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|---|---|---|
**北师大版小学三年级下册数学第六单元《认识分数》单元测试5（附答案）**
一、你能用分数表示下图的阴影部分吗？
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
二、涂一涂，圈一圈，画一画。(19分)
1．按分数把下面各图形涂上颜色。(3分) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
2．按分数圈一圈，相信你能做对。(4分)
 
 
3．画一画。(4分)
 
篮子外面的苹果占苹 炸了的泡泡占总数的，
果总数的，请你画 请你画出没有炸的泡泡。
出篮子里面的苹果。
4．涂一涂，比一比。(8分)
 
○ ○
 
○ ○
三、我会填。(18分)
1．把一个长方形平均分成6份，每份是它的( )分之( )，写成，这样的5份是( )个，就是它的( )分之( )，写作。
2．读作( )，九分之二写作。
3．是( )个，7个是，是3个。
4．再添上( )个就是1。
5． 。
6．10个苹果，吃掉6个，吃掉的个数是总数的，剩下的是总数的。
四、判断。(对的打"√"，错的打"×")(12分)
1．把一根火腿肠分成两段，小强吃了一段，小强吃了这根火腿肠的。 ( )
2． 左图中的阴影部分可以用表示。 ( )
3．1分米的是1厘米。 ( )
4．。 ( )
5．与1相等的分数有无数个。 ( )
6．同样大小的苹果，甲吃了它的，乙吃了它的，乙吃得多。 ( )
五、选择正确答案的序号填在括号里。(14分)
1．在、和三个分数中，最大的是 ( )
① ② ③来源：www.bcjy123.com/tiku/
2．把一个西瓜平均分成8块，小明吃了3块，他吃了这个西瓜的 ( )
① ② ③块
3．8毫米是\_\_\_\_\_\_\_分米。 ( )
① ② ③
4．两个同样大小的苹果，小华吃了其中一个苹果的，小刚吃了另一个苹果的，( )剩下的苹果小。
①小华 ②小刚 ③不能比较
5．合唱队男生人数占全队人数的，女生人数占全队人数的，男生人数( )女生人数。
①＞ ②＜ ③＝
6．下面两人拿的桃子 [ ]{.underline} 。
拿这堆桃的 拿这堆桃的
>  
甲 乙
①甲多 ②乙多 ③一样多
7．丽丽看一本书，第一天看了全书的，第二天看了剩下的， [ ]{.underline} 。
①第一天看得多 ②第二天看得多 ③两天看得同样多
六、我会算。(9分)
七、联系实际，解决问题。(17分)
1．如下图，一串香蕉，小猴吃了，还剩几分之几？还剩几根香蕉？(5分)
2．一个蛋糕平均分成8块，小红吃了1块，小芳吃了2块。两人共吃了这个蛋糕的几分之几？(4分)
3．一个西瓜，妈妈吃了这个西瓜的，爸爸吃了这个西瓜的。(8分)
(1)爸爸、妈妈一共吃了这个西瓜的几分之几？
(2)我和妈妈吃同样多，我比爸爸少吃了这个西瓜的几分之几？
八、选做题。(A、B两题选做一题，做对A题得5分，做对B题得5分，A、B两题都做对，可得10分)
A题：(5分)
(1)参加活动的共有( )人。(1分)
(2)男同学占总人数的，女同学占总人数的。
(3)请你再提出一个数学问题，并试着回答。(2分)
B题：(5分)
爷爷今年72岁，爸爸今年的年龄是爷爷的，小明的年龄是爸爸的，小明今年多少岁？
附加题。(5分)
3号图形的面积占原正方形的，4号图形的面积占原正方形的，5号图形的面积占原正方形的，7号图形的面积占原正方形的。
**参考答案**
一、
二、略
三、1．六 一 5 六 五
2．七分之五 3．4 4．5 5．略 6．
四、1．× 2．× 3．√ 4．× 5. √ 6．√
五、1．② 2．② 3．② 4．① 5．① 6．① 7．①
六、
七、1． 还剩 还剩4根
2．
3．(1) (2)
八、A：(1)9 (2) (3)略
B：72×48(岁) 48×16(岁)
附加题：
| 1 | |
**北师大版小学五年级下册数学第一单元《分数乘法》单元测试1（附答案）**
一、算一算，仔细哦！
1、口算。
×7 = ×12 = 9× = 15× =
×12 = 65× = × = × =
× = × = × = × =
二、想一想，填一填。（每空2分，共18分）来源：www.bcjy123.com/tiku/
> 1、的单位是 [ ]{.underline} ，它含有 [ ]{.underline} 个这样的分数单位，再加上 [ ]{.underline} 个这样的分数单位是2。
>
> 2、食堂每天用煤吨，3天共用煤 [ ]{.underline} ；每天用一堆煤的，3天共用去这堆煤的 [ ]{.underline} 。
>
> 3、9天可完成一项工程，平均每天完成这项工程的 [ ]{.underline} ，5天完成这项工程的 [ ]{.underline} 。
>
> 4、7个千克是 [ ]{.underline} 千克；米的是 [ ]{.underline} 米。
三、列式计算。（每题6分，共12分）
> 1、的1.5倍是多少？ 2、3个是多少？
>
> 来源：www.bcjy123.com/tiku/
四、解决问题。（每题10分，共40分）
> 1、家电城一台彩电原价是3200元，现在以八折出售，现在每台售价几元？
>
> 2、什锦糖每袋重千克，3袋重几千克？9袋呢？12袋呢？
>
> 来源：www.bcjy123.com/tiku/
>
> 3、妈妈买来千克的苹果，琳琳吃了其中的，琳琳吃了几千克苹果？还剩几
>
> 千克苹果？
>
> 4、一根电线长350米，用去后，还剩多少米？
五、计算。（共18分）
1、用合适的方法计算。
×18 101× ×99
**第一单元测试卷的部分答案：**
二、1、 5 11
2、吨
3、
4、
三、1、2.4
2、
四、1、2560元
2、千克 千克 3千克
3、千克 千克
4、140米
五、
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**小学六年级上册数学奥数知识点讲解第5课《长方体和正方体》试题附答案**
**答案**
六年级奥数上册：第五讲 长方体和正方体 习题解答
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第3单元 第五节：做个百数表**
一、根据百数表填空。
1、95向上五格是（ ）；36向左四格是（ ）。
2、25向下六格是（ ），74向右三格是（ ）。
3、24向下三格，再向右两格是（ ）。
4、50向左两格，再向上两格是（ ）。
5、77向右三格，再向下一格是（ ）。
二、填表。
------------------------------------ -- ------------------------------------ -- ------------------------------------ -- ------------------------------------ -- -- ------------------------------------
 
------------------------------------ -- ------------------------------------ -- ------------------------------------ -- ------------------------------------ -- -- ------------------------------------
\[来源:Z&xx&k.Com\]
---- ---- ----
行 列 数
10 5
4 10
66
80
---- ---- ----
三、在百数表上找数并涂色。
---- --- -------------------------------------- -------------------------------------- --- -------------------------------------- ---
行 4 2  3  5  7 7
列 4 7 3  6 4 6
数
---- --- -------------------------------------- -------------------------------------- --- -------------------------------------- ---
四、笔算。
5 6 3 8 42 5 3
[+ 4]{.underline} [+ 3 2]{.underline} [－7]{.underline} [－2 6]{.underline}
\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_ 
五、连一连。
63+8 68+5 66+6 67+3 65+9
74 71 72 73 70
**答案**
一、根据百数表填空。
1、45；32。
2、85，77。
3、56。
4、28。
5、90
二、填表。
-------------------------------------- ------------------------ ----
行 列 数
10 5 95
4 10 30
7  6 66
9 10 \[来源:学\#科\#网\] 80
-------------------------------------- ------------------------ ----
三、在百数表上找数并涂色。
---- ---- ---- ---- ---- ---- ------------------------
行 4 2 3 5 7 7
列 4 7 3 6 4 6
数 34 17 23 46 64 66 \[来源:学科网ZXXK\]
---- ---- ---- ---- ---- ---- ------------------------
四、笔算。
5 6 3 8 42 5 3
[+ 4]{.underline}  [+ 3 2]{.underline} [－7]{.underline} [－2 6]{.underline}
[\_60]{.underline}\_ \_\_\_[70\_]{.underline}\_ \_\_\_[35\_]{.underline}\_ \_[\_\_27\_\_]{.underline}\_ \[来源:Zxxk.Com\]
五、连一连。
63+8 68+5 66+6 67+3 65+9
74 71 72 73 70
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**训练A卷**
**班级\_\_\_\_\_\_\_** **姓名\_\_\_\_\_\_** **得分\_\_\_\_\_\_**
1．苹果的个数是梨的3倍，如果每天吃2个苹果、1个梨，若干天后，梨正好吃完，而苹果还剩下7个，原来的苹果有多少个？
2．某区小学生进行两次数学竞赛，第一次及格的比不及格的3倍多4人；第二次及格人数增加了5人，正好是不及格人数的6倍。问共有多少学生参加数学竞赛。
3．学校买来一批英文打字机分给各班学习。如果其中两个班每班分到4台，其余班级每班分2台，则多4台；如果有一个班分6台，其余班级每班分4台，则不足12台。这个学校买来的英文打字机共有多少台？
4．蜘蛛有 8只脚，蜻蜓有 6只脚和两对翅膀，蝉有 6只脚和一对翅膀，现有这三种小虫共18只，共有脚118只，翅膀20对。求每种小虫的只数。
5．小象说："妈妈，我到你现在这么大时，你就是 31岁了。"大象说："我像你这么大年龄时，你只有1岁。"大、小象现在各几岁？6．有三个数，每次选取其中两个数，算出这两个数的平均值，再加上余下的第三个数，这样算了三次，分别得到35、27和25。求原来这三个数是多少。
7．有甲、乙、丙三种练习本，小芳各买2本，共付4.8元；小红买了2本甲种本、3本乙种本、4本丙种本、共付7.6元；小青买了2本甲种本、4本乙种本、5本丙种本，共付9.4元。甲、乙、丙三种练习本每本售价各是多少元？
8．有三堆弹子，共46颗。第一次从第一堆里拿出与第二堆颗数相同的弹子并入第二堆里；第二次再从第二堆里拿出与第三堆颗数相同的弹子并入第三堆里；第三次再从第三堆里拿出与第一堆剩下的颗数相同的弹子并入第一堆里。经过这样的变动后，三堆弹子的颗数恰好完全相同。原来每堆弹子各有多少颗？
9．全家四口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前，他们全家年龄之和是58岁，现在是73岁。问：现在各人的年龄分别是多少？
10．李叔叔要在下午3点上班，他估计快到上班时间时到屋里去看钟，可是钟早在12点10分就停了，他开足发条却忘了拨指针便匆匆离家，到工厂一看钟，离上班时间还有10分钟。夜里11点下班，李叔叔马上离厂回到家里，一看钟才9点整。假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多少时间？(上发条所用的时间忽略不计)
11．某次数学考试五道题，全班52人参加，共做对181道，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？
12．A、B、C、D、E是从小到大排列的五个不同整数，用其中每两个数相加，可以得到十个和，这十个和中不相同的有八个：分别是17、22、25、28、31、33、36与39。求这五个整数的平均数。
13．商店购进甲、乙、丙三种不同的糖果，所付的钱数相等。已知甲、乙、丙三种糖果每千克的购进价格分别为8.8元、12元和13.2元，如果把这三种糖果混合在一起成为什锦糖，那么这种什锦糖每千克的成本是多少元？
14．爸爸把钓来的一条大鲤鱼分成前、中、后三段，中段的重量恰好比前、后两段重量的和少1千克，后段重量等于中段重量的一半与前段重量的和。只知道前段重2千克，你能算出这条鲤鱼的重量吗？
15．A、B、C、D、E五人在一次满分为100分的考试中，得分都是大于91的整数。如果A、B、C的平均分为95分，B、C、D的平均分为94分；A是第一名；E是第三名得96分；那么D的得分是多少？
**C卷**
1．解：设吃了x天 3x=2x＋7x=7 2×7+7=21（个）
2．解：设第一次不及格x人，则及格（3x＋4）人 3x＋4+5=6（x-5）
x=13 13×3+4+13=56（人）
3．（4-2）×2＋4=8（台）（假设每个班都分2台，则多8台） 12-
（6-4）=10（台）（假设每个班都分4台，则少10台）（8+10）
÷（4-2）=9（班） 4×2+2×（9-2）+4=26（台）
4．解：设蜘蛛x只，则蜻蜓和蝉共（18-x）只， 8x＋6（18-x）=118
x=5（蜘） 18-5=13（只）（蜻+蝉）设蜻蜓y只，则蝉（13-y）
只2y＋（13-y）＝20 y=7（蜻）13-7=6（只）（蝉）
5．（31-1）÷3=10（岁）1+10=11（岁）（小）11＋10＝21（岁）
（大）
6．（35＋27＋25）×2÷4=43.5（35×2-43.5）÷2=13.25（27
×2-43.5）÷2=5.25（25×2-43.5）÷2=3.25
7．9.4-7.6=1.8（元）（1乙、1丙）
7.6-4.8=2.8（元）（1乙、2丙）
2.8-1.8=1（元）（1丙）
1.8元-1=0.8（元）（1乙）
4.8÷2-1-0.8=0.6（元）（1甲）
8．从后向前列表计算：
9．四人四年应增加：4×4=16（岁），但73-58=15（岁），说明弟
弟3岁。
3+2=5（岁）（姐）（73-3-5+3）÷2=34（岁）（父）34-3=31
（岁）（母）
10．（160+120）÷2=140（分钟）160-140=20（分钟）停了2小时
20分
11．52-7-6=39（人） 181-1×7-5×6=144（道）（2+3）÷2=2.5
（道）（144-2.5×39）÷（4-2.5）=31（人）
12．A+B=17，A+C=22，C+E=36，D+E=39 A+E+2C=22+36=58
A+E=58-2C A+E为偶数 A+E=28 58-2C=28 C=15（17+39+
15）÷5=14.2
13．提示：先设相同费用，应是88、120、132的公倍数设相同费用
为132元
132×3÷（132÷8.8+132÷12+132÷13.2）=11（元）
14．\[（1+1×2）×2-1\]÷（2×1-1）=5（kg）
2+5-1=6（kg） 2＋6＋5=13（kg）
15．如果B是第二名（或并列第一名），由于E是第三名，得了96分，
所以A、B得分都不少于97分。因为A、B、C的平均分是95
分，那么C最多得91分，与题目条件矛盾，所以B不是第二名，
同样C也不是第二名。由此可见第二名只能是D。
B、C、D的平均分比A、B、C平均分少1分，所以A比D多
3分，A最多100分，如A100分，则D97分，（如A99分，D96
分，又与题目条件矛盾）
| 1 | |
2022届新高考开学数学摸底考试卷9
**一、单选题**
**1．已知集合，，则集合的子集的个数为（ ）**
**A．2 B．4 C．8 D．16**
**2．设，则""是""的**
**A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件**
**C．充要条件D．既不充分也不必要条件**
**3．函数的图像大致为 ( )**
**A．****B．****C．****D．**
**4．"关于x的不等式的解集为R"的一个必要不充分条件是 ( )**
**A． B． C． D．或**
**5．已知，，，则的最小值为（ ）**
**A． B． C． D．**
**6．已知，，若*p*是*q*的充分不必要条件，则实数*a*的取值范围为（ ）**
**A． B． C． D．**
**7．满足的实数*m*的取值范围是（ ）.**
**A． B． C． D．**
**8．若随机变量，则有如下结论：，，，**X～N（120，100）**，高二（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩，理论上说在130分～140分之间人数约为（ ）**
**A．7 B．5 C．10 D．12**
**二、多选题**
9．给出下列命题，其中是错误命题的是（）
> A.若函数的定义域为，则函数的定义域为；\
> B.函数的单调递减区间是；\
> C. 若定义在*R*上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在*R*上是单调增函数；\
> D.是定义域内的任意的两个值，且，若，则是减函数．\
> 10.已知函数，若方程有4个零点，则 的可能的值为
A. B. C. D.
**11．关于函数下列结论正确的是（ ）**
**A．图像关于轴对称 B．图像关于原点对称**
**C．在上单调递增 D．恒大于0**
**12．已知偶函数满足，则下列说法正确的是（ ）．**
**A．函数是以2为周期的周期函数 B．函数是以4为周期的周期函数**
**C．函数为奇函数 D．函数为偶函数**
**二、填空题**
**13．已知定义在的偶函数在单调递减，，若，则*x*的取值范围\_\_\_\_\_\_\_\_．**
**14．已知函数对任意、，都有，则实数的取值范围为\_\_\_\_\_\_．**
**15．**7．函数为定义在R上的奇函数，且满足，若，则＝ [ ]{.underline} ．
**16．已知定义在上的函数满足：，且函数是偶函数，当时，，则\_\_\_\_\_\_\_\_.**
**三、解答题**
**17．已知全集，集合，集合.**
**（1）若，求和；**
**（2）若，求实数的取值范围.**
**18．已知函数.**
**（1）判断的奇偶性； （2）若在是增函数，求实数的范围.**
**19．已知函数=.**
**（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；**
**（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；**
**（3）已知，若在有解，求实数的取值范围.**
**20．现有某高新技术企业年研发费用投入（百万元）与企业年利润（百万元）之间具有线性相关关系，近5年的年科研费用和年利润具体数据如下表：**
---------------------------- ------- ------- ------- ------- -------
**年科研费用（百万元）** **1** **2** **3** **4** **5**
**企业所获利润（百万元）** **2** **3** **4** **4** **7**
---------------------------- ------- ------- ------- ------- -------
**（1）画出散点图； （2）求对的回归直线方程；**
**（3）如果该企业某年研发费用投入8百万元，预测该企业获得年利润为多少？**
**参考公式：用最小二乘法求回归方程的系数计算公式：**
**21．如图，在长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E，F分别为AB，A~1~C的中点，且AA~1~＝****AD．**
**（1）求直线EF与平面ABCD所成角的大小；**
**（2）若EF＝****AB，求二面角B﹣A~1~C﹣D的余弦值．**
2022届新高考开学数学摸底考试卷9
参考答案
1-5 BABCB 6-12 CDB ABC AB ACD BC
12\. 13.(0. \] 14. 15.3 16.
17\.
(1)若*a*=1,则集合*A*={*x*∣∣x^2^−2*x*−15\<0}={*x*\|−3\<*x*\<5}，
∴∁*UA*={*x*∣*x*≤−3或*x*≥5}，
若*a*=1,则集合*B*={*x*∣(*x*−2*a*+1)(*x*− a^2^)\<0}={*x*∣∣(*x*−1) ^2^\<0}=∅，
(2)因为*A*∪*B*=*A*，所以*B*⊆*A*，
①当*B*=∅时, a^2^=2*a*−1，解*a*=1，
②当*B*≠∅时,即*a*≠1时,*B*={*x*∣2*a*−1\<*x*\< a^2^}，
又由(1)可知集合*A*={*x*\|−3\<*x*\<5}，
∴2*a*−1≥−3
a^2^≤5, 解得−1≤*a*≤，且*a*≠1，
综上所求,实数*a*的取值范围为：−1≤*a*≤
18\.
1. 当a=0时，f（x）=x^2^，函数是偶函数；
当a≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
2. 设x~2~\>x~1~≥2，f(x ~1~)-f(x~2~)=
∵x~2~\>x~1~≥2，∴x~1~-x~2~\<0，x~1~x~2~\>4，x~1~+x~2~\>4，
∴x~1~x~2~（x~1~+x~2~）\>16，
∵若f（x）在区间\[2，+∞）是增函数，
即f（x~1~）-f（x~2~）\<0，∴x~1~x~2~（x~1~+x~2~）-a\>0恒成立，
∴a\<x~1~x~2~（x~1~+x~2~）恒成立，
又∵x~1~x~2~（x~1~+x~2~）\>16，
∴a≤16
故实数a的取值范围是a≤16．
19
> (1)若不等式*f*(*x*)≤0的解集为\[1,2\]，
>
> 即1,2是方程+*ax*+2=0的两个根，
>
> 则1+2=−*a*=3，即*a*=−3，
>
> 则*f*(*x*)= −3*x*+2,由*f*(*x*)≥1−得, −3*x*+2≥1−
>
> 即2−3*x*+1≥0得(2*x*−1)(*x*−1) ≥0,得*x*≥1或*x*≤，
>
> 即不等式的解集为(−∞, )∪\[1,+∞).
>
> (2)不等式*f*(*x*) ≤2*a*(*x*−1)+4恒成立，
>
> 即*a*≤在*x*∈\[−1,1\]恒成立，
>
> 令*h*(*x*)= ,*x*∈\[−1,1\]，
>
> 则*h*′(*x*)=
>
> 令*h*′(*x*)=0,解得：*x*=2−，
>
> 故*h*(*x*)在\[−1,2−)递增,在(2−,1\]递减，
>
> 故*h*(*x*)min=*h*(1)或*h*(−1)，
>
> 而*h*(1)=1,*h*(−1)=，
>
> 故*a*≤
>
> (3)由*f*(*x*)=*g*(*x*)得*a*+(*a*+2)*x*+1=+*ax*+2，
>
> ∴(*a*−1) +2*x*−1=0,即(*a*−1) =1−2*x*，
>
> 若方程*f*(*x*)=*g*(*x*)在(,3\]有解,等价为*a*−1==有解，
>
> 设*h*(*x*)==−1，
>
> ∵*x*∈(,3\],∴∈\[,2)，
>
> 即−1\<*h*(*x*)\<0，即−1\<*a*−1\<0，则0\<*a*\<1，
>
> 即实数*a*的取值范围是\[0,1).
>
> 20．【解析】（1）根据题意画出散点图如下图所示：
.........................................................3分
> （2）由题可知，...................................................4分
>
> ， ..................................................................5分
>
> ，..........................................6分
>
> ，.........................................................7分
>
> 所以，.............................................8分
>
> 所以，.........................................................9分
>
> 故所求回归直线方程为．......................................................10分
>
> （3）令，可得，.............................................11分
>
> 故预测该企业获得年利润为百万元．...................................................12分
21\.
以*D*为原点,*DA*为*x*轴,*DC*为*y*轴,*D*为*z*轴，建立空间直角坐标系，
设*A*=*AD*=,设*AB*=*t*,则*E*(1,,0), (1,0, ),*C*(0,*t*,0),*F*(,,)，
*EF*=(−,0 ,),平面*ABCD*的法向量*n*=(0,0,1)，
设直线*EF*与平面*ABCD*所成角为*θ*，
则sin*θdfrac*\|*EF*⋅*n*\|\|*EF*\|⋅\|*n*\|==
∴直线*EF*与平面*ABCD*所成角为60∘.
(2)设*A*=*AD*=,设*AB*=*t*,则*E*(1, ,0),*A*1(1,0, ),*C*(0,*t*,，0),*F*(,,)，
∵*EF*=*AB*,∴1=*t*,解得*AB*=*t*=，
(1,0, ),*B*(1, ,0),*C*(0, ,0),*D*(0,0,0)，
*C*=(−1, ,−),*B*=(0, ,−),*D*=(−1,0,− )，
设平面*BC*的法向量*n*=(*x*,*y*,*z*)，
取*y*=2,得*n*=(−,2, )，
设平面*CD*的法向量*m*=(*a*,*b*,*c*)，
则*m*⋅*C*=−*a*+*b*−*c*=0
*m*⋅*D*=−*a*−*c*=0,
取*c*=1,得*m*=(−,0,1)，
设二面角*B*−*C*−*D*的平面角为*θ*，
则cos*θdfrac*\|*m*⋅*n*\|\|*m*\|⋅\|*n*\|==
∴二面角*B*−*C*−*D*的余弦值为
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专题三 压轴解答题
第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题
【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．
类型一 中点问题
典例1 【山东省济南市2018届高三上学期期末考试】已知点在椭圆上，动点都在椭圆上，且直线不经过原点，直线经过弦的中点.
（1）求椭圆的方程和直线的斜率；
（2）求面积的最大值.
【解析】1）将代入，得，
， ，
椭圆方程为
设直线， ， ， 的中点为
由得
， ，
直线经过弦的中点，则， ，
，
（2）当时，由得， ，
点到直线的距离，
面积
设，
则
求得，所以.
> 【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用，考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用，中点问题往往的处理办法有两种：一是点差法，设端点坐标带入曲线方程，作差结果涉及中点坐标和直线的斜率；二是利用韦达定理，舍尔不求．
【举一反三】【福建厦门一中2017届上学期期中，21】（本题满分12分）已知椭圆右焦点是抛物线的焦点，是与在第一象限内的交点，且．
（1）求的方程；
（2）已知菱形的顶点在椭圆上，顶点在直线上，求直线的方程．
【解析】（1）设，由抛物线定义，，因为，所以，即．
所以，由椭圆定义得：
，
所以，∴椭圆的方程为．
（2）因为直线的方程为，为菱形，所以，设直线的方程为，
代入椭圆的方程为，得，
由题意知，．
设，则，
所以中点坐标为，
由为菱形可知，点在直线上，
所以．
∴直线的方程为，即．
类型二 垂直问题
典例2 【天津市部分区2018届高三上学期期末考试】设椭圆的左焦点为，离心率为， 为圆的圆心.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.
【解析】（1）由题意知，则，
圆的标准方程为，从而椭圆的左焦点为，即，
所以，又，得．
所以椭圆的方程为： .
（2）可知椭圆右焦点．
（ⅰ）当*l*与*x*轴垂直时，此时不存在，直线*l：* ，直线，
可得： ， ，四边形面积为12.
（ⅱ）当*l*与*x*轴平行时，此时，直线，直线，
可得： ， ，四边形面积为.
（iii）当*l*与*x*轴不垂直时，设*l*的方程为 ，并设， .
由得.
显然，且， .
所以.
过且与*l*垂直的直线，则圆心到的距离为，
所以.
故四边形面积： .
可得当*l*与*x*轴不垂直时，四边形面积的取值范围为(12, ).
综上，四边形面积的取值范围为．
【名师指点】直线与直线的垂直关系，首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系；其次可以利用向量数量积为0处理，再可以联系圆中的有关知识，利用直径所对的圆周角为直角处理．
【举一反三】【河北衡水中学2017届高三上学期五调，20】（本小题满分12分）
已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为.
{width="2.9270833333333335in" height="2.2083333333333335in"}
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于两点，直线交圆于两点，且为的中点，求面积的取值范围.
【解析】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点，............1分
在椭圆上，，............2分
由得，所以椭圆的方程为.............4分
（Ⅱ）由题意可得的斜率不为零，当垂直轴时，的面积为，............5分
当不垂直轴时，设直线的方程为：，则直线的方程为：，由消去得，所以，............7分
则，..................8分
又圆心到的距离得，............9分
又，所以点到的距离等于点到的距离，设为，即，..................10分
所以面积
，............11分
令，则，
综上，面积的取值范围为.............12分
类型三 面积问题
典例3 设椭圆的右焦点为，右顶点为{width="0.16666666666666666in" height="0.17708333333333334in"}，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）动直线过点，{width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}与椭圆交于两点，求面积的最大值.
【解析】（Ⅰ）由椭圆的几何性质得，
由得，，
解得.
（Ⅱ）由题与轴不重合，设{width="9.375e-2in" height="0.19791666666666666in"}的方程是，
由得，
即，
因直线与椭圆有相异交点，
，解得或，
，
，
，
令，则.
当时所求面积的最大值是.
{width="2.4583333333333335in" height="1.2916666666666667in"}
【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接或者利用割补的办法表示面积，若含有多个变量可通过变量间的关系，将其转化为一个变量的函数，利用函数思想其值域，其中往往会涉及中点、弦长、垂直、共线问题，韦达定理是转化桥梁．
【举一反三】【吉林省长春市重点中学联合模拟考】已知椭圆的短轴长为，离心率为，点， 是上的动点， 为的左焦点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点在轴的右侧，以为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形面积的最小值.
【解析】
（Ⅰ）依题意得解得
∴椭圆的方程是
（Ⅱ）设
设线段中点为 ∵ ∴中点，直线斜率为
由是以为底边的等腰三角形∴
∴直线的垂直平分线方程为
令 得 ∵ ∴
由 ∴四边形面积
当且仅当即时等号成立，四边形面积的最小值为.
类型四 范围与定值问题
典例4 【山东省菏泽市2018届高三上学期期末考试】已知抛物线的焦点为，且过点，椭圆的离心率为，点为抛物线与椭圆的一个公共点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆内一点的直线的斜率为，且与椭圆交于两点，设直线， （为坐标原点）的斜率分别为， ，若对任意，存在实数，使得，求实数的取值范围.
【解析】（1）由点在抛物线上，得，解得.
所以抛物线的方程为，其焦点，
设，则由抛物线的定义可得，解得，
代入抛物线方程可得，解得，所以，
椭圆的离心率，所以，
又点在椭圆上，所以，解得， ，
所以椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为.
由，消元可得，
设， ，则， ，
而 ，由，得，
因为此等式对任意的都成立，所以，即.
由题意得点在椭圆内，故，即，解得.
【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解．
【举一反三】【陕西省西安市2018届高三上学期期末考试】已知椭圆： （）的离心率为，短轴端点到焦点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设， 为椭圆上任意两点， 为坐标原点，且.求证：原点到直线的距离为定值，并求出该定值.
【解析】（1）由题意知， ， ，又，
所以， ，
所以椭圆的方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为.
此时，原点到直线的距离为.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为， ， .
由得
则，
，
则，由得，即，
所以，即，
所以原点到直线的距离为
综上，原点到直线的距离为定值.
【精选名校模拟】
1．【湖北七校联考】如图，一张坐标纸上一已作出圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为.
{width="2.0416666666666665in" height="1.8854166666666667in"}
（1）求轨迹的方程；
（2）若直线与轨迹交于两个不同的点，且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围.
【解析】（1）折痕为的垂直平分线，则，由题意知圆的半径为，
∴，
∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且， ，
∴，∴的轨迹的方程为.
（2）与以为直径的圆相切，则到即直线的距离：
，即，
由，消去，得，
∵直线与椭圆交于两个不同点，
∴， ，
设， ，则， ，
，
又 ，∴，∴，
设，则，∴ ， ，
∵关于在单调递增，∴，∴的面积的取值范围是.
2．【河南省南阳市第一中学2018届高三上学期第八次考试】已知椭圆， ， 为椭圆的两个焦点， 为椭圆上任意一点，且， 构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且，求出该圆的方程.
【解析】(1)由题知，即，得①
又由，得②，且，综合解得.
∴椭圆的方程为.
(2)假设以原点为圆心， 为半径的圆满足条件.
(i)若圆的切线的斜率存在，并设其方程为，则， ①
由消去，整理得，设， ，有
，又∵，∴，
即，化简得.②
由①②求得，所求圆的方程为.
(ii)若的斜率不存在，设，则，∵，
∴，有， ，代入，得，此时仍有.
综上，总存在以原点为圆心的圆满足题设条件.
3．【河南省商丘市2017-2018学年度第一学期期高三考试】在平面直角坐标系中，已知两点， ，动点满足，线段的中垂线交线段于点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与轨迹相交于两点，设点，直线的斜率分别为，问是否为定值？并证明你的结论.
【解析】（Ⅰ）以题意可得： ,，
所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
且
所以，
所以轨迹的方程为.
（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，由，解得，
设， .
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
将代入整理化简，得，
依题意，直线与轨迹必相交于两点，设，
则， ，
又， ，
所以
综上得： 为定值2.（说明：若假设直线为，按相应步骤给分）
4\. 已知点是圆： 上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线与交于点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的动直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在定点使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意得，
∴点的轨迹为以为焦点的椭圆
∵，
∴
∴点的轨迹的方程为.
（2）当直线的斜率存在时，可设其方程为，设
联立可得，
由求根公式可得
假设在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，
则即
∵
，
，
由解得
∴在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.
当直线的斜率不存在时，经检验可知也满足以为直径的圆恒过点.
因此在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.
5\. 【湖南省常德市2018届高三上学期检测考试（期末）】已知圆的一条直角是椭圆的长轴，动直线，当过椭圆上一点且与圆相交于点时，弦的最小值为.
（1）求圆即椭圆的方程；
（2）若直线是椭圆的一条切线， 是切线上两个点，其横坐标分别为，那么以为直径的圆是否经过轴上的定点？如果存在，求出定点坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）当时， 最小， ，
由已知，可知，
又点在椭圆上上，
综上，圆的方程为，
椭圆的方程为.
（2）联立方程，得到，由与椭圆相切，得到，①
易知，设以为直径的圆经过，设则有，
而，②
由①②可知， ，
要使上式成立，有只有当，故经过定点与.
6\. 【浙江省台州市2018届高三上学期期末质量评估数学试题】已知椭圆:的左右焦点分别为， ，左顶点为，点在椭圆{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}上，且△的面积为．
（Ⅰ）求椭圆{width="0.16666666666666666in" height="0.19791666666666666in"}的方程；
（Ⅱ）过原点且与轴不重合的直线交椭圆于， 两点，直线{width="0.5729166666666666in" height="0.21875in"}分别与{width="0.15625in" height="0.17708333333333334in"}轴交于点{width="0.4166666666666667in" height="0.21875in"}．求证：以为直径的圆恒过焦点， ，并求出△面积的取值范围．
【解析】（Ⅰ） ， ，
又点在椭圆上， ， ，
解得，或（舍去），又， ，
所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）， ， ，
方法一：当直线的斜率不存在时， ， 为短轴的两个端点，则， ， ， ，则以为直径的圆恒过焦点， ，
当的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，
设点（不妨设），则点，
由，消去得，所以， ，
所以直线的方程为，
因为直线与轴交于点，令得，
即点，同理可得点，
， ，
，同理，
则以为直径的圆恒过焦点， ，
当的斜率存在且不为零时，
，
△面积为，
又当直线的斜率不存在时， ，△面积为，
△面积的取值范围是．
方法二：当， 不为短轴的两个端点时，设，
则，由点在椭圆上， ，
所以直线的方程为，令得，
即点，同理可得点，
以为直径的圆可化为，
代入，化简得，
令解得
以为直径的圆恒过焦点， ，
，又， ,
△面积为，
当， 为短轴的两个端点时， ，△面积为，
△面积的取值范围是．
7\. 【河北省石家庄市2018届高三毕业班教学质量检测】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点.
（1）若以为直径的动圆内切于圆，求椭圆的长轴长；
（2）当时，问在轴上是否存在定点，使得为定值？并说明理由.
【解析】
（Ⅰ）设的中点为M，在三角形中，由中位线得：
当两个圆相内切时 ，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即
所以，椭圆长轴长为6.
（Ⅱ）由已知， ，所以椭圆方程为
当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为：
设
由得
恒成立
设
当即时为定值
当直线AB斜率不存在时，不妨设
当时，为定值
综上：在X轴上存在定点，使得为定值
8\. 已知椭圆经过点，其离心率为，设直线与椭圆相交于两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线与圆相切，求证：（为坐标原点）；
（Ⅲ）以线段为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ），
，将点代入，得，
所求椭圆方程为．
（Ⅱ）因为直线与圆相切，所以，即
由，得．
设点、的坐标分别为、，则，，
所以==，
所以===0，故，
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，
由向量加法平行四边形法则得，，
（ⅰ）当时，点、关于原点对称，则
此时不构成平行四边形，不合题意．
（ⅱ）当时，点、不关于原点对称，则，
由，得 即
点在椭圆上，有，
化简，得．
，有． ①
又，
由，得． ②
将①、②两式，得 ，，则且．
综合（ⅰ）、（ⅱ）两种情况，得实数的取值范围是且．
9\. 【湖北省重点中学联考】已知椭圆的离心率，且经过点.
（1）求椭圆方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两个不同的点，求线段的垂直平分线在轴截距的范围．
【解析】
（1）
（2）的斜率不存在时， 的垂直平分线与轴重合，没有截距，故的斜率存在.
设的方程为，代入椭圆方程
得： 与椭圆有两个不同的交点
，即，即或
设的中点
则
的垂直平分线的方程为
在轴上的截距为
设，则，时， 恒成立
时， 时
的垂直平分线在轴上的截距的范围是
10\. 【浙江省嘉兴市2018届高三上学期期末考试】如图， 为半圆的直径，点是半圆弧上的两点， ， ．曲线经过点，且曲线上任意点满足： 为定值.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与曲线交于不同的两点，求面积最大时的直线的方程．
{width="1.0020833333333334in" height="0.7291666666666666in"}
【解析】（Ⅰ）根据椭圆的定义，曲线是以为焦点的椭圆，其中， .
，
{width="1.4840277777777777in" height="1.03125in"}
， ，曲线的方程为；
（Ⅱ）设过点的直线的斜率为，则.
由得，
，
，
又点到直线的距离， 的面积 .
令，则.
当且仅当，即时， 面积取最大值.
此时直线的方程为或．
11\. 【山东末考试】已知椭圆的左右焦点分别为， 上的动点到两焦点的距离之和为4，当点运动到椭圆的上顶点时，直线恰与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左右顶点分别为，若交直线于两点.问以为直径的圆是否过定点？若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【解析】试题解析：（1）由椭圆定义可知， ，
直线，
故，∴，
故椭圆的标准方程为： .
{width="1.8395833333333333in" height="0.8965277777777778in"}
（2）设，点，则， ，
由，得： ，
直线方程为： ，令，则，故；
直线方程为： ，令，则，故；
因为，故以为直径的圆与轴交于两点，设为，
在以为直径的圆中应用相交弦定理得：，
因为，所以，
从而以为直径的圆恒过两个定点， .
12\. 【广模拟】已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知、是椭圆上的两点， 是椭圆上位于直线两侧的动点.
①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；
②当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.
{width="1.8229166666666667in" height="1.28125in"}
【解析】（1）由题意得抛物线的焦点为，∴，
∵，∴ ∴，
∴椭圆的方程为．
（2）①由题意设直线方程为，
由消去y整理得，
∵直线AB与椭圆交于两点，
∴，解得．
设，
则，
又，∴，
∴当时， 取得最大，
即四边形面积的最大值为．
②当时，直线的斜率之和为0，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
故直线的方程为，
由消去y整理得，∴，
同理．
∴，
∴，
故直线的斜率为定值．
13\. 【河北省张家口市2018届高三上学期期末考试】过椭圆： 的上顶点作相互垂直的两条直线，分别交椭圆于不同的两点， （点， 与点不重合）
（Ⅰ）设椭圆的下顶点为，当直线的斜率为时，若，求的值；
（Ⅱ）若存在点， ，使得，且直线， 斜率的绝对值都不为，求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）设， 记直线的斜率为，
则由条件可知，直线的方程为，
于是消去，整理得， .
同理.
由，
得，于是，即，
其中，代入得；
（Ⅱ）容易得 ， .
由，得，
即，
整理，得.
不妨设，且
则有不为的正根.只要解得.
的取值范围是.
**14.** 【山东省德州市2018届高三上学期期末考试】已知椭圆： 的左、右有顶点分别是、，上顶点是，圆： 的圆心到直线的距离是，且椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）平行于轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为、，直线、与轴的交点记为， ．试判断是否为定值，若是，证明你的结论．若不是，举反例说明．
【解析】（Ⅰ）方程为： 即为：
由题意得
整理得： ， （舍） ∴
椭圆：
（Ⅱ）设直线： ，令得 ∴
∴
∴ ∴
∴方程为：
令得 ∴
设，则且
∴
∴ 即：
所以是定值为
15\. 【北京市西城区2018届高三上学期期末考试】已知椭圆过， )两点．
(I)求椭圆的方程及离心率；
(Ⅱ)设点在椭圆上．试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】
（Ⅰ）由题意得， ， ．
所以椭圆的方程为．
设椭圆的半焦距为，则 ，
所以椭圆的离心率．
（Ⅱ）由已知，设， ．
若是平行四边形，则 ，
所以 ，
整理得 ．
将上式代入 ，得 ，
整理得 ，
解得 ，或．
此时 ，或．经检验，符合四边形是平行四边形，
所以存在 ，或满足题意．
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北****师大版(秋)**
**第4单元 第四节：动手做（三）**
一、把物品与对应的图形连接起来。\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
二、有趣的七巧板。
右边的七巧板中（ ）号是正方形，\[来源:学。科。网\]
（ ）是平行四边形，（ ）号是三角形。
三、数一数，填一填。
这辆小火车里有（ ）□，有（ ）Δ，有（ ）个○，有（ ）个。
四、画一画。
在点子图上画出一个长方形、一个正方形和一个三角形。
五、口算
32﹢5﹦ 4﹢65﹦ 72﹢5﹦ 67﹣5﹦
83﹢6﹦ 32﹢20﹦ 66﹣60﹦ 30﹢48﹦
六、三个少先队员为班级收废品，小林收集了26个，小红收集的比小林多19个，小青收集的比小林少18个。
⑴小红收集了多少个？
⑵小青收集了多少个？
\[来源:学+科+网\]
\[来源:学科网ZXXK\]
答案
一、
二、
七巧板中（ 5 ）号是正方形，（ 3 ）是平行四边形，（ 1 2 4 6 7 ）号是三角形。
三、
这辆小火车里有（ 6 ）□，有（ 5 ）Δ，有（ 6 ）个○，有（ 5 ）个。
四、画一画。
在点子图上画出一个长方形、一个正方形和一个三角形。
五、
32﹢5﹦37 4﹢65﹦69 72﹢5﹦77 67﹣5﹦62 \[来源:学。科。网\]
83﹢6﹦89 32﹢20﹦52 66﹣60﹦6 30﹢48﹦78
六、
⑴26+19=45个  答：小红收集了45个。
⑵26-18=8个 答：小青收集了8个。
| 1 | |
**(本题满分12分)**
**如图，、是互相垂直的异面直线，*MN*是它们的公垂线段。点*A、B*在上，C在上，*AM=MB=MN。***
**（Ⅰ）证明*ACNB***
**（Ⅱ）若,求NB与平面ABC所成角的余弦值.**
| 1 | |
**专题16 圆锥曲线的综合应用**
**【母题来源一】** 2016高考北京文数
**【母题原题】**已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.
（I）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.
（II）设（，），则．又，，所以，直线的方程为．令，得，从而．直线的方程为．令，得，从而．所以四边形的面积．从而四边形的面积为定值．
考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力.
【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
**【母题来源二】** 2016高考山东文数
**【母题原题】**已知椭圆*C*:（*a*\>*b*\>0）的长轴长为4，焦距为2.
（I）求椭圆*C*的方程；
(Ⅱ)过动点*M*(0，*m*)(*m*\>0)的直线交*x*轴与点*N*，交*C*于点*A*，*P*(*P*在第一象限)，且*M*是线段*PN*的中点.过点*P*作*x*轴的垂线交*C*于另一点*Q*，延长线*QM*交*C*于点*B*.
(i)设直线*PM*、*QM*的斜率分别为*k*、*k\'*，证明为定值.
(ii)求直线*AB*的斜率的最小值.
【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB 的斜率的最小值为 .
【解析】试题分析：(Ⅰ)分别计算即得.(Ⅱ)(i)设，利用对称点可得 得到直线PM的斜率，直线QM的斜率，即可证得.(ii)设，分别将直线PA的方程，直线QB的方程与椭圆方程联立，应用一元二次方程根与系数的关系得到、及用表示的式子，进一步应用基本不等式即得.
 (ii)设，直线PA的方程为，直线QB的方程为.联立 ，整理得.由可得 ，所以，同理.所以， ，所以 由，可知，所以 ，等号当且仅当时取得.此时，即，符号题意.所以直线AB 的斜率的最小值为 .
考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分析问题解决问题的能力等.\[来源:Zxxk.Com\]
【命题意图】本类题通常主要考查由定义法求曲线的方程、由已知条件直接求曲线的方程、直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等知识的理解，以及求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥曲线间的联系，直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题,求变量的取值范围等问题，其中直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系是考查的重点和热点，考查的知识点多，能力要求较高，尤其是考查运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力.
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以解答题的形式出现，难度为中档题或难题，是高考中区分度较大的题目.高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：①求曲线方程（类型确定，甚至给出曲线方程）； ②直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）；③与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等）;④与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）；⑤与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等)；⑥探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征(很少). 解答题加大与相关知识的联系（如向量、函数与导数、方程、不等式等），难度不是太大，所有问题均很直接，都不具备探索性.特别是近几年的解答题，计算量减少，但思考量增大，对于用代数方法研究有关直线与椭圆、抛物线位置关系问题，体现在解法上，不仅仅只是利用根与系数关系研究，而是在方法的选择上更加灵活，如联立方程求交点或向量的运算等，思维层次的要求并没有降低.
【得分要点】1. 求轨迹方程的常用方法一般分为两大类，一类是已知所求曲线的类型，求曲线方程------先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数------待定系数法；另一类是不知曲线类型常用的方法有：
(1)直接法：直接利用条件建立 之间的关系 ；
(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
(3)代入法(相关点法)：动点 依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；
(4)参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．
2.在处理直线与圆锥曲线的位置关系问题时，常用设而不求法，即常将圆锥曲线与直线联立，消去（或）化为关于（或）的一元二次方程，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，则交点的横（纵）坐标即为上述一元二次方程的解，利用根与系数关系，将，表示出来，注意判别式大于零不能丢，然后根据问题，再通过配凑将其化为关于与的式子，将，代入再用有关方法取处理，注意用向量法处理共线问题、垂直问题及平行问题. 弦长公式：（1）若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝.（2）焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解.椭圆左焦点弦,右焦点弦.其中最短的为通径：,最长为；若抛物线的焦点弦为AB,，则有,.（3）椭圆的中点弦问题：遇到中点弦问题常用"韦达定理"或"点差法"求解.在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率.在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率.
3.与焦点三角形相关的结论:椭圆上的一点与两焦点所构成的三角，通常叫做焦点三角形.一般与焦点三角形的相关问题常利用椭圆的第一定义和正弦、余弦定理求解.设椭圆上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，设,则在椭圆中，有以下结论：
(1)＝，且当即为短轴端点时，最大为＝；
（2）；焦点三角形的周长为；
(3)，当即为短轴端点时，的最大值为；
4.再处理直线与圆锥曲线位置关系问题时，首先确定直线的斜率，若不能确定，则需要分成直线斜率存在与不存在两种情况讨论，也可以将直线方程设为，避免分类讨论.
5.定点与定值问题处理方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个定点（定值）与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）.
6.最值问题常见解法有两种：
（1）几何法：若题中的条件与结论有明显的几何特征和意义，则考虑利用图形的几何性质来解决，如三角不等式、圆锥曲线的定义等.
(2)代数法：利用相关知识和方法结合题中的条件，建立目标函数，利用函数的性质、不等式或导数知识求出这个函数的最值.
常见的几何方法有：(1)直线外一定点 到直线上各点距离的最小值为该点到直线的垂线段的长度；(2)圆 外一定点到圆上各点距离的最大值为 ，最小值为 (为圆半径)；(3)过圆内一定点的圆的最长的弦即为经过点的直径，最短的弦为过点且与经过点直径垂直的弦；(4)圆锥曲线上本身存在最值问题，如①椭圆上两点间最大距离为 (长轴长)；②双曲线上两点间最小距离为 (实轴长)；③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为 ，与分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．
常用的代数方法有：(1)利用二次函数求最值；(2)通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；(3)利用基本不等式求最值；(4)利用导数法求最值；(5)利用函数单调性求最值.
7.参数范围问题常见解法有两种：
（1）不等式法：利用题意结合图形列出所讨论参数满足的不等式（组），通过解不等式（组）解出参数的范围，注意判别式大于0不能遗漏.
(2)函数最值法：利用题中条件和相关知识，将所讨论参数表示为某个变量的函数，通过讨论这个函数的值域求出该参数的范围.
8.对探索性问题，先假设存在，依此为基础推理，若推出矛盾，则不存在，求出值，则存在. 解决存在性问题应注意以下几点：1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.解决存在性问题的解题步骤：第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程（组）或不等式（组）；第二步：解此方程（组）或不等式（组），若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论.
9.解析几何解题的基本方法
解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于"平面几何性质"数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、"方程与函数性质"化解析几何问题为代数问题、"分类讨论思想"化整为零分化处理、"求值构造等式、求变量范围构造不等关系"等等.
10.避免繁复运算的基本方法
可以概括为：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单"所谓寻求".
11\. 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1）给出直线的方向向量或；
（2）给出与相交,等于已知过的中点;
（3）给出,等于已知是的中点;
（4）给出,等于已知与的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线；
（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即；
（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角；\[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\]
（8）给出,等于已知是的平分线；
（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;
（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;
（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在中，给出等于已知通过的内心；
（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16）在中，给出,等于已知是中边的中线.
【母题1】已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆方程；
(2)设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率依次为，满足，试问：当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
【答案】(1) (2) 变化时，是为定值，此定值为
试题解析：（1）依题意可得解得所以椭圆的方程是
考点：直线与圆锥曲线的位置关系，椭圆标准方程
【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．属中档题.解题时第（1）问为常规题，关键第（2）小题联立方程组很重要，要充分利用已知条件直线的斜率依次为，满足，这是解题的方向
【母题2】在平角坐标系中，椭圆的离心率，且过点，椭圆的长轴的两端点为，，点为椭圆上异于，的动点，定直线与直线，分别交于，两点.
1. 求椭圆的方程；
2. 在轴上是否存在定点经过以为直径的圆，若存在，求定点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2），．
试题解析：（1），∴椭圆的方程为；
2. 设，的斜率分别为，，，则，，，由：知，由：知，∴的中点，∴以为直径的圆的方程为，令，∴，∴，∴，即，解得或，∴存在定点，经过以为直径的圆.
考点：1.椭圆的标准方程；2.圆的标准方程；3.定点问题．
【母题3】已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点且倾斜角为30°的直线与圆相交所得弦的长度为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）若动直线交椭圆于不同的两点，设，为坐标原点，当以线段为直径的圆恰好过点时，求证：的面积为定值，并求出该定值.
【答案】（1） ；（2）定值为，证明见解析.
试题解析：（1）由题意知得，即 ①
因为直线过左焦点且倾斜角为30°，可得直线方程为 ，又因为直线与圆相交弦长为1，所以圆心到直线的距离
再由勾股定理得：，② 由①②联立可知，所以椭圆方程
（2）（i）当直线的斜率不存在时，，因为以线段为直径的圆恰好过点，所以即 ，所以，即，③
又因为点在椭圆上，所以，④
把③代入④得： ，所以 ，（ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，由于交于不同的两点，所以，，即，由韦达定理得：， 由题意知，即，又
所以，，
代入整理得，⑤
又，点到直线的距离，所以，⑥
将⑤代入⑥得，综上，的面积为定值
考点：1、椭圆的方程；2、直线与曲线的位置关系；3、弦长公式；4、点到直线的距离公式；5、舍而不求法；6、三角形的面积公式.
【名师点睛】本题主要考查的是椭圆的方程、直线与曲线的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式、舍而不求法、三角形的面积公式,综合性强，属于难题.本题由两个难点：1、讨论直线斜率存在情况；2、将线段为直径的圆恰好过点转会为.还应注意本题计算量较大，考生应耐心求解.
【母题4】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(0，)，且长轴长与短轴长的比是∶1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程为：（），利用焦点为，且长轴长与短轴长的比为，求出，，即可得出椭圆的方程；（2）设出直线、的方程与椭圆方程联立，求出，的坐标，利用斜率公式，即可证明直线的斜率为定值．
试题解析：（1）设椭圆C的方程为（）．由题意得，解得a^2^＝4，b^2^＝2.
所以椭圆C的方程为.
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
【名师点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查学生的计算能力，考查方程的题目需要注意方程中，，的关系，用待定系数法求出，，从而算出方程．直线和椭圆的位置关系需要正确运用韦达定理是关键，需要把，，，表示出来，然后用斜率的坐标公式得到斜率的定值．
【母题5】已知椭圆的两个焦点为，其短轴长是，原点到过点和两点的直线的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点是定直线上的两个动点，且，证明：以为直径的圆过定点，并求
定点的坐标.
【答案】（1）**；（2）****，**．
【解析】试题分析：（1）由题意得**，运用点到直线的距离公式，解得****，进而可求得椭圆的方程；（2）由题意得，写出直线****和直线****的方程，可得设****，写****出以****为直径的圆的方程，令****，即可求解**求定点的坐标．
考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；圆的方程的应用．
【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、圆的方程的应用，判定圆过定点，属于中档试题，着重考查了向量的数量积的坐标表示和圆的方程求法，同时考查了转化与化归思想和推理、运算能力，本题的解答中**写出直线****和直线****的方程，得****，写出以****为直径的圆的方程是解答的关键．**
【母题6】已知椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，直线分别交直线于两点，线段的中点为. 记直线的斜率为，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】试题分析：（1）利用椭圆的几何性质，建立的方程组即得；（2）设出点的坐标与的直线方程，并与椭圆方程联立，应用韦达定理，建立与坐标的联系；确定的坐标，将斜率用坐标表示，得到的关系即得证.
试题解析：（1）由题设：，解之得：，所以椭圆的方程为，
（2）设直线的方程为，代入椭圆方程得：，设，则由韦达定理得：，，直线的方程分别为：，，令得：，，所以，.
考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线的斜率．
【名师点睛】解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步，根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程；第二步，联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程；第三步，求解判别式；第四步，写出根与系数的关系；第五步，根据题设条件求解问题中结论．
【母题7】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，射线与椭圆的另一交点为，点在椭圆内部，射线与椭圆的另一交点分别为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线的斜率为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】\[来源:Zxxk.Com\]
试题解析：（1）易得，且，解得，，所以椭圆的方程为：.
（2）设，，，，，则，，，又设，，其中，则，代入椭圆并整理得：，
从而有，①
同理可得，，②\[来源:学科网ZXXK\]
①-②得：，因为，所以，从而，故.
考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合性问题．
【名师点睛】求椭圆的标准方程一般都是寻找两个等式，两个关于的关系式，解得即可，而直线与椭圆相交问题，很少采取解方程组求交点的方法，一般设交点坐标为，代入椭圆方程进行变形．本题设点坐标为，，，，，同时设，，用表示，用表示，把，代入椭圆方程后相减化简从而得出结论，避免了求交点坐标．
【母题8】平面直角坐标系中已知过点的椭圆的右焦点为，过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，点关于坐标原点的对称点为，直线分别交椭圆的右准线于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点的坐标为，试求直线的方程；
（3）记两点的纵坐标分别为，试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
试题解析：（1）由题意，得，即
因为.所以椭圆的标准方程为.
（2）因为.所以直线的斜率为.所以直线的方程为.解方程组得点的坐标为，所以直线的方程为
（3）当直线的斜率不存在时，易得.当直线的斜率存在时，设，则.所以.两式相减，得.
所以所以，所以直线的方程为.
所以.直线的方程为，所以.因为，所以，所以，所以为定值.
考点：1.椭圆的方程；2.直线方程；3.椭圆的综合运用．
【名师点睛】本题主要考查的是椭圆的定义和点关于点的对称点以及椭圆的综合运用，属于中档题．本题的第（1）问也可以用下面方法：解方程组得，所以椭圆方程为；另外本题的第（3）问，学生容易忽略斜率不存在的情况，从而产生不必要的丢分．
【母题9】已知椭圆的方程为，它的一个顶点为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；\[来源:学科网ZXXK\]
（2）设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.
【答案】（1） . （2）.
【解析】试题分析：（1）已知椭圆上顶点可求出，再根据离心率及椭圆中的关系可求出，从而求出椭圆方程；（2）当直线有斜率时，设直线方程为并设，将直线方程代入椭圆方程得到，由韦达定理及弦长公式求出，分子分母同除以，构造基本不等式，即可求出弦长的最大值，从而得到面积的最大值.
（2） ①当轴时，.
②当与当轴不垂直时，设直线的方程为，则有将代入椭圆方程得
，
，当且仅当，
时上式取等号，此时，此时面积的最大值为.
考点：1.椭圆的标准方程与几何性质;2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.
【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系与基本不等式，难题.椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a^2^，b^2^，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦长问题利用弦长公式解决，往往会更简单．
【母题10】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的半长轴长为半径的圆与直线相切.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上运动，与关于原点对称，且，当的面积最小时，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或.
【解析】
试题解析：（Ⅰ）以原点为圆心，以椭圆的半长轴长为半径的圆的方程为，因为该圆与直线相切，所以有，解得.又，所以，故.所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）当为长轴（或短轴）时，依题意知，点是椭圆的上顶点或下顶点（左顶点或右顶点），
此时.当直线的斜率存在且不为时，设直线的斜率为，，，则直线的方程为，由，解得所以由知，为等腰三角形，为线段的中点，，所以直线的方程为，
由，解得
.当且仅当，即时，上式中的等号成立， 此时的面积的最小值为，因为，所以的面积的最小值为，此时直线的方程为，或.
考点：1、椭圆；2、基本不等式；3、三角形的面积.
【名师点睛】本题是一个关于圆锥曲线方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是：（Ⅰ）根据离心率可以得到的一个关系，再由椭圆与直线相切可以得到的一个关系，再联立即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）首先注意到当直线的斜率不存在或者等于零时即为长轴（或短轴）时的特殊情况，并求出其面积；其次当直线的斜率存在并且不为零时，用表示出的面积并结合基本不等式求出此时的面积的最小值，并注意与特殊情况进行比较，最后即可得出的面积最小值，进而可求得当的面积最小时，求直线的方程.
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**2015年小学奥数应用题专题------牛吃草问题**
1．青青一牧场，牧草喂牛羊；
放牛二十七，六周全吃光。
改养廿三只，九周走他方；
若养二十一，可作几周粮？
（注："廿"的读音与"念"相同。"廿"即二十之意。）
题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）
2．牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？
3．牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？
**4．**有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？
5．(2007年湖北省"创新杯")
牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则多少头牛96天可以把草吃完？
**6．**一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完?
**7．**林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）
**8．**由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？
9．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天？
**10．**由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？
11．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？
**12．**一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？
13．有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完?
14．一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天？
**15．**有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)？
16．一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天？
17．一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量．现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？
18．现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间?
19．一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
20．一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？
21．假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；或供90亿人生活210年。为了使人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？
22．画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。
23．画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众到达的时间．
24．在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有多少级台阶．
25．两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？
26．小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，多少分钟能追上？
27．快、中、慢三车同时从地出发沿同一公路开往地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人．已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米，中速车的速度是多少？
28．有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的2倍追赶乙车，5小时后甲车追上乙车；如果甲车以现在速度的3倍追赶乙车，3小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？
29．甲、乙、丙三车同时从地出发到地去．甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米．有一辆卡车同时从地迎面开来，分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度．
30．小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去．小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米．在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度．
31．一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则分钟把水池的水排完．问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？
32．一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入．当池中有一半的水时，如果打开9个出水口，9小时可以把水排空．如果打开7个出水口，18小时可以把水排空．如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过多少时间水池刚好被排空？
33．北京密云水库建有个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，个小时后水位降至安全线．根据抗洪形势，需要用个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？
34．有一个蓄水池装了根相同的水管，其中一根是进水管，其余根是出水管．开始时，进水管以均匀的速度不停地向蓄水池注水．后来，想打开出水管，使池内的水全部排光．如果同时打开根出水管，则小时可排尽池内的水；如果仅打开根出水管，则需小时才能排尽池内的水．若要在小时内排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水管？
35．由于环境恶化、气候变暖，官厅水库的水在匀速减少，为了保证水库的水量，政府决定从上游的壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水，已知这两个水库的每个闸门放水量是相同的，如果同时打开壶流河水库的5个闸门30小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果同时打开册田水库的4个闸门40小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果24小时使官厅水库水量达到原来的标准，问需同时打开两个水库的几个闸门?
36．甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？(每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉)
37．小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶装满。第三个桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它装满（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）？
38．某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？
39．某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派15个工人砌砖墙，14天可以把砖用完，如果派20个工人，9天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，问原来有多少工人来砌墙？
40．仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？
41．一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可以吃多少天?
**42．**有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干，原计划调来台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑，实际调来了台抽水机，这样比原计划节省了小时。工程师们测算出，如果最初调来台抽水机，将会比原计划节省小时。这样，将水池的水抽干后，为了保持池中始终没有水，还应该至少留下多少台抽水机？
43．一水库原有存水量一定，河水每天匀速入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？
44．某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？
45．一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？
46．早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站．这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客,如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客．现要求5分钟放完，需设立几个检票口?
47．自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。该楼梯共有多少级？
48．一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？
49．食品厂开工前运进一批面粉，开工后每天运进相同数量的面粉，如果派5个工人加工食品30天可以把面粉用完，如果派4个工人，40天可以把面粉用完，现在派4名工人加工了30天后，又增加了2名工人一起干，还需要几天加工完？
**参考答案**
1．12个
【解析】设1头牛1天的吃草量为"1"，27头牛吃6周共吃了份；23头牛吃9周共吃了份．第二种吃法比第一种吃法多吃了份草，这45份草是牧场的草周生长出来的，所以每周生长的草量为，那么原有草量为：．
供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要(周)可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周．
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**2．5天**
**【解析】**设1头牛1天的吃草量为"1"，10头牛吃20天共吃了份；15头牛吃10天共吃了份．第一种吃法比第二种吃法多吃了份草，这50份草是牧场的草天生长出来的，所以每天生长的草量为，那么原有草量为：．
供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要(天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．
**3．19头**
**【解析】**设1头牛1周的吃草量为"1"，草的生长速度为，原有草量为，可供（头）牛吃18周
4．14头
【解析】设1头牛1天的吃草量为"1"，那么天生长的草量为，所以每天生长的草量为；原有草量为：．
20天里，草场共提供草，可以让头牛吃20天．
**5．20头**
**【解析】**设1头牛1天的吃草量为"1"，那么每天新生长的草量为，
牧场原有草量为
，
要吃96天，需要(头)牛．
**6．64头**
**【解析】**设1头牛1天的吃草量为1个单位，则每天生长的草量为：，原有草量为：，(头)
**7．33只**
**【解析】**设一只猴子一周吃的野果为""，则野果的生长速度是，
原有的野果为，
如果要4周吃光野果，则需有只猴子一起吃.
8．5头
【解析】设1头牛1天的吃草量为"1"，那么每天自然减少的草量为：，原有草量为：；10天吃完需要牛的头数是：(头)．
**9．7头**
**【解析】**设1头牛1天吃的草为"1"。牧场上的草每天自然减少 ；
原来牧场有草，
12天吃完需要牛的头数是：(头)或（头）。
10．8天
【解析】设1头牛1天的吃草量为"1"，天自然减少的草量为，原有草量为：．
若有11头牛来吃草，每天草减少；所以可供11头牛吃(天)．
**11．9天**
**【解析】**设1头牛1天吃的草为"1"。牧场上的草每天自然减少
原来牧场有草
可供10头牛吃的天数是：(天)。
12．8天
【解析】设1头牛1天的吃草量为"1"，由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相当于20头牛吃12天．那么每天生长的草量为，原有草量为：．
10头牛和75只羊1天一起吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量；25头牛中，若有10头牛去吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要天可以把原有草量吃完，即这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天．
13．10天
【解析】"4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量"，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么14头牛30天吃了单位草量，而70只羊16天吃了单位草量，所以草场在每天内增加了草量，原来的草量为草量，所以如果安排17头牛和20只羊，即每天食草88草量，经过天，可将草吃完。
**14．5天**
**【解析】**设1头牛1天的吃草量为"1"，只羊的吃草量等于头牛的吃草量，只羊的吃草量等于头牛的吃草量，所以草的生长速度为，
原有草量为，
12头牛与88只羊一起吃可以吃:
（天）
15．40头
【解析】设1头牛1天的吃草量为"1"，那么每天生长的草量为，原有草量为：．
现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这4头牛，那么原有草量需增加才能恰好供这些牛吃8天，所以这些牛的头数为(头)．
16．6天
【解析】设1头牛1天的吃草量为"1"，那么每天生长的草量为，原有草量为：．如果4头牛吃30天，那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量，此时原有草量还剩，而牛的头数变为6，现在就相当于："原有草量30，每天生长草量1，那么6头牛吃几天可将它吃完？"易得答案为：(天)．
17．12天
【解析】设1匹马1天吃草量为"1"，根据题意，有：
15天马和牛吃草量原有草量天新生长草量......⑴
20天马和羊吃草量原有草量天新生长草量......⑵
30天牛和羊(等于马)吃草量原有草量天新生长草量......⑶
由可得：30天牛吃草量原有草量，所以：
牛每天吃草量原有草量；
由⑶可知，30天羊吃草量天新生长草量，所以：羊每天吃草量每天新生长草量；设马每天吃的草为份
将上述结果带入⑵得：原有草量，所以牛每天吃草量．
这样如果同时放牧牛、羊、马，可以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草，可以吃：(天)．
18．36天
【解析】牛、马45天吃了 原有天新长的草①
牛、马90天吃了2原有天新长的草⑤
马、羊60天吃了 原有天新长的草②
牛、羊90天吃了 原有天新长的草③
马 90天吃了 原有天新长的草④
所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊吃了90天，吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草．
所以，②知马60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．
现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草.
所需时间为天.
所以，牛、羊、马一起吃，需36天．
19．14人
【解析】设1人1小时淘出的水量是"1"，淘水速度是，原有水量，
要求2小时淘完，要安排人淘水
20．20分钟
【解析】设1人1分钟淘出的水量是"1"，分钟的进水量为，所以每分钟的进水量为，那么原有水量为：．5人淘水需要(分钟)把水淘完．
21．75亿
【解析】亿人。
22．7:30
【解析】设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。 8:30到9:00 共30分钟 3个入口共进入。8:30到8:45 共15分钟 5个入口共进入，15分钟到来的人数 ，每分钟到来。8:30以前原有人。 所以应排了（分钟），即第一个来人在7:30
23．8点15分
【解析】如果把入场口看作为"牛"，开门前原有的观众为"原有草量"，每分钟来的观众为"草的增长速度"，那么本题就是一个"牛吃草"问题．
设每一个入场口每分钟通过"1"份人，那么4分钟来的人为，即1分钟来的人为，原有的人为：．这些人来到画展，所用时间为(分)．所以第一个观众到达的时间为8点15分．从表面上看这个问题与"牛吃草"问题相离很远，但仔细体会，题目中每分钟来的观众一样多，类似于"草的生长速度"，入场口的数量类似于"牛"的数量，问题就变成"牛吃草"问题了．解决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了问题的实质．
24．60级
【解析】本题非常类似于"牛吃草问题"，如将题目改为：
"在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地面．问：从站台到地面有多少级台阶？"
采用牛吃草问题的方法，电梯秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：阶，电梯的速度为阶/秒，扶梯长度为（阶）。
**25．150级**
**【解析】**本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度。并且上楼的速度要分成两部分︰一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度.
自动扶梯的速度（女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－男孩每秒走的梯级×男孩走的时间）÷（女孩走的时间－男孩走的时间），自动扶梯的梯级总数＝女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－自动扶梯的速度×女孩走的时间
（级）所以自动扶梯共有150级的梯级.
26．45分钟
【解析】本题是"牛吃草"和行程问题中的追及问题的结合．小明在小时内走了千米，那么小明的速度为(千米/时)，追及距离为(千米)．汽车去追的话需要：(小时)(分钟)．
27．750米/分
【解析】可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量，骑车人的速度看成草生长的速度，所以骑车人速度是：(米/分)，开始相差的路程为：（米），所以中速车速度为：(米／分)．
28．15小时
【解析】分析知道甲车相当于"牛"，甲追赶乙的追及路程相当于"原有草量"，乙车相当于"新生长的草"．
设甲车的速度为"1"，那么乙车小时走的路程为，所以乙的速度为，追及路程为：．
如果甲以现在的速度追赶乙，追上的时间为：(小时)．
29．39千米/小时
【解析】相遇问题可以看成是草匀速减少的过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速度。所以卡车速度为：（千米/时），全程：（千米），丙车速度为：（千米/时）
30．13米/分钟
【解析】当小新和风间相遇时，正南落后小新(米)，依题意知正南和风间走这24 米需要(分钟)，正南和风间的速度和为：(米／分)，风间的速度为：(米／分)，学校到公园的距离为：(米)．所以妮妮的速度为：(米／分)．
31．5分钟
【解析】设一个排水阀1分钟排水量为"1"，那么进水阀1分钟进水量为，水池原有水量为．关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要(分钟)才能排完水池的水．
32．7小时12分钟
【解析】本题是牛吃草问题的变形．
设每个出水口每小时的出水量为1，则进水口每小时的进水量为：，半池水的量为：，所以一池水的量为72．
如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为小时，即7小时12分钟．
33．8个
【解析】此题是牛吃草问题的变形，假设每个泄洪洞每小时泄洪的量为1，则水库每小时增加的水量为，原有的水量超过安全线的部分有．
如果要用个小时使水位降至安全线以下，至少需要开个泄洪闸．
34．6根
【解析】设1根出水管1小时排水的量为"1"，那么进水管每小时进水量为，池内原有水量为．要在小时内排尽池内的水，应当同时打开根出水管．
35．6个
【解析】设1个闸门1小时的放水量为"1"，那么每小时自然减少的水量为：，实际注入水量为：；24小时蓄水需要打开的闸门数是：(个)．
36．36个
【解析】设1人1小时搬运的份数为"1"，那么一台皮带运输机1小时的工作量为
，每个仓库存放的面粉总量为：．那么,丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，需要(人)．
37．6次
【解析】小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了米路，所以从杯中流出的速度是（杯/米），于是1桶水原有水量等于杯水，所以小方要次才能把第三个桶装满。
38．4天
【解析】开工前运进的砖相当于"原有草量"，开工后每天运进相同的砖相当于"新生长的草"，工人砌砖相当于"牛在吃草"．所以设1名工人1天砌砖数量为"1"，那么每天运来的砖为，原有砖的数量为：．
如果120名工人砌10天，将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩的原有的砖未用，变成人来砌砖，还需要：(天)．
39．21名
【解析】开工前运进的砖相当于"原有草量"，开工后每天运进相同的砖相当于"新生长的草"，工人砌砖相当于"牛在吃草"．所以设1名工人1天砌砖数量为"1"，那么每天运来的砖为，原有砖的数量为：．
现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，如果不调走6名工人，那么这些工人共砌10天可砌完，所以原有工人名．
40．18天
【解析】设辆汽车天运货为""，进货速度为，原有存货为，仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要（天）
**41．9天**
**【解析】设１头牛１天的吃草量为"１"，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析**
**16头牛 15天 16×15＝240：原有草量＋15天生长的草量**
**100只羊（25头牛） 6天 25×6＝150：原有草量＋6天生长的草量**
**从上易发现：1天生长的草量＝10；那么原有草量：150－10×6＝90；**
**8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃新生草，那么剩下的10头牛吃原有草，90只需9天，所以8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天。**
42．6台
【解析】设每台抽水机每小时抽个单位的水，原计划需要小时抽完
则原计划个小时抽的水量为，
台抽水机时抽水量为
台抽水机时抽水量为
所以，个小时的出水量为，
个小时的出水量为，
而泉水的出水速度是一定的，所以，解得，
所以每小时出水量为，所以需要留下台抽水机。
43．12台
【解析】设台抽水机天的抽水量为""则进水速度为，原有水量为，若要6天抽干，要台同样的抽水机
44．4天
【解析】开工前运进的砖相当于"原有草量"，开工后每天运进相同的砖相当于"新生长的草"，工人砌砖相当于"牛在吃草"．所以设1名工人1天砌砖数量为"1"，那么每天运来的砖为，原有砖的数量为：．
如果120名工人砌10天，将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩的原有的砖未用，变成人来砌砖，还需要：(天)．
**45．12台**
**【解析】**水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台).
水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台).
每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？
(台).
原有的水可供多少台抽水机抽1天？
(台).
若6天抽完，共需抽水机多少台？
(台).
46．11个
【解析】设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客．
①1分钟新来多少个单位的旅客
②检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候，
4×１５－×15=52
③5分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客
52+×5=55
④设立几个检票口
(个)
47．100级
【解析】该题属于草匀速减少的情况，扶梯的运行速度：。自动扶梯的梯级总数：(级)
48．5根
【解析】设根排水管小时排水为""，进水速度为，原有水量为，如果想要在小时内将池中的水全部排光，最少要打开根出水管，每根出水管1小时排水1份，又出水管的根数是整数，故最少要打开5根出水管。
49．6天
【解析】开工前运进的面粉相当于"原有草量"，开工后每天运进相同的面粉相当于"新生长的草"，工人加工食品相当于"牛在吃草"．
设1名工人1天用掉面粉的量为"1"，那么每天运来的面粉量为，原有面粉量为：．如果4名工人干30天，那么将会加工掉30天新运来的面粉量以及90原有的面粉量，原有还剩未加工，而后变成6名工人，还需要(天)可以加工完．
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第6单元 第四节：阅览室**
一、计算下列各题。
75-3 = 75-7 = 86-6 =
80-6 = 53-4 =  54-3 =\[来源:学,科,网\]
二、解决问题。
1、有24条红金鱼，10条黑金鱼和6条黄金鱼。
（1）红金鱼和黑金鱼一共有多少条？
（2）再放多少条黄金鱼，就和红金鱼同样多？
2、根据下图，你能提出哪些不同的数学问题？请提出并算一算。
三、啄木鸟捉虫。（有错的改在括号里）
1、54－8＝56（ ） 2、78－9＝79（ ）
3、41－7＝34（ ） 4、34－7＝41（ ）
5、63－4＝23（ ） 6、85－6＝79（ ）
**四、**看图列式计算
？千克
[ ]{.underline}
2、 ？个
70个
[ ]{.underline}
五、**生活中的数学。**
\[来源:Zxxk.Com\]\[来源:学\_科\_网\]
1、如果我想买（3）号衣服，付款50元，应找回（ ）元。
> 2、妈妈有100元钱，要买一套衣服，可以买（ ）和（ ），应付（  ）元，还剩下（ ）元。\[来源:Z&xx&k.Com\]
3、小铭有80元钱，想买（3）号和（5）号衣服，共需（ ）元，他带的钱够吗？（ ）（填"够"或"不够"）。
答案
一、
75-3=72 75-7=68 86-6=80 80-6=74 53-4=49  54-3=51
二、
1、（1）24+10=34条 答：红金鱼和黑金鱼一共有34条。
（2）24-6=18条 答：再放18条黄金鱼，就和红金鱼同样多。
2、苹果比桃子多多少箱？ 答：24-9=15箱
桃子比草莓少多少箱？ 答：16-9=7箱
三、
1、54－8＝56（ × ） 2、78－9＝79（ × ）
3、41－7＝34（ × ） 4、34－7＝41（ × ）\[来源:学\|科\|网\]
5、63－4＝23（ × ） 6、85－6＝79（ √ ）
**四、**
1、 [48+36=84千克]{.underline}
2、 [ 70-42=28个]{.underline}
五、
1、如果我想买（3）号衣服，付款50元，应找回（ 16 ）元。
> 2、妈妈有100元钱，要买一套衣服，可以买（ 3 ）和（ 5 ）， 应付（ 75 ）元，还剩下（ 25 ）元。
>
> 3、小铭有80元钱，想买（3）号和（5）号衣服，共需（ 75 ）元， 他带的钱够吗？（ 够 ）（填"够"或"不够"）。
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河北省衡水中学2017届高三下学期第1周周测数学（理）试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合，则
A． B． C． D．
2、已知复数为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、两曲线与两直线所围成的平面区域的面积为
A． B．
C． D．
4、已知，则""是""的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分也不必要条件
5、已知函数的部分图象如图所示，点
是该图象与轴的焦点，过点的直线与该图象交于两点，
则的值为
A． B． C． D．
6、若，按照如图所示的程序框图运行后，
输出的结果是
A． B． C． D．
7、已知等比数列中，，等差数列中，
，则数列的前9项和等于
A．9 B．18 C．36 D．72
8、从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白，但没有黄的概率为
A． B． C． D．
9、在平行四边形中，，若将其沿AC折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
10、过抛物线的焦点作两条垂直的弦，则=
A．2 B．4 C． D．
11、某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的
等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体中面积
最大的为
A． B． C．4 D．
12、已知点P为函数的图象上任意一点，点为
圆上任意一点，则线段的长度的
最小值为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..
13、已知满足约束条件，则的最大值为 [ ]{.underline}
14、已知点为圆上的任意两点，且，若 中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为 [ ]{.underline}
15、的展开式中不含的项的系数和为 [ ]{.underline}
16、已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为 [ ]{.underline} 个
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
设中的内角所对的边长分别为，且.
（1）当时，求角的度数；
（2）求面积的最大值.
18、（本小题满分12分）
某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为"数学专业"的概率为.
现从这10名同学中随机抽取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（1）求的值；
（2）求选出3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
（3）设为选出的3名同学中"女生或数学专业"的学生的人数，求随机变量的分布列及其数学期望.
19、（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，平面平面，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
20、（本小题满分12分）
已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆方程；
（2）记与的面积分别为为和，求的最大值.
21、（本小题满分12分）
已知函数，其中， 为自然对数的底数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：对任意的.
（3）若和的半径之比为，求的值.
22、（本小题满分12分）
已知直线的参数方程是参数）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）判断直线与曲线的位置关系；
（2）过直线上的点作曲线的切线，求切线长的最小值.
23、（本小题满分10分）
已知关于的不等式的整数解有且仅有一个值为2.
（1）求整数的值；
（2）已知，若，求的最大值.
24、附加题
已知函数
（1）当时，求函数的最大值；
（2）函数与轴交于两点且，证明：.
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**2016年浙江省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．**
1．（5分）已知集合P={x∈R\|1≤x≤3}，Q={x∈R\|x^2^≥4}，则P∪（∁~R~Q）=（ ）
A．\[2，3\] B．（﹣2，3\] C．\[1，2） D．（﹣∞，﹣2\]∪\[1，+∞）
2．（5分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
3．（5分）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则\|AB\|=（ ）
A．2 B．4 C．3 D．6
4．（5分）命题"∀x∈R，∃n∈N^\*^，使得n≥x^2^"的否定形式是（ ）
A．∀x∈R，∃n∈N^\*^，使得n＜x^2^ B．∀x∈R，∀n∈N^\*^，使得n＜x^2^
C．∃x∈R，∃n∈N^\*^，使得n＜x^2^ D．∃x∈R，∀n∈N^\*^，使得n＜x^2^
5．（5分）设函数f（x）=sin^2^x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（ ）
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关
6．（5分）如图，点列{A~n~}、{B~n~}分别在某锐角的两边上，且\|A~n~A~n+1~\|=\|A~n+1~A~n+2~\|，A~n~≠A~n+1~，n∈N^\*^，\|B~n~B~n+1~\|=\|B~n+1~B~n+2~\|，B~n~≠B~n+1~，n∈N^\*^，（P≠Q表示点P与Q不重合）若d~n~=\|A~n~B~n~\|，S~n~为△A~n~B~n~B~n+1~的面积，则（ ）
A．{S~n~}是等差数列 B．{S~n~^2^}是等差数列
C．{d~n~}是等差数列 D．{d~n~^2^}是等差数列
7．（5分）已知椭圆与双曲线C~2~：﹣y^2^=1（n＞0）的焦点重合，e~1~，e~2~分别为C~1~，C~2~的离心率，则（ ）
A．m＞n且e~1~e~2~＞1 B．m＞n且e~1~e~2~＜1 C．m＜n且e~1~e~2~＞1 D．m＜n且e~1~e~2~＜1
8．（5分）已知实数a，b，c．（ ）
A．若\|a^2^+b+c\|+\|a+b^2^+c\|≤1，则a^2^+b^2^+c^2^＜100
B．若\|a^2^+b+c\|+\|a^2^+b﹣c\|≤1，则a^2^+b^2^+c^2^＜100
C．若\|a+b+c^2^\|+\|a+b﹣c^2^\|≤1，则a^2^+b^2^+c^2^＜100
D．若\|a^2^+b+c\|+\|a+b^2^﹣c\|≤1，则a^2^+b^2^+c^2^＜100
**二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．**
9．（4分）若抛物线y^2^=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是[ ]{.underline}．
10．（6分）已知2cos^2^x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=[ ]{.underline}，b=[ ]{.underline}．
11．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是[ ]{.underline}cm^2^，体积是[ ]{.underline}cm^3^．
12．（6分）已知a＞b＞1，若log~a~b+log~b~a=，a^b^=b^a^，则a=[ ]{.underline}，b=[ ]{.underline}．
13．（6分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若S~2~=4，a~n+1~=2S~n~+1，n∈N^\*^，则a~1~=[ ]{.underline}，S~5~=[ ]{.underline}．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是[ ]{.underline}．
15．（4分）已知向量，，\|\|=1，\|\|=2，若对任意单位向量，均有\|•\|+\|•\|≤，则•的最大值是[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．
17．（15分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．
18．（15分）已知a≥3，函数F（x）=min{2\|x﹣1\|，x^2^﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）=
（Ⅰ）求使得等式F（x）=x^2^﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围
（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）
（ii）求F（x）在\[0，6\]上的最大值M（a）
19．（15分）如图，设椭圆C：+y^2^=1（a＞1）
（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）
（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．
20．（15分）设数列满足\|a~n~﹣\|≤1，n∈N^\*^．
（Ⅰ）求证：\|a~n~\|≥2^n﹣1^（\|a~1~\|﹣2）（n∈N^\*^）
（Ⅱ）若\|a~n~\|≤（）^n^，n∈N^\*^，证明：\|a~n~\|≤2，n∈N^\*^．
**2016年浙江省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．**
1．（5分）已知集合P={x∈R\|1≤x≤3}，Q={x∈R\|x^2^≥4}，则P∪（∁~R~Q）=（ ）
A．\[2，3\] B．（﹣2，3\] C．\[1，2） D．（﹣∞，﹣2\]∪\[1，+∞）
【分析】运用二次不等式的解法，求得集合Q，求得Q的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求．
【解答】解：Q={x∈R\|x^2^≥4}={x∈R\|x≥2或x≤﹣2}，
即有∁~R~Q={x∈R\|﹣2＜x＜2}，
则P∪（∁~R~Q）=（﹣2，3\]．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，主要是并集和补集的运算，考查不等式的解法，属于基础题．
2．（5分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
【分析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l．
【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，
∴m∥β或m⊂β或m与β相交，l⊂β，
∵n⊥β，
∴n⊥l．
故选：C．
【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
3．（5分）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则\|AB\|=（ ）
A．2 B．4 C．3 D．6
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），
区域内的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成线段R′Q′，即SAB，
而R′Q′=RQ，
由得，即Q（﹣1，1）
由得，即R（2，﹣2），
则\|AB\|=\|QR\|===3，
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义以及数形结合是解决本题的关键．
4．（5分）命题"∀x∈R，∃n∈N^\*^，使得n≥x^2^"的否定形式是（ ）
A．∀x∈R，∃n∈N^\*^，使得n＜x^2^ B．∀x∈R，∀n∈N^\*^，使得n＜x^2^
C．∃x∈R，∃n∈N^\*^，使得n＜x^2^ D．∃x∈R，∀n∈N^\*^，使得n＜x^2^
【分析】特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，依据规则写出结论即可
【解答】解："∀x∈R，∃n∈N^\*^，使得n≥x^2^"的否定形式是"∃x∈R，∀n∈N^\*^，使得n＜x^2^"
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，解本题的关键是掌握住特称命题的否定是全称命题，书写答案是注意量词的变化．
5．（5分）设函数f（x）=sin^2^x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（ ）
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关
【分析】根据三角函数的图象和性质即可判断．
【解答】解：∵设函数f（x）=sin^2^x+bsinx+c，
∴f（x）图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关，
当b=0时，f（x）=sin^2^x+bsinx+c=﹣cos2x++c的最小正周期为T==π，
当b≠0时，f（x）=﹣cos2x+bsinx++c，
∵y=cos2x的最小正周期为π，y=bsinx的最小正周期为2π，
∴f（x）的最小正周期为2π，
故f（x）的最小正周期与b有关，
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的最小正周期，关键掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．
6．（5分）如图，点列{A~n~}、{B~n~}分别在某锐角的两边上，且\|A~n~A~n+1~\|=\|A~n+1~A~n+2~\|，A~n~≠A~n+1~，n∈N^\*^，\|B~n~B~n+1~\|=\|B~n+1~B~n+2~\|，B~n~≠B~n+1~，n∈N^\*^，（P≠Q表示点P与Q不重合）若d~n~=\|A~n~B~n~\|，S~n~为△A~n~B~n~B~n+1~的面积，则（ ）
A．{S~n~}是等差数列 B．{S~n~^2^}是等差数列
C．{d~n~}是等差数列 D．{d~n~^2^}是等差数列
【分析】设锐角的顶点为O，再设\|OA~1~\|=a，\|OB~1~\|=c，\|A~n~A~n+1~\|=\|A~n+1~A~n+2~\|=b，\|B~n~B~n+1~\|=\|B~n+1~B~n+2~\|=d，由于a，c不确定，判断C，D不正确，设△A~n~B~n~B~n+1~的底边B~n~B~n+1~上的高为h~n~，运用三角形相似知识，h~n~+h~n+2~=2h~n+1~，由S~n~=d•h~n~，可得S~n~+S~n+2~=2S~n+1~，进而得到数列{S~n~}为等差数列．
【解答】解：设锐角的顶点为O，\|OA~1~\|=a，\|OB~1~\|=c，
\|A~n~A~n+1~\|=\|A~n+1~A~n+2~\|=b，\|B~n~B~n+1~\|=\|B~n+1~B~n+2~\|=d，
由于a，c不确定，则{d~n~}不一定是等差数列，
{d~n~^2^}不一定是等差数列，
设△A~n~B~n~B~n+1~的底边B~n~B~n+1~上的高为h~n~，
由三角形的相似可得==，
==，
两式相加可得，==2，
即有h~n~+h~n+2~=2h~n+1~，
由S~n~=d•h~n~，可得S~n~+S~n+2~=2S~n+1~，
即为S~n+2~﹣S~n+1~=S~n+1~﹣S~n~，
则数列{S~n~}为等差数列．
另解：可设△A~1~B~1~B~2~，△A~2~B~2~B~3~，...，A~n~B~n~B~n+1~为直角三角形，
且A~1~B~1~，A~2~B~2~，...，A~n~B~n~为直角边，
即有h~n~+h~n+2~=2h~n+1~，
由S~n~=d•h~n~，可得S~n~+S~n+2~=2S~n+1~，
即为S~n+2~﹣S~n+1~=S~n+1~﹣S~n~，
则数列{S~n~}为等差数列．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．
7．（5分）已知椭圆与双曲线C~2~：﹣y^2^=1（n＞0）的焦点重合，e~1~，e~2~分别为C~1~，C~2~的离心率，则（ ）
A．m＞n且e~1~e~2~＞1 B．m＞n且e~1~e~2~＜1 C．m＜n且e~1~e~2~＞1 D．m＜n且e~1~e~2~＜1
【分析】由题意可得m^2^﹣1=n^2^+1，即m^2^=n^2^+2，由条件可得m＞n，再由离心率公式，即可得到结论．
【解答】解：由题意可得m^2^﹣1=n^2^+1，即m^2^=n^2^+2，
又m＞1，n＞0，则m＞n，
由e~1~^2^•e~2~^2^=•=•
=
=1+＞1，
则e~1~•e~2~＞1．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线和椭圆的离心率的关系，考查椭圆和双曲线的方程和性质，以及转化思想和运算能力，属于中档题．
8．（5分）已知实数a，b，c．（ ）
A．若\|a^2^+b+c\|+\|a+b^2^+c\|≤1，则a^2^+b^2^+c^2^＜100
B．若\|a^2^+b+c\|+\|a^2^+b﹣c\|≤1，则a^2^+b^2^+c^2^＜100
C．若\|a+b+c^2^\|+\|a+b﹣c^2^\|≤1，则a^2^+b^2^+c^2^＜100
D．若\|a^2^+b+c\|+\|a+b^2^﹣c\|≤1，则a^2^+b^2^+c^2^＜100
【分析】本题可根据选项特点对a，b，c设定特定值，采用排除法解答．
【解答】解：A．设a=b=10，c=﹣110，则\|a^2^+b+c\|+\|a+b^2^+c\|=0≤1，a^2^+b^2^+c^2^＞100；
B．设a=10，b=﹣100，c=0，则\|a^2^+b+c\|+\|a^2^+b﹣c\|=0≤1，a^2^+b^2^+c^2^＞100；
C．设a=100，b=﹣100，c=0，则\|a+b+c^2^\|+\|a+b﹣c^2^\|=0≤1，a^2^+b^2^+c^2^＞100；
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，由于正面证明比较复杂，故利用特殊值法进行排除是解决本题的关键．
**二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．**
9．（4分）若抛物线y^2^=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是[ 9 ]{.underline}．
【分析】根据抛物线的性质得出M到准线x=﹣1的距离为10，故到y轴的距离为9．
【解答】解：抛物线的准线为x=﹣1，
∵点M到焦点的距离为10，
∴点M到准线x=﹣1的距离为10，
∴点M到y轴的距离为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
10．（6分）已知2cos^2^x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=[ ]{.underline}[ ]{.underline}，b=[ 1 ]{.underline}．
【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．
【解答】解：∵2cos^2^x+sin2x=1+cos2x+sin2x
=1+（cos2x+sin2x）
=sin（2x+）+1，
∴A=，b=1，
故答案为：；1．
【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
11．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是[ 80 ]{.underline}cm^2^，体积是[ 40 ]{.underline}cm^3^．
【分析】由三视图可得，该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，代入体积公式和面积公式计算即可．
【解答】解：由三视图可得，该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，
则其表面积为6×2^2^+2×4^2^+4×2×4﹣2×2^2^=80cm^2^，
其体积为2^3^+4×2×4=40，
故答案为：80，40
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力．
12．（6分）已知a＞b＞1，若log~a~b+log~b~a=，a^b^=b^a^，则a=[ 4 ]{.underline}，b=[ 2 ]{.underline}．
【分析】设t=log~b~a并由条件求出t的范围，代入log~a~b+log~b~a=化简后求出t的值，得到a与b的关系式代入a^b^=b^a^化简后列出方程，求出a、b的值．
【解答】解：设t=log~b~a，由a＞b＞1知t＞1，
代入log~a~b+log~b~a=得，
即2t^2^﹣5t+2=0，解得t=2或t=（舍去），
所以log~b~a=2，即a=b^2^，
因为a^b^=b^a^，所以b^2b^=b^a^，则a=2b=b^2^，
解得b=2，a=4，
故答案为：4；2．
【点评】本题考查对数的运算性质，以及换元法在解方程中的应用，属于基础题．
13．（6分）设数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若S~2~=4，a~n+1~=2S~n~+1，n∈N^\*^，则a~1~=[ 1 ]{.underline}，S~5~=[ 121 ]{.underline}．
【分析】运用n=1时，a~1~=S~1~，代入条件，结合S~2~=4，解方程可得首项；再由n＞1时，a~n+1~=S~n+1~﹣S~n~，结合条件，计算即可得到所求和．
【解答】解：由n=1时，a~1~=S~1~，可得a~2~=2S~1~+1=2a~1~+1，
又S~2~=4，即a~1~+a~2~=4，
即有3a~1~+1=4，解得a~1~=1；
由a~n+1~=S~n+1~﹣S~n~，可得
S~n+1~=3S~n~+1，
由S~2~=4，可得S~3~=3×4+1=13，
S~4~=3×13+1=40，
S~5~=3×40+1=121．
故答案为：1，121．
【点评】本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a~1~=S~1~，n＞1时，a~n~=S~n~﹣S~n﹣1~，考查运算能力，属于中档题．
14．（4分）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由题意，△ABD≌△PBD，可以理解为△PBD是由△ABD绕着BD旋转得到的，对于每段固定的AD，底面积BCD为定值，要使得体积最大，△PBD必定垂直于平面ABC，此时高最大，体积也最大．
【解答】解：如图，M是AC的中点．
①当AD=t＜AM=时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE，
DM=﹣t，由△ADE∽△BDM，可得，∴h=，
V==，t∈（0，）
②当AD=t＞AM=时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，
DM=t﹣，由等面积，可得，∴，
∴h=，
∴V==，t∈（，2）
综上所述，V=，t∈（0，2）
令m=∈\[1，2），则V=，∴m=1时，V~max~=．
故答案为：．
【点评】本题考查体积最大值的计算，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学思想，对思维能力和解题技巧有一定要求，难度大．
15．（4分）已知向量，，\|\|=1，\|\|=2，若对任意单位向量，均有\|•\|+\|•\|≤，则•的最大值是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．
【解答】解：由绝对值不等式得≥\|•\|+\|•\|≥\|•+•\|=\|（+）•\|，
于是对任意的单位向量，均有\|（+）•\|≤，
∵\|（+）\|^2^=\|\|^2^+\|\|^2^+2•=5+2•，
∴\|（+）\|=，
因此\|（+）•\|的最大值≤，
则•≤，
下面证明：•可以取得，
（1）若\|•\|+\|•\|=\|•+•\|，则显然满足条件．
（2）若\|•\|+\|•\|=\|•﹣•\|，此时\|﹣\|^2^=\|\|^2^+\|\|^2^﹣2•=5﹣1=4，
此时\|﹣\|=2于是\|•\|+\|•\|=\|•﹣•\|≤2，符合题意，
综上•的最大值是，
法2：由于任意单位向量，可设=，
则\|•\|+\|•\|=\|\|+\|\|≥\|\|+\|=\|\|=\|+\|，
∵\|•\|+\|•\|≤，∴\|+\|≤，
即（+）^2^≤6，
即\|\|^2^+\|\|^2^+2•≤6，
∵\|\|=1，\|\|=2，
∴•≤，
即•的最大值是．
法三：设=，=，=，
则=+，=﹣，
\|•\|+\|•\|=\|\|+\|\|=\|\|≤\|\|，
由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时（+）^2^取得最大值6，
由于\|+\|^2^+\|﹣\|）^2^=2（\|\|^2^+\|\|^2^）=10，
于是（﹣）^2^取得最小值4，
则•=，
•的最大值是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
**三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A=2B
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，则bcsinA=，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，
∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB
∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB
∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）
∵A，B是三角形中的角，
∴B=A﹣B，
∴A=2B；
（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=，
∴bcsinA=，
∴2bcsinA=a^2^，
∴2sinBsinC=sinA=sin2B，
∴sinC=cosB，
∴B+C=90°，或C=B+90°，
∴A=90°或A=45°．
【点评】本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题．
17．（15分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．
【分析】（I）先证明BF⊥AC，再证明BF⊥CK，进而得到BF⊥平面ACFD．
（II）方法一：先找二面角B﹣AD﹣F的平面角，再在Rt△BQF中计算，即可得出；
方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面ACK与平面ABK的法向量，进而可得二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值．
【解答】（I）证明：延长AD，BE，CF相交于点K，如图所示，∵平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，
∴AC⊥平面BCK，∴BF⊥AC．
又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK，
∴BF⊥平面ACFD．
（II）方法一：过点F作FQ⊥AK，连接BQ，∵BF⊥平面ACFD．∴BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，
∴BQ⊥AK．∴∠BQF是二面角B﹣AD﹣F的平面角．
在Rt△ACK中，AC=3，CK=2，可得FQ=．
在Rt△BQF中，BF=，FQ=．可得：cos∠BQF=．
∴二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值为．
方法二：如图，延长AD，BE，CF相交于点K，则△BCK为等边三角形，
取BC的中点，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，∴KO⊥平面BAC，
以点O为原点，分别以OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．
可得：B（1，0，0），C（﹣1，0，0），K（0，0，），A（﹣1，﹣3，0），，．
=（0，3，0），=，
=（2，3，0）．
设平面ACK的法向量为=（x~1~，y~1~，z~1~），平面ABK的法向量为=（x~2~，y~2~，z~2~），由，可得，
取=．
由，可得，取=．
∴==．
∴二面角B﹣AD﹣F的余弦值为．
【点评】本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（15分）已知a≥3，函数F（x）=min{2\|x﹣1\|，x^2^﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）=
（Ⅰ）求使得等式F（x）=x^2^﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围
（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）
（ii）求F（x）在\[0，6\]上的最大值M（a）
【分析】（Ⅰ）由a≥3，讨论x≤1时，x＞1，去掉绝对值，化简x^2^﹣2ax+4a﹣2﹣2\|x﹣1\|，判断符号，即可得到F（x）=x^2^﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围；
（Ⅱ）（i）设f（x）=2\|x﹣1\|，g（x）=x^2^﹣2ax+4a﹣2，求得f（x）和g（x）的最小值，再由新定义，可得F（x）的最小值；
（ii）分别对当0≤x≤2时，当2＜x≤6时，讨论F（x）的最大值，即可得到F（x）在\[0，6\]上的最大值M（a）．
【解答】解：（Ⅰ）由a≥3，故x≤1时，
x^2^﹣2ax+4a﹣2﹣2\|x﹣1\|=x^2^+2（a﹣1）（2﹣x）＞0；
当x＞1时，x^2^﹣2ax+4a﹣2﹣2\|x﹣1\|=x^2^﹣（2+2a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a），
则等式F（x）=x^2^﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围是\[2，2a\]；
（Ⅱ）（i）设f（x）=2\|x﹣1\|，g（x）=x^2^﹣2ax+4a﹣2，
则f（x）~min~=f（1）=0，g（x）~min~=g（a）=﹣a^2^+4a﹣2．
由﹣a^2^+4a﹣2=0，解得a~1~=2+，a~2~=2﹣（负的舍去），
由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，
即m（a）=；
（ii）当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；
当2＜x≤6时，f（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}
=max{2，34﹣8a}=max{f（2），f（6）}．
则M（a）=．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19．（15分）如图，设椭圆C：+y^2^=1（a＞1）
（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）
（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．
【分析】（Ⅰ）联立直线y=kx+1与椭圆方程，利用弦长公式求解即可．
（Ⅱ）写出圆的方程，假设圆A与椭圆有4个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意一A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，a的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，可得：（1+a^2^k^2^）x^2^+2ka^2^x=0，
得x~1~=0或x~2~=，
直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为：=．
（Ⅱ）假设圆A与椭圆有4个公共点，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足\|AP\|=\|AQ\|，
记直线AP，AQ的斜率分别为：k~1~，k~2~；且k~1~，k~2~＞0，k~1~≠k~2~，由（1）可知\|AP\|=，
\|AQ\|=，
故：=，
所以，（k~1~^2^﹣k~2~^2^）\[1+k~1~^2^+k~2~^2^+a^2^（2﹣a^2^）k~1~^2^k~2~^2^\]=0，由k~1~≠k~2~，
k~1~，k~2~＞0，可得：1+k~1~^2^+k~2~^2^+a^2^（2﹣a^2^）k~1~^2^k~2~^2^=0，
因此a^2^（a^2^﹣2）①，
因为①式关于k~1~，k~2~的方程有解的充要条件是：1+a^2^（a^2^﹣2）＞1，
所以a＞．
因此，任意点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为：1＜a≤，
e==得，所求离心率的取值范围是：．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想以及计算能力．
20．（15分）设数列满足\|a~n~﹣\|≤1，n∈N^\*^．
（Ⅰ）求证：\|a~n~\|≥2^n﹣1^（\|a~1~\|﹣2）（n∈N^\*^）
（Ⅱ）若\|a~n~\|≤（）^n^，n∈N^\*^，证明：\|a~n~\|≤2，n∈N^\*^．
【分析】（I）使用三角不等式得出\|a~n~\|﹣\|a~n+1~\|≤1，变形得﹣≤，使用累加法可求得＜1，即结论成立；
（II）利用（I）的结论得出﹣＜，进而得出\|a~n~\|＜2+（）^m^•2^n^，利用m的任意性可证\|a~n~\|≤2．
【解答】解：（I）∵\|a~n~﹣\|≤1，∴\|a~n~\|﹣\|a~n+1~\|≤1，
∴﹣≤，n∈N^\*^，
∴=（﹣）+（﹣）+...+（﹣）≤+++...+==1﹣＜1．
∴\|a~n~\|≥2^n﹣1^（\|a~1~\|﹣2）（n∈N^\*^）．
（II）任取n∈N^\*^，由（I）知，对于任意m＞n，
﹣=（﹣）+（﹣）+...+（﹣）
≤++...+=＜．
∴\|a~n~\|＜（+）•2^n^≤\[+•（）^m^\]•2^n^=2+（）^m^•2^n^．①
由m的任意性可知\|a~n~\|≤2．
否则，存在n~0~∈N^\*^，使得\|a\|＞2，
取正整数m~0~＞log且m~0~＞n~0~，则
2•（）＜2•（）=\|a\|﹣2，与①式矛盾．
综上，对于任意n∈N^\*^，都有\|a~n~\|≤2．
【点评】本题考查了不等式的应用与证明，等比数列的求和公式，放缩法证明不等式，难度较大．
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**小学三年级上册数学奥数知识点讲解第3课《上楼梯问题》试题附答案**
**答案**
三年级奥数上册：第三讲 上楼梯问题 习题解答
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> **数一数（一）同步练习**
>
> 一、复习
1．数一数，有多少个小朋友正在荡秋千．
2．数一数，有多少个小朋友正在跳蹦床．
3．数一数，下面每种动物各有几只脚．\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
4．说一说你看到了什么，数一数．
二、拔高
> **1.**
>
> 
>
> 大约有100粒 大约有（ ）粒 大约有（ ）粒
2. 估一估，填上合适的单位（十，百，千）。\[来源:学科网ZXXK\]
> 
>
> 树上大约有一（ ）个桃子，大约有三（ ）片树叶，河里大约有5（ ）只鸭子。
>
> \[来源:Zxxk.Com\]
>
> \[来源:学科网ZXXK\]
**参考答案：**
> 一、复习
1. 4
2. 6
3. 2 4 6 8\[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
4. 气球5
> 小鸟1
>
> 滑梯1 上面的小学生5
>
> 跷跷板2 上面的小学生8
>
> 树5
>
> **二、拔高**
>
> **1.**
>
> 
>
> 大约有100粒 大约有（ 200 ）粒 大约有（ 300 ）粒
3. 估一估，填上合适的单位（十，百，千）。
> 树上大约有一（ 百 ）个桃子，大约有三（千）片树叶，河里大约有5（十 ）只鸭子。
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**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科数学**
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合，，则*A*∩*B*中元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
采用列举法列举出中元素的即可.
【详解】由题意，，故中元素的个数为3.
故选：B
【点晴】本题主要考查集合交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
2.若，则*z*=（ ）
A. 1--*i* B. 1+*i* C. --*i* D. *i*
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到即可.
【详解】因为，所以.
故选：D
【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.
3.设一组样本数据*x*~1~，*x*~2~，...，*x~n~*的方差为0.01，则数据10*x*~1~，10*x*~2~，...，10*x~n~*的方差为（ ）
A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
【详解】因为数据的方差是数据的方差的倍，
所以所求数据方差为
故选：C
【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.
4.*Logistic*模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数*I*(*t*)(*t*的单位：天)的*Logistic*模型：，其中*K*为最大确诊病例数．当*I*()=0.95*K*时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A. 60 B. 63 C. 66 D. 69
【答案】C
【解析】
【分析】
将代入函数结合求得即可得解.
【详解】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
6.在平面内，*A*，*B*是两个定点，*C*是动点，若，则点*C*的轨迹为（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线
【答案】A
【解析】
【分析】
首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
【详解】设，以*AB*中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点*C*的轨迹是以*AB*中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7.设*O*为坐标原点，直线*x*=2与抛物线*C*：*y*^2^=2*px*(*p*\>0)交于*D*，*E*两点，若*OD*⊥*OE*，则*C*的焦点坐标为（ ）
A. （，0） B. （，0） C. （1，0） D. （2，0）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
【详解】因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.
8.点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.
【详解】由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，
即为.
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.
9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A. 6+4 B. 4+4 C. 6+2 D. 4+2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.
【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
根据立体图形可得：
根据勾股定理可得：
是边长为的等边三角形
根据三角形面积公式可得：
该几何体的表面积是：.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.
10.设*a*=log~3~2，*b*=log~5~3，*c*=，则（ ）
A. *a*\<*c*\<*b* B. *a*\<*b*\<*c* C. *b*\<*c*\<*a* D. *c*\<*a*\<*b*
【答案】A
【解析】
【分析】
分别将*a*,*b*改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与回归的思想，是一道中档题.
11.在△*ABC*中，cos*C*=，*AC*=4，*BC*=3，则tan*B*=（ ）
A. B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求
【详解】设
故选：C
【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
12.已知函数*f*(*x*)=sin*x*+，则（ ）
A. *f*(*x*)的最小值为2 B. *f*(*x*)的图像关于*y*轴对称
C. *f*(*x*)的图像关于直线对称 D. *f*(*x*)的图像关于直线对称
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
【详解】可以为负，所以A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线对称，故C错，D对
故选：D
【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13.若*x*，*y*满足约束条件 ，则*z*=3*x*+2*y*的最大值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】7
【解析】
【分析】
作出可行域，利用截距的几何意义解决.
【详解】不等式组所表示的可行域如图
因为，所以，易知截距越大，则越大，
平移直线，当经过*A*点时截距最大，此时z最大，
由，得，，
所以.
故答案为：7.
【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.
14.设双曲线*C*： (*a*\>0，*b*\>0)的一条渐近线为*y*=*x*，则*C*的离心率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知可得，结合双曲线中的关系，即可求解.
【详解】由双曲线方程可得其焦点在轴上，
因为其一条渐近线为，
所以，.
故答案为：
【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.
15.设函数．若，则*a*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】1
【解析】
【分析】
由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数*a*的方程，解方程即可确定实数*a*的值
【详解】由函数的解析式可得：，
则：，据此可得：，
整理可得：，解得：.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.
16.已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中，且点*M*为*BC*边上的中点，
设内切圆的圆心为，
由于，故，
设内切圆半径为，则：
，
解得：，其体积：.
故答案为：.
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
**三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.**
**（一）必考题：共60分.**
17.设等比数列{*a~n~*}满足，．
（1）求{*a~n~*}的通项公式；
（2）记为数列{log~3~*a~n~*}的前*n*项和．若，求*m*．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；
（2）由（1）求出的通项公式，利用等差数列求和公式求得，根据已知列出关于的等量关系式，求得结果.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
根据题意，有，解得，
所以；
（2）令，
所以，
根据，可得，
整理得，因为，所以，
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.
18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 锻炼人次 | \[0，200\] | (200，400\] | (400，600\] |
| | | | |
| 空气质量等级 | | | |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 1（优） | 2 | 16 | 25 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 2（良） | 5 | 10 | 12 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 3（轻度污染） | 6 | 7 | 8 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
| 4（中度污染） | 7 | 2 | 0 |
+---------------+------------+-------------+-------------+
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天"空气质量好"；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天"空气质量不好"．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
-------------- ---------- -----------
人次≤400 人次\>400
空气质量好
空气质量不好
-------------- ---------- -----------
附：，
----------------- ------- ------- --------
*P*(*K*^2^≥*k*) 0.050 0.010 0.001
*k* 3.841 6.635 10.828
----------------- ------- ------- --------
【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为、、、的概率分别为、、、；（2）；（3）有，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为、、、的概率；
（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以可得结果；
（3）根据表格中的数据完善列联表，计算出的观测值，再结合临界值表可得结论.
【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为；
（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为
（3）列联表如下：
-------------- ------ ------
人次 人次
空气质量不好
空气质量好
-------------- ------ ------
，
因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.
19.如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：
（1）当时，；
（2）点在平面内．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据正方形性质得，根据长方体性质得,进而可证平面,即得结果；
（2）只需证明即可，在上取点使得,再通过平行四边形性质进行证明即可.
【详解】
（1）因为长方体,所以平面,
因为长方体,所以四边形为正方形
因为平面,因此平面,
因为平面,所以；
（2）在上取点使得,连,
因为,所以
所以四边形为平行四边形，
因为所以四边形为平行四边形，
因此在平面内
【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题.
20.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
【答案】（1）详见解析；(2).
【解析】
【分析】
（1），对分和两种情况讨论即可；
（2）有三个零点，由（1）知，且，解不等式组得到的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.
【详解】（1）由题，，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
令，得或，所以在上单调递减，在
，上单调递增.
（2）由（1）知，有三个零点，则，且
即，解得，
当时，，且，
所以在上有唯一一个零点，
同理，，
所以在上有唯一一个零点，
又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，
综上可知的取值范围为.
【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.
21.已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）因为，可得，，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；
（2）点在上，点在直线上，且，，过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为，可得，可求得点坐标，求出直线的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得的面积.
【详解】（1）
，，
根据离心率，
解得或(舍)，
的方程为：，
即；
（2）点在上，点在直线上，且，，
过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为
根据题意画出图形，如图
，，，
又，，
，
根据三角形全等条件""，
可得：，
，
，
，
设点为，
可得点纵坐标为，将其代入，
可得：，
解得：或，
点为或，
①当点为时，
故，
，
，
可得：点为，
画出图象，如图
,，
可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，
根据两点间距离公式可得：，
面积为：；
②当点为时，
故，
，
，
可得：点为，
画出图象，如图
，
可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，
根据两点间距离公式可得：，
面积为：，
综上所述，面积为：.
【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
**（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.**
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
22.在直角坐标系*xOy*中，曲线*C*的参数方程为(*t*为参数且*t*≠1)，*C*与坐标轴交于*A*，*B*两点.
（1）求\|\|：
（2）以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线*AB*的极坐标方程.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由参数方程得出的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出的值；
（2）由坐标得出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.
【详解】（1）令，则，解得或（舍），则，即.
令，则，解得或（舍），则，即.
；
（2）由（1）可知，
则直线的方程为，即.
由可得，直线的极坐标方程为.
【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
23.设*a*，*b*，*cR*，*a*+*b*+*c*=0，*abc*=1．
（1）证明：*ab*+*bc*+*ca*\<0；
（2）用max{*a*，*b*，*c*}表示*a*，*b*，*c*中的最大值，证明：max{*a*，*b*，*c*}≥．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由结合不等式的性质，即可得出证明；
（2）不妨设，由题意得出，由，结合基本不等式，即可得出证明.
【详解】（1），
.
均不为，则，；
（2）不妨设，
由可知，，
，.
当且仅当时，取等号，
，即.
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.
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**2016-2017学年上学期二年级期中检测卷**
班级： 姓名： 满分：100分 考试时间：90分钟
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ----------
**题序** 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 第六题 第七题 第八题 **总分**
**得分**
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ----------
一、填一填。(6分) 新- 课- 标-[第](http://www.xkb1.com/)- 一- 网
二、算一算。(18分)
1.直接写出得数。(10分)
4×4= 5×3= 2×7= 4×8= 3×7=
3×5= 5×6= 2×9= 1×5= 4×5=
2.列竖式计算。(8分)
65+30-45= 60+19-37= 27+40-18= 75-43+25=
三、在里填上"+""-"或"×"。(12分) [新\| 课 \|标 \|第 \| 一\| 网](http://www.xkb1.com/)
33=6 26=12 42=2
33=9 43=12 42=8
四、在里填上"\>""\<"或"="。(12分)
2×4  6 1×5  5
4×5  25 24+36  50
36+35+20  90 23+20+50  93
五、连一连。(8分) w W w . X k b 1.c O m
六、看图填空。(10分)
1\. X k B 1 . c o m
\
+ + + + =\
( )个( )相加得( )。
2\. 新- 课- 标-[第](http://www.xkb1.com/)- 一- 网
\
( )个( )相加得( )。\
加法算式:[ ]{.underline}\
乘法算式: × = 或 × =
七、看图列式计算。(10分)
八、解决问题。(24分)
1.(6分) [新\| 课 \|标 \|第 \| 一\| 网](http://www.xkb1.com/)
2.(12分)
(1)买一包挂面、一袋大米和一袋白糖需要多少钱? X\|k \| B\| 1 . c\| O \|m
(2)李阿姨想买一袋大米和一桶油,她付了70元,应找回多少钱?
3.(6分) X\|k \| B\| 1 . c\| O \|m
你能提出什么数学问题?解答出来。
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**北师大版小学五年级下册数学第四单元《长方体（二）------有体积单位的换算》同步检测2（附答案）**
1\. 填一填
4米＝( )分米 3600分米＝( )米
830厘米＝( )分米 3.8米＝( )厘米
43600毫升＝( )升 2.46升＝( )毫升
724mL＝( )cm＝( )dm
1.07m＝( )dm＝( )L来源：www.bcjy123.com/tiku/
2\. 一桶山泉水相当于多少瓶下图中的矿泉水？
3．一根长方体木料，体积是0.078立方米，已知木料宽2分米，高3分米，这根木料
长多少分米？
4．小磊要从右边的长方体上切下一个最大的正方体，这个正方体的体积是多少？
5．一个长方体水槽，槽内长60米，宽1.2米，深50厘米，水槽的容积是多少毫升？
合多少升？
来源：www.bcjy123.com/tiku/
6．航空部门规定，对于体积超过20cm×40cm×55cm或质量超过10kg的行李，需
要将它托运。明明的爸爸想乘飞机，他带了一个长l8cm，宽35cm，体积是
37.8dm，质量为9kg的包装盒。需要托运吗？
**参考答案**
1．4000 3.6 0.83 3800000 43.6 2460 724 0.724 1070 1070
2．12瓶 3．13分米 4．343dm 5．36000000毫升 36000升
6．需要托运，因为由包装盒的体积计算可得，该包装盒的高为60cm，超过了规定的范围。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
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**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科综合能力测试**
**历史部分**
**注意事项：**
**1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上。**
**2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选途其他答案标号。写在试卷上无效。**
**3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。**
**一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.据《史记》记载，春秋时期，楚国国君熊通要求提升爵位等级，遭到周桓王拒绝。熊通怒称现在周边地区都归附了楚国，"而王不加位，我自尊耳""乃自立，为（楚）武王"。这表明当时周朝
A. 礼乐制度不复存在 B. 王位世袭制度消亡
C. 宗法制度开始解体 D. 分封制度受到挑战
【答案】D
【解析】
【详解】根据所学内容可知，分封制下诸侯获得封位都要得到周天子的认可，根据"而王不加位，我自尊耳"可知楚王自立为王的做法是对分封制的破坏，说明当时分封制度受到挑战，故选D；A项说法过于绝对，礼乐制度依然存在，排除；王位世袭制始终存在，并没有消亡，排除B；材料没有体现宗法血缘关系，不能说明宗法关系开始解体，排除C。故选D
2.图4为唐代著名画家阎立本的《步辇图》，描绘了唐太宗李世民接见吐蕃使臣的情景。该作品体现了
A. 西域风情与中土文化的交汇 B. 文人意趣与市井风情的杂糅
C. 艺术审美与史料价值的统一 D. 现实主义与浪漫主义的融合
【答案】C
【解析】
【详解】唐代画家阎立本的《步辇图》，既描绘了唐太宗接见吐蕃使者的场景，也展现了唐代美术发展水平，承载着史学研究和艺术审美双重价值，C项正确；西域指新疆以及更西的地方，《步辇图》的画面上没有反映西域风情，A项错误；《步辇图》中没有体现市民生活和市井风情,B项错误；《步辇图》中唐太宗接见吐蕃使者的情景，没有体现浪漫主义重视想象、突出情感等特点，D项错误。
3.北宋时，宋真宗派人到福建取得占城稻三万斛，令江淮两浙诸路种植，后扩大到北方诸路；宋仁宗时，大、小麦被推广到广南东路惠州等地。南宋时，"四川田土，无不种麦"。这说明宋代
A. 土地利用效率提高 B. 发明翻车提高了生产力
C. 区域经济发展均衡 D. 民众饮食结构根本改变
【答案】A
【解析】
【详解】把福建的水稻推广到江浙一带甚至北方，同时广南和四川都种植水稻，这反映出宋代土地利用率的提高，各地都已经能种植水稻，故A正确；曹魏时已经有翻车，故B项排除；仅从水稻种植的推广不能得出区域经济的均衡，区域经济不仅仅饱含农业，排除C项；水稻种植推广会对饮食习惯的改变产生一定的影响，但不会根本改变，故D项错误。
4.清代，纂修宗谱成为一种普遍的社会行为，每部宗谱均有族规、家训，其内容主要包括血缘伦理、持家立业、报效国家等。这表明，宗谱的纂修
A. 反映了科举制度的导向作用 B. 体现了儒家思想观念
C. 维持了士族家庭血统纯正 D. 确立了四民社会结构
【答案】B
【解析】
【详解】"持家立业"、"报效国家"等思想都是儒家思想的内容，在族谱中存在这些内容说明宗谱的纂修体现了儒家思想观念，故选B；宗谱纂修不是选官，和科举制无关，排除A；仅依靠纂修不一定能维持血统的纯正，排除C；四民社会结构和经济基础及社会环境有关，不是靠纂修宗谱确立的，排除D。故选B。
5.1876年，英国传教士在上海创办的《格致汇编》设有"互相问答"栏目，其中大多问题是从读者的兴趣、关注点出发的。各类问题所占比例如表1所示。
表1 《格致汇编》"互相问答"栏目各类问题所占比例
-------------------- ---------- ---------- ----------------
应用科学、各种技术 自然常识 基础科学 奇异和其他问题
42．5% 22．8% 17．5% 17．2%
-------------------- ---------- ---------- ----------------
据此可知，当时
A. 中体西用思想的传播受到了抑制 B. 中外交汇促进维新思想深入发展
C. 西学传播适应了兴办实业的需求 D. 崇尚科学成为了社会的主流思潮
【答案】C
【解析】
【详解】从材料的数据可以看出，应用科学和技术所占比重最大，这些应用科学与技术与近代企业的兴办有着密切的联系，因此才会有很多人提问相关的问题，故C项正确；从材料来看西学得到了传播，中体西用思想并没有被抑制，排除A项；从材料中看不出有维新的主张，且此时只是早期维新出现，并没有往深入发展，排除B项；崇尚科学成为主流是新文化运动时期，排除D项。
6.20世纪20年代，中国度量衡的状况是，"同一秤也，有公秤、私秤、米秤、油秤之分别""同一天平也，有库平、漕平、湘平、关平之分别""同一尺也，有海关尺、营造尺、裁衣尺、鲁班尺及京放、海放之分别"。这一状况
A. 提高了市场交易的成本 B. 加剧了军阀林立的局面
C. 造成国民经济结构失衡 D. 阻断了商品的大量流通
【答案】A
【解析】
【详解】从材料可以看出当时国内度量衡种类繁多，十分复杂，这种混乱的现象使得商品交易需要进行相互间的换算，不利于商品交易的进行，提高了各个领域交易的成本，故A项正确；度量衡的不统一与军阀混战没有直接的因果关系，不会加剧混战的局面，故排除B项；材料与国民经济的比例失衡无关，排除C项；"阻断了"表述太绝对，排除D项。
7.1949年5月，中共中央发出指示："只强调和资本家斗争，而不强调联合愿意和我们合作的资本家......这是一种实际上立即消灭资产阶级的倾向""和党的方针政策是在根本上相违反的"。这指示有利于当时
A. 在经济领域实行公私合营 B. 接管城市后生产的恢复发展
C. 确立国营经济的主导地位 D. 对新民主主义政策进行调整
【答案】B
【解析】
【详解】从材料的时间来看，当时新中国还没有成立，鉴于当时的经济基础和现状，党中央联合资产阶级的目的是便于接管城市后进行经济的恢复，B项正确；公私合营是三大改造时期的内容，不符合材料的时间，排除A项；国营经济是公有，而资本家是私有，因此联合资本家明显不是确立国营经济的主导地位，故排除C项；材料反映的是党中央要联合资本家，而不是调整新民主主义政策，排除D项。故选B。
8.1983年，安徽某濒临倒闭的国营制药厂被8个年轻人承包，实行有奖有罚的经济责任制，9个月就盈利12万元。后来安徽省委、省政府从中得到启示，下发通知明确提出，小型国营企业也可以实行承包经营。由此可以看出
A. 市场经济体制在全国逐步建立 B. 政企职责不分弊端得到解决
C. 经济所有制结构开始发生变化 D. 企业的经营自主权逐渐扩大
【答案】D
【解析】
【详解】政府允许小型企业可以实行承包经营，说明政府一定程度上减少了对企业的控制，反映出企业经营自主权的扩大，故D项正确；发展市场经济是从1992年开始，排除A项；材料只涉及到小型企业，因此其它大型企业并没有"得到解决"，因此B项说法过夸张，排除B项；企业承包给个人经营，但是所有权仍然是国家的，因此所有制结构并没有变化，故排除C项。
9.雅典城邦通过抽签产生的公民陪审团规模很大，代表不同的公民阶层，负责解释法律、认定事实、审理案件等。而在罗马，通常由专业法官和法学家进行司法解释。由此可见，在雅典城邦的司法实践中
A. 职业法官拥有审判权 B. 负责司法解释的主体与罗马相同
C. 公民直接行使司法权 D. 公民陪审团维护所有人的法律权益
【答案】C
【解析】
【详解】雅典的陪审团成员是直接通过抽签产生的，代表了各阶层，而罗马则是由职业法官和法学家进行司法解释，这说明雅典是直接行使司法权，故C项正确；A项指罗马，排除；从材料来看，二者主体不一，雅典是公民，而罗马是职业法官，排除B项；"所有人"表述错误，排除D项。
10.16世纪的思想家蒙田从教育要培养"完全的绅士"理念出发，强调要注重培养身心和谐发展的"完整的人"，即不仅体魄强健、知识渊博，而且具有良好的判断力和爱国、坚韧、勇敢、关心公益等优秀品质。蒙田的教育主张
A. 体现了文艺复兴思想对人的认识 B. 推动了资产阶级革命的高涨
C. 反映了启蒙运动生而平等的理念 D. 摆脱了宗教观念的长期束缚
【答案】A
【解析】
【详解】蒙田的教育主张是注重培养"完整的人"，特别是具有良好的判断力和优秀品质，体现了对人的重视，结合"16世纪"可知梦田的教育主张体现了文艺复兴思想对人的认识，故选A；蒙田的教育主张是人文主义的体现，没有体现政治要求，不能推动资产阶级革命的高涨，排除B；启蒙运动开始于17世纪，与题意时间不符，排除C；蒙田的教育主张是从培养"完全的绅士"理念出发，不能体现摆脱宗教观念的束缚，排除D。故选A。
11.有人描写19世纪六七十年代的巴黎：人们在巴黎内部建立了两座截然不同、彼此敌对的城市，一座是"奢靡之城"，另一座是"悲惨之城"，前者被后者包围。当时"悲惨之城"的形成，主要是因为
A. 波旁王朝的苛政 B. 资产阶级的贪婪
C. 贸易中心的转移 D. 教会统治的腐朽
【答案】B
【解析】
【详解】"奢靡之城"和"悲惨之城"体现了巴黎城内贫富分化和阶级对立，根据"19世纪六七十年代"可知此时是工业革命期间，所以导致"悲惨之城"形成的原因主要和工业革命有关，即资产阶级的贪婪，故选B；19世纪六七十年代波旁王朝已经不复存在，排除A ；贸易中心转移是新航路开辟的结果，时间在16世纪，与题意时间不符，排除C；经过宗教改革和启蒙运动等系列思想解放运动，教会势力已经遭到沉重打击，更不能形成统治局面，所以出现材料中的情况和教会统治的腐朽无关，排除D。故选B。
12.1992年，墨西哥签订《北美自由贸易协定》以后，又制定了一系列负面清单，如规定外资占商业银行的投资比例不得高于普通股本的30%，外资不得经营内陆港口、海运及空港等。这些规定旨在
A. 发展国家特色产业 B. 改善对外贸易的机制和环境
C. 保障国家经济安全 D. 巩固区域经济集团化的成果
【答案】C
【解析】
【详解】墨西哥的一系列规定是限制外资在国家经济中的比重，从而避免出现外资控制国家经济的状况，目的在于保障国家经济安全，故选C；限制外资不一定能够发展国家特色产业，排除A；墨西哥是在限制外资，不是改善对外贸易的机制和环境，排除B；材料反映的是墨西哥国内的经济措施，没有涉及区域经济集团化的内容，排除D。故选C。
**二、非选择题：共52分。第41---42题为必考题，每个试题考生都必须作答。第45---47题为选考题，考生根据要求作答。**
**（一）必考题：共37分。**
13.阅读材料，完成下列要求。
材料一 20世纪50年代，中国与民主德国的关系良好，贸易和文化交往十分频繁。与此同时，中国与联邦德国之间处于对立状态。1955年，联邦德国与苏联建交后，中国逐步推动与联邦德国的民间往来。60年代，随着中苏关系日益紧张，中国与民主德国关系降到了冰点。70年代初，联邦德国调整"新东方政策"，决定改善与中国的关系。1972年10月，两国外长在北京签署建立外交关系的公报，决定互派大使。此后，两国的交流活动迅速升温。
------摘编自刘德斌主编《国际关系史》等
材料二 1993年，德国实施"新亚洲政策"，十分重视发展与中国的关系。德国企业认为在中国"差不多所有行业都有前景"，纷纷进军中国市场。1998年，德国总理施罗德将实现外交政策"正常化"作为重要目标，对外不依附于任何国家，谋求世界政治大国地位，并与中国共同"推动世界经济出现多元认同"。中国认为加强中德在多极化世界中的合作，有利于提高各自国际地位，扩大各自在国际上的活动余地，并促进世界和平、安全和稳定。2004年，中德在中欧全面战略伙伴关系框架内建立"具有全球责任的中德战略伙伴"关系，中德关系发展到了新的高度。
------摘编自吴友法《德国现当代史》等
（1）根据材料一并结合所学知识，概述20世纪50\~70年代中国与民主德国、联邦德国关系的变化及其原因。
（2）根据材料二并结合所学知识，简述中德建立战略伙伴关系的历史条件。
（3）根据材料并结合所学知识，简析20世纪70年代以来中德关系发展的历史启示。
【答案】（1）变化：中国与民主德国从交往密切到降温、冷淡，与联邦德国从对立到实现关系正常化。原因：50年代，在冷战格局下，中国和民主德国同属社会主义阵营，联邦德国外交依附美国；中苏关系恶化，民主德国紧跟苏联；中国与美国关系逐步走向正常化，联邦德国调整对中国的政策。\
（2）中国改革开放，经济发展迅速，市场潜力巨大，国际影响力显著提高，积极参与国际事务；德国统一，经济发达，对中国市场有巨大需求，寻求政治大国地位；两国都积极推动世界多极化。\
（3）坚持发展经济，增强国家实力；坚持独立自主，以和平共处五项原则为处理国际关系的基本准则；求同存异，摒弃冷战思维；奉行多边外交，推动全球化。
【解析】
【详解】（1）变化：根据"中国与民主德国的关系良好，贸易和文化交往十分频繁。与此同时，中国与联邦德国之间处于对立状态"、"中国与民主德国关系降到了冰点"、"两国外长在北京签署建立外交关系的公报，决定互派大使。此后，两国的交流活动迅速升温"可知中国与民主德国的关系从密切到降温甚至冷淡，和联邦德国的关系则从对立到关系实现正常化。原因：根据"中苏关系日益紧张"、"联邦德国调整'新东方政策'，决定改善与中国的关系"等信息可知，中国与民主德国、联邦德国关系的变化主要和冷战格局的影响有关，中国和民主德国同属社会主义阵营，联邦德国属于资本主义阵营，因此开始与民主德国关系密切，与联邦德国关系对立。但随着中国与苏联关系恶化，而民主德国紧随苏联导致中国与民主德国的关系一并恶化；而中国在70年代与美国关系改善，加之联邦德国调整对外政策，因此与联邦德国关系改善。\
（2）根据"德国企业认为在中国'差不多所有行业都有前景'，纷纷进军中国市场"可知随着中国改革开放，经济发展迅速，市场潜力巨大，因此吸引德国大力开拓中国市场。而且随着中国国际影响力的提升，积极参与国际事务，也推动德国谋求与中国关系的进一步深化；根据所学内容可知，随着两德统一，德国的经济也得到发展，因此对中国的市场也有巨大需求。同时德国也在谋求改善国际形象，需求政治大国的地位。两国也因此在推动世界多极化上存在共同利益。\
（3）综合材料内容并结合所学内容可知，中德关系的改善都是基于两国国家利益的考量，同时也和两国经济实力增长、市场扩大、国家影响力提升密切相关。因此必须坚持发展经济，增强国家实力；坚持独立自主，求同存异，摒弃冷战思维；坚持多边外交和推动经济全球化与政治多极化。
14.阅读材料，完成下列要求。
材料 关于宋代历史，海内外学者著述颇丰，叙述各有侧重，如《儒家统治的时代：宋的转型》《中国思想与宗教的奔流：宋朝》《宋史：文治昌盛与武功弱势》等，这些书名反映了作者对时代特征的理解。
结合所学知识，就中国古代某一历史时期，自拟一个能够反映其时代特征的书名，并运用具体史实予以论证。(要求：论证充分，史实准确，表述清晰。)
【答案】略
【解析】
【详解】根据"就中国古代某一历史时期，自拟一个能够反映其时代特征的书名"这一要求，可以看出，本题主要是分析各个时代的特征，或一个，或多个。如秦朝的专制主义中央集权制度的建立反映的是秦朝政治方面的特征。汉代思想上的统一，儒学成为正统，这是汉代在思想方面的特征。宋代商品经济较为发达，这是宋代在经济方面的特征。清代实行闭关锁国政策，逐渐走向封闭，这是清代的特征之一。因此在拟定书名时，可从这些角度切入，即各个朝代在政治、经济、思想等方面的特征。再结合二轮通史的知识，进行分析概括，列举出相关史实即可。
**（二）选考题：共15分。请考生从3道历史题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。**
15.【历史------选修1：历史上重大改革回眸】
材料 表2清末新政时期部分商务法规、章程内容
+------------------------------------+------------------------------------------------------+
| 商会简明章程(1904年) | 商务繁富之区设立商务总会，商务发达稍次之地则设商务 |
| | |
| | 分会。 |
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| 商人通例(1904年) | 肯定商人的地位，规定享有的权利和应遵循的通行规则等。 |
+------------------------------------+------------------------------------------------------+
| 公司律(1904年) | 规定公司的创办程序、组织形式与经营方式，商办公司与 |
| | |
| | 官办公司、官商合办公司"享一体保护之利益"。 |
+------------------------------------+------------------------------------------------------+
| 奖给商勋章程(1906年) | 凡制造新式机器者，奖以三等至一等商勋，赏加四品至二 |
| | |
| | 品顶戴。 |
+------------------------------------+------------------------------------------------------+
| 华商办理农工商实业爵赏章程(1907年) | 凡集股创办企业的华商，根据资本额多少，可分别获一、 |
| | |
| | 二、三等子爵和三品卿、四品卿爵赏。 |
+------------------------------------+------------------------------------------------------+
------摘编自朱英《晚清经济政策与改革措施》等
（1）根据材料，概括清末新政在振兴商务方面采取的措施。
（2）根据材料并结合所学知识，简析材料中的法规、章程对传统商业的突破性意义。
【答案】（1）广泛组织商会；制定商律，保护商人开办公司各项权益；对商人授予商勋和爵位。\
（2）否定了抑商政策，提高了商人的社会地位；动摇了传统义利观；突破了旧式商业组织的束缚。
【解析】
【详解】（1）根据"商务繁富之区设立商务总会，商务发达稍次之地则设商务分会"可知广泛组织商会；根据"规定享有的权利和应遵循的通行规则"可知制定商律；根据"商办公司与官办公司、官商合办公司'享一体保护之利益'"可知保护商人开办公司的各项权益；根据"凡制造新式机器者，奖以三等至一等商勋，赏加四品至二品顶戴"可知对商人授予商勋和爵位。\
（2）根据表格内容可知，清政府鼓励创办公司，促进商业发展，对商人实行保护政策，实际上是否定了抑商政策，提高了商人的社会地位，动摇了传统的义利观，突破了旧式商业组织的束缚。
16.【历史------选修3：20世纪的战争与和平】
材料 巴黎和会上，瓜分土耳其的中东阿拉伯领地时，法国坚持要占有包括黎巴嫩、巴勒斯坦、摩苏尔在内的大叙利亚。英国反对，认为大叙利亚的面积过大。即使法国放弃对巴勒斯坦和摩苏尔的要求后，英国仍不同意大叙利亚计划，逼得法国总理克里孟梭说，这样一来"留给劳合·乔治选择的只有枪或剑了"。关于如何处置战败国德国的殖民地和土耳其的中东阿拉伯领地，各主要国家接受了美国总统威尔逊倡议的"十四点原则"中的委任统治主张。即实行委任统治是因为"其居民尚不能自立"，接受委任统治的国家也就是接受了为"此等人民之福利及发展"的"文明之神圣任务"。
------摘编自廑等主编《世界史》
（1）根据材料并结合所学知识，概括英法发生的争执及其实质。
（2）根据材料并结合所学知识，围绕英法争执，评价威尔逊的委任统治主张。
【答案】（1）争执：法国提出大叙利亚计划，遭到英国反对；法国不惜以武力威胁。实质：帝国主义国家争夺殖民地。\
（2）被纳入国联盟约，暂时解决了英法争执；没有根本解决列强之间矛盾；暴露了美国意图领导世界野心；并未改变殖民统治的实质。
【解析】
【详解】（1）争执：根据"法国坚持要占有包括黎巴嫩、巴勒斯坦、摩苏尔在内的大叙利亚。英国反对"、"留给劳合·乔治选择的只有枪或剑了"可知争执的内容是英国反对法国提出的大叙利亚计划，法国甚至提出以武力相威胁。实质：根据英法争执的内容并结合所学可知两国争执的实质是帝国主义国家在争夺殖民地。\
（2）根据"实行委任统治是因为'其居民尚不能自立'，接受委任统治的国家也就是接受了为'此等人民之福利及发展'的'文明之神圣任务'"可知威尔逊提出的委任统治将大叙利亚计划纳入国联盟约，暂时解决了英法争执，但并没有从根本上解决该问题；同时美国提出的"委任统治"实际上也暴露了美国妄图领导世界的野心，所谓"委任统治"不过是殖民统治的另一种说法。
17.【历史------选修4：中外历史人物评说】
材料 苏绰（498\~546），武功（今陕西扶风）人。他"博览群书，尤善算术"，深受西魏执政者宇文泰信任，委以政事。西魏立国之初，疆域狭小，民族关系复杂，经济文化落后。为强国富民，苏绰建议减官员、置屯田，并创"朱出墨入，及计帐、户籍之法"，为后世财政、会计领域长期沿用。他又制定"六条诏书"，包括先治心、敦教化、尽地利、擢贤良、恤狱讼、均赋役等内容，宇文泰"甚重之，常置诸座右。又令百司习诵之。其牧守令长，非通六条及计帐者，不得居官"。通过"六条诏书"等改革，西魏成功凝聚起民心，由弱变强，为后来北周统一北方乃至隋统一全国奠定了基础。苏绰"性俭素，不治产业......常以天下为己任，博求贤俊，共弘治道，凡所荐达，皆至大官"。在"积思劳倦"十余年后，苏绰因病去世，宇文泰"痛惜之，哀动左右"。
------据《周书》
（1）根据材料，简析苏绰被宇文泰倚重的原因。
（2）根据材料并结合所学知识，概括"六条诏书"的历史意义。
【答案】（1）才能超群，尤善理财；政绩卓著；克己奉公；推荐人才。\
（2）为官员建立了行为规范；促进了经济发展，推动了统一；凝聚起民心，促进和推动了民族融合。
【解析】
【详解】（1）根据"博览群书，尤善算术"、"并创'朱出墨入，及计帐、户籍之法'"可知苏绰才能超群，尤擅理财；根据"通过'六条诏书'等改革，西魏成功凝聚起民心，由弱变强，为后来北周统一北方乃至隋统一全国奠定了基础"可知他政绩卓著；根据"性俭素，不治产业......常以天下为己任，博求贤俊，共弘治道，凡所荐达，皆至大官"可知他克己奉公，推荐人才。\
（2）根据"包括先治心、敦教化、尽地利、擢贤良、恤狱讼、均赋役等内容"、"通过'六条诏书'等改革，西魏成功凝聚起民心，由弱变强，为后来北周统一北方乃至隋统一全国奠定了基础"可知苏绰的"六条诏书"规范了官员行为，促进了经济发展，推动了西魏统一；凝聚了民心，促进和推动了民族融合等。
**2020年普通高等学校招生全国统一考试文科综合能力测试**
**一、选择题：本题共35小题，每小题4分，共140分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
治沟造地是陕西省延安市对黄土高原的丘陵沟壑区，在传统打坝淤地的基础上，集耕地营造、坝系修复、生态建设和新农村发展为一体的"田水路林村"综合整治模式，实现了乡村生产、生活、生态协调发展（下图）。据此完成下面小题。
1\. 与传统的打坝淤地工程相比，治沟造地更加关注（ ）
A. 增加耕地面积 B. 防治水土流失 C. 改善人居环境 D. 提高作物产量
2\. 治沟造地对当地生产条件的改善主要体现在（ ）
A. 优化农业结构 B. 方便田间耕作 C. 健全公共服务 D. 提高耕地肥力
3\. 推测开展治沟造地的地方（ ）
①居住用地紧张 ②生态环境脆弱 ③坡耕地比例大 ④农业生产精耕细作
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】1. C 2. B 3. C
【解析】
【1题详解】
与传统的打坝淤地工程相比，治沟造地是集耕地营造、坝系修复、生态建设和新农村发展为一体的"田水路林村"综合整治模式，说明治沟造地出来关注耕地面积、水土流失和作物产量，还更加关注改善人居环境。所以选C。
【2题详解】
该题关键是注意审题，抓住关键词"生产条件"，治沟造地对当地生产条件的改善主要体现在提高了耕地肥力，优化农业结构、健全公共服务和提高耕地肥力不属于改善当地的生产条件。方便田间耕作是改善生产条件的主要体现。所以选B。
【3题详解】
根据图中信息提示：复垦空废宅基和易地移民搬迁，说明该地居住用地不紧张，但生态环境脆弱，需要易地移民搬迁，坡面退耕还林，治沟造地，说明坡耕地比例大，农业生产精耕细作图中没有体现出来，所以选C。
【点睛】该题考查社会主义新农村建设，农村土地利用整理和规划。城乡规划中乡村规划越来越得到国家的重视，这道试题的命题符合社会主义新农村建设的要求。
为获得冬季防风、夏季通风的效果，我国东北平原的某城市对一居住区进行了相应的建筑布局规划，规划建筑物为高层（7层以上）和多层（7层或以下）。下图示意在该居住区内规划的两个居住片区、道路、出入口及当地盛行风向。据此完成下面小题。
4\. 下列建筑布局中，适合居住片区II的是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
5\. 相对居住片区II，居住片区I的建筑布局宜（ ）
①建筑密度大 ②建筑密度小 ③以高层建筑为主 ④以多层建筑为主（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
6\. 该居住区出入口的设计主要是为了避开（ ）
A. 春季盛行风 B. 夏季盛行风 C. 秋季盛行风 D. 冬季盛行风
【答案】4. B 5. A 6. D
【解析】
【4题详解】
居住片区Ⅱ位于该居住小区西南方向，考虑到该地盛行风向是夏季西南风和冬季东北风，居住片区Ⅱ受夏季西南风影响大，考虑到有效通风，选择②横向错列排布模式有利于西南风吹入小区内，其他排布模式不利于夏季风的有效通风。所以选B。
【5题详解】
居住片区Ⅰ位于该居住小区的东北方向，考虑到光照和冬季防风，所以建筑布局以高层建筑为生，楼层高、建筑密度大有利于获得南侧光照，阻挡冬季风，起到冬季防风作用，所以选A。
6题详解】
根据获得冬季防风、夏季通风的效果，该居住区出入口位于小区的东南和西北方向，与盛行风向垂直，是为了避开冬季寒冷的东北风，所以选D。
利用大型挖泥船将海底岩石搅碎，并将碎石和泥沙一起吹填造地，成为在海中建设人工岛的主要方式。下图示意人工岛地下淡水分布。据此完成下面小题。
7\. 参照上图，在造岛物质满足水渗透的前提下，人工岛形成并保持相对稳定的地下淡水区的条件是（ ）
①降水充沛且季节分配均匀 ②降水充沛且季节集中 ③人工岛足够长 ④人工岛足够宽
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
8\. 人工岛的地下淡水一般不作为日常生产生活水源，主要因为其（ ）
A. 取水难度大 B. 开采周期长 C. 水质较差 D. 储量较少
【答案】7. B 8. D
【解析】
【7题详解】
参照图 3中的岛内的淡/咸水界限，岛内地下淡水受岛屿周边海洋水的影响，在造岛物质满足水渗透的前提下，降水充沛且季节分配均匀，雨水得到充分稳定的下渗，有利于岛内地下淡水区稳定；如果降水季节变化大就会导致淡/咸水界限变化大，岛内地下淡水区空间变化大；人工岛足够宽也有利于人工岛形成并保持相对稳定的地下淡水区；所以选B。
【8题详解】
人工岛一般面积不大，人工岛没有足够宽度，容易受海洋咸水的影响，导致人工岛的地下淡水的区域小，地下淡水储量较少，地下淡水储量不能满足日常生产生活的需求，即选D。此题容易错选水质较差，水质差是受到海水影响的地下水咸水区，地下水淡水区水质没有问题。
【点睛】该题需要充分理解图中信息，明白图中人工岛的地下淡水区的面积及其变化特点。从而才能把握这组试题的命题思路和答题方向。
岳桦林带是长白山海拔最高的森林带。岳桦林带气候寒冷，生长季短，只有其下部的岳桦才结实（种子）。岳桦结实的海拔上限称为岳桦结实线，岳桦林分布上限即长白山林线。监测表明，20世纪90年代以来，长白山北坡气候持续变暖，岳桦结实线基本稳定；林线的海拔快速提升了70\~80米，但近年趋于稳定。据此完成下面小题。
9\. 目前，长白山北坡林线附近的岳桦多为（ ）
A. 幼树 B. 中龄结实树
C. 老树 D. 各树龄组混生
10\. 推测20世纪90年代以来，长白山北坡岳桦林带（ ）
A. 冬季升温幅度小，生长季稳定 B. 冬季升温幅度大，生长季延长
C. 冬季升温幅度大，生长季稳定 D. 冬季升温幅度小，生长季延长
11\. 在气候变暖背景下，长白山北坡林线近年却趋于稳定，原因可能是（ ）
A. 降水稳定 B. 水土流失量稳定
C. 土壤肥力稳定 D. 岳桦结实线稳定
【答案】9. A 10. C 11. D
【解析】
【9题详解】
根据材料提示：20 世纪 90 年代以来，长白山北坡气候持续变暖，岳桦結实线基本稳定；林线的海拔快速提升了 70-80 米，但近年趋于稳定。说明目前长白山北坡林线附近的岳桦多为近年来新生长出来的树，所以林线附近的岳桦多为幼树。所以选A。
【10题详解】
根据材料提示：岳桦林带气候寒冷，生长季短，只有其下部的岳桦才结实（种子），可知岳桦结实线与生长季长短有关。20 世纪 90 年代以来，长白山北坡气候持续变暖，岳桦結实线基本稳定,说明生长季稳定；林线的海拔快速提升了70-80米，说明北坡冬季升温幅度大,导致林线快速上升，所以选C。
【11题详解】
在气候变暖背景下，气温继续缓慢升高而降水稳定，则会导致长白山北坡林线继续上升，A错误；水土流失、土壤肥力不是影响林线变化的原因，B、C错误；岳桦结实线稳定，即岳桦林种子分布的海拔上限稳定，而岳桦林分布上限即长白山林线，因而长白山北坡林线近年趋于稳定，所以选D。
【点睛】该题难度大，属于新概念试题，需要对岳桦结实线和林线的理解，然后再结合具体问题分析。
**二、非选择题：共160分。第36\~42题为必考题，每个试题考生都必须作答。第43\~47题为选考题，考生根据要求作答。**
**（一）必考题：共135分。**
12.阅读图文材料，完成下列要求。
葡萄喜光，耐旱。下图为某坡度较大的地方采用顺坡垄方式种植葡萄的景观。该地位于52°N附近，气候湿润。
（1）当地采用顺坡垄种植葡萄，据此分析该地区的降水特点。
（2）指出该地种植葡萄宜选择的坡向，并分析与梯田相比，顺坡垄利用光照的优势。
（3）说明温带半干旱地区坡地耕作不宜采用顺坡垄的理由。
【答案】（1）顺坡垄不利于保水保土(灌溉不便)。因此，该地区降水应具有以下特点：降水频率高(经常降雨)，强度小(少暴雨或每次降雨量较小)，降水量季节分配较均匀。
（2）葡萄喜光。种植葡萄宜选择向阳坡(或用方位表示的阳坡，如南坡)。该地纬度高，太阳低(正午太阳高度小)，与梯田相比，顺坡垄接受阳光照射的角度较大，植株和垄接受光照的面积较大。
（3）温带半干旱地区偶有暴雨，种植作物需要灌溉，而坡地顺坡垄不利于保水保土。
【解析】
【分析】
选择西欧顺坡垄设计为情境，反映农业生产特征是一定地域人类与地理环境长期协调的结果，引导学生建立因地制宜开展农业生产的观念。
详解】（1）顺坡垄的走向与坡向一致，水流速度较快，不利于保水保土，且灌溉不便。结合材料，该地位于52°N附近，气候湿润，应位于温暖湿润的西欧，因此，该地区降水应具有以下特点：降水频率高即经常降雨，强度小，少暴雨，每次降雨量较小，对土壤的冲刷能力较弱，故可不考虑保土保水的作用，降水量季节分配较均匀，故可不考虑灌溉的问题。
（2）由材料可知，葡萄喜光，种植葡萄宜选择向阳坡南坡。该地位于52°N附近，纬度高，正午太阳高度小，太阳低，与梯田相比，顺坡垄葡萄之间的阻挡少，可接受阳光照射的角度较大，植株和垄接受光照的面积较大，利于葡萄的生长。
（3）顺坡垄不利于保水保土，且灌溉不便，温带半干旱地区偶有暴雨，顺坡垄加重了水土流失，不利于保水保土；半干旱地区，降水量较少，且季节分配不均，种植作物需要灌溉，而坡地顺坡垄灌溉不便，故温带半干旱地区坡地耕作不宜采用顺坡垄。
13.阅读图文材料，完成下列要求。
形成玄武岩的岩浆流动性好，喷出冷凝后，形成平坦的地形单元。如图所示，某海拔500米左右的玄武岩台地上，有较多海拔700米左右的玄武岩平顶山，及少量海拔900米左右的玄武岩尖顶山。调查发现，构成台地、平顶山、尖顶山的玄武岩分别形成于不同喷发时期。
（1）指出玄武岩台地形成以来因流水侵蚀而发生的变化。
（2）根据侵蚀程度，指出构成台地、平顶山、尖顶山的玄武岩形成的先后次序，并说明判断理由。
（3）说明玄武岩台地上有平顶山、尖顶山分布的原因。
【答案】（1）台地被流水侵蚀、切割，起伏加大，面积变小。
（2）形成先后次序：构成尖顶山的玄武岩，构成平顶山的玄武岩、构成台地的玄武岩。
理由：地貌侵蚀程度越严重，说明岩石暴露时间越长，形成时间越早。台地受侵蚀轻，构成台地的玄武岩形成时间最晚；平顶山保留台地的部分特征，构成平顶山的玄武岩形成时间较晚；尖顶山已经没有台地的特征，构成尖顶山的玄武岩形成时间最早。
（3）早中期喷出的岩浆冷凝成玄武岩台地后，大部分被侵蚀，残留的部分为山体。最新(晚)一期喷出的岩浆未能完全覆盖残留山体，冷凝成玄武岩台地，其上仍保留了原有山体。
【解析】
【分析】
本题主要考查岩石圈的物质循环和地貌形成的相关知识，抓住"形成玄武岩的岩浆流动性好，喷出冷凝后，形成平坦的地形单元"这句话是解题的关键，考查学生通过阅读地质剖面图，获取所在地经历的地质事件信息的能力，进而重建当地在内、外力作用下的环境演变过程。
详解】（1）由材料可知，玄武岩形成平坦的地形单元，但在500米左右的玄武岩台地上，有较多海拔700米左右的玄武岩平顶山，及少量海拔900米左右的玄武岩尖顶山，说明最初的平坦台地被流水侵蚀、切割，起伏加大，且由台地变成平顶山变成了尖顶山，说明面积变小。
（2）由材料可知，玄武岩最初形成的是平坦的地形单元，后经流水的侵蚀、切割，形成尖顶山、平顶山和台地，地貌侵蚀程度越严重，说明岩石暴露时间越长，形成时间越早，尖顶山已经没有台地的特征，构成尖顶山的玄武岩形成时间最早；台地受侵蚀轻，构成台地的玄武岩形成时间最晚；平顶山保留台地的部分特征，构成平顶山的玄武岩形成时间较晚。
（3）据以上分析可知，通过保留的部分可以判断台地、平顶山、尖顶山形成的早晚，平顶山、尖顶山是较早形成的，早中期喷出的岩浆冷凝成玄武岩台地后，大部分被侵蚀，残留的部分为山体。台地形成的时间较晚，也就是最新(晚)一期喷出的岩浆未能完全覆盖残留山体，冷凝成玄武岩台地，故其上仍保留了原有山体。
14.\[地理------选修3：旅游地理\]
景泰蓝制作是北京市地方传统技艺，已入选国家非物质文化遗产名录。近年来，北京市某企业依托其景泰蓝艺术博物馆、景泰蓝制作技艺互动体验中心以及工厂店，在夏秋季节每周五、周六17时至22时，举办"景泰蓝文化体验之夜"活动，吸引众多的市民与游客前来观光和互动。
简述举办"景泰蓝文化体验之夜"活动的旅游价值。
【答案】通过延长旅游活动时间，充分挖掘旅游项目与旅游产品的经济价值，增加旅游业收入；带动交通、餐饮、购物等相关产业的发展，提供更多的就业岗位，丰富市民与游客的夜间文化生活；增强市民与游客对景泰蓝技艺的了解，有利于(非物质文化遗产)景泰蓝技艺的保护、传承与发展。
【解析】
【分析】
该题以举办"景泰蓝文化体验之夜"活动为材料，考查旅游资源价值的评价。
【详解】先注意审题，行为动词为"简述"，简单叙述、说明举办"景泰蓝文化体验之夜"活动的旅游价值，旅游价值主要包括经济价值、历史文化价值、美学价值和科学价值。根据材料提示，举办"景泰蓝文化体验之夜"活动主要表现在经济价值和历史文化价值。在夏秋季节每周五、周六17时至22时，举办"景泰蓝文化体验之夜"活动，延长旅游活动时间，同带动交通、餐饮、购物等相关产业的发展，提供更多的就业岗位，充分挖掘旅游的经济价值，增加旅游业收入；举办"景泰蓝文化体验之夜"活动同时增强市民与游客对景泰蓝技艺的了解，丰富市民与游客的夜间文化生活，也有利于非物质文化遗产景泰蓝技艺的保护、传承与发展，体现了其历史文化价值。
15.\[地理------选修6：环境保护\]
高原鼠兔多穴居于植被低矮的高山草甸地区，因啃食植物曾被看作是引起高山草向退化的有害动物而被大量灭杀。土壤全氮含量是衡量土壤肥力的重要指标。通常土壤肥力越高，植被生长越好，生态系统抗退化能力越强。下图示意青藏高原某典型区域高原鼠兔有效洞口（有鼠兔活动）密度与土壤全氮含量的关系。
分析高原鼠兔密度对高山草甸退化的影响，并提出防控高原鼠兔的策略。
【答案】合适的高原鼠兔密度，能够维系土壤肥力，促进高山草甸生长，使之不易退化；密度过大时，大量啃食植被，土壤肥力下降，引起高山草甸退化；密度过小时，高原鼠兔对维持高山草甸的氮循环贡献小，土壤肥力较低，高山草甸易退化。把高原鼠兔数量(密度)控制在合适范围之内，而不是全面灭杀。
【解析】
【详解】先注意审题，该问题包括两个分析，先分析高原鼠兔密度对高山草甸退化的影响，再提出对策。读图可知，青藏高原某典型区域高原鼠兔有效洞口密度与土壤全氮含量的关系是：先随着高原鼠兔密度增加土壤全氮含量也增加，当高原鼠兔有效洞口密度达到760后，高原鼠兔密度继续增加后，土壤全氮含量随着开始下降。即密度过大时，土壤肥力下降，引起高山草甸退化；密度过小时，高原鼠兔对维持高山草甸的氮循环贡献小，土壤肥力较低，高山草甸易退化；而合适的高原鼠兔密度，能够维系土壤肥力，有利于促进高山草甸生长。
根据上面结论：合适的高原鼠兔密度，能够维系土壤肥力，促进高山草甸生长。所以防控高原鼠兔的策略是把高原鼠兔数量(密度)控制在合适范围之内，而不是全面灭杀，高原鼠兔过多过少都不行。在合适范围之内，使得土壤全氮含量处于较高的水平，刚好能够维系土壤肥力。
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I卷）文科综合政治试题**
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.新冠肺炎疫情发生以后，医用口罩、防护服、消毒液等防疫物资一度紧缺，不少大型制造企业开启了"跨界"生产之路，如某电器集团紧急成立医疗子公司，迅速调整生产计划，很快向市场提供医疗物资生产设备和医用口罩。企业短时间内紧急转产、快速投产，说明（ ）
①我国相关制造业有完整灵活的供应链
②市场需求对企业生产有重要导向作用
③企业具有转产防疫产品的前瞻性战略
④企业可以通过转产快速化解市场风险
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
【答案】A
【解析】
【详解】①："不少大型制造企业开启了'跨界'生产之路"表明我国相关制造业有完整灵活的供应链，①符合题意。
②："医用口罩、防护服、消毒液等防疫物资一度紧缺，企业转产"表明市场需求对企业生产具有重要导向作用，②符合题意。
③：疫情发生后，企业才转产，并不能体现"前瞻性战略"，③不符合题意。
④：材料并不能说明"企业可以通过转产快速化解市场风险"，④不符合题意。
故本题选A。
2.为发挥农业保险对支农惠农、促进农业发展的作用，中央财政于2007年开始实施农业保险保费补贴政策。截至2019年底，农业保险累计支付赔款2400多亿元，服务农户数从0．5亿户次增至1．8亿户次，提供的风险保障从0．1万亿元增加到3．6万亿元。农业保险保费补贴政策发挥作用的路径是（ ）
①获得财政补贴，降低成本支出
②增加生产投入，促进产业发展
③购买农业保险，支付保险费用
④转移灾害风险，稳定收入预期
A. ①→③→④→② B. ①→③→②→④
C. ③→①→④→② D. ③→①→②→④
【答案】C
【解析】
【详解】①③：中央财政实施农业保险保费补贴政策，前提是农户购买了农业保险，支付了相应保险费用，才可享受相应的补贴政策。③排第一位，①排第二位。
④：购买农业保险后，当风险发生时，能有效规避风险，转移灾害风险预，稳定收入预期，④排第三位。
②：当农户的收入预期向好的时候，农户将进一步增加生产投入，即达到了"发挥农业保险对支农惠农、促进农业发展的作用"，②排第四位。
故本题选C。
3.2015年10月，人民币跨境支付系统（CIPS）正式启动。CIPS是由中国人民银行组织开发，为境内外金融机构人民币跨境和离岸业务提供资金清算与结算服务的系统。截至2020年5月末，有96个国家和地区的969家银行接入该系统。CIPS的推广使用表明（ ）
①人民币实现跨境自由流动
②人民币国际化进程加速
③人民币在全球可自由兑換
④中国对外贸易结算风险降低
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】D
【解析】
【详解】①③：材料中"有96个国家和地区的969家银行接入该系统"并不能推导出人民币实现跨境自由流动、人民币可在全球自由兑换，这夸大了CIPS在现阶段的作用，①③不符合题意。
②：人民币跨境支付系统的启动体现了人民币国际化进程加速，②符合题意。
④：CIPS为境内外金融机构人民币跨境和离岸业务提供资金清算与结算服务，这将使得中国对外贸易结算风险降低，④符合题意。
故本题选D。
信息时代。数据在经济社会生活中的作用越来越重要。据此完成下面小题。
4\. 2019年10月，《中共中央关于坚持和完善中国特色社会主义制度、推进国家治理体系和治理能力现代化若干重大问题的决定》首次将数据与劳动、资本、土地等并列，将其列为生产要素。数据被列为生产要素是因为（ ）
①数据广泛融入生产过程，具有独特创造力
②数据是最具流动性的基础性资源
②数据的所有权和使用权可以分离
④数据对提高生产效率作用日益凸显
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
5\. 在新一轮政府机构改革中，浙江、福建等省成立大数据管理局，负责统筹数据资源建设管理，协调全省政务信息化、电子政务建设，推进信息化发展和大数据融合应用、大数据相关产业发展和行业管理。创新设立大数据管理局旨在（ ）
①推动经济转型升级发展②保障地方政府依法行政
③改革完善基层行政体制④优化地方政府职能配置
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
【答案】4. B 5. B
【解析】
【4题详解】
①④：数据之所以被列为生产要素之一，是因为其在经济社会中的作用越来越重要，即其广泛融入生产过程，对提高生产效率的作用越来越突出，①④符合题意。
②③：该两个选项说法正确，但并不能表现出数据在经济社会中的独特作用，则不能作为数据被列为生产要素的原因，②③不符合题意。
故本题选B。
【5题详解】
①④：浙江、福建等省成立大数据管理局，负责统筹数据资源建设管理，协调全省政务信息化、电子政务建设，推进信息化发展和大数据融合应用、大数据相关产业发展和行业管理。可见，创新设立大数据管理局旨在推动经济转型升级发展，①④正确。
②：材料不涉及依法行政，创新设立大数据管理局也无法保障地方政府依法行政，②排除。③：根据材料可知，创新设立大数据管理局目的在于优化地方政府职能配置，更好的利用大数据服务经济，而不是为了改革完善基层行政体制改革，③排除。
故本题选B。
6.2019年10月26日，十三届全国人大常委会第十四次会议通过《关于国家监察委员会制定监察法规的决定》。根据这一决定，国家监察委员会为执行法律的规定、履行领导地方各级监察委员会职责，可根据宪法和法律，制定监察法规。该决定表明（ ）
①全国人大常委会在监察立法工作中发挥主导作用
②全国人大常委会可以授权国家监察委员会制定法规
③国家监察委员会是全国人大行使监督权的职能机构
④国家监察委员会拥有自主制定本部门法律的权力
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
【答案】A
【解析】
【详解】①②：根据十三届全国人大常委会通过的《关于国家监察委员会制定监察法规的决定》， 国家监察委员会为执行法律的规定、履行领导地方各级监察委员会职责，可根据宪法和法律，制定监察法规。这表明全国人大常委会在监察立法工作中发挥主导作用，全国人大常委会可以授权国家监察委员会制定法规，①②正确。
③：国家监察委员会是我国的监察机关，不是全国人大行使监督权的职能机构，③错误。
④：材料表明，国家监察委员会拥有自主制定本部门法规的权力，而不是法律的权力，④排除。
故本题选A。
7.国家主席习近平在2019年4月第二届"一带一路"国际合作高峰论坛开幕式上的主旨演讲中，用"万物得其本者生，百事得其道者成"来形容共建"一带一路"。下列选项与"本"和"道"含义不相符的是（ ）
A. 经济全球化的历史潮流
B. 全球治理体系变革时代要求
C. 各国人民过上更好日子的强烈愿望
D. 发展中国家实现区域经济一体化的迫切需要
【答案】D
【解析】
【详解】ABC："万物得其本者生，百事得其道者成。"出自西汉刘向的《说苑》，意思是：世间万物只有保住根本才能生长，一切事情只有遵循规律才能成功。可见，经济全球化的历史潮流、全球治理体系变革的时代要求、各国人民过上更好日子的强烈愿望，都与题中的"本"和"道"含义相符，排除ABC。
D：区域经济一体化亦称"区域经济集团化"，强调同一地区的两个以上国家逐步让渡部分甚至全部经济主权，采取共同的经济政策并形成排他性的经济集团的过程。可见，发展中国家实现区域经济一体化的迫切需要，与题中的本"和"道"不符，故D符合题意。
故本题选D。
8.家庭联产承包责任制拉开了中国改革开放的序幕，农村改革带来的希望在心底里流淌、在劳动中萌发，文艺工作者的创作激情和灵感在希望的田野上点燃，歌曲《在希望的田野上》由此诞生。如今，这首唱响大江南北的歌已凝结成标示时代巨变的音乐符号，激励着亿万中华儿女奋发进取。这表明（ ）
①群众喜闻乐见是评价艺术价值的客观标准
②社会主义文艺要坚持讴歌人民、讴歌劳动
③激情与灵感是艺术创作的源泉与动力
④优秀的文艺作品既要回应时代要求又能引领时代方向
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】C
【解析】
【详解】①：群众是否喜闻乐见是评价艺术是否受欢迎的一个标准，但不是评价艺术价值的客观标准，①错误。
②：家庭联产承包责任制拉开了中国改革开放的序幕，农村改革带来的希望在心底里流淌、在劳动中萌发，文艺工作者的创作激情和灵感在希望的田野上点燃，歌曲《在希望的田野上》由此诞生，这说明社会主义文艺要坚持讴歌人民、讴歌劳动，②正确。
③：社会实践是艺术创作的源泉与动力，③错误。
④："歌曲《在希望的田野上》是在家庭联产承包责任制拉开了中国改革开放的序幕的背景下创作的"说明文艺创作也立足于时代；"如今，这首唱响大江南北的歌已凝结成标示时代巨变的音乐符号，激励着亿万中华儿女奋发进取"说明优秀的文化对时代发展的引领作用。故④正确。
故本题选C。
9.在数千年发展历程中，亚洲人民创造了辉煌的文化成果。《诗经》《论语》《塔木德》《一千零一夜》《聚俱吠陀》《源氏物话》等名篇经典，楔形文字、地图、玻璃、阿拉伯数字、造纸术、印刷木等发明......既独树一帜、各领风骚，又和谐共生、交相辉映，记录了亚洲人民对美好生活的追求，都是人类文明的宝贵财富。从中得到的启示是（ ）
①文化的多样性来自于社会生产生活的丰富性
②历史积淀的厚度是衡量文化先进程度的尺度
③丰富多彩的优秀文化是人民群众创造力的集中体现
④文化作为一种精神力量规定了文明发展的进程和趋势
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】B
【解析】
【详解】①③：基于对美好生活的追求，亚洲人民创造了既独树一帜、各领风骚，又和谐共生、交相辉映的文化成果，这启示我们文化的多样性来自于社会生产生活的丰富性，丰富多彩的优秀文化体现了人民群众创造力，①③正确。
②：能够适应和推动社会生产力发展文化，就是先进文化，该选项过于夸大了历史积淀的作用，其不能作为衡量文化先进程度的尺度，②排除。
④：文化作为一种精神力量会影响文明发展的进程和趋势，"规定"的表述错误，④排除。
故本题选B。
10.工业遗产的开发利用是城市转型发展亟待解决的问题。许多城市巧妙利用闲置的厂房和设备，精心打造文创产业园、时尚设计园、爱国主义教育基地等，厂房变成博物馆，仓库改成音乐厅，厂区转为影视基地......工业遗产的"华丽转身"表明（ ）
①事物间的联系是客观的，与人的意识无关
②把握联系的多样性是正确认识和有效利用事物的前提
③事物发展的关键在于把事物的内部联系转变为外部联系
④人们可以通过实践调整事物之间原有的联系，建立新的联系
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】C
【解析】
【详解】①：联系分为自在事物联系与人为事物的联系，自在事物的联系与人的意识无关；人为事物的联系是人类实践的产物，呈现着"人化"的特点，因此，不能说所有的联系都与人的意识无关，①排除。
②④：许多城市巧妙利用闲置的厂房和设备，精心打造文创产业园、时尚设计园、爱国主义教育基地等，对工业遗产的合理利用表明了，把握联系的多样性有利于正确认识和有效利用事物，也说明了人们可以通过实践调整事物之间原有的联系，建立新的联系，②④正确。
③：发展最终都是通过质变来实现的，因此，质变是事物发展的关键，③错误。
故本题选C。
11.2019年3月18日，习近平在学校思想政治理论课教师座谈会上强调，青少年阶段是人生的"拔节孕德期"。最需要精心引导和栽培；要给学生心灵埋下真善美的种子，引导学生扣好人生第一粒扣子。因为（ ）
①青年学生的价值观决定于其行为选择
②青年学生的价值观一旦形成就会稳定不变
③价值观教有是青年学生健康成长的必修课
④正确价值观是青年学生走好人生道路的重要向导
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
【答案】D
【解析】
【详解】①：青年学生的价值观影响其行为选择，"决定于"的表述错误，排除①。
②："稳定不变"的表述属于形而上学的观点，排除②。
③④：习近平强调，在青少年的"拔节孕穗期"，需要精心引导和栽培，帮助他们在心灵深处埋下真善美的种子，这是基于价值观教育是青年学生健康成长的必修课，正确价值观是青年学生走好人生道路的重要向导，③④正确。
故本题选D。
12.广西某山村有许多珍稀鸟类，但一直存在打鸟、捕鸟等现象。近年来，该村引导村民树立"绿水青山就是金山银山"的理念，建设观鸟基地，吸引天南海北的"鸟友"前来参观，以护鸟观鸟、旅游观光、休闲度假为特色的产业蓬勃发展，以前打鸟、捕鸟的村民成为爱鸟、护鸟的"土专家"和良好生态环境的自觉守护者。这表明（ ）
①社会意识的发展变化根源于生产生活的发展变化
②不与社会存在同步变化的社会意识是落后的社会意识
③社会意识能够转化为改变社会存在的物质力量
④社会意识能否推动社会发展取决于其是否反映社会存在
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】B
【解析】
【详解】①③：在"绿水青山就是金山银山"理念的引导下，该村放弃了打鸟、捕鸟，反而建设了观鸟基地，吸引众多"鸟友"前来参观，带动了当地经济社会的发展，这表明了社会意识的发展变化根源于生产生活的发展变化，社会意识通过社会实践能够转化为物质力量，①③正确。
②：社会意识具有相对独立性，即社会意识与社会存在发展具有不完全同步性，有时会落后于社会存在，有时又会先于社会存在而变化发展，因此，不与社会存在同步变化的社会意识可能是落后的社会意识，也可能是先进的社会意识，②错误。
④：社会意识都是对社会存在的反映，先进的社会意识推动社会的发展，落后的社会意识阻碍社会的发展，故"取决于其是否反映社会存在"的表述错误，④排除。
故本题选B。
**二、非选择题：共52分。**
13.阅读材料，完成下列要求。
材料一 2013\~2019年我国最终消费支出对GDP增长贡献率和居民恩格尔系数的变化
材料二 2019年11月，第二届中国国际进口博览会在上海举行，共有155个国家(地区)、26个国际组织、3893家企业参加，超过50万名境内外专业采购商到会洽谈采购，累计意向成交额711.3亿美元。进博会设置装备、食品、医药、健康、服务等展区，与大众品质生活的消费密切相关：从新抗癌药到智能化的医疗设备，从体现绿色概念的护肤品到高科技垃圾粉碎机，从可穿戴外骨骼机器人到有助于创建"养老型城市"的康养产品等，集中反映了当前消费的新热点、新趋势。
(1)解读材料一包含的经济信息。
(2)结合材料并运用经济知识，说明消费变化对我国生产将产生的重要影响。
【答案】（1）最终消费对GDP增长贡献率总体呈上升趋势，消费是我国经济增长的重要动力；居民恩格尔系数逐年下降，我国消费结构不断优化。
（2）消费的强勤势头，拉动经济增长，促进生产发展；消费结构的优化，带动生产与产业结构转型升级，促使产品质展提升；消费的新热点、新趋势，激发生产供给改革与技术创新，促进新产业新业态的出现和成长。
【解析】
【分析】
本题以居民消费为话题设置试题情境，以最终消费对GDP增长贡献率、居民恩格尔系数变化、第二届中国国际进口博览会为材料，从《经济生活》的知识角度设置问题，考查考生对消费等基础知识的掌握程度，考查考生的读图能力、图文转化能力，考查考生阅读材料分析材料、描述阐释事物、运用知识解决问题的能力。
【详解】第（1）问，本题要求考生解读材料一包含的经济信息。考生认真研读图表，图中两个指标：最终消费对GDP增长贡献率与居民恩格尔系数，考生抓取关键数据，注意时间节点：2013---2019年；纵横对比：最终消费对GDP增长贡献率逐年上升（2017、2019年除外），与居民恩格尔系数逐年下降；然后概括现象所折射的信息：最终消费对GDP增长贡献率总体呈上升趋势，说明消费对我国经济增长的作用越来越大，是我国经济发展的重要动力（或者基础性作用。）恩格尔系数不断下降说明消费水平不断提升，消费结构不断优化。
第（2）问，本题要求考生结合材料并运用经济知识，说明消费变化对我国生产将产生的重要影响。知识限定比较宽泛，属于中观考查。考生联想消费对生产的反作用，五个层次：一般作用、目的、导向、带动、劳动力。考生进一步对照材料圈定答题的知识要点：一般作用、导向作用、带动作用，运用这些知识要点结合材料分析，形成答案要点。
①一般作用角度：从进博会参展国、成交额可知我国消费的强劲势头。这会拉动经济增长，促进生产发展。
②导向作用角度：联想主干知识：消费所形成的新的需要，对生产的调整和升级起着导向作用。结合主干知识与试题材料分析：消费结构的优化，促使我国生产与产业结构转型升级，促使产品质量提升。
③带动作用角度：联想主干知识：一个新的消费热点的出现，往往能够带动一个产业的出现和成长。结合主干知识与试题材料分析：消费的新热点、新趋势，激发生产供给改革与技术创新，促进新产业新业态的出现和成长。
【点睛】第（1）问，本题属于图表分析题。结合本题呈现形式，本题的解答侧重于"读"，读图表，解题思路是正确利用表头信息，注意表头信息说明了图表所展示的问题是什么；全面分析图表内容本身，提取数据，纵横对比，说明理论知识，纵向看变化，横向看差距；注意图表中"注"的作用，补充思路，完善答案。
第（2）问，本题属于分析说明题。回答分析说明类问题，主要按以下思路进行：第一步，分析材料，把握主题，联想相关知识。第二步，围绕主题，回归教材，确认知识（细化知识要点并确认）。以试题反映出的问题为中心与教材联系，找出材料与教材的"结合点"。第三步，紧扣题意，合理作答。通常，我们只要将教材中的基本原理与材料一一对应，用理论分析材料即可。
14.阅读材料，完成下列要求。
《中共中央国务院关于实施乡村振兴战略的意见》要求深化村民自治实践，"坚持自治为基，加强农村群众性自治组织建设，健全和创新村党组织领导的充满活力的村民自治机制"。
某地探索创新村民自治机制，形成"四会管村"模式。村党支部委员会根据村民自治有关规定，讨论决定旧村改造事项并提出要求。5个村民小组组长挨家挨户走访村民，汇集村民意见建议300多条，初步估算总投资上亿元。村民议事会经过反复商议，形成两套改造安置方案。第一套方案经费投入较多，涉及村头大树和祠堂的保留利用;第二套方案现代时尚，且相对省钱。两套方案并报村民代表大会投票表决，第一套方案获得通过。在全体村民的积极支持配合下，村民委员会精心组织实施，不到两个半月，378户、10万平方米的旧房全部顺利拆迁完毕。
运用政治生活知识说明"四会管村"实现村民自治的工作机制及其意义。
【答案】机制：党的领导、民主管理和依法办事有机结合；党支部领导统筹，村民议事会协商方案，村民代表大会民主决策，村民委员会组织实施。
意义：坚持村党支部的领导，有效汇集村民的意见建议，保障村民依法行使民主权利；提高民事民办、民事民管效能，提升村民自治能力。
【解析】
【分析】
本题以村民自治为话题设置试题情境，以某地探索创新村民自治机制的实践为材料，从《政治生活》的知识角度设置问题，考查考生对基础知识的掌握程度，考查考生阅读材料分析材料、描述阐释事物、运用知识解决问题的能力。
【详解】本题要求考生运用政治生活知识说明"四会管村"实现村民自治的工作机制及其意义。知识限定比较宽泛，属于中观考查。试题分为两步：
第一步，工作机制：考生阅读材料，确定"四会"分别是村党支部委员会、村民议事会、村民代表大会、村民委员会，由这四个会在材料中的作为联想相关知识，分析作答：
①村党支部委员会角度：材料信息：村党支部委员会根据村民自治有关规定，讨论决定旧村改造事项并提出要求。结合主干知识与试题材料分析：坚持党的领导。
②村民议事会角度：材料信息：村民议事会经过反复商议，形成两套改造安置方案。结合主干知识与试题材料分析：一方面坚持民主管理，同时又依法办事。
③村民代表大会角度：材料信息：村民代表大会投票表决两套改造安置方案。结合主干知识与试题材料分析：村民代表大会民主决策。
④村民委员会角度：材料信息：村民委员会精心组织实施，不到两个半月，378户、10万平方米的旧房全部顺利拆迁完毕。结合主干知识与试题材料分析：村民委员会组织实施。
第二步，分析"意义"：考生结合材料分析，从"四会"的作为看，可以从党的领导、民主自治等方面阐释；从"不到两个半月，378户、10万平方米的旧房全部顺利拆迁完毕。"等信息说明民事民办、民事民管效能得以提升，村民自治能力得以提升。
【点睛】本题解答的关键在于知识角度的确定，考生可从试题的关键词"四会"联想相关主体、相关知识要点，展开分析。本题解答的重点在于对材料的解读，考生可从不同的行为主体给材料划分层次，然后对应相应的知识糅合材料信息，如本题涉及党支部、村委会、村民议事会、村民代表大会，分别划分层次，联想知识要点，分析作答。
15.阅读材料，完成下列要求。
在抗击新冠肺炎疫情过程中，国家卫生健康委组织专家对医疗救治工作不断进行分析、研判、总结，先后制修订和发布7版新冠肺炎诊疗方案，为保卫人民生命健康提供了重要保障。第1版方案较简单，主要包括病原学特点、病例特点、病例定义、鉴别诊断、病例发现与报告、治疗等方面内容。第3版方案细化了中医治疗方案等内容。第7版方案增加病理改变内容，增补和调整临床表现、诊断标准、治疗方法和出院标准等，并纳入无症状感染者可能具有感染性、康复者恢复期血浆治疗等新发现，形成了包括13个方面内容的比较完整的诊疗体系。
中医药是中国人民在几千年生产生活实践中创造的，是中华文化的瑰宝，在抗击新冠肺炎疫情中彰显了独特的价值和魅力。坚持中西医结合、中西药并用，发挥中医药治未病、辩证施治、多靶点干预的独特优势，全程参与深度介入疫情防控，形成了覆盖诊疗过程的中医诊疗规范和技术方案，在全国推广使用，有效降低了发病率、转重率、病亡率，提高了治愈率，加快了恢复期康复。中医药还走出国门助力全球抗疫，中方专家线上线下与日本、韩国、意大利、柬埔寨等国专家分享救治经验，将新冠肺炎中医药诊疗方案译成英文并发布在国家卫生健康委网站与世界各国共享。
(1)诊疗方案的变化反映了对新冠肺炎认识的发展，运用认识论原理加以分析。
(2)结合材料并运用文化生活知识，说明弘扬中医药文化对于坚定文化自信的作用。
(3)请就如何发挥中医药在"健康中国"建设中的作用提两条建议。
【答案】（1）实践是认识的基础，对复杂事物的正确认识往往要经过从实践到认识、再从认识到实践的多次反复才能完成；真理是具体的、历史的，是一个不断发展的无限过程。诊疗方案的变化，反映了对新冠肺炎的认识以诊疗实践为基础，是一个从不深刻到比较深刻、从不全面到比较全面的不断完善的过程，是一个指导诊疗实践又不断接受诊疗实践检验的过程。
（2）中医药文化是中华文化的重要组成部分，是中华民族生命力创造力的生动体现，是中国人民在长期医疗实践中创造的宝贵精神财富。总结中医药在抗击疫情中的成功运用经验，弘扬中医药文化，能够繁荣发展中华文化，满足群众健康需求、保卫人民生命安全，丰富人类医学文化多样性、促进世界文明发展进步。
（3）普及中医药文化；推动中医药产业高质量发展；培养更多中医药人才。
【解析】
【分析】
（1）本题为分析说明类主观题，作答时首先：定点，明确考查的知识点，回顾相关知识点。其次：联系，审读材料，在材料分析时要注意分层次，抓关键句。最后：梳理、作答。将材料信息与考察知识点对照，做到观点与材料结合。
（2）本题属于意义类的主观题型，要求结合材料并运用《文化生活》的知识分析，知识限定不明确，但由材料及题目的设问可知，考查的是传统文化、文化自信的知识，解题时主要根据材料内容再结合与其有关的知识展开分析，注意设问的指向是"弘扬中医药文化对坚定文化自信的作用"，考查的是考生理论联系实际的能力。
（3）属于开放性试题，解答此题考生围绕"如何发挥中医药在'健康中国'建设中的作用"这一主题，言之有理即可。
【详解】（1）本题要求学生运用认识论原理分析"诊疗方案的变化反映了对新冠肺炎认识的发展"，属于分析说明类主观题，知识限定范围为"认识论"。材料中"先后制修订和发布7个版新冠肺炎诊疗方案"，说明认识具有反复性、无限性，真理性认识往往要经过从实践到认识、再从认识到实践的多次反复才能完成，是一个从不深刻到此较深刻、从不全面到比较全面的不断完善的过程。材料中"第1版方案较为简单"、"第3版方案细化了中医药治疗方案"、"第7版增加病理改变内容......"说明实践是认识的基础，人类对新冠肺炎的认识以诊疗实践为基础，随着实践的深入不断深化对新冠肺炎的认识。
（2）本题要求学生结合材料并运用文化生活知识，说明弘扬中医药文化对于坚定文化自信的作用，属于意义类主观题。首先需要明确文化自信来自于对时代发展潮流、中国特色社会主义伟大实践的深刻把握，来自于对自身文化价值的充分肯定、对自身文化生命力的坚定信念。
材料中"中医药是中国人民在几千年生产生活实践中创造的，是中华文化的瑰宝"表明中医药文化是中华文化的重要组成部分，弘扬中医药文化，是对中华文化自身价值的充分肯定和对中华文化自身文化生命力的坚定信念，有利于坚持文化自信。材料中"彰显了独特的价值和魅力......形成了覆盖诊疗过程的中医诊疗规范和技术方案"体现中医药文化作为中国人民的精神财富，是中华民族生命力、创造力的生动体现。
材料中"有效降低了发病率、转重率、病亡率，提高了治愈率，加快了恢复期康复"表明中医药文化满足群众健康需求、保卫人民生命安全。材料中"中医药还走出国门助力全球抗疫·......将新冠肺炎中医药诊疗方案译成英文并发布在国家卫生健康委网站与世界各国共享"说明弘扬中医药文化有助于丰富人类医学文化多样性、促进世界文明发展进步。
（3）本题要求学生就如何发挥中医药在"健康中国"建设中的作用提两条建议，属于建议类主观题，答案不唯一，作答时注意围绕设问限定主题展开，不要脱离主题，提出的建议至少应有两条即可。
【点睛】如何树立高度的文化自觉和文化自信：
①最重要的是用中国特色社会主义理论体系武装头脑、指导实践、推动工作。
②要自豪自信地对待中国优秀传统文化，大力发展具有中国特色、中国气派、中国风格的社会主义文化。
③要倍加珍惜我们党领导人民在艰苦革命历程中形成的光荣革命传统，使之深深融入人们的精神世界。
④要大力弘扬改革开放以来形成的新思想、新观念、新风尚，不断赋予中华文化以鲜明的时代特色。
⑤要以积极的心态对待外来文化，必须大胆吸收一切有利于我国文化建设的有益经验和优秀成果。
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小学数学六年级上册期末检测卷
**一．反复比较，慎重选择（10分）**
**1. 以下是长方体的4个面，另2个面面积之和是（ ）。**
{width="5.271527777777778in" height="0.6722222222222223in"}
**A. 70cm² B. 35 cm² C. 20 cm² D. 28 cm²**
**2.一个三角形三个内角度数的比是4:3:2，这个三角形是（ ）。**
**A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D.钝角三角形**
**3.六（6）班举行班干部选举，规定得票超过一半的就可当选。李明得票率是**（ ）**时就可以选举成功。**
**A、50% B、0.51% C、51% D.49%**
**4．两根同样长的铁丝，从第一根**截去它的，**从第二根截去米，余下的部分（ ）。**
A．一样长 B．第一根长 C．第二根长 D.无法确定
5..如果甲数是乙数的4倍，那么下面（ ）种说法不对。
①乙数是甲数的。 ②乙数与甲、乙两数和的比是1:5。
③甲数与乙数的比是1:4。 ④ 甲数是甲乙两数和的。
A.1 B. 2 C. 3 D.4
**二、用心分析，细心填写。(22分)**
**1.( )÷4==( )：16=( )% = 七五折**
**2. 平方米 =( )公顷 时=20分**
**3.100吨的是( )吨；（ ）米的是24米；( )千克的是40千克的。**
**4.一条公路，修路队3天修完它的，正好修了1500米，还要（ ）天可以修完，还要修（ ）米才能修完。**
**5.**仓**库里有15吨钢材，第一次用去总数的20％，第二次用去吨，还剩下（ ）吨。**
**6. 用24厘米长的铁丝做一个长与宽的比是2：1的长方形，这个长方形的面积是（ ）平方厘米。**
7.一件衣服打八折优惠正好比原来便宜80元，这件衣服原价（ ）元。
{width="0.71875in" height="0.4375in"}8.如右图，绿色三角形的面积占长方形面积的20%，黄色三角形的面积是60平方厘米，长方形的面积是（ ）平方厘米。
9.一个书架有上、下两层，一共放了128本图书。如果从下层拿出10本图书放入上层，两层的图书本数就同样多。上层原有（ ）本，下层原有（ ）本图书。
10.按规律填数：、、、（ ）、、（ ）
11\. 将一个正方体表面涂色，再切割成1立方厘米的小正方体，其中1面涂色的有54块，则2面涂色的有（ ）块。
12、一个百分数,把百分号去掉,就比原数增加49.5,这个百分数是( )。
**三、看清数据，巧思妙算。(29分)**
1\. 直接写出得数。(8分)
＋= ×= 0÷112.5%= ×4÷×4=
0.125^2^= ×= 0.8 ×12.5%= 9.9÷(1+0.1)=
2. 下面各题，怎样算简便就怎样算。(12分)
÷9－× 48×＋
24 ×（－）× 18 498+502+499+504+497+505
3. 解方程。（9分）
6 *x*－4.6 = 8 *x* + 20％*x* = 48 1－*x* =
4. **动手操作，思考解释。(7分)**
1.在下图（每一格的边长为1厘米）中画一个长方形，使长方形的周长是24厘米，长和宽的比为2:1。（先计算再画图）。并画一个面积与长方形相等的三角形。（6分）
{width="5.697222222222222in" height="1.9229166666666666in"}
2.如果长方形的长和宽分别增加后，现在长方形的面积是原来的。
**五、走进生活，解决问题。（共32分，第1、2、3、4、题每题5分；第5.6题6分。）**
1.两个小队一共植树105棵，其中第一小队植树棵数是第二小队的40%。两个小队各植树多少棵？ （用方程解）
2\. 一个长50厘米、宽40厘米、深30厘米的长方体容器中装有15厘米深的水，如果在水中放入一块棱长为10厘米的正方体铁块，现在的水深是多少厘米？
3.某商场每个月的营业收入是160万元，除了按营业额的6%缴纳营业税外，还要按营业税的5%缴纳城市建设税，这个商场半年共要缴纳税款多少万元？
4\. 甲、乙两车同时A、B两地相向而行，当甲离B地时，乙离A地80千米，这时甲比多少行30千米，求AB两地一共多少千米？
{width="2.8430555555555554in" height="1.46875in"}5.（1）买5包奶糖和8包酥糖共多少元？
（2）买12包奶糖应付多少元？如果用这些
钱买酥糖可以买多少包？
6 超市牛奶的箱数比果汁多120箱,卖掉15箱果汁后，这时果汁的箱数占牛奶箱数的75%。超市原有牛奶多少箱？
**数学六年级上册期末检测卷答案及评分标准**
一、反复比较，准确选择。（共10分，每空2分。）
1.A ；2. C ；3. C ；4.D；5. A
2. 用心分析 细心填写。（共22分，每空1分。）
1.3；；12；75
2.7500；
3.20；96;36
4.15;7500
5\.
6.32
7.400
8.200
9.54;74
```{=html}
<!-- -->
```
10. ;
11. 36
12. 50%
三、看清数据，巧思妙算。（共29分）
1. 直接写出得数。（共8分，每小题1分）
；；0；16
；；0.1；9
2. 下面各题，怎样算简便就怎样算。（共12分，每小题3分。）
；21；60；3005
3. 解方程。（共9分，每小题3分。）
X=2.1 ；X=40 ；X=
四、动手操作，思考解释。8分
1.图略(长为8厘米，宽为6厘米）
2\.
五、走进生活，解决问题。（共31分，第1、2、3、4、题每题5分；第5、6题6分。）
1.解：设第二小队植树X棵，则第一小队植树40%X棵。
X+40%X=105
X=75
75×40%=30(棵)
2. 10×10×10÷50÷40+15=15.5（厘米）
3. （160×6%+160×6%×5%）×6=60.48（万元）
4.（80-30）÷=200（千米）
5.（1）15××5+12××8=（元）
（2）15××12=18（元）
18÷12÷=6（包）
6.解：设原有牛奶为X箱，则原有果汁为X-120箱，现有果汁75%X箱。
X-120-15=75%X
X=540
或
（120+15）÷（1-75%）=540（箱）
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初三第二学期期中考试试卷
数学
（清华附中初13级）2016年4月
**一、选择题**（本题共30分，每小题3分）
**下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．**
1．某区在改善环境绿化方面，将投入资金由计划的1 500 000元提高到
> 2 000 000元. 其中2 000 000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．如右下图，桌面上有一个一次性纸杯，它的俯视图应是（ ）
3． 如图，如果数轴上*A*，*B*两点之间的距离是7，那么点*B*表示的数是（ ）
A． B． C． 2 D．
4．小伟投一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,那么向上的一面的点数大于4的概率为（ ）
 A． B． C． D．
5．如图，*AB*是⊙*O*的弦，*OC*是⊙*O*的半径，*OC*⊥*AB于点D*，
若 *AB=*，*OD=*3，则⊙*O*的半径等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线*l*~1~∥*l*~2~，*l*~3~⊥*l*~4~，∠1=44°，那么∠2的度数（ ）
 A． B． C． D．
7．某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间(单位：小时)，并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法中错误的是( )
A．众数是9 B．中位数是9
C．平均数是9 D．锻炼时间不低于9小时的有14人
8．二次函数*y* = *ax*^2^ + *bx* + *c*的图象如图所示，则点(*a*, *c*)在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
9．以下是某市自来水价格调整表：
> 自来水价格调整表（部分） 单位：元/立方米
------------------------------------- ---------- --------------
用水类别 现行水价 拟调整后水价
一、居民生活用水 0．72
1．一户一表
第一阶梯：月用水量在 0\~30立方米/户 0．82
第二阶梯：月用水量超过 30立方米/户 1．23
2．集体表 略
------------------------------------- ---------- --------------
则调整水价后某户居民月用水量*x*（立方米）与应交水费*y *(元)的函数图像是（ ）
10.有*甲、乙、丙*三人参加*5*项科普知识比赛（其中包含天文、互联网），在每个项目中，第一名得分， 第二名得分， 第三名得分，都是正整数，且，最后计算总分时，*甲*得了22分，*乙*与*丙各*得了9分，且*乙*在天文知识比赛中获得第一名，则在互联网项目中，获得第二名的是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.无法确定
**二、填空题（本题共18分，每小题3分）**
11**.** 分解因式：= [ ]{.underline} ．
12．如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是 [ ]{.underline} ．
13．公元前1700年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题："它的全部，加上它的七分之一，其和等于19．此问题中"它"的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
14．关于 *x* 的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数*a*, *b* 的值： *a* =\_\_\_\_\_ [ ]{.underline} ， *b=\_\_\_\_\_\_\_\_\_*．
15． 2014年12月28日开始，北京市公共汽车和地铁按里程分段计价.乘坐地铁（不包括机场线）具体方案如下：6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里. 使用市政交通一卡通刷卡，每自然月内每张卡支出累计满100元以后的乘次，价格给予8折优惠；满150元以后的乘次，价格给予5折优惠；支出累计达到400元以后的乘次，不再享受打折优惠．小李上班时，需要乘坐地铁15.9公里达到公司，每天上下班共乘坐两次，每月按上班22天计算，如果小李每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么小李每月第21次乘坐地铁时，他刷卡支出的费用是 [ ]{.underline} 元；他每月上下班乘坐地铁的总费用是 [ ]{.underline} 元.
16.已知△，小明利用下述方法做作出了△的一条角平分线.
小明的作法：
(1)过点作与平行的射线；（边与射线位于边的异侧）
(2)在射线上取一点，使得；
(3)连结,交于点.
线段即为所求.
小明的作法所蕴含的数学道理为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
三、解答题（本题共72分，17-26题每题5分，27、28题每题7分，29题8分）
17．计算：．
18． 解不等式组 .
\[来源:学科网\]
19．已知，求的值.
20．已知：如图，*C*是*AE*的中点，∠*B=*∠*D*，*BC//DE*．
求证：*AB=CD*
> 21．平面直角坐标系*xOy*中，反比例函数的图象经过点，过点*A*作*AB*⊥*x*轴于点*B*，△*AOB*的面积为1.
\(1\) 求*m*和*k*的值；
> \(2\) 若过点*A*的直线与*y*轴交于点*C*，且∠*ACO*=45°，直接写出点*C*的坐标.
22．列方程（组）解应用题：为提高运输效率、保障高峰时段人们的顺利出行，地铁公司在保证安全运行的前提下，缩短了发车间隔，从而提高了运送乘客的数量. 缩短发车间隔后比缩短发车间隔前平均每分钟多运送乘客50人，使得缩短发车间隔后运送14400人的时间与缩短发车间隔前运送12800人的时间相同，那么缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客多少人？
23． **如图，在四边形*ABCD*中，*AD*∥*BC*，，*BC=*2，**
，**．**
(1) 求**∠*BDC*的度数**；
(2) 求***AB***的长**．**
24．为了了解某市的绿化进程，小明同学查询了园林绿化政务网，根据网站发布的近几年该市城市绿化资源情况的相关数据，绘制了如下统计图（不完整）：
（1）请根据以上信息解答下列问题：
① 求2014年该市人均公共绿地面积是多少平方米（精确到0.1）？
② 补全条形统计图；
> （2）小明同学还了解到自己身边的许多同学都树立起了绿色文明理念，从自身做起，多种树，为提高人均公共绿地面积做贡献. 他对所在班级的40名同学2015年参与植树的情况做了调查，并根据调查情况绘制出如下统计表：
---------------- ---- --- --- --- --- ---
种树棵数（棵） 0 1 2 3 4 5
人数 10 5 6 9 4 6
---------------- ---- --- --- --- --- ---
如果按照小明的统计数据，请你通过计算估计，他所在学校的300名同学在2015年共植树多少棵？
25．如图，△*ABC* 中，*AB*=*AC*，以*AB*为直径的⊙*O*与*BC*相交于点*D*，与*CA*的延长线相交于点*E*，过点*D*作*DF*⊥*AC*于点*F*．
（1）求证：*DF*是⊙*O*的切线；
（2）若，半径*OA*=4，求*AE*的长．
> 26．类似于平面直角坐标系，如图1，在**平面内，如果**原点重合的**两条**数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系．若*P*是斜坐标系*xOy*中的任意一点，过点*P*分别作两坐标轴的平行线，与*x*轴、*y*轴分别交于点*M、N*，如果*M、N*在*x*轴、*y*轴上分别对应的实数是*a、b*，这时点*P*的坐标为（*a*，*b*）．
（1）如图2，在斜坐标系*xOy*中，画出点*A*(-2，3)(**不**要求尺规作图,不写作法)；
（2）如图3，在斜坐标系*xOy*中，已知点*B*（5，0）、*C*（0，4），且*P*（*x*，*y*）是线段*CB*上的任意一点，求*y*与 *x*之间的函数关系式；
（3）若（2）中的点*P*在线段*CB*的延长线上，其它条件都不变，试判断（2）中的结论是否仍然成立，直接写出你的结论：\_\_\_\_\_\_(填"是"或"否")
27．已知关于的函数,直线与轴交于点，与轴的正半轴交于点，点的纵坐标为3，且，.
(1) 求实数的值及点的坐标；
(2) 若该二次函数的图像与线段只有一个公共点，请结合函数图像，求出实数的取值范围.
28.如图2所示，在边长为1的正方形中，是边上一动点，的延长线与的外角平分线交于，=，且交的外角平分线交于，把△绕旋转至△.
(Ⅰ)如图1所示，当时，求的长;
(Ⅱ)如图2所示.
(1)请探究线段之间的数量关系，并证明.
 (2)当点在边上运动时，记,=,探究是否随着的变化而变化，若不变化，求出的值，若变化,求出与的函数关系式.
\[来源:学,科,网Z,X,X,K\]
\[来源:学。科。网Z。X。X。K\]
图1 图2
29.已知为实数，表示不超过的最大整数，如,,.
\(1\) 解方程；
\(2\) 已知为正数，且不为整数，利用四舍五入的方法把近似(保留至个位)为，其中为正整数，请探究与之间的关系，并简述你的理由.
(3)已知为坐标原点，以为圆心，为半径作圆，且，且该圆与函数恰有两个不同的公共点，请直接写出的取值范围.
\[来源:学科网ZXXK\]
初三第二学期期中数学答案
一、选择题：
------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ----
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C B A D B C C
------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ----
二、填空题：
11\.
12\. 6
13\.
14\. 都可以
15\. 4；179.5
16\. 等边对等角；两直线平行，内错角相等.(等量代换,三角形角平分线的定义，可以不写)
三、解答题
17\.
18\. ，
19\. 原式=
20\. 证明：∵*C*是*AE*的中点，
∴*AC*＝*CE*. ............................................................1分
∵*BC∥DE*，
∴∠*ACB=*∠*E*. .........................................................2分
在△*ABC*和△*CDE*中，
，
∴△*ABC*≌△*CDE*. .............................................4分
∴ *AB*＝*CD*. .........................................................5分
> 21\. 解：（1）∵ 反比例函数的图象经过点，
>
> ∴ ，且*m*＞0.
>
> ∵ *AB*⊥*x*轴于点*B*，△*AOB*的面积为1，
>
> ∴ .
>
> 解得 . ................................................1分
>
> ∴ 点*A*的坐标为. .................................2分
>
> ∴ . .............................................3分
（2）点*C*的坐标为[(0,3)或(0,-1)]{.underline}. ...........................5分
22\. 解：设缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客*x*人. ........................1分
> 根据题意，得
， .............................................3分
解得. ...................................................4分
经检验，是原方程的解.且符合题意 ...........................5分
答：缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客400人.
23\. 解：（1）∵ **梯形*ABCD*中，*AD*∥*BC***，，，
∴ ，．
**在**Rt△***A**B**D*****中，**∵，，
∴ ．
∴ ．...... 2分
（2）作于点*E***，**于点*F***．（如图3）**
**在**Rt△*B**CE*****中，**∵ ***BC=*2**，，
∴ ，．
∵ ，
∴ ．
∴ ． .......................................3分
∵ ，
∴ ． ...... 4分
∵ ***AD*∥*BC***，，，
∴ ． ....................................5分
24\. 解：（1）① ， .................................2分
即2014年北京市人均绿地面积约为15.0平方米.
②
.....................3分
（2）. ...............5分
估计她所在学校的300名同学在2015年共植树675棵.
25\. （1）证明：连接*OD* ．
∵ *OB*=*OD*，
> ∴ ∠*B*=∠*ODB*．
>
> ∵ *AB*=*AC*，
>
> ∴ ∠*B*=∠*C*．
>
> ∴ ∠*ODB*=∠*C*．
>
> ∴ *OD*∥*AC*．............1分
>
> ∵ *DF*⊥*AC*，
>
> ∴ *OD*⊥*DF*．
>
> ∴ *DF*是⊙*O*的切线． ............2分
（2）解：连结*BE*，*AD* ．
∵ *AB*是直径，
∴ ∠*ADB*=90°，∠*AEB*=90°．
∵ *AB*=*AC*，
∴ ∠*ABC*=∠*C*，*BD*=*CD*．
在Rt△*ABD* 中，由题意可求出．......3分
∴ ．
在Rt△*BCE* 中，可求出*CE*=13． ............4分
∴ *AE*=*CE*-*AC*=5． ............5分
26. （1）如图
...1分
（2）；（过程略）....................................4分
（3）是...........................5分
27.参考答案：（1），；（2），.
28.解：（Ⅰ）通过△≌△,可得,
，.............2分
（Ⅱ）.（在直角△中证明）..................5分
（Ⅲ）.根据∽△.........................7分
29.参考答案：(1)；(2) ；（3）或或.
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**小学二年级上册数学奥数知识点讲解第8课《找规律三》试题附答案**
   
