅每户所交物管费为160元，有户参与活动一； 参与活动二： 50平方米住宅每户所交物管费为元，有户参与活动二； 80平方米住宅每户所交物管费为元，有户参与活动二． 由题意得 令，化简得 （舍，， ． 答：的值为50． 25．（10分）如图，在平行四边形中，点在边上，连结，，垂足为，交于点，，垂足为，，垂足为，交于点，点是上一点，连接． （1）若，，，求的面积． （2）若，，求证：． ![](./data/image/media/image235.png) 【分析】（1）作于，设，则，在和中，由勾股定理得出方程，解方程得出，即，得出，求出，由三角形面积公式即可得出结果； （2）连接，证明得出，，再证明得出，由，得出，即可得出结论． 【解答】（1）解：作于，如图1所示： 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：，即， ， ， ， ； （2）证明：连接，如图2所示： ，，， ， ， 在和中，， ， ，， ，，， ，， 在和中，， ， ， 又， ， ． ![](./data/image/media/image736.png) ![](./data/image/media/image737.png) **四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程成或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解作过程书写在答题卡中对应的位置上．** 26．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，点为抛物线的顶点，对称轴与轴交于点． （1）连结，点是线段上一动点（点不与端点，重合），过点作，交抛物线于点（点在对称轴的右侧），过点作轴，垂足为，交于点，点是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值； （2）在（1）中，当取得最大值，取得最小值时，把点向上平移个单位得到点，连结，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点．在旋转过程中，是否存在一点，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． ![](./data/image/media/image281.png) 【分析】（1）先确定点的位置，可设点，则点，可得，根据二次函数的性质得时， 取到最大值，此时取到最大值，此时，此时，在轴上找一点，，连接，过点作的垂线交于点点，交轴于点，，直线的解析式为：，从而得到直线的解析式为：联立解出点，得的最小值即为的长，且最后得出； （2）由题意可得出点，，应用"直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半"取的中点，连接，则，此时，，把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点，则用，分四种情况求解． 【解答】解：（1）如图1 ![](./data/image/media/image782.png) 抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点 令解得：，，令，解得：， ，， 点为抛物线的顶点，且， 点的坐标为 直线的解析式为：， 由题意，可设点，则点 当时， 取到最大值，此时取到最大值，此时， 此时，，， 在轴上找一点，，连接，过点作的垂线交于点点，交轴于点， ，直线的解析式为：，且点， ，直线的解析式为： 点， 的最小值即为的长，且 ； （2）由（1）知，点， 把点向上平移个单位得到点 点 在中，，，取的中点，连接，则，此时， 把绕点顺时针旋转一定的角度，得到△，其中边交坐标轴于点 ①如图2 ![](./data/image/media/image868.png) 点落在轴的负半轴，则，过点作轴交轴于点，且 则， ，解得： 在中根据勾股定理可得 点的坐标为，； ②如图3， ![](./data/image/media/image888.png) 当点落在轴的正半轴上时，同理可得， ③如图4 ![](./data/image/media/image893.png) 当点落在轴的正半轴上时，同理可得， ④如图5 ![](./data/image/media/image898.png) 当点落在轴的负半轴上时，同理可得， 综上所述，所有满足条件的点的坐标为：，，，，，，，
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> **第Ⅰ卷（共60分）** 一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项** **是符合题目要求的.** 1\. 若![](./data/image/media/image3.png)集合，且，则集合可能![](./data/image/media/image3.png)是（ ） A． B． C． D． 2\. 复数 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3\. 已知平面向量满足，且，则向量与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4\. 执行如图所示的程序框图，若输人的值为，则输出的值为（ ） ![](./data/image/media/image24.png) A． B． C． D． 5\. 已知数列中，为其前项和，的值为（ ![](./data/image/media/image3.png) ）\[来源:ZXXK\] A． B． C． D． 6\. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） ![](./data/image/media/image36.png) A． B． C． D． 7.为了得到，只需将作如下变换（ ） A． 向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 ![](./data/image/media/image3.png) D．向右平移个单位 8\. 若为不等式组，表示的平面区域，则当从连续变![](./data/image/media/image3.png)化到时，动直线扫过中的那部分![](./data/image/media/image3.png)区域的面![](./data/image/media/image3.png)积为（ ） A． B． C． D． 9\. 焦点在轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆![](./data/image/media/image3.png)的半径为，则椭圆的离心率为（ ）\[来源:学\#科\#网\] A． B． C． D．\[来源:Zxxk.Com\] 10\. 在四面体![](./data/image/media/image3.png)中，，![](./data/image/media/image3.png)二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 11\. 已知函数，则关于的方程实根个数不可能为 （ ） A． 个 B．个 C． 个 D． 个 12\. 函数部分图象如图所示，且，对不同的，若，有，则（ ） ![](./data/image/media/image83.png) A．在上是减函数 B．在上是增函数 C．在上是减函数 D．在上增减函数 **第Ⅱ卷（共90分）** 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13\. 的展开式中项的系数为 [ ]{.underline} ． 14\. 已知抛![](./data/image/media/image3.png)物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数 [ ]{.underline} ． 15\. 如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高 [ ]{.underline} ． ![](./data/image/media/image107.png) 16\. 设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 [ ]{.underline} ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17\. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施"放开二胎"新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为万，实施"放开二胎"新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加万![](./data/image/media/image3.png)人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的. （1）求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：2016年为第一年）; （2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:）. 18\. （本小题满分12分）如图, 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面, 平面平面,且,且. （1）设点为棱中点, 在面内是否存在点,使得平面？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由; （2）求二面角的余弦值. ![](./data/image/media/image130.png) 19\. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次，其中为标准，为标准.已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件; 乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示： -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 且的数学期望,求的值; （2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下: ![](./data/image/media/image155.png) 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望； （3）在（1）、（2）的条件下，若以"性价比"为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注：① 产品的![](./data/image/media/image3.png)"性价比"![](./data/image/media/image156.png)； ②"性价比"大的产品更具可购买性. 20\. （本小题满分12分）已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切. （1）求椭圆的方程; （2）已知![](./data/image/media/image3.png)椭圆的左顶点的两条直线分别交椭圆于两点, 且,求证: 直线过定点, 并求出定点坐标； \(3\) 在(2) 的条件下求面积的最大值. 21\. （本小题满分12分）已知函数(常数). （1）证明: 当时, 函数有且只有一个极值点; （2）若![](./data/image/media/image3.png)函数存在两个极值点,证明:. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22\. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图, 四点在同一个圆上，与的延长线交于点,点在的延长线上. （1）若,求的值; （2）若,证明:.\[来源:学,科,网Z,X,X,K\] ![](./data/image/media/image183.png) 23\. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为: 为参数), 曲线的极坐标方程为:. （1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程; （2）设直线与曲线相交于两点, 求的值. 24\. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数. （1）解不等式; （2）若对任意,都有,使得成立, 求实数的取值范围.
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**《小蝌蚪的成长》同步练习** \[来源:学科网\] 一、帮它们好吗？ ![](./data/image/media/image1.png) - 学生先四人小组讨论、估算，说说为什么？ - 独立计算验证，汇报时说算理。 二、填入正确的答案， （1）145＝89＋( )。 A．56 B．66 C．234 D．144 （2）345=233+（ ） A．122 B．111 C．112 D．102 （3）345+211=（ ） A．556 B．555 C．566 D．576 三、填空。 1、三位数连续退位减法要注意： （1）（ ）数位要对齐，从（ ）算起。 （2）哪一位不够减，从（ ）退（ ）当（ ），加上本位的数再减。 2、674－86＝（ ）。 A．612 B．598 C．588 D．698 四、你能笔算下列各题吗？\[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\] 645－286 625－379 675－586 411-259  228－198 665－486  五、填表。\[来源:学,科,网\] -------- ----- ----- ----- 被减数 724 615 457 减数数 189 312 278 差       -------- ----- ----- ----- **参考答案：** 一、帮它们好吗？ ![](./data/image/media/image1.png) 二、填入正确的答案， （1）A （2）C （3）A 三、 1、 （1） （个 ） （低往高 ） （2） （高 ） （1 ） （10 ） 2、C 四、你能笔算下列各题吗？ 645－286=359 625－379=266 675－586 =89 411-259 =152 228－198 = 30 665－486 =179 五、填表。 -------- ------ ------------------------ --------------------- 被减数 724 615\[来源:学\|科\|网\] 457 减数数 189 312 278 差 535  303 179 \[来源:学科网\] -------- ------ ------------------------ ---------------------
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**浙江省湖州市2017年中考数学试卷（解析版）** **一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** 1、（2017·湖州）实数 ![](./data/image/media/image1.png)， ![](./data/image/media/image2.png)， ![](./data/image/media/image3.png)， ![](./data/image/media/image4.png)中，无理数是（   ） > A、![](./data/image/media/image1.png) B、![](./data/image/media/image2.png) C、![](./data/image/media/image3.png) D、![](./data/image/media/image4.png) 2、（2017•湖州）在平面直角坐标系中，点 ![](./data/image/media/image5.png)关于原点的对称点 ![](./data/image/media/image6.png)的坐标是（   ） > A、![](./data/image/media/image7.png) B、![](./data/image/media/image8.png) C、![](./data/image/media/image9.png) D、![](./data/image/media/image10.png) 3、（2017•湖州）如图，已知在 ![](./data/image/media/image11.png)中， ![](./data/image/media/image12.png)， ![](./data/image/media/image13.png)， ![](./data/image/media/image14.png)，则 ![](./data/image/media/image15.png)的值是（   ）\ ![](./data/image/media/image16.png) > A、![](./data/image/media/image17.png) B、![](./data/image/media/image18.png) C、![](./data/image/media/image19.png) D、![](./data/image/media/image20.png) 4、（2017•湖州）一元一次不等式组 ![](./data/image/media/image21.png)的解是（   ） > A、![](./data/image/media/image22.png) B、![](./data/image/media/image23.png) C、![](./data/image/media/image24.png) D、![](./data/image/media/image22.png)或 ![](./data/image/media/image23.png) 5、（2017•湖州）数据 ![](./data/image/media/image25.png)， ![](./data/image/media/image26.png)， ![](./data/image/media/image4.png)， ![](./data/image/media/image27.png)， ![](./data/image/media/image1.png)， ![](./data/image/media/image28.png)的中位数是（   ） > A、![](./data/image/media/image4.png) B、![](./data/image/media/image29.png) C、![](./data/image/media/image27.png) D、![](./data/image/media/image1.png) 6、（2017•湖州）如图，已知在 ![](./data/image/media/image11.png)中， ![](./data/image/media/image12.png)， ![](./data/image/media/image30.png)， ![](./data/image/media/image31.png)，点 ![](./data/image/media/image32.png)是 ![](./data/image/media/image11.png)的重心，则点 ![](./data/image/media/image32.png)到 ![](./data/image/media/image33.png)所在直线的距离等于（   ）\ ![](./data/image/media/image34.png) > A、![](./data/image/media/image27.png) B、![](./data/image/media/image2.png) C、![](./data/image/media/image35.png) D、![](./data/image/media/image1.png) 7、（2017•湖州）一个布袋里装有 ![](./data/image/media/image28.png)个只有颜色不同的球，其中 ![](./data/image/media/image36.png)个红球， ![](./data/image/media/image27.png)个白球．从布袋里摸出 ![](./data/image/media/image27.png)个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出 ![](./data/image/media/image27.png)个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（   ） > A、![](./data/image/media/image37.png) B、![](./data/image/media/image3.png) C、![](./data/image/media/image38.png) D、![](./data/image/media/image39.png) 8、（2017•湖州）如图是按 ![](./data/image/media/image40.png)的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（   ）\ ![](./data/image/media/image41.png) > A、![](./data/image/media/image42.png)![](./data/image/media/image43.png)![](./data/image/media/image44.png) B、![](./data/image/media/image45.png)![](./data/image/media/image43.png)![](./data/image/media/image44.png) C、![](./data/image/media/image46.png)![](./data/image/media/image43.png)![](./data/image/media/image44.png) D、![](./data/image/media/image47.png)![](./data/image/media/image43.png)![](./data/image/media/image44.png) 9、（2017•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那副图是（   ）\ ![](./data/image/media/image48.png) > A、![](./data/image/media/image49.png) B、![](./data/image/media/image50.png)\ > C、![](./data/image/media/image51.png) D、![](./data/image/media/image52.png) 10、（2017•湖州）在每个小正方形的边长为 ![](./data/image/media/image27.png)的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距 ![](./data/image/media/image53.png)的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在 ![](./data/image/media/image54.png)的正方形网格图形中（如图1），从点 ![](./data/image/media/image55.png)经过一次跳马变换可以到达点 ![](./data/image/media/image56.png)， ![](./data/image/media/image57.png)， ![](./data/image/media/image58.png)， ![](./data/image/media/image59.png)等处．现有 ![](./data/image/media/image60.png)的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点 ![](./data/image/media/image61.png)经过跳马变换到达与其相对的顶点 ![](./data/image/media/image62.png)，最少需要跳马变换的次数是（   ）\ ![](./data/image/media/image63.png) > A、![](./data/image/media/image64.png) B、![](./data/image/media/image65.png) C、![](./data/image/media/image66.png) D、![](./data/image/media/image67.png) **二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）** 11、（2017•湖州）把多项式 ![](./data/image/media/image68.png)因式分解，正确的结果是\_\_\_\_\_\_\_\_． 12、（2017•湖州）要使分式 ![](./data/image/media/image69.png)有意义， ![](./data/image/media/image70.png)的取值应满足\_\_\_\_\_\_\_\_． 13、（2017•湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于 ![](./data/image/media/image71.png)，则这个多边形的边数是\_\_\_\_\_\_\_\_． 14、（2017•湖州）如图，已知在 ![](./data/image/media/image72.png)中， ![](./data/image/media/image73.png)．以 ![](./data/image/media/image33.png)为直径作半圆 ![](./data/image/media/image74.png)，交 ![](./data/image/media/image75.png)于点 ![](./data/image/media/image58.png)．若 ![](./data/image/media/image76.png)，则 ![](./data/image/media/image77.png)的度数是\_\_\_\_\_\_\_\_度．\ ![](./data/image/media/image78.png) 15、（2017•湖州）如图，已知 ![](./data/image/media/image79.png)，在射线 ![](./data/image/media/image80.png)上取点 ![](./data/image/media/image81.png)，以 ![](./data/image/media/image81.png)为圆心的圆与 ![](./data/image/media/image82.png)相切；在射线 ![](./data/image/media/image83.png)上取点 ![](./data/image/media/image84.png)，以 ![](./data/image/media/image84.png)为圆心， ![](./data/image/media/image85.png)为半径的圆与 ![](./data/image/media/image82.png)相切；在射线 ![](./data/image/media/image86.png)上取点 ![](./data/image/media/image87.png)，以 ![](./data/image/media/image87.png)为圆心， ![](./data/image/media/image88.png)为半径的圆与 ![](./data/image/media/image82.png)相切； ![](./data/image/media/image89.png)；在射线 ![](./data/image/media/image90.png)上取点 ![](./data/image/media/image91.png)，以 ![](./data/image/media/image91.png)为圆心， ![](./data/image/media/image92.png)为半径的圆与 ![](./data/image/media/image82.png)相切．若 ![](./data/image/media/image93.png)的半径为 ![](./data/image/media/image27.png)，则 ![](./data/image/media/image94.png)的半径长是\_\_\_\_\_\_\_\_．\ ![](./data/image/media/image95.png) 16、（2017•湖州）如图，在平面直角坐标系 ![](./data/image/media/image96.png)中，已知直线 ![](./data/image/media/image97.png)（ ![](./data/image/media/image98.png)）分别交反比例函数 ![](./data/image/media/image99.png)和 ![](./data/image/media/image100.png)在第一象限的图象于点 ![](./data/image/media/image55.png)， ![](./data/image/media/image56.png)，过点 ![](./data/image/media/image56.png)作 ![](./data/image/media/image101.png)轴于点 ![](./data/image/media/image58.png)，交 ![](./data/image/media/image99.png)的图象于点 ![](./data/image/media/image57.png)，连结 ![](./data/image/media/image102.png)．若 ![](./data/image/media/image72.png)是等腰三角形，则 ![](./data/image/media/image103.png)的值是\_\_\_\_\_\_\_\_．\ ![](./data/image/media/image104.png) **三、解答题 （本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）** 17、（2017•湖州）计算： ![](./data/image/media/image105.png)．． 18、（2017•湖州）解方程： ![](./data/image/media/image106.png)． 19、（2017•湖州）对于任意实数 ![](./data/image/media/image107.png)， ![](./data/image/media/image108.png)，定义关于" ![](./data/image/media/image109.png)"的一种运算如下： ![](./data/image/media/image110.png)．例如： ![](./data/image/media/image111.png)， ![](./data/image/media/image112.png)． (1)若 ![](./data/image/media/image113.png)，求 ![](./data/image/media/image70.png)的值； (2)若 ![](./data/image/media/image114.png)，求 ![](./data/image/media/image70.png)的取值范围． 20、（2017•湖州）为积极创建全国文明城市，某市对某路口的行人交通违章情况进行了 ![](./data/image/media/image115.png)天的调查，将所得数据绘制成如下统计图（图2不完整）：\ ![](./data/image/media/image116.png)\ 请根据所给信息，解答下列问题： (1)第 ![](./data/image/media/image117.png)天，这一路口的行人交通违章次数是多少次？这 ![](./data/image/media/image115.png)天中，行人交通违章 ![](./data/image/media/image118.png)次的有多少天？ (2)请把图2中的频数直方图补充完整； (3)通过宣传教育后，行人的交通违章次数明显减少．经对这一路口的再次调查发现，平均每天的行人交通违章次数比第一次调查时减少了 ![](./data/image/media/image28.png)次，求通过宣传教育后，这一路口平均每天还出现多少次行人的交通违章？ 21、（2017•湖州）如图， ![](./data/image/media/image74.png)为 ![](./data/image/media/image11.png)的直角边 ![](./data/image/media/image102.png)上一点，以 ![](./data/image/media/image119.png)为半径的 ![](./data/image/media/image120.png)与斜边 ![](./data/image/media/image33.png)相切于点 ![](./data/image/media/image58.png)，交 ![](./data/image/media/image80.png)于点 ![](./data/image/media/image59.png)．已知 ![](./data/image/media/image121.png)， ![](./data/image/media/image122.png)．\ ![](./data/image/media/image123.png) (1)求 ![](./data/image/media/image124.png)的长； (2)求图中阴影部分的面积． 22、（2017•湖州）已知正方形 ![](./data/image/media/image125.png)的对角线 ![](./data/image/media/image102.png)， ![](./data/image/media/image126.png)相交于点 ![](./data/image/media/image74.png)．\ ![](./data/image/media/image127.png) (1)如图1， ![](./data/image/media/image59.png)， ![](./data/image/media/image128.png)分别是 ![](./data/image/media/image82.png)， ![](./data/image/media/image119.png)上的点， ![](./data/image/media/image129.png)与 ![](./data/image/media/image130.png)的延长线相交于点 ![](./data/image/media/image131.png)．若 ![](./data/image/media/image132.png)，求证： ![](./data/image/media/image133.png)； (2)如图2， ![](./data/image/media/image134.png)是 ![](./data/image/media/image75.png)上的点，过点 ![](./data/image/media/image134.png)作 ![](./data/image/media/image135.png)，交线段 ![](./data/image/media/image82.png)于点 ![](./data/image/media/image59.png)，连结 ![](./data/image/media/image136.png)交 ![](./data/image/media/image129.png)于点 ![](./data/image/media/image131.png)，交 ![](./data/image/media/image119.png)于点 ![](./data/image/media/image128.png)．若 ![](./data/image/media/image133.png)，\ ①求证： ![](./data/image/media/image137.png)；\ ②当 ![](./data/image/media/image138.png)时，求 ![](./data/image/media/image139.png)的长． 23、（2017•湖州）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了 ![](./data/image/media/image140.png)![](./data/image/media/image141.png)淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养 ![](./data/image/media/image142.png)天的总成本为 ![](./data/image/media/image143.png)万元；放养 ![](./data/image/media/image115.png)天的总成本为 ![](./data/image/media/image144.png)万元（总成本=放养总费用+收购成本）． (1)设每天的放养费用是 ![](./data/image/media/image107.png)万元，收购成本为 ![](./data/image/media/image108.png)万元，求 ![](./data/image/media/image107.png)和 ![](./data/image/media/image108.png)的值； (2)设这批淡水鱼放养 ![](./data/image/media/image145.png)天后的质量为 ![](./data/image/media/image146.png)（ ![](./data/image/media/image141.png)），销售单价为 ![](./data/image/media/image147.png)元/ ![](./data/image/media/image141.png)．根据以往经验可知： ![](./data/image/media/image146.png)与 ![](./data/image/media/image145.png)的函数关系为 ![](./data/image/media/image148.png)； ![](./data/image/media/image147.png)与 ![](./data/image/media/image145.png)的函数关系如图所示．\ ![](./data/image/media/image149.png)\ ①分别求出当 ![](./data/image/media/image150.png)和 ![](./data/image/media/image151.png)时， ![](./data/image/media/image147.png)与 ![](./data/image/media/image145.png)的函数关系式；\ ②设将这批淡水鱼放养 ![](./data/image/media/image145.png)天后一次性出售所得利润为 ![](./data/image/media/image152.png)元，求当 ![](./data/image/media/image145.png)为何值时， ![](./data/image/media/image152.png)最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本） 24、（2017•湖州）如图，在平面直角坐标系 ![](./data/image/media/image96.png)中，已知 ![](./data/image/media/image55.png)， ![](./data/image/media/image56.png)两点的坐标分别为 ![](./data/image/media/image153.png)， ![](./data/image/media/image154.png)， ![](./data/image/media/image155.png)是线段 ![](./data/image/media/image33.png)上一点（与 ![](./data/image/media/image55.png)， ![](./data/image/media/image56.png)点不重合），抛物线 ![](./data/image/media/image156.png)![](./data/image/media/image157.png)（ ![](./data/image/media/image158.png)）经过点 ![](./data/image/media/image55.png)， ![](./data/image/media/image57.png)，顶点为 ![](./data/image/media/image58.png)，抛物线 ![](./data/image/media/image159.png)![](./data/image/media/image160.png)（ ![](./data/image/media/image158.png)）经过点 ![](./data/image/media/image57.png)， ![](./data/image/media/image56.png)，顶点为 ![](./data/image/media/image59.png)， ![](./data/image/media/image124.png)， ![](./data/image/media/image161.png)的延长线相交于点 ![](./data/image/media/image131.png)．\ ![](./data/image/media/image162.png) (1)若 ![](./data/image/media/image163.png)， ![](./data/image/media/image164.png)，求抛物线 ![](./data/image/media/image165.png)， ![](./data/image/media/image166.png)的解析式； (2)若 ![](./data/image/media/image167.png)， ![](./data/image/media/image168.png)，求 ![](./data/image/media/image146.png)的值； (3)是否存在这样的实数 ![](./data/image/media/image107.png)（ ![](./data/image/media/image158.png)），无论 ![](./data/image/media/image146.png)取何值，直线 ![](./data/image/media/image169.png)与 ![](./data/image/media/image170.png)都不可能互相垂直？若存在，请直接写出 ![](./data/image/media/image107.png)的两个不同的值；若不存在，请说明理由． **答案解析部分** 一、\<b \>选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.\</b\> 1、【答案】B\ 【考点】无理数\ 【解析】【解答】解：无理数就是无限不循环小数。无理数应满足三个条件：①是小数；②是无限小数；③不循环；由无理数的定义即可得出答案为B.\ 【分析】根据无理数的定义即可得出答案. 2、【答案】D\ 【考点】点的坐标\ 【解析】【解答】解：依题可得：P′（-1，-2）.\ 故答案为：D\ 【分析】根根据在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标的特点:横纵坐标均变符号，可得出答案. 3、【答案】A\ 【考点】锐角三角函数的定义\ 【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，\                    ∵AB=5,BC=3.\                    ∴cos∠B=![](./data/image/media/image171.png)=![](./data/image/media/image17.png).\ 故答案为A.\ 【分析】根据余弦的定义即可得出答案. 4、【答案】C\ 【考点】解一元一次不等式组\ 【解析】【解答】解：解第一个不等式得：x＞-1；\ 解第二个不等式得：x≤2；\ ∴不等式组的解集为：-1＜x≤2.\ 故答案为C.\ 【分析】根据不等式组的解集取法"大小小大取中间"可得不等式组的答案. 5、【答案】B\ 【考点】中位数、众数\ 【解析】【解答】解：依题可知：这组数据个数为偶数个，\ ∴中位数为![](./data/image/media/image172.png)=0.5.\ 故答案为B.\ 【分析】根据中位数定义求出中位数. 6、【答案】A\ 【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形\ 【解析】【解答】解：如图，连接CP并延长交AB于D,连接BP交AC于E，并延长到F,使EF=PE,\ ∵∠C=90°，AC=BC,AB=6,\ ∴AC=BC=3![](./data/image/media/image2.png)，\ 又∵P为△ABC的重心，\ ∴CD=![](./data/image/media/image3.png)AB=3.∠CDB=90°\ 在△AEF和△CEP中，\ ∵![](./data/image/media/image173.png)\ ∴△AEF≌△CEP.\ ∴∠FAD=90°,CP=AF=3-DP.\ 又∵CD‖FA,\ ∴△BPD∽△BFA.\ ∴![](./data/image/media/image174.png)=![](./data/image/media/image175.png).\ ∴![](./data/image/media/image176.png)=![](./data/image/media/image177.png).\ ∴PD=1.\ 故答案为A.\ ![](./data/image/media/image178.png)\ 【分 析】如图，根据三角形的重心是三条中线的交点，根据等腰直角三角形可知CD=3，可连接CP并延长交AB于D,则∠FAD=90°，连接BP交AC于E， 并延长到F,使EF=PE,然后可知△A，可得EF≌△CEP，∠FAD=90°,CP=AF=3-DP，因此可根据两角对应相等的两三角形相似，可得 △BPD∽△BFA.即可求出PD. 7、【答案】D\ 【考点】列表法与树状图法\ 【解析】【解答】解：根据题意，可画树状图为：\ ![](./data/image/media/image179.png)\ ∴摸两次球出现的可能共有16种，其中两次都是红球的可能共有9种，\ ∴P（两次都摸到红球）=![](./data/image/media/image39.png).\ 故答案为D.\ 【分析】根据树状图可以得到摸两次球出现的所有可能为16，其中两次都是红球的有9种，从而求出满足条件的概率. 8、【答案】D\ 【考点】圆柱的计算，由三视图判断几何体\ 【解析】【解答】解：】根据比例关系，可通过三视图知这是一个底面直径为10cm，高为20cm的圆柱体.\ ∴S~侧面积~=10π×20=200πcm^2^.\ 故答案为D.\ 【分析】根据比例关系，可通过三视图知这是一个底面直径为10cm，高为20cm的圆柱体，因此可求出其侧面积. 9、【答案】C\ 【考点】勾股定理，图形的剪拼\ 【解析】【解答】解：设正方形的边长为2，从而可知①②都是直角边为![](./data/image/media/image2.png)的等腰直角三角形； ③⑥都是直角边为![](./data/image/media/image180.png)的等腰直角三角形； ④是两边长分别为1和![](./data/image/media/image180.png)的平行四边形；⑤是边长为![](./data/image/media/image180.png)的正方形；⑦是 直角边为1的等腰直角三角形；根据重叠的长要相等从而可以得出答案为C。\ 【分析】根据勾股定理，可判断边长之间的关系，从而知道构不成C图案. 10、【答案】B\ 【考点】勾股定理，探索图形规律\ 【解析】【解答】解：由图一可知，沿AC或AD可进行下去，然后到CF,从而求出AF=3![](./data/image/media/image2.png),此时可知跳过了3格，然后依次进行下去；而20×20的网格中共有21条线，所以要进行下去，正好是（20+1）÷3×2=14.\ 故答案为B.\ 【分析】根据图一可知，沿AC或AD可进行下去，然后到CF,从而求出AF=3![](./data/image/media/image2.png),此时可知跳过了3格，然后依次进行下去；而20×20的网格中共有21条线，所以可知要进行下去，正好是（20+1）÷3×2=14. 二、\<b \>填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）\</b\> 11、【答案】x（x-3）\ 【考点】因式分解-提公因式法\ 【解析】【解答】解：原式=x（x-3）.\ 故答案为：x（x-3）.\ 【分析】根据因式分解的提公因式法即可得出答案. 12、【答案】x≠2\ 【考点】分式有意义的条件\ 【解析】【解答】解：依题可得：\ ∴x-2≠0.\ ∴x≠2.\ 故答案为x≠2.\ 【分析】根据分式有意义的条件分母不为0即可得出答案. 13、【答案】5\ 【考点】多边形内角与外角\ 【解析】【解答】解： ∵一个多边形的每一个外角都等于72°,\                      ∴此多边形为正多边形，\                      ∴360°÷72°=5.\ 故答案为5.\ 【分析】根据多边形的每个外角都等于72°，可知这是一个正多边形；然后根据正多边形的外角和为360°，然后求出这个正多边形的边数. 14、【答案】140\ 【考点】等腰三角形的性质，圆周角定理\ 【解析】【解答】解：连接AD（如图）,\ ∵AB为⊙O的直径，\ ∴AD⊥BC，\ 又∵AB=AC,∠BAC=40°,\ ∴∠BAD=20°,∠B=70°,\ ∴弧AD度数为140°.\ 故答案为140.\ ![](./data/image/media/image181.png)\ 【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角为直角，可知AD⊥BC，然后根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD平分∠BAC，可得∠BAD=20°，然后求得∠B=70°，再根据同弧所对的圆周角等于其所对圆心角的一半，从而得出答案. 15、【答案】512\ 【考点】含30度角的直角三角形，切线的性质，探索数与式的规律\ 【解析】【解答】解：如图，连接O~1~A~1~,O~2~A~2~,O~3~A~3~,\ ∵⊙O~1~,⊙O~2~,⊙O~3,~......都与OB相切，\ ∴ O~1~A~1~⊥OB，\ 又∵∠AOB=30°,O~1~A~1~=r~1~=1=2^0^.\ ∴OO~1~=2,\ 在Rt△OO~2~A~2~中，\ ∴OO~1~+O~1~O~2~=O~2~A~2~.\ ∴2+O~2~A~2~=2O~2~A~2~.\ ∴O~2~A~2~=r~2~=2=2^1^.\ ∴OO~2~=4=2^2^,\ ......\ 依此类推可得O~n~A~n~=r~n~=2=2^n-1^.\ ∴O~10~A~10~=r~10~=2=2^10-1^=2^9^=512.\ 故答案为512.\ ![](./data/image/media/image182.png)\ 【分析】根据圆的切线性质，和Rt三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；可知OO~1~=2;同样可知O~1~O~2~=2,OO~2~=2+2=2^2^;......OO~n~=2^n^;O~n~A~n~=r~n~=2=2^n-1^;因此可得第10个⊙O~10~的半径. 16、【答案】![](./data/image/media/image183.png)\ 或 ![](./data/image/media/image184.png)\ 【考点】反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质\ 【解析】【解答】解：设B（a,![](./data/image/media/image185.png)）或（a,ka）;A（b,![](./data/image/media/image186.png)）或（b,kb）;\ ∴C（a,![](./data/image/media/image187.png)）.ka=![](./data/image/media/image185.png),kb=![](./data/image/media/image186.png).\ ∴a^2^=![](./data/image/media/image188.png)^,^b^2^=![](./data/image/media/image189.png).\ 又∵BD⊥x轴.\ ∴BC=![](./data/image/media/image190.png).\ ①当AB=BC时.\ ∴AB=![](./data/image/media/image191.png)\ ∴![](./data/image/media/image192.png)（a-b）=![](./data/image/media/image190.png).\ ∴![](./data/image/media/image192.png)（![](./data/image/media/image193.png)-![](./data/image/media/image194.png)）=![](./data/image/media/image195.png).\ ∴k=![](./data/image/media/image183.png).\ ②当AC=BC时.\ ∴AC=![](./data/image/media/image196.png).\ ∴(1+![](./data/image/media/image197.png))![](./data/image/media/image198.png)=![](./data/image/media/image199.png).\ ∴k=![](./data/image/media/image200.png).\ ③ 当AB=AC时.\ ∴1+![](./data/image/media/image197.png)=1+k^2^.\ ∴k=0（舍去）。\ 综上所述：k=![](./data/image/media/image183.png)或![](./data/image/media/image200.png).\ 【分析】：设B（a, ![](./data/image/media/image185.png)）或（a,ka）;A（b, ![](./data/image/media/image186.png)）或（b,kb）;则C点坐标为（a,![](./data/image/media/image187.png)）;可知BC=![](./data/image/media/image190.png).再分①AB=BC；②AC=BC；③ AB=AC；这三种情况讨论即可求出k的值. 三、\<b \>解答题 （本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） \</b\> 17、【答案】解：原式=2-2![](./data/image/media/image2.png)+2![](./data/image/media/image2.png)\              =2\ 【考点】实数的运算\ 【解析】【分析】根据实数的运算顺序，直接计算即可. 18、【答案】解：去分母得：2=1+x-1.\ 合并同类项得：x=2.\ 经检验x=2是分式方程的解.\ ∴x=2是原分式方程的根.\ 【考点】解分式方程\ 【解析】【分析】将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解。 19、【答案】（1）解：依题可得：3![](./data/image/media/image109.png)x=2×3-x=-2011.\       ∴x=2017.\ （2）解：依题可得：x![](./data/image/media/image109.png)3=2x-3＜5.\       ∴x＜4.\ 即x的取值范围为x＜4.\ 【考点】解一元一次方程，解一元一次不等式\ 【解析】【分析】（1）根据题意列方程2×3-x=-2011求解即可.\ （2）根据题意列不等式2x-3＜5求解即可. 20、【答案】（1）解：依题可得：第7天，这一路口的行人交通违章次数是8次.\   这20天中，行人交通违章6次的有5天.\ （2）解：补全的频数直方图如图所示：\ ![](./data/image/media/image201.png)\ （3）解：第一次调查，平均每天行人的交通违章次数为：\ ![](./data/image/media/image202.png)=7（次）.\ ∵7-4=3（次）\ ∴通过宣传教育后，这一路口平均每天还出现3次行人的交通违章.\ 【考点】中考真题\ 【解析】【分析】（1）直接根据折线统计图可读出数据.\ （2）求出8次的天数，补全图形即可.\ （3）求出这20天的平均数，然后再算出交通违章次数即可. 21、【答案】（1）解：在Rt△ABC中，AB=![](./data/image/media/image203.png)=![](./data/image/media/image204.png)=2  ![](./data/image/media/image205.png).\ ∵BC⊥OC\ ∴BC是⊙O的切线\ 又∵AB是⊙O的切线\ ∴BD=BC=![](./data/image/media/image205.png)\ ∴AD=AB-BD=![](./data/image/media/image205.png)\ （2）解：在Rt△ABC中，sinA=  ![](./data/image/media/image171.png)=![](./data/image/media/image206.png)=![](./data/image/media/image3.png).\ ∴∠A=30°.\ ∵AB切⊙O于点D.\ ∴OD⊥AB.\ ∴∠AOD=90°-∠A=60°.\ ∵  ![](./data/image/media/image207.png)=tanA=tan30°.\ ∴  ![](./data/image/media/image208.png)=![](./data/image/media/image209.png).\ ∴OD=1.\ S~阴影~=![](./data/image/media/image210.png)=![](./data/image/media/image211.png).\ 【考点】勾股定理，切线的性质，扇形面积的计算，解直角三角形\ 【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后根据切线的判定证出BC为切线，然后可根据切线长定理可求解.\ （2）在Rt△ABC中，根据∠A的正弦求出∠A度数，然后根据切线的性质求出OD的长，和扇形圆心角的度数，再根据扇形的面积公式可求解. 22、【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形.\ ∴AC⊥BD,OD=OC.\ ∴∠DOG=∠COE=90°.\ ∴∠OEC+∠OCE=90°.\ ∵DF⊥CE.\ ∴∠OEC+∠ODG=90°.\ ∴∠ODG=∠OCE.\ ∴△DOG≌△COE（ASA）.\ ∴OE=OG.\ （2）①证明∵OD=OC,∠DOG=∠COE=90°.\ 又OE=OG.\ ∴△DOG≌△COE（SAS）.\ ∴∠ODG=∠OCE.\ ②解：设CH=x，\ ∵四边形ABCD是正方形，AB=1\ ∴BH=1-x\ ∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°\ ∵EH⊥BC\ ∴∠BEH=∠EBH=45°\ ∴EH=BH=1-x\ ∵∠ODG=∠OCE\ ∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE\ ∴∠HDC=∠ECH\ ∵EH⊥BC\ ∴∠EHC=∠HCD=90°\ ∴△CHE∽△DCH\ ∴  ![](./data/image/media/image212.png)=![](./data/image/media/image213.png).\ ∴HC^2^=EH·CD\ 得x^2^+x-1=0\ 解得x~1~=![](./data/image/media/image214.png),x~2~=![](./data/image/media/image215.png)（舍去）.\ ∴HC=![](./data/image/media/image214.png).\ 【考点】解一元二次方程-公式法，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质\ 【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，可根据三角形全等的判定ASA和性质即可.\ （2）①同（1）中，利用上面的结论，根据SAS可证的结论.\ ②设CH=x，然后根据正方形的性质和相似三角形的判定于性质可得![](./data/image/media/image212.png)=![](./data/image/media/image213.png),然后列方程求解即可. 23、【答案】（1）解：依题可得： ![](./data/image/media/image216.png)\ 解得 ![](./data/image/media/image217.png)\ 答：a的值为0.04，b的值为30.\ （2）解：①当0≤t≤50时，设y与t的函数关系式为y=k~1~t+n~1~.\ 把点（0，15），（50，25）的坐标分别代入得:![](./data/image/media/image218.png)\ 解得:![](./data/image/media/image219.png)\ ∴y与t的函数关系式为y=![](./data/image/media/image220.png)t+15.\ 当50＜t≤100时，设y与t的函数关系式为y=k~2~t+n~2~.\ 把点（50，25）和（100，20）的坐标分别代入得  :![](./data/image/media/image221.png)\ 解得 :![](./data/image/media/image222.png)\ ∴y与t的函数关系式为y=-![](./data/image/media/image223.png)t+30.\ ②由题意得，当0≤t≤50时，\ W=20000×（![](./data/image/media/image220.png)t+15）-（400t+300000）=3600t\ ∵3600＞0，∴当t=50时，W~最大值~=180000（元）\ 当50＜t≤100时，W=（100t+15000）(-![](./data/image/media/image223.png)t+30）-（400t+300000）=-10t^2^+1100t+150000=-10（t-55）^2^+180250\ ∵-10＜0，∴当t=55时，W~最大值~=180250\ 综上所述，当t为55天时，W最大，最大值为180250元.\ 【考点】解二元一次方程组，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值\ 【解析】【分析】（1）根据题意，列方程组求解即可.\ （2）通过图像找到相应的点的坐标，根据待定系数法分类列出方程组即可得到函数解析式；然后根据利润=销售总额-总成本=销售单价×销售天数-（放养总费用+收购成本），然后根据一次函数的特点和二次函数的最值求解即可. 24、【答案】（1）解：依题可得：![](./data/image/media/image224.png)\ 解得  ：![](./data/image/media/image225.png)\ 所以抛物线L~1~的解析式为y=-![](./data/image/media/image3.png)x^2^-![](./data/image/media/image226.png)x-2.\ 同理，![](./data/image/media/image227.png)\ 解得  ：![](./data/image/media/image228.png)\ 所以抛物线L~2~的解析式为y= -![](./data/image/media/image3.png)x^2^+![](./data/image/media/image35.png)x+2.\ （2）解：如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H.\ 依题可得：![](./data/image/media/image229.png)\ 解得![](./data/image/media/image230.png)\ ∴抛物线L~1~的解析式为y=-x^2^+（m-4）x+4m.\ ∴点D的坐标为（-![](./data/image/media/image231.png),![](./data/image/media/image232.png)）.\ ∴DG=![](./data/image/media/image232.png)=![](./data/image/media/image233.png),AG=![](./data/image/media/image234.png).\ 同理可得，抛物线L~2~的解析式为y=-x^2^+（m+4）x-4m\ EH=![](./data/image/media/image235.png)=![](./data/image/media/image236.png)，BH=![](./data/image/media/image237.png).\ ∵AF⊥BF，DG⊥x轴，EH⊥x轴\ ∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°\ ∴∠ADG=∠ABF=90°-∠BAF\ ∴△ADG∽△EBH\ ∴![](./data/image/media/image238.png)=![](./data/image/media/image239.png).\ ∴![](./data/image/media/image240.png)=![](./data/image/media/image241.png)\ ∴m=2![](./data/image/media/image205.png)或m=-2![](./data/image/media/image205.png).\ ![](./data/image/media/image242.png)\ （3）解：存在，例如a=-![](./data/image/media/image243.png),a=-![](./data/image/media/image244.png).\ 【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，相似三角形的判定与性质\ 【解析】【分析】（1）把a、m代入得到已知点，把点代入函数解析式构成方程组，根据待定系数法可求出函数解析式.\ （2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，把a=-1代入函数解析式，然后结合（m,0）和（-4，0）代入可解出函数解析式L~1~ ， 然后分别求出D点坐标，得到DG,AG的长，同理得到L~2~;求得EH,BH的长，再根据三角形相似的判定与性质构造方程求解即可.\ （3）根据前面的解答，直接写出即可.
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2022届新高考开学数学摸底考试卷12 **一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.** 1\. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 2\. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. B. 5 C. D. 10 【答案】C 3\. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A. 120种 B. 90种 C. 60种 D. 30种 【答案】C 4\. 函数的图象大致为（ ） A. ![](./data/image/media/image13.png) B. ![](./data/image/media/image14.png) C. ![](./data/image/media/image15.png) D. ![](./data/image/media/image16.png) 【答案】A 5\. 已知*a*，*b*为正数，且直线与直线互相平行，则的最小值为（ ） A. 13 B. 16 C. 19 D. 25 【答案】D 6\. 甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件*A*为"四名同学所选项目各不相同"，事件*B*为"只有甲同学选羽毛球"，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 7\. 设双曲线![](./data/image/media/image26.wmf)方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 8\. 已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D **二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.** 9\. 4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间服从正态分布，则（ ） （附：，，，.） A. 该校学生每周平均阅读时间为9小时； B. 该校学生每周阅读时间的标准差为4； C. 该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.3%； D. 若该校有10000名学生，则每周阅读时间在3-5小时的人数约为210. 【答案】AD 10\. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象可以由的图象向左平移得到； B. 函数的图象关于点对称； C. 函数的图象关于直线对称； D. 函数在上单调递增 【答案】ABD 11\. 如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（ ） ![](./data/image/media/image61.png) A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成的角为 C. 平面 D. 直线与平面所成的角为 【答案】AD 12\. 已知函数，以下结论正确![](./data/image/media/image26.wmf)是（ ） A. B. 在区间上是增函数； C. 若方程恰有3个实根，则； D. 若函数在上有6个零点，则. 【答案】ACD **三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.** 13\. 直线被圆裁得的弦长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． 【答案】![](./data/image/media/image81.png)4 14\. 等差数列中，，，若数列的前*n*项和为，则*n*的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 【答案】16 15\. 已知四棱锥*P*﹣*ABCD*的顶点都在球*O*的球面上，底面*ABCD*是边长为2的正方形，且*PA*⊥面*ABCD*，若四棱锥的体积为，则该球的体积为\_\_\_\_\_． 【答案】8π． 16\. 如图，在四边形中，，，且，则实数的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_，若是线段上的动点，且，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_． ![](./data/image/media/image98.png) 【答案】 (1). (2). **四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.** 17\. 已知是等差数列，且公差，是等比数列，且，，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1），．（2） 18\. 在 中，角的对边分别是，且成等差数列． （1）若， ，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 19\. 如图，四棱锥中，底面为菱形，与交于点，． ![](./data/image/media/image127.png) （1）求证：平面平面； （2）若，，为的中点，求二面角的大小． 【答案】（1）见解析（2） 20\. 椭圆的一个顶点为，右焦点为*F*，且，且*O*为原点. （1）求椭圆的方程； （2）已知点*C*满足，点*B*在椭圆上（*B*异于椭圆的顶点），直线与以*C*为圆心的圆相切于点*P*，且*P*为线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或. 21\. 携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务．2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人． （Ⅰ）完成下面列联表，并分析是否有的把握认为业务水平与服务水平有关； ---------------------- -------------------- ---------------------- ------ 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 对业务水平不满意人数 合计 ---------------------- -------------------- ---------------------- ------ （Ⅱ）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用表示对业务水平不满意的人数，求的分布列与期望； （Ⅲ）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为，从该运营系统中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少？ 附：，． -- ------- ------- ------------------------------------------ ------------------------------------------ ------- -------- 0.10 0.05 0![](./data/image/media/image152.wmf)025 0![](./data/image/media/image152.wmf)010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 -- ------- ------- ------------------------------------------ ------------------------------------------ ------- -------- 【答案】（Ⅰ）列联表详见解析，有的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关；（Ⅱ）分布列详见解析，期望为；（Ⅲ）． 22\. 已知函数，. （1）若，求证：![](./data/image/media/image159.wmf)恒成立； （2）讨论的单调性； （3）求证：当时，. 【答案】（1）证明详见解析；（2）答案详见解析；（3）证明详见解析.
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**2014年辽宁省高考数学试卷（文科）** 　 **一、选择题（共12小题，每小题5分）** 1．（5分）已知全集U=R，A={x\|x≤0}，B={x\|x≥1}，则集合∁~U~（A∪B）=（　　） A．{x\|x≥0} B．{x\|x≤1} C．{x\|0≤x≤1} D．{x\|0＜x＜1} 2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（　　） A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i 3．（5分）已知a=![](./data/image/media/image1.png)，b=log~2~![](./data/image/media/image2.png)，c=log![](./data/image/media/image3.png)，则（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b 4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 5．（5分）设![](./data/image/media/image4.png)，![](./data/image/media/image5.png)，![](./data/image/media/image6.png)是非零向量，已知命题p：若![](./data/image/media/image7.png)•![](./data/image/media/image8.png)=0，![](./data/image/media/image8.png)•![](./data/image/media/image9.png)=0，则![](./data/image/media/image7.png)•![](./data/image/media/image9.png)=0；命题q：若![](./data/image/media/image7.png)∥![](./data/image/media/image8.png)，![](./data/image/media/image8.png)∥![](./data/image/media/image9.png)，则![](./data/image/media/image7.png)∥![](./data/image/media/image9.png)，则下列命题中真命题是（　　） A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q） 6．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（　　） ![](./data/image/media/image10.png) A．![](./data/image/media/image11.png) B．![](./data/image/media/image12.png) C．![](./data/image/media/image13.png) D．![](./data/image/media/image14.png) 7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） ![](./data/image/media/image15.png) A．8﹣![](./data/image/media/image16.png) B．8﹣![](./data/image/media/image17.png) C．8﹣π D．8﹣2π 8．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y^2^=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（　　） A．﹣![](./data/image/media/image18.png) B．﹣1 C．﹣![](./data/image/media/image19.png) D．﹣![](./data/image/media/image20.png) 9．（5分）设等差数列{a~n~}的公差为d，若数列{2![](./data/image/media/image21.png)}为递减数列，则（　　） A．d＞0 B．d＜0 C．a~1~d＞0 D．a~1~d＜0 10．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=![](./data/image/media/image22.png)，则不等式f（x﹣1）≤![](./data/image/media/image23.png)的解集为（　　） A．\[![](./data/image/media/image24.png)，![](./data/image/media/image25.png)\]∪\[![](./data/image/media/image26.png)，![](./data/image/media/image27.png)\] B．\[﹣![](./data/image/media/image28.png)，﹣![](./data/image/media/image29.png)\]∪\[![](./data/image/media/image30.png)，![](./data/image/media/image25.png)\] C．\[![](./data/image/media/image29.png)，![](./data/image/media/image28.png)\]∪\[![](./data/image/media/image26.png)，![](./data/image/media/image27.png)\] D．\[﹣![](./data/image/media/image31.png)，﹣![](./data/image/media/image32.png)\]∪\[![](./data/image/media/image32.png)，![](./data/image/media/image31.png)\] 11．（5分）将函数![](./data/image/media/image33.png)的图象向右平移![](./data/image/media/image34.png)个单位长度，所得图象对应的函数（　　） A．在区间\[![](./data/image/media/image35.png)，![](./data/image/media/image36.png)\]上单调递增 B．在区间\[![](./data/image/media/image35.png)，![](./data/image/media/image36.png)\]上单调递减 C．在区间\[﹣![](./data/image/media/image37.png)，![](./data/image/media/image38.png)\]上单调递减 D．在区间\[﹣![](./data/image/media/image37.png)，![](./data/image/media/image38.png)\]上单调递增 12．（5分）当x∈\[﹣2，1\]时，不等式ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．\[﹣5，﹣3\] B．\[﹣6，﹣![](./data/image/media/image39.png)\] C．\[﹣6，﹣2\] D．\[﹣4，﹣3\] 　 **二、填空题（共4小题，每小题5分）** 13．（5分）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=[　 　]{.underline}． ![](./data/image/media/image40.png) 14．（5分）已知x，y满足约束条件![](./data/image/media/image41.png)，则目标函数z=3x+4y的最大值为[　 　]{.underline}． 15．（5分）已知椭圆C：![](./data/image/media/image42.png)+![](./data/image/media/image43.png)=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则\|AN\|+\|BN\|=[　 　]{.underline}． 16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a^2^﹣2ab+b^2^﹣c=0且使\|2a+b\|最大时，![](./data/image/media/image44.png)+![](./data/image/media/image45.png)+![](./data/image/media/image46.png)的最小值为[　 　]{.underline}． 　 **三、解答题** 17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知![](./data/image/media/image47.png)•![](./data/image/media/image48.png)=2，cosB=![](./data/image/media/image49.png)，b=3，求： （Ⅰ）a和c的值； （Ⅱ）cos（B﹣C）的值． 18．（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示： ---------- ---------- ------------ ------ 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计 70 30 100 ---------- ---------- ------------ ------ （Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为"南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异"； （Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率． 附：X^2^=![](./data/image/media/image50.png) -------------- ------- ------- ------- P（x^2^＞k） 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 -------------- ------- ------- ------- 19．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点． （Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG； （Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积． 附：锥体的体积公式V=![](./data/image/media/image51.png)Sh，其中S为底面面积，h为高． ![](./data/image/media/image52.png) 20．（12分）圆x^2^+y^2^=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）． （Ⅰ）求点P的坐标； （Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+![](./data/image/media/image53.png)交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程． ![](./data/image/media/image54.png) 21．（12分）已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）![](./data/image/media/image55.png)+![](./data/image/media/image56.png)﹣1． 证明： （Ⅰ）存在唯一x~0~∈（0，![](./data/image/media/image57.png)），使f（x~0~）=0； （Ⅱ）存在唯一x~1~∈（![](./data/image/media/image57.png)，π），使g（x~1~）=0，且对（Ⅰ）中的x~0~，有x~0~+x~1~＞π． 　 **四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲** 22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F． （Ⅰ）求证：AB为圆的直径； （Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED． ![](./data/image/media/image58.png) 　 **选修4-4：坐标系与参数方程** 23．将圆x^2^+y^2^=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C． （Ⅰ）写出C的参数方程； （Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P~1~，P~2~，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P~1~P~2~的中点且与l垂直的直线的极坐标方程． 　 **选修4-5：不等式选讲** 24．设函数f（x）=2\|x﹣1\|+x﹣1，g（x）=16x^2^﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N． （Ⅰ）求M； （Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x^2^f（x）+x\[f（x）\]^2^≤![](./data/image/media/image59.png)． 　 **2014年辽宁省高考数学试卷（文科）** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（共12小题，每小题5分）** 1．（5分）已知全集U=R，A={x\|x≤0}，B={x\|x≥1}，则集合∁~U~（A∪B）=（　　） A．{x\|x≥0} B．{x\|x≤1} C．{x\|0≤x≤1} D．{x\|0＜x＜1} 【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求C~U~（A∪B）． 【解答】解：A∪B={x\|x≥1或x≤0}， ∴C~U~（A∪B）={x\|0＜x＜1}， 故选：D． 【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法． 　 2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（　　） A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i 【分析】把给出的等式两边同时乘以![](./data/image/media/image60.png)，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求． 【解答】解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得： ![](./data/image/media/image61.png)， ∴z=2+3i． 故选：A． 【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题． 　 3．（5分）已知a=![](./data/image/media/image62.png)，b=log~2~![](./data/image/media/image63.png)，c=log![](./data/image/media/image64.png)，则（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求． 【解答】解：∵0＜a=![](./data/image/media/image62.png)＜2^0^=1， b=log~2~![](./data/image/media/image63.png)＜log~2~1=0， c=log![](./data/image/media/image65.png)=log~2~3＞log~2~2=1， ∴c＞a＞b． 故选：D． 【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题． 　 4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　） A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断； B．运用线面垂直的性质，即可判断； C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断； D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断． 【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错； B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确； C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错； D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错． 故选：B． 【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型． 　 5．（5分）设![](./data/image/media/image66.png)，![](./data/image/media/image67.png)，![](./data/image/media/image68.png)是非零向量，已知命题p：若![](./data/image/media/image66.png)•![](./data/image/media/image67.png)=0，![](./data/image/media/image67.png)•![](./data/image/media/image68.png)=0，则![](./data/image/media/image66.png)•![](./data/image/media/image68.png)=0；命题q：若![](./data/image/media/image69.png)∥![](./data/image/media/image70.png)，![](./data/image/media/image70.png)∥![](./data/image/media/image71.png)，则![](./data/image/media/image69.png)∥![](./data/image/media/image71.png)，则下列命题中真命题是（　　） A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q） 【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论． 【解答】解：若![](./data/image/media/image69.png)•![](./data/image/media/image70.png)=0，![](./data/image/media/image70.png)•![](./data/image/media/image71.png)=0，则![](./data/image/media/image72.png)•![](./data/image/media/image73.png)=![](./data/image/media/image73.png)•![](./data/image/media/image74.png)，即（![](./data/image/media/image72.png)﹣![](./data/image/media/image74.png)）•![](./data/image/media/image73.png)=0，则![](./data/image/media/image72.png)•![](./data/image/media/image74.png)=0不一定成立，故命题p为假命题， 若![](./data/image/media/image72.png)∥![](./data/image/media/image75.png)，![](./data/image/media/image75.png)∥![](./data/image/media/image76.png)，则![](./data/image/media/image77.png)∥![](./data/image/media/image76.png)平行，故命题q为真命题， 则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题， 故选：A． 【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键． 　 6．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（　　） ![](./data/image/media/image78.png) A．![](./data/image/media/image79.png) B．![](./data/image/media/image80.png) C．![](./data/image/media/image81.png) D．![](./data/image/media/image82.png) 【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论． 【解答】解：∵AB=2，BC=1， ∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2， 圆的半径r=1，半圆的面积S=![](./data/image/media/image79.png)， 则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是![](./data/image/media/image83.png)， 故选：B． 【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础． 　 7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） ![](./data/image/media/image84.png) A．8﹣![](./data/image/media/image85.png) B．8﹣![](./data/image/media/image86.png) C．8﹣π D．8﹣2π 【分析】几何体是正方体切去两个![](./data/image/media/image87.png)圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算． 【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个![](./data/image/media/image87.png)圆柱， 正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2， ∴几何体的体积V=2^3^﹣2×![](./data/image/media/image87.png)×π×1^2^×2=8﹣π． 故选：C． 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键． 　 8．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y^2^=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（　　） A．﹣![](./data/image/media/image88.png) B．﹣1 C．﹣![](./data/image/media/image89.png) D．﹣![](./data/image/media/image90.png) 【分析】利用点A（﹣2，3）在抛物线C：y^2^=2px的准线上，确定焦点F的坐标，即可求出直线AF的斜率． 【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y^2^=2px的准线上， ∴﹣![](./data/image/media/image91.png)=﹣2， ∴F（2，0）， ∴直线AF的斜率为![](./data/image/media/image92.png)=﹣![](./data/image/media/image89.png)． 故选：C． 【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题． 　 9．（5分）设等差数列{a~n~}的公差为d，若数列{2![](./data/image/media/image93.png)}为递减数列，则（　　） A．d＞0 B．d＜0 C．a~1~d＞0 D．a~1~d＜0 【分析】由数列递减可得![](./data/image/media/image94.png)＜1，由指数函数的性质和等差数列的通项公式化简可得． 【解答】解：∵数列{2![](./data/image/media/image93.png)}为递减数列， ∴![](./data/image/media/image94.png)＜1，即![](./data/image/media/image95.png)＜1， ∴![](./data/image/media/image96.png)＜1， ∴a~1~（a~n+1~﹣a~n~）=a~1~d＜0 故选：D． 【点评】本题考查等差数列的性质和指数函数的性质，属中档题． 　 10．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=![](./data/image/media/image97.png)，则不等式f（x﹣1）≤![](./data/image/media/image98.png)的解集为（　　） A．\[![](./data/image/media/image99.png)，![](./data/image/media/image100.png)\]∪\[![](./data/image/media/image101.png)，![](./data/image/media/image102.png)\] B．\[﹣![](./data/image/media/image103.png)，﹣![](./data/image/media/image104.png)\]∪\[![](./data/image/media/image105.png)，![](./data/image/media/image106.png)\] C．\[![](./data/image/media/image104.png)，![](./data/image/media/image103.png)\]∪\[![](./data/image/media/image107.png)，![](./data/image/media/image108.png)\] D．\[﹣![](./data/image/media/image109.png)，﹣![](./data/image/media/image110.png)\]∪\[![](./data/image/media/image110.png)，![](./data/image/media/image109.png)\] 【分析】先求出当x≥0时，不等式f（x）≤![](./data/image/media/image111.png)的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上f（x）≤![](./data/image/media/image111.png)的解，即可得到结论． 【解答】解：当x∈\[0，![](./data/image/media/image111.png)\]，由f（x）=![](./data/image/media/image112.png)，即cosπx=![](./data/image/media/image112.png)， 则πx=![](./data/image/media/image113.png)，即x=![](./data/image/media/image114.png)， 当x＞![](./data/image/media/image112.png)时，由f（x）=![](./data/image/media/image112.png)，得2x﹣1=![](./data/image/media/image112.png)， 解得x=![](./data/image/media/image115.png)， 则当x≥0时，不等式f（x）≤![](./data/image/media/image116.png)的解为![](./data/image/media/image117.png)≤x≤![](./data/image/media/image118.png)，（如图） 则由f（x）为偶函数， ∴当x＜0时，不等式f（x）≤![](./data/image/media/image116.png)的解为﹣![](./data/image/media/image118.png)≤x≤﹣![](./data/image/media/image117.png)， 即不等式f（x）≤![](./data/image/media/image116.png)的解为![](./data/image/media/image117.png)≤x≤![](./data/image/media/image118.png)或﹣![](./data/image/media/image119.png)≤x≤﹣![](./data/image/media/image120.png)， 则由![](./data/image/media/image120.png)≤x﹣1≤![](./data/image/media/image119.png)或﹣![](./data/image/media/image119.png)≤x﹣1≤﹣![](./data/image/media/image120.png)， 解得![](./data/image/media/image121.png)≤x≤![](./data/image/media/image122.png)或![](./data/image/media/image123.png)≤x≤![](./data/image/media/image124.png)， 即不等式f（x﹣1）≤![](./data/image/media/image125.png)的解集为{x\|![](./data/image/media/image123.png)≤x≤![](./data/image/media/image124.png)或![](./data/image/media/image126.png)≤x≤![](./data/image/media/image127.png)}， 故选：A． ![](./data/image/media/image128.png) 【点评】本题主要考查不等式的解法，利用分段函数的不等式求出x≥0时，不等式f（x）≤![](./data/image/media/image129.png)的解是解决本题的关键． 　 11．（5分）将函数![](./data/image/media/image130.png)的图象向右平移![](./data/image/media/image131.png)个单位长度，所得图象对应的函数（　　） A．在区间\[![](./data/image/media/image132.png)，![](./data/image/media/image133.png)\]上单调递增 B．在区间\[![](./data/image/media/image132.png)，![](./data/image/media/image133.png)\]上单调递减 C．在区间\[﹣![](./data/image/media/image134.png)，![](./data/image/media/image135.png)\]上单调递减 D．在区间\[﹣![](./data/image/media/image134.png)，![](./data/image/media/image136.png)\]上单调递增 【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间\[![](./data/image/media/image137.png)，![](./data/image/media/image138.png)\]上单调递增，则答案可求． 【解答】解：把函数y=3sin（2x+![](./data/image/media/image136.png)）的图象向右平移![](./data/image/media/image139.png)个单位长度， 得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin\[2（x﹣![](./data/image/media/image139.png)）+![](./data/image/media/image136.png)\]． 即y=3sin（2x﹣![](./data/image/media/image140.png)）． 当函数递增时，由![](./data/image/media/image141.png)，得![](./data/image/media/image142.png)． 取k=0，得![](./data/image/media/image143.png)． ∴所得图象对应的函数在区间\[![](./data/image/media/image144.png)，![](./data/image/media/image145.png)\]上单调递增． 故选：A． 【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足"同增异减"原则，是中档题． 　 12．（5分）当x∈\[﹣2，1\]时，不等式ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．\[﹣5，﹣3\] B．\[﹣6，﹣![](./data/image/media/image146.png)\] C．\[﹣6，﹣2\] D．\[﹣4，﹣3\] 【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集． 【解答】解：当x=0时，不等式ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0对任意a∈R恒成立； 当0＜x≤1时，ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0可化为a≥![](./data/image/media/image147.png)， 令f（x）=![](./data/image/media/image148.png)，则f′（x）=![](./data/image/media/image149.png)=﹣![](./data/image/media/image150.png)（\*）， 当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1\]上单调递增， f（x）~max~=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6； 当﹣2≤x＜0时，ax^3^﹣x^2^+4x+3≥0可化为a≤![](./data/image/media/image148.png)， 由（\*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， f（x）~min~=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2； 综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是\[﹣6，﹣2\]． 故选：C． 【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集． 　 **二、填空题（共4小题，每小题5分）** 13．（5分）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=[　20　]{.underline}． ![](./data/image/media/image151.png) 【分析】算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+...+（1+2+3+...+i）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出的T值． 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+...+（1+2+3+...+i）的值， 当输入n=3时，跳出循环的i值为4， ∴输出T=1+3+6++10=20． 故答案为：20． 【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 　 14．（5分）已知x，y满足约束条件![](./data/image/media/image152.png)，则目标函数z=3x+4y的最大值为[　18　]{.underline}． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件![](./data/image/media/image152.png)作出可行域如图， 联立![](./data/image/media/image153.png)，解得![](./data/image/media/image154.png)， ∴C（2，3）． 化目标函数z=3x+4y为直线方程的斜截式，得：![](./data/image/media/image155.png)． 由图可知，当直线![](./data/image/media/image155.png)过点C时，直线在y轴上的截距最大，即z最大． ∴z~max~=3×2+4×3=18． 故答案为：18． ![](./data/image/media/image156.png) 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 　 15．（5分）已知椭圆C：![](./data/image/media/image157.png)+![](./data/image/media/image158.png)=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则\|AN\|+\|BN\|=[　12　]{.underline}． 【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出\|AN\|+\|BN\|的值． 【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得![](./data/image/media/image159.png)，![](./data/image/media/image160.png)， ∵Q在椭圆C上，∴\|QF~1~\|+\|QF~2~\|=2a=6， ∴\|AN\|+\|BN\|=12． 故答案为：12． ![](./data/image/media/image161.png) 【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，是对基本知识的考查． 　 16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a^2^﹣2ab+b^2^﹣c=0且使\|2a+b\|最大时，![](./data/image/media/image162.png)+![](./data/image/media/image163.png)+![](./data/image/media/image164.png)的最小值为[　﹣1　]{.underline}． 【分析】首先把：4a^2^﹣2ab+b^2^﹣c=0，转化为![](./data/image/media/image165.png)=![](./data/image/media/image166.png)，再由柯西不等式得到\|2a+b\|^2^，分别用b表示a，c，在代入到![](./data/image/media/image167.png)+![](./data/image/media/image168.png)+![](./data/image/media/image164.png)得到关于b的二次函数，求出最小值即可． 【解答】解：∵4a^2^﹣2ab+b^2^﹣c=0， ∴![](./data/image/media/image165.png)=![](./data/image/media/image169.png) 由柯西不等式得， \[![](./data/image/media/image170.png)\]\[![](./data/image/media/image171.png)\]≥\[2（a﹣![](./data/image/media/image172.png)）+![](./data/image/media/image173.png)×2![](./data/image/media/image174.png)\]^2^=\|2a+b\|^2^ 故当\|2a+b\|最大时，有 ![](./data/image/media/image175.png) ∴![](./data/image/media/image176.png)，c=b^2^ ∴![](./data/image/media/image177.png)+![](./data/image/media/image178.png)+![](./data/image/media/image179.png)=![](./data/image/media/image180.png)=![](./data/image/media/image181.png) 当b=﹣2时，取得最小值为﹣1． 故答案为：﹣1 【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题． 　 **三、解答题** 17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知![](./data/image/media/image182.png)•![](./data/image/media/image183.png)=2，cosB=![](./data/image/media/image184.png)，b=3，求： （Ⅰ）a和c的值； （Ⅱ）cos（B﹣C）的值． 【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简![](./data/image/media/image185.png)•![](./data/image/media/image186.png)=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a^2^+c^2^=13，联立即可求出ac的值； （Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（Ⅰ）∵![](./data/image/media/image185.png)•![](./data/image/media/image186.png)=2，cosB=![](./data/image/media/image184.png)， ∴c•acosB=2，即ac=6①， ∵b=3， ∴由余弦定理得：b^2^=a^2^+c^2^﹣2accosB，即9=a^2^+c^2^﹣4， ∴a^2^+c^2^=13②， 联立①②得：a=3，c=2； （Ⅱ）在△ABC中，sinB=![](./data/image/media/image187.png)=![](./data/image/media/image188.png)=![](./data/image/media/image189.png)， 由正弦定理![](./data/image/media/image190.png)=![](./data/image/media/image191.png)得：sinC=![](./data/image/media/image192.png)sinB=![](./data/image/media/image193.png)×![](./data/image/media/image194.png)=![](./data/image/media/image195.png)， ∵a=b＞c，∴C为锐角， ∴cosC=![](./data/image/media/image196.png)=![](./data/image/media/image197.png)=![](./data/image/media/image198.png)， 则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=![](./data/image/media/image199.png)×![](./data/image/media/image200.png)+![](./data/image/media/image201.png)×![](./data/image/media/image202.png)=![](./data/image/media/image203.png)． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键． 　 18．（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示： ---------- ---------- ------------ ------ 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计 70 30 100 ---------- ---------- ------------ ------ （Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为"南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异"； （Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率． 附：X^2^=![](./data/image/media/image204.png) -------------- ------- ------- ------- P（x^2^＞k） 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 -------------- ------- ------- ------- 【分析】（Ⅰ）根据表中数据，利用公式，即可得出结论； （Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，X^2^=![](./data/image/media/image205.png)≈4.762＞3.841， ∴有95%的把握认为"南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异"； （Ⅱ）从这5名学生中随机抽取3人，共有![](./data/image/media/image206.png)=10种情况，有2名喜欢甜品，有![](./data/image/media/image207.png)=3种情况， ∴至多有1人喜欢甜品的概率![](./data/image/media/image208.png)． 【点评】本题考查独立性检验的应用，考查古典概型及其概率计算公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 　 19．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点． （Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG； （Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积． 附：锥体的体积公式V=![](./data/image/media/image209.png)Sh，其中S为底面面积，h为高． ![](./data/image/media/image210.png) 【分析】（Ⅰ）先证明AD⊥平面BGC，利用EF∥AD，可得EF⊥平面BCG； （Ⅱ）在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，G到平面BCD的距离h是AO长度的一半，利用V~D﹣BCG~=V~G﹣BCD~=![](./data/image/media/image211.png)，即可求三棱锥D﹣BCG的体积． 【解答】（Ⅰ）证明：∵AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°， ∴△ABC≌△DBC， ∴AC=DC， ∵G为AD的中点， ∴CG⊥AD． 同理BG⊥AD， ∵CG∩BG=G， ∴AD⊥平面BGC， ∵EF∥AD， ∴EF⊥平面BCG； （Ⅱ）解：在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O， ∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直， ∴AO⊥平面BCD， ∵G为AD的中点， ∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半． 在△AOB中，AO=ABsin60°=![](./data/image/media/image212.png)， ∴V~D﹣BCG~=V~G﹣BCD~=![](./data/image/media/image211.png)=![](./data/image/media/image213.png)×![](./data/image/media/image214.png)=![](./data/image/media/image215.png)． ![](./data/image/media/image216.png) 【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键． 　 20．（12分）圆x^2^+y^2^=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）． （Ⅰ）求点P的坐标； （Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+![](./data/image/media/image217.png)交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程． ![](./data/image/media/image218.png) 【分析】（Ⅰ）设切点P的坐标为（x~0~，y~0~），求得圆的切线方程，根据切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=![](./data/image/media/image219.png)．再利用基本不等式求得S取得最小值，求得点P的坐标． （Ⅱ）设椭圆的标准方程为 ![](./data/image/media/image220.png)+![](./data/image/media/image221.png)=1，a＞b＞0，则 ![](./data/image/media/image222.png)+![](./data/image/media/image223.png)=1．把直线方程和椭圆的方程联立方程组，转化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理、弦长公式求出弦长AB以及点P到直线的距离d，再由△PAB的面积为S=![](./data/image/media/image224.png)•AB•d=2，求出a^2^、b^2^的值，从而得到所求椭圆的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设切点P的坐标为（x~0~，y~0~），且x~0~＞0，y~0~＞0． 则切线的斜率为﹣![](./data/image/media/image225.png)，故切线方程为 y﹣y~0~=﹣![](./data/image/media/image225.png)（x﹣x~0~），即x~0~x+y~0~y=4． 此时，切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=![](./data/image/media/image224.png)•![](./data/image/media/image226.png)•![](./data/image/media/image227.png)=![](./data/image/media/image228.png)． 再根据 ![](./data/image/media/image229.png)+![](./data/image/media/image230.png)=4≥2x~0~•y~0~，可得当且仅当x~0~=y~0~=![](./data/image/media/image231.png)时， x~0~•y~0~取得最大值为2，即S取得最小值为![](./data/image/media/image232.png)=4， 故此时，点P的坐标为（![](./data/image/media/image231.png)，![](./data/image/media/image233.png)）． （Ⅱ）设椭圆的标准方程为 ![](./data/image/media/image234.png)+![](./data/image/media/image235.png)=1，a＞b＞0，∵椭圆C过点P，∴![](./data/image/media/image236.png)+![](./data/image/media/image237.png)=1． 由 ![](./data/image/media/image238.png) 求得b^2^x^2^+4![](./data/image/media/image239.png)x+6﹣2b^2^=0， ∴x~1~+x~2~=﹣![](./data/image/media/image240.png)，x~1~•x~2~=![](./data/image/media/image241.png)． 由 y~1~=x~1~+![](./data/image/media/image239.png)，y~2~=x~2~+![](./data/image/media/image239.png)，可得AB=![](./data/image/media/image242.png)\|x~2~﹣x~1~\|=![](./data/image/media/image242.png)•![](./data/image/media/image243.png)=![](./data/image/media/image242.png)•![](./data/image/media/image244.png) =![](./data/image/media/image245.png)![](./data/image/media/image246.png)． 由于点P（![](./data/image/media/image247.png)，![](./data/image/media/image247.png)）到直线l：y=x+![](./data/image/media/image248.png)的距离d=![](./data/image/media/image249.png)， △PAB的面积为S=![](./data/image/media/image250.png)•AB•d=2，可得 b^4^﹣9b^2^+18=0，解得 b^2^=3，或 b^2^=6， 当b^2^=6 时，由![](./data/image/media/image251.png)+![](./data/image/media/image252.png)=1求得a^2^=3，不满足题意； 当b^2^=3时，由![](./data/image/media/image251.png)+![](./data/image/media/image252.png)=1求得a^2^=6，满足题意，故所求的椭圆的标准方程为 ![](./data/image/media/image253.png)+![](./data/image/media/image254.png)=1． 【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于难题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）![](./data/image/media/image255.png)+![](./data/image/media/image256.png)﹣1． 证明： （Ⅰ）存在唯一x~0~∈（0，![](./data/image/media/image257.png)），使f（x~0~）=0； （Ⅱ）存在唯一x~1~∈（![](./data/image/media/image257.png)，π），使g（x~1~）=0，且对（Ⅰ）中的x~0~，有x~0~+x~1~＞π． 【分析】（Ⅰ）导数法可判f（x）在（0，![](./data/image/media/image257.png)）上为增函数，又可判函数有零点，故必唯一；（Ⅱ）化简可得g（x）=（π﹣x）![](./data/image/media/image258.png)+![](./data/image/media/image259.png)﹣1，换元法，令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣![](./data/image/media/image260.png)﹣![](./data/image/media/image261.png)t+1，t∈\[0，![](./data/image/media/image262.png)\]，由导数法可得函数的零点，可得不等式． 【解答】解：（Ⅰ）当x∈（0，![](./data/image/media/image262.png)）时，f′（x）=π+πsinx﹣2cosx＞0， ∴f（x）在（0，![](./data/image/media/image262.png)）上为增函数， 又f（0）=﹣π﹣2＜0，f（![](./data/image/media/image263.png)）=![](./data/image/media/image264.png)﹣4＞0， ∴存在唯一x~0~∈（0，![](./data/image/media/image263.png)），使f（x~0~）=0； （Ⅱ）当x∈\[![](./data/image/media/image263.png)，π\]时， 化简可得g（x）=（x﹣π）![](./data/image/media/image265.png)+![](./data/image/media/image266.png)﹣1 =（π﹣x）![](./data/image/media/image267.png)+![](./data/image/media/image268.png)﹣1， 令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣![](./data/image/media/image269.png)﹣![](./data/image/media/image270.png)t+1，t∈\[0，![](./data/image/media/image271.png)\]， 求导数可得u′（t）=![](./data/image/media/image272.png)， 由（Ⅰ）得，当t∈（0，x~0~）时，u′（t）＜0，当t∈（x~0~，![](./data/image/media/image273.png)）时，u′（t）＞0， ∴函数u（t）在（x~0~，![](./data/image/media/image273.png)）上为增函数， 由u（![](./data/image/media/image273.png)）=0知，当t∈\[x~0~，![](./data/image/media/image273.png)）时，u（t）＜0， ∴函数u（t）在\[x~0~，![](./data/image/media/image273.png)）上无零点； 函数u（t）在（0，x~0~）上为减函数， 由u（0）=1及u（x~0~）＜0知存在唯一t~0~∈（0，x~0~），使u（t~0~）=0， 于是存在唯一t~0~∈（0，![](./data/image/media/image273.png)），使u（t~0~）=0， 设x~1~=π﹣t~0~∈（![](./data/image/media/image274.png)，π），则g（x~1~）=g（π﹣t~0~）=u（t~0~）=0， ∴存在唯一x~1~∈（![](./data/image/media/image274.png)，π），使g（x~1~）=0， ∵x~1~=π﹣t~0~，t~0~＜x~0~， ∴x~0~+x~1~＞π 【点评】本题考查零点的判定定理，涉及导数法证明函数的单调性，属中档题． 　 **四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲** 22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F． （Ⅰ）求证：AB为圆的直径； （Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED． ![](./data/image/media/image275.png) 【分析】（Ⅰ）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°； （Ⅱ）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED． 【解答】证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD， ∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA， ∵∠PGD=∠EGA， ∴∠DBA=∠EGA， ∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD， ∴∠BDA=∠PFA， ∵AF⊥EP， ∴∠PFA=90°． ∴∠BDA=90°， ∴AB为圆的直径； （Ⅱ）连接BC，DC，则 ∵AB为圆的直径， ∴∠BDA=∠ACB=90°， 在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD， ∴Rt△BDA≌Rt△ACB， ∴∠DAB=∠CBA， ∵∠DCB=∠DAB， ∴∠DCB=∠CBA， ∴DC∥AB， ∵AB⊥EP， ∴DC⊥EP， ∴∠DCE为直角， ∴ED为圆的直径， ∵AB为圆的直径， ∴AB=ED． ![](./data/image/media/image276.png) 【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题． 　 **选修4-4：坐标系与参数方程** 23．将圆x^2^+y^2^=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C． （Ⅰ）写出C的参数方程； （Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P~1~，P~2~，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P~1~P~2~的中点且与l垂直的直线的极坐标方程． 【分析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，![](./data/image/media/image277.png)）在圆x^2^+y^2^=1上，求出C的方程，化为参数方程． （Ⅱ）解方程组求得P~1~、P~2~的坐标，可得线段P~1~P~2~的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为![](./data/image/media/image278.png)，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程． 【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，![](./data/image/media/image277.png)）在圆x^2^+y^2^=1上， ∴x^2^+![](./data/image/media/image279.png)=1，即曲线C的方程为 x^2^+![](./data/image/media/image279.png)=1，化为参数方程为 ![](./data/image/media/image280.png) （0≤θ＜2π，θ为参数）． （Ⅱ）由![](./data/image/media/image281.png)，可得 ![](./data/image/media/image282.png)，![](./data/image/media/image283.png)，不妨设P~1~（1，0）、P~2~（0，2）， 则线段P~1~P~2~的中点坐标为（![](./data/image/media/image284.png)，1）， 再根据与l垂直的直线的斜率为![](./data/image/media/image285.png)，故所求的直线的方程为y﹣1=![](./data/image/media/image285.png)（x﹣![](./data/image/media/image285.png)），即x﹣2y+![](./data/image/media/image286.png)=0． 再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+![](./data/image/media/image286.png)=0， 即 ρ=![](./data/image/media/image287.png)． 【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题． 　 **选修4-5：不等式选讲** 24．设函数f（x）=2\|x﹣1\|+x﹣1，g（x）=16x^2^﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N． （Ⅰ）求M； （Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x^2^f（x）+x\[f（x）\]^2^≤![](./data/image/media/image288.png)． 【分析】（Ⅰ）由所给的不等式可得![](./data/image/media/image289.png)①，或 ![](./data/image/media/image290.png)②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求． （Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=\[0，![](./data/image/media/image291.png)\]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为![](./data/image/media/image292.png)﹣![](./data/image/media/image293.png)，显然它小于或等于 ![](./data/image/media/image292.png)，要证的不等式得证． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2\|x﹣1\|+x﹣1≤1 可得![](./data/image/media/image294.png)①，或 ![](./data/image/media/image295.png)②． 解①求得1≤x≤![](./data/image/media/image296.png)，解②求得 0≤x＜1． 综上，原不等式的解集为\[0，![](./data/image/media/image296.png)\]． （Ⅱ）证明： 由g（x）=16x^2^﹣8x+1≤4，求得﹣![](./data/image/media/image297.png)≤x≤![](./data/image/media/image298.png)， ∴N=\[﹣![](./data/image/media/image297.png)，![](./data/image/media/image299.png)\]， ∴M∩N=\[0，![](./data/image/media/image299.png)\]． ∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x， ∴x^2^f（x）+x\[f（x）\]^2^ =xf（x）\[x+f（x）\]=![](./data/image/media/image300.png)﹣![](./data/image/media/image301.png)≤![](./data/image/media/image300.png)， 故要证的不等式成立． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题． 　
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）** **文综试卷** **第Ⅰ卷** **一、本卷共35个小题，每小题4分，共140分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。** 读图1，回答1～2题。 ![](./data/image/media/image1.jpeg) 1．图中洋流所在的大洋为 A．太平洋 B．大西洋 C．印度洋 D．北冰洋 2．图中洋流对相邻陆地环境的影响是 A．增加了湿、热程度 B．降低了干、热程度 C．减轻了寒冷状况 D．加剧了干燥状况 20世纪60年代，我国西部某平原地区在各集镇形成周期性集市。农历每月内，集市逢一、四、期在①地，其余各天分别在周围六个集镇，如图2所示（初一、十一、廿一为逢一，其余类推）。回答3～4题。 ![](./data/image/media/image2.png) 3．该地区 A．集镇分为两级 B．集市的周期为3天 C．①地的服务范围比②地小 D．②地的服务功能比①地齐全 4．①地不能每日都成为集市的根本原因是 A．供交换的商品种类太少 B．为方便各地居民的日常胜过 C．各集镇之间交通不便 D．当地居民的购买力不足 我国某校地理兴趣小组的同学，把世界上四地年内正午太阳高度变化及方向绘成简图（图3）。回答5～6题。 ![](./data/image/media/image3.png) 5．可能反映学校所在地正午太阳高度年变化及方向的是 A．① B．② C．③ D．④ 6．当②地正午太阳高度达到最大时 A．地球公转速度较慢 B．其他三地正午太阳所在方向不同 C．该学校所在地天气炎热 D．太阳在地球上的直射点将北返 读表1数据，回答7～8题。 表1 我国五地海拔及地理位置 ------ -------- --------- ---------- 海拔/m 纬度 经度 北京 31 39°55′N 116°24′E 兰州 1517 36°03′N 103°49′E 福州 84 26°02′N 119°19′E 甲地 110 34°44′N 113°42′E 乙地 1891 25°04′N 102°42′E ------ -------- --------- ---------- 7．甲地所处的地形单元为 A．黄土高原 B．华北平原 C．内蒙古高原 D．长江中下游平原 8．图4中表示乙地年内各月气温的曲线是 ![](./data/image/media/image4.jpeg) A．① B．② C．③ D．④ 图5为美国某城市某年8月某日22时等温线图。回答9～11题。 ![](./data/image/media/image5.jpeg) 9．O、P两点的温差最大可超过 A．4℃ B．3℃ C．2℃ D．1℃ 10．若只考虑温度因素，则近地面N点的风向为 A．东北风 B．东南风 C．西北风 D．西南风 11．图6中与M、P、N一线上空等压面的剖面线相符合的示意图为 ![](./data/image/media/image6.jpeg) A．① B．② C．③ D．④ 12．假定甲商品和乙商品是替代品，甲商品和丙商品是互补品。如果市场上甲商品的价格大幅度下降，那么，在其他条件不变时 ①乙商品的需求量减少 ②乙商品的需求量增加 ③丙商品的需求量减少 ④丙商品的需求量增加 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 13．在活期储蓄与国债这两种投资对象之间，某投资者如果选择活期储蓄，那么，他看中的是活期储蓄的 A．流动性强 B．风险小 C．收益率高 D．信用度高 14．我国现行税法规定，工资薪金收入的个人收入所得税"起征点"为1600元；全月应纳税所得额不超过500元（含）的部分，税率为5%；超过500元至2000元（含）的部分，税率为10%；超过2000元至5000元（含）的部分，税率为15%。小明的爸爸月工资为3500元，则每月应纳的个人收入所得税为 A．165元 B．190元 C．400元 D．525元 15．在现代市场经济中，政府越来越多地运用税收、利率等经济杠杆调节经济运行。经济杠杆能够起到调节作用的根本原因在于，它们 A．是以政府强制力为后盾的 B．直接关系着市场主体的利益 C．能够弥补市场经济的缺陷 D．能够熨平经济发展中的波动 16．某市政府在网上开通"百姓论坛"，规定各职能部门安排专人每天浏览网页，对涉及自己部门的帖子必须在3天内给予回复，对"投诉帖"则要尽快纳入调查处理程序。最近，有14个单位因没有及时回帖而被通报批评。"百姓论坛"的开通 ①有助于提高政府行政效率 ②改变了公民的权利与义务的关系 ③提供了公民利益诉求的新渠道 ④扩大了公民政治参与的权利 A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 17．某"无烟"锅因涉嫌虚假宣传被中央电视台曝光后，工商管理部门对该"无烟"锅上产厂进行了查处，查封了涉嫌虚假广告产品的存放仓库，并责令其停止销售。在此实践中工商管理部门所履行的职能在于 ①维护市场秩序 ②执行商品的安全标准 ③维护消费者权益 ④参与企业经营管理 A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 18．2006年11月中国政府宣布：免除同中国有外交关系的所有非洲重债穷国和最不发达国家截止2005年到期的政府无息贷款债务；到2009年使中国对非洲国家的援助规模比2006年增加一倍；把同中国有外交关系的非洲最不发达国家输华零关税待遇商品有190个税目扩大到440多个。这表明 A．中国已是一个经济发达国家 B．中国外交战略重点转向了非洲 C．中国与非洲国家的经济交往以非洲国家利益为出发点 D．中国政府以平等互利原则处理与非洲国家的经济关系 19．2006年中国举办的"俄罗斯年"，开展了俄罗斯文化节、教育展、文艺演出等200多项活动，规模前所未有；今年俄罗斯举办的"中国年"，内容丰富多样，大展中华风采。从文化的角度看，中俄互办"国家年"，是两国 ①文化传播的基本途径，扩大了各自文化的影响 ②文化融合的重要标志，标示着两国文化的趋同 ③文化上互相学习、借鉴，以实现共同繁荣的重大举措 ④文化上相互尊重、加深理解、密切合作的具体体现 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 20．社会主义核心价值体系是建设和谐社会的根本，核心价值体系的首要内容是马克思主义指导思想，因为马克思主义是 ①把握社会主义先进文化前进方向的根本指针 ②判明各种文化真理性的主要标准 ③推动各种文化创新的动力和源泉 ④引领社会思潮的旗帜、抵制各种错误思潮的武器 A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 21．滑膜化治理是世界性纳提。有专家根据部分地区的成功经验提出，对于人力治理效果不佳的地区，可以采用"人退"的办法，创造条件让自然界自我修复，实现"沙退"的目的。这种治理荒漠化的新思路体现的哲学道理是 ①正确发挥主观能动性要以尊重和认识客观规律为前提 ②适当放弃主观能动性的发挥体现了对客观规律的尊重 ③人的活动与自然生态存在着不可解决的矛盾 ④人的活动是自然生态系统的重要影响因素 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 22．"蚂蚁具有和我们不同的眼睛，它们能看见我们看不见的光线。但是，在认识我们所看不见的这些光线方面，我们的成就比蚂蚁大得多。我们能够证明蚂蚁看得见我们所看不见的东西，而且这种证明只是以我们的眼睛所造成的知觉为基础，这就说明人的眼睛的特殊构造并不是人的认识的绝对界限。"恩格斯这个论断的根据是 ①实践促进人的感觉能力的进化与发展 ②实践促进感知事物的技术手段的发展 ③实践促进对感知信息进行综合分析能力的提高 ④实践促进人类直觉事物本质能力的提高 A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 23．农历丁亥年是60年一遇的"金猪年"，不少青年夫妇把孩子的出生时间锁定在该年，认为这一年出生的"金猪宝宝"有福气。从哲学上讲，将个人命运同生肖属相联系在一起是不足取的，其依据是 A．想象的联系代替不了事物固有的联系 B．基于主观目的的行为不会产生客观的联系 C．非本质的联系掩盖不了本质的联系 D．联系是客观的，与人的活动无关 24．古希腊智者学派的代表人物普罗泰戈拉说："人是万物的尺度，是存在的事物存在的尺度，也是不存在的事物不存在的尺度。"这一主张表明 A．古希腊民主政治充分尊重和保护个人利益 B．人类社会的传统和习俗不容置疑 C．社会的道德规范是客观统一的 D．人们应对宗教神学持怀疑态度 25．亚里士多德在《雅典政制》中说，雅典议事会的成员由400人改为500人，每（地区）部落出50人，而在以前，每（血缘）部落则出100人。上述变化发生于A．梭伦改革前 B．梭伦改革时期 C．克利斯提尼改革时期 D．伯利克里任首席将军期间 26．中国古代有避讳制度，要避免使用本王朝帝王的名字，遇有相同的字时，必须改用其他字。下列各项属于这种情况的是 A．汉初改"相邦"为"相国" B．唐初改"内史省"为"中书省" C．北宋初改"昌南镇"为"景德镇" D．明初改"大都"为"北平" 中国古代，在皇权的影响下，以相权为中心的中枢机构不断变化。回答27\~29题 27．秦和西汉前期，丞相为"百官之长"，其主要职责是 A．辅佐皇帝处理全国政务 B．对重大军政事务作出决定 C．处理朝廷各种日常军政事务 D．代表皇帝监督百官 28．北宋前期继续设置三省六部，但其职能发生了很大变化，其中仍与唐代相同的是 A．三省长官均为宰相 B．设置"中书门下"为宰相的办公机构 C．由中书省草拟诏令，门下声审议 D．尚书省统领六部，为全国最高的政务部门 29．明代内阁和清代军机处的共同之处是 A．统领六部，处理各种政务 B．参与决策，并负责朝廷日常事务 C．参与机要政务，但没有决策权 D．负责各地的军政事务 30．汉武帝采纳董仲舒建议，"罢黜百家，独尊儒术"。这里的"儒术"指 A．吸收了佛教、道教等思想的儒学 B．正统的孔孟学说 C．糅合了道家、阴阳家等学说的儒学 D．儒家学说与权术 31．中国古代书法在发展过程中形成一些时代特点，如"宋人尚意"，即通过字体书写，表现自己追求的意境。图7为苏轼的《黄州寒食诗帖》（局部），就很能体现"尚意"的特征。这幅作品字体的特点是 ![](./data/image/media/image7.png) A．字形方整，笔画平直稳重 B．字形扁方，笔画平稳舒展 C．字形严谨。笔画密集繁复 D．字形多变，笔画简约流畅 32．在一场革命爆发后，革命者宣告："这是旧政权和教权制度的结束，是军国主义、官僚主义、剥削制度、投机、垄断和特权这一切使无产阶级遭受奴役，使祖国遭受灾难和痛苦的东西的结束。"这场革命是 A．法国里昂工人起义 B．法国大革命 C．巴黎公社起义 D．俄国二月革命 33．一部影片有一组镜头：夜色中，成群的武装起义者冲向首都的一座宫邸，从停在不远处河面上的战舰传来隆隆炮声；人流很快冲垮了守卫部队设立的防线，宫邸沉重的大门在起义者的呼喊中缓缓打开。这组镜头所取材的历史事件发生在 A．1640年英国的伦敦 B．1871年法国的巴黎 C．1917年俄国的彼得堡 D．1949年中国的南京 34．2007年是美国宪法制定220周年、十月革命胜利90周年和抗日战争爆发70周年。下列各项中，2007年为其签订60周年并在经济全球化过程中发挥了重要作用的是A．布雷顿森林协定 B．北美自由贸易协定 C．欧洲煤钢共同体条约 D．关税与贸易总协定 35．从1953年底开始，我国对粮食、食油、棉花等农副产品实行统购统销政策。这一政策的作用是 A．保障城镇农副产品供应 B．大幅度提高农副产品质量 C．进一步缩小城乡差别 D．提高农民生产积极性 **第Ⅱ卷** **二、本卷包括必考题和选考题两部分。第36题－第41题为必考题，每个试题考生都必须做答。第42题为选考题，考生根据要求做答。** **36．（32分）** **图8为甲、乙两岛略图，其中甲岛地势低平。完成下列要求。** ![](./data/image/media/image8.jpeg) （1）按东、西半球划分，甲岛位于（ ）半球。甲岛周围的水域属于（ ）洋，乙岛周围的水域属于（ ）洋。（6分） （2）两岛相比，实际面积较大的是（ ）岛。当乙岛的区时为6月9日6时，甲岛所在的时区的区时为6月（ ）日（ ）时。我国处在隆冬季节，甲岛盛行风向为（ ）风。（6分） （3）乙岛主要是由（ ）（内或外）力作用形成的，地形以（ ）为主，地势特点是（ ）。（8分） （4）甲、乙两岛中，公路密度较低的是（ ）岛，导致该岛公路密度较低的主要自然原因是（ ）。（4分） （5）判断甲岛最大城镇所在地，并在图上把该城镇的符合圈出来；并说明判断的理由。（8分） **37．（24分）** **读图9，回答下列问题。** ![](./data/image/media/image9.jpeg) （1）该地区计划在a处建一大规模的木材加工厂，分析其选址的有利条件，并说明建厂后可能对环境产生的不利影响及应采取的对策。（10分） （2）该地区计划建一大型机场，分别说明b、c两地作为机场选址的有利和不利条件。（14分） > （提示：大型机场占地规模大，c地需填海。） **38．（12分）阅读材料回答问题。** 中国古代，鼎是帝王之事，或记录大事，或赐给大臣。我国政府在全国范围内免除农业税后，河北省灵寿县一农民亲手铸造一只252公斤的"告别田赋鼎"。中央电视台对此事进行了报道，引起了广大农民的共鸣。 ![](./data/image/media/image10.jpeg) 用政府权威的有关知识分析农民铸造"告别田赋鼎"一事所蕴含的道理。（12分） **39．（22分）阅读材料回答问题。** 材料一：2006年，我国农村外出务工人员达1亿多人，外出务工收入增加额占农民人均纯收入增加额的25.9%。据不完全统计，其中来自东部、中部、西部的农民工分别为3484万人、4251万人和2833万人，而在这三个地区就业的农民工则分别为7404万人、1569万人和1572万人。 材料二： 表2 东中西部地区人均GDP（单位：元） +------+-------+-------+-------+-------+-------+--------+ | 年份 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005\* | | | | | | | | | | 地区 | | | | | | | +------+-------+-------+-------+-------+-------+--------+ | 东部 | 11334 | 12811 | 14159 | 16207 | 18217 | 23768 | +------+-------+-------+-------+-------+-------+--------+ | 中部 | 5982 | 6395 | 6691 | 7757 | 9481 | 10608 | +------+-------+-------+-------+-------+-------+--------+ | 西部 | 4687 | 5007 | 5473 | 6187 | 7219 | 9338 | +------+-------+-------+-------+-------+-------+--------+ 注：\*2005年的统计口径与其他年份的统计口径略有差异。 材料三：据报道，2007年，来自某省农村的在京务工人员董先生当选北京市党代表并出席中共北京市第十次党代会。他是北京某居民小区的保洁员，15年如一日勤恳工作，深受好评。 （1）根据材料一、二，指出农民工流向的特征，并简要分析形成这种特征的经济原因。（8分） （2）针对材料二所反映出的问题，从落实科学发展观的角度提出解决思路。（6分） （3）进城务工人员为社会发展做出巨大贡献，理应得到社会的充分肯定。简要说明价值选择的最高标准与价值创造和实现的途径。（8分） **40．（18分）阅读材料回答问题。** 宁夏回族自治区经济社会发展相对落后，在全面建设小康社会进程中，自治区党委根据本地特点，提出了"小省区要办大文化"的思路。宁夏根据其"岩画文化、丝路文化、西夏文化神秘而璀璨，边塞文化、大漠文化、黄河文化悠远而豪放"的优势和特点，发展带有民间文化特色和塞上文化特色的旅游文化产业，实施"百县千乡文化工程"和"千里文明长廊工程"，积极开展社区文化、校园文化、企业文化、农村文化等群众文化活动，带动了自治区经济社会的发展。 （1）利用所学文化生活知识，说明在经济相对落后的条件下"办大文化"的重要意义。（8分） （2）"小省区办大文化"，体现了从实际出发进行决策的思想方法，简要分析这一方法的哲学依据。（10分） 41．（37分）阅读材料回答问题。 材料一： 19世纪中叶，日本经过明治维新，建立起中央集权的近代天皇制国家。明治政府大力推进现代化，兴办工业企业，80年代中期开始工业革命。在各种因素作用下，日本走上军国主义道路，建立了装备精良的近代军队，确立了对外侵略扩张的"大陆政策"，企图吞并中国、朝鲜等周边大陆国家。1887年，参谋本部制定了《清国征讨方略》。日本一面扩军，一面派出大批间谍中、朝活动，在甲午战争前绘成了包括朝鲜和中国辽东半岛、山东半岛和渤海沿岸的每一座小丘、没一条道路和河流的详图。 （摘编自《日本大陆政策史》） **材料二： **对于实力的强弱，也需要做一点具体分析。事实上，还在战争进行过程中，不少朝野人士就纷纷指出，就军力和经济力量而言，日本并没有绝对必胜的优势......即拿两国的海军实力来说，日本虽在速射炮和舰速上强于中国，拥有优势，但在川坚炮重上则有所逊色，而且在黄海海战中，北洋海军还拥有四艘日本所没有的鱼雷艇。即便是北洋陆军，虽在装备上总体说来落后于日本，但也并非一无长物。如日本就有学者认为，北洋陆军装备就有德制的毛瑟枪和克虏伯野炮，就"比使用村田式步枪和青铜炮的日军优越"。 服务于北洋舰队的外籍人士肯宁威说："中国人在鸭绿江上（指黄海海战）是可以得胜的，假使他们的炮弹不是实着泥沙。这不是海军提督的过错，而是军需局的坏蛋官吏的罪恶。" 东北前线战事紧迫，军费告急，却同各地一样受到必须"报效"慈禧太后六十庆典银两的谕旨。将军长顺为讨好慈禧，硬从远不敷出的军费中开销一万两"报效"银，迅速上交。 （摘编自《甲午战争的历史教训》） 根据上述材料并结合所学知识，回答下列问题。 （1）梁启超说："盖十九世纪下半世纪以来，各国之战争，其胜负皆可于未战前决之。"此观点适用于对甲午战争的分析，请具体说明理由。（19分） （2）甲午战争后，有人说："日本与中国战，并不是日本与全中国战，不过是与北京政府战。"谈谈你对此观点的认识。（12分） （3）指出甲午战争对近代中国社会的影响。（6分） 42．请考生在A，B，C，D里面任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。 **A．**（15分）历史上的重大改革回眸 **材料一：**康有为在受光绪皇帝召见时称："泰西讲求三百年而治，日本施行三十年而强，吾中国国土之大，人民之众，变法三年，可以自立，此后则蒸蒸日上，富强可驾万国" （摘自《戊戌变法》） **材料二：**戊戌变法期间，光绪皇帝工计发布变法诏令184条，包括政治、经济、文化教育等各个方面。对此，时任海关总税务司的赫德指出："他们把足够的东西不顾它的胃量和消化能力，在三个月之内，都填塞给它吃了。"康有为的《新学伪经考》和《孔子改制考》在思想上引发了极大震动，不仅顽固派坚决反对，而且不少维新派人物如唐才常 黄遵宪也难以接受，帝党领袖翁同龢也斥之为"说经家一野狐也"。因此，他的著作出版不久，即被光绪皇帝下令毁版。 （摘自《中华帝国对外关系史》等） **材料三：**戊戌变政，首在裁官。京师闲散衙门被裁者不下十余处，连带关系因之失职失业者将及万人，朝野震骇，颇有民不聊生之戚。 （摘自《梦蕉亭杂记》） 回答下列问题。（15分） （1）根据上述材料并结合所学知识，指出康有为希望"变法三年可以自立"的历史背景。（5分） （2）戊戌变法的失败有多方面的原因。根据上述材料，分析维新派在变法中的失误之处。（10分） **B．**（15分）近代社会的民主思想与实践 **材料一**：1941年1月6日，美国总统罗斯福在《致国会的年度咨文》中提出"四大自由"："在我们力图保持安宁的键后的日子里，我们盼望有一个建立在四项人类基本自由的世界。第一是言论自由和发表意见的自由\--遍及世界各地。第二是每个人以自己的方式崇奉上帝的自由\--遍及世界各地。第三是不虞匮乏的自由\--从全世界角度来谈，这就意味着可以使每个国家保证其居民过上健康的和平时期生活的经济谅解\--遍及世界各地。第四是不虞恐惧的自由\--从全世界角度来谈，这就意味着世界范围的裁军，并使之如此全面和达到这样的程度，以致任何国家都不会出于能对别国采取有形侵略行为的地位\--遍及世界各地。" （摘自《罗斯福选集》） **材料二：**1945年10月9日，在回答英国记者甘贝尔的提问"中共对'自由民主的中国'的概念及解说如何"时，中共中央主席毛泽东说："它将实现孙中山先生的三民主义，林肯的民有民治民享的原则与罗斯福的四大自由，它将保证国家的独立、团结、统一及与各民主强国的合作。" （摘自《中共党史参看资料》） 根据上述材料并结合所学知识，回答下列问题。（15分） （1）根据罗斯福强调"不虞匮乏的自由"和"不虞恐惧的自由"的时代背景。（5分） （2）指出毛泽东关于"自由民主的中国"解说的历史背景和意义。（10分） **C**．（15分）20世纪的战争与和平 在欧洲各国，战争爆发之初，一般市民以狂热的态度欢迎它的到来，这是人所共知的。对他们来说，战争脱离了平凡的日常生活，充满了兴奋和刺激，为国家而战被认为是崇高的理想......无论对英国人、法国人还是对德国人来说，战争就是保卫和强化国家，在当时没有比这更好的思想观念了......在为一阶段，战争的经济成本尚未得到重视，强调的只是政治心理上的价值。在1914年夏季，大部分人把战争当作短期现象考虑，没有想到它将可能从根本上变革各国的社会和国际的秩序。　　与当初的期待相违，战争经过数个月不但没有终结，反而又持续了一年、两年，由此开始了超越以往的对战争的意义和目标的认真的探讨。　　1915-1916年的欧洲战争在军事上没有明显的进展，陷入了所谓的"堑壕战"。两个阵营的士兵挖堑壕，时常发动进攻，仅能前进数米，或继续后退......人们甚至怀疑这与国家的生存有什么关联。战争已不像当初人们相信的那样，是为了正义的高尚的战争，为国家流血是壮美的行为；其看法变为，战争是丑陋的、无意义的行为，无论是对死去的人还是对国家都带不来丝毫的价值和利益...... （摘自《20世纪的战争与和平》） 根据上述材料并结合所学知识，回答下列问题。（15分） （1）概括指出第一次世界大战爆发两年后欧洲各国一般市民对战争看法的变化及其原因。（12分） （2）你认为还应该从哪一角度分析战争的性质？（3分） **D**．（15分）中外历史人物评说 **材料一：** 牛顿的《原理》公认是科学史上的最伟大的著作。在对当代和后代思想的影响上，无疑没有什么别的杰作可以同《原理》相媲美。二百多年来，它一直是全部天文学和宇宙学思想的基础......无怪乎牛顿力学的非凡成功甚至给诸如心理学、经济学和社会学等各个不同领域的工作者也留下了极其深刻的印象，以致他们试图在解决各种问题时以力学或准力学为楷模。 （摘自《十六、十七世纪科学、技术和哲学史》） **材料二**：启蒙思想家们在牛顿革命的启发、激励下进行了种种思考。伏尔泰曾写道："如果全部自然界，一切行星，都要服从永恒的规律，而有一个小动物，五尺来高，却可以不把这些定律放在眼中，完全任意地为所欲为，那就太奇怪了。"但由于牛顿学说本身的机械决定论性质，充满机械唯物论精神的启蒙思想也不可避免地带有形而上学的武断（主要是忽视了人的心灵的复杂性）。 （摘编自《世界文明史》） 回答下列问题。（15分） （1）牛顿说："假如我看得远些，那是因为我站在巨人们的肩上。"结合所学知识，指出牛顿生活的时代特征，并列举两位影响了牛顿的"巨人"。（5分） （2）根据上述材料并结合所学知识，指出牛顿学说对近代社会发展的主要影响。（10分）
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**河北省衡水中学2016届高三上学期一调考试理数试题**\ **第Ⅰ卷（共60分）** 一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项** **是符合题目要求的.** 1.集合，则（ ） A． B． C． D． 2.设，则的大小关系是（ ） A． B．![](./data/image/media/image10.png) C． D． 3.已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 4.已知函数，则的值等于（ ![](./data/image/media/image10.png)） A． B． ![](./data/image/media/image10.png) C． D．0 5.曲线与轴所围图形的面积为（ ![](./data/image/media/image10.png) ） A．4 B．2 C． D．3 6.函数的图像与函数的图像（ ） A．有相同的对称轴但无相同的对称中心\[来源:学,科,网\] B．有相同的对称中心但无相同的对称轴 C．既有相同的对称轴也有相同![](./data/image/media/image10.png)的对称中心 D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴 7.已知函数的图像如图所示，则![](./data/image/media/image10.png)的解析式可能是（ ） A． B． C． D．\[来源:学科网\] 8.设是奇函数，对任意的实数，有，且当时，，则在区间上（ ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 9.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别为2,4,8，则的单调递增区间是（ ） A． B． C． D．无法确定 10.若不等式对任意恒成立，![](./data/image/media/image10.png)则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11.设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ） A． B． C． D． 12.设函数，若存在的极值点满足，则的取值范围是（ ![](./data/image/media/image10.png) ） A． B． C． D． **第Ⅱ卷（共90分）** **二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）** 13.若非零向量满足，则向量与的夹角为 [ ]{.underline} 14.设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的"界函数"，若给定函数，则下列结论不成立的是： [ ]{.underline} . ①； ②； ③； ④ 15.已知是定义在上的周期为3的函数，当时，.若函数在区间\[-3,4\]上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 [ ]{.underline} 16.已知分别是的三个内角的对边，，且，则面积的最大值为 [ ]{.underline} **三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）** 17.已知，命题，命题.\[来源:学科网\] （![](./data/image/media/image10.png)1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题""为![](./data/image/media/image10.png)真命题，命题""为假命题，求实数的取值范围. 18.在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求角的取值范围； (2)若，的面积，为钝角，求角的大小. 19.已知函数（为自然对数的底数）. （1）当时，求过点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；\[来源:学科网ZXXK\] （2）若在（0,1）上恒成立，求实数的取值范围. 20.已知函数满足，且当时，，当时，的最大值为-4. （1）求实数的值； （2）设，函数.若对任意![](./data/image/media/image10.png)，总存在，使，求实数的取值范围.\[来源:Z。xx。k.Com\] 21.已知函数，（为常数）. （1）若在处的切线过点（0，-5），求的值； （2）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围； （3）令，若函数存在极值，且所有极值![](./data/image/media/image10.png)之和大![](./data/image/media/image10.png)于，求实数的取值范围![](./data/image/media/image10.png). 22.已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）若对任意的，恒有成立，求的取值范围； （3）证明：.
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**-北师大版六年级（下）期末数学模拟试卷（2）** 　 **一、填一填（每空1分、共计20分）** 1．9个亿和900个万组成的数是[　　　　　　]{.underline}，改写成用"亿"作单位的数是[　　　　　　]{.underline}，省略"亿"位后面的尾数是[　　　　　　]{.underline}． 2．今年2月，张叔叔把1000元存入银行，存期一年，年利率4.14%．到期时应得利息[　　　　　　]{.underline}元，缴纳5%的利息税后，实得利息[　　　　　　]{.underline}元． 3．3：4=[　　　　　　]{.underline}：12=![](./data/image/media/image1.jpeg)=[　　　　　　]{.underline}%． 4．如果汽车向东行驶50千米，记作+50千米，那么汽车向西行驶60千米，记作[　　　　　　]{.underline}． 5．一个圆柱的体积是72cm^3^，高是8cm，底面积是[　　　　　　]{.underline}，侧面积是[　　　　　　]{.underline}． 6．在![](./data/image/media/image2.jpeg)=2.6中，x与y成[　　　　　　]{.underline}比例． 7．一个圆柱，削去24dm^3^后，正好削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是[　　　　　　]{.underline}m^3^． 8．甲数是乙数的![](./data/image/media/image3.jpeg)，甲数与两数之和的比是[　　　　　　]{.underline}． 9．一个圆柱形实心光锭，可以铸成[　　　　　　]{.underline}个与它等底等高的实心圆锥形零件． 10．一个圆柱的高不变，底面积扩大2倍，圆柱的体积扩大[　　　　　　]{.underline}． 11．如果x×y=16，那么x与y成[　　　　　　]{.underline}比例． 12．甲数比乙数多30%，甲数和乙数的比是[　　　　　　]{.underline}． 13．被减数是160，减数与差的比是5：3，减数是[　　　　　　]{.underline}． 14．一根长5m的圆柱形木棒，把它截成三段，表面积增加了60dm^2^，这根圆柱形木棒的体积是[　　　　　　]{.underline}dm^3^． 15．如果5x=8y（x、y≠0），那么[　　　　　　]{.underline}：[　　　　　　]{.underline}=5：8． 　 **二、我会判断（每小题1分：共计5分）** 16．一个圆柱的底面积扩大a倍，高也扩大a倍，它的体积就扩大到a^2^倍．[　　　　　　]{.underline}．（判断对错） 17．一个平行四边形的底为15cm，高为5.5cm，如果图形按3：1扩大，那么扩大后的图形面积是247.5cm^2^．[　　　　　　]{.underline}（判断对错）． 18．根据统计图进行比较、判断时要统一单位．[　　　　　　]{.underline}（判断对错）． 19．若7a=5b，则ab成反比例[　　　　　　]{.underline}． （判断对错） 20．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆柱体积是削去部分的![](./data/image/media/image4.jpeg)．[　　　　　　]{.underline}．（判断对错） 　 **三、精心选择（每小题1分：共计4分）** 21．通过比与比例的学习，你认为下列说法正确的是（　　） A．若x=3y，那么x与y成反比例 B．24：36和0.6：0.9不能组成比例 C．在一个比例中，若两个内项互为倒数，这两个外项也互为倒数 22．两个圆柱的高相等，底面半径的比是3：2，则体积比为（　　） A．3：2 B．9：4 C．27：8 23．在比例尺是1：100000的平面图上，实际距离是1000m，在图上是（　　） A．1m B．1dm C．1cm 24．下列各数中最大的是（　　） A．+0.9 B．﹣0.9 C．![](./data/image/media/image5.jpeg) 　 **四、细心计算（共计25分）** 25．直接写出得数． ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------- ----------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.4×30= 840÷20= 3.5+5.3= 1﹣![](./data/image/media/image6.jpeg)+![](./data/image/media/image7.jpeg)= ![](./data/image/media/image8.jpeg)×15= 7﹣2.7= 18÷![](./data/image/media/image9.jpeg)= ![](./data/image/media/image10.jpeg)+![](./data/image/media/image11.jpeg)+![](./data/image/media/image12.jpeg)= ![](./data/image/media/image13.jpeg)×（![](./data/image/media/image14.jpeg)﹣![](./data/image/media/image15.jpeg)）= ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------- ----------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 26． -------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.25×0.07×8 ![](./data/image/media/image13.jpeg)×（![](./data/image/media/image14.jpeg)﹣![](./data/image/media/image15.jpeg)） 1÷\[（![](./data/image/media/image16.jpeg)）÷4\] 6.8×10.7﹣0.7×6.8． -------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 27．解方程 0.8x﹣0.4=1.2 x﹣![](./data/image/media/image12.jpeg)=![](./data/image/media/image17.jpeg) ![](./data/image/media/image18.jpeg)=![](./data/image/media/image19.jpeg)． 　 **五、操作题（共计19分）** 28．求图中阴影部分的面积（单位：厘米） ![](./data/image/media/image20.jpeg) 29．有一个立方体，每个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同角度观察的结果如图所示，那么这个立方体1的对面是[　　　　　　]{.underline}，3的对面是[　　　　　　]{.underline}，4的对面是[　　　　　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image21.jpeg) 30．画一画 按要求画出简单示意图． ①学校的正东500m是超市． ②超市的正北200m是丽丽家． ③丽丽家的正南300m是邮局． ④邮局的正西250m是商场． ⑤商场的东北方向100m是文明公园． ⑥文明公园的西南方向800m是小明家． ⑦请根据上面描述标出适当的比例尺，然后根据题意画出其他建筑物． ![](./data/image/media/image22.jpeg) 　 **六、解决问题（共计27分）** 31．同学们做跳绳，每12m能做8根，照这样计算，买260m的绳子，可能做几根？ 32．一个圆锥形沙地，底面半径3m，高是25dm，用这堆沙子在5m宽的公路上铺4mm厚的路面，可以铺多少米？ 33．一辆汽车去县城以每分钟2.5km的速度，行了半小时，返回时以每小时130km的速度行驶，汽车返回时用了多少分钟？（用比例解） 34．一个正方形纸箱，从里面量棱长12dm，在纸箱内放进一个最大的圆锥形零件，这个零件的体积是多少？ 35．李师傅做了50个直径是8dm高是12dm的圆柱形铁桶，每平方分米的铁桶重6.5kg，做好这些铁桶应该用多少千克的铁皮？ 36．原来比例尺为1：40000的一幅地图，现在改为用1：100000的比例尺重新绘制，原地图中5.8cm的距离，在新地图中应该画多少厘米？ 　 **-北师大版六年级（下）期末数学模拟试卷（2）** **参考答案与试题解析** 　 **一、填一填（每空1分、共计20分）** 1．9个亿和900个万组成的数是[　909000000　]{.underline}，改写成用"亿"作单位的数是[　9.09亿　]{.underline}，省略"亿"位后面的尾数是[　9亿　]{.underline}． 【考点】整数的读法和写法；整数的改写和近似数． 【分析】这是一个九位数，最高位亿位和百万位上都是9，写这个数时，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；改写成用"亿"作单位的数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，在数的后面带上"亿"字；省略"亿"后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上"亿"字． 【解答】解：这个数写作：909000000； 909000000=9.09亿； 909000000≈9亿； 故答案为：909000000，9.09亿，9亿． 　 2．今年2月，张叔叔把1000元存入银行，存期一年，年利率4.14%．到期时应得利息[　41.4　]{.underline}元，缴纳5%的利息税后，实得利息[　39.33　]{.underline}元． 【考点】存款利息与纳税相关问题． 【分析】第一问，根据关系式"利息=本金×利率×时间"列式解答；第二问，用第一问的结果乘（1﹣5%）即可． 【解答】解：税前利息： 1000×4.14%×1， =1000×0.0414×1， =41.4（元）； 税后利息： 41.4×（1﹣5%）， =41.1×0.95， =39.33（元）； 故答案为：41.4，39.33． 　 3．3：4=[　9　]{.underline}：12=![](./data/image/media/image23.jpeg)=[　75　]{.underline}%． 【考点】比与分数、除法的关系． 【分析】解决此题关键在于3：4，3：4的前项和后项同时乘3可化成9：12；3：4用比的前项3做分子，比的后项4做分母可化成![](./data/image/media/image24.jpeg)，![](./data/image/media/image24.jpeg)的分子和分母同时乘上4可化成![](./data/image/media/image25.jpeg)；3：4用比的前项除以比的后项得比值为0.75，0.75的小数点向右移动两位，同时添上百分号可化成75%；由此进行转化并填空． 【解答】解：3：4=9：12=![](./data/image/media/image25.jpeg)=75%． 故答案为：9，16，75． 　 4．如果汽车向东行驶50千米，记作+50千米，那么汽车向西行驶60千米，记作[　﹣60千米　]{.underline}． 【考点】负数的意义及其应用． 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向东行驶记为正，则向西行驶就记为负，直接得出结论即可． 【解答】解：如果汽车向东行驶50千米，记作+50千米，那么汽车向西行驶60千米，记作﹣60千米； 故答案为：﹣60千米． 　 5．一个圆柱的体积是72cm^3^，高是8cm，底面积是[　9平方厘米　]{.underline}，侧面积是[　70.336平方厘米　]{.underline}． 【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积． 【分析】根据圆柱的体积公式，可用圆柱的体积除以圆柱的高即可得到圆柱的底面积，圆柱的侧面积=底面周长×高，列式解答即可得到答案． 【解答】解：72÷8=9（平方厘米）， 圆柱的底面半径的平方为：9÷3.14≈3， 圆柱的底面半径为：1.4厘米， 圆柱的侧面积为：3.14×1.4×2×8=70.336（平方厘米）， 答：底面积是9平方厘米，侧面积是70.336平方厘米． 故答案为：9平方厘米，70.336平方厘米． 　 6．在![](./data/image/media/image26.jpeg)=2.6中，x与y成[　正　]{.underline}比例． 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【解答】解：y÷x=2.6（一定），所以x和y成正比例； 故答案为：正． 　 7．一个圆柱，削去24dm^3^后，正好削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是[　12　]{.underline}m^3^． 【考点】圆锥的体积． 【分析】根据等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，所以把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积是3份，则相差3﹣1=2份，即2份是24立方米，由此求出1份，即求出圆锥的体积． 【解答】解：3﹣1=2份， 24÷2=12（立方米）； 答：这个圆锥的体积是12立方米． 故答案为：12． 　 8．甲数是乙数的![](./data/image/media/image27.jpeg)，甲数与两数之和的比是[　7：22　]{.underline}． 【考点】比的意义． 【分析】甲数是乙数的![](./data/image/media/image27.jpeg)，就是把乙数看作单位"1"，乙数为15份，甲数为7份，然后求出甲数与两数之和的比即可． 【解答】解：7：（15+7）， =7：22； 故答案为：7：22． 　 9．一个圆柱形实心光锭，可以铸成[　3　]{.underline}个与它等底等高的实心圆锥形零件． 【考点】圆锥的体积；圆柱的侧面积、表面积和体积． 【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式：圆柱的体积=底面积×高；圆锥的体积=![](./data/image/media/image28.jpeg)底面积×高，所以等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍． 【解答】解：根据圆柱与圆锥的体积公式可得： 等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍． 答：可以铸成3个和它等底等高的实心圆锥形零件． 故答案为：3． 　 10．一个圆柱的高不变，底面积扩大2倍，圆柱的体积扩大[　2倍　]{.underline}． 【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积；积的变化规律． 【分析】根据圆柱体的体积公式和因数与积的变化规律：圆柱体的体积=底面积×高；一个因数不变，另一个因数扩大几倍，积也扩大相同的倍数；由此解答． 【解答】解：根据圆柱体的体积公式和因数与积的变化规律； 一个圆柱体的底面积扩大2倍，高不变，体积也扩大2倍； 故答案为：2倍． 　 11．如果x×y=16，那么x与y成[　反　]{.underline}比例． 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【解答】解：因为x×y=16（一定），所以x与y成反比例． 故答案为：反． 　 12．甲数比乙数多30%，甲数和乙数的比是[　13：10　]{.underline}． 【考点】比的意义． 【分析】甲数比乙数多30%，就是把乙数看作单位"1"，甲数是乙数的1+30%，求甲数和乙数的比用（1+30%）：1解答，然后根据比的基本性质化简比，据此分析判断． 【解答】解：甲数和乙数的比：（1+30%）：1=13：10， 所以甲数比乙数多30%，甲数和乙数的比是13：10； 故答案为：13：10． 　 13．被减数是160，减数与差的比是5：3，减数是[　100　]{.underline}． 【考点】按比例分配应用题． 【分析】根据被减数、减数与查的关系，可知：减数+差=被减数，要求减数是多少，用按比例分配的方法，列式解答． 【解答】解：160×![](./data/image/media/image29.jpeg)， =160×![](./data/image/media/image30.jpeg)， =100； 答：减数是100． 　 14．一根长5m的圆柱形木棒，把它截成三段，表面积增加了60dm^2^，这根圆柱形木棒的体积是[　750　]{.underline}dm^3^． 【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积． 【分析】一根长5m的圆柱形木棒，把它截成三段，需要截2次，每截一次增加两个截面的面积，表面积增加了60dm^2^，也就是4个截面的面积，由此可以求出原来圆柱形木棒的底面积，再根据圆柱的体积=底面积×高，据此进行解答． 【解答】解：5米=50分米， 60÷4×50， =15×50， =750（立方分米）， 答：这根圆柱形木棒的体积是750立方分米． 故答案为：750． 　 15．如果5x=8y（x、y≠0），那么[　y　]{.underline}：[　x　]{.underline}=5：8． 【考点】比例的意义和基本性质． 【分析】根据比例的基本性质，把5x=8y改写成比例的形式，使x和5做比例的内项，y和8做比例的外项即可． 【解答】解：因为5x=8y， 使x和5做比例的内项，y和3做比例的外项， 所以y：x=5：8； 故答案为：y，x． 　 **二、我会判断（每小题1分：共计5分）** 16．一个圆柱的底面积扩大a倍，高也扩大a倍，它的体积就扩大到a^2^倍．[　√　]{.underline}．（判断对错） 【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积；积的变化规律． 【分析】根据圆柱的体积公式：v=sh，再根据积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，圆柱的底面积扩大a倍，如果高也扩大a倍，那么圆柱的体积就扩大a^2^倍． 【解答】解：一个圆柱底面积扩大a倍，高也扩大a倍，那么圆柱的体积就扩大a×a=a^2^倍． 依此一个圆柱的底面积扩大a倍，高也扩大a倍，它的体积就扩大到a^2^倍．此说法正确． 故答案为：√． 　 17．一个平行四边形的底为15cm，高为5.5cm，如果图形按3：1扩大，那么扩大后的图形面积是247.5cm^2^．[　错误　]{.underline}（判断对错）． 【考点】平行四边形的面积；图形的放大与缩小． 【分析】用平行四边形的底和高分别乘3，求出按3：1扩大后的平行四边形的底和高，再根据平行四边形的面积公式S=ah，即可求出扩大后的图形面积，由此做出判断． 【解答】解：扩大后的底：15×3=45（cm）， 扩大后的高：5.5×3=16.5（cm）， 面积：45×16.5=742.5（平方厘米）， 故判断为：错误． 　 18．根据统计图进行比较、判断时要统一单位．[　√　]{.underline}（判断对错）． 【考点】统计图的特点． 【分析】统计图进行比较、判断时要注意统一标准，例如注意时间、单位，反映的事件、比例如何，是包括发展速度还是增长速度．还是增长的额度等，即统一标准． 【解答】解：根据统计图进行比较、判断时要注意统一标准． 故答案为：√． 　 19．若7a=5b，则ab成反比例[　×　]{.underline}． （判断对错） 【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量． 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 【解答】解：因为7a=5b，则a÷b=![](./data/image/media/image31.jpeg)（一定），所以a和b成正比例； 故答案为：×． 　 20．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆柱体积是削去部分的![](./data/image/media/image32.jpeg)．[　正确　]{.underline}．（判断对错） 【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积；圆锥的体积． 【分析】要把一个圆柱削成一个最大的圆锥，那么削成的圆锥的体积是圆柱的![](./data/image/media/image33.jpeg)，把圆锥的体积看作1份，那么圆柱的体积是3份，削去的部分是（3﹣1）份，由此用圆柱体积除以削去部分的体积就是圆柱体积是削去部分的几分之几． 【解答】解：3÷（3﹣1）=![](./data/image/media/image32.jpeg)， 答：圆柱体积是削去部分![](./data/image/media/image32.jpeg)， 故答案为：正确． 　 **三、精心选择（每小题1分：共计4分）** 21．通过比与比例的学习，你认为下列说法正确的是（　　） A．若x=3y，那么x与y成反比例 B．24：36和0.6：0.9不能组成比例 C．在一个比例中，若两个内项互为倒数，这两个外项也互为倒数 【考点】正比例和反比例的意义；比例的意义和基本性质． 【分析】A，判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． B，根据比例的意义，表示两个比相等的式子叫做比例，判断两个比能否组成比例，就是求出两个比的比值，如果比值相等就能组成比例． C，根据比例的基本性质，两个内项的积等于两个外项的积．再根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数．据此解答． 【解答】解：A，若x=3y，则![](./data/image/media/image34.jpeg)=3（一定），那么x与y成正比例．所以，若x=3y，那么x与y成反比例．这种说法是错误的． B，24：36 =24÷36 =![](./data/image/media/image35.jpeg)， 0.6：0.9 =0.6÷0.9 =![](./data/image/media/image35.jpeg)， 所以24：36和0.6：0.9能组成比例． 因此，24：36和0.6：0.9不能组成比例．这种说法是错误的． C，根据比例的基本性质得：在一个比例中，若两个内项互为倒数，这两个外项也互为倒数，此说法正确． 故选：C． 　 22．两个圆柱的高相等，底面半径的比是3：2，则体积比为（　　） A．3：2 B．9：4 C．27：8 【考点】圆柱的侧面积、表面积和体积；比的应用． 【分析】设小圆柱的高为h，底面半径为r，则大圆柱的高为h，底面半径![](./data/image/media/image35.jpeg)r，分别代入圆柱的体积公式，即可表示出二者的体积，再用小圆柱体积除以大圆柱体积即可得解． 【解答】解：设小圆柱的高为h，底面半径为r，则大圆柱的高为h，底面半径为![](./data/image/media/image35.jpeg)r， （πr^2^h）÷\[π（![](./data/image/media/image35.jpeg)r）^2^h\]， =（πr^2^h）÷\[![](./data/image/media/image36.jpeg)r^2^hπ\]， =1÷![](./data/image/media/image36.jpeg)， =9：4． 故选：B． 　 23．在比例尺是1：100000的平面图上，实际距离是1000m，在图上是（　　） A．1m B．1dm C．1cm 【考点】图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）． 【分析】要求甲乙两城的图上距离是多少厘米，根据"实际距离×比例尺=图上距离"，代入数值，计算即可． 【解答】解：1000米=100000厘米， 100000×![](./data/image/media/image37.jpeg)=1（厘米）； 答：在图上是1厘米； 故选：C． 　 24．下列各数中最大的是（　　） A．+0.9 B．﹣0.9 C．![](./data/image/media/image5.jpeg) 【考点】正、负数大小的比较． 【分析】本题是对数的大小比较法则的考查，先排除负数，然后比较+0.9和![](./data/image/media/image5.jpeg)的大小． 【解答】解：因为正数＞一切负数，所以排除B， 又因为+0.9＞![](./data/image/media/image5.jpeg)，所以+0.9最大． 故选：A． 　 **四、细心计算（共计25分）** 25．直接写出得数． ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------- ------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.4×30= 840÷20= 3.5+5.3= 1﹣![](./data/image/media/image6.jpeg)+![](./data/image/media/image7.jpeg)= ![](./data/image/media/image38.jpeg)×15= 7﹣2.7= 18÷![](./data/image/media/image39.jpeg)= ![](./data/image/media/image40.jpeg)+![](./data/image/media/image41.jpeg)+![](./data/image/media/image42.jpeg)= ![](./data/image/media/image43.jpeg)×（![](./data/image/media/image44.jpeg)﹣![](./data/image/media/image45.jpeg)）= ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------- ------------------------------------------ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【考点】小数乘法；整数的乘法及应用；整数的除法及应用；分数的加法和减法；分数乘法；分数除法；小数除法． 【分析】根据四则运算的计算法则计算即可求解．注意![](./data/image/media/image40.jpeg)+![](./data/image/media/image41.jpeg)+![](./data/image/media/image42.jpeg)根据加法的交换律和结合律计算，![](./data/image/media/image43.jpeg)×（![](./data/image/media/image44.jpeg)﹣![](./data/image/media/image46.jpeg)）根据乘法的分配律计算． 【解答】 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------ -------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 解：2.4×30=72 840÷20=42 3.5+5.3=8.8 1﹣![](./data/image/media/image47.jpeg)+![](./data/image/media/image48.jpeg)=![](./data/image/media/image49.jpeg) ![](./data/image/media/image50.jpeg)×15=9 7﹣2.7=4.3 18÷![](./data/image/media/image51.jpeg)=27 ![](./data/image/media/image52.jpeg)+![](./data/image/media/image53.jpeg)+![](./data/image/media/image54.jpeg)=1![](./data/image/media/image53.jpeg) ![](./data/image/media/image55.jpeg)×（![](./data/image/media/image56.jpeg)﹣![](./data/image/media/image46.jpeg)）=![](./data/image/media/image57.jpeg) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------ -------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 　 26． -------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.25×0.07×8 ![](./data/image/media/image58.jpeg)×（![](./data/image/media/image59.jpeg)﹣![](./data/image/media/image60.jpeg)） 1÷\[（![](./data/image/media/image61.jpeg)）÷4\] 6.8×10.7﹣0.7×6.8． -------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【考点】分数的四则混合运算；运算定律与简便运算；小数四则混合运算． 【分析】（1）根据乘法交换律进行简算； （2）根据乘法分配律进行简算； （3）先算加法，再算中括号里面的除法，最后算括号外面的除法； （4）根据乘法分配律进行简算． 【解答】解：（1）0.25×0.07×8 =0.25×8×0.07 =2×0.07 =0.14； （2）![](./data/image/media/image58.jpeg)×（![](./data/image/media/image59.jpeg)﹣![](./data/image/media/image60.jpeg)） =![](./data/image/media/image58.jpeg)×![](./data/image/media/image62.jpeg)﹣![](./data/image/media/image63.jpeg)×![](./data/image/media/image64.jpeg) =1﹣![](./data/image/media/image65.jpeg) =![](./data/image/media/image28.jpeg)； （3）1÷\[（![](./data/image/media/image66.jpeg)）÷4\] =1÷\[![](./data/image/media/image67.jpeg)÷4\] =1÷![](./data/image/media/image68.jpeg) =8； （4）6.8×10.7﹣0.7×6.8 =6.8×（10.7﹣0.7） =6.8×10 =68． 　 27．解方程 0.8x﹣0.4=1.2 x﹣![](./data/image/media/image69.jpeg)=![](./data/image/media/image67.jpeg) ![](./data/image/media/image70.jpeg)=![](./data/image/media/image71.jpeg)． 【考点】方程的解和解方程；解比例． 【分析】（1）利用等式的基本性质，方程两边先同时加上0.4，再同时除以0.8求解． （2）利用等式的基本性质，方程两边同时加上![](./data/image/media/image69.jpeg)求解． （3）先利用比例的基本性质将比例转化为方程，再利用等式的基本性质，方程两边同时除以9求解． 【解答】解： （1）0.8x﹣0.4=1.2 0.8x﹣0.4+0.4=1.2+0.4 0.8x=1.6 0.8x÷0.8=1.6÷0.8 x=2 （2）x﹣![](./data/image/media/image69.jpeg)=![](./data/image/media/image67.jpeg) x﹣![](./data/image/media/image69.jpeg)![](./data/image/media/image72.jpeg)=![](./data/image/media/image67.jpeg)![](./data/image/media/image72.jpeg) x=![](./data/image/media/image73.jpeg) （3）![](./data/image/media/image70.jpeg)=![](./data/image/media/image19.jpeg) 9x=0.3×0.3 9x=0.09 9x÷9=0.09÷9 x=0.01 　 **五、操作题（共计19分）** 28．求图中阴影部分的面积（单位：厘米） ![](./data/image/media/image74.jpeg) 【考点】三角形的周长和面积． 【分析】先求出阴影部分的底，再根据三角形的面积公式：三角形的面积=底×高÷2即可求解． 【解答】解：（6.5﹣3）×4÷2 =3.5×4÷2 =7（平方厘米） 答：阴影部分的面积是7平方厘米． 　 29．有一个立方体，每个面上分别写着数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同角度观察的结果如图所示，那么这个立方体1的对面是[　5　]{.underline}，3的对面是[　6　]{.underline}，4的对面是[　2　]{.underline}． ![](./data/image/media/image75.jpeg) 【考点】正方体的特征． 【分析】图1：正面为1，上面为6，右面为4； 图2：正面为3，上面为2，右面为1； 图3：正面为4，上面为5，右面为3； 由图1和图2可以确定1的对面是5，由图1和图3可以确定4的对面是2，由此解答． 【解答】解：根据题意可知：1的对面不能是6、4和2、3，所以1对5； 4的对面不能是1、6和3、5，所以4对2； 剩下的是3对6； 故答案为：5，6，2． 　 30．画一画 按要求画出简单示意图． ①学校的正东500m是超市． ②超市的正北200m是丽丽家． ③丽丽家的正南300m是邮局． ④邮局的正西250m是商场． ⑤商场的东北方向100m是文明公园． ⑥文明公园的西南方向800m是小明家． ⑦请根据上面描述标出适当的比例尺，然后根据题意画出其他建筑物． ![](./data/image/media/image76.jpeg) 【考点】根据方向和距离确定物体的位置． 【分析】依据实际距离以及图纸的大小情况，可以选用1：20000的比例尺，再根据实际距离×比例尺=图上距离．即可分别求出每两个地点间的图上距离，再根据上北下南，左西右东的方向，即可在图上标出它们的位置，解答即可． 【解答】解：因为500米=50000厘米，200米=20000厘米，300米=30000厘米，250米=25000厘米，100米=10000厘米，800米=80000厘米， 选用1：20000的比例尺， 因此①学校到超市的图上距离是：50000×![](./data/image/media/image77.jpeg)=2.5（厘米）， ②丽丽家到超市的图上距离是：20000×![](./data/image/media/image77.jpeg)=1（厘米）， ③丽丽家到邮局的图上距离是：30000×![](./data/image/media/image77.jpeg)=1.5（厘米）， ④邮局到商场的图上距离是：25000×![](./data/image/media/image77.jpeg)=1.25（厘米）， ⑤商场到文明公园的图上距离是：10000×![](./data/image/media/image77.jpeg)=0.5（厘米）， ⑥小明家到文明公园的图上距离为：80000厘米×![](./data/image/media/image77.jpeg)=4（厘米）， 作图如下： ![](./data/image/media/image78.jpeg) 　 **六、解决问题（共计27分）** 31．同学们做跳绳，每12m能做8根，照这样计算，买260m的绳子，可能做几根？ 【考点】简单的归一应用题． 【分析】"照这样计算"，意思是每根跳绳的长是一定的，首先求出"单一量"（每根跳绳的长），再根据包含除法的意义，用除法解答． 【解答】解：260÷（12÷8）， =260÷1.5， ≈173（根）； 答：可能做173根． 　 32．一个圆锥形沙地，底面半径3m，高是25dm，用这堆沙子在5m宽的公路上铺4mm厚的路面，可以铺多少米？ 【考点】圆锥的体积；长方体和正方体的体积． 【分析】这堆沙子的底面半径和高已知，先利用圆锥的体积公式求出这堆沙子的体积；铺成的路面实际上就是一个长方体，再依据沙子的体积不变，利用长方体的体积公式即可求出路面的长度． 【解答】解：25分米=2.5米，4毫米=0.004米， ![](./data/image/media/image79.jpeg)×3.14×3^2^×2.5÷（5×0.004）， =3.14×7.5÷0.02， =23.55÷0.02， =1177.5（米）， 答：可以铺1177.5米． 　 33．一辆汽车去县城以每分钟2.5km的速度，行了半小时，返回时以每小时130km的速度行驶，汽车返回时用了多少分钟？（用比例解） 【考点】正、反比例应用题． 【分析】把每小时130km的速度行驶转化成每分钟130÷60=![](./data/image/media/image80.jpeg)km的速度行驶，根据题意知道，总路程一定，每分钟行的千米数与所用时间成反比例，由此列比例式解决问题． 【解答】解：每小时130km的速度行驶转化成每分钟130÷60=![](./data/image/media/image80.jpeg)km的速度行驶，半小时=30分钟； 设汽车返时用了X分钟， ![](./data/image/media/image80.jpeg)X=2.5×30， ![](./data/image/media/image80.jpeg)X=75， X=![](./data/image/media/image81.jpeg)； 答：汽车返时用了![](./data/image/media/image81.jpeg)分钟． 　 34．一个正方形纸箱，从里面量棱长12dm，在纸箱内放进一个最大的圆锥形零件，这个零件的体积是多少？ 【考点】圆锥的体积． 【分析】正方体的棱长为12分米，最大圆锥的底面直径为12分米，底面半径为6分米，圆锥的高为12分米，根据圆锥的体积=底面积×高×![](./data/image/media/image82.jpeg)进行列式解答即可得到答案． 【解答】解：最大圆锥的体积为： 3.14×（12÷2）^2^×12×![](./data/image/media/image82.jpeg)， =3.14×144， =452.16（立方分米）； 答：这个零件的体积是452.16立方分米． 　 35．李师傅做了50个直径是8dm高是12dm的圆柱形铁桶，每平方分米的铁桶重6.5kg，做好这些铁桶应该用多少千克的铁皮？ 【考点】关于圆柱的应用题． 【分析】做一个圆柱形无盖铁皮水桶，需要多少平方分米铁皮，则只需要计算侧面积加一个底的面积即可，知道高与底面直径，运用公式S=π（d÷2）^2^，可求出底面积，S=ch=πdh求出侧面积，然后相加求出做一个圆柱形铁桶需要的铁片，再乘50乘6.5求出做好这些铁桶应该用多少千克的铁皮． 【解答】解：底面积：3.14×（8÷2）^2^， =3.14×16， =50.24（平方分米）， 侧面积：3.14×8×12， =3.14×96， =301.44（平方分米）， 需要铁皮重量： （50.24+301.44）×50×6.5， =351.68×325， =114296（千克）， 答：做好这些铁桶应该用114296千克的铁皮． 　 36．原来比例尺为1：40000的一幅地图，现在改为用1：100000的比例尺重新绘制，原地图中5.8cm的距离，在新地图中应该画多少厘米？ 【考点】比例尺应用题． 【分析】先依据"实际距离=图上距离÷比例尺"求出5.8厘米的实际距离，进而依据图上距离=实际距离×比例尺"即可求出在新地图中的图上距离． 【解答】解：5.8÷![](./data/image/media/image83.jpeg)， =232000（厘米）； 232000×![](./data/image/media/image83.jpeg)， =2.32（厘米）； 答：在新地图中应该画2.32厘米． 　网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
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**小学三年级上册数学奥数知识点讲解第1课《速算与巧算1》试题附答案** 一、加法中的巧算 　　1.什么叫"补数"？ 　　两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万...，就把其中的一个数叫做另一个数的"补数"。 　　如：1+9=10，3+7=10， 　　2+8=10，4+6=10， 　　5+5=10。 　　又如：11+89=100，33＋67=100， 　　22+78=100，44+56=100， 　　55+45=100， 　　在上面算式中，1叫9的"补数"；89叫11的"补数"，11也叫89的"补数".也就是说两个数互为"补数"。 　　对于一个较大的数，如何能很快地算出它的"补数"来呢？一般来说，可以这样"凑"数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。 　　如： 87655→12345， 46802→53198， 　　87362→12638，... 　　下面讲利用"补数"巧算加法，通常称为"凑整法"。 　　2.互补数先加。 　　例1 巧算下面各题： 　　①36+87+64②99+136＋101来源：www.bcjy123.com/tiku/ 　　③ 1361＋972＋639＋28 　　3.拆出补数来先加。 　　例2 ①188＋873 ②548＋996 ③9898＋203 　　4.竖式运算中互补数先加。 　　如：![](./data/image/media/image1.jpeg) 　　二、减法中的巧算 　　1.把几个互为"补数"的减数先加起来，再从被减数中减去。 　　例 3① 300-73-27 　　② 1000-90-80-20-10 　　2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。 　　例4① 4723-（723＋189） 　　② 2356-159-256 　　3.利用"补数"把接近整十、整百、整千...的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。 　　例 5 ①506-397 　　②323-189 　　③467＋997 　　④987-178-222-390 　　三、加减混合式的巧算 　　1.去括号和添括号的法则 　　在只有加减运算的算式里，如果括号前面是"＋"号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是"-"号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，"+"变"-"，"-"变"+"，即： 　　a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d 　　a-（b＋a＋d）＝a-b-c-d 　　a-（b-c）＝a-b+c 　　例6 ①100＋（10＋20＋30） 　　② 100-（10＋20+3O） 　　③ 100-（30-10） 　　例7 计算下面各题： 　　① 100＋10＋20＋30 　　② 100-10-20-30 　　③ 100-30＋10 　　2.带符号"搬家" 　　例8 计算 325＋46-125＋54 　　3.两个数相同而符号相反的数可以直接"抵消"掉 　　例9 计算9+2-9＋3 　　4.找"基准数"法 　　几个比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为"基准数"。 　　例10 计算 78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85 　　＝640 习题一　　一、直接写出计算结果： 　　① 1000-547 　　② 100000-85426来源：www.bcjy123.com/tiku/ 　　③ 11111111110000000000-1111111111 　　④ 78053000000-78053 　　二、用简便方法求和： 　　①536+（541+464）+459 　　② 588＋264＋148 　　③ 8996＋3458＋7546 　　④567+558+562＋555＋563 　　三、用简便方法求差： 　　① 1870-280-520 　　② 4995-（995-480） 　　③ 4250-294＋94 　　④ 1272-995 　　四、用简便方法计算下列各题： 　　① 478-128+122-72 　　② 464-545＋99+345 　　③ 537-（543-163）-57 　　④ 947+（372-447）-572 　　五、巧算下列各题： 　　① 996＋599-402 　　② 7443＋2485＋567＋245 　　③ 2000-1347-253+1593 ④3675-（11+13+15＋17＋19） 答案 一、加法中的巧算 　　1.什么叫"补数"？ 　　两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万...，就把其中的一个数叫做另一个数的"补数"。 　　如：1+9=10，3+7=10， 　　2+8=10，4+6=10， 　　5+5=10。 　　又如：11+89=100，33＋67=100， 　　22+78=100，44+56=100， 　　55+45=100， 　　在上面算式中，1叫9的"补数"；89叫11的"补数"，11也叫89的"补数".也就是说两个数互为"补数"。 　　对于一个较大的数，如何能很快地算出它的"补数"来呢？一般来说，可以这样"凑"数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。 　　如： 87655→12345， 46802→53198， 　　87362→12638，... 　　下面讲利用"补数"巧算加法，通常称为"凑整法"。 　　2.互补数先加。 　　例1 巧算下面各题： 　　①36+87+64②99+136＋101 　　③ 1361＋972＋639＋28 　　解：①式=（36＋64）＋87 　　=100＋87=187 　　②式=（99＋101）＋136 　　=200+136=336 　　③式=（1361＋639）＋（972＋28） 　　=2000+1000=3000 　　3.拆出补数来先加。 　　例2 ①188＋873 ②548＋996 ③9898＋203 　　解：①式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略） 　　＝200+861=1061 　　②式=（548-4）＋（996＋4） 　　=544+1000=1544 　　③式=（9898＋102）＋（203-102） 　　=10000+101=10101 　　4.竖式运算中互补数先加。 　　如：![](./data/image/media/image1.jpeg) 　　二、减法中的巧算 　　1.把几个互为"补数"的减数先加起来，再从被减数中减去。 　　例 3① 300-73-27 　　② 1000-90-80-20-10 　　解：①式= 300-（73＋ 27） 　　＝300-100=200 　　②式=1000-（90＋80＋20＋10） 　　＝1000-200＝800 　　2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。 　　例4① 4723-（723＋189） 　　② 2356-159-256 　　解：①式=4723-723-189 　　＝4000-189=3811 　　②式=2356-256-159 　　＝2100-159 　　=1941 　　3.利用"补数"把接近整十、整百、整千...的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。 　　例 5 ①506-397 　　②323-189 　　③467＋997 　　④987-178-222-390 　　解：①式=500＋6-400+3（把多减的 3再加上） 　　=109 　　②式=323-200+11（把多减的11再加上） 　　=123+11＝134 　　③式=467＋1000-3（把多加的3再减去） 　　＝1464 　　④式=987-（178＋222）-390 　　＝987-400-400+10=197 　　三、加减混合式的巧算来源：www.bcjy123.com/tiku/ 　　1.去括号和添括号的法则 　　在只有加减运算的算式里，如果括号前面是"＋"号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是"-"号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，"+"变"-"，"-"变"+"，即： 　　a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d 　　a-（b＋a＋d）＝a-b-c-d 　　a-（b-c）＝a-b+c 　　例6 ①100＋（10＋20＋30） 　　② 100-（10＋20+3O） 　　③ 100-（30-10） 　　解：①式=100＋10＋20＋30 　　=160 　　②式=100-10-20-30 　　=40 　　③式=100-30＋10 　　＝80 　　例7 计算下面各题： 　　① 100＋10＋20＋30 　　② 100-10-20-30 　　③ 100-30＋10 　　解：①式=100＋（10+20+30） 　　=100＋60=160 　　②式=100-（10＋20+30） 　　＝100-60=40 　　③式=100-（30-10） 　　=100-20=80 　　2.带符号"搬家" 　　例8 计算 325＋46-125＋54 　　解：原式=325-125＋46+54 　　＝（325-125）+（46＋54） 　　=200+100＝300 　　注意：每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46，-125，+54.而325前面虽然没有符号，应看作是+325。 　　3.两个数相同而符号相反的数可以直接"抵消"掉 　　例9 计算9+2-9＋3 　　解：原式=9-9＋2+3=5 　　4.找"基准数"法 　　几个比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为"基准数"。 　　例10 计算 78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85 　　＝640 解 原式=80x8-2-4+3+2-3+0-1+5 习题一　　一、直接写出计算结果： 　　① 1000-547 　　② 100000-85426 　　③ 11111111110000000000-1111111111 　　④ 78053000000-78053 　　二、用简便方法求和： 　　①536+（541+464）+459 　　② 588＋264＋148 　　③ 8996＋3458＋7546 　　④567+558+562＋555＋563 　　三、用简便方法求差： 　　① 1870-280-520 　　② 4995-（995-480） 　　③ 4250-294＋94 　　④ 1272-995 　　四、用简便方法计算下列各题： 　　① 478-128+122-72 　　② 464-545＋99+345 　　③ 537-（543-163）-57 　　④ 947+（372-447）-572 　　五、巧算下列各题： 　　① 996＋599-402 　　② 7443＋2485＋567＋245 　　③ 2000-1347-253+1593 ④3675-（11+13+15＋17＋19） 习题一解答　　一、直接写出计算结果： 　　① 1000-547＝453 　　② 100000-85426=14574 　　③ 11111111110000000000-1111111111 　　＝11111111108888888889 　　④ 78053000000-78053＝78052921947 　　此题主要是练习直接写出"补数"的方法：从最高位写起，其各位数字用"凑九"而得，最后个位凑10而得。 　　二、用简便方法求和： 　　① 536＋（541＋464）＋459 　　＝（536+464）+（541＋459） 　　=2000 　　② 588＋264＋148 　　=588+（12+252）+148 　　＝（588＋12）+（252＋148） 　　＝600+400 　　=1000 　　③ 8996＋3458＋7546 　　=（8996＋4）＋（3454＋7546） 　　=9000+11000（把 3458分成 4和=9000+11000 3454） 　　＝20000 　　④ 567＋558+562＋555＋563 　　＝560×5+（7-2+2-5+3）（以560为基准数） 　　＝2800+5＝2805 　　三、用简便方法求差： 　　① 1870-280-520 　　＝1870-（280+520） 　　=1870-800 　　＝1070 　　②4995-（995-480） 　　=4995-995+480 　　=4000+480=4480 　　③ 4250-294＋94 　　=4250-（294-94） 　　=4250-200=4050 　　④ 1272-995 　　=1272-1000+5 　　=277 　　四、用简便方法计算加减混合运算： 　　① 478-128＋122-72 　　=（478+122）-（128＋72） 　　＝600-200 　　＝400 　　② 464-545＋99＋345 　　＝464-（545-345）+100-1 　　=464-200＋100-1 　　＝363 　　③537-（543-163）-57 　　＝537-543＋163-57 　　=（537＋163）-（543+57） 　　=700-600 　　=100 　　④ 947＋（372-447）-572 　　=947+372-447-572 　　=（947-447）-（572-372） 　　=500-200 　　=300 　　五、巧算下列各题： 　　①996＋599-402=1193 　　②7443＋2485＋567＋245=10740 　　③2000-1347-253＋1593=1993 　　④3675-（11+13+15+17+19）=3600
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**2016届九年级下学期开学考试数学试卷** 　 **一、选择题（本大题满分42分，每小题3分）** 1．﹣3的倒数是（　　） A．3 B．﹣3 C．![](./data/image/media/image1.jpeg) D．![](./data/image/media/image2.jpeg) 2．已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示为（　　） A．21×10^﹣4^千克 B．2.1×10^﹣6^千克 C．2.1×10^﹣5^千克 D．2.1×10^﹣4^千克 3．分式方程![](./data/image/media/image3.jpeg)的解为（　　） A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4 4．今年体育学业考试增加了跳绳测试项目，下面是测试时记录员记录的一组（10名）同学的测试成绩（单位：个/分钟）． 176 180 184 180 170 176 172 164 186 180 该组数据的众数、中位数、平均数分别为（　　） A．180，180，178 B．180，178，178 C．180，178，176.8 D．178，180，176.8 5．如图是一个用相同的小立方体搭成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小立方体的个数是（　　）![](./data/image/media/image4.jpeg) A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（　　） A．40° B．100° C．40°或100° D．70°或50° 7．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（　　） ![](./data/image/media/image5.jpeg) A．20° B．25° C．30° D．35° 8．下列各因式分解正确的是（　　） A．﹣x^2^+（﹣2）^2^=（x﹣2）（x+2） B．x^2^+2x﹣1=（x﹣1）^2^ C．4x^2^﹣4x+1=（2x﹣1）^2^ D．x^2^﹣4x=x（x+2）（x﹣2） 9．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于x轴的对称点的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1） 10．已知关于x的一元二次方程x^2^+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．![](./data/image/media/image6.jpeg) D．﹣![](./data/image/media/image6.jpeg) 11．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为"等边扇形"，则半径为2的"等边扇形"的面积为（　　） A．π B．1 C．2 D．![](./data/image/media/image7.jpeg) 12．该试题已被管理员删除 13．一次函数y~1~=kx+b（k≠0）与反比例函数![](./data/image/media/image8.jpeg)，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y~1~＞y~2~，则x的取值范围是（　　） ![](./data/image/media/image9.jpeg) A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．x＞1 D．﹣2＜x＜1 14．二次函数y=a（x+m）^2^+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（　　） ![](./data/image/media/image10.jpeg) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 　 **二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）** 15．从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是[　　　　　　]{.underline}．![](./data/image/media/image11.jpeg) 16．函数![](./data/image/media/image12.jpeg)中，自变量x的取值范围是[　　　　　　]{.underline}． 17．如图，AC与BD交于P，AD、BC延长交于点E，∠AEC=37°，∠CAE=31°，则∠APB的度数为[　　　　　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image13.jpeg) 18．如图，在△ABC中，AB=AC=3cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是5cm，则BC的长等于[　　　　　　]{.underline}cm． ![](./data/image/media/image14.jpeg) 　 **三、解答题（本大题满分62分）** 19．化简与计算 （1）（![](./data/image/media/image15.jpeg)﹣2）^0^+（![](./data/image/media/image16.jpeg)）^﹣1^+4cos30°﹣\|﹣![](./data/image/media/image17.jpeg)\|． （2）先化简，再求值：![](./data/image/media/image18.jpeg)÷（![](./data/image/media/image19.jpeg)﹣a﹣2），其中a=![](./data/image/media/image15.jpeg)﹣3． 20．为了解某中学2016届九年级学生2016届中考体育成绩情况，现从中抽取部分学生的体育成绩进行分段（A：50分、B：49～40分、C：39～30分、D：29～0分）统计，统计结果如图所示． ![](./data/image/media/image20.jpeg) 根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）本次抽查了多少名学生的体育成绩； （2）补全图9.1，求图9.2中D分数段所占的百分比； （3）已知该校2016届九年级共有900名学生，请估计该校2016届九年级学生体育成绩达到40分以上的人数． 21．为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶． （1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？ 22．如图，某校2016届九年级3班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动．部分同学在山脚点A测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60度．请你帮助他们计算出小山的高度BC．（计算过程和结果都不取近似值） ![](./data/image/media/image21.jpeg) 23．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG；EG⊥CG． （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ![](./data/image/media/image22.jpeg) 24．如图1，抛物线y=x^2^﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．\[图2、图3为解答备用图\] ![](./data/image/media/image23.jpeg) （1）k=[　　　　　　]{.underline}，点A的坐标为[　　　　　　]{.underline}，点B的坐标为[　　　　　　]{.underline}； （2）设抛物线y=x^2^﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积； （3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （4）在抛物线y=x^2^﹣2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形． 　 **2016届九年级下学期开学考试数学试卷** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（本大题满分42分，每小题3分）** 1．﹣3的倒数是（　　） A．3 B．﹣3 C．![](./data/image/media/image24.jpeg) D．![](./data/image/media/image2.jpeg) 【考点】倒数． 【专题】常规题型． 【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可． 【解答】解：∵（﹣3）×（﹣![](./data/image/media/image24.jpeg)）=1， ∴﹣3的倒数是﹣![](./data/image/media/image24.jpeg)． 故选：D． 【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数． 　 2．已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示为（　　） A．21×10^﹣4^千克 B．2.1×10^﹣6^千克 C．2.1×10^﹣5^千克 D．2.1×10^﹣4^千克 【考点】科学记数法---表示较小的数． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10^﹣n^，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.000021=2.1×10^﹣5^； 故选：C． 【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10^﹣n^，其中1≤\|a\|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 　 3．分式方程![](./data/image/media/image25.jpeg)的解为（　　） A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4 【考点】解分式方程． 【分析】首先分式两边同时乘以最简公分母2x（x﹣1）去分母，再移项合并同类项即可得到x的值，然后要检验． 【解答】解：![](./data/image/media/image26.jpeg)， 去分母得：3x﹣3=2x， 移项得：3x﹣2x=3， 合并同类项得：x=3， 检验：把x=3代入最简公分母2x（x﹣1）=12≠0，故x=3是原方程的解， 故原方程的解为：X=3， 故选：C． 【点评】此题主要考查了分式方程的解法，关键是找到最简公分母去分母，注意不要忘记检验，这是同学们最容易出错的地方． 　 4．今年体育学业考试增加了跳绳测试项目，下面是测试时记录员记录的一组（10名）同学的测试成绩（单位：个/分钟）． 176 180 184 180 170 176 172 164 186 180 该组数据的众数、中位数、平均数分别为（　　） A．180，180，178 B．180，178，178 C．180，178，176.8 D．178，180，176.8 【考点】众数；算术平均数；中位数． 【专题】计算题． 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．再根据平均数、众数和中位数的定义求解即可． 【解答】解：在这一组数据中180是出现次数最多的，故众数是180； 将这组数据从小到大的顺序排列（164，170，172，176，176，180，180，180，184，186）， 处于中间位置的那两个数为176，180，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是178； 平均数为：（164+170+172+176+176+180+180+180+184+186）÷10=176.8． 故选C． 【点评】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 　 5．如图是一个用相同的小立方体搭成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小立方体的个数是（　　）![](./data/image/media/image27.jpeg) A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】由三视图判断几何体． 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，再结合题意和三视图的特点找出每行和每列的小正方体的个数再相加即可． 【解答】解：由俯视图易得最底层有3个立方体，第二层有1个立方体，那么搭成这个几何体所用的小立方体个数是4． 故选C． 【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀"俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章"就更容易得到答案． 　 6．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（　　） A．40° B．100° C．40°或100° D．70°或50° 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】分类讨论． 【分析】此题要分情况考虑：40°是等腰三角形的底角或40°是等腰三角形的顶角．再进一步根据三角形的内角和定理进行计算． 【解答】解：当40°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是40°； 当40°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣40°×2=100°． 故选：C． 【点评】注意：当等腰三角形中有一个角是锐角时，可能是它的底角，也可能是它的顶角；当等腰三角形中有一个角是锐角时，只能是它的顶角． 　 7．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（　　） ![](./data/image/media/image28.jpeg) A．20° B．25° C．30° D．35° 【考点】平行线的性质． 【分析】首先过点B作BD∥l，由直线l∥m，可得BD∥l∥m，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案∠4的度数，又由△ABC是含有45°角的三角板，即可求得∠3的度数，继而求得∠2的度数． 【解答】解：过点B作BD∥l， ∵直线l∥m， ∴BD∥l∥m， ∴∠4=∠1=25°， ∵∠ABC=45°， ∴∠3=∠ABC﹣∠4=45°﹣25°=20°， ∴∠2=∠3=20°． 故选A． ![](./data/image/media/image29.jpeg) 【点评】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，注意辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用． 　 8．下列各因式分解正确的是（　　） A．﹣x^2^+（﹣2）^2^=（x﹣2）（x+2） B．x^2^+2x﹣1=（x﹣1）^2^ C．4x^2^﹣4x+1=（2x﹣1）^2^ D．x^2^﹣4x=x（x+2）（x﹣2） 【考点】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法． 【分析】根据完全平方公式与平方差公式分解因式，提公因式法分解因式，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、﹣x^2^+（﹣2）^2^=﹣x^2^+4=（2﹣x）（2+x），故本选项错误； B、x^2^+2x﹣1不符合完全平方公式，不能利用公式分解，故本选项错误； C、4x^2^﹣4x+1=（2x﹣1）^2^，故本选项正确； D、x^2^﹣4x=x（x﹣4），故本选项错误． 故选C． 【点评】本题考查了公式法分解因式，提公因式法分解因式，熟记平方差公式与完全平方公式的结构式解题的关键． 　 9．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于x轴的对称点的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1） 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标． 【分析】根据"关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数"解答． 【解答】解：点P（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2）． 故选：A． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 　 10．已知关于x的一元二次方程x^2^+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．![](./data/image/media/image6.jpeg) D．﹣![](./data/image/media/image6.jpeg) 【考点】根的判别式． 【专题】探究型． 【分析】根据关于x的一元二次方程x^2^+2x﹣a=0有两个相等的实数根可知△=0，求出a的取值即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x^2^+2x﹣a=0有两个相等的实数根， ∴△=2^2^+4a=0， 解得a=﹣1． 故选B． 【点评】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax^2^+bx+c=0（a≠0）的根与△=b^2^﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 　 11．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为"等边扇形"，则半径为2的"等边扇形"的面积为（　　） A．π B．1 C．2 D．![](./data/image/media/image7.jpeg) 【考点】扇形面积的计算；弧长的计算． 【专题】压轴题；新定义． 【分析】根据扇形的面积公式计算． 【解答】解：设扇形的半径为r， 根据扇形面积公式得S=![](./data/image/media/image30.jpeg)lr=![](./data/image/media/image30.jpeg)r^2^=2 故选C． 【点评】本题主要考查了扇形的面积公式． 　 12．该试题已被管理员删除 　 13．一次函数y~1~=kx+b（k≠0）与反比例函数![](./data/image/media/image31.jpeg)，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y~1~＞y~2~，则x的取值范围是（　　） ![](./data/image/media/image32.jpeg) A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．x＞1 D．﹣2＜x＜1 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】先根据图象得出反比例函数与一次函数交点的坐标，再利用数形结合即可解答． 【解答】解：由函数图象可知一次函数y~1~=kx+b与反比例函数![](./data/image/media/image31.jpeg)的交点坐标为（1，4），（﹣2，﹣2）， 由函数图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞1时，y~1~在y~2~的上方， ∴当y~1~＞y~2~时x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1． 故选A． 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，解答此题的关键是利用数形结合求出x的取值范围． 　 14．二次函数y=a（x+m）^2^+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（　　） ![](./data/image/media/image10.jpeg) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【考点】二次函数的图象；一次函数的性质． 【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限． 【解答】解：∵抛物线的顶点在第四象限， ∴﹣m＞0，n＜0， ∴m＜0， ∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限， 故选C． 【点评】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号． 　 **二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）** 15．从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是[　4a　]{.underline}．![](./data/image/media/image11.jpeg) 【考点】平方差公式的几何背景． 【分析】矩形的面积就是边长是a+1的正方形与边长是a﹣1的正方形的面积的差，列代数式进行化简即可． 【解答】解：矩形的面积是（a+1）^2^﹣（a﹣1）^2^=4a（cm^2^）． 故答案为：4a． 【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，关键是根据题意列出式子，运用平方差公式进行计算，要熟记公式． 　 16．函数![](./data/image/media/image12.jpeg)中，自变量x的取值范围是[　x＞﹣5　]{.underline}． 【考点】函数自变量的取值范围． 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【解答】解：由题意得，x+5＞0， 解得x＞﹣5． 故答案为：x＞﹣5． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 　 17．如图，AC与BD交于P，AD、BC延长交于点E，∠AEC=37°，∠CAE=31°，则∠APB的度数为[　99°　]{.underline}． ![](./data/image/media/image13.jpeg) 【考点】圆周角定理． 【分析】由∠ACB为△ACE的外角，求得∠ACE=∠A+∠AEC，由圆周角定理，得∠ADB=∠ACB，根据三角形外角定理即可求得答案． 【解答】解：∵∠ACB为△ACE的外角， ∴∠ACE=∠A+∠AEC ∵，∠AEC=37°，∠CAE=31°， ∴∠ACE=68°． 由圆周角定理，得∠ADB=∠ACB， ∴∠ADB=68°， ∴∠APB=∠A+∠ADB=31°+68°=99°， 故答案为99°． 【点评】本题考查了圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握定理是解决问题的关键． 　 18．如图，在△ABC中，AB=AC=3cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是5cm，则BC的长等于[　2　]{.underline}cm． ![](./data/image/media/image33.jpeg) 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】由AB的垂直平分线交AC于点N，根据线段的垂直平分线的性质得到NA=NB，而BC+BN+NC=5cm，则BC+AN+NC=5cm，由AC=AN+NC=3cm，即可得到BC的长． 【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于点N， ∴NA=NB， 又∵△BCN的周长是5cm， ∴BC+BN+NC=5cm， ∴BC+AN+NC=5cm， 而AC=AN+NC=3cm， ∴BC=2cm． 故答案为：2． 【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线的点到线段两端点的距离相等；也考查了三角形周长的定义． 　 **三、解答题（本大题满分62分）** 19．化简与计算 （1）（![](./data/image/media/image34.jpeg)﹣2）^0^+（![](./data/image/media/image1.jpeg)）^﹣1^+4cos30°﹣\|﹣![](./data/image/media/image35.jpeg)\|． （2）先化简，再求值：![](./data/image/media/image36.jpeg)÷（![](./data/image/media/image37.jpeg)﹣a﹣2），其中a=![](./data/image/media/image34.jpeg)﹣3． 【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题；分式． 【分析】（1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式=1+3+2![](./data/image/media/image34.jpeg)﹣2![](./data/image/media/image38.jpeg)=4； （2）原式=![](./data/image/media/image39.jpeg)÷![](./data/image/media/image40.jpeg)=﹣![](./data/image/media/image39.jpeg)•![](./data/image/media/image41.jpeg)=﹣![](./data/image/media/image42.jpeg)， 当a=![](./data/image/media/image38.jpeg)﹣3时，原式=﹣![](./data/image/media/image43.jpeg)． 【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 20．为了解某中学2016届九年级学生2016届中考体育成绩情况，现从中抽取部分学生的体育成绩进行分段（A：50分、B：49～40分、C：39～30分、D：29～0分）统计，统计结果如图所示． ![](./data/image/media/image44.jpeg) 根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）本次抽查了多少名学生的体育成绩； （2）补全图9.1，求图9.2中D分数段所占的百分比； （3）已知该校2016届九年级共有900名学生，请估计该校2016届九年级学生体育成绩达到40分以上的人数． 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图知：A的人数为80人，A占被调查人数的16%，用除法即可计算总人数； （2）根据（1）中计算的总人数以及B所占的百分比进行计算，然后正确补全统计图即可；根据条形统计图中D的具体数据结合总人数计算D所占的比例即可； （3）根据题意，知达标的即是A类和B类，共占56%，再进一步结合总体人数计算即可． 【解答】解：（1）根据统计图可知，A的人数为80人，A占被调查人数的16%， 所以本次调查的人数为80÷16%=500（人）； （2）由分数段百分比统计图知B的人数占被调查人数的40%，所以B的人数为500×40%=200（人） 在分数段统计图中将B的部分补充如图所示． ![](./data/image/media/image45.jpeg) D分数段所占的百分比为：![](./data/image/media/image46.jpeg)×100%=12%； （3）该校2016届九年级学生体育成绩达到40分以上的人数为900×（16%+40%）=504（人）． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 　 21．为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶． （1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用． 【分析】（1）等量关系为：甲消毒液总价钱+乙消毒液总价钱=780． （2）关系式为：甲消毒液总价钱+乙消毒液总价钱≤1200． 【解答】解：（1）设甲种消毒液购买x瓶，则乙种消毒液购买（100﹣x）瓶． 依题意得：6x+9（100﹣x）=780． 解得：x=40． ∴100﹣x=100﹣40=60（瓶）． 答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶． （2）设再次购买甲种消毒液y瓶，则购买乙种消毒液2y瓶． 依题意得：6y+9×2y≤1200． 解得：y≤50． 答：甲种消毒液最多再购买50瓶． 【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系和不等关系式．等量关系为：甲消毒液总价钱+乙消毒液总价钱=780．不等关系式为：甲消毒液总价钱+乙消毒液总价钱≤1200． 　 22．如图，某校2016届九年级3班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动．部分同学在山脚点A测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60度．请你帮助他们计算出小山的高度BC．（计算过程和结果都不取近似值） ![](./data/image/media/image47.jpeg) 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 【专题】应用题． 【分析】首先根据题意分析图形；过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F；构造本题涉及到的两个直角三角形，根据图形分别求解可得DE与BF的值，再利用BC=DE+BF，进而可求出答案． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F， 则有DE∥FC，DF∥EC． ∵∠DEC=90°， ∴四边形DECF是矩形， ∴DE=FC． ∵∠HBA=∠BAC=45°， ∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=45°﹣30°=15度． 又∵∠ABD=∠HBD﹣∠HBA=60°﹣45°=15°， ∴△ADB是等腰三角形．∴AD=BD=180（米）． 在Rt△AED中，sin∠DAE=sin30°=![](./data/image/media/image48.jpeg)， ∴DE=180•sin30°=180×![](./data/image/media/image49.jpeg)=90（米），∴FC=90米． 在Rt△BDF中，∠BDF=∠HBD=60°，sin∠BDF=sin60°=![](./data/image/media/image50.jpeg)， ∴BF=180•sin60°=180×![](./data/image/media/image51.jpeg)（米）． ∴BC=BF+FC=90![](./data/image/media/image52.jpeg)+90=90（![](./data/image/media/image52.jpeg)+1）（米）． 答：小山的高度BC为90（![](./data/image/media/image52.jpeg)+1）米． ![](./data/image/media/image53.jpeg) 【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 　 23．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG；EG⊥CG． （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ![](./data/image/media/image54.jpeg) 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质以及三角形外角定理即可证明． （2）作GM⊥BC于M，⊥AB于N交CD于H，只要证明△GNE≌△GMC即可解决问题． 【解答】证明：（1）如图①中，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=∠ADC=90°，∠BDC=![](./data/image/media/image55.jpeg)， ∵EF⊥BD， ∴∠DEF=90°， ∵GF=GD， ∴EG=DG=GF=![](./data/image/media/image30.jpeg)DF，GC=DG=GF=![](./data/image/media/image30.jpeg)DF， ∴EG=GC，∠GED=∠GDE，∠GCD=∠GDC， ∵∠EGF=∠GED+∠GDE=2∠EDG，∠CGF=∠GCD+∠GDC=2∠GDC， ∴∠EGC=∠EGF+∠CGF=2∠EDG+2∠GDC=2（∠EDG+∠GDC）=90°， ∴EG⊥GC． （2）图②中，结论仍然成立． 理由：作GM⊥BC于M，⊥AB于N交CD于H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠ADC=90°，∠ABD=∠DBC=∠BDC=45° ∴GM=GN， ∵∠A=∠ANG=∠ADH=90°， ∴四边形ANHD是矩形， ∴∠DHN=90°，∠GDH=∠HGD=45°， ∴HG=DH=AN，同理GH=CM， ∵∠ENG=∠A=∠BEF=90°， ∴EF∥GN∥AD，∵GF=GD， ∴AN=NE=GH=MC， 在△GNE和△GMC中， ![](./data/image/media/image56.jpeg)， ∴△GNE≌△GMC， ∴GE=GC，∠NGE=∠MGC， ∴∠EGC=∠NGM=90°， ∴EG⊥GC． ![](./data/image/media/image57.jpeg) ![](./data/image/media/image58.jpeg) 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键，属于2016届中考常考题型． 　 24．如图1，抛物线y=x^2^﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．\[图2、图3为解答备用图\] ![](./data/image/media/image59.jpeg) （1）k=[　　]{.underline}，点A的坐标为[　　]{.underline}，点B的坐标为[　　]{.underline}； （2）设抛物线y=x^2^﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积； （3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （4）在抛物线y=x^2^﹣2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形． 【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题；分类讨论． 【分析】（1）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式可得k值，令y=0，可得A，B两点的横坐标； （2）过M点作x轴的垂线，把四边形ABMC分割成两个直角三角形和一个直角梯形，求它们的面积和； （3）设D（m，m^2^﹣2m﹣3），连接OD，把四边形ABDC的面积分成△AOC，△DOC，△DOB的面积和，求表达式的最大值；（4）有两种可能：B为直角顶点、C为直角顶点，要充分认识△OBC的特殊性，是等腰直角三角形，可以通过解直角三角形求出相关线段的长度． 【解答】解：（1）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式y=x^2^﹣2x+k中得k=﹣3 ∴y=x^2^﹣2x﹣3， 令y=0， 即x^2^﹣2x﹣3=0， 解得x~1~=﹣1，x~2~=3． ∴A（﹣1，0），B（3，0）． （2）∵y=x^2^﹣2x﹣3=（x﹣1）^2^﹣4， ∴抛物线的顶点为M（1，﹣4），连接OM． 则△AOC的面积=![](./data/image/media/image60.jpeg)，△MOC的面积=![](./data/image/media/image60.jpeg)， △MOB的面积=6， ∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9． 说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面 积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和． （3）如图（2），设D（m，m^2^﹣2m﹣3），连接OD． 则0＜m＜3，m^2^﹣2m﹣3＜0 且△AOC的面积=![](./data/image/media/image60.jpeg)，△DOC的面积=![](./data/image/media/image60.jpeg)m， △DOB的面积=﹣![](./data/image/media/image60.jpeg)（m^2^﹣2m﹣3）， ∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积 =﹣![](./data/image/media/image60.jpeg)m^2^+![](./data/image/media/image61.jpeg)m+6 =﹣![](./data/image/media/image60.jpeg)（m﹣![](./data/image/media/image60.jpeg)）^2^+![](./data/image/media/image62.jpeg)． ∴存在点D（![](./data/image/media/image60.jpeg)，![](./data/image/media/image63.jpeg)），使四边形ABDC的面积最大为![](./data/image/media/image62.jpeg)． （4）有两种情况： 如图（3），过点B作BQ~1~⊥BC，交抛物线于点Q~1~、交y轴于点E，连接Q~1~C． ∵∠CBO=45°， ∴∠EBO=45°，BO=OE=3． ∴点E的坐标为（0，3）． ∴直线BE的解析式为y=﹣x+3． 由![](./data/image/media/image64.jpeg) 解得![](./data/image/media/image65.jpeg)![](./data/image/media/image66.jpeg) ∴点Q~1~的坐标为（﹣2，5）． 如图（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q~2~、交x轴于点F，连接BQ~2~． ∵∠CBO=45°， ∴∠CFB=45°，OF=OC=3． ∴点F的坐标为（﹣3，0）． ∴直线CF的解析式为y=﹣x﹣3． 由![](./data/image/media/image67.jpeg) 解得![](./data/image/media/image68.jpeg)![](./data/image/media/image69.jpeg) ∴点Q~2~的坐标为（1，﹣4）． 综上，在抛物线上存在点Q~1~（﹣2，5）、Q~2~（1，﹣4），使△BCQ~1~、△BCQ~2~是以BC为直角边的直角三角形． 说明：如图（4），点Q~2~即抛物线顶点M，直接证明△BCM为直角三角形同样可以． ![](./data/image/media/image70.jpeg) ![](./data/image/media/image71.jpeg) ![](./data/image/media/image72.jpeg) 【点评】本题考查了抛物线解析式的求法，运用解析式解决面积问题，及求构成直角三角形的条件等知识． 　
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**北师大版小学四年级下册数学第七单元《认识方程》单元测试3（附答案）** 一、请你填一填。（每空1分，共12分） 1、商店卖钢笔*a*枝，每枝0.5元，一共需（ ）元。 > 2、一辆汽车每小时行*v*千米，那么*t*小时行（ ）千米，行3千米要（ ）小时。来源：www.bcjy123.com/tiku/ 3、用字母表示乘法分配律是（ ）。 4、一个正方形的边长是*a*米，那么周长是（ ）米。 5、一本故事书小文看了8天，每天看*a*页，还剩18页，这本书共有（ ）页。 6、比*x*的7.5倍少10的数是（ ），*b*与*c*的差的5倍是（ ）。 7、一个直角三角形的一个锐角是*a*度，另一个锐角是（ ）度。 8、当*x* = 6时，4*x*－2 =（ ）。 9、与*x*相邻的两个自然数分别是（ ）和（ ）。 二、请你来判断。（每题2分，共12分）来源：www.bcjy123.com/tiku/ 1、*x*×6省略乘号写成*x*6。 （ ） 2、*x* = 3是方程0.8＋*x* = 5.4的解。 （ ） 3、5*x*＋6是方程。 （ ） 4、*x*的3倍的一半写成式子是3*x*÷2。 （ ） 5、含有未知数的式子叫方程。 （ ） 6、3*a*＋*a* = 3*a*。 （ ） 三、解方程。（每题3分，共18分） 4*x*＋*x* = 19.5 26.4－3*x* = 15.3 7*x* = 98 来源：www.bcjy123.com/tiku/ *x*－3×4 = 12 5*x*－*x*＋14 = 18 2*x*－0.5×2 = 0.8 四、列方程并求解。（每题4分，共12分） 1、5与9的积减去一个数的3倍得2.1，这个数是多少？ 2、一个数的4.5倍加上它的3倍得24.75，这个数是多少？ 3、一个数乘7减去这个数的5倍得26，求这个数？ 五、认真选择。（每题4分，共16分） 1、*a*×*b*×5.5用简便写法表示（ ）。 A、5.5×*a*×*b* B、5.5×（*a*＋*b*） C、5.5*ab* D、5.5×*ab* 2、一个数的2倍除以5得8余2，求这个数。下面哪个方程是正确的（ ）。 A、2*x*÷5 = 8 ...... 2 B、5÷2*x* = 8 ...... 2 C、2*x* = 8×5＋2 D、2*x*×8＋2 = 5 3、甲数是*a*，比乙数的3倍少*b*，表示乙数的式子是（ ）。 A、3*b*－*a* B、（*a*－*b*）÷3 C、（*a*＋*b*）÷3 D、*a*÷3－*b* 4、下列式子中，（ ）是方程。 A、4＋2 = 6 B、3－*y* C、3.4*x* = 10.2 D、*x*＋5﹥9 六、投篮比赛。（共12分）来源：www.bcjy123.com/tiku/ ![](./data/image/media/image2.png) 小亮、小红各投中了多少分？ 七、（共8分）世界上最轻的鸟是蜂鸟。一只应麻雀的体重是81克，比蜂鸟的50倍少19克，一只蜂鸟重多少克？ 八、（共10分）修一条长a千米的路，已经修好了3.9千米，余下的路要x天修完。 1、用式子表示余下的路平均每天应该修的千米数； 2、利用这个式子求*a* = 18.4，*x* = 5时，平均每天修的千米数。 **第七单元测试卷的部分答案：** 一、1、0.5*a* 2、*v*t 3、*a*×（*b*＋*c*）= *ab*＋*ac* 4、4*a* 5、8*a*＋18 6、7.5*x*－10 5（*b*－*c*） 7、90－*a* 8、22 9、*x*－1 *x*＋1 二、× × × √ × × 三、*x* = 3.9 *x* = 3.7 *x* = 14 *x* = 24 *x* = 1 *x* = 0.9 四、1、设这个数为*x*。5×9－3*x* = 2.1 *x* = 14.3 2、设这个数为*x*。4.5*x*＋3*x* = 24.75 *x* = 3.3 3、设这个数为*x*。7*x*－5*x* = 26 *x* = 13 五、1、C 2、C 3、C 4、C 六、小红：18分 小亮：28分 七、2克 八、1、（*a*－3.9）÷*x* 2、2.9千米
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![](./data/image/media/image1.png){width="0.5138888888888888in" height="0.3888888888888889in"}**2020年郴州市初中学业水平考试试卷** **数学** **（试题卷）** **第Ⅰ卷（共24分）** **一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** 1.如图表示互为相反数的两个点是（ ） A．点与点 B．点与点 C．点与点 D．点与点 ![](./data/image/media/image6.png){width="2.7604166666666665in" height="0.4895833333333333in"} 2.年月日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空.北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达纳秒（秒=纳秒）用科学记数法表示纳秒为（ ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 3.下列图形是中心对称图形的是（ ） A．![](./data/image/media/image17.png){width="1.125in" height="1.0625in"} B． ![](./data/image/media/image18.png){width="1.2291666666666667in" height="1.0833333333333333in"} C．![](./data/image/media/image19.png){width="1.1979166666666667in" height="1.125in"} D．![](./data/image/media/image20.png){width="1.0625in" height="1.15625in"} 4.下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5.如图，直线被直线所截下列条件能判定的是（ ） A． B． C． D． ![](./data/image/media/image32.png){width="1.9270833333333333in" height="1.4479166666666667in"} 6.某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表： 鞋的尺码（） ---------------- -- -- -- -- -- -- 销售数量（双） 则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 7.如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形.这两个图能解释下列哪个等式（ ） A． B． C． D． ![](./data/image/media/image53.png){width="3.21875in" height="1.6041666666666667in"} 图1 图2 8.在平面直角坐标系中，点是双曲线上任意一点，连接，过点作的垂线与双曲线交于点，连接.已知，则（ ） A． B． C． D． ![](./data/image/media/image68.png){width="2.7291666666666665in" height="1.5729166666666667in"} **第Ⅱ卷（共106分）** **二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）** 9.若分式的值不存在，则 [ ]{.underline} ． 10.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 [ ]{.underline} ． 11.质检部门从件电子元件中随机抽取件进行检测，其中有件是次品.试据此估计这批电子元件中大约有 [ ]{.underline} 件次品． 12.某人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：，方差为.后来老师发现每人都少加了分，每人补加分后，这人新成绩的方差 [ ]{.underline} ． 13.小红在练习仰卧起坐，本月日至日的成绩与日期具有如下关系： 日期（日） ------------ -- -- -- -- 成绩（个） 小红的仰卧起坐成绩y与日期之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为 [ ]{.underline} ． 14.在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到.已知，则点的坐标是 [ ]{.underline} ． ![](./data/image/media/image98.png){width="1.7291666666666667in" height="1.40625in"} 15.如图，圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则圆锥主视图的面积为 [ ]{.underline} ． ![](./data/image/media/image101.png){width="1.53125in" height="1.0729166666666667in"} 16.如图，在矩形中，.分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和.作直线分别与交于点，则 [ ]{.underline} ． ![](./data/image/media/image112.png){width="1.7083333333333333in" height="1.4479166666666667in"} **三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.** 17\. 计算： 18\. 解方程： 19\. 如图，在菱形中，将对角线分别向两端延长到点和，使得.连接. 求证：四边形是菱形. ![](./data/image/media/image119.png){width="1.8958333333333333in" height="1.5729166666666667in"} 20\. 疫情期间，我市积极开展"停课不停学"线上教学活动，并通过电视、手机等平台进行教学视频推送.某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：.效果很好；.效果较好；.效果一般；.效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： ![](./data/image/media/image125.png){width="5.302083333333333in" height="2.375in"} （1）此次调查中，共抽查了 [ ]{.underline} 名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠a的度数； （3）某班人学习小组，甲、乙人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般.从学习小组中随机抽取人，则"人认为效果很好，人认为效果较好"的概率是多少?（要求画树状图或列表求概率） 21\. 年月日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运较火箭在海南文昌首飞成功.运载火箭从地面处发射、当火箭到达点时，地面处的雷达站测得米，仰角为秒后，大箭直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为.已知两处相距米，求火箭从到处的平均速度（结果精确到米，参考数据：） ![](./data/image/media/image143.png){width="2.3958333333333335in" height="2.46875in"} 22.为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共吨，甲物资单价为万元/吨，乙物资单价为万元吨，采购两种物资共花费万元. （1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨? （2）现在计划安排两种不同规格的卡车共辆来运输这批物资.甲物资吨和乙物资吨可装满一辆型卡车；甲物资吨和乙物资吨可装满一辆型卡车.按此要求安排两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案? 23.如图，内接于⊙是⊙的直径.直线与⊙相切于点，在上取一点使得.线段的延长线交于点. （1）求证：直线是⊙的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）. 24.为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法. 列表： -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示： ![](./data/image/media/image183.png){width="4.260416666666667in" height="1.6145833333333333in"} 图1 图2 （1）如图，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若，则 [ ]{.underline} ；若，则 [ ]{.underline} ； 若，则 [ ]{.underline} （填"\>"，"="，"\<"）. （3）某农户要建造一个图所示的长方体形无盖水池，其底面积为平方米，深为米.已知底面造价为千元/平方米，侧面造价为千元/平方米，设水池底面一边的长为米，水池总造价为千元. ①请写出与的函数关系式； ②若该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在什么范围内? 25.如图，在等腰直角三角形中，.点是的中点，以为边作正方形，连接.将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为. ![](./data/image/media/image204.png){width="5.833333333333333in" height="1.5416666666666667in"} 图1 图2 图3 （1）如图，在旋转过程中， ①判断与是否全等，并说明理由； ②当时，与交于点，求的长. （2）如图，延长交直线于点. ①求证：； ②在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 26.如图，抛物线与轴交于，与轴交于点.已知直线过两点. （1）求抛物线和直线的表达式； （2）点是抛物线上的一个动点， ①如图，若点在第一象限内，连接，交直线于点.设的面积为，的面积为，求的最大值； ②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作，垂足为.点是对称轴上的一个动点，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形? 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. ![](./data/image/media/image241.png){width="5.052083333333333in" height="1.65625in"} 图1 图2 备用图
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**2020-2021学年度上期期末考试** ---------- -- **座号** ---------- -- **二年级数学试题** ---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ------------ ---------- **题号** **一** **二** **三** **四** **五** **六** **卷面分** **总分** **得分** ---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ------------ ---------- **温馨提示：** **1.本卷共4页，六大题，知识90分，卷面10分，满分100分。** **2.请同学们认真审题，规范作答；字体工整，卷面整洁，书写最美试卷，争取不失卷面分。** **3.请阅卷老师严格把关，审美评卷，根据卷面、字体、书写格式，打好卷面分。** **一、填空。(每空1分，共21分)** > **1、6+6+6+6＝24用乘法表示是( )，读作( )，其中( )和( )是乘数，( )是积。** > > **2、5×6和30÷6都用口诀( )来计算。** > > **3、在**![](./data/image/media/image1.png)**里填上"＞"、"＜"或"＝"。** > > **35÷5×2**![](./data/image/media/image1.png)**13 49÷7×9**![](./data/image/media/image1.png)**60 42÷6×4**![](./data/image/media/image1.png)**12÷3×8** > > **28÷7**![](./data/image/media/image1.png)**35÷7 27+33－16**![](./data/image/media/image1.png)**16+33－27 56÷7÷8**![](./data/image/media/image1.png)**54÷6÷9** > > **4、一根木头长18厘米，锯成3厘米长的若干段，一共要锯( )次。** > > **5、平行四边形有( )边，六边形有( )条边。** > > **6、60厘米+40厘米＝( )米。** > > **7、黑板长约4( )，杯子高约10( )。** > > **8、一条船最多可以坐3人，一个旅游团有16人。至少需要( )条船。** > > **9、除数和被除数都是8，商是( )，算式是( )。** **二、判断（每小题1分，共5分）** **1、2+2可以写成2×2，那么4+4也可以写成4×4。 ( )** **2、所有的平行四边形都是四边形。 ( )** **3、一条线段中只有一个端点。 ( )** **4、七巧板是由六块图形组成的。 ( )** **5、7×9－9可以写成6×9。 ( )** **三、选择。（每小题2分，共10分）** **1、把15朵花平均分成3份，每份有( )朵花。** **A.4 B.5 C.6** **2、下列图形中( )是五边形。** **A.**![](./data/image/media/image2.jpeg) **B.**![](./data/image/media/image3.jpeg) **C.**![](./data/image/media/image4.jpeg) **3、测量教学楼的宽，用( )作单位比较合适。** **A.厘米 B.卷尺 C.米** **4、一块布长4米，做衣服用去了3米，还剩( )厘米。** **A.1 B.10 C.100** **5、下面的图形中是线段的是( )。** **A.**![](./data/image/media/image5.jpeg) **B.**![](./data/image/media/image6.jpeg) **C.**![](./data/image/media/image7.jpeg) **四、计算。（18分）** **1、直接写出得数。（6分）** **3×4＝ 7×8＝ 24÷6＝ 72÷8×3＝** **5×8＝ 42÷7＝ 63÷9＝ 9×9－21＝** **27+9＝ 27÷3＝ 78－19＝ 9×6÷6＝** **2、列竖式计算。（12分）** **65－15+28 96－89+24 90－53+15** **50－26+49 74－27+36 45+38－24** **五、画一画。（11分）** **1、画一条长4厘米的线段。（2分）** **2、在下面的图形上画一条线段，把它们分成符合要求的两个图形。(9分)** ![](./data/image/media/image8.jpeg) ![](./data/image/media/image8.jpeg) ![](./data/image/media/image8.jpeg) **两个四边形 三角形和五边形 三角形和四边形** **六、解决问题。（每小题5分，共25分）** > **1、二年级5个兴趣小组有45人，每组的人数同样多。每个兴趣小组有多少人？** > > **2、二⑴班图书角有科技书46本，被同学们借走了18本，后来又买回25本。现在有科技书多少本？** > > **3、妈妈有一条1米长的丝带，装饰餐桌用去了40厘米，装饰茶几又用去了50厘米，这条丝带还剩多少厘米？** > > **4、小红读了一本故事书。已经读了3天，每天读7页，还有41页没有读，这本故事书一共有多少页？** 5. **篮子里有一些苹果，比40个多比50个少，不管是平均装在6个袋子里，还是装在7个袋子里，正好都装完，这些苹果一共有多少个？** **二年级数学答案** **一、1、6×4＝24 6乘4等于24 4 6 24 2、五六三十** **3、＞ ＞ ＜ ＜ ＞ ＝ 4、5 5、4 6 6、1** **7、米 厘米 8、6 9、1 8÷8＝1** **二、1、× 2、√ 3、× 4、× 5、√** **三、1.B 2.C 3.C 4.C 5.B** **四、略** **五、1、略** ![](./data/image/media/image9.jpeg) **六、1、45÷5＝9 2、46－18+25＝53 3、100－40－50＝10** **4、3×7+41＝62 5、6×7＝42**
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**北师大版小学六年级下册数学第一单元《**圆柱和圆锥**------圆锥的体积》同步检测1（附答案）** 一、认真思考，仔细填写。 > 1、一个圆锥与一个圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱的（ ）；圆柱的体积是圆锥的（ ）。来源：www.bcjy123.com/tiku/ > > 2、一个圆锥形的零件，底面积是25cm^2^，高是12cm，这个零件的体积是（ ）cm^3^ 。 > > 3、一个圆柱的体积是46.5m^3^ ，与它等底等高的圆锥的体积是（ ）m^3^ 。 > > 4、一个圆锥的底面半径是3cm，高是5cm，它的体积是（ ）cm^3^ 。 二、精挑细选，对号入座。 1、圆锥的高是（ ）。 A、顶点到底面任一点的距离 B、顶点到底面圆心的距离来源：www.bcjy123.com/tiku/ C、顶点到底面圆周上任一点的距离 2、等底、等高的圆柱、圆锥、正方体的体积比较，（ ）。 A、正方体最大 B、一样大 C、圆锥最小 > 3、一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积差是36立方厘米，那么它们的体积和是（ ）。 来源：www.bcjy123.com/tiku/ 三、计算下面各圆锥的体积。 ![](./data/image/media/image1.jpeg) 四、解决问题。 > 1、工厂有一堆成圆锥形的煤，底面半径是3m，高是2.4m。如果每天烧煤1.5m^3^，这堆煤大约可以烧多少天？（得数保留整数） > > 2、将一个底面半径是4dm，高9dm的圆锥形铁块，浇铸成底面半径1dm，高1.5dm的小圆柱，可以浇铸多少个？ ![](./data/image/media/image2.jpeg) > 3、如右下图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？ ![](./data/image/media/image3.jpeg) > 4、如右下图所示，一个粮仓，上面是圆锥形，下面是圆柱，如果粮仓墙壁的厚度忽略不计，这个粮仓的容积大约是多少立方米？ ![](./data/image/media/image4.jpeg) 五、下图是一个等腰三角形，绕它的底边旋转一圈，得到一个旋转体，已知等腰三角形的面积是12平方厘米，求旋转体的体积。 ![](./data/image/media/image5.jpeg) **答案：** 二、1、B 2、C 3、C 三、1、V = ×12.3×7 = 28.7（cm^3^） 2、V = ×（）^2^ ×3.14×8 = 75.36（dm^3^） 3、V = ×3.14×2^2^×1.5 = 6.28（m^3^） 四、3、关键是要找出容器上半部分的体积与下半部分的关系。 设圆锥容器的底面半径为r，水面半径为，容器的容积为。 水的体积为×（）^2^× = = 8说明容器可以装8份5升的水，现已经装了1份，还可装7份。 5×（8－1）=35（升） 4、×3.14×（8÷2）^2^×3＋3.14×（8÷2）^2^×5 = 301.44（立方米） 五、r:12×2÷8 = 3（厘米） h:8÷2 = 4（厘米） V: ×3.14×3^2^×4×2 = 75.36（立方厘米）
