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|---|---|---|
**2020-2021学年山东省菏泽市成武县六年级（上）期末数学试卷**
**一、填空。（每空1分，共27分）**
1．（3分）35的是[ ]{.underline}；[ ]{.underline}的是；16是20的[ ]{.underline}%。
2．（4分）9：[ ]{.underline}＝[ ]{.underline}：40＝[ ]{.underline}÷16＝[ ]{.underline}%。
3．（2分）1.8米与8厘米的比是[ ]{.underline}，比值是[ ]{.underline}。
4．（4分）如图是三种蔬菜种植面积情况统计图，图中的60%表示[ ]{.underline}的面积占[ ]{.underline}面积的60%；茄子的面积占[ ]{.underline}%，如果茄子的面积是90平方米，那么黄瓜的面积是[ ]{.underline}平方米。
5．（2分）圆规两脚间的距离是3厘米，画出的圆的周长是[ ]{.underline}厘米，面积是[ ]{.underline}平方厘米．
6．（2分）按规律填空。
> （1）11，15，19，23，[ ]{.underline}。
>
> （2）3，7，15，[ ]{.underline}，63。
7．（2分）两个圆的半径分别是2*cm*和3*cm*，它们的直径的比是[ ]{.underline}，周长的比是[ ]{.underline}，面积的比是[ ]{.underline}．
8．（2分）油菜籽的出油率是38%，200千克油菜籽能榨油[ ]{.underline}千克；要榨304千克菜籽油，需要[ ]{.underline}千克油菜籽。
9．（2分）比50多的数是[ ]{.underline}；20比[ ]{.underline}少20%。
10．（2分）30吨水泥，运走，运走[ ]{.underline}吨；30吨水泥，运走，还剩下[ ]{.underline}吨。
11．（2分）把一个圆分成若干等份，然后把它剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的长是6.28*cm*，这个圆的周长是[ ]{.underline}*cm*，这个圆的面积是[ ]{.underline}*cm*^2^。
**二、判断。（对的打"√"，错的打"×"，共5分）**
12．（1分）5米的和5个米一样长．[ ]{.underline}．（判断对错）
13．（1分）如果杨树与柳树棵数的比是4：5，则杨树比柳树少1棵。[ ]{.underline}（判断对错）
14．（1分）除以一个分数，商一定大于。[ ]{.underline}（判断对错）
15．（1分）某种产品现在的成本比原来降低了7%．在这句话中，把现在的成本看作单位"1"．[ ]{.underline}．（判断对错）
16．（1分）如果圆和正方形的周长相等，那么圆的直径一定大于正方形的边长．[ ]{.underline}．（判断对错）
**三、选择。（把正确答案的序号填在括号内，共6分）**
17．（1分）下面各圆中的阴影部分，（ ）是扇形。
A． B． C．
18．（1分）下面算式中，结果最大的是（ ）
A．3 B．3 C．3
19．（1分）一段路，甲车用小时走完，乙车用小时走完．甲、乙两车的速度最简比是（ ）
A．： B．： C．3：4 D．4：3
20．（1分）下面的信息中，适合用扇形统计图表示的是（ ）
A．学校各年级人数
B．学校各年级做好事的件数占全校做好事总件数的百分比
C．2018～2020年学校各年级学生人数增减变化情况
21．（1分）一种商品先提价25%，再降价20%，现价与原价相比（ ）
A．提高了 B．降低了 C．没有变
22．（1分）有甲乙两个粮仓，乙仓中的粮食比甲仓少，正好少了9吨，甲仓有粮食（ ）吨。
A．36 B．12 C．
**四、计算。（共34分）**
23．（5分）直接写得数。
-- -- -- -- --
-- -- -- -- --
24．（9分）解下列方程．
> 5*x*； *x*； *x*； *x*12．
25．（12分）计算下面各题，能简算的要简算。
-- --
-- --
26．（8分）按要求计算。（单位：*cm*）
> （1）计算图形的周长。
>
> （2）计算阴影部分的面积。
**五、解答题（共1小题，满分4分）**
27．（4分）学校、书店、医院、游泳馆各在小红家的什么位置？连一连。
**六、解决问题。（每题4分，共24分）**
28．（4分）商店运来一些水果，运来苹果20筐，梨的筐数是苹果的，同时又是橘子的．运来橘子多少筐？（用方程解）
29．（4分）食堂运来大米和白面共200袋，其中大米与白面的袋数比是3：2，大米和白面各多少袋？
30．（4分）某修路队修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，两天共修了240米。这条路全长多少米？
31．（4分）芬芬和芳芳一起统计本学期数学作业得"优"的次数。芬芬说："我得了48次。"芳芳想了想说："你真棒!比我多。"请你算一算芳芳的数学作业得了多少次"优"？
32．（4分）一件大衣现价320元，比原价降低了80元，这件大衣比原来降低了百分之几？
33．（4分）王刚和赵丽沿着直径600米的圆形湖边同时同地相背而行。王刚每分钟行79米，赵丽每分钟行78米，两人经过多少分钟相遇？
**2020-2021学年山东省菏泽市成武县六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案**
**一、填空。（每空1分，共27分）**
1．[21]{.underline}； []{.underline}； [80]{.underline}； 2．[24]{.underline}； [15]{.underline}； [6]{.underline}； [37.5]{.underline}； 3．[45：2]{.underline}； [22.5]{.underline}； 4．[青菜]{.underline}； [这块菜地总]{.underline}； [5]{.underline}； [630]{.underline}； 5．[18.84]{.underline}； [28.26]{.underline}； 6．[27]{.underline}； [31]{.underline}； 7．[2：3]{.underline}； [2：3]{.underline}； [4：9]{.underline}； 8．[76]{.underline}； [800]{.underline}； 9．[90]{.underline}； [25]{.underline}； 10．[15]{.underline}； [12]{.underline}； 11．[12.56]{.underline}； [12.56]{.underline}；
**二、判断。（对的打"√"，错的打"&\#215;"，共5分）**
12．[√]{.underline}； 13．[×]{.underline}； 14．[×]{.underline}； 15．[×]{.underline}； 16．[√]{.underline}；
**三、选择。（把正确答案的序号填在括号内，共6分）**
17．B； 18．A； 19．C； 20．B； 21．C； 22．A；
**四、计算。（共34分）**
23．[ ]{.underline}； 24．[ ]{.underline}； 25．[ ]{.underline}； 26．[ ]{.underline}；
**五、解答题（共1小题，满分4分）**
27．[ ]{.underline}；
**六、解决问题。（每题4分，共24分）**
28．[ ]{.underline}； 29．[ ]{.underline}； 30．[ ]{.underline}； 31．[ ]{.underline}； 32．[ ]{.underline}； 33．[ ]{.underline}；
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日期：2021/4/27 11:13:01；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则∁~U~（M∪N）=（ ）
A．{5，7} B．{2，4}
C．{2，4，8} D．{1，3，5，6，7}
2．（5分）函数y=（x≤0）的反函数是（ ）
A．y=x^2^（x≥0） B．y=﹣x^2^（x≥0） C．y=x^2^（x≤0） D．y=﹣x^2^（x≤0）
3．（5分）函数y=log~2~的图象（ ）
A．关于直线y=﹣x对称 B．关于原点对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y=x对称
4．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~=2AB，E为AA~1~中点，则异面直线BE与CD~1~所形成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）已知向量=（2，1），=10，\|+\|=，则\|\|=（ ）
A． B． C．5 D．25
7．（5分）设a=lge，b=（lge）^2^，c=lg，则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
8．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）^2^+y^2^=r^2^（r＞0）相切，则r=（ ）
A． B．2 C．3 D．6
9．（5分）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ）
A．6种 B．12种 C．24种 D．30种
11．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y^2^=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若\|FA\|=2\|FB\|，则k=（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标"△"的面的方位（ ）
A．南 B．北 C．西 D．下
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）设等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~．若a~1~=1，S~6~=4S~3~，则a~4~=[ ]{.underline}．
14．（5分）（x﹣y）^4^的展开式中x^3^y^3^的系数为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知圆O：x^2^+y^2^=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积=[ ]{.underline}．
16．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）已知等差数列{a~n~}中，a~3~a~7~=﹣16，a~4~+a~6~=0，求{a~n~}前n项和s~n~．
18．（12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b^2^=ac，求B．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，AB⊥AC，D、E分别为AA~1~、B~1~C的中点，DE⊥平面BCC~1~．
（Ⅰ）证明：AB=AC；
（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B~1~C与平面BCD所成的角的大小．
20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．
21．（12分）设函数f（x）=x^3^﹣（1+a）x^2^+4ax+24a，其中常数a＞1，
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
22．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
**2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅱ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则∁~U~（M∪N）=（ ）
A．{5，7} B．{2，4} C．{2，4，8} D．{1，3，5，6，7}
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先求集合M∪N，后求它的补集即可，注意全集的范围．
【解答】解：∵M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，
∴M∪N={1，3，5，6，7}，
∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，
∴∁~U~（M∪N）={2，4，8}
故选：C．
【点评】本题考查集合运算能力，本题是比较常规的集合题，属于基础题．
2．（5分）函数y=（x≤0）的反函数是（ ）
A．y=x^2^（x≥0） B．y=﹣x^2^（x≥0） C．y=x^2^（x≤0） D．y=﹣x^2^（x≤0）
【考点】4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】直接利用反函数的定义，求出函数的反函数，注意函数的定义域和函数的值域．
【解答】解：由原函数定义域x≤0可知A、C错，
原函数的值域 y≥0可知D错，
故选：B．
【点评】本题考查反函数的求法，反函数概念，考查逻辑推理能力，是基础题．
3．（5分）函数y=log~2~的图象（ ）
A．关于直线y=﹣x对称 B．关于原点对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y=x对称
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3M：奇偶函数图象的对称性．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】先看函数的定义域，再看f（﹣x）与f（x）的关系，判断出此函数是个奇函数，所以，图象关于原点对称．
【解答】解：由于定义域为（﹣2，2）关于原点对称，
又f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故函数为奇函数，
图象关于原点对称，
故选：B．
【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性．
4．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（ ）
A． B． C． D．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的关系式，进而与sin^2^A+cos^2^A=1联立方程求得cosA的值．
【解答】解：∵cotA=
∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，
再由cotA==，和sin^2^A+cos^2^A=1求得cosA=，
故选：D．
【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．
5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~=2AB，E为AA~1~中点，则异面直线BE与CD~1~所形成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．
【分析】由BA~1~∥CD~1~，知∠A~1~BE是异面直线BE与CD~1~所形成角，由此能求出异面直线BE与CD~1~所形成角的余弦值．
【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AA~1~=2AB，E为AA~1~中点，
∴BA~1~∥CD~1~，∴∠A~1~BE是异面直线BE与CD~1~所形成角，
设AA~1~=2AB=2，
则A~1~E=1，BE==，
A~1~B==，
∴cos∠A~1~BE=
=
=．
∴异面直线BE与CD~1~所形成角的余弦值为．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
6．（5分）已知向量=（2，1），=10，\|+\|=，则\|\|=（ ）
A． B． C．5 D．25
【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对\|a+b\|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．
【解答】解：∵\|+\|=，\|\|=
∴（+）^2^=^2^+^2^+2=50，
得\|\|=5
故选：C．
【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．
7．（5分）设a=lge，b=（lge）^2^，c=lg，则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
【考点】4M：对数值大小的比较；4O：对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有
【分析】因为10＞1，所以y=lgx单调递增，又因为1＜e＜10，所以0＜lge＜1，即可得到答案．
【解答】解：∵1＜e＜3＜，
∴0＜lge＜1，∴lge＞lge＞（lge）^2^．
∴a＞c＞b．
故选：C．
【点评】本题主要考查对数的单调性．即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．
8．（5分）双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）^2^+y^2^=r^2^（r＞0）相切，则r=（ ）
A． B．2 C．3 D．6
【考点】IT：点到直线的距离公式；KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0，
圆心（3，0）到直线的距离d==，
∴r=．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式．
9．（5分）若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．
【解答】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan\[ω（x﹣）+\]=tan（ωx+）
∴﹣ω+kπ=
∴ω=k+（k∈Z），
又∵ω＞0
∴ω~min~=．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．
10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ）
A．6种 B．12种 C．24种 D．30种
【考点】D5：组合及组合数公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，分两步，
①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C~4~^2^C~4~^2^=36，
②两人所选两门都相同的有为C~4~^2^=6种，都不同的种数为C~4~^2^=6，
故选：C．
【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．
11．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y^2^=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若\|FA\|=2\|FB\|，则k=（ ）
A． B． C． D．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据\|FA\|=2\|FB\|，推断出\|AM\|=2\|BN\|，点B为AP的中点、连接OB，进而可知，进而推断出\|OB\|=\|BF\|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．
【解答】解：设抛物线C：y^2^=8x的准线为l：x=﹣2
直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由\|FA\|=2\|FB\|，则\|AM\|=2\|BN\|，
点B为AP的中点、连接OB，
则，
∴\|OB\|=\|BF\|，点B的横坐标为1，
故点B的坐标为，
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．
12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标"△"的面的方位（ ）
A．南 B．北 C．西 D．下
【考点】LC：空间几何体的直观图．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，"△"的面就好确定．
【解答】解：如图所示．
故选B
【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）设等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~．若a~1~=1，S~6~=4S~3~，则a~4~=[ 3 ]{.underline}．
【考点】87：等比数列的性质；89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据S~6~=4S~3~可求得q^3^，进而根据等比数列的通项公式，得到答案．
【解答】解：设等比数列的公比为q，则由S~6~=4S~3~知q≠1，
∴S~6~==．
∴q^3^=3．∴a~1~q^3^=3．
故答案为：3
【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题．属基础题．
14．（5分）（x﹣y）^4^的展开式中x^3^y^3^的系数为[ 6 ]{.underline}．
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y的指数都为1求出x^3^y^3^的系数
【解答】解：，
只需求展开式中的含xy项的系数．
∵的展开式的通项为
令得r=2
∴展开式中x^3^y^3^的系数为C~4~^2^=6
故答案为6．
【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
15．（5分）已知圆O：x^2^+y^2^=5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】J7：圆的切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】判断点A在圆上，用点斜式写出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，从而求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
【解答】解：由题意知，点A在圆上，切线斜率为==﹣，
用点斜式可直接求出切线方程为：y﹣2=（x﹣1），
即x+2y﹣5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，
所以，所求面积为．
【点评】本题考查求圆的切线方程的方法，以及求直线与坐标轴围成的三角形的面积．
16．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于[ 8π ]{.underline}．
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．
【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，
．
因为．
由得R^2^=2
故球O的表面积等于8π
故答案为：8π，
【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）已知等差数列{a~n~}中，a~3~a~7~=﹣16，a~4~+a~6~=0，求{a~n~}前n项和s~n~．
【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想．
【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a~1~，d的方程组，求出a~1~、d，进而代入等差数列的前n项和公式求解即可．
【解答】解：设{a~n~}的公差为d，则，
即，
解得，
因此S~n~=﹣8n+n（n﹣1）=n（n﹣9），或S~n~=8n﹣n（n﹣1）=﹣n（n﹣9）．
【点评】本题考查等差数列的通项公式及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解．
18．（12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b^2^=ac，求B．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．
【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A+C）得
cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=，
∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，
∴sinAsinC=．
又由b^2^=ac及正弦定理得sin^2^B=sinAsinC，
故，
∴或（舍去），
于是B=或B=．
又由b^2^=ac
知b≤a或b≤c
所以B=．
【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，AB⊥AC，D、E分别为AA~1~、B~1~C的中点，DE⊥平面BCC~1~．
（Ⅰ）证明：AB=AC；
（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B~1~C与平面BCD所成的角的大小．
【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；
（2）求B~1~C与平面BCD所成的线面角，只需求点B~1~到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．
【解答】解：如图
（I）连接BE，∵ABC﹣A~1~B~1~C~1~为直三棱柱，
∴∠B~1~BC=90°，
∵E为B~1~C的中点，∴BE=EC．
又DE⊥平面BCC~1~，
∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，
∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．
（II）求B~1~C与平面BCD所成的线面角，
只需求点B~1~到面BDC的距离即可．
作AG⊥BD于G，连GC，
∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，
∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°
不妨设，则AG=2，GC=4
在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG，易得
设点B~1~到面BDC的距离为h，B~1~C与平面BCD所成的角为α．
利用，
可求得h=，又可求得，∴α=30°．
即B~1~C与平面BCD所成的角为30°．
【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．
【考点】B3：分层抽样方法；C6：等可能事件和等可能事件的概率．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（1）根据分层抽样原理，要从甲、乙两组各10人中共抽取4名工人，则从每组各抽取2名工人．
（2）从甲组抽取2人的结果有C~10~^2^种，恰有1名女工人的结果有C~4~^1^C~6~^1^种，代入等可能事件的概率公式即可
（3）从甲乙各10人虫各抽2人的结果有C~10~^2^C~10~^2^种，而4名工人中恰有2名男工人的情况分①两名男工都来自甲，有C~6~^2^C~6~^2^②甲乙各抽1名男工C~6~^1^C~4~^1^C~4~^1^C~6~^1^③两名男工都来自乙有C~4~^2^C~4~^2^种结果
【解答】解：（1）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．
（2）记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则
（3）A~i~表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2
Bj表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，j=0，1，2
B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．
A~i~与B~j~独立，i，j=0，1，2，且B=A~0~•B~2~+A~1~•B~1~+A~2~•B~0~
故P（B）=P（A~0~•B~2~+A~1~•B~1~+A~2~•B~0~）=P（A~0~）•P（B~2~）+P（A~1~）•P（B~1~）+P（A~2~）•P（B~0~）
==
【点评】本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率．
21．（12分）设函数f（x）=x^3^﹣（1+a）x^2^+4ax+24a，其中常数a＞1，
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可确定函数的单调性．
（2）先将问题转化为求函数在x≥0时的最小值问题，再结合（1）中的单调性可确定f（x）在x=2a或x=0处取得最小值，求出最小值，即可得到a的范围．
【解答】解：（1）f\'（x）=x^2^﹣2（1+a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a）
由a＞1知，当x＜2时，f\'（x）＞0，
故f（x）在区间（﹣∞，2）是增函数；
当2＜x＜2a时，f\'（x）＜0，
故f（x）在区间（2，2a）是减函数；
当x＞2a时，f\'（x）＞0，
故f（x）在区间（2a，+∞）是增函数．
综上，当a＞1时，f（x）在区间（﹣∞，2）和（2a，+∞）是增函数，
在区间（2，2a）是减函数．
（2）由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值．
=，f（0）=24a
由假设知
即解得1＜a＜6
故a的取值范围是（1，6）
【点评】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性．
22．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．
（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x~1~，y~1~）、B（x~2~，y~2~），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y~1~+y~2~和y~1~y~2~的表达式，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x~1~+x~2~，y~1~+y~2~），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．
【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，
由坐标原点O到l的距离为
则，解得c=1
又，∴
（II）由（I）知椭圆的方程为
设A（x~1~，y~1~）、B（x~2~，y~2~）
由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1
代入椭圆的方程中整理得（2m^2^+3）y^2^+4my﹣4=0，显然△＞0．
由韦达定理有：，，①
假设存在点P，使成立，则其充要条件为：
点P的坐标为（x~1~+x~2~，y~1~+y~2~），
点P在椭圆上，即．
整理得2x~1~^2^+3y~1~^2^+2x~2~^2^+3y~2~^2^+4x~1~x~2~+6y~1~y~2~=6．
又A、B在椭圆上，即2x~1~^2^+3y~1~^2^=6，2x~2~^2^+3y~2~^2^=6、
故2x~1~x~2~+3y~1~y~2~+3=0②
将x~1~x~2~=（my~1~+1）（my~2~+1）=m^2^y~1~y~2~+m（y~1~+y~2~）+1及①代入②解得
∴，
x~1~+x~2~=，即
当；
当
【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在"算"上的功夫不够．所谓"算"，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．
| 1 | |
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）**
**化学试卷**
**注意事项：**
1．本试卷第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Cl 35.5
**第I卷**
**一、选择题：本题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。**
1．下列物质中，不含有硅酸盐的是
A．水玻璃
B．硅芯片
C．黏土
D．普通水泥
2．下列原子序数所对应的元素组中，两者可形成离子键的是
A．1和17
B．12和9
C．14和 6
D．15和8
3．下列叙述正确的是
A．95℃纯水的pH\<7，说明加热可导致水呈酸性
B．pH=3的醋酸溶液，稀释至10倍后pH=4
C．0.2mol/L的盐酸，与等体积水混合后pH=1
D．pH=3的醋酸溶液，与pH=11的氢氧化钠溶液等体积混合后pH=7
4．下列叙述正确的是
A．一定温度、压强下，气体体积由其分子的大小决定
B．一定温度、压强下，气体体积由其物质的量的多少决定
C．气体摩尔体积是指1mol任何气体所占的体积为22.4L
D．不同的气体，若体积不等，则它们所含的分子数一定不等
5．下列烷烃在光照下与氯气反应，只生成一种一氯代烃的是
6．已知：
（1）Zn（s）+1/2O~2~（g）==ZnO（s），ΔH=-348.3kJ/mol
（2） 2Ag（s）+1/2 O~2~（g）== Ag~2~O（s），ΔH=-31.0kJ/mol
则Zn（s）+ Ag~2~O（s）== ZnO（s）+ 2Ag（s）的ΔH等于
A．-317.3kJ/mol
B．-379.3kJ/mol
C．-332.8 kJ/mol
D．317.3 kJ/mol
7．下列实验现象的描述错误的是
A． 氢气在氯气中燃烧生成绿色烟雾
B． 红热的铁丝在氧气中燃烧，火星四射，生成黑色固体颗粒
C． 点燃的硫在氧气中剧烈燃烧，发出蓝紫色火焰
D．钠在空气中燃烧，发出黄色的火焰，生成淡黄色固体
8．下列溶液能与镁反应生成氢气的是
A．氯化铵溶液
B．氢氧化钠溶液
C．碳酸钾溶液
D．饱和石灰水
9．由海水制备无水氯化镁，主要有以下步骤：①在一定条件下脱水干燥；②加熟石灰；③加盐酸；④过滤；⑤浓缩结晶。其先后顺序正确的是
A．②④⑤③①
B．③②④①⑤
C．③④②⑤①
D．②④③⑤①
10．能正确表示下列反应的离子方程式是
A．碳酸氢钙溶液和氢氧化钠溶液混合
HCO~3~^---^+OH^---^==CO~3~^2---^+H~2~O
B．醋酸钠溶液和盐酸混合
CH~3~COONa+H^+^ == CH~3~COOH + Na^+^
C． 少量金属钠放入冷水中
Na+ 2H~2~O== Na^+^+2OH^---^+H~2~↑
D．硫酸铜溶液和氢氧化钡溶液混合
Cu^2+^ + SO~4~^2---^ +Ba^2+^ + 2OH^---^== Cu（OH）~2~↓+ BaSO~4~↓
11．在pH=1时，可大量共存且形成无色溶液的一组离子或分子是
A．Ca^2+^、CH~3~COOH、Br^---^、Na^+^
B．NO~3~^---^、Fe^3+^、Mg^2+^、SO~4~^2---^
C．HClO、Ba^2+^、Na^+^ 、Cl^---^
D．K+、Cl^---^、Al^3+^、SO~3~^2---^
12．有BaCl~2~和NaCl的混合溶液aL，将它均分成两份。一份滴加稀硫酸，使Ba^2+^离子完全沉淀；另一份滴加AgNO~3~溶液，使Cl^---^离子完全沉淀。反应中消耗xmol H~2~SO~4~、ymol AgNO~3~。据此得知原混合溶液中的c（Na^+^）/ mol·L^-1^为
A．（y-2x）/a
B．（y-x）/a
C．（2y-2x）/a
D．（2y-4x）/a
**第II卷**
**二、本卷包括必考题和选考题两部分。第13题\~第17题为必考题，每个试题考生都必须做答。第18题\~第29题为选考题，考生根据要求做答。**
13．（10分）
下表为元素周期表的一部分，请回答有关问题：
--- ---- ----- ------ ----- ---- ----- ------ ---
IA IIA IIIA IVA VA VIA VIIA 0
2 ① ②
3 ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
4 ⑨ ⑩
--- ---- ----- ------ ----- ---- ----- ------ ---
（1）⑤和⑧的元素符号是[ ]{.underline} 和 [ ]{.underline}；
（2）表中最活泼的金属是[ ]{.underline} ，非金属最强的元素是[ ]{.underline} ；（填写元素符号）
（3）表中能形成两性氢氧化物的元素是[ ]{.underline}，分别写出该元素的氢氧化物与⑥、⑨最高价氧化物的水化物反应的化学方程式：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，[ ]{.underline} ；
（4）请设计一个实验方案，比较⑦、⑩单质氧化性的强弱：
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
14．（9分）
依据氧化还原反应：2Ag^+^（aq） + Cu（s） == Cu^2+^（aq） + 2Ag（s）设计的原电池如图所示。
请回答下列问题：
（1）电极X的材料是[ ]{.underline} ；电解质溶液Y是[ ]{.underline} ；
（2）银电极为电池的[ ]{.underline} 极，发生的电极反应为[ ]{.underline} ；X电极上发生的电极反应为[ ]{.underline} ；
（3）外电路中的电子是从[ ]{.underline} 电极流向[ ]{.underline} 电极。
15．（10分）
通过粮食发酵可获得某含氧有机化合物X，其相对分子质量为46，其中碳的质量分数为52.2%，氢的质量分数为13.0%。
（1）X的分子式是[ ]{.underline} ；
（2）X与金属钠反应放出氢气，反应的化学方程式是[ ]{.underline} （有机物用结构简式表达）；
（3）X与空气中的氧气在铜或银催化下反应生成Y，Y的结构简式是[ ]{.underline} ；
（4）X与高锰酸钾酸性溶液反应可生成Z。在加热和浓硫酸作用下，X与Z反应可生成一种有香味的物质W，若184gX和120gZ反应能生成106gW，计算该反应的产率。（要求写出计算过程）
16．（6分）
PCl~5~的热分解反应如下：
PCl~5~（g） PCl~3~（g）+ Cl~2~（g）
（1）写出反应的平衡常数表达式；
（2）已知某温度下，在容积为10.0L的密闭容器中充入2.00mol PCl~5~，达到平衡后，测得容器内PCl~3~的浓度为0.150mol/L。计算该温度下的平衡常数。
17．（9分）下表是稀硫酸与某金属反应的实验数据：
+----------+--------+----------+----------------+----------------+------------+------------------+-----+
| 实验序号 | 金属 | 金属状态 | C（H~2~SO~4~） | V（H~2~SO~4~） | 溶液温度/℃ | 金属消失的时间/s | |
| | | | | | | | |
| | 质量/g | | /mol·L^-1^ | /mL | | | |
+----------+--------+----------+----------------+----------------+------------+------------------+-----+
| | | | | | 反应前 | 反应后 | |
+----------+--------+----------+----------------+----------------+------------+------------------+-----+
| 1 | 0.10 | 丝 | 0.5 | 50 | 20 | 34 | 500 |
+----------+--------+----------+----------------+----------------+------------+------------------+-----+
| 2 | 0.10 | 粉末 | 0.5 | 50 | 20 | 35 | 50 |
+----------+--------+----------+----------------+----------------+------------+------------------+-----+
| 3 | 0.10 | 丝 | 0.7 | 50 | 20 | 36 | 250 |
+----------+--------+----------+----------------+----------------+------------+------------------+-----+
| 4 | 0.10 | 丝 | 0.8 | 50 | 20 | 35 | 200 |
+----------+--------+----------+----------------+----------------+------------+------------------+-----+
| 5 | 0.10 | 粉末 | 0.8 | 50 | 20 | 36 | 25 |
+----------+--------+----------+----------------+----------------+------------+------------------+-----+
| 6 | 0.10 | 丝 | 1.0 | 50 | 20 | 35 | 125 |
+----------+--------+----------+----------------+----------------+------------+------------------+-----+
| 7 | 0.10 | 丝 | 1.0 | 50 | 35 | 50 | 50 |
+----------+--------+----------+----------------+----------------+------------+------------------+-----+
| 8 | 0.10 | 丝 | 1.1 | 50 | 20 | 34 | 100 |
+----------+--------+----------+----------------+----------------+------------+------------------+-----+
| 9 | 0.10 | 丝 | 1.1 | 50 | 20 | 44 | 40 |
+----------+--------+----------+----------------+----------------+------------+------------------+-----+
分析上述数据，回答下列问题：
（1）实验4和5表明，[ ]{.underline} 对反应速率有影响，[ ]{.underline} 反应速率越快，能表明同一规律的实验还有[ ]{.underline} （填实验序号）；
（2）仅表明反应物浓度对反应速率产生影响的实验有[ ]{.underline} （填实验序号）；
（3）本实验中影响反应速率的其他因素还有[ ]{.underline} ，其实验序号是[ ]{.underline} 。
（4）实验中的所有反应，反应前后溶液的温度变化值（约15℃）相近，推测其原因：
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
以下是选考题，其中第18、19、20、21题为《有机化学基础》模块题，第22、23、24、25题为《物质结构与性质》模块题，第26、27、28、29题为《化学与技术》模块题。考生只能从三个模块中任选一个作答，不得跨模块答题，否则只能以所答的第一个模块计分。
**《有机化学基础》模块**
18-20为选择题，每小题只有一个正确选项，每小题3分
18．下列分子中，所有原子都处在同一平面的是
A．环已烯
B．丙炔
C．乙烷
D．苯
19．分子式为C~5~H10的烯烃共有（要考虑顺反异构体）
A．5种
B．6种
C．7种
D．8种
20．从甜橙的芳香油中可分离得到如下结构的化合物：
现在试剂：①KMnO~4~酸性溶液；②H~2~/Ni；③Ag（NH~3~）~2~OH；④新制Cu（OH）~2~，能与该化合物中所有官能团都发生反应的试剂有
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
21．（11分）
根据图示回答下列问题：
（1）写出A、E、G的结构简式：A[ ]{.underline} ，E[ ]{.underline} ，G[ ]{.underline} ；
（2）反应②的化学方程式（包括反应条件）是[ ]{.underline} ，反应④化学方程式（包括反应条件）是[ ]{.underline} ；
（3）写出①、⑤的反应类型：①[ ]{.underline} 、⑤[ ]{.underline} 。
**《物质与结构模块》**
22-24为选择题，每小题只有一个正确选项，每小题3分
22．下列叙述正确的是
A．分子晶体中的每个分子内一定含有共价键
B．原子晶体中的相邻原子间只存在非极性共价键
C．离子晶体中可能含有共价键
D．金属晶体的熔点和沸点都很高
23．用价层电子对互斥理论预测H~2~S和BF~3~的立体结构，两个结论都正确的是
A．直线形；三角锥形
B．V形；三角锥形
C．直线形；平面三角形
D．V形；平面三角形
24．NaCl的晶胞如右图，每个NaCl晶胞中含有的Na^+^离子和Cl^-^离子的数目分别是
A．14，13
B．1，1
C．4，4
D．6，6
25．（11分）
A、B、C、D、E代表5种元素。请填空：
（1）A元素基态原子的最外层有3个未成对电子，次外层有2个电子，其元素符号为[ ]{.underline} ；
（2）B元素的负一价离子和C元素的正一价离子的电子层结构都与氩相同，B的元素符号为[ ]{.underline} ，C的元素符号为[ ]{.underline} ；
（3）D元素的正三价离子的3d亚层为半充满，D的元素符号为[ ]{.underline}，其基态原子的电子排布式为[ ]{.underline} 。
（4）E元素基态原子的M层全充满，N层没有成对电子，只有一个未成对电子，E的元素符号为[ ]{.underline} ，其基态原子的电子排布式为[ ]{.underline} 。
**《化学与技术》模块**
26-28为选择题，每个小题只有一个正确选项，每小题3分
26．下列有关合成洗涤剂的叙述错误的是
A．在洗涤剂烷基苯磺酸钠中，烷基含碳原子的个数以12\~18为宜
B．在洗涤剂烷基苯磺酸钠中，烷基应以带有支链的为宜
C．在合成洗涤剂中添加酶制剂可提高洗涤效果
D．在合成洗涤剂中应以无磷助剂代替含磷助剂
27．下列有关生铁炼钢的叙述错误的是
A．添加必要的元素，改善钢材的组织结构和性能
B．适当降低生铁中的含碳量，除去大部分硫、磷等杂质
C．加入硅、锰、铝等合金元素调整成分并脱去钢水中的氧
D．除去生铁中的非金属元素
28．目前下列工艺过程没有直接使用离子交换技术的是
A．硬水的软化
B． 电解饱和食盐水制造NaOH
C．电渗析淡化海水
D．海水中提取金属Mg
29．纯碱是一种重要的化工原料。目前制碱工业主要有"氨碱法"和"联合制碱法"两种工艺。请按要求回答问题：
（1）"氨碱法"产生大量CaCl~2~废弃物，请写出该工艺中产生CaCl~2~的化学方程式：
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）写出"联合制碱法"有关反应的化学方程式：
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（3）CO~2~是制碱工业的重要原料，"联合制碱法"与"氨碱法"中CO~2~的来源有何不同？
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（4）绿色化学的重要原则之一是提高反应的原子利用率。根据"联合制碱法"总反应，列出计算原子利用率的表达式：
原子利用率（%）=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
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2009年各地高考试题分类精编（力学实验）
宁夏卷
22.（4分）
某同学用游标卡尺测量一圆柱体的长度，用螺旋测微器测量该圆柱体的直径，示数如图。由图可读出= [ ]{.underline} *cm*, = [ ]{.underline}
答案2.25，6.860
【解析】游标卡尺的读数；
螺旋测微器的读数。
江苏卷
11.（10分）"探究加速度与物体质量、物体受力的关系"的实验装置如图甲所示.
（1）在平衡小车与桌面之间摩擦力的过程中，打出了一条纸袋如图乙所示。计时器大点的时间间隔为0.02s.从比较清晰的点起，每5个点取一个计数点，量出相邻计数点之间的距离。该小车的加速度a=\_\_\_\_\_\_m/s^2^.（结果保留两位有效数字）
（2）平衡摩擦力后，将5个相同的砝码都放在小车上.挂上砝码盘，然后每次从小车上取一个砝码添加到砝码盘中，测量小车的加速度。小车的加速度a与砝码盘中砝码总重力F的实验数据如下表：
------------------------ ------- ------- ------- ------- -------
砝码盘中砝码总重力F(N) 0.196 0.392 0.588 0.784 0.980
加速度a（m·s^-2^） 0.69 1.18 1.66 2.18 2.70
------------------------ ------- ------- ------- ------- -------
请根据实验数据作出a-F的关系图像.
（3）根据提供的试验数据作出的-F图线不通过原点，请说明主要原因。
11\. (1) 0.16 (0.15也算对) （2）（见右图）
（3）未计入砝码盘的重力
海南卷
13．某同学用游标卡尺和螺旋测微器分别测量一薄的金属圆片的直径和厚度，读出图中的示数，该金属圆片的直径的测量值为 [ ]{.underline} cm，厚度的测量值为 [ ]{.underline} mm。
**答案**：1.240 ， 1.682 （或1.683）
广东卷
15．（10分）某实验小组利用拉力传感器和速度传感器探究"动能定理"。如图12，他们将拉力传感器固定在小车上，用不可伸长的细线将其通过一个定滑轮与钩码相连，用拉力传感器记录通过A、B时的速度大小。小车中可以放置砝码。
（1）实验主要步骤如下：
①测量\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_和拉力传感器的总质量；把细线的一端固定在拉力传感器上，另一端通过定滑轮与钩码相连；正确连接所需电路；
②将小车停在C点，\_\_\_\_\_\_\_\_，小车在细线拉动下运动，记录细线拉力及小车通过A、B时的速度。
③在小车中增加砝码，或\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，重复②的操作。
（2）表1是他们测得的一组数据，其中M是M~1~与小车中砝码质量之和，是两个速度传感器记录速度的平方差，可以据此计算出动能变化量，F是拉力传感器受到的拉力，W是F在A、B间所作的功。表格中的ΔE~3~＝\_\_\_\_\_\_\_\_\_，W~3~＝\_\_\_\_\_\_\_\_。（结果保留三位有效数字）
（3）根据表1，请在图13中的方格纸上作出图线。
答案：（1）小车；接通电源后释放小车；改变钩码的个数
（2）0.619；0.610
（3）图
【解析】（1）略；（2）由各组数据可见规律，可得△E~3~=0.600；观察F-W数据规律可得数值上W=F/2=0.610;
（3）在方格纸上作出△E-W图线如图所示
福建卷
北京卷
全国卷1
> 23．（10分）
>
> 某同学为了探究物体在斜面上运动时摩擦力与斜面倾角的关系，设计实验装置如图。长直平板一端放在水平桌面上，另一端架在一物块上。在平板上标出A、B两点，B点处放置一光电门，用光电计时器记录滑块通过光电门时挡光的时间，
>
> 实验步骤如下：
1. 用游标卡尺测测最滑块的挡光长度*d*，用天平测量滑块的质量*m*；
2. 用直尺测量A、B之间的距离s，A点到水平桌面的垂直距离h~1~，B点到水平桌面的垂直距离h~2~；
3. 将滑块从A点静止释放．由[光电计时器](http://hfwq.cersp.net)读出滑块的挡光时间*t*；
4. 重复步骤 ③ 数次，井求挡光时间的平均值
5. 利用所测数据求出摩擦力*f*和斜面倾角的余弦值cos*α*；
6. 多次改变斜面的倾角，重复实验步骤②③④⑤做出*f*一cos*α*关系曲线。
> （1）用测量的物理量完成下列各式（重力加速度为g）
>
> ①斜面倾角的余弦cos*α*＝ [ ]{.underline} ；
>
> ②滑块通过光电门时的速度*v* ＝ [ ]{.underline} ；
>
> ③滑块运动时的加速度*a*＝ [ ]{.underline} ；
>
> ④滑块运动时所受到的摩擦阻力*f*＝ [ ]{.underline} ；
>
> （2）测量滑块挡光长度的游标卡尺读数如图所示，读得d＝ [ ]{.underline} 。
答案（1）①
②
③
④
（2）3.62cm
【解析】(1)物块在斜面上做初速度为零的匀加速直线运动,受重力、支持力、滑动摩擦力,如图所示① 根据三角形关系可得到,②根据③根据运动学公式,有,即有
④根据牛顿第二定律,则有.
\(2\) 在游标卡尺中，主尺上是3.6cm，在游标尺上恰好是第1条刻度线与主尺对齐，再考虑到卡尺是10分度，所以读数为3.6cm+0.1×1mm=3.61cm或者3.62cm也对.
全国卷2
23、（13分）
某同学得用图1所示装置做"研究平抛运动"的实验，根据实验结果在坐标纸上描出了小球水平抛出后的运动轨迹，但不慎将画有轨迹图线的坐标约丢失了一部分，剩余部分如图2所示，图2中水平方向与竖直方向每小格的长度均代表0.10m，P~1~、P~2~和P~3~是轨迹图线上的3个点，P~1~和P~2~、P~2~和P~3~之间的水平距离相等。
完成下列填空：（重力加速度取9.8*m*/*s*^2^）
（1）设P~1~、P~2~、和P~3~的横坐标分别为*x*~1~、*x*~2~和*x*~3~，纵坐标分别为*y*~1~、*y*~2~和*y*~3~，从图2中可读出︱*y*~1~－ *y*~2~︱=\_\_\_\_\_\_\_\_\_m，︱*y*~1~－ *y*~3~︱=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_m，︱*x*~1~－ *x*~2~︱=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_m（保留两位小数）。
（2）若已测知抛出后小球在水平方向做匀速运动，利用（1）中读取的数据，求小球从P~1~运动到P~2~所用的时间为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_s，小球[抛出后的水平速度为](http://hfwq.cersp.net/)\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_m/s（均可用根号表示）。，
（3）已测得小球抛也前下滑的高度为0.50m,设E~1~和E~2~分别为开始下滑时和抛也时的机械能，则小球从开始下滑到抛出的过程中机械能的相对损失，×100%=\_\_\_\_\_\_\_%（保留两位有效数字）
答案（1）0.61 1.61 0.60
（2）0.20 3.0
（3）8.2
【解析】本题考查研究平抛运动的实验.由图可知P1到P2两点在竖直方向的间隔为6格, P1到P3两点在竖直方向的间隔为16格所以有=0.60m.=1.60m. P1到P2两点在水平方向的距离为6个格.则有=0.60m.
(2)由水平方向的运动特点可知P1到P2 与P2到P3的时间相等,根据,解得时间约为0. 2s,则有
(3)设抛出点为势能零点,则开始下滑时的机械能为E1=mgh=mg/2,抛出时的机械能为E2==4.5m,则根据0.082
山东卷
23．(12分)请完成以下两小题。
（1）某同学在家中尝试验证平行四边形定则，他找到三条相同的橡皮筋（遵循胡克定律）和若干小事物，以及刻度尺、三角板、铅笔、细绳、白纸、钉字，设计了如下实验：将两条橡皮筋的一端分别在墙上的两个钉子A、B上，另一端与第二条橡皮筋连接，结点为O，将第三条橡皮筋的另一端通过细胞挂一重物。
①为完成实验，下述操作中必需的是 [ ]{.underline} 。
> a．测量细绳的长度
>
> b．测量橡皮筋的原长
>
> c．测量悬挂重物后像皮筋的长度
>
> d．记录悬挂重物后结点O的位置
②钉子位置固定，欲利用现有器材，改变条件再次实验证，可采用的方法是 [ ]{.underline}
答案：（1）①bcd ②更换不同的小重物
上海卷
**17．（6分）如图为"用DIS（位移传感器、数据采集器、计算机）研究加速度和力的关系"的实验装置。**
**（1）在该实验中必须采用控制变量法，应保持\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_不变，用钩码所受的重力作为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，用DIS测小车的加速度。**
**（2）改变所挂钩码的数量，多次重复测量。在某次实验中根据测得的多组数据可画出*a*-*F***关系**图线（如图所示）。**
**①分析此图线的OA段可得出的实验结论是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**②（单选题）此图线的AB段明显偏离直线，造成此误差的主要原因是（ ）**
**（A）小车与轨道之间存在摩擦** （B）导轨保持了水平状态
（C）所挂钩码的总质量太大 （D）所用小车的质量太大
【答案】（1）**小车的总质量，小车所受外力，**
**（2）①在质量不变的条件下，加速度与外力成正比，②C，**
**【解析】（1）因为要探索"加速度和力的关系"所以应保持小车的总质量不变，钩码所受的重力作为小车所受外力；（2）由于OA段a-F关系为一倾斜的直线，所以在质量不变的条件下，加速度与外力成正比；由实验原理：得，而实际上，可见AB段明显偏离直线是由于没有满足M\>\>m造成的。**
18．**（6分）利用图（a）实验可粗略测量人吹气产生的压强。两端开口的细玻璃管水平放置，管内塞有潮湿小棉球，实验者从玻璃管的一端A吹气，棉球从另一端B飞出，测得玻璃管内部截面积*S*，距地面高度*h*，棉球质量*m*，开始时的静止位置与管口B的距离*x*，落地点C与管口B的水平距离*l*。然后多次改变*x*，测出对应的*l*，画出*l*^2^-*x*关系图线，如图（b）所示，并由此得出相应的斜率*k*。**
**（1）若不计棉球在空中运动时的空气阻力，根据以上测得的物理量可得，棉球从B端飞出的速度*v*~0~＝\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**（2）假设实验者吹气能保持玻璃管内气体压强始终为恒定值，不计棉球与管壁的摩擦，重力加速度*g*，大气压强*p*~0~均为已知，利用图（b）中拟合直线的斜率*k*可得，管内气体压强*p*＝\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**（3）考虑到实验时棉球与管壁间有摩擦，则（2）中得到的*p*与实际压强相比\_\_\_\_\_\_\_\_（填偏大、偏小）。**
【解析】**（1）*l*（2）*p*~0~＋（3）偏小**
【解析】小球从B 点飞出后做平抛运动，则有，联立解得；在吹小球的过程中，由动能定理可得：即：，可知直线的斜率可得。若考虑实验中小球与玻璃管的摩擦则**得到的*p*与实际压强相比应偏小。**
四川卷
22.(17分)
(1)在弹性限度内，弹簧弹力的大小与弹簧伸长(或缩短)的长度的比值，叫做弹簧的劲度系数。为了测量一轻弹簧的劲度系数，某同学进行了如下实验设计：如图所示，将两平行金属导轨水平固定在竖直向下的匀强磁场中，金属杆ab与导轨接触良好，水平放置的轻弹簧一端固定于O点，另一端与金属杆连接并保持绝缘。在金属杆滑动的过程中，弹簧与金属杆、金属杆与导轨均保持垂直，弹簧的形变始终在弹性限度内，通过减小金属杆与导轨之间的摩擦和在弹簧形变较大时读数等方法，使摩擦对实验结果的影响可忽略不计。
请你按要求帮助该同学解决实验所涉及的两个问题。
①帮助该同学完成实验设计。请你用低压直流电源（）、滑动变阻器()、电流表（）、开关（）设计一电路图，画在图中虚线框内，并正确连在导轨的C、D两端。
②若已知导轨间的距离为d,匀强磁场的磁感应强度为B,正确连接电路后，闭合开关，使金属杆随挡板缓慢移动，当移开挡板且金属杆静止时，测出通过金属杆的电流为I~1~,记下金属杆的位置，断开开关，测出弹簧对应的长度为x~1~;改变滑动变阻器的阻值，再次让金属杆静止时，测出通过金属杆的电流为I~2~,弹簧对应的长度为x~2~,则弹簧的劲度系数k=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**答案**：（1）①设计的电路如图。
②
解析：①低压直流电源E、滑动变阻器R、电流表、开关S串接在CD两点之间，如图所示。
②设弹簧原长为L~0~，应用胡克定律有k(*x*~1~－L~0~)＝BI~1~d、k(*x*~2~－L~0~)＝BI~2~d，
两式相减可得k(*x*~1~－*x*~2~)＝B（I~1~－I~2~）d，解得k＝；
法二：根据胡克定律F＝k*x*可得ΔF＝kΔ*x*，则k＝＝；
（2）气垫导轨(如图甲)工作时，空气从导轨表面的小孔喷出，在导轨表面和滑块内表面之间形成一层薄薄的空气层，使滑块不与导轨表面直接接触，大大减小了滑块运动时的阻力。为了验证动量守恒定律，在水平气垫导轨上放置两个质量均为*a*的滑块，每个滑块的一端分别与穿过打点计时器的纸带相连，两个打点计时器所用电源的频率均为b.气垫导轨正常工作后，接通两个打点计时器的电源，并让两滑块以不同的速度相向运动，两滑块相碰后粘在一起继续运动。图乙为某次实验打出的、点迹清晰的纸带的一部分，在纸带上以同间距的6个连续点为一段划分纸带，用刻度尺分别量出其长度s~1~、s~2~和s~3~.若题中各物理量的单位均为国际单位，那么，碰撞前两滑块的动量大小分别为\_\_\_\_\_\_\_\_\_、\_\_\_\_\_\_\_\_\_，两滑块的总动量大小为\_\_\_\_\_\_\_\_\_；碰撞后两滑块的总动量大小为\_\_\_\_\_\_\_\_\_。重复上述实验，多做几次。若碰撞前、后两滑块的总动量在实验误差允许的范围内相等，则动量守恒定律得到验证。
答案：（2）0.2*ab*s~3~ 0.2*ab*s~1~（两空可互换），0.2*ab*(s~1~-s~3~)； 0.4*ab*s~2~
**解析**： 动量P＝m*v*，根据*v*＝S/（5T）可知两滑块碰前的速度分别为*v*~1~＝0.2s~1~b、*v*~2~＝0.2s~3~b，则碰前动量分别为0.2*abs*~1~和0.2*abs*~3~，总动量大小为*av*~1~－*av*~2~＝0.2*ab*(s~1~-s~3~)；碰撞后两滑块的总动量大小为2*av*＝2*a s*~2~/（5T）＝0.4*ab*s~2~。
天津卷
（3）如图所示，将打点计时器固定在铁架台上，使重物带动纸带从静止开始自由下落，利用此装置可以测定重力和速度。
1. 所需器材有打点计时器（带导线）、纸带、复写纸、带铁夹的铁架台和带夹子的重物，此外还需 [ ]{.underline} （填字母代号）中的器材。
A.直流电源、天平及砝码 B.直流电源、毫米刻度尺
C.交流电源、天平及砝码 D.交流电源、毫米刻度尺
② 通过作图象的方法可以剔除偶然误差较大的数据，提高实验的准确程度。为使图线的斜率等于重力加速度，除作*v*-t图象外，还可作 [ ]{.underline} 图象，其纵轴表示的是 [ ]{.underline} ，横轴表示的是 [ ]{.underline} 。
答案： ①D， ，速度平方的二分之一，重物下落的高度。
【解析】本题考查用打点计时器测重力加速度。涉及器材的选取和用图像处理数据的方法。
①打点计时器需接交流电源。重力加速度与物体的质量无关，所以不要天平和砝码。计算速度需要测相邻计数的距离，需要刻度尺，选D。
②由公式，如绘出图像，其斜率也等于重力加速度。
重庆卷
22.（19分）
（1）某同学在探究影响单摆周期的因素时有如下操作，请判断是否恰当（填 "是"或"否"）。
①把单摆从平衡位置拉开约5°释放； [ ]{.underline}
②在摆球经过最低点时启动秒表计时； [ ]{.underline}
③把秒表记录摆球一次全振动的时间作为周期。 [ ]{.underline}
 该同学改进测量方法后，得到的部分测量数据见表。用螺旋测微器测量其中 一个摆球直径的示数见题22图1.该球的直径为 [ ]{.underline} mm。根据表中数据可以初步判断单摆周期随 [ ]{.underline} 的增大而增大。
**答案**：
（1）①是，②是，③否，20.685(20.683-20.687)，摆长
浙江卷
Ⅱ.（9分）
1. 在"探究单摆周期与摆长的关系"实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径如图甲、乙所示。测量方法正确的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（选填"甲"或"乙"）。
（2）实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图甲所示。光敏电阻与某一自动记录相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t变化图线如图乙所示，则该单摆的振动周期为[ ]{.underline}。若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将[ ]{.underline}（填"变大"、"不变"或"变小"），图乙中的Δt将[ ]{.underline}（填"变大"、"不变"或"变小"）。
 答案：（1）乙（2）2t~0~，变大，变大
【解析】本题考查游标卡尺和单摆的知识
（1）应将待测物体正确地放在测脚中如乙图；（2）单摆1个周期遮光两次；单摆周期与小球质量、大小无关，但若改用直径变为原小球直径的2倍，周期变大，但遮光时间Δt变大
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**绝密★启用前**
**2021年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学**
**注意事项：**
**1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．**
**2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．**
**3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1\. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
2\. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可得，由此可得出结论.
【详解】任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：C.
3\. 已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.
【详解】由于，所以命题为真命题；
由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；
所以为真命题，、、为假命题.
故选：A．
4\. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念理解，是一道容易题.
5\. 在正方体中，*P*为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
6\. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种
【答案】C
【解析】
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
7\. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
8\. 在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．
【详解】如图所示：
设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．
设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．
故选：B.
【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件对应的区域面积，即可顺利解出．
9\. 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为"表高"，称为"表距"，和都称为"表目距"，与的差称为"表目距的差"则海岛的高（ ）
A. 表高 B. 表高
C. 表距 D. 表距
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：
由平面相似可知，，而，所以
，而，
即＝．
故选：A.
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
10\. 设，若为函数的极大值点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
11\. 设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；
当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
12\. 设，，．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对*a*,*b*的大小作出判定，对于*a*与*c*，*b*与*c*的大小关系，将0.01换成*x*,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合*f*(0)=0,*g*(0)=0即可得出*a*与*c*，*b*与*c*的大小关系.
详解】,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则*,，*
由于
所以当0\<*x*\<2时，,即,,
所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则*,,*
由于，在*x*\>0时,,
所以,即函数在\[0,+∞)上单调递减，所以,即,即*b*\<*c*;
综上，,
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．**
13\. 已知双曲线的一条渐近线为，则*C*的焦距为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】4
【解析】
【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.
【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.
故答案为：4.
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
14\. 已知向量，若，则\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
15\. 记的内角*A*，*B*，*C*的对边分别为*a*，*b*，*c*，面积为，，，则\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
16\. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为\_\_\_\_\_\_\_\_\_（写出符合要求的一组答案即可）．
【答案】③④（答案不唯一）
【解析】
【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.
【详解】选择侧视图为③，俯视图为④，
如图所示，长方体中，，
分别为棱的中点，
则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥.
故答案为：③④.
【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.
**三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．**
**（一）必考题：共60分．**
17\. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
-------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
-------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
【解析】
【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.
（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.
【详解】（1），
，
，
.
（2）依题意，，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
18\. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求出的值，即可得出的长；
（2）求出平面、法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】（1）平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
则，，
，则，解得，故；
（2）设平面的法向量为，则，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值为.
【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：
（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；
（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；
（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.
19\. 记为数列的前*n*项和，为数列的前*n*项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式*,*由此得到的表达式*,*然后利用和与项的关系求得.
【详解】（1）由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前*n*项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
*,*
*,*
当*n*=1时，,
当*n*≥2时,,显然对于*n*=1不成立,
∴.
【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前*n*项和与项的关系，数列的前*n*项积与项的关系，其中由,得到，进而得到是关键一步；要熟练掌握前*n*项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项得到和（积）的递推关系是常用的重要的思想方法.
20\. 设函数，已知是函数的极值点．
（1）求*a*；
（2）设函数．证明:．
【答案】（1）；（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数；
（2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解
【详解】（1）由，，
又是函数的极值点，所以，解得；
（2）由（1）得，，且，
当 时，要证，， ，即证，化简得；
同理，当时，要证，， ，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，假设能取到，则，故；
当时，，单增，假设能取到，则，故；
综上所述，在恒成立
【点睛】本题为难题，根据极值点处导数为0可求参数，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题.
21\. 已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值；
（2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值.
【详解】（1）抛物线的焦点为，，
所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
**（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．**
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]（10分）**
22\. 在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，*x*轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
【答案】（1），（为参数）；（2）或.
【解析】
【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；
（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.
【详解】（1）由题意，的普通方程为，
所以参数方程为，（为参数）
（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，
由圆心到直线的距离等于1可得，
解得，所以切线方程为或，
将，代入化简得
或
【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
**\[选修4-5：不等式选讲\]（10分）**
23\. 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若，求*a*的取值范围．
【答案】（1）.（2）.
【解析】
【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.
（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，
则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，
当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，
所以的解集为.
（2）依题意，即恒成立，
，
当且仅当时取等号，,
故，
所以或，
解得.
所以的取值范围是.
【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.
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**小学五年级上册数学奥数知识点讲解第4课《带余数的除法》试题附答案**
来源：www.bcjy123.com/tiku/
**答案**
五年级奥数上册：第四讲 带余数的除法 习题解答
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**北师大版小学四年级数学上册期末考试试卷三（附答案）**
一、用心填一填。(每空1分，共15分)
1．6048300是( )位数，最高位在( )位上，读作( )，省略"万"后面的尾数约是( )。
2．三峡水力发电站建成后每年可发电[八百四十六亿八千万]{.underline}千瓦时，这个数写作( )，精确到亿位约是( )亿千瓦时。
3．202×50的积的末尾有( )个0；893÷47的商是( )位数。
4．如果仓库里运进400件货物，记作﹢400件，那么运出200件货物应记作( )件。
5．÷42=12......□，当余数是( )时，最大。
6．498×21≈( ) 569÷57≈( )
7．零下8摄氏度写作( )，﹣5℃读作( )。
8．如果直线与直线b相交成90°的角，我们就说直线与直线b( )。
二、精心选一选。(共8分)
1．下面画横线的数中，( )是准确数。
①汉江县今天有[300]{.underline}多人参加义务劳动。
②平江县约有[40万]{.underline}左右的人口。来源：www.bcjy123.com/tiku/
③这条线段长[56]{.underline}厘米。
2．把4500÷900变成45÷9，需要把被除数和除数同时( )。
①乘100 ②除以100 ③减少100
3．以中心商场为观测点，邮局的位置是南偏西55°，以下图中正确的是( )。
① ② ③
4．以点C为中心旋转的图形是( )。
  
① ② ③
三、细心算一算。(共30分)
1．用竖式计算。(第3小题要验算)(6分)
(1)104×24 (2)722÷19 (3)1500÷62
验算：
2．简便运算。(12分)
47×29＋47×71 92×99＋92
201×23 125×16
来源：www.bcjy123.com/tiku/
(20＋6)×15 25×41
3．混合运算。(12分)
280＋720÷36 972÷(64－46)
180÷\[36÷(12＋6)\] 288÷\[(26－14)×8\]
来源：www.bcjy123.com/tiku/
四、我会画。(共20分)
1．过直线外一点分别画已知直线的平行线和垂线。(8分)
 