**答案**
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**2015-2016学年九年级（下）段考数学试卷（一）**
**一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．**
1．下面的数中，与﹣3的和为0的是 （ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a^2^•a^4^=a^8^ B． =±2 C． =﹣1 D．a^4^÷a^2^=a^2^
3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列叙述正确的是（ ）
A．方差越大，说明数据就越稳定
B．在不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时，不等号的方向不变
C．不在同一直线上的三点确定一个圆
D．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等
5．函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≥2且x≠3 C．x≥2 D．x≤2且x≠3
6．若﹣5x^2^y^m^与x^n^y是同类项，则m+n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
8．如图，AB是⊙O的直径，BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，且∠BDC=100°，连接AC，则∠A的度数是（ ）
A．15° B．30° C．40° D．45°
9．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）
A． B． C．4 D．
10．如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第①个图形中含有1个正方形，第②个图形中含有5个正方形，按此规律下去，则第⑥个图象含有正方形的个数是（ ）
A．102 B．91 C．55 D．31
11．如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，已知点B的坐标是（，），则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
**二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）在每小题中，请将答案直接填在答题卷中对应得横线上．**
13．刚刚过去的2015年，中国旅游业实现了持续健康较快的发展，预计全年旅游总收入可达2900000000000元，将数据2900000000000用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
14．请计算：（1+π）^0^+（﹣）^﹣2^+2sin60°﹣\|+1\|=[ ]{.underline}．
15．如图是由若干个小正方形搭建的几何体的三视图，那么此几何体由[ ]{.underline}个小正方形搭建而成．
16．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分的面积为[ ]{.underline}（结果保留π）．
17．有七张正面分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x^2^﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x^2^﹣（a^2^+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，O）的概率是[ ]{.underline}．
18．如图，将等腰Rt△GAE绕点A顺时针旋转60°得到△DAB，其中∠GAE=∠DAB=90°，GE与AD交于点M，过点D作DC∥AB交AE于点C．已知AF平分∠GAM，EH⊥AE交DC于点H，连接FH交DM于点N，若AC=2，则MN的值为[ ]{.underline}．
**三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．**
19．解方程：．
20．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，过A作AD⊥AB交BC的延长线于D，过C作CE⊥AC使AE=BD．求证：∠E=∠D．
**四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．**
21．化简下列各式：
（1）（x﹣1）^2^（x+1）^2^﹣1；
（2）÷（﹣x+2）+．
22．某数学兴趣小组将我校九年级某班学生一分钟跳绳的测试成绩进行了整理，分成5个小组（x表成绩，单位：次，且100≤x＜200），根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，其中B、E两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1，请结合下列图标中相关数据回答下列问题：
测试成绩频数分布表
------ ------------ -------------- ------
组别 成绩x次 频数（人数） 频率
A 100≤x＜120 5
B 120≤x＜140 b
C 140≤x＜160 15 30%
D 160≤x＜180 10
E 180≤x＜200 a
------ ------------ -------------- ------
（1）填空：a=[ ]{.underline}，b=[ ]{.underline}，本次跳绳测试成绩的中位数落在[ ]{.underline}组（请填写字母）；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知本班中甲、乙两位同学的测试成绩分别为185次、195次，现要从E组中随机选取2人介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人中至少1人被选中的概率．
23．对x，y定义了一种新运算T，规定T（x，y）=（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=，已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1．
（1）求a，b的值；
（2）若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求p的取值范围．
24．如图，我国某边防哨所树立了"祖国在我心中"建筑物，它的横截面为四边形BCNM，其中BC⊥CN，BM∥CN，建筑物顶上有一旗杆AB，士兵小明站在D处，由E点观察到旗杆顶部A的仰角为52°，底部B的仰角为45°，已知旗杆AB=2.8米，DE=1.8米．
（参考数据：sin52°≈0.788，tan52°≈1.280）
（1）求建筑物的高度BC；
（2）建筑物长50米，背风坡MN的坡度i=1：0.5，为提高建筑物抗风能力，士兵们在背风坡填筑土石方加固，加固后建筑物顶部加宽4.2米，背风坡GH的坡度为i=1：1.5，施工10天后，边防居民为士兵支援的机械设备终于到达，这样工作效率提高到了原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，士兵们原计划平均每天填筑土石方多少立方米？
**五、解答题：（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤．**
25．如图1，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，过点C作CF⊥CP交于C，交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M．
（1）若AP=AC，BC=4，求S~△ACP~；
（2）若CP﹣BM=2FN，求证：BC=MC；
（3）如图2，在其他条件不变的情况下，将"正方形ABCD"改为"矩形ABCD"，且AB≠BC，AC=AP，取CP中点E，连接EB，交AC于点O，猜想：∠AOB与∠ABM之间有何数量关系？请说明理由．
26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2^+bx+c分别交 x轴于A（4，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3），过点A的直线交抛物线与另一点D．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）若点P为x轴上的一个动点，点Q在线段AC上，且Q点到x轴的距离为，连接PC、PQ，当△PCQ周长最小时，求出点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的结论下，连接PD，在平面内是否存在△A~1~P~1~D~1~，使△A~1~P~1~D~1~≌△APD（点A~1~、P~1~、D~1~的对应点分别是A、P、D，A~1~P~1~平行于y轴，点P~1~在点A~1~上方），且△A~1~P~1~D~1~的两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点A~1~的横坐标m；若不存在，请说明理由．
**2015-2016学年九年级（下）段考数学试卷（一）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．**
1．下面的数中，与﹣3的和为0的是 （ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【考点】有理数的加法．
【分析】设这个数为x，根据题意可得方程x+（﹣3）=0，再解方程即可．
【解答】解：设这个数为x，由题意得：
x+（﹣3）=0，
x﹣3=0，
x=3，
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a^2^•a^4^=a^8^ B． =±2 C． =﹣1 D．a^4^÷a^2^=a^2^
【考点】分式的基本性质；算术平方根；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，算术平方根；分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；
B、4的算术平方根根是2，故B错误；
C、分子除以（x﹣y），分母除以（x+y），故C错误；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；
故选：D．
3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
4．下列叙述正确的是（ ）
A．方差越大，说明数据就越稳定
B．在不等式两边同乘或同除以一个不为0的数时，不等号的方向不变
C．不在同一直线上的三点确定一个圆
D．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等
【考点】方差；不等式的性质；全等三角形的判定；确定圆的条件．
【分析】利用方差的意义、不等号的性质、全等三角形的判定及确定圆的条件对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、方差越大，越不稳定，故选项错误；
B、在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变，故选项错误；
C、正确；
D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故选项错误．
故选：C．
5．函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≥2且x≠3 C．x≥2 D．x≤2且x≠3
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：2﹣x≥0且x﹣3≠0，
解得：x≤2且x≠3，
自变量的取值范围x≤2，
故选A．
6．若﹣5x^2^y^m^与x^n^y是同类项，则m+n的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】同类项．
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程等式，求出n，m的值，再相加即可．
【解答】解：∵﹣5x^2^y^m^和x^n^y是同类项，
∴n=2，m=1，m+n=2+1=3，
故选：C．
7．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【考点】垂线；角平分线的定义．
【分析】由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON﹣∠MOC得出答案．
【解答】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠MOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．
故选：C．
8．如图，AB是⊙O的直径，BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，且∠BDC=100°，连接AC，则∠A的度数是（ ）
A．15° B．30° C．40° D．45°
【考点】切线的性质．
【分析】首先连接OC，由BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，且∠BDC=100°，利用四边形内角和定理，即可求得∠AOC的度数，再利用圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：连接OC，
∵BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，
∴OB⊥BD，OC⊥CD，
∵∠BDC=100°，
∴在四边形OBDC中，∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣100°=80°，
∴∠A=∠BOC=40°．
故选C．
9．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）
A． B． C．4 D．
【考点】相似多边形的性质．
【分析】可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【解答】解：∵AB=1，
设AD=x，则FD=x﹣2，FE=2，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴=，，
解得x~1~=1+，x~2~=1﹣（不合题意舍去），
经检验x~1~=1+是原方程的解．
故选B．
10．如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第①个图形中含有1个正方形，第②个图形中含有5个正方形，按此规律下去，则第⑥个图象含有正方形的个数是（ ）
A．102 B．91 C．55 D．31
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】根据图形的变化规律可以得知每个图形比前一个图形多它序号的平方数个正方形，从而得出结论．
【解答】解：结合图形可知，第②个图形比第①分图形多2^2^个正方形，第③个比第②个多3^2^个正方形，...，
即多的个数为序号的平方数，
∴第⑥个图象含有正方形的个数是1+2^2^+3^2^+4^2^+5^2^+6^2^=91．
故选B．
11．如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象；等腰三角形的性质．
【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x^2^；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x^2^﹣2（x﹣1）^2^，配方得到y=﹣（x﹣2）^2^+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：当0＜x≤1时，y=x^2^，
当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，
CD=x，则AD=2﹣x，
∵Rt△ABC中，AC=BC=2，
∴△ADM为等腰直角三角形，
∴DM=2﹣x，
∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，
∴S~△ENM~=（2x﹣2）^2^=2（x﹣1）^2^，
∴y=x^2^﹣2（x﹣1）^2^=﹣x^2^+4x﹣2=﹣（x﹣2）^2^+2，
∴y=，
故选：A．
12．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，已知点B的坐标是（，），则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定与性质．
【分析】过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，再根据同角的余角相等求出∠BAE=∠ADF，然后利用"角角边"证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=BE，DF=AE，再求出OF，然后写出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AF=BE，DF=AE，
∵正方形的边长为2，B（，），
∴BE=，AE==，
∴OF=OE+AE+AF=++=5，
∴点D的坐标为（，5），
∵顶点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴k=xy=×5=8．
故选：C．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）在每小题中，请将答案直接填在答题卷中对应得横线上．**
13．刚刚过去的2015年，中国旅游业实现了持续健康较快的发展，预计全年旅游总收入可达2900000000000元，将数据2900000000000用科学记数法表示为[ 2.9×10^12^ ]{.underline}．
【考点】科学记数法---表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2900000000000用科学记数法表示为：2.9×10^12^．
故答案为：2.9×10^12^．
14．请计算：（1+π）^0^+（﹣）^﹣2^+2sin60°﹣\|+1\|=[ 9 ]{.underline}．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=1+9+﹣﹣1=9，
故答案为：9
15．如图是由若干个小正方形搭建的几何体的三视图，那么此几何体由[ 6 ]{.underline}个小正方形搭建而成．
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行3列，故可得出该几何体的小正方体的个数．
【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有4个小正方体，第二层应该有2个小正方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数为4+2=6个，
故答案为：6．
16．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分的面积为[ ]{.underline}[﹣1 ]{.underline}（结果保留π）．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S~四边形DGCH~=S~四边形DMCN~，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴DC=AB=，四边形DMCN是正方形，DM=1．
则扇形FDE的面积==．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵∠GDH=∠MDN=90°，
∴∠GDM=∠HDN，
在△DMG和△DNH中，
，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴S~四边形DGCH~=S~四边形DMCN~=1．
∴阴影部分的面积=﹣1．
故答案为：﹣1．
17．有七张正面分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x^2^﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x^2^﹣（a^2^+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，O）的概率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；根的判别式；概率公式．
【分析】根据x^2^﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）=0有两个不相等的实数根，得到△＞0，求出a的取值范围，再求出二次函数y=x^2^﹣（a^2^+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，O）时的a的值，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵x^2^﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴\[﹣2（a﹣1）\]^2^﹣4a（a﹣3）＞0，
∴a＞﹣1，
将（1，O）代入y=x^2^﹣（a^2^+1）x﹣a+2得，a^2^+a﹣2=0，
解得（a﹣1）（a+2）=0，
a~1~=1，a~2~=﹣2．
可见，符合要求的点为0，2，3．
∴P=．
故答案为：．
18．如图，将等腰Rt△GAE绕点A顺时针旋转60°得到△DAB，其中∠GAE=∠DAB=90°，GE与AD交于点M，过点D作DC∥AB交AE于点C．已知AF平分∠GAM，EH⊥AE交DC于点H，连接FH交DM于点N，若AC=2，则MN的值为[ 9﹣5]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】旋转的性质．
【分析】作MK⊥AC，FT⊥AD垂足分别为K，T，证明△AGF≌△AEM，△AFT≌△AMK得到AF=AM，FT=MK=EK=DM，在RT△ADC中根据已知条件求出CD，AD，设MK=EK=x，根据AE=AK+EK列出方程求出x，在RT△HEC中求出HC，进而求出DH，再根据，求出DN，利用MN=AD﹣AM﹣DN求出MN．
【解答】解：作MK⊥AC，FT⊥AD垂足分别为K，T，
∵Rt△GAE绕点A顺时针旋转60°得到△DAB，
∴∠GAD=∠CAB=60°，
∵∠GAE=∠DAB=90°，AG=AE=AD=AB，
∴∠DAC=30°，∠G=∠AEG=45°，
∵AF平分∠GAD，
∴∠GAF=∠FAT=30°，
在△AGF和△AEM中，
，
∴△AGF≌△AEM，
∴AF=AM
在△AFT和△AMK中，
，
∴△AFT≌△AMK，
∴AT=AK，
∵AD=AE，
∴DT=EK，
∵∠KME=∠KEM=45°，
∴MK=EK=DT=FT，
设MK=KE=x，则AK=x，
∵，∠DAC=30°，
∴，AD=3，∴AE=AD=3，
∴x+x=3
x=，
∴DT=DM=FH=MK=EK=，AM=3（﹣1），EC=2﹣3，
在RT△HEC中，∵∠C=60°，EC=2﹣3，
∴HC=2EC=4﹣6，DH=DC﹣HC=﹣（4﹣6）=6﹣3，
设DN=y，∵DH∥FT，
∴，
∴，
∴y=2﹣3，
∴MN=AD﹣AM﹣DN=3﹣3（﹣1）﹣（2﹣3）=9﹣5．
**三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．**
19．解方程：．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：﹣6=x+2x﹣2，
解得：x=﹣，
经检验x=﹣是分式方程的解．
20．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，过A作AD⊥AB交BC的延长线于D，过C作CE⊥AC使AE=BD．求证：∠E=∠D．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】利用已知条件证明Rt△BAD≌Rt△ACE，根据全等三角形的对应角相等即可解答．
【解答】解：∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵AD⊥AB，CE⊥AC，
∴∠BAD=∠ACE=90°，
在Rt△BAD和Rt△ACE中，
∴Rt△BAD≌Rt△ACE，
∴∠E=∠D．
**四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．**
21．化简下列各式：
（1）（x﹣1）^2^（x+1）^2^﹣1；
（2）÷（﹣x+2）+．
【考点】分式的混合运算；整式的混合运算．
【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可；
（2）先对式子能分解因式的先分解因式，对括号内的先通分再相加，然后化简即可．
【解答】解：（1）（x﹣1）^2^（x+1）^2^﹣1
=\[（x﹣1）（x+1）\]^2^﹣1
=（x^2^﹣1）^2^﹣1
=x^4^﹣2x^2^+1﹣1
=x^4^﹣2x^2^；
（2）÷（﹣x+2）+
=
=
=
=
=
=
=．
22．某数学兴趣小组将我校九年级某班学生一分钟跳绳的测试成绩进行了整理，分成5个小组（x表成绩，单位：次，且100≤x＜200），根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，其中B、E两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1，请结合下列图标中相关数据回答下列问题：
测试成绩频数分布表
------ ------------ -------------- ------
组别 成绩x次 频数（人数） 频率
A 100≤x＜120 5
B 120≤x＜140 b
C 140≤x＜160 15 30%
D 160≤x＜180 10
E 180≤x＜200 a
------ ------------ -------------- ------
（1）填空：a=[ 4 ]{.underline}，b=[ 32% ]{.underline}，本次跳绳测试成绩的中位数落在[ C ]{.underline}组（请填写字母）；
（2）补全频数分布直方图；
（3）已知本班中甲、乙两位同学的测试成绩分别为185次、195次，现要从E组中随机选取2人介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人中至少1人被选中的概率．
【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数．
【分析】（1）根据C的人数除以C所占的百分比，可得总人数，进而可求出A，D的所占百分比，则a，b的值可求；根据中位线的定义解答即可；
（2）由（1）中的数据即可补全频数分布直方图；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙两人中至少1人被选中的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）由题意可知总人数=15÷30%=50（人），
所以D所占百分比=10÷50×100%=20%，A所占百分比=5÷50×100%=10%，
因为B、E两组测试成绩人数直方图的高度比为4：1，
所以5a=50﹣5﹣15﹣10，
解得a=4，
所以b=16÷50×100%=32%，
因为B的人数是16人，
所以中位线落在C组，
故答案为4，32%，C；
（2）由（1）可知补全频数分布直方图如图所示：
（3）设甲为A，乙为B，画树状图为：
由树状图可知从E组中随机选取2人介绍经验，则甲、乙两人中至少1人被选中的概率==．
23．对x，y定义了一种新运算T，规定T（x，y）=（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=，已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1．
（1）求a，b的值；
（2）若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求p的取值范围．
【考点】解二元一次方程组；一元一次不等式组的整数解．
【分析】（1）根据题中的新定义列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
（2）利用题中的新定义化简已知不等式组，表示出解集，由不等式组恰好有3个整数解，确定出p的范围即可．
【解答】解：（1）根据题意得：，
①+②得：3a=3，即a=1，
把a=1代入①得：b=3；
（2）根据题意得：，
由①得：m≥﹣；由②得：m＜，
∴不等式组的解集为﹣≤m＜，
∵不等式组恰好有3个整数解，集m=0，1，2，
∴2＜≤3，
解得：﹣2≤p＜﹣．
24．如图，我国某边防哨所树立了"祖国在我心中"建筑物，它的横截面为四边形BCNM，其中BC⊥CN，BM∥CN，建筑物顶上有一旗杆AB，士兵小明站在D处，由E点观察到旗杆顶部A的仰角为52°，底部B的仰角为45°，已知旗杆AB=2.8米，DE=1.8米．
（参考数据：sin52°≈0.788，tan52°≈1.280）
（1）求建筑物的高度BC；
（2）建筑物长50米，背风坡MN的坡度i=1：0.5，为提高建筑物抗风能力，士兵们在背风坡填筑土石方加固，加固后建筑物顶部加宽4.2米，背风坡GH的坡度为i=1：1.5，施工10天后，边防居民为士兵支援的机械设备终于到达，这样工作效率提高到了原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，士兵们原计划平均每天填筑土石方多少立方米？
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；分式方程的应用．
【分析】（1）根据题意得出EF=BF，进而利用tan∠AEF=即可得出答案；
（2）利用坡比的定义得出QN，QH的长，进而利用梯形面积求法求出总的土方量，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：过点E作EF⊥BF交BC于点F，设EF=x，
则EF=x，则根据题意可得：BF=x，
同理可知tan∠AEF==≈1.28，
解得：x=10，
即BC=10+1.8=11.8（m）．
答：建筑物的高度BC为11.8m；
（2）如图所示：过点M，G分别作MQ、GP垂直于CN，交CN于点Q、P，
根据题意可得：PH=11.8×1.5=17.7（m），QN=5.9（m），
可得：NH=17.7﹣5.9=11.8（m），
故可得加固所需土石方为：（MG+NH）×PG=×11.8×（4.2+11.8）×50=4720，
则根据题意可列方程：设原方程每天填筑土石方a立方米，
=20+，
解得：a=157．
答：士兵们原计划平均每天填筑土石方157立方米．
**五、解答题：（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤．**
25．如图1，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，过点C作CF⊥CP交于C，交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M．
（1）若AP=AC，BC=4，求S~△ACP~；
（2）若CP﹣BM=2FN，求证：BC=MC；
（3）如图2，在其他条件不变的情况下，将"正方形ABCD"改为"矩形ABCD"，且AB≠BC，AC=AP，取CP中点E，连接EB，交AC于点O，猜想：∠AOB与∠ABM之间有何数量关系？请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，由勾股定理求出AC，得出AP，即可求出S~△ACP~；
（2）在CF上截取NG=FN，连接BG，则CF﹣CG=2FN，证出∠BCF=∠DCP，由ASA证明△BCF≌△DCP，得出CF=CP，证出CG=BM，由SAS证明△ABM≌△BCG，得出∠AMB=∠BGC，因此∠BMC=∠BGF，由线段垂直平分线的性质得出BF=BG，得出∠BFG=∠BGF，因此∠BMC=∠CBM，即可得出结论；
（3）连接AE，先证出∠BCA=2∠PAE，再证明∴A、D、E、C四点共圆，由圆周角定理得出∠DCP=∠PAE，得出∠BCF=∠PAE，证出∠BCA=2∠ABM，然后由三角形的外角性质即可得出结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABC是正方形，
∴AD∥BC，AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，
∴AC==4，
∴AP=AC=×4=，
∴S~△ACP~=AP×CD=××4=7；
（2）证明：在CF上截取NG=FN，连接BG，如图1所示：
则CF﹣CG=2FN，
∵CF⊥CP，
∴∠PCF=90°，
∴∠BCF=∠DCP，
在△BCF和△DCP中，，
∴△BCF≌△DCP（ASA），
∴CF=CP，
∵CP﹣BM=2FN，
∴CG=BM，
∵∠ABC=90°，BM⊥CF，
∴∠ABM=∠BCG，∠BFG=∠CBM，
在△ABM和△BCG中，，
∴△ABM≌△BCG（SAS），
∴∠AMB=∠BGC，
∴∠BMC=∠BGF，
∵GN=FN，BM⊥CF，
∴BF=BG，
∴∠BFG=∠BGF，
∴∠BMC=∠CBM，
∴BC=MC；
（3）解：∠AOB=3∠ABM；理由如下：
连接AE，如图2所示：
∵AC=AP，E是CP的中点，
∴AE⊥CP，∠PAE=∠CAE，
∵AD∥BC，
∴∠BCA=∠PAC=2∠PAE，
∵CF⊥CP，
∴∠PCF=90°，
∴∠BCF=∠DCP，
∵∠ADC=∠AEC=90°，
∴A、D、E、C四点共圆，
∴∠DCP=∠PAE，
∴∠BCF=∠PAE，
又∵∠ABM=∠BCF，
∴∠ABM=∠BCF=∠PAE，
∴∠BCA=2∠ABM，
∵∠AOB=∠BCF+∠BCA，
∴∠AOB=3∠ABM．
26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2^+bx+c分别交 x轴于A（4，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3），过点A的直线交抛物线与另一点D．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）若点P为x轴上的一个动点，点Q在线段AC上，且Q点到x轴的距离为，连接PC、PQ，当△PCQ周长最小时，求出点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的结论下，连接PD，在平面内是否存在△A~1~P~1~D~1~，使△A~1~P~1~D~1~≌△APD（点A~1~、P~1~、D~1~的对应点分别是A、P、D，A~1~P~1~平行于y轴，点P~1~在点A~1~上方），且△A~1~P~1~D~1~的两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点A~1~的横坐标m；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）边A、B、C三点坐标代入解方程组即可．
（2）求出点Q坐标，作点Q关于x轴的对称点Q′，连接CQ′交x轴于点P，此时△PCQ周长最小，求出直线CQ′即可解决问题．
（3）分类讨论①当P~1~、D~1~在抛物线上时，由A~1~P~1~∥y轴，故不存在．②当P~1~、D~1~在抛物线上时，设P~1~（t，﹣t﹣3）则D~1~（t+， t^2^﹣t）或（t﹣， t^2^﹣t）列出方程即可解决．③当A~1~、D~1~在抛物线上时，设A~1~（（m， m^2^﹣m﹣3）则D~1~（m+， m^2^﹣m+3）或（m﹣， m^2^﹣m+3），列出方程即可解决．
【解答】解：（1）由题意得，
解得．
所以抛物线解析式为y=x^2^﹣x﹣3．
由解得，所以点D坐标为（﹣2，）．
（2）∵直线AC为y=x﹣3，y~Q~=﹣，
∴点Q坐标为（，﹣），点Q关于x轴的对称点Q′（，），连接CQ′交x轴于点P，此时△PCQ周长最小，
∵直线CQ′为y=3x﹣3，
∴直线CQ′与x轴的交点P为（1，0）．
（3）当P~1~、D~1~在抛物线上时，由A~1~P~1~∥y轴，故不存在．
当P~1~、D~1~在抛物线上时，设P~1~（t，﹣t﹣3）则D~1~（t+， t^2^﹣t）或（t﹣， t^2^﹣t）．
∴t^2^﹣t=（t+）^2^﹣（t+）﹣3，解得t=﹣，此时m=t=﹣，
或t^2^﹣t=（t﹣）^2^﹣（t﹣）﹣3，解得t=，此时m=t=，
当A~1~、D~1~在抛物线上时，设A~1~（（m， m^2^﹣m﹣3）则D~1~（m+， m^2^﹣m+3）或（m﹣， m^2^﹣m+3）．
∴m^2^﹣m+3=（m+）^2^﹣（m+）﹣3，解得m=，
或m^2^﹣m+3=（m﹣）^2^﹣（m﹣）﹣3，解得m=﹣．
**2016年4月19日**
| 1 | |
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）**
**数 学（文科）**
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第II卷第22题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂基他答案标号，非选择题答案使用毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清 楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
**参考公式：**
样本数据，，，的标准差 锥体体积公式
其中为标本平均数 其中S为底面面积，h为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V=sh ，
其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径
**第Ⅰ卷**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．设集合，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知命题，，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．函数在区间的简图是（ ）
4．已知平面向量a=（1，1），b=（1，-1）则向量（ ）
A．（-2，1）
B．（-2，1）
C．（-2，0）
D．（1，2）
5．如果执行下面的程序框图，那么输出的S=（ ）
A．2450
B．2500
C．2550
D．2652
6．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线的顶点是（b，c），则ad等于（ ）
A．3
B．2
C．1
D．
7．已知抛物线的焦点为，点、在抛物线上，且，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知三棱锥S---ABC的各顶点都在一个半径为的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
---------- --- --- --- ----
甲的成绩
环数 7 8 9 10
频数 5 5 5 5
---------- --- --- --- ----
---------- --- --- --- ----
乙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 6 4 4 6
---------- --- --- --- ----
---------- --- --- --- ----
丙的成绩
环数 7 8 9 10
频数 4 6 6 4
---------- --- --- --- ----
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
**第Ⅱ卷**
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题为选考题，考生根据要求做答。
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。**
13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为[ ]{.underline}。
14．设函数f（x）=（x+1）（x+a）为偶函数，则a=[ ]{.underline}。
15．是虚数单位，[ ]{.underline}。（用的形式表示，）
16．已知是等差数列，，其前5项和，则其公差d=[ ]{.underline}。
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。**
17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D。现测得，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB。
18．（本小题满分12分）
如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB=2，。等边三角形ADB以AB为轴运动。
（Ⅰ）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
（Ⅱ）当△ABD转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论。
19．（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值。
20．（本小题满分12分）
设有关于x的一元二次方程。
（Ⅰ）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率。
（Ⅱ）若a是从区间［0，3］任取的一个数，b是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率。
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆的圆心为Q，过点且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B。
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。
22．请考生在A、B两题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
**A：**（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点。
（Ⅰ）证明 A，P，O，M四点共圆；
（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小。
**B：**（本小题满分10分）选修4－4：
坐标系与参数方程⊙和⊙的极坐标方程分别为。
（Ⅰ）把⊙和⊙的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过⊙，⊙交点的直线的直角坐标方程。
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**北师大版小学三年级下册数学第三单元《乘法》单元测试2（附答案）**
算一算。（10分）
二、聪明的小法官。(对的打"√"，错的打"×")(8分)
1．24×13＝24×1＋24×3＝96。 ( )
2． 一个因数不变，另一个因数扩大为原来的10倍，积也扩大为原来的10倍。 ( )
3．25×45的积是三位数。 ( )
4．18的27倍是486。 ( )
三、判断竖式对错。(8分)
1\. 3 4 2. 3 2
[× 1 6]{.underline} [× 3 7]{.underline}
1 8 4 改正： 2 2 4 改正：
[3 4]{.underline} [6 9]{.underline}
5 2 4 9 1 4
四、连一连。（8分）
五、在○里填上"＞"，"＜"或"＝"。（6分）
六、快乐小帮手。（6分) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
1．38×13积的末尾数字是( )。
2．小明有12组2008年奥运会纪念邮票，每组22枚，小明一共有( )枚邮票。
3．92×27积的最高位是( )位。
4．50×80积的末尾有( )个0。
5．46×35在计算46×30时，表示的是( )。
6．63的18倍是( )。
七、竖式计算我最行。(12分)
18×39＝ 52×28＝ 75×14＝ 41×16＝
八、脱式计算。（12分）
635＋29×17 66×34－1018 86×14＋319 2240－16×18
九、列式计算。(10分)
1．比23的44倍多280的数是多少？
2．36与15的和的22倍是多少？
十、解决问题。(20分)
> 1．2009年11月13日，我国山西省太原市遭受严重雪灾。15辆卡车向灾区运送生活物资，每辆卡车的载重量是16吨。这批物资共重多少吨？
>
> 2．春风小学组织夏令营。共有500人参加此次活动，如果每人一瓶矿泉水，23箱矿泉水够吗？（24瓶/箱）
附加题。(10分) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
爱民小学30位老师带领16个班的同学去参观国家体育馆"鸟巢"，平均每班53人，公交公司开来的汽车共有900个座位。这些座位够不够？
参考答案
一、390 1280 276 416 615
612 363 2600 868 352
二、1.× 2.√ 3.× 4.√
三、1. 3 4
[× 1 6]{.underline}
2 0 4
[3 4]{.underline}
5 4 4
2\. 3 2
[× 3 7]{.underline}
2 2 4
[9 6]{.underline}
1 1 8 4
四、
五、＜ ＞ ＞ ＜ ＝ ＜
六、1．4 2．264 3．千 4．3 5．30个46 6．1134
七、702 1456 1050 656
八、1128 1226 1523 1952
九、1．23×44＋280＝1292
2．(36＋15)×22＝1122
十、1．15×16＝240(吨)
2．23×24＝552(瓶)
552＞500 够
附加题：16×53＝848(人)
848＋30＝878(人)
900＞878 够
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**山东省泰安市2020年中考数学真题**
**一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）**
1.的倒数是（ ）
A.  B.  C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据倒数的概念求解即可.
【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为．
故选A
2.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据整式的加减乘除法则分开讨论即可得到结果．
【详解】A．，故A错误；
B．，故B错误；
C．，故C错误；
D．，故D正确；
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了整式加减乘除的混合运算，准确进行幂的运算公式是解题的关键．
3.2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为（）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法就是将一个数字表示成a×10 ^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n表示整数． n的值为这个数的整数位数减1，由此即可解答．
【详解】4000亿=400000000000=．
故选C．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法就是将一个数字表示成a×10 ^n^的形式，正确确定a、n的值是解决问题的关键．
4.将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则等于（ ）
A. 80° B. 100° C. 110° D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，先根据平行线性质求出∠3，再求出∠4，根据四边形内角和为360°即可求解．
【详解】解：如图，由题意得DE∥GF，
∴∠1=∠3=50°，
∴∠4=180°-∠3=130°，
∴在四边形ACMN中，∠2=360°-∠A-∠C-∠4=110°．
故选：C
【点睛】本题考查了平行线的性质，四边形的内角和定理，熟知相关定理是解题关键．
5.某中学开展"读书伴我成长"活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
--------- --- --- --- --- ---
册数/册 1 2 3 4 5
人数/人 2 5 7 4 2
--------- --- --- --- --- ---
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）
A. 3，3 B. 3，7 C. 2，7 D. 7，3
【答案】A
【解析】
【分析】
由人数最多所对应的册数可得出众数，由总人数是20人可得，中位数是将数据从小到大排序后的第10和11个所对应册数的平均数即可求得结果；
【详解】由表中数据可得，人数基数最大的7人所应的册数是3，所以众数是3．
将数据从小到大排序后，第10和第11个数据均为3，所以中位数为：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了中位数和众数的求解，准确分析表中数据得出结果是解题的关键．
6.如图，是的切线，点*A*为切点，交于点*B*，，点*C*在上，．则等于（ ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 50°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OA，求出∠POA= 80°，根据等腰三角形性质求出∠OAB=∠OBA=50°，进而求出∠AOC=130°，得到∠C=25°，根据平行线性质即可求解．
【详解】解：如图，连接OA，
∵是的切线，
∴∠PAO=90°，
∵，
∴∠POA=90°-∠P=80°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=50°，
∵，
∴∠BOC=∠ABO=50°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=130°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=25°，
∵，
∴∠BAC=∠C=25°．
故选：B
【点睛】本题考查了切线的性质，圆的半径都相等，平行线的性质等知识，熟知各知识点是解题关键．一般情况下，在解决与圆有关的问题时，根据圆的的半径都相等，可以得到等腰三角形，进而可以进行线段或角的转化．
7.将一元二次方程化成（*a*，*b*为常数）的形式，则*a*，*b*的值分别是（ ）
A. ，21 B. ，11 C. 4，21 D. ，69
【答案】A
【解析】
【分析】
根据配方法步骤解题即可．
【详解】解：
移项得，
配方得，
即，
∴*a*=-4，*b*=21．
故选：A
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
8.如图，是的内接三角形，，是直径，，则的长为（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
连接BO，根据圆周角定理可得，再由圆内接三角形的性质可得OB垂直平分AC，再根据正弦的定义求解即可．
【详解】如图，连接OB，
∵是的内接三角形，
∴OB垂直平分AC，
∴，，
又∵，
∴，
∴,
又∵AD=8，
∴AO=4，
∴，
解得：，
∴．
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理的应用，根据圆周角定理求角度是解题的关键．
9.在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一次函数和二次函数的图象和性质，分别判断a，b的符号，利用排除法即可解答．
【详解】解：A、由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
B、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，不符合题意；
C、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，符合题意；
D、由一次函数图象可知，a＜0，b=0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
10.如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
过点F作，AG=2，，可得BG=FM=2，令AF=x，根据，根据正切值可得EM的长，加起来等于BC即可得到结果．
【详解】如图所示，过点F作交BC于点M，
∵，，AG=2，
∴BG=FM=2，AF=GM，
令AF=x，
∵两个梯形全等，
∴AF=GM=EC=x，
又∵，
∴，
∴，
又∵BC=6，
∴，
∴．
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了利用特殊角的三角函数值及三角函数的意义进行求解，准确根据全等图形的性质判断边角是解题的关键．
11.如图，矩形中，相交于点*O*，过点*B*作交于点*F*，交于点*M*，过点*D*作交于点*E*，交于点*N*，连接．则下列结论：
①；②；
③；④当时，四边形是菱形．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】
通过判断△AND≌△CMB即可证明①，再判断出△ANE≌△CMF证明出③，再证明出△NFM≌△MEN，得到∠FNM=∠EMN，进而判断出②，通过 DF与EB先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，进而得到DE=BE，即可知四边形为菱形．
【详解】∵BF⊥AC
∴∠BMC=90°
又∵
∴∠EDO=∠MBO，DE⊥AC
∴∠DNA=∠BMC=90°
∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，AD∥BC，DC∥AB
∴∠ADB=∠CBD
∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO即∠AND=∠CBM
△AND与△CMB
∵
∴△AND≌△CMB(AAS)
∴AN=CM，DN=BM，故①正确．
∵AB∥CD
∴∠NAE=∠MCF
又∵∠DNA=∠BMC=90°
∴∠ANE=∠CMF=90°
在△ANE与△CMF中
∵
∴△ANE≌△CMF（ASA）
∴NE=FM，AE=CF，故③正确．
在△NFM与△MEN中
∵
∴△NFM≌△MEN（SAS）
∴∠FNM=∠EMN
∴NF∥EM，故②正确．
∵AE=CF
∴DC-FC=AB-AE，即DF=EB
又根据矩形性质可知DF∥EB
∴四边形DEBF为平行四边
根据矩形性质可知OD=AO，
当AO=AD时，即三角形DAO为等边三角形
∴∠ADO=60°
又∵DN⊥AC
根据三线合一可知∠NDO=30°
又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30°
故DE=EB
∴四边形DEBF为菱形，故④正确．
故①②③④正确
故选D．
【点睛】本题矩形性质、全等三角形性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全等三角形是解题关键．
12.如图，点*A*，*B*的坐标分别为，点*C*为坐标平面内一点，，点*M*为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．
【详解】解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，
∵，
则△ABO为等腰直角三角形，
∴AB=，N为AB的中点，
∴ON=，
又∵M为AC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，BC=1，
则MN=，
∴OM=ON+MN=，
∴OM的最大值为
故答案选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大．
**二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）**
13.方程组的解是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
利用加减法解方程即可．
【详解】解：
①×3得 ③，
②-③得，
解得*x*=12，
把*x*=12代入①得12+y=16，
*y*=4，
∴原方程组的解为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法中的加减消元法，解答的关键在于根据题目特点合理消元．
14.如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点*A*，*B*，*C*的坐标分别为，，．是关于轴的对称图形，将绕点逆时针旋转180°，点的对应点为*M*，则点*M*的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，画出旋转后图形，即可求解
【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转180°，所以点的对应点为*M*的坐标为．
故答案为：
【点睛】本题考查平面直角坐标系内图形的对称，旋转，解题关键是理解对称旋转的含义，并结合网格解题．
15.如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，斜坡长，斜坡的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚*A*不动，则坡顶*B*沿至少向右移\_\_\_\_\_\_\_\_时，才能确保山体不滑坡．（取）
【答案】10
【解析】
【分析】
如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得∠HAD=50°，过点H作HF⊥AD于点F，根据AB及AB的坡比，计算出BE和AE的长度，再根据∠HAF=50°，得出AF的值即可解答．
【详解】解：如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得∠HAD=50°，过点H作HF⊥AD于点F，
∵AB=26，斜坡的坡比为12∶5，
则设BE=12a，AE=5a，
∴，解得：a=2，
∴BE=24，AE=10，
∴HF=BE=24，
∵∠HAF=50°，
则，解得：AF=20，
∴BH=EF=20-10=10，
故坡顶*B*沿至少向右移10时，才能确保山体不滑坡，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
16.如图，点*O*是半圆圆心，是半圆的直径，点*A*，*D*在半圆上，且，过点*D*作于点*C*，则阴影部分的面积是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
求出半圆半径、OC、CD长，根据AD∥BO，得到 ，根据即可求解 ．
【详解】解：连接OA，
∵，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=8，∠AOB=60°
∵AD∥BO，
∴∠DAO=∠AOB=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOE=60°，
∴在Rt△OCD中，，
∵AD∥BO，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查了不规则图形面积的求法，解题的关键是根据根据AD∥BO，得到 ，从而将阴影面积转化为扇形面积与三角形面积的差．
17.已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：
-- --- --- -- --- ---
0 2
6 0 6
-- --- --- -- --- ---
下列结论：
①；
②当时，函数最小值为；
③若点，点在二次函数图象上，则；
④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（把所有正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【解析】
【分析】
先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②；把点和点代入解析式求出*y*~1~、*y*~2~即可③；当*y*=﹣5时，利用一元二次方程的根的判别式即可判断④，进而可得答案．
【详解】解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：
，解得：，
∴二次函数的解析式是，
∴*a*=1＞0，故①正确；
当时，*y*有最小值，故②错误；
若点，点在二次函数图象上，则，，∴，故③正确；
当*y*=﹣5时，方程即，∵，∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论是：①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键．
18.右表被称为"杨辉三角"或"贾宪三角"．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是"1"，其余各数都等于该数"两肩"上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，......，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，......，第个数记为，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】20110
【解析】
【分析】
根据所给数据可得到关系式，代入即可求值．
【详解】由已知数据1，3，6，10，15，......，可得，
∴，，
∴．
故答案为20110．
【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键．
**三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）**
19.（1）化简：；
（2）解不等式：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先把小括号内的分式通分后，再把除法转化为乘法，约分后即可把分式化为最简；
（2）先去掉不等式中的分母，然后去括号，移项，合并同类项，最后化系数为1即可求出不等式的解．
【详解】（1）解：
（2）解：不等式两边都乘以12，得
即
解得
∴原不等式解集是．
【点睛】第（1）题考查了分式的化简，熟练运用分式的运算法则是解决问题的关键；第（2）题考查了一元一次不等式的解法，熟知解一元一次不等式的一般步骤是解决问题的关键．
20.如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与轴交于点*C*，点*D*为点*C*关于原点*O*的对称点，求的面积．
【答案】（1）；（2）18
【解析】
【分析】
（1）根据点A、B都在反比例函数图象上，得到关于*a*的方程，求出*a*，即可求出反比例函数解析式；
（2）根据点A、B都在一次函数的图象上，运用待定系数法求出直线解析式，进而求出点C坐标，求出CD长，即可求出的面积．
【详解】解：（1）∵点，点在反比例函数的图象上，
∴．
解得．
∴．
∴反比例函数的表达式是．
（2）∵，
∴点*A*，点*B*的坐标分别是．
∵点*A*，点*B*在一次函数的图象上，
∴
解得
∴一次函数的表达式是．
当时，．
∴点*C*的坐标是．
∴．
∵点*D*是点*C*关于原点*O*的对称点，
∴．
作轴于点*E*，
∴．
【点睛】本题为一次函数与反比例函数综合题，难度不大，解题关键是根据点A、B都在反比例函数图象上，得到关键*a*的方程，求出*a*，得到点A、B坐标．
21.为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了*A*：机器人；*B*：航模；*C*：科幻绘画；*D*：信息学；*E*：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角的度数；
（4）在*C*组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和*E*组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
【答案】（1）80；（2）见解析；（3）72º；（4）图表见解析，
【解析】
【分析】
（1）根据题目中已知B的占比和人数已知，可求出总人数；
（2）用总人数减去其他人数可求出D的人数，然后补全条图即可；
（3）先算出A的占比，再用占比乘以360°即可；
（4）根据列表法进行求解即可；
【详解】（1）由题可知：（人），
∴参加学生的人数是80人；
（2）由（1）可得：D的人数为，画图如下：
（3）由（1）可得，A的占比是，
∴．
（4）列表如下：
-------- ------------------- -------------------- --------------------
*C*男 *C*女1 *C*女2
*E*男1 （*C*男，*E*男1） （*C*女1，*E*男1） （*C*女2，*E*男1）
*E*男2 （*C*男，*E*男2） （*C*女1，*E*男2） （*C*女2，*E*男2）
*E*女 （*C*男，*E*女） （*C*女1，*E*女） （*C*女2，*E*女）
-------- ------------------- -------------------- --------------------
得到所有等可能的情况有9种，
其中满足条件的有5种：（*C*女1，*E*男1），（*C*女2，*E*男1），（*C*女1，*E*男2），*C*女2，*E*男2），（*C*男，*E*女）
所以所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率是．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的结合，在解题过程中准确理解题意，列表格求概率是关键．
22.中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以"茶和世界共品共享"为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了*A*种茶叶若干盒，用8400元购进*B*种茶叶若干盒，所购*B*种茶叶比*A*种茶叶多10盒，且*B*种茶叶每盒进价是*A*种茶叶每盒进价的1.4倍．
（1）*A*，*B*两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进*A*，*B*两种茶叶共100盒（进价不变），*A*种茶叶的售价是每盒300元，*B*种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进*A*，*B*两种茶叶各多少盒？
【答案】（1）*A*，*B*两种茶叶每盒进价分别为200元，280元；（2）第二次购进*A*种茶叶40盒，*B*种茶叶60盒
【解析】
【分析】
（1）设*A*种茶叶每盒进价为元，则*B*种茶叶每盒进价为元，根据"4000元购进了*A*种茶叶若干盒，用8400元购进*B*种茶叶若干盒，所购*B*种茶叶比*A*种茶叶多10盒"列出分式方程解答，并检验即可；
（2）设第二次*A*种茶叶购进盒，则*B*种茶叶购进盒，根据题意，表达出打折前后，A，B两种茶叶的利润，列出方程即可解答．
【详解】解：（1）设*A*种茶叶每盒进价为元，则*B*种茶叶每盒进价为元．
根据题意，得
．
解得．
经检验：是原方程的根．
∴（元）．
∴*A*，*B*两种茶叶每盒进价分别为200元，280元．
（2）设第二次*A*种茶叶购进盒，则*B*种茶叶购进盒．
打折前*A*种茶叶的利润为．
*B*种茶叶的利润为．
打折后*A*种茶叶的利润为．
*B*种茶叶的利润为0．
由题意得：．
解方程，得：．
∴（盒）．
∴第二次购进*A*种茶叶40盒，*B*种茶叶60盒．
【点睛】本题考查了分式方程及一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程，并注意分式方程一定要检验．
23.若和均为等腰三角形，且．
（1）如图（1），点*B*是的中点，判定四边形的形状，并说明理由；
（2）如图（2），若点*G*是的中点，连接并延长至点*F*，使．求证：①，②．
【答案】（1）四边形BEAC是平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；②见解析
【解析】
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质证得，，推出，再根据平行于同一直线的两直线平行即可推出结论；
（2）①利用"SAS"证得，即可证明结论；
②延长至点*H*，使，证得，推出，利用①的结论即可证明．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形．
理由如下：
∵为等腰三角形且，
∴，
∵*B*是的中点，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
（2）证明：①∵和为等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴；
②延长至点*H*，使．
∵*G*是中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形判定，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解答（2）②的关键．
24.小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点*F*是线段上一点．
**探究发现：**
（1）当点*F*为线段的中点时，连接（如图（2），小明经过探究，得到结论：．你认为此结论是否成立？\_\_\_\_\_\_\_\_\_．（填"是"或"否"）
**拓展延伸：**
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若，则点*F*为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
**问题解决：**
（3）若，求的长．
【答案】（1）是；（2）结论成立，理由见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E，再通过AB=BD求出∠A=∠ADB，紧接着根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出FD=FE=FC，由此得出∠E=∠FDE，据此进一步得出∠ADB=∠FDE，最终通过证明∠ADB+∠EDC=90°证明结论成立即可；
（2）根据垂直的性质可以得出90°，90°，从而可得，接着证明出，利用可知，从而推出，最后通过证明得出，据此加以分析即可证明结论；
（3）如图，设*G*为的中点，连接GD，由（1）得，故而，在中，利用勾股定理求出，由此得出，紧接着，继续通过勾股定理求出，最后进一步证明，再根据相似三角形性质得出，从而求出，最后进一步分析求解即可.
【详解】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，
∴∠A+∠ACB=∠E+∠ECD，
∵∠ACB=∠ECD，
∴∠A=∠E，
∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB，
在中，
∵F是斜边CE的中点，
∴FD=FE=FC，
∴∠E=∠FDE，
∵∠A=∠E，
∴∠ADB=∠FDE，
∵∠FDE+∠FDC=90°，
∴∠ADB+∠FDC=90°，
即∠FDB=90°，
∴BD⊥DF，结论成立，
故答案为：是；
（2）结论成立，理由如下：
∵，
∴90°，90°，
∴，
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
又90°，90°，，
∴，
∴．
∴．
∴*F*为的中点；
（3）如图，设*G*为的中点，连接GD，由（1）可知，
∴，
又∵，
在中，，
∴，
在中，，
在与中，
∵∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和相似三角形的性质及判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
25.若一次函数的图象与轴，轴分别交于*A*，*C*两点，点*B*的坐标为，二次函数的图象过*A*，*B*，*C*三点，如图（1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（1），过点*C*作轴交抛物线于点*D*，点*E*在抛物线上（轴左侧），若恰好平分．求直线的表达式；
（3）如图（2），若点*P*在抛物线上（点*P*在轴右侧），连接交于点*F*，连接，．
①当时，求点*P*的坐标；
②求的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）①点或；②
【解析】
【分析】
（1）先求的点A、C的坐标，再用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）设交于点*M*．由可得，．再由，根据平行线的性质可得，所以．已知平分，根据角平分线的定义可得．利用AAS证得．由全等三角形的性质可得． 由此即可求得点M的坐标为（0，-1）．再由，即可求得直线解析式为；
（3）①由可得．过点*P*作交于点*N*，则．根据相似三角形的性质可得．由此即可求得．设，可得．所以．由此即可得=2，解得．即可求得点或；②由①得．即．再根据二次函数的性质即可得．
【详解】（1）解：令，得．令时，．
∴．
∵抛物线过点，
∴．
则，将代入得
解得
∴二次函数表达式为．
（2）解：设交于点*M*．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
又∵，
∴．
∴．
由条件得：．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴直线解析式为．
（3）①，
∴．
过点*P*作交于点*N*，则．
∴．
∵，
∴．
∵直线的表达式为，
设，
∴．
∴．
∴，则，解得．
∴点或．
②由①得：．
∴．
∴有最大值，．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，解决第（2）问时，求得点M的坐标是关键；解决（3）①问时，作出辅助线求得是解题的关键；解决（3）②问时，构建函数模型是解决问题的关键．
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**一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）**
1.设全集，集合，，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
考点：集合的运算性质
2.正项等比数列中，存在两项.，使得，且，则的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由题根据所给条件求得数列的公比，然后根据得到，进而运用均值不等式求解即可.
设数列的公比为*q*,则由可得或-1(舍去)，因为存在两项.，使得，所以，
(当且仅当时取等号)，则的最小值是.
考点：等比数列性质；基本不等式
3.设向量与满足，在方向上的投影为，若存在实数，使得与垂直，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
考点：平面向量的数量积运算
4.已知函数的最大值为，最小值为．两个对称轴间最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】\[来源:学科网ZXXK\]
试题分析：由题意可得A+m=4，A-m=0，解得 A 和m的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式．
由题意m=2． A=±2，再由两个对称轴间的最短距离为可得函数的最小正周期为π可得,
，是其图象的一条对称轴，故可取，
故符合条件的函数解析式是，故选B.
考点：函数图象与性质
5.在中，三个内角，，所对的边为，，，若，，
，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
考点：正弦定理、余弦定理和面积公式的运用
6.设是所在平面上的一点，且，是的中点，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：结合题意，画出图形，利用图形，延长MD至E，使DE=MD，得到平行四边形MAEC，求出与的关系，即可得出正确的结论．
如图所示，∵D是AC之中点，延长MD至E，使得DE=MD，∴四边形MAEC为平行四边形，
，故选A．
考点：平面向量基本定理
7.已知锐角是的一个内角，，，是三角形中各角的对应边，若，则下列各式正确的是( )
A． B． C． D．\[来源:Z\_xx\_k.Com\]
【答案】C
考点：余弦定理；基本不等式
8.已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由已知，得到方程*a-x^2^=-2lnx⇔-a=2lnx-x^2^*在上有解，构造函数，求出它的值域，得到*-a*的范围即可．
由已知，得到方程在上有解，设，
在x=1有唯一的极值点，
故方程在上有解等价于从而*a*的取值范围为．故选B．
考点：对数函数的图像与性质
9.已知是数列的前项和，，，，数列是公差为的等差数列，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
考点：等差数列的性质
【名师点睛】本题属于创新题目，比较灵活的考查了等差数列的性质的推广问题，解决问题的关键是将所求数列转化为求等间距的等差数列的项组成新的等差数列问题进行计算即可，属于较好的创新题目，能够从正反两个方面考查等差数列性质的运用.
10.**函数****与****的图象所有交点的横坐标之和为**( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．
由图象变化的法则可知：的图象作关于*y*轴的对称后和原来的一起构成的图象，
在向右平移1个单位得到的图象，再把*x*轴上方的不动，下方的对折上去,可得的图象；又的周期为2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有A、B、C、D，4个交点，由中点坐标公式可得：，
故所有交点的横坐标之和为4，故选C.
考点：函数零点；函数图像
11.已知向量是单位向量，，若，且，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
考点：平面向量的坐标运算、两点之间的距离公式，点到直线的距离
【名师点睛】本题考查了以平面向量模长为背景下的函数最值的求解，属于较难题；关键是根据点(x,y)的几何意义得到其轨迹为点（1，0）和（0，2）之间的线段，然后根据表示点到线段上的连线的范围，结合其几何关系不难解决问题.
12.定义在上的单调函数，，，则方程
的解所在区间是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据题意，由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则考点：根的存在性及根的个数判断；对数函数图象与性质的综合应用．
【名师点睛】本题注意考查利用零点存在性定理判断函数的零点及函数零点与方程根的关系的应用，解题的关键点和难点是求出的解析式，根据迭代的方法求得的解析式，结合及零点有关知识得到的个所在的范围即可.
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）**
13.若，，则的值为．
【答案】0
【解析】
试题分析：把已知条件的等式两边都乘以，得到关于的方程，求出方程的解，根据的范围即可得到满足题意的值，然后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，再利用同角三角函数间的基本关系把分母中"1"化为正弦与余弦函数的平方和的形式，分子利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，然后给分子分母都除以，变为关于的关系式，把求出的的值，然后根据条件计算即可．
或，，
.
考点：两角和的正弦函数公式；同角三角函数间的基本关系化简求值；二倍角
14.已知函数（）满足，且的导数，则不等式的解集为．
【答案】
考点：导数的运算；其它不等式的解法
15.已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题：
①；②；③；④数列中的最大项为；⑥．
其中正确命题的个数是．
【答案】3
考点：等差数列的性质
【名师点睛】本题考查等差数列的前n项和的最值．在等差数列中存在最大值的条件是：．主要是对数列函数特性的考查，属于今年常考的命题方向，一定要认真思考，总结该类型题目的解决方法.
16.已知函数为偶函数且，又，函数，若恰好有个零点，则的取值范围是．
【答案】
【解析】
试题分析：由题作出函数f(x)与g(x)的图像，然后根据函数周期性与奇偶性研究第一象限交点问题即可解决问题.
由题为偶函数且，不难得到其第一象限局部图像如图所示，易知g(x)为偶函数，所以只要两者在第一象限交点个数为2个的*a*的范围即为所求实数*a*的范围，
易知当g(x)分别经过A,B两点时的*a*值分别为时所给函数F(x)的零点个数为4个.
考点：分段函数的通项与性质；函数的奇偶性与周期性；函数的零点问题
【名师点睛】有关分段函数的图像与性质的考查题目往往与函数的零点及函数的基本性质及单调性，奇偶性的考查结合在一起，解决问题的关键是根据函数解析式分析其图像特征，通过数形结合思想解决有关问题即可，有一定难度，需要认真练习，通过作图能力、计算能力及分析能力.
**三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分10分）设数列满足，．
求的通项公式；
记，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)
考点：数列的求和；数列递推式．
18.（本小题满分12分）已知角，，是的三个内角，，，是各角的对边，若向量，，且．
求的值；
求的最大值．
【答案】(1)；(2)
考点：三角函数的化简求值；平面向量数量积的运算．
19.（本小题满分12分）已知函数（）的最小正周期为．
求函数在区间上的最大值和最小值；
在中，，，分别为角，，所对的边，且，，求角的大小；
在的条件下，若，求的值．
【答案】(1)时，f（x）的最小值是-3，时，f（x）的最大值是1； (2)；(3)
【解析】
试题分析：(1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式，利用周期公式可求ω，由时，可得，根据正弦函数的图象和性质即可得解；(2)由已知，由正弦定理结合，可得，结合，即可求C的值；(3)由得，由(2)可求，从而利用两角和与差的余弦函数公式即可求值．
试题解析：(1)
.....................................................(2分)
，
所以时，f（x）的最小值是-3，时，f（x）的最大值是1；.............................(4分)
(2)由已知由正弦定理，有
；.....................................................(8分)
\(3\) 由得,，
..........................(12分)
考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；三角函数的最值．
【名师点睛】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．有关三角函数图像与性质问题结合解三角形问题主要是根据所给三角函数的性质结合有关运算公式及正弦定理、余弦定理进行边角关系的分析计算解决有关问题，难度往往不大，多为中档题目.
\[来源:学。科。网Z。X。X。K\]
20.（本小题满分12分）已知函数，其中，为自然对数底数．
讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；
设，若函数对任意都成立，求的最大值．
【答案】(1)当时，函数在单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； (2)
（2）由（1）知，当时，函数在R上单调递增且当时，不可能恒成立；.....................................................(6分)
当*a*=0时，此时*ab*=0；.....................................................(7分)
当*a*\>0时，由函数对任意x∈R都成立，可得，
∵，............................................(9分)
设，则，
由于，令，得
时，单调递增；
时，单调递减.
，即当时，ab的最大值为........................(12分)
考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
21.（本小题满分12分）设函数，．
当时，在上恒成立，求实数的取值范围；
当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围；
是否存在常数，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)
（3）存在满足题意，函数的定义域是，对*m*分类讨论即可得出单调性，而函数*g*（*x*）在上的单调递减区间是，单调递增区间是，解出即可．
（3）存在满足题意．，函数的定义域是，
若，意．，函数*f*（x）在上单调递增，不合题意；
当时，由，得，解得或（舍去），
故时，函数的增区间是，单调递减区间是，
而函数*g*（*x*）在上的单调递减区间是，单调递增区间是，
故只需......................................................(12分)
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．
22.（本小题满分12分）已知函数（）．
当时，求函数的单调区间；
若对任意实数，当时，函数的最大值为，求的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减(2)\[来源:学科网ZXXK\]
试题解析：(1)当时，，....................(1分)
列表如下：
∴函数在上单调递增，在上单调递减；......................................(4分)
\(2\) 由题意，
（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，不存在实数，使得当时，函数）的最大值为；.................(6分)
代入化简得，
令恒成立，
故恒有，
时，恒成立；
综上，实数*a*的取值范围是．.................(12分)
--
--
考点：利用导数研究函数的性质
【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，着重考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，解答该题要求考生具有较强的逻辑思维能力，属难度较大的题目．解决这类问题的方法要求学生数学根据所给函数满足有关条件结合有关导数知识分析函数的有关性质，特别是含有参数的题目往往需要分类讨论进行解决，有关最值问题需要根据单调性进行解决，设计知识点比较多综合性较强，所以平时一定要认真总结，丰富解题方法，灵活运用才能解决问题.
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**2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）**
**理科数学**
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中"座位号、姓名、科类"与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。
4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：
如果时间A、B互斥，那么
如果时间A、B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式，其中R表示球的半径
球的体积公式，其中R表示球的半径
**第Ⅰ卷（选择题 共60分）**
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合M＝｛x\|｝，N＝｛y\|y＝3x^2^＋1，x∈R｝，则M∩N＝（ ）
A．∅ B. {x\|x≥1} C.｛x\|x\>1｝ D. {x\| x≥1或x\<0}
2、已知复数z满足（＋3*i*）z＝3*i*，则z＝（ ）
A． B. C. D.
3、若a\>0，b\>0，则不等式－b\<\<a等价于（ ）
A．\<x\<0或0\<x\< B.－\<x\< C.x\<-或x\> D.x\<或x\>
4、设O为坐标原点，F为抛物线y^2^＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若＝－4
则点A的坐标是（ ）
A．（2，±2） B. (1，±2) C.（1，2）D.(2，2)
5、对于R上可导的任意函数*f*（x），若满足（x－1）≥0，则必有（ ）
A. f（0）＋f（2）\<2f（1） B. f（0）＋f（2）≤2f（1）
B. f（0）＋f（2）≥2f（1） C. f（0）＋f（2）\>2f（1）
6、若不等式x^2^＋ax＋1≥0对于一切x∈（0，〕成立，则a的取值范围是（ ）
A．0 B. --2 C.- D.-3
7、已知等差数列｛a~n~｝的前n项和为S~n~，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S~200~＝（ ）
A．100 B. 101 C.200 D.201
8、在（x－）^2006^ 的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于（ ）
A.2^3008^ B.-2^3008^ C.2^3009^ D.-2^3009^
9、P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）^2^＋y^2^＝4和（x－5）^2^＋y^2^＝1上的点，则\|PM\|－\|PN\|的最大值为（ ）
A. 6 B.7 C.8 D.9
10、将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（ ）
A. a=105 p= B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p=
11、如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S~1~，S~2~，则必有（ ）
A. S~1~\<S~2~
B. S~1~\>S~2~
C. S~1~=S~2~
D. S~1~，S~2~的大小关系不能确定
12、某地一年的气温Q（t）（单位：ºc）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10ºc，令G（t）表示时间段〔0,t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ ）
**理科数学**
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。
13、数列｛｝的前n项和为S~n~，则S~n~＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
14、设f（x）＝log~3~（x＋6）的反函数为f^－1^（x），若〔f^－1^（m）＋6〕〔f^－1^（n）＋6〕＝27
则f（m＋n）＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
15、如图，在直三棱柱ABC－A~1~B~1~C~1~中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC~1~＝，P是BC~1~上一动点，则CP＋PA~1~的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
16、已知圆M：（x＋cosθ）^2^＋（y－sinθ）^2^＝1，
直线*l*：y＝kx，下面四个命题：
A. 对任意实数k与θ，直线*l*和圆M相切；
B. 对任意实数k与θ，直线*l*和圆M有公共点；
C. 对任意实数θ，必存在实数k，使得直线*l*与
和圆M相切
（D）对任意实数k，必存在实数θ，使得直线*l*与
和圆M相切
其中真命题的代号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（写出所有真命题的代号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝x^3^＋ax^2^＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
1. 求a、b的值与函数f（x）的单调区间
2. 若对x∈〔－1，2〕，不等式f（x）\<c^2^恒成立，求c的取值范围。
18、（本小题满分12分）
某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令ξ表示甲，乙摸球后获得的奖金总额。求：
（1）ξ的分布列 （2）ξ的的数学期望
19、（本小题满分12分）
如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是
边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，
设∠MGA＝α（）
1. 试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S~1~与S~2~）
表示为α的函数
2. 求y＝的最大值与最小值
20、（本小题满分12分）
如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形
1. 求证：AD⊥BC
2. 求二面角B－AC－D的大小
3. 在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。
21、（本大题满分12分）
如图，椭圆Q：（a\>b\>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点
1. 求点P的轨迹H的方程
2. 在Q的方程中，令a^2^＝1＋cosθ＋sinθ，b^2^＝sinθ（0\<θ≤ ），确定θ的值，使原点距椭圆的右准线*l*最远，此时，设*l*与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？
22、（本大题满分14分）
已知数列｛a~n~｝满足：a~1~＝，且a~n~＝
1. 求数列｛a~n~｝的通项公式；
2. 证明：对于一切正整数n，不等式a~1~•a~2~•......a~n~\<2•n！
| 1 | |
**北师大版四年级（下）期中数学试卷**
**一、用心填一填．**
1．0.28×0.06的积有[ ]{.underline}位小数，5.5×9.4的积有[ ]{.underline}位小数．
2．0.75扩大100倍是[ ]{.underline}，0.052扩大[ ]{.underline}倍是52．
3．按角的大小，三角形可以分为[ ]{.underline}三角形、[ ]{.underline}三角形、[ ]{.underline}三角形．
4．两个因数的积为2.85，如果其中一个因数扩大100倍，另一个因数缩小到原来的，那么所得的积是[ ]{.underline}．
5．[ ]{.underline}的小数点向左移动三位是8.6，移动后缩小到原来的[ ]{.underline}．
6．5.2的计数单位是[ ]{.underline}，不改变大小把它改写成三位小数，它的计数单位是[ ]{.underline}．
7．一个等腰三角形，它的一个底角是50°，它的顶角是[ ]{.underline}，一个等边三角形的边长是9厘米，它的周长是[ ]{.underline}厘米．
8．5千克30克=[ ]{.underline}千克
8.2米=[ ]{.underline}米[ ]{.underline}分米．
9．在横线里填上"＞""＜"或"="．
----------------------------------------- -----------------------------------------------
2.75×1.02[ ]{.underline}2.75 0.98×0.98[ ]{.underline}0.98
1.8[ ]{.underline}1.8×0.8 0.26×1[ ]{.underline}0.26
1.4×1.1[ ]{.underline}1.4 2千米56米[ ]{.underline}2.56千米．
----------------------------------------- -----------------------------------------------
10．整数部分是0的最小一位小数与整数部分是的0最大一位小数的积是[ ]{.underline}．
11．一个纽扣0.5元，一件上衣有5个纽扣，两个袖子各有2个纽扣，一件上衣的扣子共需[ ]{.underline}元钱．
12．0.8×5表示[ ]{.underline}个[ ]{.underline}的和是多少．
**二、细心辨一辨．**
13．三角形越大，内角和越大．[ ]{.underline}．（判断对错）
14．15乘一个小数，积一定比15小．[ ]{.underline}．（判断对错）
15．一个三角形至少有2个锐角．[ ]{.underline}．（判断对错）
16．两个形状相同的三角形可以拼成一个平行四边形．[ ]{.underline}．（判断对错）
17．直角梯形具有稳定性．[ ]{.underline}．（判断对错）
**三、精心选一选**
18．小数部分最大的计数单位是（ ）
A．1 B．十分之一 C．百分之一
19．一个三角形的两条边分别是40厘米、50厘米，第三条边的长度只能选（ ）
A．80厘米 B．90厘米 C．110厘米
20．两个小三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是（ ）
A．90˚ B．180˚ C．360˚
21．大于1.5而小于1.7的小数有（ ）个．
A．10 B．1 C．无数
22．下面只有一组对边平行的是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形 C．长方形 D．四边形
**四、考一考你的计算能力．**
23．直接写得数．
---------- ----------- ------------ ----------
70×0.01= 2.515×10= 1.1×0.4= 10﹢0.3=
6.5×0.2= 0.1×0.01= 0.87﹣0.6= 1.7×3=
---------- ----------- ------------ ----------
24．用竖式计算
1.24×1.5=
3.2×1.8=
0.32×0.9=
4.2×1.01=
25．用你喜欢的方法计算．
0.78×7.2+0.78×2.8
1.25×17×8
5.6×4.5﹣4.6×4.5
6×（3.08﹣0.14）
**五、在点子图上画一个平行四边形和一个直角梯形．（共1小题，满分6分）**
26．在点子图上画一个平行四边形和一个直角梯形．
**六、解决问题我能行．**
27．一条水渠长68.55米，另一条水渠比它长25.48米，两条水渠共长多少米？
28．每千克橘子6.25元，妈妈买了14千克苹果，付出了100元，应找回多少钱？
29．在一个等腰三角形中，有两条边分别长7厘米和2厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？
30．一辆客车从甲城到乙城，每小时行85千米，全程用了6.5小时，求从甲城到乙城的距离？
31．梅花鹿高1.34米，长颈鹿的身高是梅花鹿身高的2.5倍还多0.82米，长颈鹿的身高是多少米？
**北师大版四年级（下）期中数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、用心填一填．**
1．0.28×0.06的积有[ 四 ]{.underline}位小数，5.5×9.4的积有[ 一 ]{.underline}位小数．
【考点】小数乘法．
【分析】根据小数乘法的计算方法求出积即可进行解答．
【解答】解：0.28×0.06，0.28为两位小数，0.06为两位小数，则它们积的精确值是四位小数；
5.5×9.4=51.7，它们积是一位小数；
故答案为：四，一．
2．0.75扩大100倍是[ 75 ]{.underline}，0.052扩大[ 1000 ]{.underline}倍是52．
【考点】小数点位置的移动与小数大小的变化规律．
【分析】根据小数点位置移动引起数的大小变化规律可知：0.75扩大100倍是75，0.052扩大1000倍是52．
【解答】解：0.75扩大100倍是75，0.052扩大1000倍是52；
故答案为：75，1000．
3．按角的大小，三角形可以分为[ 锐角 ]{.underline}三角形、[ 直角 ]{.underline}三角形、[ 钝角 ]{.underline}三角形．
【考点】三角形的分类．
【分析】根据三角形按角分类的方法即可解决．
【解答】解：三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，
有一个角是直角的三角形叫直角三角形，
有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形，
答：按照三角形中角的不同可以把三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
故答案为：锐角；直角；钝角．
4．两个因数的积为2.85，如果其中一个因数扩大100倍，另一个因数缩小到原来的，那么所得的积是[ 28.5 ]{.underline}．
【考点】积的变化规律．
【分析】根据积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数扩大或缩小几倍（0除外），积也会随之扩大或缩小相同的倍数，据此解答即可得到答案．
【解答】解：根据积的变化规律可知，
两个因数的积为2.85，如果其中一个因数扩大100倍，另一个因数缩小到原来的，
那么所得的积是：2.85×100÷10=28.5．
故答案为：28.5．
5．[ 8600 ]{.underline}的小数点向左移动三位是8.6，移动后缩小到原来的[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】近似数及其求法．
【分析】根据小数点位置移动引起数的大小变化规律可知：把一个小数的小数点向左移动三位是8.6，求这个数只要把8.6扩大1000倍是8600，把这个小数就缩小了1000倍即缩小到原数的；据此解答即可．
【解答】解：8600的小数点向左移动三位是8.6，移动后缩小到原来的；
故答案为：8600，．
6．5.2的计数单位是[ 0.1 ]{.underline}，不改变大小把它改写成三位小数，它的计数单位是[ 5.200 ]{.underline}．
【考点】近似数及其求法．
【分析】根据数位表可知，小数的小数部分从左到右的计算单位依次是十分之一，百分之一，千分之一...；根据小数的基本性质，不改变它的大小改写成三位小数，只要在5.2的末尾添上2个0即可．
【解答】解：5.2的计数单位是 0.1，不改变大小把它改写成三位小数，它的计数单位是5.200；
故答案为：0.1，5.200．
7．一个等腰三角形，它的一个底角是50°，它的顶角是[ 80° ]{.underline}，一个等边三角形的边长是9厘米，它的周长是[ 27 ]{.underline}厘米．
【考点】等腰三角形与等边三角形；三角形的内角和．
【分析】（1）等腰三角形的两个底角相等，所以它的另一个底角也是50°，根据三角形内角和是180°即可求出顶角的度数；
（2）等边三角形的三条边都相等，由此根据三角形的周长的定义可知，三条边长度之和就是这个等边三角形的周长；据此解答．
【解答】解：（1）180°﹣50°﹣50°=80°，
答：它的顶角是80°．
（2）9×3=27（厘米），
答：它的周长是27厘米．
故答案为：80°，27．
8．5千克30克=[ 5.03 ]{.underline}千克
8.2米=[ 8 ]{.underline}米[ 2 ]{.underline}分米．
【考点】质量的单位换算；长度的单位换算．
【分析】把5千克30克化成千克数，用30除以进率1000，然后再加上5；
把8.2米化成复名数，整数部分8是米数，0.2乘进率10就是分米数；即可得解．
【解答】解：5千克30克=5.03千克
8.2米=8米 2分米
故答案为：5.03，8，2．
9．在横线里填上"＞""＜"或"="．
----------------------------------- -----------------------------------------
2.75×1.02[ ＞ ]{.underline}2.75 0.98×0.98[ ＜ ]{.underline}0.98
1.8[ ＞ ]{.underline}1.8×0.8 0.26×1[ = ]{.underline}0.26
1.4×1.1[ ＞ ]{.underline}1.4 2千米56米[ ＜ ]{.underline}2.56千米．
----------------------------------- -----------------------------------------
【考点】积的变化规律；长度的单位换算．
【分析】一个不为0的数乘以小于1的小数，积一定小于原数，一个不为0数乘以大于1的小数，积一定大于原数．
【解答】解：
----------------- -----------------------
2.75×1.02＞2.75 0.98×0.98＜0.98
1.8＞1.8×0.8 0.26×1=0.26
1.4×1.1＞1.4 2千米56米＜2.56千米．
----------------- -----------------------
10．整数部分是0的最小一位小数与整数部分是的0最大一位小数的积是[ 0.09 ]{.underline}．
【考点】小数乘法．
【分析】整数部分是0的最小一位小数是0.1，整数部分是的0最大一位小数是0.9，根据小数乘法的计算法则，求出它们的积即可．
【解答】解：0.1×0.9=0.09．
故答案为：0.09．
11．一个纽扣0.5元，一件上衣有5个纽扣，两个袖子各有2个纽扣，一件上衣的扣子共需[ 4.5 ]{.underline}元钱．
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】用5加2乘2求出纽扣的个数，再乘0.5就是共需的钱数，据此解答．
【解答】解：（5+2×2）×0.5
=（5+4）×0.5
=9×0.5
=4.5（元）
答：一件上衣的扣子共需4.5元．
故答案为：4.5元．
12．0.8×5表示[ 5 ]{.underline}个[ 0.8 ]{.underline}的和是多少．
【考点】小数乘法．
【分析】小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都表示求几个相同加数的和的简便运算．据此解答．
【解答】解：0.8×5表示5个0.8的和是多少．
故答案为：5，0.8．
**二、细心辨一辨．**
13．三角形越大，内角和越大．[ 错误 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】三角形的内角和．
【分析】依据三角形的内角和是180度即可作答．
【解答】解：因为三角形的内角和是180°，且这个数值是固定不变的，
所以说"三角形越大，内角和越大"是错误的．
故答案为：错误．
14．15乘一个小数，积一定比15小．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】小数乘法．
【分析】我们运用假设数值的方法进行计算，假设小数分别是0.9，1.2，进行列式即可得出答案．
【解答】解：15×0.9=13.5
15×1.2=18；
一个不为0的数乘以小于1的小数，积一定小于原数，一个不为0数乘以大于1的小数，积一定大于原数．
所以题干中的说法是错误的．
故答案为：×．
15．一个三角形至少有2个锐角．[ √ ]{.underline}．（判断对错）
【考点】三角形的分类．
【分析】假设任意一个三角形至少有1个锐角，则另外两个内角的度数和就会等于或大于180度，三角形的内角和就大于180度，这与三角形的内角和是180度是相违背的，故假设不成立，从而可以判断出任意一个三角形至少有2个锐角．
【解答】解：由分析可知，任意三角形一个至少有2个锐角说法正确，
故答案为：√．
16．两个形状相同的三角形可以拼成一个平行四边形．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】图形的拼组．
【分析】因两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，据此解答．
【解答】解：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，而两个形状相同，大小不同的三角形不一定拼成一个平行四边形，如下图：
故答案为：×．
17．直角梯形具有稳定性．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】梯形的特征及分类．
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
【解答】解：因为四边形具有不稳定性，所以直角梯形具有稳定性，说法错误；
故答案为：×．
**三、精心选一选**
18．小数部分最大的计数单位是（ ）
A．1 B．十分之一 C．百分之一
【考点】小数的读写、意义及分类．
【分析】小数部分的计数单位从大到小依次是：十分之一，百分之一，千分之一...，据此解答．
【解答】解：小数部分最大的计数单位是十分之一．
故选：B．
19．一个三角形的两条边分别是40厘米、50厘米，第三条边的长度只能选（ ）
A．80厘米 B．90厘米 C．110厘米
【考点】三角形的特性．
【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．
【解答】解：50﹣40＜第三边＜40+50，
所以10＜第三边＜90，
即第三边在10厘米～90厘米之间（不包括10厘米和90厘米），所以第三边应为80厘米；
故选：A．
20．两个小三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是（ ）
A．90˚ B．180˚ C．360˚
【考点】三角形的内角和．
【分析】只要是三角形，它的内角和就是180度，不管三角形是大还是小，它的内角和都是180度，据此解答．
【解答】解：把两个直角三角形拼成一个大三角形，这个三角形的内角和是180°．
故选：B．
21．大于1.5而小于1.7的小数有（ ）个．
A．10 B．1 C．无数
【考点】小数大小的比较．
【分析】由题意可知要求的小数在1.5和1.7之间，没有说明是几位小数，可以是一位小数、两位小数、三位小数...，所以有无数个小数．
【解答】解：大于1.5而小于1.7的小数，没有说明是几位小数，可以是一位小数、两位小数、三位小数...，所以有无数个小数．
故选：C．
22．下面只有一组对边平行的是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形 C．长方形 D．四边形
【考点】梯形的特征及分类．
【分析】根据四边形的含义：由四条边首尾相连围成的平面图形，叫做四边形；常见的四边形有：长方形、正方形、平行四边形和梯形，平行四边形、长方形都是两组对边分别平行，只有梯形是一组对边平行，解答即可．
【解答】解：由分析得出：平行四边形和长方形的两组对边都平行；
直角梯形只有一组对边平行；
四边形的对边不一定平行．
故选：B
**四、考一考你的计算能力．**
23．直接写得数．
---------- ----------- ------------ ----------
70×0.01= 2.515×10= 1.1×0.4= 10﹢0.3=
6.5×0.2= 0.1×0.01= 0.87﹣0.6= 1.7×3=
---------- ----------- ------------ ----------
【考点】小数乘法．
【分析】根据四则运算的计算法则计算即可求解．
【解答】解：
------------- ---------------- ---------------- --------------
70×0.01=0.7 2.515×10=25.15 1.1×0.4=0.44 10﹢0.3=10.3
6.5×0.2=1.3 0.1×0.01=0.001 0.87﹣0.6=0.27 1.7×3=5.1
------------- ---------------- ---------------- --------------
24．用竖式计算
1.24×1.5=
3.2×1.8=
0.32×0.9=
4.2×1.01=
【考点】小数乘法．
【分析】根据小数乘法的竖式计算方法进行解答即可．
【解答】解：（1）1.24×1.5=1.86；
（2）3.2×1.8=5.76；
（3）0.32×0.9=0.288；
（4）4.2×1.01=4.242．
25．用你喜欢的方法计算．
0.78×7.2+0.78×2.8
1.25×17×8
5.6×4.5﹣4.6×4.5
6×（3.08﹣0.14）
【考点】运算定律与简便运算．
【分析】（1）可根据乘法分配律计算；
（2）可根据乘法交换律计算；
（3）可根据乘法分配律计算；
（4）可根据乘法分配律计算．
【解答】解：0.78×7.2+0.78×2.8
=0.78×（7.2+2.8）
=0.78×10
=7.8
1.25×17×8
=1.25×8×17
=10×17
=170
5.6×4.5﹣4.6×4.5
=4.5×（5.6﹣4.6）
=4.5×1
=4.5
6×（3.08﹣0.14）
=6×3.08﹣6×0.14
=18.48﹣0.84
=17.64
**五、在点子图上画一个平行四边形和一个直角梯形．（共1小题，满分6分）**
26．在点子图上画一个平行四边形和一个直角梯形．
【考点】平行四边形的特征及性质．
【分析】有两组对边分别平行的四边形是平行四边形；只有一组对边平行的四边形是梯形，据此画图解答．
【解答】解：
**六、解决问题我能行．**
27．一条水渠长68.55米，另一条水渠比它长25.48米，两条水渠共长多少米？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】根据题意，可用68.55加25.48计算出第二条水渠的长度，然后再用第一条水渠的长度加第二条水渠的长度进行计算即可．
【解答】解：68.55+（68.55+25.48）
=68.55+94.03
=162.58（米）
答：两条水渠共长162.58米．
28．每千克橘子6.25元，妈妈买了14千克苹果，付出了100元，应找回多少钱？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】根据关系式"单价×数量=总价"先求出14千克苹果的钱数，再求找回的钱数．
【解答】解：100﹣6.25×14
=100﹣87.5
=12.5（元）
答：应找回12.5元．
29．在一个等腰三角形中，有两条边分别长7厘米和2厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？
【考点】三角形的周长和面积．
【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；判断出该三角形的腰为7厘米，进而根据三角形的周长计算方法解答即可．
【解答】解：7+7+2
=14+2
=16（厘米）．
答：这个三角形的周长是16厘米．
30．一辆客车从甲城到乙城，每小时行85千米，全程用了6.5小时，求从甲城到乙城的距离？
【考点】简单的行程问题．
【分析】根据题意，这辆客车的速度是每小时85千米，从甲城到乙城所用时间是6.5小时，求甲城到乙城的距离，根据关系式"路程=速度×时间"列式解答．
【解答】解：85×6.5=552.5（千米）；
答：从甲城到乙城的距离是552.5千米．
31．梅花鹿高1.34米，长颈鹿的身高是梅花鹿身高的2.5倍还多0.82米，长颈鹿的身高是多少米？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】先求出梅花鹿身高的2.5倍是多少，然后再加上0.82米即可．
【解答】解：1.34×2.5+0.82，
=3.35+0.82，
=4.17（米）；
答：长颈鹿的身高是4.17米．
**2016年8月27日**
| 1 | |
**北师大版三年级（下）期中数学试卷**
**一、填空题（第7题共4分，其余每空1分共20分）**
1．常见的计量物体轻重的单位有[ ]{.underline}．
2．填上合适的单位．
1瓶酱油重500[ ]{.underline}
一辆西瓜约重4[ ]{.underline}
笑笑的体重大约是30[ ]{.underline}
一头河马约重2[ ]{.underline}．
3．206÷5的商是[ ]{.underline}位数，82×50的积是[ ]{.underline}位数．
4．406是2的[ ]{.underline}倍，406的2倍是[ ]{.underline}．
5．在横线里填上"＞"、"＜"或"="．
320÷8[ ]{.underline}4
123×5[ ]{.underline}123÷5
45×24[ ]{.underline}25×44．
6．行驶中的汽车的车轮的运动是[ ]{.underline}现象，行驶中汽车的车身的运动是[ ]{.underline}现象．（填"平移"或"旋转"）
7．
图①向[ ]{.underline}平移了[ ]{.underline}格．
图②向[ ]{.underline}平移了[ ]{.underline}格．
图③向[ ]{.underline}平移了[ ]{.underline}格．
图④向[ ]{.underline}平移了[ ]{.underline}格．
**二、选择正确答案的序号填在括号里．（每题1分，共5分）**
8．在除法算式中，0可以作（ ）
A．被除数 B．除数 C．商
9．除数是一位数的除法，应从被除数的（ ）除起．
A．个位 B．十位 C．百位 D．高位
10．如图中的图形是经过（ ）得到的．
A．平移 B．旋转 C．既平移又旋转
11．与240÷4÷2的商相等的是（ ）
A．240÷6 B．240÷8 C．240÷5
12．下列选项中，重量最轻的是（ ）
A．7000克 B．2吨 C．2千克
**四、判断题（每题1分共5分）**
13．乘数的末尾一共有两个0，积的末尾就一定有两个0．[ ]{.underline}（判断对错）
14．两位数乘两位数，积一定是四位数．[ ]{.underline}．（判断对错）
15．一辆汽车的载重量是3000千克，合3吨．[ ]{.underline}．（判断对错）
16．6千克的铁比6千克的棉花重．[ ]{.underline}．（判断对错）
17．0×6，0×0，0÷6，0+6四个算式的结果都是0．[ ]{.underline}．（判断对错）
**五、移一移，画一画．（每题2分共8分）**
18．
（1）画出图1向下平移4格后的图形．
（2）画出图2向上平移6格后的图形．
（3）画出图向右平移8格后的图形．
（4）以虚线为对称轴画出的轴对称图形．
**六、计算．**
19．直接写得数
-------- --------- -------- -------- --------
53×1= 4×200= 12+28= 10×48= 20×3=
900÷3= 60﹣45= 630÷7= 12×50= 300×5=
3×90= 43﹣17= 240÷6= 800×9= 480÷6=
-------- --------- -------- -------- --------
20．用竖式计算
342÷9
928÷8
15×28
63×25．
21．脱式计算
59+23×17
（61+39）÷2
102÷3×5．
**九、解决问题．（每题5分共30分）**
22．李老师要给全班同32名同学每人买一个笔记本，每个笔记本14元，李老师一共需要准备多少元钱？
23．我6天看了42页，照这样计算，看完一本105页的故事书一共需要多少天？
24．一辆汽车从甲地到乙地，计划每小时行40千米，7小时到达，结果只用了5小时，实际每小时要行多少千米？
25．三（1）班一共有9个小组，每个小组6人，他们在植树节一共植树216棵．平均每人植树多少棵？
26．电影院有24排座位，每排座位可以坐32人，"六一儿童节"这天上映《熊出没》，每张儿童票售15元，成人票售30元．
（1）电影院一共有多少个座位？
（2）三年级32名同学和2名老师"六一节"去看电影《熊出没》共需多少元？
**十、附加题**
27．右面是镜子中看到的时间，请画出现实的时间．
**北师大版三年级（下）期中数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题（第7题共4分，其余每空1分共20分）**
1．常见的计量物体轻重的单位有[ 吨、千克、克 ]{.underline}．
【考点】质量及质量的常用单位．
【分析】我们学过的计量物体轻重的单位有：吨、千克、克．据此解答即可．
【解答】解：我们学过的计量物体轻重的单位有吨、千克、克．
故答案为：吨、千克、克．
2．填上合适的单位．
1瓶酱油重500[ 克 ]{.underline}
一辆西瓜约重4[ 千克 ]{.underline}
笑笑的体重大约是30[ 千克 ]{.underline}
一头河马约重2[ 吨 ]{.underline}．
【考点】根据情景选择合适的计量单位．
【分析】根据情景根据生活经验，对质量单位和数据大小的认识，可知计量1瓶酱油重用"克"做单位；可知计量一辆西瓜约重用"千克"做单位；计量笑笑的体重用"千克"做单位，计量一头河马约重用"吨"做单位，据此得解．
【解答】解：1瓶酱油重500 克
一辆西瓜约重4 千克
笑笑的体重大约是30 千克
一头河马约重2 吨；
故答案为：克，千克，千克，吨．
3．206÷5的商是[ 两 ]{.underline}位数，82×50的积是[ 四 ]{.underline}位数．
【考点】整数的乘法及应用；整数的除法及应用．
【分析】根据整数乘除法的计算方法，分别求出206÷5的商与82×50的积，然后再进一步解答．
【解答】解：206÷5=41...1，41是两位数，
所以，206÷5的商是两位数；
82×50=4100，4100是四位数，
所以，82×50的积是四位数．
故答案为：两，四．
4．406是2的[ 203 ]{.underline}倍，406的2倍是[ 812 ]{.underline}．
【考点】整数的除法及应用；整数的乘法及应用．
【分析】求一个数是另一个数的几倍用除法计算，用406除以2即可；求一个数的几倍是多少，用乘法计算，用406乘2即可．
【解答】解：406÷2=203
406×2=812
答：406是2的203倍，406的2倍是812．
故答案为：203，812．
5．在横线里填上"＞"、"＜"或"="．
320÷8[ ＞ ]{.underline}4
123×5[ ＞ ]{.underline}123÷5
45×24[ ＜ ]{.underline}25×44．
【考点】整数的乘法及应用；整数大小的比较；整数的除法及应用．
【分析】根据整数乘除法的计算方法先算出算式的得数，然后再按照整数比较大小的方法解答．
【解答】解：（1）因为320÷8=40
40＞4
所以320÷8＞4；
（2）因为123×5=615
123÷5=
615＞
所以 123×5＞123÷5
（3）45×24=1080
25×44=1100
1080＜1100
所以45×24＜25×44
故答案为：＞，＞，＜．
6．行驶中的汽车的车轮的运动是[ 旋转 ]{.underline}现象，行驶中汽车的车身的运动是[ 平移 ]{.underline}现象．（填"平移"或"旋转"）
【考点】平移；旋转．
【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；
旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的． 根据平移与旋转定义判断即可．
【解答】解：行驶中的汽车的车轮的运动是 旋转现象，行驶中汽车的车身的运动是 平移现象；
故答案为：旋转，平移．
7．
图①向[ 左 ]{.underline}平移了[ 7 ]{.underline}格．
图②向[ 右 ]{.underline}平移了[ 7 ]{.underline}格．
图③向[ 下 ]{.underline}平移了[ 6 ]{.underline}格．
图④向[ 上 ]{.underline}平移了[ 6 ]{.underline}格．
【考点】平移．
【分析】根据题意，结合图形，由平移的概念找出图形平移的方向和平移的格数，即可求解．
【解答】解：图①向左平移了7格．
图②向右平移了7格．
图③向下平移了6格．
图④向上平移了6格．
故答案为：左，7，右，7，下，6，上，6．
**二、选择正确答案的序号填在括号里．（每题1分，共5分）**
8．在除法算式中，0可以作（ ）
A．被除数 B．除数 C．商
【考点】整数的除法及应用．
【分析】在除法算式中，0做除数无意义，0不能做除数，但0可以做被除数，当被除数为0时除数不为0时，商就为0．
【解答】解：在除法算式中，0可以做被除数和商，不能做除数．
故选：A，C．
9．除数是一位数的除法，应从被除数的（ ）除起．
A．个位 B．十位 C．百位 D．高位
【考点】整数的除法及应用．
【分析】根据笔算除法的计算法则进行求解即可．
【解答】解：除数是一位数的除法，在笔算时，要从被除数的最高位算起．
故选：D．
10．如图中的图形是经过（ ）得到的．
A．平移 B．旋转 C．既平移又旋转
【考点】平移；旋转．
【分析】根据旋转图形的意义，左图是由右图绕顶点顺时针或逆时针旋转得到．
【解答】解：如图，是由图形是经过旋转得到的；
故选：B．
11．与240÷4÷2的商相等的是（ ）
A．240÷6 B．240÷8 C．240÷5
【考点】运算定律与简便运算．
【分析】根据一个数连续除以两个数等于除以这两个数的乘积即可得出答案．
【解答】解：240÷4÷2
=240÷（4×2）
=240÷8
故选：B．
12．下列选项中，重量最轻的是（ ）
A．7000克 B．2吨 C．2千克
【考点】质量的单位换算；整数大小的比较．
【分析】比较7000克、2吨、2千克的大小：7000克=7千克，2吨=2000千克，因为2000千克＞7千克＞2千克，所以最轻的是2千克；据此选择即可．
【解答】解：7000克=7千克，2吨=2000千克，
因为2000千克＞7千克＞2千克，
所以2吨＞7000克＞2千克；
故选：C．
**四、判断题（每题1分共5分）**
13．乘数的末尾一共有两个0，积的末尾就一定有两个0．[ × ]{.underline}（判断对错）
【考点】整数的乘法及应用．
【分析】根据题意，假设其中一个数是200，另一个数是4或5，然后再进一步解答．
【解答】解：假设其中一个数是200，另一个数是4或5；
200×4=800；800的末尾有2个0；
200×5=1000，1000的末尾有3个0；
所以，两个因数的末尾一个有2个0，积的末尾不一定只有2个0．
故答案为：×．
14．两位数乘两位数，积一定是四位数．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】整数的乘法及应用．
【分析】两位数乘两位数，积可能是三位数，也可能是四位数，可举例子进行证明：先举两个两位数较小的例子，再举两个两位数较大的例子即可证明．
【解答】解：如：10×11=110，两位数乘两位数，积是三位数，
80×90=7200，两位数乘两位数，积是四位数，
所以两位数乘两位数，积可能是三位数，也可能是四位数．
故答案为：×．
15．一辆汽车的载重量是3000千克，合3吨．[ √ ]{.underline}．（判断对错）
【考点】质量的单位换算．
【分析】低级单位千克化高级单位吨除以进率1000．
【解答】解：3000千克=3吨
即一辆汽车的载重量是3000千克，合3吨．
故答案为：√．
16．6千克的铁比6千克的棉花重．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】质量及质量的常用单位．
【分析】棉花和铁都是6千克，名数相同，一样重．
【解答】解：6千克铁与6千克棉花一样重，原题说法错误；
故答案为：×．
17．0×6，0×0，0÷6，0+6四个算式的结果都是0．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】整数的乘法及应用．
【分析】根据有关0的计算方法，分别求出0×6，0×0，0÷6，0+6四个算式的结果，然后再进一步解答．
【解答】解：0×6=0；
0×0=0；
0÷6=0；
0+6=6；
所以，说0×6，0×0，0÷6，0+6四个算式的结果都是0是错误的．
故答案为：×．
**五、移一移，画一画．（每题2分共8分）**
18．
（1）画出图1向下平移4格后的图形．
（2）画出图2向上平移6格后的图形．
（3）画出图向右平移8格后的图形．
（4）以虚线为对称轴画出的轴对称图形．
【考点】作平移后的图形．
【分析】（1）根据平移的特征，把图1的各顶点分别向下平移4个单位，依次连结即可得到向下平移4格后的图形．
（2）用同样的方法即可把图2向上平移6格．
（3）同理可所梯形上右平移8格．
（4）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的左边画出右图的关键对称点，依次连结、涂色即可．
【解答】解：（1）画出图1向下平移4格后的图形（下图红色部分）：
（2）画出图2向上平移6格后的图形（下图绿色部分）：
（3）画出图向右平移8格后的图形（下图黄色部分）：
（4）以虚线为对称轴画出的轴对称图形（下图蓝色部分）：
**六、计算．**
19．直接写得数
-------- --------- -------- -------- --------
53×1= 4×200= 12+28= 10×48= 20×3=
900÷3= 60﹣45= 630÷7= 12×50= 300×5=
3×90= 43﹣17= 240÷6= 800×9= 480÷6=
-------- --------- -------- -------- --------
【考点】整数的乘法及应用；整数的加法和减法．
【分析】根据整数加减乘除法的计算方法解答．
【解答】解：
----------- ----------- ---------- ------------ ------------
53×1=53 4×200=800 12+28=40 10×48=480 20×3=60
900÷3=300 60﹣45=15 630÷7=90 12×50=600 300×5=1500
3×90=270 43﹣17=26 240÷6=40 800×9=7200 480÷6=80
----------- ----------- ---------- ------------ ------------
20．用竖式计算
342÷9
928÷8
15×28
63×25．
【考点】整数的乘法及应用；整数的除法及应用．
【分析】根据整数乘除法的竖式的计算方法解答．
【解答】解：
（1）342÷9=38
（2）928÷8=116
（3）15×28=420
（4）63×25=1575
21．脱式计算
59+23×17
（61+39）÷2
102÷3×5．
【考点】整数四则混合运算．
【分析】（1）先算乘法，再算加法；
（2）先算小括号里的加法，再算括号外的除法；
（3）按照从左到右的顺序计算．
【解答】解：（1）59+23×17
=59+391
=450
（2）（61+39）÷2
=100÷2
=50
（3）102÷3×5
=34×5
=170
**九、解决问题．（每题5分共30分）**
22．李老师要给全班同32名同学每人买一个笔记本，每个笔记本14元，李老师一共需要准备多少元钱？
【考点】整数的乘法及应用．
【分析】要求一共需要多少元，根据题意，也就是求32个14元是多少，用乘法计算．
【解答】解：14×32=448（元）
答：李老师一共需要准备448元钱．
23．我6天看了42页，照这样计算，看完一本105页的故事书一共需要多少天？
【考点】正、反比例应用题．
【分析】先依据"工作量÷工作时间=工作效率"求出每天看的页数，再据"工作量÷工作时间=工作效率"即可求出需要的天数．
【解答】解：105÷（42÷6），
=105÷7，
=15（天）；
答：看完一本105页的故事书一共需要15天．
24．一辆汽车从甲地到乙地，计划每小时行40千米，7小时到达，结果只用了5小时，实际每小时要行多少千米？
【考点】简单的行程问题．
【分析】先依据路程=速度×时间，求出两地间的距离，再依据时间=路程÷速度即可解答．
【解答】解：40×7÷5
=280÷5
=56（千米）
答：实际每小时要行56千米．
25．三（1）班一共有9个小组，每个小组6人，他们在植树节一共植树216棵．平均每人植树多少棵？
【考点】平均数的含义及求平均数的方法．
【分析】根据题意，可用216除以9得到平均每个小组植树多少棵，再用每个小组植树的棵数除以6即是平均每人植树的棵数，列式解答即可得到答案．
【解答】解：216÷9÷6
=24÷6
=4（棵）．
答：平均每人植树4棵．
26．电影院有24排座位，每排座位可以坐32人，"六一儿童节"这天上映《熊出没》，每张儿童票售15元，成人票售30元．
（1）电影院一共有多少个座位？
（2）三年级32名同学和2名老师"六一节"去看电影《熊出没》共需多少元？
【考点】整数的乘法及应用．
【分析】（1）根据乘法的意义，用排数乘每排座位数即可求出电影院一共有多少个座位．
（2）先依据"单价×数量=总价"分别计算出老师和学生各自需要的钱数，进而得出需要的总钱数．
【解答】解：（1）32×24=768（个）
答：电影院一共有768个座位．
（2）15×32+30×2
=480+60
=540（元）
答：共需540元钱．
**十、附加题**
27．右面是镜子中看到的时间，请画出现实的时间．
【考点】镜面对称．
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜对称，画现实时间如下：
故答案为：
**2016年8月27日**
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**小学三年级上册数学奥数知识点讲解第10课《数字谜2》试题附答案**
**答案**
三年级奥数上册：第十讲 数字迷（二）习题解答
| 1 | |
**目 录**
第一部分 函数图象中点的存在性问题
**1.1 因动点产生的相似三角形问题**
例1 2015年上海市宝山嘉定区中考模拟第24题
例2 2014年武汉市中考第24题
例3 2012年苏州市中考第29题
例4 2012年黄冈市中考第25题
例5 2010年义乌市中考第24题
例6 2009年临沂市中考第26题
**1.2 因动点产生的等腰三角形问题**
例1 2015年重庆市中考第25题
例2 2014年长沙市中考第第26题
例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题
例4 2012年扬州市中考第27题
例5 2012年临沂市中考第26题
例6 2011年盐城市中考第28题
**1.3 因动点产生的直角三角形问题**
例1 2015年上海市虹口区中考模拟第25题
例2 2014年苏州市中考第29题
例3 2013年山西省中考第26题
例4 2012年广州市中考第24题
例5 2012年杭州市中考第22题
例6 2011年浙江省中考第23题
例7 2010年北京市中考第24题
**1.4 因动点产生的平行四边形问题**
例1 2015年成都市中考第28题
例2 2014年陕西省中考第24题
例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题
例4 2012年福州市中考第21题
例5 2012年烟台市中考第26题
例6 2011年上海市中考第24题
例7 2011年江西省中考第24题
**1.5 因动点产生的梯形问题**
例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第24题
例2 2014年上海市金山区中考模拟第24题
例3 2012年上海市松江中考模拟第24题
例4 2012年衢州市中考第24题
例5 2011年义乌市中考第24题
**1.6 因动点产生的面积问题**
例1 2015年河南市中考第23题
例2 2014年昆明市中考第23题
例3 2013年苏州市中考第29题
例4 2012年菏泽市中考第21题
例5 2012年河南省中考第23题
例6 2011年南通市中考第28题
例7 2010年广州市中考第25题
**1.7 因动点产生的相切问题**
例1 2015年上海市闵行区中考模拟第24题
例2 2014年上海市徐汇区中考模拟第25题
例3 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题
**1.8 因动点产生的线段和差问题**
例1 2015年福州市中考第26题
例2 2014年广州市中考第24题
例3 2013年天津市中考第25题
例4 2012年滨州市中考第24题
第二部分 图形运动中的函数关系问题
**2.1 由比例线段产生的函数关系问题**
例1 2015年呼和浩特市中考第25题
例2 2014年上海市徐汇区中考模拟第25题
例3 2013年宁波市中考第26题
例4 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题
**2.2 由面积公式产生的函数关系问题**
例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第25题
例2 2014年黄冈市中考第25题
例3 2013年菏泽市中考第21题
例4 2012年广东省中考第22题
例5 2012年河北省中考第26题
例6 2011年淮安市中考第28题
第三部分 图形运动中的计算说理问题
**3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题**
例1 2015年北京市中考第29题
例2 2014年福州市中考第22题
例3 2013年南京市中考第26题
**3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题**
例1 2015年杭州市中考第22题
例2 2014年安徽省中考第23题
例3 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题
第四部分 图形的平移翻折与旋转
**4.1图形的平移**
例1 2015年泰安市中考第15题
例2 2014年江西省中考第11题
**4.2图形的翻折**
例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题
例2 2014年上海市中考第18题
**4.3图形的旋转**
例1 2015年扬州市中考第17题
例2 2014年上海市黄浦区中考模拟第18题
**4.4三角形**
例1 2015年上海市长宁区中考模拟第18题
例2 2014年泰州市中考第16题
**4.5四边形**
例1 2015年安徽省中考第19题
例2 2014年广州市中考第8题
**4.6圆**
例1 2015年兰州市中考第15题
例2 2014年温州市中考第16题
**4.7函数图像的性质**
例1 2015年青岛市中考第8题
例2 2014年苏州市中考第18题
第一部分 函数图象中点的存在性问题
**1.1 因动点产生的相似三角形问题**
**例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题**
如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（*k*≠0）与直线*y*＝*x*＋2都经过点*A*(2, *m*)．
（1）求*k*与*m*的值；
（2）此双曲线又经过点*B*(*n*, 2)，过点*B*的直线*BC*与直线*y*＝*x*＋2平行交*y*轴于点*C*，联结*AB*、*AC*，求△*ABC*的面积；
（3）在（2）的条件下，设直线*y*＝*x*＋2与*y*轴交于点*D*，在射线*CB*上有一点*E*，如果以点*A*、*C*、*E*所组成的三角形与△*ACD*相似，且相似比不为1，求点*E*的坐标．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"15宝山嘉定24"，拖动点*E*在射线*CB*上运动，可以体验到，△*ACE*与△*ACD*相似，存在两种情况．
**思路点拨**
1．直线*AD*//*BC*，与坐标轴的夹角为45°．
2．求△*ABC*的面积，一般用割补法．
3．讨论△*ACE*与△*ACD*相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．
**满分解答**
（1）将点*A*(2, *m*)代入*y*＝*x*＋2，得*m*＝4．所以点*A*的坐标为(2, 4)．
将点*A*(2, 4)代入，得*k*＝8．
（2）将点*B*(*n*, 2)，代入，得*n*＝4．
所以点*B*的坐标为(4, 2)．
设直线*BC*为*y*＝*x*＋*b*，代入点*B*(4, 2)，得*b*＝－2．
所以点*C*的坐标为(0,－2)．
由*A*(2, 4) 、*B*(4, 2) 、*C* (0,－2)，可知*A*、*B*两点间的水平距离和竖直距离都是2，*B*、*C*两点间的水平距离和竖直距离都是4．
所以*AB*＝，*BC*＝，∠*ABC*＝90°． 图2
所以*S*~△*ABC*~＝＝＝8．
（3）由*A*(2, 4) 、*D*(0, 2) 、*C* (0,－2)，得*AD*＝，*AC*＝．
由于∠*DAC*＋∠*ACD*＝45°，∠*ACE*＋∠*ACD*＝45°，所以∠*DAC*＝∠*ACE*．
所以△*ACE*与△*ACD*相似，分两种情况：
①如图3，当时，*CE*＝*AD*＝．
此时△*ACD*≌△*CAE*，相似比为1．
②如图4，当时，．解得*CE*＝．此时*C*、*E*两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以*E*(10, 8)．
图3 图4
**考点伸展**
第（2）题我们在计算△*ABC*的面积时，恰好△*ABC*是直角三角形．
一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．
如图5，作△*ABC*的外接矩形*HCNM*，*MN*//*y*轴．
由*S*~矩形*HCNM*~＝24，*S*~△*AHC*~＝6，*S*~△*AMB*~＝2，*S*~△*BCN*~＝8，得*S*~△*ABC*~＝8．
图5
**例2 2014年武汉市中考第24题**
如图1，Rt△*ABC*中，∠*ACB*＝90°，*AC*＝6 cm，*BC*＝8 cm，动点*P*从点*B*出发，在*BA*边上以每秒5 cm的速度向点*A*匀速运动，同时动点*Q*从点*C*出发，在*CB*边上以每秒4 cm的速度向点*B*匀速运动，运动时间为*t*秒（0＜*t*＜2），连接*PQ*．
（1）若△*BPQ*与△*ABC*相似，求*t*的值；
（2）如图2，连接*AQ*、*CP*，若*AQ*⊥*CP*，求*t*的值；
（3）试证明：*PQ*的中点在△*ABC*的一条中位线上．
图1 图2
**动感体验**
请打开几何画板文件名"14武汉24"，拖动点*P*运动，可以体验到，若△*BPQ*可以两次成为直角三角形，与△*ABC*相似．当*AQ*⊥*CP*时，△*ACQ*∽△*CDP*．*PQ*的中点*H*在
*△ABC*的中位线*EF*上．
**思路点拨**
1．△*BPQ*与△*ABC*有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．
2．作*PD*⊥*BC*于*D*，动点*P*、*Q*的速度，暗含了*BD*＝*CQ*．
3．*PQ*的中点*H*在哪条中位线上？画两个不同时刻*P*、*Q*、*H*的位置，一目了然．
**满分解答**
（1）Rt△*ABC*中，*AC*＝6，*BC*＝8，所以*AB*＝10．
△*BPQ*与△*ABC*相似，存在两种情况：
① 如果，那么．解得*t*＝1．
② 如果，那么．解得．
图3 图4
（2）作*PD*⊥*BC*，垂足为*D*．
在Rt△*BPD*中，*BP*＝5*t*，cos*B*＝，所以*BD*＝*BP*cos*B*＝4*t*，PD＝3*t*．
当*AQ*⊥*CP*时，△*ACQ*∽△*CDP*．
所以，即．解得．
图5 图6
（3）如图4，过*PQ*的中点*H*作*BC*的垂线，垂足为*F*，交*AB*于*E*．
由于*H*是*PQ*的中点，*HF*//*PD*，所以*F*是*QD*的中点．
又因为*BD*＝*CQ*＝4*t*，所以*BF*＝*CF*．
因此*F*是*BC*的中点，*E*是*AB*的中点．
所以*PQ*的中点*H*在△*ABC*的中位线*EF*上．
**考点伸展**
本题情景下，如果以*PQ*为直径的⊙*H*与△*ABC*的边相切，求*t*的值．
如图7，当⊙*H*与*AB*相切时，*QP*⊥*AB*，就是，．
如图8，当⊙*H*与*BC*相切时，*PQ*⊥*BC*，就是，*t*＝1．
如图9，当⊙*H*与*AC*相切时，直径，
半径等于*FC*＝4．所以．
解得，或*t*＝0（如图10，但是与已知0＜*t*＜2矛盾）．
图7 图 8 图9 图10
**例3 2012年苏州市中考第29题**
如图1，已知抛物线（*b*是实数且*b*＞2）与*x*轴的正半轴分别交于点*A*、*B*（点*A*位于点*B*是左侧），与*y*轴的正半轴交于点*C*．
（1）点*B*的坐标为\_\_\_\_\_\_，点*C*的坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（用含*b*的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点*P*，使得四边形*PCOB*的面积等于2*b*，且△*PBC*是以点*P*为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点*P*的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点*Q*，使得△*QCO*、△*QOA*和△*QAB*中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点*Q*的坐标；如果不存在，请说明理由．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"12苏州29"，拖动点*B*在*x*轴的正半轴上运动，可以体验到，点*P*到两坐标轴的距离相等，存在四边形*PCOB*的面积等于2*b*的时刻．双击按钮"第（3）题"，拖动点*B*，可以体验到，存在∠*OQA*＝∠*B*的时刻，也存在∠*OQ*′*A*＝∠*B*的时刻．
**思路点拨**
1．第（2）题中，等腰直角三角形*PBC*暗示了点*P*到两坐标轴的距离相等．
2．联结*OP*，把四边形*PCOB*重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含*b*的式子表示．
3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点*Q*最大的可能在经过点*A*与*x*轴垂直的直线上．
**满分解答**
（1）*B*的坐标为(*b*, 0)，点*C*的坐标为(0, )．
（2）如图2，过点*P*作*PD*⊥*x*轴，*PE*⊥*y*轴，垂足分别为*D*、*E*，那么△*PDB*≌△*PEC*．
因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)．
如图3，联结OP．
所以*S*~四边形*PCOB*~＝*S*~△*PCO*~＋*S*~△*PBO*~＝＝2*b*．
解得．所以点*P*的坐标为()．
图2 图3
（3）由，得*A*(1, 0)，*OA*＝1．
①如图4，以*OA*、*OC*为邻边构造矩形*OAQC*，那么△*OQC*≌△*QOA*．
当，即时，△*BQA*∽△*QOA*．
所以．解得．所以符合题意的点*Q*为()．
②如图5，以*OC*为直径的圆与直线*x*＝1交于点*Q*，那么∠*OQC*＝90°。
因此△*OCQ*∽△*QOA*．
当时，△*BQA*∽△*QOA*．此时∠*OQB*＝90°．
所以*C*、*Q*、*B*三点共线．因此，即．解得．此时*Q*(1,4)．
图4 图5
**考点伸展**
第（3）题的思路是，*A*、*C*、*O*三点是确定的，*B*是*x*轴正半轴上待定的点，而∠*QOA*与∠*QOC*是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．
这样，先根据△*QOA*与△*QOC*相似把点*Q*的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点*B*的位置．
如图中，圆与直线*x*＝1的另一个交点会不会是符合题意的点*Q*呢？
如果符合题意的话，那么点*B*的位置距离点*A*很近，这与*OB*＝4*OC*矛盾．
**例4 2012年黄冈市中考模拟第25题**
如图1，已知抛物线的方程*C*1： (*m*＞0)与*x*轴交于点*B*、*C*，与*y*轴交于点*E*，且点*B*在点*C*的左侧．
（1）若抛物线*C*1过点*M*(2, 2)，求实数*m*的值；
（2）在（1）的条件下，求△*BCE*的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点*H*，使得*BH*＋*EH*最小，求出点*H*的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线*C*1上是否存在点*F*，使得以点*B*、*C*、*F*为顶点的三角形与△*BCE*相似？若存在，求*m*的值；若不存在，请说明理由．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"12黄冈25"，拖动点*C*在*x*轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，*EC*与*BF*保持平行，但是∠*BFC*在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠*CBF*保持45°，存在∠*BFC*＝∠*BCE*的时刻．
**思路点拨**
1．第（3）题是典型的"牛喝水"问题，当*H*落在线段*EC*上时，*BH*＋*EH*最小．
2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线*BF*，作∠*CBF*＝∠*EBC*＝45°，或者作*BF*//*EC*．再用含*m*的式子表示点*F*的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于*m*的方程．
**满分解答**
（1）将*M*(2, 2)代入，得．解得*m*＝4．
（2）当*m*＝4时，．所以*C*(4, 0)，*E*(0, 2)．
所以*S*~△*BCE*~＝．
（3）如图2，抛物线的对称轴是直线*x*＝1，当*H*落在线段*EC*上时，*BH*＋*EH*最小．
设对称轴与*x*轴的交点为*P*，那么．
因此．解得．所以点*H*的坐标为．
（4）①如图3，过点*B*作*EC*的平行线交抛物线于*F*，过点*F*作*FF*′⊥*x*轴于*F*′．
由于∠*BCE*＝∠*FBC*，所以当，即时，△*BCE*∽△*FBC*．
设点*F*的坐标为，由，得．
解得*x*＝*m*＋2．所以*F*′(*m*＋2, 0)．
由，得．所以．
由，得．
整理，得0＝16．此方程无解．
图2 图3 图4
②如图4，作∠*CBF*＝45°交抛物线于*F*，过点*F*作*FF*′⊥*x*轴于*F*′，
由于∠*EBC*＝∠*CBF*，所以，即时，△*BCE*∽△*BFC*．
在Rt△BFF′中，由*FF*′＝*BF*′，得．
解得*x*＝2*m*．所以*F*′．所以BF′＝2*m*＋2，．
由，得．解得．
综合①、②，符合题意的*m*为．
**考点伸展**
第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点*F*′、*F*的坐标后，根据两点间的距离公式求*BF*的长．
**例5 2010年义乌市中考第24题**
如图1，*已知*梯形*OABC*，抛物线分别过点*O*（0，0）、*A*（2，0）、*B*（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点*M*的坐标；
（2）将图1中梯形*OABC*的上下底边所在的直线*OA*、*CB*以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点*O~1~*、*A~1~*、*C~1~*、*B~1~，*得到如图2的梯形*O~1~A~1~B~1~C~1~*．设梯形*O~1~A~1~B~1~C~1~*的面积为*S*，*A~1~、 B~1~的坐标分别为* (*x*~1~，*y*~1~)*、*(*x*~2~，*y*~2~)．用含*S*的代数式表示*x*~2~－*x*~1~，并求出当*S*=36时点*A~1~*的坐标；
（3）在图1中，设点*D的坐标为*(1，3)，动点*P*从点*B*出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段*BC*运动，动点*Q*从点*D*出发，以与点*P*相同的速度沿着线段*DM*运动．*P*、*Q*两点同时出发，当点*Q*到达点*M*时，*P*、*Q*两点同时停止运动．设*P*、*Q两点*的运动时间为*t*，是否存在某一时刻*t*，使得直线*PQ*、直线*AB*、x轴围成的三角形与直线*PQ*、直线*AB*、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出*t*的值；若不存在，请说明理由．
 