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![](./data/image/media/image1.png) **一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）** 1. 若集合，且，则集合可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】 试题分析：∵，∴，故只有A符合题意，故选A. 考点：集合的关系及其运算. 2. 复数的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限\[来源om\] 【答案】D. ![](./data/image/media/image12.png) 考点：复数的概念及其运算. 3.已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】 试题分析：由题意得，，故选C. 考点：平面向量数量积. 4.执行如图所示的程序框图，如输入的值为1，则输出的的值为（ ） A.1 B.2 ![](./data/image/media/image27.png) C.3 D.4 ![](./data/image/media/image28.png) 【答案】B. ![](./data/image/media/image29.png) 考![](./data/image/media/image27.png)点：程序框图. 5.已知数列中，，，为其前项和，则的值为（ ） A.57 B.61 C.62 D.63 【答案】A. 【解析】 试题分析：∵，∴是首项为，公比为的等比数列， ∴，∴，∴，故选A. 考点：数列的通项公式. 6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. ![](./data/image/media/image47.png) 【答案】D. 【解析】 试题分析：由题意得，该几何体为底面是一扇形的锥体，∴，故选D. 考点：1.三视图；2.空间几何体的体积. 7.为了得到，只需要将作如下变换（ ） A.向右平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 【答案】C. 【解析】 ![](./data/image/media/image54.png) 考点：1.诱导公式；2.三角函数的图象变换 8.若A为不等式组表示的平面区域，则当从-2连续变化到1时，动直线扫过A中的那部分区域的面积为（ ） A.1 B.1.5 C.0.75 D.1.75 【答案】D. 【解析】 试题分析：如下图所示，作出不等式组所表示的区域，从而可知，扫过的面积为 ，故选D. ![](./data/image/media/image59.png) 考点：线性规划. 9.焦点在轴上的椭圆方程为，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】 ![](./data/image/media/image67.png) 考点：1.诱导公式；2.三角函数的图象变换 10.在四面体中，，，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ） A. B![](./data/image/media/image27.png). C. D. 【答案】B. 【解析】 ![](./data/image/media/image78.png) ![](./data/image/media/image79.png)![](./data/image/media/image80.png) 考点：1.二面角；2.空间几何体的外接球. 【方法点睛】立体几何的外接球中处理时常用如下方法：1.结合条件与图形恰当分析取得球心位置；2.直接建系后，表示出球心坐标，转化为代数；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解. 11.已知函数，则关于的方程实根个数不可能为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D. 【解析】 ![](./data/image/media/image84.png) ![](./data/image/media/image85.png) 考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想. 【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． 12.函数的部分图象如图所示，且，对不同的，，若，有，则（ ） ![](./data/image/media/image92.png) A.在上是减函数 B.在上是增函数 C.在上是减函数 D.在上是增函数 【答案】B. 【解析】 ![](./data/image/media/image97.png) 考点：三角函数的图象和性质. 【名师点睛】根据，的图象求解析式的步骤：1.首先确定振幅和周期，从而得到与；2.求的值时最好选用最值点求：峰点：，谷点：， 也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点，升零点(图象上升时与轴的交点)：；降零点(图象下降时与轴的交点)：(以上)． **二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）** 13.的展开式中项的系数为\_\_\_\_\_\_\_. 【答案】. 【解析】 试题分析：由二项式定理可知中，，令，可知的系数为，令，可知的系数为，故的展开式中的系数为，故填：. 考点：二项式定理. 14.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数\_\_\_\_\_\_\_. 【答案】. 【解析】 试题分析：由题意得，，又∵，∴， 渐近线方程为，∴，故填：.学科网 考点：二项式定理.![](./data/image/media/image27.png) 15.如图，为测量出山高，选择和另一座山的山顶C为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以![](./data/image/media/image27.png)及，点测得，已知山高m，则山高\_\_\_\_\_\_\_m. ![](./data/image/media/image149.png) 【答案】. ![](./data/image/media/image151.png) 考点：正余弦定理解三角形. 【名师点睛】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形． 16.设函数，，对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_. 【答案】. 【解析】 ![](./data/image/media/image159.png) 考点：1.导数的运用；2.转化的数学思想. 【名师点睛】高考中一些不等式的证明或求解需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键． **三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）** 17. （本小题满分12分） 中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施"放开二胎"新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施"放开二胎"新政策后专家估计人口总数将发生如![](./data/image/media/image27.png)下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从20216年开始到2035年每年人口为上一年的99%． （1）求实施新政策后第年的人口总数的表达式（注：201![](./data/image/media/image27.png)6年为第一年）； （2![](./data/image/media/image27.png)）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2035年后是否需要调整政策？（说明：0.99^10^=(1-0.01)^10^≈0.9） 【答案】（1）；（2）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）分析题意将问题转化为等差数列等比数列的通项公式即可求解；（2）根据题意求得的值，即可得出结论. 试题解析：（1）当时，数列是首项为，公差为的等差数列，\[来源:学科网ZXXK\] ![](./data/image/media/image168.png)\[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\] ∴新政策实施到年年人口均值为万，由，故到年不需要调整政策． 考点：等差数列与等比数列的通项公式及其前项和． 18. （本小题满分12分） 如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线，平面平面，且，，，且． （1）设点为棱中点，在面内是否存在点，使得平面？若存在， 请证明；若不存在，请说明理由；\[来源:Zxxk.Com\] （2）求二面角的余弦值. ![](./data/image/media/image190.png) 【![](./data/image/media/image27.png)答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】 试题分析：（1）连接，交于点，连接，证明平面，从而即为所求；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解. 试题解析：（1）连接，交于点，连接，则平面， ∵为中点，为中点，∴为的中位线，∴， 又∵平面平面，平面平面，平面，， ![](./data/image/media/image213.png) 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.面面垂直的性质；3.二面角的求解． 19.（本小题满分12分） 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数依次为1，2，...，8，其中为标准A，为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准 （1）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示： -- ----- --- --- ----- 5 6 7 8 0.4 0.1 -- ----- --- --- ----- 且的数字期望，求，的值； （2）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望． （3）在（1）、（2）的条件下，若以"性价比"为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．\[来源:学科网ZXXK\] **注**：①产品的"性价比"=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价； ②"性价比"大的产品更具可购买性． 【答案】（1）；（2）；（3）详见解析. 【解析】 ![](./data/image/media/image229.png) （2）由已知得，样本的频率分布表如下： -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下： -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- ∴，即乙厂产品的等级系数的数学期望等于；（3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，∴其性价比为，∵乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，∴其性价比为，据此，乙厂的产品更具可购买性. 考点：离散型随机变量的概率分布及其期望． 20.（本小题满分12分）已知椭圆C：短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切. （1）求椭圆C的方程； （2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线，分别交椭圆C于，两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标； （3）在（2）的条件下求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）. 【解析】 试题分析：（1）根据题意列出，满足的方程组，从而求解；（2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程![](./data/image/media/image263.png) 同理∴， i\) 时，， 过定点， ii\) 时，过点， 综上所述，∴过定点； （3）由（2）知 ![](./data/image/media/image27.png)，令时取等号， ∴时，当取等号，即. 考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆的最值问题． 【方法点睛】求解范围问题的常见求法（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 21.（本小题满分12分）已知函数(常数且![](./data/image/media/image27.png)). （1）证明：当时，函数有且只有一个极值点；\[ （2）若函数存在两个极值点，，证明：且. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 ![](./data/image/media/image288.png)不存在极值点；②当时，由，故在上单调递增， ∵，，∴在有且只有一个零点![](./data/image/media/image27.png)， 又∵的零点左侧，，在的零点右侧，，\[来源:学科网\] ∴函数在有且只有一个极值点，综上所述，当时，函数在内有且只有一个极值点；（2）∵为函数存在两个极值点，（不妨设）， ∴，是的两个零点，且由（1）知，必有， 令得；令得； 令得，∴在单调递增，在单调递减， 又∵，∴必有，令，解得， ![](./data/image/media/image323.png) 又∵，∴， 当时，∵，，，∴， 则在![](./data/image/media/image333.wmf)单调递减，∵，∴， 综上可知，且． 考点：1.导数的综合运用；2.分类讨论的数学思想． 【思路点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论． **请考生在第22、23、24题中任意选一题作答。如果多做，则按所做第一题记分。** 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图、、、四点在同一个圆上，与的延长线交于点，点在的延长线上． （1）若，，求的值； （2）若，证明：．![](./data/image/media/image27.png) ![](./data/image/media/image351.png) 【答案】（1）；（2）详见解析. 【解析】 ![](./data/image/media/image353.png) 考点：1.圆的性质；2.相似三角形的判定与性质. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线 的参数方程为：（为参数），曲线C的极坐标方程为：． （1）写出C的直角坐标方程和直![](./data/image/media/image27.png)线的普通方程； （2）设直线与曲线C相交于，两点，求值． 【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】 试题分析：（1）利用，，即可将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线方程与圆方程联立，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解. 试题解析：（1）∵，∴，由，，得， ∴曲线的直角坐标方程为，又由，消去解得， ∴直线的普通方程为；（2）把代入，整理得，设其两根分别为，，，，∴. 考点：1.极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系． 24.（本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲 已知函数,. （1）解不等式； （2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取![](./data/image/media/image27.png)值范围. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 ![](./data/image/media/image397.png) 考点：1.绝对值不等式；2.转化的数学思想．
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）** **数　学（理工农医类）** **参考答案** **一、选择题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。** 1．B　2．A　3．B　4．D　5．C　6．B　7．A　8．D　9．C　10．A **二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分25分。** 11．6；　　 12．（2，1）（或满足*a*=2*b*的任一组非零实数对（*a*,*b*）） 13．--- 14． 15．；0.6 **三、解答题：本大题共6小题，共75分。** 16．本小题主要考查平面向量数量积的计算，解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力。 解： （Ⅰ）设△*ABC*中角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*,*b*,*c*, 则由. （Ⅱ） ＝ ＝ ＝. . 即当. 17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力 ---------- -------- -------- 分　　组 频　数 频　率 4 0.04 25 0.25 30 0.30 29 0.29 10 0.10 2 0.02 合　计 100 1.00 ---------- -------- -------- ![](./data/image/media/image18.jpeg) > （Ⅱ）纤度落在中的概率约为0.30+0.29+0.10＝0.69，纤度小于1.40的概率约为0.04+0.25+×0.30＝0.44. （Ⅲ）总体数据的期望约为 1.32×0.04+1.36×0.25+1.40×0.30+1.44×0.29+1.48×0.10+1.52×0.02＝1.4088. 18．本小题主要考查线面关系、直线与平面成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力. **解法1：** （Ⅰ）是等腰三角形，又*D*是*AB*的中点， 又 （Ⅱ）过点*C*在平面*VD*内作*CH*⊥*VD*于*H*，则由（Ⅰ）知*CH*⊥平面*VAB*.连接*BH*,于是∠*CBH*就是直线*BC*与平面*VAB*所成的角 ![](./data/image/media/image24.jpeg) 在Rt△*CHD*中，设, ， 即直线*BC*与平面*VAB*所成角的取值范围为（0，）. **解法2：** （Ⅰ）以*CA*、*CB*、*CV*所在的直线分别为*x*轴、*y*轴、*z*轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则*C*（0,0,0）,*A*（a,0,0）,*B*（0,a,0）,*D*（）， 从而 同理 ＝- 即 又 ![](./data/image/media/image38.jpeg) （Ⅱ）设直线*BC*与平面*VAB*所成的角为*φ*,平面*VAB*的一个法向量为*n*=（*x*,*y*,*z*）, 则由*n*· 19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力. **解法1：** （Ⅰ）依题意，点*N*的坐标为*N*（0,-*p*）,可设*A*（*x*~1~,*y*~1~）,*B*（*x*~2~,*y*~2~），直线*AB*的方程为*y*=*kx*+*p*,与*x*^2^=2*py*联立得消去*y*得*x*^2^-2*pkx*-2*p*^2^=0. 由韦达定理得*x*~1~+*x*~2~=2*pk*,*x*~1~*x*~2~=-2*p*^2^. 于是 ＝ ＝ ![](./data/image/media/image44.jpeg) . > （Ⅱ）假设满足条件的直线*l*存在，其方程为*y*=*a*,*AC*的中点为径的圆相交于点*P*、*Q*，*PQ*的中点为*H*，则 ＝. = ＝ ![](./data/image/media/image54.jpeg) = 令，得为定值，故满足条件的直线*l*存在，其方程为， 即抛物线的通径所在的直线. **解法2：** （Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得 ＝ 又由点到直线的距离公式得. 从而， （Ⅱ）假设满足条件的直线t存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为 将直线方程y=a代入得 设直线*l*与以*AC*为直径的圆的交点为*P*（*x*~2~,*y*~2~）,*Q*（*x*~4~,*y*~4~）,则有 令为定值，故满足条件的直线*l*存在，其方程为. 即抛物线的通径所在的直线。 20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力 解： （Ⅰ）设*y*=*f*（*x*）与*y*=*g*（*x*）（*x*\>0）在公共点（*x*~0~,*y*~0~）处的切线相同, . 即 即有 令于是 当 当 故为减函数, 于是*h*（*t*）在 （Ⅱ）设 则 故*F*（*x*）在（0，*a*）为减函数，在（*a*,+）为增函数， 于是函数 故当*x*\>0时，有 21．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力. **解法1：** （Ⅰ）证：用数学归纳法证明： （i）当*m*=1时，原不等式成立；当*m*=2时，左边＝1+2*x*+*x*^2^,右边＝1+2*x*,因为*x*^2^≥0, 所以左边≥右边，原不等式成立； （ii）假设当*m*=*k*时，不等式成立，即（1+*x*）*^k^*≥1+*kx*，则当*m*=*k*+1时， 两边同乘以1+*x*得 ， 所以时，不等式也成立。 综合（i）（ii）知，对一切正整数*m*，不等式都成立. （Ⅱ）证：当*n*≥6,*m*≤*n*时，由（Ⅰ）得 于是 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当*n*≥6时， 故只需要讨论*n*=1,2,3,4,5的情形； 当*n*=1时，3≠4，等式不成立； 当*n*=2时，3^2^+4^2^＝5^2^，等式成立； 当*n*=3时，3^3^+4^3^+5^3^＝6^3^，等式成立； 当*n*=4时，3^4^+4^4^+5^4^+6^4^为偶数，而7^4^为奇数，故3^4^+4^4^+5^4^+6^4^≠7^4^,等式不成立； 当*n*=5时，同*n*=4的情形可分析出，等式不成立. 综上，所求的*n*只有*n*=2,3 **解法2：** （Ⅰ）证：当*x*=0或*m*=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当*x*\>-1，且*x*≠0时，*m*≥2,（1+*x*）*m*\>1+*mx*. （i）当*m*=2时，左边＝1+2*x*+*x*^2^,右边＝1+2*x*，因为*x*≠0,所以*x*^2^\>0，即左边\>右边，不等式①成立； > （ii）假设当*m*=*k*（*k*≥2）时，不等式①成立，即（1+*x*）*^k^*\>1+*kx*,则当*m*=*k*+1时，因为*x*\>-1,所以1+*x*\>0.又因为*x*≠0,*k*≥2,所以*kx*^2^\>0. 于是在不等式（1+*x*）*^k^*\>1+*kx*两边同乘以1+*x*得 （1+*x*）*k*·（1+*x*）\>（1+*kx*）（1+*x*）=1+（*k*+1）*x*+*kx*^2^\>1+（*k*+1）*x*, 所以（1+*x*）^*k*+1^\>1+（*k*+1）*x*,即当*m*＝*k*+1时，不等式①也成立 综上所述，所证不等式成立 （Ⅱ）证：当 而由（Ⅰ）， （Ⅲ）解：假设存在正整数成立， 即有（）+＝1② 又由（Ⅱ）可得 （）+ +与②式矛盾， 故当*n*≥6时，不存在满足该等式的正整数*n*。 故只需要讨论*n*=1,2,3,4,5的情形； 当*n*=1时，3≠4，等式不成立； 当*n*=2时，3^2^+4^2^＝5^2^，等式成立； 当*n*=3时，3^3^+4^3^+5^3^＝6^3^，等式成立； 当*n*=4时，3^4^+4^4^+5^4^+6^4^为偶数，而7^4^为奇数，故3^4^+4^4^+5^4^+6^4^≠7^4^,等式不成立； 当*n*=5时，同*n*=4的情形可分析出，等式不成立 综上，所求的*n*只有*n*=2,3
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**2014年上海市高考数学试卷（文科）** 　 **一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。** 1．（4分）函数y=1﹣2cos^2^（2x）的最小正周期是[　 　]{.underline}． 2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+![](./data/image/media/image1.png)）•![](./data/image/media/image2.png)=[　 　]{.underline}． 3．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=\|x﹣1\|+\|x^2^﹣a\|，若f（2）=1，则f（1）=[　 　]{.underline}． 4．（4分）若抛物线y^2^=2px的焦点与椭圆![](./data/image/media/image3.png)的右焦点重合，则该抛物线的准线方程[　 　]{.underline}． 5．（4分）某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况 ，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为[　 　]{.underline}． 6．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x^2^+2y^2^的最小值为[　 　]{.underline}． 7．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为[　 　]{.underline}（结果用反三角函数值表示） 8．（4分）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于[　 　]{.underline}． ![](./data/image/media/image4.png) 9．（4分）设f（x）=![](./data/image/media/image5.png)，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为[　 　]{.underline}． 10．（4分）设无穷等比数列{a~n~}的公比为q，若a~1~=![](./data/image/media/image6.png)（a~3~+a~4~+...a~n~），则q=[　 　]{.underline}． 11．（4分）若f（x）=![](./data/image/media/image7.png)﹣![](./data/image/media/image8.png)，则满足f（x）＜0的x的取值范围是[　 　]{.underline}． 12．（4分）方程sinx+![](./data/image/media/image9.png)cosx=1在闭区间\[0，2π\]上的所有解的和等于[　 　]{.underline}． 13．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是[　 　]{.underline}（结果用最简分数表示）． 14．（4分）已知曲线C：x=﹣![](./data/image/media/image10.png)，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得![](./data/image/media/image11.png)+![](./data/image/media/image12.png)=![](./data/image/media/image13.png)，则m的取值范围为[　 　]{.underline}． 　 **二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分** 15．（5分）设a，b∈R，则"a+b＞4"是"a＞2且b＞2"的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16．（5分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a^2^，b^2^}，则a+b=（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 17．（5分）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，P~i~（i=1，2，...，7）是小正方形的其余顶点，则![](./data/image/media/image14.png)•![](./data/image/media/image15.png)（i=1，2，...，7）的不同值的个数为（　　） ![](./data/image/media/image16.png) A．7 B．5 C．3 D．1 18．（5分）已知P~1~（a~1~，b~1~）与P~2~（a~2~，b~2~）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组![](./data/image/media/image17.png)的解的情况是（　　） A．无论k，P~1~，P~2~如何，总是无解 B．无论k，P~1~，P~2~如何，总有唯一解 C．存在k，P~1~，P~2~，使之恰有两解 D．存在k，P~1~，P~2~，使之有无穷多解 　 **三、解答题（共5小题，满分74分）** 19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P~1~P~2~P~3~，如图，求△P~1~P~2~P~3~的各边长及此三棱锥的体积V． ![](./data/image/media/image18.png) 20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=![](./data/image/media/image19.png)． （1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f^﹣1^（x）； （2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由． 21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β． （1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）． ![](./data/image/media/image20.png) 22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~），记η=（ax~1~+by~1~+c）（ax~2~+by~2~+c），若η＜0，则称点P~1~，P~2~被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P~1~、P~2~被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线． （1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔； （2）若直线y=kx是曲线x^2^﹣4y^2^=1的分隔线，求实数k的取值范围； （3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线． 23．（18分）已知数列{a~n~}满足![](./data/image/media/image21.png)a~n~≤a~n+1~≤3a~n~，n∈N^\*^，a~1~=1． （1）若a~2~=2，a~3~=x，a~4~=9，求x的取值范围； （2）若{a~n~}是等比数列，且a~m~=![](./data/image/media/image22.png)，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{a~n~}的公比； （3）若a~1~，a~2~，...a~100~成等差数列，求数列a~1~，a~2~，...a~100~的公差的取值范围． 　 **2014年上海市高考数学试卷（文科）** **参考答案与试题解析** 　 **一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。** 1．（4分）函数y=1﹣2cos^2^（2x）的最小正周期是[　]{.underline}![](./data/image/media/image23.png)[　]{.underline}． 【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期． 【解答】解：y=1﹣2cos^2^（2x） =﹣\[2cos^2^（2x）﹣1\] =﹣cos4x， ∴函数的最小正周期为T=![](./data/image/media/image24.png)=![](./data/image/media/image23.png) 故答案为：![](./data/image/media/image23.png) 【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题． 　 2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+![](./data/image/media/image25.png)）•![](./data/image/media/image26.png)=[　6　]{.underline}． 【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可． 【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位， 则（z+![](./data/image/media/image25.png)）•![](./data/image/media/image26.png)=![](./data/image/media/image27.png) =（1+2i）（1﹣2i）+1 =1﹣4i^2^+1 =2+4 =6． 故答案为：6 【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查． 　 3．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=\|x﹣1\|+\|x^2^﹣a\|，若f（2）=1，则f（1）=[　3　]{.underline}． 【分析】利用f（x）=\|x﹣1\|+\|x^2^﹣a\|，f（2）=1，求出a，然后求解f（1）即可． 【解答】解：常数a∈R，函数f（x）=\|x﹣1\|+\|x^2^﹣a\|，若f（2）=1， ∴1=\|2﹣1\|+\|2^2^﹣a\|，∴a=4， 函数f（x）=\|x﹣1\|+\|x^2^﹣4\|， ∴f（1）=\|1﹣1\|+\|1^2^﹣4\|=3， 故答案为：3． 【点评】本题考查函数值的求法，基本知识的考查． 　 4．（4分）若抛物线y^2^=2px的焦点与椭圆![](./data/image/media/image28.png)的右焦点重合，则该抛物线的准线方程[　x=﹣2　]{.underline}． 【分析】由题设中的条件y^2^=2px（p＞0）的焦点与椭圆![](./data/image/media/image28.png)的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程 【解答】解：由题意椭圆![](./data/image/media/image28.png)，故它的右焦点坐标是（2，0）， 又y^2^=2px（p＞0）的焦点与椭圆![](./data/image/media/image28.png)右焦点重合， 故![](./data/image/media/image29.png)=2得p=4， ∴抛物线的准线方程为x=﹣![](./data/image/media/image29.png)=﹣2． 故答案为：x=﹣2 【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题． 　 5．（4分）某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况 ，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为[　70　]{.underline}． 【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系，即可得到结论． 【解答】解：∵高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名， ∴若高三抽取20名学生，设共需抽取的学生数为x， 则![](./data/image/media/image30.png)，解得x=90， 则高一、高二共需抽取的学生数为90﹣20=70， 故答案为：70． 【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础． 　 6．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x^2^+2y^2^的最小值为[　2]{.underline}![](./data/image/media/image31.png)[　]{.underline}． 【分析】由已知可得y=![](./data/image/media/image32.png)，代入要求的式子，由基本不等式可得． 【解答】解：∵xy=1， ∴y=![](./data/image/media/image32.png) ∴x^2^+2y^2^=x^2^+![](./data/image/media/image33.png)≥2![](./data/image/media/image34.png)=2![](./data/image/media/image31.png)， 当且仅当x^2^=![](./data/image/media/image35.png)，即x=±![](./data/image/media/image36.png)时取等号， 故答案为：2![](./data/image/media/image37.png) 【点评】本题考查基本不等式，属基础题． 　 7．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为[　arcsin]{.underline}![](./data/image/media/image38.png)[　]{.underline}（结果用反三角函数值表示） 【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与轴所成角的正弦值，进而可得母线与轴所成角． 【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ， ∵圆锥的侧面积是底面积的3倍， ∴![](./data/image/media/image39.png)=![](./data/image/media/image40.png)=3， 即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍， 故圆锥的轴截面如下图所示： ![](./data/image/media/image41.png) 则sinθ=![](./data/image/media/image42.png)=![](./data/image/media/image43.png)， ∴θ=arcsin![](./data/image/media/image43.png)， 故答案为：arcsin![](./data/image/media/image43.png) 【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键． 　 8．（4分）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于[　24　]{.underline}． ![](./data/image/media/image44.png) 【分析】由已知中的三视图，分别判断切割前后几何体的形状，并分别计算出切割前后几何体的体积，相减可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图，可知： 大长方体的长，宽，高分别为：3，4，5， 故大长方体的体积为：60， 切去两个小长方体后的几何体是一个以主视图为底面，高为3的柱体， 其底面面积为4×5﹣2×2×2×2=12， 故切去两个小长方体后的几何体的体积为：12×3=36， 故切割掉的两个小长方体的体积之和为：60﹣36=24， 故答案为：24 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析出几何体的形状是解答的关键． 　 9．（4分）设f（x）=![](./data/image/media/image45.png)，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为[　（﹣∞，2\]　]{.underline}． 【分析】分别由f（0）=a，x![](./data/image/media/image46.png)≥2，a≤x+![](./data/image/media/image47.png)综合得出a的取值范围． 【解答】解：当x=0时，f（0）=a， 由题意得：a≤x+![](./data/image/media/image47.png)， 又∵x+![](./data/image/media/image47.png)≥2![](./data/image/media/image48.png)=2， ∴a≤2， 故答案为：（﹣∞，2\]． 【点评】本题考察了分段函数的应用，基本不等式的性质，是一道基础题． 　 10．（4分）设无穷等比数列{a~n~}的公比为q，若a~1~=![](./data/image/media/image49.png)（a~3~+a~4~+...a~n~），则q=[　]{.underline}![](./data/image/media/image50.png)[　]{.underline}． 【分析】由已知条件推导出a~1~=![](./data/image/media/image51.png)，由此能求出q的值． 【解答】解：∵无穷等比数列{a~n~}的公比为q， a~1~=![](./data/image/media/image49.png)（a~3~+a~4~+...a~n~） =![](./data/image/media/image49.png)（![](./data/image/media/image52.png)﹣a~1~﹣a~1~q） =![](./data/image/media/image53.png)， ∴q^2^+q﹣1=0， 解得q=![](./data/image/media/image54.png)或q=![](./data/image/media/image55.png)（舍）． 故答案为：![](./data/image/media/image54.png)． 【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用． 　 11．（4分）若f（x）=![](./data/image/media/image56.png)﹣![](./data/image/media/image57.png)，则满足f（x）＜0的x的取值范围是[　（0，1）　]{.underline}． 【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可． 【解答】解：f（x）=![](./data/image/media/image56.png)﹣![](./data/image/media/image57.png)，若满足f（x）＜0， 即![](./data/image/media/image56.png)＜![](./data/image/media/image57.png)， ∴![](./data/image/media/image58.png)， ∵y=![](./data/image/media/image59.png)是增函数， ∴![](./data/image/media/image60.png)的解集为：（0，1）． 故答案为：（0，1）． 【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力． 　 12．（4分）方程sinx+![](./data/image/media/image61.png)cosx=1在闭区间\[0，2π\]上的所有解的和等于[　]{.underline}![](./data/image/media/image62.png)[　]{.underline}． 【分析】由三角函数公式可得sin（x+![](./data/image/media/image63.png)）=![](./data/image/media/image64.png)，可知x+![](./data/image/media/image63.png)=2kπ+![](./data/image/media/image65.png)，或x+![](./data/image/media/image66.png)=2kπ+![](./data/image/media/image67.png)，k∈Z，结合x∈\[0，2π\]，可得x值，求和即可． 【解答】解：∵sinx+![](./data/image/media/image68.png)cosx=1， ∴![](./data/image/media/image69.png)sinx+![](./data/image/media/image70.png)cosx=![](./data/image/media/image69.png)， 即sin（x+![](./data/image/media/image66.png)）=![](./data/image/media/image69.png)， 可知x+![](./data/image/media/image71.png)=2kπ+![](./data/image/media/image72.png)，或x+![](./data/image/media/image71.png)=2kπ+![](./data/image/media/image73.png)，k∈Z， 又∵x∈\[0，2π\]， ∴x=![](./data/image/media/image74.png)，或x=![](./data/image/media/image75.png)， ∴![](./data/image/media/image74.png)+![](./data/image/media/image75.png)=![](./data/image/media/image76.png) 故答案为：![](./data/image/media/image77.png)． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题． 　 13．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是[　]{.underline}![](./data/image/media/image78.png)[　]{.underline}（结果用最简分数表示）． 【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况， 再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案． 【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有![](./data/image/media/image79.png)种情况， 其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6）， （5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10）， ∴选择的3天恰好为连续3天的概率是![](./data/image/media/image80.png)， 故答案为：![](./data/image/media/image78.png)． 【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题． 　 14．（4分）已知曲线C：x=﹣![](./data/image/media/image81.png)，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得![](./data/image/media/image82.png)+![](./data/image/media/image83.png)=![](./data/image/media/image84.png)，则m的取值范围为[　\[2，3\]　]{.underline}． 【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过![](./data/image/media/image82.png)+![](./data/image/media/image83.png)=![](./data/image/media/image84.png)，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可． 【解答】解：曲线C：x=﹣![](./data/image/media/image81.png)，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x~P~∈\[﹣2，0\]， 对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得![](./data/image/media/image85.png)+![](./data/image/media/image86.png)=![](./data/image/media/image87.png)， 说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6， ∴m=![](./data/image/media/image88.png)∈\[2，3\]． 故答案为：\[2，3\]． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想． 　 **二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分** 15．（5分）设a，b∈R，则"a+b＞4"是"a＞2且b＞2"的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定． 【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立， 若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立， 故"a+b＞4"是"a＞2且b＞2"的必要不充分条件， 故选：B． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础． 　 16．（5分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a^2^，b^2^}，则a+b=（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论． 【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a^2^，b^2^}， 则![](./data/image/media/image89.png)①或![](./data/image/media/image90.png)②， 由①得![](./data/image/media/image91.png)， ∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件． 由②得，若b=a^2^，a=b^2^，则两式相减得a^2^﹣b^2^=b﹣a，即（a﹣b）（a+b）=﹣（a﹣b）， ∵互异的复数a，b， ∴a﹣b≠0，即a+b=﹣1， 故选：D． 【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论． 　 17．（5分）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，P~i~（i=1，2，...，7）是小正方形的其余顶点，则![](./data/image/media/image92.png)•![](./data/image/media/image93.png)（i=1，2，...，7）的不同值的个数为（　　） ![](./data/image/media/image94.png) A．7 B．5 C．3 D．1 【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标分别求出数量积，由结果可得答案． 【解答】解：如图建立平面直角坐标系， 则A（0，0），B（0，2），P~1~（0，1），P~2~（1，0），P~3~（1，1），P~4~（1，2），P~5~（2，0），P~6~（2，1），P~7~（2，2）， ∴![](./data/image/media/image95.png)，![](./data/image/media/image96.png)=（0，1），![](./data/image/media/image97.png)=（1，0），![](./data/image/media/image98.png)=（1，1），![](./data/image/media/image99.png)=（1，2），![](./data/image/media/image100.png)=（2，0），![](./data/image/media/image101.png)=（2，1），![](./data/image/media/image102.png)=（2，2）， ∴![](./data/image/media/image103.png)=2，![](./data/image/media/image104.png)=0，![](./data/image/media/image105.png)=2，![](./data/image/media/image106.png)=4，![](./data/image/media/image107.png)=0，![](./data/image/media/image108.png)=2，![](./data/image/media/image109.png)=4， ∴![](./data/image/media/image110.png)•![](./data/image/media/image111.png)（i=1，2，...，7）的不同值的个数为3， 故选：C． ![](./data/image/media/image112.png) 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，属基础题． 　 18．（5分）已知P~1~（a~1~，b~1~）与P~2~（a~2~，b~2~）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组![](./data/image/media/image113.png)的解的情况是（　　） A．无论k，P~1~，P~2~如何，总是无解 B．无论k，P~1~，P~2~如何，总有唯一解 C．存在k，P~1~，P~2~，使之恰有两解 D．存在k，P~1~，P~2~，使之有无穷多解 【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a~1~，b~1~，P~2~，a~2~，b~2~的关系，然后求解方程组的解即可． 【解答】解：P~1~（a~1~，b~1~）与P~2~（a~2~，b~2~）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在， ∴k=![](./data/image/media/image114.png)，即a~1~≠a~2~，并且b~1~=ka~1~+1，b~2~=ka~2~+1，∴a~2~b~1~﹣a~1~b~2~=ka~1~a~2~﹣ka~1~a~2~+a~2~﹣a~1~=a~2~﹣a~1~ ![](./data/image/media/image115.png)， ①×b~2~﹣②×b~1~得：（a~1~b~2~﹣a~2~b~1~）x=b~2~﹣b~1~， 即（a~1~﹣a~2~）x=b~2~﹣b~1~． ∴方程组有唯一解． 故选：B． 【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用． 　 **三、解答题（共5小题，满分74分）** 19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P~1~P~2~P~3~，如图，求△P~1~P~2~P~3~的各边长及此三棱锥的体积V． ![](./data/image/media/image116.png) 【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P~1~P~2~P~3~是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积． 【解答】解：根据题意可得：P~1~，B，P~2~共线，∵∠ABP~1~=∠BAP~1~=∠CBP~2~，∠ABC=60°， ∴∠ABP~1~=∠BAP~1~=∠CBP~2~=60°， ∴∠P~1~=60°，同理∠P~2~=∠P~3~=60°， ∴△P~1~P~2~P~3~是等边三角形，P﹣ABC是正四面体， ∴△P~1~P~2~P~3~的边长为4， V~P﹣ABC~=![](./data/image/media/image117.png)=![](./data/image/media/image118.png) 【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法． 　 20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=![](./data/image/media/image119.png)． （1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f^﹣1^（x）； （2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由． 【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出， （2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决． 【解答】解：（1）∵a=4， ∴![](./data/image/media/image120.png) ∴![](./data/image/media/image121.png)， ∴![](./data/image/media/image122.png)， ∴调换x，y的位置可得![](./data/image/media/image123.png)，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． （2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立， ∴![](./data/image/media/image124.png)=![](./data/image/media/image125.png)，整理可得a（2^x^﹣2^﹣x^）=0． ∵2^x^﹣2^﹣x^不恒为0， ∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件； 若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立， ∴![](./data/image/media/image124.png)=﹣![](./data/image/media/image126.png)，整理可得a^2^﹣1=0， ∴a=±1， ∵a≥0， ∴a=1， 此时f（x）=![](./data/image/media/image127.png)，满足条件； 当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数 综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数 【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题． 　 21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β． （1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）． ![](./data/image/media/image128.png) 【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论． （2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论． 【解答】解：（1）设CD的长为x米，则tanα=![](./data/image/media/image129.png)，tanβ=![](./data/image/media/image130.png)， ∵0![](./data/image/media/image131.png)， ∴tanα≥tan2β＞0， ∴tan![](./data/image/media/image132.png)， 即![](./data/image/media/image133.png)=![](./data/image/media/image134.png)， 解得0![](./data/image/media/image135.png)≈28.28， 即CD的长至多为28.28米． （2）设DB=a，DA=b，CD=m， 则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°， 由正弦定理得![](./data/image/media/image136.png)， 即a=![](./data/image/media/image137.png)， ∴m=![](./data/image/media/image138.png)≈26.93， 答：CD的长为26.93米． 【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键． 　 22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P~1~（x~1~，y~1~），P~2~（x~2~，y~2~），记η=（ax~1~+by~1~+c）（ax~2~+by~2~+c），若η＜0，则称点P~1~，P~2~被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P~1~、P~2~被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线． （1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔； （2）若直线y=kx是曲线x^2^﹣4y^2^=1的分隔线，求实数k的取值范围； （3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线． 【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax~1~+by~1~+c）（ax~2~+by~2~+c），再根据η＜0，得出结论． （2）联立![](./data/image/media/image139.png) 可得 （1﹣4k^2^）x^2^=1，根据此方程无解，可得1﹣4k^2^≤0，从而求得k的范围． （3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为\[x^2^+（y﹣2）^2^\]x^2^=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P~1~、P~2~的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线． 【解答】解：（1）把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1可得η=（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0， ∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0分隔． （2）联立![](./data/image/media/image139.png) 可得 （1﹣4k^2^）x^2^=1，根据题意，此方程无解，故有1﹣4k^2^≤0， ∴\|k\|≥![](./data/image/media/image140.png)．当\|k\|≥![](./data/image/media/image140.png)时，对于直线y=kx，曲线x^2^﹣4y^2^=1上的点（﹣1，0）和（1，0）满足η=﹣k^2^＜0，即点（﹣1，0）和（1，0）被y=kx分隔． 故实数k的取值范围是（﹣∞，﹣![](./data/image/media/image141.png)\]∪\[![](./data/image/media/image141.png)，+∞）． （3）设点M（x，y），则 ![](./data/image/media/image142.png)•\|x\|=1，故曲线E的方程为\[x^2^+（y﹣2）^2^\]x^2^=1 ①． 对任意的y~0~，（0，y~0~）不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点． 又曲线E上的点（1，2）、（﹣1，2）对于y轴（x=0）满足η=1×（﹣1）=﹣1＜0，即点（﹣1，2）和（1，2）被y轴分隔，所以y轴为曲线E的分隔线． 【点评】本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题． 　 23．（18分）已知数列{a~n~}满足![](./data/image/media/image143.png)a~n~≤a~n+1~≤3a~n~，n∈N^\*^，a~1~=1． （1）若a~2~=2，a~3~=x，a~4~=9，求x的取值范围； （2）若{a~n~}是等比数列，且a~m~=![](./data/image/media/image144.png)，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{a~n~}的公比； （3）若a~1~，a~2~，...a~100~成等差数列，求数列a~1~，a~2~，...a~100~的公差的取值范围． 【分析】（1）由题意可得：![](./data/image/media/image145.png)，![](./data/image/media/image146.png)，代入解出即可； （2）设公比为q，由已知可得，![](./data/image/media/image147.png)，由于![](./data/image/media/image148.png)，可得![](./data/image/media/image149.png)．而![](./data/image/media/image150.png)，可得![](./data/image/media/image151.png)，再利用对数的运算法则和性质即可得出． （3）设公差为d，由已知可得![](./data/image/media/image152.png)3\[1+（n﹣2）d\]，其中2≤n≤100，即![](./data/image/media/image153.png)，解出即可． 【解答】解；（1）由题意可得：![](./data/image/media/image154.png)，∴![](./data/image/media/image155.png)； 又![](./data/image/media/image156.png)，∴3≤x≤27． 综上可得：3≤x≤6． （2）设公比为q，由已知可得，![](./data/image/media/image157.png)，又![](./data/image/media/image158.png)， ∴![](./data/image/media/image159.png)．因此![](./data/image/media/image160.png)， ∴![](./data/image/media/image161.png)， ∴m=1﹣log~q~1000=![](./data/image/media/image162.png)=1﹣![](./data/image/media/image163.png)![](./data/image/media/image164.png)=![](./data/image/media/image165.png)≈7.29． ∴m的最小值是8，因此q^7^=![](./data/image/media/image166.png)， ∴![](./data/image/media/image167.png)=![](./data/image/media/image168.png)． （3）设公差为d，由已知可得![](./data/image/media/image169.png)≤1+nd≤3\[1+（n﹣1）d\] 即![](./data/image/media/image170.png)， 令n=1，得![](./data/image/media/image171.png)． 当2≤n≤99时，不等式即![](./data/image/media/image172.png)，![](./data/image/media/image173.png)． ∴![](./data/image/media/image174.png)． 综上可得：公差d的取值范围是![](./data/image/media/image175.png)． 【点评】本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质、对数的运算法则等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 　
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**目 录** 2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国I卷) 1 2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国II卷) 11 2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国III卷) 20 2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国I卷) 31 2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国II卷) 40 2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国III卷） 48 2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（北京卷） 57 2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（天津卷） 67 2018年普通高等学校招生全国统一考试 数学（浙江卷） 77 2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国I卷） 88 2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国II卷） 98 2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国III卷） 107 2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（北京卷） 117 2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（天津卷） 125 2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学（浙江卷） 135 2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（山东卷) 145 2016年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国I卷） 155 2016年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国II卷） 167 2016年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国III卷） 177 2016年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（北京卷） 188 2016年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（天津卷） 197 2016年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（山东卷） 209 2015年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国I卷） 221 2015年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国II卷） 231 2015年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（北京卷） 241 2015年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（天津卷） 250 2015年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（山东卷） 259 2014年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国I卷） 269 2014年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国II卷） 280 2014年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（北京卷） 289 2014年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（天津卷） 298 2014年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（山东卷） 307 ![](./data/image/media/image3.png)**绝密★启用前** 2019年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（全国Ⅰ卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，则= > A．2 B． C． D．1 2．已知集合，则![](./data/image/media/image9.png) > A． B． C． D． 3．已知，则 > A．![](./data/image/media/image15.wmf) B．![](./data/image/media/image16.wmf) C．![](./data/image/media/image17.wmf) D．![](./data/image/media/image18.wmf) 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的"断臂维纳斯"便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 ![](./data/image/media/image22.png) > A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 5．函数*f*(*x*)=在\[-π，π\]的图像大致为 > A．![](./data/image/media/image24.png) B．![](./data/image/media/image25.png) > > C．![](./data/image/media/image26.png) D．![](./data/image/media/image27.png) 6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，...，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 > A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生 7．tan255°= > A．-2- B．-2+ C．2- D．2+ 8．已知非零向量***a***，***b***满足*=*2，且（***a***-***b***）***b***，则***a***与***b***的夹角为 > A． B． C． D． 9．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入 ![](./data/image/media/image40.png) > A．*A*= B．*A*= C．*A*= D．*A*= 10．双曲线*C*：的一条渐近线的倾斜角为130°，则*C*的离心率为 > A．2sin40° B．2cos40° C． D． 11．△*ABC*的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，已知*a*sin*A*-*b*sin*B*=4*c*sin*C*，cos*A*=-，则= > A．6 B．5 C．4 D．3 12．已知椭圆*C*的焦点为，过*F*~2~的直线与*C*交于*A*，*B*两点.若，，则*C*的方程为 > A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线在点处的切线方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． 14．记*S~n~*为等比数列{*a~n~*}的前*n*项和.若，则*S*~4~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． 15．函数的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． 16．已知∠*ACB=*90°，*P*为平面*ABC*外一点，*PC*=2，点*P*到∠*ACB*两边*AC*，*BC*的距离均为，那么*P*到平面*ABC*的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17．（12分） > 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： -------- ------ -------- 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 -------- ------ -------- > （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； > > （2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ > > 附：． ------------------- ------- ------- -------- *P*（*K*^2^≥*k*） 0.050 0.010 0.001 *k* 3.841 6.635 10.828 ------------------- ------- ------- -------- 18．（12分） > 记*S~n~*为等差数列{*a~n~*}的前*n*项和，已知*S*~9~=-*a*~5~． > > （1）若*a*~3~=4，求{*a~n~*}的通项公式； > > （2）若*a*~1~\>0，求使得*S~n~*≥*a~n~*的*n*的取值范围． 19．（12分） > 如图，直四棱柱*ABCD--A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的底面是菱形，*AA*~1~=4，*AB*=2，∠*BAD*=60°，*E*，*M*，*N*分别是*BC*，*BB*~1~，*A*~1~*D*的中点. ![](./data/image/media/image63.png) > （1）证明：*MN*∥平面*C*~1~*DE*； > > （2）求点*C*到平面*C*~1~*DE*的距离． 20．（12分） > 已知函数*f*（*x*）=2sin*x*-*x*cos*x*-*x*，*f ′*（*x*）为*f*（*x*）的导数． > > （1）证明：*f ′*（*x*）在区间（0，π）存在唯一零点； > > （2）若*x*∈\[0，π\]时，*f*（*x*）≥*ax*，求*a*的取值范围． 21.（12分） > 已知点*A*，*B*关于坐标原点*O*对称，│*AB*│ =4，⊙*M*过点*A*，*B*且与直线*x*+2=0相切． > > （1）若*A*在直线*x*+*y*=0上，求⊙*M*的半径； > > （2）是否存在定点*P*，使得当*A*运动时，│*MA*│-│*MP*│为定值？并说明理由． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．\[选修4−4：坐标系与参数方程\]（10分） > 在直角坐标系*xOy*中，曲线*C*的参数方程为（*t*为参数），以坐标原点*O*为极点，*x*轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线*l*的极坐标方程为![](./data/image/media/image65.wmf)． > > （1）求*C*和*l*的直角坐标方程； > > （2）求*C*上的点到*l*距离的最小值． 23．\[选修4−5：不等式选讲\]（10分） > 已知*a*，*b*，*c*为正数，且满足*abc*=1．证明： > > （1）； > > （2）． **2019年普通高等学校招生全国统一考试** **文科数学·参考答案** 一、选择题 1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 7．D 8．B 9．A 10．D 11．A 12．B 二、填空题 13．*y*=3*x* 14． 15．−4 16． 三、解答题 17．解： > （1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8． > > 女顾客中对该商场服务满意的比率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6． > > （2）． > > 由于，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18．解： > （1）设的公差为*d*． > > 由得． > > 由*a*~3~=4得． > > 于是． > > 因此的通项公式为． > > （2）由（1）得，故. > > 由知，故等价于，解得1≤*n*≤10． > > 所以*n*的取值范围是． 19．解： > （1）连结.因为*M*，*E*分别为的中点，所以，且.又因为*N*为的中点，所以. > > 由题设知，可得，故，因此四边形*MNDE*为平行四边形，.又平面，所以*MN*∥平面. （2）过*C*作*C*~1~*E*的垂线，垂足为*H*. 由已知可得，，所以*DE*⊥平面，故*DE*⊥*CH.* 从而*CH*⊥平面，故*CH*的长即为*C*到平面的距离， 由已知可得*CE*=1，*C*~1~*C*=4，所以，故. 从而点*C*到平面的距离为. ![](./data/image/media/image105.png) 20．解： （1）设，则. > 当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减. 又，故在存在唯一零点. 所以在存在唯一零点. （2）由题设知，可得*a*≤0. > 由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减. 又，所以，当时，. 又当时，*ax*≤0，故. 因此，*a*的取值范围是. > 21．解：（1）因为过点，所以圆心*M*在*AB*的垂直平分线上.由已知*A*在直线上，且关于坐标原点*O*对称，所以*M*在直线上，故可设. 因为与直线*x*+2=0相切，所以的半径为. 由已知得，又，故可得，解得或. 故的半径或. （2）存在定点，使得为定值. 理由如下： 设，由已知得的半径为. 由于，故可得，化简得*M*的轨迹方程为. 因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以. 因为，所以存在满足条件的定点*P*. > 22．解：（1）因为，且，所以*C*的直角坐标方程为. > > 的直角坐标方程为. > > （2）由（1）可设*C*的参数方程为（为参数，）. > > *C*上的点到的距离为. > > 当时，取得最小值7，故*C*上的点到距离的最小值为. 23．解：（1）因为，又，故有 > . > > 所以. > > （2）因为为正数且，故有 > > =24. > > 所以. ![](./data/image/media/image179.png)**绝密★启用前** 2019年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（全国‖卷） 本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则*A*∩*B*= > A．(-1，+∞) B．(-∞，2) > > C．(-1，2) D． 2．设*z*=i(2+i)，则= > A．1+2i B．-1+2i > > C．1-2i D．-1-2i 3．已知向量***a***=(2，3)，***b***=(3，2)，则\|***a***-***b*\|**= > A． B．2 > > C．5 D．50 4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 > A． B． > > C． D． 5．在"一带一路"知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． > 甲：我的成绩比乙高． > > 乙：丙的成绩比我和甲的都高． > > 丙：我的成绩比乙高． > > 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 > > A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 > > C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 6．设*f*(*x*)为奇函数，且当*x*≥0时，*f*(*x*)=，则当*x*\<0时，*f*(*x*)= > A． B． > > C． D． 7．设*α*，*β*为两个平面，则*α*∥*β*的充要条件是 > A．*α*内有无数条直线与*β*平行 > > B．*α*内有两条相交直线与*β*平行 > > C．*α*，*β*平行于同一条直线 > > D．*α*，*β*垂直于同一平面 8．若*x*~1~=，*x*~2~=是函数*f*(*x*)=(\>0)两个相邻的极值点，则= > A．2 B． > > C．1 D． 9．若抛物线*y*^2^=2*px*（*p*\>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则*p*= > A．2 B．3 > > C．4 D．8 10．曲线*y*=2sin*x*+cos*x*在点(π，-1)处的切线方程为 > A． B． > > C． D． 11．已知*a*∈（0，），2sin2*α*=cos2*α*+1，则sin*α*= > A． B． > > C． D． 12．设*F*为双曲线*C*：（*a*\>0，*b*\>0）的右焦点，*O*为坐标原点，以*OF*为直径的圆与圆*x*^2^+*y*^2^=*a*^2^交于*P*、*Q*两点．若\|*PQ*\|=\|*OF*\|，则*C*的离心率为 > A． B． > > C．2 D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 > 13．若变量*x*，*y*满足约束条件则*z*=3*x*--*y*的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. > > 14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. > > 15．的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*．已知*b*sin*A*+*a*cos*B*=0，则*B*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是"半正多面体"（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有\_\_\_\_\_\_\_\_个面，其棱长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（本题第一空2分，第二空3分．） ![](./data/image/media/image217.png) 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分） > 如图，长方体*ABCD*--*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的底面*ABCD*是正方形，点*E*在棱*AA*~1~上，*BE*⊥*EC*~1~． > > ![](./data/image/media/image218.png) > > （1）证明：*BE*⊥平面*EB*~1~*C*~1~； > > （2）若*AE*=*A*~1~*E*，*AB*=3，求四棱锥的体积． 18．（12分） 已知是各项均为正数的等比数列，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前*n*项和． 19．（12分） > 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率*y*的频数分布表． -------- --- ---- ---- ---- --- 的分组 企业数 2 24 53 14 7 -------- --- ---- ---- ---- --- > （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； > > （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01） > > 附：. 20．（12分） > 已知是椭圆的两个焦点，*P*为*C*上一点，*O*为坐标原点． > > （1）若为等边三角形，求*C*的离心率； > > （2）如果存在点*P*，使得，且的面积等于16，求*b*的值和*a*的取值范围． 21．（12分） > 已知函数．证明： > > （1）存在唯一的极值点； > > （2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分． 22．\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分） > 在极坐标系中，*O*为极点，点在曲线上，直线*l*过点且与垂直，垂足为*P*. > > （1）当时，求及*l*的极坐标方程； > > （2）当*M*在*C*上运动且*P*在线段*OM*上时，求*P*点轨迹的极坐标方程. 23．\[选修4-5：不等式选讲\]（10分） > 已知 > > （1）当时，求不等式的解集； > > （2）若时，，求的取值范围. 2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学·参考答案 1．C 2．D 3．A 4．B 5．A 6．D 7．B 8．A 9．D 10．C 11．B 12．A 13．9 14．0.98 15． 16．26； 17．解：（1）由已知得*B*~1~*C*~1~⊥平面*ABB*~1~*A*~1~，*BE*平面*ABB*~1~*A*~1~， > 故． > > 又，所以*BE*⊥平面． > > （2）由（1）知∠*BEB*~1~=90°.由题设知Rt△*ABE*≌Rt△*A*~1~*B*~1~*E*，所以，故*AE*=*AB*=3，. > > 作，垂足为*F*，则*EF*⊥平面，且． > > 所以，四棱锥的体积． ![](./data/image/media/image265.png) 18．解：（1）设的公比为*q*，由题设得 ，即． 解得（舍去）或*q*=4． 因此的通项公式为． > （2）由（1）得，因此数列的前*n*项和为． > > 19．解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为． > > 产值负增长的企业频率为． > > 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%． > > （2）， > > ， > > ， > > 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%． > > 20．解：（1）连结，由为等边三角形可知在中，，，，于是，故的离心率是. > > （2）由题意可知，满足条件的点存在．当且仅当，，，即，① > > ，② > > ，③ > > 由②③及得，又由①知，故． > > 由②③得，所以，从而故. > > 当，时，存在满足条件的点*P*． > > 所以，的取值范围为． 21．解：（1）的定义域为（0，+）. > . > > 因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又， > > ，故存在唯一，使得. > > 又当时，，单调递减；当时，，单调递增. > > 因此，存在唯一的极值点. > > （2）由（1）知，又，所以在内存在唯一根. > > 由得. > > 又，故是在的唯一根. > > 综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 22．解：（1）因为在*C*上，当时，. 由已知得. 设为*l*上除*P*的任意一点.在中，， 经检验，点在曲线上． 所以，*l*的极坐标方程为． （2）设，在中， 即． 因为*P*在线段*OM*上，且，故的取值范围是. 所以，*P*点轨迹的极坐标方程为 . 23．解：（1）当*a*=1时，. > 当时，；当时，. > > 所以，不等式的解集为. > > （2）因为，所以. > > 当，时，. > > 所以，的取值范围是． ![](./data/image/media/image363.png)**绝密★启用前** 2019年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（全国‖卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则 > A． B． C． D． 2．若，则*z*= > A． B． C． D． 3．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A． B． C． D． 4．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 > A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 5．函数在\[0，2π\]的零点个数为 > A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知各项均为正数的等比数列{*a~n~*}的前4项和为15，且*a*~5~=3*a*~3~+4*a*~1~，则*a*~3~= > A．16 B．8 C．4 D．2 7．已知曲线在点（1，*ae*）处的切线方程为*y*=2*x*+*b*，则 > A．*a*=e，*b*=--1 B．*a*=e，*b*=1 C．*a*=e^--1^，*b*=1 D．*a*=e^--1^， 8．如图，点*N*为正方形*ABCD*的中心，△*ECD*为正三角形，平面*ECD*⊥平面*ABCD*，*M*是线段*ED*的中点，则 ![](./data/image/media/image382.png) > A．*BM*=*EN*，且直线*BM*，*EN*是相交直线B．*BM*≠*EN*，且直线*BM*，*EN*是相交直线C．*BM*=*EN*，且直线*BM*，*EN*是异面直线 > > D．*BM*≠*EN*，且直线*BM*，*EN*是异面直线 9．执行下边的程序框图，如果输入的为，则输出的值等于 ![](./data/image/media/image386.png) > A. B. C. D. 10．已知*F*是双曲线*C*：的一个焦点，点*P*在*C*上，*O*为坐标原点，若，则的面积为 > A． B． C． D． 11．记不等式组表示的平面区域为D．命题；命题．下面给出了四个命题 > ① ② ③ ④ > > 这四个命题中，所有真命题的编号是 > > A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 12．设是定义域为**R**的偶函数，且在单调递减，则 A．（log~3~）＞（）＞（） B．（log~3~）＞（）＞（） C．（）＞（）＞（log~3~） D．（）＞（）＞（log~3~） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 14．记*S~n~*为等差数列{*a~n~*}的前*n*项和，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 15．设为椭圆*C*:的两个焦点，*M*为*C*上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则*M*的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 16．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥*O*­−*EFGH*后所得的几何体，其中*O*为长方体的中心，*E*，*F*，*G*，*H*分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm^3^，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_g. ![](./data/image/media/image440.png) 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分） > 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成*A*，*B*两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图： ![](./data/image/media/image441.png) > 记*C*为事件："乙离子残留在体内的百分比不低于5.5"，根据直方图得到*P*（*C*）的估计值为0.70． > > （1）求乙离子残留百分比直方图中*a*，*b*的值； > > （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 18．（12分） > 的内角*A*、*B*、*C*的对边分别为*a*、*b*、*c*．已知． > > （1）求*B*； > > （2）若△*ABC*为锐角三角形，且*c*=1，求△*ABC*面积的取值范围． 19．（12分） > 图1是由矩形*ADEB*，*ABC*和菱形*BFGC*组成的一个平面图形，其中*AB*=1，*BE*=*BF*=2， > > ∠*FBC*=60°．将其沿*AB*，*BC*折起使得*BE*与*BF*重合，连结*DG*，如图2． （1）证明：图2中的*A*，*C*，*G*，*D*四点共面，且平面*ABC*⊥平面*BCGE*； （2）求图2中的四边形*ACGD*的面积. ![](./data/image/media/image445.png) 20．（12分） > 已知函数． > > （1）讨论的单调性； > > （2）当0\<*a*\<3时，记在区间\[0，1\]的最大值为*M*，最小值为*m*，求的取值范围． 21．（12分） > 已知曲线*C*：*y*=，*D*为直线*y*=上的动点，过*D*作*C*的两条切线，切点分别为*A*，*B*． > > （1）证明：直线*AB*过定点： > > （2）若以*E*(0，)为圆心的圆与直线*AB*相切，且切点为线段*AB*的中点，求该圆的方程． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．\[选修4--4：坐标系与参数方程\]（10分） > 如图，在极坐标系*Ox*中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧. > > （1）分别写出，，的极坐标方程； > > （2）曲线由，，构成，若点在*M*上，且，求*P*的极坐标. > > ![](./data/image/media/image478.png) 23．\[选修4--5：不等式选讲\]（10分） > 设，且． > > （1）求的最小值； > > （2）若成立，证明：或. 2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学·参考答案 一、选择题 1．A 2．D 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D 8．B 9．C 10．B 11．A 12．C 二、填空题 13． 14．100 15． 16．118.8 三、解答题 17．解：（1）由已知得0.70=*a*+0.20+0.15，故*a*=0.35． > *b*=1--0.05--0.15--0.70=0.10． > > （2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 > > 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． > > 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 > > 3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00． 18．解：（1）由题设及正弦定理得． > 因为sin*A*0，所以． > > 由，可得，故． > > 因为，故，因此*B*=60°． > > （2）由题设及（1）知的面积． > > 由正弦定理得． > > 由于为锐角三角形，故0°\<*A*\<90°，0°\<*C*\<90°.由（1）知*A*+*C*=120°，所以30°\<*C*\<90°，故，从而． > > 因此，面积的取值范围是． 19．解：（1）由已知得*ADBE*，*CGBE*，所以*ADCG*，故*AD*，*CG*确定一个平面，从而*A*，*C*，*G*，*D*四点共面． > 由已知得*ABBE*，*ABBC*，故*AB*平面*BCGE*． > > 又因为*AB*平面*ABC*，所以平面*ABC*平面*BCGE*． （2）取*CG*的中点*M*，连结*EM*，*DM.* 因为*AB*∥*DE*，*AB*平面*BCGE*，所以*DE*平面*BCGE*，故*DECG*. 由已知，四边形*BCGE*是菱形，且∠*EBC*=60°得*EMCG*，故*CG*平面*DEM*． 因此*DMCG*． 在*DEM*中，*DE*=1，*EM*=，故*DM*=2． 所以四边形*ACGD*的面积为4． ![](./data/image/media/image507.png) 20．解：（1）． > 令，得*x*=0或． > > 若*a*\>0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减； > > 若*a*=0，在单调递增； > > 若*a*\<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减． > > （2）当时，由（1）知，在单调递减，在单调递增，所以在\[0*,*1\]的最小值为，最大值为或.于是 > > ， > > 所以 > > 当时，可知单调递减，所以的取值范围是． > > 当时，单调递增，所以的取值范围是． > > 综上，的取值范围是． 21．解：（1）设，则． 由于，所以切线*DA*的斜率为，故． 整理得 设，同理可得． 故直线*AB*的方程为． 所以直线*AB*过定点． （2）由（1）得直线*AB*的方程为． 由，可得． 于是. 设*M*为线段*AB*的中点，则． > 由于，而，与向量平行，所以．解得*t*=0或． 当=0时，=2，所求圆的方程为； 当时，，所求圆的方程为． 22．解：（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，. > 所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为. > > （2）设，由题设及（1）知 > > 若，则，解得； > > 若，则，解得或； > > 若，则，解得． > > 综上，*P*的极坐标为或或或. 23．解：（1）由于 > ， > > 故由已知得， > > 当且仅当*x*=，，时等号成立． > > 所以的最小值为． > > （2）由于 > > ， > > 故由已知得， > > 当且仅当，，时等号成立． > > 因此的最小值为． > > 由题设知，解得或． ![](./data/image/media/image612.png)**绝密★启用前** 2018年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（全国Ⅰ卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则【A】 > A． B． C． D． 2．设，则【C】 > A．0 B． C． D． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： ![](./data/image/media/image625.jpeg) > 则下面结论中不正确的是【A】 > > A．新农村建设后，种植收入减少 > > B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 > > C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 > > D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为【C】 > A． B． C． D． 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为【B】 > A． B． C． D． 6．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为【D】 > A． B． C． D． 7．在△中，为边上的中线，为的中点，则【A】 > A． B． > > C． D． 8．已知函数，则【B】 > A．的最小正周期为π，最大值为3 > > B． 的最小正周期为π，最大值为4 > > C． 的最小正周期为，最大值为3 > > D．的最小正周期为，最大值为4 9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为【B】 ![](./data/image/media/image669.jpeg) > A． B． > > C． D．2 10．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为【C】 > A． B． C． D． 11．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则【B】 > A． B． C． D． 12．设函数，则满足的*x*的取值范围是【D】 > A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知函数，若，则 [ -7]{.underline} ． 14．若满足约束条件则的最大值为 [ 6]{.underline} ． 15．直线与圆交于两点，则． 16．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）已知数列满足，，设． > （1）求； > > （2）判断数列是否为等比数列，并说明理由； > > （3）求的通项公式． 解：（1）由条件可得*a~n~*~+1~=． > 将*n*=1代入得，*a*~2~=4*a*~1~，而*a*~1~=1，所以，*a*~2~=4． > > 将*n*=2代入得，*a*~3~=3*a*~2~，所以，*a*~3~=12． > > 从而*b*~1~=1，*b*~2~=2，*b*~3~=4． > > （2）{*b~n~*}是首项为1，公比为2的等比数列． > > 由条件可得，即*b~n~*~+1~=2*b~n~*，又*b*~1~=1，所以{*b~n~*}是首项为1，公比为2的等比数列． > > （3）由（2）可得，所以*a~n~*=*n*·2^*n*-1^． 18．（本小题满分12分）如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且． > （1）证明：平面平面； > > （2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积． ![](./data/image/media/image742.jpeg) 解：（1）由已知可得，=90°，． > 又*BA*⊥*AD*，所以*AB*⊥平面*ACD*． > > 又*AB*平面*ABC*， > > 所以平面*ACD*⊥平面*ABC*． ![](./data/image/media/image746.png) > （2）由已知可得，*DC*=*CM*=*AB*=3，*DA*=． > > 又，所以． > > 作*QE*⊥*AC*，垂足为*E*，则． > > 由已知及（1）可得*DC*⊥平面*ABC*，所以*QE*⊥平面*ABC*，*QE*=1． > > 因此，三棱锥的体积为 > > ． 19．（本小题满分12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m^3^）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： > 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 ---------- --- --- --- --- --- ---- --- 日用水量 频数 1 3 2 4 9 26 5 ---------- --- --- --- --- --- ---- --- > 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 ---------- --- --- ---- ---- ---- --- 日用水量 频数 1 5 13 10 16 5 ---------- --- --- ---- ---- ---- --- （1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图： ![](./data/image/media/image762.png) > （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m^3^的概率； > > （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．） 解：（1） ![](./data/image/media/image763.png) > （2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m^3^的频率为 > > 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48， > > 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m^3^的概率的估计值为0.48． > > （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 > > ． > > 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 > > ． > > 估计使用节水龙头后，一年可节省水． 20．（本小题满分12分）设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点． > （1）当与轴垂直时，求直线的方程； > > （2）证明：． 解：（1）当*l*与*x*轴垂直时，*l*的方程为*x*=2，可得*M*的坐标为（2，2）或（2，--2）． > 所以直线*BM*的方程为*y*=或． > > （2）当*l*与*x*轴垂直时，*AB*为*MN*的垂直平分线，所以∠*ABM*=∠*ABN*． > > 当*l*与*x*轴不垂直时，设*l*的方程为，*M*（*x*~1~，*y*~1~），*N*（*x*~2~，*y*~2~），则*x*~1~\>0，*x*~2~\>0． > > 由得*ky*^2^--2*y*--4*k*=0，可知*y*~1~+*y*~2~=，*y*~1~*y*~2~=--4． > > 直线*BM*，*BN*的斜率之和为 > > ．① > > 将，及*y*~1~+*y*~2~，*y*~1~*y*~2~的表达式代入①式分子，可得 > > ． > > 所以*k~BM~*+*k~BN~*=0，可知*BM*，*BN*的倾斜角互补，所以∠*ABM*=∠*ABN*． > > 综上，∠*ABM*=∠*ABN*． 21．（本小题满分12分）已知函数． > （1）设是的极值点，求，并求的单调区间； > > （2）证明：当时，． 解：（1）*f*（*x*）的定义域为，*f ′*（*x*）=*a*e*^x^*--． > 由题设知，*f ′*（2）=0，所以*a*=． > > 从而*f*（*x*）=，*f ′*（*x*）=． > > 当0\<*x*\<2时，*f ′*（*x*）\<0；当*x*\>2时，*f ′*（*x*）\>0． > > 所以*f*（*x*）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． > > （2）当*a*≥时，*f*（*x*）≥． > > 设*g*（*x*）=，则 > > 当0\<*x*\<1时，*g′*（*x*）\<0；当*x*\>1时，*g′*（*x*）\>0．所以*x*=1是*g*（*x*）的最小值点． > > 故当*x*\>0时，*g*（*x*）≥*g*（1）=0． > > 因此，当时，． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．【选修4---4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） > 在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． > > （1）求的直角坐标方程； > > （2）若与有且仅有三个公共点，求的方程． 解：（1）由，得的直角坐标方程为 > ． > > （2）由（1）知是圆心为，半径为的圆． > > 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点． > > 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为， > > 所以，故或． > > 经检验，当时，与没有公共点； > > 当时，与只有一个公共点，与有两个公共点． > > 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为， > > 所以，故或． > > 经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点． > > 综上，所求的方程为． 23．【选修4---5：不等式选讲】（本小题满分10分） > 已知． > > （1）当时，求不等式的解集； > > （2）若时不等式成立，求的取值范围． 解：（1）当时，，即 > 故不等式的解集为． > > （2）当时成立等价于当时成立． > > 若，则当时； > > 若，的解集为，所以，故． > > 综上，的取值范围为． ![](./data/image/media/image899.png)**绝密★启用前** 2018年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（全国II卷） 注意事项： > 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. > > 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. > > 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．![](./data/image/media/image900.wmf)【D】 > A．![](./data/image/media/image901.wmf) B．![](./data/image/media/image902.wmf) C．![](./data/image/media/image903.wmf) D．![](./data/image/media/image904.wmf) 2．已知集合![](./data/image/media/image905.wmf)，![](./data/image/media/image906.wmf)，则![](./data/image/media/image907.wmf)【C】 > A．![](./data/image/media/image908.wmf) B．![](./data/image/media/image909.wmf) C．![](./data/image/media/image910.wmf) D．![](./data/image/media/image911.wmf) 3．函数![](./data/image/media/image912.wmf)的图象大致为【B】 ![](./data/image/media/image913.jpeg) 4．已知向量![](./data/image/media/image914.wmf)，![](./data/image/media/image915.wmf)满足![](./data/image/media/image916.wmf)，![](./data/image/media/image917.wmf)，则![](./data/image/media/image918.wmf)【B】\ A．4 B．3 C．2 D．0 5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为【D】\ A．![](./data/image/media/image919.wmf) B．![](./data/image/media/image920.wmf) C．![](./data/image/media/image921.wmf) D．![](./data/image/media/image922.wmf) 6．双曲线![](./data/image/media/image923.wmf)的离心率为![](./data/image/media/image924.wmf)，则其渐近线方程为【A】\ A．![](./data/image/media/image925.wmf) B．![](./data/image/media/image926.wmf) C．![](./data/image/media/image927.wmf) D．![](./data/image/media/image928.wmf) 7．在![](./data/image/media/image929.wmf)中，![](./data/image/media/image930.wmf)，![](./data/image/media/image931.wmf)，![](./data/image/media/image932.wmf)，则![](./data/image/media/image933.wmf)【A】\ A．![](./data/image/media/image934.wmf) B．![](./data/image/media/image935.wmf) C．![](./data/image/media/image936.wmf) D．![](./data/image/media/image937.wmf) > 8．为计算![](./data/image/media/image938.wmf)，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入【B】 > > ![](./data/image/media/image939.emf) > > A．![](./data/image/media/image940.wmf) B．![](./data/image/media/image941.wmf) > > C．![](./data/image/media/image942.wmf) D．![](./data/image/media/image943.wmf) 9．在正方体![](./data/image/media/image944.wmf)中，![](./data/image/media/image945.wmf)为棱![](./data/image/media/image946.wmf)的中点，则异面直线![](./data/image/media/image947.wmf)与![](./data/image/media/image948.wmf)所成角的正切值为【C】\ A．![](./data/image/media/image949.wmf) B．![](./data/image/media/image950.wmf) C．![](./data/image/media/image951.wmf) D．![](./data/image/media/image952.wmf) 10．若![](./data/image/media/image953.wmf)在![](./data/image/media/image954.wmf)是减函数，则![](./data/image/media/image955.wmf)的最大值是【C】\ A．![](./data/image/media/image956.wmf) B．![](./data/image/media/image957.wmf) C．![](./data/image/media/image958.wmf) D．![](./data/image/media/image959.wmf) 11．已知![](./data/image/media/image960.wmf)，![](./data/image/media/image961.wmf)是椭圆![](./data/image/media/image962.wmf)的两个焦点，![](./data/image/media/image963.wmf)是![](./data/image/media/image964.wmf)上的一点，若![](./data/image/media/image965.wmf)，且![](./data/image/media/image966.wmf)，则![](./data/image/media/image967.wmf)的离心率为【D】\ A．![](./data/image/media/image968.wmf) B．![](./data/image/media/image969.wmf) C．![](./data/image/media/image970.wmf) D．![](./data/image/media/image971.wmf) 12．已知![](./data/image/media/image972.wmf)是定义域为![](./data/image/media/image973.wmf)的奇函数，满足![](./data/image/media/image974.wmf)．若![](./data/image/media/image975.wmf)，则 > ![](./data/image/media/image976.wmf)![](./data/image/media/image977.wmf)【C】\ > A．![](./data/image/media/image978.wmf) B．0 C．2 D．50 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.、 13．曲线![](./data/image/media/image979.wmf)在点![](./data/image/media/image980.wmf)处的切线方程为 [ *y*=2*x*--2]{.underline} ． 14．若![](./data/image/media/image981.wmf)满足约束条件![](./data/image/media/image982.wmf) 则![](./data/image/media/image983.wmf)的最大值为 [ 9]{.underline} ． 15．已知![](./data/image/media/image984.wmf)，则![](./data/image/media/image985.wmf)![](./data/image/media/image986.wmf) [ ]{.underline} ． 16．已知圆锥的顶点为![](./data/image/media/image987.wmf)，母线![](./data/image/media/image988.wmf)，![](./data/image/media/image989.wmf)互相垂直，![](./data/image/media/image990.wmf)与圆锥底面所成角为![](./data/image/media/image991.wmf)，若![](./data/image/media/image992.wmf)的面积为![](./data/image/media/image993.wmf)，则该圆锥的体积为 [ 8π .]{.underline} 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题.考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）记![](./data/image/media/image994.wmf)为等差数列![](./data/image/media/image995.wmf)的前![](./data/image/media/image996.wmf)项和，已知![](./data/image/media/image997.wmf)，![](./data/image/media/image998.wmf)． （1）求![](./data/image/media/image999.wmf)的通项公式； （2）求![](./data/image/media/image1000.wmf)，并求![](./data/image/media/image1001.wmf)的最小值． 解： > （1）设{*a~n~*}的公差为*d*，由题意得3*a*~1~+3*d*=--15． > > 由*a*~1~=--7得*d*=2． > > 所以{*a~n~*}的通项公式为*a~n~*=2*n*--9． > > （2）由（1）得*S~n~*=*n*^2^--8*n*=（*n*--4）^2^--16． > > 所以当*n*=4时，*S~n~*取得最小值，最小值为--16． 18．（本小题满分12分） 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额![](./data/image/media/image1002.wmf)（单位：亿元）的折线图． ![](./data/image/media/image1003.png) > 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了![](./data/image/media/image1004.wmf)与时间变量![](./data/image/media/image1005.wmf)的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量![](./data/image/media/image1005.wmf)的值依次为![](./data/image/media/image1006.wmf)）建立模型①：![](./data/image/media/image1007.wmf)；根据2010年至2016年的数据（时间变量![](./data/image/media/image1005.wmf)的值依次为![](./data/image/media/image1008.wmf)）建立模型②：![](./data/image/media/image1009.wmf)． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 解： > （1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 > > ![](./data/image/media/image1010.wmf)![](./data/image/media/image1011.wmf)=--30.4+13.5×19=226.1（亿元）． > > 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 > > ![](./data/image/media/image1011.wmf)=99+17.5×9=256.5（亿元）． > > （2）利用模型②得到的预测值更可靠． > > 理由如下： > > （i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线*y*=--30.4+13.5*t*上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型![](./data/image/media/image1011.wmf)=99+17.5*t*可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠． > > （ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． > > 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥![](./data/image/media/image1012.wmf)中，![](./data/image/media/image1013.wmf)，![](./data/image/media/image1014.wmf)，![](./data/image/media/image1015.wmf)为![](./data/image/media/image1016.wmf)的中点． ![](./data/image/media/image1017.png) （1）证明：![](./data/image/media/image1018.wmf)平面![](./data/image/media/image1019.wmf)； （2）若点![](./data/image/media/image1020.wmf)在棱![](./data/image/media/image1021.wmf)上，且![](./data/image/media/image1022.wmf)，求点![](./data/image/media/image1023.wmf)到平面![](./data/image/media/image1024.wmf)的距离． 解： > （1）因为*AP*=*CP*=*AC*=4，*O*为*AC*的中点，所以*OP*⊥*AC*，且*OP*=![](./data/image/media/image1025.wmf)． > > 连结*OB*．因为*AB*=*BC*=![](./data/image/media/image1026.wmf)，所以△*ABC*为等腰直角三角形，且*OB*⊥*AC*，*OB*=![](./data/image/media/image1027.wmf)=2． > > 由![](./data/image/media/image1028.wmf)知，*OP*⊥*OB*． > > 由*OP*⊥*OB*，*OP*⊥*AC*知*PO*⊥平面*ABC*． ![](./data/image/media/image1029.png) > （2）作*CH*⊥*OM*，垂足为*H*．又由（1）可得*OP*⊥*CH*，所以*CH*⊥平面*POM*． > > 故*CH*的长为点*C*到平面*POM*的距离． > > 由题设可知*OC*=![](./data/image/media/image1030.wmf)=2，*CM*=![](./data/image/media/image1031.wmf)=![](./data/image/media/image1032.wmf)，∠*ACB*=45°． > > 所以*OM*=![](./data/image/media/image1033.wmf)，*CH*=![](./data/image/media/image1034.wmf)=![](./data/image/media/image1035.wmf)． > > 所以点*C*到平面*POM*的距离为![](./data/image/media/image1035.wmf)． 20．（本小题满分12分）设抛物线![](./data/image/media/image1036.wmf)的焦点为![](./data/image/media/image1037.wmf)，过![](./data/image/media/image1038.wmf)且斜率为![](./data/image/media/image1039.wmf)的直线![](./data/image/media/image1040.wmf)与![](./data/image/media/image1041.wmf)交于![](./data/image/media/image1042.wmf)，![](./data/image/media/image1043.wmf)两点，![](./data/image/media/image1044.wmf)． （1）求![](./data/image/media/image1045.wmf)的方程； （2）求过点![](./data/image/media/image1046.wmf)，![](./data/image/media/image1047.wmf)且与![](./data/image/media/image1048.wmf)的准线相切的圆的方程． 解： > （1）由题意得*F*（1，0），*l*的方程为*y*=*k*（*x*--1）（*k*\>0）． > > 设*A*（*x*~1~，*y*~1~），*B*（*x*~2~，*y*~2~）． > > 由![](./data/image/media/image1049.wmf)得![](./data/image/media/image1050.wmf)． > > ![](./data/image/media/image1010.wmf)![](./data/image/media/image1051.wmf)，故![](./data/image/media/image1052.wmf)． > > 所以![](./data/image/media/image1053.wmf)． > > 由题设知![](./data/image/media/image1054.wmf)，解得*k*=--1（舍去），*k*=1． > > 因此*l*的方程为*y*=*x*--1． > > （2）由（1）得*AB*的中点坐标为（3，2），所以*AB*的垂直平分线方程为 > > ![](./data/image/media/image1055.wmf)，即![](./data/image/media/image1056.wmf)． > > 设所求圆的圆心坐标为（*x*~0~，*y*~0~），则 > > ![](./data/image/media/image1057.wmf)解得![](./data/image/media/image1058.wmf)或![](./data/image/media/image1059.wmf) > > 因此所求圆的方程为 > > ![](./data/image/media/image1060.wmf)或![](./data/image/media/image1061.wmf)． 21．（本小题满分12分）已知函数![](./data/image/media/image1062.wmf)． （1）若![](./data/image/media/image1063.wmf)，求![](./data/image/media/image1064.wmf)的单调区间； （2）证明：![](./data/image/media/image1064.wmf)只有一个零点． 解： > （1）当*a*=3时，*f*（*x*）=![](./data/image/media/image1065.wmf)，*f* ′（*x*）=![](./data/image/media/image1066.wmf)． > > 令*f* ′（*x*）=0解得*x*=![](./data/image/media/image1067.wmf)或*x*=![](./data/image/media/image1068.wmf)． > > 当*x*∈（--∞，![](./data/image/media/image1067.wmf)）∪（![](./data/image/media/image1068.wmf)，+∞）时，*f* ′（*x*）\>0； > > 当*x*∈（![](./data/image/media/image1067.wmf)，![](./data/image/media/image1068.wmf)）时，*f* ′（*x*）\<0． > > 故*f*（*x*）在（--∞，![](./data/image/media/image1067.wmf)），（![](./data/image/media/image1068.wmf)，+∞）单调递增，在（![](./data/image/media/image1067.wmf)，![](./data/image/media/image1068.wmf)）单调递减． > > （2）由于![](./data/image/media/image1069.wmf)，所以![](./data/image/media/image1070.wmf)等价于![](./data/image/media/image1071.wmf)． > > 设![](./data/image/media/image1072.wmf)=![](./data/image/media/image1073.wmf)，则*g* ′（*x*）=![](./data/image/media/image1074.wmf)≥0，仅当*x*=0时*g* ′（*x*）=0， > > 所以*g*（*x*）在（--∞，+∞）单调递增．故*g*（*x*）至多有一个零点，从而*f*（*x*）至多有一个零点． > > 又*f*（3*a*--1）=![](./data/image/media/image1075.wmf)，*f*（3*a*+1）=![](./data/image/media/image1076.wmf)， > > 故*f*（*x*）有一个零点． > > 综上，*f*（*x*）只有一个零点． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） > 在直角坐标系![](./data/image/media/image1077.wmf)中，曲线![](./data/image/media/image1078.wmf)的参数方程为![](./data/image/media/image1079.wmf)（![](./data/image/media/image1080.wmf)为参数），直线![](./data/image/media/image1081.wmf)的参数方程为![](./data/image/media/image1082.wmf)（![](./data/image/media/image1083.wmf)为参数）． （1）求![](./data/image/media/image1084.wmf)和![](./data/image/media/image1085.wmf)的直角坐标方程； （2）若曲线![](./data/image/media/image1086.wmf)截直线![](./data/image/media/image1087.wmf)所得线段的中点坐标为![](./data/image/media/image1088.wmf)，求![](./data/image/media/image1089.wmf)的斜率． 解： > （1）曲线![](./data/image/media/image1090.wmf)的直角坐标方程为![](./data/image/media/image1091.wmf)． > > 当![](./data/image/media/image1092.wmf)时，![](./data/image/media/image1093.wmf)的直角坐标方程为![](./data/image/media/image1094.wmf)， > > 当![](./data/image/media/image1095.wmf)时，![](./data/image/media/image1096.wmf)的直角坐标方程为![](./data/image/media/image1097.wmf)． > > （2）将![](./data/image/media/image1098.wmf)的参数方程代入![](./data/image/media/image1099.wmf)的直角坐标方程，整理得关于![](./data/image/media/image1100.wmf)的方程 > > ![](./data/image/media/image1101.wmf)．① > > 因为曲线![](./data/image/media/image1102.wmf)截直线![](./data/image/media/image1103.wmf)所得线段的中点![](./data/image/media/image1104.wmf)在![](./data/image/media/image1105.wmf)内，所以①有两个解，设为![](./data/image/media/image1106.wmf)，![](./data/image/media/image1107.wmf)，则![](./data/image/media/image1108.wmf)． > > 又由①得![](./data/image/media/image1109.wmf)，故![](./data/image/media/image1110.wmf)，于是直线![](./data/image/media/image1111.wmf)的斜率![](./data/image/media/image1112.wmf)． 23．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分） 设函数![](./data/image/media/image1113.wmf)． （1）当![](./data/image/media/image1114.wmf)时，求不等式![](./data/image/media/image1115.wmf)的解集； （2）若![](./data/image/media/image1116.wmf)，求![](./data/image/media/image1117.wmf)的取值范围． 解： > （1）当![](./data/image/media/image1118.wmf)时， > > ![](./data/image/media/image1119.wmf) > > 可得![](./data/image/media/image1120.wmf)的解集为![](./data/image/media/image1121.wmf)． > > （2）![](./data/image/media/image1122.wmf)等价于![](./data/image/media/image1123.wmf)． > > 而![](./data/image/media/image1124.wmf)，且当![](./data/image/media/image1125.wmf)时等号成立．故![](./data/image/media/image1126.wmf)等价于![](./data/image/media/image1127.wmf)． > > 由![](./data/image/media/image1128.wmf)可得![](./data/image/media/image1129.wmf)或![](./data/image/media/image1130.wmf)，所以![](./data/image/media/image1131.wmf)的取值范围是![](./data/image/media/image1132.wmf)． ![](./data/image/media/image1133.png)**绝密★启用前** 2018年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（全国III卷） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合![](./data/image/media/image1134.wmf)，![](./data/image/media/image1135.wmf)，则![](./data/image/media/image1136.wmf)【C】 > A．![](./data/image/media/image1137.wmf) B．![](./data/image/media/image1138.wmf) C．![](./data/image/media/image1139.wmf) D．![](./data/image/media/image1140.wmf) 2．![](./data/image/media/image1141.wmf)【D】 > A．![](./data/image/media/image1142.wmf) B．![](./data/image/media/image1143.wmf) C．![](./data/image/media/image1144.wmf) D．![](./data/image/media/image1145.wmf) 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是【A】 > ![](./data/image/media/image1146.jpeg) > > ![](./data/image/media/image1147.jpeg) 4．若![](./data/image/media/image1148.wmf)，则![](./data/image/media/image1149.wmf)【B】 > A．![](./data/image/media/image1150.wmf) B．![](./data/image/media/image1151.wmf) C．![](./data/image/media/image1152.wmf) D．![](./data/image/media/image1153.wmf) 5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为【B】 > A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 6．函数![](./data/image/media/image1154.wmf)的最小正周期为【C】 > A．![](./data/image/media/image1155.wmf) B．![](./data/image/media/image1156.wmf) C．![](./data/image/media/image1157.wmf) D．![](./data/image/media/image1158.wmf) 7．下列函数中，其图像与函数![](./data/image/media/image1159.wmf)的图像关于直线![](./data/image/media/image1160.wmf)对称的是【B】 > A．![](./data/image/media/image1161.wmf) B．![](./data/image/media/image1162.wmf) C．![](./data/image/media/image1163.wmf) D．![](./data/image/media/image1164.wmf) 8．直线![](./data/image/media/image1165.wmf)分别与![](./data/image/media/image1166.wmf)轴，![](./data/image/media/image1167.wmf)轴交于![](./data/image/media/image1168.wmf)，![](./data/image/media/image1169.wmf)两点，点![](./data/image/media/image1170.wmf)在圆![](./data/image/media/image1171.wmf)上，则![](./data/image/media/image1172.wmf)面积的取值范围是【A】 > A．![](./data/image/media/image1173.wmf) B．![](./data/image/media/image1174.wmf) C．![](./data/image/media/image1175.wmf) D．![](./data/image/media/image1176.wmf) 9．函数![](./data/image/media/image1177.wmf)的图像大致为【D】 > ![](./data/image/media/image1178.jpeg) 10．已知双曲线![](./data/image/media/image1179.wmf)的离心率为![](./data/image/media/image1180.wmf)，则点![](./data/image/media/image1181.wmf)到![](./data/image/media/image1182.wmf)的渐近线的距离为【D】 > A．![](./data/image/media/image1183.wmf) B．![](./data/image/media/image1184.wmf) C．![](./data/image/media/image1185.wmf) D．![](./data/image/media/image1186.wmf) 11．![](./data/image/media/image1187.wmf)的内角![](./data/image/media/image1188.wmf)，![](./data/image/media/image1189.wmf)，![](./data/image/media/image1190.wmf)的对边分别为![](./data/image/media/image1191.wmf)，![](./data/image/media/image1192.wmf)，![](./data/image/media/image1193.wmf)．若![](./data/image/media/image1194.wmf)的面积为![](./data/image/media/image1195.wmf)，则![](./data/image/media/image1196.wmf)【C】 > A．![](./data/image/media/image1197.wmf) B．![](./data/image/media/image1198.wmf) C．![](./data/image/media/image1199.wmf) D．![](./data/image/media/image1200.wmf) 12．设![](./data/image/media/image1201.wmf)，![](./data/image/media/image1202.wmf)，![](./data/image/media/image1203.wmf)，![](./data/image/media/image1204.wmf)是同一个半径为4的球的球面上四点，![](./data/image/media/image1194.wmf)为等边三角形且其面积为![](./data/image/media/image1205.wmf)，则三棱锥![](./data/image/media/image1206.wmf)体积的最大值为【B】 > A．![](./data/image/media/image1207.wmf) B．![](./data/image/media/image1208.wmf) C．![](./data/image/media/image1209.wmf) D．![](./data/image/media/image1210.wmf) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知向量![](./data/image/media/image1211.wmf)，![](./data/image/media/image1212.wmf)，![](./data/image/media/image1213.wmf)．若![](./data/image/media/image1214.wmf)，则![](./data/image/media/image1215.wmf)\_\_\_\_![](./data/image/media/image1216.wmf)\_\_\_\_． 14．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是 [分层抽样]{.underline} ． 15．若变量![](./data/image/media/image1217.wmf)满足约束条件![](./data/image/media/image1218.wmf)则![](./data/image/media/image1219.wmf)的最大值是[\_\_\_\_3\_\_\_\_]{.underline}． 16．已知函数![](./data/image/media/image1220.wmf)，![](./data/image/media/image1221.wmf)，则![](./data/image/media/image1222.wmf) [-2]{.underline} ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）等比数列![](./data/image/media/image1223.wmf)中，![](./data/image/media/image1224.wmf)． > （1）求![](./data/image/media/image1225.wmf)的通项公式； > > （2）记![](./data/image/media/image1226.wmf)为![](./data/image/media/image1227.wmf)的前![](./data/image/media/image1228.wmf)项和．若![](./data/image/media/image1229.wmf)，求![](./data/image/media/image1230.wmf)． 解：（1）设![](./data/image/media/image1231.wmf)的公比为![](./data/image/media/image1232.wmf)，由题设得![](./data/image/media/image1233.wmf)． > 由已知得![](./data/image/media/image1234.wmf)，解得![](./data/image/media/image1235.wmf)（舍去），![](./data/image/media/image1236.wmf)或![](./data/image/media/image1237.wmf)． > > 故![](./data/image/media/image1238.wmf)或![](./data/image/media/image1239.wmf)． 2. 若![](./data/image/media/image1240.wmf)，则![](./data/image/media/image1241.wmf)． 由![](./data/image/media/image1242.wmf)得![](./data/image/media/image1243.wmf)，此方程没有正整数解． > 若![](./data/image/media/image1244.wmf)，则![](./data/image/media/image1245.wmf)．由![](./data/image/media/image1246.wmf)得![](./data/image/media/image1247.wmf)，解得![](./data/image/media/image1248.wmf)． > > 综上，![](./data/image/media/image1249.wmf)． 18．（本小题满分12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图： > ![](./data/image/media/image1250.jpeg) > > （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； > > （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数![](./data/image/media/image1251.wmf)，并将完成生产任务所需时间超过![](./data/image/media/image1252.wmf)和不超过![](./data/image/media/image1253.wmf)的工人数填入下面的列联表： ---------------- ------------------------------------------- --------------------------------------------- 超过![](./data/image/media/image1254.wmf) 不超过![](./data/image/media/image1255.wmf) 第一种生产方式 第二种生产方式 ---------------- ------------------------------------------- --------------------------------------------- > （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ > > 附：![](./data/image/media/image1256.wmf)，![](./data/image/media/image1257.wmf)． > > 解：（1）第二种生产方式的效率更高． > > 理由如下： > > （i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高． > > （ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高． > > （iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高． > > （iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高． > > 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． > > （2）由茎叶图知![](./data/image/media/image1258.wmf)． > > 列联表如下： ---------------- ------------------------------------------- --------------------------------------------- 超过![](./data/image/media/image1259.wmf) 不超过![](./data/image/media/image1260.wmf) 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15 ---------------- ------------------------------------------- --------------------------------------------- > （3）由于![](./data/image/media/image1261.wmf)，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异． 19．（本小题满分12分）如图，矩形![](./data/image/media/image1262.wmf)所在平面与半圆弧![](./data/image/media/image1263.wmf)所在平面垂直，![](./data/image/media/image1264.wmf)是![](./data/image/media/image1265.wmf)上异于![](./data/image/media/image1266.wmf)，![](./data/image/media/image1267.wmf)的点． > （1）证明：平面![](./data/image/media/image1268.wmf)平面![](./data/image/media/image1269.wmf)； > > （2）在线段![](./data/image/media/image1270.wmf)上是否存在点![](./data/image/media/image1271.wmf)，使得![](./data/image/media/image1272.wmf)平面![](./data/image/media/image1273.wmf)？说明理由． ![](./data/image/media/image1274.jpeg) > 解：（1）由题设知，平面*CMD*⊥平面*ABCD*，交线为*CD*． > > 因为*BC*⊥*CD*，*BC*![](./data/image/media/image1275.wmf)平面*ABCD*，所以*BC*⊥平面*CMD*，故*BC*⊥*DM*． > > 因为*M*为![](./data/image/media/image1276.wmf)上异于*C*，*D*的点，且*DC*为直径，所以*DM*⊥*CM*． > > 又*BC*∩*CM*=*C*，所以*DM*⊥平面*BMC*． > > 而*DM*![](./data/image/media/image1275.wmf)平面*AMD*，故平面*AMD*⊥平面*BMC*． > > （2）当*P*为*AM*的中点时，*MC*∥平面*PBD*． > > 证明如下：连结*AC*交*BD*于*O*．因为*ABCD*为矩形，所以*O*为*AC*中点． > > 连结*OP*，因为*P*为*AM* 中点，所以*MC*∥*OP*． > > *MC*![](./data/image/media/image1277.wmf)平面*PBD*，*OP*![](./data/image/media/image1275.wmf)平面*PBD*，所以*MC*∥平面*PBD*． ![](./data/image/media/image1278.png) 20．（本小题满分12分）已知斜率为![](./data/image/media/image1279.wmf)的直线![](./data/image/media/image1280.wmf)与椭圆![](./data/image/media/image1281.wmf)交于![](./data/image/media/image1282.wmf)，![](./data/image/media/image1283.wmf)两点．线段![](./data/image/media/image1284.wmf)的中点为![](./data/image/media/image1285.wmf)． > （1）证明：![](./data/image/media/image1286.wmf)； > > （2）设![](./data/image/media/image1287.wmf)为![](./data/image/media/image1288.wmf)的右焦点，![](./data/image/media/image1289.wmf)为![](./data/image/media/image1290.wmf)上一点，且![](./data/image/media/image1291.wmf)．证明：![](./data/image/media/image1292.wmf)． > > 解：（1）设![](./data/image/media/image1293.wmf)，![](./data/image/media/image1294.wmf)，则![](./data/image/media/image1295.wmf)，![](./data/image/media/image1296.wmf)． > > 两式相减，并由![](./data/image/media/image1297.wmf)得![](./data/image/media/image1298.wmf)． > > 由题设知![](./data/image/media/image1299.wmf)，![](./data/image/media/image1300.wmf)，于是![](./data/image/media/image1301.wmf)． > > 由题设得![](./data/image/media/image1302.wmf)，故![](./data/image/media/image1303.wmf)． > > （2）由题意得*F*（1，0）．设![](./data/image/media/image1304.wmf)，则 > > ![](./data/image/media/image1305.wmf)． > > 由（1）及题设得![](./data/image/media/image1306.wmf)，![](./data/image/media/image1307.wmf)． > > 又点*P*在*C*上，所以![](./data/image/media/image1308.wmf)，从而![](./data/image/media/image1309.wmf)，![](./data/image/media/image1310.wmf)． > > 于是![](./data/image/media/image1311.wmf)． > > 同理![](./data/image/media/image1312.wmf)． > > 所以![](./data/image/media/image1313.wmf)． > > 故![](./data/image/media/image1314.wmf)． 21．（本小题满分12分）已知函数![](./data/image/media/image1315.wmf)． > （1）求曲线![](./data/image/media/image1316.wmf)在点![](./data/image/media/image1317.wmf)处的切线方程； > > （2）证明：当![](./data/image/media/image1318.wmf)时，![](./data/image/media/image1319.wmf)． > > 解：（1）![](./data/image/media/image1320.wmf)，![](./data/image/media/image1321.wmf)． > > 因此曲线![](./data/image/media/image1322.wmf)在点![](./data/image/media/image1323.wmf)处的切线方程是![](./data/image/media/image1324.wmf)． > > （2）当![](./data/image/media/image1325.wmf)时，![](./data/image/media/image1326.wmf)． > > 令![](./data/image/media/image1327.wmf)，则![](./data/image/media/image1328.wmf)． > > 当![](./data/image/media/image1329.wmf)时，![](./data/image/media/image1330.wmf)，![](./data/image/media/image1331.wmf)单调递减；当![](./data/image/media/image1332.wmf)时，![](./data/image/media/image1333.wmf)，![](./data/image/media/image1334.wmf)单调递增； > > 所以![](./data/image/media/image1335.wmf)![](./data/image/media/image1336.wmf)．因此![](./data/image/media/image1337.wmf)． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．【选修4---4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） > 在平面直角坐标系![](./data/image/media/image1338.wmf)中，![](./data/image/media/image1339.wmf)的参数方程为![](./data/image/media/image1340.wmf)（![](./data/image/media/image1341.wmf)为参数），过点![](./data/image/media/image1342.wmf)且倾斜角为![](./data/image/media/image1343.wmf)的直线![](./data/image/media/image1344.wmf)与![](./data/image/media/image1345.wmf)交于![](./data/image/media/image1346.wmf)两点． > > （1）求![](./data/image/media/image1347.wmf)的取值范围； > > （2）求![](./data/image/media/image1348.wmf)中点![](./data/image/media/image1349.wmf)的轨迹的参数方程． 解：（1）![](./data/image/media/image1350.wmf)的直角坐标方程为![](./data/image/media/image1351.wmf)． > 当![](./data/image/media/image1352.wmf)时，![](./data/image/media/image1353.wmf)与![](./data/image/media/image1354.wmf)交于两点． > > 当![](./data/image/media/image1355.wmf)时，记![](./data/image/media/image1356.wmf)，则![](./data/image/media/image1357.wmf)的方程为![](./data/image/media/image1358.wmf)．![](./data/image/media/image1359.wmf)与![](./data/image/media/image1360.wmf)交于两点当且仅当![](./data/image/media/image1361.wmf)，解得![](./data/image/media/image1362.wmf)或![](./data/image/media/image1363.wmf)，即![](./data/image/media/image1364.wmf)或![](./data/image/media/image1365.wmf)． > > 综上，![](./data/image/media/image1366.wmf)的取值范围是![](./data/image/media/image1367.wmf)． > > （2）![](./data/image/media/image1368.wmf)的参数方程为![](./data/image/media/image1369.wmf)为参数，![](./data/image/media/image1370.wmf)![](./data/image/media/image1371.wmf)． > > 设![](./data/image/media/image1372.wmf)，![](./data/image/media/image1373.wmf)，![](./data/image/media/image1374.wmf)对应的参数分别为![](./data/image/media/image1375.wmf)，![](./data/image/media/image1376.wmf)，![](./data/image/media/image1377.wmf)，则![](./data/image/media/image1378.wmf)，且![](./data/image/media/image1379.wmf)，![](./data/image/media/image1380.wmf)满足![](./data/image/media/image1381.wmf)． > > 于是![](./data/image/media/image1382.wmf)，![](./data/image/media/image1383.wmf)．又点![](./data/image/media/image1384.wmf)的坐标![](./data/image/media/image1385.wmf)满足![](./data/image/media/image1386.wmf) > > 所以点![](./data/image/media/image1387.wmf)的轨迹的参数方程是![](./data/image/media/image1388.wmf)![](./data/image/media/image1389.wmf)为参数，![](./data/image/media/image1390.wmf)![](./data/image/media/image1391.wmf)． 23．【选修4---5：不等式选讲】（本小题满分10分） > 设函数![](./data/image/media/image1392.wmf)． > > （1）画出![](./data/image/media/image1393.wmf)的图像； > > （2）当![](./data/image/media/image1394.wmf)，![](./data/image/media/image1395.wmf)，求![](./data/image/media/image1396.wmf)的最小值． ![](./data/image/media/image1397.png) 解：（1）![](./data/image/media/image1398.wmf) > ![](./data/image/media/image1399.wmf)的图像如图所示． > > ![](./data/image/media/image1400.png) > > （2）由（1）知，![](./data/image/media/image1401.wmf)的图像与![](./data/image/media/image1402.wmf)轴交点的纵坐标为![](./data/image/media/image1403.wmf)，且各部分所在直线斜率的最大值为![](./data/image/media/image1404.wmf)，故当且仅当![](./data/image/media/image1405.wmf)且![](./data/image/media/image1406.wmf)时，![](./data/image/media/image1407.wmf)在![](./data/image/media/image1408.wmf)成立，因此![](./data/image/media/image1409.wmf)的最小值为![](./data/image/media/image1410.wmf)． **绝密★启用前** 2018年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（北京卷） **本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.** 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合*A*={(𝑥\|\|𝑥\|\<2)},*B*={−2,0,1,2},则【A】 > （A）{0,1} （B）{−1,0,1} > > （C）{−2,0,1,2} （D）{−1,0,1,2} （2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于【D】 > （A）第一象限 （B）第二象限 > > （C）第三象限 （D）第四象限 （3）执行如图所示的程序框图，输出的*s*值为【B】 > ![](./data/image/media/image1413.png) > > （A） （B） > > （C） （D） （4）设*a,b,c,d*是非零实数，则"*ad=bc*"是"*a,b,c,d*成等比数列"的【B】 > （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 > > （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 > > （5）"十二平均律"是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为*f*，则第八个单音的频率为【D】 （A） （B） （C） （D） （6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为【C】 ![](./data/image/media/image1423.png) > （A）1 （B）2 > > （C）3 （D）4 （7）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点*P*在其中一段上，角以*O*𝑥为始边，*OP*为终边，若，则*P*所在的圆弧是【C】 ![](./data/image/media/image1428.png) （A） （B） > （C） （D） （8）设集合则【D】 （A）对任意实数*a*， （B）对任意实数*a*，（2,1） （C）当且仅当*a*\<0时,（2,1） （D）当且仅当时,（2,1） 第二部分**（非选择题 共110分）** 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. （9）设向量***a***=（1,0），***b***=（−1,*m*）,若，则*m*= [-1]{.underline} . （10）已知直线*l*过点（1,0）且垂直于𝑥轴，若*l*被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 [（1,0）]{.underline} . （11）能说明"若*a***﹥***b*，则"为假命题的一组*a*，*b*的值依次为 [1 或-1（答案不唯一）]{.underline} . （12）若双曲线**的离心率为，则*a*=** [4]{.underline} . **（13）若𝑥,*y*满足，则2*y−*𝑥的最小值是** [3]{.underline} . **（14）若**的面积为,且∠*C*为钝角，则∠*B*= [60°]{.underline} ；的取值范围是 [（2，+）]{.underline} . 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题13分）设是等差数列，且. > （Ⅰ）求的通项公式； > > （Ⅱ）求. 解：（I）设等差数列的公差为， > ∵， > > ∴， > > 又，∴. > > ∴. > > （II）由（I）知， > > ∵， > > ∴是以2为首项，2为公比的等比数列. > > ∴ > > . > > ∴. （16）（本小题13分）已知函数. > （Ⅰ）求的最小正周期； > > （Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值. 解：（Ⅰ）， > 所以的最小正周期为. > > （Ⅱ）由（Ⅰ）知. > > 因为，所以. > > 要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1. > > 所以，即. > > 所以的最小值为. （17）（本小题13分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： ---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 ---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- > 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. > > （Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； > > （Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； > > （Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论） 解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000. > 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50， > > 故所求概率为. > > （Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是 > > 140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1 > > =56+10+45+50+160+51 > > =372. > > 故所求概率估计为. > > 方法二：设"随机选取1部电影,这部电影没有获得好评"为事件*B*. > > 没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部. > > 由古典概型概率公式得. > > （Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率. （18）（本小题14分）如图，在四棱锥*P−ABCD*中，底面*ABCD*为矩形，平面*PAD*⊥平面*ABCD*，*PA*⊥*PD*，*PA*=*PD*，*E*，*F*分别为*AD*，*PB*的中点. ![](./data/image/media/image1487.png) > （Ⅰ）求证：*PE*⊥*BC*； > > （Ⅱ）求证：平面*PAB*⊥平面*PCD*； > > （Ⅲ）求证：*EF*∥平面*PCD*. 解：（Ⅰ）∵，且为的中点，∴. > ∵底面为矩形，∴， > > ∴. > > （Ⅱ）∵底面为矩形，∴. > > ∵平面平面，∴平面. > > ∴.又， > > ∴平面，∴平面平面. > > （Ⅲ）如图，取中点，连接. ![](./data/image/media/image1508.png) > ∵分别为和的中点，∴，且. > > ∵四边形为矩形，且为的中点， > > ∴， > > ∴，且，∴四边形为平行四边形， > > ∴. > > 又平面，平面， > > ∴平面. （19）（本小题13分）设函数. > （Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求*a*； > > （Ⅱ）若在处取得极小值，求*a*的取值范围. 解：（Ⅰ）因为， > 所以. > > ， > > 由题设知，即，解得. > > （Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得. > > 若*a*\>1，则当时，； > > 当时，. > > 所以在*x*=1处取得极小值. > > 若，则当时，， > > 所以. > > 所以1不是的极小值点. > > 综上可知，*a*的取值范围是. > > 方法二：. > > （1）当*a*=0时，令得*x*=1. > > 随*x*的变化情况如下表： ----- ---- -------- --- *x* 1 \+ 0 − ↗ 极大值 ↘ ----- ---- -------- --- > ∴在*x*=1处取得极大值，不合题意. > > （2）当*a*\>0时，令得. > > ①当，即*a*=1时，， > > ∴在上单调递增， > > ∴无极值，不合题意. > > ②当，即0\<*a*\<1时，随*x*的变化情况如下表： ----- ---- -------- --- -------- ---- *x* 1 \+ 0 − 0 \+ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ----- ---- -------- --- -------- ---- > ∴在*x*=1处取得极大值，不合题意. > > ③当，即*a*\>1时，随*x*的变化情况如下表： ----- ---- -------- --- -------- ---- *x* \+ 0 − 0 \+ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ----- ---- -------- --- -------- ---- > ∴在*x*=1处取得极小值，即*a*\>1满足题意. > > （3）当*a*\<0时，令得. > > 随*x*的变化情况如下表： ----- --- -------- ---- -------- --- *x* − 0 \+ 0 − ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ----- --- -------- ---- -------- --- > ∴在*x*=1处取得极大值，不合题意. > > 综上所述，*a*的取值范围为. （20）（本小题14分）已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为*k*的直线*l*与椭圆*M*有两个不同的交点*A*，*B*. > （Ⅰ）求椭圆*M*的方程； > > （Ⅱ）若，求的最大值； > > （Ⅲ）设，直线*PA*与椭圆*M*的另一个交点为*C*，直线*PB*与椭圆*M*的另一个交点为*D*.若*C*,*D*和点共线，求*k*. 解：（Ⅰ）由题意得，所以， > 又，所以，所以， > > 所以椭圆的标准方程为． > > （Ⅱ）设直线的方程为， > > 由消去可得， > > 则，即， > > 设，，则，， > > 则， > > 易得当时，，故的最大值为． > > （Ⅲ）设，，，， > > 则 ①， ②， > > 又，所以可设，直线的方程为， > > 由消去可得， > > 则，即， > > 又，代入①式可得，所以， > > 所以，同理可得． > > 故，， > > 因为三点共线，所以， > > 将点的坐标代入化简可得，即． ![](./data/image/media/image1620.png)**绝密★启用前** 2018年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（天津卷） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利！ **第Ⅰ卷** **注意事项：** > 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. > > 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. > > **参考公式：** ·如果事件*A*，*B*互斥，那么*P*(*A*∪*B*)=*P*(*A*)+*P*(*B*)． ·棱柱的体积公式*V*=*Sh*，其中*S*表示棱柱的底面面积，*h*表示棱柱的高． ·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面积，*h*表示棱锥的高． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合，，，则【C】 > （A） （B） > > （C） （D） （2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为【C】 > （A）6 （B）19 > > （C）21 （D）45 （3）设，则""是""的【A】 > （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 > > （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为【B】 ![](./data/image/media/image1639.png) > （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （5）已知，则的大小关系为【D】 > （A） （B） （C） （D） （6）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数【A】 > （A）在区间上单调递增 （B）在区间上单调递减 > > （C）在区间上单调递增 （D）在区间上单调递减 > > （7）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为【A】 > > （A） （B） > > （C） （D） > > （8）在如图的平面图形中，已知,则的值为【C】 ![](./data/image/media/image1666.png) > （A） （B） > > （C） （D）0 **第Ⅱ卷** **注意事项：** > 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. > > 2．本卷共12小题，共110分. **二**．**填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.** （9）i是虚数单位，复数= [4--i]{.underline} ． （10）已知函数*f*(*x*)=e*^x^*ln*x*，*f*′(*x*)为*f*(*x*)的导函数，则*f*′（1）的值为 [e]{.underline} ． （11）如图，已知正方体*ABCD*--*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的棱长为1，则四棱锥*A*~1~--*BB*~1~*D*~1~*D*的体积为 [ ]{.underline} ． ![](./data/image/media/image1672.png) （12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 [ ]{.underline} ． （13）已知*a*，*b*∈**R**，且*a*--3*b*+6=0，则2*^a^*+的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． > （14）已知*a*∈**R**，函数若对任意*x*∈［--3，+），*f*(*x*)≤恒成立，则*a*的取值范围是\_\_\_\_［，2］\_\_\_\_\_\_． **三**．**解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．** （15）（本小题满分13分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． > （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ > > （Ⅱ）设抽出的7名同学分别用*A*，*B*，*C*，*D*，*E*，*F*，*G*表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． > > （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； > > （ii）设*M*为事件"抽取的2名同学来自同一年级"，求事件*M*发生的概率． 解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． > （Ⅱ）（i）：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为 > > {*A*，*B*}，{*A*，*C*}，{*A*，*D*}，{*A*，*E*}，{*A*，*F*}，{*A*，*G*}，{*B*，*C*}，{*B*，*D*}，{*B*，*E*}，{*B*，*F*}，{*B*，*G*}，{*C*，*D*}，{*C*，*E*}，{*C*，*F*}，{*C*，*G*}，{*D*，*E*}，{*D*，*F*}，{*D*，*G*}，{*E*，*F*}，{*E*，*G*}，{*F*，*G*}，共21种． > > （ii）：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是*A*，*B*，*C*，来自乙年级的是*D*，*E*，来自丙年级的是*F*，*G*，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{*A*，*B*}，{*A*，*C*}，{*B*，*C*}，{*D*，*E*}，{*F*，*G*}，共5种．所以，事件*M*发生的概率为*P*（*M*）=． > > （16）（本小题满分13分）在△*ABC*中，内角*A*，*B*，*C*所对的边分别为*a*，*b*，*c*．已知*b*sin*A*=*a*cos(*B*--)． > > （Ⅰ）求角*B*的大小； > > （Ⅱ）设*a*=2，*c*=3，求*b*和sin(2*A*--*B*)的值． 解（Ⅰ）：在△*ABC*中，由正弦定理，可得， > 又由，得， > > 即，可得． > > 又因为，可得*B*=． > > （Ⅱ）在△*ABC*中，由余弦定理及*a*=2，*c*=3，*B*=， > > 有，故*b*=． > > 由，可得．因为*a*\<*c*，故． > > 因此， > > 所以， （17）（本小题满分13分）如图，在四面体*ABCD*中，△*ABC*是等边三角形，平面*ABC*⊥平面*ABD*，点*M*为棱*AB*的中点，*AB*=2，*AD*=，∠*BAD*=90°． > （Ⅰ）求证：*AD*⊥*BC*； > > （Ⅱ）求异面直线*BC*与*MD*所成角的余弦值； > > （Ⅲ）求直线*CD*与平面*ABD*所成角的正弦值． ![](./data/image/media/image1700.png) 解：（Ⅰ）证明：由平面*ABC*⊥平面*ABD*， 平面*ABC*∩平面*ABD*=*AB*，*AD*⊥*AB*， 可得*AD*⊥平面*ABC*，故*AD*⊥*BC*． > （Ⅱ）取棱*AC*的中点*N*，连接*MN*，*ND*．又因为*M*为棱*AB*的中点，故*MN*∥*BC*．所以∠*DMN*（或其补角）为异面直线*BC*与*MD*所成的角． ![](./data/image/media/image1701.png) > 在Rt△*DAM*中，*AM*=1，故*DM*=． > > 因为*AD*⊥平面*ABC*，故*AD*⊥*AC*． > > 在Rt△*DAN*中，*AN*=1，故*DN*=． > > 在等腰三角形*DMN*中，*MN*=1，可得． > > 所以，异面直线*BC*与*MD*所成角的余弦值为． > > （Ⅲ）连接*CM*．因为△*ABC*为等边三角形，*M*为边*AB*的中点，故*CM*⊥*AB*，*CM*=． > > 又因为平面*ABC*⊥平面*ABD*，而*CM*平面*ABC*，故*CM*⊥平面*ABD*． > > 所以，∠*CDM*为直线*CD*与平面*ABD*所成的角． > > 在Rt△*CAD*中，*CD*==4． > > 在Rt△*CMD*中，． > > 所以，直线*CD*与平面*ABD*所成角的正弦值为． （18）（本小题满分13分）设{*a~n~*}是等差数列，其前*n*项和为*S~n~*（*n*∈**N^\*^**）；{*b~n~*}是等比数列，公比大于0，其前*n*项和为*T~n~*（*n*∈**N^\*^**）．已知*b*~1~=1，*b*~3~=*b*~2~+2，*b*~4~=*a*~3~+*a*~5~，*b*~5~=*a*~4~+2*a*~6~． > （Ⅰ）求*S~n~*和*T~n~*； > > （Ⅱ）若*S~n~*+（*T*~1~+*T*~2~+...+*T~n~*）=*a~n~*+4*b~n~*，求正整数*n*的值． 解：（I）设等比数列的公比为*q*，由*b*~1~=1，*b*~3~=*b*~2~+2，可得． > 因为，可得，故．所以，． > > 设等差数列的公差为．由，可得． > > 由，可得从而， > > 故，所以，． > > （II）由（I），有 > > 由可得， > > 整理得解得（舍），或． > > 所以*n*的值为4． （19）（本小题满分14分）设椭圆的右顶点为*A*，上顶点为*B*．已知椭圆的离心率为，． > （I）求椭圆的方程； > > （II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点*M*，且点*P*，*M*均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求*k*的值． 解（I）：设椭圆的焦距为2*c*，由已知得，又由， 可得．由,从而． > 所以，椭圆的方程为． > > （II）设点*P*的坐标为，点*M*的坐标为，由题意，， > > 点的坐标为．由的面积是面积的2倍， > > 可得， > > 从而，即． > > 易知直线的方程为，由方程组消去*y*， > > 可得．由方程组消去，可得． > > 由，可得， > > 两边平方，整理得， > > 解得，或． > > 当时，，不合题意，舍去； > > 当时，，，符合题意． > > 所以，的值为． （20）（本小题满分14分）设函数，其中,且 是公差为的等差数列． > （I）若求曲线在点处的切线方程； > > （II）若，求的极值； > > （III）若曲线与直线有三个互异的公共点，求*d*的取值范围． 解（Ⅰ）：由已知，可得*f*(*x*)=*x*(*x*−1)(*x*+1)=*x*^3^−*x*， > 故=3*x*^2^−1，因此*f*(0)=0，=−1， > > 又因为曲线*y*=*f*(*x*)在点(0，*f*(0))处的切线方程为*y*−*f*(0)=(*x*−0)， > > 故所求切线方程为*x*+*y*=0． > > （Ⅱ）解：由已知可得 > > *f*(*x*)=(*x*−*t*~2~+3)(*x*−*t*~2~)(*x*−*t*~2~−3)=(*x*−*t*~2~)^3^−9(*x*−*t*~2~)=*x*^3^−3*t*~2~*x*^2^+(3*t*~2~^2^−9)*x*−*t*~2~^3^+9*t*~2~． > > 故=3*x*^2^−6*t*~2~*x*+3*t*~2~^2^−9．令=0，解得*x*=*t*~2~−，或*x*=*t*~2~+． > > 当*x*变化时，，*f*(*x*)的变化如下表： ---------- --------------- --------- -------------------- --------- --------------- *x* (−∞，*t*~2~−) *t*~2~− (*t*~2~−，*t*~2~+) *t*~2~+ (*t*~2~+，+∞) \+ 0 − 0 \+ *f*(*x*) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ---------- --------------- --------- -------------------- --------- --------------- > 所以函数*f*(*x*)的极大值为*f*(*t*~2~−)=(−)^3^−9×(−)=6；函数*f*(*x*)的极小值为*f*(*t*~2~+)=()^3^−9×()=−6． > > （Ⅲ）曲线*y*=*f*(*x*)与直线*y*=−(*x*−*t*~2~)−6有三个互异的公共点等价于关于*x*的方程(*x*−*t*~2~+*d*)(*x*−*t*~2~)(*x*−*t*~2~ > > −*d*)+(*x*−*t*~2~)+ 6=0有三个互异的实数解，令*u*=*x*−*t*~2~，可得*u*^3^+(1−*d*^2^)*u*+6=0． > > 设函数*g*(*x*)=*x*^3^+(1−*d*^2^)*x*+6，则曲线*y*=*f*(*x*)与直线*y*=−(*x*−*t*~2~)−6有三个互异的公共点等价于函数*y*=*g*(*x*)有三个零点． > > =3*x*^3^+(1−*d*^2^)． > > 当*d*^2^≤1时，≥0，这时在**R**上单调递增，不合题意． > > 当*d*^2^\>1时，=0，解得*x*~1~=，*x*~2~=． > > 易得，*g*(*x*)在(−∞，*x*~1~)上单调递增，在\[*x*~1~，*x*~2~\]上单调递减，在(*x*~2~，+∞)上单调递增． > > *g*(*x*)的极大值*g*(*x*~1~)=*g*()=\>0． > > *g*(*x*)的极小值*g*(*x*~2~)=*g*()=−． > > 若*g*(*x*~2~)≥0，由*g*(*x*)的单调性可知函数*y*=*g*(*x*)至多有两个零点，不合题意． > > 若即，也就是， > > 此时， > > 且， > > 从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意． > > 所以，的取值范围是． **绝密★启用前** 2018年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 数学（浙江卷） 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟. 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上. 2．答题时，请按照答题纸上"注意事项"的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. **参考公式：** 若事件*A*，*B*互斥，则 柱体的体积公式 ![](./data/image/media/image1807.png) *V*=*Sh* 若事件*A*，*B*相互独立，则 其中*S*表示棱柱的底面面积，*h*表示棱柱的高 ![](./data/image/media/image1808.png) 锥体的体积公式 若事件*A*在一次试验中发生的概率是*p*，则*n*次 ![](./data/image/media/image1809.wmf) 独立重复试验中事件*A*恰好发生*k*次的概率 其中*S*表示棱锥的底面面积，*h*表示棱锥的高 ![](./data/image/media/image1810.png) 球的表面积公式 台体的体积公式 ![](./data/image/media/image1811.wmf) ![](./data/image/media/image1812.wmf) 球的体积公式 其中*S~a~*，*S~b~*分别表示台体的上、下底面积 ![](./data/image/media/image1813.wmf) *h*表示台体的高 选择题部分（共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1\. 已知全集*U*={1，2，3，4，5}，*A*={1，3}，则![](./data/image/media/image1814.png)【C】 A. ![](./data/image/media/image1815.png) B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5} 2\. 双曲线![](./data/image/media/image1816.png)的焦点坐标是【B】 > A. (−![](./data/image/media/image1817.png)，0)，(![](./data/image/media/image1817.png)，0) B. (−2，0)，(2，0) > > C. (0，−![](./data/image/media/image1817.png))，(0，![](./data/image/media/image1817.png)) D. (0，−2)，(0，2) 3\. 某几何体的三视图如图所示(单位：*cm*)，则该几何体的体积(单位：*cm*^3^)是【C】 *A. 2 B. 4 C. 6 D.* 8 ![](./data/image/media/image1818.emf) 4. 复数![](./data/image/media/image1819.png) (i为虚数单位)的共轭复数是【B】 A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i 5\. 函数*y*=![](./data/image/media/image1820.png)sin2*x*的图象可能是【D】 A. ![](./data/image/media/image1821.png) B. ![](./data/image/media/image1822.png) C. ![](./data/image/media/image1823.png) D. ![](./data/image/media/image1824.png) 6 .已知平面*α*，直线*m*，*n*满足*m*⊄*α*，*n*⊂*α*，则"*m∥n*"是"*m∥α*"的【A】 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 > *C.* 充分必要条件 *D.* 既不充分也不必要条件 7\. 设0\<*p*\<1，随机变量*ξ*的分布列是 ----- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- *ξ* 0 1 2 *P* ![](./data/image/media/image1825.png) ![](./data/image/media/image1826.png) ![](./data/image/media/image1827.png) ----- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- 则当*p*在(0，1)内增大时【D】 > *A.D(ξ)减小 B. D(ξ)增大* > > *C. D(ξ)先减小后增大 D. D(ξ)先增大后减小* 8\. 已知四棱锥*S*−*ABCD*的底面是正方形，侧棱长均相等，*E*是线段*AB*上的点(不含端点)，设*SE*与*BC*所成的角为*θ*~1~，*SE*与平面*ABCD*所成的角为*θ*~2~，二面角*S*−*AB*−*C*的平面角为*θ*~3~，则【D】 > *A*. *θ*~1~≤*θ*~2~≤*θ*~3~ B*. θ*~3~≤*θ*~2~≤*θ*~1~ > > *C.* *θ*~1~≤*θ*~3~≤*θ*~2~ D. *θ*~2~≤*θ*~3~≤*θ*~1~ 9\. 已知***a***，***b***，***e***是平面向量，***e***是单位向量，若非零向量***a***与***e***的夹角为，向量***b***满足***b***^2^−4***e***•***b***+3=0，则\|***a***−***b***\|的最小值是【A】 > *A*. B. > > *C.* 2 *D*. 10\. 已知*a*~1~，*a*~2~，*a*~3~，*a*~4~成等比数列，且*a*~1~+*a*~2~+*a*~3~+*a*~4~=*ln*(*a*~1~+*a*~2~+*a*~3~)，若*a*~1~\>1，则【B】 > *A*. *a*~1~\<*a*~3~，*a*~2~\<*a*~4~ B. *a*~1~\>*a*~3~，*a*~2~\<*a*~4~ > > *C*. *a*~1~\<*a*~3~，*a*~2~\>*a*~4~ *D*. *a*~1~\>*a*~3~，*a*~2~\>*a*~4~ 非选择题部分（共110分） 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题："今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？"设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则当时，*x*= [8]{.underline} ，*y*= [11 .]{.underline} 12．若满足约束条件则的最小值是 [-2]{.underline} ，最大值是 [8 .]{.underline} 13 . 在△ABC中，角*A，B，C*所对的边分别为a，b，c，若*a=*![](./data/image/media/image1840.png)*，b=2，A*=60°，则sinB=，*c*= [8 .]{.underline} 14．二项式的展开式的常数项是 [7]{.underline} 15．已知*λ*∈**R**，函数*f*(*x*)=![](./data/image/media/image1844.png)，当*λ*=2时，不等式*f*(*x*)\<0的解集是 [（1,4）]{.underline} ，若函数*f*(*x*)恰有2个零点，则*λ*的取值范围是 [（1,3）∪（1，+）.]{.underline} 16\. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 [1260]{.underline} 个没有重复数字的四位数(用数字作答) 17．已知点*P*(0，1)，椭圆+*y*^2^=*m*(*m*\>1)上两点*A*，*B*满足=2，则当*m*= [5]{.underline} 时，点*B*横坐标的绝对值最大. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.\[来源:学18．（本题满分14分）已知角*α*的顶点与原点*O*重合，始边与*x*轴的非负半轴重合，它的终边过点*P*（）． > （Ⅰ）求sin（*α*+π）的值； > > （Ⅱ）若角*β*满足sin（*α*+*β*）=，求cos*β*的值． 解：（Ⅰ）由角的终边过点得， > 所以. > > （Ⅱ）由角的终边过点得， > > 由得. > > 由得， > > 所以或. 19．（本题满分15分）如图，已知多面体*ABCA*~1~*B*~1~*C*~1~，*A*~1~*A*，*B*~1~*B*，*C*~1~*C*均垂直于平面*ABC*，∠*ABC*=120°，*A*~1~*A*=4，*C*~1~*C*=1，*AB*=*BC*=*B*~1~*B*=2． ![](./data/image/media/image1862.png) > （Ⅰ）证明：*AB*~1~⊥平面*A*~1~*B*~1~*C*~1~； > > （Ⅱ）求直线*AC*~1~与平面*ABB*~1~所成的角的正弦值． 解：方法一： > （Ⅰ）由得，所以. > > 故. > > 由，得， > > 由得， > > 由，得，所以，故. > > 因此平面. > > （Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结. ![](./data/image/media/image1884.png) > 由平面得平面平面， > > 由得平面， > > 所以是与平面所成的角. > > 由得， > > 所以，故. > > 因此，直线与平面所成的角的正弦值是. > > 方法二： > > ![](./data/image/media/image1896.png)（Ⅰ）如图，以*AC*的中点*O*为原点，分别以射线*OB*，*OC*为*x*，*y*轴的正半轴，建立空间直角坐标系![](./data/image/media/image1896.png)*O*-*xyz*. ![](./data/image/media/image1897.png) > 由题意知各点坐标如下： > > 因此\[ > > 由得. > > 由得. > > 所以平![](./data/image/media/image1896.png)面. > > （Ⅱ）设直线与平面所成的角为. > > 由（Ⅰ）可知 > > 设平面的法向量. > > 由即可取. > > 所以. > > 因此，直线与平面所成的角的正弦值是. 20．（本题满分15分）已知等比数列{*a~n~*}的公比*q*\>1，且*a*~3~+*a*~4~+*a*~5~=28，*a*~4~+2是*a*~3~，*a*~5~的等差中项．数列 > {*b~n~*}满足*b*~1~=1，数列{（*b~n~*~+1~−*b~n~*）*a~n~*}的前*n*项和为2*n*^2^+*n*． > > （Ⅰ）求*q*的值； > > （Ⅱ）求数列{*b~n~*}的通项公式． 解：（Ⅰ）由是的等差中项得， > 所以， > > 解得. > > 由得， > > 因为，所以.\[ > > （Ⅱ）设，数列前*n*项和为. > > 由解得. > > 由（Ⅰ）可知， > > 所以， > > 故， > > . > > 设， > > 所以， > > 因此， > > 又，所以. 21．（本题满分15分）如图，已知点*P*是*y*轴左侧(不含*y*轴)一点，抛物线*C*![](./data/image/media/image1896.png)：*y*^2^=4*x*上存在不同的两点*A*，*B*满足*PA*，*PB*的中点均在*C*上． ![](./data/image/media/image1938.emf) > （Ⅰ）设*AB*中点为*M*，证明：*PM*垂直于*y*轴； > > （Ⅱ）若*P*是半椭圆*x*^2^+=1(*x*\<0)上的动点，求△*PAB*面积的取值范围． 解：（Ⅰ）设，，． > 因为，的中点在抛物线上， > > 所以，为方程即的两个不同的实数根． > > 所以． > > 因此，垂直于轴． > > （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 > > 所以，． > > 因此，的面积． > > 因为，所以． > > 因此，面积的取值范围是． 22．（本题满分15分）已知函数*f*(*x*)=−ln*x*． > （Ⅰ）若*f*(*x*)在*x*=*x*~1~，*x*~2~(*x*~1~≠*x*~2~)处导数相等，证明：*f*(*x*~1~)+*f*(*x*~2~)\>8−8ln2； > > （Ⅱ）若*a*≤3−4ln2，证明：对于任意*k*\>0，直线*y*=*kx*+*a*与曲线*y*=*f*(*x*)有唯一公共点． 解：（Ⅰ）函数*f*（*x*）的导函数， > 由得， > > 因为，所以． > > 由基本不等式得． > > 因为，所以． > > 由题意得． > > 设， > > 则， > > 所以 ----- ----------- -------- ------------ *x* （0，16） 16 （16，+∞） − 0 \+ 2−4ln2 ----- ----------- -------- ------------ > 所以*g*（*x*）在\[256，+∞![](./data/image/media/image1896.png)）上单调递增， > > 故， > > 即． > > （Ⅱ）令*m*=，*n*=，则 > > *f*（*m*）--*km*--*a*\>\|*a*\|+*k*--*k*![](./data/image/media/image1896.png)--*a*≥0， > > *f*（*n*）--*kn*--*a*\<≤\<0， > > 所以，存在*x*~0~∈（*m*，*n*）使*f*（*x*~0~）=*kx*~0~+*a*， > > 所以，对于任意的*a*∈**R**及*k*∈（0，+∞），直线*y*=*kx*+*a*与曲线*y*=*f*（*x*）有公共点． > > 由*f*（*x*）=*kx*+*a*得． > > 设*h*（*x*）=， > > 则*h*′（*x*）=， > > 其中*g*（*x*）=． > > 由（Ⅰ）可知*g*（*x*）≥*g*（16），又*a*≤3--4ln2， > > 故--*g*（*x*）--1+*a*≤--*g*（16）--1+*a*=--3+4ln2+*a*≤0， > > 所以*h*′（*x*）≤0，即函数*h*（*x*）在（0，+∞）上单调递减，因此方程*f*（*x*）--*kx*--*a*=0至多1个实根． > > 综上，当*a*≤3--4ln2时，对于任意*k*\>0，直线*y*=*kx*+*a*与曲线*y*=*f*（*x*）有唯一公共点． **绝密★启用前** 2017年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（全国Ⅰ卷） 本试卷共5页，满分150分. 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的"准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合*A*=，*B*=，则【A】 > A．*AB*= B．*AB* > > C．*AB* D．*AB=*R 2．为评估一种农作物的种植效果，选了*n*块地作试验田.这*n*块地的亩产量（单位：kg）分别为*x*~1~，*x*~2~，...，*x~n~*，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是【B】 > A．*x*~1~，*x*~2~，...，*x~n~*的平均数 B．*x*~1~，*x*~2~，...，*x~n~*的标准差 > > C．*x*~1~，*x*~2~，...，*x~n~*的最大值 D．*x*~1~，*x*~2~，...，*x~n~*的中位数 3．下列各式的运算结果为纯虚数的是【C】 > A．i(1+i)^2^ B．i^2^(1-i) C．(1+i)^2^ D．i(1+i) 4．如图，正方形*ABCD*内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是【B】 ![](./data/image/media/image1990.png) > A． B． C． D． 5．已知*F*是双曲线*C*：*x*^2^-=1的右焦点，*P*是*C*上一点，且*PF*与*x*轴垂直，点*A*的坐标是(1,3).则△*APF*的面积为【D】 > A． B． C． D． 6．如图，在下列四个正方体中，*A*，*B*为正方体的两个顶点，*M*，*N*，*Q*为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接*AB*与平面*MNQ*不平行的是【A】 ![](./data/image/media/image2000.png) 7．设*x*，*y*满足约束条件则*z*=*x*+*y*的最大值为【D】 > A．0 B．1 C．2 D．3 8．.函数的部分图像大致为【C】 ![](./data/image/media/image2003.png) 9．已知函数，则【C】 > A．在（0,2）单调递增 B．在（0,2）单调递减 > > C．*y*=的图像关于直线*x*=1对称 D．*y*=的图像关于点（1,0）对称 10．如图是为了求出满足的最小偶数*n*，那么在![](./data/image/media/image2007.png)和![](./data/image/media/image2008.png)两个空白框中，可以分别填入【D】 ![](./data/image/media/image2009.png) > A．*A*\>1000和*n*=*n*+1 B．*A*\>1000和*n*=*n*+2 > > C．*A*≤1000和*n*=*n*+1 D．*A*≤1000和*n*=*n*+2 11．△*ABC*的内角*A、B、C*的对边分别为*a、b、c*.已知，*a*=2，*c*=，则*C*=【B】 > A． B． C． D． 12．设*A*、*B*是椭圆*C*：长轴的两个端点，若*C*上存在点*M*满足∠*AMB*=120°，则*m*的取值范围是【A】 > A． B． > > C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知向量***a***=（--1，2），***b***=（*m*，1）.若向量***a***+***b***与***a***垂直，则*m*= [7]{.underline} . 14．曲线在点（1，2）处的切线方程为[ ]{.underline} . 15．已知,tan α=2，则=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 16．已知三棱锥*S-ABC*的所有顶点都在球*O*的球面上，*SC*是球*O*的直径.若平面*SCA*⊥平面*SCB*，*SA*=*AC*，*SB*=*BC*，三棱锥*S-ABC*的体积为9，则球*O*的表面积为[ .]{.underline} 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分. 17．（本小题满分12分）记*S*~n~为等比数列的前*n*项和，已知*S*~2~=2，*S*~3~=-6. > （1）求的通项公式； > > （2）求*S~n~*，并判断*S~n~*~+1~，*S~n~*，*S~n~*~+2~是否成等差数列~.~ 解：（1）设的公比为.由题设可得 ， 解得，. > 故的通项公式为. > > （2）由（1）可得. > > 由于， > > 故，，成等差数列. 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥*P-ABCD*中，*AB//CD*，且 ![](./data/image/media/image2040.png) （1）证明：平面*PAB*⊥平面*PAD*； > （2）若*PA*=*PD*=*AB*=*DC*,,且四棱锥*P-ABCD*的体积为，求该四棱锥的侧面积. 解：（1）由已知，得,. > 由于，故，从而平面. > > 又平面，所以平面平面. > > ![](./data/image/media/image2053.jpeg) > > （2）在平面内作，垂足为. > > 由（1）知，平面，故，可得平面. > > 设，则由已知可得，. > > 故四棱锥的体积. > > 由题设得，故. > > 从而，，. > > 可得四棱锥的侧面积为 > > . 19．（本小题满分12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： ---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 ---------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- 经计算得，，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，． （1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01） > 附：样本的相关系数，． 解：（1）由样本数据得的相关系数为 . 由于，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小. （2）（i）由于，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在以外，因此需对当天的生产过程进行检查. （ii）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02. ， 剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为， 这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为. 20．（本小题满分12分）设*A*，*B*为曲线*C*：*y*=上两点，*A*与*B*的横坐标之和为4. （1）求直线*AB*的斜率； > （2）设*M*为曲线*C*上一点，*C*在*M*处的切线与直线*AB*平行，且*AMBM*，求直线*AB*的方程. 解：（1）设*A*（*x*~1~，*y*~1~），*B*（*x*~2~，*y*~2~），则，，，*x*~1~+*x*~2~=4， > 于是直线*AB*的斜率. > > （2）由，得. > > 设*M*（*x*~3~，*y*~3~），由题设知，解得，于是*M*（2，1）. > > 设直线*AB*的方程为，故线段*AB*的中点为*N*（2*,*2+*m*），\|*MN*\|=\|*m*+1\|. > > 将代入得. > > 当，即时，. > > 从而. > > 由题设知，即，解得. > > 所以直线*AB*的方程为. 21．（本小题满分12分）已知函数=e*^x^*(e*^x^*﹣*a*)﹣*a*^2^*x*． > （1）讨论的单调性； > > （2）若，求*a*的取值范围． 解：（1）函数的定义域为，， > ①若，则，在单调递增. > > ②若，则由得. > > 当时，；当时，， > > 所以在单调递减，在单调递增. > > ③若，则由得. > > 当时，；当时，， > > 故在单调递减，在单调递增. > > （2）①若，则，所以. > > ②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时，. > > ③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为. > > 从而当且仅当，即时. > > 综上，的取值范围为. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．【选修4―4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在直角坐标系*xOy*中，曲线*C*的参数方程为（*θ*为参数），直线*l*的参数方程为. （1）若*a*=−1，求*C*与*l*的交点坐标； （2）若*C*上的点到*l*的距离的最大值为，求*a*. 解：（1）曲线的普通方程为. > 当时，直线的普通方程为. > > 由解得或. > > 从而与的交点坐标为，. > > （2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为 > > . > > 当时，的最大值为.由题设得，所以； > > 当时，的最大值为.由题设得，所以. > > 综上，或.、 23．【选修4---5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数*f*（*x*）=--*x*^2^+*ax*+4，*g*（*x*）=│*x*+1│+│*x*--1│. （1）当*a*=1时，求不等式*f*（*x*）≥*g*（*x*）的解集； （2）若不等式*f*（*x*）≥*g*（*x*）的解集包含\[--1，1\]，求*a*的取值范围. 解：（1）当时，不等式等价于.① > 当时，①式化为，无解； > > 当时，①式化为，从而； > > 当时，①式化为，从而. > > 所以的解集为. > > （2）当时，. > > 所以的解集包含，等价于当时. > > 又在的最小值必为与之一， > > 所以且，得. > > 所以的取值范围为. **绝密★启用前** 2017年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（全国II卷） **注意事项：** 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. **一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** 1．设集合，则 【A】 > A． B． C． D． 2． 【B】 > A． B． C． D． 3．函数的最小正周期为【C】 > A． B． C． D． 4．设非零向量，满足，则【A】 > A．⊥ B． C．∥ D． 5．若，则双曲线的离心率的取值范围是【C】 > A． B． C． D． 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为【B】 > A． B． C． D． ![](./data/image/media/image2232.png) 7．设满足约束条件则的最小值是【A】 > A． B． C． D． 8．函数的单调递增区间是【D】 > A． B． C． D． > > 9．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则【D】 > > A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 > > C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 10．执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的【B】 ![](./data/image/media/image2247.png) > A．2 B．3 C．4 D．5 11．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为【D】 > A． B． C． D． > > 12．过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在的轴上方），为的准线，点在上且,则到直线的距离为【C】 > > A． B． C． D． **二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.** 13．函数的最大值为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2268.png) [ ]{.underline} . 14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则 [ 12]{.underline} . 15．长方体的长，宽，高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 [ 14π]{.underline} . 16．的内角的对边分别为,若,则 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2281.png) [ ]{.underline} . **三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.** **（一）必考题：共60分.** 17．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，. > （1）若，求的通项公式； > > （2）若，求. 解：设![](./data/image/media/image2291.png)的公差为d，![](./data/image/media/image2292.png)的公比为q，则![](./data/image/media/image2293.png),![](./data/image/media/image2294.png). 由![](./data/image/media/image2295.png)得 d+q=3. ① 1. 由![](./data/image/media/image2296.png)得 > ![](./data/image/media/image2297.png) ② 联立①和②解得![](./data/image/media/image2298.png)（舍去），![](./data/image/media/image2299.png) 因此![](./data/image/media/image2292.png)的通项公式![](./data/image/media/image2300.png) 2. 由![](./data/image/media/image2301.png)得![](./data/image/media/image2302.png). 解得![](./data/image/media/image2303.png) 当![](./data/image/media/image2304.png)时，由①得![](./data/image/media/image2305.png)，则![](./data/image/media/image2306.png). 当![](./data/image/media/image2307.png)时，由①得![](./data/image/media/image2308.png)，则![](./data/image/media/image2309.png). 18．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面, > （1）证明：直线平面; > > （2）若△的面积为，求四棱锥的体积. > > ![](./data/image/media/image2318.png) 解： 1. 在平面ABCD内，因为∠BAD=∠ABC=90°， 所以BC∥AD.又，，故BC∥平面PAD. （2）去AD的中点M，连结PM，CM，由及BC∥AD，∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.![](./data/image/media/image2322.png) 因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， 所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为，所以PM⊥CM. 设BC=x，则CM=x，CD=![](./data/image/media/image2324.png)，PM=![](./data/image/media/image2325.png)，PC=PD=2x.取CD的中点N， 连结PN，则PN⊥CD，所以![](./data/image/media/image2326.png) 因为△PCD的面积为![](./data/image/media/image2327.png)，所以 ![](./data/image/media/image2328.png)， 解得x=-2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=![](./data/image/media/image2329.png)， 所以四棱锥P-ABCD的体积![](./data/image/media/image2330.png). 19．（本小题满分12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下： ![](./data/image/media/image2331.png) > （1）记*A*表示事件"旧养殖法的箱产量低于50 kg"，估计*A*的概率； > > （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： ---------- --------------- -------------- 箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 新养殖法 ---------- --------------- -------------- > （3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较. > > 附： ---------------------------------------------- -------------------- *P*（![](./data/image/media/image2332.png)） 0.050 0.010 0.001 *k* 3.841 6.635 10.828 ---------------------------------------------- -------------------- > . 解：（1）旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 （0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62 因此，事件A的概率估计值为0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 ---------- -------------- ------------- 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 ---------- -------------- ------------- K^2^= 由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. (3)箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在45kg到50kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法. 20．（本小题满分12分）设*O*为坐标原点，动点*M*在椭圆*C*![](./data/image/media/image2336.png)上，过*M*作*x*轴的垂线，垂足为*N*，点*P*满足. > （1）求点*P*的轨迹方程； > > （2）设点在直线上，且.证明：过点*P*且垂直于*OQ*的直线过*C*的左焦点*F*. 解：（1）设P（x，y），M（![](./data/image/media/image2342.png)）,则N（![](./data/image/media/image2343.png)），![](./data/image/media/image2344.png) 由![](./data/image/media/image2345.png)得![](./data/image/media/image2346.png). 因为M（![](./data/image/media/image2342.png)）在C上，所以![](./data/image/media/image2347.png). 因此点P的轨迹为![](./data/image/media/image2348.png). （2）由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则 ![](./data/image/media/image2349.png)， ![](./data/image/media/image2350.png). 由![](./data/image/media/image2351.png)得-3m-![](./data/image/media/image2352.png)+tn-![](./data/image/media/image2353.png)=1，又由（1）知![](./data/image/media/image2354.png)， 故3+3m-tn=0. 所以![](./data/image/media/image2355.png)，即![](./data/image/media/image2356.png).又过点P存在唯一直线垂直于OQ， 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 21．（本小题满分12分）设函数. > （1）讨论的单调性； > > （2）当时，，求的取值范围. 解：（1）*f* '(*x*)=(1-2*x*-*x*^2^)*e^x^* 令*f'*(*x*)=0得*x*=-1- ，*x*=-1+ 当*x*∈（-∞，-1-）时，*f'*(*x*)\<0；当*x*∈（-1-，-1+）时，*f'*(*x*)\>0； 当*x*∈（-1-，+∞）时，*f'*(*x*)\<0 所以*f*(*x*)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）单调递减， 在（-1-，-1+）单调递增. \(2\) *f* (*x*)=(1+*x*)（1-*x*）*e^x^* 当*a*≥1时，设函数*h*(*x*)=（1-*x*）*e^x^*，*h*'(*x*)= -*xe^x^*＜0（*x*＞0）， 因此*h*(*x*)在\[0，+∞)单调递减，而*h*(*0*)=1， 故*h*(*x*)≤1，所以 *f*(*x*)=（*x*+1）*h*(*x*)≤*x*+1≤*ax*+1 当0＜*a*＜1时，设函数*g*（*x*）=*e^x^*-*x*-1，*g*'（*x*）=*e^x^*-1＞0（*x*＞0）， 所以*g*（*x*）在在\[0，+∞)单调递增，而*g*(0)=0，故*e^x^*≥*x*+1 当0＜*x*＜1，，， 取 则 当 综上，*a*的取值范围\[1，+∞）. **（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.** 22．【选修4−4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） > 在直角坐标系*xOy*中，以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. > > （1）*M*为曲线上的动点，点*P*在线段*OM*上，且满足,求点*P*的轨迹的直角坐标方程； > > （2）设点*A*的极坐标为，点*B*在曲线上，求面积的最大值. 解：（1）设P的极坐标为（![](./data/image/media/image2375.png)）（![](./data/image/media/image2376.png)＞0），M的极坐标为![](./data/image/media/image2377.png)（![](./data/image/media/image2378.png)） 由题设知\|OP\|=![](./data/image/media/image2379.png)，![](./data/image/media/image2380.png)=![](./data/image/media/image2381.png). 由![](./data/image/media/image2382.png)\|OP\|=16得![](./data/image/media/image2383.png)的极坐标方程![](./data/image/media/image2384.png) 因此![](./data/image/media/image2383.png)的直角坐标方程为![](./data/image/media/image2385.png). 2. 设点B的极坐标为![](./data/image/media/image2386.png) （![](./data/image/media/image2387.png)）.由题设知\|OA\|=2，![](./data/image/media/image2388.png)， 于是△OAB面积 ![](./data/image/media/image2389.png) 当![](./data/image/media/image2390.png)时，S取得最大值![](./data/image/media/image2391.png). 所以△OAB面积的最大值为![](./data/image/media/image2391.png). 23．【选修4−5：不等式选讲】（本小题满分10分） > 已知.证明： > > （1）； > > （2）. 解： （2）因为 所以 ，因此 **绝密★启用前** 2017年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（全国Ⅲ卷） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. > 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. **一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** 1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为【B】 A．1 B．2 C．3 D．4 2．复平面内表示复数z=i(--2+i)的点位于【C】 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图. ![](./data/image/media/image2406.png) 根据该折线图，下列结论错误的是【A】 A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．已知，则=【A】 A． B． C． D． 5．设*x*，*y*满足约束条件，则*z*=*x*-*y*的取值范围是【B】 A．\[--3,0\] B．\[--3,2\] C．\[0,2\] D．\[0,3\] 6．函数*f*(*x*)=sin(*x*+)+cos(*x*−)的最大值为【A】 A． B．1 C． D． 7．函数*y*=1+*x*+的部分图像大致为【D】 A．![](./data/image/media/image2421.png) B．![](./data/image/media/image2422.png) C．![](./data/image/media/image2423.png) D．![](./data/image/media/image2424.png) 8．执行下面的程序框图，为使输出*S*的值小于91，则输入的正整数*N*的最小值为【D】 ![](./data/image/media/image2425.png) A．5 B．4 C．3 D．2 9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为【B】 A． B． C． D． 10．在正方体中，*E*为棱*CD*的中点，则【C】 A． B． C． D． 11．已知椭圆*C*：，（*a*\>*b*\>0）的左、右顶点分别为*A*~1~，*A*~2~，且以线段*A*~1~*A*~2~为直径的圆与直线相切，则*C*的离心率为【A】 A． B． C． D． 12．已知函数有唯一零点，则*a*=【C】 A． B． C． D．1 **二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.** 13．已知向量，且*a*⊥*b*，则*m*= [ 2]{.underline} . 14．双曲线（*a*\>0）的一条渐近线方程为，则*a*= [ 5]{.underline} . 15．△*ABC*的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*.已知*C*=60°，*b*=，*c*=3，则*A*= [75°]{.underline} . 16．设函数则满足的*x*的取值范围是[(-]{.underline}![](./data/image/media/image2451.png)![](./data/image/media/image2451.png)[，]{.underline}![](./data/image/media/image2452.png)![](./data/image/media/image2452.png) [)]{.underline}. **三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.** （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）设数列满足. （1）求的通项公式； （2）求数列 的前*n*项和. 解:（1）因为![](./data/image/media/image2455.png)![](./data/image/media/image2455.png)+3![](./data/image/media/image2456.png)![](./data/image/media/image2456.png)+...+（2*n*-1）![](./data/image/media/image2457.png)![](./data/image/media/image2457.png) =2*n*，故当*n*≥2时， ![](./data/image/media/image2455.png)![](./data/image/media/image2455.png)+3![](./data/image/media/image2456.png)![](./data/image/media/image2456.png)+...+（![](./data/image/media/image2458.png)![](./data/image/media/image2458.png)-3）![](./data/image/media/image2459.png)![](./data/image/media/image2459.png) =2（*n*-1） 两式相减得（2*n*-1）![](./data/image/media/image2457.png)![](./data/image/media/image2457.png)=2 > 所以![](./data/image/media/image2457.png)![](./data/image/media/image2457.png)=![](./data/image/media/image2460.png)![](./data/image/media/image2460.png) (n≥2) > > 又因题设可得 ![](./data/image/media/image2455.png)![](./data/image/media/image2455.png)=2. > > 从而{![](./data/image/media/image2457.png)![](./data/image/media/image2457.png)} 的通项公式为 ![](./data/image/media/image2457.png)![](./data/image/media/image2457.png) =![](./data/image/media/image2460.png)![](./data/image/media/image2460.png). > > （2）记 {![](./data/image/media/image2461.png)![](./data/image/media/image2461.png)}的前*n*项和为![](./data/image/media/image2462.png)![](./data/image/media/image2462.png) ， > > 由（1）知![](./data/image/media/image2463.png)![](./data/image/media/image2463.png) = ![](./data/image/media/image2464.png)![](./data/image/media/image2464.png)= ![](./data/image/media/image2465.png)![](./data/image/media/image2465.png) -![](./data/image/media/image2466.png)![](./data/image/media/image2466.png) . > > 则 ![](./data/image/media/image2462.png)![](./data/image/media/image2462.png)= ![](./data/image/media/image2467.png)![](./data/image/media/image2467.png)- ![](./data/image/media/image2468.png)![](./data/image/media/image2468.png) +![](./data/image/media/image2469.png)![](./data/image/media/image2469.png) - ![](./data/image/media/image2470.png)![](./data/image/media/image2470.png) +...+ ![](./data/image/media/image2465.png)![](./data/image/media/image2465.png) - ![](./data/image/media/image2466.png)![](./data/image/media/image2466.png) = ![](./data/image/media/image2471.png)![](./data/image/media/image2471.png) . 18．（本小题满分12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间\[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： ---------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ 最高气温 \[10，15） \[15，20） \[20，25） \[25，30） \[30，35） \[35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 ---------- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为*Y*（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出*Y*的所有可能值，并估计*Y*大于零的概率． 解：（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为![](./data/image/media/image2472.png)![](./data/image/media/image2472.png)， 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.6. > （2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时， > > 若最高气温不低于25，则*Y*=6![](./data/image/media/image2473.png)![](./data/image/media/image2473.png)450-4![](./data/image/media/image2473.png)![](./data/image/media/image2473.png)450=900； > > 若最高气温位于区间 \[20,25），则*Y*=6![](./data/image/media/image2473.png)![](./data/image/media/image2473.png)300+2（450-300）-4![](./data/image/media/image2473.png)![](./data/image/media/image2473.png)450=300； > > 若最高气温低于20，则*Y*=6![](./data/image/media/image2473.png)![](./data/image/media/image2473.png)200+2（450-200）-4![](./data/image/media/image2473.png)![](./data/image/media/image2473.png)450= -100. > > 所以，*Y*的所有可能值为900,300，-100. > > *Y*大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为![](./data/image/media/image2474.png)![](./data/image/media/image2474.png) ，因此*Y*大于零的概率的估计值为0.8. 19．（本小题满分12分）如图，四面体*ABCD*中，△*ABC*是正三角形，*AD*=*CD*． ![](./data/image/media/image2475.png) （1）证明：*AC*⊥*BD*； （2）已知△*ACD*是直角三角形，*AB*=*BD*．若*E*为棱*BD*上与*D*不重合的点，且*AE*⊥*EC*，求四面体*ABCE*与四面体*ACDE*的体积比． 解：（1）取*A*C的中点*O*连结*DO*，*BO*. > 因为*AD*=*CD*，所以*AC*⊥*DO*. > > 又由于△*ABC*是正三角形，所以*AC*⊥*BO*. > > 从而*AC*⊥平面*DOB*，故*AC*⊥*BD*. > > （2）连结*EO*.![](./data/image/media/image2476.png) > > 由（1）及题设知∠*ADC*=90°，所以*DO*=*AO*. > > 在Rt△*AOB*中，![](./data/image/media/image2477.png)![](./data/image/media/image2477.png). > > 又*AB*=*BD*，所以 > > ![](./data/image/media/image2478.png)![](./data/image/media/image2478.png)，故∠*DOB*=90°. > > 由题设知△*AEC*为直角三角形，所以![](./data/image/media/image2479.png)![](./data/image/media/image2479.png). > > 又△*ABC*是正三角形，且*AB*=*BD*，所以![](./data/image/media/image2480.png)![](./data/image/media/image2480.png). > > 故*E*为*BD*的中点，从而*E*到平面*ABC*的距离为*D*到平面*ABC*的距离的![](./data/image/media/image2481.png)![](./data/image/media/image2481.png)， > > 四面体*ABCE*的体积为四面体*ABCD*的体积的![](./data/image/media/image2481.png)![](./data/image/media/image2481.png)， > > 即四面体*ABCE*与四面体*ACDE*的体积之比为1:1. 20．（本小题满分12分）在直角坐标系*xOy*中，曲线*y*=*x*^2^+*mx*--2与*x*轴交于*A*，*B*两点，点C的坐标为(0,1).当*m*变化时，解答下列问题： （1）能否出现*AC*⊥*BC*的情况？说明理由； （2）证明过*A*，*B*，*C*三点的圆在*y*轴上截得的弦长为定值. .解：（1）不能出现*AC*⊥*BC*的情况，理由如下： > 设![](./data/image/media/image2482.png)![](./data/image/media/image2482.png),![](./data/image/media/image2483.png)![](./data/image/media/image2483.png),则![](./data/image/media/image2484.png)![](./data/image/media/image2484.png)满足![](./data/image/media/image2485.png)![](./data/image/media/image2485.png)所以![](./data/image/media/image2486.png)![](./data/image/media/image2486.png). > > 又*C*的坐标为（0，1），故*AC*的斜率与*BC*的斜率之积为![](./data/image/media/image2487.png)![](./data/image/media/image2487.png)，所以不能出现*AC*⊥*BC*的情况. > > （2）*BC*的中点坐标为（![](./data/image/media/image2488.png)![](./data/image/media/image2488.png)），可得*BC*的中垂线方程为![](./data/image/media/image2489.png)![](./data/image/media/image2489.png). > > 由（1）可得![](./data/image/media/image2490.png)![](./data/image/media/image2490.png)，所以*AB*的中垂线方程为![](./data/image/media/image2491.png)![](./data/image/media/image2491.png). > > 联立![](./data/image/media/image2492.png)![](./data/image/media/image2492.png)又![](./data/image/media/image2493.png)![](./data/image/media/image2493.png)，可得![](./data/image/media/image2494.png)![](./data/image/media/image2494.png) > > 所以过*A*、*B*、*C*三点的圆的圆心坐标为（![](./data/image/media/image2495.png)![](./data/image/media/image2495.png)），半径![](./data/image/media/image2496.png)![](./data/image/media/image2496.png) > > 故圆在*y*轴上截得的弦长为![](./data/image/media/image2497.png)![](./data/image/media/image2497.png)， > > 即过*A*、*B*、*C*三点的圆在y轴上的截得的弦长为定值. 21．（本小题满分12分）已知函数=ln*x*+*ax*^2^+(2*a*+1)*x*． （1）讨论的单调性； （2）当*a*﹤0时，证明． 解：（1）*f*（*x*）的定义域为（0，+![](./data/image/media/image2501.png)![](./data/image/media/image2501.png)），![](./data/image/media/image2502.png)![](./data/image/media/image2502.png). > 若*a*≥0，则当*x*∈（0，+![](./data/image/media/image2501.png)![](./data/image/media/image2501.png)）时，![](./data/image/media/image2503.png)![](./data/image/media/image2503.png)，故*f*（*x*）在（0，+![](./data/image/media/image2501.png)![](./data/image/media/image2501.png)）单调递增. > > 若*a*＜0，则当*x*∈![](./data/image/media/image2504.png)![](./data/image/media/image2504.png)时，![](./data/image/media/image2503.png)![](./data/image/media/image2503.png)；当*x*∈![](./data/image/media/image2505.png)![](./data/image/media/image2505.png)时，![](./data/image/media/image2506.png)![](./data/image/media/image2506.png).故*f*（*x*）在![](./data/image/media/image2504.png)![](./data/image/media/image2504.png)单调递增，在![](./data/image/media/image2505.png)![](./data/image/media/image2505.png)单调递减. > > （2）由（1）知，当*a*＜0时，*f*（*x*）在![](./data/image/media/image2507.png)![](./data/image/media/image2507.png)取得最大值，最大值为 > > ![](./data/image/media/image2508.png)![](./data/image/media/image2508.png). > > 所以![](./data/image/media/image2509.png)![](./data/image/media/image2509.png)等价于![](./data/image/media/image2510.png)![](./data/image/media/image2510.png)，即![](./data/image/media/image2511.png)![](./data/image/media/image2511.png) > > 设*g*（*x*）=ln*x*-*x*+1，则![](./data/image/media/image2512.png)![](./data/image/media/image2512.png) > > 当*x*∈（0,1）时，![](./data/image/media/image2513.png)![](./data/image/media/image2513.png)；当*x*∈（1，+![](./data/image/media/image2501.png)![](./data/image/media/image2501.png)）时，![](./data/image/media/image2514.png)![](./data/image/media/image2514.png). > > 所以*g*（*x*）在（0,1）单调递增，在（1，+![](./data/image/media/image2501.png)![](./data/image/media/image2501.png)）单调递减.故当*x*=1时，*g*（*x*）取得最大值，最大值为*g*（1）=0.所以当*x*＞0时，*g*（*x*）≤0,. > > 从而当*a*＜0时，![](./data/image/media/image2511.png)![](./data/image/media/image2511.png)，即![](./data/image/media/image2509.png)![](./data/image/media/image2509.png). （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．【选修4―4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在直角坐标系*xOy*中，直线*l*~1~的参数方程为（*t*为参数），直线*l*~2~的参数方程为.设*l*~1~与*l*~2~的交点为*P*，当*k*变化时，*P*的轨迹为曲线*C．* （1）写出*C*的普通方程； （2）以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系，设*l*~3~：*ρ*(cos*θ*+sin*θ*)−=0，*M*为*l*~3~与*C*的交点，求*M*的极径. 解：（1）消去参数*t*得![](./data/image/media/image2518.png)![](./data/image/media/image2518.png)的普通方程![](./data/image/media/image2518.png)![](./data/image/media/image2518.png)：![](./data/image/media/image2519.png)![](./data/image/media/image2519.png); 消去参数*m*得![](./data/image/media/image2520.png)![](./data/image/media/image2520.png)的普通方程 ![](./data/image/media/image2520.png)![](./data/image/media/image2520.png)：![](./data/image/media/image2521.png)![](./data/image/media/image2521.png)+2). 设*P*（*x*,*y*），由题设得![](./data/image/media/image2522.png)![](./data/image/media/image2522.png) 消去*k*得 ![](./data/image/media/image2523.png)![](./data/image/media/image2523.png). 所以*C*的普通方程为![](./data/image/media/image2524.png)![](./data/image/media/image2524.png). （2）*C*的极坐标方程为 ![](./data/image/media/image2525.png)![](./data/image/media/image2525.png) 联立![](./data/image/media/image2526.png)![](./data/image/media/image2526.png) 得 ![](./data/image/media/image2527.png)![](./data/image/media/image2527.png) 故![](./data/image/media/image2528.png)![](./data/image/media/image2528.png) ，从而![](./data/image/media/image2529.png)![](./data/image/media/image2529.png)， ![](./data/image/media/image2530.png)![](./data/image/media/image2530.png) . 代入![](./data/image/media/image2531.png)![](./data/image/media/image2531.png) 得![](./data/image/media/image2532.png)![](./data/image/media/image2532.png)=5，所以交点*M*的极径为![](./data/image/media/image2533.png)![](./data/image/media/image2533.png) . 23．【选修4---5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数=│*x*+1│--│*x*--2│. （1）求不等式≥1的解集； （2）若不等式≥*x*^2^--*x* +*m*的解集非空，求*m*的取值范围. 解：（1）![](./data/image/media/image2534.png)![](./data/image/media/image2534.png) > 当*x*＜-1时，*f*（*x*）≥1无解； > > 当![](./data/image/media/image2535.png)![](./data/image/media/image2535.png)时，由*f*（*x*）≥1得，2*x*-1≥1，解得1≤*x*≤2； > > 当![](./data/image/media/image2536.png)![](./data/image/media/image2536.png)时，由*f*（*x*）≥1解得*x*＞2. > > 所以*f*（*x*）≥1的解集为{*x*\|*x*≥1}. > > （2）由![](./data/image/media/image2537.png)![](./data/image/media/image2537.png)得*m*≤\|*x*+1\|-\|*x*-2\|-![](./data/image/media/image2538.png)![](./data/image/media/image2538.png).而 > > \|*x*+1\|-\|*x*-2\|-![](./data/image/media/image2539.png)![](./data/image/media/image2539.png) > > =![](./data/image/media/image2540.png)![](./data/image/media/image2540.png)≤![](./data/image/media/image2541.png)![](./data/image/media/image2541.png)， > > 且当*x*=![](./data/image/media/image2542.png)![](./data/image/media/image2542.png)时，\|*x*+1\|-\|*x*-2\|-![](./data/image/media/image2543.png)![](./data/image/media/image2543.png). > > 故*m*的取值范围为(-![](./data/image/media/image2544.png)![](./data/image/media/image2544.png)\]. **绝密★启用前** 2017年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（北京卷） **本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.** 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知，集合，则![](./data/image/media/image2547.png)【C】 > （A） （B） > > （C） （D） （2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是【B】 > （A） （B） > > （C） （D） （3）执行如图所示的程序框图，输出的值为【C】 ![](./data/image/media/image2559.png) > （A）2 （B） > > （C） （D） （4）若满足![](./data/image/media/image2565.png)则的最大值为【D】 > （A）1 （B）3 > > （C）5 （D）9 （5）已知函数，则【B】 > （A）是偶函数，且在**R**上是增函数 > > （B）是奇函数，且在**R**上是增函数 > > （C）是偶函数，且在**R**上是减函数 > > （D）是奇函数，且在**R**上是增函数 （6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为【D】 ![](./data/image/media/image2569.png) > （A）60 （B）30 > > （C）20 （D）10 （7）设***m*, *n***为非零向量，则"存在负数，使得***m***=*λ**n***"是"***m*·*n***\<0"的【A】 > （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 > > （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限*M*约为3^361^，而可观测宇宙中普通物质的原子总数*N*约为10^80^．则下列各数中与最接近的是【D】 > （参考数据：lg3≈0.48） > > （A）10^33^ （B）10^53^ > > （C）10^73^ （D）10^93^ 第二部分**（非选择题 共110分）** 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. （9）在平面直角坐标系*xOy*中，角与角均以*Ox*为始边，它们的终边关于*y*轴对称.若sin=，则sin= [ ]{.underline} ． （10）若双曲线的离心率为，则实数*m*= [2]{.underline} ． （11）已知，，且*x*+*y*=1，则的取值范围是 [ ]{.underline} [ ]{.underline} ． （12）已知点*P*在圆上，点*A*的坐标为(-2,0)，*O*为原点，则的最大值为 [6]{.underline} ． （13）能够说明"设*a*，*b*，*c*是任意实数．若*a*\>*b*\>*c*，则*a*+*b*\>*c*"是假命题的一组整数*a*,*b*,*c*的值依次为 [-1.-2，-3（答案不唯一）]{.underline} ． （14）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： > （ⅰ）男学生人数多于女学生人数； > > （ⅱ）女学生人数多于教师人数； > > （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数． > > ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 [6]{.underline} ． > > ②该小组人数的最小值为 [12]{.underline} ． 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题13分）已知等差数列和等比数列满足*a*~1~=*b*~1~=1,*a*~2~+*a*~4~=10,*b*~2~*b*~4~=*a*~5~． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求和：． 解：（Ⅰ）设等差数列{*a~n~*}的公差为*d*. 因为*a*~2~+*a*~4~=10，所以2*a*~1~+4*d*=10. 解得*d*=2. 所以*a~n~*=2*n*−1. （Ⅱ）设等比数列的公比为*q*. 因为*b*~2~*b*~4~=*a*~5~，所以*b*~1~*qb*~1~*q*^3^=9. 解得*q*^2^=3. 所以. 从而. （16）（本小题13分）已知函数. （I）求*f*(*x*)的最小正周期； （II）求证：当时，． 解：（Ⅰ）. 所以的最小正周期. （Ⅱ）因为， 所以. 所以. 所以当时，. （17）（本小题13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：\[20,30），\[30,40），┄，\[80,90\]，并整理得到如下频率分布直方图： ![](./data/image/media/image2598.png) （Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； （Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间\[40,50）内的人数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为，所以样本中分数小于70的频率为. 所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4. （Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为， 分数在区间内的人数为. 所以总体中分数在区间内的人数估计为. （Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为， 所以样本中分数不小于70的男生人数为. 所以样本中的男生人数为，女生人数为， 男生和女生人数的比例为. 所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为. （18）（本小题14分）如图，在三棱锥*P*--*ABC*中，*PA*⊥*AB*，*PA*⊥*BC*，*AB*⊥*BC*，*PA*=*AB*=*BC*=2，*D*为线段*AC*的中点，*E*为线段*PC*上一点． ![](./data/image/media/image2611.png) （Ⅰ）求证：*PA*⊥*BD*； （Ⅱ）求证：平面*BDE*⊥平面*PAC*； （Ⅲ）当*PA*∥平面*BD*E时，求三棱锥*E*--*BCD*的体积． 解：（I）因为，，所以平面， 又因为平面，所以. ![](./data/image/media/image2618.png) （II）因为，为中点，所以， 由（I）知，，所以平面. 所以平面平面. （III）因为平面，平面平面， 所以. 因为为的中点，所以，. 由（I）知，平面，所以平面. 所以三棱锥的体积. （19）（本小题14分）已知椭圆*C*的两个顶点分别为*A*(−2,0)，B(2,0)，焦点在*x*轴上，离心率为． （Ⅰ）求椭圆*C*的方程； （Ⅱ）点*D*为*x*轴上一点，过*D*作*x*轴的垂线交椭圆*C*于不同的两点*M*，*N*，过*D*作*AM*的垂线交*BN*于点*E*.求证：△*BDE*与△*BDN*的面积之比为4:5． 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为. 由题意得解得. 所以. 所以椭圆的方程为. （Ⅱ）设，则. 由题设知，且. 直线的斜率，故直线的斜率. 所以直线的方程为. 直线的方程为. 联立解得点的纵坐标. 由点在椭圆上，得. 所以. 又， ， 所以与的面积之比为. （20）（本小题13分）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）因为， 所以. 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为. （Ⅱ）设， 则. 当时，， 所以在区间上单调递减. 所以对任意有，即. 所以函数在区间上单调递减. 因此在区间上的最大值为，最小值为. **绝密★启用前** 2017年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（天津卷） **本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页.** **答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.** **祝各位考生考试顺利！** **第Ⅰ卷** **注意事项：** **1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.** **2.本卷共8小题，每小题5分，共40分.** > **参考公式：** **·如果事件*A*，*B*互斥，那么*P*(*A*∪*B*)=*P*(*A*)+*P*(*B*)．** **·棱柱的体积公式*V*=*Sh*. 其中*S*表示棱柱的底面面积，*h*表示棱柱的高．** **·球的体积公式**.其中表示球的半径. **一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** （1）设集合，则【B】 （A） （B） （C） （D） （2）设，则""是""的【B】 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 （3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为【C】 （A）（B）（C）（D） （4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为19，则输出的值为【C】 ![](./data/image/media/image2702.png) （A）0 （B）1（C）2（D）3 （5）已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为【D】 （A）（B）（C）（D） （6）已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为【C】 （A）（B）（C）（D） （7）设函数，其中.若且的最小正周期大于，则【A】 （A）（B）（C）（D） （8）已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是【A】 （A）（B）（C）（D） **第Ⅱ卷** **注意事项：** > **1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.** > > **2．本卷共12小题，共110分.** **二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.** （9）已知，i为虚数单位，若为实数，则*a*的值为 [-2]{.underline} . （10）已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为*l*，则*l*在*y*轴上的截距为 [1]{.underline} . （11）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 [ ]{.underline} [ ]{.underline} . （12）设抛物线的焦点为*F*，准线为*l*.已知点*C*在*l*上，以*C*为圆心的圆与*y*轴的正半轴相切于点*A*.若，则圆的方程为 [ .]{.underline} （13）若*a*，，![](./data/image/media/image2748.wmf)，则![](./data/image/media/image2749.wmf)的最小值为 [4]{.underline} . （14）在△*ABC*中，![](./data/image/media/image2750.wmf)，*AB*=3，*AC*=2.若![](./data/image/media/image2751.wmf)，![](./data/image/media/image2752.wmf)（![](./data/image/media/image2753.wmf)），且![](./data/image/media/image2754.wmf)，则![](./data/image/media/image2755.wmf)的值为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image2756.wmf) [ ]{.underline} . **三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．** **（15）（本小题满分13分）**在![](./data/image/media/image2757.wmf)中，内角![](./data/image/media/image2758.wmf)所对的边分别为![](./data/image/media/image2759.wmf).已知![](./data/image/media/image2760.wmf)，![](./data/image/media/image2761.wmf). （I）求![](./data/image/media/image2762.wmf)的值； （II）求![](./data/image/media/image2763.wmf)的值. 解：（Ⅰ）由![](./data/image/media/image2764.wmf)，及![](./data/image/media/image2765.wmf)，得![](./data/image/media/image2766.wmf). 由![](./data/image/media/image2767.wmf)，及余弦定理，得![](./data/image/media/image2768.wmf). （Ⅱ）由（Ⅰ），可得![](./data/image/media/image2769.wmf)，代入![](./data/image/media/image2764.wmf)，得![](./data/image/media/image2770.wmf). 由（Ⅰ）知，*A*为钝角，所以![](./data/image/media/image2771.wmf). 于是![](./data/image/media/image2772.wmf)， ![](./data/image/media/image2773.wmf)， 故![](./data/image/media/image2774.wmf). **（16）（本小题满分13分）**电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： ---- ------------------------ ---------------------- ---------------- 连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万） 甲 70 5 60 乙 60 5 25 ---- ------------------------ ---------------------- ---------------- 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用![](./data/image/media/image2775.wmf)，![](./data/image/media/image2776.wmf)表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数. （I）用![](./data/image/media/image2775.wmf)，![](./data/image/media/image2776.wmf)列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？ 解：（Ⅰ）由已知，![](./data/image/media/image2777.wmf)满足的数学关系式为![](./data/image/media/image2778.wmf)即![](./data/image/media/image2779.wmf) 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分： ![](./data/image/media/image2780.png) （Ⅱ）设总收视人次为![](./data/image/media/image2781.wmf)万，则目标函数为![](./data/image/media/image2782.wmf). 考虑![](./data/image/media/image2782.wmf)，将它变形为![](./data/image/media/image2783.wmf)，这是斜率为![](./data/image/media/image2784.wmf)，随![](./data/image/media/image2781.wmf)变化的一族平行直线.![](./data/image/media/image2785.wmf)为直线在![](./data/image/media/image2786.wmf)轴上的截距，当![](./data/image/media/image2785.wmf)取得最大值时，![](./data/image/media/image2781.wmf)的值最大. 又因为![](./data/image/media/image2787.wmf)满足约束条件，所以由图2可知，当直线![](./data/image/media/image2782.wmf)经过可行域上的点*M*时，截距![](./data/image/media/image2785.wmf)最大，即![](./data/image/media/image2781.wmf)最大. 解方程组![](./data/image/media/image2788.wmf)得点*M*的坐标为![](./data/image/media/image2789.wmf). 所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. **（17）（本小题满分13分）**如图，在四棱锥![](./data/image/media/image2062.wmf)中，![](./data/image/media/image2790.wmf)平面![](./data/image/media/image2791.wmf)，![](./data/image/media/image2792.wmf)，![](./data/image/media/image2793.wmf)，![](./data/image/media/image2794.wmf)，![](./data/image/media/image2795.wmf)，![](./data/image/media/image2796.wmf)，![](./data/image/media/image2797.wmf). （I）求异面直线![](./data/image/media/image2798.wmf)与![](./data/image/media/image2799.wmf)所成角的余弦值； （II）求证：![](./data/image/media/image2800.wmf)平面![](./data/image/media/image2801.wmf)； （Ⅲ）求直线![](./data/image/media/image2802.wmf)与平面![](./data/image/media/image2801.wmf)所成角的正弦值. ![](./data/image/media/image2803.png) 解：（Ⅰ）如图，由已知*AD*//*BC*，故![](./data/image/media/image2804.wmf)或其补角即为异面直线*AP*与*BC*所成的角. 因为*AD*⊥平面*PDC*，所以*AD*⊥*PD*.在Rt△*PDA*中， 由已知，得![](./data/image/media/image2805.wmf)，故![](./data/image/media/image2806.wmf). 所以，异面直线*AP*与*BC*所成角的余弦值为![](./data/image/media/image2807.wmf). ![](./data/image/media/image2808.png) （Ⅱ）因为*AD*⊥平面*PDC*，直线*PD*![](./data/image/media/image2809.wmf)平面*PDC*， 所以*AD*⊥*PD*.又因为*BC*//*AD*，所以*PD*⊥*BC*， 又*PD*⊥*PB*，所以*PD*⊥平面*PB*C. （Ⅲ）过点*D*作*AB*的平行线交*BC*于点*F*，连结*PF*， 则*DF*与平面*PBC*所成的角等于*AB*与平面*PBC*所成的角. 因为*PD*⊥平面*PBC*，故*PF*为*DF*在平面*PBC*上的射影， 所以![](./data/image/media/image2810.wmf)为直线*DF*和平面*PBC*所成的角. 由于*AD*//*BC*，*DF*//*AB*，故*BF*=*AD*=1，由已知，得*CF*=*BC*­--*BF*=2. 又*AD*⊥*DC*，故*BC*⊥*DC*，在Rt△*DCF*中，可得![](./data/image/media/image2811.wmf), 在Rt△*DPF*中，可得![](./data/image/media/image2812.wmf). 所以，直线*AB*与平面*PBC*所成角的正弦值为![](./data/image/media/image2813.wmf). > **（18）（本小题满分13分）**已知![](./data/image/media/image2814.wmf)为等差数列，前*n*项和为![](./data/image/media/image2815.wmf)，![](./data/image/media/image2816.wmf)是首项为2的等比数列，且公比大于0， ![](./data/image/media/image2817.wmf). （Ⅰ）求![](./data/image/media/image2814.wmf)和![](./data/image/media/image2816.wmf)的通项公式； （Ⅱ）求数列![](./data/image/media/image2818.wmf)的前*n*项和![](./data/image/media/image2819.wmf). .