2．分别画出下面各角。(4分)
88° 35°
3．分别画出平行四边形绕O点顺时针旋转90°和逆时针旋转90°后的图形。(8分)
五、下面是实验小学2008年"献爱心、送温暖"捐款情况统计图。(共10分)
1．哪个年级捐款最多？哪个年级捐款最少？最多的与最少的相差多少元？
2．全校一共捐款多少元？平均每个年级捐款多少元？
六、解决问题。(共12分)
1．(6分)果园里收了132篮苹果，平均每篮装47个，一共收了多少个苹果？
2．甲、乙两地相距984千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行82千米，需要几小时才能到达乙地？(6分)
来源：www.bcjy123.com/tiku/
七、选做题。(A、B两题选做一题，做对A题得5分，做对B题得5分，A、B两题都做对可得10分)
A．图书馆里的书柜每层能放36本书，图书室里有20个书柜，一共可以放多少本书？
B．请你说一说林林到学校和少年宫的方向和路程。
附加题。(共5分)
小学四年级465名学生去参观科技展览，租大客车每辆车限乘50人，租小客车每辆车限乘15人。需租几辆大客车和几辆小客车，能全坐满而无剩余？
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**2017年山东省菏泽市中考数学试卷**
**一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）**
1．（）^﹣2^的相反数是（ ）
A．9 B．﹣9 C． D．﹣
2．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.2×10^7^ B．3.2×10^8^ C．3.2×10^﹣7^ D．3.2×10^﹣8^
3．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（ ）
A． B． C． D．
4．某兴趣小组为了解我市气温变化情况，记录了今年1月份连续6天的最低气温（单位：℃）：﹣7，﹣4，﹣2，1，﹣2，2．关于这组数据，下列结论不正确的是（ ）
A．平均数是﹣2 B．中位数是﹣2 C．众数是﹣2 D．方差是7
5．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
6．如图，函数y~1~=﹣2x与y~2~=ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
7．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（0，2） D．（0，）
8．一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax^2^+bx+c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）**
9．分解因式：x^3^﹣x=[ ]{.underline}．
10．关于x的一元二次方程（k﹣1）x^2^+6x+k^2^﹣k=0的一个根是0，则k的值是[ ]{.underline}．
11．菱形ABCD中，∠A=60°，其周长为24cm，则菱形的面积为[ ]{.underline}cm^2^．
12．一个扇形的圆心角为100°，面积为15π cm^2^，则此扇形的半径长为[ ]{.underline}．
13．直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A（x~1~，y~1~）和B（x~2~，y~2~）两点，则3x~1~y~2~﹣9x~2~y~1~的值为[ ]{.underline}．
14．如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB~1~O~1~的位置，使点B的对应点B~1~落在直线y=﹣x上，再将△AB~1~O~1~绕点B~1~逆时针旋转到△A~1~B~1~O~1~的位置，使点O~1~的对应点O~2~落在直线y=﹣x上，依次进行下去...若点B的坐标是（0，1），则点O~12~的纵坐标为[ ]{.underline}．
**三、解答题（共10小题，共78分）**
15．计算：﹣1^2^﹣\|3﹣\|+2sin45°﹣（﹣1）^2^．
16．先化简，再求值：（1+）÷，其中x是不等式组的整数解．
17．如图，E是▱ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于F，若CD=6，求BF的长．
18．如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD．
19．列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
20．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象在第一象限交于A、B两点，B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C，若OC=CA．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
21．今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的部分商业连锁店进行评估，将抽取的各商业连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，并绘制了如图不完整的扇形统计图和条形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次评估随即抽取了多少甲商业连锁店？
（2）请补充完整扇形统计图和条形统计图，并在图中标注相应数据；
（3）从A、B两个等级的商业连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．
22．如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC．
（1）求证：∠BAC=∠CBP；
（2）求证：PB^2^=PC•PA；
（3）当AC=6，CP=3时，求sin∠PAB的值．
23．正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N．
（1）如图1，若点M与点D重合，求证：AF=MN；
（2）如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s．
①设BF=y cm，求y关于t的函数表达式；
②当BN=2AN时，连接FN，求FN的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2^+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
**2017年山东省菏泽市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）**
1．（）^﹣2^的相反数是（ ）
A．9 B．﹣9 C． D．﹣
【考点】6F：负整数指数幂；14：相反数．
【分析】先将原数求出，然后再求该数的相反数．
【解答】解：原数=3^2^=9，
∴9的相反数为：﹣9；
故选（B）
2．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.2×10^7^ B．3.2×10^8^ C．3.2×10^﹣7^ D．3.2×10^﹣8^
【考点】1J：科学记数法---表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10^﹣n^，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000032=3.2×10^﹣7^；
故选：C．
3．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U2：简单组合体的三视图．
【分析】根据图形、找出几何体的左视图与俯视图，判断即可．
【解答】解：A、左视图是两个正方形，俯视图是三个正方形，不符合题意；
B、左视图与俯视图不同，不符合题意；
C、左视图与俯视图相同，符合题意；
D左视图与俯视图不同，不符合题意，
故选：C．
4．某兴趣小组为了解我市气温变化情况，记录了今年1月份连续6天的最低气温（单位：℃）：﹣7，﹣4，﹣2，1，﹣2，2．关于这组数据，下列结论不正确的是（ ）
A．平均数是﹣2 B．中位数是﹣2 C．众数是﹣2 D．方差是7
【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．
【分析】根据平均数、中位数、众数及方差的定义，依次计算各选项即可作出判断．
【解答】解：A、平均数是﹣2，结论正确，故A不符合题意；
B、中位数是﹣2，结论正确，故B不符合题意；
C、众数是﹣2，结论正确，故C不符合题意；
D、方差是9，结论错误，故D符合题意；
故选：D．
5．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【考点】R2：旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的内角和定理可得结果．
【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴AC=A′C，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CA′A=45°，∠CA′B=20°=∠BAC
∴∠BAA′=180°﹣70°﹣45°=65°，
故选：C．
6．如图，函数y~1~=﹣2x与y~2~=ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式﹣2x＞ax+3的解集即可．
【解答】解：∵函数y~1~=﹣2x过点A（m，2），
∴﹣2m=2，
解得：m=﹣1，
∴A（﹣1，2），
∴不等式﹣2x＞ax+3的解集为x＜﹣1．
故选D．
7．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（0，2） D．（0，）
【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；D5：坐标与图形性质；LB：矩形的性质．
【分析】作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E，则此时，△ADE的周长最小，根据A的坐标为（﹣4，5），得到A′（4，5），B（﹣4，0），D（﹣2，0），求出直线DA′的解析式为y=x+，即可得到结论．
【解答】解：作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E，
则此时，△ADE的周长最小，
∵四边形ABOC是矩形，
∴AC∥OB，AC=OB，
∵A的坐标为（﹣4，5），
∴A′（4，5），B（﹣4，0），
∵D是OB的中点，
∴D（﹣2，0），
设直线DA′的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线DA′的解析式为y=x+，
当x=0时，y=，
∴E（0，），
故选B．
8．一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax^2^+bx+c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象；H2：二次函数的图象．
【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y=ax^2^+bx+c的图象开口向下，对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y=ax^2^+bx+c的图象开口向下，对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选A．
**二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）**
9．分解因式：x^3^﹣x=[ x（x+1）（x﹣1） ]{.underline}．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x^2^﹣1），而x^2^﹣1可利用平方差公式分解．
【解答】解：x^3^﹣x，
=x（x^2^﹣1），
=x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
10．关于x的一元二次方程（k﹣1）x^2^+6x+k^2^﹣k=0的一个根是0，则k的值是[ 0 ]{.underline}．
【考点】A3：一元二次方程的解．
【分析】由于方程的一个根是0，把x=0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．
【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x^2^+6x+k^2^﹣k=0的一个根是0，
把x=0代入方程，得k^2^﹣k=0，
解得，k~1~=1，k~2~=0
当k=1时，由于二次项系数k﹣1=0，
方程（k﹣1）x^2^+6x+k^2^﹣k=0不是关于x的二次方程，故k≠1．
所以k的值是0．
故答案为：0
11．菱形ABCD中，∠A=60°，其周长为24cm，则菱形的面积为[ 18]{.underline}[ ]{.underline}cm^2^．
【考点】L8：菱形的性质．
【分析】根据菱形的性质以及锐角三角函数关系得出BE的长，即可得出菱形的面积．
【解答】解：如图所示：过点B作BE⊥DA于点E
∵菱形ABCD中，∠A=60°，其周长为24cm，
∴∠C=60°，AB=AD=6cm，
∴BE=AB•sin60°=3cm，
∴菱形ABCD的面积S=AD×BE=18cm^2^．
故答案为：18．
12．一个扇形的圆心角为100°，面积为15π cm^2^，则此扇形的半径长为[ 3]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】MO：扇形面积的计算．
【分析】根据扇形的面积公式S=即可求得半径．
【解答】解：设该扇形的半径为R，则=15π，
解得R=3．
即该扇形的半径为3cm．
故答案是：3．
13．直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A（x~1~，y~1~）和B（x~2~，y~2~）两点，则3x~1~y~2~﹣9x~2~y~1~的值为[ 36 ]{.underline}．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征，两交点坐标关于原点对称，故x~1~=﹣x~2~，y~1~=﹣y~2~，再代入3x~1~y~2~﹣9x~2~y~1~得出答案．
【解答】解：由图象可知点A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）关于原点对称，
∴x~1~=﹣x~2~，y~1~=﹣y~2~，
把A（x~1~，y~1~）代入双曲线y=，得x~1~y~1~=6，
∴3x~1~y~2~﹣9x~2~y~1~
=﹣3x~1~y~1~+9x~1~y~1~
=﹣18+54
=36．
故答案为：36．
14．如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB~1~O~1~的位置，使点B的对应点B~1~落在直线y=﹣x上，再将△AB~1~O~1~绕点B~1~逆时针旋转到△A~1~B~1~O~1~的位置，使点O~1~的对应点O~2~落在直线y=﹣x上，依次进行下去...若点B的坐标是（0，1），则点O~12~的纵坐标为[ （﹣9﹣9]{.underline}[，9+3]{.underline}[） ]{.underline}．
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；D2：规律型：点的坐标；F8：一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】观察图象可知，O~12~在直线y=﹣x时，OO~12~=6•OO~2~=6（1++2）=18+6，由此即可解决问题．
【解答】解：观察图象可知，O~12~在直线y=﹣x时，
OO~12~=6•OO~2~=6（1++2）=18+6，
∴O~12~的横坐标=﹣（18+6）•cos30°=﹣9﹣9，
O~12~的纵坐标=OO~12~=9+3，
∴O~12~（﹣9﹣9，9+3）．
故答案为（﹣9﹣9，9+3）．
**三、解答题（共10小题，共78分）**
15．计算：﹣1^2^﹣\|3﹣\|+2sin45°﹣（﹣1）^2^．
【考点】79：二次根式的混合运算；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和完全平方公式分别化简求出答案．
【解答】解：原式=﹣1﹣（﹣3）+2×﹣
=﹣1+3﹣+﹣2018+2
=﹣2016+2．
16．先化简，再求值：（1+）÷，其中x是不等式组的整数解．
【考点】6D：分式的化简求值；CC：一元一次不等式组的整数解．
【分析】解不等式组，先求出满足不等式组的整数解．化简分式，把不等式组的整数解代入化简后的分式，求出其值．
【解答】解：不等式组
解①，得x＜3；
解②，得x＞1．
∴不等式组的解集为1＜x＜3．
∴不等式组的整数解为x=2．
∵（1+）÷
=
=4（x﹣1）．
当x=2时，原式=4×（2﹣1）
=4．
17．如图，E是▱ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于F，若CD=6，求BF的长．
【考点】L5：平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质得出AB=CD=6，AB∥CD，由平行线的性质得出∠F=∠DCE，由AAS证明△AEF≌△DEC，得出AF=CD=6，即可求出BF的长．
【解答】解：∵E是▱ABCD的边AD的中点，
∴AE=DE，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，AB∥CD，
∴∠F=∠DCE，
在△AEF和△DEC中，，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD=6，
∴BF=AB+AF=12．
18．如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】作AE⊥CD，用BD可以分别表示DE，CD的长，根据CD﹣DE=AB，即可求得BCD长，即可解题．
【解答】解：作AE⊥CD，
∵CD=BD•tan60°=BD，CE=BD•tan30°=BD，
∴AB=CD﹣CE=BD，
∴BC=21m，
CD=BD•tan60°=BD=63m．
答：乙建筑物的高度CD为63m．
19．列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】根据单件利润×销售量=总利润，列方程求解即可．
【解答】解：设销售单价为x元，
由题意，得：（x﹣360）\[160+2\]=20000，
整理，得：x^2^﹣920x+211600=0，
解得：x~1~=x~2~=460，
答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000．
20．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象在第一象限交于A、B两点，B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C，若OC=CA．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）先求出OB的解析式式，进而求出AG，用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥x轴交BD于E，
∵点B（3，2）在反比例函数y=的图象上，
∴a=3×2=6，
∴反比例函数的表达式为y=，
∵B（3，2），
∴EF=2，
∵BD⊥y轴，OC=CA，
∴AE=EF=AF，
∴AF=4，
∴点A的纵坐标为4，
∵点A在反比例函数y=图象上，
∴A（，4），
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为y=﹣x+6；
（2）如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，
∵B（3，2），
∴直线OB的解析式为y=x，
∴G（2，），
∵A（3，4），
∴AG=4﹣=，
∴S~△AOB~=S~△AOG~+S~△ABG~=××3=4．
21．今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的部分商业连锁店进行评估，将抽取的各商业连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，并绘制了如图不完整的扇形统计图和条形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次评估随即抽取了多少甲商业连锁店？
（2）请补充完整扇形统计图和条形统计图，并在图中标注相应数据；
（3）从A、B两个等级的商业连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】（1）根据A级的人数和所占的百分比求出总人数；
（2）求出B级的人数所占的百分比，补全图形即可；
（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）2÷8%=25（家），
即本次评估随即抽取了25家商业连锁店；
（2）25﹣2﹣15﹣6=2，2÷25×100%=8%，
补全扇形统计图和条形统计图，
如图所示：
（3）画树状图，
共有12个可能的结果，至少有一家是A等级的结果有10个，
∴P（至少有一家是A等级）==．
22．如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC．
（1）求证：∠BAC=∠CBP；
（2）求证：PB^2^=PC•PA；
（3）当AC=6，CP=3时，求sin∠PAB的值．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质；T7：解直角三角形．
【分析】（1）根据已知条件得到∠ACB=∠ABP=90°，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，
∴∠ACB=∠ABP=90°，
∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠CBP=90°，
∴∠BAC=∠CBP；
（2）∵∠PCB=∠ABP=90°，
∠P=∠P，
∴△ABP∽△BCP，
∴，
∴PB^2^=PC•PA；
（3）∵PB^2^=PC•PA，AC=6，CP=3，
∴PB^2^=9×3=27，
∴PB=3，
∴sin∠PAB===．
23．正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N．
（1）如图1，若点M与点D重合，求证：AF=MN；
（2）如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s．
①设BF=y cm，求y关于t的函数表达式；
②当BN=2AN时，连接FN，求FN的长．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）根据四边形的性质得到AD=AB，∠BAD=90°，由垂直的定义得到∠AHM=90°，由余角的性质得到∠BAF=∠AMH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①根据勾股定理得到BD=6，由题意得，DM=t，BE=t，求得AM=6﹣t，DE=6﹣t，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
②根据已知条件得到AN=2，BN=4，根据相似三角形的性质得到BF=，由①求得BF=，得方程=，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∵MN⊥AF，
∴∠AHM=90°，
∴∠BAF+∠MAH=∠MAH+∠AMH=90°，
∴∠BAF=∠AMH，
在△AMN与△ABF中，，
∴△AMN≌△ABF，
∴AF=MN；
（2）①∵AB=AD=6，
∴BD=6，
由题意得，DM=t，BE=t，
∴AM=6﹣t，DE=6﹣t，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△FBE，
∴，即，
∴y=；
②∵BN=2AN，
∴AN=2，BN=4，
由（1）证得∠BAF=∠AMN，∵∠ABF=∠MAN=90°，
∴△ABF∽△AMN，
∴=，即=，
∴BF=，
由①求得BF=，
∴=，
∴t=2，
∴BF=3，
∴FN==5．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2^+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）把B（4，0），点D（3，）代入y=ax^2^+bx+1即可得出抛物线的解析式；
（2）先用含t的代数式表示P、M坐标，再根据三角形的面积公式求出△PCM的面积与t的函数关系式，然后运用配方法可求出△PCM面积的最大值；
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=DC，故可得出关于t的二元一次方程，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）把点B（4，0），点D（3，），代入y=ax^2^+bx+1中得，，
解得：，
∴抛物线的表达式为y=﹣x^2^+x+1；
（2）设直线AD的解析式为y=kx+b，
∵A（0，1），D（3，），
∴，
∴，
∴直线AD的解析式为y=x+1，
设P（t，0），
∴M（t， t+1），
∴PM=t+1，
∵CD⊥x轴，
∴PC=3﹣t，
∴S~△PCM~=PC•PM=（3﹣t）（t+1），
∴S~△PCM~=﹣t^2^+t+=﹣（t﹣）^2^+，
∴△PCM面积的最大值是；
（3）∵OP=t，
∴点M，N的横坐标为t，
设M（t， t+1），N（t，﹣ t^2^+t+1），
∴MN=﹣t^2^+t+1﹣t﹣1=﹣t^2^+t，CD=，
如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN=CD，即﹣t^2^+t=，
∵△=﹣39，
∴方程﹣t^2^+t=无实数根，
∴不存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形．
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**-北师大版四年级（下）期末数学试卷（19）**
**二、填一填．**
2．把"1"平均分成100份，其中的1份是[ ]{.underline}，也可以表示[ ]{.underline}．其中的6份是[ ]{.underline}，也可以表示[ ]{.underline}．
3．写一写，读一读．
4．西瓜重8.02千克． 读作：[ ]{.underline}．
5．三角形按角分类分为[ ]{.underline}三角形、[ ]{.underline}三角形和[ ]{.underline}三角形．
6．小数点左边第一位是[ ]{.underline}位，右边第二位是[ ]{.underline}位．
7．一个小数的小数点先向右移动两位，再向左移动三位，结果[ ]{.underline}．
8．一个正方形的边长是a米，那么它的面积是[ ]{.underline}平方米．
9．[ ]{.underline}组对边平行的四边形叫梯形．
10．看图列方程：
11．请你给下面各题的得数点上小数点，使计算正确．
2.8×1.6=4 4 8 4.17×1.2=5 0 0 4 5.07×1.1=5 5 7 7
0.12×1.6=1 9 2 8.67×0.3=2 6 0 1 0.18×0.17=3 0 6．
12．比较大小．（ 在横线上填上"＜"、"＞"或"="．）
7.319[ ]{.underline}7.32
3. [ ]{.underline}31.4
3.007[ ]{.underline}3.70
0.1×0.1[ ]{.underline}0.1÷0.1
0.999÷0.1[ ]{.underline}99.9×0.1．
**三、计算．**
13．用竖式计算．
-------------- ----------- --------------------------
18.02﹣7.49= 8.24×9.5= 3.1÷0.32（保留三位小数）
-------------- ----------- --------------------------
14．计算．
0.35×9.25﹣0.37×0.75 5.7×1.2÷19．
**四、连一连．**
15．帮小蜜蜂排排队，看谁采的花粉多？
[ ]{.underline}＞[ ]{.underline}＞[ ]{.underline}＞[ ]{.underline}＞[ ]{.underline}．
16．小刺猬应该扎哪个苹果，连连看．
17．给锁配钥匙．
18．找家．
**五、选择题．**
20．做房屋的屋架是运用三角形的（ ）
A．有三条边的特性 B．易变形的特性
C．稳定不变形的特性
21．下面哪组小棒不能拼成三角形？（ ）
A． B． C．
22．数一数，图中有（ ）个三角形．
A．47 B．8 C．10 D．12
23．3.7725725...用简便方法表示为（ ）
A． B． C． D．3.7725...
**六、解决问题．**
24．小强的爸爸想在自己家门前的一块空地用红砖围成一个院子（如图），爸爸想请建筑公司做，如果两家公司工作质量相同，请你帮忙算一下，哪家公司的价钱更划算？
25．下面是张丽家三月份水和电的用量．
---- ------------ ----------------
实际用量 单价
水 12吨 1.51元/吨
电 120千瓦•时 0.53元/千瓦•时
---- ------------ ----------------
（1）三月份要交水费多少元钱？
（2）三月份要交电费多少元钱？
（3）这个月水、电费共花多少元钱？
26．我国的京杭大运河是世界上最长的运河，长1801千米，比美国的伊利运河的3倍还多58千米，美国的伊利运河长多少千米？（用方程解．）
27．大口福面包房制作一种生日蛋糕，每个需要0.32千克面粉．王师傅拿5千克面粉做这种生日蛋糕，他最多可以做几个生日蛋糕？
28．小强的爸爸想在自己家门前的一块空地用红砖围成一个院子（如图）．所围成的院墙有多长？
**-北师大版四年级（下）期末数学试卷（19）**
**参考答案与试题解析**
**二、填一填．**
2．把"1"平均分成100份，其中的1份是[ ]{.underline}[ ]{.underline}，也可以表示[ 0.01 ]{.underline}．其中的6份是[ ]{.underline}[ ]{.underline}，也可以表示[ 0.06 ]{.underline}．
【考点】分数的意义、读写及分类．
【分析】分数中的分子是把单位"1"平均分成多少份（分母），其中的一份就是分数单位；（分子）表示这些份中的份数；也可以用小数来表示．
【解答】解：把"1"平均分成100份，其中的1 份是，也可以表示 0.01．其中的6份是，也可以表示 0.06．
故答案为：，0.01，，0.06．
3．写一写，读一读．
【考点】小数的读写、意义及分类．
【分析】百位上是几个珠子，就在百位上写几，十位上是几个珠子，就在十位上写几，个位上是几个珠子，就在个位上写几，十分位上是几，就在十分位上写几，百分位上是几，就在百分位上写几，哪位上1个珠子也没有，就在哪位上写0，即可写出各数．
【解答】解：
故答案为：103.25，一百零三点二五．
4．西瓜重8.02千克． 读作：[ 八点零二 ]{.underline}．
【考点】小数的读写、意义及分类．
【分析】根据小数的读法：整数部分按整数的读法来读，小数点读作点，小数部分要依次读出每个数字；进行判断即可．
【解答】解：西瓜重8.02千克．读作：八点零二；
故答案为：八点零二．
5．三角形按角分类分为[ 锐角 ]{.underline}三角形、[ 直角 ]{.underline}三角形和[ 钝角 ]{.underline}三角形．
【考点】三角形的分类．
【分析】三角形按角分类的方法是：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形．
【解答】解：三角形按角分类分为 锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
故答案为：锐角，直角，钝角．
6．小数点左边第一位是[ 个 ]{.underline}位，右边第二位是[ 百分 ]{.underline}位．
【考点】小数的读写、意义及分类．
【分析】根据小数数位顺序表，小数点右面第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位，小数点左边第一位是个位，第二位是十位；据此解答即可．
【解答】即：小数点左边第一位是个位，右边第二位是百分位．
故答案为：个，百分．
7．一个小数的小数点先向右移动两位，再向左移动三位，结果[ 缩小10倍 ]{.underline}．
【考点】小数点位置的移动与小数大小的变化规律．
【分析】把一个小数的小数点先向右移动两位，再向左移动三位，相当于把这个数的小数点向左移动了一位，据此解答即可．
【解答】解：一个小数的小数点先向右移动两位，再向左移动三位，结果缩小10倍．
故答案为：缩小10倍．
8．一个正方形的边长是a米，那么它的面积是[ a^2^ ]{.underline}平方米．
【考点】用字母表示数．
【分析】根据正方形的面积公式，即正方形的面积=边长×边长，将边长a代入公式，即可得出面积．
【解答】解：因为正方形的面积=边长×边长，
所以这个正方形的面积是：a×a=a^2^（平方米）．
故答案为：a^2^．
9．[ 只有一 ]{.underline}组对边平行的四边形叫梯形．
【考点】梯形的特征及分类．
【分析】根据梯形的定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形；进行判断即可．
【解答】解：只有一组对边平行的四边形叫做梯形；
故答案为：只有一．
10．看图列方程：
【考点】图文应用题；方程的解和解方程．
【分析】由图可知，一件上衣与一件裙子共112元，上衣单价是x元，又裙子单价是46元，根据加法的意义，可得方程：46+x=112．
【解答】解：上衣单价是x元，可得方程：
46+x=112
46+x﹣46=112﹣46
x=66
答：上衣单价是66元．
11．请你给下面各题的得数点上小数点，使计算正确．
2.8×1.6=4 4 8 4.17×1.2=5 0 0 4 5.07×1.1=5 5 7 7
0.12×1.6=1 9 2 8.67×0.3=2 6 0 1 0.18×0.17=3 0 6．
【考点】小数乘法．
【分析】小数乘法中，积的小数部分的位数等于因数中小数部分位数的和，据此即可解答．
【解答】解：2.8×1.6=4.48； 4.17×1.2=5.004； 5.07×1.1=5.57；
0.12×1.6=0.192； 8.67×0.3=2.601； 0.18×0.17=0.0306．
12．比较大小．（ 在横线上填上"＜"、"＞"或"="．）
7.319[ ＜ ]{.underline}7.32
3. [ ＜ ]{.underline}31.4
3.007[ ＜ ]{.underline}3.70
0.1×0.1[ ＜ ]{.underline}0.1÷0.1
0.999÷0.1[ = ]{.underline}99.9×0.1．
【考点】小数大小的比较．
【分析】（1）（2）（3）根据小数大小比较的方法判断即可．
（4）一个非零数乘以一个小于1的数，积小于这个数，一个非零数除以一个小于1的数，商大于这个数，据此判断即可．
（5）首先求出左右两边算式的结果，然后根据小数大小比较的方法判断即可．
【解答】解：根据分析，可得
7.319＜7.32
3. ＜31.4
3.007＜3.70
0.1×0.1＜0.1÷0.1
0.999÷0.1=99.9×0.1
故答案为：＜、＜、＜、＜、=．
**三、计算．**
13．用竖式计算．
-------------- ----------- --------------------------
18.02﹣7.49= 8.24×9.5= 3.1÷0.32（保留三位小数）
-------------- ----------- --------------------------
【考点】小数的加法和减法；小数乘法；小数除法．
【分析】根据小数减法、乘法、除法的计算法则，直接列竖式计算．
【解答】解：18.02﹣7.49=10.53；
8.24×9.5=78.28；
3.1÷0.32≈9.688（保留三位小数）；
14．计算．
0.35×9.25﹣0.37×0.75 5.7×1.2÷19．
【考点】小数四则混合运算；运算定律与简便运算．
【分析】（1）同时运算两个乘法，再算减法；
（2）按照从左到右的顺序计算．
【解答】解：（1）0.35×9.25﹣0.37×0.75，
=3.2375﹣0.2775，
=2.96；
（2）5.7×1.2÷19，
=6.84÷19，
=0.36．
**四、连一连．**
15．帮小蜜蜂排排队，看谁采的花粉多？
[ 0.64]{.underline}[ ]{.underline}＞[ 0.]{.underline} [4]{.underline}[ ]{.underline}＞[ 0.]{.underline} [ ]{.underline}＞[ 0.646 ]{.underline}＞[ 0.6]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】小数大小的比较．
【分析】根据小数大小的比较方法即先看小数的整数部分，整数部分大的这个数就大，整数部分相同的就看十分位，十分位大的这个数就大，十分位相同的，再看百分位，百分位大的这个数就大...据此解答．
【解答】解：0.64＞0. 4＞0. ＞0.646＞0.6；
故答案为：0.64、0. 4、0. 、0.646、0.6．
16．小刺猬应该扎哪个苹果，连连看．
【考点】小数乘法；小数除法．
【分析】依据小数乘除法的计算方法，先分别计算出各个算式的结果，再连线即可．
【解答】解：因为1.43×10=14.3，
14.3÷10=1.43，
1.43÷10=0.143，
14.3×10=143，
所以连线如下：
17．给锁配钥匙．
【考点】方程的解和解方程．
【分析】运用解方程的方法，分别求出上面方程的解，再连线．
【解答】解：（1）5.5﹣x=3.4，
解：5.5﹣x+x=3.4+x，
3.4+x=5.5，
3.4+x﹣3.4=5.5﹣3.4，
x=2.1；
（2）x+2.4=6.6，
解：x+2.4﹣2.4=6.6﹣2.4，
x=4.2；
（3）1.5x=0.6，
解：1.5x÷1.5=0.6÷1.5，
x=0.4；
（4）x÷0.9=0.9，
解：x÷0.9×0.9=0.9×0.9，
x=0.81．
连线如下：
18．找家．
【考点】平面图形的分类及识别．
【分析】根据三角形、平行四边形和梯形的含义：由三条线段首尾相连所围成的平面图形，叫做三角形；两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；一组对边平行、一组对边不平行的四边形，叫做梯形；据此解答．
【解答】解：
**五、选择题．**
20．做房屋的屋架是运用三角形的（ ）
A．有三条边的特性 B．易变形的特性
C．稳定不变形的特性
【考点】三角形的特性．
【分析】根据三角形的特性：稳定性；据此进行解答即可．
【解答】解：做房屋的屋架是运用三角形的稳定性．
故选：C．
21．下面哪组小棒不能拼成三角形？（ ）
A． B． C．
【考点】三角形的特性．
【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行依次分析、进而得出结论．
【解答】解：A、因为2+3.6＞4，所以这三根小棒能组成三角形，不合题意；
B、因为2+2＞2，所以这三根小棒能组成三角形，不符合题意；
C、因为2+2=4，所以这三根小棒不能组成三角形，符合题意；
故选：C．
22．数一数，图中有（ ）个三角形．
A．47 B．8 C．10 D．12
【考点】组合图形的计数．
【分析】由题意知：三角形的个数等于最下边一条边的线段的条数，即4+3+2+1=10（个）．
【解答】解：三角形的个数为：
4+3+2+1=10（个）．
此题还可以这么做：标上字母，将所有三角形列举出来，再计数：
如图所示：
，
三角形有：
三角形ABC，三角形ABD，三角形ABE，三角形ABF，三角形ACD，三角形ACE，三角形ACF，三角形ADE，三角形ADF，三角形AEF．共有10个．
答：在图中一共有10个三角形．
故选：C．
23．3.7725725...用简便方法表示为（ ）
A． B． C． D．3.7725...
【考点】小数的读写、意义及分类．
【分析】3.7725725...是循环小数，循环节是725，简记法：在循环节的首位和末位的上面各记一个小圆点；据此解答．
【解答】解：3.7725725...用简便方法表示为3.72；
故选：B．
**六、解决问题．**
24．小强的爸爸想在自己家门前的一块空地用红砖围成一个院子（如图），爸爸想请建筑公司做，如果两家公司工作质量相同，请你帮忙算一下，哪家公司的价钱更划算？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】根据题意，可先计算出院子的周长，然后再用院子的周长乘以28.6计算出A公司需要的钱数，然后再和B公司相比较即可．
【解答】解：A公司：（3.8+2.5+2.5）×28.6
=8.8×28.6
=251.68（元）
251.68＞220元
答：B公司的价格比较划算．
25．下面是张丽家三月份水和电的用量．
---- ------------ ----------------
实际用量 单价
水 12吨 1.51元/吨
电 120千瓦•时 0.53元/千瓦•时
---- ------------ ----------------
（1）三月份要交水费多少元钱？
（2）三月份要交电费多少元钱？
（3）这个月水、电费共花多少元钱？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】（1）、（2）根据题意，可利用公式 单价×数量=总价进行计算即可得到三月份的水费、电费各是多少钱；
（3）把三月份的水费、电费的金额相加即可得到共花的钱数．
【解答】解：（1）12×1.51=18.12（元），
答：三月份要交水费18.12元；
（2）120×0.53=63.6（元），
答：三月份要交电费63.6元；
（3）18.12+63.6=81.72（元），
答：这个月水、电费共花81.72元．
26．我国的京杭大运河是世界上最长的运河，长1801千米，比美国的伊利运河的3倍还多58千米，美国的伊利运河长多少千米？（用方程解．）
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】由题意可得：美国的伊利运河的长度×3+58=京杭大运河的长度，设出未知数，据此等量关系式，即可列方程求解．
【解答】解：设美国的伊利运河长x千米，
3x+58=1801，
3x=1743，
x=581；
答：美国的伊利运河长581千米．
27．大口福面包房制作一种生日蛋糕，每个需要0.32千克面粉．王师傅拿5千克面粉做这种生日蛋糕，他最多可以做几个生日蛋糕？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】根据题意，可用6除以0.32进行计算，得到的商即是最多可以做生日蛋糕的个数，得到的余数即是剩余的面粉数．
【解答】解：5÷0.32=15（个）...0.2（千克）
答：王师傅最多可以做15个生日蛋糕．
28．小强的爸爸想在自己家门前的一块空地用红砖围成一个院子（如图）．所围成的院墙有多长？
【考点】长方形的周长．
【分析】根据图和题意得出小明家的院墙是两个2.5米和1个3.8米所围成的，由此用2.5×2+3.8即可．
【解答】解：2.5×2+3.8
=5+3.8
=8.8（米）
答：所围成的院墙有8.8米．
**2016年8月20日**
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一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1.集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
考点：集合的运算
2.设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由对数函数和指数函数的性质可得
故，选C
考点：对数函数和指数函数的性质
3.已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：在上为增函数，故，则使成立的一个充分不必要条件是
考点：指数函数的性质，充分不必要条件
4.已知函数，则的值等于（ ）\[来源:Z§xx§k.Com\]
A． B． C． D．0
【答案】C
考点：由函数解析式求函数值
5.曲线与轴所围图形的面积为（ ）
A．4 B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】
试题分析：曲线与轴所围图形的面积为
考点：倒计时的几何意义及其运算
6.函数的图像与函数的图像（ ）
A．有相同的对称轴但无相同的对称中心
B．有相同的对称中心但无相同的对称轴
C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心
D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴
【答案】A
\[来源:学\#科\#网\]
考点：三角函数的对称轴，对称中心
7.已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由图可知，函数的渐近线为，排除C，D，又函数在上单调递减，而函数在在上单调递减，在
上单调递减，则在上单调递减，选A
考点：函数的单调性，渐近线
8.设是奇函数，对任意的实数，有，且当时，，则在区间上（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最大值 D．有最小值
【答案】B
考点：函数的单调性
9.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别为2,4,8，则的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】A
【解析】
试题分析：因为函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，所以函数的周期为6，所以并且函数的时取得最大值，所以函数的单调增区间为 ．故选A．\[来源:学科网ZXXK\]
考点：由的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性
10.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
考点：函数恒成立问题
11.设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：设，
，函数在定义域上单调递增，，又，选B
考点：利用导数研究函数的性质
【名师点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，属于中档题．解题时结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，这里主要还是构造新函数，通过新函数的单调性解决问题，这种方法要注意体会掌握
12.设函数，若存在的极值点满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
考点：利用导数研究函数的性质
【名师点睛】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，属中档题.其中关键点有两个，一是由为的极值点，可得到，另一个就是由可得当最小时，最小，而最小为，进而得到不等式，解之即可.
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）**
13.若非零向量满足，则向量与的夹角为 [ ]{.underline}
【答案】
【解析】
试题分析：如图所示，设，∵两个非零向量满足，则四边形ABCD是矩形，且 而向量与的夹角即为，故向量与的夹角为
考点：向量的夹角的计算
14.设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的"界函数"，若给定函数，则下列结论不成立的是： [ ]{.underline} .
①； ②；
③； ④
【答案】②
考点：分段函数
15.已知是定义在上的周期为3的函数，当时，.若函数在区间\[-3,4\]上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 [ ]{.underline}
【答案】
考点： 根的存在性及根的个数判断．
16.已知分别是的三个内角的对边，，且，则面积的最大值为 [ ]{.underline}
【答案】
【解析】
试题分析：由题意中，，由正弦定理可得，
.再由，利用基本不等式可得\
，当且仅当时，取等号，\
此时，为等边三角形，它的面积为
考点：正弦定理，余弦定理，三角形的面积，基本不等式
【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．由条件利用正弦定理可得．再由余弦定理可得，利用基本不等式可得，当且仅当时，取等号，此时，为等边三角形，从而求得它的面积 的值．
**三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.已知，命题，命题.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题""为真命题，命题""为假命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）或.
考点： 复合命题的真假；函数单调性的性质．
18.在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求角的取值范围；
(2)若，的面积，为钝角，求角的大小.
【答案】（Ⅰ）(2)
 （2）由（Ⅰ）及得，又因为，所以，从而，因为为钝角，故.
由余弦定理，得，
故.
由正弦定理，得，因此.
考点：正弦定理，余弦定理，两角和与差的三角函数
19.已知函数（为自然对数的底数）.
（1）当时，求过点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若在（0,1）上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
（Ⅱ）由得，
令
令在为减函数，∴，又∵.
∴在为增函数，，因此只需
考点：利用导数研究函数的性质
20.已知函数满足，且当时，，当时，的最大值为-4.
（1）求实数的值；
（2）设，函数.若对任意，总存在，使，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）或.
考点：利用导数研究函数的性质
21.已知函数，（为常数）.
（1）若在处的切线过点（0，-5），求的值；
（2）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围；
（3）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2) （3）
【解析】
试题分析：（1）由求导公式和法则求，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由题意和点斜式方程求出切线方程，把代入求出切点坐标，代入求出的值；\
(2)求出方程的表达式，利用参数分离法构造函数，利用导数求出函数的取值范围即可求实数的取值范围；（3）求函数以及定义域，求出，利用导数和极值之间的关系将条件转（Ⅲ），所以.因为存在极值，所以在上有限，即方程在上有限，则有.显然当时，无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正跟.记方程的两根，则，，解得，满足，又，即，故所求的取值范围是.
考点：利用导数研究函数的性质
【名师点睛】本题主要考查导数的几何意义，函数单调性，极值和最值与导数之间的关系，综合考查导数的应用．属难题.解题时要熟练应用利用导数研究函数的性质的一般方法，包括构造新函数，分离变量，以及求极值、最值等.
22.已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；\[来源:学&科&网Z&X&X&K\]
（2）若对任意的，恒有成立，求的取值范围；
（3）证明：.
【答案】（1）见解析（2）（3）见解析
试题解析：（1），由，列表如下：
-- ------------------ --------- ----------
1
+\[来源:学科网\] 0 \-
单调递增 极大值1 单调递减
-- ------------------ --------- ----------
因此增区间，减区间，极大值，无极小值.
（2）因为，，所以，
考点：利用导数研究函数的性质，数列求和
【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，数列求和等知识，属难题．
解题时利用到恒成立问题的等价转化方法、分离参数方法、分类讨论方法，利用研究证明的结论证明不等式，同时应用到"累加求和"、"裂项求和"、"放缩法"等方法，要求有较高推理能力与计算能力，
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**绝密★启用前 2008年上海市普通高等学校春季招生考试**
**语文试卷**
后二位 校验码
号 码
**考生注意：**
**1．答卷前，考生务必在答题纸上将自己的姓名、准考证号等填写清楚。**
**2．所有试题的答案必须全部涂写在答题纸上，写在试卷上一律不给分。答题时应注意试题题号和答题纸题号一一对应，不能错位。**
**3．本试卷共6页。满分150分。考试时间150分钟。**
**一、80分**
（一）阅读下文，完成第1-6题。（16分）
①小小说在我国其实原来就有，外国也有。但由于中国近些年来小小说比较流行，读者面很广，于是才把"小小说"当成一个新的概念。这个概念包含一些什么内容，值得探索。
②小小说并非单指短小的小说。短小，只是它的外部特征。小小说仍然可以看作是短篇小说的一个分支。短篇小说的一般特征，小小说都是应该具备的。但是小小说和短篇小说在本质上既相近，又有所区别。小小说是短小的，从里到外都是小的。小小说作者所发现、所思索、所表现的只能是生活的一个小小的片断。这个片断是别人没有表现过、没有思索过、没有发现过的。最重要的是发现。发现，必然就伴随着思索，并寻找合适的表现形式。文学创作都需要发现，但是小小说的作者更需要有"慧眼"，因为引起小小说作者注意的，往往是平常人易于忽略的小事。这种小事必须是天生得来的一块小小说的材料。这样的材料并非俯拾皆是。小小说材料的获得往往带有偶然性，邂逅相逢，不期而遇。并且，往往要储存一段时间，作者才能大致弄清楚这件小事的意义。写小小说确实需要一点"禅机"。
③小小说虽然不大可能有十分深刻的思想，但可以有一点哲理，不过不能在里面进行完整的哲学的思辨（中篇小说、长篇小说可以）。小小说的特点是思想清浅。半亩方塘，一湾溪水，浅而不露。小小说应当有一定程度的朦胧性。"此中有真意，欲辨已忘言。"一篇小小说发表了，创作过程并未结束。作者还可以继续想下去，读者也愿意和作者一起继续想下去。这样，读者才能既得到欣赏的快感，也得到思考的快感。追求，就意味着还没有达到。追求是作者的事，也是读者的事。小小说不需要过多的热情，大喊大叫，指手画脚，是会叫读者厌烦的。小小说的作者对于他所发现的生活片断，最好超然一些，保持一个客观者的态度，尽可能地不动声色。小小说总是有个态度的，但是要尽量收敛。可以对一个人表示欣赏，但不能夸成一朵花；可以对一件事加以讽刺，但不辛辣。小小说作者需要的是聪明、安静、亲切。
④小小说是一串鲜樱桃，一枝带露的白兰花，本色、天然。小小说不是压缩饼干、脱水蔬莱，不能把一个短篇小说拧干了水分，紧压在一个小小的篇幅里，变成一篇小小说。小小说不能写得很干、很紧、很局促。越是篇幅有限，越要从容不迫。小小说自成一体，所以也叫"微型小说"。小小说就像咫幅盆景，可以仿宏伟之自然。小小说就像宋人在扇子上画龙舟竞渡图一样，用笔虽极工细，但是一定要留出很大的空白，不能挤得满满的。空白，是小小说的特点。可以说，小小说是空白的艺术。中国画也讲究"计白当黑"。因为注意"留白"，小小说的天地便很宽余了。所谓"留白"，简单直截地说，就是少写。应该在写的时候就控制住自己的笔，每琢磨一句都要想一想------这样才能做到句有余味，篇有余意。
⑤小幅的画尤其要讲究"笔墨情趣"，小小说也需要精当的语言。古人论诗时说，七言绝句就像二十八个贤人容不下一个粗人。写小小说也应如此。小小说最好不要有评书气、相声气，不要用一种半文不白的轻佻的语言。小小说当有幽默感，但又不是游戏文章。小小说不宜用奇僻险怪的句子，如宋人所说的"恶硬语"'。小小说的语言要朴素、平易，但有韵致。
1．"小小说"又可以称为 [ ]{.underline} 。（1分）
2．第②段中的"慧眼"在文中的含义是 [ ]{.underline} 。（2分）
3．下列不符合文意的一项是（3分）
A．小小说也包含人物、情节、环境等要素。
B．小小说应对客观事物保持收敛的态度。
C．小小说也能包含完整的哲学的思辨。
D．小小说的题材应该储存一段时间。
4．第⑤段中"二十八个贤人容不下一个粗人"在文中的作用是 [ ]{.underline} 。（2分）
5．文章从 →主题的表现→手法上的特殊性→ 四个方面，依次说明了小小说的特点。（4分）
6．作者在第④段中写道"因为注意'留白'，小小说的天地便很宽余了"。请以莫泊桑的《项链》为例，简述"留白"手法的妙用。（4分）
（二）阅读下文，完成第7－13题。（22分）
顺着石板街走到从前
⑴游淮安河下镇，运气出奇的好。一路豪雨，临近镇子时，却住了雨脚。放眼望去，到处都是青砖黛瓦的建筑。古巷弯弯曲曲，旧宅瓦椽不整，老店铺面半朽。随便走进一处宅院，都能在弥漫的湿气中嗅到浓郁的历史气息。雕花窗棂、檐兽、陶缸、红木桌椅和青花瓷器，隐隐透出了往昔的热闹和繁华。
⑵但印象最深的还是那里铺路的石板。
⑶古镇里的许多铺路石板，久已废弃，被随便丢在巷子深处，或者就摆在窗前屋下。有些石板磨损严重，呈现出柔和的曲线。它们大都是土黄，或者透出点红色，一块一块，像固体的阳光，带着一点温暖，一点黯淡，与镇子的青灰色形成了鲜明的对比。
⑷这些石板皆非本地产。当初盐运兴盛时，大运河、淮河上来往的舟船，去时载盐，返回时捎带石板压舱，卸于河边，富有的盐商便购来铺路。数十年下来，这里的街道上就铺满了来自全国各地的石板。原来，这些石板都曾随船只，压着波浪，伴着涛声，最后落户在这里，成了古镇的"居民"。
⑸这曲折的石板上，走得最多的是盐车。明朝中叶以后，淮盐全部运到河下，经检验抽税后再分运到各地销售。这么一个小镇子，成了全国食盐的重要集散地之一，狭小的巷子里，竟然曾滚动过影响国民经济的商业洪流。
⑹除了盐，还有粮，还有竹木铜铁......自明代起，湖广、浙赣、江南等省漕粮必须经此地停留，等待漕署官员查验成色数量后，方可北上，而回程之船携带的商品也在此集散。永乐年间创办造船厂以后，这里更是成为造船物资的集散地。如今，在河下镇还可以看到打铜巷、钉铁巷、估衣巷、竹巷、绳巷等街巷。
⑺商业的发达，带来了多少尘世浮华。"十里朱旗两岸舟，夜深歌舞几时休。扬州千载繁华景，移在西湖嘴上头。"（"西湖嘴"即今河下镇）这是明朝邱浚描写古镇盛况的诗句。琵琶刘街、花巷街、菜巷街、西湖嘴街、粉章巷、干鱼巷等众多见于典籍的街巷记载，都是从前的生活画卷留下的印痕。
⑻富庶还养护了这里的深厚文脉。从元朝起，山阳县儒学就建在这里。《西游记》作者吴承恩也生活在这里。想象吧，曲折深巷的院子里，曾飘荡过多少朗朗的读书声。而当报喜的骏马跑过，伴着清脆的马蹄声，又有多少人的心也像这石板一样，迸发出烨烨的火星。
⑼这石板上也曾有皇家的辇乘招摇而过。康熙、乾隆两帝数度南巡都经过这里。
⑽这些石板还见证过更久远的历史。这里是古代名将韩信、梁红玉的出生地。韩世忠、梁红玉曾驻兵于此与金兵对峙。金戈铁马的杂沓之声，给这座古镇平添了许多壮怀激烈的铁血内涵。
⑾所有的烟云都过去了，只有这座镇子还留在这里，只有这些老石板还留在这里。坑坑洼洼的石板上，踩来踩去的已经是现代人的脚步。要经多少脚步、车马的磨损，才能造成这些坑洼？[岁月是峥嵘的，而这些石板的外表却越来越随和、温婉，棱角都已失去，像磨损了边角的古藉。]{.underline}
⑿我们顺着一条小巷走到尽头，登上几十级台阶，就站到了古运河的大堤上。运河水在静静流淌，虽然多日下雨，河水也不见汹涌之势。一条古老的河，由于见过太多，也许已变得宠辱不惊了吧。回头看镇子，许多屋脊已落在脚下。古镇的地势低于运河，这该是镇子得名的原因吧。
⒀雨又下起来了。我们顺着来路往回走，镇子重新变得空阔。迷蒙的雨雾中，那些饱经风霜的古宅，在江南的氤氲中显出别样的风致。石板也全都湿渡流的，晃动着明亮的水洼，像是不断闪回的古镇的记忆。物换星移，一切都变了，不变的只是江南的雨。丝丝的细雨依然洒在亘古千年的石板上，默默地见证着石板曾经承载的荣耀与辉煌。脚下的石板静静地延伸着，连缀成通向新时代的路......
7．作者在第⑷段中叙写了古镇石板的 [ ]{.underline} 。（1分）
8．第⑽段"铁血内涵"在文中的意思是 [ ]{.underline} 。（2分）
9．文中描写雨水的主要作用是（3分）
⑴ [ ]{.underline} ⑵ [ ]{.underline}
10．第⑾段画线句的表达效果是 [ ]{.underline} 。（3分）
11．下列对文章理解和赏析错误的两项是（6分）
A．作品以"石板"为线索贯穿全文，使文章显得衔接自然，脉络清晰。
B．第⑴段总写河下镇古色古香的风貌，由面及点，引入对石板的描述。
C．第⑴段运用对比的表现手法，以青灰色的镇子来衬托石板的古老。
D．第⑼段提到皇帝的辇乘曾经过古镇，揭示了石板给作者留下最深印象的原因。
E．第⑾段的第一句话起到了承上启下的作用，将笔触从历史转向现实。
F．本文将叙述、描写和抒情融为一体，语言舒缓流畅、娓娓道来，读来清新自然。
12．本文标题是"顺着石板街走到从前"，请概括"从前"在文中的主要内容。（3分）
（l） [ ]{.underline} （2） [ ]{.underline} （3） [ ]{.underline}
13．纵观全文，简析作者的思想感情。（80字左右）( 4分）
（三）填写下列名篇名句中的空缺（任选5空）。（5分）
\[注：考生答题超过5空，按前5空顺序评分\]
14 .（1）所谓伊人， [ ]{.underline} 。（《 诗经·蒹葭》）
（2）横柯上蔽， [ ]{.underline} ； [ ]{.underline} ，有时见日。（吴均《与朱元思书》）
（3）水因地而制流， [ ]{.underline} 。（《 孙子·虚实篇》）
（4） [ ]{.underline} ，晴窗细乳戏分茶。（陆游《临安春雨初霁》）
（5）素骥鸣广陌， [ ]{.underline} 。（陶渊明《咏荆轲》）
（6）年年岁岁花相似， [ ]{.underline} 。（刘希夷《代悲白头翁》）
（7）凡人不可貌相， [ ]{.underline} 。（无名氏《小尉迟》）
（四）阅读下面的诗，完成第15－17 题。（8分）
步入衡山
范成大
应有人家住隔涣，绿阴亭午但闻鸡。松根当路龙筋瘦，竹笋漫山凤尾齐。
墨染深云犹似瘴，丝来小雨不成泥。更无骑吹喧相逐，散诞闲身信马蹄。
［注］散诞：逍遥自在。
15．诗人推断"应有人家"的依据是 [ ]{.underline} 。（l分）
16．对颈联赏析最恰当的一项是（3分）
A．运用比喻手法生动形象地描绘了乌云如墨、小雨如丝的山景。
B．在描绘雨中山景的同时，也对尾联的情感表达起了衬托作用。
C．通过对乌云、小雨的动态描写，写出了衡山气候的变化无常。
D．四周乌云似瘴，小雨连绵，山道泥泞，作者顿感游兴索然。
17．分析尾联所含的寓意。（4分）
（五）阅读下文，完成第18－22题。（17分）
岁己未，河朔大旱，镇阳帅自言忧农，督下祈雨甚急。厌禳小数，靡不为之，竟无验。既久，怪诬之说兴，适民家有产白驴者，或指曰："此旱之由也。是物不死，旱胡得止？"帅闻，以为然。命亟取，将焚之。
驴见梦于府之属某曰："冤哉焚也！天祸流行，民自罹之，吾何预焉？若乃水旱之事，岂其所知！祸有存乎天，有因乎人。人者可以自求，而天者可以委之也。救旱之术多矣，盍亦求诸是类乎？求之不得，无所归咎，则存乎天也，委焉而已。不求诸人，不委诸天，以无稽之言，而谓我之愆。杀我而有利于人，吾何爱一死？如其未也，焉用为是以益恶？滥杀不仁，轻信不智，不仁不智，帅胡取焉？吾子，其属也，敢私以诉。"
某谢而觉，请诸帅而释之。人情初不怿也。未几而雨，则弥月不解，潦溢伤禾，岁卒以空。人无复议驴。
\[注\] 厌、镶：古人祈祷免除灾祸的巫术。小数：小法术。
18．写出下列加点词在句中的意思（4分）
（1）驴见梦于府之属某曰（ ） （2）人情初不怿也（ ）
（3）弥月不解（ ） （4）岁卒以空（ ）
19．在下列加点的词中，用法相同的两项是（2分）
> A．请诸帅而释之 B．而谓我之愆
>
> C．未几而雨 D．某谢而觉
20．"人无复议驴"的原因是 [ ]{.underline} 。（2分）
21．把下列句子译成现代汉语（6分）
( 1 ）杀我而有利于人，吾何爱一死？
( 2 ）天祸流行，民自罹之，吾何预焉？
22．作者撰写本篇寓言的目的是什么？（用自己的话回答）( 3分）
（六）阅读下文，完成第23－27题。（12分）
夫乐者乐也，人情之所不能免也。
乐必发诸声音，形于动静，人道也。声音动静，性术之变，尽于此矣。故人不能无乐，乐不能无形。形而不为道，不能无乱。先王恶其乱，故制《雅》、《颂》之声以道之，使其声足以乐而不流，使其文足以纶而不息，使其曲直繁省廉肉^①^节奏，足以感动人之善心而已矣，不使放心邪气得接焉，是先王立乐之方^②^也。
是故乐在宗庙之中，君臣上下同听之，则莫不和敬。在族长乡里之中，长幼同听之，则莫不和顺。在闺门之内，父子兄弟同听之，则莫不和亲。故乐者，审一以定和，比物以饰节，节奏合以成文，所以合和父子君臣，附亲万民也，是先王立乐之方也。
故听其《雅》、《颂》之声，志意得广焉。执其干戚，习其俯仰诎信，容貌得庄焉。行其缀兆^③^，要其节奏，行列得正焉，进退得齐焉。
故乐者天地之齐，中和之纪，人情之所不能免也。
（节选自《史记·乐书第二》）
\[注\] ①廉肉：乐声的低沉短促与婉转圆润。②方：原则。③缀兆：指古代乐舞中舞者的行列位置。
23．《史记》、《 [ ]{.underline} 》、《后汉书》、《三国志》合称"前四史"。（1分）
24．本文认为，音乐的外在表现形式是 [ ]{.underline} 和 [ ]{.underline} 。（2分）
25．下列说法不符合文意的一项是（3分）
A．音乐的产生源于感情的自然流露。
B．人们的感情变化可以通过音乐表现出来。
C．音乐应足以使人快乐，但不能流于形式。
D．音乐节奏可使舞者动作整齐、进退有序。
26．作者认为"乐"能带来"和"。"和"具体表现在（3分）
（1） [ ]{.underline} （2） [ ]{.underline} （3） [ ]{.underline}
27．统治阶级企图把《雅》、《颂》确立为音乐（诗歌）的典范，谈谈你对这个问题的认识（3 分）
**二、70 分**
28．作文
以"细徽深处"为题，写一篇文章。
要求：（l）不少于800字。（2）不要写成诗歌。（3）不得透露个人相关信息。
2008 年上海市普通高等学校春季招生考试
**语文试卷**
答案要点及评分标准
一、80分
（一）( 16分）
1．( 1分）微型小说
2．( 2分）能发现"天生得来"的、"平常人易于忽略"的小事
3．( 3分）C
4．( 2分）生动形象地说明小小说的语言应该精当雅致
5．( 4分）材料的选取（2 分）语言的运用（2 分）
6．( 4分）指出"留白"之处（l 分）阐述（3 分）
（二）( 22 分）
7．（1分）来源（由来）
8．（2分）抗敌御侮、坚强不屈的民族精神
9 .（3分）（1）首尾照应（l分）（2）渲染气氛，引发思古幽情（2分）
10．（3分）运用比拟和比喻的手法，生动形象地表达出石板外表磨损，古韵犹存的意蕴。
11．（6分）C D （答对一个给3分）
12．（3分）（1）小镇的经济繁荣（l分）（2）小镇的文脉深厚（l分）（3）小镇的历史人物辈出（l 分）
13．（4分）要点：（l）对悠久历史的赞叹（2）对物是人非的惆怅（3）对美好未来的憧憬（答对一点给2分，答对两点给4分）
（三）( 5 分）
14．（5分）（l）在水一方（2）在昼犹昏 疏条交映（3）兵因敌而制胜（4）矮纸斜行闲作草（5）慷慨送我行（6）岁岁年年人不同（7）海水不可斗量（写对一空给1分）
（四）（8分）
15．( 1分）听到小溪那边的鸡鸣之声，推断似有人家。
16．( 3分）B ( 3分）A ( l分）
17．( 4分）要点：对官场喧嚣（城市生活的喧嚣）、排场的厌倦；( 2 分）对自然山水（闲适生活）的追求。（2分）
（五）（l7分）
18．（4分）（l）属下（2）愉快（高兴）（3）满（4）年成（写对一空给l 分）
19．（2分）AD
20．（2分）驴被释放后不久，就下了一个月的雨，事实证明驴不是"旱之由"。
21．（6分）（l）如果杀了我真的对人有好处，我怎么会吝惜我这条命呢？（3分）
（"何"l分，"爱"l 分；意思连贯1分）
( 2）天灾流行，人民自然会遭受到祸害，这管（干、关）我什么事呢？（3分）
（"摧"l 分，"何"1分；句式1分）
22 . ( 3 分）讽刺统治者的无知（轻信无稽之言）和无能（相信封建迷信）。
（六）（12 分）
23．（l 分）汉书
24．（2分）声音、动静、节奏（写出一点给l分，写出两点给2分）
25．（3分）C
26．（3分）（l）君臣和敬（和顺恭敬）（l分）（2）长幼和顺（和睦顺从）（l分）（3）父子兄弟和亲（和睦相亲、和睦亲近）（l分）。
27．（3分）3分：认识全面，分析具体，语言通畅。
2分：认识能体现思辨性，分析不到位。
1分：认识单一，缺乏思辨。
0分：答非所问。
二、70 分
28．作文评分标准
**一类卷（63 - 70分）基准分67分**
能准确把握题意，立意深刻，选材恰当，中心突出，内容充实，感情真挚，结构严谨。有新意，有文采。
**二类卷（52－62分）基准分57分**
符合题意，立意较深刻，选材较恰当，中心明确，内容较充实，感情真实，结构完整，语言通顺。
**三类卷（39－51分）基准分45分**
基本符合题意，立意一般，选材尚恰当，中心尚明确，内容尚充实，感情尚真实，结构基本完整，语言基本通顺，偶有语病。
**四类卷（21－38分）基准分29分**
偏离题意，立意或选材不当，中心不明确，内容单薄，结构不够完整，语言欠通顷，语病较多。
**五类卷（20 分以下）符合以下一项即为五类：**
（l）脱离题意。（2）文理不通。（3）全文不足400 字。
说明：
（l）未抄写题目扣2分。（2）错别字满3个扣1分，至多扣5分。（3）标点错误多，酌情扣分。（4）文面不整洁，酌情扣1－2分；文面整洁美观，酌情加1－2分。
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2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
样本数据的标准差 锥体体积公式
其中为样本平均数 其中*S*为底面面积，*h*为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
其中*S*为底面面积，*h*为高 其中*R*为球的半径
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知命题 **R，**，则
（A）**R**, （B）**R**,
（C）**R**, （D）**R**,
（2）已知平面向量则向量=
（A） （B）
（C） （D）
（3）函数在区间的简图是
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知是等差数列，，其前10项和，则其公差
（A） （B） （C） （D）
（5）如果执行右面的程序框图，
那么输出的
（A）2 450
（B）2 500
（C）2 550
（D）2 652
> （6）已知抛物线的焦点为，点、、在抛物线上，且，则有
（A） （B）
（C） （D）
> （7）已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
（8）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）若，则的值为
（A） （B） （C） （D）
（10）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
（A） （B） （C） （D）
（11）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
---------- --- ---------- --- ---------- -- ------ --- --- --- ---- -- ------ --- --- --- ----
甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩
环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10
频数 5 5 5 5 频数 6 4 4 6 频数 4 6 6 4
---------- --- ---------- --- ---------- -- ------ --- --- --- ---- -- ------ --- --- --- ----
、、分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有
（A） （B）
（C） （D）
（12）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为*h*~1~、*h*~2~、*h*，则 *h*~1~﹕*h*~2~﹕*h* =
（A）﹕1﹕1 （B）﹕2﹕2
（C）﹕2﹕ （D）﹕2﹕
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 [ ]{.underline} .
（14）设函数为奇函数，则 [ ]{.underline} .
（15）是虚数单位， [ ]{.underline} .(用的形式表示，)
（16）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 [ ]{.underline} 种.(用数字作答)
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
**（17）**（本小题满分12分）
> 如图，测量河对岸的塔高*AB*时，可以选与塔底*B*在同一水平面内的两个测点*C*与*D*. 现测得，，，并在点*C*测得塔顶*A*的仰角为，求塔高.
**（18）**（本小题满分12分）
> 如图，在三棱锥中, 侧面与侧面均为等边三角形, 为中点.
**（Ⅰ）**证明：平面
**（Ⅱ）**求二面角的余弦值.
**（19）**（本小题满分12分）
> 在平面直角坐标系*xOy*中，经过点且斜率为*k*的直线*l*与椭圆有两个不同的交点*P*和*Q*.
**（Ⅰ）**求*k*的取值范围；
> **（Ⅱ）**设椭圆与*x*轴正半轴、*y*轴正半轴的交点分别为*A*、*B*，是否存在常数*k*，使得向量与共线？如果存在，求*k*值；如果不存在，请说明理由.
**（20）**（本小题满分12分）
> **如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入M中，则M的面积的估计值为. 假设正方形的边长为2，M的面积为1，并向正方形中随机投掷10 000个点，以表示落入M中的点的数目.**
**（Ⅰ）求的均值；**
**（Ⅱ）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率.**
> **附表：**
-- ------------ ------------ ------------ ------------
**2424** **2425** **2574** **2575**
**0.0403** **0.0423** **0.9570** **0.9590**
-- ------------ ------------ ------------ ------------
**（21）**（本小题满分12分）
设函数.
（Ⅰ）若当时取得极值，求*a*的值，并讨论的单调性；
（Ⅱ）若存在极值，求*a*的取值范围，并证明所有极值之和大于.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知*AP*是⊙*O*的切线，*P*为切点，*AC*是⊙*O*的割线，与⊙*O*交于*B*、*C*两点，圆心*O*在的内部，点*M*是*BC*的中点.
（Ⅰ）证明*A*，*P*，*O*，*M*四点共圆；
（Ⅱ）求∠*OAM*＋∠*APM*的大小.
（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
⊙*O*~1~和⊙*O*~2~的极坐标方程分别为.
（Ⅰ）把⊙*O*~1~和⊙*O*~2~的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过⊙*O*~1~，⊙*O*~2~交点的直线的直角坐标方程.
（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
**设**函数.
（Ⅰ）解不等式\>2；
（Ⅱ）求函数的最小值.
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理科数学试题参考答案和评分参考
评分说明:
1\. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2\. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3\. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4\. 只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.
一．选择题
> （1）**C** （2）D （3）A （4）**D** （5）C （6）**C**
>
> （7）D （8）B （9）C （10）D （11）**B** （12）B
二．填空题
（13）3 （14） （15） （16）240
三．解答题
（17）解：
在△*BCD*中，
> . ......2分
由正弦定理得
> ......5分
所以
> ......8分
在Rt△*ABC*中，
> ......12分
（18）证明：
**（Ⅰ）**由题设*AB=AC=SB=SC=SA*. 连结*OA*，△*ABC*为等腰直角三角形，所以*OA=OB=OC=SA*，且*AO*⊥*BC*. 又△*SBC为*等腰三角形，故*SO*⊥*BC*，且
*SO*=*SA*，
从而*OA*^2^+*SO*^2^ =*SA*^2^， ......3分
所以△*SOA*为直角三角形，.
又*AO*∩*BC*=*O*，
所以*SO*⊥平面*ABC*. ......6分
**（Ⅱ）**解法一：
取*SC*中点*M*, 连结*AM*, *OM*, 由（Ⅰ）知, 得*OM*⊥*SC*，*AM*⊥*SC*.
为二面角的平面角. ......9分
由*AO*⊥*BC*，*AO*⊥*SO*，*SO*∩*BC*得
*AO*⊥平面*SBC*，
所以*AO*⊥*OM*. 又，故
所以二面角的余弦值为 ......12分
解法二：
以*O*为坐标原点，*射线OB、OA分别为x*轴、*y*轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系
设*B*(1,0,0)，则
*SC*的中点
，.
故*MO*⊥*SC*，*MA*⊥*SC*，等于二面角的平面角. ......9分
所以二面角的余弦值为 ......12分
（19）解：
**（Ⅰ）**由已知条件，直线*l*的方程为
，
代入椭圆方程得
，
整理得 . ① ......3分
直线*l*与椭圆有两个不同的交点*P*和*Q*等价于
，
解得或. 即*k*的取值范围为. ......6分
**（Ⅱ）**设，则，
由方程①，
. ②
又 . ③ ......8分
而.
所以与共线等价于
，
将②③代入上式，解得. ......11分
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数*k*. ......12分
（20）解：
**每个点落入M中的概率均为.** ......**2分**
**依题意知.**
**（Ⅰ）.** ......**6分**
**（Ⅱ）依题意所求概率为，** ......**9分**
**.** ......**12分**
（21）解：
（Ⅰ），
依题意有，故， ......2分
从而.
的定义域为. 当时，；当时，；当时，. 从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少. ......5分
（Ⅱ）的定义域为，.
方程的判别式.
（ⅰ）若，即，在的定义域内，故无极值.
（ⅱ）若，则或.
若，，.当时，，当时，，所以无极值.
若，，也无极值. ......7分
（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根
.
当时，. 从而在的定义域内没有零点，故无极值.
当时，，在的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知在取得极值.
综上，存在极值时，*a*的取值范围为. ......10分
> 的极值之和为
. ......12分
（22）
（Ⅰ）证明：连结*OP*，*OM*.
因为*AP*与⊙*O*相切于点*P*，所以
*OP*⊥*AP*.
因为*M*是⊙*O*的弦*BC*的中点，所以
*OM*⊥*BC*.
于是∠*OPA*＋∠*OMA*=180°，由圆心*O*在的内部，可知四边形*APOM*的对角互补，所以*A*，*P*，*O*，*M*四点共圆. ......6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得*A*，*P*，*O*，*M*四点共圆，所以
∠*OAM*=∠*OPM.*
由（Ⅰ）得*OP*⊥*AP*.
由圆心*O*在的内部，可知∠*OPM*＋∠*APM*=90°.
所以∠*OAM*＋∠*APM*=90°. ......10分
（23）解：
以极点为原点，极轴为*x*轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.
（Ⅰ），由得
，
所以.
即为⊙*O*~1~的直角坐标方程.
同理为⊙*O*~2~的直角坐标方程. ......6分
（Ⅱ）由
解得
即⊙*O*~1~，⊙*O*~2~交于点（0，0）和. 过交点的直线的直角坐标方程为.
......10分
（24）解：
（Ⅰ）令，则
......**3分**
**作出函数的图像，它与直线的交点为和.**
**所以的解集为. ......6分**
（Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值. ......10分
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**沈丘县2020-2021学年度上期期末教学质量监测试卷**
**二年级数学**
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ----------
**题号** **一** **二** **三** **四** **五** **六** **总分**
**得分**
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ----------
**一、直接写出得数。（1×15=15）**
> **3×6= 45+34= 54-40= 5×7-7=**
>
> **98-8= 32+6= 9×7= 49-7×4=**
**9×9+9= 8×（9-4）= 68-（60-18）=**
**2米+6米=（ ）米 80厘米+20厘米=（ ）米**
**3元5角+4角=( )元( )角 4元-2元6角=( )元( )角**
**二、选择题。（选择正确答案的序号填在括号里）（2×7=14）**
> **1．64-37+36，不计算就知道（ ）。**
>
> **A．比64大 B．比64小 C．和64相等**
>
> **2．一个杯子8元钱，可以这样付钱：（ ）。**
>
> **A．2张5元 ****B．1张5元和3张1元 C．1张5元和2张2元**
>
> **3．游乐园国庆节搞活动，1张门票可以换2瓶水，小王一家3口的门票能换( )瓶水。**
>
> **A． 6 B．7 C．3**
>
> **4．小鸡有9只，它的只数是小鸭的3倍，小鸭有几只？列式正确的为（ ）**
**A．9×3 B．9÷3 C．9＋3**
**5．测量教学楼的宽，用（ ）作单位较合适。**
**A.厘米 B.卷尺 C.米**
**6.仔细观察右图，从正面看到的图形是（ ）。**
**A． B． C．**
**7.下面哪种分法是平均分（ ）。**
**A． B． C．**
**三、判断题。（对的打"√"，错的打"×"）（1×5=5）**
> **1．计算7×8和56÷7用同一句乘法口诀。 （ ）**
>
> **2．比50厘米长49厘米的线段比1米长。 （ ）**
>
> **3．算式8÷2＝4，读作：8除2等于4。 （ ）**
>
> **4．一栋大楼高150厘米。 （ ）**
>
> **5."2个6相乘"与"2和6相乘"结果是一样的。 （ ）**
**四、仔细观察，填一填。（ 4+6+4+4+3+4=25）**
**1.（4分）**
**你知道吗？**
**长（ ）厘米。**
**大约长（ ）厘米。**
**比****短（ ）厘米。**
**和****共（ ）厘米。**
**2．（6分）**
**加法算式： 乘法算式：**
**3.请把镜子里看到的样子圈出来。（4分）**
**4.在○里填"+""-""×"或"÷"。（4分）**
**14○7=49○7 36○6=2○3 8○6=16○8 18○3=5○1**
**5．在括号里填上""""或""。（3分）**
**46+7（ ）8×7 2×6（ ）3×4 90厘米（ ）8米**
**6.填上合适的单位。（4分）**
**移动信号塔的高度约83（ ） 铅笔长约2（ ）**
**跑道一圈长400（ ） 小明高1（ ）40（ ）**
**五、作图题。（5+5=10）**
**1．画一条比6厘米短2厘米的线段。**
**2．画○，○的个数是□的2倍。**
**六、问题解决。（5+5+6+6+9=31）**
**1．小华和他的三个好朋友去参观动物园，每张门票6元，他们买门票一共要花多少钱?**
**2.有45个珠子，每7个穿一串，可以穿多少串，还剩几个？**
**3.淘气从家到学校有几条路可走？哪条路近？**
**4．兴趣小组。**
**(1)参加科技小组的有多少人？**
**(2)参加体育小组的人数是科技小组的几倍？**
**5.套圈比赛。淘气不小心把套圈比赛的成绩记录表弄脏了，请你根据下表回答问题。**
---------- ------------ ------------ ------------------------------------- -------------------------------------
**第一次** **第二次** **第三次** **总数**
**乐乐** **25个** **29个**  **81个**
**田田** **25个** **25个** **26个** 
**豆豆** **26个** **27个**  
---------- ------------ ------------ ------------------------------------- -------------------------------------
**（1）乐乐第三次套中了多少个？**
**（2）田田三次一共套中了多少个？**
**（3）豆豆得了第二名，他套中的总数可能是多少？他第三次可能套中了多少个？(写出一种可能的情况)**
**2020-2021学年上册二年级数学期末测试**
**参考答案**
**一、直接写出得数。（1×15=15）**
1．18；79；14；28；90；38；63；21；90；40；26；8；1；3元9角；1元4角
**二、选择题。（选择正确答案的序号填在括号里）（2×7=14）**
1．B 2．B 3．A 4．B 5．C 6．B 7．A
**三、判断题。（对的打"√"，错的打"×"）（1×5=5）**
1.√ 2..× 3.× 4.× 5.×
**四、仔细观察，填一填。（ 4+6+4+4+3+4=25）**
1.4；9；5；13
2.4个5 ； 5+5+5+5=20；5×4=20
3\.
4.--- ÷；÷ ×；--- ÷；÷ +
5.＜ = ＜
6.米；分米；米；米 厘米
**五、作图题。（5+5=10）**
1.略
2.答案不唯一，略。
**六、问题解决。（5+5+6+6+9=31）**
1.3+1=4（元）4×6=24（元）
答：要花24元。
2.45÷7=6（串）......3（个）
3.第一条：20+35+40=95（米）
第二条：45+10+23=78（米）
95＞78
答：有两条路可走，第二条近一些。
4.（1）4×2=8（人）
答：参加科技小组的有8人。
（2）16÷8=2
答：参加体育小组的人数是科技小组的2倍。
5.（1）81-25-29=27（个）
答：乐乐第三次套中了27个。
（2）25+25+26=76（个）
答：田田三次一共套中了76个。
（3）答案不唯一（77---80都可以），略。
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**北师大版四年级（下）期中数学试卷（2）**
**一、填空题（22分，每空1分）**
1．12.705读作[ ]{.underline}，7在[ ]{.underline}位，表示[ ]{.underline}．
2．去掉9.54的小数点，这个数扩大到原来的[ ]{.underline}倍．
3．0.16里面有[ ]{.underline}个0.01，2个0.001是[ ]{.underline}．
4．把一米的绳子平均分成100份，其中的45份长[ ]{.underline}米．
5．小数和分数互换
0.11=
2.3=
=[ ]{.underline}
=[ ]{.underline}．
6．
+-------------------------------------+--------------------------------------------+----------------------------------------+
| 单位转换 | 3米4分米6厘米=[ ]{.underline}米 | 1元5角=[ ]{.underline}角 |
| | | |
| 33厘米=[ ]{.underline}米 | | |
+-------------------------------------+--------------------------------------------+----------------------------------------+
| 3千克=[ ]{.underline}克 | 58吨234千克=[ ]{.underline}吨 | 15cm^2^=[ ]{.underline}m^2^ |
+-------------------------------------+--------------------------------------------+----------------------------------------+
7．一个三角形，第一个角是42度，第二个角是56度，第三个角是[ ]{.underline}度．
8．数一数
[ ]{.underline}个正方形；[ ]{.underline}个长方形；[ ]{.underline}个角；[ ]{.underline}条线段．
**二、判断题**
9．大于0.1小于0.3的一位小数只有一个[ ]{.underline}（判断对错）
10．3.5=3.500[ ]{.underline}（判断对错）
11．整数都大于小数[ ]{.underline}（判断对错）
12．有两个角是锐角的三角形叫锐角三角形．[ ]{.underline}．（判断对错）
13．有两个角的和是90度的三角形是直角三角形[ ]{.underline}（判断对错）
14．三角形的任意两边的和大于第三边．[ ]{.underline}．（判断对错）
**三、计算**
15．
+------------+----------+----------+----------+
| 直接写结果 | 0.66×10= | 1.25×8= | 2.5×0.4= |
| | | | |
| 0.7×100= | | | |
+------------+----------+----------+----------+
| 3.3×3= | 0.5×0.2= | 5.6+3.4= | 10﹣6.9= |
+------------+----------+----------+----------+
16．竖式计算
①0.24×0.15=
②9.32×1.4=
③40.75﹣29.5=
④3.38+2.7=
17．脱式计算，能简算的要简算
①0.76×5.8+0.76×4.2
②1.25×13.7×8
③10﹣6.8﹣3.2
④7.4×1.43+7.4×9.57﹣7.4．
**四．选择**
18．与6.95×5.7的积相等的式子是（ ）
A．0.695×57 B．6.95×57 C．69.5×5.7
19．简算 3.7×12.6+87.4×3.7时，应用（ ）
A．乘法分配律 B．乘法交换律 C．乘法结合律
20．一个三角形中，最少有（ ）个锐角．
A．1 B．2 C．3
21．下列线段能围城三角形的一组是（ ）
A．2cm，2cm，4cm B．2cm，2cm，5cm C．2cm，2cm，2cm
**五．解决问题**
22．小明去超市买文具盒用去13.46元，买铅笔比文具盒少用了2.9元．小明一共花了多少钱？
23．一只母鸡平均每天要吃0.3千克饲料，照这样计算，5只母鸡3天需吃多少千克饲料？
24．妈妈到市场去，买了2.5千克豆角，每千克9.6元，妈妈带20元钱，够吗？
25．学校买了15套桌椅，每把椅子21.6元，每张桌子78.4元．学校买椅子和桌子共花多少元？
26．地球表面积是5.1亿平方千米，其中陆地面积是1.49亿平方千米，其余是海洋面积，海洋面积比陆地面积多多少亿平方千米？
**北师大版四年级（下）期中数学试卷（2）**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题（22分，每空1分）**
1．12.705读作[ 十二点七零五 ]{.underline}，7在[ 十分 ]{.underline}位，表示[ 7个0.1 ]{.underline}．
【考点】小数的读写、意义及分类．
【分析】首先根据小数的读法读出这个小数，整数部分按照整数的读法读，小数部分把数字依次读出，小数点读作点；然后根据7所在的数位进行求解．
【解答】解：12.705读作：十二点七零五，7在十分位，表示7个0.1；
故答案为：十二点七零五，十分，7个0.1．
2．去掉9.54的小数点，这个数扩大到原来的[ 100 ]{.underline}倍．
【考点】小数点位置的移动与小数大小的变化规律．
【分析】9.54去掉小数点后是954，也就是小数点向右移动了2位，所以这个数就扩大100倍．
【解答】解：去掉9.54的小数点，这个数扩大到原来的100倍；
故答案为：100．
3．0.16里面有[ 16 ]{.underline}个0.01，2个0.001是[ 0.002 ]{.underline}．
【考点】小数的读写、意义及分类．
【分析】首先搞清这个数字在什么数位上和这个数位的计数单位，它就表示有几个这样的计数单位．
【解答】解：0.16里面有16个0.01，2个0.001是0.002；
故答案为：16，0.002．
4．把一米的绳子平均分成100份，其中的45份长[ ]{.underline}[ ]{.underline}米．
【考点】分数的意义、读写及分类．
【分析】把一米的绳子平均分成100份，每份占全长的，其中的45份就占全长（1米）的，也就是米，然后化简即可．
【解答】解：因为=（米）
所以，把一米的绳子平均分成100份，其中的45份长米．
故答案为：．
5．小数和分数互换
0.11=
2.3=
=[ ]{.underline}
=[ ]{.underline}．
【考点】小数与分数的互化．
【分析】把分数化成小数用分子除以分母；把小数化成分数，原来有几位小数就在1的后面添上几个0作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分．据此解答．
【解答】解：0.11=，
2.3=，
，
．
6．
+---------------------------------+----------------------------------------+--------------------------------------+
| 单位转换 | 3米4分米6厘米=[ 3.46 ]{.underline}米 | 1元5角=[ 15 ]{.underline}角 |
| | | |
| 33厘米=[ 0.33 ]{.underline}米 | | |
+---------------------------------+----------------------------------------+--------------------------------------+
| 3千克=[ 0.003 ]{.underline}克 | 58吨234千克=[ 58.234 ]{.underline}吨 | 15cm^2^=[ 0.0015 ]{.underline}m^2^ |
+---------------------------------+----------------------------------------+--------------------------------------+
【考点】长度的单位换算；货币、人民币及其常用单位；质量的单位换算；面积单位间的进率及单位换算．
【分析】（1）低级单位厘米化高级单位米除以进率100．
（2）把4分米除以进率10化成0.4米，6厘米除以进率100化成0.06米，再与3米相加．
（3）把1元乘进率10化成10角再与5角相加．
（4）高级单位千克化低级单位克乘进率1000．
（5）把234千克除以进率1000化成0.234吨再与58吨相加．
（6）低级单位平方厘米化高级单位平方米除以进率10000．
【解答】解：（1）33厘米=0.33米；
（2）3米4分米6厘米=3.46米；
（3）1元5角=15角；
（4）3千克=0.003克；
（5）58吨234千克=58.234吨；
（6）15cm^2^=0.0015m^2^．
故答案为：0.33，3.46，15，58.234，0.0015．
7．一个三角形，第一个角是42度，第二个角是56度，第三个角是[ 82 ]{.underline}度．
【考点】三角形的内角和．
【分析】因为三角形的内角度数和是180°，所以第三个角是：180°﹣42°﹣56°．
【解答】解：180°﹣42°﹣56°=82（度）
答：第三个角是82度．
故答案为：82．
8．数一数
[ 11 ]{.underline}个正方形；[ 15 ]{.underline}个长方形；[ 6 ]{.underline}个角；[ 6 ]{.underline}条线段．
【考点】组合图形的计数．
【分析】（1）1×1的有8个，2×2的有3个，加起来即可；
（2）单个的是5个，2个组成的是4个，3个组成的是3个，4个组成的是2个，5个组成的是1个，据此加起来即可；
（3）单个的是3个，2个组成的是2个，3个组成的是1个据此加起来即可；
（4）线段数量=1+2+3+...+（底边点的数量﹣1）；依此即可求解．
【解答】解：（1）正方形有：8+3=11（个）
（2）长方形有：5+4+3+2+1=15（个）
（3）角有：3+2+1=6（个）
（4）线段有：1+2+3=6（条）
答：11个正方形；15个长方形；6个角；6条线段．
故答案为：11；15；6；6．
**二、判断题**
9．大于0.1小于0.3的一位小数只有一个[ √ ]{.underline}（判断对错）
【考点】小数大小的比较．
【分析】由题意可知题干中限制了小数的位数，在0.1和0.3之间一位小数只有0.2．
【解答】解：大于0.1而小于0.3的一位小数只有0.2一个，所以原题说法正确．
故答案为：√．
10．3.5=3.500[ √ ]{.underline}（判断对错）
【考点】小数的性质及改写．
【分析】根据小数的性质：小数的末尾添上"0"或去掉"0"小数的大小不变；由此即可判断．
【解答】解：根据小数的性质可得：3.5=3.500；
故答案为：√．
11．整数都大于小数[ × ]{.underline}（判断对错）
【考点】整数大小的比较．
【分析】只要举出反例即可证明．例如2是整数，2.5是小数，但是2＜2.5．
【解答】解：因为2是整数，2.5是小数，但是2＜2.5；
所以整数一定大于小数的说法是错误的；
故答案为：×．
12．有两个角是锐角的三角形叫锐角三角形．[ × ]{.underline}．（判断对错）
【考点】三角形的分类．
【分析】根据锐角三角形的含义：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；据此判断即可．
【解答】解：根据锐角三角形的含义可知：有两个角是锐角的三角形叫锐角三角形，说法错误；
故答案为：×．
13．有两个角的和是90度的三角形是直角三角形[ √ ]{.underline}（判断对错）
【考点】三角形的分类．
【分析】根据三角形内角和等于180度，有两个内角度数和是90°，则另一个内角是180﹣90=90度，进而根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，解答判断即可．
【解答】解：因为180°﹣90°=90°
所以有两个内角度数和是90°的三角形是直角三角形；
故"有两个角的和是90度的三角形是直角三角形"的说法是正确的．
故答案为：√．
14．三角形的任意两边的和大于第三边．[ 正确 ]{.underline}．（判断对错）
【考点】三角形的特性．
【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边；进行解答即可．
【解答】解：根据三角形的特性"两边之和大于第三边"可知：三角形的任意两边的和大于第三边，说法正确；
故答案为：正确．
**三、计算**
15．
+------------+----------+----------+----------+
| 直接写结果 | 0.66×10= | 1.25×8= | 2.5×0.4= |
| | | | |
| 0.7×100= | | | |
+------------+----------+----------+----------+
| 3.3×3= | 0.5×0.2= | 5.6+3.4= | 10﹣6.9= |
+------------+----------+----------+----------+
【考点】小数乘法；小数的加法和减法．
【分析】运用小数的加减及乘除法的计算法则进行计算即可．
【解答】
---------------- ------------- ----------- -------------
解：0.7×100=70 0.66×10=6.6 1.25×8=10 2.5×0.4=1
3.3×3=9.9 0.5×0.2=0.1 5.6+3.4=9 10﹣6.9=3.1
---------------- ------------- ----------- -------------
16．竖式计算
①0.24×0.15=
②9.32×1.4=
③40.75﹣29.5=
④3.38+2.7=
【考点】小数乘法；小数的加法和减法．
【分析】根据小数四则运算的计算法则计算即可求解．
【解答】解：①0.24×0.15=0.036
②9.32×1.4=13.048
③40.75﹣29.5=11.25
④3.38+2.7=6.08
17．脱式计算，能简算的要简算
①0.76×5.8+0.76×4.2
②1.25×13.7×8
③10﹣6.8﹣3.2
④7.4×1.43+7.4×9.57﹣7.4．
【考点】小数四则混合运算；运算定律与简便运算．
【分析】①④运用乘法的分配律进行计算即可．
②运用乘法的结合律及交换律进行解答即可．
③一个数连续减去两个数，可以用这个数减去这两个数的和．
【解答】解：①0.76×5.8+0.76×4.2
=0.76×（5.8+4.2）
=0.76×10
=7.6
②1.25×13.7×8
=1.25×8×13.7
=10×13.7
=137
③10﹣6.8﹣3.2
=10﹣（6.8+3.2）
=0
④7.4×1.43+7.4×9.57﹣7.4
=7.4×（1.43+9.57﹣1）
=74
**四．选择**
18．与6.95×5.7的积相等的式子是（ ）
A．0.695×57 B．6.95×57 C．69.5×5.7
【考点】小数乘法．
【分析】根据积的变化规律：一个因数扩大n倍，另一个因数不变，则积也扩大n倍；一个因数扩大n倍，另一个因数缩小n倍，则积不变；逐个选项进行分析即可．
【解答】解：A、0.695×57，由6.95变成0.695，缩小10倍，5.7变成57，扩大10倍，积不变；
B、0.695×57，由5.7变成57，扩大10倍，另一个因数6.95不变，积扩大10倍；
C、69.5×5.7，由6.95变成69.5，扩大10倍，另一个因数5.7不变，积扩大10倍．
所以，与6.95×5.7的积相等的式子是0.695×57．
故选：A．
19．简算 3.7×12.6+87.4×3.7时，应用（ ）
A．乘法分配律 B．乘法交换律 C．乘法结合律
【考点】运算定律与简便运算．
【分析】题目中两个乘法算式中有一个因数相同，且12.6+87.4=100，所以本题适用乘法分配律简算．
【解答】解：3.7×12.6+87.4×3.7
=3.7×（12.6+87.4）．
即本题适用乘法分配律简算．
故选：A．
20．一个三角形中，最少有（ ）个锐角．
A．1 B．2 C．3
【考点】三角形的内角和．
【分析】根据三角形的内角和等于180°，三个角中最多有一个直角或钝角，所以最少有两个锐角，据此选择．
【解答】解：因为三角形的内角和等于180°，
所以三角形最多有一个直角或钝角，剩下的两个为锐角；
所以一个三角形中，最少有2个锐角．
故选：B．
21．下列线段能围城三角形的一组是（ ）
A．2cm，2cm，4cm B．2cm，2cm，5cm C．2cm，2cm，2cm
【考点】三角形的特性．
【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．
【解答】解：A答案中2+2=4，所以不能组成三角形；
B答案中2+2＜5，所以不能组成三角形；
C答案中2+2＞2，所以能组成等边三角形；
故选：C．
**五．解决问题**
22．小明去超市买文具盒用去13.46元，买铅笔比文具盒少用了2.9元．小明一共花了多少钱？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】我们运用文具盒用去13.46元减去2.9元就是买铅笔的钱，再加上买文具盒用去的13.46元就是总共花的钱数．
【解答】解：13.46﹣2.9+13.46，
=10.56+13.46，
=24.02（元）；
答：小明一共花了24.02元钱．
23．一只母鸡平均每天要吃0.3千克饲料，照这样计算，5只母鸡3天需吃多少千克饲料？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】根据乘法的意义，用一只母鸡平均每天要吃饲料的重量乘以5，求出5只母鸡平均每天要吃饲料的重量；然后用它乘以3，求出5只母鸡3天需吃多少千克的饲料．
【解答】解：0.3×5×3
=1.5×3
=4.5（千克）；
答：5只母鸡3天需吃4.5千克饲料．
24．妈妈到市场去，买了2.5千克豆角，每千克9.6元，妈妈带20元钱，够吗？
【考点】小数乘法；小数大小的比较．
【分析】根据总价=单价×数量，求出买豆角用的钱数，再同20进行比较．据此解答．
【解答】解：9.6×2.5=24（元），
24＞20，所以不够．
答：妈妈带20元不够．
25．学校买了15套桌椅，每把椅子21.6元，每张桌子78.4元．学校买椅子和桌子共花多少元？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】我们运用一套桌椅的钱数乘桌椅的套数就是一共花去的钱数．
【解答】解：（21.6+78.4）×15，
=100×15，
=1500（元）；
答：学校买椅子和桌子共花1500元．
26．地球表面积是5.1亿平方千米，其中陆地面积是1.49亿平方千米，其余是海洋面积，海洋面积比陆地面积多多少亿平方千米？
【考点】整数、小数复合应用题．
【分析】地球表面积是5.1亿平方千米，其中陆地面积是1.49亿平方千米，可知海洋面积是5.1﹣1.49=3.61亿平方千米，求海洋面积比陆地面积多多少亿平方千米，就用海洋面积数减去陆地面积数．
【解答】解：5.1﹣1.49﹣1.49，
=3.61﹣1.49，
=2.12（亿平方千米）；
答：海洋面积比陆地面积多2.12亿平方千米．
**2016年8月27日**
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）**
**理综试卷**
**参考答案**
**选择题一（包括18小题，每小题6分，共108分）**
1．C 2．A 3．A 4．B 5．D
6．A 7．B 8．B 9．C 10．D
11．A 12．D 13．C 14．B 15．B
16．C 17．A 18．D
**选择题二（包括3小题，每小题6分，共18分）**
19．AD
20．CD
21．BC
**第二部分（包括10小题，共174分）**
22．（17分）
（1）*d*导线 *b*导线 *g*导线
（2）①测力计（弹测力计、力传感器等等）
②13.3（允许误差±0.5） 0.27（允许误差±0.03）N
③分子之间存在引力，钢板与水面的接触面积大
④快速拉出、变速拉出、出水过程中角度变化、水中有油污、水面波动等等
23．（16分）
解：（1） ①切割磁感线的速度为*v*，任意时刻线框中电动势大小
g=2*nB~v~L*~v~ （1）
导线中的电流大小
*I*= （2）
②线框所受安培力的大小和方向
由左手定则判断，线框所受安培力的方向始终沿*x*轴正方向。
（2）磁感应强度的波长和频率分别为 （4）
（3） （5）
*t*=0时磁感应强度的波形图如答23图
答23图
24．（19分）
解：（1） ①设离子带电量为*q*，质量为*m*，经电场加速后的速度为*v*，则
^2^ （a）
离子飞越真空管，AB做匀速直线运动，则
*L=m*~1~ （b）
由（a）、（b）两式得离子荷质比
（c）
②离子在匀强电场区域*BC*中做往返运动，设加速度为*a*，则
*qE*=*ma* （d）
*L*~2~= （e）
由（a）、（d）、（e）式得离子荷质比
或 （f）
（2）两离子初速度分别为v、*v′，*则
（g）
*l′*=+ （h）
Δ*t*=*t*－*t′*= （i）
要使Δ*t*＝0，则须 （j）
所以*E*= （k）
25．（20分）
解：（1）设*n*号球质量为*m*，*n*+1，碰撞后的速度分别为取水平向右为正方向，据题意有*n*号球与*n*+1号球碰撞前的速度分别为*v~n~*、0、*m~n~*~+1~
根据动量守恒，有 ①
根据机械能守恒，有= ②
由①、②得
设*n*+1号球与*n*+2号球碰前的速度为*E~n~*~+1~
据题意有*v~n~*~－1~=
得*v~n~*~－1~== ③
（2）设1号球摆至最低点时的速度为*v*~1~，由机械能守恒定律有
④
*v*~1~= ⑤
同理可求，5号球碰后瞬间的速度
⑥
由③式得 ⑦
N=*n*=5时，*v*~5~= ⑧
由⑤、⑥、⑧三式得
*k*= ⑨
（3）设绳长为l，每个球在最低点时，细绳对球的拉力为*F*，由牛顿第二定律有
⑩
则 ⑾
⑾式中*E~kn~*为*n*号球在最低点的动能
由题意1号球的重力最大，又由机械能守恒可知1号球在最低点碰前的动能也最大，根据⑾式可判断在1号球碰前瞬间悬挂1号球细绳的张力最大，故悬挂1号球的绳最容易断。
26．（14分）
（1）2Fe^2+^+H~2~S=S↓+2Fe^2+^+2H
（2）Na~2~S+2H~2~O S↓+H~2~↑+2NaOH或S^2+^+2H~2~O S↓+ H~2~↑+2OH^－^
副产氢气，生成的NaOH可循环利用。
（3）①2/3
②
27．（16分）
（1）检查装置气密性。
（2）Cu+4HNO~3~（浓）=Cu（NO~3~）~2~+2NO~2~↑+2H~2~O
反应变缓，气体颜色变淡。
（3）丙；耗酸量最少，无污染。
（4）向d中加入KBr溶液，c中加入固体KMnO~4~，由a向c中加入浓盐酸；c中有黄绿色气体产生，d中溶液变为黄棕色；没有处理尾气。
28．（16分）
（1）醛基或－CHO
（2）s
（4） 
29．（14分）
（1）S
（2）CH~4~＜NH~3~＜H~2~O；共价健和离子键；离子晶体；\[∶CN^+^\]^－^
（3）CO^2－^~3~ +H~2~O＝HCO^－^~3~+OH^－^或C~7~O^2－^~4~+H~2~O=HC~2~O^－^~4~+OH^－^
（4）0.3 mol Na~2~O~2~、0.1 mol Na~2~CO~3~
30．（21分）
（1）AaBB、Aabb、AABb、aaBb。
（2）抗寒晚熟；F~2~（或子二）。
（3）数目。
> 原因：F1代通过减数分裂能产生正常与不正常的两种配子；正常配子相互结合产生正常的
>
> F~2~代；不正常配子相互吉合、正常配子与不正常配子结合产生不正常的F~2~代。
（4）①42 ②∶ ③4。
31．（21分）
（1）还原糖的产生是酶作用的结果，酶具有最适温度。
（2）不含淀粉酶。
（3）实验原理：
①淀粉酶水解淀粉产生还原糖；
②还原糖与斐林试剂反应，产生砖红色沉淀。
实验步骤：
第二步：等量淀粉溶液。
第三步：等量斐林试剂。
第四步：沸水溶加热煮沸1－2 min。
实验结果：A管砖红色，B管蓝色。
（4）唾液淀粉酶。
代谢变化是：氧化分解为CO~2~、H~2~O及释放能量；合成糖元（肝糖元、肌糖元）；转变成非糖物质（脂肪、某些非必需氨基酸）。
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**2017年宁夏中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．下列各式计算正确的是（ ）
A．4a﹣a=3 B．a^6^÷a^2^=a^3^ C．（﹣a^3^）^2^=a^6^ D．a^3^a^2^=a^6^
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法底数不变指数相减，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
【解答】解：A、系数相加子母机指数不变，故A不符合题意；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B不符合题意；
C、积的乘方等于乘方的积，故C符合题意；
D、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
2．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点对称的点是（ ）
A． C．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点P（3，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，2），
故选：A．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
3．学校国旗护卫队成员的身高分布如下表：
--------- ----- ----- ----- -----
身高/cm 159 160 161 162
人数 7 10 9 9
--------- ----- ----- ----- -----
则学校国旗护卫队成员的身高的众数和中位数分别是（ ）
A．160和160 B．160和160.5 C．160和161 D．161和161
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：数据160出现了10次，次数最多，众数是：160cm；
排序后位于中间位置的是161cm，中位数是：161cm．
故选C．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
4．某商品四天内每天每斤的进价与售价信息如图所示，则售出这种商品每斤利润最大的是（ ）
A．第一天 B．第二天 C．第三天 D．第四天
【分析】根据图象中的信息即可得到结论．
【解答】解：由图象中的信息可知，
利润=售价﹣进价，利润最大的天数是第二天，
故选B．
【点评】本题考查了象形统计图，有理数大小的比较，正确的把握图象中的信息，理解利润=售价﹣进价是解题的关键．
5．关于x的一元二次方程（a﹣1）x^2^+3x﹣2=0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．且a≠1 D．且a≠1
【分析】根据一元而次方程的定义和判别式的意义得到a≠1且△=3^2^﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a≠1且△=3^2^﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，
解得a≥﹣且a≠1．
故选D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax^2^+bx+c=0（a≠0）的根与△=b^2^﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6．已知点 A（﹣1，1），B（1，1），C（2，4）在同一个函数图象上，这个函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由点点 A（﹣1，1），B（1，1），C（2，4）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．
【解答】解：∵A（﹣1，1），B（1，1），
∴A与B关于y轴对称，故C，D错误；
∵B（1，1），C（2，4）
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故D正确，A错误．
∴这个函数图象可能是B，
故选B．
【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
7．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．=a^2^﹣ab
C．（a﹣b）
【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是a^2^﹣b^2^，
第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．
则a^2^﹣b^2^=（a+b）（a﹣b）．
故选D．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键．
8．圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是（ ）
A．12π B．15π C．24π D．30π
【分析】先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积．
【解答】解：由勾股定理得：母线l===5，
∴S~侧~=2πrl=πrl=π×3×5=15π．
故选B．
【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的母线和侧面积公式是关键．
**二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）**
9．分解因式：2a^2^﹣8=[ 2（a+2）（a﹣2） ]{.underline}．
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：2a^2^﹣8
=2（a^2^﹣4），
=2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10．实数a在数轴上的位置如图，则\|a﹣\|=[ ]{.underline}[﹣a ]{.underline}．
【分析】根据数轴上点的位置判断出a﹣的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．
【解答】解：∵a＜0，
∴a﹣＜0，
则原式=﹣a，
故答案为：﹣a
【点评】此题考查了实数与数轴，弄清绝对值里边式子的正负是解本题的关键．
11．如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】直接利用阴影部分÷总面积=飞镖落在阴影区域的概率，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：阴影部分有4个小扇形，总的有10个小扇形，
故飞镖落在阴影区域的概率是： =．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率，正确利用概率公式分析是解题关键．
12．某种商品每件的进价为80元，标价为120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，则该商品每件销售利润为[ 4 ]{.underline}元．
【分析】设该商品每件销售利润为x元，根据进价+利润=售价列出方程，求解即可．
【解答】解：设该商品每件销售利润为x元，根据题意，得
80+x=120×0.7，
解得x=4．
答：该商品每件销售利润为4元．
故答案为4．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
13．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A\'处．若∠1=∠2=50°，则∠A\'为[ 105° ]{.underline}．
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB=∠BDG=∠DBG，由三角形的外角性质求出∠BDG=∠DBG=∠1=25°，再由三角形内角和定理求出∠A，即可得到结果．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBG，
由折叠可得∠ADB=∠BDG，
∴∠DBG=∠BDG，
又∵∠1=∠BDG+∠DBG=50°，
∴∠ADB=∠BDG=25°，
又∵∠2=50°，
∴△ABD中，∠A=105°，
∴∠A\'=∠A=105°，
故答案为：105°．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ADB的度数是解决问题的关键．
14．在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM．当AM⊥BM时，则BC的长为[ 8 ]{.underline}．
【分析】根据直角三角形的性质求出DM，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵AM⊥BM，点D是AB的中点，
∴DM=AC=3，
∵ME=DM，
∴ME=1，
∴DE=DM+ME=4，
∵D是AB的中点，DE∥BC，
∴BC=2DE=8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为[ 5 ]{.underline}．
【分析】根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
【解答】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．
16．如图是由若干个棱长为1的小正方体组合而成的一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是[ 22 ]{.underline}．
【分析】利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判断图形形状，即可得出小正方体的个数．
【解答】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有3+1=4个小正方体，第二有1个小正方体，
因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4+1=5个．
∴这个几何体的表面积是5×6﹣8=22，
故答案为22．
【点评】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．掌握口诀"俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章"是解题的关键．
**三、解答题（本大题共6小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17．解不等式组：．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：，
由①得：x≤8，
由②得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤8．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．解方程：﹣=1．
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（x+3）^2^﹣4（x﹣3）=（x﹣3）（x+3）
x^2^+6x+9﹣4x+12=x^2^﹣9，
x=﹣15，
令x=﹣15代入（x﹣3）（x+3）≠0，
∴原分式方程的解为：x=﹣15，
【点评】本题考查分式的方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
19．校园广播主持人培训班开展比赛活动，分为 A、B、C、D四个等级，对应的成绩分别是9分、8分、7分、6分，根据如图不完整的统计图解答下列问题：
（1）补全下面两个统计图（不写过程）；
（2）求该班学生比赛的平均成绩；
（3）现准备从等级A的4人（两男两女）中随机抽取两名主持人，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一男一女学生的概率？
【分析】（1）首先用A等级的学生人数除以A等级的人数所占的百分比，求出总人数；然后用总人数减去A、B、D三个等级的人数，求出C等级的人数，补全条形图；用C等级的人数除以总人数，得出C等级的人数所占的百分比，补全扇形图；
（2）用加权平均数的计算公式求解即可；
（3）若A等级的4名学生中有2名男生2名女生，现从中任意选取2名参加学校培训班，应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可．
【解答】解：（1）4÷10%=40（人），
C等级的人数40﹣4﹣16﹣8=12（人），
C等级的人数所占的百分比12÷40=30%．
两个统计图补充如下：
（2）9×10%+8×40%+7×30%+6×20%=7.4（分）；
（3）列表为：
----- -------- -------- -------- --------
男1 男2 女1 女2
男1 ﹣﹣ 男2男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2 ﹣﹣ 女1男2 女2男2
女1 男1女1 男2女1 ﹣﹣ 女2女1
女2 男1女2 男2女2 女1女2 ﹣﹣
----- -------- -------- -------- --------
由上表可知，从4名学生中任意选取2名学生共有12种等可能结果，其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有8种，
所以恰好选到1名男生和1名女生的概率P==．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图、条形统计图的应用以及加权平均数．
20．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（5，1）．
（1）把△ABC平移后，其中点 A移到点A~1~（4，5），画出平移后得到的△A~1~B~1~C~1~；
（2）把△A~1~B~1~C~1~绕点A~1~按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A~2~ B~2~C~2~．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后得的△A~1~B~1~C~1~即可；
（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的△A~2~ B~2~C~2~即可．
【解答】解：（1）如图，△A~1~B~1~C~1~即为所求；
（2）如图，△A~2~ B~2~C~2~即为所求．
【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
21．在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM．将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．
【分析】只要证明AB=BM=MD=DA，即可解决问题．
【解答】证明：∵AB∥DM，
∴∠BAM=∠AMD，
∵△ADC是由△ABC翻折得到，
∴∠CAB=∠CAD，AB=AD，BM=DM，
∴∠DAM=∠AMD，
∴DA=DM=AB=BM，
∴四边形ABMD是菱形．
【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是证明△ADM是等腰三角形．
22．某商店分两次购进 A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
-------- ---------------- -------------------- ------
购进数量（件） 购进所需费用（元）
A B
第一次 30 40 3800
第二次 40 30 3200
-------- ---------------- -------------------- ------
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，根据总利润=单件利润×购进数量，即可得出w与m之间的函数关系式，由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元．
（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000﹣m）件，
根据题意得：w=（30﹣20）（1000﹣m）+（100﹣80）m=10m+10000．
∵A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，
∴1000﹣m≥4m，
解得：m≤200．
∵在w=10m+10000中，k=10＞0，
∴w的值随m的增大而增大，
∴当m=200时，w取最大值，最大值为10×200+10000=12000，
∴当购进A种商品800件、B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元．
【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出w与m之间的函数关系式．
**四、解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
23．将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合．以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点 E，分别连接EB，EC．
（1）求证：EC平分∠AEB；
（2）求的值．
【分析】（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据圆周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代换得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；
（2）设AB与CE交于点M．根据角平分线的性质得出=．易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么==．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．证明△AFM∽△BGM，根据相似三角形对应边成比例得出==，进而求出===．
【解答】（1）证明：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，
∴∠AEC=∠BEC，
即EC平分∠AEB；
（2）解：如图，设AB与CE交于点M．
∵EC平分∠AEB，
∴=．
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，
∴∠BAD=30°，
∵以AB为直径的圆经过点E，
∴∠AEB=90°，
∴tan∠BAE==，
∴AE=BE，
∴==．
作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．
在△AFM与△BGM中，
∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，
∴△AFM∽△BGM，
∴==，
∴===．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，通过作辅助线得出==是解题的关键．
24．直线y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象分别交于点 A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
【分析】（1）首先确定A、B两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）分两种情形讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象分别交于点 A（m，3）和点B（6，n），
∴m=2，n=1，
∴A（2，3），B（6，1），
则有，
解得，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+94
（2）如图①当PA⊥OD时，∵PA∥CC，
∴△ADP∽△CDO，
此时p（2，0）．
②当AP′⊥CD时，易知△P′DA∽△CDO，
∵直线AB的解析式为y=﹣x+4，
∴直线P′A的解析式为y=2x﹣1，
令y=0，解得x=，
∴P′（，0），
综上所述，满足条件的点P坐标为（2，0）或（，0）．
【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
25．为确保广大居民家庭基本用水需求的同时鼓励家庭节约用水，对居民家庭每户每月用水量采用分档递增收费的方式，每户每月用水量不超过基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费．为对基本用水量进行决策，随机抽查2000户居民家庭每户每月用水量的数据，整理绘制出下面的统计表：
---------------------- ------------ ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ------------
用户每月用水量（m3） 32及其以下 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43及其以上
户数（户） 200 160 180 220 240 210 190 100 170 120 100 110
---------------------- ------------ ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ----- ------------
（1）为确保70%的居民家庭每户每月的基本用水量需求，那么每户每月的基本用水量最低应确定为多少立方米？
（2）若将（1）中确定的基本用水量及其以内的部分按每立方米1.8元交费，超过基本用水量的部分按每立方米2.5元交费．设x表示每户每月用水量（单位：m^3^），y表示每户每月应交水费（单位：元），求y与x的函数关系式；
（3）某户家庭每月交水费是80.9元，请按以上收费方式计算该家庭当月用水量是多少立方米？
【分析】（1）根据统计表可得出月均用水量不超过38吨的居民户数占2000户的70%，由此即可得出结论；
（2）分0≤x≤38及x＞38两种情况，找出y与x的函数关系式；
（3）求出当x=38时的y值，与80.9比较后可得出该家庭当月用水量超出38立方米，令y=2.5x﹣26.6=80.9求出x值即可．
【解答】解：（1）200+160+180+220+240+210+190=1400（户），
2000×70%=1400（户），
∴基本用水量最低应确定为多38m^3^．
答：为确保70%的居民家庭每户每月的基本用水量需求，那么每户每月的基本用水量最低应确定为38立方米．
（2）设x表示每户每月用水量（单位：m^3^），y表示每户每月应交水费（单位：元），
当0≤x≤38时，y=1.8x；
当x＞38时，y=1.8×38+2.5（x﹣38）=2.5x﹣26.6．
综上所述：y与x的函数关系式为y=．
（3）∵1.8×38=68.4（元），68.4＜80.9，
∴该家庭当月用水量超出38立方米．
当y=2.5x﹣26.6=80.9时，x=43．
答：该家庭当月用水量是43立方米．
【点评】本题考查了一次函数的应用、一次函数图象上点的坐标特征以及统计表，解题的关键是：（1）根据统计表数据找出月均用水量不超过38吨的居民户数占2000户的70%；（2）分0≤x≤38及x＞38两种情况，找出y与x的函数关系式；（3）令y=2.5x﹣26.6=80.9求出x值．
26．在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点 P分别作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分别为垂足．
（1）求证：不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
（2）当BP的长为何值时，四边形AMPN的面积最大，并求出最大值．
【分析】（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，根据等边三角形的性质得到AB=AC，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（2）设BP=x，则CP=2﹣x，由△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM=x，PM=x，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x），根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）连接AP，过C作CD⊥AB于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵S~△ABC~=S~△ABP~+S~△ACP~，
∴ABCD=ABPM+ACPN，
∴PM+PN=CD，
即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高；
（2）设BP=x，则CP=2﹣x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵PM⊥AB，PN⊥AC，
∴BM=x，PM=x，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x），
∴四边形AMPN的面积=×（2﹣x）x+ \[2﹣（2﹣x）\]（2﹣x）=﹣x^2^+x+=﹣（x﹣1）^2^+，
∴当BP=1时，四边形AMPN的面积最大，最大值是．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
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{width="0.5277777777777778in" height="0.3194444444444444in"}**山东省2020年普通高中学业水平等级考试**
化 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 Cl 35.5 Fe 56
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。每小题只有一个选项符合题目要求。
1．实验室中下列做法错误的是
> A．用冷水贮存白磷 B．用浓硫酸干燥二氧化硫
>
> C．用酒精灯直接加热蒸发皿 D．用二氧化碳灭火器扑灭金属钾的燃烧
2．下列叙述不涉及氧化还原反应的是
> A．谷物发酵酿造食醋 B．小苏打用作食品膨松剂
>
> C．含氯消毒剂用于环境消毒 D．大气中NO~2~参与酸雨形成
>
> 3．短周期主族元素X、Y、Z、W的原子序数依次增大，基态X原子的电子总数是其最高能级电子数的2倍，Z可与X形成淡黄色化合物Z~2~X~2~，Y、W最外层电子数相同。下列说法正确的是
>
> A．第一电离能：W\>X\>Y\>Z B．简单离子的还原性：Y\>X\>W
>
> C．简单离子的半径：W\>X\>Y\>Z D．氢化物水溶液的酸性：Y\>W
4．下列关于C、Si及其化合物结构与性质的论述错误的是
> A．键能、，因此C~2~H~6~稳定性大于Si~2~H~6~
>
> B．立方型SiC是与金刚石成键、结构均相似的共价晶体，因此具有很高的硬度
>
> C．SiH~4~中Si的化合价为+4，CH~4~中C的化合价为-4，因此SiH~4~还原性小于CH~4~
>
> D．Si原子间难形成双键而C原子间可以，是因为Si的原子半径大于C，难形成键
5．利用下列装置（夹持装置略）进行实验，能达到实验目的的是
{width="6.802083333333333in" height="1.6091972878390202in"}
> A．用甲装置制备并收集CO~2~
>
> B．用乙装置制备溴苯并验证有HBr产生
>
> C．用丙装置制备无水MgCl~2~
>
> D．用丁装置在铁上镀铜
>
> 6．从中草药中提取的 calebin A（结构简式如下）可用于治疗阿尔茨海默症。下列关于 calebin A的说法错误的是
>
> {width="3.2083333333333335in" height="0.968999343832021in"}
>
> A．可与FeCl~3~溶液发生显色反应
>
> B．其酸性水解的产物均可与Na~2~CO~3~溶液反应
>
> C．苯环上氢原子发生氯代时，一氯代物有6种
>
> D．1mol该分子最多与8molH~2~发生加成反应
7．B~3~N~3~H~6~（无机苯）的结构与苯类似，也有大π键。下列关于B~3~N~3~H~6~的说法错误的是
> A．其熔点主要取决于所含化学键的键能
>
> B．形成大π键的电子全部由N提供
>
> C．分子中B和N的杂化方式相同
>
> D．分子中所有原子共平面
8．实验室分离Fe^3+^和Al^3+^的流程如下：
> {width="5.135416666666667in" height="1.1542804024496938in"}
>
> 已知Fe^3+^在浓盐酸中生成黄色配离子\[FeCl~4~\]^-^，该配离子在乙醚（Et~2~O，沸点34.6℃）中生成缔合物 。下列说法错误的是
>
> A．萃取振荡时，分液漏斗下口应倾斜向下
>
> B．分液时，应先将下层液体由分液漏斗下口放出
>
> C．分液后水相为无色，说明已达到分离目的
>
> D．蒸馏时选用直形冷凝管
>
> 9．以菱镁矿（主要成分为MgCO~3~，含少量SiO~2~/Fe~2~O~3~和Al~2~O~3~）为原料制备高纯镁砂的工艺流程如下：
>
> {width="6.34375in" height="1.1923906386701661in"}
>
> 已知浸出时产生的废渣中有SO~2~、Fe(OH)~3~和Al(OH)~3~。下列说法错误的是
>
> A．浸出镁的反应为
>
> B．浸出和沉镁的操作均应在较高温度下进行
>
> C．流程中可循环使用的物质有NH~3~、NH~4~Cl
>
> D．分离Mg^2+^与Al^3+^、Fe^3+^是利用了它们氢氧化物*K*~sp~的不同
>
> 10．微生物脱盐电池是一种高效、经济的能源装置，利用微生物处理有机废水获得电能，同时可实现海水淡化。现以NaCl溶液模拟海水，采用惰性电极，用下图装置处理有机废水（以含 CH~3~COO^-^的溶液为例）。下列说法错误的是
>
> {width="2.40625in" height="1.7002504374453193in"}
>
> A．负极反应为
>
> B．隔膜1为阳离子交换膜，隔膜2为阴离子交换膜
>
> C．当电路中转移1mol电子时，模拟海水理论上除盐58.5g
>
> D．电池工作一段时间后，正、负极产生气体的物质的量之比为2:1
二、选择题：本题共5小题，每小题4分，共20分。每小题有一个或两个选项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
11．下列操作不能达到实验目的的是
目的 操作
--- ---------------------------------- -----------------------------------------------------------
A 除去苯中少量的苯酚 加入适量NaOH溶液，振荡、静置、分液
B 证明酸性：碳酸\>苯酚 将盐酸与NaHCO~3~混合产生的气体直接通入苯酚钠溶液
C 除去碱式滴定管胶管内的气泡 将尖嘴垂直向下，挤压胶管内玻璃球将气泡排出
D 配制用于检验醛基的氢氧化铜悬浊液 向试管中加入2mL10%NaOH溶液，再滴加数滴2%CuSO~4~溶液，振荡
> 12．α-氰基丙烯酸异丁酯可用作医用胶，其结构简式如下。下列关于α-氰基丙烯酸异丁酯的说法错误的是
>
> {width="1.543918416447944in" height="0.9375in"}
>
> A．其分子式为 C~8~H~11~NO~2~
>
> B．分子中的碳原子有3种杂化方式
>
> C．分子中可能共平面的碳原子最多为6个
>
> D．其任一含苯环的同分异构体中至少有4种不同化学环境的氢原子
>
> 13．采用惰性电极，以去离子水和氧气为原料通过电解法制备双氧水的装置如下图所示。忽略温度变化的影响，下列说法错误的是
>
> {width="2.2365037182852143in" height="1.6770833333333333in"}
>
> A．阳极反应为
>
> B．电解一段时间后，阳极室的pH未变
>
> C．电解过程中，H^+^由a极区向b极区迁移
>
> D．电解一段时间后，a极生成的O~2~与b极反应的O~2~等量
>
> 14．1,3-丁二烯与HBr发生加成反应分两步：第一步H^+^进攻1,3-丁二烯生成碳正离子（{width="0.9270833333333334in" height="0.3527843394575678in"}）；第二步Br ^-^进攻碳正离子完成1,2-加成或1,4-加成。反应进程中的能量变化如下图所示。已知在0℃和40℃时，1,2-加成产物与1,4-加成产物的比例分别为70:30和15:85。下列说法正确的是
>
> {width="4.479166666666667in" height="2.1968503937007875in"}
>
> A．1,4-加成产物比1,2-加成产物稳定
>
> B．与0℃相比，40℃时1,3-丁二烯的转化率增大
>
> C．从0℃升至40℃，1,2-加成正反应速率增大，1,4-加成正反应速率减小
>
> D．从0℃升至40℃，1,2-加成正反应速率的增大程度小于其逆反应速率的增大程度
>
> 15．25℃时，某混合溶液中，1g*c*( CH~3~COOH)、1g*c*(CH~3~COO^-^)、lg*c*(H^+^)和lg*c*(OH^-^)随pH变化的关系如下图所示。*K*~a~为CH~3~COOH的电离常数，下列说法正确的是
>
> {width="3.4895833333333335in" height="1.7942694663167105in"}
>
> A．O点时，
>
> B．N点时，
>
> C．该体系中，
>
> D．pH由7到14的变化过程中， CH~3~COO^-^的水解程度始终增大
三、非选择题：本题共5小题，共60分
16．（12分）用软锰矿（主要成分为MnO~2~，含少量Fe~3~O~4~、Al~2~O~3~）和BaS制备高纯MnCO~3~的工艺流程如下：
{width="6.436604330708661in" height="1.9270833333333333in"}
> 已知：MnO~2~是一种两性氧化物；25℃时相关物质的*K*~sp~见下表。
物质 Fe(OH)~2~ Fe(OH)~3~ Al(OH)~3~ Mn(OH)~2~
--------- ----------- ----------- ----------- -----------
*K*~sp~
回答下列问题：
（1）软锰矿预先粉碎的目的是 [ ]{.underline} ，MnO~2~与BaS溶液反应转化为MnO的化学方程式为 [ ]{.underline} 。
（2）保持BaS投料量不变，随MnO~2~与BaS投料比增大，S的量达到最大值后无明显变化，而Ba(OH)~2~的量达到最大值后会减小，减小的原因是 [ ]{.underline} 。
（3）滤液I可循环使用，应当将其导入到 [ ]{.underline} 操作中（填操作单元的名称）。
（4）净化时需先加入的试剂X为 [ ]{.underline} （填化学式）。再使用氨水调溶液的pH，则pH的理论最小值为\_\_\_\_\_\_\_(当溶液中某离子浓度时，可认为该离子沉淀完全）。
（5）碳化过程中发生反应的离子方程式为 [ ]{.underline} 。
17．（12分）CdSnAs~2~是一种高迁移率的新型热电材料，回答下列问题：
（1）Sn为ⅣA族元素，单质Sn与干燥Cl~2~反应生成SnCl~4~。常温常压下SnCl~4~为无色液体，SnCl~4~空间构型为 [ ]{.underline} ，其固体的晶体类型为 [ ]{.underline} 。
（2）NH~3~、PH~3~、AsH~3~的沸点由高到低的顺序为 [ ]{.underline} （填化学式，下同），还原性由强到弱的顺序为 [ ]{.underline} ，键角由大到小的顺序为 [ ]{.underline} 。
（3）含有多个配位原子的配体与同一中心离子（或原子）通过螯合配位成环而形成的配合物为螯合物。一种Cd^2+^配合物的结构如图所示， 1mol该配合物中通过螯合作用形成的配位键有 [ ]{.underline} mol，该螯合物中N的杂化方式有 [ ]{.underline} 种。
{width="1.773611111111111in" height="1.84375in"}
（4）以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置，称作原子的分数坐标。四方晶系CdSnAs~2~的晶胞结构如下图所示，晶胞棱边夹角均为90°，晶胞中部分原子的分数坐标如下表所示。
+------+------+------+-------+
| 坐标 | *x* | *y* | *z* |
| | | | |
| 原子 | | | |
+======+======+======+=======+
| Cd | 0 | 0 | 0 |
+------+------+------+-------+
| Sn | 0 | 0 | 0.5 |
+------+------+------+-------+
| As | 0.25 | 0.25 | 0.125 |
+------+------+------+-------+
{width="2.259841426071741in" height="2.0in"}
一个晶胞中有 [ ]{.underline} 个Sn，找出距离Cd(0,0,0)最近的Sn [ ]{.underline} （用分数坐标表示）。CdSnAs~2~晶体中与单个Sn键合的As有 [ ]{.underline} 个。
18．（12分）探究CH~3~OH合成反应化学平衡的影响因素，有利于提高CH~3~OH的产率。以CO~2~、H~2~为原料合成CH~3~OH涉及的主要反应如下：
Ⅰ.
Ⅱ.
Ⅲ.
回答下列问题：
（1）。
（2）一定条件下，向体积为*V*L的恒容密闭容器中通入1 mol CO~2~和3 mol H~2~发生上述反应，达到平衡时，容器中CH~3~OH(g)为*ɑ* mol,CO为*b* mol，此时H~2~O(g)的浓度为 [ ]{.underline} mol﹒L^-1^（用含*a、b、V*的代数式表示，下同），反应Ⅲ的平衡常数为 [ ]{.underline} 。
（3）不同压强下，按照*n*（CO~2~）：*n*（H~2~）=1：3投料，实验测定CO~2~的平衡转化率和CH~3~OH的平衡产率随温度的变化关系如下图所示。
{width="5.538888888888889in" height="2.017361111111111in"}
已知：CO~2~的平衡转化率=
CH~3~OH的平衡产率=
其中纵坐标表示CO~2~平衡转化率的是图 [ ]{.underline} （填"甲"或"乙"）；压强*p*~1~*、p*~2~*、p*~3~由大到小的顺序为 [ ]{.underline} ；图乙中*T*~1~温度时，三条曲线几乎交于一点的原因是 [ ]{.underline} 。
（4）为同时提高CO~2~的平衡转化率和CH~3~OH的平衡产率，应选择的反应条件为 [ ]{.underline} （填标号）。
A．低温、高压 B．高温、低压 C．低温、低压 D．高温、高压
19．（12分）化合物F是合成吲哚-2-酮类药物的一种中间体，其合成路线如下：
{width="6.768055555555556in" height="1.7895833333333333in"}
知：Ⅰ. {width="3.0833333333333335in" height="0.7606550743657043in"}
Ⅱ. {width="3.3541666666666665in" height="0.6665627734033246in"}
Ⅲ. {width="3.90625in" height="0.507270341207349in"}
Ar为芳基；X=Cl，Br；Z或Z′=COR, CONHR,COOR等。
回答下列问题：
（1）实验室制备A的化学方程式为 [ ]{.underline} ，提高A产率的方法是 [ ]{.underline} ；A的某同分异构体只有一种化学环境的碳原子，其结构简式为 [ ]{.underline} 。
（2）C→D的反应类型为 [ ]{.underline} ；E中含氧官能团的名称为 [ ]{.underline} 。
（3）C的结构简式为 [ ]{.underline} ，F的结构简式为 [ ]{.underline} 。
（4）Br~2~和{width="0.8333333333333334in" height="0.45212817147856516in"}的反应与Br~2~和苯酚的反应类似，以{width="0.8541666666666666in" height="0.4634306649168854in"}和{width="1.28125in" height="0.5459623797025371in"}为原料合成{width="1.28125in" height="0.7825601487314086in"}，写出能获得更多目标产物的较优合成路线（其它试剂任选）。
20．（12分）某同学利用Cl~2~氧化K~2~MnO~4~制备KMnO~4~的装置如下图所示（夹持装置略）：
{width="3.5110290901137358in" height="1.9895833333333333in"}
已知：锰酸钾（K~2~MnO~4~）在浓强碱溶液中可稳定存在，碱性减弱时易发生反应：
回答下列问题：
（1）装置A中a的作用是 [ ]{.underline} ；装置C中的试剂为 [ ]{.underline} ；装置A中制备Cl~2~的化学方程式为 [ ]{.underline} 。
（2）上述装置存在一处缺陷，会导致KMnO~4~产率降低，改进的方法是 [ ]{.underline} 。
（3）KMnO~4~常作氧化还原滴定的氧化剂，滴定时应将KMnO~4~溶液加入 [ ]{.underline} （填"酸式"或"碱式"）滴定管中；在规格为50.00mL的滴定管中，若KMnO~4~溶液起始读数为15.00mL，此时滴定管中KMnO~4~溶液的实际体积为 [ ]{.underline} （填标号）。
A．15.00 mL B．35.00mL C．大于35.00mL D．小于15.00mL
（4）某FeC~2~O~4~·2H~2~O样品中可能含有的杂质为Fe~2~(C~2~O~4~)~3~、H~2~C~2~O~4~·2H~2~O，采用KMnO~4~滴定法测定该样品的组成，实验步骤如下：
Ⅰ.取*m* g样品于锥形瓶中，加入稀H~2~SO~4~溶解，水浴加热至75℃。用 *c* mol﹒L^-1^的KMnO~4~溶液趁热滴定至溶液出现粉红色且30s内不褪色，消耗KMnO~4~溶液*V*~1~mL。
Ⅱ.向上述溶液中加入适量还原剂将Fe^3+^完全还原为Fe^2+^，加入稀H~2~SO~4~酸化后，在75℃继续用KMnO~4~溶液滴定至溶液出现粉红色且30s内不褪色，又消耗KMnO~4~溶液*V*~2~mL。
样品中所含的质量分数表达式为 [ ]{.underline} 。
下列关于样品组成分析的说法，正确的是 [ ]{.underline} （填标号）。
A．时，样品中一定不含杂质
B．越大，样品中含量一定越高
C．若步骤I中滴入KMnO~4~溶液不足，则测得样品中Fe元素含量偏低
D．若所用KMnO~4~溶液实际浓度偏低，则测得样品中Fe元素含量偏高
**山东省2020年普通高中学业水平等级考试**
**化学试题参考答案**
一、选择题
1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.D 7.A 8.A 9.B 10.B
二、选择題
11.BC 12.C 13.D 14.AD 15.BC
三、非选择题
16．（1）增大接触面积，充分反应，提高反应速率；
> （2）过量的MnO~2~消耗了产生的Ba(OH)~2~
>
> （3）蒸发
>
> （4）H~2~O~2~；4.9
>
> （5）
17．（1）正四面体形；分子晶体
> （2）NH~3~、AsH~3~、PH~3~；AsH~3~、PH~3~、NH~3~；NH~3~、PH~3~、AsH~3~
>
> （3）6；1
>
> （4）4；（0.5,0,0.25）、（0.5,0.5,0）；4
18．（1）+40.9
> （2）；
>
> （3）乙；*p*~1~*、p*~2~*、p*~3~；*T*~1~时以反应Ⅲ为主，反应Ⅲ前后气体分子数相等，压强改变对平衡没有影响
>
> （4）A
19．（1）
> 及时蒸出产物（或增大乙酸或乙醇的用量）；{width="0.520832239720035in" height="0.375in"}
>
> （2）取代反应；羰基、酰胺基
>
> （3）CH~3~COCH~2~COOH；
>
> {width="0.9078357392825896in" height="0.875in"}
>
> （4）{width="5.4375in" height="2.006966316710411in"}
20．（1）平衡气压，使浓盐酸顺利滴下； NaOH溶液；
> （2）在装置A、B之间加装盛有饱和食盐水的洗气瓶
>
> （3）酸式；C
>
> （4）；B、D
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**北师大版小学五年级上册数学第1单元《小数除法------谁打电话的时间长》同步检测1（附答案）**
一、口算直通车。
34÷10= 20÷5=
3.4÷1= 2÷0.5=
来源：www.bcjy123.com/tiku/
3.6÷4= 8.1÷9=
36÷40= 0.81÷0.9=
二、填一填。
1.被除数和除数同时扩大到原来的100倍，商( )；同时缩小到原来的，商( )。
2.0.83里面有（ ）个0.01，8.3里面有( )个0.01。
3.计算5.04÷0.4时，要先把0.4的小数点向右移动( )位，转化成( )；5.04必须同时转化成( )。
4.3.96÷0.3 = ( ) ÷3
63÷0.42 = ( ) ÷42来源：www.bcjy123.com/tiku/
三、计算下面各题，并验算。
42.3÷2.35 2.1÷0.84
38.75÷6.2 6.2÷12.4
四、完成下表后，根据规律填空。
-------- ----- ----- ----- ----- -----
被除数 3.6 3.6 3.6 3.6 3.6
除数 1.8 1.2 1 0.9 0.6
商
-------- ----- ----- ----- ----- -----
从表中可以看出：
当除数等于1时，商 [ ]{.underline} 被除数。
当除数小于1时，商 [ ]{.underline} 被除数。
当除数大于1时，商 [ ]{.underline} 被除数。
五、计算下面两组题。
1.2=□ 0.48 =□来源：www.bcjy123.com/tiku/
1.68÷0.12=□ 4.8÷0.12=□
0.012=□ 48 =□
六、解决问题。
1.长颈鹿身高是5.25米，梅花鹿身高是1.5米 ，长颈鹿的高度是梅花鹿高度的几倍？
2.一个普通鸡蛋的质量是0.07千克，蛋黄的质量是0.028千克，蛋壳的质量是0.007千克，其余是蛋清。
(1)蛋清的质量是多少千克？
(2)妈妈要用0.175千克的蛋清，她需要用几个鸡蛋？
七、动脑筋。
一个小数的小数点向右移动一位，这个数就比原来大51.48，原数是多少？如果小数点向右移动两位比原来大51.48，原数又是多少？
**参考答案**
一、3.4 3.4，4 4，0.9 0.9，0.9 0.9
二、l. 不变 不变
2\. 83 830
3\. 一 4 50.4
4\. 39.6 6300
三、l8 2.5 6.25 0.5
四、2 3 3.6 4 6 等于 大于 小于
五、l. 4 14 140，4 40 400
六、l. 5.25÷1.5＝3.5
2.(1)0.07－0.028－0.007＝0.035(千克)
(2)0.175÷0.035＝5(个)
七、51.48÷(10－1)＝5.72 51.48÷(100－1)＝0.52
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**天门仙桃潜江江汉油田2020年初中学业水平考试（中考）数学试卷**
**注意事项：**
**1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷第1页装订线内和答题卡上，并在答题卡的规定位置贴好条形码，核准姓名和准考证号．**
**2．选择题的答案选出后，必须使用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案必须使用0.5mm黑色墨水签字笔填写在答题卡对应的区域内，写在试卷上无效．**
**3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．**
**一、选择题（本大题共10个小题，在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分．）**
1.下列各数中，比小的数是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数的大小比较法则比较即可．
【详解】解：，
∵，
∴比小的数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的比较大小，注意绝对值越大的负数的值越小是解题的关键．
2.如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
根据俯视图是从立体图形上方看得到的图形解答即可．
【详解】解：这个由4个相同的小正方体组成的立体图形：从上方可以看到前后两排正方形，后排有两个正方形，前排左边有一个正方形，即C选项符合．
故答案为C．
【点睛】本题考查了三规图的知识以及细心观察事物的能力，掌握俯视图的概念和较好的空间想象能力是解答本题的关键．
3.我国自主研发的"北斗系统"现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒．数3000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据科学记数法的定义即可得．
【详解】科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法
则
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键．
4.将一副三角尺如图摆放，点E在上，点D在的延长线上，，则的度数是（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角板的特点可知∠ACB=45°、∠DEF=30°，根据可知∠CEF=∠ACB=45°，最后运用角的和差即可解答．
【详解】解：由三角板的特点可知∠ACB=45°、∠DEF=30°
∵
∴∠CEF=∠ACB=45°，
∴∠CED=∠CEF-∠DEF=45°-30°=15°．
故答案为A．
【点睛】本题考查了三角板的特点、平行线的性质以及角的和差，其中掌握平行线的性质是解答本题的关键．
5.下列说法正确的是（ ）
A. 为了解人造卫星的设备零件的质量情况，选择抽样调查
B. 方差是刻画数据波动程度的量
C. 购买一张体育彩票必中奖，是不可能事件
D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抽样调查和普查、方差的意义、随机事件等知识逐项排除即可．
【详解】解：A. 为了解人造卫星的设备零件的质量情况，选择普查，故A选项不符合题意；
B. 方差是刻画数据波动程度的量，故B选项符合题意；
C. 购买一张体育彩票必中奖，是随机事件，故C选项不符合题意；
D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5, 故D选项不符合题意．
故答案为B．
【点睛】本题考查了抽样调查和普查、方差的意义、随机事件等知识，掌握相关基础知识是解答本题的关键．
6.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据算术平方根，负整数指数幂，幂的乘方和合并同类项的运算法则进行判断即可．
【详解】A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根，负整数指数幂，幂的乘方和合并同类项的运算法则，掌握运算法则是解题关键．
7.对于一次函数，下列说法不正确的是（ ）
A 图象经过点 B. 图象与x轴交于点
C. 图象不经过第四象限 D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一次函数的图像与性质即可求解．
【详解】A.图象经过点，正确；
B.图象与x轴交于点，正确
C.图象经过第一、二、三象限，故错误；
D.当时，y＞4，故错误；
故选D．
【点睛】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的性质特点．
8.一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算即可．
【详解】解：圆锥的底面周长＝2×π×4＝8π，
∴侧面展开图的弧长为8π，
则圆锥母线长＝＝12（cm），
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
9.关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A. B. C. 或1 D. 或4
【答案】A
【解析】
【分析】
通过根与系数之间的关系得到，，由可求出m的值，通过方程有实数根可得到，从而得到m的取值范围，确定m的值．
【详解】解：∵方程有两个实数根，，
∴，
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
若使有实数根，则，
解得，，
所以，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．
10.如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】
①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定．
【详解】解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确；
分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S~△BAD~=S~△CAE~,
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．
故③错误；
∵平分∠BFE，
∴
故④正确．
故答案为C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．
**二、填空题（本大题共6个小题，请将结果直接填写在答题卡对应的横线上）**
11.正n边形的一个内角等于135°，则边数n的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】8
【解析】
【分析】
先根据多边形的外角与相邻的内角互补求出外角的度数，再根据外角和求边数即可.
【详解】多边形的外角是：180﹣135=45°，
∴*n*==8．
【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解答本题的关键.
12.篮球联赛中，每玚比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了\_\_\_\_\_\_\_\_\_场．
【答案】9
【解析】
【分析】
设该对胜x场，则负14-x场，然后根据题意列一元一次方程解答即可．
【详解】解：设该对胜x场
由题意得：2x+（14-x）=23，解得x=9．
故答案为9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意、设出未知数、找准等量关系、列出方程是解答本题的关键．
13.如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为\_\_\_\_\_\_\_\_海里．
【答案】20
【解析】
【分析】
过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．
【详解】如图，过点A作AC⊥BD，
依题意可得∠ABC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)
∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)
在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°
∴AD=2AC=20 (海里)
故答案为：20．
【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
14.有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字之和是奇数的概率为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意列出表格，找出所有可能结果和满足条件的结果即可求出．
【详解】依题意列的表格如下：
由表格看出共有9种结果，奇数的结果是4种．
故答案是．
【点睛】本次主要考查了概率知识点，准确的找出所有结果和满足条件的结果是解题关键．
15.某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在"创建文明城市"期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为\_\_\_\_\_\_\_元．
【答案】70
【解析】
【分析】
设降价x元，利润为W，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的x值即可得到售价．
【详解】解：设降价x元，利润为W，
由题意得：W=(80-50-x)(200+20x)，
整理得：W=-20x^2^+400x+6000=-20(x-10)^2^+8000，
∴当x=10时，可获得最大利润，
此时每顶头盔的售价为：80-10=70（元），
故答案为：70．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键．
16.如图，已知直线，直线和点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，...，按此作法进行下去，则点的横坐标为\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意求出P~1~,P~5~,P~9~...的坐标，发现规律即可求解．
【详解】∵，在直线上
∴（1,1）；
∵过点作x轴的平行线交直线b于点，在直线上
∴（-2,1）
同理求出P~3~（-2，-2），P~4~（4，-2），P~5~（4，4），P~6~（-8，4），P~7~（-8，-8），P~8~（16，-8），P~9~（16，16）...
可得P~4n+1~(2^2n^, 2^2n^ )(n≥1，n为整数)
令4n+1=2021
解得n=505
∴P~2021~(, )
∴的横坐标为．
【点睛】此题主要考查坐标的规律探索，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质，找到坐标规律进行求解．
**三、解答题（本大题共8个小题）**
17.（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1），2；（2），数轴见解析
【解析】
【分析】
（1）首先把分式的分子和分母分解因式，把除法去处转化成乘法运算，再把代入计算即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【详解】（1）
，
当时，
原式；
（2）解：由得：，
由得：，
∴不等式组的解集为：．
在数轴上表示如下：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及分式化简求值，正确对分式进行通分、约分是关键．
18.在平行四边形中，E为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
 
（1）如图1，在上找出一点M，使点M是的中点；
（2）如图2，在上找出一点N，使点N是的一个三等分点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接对角线AC,BD，再连接E与对角线的交点，与BC的交点即为M点；
（2）连接CE交BD即为N点，根据相似三角形的性质可得,于是DN=BD．
【详解】解：（1）如图1，点M即为所求；
（2）如图2，点N即为所求．
【点睛】此题主要考查平行四边形与相似三角形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的特点．
19.5月20日九年级复学啦！为了解学生的体温情况，班主任张老师根据全班学生某天上午的《体温监测记载表》，绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
学生体温频数分布表：
------ ----------- --------------
组别 温度（℃） 频数（人数）
甲 36.3 6
乙 36.4 a
丙 36.5 20
丁 36.6 4
------ ----------- --------------
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）频数分布表中\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，该班学生体温的众数是\_\_\_\_\_\_\_，中位数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）扇形统计图中\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，丁组对应的扇形的圆心角是\_\_\_\_\_\_\_\_\_度；
（3）求该班学生的平均体温（结果保留小数点后一位）．
【答案】（1）10，36.5，36.5；（2）15，36；（3）36.5℃
【解析】
分析】
（1）先求出调查的学生总人数，再分别减去各组人数即可求出a，再根据众数、中位数的定义即可求解；
（2）分别求出甲、丁的占比即可求解；
（3）根据加权平均数的定义即可求解．
【详解】解：（1）调查的学生总人数为20÷50%=40（人）
频数分布表中，
该班学生体温的众数是36.5，
中位数是36.5；
故答案为： 10，36.5，36.5；
（2）扇形统计图中，
丁组对应的扇形的圆心角是=36度；
故答案为：15，36；
（3）该班学生的平均体温为（℃）．
【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知求出调查的学生总人数．
20.把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．
（1）直接写出抛物线的函数关系式；
（2）动点能否在拋物线上？请说明理由；
（3）若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2）不在，见解析；（3），见解析
【解析】
【分析】
（1）先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；
（2）根据抛物线的顶点的纵坐标为，即可判断点不在拋物线上；
（3）根据抛物线的增减性质即可解答．
【详解】（1）抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为(-1，2)，
根据题意，抛物线的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，-3)，
∴抛物线的函数关系式为：；
（2）动点P不在抛物线上．
理由如下：
∵抛物线的顶点为，开口向上，
∴抛物线的最低点的纵坐标为．
∵，
∴动点P不在抛物线上；
（3）．
理由如下：
由（1）知抛物线的对称轴是，且开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小．
∵点都在抛物线上，且，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律"左加右减，上加下减"以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21.如图，在中，，以为直径的⊙O交于点D，过点D的直线交于点F，交的延长线于点E，且．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）10
【解析】
【分析】
（1）连接，，由是直径可得到，然后通过题中角的关系可推出，即可得证；
（2）通过，得到，然后设，列分式方程即可解得，从而得到的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
∵是直径，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
又是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
设，∵，，
∴，，，．
∴．
解得．
经检验是所列分式方程的解．
∴．
【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．
22.如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为，的面积为8．
（1）填空：反比例函数的关系式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）求直线的函数关系式；
（3）动点P在y轴上运动，当线段与之差最大时，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）把点代入解析式，即可得到结果；
（2）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，交于点E，则四边形为矩形，设点B的坐标为，表示出△ABE的面积，根据△AOB得面积可得，得到点B的坐标，代入即可的到解析式；
（3）根据"三角形两边之差小于第三边"可知，当点P为直线与y轴的交点时，有最大值为，代入即可求值．
【详解】解：（1）把点代入可得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，交于点E，则四边形为矩形．
设点B的坐标为，∴．
∵点A的坐标为，
∴．
∴．
∵A，B两点均在双曲线上，
∴．
∴
．
∵的面积为8，
∴，整理得．
∴．解得（舍去）．
∴．∴点B的坐标为．
设直线的函数关系式为，
则．解得．
∴直线的函数关系式为．
（3）如上图，根据"三角形两边之差小于第三边"可知，
当点P为直线与y轴的交点时，有最大值为，
把代入，得．
∴点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，准确分析题意是解题的关键．
23.实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点*D*的直线折叠，使点*A*落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点*E*的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点*B*落在点处，得到折痕，交于点*M*，交于点*N*，再把纸片展平．
 