图1 图2
**动感体验**
请打开几何画板文件名"10义乌24"，拖动点*I*上下运动，观察图形和图象，可以体验到，*x*~2~－*x*~1~随*S*的增大而减小．双击按钮"第（3）题"，拖动点*Q*在*DM*上运动，可以体验到，如果∠*GAF*＝∠*GQE*，那么△*GAF*与△*GQE*相似．
**思路点拨**
1．第（2）题用含*S*的代数式表示*x*~2~－*x*~1~，我们反其道而行之，用*x*~1~，*x*~2~表示*S*．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即*y*~2~－*y*~1~＝3．通过代数变形就可以了．
2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．
3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线*AB*与*x*轴的夹角不变，直线*AB*与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线*PQ*的斜率，因此假设直线*PQ*与*AB*的交点*G*在*x*轴的下方，或者假设交点*G*在*x*轴的上方．
**满分解答**
（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为*M*（1，）．
（2） 梯形*O~1~A~1~B~1~C~1~*的面积，由此得到．由于，所以．整理，得．因此得到．
当*S*=36时， 解得 此时点*A*~1~的坐标为（6，3）．
（3）设直线*AB*与*PQ*交于点*G*，直线*AB*与抛物线的对称轴交于点*E*，直线*PQ*与*x*轴交于点*F*，那么要探求相似的△*GAF*与△*GQE*，有一个公共角∠*G*．
在△*GEQ*中，∠*GEQ*是直线*AB*与抛物线对称轴的夹角，为定值．
在△*GAF*中，∠*GAF*是直线*AB*与*x*轴的夹角，也为定值，而且∠*GEQ*≠∠*GAF*．
因此只存在∠*GQE*＝∠*GAF*的可能，△*GQE*∽△*GAF*．这时∠*GAF*＝∠*GQE*＝∠*PQD*．
由于，，所以．解得．
 
图3 图4
**考点伸展**
第（3）题是否存在点*G*在*x*轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的*t*的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．
**例6 2009年临沂市中考第26题**
如图1，抛物线经过点*A*(4，0)、*B*（1，0)、*C*（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）*P*是抛物线上的一个动点，过*P*作*PM*⊥*x*轴，垂足为*M*，是否存在点*P*，使得以*A*、*P*、*M*为顶点的三角形与△*OAC*相似？若存在，请求出符合条件的 点*P*的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线*AC*上方的抛物线是有一点*D*，使得△*DCA*的面积最大，求出点*D*的坐标．
,
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"09临沂26"，拖动点*P*在抛物线上运动，可以体验到，△*PAM*的形状在变化，分别双击按钮"*P*在*B*左侧"、" *P*在*x*轴上方"和"*P*在*A*右侧"，可以显示△*PAM*与△*OAC*相似的三个情景．
双击按钮"第(3)题"， 拖动点*D*在*x*轴上方的抛物线上运动，观察△*DCA*的形状和面积随*D*变化的图象，可以体验到，*E*是*AC*的中点时，△*DCA*的面积最大．
**思路点拨**
1．已知抛物线与*x*轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．
2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．
3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．
4．把△*DCA*可以分割为共底的两个三角形，高的和等于*OA*．
**满分解答**
（1）因为抛物线与x轴交于*A*(4，0)、*B*（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点*C*的 坐标（0，－2），解得．所以抛物线的解析式为．
（2）设点*P*的坐标为．
①如图2，当点*P*在*x*轴上方时，1＜*x*＜4，，．
如果，那么．解得不合题意．
如果，那么．解得．
此时点*P*的坐标为（2，1）．
②如图3，当点*P*在点*A*的右侧时，*x*＞4，，．
解方程，得．此时点*P*的坐标为．
解方程，得不合题意．
③如图4，当点*P*在点*B*的左侧时，*x*＜1，，．
解方程，得．此时点*P*的坐标为．
解方程，得．此时点*P*与点*O*重合，不合题意．
综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或或．
  
图2 图3 图4
（3）如图5，过点*D*作*x*轴的垂线交*AC*于*E*．直线*AC*的解析式为．
设点*D*的横坐标为*m*，那么点*D*的坐标为，点E的坐标为．所以．
因此．
当时，△*DCA*的面积最大，此时点*D*的坐标为（2，1）．
 
图5 图6
**考点伸展**
第（3）题也可以这样解：
如图6，过*D*点构造矩形*OAMN*，那么△*DCA*的面积等于直角梯形*CAMN*的面积减去△*CDN*和△*ADM*的面积．
设点*D*的横坐标为（*m*，*n*），那么
．
由于，所以．
2. **因动点产生的等腰三角形问题**
**例1 2015年重庆市中考第25题**
如图1，在△*ABC*中，*ACB*＝90°，∠*BAC*＝60°，点*E*是∠BAC的平分线上一点，过点*E*作*AE*的垂线，过点*A*作*AB*的垂线，两垂线交于点*D*，连接*DB*，点*F*是*BD*的中点，*DH*⊥*AC*，垂足为*H*，连接*EF*，*HF*．
（1）如图1，若点*H*是*AC*的中点，*AC*＝，求*AB*、*BD*的长；
（2）如图1，求证：*HF*＝*EF*．
（3）如图2，连接*CF*、*CE*，猜想：△*CEF*是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名"15重庆25"，拖动点*E*运动，可以体验到，△*FAE*与△*FDH*保持全等，△*CMF*与△*CAE*保持全等，△*CEF*保持等边三角形的形状．
思路点拨
1．把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边．
2．中点*F*有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．
满分解答
（1）如图3，在Rt△*ABC*中，∠*BAC*＝60°，*AC*＝，所以*AB*＝．
在Rt△*ADH*中，∠*DAH*＝30°，*AH*＝，所以*DH*＝1，*AD*＝2．
在Rt△*ADB*中，*AD*＝2，*AB*＝，由勾股定理，得*BD*＝．
（2）如图4，由∠*DAB*＝90°，∠*BAC*＝60°，*AE*平分∠*BAC*，得∠*DAE*＝60°，
∠*DAH*＝30°．
在Rt△*ADE*中，*AE*＝．在Rt△*ADH*中，*DH*＝．所以*AE*＝*DH*．
因为点*F*是Rt△*ABD*的斜边上的中线，所以*FA*＝*FD*，∠*FAD*＝∠*FDA*．
所以∠*FAE*＝∠*FDH*．所以△*FAE*≌△*FDH*．所以*EF*＝*HF*．
图3 图4 图5
（3）如图5，作*FM*⊥*AB*于*M*，联结*CM*．
由*FM*//*DA*，*F*是*DB*的中点，得*M*是*AB*的中点．
因此*FM*＝，△*ACM*是等边三角形．
又因为*AE*＝，所以*FM*＝*EA*．
又因为*CM*＝*CA*，∠*CMF*＝∠*CAE*＝30°，所以△*CMF*≌△*CAE*．
所以∠*MCF*＝∠*ACE*，*CF*＝*CE*．
所以∠*ECF*＝∠*ACM*＝60°．所以△*CEF*是等边三角形．
考点伸展
我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．
如图6，如图7，当点*F*落在*BC*边上时，点*H*与点*C*重合．
图6 图7
如图8，图9，点*E*落在*BC*边上．如图10，图11，等腰梯形*ABEC*．
图8 图9 图10 图11
**例2 2014年长沙市中考第26题**
如图1，抛物线*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*（*a*、*b*、*c*是常数，*a*≠0）的对称轴为*y*轴，且经过(0,0)和两点，点*P*在该抛物线上运动，以点*P*为圆心的⊙*P*总经过定点*A*(0, 2)．
（1）求*a*、*b*、*c*的值；
（2）求证：在点*P*运动的过程中，⊙*P*始终与*x*轴相交；
（3）设⊙*P*与*x*轴相交于*M*(*x*~1~, 0)、*N*(*x*~2~, 0)两点，当△*AMN*为等腰三角形时，求圆心*P*的纵坐标．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"14长沙26"，拖动圆心*P*在抛物线上运动，可以体验到，圆与*x*轴总是相交的，等腰三角形*AMN*存在三种情况．
**思路点拨**
1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙*P*在*x*轴上截得的弦长*MN*＝4是定值．
2．等腰三角形*AMN*存在三种情况，其中*MA*＝*MN*和*NA*＝*NM*两种情况时，点*P*的纵坐标是相等的．
**满分解答**
（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以*y*＝*ax*^2^．所以*b*＝0，*c*＝0．
将代入*y*＝*ax*^2^，得．解得（舍去了负值）．
（2）抛物线的解析式为，设点*P*的坐标为．
已知*A*(0, 2)，所以＞．
而圆心*P*到*x*轴的距离为，所以半径*PA*＞圆心*P*到*x*轴的距离．
所以在点*P*运动的过程中，⊙*P*始终与*x*轴相交．
（3）如图2，设*MN*的中点为*H*，那么*PH*垂直平分*MN*．
在Rt△*PMH*中，，，所以*MH*^2^＝4．
所以*MH*＝2．因此*MN*＝4，为定值．
等腰△*AMN*存在三种情况：
①如图3，当*AM*＝*AN*时，点*P*为原点*O*重合，此时点*P*的纵坐标为0．
图2 图3
②如图4，当*MA*＝*MN*时，在Rt△*AOM*中，*OA*＝2，*AM*＝4，所以*OM*＝2．
此时*x*＝*OH*＝2．所以点*P*的纵坐标为．
③如图5，当*NA*＝*NM*时，点*P*的纵坐标为也为．
图4 图5
**考点伸展**
如果点*P*在抛物线上运动，以点*P*为圆心的⊙*P*总经过定点*B*(0, 1)，那么在点*P*运动的过程中，⊙*P*始终与直线*y*＝－1相切．这是因为：
设点*P*的坐标为．
已知*B*(0, 1)，所以．
而圆心*P*到直线*y*＝－1的距离也为，所以半径*PB*＝圆心*P*到直线*y*＝－1的距离．所以在点*P*运动的过程中，⊙*P*始终与直线*y*＝－1相切．
**例3 2013年上海市虹口区中考模拟第25题**
如图1，在Rt△*ABC*中，∠*A*＝90°，*AB*＝6，*AC*＝8，点*D*为边*BC*的中点，*DE*⊥*BC*交边*AC*于点*E*，点*P*为射线*AB*上的一动点，点*Q*为边*AC*上的一动点，且∠*PDQ*＝90°．
（1）求*ED*、*EC*的长；
（2）若*BP*＝2，求*CQ*的长；
（3）记线段*PQ*与线段*DE*的交点为*F*，若△*PDF*为等腰三角形，求*BP*的长．
图1 备用图
**动感体验**
请打开几何画板文件名"13虹口25"，拖动点*P*在射线*AB*上运动，可以体验到，△*PDM*与△*QDN*保持相似．观察△*PDF*，可以看到，*P*、*F*可以落在对边的垂直平分线上，不存在*DF*＝*DP*的情况．
请打开超级画板文件名"13虹口25"，拖动点*P*在射线*AB*上运动，可以体验到，△*PDM*与△*QDN*保持相似．观察△*PDF*，可以看到，*P*、*F*可以落在对边的垂直平分线上，不存在*DF*＝*DP*的情况．
**思路点拨**
1．第（2）题*BP*＝2分两种情况．
2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．
3．第（3）题探求等腰三角形*PDF*时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形*CDQ*．
**满分解答**
（1）在Rt△*ABC*中， *AB*＝6，*AC*＝8，所以*BC*＝10．
在Rt△*CDE*中，*CD*＝5，所以，．
（2）如图2，过点*D*作*DM*⊥*AB*，*DN*⊥*AC*，垂足分别为*M*、*N*，那么*DM*、*DN*是
△*ABC*的两条中位线，*DM*＝4，*DN*＝3．
由∠*PDQ*＝90°，∠*MDN*＝90°，可得∠*PDM*＝∠*QDN*．
因此△*PDM*∽△*QDN*．
所以．所以，．
图2 图3 图4
①如图3，当*BP*＝2，*P*在*BM*上时，*PM*＝1．
此时．所以．
②如图4，当*BP*＝2，*P*在*MB*的延长线上时，*PM*＝5．
此时．所以．
（3）如图5，如图2，在Rt△*PDQ*中，．
在Rt△*ABC*中，．所以∠*QPD*＝∠*C*．
由∠*PDQ*＝90°，∠*CDE*＝90°，可得∠*PDF*＝∠*CDQ*．
因此△*PDF*∽△*CDQ*．
当△*PDF*是等腰三角形时，△*CDQ*也是等腰三角形．
①如图5，当*CQ*＝*CD*＝5时，*QN*＝*CQ*－*CN*＝5－4＝1（如图3所示）．
此时．所以．
②如图6，当*QC*＝*QD*时，由，可得．
所以*QN*＝*CN*－*CQ*＝（如图2所示）．
此时．所以．
③不存在*DP*＝*DF*的情况．这是因为∠*DFP*≥∠*DQP*＞∠*DPQ*（如图5，图6所示）．
图5 图6
**考点伸展**
如图6，当△*CDQ*是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△*BDP*也是等腰三角形，*PB*＝*PD*．在△*BDP*中可以直接求解．
**例4 2012年扬州市中考第27题**
如图1，抛物线*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*经过*A*(－1,0)、*B*(3, 0)、*C*(0 ,3)三点，直线*l*是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点*P*是直线*l*上的一个动点，当△*PAC*的周长最小时，求点*P*的坐标；
（3）在直线*l*上是否存在点*M*，使△*MAC*为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点*M*的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"12扬州27"，拖动点*P*在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点*P*落在线段*BC*上时，*PA*＋*PC*最小，△*PAC*的周长最小．拖动点*M*在抛物线的对称轴上运动，观察△*MAC*的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点*M*有1次机会落在*AC*的垂直平分线上；点*A*有2次机会落在*MC*的垂直平分线上；点*C*有2次机会落在*MA*的垂直平分线上，但是有1次*M*、*A*、*C*三点共线．
**思路点拨**
1．第（2）题是典型的"牛喝水"问题，点*P*在线段*BC*上时△*PAC*的周长最小．
2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．
**满分解答**
（1）因为抛物线与*x*轴交于*A*(－1,0)、*B*(3, 0)两点，设*y*＝*a*(*x*＋1)(*x*－3)，
代入点*C*(0 ,3)，得－3*a*＝3．解得*a*＝－1．
所以抛物线的函数关系式是y＝－(*x*＋1)(*x*－3)＝－*x*^2^＋2*x*＋3．
（2）如图2，抛物线的对称轴是直线*x*＝1．
当点*P*落在线段*BC*上时，*PA*＋*PC*最小，△*PAC*的周长最小．
设抛物线的对称轴与*x*轴的交点为*H*．
由，*BO*＝*CO*，得*PH*＝*BH*＝2．
所以点*P*的坐标为(1, 2)．
图2
（3）点*M*的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)．
**考点伸展**
第（3）题的解题过程是这样的：
设点*M*的坐标为(1,*m*)．
在△*MAC*中，*AC*^2^＝10，*MC*^2^＝1＋(*m*－3)^2^，*MA*^2^＝4＋*m*^2^．
①如图3，当*MA*＝*MC*时，*MA*^2^＝*MC*^2^．解方程4＋*m*^2^＝1＋(*m*－3)^2^，得*m*＝1．
此时点*M*的坐标为(1, 1)．
②如图4，当*AM*＝*AC*时，*AM*^2^＝*AC*^2^．解方程4＋*m*^2^＝10，得．
此时点*M*的坐标为(1,)或(1,)．
③如图5，当*CM*＝*CA*时，*CM*^2^＝*CA*^2^．解方程1＋(*m*－3)^2^＝10，得*m*＝0或6．
当*M*(1, 6)时，*M*、*A*、*C*三点共线，所以此时符合条件的点*M*的坐标为(1,0)．
图3 图4 图5
**例5 2012年临沂市中考第26题**
如图1，点*A*在*x*轴上，*OA*＝4，将线段*OA*绕点*O*顺时针旋转120°至*OB*的位置．
（1）求点*B*的坐标；
（2）求经过*A*、*O*、*B*的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点*P*，使得以点*P*、*O*、*B*为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点*P*的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"12临沂26"，拖动点*P*在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，⊙*O*和⊙*B*以及*OB*的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点*P*运动到⊙*O*与对称轴的另一个交点时，*B*、*O*、*P*三点共线．
请打开超级画板文件名"12临沂26"，拖动点*P*，发现存在点*P*，使得以点*P*、*O*、*B*为顶点的三角形是等腰三角形
**思路点拨**
1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．
2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点*P*重合在一起．
**满分解答**
（1）如图2，过点*B*作*BC*⊥*y*轴，垂足为*C*．
在Rt△*OBC*中，∠*BOC*＝30°，*OB*＝4，所以*BC*＝2，．
所以点*B*的坐标为．
（2）因为抛物线与*x*轴交于*O*、*A*(4, 0)，设抛物线的解析式为*y*＝*ax*(*x*－4)，
代入点*B*，．解得．
所以抛物线的解析式为．
（3）抛物线的对称轴是直线*x*＝2，设点*P*的坐标为(2, *y*)．
①当*OP*＝*OB*＝4时，*OP*^2^＝16．所以4+*y*^2^＝16．解得．
当*P*在时，*B*、*O*、*P*三点共线（如图2）．
②当*BP*＝*BO*＝4时，*BP*^2^＝16．所以．解得．
③当*PB*＝*PO*时，*PB*^2^＝*PO*^2^．所以．解得．
综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示．
图2 图3
**考点伸展**
如图3，在本题中，设抛物线的顶点为*D*，那么△*DOA*与△*OAB*是两个相似的等腰三角形．
由，得抛物线的顶点为．
因此．所以∠*DOA*＝30°，∠*ODA*＝120°．
**例6 2011年盐城市中考第28题**
如图1，已知一次函数*y*＝－*x*＋7与正比例函数 的图象交于点*A*，且与*x*轴交于点*B*．
（1）求点*A*和点*B*的坐标；
（2）过点*A*作*AC*⊥*y*轴于点*C*，过点*B*作直线*l*//*y*轴．动点*P*从点*O*出发，以每秒1个单位长的速度，沿*O*---*C*---*A*的路线向点*A*运动；同时直线*l*从点*B*出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线*l*交*x*轴于点*R*，交线段*BA*或线段*AO*于点*Q*．当点*P*到达点*A*时，点*P*和直线*l*都停止运动．在运动过程中，设动点*P*运动的时间为*t*秒．
①当*t*为何值时，以*A*、*P*、*R*为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以*A*、*P*、*Q*为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求*t*的值；若不存在，请说明理由．
**图1**
**动感体验**
请打开几何画板文件名"11盐城28"，拖动点*R*由*B*向*O*运动，从图象中可以看到，△*APR*的面积有一个时刻等于8．观察△*APQ*，可以体验到，*P*在*OC*上时，只存在*AP*＝*AQ*的情况；*P*在*CA*上时，有三个时刻，△*APQ*是等腰三角形．
**思路点拨**
1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．
2．求△*APR*的面积等于8，按照点*P*的位置分两种情况讨论．事实上，*P*在*CA*上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．
3．讨论等腰三角形*APQ*，按照点*P*的位置分两种情况讨论，点*P*的每一种位置又要讨论三种情况．
**满分解答**
（1）解方程组 得 所以点*A*的坐标是(3，4)．
令，得．所以点*B*的坐标是(7，0)．
（2）①如图2，当*P*在*OC*上运动时，0≤*t*＜4．由，得．整理，得．解得*t*＝2或*t*＝6（舍去）．如图3，当*P*在*CA*上运动时，△*APR*的最大面积为6．
因此，当*t*＝2时，以*A、P、R*为顶点的三角形的面积为8．
图2 图3 图4
②我们先讨论*P*在*OC*上运动时的情形，0≤*t*＜4．
如图1，在△*AOB*中，∠*B*＝45°，∠*AOB*＞45°，*OB*＝7，，所以*OB*＞*AB*．因此∠*OAB*＞∠*AOB*＞∠*B*．
如图4，点*P*由*O*向*C*运动的过程中，*OP*＝*BR*＝*RQ*，所以*PQ*//*x*轴．
因此∠*AQP*＝45°保持不变，∠*PAQ*越来越大，所以只存在∠*APQ*＝∠*AQP*的情况．
此时点*A*在*PQ*的垂直平分线上，*OR*＝2*CA*＝6．所以*BR*＝1，*t*＝1．
我们再来讨论*P*在*CA*上运动时的情形，4≤*t*＜7．
在△*APQ*中， 为定值，，．
如图5，当*AP*＝*AQ*时，解方程，得．
如图6，当*QP*＝*QA*时，点*Q*在*PA*的垂直平分线上，*AP*＝2(*OR*－*OP*)．解方程，得．
如7，当*PA*＝*PQ*时，那么．因此．解方程，得．
综上所述，*t*＝1或或5或时，△*APQ*是等腰三角形．
图5 图6 图7
**考点伸展**
当*P*在*CA*上，*QP*＝*QA*时，也可以用来求解．
**1.3 因动点产生的直角三角形问题**
**例1 2015年上海市虹口区中考模拟第25题**
如图1，在Rt△*ABC*中，∠*ACB*＝90°，*AB*＝13，*CD*//*AB*，点*E*为射线*CD*上一动点（不与点*C*重合），联结*AE*交边*BC*于*F*，∠*BAE*的平分线交*BC*于点*G*．
（1）当*CE*＝3时，求*S*~△*CEF*~∶*S*~△*CAF*~的值；
（2）设*CE*＝*x*，*AE*＝*y*，当*CG*＝2*GB*时，求*y*与*x*之间的函数关系式；
（3）当*AC*＝5时，联结*EG*，若△*AEG*为直角三角形，求*BG*的长．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"15虹口25"，拖动直角顶点C运动，可以体验到，*CG*＝2*GB*保持不变，△*ABC*的形状在改变，*EA*＝*EM*保持不变．点击屏幕左下角的按钮"第（3）题"，拖动*E*在射线*CD*上运动，可以体验到，△*AEG*可以两次成为直角三角形．
**思路点拨**
1．第（1）题中的△*CEF*和△*CAF*是同高三角形，面积比等于底边的比．
2．第（2）题中的△*ABC*是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．
3．第（3）题中的直角三角形*AEG*分两种情况讨论．
**满分解答**
（1）如图2，由*CE*//*AB*，得．
由于△*CEF*与△*CAF*是同高三角形，
所以*S*~△*CEF*~∶*S*~△*CAF*~＝3∶13．
（2）如图3，延长*AG*交射线*CD*于*M*． 图2
由*CM*//*AB*，得．所以*CM*＝2*AB*＝26．
由*CM*//*AB*，得∠*EMA*＝∠*BAM*．
又因为*AM*平分∠*BAE*，所以∠*BAM*＝∠*EAM*．
所以∠*EMA*＝∠*EAM*．所以*y*＝*EA*＝*EM*＝26－*x*．
图3 图4
（3）在Rt△*ABC*中， *AB*＝13，*AC*＝5，所以*BC*＝12．
①如图 4，当∠*AGE*＝90°时，延长*EG*交*AB*于*N*，那么△*AGE*≌△*AGN*．
所以*G*是*EN*的中点．
所以*G*是*BC*的中点，*BG*＝6．
②如图5，当∠*AEG*＝90°时，由△*CAF*∽△*EGF*，得．
由*CE*//*AB*，得．
所以．又因为∠*AFG*＝∠*BFA*，所以△*AFG*∽△*BFA*．
所以∠*FAG*＝∠*B*．所以∠*GAB*＝∠*B*．所以*GA*＝*GB*．
作*GH*⊥*AH*，那么*BH*＝*AH*＝．
在Rt△*GBH*中，由cos∠*B*＝，得*BG*＝÷＝．
图5 图6
**考点伸展**
第（3）题的第②种情况，当∠*AEG*＝90°时的核心问题是说理*GA*＝*GB*．
如果用四点共圆，那么很容易．
如图6，由*A*、*C*、*E*、*G*四点共圆，直接得到∠2＝∠4．
上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：
如图7，当∠*AEG*＝90°时，设*AG*的中点为*P*，那么*PC*和*PE*分别是Rt△*ACG*和Rt△*AEG*斜边上的中线，所以*PC*＝*PE*＝*PA*＝*PG*．
所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5．
如图8，在等腰△*PCE*中，∠*CPE*＝180°－2(∠4＋∠5)，
又因为∠*CPE*＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．
所以∠2＝∠4＝∠*B*．所以∠*GAB*＝∠*B*．所以*GA*＝*GB*．
图7 图8
**例2 2014年苏州市中考第29题**
如图1，二次函数*y*＝*a*(*x*^2^－2*mx*－3*m*^2^)（其中*a*、*m*是常数，且*a*＞0，*m*＞0）的图像与*x*轴分别交于*A*、*B*（点*A*位于点*B*的左侧），与*y*轴交于点*C*(0,－3)，点*D*在二次函数的图像上，*CD*//*AB*，联结*AD*．过点*A*作射线*AE*交二次函数的图像于点*E*，*AB*平分∠*DAE*．
（1）用含*m*的式子表示*a*；
（2）求证：为定值；
（3）设该二次函数的图像的顶点为*F*．探索：在*x*轴的负半轴上是否存在点*G*，联结*GF*，以线段*GF*、*AD*、*AE*的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点*G*即可，并用含*m*的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"14苏州29"，拖动*y*轴正半轴上表示实数*m*的点运动，可以体验到，点*E*、*D*、*F*到*x*轴的距离都为定值．
**思路点拨**
1．不算不知道，一算真奇妙．通过二次函数解析式的变形，写出点*A*、*B*、*F*的坐标后，点*D*的坐标也可以写出来．点*E*的纵坐标为定值是算出来的．
2．在计算的过程中，第（1）题的结论及其变形反复用到．
3．注意到点*E*、*D*、*F*到*x*轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点*F*作*AD*的平行线与*x*轴的交点，就是要求的点*G*．
**满分解答**
（1）将*C*(0,－3)代入*y*＝*a*(*x*^2^－2*mx*－3*m*^2^)，得－3＝－3*am*^2^．因此．
（2）由*y*＝*a*(*x*^2^－2*mx*－3*m*^2^)＝*a*(*x*＋*m*)(*x*－3*m*)＝*a*(*x*－*m*)^2^－4*axm*^2^＝*a*(*x*－*m*)^2^－4，
得*A*(－*m*, 0)，*B*(3*m*, 0)，*F*(*m*, －4)，对称轴为直线*x*＝*m*．
所以点*D*的坐标为(2*m*,－3)．
设点*E*的坐标为(*x*, *a*(*x*＋*m*)(*x*－3*m*))．
如图2，过点*D*、*E*分别作*x*轴的垂线，垂足分别为*D*′、*E*′．
由于∠*EAE*′＝∠*DAD′*，所以．因此．
所以*am*(*x*－3*m*)＝1．结合，于是得到*x*＝4*m*．
当*x*＝4*m*时，*y*＝*a*(*x*＋*m*)(*x*－3*m*)＝5*am*^2^＝5．所以点*E*的坐标为(4*m*, 5)．
所以．
图2 图3
（3）如图3，由*E*(4*m*, 5)、*D*(2*m*,－3)、*F*(*m*,－4)，
可知点*E*、*D*、*F*到*x*轴的距离分别为5、4、3．
那么过点*F*作*AD*的平行线与*x*轴的负半轴的交点，就是符合条件的点*G*．
证明如下：作*FF*′⊥*x*轴于*F*′，那么．
因此．所以线段*GF*、*AD*、*AE*的长围成一个直角三角形．
此时*GF*′＝4*m*．所以*GO*＝3*m*，点*G*的坐标为(－3*m*, 0)．
**考点伸展**
第（3）题中的点*G*的另一种情况，就是*GF*为直角三角形的斜边．
此时．因此．
所以．此时．
**例3 2013年山西省中考第26题**
如图1，抛物线与*x*轴交于*A*、*B*两点（点*B*在点*A*的右侧），与*y*轴交于点*C*，连结*BC*，以*BC*为一边，点*O*为对称中心作菱形*BDEC*，点*P*是*x*轴上的一个动点，设点*P*的坐标为(*m*, 0)，过点*P*作*x*轴的垂线*l*交抛物线于点*Q*．
（1）求点*A*、*B*、*C*的坐标；
（2）当点*P*在线段*OB*上运动时，直线*l*分别交*BD*、*BC*于点*M*、*N*．试探究*m*为何值时，四边形*CQMD*是平行四边形，此时，请判断四边形*CQBM*的形状，并说明理由；
（3）当点*P*在线段*EB*上运动时，是否存在点*Q*，使△*BDQ*为直角三角形，若存在，请直接写出点*Q*的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"13山西26"，拖动点*P*在线段*OB*上运动，可以体验到，当*P*运动到*OB*的中点时，四边形*CQMD*和四边形*CQBM*都是平行四边形．拖动点*P*在线段*EB*上运动，可以体验到，∠*DBQ*和∠*BDQ*可以成为直角．
请打开超级画板文件名"13山西26"，拖动点*P*在线段*OB*上运动，可以体验到，当*P*运动到*OB*的中点时，四边形*CQMD*和四边形*CQBM*都是平行四边形．拖动点*P*在线段*EB*上运动，可以体验到，∠*DBQ*和∠*BDQ*可以成为直角．
**思路点拨**
1．第（2）题先用含*m*的式子表示线段*MQ*的长，再根据*MQ*＝*DC*列方程．
2．第（2）题要判断四边形*CQBM*的形状，最直接的方法就是根据求得的*m*的值画一个准确的示意图，先得到结论．
3．第（3）题△*BDQ*为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．
**满分解答**
（1）由，得*A*(－2,0)，*B*(8,0)，*C*(0,－4)．
（2）直线*DB*的解析式为．
由点*P*的坐标为(*m*, 0)，可得，．
所以*MQ*＝．
当*MQ*＝*DC*＝8时，四边形*CQMD*是平行四边形．
解方程，得*m*＝4，或*m*＝0（舍去）．
此时点*P*是*OB*的中点，*N*是*BC*的中点，*N*(4,－2)，*Q*(4,－6)．
所以*MN*＝*NQ*＝4．所以*BC*与*MQ*互相平分．
所以四边形*CQBM*是平行四边形．
图2 图3
（3）存在两个符合题意的点*Q*，分别是(－2,0)，(6,－4)．
**考点伸展**
第（3）题可以这样解：设点*Q*的坐标为．
①如图3，当∠*DBQ*＝90°时， ．所以．
解得*x*＝6．此时*Q*(6,－4)．
②如图4，当∠*BDQ*＝90°时， ．所以．
解得*x*＝－2．此时*Q*(－2,0)．
图3 图4
**例4 2012年广州市中考第24题**
如图1，抛物线与*x*轴交于*A*、*B*两点（点*A*在点*B*的左侧），与*y*轴交于点*C*．
（1）求点*A*、*B*的坐标；
（2）设*D*为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△*ACD*的面积等于△*ACB*的面积时，求点*D*的坐标；
（3）若直线*l*过点*E*(4, 0)，*M*为直线*l*上的动点，当以*A*、*B*、*M*为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线*l*的解析式．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"12广州24"，拖动点*M*在以*AB*为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠*AMB*＝90°的点*M*只有1个．
请打开超级画板文件名"12广州24"，拖动点*M*在以*AB*为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠*AMB*＝90°的点*M*只有1个．
**思路点拨**
1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点*D*有两个．
2．当直线*l*与以*AB*为直径的圆相交时，符合∠*AMB*＝90°的点*M*有2个；当直线*l*与圆相切时，符合∠*AMB*＝90°的点*M*只有1个．
3．灵活应用相似比解题比较简便．
**满分解答**
（1）由，
得抛物线与*x*轴的交点坐标为*A*(－4, 0)、*B*(2, 0)．对称轴是直线*x*＝－1．
（2）△*ACD*与△*ACB*有公共的底边*AC*，当△*ACD*的面积等于△*ACB*的面积时，点*B*、*D*到直线*AC*的距离相等．
过点*B*作*AC*的平行线交抛物线的对称轴于点*D*，在*AC*的另一侧有对应的点*D*′．
设抛物线的对称轴与*x*轴的交点为*G*，与*AC*交于点*H*．
由*BD*//*AC*，得∠*DBG*＝∠*CAO*．所以．
所以，点*D*的坐标为．
因为*AC*//*BD*，*AG*＝*BG*，所以*HG*＝*DG*．
而*D*′*H*＝*DH*，所以*D*′*G*＝3*DG*．所以*D*′的坐标为．
图2 图3
（3）过点*A*、*B*分别作*x*轴的垂线，这两条垂线与直线*l*总是有交点的，即2个点*M*．
以*AB*为直径的⊙*G*如果与直线*l*相交，那么就有2个点*M*；如果圆与直线*l*相切，就只有1个点*M*了．
联结*GM*，那么*GM*⊥*l*．
在Rt△*EGM*中，*GM*＝3，*GE*＝5，所以*EM*＝4．
在Rt△*EM*~1~*A*中，*AE*＝8，，所以*M*~1~*A*＝6．
所以点*M*~1~的坐标为(－4, 6)，过*M*~1~、*E*的直线*l*为．
根据对称性，直线*l*还可以是．
**考点伸展**
第（3）题中的直线*l*恰好经过点*C*，因此可以过点*C*、*E*求直线*l*的解析式．
在Rt△*EGM*中，*GM*＝3，*GE*＝5，所以*EM*＝4．
在Rt△*ECO*中，*CO*＝3，*EO*＝4，所以*CE*＝5．
因此三角形△*EGM*≌△*ECO*，∠*GEM*＝∠*CEO*．所以直线*CM*过点*C*．
**例5 2012年杭州市中考第22题**
在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数*y*＝*k*(*x*^2^＋*x*－1)的图象交于点*A*(1,*k*)和点B(－1,－*k*)．
（1）当*k*＝－2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是*y*随*x*增大而增大，求*k*应满足的条件以及*x*的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为*Q*，当△*ABQ*是以*AB*为斜边的直角三角形时，求*k*的值．
**动感体验**
请打开几何画板文件名"12杭州22"，拖动表示实数*k*的点在y轴上运动，可以体验到，当*k*＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是*y*随*x*增大而增大．观察抛物线的顶点*Q*与⊙*O*的位置关系，可以体验到，点*Q*有两次可以落在圆上．
请打开超级画板文件名"12杭州22"，拖动表示实数*k*的点在y轴上运动，可以体验到，当*k*＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是*y*随*x*增大而增大．观察抛物线的顶点*Q*与⊙*O*的位置关系，可以体验到，点*Q*有两次可以落在圆上．
**思路点拨**
1．由点*A*(1,*k*)或点*B*(－1,－*k*)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是．题目中的*k*都是一致的．
2．由点*A*(1,*k*)或点*B*(－1,－*k*)的坐标还可以知道，*A*、*B*关于原点*O*对称，以*AB*为直径的圆的圆心就是*O*．
3．根据直径所对的圆周角是直角，当*Q*落在⊙*O*上是，△*ABQ*是以*AB*为直径的直角三角形．
**满分解答**
（1）因为反比例函数的图象过点*A*(1,*k*)，所以反比例函数的解析式是．
当*k*＝－2时，反比例函数的解析式是．
（2）在反比例函数中，如果*y*随*x*增大而增大，那么*k*＜0．
当*k*＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，*y*随*x*增大而增大．
抛物线*y*＝*k*(*x*^2^＋*x*＋1)＝的对称轴是直线． 图1
所以当*k*＜0且时，反比例函数与二次函数都是*y*随*x*增大而增大．
（3）抛物线的顶点*Q*的坐标是，*A*、*B*关于原点*O*中心对称，
当*OQ*＝*OA*＝*OB*时，△*ABQ*是以*AB*为直径的直角三角形．
由*OQ*^2^＝*OA*^2^，得．
解得（如图2），（如图3）．
图2 图3
**考点伸展**
如图4，已知经过原点*O*的两条直线*AB*与*CD*分别与双曲线（*k*＞0）交于*A*、*B*和*C*、*D*，那么*AB*与*CD*互相平分，所以四边形*ACBD*是平行四边形．
问平行四边形*ABCD*能否成为矩形？能否成为正方形？
如图5，当*A*、*C*关于直线*y*＝*x*对称时，*AB*与*CD*互相平分且相等，四边形*ABCD*是矩形．
因为*A*、*C*可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以*OA*与*OC*无法垂直，因此四边形*ABCD*不能成为正方形．
图4 图5
**例6 2011年浙江省中考第23题**
设直线*l*~1~：*y***＝*k***~1~*x***＋***b*~1~与*l*~2~：*y***＝*k***~2~*x***＋***b*~2~，若*l*~1~⊥*l*~2~，垂足为*H*，则称直线*l*~1~与*l*~2~是点*H*的直角线．
（1）已知直线①；②；③；④和点*C*(0，2)，则直线\_\_\_\_\_\_\_和\_\_\_\_\_\_\_是点*C*的直角线（填序号即可）；
（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形*OABC*的顶点*A*(3，0)、*B*(2，7)、*C*(0，7)，*P*为线段*OC*上一点，设过*B*、*P*两点的直线为*l*~1~，过*A*、*P*两点的直线为*l*~2~，若*l*~1~与*l*~2~是点*P*的直角线，求直线*l*~1~与*l*~2~的解析式．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"11浙江23"，拖动点*P*在*OC*上运动，可以体验到，∠*APB*有两个时刻可以成为直角，此时**△***BCP***∽△***POA*．
**答案**
（1）直线①和③是点*C*的直角线．
（2）当∠*APB*＝90°时，**△***BCP***∽△***POA*．那么，即．解得*OP*＝6或*OP*＝1．
如图2，当*OP*＝6时，*l*~1~：， *l*~2~：*y***＝－2***x***＋**6．
如图3，当*OP*＝1时，*l*~1~：*y***＝3***x***＋1，** *l*~2~：．
图2 图3
**例7 2010年北京市中考第24题**
在平面直角坐标系*xOy*中，抛物线与*x*轴的交点分别为原点*O*和点*A*，点*B*(2,*n*)在这条抛物线上．
（1）求点*B*的坐标；
（2）点*P*在线段*OA*上，从点*O*出发向点*A*运动，过点*P*作*x*轴的垂线，与直线*OB*交于点*E*，延长*PE*到点*D*，使得*ED*＝*PE*，以*PD*为斜边，在*PD*右侧作等腰直角三角形*PCD*（当点*P*运动时，点*C*、*D*也随之运动）．
①当等腰直角三角形*PCD*的顶点*C*落在此抛物线上时，求*OP*的长；
②若点*P*从点*O*出发向点*A*作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段*OA*上另一个点*Q*从点*A*出发向点*O*作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点*Q*到达点*O*时停止运动，点*P*也停止运动）．过*Q*作*x*轴的垂线，与直线*AB*交于点*F*，延长*QF*到点*M*，使得*FM*＝*QF*，以*QM*为斜边，在*QM*的左侧作等腰直角三角形*QMN*（当点*Q*运动时，点*M*、*N*也随之运动）．若点*P*运动到*t*秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻*t*的值．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"10北京24"，拖动点*P*从*O*向*A*运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线．
**思路点拨**
1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．
2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有*t*的式子表示这些线段的长．
3．点*C*的坐标始终可以表示为(3*t*,2*t*)，代入抛物线的解析式就可以计算此刻*OP*的长．
4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于*t*的方程就可以求解了．
**满分解答**
\(1\) 因为抛物线经过原点，所以． 解得，（舍去）．因此．所以点*B*的坐标为（2，4）．
\(2\) ①如图4，设*OP*的长为*t*，那么*PE*＝2*t*，*EC*＝2*t*，点*C*的坐标为(3*t*, 2*t*)．当点*C*落在抛物线上时，．解得．
②如图1，当两条斜边*PD*与*QM*在同一条直线上时，点*P*、*Q*重合．此时3*t*＝10．解得．
如图2，当两条直角边*PC*与*MN*在同一条直线上，△*PQN*是等腰直角三角形，*PQ*＝*PE*．此时．解得．
如图3，当两条直角边*DC*与*QN*在同一条直线上，△*PQC*是等腰直角三角形，*PQ*＝*PD*．此时．解得．
  
图1 图2 图3
**考点伸展**
在本题情境下，如果以*PD*为直径的圆*E*与以*QM*为直径的圆*F*相切，求*t*的值．
如图5，当*P*、*Q*重合时，两圆内切，．
如图6，当两圆外切时，．
  
图4 图5 图6
**例8 2009年嘉兴市中考第24题**
如图1，已知*A*、*B*是线段*MN*上的两点，，，．以*A*为中心顺时针旋转点*M*，以*B*为中心逆时针旋转点*N*，使*M*、*N*两点重合成一点*C*，构成△*ABC*，设．
（1）求*x*的取值范围；
（2）若△*ABC*为直角三角形，求*x*的值；
（3）探究：△*ABC*的最大面积？
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"09嘉兴24"，拖动点*B*在*AN*上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；∠*CAB*和∠*ACB*可以成为直角，∠*CBA*不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的"U"形，当*AB*等于1.5时，面积达到最大值．
**思路点拨**
1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于*x*的不等式组，可以求得*x*的取值范围．
2．分类讨论直角三角形*ABC*，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．
3．把△*ABC*的面积*S*的问题，转化为*S*^2^的问题．*AB*边上的高*CD*要根据位置关系分类讨论，分*CD*在三角形内部和外部两种情况．
**满分解答**
（1）在△*ABC*中，，，，所以 解得．
（2）①若*AC*为斜边，则，即，此方程无实根．
②若*AB*为斜边，则，解得，满足．
③若*BC*为斜边，则，解得，满足．
因此当或时，△ABC是直角三角形．
（3）在△*ABC*中，作于*D*，设，△*ABC*的面积为*S*，则．
①如图2，若点*D*在线段*AB*上，则．移项，得．两边平方，得．整理，得．两边平方，得．整理，得
所以（）．
当时（满足），取最大值，从而*S*取最大值．
 
图2 图3
②如图3，若点*D*在线段*MA*上，则．
同理可得，（）．
易知此时．
综合①②得，△*ABC*的最大面积为．
**考点伸展**
第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设，
例如在图2中，由列方程．
整理，得．所以
．
因此
．
**1.4 因动点产生的平行四边形问题**
**例1 2015年成都市中考第28题**
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线*y*＝*ax*^2^－2*ax*－3*a*（*a*＜0）与*x*轴交于*A*、*B*两点（点*A*在点*B*的左侧），经过点*A*的直线*l*：*y*＝*kx*＋*b*与*y*轴负半轴交于点*C*，与抛物线的另一个交点为*D*，且*CD*＝4*AC*．
（1）直接写出点*A*的坐标，并求直线*l*的函数表达式（其中*k*、*b*用含*a*的式子表示）；
（2）点*E*是直线*l*上方的抛物线上的动点，若△*ACE*的面积的最大值为 ，求*a*的值；
（3）设*P*是抛物线的对称轴上的一点，点*Q*在抛物线上，以点*A*、*D*、*P*、*Q*为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点*P*的坐标；若不能，请说明理由．
图1 备用图
**动感体验**
请打开几何画板文件名"15成都28"，拖动点*E*在直线*AD*上方的抛物线上运动，可以体验到，当*EC*⊥*AC*时，△*ACE*的面积最大．点击屏幕左下角的按钮"第（3）题"，拖动点*H*在*y*轴正半轴运动，观察点*Q*和*Q*′，可以看到点*Q*和点*Q*′都可以落在抛物线上．
**思路点拨**
1．过点*E*作*x*轴的垂线交*AD*于*F*，那么△*AEF*与△*CEF*是共底的两个三角形．
2．以*AD*为分类标准讨论矩形，当*AD*为边时，*AD*与*QP*平行且相等，对角线*AP*＝*QD*；当*AD*为对角线时，*AD*与*PQ*互相平分且相等．
**满分解答**
（1）由*y*＝*ax*^2^－2*ax*－3*a*＝*a*(*x*＋1)(*x*－3)，得*A*(－1, 0)．
由*CD*＝4*AC*，得*x~D~*＝4．所以*D*(4, 5*a*)．
由*A*(－1, 0)、*D*(4, 5*a*)，得直线*l*的函数表达式为*y*＝*ax*＋*a*．
（2）如图1，过点*E*作*x*轴的垂线交*AD*于*F*．
> 设*E*(*x*, *ax*^2^－2*ax*－3*a*)，*F*(*x*, *ax*＋*a*)，那么*EF*＝*y~E~*－*y~F~*＝*ax*^2^－3*ax*－4*a*．
由*S*~△*ACE*~＝*S*~△*AEF*~－*S*~△*CEF*~＝
> ＝＝＝，
得△*ACE*的面积的最大值为．解方程，得．
> （3）已知*A*(－1, 0)、*D*(4, 5a)，*x~P~*＝1，以*AD*为分类标准，分两种情况讨论：
①如图2，如果*AD*为矩形的边，那么*AD*//*QP*，*AD*＝*QP*，对角线*AP*＝*QD*．
由*x~D~*－*x~A~*＝*x~P~*－*x~Q~*，得*x~Q~*＝－4．
当*x*＝－4时，*y*＝*a*(*x*＋1)(*x*－3)＝21*a*．所以*Q*(－4, 21*a*)．
由*y~D~*－*y~A~*＝*y~P~*－*y~Q~*，得*y~P~*＝26*a*．所以*P*(1, 26*a*)．
由*AP*^2^＝*QD*^2^，得2^2^＋(26*a*)^2^＝8^2^＋(16*a*)^2^．
整理，得7*a*^2^＝1．所以．此时*P*．
②如图3，如果*AD*为矩形的对角线，那么*AD*与*PQ*互相平分且相等．
由*x~D~*＋*x~A~*＝*x~P~*＋*x~Q~*，得*x~Q~*＝2．所以*Q*(2,－3*a*)．
由*y~D~*＋*y~A~*＝*y~P~*＋*y~Q~*，得*y~P~*＝8*a*．所以*P*(1, 8*a*)．
由*AD*^2^＝*PQ*^2^，得5^2^＋(5*a*)^2^＝1^2^＋(11*a*)^2^．
整理，得4*a*^2^＝1．所以．此时*P*．
图1 图2 图3
**考点伸展**
第（3）题也可以这样解．设*P*(1,*n*)．
①如图2，当*AD*时矩形的边时，∠*QPD*＝90°，所以，即．
解得．所以*P*．所以*Q*．
将*Q*代入*y*＝*a*(*x*＋1)(*x*－3)，得．所以．
②如图3，当*AD*为矩形的对角线时，先求得*Q*(2,－3*a*)．
由∠*AQD*＝90°，得，即．解得．
**例2 2014年陕西省中考第24题**
如图1，已知抛物线C：*y*＝－*x*^2^＋*bx*＋*c*经过*A*(－3,0)和*B*(0, 3)两点．将这条抛物线的顶点记为*M*，它的对称轴与*x*轴的交点记为*N*．
（1）求抛物线*C*的表达式；
（2）求点*M*的坐标；
（3）将抛物线*C*平移到抛物线*C*′，抛物线*C*′的顶点记为*M*′，它的对称轴与x轴的交点记为*N*′．如果以点*M*、*N*、*M*′、*N*′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线*C*怎样平移？为什么？
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"14陕西24"，拖动右侧的点*M*′上下运动，可以体验到，以点*M*、*N*、*M*′、*N*′为顶点的平行四边形有四种情况．
**思路点拨**
1．抛物线在平移的过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点*M*、*N*、*M*′、*N*′为顶点的四边形就是平行四边形．
2．平行四边形的面积为16，底边MN＝4，那么高NN′＝4．
3．M′N′＝4分两种情况：点M′在点N′的上方和下方．
4．NN′＝4分两种情况：点N′在点N的右侧和左侧．
**满分解答**
（1）将*A*(－3,0)、*B*(0, 3)分别代入*y*＝－*x*^2^＋*bx*＋*c*，得
解得b＝－2，c＝3．
所以抛物线*C*的表达式为*y*＝－*x*^2^－2*x*＋3．
（2）由*y*＝－*x*^2^－2*x*＋3＝－(x＋1)^2^＋4，得顶点*M*的坐标为(－1,4)．
（3）抛物线在平移过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点*M*、*N*、*M*′、*N*′为顶点的四边形就是平行四边形．
因为平行四边形的面积为16，所以MN边对应的高NN′＝4．
那么以点*M*、*N*、*M*′、*N*′为顶点的平行四边形有4种情况：
抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形*MNN*′*M*′（如图2）；
抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形*MNN*′*M*′（如图2）；
抛物线C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形*MNM*′*N*′（如图3）；
抛物线C先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形*MNM*′*N*′（如图3）．
图2 图3
**考点伸展**
本题的抛物线*C*向右平移*m*个单位，两条抛物线的交点为*D*，那么△*MM*′*D*的面积*S*关于*m*有怎样的函数关系？
如图4，△*MM*′*D*是等腰三角形，由*M*(－1,4)、*M*′(－1＋*m*, 4)，可得点*D*的横坐标为．
将代入*y*＝－(*x*＋1)^2^＋4，得．所以*DH*＝．
所以*S*＝．
图4
**例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题**
如图1，已知抛物线*y*＝－*x*^2^＋*bx*＋*c*经过*A*(0, 1)、*B*(4, 3)两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠*ABO*的值；
（3）过点*B*作*BC*⊥*x*轴，垂足为*C*，在对称轴的左侧且平行于*y*轴的直线交线段*AB*于点*N*，交抛物线于点*M*，若四边形*MNCB*为平行四边形，求点*M*的坐标．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"13松江24"，拖动点*N*在直线*AB*上运动，可以体验到，以*M*、*N*、*C*、*B*为顶点的平行四边形有4个，符合*MN*在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形*MNCB*只有一个．
请打开超级画板文件名"13松江24"，拖动点*N*在直线*AB*上运动，可以体验到，*MN*有4次机会等于3，这说明以*M*、*N*、*C*、*B*为顶点的平行四边形有4个，而符合*MN*在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形*MNCB*只有一个．
**思路点拨**
1．第（2）题求∠*ABO*的正切值，要构造包含锐角∠*ABO*的角直角三角形．
2．第（3）题解方程*MN*＝*y~M~*－*y~N~*＝*BC*，并且检验*x*的值是否在对称轴左侧．
**满分解答**
（1）将*A*(0, 1)、*B*(4, 3)分别代入*y*＝－*x*^2^＋*bx*＋*c*，得
解得，*c*＝1．
所以抛物线的解析式是．
（2）在Rt△*BOC*中，*OC*＝4，*BC*＝3，所以*OB*＝5．
如图2，过点*A*作*AH*⊥*OB*，垂足为*H*．
在Rt△*AOH*中，*OA*＝1，，
所以． 图2
所以，．
在Rt△*ABH*中，．
（3）直线*AB*的解析式为．
设点*M*的坐标为，点*N*的坐标为，
那么．
当四边形*MNCB*是平行四边形时，*MN*＝*BC*＝3．
解方程－*x*^2^＋4*x*＝3，得*x*＝1或*x*＝3．
因为*x*＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点*M*的坐标为（如图3）．
图3 图4
**考点伸展**
第（3）题如果改为：点*M*是抛物线上的一个点，直线*MN*平行于*y*轴交直线*AB*于*N*，如果*M*、*N*、*B*、*C*为顶点的四边形是平行四边形，求点*M*的坐标．
那么求点*M*的坐标要考虑两种情况：*MN*＝*y~M~*－*y~N~*或*MN*＝*y~N~*－*y~M~*．
由*y~N~*－*y~M~*＝4*x*－*x*^2^，解方程*x*^2^－4*x*＝3，得（如图5）．
所以符合题意的点*M*有4个：，，，．
图5
**例4 2012年福州市中考第21题**
如图1，在Rt△*ABC*中，∠*C*＝90°，*AC*＝6，*BC*＝8，动点*P*从点*A*开始沿边*AC*向点*C*以每秒1个单位长度的速度运动，动点*Q*从点*C*开始沿边*CB*向点*B*以每秒2个单位长度的速度运动，过点*P*作*PD*//*BC*，交*AB*于点*D*，联结*PQ*．点*P*、*Q*分别从点*A*、*C*同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为*t*秒（*t*≥0）．
（1）直接用含*t*的代数式分别表示：*QB*＝\_\_\_\_\_\_\_，*PD*＝\_\_\_\_\_\_\_；
（2）是否存在*t*的值，使四边形*PDBQ*为菱形？若存在，求出*t*的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点*Q*的速度（匀速运动），使四边形*PDBQ*在某一时刻为菱形，求点*Q*的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段*PQ*的中点*M*所经过的路径长．
图1 图2
**动感体验**
请打开几何画板文件名"12福州21"，拖动左图中的点*P*运动，可以体验到，*PQ*的中点*M*的运动路径是一条线段．拖动右图中的点*Q*运动，可以体验到，当*PQ*//*AB*时，四边形*PDBQ*为菱形．
请打开超级画板文件名"12福州21"，拖动点*Q向上*运动，可以体验到，*PQ*的中点*M*的运动路径是一条线段．点击动画按钮的左部，Q的速度变成1.07，可以体验到，当*PQ*//*AB*时，四边形*PDBQ*为菱形．点击动画按钮的中部，Q的速度变成1.
**思路点拨**
1．菱形*PDBQ*必须符合两个条件，点*P*在∠*ABC*的平分线上，*PQ*//*AB*．先求出点*P*运动的时间*t*，再根据*PQ*//*AB*，对应线段成比例求*CQ*的长，从而求出点*Q*的速度．
2．探究点*M*的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点*M*的路径．
**满分解答**
（1）*QB*＝8－2*t*，*PD*＝．
（2）如图3，作∠*ABC*的平分线交*CA*于*P*，过点*P*作*PQ*//*AB*交*BC*于*Q*，那么四边形*PDBQ*是菱形．
过点*P*作*PE*⊥*AB*，垂足为*E*，那么*BE*＝*BC*＝8．
在Rt△*ABC*中，*AC*＝6，*BC*＝8，所以*AB*＝10． 图3
在Rt△*APE*中，，所以．
当*PQ*//*AB*时，，即．解得．
所以点*Q*的运动速度为．
（3）以*C*为原点建立直角坐标系．
如图4，当*t*＝0时，*PQ*的中点就是*AC*的中点*E*(3，0)．
如图5，当*t*＝4时，*PQ*的中点就是*PB*的中点*F*(1，4)．
直线*EF*的解析式是*y*＝－2*x*＋6．
如图6，*PQ*的中点*M*的坐标可以表示为（，*t*）．经验证，点*M*（，*t*）在直线*EF*上．
所以*PQ*的中点*M*的运动路径长就是线段*EF*的长，EF＝．
图4 图5 图6
**考点伸展**
第（3）题求点*M*的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：
当*t*＝2时，*PQ*的中点为(2，2)．
设点*M*的运动路径的解析式为*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*，代入*E*(3，0)、*F*(1，4)和(2，2)，
得 解得*a*＝0，*b*＝－2，*c*＝6．
所以点*M*的运动路径的解析式为*y*＝－2*x*＋6．
**例5 2012年烟台市中考第26题**
如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形*ABCD*的三个顶点*B*(1, 0)、*C*(3, 0)、*D*(3, 4)．以*A*为顶点的抛物线*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*过点*C*．动点*P*从点*A*出发，沿线段*AB*向点*B*运动，同时动点*Q*从点*C*出发，沿线段*CD*向点*D*运动．点*P*、*Q*的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为*t*秒．过点*P*作*PE*⊥*AB*交*AC*于点*E*．
（1）直接写出点*A*的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点*E*作*EF*⊥*AD*于*F*，交抛物线于点*G*，当*t*为何值时，△*ACG*的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点*P*、*Q*运动的过程中，当*t*为何值时，在矩形*ABCD*内（包括边界）存在点*H*，使以*C*、*Q*、*E*、*H*为顶点的四边形为菱形？请直接写出*t*的值．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"12烟台26"，拖动点*P*在*AB*上运动，可以体验到，当*P*在*AB*的中点时，△*ACG*的面积最大．观察右图，我们构造了和△*CEQ*中心对称的△*FQE*和△*ECH*′，可以体验到，线段*EQ*的垂直平分线可以经过点*C*和*F*，线段*CE*的垂直平分线可以经过点*Q*和*H*′，因此以*C*、*Q*、*E*、*H*为顶点的菱形有2个．
请打开超级画板文件名"12烟台26"，拖动点*P*在*AB*上运动，可以体验到，当*P*在*AB*的中点时，即t=2，△*ACG*的面积取得最大值1．观察CQ，EQ，EC的值，发现以*C*、*Q*、*E*、*H*为顶点的菱形有2个．点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。
**思路点拨**
1．把△*ACG*分割成以*GE*为公共底边的两个三角形，高的和等于*AD*．
2．用含有*t*的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．
3．构造以*C*、*Q*、*E*、*H*为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．
**满分解答**
（1）*A*(1, 4)．因为抛物线的顶点为*A*，设抛物线的解析式为*y*＝*a*(*x*－1)^2^＋4，
代入点*C*(3, 0)，可得*a*＝－1．
所以抛物线的解析式为*y*＝－(*x*－1)^2^＋4＝－*x*^2^＋2*x*＋3．
（2）因为*PE*//*BC*，所以．因此．
所以点*E*的横坐标为．
将代入抛物线的解析式，*y*＝－(*x*－1)^2^＋4＝．
所以点*G*的纵坐标为．于是得到．
因此．
所以当*t*＝1时，△*ACG*面积的最大值为1．
（3）或．
**考点伸展**
第（3）题的解题思路是这样的：
因为*FE*//*QC*，*FE*＝*QC*，所以四边形*FECQ*是平行四边形．再构造点*F*关于*PE*轴对称的点*H*′，那么四边形*EH*′*CQ*也是平行四边形．
再根据*FQ*＝*CQ*列关于*t*的方程，检验四边形*FECQ*是否为菱形，根据*EQ*＝*CQ*列关于*t*的方程，检验四边形*EH*′*CQ*是否为菱形．
，，，．
如图2，当*FQ*＝*CQ*时，*FQ*^2^＝*CQ*^2^，因此．
整理，得．解得，（舍去）．
如图3，当*EQ*＝*CQ*时，*EQ*^2^＝*CQ*^2^，因此．
整理，得．．所以，（舍去）．
图2 图3
**例6 2011年上海市中考第24题**
已知平面直角坐标系*xOy*（如图1），一次函数的图象与*y*轴交于点*A*，点*M*在正比例函数的图象上，且*MO*＝*MA*．二次函数
*y***＝***x*^2^**＋***bx***＋***c*的图象经过点*A*、*M*．
（1）求线段*AM*的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点*B*在*y*轴上，且位于点*A*下方，点*C*在上述二次函数的图象上，点*D*在一次函数的图象上，且四边形*ABCD*是菱形，求点*C*的坐标．
**图1**
**动感体验**
请打开几何画板文件名"11上海24"，拖动点*B*在*y*轴上点*A*下方运动，四边形*ABCD*保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点*C*有一次机会落在抛物线上．
**思路点拨**
1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．
2．根据*MO*＝*MA*确定点*M*在*OA*的垂直平分线上，并且求得点*M*的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．
3．第（3）题求点*C*的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母*m*表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母*m*．
**满分解答**
（1）当*x*＝0时，，所以点*A*的坐标为(0，3)，*OA*＝3．
如图2，因为*MO*＝*MA*，所以点*M*在*OA*的垂直平分线上，点*M*的纵坐标为．将代入，得*x*＝1．所以点*M*的坐标为．因此．
（2）因为抛物线*y***＝***x*^2^**＋***bx***＋***c*经过*A*(0，3)、*M*，所以解得，．所以二次函数的解析式为．
（3）如图3，设四边形*ABCD*为菱形，过点*A*作*AE*⊥*CD*，垂足为*E*．
在Rt△*ADE*中，设*AE*＝4*m*，*DE*＝3*m*，那么*AD*＝5*m*．
因此点*C*的坐标可以表示为(4*m*，3－2*m*)．将点C(4*m*，3－2*m*)代入，得．解得或者*m*＝0（舍去）．
因此点*C*的坐标为（2，2）．
 
图2 图3
**考点伸展**
**如果第（3）题中，把"**四边形*ABCD*是菱形**"改为"以***A***、***B***、***C***、***D***为顶点的四边形是菱形"，那么还存在另一种情况：**
**如图4，**点*C*的坐标为．
图4
**例7 2011年江西省中考第24题**
将抛物线*c*~1~：沿*x*轴翻折，得到抛物线*c*~2~，如图1所示．
（1）请直接写出抛物线*c*~2~的表达式；
（2）现将抛物线*c*~1~向左平移*m*个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为*M*，与*x*轴的交点从左到右依次为*A*、*B*；将抛物线*c*~2~向右也平移*m*个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为*N*，与*x*轴的交点从左到右依次为*D*、*E*．
①当*B*、*D*是线段*AE*的三等分点时，求*m*的值；
②在平移过程中，是否存在以点*A*、*N*、*E*、*M*为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时*m*的值；若不存在，请说明理由．
**图1**
**动感体验**
请打开几何画板文件名"11江西24"，拖动点*M*向左平移，可以体验到，四边形*ANEM*可以成为矩形，此时*B*、*D*重合在原点．观察*B*、*D*的位置关系，可以体验到，*B*、*D*是线段*AE*的三等分点，存在两种情况．
**思路点拨**
1．把*A*、*B*、*D*、*E*、*M*、*N*六个点起始位置的坐标罗列出来，用*m*的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来．
2．*B*、*D*是线段*AE*的三等分点，分两种情况讨论，按照*AB*与*AE*的大小写出等量关系列关于*m*的方程．
3．根据矩形的对角线相等列方程．
**满分解答**
（1）抛物线*c*~2~的表达式为．
（2）抛物线*c*~1~：与*x*轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为．
抛物线*c*~2~：与*x*轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)，顶点为．
抛物线*c*~1~向左平移*m*个单位长度后，顶点*M*的坐标为，与*x*轴的两个交点为、，*AB*＝2．
抛物线*c*~2~向右平移*m*个单位长度后，顶点*N*的坐标为，与*x*轴的两个交点为、．所以*AE*＝(1＋*m*)－(－1－*m*)＝2(1＋*m*)．
①*B*、*D*是线段*AE*的三等分点，存在两种情况：
情形一，如图2，*B*在*D*的左侧，此时，*AE*＝6．所以2(1＋*m*)＝6．解得*m*＝2．
情形二，如图3，*B*在*D*的右侧，此时，*AE*＝3．所以2(1＋*m*)＝3．解得．
图2 图3 图4
②如果以点*A*、*N*、*E*、*M*为顶点的四边形是矩形，那么*AE*＝*MN*＝2*OM*．而*OM*^2^＝*m*^2^＋3，所以4(1＋*m*)^2^＝4(*m*^2^＋3)．解得*m*＝1（如图4）．
**考点伸展**
第（2）题②，探求矩形*ANEM*，也可以用几何说理的方法：
在等腰三角形*ABM*中，因为*AB*＝2，*AB*边上的高为，所以△*ABM*是等边三角形．
同理△*DEN*是等边三角形．当四边形*ANEM*是矩形时，*B*、*D*两点重合．
因为起始位置时*BD*＝2，所以平移的距离*m*＝1．
**1.5 因动点产生的梯形问题**
**例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第24题**
如图1，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与*x*轴交于点*A*(－1,0)和点*B*(3, 0)，*D*为抛物线的顶点，直线*AC*与抛物线交于点*C*(5, 6)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点*E*在*x*轴上，且△*AEC*和△*AED*相似，求点*E*的坐标；
（3）若直角坐标系平面中的点*F*和点*A*、*C*、*D*构成直角梯形，且面积为16，试求点*F*的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名"15徐汇24"，拖动点*E*在*x*轴上运动，可以体验到，直线*CA*和直线*DA*与*x*轴的夹角都是45°，△*CAE*∽△*EAD*存在两种情况．
思路点拨
1．由*A*、*C*、*D*三点的坐标，可以得到直线*CA*、直线*DA*与*x*轴的夹角都是45°，因此点*E*不论在点*A*的左侧还是右侧，都有∠*CAE*＝∠*DAE*．因此讨论△*AEC*和△*AED*相似，要分两种情况．每种情况又要讨论对应边的关系．
2．因为∠*CAD*是直角，所以直角梯形存在两种情况．
满分解答
（1）如图1，因为抛物线与*x*轴交于点*A*(－1,0)和点*B*(3, 0)，设*y*＝*a*(*x*＋1)(*x*－3)．
将点*C*(5, 6)代入*y*＝*a*(*x*＋1)(*x*－3)，得12*a*＝6．
解得．所以抛物线的解析式为．
（2）由，得顶点*D*的坐标为(1,－2)．
由*A*(－1,0)、*C*(5, 6)、*D*(1,－2)，得∠*CAO*＝45°，∠*DAO*＝45°，*AC*＝，*AD*＝．
因此不论点*E*在点*A*的左侧还是右侧，都有∠*CAE*＝∠*DAE*．
图2 图3
如果△*CAE*∽△*DAE*，那么它们全等，这是不可能的．
如图2，图3，如果△*CAE*∽△*EAD*，那么*AE*^2^＝*AC*·*AD*＝．
所以*AE*＝．所以点*E*的坐标为，或．
（3）因为∠*CAD*＝90°，因此直角梯形存在两种情况．
①如图4，当*DF*//*AC*时，由，得．
解得*DF*＝．此时*F*、*D*两点间的水平距离、竖直距离都是2，所以*F*(3,0)．
②如图5，当*CF*//*AD*时，由，得．
解得*CF*＝．此时*F*、*C*两点间的水平距离、竖直距离都是，所以*F*．
图4 图5
考点伸展
如果第（3）题改为：点*F*在抛物线上，点*F*和点*A*、*C*、*D*构成梯形，求点*F*的坐标，那么就要分三种情况讨论了．
如图4，当*DF*//*AC*时，点*F*就是点*B*(3, 0)．
如图6，当*CF*//*AD*时，*FH*＝*CH*．设*F*，那么．
解得*x*＝±5．此时点*F*的坐标为(－5,16)．
如图7，当*AF*//*CD*时， ．所以．
解得*x*＝7．此时点*F*的坐标为(7,16)．
图6 图7
**例2 2014年上海市金山区中考模拟第24题**
如图1，在平面直角坐标系中，直线*y*＝*x*＋2与*x*轴交于点*A*，点*B*是这条直线上第一象限内的一个点，过点*B*作*x*轴的垂线，垂足为*D*，已知△*ABD*的面积为18．
（1）求点*B*的坐标；
（2）如果抛物线经过点*A*和点*B*，求抛物线的解析式；
（3）已知（2）中的抛物线与*y*轴相交于点*C*，该抛物线对称轴与*x*轴交于点*H*，*P*是抛物线对称轴上的一点，过点*P*作*PQ*//*AC*交*x*轴于点*Q*，如果点*Q*在线段*AH*上，且*AQ*＝*CP*，求点*P*的坐标．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"14金山24"，拖动点*P*运动，可以体验到，*AQ*＝*CP*有两种情况，四边形*CAQP*为平行四边形或等腰梯形．
**思路点拨**
1．△*ABD*是等腰直角三角形，根据面积可以求得直角边长，得到点*B*的坐标．
2．*AQ*＝*CP*有两种情况，四边形*CAQP*为平行四边形或等腰梯形．
平行四边形的情况很简单，等腰梯形求点*P*比较复杂，于是我们要想起这样一个经验：平行于等腰三角形底边的直线截两腰，得到一个等腰梯形和一个等腰三角形．
**满分解答**
（1）直线*y*＝*x*＋2与*x*轴的夹角为45°，点*A*的坐标为(－2, 0)．
因为△*ABD*是等腰直角三角形，面积为18，所以直角边长为6．
因此*OD*＝4．所以点*B*的坐标为(4, 6)．
（2）将*A*(－2, 0)、*B* (4, 6)代入，
得 解得*b*＝2，*c*＝6．
所以抛物线的解析式为．
（3）由，得抛物线的对称轴为直线*x*＝2，点*C*的坐标为(0, 6)．
如果*AQ*＝*CP*，那么有两种情况：
①如图2，当四边形*CAQP*是平行四边形时，*AQ*//*CP*，此时点*P*的坐标为(2, 6)．
②如图3，当四边形*CAQP*是等腰梯形时，作*AC*的垂直平分线交*x*轴于点*F*，那么点*P*在*FC*上．
设点*F*的坐标为(*x*, 0)，根据*FA*^2^＝*FC*^2^列方程，得(*x*＋2)^2^＝*x*^2^＋6^2^．
解得*x*＝8．所以OF＝8，HF＝6．
因此．此时点*P*的坐标为．
图2 图3
**考点伸展**
第（3）题等腰梯形*CAQP*时，求点*P*的坐标也可以这样思考：
过点*P*作*PE*//*x*轴交*AC*于*E*，那么*PE*＝*PC*．
直线*AC*的解析式为*y*＝3*x*＋6，设*E*(*m*, 3*m*＋6)，
那么*P*(2, 3*m*＋6)．
根据*PE*^2^＝*PC*^2^列方程，得(2－*m*)^2^＝2^2^＋(3*m*)^2^．
解得．所以*P*．
图4
其实第（3）题还有一个"一石二鸟"的方法：
设*QH*＝*n*，那么*AQ*＝4－*n*，*PH*＝3*n*，P(2, 3*n* )．
根据*AQ*^2^＝*CP*^2^，列方程，得．(4－*n*)^2^＝2^2^＋(3*n*－6)^2^．
整理，得2*n*^2^－7*n*－6＝0．解得*n*~1~＝2，．
当*n*~1~＝2时，*P*(2, 6)，对应平行四边形*CAQP*（如图2）；
当时，*P*，对应等腰梯形*CAQP*（如图4）．
**例3 2012年上海市松江区中考模拟第24题**
已知直线*y*＝3*x*－3分别与*x*轴、*y*轴交于点*A*，*B*，抛物线*y*＝*ax*^2^＋2*x*＋*c*经过点*A*，*B*．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线*l*，点*B*关于直线*l*的对称点为*C*，若点*D*在*y*轴的正半轴上，且四边形*ABCD*为梯形．
①求点*D*的坐标；
②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为*P*，其对称轴与直线*y*＝3*x*－3交于点*E*，若，求四边形*BDEP*的面积．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"12松江24"，拖动点*P*向右运动，可以体验到，*D*、*P*间的垂直距离等于7保持不变，∠*DPE*与∠*PDH*保持相等．
请打开超级画板文件名"12松江24"， 拖动点*P*向右运动，可以体验到，*D*、*P*间的垂直距离等于7保持不变，∠*DPE*与∠*PDH*保持相等，，四边形*BDEP*的面积为24．
**思路点拨**
1．这道题的最大障碍是画图，*A*、*B*、*C*、*D*四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了．
2．抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是*D*、*P*两点间的垂直距离等于7．
3．已知∠*DPE*的正切值中的7的几何意义就是*D*、*P*两点间的垂直距离等于7，那么点*P*向右平移到直线*x*＝3时，就停止平移．
**满分解答**
（1）直线*y*＝3*x*－3与*x*轴的交点为*A*(1，0)，与*y*轴的交点为*B*(0,－3)．
将*A*(1，0)、*B*(0,－3)分别代入*y*＝*ax*^2^＋2*x*＋*c*，
得 解得
所以抛物线的表达式为*y*＝*x*^2^＋2*x*－3．
对称轴为直线*x*＝－1，顶点为(－1,－4)．
（2）①如图2，点*B*关于直线*l*的对称点*C*的坐标为(－2,－3)．
因为*CD*//*AB*，设直线*CD*的解析式为*y*＝3*x*＋*b*，
代入点*C*(－2,－3)，可得*b*＝3．
所以点*D*的坐标为（0，3）．
②过点*P*作*PH*⊥*y*轴，垂足为*H*，那么∠*PDH*＝∠*DPE*．
由，得．
而*DH*＝7，所以*PH*＝3．
因此点*E*的坐标为（3，6）．
所以．
图2 图3
**考点伸展**
第（2）①用几何法求点*D*的坐标更简便：
因为*CD*//*AB*，所以∠*CDB*＝∠*ABO*．
因此．所以*BD*＝3*BC*＝6，*OD*＝3．因此*D*（0，3）．
**例4 2012年衢州市中考第24题**
如图1，把两个全等的Rt△*AOB*和Rt△*COD*方别置于平面直角坐标系中，使直角边*OB*、*OD*在*x*轴上．已知点*A*(1，2)，过*A*、*C*两点的直线分别交*x*轴、*y*轴于点*E*、*F*．抛物线*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*经过*O*、*A*、*C*三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点*P*为线段*OC*上的一个动点，过点*P*作*y*轴的平行线交抛物线于点*M*，交*x*轴于点*N*，问是否存在这样的点*P*，使得四边形*ABPM*为等腰梯形？若存在，求出此时点*P*的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若△*AOB*沿*AC*方向平移（点*A*始终在线段*AC*上，且不与点*C*重合），△*AOB*在平移的过程中与△*COD*重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"12衢州24"， 拖动点*P*在线段*OC*上运动，可以体验到，在*AB*的左侧，存在等腰梯形*ABPM*．拖动点*A*′在线段*AC*上运动，可以体验到，Rt△*A*′*OB*′、Rt△*COD*、Rt△*A*′*HG*、Rt△*OEK*、Rt△*OFG*和Rt△*EHK*的两条直角边的比都为1∶2．
请打开超级画板文件名"12衢州24"，拖动点*P*在线段*OC*上运动，可以体验到，在*AB*的左侧，存在AM=BP．拖动点*A*′在线段*AC*上运动，发现S最大值为0.375．
**思路点拨**
1．如果四边形*ABPM*是等腰梯形，那么*AB*为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，*AB*边分成的3小段，两侧的线段长线段．
2．△*AOB*与△*COD*重叠部分的形状是四边形*EFGH*，可以通过割补得到，即△*OFG*减去△*OEH*．
3．求△*OEH*的面积时，如果构造底边*OH*上的高*EK*，那么Rt△*EHK*的直角边的比为1∶2．
4．设点*A*′移动的水平距离为*m*，那么所有的直角三角形的直角边都可以用*m*表示．
**满分解答**
（1）将*A*(1，2)、*O*(0，0)、*C*(2，1)分别代入*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*，
得 解得，，． 所以．
（2）如图2，过点*P*、*M*分别作梯形*ABPM*的高*PP*′、*MM*′，如果梯形*ABPM*是等腰梯形，那么*AM*′＝*BP*′，因此*yA*－*y M*′＝*yP*′－*yB*．
直线*OC*的解析式为，设点*P*的坐标为，那么．
解方程，得，．
*x*＝2的几何意义是*P*与*C*重合，此时梯形不存在．所以．
图2 图3
（3）如图3，△*AOB*与△*COD*重叠部分的形状是四边形*EFGH*，作*EK*⊥*OD*于*K*．
设点*A*′移动的水平距离为*m*，那么*OG*＝1＋*m*，*GB*′＝*m*．
在Rt△*OFG*中，．所以．
在Rt△*A*′*HG*中，*A*′*G*＝2－*m*，所以．
所以．
在Rt△*OEK*中，*OK*＝2 *EK*；在Rt△*EHK*中，*EK*＝2*HK*；所以*OK*＝4*HK*．
因此．所以．
所以．
于是．
因为0＜*m*＜1，所以当时，*S*取得最大值，最大值为．
**考点伸展**
第（3）题也可以这样来解：设点*A*′的横坐标为*a*．
由直线*AC*：*y*＝－*x*＋3，可得*A*′(*a*, －*a*＋3)．
由直线*OC*：，可得．
由直线*OA*：*y*＝2*x*及*A*′(*a*, －*a*＋3)，可得直线*O*′*A*′：*y*＝2*x*－3*a*＋3，．
由直线*OC*和直线*O*′*A*′可求得交点*E*(2*a*－2，*a*－1)．
由*E*、*F*、*G*、*H* 4个点的坐标，可得
**例5 2011年义乌市中考第24题**
已知二次函数的图象经过*A*（2，0）、*C*(0，12) 两点，且对称轴为直线*x*＝4，设顶点为点*P*，与*x*轴的另一交点为点*B*．
（1）求二次函数的解析式及顶点*P*的坐标；
（2）如图1，在直线 *y*＝2*x*上是否存在点*D*，使四边形*OPBD*为等腰梯形？若存在，求出点*D*的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点*M*是线段*OP*上的一个动点（*O*、*P*两点除外），以每秒个单位长度的速度由点*P*向点*O* 运动，过点*M*作直线*MN*//*x*轴，交*PB*于点*N*． 将△*PMN*沿直线*MN*对折，得到△*P*~1~*MN*． 在动点*M*的运动过程中，设△*P*~1~*MN*与梯形*OMNB*的重叠部分的面积为*S*，运动时间为*t*秒，求*S*关于*t*的函数关系式．
图1 图2
**动感体验**
请打开几何画板文件名"11义乌24"，拖动点*M*从*P*向*O*运动，可以体验到，*M*在到达*PO*的中点前，重叠部分是三角形；经过中点以后，重叠部分是梯形．
**思路点拨**
1．第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况．
2．第（3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是*PO*的中点．
**满分解答**
（1）设抛物线的解析式为，代入*A*（2，0）、*C*(0，12) 两点，得 解得
所以二次函数的解析式为，顶点*P*的坐标为（4，－4）．
（2）由，知点*B*的坐标为（6，0）．
假设在等腰梯形*OPBD*，那么*DP*＝*OB*＝6．设点*D*的坐标为(*x*，2*x*)．
由两点间的距离公式，得．解得或x＝－2．
如图3，当x＝－2时，四边形*ODPB*是平行四边形．
所以，当点*D*的坐标为(，)时，四边形*OPBD*为等腰梯形．
图3 图4 图5
（3）设△*PMN*与△*POB*的高分别为*PH*、*PG*．
在Rt△*PMH*中，，．所以．
在Rt△*PNH*中，，．所以．
① 如图4，当0＜*t*≤2时，重叠部分的面积等于△*PMN*的面积．此时．
②如图5，当2＜*t*＜4时，重叠部分是梯形，面积等于△*PMN*的面积减去△*P*′*DC*的面积．由于，所以．
此时．
**考点伸展**
**第（2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：**
**方法一，按照对角线相等画圆**．**以***P***为圆心，***OB***长为半径画圆，与直线***y***＝2***x***有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点**．
方法二，**按照对边相等画圆**．**以***B***为圆心，***OP***长为半径画圆，与直线***y***＝2***x***有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点**．
**1.6 因动点产生的面积问题**
**例1 2015年河南省中考第23题**
如图1，边长为8的正方形*ABCD*的两边在坐标轴上，以点*C*为顶点的抛物线经过点*A*，点*P*是抛物线上*A*、*C*两点间的一个动点（含端点），过点*P*作*PF*⊥*BC*于点*F*．点*D*、*E*的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结*PD*、*PE*、*DE*．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点*P*的位置发现：当点*P*与点*A*或点*C*重合时，*PD*与*PF*的差为定值．进而猜想：对于任意一点*P*，*PD*与*PF*的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将"使△*PDE*的面积为整数" 的点*P*记作"好点"，则存在多个"好点"，且使△*PDE*的周长最小的点*P*也是一个"好点"．
请直接写出所有"好点"的个数，并求出△*PDE*周长最小时"好点"的坐标．
图1 备用图
**动感体验**
请打开几何画板文件名"15河南23"，拖动点*P*在*A*、*C*两点间的抛物线上运动，观察*S*随*P*变化的图像，可以体验到，"使△*PDE*的面积为整数" 的点*P*共有11个．
**思路点拨**
1．第（2）题通过计算进行说理．设点*P*的坐标，用两点间的距离公式表示*PD*、*PF*的长．
2．第（3）题用第（2）题的结论，把△*PDE*的周长最小值转化为求*PE*＋*PF*的最小值．
**满分解答**
（1）抛物线的解析式为．
（2）小明的判断正确，对于任意一点*P*，*PD*－*PF*＝2．说理如下：
设点*P*的坐标为，那么*PF*＝*y~F~*－*y~P~*＝．
而*FD*^2^＝，所以*FD*＝．
因此*PD*－*PF*＝2为定值．
（3）"好点"共有11个．
在△*PDE*中，*DE*为定值，因此周长的最小值取决于*FD*＋*PE*的最小值．
而*PD*＋*PE*＝(*PF*＋2)＋*PE*＝(*PF*＋*PE*)＋2，因此当*P*、*E*、*F*三点共线时，△*PDE*的周长最小（如图2）．
此时*EF*⊥*x*轴，点*P*的横坐标为－4．
所以△*PDE*周长最小时，"好点"P的坐标为(－4, 6)．
图2 图3
**考点伸展**
第（3）题的11个"好点"是这样求的：
如图3，联结*OP*，那么*S*~△*PDE*~＝*S*~△*POD*~＋*S*~△*POE*~－*S*~△*DOE*~．
因为*S*~△*POD*~＝，*S*~△*POE*~＝，*S*~△*DOE*~＝12，所以
*S*~△*PDE*~＝＝＝．
因此*S*是*x*的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线*x*＝－6．
如图4，当－8≤*x*≤0时，4≤*S*≤13．所以面积的值为整数的个数为10．
当*S*＝12时，方程的两个解－8, －4都在－8≤*x*≤0范围内．
所以"使△*PDE*的面积为整数" 的 "好点"*P*共有11个．
图4
**例2 2014年昆明市中考第23题**
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线*y*＝*ax*^2^＋*bx*－3（*a*≠0）与*x*轴交于*A*(－2, 0)、*B*(4, 0)两点，与*y*轴交于点*C*．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点*P*从点*A*出发，在线段*AB*上以每秒3个单位长度的速度向点*B*运动，同时点*Q*从点*B*出发，在线段*BC*上以每秒1个单位长度的速度向点*C*运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△*PBQ*存在时，求运动多少秒时△*PBQ*的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△*PBQ*的面积最大时，在*BC*下方的抛物线上存在点*K*，使*S*~△*CBK*~∶*S*~△*PBQ*~＝5∶2，求点*K*的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名"14昆明23"，拖动点*P*从*A*向*B*运动，可以体验到，当*P*运动到*AB*的中点时，△*PBQ*的面积最大．双击按钮"△*PBQ*面积最大"，再拖动点*K*在*BC*下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为2.5．
思路点拨
1．△*PBQ*的面积可以表示为*t*的二次函数，求二次函数的最小值．
2．△*PBQ*与△*PBC*是同高三角形，△*PBC*与△*CBK*是同底三角形，把△*CBK*与△*PBQ*的比转化为△*CBK*与△*PBC*的比．
满分解答
（1）因为抛物线与*x*轴交于*A*(－2, 0)、*B*(4, 0)两点，所以*y*＝a(*x*＋2)(*x*－4)．
所以－8*a*＝－3．解得．
所以抛物线的解析式为．
（2）如图2，过点*Q*作*QH*⊥*x*轴，垂足为*H*．
在Rt△*BCO*中，*OB*＝4，*OC*＝3，所以*BC*＝5，sin*B*＝．
在Rt△*BQH*中，*BQ*＝*t*，所以*QH*＝*BQ*sin*B*＝t．
所以*S*~△*PBQ*~＝．
因为0≤*t*≤2，所以当*t*＝1时，△*PBQ*的面积最大，最大面积是。
（3）当△*PBQ*的面积最大时，*t*＝1，此时*P*是*AB*的中点，*P*(1, 0)，*BQ*＝1。
如图3，因为△*PBC*与△*PBQ*是同高三角形，*S*~△*PBC*~∶*S*~△*PBQ*~＝*BC*∶*BQ*＝5∶1。
当*S*~△*CBK*~∶*S*~△*PBQ*~＝5∶2时，*S*~△*PBC*~∶*S*~△*CBK*~＝2∶1。
因为△*PBC*与△*CBK*是同底三角形，所以对应高的比为2∶1。
如图4，过*x*轴上的点*D*画*CB*的平行线交抛物线于*K*，那么*PB*∶*DB*＝2∶1。
因为点*K*在*BC*的下方，所以点*D*在点*B*的右侧，点*D*的坐标为．
过点*K*作*KE*⊥*x*轴于*E*．设点*K*的坐标为．
由，得．整理，得*x*^2^－4*x*＋3＝0．
解得*x*＝1，或*x*＝3．所以点*K*的坐标为或．
图2 图3 图4
考点伸展
第（3）题也可以这样思考：
由*S*~△*CBK*~∶*S*~△*PBQ*~＝5∶2，*S*~△*PBQ*~＝，得*S*~△*CBK*~＝．
如图5，过点*K*作*x*轴的垂线交*BC*于*F*．设点*K*的坐标为．
由于点*F*在直线*BC*：上．所以点*F*的坐标为．
所以*KF*＝．
△*CBK*被*KF*分割为△*CKF*和△*BKF*，他们的高的和为*OB*＝4．
所以*S*~△*CBK*~＝．解得*x*＝1，或*x*＝3．
图5
**例3 2013年苏州市中考第29题**
如图1，已知抛物线（*b*、*c*是常数，且*c*＜0）与*x*轴交于*A*、*B*两点（点*A*在点*B*的左侧），与*y*轴的负半轴交于点*C*，点*A*的坐标为(－1,0)．
（1）*b*＝\_\_\_\_\_\_，点*B*的横坐标为\_\_\_\_\_\_\_（上述结果均用含*c*的代数式表示）；
（2）连结*BC*，过点*A*作直线*AE*//*BC*，与抛物线交于点*E*．点*D*是*x*轴上一点，坐标为(2,0)，当*C*、*D*、*E*三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点*P*是*x*轴下方的抛物线上的一动点，连结*PB*、*PC*．设△*PBC*的面积为*S*．
①求*S*的取值范围；
②若△*PBC*的面积*S*为正整数，则这样的△*PBC*共有\_\_\_\_\_个．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"13苏州29"，拖动点*C*在*y*轴负半轴上运动，可以体验到，△*EHA*与△*COB*保持相似．点击按钮"*C*、*D*、*E*三点共线"，此时△*EHD*∽△*COD*．拖动点*P*从*A*经过*C*到达*B*，数一数面积的正整数值共有11个．
请打开超级画板文件名"13苏州29"，拖动点*C*在*y*轴负半轴上运动，可以体验到，△*EHA*与△*COB*保持相似．点击按钮"*C*、*D*、*E*三点共线"，此时△*EHD*∽△*COD*．拖动点*P*从*A*经过*C*到达*B*，数一数面积的正整数值共有11个．
**思路点拨**
1．用*c*表示*b*以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现*OB*＝2*OC*．
2．当*C*、*D*、*E*三点共线时，△*EHA*∽△*COB*，△*EHD*∽△*COD*．
3．求△*PBC*面积的取值范围，要分两种情况计算，*P*在*BC*上方或下方．
4．求得了*S*的取值范围，然后罗列*P*从*A*经过*C*运动到*B*的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点*A*、*C*、*B*三个时刻的值．
**满分解答**
（1）*b*＝，点*B*的横坐标为－2*c*．
（2）由，设E．
过点*E*作*EH*⊥*x*轴于*H*．
由于*OB*＝2*OC*，当*AE*//*BC*时，*AH*＝2*EH*．
所以．因此．所以．
当*C*、*D*、*E*三点在同一直线上时，．所以．
整理，得2*c*^2^＋3*c*－2＝0．解得*c*＝－2或（舍去）．
所以抛物线的解析式为．
（3）①当*P*在*BC*下方时，过点*P*作*x*轴的垂线交*BC*于*F*．
直线*BC*的解析式为．
设，那么，．
所以*S*~△*PBC*~＝*S*~△*PBF*~＋*S*~△*PCF*~＝．
因此当*P*在*BC*下方时，△*PBC*的最大值为4．
当*P*在*BC*上方时，因为*S*△*ABC*＝5，所以*S*△*PBC*＜5．
综上所述，0＜*S*＜5．
②若△*PBC*的面积*S*为正整数，则这样的△*PBC*共有11个．
**考点伸展**
点*P*沿抛物线从*A*经过*C*到达*B*的过程中，△*PBC*的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．
当*P*在*BC*下方，*S*＝4时，点*P*在*BC*的中点的正下方，*F*是*BC*的中点．
**例4 2012年菏泽市中考第21题**
如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为*A*(0, 1)、*B*(2, 0)、*O*(0, 0)，将此三角板绕原点*O*逆时针旋转90°，得到三角形*A*′*B*′*O*．
（1）一抛物线经过点*A*′、*B*′、*B*，求该抛物线的解析式；
（2）设点*P*是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点*P*，使四边形*PB*′*A*′*B*的面积是△*A*′*B*′*O*面积的4倍？若存在，请求出点*P*的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，试指出四边形*PB*′*A*′*B*是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"12菏泽21"，拖动点*P*在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形*PB*′*A*′*B*是等腰梯形时，四边形*PB*′*A*′*B*的面积是△*A*′*B*′*O*面积的4倍．
请打开超级画板文件名"12菏泽21"，拖动点*P*在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形*PB*′*A*′*B*是等腰梯形时，四边形*PB*′*A*′*B*的面积是△*A*′*B*′*O*面积的4倍．
**思路点拨**
1．四边形*PB*′*A*′*B*的面积是△*A*′*B*′*O*面积的4倍，可以转化为四边形*PB*′*OB*的面积是
△*A*′*B*′*O*面积的3倍．
2．联结*PO*，四边形*PB*′*OB*可以分割为两个三角形．
3．过点向*x*轴作垂线，四边形*PB*′*OB*也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．
**满分解答**
（1）△*AOB*绕着原点*O*逆时针旋转90°，点*A*′、*B*′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)．
因为抛物线与*x*轴交于*A*′(－1, 0)、*B*(2, 0)，设解析式为*y*＝*a*(*x*＋1)(*x*－2)，
代入*B*′(0, 2)，得*a*＝1．
所以该抛物线的解析式为*y*＝－(*x*＋1)(*x*－2) ＝－*x*^2^＋*x*＋2．
（2）*S*~△*A*′*B*′*O*~＝1．
如果*S*~四边形*PB*′*A*′*B*~＝4 *S*~△*A*′*B*′*O*~＝4，那么*S*~四边形*PB*′*OB*~＝3 *S*~△*A*′*B*′*O*~＝3．
如图2，作*PD*⊥*OB*，垂足为*D*．
设点*P*的坐标为 (*x*，－*x*^2^＋*x*＋2)．
．
．
所以．
解方程－*x*^2^＋2*x*＋2＝3，得*x*~1~＝*x*~2~＝1．
所以点*P*的坐标为(1，2)．
图2 图3 图4
（3）如图3，四边形*PB*′*A*′*B*是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．
**考点伸展**
第（2）题求四边形*PB*′*OB*的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．
．
．
所以．
甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点*P*：
作△*A*′*OB*′关于抛物线的对称轴对称的△*BOE*，那么点*E*的坐标为(1，2)．
而矩形*EB*′*OD*与△*A*′*OB*′、△*BOP*是等底等高的，所以四边形*EB*′*A*′*B*的面积是△*A*′*B*′*O*面积的4倍．因此点*E*就是要探求的点*P*．
**例 5 2012年河南省中考第23题**
如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线*y*＝*ax*^2^＋*bx*－3交于*A*、*B*两点，点*A*在*x*轴上，点*B*的纵坐标为3．点*P*是直线*AB*下方的抛物线上的一动点（不与点*A*、*B*重合），过点*P*作*x*轴的垂线交直线*AB*于点*C*，作*PD*⊥*AB*于点*D*．
（1）求*a*、*b*及sin∠*ACP*的值；
（2）设点*P*的横坐标为*m*．
①用含*m*的代数式表示线段*PD*的长，并求出线段*PD*长的最大值；
②连结*PB*，线段*PC*把△*PDB*分成两个三角形，是否存在适合的*m*的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出*m*的值；若不存在，请说明理由．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"12河南23"，拖动点*P*在直线*AB*下方的抛物线上运动，可以体验到，*PD*随点*P*运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当*C*是*AB*的中点时，PD达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，也可以是10∶9．
**思路点拨**
1．第（1）题由于*CP*//*y*轴，把∠*ACP*转化为它的同位角．
2．第（2）题中，*PD*＝*PC*sin∠*ACP*，第（1）题已经做好了铺垫．
3．△*PCD*与△*PCB*是同底边*PC*的两个三角形，面积比等于对应高*DN*与*BM*的比．
4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．
满分解答
（1）设直线与*y*轴交于点*E*，那么*A*(－2,0)，*B*(4,3)，*E*(0,1)．
在Rt△*AEO*中，*OA*＝2，*OE*＝1，所以．所以．
因为*PC*//*EO*，所以∠*ACP*＝∠*AEO*．因此．
将*A*(－2,0)、*B*(4,3)分别代入*y*＝*ax*^2^＋*bx*－3，得
解得，．
（2）由，，
得．
所以．
所以*PD*的最大值为．
（3）当*S*~△*PCD*~∶*S*~△*PCB*~＝9∶10时，；
当*S*~△*PCD*~∶*S*~△*PCB*~＝10∶9时，．
图2
**考点伸展**
第（3）题的思路是：△*PCD*与△*PCB*是同底边*PC*的两个三角形，面积比等于对应高*DN*与*BM*的比．
而，
*BM*＝4－*m*．
①当*S*~△*PCD*~∶*S*~△*PCB*~＝9∶10时，．解得．
②当*S*~△*PCD*~∶*S*~△*PCB*~＝10∶9时，．解得．
**例 6 2011年南通市中考第28题**
如图1，直线***l***经过点***A***(1，0)，且与双曲线(*x*＞0)交于点***B***(2，1)．过点(*p*＞1)作***x***轴的平行线分别交曲线(*x*＞0)和(*x*＜0)于***M***、***N***两点．
（1）求***m***的值及直线***l***的解析式；
（2）若点***P***在直线***y***＝2上，求证：**△*PMB*∽△*PNA*；**
（3）是否存在实数***p***，使得***S*~△*AMN*~**＝4***S*~△*AMP*~**？若存在，请求出所有满足条件的***p***的值；若不存在，请说明理由．
**图1**
**动感体验**
请打开几何画板文件名"11南通28"，拖动点*P*在射线AB上运动，可以体验到，当直线MN经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN和△AMP是两个同高的三角形，MN＝4MP存在两种情况．
**思路点拨**
1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．
2．第（3）题把***S*~△*AMN*~**＝4***S*~△*AMP*~**转化为*MN*＝4*MP*，按照点*M*与线段*NP*的位置关系分两种情况讨论．
**满分解答**
（1）因为点***B***(2，1)在双曲线上，所以*m*＝2．设直线***l***的解析式为，代入点*A*(1，0)和点*B*(2，1)，得 解得 所以直线***l***的解析式为．
（2）由点(*p*＞1)的坐标可知，点*P*在直线上x轴的上方．如图2，当***y***＝2时，点*P*的坐标为(3，2)．此时点*M*的坐标为(1，2)，点*N*的坐标为(－1，2)．
由*P*(3，2)、*M*(1，2)、***B***(2，1)三点的位置关系，可知△*PMB*为等腰直角三角形．
由*P*(3，2)、*N*(－1，2)、***A***(1，0)三点的位置关系，可知△*PNA*为等腰直角三角形．
所以**△*PMB*∽△*PNA***．
图2 图3 图4
（3）△*AMN*和△*AMP*是两个同高的三角形，底边*MN*和*MP*在同一条直线上．
当***S*~△*AMN*~**＝4***S*~△*AMP*~**时，*MN*＝4*MP*．
①如图3，当*M*在*NP*上时，*x~M~*－*x~N~*＝4(*x~P~*－*x~M~*)．因此．解得或（此时点*P*在*x*轴下方，舍去）．此时．
②如图4，当*M*在*NP*的延长线上时，*x~M~*－*x~N~*＝4(*x~M~*－*x~P~*)．因此．解得或（此时点*P*在*x*轴下方，舍去）．此时．
**考点伸展**
**在本题情景下，△***AMN***能否成为直角三角形？**
**情形一，如图5，∠***AMN***＝90°，此时点***M***的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）**．
**情形二，如图6，∠***MAN***＝90°，此时斜边***MN***上的中线等于斜边的一半**．
不存在**∠***ANM***＝90°的情况**．
图5 图6
**例7 2010年广州市中考第25题**
如图1，四边形*OABC*是矩形，点*A*、*C*的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点*D*是线段*BC*上的动点（与端点*B*、*C*不重合），过点*D*作直线交折线*OAB*于点*E*．
（1）记△*ODE*的面积为*S*，求*S*与*b*的函数关系式；
（2）当点*E*在线段*OA*上时，若矩形*OABC*关于直线*DE*的对称图形为四边形*O*~1~*A*~1~*B*~1~*C*~1~，试探究四边形*O*~1~*A*~1~*B*~1~*C*~1~与矩形*OABC*的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"10广州25"，拖动点*D*由*C*向*B*运动，观察*S*随*b*变化的函数图象，可以体验到，*E*在*OA*上时，*S*随*b*的增大而增大；*E*在*AB*上时，*S*随*b*的增大而减小．双击按钮"第（3）题"，拖动点*D*由*C*向*B*运动，可以观察到，*E*在*OA*上时，重叠部分的形状是菱形，面积不变．双击按钮"第（2）题"可以切换．
**思路点拨**
1．数形结合，用*b*表示线段*OE*、*CD*、*AE*、*BE*的长．
2．求△*ODE*的面积，要分两种情况．当*E*在*OA*上时，*OE*边对应的高等于*OC*；当*E*在*AB*边上时，要利用割补法求△*ODE*的面积．
3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．
4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．
**满分解答**
(1)①如图2，当*E*在*OA*上时，由可知，点*E*的坐标为(2*b*,0)，*OE*＝2*b*．此时*S*＝*S*~△*ODE*~＝．
②如图3，当*E*在*AB*上时，把*y*＝1代入可知，点*D*的坐标为(2*b*－2,1)，*CD*＝2*b*－2，*BD*＝5－2*b*．把*x*＝3代入可知，点*E*的坐标为，AE＝，BE＝．此时
*S*＝*S*矩形*OABC*－*S*△*OAE*－ *S*△*BDE* －*S*△*OCD*
＝
．
(2)如图4，因为四边形*O*~1~*A*~1~*B*~1~*C*~1~与矩形*OABC*关于直线*DE*对称，因此*DM*＝*DN*，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形*DMEN*是菱形．
作*DH*⊥*OA*，垂足为*H*．由于*CD*＝2*b*－2，*OE*＝2*b*，所以*EH*＝2．
设菱形*DMEN*的边长为*m*．在Rt△*DEH*中，*DH*＝1，*NH*＝2－*m*，*DN*＝*m*，所以1^2^＋(2－*m*)^2^＝*m*^2^．解得．所以重叠部分菱形*DMEN*的面积为．
  
图2 图3 图4
**考点伸展**
把本题中的矩形*OABC*绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为，如图7所示．
  