解：（Ⅰ）设等差数列![](./data/image/media/image2820.wmf)的公差为![](./data/image/media/image2821.wmf)，等比数列![](./data/image/media/image2822.wmf)的公比为![](./data/image/media/image2823.wmf). 由已知![](./data/image/media/image2824.wmf)，得![](./data/image/media/image2825.wmf)，而![](./data/image/media/image2826.wmf)， 所以![](./data/image/media/image2827.wmf).又因为![](./data/image/media/image2828.wmf)，解得![](./data/image/media/image2829.wmf).所以，![](./data/image/media/image2830.wmf). 由![](./data/image/media/image2831.wmf)，可得![](./data/image/media/image2832.wmf). 由![](./data/image/media/image2833.wmf)，可得![](./data/image/media/image2834.wmf)， 联立①②，解得![](./data/image/media/image2835.wmf)，由此可得![](./data/image/media/image2836.wmf). 所以，![](./data/image/media/image2837.wmf)的通项公式为![](./data/image/media/image2838.wmf)，![](./data/image/media/image2839.wmf)的通项公式为![](./data/image/media/image2840.wmf). （Ⅱ）设数列![](./data/image/media/image2841.wmf)的前![](./data/image/media/image2842.wmf)项和为![](./data/image/media/image2843.wmf)，由![](./data/image/media/image2844.wmf)， 有![](./data/image/media/image2845.wmf)， ![](./data/image/media/image2846.wmf)， 上述两式相减，得![](./data/image/media/image2847.wmf) ![](./data/image/media/image2848.wmf). 得![](./data/image/media/image2849.wmf). 所以，数列![](./data/image/media/image2841.wmf)的前![](./data/image/media/image2842.wmf)项和为![](./data/image/media/image2850.wmf). **（19）（本小题满分14分）**设![](./data/image/media/image2851.wmf)，![](./data/image/media/image2852.wmf).已知函数![](./data/image/media/image2853.wmf)，![](./data/image/media/image2854.wmf). （Ⅰ）求![](./data/image/media/image2855.wmf)的单调区间； （Ⅱ）已知函数![](./data/image/media/image2856.wmf)和![](./data/image/media/image2857.wmf)的图象在公共点（*x*~0~，*y*~0~）处有相同的切线， （i）求证：![](./data/image/media/image2855.wmf)在![](./data/image/media/image2858.wmf)处的导数等于0； （ii）若关于*x*的不等式![](./data/image/media/image2859.wmf)在区间![](./data/image/media/image2860.wmf)上恒成立，求*b*的取值范围. 解：（I）由![](./data/image/media/image2861.wmf)，可得 > ![](./data/image/media/image2862.wmf)， > > 令![](./data/image/media/image2863.wmf)，解得![](./data/image/media/image2864.wmf)，或![](./data/image/media/image2865.wmf).由![](./data/image/media/image2866.wmf)，得![](./data/image/media/image2867.wmf). > > 当![](./data/image/media/image2868.wmf)变化时，![](./data/image/media/image2869.wmf)，![](./data/image/media/image2870.wmf)的变化情况如下表： --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ![](./data/image/media/image2871.wmf) ![](./data/image/media/image2872.wmf) ![](./data/image/media/image2873.wmf) ![](./data/image/media/image2874.wmf) ![](./data/image/media/image2869.wmf) ![](./data/image/media/image2875.wmf) ![](./data/image/media/image2876.wmf) ![](./data/image/media/image2877.wmf) ![](./data/image/media/image2870.wmf) ![](./data/image/media/image2878.wmf) ![](./data/image/media/image2879.wmf) ![](./data/image/media/image2878.wmf) --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- > 所以，![](./data/image/media/image2880.wmf)的单调递增区间为![](./data/image/media/image2872.wmf)，![](./data/image/media/image2874.wmf)，单调递减区间为![](./data/image/media/image2873.wmf). > > （II）（i）因为![](./data/image/media/image2881.wmf)，由题意知![](./data/image/media/image2882.wmf)， > > 所以![](./data/image/media/image2883.wmf)，解得![](./data/image/media/image2884.wmf). > > 所以，![](./data/image/media/image2880.wmf)在![](./data/image/media/image2885.wmf)处的导数等于0. > > （ii）因为![](./data/image/media/image2886.wmf)，![](./data/image/media/image2887.wmf)，由![](./data/image/media/image2888.wmf)，可得![](./data/image/media/image2889.wmf). > > 又因为![](./data/image/media/image2890.wmf)，![](./data/image/media/image2891.wmf)，故![](./data/image/media/image2892.wmf)为![](./data/image/media/image2893.wmf)的极大值点，由（I）知![](./data/image/media/image2894.wmf). > > 另一方面，由于![](./data/image/media/image2895.wmf)，故![](./data/image/media/image2896.wmf)， > > 由（I）知![](./data/image/media/image2880.wmf)在![](./data/image/media/image2897.wmf)内单调递增，在![](./data/image/media/image2898.wmf)内单调递减， > > 故当![](./data/image/media/image2899.wmf)时，![](./data/image/media/image2900.wmf)在![](./data/image/media/image2901.wmf)上恒成立， > > 从而![](./data/image/media/image2886.wmf)在![](./data/image/media/image2902.wmf)上恒成立. > > 由![](./data/image/media/image2903.wmf)，得![](./data/image/media/image2904.wmf)，![](./data/image/media/image2905.wmf). > > 令![](./data/image/media/image2906.wmf)，![](./data/image/media/image2907.wmf)，所以![](./data/image/media/image2908.wmf)， > > 令![](./data/image/media/image2909.wmf)，解得![](./data/image/media/image2910.wmf)（舍去），或![](./data/image/media/image2911.wmf). > > 因为![](./data/image/media/image2912.wmf)，![](./data/image/media/image2913.wmf)，![](./data/image/media/image2914.wmf)，故![](./data/image/media/image2915.wmf)的值域为![](./data/image/media/image2916.wmf). > > 所以，![](./data/image/media/image2917.wmf)的取值范围是![](./data/image/media/image2916.wmf). **（20）（本小题满分14分）**已知椭圆![](./data/image/media/image2918.wmf)的左焦点为![](./data/image/media/image2919.wmf)，右顶点为![](./data/image/media/image2920.wmf)，点![](./data/image/media/image2921.wmf)的坐标为![](./data/image/media/image2922.wmf)，![](./data/image/media/image2923.wmf)的面积为![](./data/image/media/image2924.wmf). （I）求椭圆的离心率； （II）设点![](./data/image/media/image2925.wmf)在线段![](./data/image/media/image2926.wmf)上，![](./data/image/media/image2927.wmf)，延长线段![](./data/image/media/image2928.wmf)与椭圆交于点![](./data/image/media/image2929.wmf)，点![](./data/image/media/image2930.wmf)，![](./data/image/media/image2931.wmf)在![](./data/image/media/image2932.wmf)轴上，![](./data/image/media/image2933.wmf)，且直线![](./data/image/media/image2934.wmf)与直线![](./data/image/media/image2935.wmf)间的距离为![](./data/image/media/image2936.wmf)，四边形![](./data/image/media/image2937.wmf)的面积为![](./data/image/media/image2938.wmf). （i）求直线![](./data/image/media/image2939.wmf)的斜率； （ii）求椭圆的方程. 解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为*e*.由已知，可得![](./data/image/media/image2940.wmf). 又由![](./data/image/media/image2941.wmf)，可得![](./data/image/media/image2942.wmf)，即![](./data/image/media/image2943.wmf). 又因为![](./data/image/media/image2944.wmf)，解得![](./data/image/media/image2945.wmf). 所以，椭圆的离心率为![](./data/image/media/image2946.wmf). （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线*FP*的方程为![](./data/image/media/image2947.wmf)， 则直线*FP*的斜率为![](./data/image/media/image2948.wmf). 由（Ⅰ）知![](./data/image/media/image2949.wmf)，可得直线*AE*的方程为![](./data/image/media/image2950.wmf)， 即![](./data/image/media/image2951.wmf)，与直线*FP*的方程联立，可解得![](./data/image/media/image2952.wmf)， 即点*Q*的坐标为![](./data/image/media/image2953.wmf). 由已知\|*FQ*\|=![](./data/image/media/image2954.wmf)，有![](./data/image/media/image2955.wmf)， 整理得![](./data/image/media/image2956.wmf)，所以![](./data/image/media/image2957.wmf)，即直线*FP*的斜率为![](./data/image/media/image2958.wmf). （ii）由![](./data/image/media/image2959.wmf)，可得![](./data/image/media/image2960.wmf)，故椭圆方程可以表示为![](./data/image/media/image2961.wmf). 由（i）得直线*FP*的方程为![](./data/image/media/image2962.wmf)， 与椭圆方程联立![](./data/image/media/image2963.wmf)消去![](./data/image/media/image2964.wmf)，整理得![](./data/image/media/image2965.wmf)， 解得![](./data/image/media/image2966.wmf)（舍去），或![](./data/image/media/image2967.wmf).因此可得点![](./data/image/media/image2968.wmf)， 进而可得![](./data/image/media/image2969.wmf)， 所以![](./data/image/media/image2970.wmf). 由已知，线段![](./data/image/media/image2971.wmf)的长即为![](./data/image/media/image2972.wmf)与![](./data/image/media/image2973.wmf)这两条平行直线间的距离， 故直线![](./data/image/media/image2972.wmf)和![](./data/image/media/image2973.wmf)都垂直于直线![](./data/image/media/image2974.wmf). 因为![](./data/image/media/image2975.wmf)，所以![](./data/image/media/image2976.wmf)， 所以![](./data/image/media/image2977.wmf)的面积为![](./data/image/media/image2978.wmf)，同理![](./data/image/media/image2979.wmf)的面积等于![](./data/image/media/image2980.wmf)， 由四边形![](./data/image/media/image2981.wmf)的面积为![](./data/image/media/image2982.wmf)，得![](./data/image/media/image2983.wmf)， 整理得![](./data/image/media/image2984.wmf)，又由![](./data/image/media/image2985.wmf)，得![](./data/image/media/image2986.wmf). 所以，椭圆的方程为![](./data/image/media/image2987.wmf). **绝密★启用前** 2017年普通高等学校招生全**国**统一考试 ====================================== 数学（浙江卷） 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟. 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上. 2．答题时，请按照答题纸上"注意事项"的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. **参考公式：** > 球的表面积公式 锥体的体积公式 > > ![](./data/image/media/image1811.wmf) ![](./data/image/media/image1809.wmf) > > 球的体积公式 其中*S*表示棱锥的底面面积，*h*表示棱锥的高 > > ![](./data/image/media/image1813.wmf) 台体的体积公式 > > 其中*R*表示球的半径 ![](./data/image/media/image1812.wmf) > > 柱体的体积公式 其中*S~a~*，*S~b~*分别表示台体的上、下底面积 > > *V*=*Sh h*表示台体的高 > > 其中*S*表示棱柱的底面面积，*h*表示棱柱的高 选择题部分（共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合![](./data/image/media/image2988.wmf)，![](./data/image/media/image2989.wmf)，那么![](./data/image/media/image2990.wmf)【A】 > A．![](./data/image/media/image2991.wmf) B．![](./data/image/media/image2992.wmf) C．![](./data/image/media/image2993.wmf) D．![](./data/image/media/image2994.wmf) 2．椭圆![](./data/image/media/image2995.wmf)的离心率是【B】 > A．![](./data/image/media/image2996.wmf) B．![](./data/image/media/image2997.wmf) C．![](./data/image/media/image2998.wmf) D．![](./data/image/media/image2999.wmf) 3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm^3^）是【A】 ![](./data/image/media/image3000.png) （第3题图） > A．![](./data/image/media/image3001.wmf) B．![](./data/image/media/image3002.wmf) C．![](./data/image/media/image3003.wmf) D．![](./data/image/media/image3004.wmf) 4．若![](./data/image/media/image3005.wmf)，![](./data/image/media/image3006.wmf)满足约束条件![](./data/image/media/image3007.wmf)则![](./data/image/media/image3008.wmf)的取值范围是【D】 > A．\[0，6\] B．\[0，4\] > > C．\[6，![](./data/image/media/image3009.wmf) D．\[4，![](./data/image/media/image3010.wmf) 5．若函数*f*(*x*)=*x*^2^+ *ax*+*b*在区间\[0，1\]上的最大值是*M*，最小值是*m*，则*M* -- *m*【B】 > A．与*a*有关，且与*b*有关 B．与*a*有关，但与*b*无关 > > C．与*a*无关，且与*b*无关 D．与*a*无关，但与*b*有关 6．已知等差数列{*a~n~*}的公差为*d*，前*n*项和为*S~n~*，则"*d*\>0"是"*S*~4~ + *S*~6~\>2*S*~5~"的【C】 > A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 > > C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．函数*y=f*(*x*)的导函数![](./data/image/media/image3011.wmf)的图象如图所示，则函数*y=f*(*x*)的图象可能是【D】 ![](./data/image/media/image3012.png) （第7题图） ![](./data/image/media/image3013.png) 8．已知随机变量![](./data/image/media/image3014.wmf)满足*P*（![](./data/image/media/image3015.wmf)=1）=*p~i~*，*P*（![](./data/image/media/image3016.wmf)=0）=1--*p~i~*，*i*=1，2． 若0\<*p*~1~\<*p*~2~\<![](./data/image/media/image3017.wmf)，则【A】 > A．![](./data/image/media/image3018.wmf)\<![](./data/image/media/image3019.wmf)，![](./data/image/media/image3020.wmf)\<![](./data/image/media/image3021.wmf) B．![](./data/image/media/image3022.wmf)\<![](./data/image/media/image3023.wmf)，![](./data/image/media/image3024.wmf)\>![](./data/image/media/image3025.wmf) > > C．![](./data/image/media/image3026.wmf)\>![](./data/image/media/image3027.wmf)，![](./data/image/media/image3028.wmf)\<![](./data/image/media/image3029.wmf) D．![](./data/image/media/image3030.wmf)\>![](./data/image/media/image3031.wmf)，![](./data/image/media/image3032.wmf)\>![](./data/image/media/image3033.wmf) > > 9．如图，已知正四面体*D*--*ABC*（所有棱长均相等的三棱锥），*P*，*Q*，*R*分别为*AB*，*BC*，*CA*上的点，*AP=PB*，![](./data/image/media/image3034.wmf)，分别记二面角*D--PR--Q*，*D--PQ--R*，*D--QR--P*的平面角为*α*，*β*，*γ*，则【B】 ![](./data/image/media/image3035.png) （第9题图） > A．*γ*\<*α*\<*β* B．*α*\<*γ*\<*β* C．*α*\<*β*\<*γ* D．*β*\<*γ*\<*α* > > 10．如图，已知平面四边形*ABCD*，*AB*⊥*BC*，*AB*＝*BC*＝*AD*＝2，*CD*＝3，*AC*与*BD*交于点*O*，记![](./data/image/media/image3036.wmf)，![](./data/image/media/image3037.wmf)，![](./data/image/media/image3038.wmf)，则【C】 ![](./data/image/media/image3039.png) （第10题图） A．![](./data/image/media/image3040.wmf) B．![](./data/image/media/image3041.wmf) C．![](./data/image/media/image3042.wmf) D．![](./data/image/media/image3043.wmf) 非选择题部分（共110分） 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．我国古代数学家刘徽创立的"割圆术"可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了"割圆术"，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．"割圆术"的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积![](./data/image/media/image3044.wmf)，![](./data/image/media/image3045.wmf)![](./data/image/media/image3046.wmf)． 12．已知*a*，*b*∈**R**，![](./data/image/media/image3047.wmf)（i是虚数单位）则![](./data/image/media/image3048.wmf) [5]{.underline} ，*ab*= [2]{.underline} ． 13．已知多项式![](./data/image/media/image3049.wmf)，则![](./data/image/media/image3050.wmf)= [16]{.underline} ，![](./data/image/media/image3051.wmf)= [4]{.underline} ． > 14．已知△*ABC*，*AB*=*AC*=4，*BC*=2． 点*D*为*AB*延长线上一点，*BD*=2，连结*CD*，则△*BDC*的面积是![](./data/image/media/image3052.wmf)，cos∠*BDC*=![](./data/image/media/image3053.wmf)． 15．已知向量***a***，***b***满足![](./data/image/media/image3054.wmf)则![](./data/image/media/image3055.wmf)的最小值是 [4]{.underline} ，最大值是 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image3056.wmf)． > 16．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 [660]{.underline} 种不同的选法．（用数字作答） 17．已知*α*![](./data/image/media/image3057.wmf)**R**，函数![](./data/image/media/image3058.wmf)在区间\[1，4\]上的最大值是5，则![](./data/image/media/image3059.wmf)的取值范围是![](./data/image/media/image3060.wmf)． 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本题满分14分）已知函数*f*（*x*）=sin^2^*x*--cos^2^*x*--![](./data/image/media/image3061.wmf) sin *x* cos *x*（*x*![](./data/image/media/image3062.wmf)**R**）． > （Ⅰ）求![](./data/image/media/image3063.wmf)的值； > > （Ⅱ）求![](./data/image/media/image3064.wmf)的最小正周期及单调递增区间． > > 解： > > （Ⅰ）由![](./data/image/media/image3065.wmf)，![](./data/image/media/image3066.wmf)， > > ![](./data/image/media/image3067.wmf)． 得![](./data/image/media/image3068.wmf)． > （Ⅱ）由![](./data/image/media/image3069.wmf)与![](./data/image/media/image3070.wmf)得 > > ![](./data/image/media/image3071.wmf)． > > ![](./data/image/media/image3072.wmf)． > > 所以![](./data/image/media/image3073.wmf)的最小正周期是![](./data/image/media/image3074.wmf)． > > 由正弦函数的性质得 > > ![](./data/image/media/image3075.wmf)， > > 解得 > > ![](./data/image/media/image3076.wmf)， > > 所以，![](./data/image/media/image3077.wmf)的单调递增区间是![](./data/image/media/image3078.wmf)． 19．（本题满分15分）如图，已知四棱锥*P*--*ABCD*，△*PAD*是以*AD*为斜边的等腰直角三角形，![](./data/image/media/image3079.wmf)，*CD*⊥*AD*，*PC*=*AD*=2*DC*=2*CB*，*E*为*PD*的中点． （第19题图） > （Ⅰ）证明：![](./data/image/media/image3086.wmf)平面*PAB*； > > （Ⅱ）求直线*CE*与平面*PBC*所成角的正弦值． > > 解： （Ⅰ）如图，设*PA*中点为*F*，连接*EF*，*FB*． > 因为*E*，*F*分别为*PD*，*PA*中点，所以 > > ![](./data/image/media/image3092.wmf)且![](./data/image/media/image3093.wmf)， > > 又因为![](./data/image/media/image3094.wmf)，![](./data/image/media/image3095.wmf)，所以 > > ![](./data/image/media/image3096.wmf)且![](./data/image/media/image3097.wmf)， > > 即四边形*BCEF*为平行四边形，所以 > > ![](./data/image/media/image3098.wmf)， > > 因此 > > ![](./data/image/media/image3099.wmf)平面*PAB*． > > （Ⅱ）分别取*BC，AD*的中点为*M，N.* 连接*PN*交*EF*于点*Q*，连接*MQ.* > > 因为*E，F，N*分别是*PD，PA，AD*的中点，所以*Q*为*EF*中点， > > 在平行四边形*BCEF*中， > > 由*DC*⊥*AD*，*N*是*AD*的中点得 > > *MQ∥CE，* > > 由△*PAD*为等腰直角三角形得 > > *PN⊥AD，* > > 由*DC*⊥*AD，N*是*AD*的中点得 > > *BN*⊥*AD*． > > 所以 > > *AD*⊥平面*PBN*， > > 由*BC*//*AD*得 > > *BC*⊥平面*PBN*， > > 那么 > > 平面*PBC*⊥平面*PBN*． > > 过点*Q*作*PB*的垂线，垂足为*H*，连接*MH*． > > *MH*是*MQ*在平面*PBC*上的射影， > > 所以∠*QMH*是直线*CE*与平面*PBC*所成的角． > > 设*CD*=1． > > 在△*PCD*中，由*PC*=2，*CD*=1，*PD=*![](./data/image/media/image3100.wmf)得*CE*=![](./data/image/media/image3101.wmf)， > > 在△*PBN*中，由*PN*=*BN*=1，*PB*=![](./data/image/media/image3102.wmf)得*QH*=![](./data/image/media/image3103.wmf)， > > 在Rt△*MQH*中，*QH=*![](./data/image/media/image3104.wmf)，*MQ*=![](./data/image/media/image3105.wmf)， > > 所以 > > sin∠*QMH*=![](./data/image/media/image3106.wmf)， > > 所以直线*CE*与平面*PBC*所成角的正弦值是![](./data/image/media/image3107.wmf)． 20．（本题满分15分）已知函数*f*(*x*)=（*x*--![](./data/image/media/image3108.wmf)）![](./data/image/media/image3109.wmf)（![](./data/image/media/image3110.wmf)）． > （Ⅰ）求*f*(*x*)的导函数； > > （Ⅱ）求*f*(*x*)在区间![](./data/image/media/image3111.wmf)上的取值范围． > > 解： > > ![](./data/image/media/image3112.png) > > （Ⅱ）由 > > ![](./data/image/media/image3113.wmf)， > > 解得 > > ![](./data/image/media/image3114.wmf)或![](./data/image/media/image3115.wmf)． > > 因为 --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------------- --- ---------------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------- *x* ![](./data/image/media/image3116.wmf) （![](./data/image/media/image3116.wmf)，1） 1 （1，![](./data/image/media/image3117.wmf)） ![](./data/image/media/image3117.wmf) （![](./data/image/media/image3117.wmf)，![](./data/image/media/image3118.wmf)） ![](./data/image/media/image3119.png) -- 0 \+ 0 -- *f*（*x*） ![](./data/image/media/image3120.wmf) ![](./data/image/media/image3121.wmf) 0 ![](./data/image/media/image3122.wmf) ![](./data/image/media/image3123.wmf) ![](./data/image/media/image3121.wmf) --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------------- --- ---------------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------- > 又![](./data/image/media/image3124.wmf)， 所以*f*（*x*）在区间![](./data/image/media/image3125.wmf)上的取值范围是![](./data/image/media/image3126.wmf)． 21．（本题满分15分）如图，已知抛物线![](./data/image/media/image3127.wmf)，点*A*![](./data/image/media/image3128.wmf)，![](./data/image/media/image3129.wmf)，抛物线上的点![](./data/image/media/image3130.wmf)．过点*B*作直线*AP*的垂线，垂足为*Q*． ![](./data/image/media/image3131.png) （第20题图） > （Ⅰ）求直线*AP*斜率的取值范围； > > （Ⅱ）求![](./data/image/media/image3132.wmf)的最大值． > > 解： > > （Ⅰ）设直线*AP*的斜率为*k*， > > ![](./data/image/media/image3133.wmf)， > > 因为![](./data/image/media/image3134.wmf)，所以直线*AP*斜率的取值范围是![](./data/image/media/image3135.wmf)． > > （Ⅱ）联立直线*AP*与*BQ*的方程 > > ![](./data/image/media/image3136.wmf) > > 解得点*Q*的横坐标是 > > ![](./data/image/media/image3137.wmf)． > > 因为 > > \|*PA*\|=![](./data/image/media/image3138.wmf)=![](./data/image/media/image3139.wmf)， > > \|*PQ*\|= ![](./data/image/media/image3140.wmf)， > > 所以![](./data/image/media/image3141.wmf)． > > 令![](./data/image/media/image3142.wmf)， > > 因为 > > ![](./data/image/media/image3143.wmf)， > > 所以 *f*(*k*)在区间![](./data/image/media/image3144.wmf)上单调递增，![](./data/image/media/image3145.wmf)上单调递减， > > 因此当*k*=![](./data/image/media/image3146.wmf)时，![](./data/image/media/image3147.wmf)取得最大值![](./data/image/media/image3148.wmf)． 22．（本题满分15分）已知数列{*x~n~*}满足：*x*~1~=1，*x~n~*=*x~n~*~+1~+ln(1+*x~n~*~+1~)（![](./data/image/media/image3149.wmf)）． > 证明：当![](./data/image/media/image3150.wmf)时， > > （Ⅰ）0＜*x~n~*~+1~＜*x~n~*； > > （Ⅱ）2*x~n~*~+1~− *x~n~*≤![](./data/image/media/image3151.wmf)； > > （Ⅲ）![](./data/image/media/image3152.wmf)≤*x~n~*≤![](./data/image/media/image3153.wmf)． 解： （Ⅰ）用数学归纳法证明：![](./data/image/media/image3154.wmf)． > 当*n*=1时，*x*~1~=1\>0． > > 假设*n*=*k*时，*x~k~*\>0， > > 那么*n*=*k*+1时，若![](./data/image/media/image3155.wmf)，则![](./data/image/media/image3156.wmf)，矛盾，故![](./data/image/media/image3157.wmf)． > > 因此![](./data/image/media/image3158.wmf)． > > 所以 > > ![](./data/image/media/image3159.wmf)， > > 因此![](./data/image/media/image3160.wmf)． > > ![](./data/image/media/image3161.png) > > 故 > > ![](./data/image/media/image3162.wmf)． > > （Ⅲ）因为 > > ![](./data/image/media/image3163.wmf)， > > 所以 > > ![](./data/image/media/image3164.wmf)， > > 由![](./data/image/media/image3165.wmf)，得 > > ![](./data/image/media/image3166.wmf)， > > 所以 > > ![](./data/image/media/image3167.wmf)， > > 故 > > ![](./data/image/media/image3168.wmf)． > > 综上， > > ![](./data/image/media/image3169.wmf)． **绝密★启用前** 2017年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（山东卷） > **本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.** **考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.** 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B) **第I卷（共50分）** **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.** （1）设集合![](./data/image/media/image3170.wmf)![](./data/image/media/image3171.wmf)则![](./data/image/media/image3172.wmf)【C】 （A）![](./data/image/media/image3173.wmf) （B）![](./data/image/media/image3174.wmf) （C）![](./data/image/media/image3175.wmf) （D）![](./data/image/media/image3176.wmf) （2）已知i是虚数单位,若复数z满足![](./data/image/media/image3177.wmf),则![](./data/image/media/image3178.wmf)=【A】 (A)-2i ( B)2i (C)-2 (D)2 （3）已知*x*,*y*满足约束条件![](./data/image/media/image3179.wmf),则*z*=*x*+2*y*的最大值是【D】 (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 （4）已知![](./data/image/media/image3180.wmf),则![](./data/image/media/image3181.wmf)【D】 (A)![](./data/image/media/image3182.wmf) (B)![](./data/image/media/image3183.wmf) (C)![](./data/image/media/image3184.wmf) (D)![](./data/image/media/image3185.wmf) （5）已知命题*p*：![](./data/image/media/image3186.wmf)![](./data/image/media/image3187.wmf);命题*q*：若![](./data/image/media/image3188.wmf),则*a*\<*b*.下列命题为真命题的是【B】 (A)![](./data/image/media/image3189.wmf) (B)![](./data/image/media/image3190.wmf) (C)![](./data/image/media/image3191.wmf) (D)![](./data/image/media/image3192.wmf) （6）执行右侧的程序框图,当输入的*x*的值为4时,输出的*y*的值为2,则空白判断框中的条件可能为【B】 ![](./data/image/media/image3193.png) （A）![](./data/image/media/image3194.wmf) （B）![](./data/image/media/image3195.wmf) （C）![](./data/image/media/image3196.wmf) （D）![](./data/image/media/image3197.wmf) （7）函数![](./data/image/media/image3198.wmf)最小正周期为【C】 （A）![](./data/image/media/image3199.wmf) （B）![](./data/image/media/image3200.wmf) （C）![](./data/image/media/image3201.wmf) （D） ![](./data/image/media/image3202.wmf) （8）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则*x*和*y*的值分别为【A】 （A） 3,5 （B） 5,5 （C） 3,7 （D） 5,7 ![](./data/image/media/image3203.png) （9）设![](./data/image/media/image3204.wmf),若![](./data/image/media/image3205.wmf),则![](./data/image/media/image3206.wmf)【C】 （A）2 （B） 4 （C） 6 （D） 8 （10）若函数![](./data/image/media/image3207.wmf)(e=2.71828![](./data/image/media/image3208.wmf),是自然对数的底数)在![](./data/image/media/image3209.wmf)的定义域上单调递增,则称函数![](./data/image/media/image3210.wmf)具有*M*性质,下列函数中具有*M*性质的是【A】 （A ）![](./data/image/media/image3211.wmf) （B）![](./data/image/media/image3212.wmf) （C）![](./data/image/media/image3213.wmf) （D）![](./data/image/media/image3214.wmf) **第II卷（共100分）** **二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.** (11)已知向量***a***=（2,6）,***b***=![](./data/image/media/image3215.wmf),若***a***∥***b***,则![](./data/image/media/image3216.wmf) [-3]{.underline} . (12）若直线![](./data/image/media/image3217.wmf)过点（1,2）,则2*a*+*b*的最小值为 [8]{.underline} . (13）由一个长方体和两个![](./data/image/media/image3218.wmf)圆柱构成的几何体的三视图如右图,则该几何体的体积为![](./data/image/media/image3219.wmf) [ ]{.underline} . ![](./data/image/media/image3220.png) (14）已知*f*(*x*)是定义在**R**上的偶函数,且*f*(*x*+4)=*f*(*x*-2).若当![](./data/image/media/image3221.wmf)时,![](./data/image/media/image3222.wmf),则*f*(919)= [6]{.underline} . (15）在平面直角坐标系*xOy*中,双曲线![](./data/image/media/image3223.wmf)的右支与焦点为*F*的抛物线![](./data/image/media/image3224.wmf)交于*A*,*B*两点,若\|*AF*\|+\|*BF*\|=4\|*OF*\|,则该双曲线的渐近线方程为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image3225.wmf) [ ]{.underline} . **三、解答题：本大题共6小题,共75分.** (16）**(本小题满分12分)**某旅游爱好者计划从3个亚洲国家*A*~1~,*A*~2~,*A*~3~和3个欧洲国家*B*~1~,*B*~2~,*B*~3~中选择2个国家去旅游. (Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率； (Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括*A*~1~但不包括*B*~1~的概率. 解：(Ⅰ)由题意知，从6个国家里任选两个国家， 其一切可能的结果组成的基本事件有： ![](./data/image/media/image3226.wmf)![](./data/image/media/image3227.wmf)![](./data/image/media/image3228.wmf)![](./data/image/media/image3229.wmf)![](./data/image/media/image3230.wmf)![](./data/image/media/image3231.wmf)![](./data/image/media/image3232.wmf)共15个, 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有： ![](./data/image/media/image3233.wmf)共3个, 则所求事件的概率为：![](./data/image/media/image3234.wmf). (Ⅱ) 从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个， 其一切可能的结果组成的基本事件有：![](./data/image/media/image3235.wmf)![](./data/image/media/image3236.wmf)![](./data/image/media/image3230.wmf)![](./data/image/media/image3231.wmf)共9个, 包括![](./data/image/media/image3237.wmf)但不包括![](./data/image/media/image3238.wmf)的事件所包含的基本事件有：![](./data/image/media/image3236.wmf)共2个. 则所求事件的概率为：![](./data/image/media/image3239.wmf). (17）**（本小题满分12分）**在△*ABC*中,角*A*,*B*,*C*的对边分别为*a*,*b*,*c*,已知*b*=3,![](./data/image/media/image3240.wmf),*S*~△*ABC*~=3,求*A*和*a*. 解：因为![](./data/image/media/image3241.wmf)，所以![](./data/image/media/image3242.wmf)， 又 ![](./data/image/media/image3243.wmf)，所以![](./data/image/media/image3244.wmf)， 因此![](./data/image/media/image3245.wmf)， 又![](./data/image/media/image3246.wmf) 所以![](./data/image/media/image3247.wmf)，又![](./data/image/media/image3248.wmf)，所以![](./data/image/media/image3249.wmf). 由余弦定理![](./data/image/media/image3250.wmf) 得![](./data/image/media/image3251.wmf)， 所以![](./data/image/media/image3252.wmf). （18）**（本小题满分12分）**由四棱柱*ABCD*-*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~截去三棱锥*C*~1~- *B*~1~*CD*~1~后得到的几何体如图所示,四边形*ABCD*为正方形,*O*为*AC*与*BD*的交点,*E*为*AD*的中点,*A*~1~*E*![](./data/image/media/image3253.wmf)平面*ABCD*, （Ⅰ）证明：![](./data/image/media/image3254.wmf)∥平面*B*~1~*CD*~1~; （Ⅱ）设*M*是*OD*的中点,证明：平面*A*~1~*EM*![](./data/image/media/image3253.wmf)平面*B*~1~*CD*~1~. ![](./data/image/media/image3255.png) 解：（Ⅰ）取![](./data/image/media/image3256.wmf)中点![](./data/image/media/image3257.wmf)，连接![](./data/image/media/image3258.wmf)，由于![](./data/image/media/image3259.wmf)为四棱柱， 所以![](./data/image/media/image3260.wmf)，![](./data/image/media/image3261.png) 因此四边形![](./data/image/media/image3262.wmf)为平行四边形， 所以![](./data/image/media/image3263.wmf)， 又![](./data/image/media/image3264.wmf)平面![](./data/image/media/image3265.wmf)，![](./data/image/media/image3266.wmf)平面![](./data/image/media/image3265.wmf)， 所以![](./data/image/media/image3267.wmf)平面![](./data/image/media/image3265.wmf)， （Ⅱ）因为 ![](./data/image/media/image3268.wmf),E,M分别为AD和OD的中点， 所以![](./data/image/media/image3269.wmf), 又 ![](./data/image/media/image3270.wmf)面![](./data/image/media/image3271.wmf)，![](./data/image/media/image3272.wmf) 所以![](./data/image/media/image3273.wmf) 因为 ![](./data/image/media/image3274.wmf) 所以![](./data/image/media/image3275.wmf) 又 A~1~E, EM![](./data/image/media/image3276.wmf) 所以![](./data/image/media/image3277.wmf)平面![](./data/image/media/image3278.wmf)平面![](./data/image/media/image3279.wmf)， 所以 平面![](./data/image/media/image3280.wmf)平面![](./data/image/media/image3279.wmf). 19.**（本小题满分12分）**已知{*a~n~*}是各项均为正数的等比数列,且![](./data/image/media/image3281.wmf). (Ⅰ)求数列{*a~n~*}通项公式； (Ⅱ){*b~n~*}为各项非零的等差数列,其前*n*项和*S~n~*,已知![](./data/image/media/image3282.wmf),求数列![](./data/image/media/image3283.wmf)的前*n*项和![](./data/image/media/image3284.wmf). 解：（Ⅰ）设数列![](./data/image/media/image3285.wmf)的公比为![](./data/image/media/image3286.wmf)，由题意知, ![](./data/image/media/image3287.wmf). 又![](./data/image/media/image3288.wmf)， 解得![](./data/image/media/image3289.wmf)， 所以![](./data/image/media/image3290.wmf). （Ⅱ）由题意知![](./data/image/media/image3291.wmf) ![](./data/image/media/image3292.wmf)所以![](./data/image/media/image3293.wmf), 令![](./data/image/media/image3294.wmf)则![](./data/image/media/image3295.wmf) 因此![](./data/image/media/image3296.wmf), 又![](./data/image/media/image3297.wmf), 两式相减得![](./data/image/media/image3298.wmf) 所以![](./data/image/media/image3299.wmf). 20.**（本小题满分13分）**已知函数![](./data/image/media/image3300.wmf). (Ⅰ)当*a*=2时,求曲线![](./data/image/media/image3301.wmf)在点![](./data/image/media/image3302.wmf)处的切线方程； (Ⅱ)设函数![](./data/image/media/image3303.wmf),z.x.x.k讨论![](./data/image/media/image3304.wmf)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 解：（Ⅰ）由题意![](./data/image/media/image3305.wmf)， 所以，当![](./data/image/media/image3306.wmf)时，![](./data/image/media/image3307.wmf)，![](./data/image/media/image3308.wmf)， 所以![](./data/image/media/image3309.wmf)， 因此，曲线![](./data/image/media/image3310.wmf)在点![](./data/image/media/image3311.wmf)处的切线方程是![](./data/image/media/image3312.wmf)， 即![](./data/image/media/image3313.wmf). （Ⅱ）因为 *g*（*x*）=*f*（*x*）+（*x*-*a*）cos*x*-sin*x*， 所以![](./data/image/media/image3314.png)![](./data/image/media/image3314.png) =*x*（*x*-*a*）-（*x*-*a*）sin*x* =（*x*-*a*）（*x*-sin*x*）， 令 *h*（*x*）=*x*-sin*x*， 则 ![](./data/image/media/image3315.png)![](./data/image/media/image3315.png)， 所以 *h*（*x*）在**R**上单调递增. 因为 *h*（0）=0. 所以 当*x*＞0时，*h*（*x*）＞0； 当*x*＜0时，*h*（*x*）＜0. （1）当![](./data/image/media/image3316.wmf)时，![](./data/image/media/image3317.wmf)， 当![](./data/image/media/image3318.wmf)时，![](./data/image/media/image3319.wmf)，![](./data/image/media/image3320.wmf)，![](./data/image/media/image3321.wmf)单调递增； 当![](./data/image/media/image3322.wmf)时，![](./data/image/media/image3323.wmf)，![](./data/image/media/image3324.wmf)，![](./data/image/media/image3321.wmf)单调递减； 当![](./data/image/media/image3325.wmf)时，![](./data/image/media/image3323.wmf)，![](./data/image/media/image3320.wmf)，![](./data/image/media/image3321.wmf)单调递增. 所以，当![](./data/image/media/image3326.wmf)时，![](./data/image/media/image3327.wmf)取到极大值，极大值是![](./data/image/media/image3328.wmf)， 当![](./data/image/media/image3329.wmf)时，![](./data/image/media/image3327.wmf)取到极小值，极小值是![](./data/image/media/image3330.wmf). （2）当![](./data/image/media/image3331.wmf)时，![](./data/image/media/image3332.wmf)， 当![](./data/image/media/image3333.wmf)时，![](./data/image/media/image3334.wmf)，![](./data/image/media/image3327.wmf)单调递增； 所以，![](./data/image/media/image3335.wmf)在![](./data/image/media/image3336.wmf)上单调递增，![](./data/image/media/image3335.wmf)无极大值也无极小值. （3）当![](./data/image/media/image3337.wmf)时，![](./data/image/media/image3338.wmf)， 当![](./data/image/media/image3339.wmf)时，![](./data/image/media/image3340.wmf)，![](./data/image/media/image3341.wmf)，![](./data/image/media/image3335.wmf)单调递增； 当![](./data/image/media/image3342.wmf)时，![](./data/image/media/image3340.wmf)，![](./data/image/media/image3343.wmf)，![](./data/image/media/image3335.wmf)单调递减； 当![](./data/image/media/image3344.wmf)时，![](./data/image/media/image3345.wmf)，![](./data/image/media/image3341.wmf)，![](./data/image/media/image3335.wmf)单调递增. 所以，当![](./data/image/media/image3346.wmf)时，![](./data/image/media/image3335.wmf)取到极大值，极大值是![](./data/image/media/image3347.wmf)； 当![](./data/image/media/image3348.wmf)时，![](./data/image/media/image3335.wmf)取到极小值，极小值是![](./data/image/media/image3349.wmf). 综上所述：当![](./data/image/media/image3350.wmf)时，函数![](./data/image/media/image3335.wmf)在![](./data/image/media/image3351.wmf)和![](./data/image/media/image3352.wmf)上单调递增，在![](./data/image/media/image3353.wmf)上单调递减， 函数既有极大值，又有极小值，极大值是![](./data/image/media/image3349.wmf)，极小值是![](./data/image/media/image3347.wmf). 当![](./data/image/media/image3354.wmf)时，函数![](./data/image/media/image3335.wmf)在![](./data/image/media/image3355.wmf)上单调递增，无极值； 当![](./data/image/media/image3356.wmf)时，函数![](./data/image/media/image3335.wmf)在![](./data/image/media/image3357.wmf)和![](./data/image/media/image3358.wmf)上单调递增，在![](./data/image/media/image3359.wmf)上单调递减， 函数既有极大值，又有极小值，极大值是![](./data/image/media/image3347.wmf)，极小值是![](./data/image/media/image3349.wmf). 21.**（本小题满分14分）**在平面直角坐标系*xOy*中,已知椭圆*C*:![](./data/image/media/image3360.wmf)(*a*\>*b*\>0)的离心率为![](./data/image/media/image3361.wmf),椭圆*C*截直线*y*=1所得线段的长度为![](./data/image/media/image3362.wmf). (Ⅰ)求椭圆*C*的方程； (Ⅱ)动直线*l*:*y*=*kx*+*m*(*m*≠0)交椭圆*C*于*A*,*B*两点,交*y*轴于点*M*.点*N*是*M*关于*O*的对称点,⊙*N*的半径为\|*NO*\|. 设*D*为*AB*的中点,*DE*,*DF*与⊙*N*分别相切于点*E*,*F*,求![](./data/image/media/image3363.wmf)*EDF*的最小值. ![](./data/image/media/image3364.png) 解：（Ⅰ） 由椭圆的离心率为![](./data/image/media/image3365.wmf) ，得![](./data/image/media/image3366.wmf) ， 又当y=1时，![](./data/image/media/image3367.wmf)，得![](./data/image/media/image3368.wmf)， 所以![](./data/image/media/image3369.wmf)，![](./data/image/media/image3370.wmf). 因此椭圆方程为![](./data/image/media/image3371.wmf). \(II\) 设![](./data/image/media/image3372.wmf) , ![](./data/image/media/image3373.wmf). 联立方程![](./data/image/media/image3374.wmf) 得![](./data/image/media/image3375.wmf)， （Ⅱ）设![](./data/image/media/image3376.wmf)， 联立方程![](./data/image/media/image3377.wmf) 得![](./data/image/media/image3378.wmf)， 由![](./data/image/media/image3379.wmf) 得![](./data/image/media/image3380.wmf) （\*） 且![](./data/image/media/image3381.wmf) ， 因此![](./data/image/media/image3382.wmf) ， 所以![](./data/image/media/image3383.wmf) ， 又![](./data/image/media/image3384.wmf) ， 所以![](./data/image/media/image3385.wmf) 整理得：![](./data/image/media/image3386.wmf) ， 因为![](./data/image/media/image3387.wmf) ， 所以![](./data/image/media/image3388.wmf) 令![](./data/image/media/image3389.wmf) ， 故![](./data/image/media/image3390.wmf) ， 所以![](./data/image/media/image3391.wmf)， 令 ![](./data/image/media/image3392.wmf)，当 ![](./data/image/media/image3393.wmf)， 从而![](./data/image/media/image3394.wmf)在![](./data/image/media/image3395.wmf)上单调递增， 因此![](./data/image/media/image3396.wmf) 等号当且仅当![](./data/image/media/image3397.wmf)时成立，此时![](./data/image/media/image3398.wmf). 所以 ![](./data/image/media/image3399.wmf)，由（\*）得 ![](./data/image/media/image3400.wmf) 且![](./data/image/media/image3401.wmf)， 故![](./data/image/media/image3402.wmf)，设![](./data/image/media/image3403.wmf)，则![](./data/image/media/image3404.wmf) ， 所以![](./data/image/media/image3405.wmf)得最小值为![](./data/image/media/image3406.wmf). 从而![](./data/image/media/image3407.wmf)的最小值为![](./data/image/media/image3408.wmf)，此时直线![](./data/image/media/image3409.wmf)的斜率时![](./data/image/media/image3410.wmf). 综上所述：当![](./data/image/media/image3411.wmf)，![](./data/image/media/image3412.wmf)时，![](./data/image/media/image3413.wmf)取得最小值为![](./data/image/media/image3414.wmf). **绝密★启用前** 2016年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（全国Ⅰ卷） **注意事项：** **1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.** **2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.** **3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.** **4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.** **第Ⅰ卷** 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合![](./data/image/media/image3415.wmf)，![](./data/image/media/image3416.wmf)，则![](./data/image/media/image3417.wmf)【B】 > （A）{1,3} （B）{3,5} （C）{5,7} （D）{1,7} （2）设![](./data/image/media/image3418.wmf)的实部与虚部相等，其中*a*为实数，则*a=*【A】 > （A）－3 （B）－2 （C）2 （D）3 （3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是【C】 > （A）![](./data/image/media/image3419.wmf) （B）![](./data/image/media/image3420.wmf) （C）![](./data/image/media/image3421.wmf) （D）![](./data/image/media/image3422.wmf) （4）△*ABC*的内角*A*、*B*、*C*的对边分别为*a*、*b*、*c.*已知![](./data/image/media/image3423.wmf)，![](./data/image/media/image3424.wmf)，![](./data/image/media/image3425.wmf)，则*b=*【D】 > （A）![](./data/image/media/image3426.wmf) （B）![](./data/image/media/image3427.wmf) （C）2 （D）3 （5）直线*l*经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为【B】 （A） （B） （C） （D） （6）若将函数*y*=2sin (2*x*+)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为【D】 （A）*y*=2sin(2*x*+) （B）*y*=2sin(2*x*+) （C）*y*=2sin(2*x*--) （D）*y*=2sin(2*x*--) （7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是【A】 ![](./data/image/media/image3428.emf) （A）17π （B）18π （C）20π （D）28π （8）若a\>b\>0，0\<c\<1，则【B】 （A）log*~a~c*\<log*~b~c* （B）log*~c~a*\<log*~c~b* （C）*a^c^*\<*b^c\ ^*（D）*c^a^*\>*c^b^* （9）函数*y*=2*x*^2^--e^\|*x*\|^在\[--2,2\]的图像大致为【D】 （A）![](./data/image/media/image3429.jpeg)（B）![](./data/image/media/image3429.jpeg) （C）![](./data/image/media/image3429.jpeg) （D）![](./data/image/media/image3429.jpeg) （10）执行右面的程序框图，如果输入的![](./data/image/media/image3430.wmf)*n*=1,则输出![](./data/image/media/image3431.wmf)的值满足【C】 ![](./data/image/media/image3432.emf) （A）![](./data/image/media/image3433.wmf) （B）![](./data/image/media/image3434.wmf) （C）![](./data/image/media/image3435.wmf) （D）![](./data/image/media/image3436.wmf) （11）平面![](./data/image/media/image3437.wmf)过正文体*ABCD*---*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的顶点*A,*![](./data/image/media/image3438.wmf),![](./data/image/media/image3439.wmf)， ![](./data/image/media/image3440.wmf)，则*m*，*n*所成角的正弦值为【A】 （A）![](./data/image/media/image3441.wmf) （B）![](./data/image/media/image3442.wmf) （C）![](./data/image/media/image3443.wmf) （D）![](./data/image/media/image3444.wmf) （12）若函数![](./data/image/media/image3445.wmf)在![](./data/image/media/image3446.wmf)单调递增，则*a*的取值范围是【C】 （A）![](./data/image/media/image3447.wmf) （B）![](./data/image/media/image3448.wmf) （C）![](./data/image/media/image3449.wmf) （D）![](./data/image/media/image3450.wmf) **第II卷** 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13) **\~** (21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22) **\~** (24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. （13）设向量***a***=(*x*，*x*+1)，***b***=(1，2)，且***a*** ![](./data/image/media/image3451.wmf)***b***，则*x*=\_\_\_\_![](./data/image/media/image3452.wmf)\_\_\_\_\_\_\_. （14）已知*θ*是第四象限角，且sin(*θ*+![](./data/image/media/image3453.wmf))=![](./data/image/media/image3454.wmf)，则tan(*θ*--![](./data/image/media/image3453.wmf))=\_\_\_\_![](./data/image/media/image3455.wmf)\_\_\_\_\_\_\_. （15）设直线*y=x*+2*a*与圆*C*：*x*^2^+*y*^2^-2*ay*-2=0相交于*A*，*B*两点，若![](./data/image/media/image3456.png)，则圆*C*的面积为\_\_\_\_![](./data/image/media/image3457.wmf)\_\_\_\_\_. （16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 [216000]{.underline} 元. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）已知![](./data/image/media/image3458.wmf)是公差为3的等差数列，数列![](./data/image/media/image3459.wmf)满足![](./data/image/media/image3460.wmf)，. （I）求![](./data/image/media/image3461.wmf)的通项公式； （II）求![](./data/image/media/image3459.wmf)的前*n*项和. 解：（I）由已知，![](./data/image/media/image3462.wmf) 得![](./data/image/media/image3462.wmf)得![](./data/image/media/image3463.wmf)， 所以数列![](./data/image/media/image3464.wmf)是首项为2，公差为3的等差数列， 通项公式为![](./data/image/media/image3465.wmf). （II）由（I）和![](./data/image/media/image3466.wmf) ，得![](./data/image/media/image3467.wmf)， 因此![](./data/image/media/image3459.wmf)是首项为1，公比为![](./data/image/media/image3468.wmf)的等比数列.记![](./data/image/media/image3459.wmf)的前![](./data/image/media/image3469.wmf)项和为![](./data/image/media/image3470.wmf)， 则![](./data/image/media/image3471.wmf) 18.（本题满分12分）如图，在已知正三棱锥*P*-*ABC*的侧面是直角三角形，*PA*=6，顶点*P*在平面*ABC*内的正投影为点*D*，D在平面PAB内的正投影为点E，连接*PE*并延长交*AB*于点*G*. ![](./data/image/media/image3472.emf) （I）证明： *G*是*AB*的中点； （II）在答题卡第（18）题图中作出点*E*在平面*PAC*内的正投影*F*（说明作法及理由），并求四面体*PDEF*的体积． 解：（I）因为![](./data/image/media/image3473.wmf)在平面![](./data/image/media/image3474.wmf)内的正投影为![](./data/image/media/image3475.wmf)，所以![](./data/image/media/image3476.wmf) > 因为![](./data/image/media/image3475.wmf)在平面![](./data/image/media/image3477.wmf)内的正投影为![](./data/image/media/image3478.wmf)，所以![](./data/image/media/image3479.wmf) > > 所以![](./data/image/media/image3480.wmf)平面![](./data/image/media/image3481.wmf)，故![](./data/image/media/image3482.wmf) > > 又由已知可得，![](./data/image/media/image3483.wmf)，从而![](./data/image/media/image3484.wmf)是![](./data/image/media/image3485.wmf)的中点. > > （II）在平面![](./data/image/media/image3486.wmf)内，过点![](./data/image/media/image3487.wmf)作![](./data/image/media/image3488.wmf)的平行线交![](./data/image/media/image3489.wmf)于点![](./data/image/media/image3490.wmf)， > > ![](./data/image/media/image3490.wmf)即为![](./data/image/media/image3487.wmf)在平面![](./data/image/media/image3491.wmf)内的正投影.![](./data/image/media/image3492.png) > > 理由如下：由已知可得![](./data/image/media/image3488.wmf)![](./data/image/media/image3493.wmf)，![](./data/image/media/image3494.wmf)， > > 又![](./data/image/media/image3495.wmf),所以![](./data/image/media/image3496.wmf),因此![](./data/image/media/image3497.wmf)平面![](./data/image/media/image3498.wmf)， > > 即点![](./data/image/media/image3490.wmf)为![](./data/image/media/image3487.wmf)在平面![](./data/image/media/image3491.wmf)内的正投影. > > 连接![](./data/image/media/image3499.wmf)，因为![](./data/image/media/image3473.wmf)在平面![](./data/image/media/image3474.wmf)内的正投影为![](./data/image/media/image3475.wmf)，所以![](./data/image/media/image3475.wmf)是正三角形![](./data/image/media/image3500.wmf)的中心. > > 由（I）知，![](./data/image/media/image3501.wmf)是![](./data/image/media/image3502.wmf)的中点，所以![](./data/image/media/image3475.wmf)在![](./data/image/media/image3503.wmf)上，故![](./data/image/media/image3504.wmf) > > 由题设可得![](./data/image/media/image3505.wmf)平面![](./data/image/media/image3506.wmf)，![](./data/image/media/image3507.wmf)平面![](./data/image/media/image3506.wmf)， > > 所以![](./data/image/media/image3508.wmf)，因此![](./data/image/media/image3509.wmf) > > 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且![](./data/image/media/image3510.wmf)，可得![](./data/image/media/image3511.wmf) > > 在等腰直角三角形![](./data/image/media/image3512.wmf)中，可得![](./data/image/media/image3513.wmf) > > 所以四面体![](./data/image/media/image3514.wmf)的体积![](./data/image/media/image3515.wmf) （19）（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： ![](./data/image/media/image3516.emf) 记*x*表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，*y*表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），![](./data/image/media/image3517.wmf)表示购机的同时购买的易损零件数. （I）若![](./data/image/media/image3517.wmf)=19，求*y*与*x*的函数解析式； （II）若要求"需更换的易损零件数不大于![](./data/image/media/image3517.wmf)"的频率不小于0.5，求![](./data/image/media/image3517.wmf)的最小值； （III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 解：（Ⅰ）当![](./data/image/media/image3518.wmf)时，![](./data/image/media/image3519.wmf)；当![](./data/image/media/image3520.wmf)时， ![](./data/image/media/image3521.wmf)， 所以![](./data/image/media/image3522.wmf)与![](./data/image/media/image3523.wmf)的函数解析式为![](./data/image/media/image3524.wmf). （Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46，不大于19的概率为0.7， 故![](./data/image/media/image3525.wmf)的最小值为19. （Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件， 则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800， 20台的费用为4300，10台的费用为4800， 因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 ![](./data/image/media/image3526.wmf). 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件. （20）（本小题满分12分）在直角坐标系![](./data/image/media/image3527.wmf)中，直线*l*: *y*=*t*(*t*≠0)交*y*轴于点*M*，交抛物线*C*：![](./data/image/media/image3528.wmf)于点*P*，*M*关于点*P*的对称点为*N*，连结*ON*并延长交*C*于点*H*. （I）求![](./data/image/media/image3529.wmf)； （II）除*H*以外，直线*MH*与*C*是否有其它公共点？说明理由. 解：（Ⅰ）由已知得![](./data/image/media/image3530.wmf)，![](./data/image/media/image3531.wmf). > 又![](./data/image/media/image3532.wmf)为![](./data/image/media/image3533.wmf)关于点![](./data/image/media/image3534.wmf)的对称点，故![](./data/image/media/image3535.wmf)，![](./data/image/media/image3536.wmf)的方程为![](./data/image/media/image3537.wmf)， > > 代入![](./data/image/media/image3538.wmf)整理得![](./data/image/media/image3539.wmf)， > > 解得![](./data/image/media/image3540.wmf)，![](./data/image/media/image3541.wmf)，因此![](./data/image/media/image3542.wmf). > > 所以![](./data/image/media/image3543.wmf)为![](./data/image/media/image3544.wmf)的中点，即![](./data/image/media/image3545.wmf). > > （Ⅱ）直线![](./data/image/media/image3546.wmf)与![](./data/image/media/image3547.wmf)除![](./data/image/media/image3548.wmf)以外没有其它公共点.理由如下： > > 直线![](./data/image/media/image3546.wmf)的方程为![](./data/image/media/image3549.wmf)，即![](./data/image/media/image3550.wmf). > > 代入![](./data/image/media/image3538.wmf)得![](./data/image/media/image3551.wmf)，解得![](./data/image/media/image3552.wmf)， > > 即直线![](./data/image/media/image3546.wmf)与![](./data/image/media/image3547.wmf)只有一个公共点，所以除![](./data/image/media/image3548.wmf)以外直线![](./data/image/media/image3546.wmf)与![](./data/image/media/image3547.wmf)没有其它公共点. （21）（本小题满分12分）已知函数![](./data/image/media/image3553.png). (I)讨论![](./data/image/media/image3554.png)的单调性； (II)若![](./data/image/media/image3554.png)有两个零点，求![](./data/image/media/image3555.wmf)的取值范围. 解： (I)![](./data/image/media/image3556.wmf) > (i)设![](./data/image/media/image3557.wmf)，则当![](./data/image/media/image3558.wmf)时，![](./data/image/media/image3559.wmf)；当![](./data/image/media/image3560.wmf)时，![](./data/image/media/image3561.wmf). > > 所以在![](./data/image/media/image3562.wmf)单调递减，在![](./data/image/media/image3563.wmf)单调递增. > > (ii)设![](./data/image/media/image3564.wmf)，由![](./data/image/media/image3565.wmf)得x=1或x=ln(-2a). > > ①若![](./data/image/media/image3566.wmf)，则![](./data/image/media/image3567.wmf)，所以![](./data/image/media/image3568.wmf)在![](./data/image/media/image3569.wmf)单调递增. > > ②若![](./data/image/media/image3570.wmf)，则ln(-2a)\<1,故当![](./data/image/media/image3571.wmf)时，![](./data/image/media/image3572.wmf)； > > 当![](./data/image/media/image3573.wmf)时，![](./data/image/media/image3574.wmf)，所以![](./data/image/media/image3575.wmf)在![](./data/image/media/image3576.wmf)单调递增，在![](./data/image/media/image3577.wmf)单调递减. > > ③若![](./data/image/media/image3578.wmf)，则![](./data/image/media/image3579.wmf)，故当![](./data/image/media/image3580.wmf)时，![](./data/image/media/image3572.wmf)，当![](./data/image/media/image3581.wmf)时，![](./data/image/media/image3574.wmf)，所以![](./data/image/media/image3582.wmf)在![](./data/image/media/image3583.wmf)单调递增，在![](./data/image/media/image3584.wmf)单调递减. > > (II)(i)设![](./data/image/media/image3585.wmf)，则由(I)知，![](./data/image/media/image3586.wmf)在![](./data/image/media/image3587.wmf)单调递减，在![](./data/image/media/image3588.wmf)单调递增. > > 又![](./data/image/media/image3589.wmf)，取*b*满足*b*\<0且![](./data/image/media/image3590.wmf)， > > 则![](./data/image/media/image3591.wmf)，所以![](./data/image/media/image3582.wmf)有两个零点. > > (ii)设*a*=0，则![](./data/image/media/image3592.wmf)所以![](./data/image/media/image3582.wmf)有一个零点. > > (iii)设*a*\<0，若![](./data/image/media/image3593.wmf)，则由(I)知，![](./data/image/media/image3582.wmf)在![](./data/image/media/image3588.wmf)单调递增. > > 又当![](./data/image/media/image3594.wmf)时，![](./data/image/media/image3582.wmf)\<0，故![](./data/image/media/image3582.wmf)不存在两个零点；若![](./data/image/media/image3595.wmf)， > > 则由(I)知，![](./data/image/media/image3582.wmf)在![](./data/image/media/image3584.wmf)单调递减，在![](./data/image/media/image3596.wmf)单调递增.又当![](./data/image/media/image3597.wmf)时![](./data/image/media/image3582.wmf)\<0，故![](./data/image/media/image3582.wmf)不存在两个零点. > > 综上，a的取值范围为![](./data/image/media/image3598.wmf). **请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号** （22）（本小题满分10分）**选修4-1：几何证明选讲** 如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以O为圆心，![](./data/image/media/image2481.png)OA为半径作圆. (I)证明：直线AB与⊙O相切； (II)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD. ![](./data/image/media/image3599.emf) 解：（Ⅰ）设![](./data/image/media/image3600.wmf)是![](./data/image/media/image3601.wmf)的中点，连结![](./data/image/media/image3602.wmf)， > 因为![](./data/image/media/image3603.wmf)，所以![](./data/image/media/image3604.wmf)，![](./data/image/media/image3605.wmf)． > > 在![](./data/image/media/image3606.wmf)中，![](./data/image/media/image3607.wmf)，即![](./data/image/media/image3608.wmf)到直线![](./data/image/media/image3609.wmf)的距离等于圆![](./data/image/media/image3610.wmf)的半径， > > 所以直线![](./data/image/media/image3611.wmf)与⊙![](./data/image/media/image3612.wmf)相切． > > ![](./data/image/media/image3613.emf) > > （Ⅱ）因为![](./data/image/media/image3614.wmf)，所以![](./data/image/media/image3615.wmf)不是![](./data/image/media/image3616.wmf)四点所在圆的圆心， > > 设![](./data/image/media/image3617.wmf)是![](./data/image/media/image3616.wmf)四点所在圆的圆心，作直线![](./data/image/media/image3618.wmf)． > > 由已知得![](./data/image/media/image3619.wmf)在线段![](./data/image/media/image3620.wmf)的垂直平分线上，又![](./data/image/media/image3621.wmf)在线段![](./data/image/media/image3622.wmf)的垂直平分线上， > > 所以![](./data/image/media/image3623.wmf)． > > 同理可证，![](./data/image/media/image3624.wmf)．所以![](./data/image/media/image3625.wmf)． （23）（本小题满分10分）**选修4---4：坐标系与参数方程** 在直线坐标系*xOy*中，曲线*C*~1~的参数方程为![](./data/image/media/image3626.png)（*t*为参数，*a*＞0）.在以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线*C*~2~：*ρ*=4cos*θ*. （I）说明*C*~1~是哪种曲线，并将*C*~1~的方程化为极坐标方程； （II）直线*C*~3~的极坐标方程为*θ=α*~0~，其中*α*~0~满足tan*α*~0~=2，若曲线*C*~1~与*C*~2~的公共点都在*C*~3~上，求*a*. 解：⑴![](./data/image/media/image3627.wmf) （![](./data/image/media/image3628.wmf)均为参数） > ∴![](./data/image/media/image3629.wmf) ① > > ∴![](./data/image/media/image3630.wmf)为以![](./data/image/media/image3631.wmf)为圆心，![](./data/image/media/image3632.wmf)为半径的圆．方程为![](./data/image/media/image3633.wmf) > > ∵![](./data/image/media/image3634.wmf) > > 即为![](./data/image/media/image3635.wmf)的极坐标方程为![](./data/image/media/image3636.wmf) > > ⑵ ![](./data/image/media/image3637.wmf) > > 两边同乘![](./data/image/media/image3638.wmf)得![](./data/image/media/image3639.wmf) > > ![](./data/image/media/image3640.wmf)， > > 即![](./data/image/media/image3641.wmf) ② > > ![](./data/image/media/image3642.wmf)：化为普通方程为![](./data/image/media/image3643.wmf) > > 由题意：![](./data/image/media/image3644.wmf)和![](./data/image/media/image3645.wmf)的公共方程所在直线即为![](./data/image/media/image3646.wmf) > > ①---②得：![](./data/image/media/image3647.wmf)，即为![](./data/image/media/image3648.wmf) > > ∴![](./data/image/media/image3649.wmf)，∴![](./data/image/media/image3650.wmf). （24）（本小题满分10分），**选修4---5：不等式选讲** 已知函数*f*(*x*)= ∣*x*+1∣-∣2*x*-3∣. （I）在答题卡第（24）题图中画出*y*= *f*(*x*)的图像； （II）求不等式∣*f*(*x*)∣﹥1的解集. ![](./data/image/media/image3651.png) 解：⑴如图所示： > ![](./data/image/media/image3652.jpeg) > > ⑵ ![](./data/image/media/image3653.wmf) > > ![](./data/image/media/image3654.wmf)， > > 当![](./data/image/media/image3655.wmf)，![](./data/image/media/image3656.wmf)，解得![](./data/image/media/image3657.wmf)或![](./data/image/media/image3658.wmf)， > > ![](./data/image/media/image3659.wmf)， > > 当![](./data/image/media/image3660.wmf)，![](./data/image/media/image3661.wmf)，解得![](./data/image/media/image3662.wmf)或![](./data/image/media/image3663.wmf)， > > ![](./data/image/media/image3664.wmf)或![](./data/image/media/image3665.wmf)， > > 当![](./data/image/media/image3666.wmf)，![](./data/image/media/image3667.wmf)，解得![](./data/image/media/image3668.wmf)或![](./data/image/media/image3669.wmf)， > > ![](./data/image/media/image3670.wmf)或![](./data/image/media/image3671.wmf)， > > 综上，![](./data/image/media/image3672.wmf)或![](./data/image/media/image3673.wmf)或![](./data/image/media/image3674.wmf)， > > ![](./data/image/media/image3675.wmf)，解集为![](./data/image/media/image3676.wmf). **绝密★启用前** 2016年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（全国II卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共24题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀. 第Ⅰ卷 一、 选择题：本大题共12小题.每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. > （1）已知集合![](./data/image/media/image3677.wmf)![](./data/image/media/image3678.wmf)，则![](./data/image/media/image3679.wmf)【D】 > > （A）![](./data/image/media/image3680.wmf) （B）![](./data/image/media/image3681.wmf) （C）![](./data/image/media/image3682.wmf) （D）![](./data/image/media/image3683.wmf) （2）设复数z满足![](./data/image/media/image3684.wmf)，则![](./data/image/media/image3685.wmf)=【C】 （A）![](./data/image/media/image3686.wmf) （B）![](./data/image/media/image3687.wmf) （C）![](./data/image/media/image3688.wmf) （D）![](./data/image/media/image3689.wmf) \(3\) 函数![](./data/image/media/image3690.wmf)的部分图像如图所示，则【A】 ![](./data/image/media/image3691.png) （A）![](./data/image/media/image3692.wmf) （B）![](./data/image/media/image3693.wmf) （C）![](./data/image/media/image3694.wmf) （D）![](./data/image/media/image3695.wmf) \(4\) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为【A】 （A）![](./data/image/media/image3696.wmf)（B）![](./data/image/media/image3697.wmf)（C）![](./data/image/media/image3698.wmf)（D）![](./data/image/media/image3699.wmf) \(5\) 设*F*为抛物线*C：y*^2^=4*x*的焦点，曲线*y*=![](./data/image/media/image3700.wmf)（*k*\>0）与*C*交于点*P*，*PF*⊥*x*轴，则*k*=【D】 （A）![](./data/image/media/image3701.wmf) （B）1 （C）![](./data/image/media/image3702.wmf) （D）2 \(6\) 圆*x*^2^+*y*^2^−2*x*−8*y*+13=0的圆心到直线*ax*+*y*−1=0的距离为1，则*a*=【A】 （A）−![](./data/image/media/image3703.wmf) （B）−![](./data/image/media/image3704.wmf) （C）![](./data/image/media/image3705.wmf) （D）2 \(7\) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为【C】 ![](./data/image/media/image3706.png) （A）20π（B）24π（C）28π（D）32π \(8\) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为【B】 （A）![](./data/image/media/image3707.wmf)（B）![](./data/image/media/image3708.wmf)（C）![](./data/image/media/image3709.wmf)（D）![](./data/image/media/image3710.wmf) (9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2,n=2,依次输入的*a*为2，2，5，则输出的*s*=【C】 ![](./data/image/media/image3711.png) （A）7 （B）12 （C）17 （D）34 \(10\) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10^lg*x*^的定义域和值域相同的是【D】 （A）*y*=*x*（B）*y*=lg*x*（C）*y*=2*^x^*（D）![](./data/image/media/image3712.wmf) \(11\) 函数![](./data/image/media/image3713.wmf)的最大值为【B】 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 \(12\) 已知函数*f*(*x*)（*x*∈R）满足*f*(*x*)=*f*(2-*x*)，若函数*y*=\|*x*^2^-2*x*-3\| 与*y*=*f*(*x*) 图像的交点为（x~1~,y~1~），(*x*~2~,*y*~2~)，...，（*x~m~*,*y~m~*），则![](./data/image/media/image3714.wmf)【B】 (A)0 (B)*m* (C) 2*m* (D) 4*m* **二．填空题：共4小题，每小题5分.** \(13\) 已知向量***a***=(*m*,4)，***b***=(3,-2)，且***a***∥***b***，则*m*= [-6]{.underline} . \(14\) 若*x*，*y*满足约束条件![](./data/image/media/image3715.wmf)，则*z*=*x*-2*y*的最小值为 [-5 .]{.underline} （15）△*ABC*的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，若![](./data/image/media/image3716.wmf)，![](./data/image/media/image3717.wmf)，*a*=1，则*b*=\_\_\_\_\_\_![](./data/image/media/image3718.wmf)\_\_\_\_\_\_. （16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说："我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说："我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说："我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是 [ 1和3]{.underline} . **三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．** （17）(本小题满分12分)等差数列{![](./data/image/media/image3719.wmf)}中，![](./data/image/media/image3720.wmf) （I）求{![](./data/image/media/image3719.wmf)}的通项公式； (II)设![](./data/image/media/image3721.wmf)=\[![](./data/image/media/image3719.wmf)\]，求数列{![](./data/image/media/image3721.wmf)}的前10项和，其中\[x\]表示不超过x的最大整数，如\[0.9\]=0,\[2.6\]=2 解：(Ⅰ)设数列![](./data/image/media/image3722.wmf)的公差为*d*，由题意有![](./data/image/media/image3723.wmf)， 解得![](./data/image/media/image3724.wmf)， 所以![](./data/image/media/image3722.wmf)的通项公式为![](./data/image/media/image3725.wmf). （Ⅱ）由(Ⅰ)知![](./data/image/media/image3726.wmf)， 当n=1,2,3时，![](./data/image/media/image3727.wmf)； 当n=4,5时，![](./data/image/media/image3728.wmf)； 当n=6,7,8时，![](./data/image/media/image3729.wmf)； 当n=9,10时，![](./data/image/media/image3730.wmf)， 所以数列![](./data/image/media/image3731.wmf)的前10项和为![](./data/image/media/image3732.wmf). （18）(本小题满分12分)某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： ---------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ![](./data/image/media/image3733.wmf) 保费 ![](./data/image/media/image3734.wmf) ![](./data/image/media/image3735.wmf) ![](./data/image/media/image3736.wmf) ![](./data/image/media/image3737.wmf) ![](./data/image/media/image3738.wmf) ![](./data/image/media/image3739.wmf) ---------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： ---------- ---- ---- ---- ---- ---- ------------------------------------------- 出险次数 0 1 2 3 4 ![](./data/image/media/image3733.wmf)\[来 频数 60 50 30 30 20 10 ---------- ---- ---- ---- ---- ---- ------------------------------------------- （I）记A为事件："一续保人本年度的保费不高于基本保费".求P(A)的估计值； (II)记B为事件："一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％". > 求P(B)的估计值； （III）求续保人本年度的平均保费的估计值. 解：(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2. 由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为![](./data/image/media/image3740.wmf)， 故P(A)的估计值为0.55. （Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4. 由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为![](./data/image/media/image3741.wmf)， 故P(B)的估计值为0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为： ------ ------- ------ ------- ------ ------- ------ 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 ------ ------- ------ ------- ------ ------- ------ 调查200名续保人的平均保费为 ![](./data/image/media/image3742.wmf)， 因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925*a.* （19）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将![](./data/image/media/image3743.wmf)沿EF折到![](./data/image/media/image3744.wmf)的位置. （I）证明：![](./data/image/media/image3745.wmf)； (II)若![](./data/image/media/image3746.wmf),求五棱锥![](./data/image/media/image3747.wmf)体积. ![](./data/image/media/image3748.png) 解：（I）由已知得，![](./data/image/media/image3749.wmf) 又由![](./data/image/media/image3750.wmf)得![](./data/image/media/image3751.wmf)，故![](./data/image/media/image3752.wmf) 由此得![](./data/image/media/image3753.wmf)，所以![](./data/image/media/image3754.wmf). （II）由![](./data/image/media/image3755.wmf)得![](./data/image/media/image3756.wmf) 由![](./data/image/media/image3757.wmf)得![](./data/image/media/image3758.wmf) 所以![](./data/image/media/image3759.wmf) 于是![](./data/image/media/image3760.wmf)故![](./data/image/media/image3761.wmf) 由（I）知![](./data/image/media/image3762.wmf)，又![](./data/image/media/image3763.wmf)， 所以![](./data/image/media/image3764.wmf)平面![](./data/image/media/image3765.wmf)于是![](./data/image/media/image3766.wmf) 又由![](./data/image/media/image3767.wmf)，所以![](./data/image/media/image3768.wmf)平面![](./data/image/media/image3769.wmf) 又由![](./data/image/media/image3770.wmf)得![](./data/image/media/image3771.wmf) 五边形![](./data/image/media/image3772.wmf)的面积![](./data/image/media/image3773.wmf) 所以五棱锥![](./data/image/media/image3747.wmf)体积![](./data/image/media/image3774.wmf) （20）（本小题满分12分） 已知函数![](./data/image/media/image3775.wmf). （I）当![](./data/image/media/image3776.wmf)时，求曲线![](./data/image/media/image3777.wmf)在![](./data/image/media/image3778.wmf)处的切线方程； (II)若当![](./data/image/media/image3779.wmf)时，![](./data/image/media/image3780.wmf)，求![](./data/image/media/image3781.wmf)的取值范围. 解：（I）![](./data/image/media/image3782.wmf)的定义域为![](./data/image/media/image3783.wmf).当![](./data/image/media/image3784.wmf)时， ![](./data/image/media/image3785.wmf)， ![](./data/image/media/image3786.wmf) 曲线![](./data/image/media/image3787.wmf)在![](./data/image/media/image3788.wmf)处的切线方程为![](./data/image/media/image3789.wmf) （II）当![](./data/image/media/image3790.wmf)时，![](./data/image/media/image3791.wmf)等价于![](./data/image/media/image3792.wmf) 令![](./data/image/media/image3793.wmf)，则 ![](./data/image/media/image3794.wmf)， i. 当![](./data/image/media/image3795.wmf)，![](./data/image/media/image3790.wmf)时，![](./data/image/media/image3796.wmf)， 故![](./data/image/media/image3797.wmf)在![](./data/image/media/image3798.wmf)上单调递增，因此![](./data/image/media/image3799.wmf)； （ii）当![](./data/image/media/image3800.wmf)时，令![](./data/image/media/image3801.wmf)得 ![](./data/image/media/image3802.wmf)， 由![](./data/image/media/image3803.wmf)和![](./data/image/media/image3804.wmf)得![](./data/image/media/image3805.wmf)， 故当![](./data/image/media/image3806.wmf)时，![](./data/image/media/image3807.wmf)，![](./data/image/media/image3808.wmf)在![](./data/image/media/image3806.wmf)单调递减，因此![](./data/image/media/image3809.wmf). 综上，![](./data/image/media/image3810.wmf)的取值范围是![](./data/image/media/image3811.wmf) （21）（本小题满分12分）已知A是椭圆E：![](./data/image/media/image3812.wmf)的左顶点，斜率为![](./data/image/media/image3813.wmf)的直线交E于A，M两点，点N在E上，![](./data/image/media/image3814.wmf). （I）当![](./data/image/media/image3815.wmf)时，求![](./data/image/media/image3816.wmf)的面积 (II)当2![](./data/image/media/image3815.wmf)时，证明：![](./data/image/media/image3817.wmf). 解：（Ⅰ）设![](./data/image/media/image3818.wmf)，则由题意知![](./data/image/media/image3819.wmf). 由已知及椭圆的对称性知，直线![](./data/image/media/image3820.wmf)的倾斜角为![](./data/image/media/image3821.wmf)， 又![](./data/image/media/image3822.wmf)，因此直线![](./data/image/media/image3820.wmf)的方程为![](./data/image/media/image3823.wmf). 将![](./data/image/media/image3824.wmf)代入![](./data/image/media/image3825.wmf)得![](./data/image/media/image3826.wmf)， 解得![](./data/image/media/image3827.wmf)或![](./data/image/media/image3828.wmf)，所以![](./data/image/media/image3829.wmf). 因此![](./data/image/media/image3830.wmf)的面积![](./data/image/media/image3831.wmf). 2. 将直线![](./data/image/media/image3820.wmf)的方程![](./data/image/media/image3832.wmf)代入![](./data/image/media/image3825.wmf)得 ![](./data/image/media/image3833.wmf). 由![](./data/image/media/image3834.wmf)得![](./data/image/media/image3835.wmf)，故![](./data/image/media/image3836.wmf). 由题设，直线![](./data/image/media/image3837.wmf)的方程为![](./data/image/media/image3838.wmf)，故同理可得![](./data/image/media/image3839.wmf). 由![](./data/image/media/image3840.wmf)得![](./data/image/media/image3841.wmf)，即![](./data/image/media/image3842.wmf). 设![](./data/image/media/image3843.wmf)，则![](./data/image/media/image3844.wmf)是![](./data/image/media/image3845.wmf)的零点，![](./data/image/media/image3846.wmf)， 所以![](./data/image/media/image3845.wmf)在![](./data/image/media/image3847.wmf)单调递增，又![](./data/image/media/image3848.wmf)， 因此![](./data/image/media/image3845.wmf)在![](./data/image/media/image3847.wmf)有唯一的零点，且零点![](./data/image/media/image3844.wmf)在![](./data/image/media/image3849.wmf)内，所以![](./data/image/media/image3850.wmf). 请考生在第22\~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 > 如图，在正方形*ABCD*中，*E*，*G*分别在边*DA*，*DC*上（不与端点重合），且*DE*=*DG*，过*D*点作*DF*⊥*CE*，垂足为*F*. > > （Ⅰ）证明：*B*，*C*，*G*，*F*四点共圆； > > （Ⅱ）若*AB*=1，*E*为*DA*的中点，求四边形*BCGF*的面积. ![](./data/image/media/image3851.png) 解：（I）因为![](./data/image/media/image3852.wmf),所以![](./data/image/media/image3853.wmf) 则有![](./data/image/media/image3854.wmf) 所以![](./data/image/media/image3855.wmf)由此可得![](./data/image/media/image3856.wmf) 由此![](./data/image/media/image3857.wmf)所以![](./data/image/media/image3858.wmf)四点共圆. （II）由![](./data/image/media/image3858.wmf)四点共圆，![](./data/image/media/image3859.wmf)知![](./data/image/media/image3860.wmf)，连结![](./data/image/media/image3861.wmf)， 由![](./data/image/media/image3862.wmf)为![](./data/image/media/image3863.wmf)斜边![](./data/image/media/image3864.wmf)的中点，知![](./data/image/media/image3865.wmf),故![](./data/image/media/image3866.wmf) 因此四边形![](./data/image/media/image3867.wmf)的面积![](./data/image/media/image3868.wmf)是![](./data/image/media/image3869.wmf)面积![](./data/image/media/image3870.wmf)的2倍， 即![](./data/image/media/image3871.wmf) ![](./data/image/media/image3872.png) （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系*xOy*中，圆*C*的方程为![](./data/image/media/image3873.wmf).![](./data/image/media/image3874.wmf) （Ⅰ）以坐标原点为极点，*x*轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求*C*的极坐标方程； > （Ⅱ）直线*l*的参数方程是![](./data/image/media/image3875.wmf)（*t*为参数），*l*与*C*交于*A*，*B*两点，![](./data/image/media/image3876.wmf),求*l*的斜率. 解：（I）由![](./data/image/media/image3877.wmf)可得![](./data/image/media/image3878.wmf)的极坐标方程![](./data/image/media/image3879.wmf) （II）在（I）中建立的极坐标系中，直线![](./data/image/media/image3880.wmf)的极坐标方程为![](./data/image/media/image3881.wmf) 由![](./data/image/media/image3882.wmf)所对应的极径分别为![](./data/image/media/image3883.wmf)将![](./data/image/media/image3880.wmf)的极坐标方程代入![](./data/image/media/image3878.wmf)的极坐标方程得 ![](./data/image/media/image3884.wmf) 于是![](./data/image/media/image3885.wmf) ![](./data/image/media/image3886.wmf) 由![](./data/image/media/image3887.wmf)得![](./data/image/media/image3888.wmf)， 所以![](./data/image/media/image3880.wmf)的斜率为![](./data/image/media/image3889.wmf)或![](./data/image/media/image3890.wmf). （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 > 已知函数![](./data/image/media/image3891.wmf)，*M*为不等式![](./data/image/media/image3892.wmf)的解集. > > （Ⅰ）求*M*； > > （Ⅱ）证明：当*a*，*b*![](./data/image/media/image3893.wmf)时，![](./data/image/media/image3894.wmf). 解：（I）![](./data/image/media/image3895.wmf) 当![](./data/image/media/image3896.wmf)时，由![](./data/image/media/image3897.wmf)得![](./data/image/media/image3898.wmf)解得![](./data/image/media/image3899.wmf)； 当![](./data/image/media/image3900.wmf)时，![](./data/image/media/image3897.wmf)； 当![](./data/image/media/image3901.wmf)时，由![](./data/image/media/image3897.wmf)得![](./data/image/media/image3902.wmf)解得![](./data/image/media/image3903.wmf). 所以![](./data/image/media/image3897.wmf)的解集![](./data/image/media/image3904.wmf). （II）由（I）知，当![](./data/image/media/image3905.wmf)时，![](./data/image/media/image3906.wmf)， 从而![](./data/image/media/image3907.wmf)， 因此![](./data/image/media/image3908.wmf) **绝密★启用前** 2016年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（全国III卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共24题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀. **第Ⅰ卷** 1. **选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** （1）设集合![](./data/image/media/image3909.wmf)，则![](./data/image/media/image3910.wmf)=【C】 > （A）![](./data/image/media/image3911.wmf) （B）![](./data/image/media/image3912.wmf) （C）![](./data/image/media/image3913.wmf) （D）![](./data/image/media/image3914.wmf) > > （2）若![](./data/image/media/image3915.wmf)，则![](./data/image/media/image3916.wmf)=【D】 > > （A）1 （B）![](./data/image/media/image3917.wmf) （C）![](./data/image/media/image3918.wmf) （D）![](./data/image/media/image3919.wmf) （3）已知向量![](./data/image/media/image3920.wmf)=（![](./data/image/media/image3921.wmf)，![](./data/image/media/image3922.wmf)），![](./data/image/media/image3923.wmf)=（![](./data/image/media/image3922.wmf)，![](./data/image/media/image3921.wmf)），则∠*ABC*=【A】 （A）30° （B）45° （C）60° （D）120° > （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是【D】 ![](./data/image/media/image3924.png) （A）各月的平均最低气温都在0℃以上 （B）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C）三月和十一月的平均最高气温基本相同 （D）平均最高气温高于20℃的月份有5个 > （5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是【C】 > > （A）![](./data/image/media/image3925.wmf)（B）![](./data/image/media/image3926.wmf)（C）![](./data/image/media/image3927.wmf)（D）![](./data/image/media/image3928.wmf) （6）若![](./data/image/media/image3929.wmf)，则cos2θ=【D】 > （A）![](./data/image/media/image3930.wmf)（B）![](./data/image/media/image3931.wmf)（C）![](./data/image/media/image3932.wmf)（D）![](./data/image/media/image3933.wmf) > > （7）已知![](./data/image/media/image3934.wmf)，则【A】 > > (A)b\<a\<c (B) a\<b\<c (C) b\<c\<a (D) c\<a\<b > > （8）执行右面的程序框图，如果输入的*a*=4，*b*=6，那么输出的*n*=【B】 > > ![](./data/image/media/image3935.png) > > （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 （9）在![](./data/image/media/image3936.wmf)中，![](./data/image/media/image3937.wmf)，![](./data/image/media/image3938.png)![](./data/image/media/image3939.wmf)边上的高等于![](./data/image/media/image3940.wmf),则![](./data/image/media/image3941.wmf)【D】 (A)![](./data/image/media/image3942.wmf) (B)![](./data/image/media/image3943.wmf) (C)![](./data/image/media/image3944.wmf) (D)![](./data/image/media/image3945.wmf) > （10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为【B】 > > ![](./data/image/media/image3946.png) （A）![](./data/image/media/image3947.wmf) （B）![](./data/image/media/image3948.wmf) （C）90 （D）81 （11）在封闭的直三棱柱*ABC－A*~1~*B*~1~*C*~1~内有一个体积为*V*的球.若*AB*⊥*BC*，*AB*=6，*BC*=8，*AA*~1~=3，则*V*的最大值是【B】 （A）![](./data/image/media/image3949.wmf) （B）![](./data/image/media/image3950.wmf) （C）![](./data/image/media/image3951.wmf) （D）![](./data/image/media/image3952.wmf) （12）已知*O*为坐标原点，*F*是椭圆*C*：![](./data/image/media/image3953.wmf)的左焦点，*A*，*B*分别为*C*的左，右顶点.*P*为*C*上一点，且*PF*⊥*x*轴.过点*A*的直线*l*与线段*PF*交于点*M*，与*y*轴交于点*E*. 若直线*BM*经过*OE*的中点，则*C*的离心率为【A】 （A）![](./data/image/media/image3954.wmf) （B）![](./data/image/media/image3955.wmf) （C）![](./data/image/media/image3956.wmf) （D）![](./data/image/media/image3957.wmf) 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题\~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题\~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. （13）设*x*，*y*满足约束条件![](./data/image/media/image3958.wmf)则*z*=2*x*+3*y*--5的最小值为 [-10\_]{.underline} . （14）函数![](./data/image/media/image3959.wmf)的图像可由函数*y*=2sin *x*的图像至少向右平移\_\_\_![](./data/image/media/image3960.wmf)\_\_\_个单位长度得到. （15）已知直线![](./data/image/media/image3961.wmf)：![](./data/image/media/image3962.wmf)与圆![](./data/image/media/image3963.wmf)交于![](./data/image/media/image3964.wmf)两点，过![](./data/image/media/image3964.wmf)分别作![](./data/image/media/image3961.wmf)的垂线与![](./data/image/media/image3965.wmf)轴交于![](./data/image/media/image3966.wmf)两点，则![](./data/image/media/image3967.wmf) [4\_]{.underline} . （16）已知*f*(*x*)为偶函数，当![](./data/image/media/image3968.wmf)时，![](./data/image/media/image3969.wmf)，则曲线*y*= *f*(*x*)在点(1,2)处的切线方程是\_\_\_\_\_![](./data/image/media/image3970.wmf)\_\_\_\_\_. 三.解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知各项都为正数的数列![](./data/image/media/image3971.wmf)满足![](./data/image/media/image3972.wmf)，![](./data/image/media/image3973.wmf). （I）求![](./data/image/media/image3974.wmf)； （II）求![](./data/image/media/image3971.wmf)的通项公式. > 解：（Ⅰ）由题意得![](./data/image/media/image3975.wmf). > > （Ⅱ）由![](./data/image/media/image3976.wmf)得![](./data/image/media/image3977.wmf). > > 因为![](./data/image/media/image3978.wmf)的各项都为正数，所以![](./data/image/media/image3979.wmf). > > 故![](./data/image/media/image3978.wmf)是首项为![](./data/image/media/image3980.wmf)，公比为![](./data/image/media/image3981.wmf)的等比数列，因此![](./data/image/media/image3982.wmf). （18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图. ![](./data/image/media/image3983.png) （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据：![](./data/image/media/image3984.wmf)，![](./data/image/media/image3985.wmf)，![](./data/image/media/image3986.wmf)，≈2.646. 参考公式：![](./data/image/media/image3987.wmf) 回归方程![](./data/image/media/image3988.wmf)中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ![](./data/image/media/image3989.wmf)![](./data/image/media/image3990.wmf) > 解：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得 > > ![](./data/image/media/image3991.wmf)，![](./data/image/media/image3992.wmf)，![](./data/image/media/image3993.wmf)， > > ![](./data/image/media/image3994.wmf)， > > ![](./data/image/media/image3995.wmf). > > 因为![](./data/image/media/image3996.wmf)与![](./data/image/media/image3997.wmf)的相关系数近似为0.99，说明![](./data/image/media/image3998.wmf)与![](./data/image/media/image3999.wmf)的线性相关程度相当高， > > 从而可以用线性回归模型拟合![](./data/image/media/image4000.wmf)与![](./data/image/media/image4001.wmf)的关系. > > （Ⅱ）由![](./data/image/media/image4002.wmf)及（Ⅰ）得![](./data/image/media/image4003.wmf)， > > ![](./data/image/media/image4004.wmf). > > 所以，![](./data/image/media/image4005.wmf)关于![](./data/image/media/image4006.wmf)的回归方程为：![](./data/image/media/image4007.wmf). > > 将2016年对应的![](./data/image/media/image4008.wmf)代入回归方程得：![](./data/image/media/image4009.wmf). 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. （19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点. （I）证明MN∥平面PAB; （II）求四面体N-BCM的体积. ![](./data/image/media/image4010.png) > 解：（Ⅰ）由已知得![](./data/image/media/image4011.wmf)，取![](./data/image/media/image4012.wmf)的中点![](./data/image/media/image4013.wmf)，连接![](./data/image/media/image4014.wmf)， > > 由![](./data/image/media/image4015.wmf)为![](./data/image/media/image4016.wmf)中点知![](./data/image/media/image4017.wmf)，![](./data/image/media/image4018.wmf). > > 又![](./data/image/media/image4019.wmf)，故![](./data/image/media/image4020.wmf)平行且等于![](./data/image/media/image4021.wmf)， > > 四边形![](./data/image/media/image4022.wmf)为平行四边形，于是![](./data/image/media/image4023.wmf). > > 因为![](./data/image/media/image4024.wmf)平面![](./data/image/media/image4025.wmf)，![](./data/image/media/image4026.wmf)平面![](./data/image/media/image4025.wmf)， > > 所以![](./data/image/media/image4027.wmf)平面![](./data/image/media/image4025.wmf). > > ![](./data/image/media/image4028.png) > > （Ⅱ）因为![](./data/image/media/image4029.wmf)平面![](./data/image/media/image4030.wmf)，![](./data/image/media/image4031.wmf)为![](./data/image/media/image4032.wmf)的中点， > > 所以![](./data/image/media/image4031.wmf)到平面![](./data/image/media/image4030.wmf)的距离为![](./data/image/media/image4033.wmf). > > 取![](./data/image/media/image4034.wmf)的中点![](./data/image/media/image4035.wmf)，连结![](./data/image/media/image4036.wmf). > > 由![](./data/image/media/image4037.wmf)得![](./data/image/media/image4038.wmf)，![](./data/image/media/image4039.wmf). > > 由![](./data/image/media/image4040.wmf)得![](./data/image/media/image4041.wmf)到![](./data/image/media/image4042.wmf)的距离为![](./data/image/media/image4043.wmf)，故![](./data/image/media/image4044.wmf). 所以四面体![](./data/image/media/image4045.wmf)的体积![](./data/image/media/image4046.wmf). （20）（本小题满分12分）已知抛物线*C*：*y*^2^=2*x*的焦点为*F*，平行于*x*轴的两条直线*l*~1~，*l*~2~分别交*C*于*A*，*B*两点，交*C*的准线于*P*，*Q*两点. （Ⅰ）若*F*在线段*AB*上，*R*是*PQ*的中点，证明*AR*∥*FQ*； （Ⅱ）若△*PQF*的面积是△*ABF*的面积的两倍，求*AB*中点的轨迹方程. 解：（Ⅰ）由题设![](./data/image/media/image4047.wmf).设![](./data/image/media/image4048.wmf)，则![](./data/image/media/image4049.wmf)， > 且![](./data/image/media/image4050.wmf). > > 记过![](./data/image/media/image4051.wmf)两点的直线为![](./data/image/media/image4052.wmf)，则![](./data/image/media/image4052.wmf)的方程为![](./data/image/media/image4053.wmf).（Ⅰ）由于![](./data/image/media/image4054.wmf)在线段![](./data/image/media/image4055.wmf)上，故![](./data/image/media/image4056.wmf). > > 记![](./data/image/media/image4057.wmf)的斜率为![](./data/image/media/image4058.wmf)，![](./data/image/media/image4059.wmf)的斜率为![](./data/image/media/image4060.wmf)，则 > > ![](./data/image/media/image4061.wmf). > > 所以![](./data/image/media/image4062.wmf). > > （Ⅱ）设![](./data/image/media/image4052.wmf)与![](./data/image/media/image4063.wmf)轴的交点为![](./data/image/media/image4064.wmf)， > > 则![](./data/image/media/image4065.wmf). > > 由题设可得![](./data/image/media/image4066.wmf)，所以![](./data/image/media/image4067.wmf)（舍去），![](./data/image/media/image4068.wmf). > > 设满足条件的![](./data/image/media/image4069.wmf)的中点为![](./data/image/media/image4070.wmf). > > 当![](./data/image/media/image4071.wmf)与![](./data/image/media/image4063.wmf)轴不垂直时，由![](./data/image/media/image4072.wmf)可得![](./data/image/media/image4073.wmf). > > 而![](./data/image/media/image4074.wmf)，所以![](./data/image/media/image4075.wmf). 当![](./data/image/media/image4071.wmf)与![](./data/image/media/image4063.wmf)轴垂直时，![](./data/image/media/image4076.wmf)与![](./data/image/media/image4077.wmf)重合.所以，所求轨迹方程为![](./data/image/media/image4078.wmf). （21）（本小题满分12分）设函数![](./data/image/media/image4079.wmf). （I）讨论![](./data/image/media/image4080.wmf)的单调性； （II）证明当![](./data/image/media/image4081.wmf)时，![](./data/image/media/image4082.wmf)； （III）设![](./data/image/media/image4083.wmf)，证明当![](./data/image/media/image4084.wmf)时，![](./data/image/media/image4085.wmf). 解：（Ⅰ）由题设，![](./data/image/media/image4086.wmf)的定义域为![](./data/image/media/image4087.wmf)，![](./data/image/media/image4088.wmf)， > 令![](./data/image/media/image4089.wmf)，解得![](./data/image/media/image4090.wmf). > > 当![](./data/image/media/image4091.wmf)时，![](./data/image/media/image4092.wmf)，![](./data/image/media/image4093.wmf)单调递增； > > 当![](./data/image/media/image4094.wmf)时，![](./data/image/media/image4095.wmf)，![](./data/image/media/image4096.wmf)单调递减. .........4分 > > （Ⅱ）由（Ⅰ）知，![](./data/image/media/image4093.wmf)在![](./data/image/media/image4097.wmf)处取得最大值，最大值为![](./data/image/media/image4098.wmf). > > 所以当![](./data/image/media/image4099.wmf)时，![](./data/image/media/image4100.wmf). > > 故当![](./data/image/media/image4101.wmf)时，![](./data/image/media/image4100.wmf)，![](./data/image/media/image4102.wmf)，即![](./data/image/media/image4103.wmf). > > （Ⅲ）由题设![](./data/image/media/image4104.wmf)，设![](./data/image/media/image4105.wmf)， > > 则![](./data/image/media/image4106.wmf)，令![](./data/image/media/image4107.wmf)， > > 解得![](./data/image/media/image4108.wmf). > > 当![](./data/image/media/image4109.wmf)时，![](./data/image/media/image4110.wmf)，![](./data/image/media/image4111.wmf)单调递增； > > 当![](./data/image/media/image4112.wmf)时，![](./data/image/media/image4113.wmf)，![](./data/image/media/image4111.wmf)单调递减. > > 由（Ⅱ）知，![](./data/image/media/image4114.wmf)，故![](./data/image/media/image4115.wmf)， > > 又![](./data/image/media/image4116.wmf)，故当![](./data/image/media/image4117.wmf)时，![](./data/image/media/image4118.wmf). 所以当![](./data/image/media/image4119.wmf)时，![](./data/image/media/image4120.wmf). **请考生在22、23、24题中任选一题作答,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做,则按所做的第一题计分.** （22）（本小题满分10分）选修4---1：几何证明选讲 如图，⊙O中![](./data/image/media/image4121.wmf)的中点为*P*，弦*PC*，*PD*分别交*AB*于*E*，*F*两点. （Ⅰ）若∠*PFB*=2∠*PCD*，求∠*PCD*的大小； （Ⅱ）若*EC*的垂直平分线与*FD*的垂直平分线交于点*G*，证明*OG*⊥*CD.* ![](./data/image/media/image4122.png) > 解：（Ⅰ）连结![](./data/image/media/image4123.wmf)，则![](./data/image/media/image4124.wmf). > > 因为![](./data/image/media/image4125.wmf)，所以![](./data/image/media/image4126.wmf)，![](./data/image/media/image4127.png) > > 又![](./data/image/media/image4128.wmf)，所以![](./data/image/media/image4129.wmf). > > 又![](./data/image/media/image4130.wmf)， > > 所以![](./data/image/media/image4131.wmf)， 因此![](./data/image/media/image4132.wmf). > > （Ⅱ）因为![](./data/image/media/image4133.wmf)，所以![](./data/image/media/image4134.wmf)， > > 由此知![](./data/image/media/image4135.wmf)四点共圆，其圆心既在![](./data/image/media/image4136.wmf)的垂直平分线上， > > 又在![](./data/image/media/image4137.wmf)的垂直平分线上，故![](./data/image/media/image4138.wmf)就是过![](./data/image/media/image4135.wmf)四点的圆的圆心， > > 所以![](./data/image/media/image4139.wmf)在![](./data/image/media/image4140.wmf)的垂直平分线上，因此![](./data/image/media/image4141.wmf). （23）（本小题满分10分）选修4---4：坐标系与参数方程 在直线坐标系*xoy*中，曲线*C*~1~的参数方程为![](./data/image/media/image4142.png)![](./data/image/media/image4142.png)（![](./data/image/media/image4143.png)![](./data/image/media/image4143.png)为参数）.以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线*C*~2~的极坐标方程为*ρ*sin（![](./data/image/media/image4144.png)![](./data/image/media/image4144.png)）=![](./data/image/media/image4145.png)![](./data/image/media/image4145.png). （I）写出*C*~1~的普通方程和*C*~2~的直角坐标方程； （II）设点*P*在*C*~1~上，点*Q*在*C*~2~上，求∣*PQ*∣的最小值及此时P的直角坐标. > 解：（Ⅰ）![](./data/image/media/image4146.wmf)的普通方程为![](./data/image/media/image4147.wmf)， > > ![](./data/image/media/image4148.wmf)的直角坐标方程为![](./data/image/media/image4149.wmf). > > （Ⅱ）由题意，可设点![](./data/image/media/image4150.wmf)的直角坐标为![](./data/image/media/image4151.wmf)， > > 因为![](./data/image/media/image4148.wmf)是直线，所以![](./data/image/media/image4152.wmf)的最小值， > > 即为![](./data/image/media/image4150.wmf)到![](./data/image/media/image4148.wmf)的距离![](./data/image/media/image4153.wmf)的最小值， > > ![](./data/image/media/image4154.wmf). > > 当且仅当![](./data/image/media/image4155.wmf)时，![](./data/image/media/image4153.wmf)取得最小值，最小值为![](./data/image/media/image4156.wmf)， > > 此时![](./data/image/media/image4150.wmf)的直角坐标为![](./data/image/media/image4157.wmf). （24）（本小题满分10分），选修4---5：不等式选讲 已知函数*f*(*x*)=∣2*x*-*a*∣+*a*. （I）当*a=*2时，求不等式*f*(*x*)≤6的解集； （II）设函数*g*(*x*)=∣2*x*-1∣.当*x*∈**R**时，*f*(*x*)+*g*(*x*)≥3，求*a*的取值范围. > 解：（Ⅰ）当![](./data/image/media/image4158.wmf)时，![](./data/image/media/image4159.wmf). > > 解不等式![](./data/image/media/image4160.wmf)，得![](./data/image/media/image4161.wmf). > > 因此，![](./data/image/media/image4162.wmf)的解集为![](./data/image/media/image4163.wmf). > > （Ⅱ）当![](./data/image/media/image4164.wmf)时，![](./data/image/media/image4165.wmf) > > ![](./data/image/media/image4166.wmf) > > ![](./data/image/media/image4167.wmf)， > > 当![](./data/image/media/image4168.wmf)时等号成立， > > 所以当![](./data/image/media/image4169.wmf)时，![](./data/image/media/image4170.wmf)等价于![](./data/image/media/image4171.wmf). ① > > 当![](./data/image/media/image4172.wmf)时，①等价于![](./data/image/media/image4173.wmf)，无解. > > 当![](./data/image/media/image4174.wmf)时，①等价于![](./data/image/media/image4175.wmf)，解得![](./data/image/media/image4176.wmf). 所以![](./data/image/media/image4177.wmf)的取值范围是![](./data/image/media/image4178.wmf). **绝密★启用前** 2016年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（北京卷） **本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。** **第一部分**（选择题共40分） **一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。** （1）已知集合![](./data/image/media/image4179.wmf)，则![](./data/image/media/image4180.wmf) 【C】 （A）![](./data/image/media/image4181.wmf) （B）![](./data/image/media/image4182.wmf) （C）![](./data/image/media/image4183.wmf) （D）![](./data/image/media/image4184.wmf) （2）复数![](./data/image/media/image4185.wmf) 【A】 （A）i（B）1+i（C）![](./data/image/media/image4186.wmf) （D）![](./data/image/media/image4187.wmf) （3）执行如图所示的程序框图，输出的*s*值为【B】 ![](./data/image/media/image4188.png) （A）8 （B）9 （C）27 （D）36 （4）下列函数中，在区间![](./data/image/media/image4189.wmf) 上为减函数的是【D】 （A）![](./data/image/media/image4190.wmf) （B）![](./data/image/media/image4191.wmf) （C）![](./data/image/media/image4192.wmf) （D）![](./data/image/media/image4193.wmf) （5）圆（*x*+1）^2^+*y*^2^=2的圆心到直线*y*=*x*+3的距离为【C】 （A）1 （B）2 （C）![](./data/image/media/image4194.wmf) （D）2![](./data/image/media/image4194.wmf) （6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为【B】 （A）![](./data/image/media/image4195.wmf) （B）![](./data/image/media/image4196.wmf) （C）![](./data/image/media/image4197.wmf) （D）![](./data/image/media/image4198.wmf) （7）已知*A*（2，5），*B*（4，1）.若点*P*（*x*，*y*）在线段*AB*上，则2*x*−*y*的最大值为【C】 （A）−1 （B）3 （C）7 （D）8 （8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊. ---------------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------- ------ ------ 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次） 63 *a* 75 60 63 72 70 *a*−1 *b* 65 ---------------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------- ------ ------ > 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则【B】 （A）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B）5号学生进入30秒跳绳决赛 （C）8号学生进入30秒跳绳决赛 （D）9号学生进入30秒跳绳决赛 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）已知向量![](./data/image/media/image4199.wmf) ，则***a***与***b***夹角的大小为\_\_\_\_![](./data/image/media/image4200.wmf)\_\_\_\_\_. （10）函数![](./data/image/media/image4201.wmf)的最大值为 [2]{.underline} . （11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为\_\_\_\_\_![](./data/image/media/image4202.wmf)\_\_\_\_\_\_. ![](./data/image/media/image4203.png) \(12\) 已知双曲线![](./data/image/media/image4204.wmf) （*a*＞0，*b*＞0）的一条渐近线为2*x*+*y*=0，一个焦点为（![](./data/image/media/image4205.wmf) ,0），则*a*= [1]{.underline} ；*b*= [2]{.underline} . (13)在*△ABC*中，![](./data/image/media/image4206.wmf) ，a=![](./data/image/media/image4207.wmf)c，则![](./data/image/media/image4208.wmf)= [1]{.underline} . (14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有 [16]{.underline} 种； ②这三天售出的商品最少有 [29]{.underline} 种. 三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）已知{*a~n~*}是等差数列，{*b~n~*}是等比数列，且*b*~2~=3，*b*~3~=9，*a*~1~=*b*~1~，*a*~14~=*b*~4~. （Ⅰ）求{*a~n~*}的通项公式； （Ⅱ）设*c~n~*= *a~n~*+ *b~n~*，求数列{*c~n~*}的前*n*项和. 解：（I）等比数列![](./data/image/media/image4209.wmf)的公比![](./data/image/media/image4210.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4211.wmf)，![](./data/image/media/image4212.wmf)． 设等差数列![](./data/image/media/image4213.wmf)的公差为![](./data/image/media/image4214.wmf)． 因为![](./data/image/media/image4215.wmf)，![](./data/image/media/image4216.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4217.wmf)，即![](./data/image/media/image4218.wmf)． 所以![](./data/image/media/image4219.wmf)（![](./data/image/media/image4220.wmf)，![](./data/image/media/image4221.wmf)，![](./data/image/media/image4222.wmf)，![](./data/image/media/image4223.wmf)）． （II）由（I）知，![](./data/image/media/image4224.wmf)，![](./data/image/media/image4225.wmf)． 因此![](./data/image/media/image4226.wmf)． 从而数列![](./data/image/media/image4227.wmf)的前![](./data/image/media/image4228.wmf)项和 ![](./data/image/media/image4229.wmf) ![](./data/image/media/image4230.wmf) ![](./data/image/media/image4231.wmf)． （16）（本小题13分）已知函数*f*（*x*）=2sin *ωx* cos *ωx*+ cos 2*ωx*（*ω*\>0）的最小正周期为π. （Ⅰ）求*ω*的值； （Ⅱ）求*f*（*x*）的单调递增区间. 解：（I）因为![](./data/image/media/image4232.wmf) ![](./data/image/media/image4233.wmf) ![](./data/image/media/image4234.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4235.wmf)的最小正周期![](./data/image/media/image4236.wmf)． 依题意，![](./data/image/media/image4237.wmf)，解得![](./data/image/media/image4238.wmf)． （II）由（I）知![](./data/image/media/image4239.wmf)． 函数![](./data/image/media/image4240.wmf)的单调递增区间为![](./data/image/media/image4241.wmf)（![](./data/image/media/image4242.wmf)）． 由![](./data/image/media/image4243.wmf)， 得![](./data/image/media/image4244.wmf)． 所以![](./data/image/media/image4245.wmf)的单调递增区间为![](./data/image/media/image4246.wmf)（![](./data/image/media/image4247.wmf)）． （17）（本小题13分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图： ![](./data/image/media/image4248.png) （I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？ （II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费. 解：（I）由用水量的频率分布直方图知， 该市居民该月用水量在区间![](./data/image/media/image4249.wmf)，![](./data/image/media/image4250.wmf)，![](./data/image/media/image4251.wmf)，![](./data/image/media/image4252.wmf)，![](./data/image/media/image4253.wmf)内的 频率依次为![](./data/image/media/image4254.wmf)，![](./data/image/media/image4255.wmf)，![](./data/image/media/image4256.wmf)，![](./data/image/media/image4257.wmf)，![](./data/image/media/image4258.wmf)． 所以该月用水量不超过![](./data/image/media/image4259.wmf)立方米的居民占![](./data/image/media/image4260.wmf)%，用水量不超过![](./data/image/media/image4261.wmf)立方米的居民占![](./data/image/media/image4262.wmf)%． 依题意，![](./data/image/media/image4263.wmf)至少定为![](./data/image/media/image4264.wmf)． （II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表： ------ --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 ![](./data/image/media/image4265.wmf) ![](./data/image/media/image4266.wmf) ![](./data/image/media/image4267.wmf) ![](./data/image/media/image4268.wmf) ![](./data/image/media/image4269.wmf) ![](./data/image/media/image4270.wmf) ![](./data/image/media/image4271.wmf) ![](./data/image/media/image4272.wmf) 频率 ![](./data/image/media/image4273.wmf) ![](./data/image/media/image4274.wmf) ![](./data/image/media/image4275.wmf) ![](./data/image/media/image4276.wmf) ![](./data/image/media/image4277.wmf) ![](./data/image/media/image4278.wmf) ![](./data/image/media/image4279.wmf) ![](./data/image/media/image4280.wmf) ------ --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为： ![](./data/image/media/image4281.wmf) ![](./data/image/media/image4282.wmf)（元）． （18）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，![](./data/image/media/image4283.wmf) （I）求证：![](./data/image/media/image4284.wmf)； （II）求证：![](./data/image/media/image4285.wmf)； (III)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得![](./data/image/media/image4286.wmf)?说明理由. ![](./data/image/media/image4287.png) 解：（I）因为![](./data/image/media/image4288.wmf)平面![](./data/image/media/image4289.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4290.wmf)． 又因为![](./data/image/media/image4291.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4292.wmf)平面![](./data/image/media/image4293.wmf)． （II）因为![](./data/image/media/image4294.wmf)，![](./data/image/media/image4295.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4296.wmf)． 因为![](./data/image/media/image4297.wmf)平面![](./data/image/media/image4298.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4299.wmf)． 所以![](./data/image/media/image4300.wmf)平面![](./data/image/media/image4301.wmf)． 所以平面![](./data/image/media/image4302.wmf)平面![](./data/image/media/image4303.wmf)． （III）棱![](./data/image/media/image4304.wmf)上存在点![](./data/image/media/image4305.wmf)，使得![](./data/image/media/image4306.wmf)平面![](./data/image/media/image4307.wmf)．证明如下： 取![](./data/image/media/image4308.wmf)中点![](./data/image/media/image4309.wmf)，连结![](./data/image/media/image4310.wmf)，![](./data/image/media/image4311.wmf)，![](./data/image/media/image4312.wmf)．![](./data/image/media/image4313.png) 又因为![](./data/image/media/image4314.wmf)为![](./data/image/media/image4315.wmf)的中点， 所以![](./data/image/media/image4316.wmf)． 又因为![](./data/image/media/image4317.wmf)平面![](./data/image/media/image4318.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4319.wmf)平面![](./data/image/media/image4320.wmf)． （19）（本小题14分）已知椭圆C：![](./data/image/media/image4321.wmf)过点A（2,0），B（0,1）两点. （I）求椭圆C的方程及离心率； （II）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值. 解：（I）由题意得，![](./data/image/media/image4322.wmf)，![](./data/image/media/image4323.wmf)． 所以椭圆![](./data/image/media/image4324.wmf)的方程为![](./data/image/media/image4325.wmf)． 又![](./data/image/media/image4326.wmf)， 所以离心率![](./data/image/media/image4327.wmf)． （II）设![](./data/image/media/image4328.wmf)（![](./data/image/media/image4329.wmf)，![](./data/image/media/image4330.wmf)），则![](./data/image/media/image4331.wmf)． 又![](./data/image/media/image4332.wmf)，![](./data/image/media/image4333.wmf)，所以，直线![](./data/image/media/image4334.wmf)的方程为![](./data/image/media/image4335.wmf)． 令![](./data/image/media/image4336.wmf)，得![](./data/image/media/image4337.wmf)，从而![](./data/image/media/image4338.wmf)． 直线![](./data/image/media/image4339.wmf)的方程为![](./data/image/media/image4340.wmf)． 令![](./data/image/media/image4341.wmf)，得![](./data/image/media/image4342.wmf)，从而![](./data/image/media/image4343.wmf)． 所以四边形![](./data/image/media/image4344.wmf)的面积 ![](./data/image/media/image4345.wmf) ![](./data/image/media/image4346.wmf) ![](./data/image/media/image4347.wmf) ![](./data/image/media/image4348.wmf) ![](./data/image/media/image4349.wmf)． 从而四边形![](./data/image/media/image4350.wmf)的面积为定值． （20）（本小题13分）设函数![](./data/image/media/image4351.wmf) （I）求曲线![](./data/image/media/image4352.wmf)在点![](./data/image/media/image4353.wmf)处的切线方程； （II）设![](./data/image/media/image4354.wmf)，若函数![](./data/image/media/image4355.wmf)有三个不同零点，求c的取值范围； （III）求证：![](./data/image/media/image4356.wmf)是![](./data/image/media/image4357.wmf)有三个不同零点的必要而不充分条件. 解：（I）由![](./data/image/media/image4358.wmf)，得![](./data/image/media/image4359.wmf)． 因为![](./data/image/media/image4360.wmf)，![](./data/image/media/image4361.wmf)， 所以曲线![](./data/image/media/image4362.wmf)在点![](./data/image/media/image4363.wmf)处的切线方程为![](./data/image/media/image4364.wmf)． （II）当![](./data/image/media/image4365.wmf)时，![](./data/image/media/image4366.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4367.wmf)． 令![](./data/image/media/image4368.wmf)，得![](./data/image/media/image4369.wmf)，解得![](./data/image/media/image4370.wmf)或![](./data/image/media/image4371.wmf)． ![](./data/image/media/image4372.wmf)与![](./data/image/media/image4373.wmf)在区间![](./data/image/media/image4374.wmf)上的情况如下： --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ![](./data/image/media/image4375.wmf) ![](./data/image/media/image4376.wmf) ![](./data/image/media/image4377.wmf) ![](./data/image/media/image4378.wmf) ![](./data/image/media/image4379.wmf) ![](./data/image/media/image4380.wmf) ![](./data/image/media/image4381.wmf) ![](./data/image/media/image4382.wmf) ![](./data/image/media/image4383.wmf) ![](./data/image/media/image4384.wmf) ![](./data/image/media/image4385.wmf) ![](./data/image/media/image4386.wmf) ![](./data/image/media/image4387.wmf) ![](./data/image/media/image4388.wmf) ![](./data/image/media/image4389.wmf) ![](./data/image/media/image4390.wmf) ![](./data/image/media/image4391.wmf) ![](./data/image/media/image4392.wmf) --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- 所以，当![](./data/image/media/image4393.wmf)且![](./data/image/media/image4394.wmf)时，存在![](./data/image/media/image4395.wmf)，![](./data/image/media/image4396.wmf)， ![](./data/image/media/image4397.wmf)，使得![](./data/image/media/image4398.wmf)． 由![](./data/image/media/image4399.wmf)的单调性知，当且仅当![](./data/image/media/image4400.wmf)时， 函数![](./data/image/media/image4401.wmf)有三个不同零点． （III）当![](./data/image/media/image4402.wmf)时，![](./data/image/media/image4403.wmf)，![](./data/image/media/image4404.wmf)， 此时函数![](./data/image/media/image4405.wmf)在区间![](./data/image/media/image4406.wmf)上单调递增，所以![](./data/image/media/image4407.wmf)不可能有三个不同零点． 当![](./data/image/media/image4408.wmf)时，![](./data/image/media/image4409.wmf)只有一个零点，记作![](./data/image/media/image4410.wmf)． 当![](./data/image/media/image4411.wmf)时，![](./data/image/media/image4412.wmf)，![](./data/image/media/image4413.wmf)在区间![](./data/image/media/image4414.wmf)上单调递增； 当![](./data/image/media/image4415.wmf)时，![](./data/image/media/image4416.wmf)，![](./data/image/media/image4417.wmf)在区间![](./data/image/media/image4418.wmf)上单调递增． 所以![](./data/image/media/image4407.wmf)不可能有三个不同零点． 综上所述，若函数![](./data/image/media/image4419.wmf)有三个不同零点，则必有![](./data/image/media/image4420.wmf)． 故![](./data/image/media/image4421.wmf)是![](./data/image/media/image4422.wmf)有三个不同零点的必要条件． 当![](./data/image/media/image4423.wmf)，![](./data/image/media/image4424.wmf)时，![](./data/image/media/image4425.wmf)，![](./data/image/media/image4426.wmf)只有两个不同 0. 所以![](./data/image/media/image4427.wmf)不是![](./data/image/media/image4428.wmf)有三个不同零点的充分条件． 因此![](./data/image/media/image4429.wmf)是![](./data/image/media/image4430.wmf)有三个不同零点的必要而不充分条件． **绝密★启用前** 2016年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（天津卷） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。 **答卷前**，**考生务必将自己的姓名**、**准考证**号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ **第I卷** 注意事项： 1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共8小题，每小题5分，共40分 **参考公式：** 如果事件 A，B 互斥，那么 ·如果事件 A，B 相互独立， P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)． 柱体的体积公式V 柱体=Sh， 圆锥的体积公式V =![](./data/image/media/image4431.wmf)Sh 其中 S 表示柱体的底面积其中 其中S表示锥体的底面积，h表示圆锥的高． h 表示棱柱的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合![](./data/image/media/image4432.wmf)，![](./data/image/media/image4433.wmf)，则![](./data/image/media/image4434.wmf)=【A】 > （A）![](./data/image/media/image4435.wmf) （B）![](./data/image/media/image4436.wmf) （C）![](./data/image/media/image4437.wmf) （D）![](./data/image/media/image4438.wmf) （2）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是![](./data/image/media/image4439.wmf)，甲获胜的概率是![](./data/image/media/image4440.wmf)，则甲不输的概率为【A】 （A）![](./data/image/media/image4441.wmf) （B）![](./data/image/media/image4442.wmf) （C）![](./data/image/media/image4443.wmf) （D）![](./data/image/media/image4440.wmf) （3）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为【B】 ![](./data/image/media/image4444.png) ![](./data/image/media/image4445.png) （4）已知双曲线![](./data/image/media/image4446.wmf)的焦距为![](./data/image/media/image4447.wmf)，且双曲线的一条渐近线与直线![](./data/image/media/image4448.wmf)垂直，则双曲线的方程为【A】 （A）![](./data/image/media/image4449.wmf) （B）![](./data/image/media/image4450.wmf) （C）![](./data/image/media/image4451.wmf) （D）![](./data/image/media/image4452.wmf) （5）设![](./data/image/media/image4453.wmf)，![](./data/image/media/image4454.wmf)，则"![](./data/image/media/image4455.wmf)"是"![](./data/image/media/image4456.wmf)"的【C】 （A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）已知![](./data/image/media/image4457.wmf)是定义在![](./data/image/media/image4458.wmf)上的偶函数，且在区间![](./data/image/media/image4459.wmf)上单调递增，若实数![](./data/image/media/image4460.wmf)满足![](./data/image/media/image4461.wmf)，则![](./data/image/media/image4462.wmf)的取值范围是【C】 （A）![](./data/image/media/image4463.wmf) （B）![](./data/image/media/image4464.wmf) （C）![](./data/image/media/image4465.wmf) （D）![](./data/image/media/image4466.wmf) （7）已知△*ABC*是边长为1的等边三角形，点![](./data/image/media/image4467.wmf)分别是边![](./data/image/media/image4468.wmf)的中点，连接![](./data/image/media/image4469.wmf)并延长到点![](./data/image/media/image4470.wmf)，使得![](./data/image/media/image4471.wmf)，则![](./data/image/media/image4472.wmf)的值为 【B】 （A）![](./data/image/media/image4473.wmf) （B）![](./data/image/media/image4474.wmf) （C）![](./data/image/media/image4475.wmf) （D）![](./data/image/media/image4476.wmf) （8）已知函数![](./data/image/media/image4477.wmf)，![](./data/image/media/image4478.wmf).若![](./data/image/media/image4479.wmf)在区间![](./data/image/media/image4480.wmf)内没有零点，则![](./data/image/media/image4481.wmf)的取值范围是【D】 （A）![](./data/image/media/image4482.wmf) （B）![](./data/image/media/image4483.wmf) （C）![](./data/image/media/image4484.wmf) （D）![](./data/image/media/image4485.wmf) **第Ⅱ卷** **注意事项：** **1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.** **2、本卷共12小题，共计110分.** **二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.** （9）*i*是虚数单位，复数![](./data/image/media/image4486.wmf)满足![](./data/image/media/image4487.wmf)，则![](./data/image/media/image4488.wmf)的实部为 [1]{.underline} . （10）已知函数![](./data/image/media/image4489.wmf)为![](./data/image/media/image4490.wmf)的导函数，则![](./data/image/media/image4491.wmf)的值为 [3]{.underline} . （11）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出![](./data/image/media/image4492.wmf)的值为 [4]{.underline} . ![](./data/image/media/image4493.png) （第11题图） （12）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点![](./data/image/media/image4494.wmf)在圆C上，且圆心到直线![](./data/image/media/image4495.wmf)的距离为![](./data/image/media/image4496.wmf)，则圆C的方程为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image4497.wmf) [ ]{.underline} . （13）如图，*AB*是圆的直径，弦*CD*与*AB*相交于点*E*，*BE*=2*AE*=2，*BD*=*ED*，则线段*CE*的长为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image4498.wmf) [ ]{.underline} . ![](./data/image/media/image4499.png) \(14\) 已知函数![](./data/image/media/image4500.wmf)在R上单调递减，且关于x的方程![](./data/image/media/image4501.wmf)恰有两个不相等的实数解，则![](./data/image/media/image4502.wmf)的取值范围是 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image4503.wmf) [ ]{.underline} . **三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.** （15）（本小题满分13分）在![](./data/image/media/image4504.wmf)中，内角![](./data/image/media/image4505.wmf)所对应的边分别为a,b,c，已知![](./data/image/media/image4506.wmf). (Ⅰ)求B； (Ⅱ)若![](./data/image/media/image4507.wmf)，求sinC的值. 解：（Ⅰ）在![](./data/image/media/image4508.wmf)中，由![](./data/image/media/image4509.wmf)，可得![](./data/image/media/image4510.wmf)， 又由![](./data/image/media/image4511.wmf)得![](./data/image/media/image4512.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4513.wmf)，得![](./data/image/media/image4514.wmf). （Ⅱ）解：由![](./data/image/media/image4515.wmf)得![](./data/image/media/image4516.wmf)， 则![](./data/image/media/image4517.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4518.wmf)![](./data/image/media/image4519.wmf) (16)(本小题满分13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： ![](./data/image/media/image4520.png) 现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数. (Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润. 解：（Ⅰ）由已知![](./data/image/media/image4521.wmf)满足的数学关系式为![](./data/image/media/image4522.wmf)，该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分. ![](./data/image/media/image4523.emf) 图1 （Ⅱ）设利润为![](./data/image/media/image4524.wmf)万元，则目标函数![](./data/image/media/image4525.wmf)，这是斜率为![](./data/image/media/image4526.wmf)，随![](./data/image/media/image4527.wmf)变化的一族平行直线.![](./data/image/media/image4528.wmf)为直线在![](./data/image/media/image4529.wmf)轴上的截距，当![](./data/image/media/image4530.wmf)取最大值时，![](./data/image/media/image4531.wmf)的值最大. 又因为![](./data/image/media/image4532.wmf)满足约束条件，所以由图2可知，当直线![](./data/image/media/image4525.wmf)经过可行域中的点![](./data/image/media/image4533.wmf)时，截距![](./data/image/media/image4530.wmf)的值最大，即![](./data/image/media/image4531.wmf)的值最大. 解方程组![](./data/image/media/image4534.wmf)得点![](./data/image/media/image4535.wmf)的坐标为![](./data/image/media/image4536.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4537.wmf). 答：生产甲种肥料![](./data/image/media/image4538.wmf)车皮，乙种肥料![](./data/image/media/image4539.wmf)车皮时利润最大，且最大利润为![](./data/image/media/image4540.wmf)万元. ![](./data/image/media/image4541.emf) (17)(本小题满分13分)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF\|\|AB，AB=2，BC=EF=1，AE=![](./data/image/media/image4542.wmf)，DE=3，∠BAD=60º，G为BC的中点. (Ⅰ)求证：FG\|\|平面BED； (Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED； (Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值. ![](./data/image/media/image4543.png) 解：（Ⅰ）证明：取![](./data/image/media/image4544.wmf)的中点为![](./data/image/media/image4545.wmf)，连接![](./data/image/media/image4546.wmf)， 在![](./data/image/media/image4547.wmf)中，因为![](./data/image/media/image4548.wmf)是![](./data/image/media/image4549.wmf)的中点， 所以![](./data/image/media/image4550.wmf)且![](./data/image/media/image4551.wmf)， 又因为![](./data/image/media/image4552.wmf)，所以![](./data/image/media/image4553.wmf)且![](./data/image/media/image4554.wmf)， 即四边形![](./data/image/media/image4555.wmf)是平行四边形，所以![](./data/image/media/image4556.wmf)， 又![](./data/image/media/image4557.wmf)平面![](./data/image/media/image4558.wmf)，![](./data/image/media/image4559.wmf)平面![](./data/image/media/image4560.wmf)，所以![](./data/image/media/image4561.wmf)平面![](./data/image/media/image4560.wmf). （Ⅱ）证明：在![](./data/image/media/image4562.wmf)中，![](./data/image/media/image4563.wmf)， 由余弦定理可![](./data/image/media/image4564.wmf)，进而可得![](./data/image/media/image4565.wmf)， 即![](./data/image/media/image4566.wmf)，又因为平面![](./data/image/media/image4567.wmf)平面![](./data/image/media/image4568.wmf)平面![](./data/image/media/image4569.wmf)； 平面![](./data/image/media/image4570.wmf)平面![](./data/image/media/image4571.wmf)，所以![](./data/image/media/image4572.wmf)平面![](./data/image/media/image4573.wmf). 又因为![](./data/image/media/image4574.wmf)平面![](./data/image/media/image4575.wmf)，所以平面![](./data/image/media/image4576.wmf)平面![](./data/image/media/image4577.wmf). （Ⅲ）因为![](./data/image/media/image4578.wmf)，所以直线![](./data/image/media/image4579.wmf)与平面![](./data/image/media/image4580.wmf)所成角即为直线![](./data/image/media/image4581.wmf)与平面![](./data/image/media/image4582.wmf)所成角.过点![](./data/image/media/image4583.wmf)作![](./data/image/media/image4584.wmf)于点![](./data/image/media/image4585.wmf)，连接![](./data/image/media/image4586.wmf)， 又因为平面![](./data/image/media/image4587.wmf)平面![](./data/image/media/image4588.wmf)，由（Ⅱ）知![](./data/image/media/image4589.wmf)平面![](./data/image/media/image4582.wmf)， 所以直线![](./data/image/media/image4581.wmf)与平面![](./data/image/media/image4582.wmf)所成角即为![](./data/image/media/image4590.wmf). 在![](./data/image/media/image4591.wmf)中，![](./data/image/media/image4592.wmf)，由余弦定理可得![](./data/image/media/image4593.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4594.wmf)，因此![](./data/image/media/image4595.wmf)， 在![](./data/image/media/image4596.wmf)中，![](./data/image/media/image4597.wmf)， 所以直线![](./data/image/media/image4581.wmf)与平面![](./data/image/media/image4582.wmf)所成角的正弦值为![](./data/image/media/image4598.wmf). (18)(本小题满分13分)已知![](./data/image/media/image4599.wmf)是等比数列，前n项和为![](./data/image/media/image4600.wmf)，且![](./data/image/media/image4601.wmf). (Ⅰ)求![](./data/image/media/image4599.wmf)的通项公式； (Ⅱ)若对任意的![](./data/image/media/image4602.wmf)是![](./data/image/media/image4603.wmf)和![](./data/image/media/image4604.wmf)的等差中项，求数列![](./data/image/media/image4605.wmf)的前2n项和. 解：（Ⅰ）设数列![](./data/image/media/image4606.wmf)的公比为![](./data/image/media/image4607.wmf)，由已知有![](./data/image/media/image4608.wmf)， 解得![](./data/image/media/image4609.wmf)，又由![](./data/image/media/image4610.wmf)知![](./data/image/media/image4611.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4612.wmf)，解之得![](./data/image/media/image4613.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4614.wmf). （Ⅱ）由题意得![](./data/image/media/image4615.wmf)， 即数列![](./data/image/media/image4616.wmf)是首项为![](./data/image/media/image4617.wmf)，公差为![](./data/image/media/image4618.wmf)的等差数列. 设数列![](./data/image/media/image4619.wmf)的前![](./data/image/media/image4620.wmf)项和为![](./data/image/media/image4621.wmf)，则![](./data/image/media/image4622.wmf)（19）（本小题满分14分）设椭圆![](./data/image/media/image4623.wmf)（![](./data/image/media/image4624.wmf)）的右焦点为![](./data/image/media/image4625.wmf)，右顶点为![](./data/image/media/image4626.wmf)，已知![](./data/image/media/image4627.wmf)，其中![](./data/image/media/image4628.wmf)为原点，![](./data/image/media/image4629.wmf)为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点![](./data/image/media/image4630.wmf)的直线![](./data/image/media/image4631.wmf)与椭圆交于点![](./data/image/media/image4632.wmf)（![](./data/image/media/image4633.wmf)不在![](./data/image/media/image4634.wmf)轴上），垂直于![](./data/image/media/image4635.wmf)的直线与![](./data/image/media/image4636.wmf)交于点![](./data/image/media/image4637.wmf)，与![](./data/image/media/image4638.wmf)轴交于点![](./data/image/media/image4639.wmf)，若![](./data/image/media/image4640.wmf)，且![](./data/image/media/image4641.wmf)，求直线的![](./data/image/media/image4642.wmf)斜率. 解：（Ⅰ）设![](./data/image/media/image4643.wmf)，由![](./data/image/media/image4644.wmf)， 即![](./data/image/media/image4645.wmf)，可得![](./data/image/media/image4646.wmf)， 又![](./data/image/media/image4647.wmf)，所以![](./data/image/media/image4648.wmf)，因此![](./data/image/media/image4649.wmf)， 所以椭圆的方程为![](./data/image/media/image4650.wmf). （2）设直线的斜率为![](./data/image/media/image4651.wmf)，则直线![](./data/image/media/image4652.wmf)的方程为![](./data/image/media/image4653.wmf)， 设![](./data/image/media/image4654.wmf)，由方程组![](./data/image/media/image4655.wmf) 消去![](./data/image/media/image4656.wmf)， 整理得![](./data/image/media/image4657.wmf)，解得![](./data/image/media/image4658.wmf)或![](./data/image/media/image4659.wmf)， 由题意得![](./data/image/media/image4660.wmf)，从而![](./data/image/media/image4661.wmf)， 由（1）知![](./data/image/media/image4662.wmf)，设![](./data/image/media/image4663.wmf)，有![](./data/image/media/image4664.wmf)，![](./data/image/media/image4665.wmf)， 由![](./data/image/media/image4666.wmf)，得![](./data/image/media/image4667.wmf)，所以![](./data/image/media/image4668.wmf)， 解得![](./data/image/media/image4669.wmf)，因此直线![](./data/image/media/image4670.wmf)的方程为![](./data/image/media/image4671.wmf)， 设![](./data/image/media/image4672.wmf)，由方程组![](./data/image/media/image4673.wmf) 消去![](./data/image/media/image4674.wmf)，得![](./data/image/media/image4675.wmf)， 在![](./data/image/media/image4676.wmf)中，![](./data/image/media/image4677.wmf)![](./data/image/media/image4678.wmf)![](./data/image/media/image4679.wmf)， 即![](./data/image/media/image4680.wmf)，化简得![](./data/image/media/image4681.wmf)，即![](./data/image/media/image4682.wmf)， 解得![](./data/image/media/image4683.wmf)或![](./data/image/media/image4684.wmf)， 所以直线![](./data/image/media/image4685.wmf)的斜率为![](./data/image/media/image4683.wmf)或![](./data/image/media/image4684.wmf). （20）（本小题满分14分）设函数![](./data/image/media/image4686.wmf)，![](./data/image/media/image4687.wmf)，其中![](./data/image/media/image4688.wmf) （Ⅰ）求![](./data/image/media/image4689.wmf)的单调区间； （Ⅱ）若![](./data/image/media/image4690.wmf)存在极值点![](./data/image/media/image4691.wmf)，且![](./data/image/media/image4692.wmf)，其中![](./data/image/media/image4693.wmf)，求证：![](./data/image/media/image4694.wmf)； （Ⅲ）设![](./data/image/media/image4695.wmf)，函数![](./data/image/media/image4696.wmf)，求证：![](./data/image/media/image4697.wmf)在区间![](./data/image/media/image4698.wmf)上的最大值不小于![](./data/image/media/image4699.wmf). 解：（Ⅰ）由![](./data/image/media/image4700.wmf)，可得![](./data/image/media/image4701.wmf)，下面分两种情况讨论： ①当![](./data/image/media/image4702.wmf)时，有![](./data/image/media/image4703.wmf)恒成立，所以![](./data/image/media/image4704.wmf)的单调增区间为![](./data/image/media/image4705.wmf). ②当![](./data/image/media/image4706.wmf)时，令![](./data/image/media/image4707.wmf)，解得![](./data/image/media/image4708.wmf)或![](./data/image/media/image4709.wmf). 当![](./data/image/media/image4710.wmf)变化时，![](./data/image/media/image4711.wmf)、![](./data/image/media/image4712.wmf)的变化情况如下表： --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ![](./data/image/media/image4710.wmf) ![](./data/image/media/image4713.wmf) ![](./data/image/media/image4714.wmf) ![](./data/image/media/image4715.wmf) ![](./data/image/media/image4716.wmf) ![](./data/image/media/image4717.wmf) ![](./data/image/media/image4711.wmf) ![](./data/image/media/image4718.wmf) ![](./data/image/media/image4719.wmf) ![](./data/image/media/image4720.wmf) 0 ![](./data/image/media/image4718.wmf) ![](./data/image/media/image4712.wmf) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- 所以![](./data/image/media/image4712.wmf)的单调递减区间为![](./data/image/media/image4715.wmf)，单调递增区间为![](./data/image/media/image4713.wmf)，![](./data/image/media/image4717.wmf). （2）证明：因为![](./data/image/media/image4712.wmf)存在极值点，所以由（1）知![](./data/image/media/image4721.wmf)且![](./data/image/media/image4722.wmf). 由题意得![](./data/image/media/image4723.wmf)，即![](./data/image/media/image4724.wmf)， 进而![](./data/image/media/image4725.wmf)， 又![](./data/image/media/image4726.wmf)， 且![](./data/image/media/image4727.wmf)，由题意及（1）知，存在唯一实数![](./data/image/media/image4728.wmf)满足![](./data/image/media/image4729.wmf)， 且![](./data/image/media/image4730.wmf)，因此![](./data/image/media/image4731.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4732.wmf). （3）证明：设![](./data/image/media/image4733.wmf)在区间![](./data/image/media/image4734.wmf)上的最大值为![](./data/image/media/image4735.wmf)，![](./data/image/media/image4736.wmf)表示![](./data/image/media/image4737.wmf)，![](./data/image/media/image4738.wmf)两数的最大值，下面分三种情况讨论： ①当![](./data/image/media/image4739.wmf)时，![](./data/image/media/image4740.wmf)， 由（1） 知![](./data/image/media/image4712.wmf)在区间![](./data/image/media/image4734.wmf)上单调递减， 所以![](./data/image/media/image4712.wmf)在区间![](./data/image/media/image4734.wmf)上的取值范围为![](./data/image/media/image4741.wmf)，因此， ![](./data/image/media/image4742.wmf)![](./data/image/media/image4743.wmf) ![](./data/image/media/image4744.wmf) 所以![](./data/image/media/image4745.wmf). ②当![](./data/image/media/image4746.wmf)时，![](./data/image/media/image4747.wmf)， 由（1）和（2） 知![](./data/image/media/image4748.wmf)，![](./data/image/media/image4749.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4712.wmf)在区间![](./data/image/media/image4734.wmf)上的取值范围为![](./data/image/media/image4750.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4751.wmf) ![](./data/image/media/image4752.wmf). ③当![](./data/image/media/image4753.wmf)时，![](./data/image/media/image4754.wmf)，由（1）和（2）知， ![](./data/image/media/image4755.wmf)，![](./data/image/media/image4756.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4712.wmf)在区间![](./data/image/media/image4734.wmf)上的取值范围为![](./data/image/media/image4741.wmf)，因此， ![](./data/image/media/image4757.wmf)![](./data/image/media/image4758.wmf) ![](./data/image/media/image4759.wmf). 综上所述，当![](./data/image/media/image4760.wmf)时，![](./data/image/media/image4761.wmf)在区间![](./data/image/media/image4734.wmf)上的最大值不小于![](./data/image/media/image4762.wmf). **绝密★启用前** 2016年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（山东卷） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。 3\. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式： 如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B). **第I卷（共50分）** 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合![](./data/image/media/image4763.wmf)，则![](./data/image/media/image4764.wmf)=【A】 （A）![](./data/image/media/image4765.wmf) （B）![](./data/image/media/image4766.wmf) （C）![](./data/image/media/image4767.wmf) （D）![](./data/image/media/image4768.wmf) （2）若复数![](./data/image/media/image4769.wmf)，其中i为虚数单位，则![](./data/image/media/image4770.wmf) =【B】 （A）1+i （B）1−i （C）−1+i （D）−1−i （3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是\[17.5，30\]，样本数据分组为\[17.5，20)， \[20，22.5)， \[22.5,25)，\[25，27.5)，\[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是【D】 （A）56 （B）60 （C）120 （D）140 ![](./data/image/media/image4771.png) （4）若变量x，y满足![](./data/image/media/image4772.wmf)则x2+y2的最大值是【C】 （A）4 （B）9 （C）10 （D）12 （5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为【C】 ![](./data/image/media/image4773.png) （A）![](./data/image/media/image4774.wmf) （B）![](./data/image/media/image4775.wmf) （C）![](./data/image/media/image4776.wmf) （D）![](./data/image/media/image4777.wmf) （6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，![](./data/image/media/image4778.wmf)内，则"直线a和直线b相交"是"平面α和平面![](./data/image/media/image4778.wmf)相交"的【A】 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）已知圆M：![](./data/image/media/image4779.wmf)截直线![](./data/image/media/image4780.wmf)所得线段的长度是![](./data/image/media/image4781.wmf)，则圆M与圆N：![](./data/image/media/image4782.wmf)的位置关系是【B】 （A）内切 （B）相交 （C）外切 （D）相离 （8）![](./data/image/media/image4783.wmf)中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知![](./data/image/media/image4784.wmf),则A=【C】 （A）![](./data/image/media/image4785.wmf)（B）![](./data/image/media/image4786.wmf)（C）![](./data/image/media/image4787.wmf)（D）![](./data/image/media/image4788.wmf) (9)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)= ---f(x)；当x＞![](./data/image/media/image4789.wmf)时，f(x+![](./data/image/media/image4790.wmf))=f(x---![](./data/image/media/image4791.wmf)).则f(6)=【D】 （A）-2 （B）-1 （C）0 （D）2 （10）若函数![](./data/image/media/image4792.wmf)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称![](./data/image/media/image4792.wmf)具有T性质.下列函数中具有T性质的是【A】 （A）![](./data/image/media/image4793.wmf) （B）![](./data/image/media/image4794.wmf) （C）![](./data/image/media/image4795.wmf) （D）![](./data/image/media/image4796.wmf) 第II卷（共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）执行右边的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为 [1]{.underline} ． ![](./data/image/media/image4797.png) （12）观察下列等式： ![](./data/image/media/image4798.wmf)； ![](./data/image/media/image4799.wmf)； ![](./data/image/media/image4800.wmf)； ![](./data/image/media/image4801.wmf)； ...... 照此规律，![](./data/image/media/image4802.wmf)\_\_\_![](./data/image/media/image4803.wmf)\_\_\_\_\_\_． （13）已知向量a=(1,--1)，b=(6,--4)．若a⊥(ta+b)，则实数t的值为 [-5]{.underline} ． （14）已知双曲线E：![](./data/image/media/image4804.wmf)--![](./data/image/media/image4805.wmf)=1（a\>0，b\>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2\|AB\|=3\|BC\|，则E的离心率是 [2]{.underline} ． （15）已知函数f(x)=![](./data/image/media/image4806.wmf)其中m\>0．若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是\_\_\_![](./data/image/media/image4807.wmf)\_\_\_\_． 三、解答题：本大题共6小题，共75分 （16）（本小题满分12分）某儿童乐园在"六一"儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下： ①若![](./data/image/media/image4808.wmf)，则奖励玩具一个 ②若![](./data/image/media/image4809.wmf)，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. （I）求小亮获得玩具的概率； （II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由. ![](./data/image/media/image4810.png) 解：用数对![](./data/image/media/image4811.wmf)表示儿童参加活动先后记录的数， 则基本事件空间![](./data/image/media/image4812.wmf)与点集![](./data/image/media/image4813.wmf)一一对应. 因为![](./data/image/media/image4814.wmf)中元素个数是![](./data/image/media/image4815.wmf)所以基本事件总数为![](./data/image/media/image4816.wmf) （![](./data/image/media/image4817.wmf)）记"![](./data/image/media/image4818.wmf)"为事件![](./data/image/media/image4819.wmf). 则事件![](./data/image/media/image4820.wmf)包含的基本事件共有![](./data/image/media/image4821.wmf)个，即![](./data/image/media/image4822.wmf) 所以，![](./data/image/media/image4823.wmf)即小亮获得玩具的概率为![](./data/image/media/image4824.wmf). （![](./data/image/media/image4825.wmf)）记"![](./data/image/media/image4826.wmf)"为事件![](./data/image/media/image4827.wmf)，"![](./data/image/media/image4828.wmf)"为事件![](./data/image/media/image4829.wmf). 则事件![](./data/image/media/image4830.wmf)包含的基本事件共有![](./data/image/media/image4831.wmf)个，即![](./data/image/media/image4832.wmf) 所以，![](./data/image/media/image4833.wmf) 则事件![](./data/image/media/image4834.wmf)包含的基本事件共有![](./data/image/media/image4835.wmf)个，即![](./data/image/media/image4836.wmf) 所以，![](./data/image/media/image4837.wmf) 因为![](./data/image/media/image4838.wmf) 所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. （17）（本小题满分12分）设![](./data/image/media/image4839.wmf) . （I）求![](./data/image/media/image4840.wmf)得单调递增区间； （II）把![](./data/image/media/image4841.wmf)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移![](./data/image/media/image4842.wmf)个单位，得到函数![](./data/image/media/image4843.wmf)的图象，求![](./data/image/media/image4844.wmf)的值. 解：（![](./data/image/media/image4817.wmf)）由![](./data/image/media/image4845.wmf) ![](./data/image/media/image4846.wmf) ![](./data/image/media/image4847.wmf) ![](./data/image/media/image4848.wmf) ![](./data/image/media/image4849.wmf) 由![](./data/image/media/image4850.wmf)得![](./data/image/media/image4851.wmf) 所以，![](./data/image/media/image4852.wmf)的单调递增区间是![](./data/image/media/image4853.wmf) （或![](./data/image/media/image4854.wmf)） （![](./data/image/media/image4825.wmf)）由（![](./data/image/media/image4817.wmf)）知![](./data/image/media/image4855.wmf)![](./data/image/media/image4849.wmf) 把![](./data/image/media/image4856.wmf)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的![](./data/image/media/image4857.wmf)倍（纵坐标不变）， 得到![](./data/image/media/image4858.wmf)![](./data/image/media/image4859.wmf)的图象， 再把得到的图象向左平移![](./data/image/media/image4860.wmf)个单位，得到![](./data/image/media/image4861.wmf)![](./data/image/media/image4862.wmf)的图象， 即![](./data/image/media/image4863.wmf) 所以 ![](./data/image/media/image4864.wmf) （18）（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB. ![](./data/image/media/image4865.png) （I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB； （II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC. 解：（Ⅰ）因![](./data/image/media/image4866.wmf)，所以![](./data/image/media/image4867.wmf)与![](./data/image/media/image4868.wmf)确定一个平面，连接![](./data/image/media/image4869.wmf)， 因为![](./data/image/media/image4870.wmf)为![](./data/image/media/image4871.wmf)的中点，所以![](./data/image/media/image4872.wmf)； 同理可得![](./data/image/media/image4873.wmf)，又因为![](./data/image/media/image4874.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4875.wmf)平面![](./data/image/media/image4876.wmf)，因为![](./data/image/media/image4877.wmf)平面![](./data/image/media/image4878.wmf)，![](./data/image/media/image4879.wmf)。 （Ⅱ）设![](./data/image/media/image4880.wmf)的中点为![](./data/image/media/image4881.wmf)，连![](./data/image/media/image4882.wmf)，在![](./data/image/media/image4883.wmf)中，![](./data/image/media/image4884.wmf)是![](./data/image/media/image4885.wmf)的中点， 所以![](./data/image/media/image4886.wmf)，又![](./data/image/media/image4887.wmf)，所以![](./data/image/media/image4888.wmf)； 在![](./data/image/media/image4889.wmf)中，![](./data/image/media/image4890.wmf)是![](./data/image/media/image4891.wmf)的中点，所以![](./data/image/media/image4892.wmf)，又![](./data/image/media/image4893.wmf)， 所以平面![](./data/image/media/image4894.wmf)平面![](./data/image/media/image4895.wmf)， 因为![](./data/image/media/image4896.wmf)平面![](./data/image/media/image4897.wmf)，所以![](./data/image/media/image4898.wmf)平面![](./data/image/media/image4899.wmf)。 ![](./data/image/media/image4900.emf) （19）（本小题满分12分）已知数列![](./data/image/media/image4901.wmf)的前n项和![](./data/image/media/image4902.wmf)，![](./data/image/media/image4903.wmf)是等差数列，且![](./data/image/media/image4904.wmf). （I）求数列![](./data/image/media/image4903.wmf)的通项公式； （II）令![](./data/image/media/image4905.wmf).求数列![](./data/image/media/image4906.wmf)的前n项和![](./data/image/media/image4907.wmf). 解：（Ⅰ）由题意当![](./data/image/media/image4908.wmf)时，![](./data/image/media/image4909.wmf)， 当![](./data/image/media/image4910.wmf)时，![](./data/image/media/image4911.wmf)；所以![](./data/image/media/image4912.wmf)； 设数列的公差为![](./data/image/media/image4913.wmf)，由![](./data/image/media/image4914.wmf)，即![](./data/image/media/image4915.wmf)， 解得![](./data/image/media/image4916.wmf)，所以![](./data/image/media/image4917.wmf)。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知![](./data/image/media/image4918.wmf)， 又![](./data/image/media/image4919.wmf)， 即![](./data/image/media/image4920.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4921.wmf)，以上两式两边相减得![](./data/image/media/image4922.wmf)。 所以![](./data/image/media/image4923.wmf)。 (20)(本小题满分13分)设f(x)=xlnx--ax2+(2a--1)x，a∈R. (Ⅰ)令g(x)=f\'(x)，求g(x)的单调区间； (Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围. 解：(Ⅰ)由![](./data/image/media/image4924.wmf) 可得![](./data/image/media/image4925.wmf)， 则![](./data/image/media/image4926.wmf)， 当![](./data/image/media/image4927.wmf)时，![](./data/image/media/image4928.wmf)时，![](./data/image/media/image4929.wmf)，函数![](./data/image/media/image4930.wmf)单调递增； 当![](./data/image/media/image4931.wmf)时，![](./data/image/media/image4932.wmf)时，![](./data/image/media/image4933.wmf)，函数![](./data/image/media/image4930.wmf)单调递增， ![](./data/image/media/image4934.wmf)时，![](./data/image/media/image4935.wmf)，函数![](./data/image/media/image4930.wmf)单调递减. 所以当![](./data/image/media/image4927.wmf)时，函数![](./data/image/media/image4930.wmf)单调递增区间为![](./data/image/media/image4936.wmf)； 当![](./data/image/media/image4931.wmf)时，函数![](./data/image/media/image4930.wmf)单调递增区间为![](./data/image/media/image4937.wmf)，单调递减区间为![](./data/image/media/image4938.wmf). (Ⅱ)由(Ⅰ)知，![](./data/image/media/image4939.wmf). ①当![](./data/image/media/image4927.wmf)时，![](./data/image/media/image4940.wmf)，![](./data/image/media/image4941.wmf)单调递减. 所以当![](./data/image/media/image4942.wmf)时，![](./data/image/media/image4940.wmf)，![](./data/image/media/image4941.wmf)单调递减. 当![](./data/image/media/image4943.wmf)时，![](./data/image/media/image4944.wmf)，![](./data/image/media/image4941.wmf)单调递增. 所以![](./data/image/media/image4941.wmf)在x=1处取得极小值，不合题意. ②当![](./data/image/media/image4945.wmf)时，![](./data/image/media/image4946.wmf)，由(Ⅰ)知![](./data/image/media/image4947.wmf)在![](./data/image/media/image4948.wmf)内单调递增， 可得当当![](./data/image/media/image4942.wmf)时，![](./data/image/media/image4940.wmf)，![](./data/image/media/image4949.wmf)时，![](./data/image/media/image4950.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4941.wmf)在(0,1)内单调递减，在![](./data/image/media/image4951.wmf)内单调递增， 所以![](./data/image/media/image4941.wmf)在x=1处取得极小值，不合题意. ③当![](./data/image/media/image4952.wmf)时，即![](./data/image/media/image4953.wmf)时，![](./data/image/media/image4954.wmf)在(0,1)内单调递增，在 ![](./data/image/media/image4955.wmf)内单调递减， 所以当![](./data/image/media/image4956.wmf)时，![](./data/image/media/image4957.wmf)， ![](./data/image/media/image4941.wmf)单调递减，不合题意. ④当![](./data/image/media/image4958.wmf)时，即![](./data/image/media/image4959.wmf) ，当![](./data/image/media/image4960.wmf)时，![](./data/image/media/image4944.wmf)，![](./data/image/media/image4941.wmf)单调递增, 当![](./data/image/media/image4961.wmf)时，![](./data/image/media/image4940.wmf)，![](./data/image/media/image4941.wmf)单调递减， 所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a的取值范围为![](./data/image/media/image4962.wmf). (21)(本小题满分14分)已知椭圆C:![](./data/image/media/image4963.png)![](./data/image/media/image4963.png)（a\>b\>0）的长轴长为4，焦距为2![](./data/image/media/image4964.png)![](./data/image/media/image4964.png). （I）求椭圆C的方程； (Ⅱ)过动点M(0，m)(m\>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B. (i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k\'，证明![](./data/image/media/image4965.png)![](./data/image/media/image4965.png)为定值. (ii)求直线AB的斜率的最小值. ![](./data/image/media/image4966.png) 解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c， 由题意知![](./data/image/media/image4967.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4968.wmf)， 所以椭圆C的方程为![](./data/image/media/image4969.wmf). (Ⅱ)(i)设![](./data/image/media/image4970.wmf)， 由M(0,m)，可得![](./data/image/media/image4971.wmf) 所以直线PM的斜率![](./data/image/media/image4972.wmf) ， 直线QM的斜率![](./data/image/media/image4973.wmf). 此时![](./data/image/media/image4974.wmf)， 所以![](./data/image/media/image4975.wmf)为定值-3. (ii)设![](./data/image/media/image4976.wmf)， 直线PA的方程为y=kx+m， 直线QB的方程为y=-3kx+m. 联立 ![](./data/image/media/image4977.wmf) ， 整理得![](./data/image/media/image4978.wmf). 由![](./data/image/media/image4979.wmf)可得![](./data/image/media/image4980.wmf) ， 所以![](./data/image/media/image4981.wmf)， 同理![](./data/image/media/image4982.wmf). 所以![](./data/image/media/image4983.wmf)， ![](./data/image/media/image4984.wmf) ， 所以![](./data/image/media/image4985.wmf) 由![](./data/image/media/image4986.wmf)，可知k\>0， 所以![](./data/image/media/image4987.wmf) ，等号当且仅当![](./data/image/media/image4988.wmf)时取得. 此时![](./data/image/media/image4989.wmf)，即![](./data/image/media/image4990.wmf)，符号题意. 所以直线AB 的斜率的最小值为![](./data/image/media/image4991.wmf) . **绝密★启用前** 2015年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（全国Ⅰ卷） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、已知集合![](./data/image/media/image4992.wmf)，则集合![](./data/image/media/image4993.wmf)中的元素个数为【D】 （A） 5 （B）4 （C）3 （D）2 2、已知点![](./data/image/media/image4994.wmf)，向量![](./data/image/media/image4995.wmf)，则向量![](./data/image/media/image4996.wmf) 【A】 （A） ![](./data/image/media/image4997.wmf) （B）![](./data/image/media/image4998.wmf) （C）![](./data/image/media/image4999.wmf) （D）![](./data/image/media/image5000.wmf) 3、已知复数![](./data/image/media/image5001.wmf)满足![](./data/image/media/image5002.wmf)，则![](./data/image/media/image5003.wmf)【C】 （A） ![](./data/image/media/image5004.wmf) （B）![](./data/image/media/image5005.wmf) （C）![](./data/image/media/image5006.wmf) （D）![](./data/image/media/image5007.wmf) 4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从![](./data/image/media/image5008.wmf)中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为【C】 （A） ![](./data/image/media/image5009.wmf) （B）![](./data/image/media/image5010.wmf) （C）![](./data/image/media/image5011.wmf) （D）![](./data/image/media/image5012.wmf) 5、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为![](./data/image/media/image5013.wmf)，E的右焦点与抛物线![](./data/image/media/image5014.wmf)的焦点重合，![](./data/image/media/image5015.wmf)是C的准线与E的两个交点，则![](./data/image/media/image5016.wmf) 【B】 （A） ![](./data/image/media/image5017.wmf) （B）![](./data/image/media/image5018.wmf) （C）![](./data/image/media/image5019.wmf) （D）![](./data/image/media/image5020.wmf) ![](./data/image/media/image5021.png)6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题："今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问"积及为米几何？"其意思为："在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有【B】 （A）![](./data/image/media/image5022.wmf)斛 （B）![](./data/image/media/image5023.wmf)斛 （C）![](./data/image/media/image5024.wmf)斛 （D）![](./data/image/media/image5025.wmf)斛 7、已知![](./data/image/media/image5026.wmf)是公差为1的等差数列，![](./data/image/media/image5027.wmf)为![](./data/image/media/image5026.wmf)的前![](./data/image/media/image5028.wmf)项和，若![](./data/image/media/image5029.wmf)，则![](./data/image/media/image5030.wmf)【B】 （A） ![](./data/image/media/image5031.wmf) （B）![](./data/image/media/image5032.wmf) （C）![](./data/image/media/image5033.wmf) （D）![](./data/image/media/image5034.wmf) 8、函数![](./data/image/media/image5035.wmf)的部分图像如图所示，则![](./data/image/media/image5036.wmf)的单调递减区间为【D】 ![](./data/image/media/image5037.png) （A）![](./data/image/media/image5038.wmf) （B）![](./data/image/media/image5039.wmf) （C）![](./data/image/media/image5040.wmf) （D）![](./data/image/media/image5041.wmf) 9、执行右面的程序框图，如果输入的![](./data/image/media/image5042.wmf)，则输出的![](./data/image/media/image5043.wmf)【C】 （A） ![](./data/image/media/image5044.wmf) （B）![](./data/image/media/image5045.wmf) （C）7 （D）8 ![](./data/image/media/image5046.png) 10、已知函数![](./data/image/media/image5048.wmf) ，且![](./data/image/media/image5049.wmf)，则![](./data/image/media/image5050.wmf) 【A】 > （A）![](./data/image/media/image5051.wmf) > > （B）![](./data/image/media/image5052.wmf) > > （C）![](./data/image/media/image5053.wmf) > > （D）![](./data/image/media/image5054.wmf) 11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为![](./data/image/media/image5055.wmf)）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为![](./data/image/media/image5056.wmf)，则![](./data/image/media/image5057.wmf)【B】 > ![](./data/image/media/image5058.png)![](./data/image/media/image5059.png)（A）![](./data/image/media/image5060.wmf) > > （B）![](./data/image/media/image5061.wmf) > > （C）![](./data/image/media/image5062.wmf) > > （D）![](./data/image/media/image5063.wmf) 12、设函数![](./data/image/media/image5064.wmf)的图像与![](./data/image/media/image5065.wmf)的图像关于直线![](./data/image/media/image5066.wmf)对称，且 ![](./data/image/media/image5067.wmf)，则![](./data/image/media/image5068.wmf)【C】 （A） ![](./data/image/media/image5069.wmf) （B）![](./data/image/media/image5070.wmf) （C）![](./data/image/media/image5071.wmf) （D）![](./data/image/media/image5072.wmf) 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共29分. 13、数列![](./data/image/media/image5073.wmf)中![](./data/image/media/image5074.wmf)为![](./data/image/media/image5073.wmf)的前*n*项和，若![](./data/image/media/image5075.wmf)，则![](./data/image/media/image5076.wmf) [6]{.underline} . 14.已知函数![](./data/image/media/image5077.wmf)的图像在点![](./data/image/media/image5078.wmf)的处的切线过点![](./data/image/media/image5079.wmf)，则 ![](./data/image/media/image5080.wmf) [1 .]{.underline} 15\. 若*x*,*y*满足约束条件![](./data/image/media/image5081.wmf) ,则*z*=3*x*+*y*的最大值为 [4]{.underline} ． 16.已知![](./data/image/media/image5082.wmf)是双曲线![](./data/image/media/image5083.wmf)的右焦点，*P*是*C*左支上一点，![](./data/image/media/image5084.wmf) ，当![](./data/image/media/image5085.wmf)周长最小时，该三角形的面积为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image5086.wmf) [ ]{.underline} ． 三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17\. （本小题满分12分）已知![](./data/image/media/image5087.wmf)分别是![](./data/image/media/image5088.wmf)内角![](./data/image/media/image5089.wmf)的对边，![](./data/image/media/image5090.wmf). （I）若![](./data/image/media/image5091.wmf)，求![](./data/image/media/image5092.wmf) （II）若![](./data/image/media/image5093.wmf)，且![](./data/image/media/image5094.wmf) 求![](./data/image/media/image5088.wmf)的面积. 解：（I）由题设及正弦定理可得![](./data/image/media/image5095.wmf)=2ac. > 又a=b，可得cosB=![](./data/image/media/image5096.wmf)=![](./data/image/media/image5097.wmf) 。 > > （II）由（I）知![](./data/image/media/image5098.wmf)![](./data/image/media/image5099.wmf)=2ac. > > 因为B=![](./data/image/media/image5100.wmf)，由勾股定理得![](./data/image/media/image5101.wmf). > > 故![](./data/image/media/image5102.wmf)，的c=a=![](./data/image/media/image5103.wmf). 所以△ABC的面积为1. 18\. （本小题满分12分）如图四边形*ABCD*为菱形，*G*为*AC*与*BD*交点，![](./data/image/media/image5104.wmf)， ![](./data/image/media/image5105.png) （I）证明：平面![](./data/image/media/image5106.wmf)平面![](./data/image/media/image5107.wmf)； （II）若![](./data/image/media/image5108.wmf)，![](./data/image/media/image5109.wmf) 三棱锥![](./data/image/media/image5110.wmf)的体积为![](./data/image/media/image5111.wmf)，求该三棱锥的侧面积. 解：（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. > 因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED. > > 又AC![](./data/image/media/image5112.wmf)平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. > > （II）设AB=![](./data/image/media/image5113.wmf)，在菱形ABCD中，又∠ABC=![](./data/image/media/image5114.wmf) ， > > 可得AG=GC=![](./data/image/media/image5115.wmf)，GB=GD=![](./data/image/media/image5116.wmf). > > 因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=![](./data/image/media/image5115.wmf). > > 由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=![](./data/image/media/image5117.wmf). > > 由已知得，三棱锥E-ACD的体积![](./data/image/media/image5118.wmf)=![](./data/image/media/image5119.wmf)×![](./data/image/media/image5120.wmf)AC·GD·BE=![](./data/image/media/image5121.wmf). > > 故![](./data/image/media/image5122.wmf)=2 ， > > 从而可得AE=EC=ED=![](./data/image/media/image5123.wmf). > > 所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与 △ECD的面积均为![](./data/image/media/image5124.wmf). 故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2![](./data/image/media/image5125.wmf). 19\. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费*x*（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润*z*（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费![](./data/image/media/image5126.wmf)和年销售量![](./data/image/media/image5127.wmf)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. ![](./data/image/media/image5128.png) （I）根据散点图判断，![](./data/image/media/image5129.wmf)与![](./data/image/media/image5130.wmf)，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费*x*的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； （II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立*y*关于*x*的回归方程； （III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为![](./data/image/media/image5131.wmf) ，根据（II）的结果回答下列问题： （i）当年宣传费![](./data/image/media/image5132.wmf)=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii）当年宣传费![](./data/image/media/image5132.wmf)为何值时，年利润的预报值最大？ ![](./data/image/media/image5133.png) 解：（I）由散点图可以判断，y=c+d![](./data/image/media/image5134.wmf)适宜作为年销售量y关于年宣传费![](./data/image/media/image5122.wmf)的回归方程式类型. > （II）令![](./data/image/media/image5135.wmf)，先建立y关于w的线性回归方程式. > > 由于![](./data/image/media/image5136.wmf), > > ![](./data/image/media/image5137.wmf)， > > 所以y关于w的线性回归方程为![](./data/image/media/image5138.wmf), > > 因此y关于![](./data/image/media/image5113.wmf)的回归方程为![](./data/image/media/image5139.wmf) > > （Ⅲ）（i）由（II）知，当![](./data/image/media/image5113.wmf)=49时，年销售量y的预报值 > > ![](./data/image/media/image5140.wmf)， 年利润z的预报值 ![](./data/image/media/image5141.wmf) ......9分 （ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值 ![](./data/image/media/image5142.wmf). 所以当![](./data/image/media/image5143.wmf)，即![](./data/image/media/image5113.wmf)=46.24时，![](./data/image/media/image5144.wmf)取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. 20\. （本小题满分12分）已知过点![](./data/image/media/image5145.wmf)且斜率为*k*的直线*l*与圆*C*：![](./data/image/media/image5146.wmf)交于*M*，N两点. （I）求*k*的取值范围； （II）若![](./data/image/media/image5147.wmf)，其中*O*为坐标原点，求![](./data/image/media/image5148.wmf). 解：（I）由题设，可知直线![](./data/image/media/image5149.wmf)的方程为![](./data/image/media/image5150.wmf). 因为![](./data/image/media/image5149.wmf)与C交于两点，所以![](./data/image/media/image5151.wmf). 解得 ![](./data/image/media/image5152.wmf). 所以k的取值范围为![](./data/image/media/image5153.wmf). （II）设![](./data/image/media/image5154.wmf). 将![](./data/image/media/image5155.wmf)代入方程![](./data/image/media/image5156.wmf)，整理得 ![](./data/image/media/image5157.wmf). 所以![](./data/image/media/image5158.wmf). ![](./data/image/media/image5159.wmf) ![](./data/image/media/image5160.wmf) ![](./data/image/media/image5161.wmf). 由题设可得![](./data/image/media/image5161.wmf)=12，解得k=1，所以![](./data/image/media/image5149.wmf)的方程是y=x+1. 故圆心C在![](./data/image/media/image5149.wmf)上，所以![](./data/image/media/image5162.wmf). 21\. （本小题满分12分）设函数![](./data/image/media/image5163.wmf). （I）讨论![](./data/image/media/image5164.wmf)的导函数![](./data/image/media/image5165.wmf)的零点的个数； （II）证明：当![](./data/image/media/image5166.wmf)时![](./data/image/media/image5167.wmf). 解：（I）![](./data/image/media/image5168.wmf)的定义域为![](./data/image/media/image5169.wmf). 