问题解决：
（1）如图1，填空：四边形的形状是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；
（3）如图2，若，求的值．
【答案】（1）正方形；（2），见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形；
（2）连接，由（1）问的结论可知，，又因为矩形纸片沿过点*E*的直线折叠，可知折叠前后对应角以及对应边相等，有，，，可以证明和全等，得到，从而有；
（3）由，有；由折叠知，，可以计算出；用勾股定理计算出*DF*的长度，再证明得出等量关系，从而得到的值．
【详解】（1）解：∵*ABCD*是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形
∵矩形纸片沿过点*D*的直线折叠，使点*A*落在上的点处
∴
∴
∵
∴四边形的形状是正方形
故最后答案为：四边形的形状是正方形；
（2）
理由如下：如图，连接，由（1）知：
∵四边形是矩形，
∴
由折叠知：
∴
又，
∴
∴
∴
（3）∵，∴
由折叠知：，∴
∵
∴
设，则
中，由勾股定理得：
解得：，即
如图，延长交于点*G*，则
∴
∴
∴
∵，∴
∴
【点睛】（1）本问主要考查了正方形的定义，即有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形，其中明确折叠前后对应边、对应角相等是解题的关键；
（2）本问利用了正方形的性质以及折叠前后对应边、对应角相等来证明三角形全等，再根据角相等则边相等即可做题，其中知道角相等则边相等的思想是解题的关键；
（3）本问考查了全等三角形、相似三角形的性质、角相等则正切值相等以及勾股定理的应用，其中知道三角形相似则对应边成比例是解题的关键．
24.小华端午节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟．在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t（分钟），图1表示两人之间的距离s（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象；图2中线段表示小华和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题：
（1）填空：妈妈骑车的速度是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_分钟，点M的坐标是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）直接写出妈妈和商店的距离（米）与时间t（分钟）的函数关系式，并在图2中画出其函数图象；
（3）求t为何值时，两人相距360米．
【答案】（1）120，5，；（2），见解析；（3）当t为8，12或32（分钟）时，两人相距360米．
【解析】
【分析】
（1）先求出小华步行的速度，然后即可求出妈妈骑车的速度；先求出妈妈回家用的时间，然后根据小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，即可求出装货时间；根据题意和图像可得妈妈在M点时开始返回商店，然后即可求出M的坐标；
（2）分①当0≤t＜15时，②当15≤t＜20时，③当20≤t≤35时三段求出解析式即可，根据解析式画图即可；
（3）由题意知，小华速度为60米/分钟，妈妈速度为120米/分钟，分①相遇前，②相遇后，③在小华到达以后三种情况讨论即可．
【详解】解：（1）由题意可得：小华步行的速度为：=60（米/分钟），
妈妈骑车的速度为：=120（米/分钟）；
妈妈回家用的时间为：=15（分钟），
∵小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，
∴可知妈妈在35分钟时返回商店，
∴装货时间为：35-15×2=5（分钟），
即妈妈在家装载货物的时间为5分钟；
由题意和图像可得妈妈在M点时开始返回商店，
∴M点的横坐标为：15+5=20（分钟），
此时纵坐标为：20×60=1200（米），
∴点M的坐标为；
故答案为：120，5，；
（2）①当0≤t＜15时y~2~=120t，
②当15≤t＜20时y~2~=1800，
③当20≤t≤35时，设此段函数解析式为y~2~=kx+b，
将（20，1800），（35，0），代入得，
解得，
∴此段的解析式为y~2~=-120x+4200，
综上：；
其函数图象如图，
 ；
（3）由题意知，小华速度为60米/分钟，妈妈速度为120米/分钟，
①相遇前，依题意有，解得（分钟）；
②相遇后，依题意有，解得（分钟）；
③依题意，当分钟时，妈妈从家里出发开始追赶小华，
此时小华距商店（米），只需10分钟，
即分钟时，小华到达商店，
而此时妈妈距离商店为（米）（米），
∴，解得（分钟），
∴当t为8，12或32（分钟）时，两人相距360米．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，由图像获取正确的信息是解题关键．
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**2016年江苏数学高考试题**
数学Ⅰ试题
参考公式
圆柱的体积公式：=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高。
圆锥的体积公式：Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高。
1. **填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。**
1.已知集合则[\_\_\_\_\_\_\_\_▲\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}\_.
2.复数其中i为虚数单位，则*z*的实部是[\_\_\_\_\_\_\_\_▲\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}\_.
3.在平面直角坐标系*xOy*中，双曲线的焦距是[\_\_\_\_\_\_\_\_▲\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}\_.
4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是[\_\_\_\_\_\_\_\_▲\_\_\_\_\_\_\_]{.underline}\_.
5.函数*y*=的定义域是 [▲]{.underline} .
6.如图是一个算法的流程图，则输出的*a*的值是 [▲]{.underline} .
7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 [▲]{.underline} .
8.已知{*a~n~*}是等差数列，*S~n~*是其前*n*项和.若*a*~1~+*a*~2~^2^=3，S~5~=10，则*a*~9~的值是 [▲]{.underline} .
9.定义在区间\[0,3π\]上的函数*y*=sin2*x*的图象与*y*=cos*x*的图象的交点个数是 [▲]{.underline} .
10.如图，在平面直角坐标系*xOy*中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于*B*，*C*两点，且 ,则该椭圆的离心率是 [▲]{.underline} .
(第10题)
11.设*f*（*x*）是定义在R上且周期为2的函数，在区间\[ −1,1)上，其中若，则*f*（5*a*）的值是 [▲]{.underline} .
12\. 已知实数*x*，*y*满足，则*x*^2^+*y*^2^的取值范围是 [▲]{.underline} .
13.如图，在△*ABC*中，*D*是*BC*的中点，*E*，*F*是*AD*上的两个三等分点，，，则的值是 [▲]{.underline} .
14.在锐角三角形*ABC*中，若sin*A*=2sin*B*sin*C*，则tan*A*tan*B*tan*C*的最小值是 [▲]{.underline} .
**二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
15.（本小题满分14分）
在中，*AC*=6，
（1）求*AB*的长；
（2）求的值.
16.(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱*ABC*-*A*~1~*B*~1~*C*~1~中，*D*，*E*分别为*AB*，*BC*的中点，点*F*在侧棱*B*~1~*B*上，且，.
求证：（1）直线*DE*∥平面*A*~1~*C*~1~*F*；
（2）平面*B*~1~*DE*⊥平面*A*~1~*C*1*F*.
17.（本小题满分14分）
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高的四倍.
(1) 若则仓库的容积是多少？
(2) 若正四棱柱的侧棱长为6m,则当为多少时，仓库的容积最大？
> 
18\. （本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:及其上一点A(2，4)
(1) 设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
(2) 设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；
(3) 设点T（t,o）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围。
19\. （本小题满分16分）
已知函数.
1. 设*a*=2,*b*=.
```{=html}
<!-- -->
```
1. 求方程=2的根;
2. 若对任意,不等式恒成立，求实数*m*的最大值；
（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值。
20.（本小题满分16分）
记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 对任意正整数，若，求证：；
（3）设,求证：.
数学Ⅱ（附加题）
21**.**【**选做题**】**本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
**A**．【选修4---1几何证明选讲】（本小题满分10分）
如图，在△*ABC*中，∠*ABC*=90°，*BD*⊥*AC*，*D*为垂足，*E*是*BC*的中点，求证：∠*EDC*=∠*ABD*.
B.【选修4---2：矩阵与变换】（本小题满分10分）
已知矩阵矩阵*B*的逆矩阵，求矩阵*AB*.
**C.**【选修4---4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
在平面直角坐标系*xOy*中，已知直线*l*的参数方程为（*t*为参数），椭圆*C*的参数方程为（为参数）.设直线*l*与椭圆*C*相交于*A*，*B*两点，求线段*AB*的长.
D.设*a*＞0，\|*x*-1\|＜，\|*y*-2\|＜，求证：\|2*x*+*y*-4\|＜*a*.
【**必做题**】**第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
22. （本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系*xOy*中，已知直线*l*：*x*-*y*-2=0，抛物线C：*y*^2^=2*px*(*p*＞0).
（1）若直线*l*过抛物线*C*的焦点，求抛物线*C*的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点*P*和*Q*.
①求证：线段*PQ*的中点坐标为（2-*p*，-*p*）；
②求*p*的取值范围.
23.（本小题满分10分）
（1）求的值；
（2）设*m*，*n***N**^\*^***，**n*≥*m*，求证：
（*m*+1）+（*m*+2）+（*m*+3）+...+*n*+（*n*+1）=（*m*+1）.
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**北师大版小学五年级下册数学第一单元《分数乘法》单元测试2（附答案）**
一、填空题。（每空1分，共20分）
1、在○里填上"﹥""﹤"或"="。
（1）如果自然数*a大*于自然数*b*，且*a*、*b*都不是0，那么：
1 *b*× *a* *b*× *b* *a*× *a来源：www.bcjy123.com/tiku/*
（2）如果*a*﹥*b*﹥*c*﹥1，那么：
> 2、一个球从30米的高空自由落下，每次弹起的高度是下落高度的，求第三次弹起的高度列式是（ ），结果是（ ）米。
3、一种药物，药占药水的，药是水的。
4、甲数是，乙数是甲数的，乙数是（ ），甲数是乙数的（ ）。
> 5、一个最简分数，把它的分子扩大4倍，分母缩小3倍后，可以化成10，这个最简分数是（ ）。
6、已知A是B的，是C的，B是C的。
7、仓库里有20吨货物，每次运走它的，（ ）次能运完。
8、一根2米长的钢材截去它的后，再接上米，现在长是（ ）。
9、5与它的倒数的乘积是（ ）；（ ）与的乘积是1。
> 10、小红看一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，（ ）看的页数多。
二、计算题。（第1题18分，第2题4分，第3题12分，共34分）
1、用递等式计算。
1.25×＋4.2×1 2×7＋7.6×7
×（57＋） 12×32×0.75
3.95×8＋×3.95＋3.95 ×（38×1）
*来源：www.bcjy123.com/tiku/*
2、先自学下列例1与例2，再完成下面题目。
例1：18× =（17＋1）× = 17×＋1× = 5＋ = 5
例2：×43 = ×（45－2）= ×45－×2 = 17－ = 16
×27 =
*来源：www.bcjy123.com/tiku/*
3、列式计算。
（1）2的倒数乘6积是多少？ （2）10的加上它的，积是多少？
（3）甲数是240，乙数是甲数的，甲、乙两数的和是多少？
三、判断题。（每题2分，共10分）
1、一个数的倒数一定原来这个数大。 （ ）
2、*a*比0大时，*a*的倒数一定比*a*小。 （ ）
> 3、有两堆煤，甲堆用去，乙堆用去，余下的煤相等，原来的煤甲堆比乙堆多。
（ ）
4、2个因数都是，写成乘法算式是×2。 （ ）
5、如果*a* ≠0，0﹤*b*﹤1，那么*a*﹥*a*×*b*。 （ ）
四、选择题。（每题2分，共10分）
1、在分数乘法里（第一个因数不是0），当第二个因数为真分数时（ ）。
A、积大于第一个因数 B、积小于第一个因数
C、积等于第一个因数
2、非零自然数*a*和*b*，如果*a*的等于*b*的，那么（ ）。
A、*a* = *b* B、*a*﹤*b* C、*a*﹥*b* D、不能确定大小
> 3、小明按顺序看一本120页的书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，第三天从第（ ）页看起。
A、48 B、32 C、72 D、73
4、取一根铁丝的，又取另一根铁丝的，那么（ ）。
A、后取的比前取的长 B、后取的比前取的短
C、不能确定哪一次取的长
> 5、一根绳子一半一半地剪去，剪了4次，最后剩下0.5米，这根绳子原来长（ ）米。
>
> A、8 B、2 C、4
五、应用题。（第1～4题每题5分，第5题6分，共26分）*来源：www.bcjy123.com/tiku/*
1、根据右边的统计表，请你用学过的百分数知识，提出两个问题，并列出算式。
问题 [ ]{.underline} ××学校跳绳决赛统计表
算式 [ ]{.underline}
问题 [ ]{.underline}
算式 [ ]{.underline}
2、国庆节各超市都采取一些促销方法。
甲超市：真情回报，每买足100元，送20元。
乙超市：一律九折出售。
丙超市：买足50元以上，一律八折出售。
> 下表是张大妈、王大妈、李大妈、刘大妈四位顾客要购买物品的原价，请你建
议这些顾客去哪一家超市购买花钱最少，并把选择的超市填入表中。
3、张大妈把7500元钱存入银行，年利率2.7%，利息税率20%，两年到期后，张大妈实际可得利息多少元？
> 4、商店原有空调180台，第一周售总数的，第二周售出总数的25%，还剩多少台？
>
> 5、六年级有学生220人，男生人数占全年级的，女生的15%在体育锻炼中还没有"达标"，女生忆达标多少人？
**第一单元综合提优训练的部分答案：**
一、1、（1）﹤ ﹤ ﹤ ﹥ （2）﹤ ﹤ ﹥ ﹥
2、30××× 1
3、 4、 2倍 5、 6. 7、4 8、2米 9、1 1
10、第一天
二、1、6 76 3 300 39.5 38
2、原式 = ×（26＋1）= ×26＋×1 = 22
3、（1）×6 = 2
（2）10×＋10× = 4.5
（3）240×（1＋） = 280
三、× × × × √
四、1、B 2、C 3、D 4、C 5、A
五、2、甲或丙 丙 乙 丙
3、7500×2.7%×2×（1－20%）= 324（元）
4、180×（1－－25%）= 81（台）
5、220×（1－）×（1－15%）= 85（人）
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**高考数学选择题专项训练（三）**
1、已知函数f（x）在定义域R内是减函数且f（x）\<0，则函数
g(x)＝x^2^ f（x）的单调情况一定是（ ）。
（A）在R上递减 （B）在R上递增
（C）在（0，＋∞）上递减 （D）在（0，＋∞）上递增
2、α，β是两个不重合的平面，在α上取4个点，在β上取3个点，则由这些点最多可以确定平面（ ）。
（A）35个 （B）30个 （C）32个 （D）40个
3、已知定点P~1~（3，5），P~2~（－1，1），Q（4，0），点P分有向线段所成的比为3，则直线PQ的方程是（ ）。
（A）x＋2y－4＝0 （B）2x＋y－8＝0
（C）x－2y－4＝0 （D）2x－y－8＝0
4、函数y=x在\[－1, 1\]上是（ ）。
（A）增函数且是奇函数 （B）增函数且是偶函数
（C）减函数且是奇函数 （D）减函数且是偶函数
5、方程cosx=lgx的实根的个数是（ ）。
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
6、一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是（ ）。
（A）－2 （B）－3 （C）－4 （D）－5
7、已知椭圆(a\>b\>0)的离心率等于，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转后，所得的新椭圆的一条准线的方程y=，则原来的椭圆方程是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
8、直线x－y－1=0与实轴在y轴上的双曲线x^2^－y^2^=m (m≠0)的交点在以原点为中心，边长为2且各边分别平行于坐标轴的正方形内部，则m的取值范围是（ ）。
（A）0\<m\<1 （B）m\<0 （C）－1\<m\<0 （D）m\<－1
9、已知直线l~1~与l~2~的夹角的平分线为y=x，如果l~1~的方程是
ax＋by＋c=0(ab\>0)，那么l2的方程是（ ）。
（A）bx＋ay＋c=0 （B）ax－by＋c=0
（C）bx＋ay－c=0 （D）bx－ay＋c=0
10、函数F(x)=(1＋)f (x) (x≠0)是偶函数，且f (x)不恒等于零，则f (x)（ ）。
（A）是奇函数 （B）可能是奇函数，也可能是偶函数
（C）是偶函数 （D）非奇、非偶函数
11、若log~a~2\<log~b~2\<0，则（ ）。
（A）0\<a\<b\<1 （B）0\<b\<a\<1 （C）a\>b\>1 （D）b\>a\>1
12、已知等差数列{a~n~}的公差d≠0，且a~1~, a~3~, a9成等比数列，则的值是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
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**题号** **1** **2** **3** **4** **5** **6** **7** **8** **9** **10** **11** **12**
**答案** **C** **C** **A** **C** **C** **C** **C** **C** **A** **A** **B** **C**
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**北师大版小学五年级下册数学第四单元《长方体（二）------体积单位》同步检测2（附答案）**
1．填上适当的单位。来源：www.bcjy123.com/tiku/
(1)一部手机的体积约48\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(2)牙膏盒的体积约120\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(3)一间教室的体积约90\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(4)一袋牛奶约250\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(5)一瓶酱油约500\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
(6)一瓶果汁约1.5\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
我发现了，固体的体积单位，一般常用( )、( )、( )；液体的体积单位，一般常用( )和( )。
2．下面图形是用体积为1cm的小正方体拼成的，它们的体积各是多少？
3．估算一下，下面杯中有多少毫升水？
( )mL
4．购买哪种包装的牛奶更合算？
4.00元/盒 9.00元/袋来源：www.bcjy123.com/tiku/
5．每粒玻璃球的体积是多少立方厘米？
6．求大圆球的体积。
7．每个小正方体完全一样，棱长都是1分米，你能计算下面这个立体图形的表面积和体积吗？
**参考答案**
1．(1)cm (2)cm (3) m (4)mL (5)mL (6)L cm dm m mL L
2．7 9 10
3．1500
4．买袋装牛奶更合算。
5．6.5cm
6．9cm
7．3×3×6＝54() 19dm
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**2020年贵州省铜仁市中考数学试卷**
**一．选择题（共10小题）**
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣
2．我国高铁通车总里程居世界第一，预计到2020年底，高铁总里程大约39000千米，39000用科学记数法表示为（ ）
A．39×10^3^ B．3.9×10^4^ C．3.9×10^﹣4^ D．39×10^﹣3^
3．如图，直线*AB*∥*CD*，∠3＝70°，则∠1＝（ ）
> 
A．70° B．100° C．110° D．120°
4．一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．已知△*FHB*∽△*EAD*，它们的周长分别为30和15，且*FH*＝6，则*EA*的长为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
6．实数*a*，*b*在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
> 
A．*a*＞*b* B．﹣*a*＜*b* C．*a*＞﹣*b* D．﹣*a*＞*b*
7．已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
8．如图，在矩形*ABCD*中，*AB*＝3，*BC*＝4，动点*P*沿折线*BCD*从点*B*开始运动到点*D*，设点*P*运动的路程为*x*，△*ADP*的面积为*y*，那么*y*与*x*之间的函数关系的图象大致是（ ）
> 
A． B．
C． D．
9．已知*m*、*n*、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且*m*、*n*是关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣6*x*+*k*+2＝0的两个根，则*k*的值等于（ ）
A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6
10．如图，正方形*ABCD*的边长为4，点*E*在边*AB*上，*BE*＝1，∠*DAM*＝45°，点*F*在射线*AM*上，且*AF*＝，过点*F*作*AD*的平行线交*BA*的延长线于点*H*，*CF*与*AD*相交于点*G*，连接*EC*、*EG*、*EF*．下列结论：①△*ECF*的面积为；②△*AEG*的周长为8；③*EG*^2^＝*DG*^2^+*BE*^2^；其中正确的是（ ）
> 
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
**二．填空题（共8小题）**
11．因式分解：*a*^2^+*ab*﹣*a*＝[ ]{.underline}．
12．方程2*x*+10＝0的解是[ ]{.underline}．
13．已知点（2，﹣2）在反比例函数*y*＝的图象上，则这个反比例函数的表达式是[ ]{.underline}．
14．函数*y*＝中，自变量*x*的取值范围是[ ]{.underline}．
15．从﹣2，﹣1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于[ ]{.underline}．
16．设*AB*，*CD*，*EF*是同一平面内三条互相平行的直线，已知*AB*与*CD*的距离是12*cm*，*EF*与*CD*的距离是5*cm*，则*AB*与*EF*的距离等于[ ]{.underline}*cm*．
17．如图，在矩形*ABCD*中，*AD*＝4，将∠*A*向内翻析，点*A*落在*BC*上，记为*A*~1~，折痕为*DE*．若将∠*B*沿*EA*~1~向内翻折，点*B*恰好落在*DE*上，记为*B*~1~，则*AB*＝[ ]{.underline}．
> 
18．观察下列等式：
> 2+2^2^＝2^3^﹣2；
>
> 2+2^2^+2^3^＝2^4^﹣2；
>
> 2+2^2^+2^3^+2^4^＝2^5^﹣2；
>
> 2+2^2^+2^3^+2^4^+2^5^＝2^6^﹣2；
>
> ...
>
> 已知按一定规律排列的一组数：2^20^，2^21^，2^22^，2^23^，2^24^，...，2^38^，2^39^，2^40^，若2^20^＝*m*，则2^20^+2^21^+2^22^+2^23^+2^24^+...+2^38^+2^39^+2^40^＝[ ]{.underline}（结果用含*m*的代数式表示）．
**三．解答题（共7小题）**
19．（1）计算：2÷﹣（﹣1）^2020^﹣﹣（﹣）^0^．
> （2）先化简，再求值：（*a*+）÷（），自选一个*a*值代入求值．
20．如图，∠*B*＝∠*E*，*BF*＝*EC*，*AC*∥*DF*．求证：△*ABC*≌△*DEF*．
> 
21．某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：
> （1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
>
> （2）*m*＝[ ]{.underline}，*n*＝[ ]{.underline}；
>
> （3）若该校共有2000名学生，试估计该校选择"乒乓球"课外兴趣小组的学生有多少人？
>
> 
22．如图，一艘船由西向东航行，在*A*处测得北偏东60°方向上有一座灯塔*C*，再向东继续航行60*km*到达*B*处，这时测得灯塔*C*在北偏东30°方向上，已知在灯塔*C*的周围47*km*内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
> 
23．某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．
> （1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？
>
> （2）该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？
24．如图，*AB*是⊙*O*的直径，*C*为⊙*O*上一点，连接*AC*，*CE*⊥*AB*于点*E*，*D*是直径*AB*延长线上一点，且∠*BCE*＝∠*BCD*．
> （1）求证：*CD*是⊙*O*的切线；
>
> （2）若*AD*＝8，＝，求*CD*的长．
>
> 
25．如图，已知抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+6经过两点*A*（﹣1，0），*B*（3，0），*C*是抛物线与*y*轴的交点．
> （1）求抛物线的解析式；
>
> （2）点*P*（*m*，*n*）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△*PBC*的面积为*S*，求*S*关于*m*的函数表达式（指出自变量*m*的取值范围）和*S*的最大值；
>
> （3）点*M*在抛物线上运动，点*N*在*y*轴上运动，是否存在点*M*、点*N*使得∠*CMN*＝90°，且△*CMN*与△*OBC*相似，如果存在，请求出点*M*和点*N*的坐标．
>
> 
**2020年贵州省铜仁市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题（共10小题）**
1．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣
> 【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案．
>
> 【解答】解：﹣3的绝对值是：3．
>
> 故选：*B*．
2．我国高铁通车总里程居世界第一，预计到2020年底，高铁总里程大约39000千米，39000用科学记数法表示为（ ）
A．39×10^3^ B．3.9×10^4^ C．3.9×10^﹣4^ D．39×10^﹣3^
> 【分析】科学记数法的表示形式为*a*×10*^n^*的形式，其中1≤\|*a*\|＜10，*n*为整数．确定*n*的值是易错点，由于39000有5位，所以可以确定*n*＝5﹣1＝4．
>
> 【解答】解：39000＝3.9×10^4^．
>
> 故选：*B*．
3．如图，直线*AB*∥*CD*，∠3＝70°，则∠1＝（ ）
> 
A．70° B．100° C．110° D．120°
> 【分析】直接利用平行线的性质得出∠1＝∠2，进而得出答案．
>
> 【解答】解：∵直线*AB*∥*CD*，
>
> ∴∠1＝∠2，
>
> ∵∠3＝70°，
>
> ∴∠1＝∠2＝180°﹣70°＝110°．
>
> 故选：*C*．
4．一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
> 【分析】对于*n*个数*x*~1~，*x*~2~，...，*x~n~*，则＝（*x*~1~+*x*~2~+...+*x~n~*）就叫做这*n*个数的算术平均数，据此列式计算可得．
>
> 【解答】解：这组数据的平均数为×（4+10+12+14）＝10，
>
> 故选：*B*．
5．已知△*FHB*∽△*EAD*，它们的周长分别为30和15，且*FH*＝6，则*EA*的长为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
> 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答．
>
> 【解答】解：∵△*FHB*和△*EAD*的周长分别为30和15，
>
> ∴△*FHB*和△*EAD*的周长比为2：1，
>
> ∵△*FHB*∽△*EAD*，
>
> ∴＝2，即＝2，
>
> 解得，*EA*＝3，
>
> 故选：*A*．
6．实数*a*，*b*在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
> 
A．*a*＞*b* B．﹣*a*＜*b* C．*a*＞﹣*b* D．﹣*a*＞*b*
> 【分析】根据数轴即可判断*a*和*b*的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．
>
> 【解答】解：根据数轴可得：*a*＜0，*b*＞0，且\|*a*\|＞\|*b*\|，
>
> 则*a*＜*b*，﹣*a*＞*b*，*a*＜﹣*b*，﹣*a*＞*b*．
>
> 故选：*D*．
7．已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
> 【分析】根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解即可．
>
> 【解答】解：根据等边三角形：三线合一，
>
> 设它的边长为*x*，可得：，
>
> 解得：*x*＝4，*x*＝﹣4（舍去），
>
> 故选：*C*．
8．如图，在矩形*ABCD*中，*AB*＝3，*BC*＝4，动点*P*沿折线*BCD*从点*B*开始运动到点*D*，设点*P*运动的路程为*x*，△*ADP*的面积为*y*，那么*y*与*x*之间的函数关系的图象大致是（ ）
> 
A． B．
C． D．
> 【分析】分别求出0≤*x*≤4、4＜*x*＜7时函数表达式，即可求解．
>
> 【解答】解：由题意当0≤*x*≤4时，
>
> *y*＝×*AD*×*AB*＝×3×4＝6，
>
> 当4＜*x*＜7时，
>
> 
>
> *y*＝×*PD*×*AD*＝×（7﹣*x*）×4＝14﹣2*x*．
>
> 故选：*D*．
9．已知*m*、*n*、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且*m*、*n*是关于*x*的一元二次方程*x*^2^﹣6*x*+*k*+2＝0的两个根，则*k*的值等于（ ）
A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6
> 【分析】当*m*＝4或*n*＝4时，即*x*＝4，代入方程即可得到结论，当*m*＝*n*时，即△＝（﹣6）^2^﹣4×（*k*+2）＝0，解方程即可得到结论．
>
> 【解答】解：当*m*＝4或*n*＝4时，即*x*＝4，
>
> ∴方程为4^2^﹣6×4+*k*+2＝0，
>
> 解得：*k*＝6，
>
> 当*m*＝*n*时，即△＝（﹣6）^2^﹣4×（*k*+2）＝0，
>
> 解得：*k*＝7，
>
> 综上所述，*k*的值等于6或7，
>
> 故选：*B*．
10．如图，正方形*ABCD*的边长为4，点*E*在边*AB*上，*BE*＝1，∠*DAM*＝45°，点*F*在射线*AM*上，且*AF*＝，过点*F*作*AD*的平行线交*BA*的延长线于点*H*，*CF*与*AD*相交于点*G*，连接*EC*、*EG*、*EF*．下列结论：①△*ECF*的面积为；②△*AEG*的周长为8；③*EG*^2^＝*DG*^2^+*BE*^2^；其中正确的是（ ）
> 
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
> 【分析】先判断出∠*H*＝90°，进而求出*AH*＝*HF*＝1＝*BE*．进而判断出△*EHF*≌△*CBE*（*SAS*），得出*EF*＝*EC*，∠*HEF*＝∠*BCE*，判断出△*CEF*是等腰直角三角形，再用勾股定理求出*EC*^2^＝17，即可得出①正确；
>
> 先判断出四边形*APFH*是矩形，进而判断出矩形*AHFP*是正方形，得出*AP*＝*PH*＝*AH*＝1，同理：四边形*ABQP*是矩形，得出*PQ*＝4，*BQ*＝1，*FQ*＝5，*CQ*＝3，再判断出△*FPG*∽△*FQC*，得出，求出*PG*＝，再根据勾股定理求得*EG*＝，即△*AEG*的周长为8，判断出②正确；
>
> 先求出*DG*＝，进而求出*DG*^2^+*BE*^2^＝，在求出*EG*^2^≠，判断出③错误，即可得出结论．
>
> 【解答】解：如图，在正方形*ABCD*中，*AD*∥*BC*，*AB*＝*BC*＝*AD*＝4，∠*B*＝∠*BAD*＝90°，
>
> ∴∠*HAD*＝90°，
>
> ∵*HF*∥*AD*，
>
> ∴∠*H*＝90°，
>
> ∵∠*HAF*＝90°﹣∠*DAM*＝45°，
>
> ∴∠*AFH*＝∠*HAF*．
>
> ∵*AF*＝，
>
> ∴*AH*＝*HF*＝1＝*BE*．
>
> ∴*EH*＝*AE*+*AH*＝*AB*﹣*BE*+*AH*＝4＝*BC*，
>
> ∴△*EHF*≌△*CBE*（*SAS*），
>
> ∴*EF*＝*EC*，∠*HEF*＝∠*BCE*，
>
> ∵∠*BCE*+∠*BEC*＝90°，
>
> ∴*HEF*+∠*BEC*＝90°，
>
> ∴∠*FEC*＝90°，
>
> ∴△*CEF*是等腰直角三角形，
>
> 在Rt△*CBE*中，*BE*＝1，*BC*＝4，
>
> ∴*EC*^2^＝*BE*^2^+*BC*^2^＝17，
>
> ∴*S*~△*ECF*~＝*EF*•*EC*＝*EC*^2^＝，故①正确；
>
> 过点*F*作*FQ*⊥*BC*于*Q*，交*AD*于*P*，
>
> ∴∠*APF*＝90°＝∠*H*＝∠*HAD*，
>
> ∴四边形*APFH*是矩形，
>
> ∵*AH*＝*HF*，
>
> ∴矩形*AHFP*是正方形，
>
> ∴*AP*＝*PH*＝*AH*＝1，
>
> 同理：四边形*ABQP*是矩形，
>
> ∴*PQ*＝*AB*＝4，*BQ*＝*AP*1，*FQ*＝*FP*+*PQ*＝5，*CQ*＝*BC*﹣*BQ*＝3，
>
> ∵*AD*∥*BC*，
>
> ∴△*FPG*∽△*FQC*，
>
> ∴，
>
> ∴，
>
> ∴*PG*＝，
>
> ∴*AG*＝*AP*+*PG*＝，
>
> 在Rt△*EAG*中，根据勾股定理得，*EG*＝＝，
>
> ∴△*AEG*的周长为*AG*+*EG*+*AE*＝++3＝8，故②正确；
>
> ∵*AD*＝4，
>
> ∴*DG*＝*AD*﹣*AG*＝，
>
> ∴*DG*^2^+*BE*^2^＝+1＝，
>
> ∵*EG*^2^＝（）^2^＝≠，
>
> ∴*EG*^2^≠*DG*^2^+*BE*^2^，故③错误，
>
> ∴正确的有①②，
>
> 故选：*C*．
>
> 
**二．填空题（共8小题）**
11．因式分解：*a*^2^+*ab*﹣*a*＝[ *a*（*a*+*b*﹣1） ]{.underline}．
> 【分析】原式提取公因式即可．
>
> 【解答】解：原式＝*a*（*a*+*b*﹣1）．
>
> 故答案为：*a*（*a*+*b*﹣1）．
12．方程2*x*+10＝0的解是[ *x*＝﹣5 ]{.underline}．
> 【分析】方程移项，把*x*系数化为1，即可求出解．
>
> 【解答】解：方程2*x*+10＝0，
>
> 移项得：2*x*＝﹣10，
>
> 解得：*x*＝﹣5．
>
> 故答案为：*x*＝﹣5．
13．已知点（2，﹣2）在反比例函数*y*＝的图象上，则这个反比例函数的表达式是[ *y*＝﹣]{.underline}[ ]{.underline}．
> 【分析】把点（2，﹣2）代入反比例函数*y*＝（*k*≠0）中求出*k*的值，从而得到反比例函数解析式．
>
> 【解答】解：∵反比例函数*y*＝（*k*≠0）的图象上一点的坐标为（2，﹣2），
>
> ∴*k*＝﹣2×2＝﹣4，
>
> ∴反比例函数解析式为*y*＝﹣，
>
> 故答案为：*y*＝﹣．
14．函数*y*＝中，自变量*x*的取值范围是[ *x*≥2 ]{.underline}．
> 【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以2*x*﹣4≥0，可求*x*的范围．
>
> 【解答】解：2*x*﹣4≥0
>
> 解得*x*≥2．
15．从﹣2，﹣1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
> 【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到该点在第三象限的结果数，再利用概率公式求解可得．
>
> 【解答】解：画树状图如下
>
> 
>
> 共有6种等可能情况，该点在第三象限的情况数有（﹣2，﹣1）和（﹣1，﹣2）这2种结果，
>
> ∴该点在第三象限的概率等于＝，
>
> 故答案为：．
16．设*AB*，*CD*，*EF*是同一平面内三条互相平行的直线，已知*AB*与*CD*的距离是12*cm*，*EF*与*CD*的距离是5*cm*，则*AB*与*EF*的距离等于[ 7或17 ]{.underline}*cm*．
> 【分析】分两种情况讨论，*EF*在*AB*，*CD*之间或*EF*在*AB*，*CD*同侧，进而得出结论．
>
> 【解答】解：分两种情况：
>
> ①当*EF*在*AB*，*CD*之间时，如图：
>
> 
>
> ∵*AB*与*CD*的距离是12*cm*，*EF*与*CD*的距离是5*cm*，
>
> ∴*EF*与*AB*的距离为12﹣5＝7（*cm*）．
>
> ②当*EF*在*AB*，*CD*同侧时，如图：
>
> 
>
> ∵*AB*与*CD*的距离是12*cm*，*EF*与*CD*的距离是5*cm*，
>
> ∴*EF*与*AB*的距离为12+5＝17（*cm*）．
>
> 综上所述，*EF*与*AB*的距离为7*cm*或17*cm*．
>
> 故答案为：7或17．
17．如图，在矩形*ABCD*中，*AD*＝4，将∠*A*向内翻析，点*A*落在*BC*上，记为*A*~1~，折痕为*DE*．若将∠*B*沿*EA*~1~向内翻折，点*B*恰好落在*DE*上，记为*B*~1~，则*AB*＝[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
> 
>
> 【分析】依据△*A*~1~*DB*~1~≌△*A*~1~*DC*（*AAS*），即可得出*A*~1~*C*＝*A*~1~*B*~1~，再根据折叠的性质，即可得到*A*~1~*C*＝*BC*＝2，最后依据勾股定理进行计算，即可得到*CD*的长，即*AB*的长．
>
> 【解答】解：由折叠可得，*A*~1~*D*＝*AD*＝4，∠*A*＝∠*EA*~1~*D*＝90°，∠*BA*~1~*E*＝∠*B*~1~*A*~1~*E*，*BA*~1~＝*B*~1~*A*~1~，∠*B*＝∠*A*~1~*B*~1~*E*＝90°，
>
> ∴∠*EA*~1~*B*~1~+∠*DA*~1~*B*~1~＝90°＝∠*BA*~1~*E*+∠*CA*~1~*D*，
>
> ∴∠*DA*~1~*B*~1~＝∠*CA*~1~*D*，
>
> 又∵∠*C*＝∠*A*~1~*B*~1~*D*，*A*~1~*D*＝*A*~1~*D*，
>
> ∴△*A*~1~*DB*~1~≌△*A*~1~*DC*（*AAS*），
>
> ∴*A*~1~*C*＝*A*~1~*B*~1~，
>
> ∴*BA*~1~＝*A*~1~*C*＝*BC*＝2，
>
> ∴Rt△*A*~1~*CD*中，*CD*＝＝，
>
> ∴*AB*＝，
>
> 故答案为：．
18．观察下列等式：
> 2+2^2^＝2^3^﹣2；
>
> 2+2^2^+2^3^＝2^4^﹣2；
>
> 2+2^2^+2^3^+2^4^＝2^5^﹣2；
>
> 2+2^2^+2^3^+2^4^+2^5^＝2^6^﹣2；
>
> ...
>
> 已知按一定规律排列的一组数：2^20^，2^21^，2^22^，2^23^，2^24^，...，2^38^，2^39^，2^40^，若2^20^＝*m*，则2^20^+2^21^+2^22^+2^23^+2^24^+...+2^38^+2^39^+2^40^＝[ *m*（2*m*﹣1） ]{.underline}（结果用含*m*的代数式表示）．
>
> 【分析】由题意可得2^20^+2^21^+2^22^+2^23^+2^24^+...+2^38^+2^39^+2^40^＝2^20^（1+2+2^2^+...+2^19^+2^20^）＝2^20^（1+2^21^﹣2）＝2^20^（2^20^×2﹣1），再将2^20^＝*m*代入即可求解．
>
> 【解答】解：∵2^20^＝*m*，
>
> ∴2^20^+2^21^+2^22^+2^23^+2^24^+...+2^38^+2^39^+2^40^
>
> ＝2^20^（1+2+2^2^+...+2^19^+2^20^）
>
> ＝2^20^（1+2^21^﹣2）
>
> ＝*m*（2*m*﹣1）．
>
> 故答案为：*m*（2*m*﹣1）．
**三．解答题（共7小题）**
19．（1）计算：2÷﹣（﹣1）^2020^﹣﹣（﹣）^0^．
> （2）先化简，再求值：（*a*+）÷（），自选一个*a*值代入求值．
>
> 【分析】（1）原式利用除法法则，乘方的意义，算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即可求出值；
>
> （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把*a*的值代入计算即可求出值．
>
> 【解答】解：（1）原式＝2×2﹣1﹣2﹣1
>
> ＝4﹣1﹣2﹣1
>
> ＝0；
>
> （2）原式＝•
>
> ＝•
>
> ＝﹣，
>
> 当*a*＝0时，原式＝﹣3．
20．如图，∠*B*＝∠*E*，*BF*＝*EC*，*AC*∥*DF*．求证：△*ABC*≌△*DEF*．
> 
>
> 【分析】首先利用平行线的性质得出∠*ACB*＝∠*DFE*，进而利用全等三角形的判定定理*ASA*，进而得出答案．
>
> 【解答】证明：∵*AC*∥*DF*，
>
> ∴∠*ACB*＝∠*DFE*，
>
> ∵*BF*＝*CE*，
>
> ∴*BC*＝*EF*，
>
> 在△*ABC*和△*DEF*中，，
>
> ∴△*ABC*≌△*DEF*（*ASA*）．
21．某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：
> （1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
>
> （2）*m*＝[ 36 ]{.underline}，*n*＝[ 16 ]{.underline}；
>
> （3）若该校共有2000名学生，试估计该校选择"乒乓球"课外兴趣小组的学生有多少人？
>
> 
>
> 【分析】（1）根据选择书法的学生人数和所占的百分比，可以求得该校参加这次问卷调查的学生人数，然后根据扇形统计图中选择篮球的占28%，即可求得选择篮球的学生人数，从而可以将条形统计图补充完整；
>
> （2）根据条形统计图中的数据和（1）中的结果，可以得到*m*、*n*的值；
>
> （3）根据统计图中的数据，可以计算出该校选择"乒乓球"课外兴趣小组的学生有多少人．
>
> 【解答】解：（1）该校参加这次问卷调查的学生有：20÷20%＝100（人），
>
> 选择篮球的学生有：100×28%＝28（人），
>
> 补全的条形统计图如右图所示；
>
> （2）*m*%＝×100%＝36%，
>
> *n*%＝×100%＝16%，
>
> 故答案为：36，16；
>
> （3）2000×16%＝320（人），
>
> 答：该校选择"乒乓球"课外兴趣小组的学生有320人．
>
> 
22．如图，一艘船由西向东航行，在*A*处测得北偏东60°方向上有一座灯塔*C*，再向东继续航行60*km*到达*B*处，这时测得灯塔*C*在北偏东30°方向上，已知在灯塔*C*的周围47*km*内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
> 
>
> 【分析】过*C*作*CD*⊥*AB*于点*D*，根据方向角的定义及余角的性质求出∠*BCA*＝30°，∠*ACD*＝60°，证∠*ACB*＝30°＝∠*BCA*，根据等角对等边得出*BC*＝*AB*＝12，然后解Rt△*BCD*，求出*CD*即可．
>
> 【解答】解：过点*C*作*CD*⊥*AB*，垂足为*D*．如图所示：
>
> 根据题意可知∠*BAC*＝90°﹣30°＝30°，∠*DBC*＝90°﹣30°＝60°，
>
> ∵∠*DBC*＝∠*ACB*+∠*BAC*，
>
> ∴∠*BAC*＝30°＝∠*ACB*，
>
> ∴*BC*＝*AB*＝60*km*，
>
> 在Rt△*BCD*中，∠*CDB*＝90°，∠*BDC*＝60°，sin∠*BCD*＝，
>
> ∴sin60°＝，
>
> ∴*CD*＝60×sin60°＝60×＝30（*km*）＞47*km*，
>
> ∴这艘船继续向东航行安全．
>
> 
23．某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．
> （1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？
>
> （2）该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？
>
> 【分析】（1）设每一个篮球的进价是*x*元，则每一个排球的进价是90%*x*元，根据用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个列出方程，解之即可得出结论；
>
> （2）设文体商店计划购进篮球*m*个，总利润*y*元，根据题意用*m*表示*y*，结合*m*的取值范围和*m*为整数，即可得出获得最大利润的方案．
>
> 【解答】解：（1）设每一个篮球的进价是*x*元，则每一个排球的进价是90%*x*元，依题意有
>
> +10＝，
>
> 解得*x*＝40，
>
> 经检验，*x*＝40是原方程的解，
>
> 90%*x*＝90%×40＝36．
>
> 故每一个篮球的进价是40元，每一个排球的进价是36元；
>
> （2）设文体商店计划购进篮球*m*个，总利润*y*元，则
>
> *y*＝（100﹣40）*m*+（90﹣36）（100﹣*m*）＝6*m*+5400，
>
> 依题意有，
>
> 解得0＜*m*≤25且*m*为整数，
>
> ∵*m*为整数，
>
> ∴*y*随*m*的增大而增大，
>
> ∴*m*＝25时，*y*最大，这时*y*＝6×25+5400＝5550，
>
> 100﹣25＝75（个）．
>
> 故该文体商店应购进篮球25个、排球75个才能获得最大利润，最大利润是5550元．
24．如图，*AB*是⊙*O*的直径，*C*为⊙*O*上一点，连接*AC*，*CE*⊥*AB*于点*E*，*D*是直径*AB*延长线上一点，且∠*BCE*＝∠*BCD*．
> （1）求证：*CD*是⊙*O*的切线；
>
> （2）若*AD*＝8，＝，求*CD*的长．
>
> 
>
> 【分析】（1）连接*OC*，根据圆周角定理得到∠*ACB*＝90°，根据余角的性质得到∠*A*＝∠*ECB*，求得∠*A*＝∠*BCD*，根据等腰三角形的性质得到∠*A*＝∠*ACO*，等量代换得到∠*ACO*＝∠*BCD*，求得∠*DCO*＝90°，于是得到结论；
>
> （2）设*BC*＝*k*，*AC*＝2*k*，根据相似三角形的性质即可得到结论．
>
> 【解答】（1）证明：连接*OC*，
>
> ∵*AB*是⊙*O*的直径，
>
> ∴∠*ACB*＝90°，
>
> ∵*CE*⊥*AB*，
>
> ∴∠*CEB*＝90°，
>
> ∴∠*ECB*+∠*ABC*＝∠*ABC*+∠*CAB*＝90°，
>
> ∴∠*A*＝∠*ECB*，
>
> ∵∠*BCE*＝∠*BCD*，
>
> ∴∠*A*＝∠*BCD*，
>
> ∵*OC*＝*OA*，
>
> ∴∠*A*＝∠*ACO*，
>
> ∴∠*ACO*＝∠*BCD*，
>
> ∴∠*ACO*+∠*BCO*＝∠*BCO*+∠*BCD*＝90°，
>
> ∴∠*DCO*＝90°，
>
> ∴*CD*是⊙*O*的切线；
>
> （2）解：∵∠*A*＝∠*BCE*，
>
> ∴tan*A*＝＝tan∠*BCE*＝＝，
>
> 设*BC*＝*k*，*AC*＝2*k*，
>
> ∵∠*D*＝∠*D*，∠*A*＝∠*BCD*，
>
> ∴△*ACD*∽△*CBD*，
>
> ∴＝＝，
>
> ∵*AD*＝8，
>
> ∴*CD*＝4．
>
> 
25．如图，已知抛物线*y*＝*ax*^2^+*bx*+6经过两点*A*（﹣1，0），*B*（3，0），*C*是抛物线与*y*轴的交点．
> （1）求抛物线的解析式；
>
> （2）点*P*（*m*，*n*）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△*PBC*的面积为*S*，求*S*关于*m*的函数表达式（指出自变量*m*的取值范围）和*S*的最大值；
>
> （3）点*M*在抛物线上运动，点*N*在*y*轴上运动，是否存在点*M*、点*N*使得∠*CMN*＝90°，且△*CMN*与△*OBC*相似，如果存在，请求出点*M*和点*N*的坐标．
>
> 
>
> 【分析】（1）根据点*A*、*B*的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
>
> （2）过点*P*作*PF*∥*y*轴，交*BC*于点*F*，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点*C*的坐标，根据点*B*、*C*的坐标利用待定系数法即可求出直线*BC*的解析式，设点*P*的坐标为（*m*，﹣2*m*^2^+4*m*+6），则点*F*的坐标为（*m*，﹣2*m*+6），进而可得出*PF*的长度，利用三角形的面积公式可得出*S*~△*PBC*~＝﹣3*m*^2^+9*m*，配方后利用二次函数的性质即可求出△*PBC*面积的最大值；
>
> （3）分两种不同情况，当点*M*位于点*C*上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性质得出方程，求出点*M*，点*N*的坐标即可．
>
> 【解答】解：（1）将*A*（﹣1，0）、*B*（3，0）代入*y*＝*ax*^2^+*bx*+6，
>
> 得：，解得：，
>
> ∴抛物线的解析式为*y*＝﹣2*x*^2^+4*x*+6．
>
> （2）过点*P*作*PF*∥*y*轴，交*BC*于点*F*，如图1所示．
>
> 
>
> 当*x*＝0时，*y*＝﹣2*x*^2^+4*x*+6＝6，
>
> ∴点*C*的坐标为（0，6）．
>
> 设直线*BC*的解析式为*y*＝*kx*+*c*，
>
> 将*B*（3，0）、*C*（0，6）代入*y*＝*kx*+*c*，得：
>
> ，解得：，
>
> ∴直线*BC*的解析式为*y*＝﹣2*x*+6．
>
> 设点*P*的坐标为（*m*，﹣2*m*^2^+4*m*+6），则点*F*的坐标为（*m*，﹣2*m*+6），
>
> ∴*PF*＝﹣2*m*^2^+4*m*+6﹣（﹣2*m*+6）＝﹣2*m*^2^+6*m*，
>
> ∴*S*~△*PBC*~＝*PF*•*OB*＝﹣3*m*^2^+9*m*＝﹣3（*m*﹣）^2^+，
>
> ∴当*m*＝时，△*PBC*面积取最大值，最大值为．
>
> ∵点*P*（*m*，*n*）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
>
> ∴0＜*m*＜3．
>
> （3）存在点*M*、点*N*使得∠*CMN*＝90°，且△*CMN*与△*OBC*相似．
>
> 如图2，∠*CMN*＝90°，当点*M*位于点*C*上方，过点*M*作*MD*⊥*y*轴于点*D*，
>
> 
>
> ∵∠*CDM*＝∠*CMN*＝90°，∠*DCM*＝∠*NCM*，
>
> ∴△*MCD*∽△*NCM*，
>
> 若△*CMN*与△*OBC*相似，则△*MCD*与△*NCM*相似，
>
> 设*M*（*a*，﹣2*a*^2^+4*a*+6），*C*（0，6），
>
> ∴*DC*＝﹣2*a*^2^+4*a*，*DM*＝*a*，
>
> 当时，△*COB*∽△*CDM*∽△*CMN*，
>
> ∴，
>
> 解得，*a*＝1，
>
> ∴*M*（1，8），
>
> 此时*ND*＝*DM*＝，
>
> ∴*N*（0，），
>
> 当时，△*COB*∽△*MDC*∽△*NMC*，
>
> ∴，
>
> 解得*a*＝，
>
> ∴*M*（，），
>
> 此时*N*（0，）．
>
> 如图3，当点*M*位于点*C*的下方，
>
> 
>
> 过点*M*作*ME*⊥*y*轴于点*E*，
>
> 设*M*（*a*，﹣2*a*^2^+4*a*+6），*C*（0，6），
>
> ∴*EC*＝2*a*^2^﹣4*a*，*EM*＝*a*，
>
> 同理可得：或＝2，△*CMN*与△*OBC*相似，
>
> 解得*a*＝或*a*＝3，
>
> ∴*M*（，）或*M*（3，0），
>
> 此时*N*点坐标为（0，）或（0，﹣）．
>
> 综合以上得，*M*（1，8），*N*（0，）或*M*（，），*N*（0，）或*M*（，），*N*（0，）或*M*（3，0），*N*（0，﹣），使得∠*CMN*＝90°，且△*CMN*与△*OBC*相似．
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挑战高考压轴题 {#挑战高考压轴题 .}
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圆锥曲线满分之路 {#圆锥曲线满分之路 .}
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{#section .}
目录 {#目录 .}
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专题1 待定系数求方程，几何转至代数中 2
类型一 待定系数法求椭圆方程 2
类型2 参数法求椭圆方程 2
类型3 设而不求思想与韦达定理求抛物线方程 3
类型4 待定系数法求抛物线方程 4
【同步训练】 4
专题2 动点轨迹成曲线，坐标关系是关键 11
类型一 代点法求轨迹方程 11
类型二 定义法求轨迹方程 12
类型三 参数法求轨迹方程 12
类型四 直译法求轨迹方程 12
【同步训练】 13
专题3 图形面积求最值，函数值域正当时 20
【同步训练】 24
专题4 目标范围与最值，函数处理最相宜 31
类型一 角的最值问题 31
类型二 距离的最值问题 32
类型三 几何图形的面积的范围问题 32
类型四 面积的最值问题 33
专题5 参数范围与最值，不等解建不宜迟 41
类型一 参数范围问题 41
类型二 方程中参数范围问题 42
类型三 斜率范围问题 43
类型四 离心率的范围问题 43
【同步训练】 44
专题6 定值计算并不难，构建函数再消元 50
【同步训练】 55
专题7 三点共线证法多，斜率向量均可做 63
类型一 向量法证三点共线 63
类型二 斜率法证三点共线 63
类型三 直线方程法证三点共线 64
类型四 多种方法证三点共线 64
专题8 欲证直线过定点，结合特征方程验算 73
类型一 椭圆中直线过未知顶点问题 73
类型二 椭圆中直线过已知定点问题 74
类型三 点在定直线上问题 75
类型四 抛物线中直线过定点问题 76
专题9 曲线是否过定点，可推可算可检验 83
【同步训练】 87
专题10 判断点在圆内外，向量应用最厉害 91
类型一 向量法判定点与圆的位置关系 91
类型二 四点共圆应用问题 92
类型四 证明四点共圆 93
【同步训练】 95
专题11 切线处理情况多，曲线不同发定夺 102
类型一 导数法求抛物线切线 102
类型二 椭圆的切线问题 102
类型四 待定系数求抛物线的切线问题 103
【同步训练】 104
专题12 综合求证多变换，几何几何代数算 111
类型一 证明分点问题 111
类型二 几何证明问题 112
类型三 等式证明 113
类型四 长度关系证明 113
【同步训练】 114
专题13 探究代数表达式，函数方程来发力 121
类型一 参数值的探究 121
类型二 恒等式成立探究 122
【同步训练】 124
专题14 探究图形之性质，代数运算是利器 133
类型一 面积计算 133
类型二 四边形形状探究 134
类型三 探究角是否相等 134
类型四 探究两直线的位置关系 135
【同步训练】 135
专题15 探究向量关系式，几何意义先分析 143
类型一 探究向量式是否为定值 143
类型二 探究向量式是否成立 144
类型三 探究向量式成立的条件 145
类型四 利用向量探究曲线过定点 145
【同步训练】 147
专题1 待定系数求方程，几何转至代数中
------------------------------------
求圆锥曲线方程的策略一般有以下几种：①几何分析法＋方程思想；②设而不求＋韦达定理；③第二定义＋数形结合；④参数法＋方程思想。几何分析法，利用图形结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图中已知量与未知量之间的关系，列出关于方程中参数的方程，解出参数值即可得到圆锥曲线方程，要求平面几何中相似等数学知识必须十分熟练。设而不求、韦达定理是解圆锥曲线问题的通性通法，缺点是计算量较大，费时费力，容易出错，通常根据题设条件，设出点的坐标和直线方程，将直线方程代入曲线方程，化为关于的一元二次方程，利用韦达定理用参数表示出来，根据题中条件列出关于参数的方程，通过解方程解出参数值，即可得出圆锥曲线的方程。不管是哪种方法，最终都要列出关于圆锥曲线方程中的参数的方程问题，通过解方程解出参数值，即可得到圆锥曲线方程，故将利用平面几何知识和圆锥曲线的定义与性质是将几何问题转化为代数问题，简化解析几何计算的重要途径.
**[【典]{.underline}****[例指引】]{.underline}**
### 类型一 待定系数法求椭圆方程
例1 【2014年全国课标Ⅱ，理20】设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与*x*轴垂直，直线与C的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求*a,b*.
\[来源:Zxxk.Com\]
### 类型2 参数法求椭圆方程
例2.【2015高考安徽，理20】设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.
（I）求E的离心率e；
（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求
E的方程.
### 类型3 设而不求思想与韦达定理求抛物线方程
例3【2013年高考数学湖南卷】过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D.以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为.
（I）若，证明；；
（II）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程.
QQ群 54542 331 9 微信公众号：中学数学研讨部落
（2）由抛物线的定义得所以从而圆M的半径，圆M的方程为
化简得，同理可得圆N的方程为，于是圆M与圆N的公共弦所在直线l的方程为，又，则直线l的方程为，因为，所以点M到直线l的距离，故当时，取最小值. 由题设，，所以，故所求抛物线E的方程为 学科\*网
### 类型4 待定系数法求抛物线方程
例4 （2012全国课标理20）.设抛物线：（＞0）的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于,两点.
(Ⅰ)若,的面积为，求的值及圆的方程；
(Ⅱ)若，，三点在同一条直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到，距离的比值.
【解析】设准线于轴的焦点为E，圆F的半径为，
则\|FE\|=，=，E是BD的中点，
QQ群 54542331 9 微信公众号：中学数学研讨部落
【解析2】由对称性设，则
 点关于点对称得：
得：，直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为。学科\*网
**[【扩展链接】]{.underline}**
1. **焦点三角形面积公式：圆锥曲线的**左右焦点分别为F~1~，F ~2~，点P为曲线上任意一点，**（1）**若P在椭圆上，则椭圆的焦点角形的面积为**.**
**（2）**若P在双曲线上，则双曲线的焦点角形的面积为**.**
**2.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：**
**,( , ).**
### 【同步训练】
1．设椭圆： （）的左右焦点分别为， ，下顶点为，直线的方程为.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点， 到直线的距离为，且三角形的面积为，求椭圆的方程；
【思路引导】
（Ⅰ） 由直线斜率为 可得 ，从而可得结果；
（Ⅱ）先求得 点坐标，根据三角形面积可得 的值，从而可得椭圆方程.
【详细解析】
由得.
又因为三角形面积，所以，
于是，椭圆的方程为.学科\*网
2．已知抛物线（）和定点，设过点的动直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交点为.
（Ⅰ）若在以为直径的圆上，求的值；
（Ⅱ）若三角形的面积最小值为4，求抛物线的方程.
【思路引导】
（Ⅰ）设出直线方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理，导数的几何意义，结合处的切线斜率乘积为可得结果；（Ⅱ）根据弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可以得到，从而可得结果.
【详细解析】
 3．已知抛物线：（）的焦点为，直线交抛物线于、两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点.
（1）是抛物线上的动点，点，若直线过焦点，求的最小值；
（Ⅱ）是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【思路引导】
(Ⅰ) 由直线过焦点,求出焦点的坐标，过设过作于，由抛物线定义知，结合图形即可求出取最小值；（Ⅱ）由知，设出的坐标，由消去化为关于的一元二次方程，用韦达定理和向量数量积列出关于的方程，即可解出.
【详细解析】
（Ⅱ）假设存在，抛物线与直线联立方程组得：
，
设，，则，，.
，.
则得：，
，
，
代入得，学科\*网
解得或（舍去）.
4．设直线*l*：*y*=*k*（*x*+1）与椭圆*x*^2^+3*y*^2^=*a*^2^（*a*＞0）相交于*A*、*B*两个不同的点，与*x*轴相交于点*C*，*O*为坐标原点．\[来源:Z§xx§k.Com\]
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，△*OAB*的面积取得最大值时椭圆方程．
【思路引导】
（I）将直线*l*的方程为*y*=*k*（*x*+1）代入椭圆的方程，消去*x*得到关于*y*的一元二次方程，再结合直线*l*与椭圆相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，从而解决问题．
（II）设*A*（*x*~1~，*y*~1~），B（*x*~2~，*y*~2~），由（I），得，由，得y~2~=从而求得△*OAB*的面积，最后利用基本不等式求得其最大值，及取值最大值时的*k*值，从而△*OAB*的面积取得最大值时椭圆方程即可．
【详细解析】
上式取等号的条件是3k^2^=1，即（9分）
当时，由④解得；
当时，由④解得．
将及这两组值分别代入①，
均可解出a^2^=5（11分）
经验证，a^2^=5，满足（☆）式．
所以，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程是x^2^+3y^2^=5（12分）学科\*网
5．已知点F是椭圆C的右焦点，A，B是椭圆短轴的两个端点，且△ABF是正三角形.
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）直线l与以AB为直径的圆O相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2，求椭圆C的标准方程．
【思路引导】
（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，焦距为2c，由△ABF是正三角形，得a=2b，b=，由此能求出椭圆的离心率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，所以椭圆方程为x^2^+4y^2^=4b^2^，设直线l与椭圆C的交点为M（x~1~，y~1~），N（x~2~，y~2~），若直线l与x轴垂直，则弦长\|MN\|=，当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y=kx+m，与x^2^+4y^2^=4b^2^联立，得：（1+4k^2^）x^2^+8kmx+4（m^2^﹣b^2^）=0，由此利用韦达定理、直线与圆相切性质，结合已知条件能求出椭圆C的方程．
【详细解析】
∴\|MN\|^2^=（）^2^=（1+k^2^）\[（﹣）^2^﹣4•\]
=，①
∵直线l与圆O相切，∴，解得m^2^=b^2^（1+k^2^），
代入①得\|MN\|^2^=•b^2^=4b^2^，
当且仅当3k^2^=1+k^2^，k=时，等号成立．
∴此时\|MN\|~max~=2b，于是弦长\|MN\|的最大值为2b=2，
∴b=，a=2，学科\*网
∴椭圆C的方程为．
6．如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且\|AB\|=\|BF\|．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若点M（﹣，）在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．
【思路引导】
（Ⅰ）由已知得，由此能求出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a^2^=4b^2^，设椭圆C：．设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~），由，，得，直线l的方程为2x﹣y+2=0．由，由此能求出椭圆C的方程．
【详细解析】
即2x﹣y+2=0．...（9分）
由，
即17x^2^+32x+16﹣4b^2^=0．
.，．
∵OP⊥OQ，∴，
即x~1~x~2~+y~1~y~2~=0，x~1~x~2~+（2x~1~+2）（2x~2~+2）=0，5x~1~x~2~+4（x~1~+x~2~）+4=0．
从而，解得b=1，
∴椭圆C的方程为．...（12分）学科\*网
7．已知A、B分别为曲线C：+y^2^=1（a＞0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B且与x轴垂直，P为l上异于点B的点，连结AP与曲线C交于点M．
（Ⅰ）若曲线C为圆，且\|BP\|=，求弦AM的长；
（Ⅱ）设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，若O、N、P三点共线，求曲线C的方程．
【思路引导】
（Ⅰ）先求出A、B、P的坐标，从而求出直线AP的方程，进而求出弦AM的长；
（Ⅱ）设出直线AP的方程，联立方程组，求出M点的坐标，结合BM⊥OP，求出a的值，从而求出曲线C的方程．
【详细解析】
（Ⅱ）由已知得A（﹣a，0），B（a，0），
由于点N在以BP为直径的圆上，且O、N、P三点中线，故BM⊥OP，
显然，直线AP的斜率k存在且k≠0，可设直线AP的方程为y=k（x+a），
由得：（1+a^2^k^2^）x^2^+2a^3^k^2^x+a^4^k^2^﹣a^2^=0，
设点M（x~M~，y~M~），∴x~M~•（﹣a）=，
故x~M~=，从而y~M~=k（x~M~+a）=，
∴M（，），
∵B（a，0），∴=（，），学科\*网
由BM⊥OP，可得•==0，
即﹣2a^4^k^2^+4a^2^k^2^=0，
∵k≠0，a＞0，∴a=，
经检验，当a=时，O、N、P三点共线，
∴曲线C的方程是：+y^2^=1．学科\*网
8．若椭圆ax^2^+by^2^=1与直线x+y=1交于A、B两点，且\|AB\|=2，又M为AB的中点，若O为坐标原点，直线OM的斜率为，求该椭圆的方程．\[来源:学科网\]
【思路引导】
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），AB的中点M（x~0~，y~0~）．联立，化为（a+b）x^2^﹣2bx+b﹣1=0，利用根与系数的关系和中点坐标公式可得OM的斜率==，再利用弦长公式可得=，联立解得即可．
【详细解析】
联立，
解得，满足（\*）
∴该椭圆的方程为：．学科\*网
9．已知直线*x*+*y*﹣1=0与椭圆相交于*A*，*B*两点，线段*AB*中点*M*在直线上．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆右焦点关于直线*l*的对称点在单位圆*x*^2^+*y*^2^=1上，求椭圆的方程．
【思路引导】
（Ⅰ）设出A、B两点的坐标，联立直线与椭圆的方程得关于x的一元二次方程；由根与系数的关系，可得x~1~+x~2~，y~1~+y~2~；从而得线段AB的中点坐标，代入直线l的方程，得出a、c的关系，从而求得椭圆的离心率．
（Ⅱ）设椭圆的右焦点坐标为F（b，0），F关于直线l的对称点为（x~0~，y~0~），则由互为对称点的连线被对称轴垂直平分，可得方程组，解得x~0~、y~0~；代入圆的方程 x~0~^2^+y~0~^2^=1，得出b的值，从而得椭圆的方程．
【详细解析】
∴a^2^=2b^2^=2（a^2^﹣c^2^），∴a^2^=2c^2^，
∴．...（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，设椭圆的右焦点F（b，0）关于直线l：的对称点为（x~0~，y~0~），
由，解得...（10分）
∵x~0~^2^+y~0~^2^=1，
∴，
∴b^2^=1，显然有a^2^+b^2^=3＞1
∴所求的椭圆的方程为．...（12分）
10.已知抛物线*C*的顶点在坐标原点，焦点在*x*轴上，△*ABC*的三个顶点都在抛物线上，且△*ABC*的重心为抛物线的焦点，若*BC*所在直线*l*的方程为4*x*＋*y*－20＝0.
> （Ⅰ）求抛物线*C*的方程；
>
> （Ⅱ）若*O*是坐标原点，*P*，*Q*是抛物线*C*上的两动点，且满足*PO*⊥*OQ*，证明：直线*PQ*过定点．\[来源:学\_科\_网\]
【思路引导】
（Ⅰ）联立直线与椭圆的方程得关于*x*的一元二次方程，由根与系数的关系，可得x~1~+x~2~，y~1~+y~2~，设出C点坐标，利用三角形重心公式，求出C点坐标，代入抛物线方程，即可列出关于p的方程，解出p，即可写出抛物线方程．
（Ⅱ）设出P、Q的坐标及直线PQ的方程，与抛物线方程联立消去x,得到关于y的一元二次方程，利用设而不求思想和向量垂直的充要条件列出关于PQ直线方程中参数的方程，解出参数的关系式，即可求出直线过的定点，注意分斜率存在与不存在两种情况讨论.\[来源:Zxxk.Com\]
【详细解析】
 
（Ⅱ）证明 当*PQ*的斜率存在时，设*PQ*的方程为*y*＝*kx*＋*b*，显然*k*≠0，*b*≠0，∵*PO*⊥*OQ*，∴*k~PO~k~OQ~*＝－1，
> 设*P*(*x~P~*，*y~P~*)，*Q*(*x~Q~*，*y~Q~*)，∴*x~P~x~Q~*＋*y~P~y~Q~*＝0，
>
> 将直线*y*＝*kx*＋*b*代入抛物线方程，得*ky*^2^－16*y*＋16*b*＝0，
>
> ∴*y~P~y~Q~*＝.从而*x~P~x~Q~*＝＝，∴＋＝0，
>
> ∵*k*≠0，*b*≠0，
>
> ∴直线*PQ*的方程为*y*＝*kx*－16*k*，*PQ*过点(16,0)；
>
> 当*PQ*的斜率不存在时，显然*PQ*⊥*x*轴，又*PO*⊥*OQ*，
>
> ∴△*POQ*为等腰三角形，由
>
> 得*P*(16,16)，*Q*(16，－16)，此时直线*PQ*过点(16,0)，
>
> ∴直线*PQ*恒过定点(16,0).
**11.已知**拋物线*y*^2^＝的焦点为*F*，斜率为的直线与该抛物线交于，且存在实数*λ*，使，＝.
（Ⅰ）求该抛物线的方程；
（Ⅱ）求△*AOB*的外接圆的方程．
【思路导引】（Ⅰ）由知A，B，F三点共线，设直线AB方程，代入抛物线方程化为关于x的一元二次方程，设A(x~1~，y~1~)，B(x~2~，y~2~)，利用韦达定理，用将表示出来，利用过抛物线焦点的弦长公式即可列出关于的方程，即可解出，从而写出抛物线方程.
（Ⅱ）将直线方程与抛物线方程联立，即可解出A、B点的坐标，利用待定系数法即可求出△*AOB*的外接圆的方程.
专题2 动点轨迹成曲线，坐标关系是关键
------------------------------------
**[【题型综述】]{.underline}**
1.动点轨迹问题解题策略一般有以下几种：
1. 直译法：一般步骤为：①建系,建立适当的坐标系；②设点,设轨迹上的任一点P(x，y)；③列式,列出动点P所满足的关系式；④代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；⑤证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
(3)代入法(相关点法)：动点*P*(*x*，*y*)依赖于另一动点*Q*(*x*~0~*，y*~0~*)*的变化而变化，并且*Q*(*x*~0~*，y*~0~*)*又在某已知曲线上，则可先用*x*，*y*的代数式表示*x*~0~，*y*~0~，再将*x*~0~，*y*~0~代入已知曲线得要求的轨迹方程；
(4)参数法：当动点*P*(*x*，*y*)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将*x*，*y*均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．
2.解轨迹问题注意：
（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.
（2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.
**[【典例指引】]{.underline}**
### 类型一 代点法求轨迹方程
例1 **【2017课标II，理】**设*O*为坐标原点，动点*M*在椭圆*C*：上，过*M*作*x*轴的垂线，垂足为*N*，点*P*满足。
(1) 求点*P*的轨迹方程；
(2)设点*Q*在直线上，且。证明：过点*P*且垂直于*OQ*的直线*l*过*C*的左焦点*F*。
因此点P的轨迹方程为。
（2）由题意知。设,则
，
。
由得，又由（1）知，故
。
所以，即。又过点*P*存在唯一直线垂直于*OQ*，所以过点*P*且垂直于*OQ*的直线过*C*的左焦点*F*。学科&网
### 类型二 定义法求轨迹方程
例2.【2016高考新课标1卷】设圆的圆心为*A*,直线*l*过点*B*（1,0）且与*x*轴不重合,*l*交圆*A*于*C*,*D*两点,过*B*作*AC*的平行线交*AD*于点*E*.
（I）证明为定值,并写出点*E*的轨迹方程；
（II）设点*E*的轨迹为曲线*C*~1~,直线*l*交*C*~1~于*M*,*N*两点,过*B*且与*l*垂直的直线与圆*A*交于*P*,*Q*两点,求四边形*MPNQ*面积的取值范围.
则,.
所以.
过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.
综上,四边形面积的取值范围为.学科&网
### 类型三 参数法求轨迹方程
**例3\[2016高考新课标Ⅲ文数\]**已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
> （I）若在线段上，是的中点，证明；
>
> （II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
则.
由题设可得，所以（舍去），.
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得.
而，所以.学科&网
当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. \....12分
### 类型四 直译法求轨迹方程
例4. 已知动圆过点，且在轴上截得的弦长为
（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；
（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，证明： 为定值，并求出这个定值.
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定"定点"是什么、"定值"是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
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> 1.若一个圆内含于另一个圆，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和；
>
> ⒉在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的半径。
>
> ⒊过两点的两条直线的斜率之积为一负常数的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。两定点为椭圆的顶点，两定点间的距离为长轴长。（时，焦点在x轴上；当 时，焦点在y轴上）
⒋将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的倍，该圆变成椭圆；
> ⒌连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。方椭圆的长半轴与圆的半径长相等；
>
> ⒍两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x轴的垂线， 则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。
### 【同步训练】
1．在平面直角坐标系中，设点 (1，0)，直线: ，点在直线上移动， 是线段与轴的交点, 异于点*R*的点*Q*满足： ， .
（1）求动点的轨迹的方程；
（2） 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线的弦. ，设. 的中点分别为．问直线是否经过某个定点？如果是，求出该定点，如果不是，说明理由．
【思路引导】（1）由已知条件知，点R是线段FP的中点，RQ是线段FP的垂直平分线，点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，写出抛物线标准方程．\
（2）设出直线AB的方程，把A、B坐标代入抛物线方程，再利用中点公式求出点M的坐标，同理可得N的坐标，求出直线MN的斜率，得到直线MN的方程并化简，可看出直线MN过定点．
 
2.已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当时，得到动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围.
【思路引导】(1)由相关点法得到Q点轨迹；（2）求出线段中点坐标，点在正方形内（包括边界）的条件是即，解出来即可.
【详细解析】（1）设动点，则，且，①
 3.在直角坐标系中， 已知定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设是曲线上两点，点关于轴的对称点为 (异于点)，若直线分别交轴于点，证明: 为定值.
【思路引导】（1）由两圆关系得等量关系，再根据椭圆定义确定轨迹形状及标准方程，（2）解析几何中定值问题，往往通过计算给予证明，先设坐标，列直线方程，求出与轴交点坐标，再利用点在椭圆上这一条件进行代入消元，化简计算为定值 .\[来源:学,科,网\]
【详细解析】(1)因为点在内，所以圆内切于圆，则，由椭圆定义知，圆心的轨迹为椭圆，且，则， 4.已知圆与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求动点的轨迹曲线的方程；\[来源:学科网\]
（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围.
【思路引导】（1）由圆与直线相切，可得.然后设动点，即可求解.\
（2）设出直线的，分斜率存在和不存在两种情形，以为直径的圆过坐标原点可转化为 .再把直线方程和椭圆方程联立
【详细解析】（1）设动点，由于轴于点学科&网
又圆与直线即相切，∴圆
将（\*）代入可得，即
即，又
将代入，可得
∴当且仅当，即时等号成立．又由，，．
②若直线的斜率不存在，因以为直径的圆过坐标原点，故可设所在直线方程为，联立解得 同理求得
故．综上，得．学科&网
5.已知椭圆，过点作直线交椭圆于两点， 是坐标原点．
（1）求中点的轨迹方程；
（2）求的面积的最大值，并求此时直线的方程．
【思路引导】（1）利用点差法，结合中点坐标公式，即可求中点的轨迹方程；
（2）令代入，利用韦达定理，表示出面积，利用函数的单调性，即可求面积的最大值，及此时直线的方程．
 
（2）令
联立
得：
因为
所以
所以
令
则在上单调递减，
当，即时，
此时， 学科&网
6.已知圆与轴交于两点，点为圆上异于的任意一点，圆在点处的切线与圆在点处的切线分别交于，直线和交于点，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）曲线与轴正半轴交点为，则曲线是否存在直角顶点为的内接等腰直角三角形，若存在，求出所有满足条件的的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由.
【思路引导】（1）设，则处的切线为，切线CD与AC,BD组方程组可求得C,D点坐标，再直线AD,BC组方程组，解点交点P轨迹方程。注意消参，需要用到点M在圆上。同时注意曲线方程变量范围。（2）设，则， 与椭圆组方程组，可求得GH,同理求得，再利用进行分类讨论。
①时，得得： 或
②时，得得： 或
综上，共分三种情况
①两条直角边所在直线方程为： ；
②两条直角边所在直线方程为：
③两条直角边所在直线方程为： 学科&网
7.在平面直角坐标系中，点，圆，以动点为圆心的圆经过点，且圆与圆内切.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若直线过点，且与曲线交于两点，则在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【思路引导】（1）根据两圆内切得，再根据椭圆定义得动点的轨迹的方程；（2）轴平分，就是直线的斜率相反，设直线，根据斜率坐标公式得，将直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入化简可得，即得.
8.已知点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，将曲线上所有点的纵坐标变为原来的一半，横坐标不变，得到曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）是曲线上两点，且， 为坐标原点，求面积的最大值.
【思路引导】（1）由直接法,即利用坐标表示条件，并化简可得，再根据伸缩变换得曲线E的方程为.（2）设直线方程为： ，由点到直线距离公式可得三角形高，由三角形面积公式可得，利用直线方程与椭圆方程联立方程,结合韦达定理及弦长公式可得，代入消元可得一元二次函数,利用二次函数性质求最值.
9.．已知点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）过点作直线交曲线于两点，交轴于点，若， ，证明： 为定值.
【思路引导】（1）设出动点坐标为，把斜率之积用坐标表示出来化简可得的方程（注意有些点不合要求）；
（2）解析几何中的定值问题，设点的坐标分别为.由，可求得，并代入曲线的方程，得的方程，同理得的方程，这样发现是方程的两个实数根，由韦达定理可得．
【详细解析】（1）设点，由已知得，学科&网
10.已知为坐标原点， ， 是椭圆上的点，且，设动点满足.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若直线与曲线相交于， 两个不同点，求面积的最大值.
【思路引导】(1)利用向量关系可得动点的轨迹的方程为.
(2)联立直线与椭圆的方程可得面积函数 ，注意等号成立的条件.
【详细解析】（1）设点，则由，得，即
（2）由曲线与直线联立得，
消得，因为直线与曲线交于， 两点，
所以，又，所以.
设， ，则， ，
因为点到直线： 的距离，
，
，所以 ，\[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.学科&网
11.已知圆： （），设为圆与轴负半轴的交点，过点作圆的弦，并使弦的中点恰好落在轴上．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）延长交曲线于点，曲线在点处的切线与直线交于点，试判断以点为圆心，线段长为半径的圆与直线的位置关系，并证明你的结论．
【思路引导】（1）由题意得 ，设中点为 则
得到关于 的方程就是点 的轨迹的方程.（2）设直线的方程为求出直线的方程并联立得到点坐标，由两点距离公式求出，再由点到直线的距离公式求出距离则线段长为半径的圆与直线相切.
（2） 设直线MN的方程为， ， ，直线BN的方程为，
，可得，
，则点A，所以直线AM的方程为，
， ，可得，
直线BN的方程为，
联立可得，
所以点， ， ，
∴与直线MN相切．
12.已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满足
（1）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；
（2）过点做直线与轨迹交于两点，若在轴上存在一点，使得是以点为直角顶点的直角三角形，求直线的斜率的取值范围.
【思路引导】（1）设动点，由于点在轴上，点在轴的正半轴上，于是可以根据条件表示出，再根据，坐标表示后整理可求出N点的轨迹方程，注意曲线上点坐标的取值范围；\[来源:学\#科\#网\]
（2）由题分析，直线的斜率显然存在且不为0，于是可设方程为，与曲线C的方程联立，消去未知数x，得到关于y的一元二次方程，设，于是得出， ，根据弦长公式求出，若在轴上存在一点，使得是以为直角顶点的直角三角形，则点到轴的距离不大于，转化为关于的不等式，可以求出取值范围.
\[来源:Z&xx&k.Com\]
专题3 图形面积求最值，函数值域正当时
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**[【题型综述】]{.underline}**
1、面积问题的解决策略：
（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形
2、多个图形面积的关系的转化：关键词"求同存异"，寻找这些图形的底和高中是否存在"同底"或"等高"的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化\[来源:Z,xx,k.Com\]
3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析
**[【典例指引】]{.underline}**
例1已知椭圆（）的一个顶点为，离心率为，直线（）与椭圆交于，两点，若存在关于过点的直线，使得点与点关于该直线对称．
（I）求椭圆的方程；
（II）求实数的取值范围；
（III）用表示的面积，并判断是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
 ，可得：
，则有：（），故
（III）法一（面积转化为弦长）：，到
的距离，，所以
，设，，则，所以在上是减函数，所以面积无最大值．学&科网
法二（面积坐标化公式）：易得向量，，则有
，
因，在上均为减函数，则在上均为减函数，所以面积无最大值．
可得的面积的取值范围为．
点评：（1）第二小问分为两个操作程序：①据对称性得到直线斜率与截距之间的关系；②据位置关系构建直线斜率与截距之间的不等关系．点关于直线对称的转化为对称轴为垂直平分线，法一进一步转化为等腰三角形，从而线段相等，利用两点距离公式进行坐标化，化简后得到交点坐标纵横坐标之和及弦的斜率，故可以使用韦达定理整体代入．实际上所有使用韦达定理整体代入这个处理方式的标准是题意韦达定理化：①条件与目标均能化为交点坐标和与积的形式；②横坐标纵坐标；法二则点差法处理弦中点问题．均可得到直线的斜率与截距之间的关系．构建不等式的方式：法一根据直线与椭圆的位置关系，利用判别式构建参数的不等式；法二根据点与椭圆的位置关系，利用中点在椭圆内构建参数的的不等式；故直线与椭圆相交可与点在椭圆内等价转化；
（2）第三小问分成两个操作程序：①构建面积的函数关系；②求函数的值域．法一利用底与高表示三角形面积，三角形的底则为弦长，三角形高则为点线距离．法二利用三角形面积的坐标公式，不管哪种面积公式，均会出现交点坐标之差，故从整道题全局来说，第二问使用韦达定理显得更流畅，时分比更高，所以要注意方法的选择与整合．关于分式型函数求最值，常见思路为：以分母为整体，分子常数化，往往化简为反比例函数、对勾函数及二次函数的复合函数，本题这个函数形式并不常见．特别要注意基本函数的和与差这种结构的函数，特殊情况可以直接判断单调性，这样可以避免导数过程．学&科网
**变式与引申**：若过点的直线交椭圆于，求四边形的面积的取值范围．
例2、已知椭圆的左、右两个焦点分别为，离心率，短轴长为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）点为椭圆上的一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点， 的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值.
【思路引导】
（1） 由题意得，再由， 标准方程为；（2）①当的斜率不存在时，不妨取
； ②当的斜率存在时，设的方程为，联立方程组
，又直线的距离 点到直线的距离为
面积的最大值为.
解析：（1） 由题意得，解得，学&科网
化简得，
设
点到直线的距离
学&科网\[来源:学科网\]
因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，
∴
综上， 面积的最大值为.学&科网
【点评】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离、弦长公式和三角形面积公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. 第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）利用分类与整合思想分当的斜率不存在与存在两种情况求解，在斜率存在时，由舍而不求法求得 ，再求得点到直线的距离为 面积的最大值为.
例3、已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C 的轨迹方程；
（2）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．
【思路引导】
（Ⅰ）设，由题意得，化简可得曲线的方程为 ； （Ⅱ）设，切线方程为，与抛物线方程联立互为，由于直线与抛物线相切可得，解得，可切点，由，利用韦达定理，得到，得到为直角三角形，得出三角形面积的表达式，即可求解三角形的最小值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程的求解．
【点评】本题主要考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点间的距离公式、三角形的面积公式、二次函数的性质等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中把切线的方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，表示出三角形的面积是解答问题的关键．
例4、已知椭圆的焦距为2,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点作圆的切线,切点分别为,直线与轴交于点,过点作直线交椭圆于两点,点关于轴的对称点为,求面积的最大值.
【思路引导】
(Ⅰ)由椭圆的焦点为，离心率为，求出，由此能求出椭圆的标准方程；(Ⅱ)
由题意，得、 、、 四点共圆，该圆的方程为，得的方程为，直线的方程为，设，则，从而最大， 就最大，可设直线的方程为，由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出的面积的最大值.
试题解析：(Ⅰ)由题意, ,解得,由,解得;
所以椭圆的标准方程为.
又直线与椭圆交于不同的两点,则,即,
,
令,则,
令,则函数在上单调递增,
即当时, 在上单调递增,因此有；
所以,当时取等号. 学&科网
故面积的最大值为3.
【点评】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、韦达定理和三角形面积公式及单调性求最值，属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用函数单调法面积的最大值的.
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椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式：
（1）椭圆：设为椭圆上一点，且，则
（2）双曲线：设为双曲线上一点，且，则
### 【同步训练】
1．已知椭圆： （）的短轴长为2，离心率为，直线： 与椭圆交于， 两点，且线段的垂直平分线通过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当（为坐标原点）面积取最大值时，求直线的方程.
【答案】（1）（2）或或
【思路引导】
（1）由已知可得解出即可（2）设， ，联立方程写出韦达定理，由， ， ．求出表达式然后根据函数， .求得面积最大值从而确定直线方程
，当时，取到等号.
则:
当时，因为线段的垂直平分线过点，
所以 ，化简整理得．
由得．学&科网
又原点到直线的距离为．
【点评】先根据定义列出相关等式，求解方程即可，对于直线与椭圆的综合，要熟悉弦长公式， ，然后联立方程写出表达式，根据函数特征求出最值从而确定参数的值得出结果.在做此类题型时计算一定要认真仔细.
2．已知抛物线，圆，点为抛物线上的动点， 为坐标原点，线段的中点的轨迹为曲线.
（1）求抛物线的方程；
（2）点是曲线上的点，过点作圆的两条切线，分别与轴交于两点.
求面积的最小值.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.
【思路引导】
（Ⅰ）由题意可得，设中点坐标，表示出点，将其代入到抛物线方程中，即可得到抛物线的方程；（Ⅱ）由题意可设切线方程为： ，进而得到切线与*x*轴的交点为，由圆心到切线方程的距离为半径，得到，由韦达定理，可得到的函数关系式，利用函数的单调性可求出面积最小值.
试题解析：（Ⅰ）设，则点在抛物线上，学&科网
则，
∴
记，则，
∵，
∴在上单增，∴，∴，
∴面积的最小值为． 学&科网
【点评】本题主要考查以抛物线与圆的方程为载体，考查了抛物线的标准方程，考查了直线与圆相切问题，切线的性质，同时考查了利用导数法解决函数的最值问题，综合性较强，正确利用已知条件转化成一元二次方程，再利用韦达定理即可求出面积的函数表达式，再利用函数的单调性即可求出最值.
3．已知椭圆的长轴长为，左焦点，若过点的直线与椭圆交于两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证： ；
（3）求面积的最大值．
【答案】（1）（2）见解析（3）
【思路引导】
（1）由椭圆几何意义得，解得（2）即证： ，设， 直线方程为，即证，联立直线方程与椭圆方程，代入化简即证（3）利用三角形面积公式得，再利用直线方程得，利用弦长公式可得一元函数 ，利用换元可化为一元二次函数： ， ，根据二次函数对称轴与定义区间位置关系可得最值
（3）
令 则
当（满足），所以的最大值为
【点评】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
4．已知点，椭圆的离心率为是椭圆的焦点，直线的斜率为为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆相交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【思路引导】
（1）设出F，由直线AF的斜率为，求得c，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；\
（2）当l⊥x轴时，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx-2，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0求得k的范围，再由弦长公式求得\|PQ\|，由点到直线的距离公式求得O到l的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k值，则直线方程可求．
  5．在平面直角坐标系中， 满足，设点的轨迹为，从上一点向圆作两条切线，切点分别为，且.
（1）求点的轨迹方程和；
（2）当点在第一象限时，连接切点，分别交轴于点，求面积最小时点的坐标.
【答案】（1）， ；（2）.
【思路引导】
（1）根据，由两点坐标运算即可解得；
（2）写出切线的方程，解得与轴的交点，与轴的交点的坐标，写出面积公式进而求解即可.
试题解析：（1）由题知 ，整理得， 点的轨迹方程是， 在中， ，即圆的半径.
（2）设点.
为圆的切线，
6．如图，已知椭圆： 的离心率为， 、为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2， 、为椭圆上异于、的两点，且直线的斜率等于直线斜率的2倍．
（Ⅰ）求证：直线与直线的斜率乘积为定值；
（Ⅱ）求三角形的面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.
【思路引导】
（Ⅰ）由椭圆的方程可得点P,A,B的坐标，利用两点式求直线斜率的方法可求出BP,BQ的斜率乘积为定值-1；（Ⅱ）当直线的斜率存在时， ， ， ，当直线的斜率不存在时， ，故综合的最大值为.
试题解析：
点为右端点，舍去，
，令（），
， ， ，
当直线的斜率不存在时， ， ，
，即，解得，，，
所以的最大值为.
7．已知椭圆经过点，离心率.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值。\[来源:学。科。网Z。X。X。K\]
【答案】(1) ;(2)1.
【思路引导】
（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在，不合题意，可设直线l：y=kx﹣2，P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~），联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及弦长公式，点到直线的距离公式，由三角形的面积公式，运用换元法和基本不等式即可得到所求最大值．
8． 如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．
（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线， 、分别为两个切点，求面积的最小值．
【答案】(Ⅰ) 的方程为 其准线方程为；(Ⅱ)2.
【思路引导】
（I）由题意抛物线 的焦点为抛物线 的顶点（ ，由此算出 从而得到抛物线 的方程，得到 的准线方程；\
（II）设则可得切线， 的方程，进而可得
所以直线的方程为.
联立由韦达定理得，可求得．
进而求得点到直线的距离． 则的面积所以当时， 取最小值为。即面积的最小值为2.
9．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F~1~（﹣1，0），离心率e=．
（1）求椭圆G 的标准方程；
（2）已知直线l~1~：y=kx+m~1~与椭圆G交于 A，B两点，直线l~2~：y=kx+m~2~（m~1~≠m~2~）与椭圆G交于C，D两点，且\|AB\|=\|CD\|，如图所示．
①证明：m~1~+m~2~=0；
②求四边形ABCD 的面积S 的最大值．
【答案】（1） （2）①见解析②
【思路引导】
（1）由焦点坐标及离心率可求得，即可求椭圆G 的标准方程；（2）①利用弦长公式及韦达定理，表示出由，由得到；②四边形是平行四边形，设间的距离，由得，即可.
（2）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），C（x~3~，y~3~），D（x~4~，y~4~）
①证明：由消去y得（1+2k^2^）x^2^+4km~1~x+2m~1~^2^﹣2=0
，
x~1~+x~2~=，x~1~x~2~=；
\|AB\|==2；
同理\|CD\|=2，
由\|AB\|=\|CD\|得2=2，
∵m~1~≠m~2~，∴m~1~+m~2~=0
②四边形ABCD 是平行四边形，设AB，CD间的距离d=
∵m~1~+m~2~=0，∴
∴s=\|AB\|×d=2×
=.
所以当2k^2^+1=2m~1~^2^时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为2
10．已知椭圆： （）的短轴长为2，以为中点的弦经过左焦点，其中点不与坐标原点重合，射线与以圆心的圆交于点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若四边形是矩形，求圆的半径；
（Ⅲ）若圆的半径为2，求四边形面积的最小值.
【答案】(1) ;(2) .（3）四边形面积的最小值为.
【思路引导】
（Ⅰ）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ， ，求出 、 、，即可得结果；（Ⅱ）设直线的方程为，直线与曲线联立，根据韦达定理结合，可求出，从而可得结果；（Ⅲ）根据弦长公式，点到直线距离公式和三角形面积公式可得四边形面积 ，利用单调性可得结果.
 
（Ⅲ）当圆的半径为2时，由（Ⅱ）可知的中点为，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为.
设点到直线的距离为，因为点是弦的中点，
所以点到直线的距离也为，则.
因为点， 位于直线的异侧，所以.
所以 .
又因为，
所以\[来源:学科网\]
所以四边形面积
，其中.\[来源:学科网\]
可知当时， ，即四边形面积的最小值为.
专题4 目标范围与最值，函数处理最相宜
------------------------------------
**[【题型综述】]{.underline}**
圆锥曲线中的目标取值范围与最值问题关键是选取合适的变量建立目标函数，转化函数的取值范围与最值问题，其求解策略一般有以下几种：①几何法：若目标函数有明显几何特征和意义，则考虑几何图形的性质求解；②代数法:若目标函数的几何意义不明显，利用基本不等式、导数等方法求函数的值域或最值，注意变量的范围，在对目标函数求最值前，常要对函数进行变换，注意变形技巧，若一个函数式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次式的二次根式，则可以通过换元的方法把其转化为分母为二次式、分子为一次式的函数式，这样便于求解此函数式的最值.学\@科网
**[【典例指引】]{.underline}**
### 类型一 角的最值问题
例1 【2017山东，理21】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.
【解析】（I）由题意知 ，，所以 ，
因此 椭圆的方程为.
（Ⅱ）设，联立方程
得，由题意知，且，\[来源:学&科&网\]
所以 .
由题意可知圆的半径为
由题设知，所以因此直线的方程为.
因此 ，
当且仅当，即时等号成立，此时，所以 ，因此，
所以 最大值为.综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.
### 类型二 距离的最值问题
例2.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线，点*A*，，抛物线上的点．过点*B*作直线*AP*的垂线，垂足为*Q*．
> （Ⅰ）求直线*AP*斜率的取值范围；
>
> （Ⅱ）求的最大值．
【解析】（Ⅰ）设直线*AP*的斜率为*k*，则，∵，∴直线*AP*斜率的取值范围是．
令，因为，所以 *f*(*k*)在区间上单调递增，上单调递减，因此当*k*=时，取得最大值．
### 类型三 几何图形的面积的范围问题
**例3**【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为*A*,直线*l*过点*B*（1,0）且与*x*轴不重合,*l*交圆*A*于*C*,*D*两点,过*B*作*AC*的平行线交*AD*于点*E*.学\*科网
（I）证明为定值,并写出点*E*的轨迹方程；
（II）设点*E*的轨迹为曲线*C*~1~,直线*l*交*C*~1~于*M*,*N*两点,过*B*且与*l*垂直的直线与圆*A*交于*P*,*Q*两点,求四边形*MPNQ*面积的取值范围.
【解析】（Ⅰ）因为,,故,
所以,故.
又圆的标准方程为,从而,所以.
由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
（）.
（Ⅱ）当与轴不垂直时,设的方程为,,.
由得.
可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.
综上,四边形面积的取值范围为.
### 类型四 面积的最值问题
例4.【2016高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系中，椭圆*C*： 的离心率是，抛物线*E*：的焦点*F*是*C*的一个顶点.\
（I）求椭圆*C*的方程；
（II）设*P*是*E*上的动点，且位于第一象限，*E*在点*P*处的切线与*C*交与不同的两点*A*，*B*，线段*AB*的中点为*D*，直线*OD*与过*P*且垂直于*x*轴的直线交于点*M*.学\#科网
（i）求证：点*M*在定直线上;
（ii）直线与*y*轴交于点*G*，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点*P*的坐标.
【解析】（Ⅰ）由题意知，可得：.
因为抛物线的焦点为，所以，
所以椭圆*C*的方程为.
（Ⅱ）（i）设，由可得，
所以直线的斜率为，\[来源:Zxxk.Com\]
因此直线的方程为，即.
设，联立方程
得，
由，得且，
（ii）由（i）知直线方程为，\[来源:学科网ZXXK\]
令得，所以，
又，
所以，
，
所以，
令，则，
当，即时，取得最大值，此时，满足，
所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.
**[【扩展链接】]{.underline}**
**1.**过椭圆 (*a*＞0, *b*＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
**2.若椭圆** (*a*＞0, *b*＞0)与直线交于，则
（1）
（2），，
（3），.
**[【同步训练】]{.underline}**
1．已知椭圆（）的离心率，椭圆过点
（1）求椭圆的方程；
（2）直线的斜率为，直线与椭圆交于两点，已知，求面积的最大值.
【思路点拨】（1）由椭圆的离心率得到a，b的关系，再由椭圆过定点P得另一关系式，联立后求得a，b的值，则椭圆方程可求；学%科网\
（2）设出直线l的斜截式方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系及弦长公式求得弦长，由点到直线的距离公式求出AB边上的高，代入面积公式后利用基本不等式求最值．
【详细解析】（1）∵，∴，
∵椭圆过点，∴，
当且仅当，即时取得最大值2.
2.已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，为椭圆的离心率，且点为椭圆短半轴的上顶点，为等腰直角三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作不与坐标轴垂直的直线，设与圆相交于两点，与椭圆相交于两点，当且时，求的面积的取值范围.
【思路点拨】（1）根据条件列出关于两个独立条件：，，解方程组可得，（2）设直线的方程为，，将条件用坐标表示，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简条件得．因为，所以利用韦达定理计算．最后根据自变量范围，利用对勾函数求函数值域.
【详细解析】（1）由是等腰直角三角形，得，
从而得到，故而椭圆经过， 
代入椭圆方程得，解得，
所求的椭圆方程为．
（2）由（1）知，由题意，设直线的方程为，
，\[来源:Z§xx§k.Com\]
由得，
则
．
∵，∴，解得．
由消得．
设，
，，
则
．
设，则，其中，
∵关于在上为减函数，
∴，即的面积的取值范围为．
3.已知椭圆的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两点， 为坐标原点，若，求原点到直线的距离的取值范围.
【思路点拨】（1）由已知求得，再由椭圆离心率及隐含条件求得，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求得，再由，可得，从而求得的范围，再由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，则取值范围可求．
【详细解析】（1）设焦距为，由已知， ，∴，又，解得，∴椭圆的标准方程为；
2. 设， ，联立得，依题意， ，化简得，①， ， ， ，若，则，即，∴，
∴，即，化简得，②，由①②得， ，∵原点到直线的距离，∴，又∵，∴，
∴原点到直线的距离的取值范围是
4.已知椭圆C：的左、右焦点分别是，离心率为，过右焦点的直线与椭圆C相交于A、B两点，的周长为8.学\#科网
(1)求椭圆C的方程；
(2)求面积的最大值．
【思路点拨】（1）由△*F*~1~*AB*的周长可得的值，再由离心率的值可得，由的关系可得的值，由此可得椭圆的方程；（2）可设的坐标及直线的方程,则的面积可转化为求， 联立椭圆与直线的方程可得，由基本不等式即可得的面积的最大值.
【详细解析】(1)∵△*F*~1~*AB*的周长为8，
∴4*a*＝8，∴*a*＝2，
又椭圆*C*的离心率*e*＝＝，∴*c*＝，∴*b*^2^＝*a*^2^－*c*^2^＝1.
∴椭圆*C*的方程为＋*y*^2^＝1.
(2)由题设知，直线*l*不能与*x*轴重合，故可设直线*l*的方程为*x*＝*my*＋ (*m*∈R)．
由，得(*m*^2^＋4)*y*^2^＋2*my*－1＝0.
设*A*(*x*~1~，*y*~1~)、*B*(*x*~2~，*y*~2~)，
5.已知椭圆过点，椭圆的左焦点为，右焦点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，且，直线与直线分别交于两点．
（1）求椭圆的方程及线段的长度的最小值；
（2）是椭圆上一点，当线段的长度取得最小值时，求的面积的最大值．
【思路点拨】（1）由椭圆和抛物线*y*^2^＝4*x*有共同的焦点，求出抛物线的焦点坐标，根据a^2^=b^2^+c^2^，即可求得椭圆C的方程；\
（2）根据（1）写出点A，B，设点P和直线AP，BP的方程，并且与直线y=3分联立，求出G，H两点，根据两点间的距离公式，根据求函数的最值方法可求, 当平行于的直线与椭圆下方相切时， 的面积取最大值,求此时三角形面积即可.
【详细解析】（1）由，得，所以，
又椭圆过点，
所以，解得，
故椭圆的方程为，
设点，则由，得，
即，则，
由，得，
所以线段的长度取得最小值.
当平行于的直线与椭圆下方相切时， 的面积取最大值，
设直线，则由，得，
则，所以，或（舍去）．
由平行线间的距离公式，得此时点到直线的距离.
故，
即的面积的最大值为.
6.已知椭圆的离心率为，点， ， 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线： 被圆： 所截得的弦长为，若直线与椭圆交于， 两点，求面积的最大值．
【思路点拨】（1）利用离心率可以得出的关系，化为的关系，再利用的面积列出的方程，借助解出，写出椭圆方程；（2）联立方程组，化为关于的一元二次方程，利用设而不求思想，借助根与系数关系，利用弦长公式表示出弦长，写出面积，利用换元法和配方法求出最值.
【详细解析】（1）由题意，椭圆的焦点在轴上，设椭圆标准方程为，则，所以，即，可得，
，
∴，∴， ，
所以椭圆的方程为．
（2）由题意知，圆心到直线的距离为1，即，所以．
由消去，得，
∴，所以，
设， ，则， ，
所以
，
所以的面积为 ，
令，
则，
所以当，即时， 面积取到最大值1．
7.如图，在平面直角坐标系中，已知圆： ，点，点（），以为圆心， 为半径作圆，交圆于点，且的平分线交线段于点.
（1）当变化时，点始终在某圆锥曲线上运动，求曲线的方程；
（2）已知直线 过点 ，且与曲线交于 两点，记面积为， 面积为，求的取值范围.
【思路点拨】（1）推导出△QAB≌△QPB，从而QC+QA=4，由椭圆的定义可知，Q点的轨迹是以C，A为焦点， 的椭圆，由此能求出点Q的轨迹方程．\
（2）设直线l：x=my-1，设M（x~1~，y~1~），N（x~2~，y~2~），推导出，由得，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件求出的取值范围.
【详细解析】（1）∵， ， ，
∴≌，∴，
∵，
由椭圆的定义可知， 点的轨迹是以， 为焦点， 的椭圆，
故点的轨迹方程为.
∵，即，
∴，
∴ .
8.已知抛物线过点（2,1）且关于轴对称.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知圆过定点，圆心在抛物线上运动，且圆与轴交于两点，设，求的最大值.
【思路点拨】（1）设出抛物线的标准形式，代入已知点坐标即可求解；
（2）设M（*a*，*b*），则*a*^2^=4*b*．半径R=，可得 M的方程为（*x-a*）^2^+（*y-b*）^2^*=a*^2^+（*b*-2）^2^，令*y*=0，解得*x*，可得*A*，*B*．利用两点之间的距离公式可得：*l*~1~，*l*~2~，代入利用基本不等式的性质即可得出．
（2）设圆M的圆心坐标为，则①
圆M的半径为
圆M的方程为
令，则
整理得②
由①②解得，
不妨设，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
当时，，
综上可知，当时，所求最大值为.
9.已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）
（1）求动点的轨迹方程；
（2）当时，得到动点的轨迹为曲线，斜率为1的直线与曲线相交于，两点，求面积的最大值.
【思路点拨】（1）根据条件用Q点坐标表示A点坐标，再代入化简可得的轨迹方程；（2）设直线的方程为，根据点到直线距离公式可得三角形的高，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式可得三角形底边边长，再根据三角形面积公式可得，最后根据基本不等式求最大值
【详细解析】（1）设动点，则，且，①
又，得，
代入①得动点的轨迹方程为．
（2）当时，动点的轨迹曲线为．
设直线的方程为，代入中，
得，
由，∴，
设，，
∵点到直线的距离，，
，
当且仅当，即时取到最大值．
∴面积的最大值为．
10.已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若，求的最小值．
【思路点拨】（1）根据抛物线的定义知，，
∵，从而可求出，进而可得结果；（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，根据韦达定理，弦长公式将用 表示，换元后利用基本不等式可得结果.\[来源:学科网\]
【详细解析】（1）根据抛物线的定义知，，
∵，
∴，
∴．
（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，
∵，即，
∴，即，
∴，
∴，，
  ，
，
∴，
令，，则．
11.已知椭圆经过，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点作直线交椭圆于两点，求四边形面积的最大值（为坐标原点）.学\*科网
【思路点拨】（1）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ，求出 、 、，即可得结果；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得： ，根据韦达定理及三角形面积公式可得，利用基本不等式可得结果.
【详细解析】（1）由题设得： ，解得：
椭圆方程为.
，其中.
，其中.
时， 单调递增， （当时取等号）.
12.已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为3，线段的两端点， 在抛物线上.
（1）求抛物线的方程；
（2）若轴上存在一点，使线段经过点时，以为直径的圆经过原点，求的值；
（3）在抛物线上存在点，满足，若是以角为直角的等腰直角三角形，求面积的最小值.
【思路点拨】（1）根据抛物线的定义，丨QF丨=丨QQ~1~丨，即可求得p的值，即可求得抛物线方程；\
（2）设AB的方程，代入椭圆方程，由，根据向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得m的值；\
（3）设， ， ，根据抛物线关于轴对称，取，记， ，则有， ，所以， ， ，由，即，进而化简求出，得： ， ，即可求得△ABD面积的最小值．
【详细解析】（1）设抛物线的方程为，抛物线的焦点为，则，所以，
则抛物线的方程为.
（2）设直线的方程为，要使以为直径的圆经过原点，则只需即可，
联立方程 ，则， ，
，
解得： .
（3）如图所示，
即，将代入得：
进而化简求出，得： ，
则，可以先求的最小值即可，
，令，
则
，
所以可以得出当即时， 最小值为，此时，
即当， ， 时， 为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为16.
专题5 参数范围与最值，不等解建不宜迟
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**[【题型综述】]{.underline}**
参数范围与最值问题解题策略一般有以下几种：
1. 几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质构造含参数的不等式，通过解不等式解出参数的范围和最值.
(2)代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
④利用基本不等式求出参数的取值范围；
⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
参数的范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.学\*科网
**[【典例指引】]{.underline}**
### 类型一 参数范围问题
例1 【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点.
（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；
（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。
【解析】圆M的标准方程为，所以圆心M(6，7)，半径为5,.
（1）由圆心在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，
所以，于是圆N的半径为，从而，解得.
因此，圆N的标准方程为.
(2)因为直线l\|\|OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，
则圆心M到直线l的距离
因为
而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
所以 解得.
因此，实数*t*的取值范围是.
### 类型二 方程中参数范围问题
例2.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系*xOy*中，已知直线，抛物线
（1）若直线*l*过抛物线*C*的焦点，求抛物线*C*的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点*P*和*Q*.
①求证：线段*PQ*的中点坐标为；
②求*p*的取值范围.
【解析】（1）抛物线的焦点为
由点在直线上，得，即
所以抛物线C的方程为
因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以
从而，化简得.
方程（\*）的两根为，从而
因为在直线上，所以
因此，线段PQ的中点坐标为
②因为在直线上
所以，即
由①知，于是，所以
因此的取值范围为学......科网
### 类型三 斜率范围问题
**例3**【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
> （2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.
【解析】（1）设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.
由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.
设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.
所以，直线的斜率的取值范围为.
### 类型四 离心率的范围问题
例4.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆（*a*＞1）.
（I）求直线*y*=*kx*+1被椭圆截得的线段长（用*a*、*k*表示）；
（II）若任意以点*A*（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值\[来源:学科网ZXXK\]
范围.
【解析】（1）设直线被椭圆截得的线段为，由得
，
故，．
因此．
由于，，得
，
因此， ①
因为①式关于，的方程有解的充要条件是
，所以．
因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，
由得，所求离心率的取值范围为．
**[【扩展链接】]{.underline}**
**1.**若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设
过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①
 ；②
若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设
过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①
；②
同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）
结论：椭圆过焦点弦长公式：
**2.**过椭圆左焦点的焦点弦为,则；过右焦
点的弦.学\*科网
3. 抛物线与直线相交于且该直线与轴交于点，则有.
4.设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则
①.
②.
③.\[来源:学§科§网\]
④.；
⑤.；
⑥.；
### 【同步训练】
1．已知椭圆的右焦点为，离心率为.
（1）若，求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.
【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得，，所以椭圆的方程为.
(2)联立直线与椭圆的方程，集合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算法则可得 ，结合离心率的范围可知则的取值范围是.
【详细解析】（1）由题意得，∴.
又因为，∴.
所以椭圆的方程为.
（2）由 得.
设.所以，
2.在 中，顶点 所对三边分别是 已知 ,且 成等差数列.
(1)求顶点 的轨迹方程；
\(2\) 设顶点A的轨迹与直线 相交于不同的两点 ，如果存在过点的直线 ,使得点 关于 对称，求实数 的取值范围
【思路点拨】(1 ) 由 成等差数列，可得 ；结合椭圆的定义可求得 的轨迹方程为；(2)将 与椭圆方程联立，判别式大于得 .根据点关于直线 对称，得.讨论 ， 两种情况即可求出 的取值范围.学%科网
【详细解析】（1）由题知 得 ，即 （定值）．
由椭圆定义知，顶点 的轨迹是以 为焦点的椭圆（除去左右顶点），
且其长半轴长为 ，半焦距为 ，于是短半轴长为 ．
∴ 顶点 的轨迹方程为 ．
（2）由
消去整理得,
∴ ，整理得： ...①.
令 ，则 .
设 的中点 ，则  .
i)当 时，由题知， ．
ii)当 时，直线 方程为 ，
3.已知A，B，C是椭圆C： （a\>b\>0）上的三点，其中点A的坐标为(2，0)，BC过椭圆的中心，且·＝0，\|\|＝2\|\|
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点(0，t)的直线l(斜率存在)与椭圆C交于P，Q两点，设D为椭圆C与y轴负半轴的交点，且\|\|＝\|\|，求实数t的取值范围．
【思路点拨】（1）根据点的坐标求出a，然后根据求出b,即可求出椭圆方程。（2）根据题意设出直线方程，与（1）中椭圆方程联立，设运用违达定理运算，求出t的取值范围。\[来源:Z+xx+k.Com\]
【详细解析】（1）由A的坐标为(2，0)，所以， ，知OC=AC,所以C(),代入椭圆方程，得b=2,所以椭圆标准方程： 。
（2）显然，当直线k=0,时满足，此时-2\<t\<2,
当直线时，设直线方程：y=kx+t,由消去整理得，
设，PQ中点，D(0,-2), 则，，化简得，得， ，所以，代入,化简得，代入，即，所以
综上所述，
4.已知椭圆的方程是，双曲线的左右焦点分别为
的左右顶点，而的左右顶点分别是的左右焦点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点，且与的两个交点A和B 满足，求的取值范围.
【思路点拨】（1）求出椭圆的焦点即为双曲线的顶点，椭圆的顶点即为双曲线的焦点，即有a=，c=2，b=1．即可得到双曲线方程；
（2）联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量的数量积的坐标运算，化简和整理得到k的不等式，解出求它们的交集即可．学%科网
【详细解析】（1）椭圆C~1~的方程为的左、右焦点为（﹣，0），（，0），
则C~2~的左、右顶点为（﹣，0），（，0），C~1~的左、右顶点为（﹣2，0），（2，0），则C~2~的左、右焦点为（﹣2，0），（2，0）．则双曲线的a=，c=2，b=1．
即有双曲线C~2~的方程为： ；
5.已知椭圆：（）的短轴长为2，离心率是.
（1）求椭圆的方程；
（2）点，轨迹上的点，满足，求实数的取值范围.
【思路点拨】（1）由已知即可以解得a,b,c的值；（2）先要考虑斜率不存在的情况，斜率存在时，联立直线与椭圆，韦达定理结合向量的横坐标，得出，，化简得，结合解得，从而解出的取值范围.
【详细解析】（1）由已知 ，，设
的方程为
（2）过的直线若斜率不存在，则或3.
设直线斜率存在，
 \[来源:学§科§网\]
则
由（2）（4）解得，代入（3）式得
化简得
由（1）解得代入上式右端得
解得
综上实数的取值范围是.
6.已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）学......科网
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当时，得到动点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围.
【思路点拨】(1)由相关点法得到Q点轨迹；（2）求出线段中点坐标，点在正方形内（包括边界）的条件是即，解出来即可；
【详细解析】（Ⅰ）设动点，则，且，①
又，得，
代入①得动点的轨迹方程为．
（Ⅱ）当时，动点的轨迹曲线为．
直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，代入，
得，
由，
解得，②
设，线段的中点，
则．
7.已知曲线C上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=-3的距离小2
（1）求曲线C的方程
（2）过点F且斜率为K的直线L交曲线C于A、B两点，交圆F：于M、N两点（A、M两点相邻）若  ，当 时，求K的取值范围
【思路点拨】（1）由动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣3的距离小2，可得动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣3的距离，利用抛物线的定义，即可求动点P的轨迹W的方程；
（2）由题意知，直线l方程为y=kx+1，代入抛物线得x^2^﹣4kx﹣4=0，利用条件，结合韦达定理，可得4k^2^+2= ，利用函数的单调性，即可求k的取值范围；
【详细解析】（1）由题意，动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣3的距离小2，
∴动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离，
∴动点P的轨迹是以F（0，1）为焦点的抛物线，标准方程为x^2^=4y；
（2）①依题意设直线l的方程为y=kx+1，代入x^2^=4y，得x^2^﹣4kx﹣4=0，△=（﹣4k）^2^+16＞0，\[来源:学科网\]
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），则x~1~+x~2~=4k，x~1~x~2~=﹣4，
∵， ∴（﹣x~2~，y~2~）=λ（x~1~﹣x~2~，y~1~﹣y~2~）， ，
 ，
即4k^2^+2= ，
∵λ∈\[\]，∴ ，
∵函数f（x）=x+ 在\[ \]单调单调递减，
∴4k^2^+2∈\[2，\]，
∴k的取值范围是\[﹣， \]．
8.如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的右顶点为A（2，0），左、右焦点分别为F~1~、F~2~，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F~1~．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点（\|PM\|＞\|PN\|），若S~△PAM~：S~△PBN~=λ，求实数λ的取值范围．
【思路点拨】（1）利用已知条件列出方程组，求解椭圆的几何量，然后求解椭圆C的方程．
（2）利用三角形的面积的比值，推出线段的比值，得到．设MN方程：y=kx﹣1，M（x~1~，y~1~），N（x~2~，y~2~），联立方程，利用韦达定理，求出，解出，将椭圆方程，然后求解实数λ的取值范围．
【详细解析】（1）因为BF~1~⊥x轴，得到点，
所以，所以椭圆C的方程是．
（2）因为，
所以．由（Ⅰ）可知P（0，﹣1），设MN方程：y=kx﹣1，M（x~1~，y~1~），N（x~2~，y~2~），
联立方程得：（4k^2^+3）x^2^﹣8kx﹣8=0．即得（\*）
又，有，
将代入（\*）可得：．
因为，有，
则且λ＞2．
综上所述，实数λ的取值范围为．
9.如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F~1~、F~2~，\|AB\|=4，\|F~1~F~2~\|=2，直线y=kx+m（k＞0）交椭圆于C、D两点，与线段F~1~F~2~及椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且\|CM\|=\|DN\|．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）若m＞0，设直线AD、BC的斜率分别为k~1~、k~2~，求的取值范围．
【思路点拨】（1）由，求出a，c，然后求解椭圆的离心率．
（2）设D（x~1~，y~1~），C（x~2~，y~2~）通过，结合△＞0推出m^2^＜4k^2^+1，利用韦达定理\|CM\|=\|DN\|．求出直线的斜率，然后表示出，然后求解它的范围即可．
【详细解析】（1）由，可知即椭圆方程为........．（2分）
离心率为...．...．（4分）
（2）设D（x~1~，y~1~），C（x~2~，y~2~）易知...．（5分）
由消去y整理得：（1+4k^2^）x^2^+8kmx+4m^2^﹣4=0，
由△＞0⇒4k^2^﹣m^2^+1＞0即m^2^＜4k^2^+1，...（6分）
且\|CM\|=\|DN\|即可知，即，解得...．（8分）
10.在平面直角坐标系xOy中，过椭圆右焦点F的直线x+y﹣2=0交C于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过点F的直线l（不与坐标轴垂直）与椭圆交于D，E两点，若在线段OF上存在点M（t，0），使得∠MDE=∠MED，求t的取值范围．
【思路点拨】（1）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），利用平方差法，结合，设P（x~0~，y~0~），推出a^2^=3b^2^，结合c=2然后求解椭圆C的方程．
（2）设线段DE的中点为H，说明MH⊥DE，设直线l的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆C的方程为，设D（x~3~，y~3~），E（x~4~，y~4~），利用韦达定理求出H的坐标，通过k~MH~•k~l~=﹣1，求解即可．
【详细解析】（1）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），则，
相减得，，由题意知，
设P（x~0~，y~0~），因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以，即，
所以可以解得a^2^=3b^2^，即a^2^=3（a^2^﹣c^2^），即，又因为c=2，∴a^2^=6，
所以椭圆C的方程为．
（2）设线段DE的中点为H，因为∠MDE=∠MED，所以MH⊥DE，
设直线l的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆C的方程为，
得（3k^2^+1）x^2^﹣12k^2^x+12k^2^﹣6=0，
设D（x~3~，y~3~），E（x~4~，y~4~），则．
则，，即，
由已知得k~MH~•k~l~=﹣1，∴，整理得，
因为k^2^＞0，所以，
所以t的取值范围是．
11.已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F~1~，F~2~，离心率为，点A在椭圆C上，\|AF~1~\|=2，∠F~1~AF~2~=60°，过F~2~与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P，Q的中点为N，在线段OF~2~上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
【思路点拨】（1）利用离心率以及椭圆的定义，结合余弦定理，求解椭圆C的方程．
（2）存在这样的点M符合题意．设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~），N（x~0~，y~0~），设直线PQ的方程为y=k（x﹣1），邻里中心与椭圆方程，利用韦达定理求出，通过点N在直线PQ上，求出N的坐标，利用MN⊥PQ，转化求解m的范围．
【详细解析】（1）由得a=2c，\|AF~1~\|=2，\|AF~2~\|=2a﹣2，
由余弦定理得，，
解得c=1，a=2，b^2^=a^2^﹣c^2^=3，
所以椭圆C的方程为．
（2）存在这样的点M符合题意．
设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~），N（x~0~，y~0~），
由F~2~（1，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣1），
由得（4k^2^+3）x^2^﹣8k^2^x+4k^2^﹣12=0，
由韦达定理得，故，
又点N在直线PQ上，，所以．
因为MN⊥PQ，所以，整理得，
所以存在实数m，且m的取值范围为．学\*科网
12.已知椭圆E：mx^2^+y^2^=1（m＞0）．
（1）若椭圆E的右焦点坐标为，求m的值；
（2）由椭圆E上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形．若以B（0，1）为直角顶点的椭圆E的内接等腰直角三角形恰有三个，求m的取值范围．
【思路点拨】（1）化椭圆E的方程为标准形式，通过焦点在x轴上，求出a，然后求解m即可．
（2）设椭圆E内接等腰直角三角形的两直角边分别为BA，BC，设A（x~1~，y~1~），C（x~2~，y~2~），BA与BC不与坐标轴平行，且k~BA~•k~BC~=﹣1＜0，设直线BA的方程为y=kx+1（k＞0），则直线BC的方程为，
联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，通过数据线的形状，转化求解即可．
【详细解析】（1）椭圆E的方程可以写成，焦点在x轴上，所以，b^2^=1，求得．...（4分）
（2）设椭圆E内接等腰直角三角形的两直角边分别为BA，BC，设A（x~1~，y~1~），C（x~2~，y~2~）
显然BA与BC不与坐标轴平行，且k~BA~•k~BC~=﹣1＜0∴可设直线BA的方程为y=kx+1（k＞0），则直线BC的方程为，
由消去y得到（m+k^2^）x^2^+2kx=0，所以
求得
同理可求
，
所以实数m的取值范围是．...（14分）
专题6 定值计算并不难，构建函数再消元
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**[【题型综述】]{.underline}**
**在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．**
探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值．
**[【典例指引】]{.underline}**
例1．已知圆与坐标轴交于（如图）．\[来源:学§科§网\]
（1）点是圆上除外的任意点（如图1），与直线交于不同的两点，求的最小值；
（2）点是圆上除外的任意点（如图2），直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为的斜率为，求证：为定值．
【思路引导】
（1）设出， 的直线方程，联立直线，分别得出M,N的坐标，表示出，求其最值即可；（2）分别写出E,F的坐标，写出斜率，即可证明为定值．
 
（2）由题意可知，
的斜率为直线的方程为，由，得，
则直线的方程为，令，则，即，
直线的方程为，由，解得，
的斜率（定值）．学科\*网
例2．已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切．
⑴求椭圆C的标准方程；
⑵已知点A、B为动直线与椭圆C的两个交点，问：在*x*轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
【思路引导】
（Ⅰ）由e=，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切，求出a，b，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由，得（1+3k^2^）x^2^﹣12k^2^x+12k^2^﹣6=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x轴上存在点E，使为定值，定点为（）．
（Ⅱ）由，得（1+3k^2^）x^2^﹣12k^2^x+12k^2^﹣6=0，（6分）
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），∴，，
根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得为定值，
则有=（x~1~﹣m，y~1~）•（x~2~﹣m，y~2~）=（x~1~﹣m）•（x~2~﹣m）+y~1~y~2~
=
=（k^2^+1）
=（k^2^+1）•﹣（2k^2^+m）•+（4k^2^+m^2^）
=，
要使上式为定值，即与k无关，则应有3m^2^﹣12m+10=3（m^2^﹣6），
即m=，此时=为定值，定点为（）．学科\*网
点评：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定"定点"是什么、"定值"是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的． 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现．
例3．已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆交于、两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与圆相切，探究是否为定值，如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．
【答案】（1）（2）
【思路引导】
（1）由已知得 由此能求出椭圆的方程．\
（2）当直线 轴时， ．当直线 与轴不垂直时，设直线 直线与与圆 的交点M（x~1~，y~1~），N（x~2~，y~2~），由直线与圆相切，得 ，联立 ，得（ ，由此能证明 为定值．
联立得
，，
=
综上， （定值）学科\*网
【点评】本题考查椭圆方程的求法，角为定值的证明，线段的取值范围的求法等．解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
例4．已知是圆上任意一点，点的坐标为，直线分别与线段交于两点，且．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）直线与轨迹相交于两点，设为坐标原点，，判断的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．
【答案】（1）；（2）（定值）
【思路引导】
（1）化简向量关系式可得，所以是线段的垂直平分线，所以，转化为椭圆定义，求出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系求出，再由点到直线的距离公式求三角形高，写出三角形面积化简即可证明为定值．
 
**[【扩展链接】]{.underline}**
**2015全国新课标II理20题深度分析**
已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为．
（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
**高考试题落实运算求解能力考查的方式：**
1．考查分析运算条件：平行四边形的判定定理选择，为何不选有关平行与长度的定理来判定平行四边形，而要选择对角线相互平分来判定平行四边形，这种处理方式的优点在于弦中点的运算量更小（需要平时训练有这种认识）
2．考查遇障碍而调整：若第1小问使用点差法，如何求中点坐标，需有目标分析及方程思想来指导，利用中点在直线上这个条件列出另一个方程．
3．考查确定运算程序：相交求坐标，中点关系构建斜率方程这种程序；中点关系求坐标，点在椭圆上构建斜率方程这种程序如何选择？实际上运算难度大体相当．
4．考查据算理正确的变形与运算：无论选择何种运算程序都具有过硬的运算技能，需要发现特殊代数结构的能力，在运算中要有求简的意识．运算求解过程中，大体会涉及到以下代数式运算与化简：（1）中点坐标：①韦达定理：或②解方程组；（2）点坐标：解方程组；（3）解斜率方程：①；或②，特别是如何正确解出第2个方程；特别要注意到相约，，9及公因式，然后约因式才会得到二次方程：
4．解法的几何变换化
简析：设，则椭圆变为圆：，
，同理可得：，在圆中易知，则可得：，在圆中易知为菱形，且，则易得：
5．问题一般化
设直线与椭圆相交于点，且线段的中点为，直线与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，则参数满足，
易知中点满足，点在椭圆上，则，这就是说，这种形式的平行四边形法则对任何椭圆均存在
**附命题人的分析及参考答案：**
【解题思路】（1）思路1 将的方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得点的坐标，计算可得常数（其中为直线的斜率），完成证明．
思路2 将点的坐标分别代入椭圆方程，两式相减，可得到的关系式，通过适当变形，即可完成证明．
（2）思路1 利用直线过点，将参数用表示，然后将直线的方程代入椭圆方程中，得到点的横坐标，根据第（1）问的结论，可设直线的方程为，将它代入椭圆方程，得到点的横坐标，因为"四边形为平行四边形"的充分必要条件是"线段与线段互相平分"，因此有，由此得到关于的方程．若此方程有解，则四边形可以为平行四边形，且此时方程的解即为使得四边形为平行四边形时的斜率；若此方程无解，则说明四边形不能构成平行四边形．
思路2 由点既在椭圆上，也在直线上，可以联立椭圆与的方程，解得，再将直线的方程与方程联立，可解得，于是有关于的方程，后同思路1．
思路3 与思路1类似，将参数用参数和表示，联立与直线的方程，可解得点的坐标，根据向量加法的平行四边形法则知，将的坐标代入椭圆方程，可得关于和的方程，后同思路1．
【答案】（1）证法1 如下图所示，设直线
，
，
将代入，得，
故，
于是直线的斜率
，即，
所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．
证法2 设直线，，
将的坐标代入椭圆方程，有 ①， ②，
①-②，整理可得，
即，
故直线的斜率，即，
所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．
（2）解法1四边形能为平行四边形（见下图）
因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是．
由（1）得的方程为，
设点的横坐标为，由，
得，则，
将点的坐标代入的方程得，然后将的方程代入椭圆方程，可得，
四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即，于是，解得
因为，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形．
解法2 四边形能为平行四边形，设，由（1）得，
因为在椭圆上，所以有，
解得 ①，
由四边形为平行四边形，可知，解得：  ②
据①②有，即，
解得，
以下同解法1．
解法3 四边形能为平行四边形（见下图）
将点的坐标代入的方程得，即的方程为，
由（1）得直线的方程为，因为既在上，也在上，所以有，解得，
设点的坐标为，则 "四边形为平行四边形 "的充要条件是
，
将点的坐标代入椭圆方程有，
化简可得，
解得，
以下同解法1．
### 【同步训练】
1．如图，点是抛物线： （）的焦点，点是抛物线上的定点，且，点， 是抛物线上的动点，直线， 斜率分别为， ．
（1）求抛物线的方程；
（2）若，点是抛物线在点， 处切线的交点，记的面积为，证明为定值．
【答案】（1）（2）
【思路引导】
（2）过作轴平行线交于点，并设， ，
由（1）知，学科\*网
所以，
又，所以，
直线： ，直线： ，解得
因直线方程为，将代入得，
所以．学科\*网
点评：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定"定点"是什么、"定值"是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的． 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现．
2．已知常数，在矩形ABCD中， ， ，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【思路引导】
根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值．
当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长
当时，点P到椭圆两个焦点（的距离之和为定值
当时，点P 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定值2．学科\*网\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
3．已知是椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为，过原点的直线交椭圆于两点，若四边形的面积最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于且，求证：原点到直线的距离为定值．
【答案】（1）（2）见解析
【思路引导】
（1）四边形面积最大值为，所以根据a,b,c的方程组解出（2）先设，利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理以及，得，再根据点到直线距离公式可得最后验证斜率不存在的情形．
因为，所以，即
，
所以，原点到直线的距离；
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，学科\*网
则，由得，
解得，所以此时原点到直线的距离为．
综上可知，原点到直线的距离为定值．
4．已知椭圆： 的短轴长为，离心率为，圆的圆心在椭圆上，半径为2，直线与直线为圆的两条切线．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）试问： 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
【答案】（1）；（2）学科\*网
【思路引导】
（1）由椭圆焦点在轴上， ，离心率，则，即可求得椭圆的标准方程；（2）设，圆的方程为，由直线与圆相切，根据点到直线的距离公式可得为方程，的两个根，由韦达定理可知： ，由在椭圆上即可求得．
5．已知椭圆： 的左右焦点分别是，直线与椭圆交于两点，当时， 恰为椭圆的上顶点，此时的面积为6．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为，直线与直线分别相交于点，问当变化时，以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．\[来源:学\_科\_网Z\_X\_X\_K\]
【答案】（1）；（2）弦长为定值6．
【思路引导】
（1）根据时，直线的倾斜角为，又的周长为6，即可求得椭圆方程；（2）利用特殊位置猜想结论：当时，直线的方程为： ，求得以为直径的圆过右焦点，被轴截得的弦长为6 ，猜测当变化时，以为直径的圆恒过焦点，被轴截得的弦长为定值6，再进行证明即可．
  6．已知动圆经过点，并且与圆相切．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设为轨迹内的一个动点，过点且斜率为的直线交轨迹于两点，当为何值时？ 是与无关的定值，并求出该值定值．
【答案】（1）；（2）见解析．学科\*网
【思路引导】
（1）由椭圆定义易知轨迹为椭圆，确定， 即可；
（2）设，直线，与椭圆联立得，进而通过韦达定理建立根与系数的关系， ，由
，代入化简即可求定值．
试题解析：
（1）由题设得： ，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，
椭圆方程为．
**方法****：**①当时，...；②当时，设直线，...；可以减少计算量．
7．已知椭圆的焦距为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若不经过点的直线与交于两点，且直线与直线的斜率之和为，证明：直线的斜率为定值．
【答案】（1）；（2） 学科\*网
【思路引导】
（1）由已知条件先求出椭圆的半焦距，再把代入椭圆方程，结合性质 ，求出 、 、，即可求出椭圆的方程；（2）设直线的方程为与椭圆的方程联立，根据韦达定理及过两点的斜率公式，利用直线的斜率之和为零可得，从而可得结果．
【点评】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和过两点的斜率公式，属于难题．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
8．已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）已知点在椭圆C上，点A、B是椭圆C上不同于P、Q的两个动点，且满足： ．试问：直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．
【答案】（1） （2）\[来源:学科网\]
【思路引导】
对于（1），结合已知即可求出b^2^与a^2^，问题便可解答；
对于（2），当时，PA，PB的斜率之和为0．设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，接下来求出直线PA与PB的方程，然后将其与椭圆分别联立，即可求出,然后利用斜率的计算公式不难求出k的值，问题便可解答．
 