图5 图6 图7
**1.7 因动点产生的相切问题**
**例 1 2015年上海市闵行区中考模拟第24题**
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线*y*＝*ax*^2^－2*ax*－4与*x*轴交于*A*、*B*两点，与*y*轴交于点*C*，其中点*A* 的坐标为(－3,0)，点*D*在线段*AB*上，*AD*＝*AC*．
（1）求这条抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴；
（2）如果以*DB*为半径的⊙*D*与⊙*C*外切，求⊙*C*的半径；
（3）设点*M*在线段*AB*上，点*N*在线段*BC*上，如果线段*MN*被直线*CD*垂直平分，求的值．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"15闵行24"，拖动点*N*在*BC*上运动，可以体验到，当*DC*垂直平分*MN*时，∠*NDC*＝∠*ADC*＝∠*ACD*，此时*DN*//*AC*．
**思路点拨**
1．准确描绘*A*、*B*、*C*、*D*的位置，把相等的角标注出来，利于寻找等量关系．
2．第（3）题在图形中模拟比划*MN*的位置，近似*DC*垂直平分*MN*时，把新产生的等角与前面存在的等角对比，思路就有了．
**满分解答**
（1）将点*A*(－3,0)代入*y*＝*ax*^2^－2*ax*－4，得15*a*－4＝0．
解得．所以抛物线的解析式为．
抛物线的对称轴为直线*x*＝1．
（2）由，得*B*(5, 0)，*C*(0,－4)．
由*A*(－3,0)、*B*(5, 0)、*C*(0,－4)，得 *AB*＝8，*AC*＝5．
当*AD*＝*AC*＝5时，⊙*D*的半径*DB*＝3．
由*D*(2, 0)、*C*(0,－4)，得*DC*＝．
因此当⊙*D*与⊙*C*外切时，⊙*C*的半径为（如图2所示）．
（3）如图3，因为*AD*＝*AC*，所以∠*ACD*＝∠*ADC*．
如果线段*MN*被直线*CD*垂直平分，那么∠*ADC*＝∠*NDC*．
这时∠*ACD*＝∠*NDC*．所以*DN*//*AC*．
于是．
图2 图3
**考点伸展**
解第（3）题画示意图的时候，容易误入歧途，以为*M*就是点*O*．这是为什么呢？
我们反过来计算：
当*DN*//*AC*，时，，因此*DM*＝*DN*＝．
而*DO*＝2，你看*M*、*O*相距是多么的近啊．
放大还原事实的真相，如图4所示．
图4
**例2 2014年上海市徐汇区中考模拟第25题**
已知*OA*＝5，sin∠*O*＝，点*D*为线段*OA*上的动点，以*A*为圆心、*AD*为半径作⊙*A*．
（1）如图1，若⊙*A*交∠*O*于*B*、*C*两点，设*OD*＝*x*，*BC*＝*y*，求*y*关于*x*的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）将⊙*A*沿直线*OB*翻折后得到⊙*A*′．
①若⊙*A*′与直线*OA*相切，求*x*的值；
②若⊙*A*′与以*D*为圆心、*DO*为半径的⊙*D*相切，求*x*的值．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"14徐汇25"，拖动点*D*运动，可以体验到，⊙*A*′可以与直线*OA*相切于点*H*，⊙*A*′与⊙*D*可以外切一次，不能内切．
**思路点拨**
1．把不变的量先标记出来，圆心*A*到直线*OB*的距离*AE*＝3，翻折以后的圆心*A*′的位置不变，*AA*′＝2*AE*＝6．
2．若⊙*A*′与直线*OA*相切，那么圆心*A*′到直线*OA*的距离等于圆的半径，由此自然就构造出垂线，以*AA*′为斜边的直角三角形的三边长就是确定的．
3．探究两圆相切，在罗列三要素*R*、*r*、*d*的过程中，发现先要突破圆心距*A*′*D*．
**满分解答**
（1）如图2，作*AE*⊥*BC*，垂足为*E*，那么*E*是*BC*的中点．
在Rt△*OAE*中，*OA*＝5，sin∠*O*＝，所以*AE*＝3．
在Rt△*BAE*中，*AB*＝*AD*＝5－*x*，*AE*＝3，*BE*＝，
由勾股定理，得．
整理，得．定义域是0≤*x*＜2．
图2 图3
（2）①如图3，将⊙*A*沿直线*OB*翻折后得到⊙*A*′，*AA*′＝2*AE*＝6．
作*A*′*H*⊥*OA*，垂足为*H*．
在Rt△*A*′*AH*中，*AA*′＝6，sin∠*A*′＝，所以*AH*＝，*A*′*H*＝．
若⊙*A*′与直线*OA*相切，那么半径等于*A*′*H*．
解方程，得．
②如图4，在Rt△*A*′*DH*中，．
对于⊙*A*′，*R*＝5－*x*；对于⊙*D*，*r*＝*DO*＝*x*；圆心距*d*＝*A*′*D*．
如果两圆外切，由*d*＝*R*＋*r*，得．解得（如图4）．
如果两圆内切，由*d*＝\|*R*－*r*\|，得．
解得．所以两圆不可能内切．
图4 图5
**考点伸展**
当*D*为*OA*的中点时，⊙*A*′与以*D*为圆心、*DA*为半径的⊙*D*是什么位置关系？
⊙*A*′和⊙*D*等圆，*R*＝，两圆不可能内切．
当*D*为*OA*的中点时，*DH*＝*AH*－*AD*＝．
此时．因此两圆的半径和大于圆心距，此时两圆是相交的（如图5）．
**例3 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题**
如图1，已知⊙*O*的半径长为3，点*A*是⊙*O*上一定点，点*P*为⊙*O*上不同于点*A*的动点．
（1）当时，求*AP*的长；
（2）如果⊙*Q*过点*P*、*O*，且点*Q*在直线*AP*上（如图2），设*AP*＝*x*，*QP*＝*y*，求*y*关于*x*的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）在（2）的条件下，当时（如图3），存在⊙*M*与⊙*O*相内切，同时与⊙*Q*相外切，且*OM*⊥*OQ*，试求⊙*M*的半径的长．
图1 图2 图3
**动感体验**
请打开几何画板文件名"13杨浦25"，拖动点*P*在⊙*O*上运动，可以体验到，等腰三角形*QPO*与等腰三角形*OAP*保持相似，*y*与*x*成反比例．⊙*M*、⊙*O*和⊙*Q*三个圆的圆心距围成一个直角三角形．
请打开超级画板文件名"13杨浦25"，拖动点*P*在⊙*O*上运动，可以体验到， *y*与*x*成反比例．拖动点P使得，拖动点M使得⊙*M*的半径约为0.82，⊙*M*与⊙*O*相内切，同时与⊙*Q*相外切．拖动点P使得，拖动点M使得⊙*M*的半径约为9，⊙*M*与⊙*O*、⊙*Q*都内切．
**思路点拨**
1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．
2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．
3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程．
**满分解答**
（1）如图4，过点*O*作*OH*⊥*AP*，那么*AP*＝2*AH*．
在Rt△*OAH*中，*OA*＝3，，设*OH*＝*m*，*AH*＝2*m*，那么*m*^2^＋(2*m*)^2^＝3^2^．
解得．所以．
（2）如图5，联结*OQ*、*OP*，那么△*QPO*、△*OAP*是等腰三角形．
又因为底角∠*P*公用，所以△*QPO*∽△*OAP*．
因此，即．
由此得到．定义域是0＜*x*≤6．
图4 图5
（3）如图6，联结*OP*，作*OP*的垂直平分线交*AP*于*Q*，垂足为*D*，那么*QP*、*QO*是⊙*Q*的半径．
在Rt△*QPD*中，，，因此．
如图7，设⊙*M*的半径为*r*．
由⊙*M*与⊙*O*内切，，可得圆心距*OM*＝3－*r*．
由⊙*M*与⊙*Q*外切，，可得圆心距．
在Rt△*QOM*中，，*OM*＝3－*r*，，由勾股定理，得
．解得．
图6 图7 图8
**考点伸展**
如图8，在第（3）题情景下，如果⊙*M*与⊙*O*、⊙*Q*都内切，那么⊙*M*的半径是多少？
同样的，设⊙*M*的半径为*r*．
由⊙*M*与⊙*O*内切，，可得圆心距*OM*＝*r*－3．
由⊙*M*与⊙*Q*内切，，可得圆心距．
在Rt△*QOM*中，由勾股定理，得．解得*r*＝9．
**1.8 因动点产生的线段和差问题**
**例 1 2015年福州市中考第26题**
如图1，抛物线*y*＝*x*^2^－4*x*与*x*轴交于*O*、*A*两点，*P*为抛物线上一点，过点*P*的直线
*y*＝*x*＋*m*与抛物线的对称轴交于点*Q*．
（1）这条抛物线的对称轴是\_\_\_\_\_\_\_\_\_，直线*PQ*与*x*轴所夹锐角的度数是\_\_\_\_\_\_；
（2）若两个三角形的面积满足*S*~△*OQP*~＝*S*~△*PAQ*~，求*m*的值；
（3）当点*P*在*x*轴下方的抛物线上时，过点*C*(2, 2)的直线*AC*与直线*PQ*交于点*D*，求：
①*PD*＋*DQ*的最大值；②*PD*·*DQ*的最大值．
图
**动感体验**
请打开几何画板文件名"15福州26"，拖动点*P*在抛物线上运动，可以体验到，*OH*∶*AH*＝1∶3存在两种情况．点击屏幕左下角的按钮"第（3）题"，拖动点*P*在*x*轴下方的抛物线上运动，观察图像"＋随*P*"和"×随*P*"，可以体验到，当点*P*运动到抛物线的顶点时，点*P*与点*Q*重合，此时*PD*＋*QD*最大，*PD*·*QD*也最大．
**思路点拨**
1．第（2）题△*OQP*与△*PAQ*是同底三角形，把面积比转化为对应高的比，进而确定线段*OA*的分点的位置，从而得到直线*PQ*与*y*轴的交点坐标．
2．第（3）题中，△*CQD*保持等腰直角三角形的形状．
**满分解答**
（1）抛物线的对称轴为直线*x*＝2，直线*PQ*与*x*轴的夹角为45°．
（2）因为△*OQP*与△*PAQ*有公共边*PQ*，所以它们的面积比等于对应高的比．
如图2，作*OM*⊥*PQ*于*M*，*AN*⊥*PQ*于*N*．
当*S*~△*OQP*~＝*S*~△*PAQ*~时，．
设直线*PQ*与*x*轴交于点*H*，那么．
由*y*＝*x*^2^－4*x*＝*x*(*x*－4)，得*A*(4, 0)．所以*OA*＝4．
①如图2，当点*H*在线段*OA*上时，*OH*＝1，*H*(1, 0)．此时*m*＝－1．
②如图3，当点*H*在*AO*的延长线上时，*OH*＝2，*H*(－2, 0)．此时*m*＝2．
（3）①如图4，由*A*(4, 0)、*C*(2, 2)，得直线*AC*与*x*轴的夹角为45°，点*C*在抛物线的对称轴上．
又因为直线*PQ*与*x*轴的夹角为45°，所以△*CDQ*是等腰直角三角形．
作点*Q*关于直线*AC*的对称点*Q*′，那么△*CQQ*′是等腰直角三角形，*CQ*′//*x*轴．
所以*DQ*＝*DQ*′．因此*PD*＋*DQ*＝*PD*＋*DQ*′＝*PQ*′．
作*PP*′⊥*CQ*′，垂足为*P*′，那么△*PP*′*Q*′是等腰直角三角形．
因此当*PP*′最大时，*PQ*′也最大．
当点*P*运动到抛物线的顶点(2,－4)时，*PP*′最大，最大值*PP*′＝6．
此时*PQ*′的最大值为，即*PD*＋*DQ*的最大值为．
图2 图3 图4
②由于*PD*＋*DQ*≤，设*PD*＝*a*，那么*DQ*≤．
因此*PD*·*QD*≤． 所以当*a*＝时，*PD*·*QD*的最大值为18．此时*PD*＝*DQ*＝，*P*、*Q*两点重合于抛物线的顶点．
**考点伸展**
第（3）①题可以用代数法来解：
因为点*P*在抛物线*y*＝*x*^2^－4*x*上，设*P*(*n*, *n*^2^－4*n*)．
将*P*(*n*, *n*^2^－4*n*)代入直线*y*＝*x*＋*m*，可得*m*＝*n*^2^－5*n*．
所以直线*PQ*可以表示为*y*＝*x*＋*n*^2^－5*n*，那么*Q*(2, 2＋*n*^2^－5*n*)．
联立直线*AC*：*y*＝－*x*＋4和直线*PQ*：*y*＝*x*＋*n*^2^－5*n*，可得2*x~D~*＝4－*n*^2^＋5*n*．
于是*PD*＋*DQ*＝＝
＝．
所以当*n*＝2时，*PD*＋*DQ*的最大值为．当*n*＝2时点*P*在抛物线的顶点．
**例2 2014年广州市中考第24题**
已知平面直角坐标系中两定点*A*(－1, 0)、*B*(4, 0)，抛物线*y*＝*ax*^2^＋*bx*－2（*a*≠0）过点*A*、*B*，顶点为*C*，点*P*(*m*, *n*)（*n*＜0）为抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点*C*的坐标；
（2）当∠*APB*为钝角时，求*m*的取值范围；
（3）若*m*＞，当∠*APB*为直角时，将该抛物线向左或向右平移*t*（0＜*t*＜）个单位，点*C*、*P*平移后对应的点分别记为*C*′、*P*′，是否存在*t*，使得顺次首尾连接*A*、*B*、*P*′、*C*′所构成的多边形的周长最短？若存在，求*t*的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．
**动感体验**
请打开几何画板文件名"14广州24"，拖动点*C*′左右移动，可以体验到，点*B*′、*B*′′的位置是确定不动的，这是因为点*P*、*C*是确定不动的，*BB*′、*P*′*C*′、*PC*平行且相等．当点*C*′落在线段*AB*′′上时，四边形的周长最小．
**思路点拨**
1．要探求∠*APB*为钝角时点*P*的范围，需要先找到∠*APB*为直角时点*P*的位置．
2．直径的两个端点与圆内一点围成的三角形是钝角三角形．
3．求两条线段的和最小，是典型的"牛喝水"问题．本题的四条线段中，有两条的长是定值，把不定的两条线段通过"平行且相等"连接起来，就转化为"牛喝水"问题．
**满分解答**
（1）因为抛物线*y*＝*ax*^2^＋*bx*－2与*x*轴交于*A*(－1, 0)、*B*(4, 0)两点，
所以*y*＝*a*(*x*＋1)(*x*－4)＝*ax*^2^－3*ax*－4*a*．
所以－4*a*＝－2，*b*＝－3*a*．所以，．
所以。
顶点为．
（2）如图1，设抛物线与*y*轴的交点为*D*．
由*A*(－1, 0)、*B*(4, 0)、*D*(0,－2)，可知．
所以△*AOD*∽△*DOB*．因此∠*ADO*＝∠*DBO*．
由于∠*DBO*与∠*BDO*互余，所以∠*ADO*与∠*BDO*也互余． 图1
于是可得∠*ADB*＝90°．因此以*AB*为直径的圆经过点*D*．
当点*P*在*x*轴下方圆的内部时，∠*APB*为钝角，此时－1＜*m*＜0，或3＜*m*＜4．
（3）若*m*＞，当∠*APB*为直角时，点*P*与点*D*关于抛物线的对称轴对称，因此点*P*的坐标为(3,－2)．
如图2，由于点*A*、*B*、*P*、*C*是确定的，*BB*′、*P*′*C*′、*PC*平行且相等，所以*A*、*B*、*P*′、*C*′四点所构成的四边形中，*AB*和*P*′*C*′的长是确定的．
如图3，以*P*′*C*′、*P*′*B*为邻边构造平行四边形*C*′*P*′*BB*′，以直线为对称轴作点*B*′的对称点*B*′′，联结*AB*′′，那么*AC*′＋*P*′*B*的长最小值就是线段*AB*′′。
如图4，线段*AB*′′与直线的交点，就是四边形周长最小时点*C*′的位置．
如图2，点*P*(3,－2)先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，
如图3，点*B*(4, 0) 先向左平移个单位，再向下平移个单位得到点．
所以点*B*′′的坐标为．
如图4，由，得．解得．
由于，所以抛物线向左平移了个单位．
图2 图3 图4
**考点伸展**
第（2）题不可回避要证明∠*ADB*＝90°，也可以根据勾股定理的逆定理证明．
由*A*(－1, 0)、*B*(4, 0)、*D*(0,－2)，得*AB*^2^＝25，*AD*^2^＝5， *BD*^2^＝20．
所以*AB*^2^＝*AD*^2^＋*BD*^2^．所以∠*ADB*＝90°．
第（3）题的运算量实在是太大了，很容易折磨同学们的自信．
求点*B*′的坐标，我们用了坐标平移的方法，比较简便．
求点*C*′的坐标，我们用了相似比的方法，回避了待定系数法更为繁琐的计算过程．
**例3 2013年天津市中考第25题**
在平面直角坐标系中，已知点*A*(－2,0)，*B*(0,4)，点*E*在*OB*上，且∠*OAE*＝∠*OBA*．
（1）如图1，求点*E*的坐标；
（2）如图2，将△*AEO*沿*x*轴向右平移得到△*AE*′*O*′，连结*A*′*B*、*BE*′．
①设*AA*′＝*m*，其中0＜*m*＜2，使用含*m*的式子表示*A*′*B*^2^＋*BE*′^2^，并求出使*A*′*B*^2^＋*BE*′^2^取得最小值时点*E*′的坐标；
②当*A*′*B*＋*BE*′取得最小值时，求点*E*′的坐标（直接写出结果即可）．
图1 图2
**动感体验**
请打开几何画板文件名"13天津25"，拖动点*A*′在线段*AO*上运动，可以体验到，当*A*′运动到*AO*的中点时，*A*′*B*^2^＋*BE*′^2^取得最小值．当*A*′、*B*、*E*′′三点共线时，*A*′*B*＋*BE*′取得最小值．
请打开超级画板文件名"13天津25"，拖动点*A*′在线段*AO*上运动，可以体验到，当*A*′运动到*AO*的中点时，*A*′*B*^2^＋*BE*′^2^取得最小值．当*A*′、*B*、*E*′′三点共线时，*A*′*B*＋*BE*′取得最小值．
**思路点拨**
1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，*EE*′＝*AA*′＝*m*．
2．求*A*′*B*^2^＋*BE*′^2^的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于*m*的式子．
3．求*A*′*B*＋*BE*′的最小值，第一感觉是典型的"牛喝水"问题------轴对称，两点之间线段最短．
**满分解答**
（1）由∠*OAE*＝∠*OBA*，∠*AOE*＝∠*BOA*，得△*AOE*∽△*BOA*．
所以．因此．
解得*OE*＝1．所以*E*(0,1)．
（2）①如图3，在Rt△*A*′*OB*中，*OB*＝4，*OA*′＝2－*m*，所以*A*′*B*^2^＝16＋(2－*m*)^2^．
在Rt△*BEE*′中，*BE*＝3，*EE*′＝*m*，所以*BE*′^2^＝9＋*m*^2^．
所以*A*′*B*^2^＋*BE*′^2^＝16＋(2－*m*)^2^＋9＋*m*^2^＝2(*m*－1)^2^＋27．
所以当*m*＝1时，*A*′*B*^2^＋*BE*′^2^取得最小值，最小值为27．
此时点*A*′是*AO*的中点，点*E*′向右平移了1个单位，所以*E*′(1,1)．
②如图4，当*A*′*B*＋*BE*′取得最小值时，求点*E*′的坐标为．
图3 图4
**考点伸展**
第（2）②题这样解：如图4，过点*B*作*y*轴的垂线*l*，作点*E*′关于直线*l*的对称点*E*′′，
所以*A*′*B*＋*BE*′＝*A*′*B*＋*BE*′′．
当*A*′、*B*、*E*′′三点共线时，*A*′*B*＋*BE*′′取得最小值，最小值为线段*A*′*E*′′．
在Rt△*A*′*O*′*E*′′中，*A*′*O*′＝2，*O*′*E*′′＝7，所以*A*′*E*′′＝．
当*A*′、*B*、*E*′′三点共线时，．所以．
解得．此时．
**例4 2012年滨州市中考第24题**
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*经过*A*(－2, －4 )、*O*(0, 0)、
*B*(2, 0)三点．
（1）求抛物线*y*＝*ax*^2^＋*bx*＋*c*的解析式；
（2）若点*M*是该抛物线对称轴上的一点，求*AM*＋*OM*的最小值．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"12滨州24"，拖动点M在抛物线的对称轴上运动（如图2），可以体验到，当*M*落在线段*AB*上时，根据两点之间线段最短，可以知道此时*AM*＋*OM*最小（如图3）．
请打开超级画板文件名"12滨州24"，拖动点M， *M*落在线段*AB*上时， *AM*＋*OM*最小．
**答案** （1）。 （2）*AM*＋*OM*的最小值为．
图2 图3
第二部分 函数图象中点的存在性问题
**2.1 由比例线段产生的函数关系问题**
**例1 2015年呼和浩特市中考第25题**
已知抛物线*y*＝*x*^2^＋(2*m*－1)*x*＋*m*^2^－1经过坐标原点，且当＜0时，*y*随*x*的增大而减小。
（1）求抛物线的解析式，并写出*y* \< 0时，对应*x*的取值范围；
（2）设点*A*是该抛物线上位于*x*轴下方的一个动点，过点*A*作*x*轴的平行线交抛物线于另一点*D*，再作*AB*⊥*x*轴于点*B*， *DC*⊥*x*轴于点*C.*
①当*BC*＝1时，直接写出矩形*ABCD*的周长；
②设动点*A*的坐标为(*a*, *b*)，将矩形*ABCD*的周长*L*表示为*a*的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点*A*的坐标；如果不存在，请说明理由．
**动感体验**
请打开几何画板文件名"15呼和浩特25"，拖动点*A*在*x*轴下方的抛物线上运动，观察*L*随*a*变化的图像，可以体验到，有两个时刻，*L*取得最大值，这两个时刻的点*A*关于抛物线的对称轴对称．
**思路点拨**
1．先用含*a*的式子表示线段*AB*、*AD*的长，再把*L*表示为*a*的函数关系式．
2．点*A*与点*D*关于抛物线的对称轴对称，根据对称性，点*A*的位置存在两个情况．
**满分解答**
（1）因为抛物线*y*＝*x*^2^＋(2*m*－1)*x*＋*m*^2^－1经过原点，所以*m*^2^－1＝0．解得*m*＝±1。
如图1，当*m*＝1时，抛物线*y*＝*x*^2^＋*x*的对称轴在*y*轴左侧，不符合当*x*＜0时，*y*随*x*的增大而减小。
当*m*＝－1时，抛物线*y*＝*x*^2^－3*x*符合条件。
图1 图2 图3
（2）①当*BC*＝1时，矩形*ABCD*的周长为6。
②如图2，抛物线*y*＝*x*^2^－3*x*的对称轴为直线，如果点*A*在对称轴的左侧，那么。
解得。所以*AD*＝3－2*a*。
当*x*＝*a*时，*y*＝*x*^2^－3*x*＝*a*^2^－3*a*。所以*AB*＝3*a*－*a*^2^。
所以*L*＝矩形*ABCD*的周长＝*2*(*AB*＋*AD*)＝2(3*a*－*a*^2^＋3－2*a*)＝。
因此当时，*L*的最大值为。此时点*A*的坐标为。
如图3，根据对称性，点*A*的坐标也可以是。
**考点伸展**
第（2）①题的思路是：如图2，抛物线的对称轴是直线，当*BC*＝1时，点B的坐标为(1, 0)，此时点*A*的横坐标为1，可以求得*AB*＝2。
第（2）②题中，*L*随*a*变化的图像如图4所示。
图4
**例2 2014年上海市静安区中考模拟第24题**
已知⊙*O*的半径为3，⊙*P*与⊙*O*相切于点*A*，经过点*A*的直线与⊙*O*、⊙*P*分别交于点*B*、*C*，cos∠*BAO*＝．设⊙*P*的半径为*x*，线段*OC*的长为*y*．
（1）求*AB*的长；
（2）如图1，当⊙*P*与⊙*O*外切时，求*y*与*x*之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）当∠*OCA*＝∠*OPC*时，求⊙*P*的半径．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"14静安24"，拖动圆心*P*运动，可以体验到，△*OAB*与△*PAC*保持相似，∠*OCA*的大小保持不变．两圆外切和内切，各存在一次∠*OPC*＝∠*OCA*．从图像中可以体验到，当两圆外切时，*y*随*x*的增大而增大．
**思路点拨**
1．第（1）题求弦*AB*的长，自然想到垂径定理或三线合一．
2．第（2）题构造直角三角形，使得*y*成为斜边长，再用勾股定理．
3．第（3）题两圆外切可以直接用第（2）的结论，两圆内切再具体分析．
4．不论两圆外切还是内切，两个等腰△*OAB*与△*PAC*相似．
**满分解答**
（1）如图2，作*OE*⊥*AB*，垂足为*E*，由垂径定理，得*AB*＝2*AE*．
在Rt△*AOE*中，cos∠*BAO*＝，*AO*＝3，所以*AE*＝1．所以*AB*＝2．
（2）如图2，作*CH*⊥*AP*，垂足为*H*．
由△*OAB*∽△*PAC*，得．所以．所以．
在Rt△*ACH*中，由cos∠*CAH*＝，得．
所以，．
在Rt△*OCH*中，由*OC*^2^＝*OH*^2^＋*CH*^2^，得．
整理，得．定义域为*x*＞0．
图2 图3
（3）①如图3，当⊙*P*与⊙*O*外切时，如果∠*OCA*＝∠*OPC*，那么△*OCA*∽△*OPC*．
因此．所以．
解方程，得．此时⊙*P*的半径为．
②如图4，图5，当⊙*P*与⊙*O*内切时，同样的△*OAB*∽△*PAC*，．
如图5，图6，如果∠*OCA*＝∠*OPC*，那么△*ACO*∽△*APC*．
所以．因此．
解方程，得．此时⊙*P*的半径为．
图4 图5 图6
**考点伸展**
第（3）题②也可以这样思考：
如图4，图5，图6，当∠*OCA*＝∠*OPC*时，3个等腰三角形△*OAB*、△*PAC*、△*CAO*都相似，每个三角形的三边比是3∶3∶2．
这样，△*CAO*的三边长为、、3．△*PAC*的三边长为、、．
**例3 2013年宁波市中考第26题**
如图1，在平面直角坐标系中，*O*为坐标原点，点*A*的坐标为(0,4)，点*B*的坐标为(4,0)，点*C*的坐标为(－4,0)，点*P*在射线*AB*上运动，连结*CP*与*y*轴交于点*D*，连结*BD*．过*P*、*D*、*B*三点作⊙*Q*，与*y*轴的另一个交点为*E*，延长*DQ*交⊙*Q*于*F*，连结*EF*、*BF*．
（1）求直线*AB*的函数解析式；
（2）当点*P*在线段*AB*（不包括*A*、*B*两点）上时．
①求证：∠*BDE*＝∠*ADP*；
②设*DE*＝*x*，*DF*＝*y*，请求出*y*关于*x*的函数解析式；
（3）请你探究：点*P*在运动过程中，是否存在以*B*、*D*、*F*为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点*P*的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"13宁波26"，拖动点*P*在射线*AB*上运动，可以体验到，△*DEF*保持等腰直角三角形的形状，*y*是*x*的一次函数．观察*BD*∶*BF*的度量值，可以体验到，*BD*∶*BF*可以等于2，也可以等于0.5．
请打开超级画板文件名"13宁波26"，拖动点*P*在射线*AB*上运动，可以体验到，△*DEF*保持等腰直角三角形的形状．观察*BD*∶*BF*的度量值，可以体验到，*BD*∶*BF*可以等于2，也可以等于0.5．
**答案**
（1）直线*AB*的函数解析式为*y*＝－*x*＋4．
（2）①如图2，∠*BDE*＝∠*CDE*＝∠*ADP*；
②如图3，∠*ADP*＝∠*DEP*＋∠*DPE*，如图4，∠*BDE*＝∠*DBP*＋∠*A*，
因为∠*DEP*＝∠*DBP*，所以∠*DPE*＝∠*A*＝45°．
所以∠*DFE*＝∠*DPE*＝45°．因此△*DEF*是等腰直角三角形．于是得到．
图2 图3 图4
（3）①如图5，当*BD*∶*BF*＝2∶1时，*P*(2,2)．思路如下：
由△*DMB*∽△*BNF*，知．
设*OD*＝2*m*，*FN*＝*m*，由*DE*＝*EF*，可得2*m*＋2＝4－*m*．解得．
因此．再由直线*CD*与直线*AB*求得交点*P*(2,2)．
②如图6，当*BD*∶*BF*＝1∶2时，*P*(8,－4)．思路同上．
图5 图6
**例4 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题**
在Rt△*ABC*中，∠*C*＝90°，*AC*＝6，，⊙*B*的半径长为1，⊙*B*交边*CB*于点*P*，点*O*是边*AB*上的动点．
> （1）如图1，将⊙*B*绕点*P*旋转180°得到⊙*M*，请判断⊙*M*与直线*AB*的位置关系；
（2）如图2，在（1）的条件下，当△*OMP*是等腰三角形时，求*OA*的长；
（3）如图3，点*N*是边*BC*上的动点，如果以*NB*为半径的⊙*N*和以*OA*为半径的⊙*O*外切，设*NB*＝*y*，*OA*＝*x*，求*y*关于*x*的函数关系式及定义域．
> 图1 图2 图3
**动感体验**
请打开几何画板文件名"12徐汇25"，拖动点*O*在*AB*上运动，观察△*OMP*的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点*O*和点*P*可以落在对边的垂直平分线上，点*M*不能．
请打开超级画板文件名"12徐汇25"， 分别点击"等腰"按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击"相切"按钮，可得*y*关于*x*的函数关系．
**思路点拨**
1．∠*B*的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．
2．分三种情况探究等腰△*OMP*，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．
3．探求*y*关于*x*的函数关系式，作△*OBN*的边*OB*上的高，把△*OBN*分割为两个具有公共直角边的直角三角形．
**满分解答**
1. 在Rt△*ABC*中，*AC*＝6，，
所以*AB*＝10，*BC*＝8．
过点*M*作*MD*⊥*AB*，垂足为*D*．
在Rt△*BMD*中，*BM*＝2，，所以．
因此*MD*＞*MP*，⊙*M*与直线*AB*相离． 图4
（2）①如图4，*MO*≥*MD*＞*MP*，因此不存在*MO*＝*MP*的情况．
②如图5，当*PM*＝*PO*时，又因为*PB*＝*PO*，因此△*BOM*是直角三角形．
在Rt△*BOM*中，*BM*＝2，，所以．此时．
③如图6，当*OM*＝*OP*时，设底边*MP*对应的高为*OE*．
在Rt△*BOE*中，*BE*＝，，所以．此时．
图5 图6
（3）如图7，过点*N*作*NF*⊥*AB*，垂足为*F*．联结*ON*．
当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以*ON*＝*x*＋*y*．
在Rt△*BNF*中，*BN*＝y，，，所以，．
在Rt△ONF中，，由勾股定理得*ON*^2^＝*OF*^2^＋*NF*^2^．
于是得到．
整理，得．定义域为0＜*x*＜5．
图7 图8
**考点伸展**
第（2）题也可以这样思考：
如图8，在Rt△*BMF*中，*BM*＝2，，．
在Rt△*OMF*中，*OF*＝，所以．
在Rt△*BPQ*中，*BP*＝1，，．
在Rt△*OPQ*中，OF＝，所以．
①当*MO*＝*MP*＝1时，方程没有实数根．
②当*PO*＝*PM*＝1时，解方程，可得
③当*OM*＝*OP*时，解方程，可得．
**2.2 由面积产生的函数关系问题**
**例1 2015年上海市徐汇区中考模拟第25题**
如图1，在Rt△*ABC*中，∠*ACB*＝90°，*AC*＝4，cos*A*＝，点*P*是边*AB*上的动点，以*PA*为半径作⊙*P*．
（1）若⊙*P*与*AC*边的另一个交点为*D*，设*AP*＝*x*，△*PCD*的面积为*y*，求*y*关于*x*的函数解析式，并直接写出函数的定义域；
（2）若⊙*P*被直线*BC*和直线*AC*截得的弦长相等，求*AP*的长；
（3）若⊙*C*的半径等于1，且⊙*P*与⊙*C*的公共弦长为，求*AP*的长．
图1 备用图
**动感体验**
请打开几何画板文件名"15徐汇25"，拖动点*P*在*AB*上运动，观察*MN*的度量值，可以体验到，*MN*≈1.41的时刻只有一个，*MN*与圆心距*CP*相交．
**思路点拨**
1．△*PCD*的底边*CD*上的高，就是弦*AD*对应的弦心距．
2．若⊙*P*被直线*BC*和直线*AC*截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．
3．⊙*C*的半径等于1，公共弦*MN*＝，那么△*CMN*是等腰直角三角形．在四边形*CMPN*中，利用勾股定理列关于*x*（⊙*P*的半径）的方程．
**满分解答**
（1）如图2，在Rt△*ABC*中， *AC*＝4，cos*A*＝，所以*AB*＝16，*BC*＝．
设弦*AD*对应的弦心距为*PE*，那么*AE*＝*AP*＝*x*，*PE*＝*AP*＝*x*．
所以*y*＝*S*~△*PCD*~＝＝＝．
定义域是0＜*x*＜8．
（2）若⊙*P*被直线*BC*和直线*AC*截得的弦长相等，那么对应的弦心距*PF*＝*PE*．
因此四边形*AEPF*是正方形（如图3），设正方形的边长为*m*．
由*S*~△*ABC*~＝*S*~△*ACP*~＋*S*~△*BCP*~，得*AC*·*BC*＝*m*(*AC*＋*BC*)．所以*m*＝＝．
此时*AE*＝＝，*AP*＝4*AE*＝．
图2 图3
（3）如图4，设⊙*C*与⊙*P*的公共弦为*MN*，*MN*与*CP*交于点*G*．
由于*CM*＝*CN*＝1，*MN*＝，所以△*CMN*是等腰直角三角形，*CG*＝*NG*＝．
如图5，作*CH*⊥*AB*于*H*，由*AC*＝4，那么*AH*＝1，*CH*^2^＝15．
所以*CP*＝＝．因此*PG*＝（如图4）．
如图4，在Rt△*PNG*中，由勾股定理，得．
整理，得2*x*^2^－64*x*＋257＝0．解得，（舍去）．
图4 图5
**考点伸展**
第（2）题也可以这样计算：由于*PF*＝*BP*＝，由*PE*＝*PF*，得．解得．
**例2 2014年黄冈市中考第25题**
如图1，在四边形*OABC*中，*AB*//*OC*，*BC*⊥*x*轴于点*C*，*A*(1,－1)，*B*(3,－1)，动点*P*从*O*出发，沿着*x*轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点*P*作*PQ*垂直于直线*OA*，垂足为*Q*．设点*P*移动的时间为*t*秒（0＜*t*＜2），△*OPQ*与四边形*OABC*重叠部分的面积为*S*．
（1）求经过*O*、*A*、*B*三点的抛物线的解析式，并确定顶点*M*的坐标；
（2）用含*t*的代数式表示点*P*、*Q*的坐标；
（3）如果将△*OPQ*绕着点*P*按逆时针方向旋转90°，是否存在*t*，使得△*OPQ*的顶点*O*或*Q*在抛物线上？若存在，请求出*t*的值；若不存在，请说明理由；
（4）求出*S*与*t*的函数关系式．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"14黄冈25"，拖动点*P*从*O*开始向右运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形．点*O*′和点*Q*′各有一次机会落在抛物线上．
**思路点拨**
1．△*OPQ*在旋转前后保持等腰直角三角形的形状．
2．试探取不同位置的点*P*，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论．
**满分解答**
（1）由*A*(1,－1)、*B*(3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线*x*＝1，点*O*关于直线*x*＝1的对称点为(4,0)．
于是可设抛物线的解析式为*y*＝*ax*(*x*－4)，代入点*A*(1,－1)，得－3*a*＝－1．
解得．所以．顶点*M*的坐标为．
（2）△*OPQ*是等腰直角三角形，*P*(2*t*, 0)，*Q*(*t*,－*t*)．
（3）旋转后，点*O*′的坐标为(2*t*,－2*t*)，点*Q*′的坐标为(3*t*,－*t*)．
将*O*′(2*t*,－2*t*)代入，得．解得．
将*Q*′(3*t*,－*t*)代入，得．解得*t*＝1．
因此，当时，点*O*′落在抛物线上（如图2）；当*t*＝1时，点*Q*′落在抛物线上（如图3）．
图2 图3
（4）①如图4，当0＜*t*≤1时，重叠部分是等腰直角三角形*OPQ*．此时*S*＝*t*^2^．
②如图5，当1＜*t*≤1.5时，重叠部分是等腰梯形*OPFA*．此时*AF*＝2*t*－2．
此时*S*＝．
图4 图5
③如图6，当1.5＜*t*＜2时，重叠部分是五边形*OCEFA*．
此时*CE*＝*CP*＝2*t*－3．所以*BE*＝*BF*＝1－(2*t*－3)＝4－2*t*．
所以*S*＝．
图6
**考点伸展**
在本题情景下，重叠部分的周长*l*与*t*之间有怎样的函数关系？
如图4，．如图5，．
如图6，．
**例3 2013年菏泽市中考第21题**
如图1， △*ABC*是以*BC*为底边的等腰三角形，点*A*、*C*分别是一次函数的图像与*y*轴、*x*轴的交点，点*B*在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点*D*使四边形*ABCD*能构成平行四边形．
（1）试求*b*、*c*的值，并写出该二次函数的解析式；
（2）动点*P*从*A*到*D*，同时动点*Q*从*C*到*A*都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当*P*运动到何处时，由*PQ*⊥*AC*？
②当*P*运动到何处时，四边形*PDCQ*的面积最小？此时四边形*PDCQ*的面积是多少？
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"13菏泽21"，拖动点*P*由*A*向*D*运动，观察*S*随*P*变化的图像，可以体验到，当*S*最小时，点*Q*恰好是*AC*的中点．
请打开超级画板文件名"13菏泽21"，拖动点*P*由*A*向*D*运动，观察*S*随*P*变化的图像，可以体验到，当*S*最小时，点*Q*恰好是*AC*的中点．
**思路点拨**
1．求抛物线的解析式需要代入*B*、*D*两点的坐标，点*B*的坐标由点*C*的坐标得到，点*D*的坐标由*AD*＝*BC*可以得到．
2．设点*P*、*Q*运动的时间为*t*，用含有*t*的式子把线段*AP*、*CQ*、*AQ*的长表示出来．
3．四边形*PDCQ*的面积最小，就是△*APQ*的面积最大．
**满分解答**
（1）由，得*A*(0,3)，*C*(4,0)．
由于*B*、*C*关于*OA*对称，所以*B*(－4,0)，*BC*＝8．
因为*AD*//*BC*，*AD*＝*BC*，所以*D*(8,3)．
将*B*(－4,0)、*D*(8,3)分别代入，得
解得，c＝－3．所以该二次函数的解析式为．
（2）①设点*P*、*Q*运动的时间为*t*．
如图2，在△*APQ*中，*AP*＝*t*，*AQ*＝*AC*－*CQ*＝5－*t*，cos∠*PAQ*＝cos∠*ACO*＝．
当*PQ*⊥*AC*时，．所以．解得．
图2 图3
②如图3，过点*Q*作*QH*⊥*AD*，垂足为*H*．
由于*S*~△*APQ*~＝，
*S*~△*ACD*~＝，
所以*S*~四边形*PDCQ*~＝*S*~△*ACD*~－*S*~△*APQ*~＝．
所以当*AP*＝时，四边形*PDCQ*的最小值是．
**考点伸展**
如果把第（2）①题改为"当*P*运动到何处时，△*APQ*是直角三角形？"
除了*PQ*⊥*AC*这种情况，还有*QP*⊥*AD*的情况．
这时，所以．解得（如图4所示）．
图4
**例4 2012年广东省中考第22题**
如图1，抛物线与*x*轴交于*A*、*B*两点，与*y*轴交于点*C*，联结*BC*、*AC*．
（1）求*AB*和*OC*的长；
（2）点*E*从点*A*出发，沿*x*轴向点*B*运动（点*E*与点*A*、*B*不重合），过点*E*作*BC*的平行线交*AC*于点*D*．设*AE*的长为*m*，△*ADE*的面积为*s*，求*s*关于*m*的函数关系式，并写出自变量*m*的取值范围；
（3）在（2）的条件下，联结*CE*，求△*CDE*面积的最大值；此时，求出以点*E*为圆心，与*BC*相切的圆的面积（结果保留π）．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"12广东22"，拖动点*E*由*A*向*B*运动，观察图象，可以体验到，△*ADE*的面积随*m*的增大而增大，△*CDE*的面积随*m*变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，*E*在*AB*的中点时，△*CDE*的面积最大．
**思路点拨**
1．△*ADE*与△*ACB*相似，面积比等于对应边的比的平方．
2．△*CDE*与△*ADE*是同高三角形，面积比等于对应底边的比．
**满分解答**
（1）由，得*A*(－3,0)、*B*(6,0)、*C*(0,－9)．
所以*AB*＝9，*OC*＝9．
（2）如图2，因为*DE*//*CB*，所以△*ADE*∽△*ACB*．
所以．
而，*AE*＝*m*，
所以．
*m*的取值范围是0＜*m*＜9．
图2 图3
（3）如图2，因为*DE*//*CB*，所以．
因为△*CDE*与△*ADE*是同高三角形，所以．
所以．
当时，△*CDE*的面积最大，最大值为．
此时*E*是*AB*的中点，．
如图3，作*EH*⊥*CB*，垂足为*H*．
在Rt△*BOC*中，*OB*＝6，*OC*＝9，所以．
在Rt△*BEH*中，．
当⊙*E*与*BC*相切时，．所以．
**考点伸展**
在本题中，△*CDE*与△*BEC*能否相似？
如图2，虽然∠*CED*＝∠*BCE*，但是∠*B*＞∠*BCA*≥∠*ECD*，所以△*CDE*与△*BEC*不能相似．
**例5 2012年河北省中考第26题**
如图1，图2，在△*ABC*中，*AB*＝13，*BC*＝14，．
探究 如图1，*AH*⊥*BC*于点*H*，则*AH*＝\_\_\_\_\_，*AC*＝\_\_\_\_\_\_，△*ABC*的面积*S*~△*ABC*~＝\_\_\_\_\_\_\_\_．
拓展 如图2，点*D*在*AC*上（可与点*A*、*C*重合），分别过点*A*、*C*作直线*BD*的垂线，垂足为*E*、*F*．设*BD*＝*x*，*AE*＝*m*，*CF*＝*n*．（当点*D*与点*A*重合时，我们认为*S*~△*ABD*~＝0）
（1）用含*x*，*m*或*n*的代数式表示*S*~△*ABD*~及*S*~△*CBD*~；
（2）求(*m*＋*n*)与*x*的函数关系式，并求(*m*＋*n*)的最大值和最小值；
（3）对给定的一个*x*值，有时只能确定唯一的点*D*，指出这样的*x*的取值范围．
发现 请你确定一条直线，使得*A*、*B*、*C*三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．
图1 图2
**动感体验**
请打开几何画板文件名"12河北26"，拖动点*D*由*A*向*C*运动，观察(*m*＋*n*)随*x*变化的图象，可以体验到，*D*到达*G*之前，(*m*＋*n*)的值越来越大；*D*经过*G*之后，(*m*＋*n*)的值越来越小．观察圆与线段*AC*的交点情况，可以体验到，当*D*运动到*G*时（如图3），或者点*A*在圆的内部时（如图4），圆与线段*AC*只有唯一的交点*D*．
图3 图4
**答案** 探究 *AH*＝12，*AC*＝15，*S*~△*ABC*~＝84．
拓展 （1）*S*~△*ABD*~＝，*S*~△*CBD*~＝．
（2）由*S*~△*ABC*~＝*S*~△*ABD*~＋*S*~△*CBD*~，得．所以．
由于*AC*边上的高，所以*x*的取值范围是≤*x*≤14．
所以(*m*＋*n*)的最大值为15，最小值为12．
（3）*x*的取值范围是*x*＝或13＜*x*≤14．
发现 *A*、*B*、*C*三点到直线*AC*的距离之和最小，最小值为．
**例6 2011年淮安市中考第28题**
如图1，在Rt△*ABC*中，∠*C*＝90°，*AC*＝8，*BC*＝6，点*P*在*AB*上，*AP*＝2．点*E*、*F*同时从点*P*出发，分别沿*PA*、*PB*以每秒1个单位长度的速度向点*A*、*B*匀速运动，点*E*到达点*A*后立刻以原速度沿*AB*向点*B*运动，点*F*运动到点*B*时停止，点*E*也随之停止．在点*E*、*F*运动过程中，以*EF*为边作正方形*EFGH*，使它与△*ABC*在线段*AB*的同侧．设*E*、*F*运动的时间为*t*秒(*t*＞0)，正方形*EFGH*与△*ABC*重叠部分的面积为*S*．
（1）当*t*＝1时，正方形*EFGH*的边长是\_\_\_\_\_\_\_\_；当*t*＝3时，正方形EFGH的边长是\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）当1＜*t*≤2时，求*S*与*t*的函数关系式；
（3）直接答出：在整个运动过程中，当*t*为何值时，*S*最大？最大面积是多少？
**图1**
**动感体验**
请打开几何画板文件名"11淮安28"，拖动点*F*由*P*向*B*运动，可以体验到，点*E*在向*A*运动时，正方形*EFGH*越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点*E*折返以后，正方形*EFGH*的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，*S*的最大值在六边形这个时段．
请打开超级画板文件名"11淮安28"，拖动点*F*由*P*向*B*运动，可以体验到，点*E*在向*A*运动时，正方形*EFGH*越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点*E*折返以后，正方形*EFGH*的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形．在整个运动过程中，*S*的最大值在六边形这个时段．
**思路点拨**
1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．
2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．
**满分解答**
（1）当*t*＝1时，*EF*＝2；当*t*＝3时，*EF*＝4．
（2）①如图1，当时，．所以．
②如图2，当时，，，．
于是，
．
所以．
③如图3，当时，，，．
所以．
图2 图3 图4
（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形*EFNDQN*，*S*的最大值为，此时．
图5 图6 图7
**考点伸展**
**第（2）题中***t***的临界时刻是这样求的：**
**如图8，当***H***落在***AC***上时，**，，由，得．
**如图9，当***G***落在***AC***上时，**，，由，得．
图8 图9
第三部分图形运动中的计算说理问题
**3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题**
**例 1 2015年北京市中考第29题**
在平面直角坐标系中，⊙*C*的半径为*r*，*P*是与圆心*C*不重合的点，点*P*关于⊙*C*的反称点的定义如下：若在射线*CP*上存在一点*P*′，满足*CP*＋*CP*′＝2*r*，则称点*P*′为点*P*关于⊙*C*的反称点．如图1为点*P*及其关于⊙*C*的反称点*P*′的示意图．
特别地，当点*P*′与圆心*C*重合时，规定*CP*′＝0．
（1）当⊙*O*的半径为1时，
①分别判断点*M*(2, 1)，*N*，*T* 关于⊙*O*的反称点是否存在？若存在，求其坐标；
②点*P*在直线*y*＝－*x*＋2上，若点*P*关于⊙*O*的反称点*P*′存在，且点*P*′不在*x*轴上，求点*P*的横坐标的取值范围；
图1
（2）⊙*C*的圆心在*x*轴上，半径为1，直线与*x*轴、*y*轴分别交于点*A*、*B*，若线段*AB*上存在点*P*，使得点*P*关于⊙*C*的反称点*P*′在⊙*C*的内部，求圆心*C*的横坐标的取值范围．
**动感体验**
请打开几何画板文件名"15北京29"，拖动点圆心*C*在*x*轴上运动，可以体验到，当点*P*′在圆内时，*CP*的变化范围是1＜*CP*≤2．
**思路点拨**
1．反称点*P*′是否存在，就是看*CP*′是否大于或等于0．
2．第（2）题反称点*P*′在圆内，就是0≤*CP*′＜1，进一步转化为0≤2－*CP*＜1．
**满分解答**
（1）①对于*M*(2, 1)，*OM*＝．因为*OM*′＝＜0，所以点*M*不存在反称点（如图2）．
如图3，对于*N*，*ON*＝．因为*ON*′＝，所以点*N*′的坐标为．
如图4，对于*T* ，*OT*＝2．因为*OT*′＝0，所以点*T*关于⊙*O*的反称点*T*′是(0,0)．
图2 图3 图4
②如图5，如果点*P*′存在，那么*OP*′＝2－*OP*≥0．所以*OP*≤2．
设直线*y*＝－*x*＋2与*x*轴、*y*轴的交点分别为*A*、*B*，那么*OA*＝*OB*＝2．
如果点*P*在线段*AB*上，那么*OP*≤2．
所以满足*OP*≤2且点*P*′不在*x*轴上的点*P*的横坐标的取值范围是0≤*x*＜2．
（2）由，得*A*(6, 0)，*B*．所以tan∠*A*＝．
所以∠*A*＝30°．
因为点*P*′在⊙*C*的内部，所以0≤*CP*′＜1．
解不等式组0≤2－*CP*＜1，得1＜*CP*≤2．
过点*C*作*CP*⊥*AB*于*P*，那么*CP*＝*AC*．所以2＜*AC*≤4．
所以2≤*OC*＜4．因此圆心*C*的横坐标的取值范围是2≤*x*＜4（如图6，图7所示）．
图5 图6 图7
**考点伸展**
第（2）题如果把条件"反称点*P*′在⊙*C*的内部"改为"反称点*P*′存在"，那么圆心*C*的横坐标的取值范围是什么呢？
如果点*P*′存在，那么*CP*′≥0．
解不等式2－*CP*≥0，得*CP*≤2．
所以*AC*≤4．因此圆心*C*的横坐标的取值范围是2≤*x*＜6．
**例2 2014年福州市中考第22题**
如图1，抛物线与*x*轴交于
*A*、*B*两点（点*A*在点*B*左侧），与*y*轴交于点*C*，顶点为*D*．
（1）求点*A*、*B*、*C*的坐标；
（2）联结*CD*，过原点*O*作*OE*⊥*CD*，垂足为*H*，*OE*与抛物线的对称轴交于点*E*，联结*AE*、*AD*．求证：∠*AEO*＝∠*ADC*；
（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点*P*，过*P*作⊙*E*的切线，切点为*Q*，当*PQ*的长最小时，求点*P*的坐标，并直接写出点*Q*的坐标． 图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"14福州22"，拖动点*P*在抛物线上运动，可以体验到，当*PE*最小时，*PQ*也最小．
**思路点拨**
1．计算点*E*的坐标是关键的一步，充分利用、挖掘等角（或同角）的余角相等．
2．求*PE*的最小值，设点*P*的坐标为(*x*, *y*)，如果把*PE*^2^表示为*x*的四次函数，运算很麻烦．如果把*PE*^2^转化为*y*的二次函数就比较简便了．
**满分解答**
（1）由，得，．
由，
得，．
（2）设*CD*与*AE*交于点*F*，对称轴与*x*轴交于点*M*，作*DN*⊥*y*轴于*N*．
如图2，由，，得*DN*＝3，．因此．
如图3，由*OE*⊥*CD*，得∠*EOM*＝∠*DCN*．因此．
所以*EM*＝2，*E*(3, 2)．
由，，得．
因此，．
所以∠*AEM*＝∠*DAM*．于是可得∠*AED*＝90°．
如图4，在Rt△*EHF*与Rt△*DAF*中，因为∠*EFH*＝∠*DFA*，
所以∠*HEF*＝∠*ADF*，即∠*AEO*＝∠*ADC*．
图2 图3 图4
（3）如图5，在Rt△*EPQ*中，*EQ*为定值，因此当*PE*最小时，*PQ*也最小．
设点*P*的坐标为(*x*, *y*)，那么*PE*^2^＝(*x*－3)^2^＋(*y*－2)^2^．
已知，所以．
因此．
所以当*y*＝1时，*PE*取得最小值．
解方程，得*x*＝5，或*x*＝1（在对称轴左侧，舍去）．
因此点*P*的坐标为(5, 1)．此时点*Q*的坐标为(3, 1)或（如图6所示）．
图5 图6 图7
**考点伸展**
第（3）题可以这样求点*Q*的坐标：设点*Q*的坐标为(*m*, *n*)．
由*E*(3, 2)、*P*(5, 1)，可得*PE*^2^＝5．又已知*EQ*^2^＝1，所以*PQ*^2^＝4．
列方程组 解得
还可以如图7那样求点*Q*的坐标：
对于*Q*(*m*, *n*)，根据两个阴影三角形相似，可以列方程组．
同样地，对于*Q*′(*m*, *n*)，可以列方程组．
**例3 2013年南京市中考第26题**
已知二次函数*y*＝*a*(*x*－*m*)^2^－*a*(*x*－*m*)（*a*、*m*为常数，且*a*≠0）．
（1）求证：不论*a*与*m*为何值，该函数的图像与*x*轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图像的顶点为*C*，与*x*轴相交于*A*、*B*两点，与*y*轴交于点*D*．
①当△*ABC*的面积等于1时，求*a*的值
②当△*ABC*的面积与△*ABD*的面积相等时，求*m*的值．
**动感体验**
请打开几何画板文件名"13南京26"，拖动*y*轴上表示实数*a*的点可以改变*a*的值，拖动点*A*可以改变*m*的值．分别点击按钮"*m*~1~"、"*m*~2~"、"*m*~3~"，再改变实数*a*，可以体验到，这3种情况下，点*C*、*D*到*x*轴的距离相等．
请打开超级画板文件名"13南京26"， 拖动*点A*可以改变*m*的值，竖直拖动点*C*可以改变*a*的值．分别点击按钮，可得到△*ABC*的面积与△*ABD*的面积相等的三种情形。
**思路点拨**
1．第（1）题判断抛物线与*x*轴有两个交点，容易想到用判别式．事实上，抛物线与x轴的交点*A*、*B*的坐标分别为 (*m*,0)、 (*m*＋1,0)，*AB*＝1．
2．当△*ABC*的面积等于1时，点*C*到*x*轴的距离为2．
3．当△*ABC*的面积与△*ABD*的面积相等时，*C*、*D*到*x*轴的距离相等．
4．本题大量的工作是代入计算，运算比较繁琐，一定要仔细．
**满分解答**
（1）由*y*＝*a*(*x*－*m*)^2^－*a*(*x*－*m*)＝*a*(*x*－*m*)( *x*－*m*－1)，
得抛物线与*x*轴的交点坐标为*A*(*m*,0)、*B*(*m*＋1,0)．
因此不论*a*与*m*为何值，该函数的图像与*x*轴总有两个公共点．
（2）①由*y*＝*a*(*x*－*m*)^2^－*a*(*x*－*m*) ，
得抛物线的顶点坐标为．
因为*AB*＝1，*S*~△*ABC*~＝，所以*a*＝±8．
②当△*ABC*的面积与△*ABD*的面积相等时，点*C*与点*D*到*x*轴的距离相等．
第一种情况：如图1，*C*、*D*重合，此时点*D*的坐标可以表示为，
将代入，得．
解得．
图1
第二种情况：如图2，图3，*C*、*D*在*x*轴两侧，此时点*D*的坐标可以表示为，
将代入，得．
解得．
图2 图3
**考点伸展**
第（1）题也可以这样说理：
由于由，抛物线的顶点坐标为．
当*a*＞0时，抛物线的开口向上，而顶点在*x*轴下方，所以抛物线与*x*轴由两个交点；
当*a*＜0时，抛物线的开口向下，而顶点在*x*轴上方，所以抛物线与*x*轴由两个交点．
因此不论*a*与*m*为何值，该函数的图像与*x*轴总有两个公共点．
第（1）题也可以用根的判别式Δ说理：
由*y*＝*a*(*x*－*m*)^2^－*a*(*x*－*m*)＝*a*\[*x*^2^－(2*m*＋1)*x*＋*m*^2^＋*m*\]，
得＞0．
因此不论*a*与*m*为何值，该函数的图像与*x*轴总有两个公共点．
这种方法是同学们最容易想到的，但是这种方法的运算量很大，一定要仔细．
**3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题**
**例1 2015年杭州市中考第22题**
如图1，在△*ABC*中，*BC*＞*AC*，∠*ACB*＝90°，点*D*在*AB*边上，*DE*⊥*AC*于点*E*．
（1）若，*AE*＝2，求*EC*的长；
（2）设点*F*在线段*EC*上，点*G*在射线*CB*上，以*F*、*C*、*G*为顶点的三角形与△*EDC*有一个锐角相等，*FG*交*CD*于点*P*．问：线段*CP*可能是△*CFG*的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"15杭州22"，拖动点*D*在*AB*上运动，可以体验到，*CP*既可以是△*CFG*的高，也可以是△*CFG*的中线．
**思路点拨**
1．△*CFG*与△*EDC*都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况．
2．高和中线是直角三角形的两条典型线，各自联系着典型的定理，一个是直角三角形的两锐角互余，一个是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
3．根据等角的余角相等，把图形中相等的角都标记出来．
**满分解答**
（1）由∠*ACB*＝90°，*DE*⊥*AC*，得*DE*//*BC*．
所以．所以．解得*EC*＝6．
（2）△*CFG*与△*EDC*都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况：
①如图2，当∠1＝∠2时，由于∠2与∠3互余，所以∠2与∠3也互余．
因此∠*CPF*＝90°．所以*CP*是△*CFG*的高．
②如图3，当∠1＝∠3时，*PF*＝*PC*．
又因为∠1与∠4互余，∠3与∠2互余，所以∠4＝∠2．所以*PC*＝*PG*．
所以*PF*＝*PC*＝*PG*．所以*CP*是△*CFG*的中线．
综合①、②，当*CD*是∠*ACB*的平分线时，*CP*既是△*CFG*的高，也是中线（如图4）．
图2 图 3 图4
**考点伸展**
这道条件变换的题目，不由得勾起了我们的记忆：
如图5，在△*ABC*中，点*D*是*AB*边上的一个动点，*DE*//*BC*交*AC*于*E*，*DF*//*AC*交*BC*于*F*，那么四边形*CEDF*是平行四边形．
如图6，当*CD*平分∠*ACB*时，四边形*CEDF*是菱形．
图5 图6
如图7，当∠*ACB*＝90°，四边形*CEDF*是矩形．
如图8，当∠*ACB*＝90°，*CD*平分∠*ACB*时，四边形*CEDF*是正方形．
图7 图8
**例2 2014年安徽省中考第23题**
如图1，正六边形*ABCDEF*的边长为*a*，*P*是*BC*边上的一动点，过*P*作*PM*//*AB*交*AF*于*M*，作*PN*//*CD*交*DE*于*N*．
（1）①∠*MPN*＝\_\_\_\_\_\_\_°；
②求证：*PM*＋*PN*＝3*a*；
（2）如图2，点*O*是*AD*的中点，联结*OM*、*ON*．求证：*OM*＝*ON*．
（3）如图3，点*O*是*AD*的中点，*OG*平分∠*MON*，判断四边形*OMGN*是否为特殊的四边形，并说明理由．
图1 图2 图3
**动感体验**
请打开几何画板文件名"14安徽23"，拖动点*P*运动，可以体验到，*PM*＋*PN*等于正六边形的3条边长．△*AOM*≌△*BOP*，△*COP*≌△*DON*，所以*OM*＝*OP*＝*ON*．还可以体验到，△*MOG*与△*NOG*是两个全等的等边三角形，四边形*OMGN*是菱形．
**思路点拨**
1．第（1）题的思路是，把*PM*＋*PN*转化到同一条直线上．
2．第（2）题的思路是，以*O*为圆心，*OM*为半径画圆，这个圆经过点*N*、*P*．于是想到联结*OP*，这样就出现了两对全等三角形．
3．第（3）题直觉告诉我们，四边形*OMGN*是菱形．如果你直觉△*MOG*与△*NOG*是等边三角形，那么矛盾就是如何证明∠*MON*＝120°．
**满分解答**
（1）①∠*MPN*＝60°．
②如图4，延长*FA*、*ED*交直线*B*C与*M*′、*N*′，那么△*ABM*′、△*MPM*′、△*DCN*′、
△*EPN*′都是等边三角形．
所以*PM*＋*PN*＝*M*′*N*′＝*M*′*B*＋*BC*＋*CN*′＝3*a*．
图4 图5 图6
（2）如图5，联结*OP*．
由（1）知，*AM*＝*BP*，*DN*＝*CP*．
由*AM*＝*BP*，∠*OAM*＝∠*OBP*＝60°，*OA*＝*OB*，
得△*AOM*≌△*BOP*．所以*OM*＝*OP*．
同理△*COP*≌△*DON*，得*ON*＝*OP*．
所以*OM*＝*ON*．
（3）四边形*OMGN*是菱形．说理如下：
由（2）知，∠*AOM*＝∠*BOP*，∠*DON*＝∠*COP*（如图5）．
所以∠*AOM*＋∠*DON*＝∠*BOP*＋∠*COP*＝60°．所以∠*MON*＝120°．
如图6，当*OG*平分∠*MON*时，∠*MOG*＝∠*NOG*＝60°．
又因为∠*AOF*＝∠*FOE*＝∠*EOD*＝60°，于是可得∠*AOM*＝∠*FOG*＝∠*EON*．
于是可得△*AOM*≌△*FOG*≌△*EON*．
所以*OM*＝*OG*＝*ON*．
所以△*MOG*与△*NOG*是两个全等的等边三角形．
所以四边形*OMGN*的四条边都相等，四边形*OMGN*是菱形．
**考点伸展**
在本题情景下，菱形*OMGN*的面积的最大值和最小值各是多少？
因为△*MOG*与△*NOG*是全等的等边三角形，所以*OG*最大时菱形的面积最大，*OG*最小时菱形的面积最小．
*OG*的最大值等于*OA*，此时正三角形的边长为*a*，菱形的最大面积为．
*OG*与*EF*垂直时最小，此时正三角形的边长为，菱形的最小面积为．
**例3 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题**
已知二次函数*y*＝－*x*^2^＋*bx*＋*c*的图像经过点*P*(0, 1)与*Q*(2, －3)．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点*A*是第一象限内该二次函数图像上一点，过点*A*作*x*轴的平行线交二次函数图像于点*B*，分别过点*B*、*A*作*x*轴的垂线，垂足分别为*C*、*D*，且所得四边形*ABCD*恰为正方形．
①求正方形的*ABCD*的面积；
②联结*PA*、*PD*，*PD*交*AB*于点*E*，求证：△*PAD*∽△*PEA*．
动感体验
请打开几何画板文件名"13黄浦24"，拖动点*A*在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠*PAE*与∠*PDA*总保持相等，△*PAD*与△*PEA*保持相似．
请打开超级画板文件名"13黄浦24"，拖动点*A*在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠*PAE*与∠*PDA*总保持相等，△*PAD*与△*PEA*保持相似．
思路点拨
1．数形结合，用抛物线的解析式表示点*A*的坐标，用点*A*的坐标表示*AD*、*AB*的长，当四边形*ABCD*是正方形时，*AD*＝*AB*．
2．通过计算∠*PAE*与∠*DPO*的正切值，得到∠*PAE*＝∠*DPO*＝∠*PDA*，从而证明△*PAD*∽△*PEA*．
满分解答
（1）将点*P*(0, 1)、*Q*(2, －3)分别代入*y*＝－*x*^2^＋*bx*＋*c*，得
解得
所以该二次函数的解析式为*y*＝－*x*^2^＋1．
（2）①如图1，设点*A*的坐标为(*x*, －*x*^2^＋1)，当四边形*ABCD*恰为正方形时，*AD*＝*AB*．
此时*y~A~*＝2*x~A~*．
解方程－*x*^2^＋1＝2*x*，得．
所以点*A*的横坐标为．
因此正方形*ABCD*的面积等于．
②设*OP*与*AB*交于点*F*，那么．
所以．
又因为，
所以∠*PAE*＝∠*PDA*．
又因为∠*P*公用，所以△*PAD*∽△*PEA*．
图1 图2
**考点伸展**
事实上，对于矩形*ABCD*，总有结论△*PAD*∽△*PEA*．证明如下：
如图2，设点*A*的坐标为(*x*, －*x*^2^＋1)，那么*PF*＝*OP*－*OF*＝1－(－*x*^2^＋1)＝*x*^2^．
所以．
又因为，
所以∠*PAE*＝∠*PDA*．因此△*PAD*∽△*PEA*．
第四部分 图形的平移翻折与旋转
**4.1图形的平移**
**例1 2015年泰安市中考第15题**
如图1，在平面直角坐标系中，正三角形*OAB*的顶点*B*的坐标为（2, 0），点*A*在第一象限内，将△*OAB*沿直线*OA*的方向平移至△*O*′*B*′*A*′的位置，此时点*A*′的横坐标为3，则点*B*′的坐标为（ ）．
A．（4，） B．（3，） C．（4，） D．（3，）
图1 图2
**动感体验**
请打开几何画板文件名"15泰安15"，拖动点*A*\'运动的过程中，可以体验到，△*A*′*OC*保持等边三角形的形状．
**答案** A．思路如下：
如图2，当点*B*的坐标为（2, 0），点*A*的横坐标为1．
当点*A*\'的横坐标为3时，等边三角形*A*′*OC*的边长为6．
在Rt△*B*′*CD*中，*B*′*C*＝4，所以*DC*＝2，*B*′*D*＝．此时*B*′．
**例2 2014年江西省中考第11题**
如图，在△*ABC*中，*AB*＝4，*BC*＝6，∠*B*＝60°，将△*ABC*沿射线*BC*方向平移2个单位后，得到△*A*′*B*′*C*′，联结*A*′*C*，则△*A*′*B*′*C*的周长为\_\_\_\_\_\_\_．
**动感体验**
请打开几何画板文件名"14江西11"，拖动点*B*′运动，可以体验到，△*A*′*B*′*C*′向右移动2个单位后，△*A*′*B*′*C*是等边三角形．
**答案** 12．
**4.2图形的翻折**
**例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第18题**
如图1，在矩形*ABCD*中，*AD*＝15，点*E*在边*DC*上，联结*AE*，△*ADE*沿直线*AE*翻折后点*D*落到点*F*，过点*F*作*FG*⊥*AD*，垂足为*G*．如果*AD*＝3*GD*，那么*DE*＝\_\_\_\_\_．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"15宝山嘉定18"，拖动点*E*在*DC*上运动，可以体验到，
△*ADE*与△*AFE*保持全等，△*AMF*与△*FNE*保持相似（如图2所示）．
**答案** ．思路如下：
如图2，过点*F*作*AD*的平行线交*AB*于*M*，交*DC*于*N*．
因为*AD*＝15，当*AD*＝3*GD*时，*MF*＝*AG*＝10，*FN*＝*GD*＝5．
在Rt△*AMF*中，*AF*＝*AD*＝15，*MF*＝10，所以*AM*＝．
设*DE*＝*m*，那么*NE*＝．
由△*AMF*∽△*FNE*，得，即．解得*m*＝．
图2
**例2 2014年上海市中考第18题**
如图，已知在矩形*ABCD*中，点*E*在边*BC*上，*BE*＝2*CE*，将矩形沿着过点*E*的直线翻折后，点*C*、*D*分别落在边*BC*下方的点*C*′、*D*′处，且点*C*′、*D*′、*B*在同一条直线上，折痕与边*AD*交于点*F*，*D*′*F*与*BE*交于点*G*．设*AB*＝*t*，那么△*EFG*的周长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（用含t的代数式表示）．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"14福州10"，拖动点*F*在*AD*上运动，可以体验到，当点*C*′、*D*′、*B*在同一条直线上时，直角三角形*BCE*的斜边*BE*等于直角边*C*′*E*的2倍，△*BCE*是30°角的直角三角形，此时△*EFG*是等边三角形（如图2）．
**答案** ．思路如下：如图2，等边三角形*EFG*的高＝*AB*＝*t*，计算得边长为．
图2
**4.3图形的旋转**
**例1 2015年扬州市中考第17题**
如图1，已知Rt△*ABC*中，∠*ABC*＝90°，*AC*＝6，*BC*＝4，将△*ABC*绕直角顶点*C*顺时针旋转90°得到△*DEC*，若点*F*是*DE*的中点，连接*AF*，则*AF*= [ ]{.underline} ．
图1 图2
**动感体验**
请打开几何画板文件名"15扬州17"，拖动点*D*绕着点*C*旋转，可以体验到，当旋转角为90°时，*FH*是△*ECD*的中位线，*AF*是直角三角形*AHF*的斜边．
**答案** 5．思路如下：
如图2，作*FH*⊥*AC*于*H*．
由于*F*是*ED*的中点，所以*HF*是△*ECD*的中位线，所以*HF*＝3．
由于*AE*＝*AC*－*EC*＝6－4＝2，*EH*＝2，所以*AH*＝4．所以*AF*＝5．
**例2 2014年上海市黄浦区中考模拟第18题**
如图1，在△*ABC*中，*AB*＝*AC*＝5，*BC*＝4，*D*为边*AC*上一点，且*AD*＝3，如果△*ABD*绕点*A*逆时针旋转，使点*B*与点*C*重合，点*D*旋转至*D*\'，那么线段*DD*\'的长为 [ ]{.underline} ．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"14黄浦18"，拖动点*B*\'绕点*A*逆时针旋转，可以体验到，两个等腰三角形*ABB*\'与等腰三角形*ADD*\'保持相似（如图2）．
**答案** ．思路如下：如图3，由△*ABC*∽△*ADD*\'，可得．5∶4＝3∶*DD*\'．
图2 图3
**4.4三角形**
**例1 2015年上海市长宁区中考模拟第18题**
如图1，△*ABC*≌△*DEF*（点*A*、*B*分别与点*D*、*E*对应），*AB*＝*AC*＝5，*BC*＝6．△*ABC*固定不动，△*DEF*运动，并满足点*E*在*BC*边从*B*向*C*移动（点*E*不与*B*、*C*重合），*DE*始终经过点*A*，*EF*与*AC*边交于点*M*，当△*AEM*是等腰三角形时，*BE*＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"15长宁18"，拖动点*E*在*BC*上运动，可以体验到，△*AEM*有三个时刻成为等腰三角形，其中一个时刻点*E*与点*B*重合．
**答案** 或1．思路如下：
设*BE*＝*x*．
由△*ABE*∽△*ECM*，得，即．
等腰三角形*AEM*分三种情况讨论：
①如图2，如果*AE*＝*AM*，那么△*AEM*∽△*ABC*．
所以．解得*x*＝0，此时*E*、*B*重合，舍去．
②如图3，当*EA*＝*EM*时，．解得*x*＝1．
③如图4，当*MA*＝*ME*时，△*MEA*∽△*ABC*．所以．解得*x*＝．
图2 图3 图4
**例2 2014年泰州市中考第16题**
如图1，正方形*ABCD*的边长为3cm，*E*为*CD*边上一点，∠*DAE*＝30°，*M*为*AE*的中点，过点*M*作直线分别与*AD*、*BC*相交于点*P*、*Q*．若*PQ*＝*AE*，则*AP*的长等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_cm．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"14泰州16"，拖动点*P*在*AD*上运动，观察度量值，可以体验到，存在两个时刻*PQ*＝*AE*．
**答案** 1或2．思路如下：如图2，当*PQ*＝*AE*时，可证*PQ*与*AE*互相垂直．
在Rt△*ADE*中，由∠*DAE*＝30°，*AD*＝3，可得*AE*＝．
在Rt△*APM*中，由∠*PAM*＝30°，*AM*＝，可得*AP*＝2．
在图3中，∠*ADF*＝30°，当*PQ*＝*DF*时，*DP*＝2，所以*AP*＝1．
图2 图3
**4.5四边形**
**例1 2015年安徽省中考第9题**
如图1，矩形*ABCD*中，*AB*＝8，*BC*＝4．点*E*在边*AB*上，点*F*在边*CD*上，点*G*、*H*在对角线*AC*上．若四边形*EGFH*是菱形，则*AE*的长是（ ）．
A． B． C．5 D．6
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"15安徽09"，拖动点*E*在*AB*上运动，可以体验到，当*EF*与*AC*垂直时，四边形*EGFH*是菱形（如图2）．
**答案** C．思路如下：
如图3，在Rt△*ABC*中，*AB*＝8，*BC*＝4，所以*AC*＝．
由cos∠*BAC*＝，得．所以*AE*＝5．
图2 图3
**例2 2014年广州市中考第8题**
将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形*ABCD*，转动这个四边形，使它形状改变．当∠*B*＝90°时，如图1，测得*AC*＝2．当∠*B*＝60°时，如图2，*AC*等于（ ）．
(A)； (B)2； (C) ； (D) 2．
图1 图2
**动感体验**
请打开几何画板文件名"14广州08"，拖动点*A*绕着点*B*旋转，可以体验到，当∠*B*＝90°时，△*ABC*是等腰直角三角形；当∠*B*＝60°时，△*ABC*是等边三角形（如图3）．
**答案** (A)．思路如下：
**4.6圆**
**例1 2015年兰州市中考第15题**
如图1，⊙*O*的半径为2，*AB*，*CD*是互相垂直的两条直径，点*P*是⊙*O*上任意一点（*P*与*A*，*B*，*C*，*D*不重合），过点*P*作*PM*⊥*AB*于点*M*，*PN*⊥*CD*于点*N*，点*Q*是*MN*的中点，当点*P*沿着圆周转过45°时，点*Q*走过的路径长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
> A. B. C. D.
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"15兰州15"，拖动点*P*在圆周上运动一周，可以体验到，当点*P*沿着圆周转过45°时，点*Q*走过的路径是圆心角为45°半径为1的一段弧．
**答案** A．思路如下：
如图2，四边形*PMON*是矩形，对角线*MN*与*OP*互相平分且相等，因此点*Q*是*OP*的中点．
如图3，当∠*DOP*＝45°时，的长为．
图2 图3
**例2 2014年温州市中考第16题**
如图1，在矩形*ABCD*中，*AD*＝8，*E*是*AB*边上一点，且*AE*＝*AB*，⊙*O*经过点*E*，与边*CD*所在直线相切于点*G*（∠*GEB*为锐角），与边*AB*所在直线相交于另一点*F*，且*EG*∶*EF*＝∶2．当边*AD*或*BC*所在的直线与⊙*O*相切时，*AB*的长是\_\_\_\_\_\_\_\_．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"14温州16"，拖动点B运动，可以体验到，⊙*O*的大小是确定的，⊙*O*既可以与BC相切（如图3），也可以与AD相切（如图4）．
**答案** 12或4．思路如下：
如图2，在Rt△*GEH*中，由*GH*＝8，*EG*∶*EF*＝∶2，可以得到*EH*＝4．
在Rt△*OEH*中，设⊙*O*的半径为*r*，由勾股定理，得*r*^2^＝4^2^＋(8－*r*)^2^．解得*r*＝5．
设*AE*＝*x*，那么*AB*＝4*x*．
如图3，当⊙*O*与*BC*相切时，*HB*＝*r*＝5．
由*AB*＝*AE*＋*EH*＋*HB*，得4*x*＝*x*＋4＋5．解得*x*＝3．此时*AB*＝12．
如图4，当⊙*O*与*AD*相切时，*HA*＝*r*＝5．
由*AE*＝*AH*－*EH*，得*x*＝5－4＝1．此时*AB*＝4．
图2 图3 图4
**4.7函数图像的性质**
**例1 2015年青岛市中考第8题**
如图1，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于*A*、*B*两点，其中点*A*的横坐标为2，当*y*~1~＞*y*~2~时，*x*的取值范围是（ ）．
A．*x*＜－2或*x*＞2 B． *x*＜－2或0＜*x*＜2
C．－2＜*x*＜0或0＜*x*＜2 D．－2＜*x*＜0或*x*＞2
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"15青岛08"，拖动点*D*在*x*轴上运动，观察线段*EF*的两个端点*E*、*F*的位置关系，可以体验到，当－2＜*x*＜0或*x*＞2时，点*E*在点*F*的上方．
**答案** D．如图2所示．
图2
**例2 2014年苏州市中考第18题**
如图1，直线l与半径为4的⊙*O*相切于点*A*，*P*是⊙*O*上一个动点（不与点*A*重合），过点*P*作*PB*⊥*l*，垂足为*B*，联结*PA*．设*PA*＝*x*，*PB*＝*y*，则(*x*－*y*)的最大值是\_\_\_\_\_．
图1
**动感体验**
请打开几何画板文件名"14苏州18"，拖动点*P*在圆上运动一周，可以体验到，*AF*的长可以表示*x*－*y*，点*F*的轨迹象两叶新树丫，当*AF*最大时，*OF*与*AF*垂直（如图2）．
**答案** 2．思路如下：如图3，*AC*为⊙*O*的直径，联结*PC*．
由△*ACP*∽△*PAB*，得，即．所以．
因此．
所以当*x*＝4时，*x*－*y*最大，最大值为2．
图2 图3
| 1 | |
**抽屉原理(一)**
我们在四年级已经学过抽屉原理，并能够解答一些简单的 抽屉原理问题。这两讲先复习一下抽屉原理的概念，然后结合一些较复杂的抽屉原理问题，讨论如何构造抽屉。
** 抽屉原理1将多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。**
** 抽屉原理2将多于m×n件物品任意放到到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m+1）件。**
理解抽屉原理要注意几点：(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。
（2）"任意放"的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。
（3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，"至少有一个"的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。
（4）将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n= m......b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。
** 例1** 五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间。问：至少有几名学生的成绩相同？
** 分析与解**：关键是构造合适的抽屉。既然是问"至少有几名学生的成绩相同"，说明应以成绩为抽屉，学生为物品。除3名成绩在60分以下的学生外，其余成绩均在75～95分之间，75～95共有21个不同分数，将这21个分数作为21个抽屉，把47-3=44（个）学生作为物品。
44÷21= 2......2，
根据抽屉原理2，至少有1个抽屉至少有3件物品，即这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。
** 例2** 夏令营组织2000名营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。规定每人必须参加一项或两项活动。那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同？
** 分析与解**：本题的抽屉不是那么明显，因为问的是"至少有几名营员参加的活动项目完全相同"，所以应该把活动项目当成抽屉，营员当成物品。营员数已经有了，现在的问题是应当搞清有多少个抽屉。
因为"每人必须参加一项或两项活动"，共有3项活动，所以只参加一项活动的有3种情况，参加两项活动的有爬山与参观、爬山与海滩游玩、参观与海滩游玩3种情况，所以共有3+3=6（个）抽屉。
2000÷6=333......2，
根据抽屉原理2，至少有一个抽屉中有333+1=334（件）物品，即至少有334名营员参加的活动项目是相同的。
** 例3**把125本书分给五（2）班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？
** 分析与解**：这道题一下子不容易理解，我们将它变变形式。因为是把书分给学生，所以学生是抽屉，书是物品。本题可以变为：125件物品放入若干个抽屉，无论怎样放，至少有一个抽屉中放有4件物品，求最多有几个抽屉。这个问题的条件与结论与抽屉原理2正好相反，所以反着用抽屉原理2即可。由 1255÷（4-1）＝41......2知，125件物品放入41个抽屉，至少有一个抽屉有不少于4件物品。也就是说这个班最多有41人。
同学们想一想，如果有42个人，还能保证至少有一人分到至少4本书吗？
** 例4**五（1）班张老师在一次数学课上出了两道题，规定每道题做对得2分，没做得1分，做错得0分。张老师说：可以肯定全班同学中至少有6名学生各题的得分都相同。那么，这个班最少有多少人？
** 分析与解**：由"至少有6名学生各题的得分都相同"看出，应该以各题得分情况为抽屉，学生为物品。
如果用（a，b）表示各题的得分情况，其中a，b分别表示第一、二题的得分，那么有
（2，2），（2，1），（2，0），（1，2），（1，1），
（1，0），（0，2），（0，1），（0，0）
9种情况，即有9个抽屉。
本题变为：已知9个抽屉中至少有一个抽屉至少有6件物品，求至少有多少件物品。反着用抽屉原理2，得到至少有9×（6－1）+1=46(人)。
例3与例4尽管都是求学生人数，但因为问题不同，所以构造的抽屉也不同，例3中将学生作为抽屉，例4中则将学生作为物品。可见利用抽屉原理解题，应根据问题灵活构造抽屉。一般地，当问"最少有多少××"时，应将××作为物品，如例1，2，4；当问"最多有多少××时，应将××作为抽屉，如例3。
** 例5**任意将若干个小朋友分为五组。证明：一定有这样的两组，两组中的男孩总数与女孩总数都是偶数。
** 分析与解**：因为一组中的男孩人数与女孩人数的奇偶性只有下面四种情况：
（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶）。
将这四种情况作为4个抽屉，五组作为5件物品，由抽屉原理1知，至少有一个抽屉中有两件物品。即这五组中至少有两组的情况相同，将这两组人数相加，男孩人数与女孩人数都是偶数。
**练习29**
1.某单位购进92箱桔子，每箱至少110个，至多138个，现将桔子数相同的作为一组，箱子数最多的一组至少有几箱？
2.幼儿园小朋友分200块饼干，无论怎样分都有人至少分到8块饼干，这群小朋友至多有多少名？
3.有若干堆分币，每堆分币中没有币值相同的分币。任意挑选多少堆分币，才能保证一定有两堆分币的组成是相同的？
4.图书馆有甲、乙、丙、丁四类图书，规定每个同学最多可以借两本不同类的图书，至少有多少个同学借书，才能保证有两个人所借的图书类别相同？
5.我国人口已超过12亿，如果人均寿命不超过75岁，那么我国至少有两个人出生的时间相差不会超过2秒钟。这个结论是否正确？
6.红光小学五（2）班选两名班长。投票时，每个同学只能从4名候选人中挑选2名。这个班至少应有多少个同学，才能保证有8个或8个以上的同学投了相同的2名候选人的票？
7.把135块饼干分给16个小朋友，若每个小朋友至少要分到一块饼干，那么不管怎样分，一定会有两个小朋友得到的饼干数目相同。为什么？
**抽屉原理（二）**
** 例1**把一个长方形画成3行9列共27个小方格，然后用红、蓝铅笔任意将每个小方格涂上红色或蓝色。是否一定有两列小方格涂色的方式相同？
** 分析与解**：将9列小方格看成9件物品，每列小方格不同的涂色方式看成不同的抽屉。如果涂色方式少于9种，那么就可以得到肯定的答案。涂色方式共有下面8种：
9件物品放入8个抽屉，必有一个抽屉的物品数不少于2件，即一定有两列小方格涂色的方式相同。
** 例2**在任意的四个自然数中，是否总能找到两个数，它们的差是3的倍数？
** 分析与解**：这道题可以将4个自然数看成4件物品，可是却没有明显的抽屉，这就需要根据题目构造合适的抽屉。
因为题目要求两个数的差是3的倍数，当两个数除以3的余数相同时，这两个数的差一定是3的倍数，所以将自然数按除以3的余数分类，可以分为整除、余1、余2三类，将这三类看成3个抽屉。4件物品放入3个抽屉，必有一个抽屉中至少有2件物品，即4个自然数中至少有2个数除以3的余数相同，它们的差是3的倍数。
所以，任意的四个自然数中，总能找到两个数，它们的差是3的倍数。
** 例3** 从1，3，5，7，...，47，49这25个奇数中至少任意取出多少个数，才能保证有两个数的和是52。
** 分析与解**：首先要根据题意构造合适的抽屉。在这25个奇数中，两两之和是52的有12种搭配：
｛3，49｝，｛5，47｝，｛7，45｝，｛9，43｝，
｛11,41｝，｛13，39｝，｛15，37｝，｛17，35｝，
｛19，33｝，｛21，31｝，｛23，29｝，｛25，27｝。
将这12种搭配看成12个抽屉，每个抽屉中有两个数，还剩下一个数1，单独作为一个抽屉。这样就把25个奇数分别放在13个抽屉中了。因为一共有13个抽屉，所以任意取出14个数，无论怎样取，至少有一个抽屉被取出2个数，这两个数的和是52。所以本题的答案是取出14个数。
** 例4**在下图所示的8行8列的方格表中，每个空格分别填上1，2，3这三个数字中的任一个，使得每行、每列及两条对角线上的各个数字的和互不相等，能不能做到？
** 分析与解**：在8行8列的方格表中，8行有8个和，8列也有8个和，2条对角线有2个和，所以一共有8+8+2=18（个）和。因为题目问的是，这18个和能否互不相等，所以这18个和是物品，而和的不同数值是抽屉。
按题目要求，每个和都是由1，2，3三个数中任意选8个相加而得到的。这些和中最小的是8个都是1的数相加，和是8；最大的是8个都是3的数相加，和是24。在8至24之间，不同的和只有24-8+1=17(个)。将这17个不同的和的数值作为抽屉，把各行、列、对角线的18个和作为物品。把18件物品放入17个抽屉，至少有一个抽屉中的物品数不少于2件。也就是说，这18个和不可能互不相等。
** 例5**用1，2，3，4这4个数字任意写出一个10000位数，从这个10000位数中任意截取相邻的4个数字，可以组成许许多多的四位数。这些四位数中至少有多少个是相同的？
** 分析与解**：猛一看，谁是物品，谁是抽屉，都不清楚。因为问题是求相邻的4个数字组成的四位数有多少个是相同的，所以物品应是截取出的所有四位数，而将不同的四位数作为抽屉。
在10000位数中，共能截取出相邻的四位数10000-3=9997（个），
即物品数是9997个。
用1，2，3，4这四种数字可以组成的不同四位数，根据乘法原理有4×4×4×4=256（种），
这就是说有256个抽屉。
9997÷256=39......13，
所以这些四位数中，至少有40个是相同的。
**练习30**
1.红光小学每周星期一、三、五、六各举办一种课外活动，问：至少要有多少学生报名参加，才能保证其中至少有3位学生所参加的课外活动完全一样？
2.任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？
3.在前10个自然数中，至少取多少个数，才能保证其中有两个数的和是10？
4.右图是一个5行5列的方格表，能否在每个方格中分别填上1，2，3中的一个数，使得每行、每列及两条对角线上的五个方格中的数字之和互不相同？
5.要把85个球放入若干个盒子中，每个盒子中最多放7个。问：至少有几个盒子中放球的数目相同？
6.至少取出多少个真分数，才可以保证其中必有两个真分数之差小于
**练习29**
1.4箱。提示：92÷（138-110+1）=3......5。
2.28人。提示：200÷（8-1）=28......4。
3.8堆。
提示：每堆只有一枚分币的有1分、2分、5分三种情况，每堆有两枚分币的有1分与2分，1分与5分，2分与5分三种情况，每堆有三枚分币的只有一种情况。将这3+3+1=7（种）情况作为7个抽屉。
4.11人。
提示：四类书至多借2本的借法有：
甲，乙，丙，丁，甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共10种。将这10种借法看成10个抽屉。
5.正确。
提示：75年约有60×60×24×366×75≈23.72（亿秒），以每2秒为一个抽屉，共有23.72÷2=11.86亿（个）抽屉，将12亿件物品放入11.86亿个抽屉，至少有一个抽屉有不少于2件物品，即至少有两人的出生时间在两秒之内。
6.43人。
提示：从4名候选人中选出2名，共有3+2+1=6（种）不同的选法。将这6种选法作为抽屉，全班学生作为物品，至少应有6×（8-1）+1=43（件）物品。
7.提示：假设16个小朋友每人分到的饼干数目都不相同，则至少有1+2+3+...+16=136（块）饼干，现在只有135块饼干，所以假设不成立。
**练习30**
1.31名。
提示：只参加一次活动的有4种选择；
参加两次活动的有下面6种选择：
｛星期一、三｝，｛星期一、五｝，｛星期一、六｝，
｛星期三、五｝，｛星期三、六｝，｛星期五、六｝；
参加三次活动的有下面4种选择，
｛星期一、三、五｝，｛星期一、三、六｝，
｛星期一、五、六｝，｛星期三、五、六｝；
参加四次活动的有1种选择。
共有4+6+4+1=15（种）选择。
2.8。
提示：与例2类似，按除以7的余数将自然数分为7类。
3.7。
提示：与例3类似，分下面6个抽屉：(1，9)，(2，8)，(3，7)，(4，6)，(5)，(10)。
4.不能。提示：与例4类似。
5.4个。
提示：每盒放1，2，3，4，5，6，7个球，这样的七盒共放球
1+2+3+4+5+6+7=28（个），
85÷28=3......1，
所以至少有4个盒中的球数相同。
6.11个。
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**北师大版小学六年级上册数学期末测试卷十（附答案）**
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优 良 达标 待达标
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一、填空题。20分
1、2小时=（ ）小时（ ）分 3040立方厘米=（ ）立方分米
2、=15÷（ ）=（ ）÷30=七五折=（ ）%
3、圆的周长是6.28分米，那么半圆的周长是（ ）分米。
4、把3.14、31.4%、3、三成四、π五个数从大到小排列（）﹥（）﹥（）﹥（）﹥（）﹥ 来源：www.bcjy123.com/tiku/
5、40米的正好是50米的（ ）%。48米减少后是（ ）米。
6、甲数是，比乙数少20%，乙数是（ ）。
7、把5米长的绳子平均剪成8段，每段长是（ ）米，每段是全长的（ ）。
8、 六（3）班今天有48人到校上课，有2人请假， 六（3）班今天的出勤率是（ ）%。
9、一根绳子第一次用去20%，第二次又用去余下的20%，两次相差2米。这根绳原来的长( )米。
**二、我是小法官，对错我来断。10分**
1、如果A和B互为倒数，那么1÷A=B。..............................（ ）
2、10克糖溶于100克水中，糖占糖水的10%。..................（ ）
> 3、质检部门在市场上抽查是发现：40箱苹果汁中只有30箱合格，50箱荔枝汁中只有35箱合格，因此，荔枝汁的合格率高于苹果汁。..................（ ） 4、120千克的就是90。..............................（ ）
5、甲数比乙数多20％，乙数就比甲数少20％............ （ ）
三、请你选一选。（把正确答案的序号填入括号里）10分
1、用一块长12米、宽8米的长方形铁皮剪成半径是1．5米的小圆（不能剪拼），至多能做{ }个。A、11个 B、8个 C、10个 D、13个
2、一个三角行的底与高都增加10%，新三角形的面积比原来三角形的增加（ ）
A、20% B、21% C、120% D、121%
3、某人小时步行千米，求步行一千米需要多少小时？算式是( )
A、÷ B、÷ C、÷ D、÷
4、如右图，以大圆的半径为直径画一小圆，大圆的周长是小圆周长
的( )倍。A、2 B、4 C、6 D、8
5、一根绳子，王明剪去了，李东剪去了米，两人剪的( )
A、王明剪的多 B、李东剪的多 C、两人剪的一样多 D、无法比较
四、计算部分。21分
1、直接写出得数。
1÷× = 3：0.9= 9.9×100%=
100×9.8﹢0.2= .﹢﹢ 0.150%÷25%==9×8= 0.1＋99×0.1=125×29×8= 0.1＋99
3、灵活计算。
× ＋ × ×0.375＋÷
（－）×54 12.5×0.32×25
五、看图填空或回答问题。13分
1、观察左面的物体，分别画出从正面、上面、左面看到的立体图形的形状。
正面 上面 左面
2、在正三角形中，BC=16cm,AE=8cm.求阴影部分的面积。
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六、解决生活中的问题。26分
1.有一个周长62.8米的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷水龙头进行喷灌，现有射程为20米、15米、10米的三种装置。你认为应选哪种射程的装置比较合适？应安装在什么地方最好？
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2. 一个打字员打一篇稿件。第1天打了总数的1/4，第2天打了总数的40%，第2天比第1天多打6页。这篇稿件共有多少页？
3. 一件风衣现在售价为210元，比原来售价降低了30%，，这件风衣原来售价多少元？
4. 王叔叔一次稿酬所得是3000元，按规定减去800元后的部分按20%的税率缴纳个人所得税。王叔叔应缴纳个人所得税多少元？
5、一块长方形地周长400米，长和宽的比是3：2，这块地的面积是多少平方米？
夺冠平台：
如图四边形ABCD是平行四边形，圆O的半径r=3cm。求阴影部分面积。
**命题意图：**
这份试题在紧扣全册教材的同时力求突出第十一册教材的重点内容即圆的认识和有关百分数的应用，将生活和数学知识有机地整合，体现了新课改所倡导的培养学生的应用意识。
**典型试题例说：**
第五大题和夺冠平台在解题过程中渗透了移位的思想，拓展了学生的解题思路。
**试题结构特点：**
这份试题由概念部分、计算部分和应用部分组成。其中概念部分占40％，计算部分占30％，应用部分占30％。从难度值分析，简单题占50％，中等题占40％，难题占10％，难易适中。
**参考答案：**
一、（1）、2 15 3.04 （2） 54 20 22.5 75 （3）、5.14
（4）3＞π＞3.14＞三成四＞31.4％（5）16 36（6）（7）
（8）96 (9) 50
二、1、√ 2、× 3、× 4、× 5、×
三、1、B 2、B 3、B 4、A 5、D
四、1、 3 9.9 980.2 2
2、 4 100
五、1、略 2、100.48平方厘米
六、1、10米 圆心 2、40页 3、 300元
4、440元 5、9600平方米
夺冠平台 9平方厘米
评分标准
一、共20分，每空1分
二、共10分，每道2分
三、共10分，每道2分
四、共21分，1 5分 2、16分
五、共13分，1、9分 2、4分
六、共26分，前4道各5分 第5道6分 附加题：6分 总分一百分
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**2015年北京市高考数学试卷（文科）**
**一、选择题（每小题5分,共40分）**
1．（5分）若集合A={x\|﹣5＜x＜2}，B={x\|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（ ）
A．{x\|﹣3＜x＜2} B．{x\|﹣5＜x＜2} C．{x\|﹣3＜x＜3} D．{x\|﹣5＜x＜3}
2．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（ ）
A．（x﹣1）^2^+（y﹣1）^2^=1 B．（x+1）^2^+（y+1）^2^=1 C．（x+1）^2^+（y+1）^2^=2 D．（x﹣1）^2^+（y﹣1）^2^=2
3．（5分）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．y=x^2^sinx B．y=x^2^cosx C．y=\|lnx\| D．y=2^﹣x^
4．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ）
---------- ------
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1800
青年教师 1600
合计 4300
---------- ------
A．90 B．100 C．180 D．300
5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（5分）设，是非零向量，"=\|\|\|\|"是""的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况
--------------- -------------- --------------------------
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
2015年5月1日 12 35000
2015年5月15日 48 35600
--------------- -------------- --------------------------
注："累计里程"指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （ ）
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
**二、填空题**
9．（5分）复数i（1+i）的实部为[ ]{.underline}．
10．（5分）2^﹣3^，，log~2~5三个数中最大数的是[ ]{.underline}．
11．（5分）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=[ ]{.underline}．
12．（5分）已知（2，0）是双曲线x^2^﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=[ ]{.underline}．
13．（5分）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为[ ]{.underline}．
14．（5分）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是[ ]{.underline}；
②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是[ ]{.underline}．
**三、解答题（共80分）**
15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣2sin^2^．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间\[0，\]上的最小值．
16．（13分）已知等差数列{a~n~}满足a~1~+a~2~=10，a~4~﹣a~3~=2
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）设等比数列{b~n~}满足b~2~=a~3~，b~3~=a~7~，问：b~6~与数列{a~n~}的第几项相等？
17．（13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中"√"表示购买，"×"表示未购买．
----- ---- ---- ---- ----
甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
----- ---- ---- ---- ----
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
18．（14分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．
19．（13分）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，\]上仅有一个零点．
20．（14分）已知椭圆C：x^2^+3y^2^=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．
**2015年北京市高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（每小题5分,共40分）**
1．（5分）若集合A={x\|﹣5＜x＜2}，B={x\|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（ ）
A．{x\|﹣3＜x＜2} B．{x\|﹣5＜x＜2} C．{x\|﹣3＜x＜3} D．{x\|﹣5＜x＜3}
【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可．
【解答】解：集合A={x\|﹣5＜x＜2}，B={x\|﹣3＜x＜3}，
则A∩B={x\|﹣3＜x＜2}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的交集的运算法则，考查计算能力．
2．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（ ）
A．（x﹣1）^2^+（y﹣1）^2^=1 B．（x+1）^2^+（y+1）^2^=1 C．（x+1）^2^+（y+1）^2^=2 D．（x﹣1）^2^+（y﹣1）^2^=2
【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．
【解答】解：由题意知圆半径r=，
∴圆的方程为（x﹣1）^2^+（y﹣1）^2^=2．
故选：D．
【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．
3．（5分）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．y=x^2^sinx B．y=x^2^cosx C．y=\|lnx\| D．y=2^﹣x^
【分析】首先从定义域上排除选项C，然后在其他选项中判断﹣x与x的函数值关系，相等的就是偶函数．
【解答】解：对于A，（﹣x）^2^sin（﹣x）=﹣x^2^sinx；是奇函数；
对于B，（﹣x）^2^cos（﹣x）=x^2^cosx；是偶函数；
对于C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数；
对于D，定义域为R，但是2^﹣（﹣x）^=2^x^≠2^﹣x^，2^x^≠﹣2^﹣x^；是非奇非偶的函数；
故选：B．
【点评】本题考查了函数奇偶性的判断；首先判断定义域是否关于原点对称；如果不对称，函数是非奇非偶的函数；如果对称，再判断f（﹣x）与f（x） 关系，相等是偶函数，相反是奇函数．
4．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ）
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类别 人数
老年教师 900
中年教师 1800
青年教师 1600
合计 4300
---------- ------
A．90 B．100 C．180 D．300
【分析】由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，即可得出结论．
【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，
因为青年教师有320人，所以老年教师有180人，
故选：C．
【点评】本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，k的值，当a=时满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
k=0，a=3，q=
a=，k=1
不满足条件a＜，a=，k=2
不满足条件a＜，a=，k=3
不满足条件a＜，a=，k=4
满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
6．（5分）设，是非零向量，"=\|\|\|\|"是""的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由便可得到夹角为0，从而得到∥，而∥并不能得到夹角为0，从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．
【解答】解：（1）；
∴时，cos=1；
∴；
∴∥；
∴""是"∥"的充分条件；
（2）∥时，的夹角为0或π；
∴，或﹣；
即∥得不到；
∴""不是"∥"的必要条件；
∴总上可得""是"∥"的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义．
7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案
【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，
底面为正方形如图：
其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形
∴PB=1，AB=1，AD=1，
∴BD=，PD==．
PC═
该几何体最长棱的棱长为：
故选：C．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键
8．（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况
--------------- -------------- --------------------------
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
2015年5月1日 12 35000
2015年5月15日 48 35600
--------------- -------------- --------------------------
注："累计里程"指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （ ）
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
【分析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量．
【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8；
故选：B．
【点评】本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力．
**二、填空题**
9．（5分）复数i（1+i）的实部为[ ﹣1 ]{.underline}．
【分析】直接利用复数的乘法运算法则，求解即可．
【解答】解：复数i（1+i）=﹣1+i，
所求复数的实部为：﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．
10．（5分）2^﹣3^，，log~2~5三个数中最大数的是[ log~2~5 ]{.underline}．
【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，可得0＜2^﹣3^＜1，1＜＜2，log~2~5＞log~2~4=2，即可得到最大数．
【解答】解：由于0＜2^﹣3^＜1，1＜＜2，
log~2~5＞log~2~4=2，
则三个数中最大的数为log~2~5．
故答案为：log~2~5．
【点评】本题考查数的大小比较，主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用，属于基础题．
11．（5分）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由正弦定理可得sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角B．
【解答】解：由正弦定理可得，
=，
即有sinB===，
由b＜a，则B＜A，
可得B=．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的边角关系，属于基础题．
12．（5分）已知（2，0）是双曲线x^2^﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】求得双曲线x^2^﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），可得b的方程，即可得到b的值．
【解答】解：双曲线x^2^﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），
由题意可得=2，
解得b=．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点的求法，属于基础题．
13．（5分）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为[ 7 ]{.underline}．
【分析】利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：由z=2x+3y，得y=，
平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大．
即A（2，1）．
此时z的最大值为z=2×2+3×1=7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
14．（5分）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是[ 乙 ]{.underline}；
②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是[ 数学 ]{.underline}．
【分析】（1）根据散点图1分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次；
（2）根据散点图2，观察丙的对应的坐标，如果横坐标大于纵坐标，说明总成绩名次大于数学成绩名次，反之小于．
【解答】解：由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知，两个图中，同一个人的总成绩是不会变的．从第二个图看，丙是从右往左数第5个点，即丙的总成绩在班里倒数第5．在左边的图中，找到倒数第5个点，它表示的就是丙，发现这个点的位置比右边图中丙的位置高，所以语文名次更"大"
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙；
②观察散点图，作出对角线y=x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学；
故答案为：乙；数学．
【点评】本题考查了对散点图的认识；属于基础题．
**三、解答题（共80分）**
15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣2sin^2^．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间\[0，\]上的最小值．
【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函数的周期性及其求法即可得解；
（2）由x∈\[0，\]，可求范围x+∈\[，π\]，即可求得f（x）的取值范围，即可得解．
【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin^2^
=sinx﹣2×
=sinx+cosx﹣
=2sin（x+）﹣
∴f（x）的最小正周期T==2π；
（2）∵x∈\[0，\]，
∴x+∈\[，π\]，
∴sin（x+）∈\[0，1\]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈\[﹣，2﹣\]，
∴可解得f（x）在区间\[0，\]上的最小值为：﹣．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．
16．（13分）已知等差数列{a~n~}满足a~1~+a~2~=10，a~4~﹣a~3~=2
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）设等比数列{b~n~}满足b~2~=a~3~，b~3~=a~7~，问：b~6~与数列{a~n~}的第几项相等？
【分析】（I）由a~4~﹣a~3~=2，可求公差d，然后由a~1~+a~2~=10，可求a~1~，结合等差数列的通项公式可求
（II）由b~2~=a~3~=8，b~3~=a~7~=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b~6~，结合（I）可求
【解答】解：（I）设等差数列{a~n~}的公差为d．
∵a~4~﹣a~3~=2，所以d=2
∵a~1~+a~2~=10，所以2a~1~+d=10
∴a~1~=4，
∴a~n~=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，...）
（II）设等比数列{b~n~}的公比为q，
∵b~2~=a~3~=8，b~3~=a~7~=16，
∴
∴q=2，b~1~=4
∴=128，而128=2n+2
∴n=63
∴b~6~与数列{a~n~}中的第63项相等
【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易．
17．（13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中"√"表示购买，"×"表示未购买．
----- ---- ---- ---- ----
甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
----- ---- ---- ---- ----
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
【分析】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率．
（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率．
（3）在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论．
【解答】解：（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，
故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．
（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），
故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．
（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，
同时购买甲和丙的概率为=0.6，
同时购买甲和丁的概率为=0.1，
故同时购买甲和丙的概率最大．
【点评】本题主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的应用，属于基础题．
18．（14分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．
【分析】（1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；
（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB
（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．
【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM∥VB，
∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
∴VB∥平面MOC；
（2）∵AC=BC，O为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，
∴OC⊥平面VAB，
∵OC⊂平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB
（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，
∴S~△VAB~=，
∵OC⊥平面VAB，
∴V~C﹣VAB~=•S~△VAB~=，
∴V~V﹣ABC~=V~C﹣VAB~=．
【点评】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键．
19．（13分）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，\]上仅有一个零点．
【分析】（1）利用f\'（x）≥0或f\'（x）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；
（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．
【解答】解：（1）由f（x）=
f\'（x）=x﹣
由f\'（x）=0解得x=
f（x）与f\'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：
---------- --------------------------------------------- -------------------------------------- ------------------------------------------
X （0，）  （）
f\'（x） ﹣ 0 \+
f（x） ↓  ↑
---------- --------------------------------------------- -------------------------------------- ------------------------------------------
所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；
f（x）在x=处的极小值为f（）=，无极大值．
（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=．
因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e
当k=e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）=0
所以x=是f（x）在区间（1，）上唯一零点．
当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，
所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．
综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，\]上仅有一个零点．
【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型．
20．（14分）已知椭圆C：x^2^+3y^2^=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；
（2）通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；
（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．
【解答】解：（1）∵椭圆C：x^2^+3y^2^=3，
∴椭圆C的标准方程为：+y^2^=1，
∴a=，b=1，c=，
∴椭圆C的离心率e==；
（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，
∴可设A（1，y~1~），B（1，﹣y~1~），
∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1=（1﹣y~1~）（x﹣2），
令x=3，得M（3，2﹣y~1~），
∴直线BM的斜率k~BM~==1；
（3）结论：直线BM与直线DE平行．
证明如下：
当直线AB的斜率不存在时，由（2）知k~BM~=1，
又∵直线DE的斜率k~DE~==1，∴BM∥DE；
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1），
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
则直线AE的方程为y﹣1=（x﹣2），
令x=3，则点M（3，），
∴直线BM的斜率k~BM~=，
联立，得（1+3k^2^）x^2^﹣6k^2^x+3k^2^﹣3=0，
由韦达定理，得x~1~+x~2~=，x~1~x~2~=，
∵k~BM~﹣1=
=
=
=0，
∴k~BM~=1=k~DE~，即BM∥DE；
综上所述，直线BM与直线DE平行．
【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
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**2019年四川省成都市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共10个小題，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡**
1．（3分）（2019•成都）比大5的数是
A． B． C．2 D．8
2．（3分）（2019•成都）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是
A． B．
C． D．
3．（3分）（2019•成都）2019年4月10日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系的中心，距离地球约5500万光年．将数据5500万用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•成都）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为
A． B． C． D．．
5．（3分）（2019•成都）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若，则的度数为
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•成都）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
7．（3分）（2019•成都）分式方程的解为
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•成都）某校开展了主题为"青春梦想"的艺术作品征集活动．从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是
A．42件 B．45件 C．46件 D．50件
9．（3分）（2019•成都）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重命），则的度数为
A． B． C． D．
10．（3分）（2019•成都）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是
A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
**二、填空题（术大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）**
11．（4分）（2019•成都）若与互为相反数，则的值为[ ]{.underline}．
12．（4分）（2019•成都）如图，在中，，点，都在边上，，若，则的长为[ ]{.underline}．
13．（4分）（2019•成都）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是[ ]{.underline}．
14．（4分）（2019•成都）如图，的对角线与相交于点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点．若，则线段的长为[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共6个小题，共54分解答过程写在答题卡上**
15．（12分）（2019•成都）（1）计算：．
（2）解不等式组：
16．（6分）（2019•成都）先化简，再求值：，其中．
17．（8分）（2019•成都）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了"你对哪类在线学习方式最感兴趣"的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中"在线讨论"对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．
18．（8分）（2019•成都）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼处，测得起点拱门的顶部的俯角为，底部的俯角为，如果处离地面的高度米，求起点拱门的高度．（结果精确到1米；参考数据：，，
19．（10分）（2019•成都）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积．
20．（10分）（2019•成都）如图，为的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径；
（3）在（2）的条件下，过点作的切线，交的延长线于点，过点作交于，两点（点在线段上），求的长．
**一、B卷填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）**
21．（4分）（2019•成都）估算：[ ]{.underline}（结果精确到
22．（4分）（2019•成都）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为[ ]{.underline}．
23．（4分）（2019•成都）一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则盒子中原有的白球的个数为[ ]{.underline}
24．（4分）（2019•成都）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到△，分别连接，，，则的最小值为[ ]{.underline}．
25．（4分）（2019•成都）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点为"整点"，已知点的坐标为，点在轴的上方，的面积为，则内部（不含边界）的整点的个数为[ ]{.underline}．
**二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）**
26．（8分）（2019•成都）随着技术的发展，人们对各类产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第为正整数）个销售周期每台的销售价格为元，与之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与之间的关系式；
（2）设该产品在第个销售周期的销售数量为（万台），与的关系可以用来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
27．（10分）（2019•成都）如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．
（1）求证：；
（2）当时（如图，求的长；
（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
28．（12分）（2019•成都）如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到△，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；
（3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式．
**2019年四川省成都市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共10个小題，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡**
1．（3分）比大5的数是
A． B． C．2 D．8
【考点】19：有理数的加法
【分析】比大5的数是，根据有理数的加法法则即可求解．
【解答】解：．
故选：．
2．（3分）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是
A． B．
C． D．
【考点】：简单组合体的三视图
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有1个正方形，如图所示：
故选：．
3．（3分）2019年4月10日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系的中心，距离地球约5500万光年．将数据5500万用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】：科学记数法表示较大的数
【分析】根据科学记数法的表示形式即可
【解答】解：
科学记数法表示：5500万
故选：．
4．（3分）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为
A． B． C． D．．
【考点】：坐标与图形变化平移
【分析】把点的横坐标减去2，纵坐标不变得到点平移后的对应点的坐标．
【解答】解：点向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为．
故选：．
5．（3分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若，则的度数为
A． B． C． D．
【考点】：平行线的性质；：等腰直角三角形
【分析】根据平行线的性质，即可得出，再根据等腰直角三角形中，，即可得到．
【解答】解：，
，
又等腰直角三角形中，，
，
故选：．
6．（3分）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【考点】：整式的混合运算
【分析】注意到选项中，与不属于同类项，不能合并；选项为积的乘方，选项为完全平方公式，选项为单项式除法，运用相应的公式进行计算即可．
【解答】解：
选项，与不属于同类项，不能合并，选项错误，
选项，积的乘方，选项错误，
选项，完全平方公式，选项错误
选项，单项式除法，计算正确
故选：．
7．（3分）分式方程的解为
A． B． C． D．
【考点】：解分式方程
【分析】先把整式方程化为分式方程求出的值，再代入最简公分母进行检验即可．
【解答】解：方程两边同时乘以得，，
解得，
把代入原方程的分母均不为0，
故是原方程的解．
故选：．
8．（3分）某校开展了主题为"青春梦想"的艺术作品征集活动．从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是
A．42件 B．45件 C．46件 D．50件
【考点】：中位数
【分析】将数据从小到大排列，根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：将数据从小到大排列为：42，45，46，50，50，
中位数为46，
故选：．
9．（3分）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重命），则的度数为
A． B． C． D．
【考点】：正多边形和圆；：圆周角定理
【分析】连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
【解答】解：如图，连接，．
是正五边形，
，
，
故选：．
10．（3分）如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是
A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
【考点】：二次函数图象与系数的关系；：二次函数图象上点的坐标特征
【分析】二次函数
①常数项决定抛物线与轴交点． 抛物线与轴交于．
②抛物线与轴交点个数．
△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
【解答】解：．由于二次函数的图象与轴交于正半轴，所以，故错误；
．二次函数的图象与轴由2个交点，所以，故错误；
．当时，，即，故错误；
．因为，，所以对称轴为直线，故正确．
故选：．
**二、填空题（术大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）**
11．（4分）若与互为相反数，则的值为[ 1 ]{.underline}．
【考点】14：相反数；86：解一元一次方程
【分析】根据"与互为相反数"，得到关于的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：根据题意得：
，
解得：，
故答案为：1．
12．（4分）如图，在中，，点，都在边上，，若，则的长为[ 9 ]{.underline}．
【考点】：等腰三角形的性质
【分析】利用等腰三角形的性质和题目的已知条件证得后即可求得的长．
【解答】解：，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：9．
13．（4分）已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是[ ]{.underline}．
【考点】：一次函数图象与系数的关系
【分析】根据，，时，函数图象经过第一、二、四象限，则有即可求解；
【解答】解：的图象经过第一、二、四象限，
，
；
故答案为；
14．（4分）如图，的对角线与相交于点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点．若，则线段的长为[ 4 ]{.underline}．
【考点】：平行四边形的性质；：作图复杂作图
【分析】利用作法得到，则，利用平行四边形的性质判断为的中位线，从而得到的长．
【解答】解：由作法得，
，
四边形为平行四边形，
，
，
为的中位线，
．
故答案为4．
**三、解答题（本大题共6个小题，共54分解答过程写在答题卡上**
15．（12分）（1）计算：．
（2）解不等式组：
【考点】：特殊角的三角函数值；：解一元一次不等式组；：零指数幂；：实数的运算
【分析】（1）本题涉及零指数幂、平方根、绝对值、特殊角的三角函数4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：（1）原式，
，
．
（2）
由①得，，
由②得，，
所以，不等式组的解集是．
16．（6分）先化简，再求值：，其中．
【考点】：分式的化简求值
【分析】可先对进行通分，可化为，再利用除法法则进行计算即可
【解答】解：
原式
将代入原式
17．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了"你对哪类在线学习方式最感兴趣"的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中"在线讨论"对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．
【考点】：用样本估计总体；：扇形统计图；：条形统计图
【分析】（1）根据在线答题的人数和所占的百分比即可求得本次调查的人数，然后再求出在线听课的人数，即可将条形统计图补充完整；
（2）根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中"在线讨论"对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据统计图中的数据可以求得该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为：，
在线听课的人数为：，
补全的条形统计图如右图所示；
（2）扇形统计图中"在线讨论"对应的扇形圆心角的度数是：，
即扇形统计图中"在线讨论"对应的扇形圆心角的度数是；
（3）（人，
答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有560人．
18．（8分）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼处，测得起点拱门的顶部的俯角为，底部的俯角为，如果处离地面的高度米，求起点拱门的高度．（结果精确到1米；参考数据：，，
【考点】：解直角三角形的应用仰角俯角问题
【分析】作于，根据矩形的性质得到，，根据正切的定义求出，结合图形计算即可．
【解答】解：作于，
则四边形为矩形，
，，
在中，，
，
在中，，
，
，
答：起点拱门的高度约为6米．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）联立方程求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）联立方程求得交点的坐标，进而求得直线与轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）由得，
，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式是；
（2）解得或，
，
由直线的解析式为得到直线与轴的交点为，
．
20．（10分）如图，为的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径；
（3）在（2）的条件下，过点作的切线，交的延长线于点，过点作交于，两点（点在线段上），求的长．
【考点】：切线的性质
【分析】（1）由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，即可证；
（2）通过证明，可得，可得，由勾股定理可求的长，即可求的半径；
（3）过点作于点，连接，通过证明，可得，可求，即可求的长，通过证明，
可求，的长，由勾股定理可求的长，即可求的长．
【解答】证明：（1）
（2）连接，
，，
，且
，
是直径
的半径为
（3）如图，过点作于点，连接，
是切线，
，且
，且
，
，且
即
，
**一、B卷填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）**
21．（4分）估算：[ 6 ]{.underline}（结果精确到
【考点】22：算术平方根；：近似数和有效数字
【分析】根据二次根式的性质解答即可．
【解答】解：，
，
．
故答案为：6
22．（4分）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为[ ]{.underline}．
【考点】：根与系数的关系
【分析】根据"，是关于的一元二次方程的两个实数根，且"，结合根与系数的关系，列出关于的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：根据题意得：，，
，
，
故答案为：．
23．（4分）一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则盒子中原有的白球的个数为[ 20 ]{.underline}
【考点】：概率公式
【分析】设盒子中原有的白球的个数为个，根据题意列出分式方程，解此分式方程即可求得答案．
【解答】解：设盒子中原有的白球的个数为个，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解；
盒子中原有的白球的个数为20个．
故答案为：20；
24．（4分）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到△，分别连接，，，则的最小值为[ ]{.underline}．
【考点】：轴对称最短路线问题；：等边三角形的判定与性质；：菱形的性质；：平移的性质
【分析】根据菱形的性质得到，，根据平移的性质得到，，当时，的值最小，推出四边形是矩形，，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：在边长为1的菱形中，，
，，
将沿射线的方向平移得到△，
，，
当时，的值最小，
，，，，
，，
四边形是矩形，
，
，，
的最小值为，
故答案为：．
25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点为"整点"，已知点的坐标为，点在轴的上方，的面积为，则内部（不含边界）的整点的个数为[ 4或5或6 ]{.underline}．
【考点】：三角形的面积；：坐标与图形性质
【分析】根据面积求出点的纵坐标是3，结合平面直角坐标系，多画些图可以观察到整数点的情况；
【解答】解：设，
点的坐标为，
，
的面积，
，
结合图象可以找到其中的一种情况：（以一种为例）
当时，有6个整数点；
当时，有5个整数点；
当时，有4个整数点；
可知有6个或5个或4个整数点；
故答案为4或5或6；
**二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）**
26．（8分）随着技术的发展，人们对各类产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第为正整数）个销售周期每台的销售价格为元，与之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与之间的关系式；
（2）设该产品在第个销售周期的销售数量为（万台），与的关系可以用来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
【考点】：二次函数的应用
【分析】（1）根据函数图象上的两点坐标，用待定系数法求出函数的解析式便可；
（2）设销售收入为万元，根据销售收入销售单价销售数量和，列出与的函数关系式，再根据函数性质求得结果．
【解答】解：（1）设函数的解析式为：，由图象可得，
，
解得，，
与之间的关系式：；
（2）设销售收入为万元，根据题意得，
，
即，
当时，有最大值为16000，
此时（元
答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．
27．（10分）如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．
（1）求证：；
（2）当时（如图，求的长；
（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
【考点】：相似形综合题
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）解直角三角形求出，由，推出，可得，由，推出，求出即可．
（3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得．作于，于，于．则，由，可得，推出，推出，再利用等腰三角形的性质，求出即可解决问题．
【解答】（1）证明：，
，
，，
，
．
（2）解：如图2中，作于．
在中，设，则，
由勾股定理，得到，
，
或（舍弃），
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得．
理由：作于，于，于．则，
四边形为矩形，
，，
，，
，
在中，由勾股定理，得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形，
，
，
，
点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时．
28．（12分）如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到△，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；
（3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式．
【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）根据待定系数法，把点，，的坐标代入得到方程组求解即可；
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，，由翻折得，求出的长，可得，求出的长，则坐标可求；
（3）由题意可知△为等边三角形，分两种情况讨论：①当点在轴的上方时，点在轴上方，连接，．证出△，可得垂直平分，则点在直线上，可求出直线的解析式，②当点在轴的下方时，点在轴下方．同理可求出另一直线解析式．
【解答】解：（1）由题意得：
解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）抛物线与轴交于，，
，抛物线的对称轴为直线，
如图，设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，，
由翻折得，
在中，由勾股定理，得，
点的坐标为，，，
，
由翻折得，
在中，，
点的坐标为．
（3）取（2）中的点，，连接，
，，
△为等边三角形．分类讨论如下：
①当点在轴的上方时，点在轴上方，连接，．
，△为等边三角形，
，，，
，
△，
．
点在抛物线的对称轴上，
，
，
又，
垂直平分，
由翻折可知垂直平分，
点在直线上，
设直线的函数表达式为，
则，解得，
直线的函数表达式为．
②当点在轴的下方时，点在轴下方．
，△为等边三角形，
，，．
，
△，
，
，，
．
，
设与轴相交于点，
在中，，
点的坐标为．
设直线的函数表达式为，
则，解得，
直线的函数表达式为．
综上所述，直线的函数表达式为或．
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**北师大版三年级（下）期中数学试卷**
**一、填空小能手（每空1分，共20分）**
1．称比较重的物品用[ ]{.underline}作单位，称比较轻的物品用[ ]{.underline}作单位．
2．8□4÷4，要使商中间有0，□里最大能填[ ]{.underline}．
3．84个碗，平均分成8桌，每桌[ ]{.underline}个还剩[ ]{.underline}个．
4．644÷8的商是[ ]{.underline}位数，721÷7的商的最高位在[ ]{.underline}位上．
5．31□÷5，要使计算结果没有余数，□中可以填[ ]{.underline}或[ ]{.underline}．
6．从496里连续减去8，减[ ]{.underline}次后为0．
7．1200里面有[ ]{.underline}个6，[ ]{.underline}个4．
8．甲数是35，是乙数5倍，甲、乙两数的和是[ ]{.underline}．
9．拧瓶盖是[ ]{.underline}现象；推拉抽屉是[ ]{.underline}现象．
10．8t=[ ]{.underline}kg
50000g=[ ]{.underline}kg
9t﹣3t=[ ]{.underline}kg．
11．按从小到大的顺序排990g 1kg 2t 200kg
[ ]{.underline}＜[ ]{.underline}＜[ ]{.underline}＜[ ]{.underline}．
**二、判断专家．**
12．轴对称图形一定有对称轴．[ ]{.underline}．（判断对错）
13．0+8，0×0，0÷8这三个算式的结果都是0．[ ]{.underline}．（判断对错）
14．1000g铁比1kg棉花重．[ ]{.underline}（判断对错）
15．被除数的末尾没有0，商的末尾一定没有0．[ ]{.underline}．（判断对错）
16．0除以任何数都得0．[ ]{.underline}．（判断对错）
**三、选一选**
17．口算300÷6时，可以把300看作（ ）
A．3个百 B．30个十 C．300个一
18．两位数乘两位数的积（ ）
A．是三位数
B．是四位数
C．可能是三位数，也可能是四位数
19．最大的三位数的10倍是（ ）
A．99 B．9990 C．999
20．24+0÷8=（ ）
A．24 B．0 C．8
21．比较下面的重量，最重的是（ ）
A．3吨300千克 B．2900千克 C．3330千克
**四、计算小神童**
22．直接写得数．
-------- --------- --------- ---------
69÷3= 0÷8= 185﹣0= 266+34=
70×90= 2100÷7= 22×20= 880÷4=
-------- --------- --------- ---------
23．估算．
322÷4≈
71×59≈
288÷7≈
87×33≈
24．竖式计算
465÷3=
131÷7=
504÷8=
43×12=
25．脱式计算
208÷4÷2
804÷（3×2）
78﹣78÷3．
**五、解答题（共1小题，满分6分）**
26．动手操作画一画．
（1）平行四边形向上平移 4格．
（2）三角形先向下平移3格，再向右平移5格．
（3）画出图3的对称图形．
**六、解决问题**
27．做一套校服用布3米，640米布最多能做多少套这样的校服？
28．5箱蜜蜂一年可以酿375千克蜂蜜，照这样计算，9箱蜜蜂一年可以酿多少千克蜂蜜？
29．某种邮票每套12枚，售价24元，今天工作人员共卖出38套这样的邮票，一共卖了多少钱？
30．在一辆载重5吨的货车上，装有8个集装箱，每个集装箱重600千克，这辆车超载了吗．
31．电影院座位分上下两层，楼下有42排，每排32个座位；楼上有16排，每排有30个座位．
（1）楼上有多少个座位？
（2）楼下有多少个座位？
（3）这个电影院一共有多少个座位？
**北师大版三年级（下）期中数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空小能手（每空1分，共20分）**
1．称比较重的物品用[ 千克 ]{.underline}作单位，称比较轻的物品用[ 克 ]{.underline}作单位．
【考点】根据情景选择合适的计量单位．
【分析】重量的单位用千克、克和吨，在日常生活中称较重的物品一般用千克作单位，称较轻的物品用克作单位．据此解答．
【解答】解：根据以上分析知：称较重的物品一般用千克作单位，称较轻的物品用克作单位．
故答案为：千克，克．
2．8□4÷4，要使商中间有0，□里最大能填[ 3 ]{.underline}．
【考点】整数的除法及应用．
【分析】被除数百位上的数字8除以4商2，没有余数，那么只要被除数十位上的数字比4小这一位上就要商0．
【解答】解：只要□中数字比4小就可以，所以，□中数字可以是：0、1、2、3；最大是3．
故答案为：3．
3．84个碗，平均分成8桌，每桌[ 10 ]{.underline}个还剩[ 4 ]{.underline}个．
【考点】有余数的除法．
【分析】求每桌几个还剩几个，即求84里面有几个8，根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答即可．
【解答】解：84÷8=10（个）...4（个）；
答：每桌 10个还剩 4个．
故答案为：10，4．
4．644÷8的商是[ 两 ]{.underline}位数，721÷7的商的最高位在[ 百 ]{.underline}位上．
【考点】整数的除法及应用．
【分析】整数除法的计算法则为：从被除数的高位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商；每次除后余下的数必须比除数小；据此解答即可．
【解答】解：算式644÷8中，百位数字6＜8，所以商最高位在十位，即商是两位数．
算式721÷7中，7=7，所以商最高位在百位．
故答案为：两；百．
5．31□÷5，要使计算结果没有余数，□中可以填[ 0 ]{.underline}或[ 5 ]{.underline}．
【考点】整数的除法及应用．
【分析】根据5的倍数的特征，个位上是0或5的数，都能被5整除．据此解答．
【解答】解：因除数是5，要使计算结果没有余数，被除数的个位一定是0或5．
故答案为：0，5．
6．从496里连续减去8，减[ 62 ]{.underline}次后为0．
【考点】整数的除法及应用．
【分析】用496除以8所得的整数商就是最多能减的次数，据此解答．
【解答】解：496÷8=62，所以最多能减62次．
故答案为：62．
7．1200里面有[ 200 ]{.underline}个6，[ 300 ]{.underline}个4．
【考点】整数的除法及应用．
【分析】1200里有几个6，用1200÷6；
1200里有几个4，用1200÷4即可．
【解答】解：1200÷6=200（个）
答：1200里面有200个6．
1200÷4=300（个）
答：1200里面有300个4．
故答案为：200，300．
8．甲数是35，是乙数5倍，甲、乙两数的和是[ 42 ]{.underline}．
【考点】整数四则混合运算．
【分析】甲数是乙数的5倍，先用甲数除以5即可求出乙数，再把甲乙两数相加即可．
【解答】解：35+35÷5
=35+7
=42
答：甲乙两数的和是42．
故答案为：42．
9．拧瓶盖是[ 旋转 ]{.underline}现象；推拉抽屉是[ 平移 ]{.underline}现象．
【考点】平移；旋转．
【分析】将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移运动；把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转；据此解答即可．
【解答】解：拧瓶盖是 旋转现象；推拉抽屉是 平移现象．
故答案为：旋转、平移．
10．8t=[ 8000 ]{.underline}kg
50000g=[ 50 ]{.underline}kg
9t﹣3t=[ 6000 ]{.underline}kg．
【考点】质量的单位换算．
【分析】（1）高级单位吨化低级单位千克乘进率1000．
（2）低级单位克化高级单位千克除以进率1000．
（3）单位相同，直接计算，再把计算后的结果乘进率1000化成千克．
【解答】解：（1）8t=8000kg；
（2）50000g=50kg；
（3）9t﹣3t=6000kg．
故答案为：8000，50，6000．
11．按从小到大的顺序排990g 1kg 2t 200kg
[ 990g ]{.underline}＜[ 1kg ]{.underline}＜[ 200kg ]{.underline}＜[ 2t ]{.underline}．
【考点】质量的单位换算．
【分析】把千克、吨、克都化成相同单位，再根据数值的大小进行比较、排列．
【解答】解：990g=0.99kg，2t=2000kg，
0.99kg＜1kg＜200kg＜2000kg，
即990g＜1kg＜200kg＜2t．
故答案为：990g，1kg，200kg，2t．
**二、判断专家．**
12．轴对称图形一定有对称轴．[ √ ]{.underline}．（判断对错）
【考点】轴对称图形的辨识．
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．
【解答】解：根据轴对称图形的意义可知：轴对称图形一定有对称轴，说法正确；
故答案为：√．
13．0+8，0×0，0÷8这三个算式的结果都是0．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】整数的乘法及应用；整数的除法及应用．
【分析】根据整数加法、乘除法的计算方法方法，求出它们的结果，即可判断．
【解答】解：0+8=8，
0×0=0，
0÷8=0，
所以0+8，0×0，0÷8这三个算式的结果都是0，说法错误；
故答案为：×．
14．1000g铁比1kg棉花重．[ × ]{.underline}（判断对错）
【考点】质量的单位换算．
【分析】先统一单位，再进行比较．据此解答．
【解答】解：1000克=1千克，
所以1千克的棉花和1000克铁一样重．
故答案为：×．
15．被除数的末尾没有0，商的末尾一定没有0．[ ]{.underline}．（判断对错）
【考点】整数的除法及应用．
【分析】根据整数除法的运算法则可知，在没有余数的情况下，如果商的末尾有0，被除数的末尾也一定有0；被除数的末尾没有0，商的末尾一定不会出现0，如150÷5=30；42÷4=13；但是在有余除法中，被除数的末尾没有0，商的末尾不一定没有0，如125÷6=20...5；据此判断．
【解答】解：根据整数除法的运算法则可知，
在没有余数的情况下，如果商的末尾有0，被除数的末尾也一定有0；
被除数的末尾没有0，商的末尾一定不会出现0．
但是在有余除法中，被除数的末尾没有0，商的末尾不一定没有0，如125÷6=20...5；
所以，被除数的末尾没有0，商的末尾一定没有0的说法是错误的．
故答案为：错误．
16．0除以任何数都得0．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】整数的乘法及应用．
【分析】根据有关0的乘法可知，0乘任何数都得0，有关0的除法可知，0不能做除数，根据题意进一步解答即可．
【解答】解：根据题意可得：0除以任何数不为0的数都得0，0不能做除数，
所以，0除以任何不为0的数都得0．
所以题干的说法是错误的．
故答案为：×．
**三、选一选**
17．口算300÷6时，可以把300看作（ ）
A．3个百 B．30个十 C．300个一
【考点】整数的除法及应用．
【分析】根据数的组成，把300看成30个十，用30个十÷6=5个十，由此即可判断．
【解答】解：口算300÷6时，可以把300看作30个十．
故选：B．
18．两位数乘两位数的积（ ）
A．是三位数
B．是四位数
C．可能是三位数，也可能是四位数
【考点】整数的乘法及应用．
【分析】两位数乘两位数，积可能是三位数，也可能是四位数，可举例子进行证明：先举两个两位数最小的例子，再举两个两位数最大的例子即可判断．
【解答】解：如：10×10=100，两位数乘两位数，积是三位数，
99×99=9801，两位数乘两位数，积是四位数，
所以两位数乘两位数，积可能是三位数，也可能是四位数．
故选：C．
19．最大的三位数的10倍是（ ）
A．99 B．9990 C．999
【考点】整数的乘法及应用．
【分析】根据整数的知识，可以得出最大的三位数是999，再乘上10就是要求的结果．
【解答】解：根据题意可得：
最大的三位数是999，那么，999×10=9990．
故选：B．
20．24+0÷8=（ ）
A．24 B．0 C．8
【考点】整数四则混合运算．
【分析】先算除法，再算加法，由此求解．
【解答】解：24+0÷8
=24+0
=24
故选：A．
21．比较下面的重量，最重的是（ ）
A．3吨300千克 B．2900千克 C．3330千克
【考点】质量的单位换算；比较大小．
【分析】首先统一质量单位都化成千克，再根据整数的大小比较方法再进行比较．把复名数3吨300千克化成单名数，3吨乘进率1000化成3000千克，再与300千克相加即可．
【解答】解：因为3吨300千克=3300千克
所以3330千克＞3吨300千克＞2900千克；
故选：C．
**四、计算小神童**
22．直接写得数．
-------- --------- --------- ---------
69÷3= 0÷8= 185﹣0= 266+34=
70×90= 2100÷7= 22×20= 880÷4=
-------- --------- --------- ---------
【考点】整数的乘法及应用；整数的除法及应用．
【分析】根据整数四则运算的计算法则进行计算即可．
【解答】解：
------------ ------------ ------------ ------------
69÷3=23 0÷8=0 185﹣0=185 266+34=300
70×90=6300 2100÷7=300 22×20=440 880÷4=220
------------ ------------ ------------ ------------
23．估算．
322÷4≈
71×59≈
288÷7≈
87×33≈
【考点】整数的乘法及应用；整数的除法及应用；数的估算．
【分析】（1）（3）把被除数看成和它接近的整十数，且是除数倍数的数，再进行计算；
（2）（4）把两个因数都看成和它接近的整十数，再计算．
【解答】解：322÷4≈320÷4=80
71×59≈70×60=4200
288÷7≈280÷7=40
87×33≈90×30=2700
24．竖式计算
465÷3=
131÷7=
504÷8=
43×12=
【考点】整数的除法及应用．
【分析】根据整数乘除法的计算方法进行计算．
【解答】解：465÷3=155
131÷7=18...5
504÷8=63
43×12=516
25．脱式计算
208÷4÷2
804÷（3×2）
78﹣78÷3．
【考点】整数四则混合运算．
【分析】（1）按照从左到右的顺序计算；
（2）先算小括号里面的乘法，再算括号外的除法；
（3）先算除法，再算减法．
【解答】解：（1）208÷4÷2
=52÷2
=26；
（2）804÷（3×2）
=804÷6
=134；
（3）78﹣78÷3
=78﹣26
=52．
**五、解答题（共1小题，满分6分）**
26．动手操作画一画．
（1）平行四边形向上平移 4格．
（2）三角形先向下平移3格，再向右平移5格．
（3）画出图3的对称图形．
【考点】作平移后的图形；作轴对称图形．
【分析】（1）根据平移的特征，把平行四边形的四个顶点分别向上平移4格，再首尾连结即可得到向上平移4格后的图形．
（2）同理，把三角形的各顶点先向下平移3格，首尾连结即可得到向下平移后的图形；同理可画出再下平移5格后的图形．
（3）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的右边画出图3的关键对称点，依次连结即可．
【解答】解：（1）平行四边形向上平移 4格（下图红色部分）：
（2）三角形先向下平移3格（下图绿色部分），再向右平移5格（下图黄色部分）：
（3）画出图3的对称图形（下图蓝色部分）：
**六、解决问题**
27．做一套校服用布3米，640米布最多能做多少套这样的校服？
【考点】有余数的除法应用题．
【分析】用布的总长度640米除以每套衣服用的长度3米，就是可以做的套数．
【解答】解：640÷3≈213.33（套），
213.33套取整为213套．
答：640米布最多能做213套这样的校服．
28．5箱蜜蜂一年可以酿375千克蜂蜜，照这样计算，9箱蜜蜂一年可以酿多少千克蜂蜜？
【考点】简单的归一应用题．
【分析】根据"照这样计算"是指每箱蜜蜂酿蜂蜜数量一定，先求每箱蜜蜂酿蜂蜜的数量，然后乘9即可．
【解答】解：375÷5×9
=75×9
=675（千克）．
答：9箱蜜蜂一年可以酿675千克蜂蜜．
29．某种邮票每套12枚，售价24元，今天工作人员共卖出38套这样的邮票，一共卖了多少钱？
【考点】整数的乘法及应用．
【分析】总价=单价×数量，单价是每套24元，数量是38套，据此可代入数据进行计算．
【解答】解：24×38=912（元）
答：一共卖了912元．
30．在一辆载重5吨的货车上，装有8个集装箱，每个集装箱重600千克，这辆车超载了吗．
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】我们求出8个集装箱的总重量，然后把5吨化成5000千克，再和5000千克进行比较，最后作出判断，解答即可．
【解答】解：600×8
=4800（千克）
5吨=5000千克
4800千克＜5000千克
因此这辆车不超载．
答：这辆车不超载．
31．电影院座位分上下两层，楼下有42排，每排32个座位；楼上有16排，每排有30个座位．
（1）楼上有多少个座位？
（2）楼下有多少个座位？
（3）这个电影院一共有多少个座位？
【考点】整数的乘法及应用．
【分析】（1）根据"每排座位数×排数=总座位数"即可求得楼上有多少个座位；
（2）根据"每排座位数×排数=总座位数"即可求得楼下有多少个座位；
（3）把楼上和楼下的座位数相加即得这个电影院一共有多少个座位．
【解答】解：（1）30×16=480（个）
答：楼上有480个座位．
（2）32×42=1344（个）
答：楼下有1344个座位．
（3）480+1344=1824（个）
答：这个电影院一共有1824个座位．
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第2单元 第一节：看****一看（一）**
一、填一填。
1. 9 （ ）（ ） 12 13 （ ）（ ） 16 （ ）（ ）19 （ ）
2、13和18两个数，（ ）接近10，（ ）接近20。
\[来源:Zxxk.Com\]
二、下面三幅图分别是谁看到的？
   **\[来源:学科网\]**
三、看图连一连。
四、连一连。
**\[来源:学§科§网\]**
**答案**
一、填一填。\[来源:学科网ZXXK\]
1. 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2、13和18两个数，（13 ）接近10，（18 ）接近20。\[来源:学\_科\_网Z\_X\_X\_K\]
二、下面三幅图分别是谁看到的？
    