当![](./data/image/media/image5170.wmf)≤0时，![](./data/image/media/image5171.wmf)没有零点； 当![](./data/image/media/image5172.wmf)时，因为![](./data/image/media/image5173.wmf)单调递增，![](./data/image/media/image5174.wmf)单调递减， 所以![](./data/image/media/image5175.wmf)在![](./data/image/media/image5176.wmf)单调递增，又![](./data/image/media/image5177.wmf)， 当b满足0＜b＜![](./data/image/media/image5178.wmf)且b＜![](./data/image/media/image5179.wmf)时，![](./data/image/media/image5180.wmf)， 故当![](./data/image/media/image5181.wmf)＜0时![](./data/image/media/image5175.wmf)存在唯一零点. （II）由（I），可设![](./data/image/media/image5175.wmf)在![](./data/image/media/image5176.wmf)的唯一零点为![](./data/image/media/image5182.wmf)， 当![](./data/image/media/image5183.wmf)时，![](./data/image/media/image5175.wmf)＜0； 当![](./data/image/media/image5184.wmf)时，![](./data/image/media/image5175.wmf)＞0. 故![](./data/image/media/image5185.wmf)在![](./data/image/media/image5186.wmf)单调递减，在![](./data/image/media/image5187.wmf)单调递增， 所以![](./data/image/media/image5188.wmf)时，![](./data/image/media/image5185.wmf)取得最小值，最小值为![](./data/image/media/image5189.wmf). 由于![](./data/image/media/image5190.wmf)，所以![](./data/image/media/image5191.wmf). 故当![](./data/image/media/image5192.wmf)时，![](./data/image/media/image5193.wmf). **请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号** 22\. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图*AB*是![](./data/image/media/image5194.wmf)*O*直径，*AC*是![](./data/image/media/image5194.wmf)*O*切线，*BC*交![](./data/image/media/image5194.wmf)*O*与点*E*. （I）若*D*为*AC*中点，证明：*DE*是![](./data/image/media/image5194.wmf)*O*切线； （II）若![](./data/image/media/image5195.wmf) ，求![](./data/image/media/image5196.wmf)的大小. ![](./data/image/media/image5197.png) 解：（I）连接AE，由已知得，AE⊥BC,AC⊥AB. 在Rt△AEC中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连结OE，则∠OBE=∠OEB. 又∠OED+∠ABC=![](./data/image/media/image5198.wmf)，所以∠DEC+∠OEB=![](./data/image/media/image5198.wmf)， 故∠OED=![](./data/image/media/image5198.wmf)，DE是![](./data/image/media/image5199.wmf)O的切线. ![](./data/image/media/image5200.png) （II）设CE=1，AE=![](./data/image/media/image5122.wmf)，由已知得AB=![](./data/image/media/image5201.wmf)， BE=![](./data/image/media/image5202.wmf).由射影定理可得，![](./data/image/media/image5203.wmf)， 所以![](./data/image/media/image5204.wmf)，即![](./data/image/media/image5205.wmf).可得![](./data/image/media/image5206.wmf)，所以∠ACB=![](./data/image/media/image5207.wmf). 23\. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系![](./data/image/media/image5208.wmf) 中，直线![](./data/image/media/image5209.wmf)，圆![](./data/image/media/image5210.wmf)，以坐标原点为极点,*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I）求![](./data/image/media/image5211.wmf)的极坐标方程. （II）若直线![](./data/image/media/image5212.wmf)的极坐标方程为![](./data/image/media/image5213.wmf)，设![](./data/image/media/image5214.wmf)的交点为![](./data/image/media/image5215.wmf)，求![](./data/image/media/image5216.wmf) 的面积. 解：（I）因为![](./data/image/media/image5217.wmf)， 所以![](./data/image/media/image5218.wmf)的极坐标方程为![](./data/image/media/image5219.wmf)， ![](./data/image/media/image5220.wmf)的极坐标方程为![](./data/image/media/image5221.wmf). （II）将![](./data/image/media/image5222.wmf)代入![](./data/image/media/image5221.wmf)， 得![](./data/image/media/image5223.wmf)，解得![](./data/image/media/image5224.wmf). 故![](./data/image/media/image5225.wmf)，即![](./data/image/media/image5226.wmf) 由于![](./data/image/media/image5220.wmf)的半径为1，所以![](./data/image/media/image5216.wmf)的面积为![](./data/image/media/image5227.wmf). 24\. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数![](./data/image/media/image5228.wmf) . （I）当![](./data/image/media/image5229.wmf) 时求不等式![](./data/image/media/image5230.wmf) 的解集； （II）若![](./data/image/media/image5231.wmf)的图像与*x*轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围. 解：（I）当![](./data/image/media/image5229.wmf)时，![](./data/image/media/image5230.wmf)化为![](./data/image/media/image5232.wmf). 当![](./data/image/media/image5233.wmf)时，不等式化为![](./data/image/media/image5234.wmf)，无解； 当![](./data/image/media/image5235.wmf)时，不等式化为![](./data/image/media/image5236.wmf)，解得![](./data/image/media/image5237.wmf)； 当![](./data/image/media/image5238.wmf)，不等式化为-![](./data/image/media/image5122.wmf)+2＞0，解得1≤![](./data/image/media/image5122.wmf)＜2. 所以![](./data/image/media/image5230.wmf)的解集为![](./data/image/media/image5239.wmf). ......5分 （II）由题设可得，![](./data/image/media/image5240.wmf) 所以函数![](./data/image/media/image5231.wmf)的图像与![](./data/image/media/image5122.wmf)轴围成的三角形的三个丁点分别为 ![](./data/image/media/image5241.wmf),△ABC的面积为![](./data/image/media/image5242.wmf). 由题设得![](./data/image/media/image5242.wmf)＞6，故![](./data/image/media/image5170.wmf)＞2. 所以![](./data/image/media/image5170.wmf)的取值范围为![](./data/image/media/image5243.wmf). **绝密★启用前** 2015年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（全国II卷） 注意事项：\ 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。\ 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。\ 3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。\ 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷\ 一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1.已知集合![](./data/image/media/image5244.wmf)，![](./data/image/media/image5245.wmf)，则A∪B=【A】 A. ![](./data/image/media/image5246.wmf) B. ![](./data/image/media/image5247.wmf) C. ![](./data/image/media/image5248.wmf) D. ![](./data/image/media/image5249.wmf) 2.若![](./data/image/media/image5250.wmf)为实数，且![](./data/image/media/image5251.wmf)，则![](./data/image/media/image5252.wmf)【D】 A. ![](./data/image/media/image5253.wmf) B. ![](./data/image/media/image5254.wmf) C. ![](./data/image/media/image5255.wmf) D. ![](./data/image/media/image5256.wmf) 3\. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是【D】 ![](./data/image/media/image5257.png) A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果显著 B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势 D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4.**向量a**=(1，-1) **b**=(-1，2)，则（2**a** +**b**）.**a**= 【C】 A. ![](./data/image/media/image5258.wmf) B. ![](./data/image/media/image5259.wmf) C. ![](./data/image/media/image5260.wmf) D.![](./data/image/media/image5261.wmf) 5\. 设![](./data/image/media/image5262.wmf)是数列![](./data/image/media/image5263.wmf)的前![](./data/image/media/image5264.wmf)项和，若![](./data/image/media/image5265.wmf)，则![](./data/image/media/image5266.wmf)【A】 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 6\. 一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为【D】 A. ![](./data/image/media/image5267.wmf) B. ![](./data/image/media/image5268.wmf) C. ![](./data/image/media/image5269.wmf) D. ![](./data/image/media/image5270.wmf) ![](./data/image/media/image5271.png) 7.已知三点![](./data/image/media/image5272.wmf)，![](./data/image/media/image5273.wmf)，![](./data/image/media/image5274.wmf)，则![](./data/image/media/image5275.wmf)外接圆的圆心到原点的距离为【B】 A. ![](./data/image/media/image5276.wmf) B. ![](./data/image/media/image5277.wmf) C. ![](./data/image/media/image5278.wmf) D. ![](./data/image/media/image5279.wmf) 8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中"更相减损术".执行该程序框图，若输入的![](./data/image/media/image5280.wmf)、![](./data/image/media/image5281.wmf)分别为14、18，则输出的![](./data/image/media/image5282.wmf)【B】 A. 0 B. 2 C. 4 D. 14 ![](./data/image/media/image5283.png) 9.已知等比数列![](./data/image/media/image5284.wmf)满足![](./data/image/media/image5285.wmf)，![](./data/image/media/image5286.wmf)，则![](./data/image/media/image5287.wmf)【C】 A. 2 B. 1 C. ![](./data/image/media/image5288.wmf) D. ![](./data/image/media/image5289.wmf) 10.已知![](./data/image/media/image5290.wmf)、![](./data/image/media/image5291.wmf)是球![](./data/image/media/image5292.wmf)的球面上两点，![](./data/image/media/image5293.wmf)，![](./data/image/media/image5294.wmf)为该球面上的动点.若三棱锥![](./data/image/media/image5295.wmf)体积的最大值为36，则球![](./data/image/media/image5296.wmf)的表面积为【C】 A. ![](./data/image/media/image5297.wmf) B. ![](./data/image/media/image5298.wmf) C. ![](./data/image/media/image5299.wmf) D. ![](./data/image/media/image5300.wmf) 11.如图，长方形![](./data/image/media/image5301.wmf)的边![](./data/image/media/image5302.wmf)，![](./data/image/media/image5303.wmf)，![](./data/image/media/image5304.wmf)是![](./data/image/media/image5305.wmf)的中点，点![](./data/image/media/image5306.wmf)沿着![](./data/image/media/image5307.wmf)、![](./data/image/media/image5308.wmf)与![](./data/image/media/image5309.wmf)运动，记![](./data/image/media/image5310.wmf).将动点![](./data/image/media/image5311.wmf)到![](./data/image/media/image5312.wmf)、![](./data/image/media/image5313.wmf)两点距离之和表示为![](./data/image/media/image5314.wmf)的函数![](./data/image/media/image5315.wmf)，则![](./data/image/media/image5316.wmf)的图象大致为【B】 ![](./data/image/media/image5317.png)![](./data/image/media/image5318.png) 12\. 设函数![](./data/image/media/image5319.wmf)，则使得![](./data/image/media/image5320.wmf)成立的![](./data/image/media/image5321.wmf)的取值范围是【A】 A. ![](./data/image/media/image5322.wmf) B. ![](./data/image/media/image5323.wmf) C. ![](./data/image/media/image5324.wmf) D. ![](./data/image/media/image5325.wmf) **二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.** 13\. 已知函数![](./data/image/media/image5326.wmf)的图象过点![](./data/image/media/image5327.wmf)，则![](./data/image/media/image5328.wmf) [-2]{.underline} . 14.若![](./data/image/media/image5329.wmf)、![](./data/image/media/image5330.wmf)满足约束条件![](./data/image/media/image5331.wmf)，则![](./data/image/media/image5332.wmf)的最大值为 [8]{.underline} . 15.已知双曲线过点![](./data/image/media/image5333.wmf)，且渐近线方程为![](./data/image/media/image5334.wmf)，则该双曲线的标准方程为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image5335.wmf)[。]{.underline} 16.已知曲线![](./data/image/media/image5336.wmf)在点![](./data/image/media/image5337.wmf)处的切线与曲线![](./data/image/media/image5338.wmf)相切，则![](./data/image/media/image5339.wmf) [8]{.underline} . **三、解答题：本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．** 17、（本小题满分12分）ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC. I. 求![](./data/image/media/image5340.wmf)； II. 若∠BAC=60°,求∠B. 解：（Ⅰ）由正弦定理得 ![](./data/image/media/image5341.wmf) 因为AD平分![](./data/image/media/image5342.wmf)所以![](./data/image/media/image5343.wmf) （Ⅱ）因为![](./data/image/media/image5344.wmf) 所以![](./data/image/media/image5345.wmf) 由（Ⅰ）知![](./data/image/media/image5346.wmf) 所以![](./data/image/media/image5347.wmf) 即![](./data/image/media/image5348.wmf)。 18、（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得分A地区用户满意评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表. ![](./data/image/media/image5349.png) B地区用户满意度评分的频数分布表 ---------------- ---------- ----------- ----------- ----------- ------------ 满意度评分分组 \[50,60) \[60，70) \[70，80) \[80，90) \[90，100) 频数 2 8 14 10 6 ---------------- ---------- ----------- ----------- ----------- ------------ (I) 在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频数分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可） ![](./data/image/media/image5350.png) (II) 根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级； ------------ ---------- ------------ ------------ 满意度评分 低于70分 70分到80分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 ------------ ---------- ------------ ------------ 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由. 解： （Ⅰ） ![](./data/image/media/image5351.png) 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散。 （Ⅱ）A地区用户满意度等级为不满意的概率大。 记C~A~表示事件："A地区用户满意度等级为不满意"；C~B~表示事件："B地区用户满意度等级为不满意"。 由直方图得P(C~A~)的估计值为（0.01+0.02+0.03）×10=0.6， P(C~B~) 的估计值为（0.005+0.02）×10=0.25. 所以A地区用户满意度等级为不满意的概率大。 19、（本小题满分12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8,点E，分别在A1B1, D1C1上，A1E= D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. ![](./data/image/media/image5352.png) I. 在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由） II. 求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 解：（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF如图： ![](./data/image/media/image5353.png) （Ⅱ）作EM⊥AB,垂足为M，则AM=A~1~E=4，EB~1~=12，EM=AA~1~=8. 因为EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=10. 于是MH=![](./data/image/media/image5354.wmf). 因为长方体被平面![](./data/image/media/image5355.wmf)分为两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为![](./data/image/media/image5356.wmf)（![](./data/image/media/image5357.wmf)也正确） 20、（本小题满分12分）已知椭圆C：![](./data/image/media/image5358.wmf)（![](./data/image/media/image5359.wmf)\>![](./data/image/media/image5360.wmf)\>0）的离心率为![](./data/image/media/image5361.wmf)，点（2，![](./data/image/media/image5362.wmf)）在C上. I. 求C的方程； II. 直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. 解：（Ⅰ）由题意有![](./data/image/media/image5363.wmf)， 解得 ![](./data/image/media/image5364.wmf)。所以C的方程为![](./data/image/media/image5365.wmf) （Ⅱ）设直线![](./data/image/media/image5366.wmf) 将![](./data/image/media/image5367.wmf)代入![](./data/image/media/image5368.wmf)得![](./data/image/media/image5369.wmf) 故![](./data/image/media/image5370.wmf) 于是直线OM的斜率![](./data/image/media/image5371.wmf) 所以直线OM的斜率与直线![](./data/image/media/image5372.wmf)的斜率的乘积为定值。 21、（本小题满分12分）已知函数f（x）=ln x +a（1- x） I. 讨论f（x）的单调性； II. 当f（x）有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围. 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为![](./data/image/media/image5373.wmf) 若![](./data/image/media/image5374.wmf)则![](./data/image/media/image5375.wmf)所以![](./data/image/media/image5376.wmf)单调递增。 若![](./data/image/media/image5377.wmf)，则当![](./data/image/media/image5378.wmf)时，![](./data/image/media/image5375.wmf)当![](./data/image/media/image5379.wmf)时， ![](./data/image/media/image5380.wmf)所以![](./data/image/media/image5381.wmf)在![](./data/image/media/image5382.wmf)单调递增，在![](./data/image/media/image5383.wmf)单调递减。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当![](./data/image/media/image5384.wmf)时，![](./data/image/media/image5376.wmf)无最大值； 当![](./data/image/media/image5377.wmf)时，![](./data/image/media/image5381.wmf)在![](./data/image/media/image5385.wmf)取得最大值， 最大值为![](./data/image/media/image5386.wmf)。 因此![](./data/image/media/image5387.wmf) 等价于![](./data/image/media/image5388.wmf) 令![](./data/image/media/image5389.wmf)，则![](./data/image/media/image5390.wmf)在![](./data/image/media/image5391.wmf)单调递增，![](./data/image/media/image5392.wmf) 于是，当![](./data/image/media/image5393.wmf)时![](./data/image/media/image5394.wmf)；当![](./data/image/media/image5395.wmf)时，![](./data/image/media/image5396.wmf) 因此，![](./data/image/media/image5397.wmf)的取值范围是![](./data/image/media/image5398.wmf) **请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。** 22、（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选择 如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ΔABC的底边BC交于M,N两点，与底边上的高AD交于G,且与AB，AC分别相切于E,F两点. I. 证明：EF//BC; II. 若AG等于圆O的半径，且AE=MN=2![](./data/image/media/image5399.wmf)，求四边形EBCF的面积 ![](./data/image/media/image5400.png) 解：（Ⅰ）由于![](./data/image/media/image5401.wmf)是等腰三角形，![](./data/image/media/image5402.wmf), 所以![](./data/image/media/image5403.wmf)是![](./data/image/media/image5404.wmf)的平行线。 ![](./data/image/media/image5405.png)又因为![](./data/image/media/image5406.wmf)分别于![](./data/image/media/image5407.wmf)，![](./data/image/media/image5408.wmf)相切于点![](./data/image/media/image5409.wmf)，![](./data/image/media/image5410.wmf)， 所以![](./data/image/media/image5411.wmf)，故![](./data/image/media/image5412.wmf)从而![](./data/image/media/image5413.wmf)。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知![](./data/image/media/image5411.wmf)，![](./data/image/media/image5412.wmf)， 故![](./data/image/media/image5403.wmf)是![](./data/image/media/image5414.wmf)的垂直平分线，又![](./data/image/media/image5414.wmf)为![](./data/image/media/image5406.wmf)的弦， 所以![](./data/image/media/image5415.wmf)在![](./data/image/media/image5403.wmf)上。 连接![](./data/image/media/image5416.wmf),![](./data/image/media/image5417.wmf),则![](./data/image/media/image5418.wmf) 由![](./data/image/media/image5419.wmf)等于![](./data/image/media/image5406.wmf)的半径得![](./data/image/media/image5420.wmf), 所以![](./data/image/media/image5421.wmf). 因此![](./data/image/media/image5401.wmf)和![](./data/image/media/image5422.wmf)都是等边三角形。 因为![](./data/image/media/image5423.wmf)，所以![](./data/image/media/image5424.wmf)，![](./data/image/media/image5425.wmf)。 因为![](./data/image/media/image5426.wmf)，![](./data/image/media/image5427.wmf)， 所以![](./data/image/media/image5428.wmf)于是![](./data/image/media/image5429.wmf) 所以四边形![](./data/image/media/image5430.wmf)的面积为![](./data/image/media/image5431.wmf) 23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xOy中，曲线C~1~：![](./data/image/media/image5432.wmf)（t为参数，t![](./data/image/media/image5433.wmf)0）其中0![](./data/image/media/image5434.wmf)α![](./data/image/media/image5435.wmf)![](./data/image/media/image5436.wmf).在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C~2~：p=2![](./data/image/media/image5437.wmf)，C~3~：p=2![](./data/image/media/image5399.wmf)![](./data/image/media/image5438.wmf)。 I. 求C~1~ 与C~3~ 交点的直角坐标； II. 若C~1~ 与C~2~ 相交于点A，C~1~ 与C~3~ 相交于点B，求\|AB\|的最大值. 解：（Ⅰ）曲线C~2~的直角坐标方程为![](./data/image/media/image5439.wmf) 曲线C~3~的直角坐标方程为![](./data/image/media/image5440.wmf) 联立![](./data/image/media/image5441.wmf) 解得![](./data/image/media/image5442.wmf) 或![](./data/image/media/image5443.wmf) 所以C~2~与C~3~交点的直角坐标为(0,0)和![](./data/image/media/image5444.wmf) （Ⅱ）曲线C~1~的极坐标方程为 ![](./data/image/media/image5445.wmf) 因此A的极坐标为![](./data/image/media/image5446.wmf)B的极坐标为![](./data/image/media/image5447.wmf) 所以![](./data/image/media/image5448.wmf) 当![](./data/image/media/image5449.wmf)时，![](./data/image/media/image5450.wmf)取得最大值，最大值为4. 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d.证明： I. 若ab\>cd，则![](./data/image/media/image5451.wmf)\>![](./data/image/media/image5452.wmf); II. ![](./data/image/media/image5451.wmf)\>![](./data/image/media/image5452.wmf)是\|a-b\|\<\|c-d\|的充要条件. 解： （Ⅰ）因为![](./data/image/media/image5453.wmf) 由题设![](./data/image/media/image5454.wmf)，![](./data/image/media/image5455.wmf)得![](./data/image/media/image5456.wmf)。 因此![](./data/image/media/image5457.wmf)。 （Ⅱ）（i）若![](./data/image/media/image5458.wmf)则![](./data/image/media/image5459.wmf)， 即![](./data/image/media/image5460.wmf) 因为![](./data/image/media/image5461.wmf)，所以![](./data/image/media/image5462.wmf) 由（Ⅰ）得![](./data/image/media/image5457.wmf) ii. 若![](./data/image/media/image5457.wmf)，则![](./data/image/media/image5456.wmf)， 即![](./data/image/media/image5463.wmf) 因为![](./data/image/media/image5461.wmf)，所以![](./data/image/media/image5462.wmf).于是![](./data/image/media/image5464.wmf) 因此![](./data/image/media/image5465.wmf) 综上，![](./data/image/media/image5457.wmf)是![](./data/image/media/image5466.wmf)的充要条件 **绝密★启用前** 2015年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（北京卷） **本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。** **一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。** （1）若集合A=｛x\|5＜x＜2｝，B=｛x\|3＜x＜3｝，则A□B=【A】 A. ｛x\|3＜x＜2｝ B. ｛x\|5＜x＜2｝ C. ｛x\| 3＜x＜3｝ D. ｛x\|5＜x＜3｝ （2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是【D】 （A）（x-1）^2^+（y-1）^2^=1 （B）（x+1）^2^+（y+1）^2^=1 （C）（x+1）^2^+（y+1）^2^=2 （D）（x-1）^2^+（y-1）^2^=2 （3）下列函数中为偶函数的是【B】 （A）y=x²sinx （B）y=x²cosx （C）Y=\|ln x\| （D）y=2^x^ （4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为【C】 （A）90 （B）100 （C）180 （D）300 ---------- ---------- **类别** **人数** 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300 ---------- ---------- (5) 执行如果所示的程序框图，输出的k值为【B】 ![](./data/image/media/image5467.png) （A）3 （B）4 (C)5 (D)6 （6）设a，b是非零向量，"a·b=\|a\|\|b\|"是"a//b"的【A】 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为【C】 (A)1 （B）![](./data/image/media/image5468.png)![](./data/image/media/image5468.png) （B）![](./data/image/media/image5469.png)![](./data/image/media/image5469.png) (D)2 ![](./data/image/media/image5470.png) （8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。 注："累计里程"指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为【B】 ![](./data/image/media/image5471.png) （A）6升 （B）8升 > （C）10升 （D）12升 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）复数i（1+i）的实数为 [-1]{.underline} . （10）2^-3^, ![](./data/image/media/image5472.wmf),log~2~5三个数中最大数的是 [ ]{.underline} log~2~5 [ ]{.underline} . （11）在△ABC中，a=3,b=![](./data/image/media/image5473.png)![](./data/image/media/image5473.png),![](./data/image/media/image5474.wmf)A=![](./data/image/media/image5475.png)![](./data/image/media/image5475.png)，![](./data/image/media/image5474.wmf)B= [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image5476.wmf) [ ]{.underline} . （12）已知（2，0）是双曲线![](./data/image/media/image5477.png)![](./data/image/media/image5477.png)=1(b\>0)的一个焦点，则b= [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image5478.wmf) [ ]{.underline} . （13）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为 [7]{.underline} . ![](./data/image/media/image5479.png) （14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生。 ![](./data/image/media/image5480.png) 从这次考试成绩看， ①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 [ ]{.underline} 乙 [ ]{.underline} . ②在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是 [ ]{.underline} 数学 [ ]{.underline} . 三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）已知函数f（x）=![](./data/image/media/image5481.wmf) （Ⅰ）求f（x）的最小正周期； （Ⅱ）求f（x）在区间![](./data/image/media/image5482.wmf)上的最小值。 解：（I）因为![](./data/image/media/image5483.wmf) ![](./data/image/media/image5484.wmf) 所以![](./data/image/media/image5485.wmf)的最小正周期为2![](./data/image/media/image5486.wmf). （II）因为0![](./data/image/media/image5487.wmf)，所以![](./data/image/media/image5488.wmf). 当![](./data/image/media/image5489.wmf)，即![](./data/image/media/image5490.wmf)时，![](./data/image/media/image5491.wmf)取得最小值. 所以![](./data/image/media/image5492.wmf)在区间![](./data/image/media/image5493.wmf)上的最小值为![](./data/image/media/image5494.wmf). （16）（本小题13分）已知等差数列{![](./data/image/media/image5495.png)![](./data/image/media/image5495.png)}满足![](./data/image/media/image5496.png)![](./data/image/media/image5496.png)+![](./data/image/media/image5497.png)![](./data/image/media/image5497.png)=10，![](./data/image/media/image5498.png)![](./data/image/media/image5498.png)-![](./data/image/media/image5499.png)![](./data/image/media/image5499.png)=2. （Ⅰ）求{![](./data/image/media/image5495.png)![](./data/image/media/image5495.png)}的通项公式； （Ⅱ）设等比数列{![](./data/image/media/image5500.png)![](./data/image/media/image5500.png)}满足![](./data/image/media/image5501.png)![](./data/image/media/image5501.png)，![](./data/image/media/image5502.png)![](./data/image/media/image5502.png)；问：![](./data/image/media/image5503.png)![](./data/image/media/image5503.png)与数列{![](./data/image/media/image5495.png)![](./data/image/media/image5495.png)}的第几项相等？ 解：（I）设等差数列![](./data/image/media/image5504.wmf)的公差为![](./data/image/media/image5505.wmf). 因为![](./data/image/media/image5506.wmf)，所以![](./data/image/media/image5507.wmf). 又因为![](./data/image/media/image5508.wmf)，所以![](./data/image/media/image5509.wmf)，故![](./data/image/media/image5510.wmf). 所以![](./data/image/media/image5511.wmf). （II）设等比数列![](./data/image/media/image5512.wmf)的公比为q. 因为![](./data/image/media/image5513.wmf)，![](./data/image/media/image5514.wmf)， 所以![](./data/image/media/image5515.wmf)，![](./data/image/media/image5516.wmf). 所以![](./data/image/media/image5517.wmf). 由128=![](./data/image/media/image5518.wmf)得![](./data/image/media/image5519.wmf). 所以![](./data/image/media/image5520.wmf)与数列![](./data/image/media/image5521.wmf)的第63项相等. （17）（本小题13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下统计表，其中"√"表示购买，"×"表示未购买。 +----------+----+----+----+----+ | 商品 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 | | | | | | | | 顾客人数 | | | | | +----------+----+----+----+----+ | 100 | √ | × | √ | √ | +----------+----+----+----+----+ | 217 | × | √ | × | √ | +----------+----+----+----+----+ | 200 | √ | √ | √ | × | +----------+----+----+----+----+ | 300 | √ | × | √ | × | +----------+----+----+----+----+ | 85 | √ | × | × | × | +----------+----+----+----+----+ | 98 | × | √ | × | × | +----------+----+----+----+----+ （Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率 （Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率 （Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解：（I）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为![](./data/image/media/image5522.wmf). （II）从统计表可以看出，在这1000位顾客中， 有100位顾客同时购买了甲、丙、丁， 另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品， 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为 ![](./data/image/media/image5523.wmf). （III）与（I）同理，可得： 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为![](./data/image/media/image5524.wmf)， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为![](./data/image/media/image5525.wmf)， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为![](./data/image/media/image5526.wmf). 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性 最大。 （18）（本小题14分）如图，在三棱锥E-ABC中，平面EAB ⊥平面ABC，三角形EAB为等边三角形，AC⊥ BC,且AC=BC=![](./data/image/media/image5468.png)![](./data/image/media/image5468.png),O,M分别为AB,VA的中点。 1. 求证:VB//平面MOC. 2. 求证：平面MOC⊥平面 VAB 3. 求三棱锥V-ABC的体积。 ![](./data/image/media/image5527.jpeg) 解：（I）因为O,M分别为AB，ＶＡ的中点， 　　　　　　所以ＯＭ//ＶＢ. 又因为ＶＢ![](./data/image/media/image5528.wmf)平面MOC， 所以VB//平面MOC. （II）因为ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ为AB的中点， 所以OC![](./data/image/media/image5529.wmf)AB. 又因为平面![](./data/image/media/image5530.wmf)![](./data/image/media/image5531.wmf)平面![](./data/image/media/image5532.wmf)，且![](./data/image/media/image5533.wmf)平面![](./data/image/media/image5534.wmf)， 　　　　　　所以![](./data/image/media/image5535.wmf)平面![](./data/image/media/image5536.wmf)． 　　　　　　所以平面![](./data/image/media/image5537.wmf)![](./data/image/media/image5538.wmf)平面![](./data/image/media/image5539.wmf)． 　　　（III）在等腰直角三角形![](./data/image/media/image5540.wmf)中，![](./data/image/media/image5541.wmf)， 　　　　　　所以![](./data/image/media/image5542.wmf)，![](./data/image/media/image5543.wmf)． 　　　　　　所以等边三角形![](./data/image/media/image5544.wmf)的面积![](./data/image/media/image5545.wmf)． 　　　　　　又因为![](./data/image/media/image5546.wmf)![](./data/image/media/image5547.wmf)平面![](./data/image/media/image5548.wmf)， 　　　　　　所以三棱锥![](./data/image/media/image5549.wmf)的体积等于![](./data/image/media/image5550.wmf)． 　　　　　　又因为三棱锥![](./data/image/media/image5551.wmf)的体积与三棱锥![](./data/image/media/image5549.wmf)的体积相等， 　　　　　　所以三棱锥![](./data/image/media/image5552.wmf)的体积为![](./data/image/media/image5553.wmf)． （19）（本小题13分）设函数f（x）=![](./data/image/media/image5554.wmf)![](./data/image/media/image5555.wmf) ,k\>0 （I）求f（x）的单调区间和极值； （II）证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间（1，![](./data/image/media/image5556.png)![](./data/image/media/image5556.png)）上仅有一个零点。 解：（Ｉ）由![](./data/image/media/image5557.wmf)（k\>0）得 ![](./data/image/media/image5558.wmf). 由![](./data/image/media/image5559.wmf)=0解得![](./data/image/media/image5560.wmf) ![](./data/image/media/image5561.wmf)与![](./data/image/media/image5559.wmf)在区间（![](./data/image/media/image5562.wmf)）上的情况如下： --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ![](./data/image/media/image5563.wmf) ![](./data/image/media/image5564.wmf) ![](./data/image/media/image5565.wmf) ![](./data/image/media/image5566.wmf) ![](./data/image/media/image5559.wmf) --- 0 \+ ![](./data/image/media/image5561.wmf) ![](./data/image/media/image5567.wmf) ![](./data/image/media/image5568.wmf) ![](./data/image/media/image5569.wmf) --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- 所以，![](./data/image/media/image5561.wmf)的单调递减区间是![](./data/image/media/image5564.wmf)，单调递增区间是![](./data/image/media/image5566.wmf)； ![](./data/image/media/image5561.wmf)在![](./data/image/media/image5570.wmf)处取得极小值![](./data/image/media/image5571.wmf). （II）由（I）知，![](./data/image/media/image5561.wmf)在区间![](./data/image/media/image5572.wmf)上的最小值![](./data/image/media/image5571.wmf). 因为![](./data/image/media/image5561.wmf)存在零点，所以![](./data/image/media/image5573.wmf)，从而![](./data/image/media/image5574.wmf). 当![](./data/image/media/image5575.wmf)时，![](./data/image/media/image5576.wmf)在区间![](./data/image/media/image5577.wmf)上单调递减，且![](./data/image/media/image5578.wmf)， 所以![](./data/image/media/image5579.wmf)是![](./data/image/media/image5580.wmf)在区间![](./data/image/media/image5581.wmf)上的唯一零点. 当![](./data/image/media/image5582.wmf)\>e时，![](./data/image/media/image5580.wmf)在区间![](./data/image/media/image5581.wmf)上单调递减，且![](./data/image/media/image5583.wmf)\>![](./data/image/media/image5584.wmf)![](./data/image/media/image5585.wmf)\<![](./data/image/media/image5584.wmf) 所以![](./data/image/media/image5561.wmf)在区间![](./data/image/media/image5586.wmf)上仅有一个零点. 综上可知，若![](./data/image/media/image5561.wmf)存在零点，则![](./data/image/media/image5561.wmf)在区间![](./data/image/media/image5586.wmf)上仅有一个零点. (20)(本小题14分)已知椭圆![](./data/image/media/image5587.png)![](./data/image/media/image5587.png),过点![](./data/image/media/image5588.png)![](./data/image/media/image5588.png)且不过点![](./data/image/media/image5589.png)![](./data/image/media/image5589.png)的直线与椭圆![](./data/image/media/image5590.png)![](./data/image/media/image5590.png)交于![](./data/image/media/image5591.png)![](./data/image/media/image5591.png)两点，直线![](./data/image/media/image5592.png)![](./data/image/media/image5592.png)与直线![](./data/image/media/image5593.png)![](./data/image/media/image5593.png). （1）求椭圆![](./data/image/media/image5590.png)![](./data/image/media/image5590.png)的离心率； （II）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率； （III）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由。 解：（I）椭圆![](./data/image/media/image5594.wmf)的标准方程为![](./data/image/media/image5595.wmf). 所以![](./data/image/media/image5596.wmf). 所以椭圆![](./data/image/media/image5597.wmf)的离心率![](./data/image/media/image5598.wmf). （II）因为![](./data/image/media/image5599.wmf)过点![](./data/image/media/image5600.wmf)且垂直于![](./data/image/media/image5601.wmf)轴，所以可设![](./data/image/media/image5602.wmf)， > 直线![](./data/image/media/image5603.wmf)的方程![](./data/image/media/image5604.wmf). > > 令![](./data/image/media/image5605.wmf)，得![](./data/image/media/image5606.wmf). > > 所以直线![](./data/image/media/image5607.wmf)的斜率![](./data/image/media/image5608.wmf). （III）直线![](./data/image/media/image5609.wmf)与直线![](./data/image/media/image5610.wmf)平行.证明如下： > 当直线![](./data/image/media/image5611.wmf)的斜率不存在时，由（II）可知![](./data/image/media/image5612.wmf) > > 又因为直线![](./data/image/media/image5613.wmf)的斜率![](./data/image/media/image5614.wmf)，所以![](./data/image/media/image5615.wmf)//![](./data/image/media/image5616.wmf). > > 当直线![](./data/image/media/image5617.wmf)的斜率存在时，设其方程为![](./data/image/media/image5618.wmf)， > > 设![](./data/image/media/image5619.wmf)则直线![](./data/image/media/image5620.wmf)的方程为![](./data/image/media/image5621.wmf) > > 令![](./data/image/media/image5622.wmf)，得点![](./data/image/media/image5623.wmf). > > 由![](./data/image/media/image5624.wmf)得![](./data/image/media/image5625.wmf) > > 所以![](./data/image/media/image5626.wmf) > > 直线![](./data/image/media/image5627.wmf)的斜率![](./data/image/media/image5628.wmf) > > 因为![](./data/image/media/image5629.wmf) > > ![](./data/image/media/image5630.wmf) > > ![](./data/image/media/image5631.wmf) > > ![](./data/image/media/image5632.wmf)， > > 所以，![](./data/image/media/image5633.wmf) > > 所以![](./data/image/media/image5634.wmf)//![](./data/image/media/image5635.wmf). > > 综上可知，直线![](./data/image/media/image5636.wmf)与直线![](./data/image/media/image5637.wmf)平行. **绝密★启用前** 2015年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（天津卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知全集![](./data/image/media/image5638.wmf)，集![](./data/image/media/image5639.wmf)，集合![](./data/image/media/image5640.wmf)，则集合![](./data/image/media/image5641.wmf)【B】 \(A\) ![](./data/image/media/image5642.wmf) (B) ![](./data/image/media/image5643.wmf) (C) ![](./data/image/media/image5644.wmf) (D)![](./data/image/media/image5645.wmf) ![](./data/image/media/image5646.jpeg)2.设变量![](./data/image/media/image5647.wmf)满足约束条件![](./data/image/media/image5648.wmf)，则目标函数![](./data/image/media/image5649.wmf)的最大值为【C】 \(A\) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14 3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为【C】 \(A\) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5 4.设![](./data/image/media/image5650.wmf)，则"![](./data/image/media/image5651.wmf)"是"![](./data/image/media/image5652.wmf)"的【A】 \(A\) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 5.已知双曲线![](./data/image/media/image5653.wmf)的一个焦点为![](./data/image/media/image5654.wmf)， 且双曲线的渐近线与圆![](./data/image/media/image5655.wmf)相切，则双曲线的方程为【D】 (A) ![](./data/image/media/image5656.wmf) (B) ![](./data/image/media/image5657.wmf) \(C\) ![](./data/image/media/image5658.wmf) (D) ![](./data/image/media/image5659.wmf) 6.如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为【A】 ![](./data/image/media/image5660.jpeg) \(A\) ![](./data/image/media/image5661.wmf) (B) 3 (C) ![](./data/image/media/image5662.wmf) (D) ![](./data/image/media/image5663.wmf) 7.已知定义在R上的函数![](./data/image/media/image5664.wmf)为偶函数，记![](./data/image/media/image5665.wmf)![](./data/image/media/image5666.wmf)，则![](./data/image/media/image5667.wmf),的大小关系为【B】 \(A\) ![](./data/image/media/image5668.wmf) (B) ![](./data/image/media/image5669.wmf) (C) ![](./data/image/media/image5670.wmf) (D) ![](./data/image/media/image5671.wmf) 8.已知函数![](./data/image/media/image5672.wmf)，函数![](./data/image/media/image5673.wmf)，则函数![](./data/image/media/image5674.wmf)的零点的个数为【A】 \(A\) 2 (B) 3 (C)4 (D)5 二：填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 9.i是虚数单位，计算![](./data/image/media/image5675.wmf) 的结果为 [ ]{.underline} -i [ ]{.underline} ． 10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image5676.wmf) [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image5677.wmf). ![](./data/image/media/image5678.png) 11.已知函数![](./data/image/media/image5679.wmf) ，其中a为实数，![](./data/image/media/image5680.wmf)为![](./data/image/media/image5681.wmf)的导函数，若![](./data/image/media/image5682.wmf) ，则a的值为 [ 3]{.underline} ． 12.已知![](./data/image/media/image5683.wmf) 则当a的值为 [ 4]{.underline} 时![](./data/image/media/image5684.wmf)取得最大值。 13.在等腰梯形ABCD中，已知![](./data/image/media/image5685.wmf)，![](./data/image/media/image5686.wmf) 点E和点F分别在线段BC和DC上，且![](./data/image/media/image5687.wmf) 则![](./data/image/media/image5688.wmf)的值为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image5689.wmf) [ ]{.underline} ． 14.已知函数![](./data/image/media/image5690.wmf) 若函数![](./data/image/media/image5691.wmf)在区间![](./data/image/media/image5692.wmf)内单调递增，且函数![](./data/image/media/image5691.wmf)的图像关于直线![](./data/image/media/image5693.wmf)对称，则![](./data/image/media/image5694.wmf)的值为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image5695.wmf) [ ]{.underline} ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分。 15.（13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛。 （I）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数； （II）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为![](./data/image/media/image5696.wmf)，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛。 （i）用所给编号列出所有可能的结果； （ii）设A为事件"编号为![](./data/image/media/image5697.wmf)的两名运动员至少有1人被抽到"，求事件A发生的概率。 解：（ I ）从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2 （II）（i）从![](./data/image/media/image5698.png)6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为 ![](./data/image/media/image5698.png)![](./data/image/media/image5699.wmf),![](./data/image/media/image5700.wmf),![](./data/image/media/image5701.wmf),![](./data/image/media/image5702.wmf),![](./data/image/media/image5703.wmf),![](./data/image/media/image5698.png)![](./data/image/media/image5704.wmf),![](./data/image/media/image5705.wmf),![](./data/image/media/image5706.wmf),![](./data/image/media/image5707.wmf),![](./data/image/media/image5708.wmf),![](./data/image/media/image5709.wmf),![](./data/image/media/image5710.wmf),![](./data/image/media/image5711.wmf),![](./data/image/media/image5712.wmf),![](./data/image/media/image5713.wmf),共15种. （ii）解：编号为![](./data/image/media/image5697.wmf)的两名运动员至少有一人被抽到的所有结果为![](./data/image/media/image5702.wmf),![](./data/image/media/image5703.wmf), ![](./data/image/media/image5706.wmf),![](./data/image/media/image5707.wmf), ![](./data/image/media/image5709.wmf),![](./data/image/media/image5710.wmf),![](./data/image/media/image5711.wmf),![](./data/image/media/image5712.wmf),![](./data/image/media/image5713.wmf),共9种, 因此，事件*A*发生的概率![](./data/image/media/image5714.wmf) 16.（13分）△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为![](./data/image/media/image5715.wmf)，![](./data/image/media/image5716.wmf) （I）求a和sinC的值； （II）求![](./data/image/media/image5717.wmf) 的值。 解：（I）在![](./data/image/media/image5718.wmf)中，由![](./data/image/media/image5719.wmf),可得![](./data/image/media/image5720.wmf). 由![](./data/image/media/image5721.wmf), 得bc=24，又由![](./data/image/media/image5722.wmf)，解得b=6,c=4. 由![](./data/image/media/image5723.wmf),可得![](./data/image/media/image5724.wmf)=8. 由![](./data/image/media/image5725.wmf),得![](./data/image/media/image5726.wmf). (II)![](./data/image/media/image5727.wmf) = ![](./data/image/media/image5728.wmf) 17.（13分）如图，已知![](./data/image/media/image5729.wmf)平面ABC，![](./data/image/media/image5730.wmf) AB=AC=3，![](./data/image/media/image5731.wmf),，![](./data/image/media/image5732.wmf) 点E，F分别是BC和![](./data/image/media/image5733.wmf) 的中点， （I）求证：EF![](./data/image/media/image5734.wmf) 平面![](./data/image/media/image5735.wmf) ； （II）求证：平面![](./data/image/media/image5736.wmf)平面![](./data/image/media/image5737.wmf)。 （III）求直线![](./data/image/media/image5738.wmf) 与平面![](./data/image/media/image5737.wmf)所成角的大小。 ![](./data/image/media/image5739.png) 解：（I）证明：如图，连接![](./data/image/media/image5740.wmf).在![](./data/image/media/image5741.wmf)中，因为E和F分别是BC和![](./data/image/media/image5742.wmf)的中点， 所以![](./data/image/media/image5743.wmf).又因为![](./data/image/media/image5744.wmf)平面![](./data/image/media/image5745.wmf), 所以![](./data/image/media/image5746.wmf)平面![](./data/image/media/image5745.wmf)。 ![](./data/image/media/image5747.png) （II）因为*AB*=*AC*,*E*为*BC*中点,所以![](./data/image/media/image5748.wmf), 因为![](./data/image/media/image5729.wmf)平面*ABC*,![](./data/image/media/image5730.wmf)所以![](./data/image/media/image5749.wmf)平面*ABC*, 从而![](./data/image/media/image5750.wmf),又![](./data/image/media/image5751.wmf) ,所以![](./data/image/media/image5752.wmf)平面![](./data/image/media/image5737.wmf) , 又因为![](./data/image/media/image5753.wmf)平面![](./data/image/media/image5754.wmf),所以平面![](./data/image/media/image5736.wmf)平面![](./data/image/media/image5737.wmf). （III）取![](./data/image/media/image5755.wmf)的中点M和![](./data/image/media/image5756.wmf)的中点N,连接![](./data/image/media/image5757.wmf), ![](./data/image/media/image5758.wmf) , ![](./data/image/media/image5759.wmf).因为N和E分别为![](./data/image/media/image5760.wmf)和![](./data/image/media/image5761.wmf)的中点， 所以![](./data/image/media/image5762.wmf), ![](./data/image/media/image5763.wmf),故![](./data/image/media/image5764.wmf),所以![](./data/image/media/image5765.wmf),且![](./data/image/media/image5766.wmf)。 又因为![](./data/image/media/image5767.wmf)![](./data/image/media/image5768.wmf)平面![](./data/image/media/image5769.wmf),所以![](./data/image/media/image5770.wmf)![](./data/image/media/image5768.wmf)![](./data/image/media/image5769.wmf), 从而 ![](./data/image/media/image5771.wmf)为直线![](./data/image/media/image5772.wmf)与平面![](./data/image/media/image5773.wmf)所成的角。 在![](./data/image/media/image5774.wmf)中，可得AE=2，所以![](./data/image/media/image5775.wmf). 因为![](./data/image/media/image5776.wmf),![](./data/image/media/image5777.wmf),![](./data/image/media/image5778.wmf),又由![](./data/image/media/image5779.wmf),有![](./data/image/media/image5780.wmf). 在![](./data/image/media/image5781.wmf)中，可得![](./data/image/media/image5782.wmf)。 在![](./data/image/media/image5783.wmf)中，![](./data/image/media/image5784.wmf),因此![](./data/image/media/image5785.wmf) 所以，直线![](./data/image/media/image5786.wmf)与平面![](./data/image/media/image5787.wmf)所成的角为![](./data/image/media/image5788.wmf). 18.（13分）已知![](./data/image/media/image5789.wmf)是各项均为正数的等比数列，![](./data/image/media/image5790.wmf)是等差数列，且![](./data/image/media/image5791.wmf),![](./data/image/media/image5792.wmf). (1)求![](./data/image/media/image5789.wmf)和![](./data/image/media/image5790.wmf)的通项公式； (2)设![](./data/image/media/image5793.wmf),求数列![](./data/image/media/image5794.wmf)的前n项和. 解：（I）设数列![](./data/image/media/image5789.wmf)的公比为*q*,数列![](./data/image/media/image5790.wmf)的公差为*d*,由题意![](./data/image/media/image5795.wmf) , 由已知,有![](./data/image/media/image5796.wmf) 消去*d，*整数得![](./data/image/media/image5797.wmf) 又因为![](./data/image/media/image5798.wmf)＞0，解得![](./data/image/media/image5799.wmf) , 所以![](./data/image/media/image5789.wmf)的通项公式为![](./data/image/media/image5800.wmf), 数列![](./data/image/media/image5790.wmf)的通项公式为![](./data/image/media/image5801.wmf). （II）由（I）有![](./data/image/media/image5802.wmf) ,设![](./data/image/media/image5794.wmf)的前n项和为![](./data/image/media/image5803.wmf) , 则![](./data/image/media/image5804.wmf) ![](./data/image/media/image5805.wmf) 两式相减得![](./data/image/media/image5806.wmf) 所以![](./data/image/media/image5807.wmf) . 19\. （14分）已知椭圆![](./data/image/media/image5808.wmf)的上顶点为B，左焦点为![](./data/image/media/image5809.wmf),离心率为![](./data/image/media/image5810.wmf). (1)求直线BF的斜率； (2)设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），故点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B）直线PQ与x轴交于点M，![](./data/image/media/image5811.wmf). (i)求![](./data/image/media/image5812.wmf)的值； (ii)若![](./data/image/media/image5813.wmf)，求椭圆的方程. 解：（I）设![](./data/image/media/image5814.wmf)，由已知离心率![](./data/image/media/image5815.wmf)及![](./data/image/media/image5816.wmf) 又因为![](./data/image/media/image5817.wmf) ,故直线BF的斜率![](./data/image/media/image5818.wmf) （II）设点![](./data/image/media/image5819.wmf) , （i）由（I）可得椭圆方程为![](./data/image/media/image5820.wmf) 直线BF的方程为![](./data/image/media/image5821.wmf) , 将直线方程与椭圆方程联立，消去y，得![](./data/image/media/image5822.wmf) 解得![](./data/image/media/image5823.wmf) .因为![](./data/image/media/image5824.wmf), 所以直线*BQ*方程为![](./data/image/media/image5825.wmf) ,与椭圆方程联立，消去y， 整得![](./data/image/media/image5826.wmf) ,解得![](./data/image/media/image5827.wmf) . 又因为![](./data/image/media/image5828.wmf) ,及![](./data/image/media/image5829.wmf) ，可得![](./data/image/media/image5830.wmf) （ii）解：由（i）有![](./data/image/media/image5831.wmf),所以![](./data/image/media/image5832.wmf), 即![](./data/image/media/image5833.wmf) ,又因为![](./data/image/media/image5834.wmf), 所以![](./data/image/media/image5835.wmf)=![](./data/image/media/image5836.wmf). 又因为![](./data/image/media/image5837.wmf), 所以![](./data/image/media/image5838.wmf), 因此![](./data/image/media/image5839.wmf) 所以椭圆方程为![](./data/image/media/image5840.wmf) 20\. （14分）已知函数![](./data/image/media/image5841.wmf) (1)求![](./data/image/media/image5842.wmf)的单调性； (2)设曲线![](./data/image/media/image5843.wmf)与![](./data/image/media/image5844.wmf)轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为![](./data/image/media/image5845.wmf)，求证：对于任意的正实数![](./data/image/media/image5844.wmf)，都有![](./data/image/media/image5846.wmf); (3)若方程![](./data/image/media/image5847.wmf)有两个正实数根![](./data/image/media/image5848.wmf)且![](./data/image/media/image5849.wmf)，求证：![](./data/image/media/image5850.wmf). 解：（I）由![](./data/image/media/image5851.wmf),可得![](./data/image/media/image5852.wmf), 当![](./data/image/media/image5853.wmf) ,即![](./data/image/media/image5854.wmf) 时,函数![](./data/image/media/image5855.wmf) 单调递增； 当![](./data/image/media/image5856.wmf) ,即![](./data/image/media/image5857.wmf) 时,函数![](./data/image/media/image5855.wmf) 单调递减. 所以函数![](./data/image/media/image5855.wmf) 的单调递增区间是![](./data/image/media/image5858.wmf) ,单调递减区间是![](./data/image/media/image5859.wmf). （II）设点P的坐标为![](./data/image/media/image5860.wmf)，则![](./data/image/media/image5861.wmf) ,![](./data/image/media/image5862.wmf) 曲线![](./data/image/media/image5863.wmf) 在点*P*处的切线方程为![](./data/image/media/image5864.wmf) , 即![](./data/image/media/image5865.wmf),令函数![](./data/image/media/image5866.wmf) 即![](./data/image/media/image5867.wmf) 则![](./data/image/media/image5868.wmf). 由于![](./data/image/media/image5869.wmf)在![](./data/image/media/image5870.wmf)上单调递减, 故![](./data/image/media/image5871.wmf)在![](./data/image/media/image5870.wmf)上单调递减,又因为![](./data/image/media/image5872.wmf), 所以当![](./data/image/media/image5873.wmf)时,![](./data/image/media/image5874.wmf), 当![](./data/image/media/image5875.wmf)时,![](./data/image/media/image5876.wmf),所以![](./data/image/media/image5877.wmf) 在![](./data/image/media/image5878.wmf)单调递增,在![](./data/image/media/image5879.wmf)单调递减, 所以对于任意的实数*x*,![](./data/image/media/image5880.wmf)， 即对于任意的正实数![](./data/image/media/image5844.wmf),都有![](./data/image/media/image5846.wmf). （III）由（II）知![](./data/image/media/image5881.wmf)。 设方程![](./data/image/media/image5882.wmf)的根为![](./data/image/media/image5883.wmf)，可得![](./data/image/media/image5884.wmf)。 因为![](./data/image/media/image5885.wmf)在![](./data/image/media/image5886.wmf)上单调递减， 又由（II）知![](./data/image/media/image5887.wmf)，因此![](./data/image/media/image5888.wmf)＞![](./data/image/media/image5889.wmf)。 类似地，设曲线![](./data/image/media/image5890.wmf)在原点处的切线方程为![](./data/image/media/image5891.wmf)， 可得![](./data/image/media/image5892.wmf)，对于任意的![](./data/image/media/image5893.wmf)， 有![](./data/image/media/image5894.wmf)，即![](./data/image/media/image5895.wmf). 设方程![](./data/image/media/image5896.wmf)的根为![](./data/image/media/image5897.wmf)，可得![](./data/image/media/image5898.wmf)=![](./data/image/media/image5899.wmf).因为![](./data/image/media/image5900.wmf)， 对于任意的![](./data/image/media/image5901.wmf)，有![](./data/image/media/image5902.wmf)![](./data/image/media/image5903.wmf)，即![](./data/image/media/image5904.wmf). 设方程![](./data/image/media/image5905.wmf)的根为![](./data/image/media/image5906.wmf)，可得![](./data/image/media/image5907.wmf). 因为![](./data/image/media/image5908.wmf)在![](./data/image/media/image5909.wmf)上单调递增，且![](./data/image/media/image5910.wmf)， 因此![](./data/image/media/image5911.wmf).由此可得![](./data/image/media/image5912.wmf) **绝密★启用前** 2015年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（山东卷） 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. **第I卷（共50分）** **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** （1）已知集合![](./data/image/media/image5913.wmf) ，![](./data/image/media/image5914.wmf) ，则![](./data/image/media/image5915.wmf)【C】 （A）![](./data/image/media/image5916.wmf) （B）![](./data/image/media/image5917.wmf) （C）![](./data/image/media/image5918.wmf) （D）![](./data/image/media/image5919.wmf) （2）若复数![](./data/image/media/image5920.wmf) 满足![](./data/image/media/image5921.wmf) ，其中![](./data/image/media/image5922.wmf) 为虚数单位，则![](./data/image/media/image5923.wmf)【A】 （A）![](./data/image/media/image5924.wmf) （B）![](./data/image/media/image5925.wmf) （C）![](./data/image/media/image5926.wmf) （D）![](./data/image/media/image5927.wmf) （3）设![](./data/image/media/image5928.wmf) ，则![](./data/image/media/image5929.wmf) 的大小关系是【C】 （A）![](./data/image/media/image5930.wmf) （B）![](./data/image/media/image5931.wmf) （C）![](./data/image/media/image5932.wmf) （D）![](./data/image/media/image5933.wmf) （4）要得到函数![](./data/image/media/image5934.wmf)的图象，只需将函数![](./data/image/media/image5935.wmf)的图象【B】 （A）向左平移![](./data/image/media/image5936.wmf)个单位 （B）向右平移![](./data/image/media/image5936.wmf)个单位 （C）向左平移![](./data/image/media/image5937.wmf)个单位 （D）向右平移![](./data/image/media/image5938.wmf)个单位 （5）设![](./data/image/media/image5939.wmf) ，命题"若![](./data/image/media/image5940.wmf) ，则方程![](./data/image/media/image5941.wmf) 有实根"的逆否命题是【D】 （A）若方程![](./data/image/media/image5941.wmf)有实根，则![](./data/image/media/image5942.wmf) （B） 若方程![](./data/image/media/image5941.wmf)有实根，则![](./data/image/media/image5943.wmf) （C） 若方程![](./data/image/media/image5941.wmf)没有实根，则![](./data/image/media/image5942.wmf) （D） 若方程![](./data/image/media/image5941.wmf)没有实根，则![](./data/image/media/image5944.wmf) （6）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图。考虑以下结论: ![](./data/image/media/image5945.png)①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为【B】 （A） ①③ （B） ①④ （C） ②③ （D） ②④ （7）在区间![](./data/image/media/image5946.wmf)上随机地取一个数![](./data/image/media/image5947.wmf) ，则事件"![](./data/image/media/image5948.wmf) "发生的概率为【A】 （A）![](./data/image/media/image5949.wmf) （B）![](./data/image/media/image5950.wmf) （C）![](./data/image/media/image5951.wmf) （D）![](./data/image/media/image5952.wmf) （8）若函数![](./data/image/media/image5953.wmf) 是奇函数，则使![](./data/image/media/image5954.wmf) 成立的![](./data/image/media/image5955.wmf)的取值范围为【C】 （A）![](./data/image/media/image5956.wmf) （B）![](./data/image/media/image5957.wmf) （C）![](./data/image/media/image5958.wmf) （D）![](./data/image/media/image5959.wmf) （9）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为【B】 （A）![](./data/image/media/image5960.wmf) （B）![](./data/image/media/image5961.wmf) （C）![](./data/image/media/image5962.wmf) （D）![](./data/image/media/image5963.wmf) （10）设函数![](./data/image/media/image5964.wmf) 若![](./data/image/media/image5965.wmf) ，则![](./data/image/media/image5966.wmf) 【D】 （A）1 （B）![](./data/image/media/image5967.wmf) （C）![](./data/image/media/image5968.wmf) （D）![](./data/image/media/image5969.wmf) **第II卷（共100分）** 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）执行右边的程序框图，若输入的![](./data/image/media/image5970.wmf) 的值为1，则输出的![](./data/image/media/image5971.wmf)的值是 [13]{.underline} . ![](./data/image/media/image5972.png) （12）若![](./data/image/media/image5973.wmf) 满足约束条件![](./data/image/media/image5974.wmf) 则![](./data/image/media/image5975.wmf)的最大值为 [7]{.underline} . （13）过点![](./data/image/media/image5976.wmf) 作圆![](./data/image/media/image5977.wmf)的两条切线，切点分别为A，B，则![](./data/image/media/image5978.wmf) [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image5979.wmf) [ ]{.underline} . （14）定义运算"![](./data/image/media/image5980.wmf) "：![](./data/image/media/image5981.wmf).当![](./data/image/media/image5982.wmf) 时，![](./data/image/media/image5983.wmf)的最小值为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image5984.wmf) [ ]{.underline} . （15）过双曲线![](./data/image/media/image5985.wmf) 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P，若点P的横坐标为![](./data/image/media/image5986.wmf) 则![](./data/image/media/image5987.wmf) 的离心率为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image5988.wmf) [ ]{.underline} . 三、解答题：本大题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的请况，数据如下表：（单位：人） ---------------- -------------- ---------------- 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 ---------------- -------------- ---------------- （I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； （II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学![](./data/image/media/image5989.wmf)，3名女同学![](./data/image/media/image5990.wmf)，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求![](./data/image/media/image5991.wmf)被选中且![](./data/image/media/image5992.wmf)未被选中的概率。 **解：（I）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，** **故 至少参加上述一个社团的共有**![](./data/image/media/image5993.wmf)**人，** **所以 从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为** ![](./data/image/media/image5994.wmf)**.** > **（II）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有；** > > ![](./data/image/media/image5995.wmf) > > **共15个.** > > **根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.** > > **事件"**![](./data/image/media/image5996.wmf)**被选中且**![](./data/image/media/image5997.wmf)**未被选中"所包含的基本事件有：** > > ![](./data/image/media/image5998.wmf)**共2个.** > > **因此**![](./data/image/media/image5999.wmf)**被选中且**![](./data/image/media/image6000.wmf)**未被选中的概率为**![](./data/image/media/image6001.wmf)**.** （17）（本小题满分12分）![](./data/image/media/image6002.wmf)中，角![](./data/image/media/image6003.wmf)所对的边分别为![](./data/image/media/image6004.wmf)，已知![](./data/image/media/image6005.wmf)，![](./data/image/media/image6006.wmf)，求![](./data/image/media/image6007.wmf)和![](./data/image/media/image6008.wmf)的值. > **解：在**![](./data/image/media/image6009.wmf)**中，由**![](./data/image/media/image6010.wmf)**得**![](./data/image/media/image6011.wmf) > > **因为**![](./data/image/media/image6012.wmf)**，** > > **所以**![](./data/image/media/image6013.wmf) > > **因为**![](./data/image/media/image6014.wmf)**\<**![](./data/image/media/image6015.wmf)**,所以**![](./data/image/media/image6016.wmf)**\<**![](./data/image/media/image6017.wmf)**,可知**![](./data/image/media/image6018.wmf)**为锐角，** > > **所以**![](./data/image/media/image6019.wmf) > > **因此**![](./data/image/media/image6020.wmf) > > ![](./data/image/media/image6021.wmf) > > ![](./data/image/media/image6022.wmf) > > **由**![](./data/image/media/image6023.wmf) > > **可得**![](./data/image/media/image6024.wmf) > > **又**![](./data/image/media/image6025.wmf)**所以**![](./data/image/media/image6026.wmf) （18）（本小题满分12分）如图，三棱台![](./data/image/media/image6027.wmf)中，![](./data/image/media/image6028.wmf)分别为![](./data/image/media/image6029.wmf)的中点. （I）求证：![](./data/image/media/image6030.wmf)平面![](./data/image/media/image6031.wmf)； （II）若![](./data/image/media/image6032.wmf)，求证：平面![](./data/image/media/image6033.wmf)平面![](./data/image/media/image6034.wmf). ![](./data/image/media/image6035.png) > **解：（I）证法一：** > > ![](./data/image/media/image6036.jpeg) **连接**![](./data/image/media/image6037.wmf)**设**![](./data/image/media/image6038.wmf)**，连接**![](./data/image/media/image6039.wmf) > > **在三棱台**![](./data/image/media/image6040.wmf)**中，** > > ![](./data/image/media/image6041.wmf)**为**![](./data/image/media/image6042.wmf)**的中点，** > > **可得DF//GC,DF=GC,** > > **所以四边形DFCG为平行四边形.** > > **则M为CD的中点，又H为BC的中点，** > > **所以HM//BD,** > > **又HM**![](./data/image/media/image6043.wmf)**平面FGH，BD**![](./data/image/media/image6044.wmf)**平面FGH，** > > **所以BD//平面FGH.** **证法二：** **在三棱台DEF**![](./data/image/media/image6045.wmf)**ABC中，** **由BC=2EF，H为BC的中点，** **可得BH//EF,BH=EF,** **所以四边形HBEF为平行四边形，** **可得BE//HF.** **在**![](./data/image/media/image6046.wmf)**中，G为AC的中点，H为BC的中点，** **所以GH//AB.** **又GH**![](./data/image/media/image6047.wmf)**HF=H，** **所以平面FGH//平面ABED，** **因为BD**![](./data/image/media/image6048.wmf)**平面ABED，** ![](./data/image/media/image6049.jpeg) **所以平面BD//平面FGH.** **（II）证明：连接HE.** **因为G，H分别AC，BC的中点，** **所以GH//AB.** **由AB**![](./data/image/media/image6050.wmf)**BC，得GH**![](./data/image/media/image6051.wmf)**BC.** **又H为BC的中点，** **所以EF//HC,EF=HC,** **因此四边形EFCH是平行四边形，** **所以CF//HE,** **又CF**![](./data/image/media/image6052.wmf)**BC，所以HE**![](./data/image/media/image6053.wmf)**BC。** **又HE，GH**![](./data/image/media/image6054.wmf)**平面EGH，HE**![](./data/image/media/image6055.wmf)**GH=H，** **所以BC**![](./data/image/media/image6056.wmf)**平面EGH。** **又BC**![](./data/image/media/image6057.wmf)**平面BCD.** **所以平面BCD**![](./data/image/media/image6058.wmf)**平面EGH.** （19）（本小题满分12分）已知数列![](./data/image/media/image6059.wmf)是首项为正数的等差数列，数列![](./data/image/media/image6060.wmf)的前![](./data/image/media/image6061.wmf)项和为![](./data/image/media/image6062.wmf)。 （I）求数列![](./data/image/media/image6059.wmf)的通项公式； （II）设![](./data/image/media/image6063.wmf)，求数列![](./data/image/media/image6064.wmf)的前![](./data/image/media/image6061.wmf)项和![](./data/image/media/image6065.wmf) . **解：（I）设数列**![](./data/image/media/image6066.wmf)**的公差为**![](./data/image/media/image6067.wmf)**.** **令**![](./data/image/media/image6068.wmf)**，得**![](./data/image/media/image6069.wmf)**，** **所以**![](./data/image/media/image6070.wmf)**.** **令**![](./data/image/media/image6071.wmf)**，得**![](./data/image/media/image6072.wmf)**，** **所以**![](./data/image/media/image6073.wmf)**.** **解得**![](./data/image/media/image6074.wmf)**，**![](./data/image/media/image6075.wmf)**，** **所以**![](./data/image/media/image6076.wmf)**.** **(II)由（I）知**![](./data/image/media/image6077.wmf)**，** **所以**![](./data/image/media/image6078.wmf)**，** **所以**![](./data/image/media/image6079.wmf)**，** **两式相减，得**![](./data/image/media/image6080.wmf) ![](./data/image/media/image6081.wmf) **所以**![](./data/image/media/image6082.wmf) （20）（本小题满分13分）设函数![](./data/image/media/image6083.wmf)，已知曲线![](./data/image/media/image6084.wmf)在点![](./data/image/media/image6085.wmf)处的切线与直线![](./data/image/media/image6086.wmf)平行。 （I）求![](./data/image/media/image6087.wmf)的值； （II）是否存在自然数![](./data/image/media/image6088.wmf)，使的方程![](./data/image/media/image6089.wmf)在![](./data/image/media/image6090.wmf)内存在唯一的根？如果存在，求出![](./data/image/media/image6088.wmf)；如果不存在，请说明理由； （III）设函数![](./data/image/media/image6091.wmf)表示![](./data/image/media/image6092.wmf)中的较小值），求![](./data/image/media/image6093.wmf)的最大值. **解：（I）由题意知，曲线**![](./data/image/media/image6094.wmf)**在点**![](./data/image/media/image6095.wmf)**处的切线斜率为2，** **所以**![](./data/image/media/image6096.wmf)**，** **又**![](./data/image/media/image6097.wmf) **所以**![](./data/image/media/image6098.wmf) **（II）**![](./data/image/media/image6099.wmf)时，方程![](./data/image/media/image6100.wmf)在![](./data/image/media/image6101.wmf)内存在唯一的根. 设![](./data/image/media/image6102.wmf) 当![](./data/image/media/image6103.wmf)时，![](./data/image/media/image6104.wmf). 又![](./data/image/media/image6105.wmf) 所以存在![](./data/image/media/image6106.wmf)，使![](./data/image/media/image6107.wmf). 因为![](./data/image/media/image6108.wmf) 所以当![](./data/image/media/image6109.wmf)时，![](./data/image/media/image6110.wmf)\>1![](./data/image/media/image6111.wmf)![](./data/image/media/image6112.wmf)\>0, 当![](./data/image/media/image6113.wmf)时，![](./data/image/media/image6114.wmf)\>0, 所以当![](./data/image/media/image6115.wmf)时，![](./data/image/media/image6116.wmf)单调递增. 所以![](./data/image/media/image6117.wmf)时，方程![](./data/image/media/image6100.wmf)在![](./data/image/media/image6118.wmf)内存在唯一的根. **（III）**由**（II）**知 方程![](./data/image/media/image6100.wmf)在![](./data/image/media/image6119.wmf)内存在唯一的根![](./data/image/media/image6120.wmf)， 且![](./data/image/media/image6121.wmf)时，![](./data/image/media/image6122.wmf)， ![](./data/image/media/image6123.wmf)时，![](./data/image/media/image6124.wmf)， 得到![](./data/image/media/image6125.wmf). 当![](./data/image/media/image6121.wmf)时，若![](./data/image/media/image6126.wmf)![](./data/image/media/image6127.wmf) 若![](./data/image/media/image6128.wmf)由![](./data/image/media/image6129.wmf)\>0, 可知0\<![](./data/image/media/image6130.wmf) 故![](./data/image/media/image6130.wmf) 当![](./data/image/media/image6131.wmf)时![](./data/image/media/image6132.png)，![](./data/image/media/image6133.wmf)![](./data/image/media/image6134.wmf) 可得![](./data/image/media/image6135.wmf)时，![](./data/image/media/image6136.wmf)单调递增； ![](./data/image/media/image6137.wmf)时，![](./data/image/media/image6138.wmf)单调递减； 可知![](./data/image/media/image6139.wmf)且![](./data/image/media/image6140.wmf). 综上可得函数![](./data/image/media/image6141.wmf)的最大值为![](./data/image/media/image6142.wmf). （21）（本小题满分14分）在平面直角坐标系![](./data/image/media/image6143.wmf)中，已知椭圆![](./data/image/media/image6144.wmf)的离心率为![](./data/image/media/image6145.wmf)，且点![](./data/image/media/image6146.wmf)在椭圆![](./data/image/media/image6147.wmf)上。 （I）求椭圆![](./data/image/media/image6147.wmf)的方程； （II）设椭圆![](./data/image/media/image6148.wmf)，![](./data/image/media/image6149.wmf)为椭圆![](./data/image/media/image6147.wmf)上任意一点，过点![](./data/image/media/image6150.wmf)的直线![](./data/image/media/image6151.wmf)交椭圆E于![](./data/image/media/image6152.wmf)两点，射线![](./data/image/media/image6153.wmf)交椭圆E于点![](./data/image/media/image6154.wmf)。 > （i）求![](./data/image/media/image6155.wmf)的值； > > （ii）求![](./data/image/media/image6156.wmf)面积的最大值。 **解：（I）**由题意知![](./data/image/media/image6157.wmf) 又![](./data/image/media/image6158.wmf)，解得![](./data/image/media/image6159.wmf). 所以椭圆C的方程为![](./data/image/media/image6160.wmf) II. **由**（I）知椭圆E的方程为![](./data/image/media/image6161.wmf). （i）设![](./data/image/media/image6162.wmf) > 由题意知![](./data/image/media/image6163.wmf). > > 因为![](./data/image/media/image6164.wmf) > > 又![](./data/image/media/image6165.wmf)，即![](./data/image/media/image6166.wmf) > > 所以![](./data/image/media/image6167.wmf)，即![](./data/image/media/image6168.wmf) > > （ii![](./data/image/media/image6132.png)）设![](./data/image/media/image6132.png)![](./data/image/media/image6169.wmf) > > 将![](./data/image/media/image6170.wmf)代入椭圆E的方程， > > 可得![](./data/image/media/image6171.wmf)， > > 由![](./data/image/media/image6172.wmf)可得![](./data/image/media/image6173.wmf)........................① > > 则有![](./data/image/media/image6174.wmf) > > 所以![](./data/image/media/image6175.wmf) > > 因为直线![](./data/image/media/image6170.wmf)与![](./data/image/media/image6176.wmf)轴交点的坐标为![](./data/image/media/image6177.wmf)， > > 所以![](./data/image/media/image6178.wmf)的面积![](./data/image/media/image6179.wmf)![](./data/image/media/image6180.wmf) > > 设![](./data/image/media/image6181.wmf)将![](./data/image/media/image6170.wmf)代入椭圆C的方程， > > 可得![](./data/image/media/image6182.wmf)， > > 由![](./data/image/media/image6183.wmf)可得![](./data/image/media/image6184.wmf)........................② > > 由①②可知![](./data/image/media/image6185.wmf)\< t![](./data/image/media/image6186.wmf), > > 因此![](./data/image/media/image6187.wmf) > > 故![](./data/image/media/image6188.wmf). > > 当且仅当![](./data/image/media/image6189.wmf)，即![](./data/image/media/image6190.wmf)时取得最大值![](./data/image/media/image6191.wmf) > > 由（i）知，![](./data/image/media/image6192.wmf)的面积为![](./data/image/media/image6193.wmf)， > > 所以![](./data/image/media/image6192.wmf)面积的最大值为![](./data/image/media/image6194.wmf) **绝密★启用前** 2014年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（全国Ⅰ卷） 1. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合![](./data/image/media/image6195.wmf)，则![](./data/image/media/image6196.wmf)【B】 A. ![](./data/image/media/image6197.wmf) B. ![](./data/image/media/image6198.wmf) C. ![](./data/image/media/image6199.wmf) D. ![](./data/image/media/image6200.wmf) ```{=html} <!-- --> ``` 2. 若![](./data/image/media/image6201.wmf)，则【A】 ```{=html} <!-- --> ``` A. ![](./data/image/media/image6202.wmf) B. ![](./data/image/media/image6203.wmf) C. ![](./data/image/media/image6204.wmf) D. ![](./data/image/media/image6205.wmf) ```{=html} <!-- --> ``` 3. 设![](./data/image/media/image6206.wmf)，则![](./data/image/media/image6207.wmf)【B】 A. ![](./data/image/media/image6208.wmf) B. ![](./data/image/media/image6209.wmf) C. ![](./data/image/media/image6210.wmf) D. 2 （4）已知双曲线![](./data/image/media/image6211.wmf)的离心率为2，则![](./data/image/media/image6212.wmf)【D】 A. 2 B. ![](./data/image/media/image6213.wmf) C. ![](./data/image/media/image6214.wmf) D. 1 5. 设函数![](./data/image/media/image6215.wmf)的定义域为![](./data/image/media/image6216.wmf)，且![](./data/image/media/image6217.wmf)是奇函数，![](./data/image/media/image6218.wmf)是偶函数，则下列结论中正确的是【A】 ```{=html} <!-- --> ``` A. ![](./data/image/media/image6219.wmf)是偶函数 B. ![](./data/image/media/image6220.wmf) 是奇函数 C. ![](./data/image/media/image6221.wmf) 是奇函数 D. ![](./data/image/media/image6222.wmf)是奇函数 6. 设![](./data/image/media/image6223.wmf)分别为![](./data/image/media/image6224.wmf)的三边![](./data/image/media/image6225.wmf)的中点，则![](./data/image/media/image6226.wmf)【C】 ```{=html} <!-- --> ``` A. ![](./data/image/media/image6227.wmf) B. ![](./data/image/media/image6228.wmf) C. ![](./data/image/media/image6229.wmf) D. ![](./data/image/media/image6230.wmf) ```{=html} <!-- --> ``` 7. 在函数①![](./data/image/media/image6231.wmf)，②![](./data/image/media/image6232.wmf) ，③![](./data/image/media/image6233.wmf),④![](./data/image/media/image6234.wmf)中，最小正周期为![](./data/image/media/image6235.wmf)的所有函数为【C】 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是【B】 A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 ![](./data/image/media/image6236.png) 9.执行右面的程序框图，若输入的![](./data/image/media/image6237.wmf)分别为1,2,3，则输出的![](./data/image/media/image6238.wmf)【D】 A.![](./data/image/media/image6239.wmf) B.![](./data/image/media/image6240.wmf) C.![](./data/image/media/image6241.wmf) D.![](./data/image/media/image6242.wmf) ![](./data/image/media/image6243.png) 10. 已知抛物线C：![](./data/image/media/image6244.wmf)的焦点为![](./data/image/media/image6245.wmf),![](./data/image/media/image6246.wmf)是C上一点，zxxk![](./data/image/media/image6247.wmf)，则![](./data/image/media/image6248.wmf)【C】 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 11. 设![](./data/image/media/image6249.wmf)，![](./data/image/media/image6250.wmf)满足约束条件![](./data/image/media/image6251.wmf)且![](./data/image/media/image6252.wmf)的最小值为7，则![](./data/image/media/image6253.wmf)【B】 （A）-5 （B）3 （C）-5或3 （D）5或-3 12. 已知函数![](./data/image/media/image6254.wmf)，若![](./data/image/media/image6255.wmf)存在唯一的零点![](./data/image/media/image6256.wmf)，且![](./data/image/media/image6257.wmf)，则![](./data/image/media/image6258.wmf)的取值 范围是【A】 ```{=html} <!-- --> ``` A. ![](./data/image/media/image6259.wmf) （B）![](./data/image/media/image6260.wmf) （C）![](./data/image/media/image6261.wmf) （D）![](./data/image/media/image6262.wmf) 第![](./data/image/media/image6263.wmf)II 卷 2. 填空题：本大题共4小题，每小题5分. （13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为\_\_\_\_![](./data/image/media/image6264.wmf)\_\_\_\_. 14. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过![](./data/image/media/image6265.wmf)、![](./data/image/media/image6266.wmf)、![](./data/image/media/image6267.wmf)三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过![](./data/image/media/image6266.wmf)城市； 乙说：我没去过![](./data/image/media/image6268.wmf)城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为\_\_\_\_A\_\_\_\_. （15）设函数![](./data/image/media/image6269.wmf)则使得![](./data/image/media/image6270.wmf)成立的![](./data/image/media/image6271.wmf)的取值范围是\_\_\_![](./data/image/media/image6272.wmf) \_\_\_\_\_. （16）如图，为测量山高![](./data/image/media/image6273.wmf)，选择![](./data/image/media/image6265.wmf)和另一座山的山顶![](./data/image/media/image6274.wmf)为测量观测点.从![](./data/image/media/image6265.wmf)点测得 ![](./data/image/media/image6275.wmf)点的仰角![](./data/image/media/image6276.wmf)，![](./data/image/media/image6277.wmf)点的仰角![](./data/image/media/image6278.wmf)以及![](./data/image/media/image6279.wmf)；从![](./data/image/media/image6277.wmf)点测得![](./data/image/media/image6280.wmf).已知山高![](./data/image/media/image6281.wmf)，则山高![](./data/image/media/image6282.wmf)\_\_\_\_150\_\_\_\_![](./data/image/media/image6283.wmf). ![](./data/image/media/image6284.jpeg) 3. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ```{=html} <!-- --> ``` 17. （本小题满分12分）已知![](./data/image/media/image6285.wmf)是递增的等差数列，![](./data/image/media/image6286.wmf)，![](./data/image/media/image6287.wmf)是方程![](./data/image/media/image6288.wmf)的根。 （I）求![](./data/image/media/image6285.wmf)的通项公式； （II）求数列![](./data/image/media/image6289.wmf)的前![](./data/image/media/image6290.wmf)项和. 解：（I）方程![](./data/image/media/image6291.wmf)的两根为2,3，由题意得![](./data/image/media/image6292.wmf) 设数列![](./data/image/media/image6285.wmf)的公差为d，则![](./data/image/media/image6293.wmf) 故![](./data/image/media/image6294.wmf)从而![](./data/image/media/image6295.wmf) 所以![](./data/image/media/image6285.wmf)的通项公式为![](./data/image/media/image6296.wmf) . （II）设![](./data/image/media/image6289.wmf)的前n项和为![](./data/image/media/image6297.wmf)由（I）知![](./data/image/media/image6298.wmf) 则![](./data/image/media/image6299.wmf) ![](./data/image/media/image6300.wmf) 两式相减得 ![](./data/image/media/image6301.wmf) ![](./data/image/media/image6302.wmf) 所以![](./data/image/media/image6303.wmf) 18. （本小题满分12分） 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表： ---------------- ----------- ----------- ------------ ------------- ------------- 质量指标值分组 \[75，85) \[85，95) \[95，105) \[105，115) \[115，125) 频数 6 26 38 22 8 ---------------- ----------- ----------- ------------ ------------- ------------- （I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图： ![](./data/image/media/image6304.jpeg) （II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合"质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%"的规定？ 解：（I） ![](./data/image/media/image6305.png) （II）质量指标值的样本平均数为 ![](./data/image/media/image6306.wmf)80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08 =100. 质量指标值的样本方差为 ![](./data/image/media/image6307.wmf) =104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104. （III）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合"质量指标值不低于 95的产品至少要占全部产品80%"的规定. 19.(本题满分12分)如图，三棱柱![](./data/image/media/image6308.wmf)中，侧面![](./data/image/media/image6309.wmf)为菱形，![](./data/image/media/image6310.wmf)zxxk的中点为![](./data/image/media/image6311.wmf)，且![](./data/image/media/image6312.wmf)平面![](./data/image/media/image6309.wmf). 1. 证明：![](./data/image/media/image6313.wmf) 2. 若![](./data/image/media/image6314.wmf),![](./data/image/media/image6315.wmf)求三棱柱![](./data/image/media/image6308.wmf)的高. ![](./data/image/media/image6316.jpeg) 解：（I）连接![](./data/image/media/image6317.wmf)，则O为![](./data/image/media/image6318.wmf)与![](./data/image/media/image6319.wmf)的交点.因为侧面![](./data/image/media/image6320.wmf)为菱形， 所以![](./data/image/media/image6321.wmf) 又![](./data/image/media/image6322.wmf)平面![](./data/image/media/image6323.wmf)，所以![](./data/image/media/image6324.wmf)，故![](./data/image/media/image6325.wmf)平面ABO. 由于![](./data/image/media/image6326.wmf)平面ABO，故![](./data/image/media/image6327.wmf) （II）作![](./data/image/media/image6328.wmf)，垂足为D，连接AD.作![](./data/image/media/image6329.wmf)，垂足为H. 由于![](./data/image/media/image6330.wmf)，![](./data/image/media/image6331.wmf)，故![](./data/image/media/image6332.wmf)平面AOD， 所以![](./data/image/media/image6333.wmf).又![](./data/image/media/image6334.wmf)，所以![](./data/image/media/image6335.wmf)平面ABC. ![](./data/image/media/image6336.png) 因为![](./data/image/media/image6337.wmf)，所以![](./data/image/media/image6338.wmf)为等边三角形，又BC=1， 可得![](./data/image/media/image6339.wmf).由于![](./data/image/media/image6340.wmf) ，所以![](./data/image/media/image6341.wmf) 由![](./data/image/media/image6342.wmf)，且![](./data/image/media/image6343.wmf)，得![](./data/image/media/image6344.wmf) 又O为![](./data/image/media/image6345.wmf)的中点，所以点![](./data/image/media/image6346.wmf)到平面 ABC的距离为![](./data/image/media/image6347.wmf)。 故三棱柱![](./data/image/media/image6348.wmf)的距离为![](./data/image/media/image6347.wmf). 20. （本小题满分12分）已知点![](./data/image/media/image6349.wmf)，圆![](./data/image/media/image6350.wmf):![](./data/image/media/image6351.wmf)，过点![](./data/image/media/image6352.wmf)的动直线![](./data/image/media/image6353.wmf)与圆![](./data/image/media/image6354.wmf)交于![](./data/image/media/image6355.wmf)两点，线段![](./data/image/media/image6356.wmf)的中点为![](./data/image/media/image6357.wmf)，![](./data/image/media/image6358.wmf)为坐标原点. ```{=html} <!-- --> ``` 1. 求![](./data/image/media/image6359.wmf)的轨迹方程； 2. 当![](./data/image/media/image6360.wmf)时，求![](./data/image/media/image6361.wmf)的方程及![](./data/image/media/image6362.wmf)的面积 解：（I）圆C的方程可化为![](./data/image/media/image6363.wmf)， 所以圆心为![](./data/image/media/image6364.wmf)，半径为4， 设![](./data/image/media/image6365.wmf)，则![](./data/image/media/image6366.wmf)，![](./data/image/media/image6367.wmf)， 由题设知![](./data/image/media/image6368.wmf)，故![](./data/image/media/image6369.wmf)， 即![](./data/image/media/image6370.wmf). 由于点P在圆C的内部， 所以M的轨迹方程是![](./data/image/media/image6371.wmf). （II）由（1）可知M的轨迹是以点![](./data/image/media/image6372.wmf)为圆心，![](./data/image/media/image6373.wmf)为半径的圆. 由于![](./data/image/media/image6374.wmf)，故O在线段PM的垂直平分线上， 又P在圆N上，从而![](./data/image/media/image6375.wmf). 因为ON的斜率为3，所以![](./data/image/media/image6376.wmf)的斜率为![](./data/image/media/image6377.wmf)， 故![](./data/image/media/image6376.wmf)的方程为![](./data/image/media/image6378.wmf). 又![](./data/image/media/image6379.wmf)，O到![](./data/image/media/image6376.wmf)的距离为![](./data/image/media/image6380.wmf)，![](./data/image/media/image6381.wmf)， 所以![](./data/image/media/image6382.wmf)的面积为![](./data/image/media/image6383.wmf). 21.（本小题满分12分）设函数![](./data/image/media/image6384.wmf)，曲线![](./data/image/media/image6385.wmf)处的切线斜率为0 1. 求b; 2. 若存在![](./data/image/media/image6386.wmf)使得![](./data/image/media/image6387.wmf)，求a的取值范围。 解：（I）![](./data/image/media/image6388.wmf)， 由题设知![](./data/image/media/image6389.wmf)， 解得![](./data/image/media/image6390.wmf). （II）![](./data/image/media/image6391.wmf)的定义域为![](./data/image/media/image6392.wmf)，由（1）知，![](./data/image/media/image6393.wmf)， ![](./data/image/media/image6394.wmf)， （ⅰ）若![](./data/image/media/image6395.wmf)，则![](./data/image/media/image6396.wmf)，故当![](./data/image/media/image6397.wmf)时，![](./data/image/media/image6398.wmf)，![](./data/image/media/image6399.wmf)在![](./data/image/media/image6400.wmf)单调递增， 所以，存在![](./data/image/media/image6401.wmf)，使得![](./data/image/media/image6402.wmf)的充要条件为![](./data/image/media/image6403.wmf)， 即![](./data/image/media/image6404.wmf)， 解得![](./data/image/media/image6405.wmf). （ii）若![](./data/image/media/image6406.wmf)，则![](./data/image/media/image6407.wmf)，故当![](./data/image/media/image6408.wmf)时，![](./data/image/media/image6409.wmf)； 当![](./data/image/media/image6410.wmf)时，![](./data/image/media/image6398.wmf)，![](./data/image/media/image6399.wmf)在![](./data/image/media/image6411.wmf)单调递减，在![](./data/image/media/image6412.wmf)单调递增. 所以，存在![](./data/image/media/image6401.wmf)，使得![](./data/image/media/image6402.wmf)的充要条件为![](./data/image/media/image6413.wmf)， 而![](./data/image/media/image6414.wmf)，所以不合题意. （iii）若![](./data/image/media/image6415.wmf)，则![](./data/image/media/image6416.wmf). 综上，a的取值范围是![](./data/image/media/image6417.wmf). 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号. 22. （本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲 如图，四边形![](./data/image/media/image6418.wmf)是![](./data/image/media/image6419.wmf)的内接四边形，![](./data/image/media/image6420.wmf)的延长线与![](./data/image/media/image6421.wmf)的延长线交于点![](./data/image/media/image6422.wmf)，且![](./data/image/media/image6423.wmf). （I）证明：![](./data/image/media/image6424.wmf)； （II）设![](./data/image/media/image6425.wmf)不是![](./data/image/media/image6419.wmf)的直径，![](./data/image/media/image6425.wmf)的中点为![](./data/image/media/image6426.wmf)，且![](./data/image/media/image6427.wmf)，证明：![](./data/image/media/image6428.wmf)为等边三角形. ![](./data/image/media/image6429.jpeg) 解：（I）由题设知A，B，C，D四点共圆， 所以![](./data/image/media/image6430.wmf)， 由已知得![](./data/image/media/image6431.wmf)， 故![](./data/image/media/image6432.wmf) （II）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知![](./data/image/media/image6433.wmf)， 故O在直线MN上. 又AD不是![](./data/image/media/image6434.wmf)的直径，M为AD的中点， 故![](./data/image/media/image6435.wmf)，即![](./data/image/media/image6436.wmf) ![](./data/image/media/image6437.png) 所以![](./data/image/media/image6438.wmf)，故![](./data/image/media/image6439.wmf) 又![](./data/image/media/image6440.wmf)，故![](./data/image/media/image6441.wmf)由（I）知，![](./data/image/media/image6442.wmf)， 所以![](./data/image/media/image6443.wmf)为等边三角形. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线![](./data/image/media/image6444.wmf)，直线![](./data/image/media/image6445.wmf)（![](./data/image/media/image6446.wmf)为参数） 1. 写出曲线![](./data/image/media/image6447.wmf)的参数方程，直线![](./data/image/media/image6448.wmf)的普通方程； 2. 过曲线![](./data/image/media/image6447.wmf)上任意一点![](./data/image/media/image6449.wmf)作与![](./data/image/media/image6448.wmf)夹角为30°的直线，交![](./data/image/media/image6448.wmf)于点![](./data/image/media/image6450.wmf)，求![](./data/image/media/image6451.wmf)的最大值与最小值. 解：（I）曲线C的参数方程为![](./data/image/media/image6452.wmf)（![](./data/image/media/image6453.wmf)为参数） 直线![](./data/image/media/image6448.wmf)的普通方程为![](./data/image/media/image6454.wmf) （II）曲线C上任意一点![](./data/image/media/image6455.wmf)到![](./data/image/media/image6448.wmf)的距离为 > ![](./data/image/media/image6456.wmf) > > 则![](./data/image/media/image6457.wmf)，其中![](./data/image/media/image6458.wmf)为锐角，且![](./data/image/media/image6459.wmf) > > 当![](./data/image/media/image6460.wmf)时，![](./data/image/media/image6461.wmf)取得最大值，最大值为![](./data/image/media/image6462.wmf) 当![](./data/image/media/image6463.wmf)时，![](./data/image/media/image6461.wmf)取得最小值，最小值为![](./data/image/media/image6464.wmf) 24. （本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 若![](./data/image/media/image6465.wmf)且![](./data/image/media/image6466.wmf) （I）求![](./data/image/media/image6467.wmf)的最小值； （II）是否存在![](./data/image/media/image6468.wmf)，使得![](./data/image/media/image6469.wmf)？并说明理由. 解：（I）由![](./data/image/media/image6470.wmf)，得![](./data/image/media/image6471.wmf)，当且仅当![](./data/image/media/image6472.wmf)时等号成立. 故![](./data/image/media/image6473.wmf)，且当![](./data/image/media/image6474.wmf)时等号成立. 所以![](./data/image/media/image6475.wmf)的最小值为![](./data/image/media/image6476.wmf). （II）由（I）知，![](./data/image/media/image6477.wmf) 由于![](./data/image/media/image6478.wmf)，从而不存在![](./data/image/media/image6479.wmf)，使得![](./data/image/media/image6480.wmf)。 **绝密★启用前** 2014年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（全国II卷） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合![](./data/image/media/image6481.wmf),则![](./data/image/media/image6482.wmf)【B】 A.![](./data/image/media/image6483.wmf) B. ![](./data/image/media/image6484.wmf) C. ![](./data/image/media/image6485.wmf) D. ![](./data/image/media/image6486.wmf) （2）![](./data/image/media/image6487.wmf)【B】 A.![](./data/image/media/image6488.wmf) B. ![](./data/image/media/image6489.wmf) C. ![](./data/image/media/image6490.wmf) D. ![](./data/image/media/image6491.wmf) 3. 函数![](./data/image/media/image6492.wmf)在![](./data/image/media/image6493.wmf)处导数存在，若![](./data/image/media/image6494.wmf)：![](./data/image/media/image6495.wmf)是![](./data/image/media/image6492.wmf)的极值点，则【C】 A．![](./data/image/media/image6496.wmf)是![](./data/image/media/image6497.wmf)的充分必要条件 B. ![](./data/image/media/image6496.wmf)是![](./data/image/media/image6497.wmf)的充分条件，但不是![](./data/image/media/image6497.wmf)的必要条件 C. ![](./data/image/media/image6496.wmf)是![](./data/image/media/image6497.wmf)的必要条件，但不是![](./data/image/media/image6497.wmf)的充分条件 D. ![](./data/image/media/image6496.wmf)既不是![](./data/image/media/image6497.wmf)的充分条件，也不是![](./data/image/media/image6497.wmf)的必要条件 4. 设向量![](./data/image/media/image6498.wmf)满足![](./data/image/media/image6499.wmf)，![](./data/image/media/image6500.wmf)，则![](./data/image/media/image6501.wmf)=【A】 ```{=html} <!-- --> ``` A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 （5）等差数列![](./data/image/media/image6502.wmf)的公差是2，若![](./data/image/media/image6503.wmf)成等比数列，则![](./data/image/media/image6502.wmf)的前![](./data/image/media/image6504.wmf)项和![](./data/image/media/image6505.wmf)【A】 A. ![](./data/image/media/image6506.wmf) B. ![](./data/image/media/image6507.wmf) C. ![](./data/image/media/image6508.wmf) D. ![](./data/image/media/image6509.wmf) （6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为【C】 A. ![](./data/image/media/image6510.wmf) B.![](./data/image/media/image6511.wmf) C.![](./data/image/media/image6512.wmf) D.![](./data/image/media/image6513.wmf) ![](./data/image/media/image6514.png) 7. 正三棱柱![](./data/image/media/image6515.wmf)的底面边长为![](./data/image/media/image6516.wmf)，侧棱长为![](./data/image/media/image6517.wmf)，![](./data/image/media/image6518.wmf)为![](./data/image/media/image6519.wmf)中点，则三棱锥 ![](./data/image/media/image6520.wmf)的体积为【C】 （A）![](./data/image/media/image6521.wmf) （B）![](./data/image/media/image6522.wmf) （C）![](./data/image/media/image6523.wmf) （D）![](./data/image/media/image6524.wmf) 8. 执行右面的程序框图，如果输入的![](./data/image/media/image6525.wmf)，![](./data/image/media/image6526.wmf)均为![](./data/image/media/image6527.wmf)，则输出的![](./data/image/media/image6528.wmf)【D】 （A）![](./data/image/media/image6529.wmf) （B）![](./data/image/media/image6530.wmf) （C）![](./data/image/media/image6531.wmf) （D）![](./data/image/media/image6532.wmf) ![](./data/image/media/image6533.jpeg) 9. 设![](./data/image/media/image6525.wmf)，![](./data/image/media/image6534.wmf)满足约束条件![](./data/image/media/image6535.wmf)则![](./data/image/media/image6536.wmf)的最大值为【B】 （A）![](./data/image/media/image6537.wmf) （B）![](./data/image/media/image6538.wmf) （C）![](./data/image/media/image6539.wmf) （D）![](./data/image/media/image6540.wmf) （10）设![](./data/image/media/image6541.wmf)为抛物线![](./data/image/media/image6542.wmf)的焦点，过![](./data/image/media/image6541.wmf)且倾斜角为![](./data/image/media/image6543.wmf)的直线交![](./data/image/media/image6544.wmf)于![](./data/image/media/image6545.wmf),![](./data/image/media/image6546.wmf)两点，则 ![](./data/image/media/image6547.wmf)【C】 （A）![](./data/image/media/image6548.wmf) （B）![](./data/image/media/image6549.wmf) （C）![](./data/image/media/image6550.wmf) （D）![](./data/image/media/image6551.wmf) （11）若函数![](./data/image/media/image6552.wmf)在区间![](./data/image/media/image6553.wmf)单调递增，则![](./data/image/media/image6554.wmf)的取值范围是【D】 （A）![](./data/image/media/image6555.wmf) （B）![](./data/image/media/image6556.wmf) （C）![](./data/image/media/image6557.wmf) （D）![](./data/image/media/image6558.wmf) （12）设点![](./data/image/media/image6559.wmf)，若在圆![](./data/image/media/image6560.wmf)上存在点![](./data/image/media/image6561.wmf)，使得![](./data/image/media/image6562.wmf)，则![](./data/image/media/image6563.wmf)的取 值范围是【A】 （A）![](./data/image/media/image6564.wmf) （B）![](./data/image/media/image6565.wmf) （C）![](./data/image/media/image6566.wmf) （D）![](./data/image/media/image6567.wmf) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.共20分. （13）甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为\_\_\_![](./data/image/media/image6568.wmf)\_\_\_\_. （14） 函数![](./data/image/media/image6569.wmf)的最大值为\_\_\_1\_\_\_\_\_. （15） 偶函数![](./data/image/media/image6570.wmf)的图像关于直线![](./data/image/media/image6571.wmf)对称，![](./data/image/media/image6572.wmf)，则![](./data/image/media/image6573.wmf)=\_\_\_\_3\_\_\_\_. （16） 数列![](./data/image/media/image6574.wmf)满足![](./data/image/media/image6575.wmf)，则![](./data/image/media/image6576.wmf)\_\_\_\_![](./data/image/media/image6577.wmf)\_\_\_\_. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）四边形![](./data/image/media/image6578.wmf)的内角![](./data/image/media/image6579.wmf)与![](./data/image/media/image6580.wmf)互补， ![](./data/image/media/image6581.wmf). （1）求![](./data/image/media/image6582.wmf)和![](./data/image/media/image6583.wmf)； （2）求四边形![](./data/image/media/image6578.wmf)的面积. 解： （I）由题设及余弦定理得 ![](./data/image/media/image6584.wmf) =13![](./data/image/media/image6585.wmf) ， ① ![](./data/image/media/image6586.wmf) ![](./data/image/media/image6587.wmf). ② 由①，②得![](./data/image/media/image6588.wmf)，故![](./data/image/media/image6589.wmf)，![](./data/image/media/image6590.wmf)。 （Ⅱ）四边形ABCD的面积 ![](./data/image/media/image6591.wmf) ![](./data/image/media/image6592.wmf) ![](./data/image/media/image6593.wmf) （18）（本小题满分12分）如图，四棱锥![](./data/image/media/image6594.wmf)中，底面![](./data/image/media/image6595.wmf)为矩形，![](./data/image/media/image6596.wmf)平面![](./data/image/media/image6597.wmf)，![](./data/image/media/image6598.wmf)是![](./data/image/media/image6599.wmf)的重点. 1. 证明：![](./data/image/media/image6600.wmf)//平面![](./data/image/media/image6601.wmf)； ```{=html} <!-- --> ``` 2. 设![](./data/image/media/image6602.wmf)，三棱锥![](./data/image/media/image6603.wmf)的体积![](./data/image/media/image6604.wmf)，求![](./data/image/media/image6605.wmf)到平面![](./data/image/media/image6606.wmf)的距离. ![](./data/image/media/image6607.png) 解：（I）设BD与AC的交点为O，连结EO. 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点， 又E为PD的中点，所以EO∥PB. EO![](./data/image/media/image6608.wmf)平面AEC，PB![](./data/image/media/image6609.wmf)平面AEC,![](./data/image/media/image6610.png) 所以PB∥平面AEC. （Ⅱ）V![](./data/image/media/image6611.wmf). 由![](./data/image/media/image6612.wmf)，可得![](./data/image/media/image6613.wmf). 作![](./data/image/media/image6614.wmf)交![](./data/image/media/image6615.wmf)于![](./data/image/media/image6616.wmf)。 由题设知![](./data/image/media/image6617.wmf)平面![](./data/image/media/image6618.wmf)， 所以![](./data/image/media/image6619.wmf)，故![](./data/image/media/image6620.wmf)平面![](./data/image/media/image6621.wmf)。 又![](./data/image/media/image6622.wmf)![](./data/image/media/image6623.wmf). 所以A到平面PBC的距离为![](./data/image/media/image6624.wmf). 19. （本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下： ![](./data/image/media/image6625.png) 1. 分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； ```{=html} <!-- --> ``` 2. 分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； （3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价. 解：（I）由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75,75，故样本中位数为75， > 所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75 。 > > 50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66,68， > > 故样本中位数为![](./data/image/media/image6626.wmf)， > > 所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67. > > （Ⅱ）由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为![](./data/image/media/image6627.wmf)，![](./data/image/media/image6628.wmf)， > > 故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16. > > （Ⅲ）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差较大。（注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理的同样给分。） 20. （本小题满分12分）设![](./data/image/media/image6629.wmf)分别是椭圆C:![](./data/image/media/image6630.wmf)的左右焦点，![](./data/image/media/image6631.wmf)是![](./data/image/media/image6632.wmf)上一点且![](./data/image/media/image6633.wmf)与![](./data/image/media/image6634.wmf)轴垂直，直线![](./data/image/media/image6635.wmf)与![](./data/image/media/image6636.wmf)的另一个交点为![](./data/image/media/image6637.wmf). ```{=html} <!-- --> ``` 1. 若直线![](./data/image/media/image6638.wmf)的斜率为![](./data/image/media/image6639.wmf)，求![](./data/image/media/image6640.wmf)的离心率； ```{=html} <!-- --> ``` 2. 若直线![](./data/image/media/image6638.wmf)在![](./data/image/media/image6641.wmf)轴上的截距为![](./data/image/media/image6642.wmf)，且![](./data/image/media/image6643.wmf)，求![](./data/image/media/image6644.wmf). 解：（I）根据![](./data/image/media/image6645.wmf)及题设知![](./data/image/media/image6646.wmf) 将![](./data/image/media/image6647.wmf)代入![](./data/image/media/image6648.wmf)， 解得![](./data/image/media/image6649.wmf)（舍去） 故C的离心率为![](./data/image/media/image6650.wmf). > （Ⅱ）由题意，原点![](./data/image/media/image6651.wmf)为![](./data/image/media/image6652.wmf)的中点，![](./data/image/media/image6653.wmf)∥![](./data/image/media/image6654.wmf)轴， > > 所以直线![](./data/image/media/image6655.wmf)与![](./data/image/media/image6654.wmf)轴的交点![](./data/image/media/image6656.wmf) 是线段![](./data/image/media/image6655.wmf)的中点， > > 故![](./data/image/media/image6657.wmf)，即 ![](./data/image/media/image6658.wmf) ① 由![](./data/image/media/image6659.wmf)得![](./data/image/media/image6660.wmf)。 设![](./data/image/media/image6661.wmf)，由题意知![](./data/image/media/image6662.wmf)， 则![](./data/image/media/image6663.wmf)，即![](./data/image/media/image6664.wmf) 代入C的方程，得![](./data/image/media/image6665.wmf)。 将①及![](./data/image/media/image6645.wmf)代入②得![](./data/image/media/image6666.wmf) 解得![](./data/image/media/image6667.wmf)， 故![](./data/image/media/image6668.wmf). 21. （本小题满分12分）已知函数![](./data/image/media/image6669.wmf)，曲线![](./data/image/media/image6670.wmf)在点![](./data/image/media/image6671.wmf)处的切线与![](./data/image/media/image6672.wmf)轴交点的横坐标为![](./data/image/media/image6673.wmf). ```{=html} <!-- --> ``` 1. 求![](./data/image/media/image6674.wmf)； ```{=html} <!-- --> ``` 2. 证明：当![](./data/image/media/image6675.wmf)时，曲线![](./data/image/media/image6676.wmf)与直线![](./data/image/media/image6677.wmf)只有一个交点. 解：（I）![](./data/image/media/image6678.wmf)=![](./data/image/media/image6679.wmf)，![](./data/image/media/image6680.wmf). 曲线![](./data/image/media/image6681.wmf)在点（0,2）处的切线方程为![](./data/image/media/image6682.wmf)。 由题设得![](./data/image/media/image6683.wmf)，所以a=1. （Ⅱ）由（I）知，![](./data/image/media/image6684.wmf) 设![](./data/image/media/image6685.wmf)![](./data/image/media/image6686.wmf)![](./data/image/media/image6687.wmf) 由题设知![](./data/image/media/image6688.wmf). 当![](./data/image/media/image6689.wmf)≤0时，![](./data/image/media/image6690.wmf)![](./data/image/media/image6691.wmf)，![](./data/image/media/image6685.wmf)单调递增， ![](./data/image/media/image6692.wmf)，所以![](./data/image/media/image6685.wmf)=0在![](./data/image/media/image6693.wmf)有唯一实根。 当![](./data/image/media/image6694.wmf)时，令![](./data/image/media/image6695.wmf)，则![](./data/image/media/image6685.wmf)![](./data/image/media/image6696.wmf)。 ![](./data/image/media/image6697.wmf)，![](./data/image/media/image6698.wmf)在![](./data/image/media/image6699.wmf)单调递减，在![](./data/image/media/image6700.wmf)单调递增， 所以![](./data/image/media/image6701.wmf) 所以![](./data/image/media/image6702.wmf)在![](./data/image/media/image6703.wmf)没有实根. 综上，![](./data/image/media/image6704.wmf)=0在R有唯一实根， 即曲线![](./data/image/media/image6705.wmf)与直线![](./data/image/media/image6706.wmf)只有一个交点。 **请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如多做，则按所做的第一题记分。** 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，![](./data/image/media/image6707.wmf)是![](./data/image/media/image6708.wmf)外一点，![](./data/image/media/image6709.wmf)是切线，![](./data/image/media/image6710.wmf)为切点，割线![](./data/image/media/image6711.wmf)与![](./data/image/media/image6708.wmf)相交于![](./data/image/media/image6712.wmf)，![](./data/image/media/image6713.wmf)，![](./data/image/media/image6714.wmf)为![](./data/image/media/image6715.wmf)的中点，![](./data/image/media/image6716.wmf)的延长线交![](./data/image/media/image6708.wmf)于点![](./data/image/media/image6717.wmf).证明： 1. ![](./data/image/media/image6718.wmf)； （2）![](./data/image/media/image6719.wmf) ![](./data/image/media/image6720.png) 解：（I）连结AB,AC.由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA. > 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA![](./data/image/media/image6721.png) > > ∠PAD=∠BAD+∠PAB > > ∠DCA=∠PAB, 所以∠DAC=∠BAD，从而![](./data/image/media/image6722.wmf)。 因此BE=EC. （Ⅱ）由切割线定理得![](./data/image/media/image6723.wmf)。 因为PA=PD=DC，所以DC=2PB,BD=PB。 由相交弦定理得![](./data/image/media/image6724.wmf)， 所以![](./data/image/media/image6725.wmf). （23）(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系![](./data/image/media/image6726.wmf)中，以坐标原点为极点，![](./data/image/media/image6727.wmf)轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆![](./data/image/media/image6728.wmf)的极坐标方程为![](./data/image/media/image6729.wmf). > （1）求![](./data/image/media/image6728.wmf)得参数方程； > > （2）设点![](./data/image/media/image6730.wmf)在![](./data/image/media/image6728.wmf)上，![](./data/image/media/image6728.wmf)在![](./data/image/media/image6730.wmf)处的切线与直线![](./data/image/media/image6731.wmf)垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定![](./data/image/media/image6730.wmf)的坐标. 解：（I）C的普通方程为![](./data/image/media/image6732.wmf). > 可得C的参数方程为 > > ![](./data/image/media/image6733.wmf)（t为参数，![](./data/image/media/image6734.wmf)） （Ⅱ）设D![](./data/image/media/image6735.wmf).由（I）知C是以G（1,0）为圆心， 1为半径的上半圆。 因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同， ![](./data/image/media/image6736.wmf). 故D的直角坐标为![](./data/image/media/image6737.wmf)，即![](./data/image/media/image6738.wmf)。 （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数![](./data/image/media/image6739.wmf) > （1）证明：![](./data/image/media/image6740.wmf)； > > （2）若![](./data/image/media/image6741.wmf)，求![](./data/image/media/image6742.wmf)的取值范围. 解：（I）由![](./data/image/media/image6743.wmf)，有![](./data/image/media/image6744.wmf)![](./data/image/media/image6745.wmf). 所以![](./data/image/media/image6744.wmf)≥2. （Ⅱ）![](./data/image/media/image6746.wmf). 当时a＞3时，![](./data/image/media/image6747.wmf)=![](./data/image/media/image6748.wmf)，由![](./data/image/media/image6747.wmf)＜5得3＜a＜![](./data/image/media/image6749.wmf)。 当0＜a≤3时，![](./data/image/media/image6747.wmf)=![](./data/image/media/image6750.wmf)，由![](./data/image/media/image6747.wmf)＜5得![](./data/image/media/image6751.wmf)＜a≤3. 综上，a的取值范围是（![](./data/image/media/image6751.wmf)，![](./data/image/media/image6749.wmf)）. **绝密★启用前** 2014年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（北京卷） 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟，。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.若集合![](./data/image/media/image6752.wmf)，![](./data/image/media/image6753.wmf)，则![](./data/image/media/image6754.wmf)【C】 A.![](./data/image/media/image6755.wmf) B.![](./data/image/media/image6756.wmf) C.![](./data/image/media/image6757.wmf) D.![](./data/image/media/image6758.wmf) 2.下列函数中，定义域是![](./data/image/media/image6759.wmf)且为增函数的是【B】 A.![](./data/image/media/image6760.wmf) B.![](./data/image/media/image6761.wmf) C.![](./data/image/media/image6762.wmf) D.![](./data/image/media/image6763.wmf) 3.已知向量![](./data/image/media/image6764.wmf)，![](./data/image/media/image6765.wmf)，则![](./data/image/media/image6766.wmf)【A】 A.![](./data/image/media/image6767.wmf) B.![](./data/image/media/image6768.wmf) C.![](./data/image/media/image6769.wmf) D.![](./data/image/media/image6770.wmf) 4.执行如图所示的程序框图，输出的![](./data/image/media/image6771.wmf)值为【C】 A.![](./data/image/media/image6772.wmf) B.![](./data/image/media/image6773.wmf) C.![](./data/image/media/image6774.wmf) D.![](./data/image/media/image6775.wmf) ![](./data/image/media/image6776.emf) 5.设![](./data/image/media/image6777.wmf)、![](./data/image/media/image6778.wmf)是实数，则"![](./data/image/media/image6779.wmf)"是"![](./data/image/media/image6780.wmf)"的【D】 A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件 6.已知函数![](./data/image/media/image6781.wmf)，在下列区间中，包含![](./data/image/media/image6782.wmf)零点的区间是【C】 A.![](./data/image/media/image6783.wmf) B.![](./data/image/media/image6784.wmf) C.![](./data/image/media/image6785.wmf) D.![](./data/image/media/image6786.wmf) 7.已知圆![](./data/image/media/image6787.wmf)和两点![](./data/image/media/image6788.wmf)，![](./data/image/media/image6789.wmf)，若圆![](./data/image/media/image6790.wmf)上存在点 ![](./data/image/media/image6791.wmf)，使得![](./data/image/media/image6792.wmf)，则![](./data/image/media/image6793.wmf)的最大值为【B】 A.![](./data/image/media/image6794.wmf) B.![](./data/image/media/image6795.wmf) C.![](./data/image/media/image6796.wmf) D.![](./data/image/media/image6797.wmf) 8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为"可食用率".咋特定条件下，可食用率 ![](./data/image/media/image6798.wmf)与加工时间![](./data/image/media/image6799.wmf)（单位：分钟）满足的函数关系![](./data/image/media/image6800.wmf)（![](./data/image/media/image6801.wmf)、![](./data/image/media/image6802.wmf)、![](./data/image/media/image6803.wmf)是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为【B】 A.![](./data/image/media/image6804.wmf)分钟 B.![](./data/image/media/image6805.wmf)分钟 C.![](./data/image/media/image6806.wmf)分钟 D.![](./data/image/media/image6807.wmf)分钟 ![](./data/image/media/image6808.emf) 第二部分（非选择题 共110分） **二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。** 9.若![](./data/image/media/image6809.wmf)，则![](./data/image/media/image6810.wmf) [ 2]{.underline} . 10.设双曲线![](./data/image/media/image6811.wmf)的两个焦点为![](./data/image/media/image6812.wmf)，![](./data/image/media/image6813.wmf)，一个顶点式![](./data/image/media/image6814.wmf)，则![](./data/image/media/image6815.wmf)的方程为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image6816.wmf) [ ]{.underline} . 11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image6817.wmf) [ ]{.underline} . ![](./data/image/media/image6818.emf) 12.在![](./data/image/media/image6819.wmf)中，![](./data/image/media/image6820.wmf)，![](./data/image/media/image6821.wmf)，![](./data/image/media/image6822.wmf)，则![](./data/image/media/image6823.wmf) [ 2]{.underline} ；![](./data/image/media/image6824.wmf) [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image6825.wmf) [ ]{.underline} . 13.若![](./data/image/media/image6826.wmf)、![](./data/image/media/image6827.wmf)满足![](./data/image/media/image6828.wmf)，则![](./data/image/media/image6829.wmf)的最小值为 [ 1]{.underline} . 14.顾客请一位工艺师把![](./data/image/media/image6830.wmf)、![](./data/image/media/image6831.wmf)两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这 项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： +-------------------------------------------+---------------------------------------+---------------------------------------+ | 工序 | 粗加工 | 精加工 | | | | | | 时间 | | | | | | | | 原料 | | | +-------------------------------------------+---------------------------------------+---------------------------------------+ | 原料![](./data/image/media/image6832.wmf) | ![](./data/image/media/image6833.wmf) | ![](./data/image/media/image6834.wmf) | +-------------------------------------------+---------------------------------------+---------------------------------------+ | 原料![](./data/image/media/image6835.wmf) | ![](./data/image/media/image6836.wmf) | ![](./data/image/media/image6837.wmf) | +-------------------------------------------+---------------------------------------+---------------------------------------+ 则最短交货期为 [ 42]{.underline} 工作日. **三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。** 15.（本小题满分13分）已知![](./data/image/media/image6838.wmf)是等差数列，满足![](./data/image/media/image6839.wmf)，![](./data/image/media/image6840.wmf)，数列![](./data/image/media/image6841.wmf)满足![](./data/image/media/image6842.wmf)，![](./data/image/media/image6843.wmf)，且![](./data/image/media/image6844.wmf)是等比数列. （1）求数列![](./data/image/media/image6845.wmf)和![](./data/image/media/image6846.wmf)的通项公式； （2）求数列![](./data/image/media/image6847.wmf)的前![](./data/image/media/image6848.wmf)项和. 解：（I）设等差数列![](./data/image/media/image6838.wmf)的公差为![](./data/image/media/image6849.wmf)， 由题意得：![](./data/image/media/image6850.wmf)， 所以![](./data/image/media/image6851.wmf)， 设等比数列![](./data/image/media/image6844.wmf)的公比为![](./data/image/media/image6852.wmf)，由题意得：![](./data/image/media/image6853.wmf)，解得![](./data/image/media/image6854.wmf). 所以![](./data/image/media/image6855.wmf)， 从而![](./data/image/media/image6856.wmf). （II）由（1）知，![](./data/image/media/image6856.wmf)， 数列![](./data/image/media/image6857.wmf)的前n项和为![](./data/image/media/image6858.wmf)，数列![](./data/image/media/image6859.wmf)的前n项和为![](./data/image/media/image6860.wmf)， 所以数列![](./data/image/media/image6861.wmf)的前n项和为![](./data/image/media/image6862.wmf). 16.（本小题满分13分）函数![](./data/image/media/image6863.wmf)的部分图象如图所示. （1）写出![](./data/image/media/image6864.wmf)的最小正周期及图中![](./data/image/media/image6865.wmf)、![](./data/image/media/image6866.wmf)的值； （2）求![](./data/image/media/image6867.wmf)在区间![](./data/image/media/image6868.wmf)上的最大值和最小值. ![](./data/image/media/image6869.emf) 解：（I）![](./data/image/media/image6864.wmf)的最小正周期为![](./data/image/media/image6870.wmf)，![](./data/image/media/image6871.wmf)，![](./data/image/media/image6872.wmf). （II）因为![](./data/image/media/image6873.wmf)，所以![](./data/image/media/image6874.wmf)，于是 当![](./data/image/media/image6875.wmf)，即![](./data/image/media/image6876.wmf)时，![](./data/image/media/image6864.wmf)取得最大值0； 当![](./data/image/media/image6877.wmf)，即![](./data/image/media/image6878.wmf)时，![](./data/image/media/image6864.wmf)取得最小值![](./data/image/media/image6879.wmf). 17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱![](./data/image/media/image6880.wmf)中，侧棱垂直于底面，![](./data/image/media/image6881.wmf)，![](./data/image/media/image6882.wmf)，![](./data/image/media/image6883.wmf)、![](./data/image/media/image6884.wmf)分别为![](./data/image/media/image6885.wmf)、![](./data/image/media/image6886.wmf)的中点. （1）求证：平面![](./data/image/media/image6887.wmf)平面![](./data/image/media/image6888.wmf)； （2）求证：![](./data/image/media/image6889.wmf)平面![](./data/image/media/image6890.wmf)； （3）求三棱锥![](./data/image/media/image6891.wmf)的体积. ![](./data/image/media/image6892.emf) 解：（I）在三棱柱![](./data/image/media/image6880.wmf)中，![](./data/image/media/image6893.wmf)底面ABC， 所以![](./data/image/media/image6893.wmf)AB， 又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面![](./data/image/media/image6888.wmf)， 所以平面![](./data/image/media/image6887.wmf)平面![](./data/image/media/image6888.wmf). （II）取AB中点G，连结EG，FG， 因为E，F分别是![](./data/image/media/image6885.wmf)、![](./data/image/media/image6886.wmf)的中点，所以FG∥AC，且FG=![](./data/image/media/image6894.wmf)AC， 因为AC∥![](./data/image/media/image6885.wmf)，且AC=![](./data/image/media/image6885.wmf)，所以FG∥![](./data/image/media/image6895.wmf)，且FG=![](./data/image/media/image6895.wmf)， 所以四边形![](./data/image/media/image6896.wmf)为平行四边形，所以![](./data/image/media/image6889.wmf)EG， 又因为EG![](./data/image/media/image6897.wmf)平面ABE，![](./data/image/media/image6898.wmf)平面ABE， 所以![](./data/image/media/image6889.wmf)平面![](./data/image/media/image6890.wmf). （III）因为![](./data/image/media/image6899.wmf)=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=![](./data/image/media/image6900.wmf)， 所以三棱锥![](./data/image/media/image6891.wmf)的体积为：![](./data/image/media/image6901.wmf)=![](./data/image/media/image6902.wmf)=![](./data/image/media/image6903.wmf). 18\. （本小题满分13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： ![](./data/image/media/image6904.jpeg) （1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a，b的值； （3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论） 解：（I）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有 6=2+2=10名， 所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是![](./data/image/media/image6905.wmf). 从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为![](./data/image/media/image6906.wmf). （II）课外阅读时间落在组![](./data/image/media/image6907.wmf)的有17人，频率为![](./data/image/media/image6908.wmf)， 所以![](./data/image/media/image6909.wmf)， 课外阅读时间落在组![](./data/image/media/image6910.wmf)的有25人，频率为![](./data/image/media/image6911.wmf)， 所以![](./data/image/media/image6912.wmf). （III）估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组. 19\. （本小题满分14分）已知椭圆C：![](./data/image/media/image6913.wmf). 1. 求椭圆C的离心率； （2）设O为原点，若点A在直线![](./data/image/media/image6914.wmf)，点B在椭圆C上，且![](./data/image/media/image6915.wmf)，求线段AB长度的最小值. 解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为![](./data/image/media/image6916.wmf)， 所以![](./data/image/media/image6917.wmf)，从而![](./data/image/media/image6918.wmf)， 因此![](./data/image/media/image6919.wmf)，故椭圆C的离心率![](./data/image/media/image6920.wmf). （II）设点A，B的坐标分别为![](./data/image/media/image6921.wmf)，其中![](./data/image/media/image6922.wmf)， 因为![](./data/image/media/image6915.wmf)，所以![](./data/image/media/image6923.wmf)，即![](./data/image/media/image6924.wmf)， 解得![](./data/image/media/image6925.wmf)，又![](./data/image/media/image6926.wmf)， 所以![](./data/image/media/image6927.wmf)=![](./data/image/media/image6928.wmf)=![](./data/image/media/image6929.wmf) =![](./data/image/media/image6930.wmf)=![](./data/image/media/image6931.wmf)， 因为![](./data/image/media/image6932.wmf)，且当![](./data/image/media/image6933.wmf)时间等号成立， 所以![](./data/image/media/image6934.wmf)， 故线段AB长度的最小值为![](./data/image/media/image6935.wmf). 20\. （本小题满分13分）已知函数![](./data/image/media/image6936.wmf). （1）求![](./data/image/media/image6937.wmf)在区间![](./data/image/media/image6938.wmf)上的最大值； （2）若过点![](./data/image/media/image6939.wmf)存在3条直线与曲线![](./data/image/media/image6940.wmf)相切，求t的取值范围； （3）问过点![](./data/image/media/image6941.wmf)分别存在几条直线与曲线![](./data/image/media/image6940.wmf)相切？（只需写出结论） 解：（I）由![](./data/image/media/image6936.wmf)得![](./data/image/media/image6942.wmf)， 令![](./data/image/media/image6943.wmf)，得![](./data/image/media/image6944.wmf)或![](./data/image/media/image6945.wmf)， 因为![](./data/image/media/image6946.wmf)，![](./data/image/media/image6947.wmf)，![](./data/image/media/image6948.wmf)，![](./data/image/media/image6949.wmf)， 所以![](./data/image/media/image6937.wmf)在区间![](./data/image/media/image6938.wmf)上的最大值为![](./data/image/media/image6947.wmf). （II）设过点P（1，t）的直线与曲线![](./data/image/media/image6940.wmf)相切于点![](./data/image/media/image6950.wmf)， 则![](./data/image/media/image6951.wmf)，且切线斜率为![](./data/image/media/image6952.wmf)， 所以切线方程为![](./data/image/media/image6953.wmf)， 因此![](./data/image/media/image6954.wmf)，整理得：![](./data/image/media/image6955.wmf)， 设![](./data/image/media/image6956.wmf)![](./data/image/media/image6957.wmf)，则"过点![](./data/image/media/image6939.wmf)存在3条直线与曲线![](./data/image/media/image6940.wmf)相切"等价于"![](./data/image/media/image6958.wmf)有3个不同零点"， ![](./data/image/media/image6959.wmf)![](./data/image/media/image6960.wmf)=![](./data/image/media/image6961.wmf)， ![](./data/image/media/image6962.wmf)与![](./data/image/media/image6963.wmf)的情况如下： --------------------------------------- --------------------------------------- ----- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ![](./data/image/media/image6964.wmf) ![](./data/image/media/image6965.wmf) 0 ![](./data/image/media/image6966.wmf) 1 ![](./data/image/media/image6967.wmf) ![](./data/image/media/image6963.wmf) \+ 0 ![](./data/image/media/image6968.wmf) 0 \+ ![](./data/image/media/image6962.wmf) t+3 ![](./data/image/media/image6969.wmf) --------------------------------------- --------------------------------------- ----- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- 所以，![](./data/image/media/image6970.wmf)是![](./data/image/media/image6962.wmf)的极大值，![](./data/image/media/image6971.wmf)是![](./data/image/media/image6962.wmf)的极小值， 当![](./data/image/media/image6972.wmf)，即![](./data/image/media/image6973.wmf)时， 此时![](./data/image/media/image6962.wmf)在区间![](./data/image/media/image6974.wmf)和![](./data/image/media/image6967.wmf)上分别至多有1个零点， 所以![](./data/image/media/image6962.wmf)至多有2个零点， 当![](./data/image/media/image6975.wmf)，![](./data/image/media/image6976.wmf)时， 此时![](./data/image/media/image6962.wmf)在区间![](./data/image/media/image6965.wmf)和![](./data/image/media/image6977.wmf)上分别至多有1个零点， 所以![](./data/image/media/image6962.wmf)至多有2个零点. 当![](./data/image/media/image6978.wmf)且![](./data/image/media/image6979.wmf)，即![](./data/image/media/image6980.wmf)时，因为![](./data/image/media/image6981.wmf)，![](./data/image/media/image6982.wmf)， 所以![](./data/image/media/image6962.wmf)分别为区间![](./data/image/media/image6983.wmf)和![](./data/image/media/image6984.wmf)上恰有1个零点， 由于![](./data/image/media/image6962.wmf)在区间![](./data/image/media/image6965.wmf)和![](./data/image/media/image6967.wmf)上单调， 所以![](./data/image/media/image6962.wmf)分别在区间![](./data/image/media/image6965.wmf)和![](./data/image/media/image6985.wmf)上恰有1个零点. 综上可知，当过点![](./data/image/media/image6939.wmf)存在3条直线与曲线![](./data/image/media/image6940.wmf)相切时，t的取值范围是![](./data/image/media/image6986.wmf). （III）过点A（-1，2）存在3条直线与曲线![](./data/image/media/image6940.wmf)相切； 过点B（2，10）存在2条直线与曲线![](./data/image/media/image6940.wmf)相切； 过点C（0，2）存在1条直线与曲线![](./data/image/media/image6940.wmf)相切. **绝密★启用前** 2014年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（天津卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ **第Ⅰ卷** **注意事项：** 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式： •如果事件![](./data/image/media/image6987.wmf)，![](./data/image/media/image6988.wmf)互斥，那么 •圆锥的体积公式![](./data/image/media/image6989.wmf). ![](./data/image/media/image6990.wmf) 其中![](./data/image/media/image6991.wmf)表示圆锥的底面面积， •圆柱的体积公式![](./data/image/media/image6992.wmf). ![](./data/image/media/image6993.wmf)表示圆锥的高. 其中![](./data/image/media/image6994.wmf)表示棱柱的底面面积， ![](./data/image/media/image6995.wmf)表示棱柱的高. **一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** （1）![](./data/image/media/image6996.wmf)是虚数单位，复数![](./data/image/media/image6997.wmf)【A】 （2）设变量![](./data/image/media/image6998.wmf)，![](./data/image/media/image6999.wmf)满足约束条件![](./data/image/media/image7000.wmf)则目标函数![](./data/image/media/image7001.wmf)的最小值为【B】 （A）2　　 （B）3　 （C）4　　　 （D）5 （3）已知命题![](./data/image/media/image7002.wmf)：![](./data/image/media/image7003.wmf)，总有![](./data/image/media/image7004.wmf)，则![](./data/image/media/image7005.wmf)为【B】 （A）![](./data/image/media/image7006.wmf)，使得![](./data/image/media/image7007.wmf) （B）![](./data/image/media/image7008.wmf)，使得![](./data/image/media/image7007.wmf) （C）![](./data/image/media/image7003.wmf)，总有![](./data/image/media/image7009.wmf) （D）![](./data/image/media/image7010.wmf)，总有![](./data/image/media/image7009.wmf) （4）设![](./data/image/media/image7011.wmf)，![](./data/image/media/image7012.wmf)，![](./data/image/media/image7013.wmf)，则【C】 （A）![](./data/image/media/image7014.wmf) （B）![](./data/image/media/image7015.wmf) （C）![](./data/image/media/image7016.wmf) （D）![](./data/image/media/image7017.wmf) （5）设![](./data/image/media/image7018.wmf)是首项为![](./data/image/media/image7019.wmf)，公差为-1的等差数列，![](./data/image/media/image7020.wmf)为其前![](./data/image/media/image7021.wmf)项和.若![](./data/image/media/image7022.wmf)成等比数列，则![](./data/image/media/image7023.wmf)【D】 （A）2　　（B）-2　　（C）![](./data/image/media/image7024.wmf)　　 （D）![](./data/image/media/image7025.wmf) （6）已知双曲线![](./data/image/media/image7026.wmf)![](./data/image/media/image7027.wmf)的一条渐近线平行于直线![](./data/image/media/image7028.wmf)：![](./data/image/media/image7029.wmf)，双曲线的一个焦点在直线![](./data/image/media/image7030.wmf)上，则双曲线的方程为【A】 （A）![](./data/image/media/image7031.wmf)　　 （B）![](./data/image/media/image7032.wmf) （C）![](./data/image/media/image7033.wmf)　 　（D）![](./data/image/media/image7034.wmf) （7）如图，![](./data/image/media/image7035.wmf)是圆的内接三角形，![](./data/image/media/image7036.wmf)的平分线交圆于点![](./data/image/media/image7037.wmf)，交![](./data/image/media/image7038.wmf)于点![](./data/image/media/image7039.wmf)，过点![](./data/image/media/image7040.wmf)的圆的切线与![](./data/image/media/image7041.wmf)的延长线交于点![](./data/image/media/image7042.wmf).在上述条件下，给出下列四个结论：①![](./data/image/media/image7043.wmf)平分![](./data/image/media/image7044.wmf)；②![](./data/image/media/image7045.wmf)；③![](./data/image/media/image7046.wmf)；④![](./data/image/media/image7047.wmf). 则所有正确结论的序号是【D】 ![](./data/image/media/image7048.emf) （A）①② （B）③④ （C）①②③ （D）①②④ （8）已知函数![](./data/image/media/image7049.wmf)![](./data/image/media/image7050.wmf)，![](./data/image/media/image7051.wmf)，在曲线![](./data/image/media/image7052.wmf)与直线![](./data/image/media/image7053.wmf)的交点中，若相邻交点距离的最小值为![](./data/image/media/image7054.wmf)，则![](./data/image/media/image7055.wmf)的最小正周期为【C】 （A）![](./data/image/media/image7056.wmf)　　（B）![](./data/image/media/image7057.wmf)　　（C）![](./data/image/media/image7058.wmf)　　 （D）![](./data/image/media/image7059.wmf) **第Ⅱ卷** 注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 3．本卷共12小题，共100分。 **二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）** （9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 [60]{.underline} 名学生. （10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image7060.wmf) [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image7061.wmf). ![](./data/image/media/image7062.emf) ![](./data/image/media/image7063.emf) （11）阅读右边的框图，运行相应的程序，输出![](./data/image/media/image7064.wmf)的值为 [ -4]{.underline} . （12）函数![](./data/image/media/image7065.wmf)的单调递减区间值是 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image7066.wmf) [ ]{.underline} . （13）已知菱形![](./data/image/media/image7067.wmf)的边长为2，![](./data/image/media/image7068.wmf)，点![](./data/image/media/image7069.wmf)分别在边![](./data/image/media/image7070.wmf)上，![](./data/image/media/image7071.wmf)，![](./data/image/media/image7072.wmf).若![](./data/image/media/image7073.wmf)，则![](./data/image/media/image7074.wmf)的值为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image7075.wmf) [ ]{.underline} . （14）已知函数![](./data/image/media/image7076.wmf)若函数![](./data/image/media/image7077.wmf)恰有4个零点，则实数![](./data/image/media/image7078.wmf)的取值范围为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image7079.wmf) [ ]{.underline} . **三、解答题（本题共6道大题，满分80分**．**解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤**．**）** （15）（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学![](./data/image/media/image7080.wmf)和3名女同学![](./data/image/media/image7081.wmf)，其年级情况如下表： -------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- 一年级 二年级 三年级 男同学 ![](./data/image/media/image7082.wmf) ![](./data/image/media/image7083.wmf) ![](./data/image/media/image7084.wmf) 女同学 ![](./data/image/media/image7085.wmf) ![](./data/image/media/image7086.wmf) ![](./data/image/media/image7087.wmf) -------- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选中的可能性相同）. （Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果； （Ⅱ）设![](./data/image/media/image7088.wmf)为事件"选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学"，求事件![](./data/image/media/image7089.wmf)发表的概率. 解：（I）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为 {A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z}，共15种. （II）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能接过为 {A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y}，共6种. 因此，事件![](./data/image/media/image7090.wmf)发生的概率![](./data/image/media/image7091.wmf) （16）（本小题满分13分）在![](./data/image/media/image7092.wmf)中，内角![](./data/image/media/image7093.wmf)的对边分别为![](./data/image/media/image7094.wmf).已知![](./data/image/media/image7095.wmf)，![](./data/image/media/image7096.wmf). （Ⅰ）求![](./data/image/media/image7097.wmf)的值； （Ⅱ）求![](./data/image/media/image7098.wmf)的值. 解：（I）在三角形ABC中，由![](./data/image/media/image7099.wmf)及![](./data/image/media/image7100.wmf)， 可得![](./data/image/media/image7101.wmf)又![](./data/image/media/image7102.wmf)，有![](./data/image/media/image7103.wmf)， 所以![](./data/image/media/image7104.wmf) \(II\) 在三角形ABC中，由![](./data/image/media/image7105.wmf)，可得![](./data/image/media/image7106.wmf)， 于是![](./data/image/media/image7107.wmf) 所以![](./data/image/media/image7108.wmf) （17）（本小题满分13分）如图，四棱锥![](./data/image/media/image7109.wmf)的底面是平行四边形，![](./data/image/media/image7110.wmf)，![](./data/image/media/image7111.wmf)，![](./data/image/media/image7112.wmf)，![](./data/image/media/image7113.wmf)分别是棱![](./data/image/media/image7114.wmf)，![](./data/image/media/image7115.wmf)的中点. （Ⅰ）证明 ![](./data/image/media/image7116.wmf)平面![](./data/image/media/image7117.wmf)； （Ⅱ）若二面角![](./data/image/media/image7118.wmf)为![](./data/image/media/image7119.wmf)， （ⅰ）证明 平面![](./data/image/media/image7120.wmf)平面![](./data/image/media/image7121.wmf)； （ⅱ）求直线![](./data/image/media/image7122.wmf)与平面![](./data/image/media/image7123.wmf)所成角的正弦值. ![](./data/image/media/image7124.emf) 解：（I）)证明：如图取PB中点M,连接MF,AM. 因为F为PC中点，故MF//BC且MF=![](./data/image/media/image7125.wmf)BC. 由已知有BC//AD，BC=AD.又由于E为AD中点， 因而MF//AE且MF=AE，故四边形AMFE为平行四边形， 所以EF//AM,又AM![](./data/image/media/image7126.wmf)平面PAB,而EF![](./data/image/media/image7127.wmf)平面PAB, 所以EF//平面PAB. （II）（i）证明：连接PE,BE.因为PA=PD,BA=BD,而E为AD中点， 故PE![](./data/image/media/image7128.wmf)AD,BE![](./data/image/media/image7128.wmf)AD,所以![](./data/image/media/image7129.wmf)PEB为二面角P-AD-B的平面角. 在三角形PAD中，由![](./data/image/media/image7130.png)， 可解得PE=2. 在三角形ABD中，由![](./data/image/media/image7131.png), 可解得BE=1. 在三角形PEB中，PE=2, BE=1, ![](./data/image/media/image7132.wmf), 由余弦定理，可解得PB=![](./data/image/media/image7133.wmf)，从而![](./data/image/media/image7134.wmf)， 即BE![](./data/image/media/image7128.wmf)PB,又BC//AD,BE![](./data/image/media/image7128.wmf)AD,从而BE![](./data/image/media/image7128.wmf)BC, 因此BE![](./data/image/media/image7128.wmf)平面PBC.又BE![](./data/image/media/image7126.wmf)平面ABCD， 所以平面PBC![](./data/image/media/image7128.wmf)平面ABCD, （ii）连接BF，由（i）知BE![](./data/image/media/image7128.wmf)平面PBC. 所以![](./data/image/media/image7129.wmf)EFB为直线EF与平面PBC所成的角， 由PB=![](./data/image/media/image7133.wmf)，PA=![](./data/image/media/image7135.wmf),AB=![](./data/image/media/image7136.wmf)得![](./data/image/media/image7129.wmf)ABP为直角， 而MB=![](./data/image/media/image7125.wmf)PB=![](./data/image/media/image7137.wmf),可得AM=![](./data/image/media/image7138.wmf),故EF=![](./data/image/media/image7138.wmf), 又BE=1，故在直角三角形EBF中，![](./data/image/media/image7139.wmf) 所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为![](./data/image/media/image7140.wmf). （18）（本小题满分13分）设椭圆![](./data/image/media/image7141.wmf)（![](./data/image/media/image7142.wmf)）的左、右焦点为![](./data/image/media/image7143.wmf)，右顶点为![](./data/image/media/image7144.wmf)，上顶点为![](./data/image/media/image7145.wmf).已知![](./data/image/media/image7146.wmf). （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设![](./data/image/media/image7147.wmf)为椭圆上异于其顶点的一点，以线段![](./data/image/media/image7148.wmf)为直径的圆经过点![](./data/image/media/image7149.wmf)，经过点![](./data/image/media/image7150.wmf)的直线![](./data/image/media/image7151.wmf)与该圆相切于点![](./data/image/media/image7152.wmf)，![](./data/image/media/image7153.wmf)，求椭圆的方程. ![](./data/image/media/image7154.emf) 解：（Ⅰ）依题意得![](./data/image/media/image7155.wmf)， 所以![](./data/image/media/image7156.wmf)，解得![](./data/image/media/image7157.wmf)，![](./data/image/media/image7158.wmf). （Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆方程可化为![](./data/image/media/image7159.wmf). 因为![](./data/image/media/image7160.wmf)，所以直线![](./data/image/media/image7161.wmf)的斜率![](./data/image/media/image7162.wmf). 因为![](./data/image/media/image7163.wmf)，所以直线![](./data/image/media/image7164.wmf)的斜率![](./data/image/media/image7165.wmf)， 直线![](./data/image/media/image7166.wmf)的方程为![](./data/image/media/image7167.wmf). 设![](./data/image/media/image7168.wmf)，则有![](./data/image/media/image7169.wmf)， 解得![](./data/image/media/image7170.wmf)或![](./data/image/media/image7171.wmf)（舍），所以![](./data/image/media/image7172.wmf). 因为线段![](./data/image/media/image7173.wmf)的中点为![](./data/image/media/image7174.wmf)， 所以圆的方程为![](./data/image/media/image7175.wmf). 因为直线![](./data/image/media/image7176.wmf)与该圆相切，且![](./data/image/media/image7177.wmf)， 所以![](./data/image/media/image7178.wmf)，解得![](./data/image/media/image7179.wmf). 所以椭圆方程为![](./data/image/media/image7180.wmf). （19）（本小题满分14分）已知函数![](./data/image/media/image7181.wmf)![](./data/image/media/image7182.wmf)，![](./data/image/media/image7183.wmf). （Ⅰ）求![](./data/image/media/image7184.wmf)的单调区间和极值； （Ⅱ）若对于任意的![](./data/image/media/image7185.wmf)，都存在![](./data/image/media/image7186.wmf)，使得![](./data/image/media/image7187.wmf).求![](./data/image/media/image7188.wmf)的取值范围. 解：（Ⅰ）因为![](./data/image/media/image7181.wmf)， 所以![](./data/image/media/image7189.wmf)，（![](./data/image/media/image7190.wmf)）. 令![](./data/image/media/image7191.wmf)得![](./data/image/media/image7192.wmf)或![](./data/image/media/image7193.wmf). ![](./data/image/media/image7194.png)因为当![](./data/image/media/image7195.wmf)或![](./data/image/media/image7196.wmf)时，![](./data/image/media/image7197.wmf)单调递减， 当![](./data/image/media/image7198.wmf)时，![](./data/image/media/image7199.wmf)单调递增， 所以![](./data/image/media/image7200.wmf)，![](./data/image/media/image7201.wmf). （Ⅱ）因为![](./data/image/media/image7187.wmf)，所以![](./data/image/media/image7202.wmf). ![](./data/image/media/image7203.wmf) ![](./data/image/media/image7204.wmf)![](./data/image/media/image7205.wmf) ![](./data/image/media/image7206.wmf) 下面分三种情况讨论： 1. 当![](./data/image/media/image7207.wmf) 所以![](./data/image/media/image7208.wmf)不是![](./data/image/media/image7209.wmf)的子集； 2. ![](./data/image/media/image7210.wmf)且此时![](./data/image/media/image7211.wmf)上单调递减，![](./data/image/media/image7212.wmf)![](./data/image/media/image7213.wmf)上的取值范围包含 ![](./data/image/media/image7214.wmf) 3. ![](./data/image/media/image7215.wmf)上单调递减，![](./data/image/media/image7216.wmf)所以![](./data/image/media/image7208.wmf)不是![](./data/image/media/image7209.wmf)的子集 综上，*a*的取值范围是![](./data/image/media/image7217.wmf). （20）（本小题满分14分）已知![](./data/image/media/image7218.wmf)和![](./data/image/media/image7219.wmf)均为给定的大于1的自然数.设集合![](./data/image/media/image7220.wmf)，集合![](./data/image/media/image7221.wmf). （Ⅰ）当![](./data/image/media/image7222.wmf)，![](./data/image/media/image7223.wmf)时，用列举法表示集合![](./data/image/media/image7224.wmf)； （Ⅱ）设![](./data/image/media/image7225.wmf)，![](./data/image/media/image7226.wmf)，![](./data/image/media/image7227.wmf)，其中![](./data/image/media/image7228.wmf)，![](./data/image/media/image7229.wmf). 证明：若![](./data/image/media/image7230.wmf)，则![](./data/image/media/image7231.wmf). 解：（Ⅰ）当![](./data/image/media/image7222.wmf)，![](./data/image/media/image7223.wmf)时，![](./data/image/media/image7232.wmf)，![](./data/image/media/image7233.wmf)， ![](./data/image/media/image7234.wmf). （Ⅱ）证明：因为![](./data/image/media/image7235.wmf)，所以![](./data/image/media/image7236.wmf)，所以![](./data/image/media/image7237.wmf)，![](./data/image/media/image7238.wmf)，![](./data/image/media/image7239.wmf). 所以![](./data/image/media/image7240.wmf) ![](./data/image/media/image7241.wmf) ![](./data/image/media/image7242.wmf). **绝密★启用前** 2014年普通高等学校招生全国统一考试 ================================== 文科数学（山东卷） **本试卷分第Ｉ卷和第II卷两部分，共4页。满分150分，考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。** 注意事项： 1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2. 第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。 3. 第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。 4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么![](./data/image/media/image7243.wmf) 第Ｉ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 \(1\) 已知![](./data/image/media/image7244.wmf)是虚数单位. 若![](./data/image/media/image7245.wmf)＝![](./data/image/media/image7246.wmf)，则![](./data/image/media/image7247.wmf)【A】 \(A\) ![](./data/image/media/image7248.wmf) (B) ![](./data/image/media/image7249.wmf) (C) ![](./data/image/media/image7250.wmf) (D) ![](./data/image/media/image7251.wmf) \(2\) 设集合![](./data/image/media/image7252.wmf)，则![](./data/image/media/image7253.wmf) 【C】 \(A\) ![](./data/image/media/image7254.wmf) (B) ![](./data/image/media/image7255.wmf) (C) ![](./data/image/media/image7256.wmf) (D) ![](./data/image/media/image7257.wmf) \(3\) 函数![](./data/image/media/image7258.wmf)的定义域为【C】 \(A\) ![](./data/image/media/image7259.wmf) (B) ![](./data/image/media/image7260.wmf) (C) ![](./data/image/media/image7261.wmf) (D) ![](./data/image/media/image7262.wmf) \(4\) 用反证法证明命题："设![](./data/image/media/image7263.wmf)为实数，则方程![](./data/image/media/image7264.wmf)至少有一个实根"时，要做的假设是【A】 \(A\) 方程![](./data/image/media/image7265.wmf)没有实根 (B) 方程![](./data/image/media/image7265.wmf)至多有一个实根 \(C\) 方程![](./data/image/media/image7265.wmf)至多有两个实根 (D) 方程![](./data/image/media/image7265.wmf)恰好有两个实根 \(5\) 已知实数![](./data/image/media/image7266.wmf)满足![](./data/image/media/image7267.wmf)，则下列关系式恒成立的是【A】 \(A\) ![](./data/image/media/image7268.wmf) (B) ![](./data/image/media/image7269.wmf) \(C\) ![](./data/image/media/image7270.wmf) (D) ![](./data/image/media/image7271.wmf) \(6\) 已知函数![](./data/image/media/image7272.wmf)的图象如右图，则下列结论成立的是【D】 \(A\) ![](./data/image/media/image7276.wmf) (B) ![](./data/image/media/image7277.wmf) \(C\) ![](./data/image/media/image7278.wmf) (D) ![](./data/image/media/image7279.wmf) \(7\) 已知向量![](./data/image/media/image7280.wmf). 若向量![](./data/image/media/image7281.wmf)的夹角为![](./data/image/media/image7282.wmf)，则实数![](./data/image/media/image7283.wmf) 【B】 \(A\) ![](./data/image/media/image7284.wmf) (B) ![](./data/image/media/image7285.wmf) (C) 0 (D) ![](./data/image/media/image7286.wmf) \(8\) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为![](./data/image/media/image7287.wmf)，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为【C】 \(A\) 6 \(B\) 8 \(C\) 12 \(D\) 18 \(9\) 对于函数![](./data/image/media/image7300.wmf)，若存在常数![](./data/image/media/image7301.wmf)，使得![](./data/image/media/image7302.wmf)取定义域内的每一个值，都有![](./data/image/media/image7303.wmf)，则称![](./data/image/media/image7304.wmf)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是【D】 \(A\) ![](./data/image/media/image7305.wmf) (B) ![](./data/image/media/image7306.wmf) \(C\) ![](./data/image/media/image7307.wmf) (D) ![](./data/image/media/image7308.wmf) \(10\) 已知![](./data/image/media/image7309.wmf)满足约束条件![](./data/image/media/image7310.wmf)当目标函数![](./data/image/media/image7311.wmf)![](./data/image/media/image7312.wmf)在该约束条件下取到最小值![](./data/image/media/image7313.wmf)时，![](./data/image/media/image7314.wmf)的最小值为【B】 (A)　5 (B) 4 (C) ![](./data/image/media/image7315.wmf) (D) 2 **第II卷（共100分）** 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. \(11\) 执行右面的程序框图，若输入的![](./data/image/media/image7316.wmf)的值为1，则输出的![](./data/image/media/image7317.wmf)的值为 [3]{.underline} . \(12\) 函数![](./data/image/media/image7322.wmf)的最小正周期为 [π]{.underline} . \(13\) 一个六棱锥的体积为![](./data/image/media/image7323.wmf)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 [12]{.underline} . \(14\) 圆心在直线![](./data/image/media/image7324.wmf)上的圆![](./data/image/media/image7325.wmf)与![](./data/image/media/image7326.wmf)轴的正半轴相切，圆![](./data/image/media/image7327.wmf)截![](./data/image/media/image7328.wmf)轴所得弦的长为![](./data/image/media/image7329.wmf)，则圆![](./data/image/media/image7330.wmf)的标准方程为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image7331.wmf) [ ]{.underline} . \(15\) 已知双曲线![](./data/image/media/image7332.wmf)的焦距为![](./data/image/media/image7333.wmf)，右顶点为A，抛物线![](./data/image/media/image7334.wmf)的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为![](./data/image/media/image7335.wmf)，且![](./data/image/media/image7336.wmf)，则双曲线的渐近线方程为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image7337.wmf) [ ]{.underline} . 三、解答题：本大题共6小题，共75分. (16)（本小题满分12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测. ------ ---- ----- ----- 地区 A B C 数量 50 150 100 ------ ---- ----- ----- （Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量； （II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率. 解：( I )因为样本容量与总体中的个数的比是![](./data/image/media/image7338.wmf)， 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是： ![](./data/image/media/image7339.wmf)，![](./data/image/media/image7340.wmf)，![](./data/image/media/image7341.wmf)， 所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2. （II）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为![](./data/image/media/image7342.wmf), 则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为： ![](./data/image/media/image7343.wmf)，![](./data/image/media/image7344.wmf), ![](./data/image/media/image7345.wmf), ![](./data/image/media/image7346.wmf),共15个. 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的， 记事件D："抽取的这2件商品来自相同地区"， 则事件D包含的基本事件有： ![](./data/image/media/image7347.wmf)共4个. 所有![](./data/image/media/image7348.wmf)，即这2件商品来自相同地区的概率为![](./data/image/media/image7349.wmf). \(17\) （本小题满分12分）![](./data/image/media/image7350.wmf)中，角A，B，C所对的边分别为![](./data/image/media/image7351.wmf). 已知![](./data/image/media/image7352.wmf). （Ｉ）求![](./data/image/media/image7353.wmf)的值； （II）求![](./data/image/media/image7354.wmf)的面积. 解：（I）在![](./data/image/media/image7355.wmf)中， 由题意知![](./data/image/media/image7356.wmf)， 又因为![](./data/image/media/image7357.wmf)， 所有![](./data/image/media/image7358.wmf)， 由正弦定理可得 ![](./data/image/media/image7359.wmf). （II）由![](./data/image/media/image7357.wmf)得 ![](./data/image/media/image7360.wmf)， 由![](./data/image/media/image7361.wmf),得![](./data/image/media/image7362.wmf). 所以![](./data/image/media/image7363.wmf) ![](./data/image/media/image7364.wmf) ![](./data/image/media/image7365.wmf) ![](./data/image/media/image7366.wmf). 因此，![](./data/image/media/image7355.wmf)的面积![](./data/image/media/image7367.wmf). (18)（本小题满分12分）如图，四棱锥![](./data/image/media/image7368.wmf)中，![](./data/image/media/image7369.wmf)分别为线段![](./data/image/media/image7370.wmf)的中点. ![](./data/image/media/image7371.png) （Ｉ）求证：![](./data/image/media/image7372.wmf)； （II）求证：![](./data/image/media/image7373.wmf). 解：（I）设![](./data/image/media/image7374.wmf)，连结OF，EC， 由于E为AD的中点， ![](./data/image/media/image7375.wmf)， 所以![](./data/image/media/image7376.wmf), 因此四边形ABCE为菱形， 所以O为AC的中点， 又F为PC的中点， 因此在![](./data/image/media/image7377.wmf)中，可得![](./data/image/media/image7378.wmf). 又![](./data/image/media/image7379.wmf)平面BEF，![](./data/image/media/image7380.wmf)平面BEF， 所以![](./data/image/media/image7381.wmf)∥平面![](./data/image/media/image7382.wmf). （II）由题意知，![](./data/image/media/image7383.wmf), 所以四边形![](./data/image/media/image7384.wmf)为平行四边形， 因此![](./data/image/media/image7385.wmf). 又![](./data/image/media/image7386.wmf)平面PCD， 所以![](./data/image/media/image7387.wmf)，因此![](./data/image/media/image7388.wmf). 因为四边形ABCE为菱形， 所以![](./data/image/media/image7389.wmf). 又![](./data/image/media/image7390.wmf)，AP，AC![](./data/image/media/image7391.wmf)平面PAC， 所以![](./data/image/media/image7392.wmf)⊥平面![](./data/image/media/image7393.wmf). \(19\) （本小题满分12分）在等差数列![](./data/image/media/image7394.wmf)中，已知公差![](./data/image/media/image7395.wmf)，![](./data/image/media/image7396.wmf)是![](./data/image/media/image7397.wmf)与![](./data/image/media/image7398.wmf)的等比中项. （Ｉ）求数列![](./data/image/media/image7394.wmf)的通项公式； （II）设![](./data/image/media/image7399.wmf)，记![](./data/image/media/image7400.wmf)，求![](./data/image/media/image7401.wmf). 解：（I）由题意知![](./data/image/media/image7402.wmf)， 即![](./data/image/media/image7403.wmf)， 解得![](./data/image/media/image7404.wmf)， 所以数列![](./data/image/media/image7405.wmf)的通项公式为![](./data/image/media/image7406.wmf). （II）由题意知![](./data/image/media/image7407.wmf). 所以![](./data/image/media/image7408.wmf). 因为![](./data/image/media/image7409.wmf). 可得，当n为偶数时， ![](./data/image/media/image7410.wmf) ![](./data/image/media/image7411.wmf)![](./data/image/media/image7412.wmf)![](./data/image/media/image7413.wmf). 当n为奇数时， ![](./data/image/media/image7414.wmf)![](./data/image/media/image7415.wmf)![](./data/image/media/image7416.wmf), 所以![](./data/image/media/image7417.wmf). \(20\) （本小题满分13分）设函数![](./data/image/media/image7418.wmf) ，其中![](./data/image/media/image7419.wmf)为常数. （Ｉ）若![](./data/image/media/image7420.wmf)，求曲线![](./data/image/media/image7421.wmf)在点![](./data/image/media/image7422.wmf)处的切线方程； （II）讨论函数![](./data/image/media/image7423.wmf)的单调性. 解：（I）由题意知![](./data/image/media/image7424.wmf)时，![](./data/image/media/image7425.wmf)， 此时![](./data/image/media/image7426.wmf)， 可得![](./data/image/media/image7427.wmf)，又![](./data/image/media/image7428.wmf)， 所以曲线![](./data/image/media/image7429.wmf)在![](./data/image/media/image7430.wmf)处的切线方程为![](./data/image/media/image7431.wmf). （II）函数![](./data/image/media/image7432.wmf)的定义域为![](./data/image/media/image7433.wmf)， ![](./data/image/media/image7434.wmf)， 当![](./data/image/media/image7435.wmf)时，![](./data/image/media/image7436.wmf)，函数![](./data/image/media/image7432.wmf)在![](./data/image/media/image7433.wmf)上单调递增， 当![](./data/image/media/image7437.wmf)时，令![](./data/image/media/image7438.wmf)， 由于![](./data/image/media/image7439.wmf)， 1. 当![](./data/image/media/image7440.wmf)时，![](./data/image/media/image7441.wmf)， ![](./data/image/media/image7442.wmf)，函数![](./data/image/media/image7443.wmf)在![](./data/image/media/image7433.wmf)上单调递减， 2. 当![](./data/image/media/image7444.wmf)时，![](./data/image/media/image7445.wmf)， ![](./data/image/media/image7446.wmf)，函数![](./data/image/media/image7443.wmf)在![](./data/image/media/image7433.wmf)上单调递减， 3. 当![](./data/image/media/image7447.wmf)时，![](./data/image/media/image7448.wmf)， 设![](./data/image/media/image7449.wmf)是函数![](./data/image/media/image7450.wmf)的两个零点， 则![](./data/image/media/image7451.wmf)，![](./data/image/media/image7452.wmf)， 由![](./data/image/media/image7453.wmf) ![](./data/image/media/image7454.wmf)， 所以![](./data/image/media/image7455.wmf)时，![](./data/image/media/image7456.wmf)，函数![](./data/image/media/image7443.wmf)单调递减， ![](./data/image/media/image7457.wmf)时，![](./data/image/media/image7458.wmf)，函数![](./data/image/media/image7443.wmf)单调递增， ![](./data/image/media/image7459.wmf)时，![](./data/image/media/image7460.wmf)，函数![](./data/image/media/image7443.wmf)单调递减， 综上可知，当![](./data/image/media/image7435.wmf)时，函数![](./data/image/media/image7432.wmf)在![](./data/image/media/image7433.wmf)上单调递增； 当![](./data/image/media/image7461.wmf)时，函数![](./data/image/media/image7443.wmf)在![](./data/image/media/image7433.wmf)上单调递减； 当![](./data/image/media/image7447.wmf)时，![](./data/image/media/image7443.wmf)在![](./data/image/media/image7462.wmf)，![](./data/image/media/image7463.wmf)上单调递减， 在![](./data/image/media/image7464.wmf)上单调递增. (21)（本小题满分14分）在平面直角坐标系![](./data/image/media/image7465.wmf)中，椭圆![](./data/image/media/image7466.wmf)的离心率为![](./data/image/media/image7467.wmf)，直线![](./data/image/media/image7468.wmf)被椭圆![](./data/image/media/image7469.wmf)截得的线段长为![](./data/image/media/image7470.wmf). （Ｉ）求椭圆![](./data/image/media/image7471.wmf)的方程； （II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）. 点D在椭圆C上，且![](./data/image/media/image7472.wmf)，直线BD与![](./data/image/media/image7473.wmf)轴、![](./data/image/media/image7474.wmf)轴分别交于M，N两点. （i）设直线BD，AM的斜率分别为![](./data/image/media/image7475.wmf)，证明存在常数![](./data/image/media/image7476.wmf)使得![](./data/image/media/image7477.wmf)，并求出![](./data/image/media/image7478.wmf)的值； （ii）求![](./data/image/media/image7479.wmf)面积的最大值. 解：（I）由题意知![](./data/image/media/image7480.wmf)，可得![](./data/image/media/image7481.wmf). 椭圆C的方程可化简为![](./data/image/media/image7482.wmf). 将![](./data/image/media/image7483.wmf)代入可得![](./data/image/media/image7484.wmf)， 因此![](./data/image/media/image7485.wmf)，可得![](./data/image/media/image7486.wmf).因此![](./data/image/media/image7487.wmf)， 所以椭圆C的方程为![](./data/image/media/image7488.wmf). （II）（ⅰ）设![](./data/image/media/image7489.wmf)，则![](./data/image/media/image7490.wmf)， 因为直线AB的斜率![](./data/image/media/image7491.wmf)， 又![](./data/image/media/image7492.wmf)，所以直线AD的斜率![](./data/image/media/image7493.wmf)， 设直线AD的方程为![](./data/image/media/image7494.wmf)， 由题意知![](./data/image/media/image7495.wmf)， 由![](./data/image/media/image7496.wmf)，可得![](./data/image/media/image7497.wmf). 所以![](./data/image/media/image7498.wmf)， 因此![](./data/image/media/image7499.wmf)， 由题意知，![](./data/image/media/image7500.wmf) 所以![](./data/image/media/image7501.wmf)， 所以直线BD的方程为![](./data/image/media/image7502.wmf)， 令![](./data/image/media/image7503.wmf)，得![](./data/image/media/image7504.wmf)，即![](./data/image/media/image7505.wmf). 可得![](./data/image/media/image7506.wmf). 所以![](./data/image/media/image7507.wmf)，即![](./data/image/media/image7508.wmf). 因此存在常数![](./data/image/media/image7509.wmf)使得结论成立. （ⅱ）直线BD的方程![](./data/image/media/image7502.wmf)， 令![](./data/image/media/image7510.wmf)，得![](./data/image/media/image7511.wmf)，即![](./data/image/media/image7512.wmf)， 由（ⅰ）知![](./data/image/media/image7505.wmf)， 可得![](./data/image/media/image7513.wmf)的面积![](./data/image/media/image7514.wmf)， 因为![](./data/image/media/image7515.wmf)，当且仅当![](./data/image/media/image7516.wmf)时等号成立， 此时S取得最大值![](./data/image/media/image7517.wmf)， 所以![](./data/image/media/image7513.wmf)的面积的最大值为![](./data/image/media/image7517.wmf).