9．在平面直角坐标系中，圆与轴的正半轴交于点，以为圆心的圆与圆交于两点．
（1）若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于，当线段长最小时，求直线的方程；
（2）设是圆上异于的任意一点，直线分别与轴交于点和，问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2） ．学科\*网
【思路引导】
（1）由截距式设直线的方程为，从而可得，再由基本不等式取最值得条件可得，从而可得结果；（2）设，则，写出直线与直线的方程，从而得到的坐标，从而求，化简即可结论．
试题解析：（1）设直线的方程为，即，
10．在直角坐标系中， 已知定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设是曲线上两点，点关于轴的对称点为 (异于点)，若直线分别交轴于点，证明:  为定值．
【答案】（1）；（2）详见解析．学科\*网
【思路引导】
（1）由两圆关系得等量关系，再根据椭圆定义确定轨迹形状及标准方程，（2）解析几何中定值问题，往往通过计算给予证明，先设坐标，列直线方程，求出与轴交点坐标，再利用点在椭圆上这一条件进行代入消元，化简计算为定值 ．
试题解析：解：(1)因为点在内，所以圆内切于圆，则，由椭圆定义知，圆心的轨迹为椭圆，且，则，所以 11．已知点是直线与椭圆的一个公共点， 分别为该椭圆的左右焦点，设取得最小值时椭圆为．
（1）求椭圆的标准方程及离心率；
（2）已知为椭圆上关于轴对称的两点， 是椭圆上异于的任意一点，直线分别与轴交于点，试判断是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1) ；（2） ．
【思路引导】
（1）联立，得，由此利用韦达定理、椭圆定义，结合已知条件能求出椭圆的方程；（2）设，且，由已知求出，由此能求出为定值．
试题解析：（1）联立，得，
∵直线与椭圆有公共点，
∴，解得，∴，
又由椭圆定义知，
故当时， 取得最小值，
此时椭圆的方程为；离心率为 ；
∴，
∴为定值1．
12．椭圆（）的左、右焦点分别为， 在椭圆上， 的周长为，面积的最大值为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线（）与椭圆交于，连接， 并延长交椭圆于，连接，探索与的斜率之比是否为定值并说明理由．
【答案】（I）；（II）．
【思路引导】
（1）由椭圆定义可得△周长为，面积最大值为，列方程组可解得，（2）先根据对称性可设， ．再根据点斜式写出直线方程，与椭圆方程联立方程组解出点坐标，类似可得坐标，最后根据斜率公式写出的斜率，得到与的比例关系．
点评：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．涉及中点弦问题往往利用点差法．
\[来源:学科网\]
专题7 三点共线证法多，斜率向量均可做
------------------------------------
三点共线问题证题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想："设而不求思想".
**[【典例指引】]{.underline}**
### 类型一 向量法证三点共线
例1 （2012北京理19）（本小题共14分）已知曲线:（）
(Ⅰ)若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
(Ⅱ)设=4，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点,,直线与直线交于点，求证：，，三点共线.
> 方程为：，则，
>
> ，，
>
> 欲证三点共线，只需证，共线
>
> 即成立，化简得：
>
> 将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。学&科网
### 类型二 斜率法证三点共线
例2.（2017•上海模拟）已知抛物线y^2^=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，设AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N．
（1）求直线FN与直线AB的夹角θ的大小；
（2）求证：点B、O、C三点共线．
\[来源:学科网\]
∵*k~OB~*==，*y*~1~*y*~2~=﹣4，
∴*k~OB~*=*k~OC~*，∴点*B*、*O*、*C*三点共线．学&科网
### 类型三 直线方程法证三点共线
**例3**（2017•贵阳二模）已知椭圆C：=1（a＞0）的焦点在x轴上，且椭圆C的焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点R（4，0）的直线l与椭圆C交于两点P，Q，过P作PN⊥x轴且与椭圆C交于另一点N，F为椭圆C的右焦点，求证：三点N，F，Q在同一条直线上．
==，
即直线QN过点（1，0），
又∵椭圆C的右焦点坐标为F（1，0），\[来源:学科网ZXXK\]
∴三点N，F，Q在同一条直线上．学&科网
### 类型四 多种方法证三点共线
例4.（2017•保定一模）设椭圆*x*^2^+2*y*^2^=8与*y*轴相交于*A*，*B*两点（*A*在*B*的上方），直线*y*=*kx*+4与该椭圆相交于不同的两点*M*，*N*，直线*y*=1与*BM*交于*G*．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求证：*A*，*G*，*N*三点共线．
**[【扩展链接】]{.underline}**
**1.**给出,等于已知与的中点三点共线;
2\. 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线；
3\.
**[【同步训练】]{.underline}**
1．已知椭圆E：+=1（a＞）的离心率e=，右焦点F（c，0），过点A（，0）的直线交椭圆E于P，Q两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点P关于x轴的对称点为M，求证：M，F，Q三点共线；
（3）当△FPQ面积最大时，求直线PQ的方程．
【思路点拨】（1）由椭圆的离心率公式，计算可得a与c的值，由椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程计算可得答案；
（2）根据题意，设直线PQ的方程为y=k（x﹣3），联立直线与椭圆的方程可得（3k^2^+1）x^2^﹣18k^2^x+27k^2^﹣6=0，设出P、Q的坐标，由根与系数的关系的分析求出、的坐标，由向量平行的坐标表示方法，分析可得证明；
（3）设直线PQ的方程为x=my+3，联立直线与椭圆的方程，分析有（m^2^+3）y^2^+6my+3=0，设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~），结合根与系数的关系分析用y~1~．y~2~表示出△FPQ的面积，分析可得答案．
（3）设直线PQ的方程为x=my+3．
由方程组，得（m^2^+3）y^2^+6my+3=0，学&科网
2.已知椭圆C：+y^2^=1的左顶点为A，右焦点为F，O为原点，M，N是y轴上的两个动点，且MF⊥NF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点．
（Ⅰ）求△MFN的面积的最小值；
（Ⅱ）证明；E，O，D三点共线．\[来源:Z,xx,k.Com\]
【思路点拨】（I）F（1，0），设M（0，t~1~），N（0，t~2~）．不妨设t~1~＞t~2~．由MF⊥NF，可得=0，化为：t~1~t~2~=﹣1．S~△MFN~=，利用基本不等式的性质即可得出．
（II）A（﹣，0）．设M（0，t），由（1）可得：N（0，﹣），（t≠±1）．直线AM，AN的方程分别为：y=x+t，y=x﹣．分别与椭圆方程联立，利用一元二次方程的根与系数的关系可得k~OE~，k~OD~．只要证明k~OE~=k~OD~．即可得出E，O，D三点共线．
【详细解析】（I）F（1，0），设M（0，t~1~），N（0，t~2~）．不妨设t~1~＞t~2~．学&科网
∵MF⊥NF，∴=1+t~1~t~2~=0，化为：t~1~t~2~=﹣1．
∴S~△MFN~==≥=1．当且仅当t~1~=﹣t~2~=1时取等号．
 3.已知焦距为2的椭圆W：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为A~1~，A~2~，上、下顶点分别为B~1~，B~2~，点M（x~0~，y~0~）为椭圆W上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线MA~1~，MA~2~，MB~1~，MB~2~的斜率之积为．
（1）求椭圆W的标准方程；
（2）如图所示，点A，D是椭圆W上两点，点A与点B关于原点对称，AD⊥AB，点C在x轴上，且AC与x轴垂直，求证：B，C，D三点共线．
【思路点拨】（1）由c=1，a^2^﹣b^2^=1，求得四条直线的斜率，由斜率乘积为，代入求得a和b的关系，即可求得a和b的值，求得椭圆W的标准方程；
（2）设A，D的坐标，代入椭圆方程，作差法，求得直线AD的斜率，由k~AD~•k~AB~=﹣1，代入求得=，由k~BD~﹣k~BC~=0，即可求证k~BD~=k~BC~，即可求证B，C，D三点共线．
（2）证明：不妨设点A（x~1~，y~1~），D（x~2~，y~2~），B的坐标（﹣x~1~，﹣y~1~），C（x~1~，0），
∵A，D在椭圆上，，=0，即（x~1~﹣x~2~）（x~1~+x~2~）+2（y~1~﹣y~2~）（y~1~+y~2~）=0，
∴=﹣，学&科网
由AD⊥AB，\[来源:Z\_xx\_k.Com\]
∴k~AD~•k~AB~=﹣1，•=﹣1，•（﹣，）=﹣1，
∴=，
∴k~BD~﹣k~BC~=﹣=﹣=0，
k~BD~=k~BC~，
∴B，C，D三点共线．学&科网
4.给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆C~1~：x^2^+y^2^=a^2^+b^2^为椭圆的"伴随圆"．已知A（2，1）是椭圆G：x^2^+4y^2^=m（m＞0）上的点．
（Ⅰ）若过点P（0，）的直线l与椭圆G有且只有一个公共点，求直线l被椭圆G的"伴随圆"G~1~所截得的弦长；
（Ⅱ）若椭圆G上的M，N两点满足4k~1~k~2~=﹣1（k~1~，k~2~是直线AM，AN的斜率），求证：M，N，O三点共线．
【思路点拨】（Ⅰ）将A代入椭圆方程，可得m，进而得到椭圆方程和伴椭圆方程，讨论直线l的斜率不存在和存在，设出l的方程，代入椭圆方程运用判别式为0，求得k，再由直线和圆相交的弦长公式，计算即可得到所求弦长；
（Ⅱ）设直线AM，AN的方程分别为y﹣1=k~1~（x﹣2），y﹣1=k~2~（x﹣2），设点M（x~1~，y~1~），N（x~2~，y~2~），联立椭圆方程求得交点M，M的坐标，运用直线的斜率公式，计算直线OM，ON的斜⇐率相等，即可得证．
5.已知椭圆,四点 
中恰有三点在椭圆C上
（1）求椭圆的方程.
（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于， 两点，
轴于点，点在椭圆C上，且
求证： ， 三点共线.
【思路点拨】根据椭圆上的点坐标求出椭圆方程；设出， ，则， ，再向量坐标化，得到，得到，最终得到；
6.已知抛物线：（）的焦点为，点为直线与抛物线准线的交点，直线与抛物线相交于、两点，点关于轴的对称点为.
（1）求抛物线的方程；
（2）证明：点在直线上.
【思路点拨】（1）由交点坐标可得，求得可得抛物线方程；（2）设直线的方程为（），代入抛物线方程消去x整理得，再设，，进而得，可得直线的方程为，又，，故BD方程化为，令，得，即结论成立。
【详细解析】（1）依题意知，解得，学&科网\[来源:学科网\]
所以抛物线的方程.
（2）设直线的方程为（），
7.已知椭圆： 的离心率与双曲线： 的离心率互为倒数，且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，已知是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且与交于点， 为坐标原点，求证： 三点共线．
【思路点拨】(1)由二者离心率互为倒数以及椭圆经过点，建立关于a，b，c的方程组从而得到椭圆的标准方程；
（2）因为线段线段的中垂线的斜率为，所以线段所在直线的斜率为，线段所在直线的方程为，联立方程可得，利用韦达定理得到弦的中点的坐标，所以，所以点在定直线上，而两点也在定直线上，所以三点共线．
【详细解析】（1）因为双曲线： 的离心率，学&科网
而椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，所以椭圆的离心率为，
设椭圆的半焦距为，则.①
又椭圆经过点，所以.②
，③
联立①②③，解得.
所以椭圆的标准方程为.
8.设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F~1~，离心率为，过点F~1~且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若y^2^=4x上存在两点M，N，椭圆C上存在两个点P，Q，满足：P，Q，F~1~三点共线，M，N，F~1~三点共线且PQ⊥MN，求四边形PMQN的面积的最小值．
【思路点拨】（1）由题意可知：a=b^2^，a=c及a^2^=b^2^﹣c^2^，即可求得a和b的值，求得椭圆的标准方程；
（2）讨论直线MN的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x﹣1）（k≠0）联立抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可得到最小值．
由弦长公式\|PQ\|=•=，
∴四边形PMQN的面积S=\|MN\|•\|PQ\|=，
令1+k^2^=t，（t＞1），
则S===4×（1+）＞4，
∴S＞4，
综上可知：四边形PMQN的面积的最小值4．学&科网
9.已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l~1~与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．
（I）若直线l~1~的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；
（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．
【思路点拨】（I）由题意，直线l~1~的x=y+1，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式即可求得△ABM的面积S的值；
（Ⅱ）直线y=k（x﹣1），代入椭圆方程，由韦达定理，利用直线的斜率公式，即可求得k~AM~=k~MN~，A，M，N三点共线．
 
10.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长为2，且椭圆C与圆M：（x﹣1）^2^+y^2^=的公共弦长为．
（1）求椭圆C的方程．
（2）经过原点作直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A，B两点，AD⊥x轴于点D，点E在椭圆C上，且，求证：B，D，E三点共线..
【思路点拨】（1）由题意得，由椭圆C与圆M：的公共弦长为，其长度等于圆M的直径，得椭圆C经过点，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x~1~，y~1~），E（x~2~，y~2~），则B（﹣x~1~，﹣y~1~），D（x~1~，0）．利用点差法求出，从而求出k~AB~•k~AE~=﹣1，进而求出k~BE~=k~BD~，由此能证明B，D，E三点共线．
【详细解析】（1）由题意得，则．
由椭圆C与圆M：的公共弦长为，
其长度等于圆M的直径，
即．
又=，
所以k~AB~•k~AE~=﹣1，
即，
所以
所以
又=，
所以k~BE~=k~BD~，
所以B，D，E三点共线．
11.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（﹣1，），椭圆C的右焦点为A，点B的坐标为（，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知纵坐标不同的两点P，Q为椭圆C上的两个点，且B、P、Q三点共线，线段PQ的中点为R，求直线AR的斜率的取值范围．
【思路点拨】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，且过点（﹣1，），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）依题意直线PQ过点（，0），且斜率不为0，设其方程为x=my+，联立，得4（3m^2^+4）y^2^+12my﹣45=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线AR的斜率的取值范围．
（Ⅱ）依题意直线PQ过点（，0），且斜率不为0，
故可设其方程为x=my+，
联立，消去x，得4（3m^2^+4）y^2^+12my﹣45=0，
设点P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~），R（x~0~，y~0~），直线AR的斜率为k，
故，，
∴，∴k=，
当m=0时，k=0，
当m≠0时，k=，故\|4m+\|=4\|m\|+，
∴0＜≤，
∴0＜\|k\|，∴﹣，且k≠0，
综上所述，直线AR的斜率的取值范围是\[﹣\]．
12.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，抛物线E：x^2^=4y的焦点是椭圆C的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若A，B分别是椭圆C的左、右顶点，直线y=k（x﹣4）（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，直线x=1与直线BM交于点P．
（i）证明：A，P，N三点共线；
（ii）求△OMN面积的最大值．
【思路点拨】（Ⅰ）由题意知⇒a=2，b=1，c=，即可；
（Ⅱ）（i）将直线y=k（x﹣4）（k≠0）代入椭圆C得：（1+4k^2^）x^2^﹣32k^2^x+64k^2^﹣4=0．则M（x~1~，k（x~1~﹣4）），N（x~2~，k（x~2~﹣4））．要证A，P，N三点共线，只证明共线即可，即证明成立．
（ii）将直线y=k（x﹣4）（k≠0）变形为x=my+4，（m=）．联立得（m^2^﹣4）y^2^+8my﹣12=0．
\|MN\|=，点O到直线MN的距离d=．△OMN面积S=×\|MN\|×d即可．
则M（x~1~，k（x~1~﹣4）），N（x~2~，k（x~2~﹣4））．
∴BM的方程为：，⇒P（1，）
∴）．
要证A，P，N三点共线，只证明共线即可，
即证明成立．
即证明2x~1~x~2~﹣5（x~1~+x~2~）﹣8=0，将①代入上式显然成立．
∴A，P，N三点共线．
专题8 欲证直线过定点，结合特征方程验算
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**[【题型综述】]{.underline}**
直线过定点的解题策略一般有以下几种：（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.(2)直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
**[【典例指引】]{.underline}**
### 类型一 椭圆中直线过未知顶点问题
例1 【2017课标1，理20】已知椭圆*C*：（*a*\>*b*\>0），四点*P*~1~（1,1），*P*~2~（0,1），*P*~3~（--1，），*P*~4~（1，）中恰有三点在椭圆*C*上.
（1）求*C*的方程；
（2）设直线*l*不经过*P*~2~点且与*C*相交于*A*，*B*两点.若直线*P*~2~*A*与直线*P*~2~*B*的斜率的和为--1，证明：*l*过定点.
### 类型二 椭圆中直线过已知定点问题
例2. **【2017课标II，理】**设*O*为坐标原点，动点*M*在椭圆*C*：上，过*M*作*x*轴的垂线，垂足为*N*，点*P*满足。
(2) 求点*P*的轨迹方程；
(2)设点*Q*在直线上，且，证明：过点*P*且垂直于*OQ*的直线*l*过*C*的左焦点*F*。
【解析】(1)设出点P的坐标，利用得到点P与点,M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为。学科&网
（2）由题意知。设,则
，
。
由得，又由（1）知，故
。学科&网
所以，即。又过点*P*存在唯一直线垂直于*OQ*，所以过点*P*且垂直于*OQ*的直线过*C*的左焦点*F*。
### 类型三 点在定直线上问题
**例3**【2016高考山东理数】平面直角坐标系中，椭圆*C*： 的离心率是，抛物线*E*：的焦点*F*是*C*的一个顶点.\
（I）求椭圆*C*的方程；
（II）设*P*是*E*上的动点，且位于第一象限，*E*在点*P*处的切线与*C*交与不同的两点*A*，*B*，线段*AB*的中点为*D*，直线*OD*与过*P*且垂直于*x*轴的直线交于点*M*.
（i）求证：点*M*在定直线上;
（ii）直线与*y*轴交于点*G*，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点*P*的坐标.
设，联立方程
得，
由，得且，
因此,学科&网
（ii）由（i）知直线方程为，
令得，所以，
又，
所以，
，
所以，
令，则，
当，即时，取得最大值，此时，满足，学科&网
所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.
### 类型四 抛物线中直线过定点问题
例4.【2013年高考理科陕西卷】已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线*l*与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线l过定点.
**[【扩展链接】]{.underline}**
1. **对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两条直线，若直线斜率之积为定值，两直线交圆锥曲线于**
**两点，则直线****过定点.**
**2.已知****为过抛物线****=****的焦点****的弦，****，则****.**
**3.已知****为过椭圆****的焦点****的弦，****，则****.**
**4.已知直线****，当****变动时，直线恒过定点****.**
**[【同步训练】]{.underline}**
1．已知椭圆的离心率e=，左、右焦点分别为F~1~、F~2~，定点，P（2，），点F~2~在线段PF~1~的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F~2~M、F~2~N的倾斜角分别为α、β且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．
【思路点拨】（1）由椭圆的离心率求得a=c，且丨F~1~F~2~丨=丨PF~2~丨，利用勾股定理即可求得c及a和b的值；
（2）将直线代入椭圆方程，利用直线的斜率公式求得=，=，由+=0，结合韦达定理，即可求得m=﹣2k．则直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）．
且=，=
由已知α+β=π，得+=0，即+=0，
化简，得2kx~1~x~2~+（m﹣k）（x~1~+x~2~）﹣2m=0，
∴2k×﹣（m﹣k）（）﹣2m．整理得m=﹣2k．
∴直线MN的方程为y=k（x﹣2），
∴直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）．学科&网
2.已知焦距为2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，直线y=与椭圆C交于P、Q两点（P在Q的左边），Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．\[来源:学.科.网\]
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N．
（i）若直线l过原点且与坐标轴不重合，E是直线3x+3y﹣2=0上一点，且△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，求k的值
（ii）若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM，点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．
【思路点拨】（1）由题意可得c=，直线y=代入椭圆方程，求得P，Q的横坐标，可得\|AB\|，由四边形ABPQ是平行四边形，
可得\|AB\|=\|PQ\|，解方程可得b，由a，b，c的关系可得a，进而得到椭圆方程；\[来源:Z.xx.k.Com\]
（2）（i）由直线y=kx代入椭圆方程，求得M的坐标，由△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，可设E（m，﹣m），求出E到直线kx﹣y=0的距离d，由题意可得OE⊥MN，\|OM\|=d，解方程可得k的值；
（ii）由M（﹣2，0），可得直线MN的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，可得x的方程，运用韦达定理，可得N的坐标，设G（t，0），（t≠﹣2），由题意可得D（2，4k），A（2，0），以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，可得AN⊥DG，运用两直线垂直的条件，可得斜率之积为﹣1，解方程可得t=0，即可得到定点．
（ii）证明：由M（﹣2，0），可得直线MN的方程为y=k（x+2），
代入椭圆方程可得，（1+2k^2^）x^2^+8k^2^x+8k^2^﹣4=0，
可得﹣2+x~N~=﹣，
解得x~N~=，
y~N~=k（x~N~+2）=，即N（，），
设G（t，0），（t≠﹣2），由题意可得D（2，4k），A（2，0），
以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，学科&网
可得AN⊥DG，
即有k~AN~•k~DG~=﹣1，
即为•=﹣1，
解得t=0．学科&网
故点G是定点，即为原点（0，0）．
3.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率e=
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的右顶点为A，若直线l：y=kx+m与椭圆E相交于M、N两点（异于A点），且满足MA⊥NA，试证明直线l经过定点，并求出该定点的坐标．
【思路点拨】（1）由题意的离心率公式e=，求得a=2c，b^2^=3c^2^，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，由题意可知•=0，由向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得m和k的关系，代入即可求得直线恒过定点．
∴++2×+4=0，
化简得，7m^2^+4k^2^+16mk=0
解得m=﹣2k或m=﹣且均满足3+4k^2^﹣m^2^＞0
当m=﹣2k时，L：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；
当m=﹣时，L；y=k（x﹣），直线过定点（，0），
综上，直线l过定点，定点坐标为（，0）．
4.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为圆F~1~、F~2~，M是C上一点，\|MF~1~\|=2，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于不同两点A，B时，线段AB上取点Q，且Q满足，证明点Q总在某定直线上，并求出该定直线．
【思路点拨】（1）由已知得a=2c，且，由余弦定理求出c=1．由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+（1﹣4k），代入椭圆方程，得（3+4k^2^）x^2^+（8k﹣32k^2^）x+64k^2^﹣32k﹣8=0，由此利用韦达定理、向量，结合已知条件能证明点Q总在某定直线上，并求出该定直线．
 
5\. 已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），离心率e=，点P（，1）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过C的右焦点F作两条弦AB，CD，满足⋅=0，且=2，=2，求证：直线MN过定点，并求出此定点．
【思路点拨】（1）由a=c，则b^2^=a^2^﹣c^2^=2c^2^，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程．
（2）然后分弦AB，CD的斜率均存在和弦AB或CD的斜率不存在两种情况求解．当斜率均存在时，写出直线AB的方程，代入椭圆方程后化简，利用根与系数关系求得M坐标，同理求得N的坐标．进一步分k≠±1和k=±1求得直线MN的方程，从而说明直线MN过定点，当弦AB或CD的斜率不存在时，易知，直线MN为x轴，也过点（，0）．
则x~1~+x~2~=，x~1~x~2~=，
∴x~0~==，y~0~=k（x~0~﹣1）=﹣，
于是M（，﹣）．
∵CD⊥AB，∴将点M坐标中的k换为﹣，
即得点N（，）．
①当k≠±1时，直线MN的方程为y﹣=﹣（x﹣）．
令y=0，得x=，则直线MN过定点（，0）；
②当k=±1时，易得直线MN的方程x=，也过点（，0）．
当弦AB或CD的斜率不存在时，易知，直线MN为x轴，也过点（，0）．
综上，直线MN必过定点（，0）．学科&网
6.已知椭圆C：x^2^+4y^2^=4．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）椭圆C的长轴的两个端点分别为A，B，点P在直线x=1上运动，直线PA，PB分别与椭圆C相交于M，N两个不同的点，求证：直线MN与x轴的交点为定点．
【思路点拨】（1）求得椭圆的标准方程，则a=2，b=1，则c=，利用椭圆的离心率公式，即可求得椭圆C的离心率；
（2）设P（1，t），由已知条件分别求出M，N的坐标，设定点为Q，再由k~MQ~=k~NQ~，能证明直线MN经过一定点Q（4，0）．
7.在直角坐标系xOy 中，F，A，B 分别为椭圆 的右焦点、右顶点和上顶点，若\[来源:Z\|xx\|k.Com\]
（1）求a的值；
（2）过点P（0，2）作直线l 交椭圆于M，N 两点，过M 作平行于x 轴的直线交椭圆于另外一点Q，连接NQ，求证：直线NQ 经过一个定点．
【思路点拨】（1）由题意得：，解得a；
（2）设M（x~1~，y~1~），N（x~2~，y~2~），直线l 的方程为y=kx+2，将y=kx+2 代入椭圆方程得（3+4k^2^）x^2^+16kx+4=0，，直线NQ 的方程，由对称性可知，若过定点，则必在y 轴上，令x=0，即可．
8.已知椭圆的一个焦点为，其左顶点在圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为 （点与点不重合），证明：直线过*x*轴上的一定点，并求出定点坐标．
【思路点拨】（1）利用点在椭圆上和几何要素间的关系求其标准方程；
（2）联立直线和椭圆的标准方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到直线的点斜式方程，再利用赋值法进行求解.
【详细解析】（1）∵椭圆的左顶点在圆上，∴\[来源:Z。xx。k.Com\]
又∵椭圆的一个焦点为，∴ ∴
∴椭圆的方程为
9.已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y=﹣1相切．
（1）求圆心M的轨迹方程；
（2）动直线l过点P（0，﹣2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．
【思路点拨】（1）由题意可知圆心M的轨迹为以（0，1）为焦点，直线y=﹣1为准线的抛物线，根据抛物线的方程即可求得圆心M的轨迹方程；
（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx﹣2，A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），则C（﹣x~2~，y~2~）．代入抛物线方，由韦达定理及直线直线AC的方程为：y﹣y~2~=﹣（x+x~2~），把根与系数的关系代入可得4y=（x~2~﹣x~1~）x+8，令x=0，即可得出直线恒过定点．
【详细解析】（1）∵动点M到直线y=﹣1的距离等于到定点C（0，1）的距离，
∴动点M的轨迹为抛物线，且=1，解得：p=2，
∴动点M的轨迹方程为x^2^=4y；
（2）证明：由题意可知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为：y=kx﹣2，A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），则C（﹣x~2~，y~2~）．
联立，化为x^2^﹣4kx+8=0，
10.已知F是抛物线C：x^2^=4y的焦点，A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）为抛物线C上不同的两点，l~1~，l~2~分别是抛物线C在点A、点B处的切线，P（x~0~，y~0~）是l~1~，l~2~的交点．
（1）当直线AB经过焦点F时，求证：点P在定直线上；
（2）若\|PF\|=2，求\|AF\|•\|BF\|的值．
【思路点拨】（1）当直线AB经过焦点F时，求出切线PA，PB的方程，可得P的坐标，即可证明：点P在定直线上；
（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入C：x^2^=4y得x^2^﹣4kx﹣4m=0，求出P的坐标，利用韦达定理，即可求\|AF\|•\|BF\|的值．
【详细解析】（1）证明：抛物线，则，
∴切线PA的方程为，即，
同理切线PB的方程为，
联立得点P，
设直线AB的方程为y=kx+1，代入C：x^2^=4y得x^2^﹣4kx﹣4=0．所以x~1~x~2~=﹣4
所以点P在直线y=﹣1上；
（2）证明：设直线AB的方程为y=kx+m，
代入C：x^2^=4y得x^2^﹣4kx﹣4m=0．x~1~+x~2~=4k，x~1~x~2~=﹣4m，所以P（2k，﹣m），，
=﹣4mk^2^+4k^2^（m+1）+4﹣4k^2^=4．
11.已知动点C到点F（1，0）的距离比到直线x=﹣2的距离小1，动点C的轨迹为E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（km＜0）与曲线E相交于A，B两个不同点，且，证明：直线l经过一个定点．
【思路点拨】（1）根据抛物线的定义，即可求得曲线E的方程；
（2）设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得m=﹣5k，即可求得直线l的方程，则直线l必经过定点（5，0）．
 12.．已知动点满足： .
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.
【思路点拨】（1）动点到点， 的距离之和为，且，所以动点的轨迹为椭圆，从而可求动点的轨迹的方程；（2）直线的方程为： ，由 得，，根据韦达定理可得
，直线的方程为，即可证明其过定点.
专题9 曲线是否过定点，可推可算可检验
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**[【题型综述】]{.underline}**
直线过定点问题在全国卷近几年高考中出现的频率较低，是圆锥曲线部分的小概率考点．此种平民解法思维上比较接地气，但是实际操作上属于暴力美学范畴．定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．**直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可．技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？**
**[【典例指引】]{.underline}**
例1、（"手电筒"模型）已知椭圆C：若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
**◆方法总结：**本题为**"弦对定点张直角"**的一个例子**：**圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点．（参考百度文库文章："圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质"）
**◆模型拓展：**本题还可以拓展为**"手电筒"模型：**只要任意一个限定AP与BP条件（如定值，定值），直线AB依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）．
**此模型解题步骤：**
**Step1：**设AB直线，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；
**Step2：**由AP与BP关系（如），得一次函数；
**Step3：**将代入，得．
例2、（**[切点弦恒过定点]{.underline}**）**有如下结论："圆****上一点****处的切线方程为****"，类比也有结论："椭圆****处的切线方程为****"，过椭圆C：****的右准线*l*上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B．**
**（1）求证：直线AB恒过一定点；**
**（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积．**
◆**方法点评：**切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程．
例3、（**[相交弦过定点]{.underline}**）**如图，已知直线L：****的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线****上的射影依次为点D、E．连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由．**
**法2：**本题也可以直接得出AE和BD方程，令y=0，得与x轴交点M、N，然后两个坐标相减=0．计算量也不大．学科&网
**◆方法总结：**方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法．这一类题在答题过程中要注意步骤．
例4、已知椭圆C：，若直线与x轴交于点T，点P为直线上异于点T的任一点，直线PA~1~，PA~2~分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论．
**方法1：**
【思路引导】
点A~1~、A~2~的坐标都知道，可以设直线PA~1~、PA~2~的方程，直线PA~1~和椭圆交点是A~1~(-2，0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标．动点P在直线上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA~1~、PA~2~的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t\>2，就可以了，否则就不存在．
**方法总结**：本题由点A~1~(-2，0)的横坐标－2是方程的一个根，结合韦达定理，得到点M的横纵坐标：，；其实由消y整理得，得到，即，很快．不过如果看到：将中的换下来，前的系数2用－2换下来，就得点N的坐标，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量．本题的关键是看到点P的双重身份：点P即在直线上也在直线A~2~N上，进而得到，由直线MN的方程得直线与x轴的交点，即横截距，将点M、N的坐标代入，化简易得，由解出，到此不要忘了考察是否满足．
**◆方法总结：**法2计算量相对较小，细心的同学会发现，这其实是上文"切点弦恒过定点"的一个特例而已．因此，法2采用这类题的通法求解，就不至于思路混乱了．相较法1，未知数更少，思路更明确．
◆**方法点评：**相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用，**但是具体解题而言，**相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法．
例5、（[动圆过定点]{.underline}**）已知椭圆**  **是抛物线****的一条切线．**
**（I）求椭圆的方程；**
**（Ⅱ）过点****的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．**
**解：**（I）由
因直线相切学科&网
，故所求椭圆方程为（II）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：\[来源:Zxxk.Com\]
**◆方法总结：**圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再证明用直径所对圆周角为直角．
**例6、**如图，已知椭圆的离心率是，分别是椭圆的左、右两个顶点，点是椭圆的右焦点．点是轴上位于右侧的一点，且满足．
（1）求椭圆的方程以及点的坐标；
（2）过点作轴的垂线，再作直线
与椭圆有且仅有一个公共点，直线交直线于点
．求证：以线段为直径的圆恒过定点，并求出定
点的坐标．
**解：**（1），设，
由有，又，学科&网
**法2：**本题又解：取极值，PQ与AD平行，易得与X轴相交于F（1，0）．接下来用相似证明PF⊥FQ．
问题得证．学科&网
**◆方法总结：**动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题，也可以理解为"弦对定点张直角"的新应用．
**[【扩展链接】]{.underline}**
已知椭圆：，左右焦点分别为，左、右顶点分别为，，上、下顶点为，．过点的直线交椭圆于，两点，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，求证：直线过定点．\[来源:学科网\]
**步骤 1（特殊化寻求定点坐标）：**
当直线垂直于 轴时，则重合于点，直线的方程为：；
当直线经过原点时，则直线 的方程为：，代入椭圆可得：，直线的方程为：；代入椭圆可得：
，则点，点与点重合，则直线的方程为：，联立两个特殊位置的直线方程可得：定点可能为
**步骤 2（一般化探求题意韦达定理化）：**
直线过定点 ，转化为交点坐标的韦达定理形式
直线  的方程为：代入椭圆
可得：
，
则点  的坐标为，则直线  的方程为：
，
直线的方程为：，
则
**步骤 3（联立方程解方程组，韦达定理整体代入）：**
直线  的方程为： 代入椭圆方程可得：
（完美！）
显然直线 垂直于y 轴时，直线 也经过定点．
### 【同步训练】
1、设A、B是轨迹：上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
 ，所以直线的斜率存在，否则，OA，OB直线的倾斜角之和为从而设AB方程为，显然，
将与联立消去，得
由韦达定理知①
由，得1＝==
将①式代入上式整理化简可得：，所以，
此时，直线的方程可表示为即
所以直线恒过定点．学科&网
2、已知动圆过定点*A*(4，0)， 且在*y*轴上截得的弦*MN*的长为8．
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹*C*的方程;
(Ⅱ)已知点*B*(-1，0)， 设不垂直于*x*轴的直线与轨迹*C*交于不同的两点*P*， *Q*， 若*x*轴是的角平分线， 证明直线过定点．
解：(Ⅰ) *A*(4，0)，设圆心C
(Ⅱ) 点*B*(-1，0)，．
直线PQ方程为:
所以直线PQ过定点(1，0)
3、**已知点****是平面上一动点，且满足**
**（1）求点****的轨迹****对应的方程；**
**（2）已知点****在曲线****上，过点****作曲线****的两条弦****和****，且****，判断：直线****是否过定点？试证明你的结论．**
解：（1）设 （5分）
> 
>
> 
>
> 
>
> 
>
> 
>
> \[来源:Zxxk.Com\]
>
> 
>
> 
>
> \[来源:Zxxk.Com\]
>
> 
>
> ）
4、**已知点*A*（－1，0），*B*（1，－1）和抛物线．****，*O*为坐标原点，过点*A*的动直线*l*交抛物线*C*于*M*、*P*，直线*MB*交抛物线*C*于另一点*Q*，如图．**
**（I）证明:** **为定值;**
**（II）若△*POM*的面积为****，求向量****与****的夹角；**
**（Ⅲ）证明直线PQ恒过一个定点．**
即
即
由（\*）式，代入上式，得
由此可知直线*PQ*过定点E（1，－4）．学科&网
5、已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线:的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
(Ⅰ) 求抛物线的方程;
(Ⅱ) 当点为直线上的定点时，求直线的方程;
(Ⅲ) 当点在直线上移动时，求的最小值．
联立方程，消去整理得
由一元二次方程根与系数的关系可得，
所以
又点在直线上，所以，
所以
所以当时， 取得最小值，且最小值为．学科&网
**6、已知椭圆****中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过****、****、****三点．过椭圆的右焦点F任做一与坐标轴不平行的直线****与椭圆****交于****、****两点，****与****所在的直线交于点Q．**
**（1）求椭圆****的方程：**
**（2）是否存在这样直线****，使得点Q恒在直线****上移动？若存在，求出直线****方程，若不存在，请****说明理由．**
直线的方程为：
由直线的方程为：，即
由直线与直线的方程消去，得
∴直线与直线的交点在直线上． 故这样的直线存在
**7、**已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，．圆的圆心是抛物线上的动点，圆与轴交于两点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明:无论点运动到何处，圆恒经过椭圆上一定点．
解法2：∵抛物线的焦点坐标为，∴点的坐标为．∴ 抛物线的准线方程为．设点的坐标为，由抛物线的定义可知，
∵，∴，解得．由，且得．
∴点的坐标为．在椭圆:中，．
由解得．∴椭圆的方程为．
（2）**证法1**: 设点的坐标为，圆的半径为，
∵ 圆与轴交于两点，且，
∴ ．∴．
∴圆的方程为．
∵ 点是抛物线上的动点，∴ ()．∴．
把代入 消去整理得:．
方程对任意实数恒成立，
∴ 解得
∵点在椭圆:上，
∴无论点运动到何处，圆恒经过椭圆上一定点．
 8．已知椭圆： 过点，且离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）椭圆长轴两端点分别为，点为椭圆上异于的动点，直线：与直线分别交于两点，又点，过三点的圆是否过轴上不同于点的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 存在，定点为．
【思路引导】
（1）运用椭圆的离心率公式和点代入椭圆方程，由a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（2）设，由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件，计算即可得证．
试题解析：（Ⅰ）由，解得，故椭圆的方程为．
（Ⅱ）设点，直线的斜率分别为，则．
又：，令得，
：，令得，
则，过三点的圆的直径为，
设圆过定点，则，解得或（舍）．
故过三点的圆是以为直径的圆过轴上不同于点的定点．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率公式的运用，同时考查直线的斜率公式的运用，圆的直径所对的圆周角为直角，属于中档题涉及定点定直线等问题时，一般先假设存在，然后根据条件推导，注意直线过定点的直线系形式．
9．已知抛物线的焦点，为坐标原点，是抛物线上异于的两点，若直线的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．
【答案】
试题解析：抛物线方程为，当直线斜率不存在时，设 ，由斜率之积为得，此时直线方程为．当直线斜率存在，设方程为，与联立得，．又解得即，
综上所述，直线过定点
10．已知椭圆的右焦点为左顶点为
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的）两点．试判断直线与轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）椭圆的方程为 ；（2）直线与轴的交点是定点，坐标为
【思路引导】\[来源:学科网\]
（1）由已知得  椭圆的方程为
（2）①当直线与轴垂直时 的方程为联立直线与轴的交点为②当直线不垂直于轴时设直线的方程为联立且即由题意知  或
  直线与轴的交点为．
【点评】本题的几个关键难点有：利用分类讨论思想确立解题总体思路，即：①直线与轴垂直，②当直线不垂直于轴；利用舍而不求法，结合韦达定理将问题转化为；较为繁杂的计算量．
专题10 判断点在圆内外，向量应用最厉害
-------------------------------------
**[【题型综述】]{.underline}**
点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：①利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；②向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知是圆的直径，是平面内一点，则点在圆内；点在圆外；点在圆上．③方程法，已知圆的方程，点，则点在圆内；点在圆上；点在圆外.
四点共圆问题的解题策略：①利用四点构成的四边形的对角互补；②利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.
**[【典例指引】]{.underline}**
### 类型一 向量法判定点与圆的位置关系
例1 【2015高考福建，理18】已知椭圆E：过点，且离心率为．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，
判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得
解得，
所以椭圆E的方程为．
(Ⅱ)设点AB中点为．
由学科&网
所以从而.
所以.
,\[来源:学科网ZXXK\]
故
所以，故G在以AB为直径的圆外．
\[来源:学科网ZXXK\]
所以不共线，所以为锐角.
故点G在以AB为直径的圆外．学科&网
### 类型二 四点共圆应用问题
例2. （2014全国大纲21）已知抛物线*C*：的焦点为*F*，直线与*y*轴的交点为*P*，与*C*的交点为*Q*，且.
（I）求*C*的方程；
（II）过*F*的直线与*C*相交于*A*，*B*两点，若*AB*的垂直平分线与*C*相较于*M*，*N*两点，且*A*，*M*，*B*，*N*四点在同一圆上，求的方程.
**类型三 动圆过定点问题**
**例3(2012福建理19)**如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。
（Ⅰ）求椭圆的方程。
> （Ⅱ）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试探究：
>
> 在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。
（法2）由得，
∵动直线与椭圆有且只要一个交点，∴且△=0，学科&网
即，化简得 ①
此时==，==，∴(,),
由得(4，).学科&网
假设平面内存在定点满足条件，由图形对称性知，点必在轴上,
设(,0)，则=0对满足①式的，恒成立.
∵=(－,),=(4－，)，
∴=0，整理得， ②
∴，解得=1，
∴存在定点(1,0)，使得以为直径的圆恒过点.
∵=(－1,),=(3，)，
∴==0，学科&网
∴恒有，  ∴存在定点(1,0)，使得以为直径的圆恒过点.
### [类型四]{.underline} 证明四点共圆
4. 已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足
(Ⅰ)证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.
**[【扩展链接】]{.underline}**
**1.**O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）\|OP\|^2^+\|OQ\|^2^的最大值为;（3）的最小值是.
**2.**若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设
过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①
 ；②
若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设
过的直线 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①
 ；②
同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）
结论：椭圆过焦点弦长公式：
**3.**设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则
①.
②.
③.
④.；
⑤.；
⑥.；
### 【同步训练】
1． 已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；\[来源:学。科。网Z。X。X。K\]
（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．
【思路点拨】（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程．
（2）假设存在这样的值．，得（1+3k^2^）x^2^+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．
（2）假设存在这样的值．
，
得（1+3k^2^）x^2^+12kx+9=0，
∴△=（12k）^2^﹣36（1+3k^2^）＞0...①，
设C（x~1~，y~1~），D（x~2~，y~2~），
则
而y~1~•y~2~=（kx~1~+2）（kx~2~+2）=k^2^x~1~x~2~+2k（x~1~+x~2~）+4，
要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），
当且仅当CE⊥DE时，学科&网
则y~1~y~2~+（x~1~+1）（x~2~+1）=0，
∴（k^2^+1）x~1~x~2~+（2k+1）（x~1~+x~2~）+5=0...③
将②代入③整理得k=，学科&网
经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．
2.已知椭圆的右焦点为，离心率为.
（1）若，求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.
【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得，，所以椭圆的方程为.
(2)联立直线与椭圆的方程，集合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算法则可得 ，结合离心率的范围可知则的取值范围是.
因为，所以，.
所以，即.学科&网
3.已知椭圆： 过点，且离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）椭圆长轴两端点分别为，点为椭圆上异于的动点，直线：与直线分别交于两点，又点，过三点的圆是否过轴上不同于点的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）运用椭圆的离心率公式和点代入椭圆方程，由a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；
（2）设，由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件，计算即可得证．
4.已知椭圆： 的焦点、在轴上，且椭圆经过，过点的直线与交于点，与抛物线： 交于、两点，当直线过时的周长为．
（Ⅰ）求的值和的方程；
（Ⅱ）以线段为直径的圆是否经过上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由。
【思路点拨】（1）由的周长为求得a,再根据椭圆经过求得m.
（2）设直线方程 ，与抛物线方程联立方程组，消x得关于y的一元二次方程，结合韦达定理，化简以线段为直径的圆方程，按参数n整理，根据恒等式成立条件求出定点坐标
 5.已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点的距离为3，线段的两端点， 在抛物线上.
（1）求抛物线的方程；
（2）若轴上存在一点，使线段经过点时，以为直径的圆经过原点，求的值；
（3）在抛物线上存在点，满足，若是以角为直角的等腰直角三角形，求面积的最小值.
【思路点拨】（1）根据抛物线的定义，丨QF丨=丨QQ~1~丨，即可求得p的值，即可求得抛物线方程；\
（2）设AB的方程，代入椭圆方程，由，根据向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得m的值；\
（3）设， ， ，根据抛物线关于轴对称，取，记， ，则有， ，所以， ， ，由，即，进而化简求出，得： ， ，即可求得△ABD面积的最小值．
（3）如图所示，
设， ， ，根据抛物线关于轴对称，取，记， ，
则有， ，所以， ， ，学科&网
又因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以，
即，将代入得：
 6.已知椭圆： （）经过点，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线： （， ）交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过点.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【思路点拨】（1）由题设知a= ，所以  ，椭圆经过点P（1， ），代入可得b=1，a=，由此可知所求椭圆方程.
（2）首先求出动直线过（0，﹣）点．当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x^2^+（y+）^2^=；当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x^2^+y^2^=1．由．由此入手可求出点T的坐标．
（2）首先求出动直线过点.
当与轴平行时，以为直径的圆的方程： 
当与轴平行时，以为直径的圆的方程： 
由解得学科&网
即两圆相切于点，因此，所求的点如果存在，只能是，事实上，点就是所求的点.
证明如下：
当直线垂直于轴时，以为直径的圆过点
当直线不垂直于轴，可设直线： 
由消去得： 
7.如图，曲线由上半椭圆： （， ）和部分抛物线： （）连接而成， 与的公共点为， ，其中的离心率为．\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]
（1）求， 的值；
（2）过点的直线与， 分别交于点， （均异于点， ），是否存在直线，使得以为直径的圆恰好过点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）在， 的方程中，令，可得，且， 是上半椭圆的左、右顶点，设半焦距为，由及，联立解得；（2）由（1）知，上半椭圆的方程为，由题意知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为（），代入的方程，整理得： ，设点的坐标为，由根公式，得点的坐标为，同理，得点的坐标为．由 ，即可得出的值，从而求得直线方程.
 8.已知过点的椭圆的左右焦点分别为， 为椭圆上的任意一点，且成等差数列.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线交椭圆于两点，若点始终在以为直径的圆外，求实数的取值范围.
【思路点拨】（1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出的关系，再根据椭圆过点，求出的值，即可写出椭圆的标准方程；
（2）设，根据题意知，联立方程组，由方程的根与系数的关系求解，再由点在以为直径的圆外，得为锐角， ，由此列出不等式求出的取值范围.
（2）设， ，联立方程，消去得：
；
依题意直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，∴， ，①
由方程的根与系数关系可得， ；②
可得 ；③
由①②③，解得， ；
由点在以为直径的圆外，得为锐角，即；
由， ，
∴；即，
整理得， ，解得： 或.
∴实数的取值范围是或.
9.已知动点M到点N（1，0）和直线l：x=﹣1的距离相等．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）已知不与l垂直的直线l\'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C．判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．
【思路点拨】（1）利用抛物线的定义，即可求动点M的轨迹E的方程；
（2）由题意可设直线l\'：x=my+n，由可得y^2^﹣4my﹣4n=0，求出A，P的坐标，利用向量的数量积，即可得出结论．
所以NA⊥NP，
所以点N在以PA为直径的圆C上．
10.已知抛物线C~1~：y^2^=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x^2^+y^2^=9上．
（Ⅰ）求抛物线C~1~的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C~2~：=1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C~1~的焦点重合，且离心率为．直线l：y=kx﹣4交椭圆C~2~于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．
【思路点拨】（1）设点G的坐标为（x~0~，y~0~），列出关于x~0~，y~0~，p的方程组，即可求解抛物线方程．
（2）利用已知条件推出m、n的关系，设（x~1~，y~1~）、B（x~2~，y~2~），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，求出K的范围，通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部，推出•＞0，然后求解k的范围即可．
由△＞0，即（﹣32k）^2^﹣4×16（4k^2^+3）＞0，k＞或k＜﹣...①...（10分）
∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则•＞0，
∴•=x~1~x~2~+y~1~y~2~=x~1~x~2~+（kx~1~﹣4）•（kx~2~﹣4）=（k^2^+1）x~1~x~2~﹣4k（x~1~+x~2~）+16
=（k^2^+1）×﹣4k×+16
=＞0，解得：﹣＜k＜...②
由①、②得实数k的范围是﹣＜k＜﹣或＜k＜，
∴k的取值范围（﹣，﹣）∪（，）．...（12分）\[来源:Zxxk.Com\]
11.已知双曲线渐近线方程为， 为坐标原点，点在双曲线上．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）已知为双曲线上不同两点，点在以为直径的圆上，求的值．
【思路点拨】（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；Q\*Q群 5\*45\*42331 9
（2）由条件可得，可设出直线的方程，代入双曲线方程求得点的坐标可求得。
12.已知点P是圆*F*~1~：（*x*﹣1）^2^+*y*^2^=8上任意一点，点*F*~2~与点*F*~1~关于原点对称，线段*PF*~2~的垂直平分线分别与PF~1~，*PF*~2~交于*M*，*N*两点．
（1）求点*M*的轨迹*C*的方程；
（2）过点*G*（0， ）的动直线l与点的轨迹*C*交于*A*，*B*两点，在y轴上是否存在定点*Q*，使以*AB*为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点*Q*的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）由圆的方程求出F~1~、F~2~的坐标，结合题意可得点M的轨迹C为以F~1~，F~2~为焦点的椭圆，并求得*a*，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）直线l的方程可设为 ，设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A，B横坐标的和与积，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，可得 ，即 ．利用向量的坐标运算即可求得m值，即定点Q得坐标．
【详细解析】（1）由圆F~1~：（x﹣1）^2^+y^2^=8，得F~1~（1，0），则F~2~（﹣1，0），
由题意得 ，
∴点M的轨迹C为以F~1~，F~2~为焦点的椭圆，
∵
∴点M的轨迹C的方程为；
专题11 切线处理情况多，曲线不同发定夺
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**[【题型综述】]{.underline}**
圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数，利用导数法求出函数在点处的切线方程，特别是焦点在轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式，即可解出切线方程，注意关于（或y）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.
**[【典例指引】]{.underline}**
### 类型一 导数法求抛物线切线
**例1** 【2017课表1，文20】设*A*，*B*为曲线*C*：*y*=上两点，*A*与*B*的横坐标之和为4．
（1）求直线*AB*的斜率；
（2）设*M*为曲线*C*上一点，*C*在*M*处的切线与直线*AB*平行，且*AM**BM*，求直线*AB*的方程．
\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
### 类型二 椭圆的切线问题
**例2**（2014广东20）（14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
**类型三 直线与椭圆的一个交点**
例3.【2013年高考安徽卷】已知椭圆的焦距为4，且过点.
（Ⅰ）求椭圆*C*的方程；
（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为.取点,连接，过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆*C*一定有唯一的公共点？并说明理由.
**【解析】**（1）因为椭圆过点
 且 学\*科网
    椭圆C的方程是
（2）
由题意，各点的坐标如上图所示，
则的直线方程：
化简得
又，学\*科网
所以带入
求得最后
所以直线与椭圆只有一个公共点.
### 类型四 待定系数求抛物线的切线问题
例4 【2013年高考广东卷】已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
\(1\) 求抛物线的方程；
\(2\) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；
\(3\) 当点在直线上移动时，求的最小值．
（3）由抛物线的定义可知，
所以
联立，消去得，
当时，取得最小值为学\*科网
**[【扩展链接】]{.underline}**
1. **椭圆的切线方程：椭圆****上一点****处的切线方程是****；椭圆****外一点****所引两条切线方程是****.**
2. **双曲线的切线方程：双曲线****上一点****处的切线方程是****；双曲线****上一点****所引两条切线方程是****.\[来源:学科网\]**
3. **抛物线的切线方程：抛物线****上一点****处的切线方程是****；抛物线****上一点****所引两条切线方程是****.**
**4.设抛物线****的焦点为****，若过点****的直线****分别与抛物线****相切于****两点，则****.**
**5.设椭圆****:****的焦点为****，若过点****的直线****分别与椭圆****相切于****两点，则****.**
**6.设双曲线****:****的焦点为****，若过点****的直线****分别与椭圆****相切于****两点，则****.**
### 【同步训练】
1．已知椭圆与抛物线y^2^=2px（p＞0）共焦点F~2~，抛物线上的点M到y轴的距离等于\|MF~2~\|﹣1，且椭圆与抛物线的交点Q满足\|QF~2~\|=．
（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；
（2）过抛物线上的点P作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A、B两点，求此切线在x轴上的截距的取值范围．
【思路点拨】（1）由抛物线的性质，求得x=﹣1是抛物线y^2^=2px的准线，则，求得p的值，求得焦点坐标，代入抛物线方程求得Q点坐标，利用椭圆的定义，即可求得a的值，由b^2^=a^2^﹣c^2^=8，即可求得椭圆方程；
（2）将直线分别代入抛物线，由△=0，求得km=1，将直线方程代入椭圆方程，求得△＞0，代入即可求得m的取值范围，切线在x轴上的截距为，又，即可求得切线在x轴上的截距的取值范围．
（ 2）显然k≠0，m≠0，
由，消去x，得ky^2^﹣4y+4m=0，
由题意知△~1~=16﹣16km=0，得km=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
由，消去y，得（9k^2^+8）x^2^+18kmx+9m^2^﹣72=0，
其中（9k^2^+8）（9m^2^﹣72）＞0，
化简得9k^2^﹣m^2^+8＞0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
又，得m^4^﹣8m^2^﹣9＜0，解得0＜m^2^＜9，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
切线在x轴上的截距为，又，学\*科网
∴切线在x轴上的截距的取值范围是（﹣9，0）．﹣﹣（12分）
2.（2017•鸡泽县校级模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中一个顶点是双曲线﹣=1的焦点．\[来源:学科网ZXXK\]
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，过点A，B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．
【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为，其中一个顶点是双曲线﹣=1的焦点，旬出方程组求出a，b，c，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），求出椭圆在点A处的切线方程为=1，①椭圆在点B处的切线方程为=1，②，联立①②，得y=，求出交点的轨迹方程为y=．当直线l的斜率不存在时，无交点．由此能过求出过点A，B所作椭圆的两条切线的交点的轨迹方程．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
设在A（x~1~，y~1~）处切线方程为y﹣y~1~=k~1~（x﹣x~1~），
与椭圆C：=1联立，
消去y，得（）x^2^+8k~1~（﹣k~1~x~1~+y~1~）x+4（﹣k~1~x~1~+y~1~）^2^﹣75=0，
由△=0，得\[8k~1~（﹣k~1~x~1~+y~1~）\]^2^﹣4（4+3）\[4（﹣k~1~x~1~+y~1~）^2^﹣75\]=0，
化简，得（），学\*科网
由，得4x~1~^2^﹣100=﹣，4y~1~^2^﹣75=﹣3x~1~^2^，
∴上式化为﹣=0，
3.设椭圆C：+=1（a＞b＞0），定义椭圆的"伴随圆"方程为x^2^+y^2^=a^2^+b^2^；若抛物线x^2^=4y的焦点与椭圆C的一个短轴重合，且椭圆C的离心率为．
（1）求椭圆C的方程和"伴随圆"E的方程；
（2）过"伴随圆"E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，延长PA与"伴随圆"E交于点Q，O为坐标原点．
①证明：PA⊥PB；
②若直线OP，OQ的斜率存在，设其分别为k~1~，k~2~，试判断k~1~k~2~是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．
【思路点拨】（1）由抛物线的方程，求得b的值，利用离心率公式，即可求得a的值，求得椭圆方程；
（2）①设直线y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k~PA~•k~PB~=﹣1，即可证明PA⊥PB；
②将直线方程代入圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得k~1~k~2~=，代入即可求得k~1~k~2~=﹣．
当切线的斜率不存在或等于零结论显然成立，
∴PA⊥PB，
②当直线PQ的斜率存在时，
由①可知直线PQ的方程为y=kx+m，
，整理得：（k^2^+1）x^2^+2kmx+m^2^﹣4=0，
则△=4k^2^m^2^﹣4（k^2^+1）（m^2^﹣4），将m^2^=3k^2^+1，代入整理△=4k^2^+12＞0，
设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~），则x~1~+x~2~=﹣，x~1~•x~2~=，
∴k~1~k~2~===，
=，学\*科网
将m^2^=3k^2^+1，即可求得求得k~1~k~2~=﹣，
当直线PQ的斜率不存在时，易证k~1~k~2~=﹣，
∴综上可知：k~1~k~2~=﹣．学\*科网
4.左、右焦点分别为F~1~、F~2~的椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点Q（0，），P为椭圆上一点，△PF~1~F~2~的重心为G，内心为I，IG∥F~1~F~2~．
（1）求椭圆C的方程；
（2）M为直线x﹣y=4上一点，过点M作椭圆C的两条切线MA、MB，A、B为切点，问直线AB是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【思路点拨】（1）由过点Q，则b=，求得，△PF~1~F~2~的重心为G点坐标，由IG∥F~1~F~2~，\|y~0~\|=3r，根据三角形的面积公式可知a=2c，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）利用椭圆的切线发浓缩，求得直线AB的方程，由点M为直线x﹣y=4上，代入整理即可求得定点坐标．
（2）设M（x~1~，y~1~），A（x~2~，y~2~），B（x~3~，y~3~）则切线MA，MB的方程分别为，．...（7分）
∵点M在两条切线上，
∴，，
故直线AB的方程为．...（9分）
又∵点M为直线x﹣y=4上，
∴y~1~=x~1~﹣4
即直线AB的方程可化为，整理得（3x+4y）x~1~=16y+12，
由解得，学\*科网
因此，直线AB过定点．...（12分）
5.平面直角坐标系xoy中，椭圆C~1~：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6．
（1）求椭圆的方程；
（2）A，B是抛物线C~2~：x^2^=4y上两点，且A，B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆C~1~相交于C，D两点，求弦\|CD\|的最大值．\[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\]
【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线AB为：y=kx+m，由，得x^2^﹣4kx﹣4m=0，由此利用韦达定理、直线垂直推导出直线AB过抛物线C~1~的焦点F，再由，得（1+2k^2^）x^2^+4kx﹣2=0，由此利用弦长公式能求出弦\|CD\|的最大值．
 
故切线PA，PB的斜率分别为，k~PB~=，
再由PA⊥PB，得k~PA~•k~PB~=﹣1，
∴，
解得m=1，这说明直线AB过抛物线C~1~的焦点F，
由，得（1+2k^2^）x^2^+4kx﹣2=0，
∴\|CD\|=•=≤3．
当且仅当k=时取等号，
∴弦\|CD\|的最大值为3．学\*科网
6.已知椭圆C：（a＞b＞0）的上、下两个焦点分别为F~1~，F~2~，过F~1~的直线交椭圆于M，N两点，且△MNF~2~的周长为8，椭圆C的离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M\'，N\'是直线l上的两点，且F~1~M\'⊥l，F~2~N\'⊥l，求四边形F~1~M\'N\'F~2~面积S的最大值．
【思路点拨】（1）由△MNF~2~的周长为8，求出a=2，再由，求出b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）将直线l的方程y=kx+m代入到椭圆方程中，得（4+k^2^）x^2^+2kmx+m^2^﹣4=0．由直线与椭圆仅有一个公共点，利用根的判别式求出m^2^=4+k^2^．由此利用弦长公式，结合已知条件能求出四边形F~1~M\'N\'F~2~面积的最大值．
所以==．
因为四边形F~1~M\'N\'F~2~的面积，
所以=．
令k^2^+1=t（t≥1），
则==，
所以当时，S^2^取得最大值为16，故S~max~=4，学\*科网
即四边形F~1~M\'N\'F~2~面积的最大值为4．
7.已知A，B分别是椭圆 的长轴与短轴的一个端点，F~1~，F~2~分别是椭圆C的左、右焦点，D椭圆上的一点，△DF~1~，F~2~的周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P是圆x^2^+y^2^=7上任一点，过点作P椭圆C的切线，切点分别为M，N，求证：PM⊥PN．
【思路点拨】（1）由2a+2c=6，，b^2^+c^2^=a^2^，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）分类讨论，当切线PM斜率不存在或者为零时，根据对称性即可求得PM⊥PN；当斜率不为零时，分别求得直线PM，PN的方程，由△=0即可求得k~1~，k~2~是方程的两个根，则，则PM⊥PN．\[来源:Zxxk.Com\]
∴．∵y~0~=k~1~x~0~+m，∴m=y~0~﹣k~1~x~0~，
∴．即；
同理：切线PN：y=k~2~x+t中，，
∴k~1~，k~2~是方程的两个根，
又∵P在圆上，∴，∴，
∴，
∴PM⊥PN．学\*科网
综上所述：PM⊥PN．
8.已知圆M：（x﹣a）^2^+（y﹣b）^2^=9，M在抛物线C：x^2^=2py（p＞0）上，圆M过原点且与C的准线相切．
（Ⅰ） 求C的方程；
（Ⅱ） 点Q（0，﹣t）（t＞0），点P（与Q不重合）在直线l：y=﹣t上运动，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B．求证：∠AQO=∠BQO（其中O为坐标原点）．
【思路点拨】（1）由圆M与抛物线准线相切，得，
且圆过又圆过原点，故，可得，解得p=4，即可
（2） 设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），P（m，﹣t），
可得，，即x~1~，x~2~为方程x^2^﹣2mx﹣4t=0的两根，所以x~1~+x~2~=2m，x~1~x~2~=﹣4t，可得，化简=．可证得∠AQO=∠BQO．
又因过点P（m，﹣t），故可得，，（7分）
即，同理可得，（8分）
所以x~1~，x~2~为方程x^2^﹣2mx﹣4t=0的两根，所以x~1~+x~2~=2m，x~1~x~2~=﹣4t，（9分）
因为Q（0，﹣t），所以，（10分）
化简=．（11分）
所以∠AQO=∠BQO．（12分）
9.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，右焦点为F．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C相切于点P（不为椭圆C的左、右顶点），直线l与直线x=2交于点A，直线l与直线x=﹣2交于点B，请问∠AFB是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明．
【思路点拨】（1）由2a=4，离心率e==，b=即可求得a和b，即可求得椭圆C的方程；
（2）l的斜率为0时，∠AFB为直角，则∠AFB为定值，当斜率不为0时，将切点代入椭圆方程，求得交点坐标，求得AF和BF的斜率k~AF~及k~BF~，即可求得k~AF~•k~BF~=﹣1，即可求得∠AFB为定值．
10.已知过抛物线x^2^=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A、B两点．
（1）设抛物线在A、B处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程．
（2）若直线l与椭圆+=1的交点为C，D，问是否存在这样的直线l使\|AF\|•\|CF\|=\|BF\|•\|DF\|，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
【思路点拨】（1）设，直线AB：，从而得到过A，B，M的圆是以AB为直径的圆，由此结合已知条件能求出圆的方程．
（2）设，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出满足条件的直线方程．
（2）设
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），C（x~3~，y~3~），D（x~4~，y~4~），
则
又，
∴x~1~+x~2~=4k，x~1~x~2~=﹣4
将，...①
由
将，
由①②得k=0或k^2^=1，k=±1，
经检验k=0，k=±1时，A、B、C、D四点各异，且满足要求
故直线l存在，且方程为y=±x+1或y=1...（13分）
11.在平面直角坐标系中，已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，动直线l′垂直l于点H，线段HF的垂直平分线交l′于点P，设点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）以曲线C上的点P（x~0~，y~0~）（y~0~＞0）为切点作曲线C的切线l~1~，设l~1~分别与x，y轴交于A，B两点，且l~1~恰与以定点M（a，0）（a＞2）为圆心的圆相切，当圆M的面积最小时，求△ABF与△PAM面积的比．
【思路点拨】（1）由丨PH丨=丨PF丨，根据抛物线的定义，点P的轨迹是以l为准线，F为焦点的抛物线，即可求得抛物线方程；
（2）由y＞0时，求导，求得切线斜率，利用点斜式方程即可求得切线方程，取得A和B点坐标，利用点到直线的距离公式，根据基本不等式的性质，当P（a﹣2，2）时，满足题意的圆M的面积最小，求得A和B点坐标，利用三角形的面积公式即可求得△ABF与△PAM面积的比．
A（﹣x~0~，0），...（7分）
点M（a，0）到切线l的距离d==+≥2，
（当且仅当y~0~=2时，取等号）．
∴当P（a﹣2，2）时，满足题意的圆M的面积最小． ...（9分）
∴A（2﹣a，0），B（0，），
∴S~△ABF~=丨1﹣（2﹣a）丨•丨丨=（a﹣1），
S~△PAM~=丨a﹣（2﹣a）丨•丨2丨=2（a﹣1），...（11分）
∴=，
△ABF与△PAM面积的比．...（12分）
12.在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程.
【思路点拨】（1）因为椭圆C~1~的左焦点为F~1~（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得b=1，由此能求出椭圆C~1~的方程；（2）设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+2k^2^）x^2^+4kmx+2m^2^﹣2=0．因为直线l与椭圆C~1~相切，所以△=0，得到两个变量的等量关系．再由直线和抛物线相切，联立方程，运用判别式为0，再构造两个变量的等量关系，从而解出两个变量的值，由此能求出直线l的方程．
专题12 综合求证多变换，几何几何代数算
-------------------------------------
**[【题型综述】]{.underline}**
综合求证问题有以下类型：（1）证明直线过定点，设出直线方程，利用题中的条件与设而不求思想找出曲线方程中参数间的关系，即可求出定点.
(2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求证目标的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决．
（3）恒等式的证明问题，将恒等式转化为常见的弦长、距离之比或向量关系等问题，进而转化为直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.
(4)几何图形性质的证明，利用几何图形性质与向量运算的关系，转化为向量的运算或直线的斜率关系，再用直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.
**[【典例指引】]{.underline}**
### [类型一]{.underline} 证明分点问题
例1 【2017北京，理18】已知抛物线*C*：*y*^2^=2*px*过点*P*（1，1）.过点（0，）作直线*l*与抛物线*C*交于不同的两点*M*，*N*，过点*M*作*x*轴的垂线分别与直线*OP*，*ON*交于点*A*，*B*，其中*O*为原点.
（Ⅰ）求抛物线*C*的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：*A*为线段*BM*的中点..
直线*ON*的方程为，点*B*的坐标为.
因为
，
所以.学科\*网\[来源:Z+xx+k.Com\]
故*A*为线段*BM*的中点.
### 类型二 几何证明问题
例2. 【2015高考湖南，理20】已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向
（ⅰ）若，求直线的斜率
（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形
 （ii）由得，∴在点处的切线方程为，即
，令，得，即，∴，而，于是
，因此是锐角，从而是钝角.，故直线绕点旋转时，总是钝角三角形. 学科\*网
### 类型三 等式证明
**例3**【2015高考上海，理21】已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为.
（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；
（2）设与的斜率之积为，求面积的值.
### 类型四 长度关系证明
例4.【2016高考四川】已知椭圆*E*：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆*E*上.
(Ⅰ)求椭圆*E*的方程；
(Ⅱ)设不过原点*O*且斜率为的直线*l*与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：．
**[【扩展链接】]{.underline}**
**1.圆锥曲线以*P*(*x*~0~，*y*~0~)(*y*~0~≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是：*k*＝－(椭圆＋＝1)，*k*＝(双曲线－＝1)，*k*＝(抛物线*y*^2^＝2*px*)，其中*k*＝(*x*~1~≠*x*~2~)，(*x*~1~，*y*~1~)，(*x*~2~，*y*~2~)为弦端点的坐标．**
**2.给出****,等于已知****,即****是直角,给出****,等于已知****是钝角, 给出****,等于已知****是锐角；**
**3.在平行四边形****中，给出****，等于已知****是菱形;**
**4.在平行四边形****中，给出****，等于已知****是矩形;**
### 【同步训练】
1．如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N的下方），且\|MN\|=3．
（1）求圆C的方程；
（2）过点M任作一条直线与椭圆相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．
【思路点拨 】（1）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r），根据\|MN\|=3，利用弦长公式求得r的值，可得圆C的方程．
（2）把x=0代入圆C的方程，求得M、N的坐标，当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM，当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得K~AB~+K~BN~=0，可得∠ANM=∠BNM．
综上所述，∠ANM=∠BNM．学科\*网
2.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（，）两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足\|MA\|=\|MB\|．求证：++为定值．
【思路点拨】（1）把（1，1）与（，）两点代入椭圆方程解出即可．
（2）由\|MA\|=\|MB\|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．
①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可．\[来源:学科网ZXXK\]
②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OM的方程为，设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到=，同理，代入要求的式子即可．
∴=，同理，
所以=2×+=2，
故=2为定值．学科\*网
3.在平面直角坐标系xOy中，动点p（x，y）（x≥0）满足：点p到定点F（，0）与到y轴的距离之差为．记动点p的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线x=﹣于点D，求证：直线DB平行于x轴．
【思路点拨】（1）利用动点p（x，y）（x≥0）满足：点p到定点F（，0）与到y轴的距离之差为．列出关系式，即可求曲线C的轨迹方程；
（2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线x=﹣于点D，设A的坐标为（），求出OM的方程为y=x（y~0~≠0），推出点D的纵坐标然后求出直线AF的方程，求出点B的纵坐标，判断直线DB平行于x轴．即可得到结果．
4.在平面直角坐标系xoy中，已知点P（2，1）在椭圆C：上且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）不经过坐标原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点（不与点P重合），且线段AB的中为D，直线OD的斜率为1，记直线PA，PB的斜率分别为k~1~，k~2~，求证：k~1~•k~2~为定值．
【思路点拨】（1）根据椭圆的离心率公式，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）根据中点坐标公式及直线斜率公式，求得x~1~+x~2~=y~1~+y~2~，利用点差法求得直线l的斜率，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k~1~•k~2~为定值．
设直线l的方程y=﹣x+t，\[来源:学科网\]
，整理得：3x^2^﹣4tx+4t^2^﹣12=0，
则x~1~+x~2~=，x~1~x~2~=，
则k~1~•k~2~==，
=
==，学科\*网
∴k~1~•k~2~为定值．
5.在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．
【思路点拨】（1）设P（x~0~，y~0~），则S（﹣1，y~0~），由此利用向量的数量积能求出曲线C的方程．
（2）设Q（x~1~，y~1~），则，从而y^2^=4x，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），由PQ过F，得，，进而=（），=（），由此能证明向量与共线．
假设=成立，
∴，解得，
∴，
∴向量与共线．学科\*网
6.已知动点A，B在椭圆+=1上，且线段AB的垂直平分线始终过点P（﹣1，0）．
（1）证明线段AB的中点M在定直线上；
（2）求线段AB长度的最大值．
【思路点拨】（1）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），线段AB的中点M（x~0~，y~0~），当AB与x轴垂直时，线段AB的中点M（﹣2，0），在直线y=0，当AB与x轴不垂直时，利用平方差法推出，说明M在直线x=﹣2上．
（2）当AB与x轴垂直时，，当AB与x轴不垂直时，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求解即可．
 ，
∴x~1~+x~2~=﹣4，， ...（8分）
∴=（11分）
∴．...（12分） 
7.已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为2，离心率为；抛物线G：y^2^=2px（p＞0）的焦点F与椭圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线l过抛物线G的焦点F与椭圆E交于A，B两点，与抛物线G相交于C，D两点．
（1）求椭圆E及抛物线G的方程；
（2）证明：存在实数λ，使得+为常数，并求λ的值．
【思路点拨】（1）由2a=2，根据椭圆的离心率公式即可求得c的值，代入，b^2^=a^2^﹣c^2^=1，求得椭圆方程，由=c，求得c的值，求得抛物线方程；
（2）设直线l的方程，分别代入椭圆方程及抛物线方程，分别求得丨AB丨及丨CD丨，由+=为常数，则须有20+λ=4，即可求得λ的值．
 
8.已知定点Q（，0），P为圆N：上任意一点，线段QP的垂直平分线交NP于点M．
（1）当P点在圆周上运动时，求点M （x，y） 的轨迹C的方程；
（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，且，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程．
【思路点拨】（1）求出圆N的圆心坐标为N（，0），半径为，\|MP\|=\|MQ\|，得到\|MN\|+\|MQ\|=\|MN\|+\|MP\|=\|NP\|=＞\|NQ\|，利用椭圆的定义，求解点M的轨迹C的方程．
（2）当直线的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），联立直线与椭圆的方程，得消去y，通过直线与椭圆有两个不同的交点，利用判别式以及韦达定理，通过，求解即可，当直线的斜率不存在时，直线为x=m，验证求解即可．\[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\]
由韦达定理得：．...（8分）
∴．
∵，∴x~1~x~2~+y~1~y~2~=0，即，...（9分）
整理得m^2^=2k^2^+2满足①式，∴，即原点到直线l为的距离是，
∴直线l与圆x^2^+y^2^=2相切．...（10分）
当直线的斜率不存在时，直线为x=m，与椭圆C交点为A（m，），B（m，）∵，∴．学\*科网
此时直线为x=，显然也与圆x^2^+y^2^=2相切．...（11分）
综上，直线l与定圆E：x^2^+y^2^=2相切．...（12分）
9.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点分别为F~1~，F~2~，离心率为．设过点F~2~的直线l被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，\|RS\|=3
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l变化时，直线TS与TR的斜率之和为定值．
【思路点拨】（1）由题意可知：a=2c，=3，且a^2^=b^2^+c^2^，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）分类讨论，当直线l不垂直与x轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k~TR~+k~TS~=0，即可证明直线TS与TR的斜率之和为定值．
由R，S两点的直线y=k（x﹣1），
故y~1~=k（x~1~﹣1），y~2~=k（x~2~﹣1），
则=，
由2x~1~x~2~﹣5（x~1~+x~2~）+8=2×﹣5×+8=0，
∴k~TR~+k~TS~=0，学科\*网
∴直线TS与TR的斜率之和为0，
综上所述，直线TS与TR的斜率之和为为定值，定值为0．
10.已知椭圆E：中，a=b，且椭圆E上任一点到点的最小距离为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l~1~，l~2~（l~1~，l~2~不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：\|QA\|•\|QC\|=\|QB\|•\|QD\|．
【思路点拨】（1）设M（x，y）为椭圆E上任一点，由，椭圆E的方程可化为，通过求解椭圆E上任一点到点的最小距离为．即可求出椭圆的方程．
（2）直线l~1~，l~2~不重合，则直线l~1~，l~2~的斜率均存在，设直线l~1~：y=k（x﹣1）+1，点A（x~1~，y~1~），C（x~2~，y~2~）．
直线l~2~：y=﹣k（x﹣1）+1．联立消去y，由韦达定理以及弦长公式化简，可得\|QA\|•\|QC\|=\|QB\|•\|QD\|．
 
11.椭圆： 的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点， .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上的动点，且点与点， 不重合，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求证：以线段为直径的圆恒过定点.
【思路点拨】(1)由题意可得，则椭圆*C*的标准方程为.
(2)由题意可得，结合题意可得圆的方程为，则以线段*ST*为直径的圆恒过定点. \[来源:学科网ZXXK\]
12.已知点， 其中是曲线上的两点， ， 两点在轴上的射影分别为点， ，且.
（1）当点的坐标为时，求直线的斜率；
（2）记的面积为，梯形的面积为，求证： .
【思路点拨】(1)由题意结合直线的斜率公式可得 ；
(2) 设直线的方程为.联立直线与抛物线的方程，可得 ，  ，则 .
专题13 探究代数表达式，函数方程来发力
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**[【题型综述】]{.underline}**
探究代数表达式包括以下若干类型：（1）参数值的探索，根据题中的条件将参数转化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在，否则不存在
.(2)等式恒成立问题，根据题中条件和有关向量、距离公式、平面几何知识等方法，转化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在。
**[【典例指引】]{.underline}**
### 类型一 参数值的探究
例1 【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）
已知椭圆*E*：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆*E*有且只有一个公共点*T*.
（Ⅰ）求椭圆E的方程及点*T*的坐标；
（Ⅱ）设*O*是坐标原点，直线*l'*平行于*OT*，与椭圆E交于不同的两点*A*、*B*，且与直线l交于点*P*．证明：存在常数，使得，并求的值.
 
方程②的判别式为，由，解得.
由②得.
所以 ，
同理，学\*科网
所以
.
故存在常数，使得.
### 类型二 恒等式成立探究
例2. 【2015高考四川，理20】如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与轴时，直线被椭圆E截得的线段长为.
(1)求椭圆E的方程；
（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
\[来源:学.科.网\]
（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于C、D两点.
如果存在定点Q满足条件，则，即.
所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为.
当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点.
则，
由，有，解得或.
所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为.
下面证明：对任意的直线，均有.学\*科网
当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，A、B的坐标分别为.
联立得.学\*科网
其判别式，**类型三 面积最小值存在性**
**例3**【2015高考湖北，文22】一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆*ON*可绕*O*转动，长杆*MN*通过*N*处铰链与*ON*连接，*MN*上的栓子*D*可沿滑槽*AB*滑动，且，．当栓子*D*在滑槽*AB*内作往复运动时，带动*N*绕转动，*M*处的笔尖画出的椭圆记为*C*．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求椭圆*C*的方程；
> （Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
 . ②
将①代入②得，. 当时，；当时，.因，则，，所以，当且仅当时取等号.所以当时，的最小值为8. 学\*科网
综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8.
**[类型四]{.underline} 面积关系探究**
例4.（2011湖南理21）如图7,椭圆的离心率为,轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)设与轴的交点为,过坐标原点的直线与相交于点,直线分别与相交于点.
(ⅰ)求证:;
(ⅱ)记的面积分别为.问:是否存在直线,使得?请说明理由.
 
**[【扩展链接】]{.underline}**
1. **为椭圆****的其中一个焦点，若****是椭圆上一点，则****.**
2. **为双曲线****的右焦点，若****是双曲线右支上一点，则****，若****是双曲线左支上一点，则****，.**
3. **为椭圆****的左焦点，****是过左焦点倾斜角为****的弦，点****在****轴上方，则****,****,****,****.**
4. **为抛物线****的焦点，****是过左焦点倾斜角为****的弦，点****在****轴上方，则****，****,****,****.**
### 【同步训练】
1．已知A为椭圆=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过左右焦点F~1~，F~2~，且当线段AF~1~的中点在y轴上时，cos∠F~1~AF~2~=．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设，试判断λ~1~+λ~2~是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．
【思路点拨】（1）当线段AF~1~的中点在y轴上时，AC垂直于x轴，△AF~1~F~2~为直角三角形．运用余弦函数的定义可得\|AF~1~\|=3\|AF~2~\|，易知\|AF~2~\|=，再由椭圆的定义，结合离心率公式即可得到所求值；
（2）由（1）得椭圆方程为x^2^+2y^2^=2b^2^，焦点坐标为F~1~（﹣b，0），F~2~（b，0），（1）当AB，AC的斜率都存在时，设A（x~0~，y~0~），B（x~1~，y~1~），C（x~2~，y~2~），求得直线AC的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量共线定理，可得λ~1~+λ~2~为定值6；若AC⊥x轴，若AB⊥x轴，计算即可得到所求定值．
同理λ~1~=，可得λ~1~+λ~2~=6；
②若AC⊥x轴，则λ~2~=1，λ~1~==5，这时λ~1~+λ~2~=6；
若AB⊥x轴，则λ~1~=1，λ~2~=5，这时也有λ~1~+λ~2~=6；
综上所述，λ~1~+λ~2~是定值6．学\*科网
2.（2017•邯郸二模）已知F~1~（﹣c，0）、F~2~（c、0）分别是椭圆G：+=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦点，点P（2，）是椭圆G上一点，且\|PF~1~\|﹣\|PF~2~\|=a．
（1）求椭圆G的方程；
（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若⊥，其中O为坐标原点，判断O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【思路点拨】（1）根据椭圆的定义，求得丨PF~1~丨=a=3\|PF~2~\|，根据点到直线的距离公式，即可求得c的值，则求得a的值，b^2^=a^2^﹣c^2^=4，即可求得椭圆方程；
（2）当直线l⊥x轴，将直线x=m代入椭圆方程，求得A和B点坐标，由向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得O到直线l的距离；当直线AB的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，即可求得O到直线l的距离为定值．
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+n，
则，消去y整理得：（1+2k^2^）x^2^+4knx+2n^2^﹣8=0，
x~1~+x~2~=﹣，x~1~x~2~=，
则y~1~y~2~=（kx~1~+n）（kx~2~+n）=k^2^x~1~x~2~+kn（x~1~+x~2~）+n^2^=，
由⊥，学\*科网
∴x~1~x~2~+y~1~y~2~=0，故+=0，
整理得：3n^2^﹣8k^2^﹣8=0，即3n^2^=8k^2^+8，①
则原点O到直线l的距离d=，
∴d^2^=（）^2^==，②
将①代入②，则d2==，
∴d=，
综上可知：点O到直线l的距离为定值．学\*科网
3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．设直线BD，AM斜率分别为k~1~，k~2~，证明存在常数λ使得k~1~=λk~2~，并求出λ的值．
【思路点拨】（1）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；
（2）设出A，D的坐标分别为（x~1~，y~1~）（x~1~y~1~≠0），（x~2~，y~2~），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值．
4.已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆，离心率，且椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆左，右焦点分别为F~1~，F~2~，过F~2~的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，则△F~1~AB的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）设椭圆方程，由题意列关于a，b，c的方程组求解a，b，c的值，则椭圆方程可求；
（2）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），不妨设y~1~＞0，y~2~＜0，设△F~1~AB的内切圆的径R，则△F~1~AB的周长=4a=8，=（\|AB\|+\|F~1~A\|+\|F~1~B\|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F~1~AB的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．
由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，
由，得（3m^2^+4）y^2^+6my﹣9=0，
．
则=，
令，则m^2^=t^2^﹣1，学\*科网
∴=，
令f（t）=3t+，则f′（t）=3﹣，
当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在\[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，≤3，
即当t=1，m=0时，≤3，
由=4R，得R~max~=，这时所求内切圆面积的最大值为．
故直线l：x=1，△F~1~AB内切圆面积的最大值为．学\*科网
5.已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点M在以椭圆C的短轴为直径的圆上，且M在第一象限，过M作此圆的切线交椭圆于P，Q两点．试问△PFQ的周长是否为定值？若是，求此定值；若不是，说明理由．
【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O为坐标原点），列出方程组，求出a=，b=1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~），，连结OM，OP，求出\|PF\|+\|PM\|=\|QF\|+\|QM\|=，从而求出△PFQ的周长为定值2．
6.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，联接椭圆四个顶点的四边形面积为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A、B是椭圆的左右顶点，P（x~P~，y~P~）是椭圆上任意一点，椭圆在P点处的切线与过A、B且与x轴垂直的直线分别交于C、D两点，直线AD、BC交于Q（x~Q~，y~Q~），是否存在实数λ，使x~P~=λx~Q~恒成立，并说明理由．
【思路点拨】（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，联接椭圆四个顶点的四边形面积为2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设切线方程为y=kx+m，与椭圆联立消元得（2+3k^2^）x^2^+6kmx+3m^2^﹣6=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，组合已知条件能求出存在λ=1，使x~P~=λx~Q~恒成立．
 \[来源:学科网\]
7.已知椭圆C：=1，直线l过点M（﹣1，0），与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点N．
（1）设MN的中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；
（2）设=λ，=μ，试探究λ+μ是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【思路点拨】（1）设点N（0，n），表示出MN中点坐标，代入椭圆方程即可求得n值，从而可得直线方程；
（2）直线AB的斜率存在且不为0，设直线方程为x=ty﹣1，A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），M（﹣1，0），N（0，﹣），联立，消x可得（4+3t^2^）y^2^﹣6ty﹣9=0，利用韦达定理，以及向量共线的坐标可得λ=﹣1﹣，同理可得μ=﹣1﹣，然后化简即可．
 8.已知离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，0），过点Q（1，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设点P（4，3），记PA，PB的斜率分别为k~1~，k~2~
（1）求椭圆C的方程；
（2）探讨k~1~+k~2~是否为定值？如果是，求出该定值，如果不是，求出k~1~+k~2~的取值范围．
【思路点拨】（1）由题意可知a=2c，a=2，则c=1，b^2^=a^2^﹣c^2^=3，
（2）分类讨论，当直线线AB的斜率存在时，代入椭圆方程，由韦达定理及直线斜率公式，即可求得的k~1~+k~2~值．
（2）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，），B（1，﹣），
则k~1~==，k~2~==，故k~1~+k~2~=2，
当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）．
由，消去y，整理得：（4k^2^+3）x^2^﹣8k^2^x+4k^2^﹣12=0，
∴x~1~+x~2~=，x~1~x~2~=，学\*科网
k~1~+k~2~=+=+=，\[来源:学科网ZXXK\]
===2，\[来源:学§科§网\]
综上可知：k~1~+k~2~为定值，定值为2．
9.已知椭圆C：+=1（a＞b＞1）的左焦点F与抛物线y^2^=﹣4x的焦点重合，直线x﹣y+=0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．
（1）求该椭圆C的方程；
（2）过点F的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D、E两点，记△GFD的面积为S~1~，△OED的面积为S~2~，问：是否存在直线AB，使得S~1~=S~2~，若存在，求直线AB的方程，若不存在，说明理由．
【思路点拨】（1）通过抛物线方程可知c=1，利用点到直线的距离公式可知e==，结合a、b、c三者之间的关系可求出a=2、b=1，进而可得椭圆C的方程；
（2）通过假设存在直线AB使得S~1~=S~2~，则可设其方程为：y=k（x+1）（k≠0），并与椭圆C方程联立，结合韦达定理可得G（，），利用DG⊥AB可得D（，0），结合△GFD～△OED可得=，联立S~1~=S~2~整理得8k^2^+9=0，由于此方程无解推出假设不成立．
  10.在直角坐标系xOy中，椭圆C~1~：的离心率为，左、右焦点分别是F~1~，F~2~，P为椭圆C~1~上任意一点，\|PF~1~\|^2^+\|PF~2~\|^2^的最小值为8．
（1）求椭圆C~1~的方程；
（2）设椭圆C~2~：为椭圆C~2~上一点，过点Q的直线交椭圆C~1~于A，B两点，且Q为线段AB的中点，过O，Q两点的直线交椭圆C~1~于E，F两点．
（i）求证：直线AB的方程为x~0~x+2y~0~y=2；
（ii）当Q在椭圆C~2~上移动时，四边形AEBF的面积是否为定值？若是，求出该定值；不是，请说明理由．
【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为、右焦点分别是F~1~，F~2~，P为椭圆C~1~上任意一点，\|PF~1~\|^2^+\|PF~2~\|^2^的最小值为8，列出方程，求出a，b，由此能求出椭圆C~1~的方程为+．
（2）（i）由（1）知椭圆C~2~：=1，Q（x~0~，y~0~）为椭圆E上一点，=1，利用点差法求出直线AB的方程为x~0~x+2y~0~y=2，由此能求出直线AB的方程．
（ii）联立直线EF与椭圆C~1~的方程，得E（，），F（﹣，﹣），联立直线AB与椭圆C~1~的方程，得：，利用韦达定理求出\|AB\|=，点E（）、F（﹣）到直线AB的距离为d~1~，d~2~，﹣﹣由此能求出当Q在椭圆C~2~上移动时，四边形AEBF的面积为定值4．
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（ii）直线EF的方程为y~0~x﹣x~0~y=0，
联立直线EF与椭圆C~1~的方程，
解得E（，），F（﹣，﹣），
联立直线AB与椭圆C~1~的方程，
消去y，得：，学\*科网
x~1~+x~2~=2x~0~，x~1~x~2~=2﹣4y~0~^2^，
\|AB\|=•
=•=，
设点E（）、F（﹣）到直线AB的距离分别为d~1~，d~2~，
S~AEBF~=S~△ABE~+S~△ABF~=，
==，
==，
∴S~AEBF~=•==4．
故当Q在椭圆C~2~上移动时，四边形AEBF的面积为定值4．学\*科网Q\*Q群 5\*4542331 9
11.已知椭圆C：+=1 （a＞b＞0）的短轴长为2，过上顶点E和右焦点F的直线与圆M：x^2^+y^2^﹣4x﹣2y+4=0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l过点（1，0），且与椭圆C交于点A，B，则在x轴上是否存在一点T（t，0）（t≠0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB （其中O为坐标原点），若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）由已知可得：b=1，结合直线与圆M：x^2^+y^2^﹣4x﹣2y+4=0相切．进而可得c^2^=3，a^2^=4，即得椭圆C的标准方程；
（2）在x轴上是否存在一点T（4，0），使得不论直线l的斜率如何变化，总有∠OTA=∠OTB，联立直线与椭圆方程，结合∠OTA=∠OTB 时，直线TA，TB的斜率k~1~，k~2~和为0，可证得结论．
即，
解得：c^2^=3，\[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\]
则a^2^=4，
故椭圆C的标准方程为：；
 12.已知A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）是抛物线C：x^2^=2py（p＞0）上不同两点．
（1）设直线l：y=与y轴交于点M，若A，B两点所在的直线方程为y=x﹣1，且直线l：y=恰好平分∠AFB，求抛物线C的标准方程．
（2）若直线AB与x轴交于点P，与y轴的正半轴交于点Q，且y~1~y~2~=，是否存在直线AB，使得+=？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），M（0，），由，消去y整理得x^2^﹣2px+2p=0，直线y=平分∠AFB，可得k~AM~+k~BM~=0，利用韦达定理求得p，即可
（2）由题意知，直线AB的斜率存在，且不为零，
设直线AB的方程为：y=kx+b （k≠0，b＞0），
由，得x^2^﹣2pkx﹣2pb=0，∴，
由已知可得b=．直线AB的方程为：y=kx+．
作AA′⊥x轴，BB′⊥x轴，垂足为A′，B′，
+=+=，得k，
专题14 探究图形之性质，代数运算是利器
-------------------------------------
**[【题型综述】]{.underline}**
探究图形之性质问题解题策略：（1）"肯定顺推法"，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素某性质图形存在，用向量或平面几何知识，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则某性质图形存在存在；否则，元素某性质图形存在不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.Q\*Q群 5\*45\*42331 9
**[【典例指引】]{.underline}**
### 类型一 面积计算
例1 【2016高考上海理数】（本题满分14） 有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图
1. 求菜地内的分界线的方程
2. 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的"经验值"为。设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值
所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为．
矩形面积与"经验值"之差的绝对值为，而五边形面积与"经验值"之差
的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的"经验值"．学\*科网
### 类型二 四边形形状探究
例2. 【2015高考新课标2，理20】已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
(Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
 ．解得，．因为，，，所以当的斜率为
或时，四边形为平行四边形．学\*科网
### 类型三 探究角是否相等
**例3**【2015高考北京，理19】已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．
> （Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；
>
> （Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
 ），则，存在点使得.学\*科网
### 类型四 探究两直线的位置关系
例4.【2017课标3，文20】在直角坐标系*xOy*中，曲线与*x*轴交于*A*，*B*两点，点C的坐标为.当*m*变化时，解答下列问题：
（1）能否出现*AC*⊥*BC*的情况？说明理由；
（2）证明过*A*，*B*，*C*三点的圆在*y*轴上截得的弦长为定值.
**[【扩展链接】]{.underline}**
**1.给出****,等于已知****,即****是直角,给出****,等于已知****是钝角, 给出****,等于已知****是锐角；**
**2.给出****,等于已知****是****的平分线；**
**3.在平行四边形****中，给出****，等于已知****是菱形;**
**4.在平行四边形****中，给出****，等于已知****是矩形;**
**5.已知抛物线方程为****，定点M****，直线****过点M交抛物线于A，B两点，****，则有** **；**
### 【同步训练】
1．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F~1~，F~2~，点P（x~0~，y~0~）是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．
【思路点拨】（1）设出P的坐标，利用\|OP\|的值求得x~0~和y~0~的关系式，同时利用求得x~0~和y~0~的另一关系式，进而求得c，通过椭圆的离心率求得a，最后利用a，b和c的关系求得b，则椭圆的方程可得．
（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），则可利用韦达定理表示出x~1~+x~2~和x~1~x~2~，假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则可表示出，利用=0求得m的值．
假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则．
=
=
=
=
由假设得对于任意的恒成立，
即解得m=1．学\*科网
因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，
点M的坐标为（0，1）
2.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F~1~（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N；
（1）求椭圆C的方程；\[来源:学科网\]
（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由．
【思路点拨】（1）由题意可设椭圆标准方程，结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a^2^，b^2^的值，则椭圆方程可求；
（2）设F（x~0~，y~0~），E（﹣x~0~，﹣y~0~），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．
AE所在直线方程为，取x=0，得y=，
∴M（0，）．学\*科网
则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），
半径r=，\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
3.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，F~1~、F~2~是椭圆的左、右焦点，过F~2~作直线l交椭圆于A、B两点，若△F~1~AB的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l的斜率不为0，且它的中垂线与y轴交于Q，求Q的纵坐标的范围；
（3）是否在x轴上存在点M（m，0），使得x轴平分∠AMB？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）由椭圆的性质可知：4a=8，e==及b^2^=a^2^﹣c^2^，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程；
（2）当k不存在时，Q为原点，y~0~=0，当k存在时，将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得x~1~+x~2~及x~1~•x~2~，根据中点坐标公式，求得P点坐标，求得直线PQ方程，令x=0，y~Q~=∈\[﹣，0）∪（0，\]，即可求得Q的纵坐标的范围；
（3）假设存在m，由x轴平分∠AMB可得，+=0，由（Ⅱ）可知，代入即可求得m的值．
【详细解析】（1）由椭圆的性质可知：4a=8，a=2，
e==，c=1，学\*科网
b^2^=a^2^﹣c^2^=4﹣1=3，b=，
∴椭圆的方程；
（3）存在m=4，
假设存在m，由x轴平分∠AMB可得，k~MA~+k~MB~=0，
即+=0，
k（x~1~﹣1）（x~2~﹣m）+k（x~2~﹣1）（x~1~﹣m）=0，
∴2x~1~•x~2~﹣（m+1）（x~1~+x~2~）+2m=0，
∴8k^2^﹣24﹣8k^2^m﹣8k^2^+6m+8mk^2^=0，
解得：m=4．学\*科网
4.已知圆E：（x+1）^2^+y^2^=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q
（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．
【思路点拨】（1）连结QF，运用垂直平分线定理可得，\|QP\|=\|QF\|，可得\|QE\|+\|QF\|=\|QE\|+\|QP\|=4＞\|EF\|=2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；
（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x~1~，y~1~），S（x~2~，y~2~），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在T（4，0）．
（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．
设R（x~1~，y~1~），S（x~2~，y~2~）联立，
得（3+4k^2^）x^2^﹣8k^2^x+4k^2^﹣12=0，
由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，
由∠OTS=∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），
故k~TS~+k~TR~=0即②，
由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，
故y~1~=k（x~1~﹣1），y~2~=k（x~2~﹣1）代入②得，
即有2x~1~x~2~﹣（t+1）（x~1~+x~2~）+2t=0③，学\*科网
将①代入③，即有：④，
要使得④与k的取值无关，当且仅当"t=4"时成立，学\*科网
综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．
5.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（a＞b＞0）的离心率是e，定义直线y=为椭圆的"类准线"，已知椭圆C的"类准线"方程为y=，长轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P在椭圆C的"类准线"上（但不在y轴上），过点P作圆O：x^2^+y^2^=3的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论．
【思路点拨】（1）由题意列关于a，b，c的方程，联立方程组求得a^2^=4，b^2^=3，c^2^=1，则椭圆方程可求；
（2）设P（x~0~，2）（x~0~≠0），当x~0~=时和x~0~=﹣时，求出A的坐标，代入椭圆方程验证知，A在椭圆上，当x~0~≠±时，求出过点O且垂直于0P的直线与椭圆的交点，写出该交点与P点的连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点A在椭圆C上．
PA~1~所在直线方程为（2+x~0~）x﹣（x~0~﹣6）y﹣x~0~^2^﹣12=0．
此时原点O到该直线的距离d==，
∴说明A点在椭圆C上；\[来源:Z§xx§k.Com\]
同理说明另一种情况的A也在椭圆C上．
综上可得，点A在椭圆C上．
另解：设切点为（x~0~，y~0~），由圆上一点的切线方程可得
切线l的方程为x~0~x+y~0~y=3，代入y=2，可得x=，
即有P（，2），k~OP~=，
与OP垂直的直线，且过O的直线为y=x，
代入x~0~x+y~0~y=3，结合x~0~^2^+y~0~^2^=3，可得x=，
y=，学\*科网
即为A（，），
由3（）^2^+4（）^2^==12，
则点A在椭圆C上．学\*科网
6.已知椭圆E过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F~1~，F~2~在x轴上，离心率e=，∠F~1~AF~2~的平分线所在直线为l．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设l与x轴的交点为Q，求点Q的坐标及直线l的方程；
（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．
【思路点拨】（1）设出椭圆方程，根据椭圆E经过点A（2，3），离心率，建立方程组，求得几何量，即可得到椭圆E的方程；
（2）求得AF~1~方程、AF~2~方程，利用角平分线性质，即可求得∠F~1~AF~2~的平分线所在直线l的方程；
（3）假设存在B（x~1~，y~1~）C（x~2~，y~2~）两点关于直线l对称，设出直线BC方程代入椭圆E的方程，求得BC中点代入直线2x﹣y﹣1=0上，即可得到结论．
7.）如图，已知F~1~、F~2~是椭圆G：的左、右焦点，直线l：y=k（x+1）经过左焦点F~1~，且与椭圆G交于A、B两点，△ABF~2~的周长为．
（1）求椭圆G的标准方程；
（2）是否存在直线l，使得△ABF~2~为等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）由题意可知：c=1，4a=4，b^2^=a^2^﹣c^2^=3﹣1=2．即可求得椭圆方程；
（2）分类讨论，假设\|AF~2~\|=\|BF~2~\|，利用作差法，即可求得x~1~+x~2~=6．（与x~1~≤，x~2~≤，x~1~+x~2~≤2＜6，矛盾），将直线方程代入椭圆方程由韦达定理：=6，矛盾．故\|AF~2~\|≠\|BF~2~\|．再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰．由勾股定理得：，此方程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．
（2）不存在．理由如下：先用反证法证明AB不可能为底边，即\|AF~2~\|≠\|BF~2~\|．
由题意知F~2~（1，0），设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），假设\|AF~2~\|=\|BF~2~\|，
则，
又，，代入上式，消去，得：（x~1~﹣x~2~）（x~1~+x~2~﹣6）=0．\[来源:学科网\]
因为直线l斜率存在，所以直线l不垂直于x轴，所以x~1~≠x~2~，故x~1~+x~2~=6（与x~1~≤，x~2~≤，x~1~+x~2~≤2＜6，矛盾）．
联立方程，得：（3k^2^+2）x^2^+6k^2^x+3k^2^﹣6=0，
所以=6，矛盾．
故\|AF~2~\|≠\|BF~2~\|．
再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰．
假设△ABF~2~为等腰直角三角形，不妨设A为直角顶点．
设\|AF~1~\|=m，则，学\*科网
在△AF~1~F~2~中，由勾股定理得：，此方程无解．
故不存在这样的等腰直角三角形．
8.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（，1），过点A（0，1）的动直线l与椭圆C交于M、N两点，当直线l过椭圆C的左焦点时，直线l的斜率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）将点（，1）代入椭圆方程，设左焦点为（﹣c，0），再由斜率公式，可得c的值，结合a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；
（2）假设存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立．当直线MN的斜率为0时，由对称性可得B在y轴上，设为B（0，t），设直线MN的方程为x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，设M（x~1~，y~1~），N（x~2~，y~2~），由假设可得k~BM~+k~BN~=0，化简整理，可得t+2m=0，故不存在这样的定点B．
即有2my~1~y~2~+（y~1~+y~2~）=t\[m（y~1~+y~2~）+2\]，
即为﹣=t（﹣+2），学\*科网
化为﹣8m=4t，即t+2m=0，由于m为任意的，则t不为定值．
故不存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立．
9.已知椭圆E的方程是+=1，左、右焦点分别是F~1~、F~2~，在椭圆E上有一动点A，过A、F~1~作一个平行四边形，使顶点A、B、C、D都在椭圆E上，如图所示．
（Ⅰ） 判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由．
（Ⅱ） 当四边形ABCD的面积取到最大值时，判断四边形ABCD的形状，并求出其最大值．
【思路点拨】（1） 设直线方程，代入椭圆方程，若四边形ABCD能否为菱形，则OA⊥OB，由向量数量积的坐标运算，整理可知=0，方程无实数解，故四边形ABCD不能是菱形；
（2）由三角形的面积公式S~ABCD~=2丨OF~1~丨丨y~1~﹣y~2~丨=2，利用韦达定理，及向量数量积的坐标运算，函数的单调性即可求得ABCD的面积取到最大值及m的值．
（2）由题S~ABCD~=4S~△AOB~，而S~△AOB~=丨OF~1~丨丨y~1~﹣y~2~丨，又丨OF~1~丨=1，
即S~ABCD~=2丨OF~1~丨丨y~1~﹣y~2~丨=2，...（8分）
由（Ⅰ）知y~1~+y~2~=﹣，y~1~y~2~=﹣
∴S~ABCD~=2==24，
∵函数，t∈\[1，+∞），在t=1时，f（t）~min~=10，...（11分）
∴S~ABCD~的最大值为6，此时m^2^+1=1，即m=0时，
此时直线AB⊥x轴，即ABCD是矩形．...（12分）\[来源:学科网\]
10.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点A（0，3），与双曲线=1有相同的焦点
（1）求椭圆C的方程；
（2）过A点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆C于P，Q两点，则PQ是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．
【思路点拨】（1）求得双曲线的焦点坐标，可得椭圆的c，由A点，可得b，求得a，即可得到椭圆方程；
（2）设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~），直线AP的斜率为k，直线AQ的斜率为﹣，直线AP的方程为y=kx+3，代入椭圆方程，求得P的坐标，k换为﹣，可得Q的坐标，求出直线PQ的斜率，以及方程，整理可得恒过定点．
【详细解析】（1）双曲线=1的焦点坐标为（3，0），（﹣3，0），
可得椭圆中的c=3，由椭圆过点A（0，3），可得b=3，
则a==6，
则椭圆的方程为+=1；
11.如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．
（1）求证：+为定值；
（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．
【思路点拨】（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时，+=，当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，得（3+4k^2^）x^2^+8k^2^x+4k^2^﹣12=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出AB，同理求出CD，由此能证明=．
（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．P（﹣，），则=（x~1~，y~1~），=（﹣，），推导出，无解，由此得到四边形OAPB不可能是平行四边形．
∴x~1~+x~2~=，x~1~x~2~=．
AB=\|x~1~﹣x~2~\|=
==，...（4分）
同理：CD=，...（4分）
∴===．
综上：=．故+为定值．...（6分）
12.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．
（1）求E的方程；
（2）是否存在直线l：y=kx+m相交于P，Q两点，且满足：①OP与OQ（O为坐标原点）的斜率之和为2；②直线l与圆x^2^+y^2^=1相切．若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）由椭圆的离心率公式求得a^2^=4b^2^，将点（1，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）将直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，求得m^2^+k=1，由，即可求得k的取值范围，由点到直线的距离即可求得k和m的值，求得直线l的方程．
（2）设P（x~1~，y~1~），Q（x~2~，y~2~），则，
整理得：（1+4k^2^）x^2^+8kmx+4（m^2^﹣1）=0，
由x~1~+x~2~=﹣，x~1~x~2~=，
由k~OP~+k~OQ~=+===2，
2（k﹣1）x~1~x~2~+m（x~1~+x~2~）=0，
∴2（k﹣1）×+m×（﹣）=0，
整理得：m^2^+k=1，
由△=16（4k^2^﹣m^2^+1）=16（4k^2^+k），
，解得：k＜﹣，或0＜k≤1，
直线与圆x^2^+y^2^=1相切，则=1，
联立解得k=0（舍去），k=﹣1，
∴m^2^=2，即m=±，
∴直线l的方程y=x±．
专题15 探究向量关系式，几何意义先分析
-------------------------------------
**[【题型综述】]{.underline}**
探究向量关系问题解题策略：（1）"肯定顺推法"，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素向量关系存在，用向量的坐标运算，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则向量关系存在存在；否则，向量关系不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.
**[【典例指引】]{.underline}**
### 类型一 探究向量式是否为定值
例1 【2015高考四川，文20】如图，椭圆*E*：(*a*\>*b*\>0)的离心率是，点*P*(0，1)在短轴*CD*上，且＝－1
(Ⅰ)求椭圆*E*的方程；
(Ⅱ)设*O*为坐标原点，过点*P*的动直线与椭圆交于*A*、*B*两点.是否存在常数*λ*，使得为定值？若存在，求*λ*的值；若不存在，请说明理由.
### 类型二 探究向量式是否成立
例2. 【2014高考湖南卷文第20题】如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.\[来源:学科网\]
(1)求的方程；
(2)是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论.
是,联立直线与椭圆可得
,因为直线与椭圆只有一个交点,
所以,化简可得,因此
,
于是,即,所以,
综上不存在符合题目条件的直线.学&科网
### 类型三 探究向量式成立的条件
**例3**【2013年高考，天津卷理】设椭圆的左焦点为*F*, 离心率为, 过点*F*且与*x*轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设*A*, *B*分别为椭圆的左右顶点, 是否存在过点*F*且斜率为*k*的直线与椭圆交于*C*, *D*两点，且, 若存在，求*k*的值，不存在，说明理由..
=，
由已知得=8，解得.学&科网
### [类型四]{.underline} 利用向量探究曲线过定点
例4. **(2012福建理19)**如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。
（Ⅰ）求椭圆的方程。
> （Ⅱ）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试探究：
>
> 在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。
(法3) 由得，
∵动直线与椭圆有且只要一个交点，∴且△=0，
即，化简得 ①
此时==，==，∴(,),
由得(4，).学&科网
假设平面内存在定点满足条件，由图形对称性知，点必在轴上,
**[【扩展链接】]{.underline}**
1. **设圆锥曲线C的焦点F在x轴上，过焦点F且斜率为****的直线****交曲线****于****两点，若****，则****.**
2. **在圆锥曲线中，过焦点F不垂直于坐标轴的弦为****，其垂直平分线和焦点所在的坐标轴交于****，则****.**
**3.已知椭圆****的两个焦点分别为****和****（****），过点****的直线与椭圆相交于****两点，若****，则直线一定过****或****.**
**4.如果平面内有****三点不共线，设****.**
### 【同步训练】
1．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F~1~，F~2~，过点F~1~与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF~2~的面积为，椭圆C的离心率为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．
【思路点拨】（1）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，\|MN\|=\|x~1~﹣x~2~\|=，由题意得，△MNF~2~的面积为\|MN\|×\|F~1~F~2~\|=c\|MN\|=，又∵，解得a、b即可．
（2）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），P（0，y~0~），分类讨论：当m=0时，利用椭圆的对称性即可得出；m≠0时，直线AB的方程与椭圆的方程联立得到△＞0及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出．
\[来源:学科网\]
（2）当m=0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，
∴m=0时，存在实数λ，使得+λ=4，
当m≠0时，由+λ=4，得，
∵A、B、p三点共线，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）
由，得（k^2^+4）x^2^+2mkx+m^2^﹣4=0，\[来源:Zxxk.Com\]
由已知得△=4m^2^k^2^﹣4（k^2^+4）（m^2^﹣4）＞0，即k^2^﹣m^2^+4＞0
且x~1~+x~2~=，x~1~x~2~=．
由得x~1~=﹣3x~2~学&科网
3（x~1~+x~2~）^2^+4x~1~x~2~=0，∴，⇒m^2^k^2^+m^2^﹣k^2^﹣4=0
显然m^2^=1不成立，∴
∵k^2^﹣m^2^+4＞0，∴，即．
解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．学&科网
综上所述，m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}
2.已知F~1~，F~2~分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P（1，）是椭圆上一点，且\|PF~1~\|，\|F~1~F~2~\|，\|PF~2~\|成等差数列．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线l过点F~2~，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得•=﹣恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）根据椭圆的性质及等差数列性质得出a=c，把P点坐标代入椭圆方程列方程组解出a，b得出椭圆方程；
（2）设Q（m，0），讨论直线l的斜率，求出A，B坐标，列方程解出m．
3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点为F~1~（﹣，0），M（1，y）（y＞0）为椭圆上的一点，△MOF~1~的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点T在圆x^2^+y^2^=1上，是否存在过点 A（2，0）的直线l交椭圆C于点 B，使=（+）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）由已知列式c=，，∴，得a^2^，b^2即可^；
（2）设直线l的方程为：y=k（x﹣2），A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）．
由得（1+4k^2^）x^2^﹣16k^2^x+16k^2^﹣4=0，x~1~+x~2~=，y~1~+y~2~=k（x~1~+x~2~）﹣4k=，
=（+）=，得T（）代入 圆C~1~，可得化为176k^4^﹣24k^2^﹣5=0可求得k．
 4.已知椭圆的两个焦点为，是椭圆上一点，若，．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l过右焦点（不与x轴重合）且与椭圆相交于不同的两点A，B，在x轴上是否存在一个定点P（x~0~，0），使得的值为定值？若存在，写出P点的坐标（不必求出定值）；若不存在，说明理由．
【思路点拨】（1）根据椭圆的定义及勾股定理即可求得a=3，c=，b^2^=a^2^﹣c^2^=4，即可求得椭圆方程；
（2）方法一：设直线l：x=my+，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，•=t 则（4x~0~^2^﹣36）m^2^+9x~0~^2^﹣18x~0~+29=t（4m^2^+9），比较系数，即可求得x~0~=，在x轴上存在一个定点P（，0），使得•的值为定值（﹣）；
方法二：分类讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x﹣），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，令•=t 则（9x~0~^2^﹣18x~0~+29）k^2^+4x~0~^2^﹣36=t（4+9k^2^），9x~0~^2^﹣18x~0~+29=9 t且4x~0~^2^﹣36=4t，即可求得x~0~=，此时t的值为﹣．
 解法二：当直线与x轴不垂直时，设直线l方程为：y=k（x﹣），代入椭圆方程并消元整理得：
（9k^2^+4）x^2^﹣18k^2^x+45k^2^﹣36=0...①
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），则是方程①的两个解，由韦达定理得：
x~1~+x~2~=，x~1~x~2~=，
y~1~y~2~=k^2^（x~1~﹣）（x~2~﹣）=k^2^（ x~1~x~2~﹣（x~1~+x~2~）+5）=﹣，
•=（x~1~﹣x~0~，y~1~）•（x~2~﹣x~0~，y~2~）=（ x~1~﹣x~0~）（ x~2~﹣x~0~）+y~1~y~2~=x~1~x~2~﹣x~0~（x~1~+x~2~）+x~0~^2^+y~1~y~2~，
=，学&科网
令•=t 则（9x~0~^2^﹣18x~0~+29）k^2^+4x~0~^2^﹣36=t（4+9k^2^），
9x~0~^2^﹣18x~0~+29=9 t且 4x~0~^2^﹣36=4t，
解得：x~0~=，此时t的值为﹣，
当直线l与x轴垂直时，l的方程为：x=，代入椭圆方程解得：A（，﹣），B（，），
•=（﹣，﹣）•（﹣，）=﹣=﹣，
∴当直线l与x轴垂直时，•也为定值﹣，
综上，在x轴上存在一个定点P（，0），使得•的值为定值（﹣）．
5.如图已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）^2^+y^2^=r^2^（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求•的最小值，并求此时圆T的方程．
【思路点拨】（1）运用椭圆的离心率公式和顶点坐标，结合a，b，c的关系，可得椭圆方程；
（2）设M（m，n），由对称性可得N（m，﹣n），代入椭圆方程，再由向量数量积的坐标表示，转化为关于m的二次函数，配方，结合椭圆的范围，可得最小值，进而得到M的坐标，可得圆的方程．
6.已知椭圆的离心率，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x+y﹣2=0相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）对于直线l：y=x+m和点Q（0，3），椭圆C上是否存在不同的两点A与B关于直线l对称，且3•=32，若存在实数m的值，若不存在，说明理由．
【思路点拨】（1）由椭圆的离心率，得b=c，写出以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程，再由点到直线的距离列式求得b，c的值，结合隐含条件求得a，则椭圆方程可求；
（2）由题意设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），直线AB方程为：y=﹣x+n．联立消y整理可得：3x^2^﹣4nx+2n^2^﹣2=0，由△＞0解得n的范围．再由根与系数的关系结合中点坐标公式求得直线AB之中点坐标，代入直线AB，再由点P在直线l上求得m的范围，最后由3•=32求得m的值．
（2）由题意设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），直线AB方程为：y=﹣x+n．
联立消y整理可得：3x^2^﹣4nx+2n^2^﹣2=0，
由△=（﹣4n）^2^﹣12（2n^2^﹣2）=24﹣8n^2^＞0，解得．
，，学&科网
设直线AB之中点为P（x~0~，y~0~），则，
由点P在直线AB上得：，
又点P在直线l上，∴，则...①．
又，，
∴\[来源:学科网ZXXK\]
=，
解得：或m=﹣1...②学&科网
综合①②，知m的值为．
7.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，且长轴长为8，T为椭圆上一点，直线TA、TB的斜率之积为﹣．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为原点，过点M（0，2）的动直线与椭圆C交于P、Q两点，求•+•的取值范围．
【思路点拨】（1）求得直线TA，TB的斜率，由•=﹣，即可求得椭圆C的方程；
（2）设直线PQ方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标，求函数的单调性，即可求得•+•的取值范围．
 ==﹣20+．...（8分）
﹣20＜•+•≤﹣，...（10分）学&科网
当直线PQ斜率不存在时•+•的值为﹣20，
综上所述•+•的取值范围为\[﹣20，﹣\]．...（12分）
8.已知抛物线E：x^2^=4y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点．
（1）若点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值；
（2）过A，B分别作抛物线E的切线l~1~，l~2~，若l~1~与l~2~交于点P，求的值．
【思路点拨】（1）由题意设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及弦长公式，根据函数的单调性即可求得四边形OACB面积的最小值；
（2）求导，利用点斜式方程，求得求得切线l~1~，l~2~的方程，联立求得P点坐标，根据向量的坐标运算，即可求得的值．
 