小明  小红   小亮
三、看图连一连。
四、连一连。
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**2009年高考试题汇编（弹簧模型问题）**
**孝感三中 陈继芳**
**2009-6-16**
**1、（2009年高考海南试卷第2小题）**一根容易形变的弹性导线，两端固定。导线中通有电流，方向如圈中箭头所示。当没有磁场时，导线呈直线状态；当分别加上方向竖直向上、水平向右或垂直于纸面向外的匀强磁场时，描述导线状态的四个图示中正确的是
**2、（2009年高考试卷广东卷第17小题）**一个实验小组在"探究弹力和弹簧伸长的关系"的实验中，使用两条不同的轻质弹簧a和b，得到弹力与弹簧长度的图象如图7所示。下列表述正确的是
目 A．a的原长比b的长
 B．a的劲度系数比b的大
 C．a的劲度系数比b的小 
D．测得的弹力与弹簧的长度成正比
**3、**．**（2009年高考山东卷第22小题）**图示为某探究活动小组设计的节能运动系统。斜面轨道倾角为30°，质量为M的木箱与轨道的动摩擦因数为。木箱在轨道端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下，与轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程。下列选项正确的是（ ）
 A．m＝M
B．m＝2M
C．木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度
D．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能
**4、（2009年高考四川试卷第22小题I）**在弹性限度内，弹簧弹力的大小与弹簧伸长(或缩短)的长度的比值，叫做弹簧的劲度系数。为了测量一轻弹簧的劲度系数，某同学进行了如下实验设计：如图所示，将两平行金属导轨水平固定在竖直向下的匀强磁场中，金属杆ab与导轨接触良好，水平放置的轻弹簧一端固定于O点，另一端与金属杆连接并保持绝缘。在金属杆滑动的过程中，弹簧与金属杆、金属杆与导轨均保持垂直，弹簧的形变始终在弹性限度内，通过减小金属杆与导轨之间的摩擦和在弹的形变较大时读数等方法，使摩擦对实验结果的影响可忽略不计。
请你按要求帮助该同学解决实验所涉及的两个问题。
①帮助该同学完成实验设计。请你用低压直流电源（）、滑动变阻器()、电流表（）、开关（）设计一电路图，画在图中虚线框内，并正确连在导轨的C、D两端。
②若已知导轨间的距离为d,匀强磁场的磁感应强度为B,正确连接电路后，闭合开关，使金属杆随挡板缓慢移动，当移开挡板且金属杆静止时，测出通过金属杆的电流为I~1~,记下金属杆的位置，断开开关，测出弹簧对应的长度为x~1~;改变滑动变阻器的阻值，再次让金属杆静止时，测出通过金属杆的电流为I~2~,弹簧对应的长度为x~2~,则弹簧的劲度系数k=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**5、（2009年高考四川试卷第25小题）**如图所示，轻弹簧一端连于固定点O，可在竖直平面内自由转动，另一端连接一带电小球P,其质量m=2×10^-2^ kg,电荷量q=0.2 C.将弹簧拉至水平后，以初速度v~0~=20 m/s竖直向下射出小球P,小球P到达O点的正下方O~1~点时速度恰好水平，其大小v=15 m/s.若O、O~1~相距R=1.5 m,小球P在O~1~点与另一由细绳悬挂的、不带电的、质量M=1.6×10^-1^ kg的静止绝缘小球N相碰。碰后瞬间，小球P脱离弹簧，小球N脱离细绳，同时在空间加上竖直向上的匀强电场E和垂直于纸面的磁感应强度B=1T的弱强磁场。此后，小球P在竖直平面内做半径r=0.5 m的圆周运动。小球P、N均可视为质点，小球P的电荷量保持不变，不计空气阻力，取g=10 m/s^2^。那么，
（1）弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为多少？
（2）请通过计算并比较相关物理量，判断小球P、N碰撞后能否在某一时刻具有相同的速度。
(3)若题中各量为变量，在保证小球P、N碰撞后某一时刻具有相同速度的前提下，请推导出r的表达式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ为小球N的运动速度与水平方向的夹角)。
**6、（2009年高考全国卷II第16小题）**如图所示，在光滑绝缘水平面上放置3个电荷量均为的相同小球，小球之间用劲度系数均为的轻质弹簧绝缘连接。当3个小球处在静止状态时，每根弹簧长度为 已知静电力常量为，若不考虑弹簧的静电感应，则每根弹簧的原长为
A． B． C． D．
**7、（2009年高考江苏卷第9小题）**如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有
A ．当A、B加速度相等时，系统的机械能最大
B．当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大
C．当A、B的速度相等时，A的速度达到最大
D．当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大
**答 案**
**1、D 2、**答案.B
【解析】图象中的斜率表示劲度系数,可知a的劲度系数比b的大.B正确.与的截据表示原长则a的原长比b的短,A错.
**3、**答案：BC
考点： 能量守恒定律，机械能守恒定律，牛顿第二定律，受力分析
> 解析：受力分析可知，下滑时加速度为，上滑时加速度为，所以C正确。设下滑的距离为l，根据能量守恒有，得m＝2M。也可以根据除了重力、弹性力做功以外，还有其他力(非重力、弹性力)做的功之和等于系统机械能的变化量，B正确。在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能转化为弹簧的弹性势能和内能，所以D不正确。
**4、**（1）①设计的电路如图。（只要电路能正常工作且电流表测量的是通过ab的电流，电路设计就算正确。）（3分）
②（3分）
**5、**（1）设弹簧的弹力做功为*W*，有：
①
代入数据，得：*W*＝*J ②*
说明：①②式各2分。
（2）由题给条件知，*N*碰后作平抛运动，*P*所受电场力和重力平衡，*P*带正电荷。设*P*、*N*碰后的速度大小分别为*v*~1~和*V*，并令水平向右为正方向，有: ③
而： ④
若*P*、*N*碰后速度同向时，计算可得V\<v1，这种碰撞不能实现。P、N碰后瞬时必为反向运动。有： ⑤
P、N速度相同时，N经过的时间为，P经过的时间为。设此时N的速度V1的方向与水平方向的夹角为，有： ⑥
⑦
代入数据，得： ⑧
对小球P，其圆周运动的周期为T，有： ⑨
经计算得：
P经过时，对应的圆心角为，有： ⑩
当B的方向垂直纸面朝外时，P、N的速度相同，如图可知，有：
联立相关方程得：
比较得， ，在此情况下，P、N的速度在同一时刻不可能相同。
当B的方向垂直纸面朝里时，P、N的速度相同，同样由图，有：
同上得：
比较得， ，在此情况下，P、N的速度在同一时刻也不可能相同。
说明：式各1分。
（3）当B的方向垂直纸面朝外时，设在t时刻P、N的速度相同， ，
再联立④⑦⑨⑩解得：
考虑圆周运动的周期性，有：
当B的方向垂直纸面朝里时，设在t时刻P、N的速度相同，
同理得：
考虑圆周运动的周期性，有:
（给定的B、q、r、m、等物理量决定n的取值）
说明：式各1分。
**6、**答案C
【解析】第三个小球受三个力的作用，它们的关系是
，得
**7、BCD**
**\[点评\]本类模型是高考的重点和热点，考查物理学的主干知识，此类模型设计题新，虚设隐含条件，物理过程交叉，包容的知识点多，是值得我们高中物理教师探究的问题。**
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**化学试题**
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 Si 28 S 32 Cl 35.5 K 39 Ca 40 Mn 55 Fe 56 Cu 64 Zn 65 Ag 108 I 127 Ba 137
一、选择题（本大题共25小题，每小题2分，共50分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．水溶液呈酸性的是（ ）
> A． B． C． D．
2．固液分离操作中，需要用到的仪器是（ ）
> A． B． C． D．
3．下列物质在熔融状态下不导电的是（ ）
> A． B． C． D．
4．下列物质对应的组成不正确的是（ ）
> A．干冰： B．熟石灰：
>
> C．胆矾： D．小苏打：
5．下列表示不正确的是（ ）
> A．乙烯的结构式： B．甲酸甲酯的结构简式：
>
> C．甲基丁烷的键线式： D．甲基的电子式：
6．下列说法不正确的是（ ）
> A．天然气是不可再生能源
>
> B．用水煤气可合成液态碳氢化合物和含氧有机物
>
> C．煤的液化属于物理变化
>
> D．火棉是含氮量高的硝化纤维
7．下列说法正确的是（ ）
> A．和是两种不同的元素 B．单晶硅和石英互为同素异形体
>
> C．和互为同系物 D．H与在元素周期表中处于同一主族
8．下列说法不正确的是（ ）
> A．会破坏铝表面的氧化膜
>
> B．的热稳定性比强
>
> C．具有氧化性，其稀溶液可用于消毒
>
> D．钢铁在潮湿空气中生锈主要是发生了电化学腐蚀
9．下列说法不正确的是（ ）
> A．高压钠灯可用于道路照明
>
> B．可用来制造光导纤维
>
> C．工业上可采用高温冶炼黄铜矿的方法获得粗铜
>
> D．不溶于水，可用作医疗上检查肠胃的钡餐
10．反应中，氧化产物与还原产物的物质的量之比是（ ）
> A．1∶2 B．1∶1 C．2∶1 D．4∶1
11．下列有关实验说法不正确的是（ ）
> A．萃取时，向盛有溴水的分液漏斗中加入，振荡、静置分层后，打开旋塞，先将水层放出
>
> B．做焰色反应前，铂丝用稀盐酸清洗并灼烧至火焰呈无色
>
> C．乙醇、苯等有机溶剂易被引燃，使用时须远离明火，用毕立即塞紧瓶塞
>
> D．可用溶液和稀区分、和
12．下列说法正确的是（ ）
> A．在空气中加热可得固体
>
> B．加入到过量溶液中可得
>
> C．在沸腾炉中与反应主要生成
>
> D．溶液中加入少量粉末生成和
13．能正确表示下列反应的离子方程式是（ ）
> A．溶液与少量溶液反应：
>
> B．电解水溶液：
>
> C．乙酸乙酯与溶液共热：
>
> D．溶液中滴加稀氨水：
14．下列说法不正确的是（ ）
> A．相同条件下等质量的甲烷、汽油、氢气完全燃烧，放出的热量依次增加
>
> B．油脂在碱性条件下水解生成的高级脂肪酸盐是肥皂的主要成分
>
> C．根据纤维在火焰上燃烧产生的气味，可以鉴别蚕丝与棉花
>
> D．淀粉、纤维素、蛋白质都属于高分子化合物
15．有关的说法正确的是（ ）
> A．可以与氢气发生加成反应 B．不会使溴水褪色
>
> C．只含二种官能团 D．该物质与足量溶液反应，最多可消耗
>
> 16．X、Y、Z、M、Q五种短周期元素，原子序数依次增大。Y元素的最高正价为价，Y元素与Z、M元素相邻，且与M元素同主族；化合物的电子总数为18个；Q元素的原子最外层电子数比次外层少一个电子。下列说法不正确的是（ ）
>
> A．原子半径：
>
> B．最高价氧化物对应水化物的酸性：
>
> C．易溶于水，其水溶液呈碱性
>
> D．X、Z和Q三种元素形成的化合物一定是共价化合物
17．下列说法不正确的是（ ）
> A．的盐酸中
>
> B．将溶液从常温加热至，溶液的变小但仍保持中性
>
> C．常温下，溶液呈碱性，说明是弱电解质
>
> D．常温下，为3的醋酸溶液中加入醋酸钠固体，溶液增大
18．溶液与溶液发生反应：，达到平衡。下列说法不正确的是（ ）
> A．加入苯，振荡，平衡正向移动
>
> B．经苯2次萃取分离后，在水溶液中加入，溶液呈血红色，表明该化学反应存在限度
>
> C．加入固体，平衡逆向移动
>
> D．该反应的平衡常数
19．为阿伏加德罗常数的值。下列说法正确的是（ ）
> A．，完全反应转移的电子数为
>
> B．用电解粗铜的方法精炼铜，当电路中通过的电子数为时，阳极应有转化为
>
> C．常温下，的溶液中，水电离出的数为
>
> D．浓度为的溶液中，阴离子数为
>
> 20．一定条件下： 。在测定的相对分子质量时，下列条件中，测定结果误差最小的是（ ）
>
> A．温度、压强 B．温度、压强
>
> C．温度、压强 D．温度、压强
>
> 21．电解高浓度（羧酸钠）的溶液，在阳极放电可得到（烷烃）。下列说法不正确的是（ ）
>
> A．电解总反应方程式：
>
> B．在阳极放电，发生氧化反应
>
> C．阴极的电极反应：
>
> D．电解、和混合溶液可得到乙烷、丙烷和丁烷
22．关于下列的判断正确的是（ ）
> A． B． C． D．
>
> 23．常温下，用氨水滴定浓度均为的和的混合液，下列说法不正确的是（ ）
>
> A．在氨水滴定前，和的混合液中
>
> B．当滴入氨水时，
>
> C．当滴入氨水时，
>
> D．当溶液呈中性时，氨水滴入量大于，
24．是硅酸盐水泥的重要成分之一，其相关性质的说法不正确的是（ ）
> A．可发生反应：
>
> B．具有吸水性，需要密封保存
>
> C．能与反应生成新盐
>
> D．与足量盐酸作用，所得固体产物主要为
>
> 25．黄色固体X，可能含有漂白粉、、、、之中的几种或全部。将X与足量的水作用，得到深棕色固体混合物Y和无色碱性溶液Z。下列结论合理的是（ ）
>
> A．X中含，可能含有
>
> B．X中含有漂白粉和
>
> C．X中含有，Y中含有
>
> D．用酸化溶液Z，若有黄绿色气体放出，说明X中含有
二、非选择题（本大题共6小题，共50分）
26．（4分）
> （1）气态氢化物热稳定性大于的主要原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> （2）是离子化合物，各原子均满足8电子稳定结构，的电子式是\_\_\_\_\_\_\_。
>
> （3）常温下，在水中的溶解度乙醇大于氯乙烷，原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> 27．（4分）溶液与锌粉在量热计中充分反应。测得反应前温度为，反应后最高温度为。
>
> 已知：反应前后，溶液的比热容均近似为、溶液的密度均近似为，忽略溶液体积、质量变化和金属吸收的热量。请计算：
>
> （1）反应放出的热量\_\_\_\_\_J。
>
> （2）反应的\_\_\_\_\_\_（列式计算）。
28．（10分）
> Ⅰ. 化合物Ⅹ由四种短周期元素组成，加热X，可产生使湿润的红色石蕊试纸变蓝的气体Y，Y为纯净物；取，用含的盐酸完全溶解得溶液A，将溶液A分成和两等份，完成如下实验（白色沉淀C可溶于溶液）：
>
> 
>
> 请回答：
>
> （1）组成X的四种元素是N、H和\_\_\_\_\_\_\_（填元素符号），X的化学式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> （2）溶液B通入过量得到白色沉淀C的离子方程式是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> （3）写出一个化合反应（用化学方程式或离子方程式表示）\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> 要求同时满足：
>
> ①其中一种反应物的组成元素必须是X中除N、H外的两种元素；
>
> ②反应原理与""相同。
>
> Ⅱ. 某兴趣小组为验证浓硫酸的性质进行实验，如图。实验中观察到的现象有：锥形瓶内有白雾，烧杯中出现白色沉淀。请回答：
>
> 
>
> （1）将浓硫酸和浓盐酸混合可产生气体的原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> （2）烧杯中出现白色沉淀的原因是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
29．（10分）研究氧化制对资源综合利用有重要意义。
> 相关的主要化学反应有：
>
> Ⅰ
>
> Ⅱ
>
> Ⅲ
>
> Ⅳ
>
> 已知：时，相关物质的相对能量（如图1）。
>
> 
>
> 可根据相关物质的相对能量计算反应或变化的（随温度变化可忽略）。例如：
>
> 。
>
> 请回答：
>
> （1）①根据相关物质的相对能量计算\_\_\_\_\_。
>
> ②下列描述正确的是\_\_\_\_\_
>
> A．升高温度反应Ⅰ的平衡常数增大
>
> B．加压有利于反应Ⅰ、Ⅱ的平衡正向移动
>
> C．反应Ⅲ有助于乙烷脱氢，有利于乙烯生成
>
> D．恒温恒压下通水蒸气，反应Ⅳ的平衡逆向移动
>
> ③有研究表明，在催化剂存在下，反应Ⅱ分两步进行，过程如下：
>
> ，且第二步速率较慢（反应活化能为）。根据相关物质的相对能量，画出反应Ⅱ分两步进行的"能量-反应过程图"，起点从的能量，开始（如图2）。
>
> 
>
> （2）①和按物质的量1:1投料，在和保持总压恒定的条件下，研究催化剂X对"氧化制"的影响，所得实验数据如下表：
--------- -------- -------- ------
催化剂 转化率 转化率 产率
催化剂X 19.0 37.6 3.3
--------- -------- -------- ------
> 结合具体反应分析，在催化剂X作用下，氧化的主要产物是\_\_\_\_\_\_，判断依据是\_\_\_\_\_\_\_。
>
> ②采用选择性膜技术（可选择性地让某气体通过而离开体系）可提高的选择性（生成的物质的量与消耗的物质的量之比）。在，乙烷平衡转化率为，保持温度和其他实验条件不变，采用选择性膜技术，乙烷转化率可提高到。结合具体反应说明乙烷转化率增大的原因是\_\_\_\_\_。
30．（10分）硫代硫酸钠在纺织业等领域有广泛应用。某兴趣小组用下图装置制备。
> 合成反应：
>
> 滴定反应：
>
> 已知：易溶于水，难溶于乙醇，开始失结晶水。
>
> 实验步骤：
>
> Ⅰ. 制备：装置A制备的经过单向阀通入装置C中的混合溶液，加热、搅拌，至溶液约为7时，停止通入气体，得产品混合溶液。
>
> Ⅱ. 产品分离提纯：产品混合溶液经蒸发浓缩、冷却结晶、过滤、洗涤、干燥，得到产品。
>
> Ⅲ. 产品纯度测定：以淀粉作指示剂，用产品配制的溶液滴定碘标准溶液至滴定终点，计算含量。
>
> 请回答：
>
> （1）步骤Ⅰ 单向阀的作用是\_\_\_\_\_\_；装置C中的反应混合溶液过高或过低将导致产率降低，原因是\_\_\_\_\_\_\_。
>
> （2）步骤Ⅱ 下列说法正确的是\_\_\_\_\_。
>
> A．快速蒸发溶液中水分，可得较大晶体颗粒
>
> B．蒸发浓缩至溶液表面出现晶膜时，停止加热
>
> C．冷却结晶后的固液混合物中加入乙醇可提高产率
>
> D．可选用冷的溶液作洗涤剂
>
> （3）步骤Ⅲ
>
> ①滴定前，有关滴定管的正确操作为（选出正确操作并按序排列）：
>
> 检漏→蒸馏水洗涤→（ ）→（ ）→（ ）→（ ）→（ ）→开始滴定。
>
> A．烘干 B．装入滴定液至零刻度以上 C．调整滴定液液面至零刻度或零刻度以下
>
> D．用洗耳球吹出润洗液 E.排除气泡 F.用滴定液润洗2至3次 G.记录起始读数
>
> ②装标准碘溶液的碘量瓶（带瓶塞的锥形瓶）在滴定前应盖上瓶塞，目的是\_\_\_\_\_\_。
>
> ③滴定法测得产品中含量为，则产品中可能混有的物质是\_\_\_\_\_\_\_\_。
31．（12分）某研究小组以邻硝基甲苯为起始原料，按下列路线合成利尿药美托拉宗。
> 已知：
>
> 
>
> 
>
> 请回答：
>
> （1）下列说法正确的是\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> A．反应Ⅰ的试剂和条件是和光照 B．化合物C能发生水解反应
>
> C．反应Ⅱ涉及到加成反应、取代反应 D．美托拉宗的分子式是
>
> （2）写出化合物D的结构简式\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> （3）写出的化学方程式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> （4）设计以A和乙烯为原料合成C的路线（用流程图表示，无机试剂任选）\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> （5）写出化合物A同时符合下列条件的同分异构体的结构简式\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
>
> 谱和谱检测表明：①分子中共有4种氢原子，其中苯环上的有2种；②有碳氧双键，无氮氧键和。
**化学试题参考答案**
一、选择题（本大题共25小题，每小题2分，共50分）
---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C C B B C D B D B
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A A C A A D A D A D
21 22 23 24 25
A B D D C
---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
二、非选择题（本大题共6小题，共50分）
26．（4分）
> （1）原子半径，键能 （2）
>
> （3）乙醇与水之间形成氢键而氯乙烷没有
27．（4分）
> （1） （2）
28．（10分）
> Ⅰ.（1）、 （2）
>
> （3）或
>
> Ⅱ.（1）吸水或放热导致挥发
>
> （2）气体会将带出，与作用生成
29．（10分）
> （1）①430 ②AD
>
> ③
>
> 
>
> （2）① 的产率低，说明催化剂X有利于提高反应Ⅲ速率
>
> ②选择性膜吸附，促进反应Ⅱ平衡正向移动
30．（10分）
> （1）防止倒吸
>
> 过高，、反应不充分；过低，导致转化为S和
>
> （2）BC
>
> （3）①F、B、E、C、G ②防止碘挥发损失
>
> ③；失去部分结晶水的
31．（12分）
> （1）BC
>
> （2）
>
> （3）
>
> （4）
>
> （5）
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**2015**〜**2016**学年度上学期高三年级期末考试
数子试卷**(**理科**)**
**本试卷分第**I**卷**(**选择题**)**和第**II**卷（非选择题**)**两**部**分，共**150**。考试时间120分钟**。
第**I**卷**(**选择題共**60**分）
一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题拼给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序 号填涂在答题卡上）
1.若复数（其中aR，i为虚数単位）的实部与虚部相等，则a=
A.3 B.6 C.4 D.12
2.若集合A= {∣2\<2^x+2^≤8} B=(\>0},则A()所含的元素个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.已知数列、、、.....，那么7是这个数列的第（ ）项
A. 23 B. 25  C. 19 D. 24
4.若曲线ax^2^+by^2^ = l为焦点在X轴上的椭圆，则实数a，b满足 （ ）
A.a2\>b2 B. \> C. 0\<a\<b D. 0\<b\<a
5.已知函数f (x)=sin x+cos x的图象的一个对称中心是点(，0)，则函数
g(x)=Asin xcos x+sin^2^ x的图象的一条对称轴是直线
A. x= B. x= C. x = D. x=
6.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是7/4,则
A. a=3 B a = 4 C.a = 5 D. .a = 6\[来源:Z.xx.k.Com\]
7.如图，在∆ABC中， ，P是BN上的一点，若 = + 则实数m的值为 ( ) 
A. 1 B 1/3 C 1/9 D 3
8,在(1-2x)（1+x）^5^的展开式中，x^3^的系数是
A. 20 B. -20 C. 10 D. -10
9.如图,棱长为1的正方体ABCD ---A1B1C1D1中,P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是
A．DC~1~⊥D~1~P\
B．平面D~1~A~1~P⊥平面A~1~AP
C. ∠APD1的最大值为90°
D. AP+PD1的最小值为
10\. 甲、乙、丙3人进行擂台赛，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来裁判向胜者挑战，比赛结束后，经统计，甲共打了5局，乙共打了6局，而丙共当了 2局裁判，那么整个比赛共进行了 （ ）
A. 9 局 B.11 局 C.3局 D. 18局
11\. 某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为 （ ）
A B . C. D. 
12.已知函数 ，其中m\>0，且函数，
若方程3-x= 0恰有5个根，则实数m的取值范围是 （
A B. C. D.
第II卷(非选择題共90分）
二、填空题(每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）
13\. 函数：y=log~3~(2cos x+1),x 的值域为 [ ]{.underline} 。
14\. 当实数x，y满不等式组：时，恒有ax+y≤3成立，则实数a的取值范围是 [ ]{.underline} 。\[来源:Z§xx§k.Com\]
15\. 已知点F(-c，0)(c\>0)是双曲线的左焦点，离心率为e,过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点且点P，且点P在抛物线y 2=4cx上.则e2= [ ]{.underline} .
16\. 对于数列，定义Hn = 为的"优值"，现在已知某数列的"优值"Hn = 2^n+1^，记数列的前n项和为Sn.，若Sn≤S5对任意的n恒成立，则实数k的取值范围为 [ ]{.underline} .
三、解答题（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）
17\. (本小题满分12分）
如图，在四边形 ABCD 中，AB = BD=，AC=，AD=2,∠ABC=120^0。^.
\(1\) 求∠BAC的值；
\(2\) 求∆ACD的面积.\[来源:Zxxk.Com\]
18.(本小题满分12分）
如图，∆ABC内接于圆O，AB是圆的直径，四边形DCBE为平行.四边形，DC丄平面ABC，AB=2，已知AE与平面ABC所成的角为,且tan=
\(1\) 证明：平面ACD丄平面ADE;
\(2\) 记AC=X,V（x）表示三棱锥A---CBE的体积，求V（x）的表达式；
\(3\) 当V(x)取得最大值时，求二面角D-AB-C的大小
19•(本小题满分12分)
某商场每天(开始营业时)以每件150元的他价格购入A商存品若干件(A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时)并开始以每件300元的价格出售，若前 6小时内所购进的商品没有售完，则商场对没卖出的A商品将以每件100元的价格低价处理完毕(根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进 A商品）.该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（其中x+y=70）
(1)若某天该商场共购入6件该商品，在前6个小时售出 4件.若这些产品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访,则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？
(2)若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值\'范围.
20\. (本小题满分12分）
设椭圆C: =l(a\>b\>0)的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，上顶点为A，过点A与AF~2~垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且2 + =0.
\(1\) 求椭圆C的离心率；
\(2\) 若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线l:x−3y−3 = 0相切，求椭圆C的方程；\[来源:学+科+网Z+X+X+K\]
\(3\) 在（2)的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线I与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P(m，0)使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说
21\. (本小题满分12分） \[来源:Z&xx&k.Com\]
已知函数(a\>0)
(1)若0对任意的xR成立，求实数a的值,
(2)在（1）的条件下，证明：
请考生在22、23、24三题中任选\_题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分）选修4一1:几何证明选讲
如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE、BE，∠APE的平分线与
AE、BE分别交于点C、D,其中∠AEB=30°.
⑴求证:
(2)求∠PCE的大小.
23\. (本小题满分10分)选修4一4:坐标系与参数方
在直角坐标系xQy中，曲线C1的参数方程为：（a为参数），M是C1上的动点，P点满足\$ = 2 P点的轨迹为曲线C2:.
\(1\) 求C2的方程；
\(2\) 在以O为极点,X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线=与C1的异于极点的交点 为A，与C2的异于极点的交点为B，求∣AB∣
24\. (本小题满分10分)选修4一5:不等式选讲
设函数=丨 2x+l 丨 + 丨 2x−a 丨 +a，xR.
\(1\) 当a = 3时，求不等式\>7的解集；
\(2\) 对任意x€R恒有\>3，求实数a的取值范围.
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**2016学年第二学期九年级（下）数学独立作业（3）**
**卷 Ⅰ**
一**、选择题**（本题有10小题，每小题3分，共30分）
**1.** ﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
**2.** 下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
**3.** 由5个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
**4.** 一个暗箱里装有5个黑球，3个白球，1个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是 （ ）
A． B． C． D．
**5.** 如图，在△ABC中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
**6.** 已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的边长为（ ）
A． 3 B． 5 C． 6 D． 8
**7. 如图，点*E*在正方形*ABCD*的边*CD*上，四边形*DEFG*也是正方形，已知*AB*＝*a*，*DE*＝*b*（*a*、*b*为常数，且*a*＞*b*＞0），则△*ACF*的面积（ ）**
**A．只与*a*的大小有关 B．只与*b*的大小有关**
> **C．与a,b的大小都有关 D．无法确定**
**8. 已知 y＝ax^2^＋bx＋c 的图像如图所示，则 a、b、c 满足（ ）**
**A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＜0，c＞0**
**C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＜0，b＜0，c＞0**
**9.** 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把△绕点*B*逆时针旋转,点A在轴上,得到△，则点的坐标是（ ）
A**. （－2，）** B**. （6，）** C**. （2，）** D**. （－6，）**
**10.** 如图，己知△ABC中，AB[=3，AC=](http://www.21cnjy.com)4，BC=5，作∠ABC的角平分线交AC于D，以D为圆心，DA为半径作圆，与射线交于点E、F．有下列结论①△ABC是直角三角形；②⊙D与直线BC相切；③点E是线段BF的黄金分割点；④tan∠CDF=2．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
**卷** **II**
**二、填空题** (本题有6小题,每小题4分,共24分)
**11.**在函数y=中，自变量x的取值范围是 [ ]{.underline} .
**12.**因式分解：= [ ]{.underline} .
**13.**如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，
且∠ADE=60°，BD=4，CE=，则△ABC的面积为 [ ]{.underline}
**14.**某工程队在金义大都市铺设一条480米的景观路，开工后，由于引进先进设备，工作效率比原计划提高50%，结果提前4天完成任务．若设原计划每天铺设米，根据题意可列方程为 [ ]{.underline}
**15.**某中学在校内安放了几个圆柱形饮水桶的木制支架（如图①），若不计木条的厚度，其俯视图如图②所示，已知*AD*垂直平分*BC*，*AD=BC=*40cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 [ ]{.underline} cm.
**16. 如图，Rt△ABC中，**∠C=90°，**AB=10，AC=8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合.随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束。在这个运动过程中，**
**（1）AB中点P经过的路径长** [ ]{.underline}
**（2）点C运动的路径长是** [ ]{.underline}
**三、解答题**（**本题有8小题**,**共66分**，各小题都必须写出解答过程）
**17.**（本题6分）计算:
**18.**（本题6分）先化简，并选择一个有意义的数*a*代入求值．
**19.**（本题6分）某校九年级700名学生在2016年中考体育考试前对跑步进行了强化训练，在训练前后进行了二次测试，测试成绩都以同一标准（10分为满分）划分成"不及格
（7分及以下）"、"良好(9分或8分)"和"优秀（10分）"三个等级．为了了解强化训练的效果，用随机方式抽取了九年级学生中50名学生的前后两次测试成绩的等级，并绘制成如图所示的统计图，试结合图形信息回答下列问题：
> （1）强化训练前后学生的及格率（及格是指良好和优秀）提高了多少？
（2）估计该校整个九年级学生中，强化训练后测试成绩的等级为"良好"或"优秀"的学生共有多少名？
**20.**（本题8分）如图，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.
(1) 求证：
(2) 求这个矩形EFGH的周长.
**21.**（本题8分)如图，△*ABC*内接于⊙*O*， *CA*=*CB*，*CD*∥*AB*且与*OA*的延长线交于点*D*．
（1）判断*CD*与⊙*O*的位置关系，并说明理由；
（2）若∠*ACB*=120°，*OA*=2，求*CD*的长；
（3）在（2）条件下求阴影部分的面积.（结果可含）.
**22.**（本题10分)如图所示，在直角坐标系中，点是反比例函数的图象上一点，轴的正半轴于点，是的中点；一次函数的图象经过、两点，并交轴于点若
（1) 写出点C的坐标；
（2) 求反比例函数和一次函数的解析式；
（3) 当时， 求的取值范围．
23. （本题10分）把两块全等的直角三角形*ABC*和*DEF*叠放在一起，使三角板*DEF*的锐角顶点*D*与三角板*ABC*的斜边中点*O*重合，其中∠*ABC*=∠*DEF*=90°，∠*C*=∠*F*=45°，
*AB*=*DE*=4，把三角板*ABC*固定不动，让三角板*DEF*绕点*O*旋转，设射线*DE*与射线*AB*相交于点*P*，射线*DF*与线段*BC*相交于点*Q*．
（1）如图1，当射线*DF*经过点*B*，即点*Q*与点*B*重合时，易证△*APD*∽△*CDQ*．此时，
*AP*·*CQ=*[ ]{.underline}．
（2）将三角板*DEF*由图1所示的位置绕点*O*沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．
其中0°﹤α﹤90°，问*AP*·*CQ*的值是否改变？说明你的理由．
（3）在（2）的条件下，设*CQ*=*x*，两块三角板重叠面积为*y*，求*y*与*x*的函数关系式．
（图2，图3供解题用）
**24.** （本题12分)如图，在直角坐标系中有一个等腰△AOB，点O为坐标原点，AO=AB，OB=4，tan∠AOB=2，点C是线段OA的中点。
 （1）求点C的坐标；
（2）若点P是X轴上的一个动点，使得∠APO=∠CBO，抛物线y=ax^2^+bx
经过点A、点P，求这条抛物线的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，点M是抛物线图象上的一个动点，以M为圆心的圆与直线OA相切，切点为点N，点A关于直线MN的对称点为点D。请你探索：是否存在这样的点M，使得△MAD∽△AOB。若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
**2016学年第二学期九年级（下）数学独立作业（3）答案**
**1－5：CDBAC; 6－10：BADDA.**
**11．x≥-1; 12.3(a+1)(a-1); 13.9; 14.**
**15.25; 16.(1); (2)6.**
**17. 1; 18.取值即可．**
**19.(1)58%; (2)686**
**20.(1)略； (2)72.**
**21.(1)相切；理由（略）； (2) ； (3)．**
**22.(1)C(2,0); (2);y=x-2; (3)-2\<x\<0 或x\>4．**
**23.(1)8; (2)不变；理由（略）；**
**(3)y=8-x-(2\<x\<4); y=4-x-(0\<x).**
**24(1)C(1,2); (2)y=; y=;**
**(3)存在：(6,4);(-6,4);(-10,20);(10,).**
| 1 | |
**高考数学100个高频考点押题教案**
1．德摩根公式C~U~（A∩B）= C~u~A∪C~u~B；。
2．*A*∩*B*=*AA*∪*B*=*BABC U BC U AA*∩*C U B*=φ*C U A*∪*B*=*R*
3．*card*（*A*∪*B*）=*cardA*+*cardB*－*card*（*A*∩*B*）
4．二次函数的解析式的三种形式
①一般式*f*（*x*）=*ax*^2^+*bx*+*c*（*a*≠0）；
②顶点式*f*（*x*）=*a*（*x*－h）2+k（*a*≠0）；
③零点式*f*（*x*）=*a*（*x*－*x*~1~）（*x*－*x*~2~）（*a*≠0）。
5．设*x*~1~，*x*~2~∈\[*a*，*b*\]，*x*~1~≠*x*~2~ 那么
*f*（*x*）在\[*a*，*b*\]上是增函数；
*f*（*x*）在\[*a*，*b*\]上是减函数。
设函数*y* = *f*（*x*）在某个区间内可导，如果*f* ′（*x*） \> 0 ，则*f*（*x*） 为增函数；如果*f* ′（*x*） \<0 ，则*f*（*x*） 为减函数。
6．函数*y*= *f*（*x*） 的图象的对称性: ① 函数*y*= *f*（*x*） 的图象关于直线*x* = *a* 对称 *f*（*a*+*x*）= *f*（*a*－*x*）*f*（2*a*－*x*）= *f*（*x*）。
7．两个函数图象的对称性：
（1）函数*y*= *f*（*x*）与函数*y*= *f*（－*x*）的图象关于直线*x* = 0（即*y*轴）对称。
（2）函数*y* = *f*（*x*） 和*y* = *f*^－1^ （*x*） 的图象关于直线*y*=*x* 对称。
8．分数指数幂*（a\>0，m，n∈N\*，且n\>1）。*
分数指数幂*（a\>0，m，n∈N\*，且n\>1）。*
9．log*~a~*N=*ba^b^=N* （*a*\>0，*a*≠1，N\>0）
10．对数的换底公式
，推论
11．− ≥（ 数列{ *a ~n~* } 的前*n* 项的和为*S ~n~* =*a~1~*+*a~2~* +...+*a~n~* ）。
（注意此公式第2 行顺推与逆推的应用，这是递推数列的常用公式，可以达到不同的目的）
12．等差数列的通项公式*a~n~*=*a*~1~+（*n*－1）*d*=*dn*+*a*~1~－*d*（*n*∈N^\*^）\*
其前*n*项和公式
13．等比数列的通项公式；
其前*n*项的和公式 或
（小心：解答题利用错位相减法时要特别注意讨论q=1的情况）
14．同角三角函数的基本关系式 s*i*n^2^θ+ cos^2^θ=1，tanθ=
15．和角与差角公式
s*i*n（α±β）=s*i*nαcosβ±cosαs*i*nβ；
cos（α±β）=cosαcosβs*i*nαs*i*nβ；
tan（α±β）。
（平方正弦公式）；
cos（α+β）cos（α−β）=cos2α−s*i*n2β（平方余弦公式）；
（辅助角所在象限由点（*a*，*b*）的象限决定，）。（建议利用的正弦和余弦来确定其位于哪个象限，这样比较好理解）
16．二倍角公式s*i*n 2α = 2s*i*nα·cosα。
。
17．三角函数的周期公式 函数*y*=s*i*n（ω*x*+），*x*∈R 及函数*y*= cos（ω*x*+），*x*∈R（A，ω，为常数，且A≠0，ω＞0）的周期；函数，（A，，为常数，且A≠0，）的周期。（注意ω小于0的函数周期的求法）
18．正弦定理。（学会利用后面的2R）
19．余弦定理*a*^2^=*b*^2^+*c*^2^−2*bc*cosA；*b*^2^=*c*^2^+*a*^2^−2*ca*cosB；*c*^2^=*a*^2^+*b*^2^−2*ab*cosC。
（注意其变形公式）
20．面积定理
（1）（分别表示*a*、*b*、*c*边上的高）。
（2）。
21．三角形内角和定理 在△ABC 中，有
。
（很多与三角形有关的恒等变形或者纯粹解三角形的题目中会用到这些关系）
22．平面两点间的距离公式
（A（），B（））。
23．向量的平行与垂直 设，且*b*≠0，则
24．线段的定比分公式 设是线段P~1~P~2~的分点，λ是实数，且，则
（这个公式很重要，不要记错！）
25．三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为、，则△ABC的重心的坐标是。
26．点的平移公式（图形F上的任意一点P（*x*，*y*）在平移后图形上的对应点为，且的坐标为（*h*，*k*））。
（要注意区别新坐标、旧坐标，区别新方程和旧方程，不要混淆，解答题务必要体现以上公式的使用过程，关键步骤不要省）
27．常用不等式：
（1）*a*，*b*∈R⇒*a*^2^+*b*^2^≥2*ab*（当且仅当*a*＝*b* 时取"="号）。
（2）*a*，*b*∈R^+^（当且仅当*a*=*b*时取"="号）。
（3）*a*^3^+*b*^3^+*c*^3^≥3*abc*（*a*\>0，*b*\>0，*c*\>0）。
（4）柯西不等式。（建议：了解一下，尝试用向量数量积的方法证明之）
（5）
28．极值定理 已知*x*，*y* 都是正数，则有
（1）如果积*xy*是定值p，那么当*x*=*y*时和*x*+*y*有最小值；
（2）如果和*x*+*y*是定值s，那么当*x*=*y*时积*xy* 有最大值。
29．一元二次不等式*ax*^2^ +*bx*+*c* \>0（或\<0）（*a*≠0，Δ=*b*^2^−4*ac*\>0），如果*a*与*ax*^2^ +*bx*+*c*同号，则其解集在两根之外；如果*a*与*ax*^2^ + *bx* + *c* 异号，则其解集在两根之间。简言之：同号两根之外，异号两根之间。
；
，或
（这类问题一般可以借助于韦达定理或者结合图象特点寻找约束条件就可以解决问题）
30．含有绝对值的不等式当*a*\> 0时，有
或。
31．无理不等式
（1）
（2）
（3）
32．指数不等式与对数不等式
（1）当*a*\>1时，
；
（2）当0\<*a*\<1时，
；
33．斜率公式
（很多代数问题可以利用这个公式转化为几何问题，简化解题过程，这是数型结合思想的重要体现）
34．直线的四种方程
（1）点斜式 （直线*l*过点，且斜率为k）。
（2）斜截式 *y*=k*x*+*b*（*b*为直线*l*在*y*轴上的截距）。
（注意：（1）截距不是距离；（2）过原点的直线也具有横、纵截距相等的特征）
（3）两点式 （、（））。
（4）一般式A*x*+B*y*+C =0（其中A、B不同时为0）。
35．两条直线的平行和垂直
（1）若*l*~1~：*l*~2~：
①*l*~1~//*l*~2；~
②*l*~1~⊥*l*~2~
（2）若*l*~1~：，*l*~2~：，且都不为零，
①*l*~1~//*l*~2~；
②*l*~1~⊥*l*~2~；
36．夹角公式 。（*l*~1~：，*l*~2~：）
（要区别于直线*a*到直线*b*的角的求解公式）。直线*l*~1~⊥*l*~2~时，直线*l*~1~与*l*~2~的夹角是。
37．点到直线的距离 （点P（），直线*l*：）。
38．圆的四种方程
（1）圆的标准方程
（2）圆的一般方程
（3）圆的参数方程
（4）圆的直径式方程 （圆的直径的端点是A（）、B（））。（可利用向量垂直理解之）
39．椭圆的参数方程是。
（圆和椭圆的参数方程一定要过关）
40．椭圆焦半径公式。
（自己还可以适当化简）
41．双曲线的焦半径公式
。
（点p在左支或者右支的时候，上面的公式都可以去绝对值符号的，作题时自己灵活处理）
42．抛物线*y*^2^=2p*x*上的动点可设为或P（）或P（*x*，*y*），其中。
（强烈建议理解：以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线相切）
43．二次函数的图像是抛物线：
（1）顶点坐标为（）；
44．直线与圆锥曲线相交的弦长公式
或
（注意和韦达定理结合使用）
（弦端点A（），B（），由方程消去*y*得到，△\>0，α为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率，以上化简思路再结合韦达定理使用，是很多圆锥曲线解答题的常用解题技巧）
45．圆锥曲线的对称问题：曲线F（*x*，*y*）=0关于点P（）成中心对称的曲线是。
（可以利用重点坐标公式推导之）。
46．对于一般的二次曲线，用代，用代，用代入*xy*，用代*x*，用代入*y*即得方程
，曲线的切线、切点弦方程均可由此方程得到。
47．共线向量定理 对空间任意两个向量***a***、***b***（***b***≠**0** ），***a***∥***b*** ⇔ 存在实数λ使***a***=λ***b***。
48．对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足，则四点P、A、B、C是共面⇔*x*+*y*+z=1。
49．空间两个向量的夹角公式cos\<*a*，*b*\>=（，）。
50．直线*AB* 与平面所成角（为平面α的法向量）。
51．二面角α−*l*−β的平面角或（，为平面α，β的法向量）。
52．设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为。则。
53．空间两点间的距离公式 若，则
。
54．异面直线间的距离 （*l*~1~，*l*~2~是两异面直线，其公垂向量为，C、D分别是*l*~1~，*l*~2~上任一点，*d*为*l*~1~，*l*~2~间的距离）。
55．点B到平面α的距离（为平面α的法向量，AB是面α的斜线，A∈α）。
56．面积射影定理
（平面多边形及其射影的面积分别是*S*、*S*\'，它们所在平面所成锐二面角的为θ）。
57．球的半径是R，则其体积是，其表面积是。
58．分类计数原理（加法原理） 。
59．分步计数原理（乘法原理） 。
60．排列数公式 。（*n*，*m*∈N\*，且）。
61．排列恒等式 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）。（建立了解，会用排列数公式推导之）
62．组合数公式。
63．组合数的两个性质
（1）；（2）
64．组合恒等式
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。（建议了解，会用组合数公式推导之）
65．排列数与组合数的关系是：
66．二项式定理 ；
二项展开式的通项公式：（r=0，1，2...，*n*）。
（注意通项的下标）
67．等可能性事件的概率。
68．互斥事件A，B分别发生的概率的和P（A＋B）=P（A）＋P（B）。
69．*n*个互斥事件分别发生的概率的和
P（A~1~＋A~2~＋...＋A*~n~*）=P（A~1~）＋P（A~2~）＋...＋P（A*~n~*）。
70．独立事件A，B同时发生的概率P（A·B）= P（A）·P（B）。
71．*n*个独立事件同时发生的概率P（A~1~·A~2~·...·A*~n~*）=P（A~1~）·P（A~2~）·...·P（A*~n~*）。
72．*n*次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率。
73．离散型随机变量的分布列的两个性质：
（1）（*i*=1，2，...）；（2）。
74．数学期望
75．数学期望的性质：
（1）*E*（*a*ξ+*b*）=*aE*（ξ）+*b*；
（2）若ξ～*B*（*n*，*p*），则*E*ξ= *np*。
（要将*n* 次独立重复实验有k 次发生这样一个问题与二项分布联系起来）
76．方差
（还有一个变形公式可以求方差，你记得吗？在下面会有的）
77．标准差。（了解，防止你看到标准差的符号不认识，呵呵）
78．方差的性质
（1）；
（2）；
（3）若，则。
79．正态分布密度函数，式中的实数，（）是参数，分别表示个体的平均数与标准差。（了解即可）
80．标准正态分布密度函数。（了解即可，但是要注意其概率分布图的特点，包括阴影部分面积所表示的含义，考的概率不大，但是要防止考小题。）
81．对于N（μ，σ^2^），取值小于*x*的概率。
。（个人觉得：要理解之，考的概率不大，但是还是要防止出小题。）
82．特殊数列的极限
（1）
（2）
（3）（S无穷等比数列的和）。
84．函数的夹逼性定理
如果函数在点的附近满足：
（1）；（2）（常数），则。
本定理对于单侧极限和*x*→∞的情况仍然成立。
（个人觉得：有必要了解一下，防止出新题）
85．两个重要的极限
（1）；（2）。
（个人觉得需要了解一下，防止出新题。看不懂也不要有压力，这是超范围的。）
86．*f*（*x*）在处的导数（或变化率或微商）
87．瞬时速度
。
88．瞬时加速度
。（注意这个物理意义）
89．在（*a*，*b*）的导数。
90．函数*y* = *f*（*x*） 在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是。
91．几种常见函数的导数
（1）（C为常数）
（2）
（3）
（4）
（5）；。
（6）。
92．复合函数的求导法则
设函数在点*x*处有导数，函数在点*x*处的对应点U处有导数，则复合函数在点*x*处有导数，且，或写作。
93．可导函数*y* = *f*（*x*） 的微分*dy* = （*x*）*dx*。
94．注意构造新的函数，再利用导数的有关性质来解题的解题技巧。
95．*a*+*bi*=*c*+*di*⇔*a*=*c*，*b*=*d*。（*a*，*b*，*c*，*d*∈R）
96．复数z=*a*+*bi*的模：\|z\|=\|*a*+*bi*\|=。
97．复数的四则运算法则
（1）（*a*+*bi*）+（*c*+*di*）=（*a*+*c*）+（*b*+*d*）*i*；
（2）（*a*+*bi*）－（*c*+*di*）=（*a*－*c*）+（*b*－*d*）*i*；
（3）（*a*+*bi*）（*c*+*di*）=（*ac*－*bd*）+（*bc*+*ad*）*i*；
（4）（*c*+*di*≠0）
98．注意共轭复数的概念
99．注意实部和虚部的概念（虚部有没有包括*i*呢？）
100．注意极其共轭复数间的运算关系（具体见教材）
**[定语从句及连词]{.underline}**
**答题秘诀二**
**as与which均可替代整个主句**
**在非限制性定语从句中，均可替代整个主句. 如从句在主句之后，两者皆可用；如从句在主句之前，用as。 介词/逗号后, 永远不用that!**
**[They failed in the exam]{.underline}**，**as/which** is natural.
**As** is known to all，**[the earth moves around the sun]{.underline}**.
He passed the College Entrance Examination, [ ]{.underline} made his parents very happy.
A. as **B. which** C. that D. it
**关系代词as的考查。关系代词as引导限制性定语从句时既可指人又可指物。它只能替代由such，the same等修饰的先行词；as引导非限制性定语从句时，可放于句首，句中或置于句尾，而which则只能置于主句之后。但如果定语从句为否定句或表示否定意义，使用which。As引导的定性定语从句有\"正如\"之意，而which引导的没有。**
〖**2010全国Ⅰ**〗As a child , Jack studied in a village school ,\_\_\_\_\_ is named after his grandfather.
A. which B. where C. what D. that
空格设置在名词school后, 且school后有逗号, 此题考查非限定性定语从句。定语从句所修饰的先行词是school, 它在定于从句中做主语, 因此使用关系代词, 选项中的关系代词只有which和that, 由于是非限定性定语从句, 不能使用that, 因此选择A。
〖**2010四川**〗After graduating from college, I took some time off to go travelling, [ ]{.underline} turned out to be a wise decision.
A. that B. which C. when D. where
此处应为which引导的非限制性定语从句, which代替前边整个句子。句意为： "大学毕业后, 我们休假一段时间去旅游, 这结果证明是一个明智的决定。"
〖**2009山东**〗Whenever I met her, \_\_\_\_\_\_\_\_\_ was fairly often, she greeted me with a sweet smile.
A. who B. which C. when D. that
不论何时遇见她, 她总是用甜美的微笑和我打招呼,这是非常经常的事。考查非限制性定语从句, 从句\_\_\_\_\_\_\_\_\_ was fairly often插在主句中的时间状语从句后, 关系代词which可代替主句整个句子的意思并在从句中作主语。答案B。
〖**2009辽宁**〗They've won their last three matches, \_\_\_\_\_\_\_\_I find a bit surprising
A. that B. when C. what D. which
此处意思是 "他们赢得了最后的三场比赛, 我觉得这确实有点让人意外", which代替上句 "They've won their last three matches"做find的宾语, 选D。A项不能用于非限制性定语从句中, B, C此处没有他们的意思。
**[状语从句及连词]{.underline}**
While**是解!**
> **◆**常接持续性的动词，强调主从句谓语动作同时发生，常用**进行时**。有时还有对比意义，意为"然而"。
**◆主句从句主语不同,表示**"**而...**"
> **I** do every single bit of housework \_\_ **my** **husband** Bob just does the dishes now and then.
A. since **B. while** C. when D. as
**◆**While置于句首可表示As long as 或 Although
While there is life there is hope.
While I admit his good points, I can see his bad ones.
> **（2008湖南**)\_\_\_\_\_\_ the Internet is of great help, I don't think it's a good idea to spend too much time on it.\
> A. If **B. While** C. Because D. As
〖**2011四川卷**〗 [ ]{.underline} volleyball is her main focus, she's also great at basketball.
A. Since B. Once C. Unless D. While
虽然排球是她的主要项目，但她还擅长篮球。while"虽然，尽管"。答案D。
〖**2010全国Ⅰ**〗Mary made coffee \_\_\_\_\_\_\_\_ her guests were finishing their meal .
A. so that B. although C. while D. as if
so that译为 "以便"表示目的, although译为 "尽管, 虽然", as if译为 "好像", while译为 "当....的时候", 因此while符合句意, 选择C。
〖**2009安徽**〗---I wonder how much you charge for your services.
---The first two are free [ ]{.underline} the third costs \$30.
A. while B. until C. when D. before
while表转折 "而, 然而"。根据句子意思, 前两份免费, 而第三份要\$30。
〖**2006全国Ⅱ**〗We thought there were 35 students in the dining hall, [ ]{.underline} , in fact, there were 40.
A.while B.whether C.what D.which
此题考查连词的用法。while在此表示转折, 意为 "但是, 而"。
〖**2006天津**〗The cost of living in Glasgow is among the lowest in Britain, [ ]{.underline} the quality of life is probably one of the highest.
A.since B.when C.as D.while
根据句中among the lowest in Britain和probably one of the highest可知前后的意义存在对比；while用作连词, 可用于表示对比或相反的情况, "而；但是"。
**名词性从句**
**区别什么从句应看主句，主句不完整时从句肯定是名词性从句。主句完整时，从句可能是定语从句，状语从句，或者同位语从句。**
**需要用什么引导词看从句。名词性从句中缺什么意思用什么意思的引导词; 缺名词性成份时，指人用**who/whom，**指物用**what; **不缺意思和成份时用**that。That**只有在宾语从句中可以省略。**
**缺成分时,what和whatever是第一高频答案!**
**引导主、宾、表语从句时，what要充当主语、宾语或表语等句子成分，that不作任何成分，只在语法上起连接的作用。**
**◆**\_\_\_\_ we can't get**∧** seems better than \_\_\_\_ we have**∧**.
A. What; what B. what; that C. That; that D. That; what
本句包含一个主语从句和一个宾语从句，且两个从句都缺乏宾语，可见两个引导词都必须充当成分，所以答案是A。
**◆**\_\_\_\_ **∧**caused the accident is still a complete mystery.
A. What B. That C. How D. Where
该题答案是A，what在主语从句中作主语，即作谓语动词caused的执行者。在下面的例句中，that不充当任何成份，只起语法连接作用（因为句子本身不缺成分）：
**[That]{.underline}** the former Iraq president Saddam was captured has been proved.
〖**2011江西卷**〗The villagers have already known [ ]{.underline} we'll do is to rebuild the bridge.
A．this B．that C．what D．which
考察宾语从句和主语从句。村民们已经知道我们将要做的事情是重建这座桥，后面的宾语从句的主语从句中缺少主语且指物，所以选择what。答案：C
〖**2011四川卷**〗Our teachers always tell us to believe in [ ]{.underline} we do and who we are if we want to succeed.
A. why B. how C. what D. which
in介词后面接宾语从句，且从句中缺do的宾语，故选C项。why、how在句中作状语；which在名词性从句中作定语。选C.
〖**2011陕西卷**〗I'd like to start my own business --that's [ ]{.underline} I'd do if I had the money.
A.why B.when C.which D.what
所填词引导的从句位于系动词之后，是表语从句，所填词在从句中做宾语，指物，用what，选D。其余选项与题意不符。
〖**2011北京卷**〗 [ ]{.underline} Barbara Jones offers to her fans is honesty and happiness.
A. Which B. What C. That D. Whom
考察名词性从句中的主语从句。主语从句中缺少offer的宾语，选择what。
**冠词**
**和某些抽象名词连用，使其具体化,一般以**What**和**It**做主语!**
**[抽象名词前加a／an表具体的人或物。抽象名词表示一般概念时，通常不加冠词，如Failure is the mother of success]{.underline}.**
> **success(抽象名词) → a success(具体化) 成功的人或事**
>
> **a failure 失败的人或事 a shame 带来耻辱的人或事**
**a pity 可惜或遗憾的事 a must 必需必备的东西**\
〖**2011山东卷**〗Take your time---it's just\_\_\_\_\_short distance from here to\_\_\_\_\_restaurant.
A.不填；the B. a; the C. the; a D.不填；a
句意为"别急---从这儿到餐馆只不过短短的距离而已。"a short distance短距离，是固定搭配的短语；the restaurant指双方都知道的餐馆，故用the特指。答案：B
〖**2011浙江卷**〗 Experts think that \_\_\_\_\_[\_]{.underline}recently discovered painting may be \_\_\_\_\_\_ Picsso.
A.the ;不填 B. a ;the C. a ; 不填 D. the; a
句意为"专家认为，最近发现的油画可能是毕加索的作品。"the painting特指最近发现的油画；a Picsso意为a Picsso's painting，指毕加索的一件作品，有one的含义。答案：D
〖**2010福建**〗***It***'s [ ]{.underline} good feeling for people to admire the Shanghai World Expo that gives them [ ]{.underline} pleasure.
A. 不填, a B. a, 不填 C. the, a D. a, the
good feeling并非特指, 故用a；pleasure是抽象名词, 无需冠词。句意为 "人们喜欢上海世博会给它们的快乐, 这是（一）种不错的感觉" a good feeling , 一种不错的感觉, give sb pleasure。〖答案〗B
a／an与专有名词连用表示"一个叫什么的人""一个像什么的人""...的作品／制品"或表示不确定，如a Sunday,a Monday等。\
(**2006全国卷**) ---Hello，could I speak to Mr． Smith?\
---Sorry,wrong number, There isn't\_\_\_\_\_\_\_ Mr． Smith here．\
A．不填 B．a C．the D．one
题意为：这儿没有一个叫史密斯的。史密斯是姓氏，史密斯先生很多，aMr． Smith表示其中一位。【答案】B\
(**2005山东卷**)I knew\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_John Lennon，but not\_\_\_\_\_\_\_\_\_famous one．\
A．不填;a B．a；the C. 不填;the D．the；a\
题意为：我原先认识一个叫约翰列农的人，不是那个著名的约翰列农。据题意可知叫约翰列农的人很多他只是其中一位，故用a；那位著名的也即是特指的，应用the。
a／an与专有名词连用表示"一个叫什么的人""一个像什么的人""...的作品／制品"或表示不确定，如a Sunday,a Monday等。\
(**2005山东卷**)I knew\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_John Lennon，but not\_\_\_\_\_\_\_\_\_famous one．\
A．不填;a B．a；the C. 不填;the D．the；a\
题意为：我原先认识一个叫约翰列农的人，不是那个著名的约翰列农。据题意可知叫约翰列农的人很多他只是其中一位，故用a；那位著名的也即是特指的，应用the。\
(**2005湖南卷**)I can't remember when exactly the Robinsons left\_\_\_\_\_\_city．I only remember it was\_\_\_\_\_\_\_Monday．\
A．the，the B．a，the C．a，a D．the，a\
题意为：我记不清罗宾逊一家人何时离开这坐城市了。我只记得是星期一。第一空用the表示双方都明白的人或物；第二空用a表示不确定的某个周一。【答案】D
〖**2010江苏**〗The visitors here are greatly impressed by the fact that\_\_\_\_\_\_\_ people from all walks of life are working hard for\_\_\_\_\_ new Jiangsu.
A.不填； a B. 不填；the C. the； a D. the； the
第一空,来自社会各阶层的人. 是不特指,不用冠词. 第二空, 在Jiangsu 前有形容词new 因此,应加冠词a.表示一个全新的江苏.〖答案〗A.
**具有动词意义的名词前用a／an其意义相当于动词，如take a look=look．**
**(2007四川卷)How about taking\_\_\_\_\_\_\_short break?I want to make\_\_\_\_\_\_call．\
A．the；a B．a;the C．the;the D．a；a\
稍稍休息如何?我想打个电话。break相当于rest，make a call相当于call．【答案】D\
(2007天津卷)I wanted to catch\_\_\_\_\_early train,but could't get\_\_\_\_\_\_ride to the station．\
A．an；the B．／；the C．an；／ D．the；a\
题意为：我想赶早班车但没能找到到车站去的车。第一空用the表示双方都明白的人或物；第二空用a，get a ride=ride．【答案】D\
(2007浙江卷)I like\_\_\_\_\_color of your skirt．It is\_\_\_\_\_\_good match for your blouse\
A. a;the B．a；a C.the；a D．the;the\
我喜欢你的衬衫的颜色,与你的短裙极相配。a good match相当于match well. 答案C**
〖**2010四川**〗In [ ]{.underline} most countries, a university degree can give you [ ]{.underline} flying start in life.
A. the; a B. the; 不填 C.不填; 不填 D.不填; a
most countries此处表泛指, most前不加定冠词the.第二个空处应为 "一个高起点的开始", 故用a ,正确答案为D。
It：**作形式主语和形式宾语**
**当动词不定式,动名词或从句作主语时,通常把它们放在谓语之后,而用it作句子的形式主语:**
**It** is not easy **[to finish the work in two days]{.underline}**.
**It** is no use **[crying over split milk]{.underline}.**
**It** is a pity **[that you didn't read the book]{.underline}**..
**当复合宾语中的宾语是不定式,动名词,宾语从句时,往往把宾语放在它的补足语后面,而用it作形式宾语,放在宾语补足语之前:**
I think **it** no use **[arguing with him]{.underline}**.
I found **it** very interesting **[to study English]{.underline}**.
He made **it** clear **[that he was not interested in this subject]{.underline}**.
**注意：**see to it that...（务必）和take it for granted that...（想当然）句型中的it，以及词组make it中的it（做事成功，搞定）。
〖**2011北京卷**〗The employment rate has continued to rise in big cities thanks to the efforts of the local governments to increase [ ]{.underline} .
A. them B. those C. it D. that
句意为"由于当地政府的努力，大城市里的就业率持续升高。"it代指前面交代过的"the employment rate"，是单数，而them和those是复数。答案：C
〖**2011江西卷**〗Why don't you bring \_\_\_\_\_ to his attention that you're too ill to work on?
A. that B.it C.his D.him
考查代词it作形式宾语的用法。句意为"为什么你不让他注意到你病得太严重了以至于不能工作？"it作形式宾语，指代句子后面that引导的宾语从句。答案：B
〖**2011山东卷**〗The two girls are so alike that strangers find \_\_ difficult to tell one from the other.
A. it B. them C. her D. that
句意为"这两个女孩长得很相似，不熟悉的人很难将她俩区分开来。"it在此句中充当形式宾语，代指"to tell one from the other"。 答案：A
〖**2011天津卷**〗We feel [ ]{.underline} our duty to make our country a better place.
A. it B. this C. that D. one
句意为"我们觉得将我们的国家变得更好是我们的职责。"it在此句中充当形式宾语，代指"to make our country a better place"。答案：A
〖**2010全国Ⅱ**〗The doctor thought \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_would be good for you to have a holiday.
A. this B. that C. one D. it
It的两个重要用法是作形式主语和形式宾语。本题考查形式宾语, it 在这里代指后面的真正宾语to have a holiday。
one **的用法**
**◆**常用来代替与上文所提到人或物相类似的不确定的另一人或物（泛指），且被替代者为可数名词单数形式。
**◆**若下文替代者表示非特指含义，则用a/an---adj---one形式表示；若下文替代者为另一特指含义，则用the one或the---adj---one表示；若下文替代时为复数含义，则用the---adj---ones 或the ones表示。
〖**2011福建卷**〗We have various summer camps for your holidays. You can choose \_\_\_\_ based on your own interests.
A. either B. each C. one D. it
句意为"在你们的假期里，我们这儿有各种暑期夏令营，你们可以根据自己的兴趣任选一个。"one代替单数可数名词，表泛指，相当于"a/an + 单数名词"。这里泛指某个summer camp夏令营。答案：C
〖**2010山东**〗Helping others is a habit, \_\_\_\_\_\_\_ you can learn even at an early age.
A. it B. that C. what D. one
句意应为"帮助别人是一种习惯, 一个你在很小时就能学会的习惯。"空格处与前句中的habit构成同位关系, 所以选择D项。句中you can learn even at an early age是省略了关系代词that 的定语从句, that在定语从句中作learn的宾语使用。
that**的用法**
**◆that用来指前文中确定的非同一事物，常用来替代与定冠词或形容词性物主代词连用的单数可数名词或不可数名词，相当于"the+名词"，其复数形式为those。**
**◆that表替代时为始终是特指（作指示代词和关系代词用时另论），可指上文谈到的人、物或情况（均为单数），可代替可数名词和不可数名词。**
**◆若that所代替的内容为前置用法，即要代替的内容将出现在下文中，一般用this,these或the following表示。**
〖**2011重庆卷**〗------Silly me! I forget what my luggage looks like.
------What do you think of [ ]{.underline} over there?
A. the one B. this C.it D.that
指示代词that指时间与空间上较远的事物，over there交代了空间上的远距离。this指时间与空间上较近的事物，the one和it都特指前面曾经交代过的事物。答案：D
〖**2010陕西**〗The cost of renting a house in central Xi'an is higher than \_\_\_\_ in any other area of the city.
A. that B. this C. it D. one
所填词用于比较状语从句中, 指代句子的主语cost, 即指代不可数名词, 用that。This指代下文即将提到的事物；it指代 "同一物"；one指代 "同类中的一个"之意。
**介词与动词/名词/形容词搭配**
**in**
**要求接in 的名词有：interest、satisfaction、expert等。**
〖**2007上海**〗Leaves are found on all kinds of trees, but they differ greatly [ ]{.underline} size and shape. A.on B.from C.by D.in
differ in在......方面不同；differ from与......不同。〖答案〗D
〖**2007湖南**〗 [ ]{.underline} the silence of the pauses, we could hear each other's breathing and could almost hear our own heartbeats.
A.In B.For C.Under D.Between
句意为：在停顿的沉默中, 我们能听到对方的呼吸, 甚至能听到我们自己的心跳。Ａ项为 "在......中"；Ｂ项为 "因为, 由于"；Ｃ项为 "在......下面"；Ｄ项为 "在......之间"。
in favor of**赞成**
〖**2011湖北**〗 When asked about their opinions about the schoolmaster, many teachers would prefer to see him step aside \_\_\_\_\_\_\_\_\_ younger men.
A. in terms of B. in need of C. in favor of D. in praise of
句意为"当被问到对于校长的看法时，许多老师都愿意看到他靠边站为更年轻的人让路。"in terms of就而论；in need of需要；in favor of赞成；in praise of表扬，赞扬。答案：C。
in detail**详细地**
〖**2011江苏**〗We'd better discuss everything \_\_\_\_\_\_\_ before we work out the plan.
A．in detail B．in general C．on purpose D．on time
句意为"我们最好先详细地讨论好一切，然后再制定计划。"in detail详细地；in general一般而言, 总的来说；on purpose故意地；on time准时。根据句意，先讨论后定计划，选A。
in store**贮藏着；储备着**
〖**2008湖北**〗When she first arrived in China, she wondered what the future might have [ ]{.underline} for her, but now all her worries are gone.
A.in need B.in time C.in preparation D.in store
in need需要；in time及时；in preparation准备；in store贮藏着；储备着, 由句意可知D项正确。
in turn **反过来**
〖**2007湖北**〗People try to avoid public transportation delays by using their own cars, and this [ ]{.underline}
creates further problems.
A.in short B.in case C.in doubt D.in turn
A项 "简言之"；B项 "以防万一"；C项 "怀疑"；D项 "反过来"。句意为：人们想开自己的车来避免交通耽搁, 这反过来却导致了进一步的问题。〖答案〗D
in exchange for **作为交换**
〖**2007山东**〗I have offered to paint the house [ ]{.underline} a week's accommodation.
A.in exchange for B.with regard to C.by means of D.in place of
in exchange for作为交换；with regard to至于, 关于; by means of通过......的方式；in place of代替。句意为：我提出愿意粉刷房子, 条件是让我免费吃住一周。〖答案〗A
in case**万一, 以防**
〖**2010浙江**〗I guess we've already talked about this before but I'll ask you again just [ ]{.underline} .
> A．by nature B．in return C．in case D．by chance
分析四个选项的意思：by nature 天生地；in return作为回报, 作为交换；in case 万一, 以防；by chance偶然地。根据句意：我想我之前已经跟你谈论过这件事, 但是以防万一, 我再问你一次。〖答案〗C
〖**2000 NMET**〗I don't think I'll need any money but I'll bring some\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
A. at last B. in case C. once again D. in time
in case的意思是 "万一"。表明说话人带一些钱的目的是以防万一。答案为B。
**名词单项选择高频考点**
reach **够不着的地方**
out of shape**变形**
range**不在范围内**
stock**缺货**
reach **够得着的地方**
〖**2011四川卷**〗）Always remember to put such dangerous things as knives out of children's [.]{.underline}
A.touch B.sight C.reach D.distance
句意为"时刻记住：这些危险物品，比如刀子，要放在孩子们够不着的地方。"out of touch不联系，不接触；out of sight看不见, 在视野之外；out of reach手够不着, 达不到；out of distance远离=far away。根据前面的交代的危险品，选C。
〖**2004天津**〗I keep medicines on the top shelf,out of the children's\_\_\_\_\_\_.
A.reach B.hand C.hold D.place
A意思是：够得着的地方；B是：指示, 掌管；C是：控制, 照管；D是：地方。根据句意, 目的是不让孩子们拿着, out of one\'s reach "某人够不着的地方"。所以答案选A。
shape**型状**
〖**2006广东**〗You have been sitting on my hat and now it is badly out of [ ]{.underline} .
A. date B. shape C. order D. balance
out of shape是 "变型"的意思, 根据前面 "你坐在我的帽子上"可判断出帽子是 "变型"了。out of date意为 "过时", out of order意为 "混乱", out of balance意为 "失衡"。〖答案〗B
range ** 范围**
〖**2001上海**〗---Can you shoot that bird at the top of the tree?
---No,it's out of\_\_ [\_]{.underline}\_\_\_.
A.range B.reach C.control D.distance
本句的意思是:你能射中树梢上的那只鸟吗?不能,它在射程之外。根据上文中的shot,我们应该选range。out of control意为\"失去控制\"。〖答案〗A
out of stock**"缺货"**
〖**2011高考英语吴军押题**〗We regret to inform you that the materials you ordered are out of\_\_\_\_\_\_\_\_.
A. work B. reach C. stock D. practice
out of stock"缺货"；out of work"失业"；out of reach"够不到"；out of practice"荒疏，久不练习"。
**情景交际**
**高频答案词**
How come?**常用于口语，表示惊讶，意为"为什么？怎么搞的？**
(**2011浙江**) ------ I don\'t think I\'ll be able to go mountain-climbing tomorrow.
------\_\_\_\_\_\_?
A. And how B. How come C. How's it going D. How about it
情景对话。难度较小。How come？为什么？
(**2006江西**)---Michael was late for Mr.Smith's oral class this morning.
--- [ ]{.underline} ? As far as I know，he never came late to class.
A.How come B.So what C.Why not D.What for
How come?常用于口语，表示惊讶，意为"为什么？怎么搞的？"；So what?意为"那有什么了不起，那又怎样"；Why not?表示对他人所说的或建议做出肯定反应或表示同意，意为"为什么不"；What for?意为"为什么"。根据答语可知对迈克尔迟到感到很惊讶，故选A How come。
That's all right = That's OK**不用谢；没关系**
（**2011山东**）-I'm sorry I broke the vase.
-Oh,\_\_\_\_\_. It wasn't very expensive.
A. you'd better not B. I'm afraid not C. as you wish D. that's all right
句意：对不起，我打碎了花瓶。\--哦，没关系，它不很贵。根据句子情境上下文，用来回答sorry.其他选项不符合英语表达习惯A."你最好别那样做"。B"我恐怕不是这样"C"正如你期待的" 答案D.
（**2010天津**）Professor Johnson, I'm afraid I can't finish the report within this week.
[ ]{.underline} How about next week?
A. Good for you B. It won't bother me C. Not at all D. That's OK
句意：---约翰逊教授，恐怕我这周完不成报告。---好的，下周怎么样？根据后面的How about next week，可以看出，Johnson教授已经确认这周完不成报告没关系，所以，用That's OK。
(**2005福建**)---James，I'm sorry I used your computer when you were away this morning.
--- [ ]{.underline} .
A.That's all right B.It's a pleasure C.You are welcome D.Don't mention it
That's all right意为"不用谢；没关系"，主要用于对感谢或歉意的礼貌回答答案 A
(**2005江西**)---Hello，Mr.Smith.This is Larry Jackson.I am afraid I won't be able to arrive on time for the meeting in your office.
--- [ ]{.underline} .We'll wait for you.
A.Hurry up B.No doubt C.Cheer up D.That's all right
由答语知We'll wait for you可知，应选That's all right，意为"没关系" ，答案D。而Hurry up.意为"抓紧"；No doubt.意为"多半，很可能"；Cheer up意为"加油"。
That's great 、Good idea **太好了**
（**2011陕西**）------ We can give you a ride into town.
------ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ Thank you.
A. Yes, why not? B. Oh, it would be my pleasure.
C. Yes, please. D. Oh, that would be great.
情景对话。没有难度。We can give you a ride into town.是要做的动作，是过程，还没做，B. Oh, it would be my pleasure.强调的是结果，所以不是正确答案；D. Oh, that would be great.是强调过程，当然是答案了。
（**2010重庆**）\-\-\--Honey, let's go out for dinner.
\-\-\-\-- [ ]{.underline} I don't have to cook.
A. Forgot it! B. That's great! C. Why? D. Go ahead!
句意为"亲爱的，我们出去吃饭吧。""太好了，我不必做饭了。"所以选B。A. Forget it. 没关系 C. Why为什么 D. Go ahead 随便 均不符合语境。
**情态动词与虚拟语气**
**may / might as well do sth "还是...好"、"不妨"**
You **might as well** tell me the truth. **你最好把真相告诉我的好。**
〖**2008全国Ⅱ**〗Liza [ ]{.underline} **well** not want to go on the trip---she hates traveling.
A.will B.can C.must D.may
句意为：Liza极有可能不想去旅行------她讨厌旅行。may well很可能, 极有可能, 表示猜测。当表示猜测时, will和can不能与well连用, must只能用于肯定句中。
must只用于肯定句/表示很有把握的猜测/翻译成"肯定/一定"；
can/could用于疑问句和否定句；
may/might用于肯定句/表示没有把握的猜测/翻译成"可能也许"
mustn't have done 绝对错/是无效选项
must必须，"不必"用needn't/don't have to
mustn't 禁止/不准
〖**2011四川卷**〗The police still haven't found the lost child, but they're doing all they [ ]{.underline} .
A.can B.may C.must D.should
句意为"警方依然没有找到失踪的孩子，但他们现在正在做他们所能做的一切。"can可以，能够；may可能，许可；must必须；should应该。根据句意，选A。
〖**2011湖南卷**〗No one \_\_\_\_\_\_\_\_ be compared with Yao Ming in playing basketball.
A. can B. need C. must D. might
句意为"在打篮球方面没人能比得上姚明。"can可以，能够；need需要；must必须；might可能。故根据题意，选A。
〖**2011全国卷II**〗 If you [ ]{.underline} smoke, please go outside.
A. can B. should C. must D. may
句意为"如果你非得要抽烟，请到外面去抽。"must (表示主张)一定要，坚持要。根据后一句please go outside的要求，选C。
〖**2011北京卷**〗---I don't really like James. Why did you invite him?
---Don't worry. He [ ]{.underline} come. He said he wasn't certain what his plans were.
A. must not B. need not C. would not D. might not
句意为"------我真不喜欢James。你为何请了他？------别担心。他可能来不了。他说他的计划还没安排好。"题干中的he wasn't certain说明他可能不来，可能来，因此使用不完全否定might not。选D。
〖**2011浙江卷**〗---How's your new babysitter?
---We \_\_\_\_\_\_\_\_ask for a better one. All our kids love her so much.
A. should B. might C. mustn't D. couldn't
句意为"------你的新保姆怎么样？------找不到更好的了。我们的孩子们很喜欢她。"should应该；might可能，可以；mustn't禁止；couldn't不可能。根据句意选D。
〖**2011福建卷**〗------Shall I inform him of the change of the schedule right now?
------I am afraid you [ ]{.underline} , in case he comes late for the meeting .
A.will B.must C.may D.can
句意为"------需要我现在就通知他计划有变吗？------恐怕你得这样做，以防他开会迟到。"must (表示必要、命令或强制)必须,得。根据后半句，选B。
〖**2011辽宁卷**〗If you [ ]{.underline} go, at least wait until the storm is over.
A. can B. may C. must D. will
句意为"如果你非得走话，至少也要等到这暴风雨过去后。"
can可以，能够；may 可能，许可；must(表示主张)一定要，坚持要；will将要，愿意。根据后句的劝告，选C。
It is time that
wish **现在**→did/were
if only ＋ **过去**→had done
as if/though **将来**→could/would do
would rather
**◆**How I **[wish]{.underline}** every family \_\_\_\_a large house with a beautiful garden!
> A. has **B. had** C. will have D. had had
**◆**He acts **[as if]{.underline}** he \_\_\_\_\_\_\_the owner of the house.
A. will be B. has been C. is **D. were**
**◆[It's about time]{.underline}** that you \_\_\_\_\_to study English.
A. begin B. will begin C. have begun **D. began**
**◆**Look at **the trouble I'm in**，**[if only]{.underline}** I \_\_\_\_\_\_ your advice！
A.followed B.would follow **C.had followed** D.should follow
〖**2011北京卷**〗------Where are the children? The dinner's going to be completely ruined.
------I wish they [ ]{.underline} always late.
A. weren't B. hadn't been C. wouldn't be D. wouldn't have been
句意为"------孩子们哪儿去了？这顿饭快要吃不起来了。------我但愿他们不要老是迟到。"wish引出虚拟语气，题干中出现always，从句虚拟使用一般过去时。选A。
**形容词和副词**
**高频词汇**
normal **正常的**
usual **通常的，强调时间，比如**as usual
regular **有规律的, 固定的, 正规的**
common **普遍的, 常见的 常识**
general **大致的，总体的**
frequent（=经常的
particular **特殊的，挑剔的** **curious excited anxious**
ordinary **普通的，一个普通的人，平凡的人，就是**an ordinary man，**同义词有**plain，**相对意项**exordinary**表示，超呼寻常**
typical **典型的**
〖**2011江西卷**〗She has already tried her best. Please don't be too \_\_\_\_\_\_ about her job.
A.special B.responsible C.unusual D.particular
考察固定搭配。be particular about 对...挑剔。句意为"她已经尽了最大的努力。请不要对她的工作太挑剔了。"选D。
〖**2010福建**〗Drunk driving, which was once a [ ]{.underline} occurrence, is now under control.高考资源网
A. general B. frequent C. normal D. particular
A.一般的；B.经常的；C.正常的；D.特别的。理解词义后, 根据生活常识可以得答案B。
〖**2008江西**〗Jack is late again. It is \_\_\_ of him to keep others waiting.
A. normal B. ordinary C. common D. typical
It is typical of sb.to do sth.是固定句型, 意为 "某人一向如此"。〖答案〗D
〖**2006浙江**〗Letterboxes are much more \_\_\_\_\_\_\_ in the UK than in the US, where most people have a mailbox instead.
A. common B. normal C. ordinary D. usual
common是指很常见common是指很常见，这题就是个例子，normal是指正常，比如他的反意词abnormal就是不正常，比如精神不正常啊就是abnormal，而精神正常就是normal，正常人也是这个词 ordinary指普通，usual是指和平时一样，比如as usual 〖答案〗A
finally = eventually （**最终地, 终于** ）**是解！**
〖**2010浙江**〗Do you think shopping online will [ ]{.underline} take the place of shopping in stores?
A. especially B. frequently C. merely D. finally
分析四个选项的意思：especially 特别, 尤其；frequently经常, merely仅仅, finally最终。根据语境：你认为网上购物最终会替代商场购物吗？〖答案〗D
〖**2005上海**〗There was such a long queue for coffee at the interval that we \_\_\_\_\_\_\_\_ gave up.\
A. eventually B. unfortunately C. generously D. purposefully
考查副词使用能力。eventually 最终地, 终于；unfortunately 不幸地；generously 慷慨地；purposefully 自觉地, 有目的地。根据题意, 只有A项合适。
In fact = actually（**事实上**）**是解！**
〖**2009安徽**〗\--Do you think it\'s a good idea to make friends with your students?
\-- [ ]{.underline} , I do. I think it\'s a great idea.
A. Really B. Obviously C. Actually D. Generally
〖答案〗C
〖**2004浙江**〗The winter of 1990 was extremely bad. \_\_\_\_\_\_\_\_ most people say it was the worst winter of their lives.
A. At last B. In fact C. In a word D. As a result
选项A表示顺序；B表示补充事实或评价；C表示总结；D表示前面动作的结果。根据句意, 答案选B。
〖**2002京皖春**〗Two middle---aged passengers fell into the sea. \_\_\_\_, neither of them could swim.
A. In fact B. Luckily C. Unfortunately D. Naturally
in fact常用来表示与上文不相符的某件事；luckily常用来表示一种好的结果；unfortunately常用来表示一种好的的结果；naturally表示一种理所当然的结果。根据下文的意思, 只有选项C正确。
especially = above all（**尤其是，**）**是解！**
〖**2000NMET**〗It\'s always difficult being in a foreign country, \_\_\_\_if you don\'t speak the language.
A.extremely B.naturally C.basically D.especially
四个选项的副词都可以修饰条件状语从句作状语, 但所表达的意思不同:extremely极端地；naturally自然地；basically基本地；especially特别地、尤其。语言是交际工具, 尤其是不会讲外语而又在国外生活的人更是困难。条件状语从句表示的是一种突出的情况, 故最佳答案选D。又如：Mother was worried because little Alice was ill, especially as Father was away in France.因为小爱丽丝病了, 母亲很是担忧, 尤其是父亲外出在法国的时候。〖答案〗D\
〖**2004福建**〗I'd like to buy a house modern, comfortable, and \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_in a quiet neighborhood.
A. in all B. above all C. after all D. at All
选项A的意思是：总计, 共计；B的意思是：首先. 最重要的是；C的意思是：毕竟, 终究；D的意思是：根本, 全然(一般用于否定句中)。根据句子的意思, 答案选B。
**3年寒窗苦读不如只学3天!**
**高考英语**7**选**5**破题技巧一**
**文章首段首句定位法**
**选项中具有指代的代词,一般不放在首段句首,复数名词（表示总体概念、类概念，一般放在句首）,首段句首不能用连接词,祈使句或绝对化的句子.可以用前后矛盾的句子,即否定句加副词或介词词组结构,或双重否定的句子;也可以用含有可能,不肯定副词的句子,如sometimes,Maybe等.**
**I,my,me,we,our,us,he,his,him,she,her,you,your,it,its,they,their,them,this,that,these,those,other,another等,但everyone,someone,others等可单独用的不在其列**.
\_71\_ One of the best things you can possibly do is to start you own club. It's great fun especially if you are the sort of person who feels there's never anything to do during the school holidays.
The first thing you need to come up with is an idea for your club. \_72\_ Pets, clothes, pop music or dancing groups, sports, making things? The list is endless.
Next you need some friends to be in your club with you. \_73\_ All you need is three or four other people who are interested in the same thing as you.
\_74 You should all sit down somewhere together with lots of pieces of paper and write down every name you can think up. That'll keep you busy for ages.
At your first meeting you should make up a rule book. And the first rule should be no grown-ups or little/big brothers or sisters! The best clubs are always secret!
**(不能用代词)**
A. **[That]{.underline}**'s easy.
B. Enjoy **[your]{.underline}** own club!
C. Invite a designer to join **[you]{.underline}**.
D. What are **[you]{.underline}** interested in?
**E. Some vacation is just around the corner.**
F. Then **[you]{.underline}** need to pick a name for your club.
G. **[Use a bright thick pen]{.underline}** to make a special design. **(不能用祈使句)**
** 高考英语完形填空教案五**
**完形综合解题规律与技巧**
**完形填空解题秘诀**
**太极推手**： 1.**忍**（1.搜集逻辑信息 2.忌冲动）
2.**联**（1.文首文末；2.隔开数行；3.紧邻填空；4.中心靠拢）
3.首段首句没有读懂就不要做下去
**[完形应试技巧与思路]{.underline}：**
1. 紧邻填空出现的并列、解释说明、补充说明能够提供足够线索。
2. 找对应关系（文首文末，隔开数行，与中心一致）
3. 根据文章逻辑的发展方向寻找连词
**[挖掘逻辑信息突破口]{.underline}：**
1． 时态、语态（动作是否已完结；判断意愿）过程、状态、还是结果?
2． 基调（肯定、消极）+ 还是 - ?
3． 连词或其他还有逻辑关系的短语
4． 学会从个别词来判断情形（副词、形容词）
**复现原则**
**◆**Have you ever shouted at a teacher, told someone you were lonely, or said you were in love, and then [23]{.underline} later you had kept your mouth shut? It isn't always [** 24**]{.underline} to express your feelings freely.
Does this mean that it's **[smarter]{.underline}** always to [25]{.underline} our feelings? No! If you [26]{.underline} feelings of anger, sadness, and bitterness hidden away or bottled up inside, your body stays [27]{.underline} .
24\. A. useful B. right C. easy D. **[wise\
\
]{.underline}**
**高考英语阅读理解教案一**
**擒贼先擒王 先抓文章的中心思想**
**主旨题解题思路与技巧**
**方法一：找中心句**
**全文首句**
** 第一段末句(一段末出现转折)**
**二段一句、二句(二段对一段进行总结或否定)**
**\
[中心句特征词]{.underline}：**
**表转折和因果处**:but, yet, however, today, this day, so, therefore;
**情态动词**must, should, ought to, **连词**although, though;
I, We, My, our;
There is/there was **后接抽象名词;**
**It [show]{.underline}s/[suggest]{.underline}s/[turn]{.underline}s [out]{.underline}/[prove]{.underline}s...等表示结论意思的动词,在如:find out,research was proved that..., his study is told that...;**
**转折处有状从或不定式短语做状语的句子不是主旨.**
**中心句中的名词/动词等与选项中的名词/动词能复现的即为答案!**
It is true that good writers rewrite and rewrite and then rewrite some more. But in order to work up the desire to rewrite, it is important to learn to like what you write at the early stage.
[**I** **am surprised**]{.underline} at the number of famous writers I know who say that they so **[dislike]{.underline}** reading their own writing later that they even **[hate]{.underline}** to look over the publishers' opinions. One reason we may dislike reading our own work is that we're often disappointed that the rich ideas in our minds seem very thin and plain when first written down .Jerry Fodor and Steven Pinker suggest that this fact may be a result of how our minds work .
Different from popular belief, we do not usually think in the words and sentences of ordinary language but in symbols for ideas (known as "mentalese"), and writing our ideas down is an act of translation from that symbolic language. But while mentalese contains our thoughts in the form of a complex tapestry (织锦)，writing can only be composed one thread at a time .Therefore it should not be surprising that our first attempt at expressing ideas should look so simple. It is only by repeatedly rewriting that we produce new threads and connect them to get closer to the ideas formed in our minds.
When people write as if some strict critics (批评家) are looking over their shoulder , they are so worried about what this critic might say that they get stuck before they even start. Peter Elbow makes an excellent suggestion to deal with this problem .When writing we should have two different minds. At the first stage, we should see every idea, as well as the words we use to express it, as wonderful and worth putting down. It is only during rewrites that we should examine what we excitedly wrote in the first stage and check for weaknesses.
**What do we learn from the text about those famous writers?**
A They often regret writing poor works
B Some of them write surprisingly much .
C Many of them **[hate]{.underline}** reading their own works
D They are happy to review the publishers' opinions.
**C为答案!**
** 基本上不看短文内容仅看选项，2010年高考有人竟然过了100分！**
**高考有没有瞬间大幅度提分的可能？**
** **
谁能让你不用花很多时间和心思学习，英语就能提高至少20-30分？要是真的话，简直是白捡的分数！不仅如此，当你了解了高考真题答案的所有内幕规律，看到了绝密的解题招式，就会豁然开朗。哇！原来也可以这么做题！你的思路因此将会被彻底打通，提高的分数将不仅仅是20-30分！无论现在的英语成绩是60分，还是110分，任何人都可以做到！这些绝密招式是太简单、太震撼了！所以，如果你看到了，切勿告诉他人，否则，他们会在高考中轻松超过你！
**请注意 !**
如果你不相信这世上有考试秘诀，请立即将您的眼睛离开；
如果你习惯于按照传统思路做题，不希望有思维上的突破，请你立即将您的眼睛离开；
如果你现在的成绩已接近满分，甚至已是满分，请你立即将您的眼睛离开；
如果你患有心理疾病或心脏病，请您立即将您的眼睛离开；
如果你选择留下来，那么接下来的事，很可能让你目瞪口呆！
如果我告诉你N个秘诀，在做完形填空和阅读理解题时，不用看文章和题干，只是简单的比较四个选项，就能瞬间选出正确答案，你是否想看？
请先看下面的例子，它是辽宁卷2010年真题的第36题，是一个完形填空题. 在此我只列出它的四个选项,试试看，只是比较选项，你是否能够在3秒之内选出正确答案?
> 36\. A. worried B. sad C. surprised D. nervous
正确答案是C, **ABD都是一个人状态不好的倾向词，而C则为中性词，表述态度不一致者是答案。**.如果你知道了这个秘诀，可以解决很多类似的完型填空题!
看一下辽宁卷2010年完形填空真题的第52题:
52\. A. Largely B. Generally C. Gradually D. Probably
正确答案是C, ABD**都是含义不肯定的副词**，**排除表述不明确的选项,答案就水落石出了.** 如果你知道了这个秘诀，你更是可以解决很多类似的完型填空题! 试想一下,知道了全部36个完形秘诀之后,您的分数会怎么样呢?
请再看下面的例子，它是辽宁卷2010年真题阅读理解题的第56题，在此我只写出它的题干和四个选项.也试试看，只是比较选项，你是否能够在5秒之内选出正确答案?
56\. From Paragragh 1 we learn that the villagers [ ]{.underline} .
A.worked very hard for centuries
B.dreamed of having a better life
C.were poor but somewhat content
D.lived a different life from their forefathers
正确答案是C, **选项中表述的内容前后相互矛盾的是答案**! 思路很简单，如果你掌握了其中的秘诀，抛开文章，你也可以很快选出正确答案. 掌握此类瞬间解题秘诀，不仅缩短了答题时间，还能保障近乎100%的准确率！请上www.sypeterwu.com或上百度,输入\"沈阳英语家教吴军\"查询!
** 吴军英语高分密码，让您第一次课就提10分！20次课提25-62分！**
**模棱两可处和看不懂，该怎么办？**
要知道，如果对文章似懂非懂，那么，在文章中寻找答案线索就像大海捞针一样的难,更谈不上做对题！吴军英语高分密码将会告诉你此类瞬间解题秘诀,帮助你辨识选项中的诸多暗示点，瞬间找出正确答案,或者瞬间排除错误选项.请记住!在英语完型填空和阅读理解题的选项中，从头到尾都充满了暗示点,善于利用这些暗示点，可以快速做对题!
无论任何人，在考试中，总会遇到吃不准选项的题，或可以称之为不会做的"难题",那么，如果遇到"难题"，你会怎办？是放弃？不可能，怎么着也要"猜"出一个答案!那么，是"瞎猜"吗？如果是"瞎猜"，其正确率仅是25%，是可想而知的低！那么，如何"猜"才能有高的准确率呢？如果我告诉你N个秘诀,让你在做"难题"时，猜出的答案的准确率由25%提高至95%，甚至是100%,你愿意继续看下去吗?
35\. A. eat up B. deal with C. throw away D. send out
35题在B和C模棱两可处到底选哪个? **当然选范围大的,能包括另一个的,即选**B.
再举个例子，假如2010年辽宁卷高考英语完形填空的47题,不知选哪个, 怎么办？
As I found out, there is, [46]{.underline} , often no perfect equivalence(对应)between two [47]{.underline} in two languages. My aunt even goes so far as to [48]{.underline} that a Chinese "equivalent" can never give you the [49]{.underline} meaning of a word in English!
47\. A. words B. names C. ideas D. characters
很简单，选A，勿须有任何的犹豫,为什么？**复现法则**!
吴军英语高分密码会告诉你具体原因以及更多的解决"难题"的秘诀,都是非常的简单和直接.请记住!遇到"难题"，即使"猜"答案，也要"猜"的有理有据,切勿盲目的"猜"!
The moment he was about to [47]{.underline} the hospital, he saw on the desk the [48]{.underline} new book ,just as he had left it one [49]{.underline} ago.
48. A much B still C hardly D quite
很简单，选B，为什么？答案高频词汇倾向归纳让你笑逐颜开!
**高频形容词 \\ 副词: suddenly, even, finally, first, last, again, also, however, though, although, yet, instead, even though, but**, **still**等.
吴军英语高分密码真的有这么神奇吗？是！一点儿没错！效果是绝对的真实！作为一种标准化考试，选择题本身是有很多缺陷的,这些缺陷就是暗示点，就是解题的突破口!吴军英语高分密码通过对历年真题的长时间的研究，对这些暗示点进行了全面、深入、细致的挖掘和整理,将其转化为超级解题秘诀!
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**北师大版小学五年级下册数学第二单元《长方体（一）------展开与折叠》同步检测1（附答案）**
一、如右图，这是一个（ ）体，棱长是（ ）。 
二、如下图，这是一个（ ）体，它的上、下底面的形状是（ ），长和宽分别是（ ）、（ ），它的左、右侧形状是（ ），边长是（ ）。
三、填一填。来源：www.bcjy123.com/tiku/
四、自己用硬纸板做一个长方体和正方体，并沿棱剪开，观察其特点。
五、下图是一个正方体的展开图，仔细观察，说一说，各个面相对应的各是几号面？
1号面相对的是（ ）号面。
2号面相对的是（ ）号面。
（ ）号面相对的是（ ）号面
六、下图是一个长方体的展开图，找出相对的两个面，并说一说它们是长方体的哪几个面？（单位：分米）
来源：www.bcjy123.com/tiku/
> 相对的面是（ ）号和（ ）号，（ ）号和（ ）号以及（ ）号和（ ）号。其中（ ）号和（ ）号是长方体的上、下面，（ ）号和（ ）号是长方体的前，后面，（ ）号和（ ）号是长方体的左、右面。
七、下图是一个正方体的展开图，仔细观察，正方体的上方各是哪个字母？
来源：www.bcjy123.com/tiku/
是字母（ ） 是字母（ ）
八、一个正方体的棱长之和是120厘米，它的棱长是多少？它的一个面的面积是多少平方厘米？
九、下面哪些图形沿虚线能围成正方体？（能围成的在下面括号里打"√"。）
十、右边哪个正方体纸盒是由左边的纸板折成的？
请你照着上图做一个正方体纸盒，看看你的判断对不对。
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**部分答案：**
一、正方 3分米
二、长方形 长方形 10分米 3分米 正方形 3分米
五、3 4 5 6
六、② ④ ③ ⑤ ① ⑥ ② ④ ① ⑥ ③ ⑤
七、A B
八、10厘米 100厘米
九、① ③ ④ ⑤ ⑥能围成正方体
十、第（3）个正方体纸盒
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**《有多少个字》同步练习**
**1.**
大约有100粒 大约有（ ）粒 大约有（ ）粒
2、大约有多少个水果
（ ）
（ ）\[来源:学.科.网\]
（ ）
3、
红红：我想的数比500大的多。
冰冰：我想的是500。
方方：我想的数比500多一点。
红红想的数大约是多少？（在合适的数下面画○）
400 470 600 900
\[来源:学科网ZXXK\]
方方想的数大约是多少？（在合适的数下面画□）
400 470 600 900
**参考答案：**
**1.\[来源:学科网\]**
大约有100粒 大约有（200 ）粒 大约有（300 ）粒
2、大约有多少个水果
（ 30 ）
（ 100 ）
（ 15 ）
3、
红红：我想的数比500大的多。\[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
冰冰：我想的是500。
方方：我想的数比500多一点。
红红想的数大约是多少？（在合适的数下面画○）
方方想的数大约是多少？（在合适的数下面画□）
400 470 600 900
□ ○
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小蝌蚪才在水中游着，不久又变成了幼蛙，幼蛙长大后就是飞蛙。飞蛙胃口极大，能吃不
少害虫，热带森林中的人们都非常喜欢它。
四、选一选。
1．小女孩家离学校可能有多少米？（在正确的答案下面画"√"）
350 米
595 米
860 米
2．白老鼠可能搬了多少粒大米？（在正确的答案下面画"√"）
235 粒\[来源:学科网ZXXK\]
490 粒
520 粒
五、用 2、4、5、7分别组成一个最大的四位数和一个最小的
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北师大版（2012 教材）小学二下 3.4 有多少个字课后练习
估一估
一、想一想，填一填。
1．最大的三位数是( )，最大的四位数是( )，比最小的五位数少( )。
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参考答案
一、1. 999 9999 1 2.8 4 1 3.999 1001
二、100 150
三、600
四、595 490
五、最大：7542 最小：2457
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**北师大版小学六年级上册数学期中测试卷三（附答案）**
**一、**填空题。来源：www.bcjy123.com/tiku/
1、把2∶0.75化成最简单的整数比是( )，它的比值是( )。
2、（ ）∶（ ）＝ ＝（ ）÷10＝（ ）％
3、一段路，甲车5小时行完，乙车4小时行完，那么乙车的速度比甲车快（ ）%。
> 4、把周长为12.56厘米的圆平均分成两个半圆，每个半圆的周长是（ ）厘米。
5、比值是0.72的最简单整数比是（ ）。来源：www.bcjy123.com/tiku/
6、20千克比( )轻20%. ( )米比5米长。
> 7、一项工作,6月1日开工，原定一个月完成,实际施工时,6月25日完成任务,到6月30日超额完成（ ）%.
8、甲数与乙数的比是7:3,乙数除以甲数的商是( ),甲数占两数和的( )%．
> 9、圆周率是( )与( )的比值．
>
> 10、甲数的2/3等于乙数的3/4，甲乙两数的最简整数比是（ ）。
>
> 11、妈妈存入银行60000元，定期一年，年利率是2.25％，一年后妈妈从银行共取回（ ）元。
>
> 12、男生30人，女生28人，女生人数是男生人数的（ ），女生人数与男生人数的比是（ ），男生人数是女生人数的（ ）倍，男生人数与女生人数的比是（ ），男生人数与总人数的比是（ ），总人数与女生人数的比是（ ）。
>
> 13、两个长方形的面积相等，已知这两个长方形长的比是8：5，它们的宽的比是（ ）。
>
> 14\. 两个正方形边长的比是3：5，周长的比是（ ），面积比是（ ）。
>
> 15\. 小明爸爸的月工资是1840元，按照个人所得税的有关规定，超过1200元部分要缴纳20%的个人所得税，那么小明爸爸月工资应缴纳所得税（ ）元。
二、我会选：要三思而后行哦，小心陷阱。我相信，你能行！
（把正确答案的序号填在括号里）来源：www.bcjy123.com/tiku/
1、一个圆和一个正方形的周长相等，他们的面积比较（ ）
A 正方形的面积大 B 圆的面积大 C 一样大
2、把20克盐放入200克水中，盐和盐水的比是（ ）
A、1：10 B、1：11 C、10：1 D、11：1
> 3、生产同样多的零件，小张用4小时，小李用了6小时，小李和小张的工效简比是（ ）。
A ： B 2：3 C 3：2 D ：
4、甲数是乙数的2倍，甲比乙多（ ）
A、50% B、100% C、200%
5、一种盐水的含盐率是10%，盐与水的比是（ ）。
A、1：10 B、1：11 C、1：9来源：www.bcjy123.com/tiku/
三、**下面请你判是非。**（正确的在括号里画"√"，错的在括号里画"×"。）
1、甲数的等于乙数的，甲数与乙数的比是6 : 5 ( )
2、在100克水中放入10克盐，盐的重量占盐水重量的10％。 ( )
> 3．如果甲比乙多20%，则乙比甲一定少20%。 （ ）
4、圆的周长是直径的3.14倍。 （ ）
四、计算题：
1、求比值
60 : 25 3 : 1.5小时 : 45分
2．化简比
18 : 24 : 吨 : 750千克 :
五、动手操作
1.填表。
2．画出下列图形的所有的对称轴。
3.把下表补充完整。
--------------------- ------------------------ ---------------------------- ---------------------
**条件** **条件** **问题** **算式**
**一班有学生100名** **二班有学生80名** **二班比一班少百分之几？**
**二班有学生多少名？** **100×25％**
**比二班多25％** **100÷（1+25％）**
**二班有学生多少名？** **100×（1-25％）**
**是二班学生数的25％** **二班有学生多少名？**
**二班是一班的25％** **100×（1＋25％）**
--------------------- ------------------------ ---------------------------- ---------------------
4．某次数学测验中，甲、乙两班各50名同学的成绩如下：
甲班：60分以下有2人，60分以上有4人，70分以上有6人，80分以上有15人，90分以上有23人，其中满分100分有8人。(60分以上是指包括60分而不包括70分)
乙班：60分以下有5人，60分以上有5人，70分以上有10人，80分以上有19人，90分以上有11人，其中满分100分有3人。
请画出统计图，然后根据统计图提出至少五个不同类型的问题，并作答。
我提出的问题是：
六、解方程：
1．30％ χ = 90 2. χ + 20％ χ = 40
七、实际应用。**让我们来体验数学在生活中的应用吧。你要细心可别出错哟。多读几遍题再做吧。**
1．一块棉花地，去年收皮棉30吨，比前年增产了5吨。这块棉花地皮棉产量增长了几成？
2．小明家离学校有1400米，他每天骑自行车回家，自行车的轮胎直径是70厘米，如果自行车每分钟转80圈，小明多长时间可以到家？
[3．]{.underline}王钢把10000元人民币存入银行，定期3年，年利率是2.7％。到期时，王钢应得本金和利息一共多少元？
4．学校运来200棵树苗，老师栽种了10％，余下的按5：4：3分配给甲、乙、丙三个班级，丙班分到多少棵？
5．一个滴水的水龙头每天浪费掉10升水，这个水龙头2006年一年浪费掉多少升水？假如深圳市有1000个这样的水龙头，一天浪费多少升水？
参考答案：
一、1、8：3 、 2 2、13、5、26、260 3、25 4、10.28 5、18：25
6、25千克、6 7、20 8、 、70 9、圆的周长、 直径
> 10、9：8 11、61080 12、、14：15、1、15：14、15：29、29：14
>
> 13、5：8 14、3：5 9：25 15、128
二、1、B 2、B 3、B 4、B 5、C
三、1、√ 2、× 3、× 4、×
四、1、2 12 2 2、 3：4 3：2 5：1 9：8
五、略
六、χ =300 χ =33
七、1、5÷（30-5）=25% 增产了二成五。
2、70厘米=0.7米 1400÷80÷3.14÷0.7≈8（分钟）
3、10000×2.7％×3×（1-20%）+10000=10648（元）
4、5+4+3=12（份） 200×（1-10%）=180（棵）
180×=45（棵）
5、10×366=3660（升） 10×1000=10000（升）
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**一年级数学下册同步练习及****解析\|北师大****版(秋)**
**第4单元 第一节：认识图形**
1. 连一连
长方形 正方形 三角形 圆 平行四边形
2、
\(1\) 有（ ）个， 有（ ）个， 有（ ）个， 有（ ）个 。
2. （ ）最多，（ ） 最少，（ ）和（ ）同样多。
（3） 比 多（ ）个， 比 少（ ）个 。
3. 数一数，填一填。
（1）从右往左数 ， 是第（ ）个 。
\[来源:Zxxk.Com\]
2. 的左边是（ ），右边是（ ）。从左往右数，最后一个图形是（ ）；\[来源:学。科。网\]
4、连线题：下面的一块是从上面哪一块中剪下来的，用线连一连。
5、判断。
1、两个一样大的正方形可以拼成一个长方形。 （ ）
2、长方形就是正方形。 （ ）
3、两个三角形可以拼成一个四边形。 （ ）
答案
1、 长方形 正方形 三角形 圆 平行四边形
  \[来源:学&科&网Z&X&X&K\]
2、
（1） 4， 1， 3， 3。
（2）圆形，正方形， 长方形 和 平行四边形
（3）2， 1
3、数一数，填一填。\[来源:学,科,网Z,X,X,K\]
1. 1
（2）3 4 三角形
4、
5、
1、√
2、×
3、×
\[来源:学&科&网\]
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**人教新版六年级下数学综合检测题（含解析）**
学校:\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_姓名：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_班级：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_考号：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
------ ---- ---- ---- ---- ---- ------
题号 一 二 三 四 五 总分
得分
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**一．选择题（共25小题）**
1．如果把学校的位置记作0*m*，从学校出发向东走300*m*有一个书店，书店的位置记作+300*m*，从书店出发向西走600*m*有一个报亭，报亭的位置记作（ ）*m*．
A．+900 B．﹣300 C．﹣900 D．﹣600
2．在数轴上，0左边的数（ ）
A．是正数
B．是负数
C．既不是正数，也不是负数
3．下面的数与0最接近的一个数是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．+5 D．+2
4．某市一月份的平均气温是﹣2℃，二月份的平均气温比一月份的升高了5℃，该市二月份的平均气温是（ ）
A．5℃ B．3℃ C．7℃ D．﹣5℃
5．下列算式中，结果与不相等的是（ ）
A．0.2÷0.5 B．20÷500 C．4÷10 D．16÷40
6．已知"甲比乙多50%°则下面叙述中正确的是（ ）
A．甲与乙的比是2：3 B．乙比甲少50%
C．甲与乙的比是3：2 D．乙是甲的3倍
7．在＝0.25＝（ ）÷12＝（ ）%中所填数据完全正确的是（ ）
A．5，3，25 B．5，25，3 C．25，3，5 D．3，5，25
8．在60后面添上百分号，这个数就（ ）
A．扩大100倍 B．缩小10倍
C．缩小为原来的1% D．大小不变
9．做一个圆柱形通风管要用多少铁皮是求（ ）
A．表面积 B．体积 C．底面积 D．侧面积
10．等底等高的长方体、正方体、圆柱的体积相比较．（ ）
A．长方体体积大 B．正方体体积大
C．圆柱体积大 D．一样大
11．一个圆柱的侧面积是12.56*dm*^2^，高是0.5*dm*，它的底面直径是（ ）*dm*．
A．4 B．8 C．12
12．圆柱和圆锥同底，圆柱的高是圆锥的，圆柱的体积是12*cm*^3^，圆锥的体积是（ ）*cm*^3^．
A．4 B．8 C．6
13．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是48立方分米，圆柱、圆锥体积分别是（ ）
A．24立方分米，24平方分米
B．36立方分米，12平方分米
C．12立方分米，36平方分米
14．把一条5米长的铁丝按2：7分成两段，较短的一段占整条铁丝长的（ ）
A． B． C． D．
15．两根绳子共长38米．第一根剪掉它的40%，第二根剪掉3米后，第一根剩下的与第二根剩下的长度比是4：5．第二根原来长（ ）米．
A．18 B．20 C．24 D．30
16．六年级某班男生人数与女生人数的比是3：2，男生比女生多（ ）
A．60% B．50% C．40% D．66.6%
17．苹果和雪梨的质量比是3：2，如果苹果有180*kg*，那么雪梨有（ ）*kg*．
A．72 B．108 C．120 D．270
18．把红、黄、蓝三种颜色的球各5个放到一个篮子里，至少取出（ ）个球，可以保证取到两个颜色相同的球．
A．3个 B．4个 C．5个
19．用长54厘米的铁丝正好围成一个长是20厘米的长方形，则长方形的宽是（ ）厘米．
A．14 B．17 C．7
20．一根绳子刚好可以围成一个长6分米，宽4分米的长方形，如果把这根绳子围成一个最大的正方形，这个正方形的边长是（ ）分米．
A．7 B．6 C．5 D．4
21．在一个小正方体的一个面涂红色，两个面涂绿色，其它面涂蓝色，任意抛一次，（ ）面朝上的可能性最小．
A．绿色 B．蓝色 C．红色
22．盒子中有白球7个，黄球2个，红球6个，摸一次，摸到（ ）球可能性最小？
A．白球 B．红球 C．黄球 D．*D*、
23．一个长方形的长是9米，宽是5米，这个长方形的周长是（ ）米．
A．14 B．28 C．45
24．将一个长10厘米，宽6厘米的长方形木框拉成一个高是8厘米的平行四边形，这个平行四边形的面积是（ ）平方厘米．
A．80 B．60 C．48 D．30
25．箱子中有4个红球，3个白球和6个蓝球，从中摸出（ ）个球，才能保证每种颜色的球至少有一个．
A．9 B．10 C．11 D．12
**二．填空题（共6小题）**
26．﹣39读作 [ ]{.underline} ，气温30摄氏度记作 [ ]{.underline} °*C*．
27．笑笑从家向东行300米表示为+300米，那么他向西行50米可以表示为 [ ]{.underline} 米．
28．将一个底面周长是9.42*dm*的圆柱形木料，沿着底面直径垂直切一刀，切成两个半圆柱，表面积增加4.8*dm*^2^，这个圆柱形木料的体积是 [ ]{.underline} 立方分米．
29．小亚做一个圆柱形笔筒，底面半径4*cm*，高10*Ccm*．她想给笔筒的侧面和底面贴上彩纸，至少需要 [ ]{.underline} 平方厘米的彩纸．
30．已知甲乙两人年龄之差是18岁，甲乙年龄比是3：5，甲乙年龄和是 [ ]{.underline} 岁．
31．把红、黄、蓝三种颜色的球各8个放到一个袋子里．至少要取 [ ]{.underline} 个球，才可以保证取到两个颜色相同的球；至少要取 [ ]{.underline} 个球，才能保证取到两个颜色不同的球．
**三．判断题（共4小题）**
32．一个盒子里装有同样大小的黄、白乒乓球各3个，要想使取出的乒乓球中一定有两个黄乒乓球，则至少应取出5个球． [ ]{.underline} （判断对错）
33．0既不是正数也不是负数，所有的负数都比0小． [ ]{.underline} （判断对错）
34．两个等底等高的平行四边形，形状不一定完全相同，面积一定相等． [ ]{.underline} （判断对错）
35．今年小麦喜获丰收，总产量比去年增加15%万吨． [ ]{.underline} （判断对错）
**四．计算题（共4小题）**
36．把下列分数、小数化成百分数．
--------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------- -----------------------------------------
＝ ＝ ＝ ＝
0.3＝ 0.45＝ 1.27＝ 0.0064＝
--------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------- -----------------------------------------
37．求圆柱的体积
> （1）高为12*cm*底面直径为20*cm*．
>
> （2）周长12.56*cm*，高为6*cm*．
38．解比例．
> ＝
>
> 
>
> *x*：＝：
39．解比例：
> ：＝：*x*
>
> ＝
**五．应用题（共6小题）**
40．一个圆柱形木桶的外围打两条铁箍，桶的直径是50厘米，铁箍连接处需铁条6厘米．打这样的两条铁箍用多少分米的铁条？
41．张强存入银行10万元，定期两年，当时两年期的年利率为4.5%，到期后，张强得到的利息能买一台6000元的电脑吗？
42．同学们进行体检，身高以150厘米为标准，超过的记作正数，不足的记作负数，第一组6人的对应数分别为：+8、﹣1、1、﹣2、10、5，这6名同学的身高分别是多少厘米？
43．有5050张数字卡片，其中1张上面写着数字"1"，2张上面写着数字"2"，3张上面写着数字"3"，...，99张上面写着数字"99"，100张上面写着数字"100"．现在要从中任意取出若干张，为了确保抽出的卡片中至少有10张完全相同的数字，至少要抽出多少张卡片？
44．舞蹈队的女生的体重都是整千克数，其最重的40*kg*，最轻的35*kg*，已知全队至少有5人同样重．舞蹈队至少有多少名女生？
45．一块平行四边形稻田的底是400米，高是200米，这块稻田面积是多少公顷？
**人教新版六年级下数学综合检测题（含解析）**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题（共25小题）**
1．【解答】解：由题意得，向东走为正，向西走为负，则
> 300+（﹣600）＝﹣300米．
>
> 故选：*B*．
2．【解答】解：数轴上0左边的数都是负数，右边的数都是正数
> 因为正数＞0＞负数
>
> 所以在数轴上，0左边的数都是负数；
>
> 故选：*B*．
3．【解答】解：由分析可得：
> 在﹣5、﹣1、+5、+2中与0最接近的是﹣1．
>
> 故选：*B*．
4．【解答】解：如图：
> 
>
> 某市一月份的平均气温是﹣2℃，二月份的平均气温比一月份的升高了5℃，该市二月份的平均气温是3℃．
>
> 故选：*B*．
5．【解答】解：*A*、0.2÷0.5＝；
> *B*、20÷500＝；
>
> *C*、4÷10＝；
>
> *D*、16÷40＝．
>
> 故选：*B*．
6．【解答】解：已知"甲比乙多50%°，则甲与乙的比是（1+50%）：1＝3：2；
> 故选：*C*．
7．【解答】解：＝0.25＝3÷12＝25%．
> 即在＝0.25＝（ ）÷12＝（ ）%中所填数据完全正确的是：5，3，25．
>
> 故选：*A*．
8．【解答】解：60%＝0.6，
> 缩小60÷0.6＝100倍，即缩小到原数的1%；
>
> 故选：*C*．
9．【解答】解：做一个圆柱形通风管要用多少铁皮是求侧面积．
> 故选：*D*．
10．【解答】解：因为长方体、正方体、圆柱的体积都可用公式：*V*＝*sh*求得，
> 又因为等底等高，
>
> 所以体积相等．
>
> 故选：*D*．
11．【解答】解：12.56÷0.5＝25.12（分米）
> 25.12÷3.14＝8（分米）
>
> 答：它的底面直径是8分米．
>
> 故选：*B*．
12．【解答】解：设圆锥的高为3厘米，则圆柱的高为2厘米
> 12÷2＝6（平方厘米）
>
> 6×3＝6（立方厘米）
>
> 答：圆锥的体积是6立方厘米．
>
> 故选：*C*．
13．【解答】解：圆锥的体积：48÷（1+3），
> ＝48÷4，
>
> ＝12（立方分米），
>
> 圆柱的体积：12×3＝36（立方分米），
>
> 答：圆柱的体积是36立方分米，圆锥的体积是12立方分米；
>
> 故选：*B*．
14．【解答】解：根据题意，
> 2÷（7+2）
>
> ＝2÷9
>
> ＝
>
> 答：较短的一段占整条铁丝长的．
>
> 故选：*D*．
15．【解答】解：设第二根绳子原来的长度是*x*米，那么第一个绳子原来的长度就是（38﹣*x*）米，
> （38﹣*x*）×（1﹣40%）＝（*x*﹣3）×
>
> 22.8﹣0.6*x*＝0.8*x*﹣2.4
>
> 1.4*x*＝25.2
>
> *x*＝18
>
> 答：第二根原来长18米．
>
> 故选：*A*．
16．【解答】解：3﹣2＝1；
> 1÷2＝50%；
>
> 答：男生比女生多 50%．
>
> 故选：*B*．
17．【解答】解：180÷3×2
> ＝60×2
>
> ＝120（千克），
>
> 答：雪梨有120千克．
>
> 故选：*C*．
18．【解答】解：我们假设每取1个，取出的颜色都不一样，篮子里共有三种颜色的球，则需要取3个，
> 然后再取一个，一定和其中某一个的颜色一样，所以共取4个，可以保证取到两个颜色相同的球．
>
> 故选：*B*．
19．【解答】解：54÷2﹣20
> ＝27﹣20
>
> ＝7（厘米）
>
> 答：长方形的宽是7厘米．
>
> 故选：*C*．
20．【解答】解：（6+4）×2÷4
> ＝10×2÷4
>
> ＝20÷4
>
> ＝5（分米），
>
> 答：这根 正方形的边长是5分米．
>
> 故选：*C*．
21．【解答】解：红色1个面，绿色2个面，蓝色3个面，
> 1＜2＜3
>
> 所以红色的面朝上的可能性最小．
>
> 故选：*C*．
22．【解答】解：因为2＜6＜7，
> 所以任意摸出一个球，摸到黄球的可能性最小；
>
> 故选：*C*．
23．【解答】解：（9+5）×2
> ＝14×2
>
> ＝28（米），
>
> 答：这个长方形的周长是28米．
>
> 故选：*B*．
24．【解答】解：*S*＝*ab*
> ＝6×8
>
> ＝48（平方厘米）；
>
> 答：这个平行四边形的面积是48平方厘米．
>
> 故选：*C*．
25．【解答】解：4+6+1＝11（个）
> 答：从中摸出11个球，才能保证每种颜色的球至少有一个．
>
> 故选：*C*．
**二．填空题（共6小题）**
26．【解答】解：﹣39读作：负三十九；
> 气温在30摄氏度记作：30℃．
>
> 故答案为：负三十九；30．
27．【解答】解：如果笑笑从家向东行300米表示为+300米，那么她从家向西行50米可以表示为﹣50米；
> 故答案为：﹣50．
28．【解答】解：9.42÷3.14＝3（分米）
> 4.8÷2÷3＝0.8（分米）
>
> 3.14×（3÷2）^2^×0.8
>
> ＝3.14×2.25×0.8
>
> ＝7.065×0.8
>
> ＝5.652（立方分米）
>
> 答：这个圆柱形木料的体积是5.652立方分米．
>
> 故答案为：5.652．
29．【解答】解：3.14×4×2×10+3.14×4^2^
> ＝25.12×10+3.14×16
>
> ＝251.2+50.24
>
> ＝301.44（平方厘米），
>
> 答：至少需要301.44平方厘米．
>
> 故答案为：301.44．
30．【解答】解：18÷（5﹣3）
> ＝18÷2
>
> ＝9（岁）；
>
> 9×3+9×5
>
> ＝27+45
>
> ＝72（岁）；
>
> 答：甲乙年龄和是72岁．
>
> 故答案为：72．
31．【解答】解：（1）3+1＝4（个）
> （2）8+1＝9（个）
>
> 答：至少要取4个球，才可以保证取到两个颜色相同的球．至少要取9个球才保证两个球颜色不同．
>
> 故答案为：4，9．
**三．判断题（共4小题）**
32．【解答】解：3+2＝5（个）；
> 即则至少应取出5个，使取出的乒乓球中一定有两个黄乒乓球，所以原题说法正确．
>
> 故答案为：√．
33．【解答】解：由分析知：0既不是正数，也不是负数；凡是负数都比0小．
> 故答案为：√．
34．【解答】解：因为平行四边形的面积公式为：平行四边形的面积＝底×高，
> 所以只要是等底等高的平行四边形面积一定相等，形状不一定相同；
>
> 故判断为：√．
35．【解答】解：根据百分数的意义可知，百分数不能表示某一具体数量，所以"总产量比去年增加15%万吨"的表示方法是错误的．
> 故答案为：×．
**四．计算题（共4小题）**
36．【解答】解：把下列分数、小数化成百分数：
------------------------------------------------ -------------------------------------------------- ------------------------------------------------- ------------------------------------------------
（1）＝60% （2）＝37.5% （3）＝240% （4）＝12%
（5）0.3＝30% （6）0.45＝45% （7）1.27＝127% （9）0.0064＝0.64%
------------------------------------------------ -------------------------------------------------- ------------------------------------------------- ------------------------------------------------
37．【解答】解：（1）20÷2＝10（厘米）
> 3.14×10^2^×12
>
> ＝3.14×100×12
>
> ＝3768（立方厘米）
>
> 答：这个圆柱的体积是3768立方厘米．
>
> （2）12.56÷3.14÷2＝2（厘米）
>
> 3.14×2^2^×6
>
> ＝3.14×4×6
>
> ＝75.36（立方厘米）
>
> 答：圆柱的体积是75.36立方厘米．
38．【解答】解：（1） ＝
> 10*x*＝6×7
>
> 10*x*÷10＝42÷10
>
> *x*＝4.2；
>
> 
2.  ＝
> 2.5*x*＝12.5×8
>
> 2.5*x*÷2.5＝100÷2.5
>
> *x*＝40；
>
> （3）*x*：＝：
>
> *x*＝×
>
> 
*X* ＝
> *x*＝．
39．【解答】解：（1）：＝：*x*
> *x*＝×
>
> *x*＝
>
> *x*＝
>
> （2）＝
>
> 0.1*x*＝0.01×100
>
> 0.1*x*＝1
>
> *x*＝10
**五．应用题（共6小题）**
40．【解答】解：（3.14×50+6）×2
> ＝（157+6）×2
>
> ＝163×2
>
> ＝326（厘米）
>
> 326厘米＝32.6（分米）
>
> 答：打这样的两条铁箍用32.6分米的铁条．
41．【解答】解：10万元＝100000元
> 100000×4.50%×2＝9000（元）
>
> 9000元＞6000元．
>
> 答：得到的利息能买一台6000元的电脑．
42．【解答】解：150+（+8）＝158（厘米）
> 150+（﹣1）＝149（厘米）
>
> 150+1＝151（厘米）
>
> 150+（﹣2）＝148（厘米）
>
> 150+10＝160（厘米）
>
> 150+5＝155（厘米）
>
> 答：这6名同学的身高分别是158厘米、149厘米、151厘米、148厘米、160厘米、155厘米．
43．【解答】解：最不利情形是写着1到9的全抽了，写着10到100的各抽了9张，则只要再任抽一张，就能保证抽出的卡片至少有10张的数字完全相同，至少要抽：
> 1+2+...+9+（100﹣10+1）×9+1
>
> ＝45+819+1
>
> ＝865（张）
>
> 答：至少要从中抽出865张，才能确保在抽出的卡片中至少10张卡片上的数字完全相同．
44．【解答】解：把35千克、36千克、37千克、38千克、39千克、40千克这6个整千克数看作6个抽屉，
> 4×6+1＝25（人）
>
> 答：舞蹈队至少有25名女生．
45．【解答】解：400×200＝80000（平方米）
> 80000平方米＝8公顷
>
> 答：这块稻田的面积是8公顷．
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）**
**数 学（理科）**
**参考答案**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。**
1．D 2．B 3．D 4．A 5．A 6．B
7．C 8．A 9．D 10．D 11．C 12．B
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上。**
13．
14．
15．
16． 8
**三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.**
17．
（I）
验证时也满足上式，
（II） ，
，
18**．**
**（I）基本事件总数为，**
**若使方程有实根，则，即。**
**当时，；**
**当时，；**
**当时，；**
**当时，；**
**当时，；**
**当时，,**
**目标事件个数为**
因此方程 有实根的概率为
（II）由题意知，，则
**，，**
**故**的分布列为
------- ------- ------- -------
**0** **1** **2**
**P**
------- ------- ------- -------
的数学期望
> （III）记"先后两次出现的点数中有5"为事件M，"方程 有实根" 为事件N，则，，
19**．（I）连结，则四边形为正方形，**
**，且，**
**为平行四边形，**
> **（II）以D为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则**
**设为平面的一个法向量，**
**由得，**
**取，则**
**设为平面的一个法向量，**
**由得，**
**取,则**
**由于该**二面角为锐角，
所以所求的二面角的余弦值为
20**．**解如图，连结，，，
是等边三角形，，
在中，由余弦定理得
，
因此乙船的速度的大小为
答：乙船每小时航行海里
21**．**
**（I）由题意设椭圆的标准方程为**
**，**
**（II）设，由得**
***，***
***，***
***以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，***
***，，***
***，***
***，解得***
***，且满足***
***当时，***，直线过定点***与已知矛盾；***
***当时，***，直线过定点
***综上可知，直线***过定点，定点坐标为
22**．**
**（I）** 函数的定义域为
，
令，则在上递增，在上递减，
当时，，
在上恒成立.
即当时,函数在定义域上单调递增。
（II）分以下几种情形讨论：
（1）由（I）知当时函数无极值点.
（2）当时，，
时，
时，
时，函数在上无极值点。
（3）当时，解得两个不同解，.
当时，，，
此时在上有唯一的极小值点
当时，
在都大于0 ，在上小于0 ，
此时有一个极大值点和一个极小值点
综上可知，时，在上有唯一的极小值点；
> 时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，函数在上无极值点。
（III） 当时，
令则
在上恒正，
在上单调递增，当时，恒有
即当时，有，
对任意正整数，取得。
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第4单元 第一节：认识图形**
一、填一填。
1、长方体有（ ）个面，正方体有（ ）个面。
2、用手摸一摸，圆柱上下两个面，它们的大小（ ）。\[来源:Zxxk.Com\]
3、用2块完全一样的正方体可以拼成一个（ ）。
4、听装可乐的形状是（ ）。
二、填空。
1、
以上图形中（ ）号是球体；（ ）号是长方体。（ ）号是正方体。（ ）号是圆柱体。
2、足球是（ ）体。\[来源:学科网\]
3、一分钱硬币是（ ）体。
4、圆柱体上下两个面是（ ）形。
三、对的画"√"，错的画"×"。
1、用8个小正方体就能拼成一个大正方体。（ ）
2、乒乓球、足球、篮球的形状都是球。（ ）
3、一张复印纸是长方体。（ ）
4、老师用的粉笔是圆柱形的。（ ）
四、判断下图中哪些是长方体，哪些不是（是画"√"，不是画"×"）。
（ ） （ ） （ ）
（ ） （ ） （ ） （ ）
五、选择。
1、
像这样先折后剪会得到一个（ ）图形。
A、正方形 B、长方形 C、平行四边形 D、圆形
2、下图是小男孩用手中的长方体和笔，最多可以画出（ ）个不同的长方形。
A、6个 B、4个 C、3个
\[来源:学科网\]
答案
一、填一填。
1、6 6
2、相同
3、长方体
4、圆柱体
二、填空。
1、以上图形中（ 2 8 ）号是球体；（ 1 10）号是长方体。（ 4 ）号是正方体。（3  11 ）号是圆柱体。
2、足球是（ 球 ）体。
3、一分钱硬币是（ 圆柱 ）体。\[来源:学科网\]
4、圆柱体上下两个面是（ 圆 ）形。
三、对的画"√"，错的画"×"。
1、√ 2、√ 3、√ 4、√
四、判断下图中哪些是长方体，哪些不是（是画"√"，不是画"×"）。
\[来源:学科网\]
（ √ ） （ × ） （ × ）
（ × ）  （ × ） （  √ ） （ × ）
五、选择题
1、D 2、C
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**2014年福建省高考数学试卷（理科）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．**
1．（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（ ）
A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i
2．（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱
3．（5分）等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若a~1~=2，S~3~=12，则a~6~等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
4．（5分）若函数y=log~a~x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（ ）
A．18 B．20 C．21 D．40
6．（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x^2^+y^2^=1相交于A，B 两点，则"k=1"是"△OAB的面积为"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
7．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）是增函数
C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为\[﹣1，+∞）
8．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（ ）
A．=（0，0），=（1，2） B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）
C．=（3，5），=（6，10） D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）
9．（5分）设P，Q分别为圆x^2^+（y﹣6）^2^=2和椭圆+y^2^=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（ ）
A．5 B．+ C．7+ D．6
10．（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如："1"表示一个球都不取、"a"表示取出一个红球，而"ab"则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A．（1+a+a^2^+a^3^+a^4^+a^5^）（1+b^5^）（1+c）^5^ B．（1+a^5^）（1+b+b^2^+b^3^+b^4^+b^5^）（1+c）^5^
C．（1+a）^5^（1+b+b^2^+b^3^+b^4^+b^5^）（1+c^5^） D．（1+a^5^）（1+b）^5^（1+c+c^2^+c^3^+c^4^+c^5^）
**二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置**
11．（4分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为[ ]{.underline}．
12．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于[ ]{.underline}．
13．（4分）要制作一个容器为4m^3^，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是[ ]{.underline}（单位：元）
14．（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为[ ]{.underline}．
15．（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共4小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤**
16．（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．
（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
17．（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
18．（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
19．（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l~1~：y=2x，l~2~：y=﹣2x．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l~1~，l~2~于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．
**在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换**
20．（14分）已知函数f（x）=e^x^﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x^2^＜e^x^；
（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x~0~，使得当x∈（x~0~，+∞）时，恒有x^2^＜ce^x^．
21．（7分）已知矩阵A的逆矩阵A^﹣1^=（）．
（1）求矩阵A；
（2）求矩阵A^﹣1^的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．
**五、选修4-4：极坐标与参数方程**
22．（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．
（1）求直线l和圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
**六、选修4-5：不等式选讲**
23．已知定义域在R上的函数f（x）=\|x+1\|+\|x﹣2\|的最小值为a．
（1）求a的值；
（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p^2^+q^2^+r^2^≥3．
**2014年福建省高考数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．**
1．（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（ ）
A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i
【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求．
【解答】解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2．（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱
【分析】直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可．
【解答】解：圆柱的正视图为矩形，
故选：A．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题．
3．（5分）等差数列{a~n~}的前n项和为S~n~，若a~1~=2，S~3~=12，则a~6~等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】由等差数列的性质和已知可得a~2~，进而可得公差，可得a~6~
【解答】解：由题意可得S~3~=a~1~+a~2~+a~3~=3a~2~=12，
解得a~2~=4，∴公差d=a~2~﹣a~1~=4﹣2=2，
∴a~6~=a~1~+5d=2+5×2=12，
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．
4．（5分）若函数y=log~a~x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可．
【解答】解：由题意可知图象过（3，1），
故有1=log~a~3，解得a=3，
选项A，y=a^﹣x^=3^﹣x^=（）^x^单调递减，故错误；
选项B，y=x^3^，由幂函数的知识可知正确；
选项C，y=（﹣x）^3^=﹣x^3^，其图象应与B关于x轴对称，故错误；
选项D，y=log~a~（﹣x）=log~3~（﹣x），当x=﹣3时，y=1，
但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误．
故选：B．
【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题．
5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（ ）
A．18 B．20 C．21 D．40
【分析】算法的功能是求S=2^1^+2^2^+...+2^n^+1+2+...+n的值，计算满足条件的S值，可得答案．
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=2^1^+2^2^+...+2^n^+1+2+...+n的值，
∵S=2^1^+2^2^+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=2^1^+2^2^+2^3^+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15．
∴输出S=20．
故选：B．
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．
6．（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x^2^+y^2^=1相交于A，B 两点，则"k=1"是"△OAB的面积为"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【分析】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：若直线l：y=kx+1与圆O：x^2^+y^2^=1相交于A，B 两点，
则圆心到直线距离d=，\|AB\|=2，
若k=1，则\|AB\|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．
若△OAB的面积为，则S==×2×==，
即k^2^+1=2\|k\|，即k^2^﹣2\|k\|+1=0，
则（\|k\|﹣1）^2^=0，
即\|k\|=1，
解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．
故"k=1"是"△OAB的面积为"的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．
7．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数 B．f（x）是增函数
C．f（x）是周期函数 D．f（x）的值域为\[﹣1，+∞）
【分析】由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．
【解答】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，
当x＞0时，f（x）=x^2^+1，为二次函数的一部分，
故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，
故可排除A、B、C，
对于D，当x≤0时，函数的值域为\[﹣1，1\]，
当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），
故函数f（x）的值域为\[﹣1，+∞），故正确．
故选：D．
【点评】本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．
8．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（ ）
A．=（0，0），=（1，2） B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）
C．=（3，5），=（6，10） D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）
【分析】根据向量的坐标运算，，计算判别即可．
【解答】解：根据，
选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则 3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；
选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．
选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．
选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．
故选：B．
【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题．
9．（5分）设P，Q分别为圆x^2^+（y﹣6）^2^=2和椭圆+y^2^=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（ ）
A．5 B．+ C．7+ D．6
【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．
【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则
∵圆x^2^+（y﹣6）^2^=2的圆心为（0，6），半径为，
∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，
∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
10．（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如："1"表示一个球都不取、"a"表示取出一个红球，而"ab"则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A．（1+a+a^2^+a^3^+a^4^+a^5^）（1+b^5^）（1+c）^5^ B．（1+a^5^）（1+b+b^2^+b^3^+b^4^+b^5^）（1+c）^5^
C．（1+a）^5^（1+b+b^2^+b^3^+b^4^+b^5^）（1+c^5^） D．（1+a^5^）（1+b）^5^（1+c+c^2^+c^3^+c^4^+c^5^）
【分析】根据"1+a+b+ab表示出来，如："1"表示一个球都不取、"a"表示取出一个红球，而"ab"则表示把红球和蓝球都取出来"，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决．
【解答】解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a^2^+a^3^+a^4^+a^5^；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b^5^；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个
球，共6种情况，则其所有取法为1+c+c^2^+c^3^+c^4^+c^5^=（1+c）^5^，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是（1+a+a^2^+a^3^+a^4^+a^5^）（1+b^5^）（1+c）^5^．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题．
**二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置**
11．（4分）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为[ 1 ]{.underline}．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，
由z=3x+y，得y=﹣3x+z，
平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，
此时z最小．此时z的最小值为z=0×3+1=1，
故答案为：1
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
12．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于[ 2]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积．
【解答】解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，
由正弦定理得：，
∴，
解得sinB=1，
∴B=90°，C=30°，
∴△ABC的面积=．
故答案为：．
【点评】本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积．正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题．
13．（4分）要制作一个容器为4m^3^，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是[ 160 ]{.underline}（单位：元）
【分析】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．
【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，
则∵长方形容器的容器为4m^3^，高为1m，
故底面面积S=ab=4，y=20S+10\[2（a+b）\]=20（a+b）+80，
∵a+b≥2=4，
故当a=b=2时，y取最小值160，
即该容器的最低总造价是160元，
故答案为：160
【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题．
14．（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率．
【解答】解：由题意，y=lnx与y=e^x^关于y=x对称，
∴阴影部分的面积为2（e﹣e^x^）dx=2（ex﹣e^x^）=2，
∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e^2^，
∴落到阴影部分的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．
15．（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是[ 6 ]{.underline}．
【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．
【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；
a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；
a=4时，b=1，c=3，d=2；
∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．
【点评】本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．
**三、解答题：本大题共4小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤**
16．（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．
（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【分析】（1）根据题意，利用sinα求出cosα的值，再计算f（α）的值；
（2）化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期与单调增区间即可．
【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，
∴cosα=，
∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣
=×（+）﹣
=；
（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣
=sinxcosx+cos^2^x﹣
=sin2x+﹣
=（sin2x+cos2x）
=sin（2x+），
∴f（x）的最小正周期为T==π；
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；
∴f（x）的单调增区间为\[kπ﹣，kπ+\]，k∈Z．
【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目．
17．（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系．设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=\|cos\|=即可得出．
【解答】（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，
∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，
∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M．
∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=．
设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，
令y=﹣1，则x=1，z=1．
∴=（1，﹣1，1）．
设直线AD与平面MBC所成角为θ．
则sinθ=\|cos\|===．
【点评】本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sinθ=\|cos\|=，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题．
18．（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出P（X=60），P（X=20），画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望；
（2）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决．
【解答】解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，
①依题意，得P（X=60）=，
即顾客所获得奖励额为60元的概率为，
②依题意得X得所有可能取值为20，60，
P（X=60）=，P（X=20）=，
即X的分布列为
--- -------------------------------------- --------------------------------------
X 60 20
P  
--- -------------------------------------- --------------------------------------
所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×+60×=40
（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案．
对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，
如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，
因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，
对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2，
以下是对这两个方案的分析：
对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X~1~，则X~1~的分布列为
------ -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X~1~ 60 20 100
P   
------ -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X~1~ 的数学期望为E（X~1~）=．
X~1~ 的方差D（X~1~）==，
对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X~2~，则X~2~的分布列为
------ -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X~2~ 40 60 80
P   
------ -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
X~2~ 的数学期望为E（X~2~）==60，
X~2~ 的方差D（X~2~）=差D（X~1~）=．
由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2．
【点评】本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想．
19．（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l~1~：y=2x，l~2~：y=﹣2x．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l~1~，l~2~于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．
【分析】（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；
（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1．当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由S~△OAB~=\|OC\|•\|y~1~﹣y~2~\|=8可证得：双曲线E的方程为﹣=1，从而可得答案．
【解答】解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l~1~：y=2x，l~2~：y=﹣2x，
所以=2．
所以=2．
故c=a，
从而双曲线E的离心率e==．
（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1．
设直线l与x轴相交于点C，
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则\|OC\|=a，\|AB\|=4a，
所以\|OC\|•\|AB\|=8，
因此a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1．
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为﹣=1也满足条件．
设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2；
则C（﹣，0），记A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
由得y~1~=，同理得y~2~=，
由S~△OAB~=\|OC\|•\|y~1~﹣y~2~\|得：
\|﹣\|•\|﹣\|=8，即m^2^=4\|4﹣k^2^\|=4（k^2^﹣4）．
由得：（4﹣k^2^）x^2^﹣2kmx﹣m^2^﹣16=0，
因为4﹣k^2^＜0，
所以△=4k^2^m^2^+4（4﹣k^2^）（m^2^+16）=﹣16（4k^2^﹣m^2^﹣16），
又因为m^2^=4（k^2^﹣4），
所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为﹣=1．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想．
**在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换**
20．（14分）已知函数f（x）=e^x^﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值及函数f（x）的极值；
（2）证明：当x＞0时，x^2^＜e^x^；
（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x~0~，使得当x∈（x~0~，+∞）时，恒有x^2^＜ce^x^．
【分析】（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；
（2）构造函数g（x）=e^x^﹣x^2^，求出导数，利用（1）问结论可得到函数的符号，从而判断g（x）的单调性，即可得出结论；
（3）首先可将要证明的不等式变形为x^2^＜e^x^，进而发现当x＞时，x^2^＜x^3^，因此问题转化为证明当x∈（0，+∞）时，恒有x^3^＜e^x^．
【解答】解：（1）由f（x）=e^x^﹣ax，得f′（x）=e^x^﹣a．
又f′（0）=1﹣a=﹣1，解得a=2，
∴f（x）=e^x^﹣2x，f′（x）=e^x^﹣2．
由f′（x）=0，得x=ln2，
当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e^ln2^﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值．
（2）令g（x）=e^x^﹣x^2^，则g′（x）=e^x^﹣2x，
由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e^ln2^﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，
∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x^2^＜e^x^；
（3）首先证明当x∈（0，+∞）时，恒有x^3^＜e^x^．
证明如下：
令h（x）=x^3^﹣e^x^，则h′（x）=x^2^﹣e^x^．
由（2）知，当x＞0时，x^2^＜e^x^，
从而h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减，
所以h（x）＜h（0）=﹣1＜0，即x^3^＜e^x^，
取x~0~=，当x＞x~0~时，有x^2^＜x^3^＜e^x^．
因此，对任意给定的正数c，总存在x~0~，当x∈（x~0~，+∞）时，恒有x^2^＜ce^x^．
【点评】该题主要考查导数的几何意义、导数的运算及导数的应用等基础知识，考查学生的运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想．属难题．
21．（7分）已知矩阵A的逆矩阵A^﹣1^=（）．
（1）求矩阵A；
（2）求矩阵A^﹣1^的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．
【分析】（1）利用AA^﹣1^=E，建立方程组，即可求矩阵A；
（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
【解答】解：（1）设A=，则由AA^﹣1^=E得=，
解得a=，b=﹣，c=﹣，d=，所以A=；
（2）矩阵A^﹣1^的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）^2^﹣1，
令f（λ）=（λ﹣2）^2^﹣1=0，可求得特征值为λ~1~=1，λ~2~=3，
设λ~1~=1对应的一个特征向量为α=，
则由λ~1~α=Mα，得x+y=0
得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，
所以矩阵M的一个特征值λ~1~=1对应的一个特征向量为，
同理可得矩阵M的一个特征值λ~2~=3对应的一个特征向量为．
【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．
**五、选修4-4：极坐标与参数方程**
22．（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．
（1）求直线l和圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
【分析】（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；
（2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点⇔d≤r即可求出．
【解答】解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；
圆C的参数方程为，两式平方相加可得x^2^+y^2^=16；
（2）圆心C（0，0），半径r=4．
由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=．
∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2．
【点评】熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键．
**六、选修4-5：不等式选讲**
23．已知定义域在R上的函数f（x）=\|x+1\|+\|x﹣2\|的最小值为a．
（1）求a的值；
（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p^2^+q^2^+r^2^≥3．
【分析】（1）由绝对值不等式\|a\|+\|b\|≥\|a﹣b\|，当且仅当ab≤0，取等号；
（2）由柯西不等式：（a^2^+b^2^+c^2^）（d^2^+e^2^+f^2^）≥（ad+be+cf）^2^，即可证得．
【解答】（1）解：∵\|x+1\|+\|x﹣2\|≥\|（x+1）﹣（x﹣2）\|=3，
当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，
∴f（x）的最小值为3，即a=3；
（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，
∴由柯西不等式得，（p^2^+q^2^+r^2^）（1^2^+1^2^+1^2^）≥（p×1+q×1+r×1）^2^
=（p+q+r）^2^=3^2^=9，
即p^2^+q^2^+r^2^≥3．
【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
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**小学六年级上册数学奥数知识点讲解第11课《棋盘中的数学2》试题附答案**
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**答案**
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六年级奥数上册：第十一讲 棋盘中的数学（二）习题
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**1957年副题**
**试卷上不必抄题,但须写明题号,例如:Ⅰ甲、Ⅰ乙、Ⅱ、Ⅲ等.**
一、甲、方程3x2-5x+(k+1)=0若有实数根,k的值应当怎样？
乙、设a、b、c为△ABC的三边,已知a2=b2+bc+C2,求a边的对角A.
丁、设P为一个60°的二面角的平分面上任意一点,求证从P到二面角的棱的距离等于从P到二面角的一个面的距离的两倍.
戊、已知一个直圆锥的高为1.2尺,其侧面积为底面积的2倍,问此底面积为若干平方尺.
（答案要一位小数）
\[Key\] **一、**甲、由题意知Δ=25-12(k+1)≥0,
∴ 13≥12k,
乙、由余弦定理知 a2=b2+c2-2bccosA,
又由题设知 a2=b2+c2+bc,
∴ -2bccosA=bc,
∴ A=120°.
丙、
作法:作线段AB=a,延长AB至C,令BC=b.
以AC为直径作半圆.
作BD⊥AC,与半圆交于D.
在DA连线上取DE=c.
过E作EF⊥BD,与DC连线交于F,则DF为求作的x.
注意:考生仅作出一图即可.
丁、证:如图,设π是二面角的一个面,P是平分面上一点.过P作棱AB的垂直平面与AB交于C点,与平面π交于一条直线CD.过P作PD⊥CD于D.则线段PC是P至AB的距离,PD是P至π的距离.
戊、解:设底半径=r,
直圆锥底面积=πr2.
**\[Key\]** 
由①分解因式得 x=y+5,x=y-3.
于是原方程组分为下列两个方程组:
解方程组(i) ,得两组解:
解方程组(ii),得另两组解:
**三、**如图,已知AD,BC为梯形ABCD的一底,∠ABC=90°,∠ABD=α,
∠AED=β,∠BDC=γ, BE=a.求证:
**\[Key\] 三、证明:**在△BDE中,由正弦定理知
**四、**一圆周被AB弦分为优劣两弧,C为优弧的中点,D为劣弧上任一点.又E为劣弧AD的中点,F为劣弧DB的中点.若于CD弦上任取一点P,PA与CE交于Q，PB与CF交于R,则QR与AB平行,试证明之.
**\[Key\] 四、证明:**连结CA、CB,则CA=CB.
∵ E为AD弧的中点,F为DB弧的中点,
∴ ∠ACE=∠ECD,∠BCF=∠FCB.
在△CAP与△CPB中,
PQ∶QA=CP∶CA,PR∶RB=CP∶CB,
∴PQ∶QA=PR∶RB,
∴QR∥AB
**五、**在已知边长为a的正六边形的每边上依次取 1∶2的内分点,并顺序连结分点作成内接正六边形.又对这个新的正六边形,用同样方法再作内接正六边形.这样继续作了n次之后,则得n个新的正六边形,其边长依次设为x1,x2,......,xn.
(1)求边长x1,x2,......,xn ;
(3)求这n个新正六边形面积的和.
**\[Key\]** 
由余弦定理及题设得:
用同样方法可求得:
根据等比级数求前n项的公式得:
∴这n个新正六边形面积的和为:
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**2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．已知，则复数z=（ ）
A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i
2．已知命题p：∀x~1~，x~2~∈R，（f（x~2~）﹣f（x~1~））（x~2~﹣x~1~）≥0，则￢p是（ ）
A．∃x~1~，x~2~∈R，（f（x~2~）﹣f（x~1~））（x~2~﹣x~1~）≤0 B．∀x~1~，x~2~∈R，（f（x~2~）﹣f（x~1~））（x~2~﹣x~1~）≤0
C．∃x~1~，x~2~∈R，（f（x~2~）﹣f（x~1~））（x~2~﹣x~1~）＜0 D．∀x~1~，x~2~∈R，（f（x~2~）﹣f（x~1~））（x~2~﹣x~1~）＜0
3．已知已知f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），当x∈\[2，3\]时，f（x）=log~2~（x﹣1），则f（）=（ ）
A．log~2~7﹣log~2~3 B．log~2~3﹣log~2~7 C．log~2~3﹣2 D．2﹣log~2~3
4．直线y=kx+3与圆（x﹣2）^2^+（y﹣3）^2^=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，若n=4时，则输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
6．已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是（ ）
A． B． C． D．
7．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
8．已知x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值为（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
9．已知向量，满足\|\|=1，\|\|=2，﹣=（，），则\|+2\|=（ ）
A． B． C． D．
10．若数列{a~n~}满足a~1~=1，且对于任意的n∈N^\*^都有a~n+1~=a~n~+n+1，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．如图是函数f（x）=x^2^+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（ ）
A．（） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）
12．已知函数，若关于x的方程f^2^（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上**
13．如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：
①先产生两组0～1的增均匀随机数，a=rand （ ），b=rand （ ）；
②产生N个点（x，y），并统计满足条件的点（x，y）的个数N~1~，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1000时，N~1~=332，则据此可估计S的值为[ ]{.underline}．（保留小数点后三位）
14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦×矢+矢^2^）．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中"弦"指圆弧对弦长，"矢"等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为π，弦长等于9米的弧田．按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为[ ]{.underline}．
15．已知{a~n~}满足，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得=[ ]{.underline}．
16．已知三棱锥O﹣ABC，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中AB=，AC=，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17．（12分）如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB上一点．
（1）求△ABC面积的最大值；
（2）若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19．（12分）某校高三一次月考之后，为了为解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表：
-------- -------------- ------ ------
组号 分组 频数 频率
第一组 \[90，100） 5 0.05
第二组 \[100，110） 35 0.35
第三组 \[110，120） 30 0.30
第四组 \[120，130） 20 0.20
第五组 \[130，140） 10 0.10
合计 100 1.00
-------- -------------- ------ ------
（1）试估计该校高三学生本次月考的平均分；
（2）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在\[110，130）中的学生数为ξ，
求：①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在\[110，130）中的概率；
②ξ的分布列和数学期望．（注：本小题结果用分数表示）
20．（12分）已知抛物线C：x^2^=2py（p＞0）的焦点为F，过抛物线上一点P作抛物线C的切线l交x轴于点D，交y轴于点Q，当\|FD\|=2时，∠PFD=60°．
（1）判断△PFQ的形状，并求抛物线C的方程；
（2）若A，B两点在抛物线C上，且满足，其中点M（2，2），若抛物线C上存在异于A、B的点H，使得经过A、B、H三点的圆和抛物线在点H处有相同的切线，求点H的坐标．
21．（12分）设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．
（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；
（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e^ax^）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
22．（10分）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C~1~的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C~2~的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线与曲线C~1~交于（不包括极点O）三点A，B，C．
（1）求证：；
（2）当时，B，C两点在曲线C~2~上，求m与α的值．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
23．已知函数f（x）=\|a﹣3x\|﹣\|2+x\|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥1﹣a+2\|2+x\|成立，求实数a的取值范围．
**2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．已知，则复数z=（ ）
A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：，∴ =（1+i）（2+i）=1+3i．
则复数z=1﹣3i．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．已知命题p：∀x~1~，x~2~∈R，（f（x~2~）﹣f（x~1~））（x~2~﹣x~1~）≥0，则￢p是（ ）
A．∃x~1~，x~2~∈R，（f（x~2~）﹣f（x~1~））（x~2~﹣x~1~）≤0 B．∀x~1~，x~2~∈R，（f（x~2~）﹣f（x~1~））（x~2~﹣x~1~）≤0
C．∃x~1~，x~2~∈R，（f（x~2~）﹣f（x~1~））（x~2~﹣x~1~）＜0 D．∀x~1~，x~2~∈R，（f（x~2~）﹣f（x~1~））（x~2~﹣x~1~）＜0
【考点】命题的否定．
【分析】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项
【解答】解：命题p：∀x~1~，x~2~∈R，（f（x~2~）﹣f（x~1~））（x~2~﹣x~1~）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，
故¬p：∃x~1~，x~2~∈R，（f（x~2~）﹣f（x~1~））（x~2~﹣x~1~）＜0．
故选：C．
【点评】本题考查命题否定，解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则，本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要注意准确把握规律．
3．已知已知f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），当x∈\[2，3\]时，f（x）=log~2~（x﹣1），则f（）=（ ）
A．log~2~7﹣log~2~3 B．log~2~3﹣log~2~7 C．log~2~3﹣2 D．2﹣log~2~3
【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的图象．
【分析】由f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），可知f（4+x）=f（x），于是f（）=f（4）=﹣f（2）=log~2~3﹣2，从而可得答案．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（2﹣x）=f（x），
∴f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（4+x）=f（x），即f（x）是以4为周期的函数；
∴f（）=f（4）；
又f（2﹣x）=f（x），
∴f（﹣2）=f（4）=f（）；
又当x∈\[2，3\]时，f（x）=log~2~（x﹣1），f（x）是奇函数，
∴f（﹣2）=﹣f（2）=log~2~3﹣2，
∴f（）=log~2~3﹣2．
故选C．
【点评】本题考查函数的周期性与奇偶性，求得f（）=﹣f（2）是关键，也是难点，考查综合分析与转化的能力，属于中档题．
4．直线y=kx+3与圆（x﹣2）^2^+（y﹣3）^2^=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】直线与圆相交，有两个公共点，设弦长为L，弦心距为d，半径为r，则可构建直角三角形，从而将问题仍然转化为点线距离问题．
【解答】解：圆（x﹣2）^2^+（y﹣3）^2^=4的圆心为（2，3），半径等于2，
圆心到直线y=kx+3的距离等于d=
由弦长公式得MN=2≥2，
∴≤1，
解得，
故选B．
【点评】利用直线与圆的位置关系，研究参数的值，同样应把握好代数法与几何法．
5．如图，若n=4时，则输出的结果为（ ）
A． B． C． D．
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：输入n=4，i=1，s=0，
s=，i=2≤4，
s=+，i=3≤4，
s=++，i=4≤4，
s=+++，i=5＞4，
输出s=（1﹣）=，
故选：C．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
6．已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】利用该几何体的底面边长为2，侧棱长为，可得该几何体的高为，底面正六边形平行两边之间的距离为2，即可得出结论．
【解答】解：∵该几何体的底面边长为2，侧棱长为，
∴该几何体的高为=，底面正六边形平行两边之间的距离为2，
∴该几何体的侧视图可能是C，
故选：C．
【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，比较基础．
7．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a， a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．
【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，
且MA=AB=2a，∠MAB=120°，
则M的坐标为（﹣2a， a），
代入双曲线方程可得，
﹣=1，
可得a=b，
c==a，
即有e==．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．
8．已知x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值为（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
【考点】简单线性规划．
【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值．
【解答】解：由约束条件得到可行域如图：z=2x﹣3y变形为y=x﹣，当此直线经过图中B（1，2）时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为2×1﹣3×2=﹣4；
故选：B．
【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是常规方法．
9．已知向量，满足\|\|=1，\|\|=2，﹣=（，），则\|+2\|=（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．
【分析】利用向量的数量积运算即可得出．
【解答】解：向量，满足\|\|=1，\|\|=2，﹣=（，），
可得\|﹣\|^2^=5，即\|\|^2^+\|\|^2^﹣2•=5，解得•=0．
\|+2\|^2^=\|\|^2^+4\|\|^2^﹣4•=1+16=17．
\|+2\|=．
故选：C．
【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．
10．若数列{a~n~}满足a~1~=1，且对于任意的n∈N^\*^都有a~n+1~=a~n~+n+1，则等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】数列的求和．
【分析】由所给的式子得a~n+1~﹣a~n~=n+1，给n具体值列出n﹣1个式子，再他们加起来，求出a~n~，再用裂项法求出，然后代入进行求值的值，
【解答】由a~n+1~=a~n~+n+1得，a~n+1~﹣a~n~=n+1，
则a~2~﹣a~1~=1+1，
a~3~﹣a~2~=2+1，
a~4~﹣a~3~=3+1
...
a~n~﹣a~n﹣1~=（n﹣1）+1，
以上等式相加，得a~n~﹣a~1~=1+2+3+...+（n﹣1）+n﹣1，
把a~1~=1代入上式得，a~n~=1+2+3+...+（n﹣1）+n=
=2（）
则=2\[（1﹣）+（）+...+（）
=2（1﹣）
=，
故答案选：C．
【点评】本题主要考察数列的求和、利用累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的前n项和，这是数列常考的方法，需要熟练掌握，属于中档题．
11．如图是函数f（x）=x^2^+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（ ）
A．（） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．
【解答】解：由函数f（x）=x^2^+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，即有a=﹣1﹣b，
从而﹣2＜a＜﹣1，
而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增，
g（）=ln+1+a＜0，
由函数f（x）=x^2^+ax+b的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：
0＜﹣＜1，解得﹣2＜a＜0，
∴g（1）=ln1+2+a=2+a＞0，
∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；
故选C．
【点评】本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题．
12．已知函数，若关于x的方程f^2^（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．
【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，设m=f（x），利用换元法，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．
【解答】解：化简可得f（x）=，
当x＞0时，f（x）≥0，f′（x）===，
当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，
故当x=时，函数f（x）有极大值f（）====；
当x＜0时，f′（x）==＜0，f（x）为减函数，
作出函数f（x）对应的图象如图：
∴函数f（x）在（0，+∞）上有一个最大值为f（）=；
设t=f（x），
当t＞时，方程t=f（x）有1个解，
当t=时，方程t=f（x）有2个解，
当0＜t＜时，方程t=f（x）有3个解，
当t=0时，方程t=f（x）有1个解，
当t＜0时，方程m=f（x）有0个解，
则方程f^2^（x）﹣mf（x）+m﹣1=0等价为t^2^﹣mt+m﹣1=0，
等价为方程t^2^﹣mt+m﹣1=（t﹣1）\[t﹣（m﹣1）\]=0有两个不同的根t=1，或t=m﹣1，
当t=1时，方程t=f（x）有1个解，
要使关于x的方程f^2^（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4个不相等的实数根，
则t=m﹣1∈（0，），
即0＜m﹣1＜，解得1＜m＜+1，
则m的取值范围是（1， +1）
故选：A
【点评】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上**
13．如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：
①先产生两组0～1的增均匀随机数，a=rand （ ），b=rand （ ）；
②产生N个点（x，y），并统计满足条件的点（x，y）的个数N~1~，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1000时，N~1~=332，则据此可估计S的值为[ 1.328 ]{.underline}．（保留小数点后三位）
【考点】几何概型．
【分析】先由计算器做模拟试验结果试验估计，满足条件的点（x，y）的概率，再转化为几何概型的面积类型求解．
【解答】解：根据题意：满足条件的点（x，y）的概率是，
矩形的面积为4，设阴影部分的面积为s
则有=，
∴S=1.328．
故答案为：1.328．
【点评】本题主要考查模拟方法估计概率以及几何概型中面积类型，将两者建立关系，引入方程思想．
14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦×矢+矢^2^）．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中"弦"指圆弧对弦长，"矢"等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为π，弦长等于9米的弧田．按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为[ ]{.underline}[+]{.underline}[﹣9π ]{.underline}．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】利用扇形的面积公式，计算扇形的面积，从而可得弧田的实际面积；按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢^2^），从而可求误差．
【解答】解：扇形半径r=3
扇形面积等于=9π（m^2^）
弧田面积=9π﹣r^2^sin=9π﹣（m^2^）
圆心到弦的距离等于，所以矢长为．
按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢^2^）=（9×+）=（+）．
∴9π﹣﹣（+）=9π﹣﹣
按照弧田面积经验公式计算结果比实际少9π﹣﹣平方米．
故答案为： +﹣9π．
【点评】本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．
15．已知{a~n~}满足，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】类比推理．
【分析】先对S~n~=a~1~+a~2~•4+a~3~•4^2^+...+a~n~•4^n﹣1^ 两边同乘以4，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5S~n~﹣4^n^a~n~的表达式，即可求出．
【解答】解：由S~n~=a~1~+a~2~•4+a~3~•4^2^+...+a~n~•4^n﹣1^①
得4•s~n~=4•a~1~+a~2~•4^2^+a~3~•4^3^+...+a~n﹣1~•4^n﹣1^+a~n~•4^n^②
①+②得：5s~n~=a~1~+4（a~1~+a~2~）+4^2^•（a~2~+a~3~）+...+4^n﹣1^•（a~n﹣1~+a~n~）+a~n~•4^n^
=a~1~+4×++...+4^n^•a~n~
=1+1+1+...+1+4^n^•a~n~
=n+4^n^•a~n~．
所以5s~n~﹣4^n^•a~n~=n．
故=，
故答案为．
【点评】本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道比较新颖的好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握．
16．已知三棱锥O﹣ABC，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中AB=，AC=，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为[ 14π ]{.underline}．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】根据∠BOC=90°且OA⊥平面BOC，得到三棱锥的三条侧棱两两垂直，以三条侧棱为棱长得到一个长方体，由圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球上，长方体的体积就是圆的直径，求出直径，得到圆的面积．
【解答】解：∵∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，
∴三棱锥的三条侧棱两两垂直，
∴可以以三条侧棱为棱长得到一个长方体，
由圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球上，
∴球的直径是，
∴球的半径是
∴球的表面积是=14π，
故答案为：14π
【点评】本题考查球的体积与表面积，考查球与长方体之间的关系，考查三棱锥与长方体之间的关系，本题考查几何中常用的一种叫补全图形的方法来完成，本题非常值得一做．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=2，D是边AB上一点．
（1）求△ABC面积的最大值；
（2）若CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，求BC的长．
【考点】余弦定理．
【分析】（1）在△ABC中，由余弦定理，基本不等式可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解△ABC的面积的最大值．
（2）设∠ACD=θ，由已知及三角形面积公式可求sinθ，进而利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，利用余弦定理可求AD的值，进而利用正弦定理可求BC的值．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，，
∴由余弦定理，得AC^2^=20=AB^2^+BC^2^﹣2AB•BC•cos∠ABC
=，
∴，
当且仅当AB=BC时，取等号，
∴，
∴△ABC的面积的最大值为；
（2）设∠ACD=θ，在△ACD中，
∵CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，
∴，
∴，∴，
由余弦定理，得，
∴AD=4．
由正弦定理，得，∴，∴，
此时，∴，
∴BC的长为4．
【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18．（12分）（2016秋•普宁市校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP，则AD⊥OB，由勾股定理得出AD⊥OP，故而AD⊥平面OPB，于是AD⊥PB；
（II）以O为原点建立坐标系，设M（m，0，n），求出平面BCM的平面ABCD的法向量，令\|cos＜＞\|=cos解出n，从而得出的值．
【解答】证明：（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP．
∵AD∥BC，∠ADC=∠BCD=90°，CD∥OB
∴四边形OBCD是矩形，
∴OB⊥AD．OD=BC=2，
∵PD=4，∠PDA=60°，∴OP==2．
∴OP^2^+OD^2^=PD^2^，∴OP⊥OD．
又OP⊂平面OPB，OB⊂平面OPB，OP∩OB=O，
∴AD⊥平面OPB，∵PB⊂平面OPB，
∴AD⊥PB．
（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OA⊥AD，
∴OP⊥平面ABCD．
以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则B（0，，0），C（﹣2，，0），
假设存在点M（m，0，n）使得二面角M﹣BC﹣D的大小为，
则=（﹣m，，﹣n），=（﹣2，0，0）．
设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则．
∴，令y=1得=（0，1，）．
∵OP⊥平面ABCD，
∴=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量．
∴cos＜＞===．解得n=1．
∴==．
【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量的应用与二面角的计算，属于中档题．
19．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）某校高三一次月考之后，为了为解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表：
-------- -------------- ------ ------
组号 分组 频数 频率
第一组 \[90，100） 5 0.05
第二组 \[100，110） 35 0.35
第三组 \[110，120） 30 0.30
第四组 \[120，130） 20 0.20
第五组 \[130，140） 10 0.10
合计 100 1.00
-------- -------------- ------ ------
（1）试估计该校高三学生本次月考的平均分；
（2）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在\[110，130）中的学生数为ξ，
求：①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在\[110，130）中的概率；
②ξ的分布列和数学期望．（注：本小题结果用分数表示）
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）计算本次月考数学学科的平均分即可；
（2）由表知成绩落在\[110，130）中的概率，
①利用相互独立事件的概率计算
"在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在\[110，130）中"的概率值；
②由题意ξ的可能取值为0，1，2，3；计算对应的概率值，
写出ξ的分布列与数学期望．
【解答】解：（1）本次月考数学学科的平均分为
=；
（2）由表知，成绩落在\[110，130）中的概率为P=，
①设A表示事件"在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在\[110，130）中"，
则，
所以在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在\[110，130）中的概率为；
②ξ的可能取值为0，1，2，3；
且，
，
，
；
∴ξ的分布列为
--- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
ξ 0 1 2 3
P    
--- --------------------------------------- --------------------------------------- --------------------------------------- ---------------------------------------
数学期望为．
（或，
则．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是基础题．
20．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）已知抛物线C：x^2^=2py（p＞0）的焦点为F，过抛物线上一点P作抛物线C的切线l交x轴于点D，交y轴于点Q，当\|FD\|=2时，∠PFD=60°．
（1）判断△PFQ的形状，并求抛物线C的方程；
（2）若A，B两点在抛物线C上，且满足，其中点M（2，2），若抛物线C上存在异于A、B的点H，使得经过A、B、H三点的圆和抛物线在点H处有相同的切线，求点H的坐标．
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【分析】（1）设P（x~1~，y~1~），求出切线l的方程，求解三角形的顶点坐标，排除边长关系，然后判断三角形的形状，然后求解抛物线方程．
（2）求出A，B的坐标分别为（0，0），（4，4），设H（x~0~，y~0~）（x~0~≠0，x~0~≠4），求出AB的中垂线方程，AH的中垂线方程，解得圆心坐标，由，求解H点坐标即可．
【解答】解：（1）设P（x~1~，y~1~），
则切线l的方程为，且，
所以，，所以\|FQ\|=\|FP\|，
所以△PFQ为等腰三角形，且D为PQ的中点，
所以DF⊥PQ，因为\|DF\|=2，∠PFD=60°，
所以∠QFD=60°，所以，得p=2，
所以抛物线方程为x^2^=4y；
（2）由已知，得A，B的坐标分别为（0，0），（4，4），
设H（x~0~，y~0~）（x~0~≠0，x~0~≠4），
AB的中垂线方程为y=﹣x+4，①AH的中垂线方程为，②
联立①②，解得圆心坐标为：，
k~NH~==，
由，得，
因为x~0~≠0，x~0~≠4，所以x~0~=﹣2，
所以H点坐标为（﹣2，1）．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线与圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力．
21．（12分）（2015•盐城三模）设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．
（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；
（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得f（）•f（e^ax^）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；
（2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围；
（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法．
【解答】解：（1）当m=1时，，
∴y=g（x）在x=1处的切线斜率，
由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，
∴，∴n=5．
（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞），
又，
由题意，得的最小值为负，
∴m（1﹣n）＞4，由m＞0，1﹣n＞0，
∴，
∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4，
∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5；
（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）•f（e^ax^）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．
令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，
则θ\'（x）=，
设，
∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根，
不妨设δ（x~0~）=0，即，
可得（\*）θ（x）在区间（0，x~0~）上单调递增，
在（x~0~，+∞）上单调递减，
所以θ（x）~max~=θ（x~0~），θ（x~0~）=（ax~0~﹣1）•ln2a﹣（ax~0~﹣1）•lnx~0~，
代入（\*）式得，
根据题意恒成立．
又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立
即有，即ax~0~=1，即．
代入（\*）式得，，即，
解得．
解法二、假设存在实数a，使得f（）•f（e^ax^）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．
令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0
根据条件对任意正数x恒成立，
即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，
∴且，解得且，
即时上述条件成立，此时．
解法三、假设存在实数a，使得f（）•f（e^ax^）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．
令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0
要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立，
等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立，
即对任意正数x恒成立，
设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上，
与x正半轴至少有一个交点的抛物线，
因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，
即，所以．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，具有一定的综合性．
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
22．（10分）（2016秋•桃城区校级月考）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C~1~的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C~2~的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线与曲线C~1~交于（不包括极点O）三点A，B，C．
（1）求证：；
（2）当时，B，C两点在曲线C~2~上，求m与α的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）依题意\|OA\|=4sinφ，，利用三角恒等变换化简\|OB\|+\|OC\|为，命题得证．
（2）当时，B，C两点的极坐标分别为，再把它们化为直角坐标，根据C~2~是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为，由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．
【解答】（1）证明：依题意\|OA\|=4sinφ，，
则=；
（2）解：当时，B，C两点的极坐标分别为，
化为直角坐标为，
曲线C~2~是经过点（m，0），且倾斜角为α的直线，又因为经过点B，C的直线方程为，
所以．
【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标，直线的倾斜角和斜率，属于中档题．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
23．（2016•中山市二模）已知函数f（x）=\|a﹣3x\|﹣\|2+x\|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥1﹣a+2\|2+x\|成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；
（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）a=2时：f（x）=\|3x﹣2\|﹣\|x+2\|≤3，
或或，
解得：﹣≤x≤；
（2）不等式f（x）≥1﹣a+2\|2+x\|成立，
即\|3x﹣a\|﹣\|3x+6\|≥1﹣a，
由绝对值不等式的性质可得\|\|3x﹣a\|﹣\|3x+6\|\|≤\|（3x﹣a）﹣（3x+6）\|=\|a+6\|，
即有f（x）的最大值为\|a+6\|，
∴或，
解得：a≥﹣．
【点评】本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，解决的是有的问题，本题是一个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解，因思维错误导致错误．
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2022届新高考开学数学摸底考试卷7
一、单项选择题.
1．集合，，则（ ）
A．(1，3) B．(1，3\] C． D．
2．复数满足，则在复平面表示的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．的展开式中的系数为（ ）
A．-32 B．32 C．-8 D．8
4．已知随机变量服从正态分布，若，则为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
5．在中，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为．科学研究发现与成正比.当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当时，其耗氧量的单位数为（ ）
A．1800 B．2700 C．7290 D．8100
7．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题不正确的是（ ）
{width="1.7291666666666667in" height="1.64375in"}
A．直线与平面所成的角等于
B．点到面的距离为
C．两条异面直线和所成的角为
D．三棱柱外接球半径为
8．设，，且，则（ ）
A．有最小值为4 B．有最小值为
C．有最小值为 D．无最小值
二、多项选择题.
9．，是不在平面内的任意两点，则（ ）
A．在内存在直线与直线异面 B．在内存在直线与直线相交
C．存在过直线的平面与垂直 D．在内存在直线与直线平行
10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称"水转筒车"，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）
{width="1.2916666666666667in" height="1.9833333333333334in"}{width="1.7131944444444445in" height="1.4951388888888888in"}
A． B．当时，函数单调递增
C．当时，的最大值为 D．当时，
11．把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有（ ）
A．的图象不经过第三象限
B．在上单调递增
C．的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1
D．函数不存在零点
12．数列为等比数列，则（ ）
A．为等比数列
B．为等比数列
C．为等比数列
D．不为等比数列（为数列的前项和）
三、填空题.
13．已知，则\_\_\_\_\_\_\_\_.
14．已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为\_\_\_\_\_\_\_\_.
15．直线将圆：分割成两段圆弧之比为3:1，则\_\_\_\_\_\_\_\_.
16．已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_.
四、解答题.
17．在中，角，，的对边分别是，，，的面积为.
现有以下三个条件：①；②；
③.请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上（填具体内容），并求解.
已知向量，，函数，在中，，且\_\_\_\_\_\_\_\_，求的取值范围.
18．已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且，，是等比数列的前3项.
（1）求，；
（2）设，求的前项和.
19．如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，，分别为，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
{width="2.125in" height="1.9104166666666667in"}
20．某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分.
该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分.
（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：
-------- ----- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
原始分 91 90 89 88 87 85 83 82
转换分 100 99 97 95 94 91 88 86
人数 1 1 2 1 2 1 1 1
-------- ----- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布．若，令，则，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留整数）
②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求取得最大值时的值.
附：若，则，.
21．如图，已知椭圆的长轴两端点分别为，，是椭圆上的动点，以为一边在轴下方作矩形，使，交于点，交.于点.
（1）若，的最大面积为12，离心率为，求椭圆的方程；
（2）若，，成等比数列，求的值.
{width="2.386111111111111in" height="1.8902777777777777in"}
22．已知函数.
（1）求证：的导函数在上存在唯一零点；
（2）求证：有且仅有两个不同的零点.
2022届新高考开学数学摸底考试卷7
一、单项选择题.
------ --- --- --- --- --- --- --- ---
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A C D D C B
------ --- --- --- --- --- --- --- ---
二、多项选择题.
------ ---- ---- ----- -----
题号 9 10 11 12
答案 AC AD ACD BCD
------ ---- ---- ----- -----
三、填空题.
13． 14． 15． 16．54
四、解答题.
17．解：，
，
①若，则由正弦定理可得：，即，
因为为三角形内角，，可得，因为，
可得.
②若，由正弦定理可得：，由余弦定理可得，因为，可得.
③若，则，所以，可得，因为，
可得
由正弦定理可得，
所以，，因为，所以，
所以，
，因为，所以，，所以，即的取值范围为
18．解：（1）设数列的公差为，
由题意知：①
又因为，，成等比数列，所以，，，又因为，所以.②
由①②得，，所以，
，，，∴.
（2）因为，
所以
所以数列的前项和.
19．解：（1）证明：取中点，连接，，
∵，分别为，的中点，，且，
又底面为正方形，且为中点，∴，且，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵不在平面内，在平面内，
∴平面；
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（2）以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间坐标系，则，，，，故
，，
设平面的一个法向量为，则，可取，
设平面的一个法向量为，则，可取，
设二面角的平面角为，则
，
∴，即二面角的正弦值为.
20．解：（1）随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3，
根据条件得，，
，
则随机变量的分布列为
-- --- --- --- ---
0 1 2 3
-- --- --- --- ---
数学期望.
（2）①设该划线分为，由得，，
令，则，
依题意，，即.
因为当时，，所以，
所以，故，取.
②由①讨论及参考数据得，
即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788，
故，.
由
即
解得，
又，所以，
所以当时取得最大值.
21．解：（1）如图，当时，过点，，
当点为时的面积最大，即有，
∴.①
由已知离心率为，，，②
由①②解得，.
∴所求椭圆方程为.
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（2）如图，由题意得：，.因为在椭圆上，所以.
又直线方程为，令，
解得，同理可得，
所以，
，
.
因为，，成等比数列，所以，
即，化简得：
又，所以，代入式得，
因为，所以，又，所以.
{width="1.8645833333333333in" height="1.61875in"}
22．解:（1）设，
当时，
所以在上单调递减，
又因为，
且当时，的图像不间断，
所以在上有唯一的零点，所以命题得证
（2）1°由（1）知：当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以在上存在唯一的极大值点
所以
又因为
所以在上恰有一个零点
又因为
所以在上也恰有一个零点
2°当时，，
设，，
所以在上单调递减，所以
即在上没有零点
3°当时，
设，
所以在上单调递减，所以
所以当时，恒成立
所以在上没有零点.
综上，有且仅有两个零点.
| 1 | |
**北师大版小学二年级下册数学第五单元《测量》单元测试2（附答案）**
一、口算。来源：www.bcjy123.com/tiku/
36÷6 = 45÷1 = 8×7 = 48÷6×3 =
35÷5 = 49÷7 = 2×4 = 5×5÷5 =
90－45 = 6×3 = 30÷5 = 1÷1×1 =
42＋48 = 5×7 = 25÷5 = 36÷9×5 =
18＋46 = 9×8 = 56÷7 = 72÷8×6 =
来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、填空题。
1、（1）1千米 =（ ）米 1米 =（ ）分米
1分米 =（ ）厘米 1厘米 =（ ）毫米
（2）1元 =（ ）角 1角 =（ ）分
（3）1时 =（ ）分 1分 =（ ）秒
2、填数。
3m =（ ）dm 2cm =（ ）mm 80mm =（ ）cm
5km =（ ）m 40dm =（ ）m 3dm =（ ）cm来源：www.bcjy123.com/tiku/
2m =（ ）dm 4cm =（ ）mm 8dm =（ ）cm
100cm =（ ）m 280dm =（ ）m
1008km =（ ）km（ ）m
三、在（ ）时填上适当的单位。
1、树高4（ ）。
2、回形针长30（ ）。
3、跳绳长3（ ）。
4、板凳高90（ ）。
5、蜡笔长60（ ）。
6、小华身高14（ ）。
7、学校旗杆高18（ ）。
8、自行车每分钟行80（ ）。
9、飞机每小时飞行800（ ）。
10、北京到南京的距离约为1260（ ）。
四、我来比大小。（在○时填上"﹥""﹤"或"="。）
130cm 2m 8000mm 8m 4km 3500m
1km 1000m 17dm 1m 198cm 10dm
40mm 4cm 112cm 20dm 5km 4000m＋100m
100mm 1dm 8m 800cm＋20cm 500mm 5cm
五、我来排列数。（按从小到大的顺序排列。）
1、8000m 7km 103km 1300m 3100cm 1030m
[ ]{.underline}
2、60km 610m 7000m 9000cm 6500dm 8000mm
[ ]{.underline}
六、划出正确的答案。
1、1分硬币大约厚（1dm 1cm 1mm）。
2、《一课3练》大约厚（3dm 3cm 3mm）。
3、书柜高（10m 7dm 170cm 170dm）。
4、文具盒长（20dm 20cm 20mm）。
七、看图写算式。
1、
2、
八、应用题。
1、一根电线长48m，剪成8m长的小段，最多能剪成多少段？
> 2、幼儿园买了24个杯子，其中8个分给小班，剩下的平均分给4个大班，每个大班分几个？
**第五单元测试卷的部分答案：**
一、6 45 56 24 7 7 8 5 45 18 6 1 90 35 5 20 64 72 8 54
二、1、（1）1000 10 10 10
（2）10 10
（3）60 60
2、30 20 8 5000 4 30 20 40 80 1 28 1 8
三、1、m 2、mm 3、m 4、cm 5、mm 6、dm 7、m 8、m 9、km
10、km
四、﹤ = ﹥ = ﹥ ﹥ = ﹤ ﹥ = ﹤ ﹥
五、1、3100cm ﹤ 1030m ﹤ 1300m ﹤ 7km ﹤ 8000m ﹤ 103km
2、8000mm ﹤ 9000cm ﹤ 610m ﹤ 6500dm ﹤ 7000m ﹤ 60km
六、1、1mm 2、3mm 3、170cm 4、20cm
七、1、530＋753 = 1283
2、50×3 = 150
八、1、48÷8 = 6（段）
2、（24－8）÷4
= 16÷4
= 4（个）
| 1 | |
**一、选择题（本大题共10小题，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）**
1.下列各数中，比小的数是（ ）
A. 0 B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据大于0的数是正数，而负数小于0，排除A、D，而-1\>-2，排除B，而-3\<-2，从而可得答案．
【详解】根据正负数的定义，可知-2\<0，-2\<3，故A、D错误；
而-2\<-1，B错误；
-3\<-2，C正确；
故选C．
【点睛】本题目考查有理数的大小比较，较容易，熟练掌握有理数的大小比较方法是顺利解题的关键．
2.2019年中国与"一带一路"沿线国家货物贸易进出口总额达到92700亿元．用科学记数法表示92700是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值\>1时，n是正数；当原数的绝对值\<1时，n是负数．
【详解】解：92700=9.27×10^4^
故选B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为形式，其中，n为整数．表示时关键要确定a的值及n的值．
3.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据算术平方根的性质，完全平方公式，合并同类二次根式法则，积的乘方的运算法则依次判断即可得到答案.
【详解】A、，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、中两个二次根式不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误；
D、，故该选项正确；
故选：D.
【点睛】此题考查算术平方根性质，完全平方公式，合并同类二次根式法则，积的乘方的运算法则，熟练掌握各知识点是解题的关键.
4.如图是由4个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面往下看，上面看到两个正方形，下面看到一个正方形，右齐．
故选：．
【点睛】本题考查的是简单组合体的三视图，掌握物体的三视图是解题的关键．
5.从长度分别为、、、四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
试验发生包含的基本事件可以列举出共4种，而满足条件的事件是可以构成三角形的事件，可以列举出共1种，根据概率公式得到结果．
【详解】解：∵试验发生包含的基本事件为（1cm，3cm，5cm）；（1cm，3cm，6cm）；（1cm，5cm，6cm）；（3cm，5cm，6cm），共4种；
而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为（3cm，5cm，6cm），共1种；
∴以这三条线段为边可以构成三角形的概率是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形成立的条件，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏，
6.已知，作的平分线，在射线上截取线段，分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线，分别交于D，交于G．那么，一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意知EF垂直平分OC，由此证明△OMD≌△ONG，即可得到OD=OG得到答案.
【详解】如图，连接CD、CG，
∵分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F
∴EF垂直平分OC，
设EF交OC于点N，
∴∠ONE=∠ONF=90°，
∵OM平分，
∴∠NOD=∠NOG，
又∵ON=ON，
∴△OMD≌△ONG，
∴OD=OG，
∴△ODG是等腰三角形，
故选：C.
【点睛】此题考查基本作图能力：角平分线的做法及线段垂直平分线的做法，还考查了全等三角形的判定定理及性质定理，由此解答问题，根据题意得到EF垂直平分OC是解题的关键.
7.已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（ ）
A. 正比例函数的解析式是
B. 两个函数图象的另一交点坐标为
C. 正比例函数与反比例函数都随x增大而增大
D. 当或时，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两个函数图像的交点，可以分别求得两个函数的解析式和，可判断A错误；两个函数的两个交点关于原点对称，可判断B错误，再根据正比例函数与反比例函数图像的性质，可判断C错误，D正确，即可选出答案．
【详解】解：根据正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，即可设，，
将分别代入，求得，，
即正比例函数，反比例函数，故A错误；
另一个交点与关于原点对称，即，故B错误；
正比例函数随x的增大而减小，而反比例函数在第二、四象限的每一个象限内y均随x的增大而增大，故C错误；
根据图像性质，当或时，反比例函数均在正比例函数的下方，故D正确．
故选D．
【点睛】本题目考查正比例函数与反比例函数，是中考的重要考点，熟练掌握两种函数的性质是顺利解题的关键．
8.如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A. 为等腰三角形 B. 与相互垂直平分
C. 点A、B都在以为直径的圆上 D. 为的边上的中线
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案．
【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，
∵B，C为切点，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，
∴为等腰三角形，故A正确；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，
∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，
∴△OBC≌△OAC，
∴∠OCB=∠OCA=90°，
∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，
∴为的边上的中线，故D正确；
无法证明与相互垂直平分，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运用是解题关键．
9.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边．则点C到x轴的距离等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作CE⊥y轴于E．解直角三角形求出OD，DE即可解决问题．
【详解】作CE⊥y轴于E．
Rt△OAD中，
∵∠AOD=90°，AD=BC=，∠OAD=，\
∴OD=，
∵四边形ABCD是矩形，\
∴∠ADC=90°，\
∴∠CDE+∠ADO=90°，\
又∵∠OAD+∠ADO=90°，\
∴∠CDE=∠OAD=，
∴在Rt△CDE中，
∵CD=AB=，∠CDE=，\
∴DE=，
∴点C到轴的距离=EO=DE+OD=，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
10.已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的是（ ）
A. ①③ B. ②⑤ C. ③④ D. ④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】
由图像判断出a\<0，b\>0，c\>0，即可判断①；根据b=-2a可判断②；根据当x=-1时函数值小于0可判断③；根据当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，当x=n时，y=an^2^+bn+c即可判断④；当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c\<0，且b=-2a，即a=，代入9a+3b+c\<0可判断⑤．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴a\<0，
∵对称轴x==1\>0，
∴b=-2a，
∴b\>0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c\>0，
∴abc\<0，①错误；
∵b=-2a，
∴b-2a=-2a-2a=-4a\>0，②错误；
由图像可得当x=-1时，y=a-b+c\<0，③错误；
当x=1时，y有最大值，y=a+b+c，
当x=n时，y=an^2^+bn+c，
a+b+c\>an^2^+bn+c，
即a+b\>n(an+b)，(n≠1)，④正确；
当x=3时，函数值小于0，y=9a+3b+c\<0，
∵b=-2a，即a=，
代入9a+3b+c\<0得9（）+3b+c\<0，
+c\<0，
-3b+2c\<0，即2c\<3b，⑤正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了抛物线图像和二次函数系数之间的关系，熟知抛物线图像和二次函数系数之间的关系是解题关键．
**二、填空题（本大题共8小题，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）**
11.---的绝对值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【详解】解：-的绝对值是
故答案为．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
12.分解因式：=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】．
【解析】
【详解】试题分析：==．
故答案为．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
13.若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形是\_\_\_\_\_边形.
【答案】六
【解析】
【分析】
设这个多边形的边数为，根据内角和公式和外角和公式，列出等式求解即可．
【详解】设这个多边形的边数为，\
∴，\
解得：，\
故答案为：六．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，是基础知识要熟练掌握内角和公式和外角和公式．
14.不等式组的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
分别解不等式即可得到不等式组的解集.
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为，
故答案为：.
【点睛】此题考查求不等式组的解集，正确解每个不等式求出不等式组的解集，熟记不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了.
15.如图，直线∥，，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_度．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平行线的性质先求解 利用，从而可得答案．
详解】解：∥，
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行线的性质，垂直的性质，掌握以上知识是解题的关键．
16.从甲、乙两种玉米种子中选择一种合适的推荐给某地．考虑到庄稼人对玉米的产量和产量的稳定性十分的关心，选择之前，为了解甲、乙两种玉米种子的情况，某单位各用了10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷产量（单位：t）的数据，这两组数据的平均数分别是~甲~，~乙~，方差分别是2甲2乙，你认为应该选择的玉米种子是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】乙
【解析】
【分析】
通过平均数和方差的性质判断稳定性即可．
【详解】∵~甲~，~乙~，
∴~甲~=~乙~，
∴甲，乙的每公顷产量相同，
∵，，
∴\>，
∴乙的产量比甲的产量稳定，
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了方差和平均数，掌握方差和平均数的意义是解题关键．
17.在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，．矩形的顶点D，E，C分别在上，．将矩形沿x轴向右平移，当矩形与重叠部分的面积为时，则矩形向右平移的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】2
【解析】
【分析】
先求出点B的坐标（0， ），得到直线AB的解析式为： ，根据点D的坐标求出OC的长度，利用矩形与重叠部分的面积为列出关系式求出，再利用一次函数关系式求出=4，即可得到平移的距离.
【详解】∵，
∴OA=6，
在Rt△AOB中，，
∴，
∴B（0， ），
∴直线AB的解析式为： ，
当x=2时，y=，
∴E（2，），即DE=，
∵四边形CODE是矩形，
∴OC=DE=，
设矩形沿x轴向右平移后得到矩形， 交AB于点G，
∴∥OB，
∴△∽△AOB，
∴∠=∠AOB=30°，
∴∠=∠=30°，
∴,
∵平移后的矩形与重叠部分的面积为，
∴五边形的面积为,
∴,
∴,
∴,
∴矩形向右平移的距离=，
故答案为：2.
【点睛】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.
18.观察下列结论：
（1）如图①，在正三角形中，点M，N是上的点，且，则，；
（2）如图②，在正方形中，点M，N是上的点，且，则，；
（3）如图③，在正五边形中，点M，N是上的点，且，则，；......
  