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**2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）** **一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．** 1．（5分）已知集合A={x\|x＜1}，B={x\|3^x^＜1}，则（　　） A．A∩B={x\|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x\|x＞1} D．A∩B=∅ 2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　） ![](./data/image/media/image1.png) A．![](./data/image/media/image2.png) B．![](./data/image/media/image3.png) C．![](./data/image/media/image4.png) D．![](./data/image/media/image5.png) 3．（5分）设有下面四个命题 p~1~：若复数z满足![](./data/image/media/image6.png)∈R，则z∈R； p~2~：若复数z满足z^2^∈R，则z∈R； p~3~：若复数z~1~，z~2~满足z~1~z~2~∈R，则z~1~=![](./data/image/media/image7.png)； p~4~：若复数z∈R，则![](./data/image/media/image8.png)∈R． 其中的真命题为（　　） A．p~1~，p~3~ B．p~1~，p~4~ C．p~2~，p~3~ D．p~2~，p~4~ 4．（5分）记S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和．若a~4~+a~5~=24，S~6~=48，则{a~n~}的公差为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　） A．\[﹣2，2\] B．\[﹣1，1\] C．\[0，4\] D．\[1，3\] 6．（5分）（1+![](./data/image/media/image9.png)）（1+x）^6^展开式中x^2^的系数为（　　） A．15 B．20 C．30 D．35 7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（　　） ![](./data/image/media/image10.png) A．10 B．12 C．14 D．16 8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3^n^﹣2^n^＞1000的最小偶数n，那么在![](./data/image/media/image11.png)和![](./data/image/media/image12.png)两个空白框中，可以分别填入（　　） ![](./data/image/media/image13.png) A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2 C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2 9．（5分）已知曲线C~1~：y=cosx，C~2~：y=sin（2x+![](./data/image/media/image14.png)），则下面结论正确的是（　　） A．把C~1~上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移![](./data/image/media/image15.png)个单位长度，得到曲线C~2~ B．把C~1~上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移![](./data/image/media/image16.png)个单位长度，得到曲线C~2~ C．把C~1~上各点的横坐标缩短到原来的![](./data/image/media/image17.png)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移![](./data/image/media/image15.png)个单位长度，得到曲线C~2~ D．把C~1~上各点的横坐标缩短到原来的![](./data/image/media/image17.png)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移![](./data/image/media/image18.png)个单位长度，得到曲线C~2~ 10．（5分）已知F为抛物线C：y^2^=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l~1~，l~2~，直线l~1~与C交于A、B两点，直线l~2~与C交于D、E两点，则\|AB\|+\|DE\|的最小值为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 11．（5分）设x、y、z为正数，且2^x^=3^y^=5^z^，则（　　） A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了"解数学题获取软件激活码"的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，...，其中第一项是2^0^，接下来的两项是2^0^，2^1^，再接下来的三项是2^0^，2^1^，2^2^，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（　　） A．440 B．330 C．220 D．110 　 **二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．** 13．（5分）已知向量![](./data/image/media/image19.png)，![](./data/image/media/image20.png)的夹角为60°，\|![](./data/image/media/image19.png)\|=2，\|![](./data/image/media/image20.png)\|=1，则\|![](./data/image/media/image19.png)+2![](./data/image/media/image20.png)\|=[　 　]{.underline}． 14．（5分）设x，y满足约束条件![](./data/image/media/image21.png)，则z=3x﹣2y的最小值为[　 　]{.underline}． 15．（5分）已知双曲线C：![](./data/image/media/image22.png)﹣![](./data/image/media/image23.png)=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为[　 　]{.underline}． 16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm^3^）的最大值为[　 　]{.underline}． ![](./data/image/media/image24.png) 　 **三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．** 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为![](./data/image/media/image25.png)． （1）求sinBsinC； （2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长． 18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值． ![](./data/image/media/image26.png) 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ^2^）． （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- 经计算得![](./data/image/media/image27.png)=![](./data/image/media/image28.png)=9.97，s=![](./data/image/media/image29.png)=![](./data/image/media/image30.png)≈0.212，其中x~i~为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，...，16． 用样本平均数![](./data/image/media/image31.png)作为μ的估计值![](./data/image/media/image32.png)，用样本标准差s作为σ的估计值![](./data/image/media/image33.png)，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（![](./data/image/media/image32.png)﹣3![](./data/image/media/image34.png)+3![](./data/image/media/image35.png)）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）． 附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ^2^），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.9974^16^≈0.9592，![](./data/image/media/image36.png)≈0.09． 20．（12分）已知椭圆C：![](./data/image/media/image37.png)+![](./data/image/media/image38.png)=1（a＞b＞0），四点P~1~（1，1），P~2~（0，1），P~3~（﹣1，![](./data/image/media/image39.png)），P~4~（1，![](./data/image/media/image39.png)）中恰有三点在椭圆C上． （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P~2~点且与C相交于A，B两点．若直线P~2~A与直线P~2~B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点． 21．（12分）已知函数f（x）=ae^2x^+（a﹣2）e^x^﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 　 **\[选修4-4，坐标系与参数方程\]** 22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为![](./data/image/media/image40.png)，（θ为参数），直线l的参数方程为 ![](./data/image/media/image41.png)，（t为参数）． （1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l距离的最大值为![](./data/image/media/image42.png)，求a． 　 **\[选修4-5：不等式选讲\]** 23．已知函数f（x）=﹣x^2^+ax+4，g（x）=\|x+1\|+\|x﹣1\|． （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含\[﹣1，1\]，求a的取值范围． 　 **2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．** 1．（5分）已知集合A={x\|x＜1}，B={x\|3^x^＜1}，则（　　） A．A∩B={x\|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x\|x＞1} D．A∩B=∅ 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合． 【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果． 【解答】解：∵集合A={x\|x＜1}， B={x\|3^x^＜1}={x\|x＜0}， ∴A∩B={x\|x＜0}，故A正确，D错误； A∪B={x\|x＜1}，故B和C都错误． 故选：A． 【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用． 　 2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（　　） ![](./data/image/media/image43.png) A．![](./data/image/media/image44.png) B．![](./data/image/media/image45.png) C．![](./data/image/media/image46.png) D．![](./data/image/media/image47.png) 【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可． 【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2， 则黑色部分的面积S=![](./data/image/media/image48.png)， 则对应概率P=![](./data/image/media/image49.png)=![](./data/image/media/image50.png)， 故选：B． 【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键． 　 3．（5分）设有下面四个命题 p~1~：若复数z满足![](./data/image/media/image51.png)∈R，则z∈R； p~2~：若复数z满足z^2^∈R，则z∈R； p~3~：若复数z~1~，z~2~满足z~1~z~2~∈R，则z~1~=![](./data/image/media/image52.png)； p~4~：若复数z∈R，则![](./data/image/media/image53.png)∈R． 其中的真命题为（　　） A．p~1~，p~3~ B．p~1~，p~4~ C．p~2~，p~3~ D．p~2~，p~4~ 【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数． 【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：若复数z满足![](./data/image/media/image54.png)∈R，则z∈R，故命题p~1~为真命题； p~2~：复数z=i满足z^2^=﹣1∈R，则z∉R，故命题p~2~为假命题； p~3~：若复数z~1~=i，z~2~=2i满足z~1~z~2~∈R，但z~1~≠![](./data/image/media/image55.png)，故命题p~3~为假命题； p~4~：若复数z∈R，则![](./data/image/media/image56.png)=z∈R，故命题p~4~为真命题． 故选：B． 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题． 　 4．（5分）记S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和．若a~4~+a~5~=24，S~6~=48，则{a~n~}的公差为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a~n~}的公差． 【解答】解：∵S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，a~4~+a~5~=24，S~6~=48， ∴![](./data/image/media/image57.png)， 解得a~1~=﹣2，d=4， ∴{a~n~}的公差为4． 故选：C． 【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 　 5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　） A．\[﹣2，2\] B．\[﹣1，1\] C．\[0，4\] D．\[1，3\] 【考点】3P：抽象函数及其应用．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案． 【解答】解：∵函数f（x）为奇函数． 若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1， 又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1， ∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1）， ∴﹣1≤x﹣2≤1， 解得：x∈\[1，3\]， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档． 　 6．（5分）（1+![](./data/image/media/image58.png)）（1+x）^6^展开式中x^2^的系数为（　　） A．15 B．20 C．30 D．35 【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法． 【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可． 【解答】解：（1+![](./data/image/media/image59.png)）（1+x）^6^展开式中： 若（1+![](./data/image/media/image59.png)）=（1+x^﹣2^）提供常数项1，则（1+x）^6^提供含有x^2^的项，可得展开式中x^2^的系数： 若（1+![](./data/image/media/image59.png)）提供x^﹣2^项，则（1+x）^6^提供含有x^4^的项，可得展开式中x^2^的系数： 由（1+x）^6^通项公式可得![](./data/image/media/image60.png)． 可知r=2时，可得展开式中x^2^的系数为![](./data/image/media/image61.png)． 可知r=4时，可得展开式中x^2^的系数为![](./data/image/media/image62.png)． （1+![](./data/image/media/image63.png)）（1+x）^6^展开式中x^2^的系数为：15+15=30． 故选：C． 【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题． 　 7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（　　） ![](./data/image/media/image64.png) A．10 B．12 C．14 D．16 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何． 【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可 【解答】解：由三视图可画出直观图， 该立体图中只有两个相同的梯形的面， S~梯形~=![](./data/image/media/image65.png)×2×（2+4）=6， ∴这些梯形的面积之和为6×2=12， 故选：B． ![](./data/image/media/image66.png) 【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3^n^﹣2^n^＞1000的最小偶数n，那么在![](./data/image/media/image67.png)和![](./data/image/media/image68.png)两个空白框中，可以分别填入（　　） ![](./data/image/media/image69.png) A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2 C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图． 【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在"否"时输出确定"![](./data/image/media/image70.png)"内不能输入"A＞1000"，进而通过偶数的特征确定n=n+2． 【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在"否"时输出， 所以"![](./data/image/media/image70.png)"内不能输入"A＞1000"， 又要求n为偶数，且n的初始值为0， 所以"![](./data/image/media/image71.png)"中n依次加2可保证其为偶数， 所以D选项满足要求， 故选：D． 【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分． 　 9．（5分）已知曲线C~1~：y=cosx，C~2~：y=sin（2x+![](./data/image/media/image72.png)），则下面结论正确的是（　　） A．把C~1~上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移![](./data/image/media/image73.png)个单位长度，得到曲线C~2~ B．把C~1~上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移![](./data/image/media/image74.png)个单位长度，得到曲线C~2~ C．把C~1~上各点的横坐标缩短到原来的![](./data/image/media/image75.png)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移![](./data/image/media/image76.png)个单位长度，得到曲线C~2~ D．把C~1~上各点的横坐标缩短到原来的![](./data/image/media/image77.png)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移![](./data/image/media/image78.png)个单位长度，得到曲线C~2~ 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可． 【解答】解：把C~1~上各点的横坐标缩短到原来的![](./data/image/media/image77.png)倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移![](./data/image/media/image78.png)个单位长度，得到函数y=cos2（x+![](./data/image/media/image78.png)）=cos（2x+![](./data/image/media/image76.png)）=sin（2x+![](./data/image/media/image79.png)）的图象，即曲线C~2~， 故选：D． 【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力． 　 10．（5分）已知F为抛物线C：y^2^=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l~1~，l~2~，直线l~1~与C交于A、B两点，直线l~2~与C交于D、E两点，则\|AB\|+\|DE\|的最小值为（　　） A．16 B．14 C．12 D．10 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，\|AB\|+\|DE\|最小，根据弦长公式计算即可． 方法二：设直线l~1~的倾斜角为θ，则l~2~的倾斜角为 ![](./data/image/media/image80.png)+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出\|AB\|，\|DE\|，整理求得答案 【解答】解：如图，l~1~⊥l~2~，直线l~1~与C交于A、B两点， 直线l~2~与C交于D、E两点， 要使\|AB\|+\|DE\|最小， 则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1， 又直线l~2~过点（1，0）， 则直线l~2~的方程为y=x﹣1， 联立方程组![](./data/image/media/image81.png)，则y^2^﹣4y﹣4=0， ∴y~1~+y~2~=4，y~1~y~2~=﹣4， ∴\|DE\|=![](./data/image/media/image82.png)•\|y~1~﹣y~2~\|=![](./data/image/media/image83.png)×![](./data/image/media/image84.png)=8， ∴\|AB\|+\|DE\|的最小值为2\|DE\|=16， 方法二：设直线l~1~的倾斜角为θ，则l~2~的倾斜角为 ![](./data/image/media/image80.png)+θ， 根据焦点弦长公式可得\|AB\|=![](./data/image/media/image85.png)=![](./data/image/media/image86.png) \|DE\|=![](./data/image/media/image87.png)=![](./data/image/media/image88.png)=![](./data/image/media/image89.png) ∴\|AB\|+\|DE\|=![](./data/image/media/image86.png)+![](./data/image/media/image89.png)=![](./data/image/media/image90.png)=![](./data/image/media/image91.png)， ∵0＜sin^2^2θ≤1， ∴当θ=45°时，\|AB\|+\|DE\|的最小，最小为16， 故选：A． ![](./data/image/media/image92.png) 【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题． 　 11．（5分）设x、y、z为正数，且2^x^=3^y^=5^z^，则（　　） A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 【考点】72：不等式比较大小．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用． 【分析】x、y、z为正数，令2^x^=3^y^=5^z^=k＞1．lgk＞0．可得x=![](./data/image/media/image93.png)，y=![](./data/image/media/image94.png)，z=![](./data/image/media/image95.png)．可得3y=![](./data/image/media/image96.png)，2x=![](./data/image/media/image97.png)，5z=![](./data/image/media/image98.png)．根据![](./data/image/media/image99.png)=![](./data/image/media/image100.png)![](./data/image/media/image101.png)=![](./data/image/media/image102.png)，![](./data/image/media/image103.png)＞![](./data/image/media/image104.png)=![](./data/image/media/image105.png)．即可得出大小关系． 另解：x、y、z为正数，令2^x^=3^y^=5^z^=k＞1．lgk＞0．可得x=![](./data/image/media/image106.png)，y=![](./data/image/media/image107.png)，z=![](./data/image/media/image108.png)．![](./data/image/media/image109.png)=![](./data/image/media/image110.png)=![](./data/image/media/image111.png)＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x． 【解答】解：x、y、z为正数， 令2^x^=3^y^=5^z^=k＞1．lgk＞0． 则x=![](./data/image/media/image106.png)，y=![](./data/image/media/image112.png)，z=![](./data/image/media/image113.png)． ∴3y=![](./data/image/media/image114.png)，2x=![](./data/image/media/image115.png)，5z=![](./data/image/media/image116.png)． ∵![](./data/image/media/image117.png)=![](./data/image/media/image118.png)![](./data/image/media/image119.png)=![](./data/image/media/image120.png)，![](./data/image/media/image121.png)＞![](./data/image/media/image122.png)=![](./data/image/media/image123.png)． ∴![](./data/image/media/image124.png)＞lg![](./data/image/media/image120.png)＞![](./data/image/media/image125.png)＞0． ∴3y＜2x＜5z． 另解：x、y、z为正数， 令2^x^=3^y^=5^z^=k＞1．lgk＞0． 则x=![](./data/image/media/image126.png)，y=![](./data/image/media/image127.png)，z=![](./data/image/media/image128.png)． ∴![](./data/image/media/image129.png)=![](./data/image/media/image130.png)=![](./data/image/media/image131.png)＞1，可得2x＞3y， ![](./data/image/media/image132.png)=![](./data/image/media/image133.png)=![](./data/image/media/image134.png)＞1．可得5z＞2x． 综上可得：5z＞2x＞3y． 解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系． 故选：D． 【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了"解数学题获取软件激活码"的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，...，其中第一项是2^0^，接下来的两项是2^0^，2^1^，再接下来的三项是2^0^，2^1^，2^2^，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（　　） A．440 B．330 C．220 D．110 【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列． 【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b~n~}的通项公式及前n项和，可知当N为![](./data/image/media/image135.png)时（n∈N~+~），数列{a~n~}的前N项和为数列{b~n~}的前n项和，即为2^n+1^﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码； 方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S~n~=2^n+1^﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2^n+1^为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值． 【解答】解：设该数列为{a~n~}，设b~n~=![](./data/image/media/image136.png)+...+![](./data/image/media/image137.png)=2^n+1^﹣1，（n∈N~+~），则![](./data/image/media/image138.png)=![](./data/image/media/image139.png)a~i~， 由题意可设数列{a~n~}的前N项和为S~N~，数列{b~n~}的前n项和为T~n~，则T~n~=2^1^﹣1+2^2^﹣1+...+2^n+1^﹣1=2^n+1^﹣n﹣2， 可知当N为![](./data/image/media/image140.png)时（n∈N~+~），数列{a~n~}的前N项和为数列{b~n~}的前n项和，即为2^n+1^﹣n﹣2， 容易得到N＞100时，n≥14， A项，由![](./data/image/media/image141.png)=435，440=435+5，可知S~440~=T~29~+b~5~=2^30^﹣29﹣2+2^5^﹣1=2^30^，故A项符合题意． B项，仿上可知![](./data/image/media/image142.png)=325，可知S~330~=T~25~+b~5~=2^26^﹣25﹣2+2^5^﹣1=2^26^+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意． C项，仿上可知![](./data/image/media/image143.png)=210，可知S~220~=T~20~+b~10~=2^21^﹣20﹣2+2^10^﹣1=2^21^+2^10^﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意． D项，仿上可知![](./data/image/media/image144.png)=105，可知S~110~=T~14~+b~5~=2^15^﹣14﹣2+2^5^﹣1=2^15^+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意． 故选A． 方法二：由题意可知：![](./data/image/media/image145.png)，![](./data/image/media/image146.png)，![](./data/image/media/image147.png)，...![](./data/image/media/image148.png)， 根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：2^1^﹣1，2^2^﹣1，2^3^﹣1，...，2^n^﹣1， 每项含有的项数为：1，2，3，...，n， 总共的项数为N=1+2+3+...+n=![](./data/image/media/image149.png)， 所有项数的和为S~n~：2^1^﹣1+2^2^﹣1+2^3^﹣1+...+2^n^﹣1=（2^1^+2^2^+2^3^+...+2^n^）﹣n=![](./data/image/media/image150.png)﹣n=2^n+1^﹣2﹣n， 由题意可知：2^n+1^为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可， 则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有![](./data/image/media/image151.png)+2=3，不满足N＞100， ②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有![](./data/image/media/image152.png)+3=18，不满足N＞100， ③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有![](./data/image/media/image153.png)+4=95，不满足N＞100， ④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有![](./data/image/media/image154.png)+5=440，满足N＞100， ∴该款软件的激活码440． 故选：A． 【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题． 　 **二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．** 13．（5分）已知向量![](./data/image/media/image155.png)，![](./data/image/media/image156.png)的夹角为60°，\|![](./data/image/media/image155.png)\|=2，\|![](./data/image/media/image156.png)\|=1，则\|![](./data/image/media/image157.png)+2![](./data/image/media/image158.png)\|=[　2]{.underline}![](./data/image/media/image159.png)[　]{.underline}． 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可． 【解答】解：【解法一】向量![](./data/image/media/image157.png)，![](./data/image/media/image158.png)的夹角为60°，且\|![](./data/image/media/image160.png)\|=2，\|![](./data/image/media/image161.png)\|=1， ∴![](./data/image/media/image162.png)=![](./data/image/media/image163.png)+4![](./data/image/media/image160.png)•![](./data/image/media/image161.png)+4![](./data/image/media/image164.png) =2^2^+4×2×1×cos60°+4×1^2^ =12， ∴\|![](./data/image/media/image165.png)+2![](./data/image/media/image166.png)\|=2![](./data/image/media/image167.png)． 【解法二】根据题意画出图形，如图所示； 结合图形![](./data/image/media/image168.png)=![](./data/image/media/image169.png)+![](./data/image/media/image170.png)=![](./data/image/media/image165.png)+2![](./data/image/media/image166.png)； 在△OAC中，由余弦定理得 \|![](./data/image/media/image168.png)\|=![](./data/image/media/image171.png)=2![](./data/image/media/image172.png)， 即\|![](./data/image/media/image173.png)+2![](./data/image/media/image174.png)\|=2![](./data/image/media/image172.png)． 故答案为：2![](./data/image/media/image172.png)． ![](./data/image/media/image175.png) 【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题． 　 14．（5分）设x，y满足约束条件![](./data/image/media/image176.png)，则z=3x﹣2y的最小值为[　﹣5　]{.underline}． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式． 【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 【解答】解：由x，y满足约束条件![](./data/image/media/image177.png)作出可行域如图， 由图可知，目标函数的最优解为A， 联立![](./data/image/media/image178.png)，解得A（﹣1，1）． ∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5． 故答案为：﹣5． ![](./data/image/media/image179.png) 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 　 15．（5分）已知双曲线C：![](./data/image/media/image180.png)﹣![](./data/image/media/image181.png)=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为[　]{.underline}![](./data/image/media/image182.png)[　]{.underline}． 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线C：![](./data/image/media/image183.png)﹣![](./data/image/media/image184.png)=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0）， 以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点． 若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=![](./data/image/media/image185.png)， 可得：![](./data/image/media/image186.png)=![](./data/image/media/image187.png)，即![](./data/image/media/image188.png)，可得离心率为：e=![](./data/image/media/image189.png)． 故答案为：![](./data/image/media/image189.png)． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力． 　 16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm^3^）的最大值为[　4]{.underline}![](./data/image/media/image190.png)[cm^3^　]{.underline}． ![](./data/image/media/image191.png) 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=![](./data/image/media/image192.png)BC，设OG=x，则BC=2![](./data/image/media/image193.png)x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=![](./data/image/media/image194.png)，求出S~△ABC~=3![](./data/image/media/image195.png)，V=![](./data/image/media/image196.png)=![](./data/image/media/image197.png)，令f（x）=25x^4^﹣10x^5^，x∈（0，![](./data/image/media/image198.png)），f′（x）=100x^3^﹣50x^4^，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值． 法二：设正三角形的边长为x，则OG=![](./data/image/media/image199.png)，FG=SG=5﹣![](./data/image/media/image200.png)，SO=h=![](./data/image/media/image201.png)=![](./data/image/media/image202.png)=![](./data/image/media/image203.png)，由此能示出三棱锥的体积的最大值． 【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=![](./data/image/media/image204.png)BC， 即OG的长度与BC的长度成正比， 设OG=x，则BC=2![](./data/image/media/image205.png)x，DG=5﹣x， 三棱锥的高h=![](./data/image/media/image206.png)=![](./data/image/media/image207.png)=![](./data/image/media/image208.png)， ![](./data/image/media/image209.png)=3![](./data/image/media/image210.png)， 则V=![](./data/image/media/image211.png)=![](./data/image/media/image212.png)=![](./data/image/media/image213.png)， 令f（x）=25x^4^﹣10x^5^，x∈（0，![](./data/image/media/image214.png)），f′（x）=100x^3^﹣50x^4^， 令f′（x）≥0，即x^4^﹣2x^3^≤0，解得x≤2， 则f（x）≤f（2）=80， ∴V≤![](./data/image/media/image215.png)=4![](./data/image/media/image216.png)cm^3^，∴体积最大值为4![](./data/image/media/image216.png)cm^3^． 故答案为：4![](./data/image/media/image217.png)cm^3^． 解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=![](./data/image/media/image218.png)， ∴FG=SG=5﹣![](./data/image/media/image219.png)， SO=h=![](./data/image/media/image220.png)=![](./data/image/media/image221.png)=![](./data/image/media/image222.png)， ∴三棱锥的体积V=![](./data/image/media/image223.png) =![](./data/image/media/image224.png)=![](./data/image/media/image225.png)![](./data/image/media/image226.png)， 令b（x）=5x^4^﹣![](./data/image/media/image227.png)，则![](./data/image/media/image228.png)， 令b^\'^（x）=0，则4x^3^﹣![](./data/image/media/image229.png)=0，解得x=4![](./data/image/media/image230.png)， ∴![](./data/image/media/image231.png)（cm^3^）． 故答案为：4![](./data/image/media/image232.png)cm^3^． ![](./data/image/media/image233.png) ![](./data/image/media/image234.png) 【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 　 **三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．** 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为![](./data/image/media/image235.png)． （1）求sinBsinC； （2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形． 【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案， （2）根据两角余弦公式可得cosA=![](./data/image/media/image236.png)，即可求出A=![](./data/image/media/image237.png)，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决． 【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S~△ABC~=![](./data/image/media/image236.png)acsinB=![](./data/image/media/image238.png)， ∴3csinBsinA=2a， 由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA， ∵sinA≠0， ∴sinBsinC=![](./data/image/media/image239.png)； （2）∵6cosBcosC=1， ∴cosBcosC=![](./data/image/media/image240.png)， ∴cosBcosC﹣sinBsinC=![](./data/image/media/image240.png)﹣![](./data/image/media/image241.png)=﹣![](./data/image/media/image242.png)， ∴cos（B+C）=﹣![](./data/image/media/image242.png)， ∴cosA=![](./data/image/media/image242.png)， ∵0＜A＜π， ∴A=![](./data/image/media/image243.png)， ∵![](./data/image/media/image244.png)=![](./data/image/media/image245.png)=![](./data/image/media/image246.png)=2R=![](./data/image/media/image247.png)=2![](./data/image/media/image248.png)， ∴sinBsinC=![](./data/image/media/image249.png)•![](./data/image/media/image250.png)=![](./data/image/media/image251.png)=![](./data/image/media/image252.png)=![](./data/image/media/image253.png)， ∴bc=8， ∵a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA， ∴b^2^+c^2^﹣bc=9， ∴（b+c）^2^=9+3cb=9+24=33， ∴b+c=![](./data/image/media/image254.png) ∴周长a+b+c=3+![](./data/image/media/image254.png)． 【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题． 　 18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值． ![](./data/image/media/image255.png) 【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角． 【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD； （2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=![](./data/image/media/image256.png)．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得![](./data/image/media/image257.png)为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值． 【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD， ∵AB∥CD，∴AB⊥PD， 又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD， ∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD； （2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形， 由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形， 在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形， 设PA=AB=2a，则AD=![](./data/image/media/image256.png)． 取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE， 以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则：D（![](./data/image/media/image258.png)），B（![](./data/image/media/image259.png)），P（0，0，![](./data/image/media/image260.png)），C（![](./data/image/media/image261.png)）． ![](./data/image/media/image262.png)，![](./data/image/media/image263.png)，![](./data/image/media/image264.png)． 设平面PBC的一个法向量为![](./data/image/media/image265.png)， 由![](./data/image/media/image266.png)，得![](./data/image/media/image267.png)，取y=1，得![](./data/image/media/image268.png)． ∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD， 又PD⊥PA，PA∩AB=A， ∴PD⊥平面PAB，则![](./data/image/media/image269.png)为平面PAB的一个法向量，![](./data/image/media/image270.png)． ∴cos＜![](./data/image/media/image271.png)＞=![](./data/image/media/image272.png)=![](./data/image/media/image273.png)． 由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角， ∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为![](./data/image/media/image274.png)． ![](./data/image/media/image275.png) 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题． 　 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ^2^）． （1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- 经计算得![](./data/image/media/image276.png)=![](./data/image/media/image277.png)=9.97，s=![](./data/image/media/image278.png)=![](./data/image/media/image279.png)≈0.212，其中x~i~为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，...，16． 用样本平均数![](./data/image/media/image280.png)作为μ的估计值![](./data/image/media/image281.png)，用样本标准差s作为σ的估计值![](./data/image/media/image282.png)，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（![](./data/image/media/image281.png)﹣3![](./data/image/media/image283.png)+3![](./data/image/media/image282.png)）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）． 附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ^2^），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.9974^16^≈0.9592，![](./data/image/media/image284.png)≈0.09． 【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计． 【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论； （2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理； （ⅱ）通过样本平均数![](./data/image/media/image285.png)、样本标准差s估计![](./data/image/media/image286.png)、![](./data/image/media/image287.png)可知（![](./data/image/media/image288.png)﹣3![](./data/image/media/image289.png)+3![](./data/image/media/image290.png)）=（9.334，10.606），进而需剔除（![](./data/image/media/image288.png)﹣3![](./data/image/media/image289.png)+3![](./data/image/media/image290.png)）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论． 【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974， 则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026， 因为P（X=0）=![](./data/image/media/image291.png)×（1﹣0.9974）^0^×0.9974^16^≈0.9592， 所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408， 又因为X～B（16，0.0026）， 所以E（X）=16×0.0026=0.0416； （2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（![](./data/image/media/image292.png)﹣3![](./data/image/media/image293.png)+3![](./data/image/media/image294.png)）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（![](./data/image/media/image292.png)﹣3![](./data/image/media/image293.png)+3![](./data/image/media/image295.png)）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的． （ⅱ）由![](./data/image/media/image296.png)=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为![](./data/image/media/image297.png)=9.97，σ的估计值为![](./data/image/media/image295.png)=0.212，由样本数据可以看出一个 零件的尺寸在（![](./data/image/media/image297.png)﹣3![](./data/image/media/image298.png)+3![](./data/image/media/image299.png)）之外，因此需对当天的生产过程进行检查． 剔除（![](./data/image/media/image300.png)﹣3![](./data/image/media/image301.png)+3![](./data/image/media/image299.png)）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为 ![](./data/image/media/image302.png)（16×9.97﹣9.22）=10.02， 因此μ的估计值为10.02． ![](./data/image/media/image303.png)^2^=16×0.212^2^+16×9.97^2^≈1591.134， 剔除（![](./data/image/media/image304.png)﹣3![](./data/image/media/image305.png)+3![](./data/image/media/image306.png)）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为 ![](./data/image/media/image307.png)（1591.134﹣9.22^2^﹣15×10.02^2^）≈0.008， 因此σ的估计值为![](./data/image/media/image308.png)≈0.09． 【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 　 20．（12分）已知椭圆C：![](./data/image/media/image309.png)+![](./data/image/media/image310.png)=1（a＞b＞0），四点P~1~（1，1），P~2~（0，1），P~3~（﹣1，![](./data/image/media/image311.png)），P~4~（1，![](./data/image/media/image311.png)）中恰有三点在椭圆C上． （1）求C的方程； （2）设直线l不经过P~2~点且与C相交于A，B两点．若直线P~2~A与直线P~2~B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点． 【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P~2~（0，1），P~3~（﹣1，![](./data/image/media/image312.png)），P~4~（1，![](./data/image/media/image312.png)）三点在椭圆C上．把P~2~（0，1），P~3~（﹣1，![](./data/image/media/image312.png)）代入椭圆C，求出a^2^=4，b^2^=1，由此能求出椭圆C的方程． （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立![](./data/image/media/image313.png)，得（1+4k^2^）x^2^+8ktx+4t^2^﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）． 【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P~3~（﹣1，![](./data/image/media/image314.png)），P~4~（1，![](./data/image/media/image314.png)）两点必在椭圆C上， 又P~4~的横坐标为1，∴椭圆必不过P~1~（1，1）， ∴P~2~（0，1），P~3~（﹣1，![](./data/image/media/image314.png)），P~4~（1，![](./data/image/media/image314.png)）三点在椭圆C上． 把P~2~（0，1），P~3~（﹣1，![](./data/image/media/image314.png)）代入椭圆C，得： ![](./data/image/media/image315.png)，解得a^2^=4，b^2^=1， ∴椭圆C的方程为![](./data/image/media/image316.png)=1． 证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y~A~），B（m，﹣y~A~）， ∵直线P~2~A与直线P~2~B的斜率的和为﹣1， ∴![](./data/image/media/image317.png)=![](./data/image/media/image318.png)=![](./data/image/media/image319.png)=﹣1， 解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）， 联立![](./data/image/media/image320.png)，整理，得（1+4k^2^）x^2^+8ktx+4t^2^﹣4=0， ![](./data/image/media/image321.png)，x~1~x~2~=![](./data/image/media/image322.png)， 则![](./data/image/media/image323.png)=![](./data/image/media/image324.png)=![](./data/image/media/image325.png) =![](./data/image/media/image326.png)=![](./data/image/media/image327.png)=﹣1，又t≠1， ∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立， ∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1， 当x=2时，y=﹣1， ∴l过定点（2，﹣1）． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题． 　 21．（12分）已知函数f（x）=ae^2x^+（a﹣2）e^x^﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用． 【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性； （2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）~min~＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）~min~=g（e^﹣2^）=e^﹣2^lne^﹣2^+e^﹣2^﹣1=﹣![](./data/image/media/image328.png)﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围． （1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性； （2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围． 【解答】解：（1）由f（x）=ae^2x^+（a﹣2）e^x^﹣x，求导f′（x）=2ae^2x^+（a﹣2）e^x^﹣1， 当a=0时，f′（x）=﹣2e^x^﹣1＜0， ∴当x∈R，f（x）单调递减， 当a＞0时，f′（x）=（2e^x^+1）（ae^x^﹣1）=2a（e^x^+![](./data/image/media/image329.png)）（e^x^﹣![](./data/image/media/image330.png)）， 令f′（x）=0，解得：x=ln![](./data/image/media/image330.png)， 当f′（x）＞0，解得：x＞ln![](./data/image/media/image331.png)， 当f′（x）＜0，解得：x＜ln![](./data/image/media/image331.png)， ∴x∈（﹣∞，ln![](./data/image/media/image331.png)）时，f（x）单调递减，x∈（ln![](./data/image/media/image331.png)，+∞）单调递增； 当a＜0时，f′（x）=2a（e^x^+![](./data/image/media/image332.png)）（e^x^﹣![](./data/image/media/image331.png)）＜0，恒成立， ∴当x∈R，f（x）单调递减， 综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数， 当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln![](./data/image/media/image331.png)）是减函数，在（ln![](./data/image/media/image333.png)，+∞）是增函数； （2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点， 当a＞0时，f（x）=ae^2x^+（a﹣2）e^x^﹣x， 当x→﹣∞时，e^2x^→0，e^x^→0， ∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞， 当x→∞，e^2x^→+∞，且远远大于e^x^和x， ∴当x→∞，f（x）→+∞， ∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可， 由f（x）在（﹣∞，ln![](./data/image/media/image333.png)）是减函数，在（ln![](./data/image/media/image333.png)，+∞）是增函数， ∴f（x）~min~=f（ln![](./data/image/media/image333.png)）=a×（![](./data/image/media/image334.png)）+（a﹣2）×![](./data/image/media/image333.png)﹣ln![](./data/image/media/image335.png)＜0， ∴1﹣![](./data/image/media/image335.png)﹣ln![](./data/image/media/image335.png)＜0，即ln![](./data/image/media/image335.png)+![](./data/image/media/image335.png)﹣1＞0， 设t=![](./data/image/media/image335.png)，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0）， 求导g′（t）=![](./data/image/media/image336.png)+1，由g（1）=0， ∴t=![](./data/image/media/image337.png)＞1，解得：0＜a＜1， ∴a的取值范围（0，1）． 方法二：（1）由f（x）=ae^2x^+（a﹣2）e^x^﹣x，求导f′（x）=2ae^2x^+（a﹣2）e^x^﹣1， 当a=0时，f′（x）=﹣2e^x^﹣1＜0， ∴当x∈R，f（x）单调递减， 当a＞0时，f′（x）=（2e^x^+1）（ae^x^﹣1）=2a（e^x^+![](./data/image/media/image338.png)）（e^x^﹣![](./data/image/media/image337.png)）， 令f′（x）=0，解得：x=﹣lna， 当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna， 当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna， ∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增； 当a＜0时，f′（x）=2a（e^x^+![](./data/image/media/image338.png)）（e^x^﹣![](./data/image/media/image337.png)）＜0，恒成立， ∴当x∈R，f（x）单调递减， 综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数， 当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数； （2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点， ②当a＞0时，由（1）可知：当x=﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）~min~=f（﹣lna）=1﹣![](./data/image/media/image339.png)﹣ln![](./data/image/media/image339.png)， 当a=1，时，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一个零点， 当a∈（1，+∞）时，由1﹣![](./data/image/media/image339.png)﹣ln![](./data/image/media/image339.png)＞0，即f（﹣lna）＞0， 故f（x）没有零点， 当a∈（0，1）时，1﹣![](./data/image/media/image339.png)﹣ln![](./data/image/media/image339.png)＜0，f（﹣lna）＜0， 由f（﹣2）=ae^﹣4^+（a﹣2）e^﹣2^+2＞﹣2e^﹣2^+2＞0， 故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点， 假设存在正整数n~0~，满足n~0~＞ln（![](./data/image/media/image340.png)﹣1），则f（n~0~）=![](./data/image/media/image341.png)（a![](./data/image/media/image341.png)+a﹣2）﹣n~0~＞![](./data/image/media/image341.png)﹣n~0~＞![](./data/image/media/image342.png)﹣n~0~＞0， 由ln（![](./data/image/media/image343.png)﹣1）＞﹣lna， 因此在（﹣lna，+∞）有一个零点． ∴a的取值范围（0，1）． 【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性及最值，考查函数零点的判断，考查计算能力，考查分类讨论思想，属于中档题． 　 **\[选修4-4，坐标系与参数方程\]** 22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为![](./data/image/media/image344.png)，（θ为参数），直线l的参数方程为 ![](./data/image/media/image345.png)，（t为参数）． （1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l距离的最大值为![](./data/image/media/image346.png)，求a． 【考点】IT：点到直线的距离公式；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；4Q：参数法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（1）将曲线C的参数方程化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标； （2）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈\[0，2π），运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为![](./data/image/media/image347.png)进行分析，可以求出a的值． 【解答】解：（1）曲线C的参数方程为![](./data/image/media/image348.png)（θ为参数），化为标准方程是：![](./data/image/media/image349.png)+y^2^=1； a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0； 联立方程![](./data/image/media/image350.png)， 解得![](./data/image/media/image351.png)或![](./data/image/media/image352.png)， 所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣![](./data/image/media/image353.png)，![](./data/image/media/image354.png)）． （2）l的参数方程![](./data/image/media/image355.png)（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0， 椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈\[0，2π）， 所以点P到直线l的距离d为： d=![](./data/image/media/image356.png)=![](./data/image/media/image357.png)，φ满足tanφ=![](./data/image/media/image358.png)，且的d的最大值为![](./data/image/media/image359.png)． ①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时， \|5sin（θ+4）﹣a﹣4\|≤\|﹣5﹣a﹣4\|=5+a+4=17 解得a=8≥﹣4，符合题意． ②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时 \|5sin（θ+4）﹣a﹣4\|≤\|5﹣a﹣4\|=5﹣a﹣4=1﹣a=17 解得a=﹣16＜﹣4，符合题意． 【点评】本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值，难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a． 　 **\[选修4-5：不等式选讲\]** 23．已知函数f（x）=﹣x^2^+ax+4，g（x）=\|x+1\|+\|x﹣1\|． （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含\[﹣1，1\]，求a的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式． 【分析】（1）当a=1时，f（x）=﹣x^2^+x+4，g（x）=\|x+1\|+\|x﹣1\|=![](./data/image/media/image360.png)，分x＞1、x∈\[﹣1，1\]、x∈（﹣∞，﹣1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可求得f（x）≥g（x）的解集为\[﹣1，![](./data/image/media/image361.png)\]； （2）依题意得：﹣x^2^+ax+4≥2在\[﹣1，1\]恒成立⇔x^2^﹣ax﹣2≤0在\[﹣1，1\]恒成立，只需![](./data/image/media/image362.png)，解之即可得a的取值范围． 【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x^2^+x+4，是开口向下，对称轴为x=![](./data/image/media/image363.png)的二次函数， g（x）=\|x+1\|+\|x﹣1\|=![](./data/image/media/image364.png)， 当x∈（1，+∞）时，令﹣x^2^+x+4=2x，解得x=![](./data/image/media/image365.png)，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，![](./data/image/media/image365.png)\]； 当x∈\[﹣1，1\]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2． 当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2． 综上所述，f（x）≥g（x）的解集为\[﹣1，![](./data/image/media/image365.png)\]； （2）依题意得：﹣x^2^+ax+4≥2在\[﹣1，1\]恒成立，即x^2^﹣ax﹣2≤0在\[﹣1，1\]恒成立，则只需![](./data/image/media/image366.png)，解得﹣1≤a≤1， 故a的取值范围是\[﹣1，1\]． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题． 　
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![](./data/image/media/image1.png){width="0.5416666666666666in" height="0.3194444444444444in"}**2020年自贡中考数学** **满分：150分 时间：120分钟** ![](./data/image/media/image2.emf){width="1.2916666666666667in" height="0.9652777777777778in"}**一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）** 1\. 如图，∥，，则的度数为 （） A.40° B.50° C.55° D.60° 【解析】两平行线同位角相等，再根据对顶角相等即可得到答案.故答案为B 2.5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开始网络直播，有着近千年历史自贡灯会进入"云游"时代，70余万人通过"云观灯"感受"天下第一灯"的璀璨，人数700000用科学记数法表示为 （ ） A. B. C. D. 【解析】根据科学记数法规定，要求，可得C为正确选项. 3.如图所示的几何体的左视图是 （ ） 【解析】根据左视图为，从左往右观看直观图，左视图左边反应空间体后边，左视图右边反应空间体前边，故答案为B 4.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 （ ） A. B. C. D. 【解析】一元二次方程有两个相等实根可得，判别式等于0可得， ，得，故答案为A 5.在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，所得点的坐标是 （ ） A. B. C. D. 【解析】点的平移规律为上加下减，左减右加，可得横坐标不变，纵坐标减3，故答案为D 6.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是 （ ） 【解析】根据轴对称和中心对称的定义，故答案为A 7.对于一组数据，下列说法正确的是 （ ） A. 中位数是5 B. 众数是7 C. 平均数是4 D. 方差是3 【解析】将数据按从小到大排列为，平均值，众数是3，中位数为3，方差为，故答案为C 8.如果一个角的度数比它补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是 （ ） A. 50° B. 70° C. 130° D. 160° 【解析】设这个角为，其补角为，根据题意可得 解之得，故答案为C ![](./data/image/media/image47.emf){width="1.4930555555555556in" height="1.2972222222222223in"} 9.如图，在*△*中，*,以点为圆心，* *长为半径画弧，交于点,连接;则的度数为* （ ） A. 50° B. 40° C. 30° D. 20° 【解析】∵∠A=50°，可得∠B=40°，∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC，∵∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=70°，∴∠ACD=90°-70°=20°，故答案为D 10.函数*与的图象如图所示，则的大致图象为* （ ） 【解析】∵反比函数过一三象限，∴，由二次函数图象可得，所以一次函数应该经过第一、二、三象限，故答案为D. 11.某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务；设实际工作时每天绿化的面积为*万平方米，则下面所列方程中正确的是* （ ） A. B. C. D. 【解析】由题意可得原计划的工作效率为，所以原计划的工作时间为，实际的工作时间为，所以原计划的时间减去实际的时间为40天可得，答案为A ![](./data/image/media/image75.emf){width="1.5402777777777779in" height="1.3180555555555555in"}12.如图，在平行四边形*中， ,是锐角，于点,是的中点，连接；若 ,则的长为* （ ） A. B. C. D. 【解析】延长EF，DA交于G，连接DE，可得△AFG≌△BFE，设，则，可得DF是线段GE的垂直平分线，∴，在Rt△GAE中， 在Rt△AED中，，所以，解得，∴，故答案为B ![](./data/image/media/image98.png){width="1.507638888888889in" height="1.1777777777777778in"} > **第Ⅱ卷 非选择题 （共102分）** **注意事项：**必须使用0.5毫米黑色墨水铅签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题 > 可先用铅笔绘出，确认后用0.5毫米黑色墨水铅签字笔描清楚，答在试题卷上无效. **二.填空题(共6个小题，每题4分，共24分)** 13\. 分解因式： *=* [ ]{.underline} . 【解析】提公因式得，然后再使用完全平方差公式可得 14.与 *最接近的自然数是* [ ]{.underline} . ，可得，∴，∵14接近16，∴更靠近4，故最接近的自然数是2 15.某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了"最受欢迎菜品"的调查统计，以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序 （只填番号） [ ]{.underline} [ ]{.underline} . ①.绘制扇形图；②.收集最受学生欢迎菜品的数据；③.利用扇形图分析出受欢迎的统计图；④.整理所收集的数据. 【解析】先收集，再整理，再分析，最后得到结论，故答案为②④①③ 16.如图，我市在键高铁的某段路基横断面为梯形*，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 [ ]{.underline} 米 （结果保留根号）* ![](./data/image/media/image115.emf){width="1.55in" height="1.5263888888888888in"} ![](./data/image/media/image119.emf){width="2.3222222222222224in" height="1.0416666666666667in"} *【解析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，∵BC=6，∴CE=，∴DF=CE=，∴* ![](./data/image/media/image126.png){width="3.025in" height="1.3416666666666666in"} 17.如图，在矩形*中，是上的一点，连接,将△进行翻折，恰好使点落在的中点处，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作半圆与相切于点;若,则图中阴影部分的面积为 [ ]{.underline} .* 【解析】连接OG、OM，设圆的半径为r，∵CD是圆的切线，∴OG⊥CD，∴△DOG∽△DFC，∴，由翻折可得DF=DA=4，∵CF=BF=2，∴，∴，∴，∴，∴∠ODG=30°，∴∠DFC=∠FOM=60°，△OFM是等边三角形，∴∠DOM=120°，∴ ![](./data/image/media/image148.png){width="1.6777777777777778in" height="1.5347222222222223in"} ![](./data/image/media/image149.emf){width="2.3555555555555556in" height="1.961111111111111in"}18.如图， 直线*与轴交于点，与双曲* *线 在第三象限交于两点，且 ;* *下列等边三角形△，△，△,......* *的边,,,......在轴上，顶点* *......在该双曲线第一象限的分支上，则= [ ]{.underline} ， 前25* *个等边三角形的周长之和为 [ ]{.underline} .* **【解析】设，设直线与轴的交点为H，∴H（），又A（0，b），∴tan∠HAO=，∴∠HAO=30°，∴AB=2BM，AC=2CN，∵BM=，，∴AB=-，AC=，∴，联立得到。** **∴，由已知可得，∴，∴反比例函数的解析式为，过分别向轴作垂线，可得△的边长为4，△的边长为，△的周长为，△的边长为** **∴前25个等边三角形的周长之和为** **=60** ![](./data/image/media/image190.png){width="2.3041666666666667in" height="1.8430555555555554in"} **三.解答题(共8个题，共78分)** 19.（本题满分8分） 计算：. 【解析】 20.（本题满分8分）先化简，再求值：，其中*为不等式组的整数解.* **【解析】化简得；解不等式组可得** **∵，即，且为整数，∴，代入** ![](./data/image/media/image203.emf){width="1.461111111111111in" height="1.4430555555555555in"}21.（本题满分8分）如图，在正方形*中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且,连接和相交于点.* *求证： .* 【解析】证明：∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90° 又∵CE=DF，∴CE+BC=DF+CD即BE=CF 在△BCF和△ABE中 ∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE=BF ![](./data/image/media/image214.png){width="4.75625in" height="1.7513888888888889in"}**22.**（本题满分8分）某校为了响应市政府号召，在"创文创卫"活动周中，设置了"*:文明礼仪；：环境保护；；卫生保洁；:垃圾分类* "四个主题，每个学生选一个主题参与；为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图. ⑴.本次调查的学生人数是 [ ]{.underline} 人，*= [ ]{.underline} ；* *⑵.请补全条形统计图；* *⑶.学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动，如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是 [ ]{.underline} ；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中一天是星期三的概率是 [ ]{.underline} .* **【解析】（1），∴本次调查的学生人数为60人，，故m=30** **（2）**![](./data/image/media/image225.png){width="1.9256944444444444in" height="1.1284722222222223in"} （3）星期一到星期五连续的两天为（星期一、星期二），（星期二、星期三），（星期三、星期四），（星期四、星期五）共4种情况，符合题意的只有（星期一、星期二）这一种情况，故概率为；在星期一到星期四任选两天的所有情况如下：（星期一、星期二），（星期一、星期三），（星期一、星期四），（星期二、星期三）、（星期二、星期四），（星期三、星期四）共6种情况，其中有一天是星期三的情况有：（星期一、星期三），（星期二、星期三），（星期三、星期四）共3种情况，所以概率是 **23.**（本题满分10分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折. *⑴.以（单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出关于的函数关系式；* *⑵.新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？；* *【解析】（1）；当在乙商场购买商品未超过100元时，乙商场按照原价售卖，即；当在乙商场购买物品超过100元时，超过部分按8折，* *∴，化简得；* *∴；* *（2）由题意可知，当购买商品原价小于等于100时，甲商场打9折，乙商场不打折，所以甲商场购物更加划算；* *当购买商品原价超过100元时，* *若，即此时甲商场花费更低，购物选择甲商场；* *若，即，此时甲乙商场购物花费一样；* *若，即时，此时乙商场花费更低，购物选择乙商场；* *综上所述：当购买商品原价金额小于200时，选择甲商场更划算；当购买商品原价金额等于200时，选择甲商场和乙商场购物一样划算；当购买商品原价金额大于200时，选择乙商场更划算.* 24.（本题满分10分）我国著名数学家华罗庚说过"数缺形时少直观，形少数时难入微"；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式*的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离.* *⑴. 发现问题：代数式的最小值是多少？* ![](./data/image/media/image252.emf){width="3.9819444444444443in" height="0.775in"}*⑵. 探究问题：如图，点分别表示的是 ，.* *∵的几何意义是线段与的长度之和* *∴当点在线段上时，;当点点在点的左侧或点的右侧时* *∴的最小值是3.* *⑶.解决问题：* *①.的最小值是 [ ]{.underline} ；* *②.利用上述思想方法解不等式：* ![](./data/image/media/image266.emf){width="3.9819444444444443in" height="0.5083333333333333in"} *③.当为何值时，代数式的最小值是2.* *【解析】（3）*①*设A表示4，B表示-2，P表示x∴线段AB的长度为6，则的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时取得最小值6* ②*设A表示-3，B表示1，P表示x，∴线段AB的长度为4，则* *的几何意义表示为PA+PB，∴不等式的几何意义是PA+PB＞AB，∴P不能在线段AB上，应该在A的左侧或者B的右侧，即不等式的解集为或* ③*设A表示-a，B表示3，P表示x，则线段AB的长度为，的几何意义表示为PA+PB，当P在线段AB上时PA+PB取得最小值，∴* *∴或，即或；* 25.（本题满分12分）如图，⊙*是△的外接圆，为直径，点是*⊙*外一点，且,连接交于点,延长交*⊙*于点.* ⑴.证明：*=;* *⑵.若,证明:是*⊙*的切线；* *⑶.在⑵的条件下，连接交*⊙*于点,连接;若，求的长.* ![](./data/image/media/image298.emf){width="2.279166666666667in" height="1.3333333333333333in"} 【解析】证明：（1）如图，连接CO 在△PCO和△PAO中 ∴△PCO≌△PAO（SSS） ∴∠CPO=∠APO，即PO为∠APC的角平分线， ∵PA=PC，∴CD=AD，PF⊥AC ∵AC为⊙O的弦，PF过圆心O ∴F为优弧中点 ∴*=* （2）证明：∵AB是⊙O的直径，且弦AB所对圆周角为∠ACB ∴∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴sin∠ABC=，cos∠ABC= 设⊙O的半径为r，则AB=2r，∴BC=ABcos∠ABC=，AC=ABsin∠ABC= ∴，∵PA=PC=AB，∴PA=PC= ∴，∴PO=PD+OD=3r ∴，即PA⊥OA，又∵OA是⊙O半径 ∴PA是⊙O的切线； （3）由（2）可得，∴ 在Rt△PBA中，，连接AE，可得∠AEB=90° ∴∠PEA=∠PAB=90°，又∠APE=∠APB，∴△PEA∽△PAB，∴ ∴，过E作EN⊥PD于N，过B作BH⊥PF于H，如图所示 ∴∠BCD=∠CDF=∠BHD=90°，∴四边形BCDH是矩形，∴BH=CD= 在Rt△BPH中，sin∠BPH=， 在Rt△PEN中，sin∠BPH=，∴，∴ ∴ND=PD-PN=， 在Rt△NED中，DE= ∵，∴DE= ![](./data/image/media/image325.png){width="2.2020833333333334in" height="1.4513888888888888in"} 26.（本题满分14分） 在平面直角坐标系中，*抛物线与轴相交于、，交轴于点，点抛物线的顶点，对称轴与轴交于点.* *⑴.求抛物线的解析式；* *⑵.如图1，连接,点是线段上方抛物线上的一动点，于点；过点作轴于点,交于点.点是轴上一动点，当 取最大值时.* *①.求的最小值；* ![](./data/image/media/image348.emf){width="1.6520833333333333in" height="2.1805555555555554in"}![](./data/image/media/image352.emf){width="1.6520833333333333in" height="2.1805555555555554in"}*②.如图2，点是轴上一动点,请直接写出的最小值.* *【解析】（1）将A（-3,0）、B（1,0）代入二次函数得* *解之得，∴二次函数的解析式为* *（2）*①*将二次函数配方得，∴M（-1,4）* *设直线AM的解析式为，将代入直线可得* *解得，∴直线AM的解析式为* *过E作直线，平行于直线AM，且解析式为，∵E在直线AM上方的抛物线上，* *∴；* *当直线与AM距离最大时，EF取得最大值，* *∴当与抛物线只有一个交点时，EF取得最大值* *将直线的解析式代入抛物线得* *由题意可得，△=，经计算得，将代入二次方程可得* *，∴，即E点的横坐标为-2，将代入抛物线得* *∴，又∵⊥轴，∴，将代入直线AM，∴* *∵，∴B、C两点关于轴对称，∴* *∴，当P、B、D三点不共线时* *当P、B、D三点共线时，* *∴当P、B、D三点共线时PC+PD取得最小值，* *在Rt△BHD中。DH=2，BH=3，∴BD=* *∴的最小值为；* ②*过Q作直线平行于轴，并在轴右侧该直线上取一点G，使得* *QG=，∴，当三点共线时* *DQ+QG取得最小值，设Q（0，y），则* *∵QG∥轴，∴，∴* *∴的最小值为*
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![](./data/image/media/image1.png)**绝密★启用前** **2020年普通高等学校招生全国统一考试** **文科数学** **注意事项：** **1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.** **2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.** **3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.** **一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** 1.已知集合则（ ） A. B. C. D. 2.若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） ![](./data/image/media/image11.png) A. B. C. D. 4.设*O*为正方形*ABCD*的中心，在*O*，*A*，*B*，*C*，*D*中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A. B. C. D. 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率*y*和温度*x*（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： ![](./data/image/media/image21.png) 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率*y*和温度*x*的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 6.已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.设函数在的图像大致如下图，则*f*(*x*)的最小正周期为（ ） ![](./data/image/media/image29.png) A![](./data/image/media/image30.wmf) B. C. D. 8.设，则（ ） A. B. C. D. 9.执行下面的程序框图，则输出的*n*=（ ） ![](./data/image/media/image41.png) A. 17 B. 19 C. 21 D. 23 10.设是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 11.设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 2 12.已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. **二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.** 13.若*x*，*y*满足约束条件则*z*=*x*+7*y*的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 14.设向量，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 15.曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 16.数列满足，前16项和为540，则 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. **三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.** **（一）必考题：共60分.** 17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为*A，B，C，D*四个等级.加工业务约定：对于*A*级品、*B*级品、*C*级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 ------ ----- ----- ----- ----- 等级 *A* *B* *C* *D* 频数 40 20 20 20 ------ ----- ----- ----- ----- 乙分厂产品等级的频数分布表 ------ ----- ----- ----- ----- 等级 *A* *B* *C* *D* 频数 28 17 34 21 ------ ----- ----- ----- ----- （1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率； （2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务? 18.的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*.已知*B*=150°. （1）若*a*=*c*，*b*=2，求的面积； （2）若sin*A*+sin*C*=，求*C*. 19.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠*APC*=90°． ![](./data/image/media/image76.png) （1）证明：平面*PAB*⊥平面*PAC*； （2）设*DO*=，圆锥的侧面积为，求三棱锥*P*−*ABC*的体积. 20.已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 21.已知*A*、*B*分别为椭圆*E*：（*a*\>1）的左、右顶点，*G*为*E*的上顶点，，*P*为直线*x*=6上的动点，*PA*与*E*的另一交点为*C*，*PB*与*E*的另一交点为*D．* （1）求*E*的方程； （2）证明：直线*CD*过定点![](./data/image/media/image30.wmf) **（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.** **\[选修4---4：坐标系与参数方程\]** 22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）当时，是什么曲线？ （2）当时，求与的公共点的直角坐标． **\[选修4---5：不等式选讲\]** 23.已知函数． （1）画出![](./data/image/media/image96.wmf)图像； ![](./data/image/media/image97.png) （2）求不等式![](./data/image/media/image96.wmf)解集． ![](./data/image/media/image99.png) 本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。 > 登录组卷网可对本试卷进行**单题组卷**、**细目表分析**、**布置作业**、**举一反三**等操作。 试卷地址：![](./data/image/media/image96.wmf)[[在组卷网浏览本卷]{.underline}](http://zujuan.xkw.com/qbm/paper/2501596199190528) 组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过900万精品解析试题。 关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。 ![](./data/image/media/image100.jpeg) 学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。 钱老师 QQ：537008204    曹老师 QQ：713000635
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**北师大版小学二年级下册数学第六单元《加与减一》单元测试2（附答案）** 一、想一想，填一填。(15分) 来源：www.bcjy123.com/tiku/ 1．15个百加上( )个百是23个百，是( )。 2．( )个百减6个百是1200。 3．笔算加法时，哪一位上的数相加满( )，就要向( )进( )。 4．比最大的两位数多376的数是( )。 5．299＋275＝300＋275○1。 6．一道减法算式中的减数和差都是132，被减数是( )。 7．用8，2，6组成的最小三位数是( )，最大三位数是( )。 8．在○里填上"＞"、"＜"或"＝"。 807－289○500 403－68○285＋78 397＋493○800 700－251○700－351来源：www.bcjy123.com/tiku/ 二、将正确答案的序号填入( )中。(7分) 1．比618多87的数是( )。 ①531 ②705 2．一个四位数减一个三位数，可能得一个( )位数。 ①三 ②四 ③一、二、三或四 3．最大的三位数与最小的两位数的和是( )。 ①1000 ②990 ③1009 4．结果小于800的算式是( )。 ① 445 ② 443 ③ 934 ＋298 ＋358 － 85 5．下面算法中，不正确的是( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/ ① 611 ② 611＋99 ③ 611 ＋ 99 ＝611＋100－1 ＋ 99 700 ＝710 710 6．两个数的和是583，如果一个加数增加90，另一个加数减少70，那么和( )。 ①不变 ②增加20 ③减少20 7．在15的后面填一个0，这个数就比原来的数多( )。 ①15 ②135 ③10 ④150 三、下面计算对吗？把不对的改正过来。(12分) 55 832 ＋ 236 － 193 786 739 902 900 ＋ 275 － 326 1107 584 四、算一算。(25分) 1．开火车啦！(6分) ![](./data/image/media/image1.jpeg) 2．计算。(6分) 324 435 714 ＋117 ＋578 ＋295 3．计算并验算。(8分) 900-327＝ 验算： 256＋388＝ 验算： 4．连线。(5分) 726－193 812－108 325＋675 286＋210 398＋597 接近500 接近700 接近1000 五、下面各题，对的打"√"，错的打"×"。(5分) 1．计算加减法时，相同数位要对齐。 ( ) 2．加法可以用减法来验算。 3．360比250多610。 ( ) 4．最大的四位数比最小的五位数多1。 ( ) 5．638－219的差大约是420。 ( ) 六、应用数学。(31分) 1．学校一共新购买700本字典，一年级有326人，二年级有296人。两个年级每人发一本字典够吗？多或少多少本？(5分) 2．(6分) ![](./data/image/media/image2.jpeg) 我有427本。 我比故事书 我比连环 多187本。 画少96本！ (1)连环画有多少本？ (2)科技书有多少本？ 3．水果店本周卖出各种水果如下表：(单位：千克) ------ ------ ----- ------ ------ ------ ------ 品名 苹果 梨 桃子 香蕉 菠萝 橘子 质量 495 507 326 360 132 386 ------ ------ ----- ------ ------ ------ ------ (1)哪种水果卖得最多？哪种水果卖得最少？相差多少千克？(4分) (2)共卖出桃子和橘子多少千克？(4分) (3)哪两种水果卖出的千克数最接近？相差多少千克？(4分) (4)哪两种水果卖出的总数最多？哪两种水果卖出的总数最少？各是多少千克？(4分) (5)请你提出一个问题，并解答。(4分) 七、选做题。(A、B两题选做一题，做对A题得5分，做对B题得5分，A、B两题都做对，可得10分) A．小红昨天收了465个鸡蛋，今天比昨天多收了97个。养鸡场今天收了多少个鸡蛋？两天共收了多少个鸡蛋？(5分) B．下面是"北京---南京"沿线各大站的火车里程表。(5分) ![](./data/image/media/image3.jpeg) ------ ------------ 到站 里程／千米 天津 127 济南 498 徐州 815 蚌埠 978 ------ ------------ 北京到徐州与天津到蚌埠哪段路远？远多少千米？ 附加题。(5分) 在○里填上20、40、60、80、100、120，使每条线上三个数的和都等于180。 ![](./data/image/media/image4.jpeg) **参考答案** 一、1．8 2300 2．18 3．十 前一位 一 4．475 5．－ 6．264 7．268 862 8．＞ ＜ ＞ ＞ 二、1．② 2．③ 3．③ 4．① 5．① 6．② 7．② 三、291 639 1177 574 四、1．4000 6000 6700 3900 3400 3470 2．207 1013 419 3．573 644 4．接近500：726－193 286＋210 接近700：812－108 接近1000：325＋675 398＋597 五、1．√ 2．√ 3．× 4．× 5．√ 六、1．326＋296＝622(人) 622＜700 够 700－622＝78(本) 多78本 2．(1)427＋187＝614(本) (2)614－96＝518(本) 3．(1)梨卖得最多 菠萝卖得最少 507－132＝375(千克) (2)326＋386＝712(千克) (3)苹果和梨 507－495＝12(千克) (4)苹果和梨卖出的总数最多 495＋507＝1002(千克) 桃子和菠萝卖出的总数最少 326＋132＝458(千克) (5)略 七、A．465＋97＝562(千克) 465＋562＝1027(千克) B．天津到蚌埠远 978－127＝851(千米) 851－815＝36(千米) 附加题： ![](./data/image/media/image5.jpeg)
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![](./data/image/media/image1.png) **一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）** 1．复数![](./data/image/media/image2.wmf)的共轭复数是（ ） A．![](./data/image/media/image3.wmf) B．![](./data/image/media/image4.wmf) C．![](./data/image/media/image5.wmf) D．![](./data/image/media/image6.png)![](./data/image/media/image7.wmf) 【答案】D 【解析】 试题分析：由于![](./data/image/media/image2.wmf)![](./data/image/media/image8.wmf),因此应选D． 考点：复数的运算． 2．已知集合![](./data/image/media/image9.wmf)，若![](./data/image/media/image10.wmf)，则实数![](./data/image/media/image11.wmf)的取值范围是（ ） A．![](./data/image/media/image12.wmf) B．![](./data/image/media/image13.wmf) C．![](./data/image/media/image14.wmf) D．![](./data/image/media/image15.wmf) 【答案】C ![](./data/image/media/image16.png)考点：二次不等式的解法和集合的运算． 3．某工厂生产![](./data/image/media/image17.wmf)、![](./data/image/media/image18.wmf)、![](./data/image/media/image19.wmf)三种不同型号的产品，产品数量之比依次为![](./data/image/media/image20.wmf)，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知![](./data/image/media/image17.wmf)种型号产品共抽取了24件，则![](./data/image/media/image19.wmf)种型号产品抽取的件数为（ ） A．24 B．30 C．36 D．40 【答案】C 【解析】 试题分析：因![](./data/image/media/image21.wmf),故![](./data/image/media/image22.wmf),应选C. 考点：抽样方法及计算． 4．如图给出的是计算![](./data/image/media/image23.wmf)的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ） A．![](./data/image/media/image24.wmf) B．![](./data/image/media/image25.wmf) C．![](./data/image/media/image26.wmf) ![](./data/image/media/image6.png) D．![](./data/image/media/image27.wmf) ![](./data/image/media/image28.png) 【答案】C 【解析】 试题分析：从所给算法流程可以看出当![](./data/image/media/image29.wmf)时仍在运算,当![](./data/image/media/image30.wmf)时运算就结束了,所以应选C. 考点：算法流程图的识读和理解． 5．已知把函数![](./data/image/media/image31.wmf)的图像向右平移![](./data/image/media/image32.wmf)个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数![](./data/image/media/image33.wmf)，则函数![](./data/image/media/image33.wmf)的一条对称轴为（ ） A．![](./data/image/media/image34.wmf) B．![](./data/image/media/image35.wmf) C．![](./data/image/media/image36.wmf) D．![](./data/image/media/image37.wmf) 【答案】D ![](./data/image/media/image38.png)考点：三角函数的图象和性质． 6．已知等比数列![](./data/image/media/image39.wmf)的前![](./data/image/media/image40.wmf)项的和为![](./data/image/media/image41.wmf)，则![](./data/image/media/image42.wmf)的极大值为（ ） A．2 B．3 C．![](./data/image/media/image43.wmf) D．![](./data/image/media/image44.wmf) 【答案】D 【解析】 试题分析：因![](./data/image/media/image45.wmf),即![](./data/image/media/image46.wmf),故题设![](./data/image/media/image47.wmf),所以![](./data/image/media/image48.wmf),由于![](./data/image/media/image49.wmf),因此当![](./data/image/media/image50.wmf)时, ![](./data/image/media/image51.wmf)单调递增；当![](./data/image/media/image52.wmf)时, ![](./data/image/media/image53.wmf)单调递减,所以函数![](./data/image/media/image54.wmf)在![](./data/image/media/image55.wmf)处取极大值![](./data/image/media/image56.wmf),应选D. 考点：等比数列的前![](./data/image/media/image57.wmf)项和与函数的极值. 7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A．48种 B．72种 C．78种 D．![](./data/image/media/image6.png)84种 【答案】A ![](./data/image/media/image58.png)考点：排列组合数公式及两个计数原理的运用. 8．已知椭圆![](./data/image/media/image59.wmf)的左、右焦点![](./data/image/media/image60.wmf)与双曲线![](./data/image/media/image61.wmf)的焦点重合．且直线 ![](./data/image/media/image62.wmf)与双曲线右支相交于点![](./data/image/media/image63.wmf)，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（ ） A．![](./data/image/media/image64.wmf) B．![](./data/image/media/image65.wmf) C．![](./data/image/media/image66.wmf) D．![](./data/image/media/image67.wmf) 【答案】D 【解析】 试题分析：因![](./data/image/media/image68.wmf),故![](./data/image/media/image69.wmf),设交点![](./data/image/media/image70.wmf),则![](./data/image/media/image71.wmf) ![](./data/image/media/image72.wmf),右准线方程为![](./data/image/media/image73.wmf),点![](./data/image/media/image74.wmf)到这条直线的距离为![](./data/image/media/image75.wmf),所以![](./data/image/media/image76.wmf)![](./data/image/media/image6.png),即![](./data/image/media/image77.wmf),也即![](./data/image/media/image78.wmf),该方程有正根,所以 ![](./data/image/media/image79.wmf),解之得![](./data/image/media/image80.wmf)或![](./data/image/media/image81.wmf),所以当![](./data/image/media/image82.wmf)时,双曲线的离心率最小,此时![](./data/image/media/image83.wmf),应选D. 考点：双曲线的几何性质． 【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线的基本量的计算问题.解答这类问题的一般思路是依据题设条件想方设法建构含![](./data/image/media/image84.wmf)的方程,然后再通过解方程或方程组使问题获解.解答本题的难点是如何建立和求出关于![](./data/image/media/image6.png)离心率的目标函数,再进一步探求该函数取得最小值时的条件,从而求出双曲线的标准方程中的![](./data/image/media/image85.wmf)的值.本题中的函数是运用两点之间的距离公式建立的,求解时是解不等式而求出![](./data/image/media/image85.wmf)的值. 9．一个长方体的四个顶点构成一个四面体![](./data/image/media/image86.wmf)，在这个长方体中把四面体![](./data/image/media/image86.wmf)截出如图所示，则四面体![](./data/image/media/image86.wmf)的侧视图是（ ） ![](./data/image/media/image87.png) A．![](./data/image/media/image88.png) B．![](./data/image/media/image89.png) C．![](./data/image/media/image90.png) D．![](./data/image/media/image91.png) 【答案】D ![](./data/image/media/image92.png)考点：三视图的识读和理解． 10．已知函数![](./data/image/media/image93.wmf)的对称中心的横坐标为![](./data/image/media/image94.wmf)，且![](./data/image/media/image95.wmf)有三个零点，则实数![](./data/image/media/image96.wmf)的取值范围是（ ） > A．![](./data/image/media/image97.wmf) B．![](./data/image/media/image98.wmf) C．![](./data/image/media/image99.wmf) D．![](./data/image/media/image100.wmf) 【答案】B 【解析】 试题分析：由于![](./data/image/media/image101.wmf)因此函数![](./data/image/media/image93.wmf)有两个极值点![](./data/image/media/image102.wmf),因![](./data/image/media/image103.wmf),故![](./data/image/media/image104.wmf),即![](./data/image/media/image105.wmf),应选B. 考点：导数在研究函数的零点中的运用． 11．已知三棱锥![](./data/image/media/image106.wmf)的四个顶点都在球![](./data/image/media/image107.wmf)的球面上，若![](./data/image/media/image108.wmf)，![](./data/image/media/image109.wmf)，![](./data/image/media/image110.wmf)，且![](./data/image/media/image111.wmf)平面![](./data/image/media/image112.wmf)，则球![](./data/image/media/image107.wmf)的表面积为（ ） A．![](./data/image/media/image113.wmf) B．![](./data/image/media/image114.wmf) C．![](./data/image/media/image115.wmf) D．![](./data/image/media/image116.wmf) 【答案】A ![](./data/image/media/image117.png)考点：球的几何性质与表面积的计算． 【易错点晴】本题考查的是多面体的外接球的表面积问题.解答本题的难点是如何求出该四棱锥的外接球的半径,如何确定球心的位置,这对学生的空间想象能力的要求非常高.解答时充分借助题设条件,先求出三角形![](./data/image/media/image118.wmf)的外接圆的半径![](./data/image/media/image119.wmf),再借助![](./data/image/media/image111.wmf)平面![](./data/image/media/image112.wmf),球心![](./data/image/media/image120.wmf)与![](./data/image/media/image118.wmf)的外接圆的圆心![](./data/image/media/image121.wmf)的连线也垂直于![](./data/image/media/image118.wmf)所在的平面,从而确定球心![](./data/image/media/image120.wmf)与![](./data/image/media/image122.wmf)共面.求出了球的半径,找到解题的突破口. 12．已知函数![](./data/image/media/image123.wmf)下列是关于函数![](./data/image/media/image124.wmf)的零点个数的四种判断：①当![](./data/image/media/image125.wmf)时，有3个零点；②当![](./data/image/media/image126.wmf)时．有2个零点；③当![](./data/image/media/image125.wmf)时，有4个零点；④当![](./data/image/media/image126.wmf)时，有1个零点．则正确的判断是（ ） A．③④ B．②③ C．①④ D．①② 【答案】A 【解析】 试题分析：若![](./data/image/media/image127.wmf).当![](./data/image/media/image128.wmf),即![](./data/image/media/image129.wmf)时,![](./data/image/media/image130.wmf),解得 ![](./data/image/media/image131.wmf)；当![](./data/image/media/image132.wmf),即![](./data/image/media/image133.wmf)时,![](./data/image/media/image134.wmf),当![](./data/image/media/image135.wmf),解得![](./data/image/media/image136.wmf)适合； 当![](./data/image/media/image137.wmf),解得![](./data/image/media/image138.wmf)不适合.若![](./data/image/media/image139.wmf),若![](./data/image/media/image140.wmf),则![](./data/image/media/image141.wmf),即![](./data/image/media/image142.wmf),当![](./data/image/media/image143.wmf)合适,![](./data/image/media/image144.wmf)时不合适；若![](./data/image/media/image145.wmf),则 ![](./data/image/media/image146.wmf),即![](./data/image/media/image147.wmf)也即![](./data/image/media/image148.wmf),当![](./data/image/media/image149.wmf)时适合；当![](./data/image/media/image150.wmf)不合适.因此当 ![](./data/image/media/image151.wmf)时有四个根![](./data/image/media/image152.wmf)；当![](./data/image/media/image153.wmf)只有一个根![](./data/image/media/image131.wmf),应选A.\[来源:学。科。网\] 考点：函数的零点和分类整合思想． 【易错点晴】本题考查的是函数零点的个数及求解问题.解答时借助题设条件,合理运用分类整合的数学思想,通过对变量![](./data/image/media/image154.wmf)的分类讨论,建立了关于函数![](./data/image/media/image155.wmf)的方程,再通过对参数![](./data/image/media/image156.wmf)的分类讨论,求解出方程![](./data/image/media/image157.wmf)的根,求解时分类务必要求合乎逻辑力争做到不重不漏,要有条理.解答本题的难点是如何转化方程![](./data/image/media/image157.wmf),如何进行分类整合. **第Ⅱ卷（非选择题共90分）** **二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）** 13．已知抛物线![](./data/image/media/image158.wmf)的焦点为![](./data/image/media/image159.wmf)，![](./data/image/media/image160.wmf)的顶点都在抛物线上，且满足![](./data/image/media/image161.wmf)，则![](./data/image/media/image162.wmf)\_\_\_\_\_\_． 【答案】![](./data/image/media/image163.wmf) ![](./data/image/media/image164.png)考点：抛物线的几何性质． 14．设曲线![](./data/image/media/image165.wmf)在点![](./data/image/media/image166.wmf)处的切线与![](./data/image/media/image167.wmf)轴的交点横坐标为![](./data/image/media/image168.wmf)，则 ![](./data/image/media/image169.wmf)的值为\_\_\_\_\_\_． 【答案】![](./data/image/media/image170.wmf) 【解析】 试题分析：因![](./data/image/media/image171.wmf),而![](./data/image/media/image172.wmf),即切线的斜率![](./data/image/media/image173.wmf),故切线方程为 ![](./data/image/media/image174.wmf),令![](./data/image/media/image175.wmf)得![](./data/image/media/image176.wmf),所以![](./data/image/media/image177.wmf),而 ![](./data/image/media/image169.wmf)![](./data/image/media/image178.wmf). 考点：导数的几何意义． 15．已知![](./data/image/media/image179.wmf)中，角![](./data/image/media/image180.wmf)、![](./data/image/media/image181.wmf)、![](./data/image/media/image182.wmf)的对边分别为![](./data/image/media/image183.wmf)、![](./data/image/media/image184.wmf)、![](./data/image/media/image185.wmf)，已知![](./data/image/media/image186.wmf)，则![](./data/image/media/image187.wmf)的最小值为\_\_\_\_\_\_． 【答案】![](./data/image/media/image188.wmf) ![](./data/image/media/image189.png)考点：余弦定理和基本不等式的运用． 【易错点晴】本题考查的是以三角形中的三角变换为背景,其实是和解三角形有关的最小值问题.求解本题的关键是如何将题设条件![](./data/image/media/image186.wmf)与![](./data/image/media/image187.wmf)的最小值进行联系,这也是解答好本题的突破口.解答时先运用二倍角公式将其化为![](./data/image/media/image190.wmf),再运用正弦定理将其转化为三角形的边的等式![](./data/image/media/image191.wmf).然后再借助余弦定理和基本不等式进行联系,从而求出![](./data/image/media/image187.wmf)的最小值. 16．若函数![](./data/image/media/image192.wmf)在定义域![](./data/image/media/image193.wmf)内的某个区间![](./data/image/media/image194.wmf)上是增函数，且![](./data/image/media/image195.wmf)在![](./data/image/media/image194.wmf)上也是增函数，则称![](./data/image/media/image196.wmf)是![](./data/image/media/image194.wmf)上的"完美函数"．已知![](./data/image/media/image197.wmf)，若函数![](./data/image/media/image198.wmf)是区间![](./data/image/media/image199.wmf)上的"完美函数"，则整数![](./data/image/media/image200.wmf)的最小值为\_\_\_\_\_\_． 【答案】![](./data/image/media/image201.wmf) 【解析】 试题分析：令![](./data/image/media/image202.wmf),则![](./data/image/media/image203.wmf),当![](./data/image/media/image204.wmf)时, ![](./data/image/media/image205.wmf),不合题设；当![](./data/image/media/image206.wmf)时, ![](./data/image/media/image207.wmf)，![](./data/image/media/image208.wmf)符合题设,所以所求最小的正整数![](./data/image/media/image209.wmf). 考点：导函数的几何意义． 【易错点晴】本题以新定义的完美函数为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何建立满足不等式的实数![](./data/image/media/image210.wmf)的值.求解时依据题设条件先对函数 ![](./data/image/media/image197.wmf)和![](./data/image/media/image211.wmf)求导,建立不等式组,求参数![](./data/image/media/image212.wmf)的值时运用的是试验验证法,即根据题设条件对适合条件的实数![](./data/image/media/image213.wmf)的值进行逐一检验,最终获得答案. **三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）** 17．（本小题满分12分） 设数列![](./data/image/media/image214.wmf)的前![](./data/image/media/image215.wmf)项和为![](./data/image/media/image216.wmf)，且首项![](./data/image/media/image217.wmf)． （1）求证：![](./data/image/media/image218.wmf)是等比数列； （2）若![](./data/image/media/image214.wmf)为递增数列，求![](./data/image/media/image219.wmf)的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)![](./data/image/media/image220.wmf). ![](./data/image/media/image221.png)（2）由（1）得，![](./data/image/media/image222.wmf)，所以![](./data/image/media/image223.wmf)． 当![](./data/image/media/image224.wmf)时， ![](./data/image/media/image225.png)考点：等比数列及递增数列等有关知识的运用．\[来源:学科网\] 18．（本小题满分12分） 有一批货物需要用汽车![](./data/image/media/image6.png)从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城![](./data/image/media/image6.png)市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙![](./data/image/media/image6.png)的200辆汽车所用时间的频率分布如下表： ------------------------------------------------------------------ ---- ---- ---- ---- 所用的时间（天数） 10 11 12 13 通过公路1的频数 20 40 20 20 通过公路2的![](./data/image/media/image6.png)频数\[来源:学科网\] 10 40 40 10 ------------------------------------------------------------------ ---- ---- ---- ---- 假设汽车![](./data/image/media/image226.wmf)只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车![](./data/image/media/image227.wmf)只能在约定日期的前12天出发（将频 率视为概率）． （l）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车![](./data/image/media/image226.wmf)和汽车![](./data/image/media/image227.wmf)应如何选择各自的路 径； （2）若通过公路1、公路2的"一次性费用"分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费 用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元， 若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天， 生产商将支付给销售商2万元．如果汽车![](./data/image/media/image228.wmf)按（1）中所![](./data/image/media/image6.png)选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获 得的毛利润更大． 【答案】(1) 汽车![](./data/image/media/image229.wmf)选择公路![](./data/image/media/image230.wmf)，汽车![](./data/image/media/image231.wmf)选择公路![](./data/image/media/image232.wmf)；(2)汽车![](./data/image/media/image233.wmf)为生产商获得毛利润更大．. ![](./data/image/media/image234.png)（Ⅱ）设![](./data/image/media/image235.wmf)表示汽车![](./data/image/media/image229.wmf)选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则![](./data/image/media/image236.wmf)． ![](./data/image/media/image235.wmf)的分布列如下： -------------------------------------- ----- ----- ----- ----- ![](./data/image/media/image235.wmf) 42 40 38 36 ![](./data/image/media/image237.wmf) 0.2 0.4 0.2 0.2 -------------------------------------- ----- ----- ----- ----- ![](./data/image/media/image238.wmf)． ∴表示汽车![](./data/image/media/image229.wmf)选择公路1时的毛利润为![](./data/image/media/image239.wmf)（万元）． 设![](./data/image/media/image240.wmf)表示汽车![](./data/image/media/image233.wmf)选择公![](./data/image/media/image6.png)路2时的毛利润，![](./data/image/media/image241.wmf)． 则![](./data/image/media/image240.wmf)的分布列如下： -------------------------------------- ------ --------------------------------------- ------ ------ ![](./data/image/media/image235.wmf) 42.4 40.4 38.4 36.4 ![](./data/image/media/image237.wmf) 0.1 0![](./data/image/media/image6.png).4 0.4 0.1 -------------------------------------- ------ --------------------------------------- ------ ------ ![](./data/image/media/image242.wmf)． ∵![](./data/image/media/image243.wmf)，∴汽车![](./data/image/media/image233.wmf)为生产商获得毛利润更大． 考点：概率和随机变量的分布列与数学期望等有关知识的运用． 19．（本小题满分12分） ![](./data/image/media/image6.png)如图，平面![](./data/image/media/image244.wmf)平面![](./data/image/media/image245.wmf)，![](./data/image/media/image246.wmf)，![](./data/image/media/image247.wmf)为等边三角形，![](./data/image/media/image248.wmf)，过![](./data/image/media/image249.wmf)作平面交![](./data/image/media/image250.wmf)、 ![](./data/image/media/image251.wmf)分别于点![](./data/image/media/image252.wmf)、![](./data/image/media/image253.wmf)． （1）求证：![](./data/image/media/image254.wmf)； （2）设![](./data/image/media/image255.wmf)，求![](./data/image/media/image6.png)![](./data/image/media/image256.wmf)的值，使得平面![](./data/image/media/image257.wmf)与平面![](./data/image/media/image258.wmf)所成的锐二面角的大小为![](./data/image/media/image259.wmf)． ![](./data/image/media/image260.png) 【答案】(1)证明见解析；(2) ![](./data/image/media/image261.wmf). ![](./data/image/media/image262.png) ![](./data/image/media/image263.png) 考点：空间直线与平面的位置关系及空间向量等有关知识的运用． 【易错点晴】空间向量是理科高考的必考的重要内容之一,也是高考的难点之一.解答这类问题的关键是运算求解能力不过关和灵活运用数学知识和思想方法不到位.解答本题的两个问题时,都是通过建立空间直角坐标系,充分借助题设条件和空间向量的有关知识进行推证和求解.第一问中的求证是借助向量共线定理进行推证的；第二问中充分运用向量的数量积公式建立方程的,通过解方程从而求出![](./data/image/media/image261.wmf).如何通过计算建立方程是解答好本题的难点和关键之所在. 20．（本小题满分12分） 如图，已知圆![](./data/image/media/image264.wmf)，点![](./data/image/media/image265.wmf)，![](./data/image/media/image266.wmf)是圆![](./data/image/media/image267.wmf)上任意一点线段![](./data/image/media/image268.wmf)的垂直平分线和半 径![](./data/image/media/image269.wmf)相交于![](./data/image/media/image270.wmf)． （1）求动点![](./data/image/media/image270.wmf)的轨迹![](./data/image/media/image271.wmf)的方程； （2）设直线![](./data/image/media/image272.wmf)与（1）中轨迹![](./data/image/media/image271.wmf)相交下![](./data/image/media/image228.wmf)两点，直线![](./data/image/media/image273.wmf)的斜率分别为![](./data/image/media/image6.png)![](./data/image/media/image274.wmf)（其中![](./data/image/media/image275.wmf)）．![](./data/image/media/image276.wmf) 的面积为![](./data/image/media/image277.wmf)，以![](./data/image/media/image278.wmf)为直径的圆的面积分别为![](./data/image/media/image279.wmf)．若![](./data/image/media/image274.wmf)恰好构成等比数列，求![](./data/image/media/image280.wmf)的取 值范围． ![](./data/image/media/image281.png)\[来源:学§科§网\] 【答案】(1) ![](./data/image/media/image282.wmf)；(2)![](./data/image/media/image283.wmf). ![](./data/image/media/image284.png)（2）设直线![](./data/image/media/image285.wmf)的方程为![](./data/image/media/image286.wmf)，![](./data/image/media/image287.wmf) 由![](./data/image/media/image288.wmf)可得![](./data/image/media/image289.wmf)， ![](./data/image/media/image290.png)又![](./data/image/media/image291.wmf) 则![](./data/image/media/image292.wmf) ![](./data/image/media/image293.wmf)为定值．12分 ∴![](./data/image/media/image294.wmf)当且仅当![](./data/image/media/image295.wmf)时等号成立． 综上：![](./data/image/media/image296.wmf)．14分 考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的运用． 21．（本小题满分12分） 已知函数![](./data/image/media/image297.wmf)． （l）求函数![](./data/image/media/image298.wmf)的单调区间； （2）当![](./data/image/media/image299.wmf)时，求![](./data/image/media/image298.wmf)在![](./data/image/media/image300.wmf)上的最大值和最小值![](./data/image/media/image301.wmf)； （3）求证：![](./data/image/media/image302.wmf)． 【答案】(1) 若![](./data/image/media/image303.wmf)，函数![](./data/image/media/image304.wmf)的单调减区间为![](./data/image/media/image305.wmf)，若![](./data/image/media/image306.wmf)，![](./data/image/media/image304.wmf)的单调增区间为![](./data/image/media/image307.wmf)，单调减区间为![](./data/image/media/image308.wmf)；(2)最大值为![](./data/image/media/image309.wmf)，最小值为![](./data/image/media/image310.wmf)；(3)证明见解析. ![](./data/image/media/image311.png)![](./data/image/media/image312.png) 考点：导数在研究函数的单调性和最值中的运用． 【易错点晴】本题以探求函数的单调性和不等式的推证为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的综合应用问题.解答本题的第一问时,是直接依据题设条件运用分类讨论的思想求出单调区间；第二问中的最值求解则是运用导数研究函数在各个区间上的单调性,再依据最值的定义求出最值；第三问中的不等式的证明和推证则是依据题设条件,将问题进行合理有效的转化为求最值问题.体现数学中的化归与转化的数学思想的巧妙运用. **请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.** 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 已知直线![](./data/image/media/image313.wmf)与圆![](./data/image/media/image314.wmf)相切于点![](./data/image/media/image315.wmf)，![](./data/image/media/image316.wmf)交圆![](./data/image/media/image317.wmf)于![](./data/image/media/image318.wmf)、![](./data/image/media/image319.wmf)两点，![](./data/image/media/image320.wmf)交圆于![](./data/image/media/image321.wmf)，![](./data/image/media/image322.wmf)，![](./data/image/media/image323.wmf)， ![](./data/image/media/image324.wmf)，![](./data/image/media/image325.wmf)． （1）求证：![](./data/image/media/image326.wmf)； （2）求![](./data/image/media/image327.wmf)的长． ![](./data/image/media/image328.jpeg) 【答案】(1)证明见解析；(2)![](./data/image/media/image329.wmf). ![](./data/image/media/image330.png)考点：圆的有关知识的及运用． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆![](./data/image/media/image331.wmf)的方程为![](./data/image/media/image332.wmf)，以极点为坐标原点，极轴为![](./data/image/media/image333.wmf)轴正半轴建立平面直 角坐标系，设直线![](./data/image/media/image334.wmf)的参数方程为![](./data/image/media/image335.wmf)（![](./data/image/media/image336.wmf)为参数）． （1）求圆![](./data/image/media/image331.wmf)的标准方程和直线![](./data/image/media/image334.wmf)的普通方程；\[来源:Z,xx,k.Com\] （2）若直线![](./data/image/media/image334.wmf)与圆![](./data/image/media/image331.wmf)恒有公共点，求实数![](./data/image/media/image337.wmf)的取值范围． 【答案】(1) ![](./data/image/media/image338.wmf)，![](./data/image/media/image339.wmf)；(2) ![](./data/image/media/image340.wmf)或![](./data/image/media/image341.wmf). ![](./data/image/media/image342.png)考点：极坐标方程和参数方程等有关知识及运用． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 （1）设函数![](./data/image/media/image343.wmf)，若关于![](./data/image/media/image344.wmf)的不等式![](./data/image/media/image345.wmf)在![](./data/image/media/image346.wmf)上恒成立，求实数![](./data/image/media/image347.wmf)的最大 值； （2）已知正数![](./data/image/media/image348.wmf)满足![](./data/image/media/image349.wmf)，求![](./data/image/media/image350.wmf)的最小值． 【答案】(1)![](./data/image/media/image351.wmf)；(2)![](./data/image/media/image352.wmf). 【解析】 试题分析：(1)依据题设条件运用绝对值不等式的性质求解；(2)借助题设条件运用柯西不等式求解. 试题解析: ![](./data/image/media/image353.png)考点：绝对值不等式和柯西不等式等有关知识及运用．
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**2020-2021学年广东省广州市黄埔区五年级（上）期末数学试卷** **一、填空题。（第2小题，每空1分，其余各题每题2分，共22分）** 1．（2分）计算3.15×0.09的积是[　 　]{.underline}位小数，结果保留三位小数是[　 　]{.underline}． 2．（4分）在横线上填上"＞""＜"或"＝"。 5.3×0.98[　 　]{.underline}5.3 4.5×2.4[　 　]{.underline}0.45×24 -------------------------------- ----------------------------------- 8.2÷0.75[　 　]{.underline}8.2 6.3÷11[　 　]{.underline}6.3×11 3．（2分）如图，若*A*点的位置用数对表示是（2，1），则*B*点的位置用数对表示是（[　 　]{.underline}，[　 　]{.underline}），*C*点的位置用数对表示是（[　 　]{.underline}，[　 　]{.underline}）。 4．（2分）回收1吨废纸，可以保护16棵树，回收32.5吨废纸可以保护[　 　]{.underline}棵树。 5．（2分）扎一束鲜花需要0.4米丝带，一段长3米的丝带可以扎[　 　]{.underline}束鲜花． 6．（2分）一种瓶装橙子粉，每冲一杯需要16*g*橙子粉和9*g*方糖。冲完这瓶450*g*的橙子粉，大约需要[　 　]{.underline}克方糖。 7．（2分）仓库里有货物60吨，运走了8车，每车运*b*吨，这时还剩[　 　]{.underline}吨；当*b*＝4时，仓库里剩下的货物有[　 　]{.underline}吨。 8．（2分）如图中长方形的周长是35*cm*，平行四边形的面积是[　 　]{.underline}*cm*^2^。 9．（2分）一张边长8*cm*的正方形纸（如图），从相邻两边的中点连一条线段，沿这条线段剪去一个角，剩下的面积是[　 　]{.underline}*cm*^2^。 10．（2分）在相距60*m*的两栋楼之间栽树（两端都不栽），每隔3*m*栽一棵，一共栽了[　 　]{.underline}棵． **二、判断题。（对的在括号里打"√"，错的在括号里打"×"）（每小题1分，共5分）** 11．（1分）（2，5）和（5，2）表示的是同一位置．[　 　]{.underline}．（判断对错） 12．（1分）在一个不透明的盒子里装有质量、形状和大小都相同的2个红球和5个白球，随意摸出一个，摸出白球可能性大。[　 　]{.underline}（判断对错） 13．（1分）一个三角形的面积是30*m*^2^，高是5*m*，则底是6*m*。[　 　]{.underline}（判断对错） 14．（1分）如果3*x*+4＝19，那么4*x*+3＝23。[　 　]{.underline}（判断对错） 15．（1分）甲数是*a*，比乙数的2倍少7，则乙数是2*a*﹣7。[　 　]{.underline}（判断对错） **三、选择题。（将正确答案的字母填在括号里）（每小题2分，共10分）** 16．（2分）在下面的盒子里摸出一个球，不可能摸到红球的是（　　） A． B． C． 17．（2分）在1.757575、3.072、4.0、8.这四个数中，无限小数有（　　）个。 A．2 B．1 C．3 18．（2分）每个瓶子最多装油2.5*kg*，王阿姨要把25.5*kg*的油分装在这样的瓶子里，至少需要准备（　　）个这样的瓶子。 A．10 B．11 C．12 19．（2分）如图中每一个小方格的面积是1*cm*^2^，图中阴影部分的面积约是（　　）*cm*^2^。 A．55 B．35 C．15 20．（2分）比较如图中三个阴影图形的面积，说法正确是（　　） A．平行四边形面积最大 B．三角形面积最大 C．三个图形的面积相等 **四、计算题。（共33分）** 21．（8分）直接写出得数。 0.7×4＝ 0.6×100＝ 0.5×0.2＝ 2.5×0.3＝ ----------- ----------- ----------- ------------- 0.9÷0.3＝ 0.27÷9＝ 4÷100＝ 0.83÷0.01＝ 22．（7分）用竖式计算下面各题，第（2）题要验算。 --------------- ---------------- ------------------------------------ （1）0.67×0.4 （2）19.76÷5.2 （3）0.75÷0.91（得数保留两位小数） --------------- ---------------- ------------------------------------ 23．（12分）计算下面各题，能用简便算法的要用简便方法计算。 ------------------- --------------- ------------------- ------------------------ （1）6.42﹣0.42÷6 （2）101×0.46 （3）5.78×99+5.78 （4）1.27×8.6+0.73×8.6 ------------------- --------------- ------------------- ------------------------ 24．（6分）解下列方程。 > （1）20﹣*x*＝6 > > （2）5（3*x*﹣4）＝4 **五、解决问题。（每小题5分，共30分）** 25．（5分）求出图中涂色梯形的面积。（单位：*cm*） 26．（5分）3台拖拉机4小时可以耕地4.2公顷。照这样计算，一台拖拉机每小时可以耕地多少公顷？ 27．（5分）一个书架上、下两层共放有书147本，其中下层放的书的本数是上层的2.5倍，两层各放了多少本书？ 28．（5分）两地间的路程是335*km*。甲、乙两车同时从两地开出，相向而行，经过2.5小时相遇。甲车每小时行68*km*，乙车每小时行多少千米？ 29．（5分）王老师的体重是75千克，比小亮体重的2倍多15千克，小亮的体重是多少千克？ 30．（5分）一块平行四边形广告牌，底是8.5*m*，高是5.4*m*。如果在这块广告牌的两面涂上油漆，每平方米用油漆0.6*kg*，共需要多少千克油漆？ **2020-2021学年广东省广州市黄埔区五年级（上）期末数学试卷** **参考答案与试题解析** **一、填空题。（第2小题，每空1分，其余各题每题2分，共22分）** 1．【分析】根据小数的乘法法则计算出结果，然后根据小数的近似数的求法进行解答即可． > 【解答】解：3.15×0.09＝0.2835≈0.284； > > 所以，3.15×0.09的积是四位小数，结果保留三位小数是0.284． > > 故答案为：四，0.284． > > 【点评】求小数的近似数，要按照四合五入法进行求解． 2．【分析】（1）5.3×0.98：因为0.98＜1，根据积的变化规律可得，所以5.3×0.98＜5.3； > （2）4.5×2.4和0.45×24：一个因数除以10，另一个因数乘以10，积不变，所以4.5×2.4＝0.45×24； > > （3）8.2÷0.75和8.2：因为0.75＜1，根据商的变化规律可得，所以8.2÷0.75＞8.2； > > （4）6.3÷11和6.3×11：因为11＞1，由商和积的变化规律可得：6.3÷11＜6.3，6.3×11＞6.3，所以6.3÷11＜6.3×11。由此解答即可。 > > 【解答】解： 5.3×0.98＜5.3 4.5×2.4＝0.45×24 --------------- ------------------ 8.2÷0.75＞8.2 6.3÷11＜6.3×11 > 故答案为：＜，＝，＞，＜。 > > 【点评】此题考查商和积的变化规律。 > > 积的变化规律：（1）一个数乘以一个大于1的数，积会比原数大；反之，一个数乘以一个小于1的数，积会比原数小； > > （2）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数除以或乘同一个数，那么，它们的积不变； > > 商的变化规律：一个数除以一个大于1的数，商会比原数小；反之，一个数除以一个小于1的数，商会比原数大；由此解答即可。 3．【分析】数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此即可解答问题。 > 【解答】解：如图，若*A*点的位置用数对表示是（2，1），则*B*点的位置用数对表示是（4，4），*C*点的位置用数对表示是（6，2）。 > > 故答案为：4、4；6、2。 > > 【点评】此题考查了数对表示位置的方法的灵活应用，即数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行。 4．【分析】根据题意，因为回收1吨废纸，可以保护16棵树，要求回收32.5吨废纸可以保护多少棵树，就是求32.5吨里面有几个1吨，就能保护几个16棵树，即用32.5乘16，列式解答即可得到答案。 > 【解答】解：32.5×16＝520（棵） > > 答：回收32.5吨废纸可以保护520棵树。 > > 故答案为：520。 > > 【点评】此题主要考查了小数乘法的意义的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是弄清楚题中的各个量之间的数量关系。 5．【分析】根据题意，扎一束鲜花需要0.4米丝带，用3米的丝带可以扎几束鲜花，也就是3米里面有几个0.4米，用3÷0.4即可． > 【解答】解：根据题意可得： > > 3÷0.4＝7.5（束）， > > ≈7（束）． > > 答：可以扎7束鲜花． > > 故答案为：7． > > 【点评】本题的计算比较简单，应注意运用去尾法保留到整数． 6．【分析】先计算450克橙子粉中有多少个16，即450÷16＝28.125个，因为每冲一杯需要16克橙子粉和9克方糖，所以再乘9，问题即可得解。 > 【解答】解：450÷16×9 > > ＝28.125×9 > > ＝253.125（克） > > 故答案为：253.125 > > 【点评】先计算450克橙子粉中有多少个16，是解答本题的关键。 7．【分析】（1）用运走的车数乘每车运的吨数计算出运走的货物重量，用原有的货物重量减去运走的重量就是剩下的货物重量。 > （2）将*b*值代入算式计算即可。 > > 【解答】解：（1）剩下的货物吨数为： > > 60﹣*b*×8 > > ＝60﹣8*b*（吨） > > 答：仓库里剩下的货物为（60﹣8*b*）吨。 > > （2）当*b*＝4时， > > 60﹣8×4 > > ＝60﹣32 > > ＝28（吨） > > 答：仓库里剩下的货物是28吨。 > > 故答案为：（60﹣8*b*），28。 > > 【点评】解题关键是根据数量关系，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解。 8．【分析】根据长方形的周长＝（长+宽）×2，那么宽＝周长÷2﹣长，据此求出长方形的宽（平行四边形的高），平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽，把数据代入公式解答。 > 【解答】解：35÷2﹣10 > > ＝17.5﹣10 > > ＝7.5（厘米） > > 10×7.5＝75（平方厘米） > > 答：平行四边形的面积是75平方厘米。 > > 故答案为：75。 > > 【点评】此题主要考查长方形的周长公式、面积公式、平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 9．【分析】用正方形的面积减去底和高都是8÷2＝4（厘米）的三角形的面积。利用正方形面积公式：*S*＝*a*^2^，三角形面积公式：*S*＝*ah*÷2，计算即可。 > 【解答】解：8×8﹣（8÷2）×（8÷2）÷2 > > ＝64﹣8 > > ＝56（平方厘米） > > 答：剩下的面积是56*cm*^2^。 > > 故答案为：56。 > > 【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键是把组合图形转化为规则图形计算。 10．【分析】两端都不栽时，植树棵数＝间隔数﹣1，据此求出间隔数是60÷3＝20，再减去1即可． > 【解答】解：60÷3﹣1 > > ＝20﹣1 > > ＝19（棵） > > 答：一共栽了19棵． > > 故答案为：19． > > 【点评】两端都不栽时，植树棵数＝间隔数﹣1，据此即可解答． **二、判断题。（对的在括号里打"√"，错的在括号里打"&\#215;"）（每小题1分，共5分）** 11．【分析】根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，（2，5）表示第2列，第5行，而（5，2）表示第5列，第2行． > 【解答】解：（2，5）表示第2列，第5行，而（5，2）表示第5列，第2行，表示的不是同一位置． > > 故答案为：×． > > 【点评】数对中每个数字所代表的意义，在不同的题目中会有所不同，但在同一个题目中不会改变，所表示的意义是相同的． 12．【分析】因为本题不需要准确的计算可能性的大小，根据各种球数量的多少，直接判断可能性的大小即可。 > 【解答】解：因为2＜5 > > 所以摸出白球的可能性大， > > 故答案为：√。 > > 【点评】解决此题的关键是根据题意比较哪种球的数量多，摸到哪种球的可能性就大，反之就越小。 13．【分析】根据三角形的面积公式：*S*＝*ah*÷2，那*a*＝2*S*÷*h*，据此求出这个三角形的底，然后与6米进行比较即可。 > 【解答】解：30×2÷5 > > ＝60÷5 > > ＝12（米） > > 所以这个三角形的底是12米。 > > 12≠6 > > 因此，一个三角形的面积是30*m*^2^，高是5*m*，则底是6*m*。这种说法是错误的。 > > 故答案为：×。 > > 【点评】此题主要考查三角形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 14．【分析】根据等式的性质，方程两边同时减去4，再两边同时同时除以3求出方程3*x*+4＝19的解；再把*x*的值代入4*x*+3看是否等于23即可解答。 > 【解答】解：3*x*+4＝19 > > 3*x*+4﹣4＝19﹣4 > > 3*x*＝15 > > 3*x*÷3＝15÷3 > > *x*＝5 > > 把*x*＝5代人4*x*+3可得： > > 4×5+3 > > ＝20+3 > > ＝23 > > 故答案为：√。 > > 【点评】本题主要考查学生依据等式的性质解方程的能力，解方程时注意对齐等号。 15．【分析】根据"甲数是*a*，比乙数的2倍少7"，可知乙数的2倍比甲数*a*多7，要求乙数，先求出乙数的2倍，进而求得乙数，再进行选择。 > 【解答】解：设乙数为*x* > > 2×*x*﹣7＝*a* > > 2*x*﹣7＝*a* > > 2*x*＝*a*+7 > > *x*＝（*a*+7）÷2 > > 所以题干的说法是错误的。 > > 故答案为：×。 > > 【点评】此题考查用字母表示数，解答此题的关键，把给出的字母当做已知数，设出未知数，再根据数量关系等式，列方程解答即可。 **三、选择题。（将正确答案的字母填在括号里）（每小题2分，共10分）** 16．【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；据此解答即可。 > 【解答】解：在一个装有3个蓝球和5个黄球的盒子里，摸出红球是不可能的 > > 因为*C*中摸到红球是一个不可能事件。 > > 故选：*C*。 > > 【点评】解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念；一定不发生的事件叫不可能事件。 17．【分析】根据小数的分类，小数可分为有限小数和无限小数；有限小数的小数部分的位数是有限的，无限小数的小数部分的位数是无限的，据此判断即可。 > 【解答】解：在1.757575、3.072、4.0、8.这四个数中，无限小数有4.0、8.，有两个。 > > 故选：*A*。 > > 【点评】此题考查辨识有限小数和无限小数，关键是明白它们的意义。 18．【分析】根据除法的包含意义：用油的总质量除以每瓶可以装的质量，即可求出需要的瓶子数，注意把结果利用进一法保留整数。 > 【解答】解：25.5÷2.5≈11（个） > > 答：至少需要准备11个这样的瓶子。 > > 故选：*B*。 > > 【点评】本题根据除法的包含意义求解，注意把结果利用进一法保留整数。 19．【分析】看图所知，一行一行数，满格的有10+8+6+4＝28格，也就是28平方厘米，半格或不满格的利用拼接方法，进行合并大约7个整格，总共7平方厘米。 > 【解答】解：满格：10+8+6+4＝28（平方厘米） > > 28+7＝35（平方厘米） > > 答：阴影部分面积是35平方厘米。 > > 故选：*B*。 > > 【点评】数格子是计算不规则图形面积的最常用的方法。 20．【分析】根据平行四边形的面积公式：*S*＝*ah*，三角形的面积公式：*S*＝*ah*÷2，梯形的面积公式：*S*＝（　*a*+*b*　）*h*÷2，设高为*h*厘米，把数据代入公式求出它们的面积进行比较即可。 > 【解答】解：设高为*h*厘米 > > 平行四边形的面积＝4*h*（平方厘米） > > 三角形的面积＝8*h*÷2＝4*h*（平方厘米） > > 梯形的面积＝（2+6）*h*÷2＝4*h*（平方厘米） > > 所以三个图形的面积相等。 > > 故选：*C*。 > > 【点评】此题主要考查平行四边形、三角形、梯形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 **四、计算题。（共33分）** 21．【分析】根据小数乘除法的运算法则进行计算即可。 > 【解答】解： 0.7×4＝2.8 0.6×100＝60 0.5×0.2＝0.1 2.5×0.3＝0.75 ------------ -------------- -------------- --------------- 0.9÷0.3＝3 0.27÷9＝0.03 4÷100＝0.04 0.83÷0.01＝83 > 【点评】本题考查了小数的乘除法，熟练是掌握本题的关键。 22．【分析】根据小数乘除法的运算法则进行计算即可，根据"四舍五入"法保留两位小数即可。 > 【解答】解：（1）0.67×0.4＝0.268 > > （2）19.76÷5.2＝3.8 > > 验算： > > （3）0.75÷0.91≈0.82 > > 【点评】本题考查了小数的乘除法，注意除法验算一般用乘法。 23．【分析】（1）先算除法，再算减法； > （2）、（3）、（4）根据乘法分配律进行简算。 > > 【解答】解：（1）6.42﹣0.42÷6 > > ＝6.42﹣0.07 > > ＝6.35 > > （2）101×0.46 > > ＝（100+1）×0.46 > > ＝100×0.46+1×0.46 > > ＝46+0.46 > > ＝46.46 > > （3）5.78×99+5.78 > > ＝5.78×（99+1） > > ＝5.78×100 > > ＝578 > > （4）1.27×8.6+0.73×8.6 > > ＝（1.27+0.73）×8.6 > > ＝2×8.6 > > ＝17.2 > > 【点评】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算。 24．【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时加上*x*，再两边同时减去6求解； > （2）险化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时加上20，再两边同时除以15求解。 > > 【解答】解：（1）20﹣*x*＝6 > > 20﹣*x*+*x*＝6+*x* > > 20＝6+*x* > > 20﹣6＝6+*x*﹣6 > > *x*＝14 > > （2）5（3*x*﹣4）＝4 > > 15*x*﹣20＝4 > > 15*x*﹣20+20＝4+20 > > 15*x*＝24 > > 15*x*÷15＝24÷15 > > *x*＝1.6 > > 【点评】此题考查了学生根据等式的性质解方程的能力，注意等号对齐。 **五、解决问题。（每小题5分，共30分）** 25．【分析】根据图示可知，阴影部分梯形的面积等于上底是5﹣3＝2（厘米）、下底5厘米、高2.6厘米的梯形面积。利用梯形的面积公式：*S*＝（*a*+*b*）*h*÷2，把数代入计算即可。 > 【解答】解：（5﹣3+5）×2.6÷2 > > ＝7×2.6÷2 > > ＝9.1（平方厘米） > > 答：阴影部分的面积是9.1平方厘米。 > > 【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键把不规则图形转化为规则图形，再计算。 26．【分析】根据工作量÷工作时间＝工作效率，可以先求出3台拖拉机1小时耕地多少公顷，再求1台拖拉机1小时耕地多少公顷，据此解答。 > 【解答】解：4.2÷3÷4 > > ＝1.4÷4 > > ＝0.35（公顷） > > 答：一台拖拉机每小时可以耕地0.35公顷。 > > 【点评】本题属于简单的归一应用题，只要理清数量间的等量关系，代入数据即可解答。 27．【分析】把上层本数看作单位"1"，则147本是上层本数的（1+2.5）倍，求上层本数，用除法计算，再求下层本数即可。 > 【解答】解：147÷（1+2.5） > > ＝147÷3.5 > > ＝42（本） > > 42×2.5＝105（本） > > 答：上层42本，下层105本。 > > 【点评】本题主要考查和倍问题，关键利用公式：和÷（倍数+1）＝1倍数，计算即可。 28．【分析】根据路程÷相遇时间＝速度和，用路程335千米除以相遇时间2.5小时，先求出两车的速度和，再用速度和减去甲车的速度就等于乙车的速度，列式解答即可。 > 【解答】解：335÷2.5﹣68 > > ＝134﹣68 > > ＝66（千米） > > 答：乙车每小时行66千米。 > > 【点评】此题考查了关系式：路程÷相遇时间＝速度和的关系式的灵活运用。 29．【分析】先用75减去15求出小亮体重的2倍是多少，然后再除以2即可。 > 【解答】解：（75﹣15）÷2 > > ＝60÷2 > > ＝30（千克） > > 答：小亮的体重是30千克。 > > 【点评】本题解答依据是：已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法计算。 30．【分析】根据平行四边形的面积公式：*S*＝*ah*，把数据代入公式求出这个广告牌两面的面积，然后用广告牌的面积乘每平方米有油漆的质量即可。 > 【解答】解：8.5×5.4×2×0.6 > > ＝49.5×2×0.6 > > ＝91.8×0.6 > > ＝55.08（千克） > > 答：共需要55.08千克油漆。 > > 【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2021/4/27 10:58:59；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**小学六年级上册数学奥数知识点讲解第7课《旋转体的计算》试题附答案** ![](./data/image/media/image1.png) ![](./data/image/media/image2.png) ![](./data/image/media/image3.png) ![](./data/image/media/image4.png) ![](./data/image/media/image5.png) ![](./data/image/media/image6.png)\ \ \ \ ![](./data/image/media/image7.png) **答案**![](./data/image/media/image8.png) ![](./data/image/media/image9.jpeg) ![](./data/image/media/image10.jpeg) ![](./data/image/media/image11.jpeg) ![](./data/image/media/image12.jpeg) ![](./data/image/media/image13.jpeg) ![](./data/image/media/image14.jpeg) ![](./data/image/media/image15.jpeg)\ \ ![](./data/image/media/image16.jpeg)\ \ ![](./data/image/media/image17.jpeg)\ \ ![](./data/image/media/image18.jpeg)\ \ ![](./data/image/media/image19.jpeg)\ \ ![](./data/image/media/image20.jpeg)\ \ ![](./data/image/media/image21.jpeg)\ \ ![](./data/image/media/image22.jpeg) ![](./data/image/media/image23.jpeg) ![](./data/image/media/image24.jpeg) ![](./data/image/media/image25.jpeg) ![](./data/image/media/image26.jpeg) ![](./data/image/media/image27.jpeg)六年级奥数上册：第七讲 旋转体的计算 习题解答 ![](./data/image/media/image28.jpeg) ![](./data/image/media/image29.jpeg) ![](./data/image/media/image30.jpeg)
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**北师大版小学五年级数学上册期末测试卷一（附答案）** 1．填一填。 (1)在5、0、、－50、0.5、1这些数中，( )是自然数，( )是整数。 (2)在下面的" "里填上适当的小数。"( )"里填上适当的真分数或假分数，"\[ \]"里填上适当的带分数。 ![](./data/image/media/image2.png) \(3\) ＝4÷( ) 来源：www.bcjy123.com/tiku/ (4)2里面有( )个，( )个是1。 里面有5个( )，比多( )个。 (5)一个数只有1个因数，这个数是( )，它既不是( )数，也不是( )数。 (6)在"○"里填上"＞"、"＜"或"＝"。 ○0.66 ○ ○ ○1 (7)一个数各位上数字的和是12，这个数一定是( )的倍数。 > (8)第一个盒子里有2个白球，第二个盒子里有2个白球、3个红球，第三个盒子里有1个黄球、2个红球。 从第一个盒子里摸出白球的可能性是( )；从第二个盒子里摸出白球的可能性是( )；从第三个盒子里摸出白球的可能性是( )；如果把3个盒子里的球放入一个盒子里，摸到白球的可能性是( )。 2．辨一辨。(对的打"√"，错的打"×") (1)面积相等的两个三角形一定能拼成一个平行四边形。 ( ) (2)个位上是0的自然数既是2的倍数，也是5的倍数。 ( ) (3)分数的分子和分母同时乘上一个相同的数，分数的大小不变。 ( ) (4)假分数大于1，真分数小于1。 ( ) (5)最简分数就是分子与分母没有公因数。 ( ) 3．选一选。(将正确答案的序号填在括号里) (1)一个数的最大因数与这个数的最小倍数( )。 A．相等 B．不相等 C．有时相等 D．无法确定 (2)下面各数，一定是2的倍数的数是( )。 A．□5 B．□6 C．5□ D．6□ (3)下面的图形中，有( )个是由两个相同的![](./data/image/media/image18.jpeg)拼成的。 ![](./data/image/media/image19.png) A．4 B．3 C．2 D．1来源：www.bcjy123.com/tiku/ (4)下面的图形中，阴影部分面积不是整个图形面积的有( )。 ![](./data/image/media/image21.png) ① ② ③ ④ ⑤ A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．②③④⑤ 4．计算。 1－ 5．解方程。 来源：www.bcjy123.com/tiku/ 6．计算下列各图形的面积。 ![](./data/image/media/image29.png) 7．解决问题。 (1)张路、李张、刘叶三位少先队员轮流去福利院给吴奶奶打扫卫生。张路每4天去一次，李红每6天去一次，刘叶每8天去一次，7月31日他们都去了福利院。 ①8月( )日张路和李红再一次同时去福利院，他们同时去福利院的时间是 [ ]{.underline} 和 [ ]{.underline} > [ ]{.underline} 的公倍数。 ②8月( )日李红和刘叶再一次同时去福利院，他们同时去福利院的时间 [ ]{.underline} 和 [ ]{.underline} 的公倍数。 ③张路和刘叶下一次同时去福利院的日期是 [ ]{.underline} ，这个数是 [ ]{.underline} 和 [ ]{.underline} 的公倍数。 (2)小红看一本故事书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，剩下的第三天看完。前两天共看了全书的几分之几？第三天看了全书的几分之几？ > (3)挖一条长440m的水渠，甲、乙两队同时从两头开始挖，甲队每天挖24.5m，乙队每天挖30.5m。经过多少天能完成挖渠任务？ > > (4)将一条边长为20cm的正方形纸对折后，剪去一个上底5cm、下底10cm、高4cm的梯形，然后打开(如图)，求剩余部分的面积。 ![](./data/image/media/image32.png) **参考答案** 1．(1)5、0、1 5、0、1、－50 (2)0.25 1.5 ；1 2 (3)7 18 14 (4)7 9 2 (5)1 质 合 (6) ＞ ＜ ＜ ＝ (7)3 (8) 1 0 2．(1) × (2) √ (3)× (4)× (5)× 3．(1)A (2)B (3)C (4)C 4． 5\. 6．3×7＝21(cm²) 4×5÷2＝10(dm²) (6＋10)×6÷2＝48(cm²) 7．(1)①12 4 6 ②24 6 8 ③8月8日 4 8 (2) (3)8天 (4)340cm²
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**小学六年级上册数学奥数知识点讲解第6课《立体图形的计算》试题附答案** ![](./data/image/media/image1.jpeg)![](./data/image/media/image2.png) ![](./data/image/media/image3.png) ![](./data/image/media/image4.png) ![](./data/image/media/image5.png) ![](./data/image/media/image6.png) ![](./data/image/media/image7.png) ![](./data/image/media/image8.png) ![](./data/image/media/image9.png) **答案**![](./data/image/media/image10.jpeg) ![](./data/image/media/image11.jpeg) ![](./data/image/media/image12.jpeg) ![](./data/image/media/image13.jpeg) ![](./data/image/media/image14.jpeg) ![](./data/image/media/image15.jpeg) ![](./data/image/media/image16.jpeg) ![](./data/image/media/image17.jpeg) ![](./data/image/media/image18.jpeg) ![](./data/image/media/image19.jpeg) ![](./data/image/media/image20.jpeg) ![](./data/image/media/image21.jpeg) ![](./data/image/media/image22.jpeg) ![](./data/image/media/image23.jpeg)六年级奥数上册：第六讲 立体图形的计算 习题解答 ![](./data/image/media/image24.jpeg) ![](./data/image/media/image25.jpeg) ![](./data/image/media/image26.jpeg) ![](./data/image/media/image27.jpeg) ![](./data/image/media/image28.jpeg)
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**2017年岳阳市初中学业水平考试试卷** **数学** **一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** **1.的相反数是（ ）** **A． B． C． D．** **2.下列运算正确的是（ ）** **A． B． C． D．** **3.据国土资源部数据显示，我国是全球"可燃冰"资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为吨油当量，将用科学记数法表示为（ ）** **A． B． C． D．** **4.下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）** ![](./data/image/media/image16.png)**　** ![](./data/image/media/image17.png)**　** ![](./data/image/media/image18.jpeg) ![](./data/image/media/image19.png) **A　　　　 B　　　 　C　　　 　D** **5.从，，，，这个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（ ）** **A． B． C. D．** **6.解分式方程，可知方程的解为（ ）** **A． B． C. D．无解** **7.观察下列等式：，，，，，，，根据这个规律，则的末尾数字是（ ）** **A． B． C. D．** **8.已知点在函数（）的图象上，点在直线（为常数，且）上，若，两点关于原点对称，则称点，为函数，图象上的一对"友好点"．请问这两个函数图象上的"友好点"对数的情况为（ ）** **A．有对或对 B．只有对 C.只有对 D．有对或对** **二、填空题（每题4分，满分32分，将答案填在答题纸上）** **9.函数中自变量的取值范围是 [ ]{.underline} ．** **10.因式分解： [ ]{.underline} ．** **11.在环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得分如下：** **，，，，，，，则这组数据的中位数是 [ ]{.underline} ，众数是 [ ]{.underline} ．** ![](./data/image/media/image75.emf)**12.如右图，点是的边上一点，于点，，，则的度数是 [ ]{.underline} ．** **13.不等式组的解集是 [ ]{.underline} ．** **14.在中，，，且关于的方程有两个相等的实数根，则边上的中线长为 [ ]{.underline} ．** **15.我国魏晋时期的数学家刘徽创立了"割圆术"，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率的近似值．设半径为的圆内接正边形的周长为，圆的直径为．如右图所示，当时，，那么当时， [ ]{.underline} ．（结果精确到，参考数据：）** ![](./data/image/media/image103.png) ![](./data/image/media/image104.emf) **16.如右图，⊙为等腰的外接圆，直径，为弧上任意一点（不与，重合），直线交延长线于点，⊙在点处切线交于点，下列结论正确的是 [ ]{.underline} ．（写出所有正确结论的序号）** **①若，则弧的长为；** **②若，则平分；** **③若，则；** **④无论点在弧上的位置如何变化，为定值．** **三、解答题 （本大题共8小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）** **17. （本题满分6分）** **计算：** **18. （本题满分6分）** **求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．** **小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．** **已知：如图，在*□*中，对角线，交于点， [ ]{.underline} ．** **求证： [ ]{.underline} ．** ![](./data/image/media/image136.emf) ![](./data/image/media/image137.emf)**19. （本题满分8分）** **如图，直线与双曲线（为常数，）在第一象限内交于点，且与轴、轴分别交于，两点．** **（1）求直线和双曲线的解析式；** **（2）点在轴上，且的面积等于，求点的坐标．** **20. （本题满分8分）** **我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了个包还多本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了个包．那么这批书共有多少本？** **21. （本题满分8分）** **为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了"书香校园，从我做起"的主题活动．学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：** -------------------------------- ------------------ ---------- **课外阅读时间（单位：小时）** **频数（人数）** **频率** **0 ＜ *t* ≤ 2** **2** **0.04** **2 ＜ *t* ≤ 4** **3** **0.06** **4 ＜ *t* ≤ 6** **15** **0.30** **6 ＜ *t* ≤ 8** ***a*** **0.50** ***t* ＞ 8** **5** ***b*** -------------------------------- ------------------ ---------- ![](./data/image/media/image156.emf) **请根据图表信息回答下列问题：** **（1）频数分布表中的 [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ；** **（2）将频数分布直方图补充完整；** **（3）学校将每周课外阅读时间在小时以上的学生评为"阅读之星"，请你估计该校名学生中评为"阅读之星"的有多少人？** **22.（本题满分8分）** **某太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知真空热水管与支架所在直线相交于点，且．支架与水平线垂直，，，．** **（1）求支架的长；** **（2）求真空热水管的长．（结果均保留根号）** ![](./data/image/media/image174.emf) **23.（本题满分10分）** **问题背景：已知的顶点在的边所在直线上（不与，重合）．交所在直线于点，交所在直线于点．记的面积为，的面积为．** **（1）初步尝试：如图①，当是等边三角形，，，且，时，则 [ ]{.underline} ；** **（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点沿平移，使，再将绕点旋转至如图②所示位置，求的值；** **（3）延伸拓展：当是等腰三角形时，设．** **（I）如图③，当点在线段上运动时，设，，求的表达式（结果用，和的三角函数表示）．** **（II）如图④，当点在的延长线上运动时，设，，直接写出的表达式，不必写出解答过程．** ![](./data/image/media/image218.emf)![](./data/image/media/image219.emf)![](./data/image/media/image220.emf)![](./data/image/media/image221.emf) **24.（本题满分10分）** **如图，抛物线经过点，，直线交轴于点，且与抛物线交于，两点．为抛物线上一动点（不与，重合）．** **（1）求抛物线的解析式；** **（2）当点在直线下方时，过点作轴交于点，轴交于点．求的最大值；** **（3）设为直线上的点，以，，，为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．** ![](./data/image/media/image251.emf) ![](./data/image/media/image252.emf) **\ 2017年岳阳市初中学业水平考试试卷** **数学答案** **一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** **1.的相反数是（ A ）** **A． B． C． D．** **2.下列运算正确的是（ B ）** **A． B． C． D．** **3.据国土资源部数据显示，我国是全球"可燃冰"资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为吨油当量，将用科学记数法表示为（ A ）** **A． B． C． D．** **4.下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ B ）** ![](./data/image/media/image16.png)**　** ![](./data/image/media/image17.png)**　** ![](./data/image/media/image18.jpeg) ![](./data/image/media/image19.png) **A　　　　 B　　　 　C　　　 　D** **5.从，，，，这个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（ B ）** **A． B． C. D．** **6.解分式方程，可知方程的解为（ D ）** **A． B． C. D．无解** **7.观察下列等式：，，，，，，，根据这个规律，则的末尾数字是（ B ）** **A． B． C. D．** **8.已知点在函数（）的图象上，点在直线（为常数，且）上，若，两点关于原点对称，则称点，为函数，图象上的一对"友好点"．请问这两个函数图象上的"友好点"对数的情况为（ A ）** **A．有对或对 B．只有对 C.只有对 D．有对或对** **二、填空题（每题4分，满分32分，将答案填在答题纸上）** **9.函数中自变量的取值范围是 [ *x* ≠ 7]{.underline} ．** **10.因式分解： [ （*x* - 3）^2^]{.underline} ．** **11.在环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得分如下：** **，，，，，，，则这组数据的中位数是 [ 92]{.underline} ，众数是 [ 95]{.underline} ．** ![](./data/image/media/image75.emf)**12.如右图，点是的边上一点，于点，，，则的度数是 [ 60°]{.underline} ．** **13.不等式组的解集是 [ *x* ＜－3]{.underline} ．** **14.在中，，，且关于的方程有两个相等的实数根，则边上的中线长为 [ 2]{.underline} ．** **15.我国魏晋时期的数学家刘徽创立了"割圆术"，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率的近似值．设半径为的圆内接正边形的周长为，圆的直径为．如右图所示，当时，，那么当时， [ 3.11]{.underline} ．（结果精确到，参考数据：）** ![](./data/image/media/image103.png) ![](./data/image/media/image104.emf) **16.如右图，⊙为等腰的外接圆，直径，为弧上任意一点（不与，重合），直线交延长线于点，⊙在点处切线交于点，下列结论正确的是 [ ]{.underline} ②③④ [ ]{.underline} ．（写出所有正确结论的序号）** **①若，则弧的长为；** **②若，则平分；** **③若，则；** **④无论点在弧上的位置如何变化，为定值．** **三、解答题 （本大题共8小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）** **17. （本题满分6分）** **计算：= 2** **18. （本题满分6分）** **求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．** **小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．** **已知：如图，在*□*中，对角线，交于点， [ 且]{.underline}⊥ [ ]{.underline} ．** **求证： [ ]{.underline} *□*是菱形 [ ]{.underline} ．** ![](./data/image/media/image136.emf) **证明：∵四边形是平行四边形** **∴对角线平分** **又⊥** **∴AB=AD（线段的垂直平分线上的一点到这条线段两个端点的距离相等）** **∴*□*是菱形** ![](./data/image/media/image137.emf)**19. （本题满分8分）** **如图，直线与双曲线（为常数，）在第一象限内交于点，且与轴、轴分别交于，两点．** **（1）求直线和双曲线的解析式；** **（2）点在轴上，且的面积等于，求点的坐标．** **解：（1），** **（2）∵点**![](./data/image/media/image258.wmf)**在**![](./data/image/media/image259.wmf)**轴上，则,又OC＝1** **∴BP＝4** **设P点横坐标为*m*，又B点横坐标为－1，则，** **解得*m*＝3或－5，** **则P点坐标为（3，0）或（－5，0）** **20. （本题满分8分）** **我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了个包还多本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了个包．那么这批书共有多少本？** **解：设这批书共有**![](./data/image/media/image259.wmf)**本，每包书有本，根据题意，得：** **解得** **答：这批书共有1500本。** **21. （本题满分8分）** **为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了"书香校园，从我做起"的主题活动．学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：** -------------------------------- ------------------ ---------- **课外阅读时间（单位：小时）** **频数（人数）** **频率** **0 ＜ *t* ≤ 2** **2** **0.04** **2 ＜ *t* ≤ 4** **3** **0.06** **4 ＜ *t* ≤ 6** **15** **0.30** **6 ＜ *t* ≤ 8** ***a*** **0.50** ***t* ＞ 8** **5** ***b*** -------------------------------- ------------------ ---------- ![](./data/image/media/image156.emf)![](./data/image/media/image265.emf) **请根据图表信息回答下列问题：** **（1）频数分布表中的 [ 25]{.underline} ， [ 0.10]{.underline} ；** **（2）将频数分布直方图补充完整；** **（3）学校将每周课外阅读时间在小时以上的学生评为"阅读之星"，请你估计该校名学生中评为"阅读之星"的有多少人？** **解：2000×0.10＝200（人）** **答：估计该校名学生中评为"阅读之星"的有200人。** **22.（本题满分8分）** **某太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知真空热水管与支架所在直线相交于点，且．支架与水平线垂直，，，．** **（1）求支架的长；** **（2）求真空热水管的长．（结果均保留根号）** ![](./data/image/media/image174.emf) **解：利用锐角三角函数，解直角三角形可得（1）CD＝cm** **（2）OC＝cm，OA＝cm，** **则OB＝OD＝OC－DC＝－＝cm** **∴AB＝OA－OB＝－＝cm** **23.（本题满分10分）** **问题背景：已知的顶点在的边所在直线上（不与，重合）．交所在直线于点，交所在直线于点．记的面积为，的面积为．** **（1）初步尝试：如图①，当是等边三角形，，，且，时，则 [ 12]{.underline} ；** **（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点沿平移，使，再将绕点旋转至如图②所示位置，求的值；** **（3）延伸拓展：当是等腰三角形时，设．** **（I）如图③，当点在线段上运动时，设，，求的表达式（结果用，和的三角函数表示）．** **（II）如图④，当点在的延长线上运动时，设，，直接写出的表达式，不必写出解答过程．** ![](./data/image/media/image218.emf)![](./data/image/media/image219.emf)![](./data/image/media/image220.emf)![](./data/image/media/image221.emf) **解：（2）可证∽，得到,即，则** **又** **∴** **（3）（I）同理：可证∽，得到,即，则** **又** **∴** **（II）** **24.（本题满分10分）** **如图，抛物线经过点，，直线交轴于点，且与抛物线交于，两点．为抛物线上一动点（不与，重合）．** **（1）求抛物线的解析式；** **（2）当点在直线下方时，过点作轴交于点，轴交于点．求的最大值；** **（3）设为直线上的点，以，，，为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．** ![](./data/image/media/image251.emf) ![](./data/image/media/image252.emf) **解：（1）** **（2）设P点横坐标为*m*，则P点纵坐标为** **同时N点横坐标为*m*，则N点纵坐标为** **∴PN＝（）－（）＝** **还有M点纵坐标为，代入，可得M点横坐标为** **∴PM＝（）－*m*＝** **∴PM＋PN＝＝** **∴PM＋PN的最大值为。** **（3）设F点横坐标为*a*，分两种情况讨论：** **（I）当CE为平行四边形一边时，PF＝CE＝** **∵F（*a*，），P（*a*，）** **∴PF＝** **化简得** **解得，，，（不合，舍去）** **满足条件的F点坐标为：（，）或（，）或（1，）** **（II）当CE为平行四边形的对角线时，CE的中点坐标为（0，）** **则PF的中点坐标为（0，）** **∵PF的中点的横坐标为0，则P、F两点的横坐标互为相反数** **∴F（*a*，），P（－*a*，）** **∴** **解得，（不合，舍去）** **满足条件的F点坐标为：（－1，0）** **综合得到：满足条件的F点坐标为：** **（，）或（，）或（1，）或（－1，0）**
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**北师大版小学二年级下册数学第一单元《除法》单元测试1（附答案）** 一、我会填。来源：www.bcjy123.com/tiku/ 1、被除数是65，除数是8，商是（ ），余数是（ ）。 2、把48平均分成7份，每份是多少？列式是（ ）。 > 3、在有余数的算式中，如果余数是7，那么除数最小应该是（ ）；如果除数是7，那是余数最大应该是（ ）。 4、一条船最多能坐3人，那么14人过河，最少需要（ ）条船。 5、一件衣服要订5粒扣子，18粒扣子可以订（ ）件衣服。 6、（ ）里最大能填几？来源：www.bcjy123.com/tiku/来源：www.bcjy123.com/tiku/ 35﹥9×（ ） 7×（ ）﹤57 46÷（ ）﹥8 65﹥（ ）×8 7、35里面最多有（ ）个8，48里面最多有（ ）个5。 8、39÷（ ） = 5......4，（ ）÷7 = 2......2 来源：www.bcjy123.com/tiku/ 二、我是小法官。（对的画"√"，错的画"×"。） 1、36÷4 = 8......4 （ ）来源：www.bcjy123.com/tiku/ 2、在减法算式里，差一定比被减数小。 （ ）来源：www.bcjy123.com/tiku/ 3、计算有余数的除法时，如果被除数比较小，我们可以直接写得数。 （ ） 4、计算有余数的除法时，通常用口决来试商。 （ ） 5、64÷9可以这样计算。 （ ） 三、我会选。 1、下列计算，正确的是（ ）。 A、59÷8 = 7......2 B、68÷7 = 8......12 C、50÷7 = 7......1 2、计算有余数的除法时，要注意的是（ ）。 A、余数要比除数大 B、余数要比除数小 C、余数要与除数两样多 > 3、把25个桃子平均分给3只猴子，每只猴子可以分几个？还剩几个？正确的计算是（ ）。 A、25÷3 = 8......1 B、25÷3 = 8（只）......1（个） C、25÷3 = 8（个）......1（个） 4、下面的数中，除以6没有余数的是（ ）。 A、14 B、24 C、34 5、一道除数是8的有余数除法，余数可能是（ ）。 A、7、6、5、4、3、2、1 B、7、6、5、4、3、2、1、0 C、8、7、6、5、4、3、2、1 6、体育课上，老师让某队同学用"1、2"依次往下报数，笑笑排在17，应报（ ）。 A、不确定 B、2 C、1 四、我会算。 1、直接写出得数。 9×6 = 8×7 = 45÷9 = 80－22 = 64÷8 = 37÷4 = 48÷5 = 68÷8 = 30÷7 = 2、列竖式计算。 52÷6 66÷8 51÷8 50÷6 五、生活中的问题。 1、有29片扇叶，每台电扇装3片，可以装几台电扇，余几片？ ![](./data/image/media/image2.jpeg)2、用彩带围一圈后还余2厘米，这条彩带有多长？ > 3、小明带3元钱去买4本作业本，每本5角，小明计划用剩下的钱买每枝4角的铅笔，问能买多少枝铅笔，还剩多少钱？ > > 4、为了庆祝节日，第二组的6名学生做了40朵花，还有一名学生做了9朵花，问平均每名学生做多少朵花？ **第一单元测试卷的部分答案：** 一、1、8 1 2、48÷7 3、8 6 4、5 5、3 6、3 8 5 8 7、4 9 8、7 16 二、1、× 2、× 3、√ 4、√ 5、√ 三、1、C 2、B 3、C 4、B 5、A 6、C ![](./data/image/media/image3.jpeg)四、2、 五、1、29÷3 = 9（台）......2（片） 2、8×3＋2 = 26（厘米） 3、4×5 = 20（角） 30－20 = 10（角） 10÷4 = 2（枝）......2（角） 4、（40＋9）÷（6＋1） = 49÷7 = 7（朵）
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**小学二年级数学答案** **一、我会填空。**（共20分） 1、（2+2+2+2=8）（2×4=8或4×2=8）（8÷2=4或8÷4=2） 2、（5） 3、（27） 4、（8，7） 5、（8，13）（2，1） 6、（4，7） 7、略 8、（6） 9、（35，7） **二、我会画图。（**共8分**）答案略** **三、我会判断。**（共10分） 1、× 2、× 3、× 4、√ 5、× **四、我会选择。**（共10分） 1、B 2、C 3、C 4、A 5、B **五、我会计算。**（共21分） 1、（8分）（6，64，4，81，6，1，5，6）![](./data/image/media/image1.png) 2、(4分)（9，32） 3、想想先算什么，再计算。(9分)（54，21,19） **六、我会统计。**（共6+2+3=11分） **（1）** ------------ ---------------------------------------- --------------------------------------- ------ 成绩 优 良 合格 "正"字统计 正正![](./data/image/media/image2.png) 正![](./data/image/media/image3.jpeg) 正 人数(人) 12 7 5 ------------ ---------------------------------------- --------------------------------------- ------ （2）（优，合格） （3）略 **七、解决问题。**（共20分） 1、56-28+16=44（人） 2、36-17+36=55（个） 3、（1）6×7=42（元） （2）100-42-28=30（元）或100-（42+28）=30（元） （3）略
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![](./data/image/media/image1.png){width="0.4722222222222222in" height="0.3888888888888889in"}2020年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合*A*={*x*\|1≤*x*≤3}，*B*={*x*\|2\<*x*\<4}，则*A*∪*B*= > A．{*x*\|2\<*x*≤3} B．{*x*\|2≤*x*≤3} > > C．{*x*\|1≤*x*\<4} D．{*x*\|1\<*x*\<4} 2． > A．1 B．−1 > > C．i D．−i 3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有 > A．120种 B．90种 > > C．60种 D．30种 4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为*O*)，地球上一点*A*的纬度是指*OA*与地球赤道所在平面所成角，点*A*处的水平面是指过点*A*且与*OA*垂直的平面.在点*A*处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点*A*处的纬度为北纬40°，则晷针与点*A*处的水平面所成角为 ![](./data/image/media/image3.png){width="2.8433945756780403in" height="2.2601345144356957in"} > A．20° B．40° > > C．50° D．90° 5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 > A．62% B．56% > > C．46% D．42% > > 6．基本再生数*R*~0~与世代间隔*T*是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数*I*(*t*)随时间*t*(单位:天)的变化规律，指数增长率*r*与*R*~0~，*T*近似满足*R*~0~ =1+*rT*.有学者基于已有数据估计出*R*~0~=3.28，*T*=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) > > A．1.2天 B．1.8天 > > C．2.5天 D．3.5天 7．已知*P*是边长为2的正六边形*ABCDEF*内的一点，则的取值范围是 > A． B． > > C． D． 8．若定义在的奇函数*f*(*x*)在单调递减，且*f*(2)=0，则满足的*x*的取值范围是 > A． B． > > C． D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。 9．已知曲线. > A．若*m*\>*n*\>0，则*C*是椭圆，其焦点在*y*轴上 > > B．若*m*=*n*\>0，则*C*是圆，其半径为 > > C．若*mn*\<0，则*C*是双曲线，其渐近线方程为 > > D．若*m*=0，*n*\>0，则*C*是两条直线 10．下图是函数*y*= sin(*ωx*+*φ*)的部分图像，则sin(*ωx*+*φ*)= ![C:\\Users\\ckb\\Desktop\\1111.jpg](./data/image/media/image20.jpeg){width="2.1145833333333335in" height="1.4995570866141732in"} > A． B． C． D． 11．已知*a*\>0，*b*\>0，且*a*+*b*=1，则 > A． B． > > C． D． 12．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量*X*所有可能的取值为，且，定义*X*的信息熵. > A．若*n*=1，则*H*(*X*)=0 > > B．若*n*=2，则*H*(*X*)随着的增大而增大 > > C．若，则*H*(*X*)随着*n*的增大而增大 > > D．若*n*=2*m*，随机变量*Y*所有可能的取值为，且，则*H*(*X*)≤*H*(*Y*) 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．斜率为的直线过抛物线*C*：*y*^2^=4*x*的焦点，且与*C*交于*A*，*B*两点，则=\_\_\_\_\_\_\_\_． 14．将数列{2*n*--1}与{3*n*--2}的公共项从小到大排列得到数列{*a~n~*}，则{*a~n~*}的前*n*项和为\_\_\_\_\_\_\_\_． 15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．*O*为圆孔及轮廓圆弧*AB*所在圆的圆心，*A*是圆弧*AB*与直线*AG*的切点，*B*是圆弧*AB*与直线*BC*的切点，四边形*DEFG*为矩形，*BC*⊥*DG*，垂足为*C*，tan∠*ODC*=，，*EF*=12 cm，*DE=*2 cm，*A*到直线*DE*和*EF*的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_cm^2^． ![D:\\高考\\2020\\15.tif](./data/image/media/image40.tif){width="2.604807524059493in" height="1.7916666666666667in"} 16．已知直四棱柱*ABCD*--*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的棱长均为2，∠*BAD*=60°．以为球心，为半径的球面与侧面*BCC*~1~*B*~1~的交线长为\_\_\_\_\_\_\_\_． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分） > 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，\_\_\_\_\_\_\_\_? > 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12分） > 已知公比大于的等比数列满足． > > （1）求的通项公式； > > （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 19．（12分） > 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表： -- ---- ---- ---- 32 18 4 6 8 12 3 7 10 -- ---- ---- ---- （1）估计事件"该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过"的概率； （2）根据所给数据，完成下面的列联表： -- -- -- -- -- -- （3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？ 附：， 0.050 0.010 0.001 -- -------------------- 3.841 6.635 10.828 20．（12分） 如图，四棱锥*P*-*ABCD*的底面为正方形，*PD*⊥底面*ABCD*．设平面*PAD*与平面*PBC*的交线为*l*． （1）证明：*l*⊥平面*PDC*； （2）已知*PD*=*AD*=1，*Q*为*l*上的点，求*PB*与平面*QCD*所成角的正弦值的最大值． ![C:\\Users\\蒋志华\\Desktop\\新高考20.tif](./data/image/media/image79.tif){width="1.2083333333333333in" height="1.1145833333333333in"} 21．（12分） 已知函数． （1）当时，求曲线*y*=*f*（*x*）在点（1，*f*（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若*f*（*x*）≥1，求*a*的取值范围． 22．（12分） > 已知椭圆*C*：的离心率为，且过点*A*（2，1）． > > （1）求*C*的方程： > > （2）点*M*，*N*在*C*上，且*AM*⊥*AN*，*AD*⊥*MN*，*D*为垂足．证明：存在定点*Q*，使得\|*DQ*\|为定值． 参考答案 一、选择题 > 1．C 2．D 3．C 4．B > > 5．C 6．B 7．A 8．D 二、选择题 > 9．ACD 10．BC 11．ABD 12．AC 三、填空题 > 13． 14． 15． 16． 四、解答题 17．解： > **方案一：**选条件①． > > 由和余弦定理得． > > 由及正弦定理得． > > 于是，由此可得． > > 由①，解得． > > 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时． > > **方案二：**选条件②． > > 由和余弦定理得． > > 由及正弦定理得． > > 于是，由此可得，，． > > 由②，所以． > > 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时． > > **方案三：**选条件③． > > 由和余弦定理得． > > 由及正弦定理得． > > 于是，由此可得． > > 由③，与矛盾． > > 因此，选条件③时问题中的三角形不存在． 18．解： > （1）设的公比为．由题设得，． > > 解得（舍去），．由题设得． > > 所以的通项公式为． > > （2）由题设及（1）知，且当时，． > > 所以 > > ． 19．解： > （1）根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150的天数为,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且浓度不超过150的概率的估计值为． > > （2）根据抽查数据，可得列联表： -- ---- ---- 64 16 10 10 -- ---- ---- > （3）根据（2）的列联表得． > > 由于，故有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关． 20．解： > （1）因为底面，所以． > > 又底面为正方形，所以，因此底面． > > 因为，平面，所以平面． > > 由已知得．因此平面． > > （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． > > ![](./data/image/media/image142.tif){width="1.41875in" height="1.445in"} > > 则，，． > > 由（1）可设，则． > > 设是平面的法向量，则即 > > 可取． > > 所以． > > 设与平面所成角为，则． > > 因为，当且仅当时等号成立，所以与平面所成角的正弦值的最大值为． 21．解： > 的定义域为，． > > （1）当时，，， > > 曲线在点处的切线方程为，即． > > 直线在轴，轴上的截距分别为，． > > 因此所求三角形的面积为． > > （2）当时，． > > 当时，，． > > 当时，；当时，． > > 所以当时，取得最小值，最小值为，从而． > > 当时，． > > 综上，的取值范围是． 22．解： > （1）由题设得，，解得，． > > 所以的方程为． > > （2）设，． > > 若直线与轴不垂直，设直线的方程为， > > 代入得． > > 于是．① > > 由知，故， > > 可得． > > 将①代入上式可得． > > 整理得． > > 因为不在直线上，所以，故，． > > 于是的方程为. > > 所以直线过点. > > 若直线与轴垂直，可得. > > 由得. > > 又，可得.解得（舍去），. > > 此时直线过点. > > 令为的中点，即. > > 若与不重合，则由题设知是的斜边，故. > > 若与重合，则. > > 综上，存在点，使得为定值.