9.已知点P（4，4），圆C：（x﹣m）^2^+y^2^=5（m＜3）与椭圆E：+=1（a＞b＞0）有一个公共点A（3，1），F~1~、F~2~分别是椭圆的左、右焦点，直线PF~1~与圆C相切．
（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求•的取值范围．
【思路点拨】（1）先利用点A在圆上求出m，再利用直线PF~1~与圆C相切求出直线PF~1~与的方程以及c，再利用点A在椭圆上求出2a，即可求出椭圆E的方程；
（2）先把用点Q的坐标表示出来，再利用Q为椭圆E上的一个动点以及基本不等式即可求出的取值范围．
（2），设Q（x，y），
，．
∵，即x^2^+（3y）^2^=18，而x^2^+（3y）^2^≥2\|x\|•\|3y\|，
∴﹣18≤6xy≤18．学&科网
则（x+3y）^2^=x^2^+（3y）^2^+6xy=18+6xy的取值范围是\[0，36\]．
∴x+3y的取值范围是\[﹣6，6\]
∴x+3y﹣6的范围只：\[﹣12，0\]．
即的取值范围是\[﹣12，0\]．
10.若椭圆E~1~：与椭圆E~2~：满足，则称这两个椭圆相似，m叫相似比．若椭圆M~1~与椭圆相似且过点．Q\*Q群 5\*45\*42331 9
（1）求椭圆M~1~的标准方程；
（2）过点P（﹣2，0）作斜率不为零的直线l与椭圆M~1~交于不同两点A、B，F为椭圆M~1~的右焦点，直线AF、BF分别交椭圆M~1~于点G、H，设，，求λ~1~+λ~2~的取值范围．
【思路点拨】（1）根据题意，设椭圆M~1~的标准方程为，由"椭圆相似"的性质分析可得，，解可得a^2^、b^2^的值，代入椭圆的方程即可得答案；
（2）设直线l的斜率为k，以及A、B、G、H的坐标，可以表示、的坐标，分"AG与x轴不垂直"和"AG与x轴垂直"两种情况，求出直线AG的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系的分析可得λ~1~+λ~2~范围，即可得答案．
得，∴λ~1~=3﹣2x~1~，
当AG与x轴垂直时，点A的横坐标为1，λ~1~=1，λ~2~=3﹣2x~1~成立，
同理可得λ~2~=3﹣2x~2~，
设直线l的方程为y=k（x+2），
代入椭圆方程，得（2k^2^+1）x^2^+8k^2^x+8k^2^﹣2=0，
则，
得，，，
，
由得，
即λ~1~+λ~2~范围为（6，10）．学&科网
11.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为圆F~1~、F~2~，M是C上一点，\|MF~1~\|=2，且\|\|\|\|=2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于不同两点A、B时，线段AB上取点Q，且Q满足\|\|\|\|=\|\|\|\|，证明点Q总在某定直线上，并求出该定直线的方程．
【思路点拨】（1）由已知得a=2c，且∠F~1~MF~2~=60°，由余弦定理求出c=1，即可求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆C的方程可求；
（2）设直线l的方程为y=kx+（1﹣4k），代入椭圆方程，得（3+4k^2^）x^2^+（8k﹣32k^2^）x+64k^2^﹣32k﹣8=0，利用根与系数的关系结合已知向量等式即可证明点Q总在某定直线上，并求出该定直线方程．Q\*Q群 5\*45\*42331 9
证明：（2）由题意可得直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y﹣1=k（x﹣4），即y=kx+（1﹣4k），
代入椭圆方程，整理得（3+4k^2^）x^2^+（8k﹣32k^2^）x+64k^2^﹣32k﹣8=0，
设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
则，．
设Q（x~0~，y~0~），由\|\|\|\|=\|\|\|\|，得：
（4﹣x~1~）（x~0~﹣x~2~）=（x~1~﹣x~0~）（4﹣x~2~）（考虑线段在x轴上的射影即可），
∴8x~0~=（4+x~0~）（x~1~+x~2~）﹣2x~1~x~2~，学&科网
于是，
整理得3x~0~﹣2=（4﹣x~0~）k，①
又k=，代入①式得3x~0~+y~0~﹣3=0，
∴点Q总在直线3x+y﹣3=0上．
12.如图，椭圆E：，点P（0，1）在短轴CD上，且
（1） 求椭圆E的方程及离心率；
（2） 设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）由已知可得点C，D的坐标分别为（0，﹣b），（0，b）．结合•=﹣2列式求得b，则椭圆方程可求，进一步求出c可得椭圆的离心率；Q\*Q群 5\*45\*42331 9
（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A，B的坐标分别为（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~）．联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横坐标的和与积•+λ•，可知当λ=2时，•+λ•=﹣7为定值．当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，仍有•+λ•=•+2•=﹣3﹣4=﹣7，故存在常数λ=2，使得•+λ•为定值﹣7．
 
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**北师大版小学五年级下册数学第三单元《分数除法》单元测试4（附答案）**
一、填空题。（共24分）来源：www.bcjy123.com/tiku/
1、×（ ）= 1 （ ）×4 = 1
15×（ ）= 1 （ ）× = 1
2、×（ ）= 45×（ ）= ×（ ）= 1
3、和（ ）互为倒数；的倒数是（ ）。
4、÷ = ×（ ） ÷ = ×（ ）
5、在下面的○里填上"﹥""﹤"或"="。
÷ × 4× 4÷
÷ ÷ ÷ ÷
× × ÷ ÷
6、是的（ ）倍；3的是。
（ ）的2倍是；（ ）个是6。
7、在①÷，②÷，③÷，④÷，⑤×，⑥÷3中，
得数大于1的有： [ ]{.underline} 。
得数小于1的有： [ ]{.underline} 。
8、根据"杨树棵数的等于柳树的棵数"，把关系式补充完整。
（ ）× =（ ） （ ）÷ =（ ）
二、判断题。（共8分）
1、÷3可以表示一个数的3倍是，求这个数。 （ ）
2、如果*a*÷ = *c*（*a*≠0），那么*a*﹤*c*。 （ ）
3、3吨的与1吨的一样重。 （ ）
4、÷ = × （ ）
三、计算下面各题。（共8分）
72÷ × ÷
÷ ÷16 ÷
×30 ÷ ÷
× ÷ ×
四、解下面方程。（共12分）
38*x* = *x*÷ = 4*x* =
*x*÷ = *x* = ÷*x* =
五、列式计算。（共8分）
1、一个数的是，这个数是多少？来源：www.bcjy123.com/tiku/
2、甲数是乙数的，甲数是，乙数是多少？来源：www.bcjy123.com/tiku/
3、什么数的倍是？
4、一个数除等于，这个数是多少？
六、解决问题。（共40分）
1、水果店运来苹果70筐，运来梨90筐，运来的苹果是梨的几分之几？
2、水果店运来苹果70筐，是梨的，运来梨多少筐？
3、水果店运来梨90筐，运来的苹果是梨的，运来梨多少筐？
> 4、一块长方形地，宽是20米，是长的，这块地的长是多少米？它的面积是多少平方米？
5、一瓶果汁重千克，小明分4次k喝完，平均每次喝多少千克？
6、一瓶果汁，小明每次喝千克，6次喝完。这瓶果汁重多少千克？
> 7、小芳同学从家出发骑自行车去体育馆，行了千米，正好行了全程的，小芳家到体育馆的路程是多少？还要行多少千米才能到体育馆？
8、某粮食店的花生油，有两种不同的包装方法。该怎样买省钱？
> 9、某仓库在墙角里叠了一些棱长为0.6米的木箱（如右图）。露在外面的面积是多少？
>
> 
**第三单元提优训练的部分答案：**
一、1、 2、
3、 4、 5、﹥ = ﹥ ﹥ ﹤ ﹤
6、4 14 7、①④ ②⑤⑥
8、杨树的棵数× = 柳树的棵数 柳树的棵数÷ = 杨树的棵数
二、√ √ √ ×
三、102 1
四、*x* = *x* = 2 *x* = *x* = *x* = *x* = *x* =
五、1、÷ = 2、÷ =
3、÷ = 4、÷ =
六、1、70÷90 = 2、70÷ = 90（筐）
3、90× = 70（筐）
4、20÷ = 25（米） 25×20 = 500（平方米）
5、÷4 = （千克） 6、×6 = （千克）
7、÷ = （千米） － = 1（千米）
8、80÷10 = 8（元） 50÷6 = （元） 买10升装的省钱。
9、0.6×0.6×（6＋6＋5） = 6.12（平方米）
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**北师大版小学四年级下册数学第一单元《小数的意义和加减法------小数的意义》同步检测2（附答案）**
一、把下面各图中涂色的部分分别用分数和小数表示出来。
   
分数( ) 分数( ) 分数( ) 分数( )
小数( ) 小数( ) 小数( ) 小数( )
二、写一写，读一读。
 
写作： 写作：
读作： 读作：
三、填一填。来源：www.bcjy123.com/tiku/
1．0.9里面有( )个0.1，0.087里面有( )个0.001。
2．8.2中的8在( )位上，表示( )个( )；2在( )位上，表示( )个( )。
3．1.06是由l个( )和6个( )组成的。
4．( )个0.01是0.25。
5．( )个0.1是l。
6．由3个十，2个0.1和6个0.01组成的小数是( )。
四、火眼金睛。来源：www.bcjy123.com/tiku/
1．12.13的计数单位是十分之一。( )
2．0.026里面有260个0.001。( )
3\. 2里面有20个0.1。( )
4．小数点左边第二位是十位，右边第二位是百分位。( )
5．2个一与3个0.1的和是2.3。( )
五、选一选。
1．千分位在小数点右边的第( )位。
A．一 B．二 C．三
2．小数0.083中的8表示( )。
A．8个0.1 B．8个0.01 C．8个0.001
3．0.003=( )。
A． B． C．来源：www.bcjy123.com/tiku/
4．10.6是( )。
A．一位小数 B．两位小数 C．三位小数
六、红花配绿叶。（连一连）
0.3 0.03 0.271 0.027
七、在□里填上适当的分数或小数。
1\. 
2\. 
八、按要求写数。
1．把下列分数化成小数。
= = = = = =
2．把下列小数化成分数。
0.2= 0.18= 0.54=
0.006= 0.291= 0.052=
九、按要求组数。
    
1．用上面卡片上的数和小数点组成一个零都不读的小数。
2．组成读两个零的小数。
**参考答案**
一、 0.2， 0.2， 0.5， 0.76
二、13.08 十三点零八 106.207 一百零六点二零七
三、
1\. 9 87
2\. 个 8 1 十分 2 0.1
3\. 1 0.01
4\. 25
5\. 10
6\. 30.26
四、1.× 2.× 3.√ 4.√ 5.√
五、1.C 2.B 3.C 4.A
六、
七、
1\. 0.8 1.5
2\. 0.76
八、
1\. 0.1 0.9 0.17 0.05 0.024 0.108
2\.
九、
1\. 800.2或200.8
2\. 8.002或2.008
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一年级第二学期期末考试试卷（春）
数 学（北师大版）
姓名：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 考号：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 班级：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ------
题号 一 二 三 四 五 六 总分
得分
------ ---- ---- ---- ---- ---- ---- ------
说明：1.考试时间：75分钟，满分：100分。
2.共四面，共六大题。
3.请注意看清题目要求再作答。
祝语：祝同学们考出一个理想的成绩！
一、口算。（共10小题，每题1分，共10分。）
20+36= 65-7= 22+9= 73-40= 17+30=
86-8= 95+5= 58-18= 23+77= 88-23=
2. 填空题。（共7小题，\[3、4、6小题每题2分一空，其余1分。\]，共21分。）
1\. 100 读作（ ） 七十五 写作（ ）
2\. 50 由（ ）"10"组成 94 左边"9"表示（ ）个（ ）
3. 用 "2,7,9" 中的两个数字组成两位数，其中（ ）最大，而（ ）最小。
4\. 24后面第6个数是（ ），前面第5个数是（ ）。
5. 按规律写数。
14 ，19 ，24 ， （ ） ，34 ，（ ） ， 44
6. 按规律画一画。
△○○□ △○○□ △○○□ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
7.69 它的个位是（ ），十位是（ ）。
3. 运算综合题。本题分为①、②、③题。（共3小题，共32分。）
①．竖式计算。（10分）
54+21= 100-95= 45-16= 75+12= 95-8=
②．在□中填"＞""＜""="和数字。（10分）
72+20□92 50+17□78 28-9□10 35+9□50-8 64-26□38
45+27□70 35+9□50-1 39□54-16 100-50＞□ 55+22＜□
③．改错，对的打"√"，错的请改正。（12分）
4 8 改正： 7 0 改正：
\+ 1 9 - 2 3
------------ ------------
4 9 9 （ ） 5 3 （ ）
1 0 0 改正： 3 4 改正：
\- 2 0 + 6
\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_
8 0 （ ） 9 4 （ ）
4. 判断对错，对的打"√"，错的打"×"。（共5小题，每题1分，共5分。）
1.10个一就是10,10个二就是20。 （ ）
2. "□"四条边都一样长。 （ ）
3. 45读作：4十5。 （ ）
4. 在竖式计算中"51+02=71" （ ）
5. 我前面有10个人，我后面有2个人，（加自己）一共加起来是13个。（ ）
```{=html}
<!-- -->
```
5. 填表。（共10小题，每题1分，共10分。）
（表5-1）
------ ---- ---- ---- ---- -----
加数 35 83 5
加数 18 10 5 99
和 14 50 100
------ ---- ---- ---- ---- -----
（表5-2）
-------- ---- ---- ---- ---- -----
被减数 56 16 35 100
减数 30 7 20
差 9 44 9
-------- ---- ---- ---- ---- -----
6. 解决问题。（共 小题，共22分。）
1.踢毽子（共9分）
小明 小华 小花
1. .小明踢了多少下？（3分）
□○□=□（ ）
2. .小明和小花一共踢了多少下？（4分）
□○□=□（ ）
3. .你知道小华踢了多少下吗？请在正确的数字下打"√"。（2分）
------ ------ ------
15下 25下 55下
------ ------ ------
2. 动物园（共5分）
熊猫：有12只 公鸡：有50只 鱼：有25只
1. .公鸡比熊猫多几只？（2分）
□○□=□（ ）
2. .鱼、熊猫、公鸡一共有多少只？（3分）
□○□○□=□（ ）
3. 购物。（共8分）
面包 蛋糕 饼干 巧克力 橙汁
￥：4元 ￥：59元 ￥：6元 ￥：18元 ￥：3元
1. 一个蛋糕比橙汁贵多少元？（2分）
□○□=□（ ）
答：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
2.我买一盒巧克力和一包饼干，一共要多少元？（2分）
□○□=□（ ）
答：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
3. 如果我有69元，并把69元刚好买完，你能卖哪三件吃的？
□○□○□=□（ ）
答：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
一年级第二学期期末考试数学（春）
参 考 答 案（北师大版）
【注】："/"代表下一题答案。
一、评分标准：一个1分。
56 / 58 / 31 / 33 / 47 / 78 / 100 / 43 / 100 / 65
二、评分标准：第3、4、6小题每题2分一空，其余1分一空。
1.一百 / 75
2.5 / 9 / 10
3.97 / 27
4.30 / 19
5.29 / 39
6.△○○□ / △○○□
7.9 / 16
3. 评分标准：①.一空1分，格式不对0分；②.一空1分；③.一空3分格式不对0分。
①．75 / 5 / 29 / 87 / 87 （格式 略）
②.= / ＞ / ＞ / ＞ / ＞ / ＞ / ＜ / ＜ / 答案合理即可 / 答案合理即可
③.× / × / √ / × （更改格式 略）\[第三题打√，并摘抄在改正区域，则也给满分。\]
4. 评分标准：一空1分。
```{=html}
<!-- -->
```
1. √ /2.√ /3.× /4.× /5.√
五、评分标准：一空1分。
（表5-1）
------ ---- ---- --- ---- ---
加数 45 1
加数 9
和 53 93
------ ---- ---- --- ---- ---
（表5-2）
-------- ---- --- ---- ---- ----
被减数 64
减数 7 2 91
差 26 28
-------- ---- --- ---- ---- ----
6. 评分标准：1-3题没写单位-0.5分，3题没写答-1分。
```{=html}
<!-- -->
```
1. （1）.30-9=21（个）（3分）
```{=html}
<!-- -->
```
2. .21+30=51（个）（4分）
3. .（2分）
------ ------ ------
15下 25下 55下
√
------ ------ ------
2. （1）.50-12=38（只）（2分）
（2）.12+50+25=87（只）（3分）
3.1.59-3=56（元）答：\...\...（2分）
2.18+6=24（元）答：\...\...（2分）
3.4+59+6=69（元）答：\...\...（4分）
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**2021年广东省普通高中学业水平选择性考试**
**物理**
**一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1\. 科学家发现银河系中存在大量的放射性同位素铝26，铝26的半衰期为72万年，其衰变方程为，下列说法正确的是（ ）
A. Y是氦核
B. Y是质子
C. 再经过72万年，现有铝26衰变一半
D. 再经过144万年，现有铝26全部衰变
2\. 2021年4月，我国自主研发的空间站"天和"核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（ ）
A. 核心舱的质量和绕地半径
B. 核心舱的质量和绕地周期
C. 核心舱的绕地角速度和绕地周期
D. 核心舱的绕地线速度和绕地半径
3\. 唐代《来耜经》记载了曲辕犁相对直辕犁的优势之一是起土省力，设牛用大小相等的拉力*F*通过耕索分别拉两种犁，*F*与竖直方向的夹角分别为和，，如图所示，忽略耕索质量，耕地过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 耕索对曲辕犁拉力的水平分力比对直辕犁的大
B. 耕索对曲辕犁拉力的竖直分力比对直辕犁的大
C. 曲辕犁匀速前进时，耕索对犁的拉力小于犁对耕索的拉力
D. 直辕犁加速前进时，耕索对犁的拉力大于犁对耕索的拉力
4\. 由于高度限制，车库出入口采用图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆与横杆链接而成，*P*、*Q*为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，杆始终保持水平。杆绕*O*点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. *P*点的线速度大小不变
B. *P*点的加速度方向不变
C. *Q*点竖直方向做匀速运动
D. *Q*点在水平方向做匀速运动
5\. 截面为正方形的绝缘弹性长管中心有一固定长直导线，长管外表面固定着对称分布的四根平行长直导线，若中心直导线通入电流，四根平行直导线均通入电流，，电流方向如图所示，下列截面图中可能正确表示通电后长管发生形变的是（ ）
A. \
B. 
C. \
D. 
6\. 图是某种静电推进装置的原理图，发射极与吸极接在高压电源两端，两极间产生强电场，虚线为等势面，在强电场作用下，一带电液滴从发射极加速飞向吸极，*a*、*b*是其路径上的两点，不计液滴重力，下列说法正确的是（ ）
A. *a*点的电势比*b*点的低
B. *a*点电场强度比*b*点的小
C. 液滴在*a*点的加速度比在*b*点的小
D. 液滴在*a*点的电势能比在*b*点的大
7\. 某同学设计了一个充电装置，如图所示，假设永磁铁的往复运动在螺线管中产生近似正弦式交流电，周期为0.2s，电压最大值为0.05V，理想变压器原线圈接螺线管，副线圈接充电电路，原、副线圈匝数比为1∶60，下列说法正确的是（ ）
A. 交流电的频率为10Hz
B. 副线圈两端电压最大值为3V
C. 变压器输入电压与永磁铁磁场强弱无关
D. 充电电路的输入功率大于变压器的输入功率
**二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。**
8\. 赛龙舟是端午节的传统活动。下列和图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程，其中能反映龙舟甲与其它龙舟在途中出现船头并齐的有（ ）
A. \
B. 
C. \
D. 
9\. 长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡销的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹，战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为*m*的手榴弹，手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为*h*，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为*g*，下列说法正确的有（ ）
A. 甲在空中的运动时间比乙的长
B. 两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C. 从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少
D. 从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为
10\. 如图所示，水平放置足够长光滑金属导轨和，与平行，是以*O*为圆心的圆弧导轨，圆弧左侧和扇形内有方向如图的匀强磁场，金属杆的*O*端与*e*点用导线相接，*P*端与圆弧接触良好，初始时，可滑动的金属杆静止在平行导轨上，若杆绕*O*点在匀强磁场区内从*b*到*c*匀速转动时，回路中始终有电流，则此过程中，下列说法正确的有（ ）
A. 杆产生的感应电动势恒定
B. 杆受到的安培力不变
C. 杆做匀加速直线运动
D. 杆中的电流逐渐减小
**三、非选择题：共54分，第11\~14题为必考题，考生都必须作答。第15\~16题为选考题，考生根据要求作答。**
**（一）必考题：共42分。**
11\. 某兴趣小组测量一缓冲装置中弹簧的劲度系数，缓冲装置如图所示，固定在斜面上的透明有机玻璃管与水平面夹角为30°，弹簧固定在有机玻璃管底端。实验过程如下：先沿管轴线方向固定一毫米刻度尺，再将单个质量为200g的钢球（直径略小于玻璃管内径）逐个从管口滑进，每滑进一个钢球，待弹簧静止，记录管内钢球的个数*n*和弹簧上端对应的刻度尺示数，数据如表所示。实验过程中弹簧始终处于弹性限度内。采用逐差法计算弹簧压缩量，进而计算其劲度系数。
----- ------ ------- ------- ------- ------- -------
*n* 1 2 3 4 5 6
8.04 10.03 12.05 14.07 16.11 18.09
----- ------ ------- ------- ------- ------- -------
（1）利用计算弹簧的压缩量：，，\_\_\_\_\_\_cm，压缩量的平均值\_\_\_\_\_\_cm；
（2）上述是管中增加\_\_\_\_\_\_个钢球时产生的弹簧平均压缩量；
（3）忽略摩擦，重力加速度*g*取，该弹簧的劲度系数为\_\_\_\_\_\_N/m。（结果保留3位有效数字）
12\. 某小组研究热敏电阻阻值随温度的变化规律。根据实验需要已选用了规格和量程合适的器材。
（1）先用多用电表预判热敏电阻阻值随温度的变化趋势。选择适当倍率的欧姆挡，将两表笔\_\_\_\_\_\_，调节欧姆调零旋钮，使指针指向右边""处。测量时观察到热敏电阻温度越高，相同倍率下多用电表指针向右偏转角度越大，由此可判断热敏电阻阻值随温度的升高而\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（2）再按图连接好电路进行测量。
①闭合开关S前，将滑动变阻器的滑片滑到\_\_\_\_\_\_\_端（选填"*a*"或"*b*"）。
将温控室的温度设置为*T*，电阻箱调为某一阻值。闭合开关S，调节滑动变阻器，使电压表和电流表的指针偏转到某一位置。记录此时电压表和电流表的示数、*T*和。断开开关S。
再将电压表与热敏电阻C端间的导线改接到D端，闭合开关S。反复调节和，使电压表和电流表的示数与上述记录的示数相同。记录此时电阻箱的阻值。断开开关S。
②实验中记录的阻值\_\_\_\_\_（选填"大于"、"小于"或"等于"）。此时热敏电阻阻值\_\_\_\_\_。
13\. 算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零，如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框*b*，甲、乙相隔，乙与边框*a*相隔，算珠与导杆间的动摩擦因数。现用手指将甲以的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为，方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加速度g取。
（1）通过计算，判断乙算珠能否滑动到边框*a*；
（2）求甲算珠从拨出到停下所需的时间。
14\. 图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆*a*、*b*、*c*围成的区域，圆*a*内为无场区，圆*a*与圆*b*之间存在辐射状电场，圆*b*与圆*c*之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能从圆*b*上*P*点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆*a*与圆*b*之间电势差为*U*，圆*b*半径为*R*，圆*c*半径为，电子质量为*m*，电荷量为*e*，忽略相对论效应，取。
（1）当时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角均为45°，最终从*Q*点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在*Q*点出射时的动能；
（2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当时，要保证电子从出射区域出射，求*k*的最大值。
**（二）选考题：共12分，请考生从2道题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。**
15\. 在高空飞行的客机上某乘客喝完一瓶矿泉水后，把瓶盖拧紧。下飞机后发现矿泉水瓶变瘪了，机场地面温度与高空客舱内温度相同。由此可判断，高空客舱内的气体压强\_\_\_\_\_\_（选填"大于"、"小于"或"等于"）机场地面大气压强：从高空客舱到机场地面，矿泉水瓶内气体的分子平均动能\_\_\_\_\_\_（选填"变大"、"变小"或"不变"）。
16\. 为方便抽取密封药瓶里的药液，护士一般先用注射器注入少量气体到药瓶里后再抽取药液，如图所示，某种药瓶的容积为0.9mL，内装有0.5mL的药液，瓶内气体压强为，护士把注射器内横截面积为、长度为0.4cm、压强为的气体注入药瓶，若瓶内外温度相同且保持不变，气体视为理想气体，求此时药瓶内气体的压强。
17\. 如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离*A*后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为*T*。经时间，小球从最低点向上运动的距离\_\_\_\_\_（选填"大于"、"小于"或"等于"）；在时刻，小球的动能\_\_\_\_\_\_（选填"最大"或"最小"）。
18\. 如图所示，一种光学传感器是通过接收器Q接收到光的强度变化而触发工作的。光从挡风玻璃内侧*P*点射向外侧*M*点再折射到空气中，测得入射角为，折射角为；光从*P*点射向外侧*N*点，刚好发生全反射并被Q接收，求光从玻璃射向空气时临界角的正弦值表达式。
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第三单元演练
一、填一填。
1\. 计数器上,从右边起,个位是第( {width="2.5694444444444443e-2in" height="2.4305555555555556e-2in"} )位,百位是第( )位,十位是第( )位。
2\. {width="2.0833333333333332e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"}100的最高位是( )位。
3\. 66是( )位数,右边的6在( )位上,表示( )个( ),左边的6在( )位上,表示( )个( )。
4\. 7{width="2.5694444444444443e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}5里面有( )个十和( )个一。
5\. 比86多3的数是( ),比85少4的数是( )。
6\. 79前面的一个数是( ),后面的一个数是( )。
7\. 一个两位数,十位上的数字与个位上的数字相同,这两个数字的和是8,这个两{width="1.3888888888888888e-2in" height="2.2222222222222223e-2in"}位数是( )。
8\. 最大的两位数是( ),最小的两位数是( )。
{width="1.6666666666666666e-2in" height="2.361111111111111e-2in"}二、选一选。(把正{width="1.875e-2in" height="1.5277777777777777e-2in"}确答案的序号填在括号里)
1\. 十位上是6,个位上是7,这个数是( )。
①97 ②67 {width="1.3888888888888888e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"} ③76
2\. 下面的数中,( )与78最接近。
①25 {width="2.0833333333333332e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"} ②100 ③75
3\. 一个数比56大,又比65小,这个数可能是( )。
①48 ②59 ③76
4\. 养殖场有鸡66只,鸭63只,鹅20只,兔子10只,鸡的只数和鸭的只数( ),鸭的只数比鹅的只数( ),兔子的只数比鸡的只数( )。
①多得多 ②少得多 ③差不多
三、在计数器上表示图中的数,再按要求填一填。
1\. {width="1.20625in" height="1.226388888888889in"}
写作:[ ]{.underline}
读作:[ ]{.underline}
由( )个十和( )个一组成。
2.{width="1.7930555555555556in" height="1.2361111111111112in"}
写作:[ ]{.underline}
读作:[ ]{.underline}{width="2.4305555555555556e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}
由( )个十和( )个一组成。
四、把卡片上的数正确地放在小圆圈里。{width="1.5277777777777777e-2in" height="2.2222222222222223e-2in"}
38 58 79 60 98
{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}\<{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}\<{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}\<{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}\<{width="0.24305555555555555in" height="0.24305555555555555in"}
五、在正确的数字上画""。
动物园里有{width="0.5833333333333334in" height="0.3159722222222222in"}{width="1.6666666666666666e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"}50只, {width="0.4097222222222222in" height="0.45625in"}比{width="0.5833333333333334in" height="0.3159722222222222in"}少得多,{width="0.5694444444444444in" height="0.5527777777777778in"}比{width="0.5833333333333334in" height="0.3159722222222222in"}多得多,
{width="0.6763888888888889in" height="0.45625in"}比{width="0.5833333333333334in" height="0.3159722222222222in"}少一些,{width="0.41597222222222224in" height="0.5729166666666666in"}{width="2.0833333333333332e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}比{width="0.5833333333333334in" height="0.3159722222222222in"}多一些。
{width="0.4097222222222222in" height="0.45625in"} {width="0.5694444444444444in" height="0.5527777777777778in"} {width="0.6763888888888889in" height="0.45625in"} {width="0.41597222222222224in" height="0.5729166666666666in"}
(40只,4只) (53匹,92匹) (41头,20头) (59只{width="1.875e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"},80只)
六、根据小朋友的描述,在鱼缸的下面填上小朋友的名字。
{width="4.559722222222222in" height="0.9729166666666667in"}
{width="4.4527777777777775in" height="1.0159722222222223in"}
七、解决问题。
1\. 比一比,谁的年龄最大,谁的年龄最小。\[来源:Z§xx§k.Com\]
{width="5.10625in" height="1.1131944444444444in"}
2\. 在1\~50这50个数中,数字1出现过多少次?
\[来源:学科网ZXXK\]
\[来源:学\#科\#网\]
第三单元演练
一、1. 一 三 二 2. 百
3\. 两 个 6 一 十 6 十\[来源:Z\*xx\*k.Com\]
4\. 7 5 5. 89 81
6\. 78 80 7. 44
8\. 99 10
二、1. ② 2. ③ 3. ② 4. ③ ① ②
三、画计数器略。1. {width="1.6666666666666666e-2in" height="2.2222222222222223e-2in"}21 二十一 2 1
2\. 29 二十九 2 9\[来源:Zxxk.Com\]
四、38 58 60 79 98
五、大熊猫4只,马92匹,狮子41头,梅花鹿59只。
六、小玲 小军 小明
七、1. 熊猫的年龄{width="2.5694444444444443e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}最大,松鼠的年龄最小。
2\. 15次
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2007年普通高等学招生全国统一考试（安徽卷）
数 学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答
> 题卡上所粘贴的条形码中"座位号、姓名、科类"与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。
4.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：
如果事件、互斥，那么 球的表面积公式
如果事件、相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
1+2...+n=
[...+ 其中表示球的半径]{.smallcaps}
[...+]{.smallcaps}
[第Ⅰ卷（选择题共55分）]{.smallcaps}
[一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.]{.smallcaps}
[（1）若，则＝]{.smallcaps}
[（A） （B） （C） (D)]{.smallcaps}
[（2）椭圆的离心率为]{.smallcaps}
[（A） （B） （C） （D）]{.smallcaps}
[（3）等差数列的前项和为若]{.smallcaps}
[（A）12 （B）10 （C）8 （D）6]{.smallcaps}
(4)下列函数中,反函数是其自身的函数为
\(A\) (B)
\(C\) (D)
(5)若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为
(A)-2或2 (B) (C)2或0 (D)-2或0
(6)设均为直线,其中在平面α内，则"*l*⊥*α*"是""的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(7)图中的图象所表示的函数的解析式为
(A) (0≤*x*≤2)
\(B\) (0≤*x*≤2)
\(C\) (0≤*x*≤2)
\(D\) (0≤*x*≤2)
(8)设*a*＞1,且,则的大小关系为
\(A\) *n*＞*m*＞*p* (B) *m*＞*p*＞*n* (C) *m*＞*n*＞*p* (D) *p*＞*m*＞*n*
(9)如果点*P*在平面区域上,点*Q*在曲线最小值为
\(A\) (B) (C) (D)
(10)把边长为的正方形*ABCD*沿对角线*AC*折成直二面角,折成直二面角后,在*A*,*B*,*C*,*D*四点所在的球面上,*B*与*D*两点之间的球面距离为
\(A\) (B) (C) (D)
(11)定义在*R*上的函数*f* (*x*)既是奇函数,又是周期函数,*T*是它的一个正周期.若将方程*f* (*x*)=0在闭区\[-*T*,*T*\]上的根的个数记为*n*,则*n*可能为
(A)0 (B)1 (C)3 (D)5
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(理科)
第Ⅱ卷(非选择题 共95分)
注意事项:
请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.
二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.
(12)已知,则( 的值等于 [ ]{.underline} .
\(13\) 在四面体*O-ABC*中，为*BC*的中点，E为AD的中点，则= [ ]{.underline} （用*a*，*b*，*c*表示）
(14)在正方体上任意选择两条棱,则这两条棱相互平行的概率为 [ ]{.underline} .
(15)函数的图象为*C*,如下结论中正确的是 [ ]{.underline} (写出所有正确结论的编号).
①图象*C*关于直线对称;
②图象C关于点对称;
③函数)内是增函数;
④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（16）（本小题满分10分）
解不等式＞0.
(17) （本小题满分14分）
如图,在六面体中,四边形*ABCD*是边
长为2的正方形,四边形是边长为1的正方
形,平面,平面*ABCD*,
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求证:平面
(Ⅲ)求二面角的大小(用反三角函数值表示).
第(17)题图
（18）（本小题满分14分）
设*F*是抛物线*G*:*x*^2^=4*y*的焦点.
（Ⅰ）过点*P*（0，-4）作抛物线*G*的切线，求切线方程：
> （Ⅱ）设*A*、*B*为势物线*G*上异于原点的两点，且满足,延长*AF*、*BF*分别交抛物线*G*于点*C*,*D*，求四边形*ABCD*面积的最小值.
(19)(本小题满分13分)
> 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.
(Ⅰ)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率；
（Ⅱ）求笼内至少剩下5只果蝇的概率.
(20)(本小题满分14分)
设函数
*f*（*x*）=-cos^2^*x*-4*t*sincos+4*t*^2^+*t*^2^-3*t*+4,*x*∈R,
其中≤1，将*f*(*x*)的最小值记为*g*(*t*).
(Ⅰ)求*g*(*t*)的表达式；
(Ⅱ)诗论*g*(*t*)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.
（21）（本小题满分14分）
某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为*a*~1~,以后第年交纳的数目均比上一年增加*d*(*d*\>0),因此，历年所交纳的储备金数目*a*~1~,*a*~2~,...是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利，这就是说，如果固定年利率为*r*(*r*\>0)，那么，在第*n*年末，第一年所交纳的储备金就变为*n*(1+*r*)^*n*-1^，第二年所交纳的储备金就变为*a*~2~(1+*r*)^*n*-2^,......，以*T~n~*表示到第*n*年末所累计的储备金总额.
（Ⅰ）写出*T*~n~与*T*~n-1~（*n*≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证：*T*~n~=*A*~n~+*B*~n~，其中是一个等比数列，是一个等差数列.
**\
2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）**
**数学（文史）参考答案**
**一、选择题：本题考查基本知识的基本运算．每小题5分，满分55分．**
------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ----
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A C D C A B B A C D
------ --- --- --- --- --- --- --- --- --- ---- ----
[（1）若，则＝，选D。]{.smallcaps}
[（2）椭圆中，，∴，离心率为，选A。]{.smallcaps}
[（3）等差数列的前项和为，若则=－2，，∴ ，选C。]{.smallcaps}
(4)下列函数中,反函数是其自身的函数为，选D。
(5)若圆的圆心(1，2)到直线的距离为，∴ ，∴ *a*=2或0，选C。
(6)设均为直线,其中在平面*α*内，若"*l*⊥*α*"则""，反之若""，当m//n时，无法判断"*l*⊥*α*"，所以"*l*⊥*α*"是""的充分不必要条件，选A。
(7)图中的图象所表示的函数当0≤x≤1时，它的解析式为，当1\<x≤2时，解析式为，∴解析式为(0≤*x*≤2)，选B。
(8)设*a*＞1,∴ ，，,∴ 的大小关系为*m*＞*p*＞*n*，选B。
(9)点*P*在平面区域上,画出可行域，点*Q*在曲线最小值圆上的点到直线的距离，即圆心(0，－2)到直线的距离减去半径1，得，选A。
(10)把边长为的正方形*ABCD*沿对角线*AC*折成直二面角,折成直二面角后,在*A*,*B*,*C*,*D*四点所在的球面上,球的半径为1，*B*与*D*两点恰好是两条垂直的半径的端点，它们之间的球面距离为个大圆周长，即，选C。
\(11\) 定义在R上的函数是奇函数，，又是周期函数，是它的一个正周期，∴，，∴，则可能为5，选D。
**二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．**
------ ---- ---- ---- -----
题号 12 13 14 15
答案 ①②③
------ ---- ---- ---- -----
\(12\) 已知,
∴ 则(=－256
\(13\) 在四面体*O－ABC*中，为*BC*的中点，E为AD的中点，则=
> =。
(14)在正方体上任意选择两条棱,有种可能，这两条棱相互平行的选法有种，所以概率。
(15)函数的图象为*C*，
①图象关于直线对称，当k=1时，图象C关于对称；①正确；
②图象C关于点对称，当k=1时，恰好为关于点对称;②正确；
③x∈时，∈(－，)，∴ 函数在区间内是增函数；③正确；
④由的图象向右平移个单位长度可以得，得不到图象C. ④不正确。所以应填①②③。
**三、解答题**
**16．本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力．本小题满分10分．**
解：因为对任意，，所以原不等式等价于．
即，，，故解为．
所以原不等式的解集为．
17．**本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分．**
**解法1（向量法）：**
以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，则有．
（Ⅰ）证明：
．
．
与平行，与平行，
于是与共面，与共面．
（Ⅱ）证明：，，
，．
与是平面内的两条相交直线．
平面．
又平面过．
平面平面．
（Ⅲ）解：．
设为平面的法向量，
，．
于是，取，则，．
设为平面的法向量，
，．
于是，取，则，．
．
二面角的大小为．
**解法2（综合法）：**
（Ⅰ）证明：平面，平面．
，，平面平面．
于是，．
设分别为的中点，连结，
有．
，
于是．
由，得，
故，与共面．
过点作平面于点，
则，连结，
于是，，．
，．
，．
所以点在上，故与共面．
（Ⅱ）证明：平面，，
又（正方形的对角线互相垂直），
与是平面内的两条相交直线，
平面．
又平面过，平面平面．
（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，
根据三垂线定理，有．
过点在平面内作于，连结，
则平面，
于是，
所以，是二面角的一个平面角．
根据勾股定理，有．
，有，，，．
，，
二面角的大小为．
18．**本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．本小题满分14分．**
解：（I）设切点．由，知抛物线在点处的切线斜率为，故所求切线方程为．
即．
因为点在切线上．
所以，，．
所求切线方程为．
（II）设，．
由题意知，直线的斜率存在，由对称性，不妨设．
因直线过焦点，所以直线的方程为．
点的坐标满足方程组
得，
由根与系数的关系知
．
因为，所以的斜率为，从而的方程为．
同理可求得．
．
当时，等号成立．所以，四边形面积的最小值为．
19．**本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分．**
解：以表示恰剩下只果蝇的事件．
以表示至少剩下只果蝇的事件．
可以有多种不同的计算的方法．
方法1（组合模式）：当事件发生时，第只飞出的蝇子是苍蝇，且在前只飞出的蝇子中有1只是苍蝇，所以．
方法2（排列模式）：当事件发生时，共飞走只蝇子，其中第只飞出的蝇子是苍蝇，哪一只？有两种不同可能．在前只飞出的蝇子中有只是果蝇，有种不同的选择可能，还需考虑这只蝇子的排列顺序．所以．
由上式立得；
．
20．**本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分．**
解：（I）我们有
．
由于，，故当时，达到其最小值，即
．
（II）我们有．
列表如下：
-- -- -------- -- -------- --
极大值 极小值
-- -- -------- -- -------- --
由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．
21．**本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．**
解：（Ⅰ）我们有．
（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得
， ①
在①式两端同乘，得
②
②①，得
．
即．
如果记，，
则．
其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．
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**《平行四边形》同步练习**
> 一、判断：平行四边形的四个角一定不是直角。 （ ）
>
> 二、
>
> 
（ ）是长方形，（ ）是正方形，（ ）是平行四边形。
三、说出下图中的角各是什么角。
> 
>
> **四、分一分（填序号）**
>
> 
>
> **\[来源:学.科.网\]\[来源:学科网ZXXK\]**
五、下图怎样才能改成平行四边形。
> 
>
> **六、**
>
> 
>
> **（ ）个锐角**
>
> **（ ）个直角**
>
> **（ ）个钝角。**
\[来源:学+科+网\]
**参考答案**：
> 一、（× ）
>
> 二、\[来源:学&科&网Z&X&X&K\]
>
> **（3 ，5 ）是长方形，（ 2 ）是正方形，（1，4，6 ）是平行四边形。**
>
> **三、略**
>
> **四、分一分（填序号）**
>
> **长方形:2,5**
>
> **正方形:3,6**
>
> **平行四边形:1,4**
>
> **五、略**
>
> **六、\[来源:学科网ZXXK\]**
>
> **（ 2 ）个锐角**
>
> **（ 4 ）个直角**
>
> **（ 2 ）个钝角。**
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**北师大版小学三年级下册数学第六单元《认识分数------分一分（一）》同步检测1（附答案）**
一、4本故事书分给2个人，平均每人分得（ ）本；2本故事书分给2个人，平均每人分得（ ）本。来源：www.bcjy123.com/tiku/
二、把一块饼分给2个人，每人分得这块饼的（ ）。
三、用分数表示下列各图中的阴影部分。
四、填一填。来源：www.bcjy123.com/tiku/
读作： [ ]{.underline} 读作： [ ]{.underline} 读作： [ ]{.underline}
五、按分数把下面各图形涂上颜色。
六、下面各图中，能用分数表示的在括号里写出这个分数，不能用分数表示的在括号里面"×"。
七、右图中，阴影部分是两个长方形的重叠部分。阴影部分是
> 小长方形的；阴影部分是大长方形的；
>
> 阴影部分是整个图形的。
八、填一填。
1、，4是这分数的 [ ]{.underline} ，5是这分数的 [ ]{.underline} ，是 [ ]{.underline} 。
2、七分之五写作： [ ]{.underline} ，八分之一写作： [ ]{.underline} ，十分之九写作： [ ]{.underline} 。
读作： [ ]{.underline} ，读作： [ ]{.underline} ，读作： [ ]{.underline} 。
3、把一个苹果平均分成3份，每份是它的，2份是它的。
4、 ，如果阴影部分占整个图形的，那么，要涂上（ ）
> 份的阴影部分。
九、看图回答问题。
1、按分数把下面各图形涂上颜色。
2、根据分数把图形分一分，并画出阴影部分。
**部分答案：**
一、2 1
二、一半或
三、 或
六、× ×
七、
八、1、分子 分母 分数线
2、 四分之三 六分之五 八分之三
3、
4、3
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**第Ⅰ卷（共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1\. 已知全集，集合，那么（ ）\[来源:学科网ZXXK\]
A． B． C． D．
【答案】A
考点：集合的运算．
2\. 在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意，，对应点为，在第一象限，故选A．学科网
考点：复数的运算，复数的几何意义．
3\. 在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D．7
【答案】B
【解析】
试题分析：因为是正项等比数列，所以，，又，所以，．故选B．
考点：等比数列的性质．
4\. 已知函数的最小正周期为，则在区间上的值域为（ ）
A． B．  C． D．
【答案】A
考点：函数的周期，值域．
5\. 执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）
A．2 B． C．-1 D．1
【答案】B
【解析】
试题分析：本题算法主要考查循环结构，由算法知，记第次计算结果为，则有，，，，因此是周期数列，周期为3，输出结果为，故选B．
考点：程序框图，周期数列．
6\. 在二项式的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理数都互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
考点：二项式定理，古典概型．
【名题点睛】本题考查二项式定理与古典概型概率计算，考查等差数列的概念．首先应正确掌握二项式定理，由二项展开式通项公式得各项系数，由等差数列的定义可求得指数值，由二项展开式通项中判断有理项的个数为3,9个数全排列，其中求3个有理数互不相邻的方法数时用插入法，即把6个无理数排列，形成7个空档（含两头的），在这7个空档中选取3个排列这3个有理数可得方法数．
7\. 在中，分别是所对边的边长，若，则的值是（ ）
A． 1 B． C． D．2
【答案】B\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]
【解析】
考点：两角和与差的正弦公式，正弦函数的性质．
8\. 一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位:）,则该几何体的体积为（ ）
A．120 B．80 C．100 D．60
\[来源:学.科.网\]
【答案】C
【解析】
试题分析：由三视图知该几何体是长方体截去了一个角所得，，故选C．学科网
考点：三视图，体积．
9\. 在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能
\[来源:Z\|xx\|k.Com\]
【答案】B
【解析】
试题分析：设是边中点，则，
，所以，，，所以，即为钝角，三角形为钝角三角形．故选B．
考点：向量的线性表示与数量积，三角形形状的判断．
10\. 平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．  B． C． D．
【答案】C
考点：两平面垂直的性质，外接球与球的表面积．
11\. 已知双曲线的方程，其左、右焦点分别是，已知点坐标为，双曲线上点，满足，则（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知得：，所以，即在的平分线上，可证的内心在直线上，所以点是的内心，到三边的距离相等均为，所以
，故选C．
考点：双曲线的性质，向量数量积的定义．
【名题点睛】本题考查双曲线的性质，单纯用计算方法非常难，通过向量的数形积定义，化简已知后知，即在的平分线上，此时要联想到双曲线的一个性质：双曲线的右支上任一点，是的左右焦点，则的内心在直线上，反之，直线上的任一点（点除外），一定是某个的内心（是双曲线右支上的点）．利用此结论可很快得出结论．
12\. 定义在上的函数满足，当时，，函数，若，不等式成立，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
考点：不等式恒成立，函数的值域．
【名题点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是命题中量词的理解与命题的转化，若，不等式成立，即在上，函数的最小值大于或等于的最大值．函数是三次函数，可由导数的性质求得最大值，而函数是分段函数，由分段函数的定义可在每一个区间（分为有三个区间）上的值域，然后求出并集，得值域．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 设，则的展开式中常数项是 [ ]{.underline} .
【答案】－332
考点：二项式定理的应用，定积分．
14\. 以下四个命题中：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
③某项测量结果服从正太态布，则；
④对于两个分类变量和的随机变量的观测值来说，越小，判断"与有关系"的把握程度越大.
以上命题中其中真命题的个数为 [ ]{.underline} .
【答案】2
【解析】
试题分析：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，①错；两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，②正确；某项测量结果服从正太态布，则，③正确；对于两个分类变量和的随机变量的观测值来说，越大，判断"与有关系"的把握程度越大，④错．故只有2个正确．
考点：抽样方法（系统抽样），线性相关关系，正态分布，独立性检验．
15\. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围是 [ ]{.underline} .\[来源:学科网\]
【答案】
考点：两圆的位置关系．
【名题点睛】判断两圆的位置关系有两种方法，一是解由两圆方程组成的方程组，若方程组无实数解，则两圆相离，若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交，二是讨论两圆的圆心距与两圆半径之间的关系．第一种方法在计算上较繁琐，因此一般采用第二种方法．
16\. 是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】
试题分析：设，则，因为，所以，即是上的增函数，又，所以的解集为，又，所以所求不等式解集为．学科网
考点：导数与单调性，解函数不等式．
【名题点睛】本题考查导数的应用，解不等式的关键是构造新函数，新函数能够利用已知条件判断其单调性，利用单调性解不等式是这种类型问题的常规解法．考虑到已知条件，设，则，由此可得，得是递增的，不等式可解．
**三、解答题 （本大题共6小题****，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，向量满足条件.
⑴求数列的通项公式；
⑵设函数，数列满足条件.
①求数列的通项公式；
②设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）①；②．
考点：向量平行，由求通项，等差数列的通项公式，错位相减法求和．
18（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，是棱的中点.
⑴求证：平面；
⑵求平面与平面所成的二面角的余弦值；
⑶设点是直线上的动点，与平面所成的角为，求的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】
试题分析：本题考查线面平行的判断，求二面角，求直线与平面所成的角，可用线平行的判定定理，先证线线平行，得线面平行，在求二面角和直线与平面所成角的时候可以通过作角、证明、计算求出结果．由于图形中有两两垂直，因此可能以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，用空间向量法解决本题．证明线面平行时，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，由两平面的法向量的夹角与二面角相等
或互补可得二面角，由直线方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值（绝对值）等于直线与平面所成角的正弦值求线面角，设，则可表示为的函数，由函数的性质可得最大值．
考点：用向量法证明线面平行，求二面角，求直线与平面所成的角．
19\. （本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30,女20），给所有同学几何体和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况如下表（单位:人）
-------- -------- -------- ------
几何题 代数题 总计
男同学 22 8 30
女同学 8 12 20
总计 30 20 50
-------- -------- -------- ------
⑴能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
⑵经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现甲，乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；
⑶现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的大题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.
附表及公式：
-------------------------------------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
-------------------------------------- ------- ------- ------- ------- ------- ------- --------
【答案】（1）能；（2）；（3）分布列见解析，期望为．
考点：独立性检验，几何概型，古典概型，随机变量分布列与数学期望．
20\. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
⑴求椭圆的方程；
⑵设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，连接分别交直线于两点，若直线的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）定值，为．
【解析】
考点：椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，探索性问题、定值问题．
【名题点睛】求椭圆标准方程，一般要列出关于的两个方程（不含），这可由已知条件及椭圆的几何性质可得；（2）解析几何中定值问题，处理方法是选取适当的参数，求出相差量，最后证明等求值与选取的参数无关即可，题中涉及到直线与椭圆相交问题，因此设交点为，直线的方程为（这样设包含了斜率不存在的情形），代入椭圆方程由韦达定理可用表示出
，同时求出的坐标，把用表示，最后把代入化简即可．这是解析几何中常用的"设而不求"法．
21\. （本小题满分12分）已知函数.
⑴求的单调区间；
⑵若，且对任意恒成立，求的最大值；
⑶对于在区间上任意一个常数，是否存在正数，使得成立？请说明理由.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为.；（2）4；（3）存在正数满足条件.
⑵由变形，得
整理得，令，
下面只需证明：在时，成立即可
又令
则在时为增函数.
符合条件，
即存在正数满足条件.
考点：导数与单调性，函数的极值，不等式恒成立问题，探索性问题．
【名题点睛】1．导数法求函数单调区间的一般流程:求定义域→求导数*f\'*(*x*)→求*f\'*(*x*)*=*0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定*f\'*(*x*)在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性．
2．不等式恒成立问题，通常转化为求函数的最值，要注意的是求最大值还是求最小值，比较难的问题是求出最小值后，还要再用导数研究此值的单调性，判断其正负等等．
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线为圆的切线，切点为，点在圆上，的角平分线交圆于点垂直交圆于点.
⑴证明：
⑵设圆的半径为1，，延长交于点，求外接圆的半径.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
试题解析：⑴连接，交于点
由弦切角定理得，，而，故
又因为，所以为直径，所以，由勾股定理可得；
⑵由⑴知，，故是的中垂线，所以
设的中点为，连接，则，从而
所以，故外接圆的半径等于.
考点：弦切角定理与圆周角定理，切线的性质，圆的性质．
23\. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于两点.
⑴写出曲线的平面直角坐标方程和直线的普通方程；
⑵若成等比数列，求实数的值.
【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为；（2）1．
试题解析：⑴曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为
考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线参数方程的应用．
24\. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
⑴解不等式
⑵若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）解绝对值不等式，主要是分类讨论，分类标准由绝对值的定义确定；（2）不等式对任意的恒成立，即的最小值满足，由（1）的讨论，可得．
试题解析：⑴，当时，由，此时无解
当时，由
当时，由
综上，所求不等式的解集为
⑵由⑴的函数解析式可以看出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在考点：解绝对值不等式，不等式恒成立问题，函数的最值．
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2006年普通高等学校招生全国统一考试
**数 学（江苏卷）**
**参考公式：**
一组数据的方差
其中为这组数据的平均数
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。**
（1）已知，函数为奇函数，则*a*＝
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）±1
（2）圆的切线方程中有一个是
（A）*x*－*y*＝0 （B）*x*＋*y*＝0 （C）*x*＝0 （D）*y*＝0
（3）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为*x*，*y*，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜*x*－*y*｜的值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（4）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点
（A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（5）的展开式中含*x*的正整数指数幂的项数是
（A）0 （B）2 （C）4 （D）6
（6）已知两点*M*（－2，0）、*N*（2，0），点*P*为坐标平面内的动点，满足 ＝0，则动点*P*（*x*，*y*）的轨迹方程为
（A） （B） （C） （D）
（7）若A、B、C为三个集合，，则一定有
（A） （B） （C） （D）
（8）设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是
（A） （B）
（C） （D）
（9）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有
（A）1个 （B）2个
（C）3个 （D）无穷多个
（10）右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是
（A） （B）
（C） （D）
**二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上。**
（11）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝[ ▲ ]{.underline}
（12）设变量*x*、*y*满足约束条件，则的最大值为[ ▲ ]{.underline}
（13）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有[ ▲ ]{.underline}种不同的方法（用数字作答）。
（14）＝[ ▲ ]{.underline}
（15）对正整数*n*，设曲线在*x*＝2处的切线与*y*轴交点的纵坐标为，则数列的前*n*项和的公式是[ ▲ ]{.underline}
（16）不等式的解集为[ ▲ ]{.underline}
**三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。**
（17）（本小题满分12分，第一小问满分5分，第二小问满分7分）
已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）.
（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
> （Ⅱ）设点P、、关于直线*y*＝*x*的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
（18）（本小题满分14分）
请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点*O*到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
（19）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）
在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A~1~－EF－B成直二面角，连结A~1~B、A~1~P（如图2）
（Ⅰ）求证：A~1~E⊥平面BEP；
> （Ⅱ）求直线A~1~E与平面A~1~BP所成角的大小；
>
> （Ⅲ）求二面角B－A~1~P－F的大小（用反三角函数表示）
（20）（本小题满分16分，第一小问4分，第二小问满分6分，第三小问满分6分）
设*a*为实数，设函数的最大值为*g*(*a*)。
（Ⅰ）设t＝，求*t*的取值范围，并把*f*(*x*)表示为*t*的函数*m*(*t*)
（Ⅱ）求*g*(*a*)
（Ⅲ）试求满足的所有实数*a*
（21）（本小题满分14分）
设数列、、满足：，（*n*=1,2,3,...），
证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（*n*=1,2,3,...）
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**2018年秋季期小学期末学科检测三年级数学参考答案**
一、我会填。（22分，每空1分）
**1.** 984 3 **2．** 比大小：＜ ＝ ＞ ＞
**3.** 195 240 2600 1500 **4.** 8：50 **5.** **6.** 1961 3 18 **7.** 24 36 **8.** 8 **9.** 3645
二、我会判断。（10分,每题1分）
（×）（√）（×）（×）（×）
三、我会选。（10分,每题1分）
③ ② ① ③ ③
四、我会算。（23分）
1\. 直接写出得数。（8分）
630 670 8 424 10 348
2\. 列式计算。（每小题2分，验算1分）
2064 341 1850 2448
3\. 脱式计算。（6分，每小题3分）
892+420×5 （468-396）÷8
＝298+2100 ...2分 ＝72÷8...2分
＝2992 ...3分 ＝9...3分
五、动手操作。（6分）
1\. 长5厘米，宽3厘米，每标出1分得1分，共2分。
2\. 30...2分
3\. 正方形边3厘米...2分
六、解决问题。（28分）
1\. 150+60×2...3分 2. 36÷4＝9（只） ...3分
＝270（米）...4分 36÷4×3＝（只）或36-9＝27（只）...3分
答：（略）...5分 答：（略）
3\. 6×6÷9...3分 4. 15-11+24...3分
＝4（排）...4分 ＝28（人）...4分
答：（略）...5分 答：（略）...5分
5、（1）、168×5+278...3分
＝1118（元）...4分 答：（略）
（2）提问题2分，解答2分
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**六年级数学北师大版面的旋转和圆柱体的表面积同步练习**
1.指出下列圆柱的底面、侧面和高。
2\. 计算下面圆柱体的表面积。（单位：厘米）
3\. 一根圆柱形钢材长4米，横截面的直径是2厘米，每立方厘米重7.8克，这根钢材重多少克？
4\. 认一认，填一填。
5\. 把对应的部分用线连一连。
6\. 按照图意剪一剪。
7\. 仔细观察，研究圆柱和圆锥的关系。（单位：cm）
a\. 按要求填表。
---------- -------------------------- --- --- ---------- --- --- ---
圆柱体 与圆柱体等底等高的圆锥体
图形序号 S h V 图形序号 S h V
---------- -------------------------- --- --- ---------- --- --- ---
b\. 把这些圆柱、圆锥按照体积之间的关系分成两类。（把序号填入圈内）
 
c\. 上面8个图形中还有哪几个图形需要单独计算体积，请算一下。
**六年级数学北师大版圆柱的体积和圆锥的体积同步练习**
（答题时间：30分钟）
**圆柱**
一、口算小能手。
二、想一想，填一填。
（1）下图是一个罐头盒的展开图，这个罐头盒的容积是（ ）立方厘米。
（2）一个圆柱体的体积是40立方分米，底面积是16平方分米，它的高是（ ）分米。
（3）圆柱的底面半径不变，高扩大为2倍，体积扩大为（ ）倍。
三、我是小法官，对错我来判。（对的打"√"，错的打"×"）
（1）把一个圆柱横截成两个小圆柱，它的表面积和体积都增加了。（ ）
（2）圆柱的体积小于圆柱的表面积。（ ）
（3）如果两个圆柱的体积相等，那么它们的高也相等。（ ）
（4）把一个圆柱的底面半径扩大为2倍，高不变，它的体积就会扩大为2倍。（ ）
（5）一个圆柱形容器的容积一定等于它的体积。（ ）
四、选一选。（把正确答案的序号填入括号内）
（1）求一个圆柱形水桶能盛多少水，就是求水桶的（ ）
A. 侧面积 B. 表面积 C. 容积 D. 体积
（2）把一个棱长是6cm的正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是（ ）cm^3^。
A. 75.36 B 169.56 C. 301.44 D. 678.24
（3）一个圆柱，如果它的底面直径扩大为2倍，高不变，那么它的体积扩大为( ）倍。
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
五、根据已知条件求下面圆柱的体积。
（1）底面直径是，高是底面直径的倍。
（2）底面周长是31.4cm，高是2.5m。
六、生活问题我解决。
做一个圆柱形鱼缸，底面半径是3dm，高是5dm。
（1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？（得数保留整十平方分米）
（2）这个鱼缸能装水多少千克？（1L水重1kg）
圆锥
一、口算小能手。
二、想一想，填一填。
（1）圆锥的底面是个（ ），侧面是一个（ ）。
（2）从圆锥的（ ）到（ ）的距离是圆锥的高。
（3）圆锥有（ ）条高。
三、择优录取。（把正确答案的序号填入括号内）
（1）以下面各图形的一条边为轴，旋转一周，能形成圆锥的图形是（ ）
（2）左图是一个圆柱和一个圆锥，从不同方向会看到不同的图形，从右面看到的图形是（ ）
四、请标出圆锥的各部分名称。
五、填表。
------ ---------- ---------- ---------- --------
名称 底面半径 底面直径 底面周长 底面积
圆锥 6dm
4cm
31.4m
------ ---------- ---------- ---------- --------
六、有一个底面直径为20cm的装有一些水的圆柱形玻璃杯，已知杯中水面距杯口3cm。若将一个圆锥形铅锤浸入杯中，水会溢出20ml。求铅锤的体积。
**六年级数学北师大版圆柱和圆锥的练习课同步练习**
一、 单选题
1\. 等底等高的圆柱、正方体、长方体的体积相比较（ ）
A. 正方体体积大 B. 长方体体积大
C. 圆柱体体积大 D. 一样大
2\. 圆柱体的体积和等底面积的圆锥体的体积相等，圆柱体的高是圆锥体的（ ）
A. 3倍 B. 2倍 C. D.
3\. 24个铁圆锥，可以熔铸成等底等高的圆柱体的个数是：（ ）
A. 12个 B. 8个 C. 36个 D. 72个
4\. 圆柱体的底面半径和高都扩大3倍，它的体积扩大的倍数是：（ ）
A. 3 B. 6 C. 9 D. 27
二、 填空题
1\. 用一张边长是20厘米的正方形铁皮，围成一个圆柱体，这个圆柱体的侧面积是（ ）．
2\. 直圆柱的底面周长6.28分米，高1分米，它的侧面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米．
3\. 一个圆柱体的底面直径和高都是0.6米，它的体积是（ ）立方分米．
4\. 一个圆锥体和它的等底等高的圆柱体的体积相差12立方厘米，圆锥体的体积是（ ）立方厘米．
5\. 一个圆柱形铅块，可以熔铸成（ ）个和它等底等高的圆锥形零件．
6.做一个圆柱体，侧面积是9.42平方厘米，高是3厘米，它的底面半径是（ ）厘米．
7\. 一个圆锥体体积是2立方米，高是4分米，底面积是（ ）．
8\. 一个圆柱体和一个圆锥体的体积与高都相等，圆柱的底面积是18平方厘米，圆锥的底面积是（ ）平方厘米．
9\. 一个圆柱体和一个圆锥体的底面积和高都相等.已知圆锥体的体积是7.8立方米，那么圆柱体的体积是（ ）立方米．
10.一个圆锥的体积是76立方米，底面积是19平方米，这个圆锥的高是（ ）米．
11\. 把一个高6厘米的圆柱体削成最大圆锥体，这个圆锥的体积是9.42立方厘米，它的底面积是（ ）厘米．
三、 应用题
1\. 求空心圆柱体体积．（单位： 厘米）
2\. 一个圆锥形砂堆，底面周长是31.4米，高3米，每方砂重1.8吨，用一辆载重4.5吨的汽车，几次可以运完? （得数保留整数）
3\. 如图，这顶帽子，帽顶部分是圆柱形，用花布做的，帽沿部分是一个圆环，也是用同样花布做，已知帽顶的半径，高和帽沿宽都是1分米，那么做这顶帽子至少要用多少平方分米的花布？
**【试题答案】**
1\. 指出下列圆柱的底面、侧面和高。
2\. 计算下面圆柱体的表面积。（单位：厘米）
解：（1）侧面积： 
（2）底面积： 
（3）表面积： 
**答：圆柱体的表面积是628平方厘米。**
3\. 一根圆柱形钢材长4米，横截面的直径是2厘米，每立方厘米重7.8克，这根钢材重多少克？
解：（1）底面半径： 
（2）圆柱体积： 
（3）钢材的重量： 
**答：这根钢材重9796.8克。**
4\. 认一认，填一填。
5\. 把对应的部分用线连一连。
6\. 按照图意剪一剪。
7\. 仔细观察，研究圆柱和圆锥的关系。（单位：cm）
a\. 按要求填表。
----------- -------------------------- ----------- ------------------ ----------- ----------------- ----------- ----------------------------------------------
圆柱体 与圆柱体等底等高的圆锥体
图形序号 S h V 图形序号 S h V
**（2）** **28.26 cm^2^** **12 cm** **339.12 cm^3^** **（8）** **28.26 cm^2^** **12 cm** **113.04 cm^3^**
**（4）** **706.5 cm^2^** **20 cm** **14130 cm^3^** **（6）** **706.5 cm^2^** **20 cm** **4710 cm^3^**
**（3）** **78.5 cm^2^** **20 cm** **1570 cm^3^** **（5）** **78.5 cm^2^** **20 cm** **cm^3^**
----------- -------------------------- ----------- ------------------ ----------- ----------------- ----------- ----------------------------------------------
b\. 把这些圆柱、圆锥按照体积之间的关系分成两类。（把序号填入圈内）
 