根据以上规律，在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是上的点，且，与相交于O．也会有类似的结论．你的结论是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】，
【解析】
【分析】
根据正多边形内角和定理结合全等三角形的判定和性质可得出（1）、（2）、（3）的结论，根据以上规律可得出正n边形的结论．
【详解】（1）∵正三角形ABC中，点M、N是AB、AC边上的点，且AM=BN，\
∴AB=AC，∠CAM=∠ABN=，\
∵在△ABN和△CAM中，
，
∴△ABN≌△CAM（SAS），\
∴AN= CM，∠BAN=∠MCA，\
∴∠NOC=∠OAC+∠MCA =∠OAC+∠BAN =∠BAC=60°，\
故结论为：AN= CM，∠NOC=60；
（2）∵正方形ABCD中，点M、N是AB、BC边上的点，且AM=BN，\
∴AB=AD，∠DAM=∠ABN=，
同理可证：Rt△ABNRt△DAM，
∴AN= DM，∠BAN=∠ADM，\
∠NOD=∠OAD+∠ADM =∠OAD+∠BAN =∠BAC=90°，\
故结论为：AN= DM，∠NOD=90；
（3）∵正五边形ABCDE中，点M、N是AB、BC边上的点，且AM=BN，
∴AB=AE，∠EAM=∠ABN=，
同理可证得：Rt△ABNRt△EAM，
∴AN= EM，∠BAN=∠AEM，\
∠NOE=∠OAE+∠AEM =∠OAE+∠BAN =∠BAE=108°，\
故结论：AN= EM，∠NOE=108；
∵正三角形的内角度数为：60°，
正方形的内角度数为：90°，
正五边形的内角度数为：108°，
∴以上所求的角恰好等于正n边形的内角，
在正n边形中，点M，N是上的点，且，与相交于O，结论为：，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了正n边形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是发现与的夹角与正边形的内角相等．
**三、解答题（本大题共8小题，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）**
19.计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值，零指数幂运算及去绝对值法则进行计算即可．
【详解】解：
＝2×+1+2－
=+1+2－
=3．
【点睛】本题考查零次幂的性质、特殊角的三角函数值，绝对值性质实数的运算，熟练掌握计算法则是正确计算的前提．
20.化简：．
【答案】
【解析】
【分析】
先计算括号内异分母分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得.
【详解】解：原式=
=
=.
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟记分式混合运算的顺序和各类运算法则是解题的关键．
21.如图，在正方形的外侧，作等边角形，连接、．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】(1)见解析；(2)15°．
【解析】
【分析】
(1)利用正方形的性质得到AB=CD，∠BAD=∠CDA，利用等边三角形的性质得到AE=DE，∠EAD=∠EDA=60°即可证明；
(2)由AB=AD=AE，得到△ABE为等腰三角形，进而得到∠ABE=∠AEB，且∠BAE=90°+60°=150°，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，且∠BAD=∠CDA=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=DE，且∠EAD=∠EDA=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，∠CDE=∠CDA+∠EDA=150°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△BAE和△CDE中:
，
∴．
(2)∵AB=AD，且AD=AE，
∴△ABE为等腰三角形，
∴∠ABE=∠AEB，
又∠BAE=150°，
∴由三角形内角和定理可知：
∠AEB=(180°-150°)÷2=15°．
故答案为：15°．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，第二问中能得出△ABE是等腰三角形且∠BAE=150°是解题关键．
22.为加强安全教育，某校开展了"防溺水"安全知识竞赛，想了解七年级学生对"防溺水"安全知识的掌握情况．现从七年级学生中随机抽取50名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级参赛学生成绩频数分布直方图（数据分成五组：，，，，）如图所示
b．七年级参赛学生成绩在这一组的具体得分是：70，71，73，75，76，76，76，77，77，78 ，79
c．七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
------ -------- -------- ------
年级 平均数 中位数 众数
七 76.9 m 80
------ -------- -------- ------
d．七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在75分以上（含75分）的有\_\_\_\_\_\_人；
（2）表中m的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第\_\_\_\_\_\_名；
（4）该校七年级学生有500人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
【答案】（1）31；（2）77.5；（3）24；（4）人
【解析】
【分析】
（1）根据条形图及成绩在70≤x＜80这一组的数据可得；
（2）根据中位数的定义求解可得；
（3）七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分在70≤x＜80这一组的数据的最后1位，据此可得到答案；
（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得．
【详解】（1）成绩在70≤x＜80这一组的数据中，75分以上（含75分）的有8人，
∴在这次测试中，七年级75分以上（含75分）的有15+8+8=31(人)，\
故答案为：31；
（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为77、78，\
∴m==77.5，\
故答案为：77.5；
（3）七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为79分在70≤x＜80这一组的数据的最后1位，
即15+8+1＝24(名)
∴在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第24名，
故答案为：24；
（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为500(人) ．
【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
23.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
【答案】（1）10%；（2）26620个
【解析】
【分析】
（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据1月及3月的日产量，即可列出方程求解．
（2）利用4月份平均日产量=3月份平均日产量×（1＋增长率）即可得出答案．
【详解】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意可得：
20000（1＋x）^2^＝24200，
解得：x~1~＝0.1＝10%，x~2~＝−2.1（不合题意舍去），
∴x＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%；
（2）依据题意可得：
24200（1＋10%）＝24200×1.1＝26620（个），
答：按照这个增长率，预计4月份平均日产量为26620个．
【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1＋年平均增长率）^年数^＝增长后的量．
24.如图，是⊙O的直径，是⊙O的切线，交⊙O于点E．
（1）若D为的中点，证明：是⊙O的切线；
（2）若，，求⊙O的半径的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）⊙*O*的半径的长为4
【解析】
【分析】
（1）连接AE和OE，由直角三角形的性质和圆周角定理易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；
（2）在Rt△ACE中求得AE的长，证得Rt△ABERt△CAE，利用对应边成比例即可求解．
【详解】（1）连接AE，OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AC是圆⊙O的切线，\
∴AC⊥AB，\
在直角△AEC中，\
∵D为AC的中点，\
∴DE=DC=DA，
∴∠DEA=∠DAE，\
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵∠DAE+∠OAE=90°，\
∴∠DEA+∠OEA=∠DEO=90°，
∴OE⊥DE，\
∴DE 是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
在Rt△ACE中， CA=6， CE=3.6=，
∴AE=，
∴∠B+∠EAB=90°，
∵∠CAE+∠EAB=90°，
∴∠B=∠CAE，
∴Rt△ABERt△CAE，
∴，即，
∴，\
∴⊙O的半径OA=．
【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25.问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出"成立"或者"不成立"），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．实际应用：210海里．
【解析】
【分析】
延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；
探究延伸1：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；
探究延伸2：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题；
实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可．
【详解】解：EF=AE+CF
理由：延长到G，使，连接，
在△BCG和△BAE中，
，
∴（SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE+∠CBF=60°，
∴∠CBG+∠CBF=60°，
即∠GBF=60°，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．
理由：延长到G，使，连接，
在△BCG和△BAE中，
，
∴（SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，
即∠GBF=∠ABC，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．
理由：延长到G，使，连接，
∵，∠BCG+∠BCD=180°，
∴∠BCG=∠BAD
在△BCG和△BAE中，
，
∴（SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，
即∠GBF=∠ABC，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF=∠AOB
∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，
∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF= AE+CF仍然成立
即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为210海里．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26.已知直线与抛物线（b，c为常数，）的一个交点为，点是x轴正半轴上的动点．
（1）当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；
（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当时，求m的值；
（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为，当的最小值多时，求b的值．
【答案】（1）-2，2，-3，；（2）3或7；（3）3
【解析】
【分析】
（1）由题意可知直线经过，因而把代入直线即可求出k的值，然后把代入抛物线得出含b的代数式表达c，再根据直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点得出抛物线的顶点坐标E，并代入直线，解方程即可求出b的值，代入即可求解；
（2）由（1）可知直线的解析式是，抛物线的解析式为，根据题意使求出C的坐标，使求出Q的坐标，根据已知条件作图，延长EQ交x轴于点B，因为点D在y轴上且在直线上，所以令时求出点D的坐标，看图可知AO是△ACE以CD为底的高，设E到y轴的距离为，是△CED以CD为底的高，因此可以求出，根据求出，设点E和Q所在直线的解析式为，求出点B的坐标，设点Q和点E到x轴的距离分别为，是△EMB以MB为底的高，是△BQM以MB为底的高，再根据求解，即可求出m的值；
（3）将点D的横坐标代入抛物线（b，c为常数，），根据点A的坐标得到含b的代数式表达c，求出点D的纵坐标为，可知点D在第四象限，且在直线的右侧，取点，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，过点D作QH⊥x轴于点H，则点H，在Rt△MDH中，可知，由题意可知点，用含b的代数式表示m，因，可得方程，求解即可得出答案．
【详解】解：（1）∵直线经过，
∴把代入直线，可得，解得；
∵抛物线（b，c为常数，）经过，
∴把代入抛物线，可得，
∵当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E，
∴顶点的坐标为，把代入直线，
可得，
∴，解得，
∵，∴，∴，
∴顶点的坐标为．
（2）由（1）可知直线的解析式是，抛物线的解析式为，
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴令，C的坐标为，
∵点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，
由（1）可知，∴，
∴Q的坐标为．
延长EQ交x轴于点B，如图1所示，
∵D在y轴上，且在直线上，
∴当时，点D的坐标为，
∵AO是△ACE以CD为底的高，设E到y轴的距离为，是△CED以CD为底的高，
∴，
∴．
设点E和Q所在直线的解析式为，
把点E和点Q代入，解得：，∴该直线的解析式为，
令，求得点B的坐标为．
设点Q和点E到x轴的距离分别为，是△EMB以MB为底的高，是△BQM以MB为底的高，
∴，
解得：或7，．
（3）∵点D在抛物线（b，c为常数，）上，且点D的横坐标为，
∴，
∵在抛物线（b，c为常数，）上，
∴，即，
∴，
可知点D在第四象限，且在直线的右侧．
∵，
∴可取点，
如图2，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，
∴，得，
则此时点M满足题意，过点D作QH⊥x轴于点H，则点H，
在Rt△MDH中，可知，
∴，
∵点，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形的面积公式等知识点，解题的关键是学会使用待定系数法求出抛物线的解析式．
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**北师大版五年级（上）期中数学试卷**
**一、填空．（每空1分，20分）**
1．1～20的自然数中奇数有[ ]{.underline}个，偶数有[ ]{.underline}个，质数有[ ]{.underline}个，合数有[ ]{.underline}个．
2．327至少加上[ ]{.underline}，才是2的倍数，至少减去[ ]{.underline}，才是5的倍数．
3．在15、18、20、30、45这五个数中，是3的倍数是[ ]{.underline}，有因数5的数是[ ]{.underline}，既是3的倍数，又是5的倍数有[ ]{.underline}．
4．把37.6先扩大100倍，再缩小10倍得到的数是[ ]{.underline}．
5．把7.7913913...可以记作[ ]{.underline}，保留一位小数是[ ]{.underline}．
6．一个两位小数，保留一位小数后是8.4，这个两位小数最大是[ ]{.underline}，最小是[ ]{.underline}．
7．3、2，10，13，22，39，64，57，61，1，73，111中奇数有：[ ]{.underline}；偶数有：[ ]{.underline}；质数有：[ ]{.underline}；合数有：[ ]{.underline}．
8．在8，0，，﹣5，60，0.89，﹣83，﹣4.5，27，1中，[ ]{.underline}是自然数，[ ]{.underline}是整数．
**二、判断题．**
9．5是因数，15是倍数．[ ]{.underline}．（判断对错）
10．任意两个质数的积一定是偶数．[ ]{.underline}．（判断对错）
11．个位上是0的数一定是2，3和5的倍数．[ ]{.underline}．（判断对错）
12．13，51，47，97这几个数都是质数．[ ]{.underline}．
13．两个连续奇数的积一定是合数．[ ]{.underline}．（判断对错）
14．一个数的倍数一定比这个数的因数大．[ ]{.underline}．（判断对错）
**三、选择题．（共10分）**
15．在60=12×5中，12和5是60的（ ）
A．倍数 B．偶数 C．质数 D．因数
16．只有1和本身两个因数的数是（ ）
A．合数 B．奇数 C．质数 D．公因数
17．下图平行四边形的面积计算正确的是（ ）
A．15×4 B．6×15 C．6×4 D．15×4÷2
18．2÷3的商是（ ）
A．循环小数 B．混循环小数
C．无限不循环小数
19．3.保留三位小数约是（ ）
A．3.879 B．3.878 C．3.880
**四、计算．**
20．直接写得数．
---------- ----------- ---------- ---------- -----------
5.1﹣2= 7.2÷1.2= 3.86×10= 0.4×0.3= 3.9×0.01=
9.73÷10= 98.4÷100= 1﹣0.55= 2.5×4= 0.5+0.43=
---------- ----------- ---------- ---------- -----------
21．用竖式计算：
4.85×0.73=
25.73÷8.3=
9﹣5.48=
22．脱式计算，能简算的要简算：
4.85×1.25×8
6.8÷\[（4.5﹣2.8）×0.4\]
39÷0.125÷0.8
4.8×0.65+0.65×5.2．
**五、看清要求，认真画图．（第1、2题3分，第3小题4分，10分）**
23．看清要求，认真画图．
（1）图①向[ ]{.underline}平移了[ ]{.underline}格．
（2）图②是这个图形向左平移5格后得到的，你知道这个图形的原来位置吗？请你画出来．
（3）画出图③的另一半，使它成为一个轴对称图形．
**六、应用题．**
24．一个长方形菜地，面积是68.4平方米，它的宽是7.2米，长是[ ]{.underline}米．
25．一盘绳子有20米长，把它剪成3.8米长的短绳，能剪多少根？余下的绳子还有多长？
26．一个数既是5的倍数，又是20的因数，这个数是多少？
27．一块平行四边形形稻田，底是90米，高60米，如果每平方米施肥0.2千克，这块稻田需施肥多少千克？
**北师大版五年级（上）期中数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空．（每空1分，20分）**
1．1～20的自然数中奇数有[ 10 ]{.underline}个，偶数有[ 10 ]{.underline}个，质数有[ 8 ]{.underline}个，合数有[ 11 ]{.underline}个．
【考点】奇数与偶数的初步认识；合数与质数．
【分析】根据偶数及奇数的排列规律可知，奇数与偶数互邻，所以1～20的自然数中奇数有 20÷2=10（个），偶数为20÷2=10（个）；根据质数与合数的定义可知，质数有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20共11个．
【解答】解：1～的自然数中奇数有 20÷2=10（个），偶数为20÷2=10（个）；
质数有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20共11个．
所以1～20的自然数中奇数有10个，偶数有10个，质数有8个，合数有11个．
故答案为：10，10，8，11．
2．327至少加上[ 1 ]{.underline}，才是2的倍数，至少减去[ 2 ]{.underline}，才是5的倍数．
【考点】整除的性质及应用．
【分析】根据能被2整除的数的特征：个位数是0、2、4、6、8的数能被2整除，能被5整除的数的特征是：个位数是0或5的数都能被5整除，所以327的个位数是7，至少再加1才是2的倍数；至少减去2才是5的倍数，据此解答即可得到答案．
【解答】解：327+1=328，328的个位数是8，能被2整除，所以327至少加上1才是2的倍数；
327﹣2=325，325的个位数是5，能被5整除，所以327至少减去2才是5的倍数．
故答案为：1，2．
3．在15、18、20、30、45这五个数中，是3的倍数是[ 15、18、30、45 ]{.underline}，有因数5的数是[ 15、20、30、45 ]{.underline}，既是3的倍数，又是5的倍数有[ 15、30、45 ]{.underline}．
【考点】找一个数的倍数的方法．
【分析】（1）根据能被3整除的数的特征，即该数各个数位上数的和能被3整除，找出3的倍数；
（2）根据能被5整除的数的特征，即该数的个位数是0或5，找出5的倍数；
（3）根据能同时3和5整除的数的特征进行解答．
【解答】解：在15、18、20、30、45这五个数中，3的倍数是15、18、30、45；
有因数5的数是15、20、30、45；
既是3的倍数，又是5的倍数有15、30、45；
故答案依次为：15、18、30、45；15、20、30、45；15、30、45．
4．把37.6先扩大100倍，再缩小10倍得到的数是[ 376 ]{.underline}．
【考点】小数点位置的移动与小数大小的变化规律．
【分析】把37.6先扩大100倍，再缩小10倍，相当于把此数扩大了10倍，只要把37.6的小数点向右移动1位即可解决．
【解答】解：把37.6先扩大100倍，再缩小10倍得到的数是：376；
故答案为：376．
5．把7.7913913...可以记作[ 7.7]{.underline}[1]{.underline}[ ]{.underline}，保留一位小数是[ 7.8 ]{.underline}．
【考点】循环小数及其分类；近似数及其求法．
【分析】首先要明确这个小数的循环节由哪几位数字组成，根据简便的方法进行记数；要求保留一位小数，就要看它的下一位数字，然后根据四舍五入的方法保留即可，在7.7913913...中，小数点后第一位数字是7，它的下一位数字是9，就要向前一位上进1，得7.8．
【解答】解：把7.7913913...可以记作：7.71，保留一位小数是：7.8．
故答案为：7.71，7.8．
6．一个两位小数，保留一位小数后是8.4，这个两位小数最大是[ 8.44 ]{.underline}，最小是[ 8.35 ]{.underline}．
【考点】近似数及其求法．
【分析】要考虑8.4是一个两位小数的近似数，有两种情况："四舍"得到的8.4最大是8.44，"五入"得到的8.4最小是8.35，由此解答问题即可．
【解答】解：一个两位小数，保留一位小数后是8.4，这个两位小数最大是8.44，最小是8.35．
故答案为：8.44，8.35．
7．3、2，10，13，22，39，64，57，61，1，73，111中奇数有：[ 3、13、39、57、61、1、73、111 ]{.underline}；偶数有：[ 2、10、22、64 ]{.underline}；质数有：[ 3、2、13、61、73 ]{.underline}；合数有：[ 10、22、39、64、57、111 ]{.underline}．
【考点】奇数与偶数的初步认识；合数与质数．
【分析】在自然数中，能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数；除了1和它本身外，不再有别的约数的数叫做质数，除了1和它本身外，还有别的约数的数叫做合数，据此即可解答．
【解答】解：在3、2，10，13，22，39，64，57，61，1，73，111中，
奇数有：3、13、39、57、61、1、73、111；
偶数有：2、10、22、64；
质数有：3、2、13、61、73；
合数有：10、22、39、64、57、111．
故答案为：3、13、39、57、61、1、73、111；2、10、22、64；3、2、13、61、73；10、22、39、64、57、111．
8．在8，0，，﹣5，60，0.89，﹣83，﹣4.5，27，1中，[ 8，0，60，27，1 ]{.underline}是自然数，[ 8，0，﹣5，60，﹣83，27，1 ]{.underline}是整数．
【考点】自然数的认识．
【分析】非负整数都是自然数，也就是包括正整数和0；整数包括正整数、负整数和0，据此分类即可．
【解答】解：在8，0，，﹣5，60，0.89，﹣83，﹣4.5，27，1中，（8，0，60，27，1）是自然数，（8，0，﹣5，60，﹣83，27，1）是整数．
故答案为：8，0，60，27，1；8，0，﹣5，60，﹣83，27，1．
**二、判断题．**
9．5是因数，15是倍数．[ 错误 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】因数和倍数的意义．
【分析】因数和倍数是相对的，是相互依存的，只能说一个数是另一个数的倍数或另一个数是这个数的因数，不能单独存在；比如：12÷4=3，12是4的倍数，12也是3的倍数，4是12的因数，3也是12的因数，不能说12是倍数，3是因数．
【解答】解：由分析知：5是因数，15是倍数；说法错误；
故答案为：错误．
10．任意两个质数的积一定是偶数．[ 错误 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】合数与质数；奇数与偶数的初步认识．
【分析】此题可用举例法证明即可，如3和5，3×5=15，3和5的积是奇数，由此可进行判断．
【解答】解：因为3×5=15，3和5的积是15；所以任意两个质数的积一定是偶数是错误的．
故答案为：错误．
11．个位上是0的数一定是2，3和5的倍数．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】找一个数的倍数的方法．
【分析】（1）根据能被2、5整除的数的特征：即该数的个位上的数是0；
（2）根据能被3整除的数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除；进行解答即可．
【解答】解：个位上是0的数一定是2和5的倍数，但不一定是3的倍数；
故答案为：错误．
12．13，51，47，97这几个数都是质数．[ 错误 ]{.underline}．
【考点】合数与质数．
【分析】根据质数、合数的意义，一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；一个数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．以此解答．
【解答】解：51除了1和它本身还有3和17两个因数，因此51不是质数，是合数．
故答案为：错误．
13．两个连续奇数的积一定是合数．[ 错误 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】奇数与偶数的初步认识；合数与质数．
【分析】根据奇数、质数、合数的意义：不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．据此解答．
【解答】解：如：1和3是连续的奇数，1×3=3，3是质数．
因此两个连续奇数的积一定是合数．此说法错误．
故答案为：错误．
14．一个数的倍数一定比这个数的因数大．[ 错误 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】因数和倍数的意义．
【分析】根据"一个数的因数最大是它本身，一个数的倍数最小是它本身"，进行分析，例如：8的最小倍数是8，最大因数是8；进而得出结论．
【解答】解：由分析知：一个数的因数最大是它本身，一个数的倍数最小是它本身，即一个数的因数和倍数有相等的情况；
所以本题：一个数的倍数一定比这个数的因数大，说法错误；
故答案为：错误．
**三、选择题．（共10分）**
15．在60=12×5中，12和5是60的（ ）
A．倍数 B．偶数 C．质数 D．因数
【考点】因数和倍数的意义．
【分析】由于60=12×5，即60÷12=5，根据因数和倍数的意义可知12和5是60的因数．
【解答】解：因为60=12×5，即60÷12=5，
所以12和5是60的因数．
故选：D．
16．只有1和本身两个因数的数是（ ）
A．合数 B．奇数 C．质数 D．公因数
【考点】合数与质数．
【分析】质数的概念：一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．由此即可得答案．
【解答】解：质数只有1和它本身两个因数．
故答案为：C．
17．下图平行四边形的面积计算正确的是（ ）
A．15×4 B．6×15 C．6×4 D．15×4÷2
【考点】平行四边形的面积．
【分析】平行四边形的面积=底×高，平行四边形的底是15米，高是4米，从而可以列式求其面积．
【解答】解：平行四边形的面积=15×4，
故选：A．
18．2÷3的商是（ ）
A．循环小数 B．混循环小数
C．无限不循环小数
【考点】小数的读写、意义及分类．
【分析】计算出2÷3的商，再判断解答．
【解答】解：2÷3=0.，循环节是从十分位开始的，属于循环小数中的纯循环小数．
故选：A．
19．3.保留三位小数约是（ ）
A．3.879 B．3.878 C．3.880
【考点】近似数及其求法．
【分析】保留三位小数，只要看第四位上是几，运用"四舍五入"求得近似值．
【解答】解：3. ≈3.879
故选A．
**四、计算．**
20．直接写得数．
---------- ----------- ---------- ---------- -----------
5.1﹣2= 7.2÷1.2= 3.86×10= 0.4×0.3= 3.9×0.01=
9.73÷10= 98.4÷100= 1﹣0.55= 2.5×4= 0.5+0.43=
---------- ----------- ---------- ---------- -----------
【考点】小数除法；小数乘法．
【分析】根据四则运算的计算法则计算即可求解．
【解答】解：
--------------- ---------------- -------------- -------------- ----------------
5.1﹣2=3.1 7.2÷1.2=6 3.86×10=38.6 0.4×0.3=0.12 3.9×0.01=0.039
9.73÷10=0.973 98.4÷100=0.984 1﹣0.55=0.45 2.5×4=10 0.5+0.43=0.93
--------------- ---------------- -------------- -------------- ----------------
21．用竖式计算：
4.85×0.73=
25.73÷8.3=
9﹣5.48=
【考点】小数乘法；小数的加法和减法；小数除法．
【分析】根据小数乘除法以及减法竖式计算的方法进行计算即可．
【解答】解：4.85×0.73=3.5405；
25.73÷8.3=3.1；
9﹣5.48=3.52；
22．脱式计算，能简算的要简算：
4.85×1.25×8
6.8÷\[（4.5﹣2.8）×0.4\]
39÷0.125÷0.8
4.8×0.65+0.65×5.2．
【考点】小数四则混合运算．
【分析】（1）根据乘法结合律简算即可；
（2）首先计算小括号里面的，然后计算中括号里面的，最后计算中括号外面的即可；
（3）根据除法的性质简算即可；
（4）根据乘法分配律计算即可．
【解答】解：（1）4.85×1.25×8
=4.85×（1.25×8）
=4.85×10
=48.5
（2）6.8÷\[（4.5﹣2.8）×0.4\]
=6.8÷\[1.7×0.4\]
=6.8÷0.68
=10
（3）39÷0.125÷0.8
=39÷（0.125×0.8）
=39÷0.1
=390
（4）4.8×0.65+0.65×5.2
=0.65×（4.8+5.2）
=0.65×10
=6.5
**五、看清要求，认真画图．（第1、2题3分，第3小题4分，10分）**
23．看清要求，认真画图．
（1）图①向[ 左 ]{.underline}平移了[ 6 ]{.underline}格．
（2）图②是这个图形向左平移5格后得到的，你知道这个图形的原来位置吗？请你画出来．
（3）画出图③的另一半，使它成为一个轴对称图形．
【考点】作平移后的图形；作轴对称图形．
【分析】（1）找原来小蘑菇上的一个点和平移后小蘑菇的对应点，数一数即可得出移动的格子数；
（2）找出图形中的角的顶点，分别向左数出5格画出对应点，然后连接画出图形即可；
（3）根据轴对称图形的性质，对称点到对称轴的距离相等，对称轴是对称点的连线的垂直平分线，在对称轴的另一边画出关键的4个对称点，然后首尾连接各对称点即可．
【解答】解：（1）图①向 左平移了 6格；
（2）、（3）据分析画图如下：
故答案为：左、6．
**六、应用题．**
24．一个长方形菜地，面积是68.4平方米，它的宽是7.2米，长是[ 9.5 ]{.underline}米．
【考点】长方形、正方形的面积．
【分析】根据长方形的面积公式：s=ab，那么a=s÷b，据此解答．
【解答】解：68.4÷7.2=9.5（米），
答：长是9.5米．
故答案为：9.5．
25．一盘绳子有20米长，把它剪成3.8米长的短绳，能剪多少根？余下的绳子还有多长？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】求能剪多少根，就相当于求20里面有几个3.8，根据包含除法的意义，求一个数里面包含多少个另一个数，用除法解答．
【解答】解：20÷3.8=5（根）...1（米）
答：能剪5根，余下的绳子还有1米．
26．一个数既是5的倍数，又是20的因数，这个数是多少？
【考点】找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
【分析】一个数既是5的倍数又是20的因数，即求20以内的5的倍数，那就先求出20的因数和5的倍数，再找共同的数即可．
【解答】解：20的因数有：1、2、4、5、10、20，
20以内的5的倍数有：5、10、15、20、
所以一个数既是5的倍数，又是20的因数，这个数可能是5或10或20．
答：这个数是5或10或20．
27．一块平行四边形形稻田，底是90米，高60米，如果每平方米施肥0.2千克，这块稻田需施肥多少千克？
【考点】平行四边形的面积．
【分析】直接根据平行四边形的面积公式，s=ah，求出这块地的面积，再求施肥多少千克，以此列式解答．
【解答】解：0.2×（90×60）
=0.2×5400，
=1080（千克）；
答：这块稻田需施肥1080千克．
**2016年8月20日**
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绝密★启用前
2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
语 文
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第4页，第Ⅱ卷第5页至第8页。全卷满分150分，考试时间150分钟。
考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色笔迹签字笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色笔迹签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、（12分，每小题3分）
1.下列各组词语中，斜线"/"前后加点字的读音完全相同的一组是
A.清澈/掣肘 殷红/湮没 瞠目/螳臂当车
B.箴言/斟酌 蛊惑/商贾 船舷/扣人心弦
C.联袂/抉择 整饬/炽烈 辍学/风姿绰约
D.徘徊/脚踝 戏谑/琐屑 惬意/锲而不舍
2.下列各句中，加点的成语使用恰当的一句是
A.时间真如行云流水，申奥成功的情景仿佛就在昨天，转眼间，举世瞩目的北京奥运会距离我们已经不到一百天了。
B.眼下，报刊发行大战硝烟渐起，有些报纸为了招徕读者而故意编造一些骇人听闻的消息，其结果却往往弄巧成拙。
C.著名学者季羡林先生学贯中西，兼容百家，在诸多研究领域都卓有建树，被人们誉为学界泰斗，真可谓实至名归。
D.有段时间，沪深股市指数波动非常大，有时一天上涨几百点，有时一天下跌几百点，涨跌幅度之大令人叹为观止。
3.下列各句中，没有语病、句意明确的一句是
A.诚信教育已成为我国公民道德建设的重要内容，因为不仅诚信关系到国家的整体形象。而且体现了公民的基本道德素质。
B.以"和谐之旅"命名的北京奥运火炬全球传递活动，激发了我国各族人民的爱国热情、也吸引了世界各国人民的高度关注。
C.今年4月23日，全国几十个报社的编辑记者来到国家图书馆，参观展览，聆听讲座，度过了一个很有意义的"世界阅日"。
D.塑料购物袋国家强制性标准的实施，从源头上限制了塑料袋的生产，但要真正减少塑料袋污染，还需消费者从自身做起。
4.下列各句中，语气最委婉的一句是
A.只关注孩子的学习成绩而忽视他们的心理健康，这是不是应该引起我们认真思考呢？
B.只关注孩子的学习成绩而忽视他们的心理健康，这难道不应该引起我们认真思考吗？
C.只关注孩子的学习成绩而忽视他们的心理健康，这无疑审应该引起我们认真思考的。
D.只关注孩子的学习成绩而忽视他们的心理健康，这恐怕不能不引起我们认真思考了。
二、（9分，每小题3分）
阅读下面的文字，完成5-7题。
我们的宇宙外面是什么
在宇宙学中，有一个非常重要的常数、叫做宇宙学常数。这个常数在我们的宇宙中起着一种斥力的作用，使得我们的宇宙加速膨胀。20世纪80年代末，诺贝尔奖获得者、美国理论物理学温伯格指出，如果宇宙学常数显著地大于它现在所具有的数值，那么它的排斥作用就会过予巨大，以致万有引力根本不可能把物质吸引到一起形成恒星和星系。
据此，一些科学家提出了所谓"人择原理"。也就是说，我们的宇宙为什么是这个样子，那是因为它必须是这个样子，生命才有可能产生，人类才有可能存大。或者说，一些物理常数的数值为什么必须那么大，那是因为只有当它们的数值等于那么大的时候才会有人类存大。
"人择原理"是当代物理学中争论最激烈的问题之一。大多数物理学家认为，在我们的宇宙中，自然规律之所以是这个样子，应该有着某种跟人类在毫无关系的 层原因。"人择原理"最激烈的反对者说，这个原理是不科学的，它起着帮助"创世论"的作用，意味着有某个类似于上帝的设计者为最后创造出生命和人类，对即将通过大爆炸生成的宇宙作了细致的调节。
但是，另一些物理学家则为"人择原理"另有蹊径。他们认为我们的宇宙只不过是许多可能存在着的宇 宙中的一个。事实上，许多物理学家和宇宙家已经开始相信我们的宇宙不是独一无二的，而是许许多多宇宙中的一个。按照这种"多重宇宙"思想，有无数不同的宇宙和无数可能的自然规律。它们并非都生成恒星和星系。即使恒星和星系能够生成，它们那里的不同的自然规律也不一定会让恒星制造出那些对于生命来说至关重要的元素。
当然，按照多重宇宙观点，我们的宇宙就不是惟一复杂到足以支持有意识的生命存在的宇
宙。英国天文学家里斯认为，在多重宇宙中，数量众多的不适合人类居住的宇宙构成了一个巨大的"海洋"，在这个"海洋"中可能散布着一些"岛屿"，这些"岛屿"被称为"可居住宇宙"。在各个可居住宇宙物理常数的数值仅仅略微有些不同，都在允许生命存在的范围之内。我们的宇宙应该是一个普通的可居住宇宙，并无特别之处。
多重宇宙使得"人择原理"成为一种概率原理，从而具有了科学依据。有一种能够把量子力学和广义相对论调和在一起的新理论，叫做弦论。这种理论主张一切物质都由极其细小的弦组成，这些弦具有一定的能量，在十维的时空中进行振动。弦论所描述的宇宙远不止一个，可达10^500^个。这是一个我们无法想像的巨大的数字。在这么多的宇宙之中，每个宇宙都有不同的物理特性，可居住宇宙的出现即使只有极其微小的频率，它的绝对数量也必定是一个非常大的数字。
诚然，弦论是一种尚未被实验和观测证实的理论。可是，且不说弦论，[实际上里斯走得比这更远。]{.underline}他认为在那些可居住宇宙的"岛屿"上，确定基本物理学和宇宙学状况的物理常数也许可以与我们的宇宙有很大差别。例如，它们或许有更重的电子，或许由一次较冷的大爆炸演化而来，或许光会以较低的速度传播，或许万有引力会更强大。如果真是这样，那可居住宇宙出现的概率就大多了，但它们相互之间的差别也就十分巨大。
（节选自王家骥《别样宇宙花亦红》，略有改动。）
5.从原文看，下列对"人择原理"有关内容的解说，不正确的一项是（ ）
A."人择原理"是一种以物理学为依据试图解释我们的宇宙生命诞生原因的理论。
B."人择原理"认为我们的宇宙的自然规律与生命产生、人类存在之间有必然关系。
C."人择原理"符合多重宇宙理论观点，是用以解释可居住宇宙的普遍适用的原理。
D."人择原理"受到指责的一个重要原因，是它很容易被持"创世论"观点的人利用。
6.从原文看，下列对"实际上里斯走得比这更远"这句话的理解，正确的一项是（ ）
A. 里斯发展了一种能够把量子力学和广义相对论调和在一起的弦论。
B. 里斯接受了多重宇宙观点并通过实验和观测创建了新的理论体系。
C. 里斯已为"人择原理"和可居住宇宙找到了更多的物理常数的证据。
D. 里斯认为物理常数与生命产生之间的关系未必局限于已有的认识。
> 7.依据原文提供的信息，下列推断不正确的一项是（ ）
A. 虽然科学家都以我们的宇宙为参照来推求其他可居住宇宙的存在，但结论不尽相同。
B. 尽管"人择原理"受到了普遍的质疑，但是它对促进弦论的发展却起到了较大的作用。
C. 即使真正弄清了生命产生与物理常数的关系，也未必能准确描述可居住宇宙的数量。
D. 虽然科学家对多重宇宙和可居住宇宙的认识不尽相同，但他们的认识正在逐步深入。
> 三、（9分，每小题3分）
>
> 阅读下面的文言文，完成8～10题。
>
> 韩林，京兆长安人。工文辞，举贤良。玄宗在东宫，令条对国政，与校书郎赵冬曦并中乙科，擢左补阙，判主爵员外郎。进至礼部侍郎，知制诰。出为號州刺史。號于东、西京为近州，乘舆所至，常税厩刍^①^，休请均赋它郡。中书令张说曰："免號而与它州，此守臣为私惠耳。"休复执论，吏白恐尾宰相意，休曰："[刺史幸知民之敞而不救，岂为政哉？虽得罪，所甘心焉。]{.underline}"诡如休请。以母丧解，服除，为工都侍郎，知制诰。迁尚书右丞。侍中裴光庭卒，帝敕萧嵩举所以代者，嵩称休志行，遂拜黄门侍郎、同中书门下平章事。
>
> 休直方不务进趋，既为相，天下翕然宜之。万年尉李美玉有罪，帝将放岭南。休曰："尉小官，犯非大恶。今朝廷有大奸，请得先治。金吾大将军程伯献恃思而贪，室宅舆马僭法度，臣请先伯献，后美玉。"帝不许，休固争曰："[罪加且不容，巨猾乃置不问，陛下不出伯献，臣不敢奉诏。]{.underline}"帝不能夺。大率坚正类此。初，嵩以休柔易，故荐之。休临事或折正嵩，嵩不能平。宋璟闻之曰："不意休能尔，仁者之勇也。"嵩宽博多可，休峭鲠，时政所得失，言之未尝不尽。帝尝猎苑中，或大张乐，稍过差，必视左右曰："韩休知否？"已而疏辄至。尝引鉴，默不乐。左右曰："自韩休入朝，陛下无一日欢，何自戚戚，不逐去之？"帝曰："吾虽瘠，天下肥矣。且萧嵩每启事，必顺旨，我退而思天下，不安寝。韩休敷陈治道，多讦直，我退而思天下，寝必安。吾用休，社稷计耳。"后以工部尚书罢。迁太子少师，封宜阳县子。卒，年六十八，赠扬州大都督，谥曰文忠，宝应元年，赠太子太师。
>
> （节选自《新唐书·韩休传》）
>
> \[注\]①厩刍：草料。
8.对下列句子中加点词的解释，不正确的一项是（ ）
> A.休复执论 执：坚持。
>
> B.休直方不务进趋 务：致力于。
>
> C.帝不能夺 夺：使[......改变。]{.smallcaps}
>
> [D.吾用休，社稷计耳 计：计策。]{.smallcaps}
>
> [9.下列各组句子中，加点词的意义和用法相同的一组是（ ）]{.smallcaps}
A. [以母丧解，服除，为工部侍郎]{.smallcaps}
> [以一璧之故逆强秦之欢，不可]{.smallcaps}
B. [不意休能尔，仁者之勇也]{.smallcaps}
> [王元异于百姓之以王为爱也]{.smallcaps}
C. [时政所得失，言之未尝不尽]{.smallcaps}
[不者，若属皆且为所虏]{.smallcaps}
> [D. 何自戚戚，不逐去之]{.smallcaps}
>
> [ 长安君何以自托于赵]{.smallcaps}
10.下列对原文有关内容的分析和概括，不正确的一项是
A.韩休擅长写文章，被举荐为贤良，在玄宗为太子时，受命逐条回答有关国政问题，此后担任过一系列重要的官职。
B.韩休任號州刺史期间，体察民情，请求为號州百姓减免赋税，经过努力终获成功，表现出他为民请命的仁爱之心。
C.韩休因萧嵩举荐而任宰相，他的耿介刚直与萧嵩的宽容随和形成互补，二人关系也很和谐，因而得到宋璟的赞许。
D.韩休秉公直谏给了玄宗很大压力，但面对谗言，玄宗非常清醒，将韩休与萧嵩进行比较，说明了任用韩休的理由。
绝密★启用前
> 2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
>
> 语 文
第Ⅱ卷（非选择题 共120分）
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色笔迹签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
四、（23分）
11.把第Ⅰ卷文言文阅读材料中画横线的句子翻译成现代汉语。（10分）
1. 刺史幸知民之敝而不救，岂为政哉？虽得罪，所甘心焉。
译文： [ ]{.underline}
2. 罪细且不容，巨猾乃置不问，陛下不出伯献，臣不敢奉诏。
译文： [ ]{.underline}
12.阅读下面这首诗，然后回答问题。（8分）
小孤山^①^
［宋］谢枋得^②^
人言此是海门关，海眼^③^无涯骇众观。天地偶然留砥柱，江山有此障狂澜。
坚如猛士敌场立，危似孤臣末世难。明日登峰须造极，渺观宇宙我心宽。
［注］①小孤山：位于安徽宿松县城南65公里的长江之中，四无依傍，地势险要，是南宋军事要地。
②谢枋得：宋弋阳（今属江西）人，以忠义自任，曾率军抗元。兵败后隐居福建一带，后被无人胁迫至燕京，绝食而死。③海眼：急流遇阻所形成的大漩涡。
（1）诗中小孤山的形象寄托了作者怎样的思想感情？
答： [ ]{.underline}
（2）简析"危似孤臣末世难"中"孤"字的妙处。
答：[ ]{.underline}
13.补写出下列名篇名句中的空缺部分。（任意选做五烛题）（5分）
（1）学而不思则罔，*[ ]{.underline}*。（《论语》）
（2）谨痒序之教，[ ]{.underline}，颁白者不负载于道路矣。（《孟子》）
（3）其志洁，[ ]{.underline}；其行廉，故死而不容。（司马迁《屈原列传》）
（4）[ ]{.underline}，池鱼思故渊。（陶渊明《归园田居》）
（5）戎马关山北，[ ]{.underline}。（杜甫《登岳阳楼》）
（6）千呼万唤始出来，[ ]{.underline}。（白居易《琵琶行》）
（7）寄蜉蝣于天地，[ ]{.underline}。（苏轼《赤壁赋》）
（8）[ ]{.underline}，又岂在朝朝暮暮！（秦观《鹊桥仙》）
五、（22分）
阅读下面的文字，完成14～17题。
我与地坛①(节选)
史铁生
要是有些事我没说，地坛，你别以为是我忘了，我什么也没忘，但是有些事只适合收藏。不能说，也不能想，却又不能忘。它们不能变成语言，它们无法变成语言，一旦变成语言就不再是它们了。它们是一片朦胧的温馨与寂寥，是一片成熟的希望与绝望，它们的领地只有两处：心与坟墓。比如说邮票，有些是用于寄信的，有些仅仅是为了收藏。
如今我摇着车在这园子里慢慢走，常常有一种感觉，[觉得我一个人跑出来已经玩得太久了]{.underline}。有一天我整理我的旧相册，看见一张十几年前我在这园子里照的照片------那个年轻人坐在轮椅上，背后是一棵老柏树，再远处就是那座古祭坛。我便到园子里去找那棵树。我按着照片上的背景找很快就找到了它，按着照片上它枝干的形状找，肯定那就是它。但是它已经死了，而且在它身上缠绕着一条碗口粗的藤萝。有一天我在这园子里碰见一个老太太，她说："哟，你还在这儿哪？"她问我："你母亲还好吗？""您是谁？""你不记得我，我可记得你。有一回你母亲来这儿找你，她问我您看没看见一个摇轮椅的孩子？......"我忽然觉得，我一个人跑到这世界上来玩真是玩得太久了。有一天夜晚，我独自坐在祭坛占地几百平米空旷坦荡独对苍天，我看不见那个吹唢呐的人，惟唢呐声在星光寥寥的夜空里低吟高唱，时而悲怆时而欢快，时而缠绵时而苍凉，或许这几个词都不中以形容它，我清清醒醒地听出它响在过去，响在现在，响在未末，回旋飘转豆古不敢。
必有一天，我会听见喊我回去。
那时您可以想像一个孩子，他玩累了可他还没玩够呢，心里好些新奇的念头甚至等不及到明天。也可以想像是一个老人，无可置疑地走向他的安息地，走得任劳任怨。还可以想像一对热恋中的情人，互相一次次说"我一刻也不想离开你"，又互相一次次说"时间已经不早了"，时间不早了可我一刻也不想离开你，一刻也不想离开你时间毕竟是不早了。
我说不好我想不想回去。我说不好是想还是不想，还是无所谓。我说不好我是像那个孩子，还是像那个老人，还是像一个热恋中的情人。很可能是这样：我同时是他们三个。我来的时候是个孩子，他有那么多孩子气的念头所以才哭着喊着闲着要来，他一来一见到这个世界便立刻成了不要命的情人，而对一个情来人来说，不管多么漫长的时光也是稍纵即逝，那时他便明白，每一步每一步，其实一步步都是走在回云的路上。当牵牛花初开的时节，莽礼的号角就已吹响。
但是太阳，他每时每刻都是旭日。[他熄灭着走下山去救尽苍凉残照之际，正是他在另一面燃烧着爬上上巅布数烈烈朝晖之时。]{.underline}那一天，我也将沉静着走下山去，扶着我的拐杖。有一天，在某一处山洼里，势必会跑上来一个欢蹦的孩子，抱着他的玩具。
当然， 那不是我。
但是，那不是我吗？
宇宙以其不息的欲望将一个歌舞炼为永恒。这欲望有怎样一个人间的姓名，大可忽略不计。
（注）①《我与地坛》是史铁生的散文名篇，文章描述了"我"瘫痪以后的心路历程，包括对生命的感悟，对母亲的杯，对地坛中人事景物的深沉思考等。全文共七个部分，这里选的是第七部分，略有删改。
14.文章第二段从哪三个方面表现"觉得我一个人跑出来已经玩得太久了"？请简要说明。（6分）
（1） [ ]{.underline}
（2） [ ]{.underline}
（3） [ ]{.underline}
15．文章四、五两段中，"孩子""老人""热恋中的情人"分别体现了什么样的人生态度？（6分）
（1）孩子： [ ]{.underline}
（2）老人： [ ]{.underline}
（3）热恋中的情人： [ ]{.underline}
16.从语言表达的角度赏析下面的句子。（4分）
他熄灭着走下山去收尽苍凉残照之际，正是他在另一面燃烧着上巅布散烈烈朝晖
17．综观全文，作者对生命的感悟是什么？请简要概括。（6分）
答： [ ]{.underline}
六、（15分）
18.根据下面的新闻材料，拟一条一句话新闻（不超过15字）。（4分）
淮河、巢湖一直是国家水污染防治的重点流域。安徽省根据今年年初国家淮河流域水污染防治考核组提出的评估意见，采取措施进一步开展淮河、巢湖流域的水污染防治工作。据了解，今年，安徽将加快重点环保工程建设，要求已列入淮河、巢湖流域"十一五"计划而未开工的城镇污水处理厂项目，4月底以前必须全面开工建设，年底前实现两流域所有审、县全部建成管网配套的污水处理厂的目标。同时要求各级地方政府的相关部门积极协调，加强环境监管，提高环境监察、监测和统计能力，加大对环境违法行为的处罚力度，鼓励环保建设中的制度创新、技术研发和信贷倾斜。
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19."言外之意"指话里暗含着的、没有直接说出的意思。请阅读下列语段，将言外之意写在横线上。（4分）
（1）一位不知名的画家向著名画家门采尔诉苦说："为什么我画一幅画只需要一天工夫，而卖掉它却要等上整整一年呢？"门采尔很严肃地说："倒过来试试吧，亲爱的！"
门采尔的言外之意是： [ ]{.underline}
（2）钢琴之王李斯特到克里姆林宫去演奏。演奏开始了，沙皇还在和别人说话。于是，李斯特停止了演奏。沙皇问他为什么演奏了，李斯特欠了欠身子说："陛下说话，我理应恭听。"
李斯特的言外之意是： [ ]{.underline}
20.按要求把下面的句子扩写成一段话。（7分）
这个冬季，天气异常寒冷。
要求：①正面描写与侧面描写相结合。②至少运用两种不同的修辞方法。③不少于80字。
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七、（60分）
21.请以"带着感动出发"为题，写一篇不少于800字的文章。（60分）
（注意）①立意自定。②文体自选。③不得抄袭，不得套作。④不得透露个人相关信息。⑤书写规范，正确使用标点符号。
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**2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）设复数z满足=i，则\|z\|=（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）设命题p：∃n∈N，n^2^＞2^n^，则￢p为（ ）
A．∀n∈N，n^2^＞2^n^ B．∃n∈N，n^2^≤2^n^ C．∀n∈N，n^2^≤2^n^ D．∃n∈N，n^2^=2^n^
4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
5．（5分）已知M（x~0~，y~0~）是双曲线C：=1上的一点，F~1~，F~2~是C的左、右两个焦点，若＜0，则y~0~的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题："今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？"其意思为："在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）
A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z
C．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z
9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（5分）（x^2^+x+y）^5^的展开式中，x^5^y^2^的系数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
12．（5分）设函数f（x）=e^x^（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x~0~使得f（x~0~）＜0，则a的取值范围是（ ）
A．\[） B．\[） C．\[） D．\[）
**二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）**
13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=[ ]{.underline}．
14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为[ ]{.underline}．
15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为[ ]{.underline}．
16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题：**
17．（12分）S~n~为数列{a~n~}的前n项和，已知a~n~＞0，a~n~^2^+2a~n~=4S~n~+3
（I）求{a~n~}的通项公式：
（Ⅱ）设b~n~=，求数列{b~n~}的前n项和．
18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面 ABCD，BE=2DF，AE丄EC．
（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x~i~和年销售量y~i~（i=1，2，...，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
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   （x~i~﹣）^2^ （w~i~﹣）^2^ （x~i~﹣）（y~i~﹣） （w~i~﹣）（y~i~﹣）
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
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表中w~i~=~i~，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u~1~ v~1~），（u~2~ v~2~）.....（u~n~ v~n~），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．
20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．
（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）
21．（12分）已知函数f（x）=x^3^+ax+，g（x）=﹣lnx
（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；
（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．
**选修4一1:几何证明选讲**
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．
**选修4一4：坐标系与参数方程**
23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C~1~：x=﹣2，圆C~2~：（x﹣1）^2^+（y﹣2）^2^=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C~1~，C~2~的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C~3~的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C~2~与C~3~的交点为M，N，求△C~2~MN的面积．
**选修4一5：不等式选讲**
24．（10分）已知函数f（x）=\|x+1\|﹣2\|x﹣a\|，a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
**2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）设复数z满足=i，则\|z\|=（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】A8：复数的模．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数．
【分析】先化简复数，再求模即可．
【解答】解：∵复数z满足=i，
∴1+z=i﹣zi，
∴z（1+i）=i﹣1，
∴z==i，
∴\|z\|=1，
故选：A．
【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础．
2．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（ ）
A． B． C． D．
【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．
【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°
=sin20°cos10°+cos20°sin10°
=sin30°
=．
故选：D．
【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．
3．（5分）设命题p：∃n∈N，n^2^＞2^n^，则￢p为（ ）
A．∀n∈N，n^2^＞2^n^ B．∃n∈N，n^2^≤2^n^ C．∀n∈N，n^2^≤2^n^ D．∃n∈N，n^2^=2^n^
【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n^2^≤2^n^，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．
【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），
该同学通过测试的概率为=0.648．
故选：A．
【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．
5．（5分）已知M（x~0~，y~0~）是双曲线C：=1上的一点，F~1~，F~2~是C的左、右两个焦点，若＜0，则y~0~的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y~0~的取值范围．
【解答】解：由题意，=（﹣﹣x~0~，﹣y~0~）•（﹣x~0~，﹣y~0~）=x~0~^2^﹣3+y~0~^2^=3y~0~^2^﹣1＜0，
所以﹣＜y~0~＜．
故选：A．
【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．
6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题："今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？"其意思为："在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r=8，
解得r=，
故米堆的体积为××π×（）^2^×5≈，
∵1斛米的体积约为1.62立方，
∴÷1.62≈22，
故选：B．
【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．
7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【考点】96：平行向量（共线）．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．
【解答】解：由已知得到如图
由===；
故选：A．
【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．
8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ） 
A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z
C．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z
【考点】HA：余弦函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．
【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．
再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos（πx+）．
由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得 2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，
故选：D．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．
9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】5K：算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；
再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；
故输出的n值为7，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
10．（5分）（x^2^+x+y）^5^的展开式中，x^5^y^2^的系数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5P：二项式定理．
【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．
【解答】解：（x^2^+x+y）^5^的展开式的通项为T~r+1~=，
令r=2，则（x^2^+x）^3^的通项为=，
令6﹣k=5，则k=1，
∴（x^2^+x+y）^5^的展开式中，x^5^y^2^的系数为=30．
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．
11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】5Q：立体几何．
【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．
【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，
截圆柱的平面过圆柱的轴线，
该几何体是一个半球拼接半个圆柱，
∴其表面积为：×4πr^2^+×πr^2^2r×2πr+2r×2r+×πr^2^=5πr^2^+4r^2^，
又∵该几何体的表面积为16+20π，
∴5πr^2^+4r^2^=16+20π，解得r=2，
故选：B．
【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
12．（5分）设函数f（x）=e^x^（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x~0~使得f（x~0~）＜0，则a的取值范围是（ ）
A．\[） B．\[） C．\[） D．\[）
【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用．
【分析】设g（x）=e^x^（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x~0~使得g（x~0~）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e^﹣1^≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．
【解答】解：设g（x）=e^x^（2x﹣1），y=ax﹣a，
由题意知存在唯一的整数x~0~使得g（x~0~）在直线y=ax﹣a的下方，
∵g′（x）=e^x^（2x﹣1）+2e^x^=e^x^（2x+1），
∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，
∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，
当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，
直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，
故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e^﹣1^≥﹣a﹣a，解得≤a＜1
故选：D．
【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．
**二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）**
13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=[ 1 ]{.underline}．
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．
【解答】解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），
∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），
∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，
∴ln（+x）（﹣x）=0，
∴lna=0，
∴a=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．
14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为[ （x﹣]{.underline}[）^2^+y^2^=]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】K3：椭圆的标准方程．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．
【解答】解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．
可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），
设圆的圆心（a，0），则，解得a=，
圆的半径为：，
所求圆的方程为：（x﹣）^2^+y^2^=．
故答案为：（x﹣）^2^+y^2^=．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．
15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为[ 3 ]{.underline}．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
由图象知OA的斜率最大，
由，解得，即A（1，3），
k~OA~==3，
即的最大值为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是[ （]{.underline}[﹣]{.underline}[，]{.underline}[+]{.underline}[） ]{.underline}．
【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；2：创新题型；58：解三角形．
【分析】如图所示，延长BA，CD交于点E，设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，求出x+m=+，即可求出AB的取值范围．
【解答】解：方法一：
如图所示，延长BA，CD交于点E，则
在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，
∴设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，
∵BC=2，
∴（x+m）sin15°=1，
∴x+m=+，
∴0＜x＜4，
而AB=x+m﹣x=+﹣x，
∴AB的取值范围是（﹣，+）．
故答案为：（﹣，+）．
方法二：
如下图，作出底边BC=2的等腰三角形EBC，B=C=75°，
倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；
当直线移动时，运用极限思想，
①直线接近点C时，AB趋近最小，为﹣；
②直线接近点E时，AB趋近最大值，为+；
故答案为：（﹣，+）．
【点评】本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
**三、解答题：**
17．（12分）S~n~为数列{a~n~}的前n项和，已知a~n~＞0，a~n~^2^+2a~n~=4S~n~+3
（I）求{a~n~}的通项公式：
（Ⅱ）设b~n~=，求数列{b~n~}的前n项和．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a~n~}的通项公式：
（Ⅱ）求出b~n~=，利用裂项法即可求数列{b~n~}的前n项和．
【解答】解：（I）由a~n~^2^+2a~n~=4S~n~+3，可知a~n+1~^2^+2a~n+1~=4S~n+1~+3
两式相减得a~n+1~^2^﹣a~n~^2^+2（a~n+1~﹣a~n~）=4a~n+1~，
即2（a~n+1~+a~n~）=a~n+1~^2^﹣a~n~^2^=（a~n+1~+a~n~）（a~n+1~﹣a~n~），
∵a~n~＞0，∴a~n+1~﹣a~n~=2，
∵a~1~^2^+2a~1~=4a~1~+3，
∴a~1~=﹣1（舍）或a~1~=3，
则{a~n~}是首项为3，公差d=2的等差数列，
∴{a~n~}的通项公式a~n~=3+2（n﹣1）=2n+1：
（Ⅱ）∵a~n~=2n+1，
∴b~n~===（﹣），
∴数列{b~n~}的前n项和T~n~=（﹣+...+﹣）=（﹣）=．
【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．
18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面 ABCD，BE=2DF，AE丄EC．
（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
【考点】LM：异面直线及其所成的角；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角；5H：空间向量及应用．
【分析】（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，运用线面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；
（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，\|GB\|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，求得A，E，F，C的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）连接BD，
设BD∩AC=G，
连接EG、EF、FG，
在菱形ABCD中，
不妨设BG=1，
由∠ABC=120°，
可得AG=GC=，
BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，
可知AE=EC，又AE⊥EC，
所以EG=，且EG⊥AC，
在直角△EBG中，可得BE=，故DF=，
在直角三角形FDG中，可得FG=，
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=，可得EF==，
从而EG^2^+FG^2^=EF^2^，则EG⊥FG，
（或由tan∠EGB•tan∠FGD=•=•=1，
可得∠EGB+∠FGD=90°，则EG⊥FG）
AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，
由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，\|GB\|为单位长度，
建立空间直角坐标系G﹣xyz，由（Ⅰ）可得A（0，﹣，0），E（1，0，），
F（﹣1，0，），C（0，，0），
即有=（1，，），=（﹣1，﹣，），
故cos＜，＞===﹣．
则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为．
【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题．
19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x~i~和年销售量y~i~（i=1，2，...，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
   （x~i~﹣）^2^ （w~i~﹣）^2^ （x~i~﹣）（y~i~﹣） （w~i~﹣）（y~i~﹣）
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
表中w~i~=~i~，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u~1~ v~1~），（u~2~ v~2~）.....（u~n~ v~n~），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，
（Ⅱ）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；
（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，
（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．
【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；
（Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68，
=﹣=563﹣68×6.8=100.6，
所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，
因此y关于x的回归方程为=100.6+68，
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，
年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，
（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）﹣x=﹣x+13.6+20.12，
当==6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大．
【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．
20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．
（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【分析】（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=，利用导数的运算法则可得：y′=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．
（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x~1~，y~1~），N（x~2~，y~2~），直线PM，PN的斜率分别为：k~1~，k~2~．直线方程与抛物线方程联立化为x^2^﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k~1~+k~2~=．k~1~+k~2~=0⇔直线PM，PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可证明．
【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，
由曲线C：y=可得：y′=，
∴曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：y﹣a=，化为．
同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．
（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：
设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x~1~，y~1~），N（x~2~，y~2~），直线PM，PN的斜率分别为：k~1~，k~2~．
联立，化为x^2^﹣4kx﹣4a=0，
∴x~1~+x~2~=4k，x~1~x~2~=﹣4a．
∴k~1~+k~2~=+==．
当b=﹣a时，k~1~+k~2~=0，直线PM，PN的倾斜角互补，
∴∠OPM=∠OPN．
∴点P（0，﹣a）符合条件．
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=x^3^+ax+，g（x）=﹣lnx
（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；
（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用．
【分析】（i）f′（x）=3x^2^+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x~0~，0），则f（x~0~）=0，f′（x~0~）=0解出即可．
（ii）对x分类讨论：当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，可得函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零点的个数．
当x=1时，对a分类讨论：a≥﹣，a＜﹣，即可得出零点的个数；
当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a分类讨论：①当a≤﹣3或a≥0时，②当﹣3＜a＜0时，利用导数研究其单调性极值即可得出．
【解答】解：（i）f′（x）=3x^2^+a．
设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x~0~，0），则f（x~0~）=0，f′（x~0~）=0，
∴，解得，a=．
因此当a=﹣时，x轴为曲线y=f（x）的切线；
（ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，
∴函数h（x）=min { f（x），g（x）}＜0，
故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．
当x=1时，若a≥﹣，则f（1）=a+≥0，
∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；
若a＜﹣，则f（1）=a+＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函数h（x）的零点；
当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．
①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）=3x^2^+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，
而f（0）=，f（1）=a+，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，
当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．
②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f（x）取得最小值=．
若＞0，即，则f（x）在（0，1）内无零点．
若=0，即a=﹣，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．
若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+，
∴当时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a时，f（x）在（0，1）内有一个零点．
综上可得：a＜时，函数h（x）有一个零点．
当时，h（x）有一个零点；
当a=或时，h（x）有两个零点；
当时，函数h（x）有三个零点．
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．
**选修4一1:几何证明选讲**
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．
【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x^2^=，解方程可得x值，可得所求角度．
【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，
在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
连接OE，则∠OBE=∠OEB，
又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，
由已知得AB=2，BE=，
由射影定理可得AE^2^=CE•BE，
∴x^2^=，即x^4^+x^2^﹣12=0，
解方程可得x=
∴∠ACB=60°
【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．
**选修4一4：坐标系与参数方程**
23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C~1~：x=﹣2，圆C~2~：（x﹣1）^2^+（y﹣2）^2^=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C~1~，C~2~的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C~3~的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C~2~与C~3~的交点为M，N，求△C~2~MN的面积．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C~1~，C~2~的极坐标方程．
（Ⅱ）把直线C~3~的极坐标方程代入ρ^2^﹣3ρ+4=0，求得ρ~1~和ρ~2~的值，结合圆的半径可得C~2~M⊥C~2~N，从而求得△C~2~MN的面积•C~2~M•C~2~N的值．
【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C~1~：x=﹣2 的
极坐标方程为 ρcosθ=﹣2，
故C~2~：（x﹣1）^2^+（y﹣2）^2^=1的极坐标方程为：
（ρcosθ﹣1）^2^+（ρsinθ﹣2）^2^=1，
化简可得ρ^2^﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．
（Ⅱ）把直线C~3~的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入
圆C~2~：（x﹣1）^2^+（y﹣2）^2^=1，
可得ρ^2^﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，
求得ρ~1~=2，ρ~2~=，
∴\|MN\|=\|ρ~1~﹣ρ~2~\|=，由于圆C~2~的半径为1，∴C~2~M⊥C~2~N，
△C~2~MN的面积为•C~2~M•C~2~N=•1•1=．
【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．
**选修4一5：不等式选讲**
24．（10分）已知函数f（x）=\|x+1\|﹣2\|x﹣a\|，a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即\|x+1\|﹣2\|x﹣1\|＞1，
即①，或②，
或③．
解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．
综上可得，原不等式的解集为（，2）．
（Ⅱ）函数f（x）=\|x+1\|﹣2\|x﹣a\|=，
由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），
B（2a+1，0），
故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），
由△ABC的面积大于6，
可得\[2a+1﹣\]•（a+1）＞6，求得a＞2．
故要求的a的范围为（2，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
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试卷类型：B
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）**
**数 学（理科）**
**参考答案**
**一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。**
1. 选择题（本题8小题，每题5分，满分40分）
1. C 2．B 3．D 4．C 5．B 6．C 7．B 8．A
**二、填空题（本题7小题，每题5分，满分30分，其中13，15是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计前两题得分）**
9．
10．；
11．
12．；8；n（n-2）。
13．（0，2）；
14．6；
15．；3。
**三、解答题**
16．（本小题满分１2分）
（1），，若c=5， 则，
∴，∴sin∠A＝；
（2）若∠A为钝角，则解得，∴c的取值范围是；
17．（本小题满分12分）
（1）
（2）**方法1：**（不作要求）：设线性回归方程为，则
∴时，
取得最小值
即，∴时ｆ（A，B）取得最小值；
所以线性回归方程为；
**方法2：**由系数公式可知，
，所以线性回归方程为；
（3）ｘ＝100时，，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．
18．（本小题满分14分）
（1）圆C：；
（2）由条件可知a=5，椭圆，∴F（4，0），若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；
直线CF的方程为y-1=,即，设Q（x,y），则，
解得
所以存在，Q的坐标为。
19．（本小题满分14分）
> （1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，
>
> V（x）=（）
（2），所以时， ，V（x）单调递增；时 ，V（x）单调递减；因此x=6时，V（x）取得最大值；
> （3）过F作MF//AC交AD与M,
>
> 则，PM=，
>
> ，
>
> 在△PFM中， ，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为；
20．（本题满分14分）
**解析1：**函数在区间\[-1，1\]上有零点，即方程=0在\[-1，1\]上有解，
> a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f（x）=0在\[-1，1\]上有解\<=\>或或或或a≥1.
所以实数a的取值范围是或a≥1.
**解析2：**a=0时，不符合题意，所以a≠0,又
∴=0在\[-1，1\]上有解，
> 在\[-1，1\]上有解
>
> 在\[-1，1\]上有解，问题转化为求函数\[-1，1\]上的值域；设t=3-2x，x∈\[-1，1\]，则，t∈\[1,5\],，
设，时，，此函数g（t）单调递减，时，\>0,此函数g（t）单调递增，∴y的取值范围是，∴=0 在\[-1，1\]上有解∈或。
21．（本题满分14分）
解析：
（1）∵，是方程f（x）=0的两个根，
∴；
（2），
=，
∵，
∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，......，（n=1,2,......），
（3）
而，即，
，
同理，又
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**第五单元测试卷**
一、填一填。
1.求几个相同加数的和用( )计算比较简便。
2\. 4×3=( ),读作( ),用口诀( )来计算。
3\. 4+4+4+4+4=× 1+1+1+1+1+1=×
4.在里填上"+""-"或"×"。
55=10 13=52 26=12[http:///](http://www.xkb1.com/)
5.根据口诀"三六十八"可以写出两道乘法算式是( )和( )。
6.写出4道积是18的乘法算式:( )、( )、( )、( )。
二、把口诀补充完整。
二四( ) ( )十五 ( )七三十五 ( )十六
( )三十 ( )六十八 四六( ) ( )五二十五
三、计算题。
1.算一算。[http:///](http://www.xkb1.com/)
5×3= 4×2= 2×6= 3×6=
4×4= 6×1= 2×3= 5×5=
2×4+3= 3×5-4= 6×5-10= 5×4+3=
2.在括号里填上合适的数。
4×( )=24 ( )×6=18 3×( )=3
( )×5=15 6×( )=30 4×( )=16
四、看图列式计算。[http:///](http://www.xkb1.com/)
1\.
加法算式:[ ]{.underline}
乘法算式:[ ]{.underline}
2\.
=( )
口诀:[ ]{.underline}
3\.
 4.
×=( ) ×=( )
五、解决问题。
1.一共有多少只蚂蚁在过河?
2.丰富多彩的课余生活。
(1)一共有多少人在做操? (2)踢毽子和跳绳的各有多少人?
3\.
3元/盒 6元/个 2元/本 5元/支
(1)买4个文具盒需要多少元?
(2)买5盒蜡笔和一本笔记本需要多少元?
(3)提出一个用乘法解决的问题并解答出来。
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**2020-2021学年吉林省吉林市舒兰市六年级（上）期末数学试卷**
**一、我会选。（将正确答案的序号填在括号里，每小题2分，共10分）**
1．（2分）修一条330米的公路，甲单独修要5天完成，乙单独修要6天完成，两队合修要多少天完成？列式是（ ）
A．1÷（） B．330÷（5+6）
C．330÷（）
2．（2分）甲数的等于乙数的，那么（ ）
A．甲数＞乙数 B．甲数＝乙数 C．甲数＜乙数 D．无法比较
3．（2分）一根铁丝，围成一个正方形时，边长为3.14*dm*，若把它围成一个圆，则圆的周长是（ ）*dm*。
A．3.14 B．9.8596 C．12.56
4．（2分）甲、乙两数的和为30，甲、乙两数之比是3：2，则甲乙两数的差为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．18
5．（2分）一袋500克的盐，用了20%后，再添20%，现在盐的重量是（ ）
A．480克 B．500克 C．520克
**二、我会填。（每空1分，共23分）**
6．（2分）我们可以用扇形统计图来表示[ ]{.underline}与[ ]{.underline}之间的关系．
7．（3分）六（4）班男、女生人数的比是3：2，男生人数占全班人数的[ ]{.underline}%，女生人数占全班人数的[ ]{.underline}%，男生人数比女生人数多[ ]{.underline}%。
8．（4分）[ ]{.underline}：15＝4÷[ ]{.underline}＝[ ]{.underline}（填小数）＝[ ]{.underline}%。
9．（1分）在一次英语测验中，六年级（1）班40名学生中有5名不及格，那么该班在这次测验中的及格率是[ ]{.underline}．
10．（1分）如果圆的半径为6*cm*，那么60°的圆心角所对的扇形的面积为[ ]{.underline}平方厘米．
11．（2分）的[ ]{.underline}是，比20米多是[ ]{.underline}米．
12．（2分）一张圆形纸的周长是62.8厘米，它的直径是[ ]{.underline}厘米，对折后形成的半圆的周长是[ ]{.underline}厘米。
13．（2分）如图，阴影三角形的直角顶点在圆心，另两个顶点在圆周上，面积是5平方厘米，求圆的面积．阴影三角形的两条直角边都是圆的半径，所以可以得到*r*^2^÷2＝5，可见*r*^2^＝[ ]{.underline}．接下来虽然求不出半径*r*，但知道了*r*^2^就可以求出圆的面积是[ ]{.underline}平方厘米．
14．（2分）把一根18分米长的铁丝平均截成3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个圆．其中，[ ]{.underline}面积最大，[ ]{.underline}面积最小．
15．（3分）圆的任意两条直径相交，可以形成[ ]{.underline}个锐角和[ ]{.underline}个钝角，或者全部都是[ ]{.underline}。
16．（1分）如图是由小棒摆成的三角形图案，如果在这个图案中一共用了1001根小棒，那么这个图案共有[ ]{.underline}个三角形．
**三、我是小法官。（对的在括号里打"√"，错的打"×"，每小题1分，共5分）**
17．（1分）三月份某单位义务植树99棵，全部成活，成活率高达99%。[ ]{.underline}（判断对错）
18．（1分）比的前项增加21，要使比值不变，比的后项也必须增加21。[ ]{.underline}（判断对错）
19．（1分）半径是5厘米的圆，它的周长和面积相等．[ ]{.underline}（判断对错）
20．（1分）在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关．[ ]{.underline}．（判断对错）
21．（1分）一个三角形的内角度数之比为1：2：2，这个三角形是等腰直角三角形．[ ]{.underline}（判断对错）
**四、我会算。（共27分）**
22．（4分）直接写出得数。
1 2＝ 20＝ 6＝
--- ----- ------ -----
4 5
23．（4分）先化简，再求比值。
--------- --------
1.5：21 0.45：
--------- --------
24．（12分）能简算的要简算。
--- ------- ---- --
9 （5） 14
--- ------- ---- --
25．（3分）求阴影部分面积。
26．（2分）在平面图上标出各场所的位置．
> ①图书馆在中心医院的南偏东30°，相距600*m*的地方．
>
> ②商场在中心医院的西偏北75°，相距400*m*的地方．
**六、解决问题。（共27分）**
27．（5分）一辆汽车从甲地到乙地行驶了400千米，正好是全程的，甲乙两地相距多少千米？
28．（5分）小云的奶奶过生日，小云给奶奶买了老花镜和生日蛋糕作为礼物，老花镜45元钱，买老花镜和买生日蛋糕所花钱数之比为3：8，买生日蛋糕花了多少钱？
29．（5分）一个蔬菜大棚里种植菜椒的面积是450平方米，西红柿的种植面积比菜椒少20%，比黄瓜多12.5%，这个大棚里种植黄瓜的面积是多少平方米？
30．（5分）学校运动场（如图）两端为半圆形，中间为长方形，这个运动场的周长和面积各是多少？
31．（7分）如图是一个成年人每天体内水的获得情况统计图．看图回答问题：
> （1）一个成年人每天靠体内氧化释放的水占百分之几？
>
> （2）如果一个成年人每天需要水2.5千克，那么一个成年人每天大约在喝水多少千克？
**七、附加题。（共10分）**
32．（10分）如图，三角形*ABC*是等腰直角三角形，*AB*＝*AC*＝8*cm*，弧*AD*是以*CA*为半径的圆的一部分，∠*C*＝45°，求图中阴影部分的面积。
**2020-2021学年吉林省吉林市舒兰市六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案**
**一、我会选。（将正确答案的序号填在括号里，每小题2分，共10分）**
1．A； 2．D； 3．C； 4．A； 5．A；
**二、我会填。（每空1分，共23分）**
6．[部分数量]{.underline}； [总数量]{.underline}； 7．[60]{.underline}； [40]{.underline}； [50]{.underline}； 8．[6]{.underline}； [10]{.underline}； [0.4]{.underline}； [40]{.underline}； 9．[87.5%]{.underline}； 10．[18.84]{.underline}； 11．[]{.underline}； [35]{.underline}； 12．[20]{.underline}； [51.4]{.underline}； 13．[10]{.underline}； [31.4]{.underline}； 14．[圆]{.underline}； [长方形]{.underline}； 15．[2]{.underline}； [2]{.underline}； [直角]{.underline}； 16．[500]{.underline}；
**三、我是小法官。（对的在括号里打"√"，错的打"&\#215;"，每小题1分，共5分）**
17．[×]{.underline}； 18．[×]{.underline}； 19．[×]{.underline}； 20．[√]{.underline}； 21．[×]{.underline}；
**四、我会算。（共27分）**
22．[ ]{.underline}； 23．[ ]{.underline}； 24．[ ]{.underline}； 25．[ ]{.underline}； 26．[ ]{.underline}；
**六、解决问题。（共27分）**
27．[ ]{.underline}； 28．[ ]{.underline}； 29．[ ]{.underline}； 30．[ ]{.underline}； 31．[ ]{.underline}；
**七、附加题。（共10分）**
32．[ ]{.underline}；
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2022届新高考开学数学摸底考试卷10
**一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 设全集，，则集合（ ）
A． B． C． D．
2\. 设复数，则（ ）
A． B． C． D．
3\. 以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（ ）个
A．70 B．64 C．60 D．58
4\. 为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为．如果在前5个小时消除了的污染物,那么污染物减少需要花的时间约为（ ）
A．13小时 B．15小时 C．17小时 D．19小时
5\. 已知，则（ ）
A． B． C． D．
6.大摆锤是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动．假设小明坐在点*A*处，"大摆锤"启动后，主轴在平面内绕点*O*左右摆动，平面与水平地面垂直，摆动的过程中，点*A*在平面内绕点*B*作圆周运动，并且始终保持，. 设，在"大摆锤"启动后，下列结论错误的是（ ）
A．点*A*在某个定球面上运动；
B．与水平地面所成锐角记为，直线与水平地面
所成角记为，则为定值；
C．可能在某个时刻，；
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
7\. 已知点是边长为1的正方形所在平面上一点，满足，则的最
小值是（ ）
A． B． C． D．
8\. 已知函数 若函数恰有2个零点，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
**二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.**
9.已知圆*O*的半径为定长*r*，*A*是圆*O*所在平面内一个定点，*P*是圆上任意一点，线段*AP*的垂直平分线*l*和直线*OP*相交于点*Q*．当点*P*在圆上运动时，下列判断正确的是( )
A. 当点*A*在圆O内（不与圆心重合）时，点Q的轨迹是椭圆；
B. 点Q的轨迹可能是一个定点；
C. 当点*A*在圆O外时，点Q的轨迹是双曲线的一支；
D. 点Q的轨迹不可能是抛物线．
10.年月日，某市物价部门对家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查,家商场的售价（元）和销售量（件）之间的一组数据如表所示：
-------- ---- ----- ---- ------ ----
价格 9 9.5 10 10.5 11
销售量 11 10 8 6 5
-------- ---- ----- ---- ------ ----
按公式计算，与的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的有( )
A．变量线性负相关且相关性较强； B．；
C．当时,的估计值为； D．相应于点的残差约为．
11\. 已知函数的最小正周期是，则下列判断正确的有（ ）.
A．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到；
B．函数在区间上是减函数；
C．函数的图象关于点对称；
D．函数取得最大值时的取值集合为．
12．下列说法正确的是( )
A．若，则""是""的充要条件；
B．；
C．；
D．中，若为钝角，则．
**三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13\. 展开式的常数项为\_\_\_\_\_\_\_\_．
14\. 在四面体中，平面，，则该四面体的外接球的表面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
15\. 设双曲线*C*：的中心为，上、下焦点分别为*F*~1~，*F*~2~，过*F*~1~作以实轴为直
径的圆的切线，切点为，与*C*的一条渐近线交于轴下方的点．若，则*C*的离心率为\_\_\_\_\_\_\_．
16.九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子．中国的末代皇帝溥仪（1906--1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有n个圆环，用 表示按某种规则解下n个圆环所需的最小移动次数．已知数列满足下列条件：，记的前项和为，则：(1)\_\_\_\_\_\_\_\_；(2) \_\_\_\_\_\_\_\_．
**四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
17\. （本题满分10分）在①是边上的高，且，②平分，且，
③是边上的中线，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求出边的长．
问题：在锐角中，已知，是边上一点，\_\_\_\_\_\_\_\_，求边的长．
**注：**如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18\. （本题满分12分）设等比数列的前n项和为，已知，．
（1）求公比；
（2）若时，．求数列的前*n*项和．
19\. （本题满分12分）"全国文明城市"已成为一块在国内含金量最高、综合性最强、影响力最大的"金字招牌"．为提升城市管理水平和区域竞争力，提升市民素养和群众幸福指数，某市决定参与创建"全国文明城市"．为确保创建工作各项指标顺利完成，市"创建办"拟通过网络对市民进行一次"文明创建知识"问卷调查（一位市民只参加一次）．通过随机抽样，得到参加调查的100人的得分统计如下表：
------ --- ---- ---- ---- ---- ---- ---
组别
频数 1 12 22 25 25 11 4
------ --- ---- ---- ---- ---- ---- ---
（1）由频数分布表可以大致认为：此次问卷调查的得分，*μ*近似为这100人得分的均值．求得分在区间的概率；（注：同一组的数据用该组区间的中点值作代表）
---------------------- ---- ----
赠送话费的金额（元） 30 50
概率
---------------------- ---- ----
（2）在（1）的条件下，市"创建办"为鼓励市民积极参与创建问卷调查，制定了如下奖励方案：①得分不低于*μ*的可以获赠2次随机话费，得分低于*μ*的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率如右表所示：
现有市民甲参加此次问卷调查，记*X*（单位：元）
为该市民参加问卷调查获赠的话费，求*X*的分布列
与数学期望．
附：参考数据：①；
②；
③若，则，．
20.（本小题满分12分）如图，三棱柱内接于圆柱，已知圆柱的轴截面为正方形，，点在轴上运动．
（1）证明：不论在何处，总有；
（2）当点为的中点时，求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值．
21\. （本题满分12分）已知函数．
（1）求证：； （2）若，求的取值范围．
22\. （本题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，准线为．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）点在上，且，，垂足为，直线另交于，当四边形面积最小时，求直线的方程．
2022届新高考开学数学摸底考试卷10
**参考答案**
**一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 【命题意图】本题考查集合交并补运算的意义，改编自2007版教材必修1第12页B组第4题，属基础题.
【答案】B
【解析】根据知图中阴影集合为，
从而.故选B.
2\. 【命题意图】本题考查复数乘方运算，改编自2007版教材选修2-2第116页A组第1题（4），属基础题.
【答案】C
【解析】，故选C.
3\. 【命题意图】本题以简单立体几何计数为背景考查排列组合及组合数的计算，源自2007版教材选修2-3第41页B组第1题（5）题，属于基础题.
【答案】D
【解析】三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，可得不同的三棱锥有70-12=58个．故选D．
4\. 【命题意图】本题改编自2007版教材必修1第83页B组第6题，考查指数和对数的运算、估算和数据处理能力，属于中档题.
【答案】B
【解析】由已知时，，故．污染物减少即，由
故选B.
5\. 【命题意图】本题考查三角函数求值，三角恒等变换，属于中档题.
【答案】B
【解析】由，故选B.
6.【命题意图】本题主要考查以实际问题为背景的立体几何问题，侧重考查直观想象的核心素养，属中档题．
【答案】C
【解析】因为点*A*在平面内绕点*B*作圆周运动，并且始终保持，所以
又因为为定值，所以也是定值，所以点*A*在
某个定球面上运动，故A正确；
作出简图如下，，所以，故B正确.
因为，所以不可能有，故C不正确；
设，则，，
当时，直线与平面所成角最大；此时直线与平面所成角的正弦值为，故D正确；
故选C.
7\. 【命题意图】本题考查解析法研究平面几何问题，向量数量积的运算，圆外一点与圆上的点的距离最值问题，属中档题．
【答案】A
【解析】
建立如图所示的平面直角坐标系，则．
设，则，
∴由已知得：，
即，∴点在以为圆心，半径为的圆上．
又表示圆上的点到原点的距离，∴．
故选A．
8\. 【命题意图】本题考查求分段函数解析式，利用图像研究函数零点，考查等价转化思想，数形结合思想，属中档偏难题.
【答案】A
【解析】由得，
所以，
所以函数恰有2个零点等价于函数与函数的图象有2个公共点，由图象可知．故选A.
**二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.**
9\. 【命题意图】本题主要考查圆锥曲线的定义，侧重考查数学抽象的核心素养，源自2007版教材选修2-1第49页A组第7题.
【答案】ABD
【解析】
对A,如图1，连接*QA*,由已知得\|*QA*\|＝\|*QP*\|.所以\|*QO*\|＋\|*QA*\|＝\|*QO*\|＋\|*QP*\|＝\|*OP*\|＝*r*.又因为点*A*在圆内，所以\|*OA*\|＜\|*OP*\|，根据椭圆的定义，点*Q*的轨迹是以*O*，*A*为焦点，*r*为长轴长的椭圆.
图1 图2 图3
对B，如图2，当点A在圆上时，点Q与圆心重合，轨迹为定点；
对C，如图3，连接*QA*,由已知得\|*QA*\|＝\|*QP*\|.所以\|\|*QA*\|-\|*QO*\|\|＝\|\|*QP*\|-\|*QO*\|\|＝\|*OP*\|＝*r*.又因为点*A*在圆外，所以\|*OA*\|\>\|*OP*\|，根据双曲线的定义，点*Q*的轨迹是以*O*，*A*为焦点，*r*为实轴长的双曲线.
对D,由于当点A与圆心O重合时，点Q的轨迹为圆，综合A,B,C可知点Q的轨迹不可能为抛物线.
故选ABD.
10.【命题意图】本题考查线性回归方程的性质与实际意义，需要注意回归方程过样本中心点，属于基础题．
【答案】ABC
【解析】
对A，由表可知随增大而减少，可认为变量线性负相关，且相关性强，故A正确.
对B,价格平均,销售量.
故回归直线恒过定点，故，故B正确.
对C, 当时, ，故C正确.
对D, 相应于点的残差约为，故D不正确.故选ABC
11\. 【命题意图】本题考查正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，函数的图象变换规律，属于基础题．
【答案】BCD
【解析】．
对A，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到，结论不正确．
对B，当时，，则在上是减函数，结论正确．
对C，因为f(-)=0，得到函数图象的一个对称中心为，结论正确．
对D，因为，结论正确．
故选BCD．
12． 【命题意图】本题以不等式为载体考查常用逻辑用语，不等式大小比较，导数应用等综合知识，属中档偏难题。
【答案】BD
【解析】
对A，（当且仅当时取等号），又
，故充分性成立；
又取， ，必要性不成立，故A不正确.
对B,考查函数，因为单调递减，故
．故 B正确.
对C,因为又设，从而递增，故，所以C错误.
对D，因为为钝角，所以，有，所以，又因为函数在上是减函数，故有，所以D正确．
故选BD,
**三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13.【命题意图】本题考查二项式定理与组合数计算，属基础题.
【答案】
【解析】展开式的通项为
故，常数项为．
14\. 【命题意图】本题考查四面体外接球表面积计算，考查直观想象和数学运算的核心素养，属基础题.
【答案】
【解析】
的外接球直径为，，.
15\. 【命题意图】本题以双曲线、圆为背景，主要考查圆的切线、双曲线的简单几何性质，属中档题.
【答案】
【解析】
如图，易知，
，
可知，且中，斜边上
的高为，即.
由渐近线的斜率为且，知，
故．
16\. 【命题意图】本题以中国文化为背景考查数列
求通项和前n项和的问题，考查数据处理能力，
属中档偏难题。
【答案】(1)341；(2) ．
【解析】
当n为偶数时，
；
当n为奇数时，
**四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
17\. 【命题意图】本题以原创开放性问题为背景，考查余弦定理、面积公式、三角恒等变换，考查数据的选择与处理能力，属于中档题.
【答案】无论选择哪个条件，都有．
【解析】
方案一：选条件①：
由面积关系得： .........5分
在中，由余弦定理得， 所以．.........10分
方案二：选条件②：
设，则，由面积关系得： ...5分
在中，由余弦定理得， 所以．.........10分
方案三：选条件③：
设，分别在与中由余弦定理得：， .........5分
，∴． .........10分
**另法提示：**中线加倍延长，由余弦定理可求．
18\. 【命题意图】本题源自**2007版人教A版教材必修5第61页A组第1题（2），**考查了等比数列的通项公式和前n项的和公式，错位相减法求和，意在考查学生的数学计算和数据处理能力，属中档题．
【答案】（1）或； （2）．
【解析】
（1）由， 或．.........5分
（2）由（1）知， .........7分
相减得： .........9分
.........12分
19.【命题意图】本题以"创建全国文明城市"为背景，主要考查了频率分布表、正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望等知识，考查逻辑推理与数学运算能力，属于中档题．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，．
【解析】
（1）根据表格中的数据，可得：
，
所以．.........5分
（2）由题意，可得，则获赠话费*X*的可能取值为，
，，，，， .........10分
则*X*的分布列为：
----- ---- ---- ---- ---- -----
*X* 30 50 60 80 100
*P*
----- ---- ---- ---- ---- -----
故期望值（元）．.........12分
20\.
【命题意图】该题以原创立体几何图形为背景考查平面几何元
素求解、线面垂直的判定和性质、二面角的向量求法，属于中
档偏难题，考查直观想象、数学抽象、数据处理的核心素养．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
（1）证明：连结并延长，交于，交圆柱侧面于．
又圆柱中，，，
平面， .........3分
不论在何处，总有平面
.........5分
（2）如图，建立空间直角坐标系，由（1）知轴，设，则，
在中，
从而. .........7分
设平面的一个法向量为，则有，
取，得， .........10分
而平面的一个法向量为，于是得：
，故所求锐二面角的余弦值为． .........12分
21\.
【命题意图】本题以余弦函数为背景考查利用导数解决函数不等式问题，涉及函数构造、等价转化、放缩转化、不等式证明等典型问题，考查逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养．属偏难题．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
（1）证明：设 ，则．
由知在上递增，．
从而是增函数，，故原不等式成立．.........5分
（2）已知对恒成立．
设，
一方面，由． .........7分
另一方面，当时，．
利用（1）中的结论有：． .........9分
构造函数，则．递减．
从而，，恒成立．
综上得：． .........12分
**另法提示：**已知对恒成立．构造函数，可知，由（1）知单调递减，则．(请自行酌情给分)
22\.
【命题意图】本题根据**2007版人教A版教材选修2-1**
**第81页B组第3题**改编**，**考查直线方程和抛物线的标
准方程，直线过定点，弦长公式，利用导数求函数最值
等综合运用，考查数学计算、逻辑推理能力，属于难题．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）设抛物线的标准方程为，由已知得．
故抛物线的标准方程为． .........3分
（2）先证直线过定点．
设直线的方程为，．
联立
故直线过定点． .........6分
由已知再设直线的方程为，则直线的方程为．
联立，
联立，
.........9分
设，则，
由
易知在递减，在上递增，因此在取最小值，从而面积取得最小值，此时，
故直线的方程为． .........12分
**另法提示：**设的斜率为，则的斜率为．可知．
，
从而直线，直线．
设，则．
(以下同原解法，从略，请自行酌情给分．)
| 1 | |
**扬州市2020年初中毕业、升学统一考试数学试题**
**说明：**
**1．本试卷共6页，包含选择题（第1题\~第8题，共8题），非选择题（第9题\~第28题，共20题）两部分．考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．**
**2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上，同时务必在试卷的装订线内将本人的姓名、准考证号，毕业学校填写好，在试卷第一面的右下角写好座位号．**
**3．所有的试题都必须在专用的"答题卡"上作答，选择题用2B铅笔作答、非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效．**
**4．如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．**
**―、选择题（本大题共有8小题，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）**
1.实数3的相反数是（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相反数的定义判断即可．
【详解】3的相反数是﹣3．
故选A．
【点睛】本题考查相反数的定义，关键在于牢记相反数基础知识．
2.下列各式中，计算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘方和除法运算法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则即可求解．
【详解】A．，不符合题意
B．，不符合题意
C．，不符合题意
D．，符合题意
故选：D
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及除法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母部分保持不变．
3.在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．
【详解】∵x^2^＋2＞0，
∴点P（x^2^＋2，−3）所在的象限是第四象限．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
4."致中和，天地位焉，万物育焉．"对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义逐项判断即得答案．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，属于基础概念题型，熟知轴对称图形的概念是解题关键．
5.某班级组织活动，为了解同学们喜爱的体育运动项目，设计了如下尚不完整的调查问卷：
+-----------------------------------------------------------------+
| 调查问卷 \_\_\_\_\_\_\_\_年\_\_\_\_\_\_\_\_月\_\_\_\_\_\_\_\_日 |
| |
| 你平时最喜欢的一种体育运动项目是（ ）（单选） |
| |
| A． B． C． D．其他运动项目 |
+-----------------------------------------------------------------+
准备在"①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动"中选取三个作为该调查问卷问题的备选项目，选取合理的是（ ）
A. ①②③ B. ①③⑤ C. ②③④ D. ②④⑤
【答案】C
【解析】
【分析】
在"①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动"中找到三个互不包含，互不交叉的项目即可．
【详解】解：∵①室外体育运动，包含了②篮球和③足球，
⑤球类运动，包含了②篮球和③足球，
∴只有选择②③④，调查问卷的选项之间才没有交叉重合，
故选：C．
【点睛】本题考查收集调查数据的过程与方法，理解题意，准确掌握收集数据的方法是解题的关键．
6.如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转后又沿直线前进10米到达点C，再向左转后沿直线前进10米到达点D......照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A. 100米 B. 80米 C. 60米 D. 40米
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．
【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后再向左转，
∴他走过的图形是正多边形，边数*n*=360°÷45°=8，
∴小明第一次回到出发点A时所走的路程=8×10=80米．
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形外角问题的实际应用，根据题意判断小明走过的图形是正多边形是解题的关键．
7.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【详解】∵和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，
∴在Rt△ACB中，AB=
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，
∴=，
故选A．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
8.小明同学利用计算机软件绘制函数（a、b为常数）的图像如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图像过二、四象限可判断a的取值，根据x在负半轴的图像，可判断b的取值．
【详解】∵图像过二、四象限
∴a＜0，
∵x在负半轴时，图像不连续
∴b＞0
故选C．
【点睛】此题主要考查函数图像的综合判断，解题的关键是熟知函数图像与变量之间的关系．
**二、填空题（本大题共有10小题，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）**
9.2020年6月23日，中国自主研发的北斗三号最后一颗卫星成功发射．据统计，国内已有超过6500000辆营运车辆导航设施应用北斗系统，数据6500000用科学记数法表示为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】6.5×10^6^
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：6500000用科学记数法表示应为：6.5×10^6^，\
故答案为：6.5×10^6^．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10.分解因式： [ ]{.underline} ．
【答案】．
【解析】
【分析】
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x再应用完全平方公式继续分解即可：
【详解】
故答案为:
【点睛】考核知识点：因式分解.
11.代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式的非负性计算即可得到结果．
【详解】由题可得：，
即，
解得：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性，准确理解非负性的含义是解题的关键．
12.方程（x+1）^2^=9的解是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】2或-4
【解析】
试题分析：根据直接开方法即可解出方程．
（x+1）^2^=9
x+1=±3
x=2或-4．
考点：本题考查的是解一元二次方程
点评：解答本题的关键是熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
13.圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据圆锥的底面半径可以求出底面周长即为展开后的弧长,侧面积即为展开后扇形的面积,再根据扇形的面积公式求出扇形的半径即为圆锥的母线．
【详解】∵底面半径为3,
∴底面周长=2×3π=6π．
∴圆锥的母线=．
故答案为:4．
【点睛】本题考查圆锥与扇形的结合,关键在于理解圆锥周长是扇形弧长,圆锥母线是扇形半径．
14.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道"折竹"问题："今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？"题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面\_\_\_\_\_\_\_\_尺高．
【答案】
【解析】
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，\
根据勾股定理得：x^2^+3^2^=（10-x）^2^，
解得：；
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
15.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】24
【解析】
【分析】
求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积得60%计算即可；
【详解】∵正方形的二维码的边长为2cm，
∴正方形二维码的面积为，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴黑色部分的面积占正方形二维码面积得60%，
∴黑色部分的面积约为：，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率进行求解，准确立即数据的意义是解题的关键．
16.如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长\_\_\_\_\_\_\_\_cm．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正六边形的性质，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案．
【详解】解：如图：作BD⊥AC于D\
\
由正六边形，得\
∠ABC=120°，AB=BC=a，\
∠BCD=∠BAC=30°．\
由AC=3，得CD=．\
cos∠BCD==，即，\
解得a=，\
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形和圆，利用正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键，又利用了正三角形的性质，余弦函数．
17.如图，在中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线BF交AC于点G．
如果，，的面积为18，则的面积为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
由作图步骤可知BG为∠ABC的角平分线，过G作GH⊥BC,GM⊥AB，可得GM=GH
,然后再结合已知条件和三角形的面积公式求得GH，最后运用三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：由作图作法可知：BG为∠ABC的角平分线
过G作GH⊥BCGM⊥AB
∴GM=GH
∵S~△ABC~=S~△ABG~+ S~△BCG~=18
∴,
∵，，
∴,解得：GH=
∴的面积为．
故答案为．
【点睛】本题考查了角平分线定理和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活应用角平分线定理是解答本题的关键．
18.如图，在中，，，，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得，以EC、EF为邻边构造，连接EG，则EG的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】9．
【解析】
【分析】
连接FC，作DM//FC，得△DEM∽△FEO，△DMN∽△CON，进一步得出DM=，EO=，过C作CH⊥AB于H，可求出CH=，根据题意，EG必过点N，当EN⊥CD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形，故可得EN=CH=，代入EO=求出EO即可得到结论．
【详解】解：连接FC，交EG于点O，过点D作DM//FC，交EG于点M，如图所示，
∵
∴
∵DM//FC，
∴△DEM∽△FEO，
∴，
∵DM//FC，
∴△DMN∽△CON，
∴,
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴CO=FO，
∴
∴,
∴
过点C作CH⊥AB于点H，
在Rt△CBH，∠B=60︒，BC=8，
∴CH=BCsin60︒=4，
根据题意得，EG必过点N，当EN⊥CD时，EG最小，此时四边形EHCN是矩形，
∴EN=CH=4，
∴EO=,
∴EG=2EO=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
**三、解答题（本大题共有10小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）**
19.计算或化简：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】
（1）先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的运算法则对各项进行化简计算，再进行加减计算即可；
（2）先将除法变为乘法，根据分式的乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：（1）
（2）
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的运算和分式的混合运算，解题的关键是要熟练掌握运算法则．
20.解不等式组，并写出它的最大负整数解．
【答案】不等式组的解集为x≤−5；最大负整数解为-5
【解析】
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小确定不等式组的解集，从而得出答案．
【详解】解不等式x＋5≤0，得x≤−5，
解不等式，得：x≤−3，
则不等式组的解集为x≤−5，
所以不等式组的最大负整数解为−5．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及其整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知"同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到"的原则是解答此题的关键．
21.扬州教育推出的"智慧学堂"已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们"智慧学堂"平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是\_\_\_\_\_\_\_\_，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）补全条形统计图；
（3）学校拟对"不太熟练或不熟练"的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
【答案】（1）500；108；（2）见解析；（3）估计该校需要培训的学生人数为200人
【解析】
【分析】
（1）根据条形统计图中A项为150人，扇形统计图中A项为30%，计算出样本容量；扇形统计图中计算360°的30%即360°×30%即可；
（2）根据扇形统计图中B选项占40%，求出条形统计图中B选项的人数，补全条形统计图即可；
（3）抽取的样本中"不太熟练或不熟练"的同学所占的百分比为×100%，由此估计2000名学生所占的百分比也为×100%，进而求出该校需要培训的学生人数．
【详解】解：（1）150÷30%=500（人），
360°×30%=108°，
故答案为：500；108；
（2）500×40%=200（人），补全条形统计图如下：
（3）×100%×2000=200（人）
∴估计该校需要培训的学生人数为200人．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体等知识，熟练掌握条形统计图与扇形统计图的之间的关系是解题的关键．
22.防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）小明从A测温通道通过的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．
【答案】(1) ;(2) ．
【解析】
【分析】
\(1\) 因为共开设了A、B、C三个测温通道，小明从A测温通道通过的概率是．
(2)根据题意画出树状图，再根据所得结果算出概率即可．
【详解】(1) 因为共开设了A、B、C三个测温通道，小明从A测温通道通过的概率是，
故答案为：．
(2)由题意画出树状图：
由图可知，小明和小丽从同一个测温通道通过的概率=．
【点睛】本题考查概率的计算和树状图的画法，关键在于理解题意，由图得出相关概率．
23.如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
------ --------------- -------------------------------------- --------------
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元）
甲  7200
乙 3200
------ --------------- -------------------------------------- --------------
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
【答案】乙商品的进价40元/件；补全进货单见详解
【解析】
【分析】
设出乙的进货价为x，表示出乙的进货数量，表示出甲的进货数量与进货价，根据假的进货数量乘以进货价等于甲的总金额列出方程，解出方程即可．
【详解】解：设乙的进货价为x，则乙的进货数量为 件，
所以甲的数量为（+40）件，甲的进货价为x（1+50%）
可列方程为：x（1+50%）（+40）=7200
4800+60x=7200
60x=2400
解得：x=40．
经检验：x=40是原方程的解，
所以乙的进价为40元/件．
答：乙商品的进价为40元/件．
，+40=120，x（1+50%）=60，
补全进货单如下表：
------ --------------- ------------ --------------
商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元）
甲 60 120 7200
乙 40 80 3200
------ --------------- ------------ --------------
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，通过题目给的条件，设出乙的进货价，表示出甲的数量与进货价，通过甲的进货价×甲的数量=甲的总金额，列出分式方程，解出答案，解答本题的关键在于表示出相关量，找出等量关系，列出方程．
24.如图，的对角线AC，BD相交于点O，过点O作，分别交AB，DC于点E、F，连接AF、CE．
（1）若，求EF的长；
（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【答案】（1）3；（2）菱形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）只要证明即可得到结果；
（2）先判断四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直且平分证明是菱形，即可得到结论；
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，
∴，OA=OC，
又∵，
∴，
在△AOE和△COF中，
，
∴．
∴FO=EO，
又∵，
∴．
故EF的长为3．
（2）由（1）可得，，四边形ABCD是平行四边形，
∴，FC∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又，OE=OF，OA=OC，
∴平行四边形AECF是菱形．
【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的性质应用，准确运用全等三角形的性质及菱形的判定是解题的关键．
25.如图，内接于，，点E在直径CD的延长线上，且．
（1）试判断AE与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）AE与⊙O相切，理由见详解；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，进而得出∠EAO=90°，即可得出答案；
（2）连接AD，利用解直角三角形求出圆的半径，然后根据，即可求出阴影部分的面积．
【详解】（1）AE与⊙O相切，理由如下：
连接AO，
\
∵∠B=60°，\
∴∠AOC=120°，\
∵AO=CO，AE=AC，\
∴∠E=∠ACE，∠OCA=∠OAC=30°，\
∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，\
∴∠EAC=120°，\
∴∠EAO=90°，\
∴AE是⊙O的切线；
（2）连接AD，则，
∴∠DAC=90°，
∴CD为⊙O的直径，
在Rt△ACD中，AC=6，∠OCA=30°，
∴，
∴，
∴，∠AOD=60°，
∴
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题．
26.阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的"整体思想"．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则\_\_\_\_\_\_\_\_，\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常加法和乘法运算．已知，，那么\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】（1）-1，5；（2）购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；（3）-11
【解析】
【分析】
（1）已知，利用解题的"整体思想"，①-②即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值；
（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意列出方程组，根据（1）中"整体思想"，即可求解；
（3）根据，可得，，，根据"整体思想"，即可求得的值．
【详解】（1）
①-②，得x-y=-1
①+②，得3x+3y=15
∴x+y=5
故答案为：-1，5
（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，则
①×2，得40x+6y+4z=64③
③-②，得x+y+z=6
∴5(x+y+z)=30
∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
（3）∵
∴①，②，
∴②-①，得③
∴④
①+②，得⑤
⑤-④，得
∴
故答案为：-11
【点睛】本题考查了利用"整体思想"解二元二次方程组，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，引入了新运算，根据定义结合"整体思想"求代数式的值．
27.如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且，OC平分，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F．
（1）求证：；
（2）如图2，若，求的值；
（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）先由三角形外角得出∠BOD=∠DAO+∠ODA，然后根据OA=OD，OC平分∠BOD得出∠DAO=∠ODA，∠COD=∠COB，可得∠COD=∠ODA，即可证明；
（2）先证明△BOG≌△DOG，得出∠ADB=∠OGB=90°，然后证明△AFO∽△AED，得出∠AOD=∠ADB=90°，，根据勾股定理得出AD=2，即可求出答案；
（3）先设AD=2x，OG=x，则CG=2-x，BG==，BC===CD，然后得出四边形ABCD的周长=4+2x+4，令=t≥0，即x=2-t^2^，可得四边形ABCD的周长=-2（t-1）^2^+10，得出x=2-t^2^=1，即AD=2，然后证明△ADF≌△COF，得出DF=OF=OD=1，根据△ADO是等边三角形，得出∠DAE=30°，可得，求出DE=，即可得出答案．
【详解】（1）由三角形外角可得∠BOD=∠DAO+∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∵OC平分∠BOD，
∴∠COD=∠COB，
∴∠COD=∠ODA，
∴OC∥AD；
（2）∵OC平分，
∴∠COD=∠COB，
△BOG与△DOG中，
∴△BOG≌△DOG，
∴∠BGO=∠DGO=90°，
∵AD∥OC，
∴∠ADB=∠OGB=90°，∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，
∵DE=DF，
∴∠DFE=∠DEF，
∵∠DFE=∠AFO，
∴∠AFO=∠DEF，
∴△AFO∽△AED，
∴∠AOD=∠ADB=90°，，
∵OA=OD=2，
∴根据勾股定理可得AD=2，
∴=；
（3）∵OA=OB，OC∥AD，
∴根据三角形中位线可设AD=2x，OG=x，则CG=2-x，BG==，
∴BC===CD，
∴四边形ABCD的周长=AB+AD+DC+BC
=4+2x+2
=4+2x+4
令=t≥0，即x=2-t^2^，
∴四边形ABCD的周长=4+2x+4
=4+2（2-t^2^）+4t
=-2t^2^+4t+8
=-2（t-1）^2^+10，
当t=1时，四边形ABCD的周长取得最大值，最大值为10，
此时x=2-t^2^=1，
∴AD=2，
∵OC∥AD，
∴∠ADF=∠COF，∠DAF=∠OCF，
∵AD=OC=2，
∴△ADF≌△COF
∴DF=OF=OD=1，
∵AD=OC=OA=OD，
∴△ADO是等边三角形，
由（2）可知∠DAF=∠OAF，∠ADE=90°，
∴在Rt△ADE中，∠DAE=30°，
∴，
∴DE=，
∴=．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的性质，涉及的知识点比较复杂，综合性较强，灵活运用这些知识点是解题关键．
28.如图，已知点、，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数的图像经过点P．小明说："点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．"
（1）当时．
①求线段AB所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．
【答案】（1）①；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当时，有最大值；当时，有最小值；（2）；
【解析】
【分析】
（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；
②由①得直线AB为，则，利用二次函数的性质，即可求出答案；
（2）根据题意，求出直线AB的直线为，设点P为（x，），则得到，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴，即可求出n的取值范围．
【详解】解：（1）当时，点B为（5，1），
①设直线AB为，则
，解得：，
∴；
②不完全同意小明的说法；理由如下：
由①得，
设点P为（x，），由点P在线段AB上则
，
∴；
∵，
∴当时，有最大值；
当时，有最小值；
∴点P从点A运动至点B的过程中，k值先增大后减小，当点P在点A位置时k值最小，在的位置时k值最大．
（2）∵、，
设直线AB为，则
，解得：，
∴，
设点P为（x，），由点P在线段AB上则
，
当，即n=2时，，则k随x的增大而增大，如何题意；
当n≠2时，则对称轴为：；
∵点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．
即k在中，k随x的增大而增大；
当时，有
∴，解得：，
∴不等式组的解集为：；
当时，有
∴，解得：，
∴综合上述，n的取值范围为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．
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2016年北京大学数学金秋营试题
1、在△ABC内部有一点P满足∠PAB=∠PCB=$\frac{\angle A + \angle C}{4}$，L在AC上且BL平分∠ABC，延长PL交△APC的外接圆于Q。证明：BQ平分∠AQC.
2、对于$\left\{ 1，2，\ldots ，2\text{n\ } \right.\ \}$的一个排列{$a_{1,}a_{2,}{\ldots,a}_{n,}b_{1,}b_{2,}\ldots,b_{n}$}定义函数f($a_{1,}a_{2,}{\ldots,a}_{n,}b_{1,}b_{2,}\ldots,b_{n}$)=$\sum_{i = 1}^{n - 1}{|a}_{i}b_{i} - a_{i + 1}b_{i + 1}|$.求所有的排列中，f($a_{1,}a_{2,}{\ldots,a}_{n,}b_{1,}b_{2,}\ldots,b_{n}$)的最小值。
3、求所有正整数a,b,c满足对任意实数u,v,0≤u＜v≤1.存在正整数n,使得{$\sqrt{an^{2} + bn + c\ }$}∈(u,v)成立.
4、设p为奇素数，p≡1(mod 4).正整数a,b满足$a^{2}$-p$b^{2}$=1. 设q也为奇素数，(q,bp)=1.考虑同余方程$x^{4}$-2a$x^{2}$+1≡0(mod q).证明下述3个论述等价:
（1）p为模q的二次剩余；
（2）同余方程存在一个解；
（3）同余方程存在四个互不相同的解。
5、设函数f(x)=$\ \sum_{i = 0}^{4}a_{i}x^{i}$,且x∈\[-1,1\]时，\|f(x)\| ≤1，求\|$a_{2}$\|的最大可能值。
6、一个班里有50人，相互之间发短信，若在三个人A,B,C之间，仅有A给B发过短信，B给C发过短信，C给A发过短信。则称A,B,C三个人构成一个"循环"，试求这50个人中"循环"个数的最大可能值。
7、试求所有正整数a,使得对任意正整数k ,都存在正整数n,使得an+2016是一个正整数的k次方。
8、对（0，1）中的实数称其中两个为相邻的，如果这两个数的十进制表示中只有一位不同，是否可以将（0，1）中的实数10染色，使得任意两个相邻的数颜色都不相同？
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**2016年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科数学（B卷）**
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共24题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。
第Ⅰ卷\
一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
> （1）已知集合{width="0.6979166666666666in" height="0.21875in"}{width="0.9166666666666666in" height="0.23958333333333334in"}，则{width="0.5104166666666666in" height="0.1875in"}
>
> （A）{width="1.0833333333333333in" height="0.20833333333333334in"} （B）{width="0.9791666666666666in" height="0.20833333333333334in"} （C）{width="0.4895833333333333in" height="0.20833333333333334in"} （D）{width="0.3645833333333333in" height="0.20833333333333334in"}
（2）设复数z满足{width="0.6979166666666666in" height="0.1875in"}，则{width="0.125in" height="0.20833333333333334in"}=
（A）{width="0.4375in" height="0.16666666666666666in"} （B）{width="0.34375in" height="0.16666666666666666in"} （C）{width="0.375in" height="0.1875in"} （D）{width="0.3645833333333333in" height="0.1875in"}
\(3\) 函数{width="1.0in" height="0.20833333333333334in"}的部分图像如图所示，则
{width="1.21875in" height="1.3854166666666667in"}
（A）{width="1.0208333333333333in" height="0.3958333333333333in"}
（B）{width="1.0208333333333333in" height="0.3958333333333333in"}
（C）
（D）
\(4\) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
（A）{width="0.2604166666666667in" height="0.1875in"}（B）{width="0.3229166666666667in" height="0.3958333333333333in"}（C）{width="0.1875in" height="0.1875in"}（D）{width="0.20833333333333334in" height="0.1875in"}
\(5\) 设*F*为抛物线*C：y*^2^=4*x*的焦点，曲线*y*={width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"}（*k*\>0）与*C*交于点*P*，*PF*⊥*x*轴，则*k*=
（A）{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} （B）1 （C）{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} （D）2
\(6\) 圆*x*^2^+*y*^2^−2*x*−8*y*+13=0的圆心到直线*ax*+*y*−1=0的距离为1，则*a*=
（A）−{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} （B）−{width="0.16666666666666666in" height="0.4270833333333333in"} （C）{width="0.25in" height="0.25in"} （D）2
\(7\) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
{width="2.40625in" height="2.40625in"}
（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π
\(8\) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为学.科网
（A）{width="0.21875in" height="0.4270833333333333in"}（B）{width="0.14583333333333334in" height="0.4270833333333333in"}（C）{width="0.14583333333333334in" height="0.4270833333333333in"}（D）{width="0.21875in" height="0.4270833333333333in"}
(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2,n=2,依次输入的*a*为2，2，5，则输出的*s*=
{width="1.4166666666666667in" height="3.0208333333333335in"}
（A）7
（B）12
（C）17
（D）34
\(10\) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10^lg*x*^的定义域和值域相同的是
（A）*y*=*x*（B）*y*=lg*x*（C）*y*=2*^x^*（D）{width="0.5520833333333334in" height="0.4583333333333333in"}
\(11\) 函数{width="1.8854166666666667in" height="0.4270833333333333in"}的最大值为
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
\(12\) 已知函数*f*(*x*)（*x*∈R）满足*f*(*x*)=*f*(2-*x*)，若函数*y*=\|*x*^2^-2*x*-3\| 与*y*=*f*(*x*) 图像的交点为（x~1~,y~1~），(*x*~2~,*y*~2~)，...，（*x~m~*,*y~m~*），则{width="0.46875in" height="0.46875in"}
(A)0 (B)*m* (C) 2*m* (D) 4*m*
**二．填空题：共4小题，每小题5分.**
\(13\) 已知向量***a***=(*m*,4)，***b***=(3,-2)，且***a***∥***b***，则*m*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
\(14\) 若*x*，*y*满足约束条件{width="0.9270833333333334in" height="0.78125in"}，则*z*=*x*-2*y*的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
（15）△*ABC*的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，若{width="0.6770833333333334in" height="0.4270833333333333in"}，{width="0.75in" height="0.4270833333333333in"}，*a*=1，则*b*=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
（16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 学.科网甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说："我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说："我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说："我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
（17）(本小题满分12分)
等差数列{{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}}中，{width="1.5416666666666667in" height="0.25in"}
（I）求{{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}}的通项公式；
(II)设{width="0.17708333333333334in" height="0.25in"}=\[{width="0.19791666666666666in" height="0.25in"}\]，求数列{{width="0.17708333333333334in" height="0.25in"}}的前10项和，其中\[x\]表示不超过x的最大整数，如\[0.9\]=0,\[2.6\]=2
（18）(本小题满分12分)
某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：学科.网
---------------- --- --- --- --- --- --
上年度出险次数 0 1 2 3 4
保费
---------------- --- --- --- --- --- --
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
---------- ---- ---- ---- ---- ---- -----------------
出险次数 0 1 2 3 4 \[来源:学科网\]
频数 60 50 30 30 20 10
---------- ---- ---- ---- ---- ---- -----------------
（I）记A为事件："一续保人本年度的保费不高于基本保费".求P(A)的估计值；
(II)记B为事件："一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％".
> 求P(B)的估计值；
（III）求续保人本年度的平均保费的估计值.
（19）（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将沿EF折到的位置.
（I）证明：{width="0.7604166666666666in" height="0.19791666666666666in"}；
(II)若{width="2.4583333333333335in" height="0.4270833333333333in"},求五棱锥{width="0.875in" height="0.19791666666666666in"}体积.
{width="2.4791666666666665in" height="1.6875in"}
（20）（本小题满分12分）
已知函数{width="1.8333333333333333in" height="0.21875in"}.
（I）当{width="0.3854166666666667in" height="0.19791666666666666in"}时，求曲线{width="0.6354166666666666in" height="0.21875in"}在{width="0.5833333333333334in" height="0.28125in"}处的切线方程；
(II)若当{width="0.75in" height="0.28125in"}时，{width="0.59375in" height="0.21875in"}，求{width="0.13541666666666666in" height="0.15625in"}的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
已知A是椭圆E：{width="0.7916666666666666in" height="0.4583333333333333in"}的左顶点，斜率为{width="0.59375in" height="0.28125in"}的直线交E于A，M两点，点N在E上，{width="0.6979166666666666in" height="0.19791666666666666in"}.
（I）当{width="0.84375in" height="0.28125in"}时，学.科网求的面积
(II)当2{width="0.84375in" height="0.28125in"}时，证明：{width="0.75in" height="0.25in"}.
请考生在第22\~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
> 如图，在正方形*ABCD*中，*E*，*G*分别在边*DA*，*DC*上（不与端点重合），且*DE*=*DG*，过*D*点作*DF*⊥*CE*，垂足为*F*. 学科.网
>
> （Ⅰ）证明：*B*，*C*，*G*，*F*四点共圆；
>
> （Ⅱ）若*AB*=1，*E*为*DA*的中点，求四边形*BCGF*的面积.
{width="1.4895833333333333in" height="1.4270833333333333in"}
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系*xOy*中，圆*C*的方程为{width="1.0833333333333333in" height="0.23958333333333334in"}.{width="0.11458333333333333in" height="0.17708333333333334in"}
（Ⅰ）以坐标原点为极点，*x*轴的正半轴为极轴建立极坐标系，学.科网求*C*的极坐标方程；
> （Ⅱ）直线*l*的参数方程是{width="0.7395833333333334in" height="0.4583333333333333in"}（*t*为参数），*l*与*C*交于*A*，*B*两点，{width="0.7083333333333334in" height="0.2604166666666667in"},求*l*的斜率.
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
> 已知函数{width="1.4166666666666667in" height="0.4270833333333333in"}，*M*为不等式{width="0.5729166666666666in" height="0.20833333333333334in"}的解集. 学科.网
>
> （Ⅰ）求*M*；
>
> （Ⅱ）证明：当*a*，*b*{width="0.3229166666666667in" height="0.17708333333333334in"}时，{width="0.9895833333333334in" height="0.23958333333333334in"}.
**2016年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科数学答案**
第Ⅰ卷
**一. 选择题**
> （1）【答案】D （2）【答案】C (3) 【答案】A (4) 【答案】A
(5)【答案】D (6) 【答案】A (7) 【答案】C (8) 【答案】B
(9)【答案】C (10) 【答案】D (11)【答案】B (12) 【答案】B
**二．填空题**
(13)【答案】 (14)【答案】 （15）【答案】 （16）【答案】1和3
**三、解答题**
（17）(本小题满分12分)
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24.
【解析】
试题分析：(Ⅰ) 根据等差数列的性质求，，从而求得；（Ⅱ）根据已知条件求，再求数列的前10项和.
试题解析：(Ⅰ)设数列的公差为*d*，学.科网由题意有，解得，
所以的通项公式为.
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，
当n=1,2,3时，；
当n=4,5时，；
当n=6,7,8时，；
当n=9,10时，，
所以数列的前10项和为.
考点：等茶数列的性质，数列的求和.
【结束】
（18）(本小题满分12分)
【答案】（Ⅰ）由求P(A)的估计值；（Ⅱ）由求P(B)的估计值；（III）根据平均值得计算公式求解.
【解析】
试题分析：
试题解析：(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为，
故P(A)的估计值为0.55.
（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，学.科网一年内出险次数大于1且小于4的频率为，
故P(B)的估计值为0.3.
(Ⅲ)由题所求分布列为：
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
------ ------- ------ ------- ------ ------- ------
频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05
调查200名续保人的平均保费为
，
因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925*a.*
考点：样本的频率、平均值的计算.
【结束】
（19）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证再证（Ⅱ）证明再证平面最后呢五棱锥{width="0.875in" height="0.19791666666666666in"}体积.
试题解析：（I）由已知得，
又由得，故
由此得，所以.
（II）由得
由得
所以
于是故
由（I）知，又，
所以平面于是
又由，所以，平面
又由得
五边形的面积
所以五棱锥{width="0.875in" height="0.19791666666666666in"}体积
考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积.
【结束】
（20）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求定义域，再求，，，由直线方程得点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，学.科网对实数分类讨论，用导数法求解.
试题解析：（I）的定义域为.当时，
，曲线在处的切线方程为
（II）当时，等价于
令，则
，
（i）当，时，，故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得
，
由和得，故当时，，在单调递减，学.科网因此.
综上，的取值范围是
考点：导数的几何意义，函数的单调性.
【结束】
（21）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.
试题解析：（Ⅰ）设，则由题意知.
由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为，
又，因此直线的方程为.
将代入得，
解得或，所以.
因此的面积.
2. 将直线的方程代入得
.
由得，故.
由题设，直线的方程为，故同理可得.
由得，即.
设，则是的零点，，
所以在单调递增，又，
因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.
考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.
【结束】
**请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号**
（22）（本小题满分10分）**选修4-1：几何证明选讲**
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）证再证四点共圆；（Ⅱ）证明四边形的面积是面积的2倍.
试题解析：（I）因为,所以
则有
所以由此可得
由此所以四点共圆.
（II）由四点共圆，知，连结，
由为斜边的中点，知,故
因此四边形的面积是面积的2倍，即
{width="1.65625in" height="1.4583333333333333in"}
考点：三角形相似、全等，四点共圆
【结束】
（23）（本小题满分10分）**选修4---4：坐标系与参数方程**
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（I）利用，可得*C*的极坐标方程；（II）先将直线的参数方程化为普通方程，学.科网再利用弦长公式可得的斜率．
试题解析：（I）由可得的极坐标方程
（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为
由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得
于是
由得，
所以的斜率为或.
考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式.
【结束】
（24）（本小题满分10分）**选修4---5：不等式选讲**
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．
试题解析：（I）
当时，由得解得；
当时，；
当时，学.科网由得解得.
所以的解集.
（II）由（I）知，当时，，从而
，
因此
考点：绝对值不等式，不等式的证明.
| 1 | |
> **《认识角》同步练习**
>
> **一、填一填。**
>
> 1、一个角是由（ ）个顶点和（ ）条边组成的。
>
> 2、一块三角板中，有( )个角，其中有( )个直角。
>
> 3、手帕有（ ）个角，红领巾有（ ）个角。
>
> 4、拿一张纸，先上下对折，再左右对折可以得到（ ）。
>
> 5、钟面上三时整时，时针和分针成（ ）角
>
> **二．下面的说法对吗?对的画"√"，错的画"×"。**
>
> 1、直角是角中最大的角。（ ）
>
> 2、三角板上的直角和黑板上的直角一样大，所有的直角一样大。（ ）
>
> 3、角有3个顶点和3条边。（ ）
>
> 4、直角没有顶点。（ ）
>
> 5、两个三角尺上的直角同样大。（ ）
>
> **三、我会找**
>
> 1、下面的图形中,是角的在( )里打"√"，不是的打"×"。
>
> （ ） （ ） （ ） （ ）
>
>   
>
> （ ） （ ） （ ） （ ）
>
> 2、下面的图形中，是直角的在（ ）里打"√"，不是的打"×"，是直角并标上直角符号。
>
> ( ) ( ) ( ) ( )
>
> 3、找出比直角小的角，在它下面的（ ）里画"√ "。
>
> （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） \[来源:学\*科\*网\]
>
> 4、找出比直角大的角，在它下面的（ ）里画"√ "。
>
> （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
>
> **四、数一数。**
>
> 1、下面图形中各有几个角。
>
> \[来源:Zxxk.Com\]
>
> （ ）个角 （ ）个角 （ ）个角 （ ）个角
>
> **五、画一画。**
>
> 1、画一个直角。 2、画一个锐角 3.画一个钝角
>
> **参考答案：**
>
> **一、填一填。**
>
> 1、一个角是由（ 1 ）个顶点和（ 2 ）条边组成的。
>
> 2、一块三角板中，有( 3 )个角，其中有( 1 )个直角。
>
> 3、手帕有（ 4 ）个角，红领巾有（ 3 ）个角。
>
> 4、拿一张纸，先上下对折，再左右对折可以得到（ 直角 ）。
>
> 5、钟面上三时整时，时针和分针成（ 直 ）角
>
> **二．下面的说法对吗?对的画"√"，错的画"×"。**
>
> 1、直角是角中最大的角。（**×** ）
>
> 2、三角板上的直角和黑板上的直角一样大，所有的直角一样大。（ **√** ）
>
> 3、角有3个顶点和3条边。（ **×** ）
>
> 4、直角没有顶点。（ **×** ）
>
> 5、两个三角尺上的直角同样大。（ **√** ）
>
> **三、我会找**
>
> 1、下面的图形中,是角的在( )里打"√"，不是的打"×"。
>
> \[来源:学科网ZXXK\]
>
> （ × ） （ √ ） （ × ） （ √ ）
>
>   
>
> （ √ ） （ √ ） （√ ） （ √ ）
>
> 2、下面的图形中，是直角的在（ ）里打"√"，不是的打"×"，是直角并标上直角符号。
(× ) (× ) (√ ) ( ×)
> 3、找出比直角小的角，在它下面的（ ）里画"√ "。
>
> （ ） （ √ ） （ ） （ √ ） （√ ）
>
> 4、找出比直角大的角，在它下面的（ ）里画"√ "。
>
> （ ） （ √ ） （ ） （ ） （ √ ）
>
> **\[来源:Z\|xx\|k.Com\]**
>
> **四、数一数。**
>
> 1、下面图形中各有几个角。
>
> （ 4 ）个角 （ 3 ）个角 （ 4 ）个角 （ 7 ）个角
>
> 2、下面图形中各有几个直角。
>
> （ 4）个直角 （ 2 ）个直角 （ 1 ）个直角
>
> **\[来源:Zxxk.Com\]**
>
> **五、略**
| 1 | |
**北师大上学期一年级数学期末模拟试卷**
命题人：红沙河校区 邢文彪
总分：100分 考试时间：100分钟
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ------
题号 一 二 三 四 五 六 总分
得分
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ------
一、看图写数。（4分）
 
> 4
>
> 二、填空。（25分）
0 1 2 （ ） 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1、(1)上面最小的数是（ ），最大的数是（ ）。
（2）从左往右数，第4个数是（ ）。从右往左数，第2个数是（ ）.
> （3）与8相邻的两个数分别是（ ）和（ ）。
2、（1）13里面有（ ）个十和（ ）个一。绿色圃小学教育网http://www.Lspjy.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com
（2）15的个位上是（ ），十位上是（ ）。
(3)比9多5的数是（ ），比18少8的数是（ ）。
(4)一个数的个位和十位上的数都是1，这个数是（ ）.
（5）一个十和3个一合起来是（ ）。
3、比一比，填一填
○○○○○○ △△△△
（1）○有（ ）个，△有（ ）个，一共有（ ）。
（2）○比△多（ ）个，△比○少（ ）个。
**三、数一数，填一填(30分)。**
1、在（ ）分别填上每个图形的个数（6分）
2、在○里填上＜、＞、＝，在（ ）里填数。(10分)
8+9 1 6 7+3 10 17-8 11 9-3 6 5+4-4 5
16-8 9 12 15-4 10+5 8 3+6 8 10-4+3 8
> 3、想一想，（ ） 里可以填几？（8分）绿色圃小学教育网http://www.Lspjy.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com
>
> 8+（ ）＞12 15-（ ）＜8 17-（ ）＞10 13+（ ）＞15
>
> 10+（ ）=16 17-（ ）=15 19-（ ）=8 9+（ ）=18
4**、**在下面的方框里填上合适的数，使每条直线上的三个数的和都是18.
--- ---- --
2 10
9
3
--- ---- --
**（4分）**
--- ---- --
2 10
9
3
--- ---- --
5、最重的在 里画"×"，最轻的在 里画"√"。(2分)
  
四、计算与连线。**（30分）**
1、计算
7+5= 9+4= 10- 4= 4+3= 6 - 5=
7+4-2= 15-5-3= 20-10+7= 4+5+7= 8-5+6=
11-3+2= 18-6-2= 15+4-5 = 5+5-5= 16-10+2=
9 + 7 = 8 + 9 = 6 + 8 =
8 + 5 = 9 + 6= 7 + 6=
2、连线
10时 9时刚过 4时半 快2时了
五、看图写算式。**（8分）**
 1、
 