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）** **数　学（文史类）试卷** **参考答案** **一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。** 1．D　2．B　3．A　4．B　5．C　6．D　7．C　8．C　9．D　10．B **二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上。** 11． 12． 13．3 14．（1）（2） 15．， **三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。** 16．（本小题满分12分） 解： ． （I）函数的最小正周期是； （II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（） 17．（本小题满分12分） 解：任选1名下岗人员，记"该人参加过财会培训"为事件，"该人参加过计算机培训"为事件，由题设知，事件与相互独立，且，． （I）**解法一：**任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 所以该人参加过培训的概率是． **解法二：**任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 该人参加过两项培训的概率是． 所以该人参加过培训的概率是． （II）**解法一：**任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是 ． 3人都参加过培训的概率是． 所以3人中至少有2人参加过培训的概率是． **解法二：**任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是 3人都没有参加过培训的概率是 所以3人中至少有2人参加过培训的概率是． 18．（本小题满分12分） ![](./data/image/media/image35.png) 解：（I）在平面内过点作于点，连结 因为，，所以， 又因为，所以． 而，所以，，从而，又， 所以平面．因为平面，故． （II）**解法一：**由（I）知，，又，，，所以。 过点作于点，连结，由三垂线定理知，． 故是二面角的平面角。 由（I）知，，所以是和平面所成的角，则， 不妨设，则，。 在中，，所以， 于是在中，。 故二面角的大小为。 **解法二：** ![](./data/image/media/image83.png) 由（I）知，，，，故可以为原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为，所以是和平面所成的角，则． 不妨设，则，． 在中，， 所以． 则相关各点的坐标分别是 ，，，． 所以，． 设是平面的一个法向量，由得 取，得． 易知是平面的一个法向量． 设二面角的平面角为，由图可知，． 所以． 故二面角的大小为． 19．（本小题满分13分） 解：由条件知，设，。 （I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，， 此时。 当不与轴垂直时，设直线的方程是。 代入，有。 则是上述方程的两个实根，所以，， 于是 。 综上所述，为常数。 （II）**解法一：**设，则，， ，，由得： 即 于是的中点坐标为。 当不与轴垂直时，，即． 又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得 ，即． 将代入上式，化简得． 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程． 所以点的轨迹方程是． **解法二：**同解法一得..........................................① 当不与轴垂直时，由（I） 有．.....................② ．...........................③ 由①②③得.........................................................④ ..............................................................................⑤ 当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有 整理得。 当时，点M的坐标为，满足上述方程． 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程。 故点的轨迹方程是。 20．（本小题满分13分） 解：（I）当时，由已知得． 因为，所以 ..............................① 于是 .........................................................② 由②－①得：...................................................③ 于是............................................................④ 由④－③得：.........................................................⑤ 即数列（）是常数数列． （II）由①有，所以 由③有，所以， 而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列． 所以，， 由题设知，。当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项。 > 若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，，从而是数列中的第项． > > （注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可） 21．（本小题满分13分） > 解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根， 设两实根为（），则，且．于是 ，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16． （II）**解法一：**由知在点处的切线的方程是 ，即， 因为切线在点处空过的图象， 所以在两边附近的函数值异号，则 不是的极值点． 而，且 ． 若，则和都是的极值点． 所以，即，又由，得，故． **解法二：**同解法一得 ． 因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（） 当时，，当时，； 或当时，，当时，。 设，则 当时，，当时，； 或当时，，当时，。 由知是的一个极值点，则， 所以，又由，得，故。
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）** **化学试卷** **参考答案** **第I卷** **一、选择题：本题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。** 1．B　　2．B　　3．C　　4．B　　5．C　　6．D 7．A　　8．A　　9．D　　10．D　11．A　 12．A **第II卷** **二、本卷包括必考题和选考题两部分。第13题\~第17题为必考题，每个试题考生都必须做答。第18题\~第29题为选考题，考生根据要求做答。** 13． （1）Si Ar （2）K F （3）铝（或Al）2Al（OH）~3~ + 3H~2~SO~4~==Al~2~（SO~4~）~3~ + 6H~2~O Al（OH）~3~ + KOH==KAlO~2~ +2H~2~O （4）在NaBr溶液中通入氯气（或加入氯水），溶液液变红棕色（或橙色）。 14． （1）Cu AgNO~3~ （2）正极 Ag^+^ +e^－^＝Ag↓ Cu－2e^－^＝Cu^2+^ （3）X Ag 15． （1）C~2~H~6~O （2）2C~2~H~5~OH + 2Na ![](./data/image/media/image1.png)2C~2~H~5~ONa + H~2~↑ （3）CH~3~CHO （4）Z为CH~3~COOH，与X反应的化学方程式为 CH~3~COOH + C~2~H~5~OH ![](./data/image/media/image2.emf) CH~3~COOH + H~2~O 已知n （CH~3~COOH）==＝2mol n （C2H5OH）== \> 2mol 所以乙醇过量，应以乙酸计算产率 2mol乙酸完全酯化可生成乙酸乙酯2mol×88g·mol^－1^＝176g 所以该反应的产率为 ×100％＝60.2％ 16． （1）K== （2）PCl~5~（g）![](./data/image/media/image3.png) PCl~3~（g） + Cl~2~（g） c（起始）（mol/L） =0.200 0 0 c（变化）（mol/L） 0.150 0.150 0.150 c（平衡）（mol/L） 0.050 0.150 0.150 所以平衡常数K==＝＝0.45 17． （1）固体反应物的表面积 表面积越大 1和2 （2）3和4 （3）开始反应温度 6和7 （4）一定量的金属跟足量的硫酸反应放出的热量相同。 **选考题** **《有机化学基础》模块** 18．D 19．B 20．A 21． （1）CH~2~＝CH~2~ ![](./data/image/media/image4.png) HOOC（CH~2~）~4~COOH （2）![](./data/image/media/image5.png) ![](./data/image/media/image6.png) ![](./data/image/media/image7.png) （3）加成 缩聚 **《物质与结构模块》** 22．C 23．D 24．C 25． （1）N （2）Cl K （3）Mn 1s^2^2s^2^2p^6^3s^2^3p^6^3d^5^4s^2^ （4）Cu 1s^2^2s^2^2p^6^3s^2^3p^6^3d^10^4s^1^ **《化学与技术》模块** 26．B 27．D 28．D 29． （1）2NH~4~Cl +（OH）~2~ ![](./data/image/media/image8.emf)CaCl~2~ +2NH~3~↑+2H~2~O （2）NH~3~ +H~2~O +CO~2~ +NaCl＝NaHCO~3~↓+ NH~4~Cl 2NaHCO~3~![](./data/image/media/image8.emf)Na~2~CO~3~ +CO~2~↑+H~2~O （3）前者的CO~2~ 来自合成氨厂，后者的CO~2~ 来自煅烧石灰石。 （4）×100％＝100％
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**小升初知识点复习专项练习-数的运算21小数除法** 　 **一．选择题（共10小题）** 1．做一套西服用布2.4米，30米布最多可以做（　　）套． ---- ----- ------ ----- ---- ----- ---- ----- ---- 　 A． 12.5 B． 12 C． 13 D． 14 ---- ----- ------ ----- ---- ----- ---- ----- ---- 　 2．0.47÷0.4，商是1.1，余数是（　　） ---- ----- --- ----- ----- ----- ------ 　 A． 3 B． 0.3 C． 0.03 ---- ----- --- ----- ----- ----- ------ 　 3．一个数除以一个既大于0又小于1的数，所得的商（　　） ---- ----- ------- ----- ------- ----- --------- ----- ---------- 　 A． 大于1 B． 小于1 C． 不等于0 D． 不能确定 ---- ----- ------- ----- ------- ----- --------- ----- ---------- 　 4．甲数÷0.4=乙数（甲乙都不能为零），那么（　　） ---- ----- -------- ----- -------- ----- ------- 　 A． 甲＞乙 B． 乙＞甲 C． 甲≒乙 ---- ----- -------- ----- -------- ----- ------- 　 5．38.55÷0.12的商是321时，余数是（　　） ---- ----- --- ----- ----- ----- ------ ----- ------- 　 A． 3 B． 0.3 C． 0.03 D． 0.003 ---- ----- --- ----- ----- ----- ------ ----- ------- 　 6．0.50的计数单位是0.5的计数单位的（　　） ---- ----- ------------------------------------ ----- ----- ----- ------ 　 A． ![](./data/image/media/image2.png) B． 1倍 C． 10倍 ---- ----- ------------------------------------ ----- ----- ----- ------ 　 7．3.25除以0.07的余数应是（　　） ---- ----- --- ----- ----- ----- ------ 　 A． 3 B． 0.3 C． 0.03 ---- ----- --- ----- ----- ----- ------ 　 8．1.17÷2.6=a，那么11.7÷2.6=（　　） ---- ----- --- ----- ----- ----- ------------------------------------- 　 A． a B． 10a C． ![](./data/image/media/image2.png)a ---- ----- --- ----- ----- ----- ------------------------------------- 　 9．一堆煤有3.7吨，一辆板车每次只能运走0.5吨．如果把这堆煤都运走至少要运？次．（　　） ---- ----- ----- ----- --- ----- --- 　 A． 7.4 B． 7 C． 8 ---- ----- ----- ----- --- ----- --- 　 10．47.88÷24=1.995，按四舍五入法精确到百分位应写作（　　） ---- ----- ----- ----- ------ ----- ------ 　 A． 2.0 B． 2.00 C． 1.99 ---- ----- ----- ----- ------ ----- ------ 　 **二．填空题（共10小题）** 11．小数除法的意义：5.6÷1.4表示[　\_\_\_\_\_\_\_\_\_　]{.underline}． 　 12．一个数除8，结果是0.5，那么这个数是[　\_\_\_\_\_\_\_\_\_　]{.underline}． 　 13．45÷50=[　\_\_\_\_\_\_\_\_\_　]{.underline}（填小数） 　 14．计算：1÷2.4=[　\_\_\_\_\_\_\_\_\_　]{.underline}． 　 15．386÷0.25的商的最高位是[　\_\_\_\_\_\_\_\_\_　]{.underline}位． 　 16．26.37÷31的结果保留一位小数是[　\_\_\_\_\_\_\_\_\_　]{.underline}，保留两位小数是[　\_\_\_\_\_\_\_\_\_　]{.underline}，保留三位小数是[　\_\_\_\_\_\_\_\_\_　]{.underline}． 　 17．用5.4千克花生能榨油1.2千克，榨1千克油需要花生[　\_\_\_\_\_\_\_\_\_　]{.underline}千克． 　 18． ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- 2.4÷0.04= 125×32= 0.25×0.4= ![](./data/image/media/image3.png)= 1.29﹣0.18= 13﹣7.2﹣2.8= 0.88+0.12= 0.4^2^= ![](./data/image/media/image4.png)= ![](./data/image/media/image5.png)= ![](./data/image/media/image6.png)= ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- 　 19．每千克绿豆约18000粒，100万粒绿豆约重[　\_\_\_\_\_\_\_\_\_　]{.underline}千克（精确到0.01） 　 20．一台拖拉机，4小时耕地5公顷，这台拖拉机每公顷需要耕[　\_\_\_\_\_\_\_\_\_　]{.underline}小时，每小时可以耕[　\_\_\_\_\_\_\_\_\_　]{.underline}公顷地． 　 21．列竖式计算：24.6÷12． 　 22．竖式计算：23.5÷18． 　 **小升初知识点复习专项练习-数的运算21小数除法** **参考答案与试题解析** 　 **一．选择题（共10小题）** 1．做一套西服用布2.4米，30米布最多可以做（　　）套． ---- ----- ------ ----- ---- ----- ---- ----- ---- 　 A． 12.5 B． 12 C． 13 D． 14 ---- ----- ------ ----- ---- ----- ---- ----- ---- +--------+------------------------------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法；近似数及其求法． | +--------+------------------------------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 根据题意，知道每套西服用布2.4米，就是求30米里面有多少个2.4米，再根据实际情况进行取舍． | +--------+------------------------------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：根据题意可得： | | | | | | 30÷2.4=12.5（套）， | | | | | | 因为西服没有半套的，所以12.5≈12． | | | | | | 故选：B． | +--------+------------------------------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 本题主要是考查根据实际情况进行求近似数的问题，本题因为是做西服，要根据"去尾法"进行解答． | +--------+------------------------------------------------------------------------------------------+ 　 2．0.47÷0.4，商是1.1，余数是（　　） ---- ----- --- ----- ----- ----- ------ 　 A． 3 B． 0.3 C． 0.03 ---- ----- --- ----- ----- ----- ------ +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法． | +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 根据有余数的除法可知，商×除数+余数=被除数，那么余数=被除数﹣商×除数，代入数据进行解答即可． | +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：根据题意可得： | | | | | | 余数是：0.47﹣1.1×0.4=0.47﹣0.44=0.03． | | | | | | 故选：C． | +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 被除数=商×除数+余数，同样适用于小数的除法． | +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------+ 　 3．一个数除以一个既大于0又小于1的数，所得的商（　　） ---- ----- ------- ----- ------- ----- --------- ----- ---------- 　 A． 大于1 B． 小于1 C． 不等于0 D． 不能确定 ---- ----- ------- ----- ------- ----- --------- ----- ---------- +--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法． | +--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 被除数不确定，而且被除数和除数的大小关系不确定，商的大小无法确定；由此求解． | +--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：被除数和除数的大小关系不确定，商的大小无法确定，例如： | | | | | | 2÷0.5=4； | | | | | | 4＞1，商大于1； | | | | | | 0.2÷0.5=0.4， | | | | | | 0.4＜1，商小于1； | | | | | | 0÷0.5=0； | | | | | | 商等于0． | | | | | | 所以商的大小无法确定． | | | | | | 故选：D． | +--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 在一个除法算式中（除数不为0），如果被除数＞除数，商＞1；如果被除数=除数，商=1；如果被除数＜除数，商＜1；如果被除数是0，商就是0． | +--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ 　 4．甲数÷0.4=乙数（甲乙都不能为零），那么（　　） ---- ----- -------- ----- -------- ----- ------- 　 A． 甲＞乙 B． 乙＞甲 C． 甲≒乙 ---- ----- -------- ----- -------- ----- ------- +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 专题： | 运算顺序及法则． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 根据除法的意义可知，一个不为零的数除以一个小于1的数，商一定大于被除数．由于0.4＜1，则甲数÷0.4=乙数，乙数＞甲数． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：由于0.4＜1， | | | | | | 甲数÷0.4=乙数， | | | | | | 根据除法的意义可知， | | | | | | 乙数＞甲数． | | | | | | 故选：B． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 根据除法的意义可知，一个数除以一个大于1的数，商一定小于被除数；一个不为零的数除以一个小于1的数，商一定大于被除数． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ 　 5．38.55÷0.12的商是321时，余数是（　　） ---- ----- --- ----- ----- ----- ------ ----- ------- 　 A． 3 B． 0.3 C． 0.03 D． 0.003 ---- ----- --- ----- ----- ----- ------ ----- ------- +--------+------------------------------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法． | +--------+------------------------------------------------------------------------------------------+ | 专题： | 运算顺序及法则． | +--------+------------------------------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 根据"被除数÷除数=商...余数"可得：被除数﹣商×除数=余数，代入数值解答即可． | +--------+------------------------------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：38.55﹣321×0.12 | | | | | | =38.55﹣38.52， | | | | | | =0.03． | | | | | | 故选：C． | +--------+------------------------------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 解答此题的关键：根据在有余数的除法中，被除数、除数、商和余数四者之间的关系进行解答即可． | +--------+------------------------------------------------------------------------------------------+ 　 6．0.50的计数单位是0.5的计数单位的（　　） ---- ----- ------------------------------------ ----- ----- ----- ------ 　 A． ![](./data/image/media/image7.png) B． 1倍 C． 10倍 ---- ----- ------------------------------------ ----- ----- ----- ------ +--------+-------------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法． | +--------+-------------------------------------------------------------------------+ | 专题： | 运算顺序及法则． | +--------+-------------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 首先明确0.50和0.5的计数单位分别是多少，进一步解决问题． | +--------+-------------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：0.50的计数单位是0.01，0.5的计数单位是 0.1， | | | | | | 0.01÷0.1=![](./data/image/media/image7.png)， | | | | | | 所以0.50的计数单位是0.5的计数单位的![](./data/image/media/image7.png)． | | | | | | 故选：A． | +--------+-------------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 明确小数的计数单位，是解题的关键． | +--------+-------------------------------------------------------------------------+ 　 7．3.25除以0.07的余数应是（　　） ---- ----- --- ----- ----- ----- ------ 　 A． 3 B． 0.3 C． 0.03 ---- ----- --- ----- ----- ----- ------ +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法． | +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 专题： | 运算顺序及法则． | +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 在计算3.25÷0.07时，根据小数除法的运算法则，可先按325÷7进行计算，325÷7=46...3，但是3.25是两位小数，则其余数应是0.03．即3.25÷0.07=46...0.03． | +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：3.25÷0.07=46...0.03． | | | | | | 故选：C． | +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 在计算小数除法的时，同样要注意余数要小于除数，余数是几位小数，和被除数是几位小数有关． | +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ 　 8．1.17÷2.6=a，那么11.7÷2.6=（　　） ---- ----- --- ----- ----- ----- ------------------------------------- 　 A． a B． 10a C． ![](./data/image/media/image8.png)a ---- ----- --- ----- ----- ----- ------------------------------------- +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法． | +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 商不变的性质：被除数、除数同时扩大相同的倍数（0除外）商不变，现在被除数扩大10倍，除数不变，商就扩大10倍，据此选择． | +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：1.17÷2.6=a，那么11.7÷2.6=10a． | | | | | | 故选：B． | +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 此题考查小数除法，解决此题的关键是商不变的性质． | +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ 　 9．一堆煤有3.7吨，一辆板车每次只能运走0.5吨．如果把这堆煤都运走至少要运？次．（　　） ---- ----- ----- ----- --- ----- --- 　 A． 7.4 B． 7 C． 8 ---- ----- ----- ----- --- ----- --- +--------+-----------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法；近似数及其求法． | +--------+-----------------------------------------------------------------+ | 分析： | 用煤的重量÷一辆板车每次能运的重量，取近似数即可求出要运的次数． | +--------+-----------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：3.7÷0.5≈8（次）． | | | | | | 故选：C． | +--------+-----------------------------------------------------------------+ | 点评： | 考查了小数除法的实际应用，注意本题进1取近似数． | +--------+-----------------------------------------------------------------+ 　 10．47.88÷24=1.995，按四舍五入法精确到百分位应写作（　　） ---- ----- ----- ----- ------ ----- ------ 　 A． 2.0 B． 2.00 C． 1.99 ---- ----- ----- ----- ------ ----- ------ +--------+------------------------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法；近似数及其求法． | +--------+------------------------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 根据题意，由求近似数的方法进行解答即可． | +--------+------------------------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：根据题意可得： | | | | | | 1.995≈2.00， | | | | | | 故选：B． | +--------+------------------------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 按照四舍五入法求小数的近似数时，小数位数不够时应用0补齐，末尾是0的精确到相应位数． | +--------+------------------------------------------------------------------------------------+ 　 **二．填空题（共10小题）** 11．小数除法的意义：5.6÷1.4表示[　已知两个因数的积是5.6与其中一个因数1.4求另一个因数的运算．　]{.underline}． +--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法． | +--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 专题： | 运算顺序及法则． | +--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 根据小数除法的意义可知，5.6÷1.4表示已知两个因数的积是5.6，其中的一个因数是1.4，求另一个因数的运算． | +--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：5.6÷1.4表示已知两个因数的积是5.6与其中一个因数1.4求另一个因数的运算． | | | | | | 故答案为：已知两个因数的积是5.6与其中一个因数1.4求另一个因数的运算． | +--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 本题考查了小数除法意义的理解及运用． | +--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------+ 　 12．一个数除8，结果是0.5，那么这个数是[　16　]{.underline}． +--------+--------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法． | +--------+--------------------------------------------------------------------+ | 专题： | 文字叙述题． | +--------+--------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 一个数除8等于0.5，这个数是8÷0.5=16，注意是除不是除以，两个不一样． | +--------+--------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：8÷0.5=16 | | | | | | 故答案为：16． | +--------+--------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 此题关键是注意区别"除"和"除以"，两个不一样． | +--------+--------------------------------------------------------------------+ 　 13．45÷50=[　0.9　]{.underline}（填小数） +--------+--------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法． | +--------+--------------------------------------------------+ | 专题： | 运算顺序及法则． | +--------+--------------------------------------------------+ | 分析： | 依据整数除法的运算法则进行计算即可． | +--------+--------------------------------------------------+ | 解答： | 解：45÷50=0.9； | | | | | | 故答案为：0.9． | +--------+--------------------------------------------------+ | 点评： | 此题主要考查整数除法的运算法则的理解和灵活应用． | +--------+--------------------------------------------------+ 　 14．计算：1÷2.4=[　0.41　]{.underline}． +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 专题： | 运算顺序及法则． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 先把除数的小数点向右移动一位，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数，然后按除数是整数的除法进行计算． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：1÷2.4=0.41 | | | | | | ![](./data/image/media/image9.png) | | | | | | 故答案为：0.41． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 本题运用小数除法，先移动除数的小数点使它变成整数，然后按除数是整数除法计算． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ 　 15．386÷0.25的商的最高位是[　千　]{.underline}位． +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 专题： | 运算顺序及法则． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 根据小数除法法则，将算式中除数的小数点去掉，被除数与除数同时扩大100倍，则被除数变为38600，为五位数，除数为25，为两位数，且被除数的万位千位为38＞25，所以386÷0.25的商的最高位是千位． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：根据小数除法法则可知， | | | | | | 386÷0.25的商的最高位是千位． | | | | | | 故答案为：千． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 在小数除法的计算中，可根据被除数与除数的位数及数据确定商的最高位数是多少． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ 　 16．26.37÷31的结果保留一位小数是[　0.9　]{.underline}，保留两位小数是[　0.85　]{.underline}，保留三位小数是[　0.851　]{.underline}． +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法；近似数及其求法． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------+ | 专题： | 运算顺序及法则． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 根据小数除法的计算方法，先求出26.37÷31的结果，然后再根据四舍五入法，根据要求求近似数即可． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：保留一位小数：26.37÷31≈0.9； | | | | | | 保留两位小数：26.37÷31≈0.85 | | | | | | 保留三位小数：26.37÷31≈0.851． | | | | | | 故答案为：0.9，0.85，0.851． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 本题主要考查求小数的近似数，根据四舍五入法进行解答即可． | +--------+--------------------------------------------------------------------------------------------+ 　 17．用5.4千克花生能榨油1.2千克，榨1千克油需要花生[　4.5　]{.underline}千克． +--------+------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法． | +--------+------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 用所用花生的重量÷所榨油的重量，即可求出榨1千克油需要花生的重量． | +--------+------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：5.4÷1.2=4.5（千克）． | | | | | | 故答案为：4.5． | +--------+------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 考查了小数除法的应用，注意找准被除数和除数． | +--------+------------------------------------------------------------------+ 　 18． -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- 2.4÷0.04= 125×32= 0.25×0.4= ![](./data/image/media/image10.png)= 1.29﹣0.18= 13﹣7.2﹣2.8= 0.88+0.12= 0.4^2^= ![](./data/image/media/image11.png)= ![](./data/image/media/image12.png)= ![](./data/image/media/image13.png)= -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法；整数的乘法及应用；分数的加法和减法；分数的四则混合运算；小数乘法；有理数的乘方；求比值和化简比． | +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 本题根据小数、分数、整数的加法、减法、乘法、除法的运算法则计算即可； | | | | | | 125×32可将32拆分为8×4进行计算； | | | | | | 13﹣7.2﹣2.8可根据一个数减两个数，等于减去这两个数的和的减法性质计算； | | | | | | ![](./data/image/media/image14.png)可根据加法交换律计算； | | | | | | （　　）：=可根据比的意义及乘除法的互逆关系进行计算． | +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解： | | | | | | --------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------- ---------------------------------------- | | | 2.4÷0.04=60， 125×32=4000， 0.25×0.4=0.1， ![](./data/image/media/image15.png)=． | | | 1.29﹣0.18=1.11， 13﹣7.2﹣2.8=3， 0.88+0.12=1， 0.4^2^=0.16， | | | ![](./data/image/media/image16.png)=![](./data/image/media/image17.png)， ![](./data/image/media/image18.png)=![](./data/image/media/image19.png)， ![](./data/image/media/image20.png)=， | | | --------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------- ---------------------------------------- | +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 完成本题要细心分析式中数据，能简便计算的要简便计算，然后快速准确得出答案． | +--------+---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ 　 19．每千克绿豆约18000粒，100万粒绿豆约重[　55.56　]{.underline}千克（精确到0.01） +--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法． | +--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 专题： | 文字题． | +--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 根据题意，可知每千克绿豆约18000粒，要求100万粒绿豆约重多少千克，就是求100万中有多少个18000，就重多少千克，用1000000÷18000进行计算即可． | +--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：根据题意可得： | | | | | | 1000000÷18000≈55.56（千克）， | | | | | | 答：100万粒绿豆约重55.56千克． | | | | | | 故答案为：55.56． | +--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 本题主要考查小数的除法，注意本题给出的数据较大，计算时不要把数据写错． | +--------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ 　 20．一台拖拉机，4小时耕地5公顷，这台拖拉机每公顷需要耕[　0.8　]{.underline}小时，每小时可以耕[　1.25　]{.underline}公顷地． +--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法． | +--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 求"每公顷需要耕几小时"，相当于把4小时平均分成5份，每份是多少小时，也就是每公顷地需要的时间；求"每小时可以耕几公顷地"是求工作效率，根据工作总量÷工作时间=工作效率求解． | +--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：4÷5=0.8（小时）， | | | | | | 5÷4=1.25（公顷）， | | | | | | 答：这台拖拉机每公顷需要耕 0.8小时，每小时可以耕 1.25公顷地． | | | | | | 故答案为：0.8、1.25． | +--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 此题考查了工作总量、工作时间、工作效率之间的关系，及平均分的意义． | +--------+------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ 　 　 21．列竖式计算：24.6÷12． +--------+----------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法． | +--------+----------------------------------------------------------------------+ | 专题： | 计算题． | +--------+----------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 根据小数除以整数的竖式计算的方法进行计算． | +--------+----------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：24.6÷12=2.05 | | | | | | ![](./data/image/media/image21.png) | +--------+----------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 考查了小数除法的笔算，明确小数除以整数的计算方法，是解答此题的关键． | +--------+----------------------------------------------------------------------+ 　 22．竖式计算：23.5÷18． +--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 考点： | 小数除法． | +--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 专题： | 运算顺序及法则． | +--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 分析： | 根据除数是整数的小数除法的计算法则，按照整数除法的计算法则进行计算，商的小数点和被除数的小数点对齐．据此列竖式计算． | +--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 解答： | 解：23.5÷18=1.30， | | | | | | ![](./data/image/media/image22.png) | +--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 点评： | 此题考查的目的是理解掌握小数除法的计算法则，并且能够正确熟练地进行计算． | +--------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ 　
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**2007年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析** **一、选择题：（**本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） **(1)** 当时，与等价的无穷小量是 \(A\) . (B) . (C) . (D) .　 \[ **B** \] 【**分析**】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【**详解**】 当时，有；； 利用排除法知应选(B). **(2)** 函数在上的第一类间断点是*x* = \(A\) 0. (B) 1. (C) . (D) .　 \[ A \] 【**分析**】 本题*f*(*x*)为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。 【**详解**】 *f*(*x*)在上的无定义点，即间断点为*x* =0,1, 又 ， ， 可见*x*=0为第一类间断点，因此应选(A). **(3)** 如图，连续函数*y*=*f*(*x*)在区间\[−3，−2\]，\[2，3\]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间\[−2，0\]，\[0，2\]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是 \(A\) . (B) . \(C\) . (D) .　 \[ **C** \] 【**分析**】 本题考查定积分的几何意义，应注意*f*(*x*)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。 【**详解**】 根据定积分的几何意义，知*F*(2)为半径是1的半圆面积：， *F*(3)是两个半圆面积之差：**=，** 因此应选(C). **(4)** 设函数*f*(*x*)在*x*=0处连续，下列命题错误的是 \(A\) 若存在，则*f*(0)=0. (B) 若存在，则*f*(0)=0. \(C\) 若存在，则存在. (D) 若存在，则存在 > \[ **D** \] 【**分析**】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。 【**详解**】 (A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出*f*(0)=0. 若存在，则，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：在*x*=0处连续，且 =存在，但在*x*=0处不可导. **(5)** 曲线，渐近线的条数为 \(A\) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.　 \[ **D** \] 【**分析**】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【**详解**】 因为，所以为垂直渐近线； **又 ，**所以y=0为水平渐近线； 进一步，=， = =， 于是有斜渐近线：*y* = *x*. 故应选(D). **(6)** 设函数*f* (*x*)在上具有二阶导数，且 令, 则下列结论正确的是 \(A\) 若，则必收敛. (B) 若，则必发散. \(C\) 若，则必收敛. (D) 若，则必发散.　 \[ **D** \] 【**分析**】 利用反例通过排除法进行讨论。 【**详解**】 设*f*(*x*)=, 则*f* (*x*)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(C); 设*f*(*x*)=, 则*f*(*x*)在上具有二阶导数，且，但收敛，排除(B); 又若设，则*f*(*x*)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(A). 故应选(D). **(7)** 二元函数*f*(*x*, *y*)在点(0，0) 处可微的一个充分条件是 \(A\) . \(B\) ，且. (C). \(D\) ，且.　 \[ **C** \] 【**详解**】 选项(A)相当于已知*f*(*x*, *y*)在点(0,0)处连续，选项(B)相当于已知两个一阶偏导数存在，因此(A),(B)均不能保证*f*(*x*, *y*)在点(0，0)处可微。 选项(D)相当于已知两个一阶偏导数存在，但不能推导出两个一阶偏导函数在点(0,0)处连续，因此也不能保证*f*(*x*, *y*)在点(0，0) 处可微。 若，则 ，即同理有 从而 = =0 根据可微的定义，知函数*f*(*x*, *y*) 在(0，0) 处可微，故应选(C). **(8)** 设函数*f*(*x*, *y*)连续，则二次积分等于 \(A\) . (B) . \(C\) . (D) . \[ **B** \] 【**分析**】 先确定积分区域，画出示意图，再交换积分次序。 【**详解**】 积分区域 D: , 也可表示为 D: , 故 =，应选(B). \(9\) 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是 \(A\) . (B) . \(C\) . (D) . \[ A \] 【详解】 用定义进行判定:令 ， 得 . 因线性无关，所以 又 ， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的. \(10\) 设矩阵, ,则*A*与*B* \(A\) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 . \(C\) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. \[ **B** \] **二、填空题 (**11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) **(11)** = 【**详解**】 **=** **=** **(12)** 曲线上对应于的点处的法线斜率为 【**详解**】 因为 ，于是，故法线斜率为 \(13\) 设函数则= 【**详解**】 一般地，， 从而 = **(14)** 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 其中为任意常数. 【**详解**】 特征方程为 ，解得 可见对应齐次线性微分方程的通解为 设非齐次线性微分方程的特解为，代入非齐次方程可得*k*= −2. 故通解为 **(15)** 设*f*(*u*,*v*)是二元可微函数，则 = 【**详解**】 ，，于是有 = \(16\) 设矩阵, 则的秩为1. 【详解】 依矩阵乘法直接计算得 , 故*r*()=1. **三、解答题**：(17－24小题，共86分. ) **(17)（本题满分10分）** 设*f*(*x*)是区间上的单调、可导函数，且满足 ， 其中是*f*的反函数，求*f*(*x*). 【**分析**】 等式两端先对*x*求导，再积分即可。 【**详解**】 在等式两端先对*x*求导，得 ， 即 ， 也即 . 于是 = 由题设知, *f*(0)=0, 于是*c* = 0，故 **(18)（本题满分11分）** 设*D*是位于曲线下方、*x*轴上方的无界区域。 \(I\) 求区域*D*绕*x*轴旋转一周所成旋转体的体积*V*(*a*); \(II\) 当*a*为何值时，*V*(*a*)最小? 并求此最小值. 【**分析**】 *V*(*a*)的值可通过广义积分进行计算，再按通常方法求*V*(*a*) 的最小值即可。 > 【**详解**】 (I) = > > = > > \(II\) , > > 得 ， 即 *a* = *e*. > > 由于*a* = *e*是唯一的驻点，是极小值点，也是最小值点，最小值为 **(19)（本题满分10分）** 求微分方程满足初始条件的特解。 【**分析**】 本题为可降阶的二阶微分方程，作变量代换即可。 【**详解**】 令，则原方程化为 即 ， 其解为 利用*u*=,有*C* =0, 于是 , 由 知应取. 再由 ，积分得，代入初始条件*y*(1)=1，得， 故满足初始条件的特解为. **(20)（本题满分11分）** 已知函数*f*(*u*)具有二阶导数，且，函数*y*=*y*(*x*)由方程所确定，设，求 【**详解**】 ， 在中, 令*x*= 0 得*y*=1 . 而由两边对*x*求导得 再对*x*求导得 将*x*=0, *y*=1代入上面两式得 故 **（21）（本题满分11分）** > 设函数*f*(*x*), *g*(*x*)在\[*a*, *b*\]上连续，在(*a*, *b*)内具有二阶导数且存在相等的最大值，*f*(*a*)=*g*(*a*), *f*(*b*)=*g*(*b*), 证明：存在，使得 【**分析**】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令，则问题转化为证明, 只需对用罗尔定理，关键是找到的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用*F*(*a*)=*F*(*b*)=0, 若能再找一点，使得，则在区间上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对用罗尔定理即可。 【**证明**】 构造辅助函数，由题设有*F*(*a*)=*F*(*b*)=0. 又*f*(*x*), *g*(*x*)在(*a*, *b*)内具有相等的最大值, 不妨设存在, 使得 ， 若，令, 则 若，因，从而存在 ，使 在区间上分别利用罗尔定理知，存在，使得 . 再对在区间上应用罗尔定理，知存在，有 ， 即 **（22）（本题满分11分）** 设二元函数 计算二重积分，其中 【**分析**】 被积函数为分区域函数，利用积分的可加性分区域积分，在计算过程中注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性进行化简。 【**详解**】 由区域的对称性和被积函数的奇偶性有 其中为D在第一象限的部分. 设 , , . 因此 . **(23)** (本题满分11分) 设线性方程组 　　 ① 与方程 ② 有公共解，求*a*的值及所有公共解． 【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将①与②联立得非齐次线性方程组: ③ 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵作初等行变换得: . 于是1° 当*a*=1时，有=2\<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时 ， 此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: , 所以①与②的全部公共解为，*k*为任意常数. 2° 当*a* =2时，有=3，方程组③有唯一解, 此时 ， 故方程组③的解为: , 即①与②有唯一公共解: 为. **(24)** (本题满分11分) > 设3阶对称矩阵*Ａ*的特征值 是*Ａ* 的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵. \(I\) 验证是矩阵*Ｂ*的特征向量，并求*B*的全部特征值与特征向量． \(II\) 求矩阵*Ｂ*． 【分析】 根据特征值的性质可立即得*B*的特征值, 然后由*B*也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量**.** 【详解】 (I) 由 得 , 进一步 , ， 故 ， 从而是矩阵*Ｂ*的属于特征值−2的特征向量. > 因, 及*Ａ*的3个特征值 得 *B*的3个特征值为. > 设为*B*的属于的两个线性无关的特征向量, 又 *Ａ*为对称矩阵，得*B*也是对称矩阵, 因此与正交, 即 所以可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解： , 其基础解系为: , , 故可取=, =. 即*B*的全部特征值的特征向量为: , , 其中,是不为零的任意常数, 是不同时为零的任意常数. \(II\) 令=, 则 ， 得 = =.
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![](./data/image/media/image1.png) **浙江省金华市、丽水市2020年中考数学试卷** **一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)** 1.实数3的相反数是（   ） > A. ![](./data/image/media/image2.png)![](./data/image/media/image2.png) 3                                       ![](./data/image/media/image3.png)B. 3                                       ![](./data/image/media/image3.png)C. ![](./data/image/media/image4.png)![](./data/image/media/image4.png)                                      ![](./data/image/media/image3.png)D. ![](./data/image/media/image5.png)![](./data/image/media/image5.png) 2.分式 ![](./data/image/media/image6.png)![](./data/image/media/image6.png) 的值是零，则x的值为（   ） > A. 5                                         ![](./data/image/media/image3.png)B. 2                                         ![](./data/image/media/image3.png)C. －2                                         ![](./data/image/media/image3.png)D. －5 3.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） > A. ![](./data/image/media/image7.png)![](./data/image/media/image7.png)                              ![](./data/image/media/image8.png)B. ![](./data/image/media/image9.png)![](./data/image/media/image9.png)                              ![](./data/image/media/image8.png)C. ![](./data/image/media/image10.png)![](./data/image/media/image10.png)                              ![](./data/image/media/image8.png)D. ![](./data/image/media/image11.png)![](./data/image/media/image11.png) 4.下列四个图形中，是中心对称图形的是（   ） > A. ![](./data/image/media/image12.png)       ![](./data/image/media/image3.png)B. ![](./data/image/media/image13.png)       ![](./data/image/media/image3.png)C. ![](./data/image/media/image14.png)       ![](./data/image/media/image3.png)D. ![](./data/image/media/image15.png) 5.如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是（   ） ![](./data/image/media/image16.png) > A. ![](./data/image/media/image17.png)![](./data/image/media/image17.png)                                         ![](./data/image/media/image8.png)B. ![](./data/image/media/image5.png)![](./data/image/media/image5.png)                                         ![](./data/image/media/image8.png)C. ![](./data/image/media/image18.png)![](./data/image/media/image18.png)                                         ![](./data/image/media/image8.png)D. ![](./data/image/media/image19.png)![](./data/image/media/image19.png) 6.如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（   ） ![](./data/image/media/image20.png) > A. 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短\ > B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行\ > C. 在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线\ > D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 7.已知点(－2，a)，(2，b)，(3，c)在函数 ![](./data/image/media/image21.png)![](./data/image/media/image21.png) 的图象上，则下列判断正确的是（   ） > A. a＜b＜c                             B. b＜a＜c                             C. a＜c＜b                             D. c＜b＜a 8.如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是 ![](./data/image/media/image22.png)![](./data/image/media/image22.png) 上一点，则∠EPF的度数是（   ） ![](./data/image/media/image23.png) > A. 65°                                       B. 60°                                       C. 58°                                       D. 50° 9.如图，在编写数学谜题时，"□"内要求填写同一个数字，若设"□"内数字为x，则列出方程正确的是（   ） ![](./data/image/media/image24.png) > A. ![](./data/image/media/image25.png)![](./data/image/media/image25.png)                                                   ![](./data/image/media/image8.png)B. ![](./data/image/media/image26.png)![](./data/image/media/image26.png)  \ > C. ![](./data/image/media/image27.png)![](./data/image/media/image27.png)                                           D. ![](./data/image/media/image28.png)![](./data/image/media/image28.png) 10.如图，四个全等的直角三角形拼成"赵爽弦图"，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则 ![](./data/image/media/image29.png)![](./data/image/media/image29.png) 的值是（   ） ![](./data/image/media/image30.png) > A. ![](./data/image/media/image31.png)![](./data/image/media/image31.png)                                 ![](./data/image/media/image3.png)B. ![](./data/image/media/image32.png)![](./data/image/media/image32.png)                                 ![](./data/image/media/image3.png)C. ![](./data/image/media/image33.png)![](./data/image/media/image33.png)                                 ![](./data/image/media/image3.png)D. ![](./data/image/media/image34.png)![](./data/image/media/image34.png) **二、填空题 (本题有6小题,每小题4分,共24分)** 11.点P(m，2)在第二象限内，则m的值可以是(写出一个即可)\_\_\_\_\_\_\_\_.   12.数据1，2，4，5，3的中位数是\_\_\_\_\_\_\_\_. 13.如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_cm^2^. ![](./data/image/media/image35.png) 14.如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是\_\_\_\_\_\_\_\_°. ![](./data/image/media/image36.png) 15.如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tanβ的值是\_\_\_\_\_\_\_\_. ![](./data/image/media/image37.png) 16.图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm， CE=DF， CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动. ![](./data/image/media/image38.jpeg) （1）当E，F两点的距离最大值时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是\_\_\_\_\_\_\_\_cm. （2）当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，A，B两点的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_cm. **三、解答题 (本题有8小题,共66分,各小题都必须写出解答过程)** 17.计算： ![](./data/image/media/image39.png)![](./data/image/media/image39.png) . 18.解不等式： ![](./data/image/media/image40.png)![](./data/image/media/image40.png) . 19.某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对"最喜爱的体育锻炼项目"进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息回答下列问题： 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表 ------ -------- ------------ 类别 项目 人数（人） A 跳舞 59 B 健身操   C 俯卧撑 31 D 开合跳   E 其它 22 ------ -------- ------------ ![](./data/image/media/image41.png) （1）求参与问卷调查的学生总人数. （2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱"开合跳"的学生有多少人？ （3）该市共有初中学生约8000人，估算该市初中学生中最喜爱"健身操"的人数. 20.如图， ![](./data/image/media/image42.png)的半径OA=2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°. ![](./data/image/media/image43.png) （1）求弦AB的长. （2）求 ![](./data/image/media/image42.png)的长. 21.某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃.气温T(℃)和高度h(百米)的函数关系如图所示.请根据图象解决下列问题： ![](./data/image/media/image44.png) （1）求高度为5百米时的气温. （2）求T关于h的函数表达式. （3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度. 22.如图，在△ABC中，AB= ![](./data/image/media/image45.png)![](./data/image/media/image45.png) ，∠B=45°，∠C=60°. ![](./data/image/media/image46.png) （1）求BC边上的高线长. （2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF. ①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数. ②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长. 23.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 ![](./data/image/media/image47.png)图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上. ![](./data/image/media/image48.png) （1）当m=5时，求n的值. （2）当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y ![](./data/image/media/image49.png)时，自变量x的取值范围. （3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围. 24.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F， 已知OB=8. ![](./data/image/media/image50.png) （1）求证：四边形AEFD为菱形. （2）求四边形AEFD的面积. （3）若点P在x轴正半轴上(异于点D)，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P， Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由. **答案解析** 一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分) 1.【答案】 A 【考点】实数的相反数 【解析】【解答】解：3的相反数是-3.\ 故答案为：A.\ 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此判断即可. 2.【答案】 D 【考点】分式的值为零的条件 【解析】【解答】解：由题意得x+5=0且x-2≠0，\ 解得x=-5.\ 故答案为：D.\ 【分析】分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，据此解答即可. 3.【答案】 C 【考点】平方差公式及应用 【解析】【解答】解：A、两符号相同，不能用平方差公式分解，故A不符合题意；\ B、虽然符号相反，但缺少平方项，∴不能用平方差公式分解，故B不符合题意；\ C、a^2^-b^2^=(a+b)(a-b)，故C符合题意；\ D、两符号相同，不能用平方差公式分解，故D不符合题意；\ 故答案为：C.\ 【分析】平方差公式a^2^-b^2^=(a+b)(a-b)，据此逐一分析即可. 4.【答案】 C 【考点】中心对称及中心对称图形 【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故A不符合题意；\ B、不是中心对称图形，故B不符合题意；\ C、是中心对称图形，故C符合题意；\ D、不是中心对称图形，故D不符合题意；\ 【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此逐一判断即可. 5.【答案】 A 【考点】概率公式 【解析】【解答】解：一共有6张卡片，写有1号的有3张，\ ∴ 摸到1号卡片的概率为：![](./data/image/media/image51.png)![](./data/image/media/image51.png).\ 故答案为：A.\ 【分析】直接利用概率公式计算即可. 6.【答案】 B 【考点】平行线的判定 【解析】【解答】解：∵a⊥AB，b⊥AB，\ ∴ a∥b （在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行）.\ 故答案为：B.\ 【分析】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，据此解答即可. 7.【答案】 C 【考点】反比例函数的性质 【解析】【解答】解：∵ 函数 ![](./data/image/media/image21.png)![](./data/image/media/image21.png) 的图象位于一，三象限，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，\ ∵-2＜0＜2＜3，\ ∴ (2，b)，(3，c) 位于第一象限，b＞c＞0，\ (－2，a) 位于第三象限，∴a＜0，\ ∴a＜c＜b.\ 故答案为：C.\ 【分析】根据反比例函数的性质进行解答即可. 8.【答案】 B 【考点】多边形内角与外角，圆周角定理，切线的性质 【解析】【解答】解：连接OE，OF，\ ![](./data/image/media/image52.png)\ ∵点EF分别是切点，∴∠OEB=∠OFB=90°，\ ∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，\ ∴∠EOF=360°-∠OEB-∠OFB-∠B=120°，\ ∴∠P=![](./data/image/media/image17.png)![](./data/image/media/image17.png)∠EOF=60°.\ 故答案为：B.\ 【分析】连接OE，OF，根据切线的性质可得∠OEB=∠OFB=90°，利用等边三角形的性质可得∠B=60°，根据四边形内角和等于360°，可求出∠EOF的度数，根据圆周角定理可得∠P=![](./data/image/media/image17.png)![](./data/image/media/image17.png)∠EOF，据此求出结论. 9.【答案】 D 【考点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题 【解析】【解答】 解：若设"□"内数字为x，\ 可得：3×（2×10+x）+5=10x+2，即3（20+x）+5=10x+2.\ 故答案为：D.\ 【分析】若设"□"内数字为x，可得2□=2×10+x，□2=10x+2，据此解答即可. 10.【答案】 B 【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质 【解析】【解答】解：设AF=y，BF=x，\ ∴ 正方形EFGH的边长GH=y-x，\ ∴EG=![](./data/image/media/image53.png)![](./data/image/media/image53.png)GF=![](./data/image/media/image53.png)![](./data/image/media/image53.png)（y-x）,\ ∴正方形ABCD的面积为x^2^+y^2^ ， 正方形EFGH的面积为（y-x）^2^ ，\ ∵ED∥BG，∴∠EDO=∠GBO，\ ∵ED=BG，∠EOD=∠BOG，\ ∴△EOD≌GOB，\ ∴EO=GO，\ ∴GO=![](./data/image/media/image17.png)![](./data/image/media/image17.png)EG=![](./data/image/media/image54.png)![](./data/image/media/image54.png)（y-x）,\ ∵GP=GO，\ ∴GP=![](./data/image/media/image54.png)![](./data/image/media/image54.png)（y-x），\ ∴GH:GP=![](./data/image/media/image53.png)![](./data/image/media/image53.png) ，\ ∴PH：PG=![](./data/image/media/image55.png)![](./data/image/media/image55.png)\ ∵DH∥GB，\ ∴△DHP∽BGH，\ ∴![](./data/image/media/image56.png)![](./data/image/media/image56.png) ， 即得![](./data/image/media/image57.png)![](./data/image/media/image57.png) ， ∴x=(![](./data/image/media/image55.png)![](./data/image/media/image55.png))y\ ∴![](./data/image/media/image58.png)![](./data/image/media/image58.png).\ 故答案为：B.\ 【分析】设AF=y，BF=x，可得正方形EFGH的边长GH=y-x，即得EG=![](./data/image/media/image53.png)![](./data/image/media/image53.png)GF=![](./data/image/media/image53.png)![](./data/image/media/image53.png)（y-x）,根据正方形的面积公式可得正方形ABCD的面积为x^2^+y^2^ ， 正方形EFGH的面积为（y-x）^2^ ， 先证△EOD≌GOB，可得EO=GO，可得GO=![](./data/image/media/image17.png)![](./data/image/media/image17.png)EG=![](./data/image/media/image54.png)![](./data/image/media/image54.png)（y-x），从而可得GP=GO=![](./data/image/media/image54.png)![](./data/image/media/image54.png)（y-x），从而可得PH：PG=![](./data/image/media/image55.png)![](./data/image/media/image55.png) ， 由于DH∥GB，可得△DHP∽BGH，利用相似三角形对应边成比例可得DH：GB=x:y=![](./data/image/media/image55.png)![](./data/image/media/image55.png) ， 代入正方形的面积进行计算即得结论. 二、填空题 (本题有6小题,每小题4分,共24分) 11.【答案】 如－1等（答案不唯一，负数即可） 【考点】点的坐标与象限的关系 【解析】【解答】解：∵ 点P(m，2)在第二象限内， ∴m＜0，\ m可以是-1.\ 故答案为：-1（答案不唯一）.\ 【分析】根据第二象限点的坐标符号为负正，据此解答即可. 12.【答案】 3 【考点】中位数 【解析】【解答】解：将数据从小大排列1,2,3,4,5，\ 最中间的数据是3，\ ∴中位数是：3.\ 故答案为：3.\ 【分析】中位数：先把数据从小到大（或从大到小）进行排列，如果数据的个数是奇数，那么最中间的那个数据就是中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间的那两个数据的平均数就是中位数；据此解答即可. 13.【答案】 20 【考点】简单几何体的三视图 【解析】【解答】解：主视图是一个长4，高为5的长方体，\ ∴主视图的面积为：4×5=20cm^2^.\ 故答案为：20.\ 【分析】主视图：是从物体正面所看的的平面图形，根据长方体的尺寸确定主视图的长，高，然后计算即可. 14.【答案】 30 【考点】多边形内角与外角，平行四边形的性质 【解析】【解答】解：如图，\ ![](./data/image/media/image59.png)\ ∵∠1+∠2+70°+140°+120°=（5-2）×180°，\ ∴∠1+∠2=210°，\ ∵平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形 ，\ ∴∠2+120°=180°，∠1+a=180°，\ ∴∠2+120°+∠1+a=360°，\ ∴a=30°.\ 故答案为：30.\ 【分析】根据五边形的内角和可求出∠1+∠2=210°，根据平行四边形的性质及平角的定义可得∠2+120°=180°，∠1+a=180°，从而求出a的度数. 15.【答案】![](./data/image/media/image60.png)![](./data/image/media/image60.png) 【考点】正多边形和圆，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】如图，过作AD∥BC，过点B作BH⊥AD垂足为H，∴∠A=β，\ ![](./data/image/media/image61.png)\ 设正六边形的边长为a，∴BH=6×2a=12a，∠AED=120°，AE=AD=a，\ 在等腰三角形ADE中，∠ADE=∠EAD=30°，\ ∴AD=![](./data/image/media/image62.png)![](./data/image/media/image62.png)a，∴AH=![](./data/image/media/image62.png)![](./data/image/media/image62.png)a+![](./data/image/media/image62.png)![](./data/image/media/image62.png)a+![](./data/image/media/image63.png)![](./data/image/media/image63.png)a=![](./data/image/media/image64.png)![](./data/image/media/image64.png)a,\ tanβ=tanA=![](./data/image/media/image65.png)![](./data/image/media/image65.png)=![](./data/image/media/image66.png)![](./data/image/media/image66.png).\ 故答案为：![](./data/image/media/image66.png)![](./data/image/media/image66.png).\ 【分析】如图，过作AD∥BC，过点B作BH⊥AD垂足为H，可得∠A=β，设正六边形的边长为a，根据正六边形的性质及卡通图形，可得BH=12a，∠ADE=∠EAD=30°，AE=AD=a，从而求出AD=![](./data/image/media/image62.png)![](./data/image/media/image62.png)a，从而可得AH=![](./data/image/media/image64.png)![](./data/image/media/image64.png)a，由tanβ=tanA=![](./data/image/media/image65.png)![](./data/image/media/image65.png)即可求出结论. 16.【答案】 （1）16\ （2）![](./data/image/media/image67.png) 【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：（1）当点E、O、F三点共线时，E、F两点的距离最大，此时四边形ABDC是矩形，\ ∴AB=CD=EF=2cm，\ ∴ 以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长为：2+6+2=6=16cm;\ （2）当夹子的开口最大（点C与点D重合）时 ，如图，连接CO并延长交AB于点H，\ ![](./data/image/media/image68.png)\ ∴CH⊥AB，AH=BH，\ ∵ AC=BD=6cm，CE:AE=2:3，∴CE=![](./data/image/media/image69.png)![](./data/image/media/image69.png)cm，\ 在Rt△OEF中，CO=![](./data/image/media/image70.png)![](./data/image/media/image70.png)=![](./data/image/media/image71.png)![](./data/image/media/image71.png) ，\ ∵sin∠ECO=![](./data/image/media/image72.png)![](./data/image/media/image72.png)=![](./data/image/media/image73.png)![](./data/image/media/image73.png) ， ∴AH=![](./data/image/media/image74.png)![](./data/image/media/image74.png) ，\ ∴AB=2AH=![](./data/image/media/image75.png)![](./data/image/media/image75.png).\ 【分析】（1）当点E、O、F三点共线时，E、F两点的距离最大，此时四边形ABDC是矩形，可得AB=CD=EF=2cm，根据矩形的性质求出周长即可；\ （2）当夹子的开口最大（点C与点D重合）时 ，如图，；连接CO并延长交AB于点H，可得CH⊥AB，AH=BH，利用已知先求出CE=![](./data/image/media/image69.png)![](./data/image/media/image69.png)cm，在Rt△OEF中利用勾股定理求出CO的长，由sin∠ECO=![](./data/image/media/image72.png)![](./data/image/media/image72.png)=![](./data/image/media/image73.png)![](./data/image/media/image73.png) ， 求出AH，从而求出AB=2AH的长. 三、解答题 (本题有8小题,共66分,各小题都必须写出解答过程) 17.【答案】 解：原式＝1＋2－1＋3                                                   ＝5 【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值 【解析】【分析】利用零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，绝对值的意义将原式简化，然后进行加减运算即可. 18.【答案】 解：5x－5\<4＋2x， 5x－2x\<4＋5， 3x\<9， x \<3 【考点】解一元一次不等式 【解析】【分析】利用去括号，移项合并，系数化为1求出不等式的解集即可. 19.【答案】 （1）解：22÷11%＝200. ∴参与问卷调查的学生总人数为200人. （2）解：200×24%＝48. 答:最喜爱"开合跳"的学生有48人. （3）解：抽取学生中最喜爱"健身操"的初中学生有200－59－31－48－22＝40（人）， ![](./data/image/media/image76.png)![](./data/image/media/image76.png) . ∴最喜爱"健身操"的初中学生人数约为1600人. 【考点】用样本估计总体，统计表，扇形统计图 【解析】【分析】（1）利用跳绳的人数除以其百分比即得参与问卷调查的学生总人数.\ （2） 利用参与问卷调查的学生总人数乘以"开合跳"的学生百分比即得"开合跳"的学生的人数 ；\ （3）利用8000乘以样本中最喜爱"健身操"人数的百分比即得结论. 20.【答案】 （1）解：在Rt△AOC中，∠AOC＝60°， ∴AC＝AO·sin∠AOC =2sin60°＝ ![](./data/image/media/image62.png)![](./data/image/media/image62.png) ， ∵OC⊥AB， ∴AB＝2AC＝2 ![](./data/image/media/image62.png)![](./data/image/media/image62.png) （2）解：∵OA= OB=2，OC⊥AB， ∴∠AOB＝2∠AOC＝120°. ∴ ![](./data/image/media/image42.png) ＝ ![](./data/image/media/image77.png)![](./data/image/media/image77.png) ＝ ![](./data/image/media/image78.png)![](./data/image/media/image78.png) ＝ ![](./data/image/media/image79.png)![](./data/image/media/image79.png) . ∴ ![](./data/image/media/image42.png)的长是 ![](./data/image/media/image79.png)![](./data/image/media/image79.png) . 【考点】垂径定理，圆周角定理，弧长的计算 【解析】【分析】（1）在Rt△AOC中， 由AC＝AO·sin∠AOC，可求出AC=![](./data/image/media/image62.png)![](./data/image/media/image62.png) ， 根据垂径定理可得AB＝2AC＝2 ![](./data/image/media/image62.png)![](./data/image/media/image62.png) ；\ （2） 根据等腰三角形的性质可得∠AOB＝2∠AOC＝120°，直接利用弧长公式即可求出结论. 21.【答案】 （1）解：由题意得 高度增加2百米，则温度降低2×0.6＝1.2（℃）. ∴13.2－1.2＝12 ∴高度为5百米时的气温大约是12℃. （2）解：设T=kh+b(k≠0)， 当h＝3时，T＝13.2， 13.2=－0.6 ![](./data/image/media/image80.png)![](./data/image/media/image80.png) 3+b， 解得 b=15. ∴T＝－0.6h＋15 （3）解：当T＝6时，6＝－0.6h＋15， 解得h＝15. ∴该山峰的高度大约为15百米. 【考点】一次函数的实际应用 【解析】【分析】（1）由高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，可得高度增加2百米，则温度降低2×0.6＝1.2（℃），从而可得高度为5百米时的气温大约是13.2－1.2＝12℃；\ （2）直接利用待定系数法求一次函数解析式T＝－0.6h＋15；\ （3）利用（2）直接求出当T＝6时，h的值即可. 22.【答案】 （1）解：如图1，过点A作AD⊥BC于点D， ![](./data/image/media/image81.png) 在Rt△ABD中， ![](./data/image/media/image82.png)![](./data/image/media/image82.png) = ![](./data/image/media/image83.png)![](./data/image/media/image83.png) =4. （2）解：①如图2，∵△AEF≌△PEF， ![](./data/image/media/image84.png) ∴AE＝EP. 又∵AE＝BE ， ∴BE＝EP， ∴∠EPB＝∠B＝45°， ∴∠AEP＝90°. ②如图3， ![](./data/image/media/image85.png) 由（1）可知：在Rt△ADC中， ![](./data/image/media/image86.png)![](./data/image/media/image86.png) . ∵PF⊥AC， ∴∠PFA＝90°. ∵△AEF≌△PEF， ∴∠AFE＝∠PFE＝45°，则∠AFE＝∠B. 又∵∠EAF＝∠CAB，                                                                              ∴△EAF∽△CAB， ∴ ![](./data/image/media/image87.png)![](./data/image/media/image87.png) ＝ ![](./data/image/media/image88.png)![](./data/image/media/image88.png) ，即 ![](./data/image/media/image89.png)![](./data/image/media/image89.png) ＝ ![](./data/image/media/image90.png)![](./data/image/media/image90.png) ， ∴AF＝ ![](./data/image/media/image91.png)![](./data/image/media/image91.png) 在Rt△AFP中，AF＝PF，则AP＝ ![](./data/image/media/image92.png)![](./data/image/media/image92.png) ＝ ![](./data/image/media/image93.png)![](./data/image/media/image93.png) . 【考点】翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰直角三角形 【解析】【分析】（1）如图1，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中， ![](./data/image/media/image82.png)![](./data/image/media/image82.png)=4；\ （2） ①由折叠知△AEF≌△PEF，可得AE＝EP，利用线段的中点及等量代换，可得BE＝EP，根据等边对等角，可得∠EPB＝∠B＝45°， 利用三角形内角和即可求出∠AEP＝90°；\ ②由（1）可知：在Rt△ADC中， ![](./data/image/media/image86.png)![](./data/image/media/image86.png) ， 由∠EAF＝∠CAB，∠AFE＝∠B，可证△EAF∽△CAB，可得![](./data/image/media/image87.png)![](./data/image/media/image87.png) ＝ ![](./data/image/media/image88.png)![](./data/image/media/image88.png) ， 据此求出AF的长，在等腰直角△APF中，AP＝ ![](./data/image/media/image92.png)![](./data/image/media/image92.png) ， 从而求出结论. 23.【答案】 （1）解：当m＝5时，y＝ ![](./data/image/media/image94.png)![](./data/image/media/image94.png) ， 当x＝1时， n＝ ![](./data/image/media/image95.png)![](./data/image/media/image95.png) . （2）解：当n＝2时，将C(1，2)代入函数表达式y＝ ![](./data/image/media/image96.png)![](./data/image/media/image96.png) ， 得2＝ ![](./data/image/media/image97.png)![](./data/image/media/image97.png) ， 解得m~1~＝3， m~2~＝－1(舍去). ∴此时抛物线的对称轴为直线x=3， 根据抛物线的轴对称性，当y＝2时，有x~1~＝1 ，x~2~＝5. ∴x的取值范围为1≤x≤5. （3）解：∵点A与点C不重合，  ∴m≠1. ∵抛物线的顶点A的坐标是(m，4) ， ∴抛物线的顶点在直线y＝4上. 当x＝0时，y＝ ![](./data/image/media/image98.png)![](./data/image/media/image98.png) ，  ∴点B的坐标为(0， ![](./data/image/media/image98.png)![](./data/image/media/image98.png) ). 抛物线从试题图位置向左平移到图2的位置前，m减小，点B沿y轴上向上移动. ![](./data/image/media/image99.png) 当点B与点O重合时， ![](./data/image/media/image98.png)![](./data/image/media/image98.png) ＝0，  解得 m~1~＝ ![](./data/image/media/image100.png)![](./data/image/media/image100.png) ，m~2~＝ ![](./data/image/media/image101.png)![](./data/image/media/image101.png) . 当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与点B，D 重合，点B到达最高点. ![](./data/image/media/image102.png) ∴点B的点坐标为（0，4）， ∴ ![](./data/image/media/image98.png)![](./data/image/media/image98.png) ＝4，解得 m＝0.   当抛物线从图2位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上. ![](./data/image/media/image103.png) ∴ B点在线段OD上时，m的取值范围是0≤m＜1或1＜m＜2 ![](./data/image/media/image53.png)![](./data/image/media/image53.png) . 【考点】二次函数图象的几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=a（x-h）\^2+k的图象，二次函数y=a（x-h）\^2+k的性质 【解析】【分析】（1）将m=5,x=1代入![](./data/image/media/image47.png)中，即可求出n值；\ （2）当n＝2时，将C(1，2)代入函数表达式中，求出m=3值，即得此时抛物线的对称轴为直线x=3，当y＝2时，即y=![](./data/image/media/image104.png)![](./data/image/media/image104.png)(x-3)^2^+4=2,解得x~1~＝1 ，x~2~＝5，由于抛物线开口向下，当1≤x≤5时，抛物线的图象在直线y=2直线的上方，据此即得结论；\ （3）点A与点C不重合，可得m≠1.由抛物线的顶点A的坐标是(m，4) ，可知抛物线的顶点在直线y＝4上.利用抛物线求出点B的坐标为(0， ![](./data/image/media/image98.png)![](./data/image/media/image98.png) ).抛物线从试题图位置向左平移到图2的位置前，m减小，点B沿y轴上向上移动， ①当点B与点O重合时，②如图2，顶点A也与点B，D 重合，点B到达最高点. ③当抛物线从图2位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上，分别求出m的范围即可.\   24.【答案】 （1）证明：∵DF∥AE，EF∥AD， ∴四边形AEFD是平行四边形. ∵四边形ABOC是正方形， ∴OB＝OC＝AB＝AC，∠ACE＝∠ABD＝Rt∠. ∵点D，E是OB，OC的中点， ∴CE＝BD， ∴△ACE≌△ABD(SAS)， ∴AE＝AD， ∴□AEFD是菱形. （2）解：如图1，连结DE. ![](./data/image/media/image105.png) ∵S~△ABD~＝ ![](./data/image/media/image106.png)AB·BD＝ ![](./data/image/media/image107.png)， S~△ODE~＝ ![](./data/image/media/image106.png)OD·OE＝ ![](./data/image/media/image108.png)， ∴S~△AED~＝S~正方形ABOC~－2 S~△ABD~－ S~△ODE~ ＝64－2 ![](./data/image/media/image109.png)－8＝24， ∴S~菱形AEFD~＝2S~△AED~＝48. （3）解：由图1，连结AF与DE相交于点K，易得△ADK的两直角边之比为1:3. 1）当AP为菱形一边时，点Q在x轴上方，有图2、图3两种情况： 如图2，AG与PQ交于点H， ![](./data/image/media/image110.png) ∵菱形PAQG∽菱形ADFE， ∴△APH的两直角边之比为1:3. 过点H作HN⊥x轴于点N，交AC于点M，设AM=t. ∵HN∥OQ，点H是PQ的中点， ∴点N是OP中点， ∴HN是△OPQ的中位线， ∴ON＝PN＝8－t. 又∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PNH＝∠AMH＝90°， ∴△HMA∽△PNH， ∴ ![](./data/image/media/image111.png)![](./data/image/media/image111.png) ＝ ![](./data/image/media/image112.png)![](./data/image/media/image112.png) ＝ ![](./data/image/media/image113.png)， ∴HN＝3AM＝3t， ∴MH＝MN－NH＝8－3t. ∵PN＝3MH， ∴8－t =3(8－3t)，解得t＝2. ∴OP＝2ON＝2(8－t)＝12， ∴点P的坐标为(12，0). 如图3，△APH的两直角边之比为1:3. ![](./data/image/media/image114.png) 过点H作HI⊥y轴于点I，过点P作PN⊥x轴交IH于点N，延长BA交IN于点M. ∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠AMH＝∠PNH， ∴△AMH∽△HNP， ∴ ![](./data/image/media/image111.png)![](./data/image/media/image111.png) ＝ ![](./data/image/media/image112.png)![](./data/image/media/image112.png) ＝ ![](./data/image/media/image115.png)，设MH＝t， ∴PN＝3MH＝3t， ∴AM＝BM－AB＝3t－8， ∴HN＝3AM＝3(3t－8) ＝9t－24. 又∵HI是△OPQ的中位线， ∴OP＝2IH， ∴HI＝HN， ∴8＋t＝9t－24，解得 t＝4. ∴OP＝2HI＝2(8＋t)＝24， ∴点P的坐标为(24，0). 2）当AP为菱形一边时，点Q在x轴下方，有图4、图5两种情况： 如图4，△PQH的两直角边之比为1:3. ![](./data/image/media/image116.png) 过点H作HM⊥y轴于点M，过点P作PN⊥HM于点N. ∵MH是△QAC的中位线， ∴HM＝ ![](./data/image/media/image117.png)![](./data/image/media/image117.png) ＝4. 又∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠HMQ＝∠N， ∴△HPN∽△QHM， ∴ ![](./data/image/media/image118.png)![](./data/image/media/image118.png) ＝ ![](./data/image/media/image119.png)![](./data/image/media/image119.png) ＝ ![](./data/image/media/image115.png)，则PN＝ ![](./data/image/media/image120.png)＝ ![](./data/image/media/image121.png)![](./data/image/media/image121.png) ， ∴OM＝ ![](./data/image/media/image121.png)![](./data/image/media/image121.png) . 设HN＝t，则MQ＝3t. ∵MQ＝MC， ∴3t＝8－ ![](./data/image/media/image121.png)![](./data/image/media/image121.png) ，解得t＝ ![](./data/image/media/image122.png). ∴OP＝MN＝4＋t＝ ![](./data/image/media/image123.png)![](./data/image/media/image123.png) ， ∴点P的坐标为( ![](./data/image/media/image124.png)，0). 如图5，△PQH的两直角边之比为1:3. ![](./data/image/media/image125.png) 过点H作HM⊥x轴于点M，交AC于点I，过点Q作NQ⊥HM于点N. ∵IH是△ACQ的中位线， ∴CQ＝2HI，NQ＝CI＝4. ∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PMH＝∠QNH， ∴△PMH∽△HNQ， ∴ ![](./data/image/media/image126.png)![](./data/image/media/image126.png) ＝ ![](./data/image/media/image127.png)![](./data/image/media/image127.png) ＝ ![](./data/image/media/image128.png)![](./data/image/media/image128.png) ＝ ![](./data/image/media/image115.png)，则MH＝ ![](./data/image/media/image115.png)NQ＝ ![](./data/image/media/image129.png). 设PM＝t，则HN＝3t， ∵HN＝HI， ∴3t＝8+ ![](./data/image/media/image129.png)，解得 t＝ ![](./data/image/media/image130.png). ∴OP＝OM－PM＝QN－PM＝4－t＝ ![](./data/image/media/image131.png)， ∴点P的坐标为( ![](./data/image/media/image131.png)，0).  3）当AP为菱形对角线时，有图6一种情况： ![](./data/image/media/image132.png) 如图6，△PQH的两直角边之比为1:3. 过点H作HM⊥y轴于点M，交AB于点I，过点P作PN⊥HM于点N. ∵HI∥x轴，点H为AP的中点， ∴AI＝IB＝4，∴PN＝4. ∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PNH＝∠QMH＝90°， ∴△PNH∽△HMQ， ∴ ![](./data/image/media/image133.png)![](./data/image/media/image133.png) ＝ ![](./data/image/media/image127.png)![](./data/image/media/image127.png) ＝ ![](./data/image/media/image127.png)![](./data/image/media/image127.png) ＝ ![](./data/image/media/image5.png)![](./data/image/media/image5.png) ，则MH＝3PN＝12，HI＝MH－MI＝4. ∵HI是△ABP的中位线， ∴BP＝2HI＝8，即OP＝16， ∴点P的坐标为(16，0). 综上所述，点P的坐标为(12，0)，(24，0)，( ![](./data/image/media/image124.png)，0)，( ![](./data/image/media/image131.png)，0)，(16，0). 【考点】坐标与图形性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行可证四边形AEFD是平行四边形，利用正方形的性质可得OB＝OC＝AB＝AC，∠ACE＝∠ABD＝90°.根据线段中点的定义可得CE＝BD，根据"SAS"可证△ACE≌△ABD ，可得AE=AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即证；\ （2）如图1，连结DE. 根据三角形的面积公式求出S~△ABD~＝ ![](./data/image/media/image106.png) AB·BD＝,16， S~△ODE~＝ ![](./data/image/media/image106.png) OD·OE=8，利用S~△AED~＝S~正方形ABOC~－2 S~△ABD~－ S~△ODE~=24，由S~菱形AEFD~＝2S~△AED~即可求出结论；\ （3）由图1，连结AF与DE相交于点K，易得△ADK的两直角边之比为1:3. 分两种情况讨论：①当AP为菱形一边时，点Q在x轴上方，有图2（△APH的两直角边之比为1:3）；图3(△APH的两直角边之比为1:3).两种情况；②当AP为菱形一边时，点Q在x轴下方，有图4(△PQH的两直角边之比为1:3 )、图5(△PQH的两直角边之比为1:3)两种情况；据此分别解答即可.
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）** **理综试卷** **参考答案** **第Ⅰ卷** 包括 21 小题，每小题 6 分，共 126 分。 **一、选择题** 1． B 2． A 3． C 4． D 5． C 6． D 7． B 8． C 9． D 10． A 11． D 12． C 13． B **二、选择题：** 14．C 15．A 16．D 17．B 18．C 19．BD 20．AC 21．D **第Ⅱ卷** 包括 10 小题，共 174 分。 22．（17 分） > （1） CF ; AD 。 > > （2）①将S~2~切换到b，； > > ②1.43（或），1.2； > > ③较小，甲。 23．（16分） > 解：（1）设通过正方形金属框的总电流为I，ab边的电电流为I~ab~，dc边的电流为I~dc~，有 > > ① > > 金属框受重力和安培力，处于静止状态，有 > > ③ > > 由①-③，解得 > > ④ > > （2）由（1）可得 > > ⑤ > > 设导体杆切割磁感线产生的电动势为E，有 > > E=B~1~L~1~v ⑥ > > 设ad、dc、cb三边电阻串联的总电阻为R，则 > > ⑦ > > 根据闭合电路欧姆定律，有 > > ⑧ > > 由⑤-⑧，解得 24．（19分） > 解：（1）开始运动时小球B受重力、库仑力、杆的弹力和电场力，沿杆方向运动，由牛顿第二定律得 > > ① > > 解得 ② > > 代入数据解得a=3.2m/s^2^ ③ > > （2）小球B速度最大时合力为零，即 > > ④ > > 解得大于失 ⑤ > > 代入数据解得 ⑥ > > （3）小球B从开始运动到速度为v的过程中，设重力做功为W~1~，电场力做功为W~2~，库仑力做功为W~3~，根据动能定理有 > > W~1~+W~2~+W~3~=mv^2^ ⑦ > > W~1~=mg（L---h~2~） ⑧ > > W2=-qE（L---h~2~）sin ⑨ > > 解得 ⑩ > > 设小球B的电势能改变了，则 > > =（W~2~+W~3~） ⑾ > > ⑿ 25．（20分） > 解：（1）在C点，运动员和滑板一起做圆周运动，设向心加速度为，速度为，运动员受到重力Mg、滑板对运动员的支持力N的作用，则 > > 有 ① > > ② > > ③ > > ④ > > ⑤ > > （2）设滑板a由A点静止下滑到BC赛道后速度为v~1~，由机械能守恒定律有 > > ⑥ > > ⑦ > > 运动员与滑板b一起由A点静止下滑到BC赛道后，速度也为 v~1~。 > > 运动员由滑板b跳到滑板a，设蹬离滑板b时的水平速度为v~2~，在空中飞行的水平位移为s，则 > > ⑧ > > 设起跳时滑板a与滑板b的水平距离为s0，则 > > s~0~=v~1~t~1~ ⑨ > > 设滑板a在t2时间内的位移为s1，则 > > s~1~=v~1~t~2~ ⑩ > > s=s~0~+s~1~ ⑾ > > 即v~2~t~2~=v~1~（t~1~+t~2~） ⑿ > > 运动员落到滑板a后，与滑板a共同运动的速度为v，由动量守恒定律有 > > mv~1~+Mv~2~=（m+M）v ⒀ > > 由以上方程可解出 > > ⒁ > > 代入数据，解得v=6.9m/s ⒂ > > （3）设运动员离开滑板b后，滑板b的速度为v~3~，有 > > ⒃ > > 可算出v~3~=-3m/s，有b板将在两个平台之间来回运动，机械能不变。 > > 系统的机械能改变为 > > ⒄ 26．（18 分） > （l）分液漏斗 B > > （2）碱溶液（或反应物）的浓度不同，反应温度不同 > > M 过滤 > > （3） Cl~2~ + 2OH^－^＝ClO^－^ + Cl^一^＋H~2~O > > （4） +--------+----------------------------------------------+ | > 红 | | +--------+----------------------------------------------+ | | > 氯气与水反应生成的HClO将石蕊氧化为无色物质 | +--------+----------------------------------------------+ | > 黄绿 | > 继续通入的氯气溶于水使溶液呈黄绿色 | +--------+----------------------------------------------+ 27．（15 分） > （l）四（或4） VIII > > （2） l ：2 > > （3）③ > > （4） 3Fe^2+^ + NO~3~^－^ + 4H^+^ + ＝ 3Fe^3+^ + NO↑+2H~2~O > > （5） Fe~2~O~3~+3KNO~3~+4KOH![](./data/image/media/image39.emf)2K~2~FeO~4~+3KNO~2~+2H~2~O 28． （l2 分） > （l） 168 > > （2）C（CH~2~OH）~4~ > > （3）③④ > > （4） CH ~3~CHO＋3HCHO（CH~2~OH）~3~CCHO > > （CH~2~OH）~3~CCHO+ HCHO + NaOH（浓）C（CH~2~OH）~4~ 29．（15分） > （1）CH~3~CH~2~OH、HCOOH > > （2）3CO+3H~2~＝CH~3~OCH~3~ 或2CO+4H~2~＝CH~3~OCH~3~+H~2~O > > （3）CH~3~OCH~3~+16OH---－12e^－^＝2CO~32~^－^+11H~2~O > > （4）①减小 > > ②12（x + y） 30．（20分） > （1）① > > 正在进行细胞分裂 > > 细胞分裂 > > 组织分化 > > ② > > 实验步骤 > > 第二步：将叶片均分为两组，编号为a、b。 > > 第三步：在a组叶片右半叶某一部位涂抹适宜浓度的细胞分裂素溶液，在b组叶片的相应部位涂抹等量的蒸馏水。 > > 第四步：在相同条件下放置一段时间后，检测a组叶片涂抹细胞分裂素部位和b组叶片涂抹蒸馏水水部位的放射性强度。 > > ![](./data/image/media/image42.png) > > 实验结果：a组叶片涂抹细胞分裂素部位的放射性强度高于b组叶片涂抹蒸馏水部位的放射性强度。 > > （2）①叶绿体囊状结构薄膜 > > 特殊状态的叶绿素a > > ② > > ![](./data/image/media/image43.png) 31．（22分） > （1） > > ①细胞核 > > 转录 > > ②AUG CGG GAG GCG GAU GUC > > ③...甲硫氨酸------精氨酸------谷氨酸------丙氨酸------天冬氨酸------缬氨酸... > > ④...甲硫氨酸------精氨酸------谷氨酸------精氨酸------甲硫氨酸... > > （2） > > ①常 > > 从表格数据可判断油耳为显性性状。假设基因位于性染色体上，油耳父亲（X^A^Y）的女儿（X^A^X^-^）不能表现为干耳性状，与第一、二组的调查结果不符，所以基因位于常染色体上。 > > ②Aa > > 3/8 > > ③只有AaAa的后代才会出现3：1的性状分离比，而第一组的双亲基因型可能为AA或Aa。 > > ④体细胞突变
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![](./data/image/media/image3.png)**绝密★启用前** 2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科综合能力测试 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Mg 24 S 32 Fe 56 Cu 64 一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。共78分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．新冠病毒（SARS-CoV-2）和肺炎双球菌均可引发肺炎，但二者的结构不同，新冠病毒是一种含有单链RNA的病毒。下列相关叙述正确的是 > A．新冠病毒进入宿主细胞的跨膜运输方式属于被动运输 > > B．新冠病毒与肺炎双球菌均可利用自身的核糖体进行蛋白质合成 > > C．新冠病毒与肺炎双球菌二者遗传物质所含有的核苷酸是相同的 > > D．新冠病毒或肺炎双球菌的某些蛋白质可作为抗原引起机体免疫反应 2．当人体的免疫系统将自身物质当作外来异物进行攻击时，可引起自身免疫病。下列属于自身免疫病的是 > A．艾滋病 > > B．类风湿性关节炎 > > C．动物毛屑接触性鼻炎 > > D．抗维生素D佝偻病 3．下列关于生物学实验的叙述，错误的是 > A．观察活细胞中的线粒体时，可以用健那绿染液进行染色 > > B．探究人体红细胞因失水而发生的形态变化时，可用肉眼直接观察 > > C．观察细胞中RNA和DNA的分布时，可用吡罗红甲基绿染色剂染色 > > D．用细胞融合的方法探究细胞膜流动性时，可用荧光染料标记膜蛋白 4．关于高等植物细胞中染色体组的叙述，错误的是 > A．二倍体植物的配子只含有一个染色体组 > > B．每个染色体组中的染色体均为非同源染色体 > > C．每个染色体组中都含有常染色体和性染色体 > > D．每个染色体组中各染色体DNA的碱基序列不同 5．取某植物的成熟叶片，用打孔器获取叶圆片，等分成两份，分别放入浓度（单位为g/mL）相同的甲糖溶液和乙糖溶液中，得到甲、乙两个实验组（甲糖的相对分子质量约为乙糖的2倍）。水分交换达到平衡时，检测甲、乙两组的溶液浓度，发现甲组中甲糖溶液浓度升高。在此期间叶细胞和溶液之间没有溶质交换。据此判断下列说法错误的是 > A．甲组叶细胞吸收了甲糖溶液中的水使甲糖溶液浓度升高 > > B．若测得乙糖溶液浓度不变，则乙组叶细胞的净吸水量为零 > > C．若测得乙糖溶液浓度降低，则乙组叶肉细胞可能发生了质壁分离 > > D．若测得乙糖溶液浓度升高，则叶细胞的净吸水量乙组大于甲组 6．河水携带泥沙流入大海时，泥沙会在入海口淤积形成三角洲。在这个过程中，会出现3种植物群落类型：①以芦苇为主的植物群落（生长在淡水环境中），②以赤碱蓬为主的植物群落（生长在海水环境中），③草甸植物群落（生长在陆地环境中）。该三角洲上的植物群落是通过群落演替形成的，演替的顺序是 > A．②①③ > > B．③②① > > C．①③② > > D．③①② > > 7．北宋沈括《梦溪笔谈》中记载："信州铅山有苦泉，流以为涧。挹其水熬之则成胆矾，烹胆矾则成铜。熬胆矾铁釜，久之亦化为铜"。下列有关叙述错误的是 > > A．胆矾的化学式为CuSO~4~ > > B．胆矾可作为湿法冶铜的原料 > > C．"熬之则成胆矾"是浓缩结晶过程 > > D．"熬胆矾铁釜，久之亦化为铜"是发生了置换反应 > > 8．某白色固体混合物由NaCl、KCl、MgSO~4~、CaCO~3~中的两种组成，进行如下实验：① 混合物溶于水，得到澄清透明溶液；② 做焰色反应，通过钴玻璃可观察到紫色；③ 向溶液中加碱，产生白色沉淀。根据实验现象可判断其组成为 > > A．KCl、NaCl B．KCl、MgSO~4~ > > C．KCl、CaCO~3~ D．MgSO~4~、NaCl 9．二氧化碳的过量排放可对海洋生物的生存环境造成很大影响，其原理如下图所示。下列叙述错误的是 ![](./data/image/media/image4.png) > A．海水酸化能引起浓度增大、浓度减小 > > B．海水酸化能促进CaCO~3~的溶解，导致珊瑚礁减少 > > C．CO~2~能引起海水酸化，共原理为![](./data/image/media/image7.png)H^+^+ > > D．使用太阳能、氢能等新能源可改善珊瑚的生存环境 > > 10．吡啶（![](./data/image/media/image8.png)）是类似于苯的芳香化合物，2-乙烯基吡啶（VPy）是合成治疗矽肺病药物的原料，可由如下路线合成。下列叙述正确的是 > > ![](./data/image/media/image9.png) > > A．Mpy只有两种芳香同分异构体 B．Epy中所有原子共平面 > > C．Vpy是乙烯的同系物 D．反应②的反应类型是消去反应 11．据文献报道：Fe(CO)~5~催化某反应的一种反应机理如下图所示。下列叙述错误的是 ![](./data/image/media/image10.png) > A．OH^-^参与了该催化循环 B．该反应可产生清洁燃料H~2~ > > C．该反应可消耗温室气体CO~2~ D．该催化循环中Fe的成键数目发生变化 12．电致变色器件可智能调控太阳光透过率，从而实现节能。下图是某电致变色器件的示意图。当通电时，Ag^+^注入到无色WO~3~薄膜中，生成Ag*~x~*WO~3~，器件呈现蓝色，对于该变化过程，下列叙述错误的是 > ![](./data/image/media/image11.png) > > A．Ag为阳极 B．Ag^+^由银电极向变色层迁移 > > C．W元素的化合价升高 D．总反应为：WO~3~+*x*Ag=Ag*~x~*WO~3~ 13．一种由短周期主族元素组成的化合物（如图所示），具有良好的储氢性能，其中元素W、X、Y、Z的原子序数依次增大、且总和为24。下列有关叙述错误的是 ![](./data/image/media/image12.png) > A．该化合物中，W、X、Y之间均为共价键 > > B．Z的单质既能与水反应，也可与甲醇反应 > > C．Y的最高化合价氧化物的水化物为强酸 > > D．X的氟化物XF~3~中原子均为8电子稳定结构 二、选择题：本题共8小题，每小题6分。在每小题给出的四个选项中，第14\~17题只有一项符合题目要求，第18\~21题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。 14．管道高频焊机可以对由钢板卷成的圆管的接缝实施焊接。焊机的原理如图所示，圆管通过一个接有高频交流电源的线圈，线圈所产生的交变磁场使圆管中产生交变电流，电流产生的热量使接缝处的材料熔化将其焊接。焊接过程中所利用的电磁学规律的发现者为 ![](./data/image/media/image13.png) > A．库仑 B．霍尔 C．洛伦兹 D．法拉第 15．若一均匀球形星体的密度为*ρ*，引力常量为*G*，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是 A． B． C． D． 16．如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3*h*，其左边缘*a*点比右边缘*b*点高0.5*h*。若摩托车经过*a*点时的动能为*E*~1~，它会落到坑内*c*点。*c*与*a*的水平距离和高度差均为*h*；若经过*a*点时的动能为*E*~2~，该摩托车恰能越过坑到达*b*点。等于 > ![](./data/image/media/image19.png) > > A．20 B．18 C．9.0 D．3.0 17．CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图（a）是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图（b）所示。图（b）中*M*、*N*之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线（如图中带箭头的虚线所示）；将电子束打到靶上的点记为*P*点。则 > ![](./data/image/media/image20.png) > > A．*M*处的电势高于*N*处的电势 > > B．增大*M*、*N*之间的加速电压可使*P*点左移 > > C．偏转磁场的方向垂直于纸面向外 > > D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使*P*点左移 18．氘核可通过一系列聚变反应释放能量，其总效果可用反应式 > 表示。海水中富含氘，已知1kg海水中含有的氘核约为1.0×10^22^个，若全都发生聚变反应，其释放的能量与质量为*M*的标准煤燃烧时释放的热量相等；已知1 kg标准煤燃烧释放的热量约为2.9×10^7^ J，1 MeV= 1.6×10^--13^ J，则*M*约为 > > A．40 kg B．100 kg C．400 kg D．1 000 kg > > 19．特高压输电可使输送中的电能损耗和电压损失大幅降低。我国已成功掌握并实际应用了特高压输电技术。假设从*A*处采用550 kV的超高压向*B*处输电，输电线上损耗的电功率为∆*P*，到达*B*处时电压下降了∆*U*。在保持*A*处输送的电功率和输电线电阻都不变的条件下，改用1 100 kV特高压输电，输电线上损耗的电功率变为∆*P*′，到达*B*处时电压下降了∆*U*′。不考虑其他因素的影响，则 > > A．∆*P*′=∆*P* B．∆*P*′=∆*P* C．∆*U*′=∆*U* B．∆*U*′=∆*U* > > 20．如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。*a*、*b*为圆环水平直径上的两个点，*c*、*d*为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则 > > ![](./data/image/media/image25.png) > > A．*a*、*b*两点的场强相等 > > B．*a*、*b*两点的电势相等 > > C．*c*、*d*两点的场强相等 > > D．*c*、*d*两点的电势相等 > > 21．水平冰面上有一固定的竖直挡板，一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为4.0 kg的静止物块以大小为5.0 m/s的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为5.0 m/s的速度与挡板弹性碰撞。总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于5.0 m/s，反弹的物块不能再追上运动员。不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为 > > A．48 kg B．53 kg C．58 kg D．63 kg 三、非选择题：共174分，第22\~32题为必考题，每个试题考生都必须作答。第33\~38题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共129分。 22．（5分） 一细绳跨过悬挂的定滑轮，两端分别系有小球*A*和*B*，如图所示。一实验小组用此装置测量小球*B*运动的加速度。 ![](./data/image/media/image26.png) 令两小球静止，细绳拉紧，然后释放小球，测得小球*B*释放时的高度*h*~0~=0.590 m，下降一段距离后的高度*h*=0.100 m；由*h*~0~下降至*h*所用的时间*T*=0.730 s。由此求得小球*B*加速度的大小为*a*=\_\_\_\_\_\_\_m/s^2^（保留3位有效数字）。 从实验室提供的数据得知，小球*A*、*B*的质量分别为100.0 g和150.0 g，当地重力加速度大小为*g*=9.80 m/s^2^。根据牛顿第二定律计算可得小球*B*加速度的大小为*a*′=\_\_\_\_\_\_\_m/s^2^（保留3位有效数字）。 可以看出，*a*′与*a*有明显差异，除实验中的偶然误差外，写出一条可能产生这一结果的原因：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 23．（10分） 某同学要研究一小灯泡L（3.6 V，0.30 A）的伏安特性。所用器材有：电流表A~1~（量程200 mA，内阻*R*~g1~=10.0 Ω），电流表A~2~（量程500 mA，内阻*R*~g2~=1.0 Ω）、定值电阻*R*~0~（阻值*R*~0~=10.0 Ω）、滑动变阻器*R*~1~（最大阻值10 Ω）、电源*E*（电动势4.5 V，内阻很小）、开关S和若干导线。该同学设计的电路如图（a）所示。 （1）根据图（a），在图（b）的实物图中画出连线。 ![](./data/image/media/image27.png)![](./data/image/media/image28.png) 图（a） （2）若*I*~1~、*I*~2~分别为流过电流表A~1~和A~2~的电流，利用*I*~1~、*I*~2~、*R*~g1~和*R*~0~写出：小灯泡两端的电压*U*=\_\_\_\_\_\_\_，流过小灯泡的电流*I*=\_\_\_\_\_\_\_。为保证小灯泡的安全，*I*~1~不能超过\_\_\_\_\_\_\_mA。 （3）实验时，调节滑动变阻器，使开关闭合后两电流表的示数为零。逐次改变滑动变阻器滑片位置并读取相应的*I*~1~和*I*~2~。所得实验数据在下表中给出。 ----------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- *I*~1~/mA 32 55 85 125 144 173 *I*~2~/mA 171 229 299 379 424 470 ----------- ----- ----- ----- ----- ----- ----- 根据实验数据可算得，当*I*~1~=173 mA时，灯丝电阻*R*=\_\_\_\_\_\_\_Ω（保留1位小数）。 （4）如果用另一个电阻替代定值电阻*R*~0~，其他不变，为了能够测量完整的伏安特性曲线，所用电阻的阻值不能小于\_\_\_\_\_\_\_Ω（保留1位小数）。 24．（12分） 如图，在0≤*x*≤*h*，区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度*B*的大小可调，方向不变。一质量为*m*，电荷量为*q*（*q*\>0）的粒子以速度*v*~0~从磁场区域左侧沿*x*轴进入磁场，不计重力。 ![](./data/image/media/image30.png) （1）若粒子经磁场偏转后穿过*y*轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值*B*~m~； （2）如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与*x*轴正方向的夹角及该点到*x*轴的距离。 25.（20分） > 如图，一竖直圆管质量为*M*，下端距水平地面的高度为*H*，顶端塞有一质量为*m*的小球。圆管由静止自由下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极短；在运动过程中，管始终保持竖直。已知*M* =4*m*，球和管之间的滑动摩擦力大小为4*mg*, *g*为重力加速度的大小，不计空气阻力。 > > （1）求管第一次与地面碰撞后的瞬间，管和球各自的加速度大小； > > （2）管第一次落地弹起后，在上升过程中球没有从管中滑出，求管上升的最大高度； > > （3）管第二次落地弹起的上升过程中，球仍没有从管中滑出，求圆管长度应满足的条件。 > > ![](./data/image/media/image32.png) 26．（14分） 化学工业为疫情防控提供了强有力的物质支撑。氯的许多化合物既是重要化工原料，又是高效、广谱的灭菌消毒剂。回答下列问题： （1）氯气是制备系列含氯化合物的主要原料，可采用如图(a)所示的装置来制取。装置中的离子膜只允许\_\_\_\_\_\_离子通过，氯气的逸出口是\_\_\_\_\_\_\_（填标号）。 ![](./data/image/media/image33.png) （2）次氯酸为一元弱酸，具有漂白和杀菌作用，其电离平衡体系中各成分的组成分数*δ*\[*δ*(X)=，X为HClO或ClO^−^\]与pH的关系如图(b)所示。HClO的电离常数*K*~a~值为\_\_\_\_\_\_。 （3）Cl~2~O为淡棕黄色气体，是次氯酸的酸酐，可由新制的HgO和Cl~2~反应来制备，该反应为歧化反应（氧化剂和还原剂为同一种物质的反应）。上述制备Cl~2~O的化学方程式为\_\_\_\_\_\_。 （4）ClO~2~常温下为黄色气体，易溶于水，其水溶液是一种广谱杀菌剂。一种有效成分为NaClO~2~、NaHSO~4~、NaHCO~3~的"二氧化氯泡腾片"，能快速溶于水，溢出大量气泡，得到ClO~2~溶液。上述过程中，生成ClO~2~的反应属于歧化反应，每生成1 mol ClO~2~消耗NaClO~2~的量为\_\_\_\_\_mol；产生"气泡"的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 （5）"84消毒液"的有效成分为NaClO，不可与酸性清洁剂混用的原因是\_\_\_\_\_\_（用离子方程式表示）。工业上是将氯气通入到30%的NaOH溶液中来制备NaClO溶液，若NaClO溶液中NaOH的质量分数为1%，则生产1000 kg该溶液需消耗氯气的质量为\_\_\_\_kg（保留整数）。 27．（15分） 苯甲酸可用作食品防腐剂。实验室可通过甲苯氧化制苯甲酸，其反应原理简示如下： ![](./data/image/media/image35.png)+KMnO~4~→![](./data/image/media/image36.png)+ MnO~2~ ![](./data/image/media/image36.png)+HCl→![](./data/image/media/image37.png)+KCl +--------+--------+---------------------------+--------+-----------------+------------------------------+ | 名称 | 相对分 | 熔点/℃ | 沸点/℃ | 密度/(g·mL^−1^) | 溶解性 | | | | | | | | | | 子质量 | | | | | +--------+--------+---------------------------+--------+-----------------+------------------------------+ | 甲苯 | 92 | −95 | 110.6 | 0.867 | 不溶于水，易溶于乙醇 | +--------+--------+---------------------------+--------+-----------------+------------------------------+ | 苯甲酸 | 122 | 122.4（100℃左右开始升华） | 248 | ------ | 微溶于冷水，易溶于乙醇、热水 | +--------+--------+---------------------------+--------+-----------------+------------------------------+ 实验步骤： （1）在装有温度计、冷凝管和搅拌器的三颈烧瓶中加入1.5 mL甲苯、100 mL水和4.8 g（约0.03 mol）高锰酸钾，慢慢开启搅拌器，并加热回流至回流液不再出现油珠。 （2）停止加热，继续搅拌，冷却片刻后，从冷凝管上口慢慢加入适量饱和亚硫酸氢钠溶液，并将反应混合物趁热过滤，用少量热水洗涤滤渣。合并滤液和洗涤液，于冰水浴中冷却，然后用浓盐酸酸化至苯甲酸析出完全。将析出的苯甲酸过滤，用少量冷水洗涤，放在沸水浴上干燥。称量，粗产品为1.0 g。 （3）纯度测定：称取0. 122 g粗产品，配成乙醇溶液，于100 mL容量瓶中定容。每次移取25. 00 mL溶液，用0.01000 mol·L^−1^的KOH标准溶液滴定，三次滴定平均消耗21. 50 mL的KOH标准溶液。 回答下列问题： （1）根据上述实验药品的用量，三颈烧瓶的最适宜规格为\_\_\_\_\_\_（填标号）。 A．100 mL B．250 mL C．500 mL D．1000 mL （2）在反应装置中应选用\_\_\_\_\_\_冷凝管（填"直形"或"球形"），当回流液不再出现油珠即可判断反应已完成，其判断理由是\_\_\_\_\_\_。 （3）加入适量饱和亚硫酸氢钠溶液的目的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；该步骤亦可用草酸在酸性条件下处理，请用反应的离子方程式表达其原理\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 （4）"用少量热水洗涤滤渣"一步中滤渣的主要成分是\_\_\_\_\_\_\_。 （5）干燥苯甲酸晶体时，若温度过高，可能出现的结果是\_\_\_\_\_\_\_。 （6）本实验制备的苯甲酸的纯度为\_\_\_\_\_\_\_；据此估算本实验中苯甲酸的产率最接近于\_\_\_\_\_\_\_（填标号）。 A．70% B．60% C．50% D．40% （7）若要得到纯度更高的苯甲酸，可通过在水中\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_的方法提纯。 28．（14分） 天然气的主要成分为CH~4~，一般还含有C~2~H~6~等烃类，是重要的燃料和化工原料。 （1）乙烷在一定条件可发生如下反应：C~2~H~6~(g)= C~2~H~4~(g)+H~2~(g) Δ*H*，相关物质的燃烧热数据如下表所示： -------------------------- ------------- ------------- --------- 物质 C~2~H~6~(g) C~2~H~4~(g) H~2~(g) 燃烧热Δ*H*/( kJ·mol^−1^) -1560 -1411 -286 -------------------------- ------------- ------------- --------- ①Δ*H*~1~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_ kJ·mol^−1^。 ②提高该反应平衡转化率的方法有\_\_\_\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 ③容器中通入等物质的量的乙烷和氢气，在等压下（*p*）发生上述反应，乙烷的平衡转化率为*α*。反应的平衡常数*K*~p~=\_\_\_\_\_\_\_\_\_（用平衡分压代替平衡浓度计算，分压=总压×物质的量分数）。 （2）高温下，甲烷生成乙烷的反应如下：2CH~4~C~2~H~6~+H~2~。反应在初期阶段的速率方程为：*r*=*k*×，其中*k*为反应速率常数。 ①设反应开始时的反应速率为*r*~1~，甲烷的转化率为*α*时的反应速率为*r*~2~，则*r*~2~=\_\_\_\_\_ *r*~1~。 ②对于处于初期阶段的该反应，下列说法正确的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 A．增加甲烷浓度，*r*增大 B．增加H~2~浓度，*r*增大 C．乙烷的生成速率逐渐增大 D．降低反应温度，*k*减小 （3）CH~4~和CO~2~都是比较稳定的分子，科学家利用电化学装置实现两种分子的耦合转化，其原理如下图所示： ![](./data/image/media/image40.png) ①阴极上的反应式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 ②若生成的乙烯和乙烷的体积比为2∶1，则消耗的CH~4~和CO~2~体积比为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 29．（10分） > 大豆蛋白在人体内经消化道中酶的作用后，可形成小肽（短的肽链）。回答下列问题： > > （1）在大豆细胞中，以mRNA为模板合成蛋白质时，除mRNA外还需要其他种类的核酸分子参与，它们是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 > > （2）大豆细胞中大多数mRNA和RNA聚合酶从合成部位到执行功能部位需要经过核孔。就细胞核和细胞质这两个部位来说，作为mRNA合成部位的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，作为mRNA执行功能部位的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；作为RNA聚合酶合成部位的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，作为RNA聚合酶执行功能部位的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 > > （3）部分氨基酸的密码子如表所示。若来自大豆的某小肽对应的编码序列为UACGAACAUUGG，则该小肽的氨基酸序列是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。若该小肽对应的DNA序列有3处碱基发生了替换，但小肽的氨基酸序列不变，则此时编码小肽的RNA序列为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 +--------+--------+ | 氨基酸 | 密码子 | +--------+--------+ | 色氨酸 | UGG | +--------+--------+ | 谷氨酸 | GAA | | | | | | GAG | +--------+--------+ | 酪氨酸 | UAC | | | | | | UAU | +--------+--------+ | 组氨酸 | CAU | | | | | | CAC | +--------+--------+ 30．（9分） > 为了研究细胞器的功能，某同学将正常叶片置于适量的溶液B中，用组织捣碎机破碎细胞，再用差速离心法分离细胞器。回答下列问题： > > （1）该实验所用溶液B应满足的条件是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2点即可）。 > > （2）离心沉淀出细胞核后，上清液在适宜条件下能将葡萄糖彻底分解，原因是此上清液中含有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 > > （3）将分离得到的叶绿体悬浮在适宜溶液中，照光后有氧气释放；如果在该适宜溶液中将叶绿体外表的双层膜破裂后再照光，\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（填"有"或"没有"）氧气释放，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 31．（9分） > 人在剧烈奔跑运动时机体会出现一些生理变化。回答下列问题： > > （1）剧烈奔跑运动时肌细胞会出现\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，这一呼吸方式会导致肌肉有酸痛感。 > > （2）当进行较长时间剧烈运动时，人体还会出现其他一些生理变化。例如，与运动前相比，胰岛A细胞的分泌活动会加强，分泌\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，该激素具有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出2点即可）等生理功能，从而使血糖水平升高。 > > （3）人在进行剧烈运动时会大量出汗，因此在大量出汗后，为维持内环境的相对稳定，可以在饮水的同时适当补充一些\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 32．（11分） > 控制某种植物叶形、叶色和能否抗霜霉病3个性状的基因分别用A/a、B/b、D/d表示，且位于3对同源染色体上。现有表现型不同的4种植株：板叶紫叶抗病（甲）、板叶绿叶抗病（乙）、花叶绿叶感病（丙）和花叶紫叶感病（丁）。甲和丙杂交，子代表现型均与甲相同；乙和丁杂交，子代出现个体数相近的8种不同表现型。回答下列问题： > > （1）根据甲和丙的杂交结果，可知这3对相对性状的显性性状分别是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 > > （2）根据甲和丙、乙和丁的杂交结果，可以推断甲、乙、丙和丁植株的基因型分别为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_和\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 > > （3）若丙和丁杂交，则子代的表现型为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 > > （4）选择某一未知基因型的植株X与乙进行杂交，统计子代个体性状。若发现叶形的分离比为3∶1、叶色的分离比为1∶1、能否抗病性状的分离比为1∶1，则植株X的基因型为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 **（二）选考题：共45分。请考生从2道物理题、2道化学题、2道生物题中每科任选一题作答。如果多做，则每科按所做的第一题计分。** 33．\[物理------选修3--3\]（15分） （1）（5分）下列关于能量转换过程的叙述，违背热力学第一定律的有\_\_\_\_\_\_\_，不违背热力学第一定律、但违背热力学第二定律的有\_\_\_\_\_\_\_。（填正确答案标号） A．汽车通过燃烧汽油获得动力并向空气中散热 B．冷水倒入保温杯后，冷水和杯子的温度都变得更低 C．某新型热机工作时将从高温热源吸收的热量全部转化为功，而不产生其他影响 D．冰箱的制冷机工作时从箱内低温环境中提取热量散发到温度较高的室内 （2）（10分）潜水钟是一种水下救生设备，它是一个底部开口、上部封闭的容器，外形与钟相似。潜水钟在水下时其内部上方空间里存有空气，以满足潜水员水下避险的需要。为计算方便，将潜水钟简化为截面积为*S*、高度为*h*、开口向下的圆筒；工作母船将潜水钟由水面上方开口向下吊放至深度为*H*的水下，如图所示。已知水的密度为*ρ*，重力加速度大小为*g*，大气压强为*p*~0~，*Hh*，忽略温度的变化和水密度随深度的变化。 （i）求进入圆筒内水的高度*l*； （ⅱ）保持*H*不变，压入空气使筒内的水全部排出，求压入的空气在其压强为*p*~0~时的体积。 ![](./data/image/media/image42.png) 34．\[物理------选修3--4\]（15分） （1）（5分）用一个摆长为80.0 cm的单摆做实验，要求摆动的最大角度小于5°，则开始时将摆球拉离平衡位置的距离应不超过\_\_\_\_\_\_\_cm（保留1位小数）。（提示：单摆被拉开小角度的情况下，所求的距离约等于摆球沿圆弧移动的路程。） 某同学想设计一个新单摆，要求新单摆摆动10个周期的时间与原单摆摆动11个周期的时间相等。新单摆的摆长应该取为\_\_\_\_\_\_\_cm。 （2）（10分）直角棱镜的折射率*n*=1.5，其横截面如图所示，图中∠*C*=90°，∠*A*=30°。截面内一细束与*BC*边平行的光线，从棱镜*AB*边上的*D*点射入，经折射后射到*BC*边上。 ![](./data/image/media/image43.png) （i）光线在*BC*边上是否会发生全反射?说明理由； （ⅱ）不考虑多次反射，求从*AC*边射出的光线与最初的入射光线夹角的正弦值。 35．［化学------选修3：物质结构与性质］（15分） 钙钛矿（CaTiO~3~）型化合物是一类可用于生产太阳能电池、传感器、固体电阻器等的功能材料，回答下列问题： （1）基态Ti原子的核外电子排布式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 （2）Ti的四卤化物熔点如下表所示，TiF~4~熔点高于其他三种卤化物，自TiCl~4~至TiI~4~熔点依次升高，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 -------- -------- --------- --------- -------- 化合物 TiF~4~ TiCl~4~ TiBr~4~ TiI~4~ 熔点/℃ 377 ﹣24.12 38.3 155 -------- -------- --------- --------- -------- （3）CaTiO~3~的晶胞如图（a）所示，其组成元素的电负性大小顺序是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；金属离子与氧离子间的作用力为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，Ca^2+^的配位数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 （4）一种立方钙钛矿结构的金属卤化物光电材料的组成为Pb^2+^、I^﹣^和有机碱离子，其晶胞如图（b）所示。其中Pb^2+^与图（a）中\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_的空间位置相同，有机碱中，N原子的杂化轨道类型是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；若晶胞参数为*a* nm，则晶体密度为\_\_\_\_\_\_\_\_\_g·cm^﹣3^（列出计算式）。 ![](./data/image/media/image45.png) （5）用上述金属卤化物光电材料制作的太阳能电池在使用过程中会产生单质铅和碘，降低了器件效率和使用寿命。我国科学家巧妙地在此材料中引入稀土铕（Eu）盐，提升了太阳能电池的效率和使用寿命，其作用原理如图（c）所示，用离子方程式表示该原理\_\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_\_。 36．\[化学------选修5：有机化学基础\]（15分） 维生素E是一种人体必需的脂溶性维生素，现已广泛应用于医药、营养品、化妆品等。天然的维生素E由多种生育酚组成，其中α-生育酚（化合物E）含量最高，生理活性也最高。下面是化合物E的一种合成路线，其中部分反应略去。 ![](./data/image/media/image46.png) 已知以下信息： ![](./data/image/media/image47.png) 回答下列问题： （1）A的化学名称为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 （2）B的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 （3）反应物C含有三个甲基，其结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 （4）反应⑤的反应类型为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 （5）反应⑥的化学方程式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 （6）化合物C的同分异构体中能同时满足以下三个条件的有\_\_\_\_\_\_\_\_\_个（不考虑立体异构体，填标号）。 (ⅰ)含有两个甲基；(ⅱ)含有酮羰基（但不含C=C=O）；(ⅲ)不含有环状结构。 （a）4 （b）6 （c）8 （d）10 其中，含有手性碳（注：连有四个不同的原子或基团的碳）的化合物的结构简式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 37．\[生物------选修1：生物技术实践\]（15分） > 研究人员从海底微生物中分离到一种在低温下有催化活性的α-淀粉酶A3，并对其进行了研究。回答下列问题： > > （1）在以淀粉为底物测定A3酶活性时，既可检测淀粉的减少，检测应采用的试剂是\_\_\_\_\_\_\_\_\_，也可采用斐林试剂检测\_\_\_\_\_\_\_\_\_的增加。 > > （2）在A3的分离过程中可采用聚丙烯酰胺凝胶电泳检测其纯度，通常会在凝胶中添加SDS，SDS的作用是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_和\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 > > （3）本实验中，研究人员在确定A3的最适pH时使用了三种组分不同的缓冲系统，结果如图所示。某同学据图判断，缓冲系统的组分对酶活性有影响，其判断依据是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 ![](./data/image/media/image48.png) > （4）在制备A3的固定化酶时，一般不宜采用包埋法，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ （答出1点即可）。 38．\[生物------选修3：现代生物科技专题\]（15分） > 植树造林、"无废弃物农业"、污水净化是建设美丽中国的重要措施。回答下列有关生态工程的问题： > > （1）在植树造林时，一般认为，全部种植一种植物的做法是不可取的。因为与混合种植方式所构建的生态系统相比，按照种植一种植物方式所构建的生态系统，其抵抗力稳定性\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。抵抗力稳定性的含义是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 > > （2）"无废弃物农业"是我国利用生态工程的原理进行农业生产的一种模式，其做法是收集有机物质。包括人畜粪便、枯枝落叶等，采用堆肥和沤肥等多种方式，把它们转变为有机肥料，再施用到农田中。施用有机肥料的优点是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（答出3点即可）。在有机肥料的形成过程中，微生物起到了重要作用，这些微生物属于生态系统组分中的\_\_\_\_\_\_\_\_。 > > （3）在污水净化过程中，除发挥污水处理厂的作用外，若要利用生物来回收污水中的铜、镉等金属元素，请提供一个方案：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。 2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科综合 参考答案 1．D 2．B 3．B 4．C 5．D 6．A 7．A 8．B 9．C 10．D 11．C 12．C 13．D 14．D 15．A 16．B 17．D 18．C 19．AD 20．ABC 21．BC 22．1.84 1.96 滑轮的轴不光滑（或滑轮有质量） 23．（1）如图所示。 （2） *I*~2~--*I*~1~ 180 （3）11.6 （4）8.0 ![](./data/image/media/image50.png) 24．解：（1）由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里。设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为*R*，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有 > ① > > 由此可得 > > ② > > 粒子穿过*y*轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在*y*轴正半轴上，半径应满足 > > ③ > > 由题意，当磁感应强度大小为*B*~m~时，粒子的运动半径最大，由此得 > > ④ > > （2）若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在*y*轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为⑤ > > 粒子会穿过图中*P*点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在*P*点的运动方向与*x*轴正方向的夹角为*α*， > > ![](./data/image/media/image56.png) > > 由几何关系 > > ⑥ > > 即⑦ > > 由几何关系可得，*P*点与*x*轴的距离为 > > ⑧ > > 联立⑦⑧式得 > > ⑨ 25．解：（1）管第一次落地弹起的瞬间，小球仍然向下运动。设此时管的加速度大小为*a*~1~，方向向下；球的加速度大小为*a*~2~，方向向上；球与管之间的摩擦力大小为*f*，由牛顿运动定律有 > *Ma*~1~=*Mg*+*f* ① > > *ma*~2~= *f-- mg* ② > > 联立①②式并代入题给数据，得 > > *a*~1~=2*g*，*a*~2~=3*g*③ > > （2）管第一次碰地前与球的速度大小相同。由运动学公式，碰地前瞬间它们的速度大小均为 > > ④ > > 方向均向下。管弹起的瞬间，管的速度反向，球的速度方向依然向下。 > > 设自弹起时经过时间*t*~1~，管与小球的速度刚好相同。取向上为正方向，由运动学公式 > > *v*~0~*--a*~1~*t*~1~= *--v*~0~*+a*~2~*t*~1~⑤ > > 联立③④⑤式得 > > ⑥ > > 设此时管下端的高度为*h*~1~，速度为*v*。由运动学公式可得 > > ⑦ > > ⑧ > > 由③④⑥⑧式可判断此时*v*\>0。此后，管与小球将以加速度*g*减速上升*h*~2~，到达最高点。由运动学公式有⑨ > > 设管第一次落地弹起后上升的最大高度为*H*~1~，则 > > *H*~1~= *h*~1~+ *h*~2~⑩ > > 联立③④⑥⑦⑧⑨⑩式可得 > > ⑪ > > （3）设第一次弹起过程中球相对管的位移为*x*~1~。在管开始下落到上升*H*~1~这一过程中，由动能定理有 > > *Mg*（*H*--*H*~1~）+*mg*（*H*--*H*~1~+*x*~1~）--4*mgx*~1~=0⑫ > > 联立⑪⑫式并代入题给数据得 > > ⑬ > > 同理可推得，管与球从再次下落到第二次弹起至最高点的过程中，球与管的相对位移*x*~2~为 > > ⑭ > > 设圆管长度为*L*。管第二次落地弹起后的上升过程中，球不会滑出管外的条件是 > > *x*~1~+ *x*~2~≤*L*⑮ > > 联立⑪⑬⑭⑮式，*L*应满足条件为 > > ⑯ 26．（14分）（1）Na^+^ a （2）10^-7.5^ （3）2Cl~2~+HgO=HgCl~2~+Cl~2~O （4）1.25 NaHCO~3~+NaHSO~4~=CO~2~↑+Na~2~SO~4~+H~2~O （5）ClO^-^+Cl^-^+2H^+^=Cl~2~↑+ H~2~O 203 27．（15分） > （1）B > > （2）球形 无油珠说明不溶于水的甲苯已经被完全氧化 > > （3）除去过量的高锰酸钾，避免在用盐酸酸化时，产生氯气 > > 2+5H~2~C~2~O~4~+6H^+^=2Mn^2+^+10CO~2~↑+8H~2~O > > （4）MnO~2~ > > （5）苯甲酸升华而损失 > > （6）86.0％ C > > （7）重结晶 28．（14分） > （1）①137 ②升高温度 减小压强（增大体积） ③ > > （2）①1－*α* ②AD > > （3）①CO~2~+2e^−^=CO+O^2−^ ②6∶5 29．（10分） （1）rRNA、tRNA （2）细胞核 细胞质 细胞质 细胞核 （3）酪氨酸-谷氨酸-组氨酸-色氨酸 UAUGAGCACUGG 30．（9分） （1）pH 应与细胞质基质的相同，渗透压应与细胞内的相同 （2）细胞质基质组分和线粒体 （3）有 类囊体膜是H~2~O分解释放O~2~的场所，叶绿体膜破裂不影响类囊体膜的功能 31．（9分） （1）无氧呼吸 （2）胰高血糖素 促进糖原分解和非糖物质转化为葡萄糖 （3）电解质（或答：无机盐） 32．（11分） （1）板叶、紫叶、抗病 （2）AABBDD AabbDd aabbdd aaBbdd （3）花叶绿叶感病、 花叶紫叶感病 （4）AaBbdd 33．（1）B C > （2）解：（i）设潜水钟在水面上方时和放入水下后筒内气体的体积分别为*V*~0~和*V*~1~，放入水下后筒内气体的压强为*p*~1~，由玻意耳定律和题给条件有 > > *p*~1~*V*~1~= *p*~0~*V*~0~ ① > > *V*~0~=*hS* ② > > *V*~1~=（*h*--*l*）*S* ③ > > *p*~1~= *p*~0~+ *ρg*（*H*--*l*） ④ > > 联立以上各式并考虑到*Hh*\>*l*，解得 > > ⑤ > > （ⅱ）设水全部排出后筒内气体的压强为*p*~2~；此时筒内气体的体积为*V*~0~，这些气体在其压强为*p*~0~时的体积为*V*~3~，由玻意耳定律有 > > *p*~2~*V*~0~= *p*~0~*V*~3~ ⑥ > > 其中*p*~2~= *p*~0~+ *ρgH* ⑦ > > 设需压入筒内的气体体积为*V*，依题意 > > *V* = *V*~3~--*V*~0~ ⑧ > > 联立②⑥⑦⑧式得 > > ⑨ 34．（1）6.9 96.8 > （2）解：（i）如图，设光线在*D*点的入射角为*i*，折射角为*r*。折射光线射到*BC*边上的*E*点。设光线在*E*点的入射角为，由几何关系，有 > > ![](./data/image/media/image75.png) > > =90°--（30°--*r*）\> 60° ① > > 根据题给数据得 > > sin\> sin60°\> ② > > 即*θ*大于全反射临界角，因此光线在*E*点发生全反射。 > > （ii）设光线在*AC*边上的*F*点射出棱镜，光线的入射角为*i\'*，折射角为*r\'*，由几何关系、反射定律及折射定律，有 > > *i*= 30° ③ > > *i\'* =90°--*θ* ④ > > sin *i* = *n*sin*r* ⑤ > > *n*sin*i\'* = sin*r\'* ⑥ > > 联立①③④⑤⑥式并代入题给数据，得 > > ⑦ > > 由几何关系，*r\'*即*AC*边射出的光线与最初的入射光线的夹角。 35．（15分） > （1）1s^2^2s^2^2p^6^3s^2^3p^6^3d^2^4s^2^ > > （2）TiF~4~为离子化合物，熔点高，其他三种均为共价化合物，随相对分子质量的增大分子间作用力增大，熔点逐渐升高 > > （3）O＞Ti＞Ca 离子键 12 > > （4）Ti^4+^ sp^3^ > > （5）2Eu^3+^+Pb=2Eu^2+^+Pb^2+^、2Eu^2+^+I~2~=2Eu^3+^+2I^−^ 36．（15分） > （1）3-甲基苯酚（或间甲基苯酚） > > （2）![](./data/image/media/image79.png) > > （3）![](./data/image/media/image80.png) > > （4）加成反应 > > （5）![](./data/image/media/image81.png) > > （6）c ![](./data/image/media/image82.png) 37．（15分） （1）碘液 还原糖（或答：葡萄糖） （2）消除蛋白质所带净电荷对迁移率的影响 使蛋白质发生变性 （3）在pH相同时，不同缓冲系统条件下所测得的相对酶活性不同 （4）酶分子体积小，容易从包埋材料中漏出 38．（15分） （1）低 生态系统抵抗外界干扰并使自身的结构与功能保持原状或不受损害的能力 （2）改善了土壤结构；培育了土壤微生物；实现了土壤养分的循环利用 分解者 （3）种植能吸收这些金属元素的水生植物，再从植物中回收金属 ![](./data/image/media/image83.jpeg)
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**2020－2021学年上期三年级数学期末测试卷** 1\. 口算![](./data/image/media/image1.wmf) 86＋16＝ 61－25＝ 36＋37＝ 33＋24－15＝ 250＋170＝ 17×3＝ 5×16＝ 280－150＋30＝ 123×0＝ 101×5＝ 【答案】102，36，73，42 420，51，80，160 0，505，1， 【解析】 【分析】 【详解】略 **二、用心思考，准确填写。** 2\. 用分数表示涂色部分，并在横线上填写"＞""＝"或"＜"。 ![](./data/image/media/image5.png) [ ]{.underline} （ ） 【答案】＞； 【解析】 【分析】把15个小蘑菇平均分成5份，1份是3个，涂颜色的是3个正好是1份，是总数。分子相同时，分母小的分数大。 【详解】![](./data/image/media/image5.png) [＞]{.underline}（） 【点睛】分数比大小： （1）分子相同时，分母小的分数大； （2）分母相同时，分子大的分数大。 3\. 一团彩带长5米，捆扎一个礼盒需要86厘米，捆扎这样的4个礼盒需要（ ）厘米长的彩带，还剩（ ）厘米长的彩带。 【答案】 (1). 344 (2). 156 【解析】 【分析】用捆扎一个礼盒需要的长度乘礼盒的个数求出需要多少厘米长的彩带；用彩带的全长减去捆扎礼盒用的彩带长度求出还剩多少厘米的彩带。 【详解】86×4＝344（厘米） 5米＝500厘米 500－344＝156（厘米） 【点睛】本题的关键是注意单位的换算。 4\. 学校报告厅共有18排座位，每排有22个座位，能容纳多少名学生同时就座？三年级有学生193人，四年级有学生176人，估一估，三、四年级的学生同时就座，坐得下吗？你是怎么估的？ 【答案】396名；坐得下；把193看做200，把176看做180进行估算 【解析】 【分析】先用每排的座位数乘排数求出能容纳多少学生，然后将三、四年级的学生人数估算为整百、整百整十数去进行估算，最后和报告厅可以容纳的学生人数进行比较。 【详解】18×22＝396 （名） 答：能容纳396名学生同时就座。 193＋ 176≈200＋ 180＝380 （人） 380＜ 396 答：坐得下。 把193看做200，把176看做180进行估算。 【点睛】本题考查两位数乘两位数和整数加法的估算。 5\. 要使牛的头数是大象的2倍，就要增加（ ）头大象，或减少（ ）头牛。 ![](./data/image/media/image8.png) 【答案】 (1). 1 (2). 2 【解析】 【分析】要求增加几头大象，使牛的头数是大象的2倍，则牛的数量不变。用牛的数量除以2，求出大象应有的数量。再与大象原来的数量相减求差即可。 要求减少几头牛，使牛的头数是大象的2倍，则大象的数量不变。用大象的数量乘2，求出牛应有的数量。再与牛原来的数量相减求差即可。 【详解】6÷2－2 ＝3－2 ＝1（头） 则要增加1头大象。 6－2×2 ＝6－4 ＝2（头） 则要减少2头牛。 【点睛】求一个量增加或减少多少能成为另一个量的几倍，要抓住不变的那个量，根据倍的相关知识，求出另一个量应有的数量，再相减求差即可。 6\. 在括号里填写合适的单位名称。 （1）乐乐跑50米约用时12（ ）； （2）三年级上册数学课本厚约6（ ）； （3）9岁儿童的脚长约是2（ ）； （4）嫦娥五号探测器总重约8（ ）； （5）珠穆朗玛峰的高度约为8849（ ）； （6）磁悬浮列车的时速超过350（ ）。 【答案】 (1). 秒 (2). 毫米 (3). 分米 (4). 吨 (5). 米 (6). 千米 【解析】 【分析】根据生活经验，对长度单位、质量单位、时间单位和数据大小的认识： 计量乐乐跑50米用时，结合数据12可知：应用"秒"做单位。 计量三年级上册数学课本厚，结合数据6可知：应用"毫米"做单位。 计量9岁儿童的脚长，结合数据2可知：应用"分米"做单位。 计量嫦娥五号探测器总重，结合数据8可知：应用"吨"做单位。 计量珠穆朗玛峰的高度，结合数据8849可知：应用"米"做单位。 计量嫦磁悬浮列车的时速，结合数据350可知：应用"千米"做单位。 【详解】（1）乐乐跑50米约用时12（秒）； （2）三年级上册数学课本厚约6（毫米）； （3）9岁儿童的脚长约是2（分米）； （4）嫦娥五号探测器总重约8（吨）； （5）珠穆朗玛峰的高度约为8849（米）； （6）磁悬浮列车的时速超过350（千米）。 【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择。 7\. ![](./data/image/media/image9.png) 小亮是这样想的：因为。所以他的糖和小美一样多。 小亮的想法对吗？（画√或×）（ ） 说说理由：（ ） 【答案】 (1). × (2). 小美拿的是这盒糖果的，而小亮拿的是剩下糖果的，分数对应的整体是不同的。 【解析】 【分析】虽然分数的，但小美的糖块数和小亮的糖块数是不一样的，因为小美拿的是这盒糖果的，而小亮拿的是剩下糖果的，分数对应的整体是不同的。 例如，这盒塘原来有36块，小美拿了这盒糖的，36÷6＝6（块），小美拿了6块；还剩下36－6＝30块。小亮拿了剩下糖果30块的是30÷6＝5（块）。小美和小亮的糖块数是不一样的。 【详解】小亮是这样想的：因为。所以他的糖和小美一样多。 小亮的想法对吗？（×） 说说理由：（小美拿的是这盒糖果的，而小亮拿的是剩下糖果的，分数对应的整体是不同的。） 【点睛】用除法求一个数的几分之几是多少，先求一份是多少，再求几份的数量。 8\. 用20张边长是1分米的正方形纸拼成的长方形中，周长最短的长方形长（ ）分米、宽（ ）分米。 【答案】 (1). 5 (2). 4 【解析】 【分析】要使拼成的长方形周长最短，则拼成的长方形的长和宽应尽量接近。则20个正方形应拼成5行，每行4个正方形。拼成的长方形的长为5分米，宽4分米。此时长方形的周长为（5＋4）×2＝18分米。 【详解】用20张边长是1分米的正方形纸拼成的长方形中，周长最短的长方形长5分米、宽4分米。 【点睛】用给定个数的小正方形拼成的长方形的长和宽越接近，它的周长越短。若能拼成正方形，这正方形的周长最短。 9\. 括号里填合适的数。 300秒＝（ ）分 5吨－500千克＝（ ）千克 7分米6厘米＝（ ）厘米 4000米＋2千米＝（ ）千米 【答案】 (1). 5 (2). 4500 (3). 76 (4). 6 【解析】 【分析】分和秒之间的进率是60，千克和吨之间的进率是1000，分米和厘米之间的进率是10，米和千米之间的进率是1000，据此解答即可。 【详解】300秒＝5分 5吨－500千克＝4500千克 7分米6厘米＝76厘米 4000米＋2千米＝6千米 【点睛】本题考查长度单位、质量单位和时间单位的换算。把高级单位换算成低级单位，就乘单位间的进率。把低级单位换算成高级单位，就除以单位间的进率。 10\. 同学们为班级图书角设计了一套"图书编码"，每本书都有各自的"身份证"，编码释义如下： ---------- ------ 区域编号 A 思品 B 科普 C 历史 D 卡通 E 文学 ---------- ------ ![](./data/image/media/image12.png) 诚诚准备把一本编号为B2506的图书还回图书角，这本书应该放到科普区域（ ）号书柜的第（ ）层。 【答案】 (1). 2 (2). 5 【解析】 【分析】通过编码规则可知编号从左起第2位表示书柜号，第3位表示层数，据此可解题。 【详解】编号B2506，从左起第2位是2表示2号书柜，第3位是5表示第5层数。 【点睛】正确理解编码的规则是解答此题的关键。 **三、仔细推敲，合理选择。（把正确答案的序号填在括号里）** 11\. 纸片盖住了一部分圆形，露出的圆形数量占总数的，纸片下盖住了（ ）个圆形。 ![](./data/image/media/image14.png) A. 2 B. 3 C. 7 【答案】A 【解析】 【分析】露出的圆形共7个，这些圆形占总数的，则总数的是1个。根据分数的意义可知，将所有的圆形平均分成1份，其中1份占它的，9份占它的。则圆形一共有9个。露出的圆形是7个，盖住的圆形就是9－7＝2个。 【详解】9×1－7 ＝9－7 ＝2（个） 则纸片下盖住了2个圆形。 故答案为：A。 【点睛】本题考查分数的意义：一个整体被平均分成几份，其中的1份占这个整体的几分之一。据此求出圆形共有9个，再进一步解答。 12\. 欣欣在口算35＋34＝时，用这样的思路图表示自己的口算思路。她的想法是：（ ）。 ![](./data/image/media/image17.png) A. 先算30＋30，再算5＋4＝9，最后算60＋9＝69 B. 先算35＋30＝65，再算65＋4＝69 C. 先算35＋4＝39，再算39＋30＝69 【答案】B 【解析】 【分析】口算两位数加两位数的方法是：先用两位数加整十数，再加个位数。 【详解】通过思维图可知，把34分成30和4，先用35＋30＝65，再用65＋4＝69。 故答案为：B 【点睛】口算两位数加两位数的方法是：先用两位数加整十数，再加个位数，也可以先用整十数加整十数加，个位数加个位数，再把两次所得的和相加。 13\. 纸上印有一个四边形，但被撕掉了一部分。这个四边形可能是图形（　　）。 ![](./data/image/media/image18.png) A. ![](./data/image/media/image19.png)\ B. ![](./data/image/media/image20.png)\ C. ![](./data/image/media/image21.png) 【答案】B 【解析】 【分析】被撕掉是一个四边形，剩下的部分看，有一个角是直角，有一个角是直角的四边形可能是长方形、正方形、直角梯形，根据选项给的答案，逐一代入分析即可求解。 【详解】A．根据四边形的含义：由四条线段首尾顺次连接而成的图形是四边形；直角三角形不是四边形，排除。 B．长方形是四边形，4个角都是直角，符合题意。 C．正方体不是平面图形，排除。 故答案为：B 【点睛】此题主要考查对平面图形的认识，明确常见四边形的特征，是解答此题的关键。 14\. 下列几个长度中，最长的是（ ）。 A. 3000厘米 B. 350分米 C. 40米 【答案】C 【解析】 【分析】100厘米＝1米，10分米＝1米，换成统一单位再比大小。 【详解】A．100厘米＝1米，3000厘米里面有30个100厘米是30米。 B．10分米＝1米，350分米里面有35个10分米![](./data/image/media/image22.wmf)35米。 C．40米 40＞35＞30 故答案为：C 【点睛】熟悉长度单位之间的换算进率是解答此题的关键。 15\. 亮亮用5根小棒先后摆出了两个图形甲和乙，如图。比一比，它们的周长关系是（ ）。 ![](./data/image/media/image23.png) A. 甲＞乙 B. 甲＝乙 C. 甲＜乙 【答案】A 【解析】 【分析】甲图形![](./data/image/media/image24.wmf)周长是5根小棒长度和，乙图形周长是4根小棒长度和，很明显甲图形的周长比乙图形的周长长。 【详解】根据分析可知，甲图形周长比乙图形周长要长。 故答案为：A。 【点睛】本题主要考查学生的观察力和对周长知识的掌握。 16\. 关于图中蛋糕和披萨的数量关系，（ ）描述的是错的。 ![](./data/image/media/image25.png) A. ![](./data/image/media/image26.png)是![](./data/image/media/image27.png)的2倍 B. ![](./data/image/media/image26.png)比![](./data/image/media/image27.png)多4个 C. ![](./data/image/media/image26.png)是![](./data/image/media/image27.png)的4倍 【答案】C 【解析】 【分析】图中蛋糕有8个，披萨有4块，据此数据判断各选项。 【详解】A．![](./data/image/media/image26.png)是![](./data/image/media/image27.png)的2倍，正确，8÷4＝2![](./data/image/media/image28.png)。 B．![](./data/image/media/image26.png)比![](./data/image/media/image27.png)多4个，正确，8－4＝4。 C．![](./data/image/media/image26.png)是![](./data/image/media/image27.png)的4倍，错误，8÷4＝2。 故答案为：C 【点睛】数清图中蛋糕和披萨的数量各是多少是解答此题的关键。 17\. 在计算15×12时，乐乐使用的方法是15×4×3，下面的点子图中，（ ）能表示这种思路。 A. ![](./data/image/media/image29.png) B. ![](./data/image/media/image30.png) C. ![](./data/image/media/image31.png) 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意计算15×12时，乐乐使用的方法是15×4×3，就是用每行15个点乘4行这样为1份，共3份，据此解答。 【详解】A．图中每行15个点，每份是4行所以每份是15×4，共3份，因此表示的是15×4×3； B．因为15＝5×3，所以15×4×3＝5×（3×4）×3＝5×12×3。图中每份是5×12，共三份所以是5×12×3； C．15×4×3＝15×12，图中表示的是10个15再加2个15，即10×15＋2×15。 故答案为：A 【点睛】本题考查用点子图表示口算，解答本题的关键是理解点子图的意思。 18\. 三（1）班有20人参加了书法兴趣小组。18人参加了"小主播"兴趣小组，两个小组都参加的有5人。三（1）班一共有（ ）人参加了兴趣小组。 A. 38 B. 33 C. 23 【答案】B 【解析】 【分析】参加书法兴趣小组的人数加参加"小主播"兴趣小组的人数减两个小组都参加的人数就是全班一共有多少人。 【详解】20＋18－5 ＝38－5 ＝33（人） 故答案为：B 【点睛】对于重叠问题，关键是判断重复计算的部分的数量，求总数的时候需要减去重叠部分。 **四、严谨认真。准确计算。** 19\. 竖式计算，带☆的要验算。 ☆507－118＝ 450×8＝ 【答案】389；3600 【解析】 【分析】整数减法计算时，相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。减法验算时，用减数加上差，看是不是等于被减数。 多位数乘一位数时，相同数位对齐，从个位乘起。用一位数依次去乘多位数的每一位数。与哪一位上的数相乘，就在那一位的下面写上相应的积。 【详解】☆507－118＝389 验算：389＋118＝507 450×8＝3600 20\. 下面的计算对吗。请在括号里画"√"或"×"，如果有错，在方框中重新计算。 ![](./data/image/media/image35.png)（ ）![](./data/image/media/image36.png) 【答案】×；见详解 【解析】 【分析】错在百位数相加时，没有加十位上进上来的1。 【详解】![](./data/image/media/image35.png)（×） 【点睛】整数加法计算法则：相同数位要对齐，从个位加起，哪一位上![](./data/image/media/image24.wmf)数相加满十，就向前一位进一，计算前一位时不要忘了后一位进上来的一。 21\. 正确、明白、简洁的算。 ![](./data/image/media/image38.png) 【答案】见详解 【解析】 【分析】两位、三位数乘一位数时从个位算起，用一位数依次乘两位或三位数中的每一位数（乘完个位乘十位、再乘百位），每次乘得结果满几十向前一位进几，据此即可解答此题。 【详解】用第2个因数7去乘第1个因数209个位上的9，得9×7＝63； 用第2个因数7去乘第1个因数百位上的数2（百位上的数2表示200），得200×7＝1400（竖式中1400的个、十位0不写）。 ![](./data/image/media/image39.png) 【点睛】解题的关键点是第1个因数百位上的数2表示的是200。 **五、动手操作，实践探索。** 22\. 涂一涂，填一填。 ![](./data/image/media/image41.png) （1）用两种颜色填涂色条卡，使两种色条的长度成倍数关系。 （2）（ ）色条的长度是（ ）色条的（ ）倍。 （3）你是怎么想的？（ ）。 【答案】（1）见详解（答案不唯一） （2）红色；绿色；5（答案不唯一） （3）先想几加几等于12，10＋2＝12，再想10是2的几倍，10÷2＝5。（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）一共有12格，要想让两种色条成倍数关系只需要想哪两个数字相加等于12，并且这两个数有倍数关系即可； （2）根据画出的图形用较多的色条除以较少的色条得出一种色条是另一种色条的几倍； （3）先想几加几等于12，再想色条多的是色条少的几倍。 【详解】（1）如下图：![](./data/image/media/image42.png)（答案不唯一） （2）10÷2＝5，所以红色是绿色的5倍。（答案不唯一） （3）先想几加几等于12，10＋2＝12，再想10是2的几倍，10÷2＝5。（答案不唯一） 【点睛】求一个数是另一个数的几倍用除法计算。 23\. 下图是乐乐一天早上的时间安排，计算经过时间并在钟面上画出他最晚起床的时间。 ![](./data/image/media/image43.png) 【答案】见详解 【解析】 【分析】分别读出各个钟面显示的时间，开始时间＝结束时间－经过时间，据此用晨读的时间减去15分钟，求出起床的时间。根据经过时间＝结束时间－开始时间，求出晨读到吃早饭的经过时间/以及吃早饭到上学的经过时间。 【详解】7时10分－15分钟＝6时55分 7时40分－7时10分＝30（分） 8时－7时40分＝20（分） ![](./data/image/media/image44.png) 【点睛】本题考查时间的推算，关键是熟记经过时间的计算公式：开始时间＝结束时间－经过时间，经过时间＝结束时间－开始时间。注意1小时＝60分。 24\. 估测。 主题，从你家到学校大约有多远？ 我的估测方法： 【答案】2千米；方法见详解过程 【解析】 【分析】估测路程，可以从数走的步数、坐公共汽车的站数和时间三个方面来推算；估测的方法不唯一，合理即可。 【详解】我的估测方法：从我家到学校的距离比较远，采用坐公共汽车的站数方法进行估测，如：坐公共汽车要坐4站，每站大约500米，则4站的距离一共是： 500＋500＋500＋500 ＝1000＋500＋500 ＝1500＋500 ＝2000（米） 2000米＝2千米 答：从我家到学校大约有2千米。（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查估测和单位换算的知识，结合生活实际解答即可。 **六、走进生活，解决问题。** 25\. 诚诚制作了一份对折的"新年贺卡"对折后的贺卡正好是一个周长为68厘米的正方形。这张贺卡打开后的周长是多少？ ![](./data/image/media/image45.png) 【答案】102厘米 【解析】 【分析】通过周长是68厘米的正方形，可求出对折后贺卡的边长，展开后的贺卡的周长由原来对折后贺卡的6个边长组成，求他们的积即可。 【详解】对折后贺卡的边长：68÷4＝17（厘米） 17×6＝102（厘米） 答：这张贺卡打开后的周长是102厘米。 【点睛】求出对折后贺卡的边长是解答此题的关键。 26\. 过新年有新方式。为了降低疫情防控的风险，诚诚一家今年打算"就地过年"。他们准备购买8份"新年礼包"寄给家乡的亲人。 问题：①8份礼包应付多少钱？ ②准备650元够吗？ ![](./data/image/media/image46.png) （1）解决问题（ ）选用估算的方法更合理、简便。 解答： （2）解决问题（ ）选用精算的方法更合理、准确。 解答： 【答案】（1）②；640元（2）①；632元 【解析】 【分析】（1）买东西准备多少钱够吗这类问题时，不需要精确计算，因为没有询问我们多多少钱或少多少钱。我们一般把商品的单价往大的估一些，估算出买这些商品需要花的总价，再和你准备的钱做比较。 （2）买东西应付多少钱这需要精算，因为你不想多给老板钱，老板也不想少收你的钱。用单价乘数量等于总价，可求出应付老板多少钱。 【详解】问题：①8份礼包应付多少钱？ ②准备650元够吗？ ![](./data/image/media/image46.png) （1）解决问题（②）选用估算的方法更合理、简便。 解答：79×8≈80×8＝640（元） 650＞640 答：够。 （2）解决问题（①）选用精算的方法更合理、准确。 解答：79×8＝632（元） 答：8份礼包应付632元。 【点睛】买东西准备多少钱够吗这类问题时，我们一般把商品的单价往大的估一些，估算出买这些商品需要花的总价，再和你准备的钱做比较。 27\. 郑州地铁三号线正式开通运营了。这条线路以"史记经脉，商都记忆"为主题，将"商都"郑州的传统文化元素融入其中，一站一景，是一条被称为穿越"时光隧道"的地铁线路。 ![](./data/image/media/image47.png) 如果从人民公园站上车到郑州文庙站，乘坐4站，大约需要12分钟；如果从人民公园站上车到东十里铺站下车，大约需要多长时间？ 【答案】21分钟 【解析】 【分析】用乘坐4站需要的时间除以4，求出平均每站需要的时间。从人民公园站上车到东十里铺站下车，共乘坐7站。用平均每站需要的时间乘7，即可求出需要的总时间。 【详解】12÷4×7 ＝3×7 ＝21（分钟） 答：大约需要21分钟。 【点睛】本题考查归一问题，先求单一量，再求总量。 28\. "迎新春"活动中，学校交响乐团为师生呈现了一场视听盛宴。该乐团由弦乐、管乐和打击乐三部分组成，共有45位小乐手。其中管乐手占乐团![](./data/image/media/image24.wmf)，打击乐手占乐团的。弦乐手占乐团的几分之几？三部分各有多少人？ 【答案】；管乐手18人；打击乐手9人；弦乐手18人 【解析】 【分析】将这个乐团看作单位1，用1减去管乐手占乐团的，再减去打击乐手占乐团的，即可弦乐手占乐团的几分之几。将这个乐团平均分成5份，其中一份占它的，是45÷5＝9人。据此解答即可。 【详解】1－－ ＝－ ＝ 45÷5＝9（人） 9×2＝18人 9×1＝9（人） 答：弦乐手占乐团的。管乐手有18人，打击乐手有9人，弦乐手有18人。 【点睛】此题考查分数的意义。把单位"1"平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。同分母分数相减时，分母不变，分子相减。 29\. 诚诚和妈妈手工制作了一些新年糖果共有26颗。小糖袋每袋装4颗，大糖袋每袋装6颗。怎么包装可以正好装完？ 列表法可以帮助我们不重复、不遗漏的分析问题： ------ ---------------------- ---------------------- ---------------- 方案 小糖袋数量（4颗/袋） 大糖袋数量（6颗/袋） 包装糖果总颗数 ------ ---------------------- ---------------------- ---------------- 诚诚的方案是： 【答案】包5袋小糖袋和1袋大糖袋或者包2袋小糖袋和3袋大糖袋 【解析】 【分析】两袋糖的颗数分别是4颗和6颗，可以只包装一种糖，也可以两种糖都包装。但要每次都装满。用列表的方法把不同的包装方案一一列举出来，再选择最优方案。 【详解】 ------ ---------------------- ---------------------- ---------------- 方案 小糖袋数量（4颗/袋） 大糖袋数量（6颗/袋） 包装糖果总颗数 ① 7 0 28 ② 6 1 30 ③ 5 1 26 ④ 4 2 28 ⑤ 3 3 30 ⑥ 2 3 26 ⑦ 1 4 28 ⑧ 0 5 30 ------ ---------------------- ---------------------- ---------------- 诚诚的方案是：包5袋小糖袋和1袋大糖袋或者包2袋小糖袋和3袋大糖袋，可以正好装完。 【点睛】根据已知条件和数量关系将所有可能的方案一一列举出来，然后再从各种方案中选择最优方案。
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**《铅笔有多长》同步练习** > 一、量较长物体的长度，可以用（ ）作单位。量较短物体的长度可以用（ ）作单位。 > > 二、量物体的长度时，要把尺子的（ ）刻度对准物体的一端，再看物体的另一端对着几。 > > 三、1米=（ ）厘米 > > 400厘米=（ ）米。 > > 四、在（ ）里填上合适的单位。 > > ①一本书厚1（ ） > > ②手掌的宽约8（ ） > > ③操场长约60（ ） > > ④课桌的高65（ ） > > ⑤一条跳绳长2（ ） > > ⑥哥哥的身高1（ ）28（ ） > > 五、30米+8米=（ ）米 > > 12厘米-7厘米=（ ）厘米 > > 27厘米+6厘米=（ ）厘米 \[来源:学科网\] > > 54米-4米=（ ）米 > > 六.在（ ）里填上适当的单位。 > > 数学书厚约5（ ）。 > > 课桌高约7（ ）。 > > 小红身高138（ ）。 > > 一栋楼高25（ ）。 > > 一张光盘厚1（ ）。 > > 七.读一读淘气的日记，把不合理的地方改正过来。 > > 3月18日 星期四 > > 早晨，我从2分米长的床上起来，拿起13 分米长的牙刷刷牙，然后洗脸吃饭。学校离我家很近，只有90毫米。在上学的路上，我看见一棵3分米高的树倒了，我拿出1厘米长的绳子把小树绑好。到了学校，我坐在5米高的凳子上，开始读7厘米厚的语文书。 \[来源:Z\_xx\_k.Com\] \[来源:学科网\] **参考答案：** > 一、量较长物体的长度，可以用（米 ）作单位。量较短物体的长度可以用（厘米 ）作单位。 > > 二、量物体的长度时，要把尺子的（0 ）刻度对准物体的一端，再看物体的另一端对着几。 > > 三、1米=（100 ）厘米 > > 400厘米=（4 ）米。 > > 四、在（ ）里填上合适的单位。 > > ①一本书厚1（厘米 ） > > ②手掌的宽约8（厘米 ） > > ③操场长约60（米 ） > > ④课桌的高65（厘米 ）\[来源:Z+xx+k.Com\] > > ⑤一条跳绳长2（米 ） > > ⑥哥哥的身高1（米 ）28（厘米 ） > > 五、30米+8米=（38 ）米 > > 12厘米-7厘米=（19 ）厘米 > > 27厘米+6厘米=（33 ）厘米 > > 54米-4米=（50 ）米 > > 六.在（ ）里填上适当的单位。 > > 数学书厚约5（毫米 ）。 > > 课桌高约7（分米）。 > > 小红身高138（厘米）。 > > 一栋楼高25（米）。 > > 一张光盘厚1（毫米）。 > > 七.读一读淘气的日记，把不合理的地方改正过来。 > > 3月18日 星期四 > > 早晨，我从2 米长的床上起来，拿起13厘米长的牙刷刷牙，然后洗脸吃饭。学校离我家很近，只有90米。在上学的路上，我看见一棵3米高的树倒了，我拿出1米长的绳子把小树绑好。到了学校，我坐在5分米高的凳子上，开始读7毫米厚的语文书。 > > \[来源:Z+xx+k.Com\]
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**2019年湖南省永州市中考数学试卷** **一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上.每小题4分，共40分）** 1．（4分）（2019•永州）的绝对值为　　 A． B． C． D．2 2．（4分）（2019•永州）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是　　 A．![](./data/image/media/image9.png) B．![](./data/image/media/image10.png) C．![](./data/image/media/image11.png) D．![](./data/image/media/image12.png) 3．（4分）（2019•永州）2019年"五一"假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合收入8.94亿元，则"旅游综合收入"用科学记数法表示正确的是　　 A． B． C． D． 4．（4分）（2019•永州）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是　　 ![](./data/image/media/image21.png) A．![](./data/image/media/image22.png) B．![](./data/image/media/image23.png) C．![](./data/image/media/image24.png) D．![](./data/image/media/image25.png) 5．（4分）（2019•永州）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 6．（4分）（2019•永州）现有一组数据：1，4，3，2，4，．若该组数据的中位数是3，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 7．（4分）（2019•永州）下列说法正确的是　　 A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等 B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形 C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于 D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度 8．（4分）（2019•永州）如图，四边形的对角线相交于点，且点是的中点，若，，，则四边形的面积为　　 ![](./data/image/media/image49.png) A．40 B．24 C．20 D．15 9．（4分）（2019•永州）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于，各基地之间的距离之比（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为　　 ![](./data/image/media/image54.png) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．（4分）（2019•永州）若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 **二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分）** 11．（4分）（2019•永州）分解因式：[　 　]{.underline}． 12．（4分）（2019•永州）方程的解为[　　]{.underline}． 13．（4分）（2019•永州）使代数式有意义的取值范围是[　 　]{.underline}． 14．（4分）（2019•永州）下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表： ------ -------- -------- -------- -------- -------- 同学 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 90 88 92 94 91 乙 90 91 93 94 92 ------ -------- -------- -------- -------- -------- 根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是[　　]{.underline}． 15．（4分）（2019•永州）已知，是的平分线，点为上一点，过作直线，垂足为点，且直线交于点，如图所示．若，则[　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image77.png) 16．（4分）（2019•永州）如图，已知点是的重心，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，过点作，交于点．设三角形，四边形的面积分别为，，则[　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image95.png) 17．（4分）（2019•永州）如图，直线与双曲线交于，两点，过作直线轴，垂足为，则以为直径的圆与直线的交点坐标是[　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image105.png) 18．（4分）（2019•永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是"杨辉三角"数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是"1"，其余各数都等于该数"两肩"上的数之和；图二是二项和的乘方的展开式（按的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将的展开式按的升幂排列得：． 依上述规律，解决下列问题： （1）若，则[　　]{.underline}； （2）若，则[　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image115.png) **三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分）** 19．（8分）（2019•永州）计算：． 20．（8分）（2019•永州）先化简，再求值：，其中． 21．（8分）（2019•永州）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶测得处的俯角为，处的俯角为，乙在山下测得，之间的距离为400米．已知，，在同一水平面的同一直线上，求山高．（可能用到的数据：， ![](./data/image/media/image132.png) 22．（10分）（2019•永州）在一段长为1000的笔直道路上，甲、乙两名运动员均从点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距点的距离（米与其出发的时间（分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达点后立即按原速返回． （1）当为何值时，两人第一次相遇？ （2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程． ![](./data/image/media/image141.png) 23．（10分）（2019•永州）如图，已知是的外接圆，且为的直径，在劣弧上取一点，使，将沿对折，得到，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，劣弧的弧长为，求的半径． ![](./data/image/media/image159.png) 24．（10分）（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标． ![](./data/image/media/image170.png) 25．（12分）（2019•永州）某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图． （1）请补全该条形统计图； （2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率． ①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率； ②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？ ![](./data/image/media/image171.png) 26．（12分）（2019•永州）（1）如图1，在平行四边形中，，，，将平行四边形分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹） （2）若将一边长为1的正方形按如图所示剪开，恰好能拼成如图所示的矩形，则的值是多少？ （3）四边形是一个长为7，宽为5的矩形（面积为，若把它按如图所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由． ![](./data/image/media/image185.png) **2019年湖南省永州市中考数学试卷** **参考答案与试题解析** **一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上.每小题4分，共40分）** 1．（4分）（2019•永州）的绝对值为　　 A． B． C． D．2 【分析】直接利用绝对值的性质化简得出答案． 【解答】解：的绝对值为：2． 故选：． 2．（4分）（2019•永州）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是　　 A．![](./data/image/media/image9.png) B．![](./data/image/media/image10.png) C．![](./data/image/media/image11.png) D．![](./data/image/media/image12.png) 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：、不是轴对称图形，故本选项错误； 、是轴对称图形，故本选项正确； 、不是轴对称图形，故本选项错误； 、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：． 3．（4分）（2019•永州）2019年"五一"假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合收入8.94亿元，则"旅游综合收入"用科学记数法表示正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：将8.94亿用科学记数法表示为， 故选：． 4．（4分）（2019•永州）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是　　 ![](./data/image/media/image21.png) A．![](./data/image/media/image22.png) B．![](./data/image/media/image23.png) C．![](./data/image/media/image24.png) D．![](./data/image/media/image25.png) 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，注意看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示． 【解答】解：观察图形可知，这块西瓜的三视图是![](./data/image/media/image205.png)． 故选：． 5．（4分）（2019•永州）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：、原式不能合并，不符合题意； 、原式，不符合题意； 、原式，符合题意； 、原式不能合并，不符合题意， 故选：． 6．（4分）（2019•永州）现有一组数据：1，4，3，2，4，．若该组数据的中位数是3，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据中位数的定义，数据：1，4，3，2，4，共有6个数，最中间的数只能为和4，然后根据它们的中位数为3，即可求出的值． 【解答】解：数据1，4，3，2，4，中共有6个数， 该组数据的中位数是3， 解得． 故选：． 7．（4分）（2019•永州）下列说法正确的是　　 A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等 B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形 C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于 D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度 【分析】根据去全等三角形的判定方法得出不正确；由矩形的判定方法得出不正确；由补角的定义得出不正确；由点到直线的距离的定义得出正确；即可得出结论． 【解答】解：．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确； ．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确； ．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于；不正确； ．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确； 故选：． 8．（4分）（2019•永州）如图，四边形的对角线相交于点，且点是的中点，若，，，则四边形的面积为　　 ![](./data/image/media/image49.png) A．40 B．24 C．20 D．15 【分析】根据等腰三角形的性质得到，，得到，推出四边形是菱形，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【解答】解：，点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 四边形的面积， 故选：． 9．（4分）（2019•永州）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于，各基地之间的距离之比（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为　　 ![](./data/image/media/image54.png) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】设甲基地的产量为吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为吨、吨、吨，设千米，则、、、分别为千米、千米、千米、千米，设运输的运费每吨为元千米， ①设在甲处建总仓库，则运费最少为：； ②设在乙处建总仓库，则运费最少为：； ③设在丙处建总仓库，则运费最少为：； ④设在丁处建总仓库，则运费最少为：； 进行比较运费最少的即可． 【解答】解：甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于， 设甲基地的产量为吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为吨、吨、吨， 各基地之间的距离之比， 设千米，则、、、分别为千米、千米、千米、千米， 设运输的运费每吨为元千米， ①设在甲处建总仓库， 则运费最少为：； ②设在乙处建总仓库， ，， ， 则运费最少为：； ③设在丙处建总仓库， 则运费最少为：； ④设在丁处建总仓库， 则运费最少为：； 由以上可得建在甲处最合适， 故选：． 10．（4分）（2019•永州）若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出，然后分别取，0，，得出整数解的个数，即可求解． 【解答】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有解， ， 解得， 如果，则不等式组的解集为，整数解为，有1个； 如果，则不等式组的解集为，整数解为，2，有2个； 如果，则不等式组的解集为，整数解为，1，2，3，有4个； 故选：． **二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分）** 11．（4分）（2019•永州）分解因式：[　　]{.underline}． 【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解． 【解答】解：． 故答案为：． 12．（4分）（2019•永州）方程的解为[　　]{.underline}． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到方程的解． 【解答】解：去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故答案为： 13．（4分）（2019•永州）使代数式有意义的取值范围是[　　]{.underline}． 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可． 【解答】解：代数式有意义， ， 解得：． 故答案为：． 14．（4分）（2019•永州）下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表： ------ -------- -------- -------- -------- -------- 同学 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 90 88 92 94 91 乙 90 91 93 94 92 ------ -------- -------- -------- -------- -------- 根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是[　乙　]{.underline}． 【分析】根据平均数的计算公式先求出甲和乙同学的平均数，再代入方差公式求出甲和乙同学的方差，然后根据方差的意义即可得出答案． 【解答】解：甲同学的平均数是：（分， 甲同学的方差是：， 乙同学的平均数是：（分， 乙同学的方差是：， ，方差小的为乙， 成绩较好且比较稳定的同学是乙． 故答案为：乙． 15．（4分）（2019•永州）已知，是的平分线，点为上一点，过作直线，垂足为点，且直线交于点，如图所示．若，则[　4　]{.underline}． ![](./data/image/media/image365.png) 【分析】过点作，垂足为，则，在中，利用三角形内角和定理可求出，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半可求出的长，此题得解． 【解答】解：过点作，垂足为，如图所示． 是的平分线， ． 在中，，， ，即． 在中，，， ． 故答案为：4． ![](./data/image/media/image390.png) 16．（4分）（2019•永州）如图，已知点是的重心，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，过点作，交于点．设三角形，四边形的面积分别为，，则[　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image409.png) 【分析】由三角形的重心定理得出，得出，由平行线得出，得出，即可得出结果． 【解答】解：点是的重心， ， ， ， ， ，， ； 故答案为：． 17．（4分）（2019•永州）如图，直线与双曲线交于，两点，过作直线轴，垂足为，则以为直径的圆与直线的交点坐标是[　和　]{.underline}． ![](./data/image/media/image438.png) 【分析】求得交点、的坐标，即可求得直径的长度和点的坐标，从而求得的长度，利用勾股定理求得，结合的坐标即可求得以为直径的圆与直线的交点坐标． 【解答】解：由求得或， ，， ， 设的中点为，以为直径的与直线的交点为、， 过点作轴于，交于，连接， 是的中点， ，， ， 轴，垂足为， 轴， ， ， 在中，， ，． 以为直径的圆与直线的交点坐标是和， 故答案为和． ![](./data/image/media/image488.png) 18．（4分）（2019•永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是"杨辉三角"数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是"1"，其余各数都等于该数"两肩"上的数之和；图二是二项和的乘方的展开式（按的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将的展开式按的升幂排列得：． 依上述规律，解决下列问题： （1）若，则[　105　]{.underline}； （2）若，则[　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image498.png) 【分析】（1）根据图形中的规律即可求出的展开式中第三项的系数为前14个数的和； （2）根据的特殊值代入要解答，即把代入时，得到结论． 【解答】解：（1）由图2知：的第三项系数为0， 的第三项的系数为：1， 的第三项的系数为：， 的第三项的系数为：， 发现的第三项系数为：； 的第三项系数为； 的第三项系数为； 不难发现的第三项系数为， ，则． 故答案为：105； （2）． 当时，， 故答案为：． **三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分）** 19．（8分）（2019•永州）计算：． 【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【解答】解： 20．（8分）（2019•永州）先化简，再求值：，其中． 【分析】根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解： ， 当时，原式． 21．（8分）（2019•永州）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶测得处的俯角为，处的俯角为，乙在山下测得，之间的距离为400米．已知，，在同一水平面的同一直线上，求山高．（可能用到的数据：， ![](./data/image/media/image132.png) 【分析】设，然后根据等腰直角三角形以及特殊角锐角三角函数的值即可求出答案． 【解答】解：设， 由题意可知：，， ， ， 在中， ， ， 解得：， 山高为546.4米 22．（10分）（2019•永州）在一段长为1000的笔直道路上，甲、乙两名运动员均从点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距点的距离（米与其出发的时间（分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达点后立即按原速返回． （1）当为何值时，两人第一次相遇？ （2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程． ![](./data/image/media/image141.png) 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以计算出当为何值时，两人第一次相遇； （2）根据函数图象中的数据可以计算出当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程． 【解答】解：（1）甲的速度为：米分钟， 令， 解得，， 答：当为0.75分钟时，两人第一次相遇； （2）当时， 乙行驶的路程为：， 甲乙第二次相遇的时间为：（分钟）， 则当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程为：（米， 答：当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是1109.375米． 23．（10分）（2019•永州）如图，已知是的外接圆，且为的直径，在劣弧上取一点，使，将沿对折，得到，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，劣弧的弧长为，求的半径． ![](./data/image/media/image159.png) 【分析】（1）在中，根据三角形内角和为，则，即可求解； （2）证明四边形为矩形，，而，则，即，即可求解． 【解答】解：（1），， 设：，， ![](./data/image/media/image574.png) 则中，根据三角形内角和为， ， ， 是的切线； （2）过点作，延长交于点， 则，四边形为矩形， 设：，则， 则，而， 则，， 为等边三角形，即， ， 解得：， 故圆的半径为3． 24．（10分）（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标． ![](./data/image/media/image170.png) 【分析】（1）因为对称轴是直线，所以得到点的对称点是，因此利用交点式，求出解析式． （2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【解答】解：（1）抛物线对称轴是直线且经过点 由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点 设抛物线的解析式为 即： 把代入得： 抛物线的解析式为：． （2）设直线的解析式为， ，， ， 直线为， 作轴于，交直线于， 设，则， ， ． 当时，，， 的面积的最大值为，此时点的坐标为， 25．（12分）（2019•永州）某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图． （1）请补全该条形统计图； （2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率． ①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率； ②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？ ![](./data/image/media/image171.png) 【分析】（1）共抽查100台机器，更换8个零件的有20台，更换9个零件的有50台，更换11个零件的有20台，可以计算出更换10个零件的有台，进而补全统计图； （2）①用样本的频数估计总体的概率，即求出抽查的100台机器中更换9个零件的频率即可； ②利用加权平均数计算各种情况下的花费，比较得出答案． 【解答】解：（1），补全的条形统计图如图所示： （2）①这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率为：； ②购买机器的同时购买8个该易损零件元， 购买机器的同时购买9个该易损零件元， 购买机器的同时购买10个该易损零件元， 购买机器的同时购买11个该易损零件元， 因此，购买机器的同时应购买9个该易损零件，可使公司的花费最少． ![](./data/image/media/image646.png) 26．（12分）（2019•永州）（1）如图1，在平行四边形中，，，，将平行四边形分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹） （2）若将一边长为1的正方形按如图所示剪开，恰好能拼成如图所示的矩形，则的值是多少？ （3）四边形是一个长为7，宽为5的矩形（面积为，若把它按如图所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由． ![](./data/image/media/image185.png) 【分析】（1）过作于，将进行平移即可求解； （2）根据相似三角形的性质即可求解； （3）根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）如图所示： ![](./data/image/media/image651.png) （2）依题意有 ， 解得，（负值舍去）， 经检验，是原方程的解． 故的值是； （3）， 直角三角形的斜边与直角梯形的斜腰不在一条直线上， 故重新拼成的图形的面积会增加． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/8/28 16:55:10；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）** **数　学（理科）** **参考答案** **一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分55分。** 1．D　　2．A　　3．B　　4．B　　5．C　　6．C 7．A　　8．C　　9．D　　10．B　 11．D **二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。** 12．7 13． 14． 15．①③④⑤ **三、解答题** 16．（本小题满分12分） 本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力.本小题满分12分。 解：因为为的最小正周期，故 因*a*·*b*=*m*，又*a*·*b*＝， 故 由于，所以 = = 17．（本小题满分14分） 本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力.本小题满分14分。 **解法1（向量法）：** 以*D*为原点，以*DA*,*DC*,所在直线分别为*x*轴，*y*轴，*z*轴建立空间直角坐标系如图，则有 *A*（2，0，0），*B*（2，2，0），*C*（0，2，0）， ![](./data/image/media/image15.jpeg) （Ⅰ）证明： 于是与*AC*共面，与*BD*共面. （Ⅱ）证明： 内的两条相交直线， 又平面 （Ⅲ）解： 设 于是 设 于是 **解法2（综合法）：** ![](./data/image/media/image38.jpeg) （Ⅰ）证明： ∥平面*ABCD*. 于是∥*CD*，∥DA. 设*E*，*F*分别为*DA*，*DC*的中点，连结*EF*， 有∥∥ ∴∥ 于是∥ 由*DE*=*DF*=1,得*EF*∥*AC*， 故∥ 与*AC*共面. 过点 于是 所以点*O*在*BD*上，故 （Ⅱ）证明： 又*BD*⊥*AC*（正方形的对角线互相垂直）， 内的两条相交直线， 又平面 （Ⅲ）解：∵直线*DB*是直线 根据三垂线定理，有AC⊥ 过点*A*在平面 则 于是 所以，∠*AMC*是二面角 根据勾股定理，有 二面角 18．（本小题满分14分） 本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力，本小题满分14分. （Ⅰ）解：根据求导法则得 故 于是 列表如下： ----------- --------- ---------------- ---------- *x* （0,2） 2 （2,+∞） *F′（x）* \- 0 \+ *F（x）* ↓ 极小值*F*（2） ↑ ----------- --------- ---------------- ---------- 故知*F（x）*在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，所以，在*x*＝2处取得极小值*F*（2）＝2-2In2+2*a*. （Ⅱ）证明：由 于是由上表知，对一切 从而当 所以当 故当 19．（本小题满分12分） 本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.本小题满分12分. 解： ![](./data/image/media/image81.jpeg) （Ⅰ）由题意知，A（） 因为 由于 由点*B*（0，*t*）*C*（*c*,0）的坐标知，直线*BC*的方程为 又因点*A*在直线*BC*上，故有 将（1）代入上式，得 解得 （Ⅱ）因为 所以直线*CD*的斜率为定值. 20．（本小题满分13分） 本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分13分. 解： （1）的分布列为 ![](./data/image/media/image92.jpeg) （Ⅱ）数学期望为*E*＝ （Ⅲ）所求的概率 21．（本小题满分14分） 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满分14分. 解： （Ⅰ）我们有 （Ⅱ） ＝ ① 在①式两端同乘1+*r*，得 ② ②-①，得 ＝ 即 如果记 则 其中 。