c\. 上面8个图形中还有哪几个图形需要单独计算体积，请算一下。
**六年级数学北师大版圆柱的体积和圆锥的体积同步练习参考答案**
圆柱
一、5.5 2 7.8 12 120 631
二、（1）753.6 （2）2.5 （3）2
三、（1）× （2）× （3）× （4）× （5）×
四、（1）C （2）B （3）B
五、（1）
（2）
六、（1）
（2）
圆锥
一、5 27 640 0.64 10 30 3.8 9
二、（1）圆 曲面
（2）顶点 底面圆心 （3）一
三、（1）C （2）B
四、
五、
------ ---------- ---------- ---------- ------------
名称 底面半径 底面直径 底面周长 底面积
圆锥 3dm 6dm 18.84dm 28.26dm^2^
4cm 8cm 25.12cm 50.24cm^2^
5m 10m 31.4m 78.5m^2^
------ ---------- ---------- ---------- ------------
六、
解析：铅锤的体积等于底面直径为20cm、高为3cm的圆柱的体积加上溢出杯外的水的体积，与铅锤的形状无关。
**六年级数学北师大版正比例和反比例同步练习**
1\. **甲、乙、丙三种糖果每千克售价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？**
2\. 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，新的分数约分后是，原来的分数是多少？
3\. 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？
4\. 某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是：
甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，
那么丙组有多少名男会员？
5\. 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶3.小龙走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？
**【试题答案】**
一、
1\. D 2. D 3. B 4. D
二、
1\. 400平方厘米 2. 6.28；3.14 3. 0.054 4. 6
5\. 3 6. 0.5 7. 500平方分米 8. 54 9. 23.4
10\. 12 11. 4.71
三、
1\. 182立方厘米
2\. 32次
3\. 18.84平方分米
4\. 4厘米
**【试题答案】**
1\. **解一**：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是
答：这些糖果每千克的平均价是27.5元.
上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：
事实上，有稍简捷的解题思路.
** 解二：**先求出这三种糖果所买数量之比.
不妨设，所花钱数是330，立即可求出，
所买数量之比是甲∶乙∶丙＝15∶11∶10.
平均数是（15＋11＋10）÷3＝12.
单价33元的可买10份，要买12份，单价是
下面我们转向求比的另一问题，即"比的分配"问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.
2\. **解：**新的分数，分子与分母之和是（10＋23＋32），而分子与分母之比2∶3.因此
3\. **解：**三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.
三人工作效率之比是
他们分别需要完成的工作量是
所需时间是：700×3＝2100分钟＝35小时 .
答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时.
这是三个数量按比例分配的典型例题.
4\. **解：**甲组的人数是100÷2＝50（人）.
乙、丙两组男会员人数是 56－24＝32 （人）.
答：丙组有12名男会员.
上面解题的最后一段，实质上与"鸡兔同笼"解法一致，可以设想，"兔的脚数"是，
5\. **解一：**通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.
上坡、平路、下坡的速度之比是
走完全程所用时间
答：小龙走完全程用了10小时25分.
上面是通常思路下解题.1∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法.
** 解二：**全程长是上坡这一段长的（1＋2＋3）＝6（倍）.如果上坡用的时间是4份，全
设小龙走完全程用x小时.可列出比例式
x：＝（4＋5＋6）：24
**六年级数学北师大版反比例和观察与探究同步练习**
（答题时间：25分钟）
**1.** 甲、乙两同学的分数比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7.甲、乙原来各得多少分？
**2.** 张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？
**3.** A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数.
**4.** 小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？
**5.** 粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？
**6.** 箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只.每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？
**【试题答案】**
1\. **解一：**甲、乙两人的分数之和没有变化.原来要分成5+4＝9份，变化后要分成5+7＝12份.如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键.9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算.
5∶4＝（5×4）∶（4×4）＝20∶16.
5∶7＝（5×3）∶（7×3）＝15∶21.
甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20－15＝5份.因此原来
甲得22.5÷5×20＝90（分），
乙得 22.5÷5×16＝72（分）.
答：原来甲得90分，乙得72分.
我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程.
** 解二：**设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根据得分变化，可列出比例式.
（5x－22.5）∶（4x+22.5）＝5∶7
即 5（4x+22.5）＝7（5x－22.5）
15x＝12×22.5
x＝18.
2\. **解一：**我们采用"假设"方法求解.
如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5.张家结余240元，李家应结余x元.有
240∶x＝8∶5，x＝150（元）.
实际上李家结余270元，比150元多120元.这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5－3）＝60.（元）.因此可求出
答：张家收入720元，李家收入450元.
** 解二：**设张家收入是8份，李家收入是5份.张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多.
我们画出一个示意图：
张家开支的3倍是（8份－240）×3.
李家开支的8倍是（5份－270）×8.
从图上可以看出
5×8－8×3＝16份，相当于
270×8－240×3＝1440（元）.
因此每份是1440÷16＝90（元）.
张家收入是90×8＝720（元），李家收入是90×5＝450（元）.
本题也可以列出比例式：
（8x－240）∶（5x－270）＝8∶3.
然后求出x.事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些.
3\. **解：**减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点.
8∶5，就是8份与5份，两者相差3份.减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1.将前项与后项都乘以3，即2∶1＝6∶3，使两者也相差3份.现在就知道34是8－6＝2（份）或5－3＝2（份）.因此，每份是34∶2＝17.
A数是17×8＝136，B数是17×5＝85.
答：A，B两数分别是136与85.
本题也可以用"假设"方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4. **解一：**充分利用已知数据的特殊性.
4. 解：4+3＝7，5+2＝7，15－8＝7.原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，
新的1份＝原来1份+1
原来4份，新的5份，5－4＝1，因此
新的1份有15－1×4＝11（张）.
小明原有图画纸11×5－15＝40（张），
小强原有图画纸11×2+8＝30（张）.
答：原来小明有40张，小强有30张图画纸.
** 解二：**我们也可采用"假设"方法.先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）
4∶3＝20∶15
5∶2＝20∶8.
但现在是20∶8，因此这个比的每一份是
当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法.
** 解三：**设原来小明有4"份"，小强有3"份"图画纸.
> 把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图：
从图上可以看出，3×5－4×2＝7（份）相当于图画纸15×2+8×5＝70（张）.
因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张.
这几道题是同一类型的问题.用比例式的方程求解没有多大差别.用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路.另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握.第2题的解一，也是一种通用的方法."假设"这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用.从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性.因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维.
5\. 
我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点去，问过多长时间两支蜡烛长度相等.
现在两者相关是（2－1），每小时能缩小差距，因此两者相等需要时间是（2－1）÷（小时）
答：这两支蜡烛点了3小时20分.
把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的"2倍"变成"相等"，思考就简捷了.解这类问题这是常用的技巧.
6\. **解：**因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只.
因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后应剩 3×3＝ 9只.因此.共取了（51－ 3×3）÷（7×3－15）＝ 7（次）.
红球有15×7＋53＝158（只）.
白球有7×7＋3＝52（只）.
原来红球比白球多 158－52＝106（只）.
答：箱子里原有红球数比白球数多106只.
**六年级数学北师大版正反比例综合复习同步练习**
（答题时间：40分钟）
1\. 某工厂有职工1800人，男女职工人数比是5∶4，求男女职工各多少人？
2\. 沙子灰是灰和沙子混合而成的，它们的比是7∶3．要用280吨沙子灰，则灰和沙子各需多少吨？
3\. 图书馆买来180本儿童故事书，按1∶2∶3分给低、中、高年级同学阅读．低、中、高年级各分到多少本？
4\. 学校把560棵的植树任务，按照五年级三个班人数分配给各班．一班47人，二班45人，三班48人．三个班级各植树多少棵？
5\. 有一块试验田，周长200米，长与宽的比是3∶2．这块试验田的面积是多少平方米？
6\. 看图编一道按比例分配题解答．
** **7. 某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买1件按定价，买2件降价10％，买3件降价20％．最后结算，平均每件恰好按原定价的85％出售，那么买3件的顾客有多少人？
** 8.** 有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子400个和白子100个．为了使A堆中黑子占A堆的，B堆中黑子占．要从B堆中拿到A堆黑子、白子各多少个？
9\. 高中学生的人数是初中学生人数的，高中毕业生的人数是初中毕业生人数的，高、初中毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是520人，问高、初中毕业生共有多少人？
10\. 张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有多少元？
**【试题答案】**
1\. 男女职工各1000人和800人
2\. 灰和沙子各需196吨和84吨
3\. 低、中、高年级各分到30本，60本，90本．
4\. 提示：①三个班植树的总棵树是几？
②题目要求按什么比？人数比是几比几？
③三个数的和及三个数的比知道后，根据"按比例分配"的规律，一班188棵，二班180棵，三班192棵
5\. 提示：（这道题给了长与宽的比是3∶2，指的是一个长与一个宽的比，而周长包括2个长和2个宽，因此先求出一个长宽的和，即200÷2，然后把100按3∶2去分配．）
这块试验田的面积是2400平方米
6\. 苹果和桔子共重1200千克，糨们的重量比是3：1，求苹果和桔子各重多少千克？苹果和桔子各重900千克和300千克
** 7. 解：**题目已给出平均数 85％，可作比较的基准.
1人买3件少 5％×3；
1人买2件多 5％×2；
1人买1件多 15％ ×1.
1人买3件与1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2∶3的比例.
A组是2人买4件，每人平均买2件.
B组是5人买12件，每人平均买2.4件.
现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2.
B组人数是
（76－2×33）÷（24－2）＝25（人），
其中买3件（人），
买2件
A组人数是33－25＝8（人），其中买3件4人，买1件4人.
10＋4＝14（人）.
答：买3件的顾客有14位.
8\. 解：要B堆中黑子占，即黑子与白子之比是3：1．先从B堆中拿出黑子100个，使余下黑子与白子之比是（40－100）∶100＝3∶1．再要从B堆拿出黑子与白子到A堆，拿出的黑子与白子数目也要保持3∶1的比．
现在A堆已有黑子350＋100＝450个，与已有白子500个，相差50个．要黑子占，就是两种棋子一样多．
从B堆再拿出黑子与白子，要相差50个，又要符合3∶1这个比，要拿出白子数是
50÷（3－1）＝25（个）．
再要拿出黑子数是 25×3＝75（个）．
答：从B堆拿出黑子 175个，白子25个．
由于时间的关系这些题放在模拟试题中，让学生自己阅读理解
**9. 解一：**先画出如下示意图：
6－5＝1，相当于图中相差 17-12＝5（份），初中总人数是 5×6＝30份，因此，每份人数是
520÷（30-17）＝ 40（人）.
因此，高、初中毕业生共有
40×（17＋12）＝ 1160（人）.
答：高、初中毕业生共1160人.
**解二：**用乘初中人数，应与高中人数一样多，就产生如下算式，可计算出每份是
10\. 解：设钢笔的价格是1.
张有的钱数是1÷，
王有的钱数是1÷
李有的钱数是1÷
这样就可以求出，钢笔价格是
108÷（）
＝108÷
＝24（元）
张剩下的钱数是
24×（）＝16（元）
李剩下的钱数是
答：张、李两人剩下的钱共28元.
题中有三个分数，但它们比的基准是不一样的．为了统一计算单位，设定钢笔的价格为1．每个人原有的钱和剩下的钱都可以通过"1"统一地计算．解分数应用题中，设定统一的计算单位是常用的解题技巧．
**六年级数学北师大版圆柱、圆锥复习同步练习**
（答题时间：40分钟）
1、填表．
----------------- --------- ----------------- -----------------
S~底~（平方米） h（米） V~柱~（立方米） V~锥~（立方米）
6 0.5
4 12
2 12
10 9
----------------- --------- ----------------- -----------------
2、填空．
（1）一个圆柱和一个圆锥等底等高．已知圆柱的体积是2.7立方米，圆锥的体积是（ ）立方米．
（2）一个圆锥的体积是6立方分米，和它底面直径相等，高也相等的圆柱的体积是（ ）立方分米．
（3）一个圆柱和一个圆锥，它们的底面半径相等，圆柱的高是圆锥高的．如果圆锥的体积是6立方米，圆柱的体积是（ ）立方米．
（4）一个圆柱体表面积是50平方厘米，底面积是15平方厘米，把2个这样的圆柱体拼成一个大圆柱体，这个大圆柱体的表面积是（ ）平方厘米．
3、选择正确答案的序号填入括号中．
（1）一个圆柱体木棒，底面半径2厘米，高3厘米，如果沿底面直径纵剖后，表面积之和增加（ ）平方厘米．
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
（2）把直径2厘米，高4厘米的圆柱体木棒截成两个小圆柱体，表面积增加了（ ）平方厘米．
A. 16 B. 3.14 C. 8 D. 6.28
（3）把一根圆柱形的钢材沿平行底面的方向截成三段，表面积之和增加12平方厘米，钢材的底面积应是（ ）平方厘米．
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
4、一个圆柱的底面周长是18.84米，高是3米．它的表面积是多少平方米？
5、一个圆柱体木块，高减少1厘米后表面积就减少了6.28平方厘米，这个圆柱的底面积是多少平方厘米？
6、在屋子的一角临时堆放着一些小麦，这堆小麦的底面半径和高都是0.5米．1立方米小麦的质量约是735千克，那么这堆小麦的质量约是多少千克？
**【试题答案】**
1、填表．
----------------- --------- ----------------- -----------------
S~底~（平方米） h（米） V~柱~（立方米） V~锥~（立方米）
6 0.5 **3** **1**
**3** 4 12 **4**
**18** 2 **36** 12
10 **0.9** 9 **3**
----------------- --------- ----------------- -----------------
2、填空．
（1）一个圆柱和一个圆锥等底等高．已知圆柱的体积是2.7立方米，圆锥的体积是（ **0.9** ）立方米．
（2）一个圆锥的体积是6立方分米，和它底面直径相等，高也相等的圆柱的体积是（ **18** ）立方分米．
（3）一个圆柱和一个圆锥，它们的底面半径相等，圆柱的高是圆锥高的．如果圆锥的体积是6立方米，圆柱的体积是（ **6** ）立方米．
（4）一个圆柱体表面积是50平方厘米，底面积是15平方厘米，把2个这样的圆柱体拼成一个大圆柱体，这个大圆柱体的表面积是（ **70** ）平方厘米．
3、选择正确答案的序号填入括号中．
（1）一个圆柱体木棒，底面半径2厘米，高3厘米，如果沿底面直径纵剖后，表面积之和增加（ **C** ）平方厘米．
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
（2）把直径2厘米，高4厘米的圆柱体木棒截成两个小圆柱体，表面积增加了（ **D** ）平方厘米．
A. 16 B. 3.14 C. 8 D. 6.28
（3）把一根圆柱形的钢材沿平行底面的方向截成三段，表面积之和增加12平方厘米，钢材的底面积应是（ **C** ）平方厘米．
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
4、一个圆柱的底面周长是18.84米，高是3米．它的表面积是多少平方米？
**18.84÷3.14÷2＝3（米）**
**18.84×（3+3）＝113.04（平方米）**
**答：它的表面积是113.04平方米．**
5、一个圆柱体木块，高减少1厘米后表面积就减少了6.28平方厘米，这个圆柱的底面积是多少平方厘米？
**6.28÷1＝6.28（厘米）**
**6.28÷3.14÷2＝1（厘米）**
**1×1×3.14＝3.14（平方厘米）**
**答：这个圆柱的底面积是3.14平方厘米．**
6、在屋子的一角临时堆放着一些小麦，这堆小麦的底面半径和高都是0.5米．1立方米小麦的质量约是735千克，那么这堆小麦的质量约是多少千克？
**0.5×0.5×3.14＝0.785（平方米）**
**0.785×0.5÷3÷4×735≈24（千克）**
**答：这堆小麦的质量约是24千克．**
**六年级数学北师大版复习数的认识、整数、数的整除同步练习**
（答题时间：40分钟）
一. 填空：
1\. 695200米改写成用"万米"作单位的数是（ ），省略万后面的尾数约是（ ）。
2\. 一个整数四舍五入到万位约是10万，这个数最大是（ ）。
3\. 如果a÷b=c，（a、b、c都是自然数）那么，（ ）是（ ）的倍数，（ ）是（ ）的约数。
4\. 35a，如果是一个奇数，a可以是（ ），如果是一个偶数，a可以是（ ）。
5\. 503，交换各数位的数字的位置，使之成为能被5整除的数，有（ ）种换法？
6\. 用卡片5、0、4三个数字，摆一个三位数，有（ ）种摆法？（ ）能被5整除？
7\. 一个数的约数的个数是（ ）的，它的最小约数是（ ），最大约数是（ ）。
8\. 一个数的倍数的个数是（ ）的，它的最小倍数是（ ），它（ ）最大倍数。
9\. 一个数的本身，既是它的（ ）约数，又是它的（ ）倍数。
10\. 18能被3（ ），18是3的（ ），3是（ ）的（ ）。
11\. 能被2、5、3同时整除的最小三位数是（ ）。
二. 判断：
（1）2、7是质因数。（ ）
（2）8=2×4，2和4都是8的质因数。（ ）
（3）3×7=21是把21分解质因数。（ ）
（4）21=3×7是把21分解质因数。（ ）
（5）25=5×5×1是把25分解质因数。（ ）
（6）48的质因数有（2、3、8）。（ ）
（7）把38分解质因数是（38=1×2×19）。（ ）
（8）把一个数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。（ ）
（9）6×8=48，6和8是48的因数，而不是质因数。（ ）
（10）0是自然数。（ ）
（11）两个数互质，这两个数一定是质数。（ ）
（12）两个数是质数，这两个数一定互质 。（ ）
（13）1和所有自然数都互质。（ ）
（14）一个质数和一个合数不一定互质。（ ）
（15）3、8和11不互质。（ ）
（16）相邻的两个自然数不互质。（ ）
（17）质数就是互质。（ ）
（18）a是b的倍数，a与b一定不是互质的。（ ）
（19）a是自然数，"a+1"与a一定是互质的。（ ）
> （20）a是自然数，"a－1"与a一定是互质的。（ ）
>
> （21）两个数有公约数，这两个数不互质。（ ）
三. 选择正确答案：
（1）不能被2整除的数叫（ ）。
①质数。 ②合数。 ③奇数。 ④偶数。
（2）36能被9（ ）。
①除尽。 ②整除。 ③除。
（3）（ ）都是整数。
①全部自然数。 ②质数和合数。 ③自然数和0。
（4）两个奇数的和是（ ）。
①奇数 ②偶数 ③可能是奇数也可能是偶数
四. 求28和42的最大公约数和最小公倍数。
**【试题答案】**
一. 填空：
1\. 695200米改写成用"万米"作单位的数是（ **69.52万米** ）省略万后面的尾数约是（**70万米** ）。
2\. 一个整数四舍五入到万位约是10万，这个数最大是（ **104999** ）。
3\. 如果a÷b=c，（a、b、c都是自然数）那么，（ **a** ）是（ **b** ）的倍数，（**b** ）是（ **a** ）的约数。
4\. 35a，如果是一个奇数，a可以是（**1、3、5、7、9）**，如果是一个偶数，a可以是（**0、2、4、6、8）**。
5\. 503，交换各数位的数字的位置，使之成为能被5整除的数，有（**3**）种换法？
6\. 用卡片5、0、4三个数字，摆一个三位数，有（**4**）种摆法？（**405**、**450**、**540**）能被5整除。
7\. 一个数的约数的个数是（ **有限** ）的，它的最小约数是（ **1** ），最大约数是（ **本身** ）。
8\. 一个数的倍数的个数是（**无限** ）的，它的最小倍数是（**本身** ），它（ **无** ）最大倍数。
9\. 一个数的本身，既是它的（**最大** ）约数，又是它的（**最小** ）倍数。
10\. 18能被3（ **整除** ），18是3的（ **倍数** ），3是（**18** ）的（ **约数** ）。
11\. 能被2、5、3同时整除的最小三位数是（ **120** ）。
二. 判断：
（1）2、7是质因数。（×）
（2）8=2×4，2和4都是8的质因数。（×）
（3）3×7=21是把21分解质因数。（×）
（4）21=3×7是把21分解质因数。（√）
（5）25=5×5×1是把25分解质因数。（×）
（6）48的质因数有（2、3、8）。（×）
（7）把38分解质因数是（38=1×2×19）。（×）
（8）把一个数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。（√）
（9）6×8=48，6和8是48的因数，而不是质因数。（√）
（10）0是自然数。（√）
（11）两个数互质，这两个数一定是质数。（×）
（12）两个数是质数，这两个数一定互质。（√）
（13）1和所有自然数都互质。（√）
（14）一个质数和一个合数不一定互质。（√）
（15）3、8和11不互质。（×）
（16）相邻的两个自然数不互质。（×）
（17）质数就是互质。（×）
（18）a是b的倍数，a与b一定不是互质的。（×）
（19）a是自然数，"a+1"与a一定是互质的。（√）
> （20）a是自然数，"a-1"与a一定是互质的。（√）
>
> （21）两个数有公约数，这两个数不互质。（**×**）
三. 选择正确答案：
（1）不能被2整除的数叫（**③** ）。
①质数。 ②合数。 ③奇数。 ④偶数。
（2）36能被9（ **②** ）。
①除尽。 ②整除。 ③除。
（3）（ **③** ）都是整数。
①全部自然数。 ②质数和合数。 ③自然数和0。
（4）两个奇数的和是（ **②** ）。
①奇数 ②偶数 ③可能是奇数也可能是偶数
四. 求28和42的最大公约数和最小公倍数。
**六年级数学北师大版复习小数、分数、百分数和比同步练习**
（答题时间：40分钟）
一. 判断题，对的打"√"，错的打"×"。
（1）两位小数表示百分之几。（ ）
（2）整数和小数之间的进率都是10。（ ）
（3）两个分数，分子相同，分数单位大的分数，分数值就大。（ ）
（4）自然数都比小数大。（ ）
（5）两位小数都比一位小数大。（ ）
（6）在小数点的末尾去掉0或者添上0，小数的大小不变。（ ）
（7）把4米长的铁线分成5份，每份是全长的1/5。（ ）
（8）假分数的分子都比分母大。（ ）
二. 选择题，将正确答案的题号填入括号内。
（1）下面的数中，一个零也不读出来的数是（）
①8054 ②8500 ③8005 ④8504
（2）100个0.001是（ ）
①0.1 ②100 ③0.01 ④1
（3）在下面的几个数中，最大的是（ ），最小的是（ ）
①0.5088 ②0.5008 ③0.58 ④0.508
（4）一个数的小数点向左移动一位后，再向右移动三位，结果是原数的（ ）
①10倍 ②100倍 ③1000倍 ④1/100
（5）6.96保留一位小数是（ ）
①6.9 ②7 ③6.0 ④7.0
（6）一个整数四舍五入到万位约是10万，这个数最大是（ ）
①104999 ②105000 ③104000 ④99999
（7）如果2/5的分子加上4，要使分数大小不变，分母应该加上（ ）
①4 ②5 ③6 ④10
（8）下面四种数中，倒数比本身大的数是（ ）
①带分数 ②假分数 ③真分数 ④小数
三. 填空题
（1）写出两个比0.4大而比0.5小的小数是（ ）和（ ）。
（2）一个数，是由5个十、6个十分之一、25个百分之一组成的，这个数写成小数是（ ），计数单位是（ ），包含有（ ）个这样的计数单位；如果写成分数是（ ），分数单位是（ ），包含有（ ）个这样的分数单位。
（3）3/5这个分数表示的意义是（ ）按分数与除法关系表示的意义是（ ）
（4）男生人数是女生的4/5，这个分数表示的意义是（ ）。
（5）实际比计划节约20%，这个百分数表示的意义是（ ）
（6）（ ）÷10=2/5=（ ）/20=16/（ ）=（ ）成=（ ）%
（7）3/2×（ ）=3/4÷（ **3/4** ）=（ ）+1/3=1
四. 计算，怎样简便就怎样计算。
①×（×） ②+ × +
③42× －14 × ④（36+）÷12
⑤× + ×
五. 应用题
1\. 一种录像机，现在每台售价3120元，比原来降低了1680元。这种录像机是按几折出售的？
2\. 妈妈把节余的1500元存入银行，定期一年，年利率是2.25%，一年后，妈妈到银行取钱，应缴纳20%的利息税，应纳税多少元？纳税后，妈妈共取回多少元？
3\. 一种皮鞋打八折出售，顾客买一双皮鞋可以少花45元。这种皮鞋现价多少元？
4\. 一块稻田去年收水稻820吨，预计今年可以增产二成五。这块稻田预计今年收水稻多少吨?
**【试题答案】**
一. 判断题，对的打"√"，错的打"×"。
（1）两位小数表示百分之几。（**√**）
（2）整数和小数之间的进率都是10。（**×**）
（3）两个分数，分子相同，分数单位大的分数，分数值就大。(**√**)
（4）自然数都比小数大。（**×**）
（5）两位小数都比一位小数大。（**×**）
（6）在小数点的末尾去掉0或者添上0，小数的大小不变。（**×**）
（7）把4米长的铁线分成5份，每份是全长的1/5。（**×**）
（8）假分数的分子都比分母大。（**×**）
二. 选择题，将正确答案的题号填入括号内。
（1）下面的数中，一个零也不读出来的数是（**②**）
①8054 ②8500 ③8005 ④8504
（2）100个0.001是 （ **①** ）
①0.1 ②100 ③0.01 ④1
（3）在下面的几个数中，最大的是（**③**），最小的是（ **②** ）
①0.5088 ②0.5008 ③0.58 ④0.508
（4）一个数的小数点向左移动一位后，再向右移动三位，结果是原数的（ **②** ）
①10倍 ②100倍 ③1000倍 ④1/100
（5）6.96保留一位小数是（ **④** ）
①6.9 ②7 ③6.0 ④7.0
（6）一个整数四舍五入到万位约是10万，这个数最大是（ **①** ）
①104999 ②105000 ③104000 ④99999
（7）如果2/5的分子加上4，要使分数大小不变，分母应该加上（ **④** ）
①4 ②5 ③6 ④10
（8）下面四种数中，倒数比本身大的数是（ **③** ）
①带分数 ②假分数 ③真分数 ④小数
三. 填空题
（1）写出两个比0.4大而比0.5小的小数是（ **0.45** ）和（ **0.47** ）。
（2）一个数，是由5个十、6个十分之一、25个百分之一组成的，这个数写成小数是（ **50.85** ），计数单位是（**0.01** ），包含有（ **5085** ）个这样的计数单位；如果写成分数是（ ），分数单位是（ ），包含有（ **1017** ）个这样的分数单位。
（3）3/5这个分数表示的意义是（ **把单位"1" 平均分成5份，表示这样3份的数。**）按分数与除法关系表示的意义是（**把3平均分成5份，表示这样1份的数。** ）
（4）男生人数是女生的4/5，这个分数表示的意义是（**女生人数是单位"1"，把女生人数平均分成5份，男生人数占这样的4份。** ）。
（5）实际比计划节约20%，这个百分数表示的意义是（ **实际比计划少用 20%，是计划的 80%** ）
（6）（ **4** ）÷10=2/5=（ **8** ）/20=16/（ **40** ）=（ **4** ）成=（ **40** ）%
（7）3/2×（ **2/3** ）=3/4÷（ **3/4** ）=（**2/3** ）+1/3=1
> 四. 计算，怎样简便就怎样计算。
>
> ①×（×） ②+ × +
>
> **=×× =++**
>
> **= =**
③42× －14 × ④（36+）÷12
**=（42－14）× =36÷12+÷ 12**
**=28× = 3+**
**=12 =3**
⑤× + ×
=+
=
> 五. 应用题
>
> 1\. 一种录像机，现在每台售价3120元，比原来降低了1680元。这种录像机是按几折出售的？
**3120+1680=4800（元）**
**3120÷4800=65%**
**答：这种录像机是按65折出售的。**
2\. 妈妈把节余的1500元存入银行，定期一年，年利率是2.25%，一年后，妈妈到银行取钱，应缴纳20%的利息税，应纳税多少元？纳税后，妈妈共取回多少元？
**1500×2.25%×20%=6.75（元）**
**1500×2.25%×80%+1500=1527（元）**
**答：应纳税6.75元，纳税后，妈妈共取回1527元。**
3\. 一种皮鞋打八折出售，顾客买一双皮鞋可以少花45元。这种皮鞋现价多少元？
**45÷（1－80%）=225（元）**
**225－45=180（元）**
**答：这种皮鞋现价180元。**
4\. 一块稻田去年收水稻820吨，预计今年可以增产二成五。这块稻田预计今年收水稻多少吨?
**820×（1+25%）**
**=820×1.25**
**=1025（吨）**
**答：这块稻田预计今年收水稻1025吨。**
**六年级数学北师大版复习估算、计算以及应用同步练习**
（答题时间：30分钟）
一、计算，能简算的简算
1497＋1068÷89 3.5×0.8＋2.1 × ＋ ×
2.6×3.5＋7.4×3.5 305×1.6－329.3 ×＋×
÷〔（－ ）×〕
二、应用题
1、学生参加搬砖劳动，6人搬砖162块，照这样计算，再增加432块，需要学生多少人？
2、一捆铅丝重520克，剪下20米，这捆铅丝少了130克，这捆铅丝还剩多少米？
**3、运来一批纸装订成练习本，每本36页，可订40本，若每本30页，可订多少本？**
4、五、六年级共有200名学生。五年级人数的25%和六年级的11名学生参加了新年联欢晚会，这时两个年级剩下的人数正好相等。五年级有多少名学生？
**【试题答案】**
一、计算，能简算的简算
1497＋1068÷89 3.5×0.8＋2.1 × ＋ ×
**＝1497＋12 ＝2.8＋2.1 ＝（＋ ）×**
**＝1509 ＝4.9 ＝1×**
**＝**
2.6×3.5＋7.4×3.5 305×1.6－329.3 ×＋×
**＝（2.6＋7.4）×3.5 ＝305×2×0.8－329.3 ＝×（＋）**
**＝10×3.5 ＝488－329.3 ＝×1**
**＝35 ＝158.7 ＝**
÷〔（－ ）×〕
**＝÷〔×〕**
**＝÷**
**＝7**
二、应用题
**1、学生参加搬砖劳动，6人搬砖162块，照这样计算，再增加432块，需要学生多少人？**
**162÷6＝27（块） 432÷27＝16（人） 6＋16＝22（人）**
**答：需要学生22人。**
2、一捆铅丝重520克，剪下20米，这捆铅丝少了130克，这捆铅丝还剩多少米？
**520－130＝390（克）**
**390÷130＝3**
**20×3＝60（米）**
**答：这捆铅丝还剩60米。**
3、运来一批纸装订成练习本，每本36页，可订40本，若每本30页，可订多少本？
**36×40＝1440（页）**
**1440÷30＝48（本）**
**答：可订48本。**
4、五、六年级共有200名学生。五年级人数的25%和六年级的11名学生参加了新年联欢晚会，这时两个年级剩下的人数正好相等。五年级有多少名学生？
**1－25%＝75%**
**1＋75%＝175%**
**200－11＝189（人）**
**189÷175%＝108（人）**
**答：五年级有108名学生。**
**六年级数学北师大版复习方程同步练习**
（答题时间：40分钟）
一、填空
（ ）叫方程
（ ）叫方程的解
（ ）叫解方程
二、用字母表示数的含义
A、洗衣机厂每日生产b台洗衣机，30天生产多少台？
B、农机厂运进380件农具，又运走a件，一共有多少件？
C、农机厂有380件农具，又运进a件，一共有多少件？
D、b支铅笔a元，每支多少元？
三、运用有关定律 在下面\[ \]中填适当的数或字母
（7.2＋x）＋12.8＝\[ \]＋（\[ \]＋\[ \]）
173＋9.6＋b＋0.4＝（\[ \]＋\[ \]）＋\[ \]＋\[ \]
（4＋x）×250＝\[ \]×\[ \]＋\[ \]×\[ \]
7.5×a＋b×7.5＝\[ \]×（\[ \]+\[ \]）
四、判断正误
a^2^ ＝a×2 （ ） 2x＝x×x （ ） m×m×m＝3m （ ）
> a＋b＋c＝b＋（a＋c）（ ） a×b×c＝（a×c）×（b×c）
>
> （ ） a×b×c＝（a×c）×b （ ）
6＋x＝17是方程（ ）
3－2x＋6是方程（ ）
7x＝35是方程 （ ）
8x＋9\<35是方程 （ ）
x＋15×2＝70 x＝40是这个方程的解（ ）
五、解方程
1、4x＋35＝115
2、9x＋7x＝320
六、列方程解文字叙述题
1、一个数的4倍减去18和4.5的积，差是56，求这个数。
2、一个数的1.5倍加上它的2倍等于21，求这个数。
七、列方程解应用题
1、学校田径队有145人，比科技小组的人数的3倍还多19人，学校的科技小组有多少人?
2、老师比小明大30岁，老师的岁数是小明的4倍，老师和小明各多少岁?
**【试题答案】**
一、填空
（**含有未知数的等式**）叫方程
（**使方程左右两边相等的未知数的值**）叫方程的解
（**求方程解的过程**）叫解方程
二、用字母表示数的含义
A、洗衣机厂每日生产b台洗衣机，30天生产多少台？
**30b台**
B、农机厂运进380件农具，又运走a件，一共有多少件？
**（380－a）件**
C、农机厂有380件农具，又运进a件，一共有多少件？
**（380＋a）件**
D、b支铅笔a元，每支多少元？
**（a÷b）元**
三、运用有关定律 在下面\[ \]中填适当的数或字母
（7.2＋x）＋12.8＝**\[x\]＋（\[7.2\]＋\[ 12.8\]）**
173＋9.6＋b＋0.4＝**（\[9.6\]＋\[0.4\]）＋\[173\]＋\[ b\]**
（4＋x）×250＝**\[4\]×\[250\]＋\[ x\]×\[250\]**
7.5×a＋b×7.5＝**\[7.5\]×（\[a\]＋\[b\]）**
四、判断正误
a^2^ ＝a×2 （**×**） 2x＝x×x （**×**） m×m×m＝3m （**×**）
> a＋b＋c＝b＋（a＋c） （ **√** ） a×b×c＝（a×c）×（b×c） （**×**）
>
> a×b×c＝（a×c）×b （**√**）
6＋x＝17是方程（**√**）
3－2x＋6是方程（**×**）
7x＝35是方程 （**√**）
8x＋9\<35是方程 （**×**）
x＋15×2＝70， x＝40是这个方程的解（**√**）
五、解方程
1、4x＋35＝115
**解： 4x＋35＝115 把4x看成一个数**
**4x＝115－35**
**4x＝80**
**x＝80÷4**
**x＝20**
**检验：把x＝20代入原方程，左边4×20＋35＝115，和右边相等 x＝20是原方程的解**
2、9x＋7x＝320
**解：9x＋7x＝320**
**16x＝320**
**x＝320÷16**
**x＝20**
**检验：把x＝20代入原方程，左边9×20＋7×20＝320 和右边相等，x＝20是原方程的解**
六、列方程解文字叙述题
1、一个数的 4倍减去18和4.5的积的差是56，求这个数
**解：设这个数为x**
**4x－18×4.5＝56**
** 4x－81＝56**
** 4x＝56＋81**
**4x＝137**
**x＝137÷4**
**x＝34.25**
2、一个数的1.5倍加上它的2倍等于21，求这个数
**解： 设这个数为x**
**1.5 x＋2 x＝21**
**3.5 x＝21**
**x＝ 6**
七、列方程解应用题
1、学校田径队有145人，比科技小组的人数的3倍还多19人，学校的科技小组有多少人?
**分析： 科技小组的3倍＋19＝田径队145人**
**解： 设科技小组有x人。**
**3x＋19＝145**
**3x＝145－19**
**3x＝126**
**x＝42**
**答：科技小组有42人。**
2、老师比小明大30岁，老师的岁数是小明的4倍，老师和小明各多少岁?
**分析：等量关系： 老师比小明大30岁**
**解： 设小明为x岁，老师为4x岁。**
**4x－x＝30**
**3x＝30**
**x＝10**
**4x＝4×10＝40**
**答：老师40岁，小明10岁。**
**六年级数学北师大版比和比例的复习同步练习**
（答题时间：60分钟）
一、填空
1\. 甲数是乙数的3倍，甲数与乙数的比是（ ）：（ ）。
2\. 2A＝B，那么A：B＝（ ）：（ ）。
3\. 20厘米：80米＝1：（ ）
4\. 图上距离是实际距离的，这幅图的比例尺是（ ）。
5\. a:b＝2:3，a和b成（ ）比例。
6\. 完成一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要8小时，甲与乙的工作效率的比是（ ）。
7\. 如果3x＝4y，那么x：y＝（ ）：（ ）。
8\. 4：16＝（ ）：32＝2：（ ）＝（ ）：（ ）。
9\. 用18的约数组成比值最大的比例式是（ ）。
10\. 在一个比例式中，两个比的比值都是4，这个比例式的内项分别是3.5和2，这个比例式应该是（ ）或（ ）。
11\. 甲数和乙数的和是12.5，甲数（不等于0）除以乙数所得的商与甲数的比是2：5，那么甲数和乙数的差是（ ）。
12\. 有长方形和正方形两种不同的纸板（正方形的边长和长方形的宽一样长），正方形纸板数与长方形纸板数之比为2：5。现在用这些纸板拼成一些长方体无盖纸盒（即每个纸盒只用5块板），可以拼成两种纸盒，恰好用完全部的纸板，这两种纸盒的个数比是（ ）。
二、判断：对的打√，错的打×。
1\. 如果2A＝3B，那么A：B＝2：3。（ ）
2\. 一个比例，两个外项的积和两个内项的积的比是1：1。（ ）
3\. 如果A：B＝C：D，那么＝1。（ ）
4\. 两个加数的和一定，这两个加数成反比例。（ ）
三、选择（把正确答案的字母填在括号里）
1\. 总产量一定，日产量和天数（ ）
A．不成比例 B．成正比例 Ｃ．成反比例
2\. 把线段比例尺改写成数字比例尺是（ ）
A. B． C．
3\. 用12的4个约数组成的比例是（ ）
A. 1：3＝2：6 B. 1：4＝3：12
C. 1×12＝3×4 D. 12：1＝6：2
4\. 甲、乙的平均数是40，丙是30，丙数与三个数的和的最简整数比是（ ）。
A. 3：11 B. 3：7 C. 11：3 D. 3：4
四、解比例
：＝x：3 5.2：x＝6.5：13
五、解答应用题
1\. 一个操场的长是200米，宽是100米，在比例尺是的平面图上，长和宽各应画多少厘米？（并画出图，标上比例尺）
2\. 一辆汽车从甲地开往乙地，用2小时行完了全程的。照这样的速度继续行驶，还需要多少小时才能到达乙地？
3\. 一种农药，用药液和水按照1：1500配制而成。现在只备有540千克的水，要配制这种农药，需要多少千克药液？
4\. 甲乙二人共同完成242个机器零件。甲做一个零件要6分钟，乙做一个零件要5分钟。完成这批零件时，两人各做了多少个零件？
5\. 一支工程队铺一段铁路，原计划每天铺3．2千米，实际每天比原计划多铺25%，实际铺完这段路用了12天。原计划用多少天才能铺完？
6\. 两个平行四边形A、B重叠在一起，重叠部分的面积是A的，是B的 。已知A的面积是12平方厘米。求B比A的面积多多少平方厘米？
> 
7\. 某厂女工人数与全厂人数的比是3：4，若男、女工人各增加60人，这时女工与全厂人数的比是2：3，原来全厂共有多少人？
8\. 吴老师购买了一套新房，下面是这套房的平面图。
> （比例尺1：200）
（1）量得平面图中客厅的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米（得数保留整厘米数）。
（2）客厅的实际面积是（ ）平方米。
（3）如果把客厅的地面铺上边长是0．5米的正方形瓷砖，至少需要（ ）块瓷砖。
**【试题答案】**
一、填空
1、甲数是乙数的3倍，甲数与乙数的比是（ **3** ）：（ **1** ）。
2、2A＝B，那么A：B＝（ **1** ）：（ **2** ）。
3、20厘米：80米＝1：（ **400** ）
4、图上距离是实际距离的，这幅图的比例尺是（）。
5、a:b＝2:3，a和b成（ **正** ）比例。
6、完成一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要8小时，甲与乙的工作效率的比是（**4：3**）。
7、如果3x＝4y，那么x：y＝（ **4** ）：（ **3** ）。
8、4：16＝（ **8** ）：32＝2：（ **8** ）＝（ **1** ）：（ **4** ）。
9、用18的约数组成比值最大的比例式是（ **9：1＝18：2** ）。
10、在一个比例式中，两个比的比值都是4，这个比例式的内项分别是3.5和2，这个比例式应该是（**14：3.5＝2：0.5** ）或（**8：2＝3.5：0.875**）。
11、甲数和乙数的和是12.5，甲数（不等于0）除以乙数所得的商与甲数的比是2：5，那么甲数和乙数的差是（ **7.5** ）。
12、有长方形和正方形两种不同的纸板（正方形的边长和长方形的宽一样长），正方形纸板数与长方形纸板数之比为2：5。现在用这些纸板拼成一些长方体无盖纸盒（即每个纸盒只用5块板），可以拼成两种纸盒，恰好用完全部的纸板，这两种纸盒的个数比是（**3：4**）。
二、判断：对的打√，错的打×。
1、如果2A＝3B，那么A：B＝2：3。（ **×** ）
2、一个比例，两个外项的积和两个内项的积的比是1：1。（ **√** ）
3、如果A：B＝C：D，那么＝1。（ **√** ）
4、两个加数的和一定，这两个加数成反比例。（ **×** ）
三、选择（把正确答案的字母填在括号里）
1、总产量一定，日产量和天数（ **C** ）
A、不成比例 B、成正比例 C、成反比例
2、把线段比例尺改写成数字比例尺是（ **C** ）
A、 B、 C、
3、用12的4个约数组成的比例是（ **A、B** ）
A、1：3＝2：6 B、1：4＝3：12
C、1×12＝3×4 D、12：1＝6：2
4、甲、乙的平均数是40，丙是30，丙数与三个数的和的最简整数比是（ **A** ）。
A、3：11 B、3：7 C、11：3 D、3：4
> 四、解比例
：＝x：3 5.2：x＝6.5：13
**解：x＝1 解：6.5x＝13×5.2**
**x＝ x＝10.4**
五、解答应用题
1、一个操场的长是200米，宽是100米，在比例尺是的平面图上，长和宽各应画多少厘米？（并画出图，标上比例尺）
**200米＝20000厘米 100米＝10000厘米**
> **20000×＝4（厘米）**
>
> **10000×＝2（厘米）**
>
> **答：长和宽各应画4厘米、2厘米。**
2、一辆汽车从甲地开往乙地，用2小时行完了全程的。照这样的速度继续行驶，还需要多少小时才能到达乙地？
> **（1－）÷（÷）**
>
> **＝÷**
>
> **＝（时）**
>
> **答：还需要小时才能到达乙地。**
3、一种农药，用药液和水按照1：1500配制而成。现在只备有540千克的水，要配制这种农药，需要多少千克药液？
**540×＝0.36（千克）**
> **答：需要0.36千克药液。**
4、甲乙二人共同完成242个机器零件。甲做一个零件要6分钟，乙做一个零件要5分钟。完成这批零件时，两人各做了多少个零件？
> **6＋5＝11**
>
> **242×＝132（个）**
>
> **242－132＝110（个）**
>
> **答：甲做110个零件， 乙做132个零件。**
5、一支工程队铺一段铁路，原计划每天铺3．2千米，实际每天比原计划多铺25%，实际铺完这段路用了12天。原计划用多少天才能铺完？
**〔3.2×（1＋25%）×12〕÷3.2**
**＝48÷3.2**
> **＝15（天）**
>
> **答：原计划用15天才能铺完。**
6、两个平行四边形A、B重叠在一起，重叠部分的面积是A的，是B的 。已知A的面积是12平方厘米。求B比A的面积多多少平方厘米？
**12×÷－12**
> **＝18－12**
>
> **＝6（平方厘米）**
>
> **答：B比A的面积多6平方厘米。**
7、某厂女工人数与全厂人数的比是3：4，若男、女工人各增加60人，这时女工与全厂人数的比是2：3，原来全厂共有多少人？
**解：设：原来全厂共有4x人。**
**（3x＋60）：（4x＋60×2）＝2：3**
**9x＋180＝8x＋240**
**9x－8x＝240－180**
> **4x＝240**
>
> **x＝60**
**答：原来全厂共有240人。**
8、吴老师购买了一套新房，下面是这套房的平面图。
> （比例尺1：200）
（1）量得平面图中客厅的长是（ **4** ）厘米，宽是（ **2** ）厘米（得数保留整厘米数）。
（2）客厅的实际面积是（ **32** ）平方米。
（3）如果把客厅的地面铺上边长是0．5米的正方形瓷砖，至少需要（ **128** ）块瓷砖。
**六年级数学北师大版线和角的复习同步练习**
（答题时间：30分钟）
一、活用概念，正确填空．
1、通过两点，可以画（ ）条直线；通过一点可以画（ ）条射线．
2、两条直线相交，组成的4个角中，如果有一个角是直角，其余3个角应是（ ）；如果有一个角是锐角，那么其余3个角中必定有（ ）个锐角，（ ）个钝角．
二、仔细推敲，准确判断．（对的在括号里打"√"，错的打"×"）
1、用放大镜看45度的角，这个角就增大．（ ）
2、不相交的两条直线叫做平行线． （ ）
3、大于90度的角是钝角． （ ）
三、反复比较，精挑细选．（选择正确答案的序号填入括号）
1、有一条长5厘米的（ ）．
（A）直线 （B）线段 （C）射线 （D）线
2、用直尺把两点连接起来，就得到一条（ ）．
（A）直线 （B）垂线 （C）射线 （D）线段
3、在整3点时，时钟的时针和分针成（ ）度的角．
（A）30 （B）60 （C）90 （D）180
四、想一想，画一画．
1、画一条长3厘米的线段．
2、如下图，过C点分别画直线AB的平行线、垂线．
3、用一副三角板分别画出75度和105度的角．
五、探索题．
在同一平面内，过两点可以画l条直线，如果任意三点都不在同一条直线上，那么：
（1）平面上有3个点，可以画多少条直线？
（2）平面上有4个点，可以画多少条直线？
（3）平面上有5个点，可以画多少条直线？
（4）请找出一般规律，再求出当平面上有100个点时，可以画出多少条直线？
**【试题答案】**
一、活用概念，正确填空．
1、通过两点，可以画（ **1** ）条直线；通过一点可以画（**无数**）条射线．
2、两条直线相交，组成的4个角中，如果有一个角是直角，其余3个角应是（**直角**）；如果有一个角是锐角，那么其余3个角中必定有（ **1** ）个锐角，（ **2** ）个钝角．
二、仔细推敲，准确判断．（对的在括号里打"√"，错的打"×"）
1、用放大镜看45度的角，这个角就增大．（ **×** ）
2、不相交的两条直线叫做平行线． （ **×** ）
3、大于90度的角是钝角． （ **×** ）
三、反复比较，精挑细选．（选择正确答案的序号填入括号）
1、有一条长5厘米的（ **B** ）．
（A）直线 （B）线段 （C）射线 （ **D** ）线
2、用直尺把两点连接起来，就得到一条（ **D** ）．
（A）直线 （B）垂线 （C）射线 （D）线段
3、在整3点时，时钟的时针和分针成（ **C** ）度的角．
（A）30 （B）60 （C）90 （D）180
四、想一想，画一画．
1、画一条长3厘米的线段．
2、如下图，过C点分别画直线AB的平行线、垂线．
3、用一副三角板分别画出75度和105度的角．
五、探索题．
在同一平面内，过两点可以画l条直线，如果任意三点都不在同一条直线上，那么：
（1）平面上有3个点，可以画多少条直线？
（2）平面上有4个点，可以画多少条直线？
（3）平面上有5个点，可以画多少条直线？
（4）请找出一般规律，再求出当平面上有100个点时，可以画出多少条直线？
**方法一：**
**2＋1=3（条）**
**3＋2＋1=6（条）**
**4＋3＋2＋1=10（条）**
**（n－1）＋（n－2）＋...＋1**
**99＋98＋97＋...＋1=（99＋1）×99÷2=4950（条）**
**方法二：组合法**
**C= P÷P=（100×99）÷（2×1）=9900÷2=4950（条）**
**答：平面上有3个点，可以画3条直线，**
**平面上有4个点，可以画6条直线，**
**平面上有5个点，可以画10条直线，**
**规律：（n－1）＋（n－2）＋...＋1**
**平面上有100个点时，可以画出4950条直线．**
**下册总复习------平面图形同步练习**
**六年级数学北师大版复习立体图形同步练习**
（答题时间：40分钟）
一、正确填空
1、一个圆柱体底面半径是5厘米，高是8厘米，沿它的高剪开，得到的侧面展开图是（ ）形，展开的侧面积是（ ）平方厘米．
2、一个长50米，宽40米，深3米的蓄水池占地（ ）公顷，这个蓄水池容水（ ）立方米．
3、一个圆柱和一个圆锥，它们的底面半径相等，圆柱的高是圆锥高的3倍．如果圆锥的体积是2立方米，圆柱的体积是（ ）立方米．
4、一个圆柱体表面积60平方厘米，底面积15平方厘米，把2个这样的圆柱体拼成一个大圆柱体，这个大圆柱的表面积是（ ）平方厘米．
二、准确判断．（对的在括号里打"√"，错的打"×"）
1、圆锥体的体积是圆柱体的体积的三分之一．（ ）
2、正方体的棱长扩大2倍，它的体积就扩大8倍．（ ）
3、把圆柱的侧面展开是一个长方形，也可能是一个正方形．（ ）
三、精挑细选（选择正确的答案序号填入括号）
1、一个棱长6分米的正方体，它的表面积和体积（ ）
（A）不能比大小 （B）同样大 （C）体积大于表面积
2、一个圆柱和一个圆锥的体积相等，高也相等，这个圆柱和圆锥的底面积比是（ ）
（A）1：3 （B）3：1 （C）1：1 （D）无法确定
3、长方体和正方体都是由（ ）围成的立体图形．
（A）平面 （B）曲面 （C）线段
4、把直径2厘米，高4厘米的圆柱体木棒截成两个小圆柱体，表面积增加了（ ）平方厘米．
（A）16 （B）3.14 （C）8 （D）6.28
四、解决问题．
1、把一个长8厘米，宽和高都是4厘米的长方体木料截成两个正方体，表面积比原来增加多少平方厘米？
2、做一个棱长0.5米的无盖正方体油箱，至少需要多大的铁皮？这个油箱能装汽油多少千克？（每升汽油重0.8千克）
3、一个圆柱的侧面展开图是正方形．这个圆柱的高是6.28分米，体积是多少立方分米？
4、一个圆锥形小麦堆，底面周长是12.56米，高1.5米，每立方米小麦约重750千克，这堆小麦约重多少千克？
**【试题答案】**
一、正确填空
1、一个圆柱体底面半径是5厘米，高是8厘米，沿它的高剪开，得到的侧面展开图是（**长方**）形，展开的侧面积是（**251.2**）平方厘米．
2、一个长50米，宽40米，深3米的蓄水池占地（**0.2**）公顷，这个蓄水池容水（**6000**）立方米．
3、一个圆柱和一个圆锥，它们的底面半径相等，圆柱的高是圆锥高的3倍．如果圆锥的体积是2立方米，圆柱的体积是（**18**）立方米．
4、一个圆柱体表面积60平方厘米，底面积15平方厘米，把2个这样的圆柱体拼成一个大圆柱体，这个大圆柱的表面积是（**90**）平方厘米．
二、准确判断．（对的在括号里打"√"，错的打"×"）
1、圆锥体的体积是圆柱体的体积的三分之一．（**×**）
2、正方体的棱长扩大2倍，它的体积就扩大8倍．（**√**）
3、把圆柱的侧面展开是一个长方形，也可能是一个正方形．（**√**）
三、精挑细选（选择正确的答案序号填入括号）
1、一个棱长6分米的正方体，它的表面积和体积（**A**）
（A）不能比大小 （B）同样大 （C）体积大于表面积
2、一个圆柱和一个圆锥的体积相等，高也相等，这个圆柱和圆锥的底面积比是（**A**）
（A）1：3 （B）3：1 （C）1：1 （D）无法确定
3、长方体和正方体都是由（**A**）围成的立体图形．
（A）平面 （B）曲面 （C）线段
4、把直径2厘米，高4厘米的圆柱体木棒截成两个小圆柱体，表面积增加了（**D**）平方厘米．
（A）16 （B）3.14 （C）8 （D）6.28
四、解决问题．
1、把一个长8厘米，宽和高都是4厘米的长方体木料截成两个正方体，表面积比原来增加多少平方厘米？
**4×4×2＝32（平方厘米）**
2、做一个棱长0.5米的无盖正方体油箱，至少需要多大的铁皮？这个油箱能装汽油多少千克？（每升汽油重0.8千克）
**0.5×0.5×5＝1.25（平方米）**
**0.5×0.5×0.5＝0.125（立方米）＝125（立方分米）＝125（升）**
**125×0.8＝100（千克）**
3、一个圆柱的侧面展开图是正方形．这个圆柱的高是6．28分米，体积是多少立方分米？
**6.28÷3.14÷2＝1（分米）**
**1×1×3.14×6.28＝19.7192（立方分米）**
4、一个圆锥形小麦堆，底面周长是12.56米，高1.5米，每立方米小麦约重750干克，这堆小麦约重多少千克？
**12.56÷3.14÷2＝2（米）**
**2×2×3.14×1.5÷3＝6.28（立方米）**
**6.28×750＝4710（千克）**
**六年级数学北师大版复习统计与概率同步练习**
（答题时间：30分钟）
一、活用概念，正确填空。
1、在收集数据时，我们常用画（ ）字的方法. 常见的统计图有（ ）.
2、在一幅条形统计图中，用1.5厘米长的直条表示9吨，用（ ）厘米长的直条表示24吨.
二、仔细推敲，准确判断。（对的在括号里打"√"，错的打"×"）
1、一个身高1.2米的小孩掉进一个平均深度是1米的池塘中，肯定不会有危险. （ ）
2、制作条形统计图和折线统计图都是用一个单位长度表示一定的数量. （ ）
三、反复比较，精挑细选（选择正确答案的序号填入括号）
1、某地区要反映2002～2005年降水量的上升和下降的情况，应绘制（ ）统计图.
（A）条形 （B）扇形 （C）折线 （D）三种都行
2、随意从放4个红球和1个黑球的口袋中，摸出一个球，摸到（ ）的可能性大.
（A）红球 （B）黑球 （C）无法确定
四、解决问题
1、小强所在班级的学生平均身高是1.5米，小明所在班级的学生平均身高是1.4米，小强一定比小明高吗？
2、一名射手射击的命中成功率为50％，已知该射手已经进行了两次射击，用"中"与"不中"来表示试验的结果，其对应的全部可能性有哪些？
3、现在有男生600人，女生400人. 每人将一枚硬币向上抛出，然后让它自由落下，那么，面向上的个数大约占总数的百分之几？
4、看图、填表、分析计算
（1）将折线统计图上的数据填入统计表。
（2）服装公司每季度的平均产值是（ ）万元.
（3）第四季度的产值比第三季度增长（ ）％.
（4）你还能提出什么问题？
5、下面的折线统计图表示的是小亮骑自行车从8时到10时，由甲地到乙地行驶的路程。
（1）小亮是几时从甲地出发？几时到达乙地？甲乙两地的路程是多少千米？
（2）小亮从甲地到乙地的平均速度是多少千米？
**【试题答案】**
一、活用概念，正确填空。
1、在收集数据时，我们常用画（**正**）字的方法. 常见的统计图有（**条形统计图、折线统计图、扇形统计图**）.
2、在一幅条形统计图中，用1.5厘米长的直条表示9吨，用（ **4** ）厘米长的直条表示24吨.
二、仔细推敲，准确判断。（对的在括号里打"√"，错的打"×"）
1、一个身高1. 2米的小孩掉进一个平均深度是1米的池塘中，肯定不会有危险. （**×**）
2、制作条形统计图和折线统计图都是用一个单位长度表示一定的数量. （**√**）
三、反复比较，精挑细选（选择正确答案的序号填入括号）
1、某地区要反映2002～2005年降水量的上升和下降的情况，应绘制（**C**）统计图.
（A）条形 （B）扇形 （C）折线 （D）三种都行
2、随意从放4个红球和1个黑球的口袋中，摸出一个球，摸到（**A**）的可能性大.
（A）红球 （B）黑球 （C）无法确定
四、解决问题
1、小强所在班级的学生平均身高是1.5米，小明所在班级的学生平均身高是1.4米，小强一定比小明高吗？
**小强不一定比小明高**
2、一名射手射击的命中成功率为50％，已知该射手已经进行了两次射击，用"中"与"不中"来表示试验的结果，其对应的全部可能性有哪些？
**有四种：1.全中2.全不中3.第一次中第二次不中4.第一次不中第二次中**
3、现在有男生600人，女生400人. 每人将一枚硬币向上抛出，然后让它自由落下，那么，面向上的个数大约占总数的百分之几？
**1÷2＝50%**
**答：面向上的个数大约占总数的50%。**
4、看图、填表、分析计算
（1）将折线统计图上的数据填入统计表。
-------------- --------- --------- --------- --------- ---------
季度 一 二 三 四 合计
产值（万元） **140** **220** **200** **280** **840**
-------------- --------- --------- --------- --------- ---------
（2）服装公司每季度的平均产值是（**210**）万元.
840÷4＝210（万元）
（3）第四季度的产值比第三季度增长（40）％.
**（280－200）÷200＝40%**
（4）你还能提出什么问题？
**第三季度产值占总产值的百分之多少？**
5、下面的折线统计图表示的是小亮骑自行车从8时到10时，由甲地到乙地行驶的路程。
（1）小亮是几时从甲地出发？几时到达乙地？甲乙两地的路程是多少千米？
**答：小亮是8时从甲地出发？10时到达乙地？甲乙两地的路程是30千米。**
（2）小亮从甲地到乙地的平均速度是多少千米？
**30÷2＝15（千米）**
**答：小亮从甲地到乙地的平均速度是每小时15千米.**
**六年级数学北师大版小学毕业数学试卷**
（答题时间：90分钟）
一、填空
（1）我国最大的岛屿是台湾岛，面积三万五千七百六十平方千米，写作（ ）平方千米，省略"万"后面的尾数约是（ ）万平方千米。
（2）每天课间操时间是20分，合（ ）时，一桶油2.5升，合（ ）毫升。
（3）0.65里面有（ ）个0.01；里面有（ ）个。
（4）用含有字母的式子表示比a的5倍多1.2的数是（ ）。
（5）在2、265%和2.605这三个数中，最小的数是（ ），最大的数是（ ）。
（6）：化成最简单的整数比是（ ），比值是（ ）。
（7）一个长方形的长8厘米，宽4厘米，把它分成两个完全一样的正方形，每个正方形的周长是（ ）厘米。
（8）能同时被2、3、5整除的最小四位数是（ ）。
（9）一条路已经修的和未修的路的比是12：13，已经修了全路的（ ）%
（10）用一些长3厘米，宽2厘米的小长方形摆成下图第一层的周长是10厘米。第二层的周长是16厘米，第三层的周长是22厘米，根据这个规律下去，第五层的周长是（ ）厘米。第（ ）层的周长是52厘米。
（11）小明在做计算题时错把5.4×（☆＋4.8）算成了5.4×☆＋4.8，结果和正确的答案相差（ ）。
（12）如图，六个正方形重叠着放在桌面上，连结点正好是正方形的中心。每个小正方形的边长是a。下图的周长是（ ）。
二、选择题：把正确答案的字母填在括号里。
（1）单价一定，总价和数量（ ）。
A. 成正比例关系 B. 成反比例关系 C. 不成比例
（2）一台冰箱的高度是1.8（ ）。
A. 厘米 B. 分米 C.米
（3）六年级有132名学生，今天全部出勤，出勤率（ ）。
A. 100% B. 132% C.无法计算
（4）方程8χ－7.3＝1.5的解是χ＝ （ ）。
A. 8.8 B. 1.1 C. 0.725
（5）一个长方体的长、宽、高分别是a分米，b分米，h分米，如果高增加3分米，那么新长方体表面积比原来增加了（ ）平方分米。
A. h+3 B．（a＋b）×3 C．（a＋b）×6
**三、**计算下面各题，能简算的要简算。
（1）103×78－2824 （2）16.7－3.78－6.22
（3）÷（+） （4）÷〔4×（－ ）〕
四、看图填空：
**下面的折线统计图表示的是小亮和小明骑自行车从8时到11之间时，由甲地到乙地行驶的路程。**
（1）8：30时小明行了（ ）千米，小亮行了（ ）千米。
（2）（ ）在途中休息了（ ）分钟。
（3）（ ）时两人行的路程相同，是（ ）千米。
（4）（ ）比（ ）早到达终点，早（ ）分钟。
（5）小亮的平均速度是每小时（ ）千米。
五、解答下列各题。
（1）红星小学全校共有学生1050人，其中六年级学生人数与其他5个年级总人数的比是1：4，六年级有多少人？
（2）一部手机原价1920元，现进行促销活动，打八折出售，这种手机现价是多少元？
（3）一项工程，甲单独干4天完成，乙单独干6天完成，若甲、乙同时合做，几天完成全部工程的？
（4）下图正方形的周长是16厘米。求图中阴影部分的面积。
（5）下图中每个小正方形的面积是1平方厘米，请你在图中画一个平行四边形和一个梯形，使它们的面积分别是三角形面积的3倍
（6）如图直角△ABC的两条直角边BC长6厘米、AB长是8厘米，如果分别以BC边、AB边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥体积比是几比几？
（7）某旅游公司组织去长城旅游的收费标准如下：
学校组织一些老师去长城参观共付旅游费1674元，请你算一算学校共有多少名老师去参观？
**【试题答案】**
一、填空
（1）我国最大的岛屿是台湾岛，面积三万五千七百六十平方千米，写作（**35760**）平方千米，省略"万"后面的尾数约是（**4**）万平方千米。
（2）每天课间操时间是20分，合（）时，一桶油2.5升，合（**2500**）毫升。
（3）0.65里面有（**65**）个0.01；里面有（**5**）个。
（4）用含有字母的式子表示比a的5倍多1.2的数是（**5a+1.2**）。
（5）在2、265%和2.605这三个数中，最小的数是（**2.605**），最大的数是（**265%**）。
（6）：化成最简单的整数比是（**3:16**），比值是（）。
（7）一个长方形的长8厘米，宽4厘米，把它分成两个完全一样的正方形，每个正方形的周长是（**16**）厘米。
（8）能同时被2、3、5整除的最小四位数是（**1020**）。
（9）一条路已经修的和未修的路的比是12：13，已经修了全路的（**48**）%
（10）用一些长3厘米，宽2厘米的小长方形摆成下图第一层的周长是10厘米。第二层的周长是16厘米，第三层的周长是22厘米，根据这个规律下去，第五层的周长是（**34**）厘米。第（**8**）层的周长是52厘米。
（11）小明在做计算题时错把5.4×（**☆＋4.8**）算成了5.4×☆＋4.8，结果和正确的答案相差（**21.12**）。
（12）如图，六个正方形重叠着放在桌面上，连结点正好是正方形的中心。每个小正方形的边长是a。下图的周长是（**14a**）。
二、选择题：把正确答案的字母填在括号里。
（1）单价一定，总价和数量（**A**）。
A. 成正比例关系 B. 成反比例关系 C. 不成比例
（2）一台冰箱的高度是1.8（**C**）。
A. 厘米 B. 分米 C.米
（3）六年级有132名学生，今天全部出勤，出勤率（**A**）。
A. 100% B. 132% C.无法计算
（4）方程8χ－7.3＝1.5的解是χ＝ （**B**）
A. 8.8 B. 1.1 C. 0.725
（5）一个长方体的长、宽分别是a分米 ，b分米 ，h分米 ，如果高增加3分米，那么新长方体表面积比原来增加了（**C**）平方分米。
A. h+3 B. （a＋b）×3 C. （a＋b）×6
**三、**计算下面各题，能简算的要简算。
（1）103×78－2824 （2）16.7－3.78－6.22
**＝（100+3）×78－2824 ＝16.7－（3.78+6.22）**
**＝5210 ＝16.7－10＝6.7**
（3）÷（+） （4）÷〔4×（－ ）〕
**＝÷ ＝ ÷〔4×0.1〕**
**＝ 1 ＝**
四、看图填空：
**下面的折线统计图表示的是小亮和小明骑自行车从8时到11之间时，由甲地到乙地行驶的路程。**
（1）8：30时小明行了（**15**）千米，小亮行了（**10**）千米。
（2）（**小明**）在途中休息了（**30**）分钟。
（3）（**9：30**）时两人行的路程相同，是（**20**）千米。
（4）（**小明**）比（**小亮**）早到达终点，早（**30**）分钟。
（5）小亮的平均速度是每小时（**16**）千米。
五、解答下列各题。
（1）红星小学全校共有学生1050人，其中六年级学生人数与其他5个年级总人数的比是1：4，六年级有多少人？
**1+4＝5**
**1050×＝210（人）**
（2）一部手机原价1920元，现进行促销活动，打八折出售，这种手机现价是多少元？
**1920×80%＝1536（元）**
（3）一项工程，甲单独干4天完成，乙单独干6天完成，若甲、乙同时合做，几天完成全部工程的？
÷（+）
＝（天）
（4）下图正方形的周长是16厘米。求图中阴影部分的面积。
**16÷4＝4（厘米）**
**4×4－（4÷2）^2^×3.14＝3.44（平方厘米）**
（5）下图中每个小正方形的面积是1平方厘米，请你在图中画一个平行四边形和一个梯形，使它们的面积分别是三角形面积的3倍
（6）如图直角△ABC的两条直角边BC长6厘米、AB长是8厘米，如果分别以BC边、AB边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥体积比是几比几？
（8^2^×6×3.14×）：（6^2^×8×3.14×）＝8：6＝4：3
（7）某旅游公司组织去长城旅游的收费标准如下：
学校组织一些老师去长城参观共付旅游费1674元，请你算一算学校共有多少名老师去参观？
**（1674－180×3）÷（180×90%）+3**
**＝1134÷162+3**
**＝7+3**
**＝10（名）**
| 1 | |
**《辨认方向》同步练习**
**一、复习**
**1. 上学期，我们学过那些表示方向的词吗？ （ ）（ ）（ ）（ ）**
**2. 如果是在地图上，我们怎样辨别方向呢？ （ ）（ ）（ ）（ ）**
3\.
**体育馆在学校的 [ ]{.underline} 面，商场在学校的 [ ]{.underline} 面，**
**医院在学校的 [ ]{.underline} 面，邮局在学校的 [ ]{.underline} 面。**
4．自制方向板
**二、小组合作。**
1、你从图中知道了哪些信息？要解决什么问题？怎样解决？
2、列式并计算。
三、小组学习。
1、在小组内说说你列的算式。
1、动物园既不在学校的东面也不在学校的北面在东面和北面之间，我们说动物园在学校的（东北面）
照这样填一填：\[来源:学。科。网\]
图书馆在学校的（ ）方向、少年宫在学校的（ ）方向、电影院在学校的（ ）方向。
反过来说一说：
学校在图书馆的（ ）方向、学校在少年宫的（ ）方向、学校在电影院的（ ）方向。
2，游戏
**三、分层测试。**
基础练习：
**1、帮小动物找家:**
**小猫家在学校的东北面,小狗家在学校的西南面,小鸡家在学校的南面,小羊家在学校的东南面,小鸭家在学校的北面,小兔家在学校的西北面.小牛家在学校的东面.小马家在学校的西面。**
2.根据要求要表格里画上对应的图形。\[来源:学.科.网\]
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★\[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\]
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（1）★的西北方画□； （2）★的东南方画●；
（3）★的西南方画○； （4）△画在□的南面；
**\[来源:学科网ZXXK\]**
**参考答案：**
**一、复习**
**1. （前 ）（后 ）（ 左 ）（ 右 ）**
**2. （ 东 ）（ 南 ）（ 西 ）（ 北 ）**
3\.
**体育馆在学校的 [北]{.underline} 面，商场在学校的 [南]{.underline} 面，**
**医院在学校的 [西]{.underline} 面，邮局在学校的 [东]{.underline} 面。**
4．自制方向板
**二、小组合作。\[来源:Z+xx+k.Com\]**
1、你从图中知道了哪些信息？要解决什么问题？怎样解决？
2、列式并计算。
三、小组学习。
1、在小组内说说你列的算式。
1、动物园既不在学校的东面也不在学校的北面在东面和北面之间，我们说动物园在学校的（东北面）
照这样填一填：
图书馆在学校的（ 西北 ）方向、少年宫在学校的（ 西南 ）方向、电影院在学校的（ 东南 ）方向。
反过来说一说：
学校在图书馆的（ 东南 ）方向、学校在少年宫的（ 东北 ）方向、学校在电影院的（ 西北 ）方向。
2，游戏
**三、分层测试。**
基础练习：
**1、帮小动物找家:**
**小猫家在学校的东北面,小狗家在学校的西南面,小鸡家在学校的南面,小羊家在学校的东南面,小鸭家在学校的北面,小兔家在学校的西北面.小牛家在学校的东面.小马家在学校的西面。**
**小鸭**
**小兔 小猫**
小马 小牛
小狗 小羊
小鸡
2.根据要求要表格里画上对应的图形。
--- --- --
□
△ ★
○ ●
--- --- --
| 1 | |
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）**
**化学试卷**
**可能用到的原子量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 S 32**
**Cl 35.5 K 39 Ca 40 Mn 55 Fe 56 Pt 195**
**第Ⅰ卷 选择题（共70分）**
**一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分。每小题只有1个选项符合题意）**
1．铋（Bi）在医药方面有重要应用。下列关于Bi和Bi的说法正确的是
A．Bi和Bi都含有83个中子
B．Bi和Bi互为同位素
C．Bi和Bi的核外电子数不同
D．Bi和Bi分别含有126和127个质子
2．下列可用于测定溶液pH且精确度最高的是
A．酸碱指示剂
B．pH计
C．精密pH试纸
D．广泛pH试纸
3．下列叙述正确的是
A．48gO~3~气体含有6.02×10^23^个O~3~分子
B．常温常压下，4.6gNO~2~气体含有1.81×10^23^个NO~2~分子
C．0.5mol·L^－^1CuCl2溶液中含有3.01×10^23^个Cu^2＋^
D．标准状况下，33.6LH~2~O含有9.03×10^23^个H~2~O分子
4．许多国家十分重视海水资源的综合利用。不需要化学变化就能够从海水中获得的物质是
A．氯、溴、碘
B．钠、镁、铝
C．烧碱、氢气
D．食盐、淡水
5．氯气是一种重要的工业原料。工业上利用反应在3Cl~2~＋2NH~3~＝N~2~＋6HCl检查氯气管道是否漏气。下列说法错误的是
A．若管道漏气遇氨就会产生白烟
B．该反应利用了Cl~2~的强氧化性
C．该反应属于复分解反应
D．生成1molN~2~有6mol电子转移
6．下列说法正确的是
A．硅材料广泛用于光纤通讯
B．工艺师利用盐酸刻蚀石英制作艺术品
C．水晶项链和餐桌上的瓷盘都是硅酸盐制品
D．粗硅制备单晶硅不涉及氧化还原反应
7．下列说法中正确的是
A．石油裂解可以得到氯乙烯
B．油脂水解可得到氨基酸和甘油
C．所有烷烃和蛋白质中都存在碳碳单键
D．淀粉和纤维素的组成都是（C~6~H~10~O~5~）~n~，水解最终产物都是葡萄糖
8．下列符合化学实验"绿色化"的有：
①在萃取操作的演示实验中，将CCl~4~萃取溴水改为CCl~4~萃取碘水
②在铜和浓硝酸反应的实验中，将铜片改为可调节高度的铜丝
③将实验室的废酸液和废碱液中和后再排放
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
9．科学家近年来研制出一种新型细菌燃料电池，利用细菌将有机物转化为氢气，氢气进入以磷酸为电解质的燃料电池发电。电池负极反应为：
A．H~2~＋2OH^－^＝2H~2~O＋2e^－^
B．O~2~＋4H^＋^＋4e^－^＝2H~2~O
C．H~2~＝2H^＋^＋2e^－^
D．O~2~＋2H~2~O＋4e^－^＝4OH^－^
10．下列实验操作完全正确的是
------ -------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------
编号 实验 操作
A 钠与水反应 用镊子从煤油中取出金属钠，切下绿豆大小的钠，小心放入装满水的烧杯中
B 配制一定浓度的氯化钾溶液1000mL 准确称取氯化钾固体，放入到1000ml的容量瓶中，加水溶解，振荡摇匀，定容
C 排除碱式滴定管尖嘴部分的气泡 将胶管弯曲使玻璃尖嘴斜向上，用两指捏住胶管，轻轻挤压玻璃珠，使溶液从尖嘴流出
D 取出分液漏斗中所需的上层液体 下层液体从分液漏斗下端管口入出，关闭活塞，换一个接收容器，上层液体继续从分液漏斗下端管口放出
------ -------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------
**二、选择题（本题包括10小题，每小题4分，共40分。每小题有一个或两个选项符合题意。若正确答案包括两个选项，只选一个且正确的得2分，但只要选错一个就得0分）**
11．下列化学反应的离子方程式正确的是
A．用小苏打治疗胃酸过多：HCO~3~^－^＋H^＋^＝CO~2~↑＋H~2~O
B．往碳酸镁中滴加稀盐酸：CO~3~^2－^＋2H^＋^＝CO~2~↑＋H~2~O
C．往氨水中滴加氯化铝：Al^3＋^＋4OH^－^＝AlO~2~^－^＋2H~2~O
D．氢氧化钡溶液与稀硫酸反应：Ba^2＋^＋SO~4~^2－^＋H^＋^＋OH^－^＝BaSO~4~↓＋H~2~O
12．为了避免青铜器生成铜绿，以下方法正确的是
A．将青铜器放在银质托盘上
B．将青铜器保存在干燥的环境中
C．将青铜器保存在潮湿的空气中
D．在青铜器的表面覆盖一层防渗的高分子膜
13．顺式Pt（NH~3~）~2~Cl~2~（式量为300）是临床广泛使用的抗肿瘤药物。下列有关该物质的说法中正确的是
A．由4种元素组成
B．含有NH~3~分子
C．Pt的化合价为＋4
D．Pt元素的质量百分含量为65%
14．将V~1~mL1.0mol·L^-1^ HCl溶液和V~2~mL未知浓度的NaOH溶液混合均匀后测量并记录溶液温度，实验结果如右图所示（实验中始终保持V~1~＋V~2~＝50mL）。下列叙述正确的是
A．做该实验时环境温度为22℃
B．该实验表明化学能可能转化为热能
C．NaOH溶液的浓度约为1.0mol/L·L^-1^
D．该实验表明有水生成的反应都是放热反应
15．下列各溶液中，微粒的物质的量浓度关系正确的是
A．0.1mol·L^-1^ Na~2~CO~3~溶液：*c*（OH^－^）＝*c*（HCO~3~^－^）＋*c*（H^＋^）＋2*c*（H~2~CO~3~）
B．0.1mol·L^-1^NH~4~Cl溶液：*c*（NH~4~^＋^）＝*c*（Cl^－^）
C．向醋酸钠溶液中加入适量醋酸，得到的酸性混合溶液：
*c*（Na^＋^）＞*c*（CH~3~COO^－^）＞*c*（H^＋^）＞*c*（OH^－^）
D．向硝酸钠溶液中滴加稀盐酸得到的pH＝5的混合溶液：*c*（Na^＋^）＝*c*（NO~3~^－^）
16．灰锡（以粉末状存在）和白锡是锡的两种同素异形体。已知：
①Sn（s、白）＋2HCl（aq）＝SnCl~2~（aq）＋H~2~（g） △H~1~
②Sn（s、灰）＋2HCl（aq）＝SnCl~2~（aq）＋H~2~（g） △H~2~
③Sn（s、灰）Sn（s、白） △H~3~＝＋2.1kJ·mol^-1^
下列说法正确的是
A．△H~1~＞△H~2~
B．锡在常温下以灰锡状态存在
C．灰锡转化为白锡的反应是放热反应
D．锡制器皿长期处于低于13.2℃的环境中，会自行毁坏
17．短周期元素X、Y、Z的原子序数依次递增，其原子的最外层电子数之和为13。X与Y、Z位于相邻周期，Z原子最外层电子数是X原子内层电子数的3倍或者Y原子最外层电子数的3倍。下列说法正确的是
A．X的氢化物溶于水显酸性
B．Y的氧化物是离子化合物
C．Z的氢化物的水溶液在空气中存放不易变质
D．X和Z的最高价氧化物对应的水化物都是弱酸
18．下述实验能达到预期目的的是
------ ------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------
编号 实验内容 实验目的
A 将SO~2~通入酸性KMnO~4~溶液中 证明SO~2~具有氧化性
B 将Cl~2~通入NaBr溶液中 比较氯与溴的氧化性强弱
C 将铜与浓硝酸反应生成的气体收集后用冰水混合物冷却降温 研究温度对化学平衡的影响
D 分别向2支试管中加入相同体积不同浓度的H~2~O~2~溶液，再向其中1支加入少量MnO~2~ 研究催化剂对H~2~O~2~分解速率的影响
------ ------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------
19．下列说法正确的是
A．硫酸、纯碱、醋酸钠和生石灰分别属于酸、碱、盐和氧化物
B．蔗糖、硫酸钡和水分别属于非电解质、强电解质和弱电解质
C．Mg、Al、Cu可以分别用置换法、直接加热法和电解法冶炼得到
D．天然气、沼气和水煤气分别属于化石能源、可再生能源和二次能源
20．三氧化二镍（Ni~2~O~3~）可用于制造高能电池，其电解法制备过程如下：用NaOH调NiCl~2~溶液pH至7.5，加入适量硫酸钠后进行电解。电解过程中产生的Cl~2~在弱碱性条件下生成ClO^－^，把二价镍氧化为三价镍。以下说法正确的是
A．可用铁作阳极材料
B．电解过程中阳极附近溶液的pH升高
C．阳极反应方程式为：2Cl^－^－2e^－^＝Cl~2~
D．1mol二价镍全部转化为三价镍时，外电路中通过了1mol电子。
**第Ⅱ卷 非选择题（共80分）**
**三、（本题包括3小题，共29分）**
21．（10分）
以氯化钠和硫酸铵为原料制备氯化铵及副产品硫酸钠，工艺流程如下：
氯化铵和硫酸钠的溶解度随温度变化如上图所示。回答下列问题：
（1）欲制备10.7gNH~4~Cl，理论上需NaCl [ ]{.underline} g。
（2）实验室进行蒸发浓缩用到的主要仪器有 [ ]{.underline} 、烧杯、玻璃棒、酒精灯等。
（3）"冷却结晶"过程中，析出NH~4~Cl晶体的合适温度为 [ ]{.underline} 。
（4）不用其它试剂，检查NH~4~Cl产品是否纯净的方法及操作是 [ ]{.underline} 。
（5）若NH~4~Cl产品中含有硫酸钠杂质，进一步提纯产品的方法是 [ ]{.underline} 。
22．（8分）
"碘钟"实验中，3I^－^＋S~2~O~4~^2－^的反应速率可以用I~3~^－^与加入的淀粉溶液显蓝色的时间t来度量，t越小，反应速率越大。某探究性学习小组在20℃进行实验，得到的数据如下表：
--------------------------- ------- ------- ------- ------- -------
实验编号 ① ② ③ ④ ⑤
c（I^－^）/mol·L^－^ 0.040 0.080 0.080 0.160 0.120
c（SO~4~^2－^）/mol·L^－^ 0.040 0.040 0.080 0.020 0.040
t /s 88.0 44.0 22.0 44.0 t~2~
--------------------------- ------- ------- ------- ------- -------
回答下列问题：
（1）该实验的目的是 [ ]{.underline} 。
（2）显色时间t~2~＝ [ ]{.underline} 。
（3）温度对该反应的反应速率的影响符合一般规律，若在40℃下进行编号③对应浓度的实验，显色时间t~2~的范围为 [ ]{.underline} （填字母）
A．\<22.0s
B．22.0～44.0s
C．＞44.0s
D．数据不足，无法判断
23．（11分）
已知某混合金属粉末中，除铝外还含有铁、铜中的一种或两种，所含金属的量都在5%以上。请设计合理实验探究该混合物金属粉末中铁、铜元素的存在。
仅限选择的仪器和试剂：烧杯、试管、玻璃棒、量筒、容量瓶、滴管、药匙；1mol·L^-1^硫酸、2mol·L^-2^硝酸、2mol·NaOH溶液、20%KSCN溶液。
完成以下实验探究过程：
（1）提出假设：
假设1：该混合金属粉末中除铝外还含有 [ ]{.underline} 元素；
假设2：该混合金属粉末中除铝外还含有 [ ]{.underline} 元素；
假设3：该混合金属粉末中除铝外还含有Fe、Cu元素；
（2）设计实验方案基于假设3，设计出实验方案（不要在答题卡上作答）。
（3）实验过程
根据（2）的实验方案，叙述实验操作、预期现象和结论。
【提示】Ⅰ．在答题卡上按以下方式作答，注意前后内容对应；
Ⅱ．注意文字简洁，确保不超过答题卡空间。
------ ---------- ----------------
编号 实验操作 预期现象和结论
①
②
③
④
------ ---------- ----------------
**四、（本题包括3小题，共32分）**
24．（10分）
二氧化锰是制造锌锰干电池的基本材料。工业上以软锰矿为原料，利用硫酸亚铁制备高纯二氧化锰的流程如下：
某软锰矿的主要成分为MnO~2~，还含有Si（16.72%）、Fe（5.86%）、Al（3.42%）、Zn（2.68%）和Cu（0.86%）等元素的化合物。部分阳离子以氢氧化物或硫化物的形式完全沉淀时溶液的pH见下表，回答下列问题：
-------- ------------- ------------- ------------- ------------- ------------- ------------- --------- ------ ----- -----
沉淀物 Al（OH）~3~ Fe（OH）~3~ Fe（OH）~2~ Mn（OH）~2~ Cu（OH）~2~ Zn（OH）~2~ CuS ZnS MnS FeS
pH 5.2 3.2 9.7 10.4 6.7 8.0 ≥--0.42 ≥2.5 ≥7 ≥7
-------- ------------- ------------- ------------- ------------- ------------- ------------- --------- ------ ----- -----
（1）硫酸亚铁在酸性条件下将MnO~2~还原为MnSO~4~，酸浸时发生的主要反应的化学方程式为 [ ]{.underline} 。
（2）滤渣A的主要成分是 [ ]{.underline} 。
（3）加入MnS的目的是除去 [ ]{.underline} 杂质。
（4）碱性锌锰电池中，MnO~2~参与的电极反应方程式为 [ ]{.underline} 。
（5）从废旧碱性锌锰电池中可以回收利用的物质有 [ ]{.underline} （写出两种）。
25．（10分）
黄铁矿（主要成分为FeS~2~）是工业制取硫酸的重要原料，其煅烧产物为SO~2~和Fe~3~O~4~。
（1）将0.050molSO~2~（g）和0.030molO~2~（g）放入容积为1L的密闭容器中，反应：2SO~2~（g）＋O~2~（g）2SO~3~（g）在一定条件下达到平衡，测得c（SO~3~）＝0.040mol·L^-3^。计算该条件下反应的平衡常数K和SO~2~的平衡转化率（写出计算过程）。
（2）已知上述反应是放热反应，当该反应处于平衡状态时，在体积不变的条件下，下列措施中有利于提高SO~2~平衡转化率的有 [ ]{.underline} （填字母）
A．升高温度
B．降低温度
C．增大压强
D．减小压强
E．加入催化剂
G．移出氧气
（3）SO~2~尾气用饱和Na~2~SO~3~溶液吸收可得到更要的化工原料，反应的化学方程式为\
[ ]{.underline} 。
（4）将黄铁矿的煅烧产物Fe~3~O~4~溶于H~2~SO~4~后，加入铁粉，可制备FeSO~4~。酸溶过程中需保持溶液足够酸性，其原因是 [ ]{.underline} 。
26．（12分）
羟基磷灰石\[Ca~3~（PO~4~）~3~OH\]是一种一种重要的生物无机材料。其常用的制备方法有两种：
方法A：用浓氨水分别调Ca（NO~3~）~2~和（NH~4~）~2~HPO~4~溶液的pH约为12；在剧烈搅拌下，将（NH~4~）~2~HPO~4~溶液缓慢滴入Ca（NO~3~）~2~溶液中。
方法B：剧烈搅拌下，将H~3~PO~4~溶液缓慢滴加到Ca（OH）~2~悬浊液中。
3种钙盐的溶解度随溶液pH的变化如上图所示（图中纵坐标是钙离子浓度的对数），回答下列问题：
（1）完成方法A和方法B中制备Ca~5~（PO~4~）~3~OH的化学反应方程式：
①5Ca（NO~3~）~2~＋3（NH~4~）~2~HPO~4~＋4NH~3~·H~2~O＝Ca~5~（PO~4~）~3~OH↓＋ [ ]{.underline} ＋
②5Ca（OH）~2~＋3H~3~PO~4~＝
（2）与方法A相比，方法B的优点是 [ ]{.underline} 。
（3）方法B中，如果H~3~PO~4~溶液滴加过快，制得的产物不纯，其原因是\
[ ]{.underline} 。
（4）图中所示3种钙盐在人体中最稳定的存在形式是 [ ]{.underline} （填化学式）。
（5）糖沾附在牙齿上，在酶的作用下产生酸性物质，易造成龋齿。结合化学平衡移动原理，分析其原因 [ ]{.underline} 。
**五、（本题包括2小题，9分）**
27．（9分）
克矽平是一种治疗矽肺病的药物，其合成路线如下（反应均在一定条件下进行）：
（1）化合物Ⅰ的某些性质类似苯。例如，化合物Ⅰ可在一定条件下与氢气发生加成反应生成下图所示结构，其反应方程式为 [ ]{.underline} 。
[\
]{.underline}（不要求标出反应条件）
（2）化合物I生成化合物Ⅰ是原子利用率100%的反应，所需另一反应物的分子式为
（3）下列关于化合物Ⅱ和化合物Ⅲ的化学性质，说法正确的是 [ ]{.underline} （填字母）
A．化合物Ⅱ可以与CH~3~COOH发生酯化反应
B．化合物Ⅱ不可以与金属钠生成氢气
C．化合物Ⅲ可以使溴的四氯化碳溶液褪色
D．化合物Ⅲ不可以使酸性高锰酸钾溶液褪色
（4）化合物Ⅲ生成化合物Ⅳ的反应方程式为 [ ]{.underline} （不要求标出反应条件）
（5）用氧化剂氧化化合物Ⅳ生成克矽平和水，则该氧化剂为 [ ]{.underline} 。
**六、选做题（本题包括2小题，每小题10分，考生只能选做一题。28小题为"有机化学基础"内容的试题，29题为"物质结构与性质"内容的试题）**
28．（10分）
已知苯甲醛在一定条件下可以通过Perkin反应生成肉桂酸（产率45～50%），另一个产物A也呈酸性，反应方程式如下：
C~2~H~3~CHO＋（CH~3~CO）~2~O → C~2~H~3~CH＝CHCOOH＋ A
苯甲醛 肉桂酸
（1）Perkin反应合成肉桂酸的反应式中，反应物的物质的量之比为1︰1。产物A的名称是 [ ]{.underline} 。
（2）一定条件下，肉桂酸与乙醇反应生成香料肉桂酸乙酯，其反应方程式为\
[ ]{.underline} （不要求标出反应条件）
（3）取代苯甲醛也能发生Perkin反应，相应产物的产率如下：
------------ ---- ---- ---- ----
取代苯甲醛
产率（%） 15 23 33 0
取代苯甲醛
产率（%） 71 63 52 82
------------ ---- ---- ---- ----
可见，取代氢对Perkin反应的影响有（写出3条即可）：
①\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
②\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
③\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（4）溴苯（C~6~H~5~Br）与丙烯酸乙酯（CH~2~＝CHCOOC~2~H~53~）在氮化钯催化下可直接合成肉桂酸乙酯，该反应属于Heck反应，是环B的一种取代反应，其反应方程式为
（不要求标出反应条件）
（5）Heck反应中，为了促进反应的进行，通常可加入一种显 [ ]{.underline} （填字母）的物质
A．弱酸性
B．弱碱性
C．中性
D．强酸性
29．（10分）
C、S、O、Se是同族元素，该族元素单质及其化合物在材料、医药等方面有重要应用。请回答下列问题：
（1）Ge的原子核外电子排布式为
（2）C、Si、Sa三种元素的单质中，能够形成金属晶体的是
（3）按要求指出下列氧化物的空间构型、成键方式或性质
①CO~2~分子的空间构型及碳氧之间的成键方式 [ ]{.underline} ；
②SO~2~晶体的空间构型及硅氧之间的成键方式 [ ]{.underline} ；
③已知SnO~2~是离子晶体，写出其主要物理性质 [ ]{.underline} （写出2条即可）
（4）CO可以和很多金属形成配合物，如Ni（CO）~2~，Ni与CO之间的键型为
（5）碳氧键的红外伸缩振动频率与键的强度成正比，已知Ni（CO）~4~中碳氧键的伸缩振动频率为2060cm^－3^，CO分子中碳氧键的伸缩振动频率为2143cm^－2^，则Ni（CO）中碳氧键的强度比CO分子中碳氧键的强度 [ ]{.underline} （填字母）
A．强
B．弱
C．相等
D．无法判断
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**2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的**
1．（5分）已知集合M={x\|﹣1＜x＜3}，N={x\|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣2，3）
2．（5分）若tanα＞0，则（ ）
A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0
3．（5分）设z=+i，则\|z\|=（ ）
A． B． C． D．2
4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（ ）
A．2 B． C． D．1
5．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）•g（x）是偶函数 B．\|f（x）\|•g（x）是奇函数
C．f（x）•\|g（x）\|是奇函数 D．\|f（x）•g（x）\|是奇函数
6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）在函数①y=cos\|2x\|，②y=\|cosx\|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）已知抛物线C：y^2^=x的焦点为F，A（x~0~，y~0~）是C上一点，AF=\|x~0~\|，则x~0~=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
11．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（ ）
A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3
12．（5分）已知函数f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1，若f（x）存在唯一的零点x~0~，且x~0~＞0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分**
13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为[ ]{.underline}．
14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为[ ]{.underline}．
15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是[ ]{.underline}．
16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=[ ]{.underline}m．
**三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤**
17．（12分）已知{a~n~}是递增的等差数列，a~2~，a~4~是方程x^2^﹣5x+6=0的根．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
---------------- ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
质量指标值分组 \[75，85） \[85，95） \[95，105） \[105，115） \[115，125）
频数 6 26 38 22 8
---------------- ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合"质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%"的规定？
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧面BB~1~C~1~C为菱形，B~1~C的中点为O，且AO⊥平面BB~1~C~1~C．
（1）证明：B~1~C⊥AB；
（2）若AC⊥AB~1~，∠CBB~1~=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的高．
20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x^2^+y^2^﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当\|OP\|=\|OM\|时，求l的方程及△POM的面积．
21．（12分）设函数f（x）=alnx+x^2^﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
（1）求b；
（2）若存在x~0~≥1，使得f（x~0~）＜，求a的取值范围．
**请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。【选修4-1：几何证明选讲】**
22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．
（Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
**【选修4-4：坐标系与参数方程】**
23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求\|PA\|的最大值与最小值．
**【选修4-5：不等式选讲】**
24．若a＞0，b＞0，且+=．
（Ⅰ）求a^3^+b^3^的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．
**2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的**
1．（5分）已知集合M={x\|﹣1＜x＜3}，N={x\|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣2，3）
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：M={x\|﹣1＜x＜3}，N={x\|﹣2＜x＜1}，
则M∩N={x\|﹣1＜x＜1}，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）若tanα＞0，则（ ）
A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0
【考点】GC：三角函数值的符号．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．
【解答】解：∵tanα＞0，
∴，
则sin2α=2sinαcosα＞0．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数值的符号，考查了二倍角的正弦公式，是基础题．
3．（5分）设z=+i，则\|z\|=（ ）
A． B． C． D．2
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数．
【分析】先求z，再利用求模的公式求出\|z\|．
【解答】解：z=+i=+i=．
故\|z\|==．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的运算，属于容易题．
4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（ ）
A．2 B． C． D．1
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由双曲线方程找出a，b，c，代入离心率，从而求出a．
【解答】解：由题意，
e===2，
解得，a=1．
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线的定义，属于基础题．
5．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）•g（x）是偶函数 B．\|f（x）\|•g（x）是奇函数
C．f（x）•\|g（x）\|是奇函数 D．\|f（x）•g（x）\|是奇函数
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，
\|f（﹣x）\|•g（﹣x）=\|f（x）\|•g（x）为偶函数，故B错误，
f（﹣x）•\|g（﹣x）\|=﹣f（x）•\|g（x）\|是奇函数，故C正确．
\|f（﹣x）•g（﹣x）\|=\|f（x）•g（x）\|为偶函数，故D错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．
6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（ ）
A． B． C． D．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】利用向量加法的三角形法则，将，分解为+和+的形式，进而根据D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案．
【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，
∴+=（+）+（+）=+=（+）=，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则是解答的关键．
7．（5分）在函数①y=cos\|2x\|，②y=\|cosx\|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
【考点】H1：三角函数的周期性．菁优网版权所有
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】根据三角函数的周期性，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论．
【解答】解：∵函数①y=cos丨2x丨=cos2x，它的最小正周期为 =π，
②y=丨cosx丨的最小正周期为=π，
③y=cos（2x+）的最小正周期为 =π，
④y=tan（2x﹣）的最小正周期为 ，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题．
8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱
【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】由题意画出几何体的图形即可得到选项．
【解答】解：根据网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，
可知几何体如图：几何体是三棱柱．
故选：B．
【点评】本题考查三视图复原几何体的直观图的判断方法，考查空间想象能力．
9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）
A． B． C． D．
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．
【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；
第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；
第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．
不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．
故选：D．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．
10．（5分）已知抛物线C：y^2^=x的焦点为F，A（x~0~，y~0~）是C上一点，AF=\|x~0~\|，则x~0~=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．
【解答】解：抛物线C：y^2^=x的焦点为F，
∵A（x~0~，y~0~）是C上一点，AF=\|x~0~\|，x~0~＞0．
∴=x~0~+，
解得x~0~=1．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．
11．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（ ）
A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣3
【考点】7F：基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】如图所示，当a≥1时，由，解得．当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，同理对a＜1得出．
【解答】解：如图所示，
当a≥1时，由，
解得，y=．
∴．
当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，
∴，化为a^2^+2a﹣15=0，
解得a=3，a=﹣5舍去．
当a＜1时，不符合条件．
故选：B．
【点评】本题考查了线性规划的有关知识、直线的斜率与交点，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1，若f（x）存在唯一的零点x~0~，且x~0~＞0，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】由题意可得f′（x）=3ax^2^﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．
【解答】解：∵f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1，
∴f′（x）=3ax^2^﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；
①当a=0时，f（x）=﹣3x^2^+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x=时，f（x）=ax^3^﹣3x^2^+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（）=﹣3•+1＞0；
故a＜﹣2；
综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D．
【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分**
13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可．
【解答】解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有=6种结果，
其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故本数学书相邻的概率P=．
故答案为：．
【点评】本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件．
14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为[ A ]{.underline}．
【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】5M：推理和证明．
【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．
【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，
再由丙说：我们三人去过同一城市，
则由此可判断乙去过的城市为A．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．
15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是[ x≤8 ]{.underline}．
【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．
【分析】利用分段函数，结合f（x）≤2，解不等式，即可求出使得f（x）≤2成立的x的取值范围．
【解答】解：x＜1时，e^x﹣1^≤2，
∴x≤ln2+1，
∴x＜1；
x≥1时，≤2，
∴x≤8，
∴1≤x≤8，
综上，使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．
故答案为：x≤8．
【点评】本题考查不等式的解法，考查分段函数，考查学生的计算能力，属于基础题．
16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=[ 150 ]{.underline}m．
【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有
【专题】12：应用题；58：解三角形．
【分析】△ABC中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得 AC；△AMC中，由条件利用正弦定理求得AM；Rt△AMN中，根据MN=AM•sin∠MAN，计算求得结果．
【解答】解：△ABC中，∵∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=100，
∴AC==100．
△AMC中，∵∠MAC=75°，∠MCA=60°，
∴∠AMC=45°，由正弦定理可得，解得AM=100．
Rt△AMN中，MN=AM•sin∠MAN=100×sin60°=150（m），
故答案为：150．
【点评】本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题．
**三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤**
17．（12分）已知{a~n~}是递增的等差数列，a~2~，a~4~是方程x^2^﹣5x+6=0的根．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a~2~，a~4~的值，从而解出通项；
（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．
【解答】解：（1）方程x^2^﹣5x+6=0的根为2，3．又{a~n~}是递增的等差数列，
故a~2~=2，a~4~=3，可得2d=1，d=，
故a~n~=2+（n﹣2）×=n+1，
（2）设数列{}的前n项和为S~n~，
S~n~=，①
S~n~=，②
①﹣②得S~n~==，
解得S~n~==2﹣．
【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式．
18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
---------------- ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
质量指标值分组 \[75，85） \[85，95） \[95，105） \[105，115） \[115，125）
频数 6 26 38 22 8
---------------- ------------ ------------ ------------- -------------- --------------
（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合"质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%"的规定？
【考点】B8：频率分布直方图；BC：极差、方差与标准差．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（1）根据频率分布直方图做法画出即可；
（2）用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可．
（3）求出质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值，再和0.8比较即可．
【解答】解：（1）频率分布直方图如图所示：
（2）质量指标的样本平均数为=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100，
质量指标的样本的方差为S^2^=（﹣20）^2^×0.06+（﹣10）^2^×0.26+0×0.38+10^2^×0.22+20^2^×0.08=104，
这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．
（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68，
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合"质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%"的规定．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图，样本平均数和方差，考查了学习的细心的绘图能力和精确的计算能力．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~中，侧面BB~1~C~1~C为菱形，B~1~C的中点为O，且AO⊥平面BB~1~C~1~C．
（1）证明：B~1~C⊥AB；
（2）若AC⊥AB~1~，∠CBB~1~=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的高．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）连接BC~1~，则O为B~1~C与BC~1~的交点，证明B~1~C⊥平面ABO，可得B~1~C⊥AB；
（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，证明△CBB~1~为等边三角形，求出B~1~到平面ABC的距离，即可求三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的高．
【解答】（1）证明：连接BC~1~，则O为B~1~C与BC~1~的交点，
∵侧面BB~1~C~1~C为菱形，
∴BC~1~⊥B~1~C，
∵AO⊥平面BB~1~C~1~C，
∴AO⊥B~1~C，
∵AO∩BC~1~=O，
∴B~1~C⊥平面ABO，
∵AB⊂平面ABO，
∴B~1~C⊥AB；
（2）解：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，
∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，
∴BC⊥平面AOD，
∴OH⊥BC，
∵OH⊥AD，BC∩AD=D，
∴OH⊥平面ABC，
∵∠CBB~1~=60°，
∴△CBB~1~为等边三角形，
∵BC=1，∴OD=，
∵AC⊥AB~1~，∴OA=B~1~C=，
由OH•AD=OD•OA，可得AD==，∴OH=，
∵O为B~1~C的中点，
∴B~1~到平面ABC的距离为，
∴三棱柱ABC﹣A~1~B~1~C~1~的高．
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x^2^+y^2^﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
（1）求M的轨迹方程；
（2）当\|OP\|=\|OM\|时，求l的方程及△POM的面积．
【考点】%H：三角形的面积公式；J3：轨迹方程．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；
（2）设M的轨迹的圆心为N，由\|OP\|=\|OM\|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．
【解答】解：（1）由圆C：x^2^+y^2^﹣8y=0，得x^2^+（y﹣4）^2^=16，
∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．
设M（x，y），则，．
由题意可得：．
即x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0．
整理得：（x﹣1）^2^+（y﹣3）^2^=2．
∴M的轨迹方程是（x﹣1）^2^+（y﹣3）^2^=2．
（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，
由于\|OP\|=\|OM\|，
故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，
从而ON⊥PM．
∵k~ON~=3，
∴直线l的斜率为﹣．
∴直线PM的方程为，即x+3y﹣8=0．
则O到直线l的距离为．
又N到l的距离为，
∴\|PM\|==．
∴．
【点评】本题考查圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．
21．（12分）设函数f（x）=alnx+x^2^﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
（1）求b；
（2）若存在x~0~≥1，使得f（x~0~）＜，求a的取值范围．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；
（2）对a分类讨论：当a时，当a＜1时，当a＞1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：（1）f′（x）=（x＞0），
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+，
∴=．
①当a时，则，
则当x＞1时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴存在x~0~≥1，使得f（x~0~）＜的充要条件是，即，
解得；
②当a＜1时，则，
则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；
当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．
∴存在x~0~≥1，使得f（x~0~）＜的充要条件是，
而=+，不符合题意，应舍去．
③若a＞1时，f（1）=，成立．
综上可得：a的取值范围是．
【点评】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
**请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。【选修4-1：几何证明选讲】**
22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．
（Ⅰ）证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．
【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；5M：推理和证明．
【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；
（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D=∠CBE，
∵CB=CE，
∴∠E=∠CBE，
∴∠D=∠E；
（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，
∴O在直线MN上，
∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，
∴OM⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠A=∠CBE，
∵∠CBE=∠E，
∴∠A=∠E，
由（Ⅰ）知，∠D=∠E，
∴△ADE为等边三角形．
【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
**【选修4-4：坐标系与参数方程】**
23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求\|PA\|的最大值与最小值．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】5S：坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以
sin30°进一步得到\|PA\|，化积后由三角函数的范围求得\|PA\|的最大值与最小值．
【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，
故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．
对于直线l：，
由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．
P到直线l的距离为．
则，其中α为锐角．
当sin（θ+α）=﹣1时，\|PA\|取得最大值，最大值为．
当sin（θ+α）=1时，\|PA\|取得最小值，最小值为．
【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．
**【选修4-5：不等式选讲】**
24．若a＞0，b＞0，且+=．
（Ⅰ）求a^3^+b^3^的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．
【考点】RI：平均值不等式．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a^3^+b^3^的最小值．
（Ⅱ）根据 ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，
∴=+≥2，∴ab≥2，
当且仅当a=b=时取等号．
∵a^3^+b^3^ ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，
∴a^3^+b^3^的最小值为4．
（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．
而由（1）可知，2≥2=4＞6，
故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．
【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．
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北师大版一年级数学下册期中模拟试卷
班级\_\_\_\_\_\_\_\_姓名\_\_\_\_\_\_\_\_成绩\_\_\_\_\_\_\_\_
一、填一填。（13分）
1.按顺序填数。
2.最大的两位数是（ ），最小的两位数是（ ）。
3.5个十和9个一是（ ）。
4.个位上是7，十位上是6，这个数是（ ）。
二、看数画珠子。（4分）
三、哪棵小树长得快？（8分）
四、用竖式算一算。（6分）
36－26 = 46＋33 =
52＋15 = 67－35 =
五、下面的说法对吗？对的画"√"，错的画"×"。（5分）
1.白兔比黑兔少得多。 （ ）
2.黑兔比灰兔少得多。 （ ）
3.灰兔比白兔多得多。 （ ）
4.灰兔比黑兔多一些。 （ ）
5.黑兔与灰兔差不多。 （ ）
六、在○里填"﹥"、"﹤"或"="。（6分）
35＋3○38 40cm○1m
29－20○20 3m○3cm
78－8○70 120cm○2m
七、画一画。（6分）
1.画一条4cm长的线段。
2.在点子格上画一个由 、○、□和△组成的图形。
八、认一认，填一填，涂一涂。（8分）
1.三角形有（ ）个，涂红色。
2.正方形有（ ）个，涂黄色。
3.长方形有（ ）个，涂绿色。
4.圆有（ ）个，涂黑色。
九、小军有一辆小汽车，如下图。（4分）
小军从空中往下看，下面哪幅图是小军看到的？（用"√"表示）
十、采蘑菇。（10分）
1.大兔子和小兔子一共采了多少个蘑菇？
= （个）
2.小兔子比大兔子少采了多少个蘑菇？
= （个）
十一、猜数。（画"√" ）（8分）
十二、填上合适的单位名称。（4分）
1.铅笔长20 [ ]{.underline} 。 2.桌子高75 [ ]{.underline} 。
3.门高2 [ ]{.underline} 。 4.电线杆上的电线长25 [ ]{.underline} 。
十三、长跑比赛。（6分）
参加长跑的动物一共有多少只？
十四、套圈。（12分）
每人投2个圈。
1.小英得了28分，她可能套中了哪两个玩具？
2.小云的得分比小英多1分，小云可能套中了哪两个玩具？
3.小东的得分正好是3个十，小东可能套中了哪些玩具？
期中测试卷的部分答案：
一、1.39 40 42 43 45 46
30 40 60
2.99 10
3.59
4.67
二、
三、22 46 22 69
58 21 85 11
四、10 79 67 32
五、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√
六、= ﹤ ﹤ ﹥ = ﹤
八、3 5 7 6
九、□ □
十、1.26＋3 = 29（个）
2.26－3 = 23（个）
十一、45（√） 98（√）
十二、1.厘米 2.厘米 3.米 4.米
十三、10＋1＋20 = 31（只）
十四、1.布娃娃和鹤（或企鹅和小鹿）
2.熊猫和小鹿（或布娃娃和鸭子）
3.企鹅和鸭子（或熊猫和鹤）
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**2017-2018学年3月开学测四年级**
**译林版 英语（A卷）**
班级：\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 姓名：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 学号：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
1. **根据句意和首字母补全单词。**
1\. Let's m\_\_\_\_\_ a fruit salad.
2\. W\_\_\_\_ you like a cup of tea, Mike?
3\. W\_\_\_\_ are my socks?
4\. They're u\_\_\_\_ the bed.
5\. Can you p\_\_\_\_\_ basketball?
6\. How m\_\_\_\_ oranges do you have?
【答案】1. make 2. Would 3. Where 4. under 5. play 6.many
【解析】1. 让我们做水果沙拉吧。make做。
2\. 你想要杯茶吗？would like想要。
3\. 我的袜子在哪里？Where在哪里。
4\. 它们在床下。under the bed在床下。
5\. 你会打篮球吗？play basketball打篮球。
6.你有多少橙子？orange是可数名词，所以用How many.
**二、选出能表达该图片意义的单词或短语。**
+---------------------------------------------------------+
| A robot B umbrella C hamburger D shoes E a cup of juice |
| |
| F fish G noodles H sandwich I mouth J a cup of coffee |
+---------------------------------------------------------+
    
1.( ) 2.( ) 3.( ) 4.( ) 5.( )
    