2、
=
**15支**
**3、 =**
 **=**
**=**
**=**
**六、解决问题。（4分）**
1,、小红读了10本书，小强读了6本书。
（1）两个人一共读了多少本书？ =
（2）小强比小红少读了几本书？ =
**答 案**
一、看图写数。（4分）8 5  20
> 二、填空。（25分）
0 1 2 （ **3** ） 4 ( **5 )** **( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 10** )
1、(1) 0 10 （2） 3 9 （3） 7 9
2、（1）1 3 （2）5 1 (3) 14 10 (4 ) 11 （5）13
3、（1）6 4 10 （2）2 2
**三、数一数，填一填(30分)。**
**1、 4 1 2 4** 2、\> = \< = = \< \> \> \> \>
**3、2 10 3 5 6 2 11 9**
**4、**
------- ------- -------
2 10 **6**
9 **5** **4**
**7** 3 **8**
------- ------- -------
× √
> 四、计算与连线。**（30分）**
>
> 1、12 13 6 7 1 9 7 17 16 9 10 10 14 5 8 16 17 14 13 15 13
2、连线 （略）
五、看图写算式。**（8分）**
1 、3+2+4=9 2、15-3=12 3、8+5=13 5+8=13 13-8=5 13-5=8
六、解决问题
1、 10+6=16 10-6=3
| 1 | |
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科综合能力测试**
**历史部分**
**注意事项：**
**1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上。**
**2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选途其他答案标号。写在试卷上无效。**
**3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。**
**一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.图5为不同时期的部分货币，据图可知，其形制变化的共同原因是
A. 铸铁技术的进步 B. 商品交易的需要
C. 审美观念不同 D. 国家统一的推动
【答案】B
【解析】
【详解】商周的贝币、春秋战国的布币和汉代的五铢钱都是当时流通的货币，在形制方面都体现出便于携带的特征，这种形制有利于商品交易活动的顺利进行，说明这些货币形制是商品交易活动过程中不断选择的结果，B正确；商周货币是贝壳，春秋战国布币是青铜货币，不属于铸铁货币，排除A；题干设问中要求的是"形制变化的共同原因"，要求寻找同一性，C选项中的"审美观念不同"强调的是差异性，排除；春秋战国时期诸侯割据，国家并不统一，排除D。
2.东汉末年，曹操在许下和各地置田官，大力发展屯田，以解决军粮供应、田亩荒芜和流民问题。"数年中所在积粟，仓廪皆满。"曹操实行屯田，客观上
A. 助长了大土地所有制 B. 推动了农业商品化进程
C. 促进了中原人口南迁 D. 缓和了社会的主要矛盾
【答案】D
【解析】
【详解】曹操通过实施屯田制，安置了流民、开垦了荒地、发展了农业生产，"所在积粟，仓廪皆满"，客观上缓和了社会的主要矛盾，D项正确；利用政府控制的土地屯田，没有助长大土地所有制的发展，A项错误；屯田制为解决军粮问题，控制农业生产，没有推动农产品的商品化进程，B项错误；屯田制的推行，使流民成为政府的佃农，有了安定生产生活的条件，没有促进中原人口南迁，C项错误。
3.唐代书法家张旭曾说："始吾闻公主与担夫争路，而得笔法之意。后见公孙氏舞剑器，而得其神。"据此可知，张旭书法呈现出
A. 书写结构的严整性 B. 书写气象的灵动性
C. 书写笔画繁杂性 D. 书写技法的内敛性
【答案】B
【解析】
【详解】结合所学知识可知，张旭是唐代著名草书书法家，其中草书字体具有写意性强和灵动性等特征。从材料可知张旭从公主与挑夫争着走路和观看公孙大娘舞剑，而悟得草书笔法的意境和草书笔法的神韵。这说明当时书写气象的开放性和灵动性，B正确；A是楷书的特征，排除；材料与书写笔画的繁杂性无关，C排除；材料体现的是张旭书法的开放性，内敛性的说法错误，故排除D项。故选B。
4.明万历年间，神宗下令工部铸钱供内府用，内阁首辅张居正"以利不胜费止之"。神宗向户部索求十万金，张居正面谏力争，"得停发太仓银十万两"。这反映出当时
A. 内阁权势强大 B. 皇权受到严重制约
C. 社会经济凋敝 D. 君权相权关系紧张
【答案】A
【解析】
【详解】神宗下令工部铸钱供内府用、向户部索求十万金的诉求在内阁首辅张居正的干预下未能满足，说明万历年间内阁权势较强，一定程度上限制了皇权的任意妄为，A正确；明代内阁是皇权强化的产物，不能制约皇权，B选项中的"严重制约"不符合内阁这一机构的特征，排除；题干涉及的内容与朝廷中枢机制有关，此信息不能反映出当时社会经济情况，而且结合所学知识可知，明中后期社会经济较为繁荣，排除C；内阁不是宰相，因此题干反映的现象不属于君权相权关系，排除D。
5.面对外商轮船航运势力进一步扩展，李鸿章认为："各口岸轮船生意已被洋商占尽，华商领官船另树一帜，洋人势必挟重资以侵夺"，因此"须华商自立公司，自建行栈，自筹保险"。这表明
A. 商战成为对外交往中心 B. 清政府鼓励民间投资设厂
C. 求富以自强方针的改变 D. 洋务派准备创办民用企业
【答案】D
【解析】
【详解】面对外商轮船航运势力进一步扩展，"各口岸轮船生意已被洋商占尽"，李鸿章强调，必须建立自己的航运公司，由中国自己的商业组织，筹备保险等业务，对抗外商侵夺，表明洋务派准备创办民用企业，D项正确；材料不能说明商战成为"对外交往中心"，A项错误；李鸿章的个人主张不能说明"清政府鼓励民间投资设厂"，B项错误；李鸿章主张"华商自立公司"，并没有改革洋务派"求富以自强"方针，C项错误。
6.清帝退位诏书稿由南京临时政府拟订，袁世凯收到后擅自在诏书稿上加入"由袁世凯以全权组织临时共和政府"等内容发表。孙中山表示反对，致电袁世凯强调："共和政府不能由清帝委任组织。"他们分歧的实质体现在
A. 是否赞同共和体制 B. 政府组建的主导权
C. 是否进行社会革命 D. 临时大总统的人选
【答案】B
【解析】
【详解】材料体现的是袁世凯认为临时共和政府应该由清帝指派组建，孙中山认为临时共和政府应该有人民选举产生，不能由清帝委任组织，因此二者体现的本质是政府组建的主导权，B正确；材料中的袁世凯和孙中山都主张实行共和体制，A排除；材料强调的是临时共和政府的组建问题，是在革命胜利之后，C排除；临时大总统的人选不存在争议，因为孙中山同意只要袁世凯赞同共和，中华民国政府的总统就让位给袁世凯，D排除。故选B。
7.1940年代中后期，中国许多工矿企业尽管账面上获得利润，但难以维持再生产，故"很多工厂把囤积原料作为主业，反以生产作为副业"。这说明，当时
A. 商业的繁荣带动了工业生产 B. 抗日战争的胜利推动生产恢复
C. 国统区的经济秩序遭到破坏 D. 国民党军阀混战扰乱经济发展
【答案】C
【解析】
【详解】1940年代中后期正值抗战胜利后，当时官僚资本主义膨胀，外国资本主义入侵，加上国民政府发动内战，大肆征敛，滥发纸币，企业账面利润难以维持生产，说明通货膨胀严重，这些现象破坏了正常的经济秩序，因此中国的工矿企业虽然有利润，但是难以维持生产，出现了囤积原料为主，生产为辅的局面，C正确；题干未提及商业繁荣情况，不能得出商业繁荣带动工业生产，排除A；当时企业生产难以为继，反映的是生产遭到破坏而非恢复，排除B；1940年中后期不存在军阀混战局面，排除D。
8.1983年，北京四个最大的百货商场与北京市第一商业局签订合同，规定：超额完成利润承包额的，超额部分国家与商场对半分成；完不成利润承包额的，差额部分由企业利润留成和浮动工资弥补。这反映出
A. 企业活力逐步得到增强 B. 国企改革全面展开
C. 市场经济体制目标确立 D. 现代企业制度建立
【答案】A
【解析】
【详解】1983 年，四家百货商场与主管部门签订经营承包合同，承诺自主经营自负盈亏，反映出企业经营自主权的扩大和企业活力逐步得到增强，A项正确；此时国企改革尚未"全面展开"，B项错误；市场经济体制目标是在1992年中共十四大上确立的，C项错误；我国在1993年中共十四届三中全会后才开始尝试建立现代企业制度，D项错误。
9.1549～1560年，约4776名法国逃难者进入加尔文派控制下的日内瓦，其中1536人是工匠。他们将技术和资金由奢侈品行业投入普通的钟表业，日内瓦逐步发展成为世界钟表业的摇篮。这反映出，当时
A. 人文主义传播缓和了社会矛盾 B. 经济发展不平衡促进技术转移
C. 工匠精神决定了城市生活面貌 D. 宗教改革助推日内瓦经济发展
【答案】D
【解析】
【详解】加尔文教派主张发财致富,支持商业，受到加尔文在瑞士宗教改革影响，法国的逃难者涌向日内瓦，其中这些人将技术和资金投入到日内瓦的钟表业，促进了瑞士钟表业的繁荣，这说明当时的宗教改革促进了日内瓦的经济发展，D正确；宗教改革虽然促进了人文主义传播，但是材料未涉及对社会矛盾的缓和，A排除；材料未涉及经济发展和技术转移之间的关系，B排除；C说法过于绝对，城市的生活面貌主要和经济发展程度密切相关，排除。故选D。
10.美国建国初期，制宪会议的参加者麦迪逊认为，新宪法授予联邦政府的权力很少，并有明确的规定；各州所保留的权力很多，却没有明确规定。在第一届国会上，麦迪逊提出宪法修正案：除了明确授予中央政府的权力以外，其余的权力由各州自行保留。这一主张
A. 赋予各州主权 B. 恢复邦联制度
C. 体现了分权与制衡原则 D. 旨在扩大联邦政府权力
【答案】C
【解析】
【详解】新宪法未对诸州的权力做出明确的界定，而联邦政府权力却较小，反映出当时没有形成中央与地方的权力制衡。而在宪法修正案中提出"除了明确授予中央政府的权力以外，其余的权力由各州自行保留"这明确了中央与地方的权力界定，体现了中央与地方的分权制衡，故选择C项；各州保留的权力主要是决定和处理本州本州范围内公共事务的权力，没有"主权"，排除A项；麦迪逊反对邦联制度，主张实行联邦制，排除B项；扩大联邦政府的同权力同时，还要限制地方的权力，因此D项表述不全面，排除D项。
11.图6为西方绘画作品《第一步》，其代表的绘画流派
A. 注重内心的"自我感受" B. 强化了直观印象的作用
C. 强调素描的准确性 D. 追求画面严整和谐
【答案】A
【解析】
【详解】后印象派绘画作品重视写意，强调变形和夸张，大多线条粗狂，色彩明快，强烈抒发个性，揭示主观世界，注重内心的"自我感受"，故选择A项；现实主义美术以准确观察为基础，追求色彩和形状的逼真，强化直观印象的作用，这显然与《第一步》不符，排除B项；《第一步》不是素描，排除C项；追求"追求画面严整和谐"的是新古典主义美术作品的特点，排除D项。
12.1964年，主要由亚非拉国家组成的七十七国集团成立。在1975～2006年联合国决议中，围绕着裁军和国际安全议题，七十七国集团成员的意见基本一致。这种状况
A. 确立了世界多极化的格局 B. 维护了发展中国家的共同利益
C. 遏制了战后全世界范围内的军备竞赛 D. 改变了发达国家主导国际政治的局面
【答案】B
【解析】
【详解】亚非拉国家为了扭转发展中国家在国际贸易中的变动地位而成立了七十七国集团，在裁军和国际安全议题上，七十七国集团成员的意见基本一致，努力维护发展中国家的安全，因此七十七国集团为维护发展中国家的共同利益作出了贡献，故选择B项，世界多极化目前还是一种趋势，排除A项；"遏制了"过于绝对，七八十年代美苏冷战，正进行军备竞赛，排除C项；"改变了"与当时两极格局的阶段特征不符，排除D项。
**二、非选择题：共52分。第41---42题为必考题，每个试题考生都必须作答。第45---47题为选考题，考生根据要求作答。**
> **（一）必考题：共37分。**
13.阅读材料，完成下列要求。
材料一 公元前11世纪下半叶，周公东征胜利后，在广阔的征服地域内分封其亲属子弟，拓殖建"城"，"国人"居于城内，"野人"居于城外，他们都享有一定的政治权利，国人政治身份高于野人，西周时期的"国"指天子诸侯之都城，其建设有一套理想化的标准模式。都城必置宗庙，立社稷，建高墙，是国家的象征，秦以后两千多年都城的修建往往继承了这种规划传统。
------摘编自白寿彝总主编《中国通史》等
材料二 公元前8世纪，希腊城邦兴起，为数众多的城邦一般都建在高地或山丘上，建有城墙等防御设施。城邦大多建立了大规模的神庙，是城邦的宗教中心，城市的中心广场即市政广场是城邦社会与政治活动中心。在许多城邦，人民凭着对土地的拥有权而获得公民权，可以参与城邦公共事务的讨论和执行。城邦一般以一个城市为中心，周围有大片的农村地区，这是城邦的主要经济基础。
------摘编自黄洋等主编《世界古代中世纪史》等
（1）根据材料并结合所学知识，分别概括西周时期的都城和古希腊城邦的特点。
（2）根据材料二并结合所学知识，概括古希腊城邦兴起的历史条件。
（3）根据材料并结合所学知识，分析西周政治制度对中华文明发展的影响。
【答案】（1）西周：建立在分封制基础之上，建有宗庙和社稷；国人和野人均有一定政治权利，但身份不同；有城墙等防御设施。
古希腊：公民享有参政权；建有神庙、广场、城墙等设施；小国寡民，以城市为中心。
（2）独特的自然地理环境；发达的贸易；独立自治的传统。
（3）开发了边远地区，扩大了统治区域；奠定了多民族统一国家的基础，增强了中华民族的凝聚力；礼乐制度促进了儒家学说和中国古代主流思想的形成；为中国长时期政治结构的稳定发挥了重要作用。
【解析】
【详解】（1）西周：根据"在广阔的征服地域内分封其亲属子弟，拓殖建"城"，"国人"居于城内"得出建立在分封制基础之上；根据"都城必置宗庙，立社稷，建高墙，是国家的象征"得出建有宗庙和社稷；根据"他们都享有一定的政治权利，国人政治身份高于野人"得出国人和野人均有一定政治权利，但身份不同；根据"建高墙"得出有城墙等防御设施。古希腊：根据"人民凭着对土地的拥有权而获得公民权，可以参与城邦公共事务的讨论和执行"得出公民享有参政权；根据"建有城墙等防御设施。城邦大多建立了大规模的神庙，是城邦的宗教中心"得出建有神庙、广场、城墙等设施；根据"城邦一般以一个城市为中心，周围有大片的农村地区，这是城邦的主要经济基础。"得出小国寡民，以城市为中心。\
（2）根据所学可从独特的自然地理环境；发达的贸易；独立自治的传统等方面概括。\
（3）根据"秦以后两千多年都城的修建往往继承了这种规划传统。"并结合所学可从对边远地区的开发、 促进统一多民族国家的发展、促进礼乐制度与文明的传播、民族凝聚力的增强、社会的长久稳定等方面概括。
14.阅读材料，完成下列要求。
材料 表1摘自1995年7～8月对江苏昆山，浙江乐清的部分农民进行的调查统计，调查对象中近60%为18～35岁的青壮年。
表1 1995年7～8月江苏昆山、浙江乐清部分农民调查统计 单位：%
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
| 选择意向明确的统计结果 | | | | | |
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
| 你是否同意以下说法 | 很赞同 | 比较赞同 | 说不准 | 不太赞同 | 很不赞同 |
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
| 农民的孩子应以种田为本 | 2.9 | 4.3 | 8.2 | 23.0 | 61.1 |
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
| 父母在，不远游 | 7.2 | 15.1 | 21.8 | 34.9 | 20.8 |
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
| 改革虽然有风险，但比吃大锅饭强 | 45.4 | 29.2 | l7.5 | 5.0 | 2.6 |
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
| 富贵贫贱是命定的 | 6.8 | 11.2 | 15.4 | 25.1 | 41.2 |
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
| 重新选择职业意向明确的统计结果 | | | | | |
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
| | 经商 | 去乡镇企业 | 读书上大学 | 去大城市 | 继续种田 |
| | | | | | |
| | | 工作 | | 打工 | |
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
| 如果有机会重作选择，你将选择 | 35.2 | 14.1 | 31.8 | 2.7 | 8.5 |
+--------------------------------+--------+------------+------------+----------+----------+
------据周晓虹《传统与变迁》
根据材料并结合所学知识，就材料整体或其中任意一点拟定一个论题，并予以阐述。（要求：论题明确，持论有据，论证充分，表达清晰。）
【答案】略
【解析】
【详解】本题主要依据对农民调查的数据进行分析。从"改革虽然有风险，但比吃大锅饭强"的数据可以看出，很赞同的比重为45.2%，比较赞同的为29.2%，同时结合"如果有机会重新作选择你将选择"，选择经商和去乡镇企业工作的分别为35.2%和14.1%，可以看出已经有很多农民认同经商创业。因此结合以上两个数据可以分析得出"改革开放逐步带动了人们思想的转变"这一题。论述时结合改革开放后我国农村及城市经济体制改革的内容及影响，同时联系对外开放格局的形成，社会主义市场经济体制的提出与发展等相关史实展开论述。
**（二）选考题：共15分。请考生从3道历史题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。**
15.【历史------选修1：历史上重大改革回眸】
材料 农奴制改革前，俄国出口商品主要包括粮食、亚麻、兽皮、皮货、木材等，粮食占出口额的35%以上；进口商品主要为工业品，即工厂所需的机器和设备、颜料、皮棉、煤。从1822年起，俄国对进口商品实行高关税，对外国商品的输入进行限制，农奴制改革后，俄国的出口结构中，农产品仍然占最大份额，粮食占出口额一半以上，主要出口英国，由于工业急需金属、机器和设备，俄国降低了保护关税税率，使进口机器的支出由1861～1865年的730万卢布增加到1876～1880年的4680万卢布。到90年代，与改革前相比，俄国对外贸易额增加2倍以上。
------摘编自（苏）B．T．琼图洛夫等编《苏联经济史》
（1）根据材料，概括俄国农奴制改革前后对外贸易的变化。
（2）根据材料并结合所学知识，简析对外贸易发生变化的原因。
【答案】（1）以粮食为主的出口数量和以机器设备为主的进口数量明显增加；进口关税税率降低。
（2）改革促进了俄国社会经济的发展；农业商品化发展，国际粮食需求扩大；资本主义发展需要设备、资金和市场，工业化进程加快。
【解析】
【详解】（1）变化：根据材料"农产品仍然占最大份额，粮食占出口额一半以上，主要出口英国"、"使进口机器的支出由1861～1865年的730万卢布增加到1876～1880年的4680万卢布"可归纳出以粮食为主的出口数量和以机器设备为主的进口数量明显增加；根据材料"由于工业急需金属、机器和设备，俄国降低了保护关税税率"可归纳出进口关税税率降低。\
（2）原因：结合上述分析可知，俄国农奴制改革后对外贸易的变化是以粮食为主的出口数量和以机器设备为主的进口数量明显增加，这说明的是俄国农奴制改革加快了俄国的工业化进程和国际粮食需求量扩大；根据材料"由于工业急需金属、机器和设备，俄国降低了保护关税税率"可归纳出资本主义发展需要设备、资金和市场。
16.【历史------选修3：20世纪的战争与和平】
材料一 ......
三、铁路与公路交通。西有平汉铁路，南有陇海铁路，东有津浦铁路，有菏泽经濮县虽公路有破坏，因平原关系，无大妨碍，仍可通车。
四、......（辖区）共18个县城，大小市镇200余个，村庄万余个，人口有300万。
五、......在粮食方面能自给有余，村庄相距有二三里，村村有沟道，便于开展游击战争。
......
七、群众组织，有自卫队、农救会、青救会、妇救会、儿童团等......
八、群众武装，一般每县有个独立团，县长兼团长；有的有个基干大队；根据地内有游击小组。
------摘自《冀鲁豫边区的概况》（1940年4月）
材料二 你们在去年一年打了大小几千次的仗，打死五万以上的敌伪军，打退了常常几倍几十倍的敌人进攻......收复了许多的失地，许多抗日根据地的面积和人口是扩大了......你们的大功劳，中国人民永远不会忘记，各国人民也已明白。
------摘自《中共中央向敌后军民致贺电》（1944年1月）
（1）根据材料一，概括冀鲁豫（边区）抗日根据地建立的条件。
（2）根据材料二并结合所学知识，简析抗日根据地对战胜日本帝国主义的贡献。
【答案】（1）中国共产党的正确领导；粮食能够自给自足；群众基础良好，有相当力量的革命武装；有利于游击战的地理条件。
（2）沉重打击了日本侵略者，增强了抗战胜利的信心，为抗战最终胜利创造了有利条件；对减轻正面战场压力起关键作用；支援世界反法西斯战争。
【解析】
【详解】（1）根据所学可得出中国共产党的正确领导；根据"在粮食方面能自给有余，村庄相距有二三里，村村有沟道，便于开展游击战争"得出粮食能够自给自足；根据"群众组织，有自卫队""群众武装，一般每县有个独立团，......根据地内有游击小组。"得出群众基础良好，有相当力量的革命武装；有利于游击战的地理条件。\
（2）根据"打死五万以上的敌伪军，打退了常常几倍几十倍的敌人进攻"得出沉重打击了日本侵略者；"收复了很多失地，根据地的面积和人口扩大了"得出增强了抗战胜利的信心、为抗战最终胜利创造了有利条件；根据"各国人民已明白"得出支援世界反法西斯战争。结合所学还可以得出对减轻正面战场压力起关键作用等。
17.【历史------选修4：中外历史人物评说】
材料 张九龄（678～740），韶州曲江（今广东韶关）人。七岁能文，进士及第后步入仕途，开元年间官至宰相，成为秦至唐在统一王朝任官级别最高的岭南人。张九龄为政注重民生疾苦，轻刑罚，薄赋敛，扶持农桑。其为人忠诚耿介，敢于进谏，亦终因此罢相，后有人认为这是唐朝由治到乱的分水岭。张九龄有《曲江集》传世，其诗清新自然，其文高雅严整。岭南多被时人视为蛮荒之地，而在张九龄的笔下，却是山明水秀，风光无限。他曾主持开大庾岭新路，便利了岭南与中原的交通，至今用之。张九龄"耿直温雅，风仪甚整"，人们以其家乡之名称之为"曲江风度"。明末清初著名思想家王夫之称赞他："当年唐室无双士，自古南天第一人。"
------据《新唐书》等
（1）根据材料并结合所学知识，概括张九龄成为盛唐名相历史背景。
（2）根据材料并结合所学知识，评价张九龄的历史贡献。
【答案】（1）科举制的推行和崇尚诗文的社会风气；开明纯正的政治氛围；南方的开发和中原文化在岭南的传播。
（2）为开元年间社会经济的发展发挥了积极作用；树立了贤相的典范；文学作品影响深远；一定程度上改变了人们对岭南的认知。
【解析】
【详解】（1）历史背景：根据张九龄生活的年代"678～740""开元年间"可知，这一时期正值初唐，有较为开明纯正的政治氛围；根据材料"七岁能文，进士及第后步入仕途"并结合所学知识可知，科举制的推行和崇尚诗文的社会风气助推张九龄成为名相；根据材料"他曾主持开大庾岭新路，便利了岭南与中原的交通，至今用之"并结合所学知识可知，唐代江南地区得到开放，中原文化在岭南得到传播。\
（2）历史贡献：根据材料"张九龄为政注重民生疾苦，轻刑罚，薄赋敛，扶持农桑"可知，张九龄为开元年间社会经济的发展发挥了积极作用；根据材料"其为人忠诚耿介，敢于进谏，亦终因此罢相，后有人认为这是唐朝由治到乱的分水岭""耿直温雅，风仪甚整"可知，张九龄树立了贤相的典范；根据材料"张九龄有《曲江集》传世，其诗清新自然，其文高雅严整"可知，文学作品影响深远；根据材料"岭南多被时人视为蛮荒之地，而在张九龄的笔下，却是山明水秀，风光无限""当年唐室无双士，自古南天第一人"可知，一定程度上改变了人们对岭南的认知。
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科综合能力测试**
**一、选择题：本题共11小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
自20世纪90年代，在经济全球化浪潮下，一些国家之间签订自由贸易协定，降低甚至取消彼此间部分商品的贸易关税，促进商品的自由贸易。下图示意汽车企业在已签订自由贸易协定的甲、乙两国的产业布局调整。据此完成下面小题。
1\. 汽车企业将组装厂由甲国转移至乙国的主要目的是（ ）
A. 创新技术 B. 拓展市场 C. 扩大规模 D. 降低成本
2\. 该产业布局模式宜发生在邻国之间，主要原因是邻国之间（ ）
A. 消费习惯相近 B. 经济发展水平相近
C. 运输费用较低 D. 研发成本差异较小
3\. 该产业布局调整导致甲国汽车的（ ）
A. 进口量增多 B. 出口量增多
C. 销售量增多 D. 生产量增多
【答案】1. D 2. C 3. A
【解析】
【1题详解】
部分零部件生产涉及核心技术，产品价值高；组装厂属于加工组装环节，利润低于零部件生产厂家，图中市场甲国大于乙国，综合以上信息可知，甲国经济较发达，乙国经济不发达。组装需要大量劳动力，组装厂由甲国转移到乙国应该是看重乙国劳动力价格低，同时土地价格低等可以降低生产成本，增加利润，D正确。乙国经济不发达，组装厂在乙国不可能达到创新技术的目的，A错误。拓展市场是次要目的，主要是市场是甲国，B错误。据图分析，生产过程只是布局调整，规模扩大没有体现，C错误。故选D。
【2题详解】
该企业是汽车企业，零部件体积、重量较大，若远距离运输会导致运费大量增加，企业成本会增加，达不到产业转移的目的，因此此产业布局模式宜发生在邻国之间，可以降低运输费用，C正确。消费习惯影响的是汽车成品销售，对生产环节布局影响不大，A错误。据以上分析，甲国经济较发达，乙国经济不发达，经济差距较大，若经济发展水平接近，企业布局应该是全部环节都在邻国，B错误。甲国经济较发达，乙国经济不发达，乙国劳动力价格低，研发成本乙国小，D错误。故选C。
【3题详解】
原来汽车组装后直接销售到甲国，汽车可以出口；该产业布局调整后汽车在乙国加工组装再销售到甲国，导致甲国从乙国进口量增加，甲国不在出口汽车，甲国变为汽车消费市场，汽车销售量减少、汽车生产量减少；A正确，BCD错误。故选A。
户籍人口与常住人口的差值可以表示当地人口常年（半年以上）外出的数量。下图显示2010年我国西部某市50岁以下各年龄组女性人数。调查表明，该市妇女生育峰值在21---29岁。据此完成下面小题。
4\. 以下时间段中，该市人口出生率最高的为（ ）
A. 2001～2005年 B. 1991～1995年
C. 1981～1985年 D. 1971～1975年
5\. 造成该市20～24岁年龄组人数明显偏多的原因可能是，该组人口出生期间（ ）
A. 生育政策放宽 B. 经济发展提速
C. 育龄妇女较多 D. 生育观念转变
6\. 推测2010～2030年该市人口发展的变化是（ ）
A. 人口出生率逐渐提高 B. 人口增长较为缓慢
C. 2025年迎来生育高峰 D. 人口总量逐渐减少
【答案】4. D 5. C 6. B
【解析】
【4题详解】
2001-2005年出生的人在2010年是5-9岁，1991-1995年出生的人在2010年是15-19岁，1981-1985年出生的人在2010年是25-29岁，197-1975年出生的人在2010年是35-39岁，据图可知，这四个年龄段育龄妇女人数35-39岁最多，说明当时出生率最高，D正确，ABC错误。故选D 。
【5题详解】
该市20-24岁年龄组出生时间大致是1986-1990年，由于该市妇女生育峰值在21-29岁，1986-1990年的育龄妇女2010年年龄在41-49岁之间，据图可知2010年年龄在41-49岁之间人数较多，因此造成20-24岁年龄组出生人数偏多的原因是该组人口出生期间育龄妇女较多，C正确。1986-1990年左右生育政策稳定，A错误。中国经济发展速度改革开放后均较快，不会仅仅影响某个短时间段，B错误。1986-1990年左右生育观念不会变化太大、太快，D错误。故选C。
【6题详解】
推测2010-2030年该市人口变化，即20年后的变化。该市妇女生育峰值在21-29岁，20年后进入生育年龄的人在2010年是0-4岁、5-9岁，图中这部分人数量少且较长时间人数少，且10-14岁的人也较少；因此推测2010-2030年该市人口增长较为缓慢，B正确。人口出生率逐渐增加趋势不明显且不一定是逐渐增加，A错误。2010-2030年该市人口增长较为缓慢，2025年即15年后进入育龄年龄的人2010年是6-14岁，这部分人2010年数量较少，不会再2025年出现生育高峰，C错误。中国西部少数民族多，生育政策较宽松，且图中信息不足以判断其人口总量减少且20年期间不一定是逐渐减少，D错误。故选B。
下图示意某地质剖面，其中①指断层。据此完成下面小题。
7\. ①②③④中最先形成是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
8\. 砂砾石层的下界为相对平坦而广阔的面。该面形成时期，所在区域可能（ ）
A. 地壳持续抬升，遭受侵蚀 B. 地壳持续下降，接受沉积
C. 地壳运动稳定，遭受侵蚀 D. 地壳运动稳定，接受沉积
【答案】7. D 8. C
【解析】
【7题详解】
读图可知，断层①将灰岩④断开，故灰岩④先形成，断层①后形成；断层①形成后，地表面被侵蚀，形成侵蚀面，之后地壳下沉，接受沉积，形成砂砾石层②；最后岩浆喷发，形成玄武岩③。所以①②③④中最先形成的是④，D正确，ABC错误。故选D。
【8题详解】
读图可知，砂砾石层的下界存在侵蚀面，可知该面形成的时期遭受侵蚀，BD错误。侵蚀面相对平坦而广阔，说明地壳运动相对稳定，A错误，C正确，故选C。
【点睛】喷出岩形成的年代晚于其穿透的岩层；沉积岩一般是底层形成的年代早，上层形成的年代晚。
勘察加火山群位于环太平洋火山带的北端，气候冷湿，火山锥各坡的降水差异小，近几十年来受全球气候变化的影响，火山锥的林线（森林分布上限）升高、雪线（终年积雪下限）有所降低。此外，其他干扰也影响林线和雪线高度。例如，火山喷发彻底破坏原有景观，若干年内该火山锥的林线与雪线高度往往发生显著变化。据此完成下面小题。
9\. 一般情况下，与阴坡相比，该地火山锥阳坡的（ ）
A. 林线与雪线更高 B. 林线与雪线更低
C. 林线更高、雪线更低 D. 林线更低、雪线更高
10\. 林线升高，雪线有所降低，表明火山群所在区域气候变化趋势（ ）
A. 暖湿 B. 暖干 C. 冷湿 D. 冷干
11\. 火山喷发后若干年内，该火山锥（ ）
A. 林线升高，雪线升高 B. 林线升高，雪线降低
C. 林线降低，雪线升高 D. 林线降低，雪线降低
【答案】9. A 10. A 11. B
【解析】
【9题详解】
与阴坡相比，阳坡太阳辐射较强，气温较高，光照热量更充足，有利于森林的生长，故林线更高；与阴坡相比，阳坡太阳辐射较强，气温较高，故雪线更高，A正确。BCD错误。故选A。
【10题详解】
近几十年来受全球气候变化影响，林线升高，说明火山群所在区域，气候变暖；雪线降低，说明气候变暖，降水增多，因此，表明火山群所在区域气候变化趋势为暖湿，A正确。BCD错误。故选A。
11题详解】
火山喷发若干年内，火山锥受外力风化侵蚀，坡度变缓，雪线下降。火山灰为森林的生长提供了肥沃的土壤，因此，林线升高。B正确，ACD错误。故选B。
【点睛】影响雪线的因素：气温、降水、坡度、坡向、人类活动等。
**二、非选择题:第12～13题为必考题，每个试题考生都必须作答。第14～15题为选考题，考生根据要求作答。**
12.阅读图文材料，完成下列要求。
马来西亚曾为世界最大的锡精矿生产国。自1986年开始实施工业化战略，经济持续数年高速增长，迅速进入新兴工业化国家的行列。20世纪80年代，该国锡矿资源枯竭，最大的锡矿坑积水成湖，周边矿场废置。自1990年起，利用该矿坑湖和废置矿场，陆续建起集主题公园、高尔夫俱乐部及球场、酒店和度假村、购物中心和商业城、国际会展中心、高档住宅区等为一体的休闲城。该休闲城成为闻名世界的旅游和休闲中心。下图示意该休闲城的位置。
（1）估算该休闲城至吉隆坡市中心和国际机场的距离，说明其位置优势。
（2）说明废置矿场和矿坑湖为建设该休闲城提供的有利条件。
（3）该休闲城定位高档。从马来西亚经济发展背景出发，分析该休闲城主要的客源市场。
（4）该休闲城规模大，集休闲娱乐、体育、会展、购物、酒店、住宅等于一体。简述这样模式对吸引消费者的作用。
【答案】（1）距吉隆坡市中心约20千米，距国际机场约40千米。离两地距离较近,临高速公路（交通方便,用时短）,方便吉隆坡市民和外地（国外）游客前往。
（2）废置矿场土地价格低，拆迁方便、投入低；矿坑湖水面较开阔，可作为休闲城环境景观营造的核心。
（3）马来西亚经济迅速发展，国内居民生活水平迅速提高，对休闲需求和休闲层次要求急剧提升，吉隆坡是首都，高消费人口集中，是最直接的客源地，国内其他地区也成为重要的客源市场；在经济全球化背景下，马来西亚经济迅速发展密切了与世界其他地区的联系，使吉隆坡吸引更多国际（政务、商务等）人员和游客，且休闲城高档具有品牌效应，因此，国际高消费人群成为重要的客源群体。
（4）满足多样化的消费需求；服务全面且水平高，接待能力强。
【解析】
【分析】
通过分析第三产为服务的发展，考查学生对"第三产业发展"的理解，引导学生关注社会生产生活中的地理问题。
【详解】（1）从图中的比例尺可以看出，休闲城至吉隆坡市中心约1厘米，距吉隆坡市中心约20千米，休闲城至国际机场约2厘米，距国际机场约40千米，离两地距离较近，图中有高高速公路连接，临高速公路，交通方便，速度快，用时短，方便吉隆坡市民和外地（国外）游客前往。\
（2）该国锡矿资源枯竭，周边矿场废置，废置矿场土地价格低，拆迁方便、投入低；最大的锡矿坑积水成湖，矿坑湖水面较开阔，可作为休闲城环境景观营造的核心。\
（3）消费人群主要来自国内和国外，分别从两方面进行说明。马来西亚自1986年开始实施工业化战略，经济持续数年高速增长，迅速进入新兴工业化国家的行列，经济迅速发展，国内居民生活水平迅速提高，对休闲需求和休闲层次要求急剧提升；吉隆坡是首都，为该国的经济中心，高消费人口集中，是最直接的客源地，国内其他地区也成为重要的客源市场；该休闲城成为闻名世界的旅游和休闲中心，在经济全球化背景下，马来西亚经济迅速发展密切了与世界其他地区的联系，使吉隆坡吸引更多国际政务、商务等人员和游客，且休闲城高档具有品牌效应，因此，国际高消费人群成为重要的客源群体。\
（4）随着人们生活水平的提高，对消费的要求提高，需要多样化的消费，集休闲娱乐、体育、会展、购物、酒店、住宅等于一体可满足多样化的消费需求；服务全面且水平高，接待能力强，能提高消费者的体验感，促进消费者的进一步消费。
13.阅读图文材料，完成下列要求。
毛乌素沙地中流动沙地、固定沙地与湖泊、河流、沼泽等景观并存。上述景观在自然和人文因素影响下可发生转化。1995～2013年，流动沙地趋于固定，湖沼面积减小。一般而言，风沙沉积越多，风沙活动越强。某科研团队调查1万年以来毛乌素沙地东南部湖沼沉积和风沙沉积数量的变化，结果如图1所示。图2示意毛乌素沙地1995～2013年气温、降水的变化。
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（1）分别简述图1所示I、Ⅱ、Ⅲ三个阶段湖沼面积和风沙活动的变化特征，并归纳湖沼面积与风沙活动的关系。
（2）说明毛乌素沙地1995～2013年流动沙地趋于固定的自然原因。
（3）毛乌素沙地1995～2013年湖沼面积减小，试对此做出合理解释。
（4）近些年来，毛乌素沙地绿化面积逐渐增大，有人认为"毛乌素沙地即将消失"。你是否赞同？表明你的态度并说明理由。
【答案】（1）I阶段湖沼面积有所扩大，风沙活动波动中略有减弱；II阶段湖沼面积达到最大（极盛），风沙活动先弱后强；Ⅲ阶段湖沼面积骤减，风沙活动剧烈波动，增强。湖沼面积与风沙活动此消彼长。
（2）气温无明显变化趋势，降水呈波动增加，有利于当地植被生长，流动沙丘（地）趋于固定。
（3）人类活动强度增加，生产生活消耗的水量增加，导致蒸发（腾）增加，地表水减少。
（4）赞同理由：年降水量已增加到近450毫米，趋向湿润，自然条件改善，流动沙地逐渐固定；随着科学技术进步，植树造林及农业生产水平不断提高，沙地景观最终消失。反对理由：沙地是一种自然景观，1万年以来，尽管气候波动变化，这里沙地与湖沼景观共存（目前虽然偏湿润，可能过些年偏干旱；该沙地东南部降水偏多，但西北部降水较少）；过度绿化（农业发展和植树造林），蒸腾量大增，会加重区域的干旱程度，导致风沙活动加强。
【解析】
【分析】
以毛乌素沙地环境演变为背景，要求学生从自然和人文2个方面对沙地、湖泊景观转化的关系进行深入探究，辩证地看待人地关系，既不误入地理环境决定论，也不陷入人定胜天论，试题采用开放题型引导学生对支撑结论的前提条件进行反思（还可以补充哪些有用的研究资料），以及对得出结论的过程进行反思（还可以采用哪些可行的研究方法相互验证），彰显考查批判性思维能力的意图。
【详解】（1）一般而言，风沙沉积越多，风沙活动越强，从图中可以看出，I阶段湖沼沉积增多，湖沼面积有所扩大，风沙沉积略有减少，风沙活动波动中略有减弱；II阶段湖沼沉积最多，湖沼面积达到最大（极盛），风沙沉积先减少后增加，风沙活动先弱后强；Ⅲ阶段湖沼沉积急剧减少，湖沼面积骤减，风沙沉积波动较大但呈增多趋势，风沙活动剧烈波动增强，湖沼面积与风沙活动此消彼长。\
（2）从图中可以看出，气温波动变化，但无明显变化趋势，降水呈波动增加，该地水资源不足，降水交加有利于当地植被生长，植被的固沙能力提高，流动沙丘（地）趋于固定。\
（3）从材料中可以看出，该地1995～2013年降水量呈增加的趋势，自然条件应有利于湖沼面积增加，但湖沼面积却减小，应是社会经济因素的影响造成的，主要是人口增多，人类活动强度增加，生产生活消耗的水量增加，导致蒸发（腾）增加，地表水减少，造成湖沼面积减小。\
（4）该题为开放性试题，可从赞同和反对两方面进行说明，但需要说明理由；从图中可以看出，年降水量已增加到近450毫米，大于400毫米属于半湿润地区，趋向湿润，自然条件改善，流动沙地逐渐固定；随着科学技术进步，植树造林及农业生产水平不断提高，植被成活率提高，植被覆盖率上升，沙地景观最终消失，故毛乌素沙地即将消失。沙地是一种自然景观，1万年以来，尽管气候波动变化，这里沙地与湖沼景观共存，目前虽然偏湿润，可能过些年偏干旱；材料中可知，该沙地东南部降水偏多，但西北部降水较少；农业发展和植树造林，植被覆盖率提高，过度绿化，蒸騰量大增，会加重区域的干旱程度，导致风沙活动加强，故毛乌素沙地不会消失。
14.【地理---选修3：旅游地理】
徽杭古道是古代徽商贩运盐、茶、山货的必经之路。近年来，徽杭古道安徽伏岭镇至浙江清凉峰镇段逐渐发展成为徒步旅游线路。下图示意该段徽杭古道所在区域的地形。
说明该段徽杭古道成为徒步旅游线路的优势条件。
【答案】线路长度适中；沿途自然景观丰富、多样，特色鲜明；线路历史久，文化景观多，文化底蕴深厚；周边地区经济发达，人口众多，徒步旅游需求旺盛；距主要城市（杭州）等客源地较近，交通便利。
【解析】
【分析】
要求学生评价徽杭古道旅游资源的开发价值，引发学生对我国历史文化遗存保护和开发重要性的共鸣。
【详解】从图中可以看出，徽杭古道安徽伏岭镇至浙江清凉峰镇段纬度只有1/3个纬度，线路长度适中；从地形看多为山地，起伏大，沿途自然景观丰富、多样，特色鲜明；徽杭古道是古代徽商贩运盐、茶、山货的必经之路，线路历史久，文化景观多，文化底蕴深厚；浙江等周边地区经济发达，人口众多，徒步旅游需求旺盛；杭州等城市经济发达，客源广，距主要城市（杭州）等客源地较近，交通便利。
15.【地理---选修6：环境保护】
据估计，建筑物的玻璃幕墙每年导致全球数以亿计的鸟儿死亡。某度假村建于燕山南麓沟谷之中，周边树木葱茏，鸟儿啼鸣，环境优美。建筑物整体顺谷地南北向延伸，外立面大面积使用玻璃幕墙（剖面如图所示）。该建筑建成初期，清晨和傍晚鸟儿频频撞击玻璃幕墙而死亡，且清晨多发于西侧而傍晚多发于东侧。
合理解释鸟儿撞击玻璃幕墙"清晨多发于西侧而傍晚多发于东侧"的原因，并提出解决措施。
【答案】原因：清晨太阳从东面照射沟谷西侧的山体，明亮的山体和树木的影像映入朝西（西侧）的玻璃幕墙，鸟儿误认为镜像里是真实的山林，由西向东飞向西侧玻璃幕墙，撞击而亡。傍晚反之。解决措施：改变玻璃幕墙镜面效应，如在东西两侧立面上贴磨砂膜；在鸟儿撞击路线上设置障碍物；放置驱鸟装置等。
【解析】
【分析】
本题以玻璃幕墙为材料，考查人类活动对生态环境的影响，主要考查考生获取和解读地理信息、描述和解释地理事物的能力，考查的核心素养是区域认知和综合思维，引导学生关注生态环境。
【详解】鸟儿撞击玻璃幕墙主要是由于山体和树木的影像映入玻璃幕墙造成的，可改变玻璃幕墙镜面效应，如在东西两侧立面上贴磨砂膜，使山体和树木的影像不能映入玻璃幕墙；在鸟儿撞击路线上设置障碍物，防止鸟儿直接撞在玻璃幕墙上；放置驱鸟装置，防止鸟儿靠近建筑物等。
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国3卷）**
**文科综合-政治**
**注意事项：**
**1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.本试卷共16页。如遇缺页、漏印、自己不清等情况，考试须及时报告监考老师。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.某果园尝试新的运营模式：认养人在年初按1000元/年认养5株桃树，由果园代管，果园将收获的桃子寄给认养人。合同约定，寄送的桃子数量由桃树的实际收成确定：果园承诺有机种植，并定期通过视频或文字向认养人汇报桃子的生长情况；认养人可以去果园参观游览、参加养护采摘等活动。果园的桃树很快被认养一空。该模式的吸引力在于（ ）
①果园可提前获得销售收入，降低经营风险
②果园可扩大种植规模，提高生产效率
③认养人可获得丰富的消费体验，满足个性化需求
④认养人可全程参与果园的生产经营，维护自身权益
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】B
【解析】
【详解】①：认养人在年初按每年1000元认养果树，果园可提前获得收入，回收其经营成本，这在一定程度上有助于降低其经营风险，①符合题意。
②：材料并未涉及扩大规模、提高效率，②不符合题意。
③：认养人去果园参观游览、参加养护采摘等活动，该经营模式满足了消费者个性化的消费需求，丰富了其消费体验，③符合题意。
④：由题意知，果园必须定期通过视频或文字向认养人汇报桃子的生长情况；认养人可以去果园参观游览、参加养护采摘等活动，可见认养人可参与果园的种植、采摘等过程，全程监督、参与果园的生产经营活动，但没有涉及维护自身的权益，④不符合题意。
故本题选B。
2."银税互动"是指税务、银保监部门和金融机构合作，帮助中小企业将纳税信用转化为融资信用，为其贷款提供便利，实现"以税促信、以信申贷"的目标。银行根据企业纳税信用等级确定免抵押、免担保的信用融资额度。到2020年4月末，"银税互动"贷款余额5732亿元，同比增长74%；贷款户数75万户，同比增长114%。"银税互动"的积极作用是（ ）
①放宽融资条件，纾解企业资金困难
②提高存贷利差，增加银行利润
③鼓励诚信纳税，降低企业融资成本
④有效控制信贷风险，改善银企关系
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】B
【解析】
【详解】①："为其贷款提供便利"、"免抵押、免担保信用融资"表明"银税互动"在一定程度上可以放宽融资条件，有利于纾解企业资金困难，①符合题意。
②：材料未涉及存贷利差，则不能得出银行利润增加，②不符合题意。
③："银税互动"是指税务、银保监部门和银行业金融机构合作，帮助企业将纳税信用转化为融资信用，缓解企业融资难题的活动，这有利于解决企业信贷融资中信息不对称的问题，促进企业融资的可获得性，缓解企业融资难、融资贵等问题，降低融资成本，从而促进企业依法诚信纳税，③符合题意。
④：信贷风险是指借款企业因各种原因不能按时归还信贷本息而使银行资金遭受损失的可能性，材料并不能表明控制信贷风险，④不符合题意。
故本题选B。
3.近年来"电商+直播"模式迅速兴起，电商平台提供渠道和技术支持，电视台主播、影视明星、企业家等通过视频直播以折价让利、实时交流、实物展示等方式推销产品，带动了销售增长。与传统电商相比，"电商+直播"的优势在于（ ）
①借助网络平台，节约营销费用
②缩短交易环节，加速商品流通
③通过演示与互动，激发购买欲望
④利用名人效应，将"粉丝"转化为顾客
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
【答案】D
【解析】
【详解】①②：传统电商和直播电商都能通过网络平台，将产品直接介绍给消费者，缩短交易环节，节约营销费用，加速商品流通，因此选项内容属于两种电商的共同之处，而不是直播电商的优势，①②不符合题意。
③：由题意知，"电商+直播"通过视频直播以折价让利、实时交流、实物展示等方式推销产品，可见，相对于传统电商的"我说你听"而言，直播是即时互动的，主播和消费者能够直接互动交流，有利于消费者更加深入了解产品，激发购买欲望，③符合题意。
④：由题意知，传统电商没有主播，而直播电商由主播带货，这有利于发挥主播的粉丝效应，将"粉丝"转化为顾客，④符合题意。
故本题选D。
4.下图反映2018～2019年中国对外货物贸易顺差情况（本题将全球经济体分为中国、"一带一路"沿线国家、美国和其他经济体）。
2018～2019年中国对外货物贸易顺差
据图可推断出（ ）
①中国对其他经济体存在货物贸易逆差
②美国是中国货物贸易顺差的重要来源
③中国货物进口额大于出口额，且差额扩大
④中国从"一带一路"沿线国家进口的商品增加
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】A
【解析】
【详解】①：由图中可知2019年中国对外货物贸易顺差为29180亿元，而中国对"一带一路"沿线国家货物贸易顺差达到12480亿元，中国对美国货物贸易顺差为20411亿元，两者顺差总额大于2019年中国对外货物贸易顺差，由此可见，中国对其他经济体存在货物贸易逆差，①正确。
②：由图中可知2018年中国对外货物贸易顺差为23303亿元，中国对美国货物贸易顺差为21408亿元；2019年中国对外货物贸易顺差为29180亿元，中国对美国货物贸易顺差为20411亿元，可见美国是中国货物贸易顺差的重要来源，②正确。
③：贸易顺差是指在特定年度一国出口贸易总额大于进口贸易总额，又称"出超"。由题意知，2018年和2019年中国对外货物贸易顺差都为正数，可见中国货物出口额一直大于进口额，选项说法错误，排除③。
④：由题意知，2019年中国对"一带一路"沿线国家货物贸易顺差达到12480亿元，比2018年货物贸易顺差增加了3181亿元，可见出口额大于进口额，但无法确定进口额的增减，④排除。
故本题正确答案为A。
5.近年来，某县各乡镇因地制宜在村委会办公楼、社区商店、医疗卫生室等地方设立近百个村民服务代办点，提供社保卡信息采集、申领老年人优待证等10多项政务服务。设立村民服务代办点（ ）
①优化了农村社区的组织结构
②能够更好实现村民民主权利
③是农村公共服务机制创新的体现
④提升了基层政府公共服务水平
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】D
【解析】
【详解】①：材料并未涉及农村社区组织结构，①不符合题意。
②：村民民主权利，就是村民参与村内社会事务、管理村社会事务，决定村内社会事务的权利及参与国家有关社会事务、管理有关国家社会事务，决定有关国家社会事务的权利，材料并未涉及，②不符合题意。
③④：设立近百个村民服务代办点，为村民提供多项政务服务，这为村民提供了极大的便利，提升了基层政府的公共服务水平，是农村公共服务机制创新的体现。③④符合题意。
故本题选D。
【点睛】所谓村民民主权利，就是村民参与村内社会事务、管理村社会事务，决定村内社会事务的权利及参与国家有关社会事务、管理有关国家社会事务，决定有关国家社会事务的权利。民主权利包括选举权与被选举权、管理权、决策权、监督权、知情权、建议权、批评权、申请权，申诉权、举报权、反映权等等。
6.2019年5月，某市人民检察院向市住房和城乡建设局送达有关规范公共租赁住房管理的检察建议书，指出本市存在违规领取公共租赁住房租赁补贴等情况，建议该局尽快出台公共租赁住房租赁标准实施细则，依法履行职责，并要求在收到建议书两个月内书面回复。这一事例表明（ ）
①政府职能部门应当接受司法机关的监督
②向行政机关提出检察建议书是检察机关的法定职责
③行政机关必须按照检察机关的建议安排自己的工作
④行政机关与检察机关的相互制约有利于提高社会治理水平
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】A
【解析】
【详解】①：政府是我国的行政机关，是人民意旨的执行者和利益的捍卫者，为了防止权力的滥用，政府必须自觉接受监督。由题意知，某市人民检察院向市住房和建设局指出本市存在违规的情况，这体现了人民检察院对政府的监督，人民检察院属于司法机关，故①符合题意。
②：检察机关是代表国家依法行使检察权的国家机关，其主要职责是追究刑事责任，提起公诉和实施法律监督。由题意知，某市人民检察院向市住房和建设局指出本市存在违规的情况，建议其出台实施细则，依法履行职责，体现了人民检察院的法定职责，故②符合题意。
③：我国实行人民代表大会制度，检察机关和行政机关都由人民代表大会产生，这两者之间没有隶属关系，但存在着监督与互相支持工作关系。因此行政机关要自觉接受检察机关的监督，根据自身实际，积极吸收检察机关的相关建议，但不是"必须按照检察机关的建议安排自己的工作"，③说法有误。
④：我国检察机关可以监督行政机关，但不是相互制约，④说法有误。
故本题选A
7.2019年，中央财政通过国家文物保护专项资金、非物质文化遗产保护专项资金以及中央补助地方公共文化服务体系建设专项资金等相关财政转移支付，支持加强民族语言文字出版能力建设，推动少数民族地区新闻出版广播电视事业发展。中央财政支持（ ）
①旨在推动民族地区文化事业的发展
②凸显了民族区域自治制度的优越性
③是民族地区经济社会发展的基本保障
④体现了各民族共同发展共同富裕共同繁荣原则
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
【答案】B
【解析】
【详解】①④：由题意知，中央财政加大相关财政转移支付，支持加强民族语言文字出版能力建设，推动少数民族地区新闻出版广播电视事业发展，这有利于推动民族地区文化事业的发展，促进少数民族地区文化繁荣，坚持了各民族共同发展共同富裕共同繁荣原则。①④符合题意。
②：民族区域自治制度是指在国家的统一领导下，各少数民族聚居的地方实行区域自治，设立自治机关，行使自治权的制度。材料强调的是中央对少数民族的财政扶持，并未涉及民族区域自治制度，②不符合题意。
③：民族的团结、民族的凝聚力是民族地区经济社会发展的前提和保证，③不符合题意。
故本题选B。
8.习近平指出，中华民族历来注重敦亲睦邻，讲信修睦、协和万邦是中国一以贯之的外交理念。我们提出了亲、诚、惠、容的周边外交理念，就是要诚心诚意同邻居相处，一心一意共谋发展，携手把合作的蛋糕做大，共享发展成果。提出亲、诚、惠、容的周边外交理念（ ）
①彰显了民族文化的深厚底蕴和强大生命力
②表明传统文化焕发生机取决于时代的变迁
③增强了坚守中华传统文化内容和形式的信心
④是优秀传统文化创造性转化、创新性发展的范例
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
【答案】B
【解析】
【详解】①：由题意知，从"中华民族历来注重敦亲睦邻"到"我们提出了亲、诚、惠、容的周边外交理念"，中华民族文化始终发挥着重要的作用并不断焕发生机，这彰显了中华民族文化的深厚底蕴和强大生命力，①符合题意。\
②：文化创新的源泉来自于社会实践，传统文化是否焕发生机取决于是否立足于社会实践，而不是社会实践的变迁，②错误。\
③：传统文化中有优有劣，坚守的应该是中华优秀传统文化，③错误。\
④：在我国"历来注重敦亲睦邻"的基础上进一步提出"亲、诚、惠、容的周边外交理念"，符合了时代的发展要求，继承了优秀传统文化，体现了优秀传统文化创造性转化、创新性发展的过程，④符合题意。\
故本题选B。
9.2019年4月，世界著名文化遗产巴黎圣母院因火灾受损。11月，中法双方签署文件，决定就巴黎圣母院修复等开展合作。双方商定在2020年确定巴黎圣母院保护修复合作的主题、模式及中方专家人选，同时明确双方将就陕西秦始皇陵兵马俑保护开展技术与科学交流及培训项目。中法开展文化遗产修复和保护合作旨在（ ）
①丰富世界文化的多样性
②促进中法文化交流互鉴
③赋予中法传统文化新的时代内涵
④推动中法文化在取长补短中共同发展
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】C
【解析】
【详解】②④：由题意知，中法双方决定就巴黎圣母院修复等开展合作，同时明确双方将就陕西秦始皇陵兵马俑保护开展技术与科学交流及培训项目，这有利于双方开展文物保护的交流，促进中法文化交流互鉴，取长补短，促进共同发展，②④符合题意。
①：中法开展文化遗产修复和保护合作有利于保护世界文化多样性，但并没有改变传统文化的内容和形式，因此无法丰富世界文化多样性，①不符合题意。
③：中法开展文化遗产修复和保护合作有利于促进文化遗产的保护，但并没有改变传统文化的内容和形式，也没有赋予传统文化新的时代内涵，③不符合题意。
故本题选C。
10."岁月不居，时节如流"。这客观规律谁也无法改变，可以改变的是人们对待时间的态度。毛泽东讲，"一万年太久，只争朝夕"。邓小平说，"我就担心丧失机会。不抓呀，看到的机会就丢掉了，时间晃就过去了"。人们在时间规律面前要"争"，要"抓"，其哲学依据是（ ）
①时间的价值因人而异，没有客观性
②承认时间规律的客观性是科学利用时间的前提
③时间规律的普遍性决定了人们对待时间态度的统一性
④时间的流逝是客观的，对时机的把握需要发挥主观能动性
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】C
【解析】
【详解】①：价值判断和价值选择因人而异、具有主体差异性，但其仍然具有客观的评判标准，①错误。
②：尊重客观规律是发挥主观能动性的前提和基础，只有尊重客观规律，才能更好地发挥人的主观能动性。发挥人的主观能动性是认识、掌握和利用客观规律的必要条件。因此，若要科学利用时间，首先要承认时间规律的客观性，②符合题意。
③：规律是普遍的。自然界、人类社会和人的思维，在其运动、变化和发展的过程中，都遵循其固有的规律。时间规律也具有普遍性，客观规律谁也无法改变，但并不是所有人对待时间的态度都是一致的，③错误。
④：规律是客观的，是不以人的意志为转移的。由题意知，毛泽东和邓小平都认识到了客观规律谁也无法改变，因此在时间规律面前要"争"、要"抓"，充分发挥主观能动性，④符合题意。
故本题选C。
11.1869年，门捷列夫公布了自己制作的元素周期表，将已发现的化学元素纳入一个统一的体系中。依据元素周期律，门捷列夫推断当时的一些原子量测定结果存在误差，预言"类铝"（镓）、"类硼"（钪）等当时尚未发现元素的存在，他的推断和预言后来在实验中被逐一证实。这表明（ ）
①科学发现来源于认识的不断深化与积累
②科学原理对探索和发现客观真理具有指导作用
③任何科学理论都必须在实践中验证自己的真理性
④科学原理------科学预测------实践检验是认识发展的一般规律
A ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
【答案】C
【解析】
【详解】①：实践是认识来源，科学发现来源于实践，①错误。
②：认识对实践具有反作用，正确的认识能够推动社会实践的发展，错误的认识阻碍社会实践的发展。由题意知，门捷列夫依据元素周期表推断当时的一些原子量测定结果存在误差，预言一些尚未发现元素的存在，在这一科学原理的指导下，他展开了科学研究并在实验中逐一证实了他的推断和预言，这体现了科学原理对探索和发现客观真理具有指导作用，②符合题意。
③：实践是认识的基础，实践是检验认识的真理性的唯一标准。由题意知，门捷列夫展开了科学研究并在实验中逐一证实了他的推断和预言，这表明任何科学理论都必须在实践中验证自己的真理性，③符合题意。
④：实践是认识的来源，实践是检验认识真理性的唯一标准，人们对一个事物的正确认识往往要经过从实践到认识、再从认识到实践的多次反复才能完成，④错误。
故本题选C。
12.十三届全国人大三次会议通过的《中华人民共和国民法典》，是一部体现对生命健康、财产安全、交易便利、生活幸福、人格尊严等民众各方面权利平等保护的基础性法律，对加快建设社会主义法治国家，发展社会主义市场经济，依法维护人民权益，推进国家治理体系和治理能力现代化，都具有重大意义。制定民法典体现的唯物史观原理是（ ）
①经济基础的变革总是先于上层建筑的变革
②上层建筑为经济基础服务，就能推动生产力发展
③上层建筑的变化发展离不开社会意识的能动作用
④上层建筑定要适合生产力和经济基础发展的要求
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】D
【解析】
【详解】①：经济基础决定上层建筑，但经济基础的变革不一定先于上层建筑的变革，①错误。
②④：经济基础决定上层建筑。上层建筑反作用于经济基础。当上层建筑适合经济基础状况时，它促进经济基础的巩固和完善；当上层建筑不适合经济基础状况时，它阻碍经济基础的发展和变革。由题意知，《中华人民共和国民法典》对加快建设社会主义法治国家，发展社会主义市场经济，依法维护人民权益,推进国家治理体系和治理能力现代化,都具有重大意义。民法典属于上层建筑，它适应经济基础的发展，因此能够推动生产力发展。即上层建筑一定要适合生产力和经济基础发展的要求。②错误，④正确。
③：社会意识反作用于社会存在。落后的社会意识阻碍社会的发展；先进的社会意识可以正确地预见社会发展的方向和趋势，对社会发展起积极的推动作用，进而推动上层建筑的发展变化。《中华人民共和国民法典》是一部体现对生命健康、财产安全、交易便利、生活幸福、人格尊严等民众各个方面全力平等保护的基础性法律，它的制定离不开正确的社会意识的指导作用，③符合题意。
故本题选D。
**二、非选择题：共52分。**
13.阅读材料，完成下列要求。
家庭农场是以家庭成员为主要劳动力，从事农业规模化、集约化、商品化生产经营，并以农业收入为家庭主要收入来源的农业组织形式，2013年中央"一号文件"首次提出具体农场。2019年中央"一号文件"提出"全面深化农村改革，激发乡村发展活力"，并再次强调要坚持家庭经营基础地位，突出培育家庭农场等新型农业经营主体。
近年来，我国家庭农场发展迅速，数量已经超过87.7万户，据2019年农业农村部信息：我国家庭农场大多由小农户升级而来，经营规模在20～200之间；家庭农场主要从事种植业、养殖业和种养结合，其中种植业农场有56.1%采用了喷灌技术，养殖业农场有近80%进行了粪便资源化、综合循环利用和无害化处理；在不少家庭农场中，父辈负责生产、子女负责营销，经营的农产品有以自己名字命名的品牌；全国有36.9%的家庭农场加入聊农民合作社，参与和分享农机、良种、技术、订单等服务。
结合材料并运用经济知识，说明发展家庭农场对于激发乡村经济活力的积极作用。
【答案】促进农村土地流转与规模经营，提高农业劳动生产率；促使先进农业技术应用，提高农产品产量和品质；推进农业品牌化、专业化经营，增强农产品市场竞争力；拓宽农民合作社服务范围，推动乡村产业融合发展。
【解析】
【分析】
本题以家庭农场为话题设置试题情境，以家庭农场的提出及国家对家庭农场的态度和政策为材料，从《经济生活》的知识角度设置问题，考查考生对基础知识的掌握程度，考查考生阅读材料分析材料、获取和解读信息的能力。
【详解】本题要求考生结合材料并运用经济知识，说明发展家庭农场对于激发乡村经济活力的积极作用。设问属于作用类主观题，知识限定比较宽泛，属于中观考查。
考生研读试题材料，分析2019年农业农村部信息，提炼归纳答案要点：①材料信息：我国家庭农场大多由小农户升级而来，经营规模在20\~200亩之间。结合主干知识与试题材料分析可得：发展家庭农场促进农村土地流转与规模经营。
②材料信息：家庭农场主要从事种植业、养殖业和种养结合，其中种植类农场有56.1%采用了喷灌技术，养殖类农场有近80%进行了粪便资源化、综合循环利用和无害化处理。结合主干知识与试题材料分析可得：发展家庭农场促使先进农业技术应用，提高农产品产量和品质。
③材料信息：在不少家庭农场中，父辈负责生产，子女负责营销，经营的农产品有以自己名字命名的品牌。结合主干知识与试题材料分析可得：发展家庭农场推进农业品牌化、专业化经营，增强农产品市场竞争力。
④材料信息：全国有36.9%的家庭农场加入了农民合作社，参与和分享农机、良种、技术、订单等服务。结合主干知识与试题材料分析可得：发展家庭农场拓宽农民合作社服务范围，推动乡村产业融合发展。
【点睛】本题属于"意义类"主观题。考生应简要分析试题设问指向的理论依据，即知识要点可简写，或不写，"意义"的解答要遵循由近及远，由表及里、由直接到间接的思维顺序，一般用"......有利于......"的句式或者动词（促进、推动、增强、保障，等等）引领的句型表达。解答时要求学生吃透教材的基本观点并具有调动运用知识以及分析和阐述观点的能力，本题审题的关键是抓住有效信息和设问要求，解答时，根据材料层次，联想相关知识，分析作答。
14.阅读材料，完成下列要求。
新型冠状病毒肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病，对全世界是一次严重危机和严峻考验。人类生命安全和健康面临重大威胁。
面对突如其来、来势汹汹的疫情天灾，中国果断打响疫情防控阻击战，把人民生命安全和身体健康放在第一位，采取最全面最严格最彻底的防控措施，取得了抗击疫情重大战略成果，毫不保留同各方分享防控和救治经验，尽己所能向国际社会提供人道主义援助，支持全球抗击疫情。
2020年3月26日，国家主席习近平出席二十国集团领导人特别峰会并发表《携手抗议 共克时艰》讲话，倡议打好新冠肺炎疫情防控全球阻击战，有效开展国际联防联控，积极支持国际组织发挥作用，加强国际宏观经济政策协调。
结合材料并运用政治生活知识，分析打赢新冠肺炎疫情防控全球阻击战为什么要秉持人类命运共同体理念。
【答案】经济全球化背景下，国家之间交往日益频繁、相互依存日益紧密，在重大传染性疾病面前各国都难以独善其身；全球疫情防控，事关维护全球公共卫生安全，事关人类前途命运；只有秉持人类命运共同体理念，团结合作，携手应对，才能打赢疫情防控全球阻击战，恢复经济社会发展，护佑世界和人民康宁。
【解析】
【分析】
本题以全球新型冠状病毒肺炎为话题设置试题情境，以中国抗疫举措、成果及对世界抗疫的贡献为材料，从《政治生活》的知识角度设置问题，考查考生对经济全球化、人类命运共同体的基础知识的掌握程度，考查考生调动和运用知识、描述和阐释事物的能力。
【详解】本题要求考生结合材料并运用政治生活知识，分析打赢新冠肺炎疫情防控全球阻击战为什么要秉持人类命运共同体理念。设问属于原因类主观题，知识限定比较宽泛，属于中观考查。根据试题情境与试题设问，考生可运用时代背景、人类命运共同体的相关知识，结合材料分析，形成答案要点。
①时代背景角度：阐述时代背景（本题关联）：经济全球化深入发展，国家之间交往日益频繁、相互依存日益紧密。结合主干知识与试题材料分析可知：在重大传染性疾病面前各国都难以独善其身，必须协力抗疫、共克时艰，秉持人类命运共同体理念。
②秉承人类命运共同体的必要性角度：由材料信息可知，新型冠状病毒肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病，对全世界是一次严重危机和严峻考验。人类生命安全和健康面临重大威胁。结合主干知识与试题材料分析可知：和平与发展是当今时代的主题，推动构建人类命运共同体有利于世界的和平与发展。全球疫情防控，事关维护全球公共卫生安全，事关人类前途命运。
③秉承人类命运共同体的意义角度：由材料信息可知，中国对世界抗疫具有积极作为，这启示我们：只有秉持人类命运共同体理念，团结合作，携手应对，才能打赢疫情防控全球阻击战，恢复经济社会发展，护佑世界和人民康宁。
【点睛】本题属于"原因类"主观题，以"为什么......"的形式呈现。通常要分析这样做的依据、必要性和意义，"依据"即与试题设问相关联的理论知识，也可能运用时政语言；"必要性"一般教材也会有相应的论述，或者从材料中提炼；"意义"需考生围绕试题主题进行阐述，从试题材料分层次，找关键信息，联想教材知识，分析作答。
15.阅读材料，完成下列要求。
黄河是中华民族的母亲河，也是一条桀骜难驯的忧患河。"九曲黄河万里沙"，三年两决口、百年一改道，曾给沿岸百姓带来深重灾难。中华民族始终在同黄河水早灾害作斗争，但是受主客观条件的制约，黄河屡治屡决的状况没有得到根本改观。
20世纪中叶，黄河治理的千古难题历史性地交到了中国共产党人手中。1952年，毛泽东发出"要把黄河的事情办好"的伟大号召，动员和激励了千百万黄河儿女兴修水利、筑坝拦洪、修复生态，开启了破解黄河治理千古难题之旅。经过几代人不屈不挠的顽强拼搏，特别是党的十八大以来按照"节水优先、空间均衡、系统治理、两手发力"的治水思路进行的全面整治，黄河水沙治理取得显著成效，实现连续20年不断流，黄河流域生态环境持续明显向好，经济社会发展水平不断提升，黄河儿女交出了一份优异的治黄答卷。
2019年9月，习近平郑重宣布，黄河流域生态保护和高质量发展是重大国家战略。他深入剖析黄河水少沙多等难题症结，强调黄河治理要坚持"绿水青山就是金山银山"的理念；坚持生态优先、绿色发展，紧紧抓住水沙关系调节这个"牛鼻子"；坚持山水林田湖草综合治理、系统治理、源头治理。习近平关于黄河治理的战略思想，为"让黄河成为造福人民的幸福河"提供了行动指南。
（1）运用整体与部分辩证关系原理说明黄河治理战略思想的科学性。
（2）结合材料并运用文化力量的知识，分析新中国黄河治理交出优异答卷的原因。
（3）请就更好地守护黄河撰写两条公益宣传广告用语。要求紧扣主题，朗朗上口，每条在16个字以内。
【答案】（1）整体与部分的关系原理要求树立全局观念，立足整体，头筹全局，抓住关键部分，选择最优方案。黄河治理是一个系统工程，涉及环境修复保护和生产生活各个方面。黄河治理的战略思想坚持生态优先，紧紧抓住水沙关系调节这个关键，推动黄河治理工作整体发展；坚持综合治理、系统治理、源头治理，统筹水沙治理、环境保护、经济发展和民众生活各项工作，实现整体最优目标。
（2）文化作为一种精神力量，能够在人们认识、改造世界的过程中转化为物质力量，对社会发展产生深刻的影响。中国共产党关于治理黄河的号召、思路和战略，为黄河治理提供了强大精神动力和实践指南；千百万黄河儿女发扬不屈不挠、顽强拼搏的奋斗精神，兴修水利，治沙治水，恢复生态，交出了一份优异的治黄答卷。
（3）打造生态黄河，造福子孙后代。爱护黄河母亲，共建美丽中国。一条大河惠两岸，生态治理是关键。
【解析】
【分析】
本题以黄河的治理为背景材料，从《文化生活》和《生活与哲学》的知识角度设置问题，考查考生对整体和部分、文化的作用有关知识的掌握程度，考查考生调动和运用知识、描述和阐释事物、论证和探究事物的能力。题目虽然难度不大，但是考生要解答完全准确还需要有扎实的基本工。
【详解】（1）本题设问指向为运用整体与部分辩证关系原理说明黄河治理战略思想的科学性。设问属于说明类主观题，知识范围为整体与部分辩证关系，属于微观考查。考生先回忆课本中整体和部分辩证关系的原理和方法论，然后运用所学知识，结合材料进行阐述分析。
由材料可知，党的十八大以来按照"节水优先、空间均衡、系统治理、 两手发力"的治水思路进行的全面整治以及坚持山水林田湖草综合治理、系统治理，故可以从立足整体，统筹全局的角度进行分析；
由材料可知，在黄河治理的过程中，紧紧抓住水沙关系调节这个"牛鼻子"，以推动黄河治理工作整体发展，故可以从关键部分对整体的作用的角度进行分析；
最后，总结说明治理黄河战略树立了全局观念，实现整体的最优目标，又重视了部分的作用，从而论证其科学性即可。
（2）本题要求考生结合材料并运用文化力量的知识，分析新中国黄河治理交出优异答卷的原因。设问属于原因类主观分析试题，知识范围为文化力量的知识，属于微观考查。
解答本题时考生可先回忆文化力量的有关知识。接着对所给的材料要进行充分解读，从材料的表述中提炼出关键性的信息，然后结合所学的相关知识进行分析作答即可。材料中，毛泽东发出"要把黄河的事情办好"的伟大号召；党的十八大以来按照"节水优先、空间均衡、系统治理、 两手发力"的治水思路进行的全面整治；习近平宣布，黄河流域生态保护和高质量发展是重大国家战略；可见，关于治理黄河的号召、思路和战略，为黄河治理提供了强大精神动力和实践指南，故可以从文化作为一种精神力量，能够在人们认识、改造世界的过程中转化为物质力量的角度进行分析；此外，根据材料的表述，千百万黄河儿女兴修水利、筑坝拦洪、修复生态，开启了破解黄河治理千古难题之旅，经过几代人不屈不挠的顽强拼搏，交出了一份优异的治黄答卷，总结说明千万黄河儿女的做法也体现了文化的力量即可。
（3）本题设问要求考生就更好地守护黄河撰写两条公益宣传广告用语。要求紧扣主题，朗朗上口，每条在16个字以内。设问属于开放性试题，答案往往是融开放性、探究性、实践性、生成性、自主性、价值性等为一体，学生解答时要围绕题目要求，紧扣主题，撰写两条宣传用语即可，注意贴近实际。例如，打造生态黄河，造福子孙后代；爱护黄河母亲，共建美丽中国等。
【点睛】非选择题的审题要求：
（1）审设问：一是明确题目考查的知识范围和考查意图，正确联想相关知识，形成综合性的信息认识；二是明确设问的指向性和规定性，分清题干要求答题的类别，即回答"是什么"、或"为什么"、或"怎么样"、或"怎样体现"中哪一类。
（2）审主体：明确主体有几个，不同主体言论和行为各是什么。这些应从解读设问和材料中获取。
（3）审材料：获取材料中有效信息，抓住关键词、关键句子。这样做，一是为了正确联想相关知识，二是进一步明确答题的主体，不同主体的言论和行为各是什么；三是关键的句子要作为"材料语言"写入答案要点中。审材料实质上就是为了进一步证实"审设问和审主体"的正确与否。
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**2018年重庆市中考数学试卷（A卷）答案及解析**
#### 选择题 (本大题12个小题，每小题4分，共48分。)
1.的相反数是
---- ---- ---- ----
A. B. C. D.
---- ---- ---- ----
**【答案】**
**【解析】**根据一个数的相反数就是在这个数的前面添加上"-"即可求解
**【点评】**本题考查了相反数的定义，属于中考中的简单题
2*．下列图形中一定是轴对称图形的*是
---------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------
*A.*{width="1.375in" height="0.9548611111111112in"} *B.*{width="1.0173611111111112in" height="0.9284722222222223in"} *C.*{width="1.3645833333333333in" height="0.8951388888888889in"} *D.*{width="1.0194444444444444in" height="0.9263888888888889in"}
---------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------
**【答案】**D
**【解析】**A40°的直角三角形不是对称图形；B两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形；C平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形；D矩形是轴对称图形，有两条对称轴
**【点评】**此题主要考查基本几何图形中的轴对称图形和中心对称图形，难度系数不大，考生主要注意看清楚题目要求。
3.为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下样本最具代表性的是
------------------------------------------ ----------------------------
A.企业男员工 B.企业年满50岁及以上的员工
C.用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工 D.企业新进员工
------------------------------------------ ----------------------------
**【答案】**C
**【解析】**A调查对象只涉及到男性员工；B调查对象只涉及到即将退休的员工；D调查对象只涉及到新进员工
**【点评】**此题主要考查考生对抽样调查中科学选取样本的理解，属于中考当中的简单题。
{width="4.209027777777778in" height="1.1083333333333334in"}4.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，...，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为
--------- --------- --------- ---------
*A．12* *B．14* *C．*16 *D．18*
--------- --------- --------- ---------
**【答案】**C
**【解析】**
∵第1个图案中的三角形个数为:2+2=2×2=4;
第2个图案中的三角形个数为:2+2+2=2×3=6;
第3个图案中的三角形个数为:2+2+2+2=2×4=8;
......
∴第7个图案中的三角形个数为:2+2+2+2+2+2+2+2=2×8=16;
**【点评】**此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，从而计算出正确结果。比较简单。
5.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为，则它的最长边为
---- ---- ---- ----
A. B. C. D.
---- ---- ---- ----
**【答案】**C
**【解析】**利用相似三角形三边对应成比例解出即可。
**【点评】**此题主要考查相似三角形的性质------相似三角形的三边对应成比例，该题属于中考当中的基础题。
6.下列命题正确的是
---------------------------------- ------------------------------
A.平行四边形的对角线互相垂直平分 B.矩形的对角线互相垂直平分
C.菱形的对角线互相平分且相等 D.正方形的对角线互相垂直平分
---------------------------------- ------------------------------
**【答案】**D
**【解析】**
A.错误。平行四边形的对角线互相平分。
B.错误。矩形的对角线互相平分且相等。
C.错误。菱形的对角线互相垂直平分，不一定相等。
D.正确。正方形的对角线互相垂直平分。另外，正方形的对角线也相等。
**【点评】**此题主要考查四边形的对角线的性质，属于中考当中的简单题。
7.估计的值应在
A. 1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间
**【答案】**B
**【解析】**
> ，而，在4到5之间，所以在2到3之间
>
> **【点评】**此题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，属于中考当中的简单题。
8.按如图所示的运算程序,能使输出的结果为的是
---- ---- ---- ----
A. B. C. D.
---- ---- ---- ----
{width="3.7319444444444443in" height="1.4520833333333334in"}
**【答案】**
**【解析】由题可知,代入、值前需先判断的正负，再进行运算方式选择。选项，故将、代入，输出结果为，选项排除；选项，故将、代入，输出结果为，选项排除；选项，故将、代入，输出结果为，选项正确；选项，故将、代入，输出结果为，选项排除；最终答案为选项。**
**【点评】本题为代数计算题型，根据运算程序，先进行的正负判断，选择对应运算方式，进行运算即可，难度简单。**
9．如图，已知*AB*是的直径，点*P*在*BA*的延长线上，*PD*与相切于点*D*，过点*B*作*PD*的垂线交*PD*的延长线于点*C*，若的半径为4，，则*PA*的长为
------ ----- ------ --------
A．4 B． C．3 D．2.5
------ ----- ------ --------
> {width="2.276388888888889in" height="1.8722222222222222in"}
**【答案】**A
**【解析】**作*OH*⊥*PC*于点*H*.易证△*POH*∽△*PBC*，,,
**【点评】此题考查圆切线与相似的结合，属于基础题**
10．如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部*E*点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面*CD*的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面*CD*的水平距离米，则旗杆*AB*的高度约为
（参考数据：，，）
----------- ----------- ----------- -----------
A．12.6米 B．13.1米 C．14.7米 D．16.3米
----------- ----------- ----------- -----------
> {width="1.7875in" height="2.3618055555555557in"}
**【答案】**B
**【解析】**延长*AB*交地面与点*H*. 作*CM*⊥*DE*. 易得,
**【点评】此题考查三角函数的综合运用，解题关键是从图中提取相关信息，特别是直角三角形的三边关系，属于中等题**
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形*ABCD*的顶点*A*，*B*在反比例函数（，）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线轴．若菱形*ABCD*的面积为，则*k*的值为
----- ----- ------ ------
A． B． C．4 D．5
----- ----- ------ ------
> {width="1.957638888888889in" height="2.276388888888889in"}
**【答案】D**
**【解析】设A(1,m),B(4,n),连接AC交BD于点O,BO=4-1=3,AO=m-n,所以,有因为,所以,**
**【点评】此题考查k的几何意义与坐标，面积的综合运用，属于中挡题**
12．若数使关于*x*的不等式组有且只有四个整数解，且使关于*y*的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为( )
----- ----- ------ ------
A． B． C．1 D．2
----- ----- ------ ------
**【答案】***C*
**【解析】 解不等式**，由于不等式有四个整数解，根据题意
{width="1.336111111111111in" height="0.41944444444444445in"}*A*点为，则，解得。解分式方程得，又需排除分式方程无解的情况，故且.结合不等式组的结果有*a*的取值范围为，又*a*为整数,所以*a*的取值为,和为1.故选*C*
**【点评】此题考查含参不等式和含参分式方程的应用，需要特别注意分式方程无解情况的考虑，属于中档题**
**二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．**
13．计算：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
**【答案】**3
**【解析】**原式**=**2**+**1**=**3
**【点评】此题考查有理数的基本运算，属于基础题**
14．如图，在矩形*ABCD*中，，，以点*A*为圆心，*AD*长为半径画弧，交*AB*于点*E*，图中阴影部分的面积是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（结果保留）．
{width="1.6875in" height="1.4006944444444445in"}
**【答案】**
**【解析】**
**【点评】此题考查扇形、四边形面积的计算，及割补法的基本应用，属于基础题**
15\. 春节期间，重庆某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，市旅游局统计了春节期间5天的游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为 [ ]{.underline} 。
{width="1.7048611111111112in" height="1.5534722222222221in"}
**【答案】** 23.4万
**【解析】** 从图中看出，五天的游客数量从小到大依次为21.9, 22.4, 23.4, 24.9, 25.4，则中位数应为23.4万。
**【点评】** 本题考查了中位数的定义，难度较低。
16\. 如图，把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为，，得到，若厘米，则的边的长为 [ ]{.underline} 厘米。
{width="3.652083333333333in" height="1.1381944444444445in"}
**【答案】**
**【解析】** 过作于。
由翻折得
**【点评】** 本题考查了解直角三角形中的翻折问题，其中包括勾股定理的应用，难度中等。
17\. 两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从地出发到地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发。途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达地。甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车行驶时间（小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距地还有 [ ]{.underline} 千米。
{width="1.925in" height="1.1840277777777777in"}
**【答案】** 90
**【解析】** 甲车先行40分钟（），所行路程为30千米，因此甲车的速度为。乙车的初始速度为，因此乙车故障后速度为。
**【点评】** 本题考查了一次函数的实际应用，难度较高。
18\. 为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两种袋装混合粗粮。其中，甲种粗粮每袋装有3千克粗粮，1千克粗粮，1千克粗粮；乙种粗粮每袋装有1千克粗粮，2千克粗粮，2千克粗粮。甲、乙两种袋装粗粮每袋成本价分别为袋中三种粗粮的成本价之和。已知粗粮每千克成本价为6元，甲种粗粮每袋售价为58.5元，利润率为30%，乙种粗粮的利润率为20%。若这两种袋装粗粮的销售利润率达到24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 [ ]{.underline} 。
（）
**【答案】**
**【解析】** 用表格列出甲、乙两种粗粮的成分：
+------+----+----+
| 品种 | 甲 | 乙 |
| | | |
| 类别 | | |
+------+----+----+
| | 3 | 1 |
+------+----+----+
| | 1 | 2 |
+------+----+----+
| | 1 | 2 |
+------+----+----+
甲中总成本价为元，根据甲的售价、利润率列出等式，可知甲总成本为45元。甲中与总成本为元。乙中与总成本为元。乙总成本为元。
设甲销售袋，乙销售袋使总利润率为24%.
。
**【点评】** 本题考查了不定方程的应用，其中包括销售问题，难度较高。
**三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。**
19\. 如图，直线*AB*//*CD*，*BC*平分∠*ABD*，∠1=54°，求∠2的度数.
**【答案】**72°
**【解析】**∵ *AB*//*CD*，∠1=54°
∴ ∠*ABC*=∠1=54°
∵ *BC*平分∠*ABD*
∴ ∠*DBC*=∠*ABC*=54°
∴ ∠*ABD=*∠*ABC*+∠*DBC*=54°+54°=108°
∵ ∠*ABD*+∠*CDB*=180°
∴ ∠*CDB*=180°**-**∠*ABD=*72°
∵ ∠2=∠*CDB*
∴ ∠2=72°
**【点评】**本题考查了平行线的性质，利用平行线性质以及角平分线性质求角度.
20. 某初中学校举行毛笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题：
{width="2.5722222222222224in" height="2.2222222222222223in"}{width="1.7819444444444446in" height="2.3569444444444443in"}
（1）请将条形统计图补全；
（2）获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自八年级，其他同学均来自九年级，现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内毛笔书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率.
**【答案】**（1）如下图；（2）
> {width="2.5520833333333335in" height="1.8916666666666666in"}
**【解析】**（1）（人）
获一等奖人数：（人）
（2）七年级获一等奖人数：（人）
八年级获一等奖人数：（人）
∴ 九年级获一等奖人数：（人）
七年级获一等奖的同学人数用*M*表示，八年级获一等奖的同学人数用*N*表示，
九年级获一等奖的同学人数用*P*~1~ 、*P*~2~表示，树状图如下：
{width="3.6465277777777776in" height="1.4590277777777778in"}
> 共有12种等可能结果，其中获得一等奖的既有七年级又有九年级人数的结果有4种，
则所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率*P*=.
**【点评】**此题考查了统计与概率综合，理解扇形统计图与条形统计图的意义及列表法或树状图法是解题关键，难度中等.
4. **解答题（本大题5个小题，每小题10分，共50分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。**
```{=html}
<!-- -->
```
21. 计算：
（1）
**【答案】**
**【解析】** 解： 原式=
=
2.
**【答案】**
**【解析】** 解： 原式=
=
=
**【点评】**本题考查了整式的乘除以及分式的化简运算。
22\. 如图，在平面直角坐标系中，直线过点且与轴交于点，把点向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点.过点且与平行的直线交轴于点.
(1)求直线的解析式；
{width="2.575in" height="2.6in"}（2）直线与交于点，将直线沿方向平移，平移到经过点的位置结束，求直线在平移过程中与轴交点的横坐标的取值范围.
**【答案】**（1）（2）
**【解析】**解：（1）由题意可得，
点在直线上
即
又点向左平移2个单位，又向上平移4个单位得到点
直线与平行
设直线的解析式为
又直线过点
直线的解析式为
（2）将代入中，得，即
故平移之后的直线的解析式为
令，得，即
将代入中，得，即
平移过程中与轴交点的取值范围是：
**【点评】**本题主要考察求解一次函数的解析式以及图像移动过程中自变量的取值范围，题型比较简单。
23\. 在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造。
（1） 原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化和里程数至少是多少千米？
（2） 到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值。2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1 : 2，且里程数之比为2 : 1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入。经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a\>0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值。
**【答案】**（1）40千米；（2）10。
**【解析】**解：
1. 设道路硬化的里程数至少是x千米。
> 则由题意得：
>
> x≥4(50-x)
>
> 解不等式得：
>
> x≥40
>
> 答：道路硬化的里程数至少是40千米。
2. 由题意得：
> 2017年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km
>
> 道路拓宽经费为：20万/千米，里程为：15km
>
> **∴**今年6月起：
>
> 道路硬化经费为：13（1+a%）万/千米，里程数：40（1+5a%）km
>
> 道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km
>
> 又∵政府投入费用为：780（1+10a%）万元
>
> ∴列方程：
>
> 13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%)
>
> 令a%=t，方程可整理为：
>
> 13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t)
>
> 520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)
>
> 化简得：
$$2(1 + t)(1 + 5t) + (1 + 5t)(1 + 8t) = 3\ (1 + 10t)$$
> 2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3 (1+10t)
>
> 10$t^{2}$-t=0
>
> t(10t-1)=0
>
> ∴$t_{1} = 0$ （舍去） $t_{2} = \frac{1}{10}$
>
> ∴综上所述： a = 10
>
> 答：a的值为10。
**【点评】**
本题考察一元二次不等式的应用，一元二次方程的应用。求出本题的关键是将道路硬化，道路拓宽的里程数及每千米需要的经费求出。
1. 利用"道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的4倍"列出不等式求解。
2. 根据2017年道路硬化和道路拓宽的里程数及每千米经费，表示出6月起道路硬化及道路拓宽的里程数及每千米经费。表示出总费用列方程求解。
24.如图，在平行四边形$\text{ABCD}$中，点$O$是对角线$\text{AC}$的中点，点$E$是$\text{BC}$上一点，且$AB = AE$，连接$\text{EO}$并延长交$\text{AD}$于点$F$，过点$B$作$\text{AE}$的垂线，垂足为$H$，交$\text{AC}$于点$G$.
（1）若$AH = 3$，$HE = 1$，求$\mathrm{\Delta}ABE$的面积；
（2）若$\angle ACB = 45^{{^\circ}}$，求证：$DF = \sqrt{2}\text{CG}$.
{width="2.027083333333333in" height="1.4375in"}**【解析】**解：
（1）$\because$ $AH = 3.\ HE = 1$
$\therefore$ $AB = AE = AH + HE = 4$
又$\because\ $在$\text{Rt}\mathrm{\Delta}ABE$中
$BH = \sqrt{\text{AB}^{2} - \text{AH}^{2}} = \sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{7}$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ S_{\mathrm{\Delta}ABE} = \frac{1}{2}AE \bullet BH = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$$
（2）$证:\ \ \ 过点A作AM\bot BC于点M,交\text{BG}于点K,$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 过点G作GN\bot BC交于点N.$$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore$ $\angle AMB = \angle AME = \angle BNG = 90^{{^\circ}}$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \because\ \angle ACB = \ 45^{{^\circ}}$$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore$ $\angle MAC = \angle ACB = \angle NGC = 45^{{^\circ}}$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \because AB = AE$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore BM = ME = \frac{1}{2}BE,\ \angle BAM = \angle EAM$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 又\because\ AE\bot BG$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ \angle AHK = \ 90^{{^\circ}}$$
$\ 在\mathrm{\Delta}AHK和\mathrm{\Delta}BMK中$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \angle AHK + \angle MAE + \angle AHK = 180^{{^\circ}}$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \angle AMB + \angle NBG + \angle BKM = 180^{{^\circ}}$$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ \angle MAE = \angle NBG$(8字图)
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 设\ \angle BAM = \angle MAE = \angle NBG = \alpha$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ \angle BAG = \angle MAC + \angle BAM = 45^{{^\circ}} + \alpha$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \angle BGA = \angle ACB\ + \angle NBG = 45^{{^\circ}} + \alpha$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ \angle BAG = \angle BGA$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ AB = BG$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ AE = BG$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 在\mathrm{\Delta}AME和\mathrm{\Delta}BNG中$$
$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix}
\angle AME = \angle BNG, \\
\angle MAE = \angle NBG, \\
AE = BG. \\
\end{matrix} \right.\ $$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ \mathrm{\Delta}AME \cong \mathrm{\Delta}BNG\ (AAS)$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ ME = NG$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 在等腰Rt\mathrm{\Delta}ABE中，NG = NC$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ GC = \sqrt{2}NG = \sqrt{2}ME = \frac{\sqrt{2}}{2}\text{BE}$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ BE = \sqrt{2}\text{GC}$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \because O为\text{AC}的中点$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ OA = OC$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \because 四边形\text{ABCD}为平行四边形$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ AD \parallel BC,AD = BC$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ \angle OAF = \angle OCE$$
$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\angle AFO = \angle CEO$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ \mathrm{\Delta}AFO \cong \mathrm{\Delta}CEO\ (AAS)$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ AF = CE$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ AD - AF = BC - CE\text{\ \ }$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 即\ DF = BE$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ DF = BE = \sqrt{2}\text{CG}$$
25、对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为"极数".
（1）请任意写出三个"极数"；并猜想任意一个"极数"是否是99的倍数，请说明理由；
（2） 如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，若四位数m为"极数"，记D（m）=$\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{33}}$.求满足D（m）是完全平方数的所有m.
**【答案】**(1)1188, 2475; 9900(符合题意即可) (2)1188 ,2673 ,4752 ,7425.
**【解析】**解：
**【点评】**：本题考查数值问题，包括：题目翻译，数位设法，数位整除，完全平方数特征，分类讨论。
**【易错点】**：易忽略数值上取值范围及所得关系式自身特征；难度一般。
26. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上,且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为
```{=html}
<!-- -->
```
1. 求线段的长；
2. 点为线段上方抛物线上的任意一点，过点作的垂线交于点，点为轴上一点，当的面积最大时，求的最小值；
3. 在（2）中，取得最小值时，将绕点顺时针旋转后得到,过点作的垂线与直线交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由。
{width="5.551388888888889in" height="2.71875in"}
**【答案】**（1）
2. =
3. (-1，3+)；(-1，3-)；(5，3)；(-1，8)
**【解析】**解：（1）由题意得(1，3) (3，3） (2，4)
(0，3) (1，1)
则
2. 延长，交于点
> (3，3)，(1，1)
>
> 直线的解析式为:
>
> 设(，)，,则(m，m)
>
> 分析可得，当取最大值时，取最大值
>
> 当，PN取最大值
>
> ∴(，)，(，)
构造与轴夹角为的直线OM，如图所示
{width="2.9625in" height="2.7118055555555554in"}则，即,
当时，
（3）∵OM的解析式为,HM⊥OM,且HM过点H
∴HM的解析式为:
∴(0，3-）
又∵(0，3)
> 在中，
>
> (-1，3)
①以为边,此时(-1，3-)；(5，3)；(-1，3+)；
{width="2.004861111111111in" height="1.8138888888888889in"}
②以为对角线， 此时(-1，8)
{width="0.7402777777777778in" height="2.0027777777777778in"}
**【点评】此次二次函数的压轴题与前几年的中考题的考查基本类似.**
**第(1)问与16、17年的中考第一问略有区别,之前考查的是求一次函数的解析式或者求点的坐标,今年考查的是求线段的长度,虽然题目的问法有所改变,但是题目的难度却降低了**
**第(2)问的考查从15年开始基本上就没有变化,考查的都是双最值的问题.前半部分求面积的最大值要把它转化成求线段的最大值.后半部分为三条线段和最小问题,相对前两年考查方向一致,不过,其中一条线段的长度前面带有系数.求解过程中,若可以想到利用点到直线的距离公式求线段长,则计算会简化很多.**
**第(3)问持续考查特殊图形的存在性问题(今年考查菱形的存在性问题),学生要学会从已知的线段为边或对角线两种情况进行讨论.**
**整体来说成绩较好的学生本题可以拿到8-10分.**
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第二单元演练
1. **右边面哪一幅图是小男孩看到的？（画"√"）（4分）**
 
2. **观察左图，下面的图片别分是谁看到的？（10分）**
 
3. **连一连。（42分）**
**1、看一看，下面哪幅图是笑笑看到的？哪幅图是淘气看到的？连一连。（12分）**
**（1）**
 
**（2）**
 
2. **小芳从不同位置给心爱的小闹钟拍了三张照片，请你帮她连一连。（9分）**
**后面 侧面 前面**
3. **连一连。（9分）**
4. **下面的图分别是谁看到的？连一连。 （12分）**
4. **下面各图分别是谁看到的?填一填。（16分）**
（ ） （ ） （ ） （ ）
5. **下面的图形分别是在哪个位置看到的?连一连。（9分）**
**从下面看 从前面或后面看 从上向下看**
6. **妈妈在魔方的六个面贴上了1～6这6个数字。（9分）**
**第一次心心看到了,第二次心心又看到了,**
**请你能帮心心找一找：**
**1对应( ), 2对应( ), 3对应( )。**
7. **下面物体从正面、右面看各是什么形状？画一画。（10分）**
 
正面 右面
**参考答案**
一、
二、
（小明） （小丽）
三、1、（1） （2）
2、
3、
4、
四、
五、
六、
七、
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**第Ⅰ卷（选择题 共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1.已知集合，集合中至少有3个元素，则（ ）
A． B． C． D．
2.若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
3.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣："远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？"这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ）
A．5 B．6 C．4 D．3
4.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A． B．  C. D．
5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A．4 B．9 C.7 D．5
6\. 已知函数的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为 \[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\]
B．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到
C.函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上单调递增
7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：
①；
②函数是偶函数；
③任意一个非零有理数，对任意恒成立；
④存在三个点，使得为等边三角形.
其中真命题的个数是（ ）
A．4 B．3 C.2 D．1
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．10 B．20 C.40 D．60
9\. 已知、是椭圆长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线、的斜率分别为，若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）
A．1 B． C. D．
10\. 在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（ ）
A．36 B． C. D．
11.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
12.已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点（在轴上方），满足，，则以为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ）
A． B． \[来源:ZXXK\]
C. D．
**第Ⅱ卷（非选择题 共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.若、满足约束条件，则的最大值为 [ ]{.underline} ．\[来源:ZXXK\]
14\. 在中，，若为外接圆的圆心（即满足），则的值为 [ ]{.underline} ．
15.已知数列的各项均为正数，，若数列的前项和为5，则 [ ]{.underline} ．
16.过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线的准线的的交点为，点在抛物线的准线上的射影为，若，则抛物线的方程为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）\[来源:\]
在中，内角、、所对的边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）求的面积.
18.（本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱中，为正方形，为菱形，，平面平面.
（1）求证：；
（2）设点、分别是，的中点，试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
（3）求二面角的余弦值.
19.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于，.
（1）若点在第一象限，且直线，互相垂直，求圆的方程；
（2）若直线，的斜率存在，并记为，求的值；
（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.
20.（本小题满分12分）
设椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过与垂直的直线交轴负半轴于点，且.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；
（3）过的直线与（2）中椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知，设函数.
（1）存在，使得是在上的最大值，求的取值范围；
（2）对任意恒成立时，的最大值为1，求的取值范围.
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆锥曲线（为参数）和定点，、是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系.\[来源:\]
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值.
23\. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设.
（1）解不等式；
（2）若存在实数满足，试求实数的取值范围.
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北师大版一年级数学上册期中测试（含答案）
熊丽花制作
测试时间:60分钟 总分:100分(卷面分：3分) 附加题:10分
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题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
得分
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**四、画一画 （每空2分，共6分）**
1、画 ， 和 一样多
**一、 口算题(每空1分，共 20分)** 2、 画 ， 比 多
8+2＝ 5＋5＝ 4＋4＝ 0＋4＝ 10-8＝
6＋3＝ 2＋6＝ 9-0＝ 6+1＝ 9-3＝
2＋7＝ 10-6+4＝ 8-4+4＝ 5＋0＋2＝ 6＋4-3＝
7-2＋5＝ 8＋2-1＝ 7-6＋9＝ 3＋2＋5＝ 10-1-8＝ 3、画 ， 比 少
**二、 填空题(每空1分，共12分)**
--- --- -- --- --- -- -- --- -- -- --
0 1 3 4 7
--- --- -- --- --- -- -- --- -- -- --
**五、连线（每空1分，共5分）**
---- --- -- -- --- --- -- -- --- -- --
10 9 6 5 2
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**三、 在○里填"＜"、"＞"或"＝"．（每空1分，12分）**
5○5 4-3○4 6○7 0＋5○5 7+3○10 2－2○2+2
9-4○9 9○4 8○5 3＋6○5 7○3＋3 8-3○6 5 3 6 1 8
**六、画一画，填一填（每空1分，共10分）** **九、解决问题（每题4分，共20分）**
  