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**2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）** **一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）** 1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 2．（5分）复数![](./data/image/media/image1.png)=（　　） A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i 3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（　　） A．y=2x^3^ B．y=\|x\|+1 C．y=﹣x^2^+4 D．y=2^﹣\|x\|^ 4．（5分）椭圆![](./data/image/media/image2.png)=1的离心率为（　　） A．![](./data/image/media/image3.png) B．![](./data/image/media/image4.png) C．![](./data/image/media/image5.png) D．![](./data/image/media/image6.png) 5．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（　　） ![](./data/image/media/image7.png) A．120 B．720 C．1440 D．5040 6．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（　　） A．![](./data/image/media/image8.png) B．![](./data/image/media/image9.png) C．![](./data/image/media/image10.png) D．![](./data/image/media/image11.png) 7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（　　） A．﹣![](./data/image/media/image12.png) B．﹣![](./data/image/media/image13.png) C．![](./data/image/media/image13.png) D．![](./data/image/media/image12.png) 8．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（　　） ![](./data/image/media/image14.png) A．![](./data/image/media/image15.png) B．![](./data/image/media/image16.png) C．![](./data/image/media/image17.png) D．![](./data/image/media/image18.png) 9．（5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，\|AB\|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．48 10．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e^x^+4x﹣3的零点所在的区间为（　　） A．（![](./data/image/media/image19.png)，![](./data/image/media/image20.png)） B．（﹣![](./data/image/media/image19.png)，0） C．（0，![](./data/image/media/image19.png)） D．（![](./data/image/media/image20.png)，![](./data/image/media/image21.png)） 11．（5分）设函数，则f（x）=sin（2x+![](./data/image/media/image22.png)）+cos（2x+![](./data/image/media/image22.png)），则（　　） A．y=f（x）在（0，![](./data/image/media/image23.png)）单调递增，其图象关于直线x=![](./data/image/media/image22.png)对称 B．y=f（x）在（0，![](./data/image/media/image23.png)）单调递增，其图象关于直线x=![](./data/image/media/image23.png)对称 C．y=f（x）在（0，![](./data/image/media/image23.png)）单调递减，其图象关于直线x=![](./data/image/media/image22.png)对称 D．y=f（x）在（0，![](./data/image/media/image23.png)）单调递减，其图象关于直线x=![](./data/image/media/image24.png)对称 12．（5分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈\[﹣1，1\]时 f（x）=x^2^，那么函数y=f（x）的图象与函数y=\|lgx\|的图象的交点共有（　　） A．10个 B．9个 C．8个 D．1个 　 **二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）** 13．（5分）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量![](./data/image/media/image25.png)+![](./data/image/media/image26.png)与向量k![](./data/image/media/image25.png)﹣![](./data/image/media/image26.png)垂直，则k=[　 　]{.underline}． 14．（5分）若变量x，y满足约束条件![](./data/image/media/image27.png)，则z=x+2y的最小值为[　 　]{.underline}． 15．（5分）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为[　 　]{.underline}． 16．（5分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的![](./data/image/media/image28.png)，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为[　 　]{.underline}． 　 **三、解答题（共8小题，满分70分）** 17．（12分）已知等比数列{a~n~}中，a~1~=![](./data/image/media/image29.png)，公比q=![](./data/image/media/image29.png)． （Ⅰ）S~n~为{a~n~}的前n项和，证明：S~n~=![](./data/image/media/image30.png) （Ⅱ）设b~n~=log~3~a~1~+log~3~a~2~+...+log~3~a~n~，求数列{b~n~}的通项公式． 18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD． （Ⅰ）证明：PA⊥BD （Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高． ![](./data/image/media/image31.png) 19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表 ------------ ------------ ------------ ------------- -------------- -------------- 指标值分组 \[90，94） \[94，98） \[98，102） \[102，106） \[106，110\] 频数 8 20 42 22 8 ------------ ------------ ------------ ------------- -------------- -------------- B配方的频数分布表 ------------ ------------ ------------ ------------- -------------- -------------- 指标值分组 \[90，94） \[94，98） \[98，102） \[102，106） \[106，110\] 频数 4 12 42 32 10 ------------ ------------ ------------ ------------- -------------- -------------- （Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； （Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=![](./data/image/media/image32.png) 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率） 20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x^2^﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上． （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值． 21．（12分）已知函数f（x）=![](./data/image/media/image33.png)+![](./data/image/media/image34.png)，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞![](./data/image/media/image35.png)． 22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x^2^﹣14x+mn=0的两个根． （Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆； （Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径． ![](./data/image/media/image36.png) 23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为![](./data/image/media/image37.png)（α为参数）M是C~1~上的动点，P点满足![](./data/image/media/image38.png)=2![](./data/image/media/image39.png)，P点的轨迹为曲线C~2~ （Ⅰ）求C~2~的方程； （Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=![](./data/image/media/image40.png)与C~1~的异于极点的交点为A，与C~2~的异于极点的交点为B，求\|AB\|． 24．设函数f（x）=\|x﹣a\|+3x，其中a＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集 （Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x\|x≤﹣1}，求a的值． 　 **2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）** 1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（　　） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用集合的交集的定义求出集合P；利用集合的子集的个数公式求出P的子集个数． 【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}， ∴P=M∩N={1，3} ∴P的子集共有2^2^=4 故选：B． 【点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n个元素，则其子集的个数是2^n^． 　 2．（5分）复数![](./data/image/media/image41.png)=（　　） A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i^2^用﹣1 代替即可． 【解答】解：![](./data/image/media/image42.png)=﹣2+i 故选：C． 【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数． 　 3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（　　） A．y=2x^3^ B．y=\|x\|+1 C．y=﹣x^2^+4 D．y=2^﹣\|x\|^ 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用． 【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数． 【解答】解：对于A．y=2x^3^，由f（﹣x）=﹣2x^3^=﹣f（x），为奇函数，故排除A； 对于B．y=\|x\|+1，由f（﹣x）=\|﹣x\|+1=f（x），为偶函数，当x＞0时，y=x+1，是增函数，故B正确； 对于C．y=﹣x^2^+4，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C； 对于D．y=2^﹣\|x\|^，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，当x＞0时，y=2^﹣x^，为减函数，故排除D． 故选：B． 【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题． 　 4．（5分）椭圆![](./data/image/media/image43.png)=1的离心率为（　　） A．![](./data/image/media/image44.png) B．![](./data/image/media/image45.png) C．![](./data/image/media/image46.png) D．![](./data/image/media/image47.png) 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】根据椭圆的方程，可得a、b的值，结合椭圆的性质，可得c的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案． 【解答】解：根据椭圆的方程![](./data/image/media/image48.png)=1，可得a=4，b=2![](./data/image/media/image49.png)， 则c=![](./data/image/media/image50.png)=2![](./data/image/media/image49.png)； 则椭圆的离心率为e=![](./data/image/media/image51.png)=![](./data/image/media/image52.png)， 故选：D． 【点评】本题考查椭圆的基本性质：a^2^=b^2^+c^2^，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分． 　 5．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（　　） ![](./data/image/media/image53.png) A．120 B．720 C．1440 D．5040 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】5K：算法和程序框图． 【分析】执行程序框图，写出每次循环p，k的值，当k＜N不成立时输出p的值即可． 【解答】解：执行程序框图，有 N=6，k=1，p=1 P=1，k＜N成立，有k=2 P=2，k＜N成立，有k=3 P=6，k＜N成立，有k=4 P=24，k＜N成立，有k=5 P=120，k＜N成立，有k=6 P=720，k＜N不成立，输出p的值为720． 故选：B． 【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题． 　 6．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（　　） A．![](./data/image/media/image54.png) B．![](./data/image/media/image55.png) C．![](./data/image/media/image56.png) D．![](./data/image/media/image57.png) 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果． 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件数是3×3=9种结果， 满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组， 由于共有三个小组，则有3种结果， 根据古典概型概率公式得到P=![](./data/image/media/image58.png)， 故选：A． 【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目． 　 7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（　　） A．﹣![](./data/image/media/image59.png) B．﹣![](./data/image/media/image60.png) C．![](./data/image/media/image60.png) D．![](./data/image/media/image59.png) 【考点】GS：二倍角的三角函数；I5：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值． 【解答】解：根据题意可知：tanθ=2， 所以cos^2^θ=![](./data/image/media/image61.png)=![](./data/image/media/image62.png)=![](./data/image/media/image63.png)， 则cos2θ=2cos^2^θ﹣1=2×![](./data/image/media/image64.png)﹣1=﹣![](./data/image/media/image65.png)． 故选：B． 【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题． 　 8．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（　　） ![](./data/image/media/image66.png) A．![](./data/image/media/image67.png) B．![](./data/image/media/image68.png) C．![](./data/image/media/image69.png) D．![](./data/image/media/image70.png) 【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有 【专题】13：作图题． 【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图． 【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体， 是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成， ∴侧视图是一个中间有分界线的三角形， 故选：D． 【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题． 　 9．（5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，\|AB\|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．48 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】44：数形结合法． 【分析】首先设抛物线的解析式y^2^=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径\|AB\|=2p，求出p，△ABP的面积是\|AB\|与DP乘积一半． 【解答】解：设抛物线的解析式为y^2^=2px（p＞0）， 则焦点为F（![](./data/image/media/image71.png)，0），对称轴为x轴，准线为x=﹣![](./data/image/media/image72.png) ∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点， 又∵AB⊥x轴 ∴\|AB\|=2p=12 ∴p=6 又∵点P在准线上 ∴DP=（![](./data/image/media/image72.png)+\|![](./data/image/media/image73.png)\|）=p=6 ∴S~△ABP~=![](./data/image/media/image74.png)（DP•AB）=![](./data/image/media/image74.png)×6×12=36 故选：C． ![](./data/image/media/image75.png) 【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法． 　 10．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e^x^+4x﹣3的零点所在的区间为（　　） A．（![](./data/image/media/image76.png)，![](./data/image/media/image77.png)） B．（﹣![](./data/image/media/image76.png)，0） C．（0，![](./data/image/media/image76.png)） D．（![](./data/image/media/image77.png)，![](./data/image/media/image78.png)） 【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有 【专题】52：导数的概念及应用． 【分析】根据导函数判断函数f（x）=e^x^+4x﹣3单调递增，运用零点判定定理，判定区间． 【解答】解：∵函数f（x）=e^x^+4x﹣3 ∴f′（x）=e^x^+4 当x＞0时，f′（x）=e^x^+4＞0 ∴函数f（x）=e^x^+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为f（0）=e^0^﹣3=﹣2＜0 f（![](./data/image/media/image79.png)）=![](./data/image/media/image80.png)﹣1＞0 f（![](./data/image/media/image81.png)）=![](./data/image/media/image82.png)﹣2=![](./data/image/media/image82.png)﹣![](./data/image/media/image83.png)＜0 ∵f（![](./data/image/media/image84.png)）•f（![](./data/image/media/image85.png)）＜0， ∴函数f（x）=e^x^+4x﹣3的零点所在的区间为（![](./data/image/media/image85.png)，![](./data/image/media/image84.png)） 故选：A． 【点评】本题考察了函数零点的判断方法，借助导数，函数值，属于中档题． 　 11．（5分）设函数，则f（x）=sin（2x+![](./data/image/media/image86.png)）+cos（2x+![](./data/image/media/image86.png)），则（　　） A．y=f（x）在（0，![](./data/image/media/image87.png)）单调递增，其图象关于直线x=![](./data/image/media/image86.png)对称 B．y=f（x）在（0，![](./data/image/media/image87.png)）单调递增，其图象关于直线x=![](./data/image/media/image88.png)对称 C．y=f（x）在（0，![](./data/image/media/image88.png)）单调递减，其图象关于直线x=![](./data/image/media/image89.png)对称 D．y=f（x）在（0，![](./data/image/media/image88.png)）单调递减，其图象关于直线x=![](./data/image/media/image88.png)对称 【考点】H5：正弦函数的单调性；H6：正弦函数的奇偶性和对称性．菁优网版权所有 【专题】57：三角函数的图像与性质． 【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+![](./data/image/media/image89.png)）+cos（2x+![](./data/image/media/image89.png)），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，![](./data/image/media/image88.png)）单调性，即可得到答案． 【解答】解：因为f（x）=sin（2x+![](./data/image/media/image89.png)）+cos（2x+![](./data/image/media/image89.png)）=![](./data/image/media/image90.png)sin（2x+![](./data/image/media/image91.png)）=![](./data/image/media/image92.png)cos2x．由于y=cos2x的对称轴为x=![](./data/image/media/image93.png)kπ（k∈Z），所以y=![](./data/image/media/image92.png)cos2x的对称轴方程是：x=![](./data/image/media/image94.png)（k∈Z），所以A，C错误；y=![](./data/image/media/image92.png)cos2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），即![](./data/image/media/image95.png)（k∈Z），函数y=f（x）在（0，![](./data/image/media/image91.png)）单调递减，所以B错误，D正确． 故选：D． 【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型． 　 12．（5分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈\[﹣1，1\]时 f（x）=x^2^，那么函数y=f（x）的图象与函数y=\|lgx\|的图象的交点共有（　　） A．10个 B．9个 C．8个 D．1个 【考点】3Q：函数的周期性；4N：对数函数的图象与性质．菁优网版权所有 【专题】16：压轴题；31：数形结合． 【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通过计算函数值估算即可． 【解答】解：作出两个函数的图象如上 ∵函数y=f（x）的周期为2，在\[﹣1，0\]上为减函数，在\[0，1\]上为增函数 ∴函数y=f（x）在区间\[0，10\]上有5次周期性变化， 在\[0，1\]、\[2，3\]、\[4，5\]、\[6，7\]、\[8，9\]上为增函数， 在\[1，2\]、\[3，4\]、\[5，6\]、\[7，8\]、\[9，10\]上为减函数， 且函数在每个单调区间的取值都为\[0，1\]， 再看函数y=\|lgx\|，在区间（0，1\]上为减函数，在区间\[1，+∞）上为增函数， 且当x=1时y=0； x=10时y=1， 再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，![](./data/image/media/image96.png) 故选：A． 【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题． 　 **二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）** 13．（5分）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量![](./data/image/media/image97.png)+![](./data/image/media/image98.png)与向量k![](./data/image/media/image97.png)﹣![](./data/image/media/image98.png)垂直，则k=[　1　]{.underline}． 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出k值． 【解答】解：∵![](./data/image/media/image99.png) ∴![](./data/image/media/image100.png) ∵![](./data/image/media/image101.png)垂直 ∴![](./data/image/media/image102.png) 即![](./data/image/media/image103.png) ∴k=1 故答案为：1 【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方． 　 14．（5分）若变量x，y满足约束条件![](./data/image/media/image104.png)，则z=x+2y的最小值为[　﹣6　]{.underline}． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题． 【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z=x+2y变化为y=﹣![](./data/image/media/image105.png)x+![](./data/image/media/image106.png)，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值． 【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域， 得到的图形是一个平行四边形， 目标函数z=x+2y， 变化为y=﹣![](./data/image/media/image105.png)x+![](./data/image/media/image106.png)， 当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大， 当直线过A点时，z取到最小值， 由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5） ∴z=4+2（﹣5）=﹣6 故答案为：﹣6． ![](./data/image/media/image107.png) 【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值． 　 15．（5分）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为[　]{.underline}![](./data/image/media/image108.png)[　]{.underline}． 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】58：解三角形． 【分析】先利用余弦定理和已知条件求得BC，进而利用三角形面积公式求得答案． 【解答】解：由余弦定理可知cosB=![](./data/image/media/image109.png)=﹣![](./data/image/media/image110.png)， 求得BC=﹣8或3（舍负） ∴△ABC的面积为![](./data/image/media/image110.png)•AB•BC•sinB=![](./data/image/media/image110.png)×5×3×![](./data/image/media/image111.png)=![](./data/image/media/image108.png) 故答案为：![](./data/image/media/image108.png) 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在求三角形面积过程中，利用两边和夹角来求解是常用的方法． 　 16．（5分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的![](./data/image/media/image112.png)，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为[　]{.underline}![](./data/image/media/image113.png)[　]{.underline}． 【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值． 【解答】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π，圆锥的底面半径为：2![](./data/image/media/image114.png)； 由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形 由此可以求得球心到圆锥底面的距离是![](./data/image/media/image115.png)， 所以圆锥体积较小者的高为：4﹣2=2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6； 所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：![](./data/image/media/image113.png)． 故答案为：![](./data/image/media/image113.png) 【点评】本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型． 　 **三、解答题（共8小题，满分70分）** 17．（12分）已知等比数列{a~n~}中，a~1~=![](./data/image/media/image113.png)，公比q=![](./data/image/media/image113.png)． （Ⅰ）S~n~为{a~n~}的前n项和，证明：S~n~=![](./data/image/media/image116.png) （Ⅱ）设b~n~=log~3~a~1~+log~3~a~2~+...+log~3~a~n~，求数列{b~n~}的通项公式． 【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有 【专题】15：综合题． 【分析】（I）根据数列{a~n~}是等比数列，a~1~=![](./data/image/media/image117.png)，公比q=![](./data/image/media/image117.png)，求出通项公式a~n~和前n项和S~n~，然后经过运算即可证明． （II）根据数列{a~n~}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b~n~}的通项公式． 【解答】证明：（I）∵数列{a~n~}为等比数列，a~1~=![](./data/image/media/image117.png)，q=![](./data/image/media/image117.png) ∴a~n~=![](./data/image/media/image117.png)×![](./data/image/media/image118.png)=![](./data/image/media/image119.png)， S~n~=![](./data/image/media/image120.png) 又∵![](./data/image/media/image121.png)=![](./data/image/media/image122.png)=S~n~ ∴S~n~=![](./data/image/media/image121.png) （II）∵a~n~=![](./data/image/media/image123.png) ∴b~n~=log~3~a~1~+log~3~a~2~+...+log~3~a~n~=﹣log~3~3+（﹣2log~3~3）+...+（﹣nlog~3~3） =﹣（1+2+...+n） =﹣![](./data/image/media/image124.png) ∴数列{b~n~}的通项公式为：b~n~=﹣![](./data/image/media/image124.png) 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质． 　 18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD． （Ⅰ）证明：PA⊥BD （Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高． ![](./data/image/media/image125.png) 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题；15：综合题． 【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=![](./data/image/media/image126.png)，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD； （II）要求棱锥D﹣PBC的高．只需证BC⊥平面PBD，然后得平面PBC⊥平面PBD，作DE⊥PB于E，则DE⊥平面PBC，利用勾股定理可求得DE的长． 【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=![](./data/image/media/image126.png)， 从而BD^2^+AD^2^=AB^2^，故BD⊥AD 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD 所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD． （II）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD， 则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD， ∴BC⊥BD． 故BC⊥平面PBD，BC⊥DE， 则DE⊥平面PBC． 由题设知PD=1，则BD=![](./data/image/media/image127.png)，PB=2． 根据DE•PB=PD•BD，得DE=![](./data/image/media/image128.png)， 即棱锥D﹣PBC的高为![](./data/image/media/image128.png)． 【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距离，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力． 　 19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表 ------------ ------------ ------------ ------------- -------------- -------------- 指标值分组 \[90，94） \[94，98） \[98，102） \[102，106） \[106，110\] 频数 8 20 42 22 8 ------------ ------------ ------------ ------------- -------------- -------------- B配方的频数分布表 ------------ ------------ ------------ ------------- -------------- -------------- 指标值分组 \[90，94） \[94，98） \[98，102） \[102，106） \[106，110\] 频数 4 12 42 32 10 ------------ ------------ ------------ ------------- -------------- -------------- （Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率； （Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=![](./data/image/media/image129.png) 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率） 【考点】B2：简单随机抽样；BB：众数、中位数、平均数；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；15：综合题． 【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值． （II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值． 【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为![](./data/image/media/image130.png) ∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3． 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为![](./data/image/media/image131.png) ∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42； （Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间 \[90，94），\[94，102），\[102，110\]的频率分别为0.04，0.54，0.42， ∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42， 即X的分布列为 --- ------ ------ ------ X ﹣2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 --- ------ ------ ------ ∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题 　 20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x^2^﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上． （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值． 【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有 【专题】5B：直线与圆． 【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程； 法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数， （Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值． 【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y=x^2^﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2![](./data/image/media/image132.png)，0），（3﹣2![](./data/image/media/image132.png)，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有3^2^+（t﹣1）^2^=（2![](./data/image/media/image132.png)）^2^+t^2^，解得t=1，故圆C的半径为![](./data/image/media/image133.png)，所以圆C的方程为（x﹣3）^2^+（y﹣1）^2^=9． 法二：圆x^2^+y^2^+Dx+Ey+F=0 x=0，y=1有1+E+F=0 y=0，x^2^ ﹣6x+1=0与x^2^+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2， 即圆方程为x^2^+y^2^﹣6x﹣2y+1=0 （Ⅱ）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），其坐标满足方程组 ![](./data/image/media/image134.png)，消去y，得到方程2x^2^+（2a﹣8）x+a^2^﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a^2^＞0． 在此条件下利用根与系数的关系得到x~1~+x~2~=4﹣a，x~1~x~2~=![](./data/image/media/image135.png)①， 由于OA⊥OB可得x~1~x~2~+y~1y2~=0，又y~1~=x~1~+a，y~2~=x~2~+a，所以可得2x~1~x~2~+a（x~1~+x~2~）+a^2^=0② 由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a^2^＞0．故a=﹣1． 【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型． 　 21．（12分）已知函数f（x）=![](./data/image/media/image136.png)+![](./data/image/media/image137.png)，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞![](./data/image/media/image138.png)． 【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想． 【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值． （II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式． 【解答】解：（I）![](./data/image/media/image139.png)． 由于直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣![](./data/image/media/image140.png)，且过点（1，1） 所以![](./data/image/media/image141.png) 解得a=1，b=1 （II）由（I）知f（x）=![](./data/image/media/image142.png) 所以![](./data/image/media/image143.png) 考虑函数![](./data/image/media/image144.png)， 则![](./data/image/media/image145.png) 所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0， 当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得![](./data/image/media/image146.png)； 当![](./data/image/media/image147.png) 从而当x＞0且x≠1时， ![](./data/image/media/image148.png) 【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立． 　 22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x^2^﹣14x+mn=0的两个根． （Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆； （Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径． ![](./data/image/media/image149.png) 【考点】N7：圆周角定理；NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；14：证明题． 【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x^2^﹣14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论． （II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小． 【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， AD×AB=mn=AE×AC， 即![](./data/image/media/image150.png) 又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB ∴C，B，D，E四点共圆． （Ⅱ）m=4，n=6时，方程x^2^﹣14x+mn=0的两根为x~1~=2，x~2~=12． 故AD=2，AB=12． 取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH． ∵C，B，D，E四点共圆， ∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH． 由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=![](./data/image/media/image151.png)（12﹣2）=5． 故C，B，D，E四点所在圆的半径为5![](./data/image/media/image152.png) ![](./data/image/media/image153.png) 【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题． 　 23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为![](./data/image/media/image154.png)（α为参数）M是C~1~上的动点，P点满足![](./data/image/media/image155.png)=2![](./data/image/media/image156.png)，P点的轨迹为曲线C~2~ （Ⅰ）求C~2~的方程； （Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=![](./data/image/media/image157.png)与C~1~的异于极点的交点为A，与C~2~的异于极点的交点为B，求\|AB\|． 【考点】J3：轨迹方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C~1~的方程即可求出曲线C~2~的方程； （II）根据（I）将求出曲线C~1~的极坐标方程，分别求出射线θ=![](./data/image/media/image157.png)与C~1~的交点A的极径为ρ~1~，以及射线θ=![](./data/image/media/image158.png)与C~2~的交点B的极径为ρ~2~，最后根据\|AB\|=\|ρ~2~﹣ρ~1~\|求出所求． 【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（![](./data/image/media/image159.png)，![](./data/image/media/image160.png)）．由于M点在C~1~上， 所以![](./data/image/media/image161.png)即![](./data/image/media/image162.png) 从而C~2~的参数方程为 ![](./data/image/media/image162.png)（α为参数） （Ⅱ）曲线C~1~的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C~2~的极坐标方程为ρ=8sinθ． 射线θ=![](./data/image/media/image158.png)与C~1~的交点A的极径为ρ~1~=4sin![](./data/image/media/image158.png)， 射线θ=![](./data/image/media/image158.png)与C~2~的交点B的极径为ρ~2~=8sin![](./data/image/media/image163.png)． 所以\|AB\|=\|ρ~2~﹣ρ~1~\|=![](./data/image/media/image164.png)． 【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题． 　 24．设函数f（x）=\|x﹣a\|+3x，其中a＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集 （Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x\|x≤﹣1}，求a的值． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论． 【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为\|x﹣1\|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可． （Ⅱ）由f（x）≤0得\|x﹣a\|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为 \|x﹣1\|≥2． 由此可得x≥3或x≤﹣1． 故不等式f（x）≥3x+2的解集为 {x\|x≥3或x≤﹣1}． （Ⅱ）由f（x）≤0得 \|x﹣a\|+3x≤0 此不等式化为不等式组 ![](./data/image/media/image165.png)或![](./data/image/media/image166.png) 即![](./data/image/media/image167.png)或![](./data/image/media/image168.png) 因为a＞0，所以不等式组的解集为{x\|x![](./data/image/media/image169.png)} 由题设可得﹣![](./data/image/media/image170.png)=﹣1，故a=2 【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型． 　
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）** **文综试卷** **参考答案** **一、选择题（140分）** 1．B 2．D 3．A 4．A 5．C 6．C 7．A 8．B 9．D 10．D 11．B 12．C 13．D 14．C 15．D 16．D 17．A 18．B 19．A 20．C > 21．A 22．B 23．A 24．C 25．B > > 26．C 27．B 28．A 29．B 30．D > > 31．D 32．A 33．B 34．C 35．D **二、综合题（160分）** 36．答案要点： （1）变化规律：由少到多。原因：距海越来越近，夏季风影响越来越强 （2）耕地总量下降；　江苏；　青海 （3）原因：甲省因人口增加、工业化和城市化的不断推进，城乡建设占用大量耕地；乙省为防治生态环境退化，实施退耕还草还林使耕地减少。 措施：严格控制城乡建设占用耕地，科学合理地利用耕地。 （4）差异：甲省以种植为主，畜牧业和渔业也占重要地位；乙省以畜牧业为主，种植业也占重要地位，渔业比重低。 原因：甲省平原地形为主、气候温暖湿润、土壤肥沃、水源充足、水域面积广；乙省地处青藏高原、气候寒冷干燥、土壤贫瘠、草原面积大、耕地主要分布在河谷地区。 37．答案要点： （1）"有教无类"的教育主张。打破了奴隶社会"学在官府"、贵族垄断文化教育的格局，把教育对象扩大到平民子弟。 （2）当时的教育不利于培养人才；舆论不利于变法。注重改革教育内容；培养实用性人才；扩大选官途径。 （3）鸦片战争后产生了向西方学习的新思想；洋务运动兴起，迫切需要近代人才。培养了一批翻译、科技、教育等方面的人才；但单纯学习西方科技，没有改变教育制度。 （4）教育立法，加强国家对教育的控制；建立了比较完备的近代教育体系。培养了资产阶级政治经济服务的人才；为了政治稳定和资本主义发展。 （5）略 38．答案要点： > （1）①就业是民生之本，是劳动者的基本权利。扩大就业是我国当前和今后长期重大而艰巨的任务。 > > ②政府应当遵循市场经济规律，运用经济、法律和行政手段，规范摊点设置，调节经济活动。 > > ③上海市政府出台《导则》，设置和规范摊点，发挥第三产业扩大就业的优势，既有利于实现自谋职业者的就业权利，又方便居民生活，有利于促进经济发展和社会安定。 （2）①矛盾就是对立统一。矛盾双方既对立，又统一。 > ②摊点问题既涉及城市形象又涉及民生问题，二者是对立统一的关系。一方面，塑造城市形象与解决民生问题存在一定对立。另一方面，塑造城市形象与解决民生问题存在统一性。塑造城市形象必须以人为本，关注民生；民生问题的解决也要和利于维护和塑造城市形象。 > > ③在二者关系问题上，应坚持两分法，防止片面性，将塑造城市形象与解决民生问题有机结合起来。 > > （3）①国家性质决定国家职能。我国人民民主专政的本质是人民当家作主，上海市政府尊重民意，维护人民的民主权利，对涉及民生问题的摊点市场进行调节和监督，为社会发展创造良好的社会环境，体现了国家的政治职能和社会公共服务职能。 > > ②上海市政府的做法，贯彻了对人民负责和依法行政的原则。上海市政府在处理直接关系人民群众切身利益的摊点问题时，坚持从群众中来到群众中去的工作方法，深入实际调查研究，把人民的利益放在第一位，制定《导则》，依法管理。 39．答案要点： （1）卢萨卡；地壳断裂下落（或地处东非大裂谷带内） （2）地处赤道低压带；受西南暖湿气流影响，西南风与海岸线垂直；沿岸（几内亚）暖流经过；高原山地抬升。 （3）石油和磷矿。有利因素：石油和磷矿资源丰富；靠近世界重要航线，与世界主要　市场联系方便；国际市场需求量大。不利因素：技术落后，劳动力素质低，气候干燥。 （4）传统经济遭到破坏；近代工业受到阻碍；产业结构单一；经济具有依赖性。由于列强的侵略与掠夺，非洲逐步成为西方国家的原料产了、商品市场和资本输出场所，经济命脉被帝国主义国家控制。 （5）冲破美国等帝国主义对中国的孤立、封锁和包围；团结非洲人民，反对殖民势力；巩固和发展和平力量，扩大中国的国际影响；亚非会议对中非关系的促进与推动。有利于非洲政治与经济的发展；促进了中国在联合国合法席位的恢复。 > （6）①利用中非资源上的相对优势和经济上的互补性。我国企业在资本、技术、管理等方面具有优势，而非洲国家自然资源、劳动力资源丰富，双方经济具有互补性。 > > ②开展多种形式的经贸合作。我国企业在商品贸易基础上，在资本、技术、服务等 方面与非洲国家开展多种形式的经贸合作，促进双方贸易平衡。 > > ③优化中非商品进出口结构。我国企业在非洲投资办厂，发展资源加工工业以及制造业，由此扩大我国技术设备出口，提升非洲国家产品加工层次和技术含量，优化中非商品进出口结构。 > > ④坚持平等互利。我国企业利用非洲资源，既可降低企业的生产成本，提高企业经济效益，又可为非洲国家增加就业岗位和财政收入、提升劳动力素质以及自主发展能力。 > > （7）①物质决定意识，意识对物质具有反作用，规律具有客观性，要求我们在发展中非经贸合作中必须一切从实际出发，按规律办事。 > > ②中国企业在发展经贸合作中实施"引进来"和"走出去"战略，是基于中非经贸合作实际的必然选择。 > > ③在经济全球化背景下，中非面临的共同的挑战与机遇。中国企业实施"引进来"和"走出去"战略，是经济全球化的客观要求，也是中国扩大对外开放的需要。 > > ④中非经济互补性强，长期以来保持着良好的互利合作关系。中国企业实施"引进来"和"走出去"战略，按市场经济规律办事，有利于发展市场经济，提高经济社会发展水平，实现现代化。
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**2020-2021学年辽宁省沈阳市东北育才实验学校（小学部）一年级（上）期末数学试卷** **一、精心比较，选一选** 1．（4分）看图写数。 2．（6分）请你在横线里填上"＜"、"＞"或"＝"。 （1）5+2[　 　]{.underline}8 （2）9+1[　 　]{.underline}8 （3）2+6[　 　]{.underline}4+4 --------------------------------- -------------------------------- -------------------------------- （4）9﹣5[　 　]{.underline}2+7 （5）7+4[　 　]{.underline}6+4 （6）9[　 　]{.underline}3+6 3．（2分）18里面有[　 　]{.underline}个十，[　 　]{.underline}个一． 4．（6分）按顺序填数。 5．（2分）16的个位上是[　 　]{.underline}，十位上是[　 　]{.underline}。 6．（2分）2个一和1个十合起来是[　 　]{.underline}；13里面有[　 　]{.underline}个一。 7．（3分） > （1）上图一共有[　 　]{.underline}个图形，把右边的3个图形圈起来。 > > （2）从左数排在第[　 　]{.underline}，从右数排在第[　 　]{.underline}。 8．（2分）比19多1的数是[　 　]{.underline}；8比[　 　]{.underline}少4。 9．（4分）横线里最大填几？ ------------------------- ------------------------- -------------------------- [　 　]{.underline}＜10 18＞[　 　]{.underline} [　 　]{.underline}＜6+7 ------------------------- ------------------------- -------------------------- **二、仔细审题，做判断（每题2分，共10分）** 10．（2分）算式9﹣2＝7读作：2减9等于7。[　 　]{.underline}（判断对错） 11．（2分）0可以表示什么都没有，也可以表示开始。[　 　]{.underline}（判断对错） 12．（2分）羽毛球的形状是球。[　 　]{.underline}（判断对错） 13．（2分）12前面的数是13。[　 　]{.underline}（判断对错） 14．（2分）苹果和西红柿都是水果。[　 　]{.underline}（判断对错） **三、精心比较，选一选（每题2分，共10分）** 15．（2分）11和16之间有（　　）个数。 A．3 B．4 C．5 D．6 16．（2分）淘气有8支铅笔，笑笑和他同样多，那么他们一共有（　　）支铅笔。 A．2 B．4 C．10 D．16 17．（2分）今年小红7岁，小云9岁，两年后，小红比小云小（　　）岁。 A．1 B．2 C．3 D．4 18．（2分）从6开始往后数第3个数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 19．（2分）如图，☆在（　　）的上面。 A． B． C． D． **四、认真思考，做一做（共36分）** 20．（12分）直接写得数。 （1）10﹣7＝ （2）15﹣5＝ （3）9+3＝ （4）6+8＝ -------------- -------------- ---------------- ---------------- （5）18﹣6＝ （6）4+0＝ （7）7﹣7＝ （8）3+9+4＝ （9）5+6＝ （10）12+7＝ （11）18﹣10＝ （12）9+5﹣5＝ 21．（4分）在横线里填上合适的数。 （1）3+[　 　]{.underline}＝8 （2）[　 　]{.underline}+4＝10 -------------------------------- ---------------------------------- （3）[　 　]{.underline}﹣2＝6 （4）16﹣[　 　]{.underline}＝15 22．（4分）比一比 > （1）最长的画"△"，最短的画"〇"。 > > （2）最重的画"△"，最轻的画"〇"。 23．（4分）画一画 > （1）画〇比☆少4个。 > > ☆☆☆☆☆☆☆☆ > > [　 　]{.underline} > > （2）画〇，使△和〇同样多。 > > △△△△ > > [　 　]{.underline} 24．（4分）想一想。 > （1） > > □〇□＝□ > > （2） > > □〇□＝□ 25．（8分）连一连。 **五、解决问题（第1、2、3题每题3分，第4题4分，共13分）** 26．（3分）熊大原来有17个苹果，吃了5个苹果，熊大还剩多少个苹果？ 27．（3分）熊二原来有9罐蜂蜜，光头强又送给它6罐，现在熊二有多少罐蜂蜜？ 28．（3分）吉吉有10根香蕉，送给毛毛5根，然后它又摘了3根，吉吉现在有多少根香蕉？ 29．（4分）小动物们站成一排做游戏，熊二前面有8只动物，后面有5只动物，这一排一共有多少只动物？ **2020-2021学年辽宁省沈阳市东北育才实验学校（小学部）一年级（上）期末数学试卷** **参考答案与试题解析** **一、精心比较，选一选** 1．【分析】掌握整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 > 【解答】解： > > 数出左边是10个，右边数是5个，得出15； > > 十位是1，代表10，个位是6，得出16； > > 十位数2，代表20，个位上一个单位没有，就写0，得出20； > > 左边数是10，右边是4，得出14。 > > 故为：15，16，20，14。 > > 【点评】本题考查了整数的读法和写法，从高位到低位，一级一级地读写。 2．【分析】根据整数加减法的计算方法直接口算出结果，然后再进行大小比较即可。 > 【解答】解： （1）5+2＜8 （2）9+1＞8 （3）2+6＝4+4 ---------------- --------------- --------------- （4）9﹣5＜2+7 （5）7+4＞6+4 （6）9＝3+6 > 故答案为：＜，＞，＝，＜，＞，＝。 > > 【点评】本题主要考查了整数加减法以及大小比较的方法，关键是求出算式的结果，然后再进行比较。 3．【分析】根据数位顺序表中数位和它们对应的计数单位以及十进制的定义可以解决问题． > 【解答】解：1在十位上，表示1个十； > > 8在个位上，表示8个一． > > 故答案为：1；8． > > 【点评】此题考查了数的组成． 4．【分析】（1）规律：依次加1，据此解答即可。 > （2）规律：依次减去1，据此解答即可。 > > （3）规律：依次加2，据此解答即可。 > > 【解答】解： > > 【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。 5．【分析】结合整数数位的意义，分析16的数位含义，16十位上的1代表1个十，个位上的6代表6个一。 > 【解答】解：16的个位上是6，十位上是1。 > > 故答案为：6；1。 > > 【点评】本题考查整数数位的意义。结合数位意义的理解解决问题即可。 6．【分析】2个一表示个位上是2，1个十表示十位上是十，13的十位上是几就表示几个十，个位上是几就表示几个一。 > 【解答】解：2个一和1个十合起来是12；13里面有13个一。 > > 故答案为：12；13。 > > 【点评】本题考查整数的写法，解决本题的关键是明确数的组成。 7．【分析】根据图示数一数即可得知一共有12个图形；分清左右，即可解答。 > 【解答】解：（1）上图一共有12个图形，把右边的3个图形圈起来。 > > （2）从左数排在第5，从右数排在第4。 > > 故答案为：12；；5；4。 > > 【点评】本题主要考查位置的辨别，关键是分清左右做题。 8．【分析】（1）求比19多1的数，就用19加上1即可； > （2）求8比谁少4，就用8加上4即可。 > > 【解答】解：（1）19+1＝20 > > 答：比19多1的数是20。 > > （2）8+4＝12 > > 答：8比12少4。 > > 故答案为：20，12。 > > 【点评】解决本题关键是找清楚谁多谁少，求较多的数用加法计算，求较少的数，用减法计算。 9．【分析】根据整数大小比较的方法，如果两个整数的位数不同，那么位数多的大于位数少的，如果位数相同，从最高位开始比较，最高位上数字大的数就大，如果最高位相同，再比较次高位，依此类推。据此解答。 > 【解答】解： ------- -------- --------- 9＜10 18＞17 12＜6+7 ------- -------- --------- > 故答案为：9；17；12。 > > 【点评】此题考查的目的是理解掌握整数大小比较的方法及应用。 **二、仔细审题，做判断（每题2分，共10分）** 10．【分析】根据算式的读法，算式9﹣2＝7读作九减二等于七，据此解答。 > 【解答】解：算式9﹣2＝7读作九减二等于七，所以原题干错误。 > > 故答案为：×。 > > 【点评】本题考查了减法算式的读法，熟练是解决本题的关键。 11．【分析】根据对自然数的认识可知：0表示什么都没有；在尺的起点可以表示开始；可以表示正数和负数的分界线；在数位顺序表上，哪个数位上一个单位也没有，就可以用0占位；据此解答即可． > 【解答】解：根据分析可得，0可以表示什么都没有，也可以表示开始，正确。 > > 故答案为：√。 > > 【点评】此题主要考查对自然数0的认识。 12．【分析】球是生活中最常见的图形之一，例如篮球、足球都是球，羽毛球的形状不是球，由此解答即可。 > 【解答】解：羽毛球的形状不是球，原题说法错误。 > > 故答案为：×。 > > 【点评】本题考查了球的特征。 13．【分析】根据数的顺序可知，12的后面是13。据此判断。 > 【解答】解：12后面的数是13，所以原题干错误。 > > 故答案为：×。 > > 【点评】解决本题关键是做到正确的数数，分清前和后。 14．【分析】苹果是水果，西红柿是蔬菜。 > 【解答】解：苹果是水果，西红柿是蔬菜，所以题干中的说法是错误的。 > > 故答案为：×。 > > 【点评】这道题考查的是物体的分类，要熟练掌握。 **三、精心比较，选一选（每题2分，共10分）** 15．【分析】根据数的顺序，写出11和16之间的数字，有：12、13、14、15，一共4个。据此解答。 > 【解答】解：11和16之间有4个数。 > > 故选：*B*。 > > 【点评】解决本题关键是做到正确的数数，分清前和后。 16．【分析】淘气有8支铅笔，笑笑和他同样多，所以笑笑也有8支铅笔，用8加上8即可求出他们一共有多少支铅笔。 > 【解答】解：8+8＝16（支） > > 答：他们一共有16支铅笔。 > > 故选：*D*。 > > 【点评】本题主要考查了整数加法的意义，关键是让学生理解"同样多"的意思。 17．【分析】先根据整数加法的意义求出两年后小红和小云的年龄，然后再用两年后小云的年龄减去两年后小红的年龄即可。 > 【解答】解：（9+2）﹣（7+2） > > ＝11﹣9 > > ＝2（岁） > > 答：两年后，小红比小云小2岁。 > > 故选：*B*。 > > 【点评】本题主要考查了整数加减法的意义，也可以利用年龄差不变的规律进行求解。 18．【分析】从6开始往后数，6、7、8，往后数第3个数是8。 > 【解答】解：从6开始往后数第3个数是8。 > > 故选：*B*。 > > 【点评】此题考查了100以内数的认识，要注意仔细读题，从6开始往后数，则6为第一个数。 19．【分析】根据图示，分清上下即可得出答案。 > 【解答】解：根据图示，可得五角星在圆的上面。 > > 故选：*B*。 > > 【点评】本题主要考查方向的辨别，关键分清上下做题。 **四、认真思考，做一做（共36分）** 20．【分析】根据整数加减法和四则运算的顺序直接进行口算即可。 > 【解答】解： （1）10﹣7＝3 （2）15﹣5＝10 （3）9+3＝12 （4）6+8＝14 ---------------- ---------------- ----------------- ----------------- （5）18﹣6＝12 （6）4+0＝4 （7）7﹣7＝0 （8）3+9+4＝16 （9）5+6＝11 （10）12+7＝19 （11）18﹣10＝8 （12）9+5﹣5＝9 > 【点评】本题主要考查了整数加减法的口算方法，属于基础题，比较简单，要细心计算。 21．【分析】根据一个加数＝和﹣另一个加数，被减数＝差+减数，减数＝被减数﹣差，由此进行填空即可。 > 【解答】解： （1）3+5＝8 （2）6+4＝10 -------------- ---------------- （3）8﹣2＝6 （4）16﹣1＝15 > 故答案为：5，6，8，1。 > > 【点评】本题主要考查了整数加减法和各部分之间的关系，要熟练掌握。 22．【分析】（1）一端对齐，另一端短的绳子最短；两头都对齐，中间弯曲的越多，绳子越长，据此判断； > （2）西瓜比菠萝重，菠萝比桃子重，据此判断。 > > 【解答】解：（1）第二根是弯曲的，最长，第三根是最短的。 > > （2）西瓜比菠萝重，菠萝比桃子重，所以西瓜最重，桃子最轻。 > > 【点评】本题是看图比较题，解决本题的关键是能够明确题意，并能正确判断。 23．【分析】（1）有8个☆，画〇比☆少4个，则画8﹣4＝4（个）。 > （2）有4个△，画〇，使△和〇同样多，所以应画4个。 > > 【解答】解：（1）8﹣4＝4（个） > > 画〇比☆少4个，如图： > > ☆☆☆☆☆☆☆☆ > > 〇〇〇〇 > > （2）4＝4 > > 画〇，使△和〇同样多，如图： > > △△△△ > > 〇〇〇〇 > > 故答案为：〇〇〇〇；〇〇〇〇。 > > 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。 24．【分析】（1）用总个数减去左边的个数，就是右边的个数。 > （2）左边3个，右边4个，求一共几个，用加法计算。 > > 【解答】解：（1）17﹣5＝12（个） > > 答：右边有12个。 > > （2）3+4＝7（个） > > 答：一共7个蘑菇。 > > 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。 25．【分析】钟面1，时针指向3，分针指向12，是3时整； > 钟面2，时针指向8，分针指向12，是8时整； > > 钟面3，时针指向5和6之间，分针指向6，是5时30分； > > 钟面4，时针指向8和9之间，分针指向6，是8时30分。 > > 【解答】解：如图： > > 。 > > 【点评】本题主要考查钟面与时刻，分针指向12，时针指向几，就是几时；分针指向6，时针刚过几，就是几时半。 **五、解决问题（第1、2、3题每题3分，第4题4分，共13分）** 26．【分析】根据减法的意义，求熊大还剩多少个苹果，用原来的个数减去吃了的个数即可。 > 【解答】解：17﹣5＝12（个） > > 答：熊大还剩12个苹果。 > > 【点评】本题考查了减法的意义的实际应用，关键是明确数量之间的关系。 27．【分析】根据加法的意义，求现在熊二有多少罐蜂蜜，用熊二原来的数量加上光头强又送给它的6罐即可。 > 【解答】解：9+6＝15（罐） > > 答：现在熊二有15罐蜂蜜。 > > 【点评】本题考查了加法的意义的实际应用，关键是明确数量之间的关系。 28．【分析】求吉吉现在有多少根香蕉，用原来的根数，减去送给毛毛的根数，然后再加上它又摘的根数即可。 > 【解答】解：10﹣5+3 > > ＝5+3 > > ＝8（根） > > 答：吉吉现在有8根香蕉。 > > 【点评】本题考查了加减法的意义的实际应用，关键是明确数量之间的关系。 29．【分析】根据题意可得，把熊二前面和后面的只数相加，然后再加上熊二1只即可。 > 【解答】解：8+5+1 > > ＝13+1 > > ＝14（只） > > 答：这一排一共有14只动物。 > > 【点评】解答本题关键是确定三部分的只数之间的关系。 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2021/4/27 14:32:03；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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![](./data/image/media/image1.png)**2020年浙江省宁波市中考数学试题** **一、选择题** 1.﹣3的相反数为（　　） A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可． 【详解】解：﹣3的相反数是3． 故选：D． 【点睛】此题考查求一个数的相反数，解题关键在于掌握相反数的概念． 2.下列计算正确的是（　　） A. a^3^•a^2^＝a^6^ B. （a^3^）^2^＝a^5^ C. a^6^÷a^3^＝a^3^ D. a^2^+a^3^＝a^5^ 【答案】C 【解析】 ![](./data/image/media/image3.wmf)分析】 根据同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及合并同类项法则逐一判断即可得． 【详解】解：A、a^3^•a^2^＝a^5^，故此选项错误； B、（a^3^）^2^＝a^6^，故此选项错误； C、a^6^÷a^3^＝a^3^，正确； D、a^2^+a^3^，不是同类项，不能合并，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及合并同类项法则． 3.2019年宁波舟山港货物吞吐量为1120000000吨，比上年增长3.3%，连续11年蝉联世界首位．数1120000000用科学记数法表示为（　　） A. 1.12×10^8^ B. 1.12×10^9^ C. 1.12×10^10^ D. 0.112×10^10^ 【答案】B 【解析】 【分析】 科学记数法![](./data/image/media/image4.wmf)表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】1120000000＝1.12×10^9^， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（　　） ![](./data/image/media/image5.png) A. ![](./data/image/media/image6.png) B. ![](./data/image/media/image7.png) C. ![](./data/image/media/image8.png) D. ![](./data/image/media/image9.png) 【答案】B 【解析】 【分析】 根据主视图的意义和画法可以得出答案． 【详解】解：根据主视图的意义可知，从正面看物体所得到的图形，选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图的画法，主视图就是从正面看物体所得到的图形． 5.一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用红球的个数除以球的总个数解答即可． 【详解】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了简单的概率计算，属于基础题型，熟练掌握计算的方法是关键． 6.二次根式中字母x的取值范围是（　　） A. x＞2 B. x≠2 C. x≥2 D. x≤2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据被开方数大于等于0列不等式求解即可． 【详解】由题意得，x﹣2≥0， 解得x≥2． 故选：C． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　） ![](./data/image/media/image15.png) A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=CD． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝＝10． 又∵CD为中线， ∴CD＝AB＝5． ∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点， ∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线． 8.我国古代数学名著《孙子算经》中记载："今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？"意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　） A. B. C![](./data/image/media/image20.wmf) D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据"一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺"可知：绳子=木条+4.5，再根据"将绳子对折再量木条，木条剩余1尺"可知：绳子=木条-1，据此列出方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 那么可列方程组为：， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 9.如图，二次函数y＝ax^2^+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（　　） ![](./data/image/media/image23.png) A. abc＜0 B. 4ac﹣b^2^＞0 C. c﹣a＞0 D. 当x＝﹣n^2^﹣2（n为实数）时，y≥c 【答案】D 【解析】 【分析】 由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故A错误；根据一次函数y=ax^2^+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b^2^-4ac＞0，求得4ac-b^2^＜0，故B错误；根据对称轴方程得到b=2a，当x=-1时，y=a-b+c＜0，于是得到c-a＜0，故C错误；当x=-n^2^-2（n为实数）时，代入解析式得到y=ax^2^+bx+c=a（-n^2^-2）+b（-n^2^-2）=an^2^（n^2^+2）+c，于是得到y=an^2^（n^2^+2）+c≥c，故D正确． 【详解】解：由图象开口向上，可知a＞0， 与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0， 又对称轴方程为x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0， ∴abc＞0，故A错误； ∴一次函数y＝ax^2^+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点， ∴b^2^﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b^2^＜0，故B错误； ∵﹣＝﹣1， ∴b＝2a， ∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∴a﹣2a+c＜0， ∴c﹣a＜0，故C错误； 当x＝﹣n^2^﹣2（n为实数）时，y＝ax^2^+bx+c＝a（﹣n^2^﹣2）+b（﹣n^2^﹣2）＝an^2^（n^2^+2）+c， ∵a＞0，n^2^≥0，n^2^+2＞0， ∴y＝an^2^（n^2^+2）+c≥c，故D正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键． 10.△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　） ![](./data/image/media/image25.png) A. △ABC的周长 B. △AFH的周长 C. 四边形FBGH的周长 D. 四边形ADEC的周长 【答案】A 【解析】 【分析】 由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论． 【详解】解：∵△GFH为等边三角形， ∴FH＝GH，∠FHG＝60°， ∴∠AHF+∠GHC＝120°， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°， ∴∠GHC+∠HGC＝120°， ∴∠AHF＝∠HGC， ∴△AFH≌△CHG（AAS）， ∴AF＝CH． ∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形， ∴BE＝FH， ∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF ＝BD+CE+AF+BE+DF ＝（BD+DF+AF）+（CE+BE）， ＝AB+BC． ∴只需知道△ABC的周长即可． 故选：A． ![](./data/image/media/image25.png) 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． **二、填空题（每小题5分，共30分）** 11.实数8的立方根是\_\_\_\_\_． 【答案】2． 【解析】 【分析】 根据立方根的定义解答. 【详解】∵，∴8的立方根是2．故答案为2． 【点睛】本题考查立方根的定义，熟记定义是解题的关键. ． 12.分解因式：2a^2^﹣18=\_\_\_\_\_\_\_\_． 【答案】2（a+3）（a﹣3） 【解析】 【分析】 先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】2*a*^2^﹣18＝2（*a*^2^﹣9）＝2（*a*+3）（*a*﹣3）． 故答案为2（*a*+3）（*a*﹣3）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 13.今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S^2^（单位：千克^2^）如表所示： ------ ----- --------------------------------------- ----- 甲 乙 丙 45 45 42 S^2^ 1.8 2![](./data/image/media/image20.wmf)3 1.8 ------ ----- --------------------------------------- ----- 明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是\_\_． 【答案】甲 【解析】 【分析】 先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定． 【详解】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高， 又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定， 即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲； 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数． 14.如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为\_\_cm（结果保留π）． ![](./data/image/media/image29.png) 【答案】18π 【解析】 【分析】 根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°， ∴的长＝＝18π（cm）， 故答案为：18π． 【点睛】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 15.如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为\_\_． ![](./data/image/media/image32.png) 【答案】2 【解析】 【分析】 先根据切线的性质和等腰直角三角形的判定方法证得△OBC是等腰直角三角形，当 AOC＝90°，连接OB，根据勾股定理可得斜边AC的长，当 OAC＝90°，A与B重合，不符合题意． 【详解】解：连接OB， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠OBC＝90°， ∵BC＝OA， ∴OB＝BC＝2， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠BCO＝45°， ∴∠ACO≤45°， 当∠AOC＝90°，△OAC是直角三角形时， ∴OC＝OB＝2， ∴AC＝＝＝2； 当 OAC＝90°，A与B重合，不符合题意，故排除此种情况； ∴其斜边长为2， 故答案为：2． ![](./data/image/media/image37.png) 【点睛】本题考查切斜的性质、等腰直角三角形的判定及其性质、勾股定理，解题的关键是综合运用所学的知识求出OC． 16.如图，经过原点O的直线与反比例函数y＝（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y＝（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为\_\_，的值为\_\_． ![](./data/image/media/image41.png) 【答案】 (1). 24 (2). ﹣ 【解析】 【分析】 如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出S~△ADE~=S~△ADC~=S~五边形ABCDE~-S~四边形ABCD~=56-32=24，推出S~△AOE~=S~△DEO~=12，可得a-b=12，推出a-b=24．再证明BC∥AD，证明AD=3BC，推出AT=3BT，再证明AK=3BK即可解决问题． 【详解】如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K． ![](./data/image/media/image42.png) 由题意A，D关于原点对称， ∴A，D的纵坐标的绝对值相等， ∵AE∥CD， ∴E，C的纵坐标的绝对值相等， ∵E，C在反比例函数y＝的图象上， ∴E，C关于原点对称， ∴E，O，C共线， ∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE是平行四边形， ∴S~△ADE~＝S~△ADC~＝S~五边形ABCDE~﹣S~四边形ABCD~＝56﹣32＝24， ∴S~△AOE~＝S~△DEO~＝12， ∴a﹣b＝12， ∴a﹣b＝24， ∵S~△AOC~＝S~△AOB~＝12， ∴BC∥AD， ∴＝， ∵S~△ACB~＝32﹣24＝8， ∴S~△ADC~：S~△ABC~＝24：8＝1：3， ∴BC：AD＝1：3， ∴TB：TA＝1：3，设BT＝a，则AT＝3a，AK＝TK＝1.5k，BK＝0.5k， ∴AK：BK＝3：1， ∴＝＝， ∴＝﹣． 故答案为24，﹣． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考填空题中的压轴题． **三、解答题（本大题有8小题，共80分）** 17.（1）计算：（a+1）^2^+a（2﹣a）． （2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）． 【答案】（1）4a+1；（2）x＞﹣3 【解析】 【分析】 （1）先根据完全平方公式计算前一项，再计算单项式乘以多项式，最后相加减即可； （2）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】解：（1） ＝ ＝； （2）3x﹣5＜2（2+3x） 去括号得：3x﹣5＜4+6x， 移项得：3x﹣6x＜4+5， 合并同类项：﹣3x＜9， 系数化1得：x＞﹣3． 【点睛】本题考查整式的混合运算、解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则和解一元一次不等式的步骤． 18.图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影： （1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形． （2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） ![](./data/image/media/image51.png) 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据轴对称图形的定义画出图形构成一个大的等边三角形即可（答案不唯一）．\ （2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）． 【详解】解：（1）轴对称图形如图1所示． （2）中心对称图形如图2所示． ![](./data/image/media/image52.png) 【点睛】本题考查利用中心对称设计图案，利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19.图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°． （1）求车位锁的底盒长BC． （2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位?（参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07） ![](./data/image/media/image53.png) 【答案】（1）68cm；（2）当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位 【解析】 【分析】 （1）过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．\ （2）根据锐角三角函数的定义求出AH的长度即可判断． 【详解】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H， ∵AB＝AC， ∴BH＝HC， 在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50， ∴BH＝ABcosB＝50cos47°≈50×0.68＝34， ∴BC＝2BH＝68cm． （2）在Rt△ABH中， ∴AH＝ABsinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5， ∴36.5＞30， ∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位． ![](./data/image/media/image54.png) 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型． 20.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax^2^+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）． （1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围． （2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． ![](./data/image/media/image55.png) 【答案】（1）A（2，1），C（3，0），当y＞0时，1＜x＜3；（2）y＝﹣（x﹣4）^2^+5 【解析】 【分析】 （1）把点B坐标代入抛物线的解析式即可求出a的值，把抛物线的一般式化为顶点式即可求出点A的坐标，根据二次函数的对称性即可求出点C的坐标，二次函数的图象在x轴上方的部分对应的x的范围即为当y＞0时x的取值范围； （2）先由点D和点A的坐标求出抛物线的平移方式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：（1）把B（1，0）代入y＝ax^2^+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣x^2^+4x﹣3＝﹣（x﹣2）^2^+1， ∴A（2，1）， ∵抛物线的对称轴是直线x＝2，B、C两点关于直线x＝2对称， ∴C（3，0）， ∴当y＞0时，1＜x＜3； （2）∵D（0，﹣3），A（2，1）， ∴点D平移到点A，抛物线应向右平移2个单位，再向上平移4个单位， ∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）^2^+5． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的平移规律和抛物线与不等式的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的基本知识是解题的关键． 21.某学校开展了防疫知识的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60≤x＜70），合格（70≤x＜80），良好（80≤x＜90），优秀（90≤x≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）． ![](./data/image/media/image56.png) 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图． （2）求扇形统计图中"良好"所对应的扇形圆心角的度数． （3）这次测试成绩的中位数是什么等第？ （4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？ 【答案】（1）见解析；（2）144°；（3）这次测试成绩的中位数的等第是良好；（4）估计该校获得优秀的学生有300人 【解析】 【分析】 （1）根据基本合格人数已经百分比求出总人数即可解决问题； （2）根据圆心角＝360°×百分比计算即可； （3）根据中位数的定义判断即可； （4）利用样本估计总体的思想解决问题即可． 【详解】解：（1）30÷15%＝200（人）， 200﹣30﹣80﹣40＝50（人）， 直方图如图所示： ![](./data/image/media/image57.png)； （2）"良好"所对应的扇形圆心角的度数＝360°×＝144°； （3）这次成绩按从小到大的顺序排列，中位数在80分-90分之间， ∴这次测试成绩的中位数的等第是良好； （4）1500×＝300（人）， 答：估计该校获得优秀的学生有300人． 【点睛】本题考查频数分布直方图，样本估计总体，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22.A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计） （1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式． （2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？ ![](./data/image/media/image60.png) 【答案】（1）y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时 【解析】 【分析】 （1）先设出函数关系式y＝kx+b（k≠0），观察图象，经过两点（1.6，0），（2.6，80），代入求解即可得到函数关系式； （2）先求出货车甲正常到达B地的时间，再求出货车乙出发回B地时距离货车甲比正常到达B地晚1个小时的时间以及故障地点距B地的距离，然后设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，最后列出不等式并求解即可． 【详解】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得 ， 解得： ， ∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）； （2）根据图象可知：货车甲的速度是80÷1.6＝50（*km/h*） ∴货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时）， 18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时）， 当y＝200﹣80＝120 时， 120＝80x﹣128， 解得x＝3.1， 5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时）， 设货车乙返回B地的车速为v千米/小时， ∴1.6v≥120， 解得v≥75． 答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握待定系数法，并求出函数解析式，根据题意正确列出一元一次不等式． 23.【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC^2^＝AD•AB． ![](./data/image/media/image63.png) 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． ![](./data/image/media/image64.png) 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． ![](./data/image/media/image65.png) 【答案】（1）见解析；（2）AD＝；（3）5﹣2 【解析】 【分析】 （1）根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论； （2）根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，可得，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根据，可推出DG＝DF=5，即可求出答案． 【详解】解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC^2^＝AD•AB； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF^2^＝BE•BC， ∴BC＝＝=， ∴AD＝； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G， ![](./data/image/media/image73.png) ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD， ∵AC∥EF， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF＝∠BAD， ∴∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠G， 又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD， ∴， ∴DE^2^＝EF•EG， 又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE^2^＝2EF^2^， ∴DE＝EF， 又∵， ∴DG＝DF=5， ∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似是解题关键． 24.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． （1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E． （2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． （3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径． ①求∠AED的度数； ②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积． ![](./data/image/media/image76.png) 【答案】（1）∠E＝α；（2）见解析；（3）①∠AED＝45°；② 【解析】 【分析】 （1）由角平分线的定义可得出结论； （2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC=180°，得出∠FDE=∠FBC，证得∠ABF=∠FBC，证出∠ACD=∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论； （3）①连接CF，由条件得出∠BFC=∠BAC，则∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE=DA，则∠AED=∠DAE，得出∠ADC=90°，则可求出答案； ②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出，求出，设AD=4x，AC=5x，则有（4x）^2^+5^2^=（5x）^2^，解得x=，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案． 【详解】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α， （2）如图1，延长BC到点T， ![](./data/image/media/image82.png) ∵四边形FBCD内接于⊙O， ∴∠FDC+∠FBC＝180°， 又∵∠FDE+∠FDC＝180°， ∴∠FDE＝∠FBC， ∵DF平分∠ADE， ∴∠ADF＝∠FDE， ∵∠ADF＝∠ABF， ∴∠ABF＝∠FBC， ∴BE是∠ABC的平分线， ∵， ∴∠ACD＝∠BFD， ∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°， ∴∠DCT＝∠BFD， ∴∠ACD＝∠DCT， ∴CE是△ABC的外角平分线， ∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． （3）①如图2，连接CF， ![](./data/image/media/image84.png) ∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角， ∴∠BAC＝2∠BEC， ∵∠BFC＝∠BAC， ∴∠BFC＝2∠BEC， ∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE， ∴∠BEC＝∠FCE， ∵∠FCE＝∠FAD， ∴∠BEC＝∠FAD， 又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD， ∴△FDE≌△FDA（AAS）， ∴DE＝DA， ∴∠AED＝∠DAE， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠AED+∠DAE＝90°， ∴∠AED＝∠DAE＝45°， ②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M， ![](./data/image/media/image85.png) ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°， ∵∠AED＝45°， ∴∠AED＝∠FAC， ∵∠FED＝∠FAD， ∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD， ∴∠AEG＝∠CAD， ∵∠EGA＝∠ADC＝90°， ∴△EGA∽△ADC， ∴， ∵在Rt△ABG中，AG＝， ![](./data/image/media/image87.wmf)Rt△ADE中，AE＝AD， ∴， 在Rt△ADC中，AD^2^+DC^2^＝AC^2^， ∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）^2^+5^2^＝（5x）^2^， ∴x＝， ∴ED＝AD＝， ∴CE＝CD+DE＝， ∵∠BEC＝∠FCE， ∴FC＝FE， ∵FM⊥CE， ∴EM＝CE＝， ∴DM＝DE﹣EM＝， ∵∠FDM＝45°， ∴FM＝DM＝， ∴S~△DEF~＝DE•FM＝． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
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**2015年山东省高考数学试卷（理科）** 　 **一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）** 1．（5分）已知集合A={x\|x^2^﹣4x+3＜0}，B={x\|2＜x＜4}，则A∩B=（　　） A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4） 2．（5分）若复数z满足![](./data/image/media/image1.png)=i，其中i为虚数单位，则z=（　　） A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣![](./data/image/media/image2.png)）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（　　）个单位． A．向左平移![](./data/image/media/image3.png) B．向右平移![](./data/image/media/image3.png) C．向左平移![](./data/image/media/image2.png) D．向右平移![](./data/image/media/image2.png) 4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则![](./data/image/media/image4.png)=（　　） A．﹣![](./data/image/media/image5.png)a^2^ B．﹣![](./data/image/media/image6.png)a^2^ C．![](./data/image/media/image6.png)a^2^ D．![](./data/image/media/image5.png)a^2^ 5．（5分）不等式\|x﹣1\|﹣\|x﹣5\|＜2的解集是（　　） A．（﹣∞，4） B．（﹣∞，1） C．（1，4） D．（1，5） 6．（5分）已知x，y满足约束条件![](./data/image/media/image7.png)，若z=ax+y的最大值为4，则a=（　　） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 7．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=![](./data/image/media/image8.png)，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　） A．![](./data/image/media/image9.png) B．![](./data/image/media/image10.png) C．![](./data/image/media/image11.png) D．2π 8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3^2^），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（　　） （附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ^2^），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%） A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）^2^+（y﹣2）^2^=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　） A．﹣![](./data/image/media/image12.png)或﹣![](./data/image/media/image13.png) B．﹣![](./data/image/media/image14.png)或﹣![](./data/image/media/image15.png) C．﹣![](./data/image/media/image16.png)或﹣![](./data/image/media/image17.png) D．﹣![](./data/image/media/image18.png)或﹣![](./data/image/media/image19.png) 10．（5分）设函数f（x）=![](./data/image/media/image20.png)，则满足f（f（a））=2^f（a）^的a的取值范围是（　　） A．\[![](./data/image/media/image21.png)，1\] B．\[0，1\] C．\[![](./data/image/media/image21.png)，+∞） D．\[1，+∞） 　 **二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）** 11．（5分）观察下列各式： C![](./data/image/media/image22.png)=4^0^； C![](./data/image/media/image23.png)+C![](./data/image/media/image24.png)=4^1^； C![](./data/image/media/image25.png)+C![](./data/image/media/image26.png)+C![](./data/image/media/image27.png)=4^2^； C![](./data/image/media/image28.png)+C![](./data/image/media/image29.png)+C![](./data/image/media/image30.png)+C![](./data/image/media/image31.png)=4^3^； ... 照此规律，当n∈N^\*^时， C![](./data/image/media/image32.png)+C![](./data/image/media/image33.png)+C![](./data/image/media/image34.png)+...+C![](./data/image/media/image35.png)=[　 　]{.underline}． 12．（5分）若"∀x∈\[0，![](./data/image/media/image36.png)\]，tanx≤m"是真命题，则实数m的最小值为[　 　]{.underline}． 13．（5分）执行右边的程序框图，输出的T的值为[　 　]{.underline}． ![](./data/image/media/image37.png) 14．（5分）已知函数f（x）=a^x^+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是\[﹣1，0\]，则a+b=[　 　]{.underline}． 15．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C~1~：![](./data/image/media/image38.png)﹣![](./data/image/media/image39.png)=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C~2~：x^2^=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C~2~的焦点，则C~1~的离心率为[　 　]{.underline}． 　 **三、解答题** 16．（12分）设f（x）=sinxcosx﹣cos^2^（x+![](./data/image/media/image40.png)）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（![](./data/image/media/image41.png)）=0，a=1，求△ABC面积的最大值． 17．（12分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点． （Ⅰ）求证：BD∥平面FGH； （Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小． ![](./data/image/media/image42.png) 18．（12分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，已知2S~n~=3^n^+3． （Ⅰ）求{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）若数列{b~n~}，满足a~n~b~n~=log~3~a~n~，求{b~n~}的前n项和T~n~． 19．（12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为"三位递增数"（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的"三位递增数"中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的"三位递增数"的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分． （Ⅰ）写出所有个位数字是5的"三位递增数"； （Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX． 20．（13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：![](./data/image/media/image43.png)+![](./data/image/media/image44.png)=1（a＞b＞0）的离心率为![](./data/image/media/image45.png)，左、右焦点分别是F~1~，F~2~，以F~1~为圆心以3为半径的圆与以F~2~为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设椭圆E：![](./data/image/media/image46.png)+![](./data/image/media/image47.png)=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q． （i）求\|![](./data/image/media/image48.png)\|的值； （ii）求△ABQ面积的最大值． 21．（14分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x^2^﹣x），其中a∈R， （Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围． 　 **2015年山东省高考数学试卷（理科）** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）** 1．（5分）已知集合A={x\|x^2^﹣4x+3＜0}，B={x\|2＜x＜4}，则A∩B=（　　） A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4） 【分析】求出集合A，然后求出两个集合的交集． 【解答】解：集合A={x\|x^2^﹣4x+3＜0}={x\|1＜x＜3}，B={x\|2＜x＜4}， 则A∩B={x\|2＜x＜3}=（2，3）． 故选：C． 【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力． 　 2．（5分）若复数z满足![](./data/image/media/image49.png)=i，其中i为虚数单位，则z=（　　） A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可． 【解答】解：![](./data/image/media/image50.png)=i，则![](./data/image/media/image51.png)=i（1﹣i）=1+i， 可得z=1﹣i． 故选：A． 【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查． 　 3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣![](./data/image/media/image52.png)）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（　　）个单位． A．向左平移![](./data/image/media/image53.png) B．向右平移![](./data/image/media/image53.png) C．向左平移![](./data/image/media/image54.png) D．向右平移![](./data/image/media/image54.png) 【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可． 【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣![](./data/image/media/image54.png)）=sin\[4（x﹣![](./data/image/media/image55.png)）\]， 要得到函数y=sin（4x﹣![](./data/image/media/image54.png)）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移![](./data/image/media/image55.png)单位． 故选：B． 【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点． 　 4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则![](./data/image/media/image56.png)=（　　） A．﹣![](./data/image/media/image57.png)a^2^ B．﹣![](./data/image/media/image58.png)a^2^ C．![](./data/image/media/image58.png)a^2^ D．![](./data/image/media/image57.png)a^2^ 【分析】由已知可求![](./data/image/media/image59.png)，![](./data/image/media/image60.png)，根据![](./data/image/media/image56.png)=（![](./data/image/media/image61.png)）•![](./data/image/media/image62.png)=![](./data/image/media/image63.png)代入可求 【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°， ∴![](./data/image/media/image64.png)=a^2^，![](./data/image/media/image65.png)=a×a×cos60°=![](./data/image/media/image66.png)， 则![](./data/image/media/image67.png)=（![](./data/image/media/image61.png)）•![](./data/image/media/image68.png)=![](./data/image/media/image69.png)=![](./data/image/media/image70.png) 故选：D． 【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题 　 5．（5分）不等式\|x﹣1\|﹣\|x﹣5\|＜2的解集是（　　） A．（﹣∞，4） B．（﹣∞，1） C．（1，4） D．（1，5） 【分析】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可． 【解答】解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1； ②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4； ③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈∅． 综上知解集为（﹣∞，4）． 故选：A． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题． 　 6．（5分）已知x，y满足约束条件![](./data/image/media/image71.png)，若z=ax+y的最大值为4，则a=（　　） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 则A（2，0），B（1，1）， 若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2， 此时，目标函数为z=2x+y， 即y=﹣2x+z， 平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件， 若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3， 此时，目标函数为z=3x+y， 即y=﹣3x+z， 平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件， 故a=2， 故选：B． ![](./data/image/media/image72.png) 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键． 　 7．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=![](./data/image/media/image73.png)，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　） A．![](./data/image/media/image74.png) B．![](./data/image/media/image75.png) C．![](./data/image/media/image76.png) D．2π 【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可． 【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥， 几何体的体积为：![](./data/image/media/image77.png)=![](./data/image/media/image78.png)． 故选：C． ![](./data/image/media/image79.png) 【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键． 　 8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3^2^），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（　　） （附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ^2^），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%） A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 【分析】由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P（3＜ξ＜6）=![](./data/image/media/image80.png)（95.44%﹣68.26%），即可得出结论． 【解答】解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%， 所以P（3＜ξ＜6）=![](./data/image/media/image80.png)（95.44%﹣68.26%）=13.59%． 故选：B． 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题． 　 9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）^2^+（y﹣2）^2^=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　） A．﹣![](./data/image/media/image81.png)或﹣![](./data/image/media/image82.png) B．﹣![](./data/image/media/image83.png)或﹣![](./data/image/media/image84.png) C．﹣![](./data/image/media/image85.png)或﹣![](./data/image/media/image86.png) D．﹣![](./data/image/media/image87.png)或﹣![](./data/image/media/image88.png) 【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出． 【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3）， 故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0． ∵反射光线与圆（x+3）^2^+（y﹣2）^2^=1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d=![](./data/image/media/image89.png)=1， 化为24k^2^+50k+24=0， ∴k=![](./data/image/media/image90.png)或﹣![](./data/image/media/image91.png)． 故选：D． 【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题． 　 10．（5分）设函数f（x）=![](./data/image/media/image92.png)，则满足f（f（a））=2^f（a）^的a的取值范围是（　　） A．\[![](./data/image/media/image93.png)，1\] B．\[0，1\] C．\[![](./data/image/media/image93.png)，+∞） D．\[1，+∞） 【分析】令f（a）=t，则f（t）=2^t^，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：令f（a）=t， 则f（t）=2^t^， 当t＜1时，3t﹣1=2^t^， 由g（t）=3t﹣1﹣2^t^的导数为g′（t）=3﹣2^t^ln2， 在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增， 即有g（t）＜g（1）=0， 则方程3t﹣1=2^t^无解； 当t≥1时，2^t^=2^t^成立， 由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥![](./data/image/media/image93.png)，且a＜1； 或a≥1，2^a^≥1解得a≥0，即为a≥1． 综上可得a的范围是a≥![](./data/image/media/image93.png)． 故选：C． 【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键． 　 **二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）** 11．（5分）观察下列各式： C![](./data/image/media/image94.png)=4^0^； C![](./data/image/media/image95.png)+C![](./data/image/media/image96.png)=4^1^； C![](./data/image/media/image97.png)+C![](./data/image/media/image98.png)+C![](./data/image/media/image99.png)=4^2^； C![](./data/image/media/image100.png)+C![](./data/image/media/image101.png)+C![](./data/image/media/image102.png)+C![](./data/image/media/image103.png)=4^3^； ... 照此规律，当n∈N^\*^时， C![](./data/image/media/image104.png)+C![](./data/image/media/image105.png)+C![](./data/image/media/image106.png)+...+C![](./data/image/media/image107.png)=[　4^n﹣1^　]{.underline}． 【分析】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果． 【解答】解：因为C![](./data/image/media/image108.png)=4^0^； C![](./data/image/media/image109.png)+C![](./data/image/media/image110.png)=4^1^； C![](./data/image/media/image111.png)+C![](./data/image/media/image112.png)+C![](./data/image/media/image113.png)=4^2^； C![](./data/image/media/image114.png)+C![](./data/image/media/image115.png)+C![](./data/image/media/image116.png)+C![](./data/image/media/image117.png)=4^3^； ... 照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同， 可得：当n∈N^\*^时，C![](./data/image/media/image118.png)+C![](./data/image/media/image119.png)+C![](./data/image/media/image120.png)+...+C![](./data/image/media/image121.png)=4^n﹣1^； 故答案为：4^n﹣1^． 【点评】本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键． 　 12．（5分）若"∀x∈\[0，![](./data/image/media/image122.png)\]，tanx≤m"是真命题，则实数m的最小值为[　1　]{.underline}． 【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围． 【解答】解："∀x∈\[0，![](./data/image/media/image122.png)\]，tanx≤m"是真命题， 可得tanx≤1，所以，m≥1， 实数m的最小值为：1． 故答案为：1． 【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力． 　 13．（5分）执行右边的程序框图，输出的T的值为[　]{.underline}![](./data/image/media/image123.png)[　]{.underline}． ![](./data/image/media/image124.png) 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：赋值：n=1，T=1， 判断1＜3， 执行T=1+![](./data/image/media/image125.png)=1+![](./data/image/media/image126.png)=1+![](./data/image/media/image127.png)，n=2； 判断2＜3， 执行T=![](./data/image/media/image128.png)+![](./data/image/media/image129.png)=![](./data/image/media/image130.png)=![](./data/image/media/image131.png)，n=3； 判断3＜3不成立，算法结束，输出T=![](./data/image/media/image132.png)． 故答案为：![](./data/image/media/image132.png)． 【点评】本题考查程序框图，考查定积分的求法，是基础题． 　 14．（5分）已知函数f（x）=a^x^+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是\[﹣1，0\]，则a+b=[　]{.underline}![](./data/image/media/image133.png)[　]{.underline}． 【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案． 【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a^x^+b在定义域上是增函数， 所以![](./data/image/media/image134.png)， 解得b=﹣1，![](./data/image/media/image135.png)=0不符合题意舍去； 当0＜a＜1时，函数f（x）=a^x^+b在定义域上是减函数， 所以 ![](./data/image/media/image136.png)， 解得b=﹣2，a=![](./data/image/media/image137.png)， 综上a+b=![](./data/image/media/image138.png)， 故答案为：![](./data/image/media/image138.png) 【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题． 　 15．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C~1~：![](./data/image/media/image139.png)﹣![](./data/image/media/image140.png)=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C~2~：x^2^=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C~2~的焦点，则C~1~的离心率为[　]{.underline}![](./data/image/media/image141.png)[　]{.underline}． 【分析】求出A的坐标，可得![](./data/image/media/image142.png)=![](./data/image/media/image143.png)，利用△OAB的垂心为C~2~的焦点，可得![](./data/image/media/image143.png)×（﹣![](./data/image/media/image144.png)）=﹣1，由此可求C~1~的离心率． 【解答】解：双曲线C~1~：![](./data/image/media/image145.png)﹣![](./data/image/media/image146.png)=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±![](./data/image/media/image144.png)x， 与抛物线C~2~：x^2^=2py联立，可得x=0或x=±![](./data/image/media/image147.png)， 取A（![](./data/image/media/image147.png)，![](./data/image/media/image148.png)），设垂心H（0，![](./data/image/media/image149.png)）， 则k~AH~=![](./data/image/media/image150.png)=![](./data/image/media/image151.png)， ∵△OAB的垂心为C~2~的焦点， ∴![](./data/image/media/image152.png)×（﹣![](./data/image/media/image153.png)）=﹣1， ∴5a^2^=4b^2^， ∴5a^2^=4（c^2^﹣a^2^） ∴e=![](./data/image/media/image154.png)=![](./data/image/media/image155.png)． 故答案为：![](./data/image/media/image155.png)． 【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键． 　 **三、解答题** 16．（12分）设f（x）=sinxcosx﹣cos^2^（x+![](./data/image/media/image156.png)）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（![](./data/image/media/image157.png)）=0，a=1，求△ABC面积的最大值． 【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣![](./data/image/media/image158.png)，由2k![](./data/image/media/image159.png)≤2x≤2k![](./data/image/media/image160.png)，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k![](./data/image/media/image160.png)≤2x≤2k![](./data/image/media/image161.png)，k∈Z可解得单调递减区间． （Ⅱ）由f（![](./data/image/media/image162.png)）=sinA﹣![](./data/image/media/image163.png)=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc![](./data/image/media/image164.png)，且当b=c时等号成立，从而可求![](./data/image/media/image163.png)bcsinA≤![](./data/image/media/image165.png)，从而得解． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=![](./data/image/media/image163.png)sin2x﹣![](./data/image/media/image166.png) =![](./data/image/media/image167.png)sin2x﹣![](./data/image/media/image168.png) =sin2x﹣![](./data/image/media/image167.png) 由2k![](./data/image/media/image169.png)≤2x≤2k![](./data/image/media/image170.png)，k∈Z可解得：k![](./data/image/media/image171.png)≤x≤k![](./data/image/media/image172.png)，k∈Z； 由2k![](./data/image/media/image173.png)≤2x≤2k![](./data/image/media/image174.png)，k∈Z可解得：k![](./data/image/media/image175.png)≤x≤k![](./data/image/media/image176.png)，k∈Z； 所以f（x）的单调递增区间是\[k![](./data/image/media/image177.png)，k![](./data/image/media/image175.png)\]，（k∈Z）；单调递减区间是：\[k![](./data/image/media/image175.png)，k![](./data/image/media/image178.png)\]，（k∈Z）； （Ⅱ）由f（![](./data/image/media/image179.png)）=sinA﹣![](./data/image/media/image180.png)=0，可得sinA=![](./data/image/media/image180.png)， 由题意知A为锐角，所以cosA=![](./data/image/media/image181.png)， 由余弦定理a^2^=b^2^+c^2^﹣2bccosA， 可得：1+![](./data/image/media/image182.png)bc=b^2^+c^2^≥2bc，即bc![](./data/image/media/image183.png)，且当b=c时等号成立． 因此S=![](./data/image/media/image184.png)bcsinA≤![](./data/image/media/image185.png)， 所以△ABC面积的最大值为![](./data/image/media/image185.png)． 【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查． 　 17．（12分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点． （Ⅰ）求证：BD∥平面FGH； （Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小． ![](./data/image/media/image186.png) 【分析】（Ⅰ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH； （Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明![](./data/image/media/image187.png)为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为![](./data/image/media/image188.png)，根据![](./data/image/media/image189.png)即可求出法向量![](./data/image/media/image190.png)，设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ，根据cosθ=![](./data/image/media/image191.png)即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小． 【解答】解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB； △DEF∽△ABC，又AB=2DE， ∴BC=2EF=2BH， ∴四边形EFHB为平行四边形； ∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH； ∴BE∥平面FGH； 同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB； 又DE∥AB； ∴DE∥GH； ∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E； ∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE； ∴BD∥平面FGH； （Ⅱ）连接HE，则HE∥CF； ∵CF⊥平面ABC； ∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC； ∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则： ![](./data/image/media/image192.png) H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（﹣1，0，0）； 连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点； ∴BG⊥AC； 又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC； ∴BG⊥CF，AC∩CF=C； ∴BG⊥平面ACFD； ∴向量![](./data/image/media/image193.png)为平面ACFD的法向量； 设平面FGH的法向量为![](./data/image/media/image194.png)，则： ![](./data/image/media/image195.png)，取z=1，则：![](./data/image/media/image196.png)； 设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=\|cos![](./data/image/media/image197.png)\|=![](./data/image/media/image198.png)； ∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°． 【点评】考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义． 　 18．（12分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，已知2S~n~=3^n^+3． （Ⅰ）求{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）若数列{b~n~}，满足a~n~b~n~=log~3~a~n~，求{b~n~}的前n项和T~n~． 【分析】（Ⅰ）利用2S~n~=3^n^+3，可求得a~1~=3；当n＞1时，2S~n﹣1~=3^n﹣1^+3，两式相减2a~n~=2S~n~﹣2S~n﹣1~，可求得a~n~=3^n﹣1^，从而可得{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）依题意，a~n~b~n~=log~3~a~n~，可得b~1~=![](./data/image/media/image199.png)，当n＞1时，b~n~=3^1﹣n^•log~3~3^n﹣1^=（n﹣1）×3^1﹣n^，于是可求得T~1~=b~1~=![](./data/image/media/image199.png)；当n＞1时，T~n~=b~1~+b~2~+...+b~n~=![](./data/image/media/image199.png)+（1×3^﹣1^+2×3^﹣2^+...+（n﹣1）×3^1﹣n^），利用错位相减法可求得{b~n~}的前n项和T~n~． 【解答】解：（Ⅰ）因为2S~n~=3^n^+3，所以2a~1~=3^1^+3=6，故a~1~=3， 当n＞1时，2S~n﹣1~=3^n﹣1^+3， 此时，2a~n~=2S~n~﹣2S~n﹣1~=3^n^﹣3^n﹣1^=2×3^n﹣1^，即a~n~=3^n﹣1^， 所以a~n~=![](./data/image/media/image200.png)． （Ⅱ）因为a~n~b~n~=log~3~a~n~，所以b~1~=![](./data/image/media/image199.png)， 当n＞1时，b~n~=3^1﹣n^•log~3~3^n﹣1^=（n﹣1）×3^1﹣n^， 所以T~1~=b~1~=![](./data/image/media/image201.png)； 当n＞1时，T~n~=b~1~+b~2~+...+b~n~=![](./data/image/media/image201.png)+（1×3^﹣1^+2×3^﹣2^+...+（n﹣1）×3^1﹣n^）， 所以3T~n~=1+（1×3^0^+2×3^﹣1^+3×3^﹣2^+...+（n﹣1）×3^2﹣n^）， 两式相减得：2T~n~=![](./data/image/media/image202.png)+（3^0^+3^﹣1^+3^﹣2^+...+3^2﹣n^﹣（n﹣1）×3^1﹣n^）=![](./data/image/media/image202.png)+![](./data/image/media/image203.png)﹣（n﹣1）×3^1﹣n^=![](./data/image/media/image204.png)﹣![](./data/image/media/image205.png)， 所以T~n~=![](./data/image/media/image206.png)﹣![](./data/image/media/image207.png)，经检验，n=1时也适合， 综上可得T~n~=![](./data/image/media/image206.png)﹣![](./data/image/media/image207.png)． 【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查"错位相减法"求和，考查分析、运算能力，属于中档题． 　 19．（12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为"三位递增数"（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的"三位递增数"中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的"三位递增数"的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分． （Ⅰ）写出所有个位数字是5的"三位递增数"； （Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX． 【分析】（Ⅰ）根据"三位递增数"的定义，即可写出所有个位数字是5的"三位递增数"； （Ⅱ）随机变量X的取值为：0，﹣1，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望． 【解答】解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的"三位递增数"有：125，135，145，235，245，345； （Ⅱ）由题意知，全部"三位递增数"的个数为![](./data/image/media/image208.png)， 随机变量X的取值为：0，﹣1，1， 当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即![](./data/image/media/image209.png)； 当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，7，9中选择两个数字和5进行组合，即![](./data/image/media/image210.png)； 当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即![](./data/image/media/image210.png)；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即![](./data/image/media/image211.png)． 则P（X=0）=![](./data/image/media/image212.png)=![](./data/image/media/image213.png)，P（X=﹣1）=![](./data/image/media/image214.png)=![](./data/image/media/image215.png)，P（X=1）=![](./data/image/media/image216.png)=![](./data/image/media/image217.png)， --- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- X 0 ﹣1 1 P ![](./data/image/media/image218.png) ![](./data/image/media/image219.png) ![](./data/image/media/image217.png) --- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- EX=0×![](./data/image/media/image218.png)+（﹣1）×![](./data/image/media/image219.png)+1×![](./data/image/media/image220.png)=![](./data/image/media/image221.png)． 【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键． 　 20．（13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：![](./data/image/media/image222.png)+![](./data/image/media/image223.png)=1（a＞b＞0）的离心率为![](./data/image/media/image224.png)，左、右焦点分别是F~1~，F~2~，以F~1~为圆心以3为半径的圆与以F~2~为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设椭圆E：![](./data/image/media/image225.png)+![](./data/image/media/image226.png)=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q． （i）求\|![](./data/image/media/image227.png)\|的值； （ii）求△ABQ面积的最大值． 【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程； （Ⅱ）求得椭圆E的方程，（i）设P（x~0~，y~0~），\|![](./data/image/media/image228.png)\|=λ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值； （ii）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，PF~1~+PF~2~=2a=4，可得a=2， 又![](./data/image/media/image229.png)=![](./data/image/media/image230.png)，a^2^﹣c^2^=b^2^， 可得b=1，即有椭圆C的方程为![](./data/image/media/image231.png)+y^2^=1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为![](./data/image/media/image232.png)+![](./data/image/media/image233.png)=1， （i）设P（x~0~，y~0~），\|![](./data/image/media/image228.png)\|=λ，由题意可知， Q（﹣λx~0~，﹣λy~0~），由于![](./data/image/media/image234.png)+y~0~^2^=1， 又![](./data/image/media/image235.png)+![](./data/image/media/image236.png)=1，即![](./data/image/media/image237.png)（![](./data/image/media/image234.png)+y~0~^2^）=1， 所以λ=2，即\|![](./data/image/media/image238.png)\|=2； （ii）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得 （1+4k^2^）x^2^+8kmx+4m^2^﹣16=0，由△＞0，可得m^2^＜4+16k^2^，① 则有x~1~+x~2~=﹣![](./data/image/media/image239.png)，x~1~x~2~=![](./data/image/media/image240.png)，所以\|x~1~﹣x~2~\|=![](./data/image/media/image241.png)， 由直线y=kx+m与y轴交于（0，m）， 则△AOB的面积为S=![](./data/image/media/image242.png)\|m\|•\|x~1~﹣x~2~\|=![](./data/image/media/image242.png)\|m\|•![](./data/image/media/image243.png) =2![](./data/image/media/image244.png)，设![](./data/image/media/image245.png)=t，则S=2![](./data/image/media/image246.png)， 将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k^2^）x^2^+8kmx+4m^2^﹣4=0， 由△≥0可得m^2^≤1+4k^2^，② 由①②可得0＜t≤1，则S=2![](./data/image/media/image247.png)在（0，1\]递增，即有t=1取得最大值， 即有S![](./data/image/media/image248.png)，即m^2^=1+4k^2^，取得最大值2![](./data/image/media/image249.png)， 由（i）知，△ABQ的面积为3S， 即△ABQ面积的最大值为6![](./data/image/media/image249.png)． ![](./data/image/media/image250.png) 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题． 　 21．（14分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x^2^﹣x），其中a∈R， （Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围． 【分析】（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x^2^﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．![](./data/image/media/image251.png)=![](./data/image/media/image252.png)．令g（x）=2ax^2^+ax﹣a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时，此时f′（x）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况． （2）当a＞0时，△=a（9a﹣8）．①当![](./data/image/media/image253.png)时，△≤0，②当a![](./data/image/media/image254.png)时，△＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况． （3）当a＜0时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况． （II）由（I）可知：（1）当0≤a![](./data/image/media/image255.png)时，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出． （2）当![](./data/image/media/image256.png)＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x~2~≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出． （3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x~2~＞0，利用x∈（0，x~2~）时函数f（x）单调性，即可判断出； （4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出 【解答】解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x^2^﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）． ![](./data/image/media/image257.png)=![](./data/image/media/image258.png)． 令g（x）=2ax^2^+ax﹣a+1． （1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点． （2）当a＞0时，△=a^2^﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）． ①当![](./data/image/media/image259.png)时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点． ②当a![](./data/image/media/image260.png)时，△＞0，设方程2ax^2^+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x~1~，x~2~，x~1~＜x~2~． ∵x~1~+x~2~=![](./data/image/media/image261.png)， ∴![](./data/image/media/image262.png)，![](./data/image/media/image263.png)． 由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x~1~![](./data/image/media/image264.png)． ∴当x∈（﹣1，x~1~）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； 当x∈（x~1~，x~2~）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减； 当x∈（x~2~，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增． 因此函数f（x）有两个极值点． （3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x~1~＜﹣1＜x~2~． ∴当x∈（﹣1，x~2~）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； 当x∈（x~2~，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减． 因此函数f（x）有一个极值点． 综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点； 当0≤a![](./data/image/media/image265.png)时，函数f（x）无极值点； 当a![](./data/image/media/image266.png)时，函数f（x）有两个极值点． （II）由（I）可知： （1）当0≤a![](./data/image/media/image267.png)时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增． ∵f（0）=0， ∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意． （2）当![](./data/image/media/image268.png)＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x~2~≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增． 又f（0）=0， ∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意． （3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x~2~＞0， ∴x∈（0，x~2~）时，函数f（x）单调递减． 又f（0）=0， ∴x∈（0，x~2~）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去； （4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=![](./data/image/media/image269.png)＞0． ∴h（x）在（0，+∞）上单调递增． 因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x， 可得：f（x）＜x+a（x^2^﹣x）=ax^2^+（1﹣a）x， 当x＞![](./data/image/media/image270.png)时， ax^2^+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去． 综上所述，a的取值范围为\[0，1\]． 【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题． 　
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**2021年普通高等学校招生全国统一考试** **数学** **本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.** **注意事项：** **1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2*B*铅笔将试卷类型(*A*)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角"条形码粘贴处".** **2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.** **3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.** **4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.** **一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.** 1\. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求. 【详解】由题设有， 故选：B . 2\. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】因为，故，故 故选：C. 3\. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求. 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得. 故选：B. 4\. 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论. 【详解】因为函数的单调递增区间为， 对于函数，由， 解得， 取，可得函数的一个单调递增区间为， 则，，A选项满足条件，B不满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为， 且，，CD选项均不满足条件![](./data/image/media/image49.wmf) 故选：A. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 5\. 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解. 6\. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 7\. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示： ![](./data/image/media/image104.png) 由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知. ![](./data/image/media/image107.png) 故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 8\. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件"第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件"第二次取出的球的数字是2"，丙表示事件"两次取出的球的数字之和是8"，丁表示事件"两次取出的球的数字之和是7"，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件概率关系逐一判断 【详解】 ， 故选：B 【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立 **二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.** 9\. 有一组样本数据，，...，，由这组数据得到新样本数据，，...，，其中(为非零常数，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据![](./data/image/media/image121.wmf)样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样数据的样本极差相同 【答案】CD 【解析】 【分析】A、C利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误. 【详解】A：且，故平均数不相同，错误； B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误； C：，故方差相同，正确； D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确； 故选：CD 10\. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说**故错误；** 故选：AC 11\. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： ![](./data/image/media/image173.png) 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 12\. ![](./data/image/media/image183.wmf)正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】![](./data/image/media/image198.png) 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． **三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.** 13\. 已知函数是偶函数，则\_\_\_\_\_\_. 【答案】1 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可求参数的值. 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1 14\. 已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为\_\_\_\_\_\_. 【答案】 【解析】 【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果. 【详解】抛物线**： ()**的焦点, ∵*P*为上一点，与轴垂直， 所以*P*的横坐标为，代入抛物线方程求得*P*的纵坐标为, 不妨设, 因为*Q*为轴上一点，且，所以*Q*在*F*的右侧， 又， 因为，所以, ， 所以的准线方程为 故答案为：. 【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 15\. 函数的最小值为\_\_\_\_\_\_. 【答案】1 【解析】 【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 16\. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为\_\_\_\_\_\_；如果对折次，那么\_\_\_\_\_\_. 【答案】 (1). 5 (2). 【解析】 【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果. 【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位； 故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格； （2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第*n*次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想， 设， 则， 两式作差得： ， 因此，. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. **四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.** 17\. 已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题设中的递推关系可得，从而可求的通项. （2）根据题设中的递推关系可得的前项和为可化为，利用（1）的结果可求. 【详解】（1）由题设可得 又，， 故，即，即 所以为等差数列，故. （2）设的前项和为，则， 因为， 所以 . 【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题. 18\. 某学校组织"一带一路"知识竞赛，有*A*，*B*两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.*A*类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；*B*类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答*A*类问题的概率为0.8，能正确回答*B*类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答*A*类问题，记为小明的累计得分，求的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）类． 【解析】 【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以的分布列为 -- -- -- -- -- -- -- -- （2）由（1）知，． 若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，． ； ； ． 所以． 因为，所以小明应选择先回答类问题． 19\. 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. （2）由题设，应用余弦定理求、，又，可得，结合已知及余弦定理即可求. 【详解】![](./data/image/media/image370.png) （1）由题设，，由正弦定理知：，即， ∴，又， ∴，得证. （2）由题意知：， ∴，同理， ∵， ∴，整理得，又， ∴，整理得，解得或， 由余弦定理知：， 当时，不合题意；当时，； 综上，. 【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及得到的数量关系，结合已知条件及余弦定理求. 20\. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. ![](./data/image/media/image389.png) （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)详见解析(2) 【解析】 ![](./data/image/media/image398.wmf)分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果； （2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果. 【详解】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD 因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD， 因此AO⊥平面BCD， 因为平面BCD，所以AO⊥CD (2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连FM 因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD 所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC 因为FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF 则为二面角E-BC-D的平面角, 因为,为正三角形,所以为直角三角形 因为, 从而EF=FM= 平面BCD, 所以 ![](./data/image/media/image413.png) 【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法. 21\. 在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程； （2）设点，设直线的方程为，设点、，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，求出的表达式，设直线的斜率为，同理可得出的表达式，由化简可得的值. 【详解】因为， 所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为，则，可得，， 所以，轨迹的方程为； （2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点， 不妨直线的方程为，即， 联立，消去并整理可得， 设点、，则且. 由韦达定理可得，， 所以，， 设直线的斜率为，同理可得， 因为，即，整理可得， 即，显然，故. 因此，直线与直线的斜率之和为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见![](./data/image/media/image121.wmf)方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 22\. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间； （2）设，原不等式等价于，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设，从而把转化为在上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 当时，，当时，， 故的递增区间为，递减区间为. （2）因为，故，即， 故， 设，由（1）可知不妨设. 因为时，，时，， 故. 先证：， 若，必成立. 若， 要证：，即证，而， 故即证，即证：，其中. 设， 则， 因为，故，故， 所以，故在为增函数，所以， 故，即成立，所以成立， 综上，成立. 设，则， 结合，可得：， 即：，故， 要证：，即证，即证， 即证：，即证：， 令， 则， 先证明一个不等式：. 设，则， 当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数，故， 故成立 由上述不等式可得当时，，故恒成立， 故在上为减函数，故， 故成立，即成立. 综上所述，. 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题. ![](./data/image/media/image518.png) 本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。 > 登录组卷网可对本试卷进行**单题组卷**、**细目表分析**、**布置作业**、**举一反三**等操作。 试卷地址：[[在组卷网浏览本卷]{.underline}](http://zujuan.xkw.com/qbm/paper/2738003028606976) 组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过900万精品解析试题。 关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。 ![](./data/image/media/image519.jpeg) 学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。 钱老师 QQ：537008204    曹老师 QQ：713000635
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**2019年浙江省杭州市中考数学试卷** **一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；** 1．（3分）（2019•杭州）计算下列各式，值最小的是　　 A． B． C． D． 2．（3分）（2019•杭州）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则　　 A．， B．， C．， D．， 3．（3分）（2019•杭州）如图，为圆外一点，，分别切圆于，两点，若，则　　 ![](./data/image/media/image30.png) A．2 B．3 C．4 D．5 4．（3分）（2019•杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有人，则　　 A． B． C． D． 5．（3分）（2019•杭州）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的各位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是　　 A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 6．（3分）（2019•杭州）如图，在中，点，分别在和上，，为边上一点（不与点，重合），连接交于点，则　　 ![](./data/image/media/image55.png) A． B． C． D． 7．（3分）（2019•杭州）在中，若一个内角等于另外两个内角的差，则　　 A．必有一个内角等于 B．必有一个内角等于 C．必有一个内角等于 D．必有一个内角等于 8．（3分）（2019•杭州）已知一次函数和，函数和的图象可能是　　 A．![](./data/image/media/image73.png) B．![](./data/image/media/image74.png) C．![](./data/image/media/image75.png) D．![](./data/image/media/image76.png) 9．（3分）（2019•杭州）如图，一块矩形木板斜靠在墙边，点，，，，在同一平面内），已知，，，则点到的距离等于　　 ![](./data/image/media/image91.png) A． B． C． D． 10．（3分）（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则　　 A．或 B．或 C．或 D．或 **二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分；** 11．（4分）（2019•杭州）因式分解：[　 　]{.underline}． 12．（4分）（2019•杭州）某计算机程序第一次算得个数据的平均数为，第二次算得另外个数据的平均数为，则这个数据的平均数等于[　　]{.underline}． 13．（4分）（2019•杭州）一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于[　　]{.underline}（结果精确到个位）． 14．（4分）（2019•杭州）在直角三角形中，若，则[　　]{.underline}． 15．（4分）（2019•杭州）某函数满足当自变量时，函数值，当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式[　　]{.underline}． 16．（4分）（2019•杭州）如图，把某矩形纸片沿，折叠（点，在边上，点，在边上），使点和点落在边上同一点处，点的对称点为点，点的对称点为点，若，△的面积为4，△的面积为1，则矩形的面积等于[　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image150.png) **三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.** 17．（6分）（2019•杭州）化简： 圆圆的解答如下： 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案． 18．（8分）（2019•杭州）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）． 实际称量读数和记录数据统计表 +------+----+----+----+----+----+ | 序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | | | | | | | | 数据 | | | | | | +------+----+----+----+----+----+ | 甲组 | 48 | 52 | 47 | 49 | 54 | +------+----+----+----+----+----+ | 乙组 | | 2 | | | 4 | +------+----+----+----+----+----+ ![](./data/image/media/image156.png) （1）补充完成乙组数据的折线统计图． （2）①甲，乙两组数据的平均数分别为，，写出与之间的等量关系． ②甲，乙两组数据的方差分别为，，比较与的大小，并说明理由． 19．（8分）（2019•杭州）如图，在中，． （1）已知线段的垂直平分线与边交于点，连接，求证：． （2）以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接．若，求的度数． ![](./data/image/media/image179.png) 20．（10分）（2019•杭州）方方驾驶小汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为（单位：小时），行驶速度为（单位：千米小时），且全程速度限定为不超过120千米小时． （1）求关于的函数表达式； （2）方方上午8点驾驶小汽车从地出发． ①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达地，求小汽车行驶速度的范围． ②方方能否在当天11点30分前到达地？说明理由． 21．（10分）（2019•杭州）如图，已知正方形的边长为1，正方形的面积为，点在边上，点在的延长线上，设以线段和为邻边的矩形的面积为，且． （1）求线段的长； （2）若点为边的中点，连接，求证：． ![](./data/image/media/image208.png) 22．（12分）（2019•杭州）设二次函数，是实数）． （1）甲求得当时，；当时，；乙求得当时，．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由． （2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含，的代数式表示）． （3）已知二次函数的图象经过和两点，是实数），当时，求证：． 23．（12分）（2019•杭州）如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接． （1）若， ①求证：． ②当时，求面积的最大值． （2）点在线段上，，连接，设，，是正数），若，求证：． ![](./data/image/media/image243.png) **2019年浙江省杭州市中考数学试卷** **参考答案与试题解析** **一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；** 1．（3分）计算下列各式，值最小的是　　 A． B． C． D． 【考点】：有理数的混合运算 【分析】有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【解答】解：， ． ． ．， 故选：． 2．（3分）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则　　 A．， B．， C．， D．， 【考点】：关于轴、轴对称的点的坐标 【分析】直接利用关于轴对称点的性质得出答案． 【解答】解：点与点关于轴对称， ，． 故选：． 3．（3分）如图，为圆外一点，，分别切圆于，两点，若，则　　 ![](./data/image/media/image30.png) A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】：切线的性质 【分析】连接、、，根据切线的性质得出，，然后证得，即可求得． 【解答】解：连接、、， ，分别切圆于，两点， ，， 在和中， ， ， ， 故选：． 4．（3分）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有人，则　　 A． B． C． D． 【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程 【分析】直接根据题意表示出女生人数，进而利用30位学生种树72棵，得出等式求出答案． 【解答】解：设男生有人，则女生人，根据题意可得： ． 故选：． 5．（3分）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的各位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是　　 A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 【考点】：算术平均数；：中位数；：方差；：标准差 【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断． 【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46，与第4个数无关． 故选：． 6．（3分）如图，在中，点，分别在和上，，为边上一点（不与点，重合），连接交于点，则　　 ![](./data/image/media/image55.png) A． B． C． D． 【考点】：相似三角形的判定与性质 【分析】先证明得到，再证明得到，则，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ． 故选：． 7．（3分）在中，若一个内角等于另外两个内角的差，则　　 A．必有一个内角等于 B．必有一个内角等于 C．必有一个内角等于 D．必有一个内角等于 【考点】：三角形内角和定理 【分析】根据三角形内角和定理得出，把代入求出即可． 【解答】解：，， ， ， 是直角三角形， 故选：． ![](./data/image/media/image324.png) 8．（3分）已知一次函数和，函数和的图象可能是　　 A．![](./data/image/media/image73.png) B．![](./data/image/media/image74.png) C．![](./data/image/media/image75.png) D．![](./data/image/media/image76.png) 【考点】：一次函数的图象 【分析】根据直线①判断出、的符号，然后根据、的符号判断出直线②经过的象限即可，做出判断． 【解答】解：、由①可知：，． 直线②经过一、二、三象限，故正确； 、由①可知：，． 直线②经过一、二、三象限，故错误； 、由①可知：，． 直线②经过一、二、四象限，交点不对，故错误； 、由①可知：，， 直线②经过二、三、四象限，故错误． 故选：． 9．（3分）如图，一块矩形木板斜靠在墙边，点，，，，在同一平面内），已知，，，则点到的距离等于　　 ![](./data/image/media/image91.png) A． B． C． D． 【考点】：解直角三角形的应用坡度坡角问题；：矩形的性质 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点到的距离，本题得以解决． 【解答】解：作于点，作于点， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ，， ， 故选：． ![](./data/image/media/image371.png) 10．（3分）在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则　　 A．或 B．或 C．或 D．或 【考点】：抛物线与轴的交点 【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与轴的交点个数，若一次函数，则与轴只有一个交点，据此解答． 【解答】解：， △， 函数的图象与轴有2个交点， ， 函数， 当时，△，函数的图象与轴有2个交点，即，此时； 当时，不妨令，，，函数为一次函数，与轴有一个交点，即，此时； 综上可知，或． 故选：． **二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分；** 11．（4分）因式分解：[　　]{.underline}． 【考点】54：因式分解运用公式法 【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解． 【解答】解：， 故答案为：． 12．（4分）某计算机程序第一次算得个数据的平均数为，第二次算得另外个数据的平均数为，则这个数据的平均数等于[　　]{.underline}． 【考点】：加权平均数 【分析】直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数． 【解答】解：某计算机程序第一次算得个数据的平均数为，第二次算得另外个数据的平均数为， 则这个数据的平均数等于：． 故答案为：． 13．（4分）一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于[　113　]{.underline}（结果精确到个位）． 【考点】：近似数和有效数字；：圆锥的计算 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【解答】解：这个冰淇淋外壳的侧面积． 故答案为113． 14．（4分）在直角三角形中，若，则[　或　]{.underline}． 【考点】：锐角三角函数的定义 【分析】讨论：若，设，则，利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求的值；若，设，则，利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求的值． 【解答】解：若，设，则，所以，所以； 若，设，则，所以，所以； 综上所述，的值为或． 故答案为或． 15．（4分）某函数满足当自变量时，函数值，当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式[　　]{.underline}． 【考点】：反比例函数的性质；：正比例函数的性质；：一次函数的性质；：二次函数的性质 【分析】根据题意写出一个一次函数即可． 【解答】解：设该函数的解析式为， 函数满足当自变量时，函数值，当自变量时，函数值， 解得：， 所以函数的解析式为， 故答案为：． 16．（4分）如图，把某矩形纸片沿，折叠（点，在边上，点，在边上），使点和点落在边上同一点处，点的对称点为点，点的对称点为点，若，△的面积为4，△的面积为1，则矩形的面积等于[　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image502.png) 【考点】：矩形的性质；：翻折变换（折叠问题） 【分析】设，由翻折可知：，，因为△的面积为4，△的面积为1，推出，设，则，由△△，推出，推出，可得，再利用三角形的面积公式求出即可解决问题． 【解答】解：四边形是矩形， ，，设， 由翻折可知：，， △的面积为4，△的面积为1， ，设，则， △△， ， ， ， 或（舍弃）， ， ， ， ， ，，， ， 矩形的面积． 故答案为 **三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.** 17．（6分）化简： 圆圆的解答如下： 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案． 【考点】：分式的加减法 【分析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案． 【解答】解：圆圆的解答错误， 正确解法： ． 18．（8分）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）． 实际称量读数和记录数据统计表 +------+----+----+----+----+----+ | 序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | | | | | | | | 数据 | | | | | | +------+----+----+----+----+----+ | 甲组 | 48 | 52 | 47 | 49 | 54 | +------+----+----+----+----+----+ | 乙组 | | 2 | | | 4 | +------+----+----+----+----+----+ ![](./data/image/media/image156.png) （1）补充完成乙组数据的折线统计图． （2）①甲，乙两组数据的平均数分别为，，写出与之间的等量关系． ②甲，乙两组数据的方差分别为，，比较与的大小，并说明理由． 【考点】：算术平均数；：折线统计图；：方差 【分析】（1）利用描点法画出折线图即可． （2）利用方差公式计算即可判断． 【解答】解：（1）乙组数据的折线统计图如图所示： ![](./data/image/media/image564.png) （2）①． ②． 理由：． ， ． 19．（8分）如图，在中，． （1）已知线段的垂直平分线与边交于点，连接，求证：． （2）以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接．若，求的度数． ![](./data/image/media/image179.png) 【考点】：线段垂直平分线的性质；：等腰三角形的性质 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知，根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的外角性质即可证得； （2）根据题意可知，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和公式即可解答． 【解答】解：（1）证明：线段的垂直平分线与边交于点， ， ， ， ； （2）根据题意可知， ， ，， ， ， ， ． 20．（10分）方方驾驶小汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为（单位：小时），行驶速度为（单位：千米小时），且全程速度限定为不超过120千米小时． （1）求关于的函数表达式； （2）方方上午8点驾驶小汽车从地出发． ①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达地，求小汽车行驶速度的范围． ②方方能否在当天11点30分前到达地？说明理由． 【考点】：反比例函数的应用 【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入关于的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围； ②8点至11点30分时间长为小时，将其代入关于的函数表达式，可得速度大于120千米时，从而得答案． 【解答】解：（1），且全程速度限定为不超过120千米小时， 关于的函数表达式为：，． （2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时 将代入得；将代入得． 小汽车行驶速度的范围为：． ②方方不能在当天11点30分前到达地．理由如下： 8点至11点30分时间长为小时，将代入得千米小时，超速了． 故方方不能在当天11点30分前到达地． 21．（10分）如图，已知正方形的边长为1，正方形的面积为，点在边上，点在的延长线上，设以线段和为邻边的矩形的面积为，且． （1）求线段的长； （2）若点为边的中点，连接，求证：． ![](./data/image/media/image208.png) 【考点】：矩形的性质；：正方形的性质 【分析】（1）设出正方形的边长，然后根据，即可求得线段的长； （2）根据（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出和的长，即可证明结论成立． 【解答】解：（1）设正方形的边长为， 正方形的边长为1， ， ， ， 解得，（舍去），， 即线段的长是； （2）证明：点为边的中点，， ， ， ，， ， ． 22．（12分）设二次函数，是实数）． （1）甲求得当时，；当时，；乙求得当时，．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由． （2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含，的代数式表示）． （3）已知二次函数的图象经过和两点，是实数），当时，求证：． 【考点】：抛物线与轴的交点；：二次函数的性质；：二次函数的最值；：二次函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）将，代入求出函数解析式即可求解； （2）对称轴为，当时，是函数的最小值； （3）将已知两点代入求出，，再表示出，由已知，可求出，，即可求解． 【解答】解：（1）当时，；当时，； 二次函数经过点，， ，， ， 当时，， 乙说点的不对； （2）对称轴为， 当时，是函数的最小值； （3）二次函数的图象经过和两点， ，， ， ，， ． 23．（12分）如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接． （1）若， ①求证：． ②当时，求面积的最大值． （2）点在线段上，，连接，设，，是正数），若，求证：． ![](./data/image/media/image243.png) 【考点】：圆的综合题 【分析】（1）①连接、，则，即可求解；②长度为定值，面积的最大值，要求边上的高最大，即可求解； （2），而，即可求解． 【解答】解：（1）①连接、， ![](./data/image/media/image705.png) 则， ， ； ②长度为定值， 面积的最大值，要求边上的高最大， 当过点时，最大，即：， 面积的最大值； （2）如图2，连接， ![](./data/image/media/image719.png) 设：， 则，， 则， ， ， ，， 即：， 化简得：．
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自主招生数学试卷（三） 一，选择题： ![](./data/image/media/image1.wmf) 1. **复数** **A． B． C． D．** 2．若""是""的充分不必要条件，则的取值范围是 **A.**![](./data/image/media/image9.wmf) **B.**![](./data/image/media/image10.wmf) **C.**![](./data/image/media/image11.wmf) **D.**![](./data/image/media/image12.wmf) 3．当0＜*x*＜1时，则下列大小关系正确的是 **A.***x* ^3^＜3^x^＜log~3~*x* **B.**3^x^＜*x* ^3^＜log~3~ *x* **C.**log~3~ *x*＜*x* ^3^＜3^x^ **D.**log~3~ *x*＜3^x^＜*x* ^3^ 4\. 从一个棱长为1的正方体中切去若干部分，得到一个几何体，其三视图如下图，则该几何体的体积为 **A.** **B.** **C.** **D.** 5．在等比数列![](./data/image/media/image17.wmf)中，若![](./data/image/media/image18.wmf)， ![](./data/image/media/image19.wmf)，则![](./data/image/media/image20.wmf)等于 > A．![](./data/image/media/image21.wmf) B．![](./data/image/media/image22.wmf) C．![](./data/image/media/image23.wmf) D．![](./data/image/media/image24.wmf) 6.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题："今 有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？"其意思为："已知直角三角形两直角边 长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？"现若向此三角形内投豆子，则落 在其内切圆内的概率是 **A. B. C. D.** 7．设，满足约束条件，则目标函数的最小值为 **A.** **B.** **C.** **D.** > **8．设函数，把的图象按向量平移后，图象恰为函数** > > **的图象，则的值可以是** **A. B. C. D.** ![](./data/image/media/image46.png)9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了"割圆术"．利用"割圆术"刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的"徽率"．如图是利用刘徽的"割圆术"思想设计的一个程序框图，则输出的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305） **A.** 12 **B.**18 **C.**24 **D.** 32 **10.**已知函数，则的图像大致为 ![](./data/image/media/image50.png) 11.设点是椭圆（）上一点，*F*~1~，*F*~2~分别是椭圆的左、右焦点，*I*为△*PF*~1~*F*~2~的内心，若 *S*~△*IPF*1~＋*S*~△*IPF*2~＝2*S*~△*IF*1*F*2~，则该椭圆的离心率是 A． B. C. D. 12．已知函数，若方程有四个不同的解， 且，则的取值范围是 **A.** **B.** **C.** **D.** **二、填空题：** 13.已知二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为 [ ]{.underline} . （用数字作答） 14\. 已知正项数列的首项，前*n*项和为，若以为坐标的点在曲线上，则数列的通项公式为 [ ]{.underline} ． 15\. 在△*ABC*中，，*AB*=2，*AC*=1，*E*，*F*为*BC*的三等分点，则=\_\_\_\_\_\_\_\_． **16.** 已知函数有下列4个命题： ①若![](./data/image/media/image76.wmf)，则![](./data/image/media/image77.wmf)的图象关于直线![](./data/image/media/image78.wmf)对称； ②与的图象关于直线![](./data/image/media/image81.wmf)对称； ③若![](./data/image/media/image82.wmf)为偶函数，且![](./data/image/media/image83.wmf)，则![](./data/image/media/image77.wmf)的图象关于直线![](./data/image/media/image84.wmf)对称； ④若![](./data/image/media/image82.wmf)为奇函数，且![](./data/image/media/image85.wmf)，则![](./data/image/media/image77.wmf)的图象关于直线![](./data/image/media/image78.wmf)对称. 其中正确的命题为 [ ]{.underline} ． 三、解答题： **17.**已知中，角所对的边分别是且． （1）求角的大小； （2）设向量，边长，求当取最大值时，的面积的值． **18.**兰州一中在世界读书日期间开展了"书香校园"系列读书教育活动。为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查。下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为"读书迷"，低于60分钟的学生称为"非读书迷"。 ---- ---------- -------- ------ 非读书迷 读书迷 合计 男 15 女 45 ---- ---------- -------- ------ ![](./data/image/media/image94.png) （1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为"读书迷"与性别有关？ （2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽 取3次，记被抽取的3人中"读书迷"的人数为*X*，若每次抽取的结果是相互独立的，求*X*的分布列、数学期望和方差． 附： --------- ------- ------- ------- ------- -------- 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 *­k*~0~ 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 --------- ------- ------- ------- ------- -------- ![](./data/image/media/image99.wmf)**19.** 如图，已知四棱锥，底面为菱形，， ,平面，分别是的中点。 （1）证明：； （2）若为上的动点，与平面所成最大角 的正切值为，求二面角的余弦值。 **20.**已知椭圆的一个焦点为，其左顶点在圆上． （1）求椭圆的方程； （2）直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为（点与点不重合），且直线与轴交于点，求面积的最大值及此时*m*的值． **21.**已知函数（其中*a*是实数）． （1）求的单调区间； （2）若设，且有两个极值点，求取值范围．（其中*e*为自然对数的底数）． **22.**在直角坐标系中，直线的倾斜角为且经过点．以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线的极坐标方程为． （1）若直线与曲线有公共点，求的取值范围； （2）设为曲线上任意一点，求的取值范围． **23.**设函数 （1）若的解集为，求实数*a*的值； （2）当*a*=2时，若存在，使得不等式成立，求实数*m*的取值范围. **参考答案** 一、选择题： **1**.**D** 2.**A** 3.C 4.C 5.D 6. **B** 7.B **8**. **D** 9.C **10.** **A** 11.A 12.D **二、填空题：** 13.28 14. 15. **16.** ①②③④ **三、解答题：** **17.**（1）由题意，所以 （2）因为 所以当时， 取最大值，此时， 由正弦定理得， 所以， **18.**（1）2×2列联表如下： ------ ---------- -------- ------ 非读书迷 读书迷 合计 男 40 15 55 女 20 25 45 合计 60 40 100 ------ ---------- -------- ------ ... 易知的观测值 因为，所以有99%的把握认为"读书迷"与性别有关 （2）由频率分布直方图可知，从该校学生中任意抽取1名学生恰为"读书迷"的概率为，由题意可知，的所有可能的取值为0，1，2，3. 的分布列为 -- --- --- --- --- 0 1 2 3 -- --- --- --- --- **19.**（1）证明：由四边形为菱形，，可得，为正三角形. 因为*M*为的中点，所以. 又，因此. 因为平面，平面，所以. 而，所以平面. （2）设为上任意一点，连接、. 由（Ⅰ）可知：平面.则为与平面所成的角. 在中，，所以当最短时，最大， 即当时，最大，此时， 因此.又，所以，于是. 如图建立空间直角坐标系，则,， ，，，， 则,，， 设的中点为，则， 故就是面的法向量，. 设平面的法向量为，二面角的平面角为. ，二面角的余弦值为. **20.**（1）∵椭圆的左顶点在圆上，∴ 又∵椭圆的一个焦点为![](./data/image/media/image253.wmf)，∴![](./data/image/media/image254.wmf) ∴![](./data/image/media/image255.wmf) ∴椭圆![](./data/image/media/image249.wmf)的方程为![](./data/image/media/image256.wmf)　 （2）设![](./data/image/media/image257.wmf)，则直线与椭圆![](./data/image/media/image249.wmf)方程联立![](./data/image/media/image258.wmf) 化简并整理得![](./data/image/media/image259.wmf)， ∴， 由题设知![](./data/image/media/image262.wmf) ∴直线![](./data/image/media/image263.wmf)的方程为![](./data/image/media/image264.wmf) 令![](./data/image/media/image265.wmf)得![](./data/image/media/image266.wmf) ![](./data/image/media/image267.wmf) ∴点![](./data/image/media/image268.wmf).　　 ![](./data/image/media/image269.wmf) ![](./data/image/media/image270.wmf) ![](./data/image/media/image271.wmf) （当且仅当![](./data/image/media/image272.wmf)即![](./data/image/media/image273.wmf)时等号成立） ∴当时，的面积最大，最大值为1.　 **21.**（1）![](./data/image/media/image275.wmf)的定义域为![](./data/image/media/image276.wmf)，![](./data/image/media/image277.wmf)， 令![](./data/image/media/image278.wmf)，![](./data/image/media/image279.wmf)，对称轴![](./data/image/media/image280.wmf)，![](./data/image/media/image281.wmf)， 1)当≤０，即－4≤≤4时，≥0， 于是，函数![](./data/image/media/image285.wmf)的单调递增区间为![](./data/image/media/image286.wmf)，无单调递减区间． 2)当＞０，即![](./data/image/media/image288.wmf)或![](./data/image/media/image289.wmf)时， ①若![](./data/image/media/image290.wmf)，则![](./data/image/media/image291.wmf)恒成立， 于是，![](./data/image/media/image285.wmf)的单调递增区间为![](./data/image/media/image286.wmf)，无减区间． ②若![](./data/image/media/image292.wmf)，令![](./data/image/media/image293.wmf)，得![](./data/image/media/image294.wmf)，![](./data/image/media/image295.wmf)， 当![](./data/image/media/image296.wmf)时，![](./data/image/media/image291.wmf)，当![](./data/image/media/image297.wmf)时，![](./data/image/media/image298.wmf)． 于是，![](./data/image/media/image285.wmf)的单调递增区间为![](./data/image/media/image299.wmf)和![](./data/image/media/image300.wmf)，单调递减区间为![](./data/image/media/image301.wmf)． 综上所述：当*a≤*4时， ![](./data/image/media/image285.wmf)的单调递增区间为![](./data/image/media/image286.wmf)，无单调递减区间． 当![](./data/image/media/image302.wmf)时，![](./data/image/media/image285.wmf)的单调递增区间为![](./data/image/media/image299.wmf)和![](./data/image/media/image300.wmf)，单调递减区间为![](./data/image/media/image301.wmf). （2）由（1）知，若![](./data/image/media/image303.wmf)有两个极值点，则![](./data/image/media/image304.wmf)，且![](./data/image/media/image305.wmf)，![](./data/image/media/image306.wmf)，![](./data/image/media/image307.wmf)． 又![](./data/image/media/image308.wmf)，![](./data/image/media/image309.wmf)，![](./data/image/media/image310.wmf),![](./data/image/media/image311.wmf)， 又![](./data/image/media/image312.wmf)，解得,![](./data/image/media/image313.wmf)． 于是，![](./data/image/media/image314.wmf) ![](./data/image/media/image315.wmf)![](./data/image/media/image316.wmf) ![](./data/image/media/image317.wmf)![](./data/image/media/image318.wmf)． ![](./data/image/media/image319.wmf)，则![](./data/image/media/image321.wmf)恒成立，![](./data/image/media/image322.wmf)在![](./data/image/media/image323.wmf)单调递减，![](./data/image/media/image324.wmf)，即![](./data/image/media/image325.wmf)，故![](./data/image/media/image326.wmf)的取值范围为![](./data/image/media/image327.wmf)． **22.**（1）将C的极坐标方程化为直角坐标为, 直线的参数方程为. 将直线的参数方程代入曲线C的方程整理得， 直线与曲线有公共点，，得. 的取值范围为. （2）曲线C的方程， 其参数方程为， 为曲线C上任意一点， ， 的取值范围是. **23.**【解析】（Ⅰ）显然， 当时，解集为， ，； 当时，解集为，令，无解， 综上所述，. （Ⅱ）当时， 令![](./data/image/media/image354.wmf) 由此可知，在单调减，在和单调增， 则当时，取到最小值， 由题意知，，则实数的取值范围是.
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**在稳定中创新**\ ------谈**2008年文科综合试题**    今年是山东省高考文科综合科目自行命题的第二年。试题秉承了2007年命题的基本思路和已有经验，在保持相对稳定的的基础上有进一步的创新和突破，做到了"稳中求变，变中求新"，概括起来有以下几个方面的突出特点：\ **   一、依纲不依本，公平公正。**\    历史、地理教材版本多元化是普通高中新课程改革带来的变化，不同版本的知识点选择和具体表述存在很大的差异。同时，作为高考，公平公正是最基本的原则要求。为了解决好这个问题，在去年的基础上，今年的试题不是简单的求同存异，取各个版本的交集命题，而是依据"依纲不依本"的原则，不拘泥于任何版本的具体表述，将能力考查和解决多版本问题相统一，做到了试题的公平公正。\    例如，历史选择题除第9题涉及到中国古代经济发展的具体知识点外，其他试题主要从历史阶段特征、发展线索、对概念的理解等角度设问；非选择题的答案一部分来自材料，一部分需要学生在掌握基础知识的基础上，对知识进行整合，重新概括归纳。这样，既避开了不同版本的具体表述，保证了试题的公平性和公正性，也突出了对学科能力的考查。\ **   二、重视基础，突出主干，坚持能力立意**\    在文科综合能力测试试卷中，考查范围较广，包括地理、历史、思想政治三个学科10个必修模块和8个选修模块以及时事政治、初中地理的有关内容，题目数量有限，因此更加强调了对各学科主干知识的考查。今年的试题立足于学科主干知识的考查，重点考查学科基础知识、基本能力和基本方法，没有偏题怪题。\    同时，试题继续坚持了"以能力测试为主导"的命题方向，尽量避免了死记硬背式的试题。如第26题（2）、（3）、（4）小题，第29题第（2）小题，能力考查的要求明确，层次清晰，如观察、理解、分析、比较、推理、判断、阐释、论证等，并加强了对考生以上思维过程以及思维的发散性、灵活性、深刻性、创新性等思维品质和能力的综合考查。历史试题第9、10、13、14、27、29、33、34、35题都考查了学生用比较、联系、归纳等方法来分析问题、解决问题的能力。第15题以"家电下乡"为命题背景，让学生分析政府给农民一定的家电购置补贴后，农民对家电市场需求量的变动情况。考生解答本题首先要从材料中获取信息"家电补贴后"、"市场需求量"，然后调动"价值规律"、"价格变动对需求量的影响"等知识，来"描述和阐释事物"。反映出试题对不同能力目标要求依次递进，逐步构成了一个完整的综合能力考核体系。这既有利于克服学生死记硬背的心理，也有利于引导学生以正确的思维方式观察和思考身边的各种重大经济、政治、文化现象。\ **   三、体现素质教育理念，关注学生情感价值观**\    2008年文科综合试题从知识、能力、素质三个方面立意，实现了命题原则从知识立意到能力立意再到能力立意和素质立意并重的过渡。重视对学生学科素养和综合素质的考查，关注学生的情感、态度、价值观。\    例如，第12题考查学生对人文主义核心内涵的认识，四个选项都选用了古希腊思想家的名言，是很好的品德与情感教育素材。第29题第（4）小题关于"父母在，不远游"的设问，要求学生谈谈在现代社会中对这一观念的认识，允许考生表达自己的想法和感受，考查了学生对中国传统文化的认识和学生个人的价值取向。第30题，以罗布泊地区的旅游安全问题为案例，考查学生的生存能力。第19题"假如你是一位奥志愿者"、第28第⑶问"请全面阐述自己的观点"、第29第⑴问概括"家庭消费方面发生的主要变化"、第36、37题"谈谈你的看法"或"认识"等，都突出了学生的主体地位，强调学生主体参与，体现人文关怀。\    整份试题力求科学素养与人文精神的统一，引导学生增强社会责任感和价值判断能力。素质教育理念在高考命题中的体现，也将对全省新课程改革起到显著的导向作用，从而有利于素质教育的进一步推进。\ **   四、体现新课程理念，注重创新性和探究性**\    新课程倡导学生为学习的主体，鼓励学生独立思考，亲身探究，能自主地发现问题、分析问题并解决问题，鼓励学生能发表个性化的见解。今年的文综试题对新课程理念的理解更加深刻，试题的创新性、探究性和开放性大大加强。\    例如，第26题第（4）小题，引导考生追循和理解科技工作者（"有关专家"）提出的治理湖区生态环境问题的思路，考查学以致用、结合基本规律解决实际问题的探究性思维过程和方法。第28题第⑶问，以山东省基层群众自治状况为背景，围绕研究性学习的开展过程，从确立课题、搜集资料、小组讨论、分析资料等步骤创设新情景、提出新问题，倡导学生主动参与，根据所学知识多角度、创造性地思考问题，帮助学生学会自主探究。题目在设置上体现了探究性题目的实践性与开放性。历史试题也重视对学生创新品质的考查。第34题就是否应该接受"清室优待条件"，让学生从两个观点中任选一个作答，是对学生决策性思维能力的考查。第34题第（1）小题、第27题第（4）小题和第29题第（2）小题的答案都具有明显的开放性，给学生发挥个性特长留有充分余地，有利于开拓学生思维，培养创新意识。\ **   五、贴近时代，贴近生活**\    作为人文学科，文科综合科目一个重要的功能就是引导学生走出课堂，关注社会，关注生活，关注世界，"古为今用"，"学以致用"。今年的试题以反映现实和热点问题的"新材料、新情境"为载体，注重考查学生关注社会现实的意识和理论联系实际的素养。例如，以人为本是近年党和国家着力贯彻新的执政理念，近期汶川大地震后的抗震救灾更体现了我们党和国家对每个人生命价值的尊重和珍惜。第12题就考查了学生对人文主义核心内涵的理解，它所强调人的价值与我们党和国家领导集体的执政理念是相吻合的。第27题以家庭为切入点，揭示了家庭的稳定与和谐是社会稳定与和谐的基础的主题。地理学科试题关注、隐含和折射的社会现实和热点问题包括：国际粮食安全、大湄公河次区域合作、北京奥运会、我国南方雨雪冷冻灾害、耕地保护、重大交通建设工程、生态环境改善、能源开发利用、改革开放三十年城市化进程等等。政治学科显性或隐形考查了党的十七大精神、《中华人民共和国信息公开条例》、社会主义文化大发展大繁荣、北京奥运、基层群众自治制度、节能减排、生态文明、改革开放30周年、联合国气候变化大会、科学发展观、"三农"问题、加强国家宏观调控、实现全面建设小康社会奋斗目标、国民经济又好又快发展、依法推进民主法治进程建设社会主义政治文明、构建和谐世界促进世界和平发展等社会热点问题。\    现实热点的选取，既注重了具有全局性、长效性的重大现实问题，又突出了本土化和区域性的重大现实问题。以重大社会热点问题为命题素材，要求考生运用所学知识分析和解决现实问题，实现了考纲的考点、教材的重点、社会热点的有机统一。\ **   六、注重综合性**\    综合性是文科综合能力测试的一大特点。文科综合能力测试强调考查考生对各学科知识的整体、综合把握。因此试卷题目注意从不同角度、不同层次展开问题，强调对相关学科知识进行有效整合。\    今年的文科综合试题不但注重了学科内综合，在地理、历史和思想政治三科的综合上也作了创新和尝试。如第23、24、25题，以人们对地球形状的认识过程为背景，从政治、历史、地理三个学科进行命题，打破了在模块内、学科内设置选择题的模式，通过知识的内在逻辑联系，实现了在有限的时空中，对学生运用所学知识多层次、多角度分析和解决问题的能力的综合考查，达到了真正意义上的文科"综合"，这也是今年高考命题的一大创新。
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**工程问题2** 1. 单独完成一项工作，甲需要15天，乙需要6天。现在两人按甲、乙、甲、乙、......的顺序，一人一天工作，轮番交替。那么完成这项工作需要几天？ 2. 单独完成一项工作，甲需要15天，乙需要12天。现在两人按甲1天、乙2天、甲1天、乙2天、......的顺序工作，轮番交替。那么完成这项工作需要几天？ 3. 一项工程，乙单独做要14天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，......，两人这样轮流做，需要9天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，......，两人这样轮流做，会比上次轮流的做法多用多少天？ 4、有A、B两个仓库，A仓库的货物是B仓库的2倍。搬运完A仓库的货物，甲需要16小时；搬运完B仓库的货物，乙单干需要12小时，丙单干需要6小时。刚开始甲搬运A仓库，乙搬运B仓库，丙帮甲，后来丙又去帮乙，直到最后两个仓库的货物同时搬完。则丙帮了乙几个小时？
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**1954年试题** **一、下列六题顺次解答,不必抄题（但须写明题号:甲,乙,丙,......）.结果务须明确,过程可以简单.** ![](./data/image/media/image1.wmf) ![](./data/image/media/image2.wmf) ![](./data/image/media/image3.wmf) 丁、直角三角形弦上半圆的面积等于勾上半圆与股上半圆 面积之和,试证明之. 戊、已知球的半径为r,求内接正方体的体积. 己、已知三角形的一边之长为a ,两邻角为β 及γ ,求计算边 长 b的计算公式. **\[Key\] 一、下列六题顺次解答,不必抄题,结果务须明确,过程可以简单.** ![](./data/image/media/image4.wmf) 乙、解:原式可化为 ![](./data/image/media/image5.wmf) 于是有 ![](./data/image/media/image6.wmf) 丙、解:由 (3.02)4=(3+0.02)4 =34+4×33×0.02+6×32×(0.02)2 +4×3×(0.02)3+(0.02)4, 可知第4项的值已小于0.01,所以,计算可到第3项为止,其误差必小于千分之一. (3.02)4 =34+4×33×0.02+6×32×(0.02)2 =81+2.16+0.0216 =83.182 丁、证:设直角三角形的勾为a,股为b,弦为c,则有 c2=a2+b2 ![](./data/image/media/image7.wmf) 即弦上半圆面积=勾上半圆面积+股上半圆的面积. 戊、解:内接正方体的中心即该球的球心.正方体过中心的对角线为该球的直径,故其长为2r.若设正方体的边长为a,则有 ![](./data/image/media/image8.wmf) 所以内接正方体的体积 ![](./data/image/media/image9.wmf) 己、解:由正弦定理可知 ![](./data/image/media/image10.wmf) ![](./data/image/media/image11.wmf) **二、**描绘y=3x2-7x-1之图象,并按下列条件分别求x 的值的范围: (i)y\>0; (ii)y\<0. **\[Key\]** 二、解:将原方程变形,可得 ![](./data/image/media/image12.wmf) ![](./data/image/media/image13.wmf) 抛物线与x轴的交点为: ![](./data/image/media/image14.wmf) ![](./data/image/media/image15.wmf) ![](./data/image/media/image16.wmf) ![](./data/image/media/image17.wmf) 当y\>0时,x的取值范围为: ![](./data/image/media/image18.wmf) ![](./data/image/media/image19.wmf) 当y\<0时,x的取值范围为: ![](./data/image/media/image20.wmf) **三、**假设两圆互相外切,求证用连心线段为直径所作的圆必与前两圆的外公切线相切. \[Key\] **三、证明:设**⊙O1及⊙O2为互相外切的二圆,其中一外公切线为A1A2,切点A1及A2（如图）,令点O为连心线O1O2的中点,过O作OA⊥A1A2. ![](./data/image/media/image21.wmf) ∴ 以O1O2为直径,即以O为圆心,OA为半径的圆必与直线A1A2相切. 同理可证,此圆必切于⊙O1及⊙O2的另外一条外公切线. ![](./data/image/media/image22.wmf) ![](./data/image/media/image23.wmf) **\[Key\]** ![](./data/image/media/image24.wmf) cosx+sinx=(cosx+sinx)2(cosx-sinx), (cosx+sinx)(1-cos2x+sinx2)=0, 2(cosx+sinx)·sin2x=0, ∴ cosx+sinx=0,sin2x=0. 由方程 cosx+sinx=0得,tgx=-1． ![](./data/image/media/image25.wmf) 由方程 sin2x=0,得 x=kπ（k为整数）. 由检验可知 ![](./data/image/media/image26.wmf) **五、**有一直圆锥,全面积为a;与之同底同高之直圆柱全面积为a′.求该圆锥高与母线之比. **\[Key\] 五、解:**设直圆锥的高为h,底面半径为R,母线长为l,则 ![](./data/image/media/image27.wmf) ∴ 2a(R+h)=a*l*). ![](./data/image/media/image28.wmf) ![](./data/image/media/image29.wmf) 两边同乘以![](./data/image/media/image30.wmf),可得 ![](./data/image/media/image31.wmf) 等式两边平方, ![](./data/image/media/image32.wmf) ![](./data/image/media/image33.wmf) ![](./data/image/media/image34.wmf) =16a(2a-a′)3\>0, ∴该一元二次方程有两个实根,解得 ![](./data/image/media/image35.wmf) 即为圆锥的高与母线的比.