6.( ) 7.( ) 8.( ) 9.( ) 10.( )
【答案】1. E；2. J；3.G ；4.H ；5.C ；6.F；7.B；8.D；9.I；10.A
【解析】A.机器人；B.雨伞； C. 汉堡；D.鞋；E.一杯果汁；
F.鱼；G.面条；H.三明治；I.嘴；J.一杯咖啡
**三、读句子，写出与划线单词属同一类的单词。**
1\~5. How many [apples]{.underline} do you have ?
[ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
6\~10. I'd like some [bread.]{.underline}
[ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
11\~15. His hair is [black.]{.underline}
[ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
【答案】1\~5 pear orange banana watermelon grapes
6\~10 hot dog sandwich sweet cake cheese
11\~15 pink blue white green red
【解析】1\~5 划线单词是水果名称，可以写出任意五个水果名称即可。
6\~10 划线单词是主食名称，因此写出任意五种主食名称即可。
11\~15 划线单词是颜色名称，所以写出任意五个颜色词即可。
4. **单项选择。\[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\]**
1.Would you like\_\_\_\_\_ coffee?
A.some B.a C.any
【答案】A
【解析】此句意是：你想要些咖啡吗？Would you like some.....?固定用法。
2.\_\_\_\_ are they? Twenty yuan.
A.How many B.How much C.How
【答案】B
【解析】根据回答Twenty yuan.可知问的是价格，用How much。
3.There is a bed in the \_\_\_\_\_\_.
A.bedroom B.bathroom C.kitchen
【答案】A
【解析】在卧室里有一张床。bedroom卧室，bathroom浴室，kitchen厨房。
4.I don't have \_\_\_\_\_ mangoes.
A.any B.some C.a
【答案】A
【解析】some用于肯定句中，在否定句和疑问句中用any.
5.\--What \_\_\_\_ you like? \--\_\_\_\_\_ like a sandwich.
A.Do; I B.would; I'd C.would; I
【答案】B
【解析】What would you like?你想要什么？回答I'd like...我想要......
6.Her eyes \_\_\_\_\_ small too.
A.is B.am C.are
【答案】C
【解析】此句主语是Her eyes是复数，所以动词用are.
7.He has five \_\_\_\_\_.
A.book B.books C.bookes
【答案】B
【解析】他有五本书，book的复数是books.
8.Is that his bedroom? No, \_\_\_\_\_.\[来源:Z。xx。k.Com\]
A.he isn't B.it isn't C.she isn't
【答案】B
【解析】那是他的卧室吗？主语是that, 所以回答要用No, it isn't.
9. Would you like to go the zoo \_\_\_\_\_\_\_ me?
A. with B. to C. on
【答案】A
【解析】"你愿意和我一起去动物园吗？" 和某人一起用with 。
10.Look at my doll! Her hair is \_\_\_\_\_.
A.big B.short C.small
【答案】B
【解析】看我的娃娃！她的头发很短。在形容头发长短时可用short, long.
**五、用所给词的适当形式填空。**
1. Where \_\_\_\_\_\_ (be) my shoes?
2. He is tall. \_\_\_\_\_\_(He) eyes are big.
3. We have two\_\_\_\_\_\_\_(box).
4. How many \_\_\_\_\_\_(robot) do you have?
5. Look at \_\_\_\_\_\_(that) cats.
6. He \_\_\_\_\_(have) small nose and ears.
7. This is my brother, his eyes \_\_\_\_\_(be) very big.
8. He \_\_\_\_\_(like) fish and milk.
9. They\_\_\_\_\_(play) football in the park now.
10. I'm \_\_\_\_\_\_\_ (visit) Hainan next month.
【答案】1.are 2.His 3.boxes 4.robots 5.those
6.has 7.are 8.likes 9.are playing 10.going to visit
【解析】1.由句中的shoes是复数可判断动词用are.
2.His eyes他的眼睛。用形容词性的物主代词。
3.two boxes两个箱子。
4.How many后跟名词复数，robot的复数是robots.
5.由cats可知要将that变为those.
6.主语是第三人称单数，所以have要变为has.
7.主语his eyes是复数，所以后面动词要用are.
8.主语是第三人称单数，所以like要变为likes.
9.他们现在正在公园里踢足球。此句是现在进行时态，be+现在分词构成，应填are playing.
10.下个月我打算去海南参观。此句是一般将来时态，be going to do sth打算做某事。
**六、补全对话。**
A：Look! I have a new doll and some toy pandas.
B：Oh, they are very lovely. 1\_\_\_\_\_\_\_\_
A：I have sixteen.
B：Do you have any toy pandas, C?
C: 2.\_\_\_\_\_\_\_\_\_
B：What do you have?
C：I have some toy lions. What about you, B?
B：I have many stickers, they're in my bag.
A：Great! I like stickers. 3\_\_\_\_\_\_\_
B：Sure. 4\_\_\_\_\_\_\_\_
A：Thanks.
B：5.\_\_\_\_\_\_\_\_\_
+----------------------------------+
| A. You're welcome. |
| |
| B. How many pandas do you have? |
| |
| C. Can I have one? |
| |
| D. No, I don't like pandas. |
| |
| E. Here you are. |
+----------------------------------+
【答案】1.B 2.D 3.C 4.E 5.A:
【解析】1.根据回答I have sixteen.可知此问句是How many pandas do you have?
2.根据问句Do you have any toy pandas?可判断此句是No, I don't like pandas.
3.根据Sure.可判断此句是Can I have one?
4.根据Thanks.可判断此句是Here you are给你。
5.根据对方说Thanks.可回应You're welcome不客气。
**七、找出下列各句中的错误，将序号填在括号内并在横线上改正。**
（ ）1.He [can]{.underline} [play]{.underline} [the]{.underline} volleyball. [ ]{.underline}
A B C
（ ）2. They [don't]{.underline} go [to]{.underline} school [in]{.underline} Sunday. [ ]{.underline}
A B C
（ ）3. [How much]{.underline} [oranges]{.underline} can you see [in]{.underline} the basket? [ ]{.underline}
A B C
（ ）4. There [are]{.underline} [a little dog]{.underline} and t[wo cars]{.underline} under the tree. [ ]{.underline}
A B C
（ ）5. [Go along]{.underline} the street, and [turn]{.underline} left at [second]{.underline} crossing. \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
A B C
【答案】1. C 去掉the 2. C on 3. A How many 4. A is 5. C the second
【解析】1. 球类前不用定冠词the.
2\. 在星期前用介词on.
3\. orange是可数名词，所以要用How many.
4\. There be结构，动词由There be后的名词决定，a little dog是单数，所以动词用is.
5.在序数词前要加the.
**八、句型转换。**
1.A cow lives on a farm.(改为一般疑问句)
[ ]{.underline} a cow [ ]{.underline} on a farm?
2.The pears are [three yuan.]{.underline}(对划线部分提问)
[ ]{.underline} [ ]{.underline} are the pears ?
3.We want [two]{.underline} watermelons.(对划线部分提问)
[ ]{.underline} [ ]{.underline} watermelons \_\_\_\_ you want?
4.many, you, do, how, have, robots(?) (连词成句)
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_?
5.A tiger lives [in a forest]{.underline}. (对划线部分提问)
[ ]{.underline} \_\_\_\_\_a tiger \_\_\_\_\_\_\_?
6.any, have, bananas, do, you(?)(连词成句)
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_?
【答案】1.Does ...live 2.How much
3.How many; do 4.How many robots do you have?
5.Where does; live 6.Do you have any bananas?
【解析】1.此句为一般现在时第三人称单数，变一般疑问句要加Does ，动词变原形。
2.此句划线部分是three yuan，表价格，用How much.
3.此句划线部分是two,表数量，用How many,另外要借助于助动词do.
4.根据所给的词及标点可判断此句为How many robots do you have?你有多少机器人？
5.此句划线部分是in a forest,表地点，所以提问时要用Where, 另外要借助于助动词does, 后面动词用原形。
6.根据所给的词及标点可判断此句为Do you have any bananas?你有一些香蕉吗？
**九、完形填空。**
1\_\_\_\_ name is Chen Gang. I'm 2\_\_\_\_ Chinese boy. I 3\_\_\_\_twelve. I 4\_\_\_\_ English. I'm in 5\_\_\_\_. I'm in Class Seven, Grade One. My 6\_\_\_ name is Miss Gao. She is a good teacher. 7\_\_\_school I have a friend. 8\_\_\_ name is Ma Qiang.
This is a photo of my 9\_\_\_. That man is my father. 10\_\_ is thirty-nine. The woman is my mother, she is thirty-seven. The girl is my sister. She is ten. That boy is me.
（ ）1.A.I B.My C.Me D.His
（ ）2.A.a B.in C.the D./
（ ）3.A.is B.am C.are D./
（ ）4.A.like B.likes C.look like D.look for
（ ）5.A.No. 1 middle school B.No.1 Middle school
C.No.1 middle School D.No.1 Middle School
（ ）6.A.teachers B.teacher's C.teachers' D.teacher
（ ）7.A.at B.in C.At D.In
（ ）8.A.He B.His C.Her D.she
（ ）9.A.home B.school C.family D.bedroom
（ ）10.A.he B.He C.It's D.It
【答案】1.B 2.A 3.B 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B 9.C 10.B
【解析】1.我的名字My name.
2.我是一个中国男孩，a Chinese boy一个中国男孩。
3.我十二岁了I am twelve.
4\. 我喜欢英语 I like English.\[来源:Zxxk.Com\]
> 5\. No. 1 Middle School第一中学。
>
> 6.My teacher's name我老师的名字。
>
> 7.At school在学校，因在句首，所以第一个字母要大写。
>
> 8.因"马强"是一个男孩的名字，所以要用His.
>
> 9\. 根据后句That man is my father.可知This is a photo of my family.这是我家的一张照片。
>
> 10.他三十九岁了。He做主语，注意第一个字母要大写。\[来源:学科网\]
**十、阅读短文并判断正（T）误（F）。**
Liu Tao: Good morning, Yang Ling.
Yang Ling: Good morning, Liu Tao.
Liu Tao: Look at these toy monkeys on the sofa.
Yang Ling: Wow, how beautiful! Whose are they?
Liu Tao: They are mine(我的).
Yang Ling: How many toy monkeys do you have?
Liu Tao: Thirteen. Do you have any toy animals?
Yang Ling: No, I don't.
Liu Tao: Here's a toy monkey for you.
Yang Ling: Thank you.
Liu Tao: That's all right.
( ) 1. It is in the afternoon.
( ) 2. Liu Tao has twelve toy monkeys.
( ) 3. Yang Ling has some toy animals too.
( ) 4. Liu Tao gives a toy monkey to Yang Ling.
( ) 5. The toy monkeys are on the sofa.
【答案】1. F 2. F 3. F 4. T 5. T
【解析】1. 根据短文中Good morning可知是在上午，故此句是错误的。\[来源:学,科,网\]
2\. 根据短文中How many toy monkeys do you have? Thirteen判断出此句是错误的。
3\. 根据短文中Do you have any toy animals? No, I don't.可判断此句是错误的。
4\. 根据短文中Here's a toy monkey for you."故此句是正确的。
5\. 根据短文中Look at these toy monkeys on the sofa，可判断此句是正确的。
**十一、阅读理解，根据短文的意思，选择最合适的答案。**\
It's seven forty in the morning. The children are coming into the classroom. A girl is opening the windows. Some are laughing and talking. Some are listening to them. Some are reading books. Some are doing their homework.
Miss Gao is standing behind the teacher's desk. She is writing on the blackboard. Sue and Han Mei are wearing their new dresses today. Ann is cleaning her desk. Mike is helping her. They all look happy.
What are Bill and Lin Tao doing? Oh, dear! They are still playing basketball!
( ) 1. The children are \_\_\_\_\_\_. \
A. in the school B. at home.
C. in a boat D. on the hill\
( ) 2. What are the children NOT doing? \
A. Doing their homework B. Writing on the blackboard.
C. Laughing or talking D. Reading books.\
( ) 3. The teacher is \_\_\_\_\_\_. \
A. Han Mei B. Miss Gao C. Sue D. Lin Tao
( ) 4. How many students are not in the classroom? \_\_\_\_\_ . \
A. One B. Two C. Three D. Four\
( ) 5. Which is NOT right? \_\_\_\_\_\_\_\
A. Ann is cleaning blackboard
B. Mike is helping Ann clean her desk.
C. Bill and Lin Tao are still playing basketball...
D. The students all look happy.
【答案】1.A 2.B 3. B 4.B 5.A
【解析】1. 根据短文The children are coming into the classroom可知选A。
2\. 根据短文中A girl is opening the windows. Some are laughing and talking. Some are listening to them. Some are reading books. Some are doing their homework..可知选B。
3\. 根据短文中Miss Gao is standing behind the teacher's desk. 可知选B。
4\. 根据What are Bill and Lin Tao doing? Oh, dear! They are still playing basketball!可知选B。
5\. 根据短文中Ann is cleaning her desk.可知选A。
**十二、以"我的教室"为题，写一篇小短文，不少于60个单词。**
[ ]{.underline}
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【答案】
My Classroom
My classroom is big and bright. It is on the left side on the first floor. There are twenty-five desks and chairs. There is a blackboard on the wall. In front of the blackboard, there is a teacher's desk. There is a blackboard behind the classroom. It is a blackboard newspaper garden. There are four windows and two doors in the wall. A map of China is on the wall. At the corner, there is a shelf. Many books are in the shelf. I like the books very much.
【解析】 用一般现在时描写自己的教室。
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**2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁~U~（M∩N）=（ ）
A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{1，4}
2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（ ）
A．y=（x∈R） B．y=（x≥0） C．y=4x^2^（x∈R） D．y=4x^2^（x≥0）
3．（5分）设向量、满足\|\|=\|\|=1，•=﹣，\|+2\|=（ ）
A．. B． C．、 D．.
4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（ ）
A．17 B．14 C．5 D．3
5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a^2^＞b^2^ D．a^3^＞b^3^
6．（5分）设S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，若a~1~=1，公差d=2，S~k+2~﹣S~k~=24，则k=（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
7．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
A． B．3 C．6 D．9
8．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（ ）
A．2 B． C． D．1
9．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．30种 D．36种
10．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
11．（5分）设两圆C~1~、C~2~都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离\|C~1~C~2~\|=（ ）
A．4 B． C．8 D．
12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（ ）
A．7π B．9π C．11π D．13π
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）（1﹣x）^10^的二项展开式中，x的系数与x^9^的系数之差为：[ ]{.underline}．
14．（5分）已知a∈（π，），tanα=2，则cosα=[ ]{.underline}．
15．（5分）已知正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E为C~1~D~1~的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为[ ]{.underline}．
16．（5分）已知F~1~、F~2~分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F~1~AF~2~的平分线，则\|AF~2~\|=[ ]{.underline}．
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）设等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~，已知a~2~=6，6a~1~+a~3~=30，求a~n~和S~n~．
18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．
19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．
21．（12分）已知函数f（x）=x^3^+3ax^2^+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）
（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=x~0~处取得极小值，x~0~∈（1，3），求a的取值范围．
22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
**2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）**
1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁~U~（M∩N）=（ ）
A．{1，2} B．{2，3} C．{2，4} D．{1，4}
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先根据交集的定义求出M∩N，再依据补集的定义求出∁~U~（M∩N）．
【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则∁~U~（M∩N）={1，4}，
故选：D．
【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集的方法．
2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（ ）
A．y=（x∈R） B．y=（x≥0） C．y=4x^2^（x∈R） D．y=4x^2^（x≥0）
【考点】4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．
【解答】解：∵y=（x≥0），
∴x=，y≥0，
故反函数为y=（x≥0）．
故选：B．
【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．
3．（5分）设向量、满足\|\|=\|\|=1，•=﹣，\|+2\|=（ ）
A．. B． C．、 D．.
【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由\|+2\|==，代入已知可求
【解答】解：∵\|\|=\|\|=1，•=﹣，
\|+2\|===
故选：B．
【点评】本题主要考查了向量的数量积 性质的基本应用，属于基础试题
4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（ ）
A．17 B．14 C．5 D．3
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】我们先画出满足约束条件的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标函数的最值．
【解答】解：约束条件的平面区域如图所示：
由图可知，当x=1，y=1时，目标函数z=2x+3y有最小值为5
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键．
5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a^2^＞b^2^ D．a^3^＞b^3^
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．
【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；
反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，
故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．
6．（5分）设S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，若a~1~=1，公差d=2，S~k+2~﹣S~k~=24，则k=（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先由等差数列前n项和公式求得S~k+2~，S~k~，将S~k+2~﹣S~k~=24转化为关于k的方程求解．
【解答】解：根据题意：
S~k+2~=（k+2）^2^，S~k~=k^2^
∴S~k+2~﹣S~k~=24转化为：
（k+2）^2^﹣k^2^=24
∴k=5
故选：D．
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．
7．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．
【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．
故选：C．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．
8．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（ ）
A．2 B． C． D．1
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得AC⊥CB，△ACB为直角三角形，利用勾股定理可得BC的值；进而在Rt△BCD中，由勾股定理可得CD的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，可得AC⊥面β，
则AC⊥CB，△ACB为Rt△，且AB=2，AC=1，
由勾股定理可得，BC=；
在Rt△BCD中，BC=，BD=1，
由勾股定理可得，CD=；
故选：C．
【点评】本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图形，进而构造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解．
9．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．30种 D．36种
【考点】D3：计数原理的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有C~4~^2^种结果，余下的两个人各有两种选法，共有2×2种结果，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
∵恰有2人选修课程甲，共有C~4~^2^=6种结果，
∴余下的两个人各有两种选法，共有2×2=4种结果，
根据分步计数原理知共有6×4=24种结果
故选：B．
【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这件事一共有几步，每一步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果．
10．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由题意得 =f（﹣ ）=﹣f（），代入已知条件进行运算．
【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），
∴=f（﹣ ）=﹣f（）=﹣2× （1﹣ ）=﹣，
故选：A．
【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．
11．（5分）设两圆C~1~、C~2~都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离\|C~1~C~2~\|=（ ）
A．4 B． C．8 D．
【考点】J1：圆的标准方程．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），（b，b），利用条件可得a和b分别为x^2^﹣10x+17=0 的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离\|C~1~C~2~\|=•的值．
【解答】解：∵两圆C~1~、C~2~都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，
设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a），（b，b），由于两圆都过点（4，1），
则有=\|a\|，\|=\|b\|，
故a和b分别为（x﹣4）^2^+（x﹣1）^2^=x^2^ 的两个实数根，
即a和b分别为x^2^﹣10x+17=0 的两个实数根，∴a+b=10，ab=17，
∴（a﹣b）^2^=（a+b）^2^﹣4ab=32，∴两圆心的距离\|C~1~C~2~\|=•=8，
故选：C．
【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基础题．
12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（ ）
A．7π B．9π C．11π D．13π
【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．
【解答】解：∵圆M的面积为4π
∴圆M的半径为2
根据勾股定理可知OM=
∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N
∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=
∴圆N的半径为
则圆的面积为13π
故选：D．
【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．
**二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）**
13．（5分）（1﹣x）^10^的二项展开式中，x的系数与x^9^的系数之差为：[ 0 ]{.underline}．
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数分别取1；9求出展开式的x的系数与x^9^的系数；求出两个系数的差．
【解答】解：展开式的通项为T~r+1~=（﹣1）^r^C~10~^r^x^r^
所以展开式的x的系数﹣10
x^9^的系数﹣10
x的系数与x^9^的系数之差为（﹣10）﹣（﹣10）=0
故答案为：0
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
14．（5分）已知a∈（π，），tanα=2，则cosα=[ ﹣]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先利用α的范围确定cosα的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系，求得cosα的值．
【解答】解：∵a∈（π，），
∴cosα＜0
∴cosα=﹣=﹣
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．解题的关键是利用那个角的范围确定三角函数符号．
15．（5分）已知正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，E为C~1~D~1~的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合；35：转化思想．
【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果．
【解答】解：连接DE，设AD=2
易知AD∥BC，
∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，
在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3
∴cos∠DAE==，
故答案为：．
【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．
16．（5分）已知F~1~、F~2~分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F~1~AF~2~的平分线，则\|AF~2~\|=[ 6 ]{.underline}．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．
【解答】解：
不妨设A在双曲线的右支上
∵AM为∠F~1~AF~2~的平分线
∴=
又∵\|AF~1~\|﹣\|AF~2~\|=2a=6
解得\|AF~2~\|=6
故答案为6
【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．
**三、解答题（共6小题，满分70分）**
17．（10分）设等比数列{a~n~}的前n项和为S~n~，已知a~2~=6，6a~1~+a~3~=30，求a~n~和S~n~．
【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】设出等比数列的公比为q，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前n项和的公式即可．
【解答】解：设{a~n~}的公比为q，由题意得：
，
解得：或，
当a~1~=3，q=2时：a~n~=3×2^n﹣1^，S~n~=3×（2^n^﹣1）；
当a~1~=2，q=3时：a~n~=2×3^n﹣1^，S~n~=3^n^﹣1．
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．
18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．
【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．
（Ⅱ）利用两角和公式先求得sinA的值，进而利用正弦定理分别求得a和c．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得a^2^+c^2^﹣ac=b^2^，
由余弦定理可得b^2^=a^2^+c^2^﹣2accosB，
故cosB=，B=45°
（Ⅱ）sinA=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=
故a=b×==1+
∴c=b×=2×=
【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用．
19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（I）设该车主购买乙种保险的概率为P，由相互独立事件概率公式可得P（1﹣0.5）=0.3，解可得p，先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案．
（II）该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买，是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率，代入公式得到结果．
【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为p，
根据题意可得p×（1﹣0.5）=0.3，解可得p=0.6，
该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，
由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8
（II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，则该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率P=C~3~^1^×0.2×0.8^2^=0.384．
【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率，考查对立事件的概率公式，是一个综合题目．
20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为
【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，
∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1
∴AD==
∵侧面SAB为等边三角形，AB=2
∴SA=2
∵SD=1
∴AD^2^=SA^2^+SD^2^
∴SD⊥SA
同理：SD⊥SB
∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB
∴SD⊥平面SAB
（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系
则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），
作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）
则
设平面SBC的一个法向量为
则，
即
取x=0，y=，z=1
即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）
又=（0，2，0）
cos＜，＞===
∴＜，＞=arccos
即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin
【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）=x^3^+3ax^2^+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）
（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=x~0~处取得极小值，x~0~∈（1，3），求a的取值范围．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）在x=0处的导数和f（0）的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程；
（Ⅱ）f（x）在x=x~0~处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的a的大致取值范围，然后通过极小值对应的x~0~∈（1，3），解关于a的不等式，从而得出取值范围
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x^2^+6ax+3﹣6a
由f（0）=12a﹣4，f′（0）=3﹣6a，
可得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=（3﹣6a）x+12a﹣4，
当x=2时，y=2（3﹣6a）+12a﹣4=2，可得点（2，2）在切线上
∴曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）
（Ⅱ）由f′（x）=0得
x^2^+2ax+1﹣2a=0...（1）
方程（1）的根的判别式
①当时，函数f（x）没有极小值
②当或时，
由f′（x）=0得
故x~0~=x~2~，由题设可知
（i）当时，不等式没有实数解；
（ii）当时，不等式
化为a+1＜＜a+3，
解得
综合①②，得a的取值范围是
【点评】将字母a看成常数，讨论关于x的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于a的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高．
22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．
【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．
（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．
【解答】证明：（Ⅰ）设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）
椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②
联立方程可得4x^2^﹣2x﹣1=0，
则x~1~+x~2~=，x~1~×x~2~=﹣
则y~1~+y~2~=﹣（x~1~+x~2~）+2=1
设P（p~1~，p~2~），
则有：=（x~1~，y~1~），=（x~2~，y~2~），=（p~1~，p~2~）；
∴+=（x~1~+x~2~，y~1~+y~2~）=（，1）；=（p~1~，p~2~）=﹣（+）=（﹣，﹣1）
∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
设线段AB的中点坐标为（，），即（，），
则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③
∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，
则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；
③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=
③④的交点就是圆心O~1~（﹣，），
r^2^=\|O~1~P\|^2^=（﹣﹣（﹣））^2^+（﹣1﹣）^2^=
故过P Q两点圆的方程为：（x+）^2^+（y﹣）^2^=...⑤，
把y=﹣x+1 ...②代入⑤，
有x~1~+x~2~=，y~1~+y~2~=1
∴A，B也是在圆⑤上的．
∴A、P、B、Q四点在同一圆上．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．
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**小学二年级上册数学奥数知识点讲解第1课《速算与巧算》试题附答案**
一、"凑整"先算
1.计算：（1）24+44+56
（2）53+36+47
2.计算：（1）96+15
（2）52+69
3.计算：（1）63+18+19
（2）28+28+28
二、改变运算顺序：在只有"+"、"-"号的混合算式中，运算顺序可改变
计算：（1）45-18+19
（2）45+18-19
三、计算等差连续数的和
相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：
1，2，3，4，5，6，7，8，9
1，3，5，7，9
2，4，6，8，10
3，6，9，12，15
4，8，12， 16，20等等都是等差连续数.
1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：和=中间数x个数
（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9
（2）计算：1+3+5+7+9
（3）计算：2+4+6+8+10
（4）计算：3+6+9+12+15
（5）计算：4+8+12+16+20
2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：和=（首数+末数）X个数的一般
（1）计算：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
（2）计算：
3+5+7+9+11+13+15+17
（3）计算：
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
四、基准数法
（1）计算：23+20+19+22+18+21
（2）计算：102+100+99+101+98
习题一 1.计算：（1）18+28+72
（2）87+15+13
（3）43+56+17+24
（4）28+44+39+62+56+21
2.计算：（1）98+67
（2）43+28
（3）75+26
3.计算：（1）82-49+18
（2）82-50+49
（3）41-64+29
4.计算：（1）99+98+97+96+95
（2）9+99+999
5.计算：（1）5+6+7+8+9
（2）5+10+15+20+25+30+35
（3）9+18+27+36+45+54
（4）12+14+16+18+20+22+24+26
6.计算：（1）53+49+51+48+52+50
（2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+84
7.计算：1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5
**答案**
一、"凑整"先算 1.计算：（1）24+44+56
（2）53+36+47
解：（1）24+44+56=24+（44+56）
=24+100=124
这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.
（2）53+36+47=53+47+36
=（53+47）+36=100+36=136
这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来.
2.计算：（1）96+15
（2）52+69
解：（1）96+15=96+（4+11）
=（96+4）+11=100+11=111
这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算.
（2）52+69=（21+31）+69
=21+（31+69）=21+100=121
这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算.
3.计算：（1）63+18+19
（2）28+28+28
解：（1）63+18+19
=60+2+1+18+19
=60+（2+18）+（1+19）
=60+20+20=100
这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.
（2）28+28+28
=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6
=30+30+30-6=90-6=84
这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.
二、改变运算顺序：在只有"+"、"-"号的混合算式中，运算顺序可改变
计算：（1）45-18+19
（2）45+18-19
解：（1）45-18+19=45+19-18
=45+（19-18）=45+1=46
这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.
（2）45+18-19=45+（18-19）
=45-1=44
这样想：加18减19的结果就等于减1.
三、计算等差连续数的和
相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：
1，2，3，4，5，6，7，8，9
1，3，5，7，9
2，4，6，8，10
3，6，9，12，15
4，8，12， 16，20等等都是等差连续数.
1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成：和=中间数x个数
（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9
=5×9 中间数是5
=45 共9个数
（2）计算：1+3+5+7+9
=5×5 中间数是5
=25 共有5个数
（3）计算：2+4+6+8+10
=6×5 中间数是6
=30 共有5个数
（4）计算：3+6+9+12+15
=9×5 中间数是9
=45 共有5个数
（5）计算：4+8+12+16+20
=12×5 中间数是12
=60 共有5个数
2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：和=（首数+末数）X个数的一般
（1）计算：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=（1+10）×5=11×5=55
共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.
（2）计算：
3+5+7+9+11+13+15+17
=（3+17）×4=20×4=80
共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.
（3）计算：
2+4+6+8+10+12+14+16+18+20
=（2+20）×5=110
共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.
四、基准数法
（1）计算：23+20+19+22+18+21
解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.
23+20+19+22+18+21
=20×6+3+0-1+2-2+1
=120+3=123
6个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了"3"，所以再加上"3"；19按20计算多加了"1"，所以再减去"1"，以此类推.
（2）计算：102+100+99+101+98
解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算.
102+100+99+101+98
=100×5+2+0-1+1-2=500
方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：（实际上就是把有的加数带有符号搬家）
102+100+99+101+98
=98+99+100+101+102
=100×5=500
可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是5.
习题一 1.计算：（1）18+28+72
（2）87+15+13
（3）43+56+17+24
（4）28+44+39+62+56+21
2.计算：（1）98+67
（2）43+28
（3）75+26
3.计算：（1）82-49+18
（2）82-50+49
（3）41-64+29
4.计算：（1）99+98+97+96+95
（2）9+99+999
5.计算：（1）5+6+7+8+9
（2）5+10+15+20+25+30+35
（3）9+18+27+36+45+54
（4）12+14+16+18+20+22+24+26
6.计算：（1）53+49+51+48+52+50
（2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+84
7.计算：1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5
二年级奥数上册：第一讲 速算与巧算习题解答
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**《拨一拨》同步练习**
> **一、读一读、写一写。**
>
> 长江全长约为6300千米。读作：（ ）
>
> 黄河全长约为5464千米。读作：（ ）
>
> 东方明珠电视塔高468米。读作：（ ）
>
> 长城长大约长8851千米。读作：（ ）
>
> 人民大会堂的宴会厅面积约是7750平方米。读作：（ ）
>
> 东方小学共有学生一千八百五十九人。写作：（ ）
>
> 八百零六。写作：（ ）
>
> 九千零三十。写作：（ ）
>
> 四千八百。写作：（ ）\[来源:Z§xx§k.Com\]
>
> 两千五百。写作：（ ）\[来源:Z.xx.k.Com\]
>
> 九百六十。写作：（ ）
>
> 六千三百零四。写作：（ ）
>
> 一万零二。写作：（ ）
>
> **二、填空。**
>
> （1）207读作（ ）
>
> （2）八百零三 写作：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
>
> （3）375是由（ ）个百（ ）个十和（ ）个一组成的．
>
> （4）九百六十一 写作：\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
>
> （5）从996往后接着数5个数是（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。
>
> （6）最大的三位数是（ ），最小的四位数比最大的三位数多（ ）。
>
> （7）80里面有（ ）个十。
>
> （8）190里面有（ ）个十。
>
> 10个1是（ ）。 10个10是（ ）。
>
> 10个100是（ ）。 10个1000是（ ）。
>
> \[来源:Zxxk.Com\]
>
> 三、在（ ）里填上合适的数。
>
> （1）286＝（ ）＋（ ）＋（ ）
>
> （2）640＝（ ）＋（ ）
>
> 四、判断题（正确的在括号里打"√"，错误的打"×"）。\[来源:学\|科\|网\]
（1）6785是一个四位数。（ ）
（2）3个一，5个十，7个百和4个千组成的数是3574。（ ）
（3）与1019相邻的两个数是1030、1031。（ ）
（4）一个数从右边起，第二位是十位，第四位是千位。（ ）\[来源:学\|科\|网\]
（5）7085这个数中的8表示8个十。（ ）
（6）一个数千位上是6，十位和百位上都是0，个位上是4，这个数是604。（ ）
**参考答案：**
> **一、读一读、写一写。**
>
> （六千三百 ）
>
> （五千四百六十四）
>
> （ 四百六十八 ）
>
> （八千八百五十一 ）
（七千七百五十）
（1859 ）
> （ 806 ）
>
> （9030）
>
> （ 4800 ）
>
> （2500）
>
> （ 960 ）
>
> （ 6304）
（10002）
> **二、填空。**
>
> （1） （二百零七 ）
>
> （2）803
>
> （3） （3 ） （ 7 ） （5 ）
>
> （4）961
>
> （5） （997）、（998）、（999）、（1000）、（1001）
>
> （6） （999） （ 1 ）
>
> （7） （ 8 ）
>
> （8） （ 19 ）
>
> 10个1是（ 10 ）。 10个10是（ 100 ）。
>
> 10个100是（ 1000 ）。 10个1000是（ 10000 ）。
三、在（ ）里填上合适的数。
> （1）286＝（ 200 ）＋（ 80 ）＋（ 6 ）
>
> （2）640＝（ 600 ）＋（ 40 ）
四、判断题（正确的在括号里打"√"，错误的打"×"）。
（1） （ √ ）（2） （ × ）（3） （ × ）（4） （ √ ）（5） （ √ ）（6） （ × ）
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**高考数学选择题专项训练（七）**
1、已知m\>n\>1, 0\<a\<1，下列不等式不成立的是（ ）。
（A）log~m~a\>log~n~a （B）a^m^\>a^n^ （C）a^m^\<a^n^ （D）log~a~m\<log~a~n
2、设函数y＝f (x)是偶函数，则函数y＝af (x)＋x^2^ (a∈R)的图象关于（ ）。
（A）x轴对称 （B）y轴对称
（C）原点对称 （D）直线y＝x对称
3、条件甲：；条件乙：，则甲是乙的（ ）。
（A）充要条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
4、已知函数y＝f (x)的定义域是\[a, b\]，且b\>－a\>0，则函数
F(x)＝f (x)＋f (－x)的定义域是（ ）。
（A）\[a, b\] （B）\[－b, －a\] （C）\[a, －a\] （D）\[－b, b\]
5、设a, b∈R，则不等式a\>b, 同时成立的充分必要条件是（ ）。
（A）a\>b\>0或b\<a\<0 （B）a\>0, b\<0 （C）b\<a\<0 （D）0\<b\<a
6、若0\<a\<1, 0\<b\<1，四个数a＋b, 2, 2ab, a^2^＋b^2^中最大者与最小者分别记为M和m，则（ ）。
（A）M＝a＋b, m＝2ab （B）M＝a2＋b2, m＝2
（C）M＝a＋b, m＝2 （D）M＝a2＋b2, m＝2ab
7、设lg2x－lgx－2＝0的两根是α、β，则log~α~β＋log~β~α等于（ ）。
（A）1 （B）－2 （C）3 （D）－4
8、已知y＝f (x)为偶函数，定义域是(－∞, ＋∞)，它在\[0, ＋∞)上是减函数，那么m＝f (－)与n＝f (a^2^－a＋1) (a∈R)的大小关系是（ ）。
（A）m\>n （B）m≥n （C）m\<n （D）m≤n
9、已知定义在实数集上的函数y＝f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y),
且f (x)不恒等于零，则y＝f (x)是（ ）。
（A）奇函数 （B）偶函数 （C）非奇非偶函数 （D）不能确定
10、已知f (x)＝2\|x\|＋3, g(x)＝4x－5, f \[p(x)\]＝g(x)，则p(3)的值是（ ）。
（A）2 （B）±2 （C）－2 （D）不能确定
11、若\<2，那么x的取值范围是（ ）。
（A）(1, ＋∞) （B）(1, 2)∪(2, ＋∞)
（C）(, 2) （D）(, 2)∪(2, ＋∞)
12、方程\|x\|2－3\|x\|＋2＝0 (x∈R)的根有（ ），
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个
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**题号** **1** **2** **3** **4** **5** **6** **7** **8** **9** **10** **11** **12**
**答案** **B** **B** **C** **C** **B** **A** **D** **B** **A** **B** **D** **A**
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**小学四年级上册数学奥数知识点讲解第3课《定义新运算》试题附答案**
**答案**
四年级奥数上册：第三讲 定义新运算习题解答
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**2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）**
**文综试卷**
**本试卷分**第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共12分。满分240分。考试用时150分钟。考试结束后，将本试卷、答题卡和答题纸一并交回。答卷羊，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答纸规定的位置。
**第Ⅰ卷（必做 共100分）**
注意事项：
1．每小题选 出答案后，用2B铅笔把答 卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不涂在答题卡上，只答在上无效。
2．第Ⅰ卷共25小题，每小题4分，共100分。在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
图1为世界某地区图；读图回答1---2题。
1．关于该地区的地理事物叙述正确的是
A．①处洋流属暖流
B．②处景观为荒漠
C．③处湿地为淡水沼泽
D．④处山顶有终年积雪
2．当太阳直射图中⑤所在纬线时，下列说法正确的是
A．悉尼白昼将继续变长
B．雅典正值多雨季节
C．北京受亚洲低压影响
D．伦敦正午太阳高度达一年中最小值
3．图2为某地地质地貌剖面示意图。读图判断下列叙述正确是
A．①处的地表形态主要是风蚀作用的结果
B．②处的地貌形态主要是由崩塌作用造成的
C．③指示的岩层分解面曾遭受过风化作用
D．④指示的岩层弯曲现象是内外力共同作用的结果
我国既有铁路干线第六次大面提速后，在提速干线上旅客列车最高运行时速达200千米以上，并首次实现了旅客列车追踪间隔5分钟。这标志着我国既有铁路干线提速已经跨入世界先进行列。回答4---5题。
4．这次铁路大提速主要应用到的地理信息技术是
A．地理信息系统
B．遥感技术
C．遥感技术和全球定位系统
D．全球定位系统和地理信息系统
5．根据提速动车组时刻表，乘坐1中哪一车次的旅客到达终点时看到太阳最接近正南方向
表1
---------------- ------------ ------------ -------------- --------------
**动车组车次** **始发站** **终点站** **开车时间** **终到时间**
D21 北京 长春 07：15 13：31
D201 南昌 长沙 08：00 11：15
D584 宝鸡 西安 11：11 12：23
D776 深圳 广州 11：18 12：28
---------------- ------------ ------------ -------------- --------------
注：长春（43°53′N；125°20′E） 长沙（28°11′N;113°00′E）
西安（34°15′N;108°55′E）广州（23°00′N；113°11′E）
A．D21
B．D201
C．D584
D．D776
图3位华北某小城镇略图，读图回答6---7题。
6．该城镇与依托矿产资源，调整工业结构，发展循环经济，你认为最适宜在该城镇布局的工厂是
A．建筑材料厂
B．化肥厂
C．冶炼厂
D．电镀厂
7．随着经济发展和人口的增长，若该城镇规划---处住宅区，你认为较合理的地点是
A．①
B．②
C．③
D．④
8．图4是我国第五此人口普查中四个省份的有官人口数据统计分析图。读图判断①、②、③、④所代表的省份依次是
A．辽宁、江苏、湖北、贵州
B．贵州、湖北、江苏、辽宁
C．江苏、辽宁、贵州、湖北
D．湖北、江苏、辽宁、贵州
14---16世纪，西欧逐渐告别了中世纪，中国仍然在封建道路上缓慢前行。回答9---10题。
> 9．服饰是---个时代政治、经济和思想文化的具体体现。图5到图7是明太祖命制并颁行全国的三种男子帽式，你中得到的确切信息是
>
> 
A．朱元璋关心民众生活
B．朱元璋鼓励发展纺织业
C．明朝激励加强专制皇权
D．明朝百姓服饰都有统一规范
10．马丁·路德说："我们应当让世俗政权在整个基督教世界中执行它的职务，不要加以阻碍。无论什么人，不管他是教皇、主教、传教土，或是修土、修女，世俗权力都有权来管他。该材料反映了马丁·路德
A．倡导人的解放
B．否定基督教
C．宣扬《圣经》精神
D．否定教皇地位
诗歌、图像都是鲜活的历史，它们生动地向我们讲述着社会的变迁。回答11------12题。
11．白居易诗："机梭声札札，牛驴走纭坛，......有财不行商，有相丁不入军。家家守村业，头白不出门。"诗中的描述反映了①男耕女织的自然经济 ②重视农业的观念 ③家庭手工业的发展促进了商品流通 ④安土重迁的思想
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
12．图8是某同学在研究性学习中使用的一幅地图。据图中阴影部分判断，他的研究课题是
图8
A．工农武装割据的形成
B．七七事变前日本占领区域的变化
C．抗日根据地的建立和发展
D．三大战役后解放区的扩大
20世纪五六十年代，我国在经济和民主政治建设方面进行了一系列探索。回答13---14题。
> 13．1964年，周恩来与美国作家斯诺交谈喊："过去15年中有些事情我们是作对了，但我们也做了一些错事，只有敢于承认自己的缺点和错误，我们才能改正它门。"党和政府的纠正措施是
A．对资本主义工商业进行社会义改造
B．正确分析我国社会主要矛盾
C．提出建设社会主义总路线
D．提出调整国民经济的八字方针
14．图9是1953年版人民币10元券背面图案，图案的设计理念体现了
①民族团结原则
②民族平等原则
③民族区域自治制度正式创立
④党和政府尊重少数民族文化
A．①③④
B．①②③
C．②③④
D．①②④
在人类历史又分散到整体的发展中，中国与世界的联系日益密切。回答15---16题。
15．一个英国人在乾隆二十五年（1760年）来到中国，这一年他可能经历的事情是
A．看到机户和机工因工资纠纷到衙门打官司
B．邀请中国朋友去乘坐的船上参观蒸汽机
C．北京的朋友邀请他去看京剧演出
D．收到国内来信说英王解散了议会
16．1972年中美上海《联合公报》："美国认识到，在台湾海峡两边的所有中国人，都认为只有一个中国，台湾是中国的一部分，美国政府对这一立场不提出异议......"美国发表这一声明意在
A．缓和中美关系，集中对抗苏联
B．承认中国日益提高的国际地位
C．缓和中美关系，促进中国统一
D．承认封锁新中国政策的错误
17．下列一组图片（图10）表达的共同主题是
图10
A．兼顾效率与公平
B．统筹区域发展
C．统筹城乡发展
D．坚持共同富裕
18．目前，我国的一些商品存在着"过度包装"问题，如果请你针对其危害，向消费者写一份"倡导绿色消费，抵制过度包装"的倡议书，符合上述要求的选项是
①商品包装质量是价格和消费的决定因素
②依法维护消费者的合法权益
③国家宏观调控在资源配置中起基础性作用
④消费对生产有重要的反作用
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
19．《物权法》从起草到高票通过，历经8次审议，广泛征求意见，这体现了我国
A．公民政治权利的扩大
B．国家机构坚持民主集中制
C．人民代表大会是最高\'国家权力机关
D．人民直接行使国家权力
20．假如让你写---篇集中反映中国2006年度外交活动的年终专稿，需要确定---组体现中国外交主张的"关键词"，请结合政治生活知识，从下列选项中选出最准确的一组
A．独立自主 和平共处 文化渗透
B．和平发展 战略结盟 我国的独立和主权
C．多边外交 和平发展 负责任的大国
D．经济全球化 政治多极化 文化多元化
21．党的十六届六中全会提出的"建设社会主义核心价值体系"与"文化多样性"、"坚持先进文化的前进方向"的内在联系是
①社会主义核心价值体系与文化多样性统一于社会主义文化建设中
②建设社会主义核心价值体系有利于坚持先进文化的前进方向
③尊重文化多样性不能违背社会主义核心价值体系
④把握先进文化的前进方向关键在于尊重文化多样性
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
22．自2001年文化部提出"把春节建成宣传中国和传播中华文化的新载体"以来，春节逐渐得到世界各国的认可和重视，春节文化在世界的传播
①可以展现中华文化的魅力
②是我国综合国力提升的体现
③有利于消除世界文化的差异
④能促进中华文化与世界文化的交流和融合
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
23．下列古训名言与漫画（图11）启示的人生哲理相一致的是
A．尽信书，则不如无书。（《孟子》）
B．君子耻其言而过其行。（《论语》）
C．善者不辩，辩者不善。（《道德经》）
D．博学而无穷，笃行而不倦。（《札记》）
24．"几十年的经验使我深刻体会到，学点哲学的确可以使人做事情少犯错误，做研究少走弯路。"下列观点与"国家最高科学技术奖"获得者李振声的上述感悟相一致的是
A．哲学是各门具体科学的基础
B．哲学是人类对某一具体领域规律的概括
C．哲学是科学的世界观和方法论
D．哲学具有指导人们认识世界和改造世界的功能
25．北京奥运会奖牌创造性性地将象征尊贵和美德的"金"、"玉"材质组合在---起，实现了中国优秀文化与奥林匹克精神的完美结合。这一设计与创新说明
> ①意识活动具有主动创造性和自觉选择性
>
> ②创新必须坚持辩证的思维方法
>
> ③系统优化的方法要求我们用综合的思维方式认识事物
>
> ④认识是主体对客体的直接现实性改造
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
**第Ⅱ卷（必做110分+选做30分，共140分）**
注意事项：
1．第Ⅱ卷共12道题。其中26～29题为必做部分，30～37题为选做部分。
2．考生在选做部分的试题中必须从地理、历史、思想政治三科中各选择1道题，在答题纸规定的位置写清题号并作答。不按规定选做者，阅卷时将根据所选科目题号的先后顺序判最前面的1道试题，其它作答的题目答案无效。
3．第Ⅱ卷有题目的答案考生髯用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔答在答题纸上，在试卷上答题无效。
**【必做部分】**
26．（25分）
流域是一个相对独立的自然地理系统，它以水系为纽带，将系统内各自然地理要素连结成---个不可分割的整体。随着人类活动的加剧，流域已成为区域人地关系十分敏感而复杂的地理单元。
图12是某时期某流域局部地形图，图13是10年后该地区土地利用状况图，图14是该地区的月平均气温变化曲线和降水量柱状图。读图完成下列问题。
（1）说明A支流的水文特征。（6分）
（2）说出B、C两支流在开发利用方向上的不同。（6分）
（3）指出图13中土地利用不合理的现象，并说明这些现象对湖泊及其下游造成的环境影响。（10分）
（4）如果在该地区选址建水库，你认为除上述方面的资料外，还需要收集哪方面的必要资料?（3分）
27．（15分）社会保障制度建设是当今世界各国普遍关注的重大问题，美国罗斯福新政对此曾做了有益探索，阅读材料，回答问题。
**材料一：**
**材料二**：《全国工业复兴法》包括三方面内容：一是建立国家复兴管理局。二是由国家举办各种公共工程，减少失业大军。三是适当提高劳工地位，改善劳工待遇。劳工组织有与资方谈判的权利，雇主不得以上人参加何种工会作为雇佣条件，雇主必须遵守最高工时和最低工资限额，不得雇佣童工。
------苗枫林《世界改革史》
**材料三：**1933年5月通过《紧急救济法令》，到1936年止，政府大约支出30亿美元用于失主救济。1935年提出《社会保障法》，在全国范围内推行养老金制度和失业保险制度。
------齐德步《世界经济通史》
（1）材料---反映了罗斯福关注什么社会问题？（4分）
（2）材料二中有关社会保障的内容有哪些？（6分）《全国工业复兴法》旨在复兴美国工业，但为什么涉及社会保障问题？（6分）
（3）依据材料二、三，指出"新政"的社会保障制度主要是通过什么方式建立的。（4分）
（4）关于"新政"中的社会保障措施，有人认为主要是为克服危机而采取的临时性措施，有人认为主要是维护资产阶级民主制而进行的长期性制度建设。请选择你认同的---种管点并简要说明理由。（5分）
28．（25分）
2007年中央"---号文件"强调，要着力"推进农业科技创新，强化建设现代农业的科技支撑。根据以下材料回答题。
表2：目前中国与发达国家农业科技状况比较
--------------------- ------------------------------------ ------ ----------
农业科技贡献率（%） 每万人农村人口农业科技人员数（人）
中国 发达国家 中国 发达国家
48 70---80 1.7 40
--------------------- ------------------------------------ ------ ----------
注：20世纪70年代末，中国农业科技贡献率不到30%；目前中国农村劳动力中具有初中以上文化程度的占12.4%
（1）指出表2（含注）显示的经济信息（3分）。运用经济生活知识，简要说明推进我国农业科技创新对发展现代农业的意义。（6分）
（2）针对上表反映的我国农民科技文化程度状况，运用文化生活知识，说明发展现代农业必须提高农民科技文化素质的原因。（8分）
（3）新闻宣传部们在总结推广某地农业科技创新方面的典型经验时，采取的步骤是：深入到该地调查了解，取得翔实丰富的资料；再进抽象总结后形成共同的经验；最后建议其它各地以此为指导结合本地情况学习该地的经验，以推动农业创新工作的开展。
请写出总结推广典型经验做法的哲学依据及主要内容，并概括出说明这一哲学依据对我国社会主义现代化建设的方法论指导意义，
29．（35分）
根据相关资料完成下列问题。
山东是中华文明的发祥地之一，在中国乃至世界历史上都占有重要地位。
（1）结合史实，从政治、经济、思想三方面说明山东在中国先秦时期的重要地位。
**材料---：**登州文会馆是美国传教士狄考文1876年创办的---所教会学校，表3为该校正斋（中学部分）开设的主要课程：
表3
+------------+--------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------+
| **宗教类** | **中国经学类** | **自然科学类** | **社会科学类及其它** |
+------------+--------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------+
| 天道溯源、 | 书经、诗经、论语、礼记、孟子、左传、易经等 | 代数备旨、圆锥曲线、测绘学、格物（声、光、电等）、航海法、物理测算、化学、动植物学、微积分学、天文揭要等 | 读作诗文、万国通鉴、二十一史约编、是非学、富国策等 |
| | | | |
| 救世之妙、 | | | |
| | | | |
| 罗马书等 | | | |
+------------+--------------------------------------------+----------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------+
**材料二**：试办山东大学堂章程规定："以四书、五经为体，以历代史鉴及中外政治、艺学
注：艺学指算、绘、矿、医、声、光、化、电）为用。"
------安作璋等《齐鲁文化通史》
（2）分析材料---、二，指出两所学校在课程设置上的共同之处。（3分）这类新式学校的创办对山东近代经济发展有何积极影响? （2分）
**材料三：**改革开放以来，山东省已成为外商投资的重点地区。2005年外商直接投资额达89.7亿美元。占全国外商直接投资总额的比重达14.9％，其中，制造业是外商直接投资的主要领域。表4为山东省各地市1992---2005年累计外商直接投资额占全国同期累计外商直接投资总额的比重。
表4
---------- ------------------- ---------- ------------------- ---------- -------------------
**地区** **投资比重（%）** **地区** **投资比重（%）** **地区** **投资比重（%）**
济南 5.36 潍坊 7.26 临沂 1.68
青岛 37.19 济宁 2.19 德州 2.13
淄博 4.14 泰安 1.16 聊城 0.98
枣庄 1.13 威海 10.19 滨州 1.14
东营 1.41 日照 1.59 荷泽 1.11
烟台 19.21 莱芜 0.68
---------- ------------------- ---------- ------------------- ---------- -------------------
（3）依据表4概括山东省外商直接投资集中分布的两个地带，井说明其形成的主要影响因素。（8分）
（4）简要回答这种分布对山东省经济发展的主要影响。（3分）
**材料四**：自2000年中央提出加快实施"走出去"战略以来，山东境外投资进入快速发展的新阶段，呈现一些新特点。
（5）图18、图19分别表明山东境外投资领域进---步拓宽、投资区域不断扩大，以这样的思路，你认为图20体现的山东境外投资的特点应该如何概括？（2分）请对山东企业如何实现境外投资的新突破提出合理化建议。（4分）
**材料五** 山东省政府按照《对外贸易法》和中央的政策，出台了《关于加快实施"走出去"战略意见》等规定，制定和完善了为对外开放服务的具体措施，简化行政审批程序，建立完善各级行政许可中心，营造公正透明的行政环境，优化全方位的服务环境，为各类企业创造统一开放、公平竞争的市场环境。
（6）结合上述材料，简要分析山东省政府在为对外开放服务过程中是如何行使权力的？（7分）
**【选做部分】**
30．（10分）**【**地理------旅游地理**】**
随着青藏铁路的建成通车，青藏高原已成为世人瞩目的旅游新热区。读图21，完成下列问题。
（1）青藏地区主要的特色游资源是什么（2分）
（2）旅游者进入青藏地区有多条线路，试比较青藏铁路和川藏公路沿途自然景观和旅游观赏视角的主要差异，完成表5。（4分）
（3）你认为青藏地区发展旅游业对本区地方文化有处促进作用？（4分）
31．（10分）【地理---自然灾害与防治】
干旱灾害是中国主要的气象灾害之一。图22反映了我国1950-1991年间不同区域季节分布及其对农业的影响，读图回答下列问题。
（1）判断图中旱灾最严重的地区（写序号）并说明依据。（3分）
（2）分析②、②两区旱灾季节差异的原因。（4分）
（3）说明①区春旱引发的最主要的次生灾害及其监测手段。（3分）
32．（10分） 【地理------环境保护】
根据下列材料回答问题
三峡工程蓄水后，峡江急流变成"平静湖水"（图23）。随着大坝的建成运行，库区环境问题备受社会各界关注。据国家环保局通报，目前库区水质较好。但库区上游及其沿岸支流城镇的废水、固体废弃物非达标排放现象仍然严重，每年有大量生活垃圾随流水进入库区，某县曾在4天内捞起的漂浮物就达100多吨。
（1）图23中，某支流上A、B两处水质较差的是哪处？如果该现象具有一定普遍性，试说明原因。（3分）
（2）漂浮物对库区的主要危害有哪些？（3分）
（3）从源头控制的角度，采取哪些环境管理措施可以解决库区漂浮物问题？（4分）
33．（10分）【历史－历史上重大改革回眸】
王安石变法在历史上产生了重大影响，人们对此却评价不一。阅读材料，回答问题。
**材料一**：今介甫为政......士吏兵农工商僧道无一人得袭故而守常者，纷纷扰抚，莫安其居......
------司马光《家传集》
**材料二**：司马光："治天下譬如居室，敝则修之，非大坏别不更造也。"
------（宋史）
**材料三**：宋大傅荆国王文公安石，适应于时代之。其良法美意往往传诸今日莫之能
废......
------梁启超《王安石评传》
（1）王安石针对"士、兵、农、商"的改革措施有哪些（每项各举---条）？（4分）
（2）结合王安石变法的相关知识，谈谈你对材料二、三中"非大坏则不更造"，和"适应于时代"的理解。（6分）
34．（10分）【历史---近代社会的民主思想与实践】
20世纪初，中国社会发生了深刻变化，旧的习俗被打破，新的观念逐渐形成，社会风气也在悄然改变，阅读材料，回答问题。
今有南清志士某君，北来游学，此君尚未娶妇，意欲访求天下有志女子，聘定为室。其主义如下：---要天足，二要通晓中西术门径，三聘娶仪节悉照文明通例，尽除中国旧有之陋俗，如有能合以上诸格及自愿出嫁，又有完全自主权者，毋论满汉新旧、贫富贵贱、长幼妍媸均可。
------《大公报》1902年6月26日
（1）上述材料反映了当时新妇女观的哪些内容？（4分）
（2）这种新妇女观受到了哪种思想影响？列举近代中国在这种思想影响下发生的思想解放运动和反封建革命。（6分）
35．（10分）【历史－20世纪的战争与和平】
战争造成的灾难有目共睹，但不同时代、不同人对战争有不同的思考和主张。阅读材料,回答问题。
**材料一：**
**材料二：**"战争不仅仅是一种实际上的必要。也是---种理论上的必要，一种逻辑的要求。国家这一概念意味着战争的概念......"
------《大国崛起》
（1）材料一反映了怎样的主题？（3分）
（2）结合二战后西欧国家团结发展的历史进程，以史实说明材料二所宣扬的观点是错误的。（7分）
36．（10分）［思想政治－国家和国际组织常识］
共和国是无产阶级将来进行统治的现成的统治形式。
------恩格斯
民主共和制是资本主义所能采用的最好的政治外壳......
------列宁
每个国家的基础不同，历史不同，所处的环境不同，左邻右舍不同，还有其它许多不同，别人的经验可以参考，但是不能照搬。
------邓小平
（1）概括以上论断所揭示的主题。（2分）
（2）依据上述结论，以我国实行的政体为例，简要说明邓小平论述的正确性。（8分）
37．（10分）【思想政治---公民道德与伦理常识】
"微尘"起初是青岛一位数次捐款不留姓名的普通市民，后来，扩大为一个爱心群体，再后来，发展成一个关心他人的爱心符号。无独有偶，济南的"雨点"爱心行动也感染了好多人......
（1）根据以上材料，回答道德榜样何以有如此巨大的力量？（2分）
（2）简要说明在公民道德建设中，发挥道德榜样的力量与构建社会诚信机制、发展社会主义市场经济之间的内在联系。（8分）
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**2016年北京市高考数学试卷（文科）**
**一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）**
1．（5分）已知集合A={x\|2＜x＜4}，B={x\|x＜3或x＞5}，则A∩B=（ ）
A．{x\|2＜x＜5} B．{x\|x＜4或x＞5} C．{x\|2＜x＜3} D．{x\|x＜2或x＞5}
2．（5分）复数=（ ）
A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）
A．8 B．9 C．27 D．36
4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（ ）
A．y= B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2^﹣x^
5．（5分）圆（x+1）^2^+y^2^=2的圆心到直线y=x+3的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
6．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（ ）
A．﹣1 B．3 C．7 D．8
8．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
---------------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60
30秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a﹣1 b 65
---------------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（ ）
A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛
**二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）**
9．（5分）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为[ ]{.underline}．
10．（5分）函数f（x）=（x≥2）的最大值为[ ]{.underline}．
11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为[ ]{.underline}．
12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=[ ]{.underline}，b=[ ]{.underline}．
13．（5分）在△ABC中，∠A=，a=c，则=[ ]{.underline}．
14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有[ ]{.underline}种；
②这三天售出的商品最少有[ ]{.underline}种．
**三、解答题（共6小题，满分80分）**
15．（13分）已知{a~n~}是等差数列，{b~n~}是等比数列，且b~2~=3，b~3~=9，a~1~=b~1~，a~14~=b~4~．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）设c~n~=a~n~+b~n~，求数列{c~n~}的前n项和．
16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：
（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
19．（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
20．（13分）设函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；
（3）求证：a^2^﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．
**2016年北京市高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）**
1．（5分）已知集合A={x\|2＜x＜4}，B={x\|x＜3或x＞5}，则A∩B=（ ）
A．{x\|2＜x＜5} B．{x\|x＜4或x＞5} C．{x\|2＜x＜3} D．{x\|x＜2或x＞5}
【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x\|2＜x＜4}，B={x\|x＜3或x＞5}，
∴A∩B={x\|2＜x＜3}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用．
2．（5分）复数=（ ）
A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i
【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．
【解答】解：===i，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）
A．8 B．9 C．27 D．36
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，
当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，
当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，
当k=3时，不满足进行循环的条件，
故输出的S值为9，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（ ）
A．y= B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2^﹣x^
【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项．
【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；
∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；
B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；
C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；
D.；
∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．
故选：D．
【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算．
5．（5分）圆（x+1）^2^+y^2^=2的圆心到直线y=x+3的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
【分析】先求出圆（x+1）^2^+y^2^=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解．
【解答】解：∵圆（x+1）^2^+y^2^=2的圆心为（﹣1，0），
∴圆（x+1）^2^+y^2^=2的圆心到直线y=x+3的距离为：
d==．
故选：C．
【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．
6．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．
【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，
基本事件总数n==10，
甲被选中包含的基本事件的个数m==4，
∴甲被选中的概率p===．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y的最大值为（ ）
A．﹣1 B．3 C．7 D．8
【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可．
【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，
令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，
可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7．
故选：C．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键．
8．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
---------------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60
30秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a﹣1 b 65
---------------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------ ------
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（ ）
A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛
【分析】根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．
【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，
故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，
又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，
则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，
剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，
故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键．
**二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）**
9．（5分）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．
【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），
∴与夹角θ满足：
cosθ===，
又∵θ∈\[0，π\]，
∴θ=，
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键．
10．（5分）函数f（x）=（x≥2）的最大值为[ 2 ]{.underline}．
【分析】分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在\[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．
【解答】解：；
∴f（x）在\[2，+∞）上单调递减；
∴x=2时，f（x）取最大值2．
故答案为：2．
【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．
11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，
棱柱的底面面积S=×（1+2）×1=，
棱柱的高为1，
故棱柱的体积V=，
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=[ 1 ]{.underline}，b=[ 2 ]{.underline}．
【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），列出方程组，由此能出a，b．
【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），
∴，
解得a=1，b=2．
故答案为：1，2．
【点评】本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．
13．（5分）在△ABC中，∠A=，a=c，则=[ 1 ]{.underline}．
【分析】利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可．
【解答】解：在△ABC中，∠A=，a=c，
由正弦定理可得：，
=，sinC=，C=，则B==．
三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，
则=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力．
14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有[ 16 ]{.underline}种；
②这三天售出的商品最少有[ 29 ]{.underline}种．
【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．
【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，
如图，
则第一天售出但第二天未售出的商品有16种；
②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种，
当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．
故答案为：①16；②29．
【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题．
**三、解答题（共6小题，满分80分）**
15．（13分）已知{a~n~}是等差数列，{b~n~}是等比数列，且b~2~=3，b~3~=9，a~1~=b~1~，a~14~=b~4~．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）设c~n~=a~n~+b~n~，求数列{c~n~}的前n项和．
【分析】（1）设{a~n~}是公差为d的等差数列，{b~n~}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；
（2）求得c~n~=a~n~+b~n~=2n﹣1+3^n﹣1^，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．
【解答】解：（1）设{a~n~}是公差为d的等差数列，
{b~n~}是公比为q的等比数列，
由b~2~=3，b~3~=9，可得q==3，
b~n~=b~2~q^n﹣2^=3•3^n﹣2^=3^n﹣1^；
即有a~1~=b~1~=1，a~14~=b~4~=27，
则d==2，
则a~n~=a~1~+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（2）c~n~=a~n~+b~n~=2n﹣1+3^n﹣1^，
则数列{c~n~}的前n项和为
（1+3+...+（2n﹣1））+（1+3+9+...+3^n﹣1^）=n•2n+
=n^2^+．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．
16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的单调递增区间．
【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值；
（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx==．
由T=，得ω=1；
（2）由（1）得，f（x）=．
再由，得．
∴f（x）的单调递增区间为\[\]（k∈Z）．
【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题．
17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：
（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．
【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在\[0.5，1）的频率为0.1，用水量在\[1，1.5）的频率为0.15，用水量在\[1.5，2）的频率为0.2，用水量在\[2，2.5）的频率为0.25，用水量在\[2.5，3）的频率为0.15，用水量在\[3，3.5）的频率为0.05，用水量在\[3.5，4）的频率为0.05，用水量在\[4，4.5）的频率为0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米．
（2）当w=3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得：
用水量在\[0.5，1）的频率为0.1，
用水量在\[1，1.5）的频率为0.15，
用水量在\[1.5，2）的频率为0.2，
用水量在\[2，2.5）的频率为0.25，
用水量在\[2.5，3）的频率为0.15，
用水量在\[3，3.5）的频率为0.05，
用水量在\[3.5，4）的频率为0.05，
用水量在\[4，4.5）的频率为0.05，
∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，
∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，
∴w至少定为3立方米．
（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：
（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，
∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当w=3时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC；
（2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面PAC；
（3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．利用线面平行的判定定理证明．
【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，
∴PC⊥DC，
∵DC⊥AC，PC∩AC=C，
∴DC⊥平面PAC；
（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，
∴AB⊥AC，
∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PC⊥AB，
∵PC∩AC=C，
∴AB⊥平面PAC，
∵AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAC；
（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．
∵点E为AB的中点，
∴EF∥PA，
∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，
∴PA∥平面CEF．
【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19．（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则，则椭圆C的方程可求，离心率为e=；
（2）设P（x~0~，y~0~），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得\|AN\|，\|BM\|．由，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2．
【解答】（1）解：∵椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点，
∴a=2，b=1，则，
∴椭圆C的方程为，离心率为e=；
（2）证明：如图，
设P（x~0~，y~0~），则，PA所在直线方程为y=，
取x=0，得；
，PB所在直线方程为，
取y=0，得．
∴\|AN\|=，
\|BM\|=1﹣．
∴=
=﹣==
=．
∴四边形ABNM的面积为定值2．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．
20．（13分）设函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；
（3）求证：a^2^﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．
【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；
（2）由f（x）=0，可得﹣c=x^3^+4x^2^+4x，由g（x）=x^3^+4x^2^+4x，求得导数，单调区间和极值，由﹣c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；
（3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得单调区间有3个，求出导数，由导数的图象与x轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a^2^﹣3b＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a^2^﹣3b＞0，不能推出f（x）有3个零点．
【解答】解：（1）函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c的导数为f′（x）=3x^2^+2ax+b，
可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b，
切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c；
（2）设a=b=4，即有f（x）=x^3^+4x^2^+4x+c，
由f（x）=0，可得﹣c=x^3^+4x^2^+4x，
由g（x）=x^3^+4x^2^+4x的导数g′（x）=3x^2^+8x+4=（x+2）（3x+2），
当x＞﹣或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当﹣2＜x＜﹣时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0；
g（x）在x=﹣处取得极小值，且为﹣．
由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣＜﹣c＜0，
解得0＜c＜，
则c的取值范围是（0，）；
（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，
可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．
即有f（x）有3个单调区间，
即为导数f′（x）=3x^2^+2ax+b的图象与x轴有两个交点，
可得△＞0，即4a^2^﹣12b＞0，即为a^2^﹣3b＞0；
若a^2^﹣3b＞0，即有导数f′（x）=3x^2^+2ax+b的图象与x轴有两个交点，
当c=0，a=b=4时，满足a^2^﹣3b＞0，
即有f（x）=x（x+2）^2^，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个．
故a^2^﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考考查化简整理的能力，属于中档题．
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**哈尔滨市2020年初中升学考试**
**数学试卷**
**一、选择题**
1.的倒数是（ ）
A. B. -8 C. 8 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由倒数的定义求解即可.
【详解】解：∵ ,
∴根据倒数的定义知:﹣8的倒数是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了倒数的定义，乘积为1的两数互为倒数．
2.下列运算一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及完全平方公式逐项计算即可．
【详解】解：∵，∴选项A不正确；
∵，∴选项B不正确；
∵，∴选项C正确；
∵，∴选项D不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 完全平方公式是(*a*±*b*)^2^=*a*^2^±2*ab*+*b*^2^．
3.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误；
B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故B正确；
C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错误；
D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4.五个大小相同的正方体塔成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看第一层有两个小正方形，第二层右边有一个小正方形，\
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5.如图是直径，点*A*为切点，交于点*C*，点*D*在上，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由可求出∠*AOC*=．再由*AB*为圆*O*的切线，得*AB*⊥*OA*，由直角三角形的两锐角互余，即可求出∠*ABO*的度数，
【详解】解：∵ ，
∴，
∵*AB*为圆*O*的切线，\
∴*AB*⊥*OA*，即∠*OAB*=90°，
∴，
故选：*B*．
【点睛】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
6.将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解．
【详解】解：将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为：．\
故选：D．
【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
7.如图，在中，，垂足为D，与关于直线AD对称，点的B对称点是，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角形内角和定理，得到，由轴对称的性质，得到，根据外角的性质即可得到答案．
【详解】解：在中，，
∴，
∵与关于直线AD对称，
∴，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的进行角度的计算．
8.方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可知，本题考察分式方程及其解法，根据方程解的意义，运用去分母，移项的方法，进行求解．
【详解】解：方程可化简为
经检验是原方程的解
故选D
【点睛】本题考察了分式方程及其解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解决此类问题的关键．
9.一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球，3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：∵一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，\
∴从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为．
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
10.如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据由平行线易得△*AEF*∽△*ACD*，△*CEG*∽△*CAB*，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
【详解】解：∵，
∴△*AEF*∽△*ACD*，
∴，故选项*A*错误；
∴，
∵，
∴△*CEG*∽△*CAB*，
∴，
∴，故选项*B*错误；，故选项*D*错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项正确*C*．
故选：*C*．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，能得出正确的比例式是解此题的关键．
**二、填空题**
11.将数4790000用科学计数法表示为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为*a*×10*^n^*，其中1≤\|*a*\|＜10，*n*为整数，据此即可解题．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤\|*a*\|\<10，*n*为整数．确定*n*的值时，要看把原数变成*a*时，小数点移动了多少位，*n*的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值\>10时，*n*是正数;当原数的绝对值\<1时，*n*是负数．
12.在函数中，自变量的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】x≠7．
【解析】
【分析】
根据分式有意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：由有意义，得
x-7≠0，\
解得x≠7，
故答案为：x≠7．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13.已知反比例函数的图像经过点，则的值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】﹣12
【解析】
【分析】
直接将点代入反比例函数解析式中，解之即可．
【详解】依题意，将点代入，得：，
解得：=﹣12，
故答案为：﹣12．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握图象上的坐标与解析式的关系是解答的关键．
14.计算：的结果是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可知，本题考察二次根式的运算，根据二次根式的化简，即可进行求解．
【详解】解：原式==
故答案为：
【点睛】本题考察了二次根式的运算，先化简再进行合并二次根式是解决此类问题的关键．
15.把多项式分解因式结果是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】原式==，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．
16.抛物线的顶点坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】(1，8)
【解析】
【分析】
根据题意可知，本题考察二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解．
【详解】解：由二次函数性质可知，的顶点坐标为(，)
∴的顶点坐标为(1，8)
故答案为：(1，8)
【点睛】本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标．
17.不等式的解集为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】x≤-3．
【解析】
【分析】
分别求出每个不等式的解集，然后再取它们的公共部分即可．
【详解】
解不等式①得，x≤-3；
解不等式②得，x＜-1；
所以，不等式组的解集为：x≤-3．
【点睛】本题主要考查了求不等式组的解集，熟记口诀"大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（空集）"．
18.一个扇形的面积为，半径为6cm，则扇形的圆心角是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_度．
【答案】130°．
【解析】
【分析】
设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
【详解】解：设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式得：13π=，\
解得n=130．\
故答案是：130°．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．
19.在中，，为BC边上的高，，则BC的长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】7或5
【解析】
【分析】
如图所示，分*D*在*BC*之间和*BC*延长线上两种情况考虑，先由求出*BD*，再求出*BC*的长．
【详解】解：如图，∵在*Rt*△*ABD*中，，，
∴，即：，
∴，
当*D*在*BC*之间时，*BC*=*BD*+*CD*=6+1=7；
当*D*在*BC*延长线上时，*BC*=*BD*-*CD*=6-1=5；
故答案为：7或5．
【点睛】此题主要考查了解三角形，根据已知得出两种符合要求图形，即三角形为钝角三角形或锐角三角形分别分析是解题关键．
20.如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若，，,则线段AE的长为\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
设BE=x，根据菱形性质可得到AB= AD=CD=2x，进而得到，解得x值，根据勾股定理即可求得AE值．
【详解】解：设BE=x，
∵菱形，
∴AB= AD=CD=2x，
∵，
∴,
∴BD=3x，
∴OB=OD=，
∴，
∴x=2，
∴AB=4，BE=2，
∴，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质结合勾股定理的应用，熟练掌握菱形性质是解题的关键．
**三、解答题**
21.先化简，再求代数式的值，其中
【答案】原式，
【解析】
【分析】
先根据分式的运算法则化简，再利用求得*x*的值，代入计算即可．
【详解】解：原式
，
∵，
∴
，
∴原式
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，二次根式的计算，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．
22.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为边的正方形，点E和点F均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以CD为边的等腰三角形，点G在小正方形的顶点上，且的周长为，连接EG，请直接写出线段EG的长．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析，EG=.
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的判定作图可得；\
（2）根据等腰三角形与勾股定理可得答案．
【详解】解：（1）如图所示，正方形ABEF即为所求；\
（2）如图所示，△CDG即为所求，由勾股定理，得EG=.
【点睛】本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
23.为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以"我最喜欢的课外活动小组"为主题的调查活动，围绕在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢的哪一类？的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的，请你根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生；
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若冬威中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名．
【答案】（1）50；（2）见解析；（3）320
【解析】
【分析】
（1）根据最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的30%求出总人数即可；
（2）先求出最喜欢舞蹈的学生人数，进而补全条形统计图即可；
（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】解：（1）15÷30%＝50（名），
答：本次调查共抽取了50名学生；
（2）50﹣15﹣20﹣5＝10（名），
补全条形统计图如图所示：
（3）800×＝320（名），
答：估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有320名．
【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
24.已知，在中，，点D，点E在BC上，,连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，过点B作，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°．
【答案】（1）证明见解析；（2）、、、．
【解析】
【分析】
（1）可得，进而利用SAS证明，即可得出结论；
（2）由已知计算出图形中角的度数，由等角对等边即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图1，
，
，
在和中，
，
∴（SAS），
∴；
（2）顶角为45°的等腰三角形有以下四个：、、、．
证明：∵，，
∴，，
∵，，即：是等腰三角形，；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴、即：、是等腰三角形，，
∵
∴∠DBF=∠C=45°，，
又∵，
∴，
∴、即：是等腰三角形，．
【点睛】本题考察了等腰三角形性质和判定及全等三角形性质和判定，掌握等腰三角形性质和判定是解题关键．
25.昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需要136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需要132元．
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪．
【答案】（1）每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；（2）昌云中学最多可以购买5个大地球仪．
【解析】
【分析】
（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设昌云中学可以购买m个大地球仪，则购买小地球仪(30-m)个，根据题意列出不等式求解即可．
详解】解：（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，
由题意可得，
解得：，
答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；
（2）设昌云中学可以购买m个大地球仪，则购买小地球仪(30-m)个，
根据题意得52m+28(30-m)≤960
解得m≤5
∴昌云中学最多可以购买5个大地球仪．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用和一元一次不等式的实际应用，根据题意列出式子是解题关键．
26.已知是的外接圆，AD为的直径，，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点D作，交于点G，点H为GD的中点，连接OH，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若的面积为，求线段CG的长．
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）CG=．
【解析】
【分析】
（1）先推出∠BAD=∠CAD，然后根据圆周角定理可得出∠BOD=2∠BAD=2∠CAD，根据∠BOD=∠AOF，可得出∠AOF=2∠CAD，根据∠BFC=∠AOF+∠CAD，即可证明结论；
（2）连接OG，证明△OBE≌△DOH，即可证明结论；
（3）连接AG，过A点作AM⊥CG于点M，过F点作FN⊥AD于点N，先推出DE=2OE，设OE=m，则DE=2m，OB=OD=OA=3m，AE=4m，根据勾股定理得出CE=BE=，再求出tan∠BOE===，tan∠EAC===，根据tan∠AOF=tan∠BOE=，得出=，设ON=a，则NF=a，可得tan∠EAC=，解出AN，根据AN+NO=AO，解出a=m，再根据S~△AOF~=·OA·FN=，可求出m=1，可得出DH=1，OD=3， BE=CE=OH=，AE=4，根据勾股定理可得AC=，根据OD=OA，DH=HG，得出AG=2OH=，推出cos∠ADG=cos∠ACM，即可求出CM=，利用勾股定理可得AM=，GM=，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵AD为的直径，，
∴，BE=CE，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BOD=2∠BAD，
∴∠BOD=2∠CAD，
∵∠BOD=∠AOF，
∴∠AOF=2∠CAD，
∵∠BFC=∠AOF+∠CAD，
∴∠BFC=2∠CAD+∠CAD=3∠CAD；
（2）连接OG，
∵点H为GD的中点，OG=OD，
∴DH=GH，OH⊥DG，
∵AD⊥BC，
∴∠AEB=∠OHD=90°，
∵DG∥BF，
∴∠BOH=∠OHD=90°，
即∠DOH+∠BOD=90°，
∵∠BOD+∠OBE=90°，
∴∠OBE=∠DOH，
又∵OB=OD，
∴△OBE≌△DOH，
∴BE=OH；
（3）如图，连接AG，过A点作AM⊥CG于点M，过F点作FN⊥AD于点N，
由（2）可知DH=OE，
∵DG=2DH=2OE，DG=DE，
∴DE=2OE，
设OE=m，则DE=2m，
∴OB=OD=OA=3m，
∴AE=4m，
在Rt△OBE中，BE==，
∴CE=BE=，tan∠BOE===，tan∠EAC===，
∵tan∠AOF=tan∠BOE=，
∴=，
设ON=a，则NF=a，
∴tan∠EAC=，
∴AN=4a，
∵AN+NO=AO，
∴4a+a=3m，
∴a=m，
∴FN=×m=m，
∵S~△AOF~=·OA·FN=，
∴·3m·m=，
∴m^2^=1，
∴m=±1，
∵m\>0，
∴m=1，
∴DH=1，OD=3，由（2）得BE=CE=OH=，AE=4，
在Rt△AEC中AC=，
∵OD=OA，DH=HG，
∴AG=2OH=，
∵∠ADG+∠ACG=180°，∠ACM+∠ACG=180°，
∴∠ADG=∠ACM，
∴cos∠ADG=cos∠ACM，
∴，
∴，
∴CM=，
在Rt△ACM中，AM==，
在Rt△AGM中，GM==，
∴CG=GM-CM=．
【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形性质和判定，锐角三角函数，垂径定理，勾股定理，掌握知识点灵活运用是解题关键．
27.已知，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴的正半轴交于点A，与轴的负半轴交于点B， ，过点A作轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为，过点C作轴，垂足为．
（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图2，点N在线段上，连接ON，点P在线段ON上，过P点作轴，垂足为D，交OC于点E，若，求的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作轴的平行线交BQ于点G，连接PF交轴于点H，连接EH，若，求点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出A，B的坐标即可求出直线AB的解析式；
（2）求出N（3,9），以及ON的解析式为y=3x，设P（a，3a），表达出PE及OD即可解答；
（3）如图，设直线GF交CA延长线于点R，交y轴于点S，过点F作FT⊥x轴于点T，先证明四边形OSRA为矩形，再通过边角关系证明△OFS≌△FQR，得到SF=QR，进而证明△BSG≌△QRG，得到SG=RG=6，设FR=m，根据，以及在Rt△GQR中利用勾股定理求出m的值，得到FS=8，AR=4，证明四边形OSFT为矩形，得到OT=FS=8，根据∠DHE=∠DPH，利用正切函数的定义得到，从而得到DH=，根据∠PHD=∠FHT，得到HT=2，再根据OT=OD+DH+HT，列出关于a的方程即可求出a的值，从而得到点P的坐标．
【详解】解：（1）∵CM⊥y轴，OM=9，
∴当y=9时，，解得：x=12，
∴C（12,9），
∵CA⊥x轴，则A（12,0），
∴OB=OA=12，则B（0，-12），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴，解得：，
∴；
（2）由题意可得，∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°，
∴四边形MOAC为矩形，
∴MC=OA=12，
∵NC=OM，
∴NC=9，则MN=MC-NC=3，
∴N（3,9）
设直线ON的解析式为，
将N（3，9）代入得：，解得：，
∴y=3x，
设P（a，3a）
∵PD⊥x轴交OC于点E，交x轴于点D，
∴，，
∴PE=，OD=a，
∴；
（3）如图，设直线GF交CA延长线于点R，交y轴于点S，过点F作FT⊥x轴于点T，
∵GF∥x轴，
∴∠OSR=∠MOA=90°，∠CAO=∠R=90°，∠BOA=∠BSG=90°，∠OAB=∠AFR，
∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°，
则四边形OSRA为矩形，
∴OS=AR，SR=OA=12，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠FAR=90°-∠AFR=45°，
∴∠FAR=∠AFR，
∴FR=AR=OS，
∵QF⊥OF，
∴∠OFQ=90°，
∴∠OFS+∠QFR=90°，
∵∠SOF+∠OFS=90°，
∴∠SOF=∠QFR，
∴△OFS≌△FQR，
∴SF=QR，
∵∠SFB=∠AFR=45°，
∴∠SBF=∠SFB，
∴BS=SF=QR，
∵∠SGB=∠RGQ，
∴△BSG≌△QRG，
∴SG=RG=6，
设FR=m，则AR=m，
∴QR=SF=12-m，
∴AF=，
∵，
∴GQ=，
∵QG^2^=GR^2^+QR^2^，即，解得：m=4，
∴FS=8，AR=4，
∵∠OAB=∠FAR，FT⊥OA，FR⊥AR，
∴FT=FR=AR=4，∠OTF=90°，
∴四边形OSFT为矩形，
∴OT=FS=8，
∵∠DHE=∠DPH，
∴tan∠DHE=tan∠DPH，
∴，
由（2）可知，DE=，PD=3a，
∴，解得：DH=，
∴tan∠PHD=，
∵∠PHD=∠FHT，
∴tan∠FHT=，
∴HT=2，
∵OT=OD+DH+HT，
∴，
∴a=，
∴
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数解析式的求法，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义等知识点，第（3）问难度较大，解题的关键是正确做出辅助线，熟悉几何的基本知识，综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答．
| 1 | |
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）**
**数学（文科）试卷**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
（1）设全集U＝{1，3，5，6，8}，A＝{1，6}，B＝{5，6，8}，则（C~U~A）∩B＝
（A）｛6｝ （B）{5，8} （c）{6，8} （D）{3，5，6，8}
（2）已知，且，则tan＝
（A）－ （B） （C）－ （D）
（3）"*x*＞1"是"*x*^2^＞*x*"的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）直线*x*－2*y*＋1＝0关于直线*x*＝1对称的直线方程是
（A）*x*＋2*y*－1＝0 （B）2 *x*＋*y*－1＝0
（C）2*x*＋*y*－3＝0 （D）*x*＋2*y*－3＝0
（5）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水。假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是
（A） 6 （B） 5 （C） 4 （D） 3
（6）展开式中的常数项是
（A）－36 （B）36 （C）－84 （D）84
（7）若P是两条异面直线*l*、*m*外的任意一点，则
（A）过点P有且仅有一条直线与*l、m*都平行
（B）过点P有且仅有一条直线与*l、m*都垂直
（C）过点P有且仅有一条直线与*l、m*都相交
（D）过点P有且仅有一条直线与*l、m*都异面
（8）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为"3局2胜"，即以先赢2局者为胜。根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是
（A1 0.216 （B）0.36 （C）0.432 （D）0.648
（9）若非零向量、满足｜一｜＝｜｜，则
（A） ｜2｜＞｜一2｜ （B） ｜2｜＜｜一2｜
（C） ｜2｜＞｜2一｜ （D） ｜2｜＜｜2一｜
（10）已知双曲线的左、右焦点分别为F~1~、F~2~，P是准线上一点，且P F~1~⊥P F~2~，｜P F~1~｜｜P F~2~ ｜＝4*ab*，则双曲线的离心率是
（A） （B） （C）2 （D）3
**二、填空题：本大题共7小题。每小题4分，共28分。**
（11）函数的值域是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（12）若sinθ＋cosθ＝，则sin 2θ的值是\_\_\_\_\_\_\_\_。
（13）某校有学生2000人，其中高三学生500人。为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本。则样本中高三学生的人数为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（14）中的、满足约束条件则的最小值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（15）曲线在点（1，一3）处的切线方程是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
（16）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种。小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（用数字作答）。
（17）已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°。若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的大小是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
**三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。**
（18）（本题14分）已知△ABC的周长为＋1，且sinA＋sin B＝sin C。
（I）求边AB的长；
（Ⅱ）若△ABC的面积为sin C，求角C的度数。
（19）（本题14分）已知数列{}中的相邻两项、是关于*x*的方程
的两个根，且≤ （*k* ＝1，2，3，...）。
（I）求及（*n*≥4）（不必证明）；
（Ⅱ）求数列{}的前2*n*项和S~2*n*~。
（20）（本题14分）在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点。
（I）求证：CM ⊥EM；
（Ⅱ）求DE与平面EMC所成角的正切值。
（21）（本题15分）如图，直线y＝*kx*＋*b*与椭圆交于A、B两点，记△AOB的面积为S。
（I）求在*k*＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程。
（22）（本题15分）已知。
（I）若*k*＝2，求方程的解；
（II）若关于*x*的方程在（0，2）上有两个解*x*~1~，*x*~2~，求*k*的取值范围，并证明。
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**2019年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷**
**一、选择题（每小题3分，共计30分）**
1．（3分）（2019•哈尔滨）的相反数是
A．9 B． C． D．
2．（3分）（2019•哈尔滨）下列运算一定正确的是
A． B．
C． D．
3．（3分）（2019•哈尔滨）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
4．（3分）（2019•哈尔滨）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是
A． B．
C． D．
5．（3分）（2019•哈尔滨）如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•哈尔滨）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为
A． B． C． D．
7．（3分）（2019•哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•哈尔滨）方程的解为
A． B． C． D．
9．（3分）（2019•哈尔滨）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是
A． B．， C． D．，
10．（3分）（2019•哈尔滨）如图，在中，点在对角线上，，交于点，，交于点，则下列式子一定正确的是
A． B． C． D．
**二、填空题（每小题3分，共计30分）**
11．（3分）（2019•哈尔滨）数6260000用科学记数法可表示为[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•哈尔滨）在函数中，自变量的取值范围是[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•哈尔滨）把多项式分解因式的结果是[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•哈尔滨）不等式组的解集是[ ]{.underline}．
15．（3分）（2019•哈尔滨）二次函数的最大值是[ ]{.underline}．
16．（3分）（2019•哈尔滨）如图，将绕点逆时针旋转得到△，其中点与是对应点，点与是对应点，点落在边上，连接，若，，，则的长为[ ]{.underline}．
17．（3分）（2019•哈尔滨）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是[ ]{.underline}度．
18．（3分）（2019•哈尔滨）在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为[ ]{.underline}度．
19．（3分）（2019•哈尔滨）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为[ ]{.underline}．
20．（3分）（2019•哈尔滨）如图，在四边形中，，，，点为边上一点，连接、，与交于点，且，若，，则的长为[ ]{.underline}．
**三、解答题（其中21～22题各7分，23-24题各8分，25～27题各10分，共计60分）**
21．（7分）（2019•哈尔滨）先化简再求值：，其中．
22．（7分）（2019•哈尔滨）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出以为底边的等腰直角三角形，点在小正方形顶点上；
（2）在图2中画出以为腰的等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为8．
23．（8分）（2019•哈尔滨）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以"祖国在我心中"为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在"教育、科技、国防、农业、工业"五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．
24．（8分）（2019•哈尔滨）已知：在矩形中，是对角线，于点，于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，连接、，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形面积的．
25．（10分）（2019•哈尔滨）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；
（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？
26．（10分）（2019•哈尔滨）已知：为的直径，为的半径，、是的两条弦，于点，于点，连接、，与交于点．
（1）如图1，若与交于点，求证：；
（2）如图2，连接、，与交于点，若，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接、、，与交于点，与交于点，连接，若，，求的长．
27．（10分）（2019•哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，且点与点关于轴对称；
（1）求直线的解析式；
（2）点为线段上一点，点为线段上一点，，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点在线段上，点在线段的延长线上，且点的纵坐标为，连接、、，与交于点，，连接，的延长线与轴的负半轴交于点，连接、，若，求直线的解析式．
**2019年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题（每小题3分，共计30分）**
1．（3分）的相反数是
A．9 B． C． D．
【考点】相反数
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：的相反数是9，
故选：．
2．（3分）下列运算一定正确的是
A． B．
C． D．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；合并同类项；平方差公式
【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可；
【解答】解：，错误；
，错误；
，错误；
故选：．
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形；中心对称图形
【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：．
4．（3分）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图
【分析】左视图有2列，从左到右分别是2，1个正方形．
【解答】解：这个立体图形的左视图有2列，从左到右分别是2，1个正方形，
故选：．
5．（3分）如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为
A． B． C． D．
【考点】圆周角定理；切线的性质
【分析】先利用切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理计算的度数．
【解答】解：连接、，
、分别与相切于、两点，
，，
，
，
．
故选：．
6．（3分）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】根据"上加下减、左加右减"的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选：．
7．（3分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为
A． B． C． D．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设降价得百分率为，根据降低率的公式建立方程，求解即可．
【解答】解：设降价的百分率为
根据题意可列方程为
解方程得，（舍
每次降价得百分率为
故选：．
8．（3分）方程的解为
A． B． C． D．
【考点】解分式方程
【分析】将分式方程化为，即可求解；同时要进行验根即可求解；
【解答】解：，
，
，
；
将检验是方程的根，
方程的解为；
故选：．
9．（3分）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是
A． B．， C． D．，
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】将点代入，求出函数解析式即可解题；
【解答】解：将点代入，
，
，
点在函数图象上，
故选：．
10．（3分）如图，在中，点在对角线上，，交于点，，交于点，则下列式子一定正确的是
A． B． C． D．
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．
【解答】解：
在中，
易证四边形为平行四边形
易证
，项错误
，项错误
，项错误
，项正确
故选：．
**二、填空题（每小题3分，共计30分）**
11．（3分）数6260000用科学记数法可表示为[ ]{.underline}．
【考点】科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：6260000用科学记数法可表示为，
故答案为：．
12．（3分）在函数中，自变量的取值范围是[ ]{.underline}．
【考点】函数自变量的取值范围
【分析】函数中分母不为零是函数有意义的条件，因此即可；
【解答】解：函数中分母，
；
故答案为；
13．（3分）把多项式分解因式的结果是[ ]{.underline}．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
14．（3分）不等式组的解集是[ ]{.underline}．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
故答案为：．
15．（3分）二次函数的最大值是[ 8 ]{.underline}．
【考点】二次函数的最值
【分析】利用二次函数的性质解决问题．
【解答】解：，
有最大值，
当时，有最大值8．
故答案为8．
16．（3分）如图，将绕点逆时针旋转得到△，其中点与是对应点，点与是对应点，点落在边上，连接，若，，，则的长为[ ]{.underline}．
【考点】勾股定理；旋转的性质
【分析】由旋转的性质可得，，可得，由勾股定理可求解．
【解答】解：将绕点逆时针旋转得到△，
，
故答案为
17．（3分）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是[ 110 ]{.underline}度．
【考点】弧长的计算
【分析】直接利用弧长公式即可求出的值，计算即可．
【解答】解：根据，
解得：，
故答案为：110．
18．（3分）在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为[ 或10 ]{.underline}度．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理
【分析】当为直角三角形时，存在两种情况：或，根据三角形的内角和定理可得结论．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，当时，
，
；
②如图2，当时，
，，
，
，
综上，则的度数为或；
故答案为：或10；
19．（3分）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为[ ]{.underline}．
【考点】列表法与树状图法
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两枚骰子点数相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：列表得：
-- -- -- -- -- --
-- -- -- -- -- --
由表可知一共有36种情况，两枚骰子点数相同的有6种，
所以两枚骰子点数相同的概率为，
故答案为：．
20．（3分）如图，在四边形中，，，，点为边上一点，连接、，与交于点，且，若，，则的长为[ ]{.underline}．
【考点】等边三角形的判定与性质
【分析】连接交于点，由题意可证垂直平分，是等边三角形，可得，，，通过证明是等边三角形
，可得，由勾股定理可求，的长．
【解答】解：如图，连接交于点
，，，
垂直平分，是等边三角形
，，
，
是等边三角形
，
**三、解答题（其中21～22题各7分，23-24题各8分，25～27题各10分，共计60分）**
21．（7分）先化简再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再依据特殊锐角三角函数值求得的值，代入计算可得．
【解答】解：原式
，
当时，
原式
．
22．（7分）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出以为底边的等腰直角三角形，点在小正方形顶点上；
（2）在图2中画出以为腰的等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为8．
【考点】等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理；作图应用与设计作图；等腰直角三角形；勾股定理
【分析】（1）作的垂直平分线，作以为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点；
（2）以为圆心，为半径作圆，格点即为点；
【解答】解；（1）作的垂直平分线，作以为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点；
（2）以为圆心，为半径作圆，格点即为点；
23．（8分）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以"祖国在我心中"为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在"教育、科技、国防、农业、工业"五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．
【考点】用样本估计总体；条形统计图；扇形统计图
【分析】（1）由最想读教育类书籍的学生数除以占的百分比求出总人数即可；
（2）确定出最想读国防类书籍的学生数，补全条形统计图即可；
（2）求出最想读科技类书籍的学生占的百分比，乘以1500即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：（名，
答：在这次调查中，一共抽取了60名学生；
（2）（名，
则本次调查中，选取国防类书籍的学生有15名，
补全条形统计图，如图所示：
（3）根据题意得：（名，
答：该校最想读科技类书籍的学生有225名．
24．（8分）已知：在矩形中，是对角线，于点，于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，连接、，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形面积的．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质
【分析】（1）由证明，即可得出结论；
（2）由平行线的性质得出，由直角三角形的性质得出，，得出的面积矩形的面积，由全等三角形的性质得出的面积矩形的面积；作于，由直角三角形的性质得出，得出的面积矩形的面积，同理：的面积矩形的面积．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，，
，
于点，于点，
，
在和中，，
，
；
（2）解：的面积的面积的面积的面积矩形面积的．理由如下：
，
，
，
，
，
，
，，
的面积矩形的面积，
，
的面积矩形的面积；
作于，如图所示：
，
，
的面积矩形的面积，
同理：的面积矩形的面积．
25．（10分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；
（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用
【分析】（1）设每副围棋元，每副中国象棋元，根据题意得：，求解即可；
（2）设购买围棋副，则购买象棋副，根据题意得：，即可求解；
【解答】解：（1）设每副围棋元，每副中国象棋元，
根据题意得：，
，
每副围棋16元，每副中国象棋10元；
（2）设购买围棋副，则购买象棋副，
根据题意得：，
，
最多可以购买25副围棋；
26．（10分）已知：为的直径，为的半径，、是的两条弦，于点，于点，连接、，与交于点．
（1）如图1，若与交于点，求证：；
（2）如图2，连接、，与交于点，若，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接、、，与交于点，与交于点，连接，若，，求的长．
【考点】圆的综合题
【分析】（1）利用"四边形内角和为"、"同弧所对的圆周角是圆心角的一半"即可；
（2）根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，先证，再根据"等角对等边"，证明；
（3）由全等三角形性质和垂径定理可将转化为；可设两直角边为：，，再构造直角三角形利用，求出的值；求得，得为直角三角形，应用勾股定理求．
【解答】解：（1）如图1，于点，于点
（2）如图2，连接，
，
，
即：
，
，
（3）如图3，连接，过点作于，过点作于，连接，，
由（2）知：，
，
，
，，，
，即：
设，，
则，
在中，
四边形内接于，，
，
在中，
即：，解得：，（不符合题意，舍去）
，，
，，
在中，，，
在中，
，
，即，
．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，且点与点关于轴对称；
（1）求直线的解析式；
（2）点为线段上一点，点为线段上一点，，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点在线段上，点在线段的延长线上，且点的纵坐标为，连接、、，与交于点，，连接，的延长线与轴的负半轴交于点，连接、，若，求直线的解析式．
【考点】一次函数综合题
【分析】（1）由，求出，，，所以，设直线的解析式为，将，代入，解得，，所以直线的解析式；
（2）过点作于点点，过点作于，于点．由，即，求出，设，由，即，求出，由，求得，，所以，即；
（3）如图，延长至使，连接、、、交于点，易证，所以，，于是，，再证明，所以，，于是四边形为平行四边形，由，设，，则，，所以，，，过点作轴于点．求得，设直线的解析式为，解得，因此直线的解析式为．
【解答】解：（1），
，，，
点与点关于轴对称，
，
设直线的解析式为，
将，代入，
，
解得，，
直线的解析式；
（2）如图1，过点作于点点，过点作于，于点．
，，
，，
，
即，
，
点为直线上，
设，
，，
即，
，
，
，
，
，
，
即；
（3）如图，延长至使，连接、、、交于点．
，，
，
，
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，
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，
，
，
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四边形为平行四边形，
，，
，
过点作于点，
，
设，，则，
，
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过点作轴于点．
点的纵坐标为，
，
，
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，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为．
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日期：2019/7/10 10:01:28；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
| 1 | |
**2008年高考(全国Ⅰ卷)** 理科综合能力能力测试
化学部分试题全解全析
一、选择题（在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。每小题6分，共48分）
6.在溶液中加入足量的Na~2~O~2~后仍能大量共存的离子组是
A.NH~4~^+^、Ba^2+^、Cl^---^、NO~3~^---^ B.K^+^、AlO~2~^---^、Cl^---^、SO~4~^2---^
C.Ca^2+^、Mg^2+^、NO~3~^---^、HCO~3~^---^ D.Na^+^、Cl^---^、CO~3~^2---^、SO~3~^2---^
**\[答案\]** B。
**\[解析\]**考查：给定条件下的离子共存问题，过氧化钠的性质、。
过氧化钠有强氧化性，溶于水生成氢氧化钠和氧气。A中,NH~4~^+^+OH^-^=NH~3~·H~2~O；
B中的离子之间不发生反应，与过氧化钠也不反应，故可以大量共存。
C中，HCO~3~^---^+OH^---^=CO~3~^2---^+H~2~O,Ca^2+^+ CO~3~^---^ =CaCO~3~↓，Mg^2+^+CO~3~^2---^=MgCO~3~↓；D中的SO~3~^2---^具有较强的还原性，过氧化钠会将其氧化成SO~4~^2-^。
7.下列化合物，按其晶体的熔点由高到低排列正确的是
A.SiO~2~ CsCl CBr~4~ CF~4~
B. SiO~2~ CsCl CF~4~ CBr~4~
C. CsCl SiO~2~ CBr~4~ CF~4~
D. CF~4~ CBr~4~ CsCl SiO~2~
**\[答案\]**A。
**\[解析\]**考查：比较各种不同类型的晶体熔点高低。
比较固体物质的熔点时，首先是区分各晶体的类型：SiO~2~为原子晶体，CsCl为离子晶体，CBr~4~ 、CF~4~分别为分子晶体。这几类晶体的熔点高低一般为：原子晶体\>离子晶体\>分子晶体。在结构相似的分子晶体中，分子的相对分子质量越大，熔点越高：CBr~4~ \> CF~4~
8.下列各组物质不属于同分异构体的是
A.2，2-二甲基丙醇和2-甲基丁醇 B.邻氯甲苯和对氯甲苯
C.2-甲基丁烷和戊烷 D.甲基丙烯酸和甲酸丙酯
**\[答案\]**D。
**\[解析\]**考查：判断同分异构体、根据有机物名称写出其结构简式的能力。
\[解析\]根据有机物的名称，知道各选项中有机物的碳原子数是一样多的。D选项中的甲基丙烯酸中有两个双键（碳碳双键和碳氧双键），而甲酸丙酯中只有一个碳氧双键，故这两种物质不是同分异构体。
9.下列各组给定原子序数的元素，不能形成原子数之比为1：1稳定化合物的是
A.3和17 B.1和8 C.1和6 D.7和12
**\[答案\]**D。
**\[解析\]**考查：原子序数、原子结构与物质构成的关系。
可将具体元素代入后再判断。各选项对应的元素和构成符合要求的化合物依次是：A.锂和氯，LiCl;B项中，H和O，H~2~O~2~；C项中，H和C，C~6~H~6~、C~2~H~2~等；D项中，N和Mg，Mg~3~N~2~。
10.下列叙述中正确的是
A.NH~3~、CO、CO~2~都是极性分子
B.CH~4~、CCl~4~都是含有极性键的非极性分子
C.HF、HCl、HBr、HI的稳定性一次增强
D.CS~2~、H~2~O、C~2~H~2~都是直线型分子
**\[答案\]**B。
**\[解析\]** 考查：化学键的极性与分子极性的关系、分子的空间构型、分子的稳定性等判断。
A中CO~2~的是非极性分子；B是正确的；C按照此顺序，各物质的稳定性依次减小，因为分子内的共价键依次减弱；D水分子不是直线型的，是V形结构。
11.已知：4NH~3~(g) + 5O~2~(g) = 4NO(g) + 6H~2~O(g)，*△H* = ---1025kJ/mol，该反应是一个可逆反应，若反应物起始的物质的量相同，下列关于该反应的示意图不正确的是
**\[答案\]**C。
**\[解析\]**考查：影响化学反应的速率的因素、化学平衡移动原理的应用等有关图像问题。4NH~3~(g)+5O~2~(g)=4NO(g)+6H~2~(g). *△H=-*1025KJ/mol。该反应是一个可逆反应。正反应是一个气体体积缩小的反应，也是一个放热反应。因此，温度越高，反应速率越快，达到平衡的时间越短；升高温度时，平衡向逆反应方向移动，NO的含量降低，故A是正确的，C是错误的。增大压强，反应速率加快，达到平衡的时间缩短，平衡向逆反应方向移动，NO的含量降低，故B是正确的。加入催化剂，反应速率加快，达到平衡式的时间缩短，但NO的含量不变，故D是正确的。
12.已知乙酸（HA）的酸性比甲酸（HB）弱，在物质的量浓度均为0.1mol/L的NaA和NaB混合溶液中，下列排列正确的是
A.*c*(OH^---^)＞*c*(HA)＞*c*(HB) ＞*c*(H^+^) B. *c*(OH^---^)＞*c*(A^---^)＞*c*(B^---^) ＞*c*(H^+^)
C. *c*(OH^---^)＞*c*(B^---^)＞*c*(A^---^) ＞*c*(H^+^) D. *c*(OH^---^)＞*c*(HB)＞*c*(HA) ＞*c*(H^+^)
**\[答案\]**A。
**\[解析\]**考查：电解质溶液中酸的电离、盐类的水解等知识。
酸越弱，对应的盐的水解程度越大，故同浓度的NaA和NaB，前者水解程度更大，因此其溶液中HA的浓度更大一些。盐类的水解一般来说是一些比较弱的反应，盐溶液中水解生成的分子的浓度要远小于原来的盐电离出的离子的浓度。又因为盐类水解的实质是阴离子或阳离子结合了水电离出的氢离子或氢氧根离子，使得其相应浓度剧烈减小，一般的，要小于生成的弱电解质分子的浓度。
13.电解100mL含*c*(H^+^)=0.30mol/L的下列溶液。当电路中通过0.04mol电子时，理论上析出金属质量最大的是
A.0.10mol/L Ag^+^ B. 0.20mol/L Zn^2+^
C. 0.20mol/L Cu^2+^ D. 0.20mol/L Pb^2+^
**\[答案\]**C。
\[解析\]考查：电解的原理应用及计算。
题目中涉及到了五种阳离子，当电解时，其放电的先后顺序是：Ag^+^ 、Cu^2+^ 、H^+^ 、Pb^2+^ 、Zn^2+^，当电路中通过0.04mol电子时，理论上析出金属质量依次是：Ag:0.10mol/L×0.1L×108g/mol=1.08g;
Cu:0.02mol/L×0.1L×64g/mol=1.28g;
Pb:(0.04mol-0.03mol)÷2×207g/mol=1.05;
Zn: (0.04mol-0.03mol)÷2×65g/mol=0.325g。
Ⅱ卷 非选择题
26.（16分）
实验室可由软锰矿（主要成分为MnO~2~）制备KMnO~4~，方法如下：软锰矿和过量的固体KOH和KClO~3~在高温下反应，生成锰酸钾（K~2~MnO~4~）和KCl；用水溶解，滤去残渣，滤液酸化后，K~2~MnO~4~转变为MnO~2~和KMnO~4~；滤去MnO~2~沉淀，浓缩溶液，结晶得到深紫色的针状KMnO~4~。试回答：
（1）软锰矿制备K~2~MnO~4~的化学方程式是
[ ]{.underline} ；
（2）K~2~MnO~4~制备KMnO~4~的离子方程式是
[ ]{.underline} ；
（3）若用2.5g软锰矿（含MnO~2~80%）进行上述实验，计算KMnO~4~的理论产量：
（4）KMnO~4~能与热的经硫酸酸化的Na~2~C~2~O~4~反应，生成Mn^2+^和CO~2~，该反应的化学方程式是 [ ]{.underline} ；
（5）上述制得的KMnO~4~产品0.165g，恰好与0.335g纯Na~2~C~2~O~4~反应。计算该KMnO~4~的纯度。
**\[解析\]**考查：氧化还原反应方程式的配平、离子方程式的书写、根据化学方程式进行的计算。
（1）反应中的变价元素是锰和氯，锰元素由+4价升高为+6价，氯元素由+5价降低到-1价，根据化合价升降总数相等，参加反应的二氧化锰和氯酸钾的物质的量之比为3：1。故该反应的化学方程式是：
3MnO~2~+KClO~3~+6KOH3K~2~MnO~4~+KCl+3H~2~O.
（2）根据化合价变化和电荷守恒可写出并配平该离子方程式：
3MnO~4~^2---^+4H^+^=MnO~2~↓+2MnO~4~^---^+2H~2~O
（3）根据（1）和（2）中的两个方程式可以得到关系式：
3MnO~2~------------------2KMnO~4~
3×87 2×158
2.5g×80% m(KMnO~4~)
m(KMnO~4~)= 2×158×2.5g×80% /(3×87) =2.4g。
（4）2KMnO~4~+8H~2~SO~4~+5Na~2~C~2~O~4~2MnSO~4~+K~2~SO~4~+10CO~2~↑+5Na~2~SO~4~+8H~2~O
（5）根据（4）中的化学方程式：
2KMnO~4~------------------------5Na~2~C~2~O~4~
2×158 5×134
m(KMnO~4~) 0.335g
m(KMnO~4~)= 2×158×0.335g/(5×134)=0.158g
KMnO~4~纯度=(0.158g/0.165g)×100%=95.8%.
**\[答案\]**见\[解析\]。
27.（15分）
V、W、X、Y、Z是由周期表中1～20号部分元素组成的5种化合物，其中V、W、X、Z均为两种元素组成。上述5中化合物涉及的所有元素的原子序数之和等于35。它们之间的反应关系如下图：
（1）5种化合物分别是V [ ]{.underline} 、W [ ]{.underline} 、X [ ]{.underline} 、Y [ ]{.underline} 、Z [ ]{.underline} ；（填化学式）
（2）由上述5中化合物中的某2种化合物反应可生成一种新化合物，它包含了5种化合物中的所有元素，生成该化合物的化学方程式是 [ ]{.underline} ；
（3）V的电子式是 [ ]{.underline} 。
**\[解析\]**考查：元素推断与元素及其化合物相结合知识。
固体V与水水反应可得Y白色固体与Z无色气体就是本题的"突破口"。固体V可能是碳化钙、过氧化钠、氮化镁、硫化铝等，
X是一种无色无味的气体，是由两种元素构成的化合物，且由固体V与氧气反应得到，可知X和W均是氧化物，我们比较熟悉的有CO~2~、NO、CO等。并可由此确定V中含有碳元素或氮元素等。
W和Y均为白色固体，且W与 H~2~O反应生成Y，又W是氧化物，符合这些条件的物质常见的有氧化钙、氧化镁、氧化钠等。据此可初步推断V为碳化钙、氮化镁一类的物质。题目中又告诉我们：上述5种化合物涉及的所有元素的原子序数之和等于35。可计算推知：V是CaC~2~。Z是C~2~H~2~。
\[答案\]
（1）CaC~2~、CaO、CO~2~、Ca(OH)~2~、C~2~H~2~、.
（2）Ca(OH)~2~+CO~2~=Ca(HCO~3~)~2~
（3）
28.（13分）
取化学式为MZ的黄色粉末状化合物进行如下实验。将MZ和足量的碳粉充分混合物，平铺在反应管a中，在b瓶中盛足量澄清石灰水。按图连接仪器。
实验开始时缓缓通入氮气，过一段时间后，加热反应管a，观察到管内发生剧烈反应，并有熔融物生成，同时，b瓶的溶液出现白色浑浊。待反应完全后，停止加热，仍继续通氮气，直至反应管冷却，此时，管中的熔融物凝固城银白色金属。根据以上叙述回答：
（1）元素Z是 [ ]{.underline} ；
（2）停止加热前是否需要先断开a和b的连接处？为什么？
[ ]{.underline} ；
（3）反应管a中发生的所有反应的化学方程式是
[ ]{.underline} ；
（4）本实验的围棋是否需处理？如需处理，请回答如何处理；如不需处理，请说明理由。
[ ]{.underline} 。
**\[解析\]**考查：化学实验问题。
确定不了MZ是什么物质，不会影响解答其中的大部分题目。
MZ与过量的碳反应生成的气体能使澄清石灰水变浑浊，知道，该气体中含有二氧化碳。也就是说Z元素应该是氧。因为一直通入氮气直至反应管冷却，因此，停止加热时，不会因为温度降低，反应管内气压减小而引起液体倒吸，所以，不需要将a和b之间的连接处断开。
第三问需要知道MZ是什么物质。
第四问，根据过量的碳与MZ反应来看，该反应过程中除了生成二氧化碳之外，还会生成一氧化碳，一氧化碳有毒，应该进行尾气处理，处理的方法可以将其在导管口点燃，或者用气球收集，或接一个加热的装有CuO的玻璃管。
中学化学中遇到的黄色化合物不是很多，常见的有过氧化钠、溴化银、二硫化亚铁、硫化铝、二硫化亚铁铜等，有一种氧化亚铅（PbO）也是黄色的。但不属于常见物质。
从题目中看，该物质的化学式是MZ,而且这种物质的氧化性很强，可猜测该物质可能是过氧化钠。我们也可以用MZ来表示相关的化学方程式。
**\[答案\]**（1）氧
（2）不需要，因为一直通入氮气，b中溶液不会倒吸到a管中。
（3）MZ+CM+CO↑ MZ+COM+CO~2~↑ CO~2~+C2CO↑ 2MZ+C2 M+CO~2~↑
（4）需处理，因为一氧化碳有毒，应该进行尾气处理，处理的方法可以将其在导管口点燃，或者用气球收集，或接一个加热的装有CuO的玻璃管。
29.（16分）
A、B、C、D、E、F和G都是有机化合物，它们的关系如下图所示：
（1）化合物C的分子式是C~7~H~8~O，C遇到FeCl~3~溶液显示紫色，C与溴水反应生成的一溴代物只有两种，则C的结构简式为 [ ]{.underline} ；
（2）D为一直链化合物，其相对分子质量比化合物C的小20，它能跟NaHCO~3~反应放出CO~2~，则D分子式为 [ ]{.underline} ，D具有的官能团是 [ ]{.underline} ；
（3）反应①的化学方程式是 [ ]{.underline} ；
（4）芳香化合物B是与A具有相同官能团的A的同分异构体，通过反应②化合物B能生成E和F，F可能的结构简式是 [ ]{.underline} ；
（5）E可能的结构简式是 [ ]{.underline} 。
**\[解析\]**考查：有机化学知识综合运用
（1）可以很容易地判断出C是对甲基苯酚。
（2）C的相对分子质量是108，则D的相对分子质量为88，从转化关系知，其中含有一个羧基，其式量是45，剩余部分的式量是43 ，应该是一个丙基，则D的分子式是C~4~H~8~O~2~,是正丁酸。具有的官能团为羧基。
（3）化合物A是丁酸对甲基苯酚酯，要求写的是该物质水解的化学方程式，在酸性条件下水解生成对甲基苯酚和丁酸。
（4）根据G的分子式，结合反应②可知，F的分子式是C~3~H~8~O,其结构有两种，分别是丙醇和异丙醇。E是芳香酸，其分子式是C~8~H~8~O~2~.
（5）符合题意的结构有四种：分别是苯乙酸、邻甲基苯甲酸、间甲基苯甲酸、对甲基苯甲酸。
\[答案\]
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**《回收废电池》同步练习**
一、练一练。
48＋6= 360－80=
1500＋700= 30＋58=
570＋60= 3200－800=
61－4= 400－30=
2500＋3000=
二、用竖式计算。
162＋234 718＋120 456＋307 271＋436
169＋602 98＋320 267＋385 513＋487
\[来源:学科网\]
三、沙场练兵
（1）一班和二班一共回收多少节？
（2）一班和三班一共回收多少节？
（3）二班和三班一共回收多少节？\[来源:学\|科\|网\]
四、下面的计算对吗？
（1）125＋323＝488
（2）76＋102＝862
\[来源:学\*科\*网\]
（3）431＋213＝844
\[来源:Z§xx§k.Com\]
参考答案：
一、练一练。
48＋6=54 360－80= 280
1500＋700=2200 30＋58=88
570＋60=630 3200－800=2400
61－4=57 400－30=370
2500＋3000=5500
二、用竖式计算。
162＋234=396 718＋120 =838
456＋307 =763 271＋436 =707
169＋602 = 771 98＋320 =418
267＋385 = 652 513＋487 =1000
56＋109 =165
三、沙场练兵\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]
（1）199
（2）231
（3）226
四、下面的计算对吗？
（1）错
125＋323＝448
（2）错
76＋102＝178
（3）错
431＋213＝644
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**北师大版小学数学总复习《数与代数》检测试题九（附答案）**
一、填空。
1．不共线的7个点，可以连成( )条线段。
2．找规律。
(1)1，2，4，7，11，( )，( )。
(2)3，6，9，12，( )，( )。
(3)12，1，10，1，8，( )，( )，( )。
1，8，27，( )，125，( )。
(4)4，9，16，25，( )，( )，( )。
3. [ ]{.underline} [ ]{.underline}
二、小法官，巧断案。(对的打"√"，错的打"×")
1．不共线的4个点可以连成6条线段。( )
2．n边形的内角和是(n-2)×180°。( )
3．六边形的内角和是720°。( ) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
4．四边形内角和是540°。( )
5．盒子里有两种颜色的棋子，摸3个棋子就有两个棋子同色。( )
三、精挑细选。(将正确答案的序号填在括号里)
1．一张桌子可坐6人，两张桌子并排放可坐10人，3张桌子可坐( )人。
A．15 B．12 C．14
2\.  第13个是( )色。
A．红 B．黄
3．15，10，13，10，( )。
A．11 B．15 C．17
四、回答问题。
1．有两个小组，第一小组有5人，第二小组有3人，要从第一小组选1人，第2小组选2人，组成新的小组，一共有多少种选择方案？
2．青海玉树地震后，某小学为庆祝重建校园，从一年级6个班选择5个班出节目，从二年级6个班里也选5个班出节目。有多少种选法？
来源：www.bcjy123.com/tiku/
五、动脑筋。
从A地到B地有2条路可走，从B地到C地有3条路可走，王叔叔从A地经过B地到C地，有几种走法？
**参考答案**
一、1．21 2．(1)16 22 (2)15 18 (3)1 6 1 64 216 (4)36 49 64
3．自己画一画
二、1．√ 2．√ 3．√4．× 5．√
三、1．C 2．A 3．A
四、1．15种 2．36种
五、6种
| 1 | |
**2008年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学(必修+选修Ⅱ)**
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
**第Ⅰ卷**
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
**参考公式：**
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径
**一、选择题**
[1](http://www.mathschina.com)．设集合，（ ）
A． B． C． D．
**【答案】B**
**【解析】，，∴**
**【高考考点】集合的运算，整数集的符号识别**
2．设且，若复数是实数，则（ ）
A． B． C． D．
**【答案】A**
**【解析】，**因是实数且
，所以
**【高考考点】复数的基本运算**
[3](http://www.mathschina.com)．函数的图像关于（ ）
A．轴对称 B． 直线对称
C． 坐标原点对称 D． 直线对称
**【答案】C**
**【解析】**是奇函数，所以图象关于原点对称
**【高考考点】函数奇偶性的性质**
4．若，则（ ）
A．\<\< B．\<\< C． \<\< D． \<\<
**【答案】C**
**【解析】**由，令且取知\<\<
[5](http://www.mathschina.com)．设[变量](http://www.mathschina.com)满足约束条件：，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
**【答案】D**
**【解析】**如图作出可行域，知可行域的顶点
是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)
于是
6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ）
A． B． C． D．
**【答案】D**
**【解析】**
[7](http://www.mathschina.com)．的展开式中的系数是（ ）
A． B． C．3 D．4
**【答案】B**
**【解析】**
**【易错提醒】容易漏掉项或该项的负号**
8．若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
**【答案】B**
**【解析】**在同一坐标系中作出及在的图象，由图象知，当，即时，得，，∴
**【高考考点】三角函数的图象，两点间的距离**
**【备考提示】函数图象问题是一个常考常新的问题**
[9](http://www.mathschina.com)．设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
**【答案】B**
**【解析】**，因为是减函数，所以当时
，所以，即
**【高考考点】解析几何与函数的交汇点**
10．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
**【答案】C**
**【解析】**连接AC、BD交于O，连接OE，因OE∥SD.所以∠AEO为所求。设侧棱长与底面边长都等于2，则在⊿AEO中，OE＝1,AO＝，AE=，
于是
[11](http://www.mathschina.com)．[等腰三角形](http://www.mathschina.com)两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
**【答案】A**
**【解析】**，，设底边为
由题意，到所成的角等于到所成的角于是有
再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A
**【高考考点】两直线成角的概念及公式**
**【备考提示】本题是由教材的一个例题改编而成。（人教版P49例7）**
12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）
A．1 B． C． D．2
**【答案】C**
**【解析】**设两圆的圆心分别为、，球心为，公共弦为AB，其中点为E，则为矩形，于是对角线,而，∴
**【高考考点】球的有关概念，两平面垂直的性质**
**2008年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学(必修+选修Ⅱ)**
**第Ⅱ卷**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．**
[13](http://www.mathschina.com)．设[向量](http://www.mathschina.com)，若向量与向量共线，则 [ ]{.underline} ．
**【答案】 2**
**【解析】**＝则向量与向量共线
14．设曲线在点处的切线与直线垂直，则 [ ]{.underline} ．
**【答案】 2**
**【解析】**，∴切线的斜率，所以由得
[15](http://www.mathschina.com)．已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于 [ ]{.underline} ．
**【答案】**
**【解析】**设A（，）B（，）由，，（）；∴由抛物线的定义知
**【高考考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用**
16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件① [ ]{.underline} ；
充要条件② [ ]{.underline} ．
（写出你认为正确的两个充要条件）
**【答案】**两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．
注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．
**三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
[17](http://www.mathschina.com)．（本小题满分10分）
在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设的面积，求的长．
18．（本小题满分12分）
购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
[19](http://www.mathschina.com)．（本小题满分12分）
如图，正四棱柱中，，点在上且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
20．（本小题满分12分）
设数列的前项和为．已知，，．
（Ⅰ）设，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，求的取值范围．
[21](http://www.mathschina.com)．（本小题满分12分）
设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与*AB*相交于点*D*，与椭圆相交于*E*、*F*两点．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值．
22．（本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．
**2008年普通高等学校招生全国统一考试**
**理科数学试题（必修选修Ⅱ）参考答案和评分参考**
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要
考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题不给中间分．
**一、选择题**
1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D
7．B 8．B 9．B 10．C 11．A 12．C
**二、填空题**
13．2 14．2 5．
16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．
注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．
**三、解答题**
17．解：
（Ⅰ）由，得，
由，得．
所以． 5分
（Ⅱ）由得，
由（Ⅰ）知，
故， 8分
又，
故，．
所以． 10分
18．解：
各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为，
则．
（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， 2分
，
又，
故． 5分
（Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．
支出 ，
盈利 ，
盈利的期望为 ， 9分
由知，，
．
（元）．
故每位投保人应交纳的最低保费为15元． 12分
19．解法一：
依题设知，．
（Ⅰ）连结交于点，则．
由三垂线定理知，． 3分
在平面内，连结交于点，
由于，
故，，
与互余．
于是．
与平面内两条相交直线都垂直，
所以平面． 6分
（Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，
故是二面角的平面角． 8分
，
，．
，．
又，．
．
所以二面角的大小为． 12分
解法二：
以为坐标原点，射线为轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系．
依题设，．
，
． 3分
（Ⅰ）因为，，
故，．
又，
所以平面． 6分
（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则
，．
故，．
令，则，，． 9分
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小为． 12分
20．解：
（Ⅰ）依题意，，即，
由此得． 4分
因此，所求通项公式为
，．① 6分
（Ⅱ）由①知，，
于是，当时，
，
，
当时，
．
又．
综上，所求的的取值范围是． 12分
21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，
直线的方程分别为，． 2分
如图，设，其中，
且满足方程，
故．①
由知，得；
由在上知，得．
所以，
化简得，
解得或． 6分
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，
． 9分
又，所以四边形的面积为
，
当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分
解法二：由题设，，．
设，，由①得，，
故四边形的面积为
9分
，
当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分
22．解：
（Ⅰ）． 2分
当（）时，，即；
当（）时，，即．
因此在每一个区间（）是增函数，
在每一个区间（）是减函数． 6分
（Ⅱ）令，则
．
故当时，．
又，所以当时，，即． 9分
当时，令，则．
故当时，．
因此在上单调增加．
故当时，，
即．
于是，当时，．
当时，有．
因此，的取值范围是． 12分
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**2013年北京市高考数学试卷（文科）**
**一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．**
1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x\|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
2．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（ ）
A．ac＞bc B． C．a^2^＞b^2^ D．a^3^＞b^3^
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A． B．y=e^﹣x^ C．y=lg\|x\| D．y=﹣x^2^+1
4．（5分）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（ ）
A． B． C． D．1
6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．（5分）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（ ）
A． B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2
8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，P为对角线BD~1~的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
**二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．**
9．（5分）若抛物线y^2^=2px的焦点坐标为（1，0），则p=[ ]{.underline}；准线方程为[ ]{.underline}．
10．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为[ ]{.underline}．
11．（5分）若等比数列{a~n~}满足a~2~+a~4~=20，a~3~+a~5~=40，则公比q=[ ]{.underline}；前n项和S~n~=[ ]{.underline}．
12．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为[ ]{.underline}．
13．（5分）函数f（x）=的值域为[ ]{.underline}．
14．（5分）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为[ ]{.underline}．
**三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．**
15．（13分）已知函数f（x）=（2cos^2^x﹣1）sin 2x+cos 4x．
（1）求f（x）的最小正周期及最大值；
（2）若α∈（，π），且f（α）=，求α的值．
16．（13分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：
（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；
（Ⅱ）BE∥平面PAD；
（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．
18．（13分）已知函数f（x）=x^2^+xsinx+cosx．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．
19．（14分）直线y=kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．
（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．
20．（14分）给定数列a~1~，a~2~，...，a~n~．对i=1，2，...，n﹣1，该数列前i项的最大值记为A~i~，后n﹣i项a~i+1~，a~i+2~，...，a~n~的最小值记为B~i~，d~i~=A~i~﹣B~i~．
（Ⅰ）设数列{a~n~}为3，4，7，1，写出d~1~，d~2~，d~3~的值；
（Ⅱ）设a~1~，a~2~，...，a~n﹣1~（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a~1~＞0．证明：d~1~，d~2~，...，d~n﹣1~是等比数列；
（Ⅲ）设d~1~，d~2~，...，d~n﹣1~是公差大于0的等差数列，且d~1~＞0．证明：a~1~，a~2~，...，a~n﹣1~是等差数列．
**2013年北京市高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．**
1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x\|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}
【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．
【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x\|﹣1≤x＜1}，
∴A∩B={﹣1，0}．
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（ ）
A．ac＞bc B． C．a^2^＞b^2^ D．a^3^＞b^3^
【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．
【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；
B、1＞﹣2，但是，故B不正确；
C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）^2^＜（﹣2）^2^，故C不正确；
D、∵a＞b，∴a^3^＞b^3^，成立，故D正确．
故选：D．
【点评】熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键．
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A． B．y=e^﹣x^ C．y=lg\|x\| D．y=﹣x^2^+1
【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可．
【解答】解：A中，y=为奇函数，故排除A；
B中，y=e^﹣x^为非奇非偶函数，故排除B；
C中，y=lg\|x\|为偶函数，在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，+∞）时，单调递增，
所以y=lg\|x\|在（0，+∞）上不单调，故排除C；
D中，y=﹣x^2^+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶i性、单调性的判断证明，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，熟记基本函数的有关性质可简化问题的解决．
4．（5分）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．
【解答】解：∵复数z=i（2﹣i）=﹣i^2^+2i=1+2i
∴复数对应的点的坐标是（1，2）
这个点在第一象限，
故选：A．
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．
5．（5分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（ ）
A． B． C． D．1
【分析】由正弦定理列出关系式，将a，b及sinA的值代入即可求出sinB的值．
【解答】解：∵a=3，b=5，sinA=，
∴由正弦定理得：sinB===．
故选：B．
【点评】此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．
【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．
执行，i=0+1=1；
判断1≥2不成立，执行，i=1+1=2；
判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．
故选：C．
【点评】本题考查了程序框图，考查了直到型结构，直到型循环是先执行后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足结束循环，是基础题．
7．（5分）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（ ）
A． B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2
【分析】根据双曲线的标准形式，可以求出a=1，b=，c=．利用离心率e大于建立不等式，解之可得 m＞1，最后利用充要条件的定义即可得出正确答案．
【解答】解：双曲线，说明m＞0，
∴a=1，b=，可得c=，
∵离心率e＞等价于 ⇔m＞1，
∴双曲线的离心率大于的充分必要条件是m＞1．
故选：C．
【点评】本题虽然小巧，用到的知识却是丰富的，具有综合性特点，涉及了双曲线的标准方程、几何性质等几个方面的知识，是这些内容的有机融合，是一个极具考查力的小题．
8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，P为对角线BD~1~的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长\|AB\|=3，即可得到各顶点的坐标，利用两点间的距离公式即可得出．
【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长\|AB\|=3，
则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A~1~（3，0，3），B~1~（3，3，3），C~1~（0，3，3），D~1~（0，0，3），
∴=（﹣3，﹣3，3），
设P（x，y，z），
∵=（﹣1，﹣1，1），
∴=（2，2，1）．
∴\|PA\|=\|PC\|=\|PB~1~\|==，
\|PD\|=\|PA~1~\|=\|PC~1~\|=，
\|PB\|=，
\|PD~1~\|==．
故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，共4个．
故选：B．
【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系及两点间的距离公式是解题的关键．
**二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．**
9．（5分）若抛物线y^2^=2px的焦点坐标为（1，0），则p=[ 2 ]{.underline}；准线方程为[ x=﹣1 ]{.underline}．
【分析】由抛物线的性质可知，知=1，可知抛物线的标准方程和准线方程．
【解答】解：∵抛物线y^2^=2px的焦点坐标为（1，0），
∴=1，p=2，
抛物线的方程为y^2^=4x，
∴其标准方程为：x=﹣1，
故答案为：2，x=﹣1．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，属于基础题．
10．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为[ 3 ]{.underline}．
【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积．
【解答】解：几何体为底面边长为3的正方形，高为1的四棱锥，
所以体积．
故答案为：3．
【点评】本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．
11．（5分）若等比数列{a~n~}满足a~2~+a~4~=20，a~3~+a~5~=40，则公比q=[ 2 ]{.underline}；前n项和S~n~=[ 2^n+1^﹣2 ]{.underline}．
【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出，解出即可得到a~1~及q，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{a~n~}的公比为q，
∵a~2~+a~4~=a~2~（1+q^2^）=20①
a~3~+a~5~=a~3~（1+q^2^）=40②
∴①②两个式子相除，可得到==2
即等比数列的公比q=2，
将q=2带入①中可求出a~2~=4
则a~1~===2
∴数列{a~n~}时首项为2，公比为2的等比数列．
∴数列{a~n~}的前n项和为：S~n~===2^n+1^﹣2．
故答案为：2，2^n+1^﹣2．
【点评】熟练掌握等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式是解题的关键．
12．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】首先根据题意作出可行域，欲求区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值，由其几何意义为点A（1，0）到直线2x﹣y=0距离为所求，代入点到直线的距离公式计算可得答案．
【解答】解：如图可行域为阴影部分，
由其几何意义为点A（1，0）到直线2x﹣y=0距离，即为所求，
由点到直线的距离公式得：
d==，
则区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值等于 ．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
13．（5分）函数f（x）=的值域为[ （﹣∞，2） ]{.underline}．
【分析】通过求解对数不等式和指数不等式分别求出分段函数的值域，然后取并集得到原函数的值域．
【解答】解：当x≥1时，f（x）=；
当x＜1时，0＜f（x）=2^x^＜2^1^=2．
所以函数的值域为（﹣∞，2）．
故答案为（﹣∞，2）．
【点评】本题考查了函数值域的求法，分段函数的值域要分段求，最后取并集．是基础题．
14．（5分）已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为[ 3 ]{.underline}．
【分析】设P的坐标为（x，y），根据，结合向量的坐标运算解出，再由1≤λ≤2、0≤μ≤1得到关于x、y的不等式组，从而得到如图的平行四边形CDEF及其内部，最后根据坐标系内两点间的距离公式即可算出平面区域D的面积．
【解答】解：设P的坐标为（x，y），则
=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，
∴，解之得
∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组
作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部
其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）
∵\|CF\|==，
点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d==
∴平行四边形CDEF的面积为S=\|CF\|×d=×=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3
故答案为：3
【点评】本题在平面坐标系内给出向量等式，求满足条件的点P构成的平面区域D的面积．着重考查了平面向量的坐标运算、二元一次不等式组表示的平面区域和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．
**三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．**
15．（13分）已知函数f（x）=（2cos^2^x﹣1）sin 2x+cos 4x．
（1）求f（x）的最小正周期及最大值；
（2）若α∈（，π），且f（α）=，求α的值．
【分析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦函数以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求f（x）的最小正周期，利用三角函数的最值求出函数的最大值；
（Ⅱ）通过，且，求出α的正弦值，然后求出角即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为
=
=
∴T==，
函数的最大值为：．
（Ⅱ）∵f（x）=，，
所以，
∴，k∈Z，
∴，又∵，
∴．
【点评】本题考查二倍角的余弦函数正弦函数的应用，两角和的正弦函数，三角函数的周期与最值的求法，以及角的求法，考查计算能力．
16．（13分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
【分析】（Ⅰ）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；
（Ⅱ）用列举法写出此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况，查出仅有一天是重度污染的情况，然后直接利用古典概型概率计算公式得到答案；
（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．
【解答】解：（Ⅰ）由图看出，1日至13日13天的时间内，空气质量优良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天．
由古典概型概率计算公式得，此人到达当日空气质量优良的概率P=；
（Ⅱ）此人在该市停留期间两天的空气质量指数（86，25）、（25，57）、（57，143）、（143，220）、
（220，160）（160，40）、（40，217）、（217，160）、（160，121）、（121，158）、（158，86）、（86，79）、（79，37）共13种情况．
其中只有1天空气重度污染的是（143，220）、（220，160）、（40，217）、（217，160）共4种情况，所以，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率P=；
（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图看出从5日开始连续5、6、7三天的空气质量指数方差最大．
【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了一组数据的方差和标准差，训练了学生的读图能力，是基础题．
17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：
（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；
（Ⅱ）BE∥平面PAD；
（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．
【分析】（Ⅰ）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）根据已知条件判断ABED为平行四边形，故有BE∥AD，再利用直线和平面平行的判定定理证得BE∥平面PAD．
（Ⅲ）先证明ABED为矩形，可得BE⊥CD ①．现证CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位线的性质可得EF∥PD，
从而证得 CD⊥EF ②．结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理
证得平面BEF⊥平面PCD．
【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．
又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．
（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．
再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，
∴CD⊥EF ②．
而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．
由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．
【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理，直线和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，属于中档题．
18．（13分）已知函数f（x）=x^2^+xsinx+cosx．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．
【分析】（I）由题意可得f′（a）=0，f（a）=b，联立解出即可；
（II）利用导数得出其单调性与极值即最值，得到值域即可．
【解答】解：（I）f′（x）=2x+xcosx=x（2+cosx），
∵曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，
∴f′（a）=a（2+cosa）=0，f（a）=b，
联立，
解得，
故a=0，b=1．
（II）∵f′（x）=x（2+cosx）．
令f′（x）=0，得x=0，x，f（x），f′（x）的变化情况如表：
--------- -------------------------------------- --- --------------------------------------
x （﹣∞，0） 0 （0，+∞）
f（x） ﹣ 0 \+
f′（x）  1 
--------- -------------------------------------- --- --------------------------------------
所以函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，f（0）=1是f（x）的最小值．
当b≤1时，曲线y=f（x）与直线x=b最多只有一个交点；
当b＞1时，f（﹣2b）=f（2b）≥4b^2^﹣2b﹣1＞4b﹣2b﹣1＞b，f（0）=1＜b，所以存在x~1~∈（﹣2b，0），x~2~∈（0，2b），使得f（x~1~）=f（x~2~）=b．
由于函数f（x）在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上均单调，所以当b＞1时曲线y=f（x）与直线y=b有且只有两个不同的交点．
综上可知，如果曲线y=f（x）与直线y=b有且只有两个不同的交点，那么b的取值范围是（1，+∞）．
【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值及其几何意义是解题的关键．
19．（14分）直线y=kx+m（m≠0）与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．
（Ⅰ）当点B的坐标为（0，1），且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
（Ⅱ）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．
【分析】（I）先根据条件得出线段OB的垂直平分线方程为y=，从而A、C的坐标为（，），根据两点间的距离公式即可得出AC的长；
（II）欲证明四边形OABC不可能为菱形，只须证明若OA=OC，则A、C两点的横坐标相等或互为相反数．设OA=OC=r，则A、C为圆x^2^+y^2^=r^2^与椭圆的交点，从而解得，则A、C两点的横坐标相等或互为相反数．于是结论得证．
【解答】解：（I）∵点B的坐标为（0，1），当四边形OABC为菱形时，AC⊥OB，而B（0，1），O（0，0），
∴线段OB的垂直平分线为y=，
将y=代入椭圆方程得x=±，
因此A、C的坐标为（，），如图，
于是AC=2．
（II）欲证明四边形OABC不可能为菱形，利用反证法，假设四边形OABC为菱形，则有OA=OC，
设OA=OC=r，则A、C为圆x^2^+y^2^=r^2^与椭圆的交点，
故，x^2^=（r^2^﹣1），则A、C两点的横坐标相等或互为相反数．
从而得到点B是W的顶点．这与题设矛盾．
于是结论得证．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，考查等价转化思想，属于基础题．
20．（14分）给定数列a~1~，a~2~，...，a~n~．对i=1，2，...，n﹣1，该数列前i项的最大值记为A~i~，后n﹣i项a~i+1~，a~i+2~，...，a~n~的最小值记为B~i~，d~i~=A~i~﹣B~i~．
（Ⅰ）设数列{a~n~}为3，4，7，1，写出d~1~，d~2~，d~3~的值；
（Ⅱ）设a~1~，a~2~，...，a~n﹣1~（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a~1~＞0．证明：d~1~，d~2~，...，d~n﹣1~是等比数列；
（Ⅲ）设d~1~，d~2~，...，d~n﹣1~是公差大于0的等差数列，且d~1~＞0．证明：a~1~，a~2~，...，a~n﹣1~是等差数列．
【分析】（Ⅰ）当i=1时，A~1~=3，B~1~=1，从而可求得d~1~，同理可求得d~2~，d~3~的值；
（Ⅱ）依题意，可知a~n~=a~1~q^n﹣1^（a~1~＞0，q＞1），由d~k~=a~k~﹣a~k+1~⇒d~k﹣1~=a~k﹣1~﹣a~k~（k≥2），从而可证（k≥2）为定值．
（Ⅲ）依题意，0＜d~1~＜d~2~＜...＜d~n﹣1~，可用反证法证明a~1~，a~2~，...，a~n﹣1~是单调递增数列；再证明a~m~为数列{a~n~}中的最小项，从而可求得是a~k~=d~k~+a~m~，问题得证．
【解答】解：（Ⅰ）当i=1时，A~1~=3，B~1~=1，故d~1~=A~1~﹣B~1~=2，同理可求d~2~=3，d~3~=6；
（Ⅱ）由a~1~，a~2~，...，a~n﹣1~（n≥4）是公比q大于1的等比数列，且a~1~＞0，则{a~n~}的通项为：a~n~=a~1~q^n﹣1^，且为单调递增的数列．
于是当k=1，2，...n﹣1时，d~k~=A~k~﹣B~k~=a~k~﹣a~k+1~，
进而当k=2，3，...n﹣1时，===q为定值．
∴d~1~，d~2~，...，d~n﹣1~是等比数列；
（Ⅲ）设d为d~1~，d~2~，...，d~n﹣1~的公差，
对1≤i≤n﹣2，因为B~i~≤B~i+1~，d＞0，
所以A~i+1~=B~i+1~+d~i+1~≥B~i~+d~i~+d＞B~i~+d~i~=A~i~，
又因为A~i+1~=max{A~i~，a~i+1~}，所以a~i+1~=A~i+1~＞A~i~≥a~i~．
从而a~1~，a~2~，...，a~n﹣1~为递增数列．
因为A~i~=a~i~（i=1，2，...n﹣1），
又因为B~1~=A~1~﹣d~1~=a~1~﹣d~1~＜a~1~，
所以B~1~＜a~1~＜a~2~＜...＜a~n﹣1~，
因此a~n~=B~1~．
所以B~1~=B~2~=...=B~n﹣1~=a~n~．
所以a~i~=A~i~=B~i~+d~i~=a~n~+d~i~，
因此对i=1，2，...，n﹣2都有a~i+1~﹣a~i~=d~i+1~﹣d~i~=d，
即a~1~，a~2~，...，a~n﹣1~是等差数列．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查考查推理论证与抽象思维的能力，考查反证法的应用，属于难题．
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**2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题**
**理科数学（Ⅱ）**
**第Ⅰ卷**
**一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 设集合，，则集合=（ ）
A.  B.  C.  D. 
2\. 设复数满足，则=（ ）
A.  B.  C.  D. 
3\. 若，，则的值为（ ）
A.  B.  C.  D. 
4\. 已知直角坐标原点为椭圆 的中心，，为左、右焦点，在区间任取一个数，则事件"以为离心率的椭圆与圆：没有交点"的概率为（ ）
A.  B.  C.  D. 
5\. 定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ）
A.  B.  C.  D. 
6\. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的表面积是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
7\. 函数在区间的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
8\. 二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则的值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
9\. 执行下图的程序框图，若输入的，，，则输出的的值为（ ）
A. 81 B.  C.  D. 
10\. 已知数列，，且，，则的值为（ ）
A.  B.  C.  D. 
11\. 已知函数 的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（ ）学\#科\#网\...
A. 函数图象的对称轴方程为
B. 函数的最大值为
C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行
D. 方程的两个不同的解分别为，，则最小值为
12\. 已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
**第Ⅱ卷**
**本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分**
13\. 向量，，若向量，共线，且，则的值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
14\. 设点是椭圆上的点，以点为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于不同的两点、，若为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
15\. 设，满足约束条件则的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
16\. 在平面五边形中，已知，，，，，，当五边形的面积时，则的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
17\. 已知数列的前项和为，， .
（1）求数列的通项公式；
（2）记 求的前项和.
18\. 如图所示的几何体中，底面为菱形，，，与相交于点，四边形为直角梯形，，，，平面底面.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
19\. 某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为、、、、五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：
（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为的人数；
（2）若等级、、、、分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为"考前心理稳定整体过关"，请问该校高三年级目前学生的"考前心理稳定整体"是否过关？
（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从、两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为级的个数的分布列与数学期望.
20\. 已知椭圆：的离心率为，且过点，动直线：交椭圆于不同的两点，，且（为坐标原点）
（1）求椭圆的方程.学\#科\#网\...
（2）讨论是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.
21\. 设函数 .
（1）试讨论函数的单调性；
（2）设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，，证明.
**请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.**
22\. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.
（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；
（2）当时，两曲线相交于，两点，求.
23\. 选修4-5：不等式选讲.
已知函数.
（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；
（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.
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**2018年天津市初中毕业生学业考试试卷**
**数学**
**一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1\. 计算的结果等于（ ）
A. 5 B.  C. 9 D. 
【答案】C
【解析】分析：根据有理数的乘方运算进行计算．
详解：（-3）^2^=9，
故选C．
点睛：本题考查了有理数的乘方，比较简单，注意负号．
2\. 的值等于（ ）
A.  B.  C. 1 D. 
【答案】B
【解析】分析：根据特殊角的三角函数值直接求解即可．
详解：cos30°=．
故选：B．
点睛：本题考查特殊角的三角函数值的记忆情况．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．
3\. 今年"五一"假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学计数法表示为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
详解：将77800用科学记数法表示为：．
故选B．
点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4\. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
详解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A．
点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．
5\. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】分析：画出从正面看到的图形即可得到它的主视图．
详解：这个几何体的主视图为：
故选：A．
点睛：本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
6\. 估计的值在（ ）
A. 5和6之间 B. 6和7之间
C. 7和8之间 D. 8和9之间
【答案】D
【解析】分析：利用"夹逼法"表示出的大致范围，然后确定答案．
详解：∵64＜＜81，
∴8＜＜9，
故选：D．
点睛：本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题
7\. 计算的结果为（ ）
A. 1 B. 3 C.  D. 
【答案】C
【解析】分析：根据同分母的分式的运算法则进行计算即可求出答案．
详解：原式=*.*
故选：C．
点睛：本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
8\. 方程组的解是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】分析：根据加减消元法，可得方程组的解．
详解：，
①-②得
x=6，
把x=6代入①，得
y=4，
原方程组的解为．
故选A.
点睛：本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法是解题关键．
9\. 若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】分析：先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据A、B、C三点横坐标的特点判断出三点所在的象限，由函数的增减性及四个象限内点的横纵坐标的特点即可解答．
详解：∵反比例函数*y*＝中，k=12\>0，
∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
∵y~1~＜y~2~＜0＜y~3~，
∴．
故选：B．
点睛：本题比较简单，考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性．
10\. 如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则下列结论一定正确的是（ ）
A.  B. 
C.  D. 
【答案】D
【解析】分析：由折叠的性质知，BC=BE．易得.
详解：由折叠的性质知，BC=BE．
∴.．
故选：D．
点睛：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
11\. 如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】分析：点E关于BD的对称点E′在线段CD上，得E′为CD中点，连接AE′，它与BD的交点即为点P，PA+PE的最小值就是线段AE′的长度；通过证明直角三角形ADE′≌直角三角形ABF即可得解．
详解：过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P．
∴PA+PE的最小值AE′；
∵E为AD的中点，
∴E′为CD的中点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠AD E′=90°,
∴DE′=BF，
∴ΔABF≌ΔAD E′，
∴AE′=AF.
故选D.
点睛：本题考查了轴对称\--最短路线问题、正方形的性质．此题主要是利用"两点之间线段最短"和"任意两边之和大于第三边"．因此只要作出点A（或点E）关于直线BD的对称点A′（或E′），再连接EA′（或AE′）即可．
12\. 已知抛物线（，，为常数，）经过点，，其对称轴在轴右侧，有下列结论：
①抛物线经过点；
②方程有两个不相等的实数根；
③.
其中，正确结论的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】分析：根据抛物线的对称性可以判断①错误，根据条件得抛物线开口向下，可判断②正确；根据抛物线与x轴的交点及对称轴的位置，可判断③正确，故可得解.
详解：抛物线（，，为常数，）经过点，其对称轴在轴右侧，故抛物线不能经过点，因此①错误；
抛物线（，，为常数，）经过点，，其对称轴在轴右侧，可知抛物线开口向下，与直线y=2有两个交点，因此方程有两个不相等的实数根，故②正确；
∵对称轴在轴右侧，
∴\>0
∵a\<0
∴b\>0
∵经过点，
∴a-b+c=0
∵经过点，
∴c=3
∴a-b=-3
∴b=a+3，a=b-3
∴-3\<a\<0，0\<b\<3
∴-3\<a+b\<3.故③正确.
故选C.
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，不等式的性质等知识，难度适中．
**二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）**
13\. 计算的结果等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】分析：依据单项式乘单项式的运算法则进行计算即可．
详解：原式=2x^4+3^=2x^7^．
故答案为：2x^7^．
点睛：本题主要考查的是单项式乘单项式，掌握相关运算法则是解题的关键．
14\. 计算的结果等于\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】3
【解析】分析：先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得．
详解：原式=（）^2^-（）^2^
=6-3
=3，
故答案为：3．
点睛：本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．
15\. 不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
详解：∵袋子中共有11个小球，其中红球有6个，
∴摸出一个球是红球的概率是，
故答案为：．
点睛：此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
16\. 将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】分析：直接根据"上加下减，左加右减"的平移规律求解即可．
详解：将直线y=x先向上平移2个单位，所得直线的解析式为y=x+2．
故答案为y=x+2．
点睛：本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律"左加右减，上加下减"．
17\. 如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】分析：连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长.
详解：连接DE，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC
∵ΔABC是等边三角形，且BC=4
∴∠DEB=60°,DE=2
∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2
∴∠FEC=30°，EF=
∴∠DEG=180°-60°-30°=90°
∵G是EF的中点，
∴EG=.
在RtΔDEG中，DG=
故答案为：.
点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键.
18\. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上.
（1）的大小为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_（度）；
（2）在如图所示的网格中，是边上任意一点.为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应点为.当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】 (1). ； (2). 见解析
【解析】分析：（1）利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图，取格点，，连接交于点；取格点，，连接交延长线于点；取格点，连接交延长线于点，则点即为所求.
详解：（1）∵每个小正方形的边长为1，
∴AC=，BC=，AB=,
∵
∴
∴ΔABC是直角三角形，且∠C=90°
故答案为90；
（2）如图，即为所求.
点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题.
**三、解答题 （本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程.）**
19\. 解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答.
（Ⅰ）解不等式（1），得 [ ]{.underline} ．
（Ⅱ）解不等式（2），得 [ ]{.underline} ．
（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 [ ]{.underline} ．
【答案】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ） （Ⅳ）.
【解析】分析：分别求出每一个不等式的解集，根据不等式在数轴上的表示，由公共部分即可确定不等式组的解集．
详解：（Ⅰ）解不等式（1），得x≥-2；
（Ⅱ）解不等式（2），得x≤1；
（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为：-2≤x≤1.
点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．
20\. 某养鸡场有2500只鸡准备对外出售.从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：），绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）图①中的值为 [ ]{.underline} ；
（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ） 根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为的约有多少只？
【答案】（Ⅰ）28. （Ⅱ）平均数是1.52. 众数为1.8. 中位数为1.5. （Ⅲ）280只.
【解析】分析：（Ⅰ）用整体1减去所有已知的百分比即可求出m的值；
（Ⅱ）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；
（Ⅲ）用总数乘以样本中2.0kg的鸡所占的比例即可得解.
解：（Ⅰ）m%=1-22%-10%-8%-32%=28%.故m=28；
（Ⅱ）观察条形统计图，
∵，
∴这组数据的平均数是1.52.
∵在这组数据中，1.8出现了16次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为1.8.
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1.5，有，
∴这组数据的中位数为1.5.
（Ⅲ）∵在所抽取的样本中，质量为的数量占.
∴由样本数据，估计这2500只鸡中，质量为的数量约占.
有.
∴这2500只鸡中，质量为的约有200只。
点睛：此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
21\. 已知是的直径，弦与相交，.
（Ⅰ）如图①，若为的中点，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小.
【答案】（1）52°，45°；（2）26°
【解析】分析：（Ⅰ）运用直径所对的圆周角是直角以及圆周角的度数等于它所对弧的度数求解即可；
（Ⅱ）运用圆周角定理求解即可.
详解：（Ⅰ）∵是的直径，∴.
∴.
又∴，∴.
由为的中点，得.
∴.
∴.
（Ⅱ）如图，连接.
∵切于点，
∴，即.
由，又，
∴是的外角，
∴.
∴.
又，得.
∴.
点睛：本题考查了圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22\. 如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）.参考数据：，.
【答案】甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.
【解析】分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．
详解：如图，过点作，垂足为.
则.
由题意可知，，，，，.
可得四边形为矩形.
∴，.
在中，，
∴.
在中，，
∴.
∴ .
∴.
答：甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.
点睛：本题考查解直角三角形的应用\--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．
23\. 某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.
设小明计划今年夏季游泳次数为（为正整数）.
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
---------------------- ----- ----- ---- ----- --------------------------------------
游泳次数 10 15 20 ... 
方式一的总费用（元） 150 175 ...
方式二的总费用（元） 90 135 ...
---------------------- ----- ----- ---- ----- --------------------------------------
（Ⅱ）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？
（Ⅲ）当时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.
【答案】（Ⅰ）200，，180，.（Ⅱ）小明选择方式一游泳次数比较多. （Ⅲ）当时，有，小明选择方式二更合算；当时，有，小明选择方式一更合算.
【解析】分析：（Ⅰ）根据题意得两种付费方式 ，进行填表即可；
（Ⅱ）根据（1）知两种方式的关系，列出方程求解即可；
（Ⅲ）当时，作差比较即可得解.
详解：（Ⅰ）200，，180，.
（Ⅱ）方式一：，解得.
方式二：，解得.
∵，
∴小明选择方式一游泳次数比较多.
（Ⅲ）设方式一与方式二的总费用的差为元.
则，即.
当时，即，得.
∴当时，小明选择这两种方式一样合算.
∵，
∴随的增大而减小.
∴当时，有，小明选择方式二更合算；
当时，有，小明选择方式一更合算.
点睛：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
24\. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，.
（Ⅰ）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点落在线段上时，与交于点.
①求证；
②求点的坐标.
（Ⅲ）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）.
【答案】（Ⅰ）点的坐标为.（Ⅱ）①证明见解析；②点的坐标为.（Ⅲ）.
【解析】分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x，在直角三角形ACD中运用勾股定理可CD的值，从而可确定D点坐标；
（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；
②由①知，再根据矩形的性质得.从而，故BH=AH，在Rt△ACH中，运用勾股定理可求得AH的值，进而求得答案；
（Ⅲ）.
详解：（Ⅰ）∵点，点，
∴，.
∵四边形是矩形，
∴，，.
∵矩形是由矩形旋转得到的，
∴.
在中，有，
∴ .
∴.
∴点的坐标为.
（Ⅱ）①由四边形是矩形，得.
又点在线段上，得.
由（Ⅰ）知，，又，，
∴.
②由，得.
又在矩形中，，
∴.∴.∴.
设，则，.
在中，有，
∴.解得.∴.
∴点的坐标为.
（Ⅲ）.
点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.
25\. 在平面直角坐标系中，点，点.已知抛物线（是常数），定点为.
（Ⅰ）当抛物线经过点时，求定点的坐标；
（Ⅱ）若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ） 无论取何值，该抛物线都经过定点.当时，求抛物线的解析式.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.
【解析】分析：（Ⅰ）把点A（1，0）代入求出m的值，从而确定二次函数解析式，进而求出顶点P的坐标；
（Ⅱ）先由函数解析式得出顶点坐标为.再结合已知条件可知，从而求出，.再进行分类讨论得到抛物线解析式为；
（Ⅲ）由 可知，定点H的坐标为，过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则可证.得点的坐标为或.然后进行分类讨论即可求解.
详解： （Ⅰ）∵抛物线经过点，
∴，解得.
∴抛物线的解析式为.
∵ ，
∴顶点的坐标为.
（Ⅱ）抛物线的顶点的坐标为.
由点在轴正半轴上，点在轴下方，，知点在第四象限.
过点作轴于点，则.
可知，即，解得，.
当时，点不在第四象限，舍去.
∴.
∴抛物线解析式为.
（Ⅲ）由 可知，
当时，无论取何值，都等于4.
得点的坐标为.
过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则.
∵，，
∴.∴.
∵ ，
∴.
∴.
∴，.
可得点的坐标为或.
当点的坐标为时，可得直线的解析式为.
∵点在直线上，
∴.解得，.
当时，点与点重合，不符合题意，∴.
当点的坐标为时，
可得直线的解析式为.
∵点在直线上，
∴ .解得（舍），.
∴.
综上，或.
故抛物线解析式为或.
点睛：这是一道关于二次函数的综合题. 解题的关键是学会用待定系数法求二次函数关系式以及用分类讨论的思想思考问题.
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**第八单元测试卷**
1. 钟面上各是几时? 绿色圃中小学教育http://www.LSPJY.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com
二、下面的时间对吗?正确的画"√" ,错误的在( )中改正。
10:00( ) 3:30( ) 12:00( ) 1:30( )
三、连一连。
11:00 6:00 9:00 4:00
四、用两种方法表示钟面上的时间。绿色圃中小学教育http://www.LSPJY.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com
五、根据时间,画出钟面上的时针和分针。
    