   
**七、比一比( 每空2分，共8分)**
1、高的画"√"，矮的画"○" 2，重的画"√"， 轻的画"○"
 **十、附加题（每空1分，共10分）**
  把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数分别填入 中
 （每个数只能用一次）
   + ＝ + ＝ + = + = +
**八、看谁数的快（每空1分，共4分）**
第一学期北师大一年级数学期中测试答案
**一、计算题（每个1分，共20分）** **六、画一画，填一填（每空1分，共10分）**
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10 10 8 4 2
9 8 9 7 6
9 8 8 7 7
10 9 10 10 1
---- ---- ---- ---- ---
--------- ---
5
5
⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙ 7
--------- ---
--- --- --- ---
7 5 3 7
--- --- --- ---
**二、填空题（每空1分，共10分）** **七、比一比(每空2分，共 8分)**
--- --- --- --- --- ----
2 5 6 8 9 10
8 7 4 3 1 0
--- --- --- --- --- ----
----- -------------------
√ ○ **梨**√ **桃子**○
----- -------------------
**八、看谁数的快（4分，共4分）**
---- --- --- ---
10 6 8 9
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**三、 在○里填"＜"、"＞"或"＝"．（每空1分，共12分）**
-------- -------- -------- -------- -------- --------
**＝** **＜** **＜** **＝** **＝** **＜**
**＜** **＞** **＞** **＞** **＞** **＜**
-------- -------- -------- -------- -------- --------
**九、解决问题（每题4分，共20分）**
---------- ----------- ---------
3+2+3＝8 5－2+3＝6
3+1＝4 4－2＝2 9－6＝3
---------- ----------- ---------
**四、画一画 （每题2分，共6分）**
-----------------
大于（等于）4个
小于（等于）2个
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**五、连线（每线1分，共5分） 十、附加题（每空1分，共10分）**
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0+9＝1+8＝2+7＝3+6＝4+5
-------------------------
5 3 6 1 8
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**小学六年级上册数学奥数知识点讲解第9课《二进制小数》试题附答案**
**答案**
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六年级奥数上册：第九讲 二进制小数 习题解答
来源：www.bcjy123.com/tiku/
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**绝密★启用前**
**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科数学**
**注意事项：**
**1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1.已知集合*A*={*x*\|\|*x*\|\<3，*x*∈*Z*}，*B*={*x*\|\|*x*\|\>1，*x*∈*Z*}，则*A*∩*B*=（ ）
A. B. {--3，--2，2，3）
C. {--2，0，2} D. {--2，2}
2.（1--i）^4^=（ ）
A --4 B. 4
C. --4*i* D. 4*i*
3.如图，将钢琴上的12个键依次记为*a*~1~，*a*~2~，...，*a*~12~.设1≤*i*\<*j*\<*k*≤12．若*k*--*j*=3且*j*--*i*=4，则称*a~i~*，*a~j~*，*a~k~*为原位大三和弦；若*k*--*j*=4且*j*--*i*=3，则称*a~i~*，*a~j~*，*a~k~*为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）
*A.* 5 *B.* 8 *C.* 10 *D.* 15
4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名
5.已知单位向量***a***，***b***夹角为60°，则在下列向量中，与***b***垂直的是（ ）
A. ***a***+2***b*** B. 2***a***+***b*** C. ***a***--2***b*** D. 2***a***--***b***
6.记*S~n~*为等比数列{*a~n~*}的前*n*项和．若*a*~5~--*a*~3~=12，*a*~6~--*a*~4~=24，则=（ ）
***A.*** 2*^n^*--1 ***B.*** 2--2^1--*n*^ ***C.*** 2--2^*n*--1^ ***D.*** 2^1--*n*^--1
7.执行右面的程序框图，若输入的*k*=0，*a*=0，则输出的*k*为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
9.设为坐标原点，直线与双曲线两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
10.设函数,则（ ）
A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
11.已知△*ABC*是面积为的等边三角形，且其顶点都在球*O*的球面上.若球*O*的表面积为16*π*，则*O*到平面*ABC*的距离为（ ）
A. B. C. 1 D.
12.若，则（ ）
A. B. C. D.
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.**
13.若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14.记为等差数列的前*n*项和．若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15.若*x*，*y*满足约束条件则最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16.设有下列四个命题：
*p*~1~：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
*p*~2~：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
*p*~3~：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
*p*~4~：若直线*l*平面*α*，直线*m*⊥平面*α*，则*m*⊥*l*.
则下述命题中所有真命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
①②③④
**三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.**
**（一）必考题：共60分.**
17.△*ABC*的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，已知．
（1）求*A*；
（2）若，证明：△*ABC*是直角三角形．
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(*x~i~*，*y~i~*)(*i*=1，2，...，20)，其中*x~i~*和*y~i~*分别表示第*i*个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，.
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
（2）求样本(*x~i~*，*y~i~*)(*i*=1，2，...，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数*r*=，=1414.
19.已知椭圆*C*~1~：(*a*\>*b*\>0)的右焦点*F*与抛物线*C*~2~的焦点重合，*C*~1~的中心与*C*~2~的顶点重合．过*F*且与*x*轴重直的直线交*C*~1~于*A*，*B*两点，交*C*~2~于*C*，*D*两点，且\|*CD*\|=\|*AB*\|．
（1）求*C*~1~的离心率；
（2）若*C*~1~的四个顶点到*C*~2~的准线距离之和为12，求*C*~1~与*C*~2~的标准方程．
20.如图，已知三棱柱*ABC*--*A*~1~*B*~1~*C*~1~的底面是正三角形，侧面*BB*~1~*C*~1~*C*是矩形，*M*，*N*分别为*BC*，*B*~1~*C*~1~的中点，*P*为*AM*上一点．过*B*~1~*C*~1~和*P*的平面交*AB*于*E*，交*AC*于*F*．
（1）证明：*AA*~1~//*MN*，且平面*A*~1~*AMN*⊥平面*EB*~1~*C*~1~*F*；
（2）设*O*为△*A*~1~*B*~1~*C*~1~的中心，若*AO*=*AB*=6，*AO*//平面*EB*~1~*C*~1~*F*，且∠*MPN*=，求四棱锥*B*--*EB*~1~*C*~1~*F*的体积．
21.已知函数*f*（*x*）=2ln*x*+1．
（1）若*f*（*x*）≤2*x*+*c*，求*c*的取值范围；
（2）设*a*\>0时，讨论函数*g*（*x*）=的单调性．
**（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．**
**\[选修4---4：坐标系与参数方程\]**
22.已知曲线*C*~1~，*C*~2~的参数方程分别为*C*~1~：（*θ*为参数），*C*~2~：（*t*为参数）.
（1）将*C*~1~，*C*~2~的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系.设*C*~1~，*C*~2~的交点为*P*，求圆心在极轴上，且经过极点和*P*的圆的极坐标方程.
**\[选修4---5：不等式选讲\]**
23.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求*a*的取值范围.
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**-北师大版五年级（下）期中数学试卷（15）**
**一、填空题（共10小题，每小题2分，满分21分）**
1．64克的是[ ]{.underline}克； 1时的是[ ]{.underline}分．
2．8.28立方分米=[ ]{.underline}毫升
320平方厘米=[ ]{.underline}平方米
[ ]{.underline}立方米=1580立方分米
2900毫升=[ ]{.underline}升．
3．一个正方体的棱长之和为48dm，它的表面积是[ ]{.underline}，它的体积是[ ]{.underline}．
4．把三个棱长4厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少[ ]{.underline}平方厘米．
5．在横线内填上适当的单位名称．
小明身高约是120[ ]{.underline}
一杯牛奶的容积约是250[ ]{.underline}
一间教室占地60[ ]{.underline}
一个火柴盒的体积约是8[ ]{.underline}．
6．找一个数的倒数（0除外），就是把它的[ ]{.underline}和[ ]{.underline}交换位置．[ ]{.underline}的倒数是5；0.5的倒数是[ ]{.underline}．
7．一个三角形的底是15cm，高是底的2倍，这个三角形的面积是[ ]{.underline}．
8．一件上衣200元，打八折以后的价钱是[ ]{.underline}元钱．
9．求运动员领奖台所占空间的大小，就是求这个领奖台的[ ]{.underline}．
10．如图是由同样大小的小方块堆积起来的，每个小方块的棱长是1分米，这堆小方块露在外面的面积是[ ]{.underline}．
**二、请你当小法官．（共10分）**
11．将一个正方体切成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积是正方体表面积的一半．[ ]{.underline}．（判断对错）
12．7吨的与1吨的相等．[ ]{.underline}．
13．两个分数相乘，积一定小于其中任何一个分数．[ ]{.underline}．（判断对错）
14．用4块棱长是1厘米的小正方体就可以拼成一个较大的正方体．[ ]{.underline}．
15．长方体中，底面积越大，体积也越大．[ ]{.underline}．（判断对错）
**三、请你选一选．**
16．一个油箱能装汽油160升，我们说这个油箱的（ ）是160升．
A．表面积 B．体积 C．容积
17．如果正方体的棱长扩大3倍，它的体积就扩大（ ）
A．3倍 B．27倍 C．9倍
18．a是不为0的自然数，下列式子结果最大的是（ ）
A．a÷ B． a C．a﹣
19．一个长方体体积是100立方厘米，现知它的长是10厘米，宽是2厘米，高是（ ）
A．8厘米 B．5厘米 C．5平方厘米
20．下列图形都是由相同的小正方形组成，哪一个图形不能折成正方体？（ ）
A． B． C．
**四、解答题（共4小题，满分32分）**
21．直接写得数：
----------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
﹣= 6×= 0×= ×=
+= 120×= ×= ×=
----------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
22．用自己喜欢的方法计算
10﹣﹣
﹣+
×24﹣6×．
23．解方程：
x﹣=
+x=
+x=23．
24．计算下面图形的表面积和体积．
**五、解答题（共5小题，满分27分）**
25．一根铁丝，第一次用去米，第二次用去米．
（1）两次共用去多少米？
（2）第二次比第一次多用去多少米？
26．李叔叔原来体重80千克，坚持体育锻炼后，体重减轻了，现在李叔叔体重多少千克？
27．甲堆货物重204吨，乙堆货物的重量是甲堆货物的，丙堆货物重量是甲堆的，乙、丙两堆货物各重多少吨？
28．一间长9米，宽6米，高4米的教室，粉刷它的屋顶和墙壁，扣除门窗面积24米，如果每平方米用刷墙粉200克，一共需要刷墙粉多少千克？
29．一个长方体容器，底面长2dm，宽1.5dm，放入一个土豆后水面升高了0.2dm，这个土豆的体积是多少？
**-北师大版五年级（下）期中数学试卷（15）**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题（共10小题，每小题2分，满分21分）**
1．64克的是[ ]{.underline}[ ]{.underline}克； 1时的是[ 28 ]{.underline}分．
【考点】分数乘法．
【分析】求64克的是多少克，用64乘；
求1时的是多少分，用60分钟乘，由此解答即可．
【解答】解：64×=（克）；
1时=60分，60×=28（分）．
故答案为：，28．
2．8.28立方分米=[ 8280 ]{.underline}毫升
320平方厘米=[ 0.032 ]{.underline}平方米
[ 1.58 ]{.underline}立方米=1580立方分米
2900毫升=[ 2.9 ]{.underline}升．
【考点】体积、容积进率及单位换算；面积单位间的进率及单位换算．
【分析】（1）高级单位立方分米化低级单位毫升乘进率1000．
（2）低级单位平方厘米化高级单位平方米除以进率10000．
（3）低级单位立方分米化高级单位立方米除以进率1000．
（4）低级单位毫升化高级单位升除以进率1000．
【解答】解：（1）8.28立方分米=8280毫升；
（2）320平方厘米=0.032平方米；
（3）1.58立方米=1580立方分米；
（4）2900毫升=2.9升．
故答案为：8280，0.032，1.58，2.9．
3．一个正方体的棱长之和为48dm，它的表面积是[ 96平方分米 ]{.underline}，它的体积是[ 64立方分米 ]{.underline}．
【考点】长方体和正方体的表面积；正方体的特征；长方体和正方体的体积．
【分析】由正方体的特征可知：正方体共有12条棱长，且每条棱长都相等，又因正方体的棱长之和已知，于是可以求出每条棱长的长度，再利用正方体的表面积S=6a^2^，和正方体的体积V=a^3^，即可分别求出正方体的表面积和体积．
【解答】解：（1）48÷12=4（分米），
4×4×6，
=16×6，
=96（平方分米）；
（2）4×4×4，
=16×4，
=64（立方分米）；
答：这个正方体的表面积是96平方分米，体积是64立方分米．
故答案为：96平方分米、64立方分米．
4．把三个棱长4厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少[ 64 ]{.underline}平方厘米．
【考点】简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积．
【分析】三个正方体拼成一个长方体后，表面积比原来是减少了4个正方体的面的面积，由此即可解答．
【解答】解：4×4×4=64（平方厘米）；
答：表面积减少了64平方厘米．
故答案为：64．
5．在横线内填上适当的单位名称．
小明身高约是120[ 厘米 ]{.underline}
一杯牛奶的容积约是250[ 毫升 ]{.underline}
一间教室占地60[ 平方米 ]{.underline}
一个火柴盒的体积约是8[ 立方厘米 ]{.underline}．
【考点】根据情景选择合适的计量单位．
【分析】（1）计量小明身高，应用长度单位，因为数据是120，所以用"厘米"做单位最为合适，是120厘米；
（2）计量牛奶的容积，应用容积单位，因为数据是250，所以用"毫升"做单位最为合适，是250毫升；
（3）计量教室的面积，应用面积单位，因为数据是60，所以用"平方米"做单位最为合适，是60平方米；
（4）计量一个火柴盒的体积，应用体积单位，因为数据是8，所以用"立方厘米"做单位最为合适，是8立方厘米；据此解答．
【解答】解：（1）小明身高约是120 厘米；
（2）一杯牛奶的容积约是250 毫升；
（3）一间教室占地60 平方米；
（4）一个火柴盒的体积约是8 立方厘米．
故答案为：厘米，毫升，平方米，立方厘米．
6．找一个数的倒数（0除外），就是把它的[ 分子 ]{.underline}和[ 分母 ]{.underline}交换位置．[ ]{.underline}[ ]{.underline}的倒数是5；0.5的倒数是[ 2 ]{.underline}．
【考点】倒数的认识．
【分析】根据倒数的意义可知，乘积为1的两个数互为倒数；求一个分数的倒数，把分子和分母调换位置即可．
【解答】解：找一个数的倒数（0除外），就是把它的分子和分母交换位置．的倒数是5；0.5的倒数是2．
故答案为：分子，分母，，2．
7．一个三角形的底是15cm，高是底的2倍，这个三角形的面积是[ 225平方厘米 ]{.underline}．
【考点】三角形的周长和面积．
【分析】首先根据整数乘法的意义，用乘法求出三角形的高，再根据三角形的面积公式：s=ah÷2，把熟记代入公式解答．
【解答】解：15×（15×2）÷2
=15×30÷2
=225（平方厘米），
答：这个三角形的面积是225平方厘米．
故答案为：225平方厘米．
8．一件上衣200元，打八折以后的价钱是[ 160 ]{.underline}元钱．
【考点】百分数的实际应用．
【分析】把原价看作单位"1"，打八折也就是现价是原价的80%，根据一个数乘百分数的意义，用乘法解答．
【解答】解：200×80%
=200×0.8
=160（元），
答：现价是160元．
故答案为：160．
9．求运动员领奖台所占空间的大小，就是求这个领奖台的[ 体积 ]{.underline}．
【考点】长方体和正方体的体积．
【分析】根据体积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积．求运动员领奖台所占空间的大小，就是求这个领奖台的体积．据此解答．
【解答】解：求运动员领奖台所占空间的大小，就是求这个领奖台的体积．
故答案为：体积．
10．如图是由同样大小的小方块堆积起来的，每个小方块的棱长是1分米，这堆小方块露在外面的面积是[ 7平方分米 ]{.underline}．
【考点】规则立体图形的表面积．
【分析】图形的前面、右面都有2个正方体的面露在外面，上面有3个面露在外面，所以2+2+3=7个，面积为1×1×7，据此解答即可．
【解答】解：面露在外面共有：
2+2+3=7个，
总面积：
1×1×7=7（平方分米）．
答：露在外面的面积是7平方分米．
故答案为：7平方分米．
**二、请你当小法官．（共10分）**
11．将一个正方体切成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积是正方体表面积的一半．[ 错误 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】简单的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积．
【分析】正方体切成两个完全相同的长方体后，表面积比原来增加了两个正方体的面的面积，由此即可进行判断．
【解答】解：正方体切成两个完全相同的长方体后，表面积比原来增加了两个正方体的面的面积，
所以每个长方体的表面积是原来的正方体的表面积的一半加上一个正方体的面的面积，
所以原题说法错误．
故答案为：错误．
12．7吨的与1吨的相等．[ 正确 ]{.underline}．
【考点】分数大小的比较；分数的意义、读写及分类．
【分析】要比较7吨的与1吨的相等不相等，可以通过计算进行比较．7吨的是7×=（吨）；1吨的是1×=（吨），然后比较大小即可．
【解答】解：7吨的是
7×=（吨）；
1吨的是
1×=（吨）；
所以7吨的与1吨的相等．
故答案为：正确．
13．两个分数相乘，积一定小于其中任何一个分数．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】分数乘法．
【分析】真分数＜1，假分数≥1，所以只有两个分数为真分数时，两个分数相乘，积一定小于其中任何一个分数．如果两个分数中有一个假分数或同为假分数时，积≥其中的一个分数．
【解答】解：真分数＜1，假分数≥1，
只有两个分数为真分数时，两个分数相乘，积一定小于其中任何一个分数．
故答案为：×．
14．用4块棱长是1厘米的小正方体就可以拼成一个较大的正方体．[ 错误 ]{.underline}．
【考点】简单的立方体切拼问题．
【分析】小正方体拼成一个较大的正方体，每条棱长上至少需要2个小正方体，由此利用正方体的体积公式计算即可求出至少需要的小正方体个数．
【解答】解：2×2×2=8（个），
所以利用小正方体拼组大正方体至少需要8个，原题说法错误．
故答案为：错误．
15．长方体中，底面积越大，体积也越大．[ 错误 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】长方体和正方体的体积．
【分析】长方体的体积=底面积×高，由此可以看出，影响其体积大小的因素有两个，即底面积和高．
【解答】解：由长方体的体积公式可以看出，影响其体积大小的因素有两个，即底面积和高．
所以说"长方体中，底面积越大，体积也越大"的说法是错误的．
故答案为：错误．
**三、请你选一选．**
16．一个油箱能装汽油160升，我们说这个油箱的（ ）是160升．
A．表面积 B．体积 C．容积
【考点】体积、容积及其单位．
【分析】根据容积的意义直接进行判断即可解答．
【解答】解：一个油箱能装汽油160升，是指这个油箱能够容纳体积为160升的汽油，即个油箱的容积是160升．
故选：C．
17．如果正方体的棱长扩大3倍，它的体积就扩大（ ）
A．3倍 B．27倍 C．9倍
【考点】长方体和正方体的体积；积的变化规律．
【分析】根据正方体的体积公式v=a^3^，和因数与积的变化规律，三个因数都扩大3倍，积就扩大3×3×3=27倍；由此解答．
【解答】解：根据正方体的体积计算方法和因数与积的变化规律：
一个立方体的棱长扩大3倍，它的体积就扩大27倍．
故选：B．
18．a是不为0的自然数，下列式子结果最大的是（ ）
A．a÷ B． a C．a﹣
【考点】分数乘法．
【分析】首先根据一个非零数除以一个小于1的数，商大于这个数，可得a÷＞a；然后根据一个非零数乘以一个小于1的数，积小于这个数，可得a＜a，再根据a﹣＜a，判断出式子结果最大的是哪个算式即可．
【解答】解：因为a是不为0的自然数，＜1，
所以a÷＞a， a＜a，a﹣＜a，
所以式子结果最大的是a÷．
故选：A．
19．一个长方体体积是100立方厘米，现知它的长是10厘米，宽是2厘米，高是（ ）
A．8厘米 B．5厘米 C．5平方厘米
【考点】长方体和正方体的体积．
【分析】根据"长方体的体积=长×宽×高=底面积×高"，得出："高=长方体的体积÷底面积"进行解答即可．
【解答】解：100÷（10×2），
=100÷20，
=5（厘米）；
故答案为：B．
20．下列图形都是由相同的小正方形组成，哪一个图形不能折成正方体？（ ）
A． B． C．
【考点】正方体的展开图．
【分析】根据正方体展开图的类型，1﹣4﹣1型，2﹣3﹣1型，2﹣2﹣2型，3﹣3型，结合图形判断即可．
【解答】解：A、是1﹣4﹣1型；C是3﹣3型；
只有B不是正方体展开图类型，不能折成正方体．
故选：B．
**四、解答题（共4小题，满分32分）**
21．直接写得数：
----------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
﹣= 6×= 0×= ×=
+= 120×= ×= ×=
----------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
【考点】分数的加法和减法；分数乘法．
【分析】根据分数加减法和乘法的计算方法进行计算．
【解答】解：
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
﹣= 6×=4 0×=0 ×=
+= 120×=168 ×= ×=
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
22．用自己喜欢的方法计算
10﹣﹣
﹣+
×24﹣6×．
【考点】分数的简便计算．
【分析】（1）根据减法的性质简算；
（2）根据加法交换律简算；
（3）根据乘法分配律简算．
【解答】解：（1）10﹣﹣
=10﹣（+）
=10﹣1
=9
（2）﹣+
=+﹣
=1﹣
=
（3）×24﹣6×
=×（24﹣6）
=×18
=4
23．解方程：
x﹣=
+x=
+x=23．
【考点】方程的解和解方程．
【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时加上求解；
（2）根据等式的性质，方程两边同时减去求解；
（3）根据等式的性质，方程两边同时减去求解．
【解答】解：（1）x﹣=
x﹣=
x=；
（2）+x=
+x=
x=；
（3）+x=23
+x=23
x=22．
24．计算下面图形的表面积和体积．
【考点】长方体和正方体的体积；长方体和正方体的表面积．
【分析】根据长方体的表面积公式：S=（ab+ah+bh）×2，体积公式V=abh以及正方体的表面积公式：S=6a^2^，体积公式积：V=a^3^，代入数据解答即可．
【解答】解：（1）表面积：（10×4+10×5+5×4）×2，
=（40+50+20）×2，
=110×2，
=220（平方厘米）；
体积：10×5×4=200（立方厘米）；
（2）表面积：6×6^2^=216（平方分米），
体积：6^3^=216（立方分米）．
**五、解答题（共5小题，满分27分）**
25．一根铁丝，第一次用去米，第二次用去米．
（1）两次共用去多少米？
（2）第二次比第一次多用去多少米？
【考点】分数的加法和减法．
【分析】（1）第一次用去的加上第二次用去的即是两次共用多少米；
（2）第二次用去的减去第一次用去的即是第二次比第一次多用去多少米．
【解答】解；（1）=（米）；
（2）=（米）；
答：（1）两次共用去1米；（2）二次比第一次多用去米．
26．李叔叔原来体重80千克，坚持体育锻炼后，体重减轻了，现在李叔叔体重多少千克？
【考点】分数乘法应用题．
【分析】把李叔叔原来的体重看作单位"1"，体重减轻了，现在的体重占原来的（1），根据一个数乘分数的意义用乘法解答．
【解答】解：80×（1）
=80×
=64（千克）；
答：现在李叔叔体重64千克．
27．甲堆货物重204吨，乙堆货物的重量是甲堆货物的，丙堆货物重量是甲堆的，乙、丙两堆货物各重多少吨？
【考点】分数乘法应用题．
【分析】首先根据题意，把甲堆货物重量看作单位"1"，分别用甲堆货物重量乘以乙堆货物、丙堆货物的重量占甲堆货物的分率，求出乙、丙两堆货物各重多少吨即可．
【解答】解：204×（吨）
204×=153（吨）
答：乙堆货物重102吨，丙堆货物重153吨．
28．一间长9米，宽6米，高4米的教室，粉刷它的屋顶和墙壁，扣除门窗面积24米，如果每平方米用刷墙粉200克，一共需要刷墙粉多少千克？
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【分析】要求所需要涂料的总克数，首先要求出一间教室需要粉刷的面积，即用教室的表面积减去地面的面积以及门窗的面积，求出教室需要粉刷的面积，用需要粉刷的面积乘每平方米需要的涂料的克数，就是一共需要涂料的总克数，最后换算成千克即可．
【解答】解：（9×6+9×4+6×4）×2﹣9×6﹣24
=（54+36+24）×2﹣54﹣24
=114×2﹣54﹣24
=228﹣78
=150（平方米）
需要的涂料：
150×200=3000（克）=3（千克）．
答：一共需要买刷墙粉3千克．
29．一个长方体容器，底面长2dm，宽1.5dm，放入一个土豆后水面升高了0.2dm，这个土豆的体积是多少？
【考点】探索某些实物体积的测量方法；长方体和正方体的体积．
【分析】由题意得土豆的体积等于上升的水的体积，上升的水的体积等于高是0.2分米的长方体的体积，根据长方体体积=长×宽×高列式解答即可．
【解答】解：2×1.5×0.2
=0.6（dm^3^）
答：这个土豆的体积是0.6dm^3^．
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲解第13课《折叠描痕法》试题附答案**
一年级奥数上册：第十三讲 折叠描痕法 习题
一年级奥数上册：第十三讲 折叠描痕法 习题解答
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**2019年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷**
**一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）**
1．（3分）（2019•鄂尔多斯）有理数的相反数为
A． B． C． D．3
2．（3分）（2019•鄂尔多斯）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是
A． B．
C． D．
3．（3分）（2019•鄂尔多斯）禽流感病毒的半径大约是0.00000045米，它的直径用科学记数法表示为
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，在正方形的外侧，作等边，则为
A． B． C． D．
5．（3分）（2019•鄂尔多斯）下列计算
①②③④⑤，
其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•鄂尔多斯）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．
---------- ---- ---- ---- ----
成绩（分 30 25 20 15
人数（人 2 1
---------- ---- ---- ---- ----
若成绩的平均数为23，中位数是，众数是，则的值是
A． B． C．2.5 D．5
7．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，在中，，依据尺规作图的痕迹，计算的度数是
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•鄂尔多斯）下列说法正确的是
①函数中自变量的取值范围是．
②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7．
③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍．
④同旁内角互补是真命题．
⑤关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
A．①②③ B．①④⑤ C．②④ D．③⑤
9．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，矩形与菱形的对角线均交于点，且，将矩形折叠，使点与点重合，折痕过点．若，，，则的长为
A． B． C． D．
10．（3分）（2019•鄂尔多斯）在"加油向未来"电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从，两地同时出发，相向而行．快车到达地后，停留3秒卸货，然后原路返回地，慢车到达地即停运休息，如图表示的是两车之间的距离（米与行驶时间（秒的函数图象，根据图象信息，计算、的值分别为
A．39，26 B．39，26.4 C．38，26 D．38，26.4
**二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）**
11．（3分）（2019•鄂尔多斯）计算：[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•鄂尔多斯）一组数据，0，1，2，3的方差是[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，中，，以为直径的分别与，交于点，，连接，过点作于点．若，，则阴影部分的面积是[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为"好玩三角形"．若是"好玩三角形"，且，则[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，有一条折线，它是由过，，组成的折线依次平移8，16，24，个单位得到的，直线与此折线有且为整数）个交点，则的值为[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，在圆心角为的扇形中，，为上任意一点，过点作于点，设为的内心，当点从点运动到点时，则内心所经过的路径长为[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）**
17．（8分）（2019•鄂尔多斯）（1）先化简：，再从的整数中选取一个你喜欢的的值代入求值．
（2）解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解．
18．（9分）（2019•鄂尔多斯）某校调查了若干名家长对"初中生带手机上学"现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图，根据图中提供的信息，完成以下问题：
（1）本次共调查了[ ]{.underline}名家长，扇形统计图中"很赞同"所对应的圆心角度数是[ ]{.underline}度，并补全条形统计图．
（2）该校共有3600名家长，通过计算估计其中"不赞同"的家长有多少名？
（3）从"不赞同"的五位家长中（两女三男），随机选取两位家长对全校家长进行"学生使用手机危害性"的专题讲座，请用树状图或列表法求出选中"1男1女"的概率．
19．（8分）（2019•鄂尔多斯）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时接通电源，水温与时间的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式；
（2）怡萱同学想喝高于的水，请问她最多需要等待多长时间？
20．（7分）（2019•鄂尔多斯）某校组织学生到恩格贝和康镇进行研学活动，澄澄老师在网上查得，和分
别位于学校的正北和正东方向，位于南偏东方向，校车从出发，沿正北方向前往地，行驶到15千米的处时，导航显示，在处北偏东方向有一服务区，且位于，两地中点处．
（1）求，两地之间的距离；
（2）校车从地匀速行驶1小时40分钟到达地，若这段路程限速100千米时，计算校车是否超速？
（参考数据：，，
21．（8分）（2019•鄂尔多斯）如图，是的直径，弦，垂足为，连接．过上一点作交的延长线于点，连接交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）延长交的延长线于点，若，，求的长．
22．（9分）（2019•鄂尔多斯）某工厂制作，两种手工艺品，每天每件获利比多105元，获利30元的与获利240元的数量相等．
（1）制作一件和一件分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作，两种手工艺品，每人每天制作2件或1件．现在在不增加工人的情况下，增加制作．已知每人每天可制作1件（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作，两种手工艺品的数量相等．设每天安排人制作，人制作，写出与之间的函数关系式．
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润（元的最大值及相应的值．
23．（11分）（2019•鄂尔多斯）（1）【探究发现】
如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合）．则，，之间满足的数量关系是[ ]{.underline}．
（2）【类比应用】
如图2，若将（1）中的"正方形"改为"的菱形"，其他条件不变，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．
（3）【拓展延伸】
如图3，，，，平分，，且，点是上一点，，求的长．
24．（12分）（2019•鄂尔多斯）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）是直线下方抛物线上的一个动点，作于点，求的最大值．
（3）以点为圆心，1为半径作圆，上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由．
**2019年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）**
1．（3分）（2019•鄂尔多斯）有理数的相反数为
A． B． C． D．3
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：有理数的相反数为：．
故选：．
2．（3分）（2019•鄂尔多斯）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是
A． B．
C． D．
【分析】根据图中符号所处的位置关系作答．
【解答】解：三角形图案的顶点应与圆形的图案相对，而选项与此不符，所以错误；
三角形图案所在的面应与正方形的图案所在的面相邻，而选项与此也不符，
三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项与此也不符，正确的是．
故选：．
3．（3分）（2019•鄂尔多斯）禽流感病毒的半径大约是0.00000045米，它的直径用科学记数法表示为
A．米 B．米 C．米 D．米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：．
故选：．
4．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，在正方形的外侧，作等边，则为
A． B． C． D．
【分析】根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角，等边三角形的三条边都相等，三个角都是求出，的度数，然后根据等腰三角形两个底角相等求出，然后根据列式计算即可得解．
【解答】解：在正方形中，，，
在等边中，，，
在中，，，
所以，，
所以．
故选：．
5．（3分）（2019•鄂尔多斯）下列计算
①②③④⑤，
其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是
A． B． C． D．
【分析】随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
【解答】解：运算结果正确的有⑤，则运算结果正确的概率是，
故选：．
6．（3分）（2019•鄂尔多斯）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．
---------- ---- ---- ---- ----
成绩（分 30 25 20 15
人数（人 2 1
---------- ---- ---- ---- ----
若成绩的平均数为23，中位数是，众数是，则的值是
A． B． C．2.5 D．5
【分析】首先根据平均数求得、的值，然后利用中位数及众数的定义求得和的值，从而求得的值即可．
【解答】解：平均数为23，
，
，
即：，
，
，，
中位数，，
，
故选：．
7．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，在中，，依据尺规作图的痕迹，计算的度数是
A． B． C． D．
【分析】根据平行四边形的性质得，所以，再利用基本作图得到垂直平分，平分，所以，，然后利用互余计算出，从而得到的度数．
【解答】解：四边形为平行四边形，
，
，
由作法得垂直平分，平分，
，，
，
，
的度数是．
故选：．
8．（3分）（2019•鄂尔多斯）下列说法正确的是
①函数中自变量的取值范围是．
②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7．
③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍．
④同旁内角互补是真命题．
⑤关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
A．①②③ B．①④⑤ C．②④ D．③⑤
【分析】利用等腰三角形的性质、正多边形的性质、平行线的性质及一元二次方程根的判别式分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①函数中自变量的取值范围是，故错误．
②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故错误．
③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，正确．
④两直线平行，同旁内角互补是真命题，故错误．
⑤关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，正确，
故选：．
9．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，矩形与菱形的对角线均交于点，且，将矩形折叠，使点与点重合，折痕过点．若，，，则的长为
A． B． C． D．
【分析】延长交于点，连接、，则为直角三角形，证明四边形为菱形，则可证，由勾股定理求得的值，再由梯形的中位线定理，即可得出答案．
【解答】解：延长交于点，连接、；如图所示：
则，为直角三角形，
四边形是菱形，，
，，，
，
由折叠的性质得：，，，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
，
根据题意得：是梯形的中位线，
，
；
故选：．
10．（3分）（2019•鄂尔多斯）在"加油向未来"电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从，两地同时出发，相向而行．快车到达地后，停留3秒卸货，然后原路返回地，慢车到达地即停运休息，如图表示的是两车之间的距离（米与行驶时间（秒的函数图象，根据图象信息，计算、的值分别为
A．39，26 B．39，26.4 C．38，26 D．38，26.4
【分析】由图象可知，两车经过18秒相遇，继续行驶秒，两车的距离为24米，可求速度和为米秒，距离为米，在快车到地停留3秒，两车的距离增加米，慢车的速度为：米秒，而根据题意米的距离相当于慢车行驶秒的路程，故速度为米秒，因此，，解得：米，从而可求慢车速度为：米秒，快车速度为：米秒，快车返回追至两车距离为24米的时间：秒，因此秒．
【解答】解：速度和为：米秒，
由题意得：，解得：，
因此慢车速度为：米秒，快车速度为：米秒，
快车返回追至两车距离为24米的时间：秒，因此秒．
故选：．
**二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）**
11．（3分）（2019•鄂尔多斯）计算：[ ]{.underline}．
【分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
故答案为：．
12．（3分）（2019•鄂尔多斯）一组数据，0，1，2，3的方差是[ 2 ]{.underline}．
【分析】利用方差的定义求解．方差．
【解答】解：数据的平均数，
方差．
故填2．
13．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，中，，以为直径的分别与，交于点，，连接，过点作于点．若，，则阴影部分的面积是[ ]{.underline}．
【分析】根据即可求解．
【解答】解：连接，
，，，
，
，
．
故答案．
14．（3分）（2019•鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为"好玩三角形"．若是"好玩三角形"，且，则[ 或 ]{.underline}．
【分析】分两种情形分别画出图形求解即可．
【解答】解：①如图1中，
在中，，是的中线，设，则，，
．
②如图2中，
在中，，是的中线，设，则，，
．，
故答案为：或．
15．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，有一条折线，它是由过，，组成的折线依次平移8，16，24，个单位得到的，直线与此折线有且为整数）个交点，则的值为[ ]{.underline}．
【分析】由点、的坐标，结合平移的距离即可得出点的坐标，再由直线与此折线恰有，且为整数）个交点，即可得出点在直线上，依据依此函数图象上点的坐标特征，即可求出值．
【解答】解：，，，，，
．
直线与此折线恰有且为整数）个交点，
点在直线上，
，
解得：．
故答案为：．
16．（3分）（2019•鄂尔多斯）如图，在圆心角为的扇形中，，为上任意一点，过点作于点，设为的内心，当点从点运动到点时，则内心所经过的路径长为[ ]{.underline}．
【分析】如图，以为斜边在的右边作等腰，以为圆心为半径作，在优弧上取一点，连接，，，．首先证明点的运动轨迹是，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，以为斜边在的右边作等腰，以为圆心为半径作，在优弧上取一点，连接，，，．
，
，
点是内心，
，
，，，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
点的运动轨迹是，
内心所经过的路径长，
故答案为．
**三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）**
17．（8分）（2019•鄂尔多斯）（1）先化简：，再从的整数中选取一个你喜欢的的值代入求值．
（2）解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解．
【分析】（1）根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后从的整数中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题；
（2）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题．
【解答】解：（1）
，
当时，原式；
（2），
由不等式①，得
，
由不等式②，得
，
故原不等式组的解集是，
该不等式组的非负整数解是0，1．
18．（9分）（2019•鄂尔多斯）某校调查了若干名家长对"初中生带手机上学"现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图，根据图中提供的信息，完成以下问题：
（1）本次共调查了[ 200 ]{.underline}名家长，扇形统计图中"很赞同"所对应的圆心角度数是[ ]{.underline}度，并补全条形统计图．
（2）该校共有3600名家长，通过计算估计其中"不赞同"的家长有多少名？
（3）从"不赞同"的五位家长中（两女三男），随机选取两位家长对全校家长进行"学生使用手机危害性"的专题讲座，请用树状图或列表法求出选中"1男1女"的概率．
【分析】（1）根据无所谓人数及其所占百分比可得总人数，乘以很赞同人数所占比例可得其圆心角度数，由各部分人数之和等于总人数求出不赞同的人数即可补全图形；
（2）用总人数乘以样本中不赞同人数所占比例即可得；
（3）用表示男生，表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：（1）本次调查的家长人数为（人，
扇形统计图中"很赞同"所对应的圆心角度数是，
不赞同的人数为（人，
补全图形如下：
故答案为：200、27；
（2）估计其中"不赞同"的家长有（人；
（3）用表示男生，表示女生，画图如下：
共有20种情况，一男一女的情况是12种，
则刚好抽到一男一女的概率是．
19．（8分）（2019•鄂尔多斯）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时接通电源，水温与时间的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式；
（2）怡萱同学想喝高于的水，请问她最多需要等待多长时间？
【分析】（1）根据题意和函数图象可以求得的值；根据函数图象和题意可以求得关于的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；
（2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题；
【解答】解：（1）观察图象，可知：当时，水温
当时，设关于的函数关系式为：，
，得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，设，
，得，
即当时，关于的函数关系式为，
当时，，
与的函数关系式为：，与的函数关系式每分钟重复出现一次；
（2）将代入，得，
将代入，得，
，
怡萱同学想喝高于的水，她最多需要等待；
20．（7分）（2019•鄂尔多斯）某校组织学生到恩格贝和康镇进行研学活动，澄澄老师在网上查得，和分
别位于学校的正北和正东方向，位于南偏东方向，校车从出发，沿正北方向前往地，行驶到15千米的处时，导航显示，在处北偏东方向有一服务区，且位于，两地中点处．
（1）求，两地之间的距离；
（2）校车从地匀速行驶1小时40分钟到达地，若这段路程限速100千米时，计算校车是否超速？
（参考数据：，，
【分析】（1）作于．由题意，可得，设千米，则千米，构建方程即可解决问题．
（2）求出的长，再求出校车的速度即可判断．
【解答】解：（1）如图，作于．
由题意，可得，设千米，
点是的中点，，
千米，
在中，，
，
，
（千米），（千米），（千米），
（千米）．
（2）在中，（千米），
（千米），
千米小时，
，
校车没有超速．
21．（8分）（2019•鄂尔多斯）如图，是的直径，弦，垂足为，连接．过上一点作交的延长线于点，连接交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）延长交的延长线于点，若，，求的长．
【分析】（1）连接，如图，通过证明得到，然后根据切线的判定定理得到是的切线；
（2）连接，如图，设的半径为，则，，利用勾股定理得到，解得，然后证明，再利用相似比计算的长．
【解答】（1）证明：连接，如图，
，
，
而，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的切线；
（2）解：连接，如图，
设的半径为，则，，
在中，，解得，
在中，，
，
，
，
，即，
．
22．（9分）（2019•鄂尔多斯）某工厂制作，两种手工艺品，每天每件获利比多105元，获利30元的与获利240元的数量相等．
（1）制作一件和一件分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作，两种手工艺品，每人每天制作2件或1件．现在在不增加工人的情况下，增加制作．已知每人每天可制作1件（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作，两种手工艺品的数量相等．设每天安排人制作，人制作，写出与之间的函数关系式．
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润（元的最大值及相应的值．
【分析】（1）根据数量关系，设未知数，列分式方程即可求出，
（2）、的工艺品数量相等，由工作效率的关系可得，生产产品的人数是产品人数的2倍，根据三种工艺品生产人数的和为65，从而得出与的函数关系式，
（3）由于工艺品每件盈利，随着的变化而变化，得出工艺品的每件盈利与的关系，再根据总利润，等于三种工艺品的利润之和，得出与的二次函数关系，但，最大值时，蹦为顶点坐标，因为不为整数，因此要根据抛物线的增减性，确定为何整数时，最大．
【解答】解：（1）设制作一件获利元，则制作一件获利元，由题意得：
，解得：，
经检验，是原方程的根，
当时，，
答：制作一件获利15元，制作一件获利120元．
（2）设每天安排人制作，人制作，则人制作，于是有：
，
答：与之间的函数关系式为．
（3）由题意得：
，
又
，
，对称轴为，而时，的值不是整数，
根据抛物线的对称性可得：
当时，元．
此时制作产品的13人，产品的26人，产品的26人，获利最大，最大利润为2198元．
23．（11分）（2019•鄂尔多斯）（1）【探究发现】
如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合）．则，，之间满足的数量关系是[ ]{.underline}．
（2）【类比应用】
如图2，若将（1）中的"正方形"改为"的菱形"，其他条件不变，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．
（3）【拓展延伸】
如图3，，，，平分，，且，点是上一点，，求的长．
【分析】（1）如图1中，结论：．证明，即可解决问题．
（2）如图2中，结论不成立．．连接，在上截取，连接．首先证明，再利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
（3）如图3中，由可知是钝角三角形，，作于，设．构建方程求出可得，再利用（2）中结论即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，结论：．理由如下：
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
．
故答案为．
（2）如图2中，结论不成立．．
理由：连接，在上截取，连接．
四边形是菱形，，
，
，
，，，四点共圆，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
（3）如图3中，由可知是钝角三角形，，作于，设．
在中，，
，
，
解得（舍弃）或，
，
，
，，，四点共圆，
平分，
，
，
，
是等边三角形，
由（2）可知：，
．
24．（12分）（2019•鄂尔多斯）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）是直线下方抛物线上的一个动点，作于点，求的最大值．
（3）以点为圆心，1为半径作圆，上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）直接利用待定系数法即可得出结论；
（2）先判断出过点平行于直线的直线与抛物线只有一个交点时，最大，再求出此直线的解析式，即可得出结论；
（3）分两种情况：①当时，先求出的长，进而求出，的长，再构造出相似三角形即可得出结论；
②当时，利用锐角三角函数求出点的坐标，最后用对称的性质得出点的坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于，两点，
，
，
抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作直线，使，过点作，
当直线与抛物线只有一个交点时，最大，等于，
直线的解析式为，
设直线的解析式为①，
抛物线的解析式为②，
联立①②化简得，，
△，
，
直线的解析式为，
令，则，
，，
，
在△中，，
．
（3）①当时，如图2，
是的切线，
半径为1，，
轴，
，，
，
与是的切线，
，，
，，
在中，，
，
，
，
过点作轴，
轴，
△，
，
，
，，
，
，，
②当时，如图3，
，
，
，
在中，，，
，
，
过点作轴于，
在中，，
设，则，
根据勾股定理得，，
，
，，
，，
而点与关于点对称，
，，
即：满足条件的点的坐标为，或或，或，．
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**小学五年级上册数学奥数知识点讲解第15课《综合题选讲》试题附答案**
**答案**
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**-北师大版五年级（下）期末数学试卷（12）**
**一、选择题．（将符合要求的选项前面的字母代号填在括号里）（每小题2分，共20分）**
1．（ ）没有倒数．
A．1 B．0.1 C．0
2．下面图形不是正方体展开图的是（ ）
A． B． C．
3．把一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体，切成两个长方体．下图中（ ）的切法增加的表面积多．
A． B． C．
4．一个矿泉水瓶的容积大约是550（ ）
A．毫升 B．立方米 C．升 D．立方分米
5．一个长方体水池，长20米，宽10米，深2米，占地（ ）平方米．
A．200 B．400 C．520
6．某乡镇要把今年农业、工业、商业、渔业等各项收入占总收入的关系表示出来，应选择（ ）统计图．
A．条形 B．折线 C．扇形
7．用棱长1分米的正方体来拼图，则下列说法正确的是（ ）
A．用两个正方体拼成的长方体，拼前拼后体积不变，表面积会发生变化
B．用三个正方体拼成的长方体占地面积最少为3平方分米
C．至少要4个正方体才能拼成一个更大的正方体
8．用一根长（ ）厘米的铁丝正好围成长6厘米、宽5厘米、高2厘米的长方体框架．
A．26 B．117 C．52 D．60
9．在一次数学考试中，其中10名学生的得分如下：70，80，100，60，80，90，50，80，65、70．这组数据的众数是[ ]{.underline}，中位数是[ ]{.underline}．
A.70 B.75 C.80 D.90．
10．3吨的与1吨的比较．（ ）
A．3吨的重 B．1吨的重 C．无法比较 D．同样重
**二、填空题．（每空1分，共10分）**
11．填上适当的单位：
一个苹果的体积约是120[ ]{.underline}
一个热水瓶的容积约是2[ ]{.underline}．
12．把、0.667、、、1按从小到大的顺序排列是[ ]{.underline}．
13．有一根长方体木料体积是540立方分米，它的截面面积是20平方分米，这根木料的长应是[ ]{.underline}．
14．一个正方体的棱长扩大3倍，表面积扩大[ ]{.underline}倍，体积扩大[ ]{.underline}倍．
15．一团橡皮泥，第一次把它捏成长方体，第二次把它捏成正方体，则长方体的体积[ ]{.underline}正方体的体积．（括号里填"大于"或"小于"或"等于"）
16．今年植树节，花园路小学种植了180棵树苗，其中15棵未成活，后来又补种了20棵，全部成活．今年花园路小学种植树苗的成活率是[ ]{.underline}．
17．一张长方形纸条，第一次剪去它的，第二次剪去剩余部分的，第三次再剪去剩余部分的，那么剩下部分占这张纸条的[ ]{.underline}．
18．一件商品打八折后按50元售出，原价是[ ]{.underline}元．
**三、计算题．（共30分）**
19．直接写得数．
---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
×= 22÷= 1÷= ×=
560÷16÷5= ÷= 25÷26= ÷=
20%÷= ×30%= 0÷= ×=
---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
20．用你喜欢的方法计算．
--------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -----------------------------------------------------------------------------------
1÷（÷） ×× ×37%+×37%
 12×（+﹣） ．
--------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ -----------------------------------------------------------------------------------
21．解方程．
20%x﹣=
x+x=
x÷=．
**四、探索题．（共10分）**
22．由棱长为1cm的小正方体靠墙角搭成如图的形状．图中共有[ ]{.underline}个小正方体；搭成的立体图形的体积是[ ]{.underline}cm^3^；它露在外面的面积是[ ]{.underline}cm^2^．
23．请你以"把4米长的彩带，每米剪一段，可以剪成多少段？"为例，用一种方法说明"一个数除以一个分数，等于乘这个分数的倒数"． （可以画图、也可以画线段图，还可以用算式）
**五、解决问题．（共30分）**
24．一个长60厘米，宽40厘米，高50厘米的长方形水盆里，放入8只螃蟹，这样水面就比原来上升了0.4分米，你知道平均每只螃蟹的体积是多少吗？
25．十一黄金周，星星游乐场第一天的门票收入为960元，第二天比第一天增加了，第二天的门票收入是多少元？这两天的门票收入一共是多少元？
26．一件羽绒服原价560元．两家商场以不同的方式促销．
你认为到哪个商场购买羽绒服更便宜？
27．张师傅做一批零件，第一天做了总数的40%，如果再做12个，恰好完成总数的，第一天做了多少个？
28．李老师对六（1）班全体同学进行最喜欢的运动项目调查（每人只能选一项），并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）六（1）班一共有多少名学生？
（2）喜欢踢毽子的人数占全班总人数的百分之几？
（3）在图1中分别画出"乒乓球"和"跳绳"项目的条形．
**-北师大版五年级（下）期末数学试卷（12）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题．（将符合要求的选项前面的字母代号填在括号里）（每小题2分，共20分）**
1．（ ）没有倒数．
A．1 B．0.1 C．0
【考点】倒数的认识．
【分析】根据倒数的定义：由两个数乘积是1的数互为倒数，0和任何数相乘都得0，所以0没有倒数．
【解答】解：由两个数乘积是1的数互为倒数可知，0和任何数相乘都得0，所以0没有倒数；
故选：C．
2．下面图形不是正方体展开图的是（ ）
A． B． C．
【考点】正方体的展开图．
【分析】根据正方体展开图的11种特征，图A和图C是"1 4 1"结构，是正方体的展开图；图B不符合正方体展开图的11种特征，不是正方体的展开图．
【解答】解：图A和图C是"1 4 1"结构，是正方体的展开图；
图B不符合正方体展开图的11种特征，不是正方体的展开图．
故选：B．
3．把一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体，切成两个长方体．下图中（ ）的切法增加的表面积多．
A． B． C．
【考点】简单的立方体切拼问题．
【分析】要求那种切法增加的表面积多，就要看那种切法切面的面积大．
【解答】解：图A：8×6，
=48（平方厘米）．
图B：6×4，
=24（平方厘米）．
图C：8×4
=32（平方厘米）．
48＞32＞24
故应选：A．
4．一个矿泉水瓶的容积大约是550（ ）
A．毫升 B．立方米 C．升 D．立方分米
【考点】根据情景选择合适的计量单位．
【分析】根据生活经验、对容积单位认识和所给数据大小可知：一个矿泉水瓶的容积大约是550毫升．据此解答即可．
【解答】解：一个矿泉水瓶的容积大约是550毫升．
故选：A．
5．一个长方体水池，长20米，宽10米，深2米，占地（ ）平方米．
A．200 B．400 C．520
【考点】长方体和正方体的表面积．
【分析】求占地面积也就是求长方体的底面积，利用长方形的面积公式计算．
【解答】解：20×10=200（平方米）；
答：占地200平方米．
故选：A．
6．某乡镇要把今年农业、工业、商业、渔业等各项收入占总收入的关系表示出来，应选择（ ）统计图．
A．条形 B．折线 C．扇形
【考点】统计图的选择．
【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．
【解答】解：根据统计图的特点可知：某乡镇要把今年农业、工业、商业、渔业等各项收入占总收入的关系表示出来，应选择扇形统计图．
故选：C．
7．用棱长1分米的正方体来拼图，则下列说法正确的是（ ）
A．用两个正方体拼成的长方体，拼前拼后体积不变，表面积会发生变化
B．用三个正方体拼成的长方体占地面积最少为3平方分米
C．至少要4个正方体才能拼成一个更大的正方体
【考点】简单的立方体切拼问题．
【分析】根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论．
【解答】解：A、用两个正方体拼成的长方体，拼前拼后体积不变，表面积会发生变化，说法正确；
B、用三个正方体拼成的长方体占地面积最少为3平方分米，说法错误，应为1平方分米；
C、至少要4个正方体才能拼成一个更大的正方体，说法错误，应为8个；
故选：A．
8．用一根长（ ）厘米的铁丝正好围成长6厘米、宽5厘米、高2厘米的长方体框架．
A．26 B．117 C．52 D．60
【考点】长方体的特征．
【分析】根据题意可知，需要多长的铁丝围成一个长方体框架，也就是求长方体的棱长总和．长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，把数据代入公式解答即可．
【解答】解：（6+5+2）×4，
=13×4，
=52（厘米），
答：需要一根长52厘米的铁丝．
故选：C．
9．在一次数学考试中，其中10名学生的得分如下：70，80，100，60，80，90，50，80，65、70．这组数据的众数是[ 80 ]{.underline}，中位数是[ 75 ]{.underline}．
A.70 B.75 C.80 D.90．
【考点】众数的意义及求解方法；中位数的意义及求解方法．
【分析】将一组数据按照从小到大的顺序进行排列，排在中间位置上的数叫作这组数据的中位数，若这组数据的个数为偶数个，那么中间两位数的平均数就是这组数据的中位数，在这组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数，解答即可．
【解答】解：将数据按照从小到大的顺序排列为：
50、60、65、70、70、80、80、80、90、100，
因为这组数据中出现次数最多的数是80，
所以这组数据的众数是80；
中位数为：（70+80）÷2=75；
故答案为：80、75．
10．3吨的与1吨的比较．（ ）
A．3吨的重 B．1吨的重 C．无法比较 D．同样重
【考点】分数大小的比较；分数乘法．
【分析】要比较3吨的与1吨的的大小，可通过计算比较，3吨的是3×=（吨），1吨的是1×=（吨），然后比较大小即可．
【解答】解：3吨的是：
3×=（吨），
1吨的是：
1×=（吨），
所以3吨的等于1吨的；
故选：D．
**二、填空题．（每空1分，共10分）**
11．填上适当的单位：
一个苹果的体积约是120[ 立方厘米 ]{.underline}
一个热水瓶的容积约是2[ 升 ]{.underline}．
【考点】根据情景选择合适的计量单位．
【分析】根据生活经验、对体积单位和数据大小的认识，可知计量一个苹果的体积用"立方厘米"做单位；计量一个热水瓶的容积用"升"作单位．
【解答】解：一个苹果的体积约是120 立方厘米
一个热水瓶的容积约是2 升；
故答案为：立方厘米，升．
12．把、0.667、、、1按从小到大的顺序排列是[ ]{.underline}[＜]{.underline}[＜0.667]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】小数、分数和百分数之间的关系及其转化；小数大小的比较．
【分析】把分数都化为小数，再根据小数的大小比较方法进行比较即可．
【解答】解：
1．1428
1.1428＞0.67＞0.667＞0.6667＞0.4
所以：1．
故答案为：．
13．有一根长方体木料体积是540立方分米，它的截面面积是20平方分米，这根木料的长应是[ 27分米 ]{.underline}．
【考点】长方体和正方体的体积．
【分析】因为长方体的体积等于底面积乘高，所以体积除以底面积（截面面积）就等于高（长），由此解答即可．
【解答】解：540÷20=27（分米），
答：这根木料的长应是27分米．
故答案为：27分米．
14．一个正方体的棱长扩大3倍，表面积扩大[ 9 ]{.underline}倍，体积扩大[ 27 ]{.underline}倍．
【考点】长方体和正方体的表面积；长方体和正方体的体积．
【分析】设原正方体的棱长为a，则扩大3倍后的棱长为3a，分别求出扩大前后的表面积和体积，用扩大后的表面积和体积除以原来的表面积和体积，就是表面积和体积扩大的倍数．
【解答】解：设原正方体的棱长为a，则扩大3倍后的棱长为3a，
原正方体的表面积：a×a×6=6a^2^，
原正方体的体积：a×a×a=a^3^；
扩大后的正方体的表面积：3a×3a×6=54a^2^，
扩大后的正方体的体积：3a×3a×3a=27a^3^，
表面积扩大：54a^2^÷6a^2^=9（倍），
体积扩大：27a^3^÷a^3^=27（倍）；
答：表面积扩大9倍，体积扩大27倍．
故答案为：9、27．
15．一团橡皮泥，第一次把它捏成长方体，第二次把它捏成正方体，则长方体的体积[ 等于 ]{.underline}正方体的体积．（括号里填"大于"或"小于"或"等于"）
【考点】长方体和正方体的体积．
【分析】物体的体积是指：物体所占空间的大小．把一块橡皮泥无论捏成一个正方体还是一个长方体，它的形状虽然变了，但是所占空间的大小没变，即体积不变，解答即可．
【解答】解：把一个正方体橡皮泥捏成一个长方体，它的形状变了，体积不变．
所以一团橡皮泥，第一次把它捏成长方体，第二次把它捏成正方体，则长方体的体积等于正方体的体积．
故答案为：等于．
16．今年植树节，花园路小学种植了180棵树苗，其中15棵未成活，后来又补种了20棵，全部成活．今年花园路小学种植树苗的成活率是[ 92.5% ]{.underline}．
【考点】百分率应用题．
【分析】成活率是指成活的棵数占总棵数的百分比，计算方法是：成活的棵数÷植树总棵数×100%=成活率，代入数据求解即可．
【解答】解：÷×100%
=185÷200×100%
=92.5%
答：今年花园路小学种植树苗的成活率是92.5%．
故答案为：92.5%．
17．一张长方形纸条，第一次剪去它的，第二次剪去剩余部分的，第三次再剪去剩余部分的，那么剩下部分占这张纸条的[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】分数四则复合应用题．
【分析】第一次剪去它的，则还剩下全部的1﹣，第二次剪去剩余部分的，根据分数乘法的意义，第二次剪去全部的（1﹣）×，此时还剩下全部的1﹣﹣（1﹣）×，又第三次再剪去剩余部分的，则第二次剪去了全部的\[1﹣﹣（1﹣）×\]×，则用单位"1"分别剪去这三次剪去的占全部的分率，即得剩下部分占这张纸条的分率．
【解答】解：1﹣﹣（1﹣）×﹣\[1﹣﹣（1﹣）×\]×
=﹣×﹣（﹣×）×
=﹣﹣（﹣）×
=﹣﹣×
=﹣
=
答：剩下部分占这张纸条的．
故答案为：．
18．一件商品打八折后按50元售出，原价是[ 62.5 ]{.underline}元．
【考点】百分数的实际应用．
【分析】一件商品打八折就是按原价的80%出售，就是一个数的80%是50．据此解答．
【解答】解：50÷80%=62.5（元），
答：原价62.5元．
故答案为：62.5．
**三、计算题．（共30分）**
19．直接写得数．
---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
×= 22÷= 1÷= ×=
560÷16÷5= ÷= 25÷26= ÷=
20%÷= ×30%= 0÷= ×=
---------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------
【考点】分数乘法；分数除法．
【分析】根据分数乘法、分数除法的运算方法口算即可，注意计算560÷16÷5时，应用除法的性质．
【解答】解：
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
×= 22÷=33 1÷=1 ×=
560÷16÷5=7 ÷=1 25÷26= ÷=
20%÷= ×30%=0.1 0÷=0 ×=1
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
20．用你喜欢的方法计算．
--------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------
1÷（÷） ×× ×37%+×37%
 12×（+﹣） ．
--------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------
【考点】分数的四则混合运算．
【分析】（1）先算小括号里面的除法，再算括号外面的除法；
（2）根据乘法交换律进行简算；
（3）根据乘法分配律进行简算；
（4）按照从左向右的顺序进行计算；
（5）根据乘法分配律进行简算；
（6）先算减法，再算除法，最后算加法．
【解答】解：（1）1÷（÷）
=1÷
=；
（2）××
=××
=1×
=；
（3）×37%+×37%
=（+）×37%
=1×37%
=0.37；
（4）10÷×
=×
=15；
（5）12×（+﹣）
=12×+12×﹣12×
=3+2﹣4
=1；
（6）+（﹣）÷
=+÷
=+
=．
21．解方程．
20%x﹣=
x+x=
x÷=．
【考点】方程的解和解方程．
【分析】（1）根据等式的性质，两边同加上，再同除以20%求解；
（2）先化简方程为x=，根据等式的性质，两边同乘上求解；
（3）根据等式的性质，两边同乘上求解．
【解答】解：20%x﹣=
20%x﹣+=+
20%x=1
20%x÷20%=1÷20%
x=5；
（2）x+x=
x=
x×=×
x=2；
（3）x÷=
x÷×=×
x=．
**四、探索题．（共10分）**
22．由棱长为1cm的小正方体靠墙角搭成如图的形状．图中共有[ 14 ]{.underline}个小正方体；搭成的立体图形的体积是[ 14 ]{.underline}cm^3^；它露在外面的面积是[ 21 ]{.underline}cm^2^．
【考点】简单的立方体切拼问题；规则立体图形的表面积；规则立体图形的体积．
【分析】（1）观察图形可知，一共有3层，最小面一层是9个小正方体；中间一层是4个小正方体；上面一层是1个小正方体；一共有9+4+1=14个小正方体；这个立体图形的体积是图中小正方体的体积之和，利用正方体的体积再乘14即可．
（2）露在外面的面：从上面看有9个正方形面；从正面和右面看分别有6个正方形面；1个正方形面的面积是1平方厘米；由此即可解答．
【解答】解：一共有小正方体：9+4+1=14（个），
立体图形的体积是：14×1=14（立方厘米），
露在外部的面的面积是：（9+6+6）×1=21（平方厘米），
故答案为：14；14；21．
23．请你以"把4米长的彩带，每米剪一段，可以剪成多少段？"为例，用一种方法说明"一个数除以一个分数，等于乘这个分数的倒数"． （可以画图、也可以画线段图，还可以用算式）
【考点】分数除法；分数乘法．
【分析】求可以剪成的段数，就是求4米里面有几个米；直接用4米除以米，然后根据分数的意义和分数乘法的意义解答即可．
【解答】解：1米里面有3个，2米里面有3×2个，即3个；所以4米里面有4÷2个2米，即有4÷2个（3个），
所以，4÷
=4÷2×3
=
=4×
=6（段）
答：可以剪成6段．
**五、解决问题．（共30分）**
24．一个长60厘米，宽40厘米，高50厘米的长方形水盆里，放入8只螃蟹，这样水面就比原来上升了0.4分米，你知道平均每只螃蟹的体积是多少吗？
【考点】探索某些实物体积的测量方法；长方体和正方体的体积．
【分析】根据题意可知，上升到水的体积就是8只螃蟹的体积，根据长方体体积计算公式求出水的体积，再除以8即可．
【解答】解：0.4分米=40厘米
60×40×40÷8
=2400×40÷8
=96000÷8
=12000（立方厘米）
答：平均每只螃蟹的体积是12000立方厘米．
25．十一黄金周，星星游乐场第一天的门票收入为960元，第二天比第一天增加了，第二天的门票收入是多少元？这两天的门票收入一共是多少元？
【考点】分数乘法应用题．
【分析】星星游乐场第一天的门票收入为960元，第二天比第一天增加了，即第二天收入是第一天的1+，根据分数乘法的意义，第二天收入：960×（1+）元．然后将两天收入相加即得这两天的门票收入一共是多少元．
【解答】解：960×（1+）
=960×，
=1120（元）．
960+1120=2080（元）．
答：第二天收入是1120元，两天共收入2080元．
26．一件羽绒服原价560元．两家商场以不同的方式促销．
你认为到哪个商场购买羽绒服更便宜？
【考点】百分数的实际应用．
【分析】由于百货商场满400送200现金，羽绒服原价560元，多于400元，则可获送200元，实花560﹣200=360元，中央商场打六五折出售，即按原价的65%出售，根据分数乘法的意义，现价是560×65%=364元，364＞360，所以到百货商场更便宜．
【解答】解：百货商场：
560＞400
560﹣200=360（元）
中央商场：
560×65%=364（元）
364＞360，
所以到百货商场更便宜．
27．张师傅做一批零件，第一天做了总数的40%，如果再做12个，恰好完成总数的，第一天做了多少个？
【考点】分数、百分数复合应用题．
【分析】把这批零件的总个数看作单位"1"，第一天做了总数的40%，如果再做12个，恰好完成总数的，所以12个占总数用的﹣40%，用除法即可得总个数，再乘以第一天做的总数的比率即可得第一天做了多少个．
【解答】解：12÷（﹣40%）×40%
=12÷×40%
=45×40%
=18（个）
答：第一天做了18个．
28．李老师对六（1）班全体同学进行最喜欢的运动项目调查（每人只能选一项），并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）六（1）班一共有多少名学生？
（2）喜欢踢毽子的人数占全班总人数的百分之几？
（3）在图1中分别画出"乒乓球"和"跳绳"项目的条形．
【考点】统计图表的综合分析、解释和应用；统计图表的填补．
【分析】（1）由图1可知：最喜欢篮球的有8人，由图2可知最喜欢篮球的占总人数的20%；把总人数看成单位"1"，它的20%对应的数量就是8人，用除法求出总人数；
（2）用踢毽子的人数6人除以总人数即可；
（3）先用总人数乘30%求出最喜欢乒乓球的人数，用总人数乘12.5%求出最喜欢跳绳的人数，再化成条形统计图即可．
【解答】解：（1）8÷20%=40（人）；
答：六年级（1）班一共有40人．
（2）6÷40=15%；
答：喜欢踢毽子的人数占全班总人数的15%．
（3）最喜欢乒乓球的人数：
40×30%=12（人）；
最喜欢跳绳的人数：
40×12.5%=5（人）；
统计图如下：
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**2013年全国硕士研究生入学统一考试**
数学一试题
**一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.**
（1）已知极限，其中为常数，且，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）曲面在点处的切平面方程为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）设，，令，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）设为四条逆时针的平面曲线，记，则( )
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
（6）矩阵与相似的充分必要条件为
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）设是随机变量，且,
则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）设随机变量给定常数c满足,则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
**二、填空题：9−14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.**
(9)设函数由方程确定，则 [ ]{.underline} ．
(10)已知，，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为 [ ]{.underline} ．
(11)设（为参数），则 [ ]{.underline} ．
\(12\) [ ]{.underline} ．
（13）设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若
（14）设随机变量Y服从参数为1的指数分布,为常数且大于零，则\_\_\_\_\_\_\_\_。
**三、解答题：15---23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
（15）（本题满分10分）
计算其中
（16）（本题满分10分）
设数列满足条件：是幂级数的和函数，
I. 证明：,
II. 求的表达式.
（17）（本题满分10分）
求函数的极值.
（18）（本题满分10分）
设奇函数上具有2阶导数，且证明：
I. 存在
II. 存在，使得
（19）（本题满分10分）
设直线L过两点，将L绕Z轴旋转一周得到曲面所围成的立体为，
I. 求曲面的方程
II. 求的形心坐标.
（20）（**本题满分11分）**
设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。
（21）（**本题满分11分）**
设二次型，记。
（I）证明二次型对应的矩阵为；
（II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。
（22）（本题满分11分）
设随机变量的概率密度为，令随机变量,
（I）求Y的分布函数
（II）求概率
（23）（本题满分11分）
设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本.
（1）求的矩估计量；
（2）求的最大似然估计量.
**2013年全国硕士研究生入学统一考试**
数学一试题答案
**一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.**
（1）已知极限，其中为常数，且，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
【解析】
（2）曲面在点处的切平面方程为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
【解析】设，
则；
；
，
所以该曲面在点处的切平面方程为，
化简得，选A
（3）设，，令，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
**【解析】**根据题意，将函数在上奇延拓，它的傅里叶级数为它是以2为周期的，则当且在处连续时，，因此
（4）设为四条逆时针的平面曲线，记，则( )
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
【解析】
利用二重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域上函数为正值，则区域大，积分大，所以，在之外函数值为负，因此，故选D。
（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若，且可逆，则（ ）
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
【答案】（B）
【解析】由可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。
（6）矩阵与相似的充分必要条件为
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】(B)
【解析】由于为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而与相似的充分必要条件为的特征值为。
又，从而。
（7）设是随机变量，且,
则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】（A）
【解析】由知，
，
，故.
由根据及概率密度的对称性知，，故选（A）
（8）设随机变量给定常数c满足,则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】（C）
【解析】由得，，故
**二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上)．**
(9)设函数由方程确定，则 [ ]{.underline} ．
【答案】1
【解析】
由，当时，
方程两边取对数
两边同时对求导，得
将，代入上式，得
(10)已知，，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】因，是非齐次线性线性微分方程的解，则是它所对应的齐次线性微分方程的解，可知对应的齐次线性微分方程的通解为，因此该方程的通解可写为
(11)设（为参数），则 [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】， ，
，所以，所以
\(12\) [ ]{.underline} ．
【答案】
【解析】
（13）设是三阶非零矩阵，为A的行列式，为的代数余子式，若
【答案】
【解析】
（14）设随机变量X服从标准正态分布,则= \_\_\_\_\_\_\_\_。
【答案】
【解析】由及随机变量函数的期望公式知
.
**三、解答题：15---23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
（15）（本题满分10分）
计算其中
【解析】
（16）（本题满分10分）
设数列满足条件：是幂级数的和函数，
III. 证明：,
IV. 求的表达式.
【解析】（I）设，，，
因为，因此；
（II）方程的特征方程为，
解得，所以，
又，，
解得，所以。
17（本题满分10分）
求函数的极值.
【解析】
解得，
对于点，
为极小值点，极小值为
对于，,不是极值.
（18）（本题满分10分）
设奇函数上具有2阶导数，且证明：
III. 存在
IV. 存在，使得
【解析】（1）令
则使得
（2）令则
又由于为奇函数，故为偶函数，可知,
则使
即，即
（19）（本题满分10分）
设直线L过两点，将L绕Z轴旋转一周得到曲面所围成的立体为，
III. 求曲面的方程
IV. 求的形心坐标.
【解析】（1）过两点，所以其直线方程为：
所以其绕着轴旋转一周的曲面方程为：
（2）由形心坐标计算公式可得，所以形心坐标为
（20）（**本题满分11分）**
设，当为何值时，存在矩阵使得，并求所有矩阵。
【解析】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设，则由可得线性方程组：
（1）
由于方程组（1）有解，故有，即从而有
，故有
从而有
（21）（**本题满分11分）**
设二次型，记。
（I）证明二次型对应的矩阵为；
（II）若正交且均为单位向量，证明二次型在正交变化下的标准形为二次型。
【解析】(1)
（2），则1,2均为A的特征值，又由于，故0为A的特征值，则三阶矩阵A的特征值为2,1,0，故f在正交变换下的标准形为
（22）（本题满分11分）
设随机变量的概率密度为，令随机变量,
（I）求Y的分布函数
（II）求概率
【解析】（1）
由的概率分布知，当时，；
当时，；
当时，
=
\(2\)
（23）（本题满分11分）
设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本.
（1）求的矩估计量；
（2）求的最大似然估计量.
【解析】(1)，令，故矩估计量为.
\(2\)
当时，
令，
得，所以得极大似然估计量=.
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**《认识直角》同步练习3**
> 1.找出比直角小的角，在它下面的（ ）里画"√ "
>
> （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
>
> 2.数一数下图有( )个直角．
>
> 
>
> 3.用三角板量一量, 下面哪个角是直角, 在( )里画√, 哪个不是画×．
>
> 
>
> 4\. 在下面的图形中各有几个角?
>
> 
>
> 5\. 下面的图形里有几个直角?
>
> 
>
> 6.下图中( )个直角
>
> \[来源:Zxxk.Com\]
>
> \[来源:学\#科\#网\]
>
> **参考答案：**
>
> 1.找出比直角小的角，在它下面的（ ）里画"√ "\[来源:Z§xx§k.Com\]
>
> （ √ ） （√ ） （ ） （ √ ） （√ ）
>
> 2.数一数下图有( 16 )个直角．
>
> 3.用三角板量一量, 下面哪个角是直角, 在( )里画√, 哪个不是画×．
>
> （× ）（√ ）（× ）（√ ）\[来源:Z+xx+k.Com\]
>
> 4\. 在下面的图形中各有几个角?
>
> （ 3 ）（ 6 ）（ 6 ）
>
> 5\. 下面的图形里有几个直角?（ 8 ）\[来源:Z.xx.k.Com\]
>
> 6.下图中( 3 )个直角
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**北师大上学期五年级期中试卷**
+------+----+----+----+----+----+------+------+
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 卷面 | 总分 |
| | | | | | | | |
| | | | | | | 3分 | |
+------+----+----+----+----+----+------+------+
| 得分 | | | | | | | |
+------+----+----+----+----+----+------+------+
**一．填空小能手。（1分×23=23分）**
1.计算53.21÷0.31时，被除数和除数的小数点都要向（ ）移动（ ）位。
2.两个乘数的积是46.23，其中一个乘数是23，另一个乘数是（ ）。
3.（ ）三角形有三条对称轴，（ ）三角形有一条对称轴，长方形有（ ）条对称轴，正方形有（ ）条对称轴，圆形有（ ）条对称轴。
4.升国旗时，国旗的升降运动是（ ）现象，妈妈用拖布拖地是（ ）现象，自行车车轮转了一圈又一圈是（ ）运动。[http:///](http://www.xkb1.com/)
5.因为4×9=36,36是9和4的（ ），9和4是36的（ ）。
6.同时是2.3.5的倍数的最大三位数是（ ），最小三位数是（ ）。
7.任意两个奇数的和是（ ）数，积是（ ）数。
8.求一个小数的近似数，用（ ）法保留小数位数。
9.有两个数，他们的和是68.4，两个数相除的商是11，这两个数分别是（ ）和（ ）。
10.偶数+偶数=（ ） 奇数×偶数=（ ） 偶数+奇数=（ ）
**二．数学小法官。（1分×5=5分）**
1.一个数是6的倍数，这个数一定也是3的倍数。 （ ）
2.20的因数有无数个。 （ ）
3.两个数相除，商不一定小于被除数。 （ ）
4.被除数和除数是小数，商也一定是小数。 （ ）
5.2.3.4.6.12是12的全部因数。 （ ）
**三．对号入座。（1分×5=5分）**
1.下列各数中，（ ）同时是3和5的倍数。[http:///](http://www.xkb1.com/)
A.18 B. 102 C.45
2.商最大的算式是（ ）。
A.6.5 ÷12.5 B. 6.5 ÷0.125 C.6.5÷12.5
3.下列英文字母中，（ ）是轴对称图形。
A.**Q** B. **P** C.**H**
4.下列各组数是48的因数的是（ ）。
A.4和14 B. 6和18 C.8和6
5.18的所有因数的和是( ).
A.48 B. 39 C.40
**四．计算我最棒。（共32分）**
1.直接写得数。（1分×10=10分）
5.6÷0.8= 3.6÷0.4= 0.72÷0.06= 100÷0.25= 0.3×0.3=
6.3÷0.09= 5÷0.25= 4.5×0.07= 0.76÷0.4= 20÷0.2=
2.竖式计算，最后一题验算。（2分×3=6分，验算题4分，共10分。）
9.36÷5.2= 32.8÷19（保留两位小数）=
72.9÷0.9= 41.6÷32（计算并验算）=
3.脱式计算，能简算的要简算。（3分×4=12分）
90÷(3.6－1.8) 3.6÷0.4－1.2×5
27.3－1.2－8.8 3.76÷0.4÷2.5
**五．生活中的问题我来解决。（7分×5=35分。）**
1.猎豹是动物中的奔跑冠军，速度可达每小时100千米，照这样的速度，它平均每分钟跑多少千米？（得数保留两位小数。）
[http:///](http://www.xkb1.com/)
2.从山脚到山顶的路程是2.85千米，同学们上山用了2.5时，沿着原路下山用了3.5时，上山，下山的平均速度是多少？
[http:///](http://www.xkb1.com/)
3.做一套童装需要2.2米布，30米布可以做多少套这样的童装？
4.面粉厂计划加工面粉360.6吨，每天加工84.3吨，加工了若干天后，还剩下23.4吨，已经加工了多少天？
5.张大爷有一块长方形的小菜园，（如下图），他想用篱笆围起来，需要篱笆多少米？
**北师大上学期五年级期中试卷**
1. **填空小能手。（1分×23=23分）**
**1.右 两 2.2.01 3.等边 等腰 两 四 无数**
**4.平移 平移 旋转 5.倍数 因数 6.990 120**
**7.偶 奇 8.四舍五入 9.5.7 62.7 10.偶数 偶数 奇数**
**二．数学小法官。（1分×5=5分）**
**1.** **√ 2.X 3.** **√ 4.X 5.X**[http:///](http://www.xkb1.com/)
**三．对号入座。（1分×5=5分）**
**1.C 2.B 3.C 4.C 5.B**
**四．计算我最棒。（共32分）**
1.直接写得数。（1分×10=10分）
7 9 12 400 0.09
70 20 0.315 1.9 100
2.竖式计算，最后一题验算。（2分×3=6分，验算题4分，共10分。）
9.36÷5.2= 1.8 32.8÷19（保留两位小数）≈1.73
72.9÷0.9= 81 41.6÷32（计算并验算）=1.3验算略
3\. 脱式计算，能简算的要简算。（3分×4=12分）
50 3 17.3（本题简算） 3.76（本题简算）
**五．生活中的问题我来解决。（7分×5=35分。）**
1.100÷60≈1.67（千米）
2.2.85×2=5.7（千米） 2.5+3.5=6(千米) 5.7÷6=0.95（千米）
3.30÷2.2≈13（套）（去一法取值。）
4.（360.6－23.4）÷8403=4（天）
5.26.4－1=25.4（米） 26.4+25.4+20.1×2=92（米）
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2007年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
理科数学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷（非选择题）两部分. 第I卷1至2页. 第II卷3至4页. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准
考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数等于
A．4*i* B．－4*i* C． 2 *i* D．－2 *i*
2．不等式的解集是
A． B．\[－1，2\]
C． D．
3．设*M*、*N*是两个集合，则""是""的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．设***a***、***b***是非零向量，若函数*f*(*x*)=（*x**a***+***b***）·（***a***－*x**b***）的图象是一条直线，则必有
A．***a***⊥***b*** B．***a***∥***b*** C．\| ***a* \|**=\| ***b* \|** D．\| ***a* \|**≠\| ***b* \|**
5．设随机变量服从标准正态分布*N*（0，1），已知（－1.96）=0.025，则
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
6．函数的图象和函数的图象的交点个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
7．下列四个命题中，不正确的是
A．若函数处连续，则
B．函数的不连续点是
C．若函数、满足
D．
8．棱长为1的正方体*ABCD*---*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的8个顶点都在球*O*的表面上，*E*、*F*分别是棱*AA*~1~、*DD*~1~的中点，则直线*EF*被球*O*截得的线段长为
A． B．1 C．1+ D．
9．设*F*~1~、*F*~2~分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在点*P*，
使*PF*~1~的中垂线过点*F*~2~，则椭圆离心率的取值范围是
A． B． C． D．
10．设集合、*S*~2~、...、*S~k~*都是*M*的含两个元素的子集，且满足：对任意的、都有表示两个数*x*、*y*中的较小者），则*k*的最大值是
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上.
11．圆心为（1，1）且与直线*x*+*y*=4相切的圆的方程是 [ ]{.underline} .
12．在△*ABC*中，角*A*、*B*、*C*所对的边分别为*a*、*b*、*c*，若，则*B*=
[ ]{.underline} .
13．函数在区间\[－3，3\]上的最小值是 [ ]{.underline} .
14．设集合.
（1）*b*的取值范围是 [ ]{.underline} ；
（2）若的最大值为9，则*b*的值是 [ ]{.underline} .
15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0---1三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，...，第*n*次全行的数都为1的是第 [ ]{.underline} 行；第61行中1的个数是 [ ]{.underline} .
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）设是函数图象的一条对称轴，求 的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间.
17．（本小题满分12分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力. 每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训. 已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%. 假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.
（Ⅰ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率：
（Ⅱ）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望.
18．（本小题满分12分）
如图2，*E*、*F*分别是矩形*ABCD*的边*AB*、*CD*的中点，*G*是*EF*上的一点. 将△*GAB*、△*GCB*分别沿*AB*、*CD*翻折成△*G*~1~*AB*、△*G*~2~*CD*，并连结*G*~1~*G*~2~，使得平面*G*~1~*AB*⊥平面*ABCD*，*G*~1~*G*~2~//*AD*，且*G*~1~*G*~2~\<*AD*. 连结*BG*~2~，如图3.
（Ⅰ）证明平面*G*~1~*AB*⊥平面*G*~1~*ADG*~2~；
（Ⅱ）当*AB*=12，*BC*=25，*EG*=8时，求直线*BG*~2~和平面*G*~1~*ADG*~2~所成的角.
19．（本小题满分13分）
如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点*P*和居民区*O*的公路，点*P*所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为，点*P*到平面的距离*PH*=0.4（km）.沿山脚原有一段笔直的公路*AB*可供利用，从点*O*到山脚修路的造价为*a*万元/km，原有公路改建费用为万元/km. 当山坡上公路长度为*l*km（1）时，其造价为万元. 已知*OA*⊥*AB*，*PB*⊥*AB*，*AB*=1.5（km），*OA*=
（km）.
（Ⅰ）在*AB*上求一点*D*，使沿折线*PDAD*修建公路的总造价最小；
> （Ⅱ）对于（I）中得到的点*D*，在*DA*上求一点*E*，使沿折线*PDEO*修建公路的总造价最小；
>
> （Ⅲ）在*AB*上是否存在两个不同的点*D*′、*E*′，使沿折线*PD*′*E*′*O*修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论.
20．（本小题满分13分）
已知双曲线的左、右焦点分别为*F*~1~、*F*~2~，过点*F*~2~的动直线与双曲线相交于*A*、*B*两点.
（Ⅰ）若动点*M*满足（其中*O*为坐标原点），求点*M*的轨迹方程；
（Ⅱ）在*x*轴上是否存在定点*C*，使为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分13分）
已知上的点，的前*n*项和，且
满足：
（Ⅰ）证明 数列是常数数列；
（Ⅱ）确定*a*的取值集合*M*，使时，数列是单调递增数列；
（Ⅲ）证明 当时，弦的斜率随*n*单调递增.
2007年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
理科数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每上题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在横线上。
11． 12． 13．－16
14．（1） （2） 15．2*^n^*－1 32
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
解：（1）由题设知
因为图象的一条对称轴，所以
***Z***）.
所以
当*k*为偶数时，
当*k*为奇数时，
（II）解
是增函数.
故函数的单调递增区间是.
17．（本小题满分12分）
解：任选1名下岗人员，记"该人参加过财会培训"为事件*A*，"该人参加过计算机培训"为事件*B*，由题设知，事件*A*与*B*相互独立，且*P*（*A*）=0.6，*P*（*B*）=0.75.
（I）解法一 任选1名下岗人员，该人员没有参加过培训的概率是
所有该人参加过培训的概率是
解法二 任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
该人参加过两项培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是
（II）解：因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布*B*（3，0.9），的分布列是
+---+-------+-------+-------+-------+
| | 0 | 1 | 2 | 3 |
+---+-------+-------+-------+-------+
| P | 0.001 | 0.027 | 0.234 | 0.729 |
| = | | | | |
+---+-------+-------+-------+-------+
的期望是=1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7.
（或的期望是=3×0.9=2.7）
18．（本小题满分12分）
解 解法一（I）因为平面*G*~1~*AB*⊥平面*ABCD*，平面*G*~1~*AB*∩平面*ABCD=AB*，
*AD*⊥*AB*，*AD*平面*ABCD*，所以*AD*⊥平面*G*~1~*AB*. 又*AD*平面*G*~1~*ADG*~2~，所以平面*G*~1~*AB*⊥平面*G*~1~*ADG*~2~.
> （II）过点*B*作*BH*⊥*AG*~1~于点*H*，连结*G*~2~*H*，
>
> 由（I）的结论可知，*BH*⊥平面*G*~1~*ADG*~2~，
>
> 所以∠*BG*~1~*H*是*BG*~2~和平面*G*~1~*ADG*~2~所成的角.
>
> 因为平面*G*~1~*AB*⊥平面*ABCD*，
>
> 平面*G*~1~*AB*∩平面*ABCD*=*AB*，*G*~1~*E=AB*
>
> *G*~1~*E*平面*G*~1~*AB*，所以*G*~1~*E*⊥平面*ABCD*，故*G*~1~*E*⊥*EF*.
>
> 因为*G*~1~*G*~2~\<*AD*，*AD=EF*，所以可在*EF*上取一点*O*，使*EO=G*~1~*G*~2~，又因
>
> 为*G*~1~*G*~2~//*AD//EO*，所以四边形*G*~1~*EOG*~2~是矩形.
>
> 由题设*AB*=12，*BC*=25，*EG*=8，则*GF*=17.
>
> 所以*G*~2~*O*=*G*~1~*E*=8，*G*~2~*F*=17，
>
> *OF*=
>
> 因为*AD*⊥平面*G*~1~*AB*，*G*~1~*G*~2~*//AD*，
>
> 所以*G*~1~*G*~2~⊥平面*G*~1~*AB*，从而*G*~1~*G*~2~⊥*G*~1~*B*.
>
> 故*BG*=*BE*^2^+*EG*+*G*~1~*G*=6^2^+8^2^+10^2^=200，*BG*~2~=.
>
> 又*AG*~1~=
>
> 故
>
> 即直线*BG*~2~与平面*G*~1~*ADG*~2~所成的角是
>
> 解法二 （I）因为平面*G*~1~*AB*⊥平面*ABCD*，平面*G*~1~*AB*∩平面*ABCD=AB*，
>
> *G*~1~*E*⊥*AB*，*G*~1~*E*平面*G*~1~*AB*，所以*G*~1~*E*⊥平面*ABCD*，从而*G*~1~*E*⊥*AD*.
>
> 又*AB*⊥*AD*，所以*AD*⊥平面*G*~1~*AB*. 因为*AD*平面*G*~1~*ADG*~2~，
>
> 所以平面*G*~1~*AB*⊥平面*G*~1~*ADG*~2~.
>
> （II）由（I）可知，*G*~1~*E*⊥平面*ABCD*，故可以*E*为原点，分别以直线*EB*、*EF*、*EG*~1~，为*x*轴、*y*轴、*z*轴建立空间直角坐标系（如图）.由题设*AB*=12，*BC*=25，*EG*=8，
>
> 则*EB*=6，*EF*=25，*EG*~1~=8，相关各点的坐标分别是*A*（－6，0，0），
>
> *D*（－6，25，0），*G*~1~（0，0，8），*B*（6，0，0）
>
> 所以.
>
> 设的一个法向量，
>
> 由
>
> 过点*G*~2~作*G*~2~*O*⊥平面*ABCD*于点*O*，因为*G*~2~*G*=*G*~2~*D*，所以*OC=OD*，
>
> 于是点*O*在*y*轴上.
>
> 因为*G*~1~*G*~2~//*AD*，所以*G*~1~*G*~2~//*EF*，*G*~2~*O*=*G*~1~*E*=8.
>
> 设*G*~2~（0，*m*，8）（0\<*m*\<25），由17^2^=8^2^+（25－*m*）^2^解得*m=*10，
>
> 所以=（0，10，8）－（6，0，0）=（－6，10，8）.
>
> 设*BG*~2~和平面*G*~1~*ADG*~2~所成的有是θ，则
>
> 故直线*BG*~2~与平面*G*~1~*ADG*~2~所成的角是
19．（本小题满分13分）
解：（I）如图，*PH*⊥，*HB*，*PB*⊥*AB*，由三垂线定理逆定理知，*AB*⊥*HB*. 所以
∠*PBH*是山坡面与所成二面角的平面角，则∠*PBH=*
> 设*BD* = *x*(km)，0≤*x*≤1.5，则
>
> 记总造价为万元，
>
> 据题设有
>
> 当(km)时总造价最小.
（Ⅱ）设*AE* = *y*(km)，0≤*y*≤，总造价为万元，根据题设有
则
当在（0，1）内是减函数；
当内是增函数.
故当*y* = 1，即*AE* = 1(km)时总造价最小，且最小总造价为万元.
（Ⅲ）解法一 不存在这样的点、.
事实上，在*AB*上任取不同的两点、.为使总造价最小，显然不能位于与*B*之间.故可设位于与*A*之间，且(km)，(km)，
0≤*x*~1~ + *y*~1~≤，总造价为*S*万元，则类似于（I）、（II）的讨论知，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时(km)，(km)，*S*取得最小值
，点、分别与点*D*、*E*重合.所以不存在这样的点、，使沿折线 修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价.
解法二 同解法一得
当且仅当同时成立时，*S*取得最小值，以下同解法一.
20．解 由条件知
解法一（I）设，
得
于是*AB*的中点坐标为
当*AB*不与*x*轴垂直时，
因为*A*、*B*两点在双曲线上，所以，两式相减得
将
当*AB*与*x*轴垂直时，，求得*M*(8,0)，也满足上述方程.
故点*M*的轨迹方程是
（Ⅱ）假设在*x*轴上存在定点*C*(*m*,0)，使为常数.
当*AB*不与*x*轴垂直时，设直线*AB*的方程是
代入
则*x*~1~、*x*~2~是上述方程的两个实根，所以
于是
因为是与*k*无关的常数，所以
当*AB*与*x*轴垂直时，点*A*、*B*的坐标可别设为、，
此时
故在*x*轴上存在定点*C*（1，0），使为常数.
解法二 （I）同解法一的（I）有
当*AB*不与*x*轴垂直时，设直线*AB*的方程是
代入
则*x*~1~、*x*~2~是上述方程的两个实根，所以，
> 由①、②、③得
>
> 当，由④、⑤得，，将其代入⑤有
当*k* = 0时，点*M*的坐标为（4，0），满足上述方程.
当*AB*与*x*轴垂直时，*x*~1~ = *x*~2~ = 2，求得*M*(8，0)，也满足上述方程.
故点*M*的轨迹方程是
（II）假设在*x*轴上存在定点为常数.
当*AB*不与*x*轴垂直时，由（I）有
以下同解法一的（II）.
22．解：（Ⅰ）当
因为 ............①
于是 ............②
由②－①得 ............③
于是 ............④
由④－③得 ............⑤
所以(*n*≥2)是常数列.
（Ⅱ）由①有由③有，所以
而⑤表明：数列分别是以*a*~2~、*a*~3~为首项，6为公差的等差列，
所以
数列是单调递增数列成立
即所求*a*的取值集合是
（Ⅲ）解法一 弦
任取
记
当上为增函数，
当上为减函数，
所以和
上都是增函数.
由（Ⅱ）知，当单调递增.
取
取
所以的斜率随*n*单调递增.
解法二 设函数，同解法一得
上都是增函数.
所以
故的斜率随*n*单调递增.
| 1 | |
**等差数列**
1、4+9+14+19+24+\...\...+89
2. 求等差数列3,7,11,15,19,23\...的第25项。
3、如果一等差数列的第4项为19，第6项为23，求它的第10项。
4、已知等差数列2,5,8,11,14,17,20\...\...问62是其中第几项？
5、（思考题）把100根分成10堆，每堆小棒根数都是单数，且一堆比一堆少两根，应如何分？
| 1 | |
**2019年广西桂林市中考数学试卷**
**一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）**
1．（3分）（2019•桂林）的倒数是
A． B． C． D．
2．（3分）（2019•桂林）若海平面以上1045米，记做米，则海平面以下155米，记做
A．米 B．米 C．155米 D．1200米
3．（3分）（2019•桂林）将数47300000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
4．（3分）（2019•桂林）下列图形中，是中心对称图形的是
A．圆 B．等边三角形
C．直角三角形 D．正五边形
5．（3分）（2019•桂林）计算：9的平方根是
A．3 B． C． D．
6．（3分）（2019•桂林）如图，一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形，任意旋转这个转盘1次，则当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•桂林）下列命题中，是真命题的是
A．两直线平行，内错角相等 B．两个锐角的和是钝角
C．直角三角形都相似 D．正六边形的内角和为
8．（3分）（2019•桂林）下列计算正确的是
A． B． C． D．
9．（3分）（2019•桂林）如果，，那么下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
10．（3分）（2019•桂林）一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为
A． B． C． D．
11．（3分）（2019•桂林）将矩形按如图所示的方式折叠，，，为折痕，若顶点，，都落在点处，且点，，在同一条直线上，同时点，，在另一条直线上，则的值为
A． B． C． D．
12．（3分）（2019•桂林）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，直线所表示的函数表达式为
A． B． C． D．
**二、填空题（共6小题．每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上）**
13．（3分）（2019•桂林）[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•桂林）某班学生经常采用"小组合作学习"的方式进行学习，王老师每周对各小组合作学习的情况进行综合评分．下表是各小组其中一周的得分情况：
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
组别 一 二 三 四 五 六 七 八
得分 90 95 90 88 90 92 85 90
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
这组数据的众数是[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•桂林）一元二次方程的根是[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•桂林）若，则[ ]{.underline}．
17．（3分）（2019•桂林）如图，在平面直角坐标系中，反比例的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．若将向下平移个单位长度，，两点同时落在反比例函数图象上，则的值为[ ]{.underline}．
18．（3分）（2019•桂林）如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，作点关于直线的对称点，连接，设的中点为，当点从点出发，沿边运动到点时停止运动，点的运动路径长为[ ]{.underline}．
**三.解答题（本大题共8题，共66分，请将解答过程写在答题卡上）**
19．（6分）（2019•桂林）计算：．
20．（6分）（2019•桂林）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．我们将小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上．
（1）将先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△，画出平移后的△；
（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点的坐为；
（3）在（2）的条件下，直接写出点的坐标．
21．（8分）（2019•桂林）先化简，再求值：，其中，．
22．（8分）（2019•桂林）某校在以"青春心向觉，建功新时代"为主题的校园文化艺术节期间，举办了合唱，群舞，书法，演讲共四个项目的比赛，要求每位学生必须参加且仅参加一项，小红随机调查了部分学生的报名情况，并绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数是多少？扇形统计图中""部分的圆心角度数是多少？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若全校共有1800名学生，请估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有多少人？
23．（8分）（2019•桂林）如图，，，点在上．
（1）求证：平分；
（2）求证：．
24．（8分）（2019•桂林）为响应国家"足球进校园"的号召，某校购买了50个类足球和25个类足球共花费7500元，已知购买一个类足球比购买一个类足球多花30元．
（1）求购买一个类足球和一个类足球各需多少元？
（2）通过全校师生的共同努力，今年该校被评为"足球特色学校"，学校计划用不超过4800元的经费再次购买类足球和类足球共50个，若单价不变，则本次至少可以购买多少个类足球？
25．（10分）（2019•桂林）如图，是以为直径的的切线，为切点，平分，弦交于点，．
（1）求证：是等腰直角三角形；
（2）求证：
（3）求的值．
26．（12分）（2019•桂林）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）作射线，将射线绕点顺时针旋转交抛物线于另一点，在射线上是否存在一点，使的周长最小．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，点为射线上的一个动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，点从点出发沿方向运动，直线随之运动，当时，直线将四边形分割成左右两部分，设在直线左侧部分的面积为，求关于的函数表达式．
**2019年广西桂林市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）**
1．（3分）的倒数是
A． B． C． D．
【考点】倒数
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．
【解答】解：的倒数是：．
故选：．
2．（3分）若海平面以上1045米，记做米，则海平面以下155米，记做
A．米 B．米 C．155米 D．1200米
【考点】正数和负数
【分析】首先审清题意，明确"正"和"负"所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：若海平面以上1045米，记做米，则海平面以下155米，记做米．
故选：．
3．（3分）将数47300000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【考点】科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：将47300000用科学记数法表示为，
故选：．
4．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是
A．圆 B．等边三角形
C．直角三角形 D．正五边形
【考点】中心对称图形
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：、是中心对称图形，本选项正确；
、不是中心对称图形，本选项错误；
、不是中心对称图形，本选项错误；
、不是中心对称图形，本选项错误．
故选：．
5．（3分）计算：9的平方根是
A．3 B． C． D．
【考点】平方根
【分析】根据，即可得出答案．
【解答】解：，
的平方根为：．
故选：．
6．（3分）如图，一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形，任意旋转这个转盘1次，则当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是
A． B． C． D．
【考点】几何概率
【分析】用阴影部分扇形个数除以扇形的总个数即可得．
【解答】解：当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是，
故选：．
7．（3分）下列命题中，是真命题的是
A．两直线平行，内错角相等 B．两个锐角的和是钝角
C．直角三角形都相似 D．正六边形的内角和为
【考点】命题与定理
【分析】利用平行线的性质、钝角及锐角的定义、相似三角形的判定及正多边形的内角和公式分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：、两直线平行，内错角相等，正确，是真命题；
、两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；
、所有的直角三角形不一定相似，故错误，是假命题；
、正六边形的内角和为，故错误，是假命题；
故选：．
8．（3分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【考点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式；合并同类项
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则分别化简得出答案．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，正确；
、，故此选项错误；
故选：．
9．（3分）如果，，那么下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
【考点】不等式的性质
【分析】根据不等式的性质即可求出答案．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
10．（3分）一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为
A． B． C． D．
【考点】等边三角形的性质；由三视图判断几何体；简单几何体的三视图
【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形．可计算边长为2，据此即可得出表面积．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形．
正三角形的边长．
圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，
底面周长为
侧面积为，底面积为，
全面积是．
故选：．
11．（3分）将矩形按如图所示的方式折叠，，，为折痕，若顶点，，都落在点处，且点，，在同一条直线上，同时点，，在另一条直线上，则的值为
A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质
【分析】由折叠可得，，分别为，的中点，设，，根据中，，可得即，进而得出的值．
【解答】解：由折叠可得，，，
，分别为，的中点，
设，，则，，，，
，
中，，
即，
，
即，
，
的值为，
故选：．
12．（3分）如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，直线所表示的函数表达式为
A． B． C． D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式
【分析】由已知点可求四边形分成面积；求出的直线解析式为，设过的直线为，并求出两条直线的交点，直线与轴的交点坐标，根据面积有，即可求；
【解答】解：由，，，，
，，
四边形分成面积，
可求的直线解析式为，
设过的直线为，
将点代入解析式得，
直线与该直线的交点为，，
直线与轴的交点为，，
，
或，
，
直线解析式为；
故选：．
**二、填空题（共6小题．每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上）**
13．（3分）[ 2019 ]{.underline}．
【考点】绝对值
【分析】根据绝对值解答即可．
【解答】解：，
故答案为：2019．
14．（3分）某班学生经常采用"小组合作学习"的方式进行学习，王老师每周对各小组合作学习的情况进行综合评分．下表是各小组其中一周的得分情况：
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
组别 一 二 三 四 五 六 七 八
得分 90 95 90 88 90 92 85 90
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ---- ----
这组数据的众数是[ 90 ]{.underline}．
【考点】众数
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数．
【解答】解：90出现了4次，出现的次数最多，则众数是90；
故答案为：90
15．（3分）一元二次方程的根是[ ， ]{.underline}．
【考点】解一元二次方程因式分解法
【分析】利用因式分解法把方程化为或，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：或，
所以，．
故答案为，．
16．（3分）若，则[ ]{.underline}．
【考点】因式分解运用公式法
【分析】直接利用完全平方公式得出的值．
【解答】解：，
．
故答案为：．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．若将向下平移个单位长度，，两点同时落在反比例函数图象上，则的值为[ ]{.underline}．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象；坐标与图形变化平移；等腰三角形的性质
【分析】根据已知求出与点坐标，再表示出相应的平移后与坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解；
【解答】解：，，点．
，，
将向下平移个单位长度，
，，
，两点同时落在反比例函数图象上，
，
；
故答案为；
18．（3分）如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，作点关于直线的对称点，连接，设的中点为，当点从点出发，沿边运动到点时停止运动，点的运动路径长为[ ]{.underline}．
【考点】轴对称的性质；轨迹；矩形的性质
【分析】如图，连接，取使得中点，连接，．利用三角形的中位线定理证明定值，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，圆心角为，已解决可解决问题．
【解答】解：如图，连接，取使得中点，连接，．
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，圆心角为，
点的运动路径长．
故答案为．
**三.解答题（本大题共8题，共66分，请将解答过程写在答题卡上）**
19．（6分）计算：．
【考点】特殊角的三角函数值；实数的运算；零指数幂
【分析】先计算乘方、化简二次根式、代入三角函数值、零指数幂，再计算加减可得．
【解答】解：原式
．
20．（6分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．我们将小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上．
（1）将先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△，画出平移后的△；
（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点的坐为；
（3）在（2）的条件下，直接写出点的坐标．
【考点】作图平移变换
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出、、的对应点、、，从而得到△；
（2）利用点坐标画出直角坐标系；
（3）利用第二象限点的坐标特征写出点的坐标．
【解答】解：（1）如图，△为所作；
（2）如图，
（3）点的坐标为．
21．（8分）先化简，再求值：，其中，．
【考点】分式的化简求值
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将、的值代入计算可得．
【解答】解：原式
，
当，时，
原式．
22．（8分）某校在以"青春心向觉，建功新时代"为主题的校园文化艺术节期间，举办了合唱，群舞，书法，演讲共四个项目的比赛，要求每位学生必须参加且仅参加一项，小红随机调查了部分学生的报名情况，并绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生总人数是多少？扇形统计图中""部分的圆心角度数是多少？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若全校共有1800名学生，请估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有多少人？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图
【分析】（1）由项目人数及其所占百分比可得总人数，用乘以项目人数所占比例可得；
（2）由各项目人数之和等于总人数可得的人数，从而补全条形图；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数是（人，
扇形统计图中""部分的圆心角度数是；
（2）项目人数为（人，
补全图形如下：
（3）估计该校报名参加书法和演讲比赛的学生共有（人．
23．（8分）如图，，，点在上．
（1）求证：平分；
（2）求证：．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【分析】（1）由题中条件易知：，可得平分；
（2）利用（1）的结论，可得，得出．
【解答】解：（1）在与中，
即平分；
（2）由（1）
在与中，得
24．（8分）为响应国家"足球进校园"的号召，某校购买了50个类足球和25个类足球共花费7500元，已知购买一个类足球比购买一个类足球多花30元．
（1）求购买一个类足球和一个类足球各需多少元？
（2）通过全校师生的共同努力，今年该校被评为"足球特色学校"，学校计划用不超过4800元的经费再次购买类足球和类足球共50个，若单价不变，则本次至少可以购买多少个类足球？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用
【分析】（1）设购买一个类足球需要元，购买一个类足球需要元，根据"购买50个类足球和25个类足球共花费7500元，购买一个类足球比购买一个类足球多花30元"，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买个类足球，则购买个类足球，根据总价单价数量结合总费用不超过4800元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一个类足球需要元，购买一个类足球需要元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买一个类足球需要90元，购买一个类足球需要120元．
（2）设购买个类足球，则购买个类足球，
依题意，得：，
解得：．
答：本次至少可以购买40个类足球．
25．（10分）如图，是以为直径的的切线，为切点，平分，弦交于点，．
（1）求证：是等腰直角三角形；
（2）求证：
（3）求的值．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）由切线的性质和圆周角定理可得，由角平分线的性质可得；
（2）通过证明，可得，即可得结论；
（3）连接，，，作，交于点，由外角的性质可得，可求，由直角三角形的性质可得，即可求的值．
【解答】证明：（1）是以为直径的的切线，
，
平分，
是直径
，
是等腰直角三角形；
（2）如图，连接，
，
，
，
（2）如图，连接，，，作，交于点，
，
，
，
，
是直径
，
26．（12分）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）作射线，将射线绕点顺时针旋转交抛物线于另一点，在射线上是否存在一点，使的周长最小．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，点为射线上的一个动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，点从点出发沿方向运动，直线随之运动，当时，直线将四边形分割成左右两部分，设在直线左侧部分的面积为，求关于的函数表达式．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）由抛物线与轴两交点坐标，可得抛物线交点式为，去括号即得到抛物线的表达式．
（2）由于点在射线上运动，点、在射线的同侧，求的周长最小即求最小，作点关于直线的对称点即有，只要点、、在同一直线上时，最小．求点坐标，即求直线解析式，由射线是由射线旋转得到可求得直线解析式．由点为中点求得点坐标，即求得直线解析式，把直线与直线解析式联立成方程组，求得的解即为点坐标．
（3）求点坐标，画出图形，发现随着的变化，直线与四边形不同的边相交，即直线左侧部分的形状不相同，需分直线分别与线段、、相交三种情况．当直线与线段相交于点时，即为的面积，求直线解析式，即能用表示的坐标进而表示、的长，代入面积公式即得到与的函数关系式；当直线与线段相交于点时，作轴于点，为与梯形面积的和，求直线解析式，用表示的坐标进而表示、的长，再代入计算；当直线与线段相交于点时，为四边形与面积的差，求直线解析式，用表示的坐标进而表示、的长，代入计算即可．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于点和
交点式为
抛物线的表示式为
（2）在射线上存在一点，使的周长最小．
如图1，延长到，使，连接，与交点即为满足条件的点
时，
，直线解析式为
射线绕点顺时针旋转得射线
直线解析式为
，
，垂直平分
当、、在同一直线上时，最小
设直线解析式为
解得：
直线
解得：
点坐标为，
（3）
抛物线顶点，
①当时，如图2，直线与线段相交于点
设直线解析式为
解得：
直线
点横坐标为，轴于点
，
②当时，如图3，直线与线段相交于点，过点作轴于
，
设直线解析式为
把点代入：，解得：
直线
，
③当时，如图4，直线与线段相交于点
设直线解析式为
把点代入：，解得：
直线
，
，
综上所述，
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/11 8:46:29；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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> **《买电器》同步练习**
1. 口算：看谁算的又对又快
> 670－600= 500＋200= 730－500=
>
> 670－60= 700－300= 730＋500=
2. 在○里填上"＞"、"＜"或"＝"。
> 280＋300○280＋30
>
> 6400－400○6400－400
>
> 750＋40○40 ＋750
>
> 960－80○900－80
>
> 3.在（）里填上适当的数。
>
> 50+210=50+10+200=（ ）\[来源:Z\|xx\|k.Com\]
>
> 430+60=400+（ ）+60=（ ）
>
> 140+300=100+（ ）+300=（
>
> 320+400=300+（ ）+400=（ ）
4、填空。
1\. 500里面有( )个百， 2. 800里面有( )个百。
3\. 1500里面有( )个百， 4. 630里面有( )个十。\[来源:Z\|xx\|k.Com\]
5\. 260里面有( )个十， 6. 300里面有( )个十。
5、计算题。\[来源:Zxxk.Com\]
爸爸妈妈出门买电器，电视机消费了800元，冰箱消费了2000，冰箱比电视机贵多少钱？
**参考答案：**
> 1、口算：看谁算的又对又快
>
> 670－600=70 500＋200=700 730－500=230
>
> 670－60= 610 700－300=400 730＋500=1230\[来源:学科网\]
2、在○里填上"＞"、"＜"或"＝"。
> 280＋300＞280＋30
>
> 6400－400＝6400－400
>
> 750＋40＝40 ＋750
>
> 960－80＞900－80
>
> 3、在（）里填上适当的数。
>
> 50+210=50+10+200=（ 260 ）
>
> 430+60=400+（ 30 ）+60=（ 430 ）
>
> 140+300=100+（ 340 ）+300=（120+310）
>
> 320+400=300+（ 420）+400=（ 320 ）
4、填空。
1\. 500里面有( 5)个百， 2. 800里面有( 8)个百。
3\. 1500里面有( 15)个百， 4. 630里面有(63 )个十。
5\. 260里面有( 26)个十， 6. 300里面有( 30)个十。
5、冰箱比电视机贵2000-800=1200\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
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**北师大版一年级数学上册全套试卷**
特别说明：本试卷为最新北师大版教材（新版）配套试卷。
全套试卷共22份（含答案）。
试卷内容如下：
1\. 第一单元测评卷 12.第八单元测评卷
2\. 第二单元测评卷 13.分类测评卷（一）
3\. 阶段测评卷（一） 14.分类测评卷（二）
4\. 第三单元测评卷 15.分类测评卷（三）
5\. 第四单元测评卷 16.期末测评卷（一）
6\. 期中测评卷（一） 17.期末测评卷（二）
7\. 期中测评卷（二） 18.期末测评卷（三）
8\. 第五单元测评卷 19.期末测评卷（四）
9\. 第六单元测评卷 20.期末测评卷（五）
10.阶段测评卷（二） 21.期末测评卷（六）
11.第七单元测评卷 22.期末测评卷（七）
附：参考答案
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【推荐】数学选择题的解题思路、方法、专项训练（全套）
数学选择题的解题方法\
当然，仅仅有思路还是不够的，"解题思路"在某种程度上来说，属于理论上的"定性"，要想解具体的题目，还得有科学、合理、简便的方法。\
有关选择题的解法的研究，可谓是仁者见仁，智者见智。其中不乏真知灼见，现选择部分实用性较强的方法，供参考：\
1.直接法\
有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的。这类题型可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法。\
2.筛选法\
数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的错误答案，找到符合题意的正确结论。可通过筛除一些较易判定的的、不合题意的结论，以缩小选择的范围，再从其余的结论中求得正确的答案。如筛去不合题意的以后，结论只有一个，则为应选项。\
3.特殊值法\
有些选择题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单。\
4.验证法\
通过对试题的观察、分析、确定，将各选择支逐个代入题干中，进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的方法。\
5.图象法\
在解答选择题的过程中，可先根椐题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论。\
6.试探法\
对于综合性较强、选择对象比较多的试题，要想条理清楚，可以根据题意建立一个几何模型、代数构造，然后通过试探法来选择，并注意灵活地运用上述多种方法。
数学选择题的解题思路\
要想确保在有限的时间内，对10多条选择题作出有效的抉择，明晰解题思路是十分必要的。一般说来， 数学选择题有着特定的解题思路，具体概括如下：\
1、仔细审题，吃透题意\
审题是正确解题的前题条件，通过审题，可以掌握用于解题的第一手资料------已知条件，弄清题目要求。\
审题的第一个关键在于：将有关概念、公式、定理等基础知识加以集中整理。凡在题中出现的概念、公式、性质等内容都是平时理解、记忆、运用的重点，也是我们在解选择题时首先需要回忆的对象。\
审题的第二个关键在于：发现题材中的"机关"\-\-- 题目中的一些隐含条件，往往是该题"价值"之所在，也是我们失分的"隐患"。\
除此而外，审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心涌如潮，适宜的解题方法则帮助我们事半功倍。\
2、反复析题，去伪存真\
析题就是剖析题意。在认真审题的基础上，对全题进行反复的分析和解剖，从而为正确解题寻得路径。因此，析题的过程就是根据题意，联系知识，形成思路的过程。由于选择题具有相近、相关的特点，有时"真作假时假亦真"，对于一些似是而非的选项，我们可以结合题目，将选项逐一比较，用一些"虚拟式"的"如果"，加以分析与验证，从而提高解题的正确率。\
3、抓往关键，全面分析\
在解题过程中，通过审题、析题后找到题目的关键所在是十分重要的，从关键处入手，找突破口，联系知识进行全面的分析形成正确的解题思路，就可以化难为易，化繁为简，从而解出正确的答案。\
4、反复检查，认真核对\
在审题、析题的过程中，由于思考问题不全面，往往会导致"失根"、"增根"等错误，因而，反复地检查，认真地进行核对， 也是解选择题必不可少的步骤之一。
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**《东南西北》同步练习**
> 一、看图填一填。
>
> 1、
>
> 2、下图是小军家住房的平面图。
>
> 
>
> \[来源:Z&xx&k.Com\]
>
> \[来源:Zxxk.Com\]
>
> 3、根据下图回答问题。
>
> 
>
> 小牛在小兔子的（）面，\
> 小猴子在小兔子的（）面，\
> 小兔子在小牛的（）面，\
> 小兔子在小猴子的（）面。
>
> 4、
>
> 二、解决问题。
>
> 1、一捆电线长30米，第一次用去10米，第二次和第一次用得一样多，这捆电线比原来短了多少米？
>
> □○□＝□（ ）
>
> 2、
**参考答案：**
> 一、
>
> 1、（1） （南） （北）
>
> （2） （西） （东）
>
> （3） （游乐场）
>
> （4） （休息室）
>
> 2、卫生间在书房的（东）面；书房在厨房的（南）面；阳台在卧室的（东）面；琴房在休息室的（西）面。
>
> 3、 小牛在小兔子的（南）面，\
> 小猴子在小兔子的（西南）面，\
> 小兔子在小牛的（北）面，\
> 小兔子在小猴子的（东北）面。
>
> 4、左图是国际大酒店平面图，李叔叔住在3号房间，他从房间出来，先向（ 东 ）走去拜访住在7号房间的朋友，再向（ 南 ）走拜访住在8房间的朋友，然后再向（ 西 ）走到会议室开会。\[来源:Z\|xx\|k.Com\]\[来源:学科网\]
>
> 二、解决问题。
>
> 1、10+10=20（米）
>
> 2、
>
> （1）40+20=60（米）
>
> （2）60-30=30（米）
\[来源:Z,xx,k.Com\]
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**2020年山东省威海市中考数学试卷**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）**
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
2．下列几何体的左视图和俯视图相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．人民日报讯，2020年6月23日，中国成功发射北斗系统第55颗导航卫星．至此中国提前半年全面完成北斗三号全球卫星导航系统星座部署．北斗三号卫星上配置的新一代国产原子钟，使北斗导航系统授时精度达到了十亿分之一秒．十亿分之一用科学记数法可以表示为（ ）
A．10×10^﹣10^ B．1×10^﹣9^ C．0.1×10^﹣8^ D．1×10^9^
4．下列运算正确的是（ ）
A．3*x*^3^•*x*^2^＝3*x*^5^ B．（2*x*^2^）^3^＝6*x*^6^
C．（*x*+*y*）^2^＝*x*^2^+*y*^2^ D．*x*^2^+*x*^3^＝*x*^5^
5．分式﹣化简后的结果为（ ）
A． B．
C．﹣ D．﹣
6．一次函数*y*＝*ax*﹣*a*与反比例函数*y*＝（*a*≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初二级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图（不完整）如图．由图中信息可知，下列结论错误的是（ ）
> 
A．本次调查的样本容量是600
B．选"责任"的有120人
C．扇形统计图中"生命"所对应的扇形圆心角度数为64.8°
D．选"感恩"的人数最多
8．如图，点*P*（*m*，1），点*Q*（﹣2，*n*）都在反比例函数*y*＝的图象上．过点*P*分别向*x*轴、*y*轴作垂线，垂足分别为点*M*，*N*．连接*OP*，*OQ*，*PQ*．若四边形*OMPN*的面积记作*S*~1~，△*POQ*的面积记作*S*~2~，则（ ）
> 
A．*S*~1~：*S*~2~＝2：3 B．*S*~1~：*S*~2~＝1：1 C．*S*~1~：*S*~2~＝4：3 D．*S*~1~：*S*~2~＝5：3
9．七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知*AB*＝40*cm*，则图中阴影部分的面积为（ ）
> 
A．25*cm*^2^ B．*cm*^2^ C．50*cm*^2^ D．75*cm*^2^
10．如图，抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*（*a*≠0）交*x*轴于点*A*，*B*，交*y*轴于点*C*．若点*A*坐标为（﹣4，0），对称轴为直线*x*＝﹣1，则下列结论错误的是（ ）
> 
A．二次函数的最大值为*a*﹣*b*+*c*
B．*a*+*b*+*c*＞0
C．*b*^2^﹣4*ac*＞0
D．2*a*+*b*＝0
11．如图，在▱*ABCD*中，对角线*BD*⊥*AD*，*AB*＝10，*AD*＝6，*O*为*BD*的中点，*E*为边*AB*上一点，直线*EO*交*CD*于点*F*，连结*DE*，*BF*．下列结论不成立的是（ ）
> 
A．四边形*DEBF*为平行四边形
B．若*AE*＝3.6，则四边形*DEBF*为矩形
C．若*AE*＝5，则四边形*DEBF*为菱形
D．若*AE*＝4.8，则四边形*DEBF*为正方形
12．如图，矩形*ABCD*的四个顶点分别在直线*l*~3~，*l*~4~，*l*~2~，*l*~1~上．若直线*l*~1~∥*l*~2~∥∥*l*~3~∥*l*~4~且间距相等，*AB*＝4，*BC*＝3，则tanα的值为（ ）
> 
A． B． C． D．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）**
13．计算﹣﹣（﹣1）^0^的结果是[ ]{.underline}．
14．一元二次方程4*x*（*x*﹣2）＝*x*﹣2的解为[ ]{.underline}．
15．下表中*y*与*x*的数据满足我们初中学过的某种函数关系．其函数表达式为[ ]{.underline}．
----- ----- ----- --- --- --- -----
*x* ... ﹣1 0 1 3 ...
*y* ... 0 3 4 0 ...
----- ----- ----- --- --- --- -----
16．如图，四边形*ABCD*是一张正方形纸片，其面积为25*cm*^2^．分别在边*AB*，*BC*，*CD*，*DA*上顺次截取*AE*＝*BF*＝*CG*＝*DH*＝*acm*（*AE*＞*BE*），连接*EF*，*FG*，*GH*，*HE*．分别以*EF*，*FG*，*GH*，*HE*为轴将纸片向内翻折，得到四边形*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~．若四边形*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的面积为9*cm*^2^，则*a*＝[ ]{.underline}．
> 
17．如图，点*C*在∠*AOB*的内部，∠*OCA*＝∠*OCB*，∠*OCA*与∠*AOB*互补．若*AC*＝1.5，*BC*＝2，则*OC*＝[ ]{.underline}．
> 
18．如图①，某广场地面是用*A*，*B*，*C*三种类型地砖平铺而成的．三种类型地砖上表面图案如图②所示．现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（*A*型）地砖记作（1，1），第二块（*B*型）地砖记作（2，1）...若（*m*，*n*）位置恰好为*A*型地砖，则正整数*m*，*n*须满足的条件是[ ]{.underline}．
> 
**三、解答题（本大题共7小题，共66分）**
19．（7分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
> 
20．（8分）在"旅游示范公路"建设的过程中，工程队计划在海边某路段修建一条长1200*m*的步行道．由于采用新的施工方式，平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求计划平均每天修建步行道的长度．
21．（8分）居家学习期间，小晴同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度．如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为45°，底部的俯角为38°；又用绳子测得测角仪距地面的高度*AB*为31.6*m*．求该大楼的高度（结果精确到0.1*m*）．
> （参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）
>
> 
22．（9分）如图，△*ABC*的外角∠*BAM*的平分线与它的外接圆相交于点*E*，连接*BE*，*CE*，过点*E*作*EF*∥*BC*，交*CM*于点*D*．
> 求证：（1）*BE*＝*CE*；
>
> （2）*EF*为⊙*O*的切线．
>
> 
23．（10分）小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子．以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于0，1，2，则小伟胜；若所得数值等于3，4，5，则小梅胜．
> （1）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率；
>
> 
>
> （2）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用表格修改游戏规则，以确保游戏的公平性．
24．（12分）已知，在平面直角坐标系中，抛物线*y*＝*x*^2^﹣2*mx*+*m*^2^+2*m*﹣1的顶点为*A*．点*B*的坐标为（3，5）．
> （1）求抛物线过点*B*时顶点*A*的坐标；
>
> （2）点*A*的坐标记为（*x*，*y*），求*y*与*x*的函数表达式；
>
> （3）已知*C*点的坐标为（0，2），当*m*取何值时，抛物线*y*＝*x*^2^﹣2*mx*+*m*^2^+2*m*﹣1与线段*BC*只有一个交点．
>
> 
25．（12分）发现规律
> （1）如图①，△*ABC*与△*ADE*都是等边三角形，直线*BD*，*CE*交于点*F*．直线*BD*，*AC*交于点*H*．求∠*BFC*的度数．
>
> 
>
> （2）已知：△*ABC*与△*ADE*的位置如图②所示，直线*BD*，*CE*交于点*F*．直线*BD*，*AC*交于点*H*．若∠*ABC*＝∠*ADE*＝α，∠*ACB*＝∠*AED*＝β，求∠*BFC*的度数．
>
> 应用结论
>
> （3）如图③，在平面直角坐标系中，点*O*的坐标为（0，0），点*M*的坐标为（3，0），*N*为*y*轴上一动点，连接*MN*．将线段*MN*绕点*M*逆时针旋转60°得到线段*MK*，连接*NK*，*OK*．求线段*OK*长度的最小值．
>
> 
**2020年山东省威海市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）**
1．﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
> 【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．
>
> 【解答】解：∵﹣2×＝1．
>
> ∴﹣2的倒数是﹣，
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为倒数．
2．下列几何体的左视图和俯视图相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
> 【分析】分别画出各种几何体的左视图和俯视图，进而进行判断即可．
>
> 【解答】解：选项*A*中的几何体的左视图和俯视图为：
>
> 
>
> 选项*B*中的几何体的左视图和俯视图为：
>
> 
>
> 选项*C*中的几何体的左视图和俯视图为：
>
> 
>
> 选项*D*中的几何体的左视图和俯视图为：
>
> 
>
> 因此左视图和俯视图相同的选项*D*中的几何体，
>
> 故选：*D*．
>
> 【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握三视图的画法是得出正确结论的前提．
3．人民日报讯，2020年6月23日，中国成功发射北斗系统第55颗导航卫星．至此中国提前半年全面完成北斗三号全球卫星导航系统星座部署．北斗三号卫星上配置的新一代国产原子钟，使北斗导航系统授时精度达到了十亿分之一秒．十亿分之一用科学记数法可以表示为（ ）
A．10×10^﹣10^ B．1×10^﹣9^ C．0.1×10^﹣8^ D．1×10^9^
> 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为*a*×10^﹣*n*^，其中1≤\|*a*\|＜10，*n*为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
>
> 【解答】解：∵十亿分之一＝＝1×10^﹣9^，
>
> ∴十亿分之一用科学记数法可以表示为：1×10^﹣9^．
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】本题考查了科学记数法，解决本题的关键是掌握：用科学记数法表示较小的数，一般形式为*a*×10^﹣*n*^，其中1≤\|*a*\|＜10，*n*为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．下列运算正确的是（ ）
A．3*x*^3^•*x*^2^＝3*x*^5^ B．（2*x*^2^）^3^＝6*x*^6^
C．（*x*+*y*）^2^＝*x*^2^+*y*^2^ D．*x*^2^+*x*^3^＝*x*^5^
> 【分析】分别根据单项式乘单项式的运算法则，积的乘方运算法则，完全平方公式以及合并同类项法则逐一判断即可．
>
> 【解答】解：*A*.3*x*^3^•*x*^2^＝3*x*^5^，故本选项符合题意；
>
> *B*．（2*x*^2^）^3^＝8*x*^6^，故本选项不合题意；
>
> *C*．（*x*+*y*）^2^＝*x*^2^+2*xy*+*y*^2^，故本选项不合题意；
>
> *D*．*x*^2^与*x*^3^不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意．
>
> 故选：*A*．
>
> 【点评】本题主要考查了单项式乘单项式，完全平方公式，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
5．分式﹣化简后的结果为（ ）
A． B．
C．﹣ D．﹣
> 【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算．
>
> 【解答】解：﹣
>
> ＝
>
> ＝
>
> ＝
>
> ＝
>
> ＝
>
> ＝．
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式通分的方法是解答本题的关键．
6．一次函数*y*＝*ax*﹣*a*与反比例函数*y*＝（*a*≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
> 【分析】先根据一次函数的性质判断出*a*取值，再根据反比例函数的性质判断出*a*的取值，二者一致的即为正确答案．
>
> 【解答】解：*A*、由函数*y*＝*ax*﹣*a*的图象可知*a*＞0，﹣*a*＞0，由函数*y*＝（*a*≠0）的图象可知*a*＜0，错误；
>
> *B*、由函数*y*＝*ax*﹣*a*的图象可知*a*＜0，由函数*y*＝（*a*≠0）的图象可知*a*＞0，相矛盾，故错误；
>
> *C*、由函数*y*＝*ax*﹣*a*的图象可知*a*＞0，由函数*y*＝（*a*≠0）的图象可知*a*＜0，故错误；
>
> *D*、由函数*y*＝*ax*﹣*a*的图象可知*a*＜0，由函数*y*＝（*a*≠0）的图象可知*a*＜0，故正确；
>
> 故选：*D*．
>
> 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
7．为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初二级部学生进行了问卷调查，其中一项是：疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图（不完整）如图．由图中信息可知，下列结论错误的是（ ）
> 
A．本次调查的样本容量是600
B．选"责任"的有120人
C．扇形统计图中"生命"所对应的扇形圆心角度数为64.8°
D．选"感恩"的人数最多
> 【分析】根据条形统计图和扇形统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
>
> 【解答】解：本次调查的样本容量为：108÷18%＝600，故选项*A*中的说法正确；
>
> 选"责任"的有600×＝120（人），故选项*B*中的说法正确；
>
> 扇形统计图中"生命"所对应的扇形圆心角度数为360°×＝79.2°，故选项*C*中的说法错误；
>
> 选"感恩"的人数为：600﹣132﹣600×（16%+18%）﹣120＝144，故选"感恩"的人数最多，故选项*D*中的说法正确；
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、样本容量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．如图，点*P*（*m*，1），点*Q*（﹣2，*n*）都在反比例函数*y*＝的图象上．过点*P*分别向*x*轴、*y*轴作垂线，垂足分别为点*M*，*N*．连接*OP*，*OQ*，*PQ*．若四边形*OMPN*的面积记作*S*~1~，△*POQ*的面积记作*S*~2~，则（ ）
> 
A．*S*~1~：*S*~2~＝2：3 B．*S*~1~：*S*~2~＝1：1 C．*S*~1~：*S*~2~＝4：3 D．*S*~1~：*S*~2~＝5：3
> 【分析】过点*P*分别向*x*轴、*y*轴作垂线，垂足分别为点*M*，*N*，根据图象上点的坐标特征得到*P*（4，1），*Q*（﹣2，﹣2），根据反比例函数系数*k*的几何意义求得*S*~1~＝4，然后根据*S*~2~＝*S*~△*PQK*~﹣*S*~△*PON*~﹣*S*~梯形*ONKQ*~求得*S*~2~＝3，即可求得*S*~1~：*S*~2~＝4：3．
>
> 【解答】解：点*P*（*m*，1），点*Q*（﹣2，*n*）都在反比例函数*y*＝的图象上．
>
> ∴*m*×1＝﹣2*n*＝4，
>
> ∴*m*＝4，*n*＝﹣2，
>
> ∵*P*（4，1），*Q*（﹣2，﹣2），
>
> ∵过点*P*分别向*x*轴、*y*轴作垂线，垂足分别为点*M*，*N*，
>
> ∴*S*~1~＝4，
>
> 作*QK*⊥*PN*，交*PN*的延长线于*K*，则*PN*＝4，*ON*＝1，*PK*＝6，*KQ*＝3，
>
> ∴*S*~2~＝*S*~△*PQK*~﹣*S*~△*PON*~﹣*S*~梯形*ONKQ*~＝﹣﹣（1+3）×2＝3，
>
> ∴*S*~1~：*S*~2~＝4：3，
>
> 故选：*C*．
>
> 
>
> 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数*k*的几何意义，分别求得*S*~1~、*S*~2~的值是解题的关键．
9．七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知*AB*＝40*cm*，则图中阴影部分的面积为（ ）
> 
A．25*cm*^2^ B．*cm*^2^ C．50*cm*^2^ D．75*cm*^2^
> 【分析】如图：设*OF*＝*EF*＝*FG*＝*x*，可得*EH*＝2*x*＝20，解方程即可解决问题．
>
> 【解答】解：如图：设*OF*＝*EF*＝*FG*＝*x*，
>
> 
>
> ∴*OE*＝*OH*＝2*x*，
>
> 在Rt△*EOH*中，*EH*＝2*x*，
>
> 由题意*EH*＝20*cm*，
>
> ∴20＝2*x*，
>
> ∴*x*＝5，
>
> ∴阴影部分的面积＝（5）^2^＝50（*cm*^2^）
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*（*a*≠0）交*x*轴于点*A*，*B*，交*y*轴于点*C*．若点*A*坐标为（﹣4，0），对称轴为直线*x*＝﹣1，则下列结论错误的是（ ）
> 
A．二次函数的最大值为*a*﹣*b*+*c*
B．*a*+*b*+*c*＞0
C．*b*^2^﹣4*ac*＞0
D．2*a*+*b*＝0
> 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与*x*轴、*y*轴的交点以及过特殊点时相应的系数*a*、*b*、*c* 满足的关系进行综合判断即可．
>
> 【解答】解：抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*过点*A*（﹣4，0），对称轴为直线*x*＝﹣1，
>
> 因此有：*x*＝﹣1＝﹣，即2*a*﹣*b*＝0，因此选项*D*符合题意；
>
> 当*x*＝﹣1时，*y*＝*a*﹣*b*+*c*的值最大，选项*A*不符合题意；
>
> 抛物线与*x*轴的另一个交点为（2，0），
>
> 当*x*＝1时，*y*＝*a*+*b*+*c*＞0，因此选项*B*不符合题意；
>
> 抛物线与*x*轴有两个不同交点，因此*b*^2^﹣4*ac*＞0，故选项*C*不符合题意；
>
> 故选：*D*．
>
> 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数*a*、*b*、*c* 的关系式正确判断的前提．
11．如图，在▱*ABCD*中，对角线*BD*⊥*AD*，*AB*＝10，*AD*＝6，*O*为*BD*的中点，*E*为边*AB*上一点，直线*EO*交*CD*于点*F*，连结*DE*，*BF*．下列结论不成立的是（ ）
> 
A．四边形*DEBF*为平行四边形
B．若*AE*＝3.6，则四边形*DEBF*为矩形
C．若*AE*＝5，则四边形*DEBF*为菱形
D．若*AE*＝4.8，则四边形*DEBF*为正方形
> 【分析】根据平行四边形的判定方法，矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法解答即可．
>
> 【解答】解：∵*O*为*BD*的中点，
>
> ∴*OB*＝*OD*，
>
> ∵四边形*ABCD*为平行四边形，
>
> ∴*DC*∥*AB*，
>
> ∴∠*CDO*＝∠*EBO*，∠*DFO*＝∠*OEB*，
>
> ∴△*FDO*≌△*EBO*（*AAS*），
>
> ∴*OE*＝*OF*，
>
> ∴四边形*DEBF*为平行四边形，
>
> 故*A*选顶结论正确，
>
> 若*AE*＝3.6，*AD*＝6，
>
> ∴，
>
> 又∵，
>
> ∴，
>
> ∵∠*DAE*＝∠*BAD*，
>
> ∴△*DAE*∽△*BAD*，
>
> ∴*AED*＝∠*ADB*＝90°．
>
> 故*B*选项结论正确，
>
> ∵*AB*＝10，*AE*＝5，
>
> ∴*BE*＝5，
>
> 又∵∠*ADB*＝90°，
>
> ∴*DE*＝*AB*＝5，
>
> ∴*DE*＝*BE*，
>
> ∴四边形*DEBF*为菱形．
>
> 故*C*选项结论正确，
>
> ∵*AE*＝3.6时，四边形*DEBF*为矩形，*AE*＝5时，四边形*DEBF*为菱形，
>
> ∴*AE*＝4.8时，四边形*DEBF*不可能是正方形．
>
> 故*D*不正确．
>
> 故选：*D*．
>
> 【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
12．如图，矩形*ABCD*的四个顶点分别在直线*l*~3~，*l*~4~，*l*~2~，*l*~1~上．若直线*l*~1~∥*l*~2~∥∥*l*~3~∥*l*~4~且间距相等，*AB*＝4，*BC*＝3，则tanα的值为（ ）
> 
A． B． C． D．
> 【分析】根据题意，可以得到*BG*的长，再根据∠*ABG*＝90°，*AB*＝4，可以得到∠*BAG*的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠*BAG*＝∠α，从而可以得到tanα的值．
>
> 【解答】解：作*CF*⊥*l*~4~于点*F*，交*l*~3~于点*E*，设*CB*交*l*~3~于点*G*，
>
> 由已知可得，
>
> *GE*∥*BF*，*CE*＝*EF*，
>
> ∴△*CEG*∽△*CFB*，
>
> ∴，
>
> ∵，
>
> ∴，
>
> ∵*BC*＝3，
>
> ∴*GB*＝，
>
> ∵*l*~3~∥*l*~4~，
>
> ∴∠α＝∠*GAB*，
>
> ∵四边形*ABCD*是矩形，*AB*＝4，
>
> ∴∠*ABG*＝90°，
>
> ∴tan∠*BAG*＝＝，
>
> ∴tanα的值为，
>
> 故选：*A*．
>
> 
>
> 【点评】本题考查矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）**
13．计算﹣﹣（﹣1）^0^的结果是[ ﹣]{.underline}[﹣1 ]{.underline}．
> 【分析】根据二次根式的性质以及任何非零数的零次幂等于1计算即可．
>
> 【解答】解：﹣﹣（﹣1）^0^
>
> ＝
>
> ＝．
>
> 故答案为：．
>
> 【点评】本题主要考查了实数的运算．熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
14．一元二次方程4*x*（*x*﹣2）＝*x*﹣2的解为[ *x*~1~＝2，*x*~2~＝]{.underline}[ ]{.underline}．
> 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．
>
> 【解答】解：4*x*（*x*﹣2）＝*x*﹣2
>
> 4*x*（*x*﹣2）﹣（*x*﹣2）＝0
>
> （*x*﹣2）（4*x*﹣1）＝0
>
> *x*﹣2＝0或4*x*﹣1＝0
>
> 解得*x*~1~＝2，*x*~2~＝．
>
> 故答案为：*x*~1~＝2，*x*~2~＝．
>
> 【点评】本题考查了一元二次方程﹣因式分解法，解决本题的关键是掌握因式分解法．
15．下表中*y*与*x*的数据满足我们初中学过的某种函数关系．其函数表达式为[ *y*＝﹣*x*^2^+2*x*+3 ]{.underline}．
----- ----- ----- --- --- --- -----
*x* ... ﹣1 0 1 3 ...
*y* ... 0 3 4 0 ...
----- ----- ----- --- --- --- -----
> 【分析】根据表中*y*与*x*的数据设函数关系式为：*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*，将表中（1，4）、（﹣1，0）、（0，3）代入函数关系式，即可得结论．
>
> 【解答】解：根据表中*y*与*x*的数据设函数关系式为：*y*＝*ax*^2^+*bx*+*c*，
>
> 将表中（1，4）、（﹣1，0）、（0，3）代入函数关系式，得
>
> ∴，
>
> 解得，
>
> ∴函数表达式为*y*＝﹣*x*^2^+2*x*+3．
>
> 故答案为：*y*＝﹣*x*^2^+2*x*+3．
>
> 【点评】本题考查了函数的表示方法，解决本题的关键是掌握函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
16．如图，四边形*ABCD*是一张正方形纸片，其面积为25*cm*^2^．分别在边*AB*，*BC*，*CD*，*DA*上顺次截取*AE*＝*BF*＝*CG*＝*DH*＝*acm*（*AE*＞*BE*），连接*EF*，*FG*，*GH*，*HE*．分别以*EF*，*FG*，*GH*，*HE*为轴将纸片向内翻折，得到四边形*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~．若四边形*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的面积为9*cm*^2^，则*a*＝[ 4 ]{.underline}．
> 
>
> 【分析】根据正方形的面积可得正方形的边长为5，根据正方形的面积和折叠的性质和面积的和差关系可得8个三角形的面积，进而得到1个三角形的面积，再根据三角形面积公式即可求解．
>
> 【解答】解：∵四边形*ABCD*是一张正方形纸片，其面积为25*cm*^2^，
>
> ∴正方形纸片的边长为5*cm*，
>
> ∵*AE*＝*BF*＝*CG*＝*DH*＝*acm*，
>
> ∴*BE*＝（5﹣*a*）*cm*，
>
> ∴*AH*＝（5﹣*a*）*cm*，
>
> ∵四边形*A*~1~*B*~1~*C*~1~*D*~1~的面积为9*cm*^2^，
>
> ∴三角形*AEH*的面积为（25﹣9）÷8＝2（*cm*^2^），
>
> *a*（5﹣*a*）＝2，
>
> 解得*a*~1~＝1（舍去），*a*~2~＝4．
>
> 故答案为：4．
>
> 【点评】本题考查了折叠问题，正方形的性质，三角形的面积，关键是熟练运用这些性质解决问题．
17．如图，点*C*在∠*AOB*的内部，∠*OCA*＝∠*OCB*，∠*OCA*与∠*AOB*互补．若*AC*＝1.5，*BC*＝2，则*OC*＝[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
> 
>
> 【分析】通过证明△*ACO*∽△*OCB*，可得，可求*OC*＝．
>
> 【解答】解：∵∠*OCA*＝∠*OCB*，∠*OCA*与∠*AOB*互补，
>
> ∴∠*OCA*+∠*AOB*＝180°，∠*OCB*+∠*AOB*＝180°，
>
> ∵∠*OCA*+∠*COA*+∠*OAC*＝180°，∠*OCB*+∠*OBC*+∠*COB*＝180°，
>
> ∴∠*AOB*＝∠*COA*+∠*OAC*，∠*AOB*＝∠*OBC*+∠*COB*，
>
> ∴∠*AOC*＝∠*OBC*，∠*COB*＝∠*OAC*，
>
> ∴△*ACO*∽△*OCB*，
>
> ∴，
>
> ∴*OC*^2^＝2×＝3，
>
> ∴*OC*＝，
>
> 故答案为．
>
> 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△*ACO*∽△*OCB*是本题的关键．
18．如图①，某广场地面是用*A*，*B*，*C*三种类型地砖平铺而成的．三种类型地砖上表面图案如图②所示．现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（*A*型）地砖记作（1，1），第二块（*B*型）地砖记作（2，1）...若（*m*，*n*）位置恰好为*A*型地砖，则正整数*m*，*n*须满足的条件是[ *m*、*n*同为奇数和*m*、*n*同为偶数 ]{.underline}．
> 
>
> 【分析】几何图形，观察*A*型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到*m*、*n*满足的条件．
>
> 【解答】解：观察图形，*A*型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，
>
> 若用（*m*，*n*）位置恰好为*A*型地砖，正整数*m*，*n*须满足的条件为*m*、*n*同为奇数和*m*、*n*同为偶数．
>
> 故答案为*m*、*n*同为奇数和*m*、*n*同为偶数．
>
> 【点评】本题考查了坐标表示位置：通过类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键．
**三、解答题（本大题共7小题，共66分）**
19．（7分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
> 
>
> 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出这些不等式解集的公共部分．
>
> 【解答】解：
>
> 由①得：*x*≥﹣1；
>
> 由②得：*x*＜3；
>
> ∴原不等式组的解集为﹣1≤*x*＜3，
>
> 在坐标轴上表示：
>
> ．
>
> 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时"≥"，"≤"要用实心圆点表示；"＜"，"＞"要用空心圆点表示．
20．（8分）在"旅游示范公路"建设的过程中，工程队计划在海边某路段修建一条长1200*m*的步行道．由于采用新的施工方式，平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求计划平均每天修建步行道的长度．
> 【分析】设计划平均每天修建步行道的长度为*xm*，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5*xm*，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于*x*的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
>
> 【解答】解：设计划平均每天修建步行道的长度为*xm*，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5*xm*，
>
> 依题意，得：﹣＝5，
>
> 解得：*x*＝80，
>
> 经检验，*x*＝80是原方程的解，且符合题意．
>
> 答：计划平均每天修建步行道的长度为80*m*．
>
> 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．（8分）居家学习期间，小晴同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度．如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为45°，底部的俯角为38°；又用绳子测得测角仪距地面的高度*AB*为31.6*m*．求该大楼的高度（结果精确到0.1*m*）．
> （参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）
>
> 
>
> 【分析】作*AH*⊥*CD*于*H*，则四边形*ABDH*是矩形，得出*HD*＝*AB*＝31.6*m*，由三角函数定义求出*AH*≈40.51（*m*），证出*CH*＝*AH*＝40.51*m*，进而得出答案．
>
> 【解答】解：作*AH*⊥*CD*于*H*，如图：
>
> 则四边形*ABDH*是矩形，
>
> ∴*HD*＝*AB*＝31.6*m*，
>
> 在Rt△*ADH*中，∠*HAD*＝38°，tan∠*HAD*＝，
>
> ∴*AH*＝＝＝≈40.51（*m*），
>
> 在Rt△*ACH*中，∠*CAH*＝45°，
>
> ∴*CH*＝*AH*＝40.51*m*，
>
> ∴*CD*＝*CH*+*HD*＝40.51+31.6≈72.1（*m*），
>
> 答：该大楼的高度约为72.1*m*．
>
> 
>
> 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及等腰直角三角形的判定，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
22．（9分）如图，△*ABC*的外角∠*BAM*的平分线与它的外接圆相交于点*E*，连接*BE*，*CE*，过点*E*作*EF*∥*BC*，交*CM*于点*D*．
> 求证：（1）*BE*＝*CE*；
>
> （2）*EF*为⊙*O*的切线．
>
> 
>
> 【分析】（1）根据圆内接四边形的想知道的∠*EAM*＝∠*EBC*，根据角平分线的定义得到∠*BAE*＝∠*EAM*，得到∠*BCE*＝∠*EBC*，于是得到*BE*＝*CE*；
>
> （2）如图，连接*EO*并延长交*BC*于*H*，连接*OB*，*OC*，推出直线*EO*垂直平分*BC*，得到*EH*⊥*BC*，求得*EH*⊥*EF*，根据切线的判定定理即可得到结论．
>
> 【解答】证明：（1）∵四边形*ACBE*是圆内接四边形，
>
> ∴∠*EAM*＝∠*EBC*，
>
> ∵*AE*平分∠*BAM*，
>
> ∴∠*BAE*＝∠*EAM*，
>
> ∵∠*BAE*＝∠*BCE*，
>
> ∴∠*BCE*＝∠*EAM*，
>
> ∴∠*BCE*＝∠*EBC*，
>
> ∴*BE*＝*CE*；
>
> （2）如图，连接*EO*并延长交*BC*于*H*，连接*OB*，*OC*，
>
> ∵*OB*＝*OC*，*EB*＝*EC*，
>
> ∴直线*EO*垂直平分*BC*，
>
> ∴*EH*⊥*BC*，
>
> ∴*EH*⊥*EF*，
>
> ∵*OE*是⊙*O*的半径，
>
> ∴*EF*为⊙*O*的切线．
>
> 
>
> 【点评】本题考查了切线的判定定理，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．（10分）小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子．以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于0，1，2，则小伟胜；若所得数值等于3，4，5，则小梅胜．
> （1）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率；
>
> 
>
> （2）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用表格修改游戏规则，以确保游戏的公平性．
>
> 【分析】（1）利用列表法表示所有可能出现的结果情况，并求出小伟胜、小梅胜的概率；
>
> （2）依据获胜的概率判断游戏的公平性，修改规则时，可使两人获胜的概率相等，或利用积分的形式，使两人的积分相等即可．
>
> 【解答】解（1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
>
> 
>
> 表中总共有36种可能的结果，每一种结果出现的可能性相同，"差的绝对值"为0，1，2共有24种，"差的绝对值"为3，4，5的共有12种，
>
> 所以，*P*~（小伟胜）~＝＝，*P*~（小梅胜）~＝＝，
>
> 答：*P*~（小伟胜）~＝，*P*~（小梅胜）~＝；
>
> （2）∵，
>
> ∴游戏不公平；
>
> 根据表格中"差的绝对值"的不同情况，要使游戏公平，即两人获胜的概率相等，
>
> 于是修改为：两次掷的点数之差为1，2，则小伟胜；否则小梅胜．
>
> 这样小伟、小梅获胜的概率均为．
>
> 【点评】此题主要考查了游戏的公平性，主要是通过列举出所有的可能结果，求出相应的概率是解决问题的关键．
24．（12分）已知，在平面直角坐标系中，抛物线*y*＝*x*^2^﹣2*mx*+*m*^2^+2*m*﹣1的顶点为*A*．点*B*的坐标为（3，5）．
> （1）求抛物线过点*B*时顶点*A*的坐标；
>
> （2）点*A*的坐标记为（*x*，*y*），求*y*与*x*的函数表达式；
>
> （3）已知*C*点的坐标为（0，2），当*m*取何值时，抛物线*y*＝*x*^2^﹣2*mx*+*m*^2^+2*m*﹣1与线段*BC*只有一个交点．
>
> 
>
> 【分析】（1）根据待定系数法求得解析式，然后把解析式化成顶点式即可求得；
>
> （2）化成顶点式，求得顶点坐标，即可得出*y*与*x*的函数表达式；
>
> （3）把*C*（0，2）代入*y*＝*x*^2^﹣2*mx*+*m*^2^+2*m*﹣1，求得*m*＝1或﹣3，结合（1）根据图象即可求得．
>
> 【解答】解：（1）∵抛物线*y*＝*x*^2^﹣2*mx*+*m*^2^+2*m*﹣1过点*B*（3，5），
>
> ∴把*B*（3，5）代入*y*＝*x*^2^﹣2*mx*+*m*^2^+2*m*﹣1，整理得，*m*^2^﹣4*m*+3＝0，
>
> 解，得*m*~1~＝1，*m*~2~＝3，
>
> 当*m*＝1时，*y*＝*x*^2^﹣2*x*+2＝（*x*﹣1）^2^+1，
>
> 其顶点*A*的坐标为（1，1）；
>
> 当*m*＝3时，*y*＝*x*^2^﹣6*x*+*m*^2^+14＝（*x*﹣3）^2^+5，
>
> 其顶点*A*的坐标为（3，5）；
>
> 综上，顶点*A*的坐标为（1，1）或（3，5）；
>
> （2）∵*y*＝*x*^2^﹣2*mx*+*m*^2^+2*m*﹣1＝（*x*﹣*m*）^2^+2*m*﹣1，
>
> ∴顶点*A*的坐标为（*m*，2*m*﹣1），
>
> ∵点*A*的坐标记为（*x*，*y*），
>
> ∴*x*＝*m*，
>
> ∴*y*＝2*x*﹣1；
>
> （3）由（2）可知，抛物线的顶点在直线*y*＝2*x*﹣1上运动，且形状不变，
>
> 由（1）知，当*m*＝1或3时，抛物线过*B*（3，5），
>
> 把*C*（0，2）代入*y*＝*x*^2^﹣2*mx*+*m*^2^+2*m*﹣1，得*m*^2^+2*m*﹣1＝2，
>
> 解，得*m*＝1或﹣3，
>
> 所以当*m*＝1或﹣3时，抛物线经过点*C*（0，2），
>
> 如图所示，当*m*＝﹣3或3时，抛物线与线段*BC*只有一个交点（即线段*CB*的端点），
>
> 当*m*＝1时，抛物线同时过点*B*、*C*，不合题意，
>
> 所以*m*的取值范围是﹣3≤*m*≤3且*m*≠1．
>
> 
>
> 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
25．（12分）发现规律
> （1）如图①，△*ABC*与△*ADE*都是等边三角形，直线*BD*，*CE*交于点*F*．直线*BD*，*AC*交于点*H*．求∠*BFC*的度数．
>
> 
>
> （2）已知：△*ABC*与△*ADE*的位置如图②所示，直线*BD*，*CE*交于点*F*．直线*BD*，*AC*交于点*H*．若∠*ABC*＝∠*ADE*＝α，∠*ACB*＝∠*AED*＝β，求∠*BFC*的度数．
>
> 应用结论
>
> （3）如图③，在平面直角坐标系中，点*O*的坐标为（0，0），点*M*的坐标为（3，0），*N*为*y*轴上一动点，连接*MN*．将线段*MN*绕点*M*逆时针旋转60°得到线段*MK*，连接*NK*，*OK*．求线段*OK*长度的最小值．
>
> 
>
> 【分析】（1）由"*SAS*"可证△*BAD*≌△*CAE*，可得∠*ABD*＝∠*ACE*，由三角形内角和定理可求解；
>
> （2）通过证明△*ABC*∽△*ADE*，可得∠*BAC*＝∠*DAE*，，可证△*ABD*∽△*ACE*，可得∠*ABD*＝∠*ACE*，由外角性质可得∠*BFC*＝∠*BAC*，由三角形内角和定理可求解；
>
> （3）由旋转的性质可得△*MNK*是等边三角形，可得*MK*＝*MN*＝*NK*，∠*NMK*＝∠*NKM*＝∠*KNM*＝60°，如图③，将△*MOK*绕点*M*顺时针旋转60°，得到△*MQN*，连接*OQ*，可得∠*OMQ*＝60°，*OK*＝*NQ*，*MO*＝*MQ*，则当*NQ*为最小值时，*OK*有最小值，由垂线段最短可得当*QN*⊥*y*轴时，*NQ*有最小值，由直角三角形的性质可求解．
>
> 【解答】解：（1）如图①，
>
> ∵△*ABC*，△*ADE*是等边三角形，
>
> ∴*AB*＝*AC*，*AD*＝*AE*，∠*BAC*＝∠*DAE*＝60°＝∠*ABC*＝∠*ACB*，
>
> ∴∠*BAD*＝∠*CAE*，
>
> ∴△*BAD*≌△*CAE*（*SAS*），
>
> ∴∠*ABD*＝∠*ACE*，
>
> ∵∠*ABD*+∠*EBC*＝∠*ABC*＝60°，
>
> ∴∠*ACE*+∠*EBC*＝60°，
>
> ∴∠*BFC*＝180°﹣∠*EBC*﹣∠*ACE*﹣∠*ACB*＝60°；
>
> （2）如图②，
>
> ∵∠*ABC*＝∠*ADE*＝α，∠*ACB*＝∠*AED*＝β，
>
> ∴△*ABC*∽△*ADE*，
>
> ∴∠*BAC*＝∠*DAE*，，
>
> ∴∠*BAD*＝∠*CAE*，，
>
> ∴△*ABD*∽△*ACE*，
>
> ∴∠*ABD*＝∠*ACE*，
>
> ∵∠*BHC*＝∠*ABD*+∠*BAC*＝∠*BFC*+∠*ACE*，
>
> ∴∠*BFC*＝∠*BAC*，
>
> ∵∠*BAC*+∠*ABC*+∠*ACB*＝180°，
>
> ∴∠*BFC*+α+β＝180°，
>
> ∴∠*BFC*＝180°﹣α﹣β；
>
> （3）∵将线段*MN*绕点*M*逆时针旋转60°得到线段*MK*，
>
> ∴*MN*＝*NK*，∠*MNK*＝60°，
>
> ∴△*MNK*是等边三角形，
>
> ∴*MK*＝*MN*＝*NK*，∠*NMK*＝∠*NKM*＝∠*KNM*＝60°，
>
> 如图③，将△*MOK*绕点*M*顺时针旋转60°，得到△*MQN*，连接*OQ*，
>
> 
>
> ∴△*MOK*≌△*MQN*，∠*OMQ*＝60°，
>
> ∴*OK*＝*NQ*，*MO*＝*MQ*，
>
> ∴△*MOQ*是等边三角形，
>
> ∴∠*QOM*＝60°，
>
> ∴∠*NOQ*＝30°，
>
> ∵*OK*＝*NQ*，
>
> ∴当*NQ*为最小值时，*OK*有最小值，
>
> 由垂线段最短可得：当*QN*⊥*y*轴时，*NQ*有最小值，
>
> 此时，*QN*⊥*y*轴，∠*NOQ*＝30°，
>
> ∴*NQ*＝*OQ*＝，
>
> ∴线段*OK*长度的最小值为．
>
> 【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
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**小学一年级上册数学奥数知识点****讲****解第17课《发现****图形的变****化规律》试题附答案**
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一年级奥数上册：第十七讲 发现图形的变化规律 习题
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**济宁市二O二O年高中段学校招生考试**
**数 学 试 题**
**一、选择题:**
1.的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相反数的概念解答即可．
【详解】解：的相反数是，
故选D.
【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上"-"号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.3.14159精确到千分位为（ ）
A. 3.1 B. 3.14 C. 3.142 D. 3.141
【答案】C
【解析】
【分析】
把万分位上数字5进行四舍五入即可．
【详解】解：3.14159精确到千分位为3.142．
故选C．
【点睛】本题考查近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
3.下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】解：A、是最简二次根式，故选项正确；
B、=，不是最简二次根式，故选项错误；
C、，不是最简二次根式，故选项错误；
D、，不最简二次根式，故选项错误；
故选A.
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
4\. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为【 】
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
多边形内角和定理．
【分析】设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）=1080，
解此方程即可求得答案：n=8．故选C．
5.一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（ ）
A. 15海里 B. 20海里 C. 30海里 D. 60海里
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB即可．
【详解】解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，\
∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，\
∴BC=AB，\
∵AB=15海里/时×2时=30海里，\
∴BC=30海里，\
即海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选C.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定和三角形的外角性质，关键是求出∠C=∠CAB，题目比较典型，难度不大．
6.下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩(单位:cm）的平均数和方差．要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛,最合适的运动员是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【详解】解：∵乙和丁平均数最小，\
∴从甲和丙中选择一人参加比赛，\
∵丙的方差最小，即成绩比较稳定，\
∴选择丙参赛；\
故选：C．
【点睛】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7.数形结合是解决数学问题常用的思思方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ）
A. x=20 B. x=5 C. x=25 D. x=15
【答案】A
【解析】
【分析】
两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【详解】解：由图可知：
直线y=x+5和直线y=ax+b交于点P（20，25），\
∴方程x+5=ax+b的解为x=20．\
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
8.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积等于（ ）
A. 12πcm^2^
B. 15πcm^2^
C. 24πcm^2^
D. 30πcm^2^
【答案】B
【解析】
由三视图可知这个几何体是圆锥，高是4cm，底面半径是3cm，所以母线长是（cm），∴侧面积＝π×3×5＝15π（cm^2^），故选B．
9.如图，在△ABC中点D为△ABC的内心,∠A=60°,CD=2,BD=4．则△DBC的面积是（ ）
A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
过点B作BH⊥CD于点H．由点D为△ABC的内心，∠A=60°，得∠BDC=120°，则∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面积．
【详解】解：过点B作BH⊥CD于点H．\
∵点D为△ABC的内心，∠A=60°，\
∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°，\
则∠BDH=60°，\
∵BD=4，BD：CD=2：1\
∴DH=2，BH=2，CD=2，
∴△DBC的面积为CD•BH=×2×2=2.
故选B.
\
【点睛】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
10.小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写"心"字,寓意"不忘初心".其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，......按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带"心"字正方体的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图形规律可得第n个图形共有1+2+3+4+\...+n=个正方体，最下面有n个带"心"字正方体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：由图可知：
第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带"心"字正方体；
第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带"心"字正方体；
第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带"心"字正方体；
第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带"心"字正方体；
\...
第n个图形共有1+2+3+4+\...+n=个正方体，最下面有n个带"心"字正方体；
则：第100个图形共有1+2+3+4+\...+100==5050个正方体，最下面有100个带"心"字正方体；
∴从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带"心"字正方体的概率是，
故选：D．
【点睛】本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体的个数以及带"心"字正方体个数．
**二、填空题:**
11.分解因式a^3^-4a的结果是 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】a（a+2）（a-2）
【解析】
【分析】
首先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【详解】解：a^3^-4a=a（a^2^-4）=a（a+2）（a-2），\
故答案为：a（a+2）（a-2）．
【点睛】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_(写出一个即可)，
【答案】4（答案不唯一，在3＜x＜9之内皆可）
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系"任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边"，求得第三边的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得：\
第三边应大于6-3=3，而小于6+3=9，\
故第三边的长度3＜x＜9．\
故答案为：4（答案不唯一，在3＜x＜9之内皆可）．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．
13.已如m+n=-3.则分式的值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】，
【解析】
【分析】
先计算括号内的，再将除法转化为乘法，最后将m+n=-3代入即可.
【详解】解：原式=
=
=
=
=，
∵m+n=-3，代入，
原式=.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则.
14.如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：,则斜坡AB的长是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_米．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意得出∠ABF=30°，进而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用锐角三角函数关系求出即可．
【详解】解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，\
∵斜面坡度为1：，
∴tan∠ABF=，
∴∠ABF=30°，\
∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，\
∴∠HPB=30°，∠APB=45°，\
∴∠HBP=60°，\
∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，\
∴PB=AB，\
∵PH=30m，sin60°=，
解得：PB=，
故AB=m，\
故答案为：.
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键．
15.如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD相交于点E，CD^2^=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=2．则BO的长是\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】4
【解析】
【分析】
连结OC，设⊙O的半径为r，由DC^2^=CE•CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到，则，然后证明，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值即可．
【详解】解：连结，如图，设的半径为，
，
，
而，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
即OB=4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．也考查了圆周角定理．
**三、解答题:**
16.先化简，再求值:(x+1)(x-1)+x(2-x),其中x=．
【答案】；0
【解析】
【分析】
先去括号，再合并同类项，最后将x值代入求解.
【详解】解：原式=
=
将x=代入，
原式=0.
【点睛】本题考查了整式的混合运算---化简求值，解题的关键是掌握平方差公式，单项式乘多项式的运算法则.
17.某校举行了"防溺水"知识竞赛，八年级两个班选派10名同学参加预赛，依据各参赛选手的成绩(均为整数)绘制了统计表和折线统计图(如图所示)．
(1)统计表中,a=\_\_\_\_\_\_\_\_, b =\_\_\_\_\_\_\_\_；
(2)若从两个班的预赛选手中选四名学生参加决赛,其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额 在成绩为98分的学生中任选两个，求另外两个决赛名额落在不同班级的概率．
【答案】（1）96，96；（2）
【解析】
【分析】
（1）分别将两个班级的成绩罗列出来，再根据众数和中位数的概念解答即可；
（2）设八（1）班98分的学生分别为A，B，八（2）班98分的学生分别为D、C、E，将所有情况列出，再得出符合条件的个数，利用概率公式求解.
【详解】解：（1）由图可知：
八（1）班学生成绩分别为：100、92、98、96、88、96、89、98、96、92，
∴八（1）班的众数为：96，即a=96，
八（2）班学生成绩分别为：89、98、93、98、95、97、91、90、98、99，
从小到大排列为：89、90、91、93、95、97、98、98、98、99，
八（2）班的中位数为：（95+97）÷2=96，即b=96；
故答案为：96；96；
（2）设八（1）班98分的学生分别为A，B，八（2）班98分的学生分别为D、C、E，
可知共有（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）10种情况，
其中满足另外两个决赛名额落在不同班级的情况有（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），共6种，
∴另外两个决赛名额落在不同班级的概率为.
【点睛】本题考查了中位数和众数，列举法求概率，解题的关键是理解题意，掌握中位数和众数的求法和概率公式的运用.
18.如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上．
(1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据相似三角形的性质可得∠CPD=∠BAP，故作∠CPD=∠BAP，∠CPD与AC的交点为D即可；
（2）利用外角的性质以及（1）中∠CPD=∠BAP可得∠CPD =∠ABC，再根据平行线的判定即可.
【详解】解：（1）∵△PCD∽△ABP，
∴∠CPD=∠BAP，
故作∠CPD=∠BAP即可，
如图，即为所作图形，
（2）∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠ABC+∠BAP=2∠ABC，
∴∠BAP =∠ABC，
∴∠BAP=∠CPD=∠ABC，
即∠CPD =∠ABC，
∴PD∥AB.
【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的性质，外角的性质，难度不大，解题的关键是掌握尺规作图的基本作法.
19.在△ABC中.BC边的长为x,BC边上的高为y,△ABC的面积为2．
(1)y关于x的函数关系式是\_\_\_\_\_\_\_\_， x的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；
(3)将直线y=-x+3向上平移a(a\>0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．
【答案】（1）y=，x＞0；（2）见解析；（3）1
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的面积公式即可得出函数关系式，再根据实际意义得出x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出图像即可；
（3）得到平移后的一次函数表达式，再和反比例函数联立，得到一元二次方程，再结合交点个数得到根的判别式为零，即可求出a值.
【详解】解：（1）由题意可得：
S~△ABC~=xy=2，
则：y=，
其中x的取值范围是x＞0，
故答案为：y=，x＞0；
（2）函数y=（x＞0）的图像如图所示；
（3）将直线y=-x+3向上平移a(a\>0)个单位长度后得到y=-x+3+a，
若与函数y=（x＞0）只有一个交点，
联立：，
得：，
则，
解得：a=1或-7（舍），
∴a的值为1.
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的综合，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解题意，将函数交点问题转化为一元二次方程根的问题.
20.为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5 000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少?
【答案】（1）1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；（2）共有3种方案，6辆大货车和6辆小货车，7辆大货车和5辆小货车；8辆大货车和4辆小货车，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元.
【解析】
【分析】
（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
（2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用为W，根据运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元分别得出不等式，求解即可得出结果.
详解】解：（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，
根据题意，得：，
解得：，
答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资；
（2）设安排m辆大货车，则小货车（12-m）辆，总费用W，
则150m+（12-m）×100≥1500，
解得：m≥6，
而W=5000m+3000×（12-m）=2000m+36000＜54000，
解得：m＜9，
则6≤m＜9，
则运输方案有3种：
6辆大货车和6辆小货车；
7辆大货车和5辆小货车；
8辆大货车和4辆小货车；
∵2000＞0，
∴当m=6时，总费用最少，且为2000×6+36000=48000元.
∴共有3种方案，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系和不等关系，列出式子.
21.我们把方程(x- m)^2^+(y-n)^2^=r^2^称为圆心为(m，n)、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是(x- 1)^2^+(y+2)^2^=9．在平面直角坐标系中,圆C与轴交于点A．B．且点B的坐标为(8．0),与y轴相切于点D(0, 4)，过点A,B,D的抛物线的顶点为E．
(1)求圆C的标准方程；
(2)试判断直线AE与圆C的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）相切，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连接CD，CB，过C作CF⊥AB，分别表示出BF和CF，再在△BCF中利用勾股定理构造方程求解即可得到圆C半径以及点C坐标，从而得到标准方程；
（2）由（1）可得点A坐标，求出抛物线表达式，得到点E坐标，再求出直线AE的表达式，联立直线AE和圆C的表达式，通过判断方程根的个数即可得到两者交点个数，从而判断位置关系.
【详解】解：连接CD，CB，过C作CF⊥AB，
∵点D（0，4），B（8，0），设圆C半径为r，圆C与y轴切于点D，
则CD=BC=OF=r，CF=4，
∵CF⊥AB，
∴AF=BF=8-r，
在△BCF中，，
即，
解得：r=5，
∴CD=OF=5，即C（5，4），
∴圆C的标准方程为：；
（2）由（1）可得：BF=3=AF，则OA=OB-AB=2，
即A（2，0），
设抛物线表达式为：，将A，B，D坐标代入，
，解得：，
∴抛物线表达式为：，
∴可得点E（5，），
设直线AE表达式为：y=mx+n，将A和E代入，
可得：，解得：，
∴直线AE的表达式为：，
∵圆C的标准方程为，
联立，
解得：x=2，
故圆C与直线AE只有一个交点，横坐标为2，
即圆C与直线AE相切.
【点睛】本题考查了圆的新定义，二次函数，一次函数，切线的判定，垂径定理，有一定难度，解题的关键是利用转化思想，将求位置关系转化为方程根的个数问题.
22.如图，在菱形ABCD中，AB=AC，点E、F、G分别在边BC、CD上，BE=CG，AF平分∠EAG，点H是线段AF上一动点(与点A不重合)．
(1)求证:△AEH≌△AGH；
(2)当AB=12，BE=4时：
①求△DGH周长的最小值；
②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1:3．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①；②存在，或
【解析】
【分析】
（1）证明△ABE≌△ACG得到AE=AG，再结合角平分线，即可利用SAS证明△AEH≌△AGH；
（2）①根据题意可得点E和点G关于AF对称，从而连接ED，与AF交于点H，连接HG，得到△DGH周长最小时即为DE+DG，构造三角形DCM进行求解即可；
②分当OH与AE相交时，当OH与CE相交时两种情况分别讨论，结合中位线，三角形面积进行求解即可.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠ACD=60°，
∵BE=CG，AB=AC，
∴△ABE≌△ACG，
∴AE=AG，
∵AF平分∠EAG，
∴∠EAH=∠GAH，
∵AH=AH，
∴△AEH≌△AGH；
（2）①如图，连接ED，与AF交于点H，连接HG，
∵点H在AF上，AF平分∠EAG，且AE=AG，
∴点E和点G关于AF对称，
∴此时△DGH的周长最小，
过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M，
由（1）得：∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°，
∴∠DCM=60°，∠CDM=30°，
∴CM=CD=6，
∴DM=，
∵AB=12=BC，BE=4，
∴EC=DG=8，EM=EC+CM=14，
∴DE==DH+EH=DH+HG，
∴DH+HG+DG=
∴△DGH周长的最小值为；
②当OH与AE相交时，如图，AE与OH交于点N，
可知S~△AON~：S~四边形HNEF~=1:3，
即S~△AON~：S~△AEC~=1:4，
∵O是AC中点，
∴N为AE中点，此时ON∥EC，
∴，
当OH与EC相交时，如图，EC与OH交于点N，
同理S~△NOC~：S~四边形ONEA~=1:3，
∴S~△NOC~：S~△AEC~=1:4，
∵O为AC中点，
∴N为EC中点，则ON∥AE，
∴，
∵BE=4，AB=12，
∴EC=8，EN=4，
过点G作GP⊥BC，交BNC延长线于点P，
∵∠BCD=120°，
∴∠GCP=60°，∠CGP=30°，
∴CG=2CP，
∵CG=BE=4，
∴CP=2，GP=，
∵AE=AG，AF=AF，∠EAF=∠GAF，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF=FG，
设EF=FG=x，则FC=8-x，FP=10-x，
在△FGP中，，
解得：x=，
∴EF=，
∴，
综上：存在直线OH，的值为或.
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，中位线，最短路径问题，知识点较多，难度较大，解题时要注意分情况讨论.
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第1单元 第一节：买铅笔**
1. **比一比，算一算。**
9＋（ ）＝13 13－9＝（ ） 9＋（ ）＝17
17－9＝（ ） 9＋（ ）＝12 12－9＝（ ）
   
2. 圈一圈，算一算。
14－9＝ 11－9＝
3、比一比，再 里填上"＞""＜"或"＝"。
15－9 7 8 17－9 12－9 4 18－9 5
4. 填表。
+------+-------------------------------------+---------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+
| |  |  | \[来源:学科网\] |
| | | | |
| | \[来源:学科网ZXXK\] | | |
+------+-------------------------------------+---------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+
| 原来 | 15个 | 18个 | 12盏 |
+------+-------------------------------------+---------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+
| 卖出 | 9个 | 9个 | 9盏 |
+------+-------------------------------------+---------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+
| 还剩 | （ ）个 | （ ）个 | （ ）盏 |
+------+-------------------------------------+---------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------+
5、快帮小猫来钓鱼，用线连一连。
**6、应用题**
**（1）、小强今年15岁，他的弟弟今年9岁，问，小强比他的弟弟大几岁？**
**（2）、有四只老母鸡早上共下了11个鸡蛋，等到晚上的时候发现只剩下9个完整的，问，打碎了几个鸡蛋？**
**（3）、桌子上有14跟燃烧的蜡烛，一阵风吹过灭了9根，问，还剩几根燃烧着的蜡烛？**
**（4）、花花和她的小伙伴带着18棵树苗去植树，已经种了9棵，还剩几棵树苗没有摘呢？**
\[来源:学+科+网\]
答案
1. **比一比，算一算。**
9＋（ 4 ）＝13 13－9＝（ 4 ） 9＋（ 8 ）＝17
17－9＝（ 8 ）  9＋（ 3 ）＝12 12－9＝（ 3 ）  
2. 圈一圈，算一算。
14－9＝5  11－9＝2 
3、比一比，再 里填上"＞""＜"或"＝"。
15－9＞7 8 ＝ 17－9 12－9＜4 18－9 ＞5
3. 填表。
------ ------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------
  
原来 15个 18个 12盏
卖出 9个 9个 9盏
还剩 （ 6 ）个 （ 9 ）个 （ 3 ）盏
------ ------------------------------------- ------------------------------------- -------------------------------------
\[来源:Z\_xx\_k.Com\]
5、快帮小猫来钓鱼，用线连一连。
6、
**（1）、15-9=8(岁) 答：小强比他的弟弟大8岁.**
**（2）、11-9=2（个） 答：打碎了2个鸡蛋.**
**（3）、14-9=5（根） 答：还剩5根燃烧着的蜡烛.**
**（4）、18-9=9（棵） 答：还剩9****棵树苗没有摘.**
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**北师大版小学四年级数学上册期末考试试卷十四（附答案）**
**一、口算我最行。（共10分）**
**40×60=** 18×4= **16×50=** 300×8= 16×25= 0÷32= 400÷50= 720÷80= **200-**100÷2= 150÷50×3=
**二、认真读题，思考填空。**（每空1分，共17分）
1、一个数由6个亿，5个千万，3个十万，8个千组成，这个数写作（ ），读作：（ ），共有（ ）级。
2、2005年11月全国人口抽样调查数据显示全国31个省、自治区、直辖市和现役军人的总人口约为1306280000人，这个数读作（ ），四舍五入到亿位约是（ ）。
3、李老师本月存入存折2600元可以记作（ ），过了几天又从存折中支出1700元可以记作（ ），如果李老师上个月存折上原有3000元，那么现在李老师的存折上的余额是（ ）元。
4、上午9时整，时针和分针所组成的角是（ ）度，是（ ）角；下午6时整，时针和分针所组成的角是（ ）度，是（ ）角。来源：www.bcjy123.com/tiku/
5、把一个15° 的角放在一个放大10倍的放大镜下看，这个角的度数现在是（ ）。
6、a÷35=24·····□,当余数是（ ）时，a最大。
7、在□内填上适当的数
46□382≈46万 63□5480≈634万 9□9370000≈10亿
**三、反复比较，慎重选择。**（每题2分，共10分）
1. 直线与射线比较，（ ）
A、直线更长 B、射线更长 C、无法比较
2. 一个三位数除以一个两位数，所得的商（ ）。
A、一定是两位数 B、一定是一位数 C、可能是一位数也可能是两位数
3、a÷b=c，把a扩大10倍，要使c不变，b需要（ ）
A、不变 B、乘10 C、除以10
4、圆形纸对折3次以后所形成的角是（ ）。
A、锐角 B、直角 C、钝角
5、小芳看小敏在东偏南30°的方向上，
小敏看小芳在（ ）方向上。
A.北偏西30度 B.北偏西60度
C.北偏东30度 D.北偏东60度
**四、一丝不苟，细心计算。**（共26分）
1、竖式计算（每题2分，共8分）
306×27 234×58 793÷61 840÷35
2、能简便计算的尽量用简便方法计算（每小题3分，共18分）
37×49+37×51 102×46
25×43×2×4 700÷25
165÷\[3×（47-42）\] 105×34-34×5
**五、想想画画。**（共10分，其中第1题4分，第2、3题每题3分）
> 1、（1）过A点画出直线L的平行线； （2分）
（2）如果A点表示新苑小区，直线L表示公路，为了方便新苑小区的学生坐车上学，政府准备在公路上设一个公交车站，这个车站设在哪合适？请在图上画出来，并说说为什么？（画1分，答1分）
A·
L
-- -- -- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- -- -- --
2、请你用量角器画一个105度的角。 3、画出三角形逆时针旋转90度后的图形。
**六、联系生活，解决问题。**（共27分）
1、小华每分钟打46个字，小红每分钟比小华多打8个字，小红25分钟能打多少个字？（4分）
2、某粮食加工厂要把400袋大米
运往仓库。（4分）
3. 淘气3分钟走了195米，笑笑5分钟走了 305米 ，他们俩谁走得快些？每分钟快多少米？（5分）
4. 学校植物园是一块长方形土地，面积是448平方米，已知长是28米，宽比长短多少米？（5分）
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5. 下面是某地6月份一周内的最高气温统计表。（共9分）
------------- ----- ----- ----- ------ ------ ------ ------
日期 7日 8日 9日 10日 11日 12日 13日
气温（ ℃ ） 26 24 25 29 30 30 33
------------- ----- ----- ----- ------ ------ ------ ------
某地6月份一周内的最低气温统计图
气温℃
-- -- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- -- --
7日 8日 9日 10日 11日 12日 13日 日期
④请你估计14日的最高气温大约是多少？写出你估计的理由。（2分）
**七、附加题：我最聪明（10分）**来源：www.bcjy123.com/tiku/
冬冬与兰兰在同一所学校上学。一天，冬冬说："我上学每分钟走70米，9分钟到达学校。"兰兰说："我上学每分钟走62米，12分钟到达学校。"老师说："冬冬家、兰兰家与学校刚好在同一条直路上。"问冬冬家和兰兰家相距多少米？
1、试卷名称：（北师大版）小学数学四年级第七册期末测试卷
2、试卷总体描述来源：www.bcjy123.com/tiku/
+----------+------------+--------+------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 考试时间 | 总分 | 难易度 | 目标 | 总卷亮点点评 |
+----------+------------+--------+------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| 80分钟 | 100分 | 中等 | 力求通过该试卷反映出学生对本册内容的掌握情况。 | 1、该试卷题目主要从基础知识入手，联系生活实际，提高学生的计算能力、实践操作能力以及灵活解题能力，较能锻炼学生思维； |
| | | | | |
| | 附加题10分 | | | 2、试卷内容大部分贴近中下层次学生，使中下学生也能有成功的体验，这样有利于提高这部分学生自信心；与此同时也设计了一小部分有趣而又有一定难度的题目以供优生的需要，这样做让不同层次的学生都得到了不同的发展。 |
+----------+------------+--------+------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+
3、试题明细表
+--------+--------+--------------------------------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------+
| 题号 | 难易度 | 难点 | 预计做题时间 | 知识点 | 教学要求 | 亮点点评 | 试卷来源 |
+--------+--------+--------------------------------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------+
| 一、 | 很容易 | 其中16×25 | 2分钟 | 1、因数末尾有0的乘法口算方法是把0前面的数先乘起来，然后再看因数末尾一共有几个0，就添上几个0。 | 1、要求学生掌握因数是整十整百数的乘法以及被除数或除数末尾有0的除法口算方法；提高学生的口算能力。2、熟练掌握0除以任何不为0的数都得0。 | 16×25可以运用简便方法进行口算；200-100÷2，150÷50×3既可以检验学生的口算能力，还能考查学生是否具有细心审题的习惯以及巩固混合运算的运算顺序。 | 原创 |
| | | | | | | | |
| 口算 | | 200-100÷2两题较容易出错。 | | 2、整百整十数除以整十数的口算除法。 | | | |
+--------+--------+--------------------------------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------+
| 二、 | 中等 | 第5、6、7小题 | 10分钟 | 1、认识更大的数； | 1、能正确读写比较大的数，能改写成万或亿为单位的数； | 第2小题可以让学生了解国情；第3、4小题与生活紧密联系，让学生深刻体会数学来源于生活；第6、7小题能较好地锻炼学生思维灵活性。 | 第4小题来源于网上资料，其他均为原创。 |
| | | | | | | | |
| 填 | | | | 2、生活中的负数； | 2、回用正负数表示生活中的问题； | | |
| | | | | | | | |
| 空 | | | | 3、角的知识。 | 3、了解各种角，能准确辨认生活中的角。 | | |
| | | | | | | | |
| 题 | | | | | | | |
+--------+--------+--------------------------------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------+
| 三、 | 中等 | 第5小题 | 3分钟 | 1. 线和角的知识 | 1、认识直线，射线和线段的特点；2、熟练掌握商不变的规律；3、能描述简单的路线图。 | 第4、5小题比较灵活，可以促使学生动手操作，以及培养学生空间想象能力。 | 1、2、3小题为原创，4、5小题摘自网上资料。 |
| | | | | | | | |
| 选 | | | | 2. 商不变规律； | | | |
| | | | | | | | |
| 择 | | | | 3. 方向与位置 | | | |
| | | | | | | | |
| 题 | | | | | | | |
+--------+--------+--------------------------------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------+
| 四、计 | 容易 | 简便方法计算 | 15分钟 | 1、三位数乘两位数以及三位数除以两位数的笔算；2、会运用简便算法计算；3、掌握有中括号的混合运算顺序。 | 1、让学生掌握三位数乘两位数以及三位数除以两位数的笔算方法；2、能运用运算定律使计算更加简便；3、掌握有中括号的混合运算。 | 简便算法计算的4道题和105×34-34×5这几道题具有较强的灵活性，能较好的锻炼学生思维能力。 | 原创 |
| | | | | | | | |
| 算 | | | | | | | |
+--------+--------+--------------------------------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------+
| 五、 | 中等 | 第1题的第（2）小题和第3小题 | 5 | 1、画垂线和平行线；2、画角；3、画出旋转后的图形。 | 1、能借助工具用科学的方法作图；2、能在方格纸上将简单图形旋转 | 第1题的第（2）小题，把画垂线与生活实际结合起来，深刻感受了垂线段最短在生活中的运用。 | 第1题的第（2）小题借鉴网上试题，其余为原创。 |
| | | | | | | | |
| 画 | | | 分钟 | | 90° | | |
| | | | | | | | |
| 图 | | | | | | | |
+--------+--------+--------------------------------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------+
| 六、 | 中等 | 第2题和第5题的（3）（4）小题。 | 25分钟 | 折线统计图的知识以及生活中的一些问题。 | 能绘制单式折线统计图，能从图中的数据变化获取一定信息；能解决一些生活中的实际问题。 | 第5题具有较强的灵活性，并且可以考查培养学生观察推理能力，其他题目也紧密联系生活，旨在培养学生灵活解决问题的能力。 | 第2、4题摘自其他试卷，其余为原创。 |
| | | | | | | | |
| 解 | | | | | | | |
| | | | | | | | |
| 决 | | | | | | | |
| | | | | | | | |
| 问 | | | | | | | |
| | | | | | | | |
| 题 | | | | | | | |
+--------+--------+--------------------------------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------+
| 七、附 | 偏难 | 理解兰兰家，冬冬家与学校的位置关系。 | 5 | 路程，速度与时间的知识。 | 熟练掌握速度，时间与路程的数量关系。 | 答案有两种情况，对中上学生有一定的挑战性。 | 摘自《一课三练》第42页 |
| | | | | | | | |
| 加 | | | 分钟 | | | | |
| | | | | | | | |
| 题 | | | | | | | |
+--------+--------+--------------------------------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------+
**小学四年级数学下册期末测试卷参考答案及评分标准**
1. **口算我最行。（共10分，每小题1分）**
**40×60=2400** 18×4=72 **16×50=800** 300×8=2400 16×25=400 0÷32=0 400÷50=8 720÷80=9 **200-**100÷2=150 150÷50×3=9
2. **认真读题，思考填空。**（每空1分，共17分）
> 1、写作：650308000 读作：六亿五千零三十万八千 共3级
>
> 2、十三亿零六百二十五万 约13亿
>
> 3、+2600元或2600元 -1700元 3900
>
> 4、90 直角 180 平角
>
> 5、15°
>
> 6、34
>
> 7、 0、1、2、3、4任选一个 3， 5、6、7、8、9任选一个
**三、反复比较，慎重选择。**（每题2分，共10分）
1、C 2、 C 3、 B 4、A 5、B
**四、一丝不苟，细心计算。**（共26分）
1、竖式计算（每题2分，共8分）
306×27 =8262 234×58=13572 793÷61=13 840÷35=24
2、能简便计算的尽量用简便方法计算（每小题3分，共18分）
37×49+37×51 102×46
=37×（49+51）或=1813+1887 =（100+2）×46
=37×100 =3700 =100×46+2×46
=3700 =4600+92
=4692
25×43×2×4 700÷25
=（25×4）×（43×2）或=（25×2）×（43×4） =（700×4）÷（25×4）
=100×86 =50×172 =2800÷100
=8600 =8600 =28
165÷\[3×（47-42）\] 105×34-34×5
=165÷\[3×5\] =34×（105-5）或=3570-170
=165÷15 =34×100 =3400
=11 =3400
**五、想想画画。**（共10分，其中第1题4分，第2、3题每题3分）
1、画平行线2分，画垂线1分，回答为什么1分
A·
公交车站
2、画角（略）3分
-- -- -- -- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- -- -- -- --
3、3分
**六、联系生活，解决问题。**（共27分）
1、4分 （46+8）×25=1350（个）
分步计算每步2分
2、4分 3×120=360（袋）400-360=40（袋）所以需要运4次
或400÷120=3（次）······40（袋）所以需要运4次
3、5分 195÷3=65（米）
305÷5=61（米）
65-61=4（米）
4、5分 28-448÷28=12（米）
5、绘图2分（略）
①（ 13 ）日的气温最高，（ 8 ）日的气温最低。（2分）
②从（ 9 ）日到（ 10）日一天内的气温上升最快。（2分）
③这一周气温总体上是怎么变化的？（1分）
答：这一周内气温总体上是越来越高。
④请你估计14日的最高气温大约是多少？写出你估计的理由。（2分）
答案不唯一，但要写出估计理由，理由占1分
**七、附加题：我最聪明（10分）**
答案一：70×9=630（米）62×12=744（米）630+744=1374（米）
答案二：70×9=630（米）62×12=744（米）744-630=114（米）
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版****(秋)**
**第1单元 第一节：买铅笔**
**\[来源:学科网ZXXK\]**
**一、计算题**
**1、12-9= 2、1****6-9= 3、19-9=**
**4、18-9= 5、15-9= 6、17-9=**
**7、12-9= 8、13****-9=**  **9、14-9=**
**10、11****-9= 11、18-9= 12、13-9=**
**13、16-9=**  **14、14-9= 15、17-9=**
**16、12-9= 17、19-9= 18、15-9=**
**二、填空题**
**1、9+9=\_\_\_\_\_，18-9=\_\_\_\_\_**
**2、2+9=\_\_\_\_\_，11-9=\_\_\_\_\_**
**3、9+7=\_\_\_\_\_，16-9=\_\_\_\_\_**
**4、8+9=\_\_\_\_\_，17-9=\_\_\_\_\_**
**5、9+5=\_\_\_\_\_，14-9=\_\_\_\_\_**
**6、3+****9=\_\_\_\_\_，12-9=\_\_\_\_\_**
**7、9+7=\_\_\_\_\_，16-9=\_\_\_\_\_**
**8、4+9=\_\_\_\_\_，13-9=\_\_\_\_\_**
三、应用题
1、灿灿的妈妈一共买了11个苹果回家，灿灿和爷爷吃了几个后才能剩9个呢？
2、空中现有15架飞机，已经安全着陆的有9架飞机，问，空中还剩几架飞机？
**3、桌子上有14跟燃烧的蜡烛，一阵风吹过灭了9根，问****，还剩几根燃烧着的蜡烛？**
**4、晴晴和她的小伙伴带着18棵树苗去植树，已经种了9棵，还剩几棵树苗没有摘呢？**
5、一串糖葫芦上有14个山楂，秀秀吃了9个以后还剩几个山楂在上面呢？
6、坤坤今年9岁，他有一个比他大9岁的哥哥，问，坤坤的哥哥今年多大了？
\[来源:Z,xx,k.Com\]
\[来源:学\_科\_网\]
答案
**一、**
**1、3 2、7 3、10**
**4、9 5、****6 6、8**
**7、3 8、4** **9、5**
**10、2 11、9 12、4**
**13、7 14、5 15、8**
**16、3 17、10 18、6\[来源:学科网ZXXK\]**
**二、填空题**
**1、 18 9**
**2、** **11 2**
**3、 16 7**
**4、 17 8**
**5、9+5=\_\_[14]{.underline}\_\_\_，14-9=\_[5\_\_\_]{.underline}\_**
**6、3****+9=\_[\_12\_]{.underline}\_\_，12-9=\_\_[\_3\_]{.underline}\_**
**7、9+7=\_\_[\_16\_]{.underline}\_，16-9=\_[\_7\_]{.underline}\_\_**
**8、4+9=\_\_\_[13\_]{.underline}\_，13-9=\_\_[4\_\_]{.underline}\_**
**\[来源:Z\|xx\|k.Com\]**
三、应用题
1、11-9=2（个） 答：灿灿和爷爷吃了2个后才能剩9个.
2、15-9=6（架） 答：空中还剩6架飞机.
**3、14-9=5（根） 答：还剩5根燃烧着的蜡烛.**
**4、18-9=9（棵） 答：还剩9棵树苗没有摘**
5、14-9=5（个） 答：秀秀吃了9个以后还剩5个山楂在上面
6、9+9=18（岁） 答：坤坤的哥哥今年18岁.
| 1 | |
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）**
**数 学（文科）**
**第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。**
1．复数的实部是（ ）
A．
B．
C．3
D．
2．已知集合，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向左平移个单位
5．已知向量，若与垂直，则（ ）
A．
B．
C．
D．4
6．给出下列三个等式：
，。下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．命题"对任意的"的否定是（ ）
A．不存在
B．存在
C．存在
D．对任意的
8．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；......第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可以分析出和分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．阅读下边的程序框，若输入的是100，则输出的变量和的值依次是（ ）
A．2550，2500
B．2550，2550
C．2500，2500
D．2500，2550
11．设函数与的图象的交点为，
则所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．设集合，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记"点落在直线上"为事件，若事件的概率最大，则的所有可能值为（ ）
A．3
B．4
C．2和5
D．3和4
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上。**
13．设函数，，，则 [ ]{.underline} 。
14．函数的图象恒过定点，若点在直线 上，则的最小值为 [ ]{.underline} 。
15．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 [ ]{.underline} 。
16．与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 [ ]{.underline} 。
**三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
17．（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为。
（1）求；
（2）若，且，求。
18．（本小题满分12分）
设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列。
（1）求数列的等差数列；
（2）令求数列的前项和。
19．（本小题满分12分）
本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元。问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
20．（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱中，
已知，。
（1）求证：；
（2）设是上一点，试确定的位置，使平面，并说明理由。
21．（本小题满分12分）
设函数，其中。
证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值。
22．（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以 为直径的图过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。
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**2015-2016学年度下学期高三年级一调考试**
**数学试卷（理科）**
**第Ⅰ卷（共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1.已知复数，且有，则（ ）
A．5 B． C．3 D．
2.已知全集，集合，那么集合（ ）
A． B． C． D．
3.在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
4.执行所示框图，若输入，则输出的等于（ ）
A．120 B．240 C．360 D．720
5.某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲，乙，丙三所高校的自主招生考试，没人限报一所高校，若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（ ）
A．144种 B．150种 C．196种 D．256种
6.在中，三边之比，则（ ）
A．1 B． 2 C．-3 D．
8.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（ ）
A． B． C． D．
9.某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10.已知和分别为数列与数列的前项和，且，则当取得最大值时，的值为（ ）
A．4 B．5 C．4或5 D．5或6
11.在正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12.已知函数，设函数，且函数的所有零点均在区间，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.已知的展开式中（且）的系数为0，则 [ ]{.underline} .
14.设满足约束条件，若目标函数的最大值为1，则的最小值为 [ ]{.underline} .
15.在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的交点，则的离心率为 [ ]{.underline} .
16.在等腰梯形中，已知，动点和分别在线段和上，且，则的最小值为 [ ]{.underline} .
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）已知数列满足（为实数，且），，且成等差数列.
⑴求的值和的通项公式；
⑵设，求数列的前项和.
18（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生体检表，并得到如图的频率分布直方图.
⑴若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
⑵学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1-50名和951-1000名的学生进行调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；
⑶在⑵中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1-50的学生人数为，求的分布列和数学期望.
附：
19.（本小题满分12分）如图，在中，是的中点，，将沿折起，使点与图中点重合.
⑴求证：平面；
⑵当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；
⑶在⑵条件下，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为？证明你的结论.
20.（本小题满分12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形.
⑴求椭圆的方程；
⑵设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；
⑶过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，探究是否过定点，并说明理由.
21.（本小题满分12分）已知函数.
⑴当时，求函数在上的极值；
⑵若，求证：当时，.
（参考数据：）
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，圆与圆内切于点，其半径分别为3与2，圆的弦交圆于点（不在上），是圆的一条直径.
⑴求的值；
⑵若，求到弦的距离.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，设倾斜角为的直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点.
⑴若，求线段中点的坐标；
⑵若，其中，求直线的斜率.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，函数
⑴求的值；
⑵求的最小值.
参考答案
1. 选择题
1-5 BDACB 6-10 BBDBC 11-12 CD
二、填空题
13\. 2 14. 8 15. 16.
3. 解答题
又因为，所以
由
当时，
当时，
所以数列的通项公式为;
(2)由(1)，得、
设数列的前项和为，则
上述两式相减，得
所以数列的前项和为
18.(1)设各组的频率为
由图可知，第一组有3人，第二组有7人，第三组有27人，
因为后四组的频数成等差数列
所以后四组频数依次为27,24,21,18
所以视力在5.0以下的频率为
0.03+0.07+0.27+0.24+0.21=0.82
故全年级视力在5.0以下的人数约为；
\(2\)
因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系；
(3)依题意9人中年级名次在名和名的人数分别为3人和6人
所以可能的取值为0,1,2,3
，，，
的分布列为
-- --- --- --- ---
0 1 2 3
-- --- --- --- ---
.
19.(1) ，且是的中点
，即
又平面
(2)在平面内，作于点
则由(1)可知，又平面
即是三棱锥的高
又当与重合时，三棱锥的体积最大
过点作于点，连接
由(1)知，平面
平面，
平面，
所以即为二面角的平面角
在中，
(3)存在，且为线段的中点，以为坐标原点，建立，如图所示的空间直角坐标系
设，
又平面的一个法向量为
解得：
20.(1)由已知可得
所以所求椭圆方程为；
(2)设点的中点坐标为，即
由，得，代入上式，得；
(3)若直线的斜率存在，设方程为，依题意
设，由
，由已知
所以，即
所以
故直线的方程为
所以直线过定点；
若直线的斜率存在，设方程为
设
由已知
此时方程为，显然过点
综上，直线过定点.
21.(1)
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以极小值为，无极大值；
(2)构造函数
在区间上单调递增
，在区间上有唯一零点
，即，由的单调性
有
构造函数在去甲上单调递减
即，.
22.(1)设交圆于点，连接
因为圆与圆内切于点，所以点在上，
所以分别是圆与圆的直径
所以
(2)若，由⑴的结果可知，，面在中，，又由，得到弦的距离为1.
23.(1)将曲线，化为普通方程，得
当，设点对应的参数为
直线的参数方程为（为参数）
代入曲线的普通方程
即
设直线上的点对应的参数分别为
则
所以点的坐标为；
(2)将代入曲线的普通方程
得
因为，得
由于
故，所以直线的斜率为.
24.(1)因为
当且仅当时，等号成立
又所以，所以的最小值为4，所以；
(2)由(1)知，由柯西不等式，得
故
当且仅当时等号成立
故的最小值为.
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