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期末复习测评(一) 一、填空。 1．2016年全国生活垃圾清运量达172386000吨，把172386000四舍五入到万位约是(　　)，省略亿位后面的尾数约是(　　)。 2．由8个亿、6个十万、3个千和9个一组成的数是(　　　　　)。 3．在1800÷600＝3中，把被除数和除数同时扩大到原来的100倍，商是(　　)。 4．在□里填上合适的数。 6□0000＞63万　　3□5万＜350万 ![](./data/image/media/image1.jpeg)5．如右图，∠2＝70°，∠1＝(　　)。 6．在○里填上"\>""\<"或"＝"。 －50○20　　5亿○47356万　　900÷50○90÷5 7．过一点可以画(　　)条直线，过两点可以画(　　)条直线。 8．738里面有(　　)个18。 9．(　　)里最大能填几？ (　　)×51＜302　　　　75×(　　)＜610　　　37×(　　)＜230 10．100张纸摞起来大约厚1厘米，照这样计算，10000000张这样的纸摞起来大约厚 (　　)米。 二、判断。 1．2800÷300＝9......100(　　) 2．674÷□4，要使商是两位数，□里可以填1，2，3，4，5，6。(　　) 3．3：45时分针和时针所形成的角是平角。(　　) 4．一条直线上的一点把这条直线分成两条射线。(　　) 5．近似数为1亿的最小数是9500万。(　　) 三、选择。 1．下面各数中只读一个零的是(　　)。 A．807500  B．800750  C．875000 2．☆÷○＝32......14，☆最小是(　　)。 A．494  B．46  C．448 3．从直线外一点到这条直线所画的线段中，(　　)最短。 A．线段  B．垂直线段  C．直线 4．下列图形中一定有平行线的是(　　)。 A．三角形  B．四边形  C．梯形 四、计算。 1．直接写得数。 420÷7＝　　　             30×90＝　　　              (125＋25)×8＝ 54×2＝                         25×12×4＝                  8000÷40＝ 200×31＝                     300×60＝                      101×720＝ 2．用竖式计算。 712÷23＝                     380×15＝                      198×29＝ 3．用简便方法计算。 4×123×25　               328×101　                     86×99＋86 五、填一填，涂一涂。 ![](./data/image/media/image2.jpeg) 1．填一填。 (1)小红家的位置是(\_\_\_\_，\_\_\_\_)，小兰家的位置是(\_\_\_\_，\_\_\_\_)，小明家的位置是(\_\_\_\_，\_\_\_\_)。 (2)(3，3)表示的位置是(　　　)，(5，1)表示的位置是(　　　)。 2．下面是一个游戏转盘，请你分别涂上红、黄、蓝三种颜色，使指针指向红色区域的可能性最大，指向黄色区域的可能性最小。 ![](./data/image/media/image3.jpeg) 六、解决问题。 1．购物。 ![](./data/image/media/image4.jpeg) (1)张老师要为学校买25个足球，一共需要多少元？ (2)陈叔叔带了525元去买文具盒，他可以买多少个文具盒？还剩多少元？ (3)买一个篮球的钱能买13个文具盒吗？ 2．配置如下图所示的单人课桌椅，每个班需要42套。 ![](./data/image/media/image5.jpeg) (1)为一个班配置这种单人课桌椅需要多少元？ (2)实验小学一至六年级都是5个班，一共需要配置多少套这样的单人课桌椅？ 3．教室里原来一个人也没有。进来一个人用"＋1"表示，出去一个人用"－1"表示。 ---------- -------- -------- -------- -------- 次序 第一次 第二次 第三次 第四次 进出人数 ＋30 －12 －3 ＋35 ---------- -------- -------- -------- -------- (1)填一填。 ＋30表示(　　　　　)，－12表示(　　　　　)，－3表示(　　　　　)，＋35表示(　　　　　)。 (2)教室里现在一共有多少人？ 参考答案 一、1.17239万　2亿　2.800603009　3.3 4．略　5.20°　6.＜　＞　＝　7.无数　一 8．41　9.5　8　6　10.1000 二、1.√　2.√　3.×　4.√　5.× 三、1.B　2.A　3.B　4.C 四、1.60　2700　1200　108　1200　200　6200　18000　72720　2.30......22　5700　5742 3．12300　33128　8600 五、1.(1)1　2　6　2　2　1　(2)邮局　书店　2.略 六、1.(1)189×25＝4725(元) (2)525÷17＝30(个)......15(元) (3)13×17＝221(元)　221＞216　买一个篮球的钱不能买13个文具盒。 2．(1)42×(68＋32)＝4200(元) (2)5×6＝30(个)　30×42＝1260(套) 3．略
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**2016年上海市高考数学试卷（理科）** 　 **一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.** 1．（4分）设x∈R，则不等式\|x﹣3\|＜1的解集为[　 　]{.underline}． 2．（4分）设z=![](./data/image/media/image1.png)，其中i为虚数单位，则Imz=[　 　]{.underline}． 3．（4分）已知平行直线l~1~：2x+y﹣1=0，l~2~：2x+y+1=0，则l~1~，l~2~的距离[　 　]{.underline}． 4．（4分）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是[　 　]{.underline}（米）． 5．（4分）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a^x^的图象上，则f（x）的反函数f^﹣1^（x）=[　 　]{.underline}． 6．（4分）在正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，底面ABCD的边长为3，BD~1~与底面所成角的大小为arctan![](./data/image/media/image2.png)，则该正四棱柱的高等于[　 　]{.underline}． 7．（4分）方程3sinx=1+cos2x在区间\[0，2π\]上的解为[　 　]{.underline}． 8．（4分）在（![](./data/image/media/image3.png)﹣![](./data/image/media/image4.png)）^n^的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于[　 　]{.underline}． 9．（4分）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于[　 　]{.underline}． 10．（4分）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组![](./data/image/media/image5.png)无解，则a+b的取值范围为[　 　]{.underline}． 11．（4分）无穷数列{a~n~}由k个不同的数组成，S~n~为{a~n~}的前n项和，若对任意n∈N^\*^，S~n~∈{2，3}，则k的最大值为[　 　]{.underline}． 12．（4分）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=![](./data/image/media/image6.png)上一个动点，则![](./data/image/media/image7.png)•![](./data/image/media/image8.png)的取值范围是[　 　]{.underline}． 13．（4分）设a，b∈R，c∈\[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣![](./data/image/media/image9.png)）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为[　 　]{.underline}． 14．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A~1~A~2~...A~8~的中心，A~1~（1，0）任取不同的两点A~i~，A~j~，点P满足![](./data/image/media/image10.png)+![](./data/image/media/image11.png)+![](./data/image/media/image12.png)=![](./data/image/media/image13.png)，则点P落在第一象限的概率是[　 　]{.underline}． ![](./data/image/media/image14.png) 　 **二、选择题（5&\#215;4=20分）** 15．（5分）设a∈R，则"a＞1"是"a^2^＞1"的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 16．（5分）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（　　） ![](./data/image/media/image15.png) A．ρ=6+5cosθ B．ρ=6+5sinθ C．ρ=6﹣5cosθ D．ρ=6﹣5sinθ 17．（5分）已知无穷等比数列{a~n~}的公比为q，前n项和为S~n~，且![](./data/image/media/image16.png)=S，下列条件中，使得2S~n~＜S（n∈N^\*^）恒成立的是（　　） A．a~1~＞0，0.6＜q＜0.7 B．a~1~＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6 C．a~1~＞0，0.7＜q＜0.8 D．a~1~＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7 18．（5分）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（　　） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 　 **三、解答题（74分）** 19．（12分）将边长为1的正方形AA~1~O~1~O（及其内部）绕OO~1~旋转一周形成圆柱，如图，![](./data/image/media/image17.png)长为![](./data/image/media/image18.png)π，![](./data/image/media/image19.png)长为![](./data/image/media/image20.png)，其中B~1~与C在平面AA~1~O~1~O的同侧． （1）求三棱锥C﹣O~1~A~1~B~1~的体积； （2）求异面直线B~1~C与AA~1~所成的角的大小． ![](./data/image/media/image21.png) 20．（14分）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S~1~和S~2~，其中S~1~中的蔬菜运到河边较近，S~2~中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S~1~和S~2~的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图 （1）求菜地内的分界线C的方程； （2）菜农从蔬菜运量估计出S~1~面积是S~2~面积的两倍，由此得到S~1~面积的经验值为![](./data/image/media/image22.png)．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S~1~面积的"经验值"． ![](./data/image/media/image23.png) 21．（14分）双曲线x^2^﹣![](./data/image/media/image24.png)=1（b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，直线l过F~2~且与双曲线交于A，B两点． （1）直线l的倾斜角为![](./data/image/media/image25.png)，△F~1~AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设b=![](./data/image/media/image26.png)，若l的斜率存在，且（![](./data/image/media/image27.png)+![](./data/image/media/image28.png)）•![](./data/image/media/image29.png)=0，求l的斜率． 22．（16分）已知a∈R，函数f（x）=log~2~（![](./data/image/media/image30.png)+a）． （1）当a=5时，解不等式f（x）＞0； （2）若关于x的方程f（x）﹣log~2~\[（a﹣4）x+2a﹣5\]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围． （3）设a＞0，若对任意t∈\[![](./data/image/media/image31.png)，1\]，函数f（x）在区间\[t，t+1\]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围． 23．（18分）若无穷数列{a~n~}满足：只要a~p~=a~q~（p，q∈N^\*^），必有a~p+1~=a~q+1~，则称{a~n~}具有性质P． （1）若{a~n~}具有性质P，且a~1~=1，a~2~=2，a~4~=3，a~5~=2，a~6~+a~7~+a~8~=21，求a~3~； （2）若无穷数列{b~n~}是等差数列，无穷数列{c~n~}是公比为正数的等比数列，b~1~=c~5~=1；b~5~=c~1~=81，a~n~=b~n~+c~n~，判断{a~n~}是否具有性质P，并说明理由； （3）设{b~n~}是无穷数列，已知a~n+1~=b~n~+sina~n~（n∈N^\*^），求证："对任意a~1~，{a~n~}都具有性质P"的充要条件为"{b~n~}是常数列"． 　 **2016年上海市高考数学试卷（理科）** **参考答案与试题解析** 　 **一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.** 1．（4分）设x∈R，则不等式\|x﹣3\|＜1的解集为[　（2，4）　]{.underline}． 【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式\|x﹣3\|＜1的解集． 【解答】解：∵x∈R，不等式\|x﹣3\|＜1， ∴﹣1＜x﹣3＜1， 解得2＜x＜4． ∴不等式\|x﹣3\|＜1的解集为（2，4）． 故答案为：（2，4）． 【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用． 　 2．（4分）设z=![](./data/image/media/image32.png)，其中i为虚数单位，则Imz=[　﹣3　]{.underline}． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数z的最简形式，由此能求出Imz． 【解答】解：∵Z=![](./data/image/media/image32.png)=![](./data/image/media/image33.png)=![](./data/image/media/image34.png)=2﹣3i， ∴Imz=﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用． 　 3．（4分）已知平行直线l~1~：2x+y﹣1=0，l~2~：2x+y+1=0，则l~1~，l~2~的距离[　]{.underline}![](./data/image/media/image35.png)[　]{.underline}． 【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可． 【解答】解：平行直线l~1~：2x+y﹣1=0，l~2~：2x+y+1=0，则l~1~，l~2~的距离：![](./data/image/media/image36.png)=![](./data/image/media/image35.png)． 故答案为：![](./data/image/media/image35.png)． 【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力． 　 4．（4分）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是[　1.76　]{.underline}（米）． 【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数． 【解答】解：∵6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77， 从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80， 位于中间的两个数值为1.75，1.77， ∴这组数据的中位数是：![](./data/image/media/image37.png)=1.76（米）． 故答案为：1.76． 【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用． 　 5．（4分）已知点（3，9）在函数f（x）=1+a^x^的图象上，则f（x）的反函数f^﹣1^（x）=[　log~2~（x﹣1）（x＞1）　]{.underline}． 【分析】由于点（3，9）在函数f（x）=1+a^x^的图象上，可得9=1+a^3^，解得a=2．可得f（x）=1+2^x^，由1+2^x^=y，解得x=log~2~（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换即可得出f（x）的反函数f^﹣1^（x）． 【解答】解：∵点（3，9）在函数f（x）=1+a^x^的图象上，∴9=1+a^3^，解得a=2． ∴f（x）=1+2^x^，由1+2^x^=y，解得x=log~2~（y﹣1），（y＞1）． 把x与y互换可得：f（x）的反函数f^﹣1^（x）=log~2~（x﹣1）． 故答案为：log~2~（x﹣1），（x＞1）． 【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 6．（4分）在正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，底面ABCD的边长为3，BD~1~与底面所成角的大小为arctan![](./data/image/media/image38.png)，则该正四棱柱的高等于[　2]{.underline}![](./data/image/media/image39.png)[　]{.underline}． 【分析】根据正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的侧棱D~1~D⊥底面ABCD，判断∠D~1~BD为直线BD~1~与底面ABCD所成的角，即可求出正四棱柱的高． 【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的侧棱D~1~D⊥底面ABCD， ∴∠D~1~BD为直线BD~1~与底面ABCD所成的角， ∴tan∠D~1~BD=![](./data/image/media/image38.png)， ∵正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，底面ABCD的边长为3， ∴BD=3![](./data/image/media/image39.png)， ∴正四棱柱的高=3![](./data/image/media/image39.png)×![](./data/image/media/image38.png)=2![](./data/image/media/image39.png)， 故答案为：2![](./data/image/media/image39.png)． ![](./data/image/media/image40.png) 【点评】本题考查了正四棱柱的性质，正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，关键是找到直线与平面所成的角． 　 7．（4分）方程3sinx=1+cos2x在区间\[0，2π\]上的解为[　]{.underline}![](./data/image/media/image41.png)[或]{.underline}![](./data/image/media/image42.png)[　]{.underline}． 【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可． 【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin^2^x， 即2sin^2^x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=![](./data/image/media/image43.png)，x∈\[0，2π\] 解得x=![](./data/image/media/image41.png)或![](./data/image/media/image42.png)． 故答案为：![](./data/image/media/image44.png)或![](./data/image/media/image45.png)． 【点评】本题考查三角方程的解法，恒等变换的应用，考查计算能力． 　 8．（4分）在（![](./data/image/media/image46.png)﹣![](./data/image/media/image47.png)）^n^的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于[　112　]{.underline}． 【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2^n^=256，求得 n=8．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项． 【解答】解：∵在（![](./data/image/media/image46.png)﹣![](./data/image/media/image47.png)）^n^的二项式中，所有的二项式系数之和为256， ∴2^n^=256，解得n=8， ∴（![](./data/image/media/image46.png)﹣![](./data/image/media/image48.png)）^8^中，T~r+1~=![](./data/image/media/image49.png)=![](./data/image/media/image50.png)， ∴当![](./data/image/media/image51.png)=0，即r=2时，常数项为T~3~=（﹣2）^2^![](./data/image/media/image52.png)=112． 故答案为：112． 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 　 9．（4分）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于[　]{.underline}![](./data/image/media/image53.png)[　]{.underline}． 【分析】可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为![](./data/image/media/image54.png)，代入计算即可得到所求值． 【解答】解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7， 由余弦定理可得，cosC=![](./data/image/media/image55.png)=![](./data/image/media/image56.png)=﹣![](./data/image/media/image57.png)， 可得sinC=![](./data/image/media/image58.png)=![](./data/image/media/image59.png)=![](./data/image/media/image60.png)， 可得该三角形的外接圆半径为![](./data/image/media/image61.png)=![](./data/image/media/image62.png)=![](./data/image/media/image63.png)． 故答案为：![](./data/image/media/image63.png)． 【点评】本题考查三角形的外接圆的半径的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，考查运算能力，属于基础题． 　 10．（4分）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组![](./data/image/media/image64.png)无解，则a+b的取值范围为[　（2，+∞）　]{.underline}． 【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b的方程关系，利用转化法，利用基本不等式的性质进行求解即可． 【解答】解：∵关于x，y的方程组![](./data/image/media/image65.png)无解， ∴直线ax+y=1与x+by=1平行， ∵a＞0，b＞0， ∴![](./data/image/media/image66.png)≠![](./data/image/media/image67.png)， 即a≠1，b≠1，且ab=1，则b=![](./data/image/media/image68.png)， 由基本不等式有： a+b=a+![](./data/image/media/image68.png)≥2![](./data/image/media/image69.png)=2，当且仅当a=1时取等，而a的范围为a＞0且a≠1，不满足取等条件， ∴a+b＞2， 故答案为：（2，+∞）． 【点评】本题主要考查直线平行的应用以基本不等式的应用，考查学生的计算能力． 　 11．（4分）无穷数列{a~n~}由k个不同的数组成，S~n~为{a~n~}的前n项和，若对任意n∈N^\*^，S~n~∈{2，3}，则k的最大值为[　4　]{.underline}． 【分析】对任意n∈N^\*^，S~n~∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4的情况，归纳可得n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4． 【解答】解：对任意n∈N^\*^，S~n~∈{2，3}，可得 当n=1时，a~1~=S~1~=2或3； 若n=2，由S~2~∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1； 若n=3，由S~3~∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1； 或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1； 若n=4，由S~3~∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1； 或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1； 或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1； 或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1； 或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1； ... 即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4， 不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1． 故答案为：4． 【点评】本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题． 　 12．（4分）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=![](./data/image/media/image70.png)上一个动点，则![](./data/image/media/image71.png)•![](./data/image/media/image72.png)的取值范围是[　\[0，1+]{.underline}![](./data/image/media/image73.png)[\]　]{.underline}． 【分析】设P（cosα，sinα），α∈\[0，π\]，则![](./data/image/media/image74.png)=（1，1），![](./data/image/media/image75.png)=（cosα，sinα+1），由此能求出![](./data/image/media/image75.png)•![](./data/image/media/image74.png)的取值范围． 【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1）， P是曲线y=![](./data/image/media/image76.png)上一个动点， ∴设P（cosα，sinα），α∈\[0，π\]， ∴![](./data/image/media/image74.png)=（1，1），![](./data/image/media/image75.png)=（cosα，sinα+1）， ![](./data/image/media/image77.png)=cosα+sinα+1=![](./data/image/media/image78.png)， ∴![](./data/image/media/image79.png)•![](./data/image/media/image80.png)的取值范围是\[0，1+![](./data/image/media/image81.png)\]． 故答案为：\[0，1+![](./data/image/media/image81.png)\]． 【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量数量积的性质的合理运用． 　 13．（4分）设a，b∈R，c∈\[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣![](./data/image/media/image82.png)）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为[　4　]{.underline}． 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同． 【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣![](./data/image/media/image82.png)）=asin（bx+c）， ∴必有\|a\|=2， 若a=2，则方程等价为sin（3x﹣![](./data/image/media/image82.png)）=sin（bx+c）， 则函数的周期相同，若b=3，此时C=![](./data/image/media/image83.png)， 若b=﹣3，则C=![](./data/image/media/image84.png)， 若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣![](./data/image/media/image85.png)）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c）， 若b=﹣3，则C=![](./data/image/media/image85.png)，若b=3，则C=![](./data/image/media/image86.png)， 综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，![](./data/image/media/image87.png)），（2，﹣3，![](./data/image/media/image88.png)），（﹣2，﹣3，![](./data/image/media/image85.png)），（﹣2，3，![](./data/image/media/image86.png)）， 共有4组， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键． 　 14．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A~1~A~2~...A~8~的中心，A~1~（1，0）任取不同的两点A~i~，A~j~，点P满足![](./data/image/media/image89.png)+![](./data/image/media/image90.png)+![](./data/image/media/image91.png)=![](./data/image/media/image92.png)，则点P落在第一象限的概率是[　]{.underline}![](./data/image/media/image93.png)[　]{.underline}． ![](./data/image/media/image94.png) 【分析】利用组合数公式求出从正八边形A~1~A~2~...A~8~的八个顶点中任取两个的事件总数，满足![](./data/image/media/image95.png)+![](./data/image/media/image96.png)+![](./data/image/media/image97.png)=![](./data/image/media/image98.png)，且点P落在第一象限，则需向量![](./data/image/media/image96.png)+![](./data/image/media/image97.png)的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案． 【解答】解：从正八边形A~1~A~2~...A~8~的八个顶点中任取两个，基本事件总数为![](./data/image/media/image99.png)． 满足![](./data/image/media/image100.png)+![](./data/image/media/image101.png)+![](./data/image/media/image102.png)=![](./data/image/media/image103.png)，且点P落在第一象限，对应的A~i~，A~j~，为： （A~4~，A~7~），（A~5~，A~8~），（A~5~，A~6~），（A~6~，A~7~），（A~5~，A~7~）共5种取法． ∴点P落在第一象限的概率是![](./data/image/media/image104.png)， 故答案为：![](./data/image/media/image105.png)． 【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式，理解题意是关键，是中档题． 　 **二、选择题（5&\#215;4=20分）** 15．（5分）设a∈R，则"a＞1"是"a^2^＞1"的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由a^2^＞1得a＞1或a＜﹣1， 即"a＞1"是"a^2^＞1"的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础． 　 16．（5分）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（　　） ![](./data/image/media/image106.png) A．ρ=6+5cosθ B．ρ=6+5sinθ C．ρ=6﹣5cosθ D．ρ=6﹣5sinθ 【分析】由图形可知：![](./data/image/media/image107.png)时，ρ取得最大值，即可判断出结论． 【解答】解：由图形可知：![](./data/image/media/image108.png)时，ρ取得最大值， 只有D满足上述条件． 故选：D． 【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 17．（5分）已知无穷等比数列{a~n~}的公比为q，前n项和为S~n~，且![](./data/image/media/image109.png)=S，下列条件中，使得2S~n~＜S（n∈N^\*^）恒成立的是（　　） A．a~1~＞0，0.6＜q＜0.7 B．a~1~＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6 C．a~1~＞0，0.7＜q＜0.8 D．a~1~＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7 【分析】由已知推导出![](./data/image/media/image110.png)，由此利用排除法能求出结果． 【解答】解：∵![](./data/image/media/image111.png)，S=![](./data/image/media/image112.png)=![](./data/image/media/image113.png)，﹣1＜q＜1， 2S~n~＜S， ∴![](./data/image/media/image114.png)， 若a~1~＞0，则![](./data/image/media/image115.png)，故A与C不可能成立； 若a~1~＜0，则q^n^![](./data/image/media/image116.png)， 在B中，a~1~＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6故B成立； 在D中，a~1~＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7，此时q^2^＞![](./data/image/media/image117.png)，D不成立． 故选：B． 【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用． 　 18．（5分）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（　　） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【分析】①不成立．可举反例：f（x）=![](./data/image/media/image118.png)．g（x）=![](./data/image/media/image119.png)，h（x）=![](./data/image/media/image120.png)． ②由题意可得：f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真假． 【解答】解：①不成立．可举反例：f（x）=![](./data/image/media/image121.png)．g（x）=![](./data/image/media/image122.png)，h（x）=![](./data/image/media/image120.png)． ②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T）， 前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正确． 故选：D． 【点评】本题考查了函数的单调性与周期性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 **三、解答题（74分）** 19．（12分）将边长为1的正方形AA~1~O~1~O（及其内部）绕OO~1~旋转一周形成圆柱，如图，![](./data/image/media/image123.png)长为![](./data/image/media/image124.png)π，![](./data/image/media/image125.png)长为![](./data/image/media/image126.png)，其中B~1~与C在平面AA~1~O~1~O的同侧． （1）求三棱锥C﹣O~1~A~1~B~1~的体积； （2）求异面直线B~1~C与AA~1~所成的角的大小． ![](./data/image/media/image127.png) 【分析】（1）连结O~1~B~1~，推导出△O~1~A~1~B~1~为正三角形，从而![](./data/image/media/image128.png)=![](./data/image/media/image129.png)，由此能求出三棱锥C﹣O~1~A~1~B~1~的体积． （2）设点B~1~在下底面圆周的射影为B，连结BB~1~，则BB~1~∥AA~1~，∠BB~1~C为直线B~1~C与AA~1~所成角（或补角），由此能求出直线B~1~C与AA~1~所成角大小． 【解答】解：（1）连结O~1~B~1~，则∠O~1~A~1~B~1~=∠A~1~O~1~B~1~=![](./data/image/media/image130.png)， ∴△O~1~A~1~B~1~为正三角形， ∴![](./data/image/media/image131.png)=![](./data/image/media/image129.png)， ![](./data/image/media/image132.png)=![](./data/image/media/image133.png)=![](./data/image/media/image134.png)． （2）设点B~1~在下底面圆周的射影为B，连结BB~1~，则BB~1~∥AA~1~， ∴∠BB~1~C为直线B~1~C与AA~1~所成角（或补角）， BB~1~=AA~1~=1， 连结BC、BO、OC， ∠AOB=∠A~1~O~1~B~1~=![](./data/image/media/image135.png)，![](./data/image/media/image136.png)，∴∠BOC=![](./data/image/media/image135.png)， ∴△BOC为正三角形， ∴BC=BO=1，∴tan∠BB~1~C=1， ∴直线B~1~C与AA~1~所成角大小为45°． ![](./data/image/media/image137.png) 【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 　 20．（14分）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S~1~和S~2~，其中S~1~中的蔬菜运到河边较近，S~2~中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S~1~和S~2~的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图 （1）求菜地内的分界线C的方程； （2）菜农从蔬菜运量估计出S~1~面积是S~2~面积的两倍，由此得到S~1~面积的经验值为![](./data/image/media/image138.png)．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S~1~面积的"经验值"． ![](./data/image/media/image139.png) 【分析】（1）设分界线上任意一点为（x，y），根据条件建立方程关系进行求解即可． （2）设M（x~0~，y~0~），则y~0~=1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH的面积，进行比较即可． 【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（x，y），由题意得\|x+1\|=![](./data/image/media/image140.png)，得y=2![](./data/image/media/image141.png)，（0≤x≤1）， （2）设M（x~0~，y~0~），则y~0~=1， ∴x~0~=![](./data/image/media/image142.png)=![](./data/image/media/image143.png)， ∴设所表述的矩形面积为S~3~，则S~3~=2×（![](./data/image/media/image143.png)+1）=2×![](./data/image/media/image144.png)=![](./data/image/media/image145.png)， 设五边形EMOGH的面积为S~4~，则S~4~=S~3~﹣S~△OMP~+S~△MGN~=![](./data/image/media/image145.png)﹣![](./data/image/media/image146.png)×![](./data/image/media/image147.png)×1+![](./data/image/media/image148.png)=![](./data/image/media/image149.png)， S~1~﹣S~3~=![](./data/image/media/image150.png)=![](./data/image/media/image151.png)，S~4~﹣S~1~=![](./data/image/media/image149.png)﹣![](./data/image/media/image152.png)=![](./data/image/media/image153.png)＜![](./data/image/media/image151.png)， ∴五边形EMOGH的面积更接近S~1~的面积． ![](./data/image/media/image154.png) 【点评】本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大． 　 21．（14分）双曲线x^2^﹣![](./data/image/media/image155.png)=1（b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，直线l过F~2~且与双曲线交于A，B两点． （1）直线l的倾斜角为![](./data/image/media/image156.png)，△F~1~AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设b=![](./data/image/media/image157.png)，若l的斜率存在，且（![](./data/image/media/image158.png)+![](./data/image/media/image159.png)）•![](./data/image/media/image160.png)=0，求l的斜率． 【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到双曲线方程． （2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A、B坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率． 【解答】解：（1）双曲线x^2^﹣![](./data/image/media/image161.png)=1（b＞0）的左、右焦点分别为F~1~，F~2~，a=1，c^2^=1+b^2^， 直线l过F~2~且与双曲线交于A，B两点， 直线l的倾斜角为![](./data/image/media/image162.png)，△F~1~AB是等边三角形， 可得：A（c，b^2^），可得：![](./data/image/media/image163.png)， 3b^4^=4（a^2^+b^2^）， 即3b^4^﹣4b^2^﹣4=0， b＞0，解得b^2^=2． 所求双曲线方程为：x^2^﹣![](./data/image/media/image164.png)=1， 其渐近线方程为y=±![](./data/image/media/image165.png)x． （2）b=![](./data/image/media/image166.png)，双曲线x^2^﹣![](./data/image/media/image167.png)=1，可得F~1~（﹣2，0），F~2~（2，0）． 设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），直线的斜率为：k=![](./data/image/media/image168.png)， 直线l的方程为：y=k（x﹣2）， 由题意可得：![](./data/image/media/image169.png)，消去y可得：（3﹣k^2^）x^2^+4k^2^x﹣4k^2^﹣3=0， △=36（1+k^2^）＞0且3﹣k^2^≠0， 可得x~1~+x~2~=![](./data/image/media/image170.png)， 则y~1~+y~2~=k（x~1~+x~2~﹣4）=k（![](./data/image/media/image170.png)﹣4）=![](./data/image/media/image171.png)． ![](./data/image/media/image172.png)=（x~1~+2，y~1~）， ![](./data/image/media/image173.png)=（x~2~+2，y~2~）， （![](./data/image/media/image174.png)+![](./data/image/media/image175.png)）•![](./data/image/media/image176.png)=0可得：（x~1~+x~2~+4，y~1~+y~2~）•（x~1~﹣x~2~，y~1~﹣y~2~）=0， 可得x~1~+x~2~+4+（y~1~+y~2~）k=0， 得![](./data/image/media/image177.png)+4+![](./data/image/media/image178.png)•k=0 可得：k^2^=![](./data/image/media/image179.png)， 解得k=±![](./data/image/media/image180.png)． l的斜率为：±![](./data/image/media/image180.png)． 【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用． 　 22．（16分）已知a∈R，函数f（x）=log~2~（![](./data/image/media/image181.png)+a）． （1）当a=5时，解不等式f（x）＞0； （2）若关于x的方程f（x）﹣log~2~\[（a﹣4）x+2a﹣5\]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围． （3）设a＞0，若对任意t∈\[![](./data/image/media/image182.png)，1\]，函数f（x）在区间\[t，t+1\]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围． 【分析】（1）当a=5时，解导数不等式即可． （2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可． （3）根据条件得到f（t）﹣f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可． 【解答】解：（1）当a=5时，f（x）=log~2~（![](./data/image/media/image183.png)+5）， 由f（x）＞0；得log~2~（![](./data/image/media/image183.png)+5）＞0， 即![](./data/image/media/image183.png)+5＞1，则![](./data/image/media/image183.png)＞﹣4，则![](./data/image/media/image183.png)+4=![](./data/image/media/image184.png)＞0，即x＞0或x＜﹣![](./data/image/media/image185.png)， 即不等式的解集为{x\|x＞0或x＜﹣![](./data/image/media/image185.png)}． （2）由f（x）﹣log~2~\[（a﹣4）x+2a﹣5\]=0得log~2~（![](./data/image/media/image186.png)+a）﹣log~2~\[（a﹣4）x+2a﹣5\]=0． 即log~2~（![](./data/image/media/image186.png)+a）=log~2~\[（a﹣4）x+2a﹣5\]， 即![](./data/image/media/image186.png)+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，① 则（a﹣4）x^2^+（a﹣5）x﹣1=0， 即（x+1）\[（a﹣4）x﹣1\]=0，②， 当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立 当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立 当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=![](./data/image/media/image187.png)， 若x=﹣1是方程①的解，则![](./data/image/media/image188.png)+a=a﹣1＞0，即a＞1， 若x=![](./data/image/media/image187.png)是方程①的解，则![](./data/image/media/image188.png)+a=2a﹣4＞0，即a＞2， 则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2． 综上，若方程f（x）﹣log~2~\[（a﹣4）x+2a﹣5\]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4． （3）函数f（x）在区间\[t，t+1\]上单调递减， 由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1， 即log~2~（![](./data/image/media/image189.png)+a）﹣log~2~（![](./data/image/media/image190.png)+a）≤1， 即![](./data/image/media/image191.png)+a≤2（![](./data/image/media/image190.png)+a），即a≥![](./data/image/media/image191.png)﹣![](./data/image/media/image192.png)=![](./data/image/media/image193.png) 设1﹣t=r，则0≤r≤![](./data/image/media/image194.png)， ![](./data/image/media/image195.png)=![](./data/image/media/image196.png)=![](./data/image/media/image197.png)， 当r=0时，![](./data/image/media/image197.png)=0， 当0＜r≤![](./data/image/media/image198.png)时，![](./data/image/media/image199.png)=![](./data/image/media/image200.png)， ∵y=r+![](./data/image/media/image201.png)在（0，![](./data/image/media/image202.png)）上递减， ∴r+![](./data/image/media/image201.png)≥![](./data/image/media/image203.png)=![](./data/image/media/image204.png)， ∴![](./data/image/media/image205.png)=![](./data/image/media/image206.png)![](./data/image/media/image207.png)=![](./data/image/media/image208.png)， ∴实数a的取值范围是a≥![](./data/image/media/image209.png)． 【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 　 23．（18分）若无穷数列{a~n~}满足：只要a~p~=a~q~（p，q∈N^\*^），必有a~p+1~=a~q+1~，则称{a~n~}具有性质P． （1）若{a~n~}具有性质P，且a~1~=1，a~2~=2，a~4~=3，a~5~=2，a~6~+a~7~+a~8~=21，求a~3~； （2）若无穷数列{b~n~}是等差数列，无穷数列{c~n~}是公比为正数的等比数列，b~1~=c~5~=1；b~5~=c~1~=81，a~n~=b~n~+c~n~，判断{a~n~}是否具有性质P，并说明理由； （3）设{b~n~}是无穷数列，已知a~n+1~=b~n~+sina~n~（n∈N^\*^），求证："对任意a~1~，{a~n~}都具有性质P"的充要条件为"{b~n~}是常数列"． 【分析】（1）利用已知条件通过a~2~=a~5~=2，推出a~3~=a~6~，a~4~=a~7~，转化求解a~3~即可． （2）设无穷数列{b~n~}的公差为：d，无穷数列{c~n~}的公比为q，则q＞0，利用条件求出，d与q，求出b~n~，c~n~得到a~n~的表达式，推出a~2~≠a~6~，说明{a~n~}不具有性质P． （3）充分性：若{b~n~}是常数列，设b~n~=C，通过a~n+1~=C+sina~n~，证明a~p+1~=a~q+1~，得到{a~n~}具有性质P． 必要性：若对于任意a~1~，{a~n~}具有性质P，得到a~2~=b~1~+sina~1~，设函数f（x）=x﹣b~1~，g（x）=sinx，说明b~n+1~=b~n~，即可说明{b~n~}是常数列． 【解答】解：（1）∵a~2~=a~5~=2，∴a~3~=a~6~， a~4~=a~7~=3，∴a~5~=a~8~=2，a~6~=21﹣a~7~﹣a~8~=16，∴a~3~=16． （2）设无穷数列{b~n~}的公差为：d，无穷数列{c~n~}的公比为q，则q＞0， b~5~﹣b~1~=4d=80， ∴d=20，∴b~n~=20n﹣19，![](./data/image/media/image210.png)=q^4^=![](./data/image/media/image211.png)，∴q=![](./data/image/media/image212.png)，∴c~n~=![](./data/image/media/image213.png) ∴a~n~=b~n~+c~n~=20n﹣19+![](./data/image/media/image213.png)． ∵a~1~=a~5~=82， 而a~2~=21+27=48，a~6~=101![](./data/image/media/image214.png)=![](./data/image/media/image215.png)．a~1~=a~5~，但是a~2~≠a~6~，{a~n~}不具有性质P． （3）充分性：若{b~n~}是常数列， 设b~n~=C，则a~n+1~=C+sina~n~， 若存在p，q使得a~p~=a~q~，则a~p+1~=C+sina~p~=C+sina~q~=a~q+1~， 故{a~n~}具有性质P． 必要性：若对于任意a~1~，{a~n~}具有性质P， 则a~2~=b~1~+sina~1~， 设函数f（x）=x﹣b~1~，g（x）=sinx， 由f（x），g（x）图象可得，对于任意的b~1~，二者图象必有一个交点， ∴一定能找到一个a~1~，使得a~1~﹣b~1~=sina~1~， ∴a~2~=b~1~+sina~1~=a~1~，∴a~n~=a~n+1~， 故b~n+1~=a~n+2~﹣sina~n+1~=a~n+1~﹣sina~n~=b~n~， ∴{b~n~}是常数列． 【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大． 　
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> **数一数（二）同步练习** > > 一、.想一想，生活中有哪些较大的数。 > > 二、找规律，填一填。 > > （1）596、597、（  ）、 （  ）、（  ） > > （2）1720、1730、（  ）、（  ）、（  ） > > （3）5000、5100、（  ）、（  ）、（  ） > > （4）1360、2360、（  ）、（  ）、5360、（  ） > > （5）2130、3240、（  ）、（  ）、6570、（  ） > > （6）9999、8888、（  ） 、（  ） 、5555、（  ） > > 三、按要求数出下面各数。 > > 1、从188起，一个一个地数，数到210。 > > 2、从1387起，一个一个地数，数到1396。 > > 3、从895起，一个一个地数，数到900。 > > 4、从994起，一个一个地数，数到1000。 > > 5、从9995起，一个一个地数，数到10000。 > > 6、一个一个地数，数出9895后面的十个数。 > > 7、十个十个地数，从2360数到2400。 > > 8、10000里面有（   ）个1，（   ）个10，（   ）个100，（   ）个1000。 > > 9、(   )个10是10000，（   ）个100是10000，（   ）个1000是10000。 > > 10、1459里面有（   ）个千，（   ）个百，（   ）个十，（   ）个一。\[来源:Zxxk.Com\] > > 四、按规律填空。 > > 1646、1746、1846、（    ）、 （    ） > > 4567、4577、4587、（     ）、（    ） > > （     ）、1788、1789、（    ）、（    ） > > 6000、7000、8000、（    ）、（    ） > > 1900、 1800、 1700、（ ）、（ ）、（ ） > > 3000、 3010、 3020、（ ）、（ ）、（ ） > > **五、说出紧挨着它前面的一个数。** > > **8460 5400 10000** > > （ ） （ ） （ ） > > 六、**找规律数数，并读出各数。** > > A、（ ）（ 　 　）（　 　） 9000 10000 > > B、7633 7632 7631 （ ）（ 　 　）（　 　） > > 七、 > > 1.有一个三位数，各个数位上的数字之和等于24，符合这个条 > > 件的三位数有哪些？ > > 2．一个四位数，最高位上的数字是3，十位上的数字是5，任意 > > 相邻的3个数字的和都是12，这个四位数是多少？\[来源:Zxxk.Com\] > > 3．有一个三位数，百位数字是个位数字的3倍，十位数字是百 > > 位数字的2倍，这个三位数是多少？ > > **八．选择。（将正确答案的序号填在括号里）** > > （1）一百一百地数，10个一百是（ ）。 > > A．一千 B．八百 C．一万 > > （2）在数位顺序表中，从右边起第四位是（ ）位。 > > A．千 B．万 C．百 > > （3）由4个百和5个一组成的数是（ ）。 > > A．450 B. 415 C．405 > > （4）五个五个地数，数10次是（ ）。 > > A. 500 B．100 C．50 \[来源:学科网\] \[来源:学科网ZXXK\] **参考答案：** > 一、略 > > 二、找规律，填一填。 > > （1）596、597、（598）、 （599 ）、（600） > > （2）1720、1730、（1740）、（1750）、（1760） > > （3）5000、5100、（5200）、（5300）、（5400） > > （4）1360、2360、（3360）、（4360）、5360、（6360） > > （5）2130、3240、（4350）、（5460）、6570、（7680） > > （6）9999、8888、（7777） 、（6666） 、5555、（4444） > > 三、按要求数出下面各数。 > > 1、188、189、190、191、192、193、194、195、196、197、198、199、200、201、202、203、204、205、206、207、208、209、210 > > 2、1387、1388、1389、1390、1391、1392、1393、1394、1395、 1396 > > 3、895、896、897、898、899、900 > > 4、994、995、996、997、998、999、1000\[来源:学科网\] > > 5、9995、9996、9997、9998、9999、10000 > > 6、9896、9897、9898、9899、9900、9901、9902、9903、9904、9905 > > 7、2360、2370、2380、2390、2400 > > 8、10000里面有（ 10000  ）个1，（ 1000  ）个10，（ 100  ）个100，（ 10  ）个1000。 > > 9、( 1000  )个10是10000，（  100 ）个100是10000，（ 10  ）个1000是10000。 > > 10、1459里面有（ 1  ）个千，（  4 ）个百，（ 5  ）个十，（ 9  ）个一。 > > 四、按规律填空。 > > 1646、1746、1846、（1946 ）、 （2146） > > 4567、4577、4587、（4597）、（4607 ） > > （1787）、1788、1789、（1790 ）、（1791） > > 6000、7000、8000、（9000）、（10000） > > 1900、 1800、 1700、（1600）、（1500）、（1400） > > 3000、 3010、 3020、（3030 ）、（3040）、（3050） > > **五、说出紧挨着它前面的一个数。** > > （八千四百五十九 ） （五千三百九十九 ） （九千九百九十九） > > 六、**找规律数数，并读出各数。** > > A、（ 6000 ）（ 7000）（8000） 9000 10000 > > B、7633 7632 7631 （ 7630）（ 7629）（7628） > > 七、 > > 1\. 888 789 987 798 978 879 897 > > 2． 3165、3561、3255、3552、3354、3453、3058、3850 > > 3． 361 > > **八．选择。（将正确答案的序号填在括号里）** > > （1）A > > （2）A > > （3）C > > （4）C
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**北师大版小学五年级下册数学第三单元《分数除法------分数除法（二）》同步检测2（附答案）** 一、一个数除以一个数（零除外）等于 [ ]{.underline} 这个数的 [ ]{.underline} 。 二、÷2 = ÷6 = ÷6 = ÷18 = × = × = 来源：www.bcjy123.com/tiku/ 三、算一算。 9÷ = ÷ = ÷17 = ÷ = 12÷ = ÷12 = ÷ = ÷ = ÷ = ÷ = ÷ = × = 四、在○里填上"﹥""﹤"或" = "。 ÷1 ÷ ÷ ÷2 × 9÷ × × ÷6 五、看图列式。 ![](./data/image/media/image42.jpeg) 六、填一填。 8×（ ）= （ ）× = 60来源：www.bcjy123.com/tiku/ 30÷（ ）= ÷（ ）= 七、游泳池换水，18分钟能灌满水池的，每分钟能灌满水池的几分之几？ 八、箱子里有糖果千克，如果每千克装一袋，那么要装几袋？ 九、校园里的绿化面积是公顷，分成6块，平均每块绿化面积约多少公顷？ **部分答案：** 一、乘 倒数 四、= ﹥ ﹤ = ﹥ = 五、60× = 45（米） ÷4 = （千克） 六、 100 36 七、 八、11袋 九、÷6 = （公顷）来源：www.bcjy123.com/tiku/
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)** **第1单元 第三节：快乐的小鸭** 一、填空。 11=7+\_\_\_\_![](./data/image/media/image1.png)\_ 13=7+\_\_\_\_\_ 16=7+\_\_\_\_\_\[来源:Z。xx。k.Com\] 二、在○里填运算符号，在□里填数字。 9○□=13\[来源:学科网\]\[来源:Z.xx.k.Com\] 12○□=5 7○□=14 11○□=1 6○□=13 三、判断题。 14-8=8+6 （ ） 1![](./data/image/media/image1.png)2-7=5 （ ） 四、接力赛。 ![](./data/image/media/image2.jpeg) 1 15 ![](./data/image/media/image3.jpeg) 9 ![](./data/image/media/image4.jpeg) 4 5. 看图![](./data/image/media/image1.png)写算式。 □□□　□□□□ ![](./data/image/media/image1.png) ★★★　 ★★★ □□□　□□□□ ★★★　★★★★ 14－ ＝ 13－ ![](./data/image/media/image1.png) ＝ 14－ ＝ 13－ ＝ 六、看图列式计算 ![](./data/image/media/image5.jpeg)（1） ![](./data/image/media/image1.png) ![](./data/image/media/image1.png) ![](./data/image/media/image1.png) ![](./data/image/media/image1.png) = =\[来源:Z§xx§k.Com\] ![](./data/image/media/image6.jpeg)（2） ![](./data/image/media/image7.jpeg)（3） \[来源:学\#科\#网\] 答案 一、 3 5 9 二、 9![](./data/image/media/image1.png)＋4=13 12-7=5 7+7=14 11-10=1 6=7![](./data/image/media/image1.png)=13 三、 × √ 四、接力赛![](./data/image/media/image1.png)。 ![](./data/image/media/image2.jpeg) 1 15 ![](./data/image/media/image3.jpeg) 9 ![](./data/image/media/image4.jpeg) 4 五![](./data/image/media/image1.png)、看图写算式。 > 14-6=8 14-8=4 > > 13-3=10 13![](./data/image/media/image1.png)-10=3 六、看图![](./data/image/media/image1.png)列式计算 . （1）16-7=9把 （2）11-4=7根 （3）11-8=3个 网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
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绝密★启用前 2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷二） 语　　　文 （贵州、黑龙江、吉林、云南、甘肃、新疆、内蒙古、青海、西藏) 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至 9页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 **第Ⅰ卷** 注意事项 1. 答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并帖好条形码。请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目。 2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。 3. 本试卷共10小题，每小题3分，共30分。在每小题 给出的四个悬想中，只有一项符合要求。 一、（12分，每小题3分） 1. 下列词语中加点的字，读音全都正确的一组是 A．迸发（bèng） 不掘不挠（ráo） 怆然（chuàng） 婀娜多姿（ē）。 B．跻身（jī） 岿然不动（kuī） 女娲（wō） 谆谆教导（zhūn） C．恫吓（xiàhè） 病入膏肓（huāng）浣衣（huàn） 神情尴尬（gà） D．粗糙（cāo） 徘徊观望（huái） 糟粕（pò） 锲而不舍（qiè） 2．下列各句中，加点的成语使用不恰当的一项是 A. 新来的王老师为人不苟言笑，同事们一般都产跟他嘻嘻哈俣，只有谭校长有时还会跟他开点无伤大雅的玩笑。 B．近几年，来中国演出的外国艺术团络绎不绝，不过人们对俄罗斯芭蕾舞团的《天鹅湖》还是情有独钟，屡看不厌。 C．美国博物馆的收费可谓各尽所能：有的一部分收费，有的分时段收费，还有的是否交费、交费多少由参观者自行决定。 D．中、日、韩三国参加这次围棋比赛的运动员，水平都在伯仲之间，谁能胜出，就要看谁具有更好的竞技状态和心理素质了。 3．下列各句中，没有语病的一句是 A．金乌炭雕工艺精湛，采用纯天然颜料着色，具有高雅、时尚、个性的艺术享受，还能吸附有毒有害气体，是一种环保艺术品。 B．该县认真实施"村村通"这一全省规划的八件实事之一，到10月底，在全地区率先解决了农村百姓听广播看电视难的问题。 C．中俄两国元首在致辞中一致表示，要以举办"国家年"为契机，增进两国人民的相互了解和友谊，深化两国各领域的交流合作。 D．听说博士村官潘汪聪要给大家讲农技课，大家兴致很高，还没到时间，村委会会议室就挤满了很多村民来听课，场面好不热闹。 4．依次填入下面一段文字横线处的语句，衔接最恰当的一组是 铁路客车动车组先进的计算机网络控制技术。 [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} ， [ ]{.underline} 。列车防火系统也很先进，重要设施都附有防火装置 ①并与地面通讯，实现地面对列车的监控 ②能实现对动车组各个系统的控制 ③一旦出现异常情况，动车组即可自动减速或停车 ④同时对系统进行监视和故障诊断 ⑤无需人为干预 A．②①⑤④③ B．②④①③⑤ C．⑤④③②① D．⑤④①③② 二、（9分，每小题3分） 阅读下面的文字，完成5\~7题。 在明王朝统治中国的276年间，白银经历了一个不同寻常的货币化过程。明初，明朝禁用金银交易，到了明后期，白银则已经通行于全社会。迄今为止，对于这一货币化过程，中外学术界无不以《明史》正统初年明英宗"弛用银之禁"、"朝野率皆用银"的诏令为根据，以为是朝廷推行的结果。实际上，明代白银的货币化是自民间开始，到明英宗以后才逐渐为官方认可、自上而下地展开。随着白银成为合法货币，白银迅速渗透到了社会的每一个角落，使得市场前所未有地活跃起来。到了嘉靖年间，整个中国对白银产生了巨大的需求，标志着这一货币化过程基本完成。 此时，一方面明朝国家财政白银入不敷出，另一方面从皇族到平民都有对于白银的大量需求。在国内白银开采和供应远远不能满足要求的情况下，人们开始将寻求的目光投向海外。中国外来白银最早的源头是日本，虽然日本出产的金银在16世纪中叶以前就有向外出口的记载，但那时日本向中国输出的主要是刀剑、扇子、屏风、硫磺等。情况的转变是自16世纪40年代开始的。当时，来自中国福建、广东、浙江的船只不断到到日本九州。它们的目的不再以物易物，而是以物易银。有需求就有开发和供给。也正是这一时期，日本银矿的开发得到了迅速发展，16世纪后半叶日本的输出品中，白银独占重要地位，而对中国丝与丝织品的巨大需求，则构成了银产量激增的日本方面的原因。在美洲方面，当西方走向世界寻求财富时，最早寻找的是黄金，但也是从16世纪40年代开始，西班牙在美洲转而开采白银且产量激增。当时达到菲律宾的西班牙人几乎立刻了解到中国商品对于他们的意义，立即开始与中国海商的贸易。美洲白银不仅从马来西亚流向中国，带动了整个东南亚贸易。也从欧洲运至印度，再流到中国，以换取中国的丝绸、瓷器、水银、麝香、朱砂等。从1540年到1644年这一百年间，日本白银产量的绝大部分和美洲白银产量的一半流入了中国，葡萄牙学者加良斯·戈迪尼奥因此将中国形容为一个"吸泵"。 明代白银的货币化，意味着中国由自给自足的农业经济走向商品经济转变，同时也使中国更多更主动地走向世界。以贵金属白银为征象，明代中国与两个历史转折的开端相联系，一个是中国古代社会向近代社会转型的开端，另一个就是世界经济全球化的开端。 （摘自万明《**明代白银货币化：中国与世界连接的新视角》）** 5．下列对于"明代白银货币化"的理解，正确的一项是 A．由于初朝廷禁用金银进行交易，因此白银货币化的进程并没有开始。 B．正统初年明英宗颁布"弛用银之禁"的诏令，表明白银开始货币化。 C．明代白银货币化虽然是从民间开始的，但后来朝廷的推行加快了它的进程。 D．明代嘉靖年间，整个中国对白银的巨大需求促使白银成为了合法货币。 6．下列理解和分析，不符合原文意思的一项是 A．明代嘉靖年间，由于国家经济恶化，财政困难，最终形成了白银入不敷出的局面。 B．1 6世纪中叶以前日本向中国输出刀剑、扇子、屏风、硫磺等，白银并不占主要地位。 C．戈迪尼奥这所以称中国为"吸泵"，是因为明代中国吸纳了全球数量庞大的白银。 D．白银货币化标志着中国农业经济向商品经济的转变，和中国商品的进一步走向世界。 7．根据原文的内容，下列推断不正确的一项是 A．16世纪中叶以后，在日本各种输出品中，最爱中国欢迎并得到大量交易的是白银。 B．西方走向世界的重要原因是寻求黄金，因此西班牙早期在美洲的主要矿产是黄金。 C．美洲白银不仅从菲律宾，也从欧洲经过印度流入中国，这就带动了更多地区的贸易。 D．晚明时期，中国对于白银的巨大需求，是当时世界经济全球化开始形成的根本原因。 三、（9分，每小题3分） 阅读正确的文言文，完成8\~10题。 王昙首，琅邪临沂人，太保少弟也。幼有业尚，除著作郎，不就。兄弟分财，昙首唯取图书而已。辟琅邪王大司马属，从府公修复洛阳园陵。与从弟球俱诣高祖，时谢晦在坐，高祖曰："此君并膏粱盛德，乃能屈志戎旅。"昙首答曰：["既从神武之师，自使懦夫有立志。"]{.underline}晦曰："仁者果有勇。"高祖悦。行至彭城，高祖大会戏马台，豫坐者皆赋诗；昙首文先成，高祖览读，因问弘曰："卿弟何如卿？"弘答曰："若但如民，门户何寄。"高祖大笑。昙首有识局智度，喜愠不见于色，闺门之内，雍雍如也。手不执金玉，妇女不得为饰玩，自非禄赐所及，一毫不受于人。太祖为冠军、徐州刺史，留镇彭城，以昙首为府功曹。太祖镇江陵，自功曹为长史，随府转镇西长史。高祖甚知之，谓太祖曰："王昙首，沈毅有器度，宰相才也。汝每事咨之。"及即位，以昙首为侍中，诛徐羡之等，平谢晦，昙首之力也。晦平后，上欲封昙首等，会宴集，举酒劝之，因拊御床曰："此坐非卿兄弟，无复今日。"时封诏已成，出以示昙首，昙首曰：["近日之事，衅难将成，赖陛下英明速断，故罪人斯戮。]{.underline}臣等虽得仰凭天光，效其毫露，岂可因国之灾，以为身幸。陛下虽欲私臣，当如直史何？"上不能夺，故封事遂寝。时兄弘录尚书事，又为扬州刺史，昙首为上所亲委，任兼两宫。彭城王义康与弘并录，意常怏怏，又欲得扬州，形于辞旨。以昙首居中，分其权任，愈不悦。昙首固乞吴郡，太祖曰："岂有欲建大厦而遗其栋梁者哉？贤兄比屡称疾，固辞州任，将来若相申许者，此处非卿而谁？亦何吴郡之有。"时弘久疾，屡逊位，不许。昙首劝弘减府兵力之半以配义康，义康乃悦。七年，卒。太祖为之恸，中书舍人周赳侍侧，曰："王家欲衰，贤者先殒。"上曰："直是我家衰耳。" 节选自《宋书·王昙首传》 8．对下列句子中加点的词的解释，不正确的一项是 A．除著作郎，不就 就：赴任 B．与从弟球俱诣高祖 诣：拜访 C．乃能屈志戎旅 乃：于是 D．若但如民，门户何寄 但：只是 9．以下各组句子中，分别表明王昙首"受赏识"和"善治家"的一组是 10．下列对原文的有关内容的分析和概括，不正确的一项是 A王昙首是太保王弘之弟，自幼就很优秀，兄弟间分财产，他只拿取图书，式军后随高祖外出，高祖要众人赋诗，昙首写成，王弘对他评价甚高，高祖也很高兴。 B．王昙首性格沉稳，喜怒不形于色，同时治家有方，家庭融洽，太祖也赏识昙首，晋升他的官职，并遵高祖交代，遇事咨询昙首，昙首果然在平定国难中贡献很大。 C．王昙首在平定谢晦事中有功，当时封赏他的诏书已经拟就，但昙 首婉拒不受，认为自己虽尽微薄之力，皇上即便偏爱。也无法面对史臣。封赏事于是搁置下来。 D．王昙首看出义康为权力之事心中不快，于是坚持要求调任吴郡。太祖打算重用昙首，未答应他的请求。昙首劝说其史王弘让出部分兵力，才化解了彼此的矛盾。 II卷 11．把第I卷文言文材料中画横线的句子翻译成现代汉语。（10分） （1）既从神武之师，自使懦夫有立志。 （2）近日之事，衅难将成，赖陛下英明速断，故罪人斯戮。 12．阅读下面这首宋诗，然后回答问题。（8分） 春 日 即 事 李弥逊 ^①^ > 小雨丝丝欲网春，落花狼藉近黄昏。\ > 车尘不到张罗地^②^，宿鸟声中自掩门。 \[注\]①李弥逊（1085－1153），字似之，吴县（今属江苏省苏州市）人，历任中书舍人、户部侍郎等职。因竭力反对秦桧的投降政策而被免职。②张罗地：指门可罗雀、十分冷落的地方。 （1）请对首句中的"网"字进行赏析。 （2）这首诗表现作者什么样的情绪？请进行简要分析。 13．补写出下列名篇名句中的空缺部分。（两题任选一题）（5分） （1）登高而招， [ ]{.underline} ，而见者远；顺风而呼， [ ]{.underline} ，而闻者彰。假舆马者， [ ]{.underline} ，而致千里；假舟楫者， [ ]{.underline} ，而绝江河， [ ]{.underline} ，善假于物也。 ------ 《荀子·劝学》 （2）生亦我所欲，所欲有甚于生者， [ ]{.underline} 。死亦我所恶，所恶有甚于死者， [ ]{.underline} 。（《孟子·告子上》） 长桥卧波， [ ]{.underline} ？复道行空， [ ]{.underline} ？ [ ]{.underline} ，不知西东。（杜牧《阿房宫赋》） 五、（22分） 阅读下面的文字，完成14\~17题。 马 缨 花 季羡林 曾经有很长的一段时间，我孤零零一个人住在一个很深的大院子里。从外面走进去，越走越静，自己的脚步声越听越清楚，仿佛从闹市走向深山。[等到脚步声成为空谷足音的时候，我住的地方就到了。\ ]{.underline} 院子不小，都是方砖铺地，三面有走廊。天井里遮满了树枝，走到下面，浓荫迎地，清凉蔽体。从房子的气势来看，依稀可见当年的富贵气象。等到我住进去的时候，富贵气象早已成为陈迹，但是阴森凄苦的气氛却是原封未动。再加上走廊上陈列的那一些汉代的石棺石椁、古代的刻着篆字和隶字的石碑，我一走回这院子里，就仿佛进入古墓。这样的气氛同我当时的心情是相适应的，我一向又不相信有什么鬼神，所以我住在这里，也还处之泰然。\        我是不是也有孤寂之感呢?应该说是有的。当时正是"万家墨面没蒿莱"的时代，北平城一片黑暗。白天在学校里的时候，同青年同学在一起，从他们那蓬蓬勃勃的斗争意志和生命活力里，还可以吸取一些力量和快乐，精神十分振奋。但是，一到晚上，当我孤零一个人走回这个所谓家的时候，我仿佛遗世而独立。没有一点活气。寂寞像毒蛇似地偷偷地袭来，折磨着我，使我无所逃于天地之间。\     有一天，在傍晚的时候，我从外面一走进那个院子，蓦地闻到一股似浓似淡的香气。我抬头一看，原来是遮满院子的马缨花开花了。我站在树下，仰头观望：细碎的叶子密密地搭成了一座天棚，天棚上面是一层粉红色的细丝般的花瓣，远处望去，就像是绿云层上浮上一团团的红雾。香气就是从这一片绿云里洒下来的，洒满了整个院子，洒满了我的全身。花开也是常有的事，开花有香气更是司空见惯。但是，在这样一个时候，这样一个地方，有这样的花，但是。在这样的时候和地方，有这样的香，我就觉得很不寻常，甚至有感激的心情了。 从此，我就爱上了马缨花，把它当成了自己的知心朋友。\     可惜不久我就搬出了那个院子，同那些可爱的马缨花告别了。\     时间也过得真快，才一转眼的工夫，已经过去了十三年。这十三年里，我看了、学习了很多新东西，走了很多新地方，当然也看了很多美妙动人的奇花异草。然而使我深深地怀念的却仍然是那些平凡的马缨花。我是多么想见到它们呀!\     最近几年来，北京的马缨花似乎多起来了。公园里，马路旁边，都可以看到新栽种的马缨花，绿云红雾飘满了北京。给首都增添了绚丽与芬芳。我十分高兴。仿佛是见了久别重逢的老友。但是，我却隐隐约约地感觉到，这些马缨花同我记忆中的那些很不相同。它们不同之处究竟何在呢?\     我最初确实是有些困惑。后来，我扩大了我回忆的范围，把当时所有同我有关的事物都包括在里面。不管我是怎样喜欢院子里那些马缨花，回忆的范围一扩大，同它们联系在一起的不是黄昏，就是夜雨，否则就是迷离凄苦的梦境。我好像是在那些可爱的马缨花上面从来没有见到哪怕是一点点阳光。\     然而，今天的马缨花，却仿佛总是在光天化日之下。[即使是在黄昏时候，在深夜里，我看到它们，它们也仿佛是生气勃勃，同浴在阳光里一样。]{.underline}它们仿佛想同灯光竞赛，同明月争辉。同我记忆里那些马缨花比起来，一个是照相的底片，一个是洗好的照片；一个是影，一个是光。影中的马缨花也许是值得留恋的，但是光中的马缨花不是更可爱吗?\      我从此就爱上了这光中的马缨花，我也爱藏在我心中的这一个光与影的对比 我愿意马缨花永远在这光中含笑怒放。 ------选自《光明日报》1962年10月1日 14．作者为什么说"有孤寂之感"？（4分） 15．解释下列两句话在文中的含意。（4分） （1）[等]{.underline}到脚步声成为空谷足音的时候，我住的地方就到了。[\ ]{.underline}（2）即使是在黄昏时候，在深夜里，我看到它们，它们也仿佛是生气勃勃，同浴在阳光里一样。 16．作者为佬用了很多笔墨写过去"大院子里"的生活？（6分） 17．文中所说的"光与影的对比"具体指什么？文章写马缨花有什么寓意？（8分） 六、（15分） 18．水库中学星星文学社请作家杨笑天来做报告。下面是张田甜社长开场白中的一个片段，其中有四处不得体，请你找出来并进行修改。（4分） 今天我们很荣幸地邀请到著名作家杨笑天先生来作报告，前几天，我们两位已把大家的作品送给杨先生，他也都拜读了，下面杨先生会针对我们大作中存在的问题进行具体指导。 （1）将 [ ]{.underline} 改为 [ ]{.underline} ； （2）将 [ ]{.underline} 改为 [ ]{.underline} ； （3）将 [ ]{.underline} 改为 [ ]{.underline} ； （4）将 [ ]{.underline} 改为 [ ]{.underline} 。 19．下面一段文字中画横线的词语，有的必需删去，有的不能删去，有的可删可不删。请将必须删去的和不能删去的找出来，把各自序号分别写在相应的横线上（5分） 为了感谢广大读者朋友[们]{.underline}长期以来对本刊[的]{.underline}支持，进一步[地]{.underline}提高本刊[的]{.underline}质量，更好有满 ① ② ③ ④ 足大家[的]{.underline}阅读要求，现本刊[拟]{.underline}决定开展读者调查活动，读者意见[已]{.underline}附在本期中，[本刊]{.underline}希望广 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 大读者认真[地]{.underline}填写读者意见，[并]{.underline}及时寄回本刊编辑部。 ⑨ ⑩ （1）必须删去的是： [ ]{.underline} （2）不能删去的是： [ ]{.underline} 20．请仿照下面的示例写三个句子，要求三个句子构成排比，语意逐步加强。（6分） 一朵浪花，是一个跳动的音符；一排浪花，是一组激昂的旋律；一江浪花，是一部欢乐生命的乐章。 七、阅读下面的文字，根据要求写一篇不少于800字的文章。 南太平洋的小岛上，有很多绿海龟孵化小龟的沙穴。一天黄昏，一只幼龟探头探脑地爬出来。一只老鹰直冲下来要叼走它。一位好心的游客发现了它，连忙跑过去赶走老鹰，护着小龟爬进大海。可是，意想不到的事情发生了，沙穴里成群的幼龟鱼贯而出------原来，先出来的那幼龟是个"侦查兵"，一旦遇到危险，它便缩回去，现在它安全到达大海，错误的信息使幼龟们争先恐后地爬到毫无遮挡的海滩。好心的游客走了，原先那只在等待时机的老鹰又飞回来了，其它老鹰也跟过来了。 要求选择一个角度构思作文。自主确定立意，确定文体，确定标题； 不要脱离材料内容及做含意的范围作文，不要套作，不得抄袭。 参考答案 1、D 2、C 3、C 4、B 5、C 6、A 7、D 8、C 9、B 10、B 11、(1)既然参加了英明勇武的军队，自然会使怯懦者具有坚强的意志。 (2)近日的事，祸端将要酿成，辛亏陛下英明果断，因而严惩了罪人。 12、(1)作者由丝丝小雨想到用丝织成的网；再由丝雨及暮春想到要把春天网住，即留住春天。这个想象、比喻非常生动、新奇。 (2)表现了作者政治上失意后的寂寞和感叹世态炎凉的情绪。诗的一、二句写了暮春黄昏，小雨霏霏，落花狼籍，从这些凄凉的景色可看出作者政治上失意后的寂寞愁绪。三、四句写诗人家门前几可罗雀，他只得在归鸟的鸣叫声中，关上了自己的家门，从中可以看出诗人对世态炎凉的感叹。 13、(1)臂非加长也 声非加疾也 非利足也 非能水也 君子生非异也 (2)故不为苟得也 故患有所不辟也 未云何龙 不霁何虹 高低冥迷 14、(1)作者独自在阴森凄冷的大院里 (2)当时正是"万家墨面没蒿莱"的时代，北平城一片黑暗。 15、(1)①孤独的脚步声表明作者一步步走近住所②暗示了环境的幽深 (2)①表明在新的环境里马缨花无论何时都充满生机②就像作者喜悦幸福的心情 16、①为马缨花的出现作反衬②为对比马缨花十三年前和如今的不同提供环境背景 17、(1)①"光与影的对比"是指新旧时代马缨花的对比②"光"中的马缨花长在阳光下，充满了生机和活力③"影"中的马缨花长在阴森凄苦的深院里，给苦闷寂寞的作者以心灵的慰藉。 (2)①马缨花是作者在新旧时代情感寄托的载体②作者通过对写马缨花感情的变化，表现作者心情和生活态度的变化 18、(1)"两位"删去，改为"二个"、"两个"、"二人" (2)"他"改为"杨先生" (3)"拜读"改为"看" (4)"大作"改为"作品" 19、(1)1 6 8 (2)2 5 20、略 21、略
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1. 计算：23×27 2. 计算：168×25÷14×7÷5 3. 计算：23×101 4. 计算：（26÷25）×（27÷17）×（25÷9）×（17÷39） （5）已知12345679×9=111111111，请问：12345679×45的结果是多少？
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![](./data/image/media/image1.png)**湖北省荆门市2020年中考数学试题** **一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）** 1.的平方是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 先计算，然后再计算平方． 【详解】∵ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值和平方的计算，按照顺序进行计算即可． 2.据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持，据统计，截至2020年3月26日，全国已有7901万多名党员自愿捐款，共捐款82.6亿元，82.6亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】82.6亿＝． 故选：B． 【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3.如图，菱形中，*E*，*F*分别是，的中点，若，则菱形的周长为（ ） ![](./data/image/media/image16.png) A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知EF为△ABD的中位线，可求出AB的长，由于菱形四条边相等即可得到周长． 【详解】解：∵*E*，*F*分别是，的中点， ∴EF为△ABD的中位线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，菱形的性质，发现EF为△ABD的中位线是解题的关键． 4.下列等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据幂的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则计算即可． 【详解】解：A、， 故选项A错误； B、 ， 故选项B错误； C、 ， 故选项C错误； D、 ， 故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键． 5\. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） ![](./data/image/media/image36.png) A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 由三视图易得此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，根据体积=底面积×高，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：由三视图可确定此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱，等腰直角三角形的直角边长为1，高为2， 则，等腰直角三角形的底面积， 体积=底面积×高， 故选：A 【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，以及求三棱柱的体积，读懂题意，得出该几何体的形状是解决本题的关键． 6.中，，*D*为的中点，，则的面积为（ ） ![](./data/image/media/image44.png) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 连接AD，用等腰三角形的"三线合一"，得到的度数，及，由得，得，计算的面积即可． 【详解】连接AD，如图所示： ![](./data/image/media/image54.png) ∵，且D为BC中点 ∴，且， ∴中， ∵ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，及解直角三角形和三角形面积的计算，熟知以上知识是解题的关键． 7.如图，中，，则的度数为（ ） ![](./data/image/media/image63.png) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由垂径定理都出，然后根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】∵OC⊥AB， ∴， ∴∠APC=∠BOC， ∵∠APC=28°， ∴∠BOC=56°， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，得出是解题关键． 8.为了了解学生线上学习情况，老师抽查某组10名学生的单元测试成绩如下：78，86，60，108，112，116，90，120，54，116这组数据的平均数和中位数分别为（ ） A. 95，99 B. 94，99 C. 94，90 D. 95，108 【答案】B 【解析】 【分析】 按照平均数和中位数的计算方法进行计算即可． 【详解】平均数为： 将数据按照从小到大进行排列为：54，60，78，86，90，108，112，116，116，120 中位数为： 故选：B． 【点睛】本题考查了平均数，中位数的计算，熟知以上计算方法是解题的关键． 9.在平面直角坐标系中，的直角顶点*B*在*y*轴上，点*A*的坐标为，将沿直线翻折，得到，过作垂直于交*y*轴于点*C*，则点*C*的坐标为（ ） ![](./data/image/media/image80.png) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出OA，然后证明△∽△即可得出答案． 【详解】由题意可得AB=1，OB=， ∵△ABC为直角三角形， ∴OA=2， 由翻折性质可得=1，=，=2，∠=90°， ∵∠+∠=90°，∠+∠=90°， ∴∠=∠， ∵⊥，∠=90°， ∴△∽△， ∴，即 ∴OC=4， ∴点C的坐标为（0，-4）， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，翻折的性质，勾股定理，证明△∽△是解题关键． 10.若抛物线经过第四象限的点），则关于*x*的方程的根的情况是（ ） A. 有两个大于1的不相等实数根 B. 有两个小于1的不相等实数根 C. 有一个大于1另一个小于1的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】 根据抛物线的图像进行判断即可． 【详解】∵a\>0， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线经过第四象限的点（1，-1） ∴方程ax^2^+bx+c=0有两个不相等的实数根，一个大于1另一个小于1， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的图像和性质，判断出抛物线的图像是解题关键． 11.已知关于*x*的分式方程的解满足，且*k*为整数，则符合条件的所有*k*值的乘积为（ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】 先解出关于*x*的分式方程得到x=，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解． 【详解】关于*x*的分式方程 得x=， ∵ ∴ 解得-7＜k＜14 ∴整数*k*为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13， 又∵分式方程中x≠2且x≠-3 ∴k≠35且k≠0 ∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数, 故选A． 【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法． 12.在平面直角坐标系中，长为2的线段（点*D*在点*C*右侧）在*x*轴上移动，，连接、，则的最小值为（ ） ![](./data/image/media/image109.png) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 作A（0，2）关于x轴的对称点A'（0，-2），再过A'作A'E∥x轴且A'E=CD=2，连接BE交x轴与D点，过A'作A'C∥DE交x轴于点C，得到四边形CDEA'为平行四边形，故可知AC+BD最短等于BE的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】作A（0，2）关于x轴的对称点A'（0，-2） 过A'作A'E∥x轴且A'E=CD=2，故E（2，-2） 连接BE交x轴与D点 过A'作A'C∥DE交x轴于点C， ∴四边形CDEA'为平行四边形， 此时AC+BD最短等于BE的长， 即AC+BD=A'C+BD=DE+BD=BE== 故选B． ![](./data/image/media/image115.png) 【点睛】此题主要考查最短路径的求解，解题的关键是熟知直角坐标系、平行四边形的性质． **二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）** 13.计算：\_\_\_\_\_\_． 【答案】 【解析】 【分析】 原式第一项运用算术平方根的性质进行化简，第二项代入特殊角三角函数值，第三项运用零指数幂运算法则计算，第四项运用负整数指数幂的运算法则进行计算，最后根据实数的运算法则得出结果即可. 【详解】 = = 故答案为： 【点睛】此题考查了实数的混合运算，掌握运算法则是解答此题的关键. 14.已知关于*x*的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则*m*的值为\_\_\_\_\_． 【答案】1 【解析】 ![](./data/image/media/image121.wmf)分析】 利用因式分解法求出x~1~,x~2~，再根据根的关系即可求解． 【详解】解 （x-3m）（x-m）=0 ∴x-3m=0或x-m=0 解得x~1~=3m,x~2~=m， ∴3m-m=2 解得m=1 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用． 15.如图所示的扇形中，，*C*为上一点，，连接，过*C*作的垂线交于点*D*，则图中阴影部分的面积为\_\_\_\_\_\_\_． ![](./data/image/media/image128.png) 【答案】 【解析】 【分析】 先根据题目条件计算出OD，CD的长度，判断为等边三角形，之后表示出阴影面积的计算公式进行计算即可． 【详解】在中， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴为等边三角形 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了阴影面积的计算，熟知不规则阴影面积的计算方法是解题的关键． 16.如图，矩形的顶点*A*、*C*分别在*x*轴、*y*轴上，，将绕点*O*顺时针旋转，点*B*落在*y*轴上的点*D*处，得到，交于点*G*，若反比例函数的图象经过点*G*，则*k*的值为\_\_\_\_\_\_． ![](./data/image/media/image147.png) 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意证明△AOB≌△EOD，△COG∽△EOD，根据相似三角形的性质求出CG的长度，即可求解． 【详解】解： 由B（-2，1）可得，AB=OC=1，OA=2，OB= 由旋转可得：△AOB≌△EOD，∠E=∠OAB=90°， ∴OE=OA=2，DE=AB=1， ∵∠COG=∠EOD，∠GCO=∠E=90°， ∴△COG∽△EOD， ∴，即， 解得：CG=， ∴点G（，1）， 代入可得：k=， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质和反比例函数，解题的关键是利用相似三角形的性质求出OG的长度． 17.如图，抛物线与*x*轴交于点*A*、*B*，顶点为*C*，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点*C*的坐标为，则的面积可以等于2；③是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，3其中正确结论的序号为\_\_\_\_\_\_\_． ![](./data/image/media/image163.png) 【答案】①④ 【解析】 【分析】 ①根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标来判断a,b,c的正负情况，即可． ②根据图形可知AB的值大于4，利用三角形的面积求法，即可得面积会大于2． ③利用图形的对称性，离对称轴越小，函数值越大． ④把点代入抛物线，可求得x=3是方程的解，再利用图形的对称可求另一个解． 【详解】解：① 开口向下， a\<0， 对称轴x=1,a\<0, b\>0，抛物线与y轴的交点在y的正半轴上， c\>0， abc\<0，正确． ②从图像可知，AB\>4,\>， ，故错误． ③ ，从图像可知 到1的距离小于 到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值越大； ，故错误． ④把点（3，-1）代入抛物线得 ，即 ，∴，即x=3，是方程的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力，本题也可以采用一些特殊值代入法来解． **三、解答题（本大题共7小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）** 18.先化简，再求值： ，其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】 利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可． 【详解】解： 原式 当时， 原式 。 【点睛】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式的应用和二次根式的运算，掌握相关的性质和运算法则是解题的关键． 19.如图，中，，的平分线交于*D*，交的延长线于点*E*，交于点*F*． ![](./data/image/media/image191.png) （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质求出，，再根据垂直与外角的性质即可求出； （2）根据题意证明，再得到为等边三角形，故可得到，可根据三角函数的性质即可求出AF． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知等腰三角形、等边三角形的判定与性质、三角函数的应用． 20.如图是某商场第二季度某品牌运动服装的*S*号，*M*号，*L*号，*XL*号，*XXL*号销售情况的扇形统计图和条形统计图． ![](./data/image/media/image219.png) 根据图中信息解答下列问题： （1）求*XL*号，*XXL*号运动服装销量的百分比； （2）补全条形统计图； （3）按照*M*号，*XL*号运动服装的销量比，从*M*号、*XL*号运动服装中分别取出*x*件、*y*件，若再取2件*XL*号运动服装，将它们放在一起，现从这件运动服装中，随机取出1件，取得*M*号运动服装的概率为，求*x*，*y*的值． 【答案】（1）XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%；（2）补全条形图如图所示，见解析；（3）． 【解析】 【分析】 （1）先求出抽取的总数，然后分别求出对应的百分比即可； （2）分别求出S、L、XL的数量，然后补全条形图即可； （3）由销量比，则，结合概率的意义列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：（1）抽取的总数为：（件）， ∴XXL的百分比：， XL的百分比：； ∴XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%． （2）根据题意， S号的数量：（件）， L号的数量：（件）， XL号数量：（件）， 补全条形图如图所示． ![](./data/image/media/image230.png) （3）由题意，按照*M*号，*XL*号运动服装的销量比，则， 根据概率的意义，有， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了概率的意义，频数分布直方图、扇形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 21.如图，海岛*B*在海岛*A*的北偏东方向，且与海岛*A*相距20海里，一艘渔船从海岛*B*出发，以5海里/时的速度沿北偏东方向航行，同时一艘快艇从海岛*A*出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达*C*处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的*E*处． ![](./data/image/media/image235.png) （1）求的度数； （2）求快艇的速度及*C*，*E*之间的距离． （参考数据：） 【答案】（1）；（2）快艇的速度为9.85海里时，*C*，*E*之间的距离为19.9海里． 【解析】 【分析】 （1）过点*B*作于点*D*，作于点*E*，根据题意求出∠ABD和∠ADE![](./data/image/media/image241.wmf)度数，即可求解； （2）求出BE的长度，根据解直角三角形求出BF和EF的长度，在中，求出AD、BD的长度，证出四边形为矩形，可求得快艇的速度和CE之间的距离． 【详解】（1）过点*B*作于点*D*，作于点*E*． 由题意得：，， ∵， ∴， 而 ∴． （2）（海里） 在中，， （海里）， （海里）， 在中，， ![](./data/image/media/image255.png) （海里）， （海里）， ∵，，，∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴ ， 设快艇的速度为*v*海里/时，则（海里时） 答：快艇![](./data/image/media/image241.wmf)速度为9.85海里时，*C*，*E*之间的距离为19.9海里． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、解直角三角形的实际应用−方位角问题，理清题中各个角的度数，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 22.如图，为的直径，为的切线，*M*是上一点，过点*M*的直线与交于点*B*，*D*两点，与交于点*E*，连接． ![](./data/image/media/image268.png) （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析；（2）的半径为2.5． 【解析】 ![](./data/image/media/image121.wmf)分析】 （1）根据切线的性质得到，可得，再根据等腰三角形的性质与角度等量替换得到，故可证明； （2）解法1，先连接BC,证明，得到EM=6，根据勾股定理求出AE，再根据列出比例式求出直径，故可求出；解法2，连接CD，同理得到，根据勾股定理求出AE，设，根据等腰三角形的性质得到CD=CE=x,再利用Rt△ACD列出方程故可求出x,再得到直径即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的切线，为的直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴． ![](./data/image/media/image281.png) （2）方法1：解：如图，连接， ![](./data/image/media/image282.png) ∵为直径，∴， ∴，而， ∴， 又：， ∴， ∴， ∵，，∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的半径为2.5． 方法2：解：如图，连接CD， ![](./data/image/media/image295.png) ∵，∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为直径，∴， ∴， 而， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则， 在中， ，∴，解得 ∴， ∴的半径为2.5． 【点睛】此题主要考查切线的综合运用，解题的关键是熟知切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质． 23.2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第*x*天（*x*为正整数）的销售价格*p*（元/千克）关于*x*的函数关系式为，销售量*y*（千克）与*x*之间的关系如图所示． ![](./data/image/media/image312.png) （1）求*y*与*x*之间的函数关系式，并写出*x*的取值范围； （2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？ （销售额=销售量×销售价格） 【答案】（1）；（2）当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元． 【解析】 【分析】 （1）分为和，用待定系数法确定解析式即可； （2）分别计算出和时的最大值，进行比较，最大的作为最大值即可． 【详解】（1）当时，设，由图象得： 解得： ∴ 当时，设，由图象得： 解得： ∴ 综上，． （2）设当月该农产品的销售额为*w*元，则． 当时， ∵，由二次函数的性质可知： ∴当时， 当时， ∵，由二次函数的性质可知： 当时， ∵ ∴当时，*w*取得最大值，该最大值为500． 答：当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元． 【点睛】本题考查了一次函数，二次函数在实际问题中的应用，能根据实际问题提供的关系式快速列式并进行准确的计算是解题的关键． 24.如图，抛物线与*x*轴正半轴交于点*A*，与*y*轴交于点*B*． ![](./data/image/media/image335.png) （1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标； （2）如图1，点*P*为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点*P*作轴，垂足为*C*，交于点*D*，求的最大值，并求出此时点*P*的坐标； （3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于*M*，*N*两点，若点*A*是线段的中点，求抛物线的解析式． 【答案】（1）直线的解析式为，抛物线顶点坐标为；（2）当时，的最大值为； ；（3）． 【解析】 【分析】 （1）先根据函数关系式求出A、B两点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标； （2）过点*D*作轴于*E*，则．求得AB=5，设点*P*的坐标为，则点*D*的坐标为，ED=x，证明，由相似三角形的性质求出，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得点P的坐标； （3）设平移后抛物线的解析式，将L′的解析式和直线AB联立，得到关于x的方程，设，则是方程的两根，得到，点*A*为的中点，，可求得m的值，即可求得L′的函数解析式． 【详解】（1）在中， 令，则，解得， ∴． 令，则，∴． 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为． ， ∴抛物线顶点坐标为 （2）如图，过点*D*作轴于*E*，则． ∵， ∴， 设点*P*的坐标为， 则点*D*![](./data/image/media/image241.wmf)坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 而， ∴， ∵，，由二次函数的性质可知： 当时，的最大值为． ， ∴． ![](./data/image/media/image382.png) （3）设平移后抛物线的解析式， ![](./data/image/media/image383.png) 联立， ∴， 整理，得：， 设，则是方程的两根， ∴． 而*A*为的中点，∴， ∴，解得：． ∴抛物线的解析式． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
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**一年级数学下册同步练习及**![](./data/image/media/image1.png)**解析\|北师大版(秋)** **第6单元 第一节：图书馆** 一、填空 1、一个加数是25，和是63, 另一个加数是（ ）。 2、38减去（ ）与16同![](./data/image/media/image1.png)样多![](./data/image/media/image1.png)。 3、按规律填数 （1）84、86、88、（ ![](./data/image/media/image1.png) ）、（ ![](./data/image/media/image1.png) ）![](./data/image/media/image1.png)、（ ）\[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\] （2）（ ）、75、70、65、（ ）、（ ）、50。 4、请你在○填上"+"或"－"。 38○45=83 65○17=48 26○56=82![](./data/image/media/image1.png) 58○28=30\[来源:学科网\] 5、在○里填上"＞"、"＜"或"＝"： 32+40○30+60 　 　84-35![](./data/image/media/image1.png)○84-62　　 70+30○20+80 二、判断 1、两个一样的三角形可以拼成一个大三角形。 （ ） 2、一个加数是26，另一个加数是35，和是51. （ ） 3、减数是53，差是16，被减数是37。 （ ） 三、列式计算 1、一个加数是47，另一个加数是38，和是多少？ 2、减数是76，被减数是94，差是多少？ 3、52与39的和是多少？ 四、蘑菇送给谁？ ![](./data/image/media/image2.png)![](./data/image/media/image1.png) 五、计算。\[来源:学科网ZXXK\] 49+7= 5+6![](./data/image/media/image1.png)8= 78+4= 28+3= 6+39= 8+32= 6![](./data/image/media/image1.png)9+5= 7+45= 57+6=  答案 ![](./data/image/media/image1.png)一、 1、38\[来源:Z+xx+k.Com\] 2、22 3、 （1）90、92、94 （2）80、60、55 4、 38+45=83 65－17=48 26+5![](./data/image/media/image1.png)6=82 58－28=30 5、在○里填上"＞"、"＜"或"＝"： ![](./data/image/media/image1.png) 32+40＜30+60 　 　84-35＞84-62　　 70+30＝20+80 二、判断\[来源:学\#科\#网\] 1、× 2、× 3、× 三、列式计算 1、47+38=85 2、94-76=18 3、52+39=91 四、 ![](./data/image/media/image2.png) 五、 49+7=56 5+68=73 78+4=82 28+3=31 6+3![](./data/image/media/image1.png)9=45 8+32=40 69+5=74 7+45=52 57+6= 63
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**高考数学专题复习** **椭 圆** **【考纲要求】** +----------------------------------------------------+ | 1\. 掌握椭圆的定义，标准方程，了解椭圆的参数方程； | | | | 2\. 掌握椭圆的简单几何性质 | +----------------------------------------------------+ **一、考点回顾** **1. 椭圆的定义** +------------------------------------------------+ | 1\. **第一定义：** | | | | > 满足 的动点的轨迹是以为焦点，长轴长为 的椭圆 | | | | 2\. **第二定义：** | | | | 到一个定点与到一定直线的距离之比等于 | | | | 一个小于1的正数的点的轨迹叫椭圆 | | | | 其中是椭圆的一个焦点，是相应于的准线， | | | | 定义式： | +------------------------------------------------+ **2. 椭圆的标准方程** +----------------------------------------+ | （1）焦点在轴上： | | | | 焦点，，且满足： | | | | （2）焦点在轴上： | | | | 焦点，，且满足： | | | | （3）统一形式： | | | | 【注】为椭圆的定型条件，对三个值中知道 | | | | > 任意两个，可求第三个，其中 | +----------------------------------------+ **3. 椭圆的参数方程** +-------------------------------------------------------+ | 焦点在轴上，中心在原点的椭圆的参数方程为： （为参数） | | | | （其中为椭圆的长轴长，为椭圆的短轴长） | +-------------------------------------------------------+ **4 椭圆的简单几何性质** +-----------------------------------------------------------+ | 以椭圆为例说明 | | | | （1）范围：， | | | | （2）对称性：椭圆的对称轴:轴，轴；对称中心：原点 | | | | （3）顶点：长轴顶点：，，短轴顶点：， | | | | （4）离心率： 。 | | | | 【注】①；②越大，椭圆越扁；③ | | | | （5）准线：椭圆有左，右两条准线关于轴对称。 | | | | 左准线： 右准线： | | | | （6）焦半径：椭圆上任一点到焦点的距离。左、右焦半径分别为 | | | | ， | +-----------------------------------------------------------+ **5 点与椭圆的位置关系** -------------------- 已知椭圆，点，则： -------------------- **6 关于焦点三角形与焦点弦** +------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | （1）椭圆上一点与两个焦点所构成的称为焦点三角形。 | | | | 设，则有： | | | | ① ，当（即为短轴顶点）时，最大， | | | | 此时 | | | | ② 的面积 | | | | 当（即为短轴顶点）时，最大，且![](./data/image/media/image17.emf)![](./data/image/media/image17.emf) | | | | ③ | | | | （2）经过焦点或的椭圆的弦，称为焦点弦。 | | | | 设，的中点为， | | | | 则弦长 | | | | （左焦点取"+"，右焦点取"-"） | | | | 当轴时，最短，且 | +------------------------------------------------------------------------------------------------------+ **7 椭圆的光学性质** -------------------------------------------------------------- 从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆反射后，经过椭圆的另一焦点。 -------------------------------------------------------------- **8. 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法** +------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | **1 联立方程法：**联立直线和椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程， | | | | > 设交点坐标为，则有，以及，还可进一步求出。在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法 | | | | **2 点差法：**设交点坐标为代入椭圆方程，并将两式相减，可得，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法 | +------------------------------------------------------------------------------------------------------+ **二 典例剖析** 1 求椭圆的标准方程 【例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的一个端点的距离为，则椭圆方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ > （2）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆方程为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ +-------------------------------------+ | 【解】（1）由已知：，又，故求得：。 | | | | 所以，椭圆方程为： | | | | （2）设椭圆方程为：，且设，， | | | | PQ的中点为。由已知：，所以， | | | | 即有：，又 ，求得： 或 。 | | | | 联立，消去y,得：， | | | | 则有: ，即。 | | | | 由韦达定理可得：，从而有， | | | | 易知：，，所以或， | | | | 解之得： 或。故椭圆方程为： 或 。 | +-------------------------------------+ 【例2】设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点作的垂线分别交椭圆于，交轴于，且 （1）求椭圆的离心率。 （2）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程。 +--------------------------------------+ | 【解】（1）由已知可得： | | | | 由可得：，将点坐标代入椭圆方程可得： | | | | 。 即 | | | | （2）由（1）得：，圆心为，半径 | | | | 于是有：， 所以 。 | | | | 故椭圆方程为： | +--------------------------------------+ 【例3】已知中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为，斜率为的直线过右焦点 与椭圆交于两点，与轴交于点点，且 （1）若，求椭圆离心率的取值范围 （2）若，且弦的中点到右准线的距离为，求椭圆的方程 +------------------------------+ | 【解】（1）设椭圆方程为：， | | | | 则直线的方程为： | | | | 由，可求得： | | | | 代入椭圆方程，并整理得： | | | | 而且，故有： | | | | 由已知： 得： | | | | 考虑到，故求得： | | | | （2）由（1）可知，当时， | | | | 故椭圆方程可化为： | | | | 联立 消去得： | | | | 设的中点为，则 | | | | 易知：椭圆的右准线为：，于是 | | | | 故椭圆方程为： | +------------------------------+ 【例4】已知椭圆的中心在原点，短轴长为，右准线交轴于点，右焦点为，且，过点的直线交椭圆于两点 （1）求椭圆的方程 （2）若，求直线的方程 （3）若点关于轴的对称点为，证明：直线过定点 （4）求的最大面积 +------------------------------------------+ | 【解】（1） 椭圆方程为： | | | | （2）设直线的方程为：，且设 | | | | 联立 消去，得： | | | | 则 | | | | 从而求得： | | | | 由 得 ： ，求得 | | | | 所以的方程为： | | | | （3）有已知及（2）知：。设直线与轴交于点 | | | | 则有 | | | | 由（2）可知： | | | | 所以 | | | | 又由（2）知： ， 所以 ，即 | | | | 故直线过定点，即为椭圆的右焦点 | | | | （4）由（1）得： | | | | 令 ， 则 | | | | 当且仅当，即时，取"" | | | | 所以的最大面积为 | +------------------------------------------+ 【例5】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最大值为，最小值为 （1）求椭圆的标准方程 > （2）若直线与椭圆交于两点（不是左，右顶点）且以 为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标 +---------------------------------+ | 【解】（1）由已知且从而 | | | | 所以椭圆的方程为： | | | | （2）设 | | | | 联立 ， 消去得： | | | | 则 | | | | 又有 | | | | 从而有 | | | | 因为以为直径的圆过右顶点， 所以 | | | | 而 ，所以 | | | | 即 | | | | 所以 | | | | 得： 或 | | | | ⅰ）当时，直线过右顶点不合题意 | | | | ⅱ）当时，直线为，显然直线过定点 | | | | 故直线过定点，且定点坐标为 | +---------------------------------+ 2 椭圆的性质 【例6】已知椭圆的两个焦点分别为，，在椭圆上存在一点，使得 （1）求椭圆离心率的取值范围 > （2）当离心率取最小值时，的面积为，设是椭圆上两动点，若线段的垂直平分线恒过定点。①求椭圆的方程；②求直线的斜率的取值范围。 +-------------------------------------------------------+ | 【解】（1）设椭圆短轴的端点为B,由已知及椭圆的性质得： | | | | 所以，从而 ，即，又， | | | | 所以，得：，所以 。 | | | | （2）**①**当取得最小值时，在短轴顶点， | | | | 所以， 又， | | | | 故求得：。 所以椭圆方程为： | | | | **②**【法一：点差法】设，设的中点为， | | | | 则 | | | | 即 ① | | | | 由已知 的垂直平分线方程为： | | | | 易知点在该直线上，所以 ② | | | | 由①，②可求得： 即 | | | | 由已知：点在椭圆内部， | | | | 所以 | | | | 【法二：联立方程法】设， | | | | 设直线的方程为，的垂直平分线方程为： | | | | 联立消去得： | | | | 则有 即 ① | | | | 又有: 从而 | | | | 所以的中点为 。又在的垂直平分线上， | | | | 所以， 即 ② | | | | 将②代人①求得： | +-------------------------------------------------------+ 【注1】在方法二中，也可由得到② 【注2】求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况： （1）已知不等式；（2）椭圆上的点的横坐标满足；（3）； （4）椭圆内部的点满足； 【例7】椭圆的中心在原点，焦点在轴上，斜率为的直线过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，与向量共线。 （1）求椭圆的离心率 > （2）设为椭圆上任一点，若，求证：为定值 +----------------------------------------------+ | 【解】（1）设椭圆方程为 ，设，， | | | | 由已知：直线AB的方程为：，代入椭圆方程，得： | | | | ， | | | | 由韦达定理得：，易知： | | | | 因为与向量共线，所以 ， | | | | 而，所以， | | | | 即 ，于是有： | | | | 又 ，所以，故有：。 | | | | （2）由（1）得：，，所以椭圆方程为：， | | | | 即，直线AB的方程为：， | | | | 于是有：，，从而，。 | | | | 于是。设，由已知：， | | | | 将M的坐标代入椭圆方程得：， | | | | 即， | | | | 于是有：。 故为定值。 | +----------------------------------------------+ 【例8】已知为椭圆上一动点，弦分别过焦点，当轴时，恰有. （1）椭圆的离心率 （2）设，，判断是否为定值？ +---------------------------------+ | 【解】（1）当轴时，，从而 | | | | 依定义有，所以 | | | | 而，所以 ，即 。 | | | | （2）由（1）可知椭圆方程为：， | | | | 设 | | | | ①若的斜率都存在，则直线的方程为 | | | | 代入椭圆方程，并整理得： | | | | 由韦达定理有 | | | | 由已知：；同理可得： | | | | 所以 | | | | ②若有一个斜率不存在，不妨设轴 | | | | 则 所以 | | | | 综上所述为定值。 | +---------------------------------+ 【例9】设是椭圆上的定点，过点作两条直线 与椭圆分别交于两点（异于点）且满足直线与的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值 +--------------------------------------+ | 【证明】【法一：点差法】设，。则有： | | | | ， ， | | | | （2）（3）得：， | | | | 即 。 所以。 | | | | 同理可得：。 | | | | 由已知：，即 | | | | （4） | | | | 另一方面，，，所以 | | | | （5） | | | | 由（4）（5）可得：。 | | | | > 所以 为定值。即直线的斜率为定值 | | | | 【法二：联立方程法】设，。 | | | | 设直线PA： ，直线PB：。 | | | | 联立，消去Y，得： | | | | ， | | | | 由韦达定理可得：① | | | | 同理可得： 。 | | | | 由已知：，即，于是② | | | | ①②得：， 即 。 | | | | ①②得：， | | | | 所以 。 | | | | 于是 | | | | 。 | | | | 所以 为定值。 | +--------------------------------------+ 3\. 最值问题 【例10】已知是椭圆的左，右焦点以及两定点 （1）设为椭圆上一个动点 ①求的最大值与最小值；②求的最大值与最小值。 > （2）过点作直线与椭圆交于两点，若为锐角（为原点），求直线的斜率的取值范围 +----------------------------------------+ | 【解】（1）**①**由已知：点在椭圆内部。 | | | | 易知所以，。 | | | | 依定义有：， 所以， | | | | 由三角不等式可得： ， | | | | 即 。当且仅当三点依次共线以及 | | | | 三点依次共线时，左右等号分别成立。 | | | | 所以；（此时三点依次共线） | | | | 。（此时三点依次共线） | | | | **②**【法一】易知所以， | | | | 设，则 | | | | 。 因为， | | | | 故当，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值 | | | | 当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大1. | | | | 【法二】易知，所以， | | | | 设，由向量的数量积定义及余弦定理可得： | | | | > （以下同解法一） | | | | （2）显然直线不满足题设条件， | | | | 设，设直线的方程为：， | | | | 联立，消去，整理得： | | | | ∴ | | | | 由 得： 或 | | | | 又 | | | | 所以 | | | | 又 | | | | > 所以 ，即 | | | | 所以 。 故由①、②得： 或 | +----------------------------------------+ 【例11】已知椭圆，是垂直于轴的弦，直线交轴于点， 为椭圆的右焦点，直线与交于点 （1）证明：点在椭圆上 （2）求面积的最大值 +---------------------------------------+ | 【解】（1）由已知。设，则且， | | | | 与的方程分别为： | | | | 联立两直线的方程求得： 即 | | | | 因为 | | | | ， 所以点在椭圆上 | | | | （2）设直线的方程为且 | | | | 联立 | | | | 则由： | | | | 所以 | | | | 所以 | | | | 令，函数递增， 所以当时，取得最小值， | | | | 故当时，取得最大值 | +---------------------------------------+ 【例12】已知椭圆的中心在原点，左，右焦点分别为，右顶点为，设，过原点的直线与椭圆交于两点，求的最大值 +-----------------------------------------------+ | 【解】【方法一】由已知可得：椭圆方程为：。 设 | | | | 则，所以直线的方程为： | | | | 即， 作于， 则 | | | | 易知， 所以 | | | | 因为点在椭圆上，所以可设 | | | | 所以 | | | | 当时，取得最大值 | | | | 【方法二】由，可得 | | | | 当且仅当即或时取等号 | | | | 所以的最大值为 | +-----------------------------------------------+ 【例13】（08 山东）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为，记是以与坐标轴的交点为顶点的椭圆 （1）求椭圆的标准方程 > （2）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上异于椭圆中心的点。 **①**若（为坐标原点）当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程； **②**若点是与椭圆的交点，求的最小面积 +--------------------------------------------+ | 【解】（1）由题意得 又，解得：． | | | | 因此所求椭圆的标准方程为：． | | | | （2）**①**假设所在直线的斜率存在且不为零， | | | | 设所在直线方程为，且设 ． | | | | 解方程组 得：，， | | | | 所以． | | | | 设，由题意知：，所以 ， | | | | 即， | | | | 因为是的垂直平分线，所以直线的方程为，即， | | | | 因此 ， 又， | | | | 所以，故 ． | | | | 当或不存在时，上式仍然成立． | | | | 综上所述，的轨迹方程为． | | | | **②** 当存在且时，由（1）得：，， | | | | 由 解得：，， | | | | 所以，， | | | | ． 由于 | | | | ， | | | | 当且仅当，即时等号成立， | | | | 此时面积的最小值是． | | | | 当，． | | | | 当不存在时，． | | | | 综上所述，的面积的最小值为． | | | | 【（2）②另解】因为 | | | | ，又 ， | | | | 所以 ，当且仅当，即时等号成立， | | | | 此时面积的最小值是． | +--------------------------------------------+ 【例14】已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点 （1）求的面积的最大值 （2）当的面积最大值时，求的值 +-------------------------------------+ | 【解】（1）由已知得： | | | | 设直线的方程为，且设 | | | | 联立 | | | | 则有： | | | | 由已知可得： | | | | 令易证函数在上递增， | | | | 所以当时，取得最小值， | | | | 故当时，取得最小值， 故的最大值为。 | | | | （2）当最大值时，，从而，而所以 | +-------------------------------------+ 【例15】(2009山东卷) 设椭圆E: 过M（2，![](./data/image/media/image646.wmf)） ，N(![](./data/image/media/image647.wmf),1)两点，O为坐标原点， （1）求椭圆E的方程； > （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且![](./data/image/media/image648.wmf)？若存在，写出该圆的方程，并求\|AB \|的取值范围，若不存在说明理由。 > > （3）设直线与椭圆相切于点，与椭圆E只有一个公共点，当取何值时，取得最大值？并求此最大值 +-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 【**解**】**（1）**因为椭圆E: 过M（2，![](./data/image/media/image646.wmf)） ，N(![](./data/image/media/image647.wmf),1)两点, | | | | 所以![](./data/image/media/image656.wmf)解得![](./data/image/media/image657.wmf) 即 ![](./data/image/media/image658.wmf) 所以椭圆E的方程为 | | | | > **（2）①**假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且![](./data/image/media/image648.wmf)。 设该圆的切线方程为 | | > | | > 解方程组 消去y，得：, , | | | | .则△=，即 ![](./data/image/media/image664.wmf) | | | | > 由由韦达定理得：，。 | | > | | > 于是 | | | | 要使![](./data/image/media/image648.wmf),需使 ![](./data/image/media/image668.wmf)，所以 ![](./data/image/media/image669.wmf)， **①** | | | | 因为直线![](./data/image/media/image671.wmf)为圆心在原点的圆的一条切线， | | | | 所以圆的半径为**②** | | | | 由 **① ②** 可得：![](./data/image/media/image675.wmf)，所求的圆为![](./data/image/media/image676.wmf)， | | | | 而当切线的斜率不存在时，切线为![](./data/image/media/image677.wmf)，与椭圆![](./data/image/media/image678.wmf)的两个交点 | | | | 为![](./data/image/media/image679.wmf)或![](./data/image/media/image680.wmf)，满足![](./data/image/media/image648.wmf)。 | | | | 综上, 存在圆心在原点的圆![](./data/image/media/image676.wmf)，使得该圆的任意一条切线与椭圆E | | | | 恒有两个交点A、B，且![](./data/image/media/image648.wmf). | | | | > **②**因为, ，， 所以 | | | | ⅰ）当![](./data/image/media/image685.wmf)时，。 因为![](./data/image/media/image687.wmf) | | | | 所以![](./data/image/media/image688.wmf),， 即 , | | | | > 所以 ![](./data/image/media/image690.wmf)，当且仅当![](./data/image/media/image691.wmf)时取"=". ![](./data/image/media/image692.jpeg) ![](./data/image/media/image692.jpeg) | | > | | > ⅱ）当![](./data/image/media/image693.wmf)时,![](./data/image/media/image694.wmf). | | > | | > ⅲ）当AB的斜率不存在时, 两个交点为![](./data/image/media/image679.wmf)或![](./data/image/media/image680.wmf) | | > | | > 此时![](./data/image/media/image695.wmf), | | | | 综上, \|AB \|的取值范围为：![](./data/image/media/image696.wmf)。即: ![](./data/image/media/image697.wmf)。 | | | | **②**【**另解**】如图，设，作于D， | | | | 由**①**及已知可得**：**， | | | | 易知，。 | | | | 所以。 | | | | 令，， | | | | 易知：函数在上递减，在上递增。 | | | | 所以，。故 。 | | | | **（3）**设直线的方程为，设， | | | | 因为直线与圆相切，所以 **①** | | | | 联立，消去Y得： | | | | 由已知：，即**②** | | | | 由 **① ②** 可得：，。 | | | | 当直线与椭圆有唯一公共点Q时，有： | | | | 即有： 从而有： | | | | 于是有： | | | | 而 ，当且仅当，即时取等号。 | | | | 所以，故当时，。 | +-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ 【注】存在以坐标原点O为圆心的圆，使得圆的任一切线与椭圆交于P, Q两点，满足，且圆的方程为；反之，若，则O点到直线PQ的距离为定值. 当时，\|PQ\|取得最大值;当或轴时，\|PQ\|取得最小值。. 4 直线与椭圆的位置关系 【例16】已知是椭圆的左，右焦点，直线与椭圆相切。 （1）分别过作切线的垂线，垂足分别为，求的值 > （3）设直线与轴，轴分别交于两点，求的最小值。 +-----------------------------------------+ | 【解】（1）设直线的方程为，由已知: ，。 | | | | 所以 ；。 | | | | 于是。 | | | | 联立，消去y，的：。 | | | | 因为直线与椭圆相切，所以 | | | | 。 | | | | 所以 为定值。 | | | | （2）易知：，。 | | | | 所以 | | | | 。当且仅当，即时取等号。 | | | | 所以 。 | +-----------------------------------------+ 【例17】已知椭圆，过点作直线与椭圆顺次交于两点（在之间）。（1）求的取值范围； （2）是否存在这样的直线，使得以弦为直径的圆经过坐标原点？若存在，求的方程，若不存在，说明理由。 +-----------------------------------------+ | 【解】**（1）**方法一：（联立方程法） | | | | ⅰ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为 | | | | 且设。 | | | | 联立， 消去，并整理得： | | | | 则有， 求得： | | | | 又有 ① ② | | | | 设 ，则有，即 ③ | | | | 从①，②，③中消去可得： | | | | 而 ， 所以 。 而 ，故求得： | | | | ⅱ）当直线的斜率不存在时， | | | | 综上所述， 的取值范围是 | | | | 方法二：（点差法） 设， | | | | 则有：， 所以，，即 | | | | 于是有 | | | | (1)(2) 得：，即 | | | | > 由已知， ，所以 | | | | 而， 所以 | | | | **（2）**假设满足条件的直线存在，设，则 | | | | 由（1）可知： | | | | 从而求得： | | | | 于是有： 满足 | | | | 故满足条件的直线存在，且直线方程为：或 | +-----------------------------------------+ 【例18】设是椭圆上两点，点是线段的中点，线段的垂直平分线交椭圆于两点 （1）确定的取值范围，并求直线的方程 （2）是否存在这样的实数，使得四点在同一圆上？并说明理由 +--------------------------------------------------------------------+ | 【解】**（Ⅰ）解法1**：依题意，设直线AB的方程为代人 | | | | > 整理得 ① | | | | 设，则是方程①的两个不同的根， | | | | ∴ ② 且。 | | | | > 由N（1，3）是线段AB的中点，得： | | | | 解得k=－1，代入②得，。 则的取值范围是（12，+∞）. | | | | 于是，直线AB的方程为 | | | | **解法2：**设则有 | | | | 依题意， | | | | ∵N（1，3）是AB的中点， ∴ | | | | 又由N（1，3）在椭圆内，∴。 | | | | ∴的取值范围是（12，+∞）. | | | | 直线AB的方程为y－3=－（*x*－1），即*x*+y－4=0. | | | | **（Ⅱ）**∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=*x*－1，即*x*－y+2=0， | | | | 代入椭圆方程，整理得 | | | | 设CD的中点为. | | | | 是方程③的两根，∴ | | | | 于是即 | | | | 由弦长公式可得 ④ | | | | 将直线AB的方程*x* + y－4=0，代入椭圆方程得 ⑤ | | | | 同理可得 ⑥ | | | | ∵当时，\| | | | | > 假设存在\>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径， | | > | | > 点M为圆心. | | | | 点M到直线AB的距离为 ⑦ | | | | 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 | | | | 故当\>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，为半径的圆上. | | | | （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：） | | | | A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角\|AN\|^2^=\|CN\|·\|DN\|， | | | | 即 ⑧ | | | | 由⑥式知：⑧式左边 | | | | 由④和⑦知，⑧式右边 | | | | ∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆. | +--------------------------------------------------------------------+ 【例19】（2010江苏）已知椭圆的左，右焦点为，左，右顶点为，过点的直线分别交椭圆于点 （1）设动点，满足，求点的轨迹方程 （2）当，时，求点的坐标 （3）设，求证：直线过轴上的定点 +----------------------------------+ | 【解】（1）由题意知:，设，则 | | | | ， 化简整理得: | | | | （2）把代人椭圆方程,分别求出: ， | | | | 直线 ① ; 直线 ② | | | | ①、②联立,得： | | | | （3）由已知: ， | | | | 直线与椭圆联立，得： | | | | 直线与椭圆联立，得： | | | | 直线的方程为： | | | | 化简得 | | | | 令，解得，即直线MN过X轴上定点。 | +----------------------------------+ **三 解题小结** +--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | 1\. 离心率是圆锥曲线的重要性质，求离心率及其取值范围，就是寻找与或之间的关系 | | | | 2\. 求与椭圆有关的最值问题,有三种方法：（1）几何法;（2）三角代换法;（3）转化函数，利用函数的单调性求最值 | | | | 3\. 直线与椭圆的位置问题两种基本方法：（1）联立方程法;（2）点差法，前者涉及弦长与中点，后者涉及斜率，中点等. | | | | 4\. 关于椭圆的补充性质（常在解题中遇到）： | | | | ①椭圆的内接矩形的最大面积为. | | | | > ②过焦点 的直线交椭圆于P, Q两点，则当轴时，的面积最大，且最大面积为. | | > | | > ③设右准线与轴交于点E，过E点的直线与椭圆交于P, Q两点，点与点P关于轴对称，则直线一定过椭圆的右焦点，且 . | | > | | > ④设点P是右（左）准线上任一点（不在轴上），是椭圆的左右顶点，直线, 与椭圆分别交于两点，则直线一定过椭圆的右（左）焦点。 | | > | | > ⑤过右（左）焦点的直线与椭圆交于两点，是椭圆的左、右顶点，直线的交点一定在右（左）准线上。 | +--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
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**一年级数学下册同步练习及**![](./data/image/media/image1.png)**解析\|北师大版(秋)** **第4单元 第四节：动手做（三）** 一、选一选 1、请选出用哪个物体可以画出左边的图形请选出。 ![](./data/image/media/image2.png) 2、课桌的表面是（ ）形。 ①长方形 ![](./data/image/media/image1.png) ②正方形 ③三角形 3、![](./data/image/media/image3.png)中有（ ）个三角形。 ① 2 ②3 ![](./data/image/media/image1.png) ③4 二、判断 1、有四条边的都![](./data/image/media/image1.png)是长方形。 ![](./data/image/media/image1.png) （ ）\[来源:学科网\] 2、正方形四条边都相等。 ![](./data/image/media/image1.png) （ ） 3、如图，![](./data/image/media/image4.png)![](./data/image/media/image5.png)中共有2个长方形 。 ![](./data/image/media/image1.png) （ ） 4、数学书的封面是正方形 。 （ ） 5、![](./data/image/media/image6.png)![](./data/image/media/image1.png) 是圆柱，它的上下两![](./data/image/media/image1.png)个面![](./data/image/media/image1.png)都是圆。 （ ）\[来源:Zxxk.Com\] 三、把下面平行四边形分成一个长方形和两个三角形，怎么分，用虚线画出来。 四、小鹿身高65厘米。 ⑴大象比小鹿高14厘米，大象身高多少厘米？ ⑵兔子比小鹿矮11厘米，兔子身高多少厘米？ ⑶熊猫再长4厘米就和小鹿一样高了，熊猫高![](./data/image/media/image1.png)多少厘米？ ![](./data/image/media/image1.png) \[来源:Zxxk.Com\] \[来源:Z§xx§k.Com\] 答案 一、选一选 1、请选出用哪个物体可以画出左边的图形请选出。 ![](./data/image/media/image2.png) 2、① 3、② 二、判断 1、× 2、√ 3、× 4![](./data/image/media/image1.png)、× 5、√ 三、把下面平行四边形分成一个长方形和两个三角形，怎么分，用虚线画出来。 ![](./data/image/media/image1.png) 四、 ⑴65+14=79厘米 答：大象身高79厘米。 ⑵65-11=54厘米 答：兔子身高54厘米。\[来源:Zxxk.Com\] ⑶65![](./data/image/media/image1.png)-4=61厘米 答：熊猫高61厘米。
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**2019年广西北部湾经济区中考数学试卷** **一、选择题（本大题共12小题，毎小题3分，共36分，在毎小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）** 1．（3分）（2019•广西）如果温度上升记作，那么温度下降记作　　 A． B． C． D． 2．（3分）（2019•广西）如图，将下面的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是　　 ![](./data/image/media/image13.png) A．![](./data/image/media/image14.png) B．![](./data/image/media/image15.png) C．![](./data/image/media/image16.png) D．![](./data/image/media/image17.png) 3．（3分）（2019•广西）下列事件为必然事件的是　　 A．打开电视机，正在播放新闻 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．买一张电影票，座位号是奇数号 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 4．（3分）（2019•广西）2019年6月6日，南宁市地铁3号线举行通车仪式，预计地铁3号线开通后日均客流量为700000人次，其中数据700000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 5．（3分）（2019•广西）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为　　 ![](./data/image/media/image30.png) A． B． C． D． 6．（3分）（2019•广西）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 7．（3分）（2019•广西）如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为　　 ![](./data/image/media/image47.png) A． B． C． D． 8．（3分）（2019•广西）"学雷锋"活动月中，"飞翼"班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从"图书馆，博物馆，科技馆"三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是　　 A． B． C． D． 9．（3分）（2019•广西）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 10．（3分）（2019•广西）扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为　　 ![](./data/image/media/image76.png) A． B． C． D． 11．（3分）（2019•广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高为1.5米，她先站在处看路灯顶端的仰角为，再往前走3米站在处，看路灯顶端的仰角为，则路灯顶端到地面的距离约为（已知，，，，，　　 ![](./data/image/media/image96.png) A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米 12．（3分）（2019•广西）如图，为的直径，、是的切线，切点分别为点、，点为线段上的一个动点，连接，，，已知，，当的值最小时，则的值为　　 ![](./data/image/media/image115.png) A． B． C． D． **二、填空题（本大题共6小题，每嗯题3分，共18分）** 13．（3分）（2019•广西）若二次根式有意义，则的取值范围是[　　]{.underline}． 14．（3分）（2019•广西）分解因式：[　 　]{.underline}． 15．（3分）（2019•广西）甲，乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，甲的成绩（单位：环）为：9，8，9，6，10，6．甲，乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为4，那么成绩较为稳定的是[　　]{.underline}．（填"甲"或"乙" 16．（3分）（2019•广西）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，已知，，则[　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image134.png) 17．（3分）（2019•广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题"今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？"小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺尺寸），则该圆材的直径为[　　]{.underline}寸． ![](./data/image/media/image138.png) 18．（3分）（2019•广西）如图，与相交于点，，，，则线段，，之间的等量关系式为[　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image148.png) **三、解答题共（本大题共8小题，共66分，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤）** 19．（6分）（2019•广西）计算：． 20．（6分）（2019•广西）解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集． ![](./data/image/media/image151.png) 21．（8分）（2019•广西）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，， （1）将向上平移4个单位长度得到△，请画出△； （2）请画出与关于轴对称的△； （3）请写出、的坐标． ![](./data/image/media/image164.png) 22．（8分）（2019•广西）红树林学校在七年级新生中举行了全员参加的"防溺水"安全知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从三个班中各随机取10名同学的成绩（单位：分），收集数据如下： 1班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100； 2班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90； 3班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100． 整理数据： +------+----+----+----+----+-----+ | 分数 | 60 | 10 | 80 | 90 | 100 | | | | | | | | | 人数 | | | | | | | | | | | | | | 班级 | | | | | | +------+----+----+----+----+-----+ | 1班 | 0 | 1 | 6 | 2 | 1 | +------+----+----+----+----+-----+ | 2班 | 1 | 1 | 3 | | 1 | +------+----+----+----+----+-----+ | 3班 | 1 | 1 | 4 | 2 | 2 | +------+----+----+----+----+-----+ 分析数据： ----- -------- -------- ------ 平均数 中位数 众数 1班 83 80 80 2班 83 3班 80 80 ----- -------- -------- ------ 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中，，，的值； （2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由； （3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级新生共570人，试估计需要准备多少张奖状？ 23．（8分）（2019•广西）如图，是的内接三角形，为直径，，平分，交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长（结果保留． ![](./data/image/media/image189.png) 24．（10分）（2019•广西）某校喜迎中华人民共和国成立70周年，将举行以"歌唱祖国"为主题的歌咏比赛，需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知毎袋贴纸有50张，毎袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同． （1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？ （2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面．设购买国旗图案贴纸袋为正整数），则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含的代数式表示． （3）在文具店累计购物超过800元后，超出800元的部分可享受8折优惠．学校按（2）中的配套方案购买，共支付元，求关于的函数关系式．现全校有1200名学生参加演出，需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？ 25．（10分）（2019•广西）如图1，在正方形中，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）如图2，当点运动到中点时，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，分别交，于点，，求的值． ![](./data/image/media/image221.png) 26．（10分）（2019•广西）如果抛物线的顶点在拋物线上，抛物线的顶点也在拋物线上时，那么我们称抛物线与 "互为关联"的抛物线．如图1，已知抛物线与是"互为关联"的拋物线，点，分别是抛物线，的顶点，抛物线经过点． （1）直接写出，的坐标和抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点，使得是直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）如图2，点在抛物线上，点，分别是抛物线，上的动点，且点，的横坐标相同，记面积为（当点与点，重合时，的面积为（当点与点，重合时，，令，观察图象，当时，写出的取值范围，并求出在此范围内的最大值． ![](./data/image/media/image267.png) **2019年广西北部湾经济区中考数学试卷** **参考答案与试题解析** **一、选择题（本大题共12小题，毎小题3分，共36分，在毎小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）** 1．（3分）如果温度上升记作，那么温度下降记作　　 A． B． C． D． 【考点】正数和负数 【分析】根据正数与负数的表示方法，可得解； 【解答】解：上升记作，下降记作； 故选：． 2．（3分）如图，将下面的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是　　 ![](./data/image/media/image13.png) A．![](./data/image/media/image14.png) B．![](./data/image/media/image15.png) C．![](./data/image/media/image16.png) D．![](./data/image/media/image17.png) 【考点】点、线、面、体 【分析】根据面动成体，梯形绕下底边旋转是圆锥加圆柱，可得答案． 【解答】解：面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱， 那么所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形． 故选：． 3．（3分）下列事件为必然事件的是　　 A．打开电视机，正在播放新闻 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．买一张电影票，座位号是奇数号 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【考点】三角形内角和定理；随机事件 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件． 【解答】解：，，选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意． 一定发生的事件只有，任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意． 故选：． 4．（3分）2019年6月6日，南宁市地铁3号线举行通车仪式，预计地铁3号线开通后日均客流量为700000人次，其中数据700000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【考点】科学记数法表示较大的数 【分析】根据科学记数法的表示方法，即可求解； 【解答】解：； 故选：． 5．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为　　 ![](./data/image/media/image30.png) A． B． C． D． 【考点】平行线的性质；三角形的外角性质 【分析】利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三角形内角和解题皆可． 【解答】解：如图：![](./data/image/media/image285.png) ，， ， ， ， 故选：． 6．（3分）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；完全平方公式 【分析】利用完全平分公式，幂的乘方与积的乘方，合并同类项的法则进行解题即可； 【解答】解：不能合并同类项，错误； ，错误； ，错误； 故选：． 7．（3分）如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为　　 ![](./data/image/media/image47.png) A． B． C． D． 【考点】等腰三角形的性质；作图基本作图 【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到，则平分，利用和三角形内角和计算出，从而得到的度数． 【解答】解：由作法得， ， 平分，， ， ． 故选：． 8．（3分）"学雷锋"活动月中，"飞翼"班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从"图书馆，博物馆，科技馆"三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是　　 A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法 【分析】画树状图（用、、分别表示"图书馆，博物馆，科技馆"三个场馆）展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为：（用、、分别表示"图书馆，博物馆，科技馆"三个场馆） ![](./data/image/media/image320.png) 共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3， 所以两人恰好选择同一场馆的概率． 故选：． 9．（3分）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质 【分析】，随值的增大而增大，在第二象限，，在第四象限，即可解题； 【解答】解：， 随值的增大而增大， 当时，， ， 故选：． 10．（3分）扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为　　 ![](./data/image/media/image76.png) A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得． 【解答】解：设花带的宽度为，则可列方程为， 故选：． 11．（3分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高为1.5米，她先站在处看路灯顶端的仰角为，再往前走3米站在处，看路灯顶端的仰角为，则路灯顶端到地面的距离约为（已知，，，，，　　 ![](./data/image/media/image96.png) A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【分析】过点作于点，延长交于点，设，根据锐角三角函数的定义表示的长度，然后列出方程求出的值即可求出答案． 【解答】解：过点作于点，延长交于点， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． ![](./data/image/media/image369.png) 12．（3分）如图，为的直径，、是的切线，切点分别为点、，点为线段上的一个动点，连接，，，已知，，当的值最小时，则的值为　　 ![](./data/image/media/image115.png) A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质；轴对称最短路线问题；切线的性质 【分析】延长到使得，则与关于对称，连接与相交于点，此时值最小，连接，，两线相交于点，过作于，先求得，再求，进而，运用相似三角形得，便可得解． 【解答】解：延长到使得，则与关于对称，连接与相交于点，此时值最小， 连接，，两线相交于点，过作于， ![](./data/image/media/image407.png) 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． **二、填空题（本大题共6小题，每嗯题3分，共18分）** 13．（3分）若二次根式有意义，则的取值范围是[　　]{.underline}． 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据被开数即可求解； 【解答】解：， ； 故答案为； 14．（3分）分解因式：[　　]{.underline}． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解． 【解答】解：． 故答案为： 15．（3分）甲，乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，甲的成绩（单位：环）为：9，8，9，6，10，6．甲，乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为4，那么成绩较为稳定的是[　甲　]{.underline}．（填"甲"或"乙" 【考点】方差 【分析】先计算出甲的平均数，再计算甲的方差，然后比较甲乙方差的大小可判定谁的成绩稳定． 【解答】解：甲的平均数， 所以甲的方差， 因为甲的方差比乙的方差小， 所以甲的成绩比较稳定． 故答案为甲． 16．（3分）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，已知，，则[　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image451.png) 【考点】菱形的性质 【分析】根据菱形面积对角线积的一半可求，再根据勾股定理求出，然后由菱形的面积即可得出结果． 【解答】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 17．（3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题"今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？"小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺尺寸），则该圆材的直径为[　26　]{.underline}寸． ![](./data/image/media/image471.png) 【考点】垂径定理的应用 【分析】设的半径为．在中，，，，则有，解方程即可． 【解答】解：设的半径为． 在中，，，， 则有， 解得， 的直径为26寸， 故答案为：26． ![](./data/image/media/image488.png) 18．（3分）如图，与相交于点，，，，则线段，，之间的等量关系式为[　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image499.png) 【考点】勾股定理 【分析】过点作，截取，连接、，则四边形是平行四边形，得出，，证明为等边三角形得出，求得，由勾股定理得出，即可得出结果． 【解答】解：过点作，截取，连接、，如图所示： 则四边形是平行四边形， ，， ，， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． ![](./data/image/media/image532.png) **三、解答题共（本大题共8小题，共66分，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤）** 19．（6分）计算：． 【考点】实数的运算 【分析】分别运算每一项然后再求解即可； 【解答】解： ． 20．（6分）解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集． ![](./data/image/media/image151.png) 【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组 【分析】分别解两个不等式得到和，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．然后利用数轴表示其解集． 【解答】解： 解①得， 解②得， 所以不等式组的解集为． 用数轴表示为： ![](./data/image/media/image542.png) 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，， （1）将向上平移4个单位长度得到△，请画出△； （2）请画出与关于轴对称的△； （3）请写出、的坐标． ![](./data/image/media/image164.png) 【考点】作图平移变换；作图轴对称变换 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用所画图象得出对应点坐标． 【解答】解：（1）如图所示：△，即为所求； （2）如图所示：△，即为所求； （3），． ![](./data/image/media/image549.png) 22．（8分）红树林学校在七年级新生中举行了全员参加的"防溺水"安全知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从三个班中各随机取10名同学的成绩（单位：分），收集数据如下： 1班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100； 2班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90； 3班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100． 整理数据： +------+----+----+----+----+-----+ | 分数 | 60 | 10 | 80 | 90 | 100 | | | | | | | | | 人数 | | | | | | | | | | | | | | 班级 | | | | | | +------+----+----+----+----+-----+ | 1班 | 0 | 1 | 6 | 2 | 1 | +------+----+----+----+----+-----+ | 2班 | 1 | 1 | 3 | | 1 | +------+----+----+----+----+-----+ | 3班 | 1 | 1 | 4 | 2 | 2 | +------+----+----+----+----+-----+ 分析数据： ----- -------- -------- ------ 平均数 中位数 众数 1班 83 80 80 2班 83 3班 80 80 ----- -------- -------- ------ 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中，，，的值； （2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由； （3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级新生共570人，试估计需要准备多少张奖状？ 【考点】用样本估计总体；算术平均数；众数；中位数 【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解可得； （2）分别从平均数、众数和中位数三个方面比较大小即可得； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【解答】解：（1）由题意知， ， 2班成绩重新排列为60，70，80，80，80，90，90，90，90，100， ，； （2）从平均数上看三个班都一样； 从中位数看，1班和3班一样是80，2班最高是85； 从众数上看，1班和3班都是80，2班是90； 综上所述，2班成绩比较好； （3）（张， 答：估计需要准备76张奖状． 23．（8分）如图，是的内接三角形，为直径，，平分，交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长（结果保留． ![](./data/image/media/image189.png) 【考点】弧长的计算；三角形的外接圆与外心；圆周角定理 【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论； （2）连接，根据平角定义得到，根据圆周角定理得到，求得，得到，根据弧长公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：平分， ， ， ； （2）解：连接， ， ， 为直径， ， ， ， ， 的长． ![](./data/image/media/image578.png) 24．（10分）某校喜迎中华人民共和国成立70周年，将举行以"歌唱祖国"为主题的歌咏比赛，需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知毎袋贴纸有50张，毎袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5元，用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同． （1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？ （2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面．设购买国旗图案贴纸袋为正整数），则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含的代数式表示． （3）在文具店累计购物超过800元后，超出800元的部分可享受8折优惠．学校按（2）中的配套方案购买，共支付元，求关于的函数关系式．现全校有1200名学生参加演出，需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？ 【考点】一次函数的应用；分式方程的应用 【分析】（1）设每袋国旗图案贴纸为元，则有，解得，检验后即可求解； （2）设购买袋小红旗恰好与袋贴纸配套，则有，解得； （3）如果没有折扣，，国旗贴纸需要：张，小红旗需要：面，则袋，袋，总费用元． 【解答】解：（1）设每袋国旗图案贴纸为元，则有， 解得， 经检验时方程的解， 每袋小红旗为元； 答：每袋国旗图案贴纸为15元，每袋小红旗为20元； （2）设购买袋小红旗恰好与袋贴纸配套，则有， 解得， 答：购买小红旗袋恰好配套； （3）如果没有折扣，则， 依题意得， 解得， 当时，则， 即， 国旗贴纸需要：张， 小红旗需要：面， 则袋，袋， 总费用元． 25．（10分）如图1，在正方形中，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）如图2，当点运动到中点时，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，分别交，于点，，求的值． ![](./data/image/media/image221.png) 【考点】相似形综合题 【分析】（1）先判断出，再由四边形是正方形，得出，，即可得出结论； （2）设，先求出，进而得出，再求出，，再判断出，进而判断出，即可得出结论； （3）先求出，再求出，再判断出，求出，再用勾股定理求出，最后判断出，得出，即可得出结论． 【解答】（1）证明：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ； （2）证明：如图2，过点作于， 设， 点是的中点， ， ， 在中，根据面积相等，得， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ； （3）解：如图3，过点作于， ， ， 在中，， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ，， ， ， ， ， ， ![](./data/image/media/image696.png) ![](./data/image/media/image697.png) 26．（10分）如果抛物线的顶点在拋物线上，抛物线的顶点也在拋物线上时，那么我们称抛物线与 "互为关联"的抛物线．如图1，已知抛物线与是"互为关联"的拋物线，点，分别是抛物线，的顶点，抛物线经过点． （1）直接写出，的坐标和抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点，使得是直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）如图2，点在抛物线上，点，分别是抛物线，上的动点，且点，的横坐标相同，记面积为（当点与点，重合时，的面积为（当点与点，重合时，，令，观察图象，当时，写出的取值范围，并求出在此范围内的最大值． ![](./data/image/media/image267.png) 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）由抛物线可得，将，代入，求得，； （2）易得直线的解析式：，①若为直角顶点，，；②若为直角顶点，，；③若为直角顶点，设不符合题意； （3）由，得，设，，且，易求直线的解析式：，过作轴的平行线交于，，设交于点，易知，，所以，当时，的最大值为16． 【解答】解：由抛物线可得， 将，代入 得， 解得， ， ； （2）易得直线的解析式：， ①若为直角顶点，，， ， 直线解析式为 联立， 解得，或，， ； ②若为直角顶点，， 同理得解析式：， 联立， 解得，或，， ； ③若为直角顶点，设 由得， 即， 解得或（不符合题意舍去）， 点的坐标或； （3）， ， 设，，且， 易求直线的解析式：， 过作轴的平行线交于， ![](./data/image/media/image792.png) 则， 设交于点，易知， ， 当时， 的最大值为16． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/10 10:03:50；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**平面向量常见题型汇编** 1. **利用平面向量待定系数求参数值** ```{=html} <!-- --> ``` 1. ![](./data/image/media/image1.png){width="1.695138888888889in" height="1.4583333333333333in"}在正方形![](./data/image/media/image2.wmf){width="0.5in" height="0.16666666666666666in"}中， ![](./data/image/media/image3.wmf){width="0.3611111111111111in" height="0.21666666666666667in"}分别是![](./data/image/media/image4.wmf){width="0.5506944444444445in" height="0.2361111111111111in"}的中点，若![](./data/image/media/image5.wmf){width="1.2638888888888888in" height="0.23680555555555555in"}，则![](./data/image/media/image6.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}的值为（ ） ![](./data/image/media/image7.png){width="1.3472222222222223in" height="1.2631944444444445in"} 解析：设正方形的边长为2，以点![](./data/image/media/image8.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}为原点， ![](./data/image/media/image9.wmf){width="0.5833333333333334in" height="0.25in"}分别为![](./data/image/media/image10.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.16666666666666666in"}轴，建立平面直角坐标系， ![](./data/image/media/image11.wmf){width="2.8333333333333335in" height="0.25in"}，所以![](./data/image/media/image12.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}， ![](./data/image/media/image13.wmf){width="1.75in" height="0.25in"}，所以![](./data/image/media/image14.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.5in"} ，解得![](./data/image/media/image15.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.4166666666666667in"} ，![](./data/image/media/image16.wmf){width="0.6666666666666666in" height="0.4166666666666667in"} 1. 如图，两块斜边长相等直角三角板拼在一起．若＝*x*＋*y*，则*x* ＝\_\_\_*y*＝\_\_\_ ![](./data/image/media/image17.png){width="1.7465277777777777in" height="0.9583333333333334in"} ![](./data/image/media/image18.png){width="1.4722222222222223in" height="1.3277777777777777in"} 解析：以*AB*所在直线为*x*轴，以*A*为原点建立平面直角坐标系如图，令*AB*＝2， 则＝(2,0)，＝(0,2)，过*D*作*DF*⊥*AB*交*AB*的延长线于*F*， 由已知得*DF*＝*BF*＝，则＝(2＋，)． ∵＝*x*＋*y*，∴(2＋，)＝(2*x,*2*y*)，即有解得 2. **向量基本定理与不等式,、三角函数相结合** ```{=html} <!-- --> ``` 2. 在中，，点是边上的动点，且,,，则当取得最大值时， 的值为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image28.png){width="1.4166666666666667in" height="1.75in"}解析：由可将三角形放入平面直角坐标系中，建立如图坐标系， 其中，， ∵∴ ∵，即当且仅当时取等号 ∴ 2. 已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 分析：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式. 解析：由可得， ，根据A、B、C三点共线可得，且， 所以 所以最小值为，故填. 3. 给定两个长度为的平面向量，它们的夹角为.如图1所示，点在以为圆心的圆弧上变动.若其中，则的最大值是 **思考方向一 ：考虑特值法** ![](./data/image/media/image60.emf){width="1.71875in" height="1.4895833333333333in"}解法1 当与重合时，， 当与重合时，， 当从的端点向圆弧内部运动时，， 于是猜想当是的中点时，取到最大值. 当是的中点时，由平面几何知识是菱形， ∴∴ 猜想的最大值是. **思考方向二：考虑坐标法** 建立如图3，所示的平面直角坐标系，设，则. 于是可化为：， ![](./data/image/media/image84.emf){width="1.6840277777777777in" height="1.7125in"}∴（1） **解法2：函数法求最值** 由方程组（1）得： ∴， 又，∴当时， **解法3：不等式法求最值** 由方程组（1）得：， ∴，由，及得：， ∴，∴，当且仅当时取等号，∴ **思考方向三：考虑向量的数量积的运算** **解法：两边点乘同一个向量** ∵∴ 设，则 ，又， ∴，∴， ∴当时， **解法5：两边平方法** ![](./data/image/media/image104.emf){width="2.25in" height="1.6770833333333333in"}∵∴ ∴ ， ∴，当且仅当时取等号， ∴ **思考方向四：考虑平行四边形法则** 过作∥交于，作∥交于，则是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：，在中，设， 则 ， 且 **解法6：利用正弦定理** ， ，由等比性值得：， ∴，∴当时， **解法7：利用余弦定理** ∴， ∴，当且仅当时取等号，∴ **小结：仔细研究上面的解法，可以发现在解决向量问题时一般有三种转化策略，一是利用向量的坐标运算，二是利用向量的代数运算特别是数量积的运算，三是利用向量的几何意义转化为平面几何问题求解.在解答最值问题时，本文利用了函数法和不等式法.当然，本题作为一个填空题或者选择题，能够利用特值和猜想的办法是很好的.** 4. 若非零向量满足，则下列不等式恒成立的为（ ） A. B. C. D. ![](./data/image/media/image132.png){width="1.25in" height="1.25in"} 解析：若两向量共线，则由于非零向量，且， ∴必有=2；代入可知只有A. *C*满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义， ∴可以构造如图所示的三角形，使其满足*OB*=*AB*=*BC*；令=,=,则= ∴=且；又*BA*+*BC*\>*AC*∴+\>∴ 3. **坐标系法处理平面向量的数量积** 在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解。 1. **数量积的定值问题** ```{=html} <!-- --> ``` 3. ![](./data/image/media/image150.emf){width="1.5909722222222222in" height="1.632638888888889in"}在边长为1的正三角形中，设，则\_\_\_\_ ![](./data/image/media/image150.emf){width="1.34375in" height="1.2409722222222221in"} 解析：观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题 ，如图建系： 下面求坐标：令 由可得： 5. ![](./data/image/media/image162.emf){width="1.413888888888889in" height="1.6666666666666667in"}如图，在矩形中，，点为中点，点在边上，若，则的值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ ![](./data/image/media/image162.emf){width="0.9888888888888889in" height="1.3631944444444444in"} 解析：本题的图型为矩形，且边长已知，故考虑建立直角坐标系求解，以为坐标原点如图建系：,设,由在上可得,再由解出:， ， ， 6. 如图，平行四边形的两条对角线相交于，点是的中点，若，，且，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_ ![](./data/image/media/image192.emf){width="1.9305555555555556in" height="1.0277777777777777in"} 分析：本题抓住这个特殊角，可以考虑建立坐标系，同时由，可以写出各点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解 解析：以为轴，过的垂线作为轴，可得： 2. **数量积的最值问题** ```{=html} <!-- --> ``` 4. 平面向量满足，则最小值是\_\_\_\_\_\_ 分析：本题条件中有，而可利用向量数量积的投影定义得到在上的投影分别为1,2，通过作图可发现能够以的起点为原点，所在直线为轴建立坐标系，则起点在原点，终点分别在的直线上，从而可坐标化，再求出的最值即可 解析：如图建系可得： 由可得： 而，由轮换对称式不妨设，则 ， 7. ![](./data/image/media/image220.emf){width="1.95in" height="1.2638888888888888in"}已知点为等边三角形的中心，，直线过点交边于点，交边于点，则的最大值为 [ ]{.underline} . ![](./data/image/media/image220.emf){width="1.9444444444444444in" height="1.125in"} 分析：本题由于为过的任一直线，所以的值不确定，从而不容易利用三边向量将进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，建立直角坐标系，从而坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线方程，与方程联立解出坐标，从而可解出最大值 解析：以为轴建立直角坐标系， 设直线，由可得： 得：；得： 若直线与相交，则； 3. **数量积的范围问题** ```{=html} <!-- --> ``` 5. 如图，在直角三角形中，，点分别是的中点，点是内及边界上的任一点，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_ ![](./data/image/media/image260.emf){width="1.3076388888888888in" height="1.7222222222222223in"}分析：直角三角形直角边已知，且为图形内动点，所求不便于用已知向量表示，所以考虑建系处理。设，从而可得，而所在范围是一块区域，所以联想到用线性规划求解 解析：以为轴建立直角坐标系 ，设 数形结合可得： 8. ![](./data/image/media/image271.png){width="1.6527777777777777in" height="1.7520833333333334in"}如图，四边形是半径为的圆的外切正方形，是圆的内接正三角形，当绕着圆心旋转时，的取值范围是 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image280.jpeg){width="1.2777777777777777in" height="1.1826388888888888in"} 分析：本题所给的图形为正方形及其内切圆，可考虑建立直角坐标系，为了使坐标易于计算，可以为坐标原点如图建系：，确定点的坐标是一个难点，观察两个点之间的关系，无论如何转动，，如何从这个恒定的角度去刻画此圆上两点坐标的联系呢：**考虑圆的参数方程（参数的几何意义为圆心角，与角度相联系），**设，从而，用的三角函数将两点坐标表示出来，从而可求出的范围 解析：， 9. 在平面上， ，，若，则的取值范围是 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image300.png){width="1.4583333333333333in" height="1.5270833333333333in"}分析：以为入手点，考虑利用坐标系求解，题目中和点坐标均未知，为了能够进行坐标运算，将其用字母表示：设，则 ，所求范围即为求的范围。下一步将题目的模长翻译成关系，再寻找关于的不等关系即可 解析：如图以为轴建立坐标系：设， 则 ① ②与①联系可得： ，所以②转变为： ，即 另一方面： 同理，由可得：， 综上所述：，则 4. **平面向量的投影问题** 数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题。 （1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 1. **定值问题** ```{=html} <!-- --> ``` 6. 已知向量![高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。](./data/image/media/image323.wmf){width="0.2777777777777778in" height="0.2638888888888889in"}满足![高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。](./data/image/media/image324.wmf){width="1.0833333333333333in" height="0.3333333333333333in"}，且![高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。](./data/image/media/image325.wmf){width="0.7638888888888888in" height="0.3333333333333333in"}，则![高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。](./data/image/media/image326.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.25in"}在![高考资源网(ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。](./data/image/media/image327.wmf){width="0.1388888888888889in" height="0.25in"}方向上的投影为 [ ]{.underline} 解析：考虑在上的投影为，所以只需求出即可。由 可得：，所以。进而 10. 两个半径分别为的圆,公共弦长为3，如图所示，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. ![](./data/image/media/image340.png){width="1.3888888888888888in" height="0.9729166666666667in"} 分析：为两个圆的公共弦，从而圆心到弦的投影为的中点，进而在上的投影能够确定，所以考虑计算和时可利用向量的投影定义。 解析：取中点，连结，由圆的性质可得： 7. 如图，在中，，是边上的高，则的值等于 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image361.png){width="1.875in" height="1.2486111111111111in"} 解析：由图中垂直可得：在上的投影为，所以，只需求出的高即可。由已知可得，所以 11. 如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image374.png){width="1.7027777777777777in" height="1.5416666666666667in"} 解析：外心在上的投影恰好为它们的中点，分别设为， 所以在上的投影为，而恰好为中点， 故考虑， 所以 2. **范围问题** ```{=html} <!-- --> ``` 8. ![](./data/image/media/image383.png){width="1.5in" height="1.4722222222222223in"}若过点的直线与相交于两点，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_ 解析：本题中因为位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过作直线的垂线， 垂足为，通过旋转可发现，当时，，位于其他位置时，点始终位于的反向延长线上，，故，故，下面寻找最小值，即的最大值，可得当在上的投影与重合时，最大，即为，此时直线即为直线。所以。进而的范围是 12. ![](./data/image/media/image411.png){width="1.6006944444444444in" height="1.5277777777777777in"}已知，且的夹角为，点是的外接圆上优弧上的一个动点，则的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_ 分析：题中的模长为定值，考虑即为乘以在上的投影，从而的最大值只需寻找投影的大小，观察图形可得只有当与同向时，投影最大。 即，只需计算的模长即可 解析：当与同向时，在上的投影最大， 在中，， 即 ， 9. ![](./data/image/media/image435.png){width="2.048611111111111in" height="0.875in"}如图，菱形的边长为为中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为 [ ]{.underline} 分析：菱形方向大小确定，在求数量积时可想到投影定义，即乘以在上的投影，所以的最大值只需要寻找在上的投影的最大值即可，而点也确定，所以只需在菱形内部和边界寻找在投影距离最远的，结合图像可发现的投影距离最远，所以，再由表示后进行数量积运算； 解析： 13. 如图，在等腰直角中，，点分别是的中点，点是内（包括边界）任一点，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ ![](./data/image/media/image460.png){width="1.5673611111111112in" height="1.0416666666666667in"}解析：因为点为内任一点，所以很难用定义表示出，考虑利用投影定义。由长为定值，可得为乘以在上的投影，所以只需找到投影的范围即可。如图，过作的垂线，则点的投影为， 当在点时， 在上的投影最大且为线段的长， 当在点时， 在上的投影最小，为，分别计算相关模长即可。 在图中有条件可得： ， ，则，， 由，为中点可得：为中点，从而在方向上的投影分别为，由即可求得的范围为 3. **综合问题** ```{=html} <!-- --> ``` 10. 已知为直角三角形的外接圆，是斜边上的高，且，，点为线段的中点，若是中绕圆心运动的一条直径，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_ ![](./data/image/media/image499.emf){width="1.5972222222222223in" height="1.56875in"}![](./data/image/media/image500.emf){width="1.5138888888888888in" height="1.4840277777777777in"} 解析：本题的难点在于是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解。 为直径，延长交圆于，即可得，则在上的投影向量为。 所求，而由联想到相交弦定理， 从而。考虑与已知条件联系求出直径上的各段线段长度。 由射影定理可得：，且， 所以解得，再由为的中点可得， 所以，进而 14. 为线段上一点，为直线外一点，为上一点， ![](./data/image/media/image525.emf){width="2.1770833333333335in" height="1.586111111111111in"}，，且，则的值为 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image530.emf){width="1.4375in" height="1.0472222222222223in"} 解析：考虑作图观察几何特点，则。 由及所求可想到投影与数量积的关系， 即在上的投影相等，即可得到平分。 再分析，且为的单位向量，由平行四边形性质可得和向量平分，而与和向量共线， 从而平分，由此可得为的内心，作出内切圆。 所求也可视为在上的投影，即，由内切圆性质可得：， 所以， 且有，可解得 5. **几何法处理平面向量的模长** 利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长 11. 已知向量的夹角为，且，则 [ ]{.underline} 分析：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知，只需利用余弦定理求出 即可。 ![](./data/image/media/image557.jpeg){width="1.4722222222222223in" height="1.3888888888888888in"}解析：如图可得：，在中，有： 即： 解得或（舍），所以， 15. 若平面向量两两所成的角相等，且，则=（ ） A. B. C. 或 D. 或 解析：首先由两两所成的角相等可判断出存在两种情况： 一是同向（此时夹角均为0），则为 ， 另一种情况为两两夹角，以为突破口，由平行四边形法则作图得到与夹角相等，（底角为的菱形性质），且与反向，进而由图得到，选C 16. 已知向量，且，则的取值范围是 [ ]{.underline} 解析：作出，即有向线段，考虑，将起点与重合，终点绕旋转且，则即为长度。观察可得与共线时达到最值。 所以，且连续变化，所以的取值范围是 12. 为平面向量，若与夹角为，与夹角为，则 [ ]{.underline} ![](./data/image/media/image607.jpeg){width="1.3895833333333334in" height="1.5722222222222222in"}解析：可知为平行四边形的一组邻边及对角线，通过作图和平行四边形性质得：在中，，由正弦定理可得：，即 17. ![](./data/image/media/image613.png){width="1.9027777777777777in" height="0.8888888888888888in"}在中，，设是的中点，是所在平面内的一点，且，则的值是 [ ]{.underline} 解析：本题关键是确定点位置，将与已知线段找到联系，将变形为，即， 设，则三点共线，且， 所以由平行四边形性质可得： 13. 已知是单位向量，且的夹角为，若向量满足，则的最大值为 [ ]{.underline} 解析：本题已知模长且夹角特殊，通过作图可得为模长为，设，则可得且，而可视为以共起点，终点在以起点为圆心，2为半径的圆上。通过数形结合可得的最大值为（此时的终点位于点） 18. ![](./data/image/media/image645.emf){width="1.4861111111111112in" height="1.5930555555555554in"}已知平面向量满足，且，若向量的夹角为，则的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 思路：由条件可得夹角的余弦值，若用代数方法处理夹角的条件，则运算量较大。所以考虑利用图形，设，则，即，从而，可判定四点共圆，则的最大值为四边形外接圆的直径，即的直径。在中，由余弦定理可得：，所以，由正弦定理可得：，即 19. 已知平面向量满足 ，且与的夹角为，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 分析：本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解。从图中可观察到构成，，从而可利用正余弦定理求出即的取值范围 解析：在中，由正弦定理可得： 而 6. **平面向量与三角形的四心** 三角形"四心"的向量表示 ①在中，若或，则点是的外心； ②在中，若，则点是的重心； ③在中，若，则直线过的重心； ④在中，若，则点是的垂心； ⑤在中，若，则直线通过的内心． 很多同学不知道三角形中重心，外心，内心，外心的定义及性质，比如三角形重心将中线分为二比一两段，三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，内心到三边的距离相等；由这几个向量式不知道如何化简，特别是得到，由此想到垂心． 1. **三角形重心与向量** ```{=html} <!-- --> ``` 14. 已知 中，若G为的重心，则= [ ]{.underline} 解析：==4 20. 已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若动点P满足 则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 解析：在中，由正弦定理得，设边上的中点为，由已知可得， 故点的轨迹在三角形的中线上，则点轨迹一定通过三角形的重心，故选C 21. 如图所示，已知点*G*是△*ABC*的重心，过*G*作直线与*AB*、*AC*两边分别交于*M*、*N*两点，且![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image722.wmf){width="1.6111111111111112in" height="0.2638888888888889in"}，则![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image723.wmf){width="0.4027777777777778in" height="0.4583333333333333in"}的值为 [．]{.underline} ![](./data/image/media/image724.jpeg){width="1.5833333333333333in" height="1.0in"} 解析：这题应该用到这个结论：是直线外一点，，则三点共线的充要条件是．本题中就是设，则，由于是的重心，有，又，根据平面向量基本定理得，即，，代入得． 2. **三角形垂心与向量** ```{=html} <!-- --> ``` 15. 在中，是的垂心，点满足：，则面积与面积之比是 [ ]{.underline} 解析：![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image748.png){width="3.99375in" height="2.5277777777777777in"} 如图，设的中点为，设，则是的中点，点与重合，故由可得， 即，也即，由向量的共线定理可得共线，且，所以结合图形可得的面积与的面积之比是 源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\] 16. 下列叙述正确的是\_\_\_\_\_\_\_\_． ①为的重心，． ②为的垂心； ③为的外心； ④为的内心 ![](./data/image/media/image776.png){width="5.768055555555556in" height="0.9159722222222222in"} ②为的垂心；是△ABC的边BC的高AD上的任意向量，过垂心． ③为内心；向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线）． ④ 为的外心． 22. 已知O，N，P在△ABC所在平面内，且\|\|，，且，则点O，N，P依次是△ABC的 （ ） （注：三角形的三条高![](./data/image/media/image787.png){width="1.3888888888888888e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}线交于一点，此点为三角形的垂心） A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心 C．外心 重心 内心 D．外心 重心 垂心 ![](./data/image/media/image788.png){width="5.768055555555556in" height="1.4715277777777778in"} 分析：（1）已知是不共线的三点，是内一点，若．则是的重心． （2）已知是内一点，满足，则点为△ABC的外心． （3）已知是内一点，满足，则点G为垂心． （4）O是内心的充要条件是． 23. 已知，，，，则下列结论错误的是（ ） A．若是的重心，则 B．若是的内心，则 C．若是的垂心，则 D．若是的外心，则 分析：本题主要综合考查了平面向量基本定理，突出考查和的几何性质，三角形内心、外心、重心、垂心的性质，即角平分线的交点为内心，各边中垂线的交点为外心，各边中线的交点为重心，各边高的交点为垂心，兼顾考查了平面向量的坐标运算，综合性较强． 解析：如图，设，直线与直线交于点，因为， ![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image828.png){width="1.3888888888888888in" height="1.1388888888888888in"}![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image829.png){width="1.7777777777777777in" height="1.0972222222222223in"} 所以，则，即，过作分别平行于，则，而，，由平行线分线段成比例得，同理，所以；若是的重心，则为的中点，所以；若是的内心，则直线平分，所以分的比；若是的垂心，则点与点重合，则；若是的外心，则，，由于，，所以，则，故选B． 3. **三角形外心与向量** ```{=html} <!-- --> ``` 17. 设是所在平面内的一点，若且．则点是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析：由，得， 即， 所以，设D为AB的中点，则，故； 因为，所以， 所以，设BC的中点为E，同上可知， 所以P为AB与BC的垂直平分线的交点．所以P是的外心．选A． 24. 点是锐角三角形的外心，，则=\_\_\_\_ 解析：过点分别作于于，则分别是的中点， 可得在中，， 所以，同理可得， 所以． ![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image899.png){width="1.5972222222222223in" height="1.4861111111111112in"} 25. 在中，，，是的外心，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_． 解析：因为，所以， ，即， ，∴，得 26. ![](./data/image/media/image914.png){width="1.4305555555555556in" height="1.5888888888888888in"}已知为的外心，其外接圆半径为1，且．若，则的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． 解析：以O为原点建立平面直角坐标系，如图，∵， ∴．设 则 ∵，∴，解得 ∵ B在圆上，代入， 即，， 解得或（舍去）故最大值为 4. **三角形内心与向量** ```{=html} <!-- --> ``` 18. 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的（ ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 分析：平面向量的线性![](./data/image/media/image787.png){width="1.3888888888888888e-2in" height="2.7777777777777776e-2in"}运算技巧：将向量转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线、平行四边形等![](./data/image/media/image787.png){width="1.3888888888888888e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．![](./data/image/media/image787.png){width="1.3888888888888888e-2in" height="2.7777777777777776e-2in"} ![](./data/image/media/image935.png){width="5.768055555555556in" height="1.5270833333333333in"} 27. 已知中，角、、所对的边分别是、、且，，，若为的内心，则的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．\[来源:学\_科\_网\] 分析：本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查了三角形的面积公式，包括海伦公式及有关内切圆的面积公式．首先根据，及，得到，利用两角和与差的正弦公式和二倍角公式，化简这个式子可求得的值．利用海伦公式可求得面积． ![](./data/image/media/image953.png){width="5.768055555555556in" height="1.9819444444444445in"} 28. 已知三角形，，，，点为三角形的内心，记，，，则（ ） A． B． C． D． 分析：平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势；点是平面上任意一点，点是内心充要条件是： 解析：∵三角形，，，，点为三角形的内心 ∴∴， 即，， 即 ， 即 ∴ 根据余弦定理可得： ∴ ∴，，，∴ 7. **平面向量的范围最值问题** ```{=html} <!-- --> ``` 1. **面向量数量积的范围、最值问题** 已知两个非零向量和，它们的夹角为，把数[量]{.underline}叫做和的数量积(或内积)，记作．即=，规定，数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即=；(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若***a***＝(*x*~1~，*y*~1~)，***b***＝(*x*~2~，*y*~2~)，则***a***·***b***＝*x*~1~*x*~2~＋*y*~1~*y*~2~；（3）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算． 19. 如图，半径为1的扇形中，，是弧上的一点，且满足，分别是线段上的动点，则的最大值为（ ） ![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image1009.png){width="1.5in" height="1.1666666666666667in"} A． B． C．1 D． ![](./data/image/media/image1013.png){width="5.5in" height="1.8333333333333333in"} 20. 在矩形中，，，若，分别在边，上运动（包括端点，且满足，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． ![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image1023.png){width="5.819444444444445in" height="1.20625in"} 29. 已知圆的方程，是椭圆上一点，过作圆的两条切线，切点为，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 解析：，设 ， 设， 又的取值范围为，故选C ![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image1042.png){width="1.5138888888888888in" height="1.3333333333333333in"} 30. 已知△中，，，（）的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 [ ]{.underline} 解析：令＝＝＋＋＝， 当时，＝， 因为，所以，则建立直角坐标系，，， 设，则，， 所以＝＝； 当时，＝＋≥， 解得，所以，则建立直角坐标系，，， 设，则，， 所以＝＝． 综上所述，当时，取得最小值． 2. **平面向量模的取值范围、最值问题** 设，则，向量的模可以利用坐标表示，也可以借助"形"，向量的模指的是有向线段的长度，过可结合平面几何知识求解，尤其注意，如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求． 21. 已知为单位向量，且，向量满足，则范围为 [ ]{.underline} 解析：如图，， 又 ![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image1091.emf){width="1.6111111111111112in" height="1.2319444444444445in"} 31. 向量满足 与的夹角为，，则的最大值为（ ） 分析：根据已知条件可建立直角坐标系，用坐标表示有关点（向量），确定变量满足的等式和目标函数的解析式，结合平面几何知识求最值或范围． 解析：设；以OA所在直线为x，O为坐标原点建立直角坐标系 ∵ 与的夹角为，则A（4，0），B（2，2），设C（x，y） ∵，∴x^2^+y^2^-6x-2y+9=0，即（x-3）^2^+（y-1）^2^=1表示以（3，1）为圆心，以1为半径的圆，表示点A，C的距离即圆上的点与点A（4，0）的距离． ∵圆心到B的距离为，∴的最大值为 32. 已知向量夹角为，，对任意，有，则的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_． 【解析】![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image1108.png){width="1.5416666666666667in" height="1.5416666666666667in"} ![](./data/image/media/image1109.png){width="5.768055555555556in" height="1.4069444444444446in"} ， 表示与的距离之和的倍， 当共线时，取得最小值， 即有，故答案为． 3. **平面向量夹角的取值范围、最值问题** 设，，且夹角为，则 22. 已知非零向量满足，若函数 在R 上存在极值，则和夹角的取值范围为 [ ]{.underline} 解析：，设和夹角为，因为有极值，所以，即，即，所以 33. 非零向量![](./data/image/media/image1139.wmf){width="0.3333333333333333in" height="0.25in"}满足![](./data/image/media/image1140.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}=![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image1141.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}，![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image1142.wmf){width="0.8333333333333334in" height="0.25in"}，则![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image1143.wmf){width="0.4166666666666667in" height="0.25in"}夹角最小值是 [ ]{.underline} 解析：由题意得，，整理得，即，，，夹角的最小值为 34. 已知向量![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image1151.wmf){width="0.25in" height="0.25in"}满足![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image1152.wmf){width="0.9166666666666666in" height="0.25in"}，且关于![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image1153.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.16666666666666666in"}的函数![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image1154.wmf){width="1.8333333333333333in" height="0.25in"}在实数集上单调递增，则向量的夹角的取值范围是（ ） A． B． C． D． ![](./data/image/media/image1160.png){width="5.768055555555556in" height="1.6680555555555556in"} 4. **平面向量系数的取值范围、最值问题** ```{=html} <!-- --> ``` 23. 已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 [ ]{.underline} 分析：与的夹角为锐角等价于，且与不共线同向，所以由，得，再除去与共线同向的情形． 解析：由于与的夹角为锐角，，且与不共线同向，由，解得，当向量与共线时，得，得，因此的取值范围是且． 24. 已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是 [ ]{.underline} 解析：![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image1185.png){width="1.8333333333333333in" height="1.0in"} 如图 三点共线， ∵是的重心， 解得， 结合图象可知 令 故 故，当且仅当等号成立 35. 如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为 [ ]{.underline} ![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image1207.png){width="1.5833333333333333in" height="1.0833333333333333in"} 解析：因为三点共线，所以， 因为是重心，所以，所以， 化简得，解得题目所给图像可知． 由基本不等式得 即．当且仅当， 即时，等号成立，故最小值为． 36. 直角梯形中，，，是边长为的正三角形，是平面上的动点，，设（，），则的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_ 解析：![学科网(www.zxxk.com)\--教育资源门户，提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载，还有大量而丰富的教学相关资讯！](./data/image/media/image1233.png){width="1.3333333333333333in" height="1.6666666666666667in"} 以为原点，为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系， ∴可设， 因为， 所以 ， ， 即的最大值为故答案为． 8. **共线定理的应用** ```{=html} <!-- --> ``` 25. 已知是不共线的向量， ， ，且三点共线，则 ( ) A. -1 B. -2 C. -2或1 D. -1或2 解析：由于三点共线，故，即解得-1或2.本题选择*D*选项. 26. 在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则= [ ]{.underline} 解析：因为，又因为， 所以，由于三点共线，所以，从而=![学科网 版权所有](./data/image/media/image1273.wmf){width="0.16666666666666666in" height="0.4305555555555556in"} 37. 在中，是上的点，若，则实数的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_. 分析：共线定理描述的是两个向量间数乘关系，即与共线存在唯一，使，将其延伸后可得到三点共线的条件：在平面中三点共线的充要条件是（为平面内任意一点），其中． ![](./data/image/media/image1288.emf){width="1.3194444444444444in" height="1.0694444444444444in"}解析：因为，所以，即， 所以 又因为三点共线，所以，所以 38. 已知数列为等差数列，且满足，若（），点为直线外一点，则（ ） A. B. C. D. 解析：∵数列{a~n~}为等差数列，满足，其中A，B，C在一条直线上， O为直线AB外一点，∴*a*~1~+*a*~2017~=1， ∵数列{*a~n~*}是等差数列， ∴{*a~n~*}的=1，∴. 故答案为：D 9. **一个向量等式的应用** **向量等式：**如图所示，在中，若是的中点，则 ![](./data/image/media/image1314.jpeg) **证明：**如图1所示，可得 27. 在直角梯形中，已知.若为的中点，则的值为 [ ]{.underline} **解析：**如图所示.由梯形中位线定理得，. 再由本文的向量等式可得：. ![](./data/image/media/image1323.png) 28. 在平面直角坐标系中，若圆分别交轴的正半轴与轴的负半轴于点，是圆上的动点，则的的取值范围是 [ ]{.underline} . **解析：**如图所示，设线段的中点是. ![](./data/image/media/image1333.png) 由本文的向量等式，可得. 因为是圆内的定点(可得)，是圆上的动点， 可得，即范围是 39. 在平行四边形中，为的中点.若，则的长为 [ ]{.underline} . **解析：**如图所示，作，取线段的中点，得. ![](./data/image/media/image1347.png) 在中，由余弦定理，得. 由本文的向量等式，可得 ，得**.** 40. 在中，是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则( ) A. B. C. D. **解析：**如图，取的中点，由本文的向量等式，得.再由题设，得，所以，得. ![](./data/image/media/image1366.jpeg) 41. 如图所示，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是 [ ]{.underline} ． ![](./data/image/media/image1375.emf){width="1.8333333333333333in" height="1.9166666666666667in"} **解析：**由题设及本文的向量等式，可得 可解得． 再得 10. **平面向量与三角形面积综合** **定理1** 若三点不共线，则. **证明：**. **定理2** 若三点不共线，且点是坐标原点，点的坐标分别是，则. **证法1：**由定理1，得 **证法2** 可得直线的方程是 所以坐标原点到直线的距离是，进而可得的面积是 . 29. 已知*F*为抛物线*y*^2^＝*x*的焦点，点*A*，*B*在该抛物线上且位于*x*轴的两侧，·＝2(其中*O*为坐标原点)，则△*ABO*与△*AFO*面积之和的最小值是( ) **解析：易**得，可不妨设. 由，可得， 所以由定理2，得 所以 (可得当且仅当时取等号)
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**2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）** **一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．** 1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x\|2≤x≤5}，则A∩B=（　　） A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7} 2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（　　） A．![](./data/image/media/image1.png) B．![](./data/image/media/image2.png) C．![](./data/image/media/image3.png) D．![](./data/image/media/image4.png) 4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=![](./data/image/media/image5.png)，c=2，cosA=![](./data/image/media/image3.png)，则b=（　　） A．![](./data/image/media/image6.png) B．![](./data/image/media/image7.png) C．2 D．3 5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的![](./data/image/media/image8.png)，则该椭圆的离心率为（　　） A．![](./data/image/media/image9.png) B．![](./data/image/media/image10.png) C．![](./data/image/media/image11.png) D．![](./data/image/media/image12.png) 6．（5分）将函数y=2sin（2x+![](./data/image/media/image13.png)）的图象向右平移![](./data/image/media/image14.png)个周期后，所得图象对应的函数为（　　） A．y=2sin（2x+![](./data/image/media/image15.png)） B．y=2sin（2x+![](./data/image/media/image16.png)） C．y=2sin（2x﹣![](./data/image/media/image15.png)） D．y=2sin（2x﹣![](./data/image/media/image16.png)） 7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是![](./data/image/media/image17.png)，则它的表面积是（　　） ![](./data/image/media/image18.png) A．17π B．18π C．20π D．28π 8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（　　） A．log~a~c＜log~b~c B．log~c~a＜log~c~b C．a^c^＜b^c^ D．c^a^＞c^b^ 9．（5分）函数y=2x^2^﹣e^\|x\|^在\[﹣2，2\]的图象大致为（　　） A．![](./data/image/media/image19.png) B．![](./data/image/media/image20.png) C．![](./data/image/media/image21.png) D．![](./data/image/media/image22.png) 10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（　　） ![](./data/image/media/image23.png) A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的顶点A，α∥平面CB~1~D~1~，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB~1~A~1~=n，则m、n所成角的正弦值为（　　） A．![](./data/image/media/image24.png) B．![](./data/image/media/image25.png) C．![](./data/image/media/image26.png) D．![](./data/image/media/image27.png) 12．（5分）若函数f（x）=x﹣![](./data/image/media/image27.png)sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（　　） A．\[﹣1，1\] B．\[﹣1，![](./data/image/media/image27.png)\] C．\[﹣![](./data/image/media/image27.png)，![](./data/image/media/image27.png)\] D．\[﹣1，﹣![](./data/image/media/image28.png)\] 　 **二、填空题：本大题共4小题，每小题5分** 13．（5分）设向量![](./data/image/media/image29.png)=（x，x+1），![](./data/image/media/image30.png)=（1，2），且![](./data/image/media/image29.png)⊥![](./data/image/media/image30.png)，则x=[　 　]{.underline}． 14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+![](./data/image/media/image31.png)）=![](./data/image/media/image32.png)，则tan（θ﹣![](./data/image/media/image31.png)）=[　 　]{.underline}． 15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x^2^+y^2^﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若\|AB\|=2![](./data/image/media/image33.png)，则圆C的面积为[　 　]{.underline}． 16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为[　 　]{.underline}元． 　 **三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.** 17．（12分）已知{a~n~}是公差为3的等差数列，数列{b~n~}满足b~1~=1，b~2~=![](./data/image/media/image34.png)，a~n~b~n+1~+b~n+1~=nb~n~． （Ⅰ）求{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）求{b~n~}的前n项和． 18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G． （Ⅰ）证明：G是AB的中点； （Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积． ![](./data/image/media/image35.png) 19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： ![](./data/image/media/image36.png) 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式； （Ⅱ）若要求"需更换的易损零件数不大于n"的频率不小于0.5，求n的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y^2^=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H． （Ⅰ）求![](./data/image/media/image37.png)； （Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由． 21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e^x^+a（x﹣1）^2^． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 　 **请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．\[选修4-1：几何证明选讲\]** 22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，![](./data/image/media/image38.png)OA为半径作圆． （Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切； （Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD． ![](./data/image/media/image39.png) 　 **\[选修4-4：坐标系与参数方程\]** 23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为![](./data/image/media/image40.png)（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C~2~：ρ=4cosθ． （Ⅰ）说明C~1~是哪种曲线，并将C~1~的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线C~3~的极坐标方程为θ=α~0~，其中α~0~满足tanα~0~=2，若曲线C~1~与C~2~的公共点都在C~3~上，求a． 　 **\[选修4-5：不等式选讲\]** 24．已知函数f（x）=\|x+1\|﹣\|2x﹣3\|． （Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象； （Ⅱ）求不等式\|f（x）\|＞1的解集． ![](./data/image/media/image41.png) 　 **2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）** **参考答案与试题解析** 　 **一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．** 1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x\|2≤x≤5}，则A∩B=（　　） A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合． 【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可． 【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x\|2≤x≤5}， 则A∩B={3，5}． 故选：B． 【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力． 　 2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可． 【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等， 可得：a﹣2=2a+1， 解得a=﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查计算能力． 　 3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（　　） A．![](./data/image/media/image42.png) B．![](./data/image/media/image43.png) C．![](./data/image/media/image44.png) D．![](./data/image/media/image45.png) 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计． 【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论． 【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有![](./data/image/media/image46.png)=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为![](./data/image/media/image47.png)=![](./data/image/media/image48.png)． 另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4， 即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12）， 则P=![](./data/image/media/image47.png)=![](./data/image/media/image48.png)． 故选：C． 【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础． 　 4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=![](./data/image/media/image49.png)，c=2，cosA=![](./data/image/media/image48.png)，则b=（　　） A．![](./data/image/media/image50.png) B．![](./data/image/media/image51.png) C．2 D．3 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形． 【分析】由余弦定理可得cosA=![](./data/image/media/image52.png)，利用已知整理可得3b^2^﹣8b﹣3=0，从而解得b的值． 【解答】解：∵a=![](./data/image/media/image53.png)，c=2，cosA=![](./data/image/media/image54.png)， ∴由余弦定理可得：cosA=![](./data/image/media/image54.png)=![](./data/image/media/image52.png)=![](./data/image/media/image55.png)，整理可得：3b^2^﹣8b﹣3=0， ∴解得：b=3或﹣![](./data/image/media/image56.png)（舍去）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 　 5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的![](./data/image/media/image57.png)，则该椭圆的离心率为（　　） A．![](./data/image/media/image56.png) B．![](./data/image/media/image58.png) C．![](./data/image/media/image59.png) D．![](./data/image/media/image60.png) 【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率． 【解答】解：设椭圆的方程为：![](./data/image/media/image61.png)，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点， 则直线方程为：![](./data/image/media/image62.png)，椭圆中心到l的距离为其短轴长的![](./data/image/media/image63.png)， 可得：![](./data/image/media/image64.png)， 4=b^2^（![](./data/image/media/image65.png)）， ∴![](./data/image/media/image66.png)， ![](./data/image/media/image67.png)=3， ∴e=![](./data/image/media/image68.png)=![](./data/image/media/image69.png)． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力． 　 6．（5分）将函数y=2sin（2x+![](./data/image/media/image70.png)）的图象向右平移![](./data/image/media/image71.png)个周期后，所得图象对应的函数为（　　） A．y=2sin（2x+![](./data/image/media/image72.png)） B．y=2sin（2x+![](./data/image/media/image73.png)） C．y=2sin（2x﹣![](./data/image/media/image72.png)） D．y=2sin（2x﹣![](./data/image/media/image73.png)） 【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有 【专题】33：函数思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin\[2（x﹣![](./data/image/media/image72.png)）+![](./data/image/media/image74.png)\]，化简整理即可得到所求函数式． 【解答】解：函数y=2sin（2x+![](./data/image/media/image74.png)）的周期为T=![](./data/image/media/image75.png)=π， 由题意即为函数y=2sin（2x+![](./data/image/media/image76.png)）的图象向右平移![](./data/image/media/image77.png)个单位， 可得图象对应的函数为y=2sin\[2（x﹣![](./data/image/media/image77.png)）+![](./data/image/media/image76.png)\]， 即有y=2sin（2x﹣![](./data/image/media/image78.png)）． 故选：D． 【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言，考查运算能力，属于基础题和易错题． 　 7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是![](./data/image/media/image79.png)，则它的表面积是（　　） ![](./data/image/media/image80.png) A．17π B．18π C．20π D．28π 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离． 【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积． 【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉![](./data/image/media/image81.png)后的几何体，如图： 可得：![](./data/image/media/image82.png)=![](./data/image/media/image83.png)，R=2． 它的表面积是：![](./data/image/media/image84.png)×4π•2^2^+![](./data/image/media/image85.png)=17π． 故选：A． ![](./data/image/media/image86.png) 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力． 　 8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（　　） A．log~a~c＜log~b~c B．log~c~a＜log~c~b C．a^c^＜b^c^ D．c^a^＞c^b^ 【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案． 【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1， ∴log~c~a＜log~c~b，故B正确； ∴当a＞b＞1时， 0＞log~a~c＞log~b~c，故A错误； a^c^＞b^c^，故C错误； c^a^＜c^b^，故D错误； 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档． 　 9．（5分）函数y=2x^2^﹣e^\|x\|^在\[﹣2，2\]的图象大致为（　　） A．![](./data/image/media/image87.png) B．![](./data/image/media/image88.png) C．![](./data/image/media/image89.png) D．![](./data/image/media/image90.png) 【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案． 【解答】解：∵f（x）=y=2x^2^﹣e^\|x\|^， ∴f（﹣x）=2（﹣x）^2^﹣e^\|﹣x\|^=2x^2^﹣e^\|x\|^， 故函数为偶函数， 当x=±2时，y=8﹣e^2^∈（0，1），故排除A，B； 当x∈\[0，2\]时，f（x）=y=2x^2^﹣e^x^， ∴f′（x）=4x﹣e^x^=0有解， 故函数y=2x^2^﹣e^\|x\|^在\[0，2\]不是单调的，故排除C， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答． 　 10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（　　） ![](./data/image/media/image91.png) A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：输入x=0，y=1，n=1， 则x=0，y=1，不满足x^2^+y^2^≥36，故n=2， 则x=![](./data/image/media/image92.png)，y=2，不满足x^2^+y^2^≥36，故n=3， 则x=![](./data/image/media/image93.png)，y=6，满足x^2^+y^2^≥36， 故y=4x， 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 　 11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的顶点A，α∥平面CB~1~D~1~，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB~1~A~1~=n，则m、n所成角的正弦值为（　　） A．![](./data/image/media/image94.png) B．![](./data/image/media/image95.png) C．![](./data/image/media/image96.png) D．![](./data/image/media/image97.png) 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角． 【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可． 【解答】解：如图：α∥平面CB~1~D~1~，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA~1~B~1~=n， 可知：n∥CD~1~，m∥B~1~D~1~，∵△CB~1~D~1~是正三角形．m、n所成角就是∠CD~1~B~1~=60°． 则m、n所成角的正弦值为：![](./data/image/media/image98.png)． 故选：A． ![](./data/image/media/image99.png) 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力． 　 12．（5分）若函数f（x）=x﹣![](./data/image/media/image100.png)sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（　　） A．\[﹣1，1\] B．\[﹣1，![](./data/image/media/image101.png)\] C．\[﹣![](./data/image/media/image101.png)，![](./data/image/media/image101.png)\] D．\[﹣1，﹣![](./data/image/media/image101.png)\] 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4C：分类法；53：导数的综合应用． 【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t^2^+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：函数f（x）=x﹣![](./data/image/media/image102.png)sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣![](./data/image/media/image103.png)cos2x+acosx， 由题意可得f′（x）≥0恒成立， 即为1﹣![](./data/image/media/image103.png)cos2x+acosx≥0， 即有![](./data/image/media/image104.png)﹣![](./data/image/media/image105.png)cos^2^x+acosx≥0， 设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t^2^+3at≥0， 当t=0时，不等式显然成立； 当0＜t≤1时，3a≥4t﹣![](./data/image/media/image106.png)， 由4t﹣![](./data/image/media/image106.png)在（0，1\]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1， 可得3a≥﹣1，即a≥﹣![](./data/image/media/image102.png)； 当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣![](./data/image/media/image107.png)， 由4t﹣![](./data/image/media/image107.png)在\[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1， 可得3a≤1，即a≤![](./data/image/media/image108.png)． 综上可得a的范围是\[﹣![](./data/image/media/image108.png)，![](./data/image/media/image108.png)\]． 另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t^2^+3at≥0， 由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0， 解得a的范围是\[﹣![](./data/image/media/image108.png)，![](./data/image/media/image108.png)\]． 故选：C． 【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题． 　 **二、填空题：本大题共4小题，每小题5分** 13．（5分）设向量![](./data/image/media/image109.png)=（x，x+1），![](./data/image/media/image110.png)=（1，2），且![](./data/image/media/image111.png)⊥![](./data/image/media/image110.png)，则x=[　]{.underline}![](./data/image/media/image112.png)[　]{.underline}． 【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出![](./data/image/media/image113.png)，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值． 【解答】解：∵![](./data/image/media/image114.png)； ∴![](./data/image/media/image113.png)； 即x+2（x+1）=0； ∴![](./data/image/media/image115.png)． 故答案为：![](./data/image/media/image116.png)． 【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念． 　 14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+![](./data/image/media/image117.png)）=![](./data/image/media/image118.png)，则tan（θ﹣![](./data/image/media/image117.png)）=[　]{.underline}![](./data/image/media/image119.png)[　]{.underline}． 【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值． 【分析】由θ得范围求得θ+![](./data/image/media/image120.png)的范围，结合已知求得cos（θ+![](./data/image/media/image120.png)），再由诱导公式求得sin（![](./data/image/media/image121.png)）及cos（![](./data/image/media/image121.png)），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣![](./data/image/media/image120.png)）的值． 【解答】解：∵θ是第四象限角， ∴![](./data/image/media/image122.png)，则![](./data/image/media/image123.png)， 又sin（θ+![](./data/image/media/image124.png)）=![](./data/image/media/image125.png)， ∴cos（θ+![](./data/image/media/image124.png)）=![](./data/image/media/image126.png)． ∴cos（![](./data/image/media/image127.png)）=sin（θ+![](./data/image/media/image124.png)）=![](./data/image/media/image125.png)，sin（![](./data/image/media/image128.png)）=cos（θ+![](./data/image/media/image129.png)）=![](./data/image/media/image130.png)． 则tan（θ﹣![](./data/image/media/image129.png)）=﹣tan（![](./data/image/media/image128.png)）=﹣![](./data/image/media/image131.png)=![](./data/image/media/image132.png)． 故答案为：﹣![](./data/image/media/image133.png)． 【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 　 15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x^2^+y^2^﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若\|AB\|=2![](./data/image/media/image134.png)，则圆C的面积为[　4π　]{.underline}． 【考点】J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆． 【分析】圆C：x^2^+y^2^﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为![](./data/image/media/image135.png)，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积． 【解答】解：圆C：x^2^+y^2^﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为![](./data/image/media/image135.png)， ∵直线y=x+2a与圆C：x^2^+y^2^﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且\|AB\|=2![](./data/image/media/image134.png)， ∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=![](./data/image/media/image136.png)， 即![](./data/image/media/image137.png)+3=a^2^+2， 解得：a^2^=2， 故圆的半径r=2． 故圆的面积S=4π， 故答案为：4π 【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档． 　 16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为[　216000　]{.underline}元． 【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想． 【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可； 【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元． 由题意，得![](./data/image/media/image138.png)，z=2100x+900y． 不等式组表示的可行域如图：由题意可得![](./data/image/media/image139.png)，解得：![](./data/image/media/image140.png)，A（60，100）， 目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元． 故答案为：216000． ![](./data/image/media/image141.png) 【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键． 　 **三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.** 17．（12分）已知{a~n~}是公差为3的等差数列，数列{b~n~}满足b~1~=1，b~2~=![](./data/image/media/image142.png)，a~n~b~n+1~+b~n+1~=nb~n~． （Ⅰ）求{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）求{b~n~}的前n项和． 【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a~1~=2，结合{a~n~}是公差为3的等差数列，可得{a~n~}的通项公式； （Ⅱ）由（1）可得：数列{b~n~}是以1为首项，以![](./data/image/media/image143.png)为公比的等比数列，进而可得：{b~n~}的前n项和． 【解答】解：（Ⅰ）∵a~n~b~n+1~+b~n+1~=nb~n~． 当n=1时，a~1~b~2~+b~2~=b~1~． ∵b~1~=1，b~2~=![](./data/image/media/image143.png)， ∴a~1~=2， 又∵{a~n~}是公差为3的等差数列， ∴a~n~=3n﹣1， （Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b~n+1~+b~n+1~=nb~n~． 即3b~n+1~=b~n~． 即数列{b~n~}是以1为首项，以![](./data/image/media/image143.png)为公比的等比数列， ∴{b~n~}的前n项和S~n~=![](./data/image/media/image144.png)=![](./data/image/media/image145.png)（1﹣3^﹣n^）=![](./data/image/media/image145.png)﹣![](./data/image/media/image146.png)． 【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档． 　 18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G． （Ⅰ）证明：G是AB的中点； （Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积． ![](./data/image/media/image147.png) 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明； （Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影， ∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB， 又E为D在平面PAB内的正投影， ∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB， ∵PD∩DE=D， ∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G， 则AB⊥PG， 又PA=PB， ∴G是AB的中点； （Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影． ∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形， ∴PB⊥PA，PB⊥PC， 又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC， 即点F为E在平面PAC内的正投影． 连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心． 由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=![](./data/image/media/image148.png)CG． 由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=![](./data/image/media/image148.png)PG，DE=![](./data/image/media/image149.png)PC． 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3![](./data/image/media/image150.png)，PE=2![](./data/image/media/image151.png)． 在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2． 所以四面体PDEF的体积V=![](./data/image/media/image152.png)×DE×S~△PEF~=![](./data/image/media/image152.png)×2×![](./data/image/media/image153.png)×2×2=![](./data/image/media/image154.png)． ![](./data/image/media/image155.png) 【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系． 　 19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： ![](./data/image/media/image156.png) 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式； （Ⅱ）若要求"需更换的易损零件数不大于n"的频率不小于0.5，求n的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 【考点】3H：函数的最值及其几何意义；5C：根据实际问题选择函数类型；B8：频率分布直方图．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式； （Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合"需更换的易损零件数不大于n"的频率不小于0.5，可得n的最小值； （Ⅲ）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）当n=19时， y=![](./data/image/media/image157.png)=![](./data/image/media/image158.png) （Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06， 更换的易损零件数为17个频率为0.16， 更换的易损零件数为18个频率为0.24， 更换的易损零件数为19个频率为0.24 又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5． 则n≥19 ∴n的最小值为19件； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件， 所须费用平均数为：![](./data/image/media/image159.png)（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元） 假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件， 所须费用平均数为![](./data/image/media/image159.png)（90×4000+10×4500）=4050（元） ∵4000＜4050 ∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件． 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档． 　 20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y^2^=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H． （Ⅰ）求![](./data/image/media/image160.png)； （Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由． 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐标，利用![](./data/image/media/image161.png)=![](./data/image/media/image162.png)，求![](./data/image/media/image161.png)； （Ⅱ）直线MH的方程为y=![](./data/image/media/image163.png)x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y^2^﹣4ty+4t^2^=0，利用判别式可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（![](./data/image/media/image164.png)，t）， ∵M关于点P的对称点为N， ∴![](./data/image/media/image165.png)=![](./data/image/media/image166.png)，![](./data/image/media/image167.png)=t， ∴N（![](./data/image/media/image168.png)，t）， ∴ON的方程为y=![](./data/image/media/image169.png)x， 与抛物线方程联立，解得H（![](./data/image/media/image170.png)，2t） ∴![](./data/image/media/image171.png)=![](./data/image/media/image172.png)=2； （Ⅱ）由（Ⅰ）知k~MH~=![](./data/image/media/image173.png)， ∴直线MH的方程为y=![](./data/image/media/image173.png)x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y^2^﹣4ty+4t^2^=0， ∴△=16t^2^﹣4×4t^2^=0， ∴直线MH与C除点H外没有其它公共点． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键． 　 21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e^x^+a（x﹣1）^2^． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣![](./data/image/media/image174.png)时，a=﹣![](./data/image/media/image174.png)时，﹣![](./data/image/media/image174.png)＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间； （Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e^x^+a（x﹣1）^2^， 可得f′（x）=（x﹣1）e^x^+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e^x^+2a）， ①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1， 即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）； ②当a＜0时，（如右下图）若a=﹣![](./data/image/media/image174.png)，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增； 若a＜﹣![](./data/image/media/image174.png)时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）； 由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）． 即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增； 在（1，ln（﹣2a））递减； 若﹣![](./data/image/media/image174.png)＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1； 由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1． 即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增； 在（ln（﹣2a），1）递减； （Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时， f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增， 且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞； 当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立， f（x）有两个零点； ②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e^x^，所以f（x）只有一个零点x=2； ③当a＜0时， 若a＜﹣![](./data/image/media/image175.png)时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减， 在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增， 又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点； 当a≥﹣![](./data/image/media/image175.png)时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增， 在（1n（﹣2a），1）单调减， 只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点， 而当x≤1时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意． 综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）． ![](./data/image/media/image176.png) ![](./data/image/media/image177.png) 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题． 　 **请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．\[选修4-1：几何证明选讲\]** 22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，![](./data/image/media/image178.png)OA为半径作圆． （Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切； （Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD． ![](./data/image/media/image179.png) 【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有 【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明． 【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=![](./data/image/media/image178.png)OA，则AB是圆O的切线． （Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论． 【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK， ∵OA=OB，∠AOB=120°， ∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=![](./data/image/media/image178.png)OA， ∴直线AB与⊙O相切； （Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心． ∵OA=OB，TA=TB， ∴OT为AB的中垂线， 同理，OC=OD，TC=TD， ∴OT为CD的中垂线， ∴AB∥CD． 【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形"三合一"的性质． 　 **\[选修4-4：坐标系与参数方程\]** 23．在直角坐标系xOy中，曲线C~1~的参数方程为![](./data/image/media/image180.png)（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C~2~：ρ=4cosθ． （Ⅰ）说明C~1~是哪种曲线，并将C~1~的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线C~3~的极坐标方程为θ=α~0~，其中α~0~满足tanα~0~=2，若曲线C~1~与C~2~的公共点都在C~3~上，求a． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程． 【分析】（Ⅰ）把曲线C~1~的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C~1~是圆，化为一般式，结合x^2^+y^2^=ρ^2^，y=ρsinθ化为极坐标方程； （Ⅱ）化曲线C~2~、C~3~的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C~1~与C~2~的公共弦所在直线方程，把C~1~与C~2~的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a^2^=0，则a值可求． 【解答】解：（Ⅰ）由![](./data/image/media/image180.png)，得![](./data/image/media/image181.png)，两式平方相加得，x^2^+（y﹣1）^2^=a^2^． ∴C~1~为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆． 化为一般式：x^2^+y^2^﹣2y+1﹣a^2^=0．① 由x^2^+y^2^=ρ^2^，y=ρsinθ，得ρ^2^﹣2ρsinθ+1﹣a^2^=0； （Ⅱ）C~2~：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ^2^=4ρcosθ， ∴x^2^+y^2^=4x，② 即（x﹣2）^2^+y^2^=4． 由C~3~：θ=α~0~，其中α~0~满足tanα~0~=2，得y=2x， ∵曲线C~1~与C~2~的公共点都在C~3~上， ∴y=2x为圆C~1~与C~2~的公共弦所在直线方程， ①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a^2^=0，即为C~3~ ， ∴1﹣a^2^=0， ∴a=1（a＞0）． 【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题． 　 **\[选修4-5：不等式选讲\]** 24．已知函数f（x）=\|x+1\|﹣\|2x﹣3\|． （Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象； （Ⅱ）求不等式\|f（x）\|＞1的解集． ![](./data/image/media/image182.png) 【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象； （Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜![](./data/image/media/image183.png)时，当x≥![](./data/image/media/image183.png)时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=![](./data/image/media/image184.png)， 由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右： （Ⅱ）由\|f（x）\|＞1，可得 当x≤﹣1时，\|x﹣4\|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1； 当﹣1＜x＜![](./data/image/media/image183.png)时，\|3x﹣2\|＞1，解得x＞1或x＜![](./data/image/media/image185.png)， 即有﹣1＜x＜![](./data/image/media/image185.png)或1＜x＜![](./data/image/media/image186.png)； 当x≥![](./data/image/media/image186.png)时，\|4﹣x\|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或![](./data/image/media/image186.png)≤x＜3． 综上可得，x＜![](./data/image/media/image185.png)或1＜x＜3或x＞5． 则\|f（x）\|＞1的解集为（﹣∞，![](./data/image/media/image185.png)）∪（1，3）∪（5，+∞）． ![](./data/image/media/image187.png) 【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题． 　
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2020---2021学年度第一学期无锡市小学期末调研试卷 （五年级数学 时限80分钟） 2021.1 -------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ------- 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 得 分 阅卷人 复核人 -------- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ------- 一、直接写出得数（8分） 20.2＋0.01＝ 0.6×0.07＝ 3.34－3.03＝ 7.5*a*＋0.9 *a*＝ 18÷1000＝ 1－0.55＝ 0.12×5＝ *n*－0.83 *n*＝ 二、用竖式计算,带★的要验算（10分） 1.6×2.95＝ 0.169÷0.26＝ ★1.8÷0.24＝ 三、计算下面各题，能简算的要简算（12分） 2.55÷1.7－0.9×0.3 1.02×（9.3－5.8）＋2.5 63.2×5.7＋36.8×5.7 12.8÷［0.5×（23.5－7.5）］ 四、填空（22分） 1\. 2020年7月23日，我国首次担任火星探测任务的探测器"天问一号"成功发射，截至12月14日21时，已累计飞行约[360000000]{.underline}千米。把横线上的数改写成用"亿"作单位的数是（ ）亿，再保留整数是（ ）亿。 2\. 0.8公顷＝（ ）平方米 6公顷＝（ ）平方千米 3\. 4个十和3个百分之一组成的数是（ ）；67个0.001组成的数是（ ）。 ![](./data/image/media/image1.emf)4. 利民蔬菜公司运来*a*车蔬菜，每车装5吨，一共运来（ ）吨蔬菜；供应给菜场65吨，还剩下（ ）吨蔬菜。 5\. 如右图，把平行四边形分成一个三角形和一个梯形。已知平 行四边形的高是5厘米，那么三角形的面积是（ ） 平方厘米，梯形的面积是（ ）平方厘米。 6\. 小兰、小云、小丽和小娟是好朋友，如果她们相互寄一张贺卡，一共要寄（ ）张贺卡；如果她们每两人之间通一次电话，一共要通（ ）次电话。 7\. 甲、乙两数的和是16.5，甲数的小数点向右移动一位正好等于乙数。甲数是（ ），乙数是（ ）。 8\. 一种奶油蛋糕做1个要用7.5克奶油。500克奶油最多可以做（ ）个这种蛋糕。幼儿园买了50个这样的奶油蛋糕，每8个装一盒，至少要用（ ）个包装盒。 9\. 王叔叔用30根1米长的木条围一个长方形花圃。要使这个花圃的面积最大，花圃的长是（ ）米，宽是（ ）米。 ![](./data/image/media/image2.emf)10. 在□.□8的两个□里各填一个数字组成小数。要使这个小数尽可能大，这个小数是（ ）；要使这个小数尽可能接近9，这个小数是（ ）。 11\. 右图钉子板中多边形的面积是（ ）平方厘米。 如果在这个钉子板上围出一个内部有3枚钉子，边上有 7枚钉子的多边形，这个多边形的面积是（ ） 平方厘米。 五、选择正确答案前的字母填在括号里（10分） 1\. **2.1与3相乘的积是63个**（ ）**。** **A．十 B．一 C．十分之一 D．百分之一** 2\. 大于0.1而小于0.2的两位小数有（ ）。 A．无数个 B．100个 C．10个 D．9个 3\. 一根电线长30米，第一次用去4.7米，第二次用去3.55米，这时这根电线比原来短了（ ）。 **A．1.15米 B．4.7**米 **C．8.25**米 **D．21.75**米 4\. 2020年11月10日，中国载人潜水器"奋斗者"号在西太平洋马里亚纳海沟成功下潜到海拔－10909米海底最深处，创造了中国载人深潜的新纪录。如果这时有一条鲨鱼在"奋斗者"号上方10900米处，这条鲨鱼所处的位置是海拔（ ）。 > ![](./data/image/media/image3.emf)A．－10900米 B．－9米 C．＋10900米 D．＋9米 5\. 把右图中两个同样的三角形拼成一个周长最长的平行 > 四边形，这个平行四边形的周长是（ ）。 > > A．2*c*＋2*a* B．2*c*＋2*b* C．2*a*＋2*b* D．2*a*＋2*b*＋2*c* ![](./data/image/media/image4.emf)六、计算下面图形的面积（单位：厘米）（6分） ![](./data/image/media/image5.emf) ![](./data/image/media/image6.emf)七、实践操作（4分） > 在右面的方格图中，以线段AB为底分别 > > 画出一个平行四边形和一个三角形，使它们的 > > 面积都是12cm²。（每个小方格表示1 cm²） 八、解决实际问题（28分） 1\. 一种大豆，5千克可以榨油1.1千克。照这样计算，要榨3.96千克油需要多少千克大豆？ 2．一块梯形的土地，上底是6.4米，下底是11.2米，高是4.2米。这块土地的面积是多少平方米？如果用这块土地种白菜，每棵白菜占地0.16平方米，这块土地最多可以种多少棵白菜？ 3.某市居民用水的价格是2.8元/吨，张奶奶家去年第四季度一共缴纳水费70元。已知十月份的用水量是8.8吨，十一月份的用水量是7.6吨，张奶奶家十二月 > 份的用水量是多少吨？ 4\. **一批零件平均分给师徒两人加工，师傅每小时加工35个，徒弟每小时加** > **工25个。两人同时开始加工，*x*小时后，师傅完成了任务。** **（1）用含有字母的式子表示师傅完成任务时徒弟还没有完成零件的个数。** **（2）当*x*＝4.8时，徒弟还有多少个没有完成？** **5．**下面是五年级一班男、女生1分钟跳绳测试等级情况的统计图。 ![](./data/image/media/image7.png) （1）在五年级一班同学1分钟跳绳测试中，获得（ ）等第的人数 最多，一共有（ ）人。 （2）五年级一班参加跳绳测试一共有（ ）人，其中女生人数比 > 男生多（ ）人。 （3）如果男生平均每人跳120个，女生平均每人跳125个，那么全班平均 > 每人跳（ ）个。（得数保留一位小数）
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**2019年黑龙江省绥化市中考数学试卷** **一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑** 1．（3分）（2019•绥化）我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为．把370000这个数用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 2．（3分）（2019•绥化）下列图形中，属于中心对称图形的是　　 A．![](./data/image/media/image10.png) B．![](./data/image/media/image11.png) C．![](./data/image/media/image12.png) D．![](./data/image/media/image13.png) 3．（3分）（2019•绥化）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 4．（3分）（2019•绥化）若一个几何体的主视图、俯视图、左视图都是半径相等的圆，则这个几何体是　　 A．球体 B．圆锥 C．圆柱 D．正方体 5．（3分）（2019•绥化）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 6．（3分）（2019•绥化）不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是　　 A． B． C． D． 7．（3分）（2019•绥化）下列命题是假命题的是　　 A．三角形两边的和大于第三边 B．正六边形的每个中心角都等于 C．半径为的圆内接正方形的边长等于 D．只有正方形的外角和等于 8．（3分）（2019•绥化）小明去商店购买、两种玩具，共用了10元钱，种玩具每件1元，种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量多于种玩具的数量．则小明的购买方案有　　 A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 9．（3分）（2019•绥化）不等式组的解集在数轴上表示正确的是　　 A．![](./data/image/media/image51.png) B．![](./data/image/media/image52.png) C．![](./data/image/media/image53.png) D．![](./data/image/media/image54.png) 10．（3分）（2019•绥化）如图，在正方形中，、是对角线上的两个动点，是正方形四边上的任意一点，且，，设．当是等腰三角形时，下列关于点个数的说法中，一定正确的是　　 ①当（即、两点重合）时，点有6个 ②当时，点最多有9个 ③当点有8个时， ④当是等边三角形时，点有4个 ![](./data/image/media/image77.png) A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ **二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内** 11．（3分）（2019•绥化）某年一月份，哈尔滨市的平均气温约为，绥化市的平均气温约为，则两地的温差为[　　]{.underline}． 12．（3分）（2019•绥化）若分式有意义，则的取值范围是[　　]{.underline}． 13．（3分）（2019•绥化）计算：[　　]{.underline}． 14．（3分）（2019•绥化）已知数据1，3，5，7，9，则这组数据的方差是[　 　]{.underline}． 15．（3分）（2019•绥化）当时，代数式的值是[　　]{.underline}． 16．（3分）（2019•绥化）用一个圆心角为的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为[　　]{.underline}． 17．（3分）（2019•绥化）已知在中，，点在上，且，则[　 　]{.underline}度． ![](./data/image/media/image93.png) 18．（3分）（2019•绥化）一次函数与反比例函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是[　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image98.png) 19．（3分）（2019•绥化）甲、乙两辆汽车同时从地出发，开往相距的地，甲、乙两车的速度之比是，结果乙车比甲车早30分钟到达地，则甲车的速度为[　　]{.underline}． 20．（3分）（2019•绥化）半径为5的是锐角三角形的外接圆，，连接、，延长交弦于点．若是直角三角形，则弦的长为[　　]{.underline}． 21．（3分）（2019•绥化）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边""的路线运动，设第秒运动到点为正整数），则点的坐标是[　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image121.png) **三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内** 22．（6分）（2019•绥化）如图，已知三个顶点的坐标分别为，， （1）请在网格中，画出线段关于原点对称的线段； （2）请在网格中，过点画一条直线，将分成面积相等的两部分，与线段相交于点，写出点的坐标； （3）若另有一点，连接，则[　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image137.png) 23．（6分）（2019•绥化）小明为了了解本校学生的假期活动方式，随机对本校的部分学生进行了调查．收集整理数据后，小明将假期活动方式分为五类：．读书看报；．健身活动；．做家务；．外出游玩；．其他方式，并绘制了不完整的统计图如图．统计后发现"做家务"的学生人数占调查总人数的． 请根据图中的信息解答下列问题： （1）本次调查的总人数是[　　]{.underline}人； （2）补全条形统计图； （3）根据调查结果，估计本校2360名学生中"假期活动方式"是"读书看报"的有多少人？ ![](./data/image/media/image144.png) 24．（6分）（2019•绥化）按要求解答下列各题： （1）如图①，求作一点，使点到的两边的距离相等，且在的边上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）如图②，、表示两个港口，港口在港口的正东方向上．海上有一小岛在港口的北偏东方向上，且在港口的北偏西方向上．测得海里，求小岛与港口之间的距离．（结果可保留根号） ![](./data/image/media/image162.png) 25．（6分）（2019•绥化）已知关于的方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 26．（7分）（2019•绥化）如图，为的直径，平分，交弦于点，连接半径交于点，过点的一条直线交的延长线于点，． （1）求证：直线是的切线； （2）若． ①求的长； ②求的周长．（结果可保留根号） ![](./data/image/media/image188.png) 27．（7分）（2019•绥化）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数（个与甲加工时间之间的函数图象为折线，如图所示． （1）这批零件一共有[　　]{.underline}个，甲机器每小时加工[　　]{.underline}个零件，乙机器排除故障后每小时加工[　　]{.underline}个零件； （2）当时，求与之间的函数解析式； （3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？ ![](./data/image/media/image196.png) 28．（9分）（2019•绥化）如图①，在正方形中，，为对角线上任意一点（不与、重合），连接，过点作，交线段于点 （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图②，连接交于点．若，求的值． ![](./data/image/media/image216.png) 29．（10分）（2019•绥化）已知抛物线的对称轴为直线，交轴于点、，交轴于点，且点坐标为．直线与抛物线交于点、（点在点的右边），交轴于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若，且的面积为3，求的值； （3）当时，若，直线交轴于点．设的面积为，求与之间的函数解析式． ![](./data/image/media/image245.png) **2019年黑龙江省绥化市中考数学试卷** **参考答案与试题解析** **一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑** 1．（3分）我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为．把370000这个数用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【考点】科学记数法表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：370000用科学记数法表示应为， 故选：． 2．（3分）下列图形中，属于中心对称图形的是　　 A．![](./data/image/media/image10.png) B．![](./data/image/media/image11.png) C．![](./data/image/media/image12.png) D．![](./data/image/media/image13.png) 【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【解答】解：、不是中心对称图形，故此选项错误； 、不是中心对称图形，故此选项错误； 、是中心对称图形，故此选项正确； 、不是中心对称图形，故此选项错误， 故选：． 3．（3分）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【考点】算术平方根；立方根；零指数幂 【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案． 【解答】解：、，故此选项错误； 、，故此选项错误； 、无法计算，故此选项错误； 、，正确． 故选：． 4．（3分）若一个几何体的主视图、俯视图、左视图都是半径相等的圆，则这个几何体是　　 A．球体 B．圆锥 C．圆柱 D．正方体 【考点】简单几何体的三视图；由三视图判断几何体 【分析】利用三视图都是圆，则可得出几何体的形状． 【解答】解：主视图、俯视图和左视图都是圆的几何体是球体． 故选：． 5．（3分）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 【考点】因式分解十字相乘法等；提公因式法与公式法的综合运用 【分析】、原式提取公因式得到结果，即可做出判断； 、原式利用十字相乘法分解得到结果，即可做出判断； 、等式左边表示完全平方式，不能利用完全平方公式分解； 、原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断． 【解答】解：、原式，错误； 、原式，错误； 、，不能分解因式，错误； 、原式，正确． 故选：． 6．（3分）不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是　　 A． B． C． D． 【考点】概率公式 【分析】直接利用概率公式求解． 【解答】解：从袋子中随机取出1个球是红球的概率． 故选：． 7．（3分）下列命题是假命题的是　　 A．三角形两边的和大于第三边 B．正六边形的每个中心角都等于 C．半径为的圆内接正方形的边长等于 D．只有正方形的外角和等于 【考点】命题与定理 【分析】利用三角形的三边关系、正多边形的外角和、正多边形的计算及正多边形的外角和分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：、三角形两边的和大于第三边，正确，是真命题； 、正六边形的每个中心角都等于，正确，是真命题； 、半径为的圆内接正方形的边长等于，正确，是真命题； 、所有多边形的外角和均为，故错误，是假命题， 故选：． 8．（3分）小明去商店购买、两种玩具，共用了10元钱，种玩具每件1元，种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量多于种玩具的数量．则小明的购买方案有　　 A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【考点】一元一次不等式组的应用 【分析】设小明购买了种玩具件，则购买的种玩具为件，根据题意列出不等式组进行解答便可． 【解答】解：设小明购买了种玩具件，则购买的种玩具为件，根据题意得， ， 解得，， 为整数， 或2或3， 有3种购买方案． 故选：． 9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是　　 A．![](./data/image/media/image51.png) B．![](./data/image/media/image52.png) C．![](./data/image/media/image53.png) D．![](./data/image/media/image54.png) 【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组 【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式用数轴表示即可． 【解答】解：， 解①得， 解②得， 利用数轴表示为： ![](./data/image/media/image317.png)． 故选：． 10．（3分）如图，在正方形中，、是对角线上的两个动点，是正方形四边上的任意一点，且，，设．当是等腰三角形时，下列关于点个数的说法中，一定正确的是　　 ①当（即、两点重合）时，点有6个 ②当时，点最多有9个 ③当点有8个时， ④当是等边三角形时，点有4个 ![](./data/image/media/image77.png) A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质 【分析】利用图象法对各个说法进行分析判断，即可解决问题． 【解答】解：①如图1， 当（即、两点重合）时，点有6个； 故①正确； ②当时，点最多有8个． 故②错误． ③当点有8个时，如图2所示： 当或或或时， 点有8个； 故③错误； ④如图3， 当是等边三角形时， 点有4个； 故④正确； 当是等腰三角形时，关于点个数的说法中， 不正确的是②③， 一定正确的是①④； 故选：． ![](./data/image/media/image336.png) ![](./data/image/media/image337.png) ![](./data/image/media/image338.png) **二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内** 11．（3分）某年一月份，哈尔滨市的平均气温约为，绥化市的平均气温约为，则两地的温差为[　3　]{.underline}． 【考点】有理数的减法 【分析】用哈尔滨市的平均气温减去绥化市的平均气温，然后根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 【解答】解：． 故答案为3． 12．（3分）若分式有意义，则的取值范围是[　　]{.underline}． 【考点】分式有意义的条件 【分析】分式有意义，分母不等于零． 【解答】解：依题意得：． 解得． 故答案是：． 13．（3分）计算：[　　]{.underline}． 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法 【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：． 故答案为：． 14．（3分）已知数据1，3，5，7，9，则这组数据的方差是[　8　]{.underline}． 【考点】方差 【分析】先计算出平均数，再根据方差公式计算即可． 【解答】解：、3、5、7、9的平均数是， 方差； 故答案为：8． 15．（3分）当时，代数式的值是[　2019　]{.underline}． 【考点】分式的化简求值 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解： ， 当时，原式， 故答案为：2019． 16．（3分）用一个圆心角为的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为[　12　]{.underline}． 【考点】圆锥的计算 【分析】根据底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长列式计算即可． 【解答】解：设圆锥的母线长为， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：12． 17．（3分）已知在中，，点在上，且，则[　36　]{.underline}度． ![](./data/image/media/image375.png) 【考点】等腰三角形的性质 【分析】已知有许多线段相等，根据等边对等角及三角形外角的性质得到许多角相等，再利用三角形内角和列式求解即可． 【解答】解：设 ， ， ， 在中 ． 故填36． 18．（3分）一次函数与反比例函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是[　　]{.underline}． ![](./data/image/media/image393.png) 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】利用两函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：当时，． 故答案为． 19．（3分）甲、乙两辆汽车同时从地出发，开往相距的地，甲、乙两车的速度之比是，结果乙车比甲车早30分钟到达地，则甲车的速度为[　80　]{.underline}． 【考点】分式方程的应用 【分析】设甲车的速度为，则乙车的速度为，根据时间路程速度结合乙车比甲车早30分钟到达地，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：设甲车的速度为，则乙车的速度为， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故答案为：80． 20．（3分）半径为5的是锐角三角形的外接圆，，连接、，延长交弦于点．若是直角三角形，则弦的长为[　或　]{.underline}． 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心 【分析】如图1，当时，推出是等边三角形，解直角三角形得到，如图2，当，推出是等腰直角三角形，于是得到． 【解答】解：如图1，当时， 即， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 如图2，当， ， 是等腰直角三角形， ， 综上所述：若是直角三角形，则弦的长为或， 故答案为：或． ![](./data/image/media/image452.png) ![](./data/image/media/image453.png) 21．（3分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边""的路线运动，设第秒运动到点为正整数），则点的坐标是[　，　]{.underline}． ![](./data/image/media/image462.png) 【考点】规律型：点的坐标 【分析】通过观察可知，纵坐标每6个进行循环，先求出前面6个点的坐标，从中得出规律，再按规律写出结果便可． 【解答】解：由题意知， ， ， ， ， 由上可知，每个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：，0，，0，这样循环， ，， 故答案为：，． **三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内** 22．（6分）如图，已知三个顶点的坐标分别为，， （1）请在网格中，画出线段关于原点对称的线段； （2）请在网格中，过点画一条直线，将分成面积相等的两部分，与线段相交于点，写出点的坐标； （3）若另有一点，连接，则[　1　]{.underline}． ![](./data/image/media/image497.png) 【考点】作图旋转变换；解直角三角形 【分析】（1）根据坐标画得到对应点、，连接即可； （2）取的中点画出直线， （3）得出为等腰直角三角形，，可求出 【解答】解：如图： （1）作出线段、连接即可； （2）画出直线，点坐标为， （3）连接，，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 故答案为1． ![](./data/image/media/image519.png) 23．（6分）小明为了了解本校学生的假期活动方式，随机对本校的部分学生进行了调查．收集整理数据后，小明将假期活动方式分为五类：．读书看报；．健身活动；．做家务；．外出游玩；．其他方式，并绘制了不完整的统计图如图．统计后发现"做家务"的学生人数占调查总人数的． 请根据图中的信息解答下列问题： （1）本次调查的总人数是[　40　]{.underline}人； （2）补全条形统计图； （3）根据调查结果，估计本校2360名学生中"假期活动方式"是"读书看报"的有多少人？ ![](./data/image/media/image526.png) 【考点】用样本估计总体；条形统计图 【分析】（1）由方式的人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据各方式的人数之和等于总人数可得人数，从而补全图形； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【解答】解：（1）本次调查的总人数是（人， 故答案为：40； （2）活动方式的人数为（人， 补全图形如下： ![](./data/image/media/image534.png) （3）估计本校2360名学生中"假期活动方式"是"读书看报"的有（人． 24．（6分）按要求解答下列各题： （1）如图①，求作一点，使点到的两边的距离相等，且在的边上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）如图②，、表示两个港口，港口在港口的正东方向上．海上有一小岛在港口的北偏东方向上，且在港口的北偏西方向上．测得海里，求小岛与港口之间的距离．（结果可保留根号） ![](./data/image/media/image162.png) 【考点】作图应用与设计作图；解直角三角形的应用方向角问题；角平分线的性质 【分析】（1）利用尺规作的角平分线交于点，点即为所求． （2）作于．解直角三角形求出，再利用等腰直角三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，点即为所求． ![](./data/image/media/image547.png) （2）作于． ![](./data/image/media/image550.png) 在中，海里，， （海里）， ， （海里）． 答：小岛与港口之间的距离为海里． 25．（6分）已知关于的方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的定义；根的判别式 【分析】（1）分及两种情况考虑：当时，原方程为一元一次方程，通过解方程可求出方程的解，进而可得出符合题意；当时，由根的判别式△可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．综上，此问得解； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】解：（1）当时，原方程为， 解得：， 符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 该一元二次方程有实数根， △， 解得：． 综上所述，的取值范围为． （2）和是方程的两个根， ，． ， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意． 的值为1． 26．（7分）如图，为的直径，平分，交弦于点，连接半径交于点，过点的一条直线交的延长线于点，． （1）求证：直线是的切线； （2）若． ①求的长； ②求的周长．（结果可保留根号） ![](./data/image/media/image188.png) 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质 【分析】（1）根据圆周角定理，垂径定理，平行线的性质证得，即可证得结论； （2）①利用勾股定理求得半径，进而求得，根据三角形中位线定理即可求得； ②由平行线分线段成比例定理得到，求得，，即可求得，然后根据勾股定理求得，即可求得三角形的周长． 【解答】（1）证明：平分， ， 是弧的中点 ． ， ，， ， ， ， 是半径， 是圆切线； （2）解：①设． ， ，． ， 在中． 解得． ， 由（1）得，，， ； ②连接． ， ， ，， ，， ， 在中，，， ． 是直径， 为直角三角形． ． 周长． ![](./data/image/media/image648.png) 27．（7分）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数（个与甲加工时间之间的函数图象为折线，如图所示． （1）这批零件一共有[　270　]{.underline}个，甲机器每小时加工[　　]{.underline}个零件，乙机器排除故障后每小时加工[　　]{.underline}个零件； （2）当时，求与之间的函数解析式； （3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？ ![](./data/image/media/image656.png) 【考点】一次函数的应用 【分析】（1）根据图象解答即可； （2）设当时，与之间的函数关系是为，运用待定系数法求解即可； （3）设甲价格小时时，甲乙加工的零件个数相等，分两种情况列方程解答：①当时，；②当时，． 【解答】解：（1）这批零件一共有270个， 甲机器每小时加工零件：（个， 乙机器排除故障后每小时加工零件：（个； 故答案为：270；20；40； （2）设当时，与之间的函数关系是为， 把，代入解析式，得 ，解得， ； （3）设甲价格小时时，甲乙加工的零件个数相等， ①，解得； ②， ，解得， 答：甲加工或时，甲与乙加工的零件个数相等． 28．（9分）如图①，在正方形中，，为对角线上任意一点（不与、重合），连接，过点作，交线段于点 （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图②，连接交于点．若，求的值． ![](./data/image/media/image216.png) 【考点】相似形综合题 【分析】（1）作、，证四边形是正方形得，再证，从而得，据此可得证； （2）由，知，据此得，，由知，，，从而得出答案； （3）把绕点逆时针旋转得到，连接，先证得，由可设，则，继而知，，由得，知，，证得，从而得出答案． 【解答】解：（1）如图①，过分别作交于，交于， ![](./data/image/media/image727.png) 则四边形是平行四边形， 四边形是正方形， ，， ， 平行四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； （2）由（1）得，， ， ，， ， ， ，， ； （3）如图②，把绕点逆时针旋转得到，连接， ![](./data/image/media/image759.png) ，， ，，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，，则， 正方形的边长为6， ， ， ， ，， ，， ， ， ． 29．（10分）已知抛物线的对称轴为直线，交轴于点、，交轴于点，且点坐标为．直线与抛物线交于点、（点在点的右边），交轴于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若，且的面积为3，求的值； （3）当时，若，直线交轴于点．设的面积为，求与之间的函数解析式． ![](./data/image/media/image245.png) 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）将点代入解析式，对称轴为，联立即可求与的值； （2）设点横坐标，点的横坐标，则有，联立，根据韦达定理可得，，由面积之间的关系：，可求的值； （3）当时，解析式为，联立有：，解得或；由条件可得，，，所以有； ①当时，，， ②当时，，， ③当时，如图③，有，， 【解答】解：（1）将点代入解析式，得， ， ，； ； （2）设点横坐标，点的横坐标，则有， 把代入， ， 联立，得： ， ， ，， 的面积为3； ， 即， ， ， ， 或， ， ； （3）当时，解析式为， ， 与相交于点与， ， 或， 当时，有， 点在点的右边， ，， 的直线解析式为， ， ， ①当时，如图①，， ， ②当时，如图②，， ， ③当时，如图③，有， ，，， ， 综上所述，； ![](./data/image/media/image894.png) ![](./data/image/media/image895.png) ![](./data/image/media/image896.png) 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/10 10:07:34；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**小学三年级下册数学**![](./data/image/media/image1.png)**奥数**![](./data/image/media/image1.png)**知识点讲解**![](./data/image/media/image1.png)**第**![](./data/image/media/image1.png)**8**![](./data/image/media/image1.png)**课《差倍问题》试题附答案** ![](./data/image/media/image2.jpeg) ![](./data/image/media/image1.png)![](./data/image/media/image1.png)![](./data/image/media/image3.png) ![](./data/image/media/image4.png)![](./data/image/media/image1.png) \[来源:Zxxk.Com\] ![](./data/image/media/image5.png) ![](./data/image/media/image6.png)![](./data/image/media/image1.png)![](./data/image/media/image1.png) **答案**![](./data/image/media/image2.jpeg) ![](./data/image/media/image7.jpeg) ![](./data/image/media/image8.jpeg) ![](./data/image/media/image9.jpeg) ![](./data/image/media/image10.jpeg)![](./data/image/media/image1.png)\[来源:Zxxk.Com\] ![](./data/image/media/image11.jpeg) ![](./data/image/media/image12.jpeg)\ \ ![](./data/image/media/image13.jpeg)\ \ ![](./data/image/media/image14.jpeg)\ \ ![](./data/image/media/image15.jpeg) ![](./data/image/media/image16.jpeg) ![](./data/image/media/image17.jpeg)三年级奥数下册：![](./data/image/media/image1.png)第![](./data/image/media/image1.png)八讲 差倍![](./data/image/media/image1.png)问题 习题解答 ![](./data/image/media/image1.png)![](./data/image/media/image18.jpeg)\[来源:学科网\] ![](./data/image/media/image19.jpeg)\[来源:学科网ZXXK\]
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**2016-2017学年下学期重点小学一年级期末检测卷** 班级： 姓名： 满分：100分 考试时间：90分钟 ---------- -------- ------------------------------------------ ----------------------------- -------- -------- -------- -------- ---------- **题序** 第一题 第二题![](./data/image/media/image1.png) 第三题\[来源:Z\*xx\*k.Com\] 第四题 第五题 第六题 第七题 **总分** **得分** ---------- -------- ------------------------------------------ ----------------------------- -------- -------- -------- -------- ---------- 一、填一填。(9分) 1\. 计数器上从右边起第一位是(　　)位,第二位是(　　)位,第三位是(　　)位。 2\. 与90相邻的两个数是(　　)和(　　)。 3\. 6个十和1个一合起来是(　　)。 4\. 76里面有(　　)个十和(　　)个一,一百里面![](./data/image/media/image1.png)有(　　)个十。 二、比一比。(6分) ![](./data/image/media/image2.jpeg) ![](./data/image/media/image3.jpeg) 　 (　　![](./data/image/media/image1.png))![](./data/image/media/image4.jpeg)(　　)　　　　 　　　　　　　(　　)![](./data/image/media/image4.jpeg)(　　)![](./data/image/media/image1.png) 三、计算题。(24分) 1\. 算一算。(8分) 15-7=　　　　![](./data/image/media/image1.png)16-9 =　　　　14-5=　　　　6+13 = 22+6= 88-8 = 40+50 = 9+36 = 2\. 用竖式计算。(16分) 52-19=　![](./data/image/media/image1.png)　　　　41+27=　　　　　53-27=　　　　　28+45= 100-11![](./data/image/media/image1.png)=　　　 46+37= 43-25= 38+15= 四、在○里填"\<""\>"或"="。(12分) 49-37○49-27　　　　53-36○54-36　![](./data/image/media/image1.png)　　　34+29○29+34\[来源:Zxxk.Com\] 38+57○28+57 29+30○30+29 53+9○30+30![](./data/image/media/image1.png) 五、想![](./data/image/media/image1.png)一想,连一连![](./data/image/media/image1.png)。(8分) ![](./data/image/media/image5.jpeg) 六、你认识这些图形吗?数一数每种图形各有几个。(10分) ![](./data/image/media/image6.jpeg) ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- ![](./data/image/media/image7.jpeg) ![](./data/image/media/image8.jpeg) ![](./data/image/media/image9.jpeg) ![](./data/image/media/image10.jpeg) ![](./data/image/media/image11.jpeg) (　　)个 (　　)个 (　　)个 (　　)个 (　　)个 ------------------------------------- ------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- 七、解决问题。(31分) 1.一年级有90人去春游,租了下面两种大客车各一辆。能坐下吗?(5分) ![](./data/image/media/image12.jpeg) 2.(10分) ![](./data/image/media/image13.jpeg)　　　![](./data/image/media/image14.jpeg)　　　![](./data/image/media/image15.jpeg)　　　![](./data/image/media/image16.jpeg) (1)![](./data/image/media/image17.jpeg)比![](./data/image/media/image18.jpeg)贵多少元? (2)淘气买![](./data/image/media/image19.jpeg)找回41元。淘气付了多少元? \[来源:学。科。网\] (3)笑笑有60元,可以买(　　)和(　　),正好花完。 3.三![](./data/image/media/image1.png)名同学跳绳。(16分) ![](./data/image/media/image20.jpeg) ------ -------- -------- -------- ------ 第一次 第二次 第三次 总数 小丽 26下 28下 30下 小芳 27下 26下 92下 小明 25下 29下 ------ -------- -------- -------- ------ (1)小丽三次一共跳了多![](./data/image/media/image1.png)少下? (2)小芳第三次跳了多少下? (3)如果小明是第二名,小明第三次可能跳了多少下? (4)小花跳的比小芳多一些,小玲跳的比小芳少得多。 小花可能跳了多少下?在合适的答案下画"􀳫"。小玲可能跳了多少下?在合适的答案下画"○"。 ---- ---- ---- ---- 88 91 98 26 ---- ---- ---- ---- ![](./data/image/media/image1.png)期末测试答案 一、1. 个　十　百　2. 89　91　3. 61　4. 7　6　10 二、32\>23　100\>60 三、1. 8　7　9　19　28　80　90　45 2\. 33　68　26　73　89　83　18　53 四、\<　\<　=　\>　=　\> 五、略 六、5　3　1　4　1 七、1. 45+40=85(人)　85\<90,不能。 2\. (1)18-9=9(元)　(2)59+41=100(元) (3)1个电话机　1辆遥控车(或1个电话机 2本书) 3\. (1)26+28+30=84(下) (2)92-27-26=39(下) (3)31下、32下、33下、34下、![](./data/image/media/image1.png)35下、36下、37下 ---- ---- ---------------------- ---- 88 91 98 26 􀳫\[来源:学。科。网\] ○ ---- ---- ---------------------- ---- \(4\) 喜子的商铺(淘宝店)：<http://t.cn/Ri466E4>    微店：http://shop83755268.vpubao.com/
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