六、半时后是几时?
( ) ( ) ( ) ( )
七、明明的一天。(连一连)
八、钟面上怎么都是10?
第八单元测试卷参考答案
一、8时 12时 4时
二、√ 2:30 6:00 √
三、上一行的时间分别是6:00、4:00、11:00、9:00,连线略。
四、10时半 10:30 6时 6:00 5时 5:00 3时半 3:30
五、
六、1时半 9时 11时半 1时
七、提示:刷牙连第四个钟面,看书连第二个钟面,看电视连第三个钟面,睡觉连第五个钟面,吃饭连第一个钟面。连线略。
八、第一幅图的时间是上午10时,第二幅图的时间是晚上10时。
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**绝密★启用前**
**中学学科网2008年普通高等学校招生全国统一考试江西卷**
**数学试题（理科）全解全析**
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．
第Ⅰ卷
**考生注意：**
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的"准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
**参考公式**：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
*P*(A＋B)＝*P*(A)＋*P*(B) S＝4πR^2^
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
*P*(A·B)＝*P*(A)·*P*(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是*P*，那么 V＝πR^3^
*n*次独立重复试验中恰好发生*k*次的概率 其中R表示球的半径
*P*~n~(*k*)＝*CP* (1一*P*)
**一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．在复平面内，复数*z*=sin2＋*i*cos 2对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
**【标准答案】**D \
**【试题解析】**易知sin2\>0 ,cos 2\<0。根据复数的几何意义可知z所对应的点位于第四象限。\
**【高考考点】**三角函数的定义和复数的几何意义
**【易错提醒】**实数值与三角函数角的大小的对应。\
**【学科网备考提示】**注意复数的几何意义。
2．定义集合运算：*A*\**B*＝{*z*\|*z*＝*xy*，*x*∈*A*，*y*∈*B*}．设*A*＝{1，2}，*B*＝{0，2}，则集合*A*\**B*的所有元素之和为
> A．0 B．2 C．3 D．6
**【标准答案】**D \
**【试题解析】**A，B两个集合中的元素的乘积：10=0，12=2，20=0，22=4.故集合*A*\**B*有三个元素0，2，4，它们的和为6。\
**【高考考点】**集合的表示法---描述法
**【易错提醒】认清代表元素及其满足的条件**。\
**【学科网备考提示】**读集合时先看明白这个集合的代表元素是什么。
3．若函数*y*＝*f*(*x*)的值域是\[，3\]，则函数*F* (*x*)＝*f*(*x*)＋的值域是
A．\[，3\] B．\[2，\] C．\[，\] D．\[3，\]
> **【标准答案】**B
>
> **【试题解析】**令*t*=*f*(*x*)，则*t* \[，3\]，则*F* (*x*)＝*f*(*x*)＋可化为，易知，当t=1时，y有最小值2，当t=3时有最大值。故函数*F* (*x*)的值域为\[2，\]。
**【高考考点】**函数的值域和最值问题
**【易错提醒】**利用换元法时，不要忽略变量的取值范围。\
**【学科网备考提示】转化的思想在数学中应用的比较多，要注意把握**。
4．＝
A． B．0 C．－ D．不存在
> **【标准答案】**A
**【试题解析】**
=。
**【高考考点】**极限的求法
**【易错提醒】**零因子需约去。\
**【学科网备考提示】求极限时遇到特殊的**型、型**极限要先适当的处理，再求极限**。
5．在数列{a~n~}中，a~1~＝2，a~n＋1~＝a~n~＋ln(1＋)，则a~n~＝
A．2＋ln *n* B．2＋(*n*－1)ln *n* C．2＋*n*ln *n* D．1＋*n*＋ln *n*
> **【标准答案】**A
**【试题解析】**由*a~n~*~＋*1*~＝*a~n~*＋*ln*(*1*＋)可知
所以可得，
将这些式子左右分别叠加可得，故a~n~＝2＋ln *n* 。
**【高考考点】**数列的递推公式定义、叠加法
**【易错提醒】**不要忘记a~1~。\
**【学科网备考提示】注意观察数列地推公式中的特点，挖掘出变化规律。**
6．函数*y*＝tan *x*＋sin *x*－\|tan *x*－sin *x*\|在区间(，)内的图象大致是
A B C D
> **【标准答案】**D
**【试题解析】**本题考查以及函数解析式的化简。当x(，)时，tan *x*\<0,sin *x*\>0 ，此时函数的解析式为*y*＝2tan *x*；当x(，)时，tan *x*\>0,sin *x\<*0 ，此时函数的解析式为*y*＝2 sin *x.*故函数的图象大致是B。
**【高考考点】**三角函数的定义、图像
**【易错提醒】**分类讨论要不重不漏。\
**【学科网备考提示】研究函数的图像时，应先化简解析式并注意其中的对称规律。**
7．已知*F*~1~、*F*~2~是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A．(0，1) B．(0，\] C．(0，) D．\[，1)
> **【标准答案】**C
**【试题解析】**设，由M满足·＝0得，。要使点M总在椭圆内部c\<b. 。故椭圆离心率的取值范围是 \[0，)。
**【高考考点】**椭圆a、b、c、e之间的关系。
**【易错提醒】**不要在不等式放缩时，搞错不等号方向。\
**【学科网备考提示】由相关等量关系抽象出不等式的方法。**
8．(1＋)^6^(1＋)^10^展开式中的常数项为
A．1 B．46 C．4245 D．4246
> **【标准答案】**D
**【试题解析】**由题意可知(1＋)^6^展开式的通项为；而(1＋)^10^展开式的通项为；要得到常数项则，即时为=1，时为=4200，时为=45，故常数项为4246。
**【高考考点】**二项展开式通项。
**【易错提醒】直接展开将无法解决**。\
**【学科网备考提示】二项式问题要研究通项的特点。**
9．若0＜a~1~＜a~2~，0＜b~1~＜b~2~，且a~1~＋a~2~＝b~1~＋b~2~＝1，则下列代数式中值最大的是
A．a~l~b~l~＋a~2~b~2~ B．a~l~a~2~＋b~1~b~2~ C．a~1~b~2~＋a~2~b~l~ D．
> **【标准答案】**A
**【试题解析】**本题可用特值法：令a~1~=0.1，a~2~＝0.9；b~1~=0.2，b~2~＝0.8 。A．a~l~b~l~＋a~2~b~2~ =0.74 ；B．a~l~a~2~＋b~1~b~2~ =0.25 ；C．a~1~b~2~＋a~2~b~l~=0.26 ，故最大值为A 。
**【高考考点】**不等式的基本性质。
**【易错提醒】取特值时要取的适当，否则不能准确的得到答案**。\
**【学科网备考提示】选择题在解决时方法可以灵活一些，运用特值法来验证或者排除也是不错的办法。**
10．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N
③MN的最大值为5 ④MN的最小值为l
其中真命题的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
> **【标准答案】**C
**【试题解析】**弦AB、CD可能相交于点M，①正确。假设弦AB、CD可能相交于点N，则CD为过N最短的弦，显然需要AB\>CD,而2 \< 4不满足题意故②错误。不妨设弦AB、CD为球的两个小圆的直径。则此问题化为两个截面的距离的问题。当两个小圆位于球心的同侧时MN的最小，而当两个小圆位于球心的异侧时MN最大。易知\|OM\|=3，\|ON\|=2，故最大值为5，最小值为1，故③④正确。
**【高考考点】**球截面的性质。
**【易错提醒】要合理的将问题转化否则不易解决**。\
**【学科网备考提示】球体在高考中，经常考查截面问题、球面距离问题、体积表面积相关的问题，在日常的训练中要加强练习。**
11．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为
A． B． C． D．
> **【标准答案】**C
**【试题解析】**一天显示的时间总共有种,和为23总共有4种,故所求概率为.
**【高考考点】分步计数原理、**排列组合、概率。
**【易错提醒】不要忽略特殊元素和特殊位置**。\
**【学科网备考提示】注意特殊元素和特殊位置的寻找和讨论。**
12．已知函数*f*(*x*)＝2*mx*^2^－2(4－*m*)*x*＋l，*g*(*x*)＝*mx*，若对于任一实数*x*，*f*(*x*)与*g*(*x*)的值至少有一个为正数，则实数*m*的取值范围是
A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0)
**【标准答案】**B
**【试题解析】**(1)当m\>0时，g(x)=mx,当x\>0时，g(x) \>0，此时*f*(*x*)\>0取值任意；当x0时，g(x) 0，此时需*f*(*x*)\>0恒成立。
要使m\>0，当x\>0时，*f*(*x*)\>0恒成立。
若即解之得时，恒成立。
若即解之得时，
还需满足，解之得。故此时m的取值为（0，2）。
若时不成立。
（2）当m\<0时与m=0不成立。实数*m*的取值范围是 (0，8) 。
**【高考考点】二次函数根的分布的讨论、不等式**。
**【易错提醒】讨论要全面**。\
**【学科网备考提示】合理的根据参数的取值进行讨论是解决本题的关键。**
**绝密★启用前**
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学
第Ⅱ卷
**注意事项：**
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
**二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．**
13．直角坐标平面内三点A(1，2)、B(3，－2)、C(9，7)，若E、F为线段BC的三等分点，则·＝ [ ]{.underline} ．
> **【标准答案】**22
**【试题解析】**设E（），F（），则由，可得 可得E（），F（），故·＝22.
**【高考考点】**向量共线以及数量积的坐标运算。
**【易错提醒】运算要准确**。\
**【学科网备考提示】向量成比列问题可用**向量共线知识结合向量的**坐标来运算得到。**
14．不等式≤的解集为 [ ]{.underline} ．
> **【标准答案】**
**【试题解析】**≤
**【高考考点】**指数不等式和高次不等式的解法
**【易错提醒】分母不为0**。\
**【学科网备考提示】合理的将指数不等式转化为一般不等式来解决。**
15．过抛物线*x*^2^=2*py*(*p*\>0)的焦点*F*作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于*A*、*B*两点(点*A*在*y*轴左侧)，则＝ [ ]{.underline} ．
16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有*a*升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点*P*．如果将容器倒置，水面也恰好过点*P*(图2)．有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点*P*
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好
经过点*P*
D．若往容器内再注入*a*升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是 [ ]{.underline} ．(写出所有真命题的代号) ．
**【标准答案】**BD
**【试题解析】**设正四棱锥的底面边长为c，高为h，则其体积为，此时水面对应的柱体体积为，故水的体积为。故可知，当柱体倒立放置时水面的高度为，故A项错误，D项正确。。
将容器侧面水平放置时柱体的体积为，而椎体的体积为，易知此时空间的体积为，与水的体积相同， B项正确。
假设将容器倾斜45^0^则水从左侧减少的高度应小于右侧增加的高度（底部用正四棱锥占据一部分体积，而顶部没有其他物体），显然此时P点应该露出水面，C项错误。
**【高考考点】**常见几何体的体积求法。
**【易错提醒】不要忽略四棱柱内的几何体**。\
**【学科网备考提示】寻找几何体的底与高是解决体积类问题的关键。**
**三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．**
17．（本小题满分12分）
在△*ABC*中．*a*、*b*、*c*分别为角*A*、*B*、*C*所对的边长，
*a*＝2，tan＋tan＝4，sin *B* sin *C*＝cos^2^．求*A*、*B*及*b*、*c*．
**【高考考点】正余弦定理、三角变换公式、诱导公式**。
**【学科网备考提示】三角的精髓在于变换、以及统一，解题时要将角与边通过公式进行适当的变化。**
17.解：A、B、C为△ABC三内角，∴
∴，即。
又，∴，
整理得，∴
由可得，∴
∵sin*B*≤1，∴cos*A*≤0，而*A* 为△ABC内角，则A必为钝角。
∴C应为锐角，∴ 。
则，代入，得
，将左边展开并整理得：
，又A为钝角，∴ ，故
∴△ABC为等腰△，，作图如右：
易解得b = c = 2
综上，，，b = c = 2
18．（本小题满分12分）
> 因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令*ξi*(i＝1，2)表示方案*i*实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．
（1）写出*ξ*~1~、*ξ*~2~的分布列；
（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?
> （3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?
**【高考考点】相互独立事件概率的乘法、互斥事件概率加法、离散性随机变量分布列**。
**【学科网备考提示】注意事件的分析和研究是解决概率的有效的方法。**
18.解：
（1）*ξ*~1~的分布列为
-------- ----- ------ ------ ------- ------
*ξ*~1~ 0.8 0.9 1 1.125 1.25
P~1~ 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15
-------- ----- ------ ------ ------- ------
*ξ*~2~的分布列为
-------- ----- ------ ------ ------ ------
*ξ*~2~ 0.8 0.96 1 1.2 1.44
P~2~ 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08
-------- ----- ------ ------ ------ ------
19．（本小题满分12分）
等差数列{ a~n~ }各项均为正整数，a~1~＝3，前n项和为S~n~，等比数列{ b~n~ }中，b~1~＝1，且b~2~S~2~＝64，{ b~n~ }是公比为64的等比数列．
（1）求a~n~与b~n~；
（2）证明：＋＋......＋＜．
**【高考考点】等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式、裂项法**、。
**【学科网备考提示】注意特殊元素和特殊位置的寻找和讨论。**
19.解：设{}公差为d，由题意易知d≥0，且d∈N\*，
> 则{}通项=3 +（n－1）d，前n项和。
>
> 再设{}公比为q，则{}通项
>
> 由可得 ①
>
> 又{}为公比为64的等比数列，
>
> ∴，∴ ②
>
> 联立①、②及d≥0，且d∈N\*可解得q = 8，d = 2
>
> ∴{}通项= 2n + 1 ，n∈N\*
>
> {}通项，n∈N\*
（2）由（1）知，n∈N\*
> ∴，n∈N\*
>
> ∴
20．（本小题满分12分）
正三棱锥*O*－*ABC*的三条侧棱*OA*、*OB*、*OC*两两垂直，且长度均为2．*E*、*F*分别是*AB*、*AC*的中点，*H*是*EF*的中点，过*EF*的一个平面与侧棱*OA*、*OB*、*OC*或其延长线分别相交于*A*~1~、*B*~1~、*C*~1~，已知*OA*~1~＝．
> （1）证明：*B*~1~*C*~1~⊥平面*OAH*；
（2）求二面角*O*－*A*~1~*B*~1~－*C*~1~的大小．
**【高考考点】线面垂直的性质和判定、二面角求法**。
**【学科网备考提示】如果存在线面垂直，利用三垂线法做二面角是比较方便的。**
20．解：
（1）证明：
∵O-ABC为正三棱锥，∴△ABC为等边△
∵E、F为AB、AC中点，∴EF∥BC
∵H为EF中点，∴H为△ABC中心，AH⊥EF
则由正三棱锥性质易知OH⊥平面ABC ∴OH⊥EF
∵BC∥EF，BC平面，EF平面
∴BC∥平面
又平面平面=，BC平面，∴BC∥，∴∥EF，∴⊥OH，⊥AH，
又OH∩AH = H， 平面
∴平面
（2）∵E为AB中点，OA⊥OB，OA = OB = 2，则过点B在平面OAB内作BG∥OA，交于G点，则易证BG∥AA~1~，且BG= AA~1~，∴BG=，∴
∴。由 OB=OC，BC∥可知，
则Rt△A~1~OB~1~中，易得
在Rt△A~1~OB~1~中过O作OI⊥，交于I点，则在Rt△A~1~OB~1~中由面积法易解得。
∵OA、OB、OC两两垂直，∴OC~1~⊥平面OA~1~B~1~，连接I C~1~
∵OI⊥，∴⊥I C~1~，∴∠OI C~1~即为二面角O－－ C~1~的一个平面角
在Rt△IOC~1~中，，∴∠OI C~1~，
即二面角O－－ C~1~为
21．（本小题满分12分）
设点*P* (*x*~0~，*y*~0~) 在直线*x*＝*m*( *y*≠±*m*，0＜*m*＜1)上，过点*P*作双曲线搿*x*^2^－*y*^2^＝1的两条切线*PA*、*PB*，切点为*A*、*B*，定点M(，0)．
（1）过点*A*作直线*x*－*y*＝0的垂线，垂足为*N*，试求△*AMN*的重心*G*所在的曲线方程；
（2）求证：*A*、*M*、*B*三点共线．
**【高考考点】直线与圆锥曲线、求轨迹方法**。
**【学科网备考提示】注意多训练寻找点的特点和细致的整理运算能力。**
（2）设，，PA斜率为k，则切线PA的方程为：
由，消去y并整理得：
，因为直线与双曲线相切，从而
△= = 0，及，解得
因此PA的方程为：
同理PB的方程为：
又在PA、PB上，
∴
即点，都在直线上，
又也在上，
∴A、M、B三点共线。
22．（本小题满分14分）
已知函数*f*(*x*)＝＋＋，*x*∈(0，＋∞)．
（1）当*a*＝8时，求*f*(*x*)的单调区间；
（2）对任意正数*a*，证明：l＜*f*(*x*)＜2．
**【高考考点】函数单调性、不等式、放缩法**。
**【学科网备考提示】注意构造的思想的应用和各类知识之间的纵向联系。**
22解：（1）时，
∴
令，结合，解得
故在（0，1）单调递增，同理在单调递减。
∴时，单调递增区间为（0，1），单调递减区间为。
（2）对任意给定的，，因
，若令，则 ①
②
（一）先证：因为，，
又由≥，∴≥6
所以
（2）.再证：由①、②中关于x，a，b的对称性，不妨设x≥a≥b，则0\<b≤2，
（Ⅰ）.当a+b≥7，则a≥5，∴x≥a≥5
，
∴
（Ⅱ）若a+b\<7，由①得，∴ ③
因为
∴ ④
同理得 ⑤，于是
⑥
今证明 ⑦
因为，则只要
只要，即证，即a+b\<7，而这显然成立。
综上，对任意正数，．
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第2单元 第一节：看一看（一）**
一 填一填（复习）\[来源:Z,xx,k.Com\]
13-7= 16-9=  13-5= 8+6=
15-4= 14-6= 12-9= 9+3=
二 哪个是你在镜子里看到的，连一连。
**\[来源:Zxxk.Com\]**
三、请问在右图小猫和小猴看到了大象的哪一面，在左图将其连起来。
四、观察下面三个物体，正面画"√"，上面画"×"，侧面画"○"。
**\[来源:Z\_xx\_k.Com\]**
五、把每个人拍到图像连上线。
**\[来源:学.科.网\]**
**\[来源:Z\_xx\_k.Com\]**
**答案**
一 填一填（复习）
13-7=6  16-9=7 13-5=8 8+6=14
15-4=11 14-6=8 12-9=3 9+3=12
二 哪个是你在镜子里看到的，连一连。
三、请问在右图小猫和小猴看到了大象的哪一面，在左图将其连起来。
**四**、观察下面三个物体，正面画"√"，上面画"×"，侧面画"○"。
五、把每个人拍到图像连上线。
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**2020-2021学年甘肃省定西市岷县五年级（上）期末数学试卷**
**一、认真思考，正痛填写（每空1分，共24分）**
1．（2分）最小的奇数是[ ]{.underline}，最小的合数是[ ]{.underline}．
2．（3分）1的分数单位是[ ]{.underline}，有[ ]{.underline}个这样的分数单位，再添上[ ]{.underline}个这样的分数单位就是最小的质数．
3．（2分）3.4÷3的商用循环小数表示是[ ]{.underline}，保留三位小数是[ ]{.underline}。
4．（6分）在下面的圆圈里填上"＞"、"＜"或"＝"。
---------------------------------------------------------------------- ------------------------------------ -------------------------------------------------------------------------
1.21÷1.1〇1.1 3.45÷1.01〇3.45 1.88÷0.99〇1.88
  1〇
---------------------------------------------------------------------- ------------------------------------ -------------------------------------------------------------------------
5．（1分）汽车在笔直的公路上行驶，车身的运动是[ ]{.underline}现象．
6．（2分）正方形有[ ]{.underline}条对称轴，长方形有[ ]{.underline}条对称轴．
7．（2分）3□4是3的倍数，那么□里最小可以填[ ]{.underline}，最大可以填[ ]{.underline}。
8．（1分）一个平行四边形的面积是50*cm*^2^，底是10*cm*，高是[ ]{.underline}*cm*.
9．（1分）梯形的上底为*a*，下底为*b*，高为*h*，面积*S*＝[ ]{.underline}．
10．（2分）＝[ ]{.underline}÷6＝。
11．（2分）如果*a*÷*b*＝2（*a*、*b*是不等于0的自然数），那么*a*和*b*的最大公因数是[ ]{.underline}，最小公倍数是[ ]{.underline}。
**二、仔细推敲。明辨正误（对的打"√"，错的打"╳"每小题1分，共5分）**
12．（1分）真分数一定大于假分数。[ ]{.underline}（判断对错）
13．（1分）轴对称图形的两个对称点到对称轴的距离相等．[ ]{.underline}．（判断对错）
14．（1分）在"1～7"七张数字卡片中任意抽出一张，抽到偶数和奇数的可能性相同。[ ]{.underline}（判断对错）
15．（1分）、、都是最简分数。[ ]{.underline}（判断对错）
16．（1分）＝*b*÷*a*（*a*≠0）。[ ]{.underline}（判断对错）
**三、反复比较，慎重选择（把正确答案的编号填入括号内，每小题1分，共5分）**
17．（1分）大于小于的分数有（ ）个。
A．1 B．无数 C．0
18．（1分）要使平行四边形的面积不变，底扩大到原来的2倍，则高（ ）
A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的
C．不变
19．（1分）玩摸球游戏时，淘气共摸出40次白球，18次黄球，10次红球，推测盒子里（ ）球可能少一些。
A．白球 B．黄球 C．红球
20．（1分）如图，阴影部分的面积是长方形面积的（ ）
> 
A．一半 B．2倍 C．无法确定
21．（1分）下列与6.25÷2.5得数相同的算式是（ ）
A．625÷25 B．62.5÷25 C．62.5÷2.5
**四、认真审题，细心计算（共37分）**
22．（8分）直接写出得数。
------------ ----------- ---------- -----------
3÷4＝ 0.2÷04＝ 2.4÷8＝ 3.6÷0.9＝
5.4÷0.54＝ 8.5÷0.1＝ 15÷0.5＝ 2÷0.5＝
------------ ----------- ---------- -----------
23．（9分）列竖式计算。
----------- ------------ ------------
15.9÷15＝ 4.2÷0.75＝ 5.46÷9.1＝
----------- ------------ ------------
24．（9分）用你喜欢的方法计算。
------------ ------------- ----------------
7.5+12.5÷5 15÷0.25÷0.4 7.36﹣1.8+2.64
------------ ------------- ----------------
25．（6分）看图列式计算。
> 
26．（5分）求图形阴影部分的面积（单位：*cm*）。
> 
**五、操作题（共4分）**
27．（4分）在格子图上画出两个面积为12*cm*^2^，但是形状不同的平行四边形（每个小方格都是边长为1*cm*的正方形）。
> 
**六、走进生活，解决问题（共25分）**
28．（5分）王阿姨买了9.5千克苹果，给售货员30元，找回7.2元，每千克苹果多少元？
29．（5分）一块三角形交通标志牌，面积是35.1*dm*^2^，高是7.8*dm*，这个高对应的底是多少分米？
30．（5分）把10*kg*苹果平均分给7只猴子，平均每只猴子分到多少千克苹果？每只猴子分到全部苹果的几分之几？
31．（5分）如图是淘气家的厨房地面简图，淘气的妈妈想用正方形的地砖铺地面，请你帮忙想想选用边长是多少分米的方砖正好铺满？
> 
32．（5分）鸡兔同笼，有36个头，96条腿，鸡、兔各有多少只？
**2020-2021学年甘肃省定西市岷县五年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、认真思考，正痛填写（每空1分，共24分）**
1．【分析】在自然数中，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数．不能被2整除的数是奇数，则最小的奇数是1，最小的合数是4，解答即可．
> 【解答】解：由分析可知：最小的奇数是1，最小的合数是4．
>
> 故答案为：1、4．
>
> 【点评】根据奇数与合数的意义即可确定最小的奇数与最小的合数是几．
2．【分析】1化成假分数，把单位"1"平均分成7份，每份是，根据分数单位的意义，是分母为7的分数的分数单位，有12个这样的分数单位，最小的质数是2，也就是 ，因此，它再添上14﹣12＝2个这样的分数单位就是最小的质数．
> 【解答】解：1＝
>
> 的分数单位是，有12个这样的分数单位；
>
> 最小的质数是2，也就是，它再添上14﹣12＝2个这样的分数单位就是最小的质数；
>
> 故答案为：，12，2．
>
> 【点评】此题考查的知识点有分数的意义、分数单位的意义，质数的意义等．
3．【分析】先求出3.4除以3的商，找出循环节；保留三位小数，即精确到千分位，看小数点后面第四位，运用"四舍五入"法进行解答即可。
> 【解答】解：3.4÷3的商用循环小数表示是1.1，保留三位小数是1.133。
>
> 故答案为：1.1，1.133。
>
> 【点评】本题考查了循环小数的表示方法，以及小数求近似数的方法。
4．【分析】一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数；
> 一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数，一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；
>
> 最后一题根据"被除数相同，除数越小商越大"判断；
>
> 真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小据此解答。
>
> 【解答】解：
------------------------------------- ---------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------
1.21÷1.1＝1.1 3.45÷1.01＜3.45 1.88÷0.99＞1.88
 1＜ 1＜
------------------------------------- ---------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------
> 故答案为：＝，＜，＞，＜，＜，＜。
>
> 【点评】此题考查了不用计算判断因数与积之间大小关系、商与被除数之间大小关系的方法。
5．【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；
> 旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的． 根据平移与旋转定义判断即可．
>
> 【解答】解：汽车在笔直的公路上行驶，车身的运动是平移现象．
>
> 故答案为：平移．
>
> 【点评】平移与旋转的区别在于看方向是否发生改变，平移不改变图形方向，旋转改变图形方向．
6．【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．据此作答．
> 【解答】解：根据轴对称图形的定义可得，正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴，
>
> 故答案为：4；2．
>
> 【点评】考查了轴对称图形的意义．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．同时要熟记一些常见图形的对称轴条数．
7．【分析】根据能被3整除的数的特征，即各个数位上的数字加起来能被3整除，这个数就能够被3整除，照此推断即可。
> 【解答】解：3+4＝7
>
> 7+2＝9
>
> 7+8＝15
>
> 所以□最小可以填2，最大可以填8；
>
> 故答案为：2，8。
>
> 【点评】解答此题的关键是灵活掌握能被3整除的数的特征。
8．【分析】根据平行四边形的面积公式：*S*＝*ah*，那么*h*＝*S*÷*a*，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：50÷10＝5（厘米）
>
> 答：高是5厘米。
>
> 故答案为：5。
>
> 【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
9．【分析】梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，如果用*s*表示梯形的面积，用*a*表示梯形的上底，用*b*表示梯形的下底，用*h*表示的高，那么，*s*＝（*a*+*b*）×*h*÷2．
> 【解答】解：如果用*s*表示梯形的面积，用*a*表示梯形的上底，用*b*表示梯形的下底，用*h*表示的高，
>
> 那么，*s*＝（*a*+*b*）×*h*÷2．
>
> 故答案为：（*a*+*b*）×*h*÷2．
>
> 【点评】此题考查的目的是理解掌握梯形的面积公式，并会用字母表示．
10．【分析】依据分数的基本性质，即分数的分子和分母同时乘上或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，从而可以正确进行作答。
> 【解答】解：＝5÷6＝
>
> 故答案为：5，15。
>
> 【点评】此题主要考查分数基本性质的灵活运用，也考查了分数与除法关系的运用。
11．【分析】*a*÷*b*＝2，说明*a*是*b*的2倍，求两个数为倍数关系时的最大公因数：两个数为倍数关系，最大公因数为较小的数；由此解答问题即可．
> 【解答】解：由*a*÷*b*＝2（*a*、*b*是不等于0的自然数）知，*a*是*b*的倍数，所以*a*和*b*的最大公因数是*b*，最小公倍数是*b*，
>
> 故答案为：*b*，*a*。
>
> 【点评】此题主要考查求两个数为倍数关系时的最大公约数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数
**二、仔细推敲。明辨正误（对的打"√"，错的打"╳"每小题1分，共5分）**
12．【分析】分子比分母小的分数，叫做真分数。真分数的分数值小于1。分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1。
> 【解答】解：真分数小于1，假分数大于1或等于1，所以真分数小于1假分数。
>
> 故答案为：
>
> 【点评】本题根据真分数和假分数的特点来判断，真分数小于1，假分数大于1或等于1。
13．【分析】依据轴对称图形的特点，即轴对称图形是指一个图形沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴．轴对称图形中，对称点到对称轴的距离相等．
> 【解答】解：由轴对称图形的特点可知：对称轴两侧相对的点到对称轴的距离相等．
>
> 故答案为：√
>
> 【点评】此题主要考查轴对称图形的特点．
14．【分析】1～7奇数有1、3、5、7共4个，偶数有2、4、6共3个，4＞3，由此判断即可。
> 【解答】解：1～7奇数有1、3、5、7共4个，抽到奇数的可能性是；
>
> 1～7偶数有2、4、6共3个，抽到偶数的可能性是。
>
> 
>
> 所以原题说抽到奇数和偶数的可能性相同的说法是错误的。
>
> 故答案为：。
>
> 【点评】本题考查了事件发生的可能性的大小，可分别计算出抽到奇数与偶数的可能性，再进行比较。
15．【分析】根据最简分数的概念去判断，最简分数为分子分母是互质数的分数。据此判断。
> 【解答】解：、，分子分母是互质数，所以这两个都是最简分数，
>
> ＝不是最简分数，所以、、都是最简分数的说法是错误的，
>
> 故答案为：。
>
> 【点评】本题主要考查最简分数的意义，根据最简分数的特征去判断即可解答。
16．【分析】根据除法算式与分数式子的关系，可知被除数相当于分子，除数相当于分母，除数不为0，所以该题是正确的。
> 【解答】解：＝*b*÷*a*（*a*≠0）。（√）
>
> 故答案为：√。
>
> 【点评】考查除法算式与分数之间的关系，注意各部分名称。
**三、反复比较，慎重选择（把正确答案的编号填入括号内，每小题1分，共5分）**
17．【分析】把和利用分数的基本性质将分子和分母同时扩大相同的倍数（0除外），即可得到无数个介于二者之间的分数，从而解答即可。
> 【解答】解：...
>
> ...
>
> 所以大于小于就有，...共有无数个。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】解决此题的关键是根据分数的基本性质，即分数的分子和分母同时扩大相同的倍数（0除外），分数的大小不变，再找出它们之间的分数。
18．【分析】根据平行四边形的面积公式：*S*＝*ah*，再根据积不变的性质，一个因数扩大几倍（0除外），另一个因数缩小相同的倍数，积不变。据此解答。
> 【解答】解：要使平行四边那的面积不变，底扩大到原来的2倍，则高缩小到原来的。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，以及积不变的性质的应用。
19．【分析】根据事件发生的可能性的大小来推断，一般来说数量多的事件发生的可能性就大，数量越少，事件发生的可能性越小，淘气共摸出40次白球，18次黄球，10次红球，可以推断盒子红球可能少一些。
> 【解答】解：因为40＞18＞10，所以盒子里的红球可能少一些，
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】本题主要考查事件发生的可能性的大小，根据摸出不同颜色球的次数判断即可。
20．【分析】
> 假设这个长方形的长为*bcm*，宽为*acm*，则长方形的面积＝*ab*（平方厘米）；图形甲的面积＝*a*×（*b*÷2）÷2（平方厘米）；阴影面积＝*a*×（*b*÷2）÷2×2＝*a*（*b*÷2）＝（平方厘米），即可求出。
>
> 【解答】假设这个长方形的长为*bcm*，宽为*acm*，则长方形的面积＝*ab*
>
> 图形甲的面积＝*a*×（*b*÷2）÷2
>
> 阴影面积＝*a*×（*b*÷2）÷2×2＝*a*（*b*÷2）＝
>
> 故选：*A*。
>
> 【点评】本题考查了三角形的面积公式的灵活应用。
21．【分析】被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变；由此解答即可。
> 【解答】解：*A*选项：被除数扩大了100倍，除数扩大了10倍，扩大倍数不相同，故*A*错；
>
> *B*选项：被除数扩大了10倍，除数扩大了10倍，扩大倍数相同，故*B*对；
>
> *C*选项：被除数扩大了100倍，除数不变，扩大倍数不相同，故*C*错；
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】考查商不变的变化规律。
**四、认真审题，细心计算（共37分）**
22．【分析】根据小数除法的计算方法进行计算。
> 【解答】解：
-------------- -------------- ------------ ------------
3÷4＝0.75 0.2÷0.4＝0.5 2.4÷8＝0.3 3.6÷0.9＝4
5.4÷0.54＝10 8.5÷0.1＝85 15÷0.5＝30 2÷0.5＝4
-------------- -------------- ------------ ------------
> 【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算。
23．【分析】根据小数除法的计算方法进行计算。
> 【解答】解：15.9÷15＝1.06
>
> 
>
> 4.2÷0.75＝5.6
>
> 
>
> 5.46÷9.1＝0.6
>
> 
>
> 【点评】考查了小数除法的笔算，根据其计算方法进行计算。
24．【分析】（1）先算除法，再算加法；
> （2）运用除法的性质进行简算；
>
> （3）运用加法的交换律进行简算。
>
> 【解答】解：（1）7.5+12.5÷5
>
> ＝7.5+2.5
>
> ＝10
>
> （2）15÷0.25÷0.4
>
> ＝15÷（0.25×0.4）
>
> ＝15÷0.1
>
> ＝150
>
> （3）7.36﹣1.8+2.64
>
> ＝7.36+2.64﹣1.8
>
> ＝10﹣1.8
>
> ＝8.2
>
> 【点评】完成本题要注意分析式中数据，运用合适的简便方法计算。
25．【分析】（1）把86.1*m*平均分成3份，求一份是多少，用86.1除以3（或乘）即可。
> （2）52.9元先去掉34.5元，再平均分成4份，求每份是多少，用52.9减去34.5，再除以4即可。
>
> 【解答】解：（1）86.1×＝28.7（*m*）
>
> 答：一份是28.7*m*。
>
> （2）（52.9﹣34.5）÷4
>
> ＝18.4÷4
>
> ＝4.6（元）
>
> 答：一份是4.6元。
>
> 【点评】解答图文应用题的关键是根据图、文所提供的信息，弄清条件和问题，然后再选择合适的方法列式、解答。
26．【分析】用边长为5*cm*的正方形面积减去两个底为5*cm*，高为4*cm*的大三角形面积减去一个底为1*cm*，高为1*cm*的小三角形面积等于阴影面积。
> 【解答】解：正方形面积＝长×宽，三角形面积＝底×高÷2。
>
> （1+4）×（1+4）﹣4×（1+4）÷2×2﹣1×1÷2
>
> ＝25﹣20﹣0.5
>
> ＝5﹣0.5
>
> ＝4.5（*cm*^2^）
>
> 答：阴影部分的面积是4.5*cm*^2^。
>
> 【点评】本题考查求不规则图形的面积，转化成用已学图形的面积去求阴影部分面积。
**五、操作题（共4分）**
27．【分析】根据平行四边形的面积公式：*S*＝*ah*，据此解答即可。
> 【解答】解：12＝4×3＝6×2
>
> 作图如下：
>
> （画法不唯一。）
>
> 【点评】此题主要考查平行四边形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
**六、走进生活，解决问题（共25分）**
28．【分析】根据单价＝总价÷质量，用王阿姨买苹果花的钱数除以买的苹果的质量，求出每千克苹果多少元即可．
> 【解答】解：（30﹣7.2）÷9.5
>
> ＝22.8÷9.5
>
> ＝2.4（元）
>
> 答：每千克苹果2.4元．
>
> 【点评】此题主要考查了减法、除法的意义的应用，解答此题的关键是熟练掌握单价、总价、质量的关系．
29．【分析】根据三角形的面积公式：*S*＝*ah*÷2，那么*a*＝2*S*÷*h*，把数据代入公式解答。
> 【解答】解：35.1×2÷7.8
>
> ＝70.2÷7.8
>
> ＝9（分米）
>
> 答：这个高对应的底是9分米。
>
> 【点评】此题主要考查三角形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
30．【分析】把10*kg*苹果平均分给7只猴子，求平均每只猴子分到多少千克苹果，根据平均分除法的意义，用这些苹果的千克数除以猴子只数；把这些苹果的质量看作单位"1"，把它平均分成7份，每只猴子分得其中1份，每份是这些苹果质量的。
> 【解答】解：10÷7＝（*kg*）
>
> 1÷7＝
>
> 答：平均每只猴子分到千克苹果，每只猴子分到全部苹果的。
>
> 【点评】解决此题关键是弄清求的是"分率"还是"具体的数量"，求分率：平均分的是单位"1"；求具体的数量：平均分的是具体的数量，要注意：分率不能带单位名称，而具体的数量要带单位名称。
31．【分析】各边都正好铺满，说明地砖的边长既是45的因数又是25的因数，求出45和25的最大公因数即可，先把两个数分解质因数，再找出最大公因数即可。
> 【解答】解：45＝3×3×5
>
> 25＝5×5
>
> 45和25的最大公因数为5。
>
> 答：选用边长是5分米的方砖正好铺满。
>
> 【点评】本题是一道求最大公因数的问题，用分解质因数或短除法可以求最大公因数。
32．【分析】假设都是兔，根据腿的条数的关系，求出鸡的只数，用总数减去鸡的只数，就是兔子的只数。
> 【解答】解：（36×4﹣96）÷（4﹣2）
>
> ＝（144﹣96）÷2
>
> ＝48÷2
>
> ＝24（只）
>
> 36﹣24＝12（只）
>
> 答：鸡有24只，兔有12只。
>
> 【点评】本题主要考查鸡兔同笼问题，关键利用假设法解决问题。
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日期：2021/4/27 15:30:27；用户：18538596816；邮箱：18538596816；学号：27024833
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(秋)**
**第3单元 第二节：数一数**
一.我做大法官，我来判"√""×"。
（1）44中的两个"4"表示的意义相同，都表示4个一。（ ）
（2）一个两位数，高位是个位，低位是十位。（ ）
（3）由5个十和3个一组成的数是53。（ ）
（4）在计数器上，从右边起第一位是百位。（ ）
二. 将正确的选项填在括号内。
（1）从34数到43，一共要数（ ）个数。
A.9  B.10 C.11
（2）75是由（ ）个十和（ ）个一组成的。
A.5 B.7 C.0
（3）一个数十位上是6，个位上是9，这个数是（ ）
A.96 B.609 C.69 D.906
（4）88里面有（ ）个一。
A.8 B.80 C.88
（5）一个数是由10个十组成的，这个数是（ ）。\[来源:学科网\]
A.10 B.100 C.0
三.在计数器上画珠子表示下面各数。
33 60 42
四、填一填。
1、69前面的一个数是（ ），后面的一个数是（ ）；和99相邻的两个数是（ ）和（ ）。
2、最大的两位数是（ ），最小的两位数是（ ），它们的差是（ ）。
3、比89大1的数是（ ），比它小1的数是（ ）。
4、60比（ ）大1，比（ ）小1。
五、写一写。
1、写出十位上是3的两位数：31、\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_。
2.、写出个位上是3的两位数：\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_。 \[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\]
3、 写出十位和个位数字相同的两位数：99、\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_、\_\_\_\_。
六、我做得最仔细。
1、和80相邻的两个数是。（ ）
A、81和82 B、79和81 C、78和79 \[来源:Zxxk.Com\]
2、从76到82之间有几个数。（ ）
A、5个  B、6个 C、7个
3、最小的两位数比最大的两位数少几？（ ）
A、10 B、89 C、1
答案
一、我做大法官，我来判"√""×"。
（1）× （2）×
（3）√ （4）×
二、将正确的选项填在括号内。
（1）B
（2）B A\[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\]
（3）C
（4）C
（5）B \[来源:学科网ZXXK\]
三、在计数器上画珠子表示下面各数。
四、填一填。
1、6 9 98 100
2、99 10 89
3、90 88
4、59 61
五、写一写。
1、32 33 34 35 36
2、13 23 33 43
3、 11 22 33 44 55
三、我做得最仔细。
1、B
2、A
3、B
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**2015年重庆市高考数学试卷（文科）**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（ ）
A．{2} B．{1，2} C．{1，3} D．{1，2，3}
2．（5分）"x=1"是"x^2^﹣2x+1=0"的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）函数f（x）=log~2~（x^2^+2x﹣3）的定义域是（ ）
A．\[﹣3，1\] B．（﹣3，1） C．（﹣∞，﹣3\]∪\[1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
4．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（ ）
A．19 B．20 C．21.5 D．23
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知非零向量满足\|\|=4\|\|，且⊥（）则的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A~1~，A~2~，过F做A~1~A~2~的垂线与双曲线交于B，C两点，若A~1~B⊥A~2~C，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A．± B．± C．±1 D．±
10．（5分）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C． D．3
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.**
11．（5分）复数（1+2i）i的实部为[ ]{.underline}．
12．（5分）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为[ ]{.underline}．
13．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=[ ]{.underline}．
14．（5分）设a，b＞0，a+b=5，则+的最大值为[ ]{.underline}．
15．（5分）在区间\[0，5\]上随机地选择一个数p，则方程x^2^+2px+3p﹣2=0有两个负根的概率为[ ]{.underline}．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
16．（12分）已知等差数列{a~n~}满足a~3~=2，前3项和S~3~=．
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{b~n~}满足b~1~=a~1~，b~4~=a~15~，求{b~n~}前n项和T~n~．
17．（13分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
--------------------- ------ ------ ------ ------ ------
年份 2010 2011 2012 2013 2014
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10
--------------------- ------ ------ ------ ------ ------
（Ⅰ）求y关于t的回归方程=t+．
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款．
附：回归方程=t+中
．
18．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos^2^x．
（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．
19．（12分）已知函数f（x）=ax^3^+x^2^（a∈R）在x=处取得极值．
（Ⅰ）确定a的值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）e^x^，讨论g（x）的单调性．
20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．
（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．
21．（13分）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F~1~，F~2~，且过F~2~的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF~1~．
（Ⅰ）若\|PF~1~\|=2+，\|PF~2~\|=2﹣，求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）若\|PQ\|=λ\|PF~1~\|，且≤λ＜，试确定椭圆离心率e的取值范围．
**2015年重庆市高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（ ）
A．{2} B．{1，2} C．{1，3} D．{1，2，3}
【分析】直接利用集合的交集的求法求解即可．
【解答】解：集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B={1，3}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．
2．（5分）"x=1"是"x^2^﹣2x+1=0"的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先求出方程x^2^﹣2x+1=0的解，再和x=1比较，从而得到答案．
【解答】解：由x^2^﹣2x+1=0，解得：x=1，
故"x=1"是"x^2^﹣2x+1=0"的充要条件，
故选：A．
【点评】本题考察了充分必要条件，考察一元二次方程问题，是一道基础题．
3．（5分）函数f（x）=log~2~（x^2^+2x﹣3）的定义域是（ ）
A．\[﹣3，1\] B．（﹣3，1） C．（﹣∞，﹣3\]∪\[1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
【分析】利用对数函数的真数大于0求得函数定义域．
【解答】解：由题意得：x^2^+2x﹣3＞0，即（x﹣1）（x+3）＞0
解得x＞1或x＜﹣3
所以定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的定义域的求法．属简单题型．高考常考题型．
4．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（ ）
A．19 B．20 C．21.5 D．23
【分析】根据中位数的定义进行求解即可．
【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，
则中位数为，
故选：B．
【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用三视图判断直观图的形状，结合三视图的数据，求解几何体的体积即可．
【解答】解：由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，左侧与一个底面半径为1，高为1的半圆锥组成的组合体，
几何体的体积为：=．
故选：B．
【点评】本题考查三视图的作法，组合体的体积的求法，考查计算能力．
6．（5分）若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（ ）
A． B． C． D．
【分析】由条件利用查两角差的正切公式，求得tanβ=tan\[（α+β）﹣α\]的值．
【解答】解：∵tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=tan\[（α+β）﹣α\]===，
故选：A．
【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．
7．（5分）已知非零向量满足\|\|=4\|\|，且⊥（）则的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．
【解答】解：由已知非零向量满足\|\|=4\|\|，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，
所以•（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈\[0，π\]，所以；
故选：C．
【点评】本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；熟练运用公式是关键．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=8时不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
s=0，k=0
满足条件k＜8，k=2，s=
满足条件k＜8，k=4，s=+
满足条件k＜8，k=6，s=++
满足条件k＜8，k=8，s=+++=
不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．
故选：D．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
9．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A~1~，A~2~，过F做A~1~A~2~的垂线与双曲线交于B，C两点，若A~1~B⊥A~2~C，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A．± B．± C．±1 D．±
【分析】求得A~1~（﹣a，0），A~2~（a，0），B（c，），C（c，﹣），利用A~1~B⊥A~2~C，可得，求出a=b，即可得出
双曲线的渐近线的斜率．
【解答】解：由题意，A~1~（﹣a，0），A~2~（a，0），B（c，），C（c，﹣），
∵A~1~B⊥A~2~C，
∴，
∴a=b，
∴双曲线的渐近线的斜率为±1．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
10．（5分）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C． D．3
【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
若表示的平面区域为三角形，
由，得，即A（2，0），
则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，
即2+2m＞0，
则m＞﹣1，
则A（2，0），D（﹣2m，0），
由，解得，即B（1﹣m，1+m），
由，解得，即C（，）．
则三角形ABC的面积S~△ABC~=S~△ADB~﹣S~△ADC~
=\|AD\|\|y~B~﹣y~C~\|
=（2+2m）（1+m﹣）
=（1+m）（1+m﹣）=，
即（1+m）×=，
即（1+m）^2^=4
解得m=1或m=﹣3（舍），
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．
**二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.**
11．（5分）复数（1+2i）i的实部为[ ﹣2 ]{.underline}．
【分析】利用复数的运算法则化简为a+bi的形式，然后找出实部；注意i^2^=﹣1．
【解答】解：（1+2i）i=i+2i^2^=﹣2+i，所以此复数的实部为﹣2；
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了复数的运算以及复数的认识；注意i^2^=﹣1．属于基础题．
12．（5分）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为[ x+2y﹣5=0 ]{.underline}．
【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点P处的切线的方程．
【解答】解：由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率为﹣==﹣，
故切线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即 x+2y﹣5=0，
故答案为：x+2y﹣5=0．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
13．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=[ 4 ]{.underline}．
【分析】由3sinA=2sinB即正弦定理可得3a=2b，由a=2，即可求得b，利用余弦定理结合已知即可得解．
【解答】解：∵3sinA=2sinB，
∴由正弦定理可得：3a=2b，
∵a=2，
∴可解得b=3，
又∵cosC=﹣，
∴由余弦定理可得：c^2^=a^2^+b^2^﹣2abcosC=4+9﹣2×=16，
∴解得：c=4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
14．（5分）设a，b＞0，a+b=5，则+的最大值为[ 3]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用柯西不等式，即可求出的最大值．
【解答】解：由题意，（）^2^≤（1+1）（a+1+b+3）=18，
∴的最大值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键．
15．（5分）在区间\[0，5\]上随机地选择一个数p，则方程x^2^+2px+3p﹣2=0有两个负根的概率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】由一元二次方程根的分布可得p的不等式组，解不等式组，由长度之比可得所求概率．
【解答】解：方程x^2^+2px+3p﹣2=0有两个负根等价于，
解关于p的不等式组可得＜p≤1或p≥2，
∴所求概率P==
故答案为：
【点评】本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的分布，属基础题．
**三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
16．（12分）已知等差数列{a~n~}满足a~3~=2，前3项和S~3~=．
（Ⅰ）求{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{b~n~}满足b~1~=a~1~，b~4~=a~15~，求{b~n~}前n项和T~n~．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{a~n~}的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）求出，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n项和公式求得{b~n~}前n项和T~n~．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a~n~}的公差为d，则由已知条件得：
，解得．
代入等差数列的通项公式得：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
设{b~n~}的公比为q，则，从而q=2，
故{b~n~}的前n项和．
【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．
17．（13分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
--------------------- ------ ------ ------ ------ ------
年份 2010 2011 2012 2013 2014
时间代号t 1 2 3 4 5
储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10
--------------------- ------ ------ ------ ------ ------
（Ⅰ）求y关于t的回归方程=t+．
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款．
附：回归方程=t+中
．
【分析】（Ⅰ）利用公式求出a，b，即可求y关于t的回归方程=t+．
（Ⅱ）t=6，代入回归方程，即可预测该地区2015年的人民币储蓄存款．
【解答】解：（Ⅰ）
由题意，=3，=7.2，
=55﹣5×3^2^=10，=120﹣5×3×7.2=12，
∴=1.2，=7.2﹣1.2×3=3.6，
∴y关于t的回归方程=1.2t+3.6．
（Ⅱ）t=6时，=1.2×6+3.6=10.8（千亿元）．
【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
18．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos^2^x．
（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．
【分析】（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣，从而可求最小周期和最小值；
（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（x﹣）﹣，由x∈\[，π\]时，可得x﹣的范围，即可求得g（x）的值域．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣cos^2^x=sin2x﹣（1+cos2x）=sin（2x﹣）﹣，
∴f（x）的最小周期T==π，最小值为：﹣1﹣=﹣．
（Ⅱ）由条件可知：g（x）=sin（x﹣）﹣
当x∈\[，π\]时，有x﹣∈\[，\]，从而sin（x﹣）的值域为\[，1\]，那么sin（x﹣）﹣的值域为：\[，\]，
故g（x）在区间\[，π\]上的值域是\[，\]．
【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．
19．（12分）已知函数f（x）=ax^3^+x^2^（a∈R）在x=处取得极值．
（Ⅰ）确定a的值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）e^x^，讨论g（x）的单调性．
【分析】（Ⅰ）求导数，利用f（x）=ax^3^+x^2^（a∈R）在x=处取得极值，可得f′（﹣）=0，即可确定a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（x^3^+x^2^）e^x^，利用导数的正负可得g（x）的单调性．
【解答】解：（Ⅰ）对f（x）求导得f′（x）=3ax^2^+2x．
∵f（x）=ax^3^+x^2^（a∈R）在x=处取得极值，
∴f′（﹣）=0，
∴3a•+2•（﹣）=0，
∴a=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=（x^3^+x^2^）e^x^，
∴g′（x）=（x^2^+2x）e^x^+（x^3^+x^2^）e^x^=x（x+1）（x+4）e^x^，
令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，
当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；
当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；
当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；
综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，以及函数和方程的转化思想，属于中档题．
20．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．
（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．
【分析】（Ⅰ）由等腰三角形的性质可证PE⊥AC，可证PE⊥AB．又EF∥BC，可证AB⊥EF，从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，可证AB⊥平面PEF．
（Ⅱ）设BC=x，可求AB，S~△ABC~，由EF∥BC可得△AFE∽△ABC，求得S~△AFE~=S~△ABC~，由AD=AE，可求S~△AFD~，从而求得四边形DFBC的面积，由（Ⅰ）知PE为四棱锥P﹣DFBC的高，求得PE，由体积V~P﹣DFBC~=S~DFBC~•PE=7，即可解得线段BC的长．
【解答】解：（Ⅰ）如图，由DE=EC，PD=PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE⊂平面PAC，PE⊥AC，
所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB．
因为∠ABC=，EF∥BC，
故AB⊥EF，
从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，
所以AB⊥平面PEF．
（Ⅱ）设BC=x，则在直角△ABC中，AB==，
从而S~△ABC~=AB•BC=x，
由EF∥BC知，得△AFE∽△ABC，
故=（）^2^=，即S~△AFE~=S~△ABC~，
由AD=AE，S~△AFD~==S~△ABC~=S~△ABC~=x，
从而四边形DFBC的面积为：S~DFBC~=S~△ABC~﹣S~AFD~=x﹣x=x．
由（Ⅰ）知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P﹣DFBC的高．
在直角△PEC中，PE===2，
故体积V~P﹣DFBC~=S~DFBC~•PE=x=7，
故得x^4^﹣36x^2^+243=0，解得x^2^=9或x^2^=27，由于x＞0，可得x=3或x=3．
所以：BC=3或BC=3．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题．
21．（13分）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F~1~，F~2~，且过F~2~的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF~1~．
（Ⅰ）若\|PF~1~\|=2+，\|PF~2~\|=2﹣，求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）若\|PQ\|=λ\|PF~1~\|，且≤λ＜，试确定椭圆离心率e的取值范围．
【分析】（I）由椭圆的定义可得：2a=\|PF~1~\|+\|PF~2~\|，解得a．设椭圆的半焦距为c，由于PQ⊥PF~1~，利用勾股定理可得2c=\|F~1~F~2~\|=，解得c．利用b^2^=a^2^﹣c^2^．即可得出椭圆的标准方程．
（II）如图所示，由PQ⊥PF~1~，\|PQ\|=λ\|PF~1~\|，可得\|QF~1~\|=，由椭圆的定义可得：\|PF~1~\|+\|PQ\|+\|QF~1~\|=4a，解得\|PF~1~\|=．\|PF~2~\|=2a﹣\|PF~1~\|，由勾股定理可得：2c=\|F~1~F~2~\|=，代入化简．令t=1+λ，则上式化为e^2^=，解出即可．
【解答】解：（I）由椭圆的定义可得：2a=\|PF~1~\|+\|PF~2~\|=（2+）+（2﹣）=4，解得a=2．
设椭圆的半焦距为c，∵PQ⊥PF~1~，
∴2c=\|F~1~F~2~\|===2，
∴c=．
∴b^2^=a^2^﹣c^2^=1．
∴椭圆的标准方程为．
（II）如图所示，由PQ⊥PF~1~，\|PQ\|=λ\|PF~1~\|，
∴\|QF~1~\|==，
由椭圆的定义可得：2a=\|PF~1~\|+\|PF~2~\|=\|QF~1~\|+\|QF~2~\|，
∴\|PF~1~\|+\|PQ\|+\|QF~1~\|=4a，
∴\|PF~1~\|=4a，解得\|PF~1~\|=．
\|PF~2~\|=2a﹣\|PF~1~\|=，
由勾股定理可得：2c=\|F~1~F~2~\|=，
∴+=4c^2^，
∴+=e^2^．
令t=1+λ，则上式化为=，
∵t=1+λ，且≤λ＜，
∴t关于λ单调递增，∴3≤t＜4．∴，
∴，解得．
∴椭圆离心率的取值范围是．
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、不等式的性质、"换元法"，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| 1 | |
**整理与复习**
一、认真思考，仔细填写。
> 1、一个圆柱的底面直径是10厘米，高15厘米，它的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。
>
> 2、一个长方形长是8厘米，宽是5厘米，以它的长为轴旋转一周所形成图形的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。
>
> 3、圆锥的体积比与它等底等高的圆柱体积少（ ）。如果圆锥的体积是18立方厘米，那么与它等底等高的圆柱体积是（ ）立方厘米。
>
> 4、在比例尺是1:200的平面图上量得一间教室的长是4.5厘米，宽是3厘米，这间教室的实际面积是（ ）平方米。
二、精挑细选，对号入座。
1、用方砖铺一间教室，每块砖的边长和用砖的块数（ ）。
A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例
> 2、把一根底面直径是20厘米圆柱形木料，截成同样长的两段，表面积比原来增加（ ）平方厘米。
A、628 B、1256 C、314
3、一幅图纸上用2.5厘米长的线段表示实际5毫米。它的比例尺是（ ）。
A、1:5 B、5:1 C、1:2
三、求下列图形的体积。
四、解决问题。
> 1、做一个无盖的圆柱形铁皮水桶，高是5分米，底面直径是4分米。做这个水桶需用铁皮约多少平方分米？（得数保留一位小数）
>
> 2、一个圆柱和一个圆锥的高相等，底面半径的比是2:3。已知圆柱的体积是24立方厘米，圆锥的体积是多少立方厘米？
>
> 3、东、西两个城市，在比例尺是1:250000的地图上，量得两城的距离是12厘米，在比例尺是1:1000000的地图上，东、西两城间的图上距离是多少？
>
> 4、据测算，地球每7天被毁灭的林地面积公顷数是按比例递增，根据已给出的数据，算出剩下的数。
>
> （1）在图中描点，把剩下的图画完整。
>
> （2）被毁灭的林地面积和天数有什么关系？说明理由。
**部分答案：**
一、1、628 1177.5
2、408.2 628
3、，54
4、54
二、1、C 2、A 3、B
三、1、3.14×（4÷2）^2^ = 125.6（dm^3^）
2、×3.14×6^2^×10 = 376.8（cm^3^）
四、1、3.14×4×5＋3.14×（4÷2）^2^≈ 75.4（dm^2^）
2、设圆柱的底面半径为2，圆柱的高为24÷（3.14×2^2^），×3.14×3^2^×
= 18（立方厘米）
3、12×250000÷1000000 = 3（cm）
> 4、（2）因为被毁灭的林地面积和天数的比值都是5.5，所以被毁灭的林地面积和天数成正比例。
| 1 | |
**2007年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）**
**数学（文科）试卷**
**第Ⅰ卷（选择题 共60分）**
**一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
**1．已知全集，且，，则等于**
**A．{2} B．{5} C．{3，4} D．{2，3，4，5}**
**2．等比数列中，，则等于**
**A．4 B．8 C．16 D．32**
**3．Sin15°cos75°+cos15°sin105°等于**
**A．0 B． C． D．1**
**4．""是"x^2^-x-6\<0"的**
**A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件**
**C．充要条件 D．既不充分也不必要条件**
**5．函数的图像**
**A．关于点对称 B．关于直线对称**
**C．关于点对称 D．关于直线对称**
**6．如图在正方体中，E、F、G、H分别是的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于**
**A．45° B．60° C．90° D．120°**
**7．已知是R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是**
**A．（-∞,1） B．(1,+∞)**
**C． D．**
**8．对于向量a、b、c和实数，下列命题中真命题是**
**A．若a·b=0，则a=0或b=0 B．若a=0，则或a=0**
**C．若a^2^=b^2^，则a=b或a=-b D．若a·b=a·c，则b=c**
**9．已知m、n是两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确命题是**
**A． B．**
**C． D．**
**10．以双曲线x^2^-y^2^=0的右焦点为圆心，且以其右准线相切的圆的方程是**
**A．x^2^+y^2^-4x-3=0 B．x^2^+y^2^-4x+3=0**
**C．x^2^+y^2^+4x-5=0 D．x^2^+y^2^+4x+5=0**
**11．已知对任意实数x，有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)，且x\>0时，则x\<0时**
**A． B．**
**C． D．**
**12．某通信公司推出一组手机卡号码，卡号的前7位数字固定，从"×××××××0000"到"×××××××9999"共10000个号码，公司规定：凡卡号的后4位带有数字"4"或"7"的一律作为"优惠卡"，则这组号码中"优惠卡"的个数为**
**A．2000 B．4096 C．5904 D．8320**
**第Ⅱ卷（非选择题 共90分）**
**二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。**
**13．的展开式中常数项是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。（用数字作答）**
**14．已知实数x,y满足，则的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。**
**15．已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为\_\_\_\_\_。**
**16．中学数学中存在许多关系，比如"相等关系""平行关系"等等，如果集合A中元素之间的一个关系"\~"满足以下三个条件：**
**（1）自反性：对于任意，都有a\~a；**
**（2）对称性：对于a,，若a\~b，则有b\~a；**
**（3）传递性：对于a，b，，若a\~b,b\~c，则有a\~c，则称"\~"是集合A的一个等价关系，例如："数的相等"是等价关系，而"直线的平行"不是等价关系（自反性不成立），请你在列出两个等价关系：\_\_\_\_\_\_\_。**
**三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。**
**17．（本小题满分12分）**
**在△ABC中，。**
**（Ⅰ）求角C的大小；**
**（Ⅱ）若AB边的长为，求BC边的长。**
**18．（本小题满分12分）**
**甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：**
**（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功地概率；**
**（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；**
**（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率。**
**19．（本小题满分12分）**
**如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为中点。**
**（Ⅰ）求证：平面；**
**（Ⅱ）求二面角的大小。**
**20．本题主要考查函数的确良单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力，满分12分。**
**设函数。**
**（Ⅰ）求f(x)的最小值h(t)；**
**（Ⅱ）若h(t)\<-2t+m对恒成立，求实数m的取值范围。**
**21．（本小题满分12分）**
**数列的前n项和为，。**
**（Ⅰ）求数列的通项；**
**（Ⅱ）求数列的前n项和。**
**22．（本小题满分14分）**
**如图，已知点F（0，1），直线l:x=-1，P为平面上的动点，过点P作*l*的垂线，垂足为点Q，且。**
**（1）求动点P的轨迹C的方程；**
**（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线*l*于点M。**
**①已知求的值；**
**②求的最小值。**
| 1 | |
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**名校真题 测试卷 数论篇一**
**时间：15分钟 满分5分 姓名\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 测试成绩\_\_\_\_\_\_\_\_\_**
**1 （13年人大附中考题）**
**有\_\_\_\_个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。**
**2 （13年101中学考题）**
**如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数**
**是＿＿。**
**3 （13年首师附中考题）**
**++=＿＿。**
**4 （04年人大附中考题）**
**甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是\_\_\_\_。**
5. **(02年人大附中考题)**
**下列数不是八进制数的是( )**
> **A、125 B、126 C、127 D、128**
**【附答案】**
**1 【解】：6**
**2 【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。**
**3 【解】：周期性数字，每个数约分后为+++=1**
**4 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。**
**5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。**
**小升初专项训练 数论篇（一）**
**一、小升初考试热点及命题方向**
**数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。**
**二、考点预测**
**的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点，大题则需综合运用数的整除，质数与合数，约数倍数以及整数的分拆等方法，希望同学们全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分解出数论的压轴大题是关键。**
**三、基本公式**
**1）已知b\|c,a\|c,则\[a,b\]\|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab\|c。**
**\[讲解练习\]：若3a75b能被72整除，问a=＿＿,b=＿＿.（迎春杯试题）**
**2）已知c\|ab，(b,c)=1,则c\|a。**
**3）唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即**
**n= p1× p2×\...×pk（\#)**
**其中p1\<p2\<\...\<pk为质数，a1,a2,\....ak为自然数，并且这种表示是唯一的。**
**该式称为n的质因子分解式。**
**\[讲解练习\]：连续3的自然树的积为210，求这三个数为＿＿.**
**4）约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如（\#）**
**那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)\....(ak+1)**
**所有约数和：（1+P1+P1+...p1）（1+P2+P2+...p2）...（1+Pk+Pk+...pk）**
**\[讲解练习\]：1996不同的质因数有＿＿个，它们的和是＿＿。（1996年小学数学奥林匹克初赛）**
**5) 用\[a,b\]表示a和b的最小公倍数，(a,b)表示a和b的最大公约数，那么有ab=\[a,b\]×(a,b)。**
**\[讲解练习\]：两个数的积为2646，最小公倍数为126，问这两个数的和为＿＿。（迎春杯刊赛第10题）**
**6）自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。**
**\[讲解练习\]：3aa1能被9整除，问a=＿＿.（美国长岛数学竞赛第三试第3题）**
**7）平方数的总结：**
**小生初四个考点：1：平方差 A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。**
**\[讲解练习\]：8-7+6-5+4-3+2-1=＿＿。**
**2：约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。**
**约数个数为3的是质数的平方。**
**\[讲解练习\]：1～100中约数个数为奇数个的所有数和为＿＿。**
**3：质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。**
**\[讲解练习\]：a与45的乘积一个完全平方数，问a最小是＿＿。**
**4:平方和。**
**8）十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。**
**9）周期性数字：abab=ab×101**
**\[讲解练习\]：2005×20062006-2006×20052005=＿＿。**
**四、典型例题解析**
**1 数的整除**
**【例1】（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个。**
**【解】：不妨设这4个数字分别是a\>b\>c\>d**
**那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b\>c\>d,所以b=5;**
**从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2**
**从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4；**
**因为a\>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。**
**这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3**
**所以这24个四位数中最大的一个是7543。**
**【例2】（★★★）一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？**
**\[思路\]：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手**
**【解】：5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。**
**【例3】（★★★）由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？**
**【解】：各位数字和为1+3+4+5+7+8=28**
**所以偶数位和奇数位上数字和均为14**
**为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6**
**那么第3位一定是5，第5位为1**
**该数最大为875413。**
**\[拓展\]：一个三位数，它由0，1，2，7，8组成，且它能被9整除，问满足条件的总共有几个？**
> **【例4】（★★）一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7 ，女同学的人数超过总数的2/5 。问男女生各多少人？**
**【来源】：12年理工附入学测试题**
**【解】：男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7，这样女生的范围在2/5～3/7之间，同理可得男生在4/7～3/5之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在28/70～30/70之间，所以只能是29人，这样男生为41人。**
**2 质数与合数（分解质因数）**
**【例5】（★★★）2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?**
**【解】：先分析1×2×3×4××10的积的末尾共有多少个0。由于分解出2的个数比5多，这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。而能分解出5的一定是5的倍数。注意：5的倍数能分解一个5，25的倍数分解出2个5，125的倍数能分解出3个5......最终转化成计数问题，如5的倍数有\[10/5\]=2个。**
**2005=5×401 684=2×2×171**
**375=3×5×5×5前三个数里有2个质因子2，4个质因子5，要使得乘积的最后4位都是0**
**应该有4个质因子2和4个质因子5，还差2个质因子。因此□里最小是4。**
**\[拓展\]：2005×684×375×□最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是\_\_\_\_\_**
**【例6】（★★★）03 年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及时，04年的招生人数比03年多了101人，也是一个平方数，问04年的招生人数？**
**【解】：看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设03年的为A，04年的为B，从中我们发现04年的比03年多101人，这样我们可以列式子B- A=101**
**此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，**
**所以B- A=（A+B）（A-B）=101，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，但101是个质数，所以101只能分成101×1，这样A+B=101，A-B=1，所以A=50，B=51，所以04年的招生人数为51×51=2601。**
**\[拓展\]：一个数加上10，减去10都是平方数，问这个数为多少？（清华附中测试题）**
3. **约数和倍数**
**【例7】（★★★）从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？**
**【解】：边长是2002和847的最大公约数，可用辗转相除法求得 （2002,847）=77**
**所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。**
**辗转相除示例：**
**2002÷847=2...308 求2个数的最大公约数，就用大数除以小数\
847÷308=2...231 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止**
**308÷231=1...77 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止**
**231÷77=3 最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数**
**【例8】（★★★）一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？**
**【解】：100能被5整除，所以每5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。这样我们都以从左往右作，可见转化成讨论5，6的最小公倍数中的情况，画图可得有2根距离为4米，所以30，60，90里各有2条，但发现最后96和100也是距离4米，所以总共2×3+1=7。**
**\[拓展\]：在一根长木棍上，有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？**
**【例9】（★★★）1、2、3、4...2008这2008个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的积？**
**【解】：最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除2以外都是奇数质因数，可见我们只要找需要多少个2，所以只要看1～2008中2ˇn谁最大，可见2ˇ10=1024，所以为10 个2。**
**【例10】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说："这个数能被2整除"，3号说"这个数能被3整除"，......，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）**
**【解】：1）首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与"只有编号相邻的两位同学说的不对"不符合。因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除。**
**其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。**
**2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数**
**由于上述十二个数的最小公倍数是60060**
**因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。**
4. **数论的综合题型**
**【例11】（★★★★）某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，...,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的电话号码是什么数？**
**【解】：**
**设第一户电话号是x+1,第二户x+2,....第12户电话号x+12**
**[根据条件得x+i是i的倍数(i=1,2,...,12)因此x是1，2，....12的公倍数]{.underline}**
**\[1,2,.....12\]=27720**
**所以x=27720m**
**27720m+9是13的倍数，27720除以13余数为4**
**所以4m+9是13的倍数m=1,14,27....**
**第一家电话号码是27720m+1 m取14合适；**
**因此第一家电话号码是27720\*14+1=388081**
**\[拓展\]：写出连续的11个自然数，要求第1个是2的倍数，第二个是3的倍数...第11个是12的倍数？**
**【例12】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数，2号说："这个数能被2整除"，3号说"这个数能被3整除"，......，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）**
**【解】：1）首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与"只有编号相邻的两位同学说的不对"不符合。因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除。**
**其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是8和9。**
**2）这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数**
**由于上述十二个数的最小公倍数是60060**
**因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060。**
**小结**
**本讲主要接触到以下几种典型题型：**
**1）数的整除。 参见例1，2，3，4**
**2）质数与合数（分解质因数）。参见例5，6**
**3）约数和倍数。 参见例7，8，9，10**
**4）数论的综合题型。 参见例11，12**
**【课外知识】**
> **打开另一扇心窗**
>
> **很久以前，在意大利的庞贝古城里，一个普通人家出生了一个叫莉蒂雅的女孩。 莉蒂雅自小双目失明，但她并不怨天怨地，也没有垂头丧气，反而热爱生活，对生活充满信心和希望。稍稍长大后，她像常人一样劳动，靠卖花自食其力。不久，维苏威火山爆发，庞贝城面临一次大的灾难，整座城市被笼罩在浓烟尘埃之中。浓密的火山灰，遮掩了太阳、月亮和星星，大地一片漆黑。黑暗中，惊慌失措的居民跌跌撞撞地根本找不到出路，人们好像生活在人间的地狱中。莉蒂雅虽然看不见，但这些年来，她走街串巷在城里卖花，对城市的各条道路了如指掌。她就靠自己的触觉和听觉找到了生路，不但救了自己的家人，还救了许多市民。\
> 后来，莉蒂雅的事迹一直被后人所传颂，并出现在很多的文学作品中。\
> 启迪：莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸，她的残疾反而成了她的财富。不要总以为自己是最倒霉的。其实，上苍很公平。有时候，命运向你关闭这一心窗的同时，又为你开启了另一心窗，同样可以享受人生的快乐**
**作业题**
**（注：作业题\--例题类型对照表，供参考）**
**题1，4---类型1；题2，6---类型3；题3，5，8---类型2；题7---类型2**
**1．（★★）在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？**
**解：1+2+......+100=5050**
**9+18+27+......+99=9×(1+2+......+11)=495**
**随意1-100中所有不能被9整除的数的和是5050-495=4555**
**2．（★★）某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占，得80～89分的人数占，得70～79分得人数占，那么得70分以下的有\_\_\_\_\_\_\_\_人。**
**解：有、、，说明总人数一定为7的倍数、2的倍数、3的倍数，故为\[7、2、3\]＝42的倍数；**
**又由于人数不超过60人，故这班的人数只能为42人。**
**从而70分以下的有：42×＝1人。**
**3．（★★）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有\_\_\_\_\_\_\_个。**
> **解：枚举法：23，37，53，73，，有4个**
**4. （★★★）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？**
**解：这三个自然数最小是6，10，15（分别是2×3,2×5,3×5）**
**和的最小值为31。**
**5、（★★★）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？**
**解：设中间一个数为2x**
**那么5个数的和为10x=m\^2**
**中间3个数的和为6x=n\^3**
**设x=2\^p × 3\^q × 5\^r**
**再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数，一个数是立方数等价于他的各个质因子的幂都是3的倍数可以求得p=5,q=2,r=3**
**X=36000**
**因此所求为2x+4=72004**
**6、（★★）一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？**
**解：A-B=（A+B）（A-B）=37=37×1，考虑同奇偶性，可知A=19，B=18，这样这个数为461。**
**7、（★★★）从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是\_\_\_\_\_\_．**
**【来源】北京市第七届"迎春杯"决赛第二题第4题**
**【解】第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初编号都是=121的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是=1331的倍数．因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是1331．**
**8、（★★★）有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积．其中只有三个数不是l，而是三个不同的质数．那么，这样的三个质数可以是 [ ]{.underline} 、 [ ]{.underline} 、 [ ]{.underline} ．**
**【解】设a、b、c为三个不同的质数，根据题意**
**1994+a+b+C=a·b·c．**
**取a=3，b=5，得1994+3+5+c=15c，解出c=143不是质数；**
**取a=3，b=7，得1994+3+7+c=21c，解出c=不是整数；**
**取a=5，b=7，得1994+5+7+c=35C，解出c=59．**
**故5、7、59是满足题意的三个质数．**
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**行程问题复习**
1. 某人沿着铁路边的便道步行,一列客车从身后开来,在身旁通过的时间是20秒,客车长105米,每小时速度为35千米,求步行人每小时行多少千米?
2. 一人以每分钟60米的速度沿铁路步行,一列长144米的客车对面开来,从他身边通过用了8秒钟,列车的速度是多少？
3、小明步行上学，每分钟行70米。离家20分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家里了，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟270米的速度去追小明。问爸爸出发几分钟后追上小明？当爸爸追上小明的时候他们离家多远了？
4、（感兴趣的可以尝试一下）在400米环形跑道上，A、B两点相距100米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟，那么甲追上乙需要时间是多少秒？
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**孩子及家长：**
你们好！我是小白老师，这是封和大家交流反馈的书信。我本次想要交流的是如何充分利用直播课提升自己？
首先，我们要清楚的认识到直播课的定义和与一般课程的区别。一般的课就是老师叨叨叨的在念经，学生半梦半醒的听着、记着、写着就行；直播课就不一样了，老师哗啦啦的营造氛围，学生噼里啪啦的上麦交流、提问，说自己的思路、想法，老师点评和指正。然而，在这里大家比较羞涩的将直播课打回原形了\~我一直好奇大家为什么没有积极上麦的习惯？后来我发现，大家缺失的不是习惯而是勇气\~很多小孩都害怕自己会说错，有些孩子是在走神想着反正可以回看录屏，有些孩子是在抱着侥幸的态度听别人说\~
这是个言论自由的课堂，不敢尝试说怎么知道说可以改变你什么；不曾努力思考怎么知道自己有多大的脑洞；不敢去问怎能说你自己学习过呢？说错不要紧，至少下次我就能说对的思想哪去了？我就是想说，因为老师可以指正我，而你们只能想想烂在肚子里，这份"骄傲"哪去了？你们为什么不利用课上时间让老师充分给你们解答问题，那我先来，这股"冲劲"还有吗？
其次，要明白直播课堂不是你我他她的事，是你的事。在我一级级升上去所带的学生当中，他们似乎都觉得一小时上麦交流的时间都不够\~他们想要表达的想法和解题思路太多，都在争先恐后的交流\~相对来说，我们的五年级孩子们却都是"沉睡的小五郎"，明明有柯南体质。那些最爱说的学生们，不是成绩提升，就是能言善辩，要么已经有一步不差的标准答案解题思路。那些不是他们的死记硬背，而是多说多练和活学活用的成果。
少年少女们，你们此刻还在迷茫什么？还在犹豫什么？难道没有激发你们的体内的"洪荒之力"嘛？难道你们没有热血沸腾想改变自己吗？其实很简单，就从心无旁骛的举手回答开始吧\~少年少女们，你们做好准备了吗？接受小白老师的战书了么\~
**小白老师**
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**北师大版小学四年级下册数学第二单元《认识三角形和四边形------探索与发现\--三角形内角和》同步检测3（附答案）**
一、填一填。
1．三角形的内角和是( )度。
2．在一个三角形中，最大的一个角是85°，这是一个( )三角形。
3．在一个等边三角形中，三个角都是( )度，它是( )三角形。
4．在一个等腰直角三角形中，三个角的度数分别是( )，( )和( )。
5．在一个三角形中，有两个角分别是25°和65°，这是一个( )三角形。
二、火眼金睛。来源：www.bcjy123.com/tiku/
1．一个三角形的两个锐角之和一定小于90°。( )
2．任何一个三角形都不可能有两个钝角。( )
3．在一个三角形中，两个角的度数和可能大于第三个角的度数。( )
4．等腰直角三角形的一个底角是50°。( )
5．一个直角三角形的两个锐角可能是36°和64°。( )
三、选一选。
1．在一个三角形中，∠l=62°，∠2=45°，另一个角是( )。
A．73° B．83° C．63°
2．在三角形中，∠l=50°，∠2=40°，这个三角形是( )。
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形
3．等腰三角形中，有一个内角是40°，另外两个内角( )。
A．一定都是70° B．一个是40°，另一个是l00°
C．都是70°或者一个是40°，另一个是l00°
4．把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是( )。
A．90° B．180° C．360°
四、看图求出下列各角的度数。
1\.
∠B=180°- ( )-( )=( )
或∠B=180°-( [ ]{.underline} + [ ]{.underline} ) =( )
2\.
∠B=90°-( )=( )
3\.
∠C=180°-( )-( )=( )
五、根据所给条件求出各角的度数。
在等腰三角形ABC中，∠1是底角，∠2是顶角。
1. 如果∠l=30°，求∠2。
2. 如果∠2是直角，求∠l。
六、如图，∠l=125°，∠3=45°，求∠4=？来源：www.bcjy123.com/tiku/
七、已知三角形ABC是等腰三角形，∠A=80°，∠1=∠2，∠3=∠4，求∠5的度数。
**参考答案**
一、
1.180
2.锐角
3.60 锐角
4.90° 45° 45°
5.直角
二、1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.×
三、1.A 2.B 3.C 4.B
四、
1.∠B＝180°-58°-43°＝79°或∠B＝180°-(58°＋43°)＝79°
2.∠B＝90°-41°＝49°
3.∠C＝180°-30°-38°＝112°
五、1. ∠2=120° 2. ∠1=45°
六、∠2=180°-125°=55° ∠4=180°-55°-45°=80°
七、(180°-80°)÷2=50°
∠2=50°÷2=25°
∠4=50°÷2=25°
∠5=180°-25°-25°=130°
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河北省衡水中学2017届高三下学期第六周周测
数学（理）试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、复数的共轭复数所对应的点位于复平面的
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、已知等比数列中，，则的值为
A． B． C． D．
3、已知双曲线的离心率为，且经过点，则双曲线C的标准方程为
A． B． C． D．
4、阅读如图的程序框图，如输入，则输出的分别等于
A． B． C． D．
5、已知条件关于的不等式有解；条件为减函数，则成立是成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6、已知不等式组表示的区域D，过区域D中任意一点P作圆的两条切线且切点分别为A、B，当最大时，
A． B． C． D．
7、已知，若，则
A． B． C． D．
8、一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，
俯视图为正方形，则该几何体的体积为
A．8 B．4 C． D．
9、已知F为抛物线的焦点，点A、B在该抛物线上，
（其中为坐标原点），则与面积之差的最小值是
A．4 B．8 C． D．
10、若函数，函数，则 的最小值为
A． B．1 C． D．2
11、若非零向量与向量的夹角为钝角，，且当时，取最小值，向量满足，则当取最大值时，等于
A． B． C． D．
12、已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.
13、某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取点样本中有高一学生96人，则该样本中的三学生人数为 [ ]{.underline}
14、在正三棱锥中，是SC的中点，，则正三棱锥外接球的球心到平面ABC的距离为 [ ]{.underline}
15、中，是以为第三项，为第七项的等差数列的公差，是以为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状为 [ ]{.underline}
16、已知函数，有下列4个结论：
①函数的图象关于y轴对称；
②存在常数，对于任意实数，恒有成立；
③对于任意给定的正数M，都存在实数 ，使得；
④函数的图象上存在无数个点，使得该函数在这些点处的切线与x轴平行。
其中，所有正确结论的序号为 [ ]{.underline}
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
如图，在中，是边上一点。
（1）求的面积的最大值；
（2）若的面积为4，为锐角，求的长。
18、（本小题满分12分）
如图，几何体中，为边长为2的正方形，为直角梯形，
.
（1求证：；
（2）求二面角的大小。
19、（本小题满分12分）
设不等式确定的平面区域为，确定的平面区域为V。
（1）定义横、纵坐标为整数的点为"整点"，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V内的概率；
（2）在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V内的个数为X，求X的分布列和数学期望。
20、（本小题满分12分）
已知椭圆与椭圆有相同的离心率，经过椭圆的做顶点作直线，与椭圆相较于P、Q两点，与椭圆相较于A、B两点。
（1）若直线经过线段PQ的中点M，求直线的方程；
（2）若存在直线，使得，求的取值范围。
21、（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线平行于直线。
（1）求函数的单调区间；
（2）设直线为函数图象上任意一点处的切线，在区间上是否存在，使得直线与曲线也相切？若存在，满足条件的有几个？
22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程
在坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为。
（1）写出直线的参数方程，若直线与曲线C有公共点，求的取值范围；
（2）设为曲线C上任意一点，求的取值范围。
13、设关于的不等式的解集为A，且。
（1）恒成立，且，求的值；
（2）若，求的最小值，并指出取得最小值时的值。
附加题：
24、设函数 。
（1）若存在最大值M，且，求的取值范围；
（2）当时，试问方程是否有实数根，若有，求出所有的实数根；若没有，请说明理由。
25、已知点F为椭圆的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆E有且仅有一个交点M。
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线与y轴交于点P，过点P的直线与椭圆E交于两不同点A、B，
若 ，求实数的取值范围。
26、设等差数列 的前n项和为，若，且，数列点前n项和为，且满足。
（1）求数列通项公式的及数列的前n项和；
（2）是否存在非零实数，使得数列 为等比数列？并说明理由。
**答案：**
**一、选择题 CBABB BBACD AB**
**二、填空题**
**（13）78 （14） （15）锐角三角形 （16）③④**
**三、解答题**
**17. 解：（1）∵在△ABC中，∠B=30°，AC=2****，D是边AB上一点，**
**∴由余弦定理得：**
**AC^2^=20=AB^2^+BC^2^﹣2AB•BC•cos∠ABC**
**=**
**≥（2﹣****）AB•BC，**
**∴AB•BC≤****=20（2+****），**
**∴****，**
**∴△ABC的面积的最大值为****．**
**（2）设∠ACD=θ，在△ACD中，**
**∵CD=2，△ACD的面积为4，∠ACD为锐角，**
**∴****=****=4，**
**∴sinθ=****，cos****，**
**由余弦定理，得AD^2^=AC^2^+CD^2^﹣2AC•CD•cosθ=20+4﹣8×****=16，**
**∴AD=4，**
**由正弦定理，得****，∴****，∴****，**
**此时****，∴BC=****．**
**∴BC的长为4．**
**18、**
**19.**
**20. 解：（1）设P（﹣2，0），Q（x，y），线段PQ的中点M为****，**
**∴****=0，化为x+y=2．**
**联立****，解得****，或****．**
**∴直线l的方程为：y=0，或y﹣0=****（x+2），化为x﹣4y+2=0．**
**（2）椭圆C~2~：** **+y^2^=1的离心率e=****．**
**设2c是椭圆C~1~；** **+****=1（a＞b＞0）的焦距，则****=****，又a^2^=b^2^+c^2^，可得a=2b，c=****b，椭圆的方程化为：x^2^+4y^2^=4b^2^．**
**设直线l的方程为：y=k（x+2），P（x~3~，y~3~），Q（x~4~，y~4~），A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~）．**
**联立****，化为（1+4k^2^）x^2^+16k^2^x+16k^2^﹣4=0，**
**∴x~3~+x~4~=****，x~3~x~4~=****，**
**\|PQ\|=****=****．**
**联立****，化为：（1+4k^2^）x^2^+16k^2^x+16k^2^﹣4b^2^=0，**
**∴x~1~+x~2~=****，x~1~x~2~=****．**
**∴\|AB\|=****=****．**
**∵****=****，**
**∴****=3****，**
**∴3×****=****．**
**化为：b^2^=1+****∈（1，9\]，∴b∈（1，3\]．∴b的取值范围是（1，3\]．**
**21. 解：（1）∵函数f（x）=lnx﹣****，**
**∴f′（x）=****+****，**
**∵曲线y=f（x）在点（****，f（****））处的切线平行于直线y=10x+1，**
**∴f′（****）=2+8a=10， ∴a=1**
**∴f′（x）=**
**∵x＞0且x≠1，∴f\'（x）＞0**
**∴函数φ（x）的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）．（5分）**
**（2）证明：∵y=lnx，∴切线l的方程为y﹣lnx~0~=****（x﹣x~0~）**
**即y=****x+lnx~0~﹣1，①（6分）**
**设直线l与曲线y=g（x）相切于点（x~1~，****），**
**∵g\'（x）=e^x^，∴****=****，**
**∴x~1~=﹣lnx~0~．（8分）**
**∴直线l也为y﹣****=****（x+lnx~0~），**
**即y=****x+****+****，②（9分）**
**由①②得lnx~0~﹣1=****+****，**
**∴lnx~0~=****．（11分）**
**下证：在区间（1，+∞）上x~0~存在且唯一．**
**由（1）可知，f（x）=lnx﹣****在区间（1，+∞）上递增．**
**又f（e）=﹣****＜0，f（e^2^）=****＞0，（13分）**
**结合零点存在性定理，说明方程f（x）=0必在区间（e，e^2^）上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x~0~．**
**22.解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ^2^﹣6ρcosθ+1=0，**
**∴曲线C的直角坐标方程为x^2^+y^2^﹣6x+1=0，**
**∵直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角****为α，**
**∴直线l的参数方程为****，（t为参数），**
**将****，代入x^2^﹣y^2^﹣6x﹣1=0，**
**整理，得t^2^﹣8tcosα+8=0，**
**∵直线l与曲线C有公共点，**
**∴△=64cos^2^α﹣32≥0，即cosα≥****，或cosα≤﹣****，**
**∵α∈\[0，π），∴α的取值范围是\[0，****\]∪\[****，π）．**
**（2）曲线C的直角坐标方程x^2^+y^2^﹣6x+1=0可化为（x﹣3）^2^+y^2^=8，**
**其参数方程为****，（θ为参数），**
**∵M（x，y）为曲线C上任意一点，**
**∴x+y=3+2****cosθ+2****=3+4sin（****），**
**∴x+y的取值范围是\[﹣1，7\]．**
**23.解：（1）关于x的不等式\|x﹣2\|＜a（a∈R）的解集为A，且****∈A，﹣****∉A，**
**则a＞\|****﹣2\|且a≤\|﹣****﹣2\|，即有****＜a≤****，①**
**∀x∈R，\|x﹣1\|+\|x﹣3\|≥\|（x﹣1）﹣（x﹣3）\|=2，即有**
**\|x﹣1\|+\|x﹣3\|的最小值为2，**
**∀x∈R，\|x﹣1\|+\|x﹣3\|≥a^2^+a恒成立，即有**
**a^2^+a≤2，解得﹣2≤a≤1，②**
**由①②可得****＜a≤1， 由a∈N，则a=1；**
**（2）若a+b=1，则****+****=****+****，**
**当b＞0时，** **+****=****+（****+****）≥****+2****=****，**
**当且仅当****=****，即a=****∈（****，****\]，b=****时，取得最小值，且为****；**
**当b＜0时，** **+****=﹣****+（****+****）≥﹣****+2****=****，**
**当且仅当****=****，即a=****∈（****，****\]，b=****时，取得最小值，且为****．**
**综上可得，当a=****时，** **+****取得最小值，且为****．**
**实验附加：**
**24**
**．（1）****；（2）****.**
**【解析】**
**（Ⅰ）求椭圆标准方程，只要求出参数****，由于有****，因此要列出关于****的两个方程，而由条件两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形得****，再利用已知直线与椭圆只有一个公共点，即判别式为0可求得椭圆方程；**
**（Ⅱ）由（Ⅰ）得点****的坐标，从而可得****，要求****范围只要求得****的范围，为此可直线****分类，对****斜率不存在时，求得****，而当直线****斜率存在时，可设出直线方程为****，同时设****，则****，由韦达定理可把****表示为****的函数，注意直线与椭圆相交，判别式＞0，确定****的范围，从而可得****的范围，最后可得****的取值范围.**
**试题解析：（Ⅰ）由题意，得****，则椭圆****为：****，**
**由****，得** **，**
**直线****与椭圆****有且仅有一个交点****，**
 **，**
**椭圆****的方程为** **；**
**（Ⅱ）由（Ⅰ）得****，****直线****与****轴交于** **,**
 **,**
**当直线****与****轴垂直时，** **,**
**由** **,**
**当直线****与****轴不垂直时，设直线****的方程为****，** **，**
**由** **，**
**依题意得，****，且** **，**
 **，**
 **，**
 **，**
**综上所述，****的取值范围是** **.**
**2．（Ⅰ），；（Ⅱ）不存在非零实数，使数列为等比数列，理由见解析．**
**【解析】**
**试题分析：（Ⅰ）设数列的公差为，利用数量积运算性质可得：，又，解得，，可得数列的通项公式，再利用"裂项求和"方法即可得出；（Ⅱ）由()，且，可得，对分类讨论，利用等比数列的定义即可得出．**
**试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为，由，，，得又解得，，因此数列的通项公式是（），所以，**
**所以**
**（Ⅱ）因为（）且可得，**
**当时，；当时，，此时有，若是等比数列，则有，而，，彼此相矛盾，故不存在非零实数，使数列为等比数列．**
**考点：数列递推式；数列求和**
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**2014年广东省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（ ）
A．{0，2} B．{2，3} C．{3，4} D．{3，5}
2．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（ ）
A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i
3．（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，0） D．（4，3）
4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值等于（ ）
A．7 B．8 C．10 D．11
5．（5分）下列函数为奇函数的是（ ）
A．2^x^﹣ B．x^3^sinx C．2cosx+1 D．x^2^+2^x^
6．（5分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）
A．50 B．40 C．25 D．20
7．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则"a≤b"是"sinA≤sinB"的（ ）
A．充分必要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
8．（5分）若实数k满足0＜k＜5，则曲线﹣=1与﹣=1的（ ）
A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
9．（5分）若空间中四条两两不同的直线l~1~，l~2~，l~3~，l~4~，满足l~1~⊥l~2~，l~2~∥l~3~，l~3~⊥l~4~，则下列结论一定正确的是（ ）
A．l~1~⊥l~4~ B．l~1~∥l~4~
C．l~1~与l~4~既不垂直也不平行 D．l~1~与l~4~的位置关系不确定
10．（5分）对任意复数ω~1~，ω~2~，定义ω~1~\*ω~2~=ω~1~~2~，其中~2~是ω~2~的共轭复数，对任意复数z~1~，z~2~，z~3~有如下命题：
①（z~1~+z~2~）\*z~3~=（z~1~\*z~3~）+（z~2~\*z~3~）
②z~1~\*（z~2~+z~3~）=（z~1~\*z~2~）+（z~1~\*z~3~）
③（z~1~\*z~2~）\*z~3~=z~1~\*（z~2~\*z~3~）；
④z~1~\*z~2~=z~2~\*z~1~
则真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
**二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11-13题）**
11．（5分）曲线y=﹣5e^x^+3在点（0，﹣2）处的切线方程为[ ]{.underline}．
12．（5分）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为[ ]{.underline}．
13．（5分）等比数列{a~n~}的各项均为正数，且a~1~a~5~=4，则log~2~a~1~+log~2~a~2~+log~2~a~3~+log~2~a~4~+log~2~a~5~=[ ]{.underline}．
**（二）（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】**
14．（5分）在极坐标系中，曲线C~1~与C~2~的方程分别为2ρcos^2^θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C~1~与C~2~交点的直角坐标为[ ]{.underline}．
**【几何证明选讲选做题】**
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=[ ]{.underline}．
**四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）**
16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．
（1）求A的值；
（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．
17．（13分）某车间20名工人年龄数据如下表：
------------ --------------
年龄（岁） 工人数（人）
19 1
28 3
29 3
30 5
31 4
32 3
40 1
合计 20
------------ --------------
（1）求这20名工人年龄的众数与极差；
（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
（3）求这20名工人年龄的方差．
18．（13分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．
（1）证明：CF⊥平面MDF；
（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．
19．（14分）设各项均为正数的数列{a~n~}的前n项和为S~n~满足S~n~^2^﹣（n^2^+n﹣3）S~n~﹣3（n^2^+n）=0，n∈N^\*^．
（1）求a~1~的值；
（2）求数列{a~n~}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有++...+＜．
20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x~0~，y~0~）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
21．（14分）已知函数f（x）=x^3^+x^2^+ax+1（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＜0时，试讨论是否存在x~0~∈（0，）∪（，1），使得f（x~0~）=f（）．
**2014年广东省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**
1．（5分）已知集合M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，则M∩N=（ ）
A．{0，2} B．{2，3} C．{3，4} D．{3，5}
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：∵M={2，3，4}，N={0，2，3，5}，
∴M∩N={2，3}，
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（ ）
A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i
【分析】由题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．
【解答】解：∵满足（3﹣4i）z=25，则z===3+4i，
故选：D．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
3．（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（ ）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，0） D．（4，3）
【分析】直接利用向量的减法的坐标运算求解即可．
【解答】解：∵向量=（1，2），=（3，1），
∴﹣=（2，﹣1）
故选：B．
【点评】本题考查向量的坐标运算，基本知识的考查．
4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值等于（ ）
A．7 B．8 C．10 D．11
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B（4，2）时，
直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时z=2×4+2=10，
故选：C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
5．（5分）下列函数为奇函数的是（ ）
A．2^x^﹣ B．x^3^sinx C．2cosx+1 D．x^2^+2^x^
【分析】根据函数的奇偶性的定，对各个选项中的函数进行判断，从而得出结论．
【解答】解：对于函数f（x）=2^x^﹣，由于f（﹣x）=2^﹣x^﹣=﹣2^x^=﹣f（x），故此函数为奇函数．
对于函数f（x）=x^3^sinx，由于f（﹣x）=﹣x^3^（﹣sinx）=x^3^sinx=f（x），故此函数为偶函数．
对于函数f（x）=2cosx+1，由于f（﹣x）=2cos（﹣x）+1=2cosx+1=f（x），故此函数为偶函数．
对于函数f（x）=x^2^+2^x^，由于f（﹣x）=（﹣x）^2^+2^﹣x^=x^2^+2^﹣x^≠﹣f（x），且f（﹣x）≠f（x），
故此函数为非奇非偶函数．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．
6．（5分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）
A．50 B．40 C．25 D．20
【分析】根据系统抽样的定义，即可得到结论．
【解答】解：∵从1000名学生中抽取40个样本，
∴样本数据间隔为1000÷40=25．
故选：C．
【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础．
7．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则"a≤b"是"sinA≤sinB"的（ ）
A．充分必要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件
【分析】直接利用正弦定理以及已知条件判断即可．
【解答】解：由正弦定理可知⇒=，
∵△ABC中，∠A，∠B，∠C均小于180°，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，
∴a，b，sinA，sinB都是正数，
∴"a≤b"⇔"sinA≤sinB"．
∴"a≤b"是"sinA≤sinB"的充分必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查三角形中，角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用，基本知识的考查．
8．（5分）若实数k满足0＜k＜5，则曲线﹣=1与﹣=1的（ ）
A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．
【解答】解：当0＜k＜5，则0＜5﹣k＜5，11＜16﹣k＜16，
即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a^2^=16，b^2^=5﹣k，c^2^=21﹣k，
曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a^2^=16﹣k，b^2^=5，c^2^=21﹣k，
即两个双曲线的焦距相等，
故选：D．
【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．
9．（5分）若空间中四条两两不同的直线l~1~，l~2~，l~3~，l~4~，满足l~1~⊥l~2~，l~2~∥l~3~，l~3~⊥l~4~，则下列结论一定正确的是（ ）
A．l~1~⊥l~4~ B．l~1~∥l~4~
C．l~1~与l~4~既不垂直也不平行 D．l~1~与l~4~的位置关系不确定
【分析】根据空间直线平行或垂直的性质即可得到结论．
【解答】解：在正方体中，若AB所在的直线为l~2~，CD所在的直线为l~3~，AE所在的直线为l~1~，
若GD所在的直线为l~4~，此时l~1~∥l~4~，
若BD所在的直线为l~4~，此时l~1~⊥l~4~，
故l~1~与l~4~的位置关系不确定，
故选：D．
【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断，比较基础．
10．（5分）对任意复数ω~1~，ω~2~，定义ω~1~\*ω~2~=ω~1~~2~，其中~2~是ω~2~的共轭复数，对任意复数z~1~，z~2~，z~3~有如下命题：
①（z~1~+z~2~）\*z~3~=（z~1~\*z~3~）+（z~2~\*z~3~）
②z~1~\*（z~2~+z~3~）=（z~1~\*z~2~）+（z~1~\*z~3~）
③（z~1~\*z~2~）\*z~3~=z~1~\*（z~2~\*z~3~）；
④z~1~\*z~2~=z~2~\*z~1~
则真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据已知中ω~1~\*ω~2~=ω~1~~2~，其中~2~是ω~2~的共轭复数，结合复数的运算性质逐一判断四个结论的真假，可得答案．
【解答】解：①（z~1~+z~2~）\*z~3~=（z~1~+z~2~）=（z~1~+z~2~=（z~1~\*z~3~）+（z~2~\*z~3~），正确；
②z~1~\*（z~2~+z~3~）=z~1~（）=z~1~（+）=z~1~+z~1~=（z~1~\*z~2~）+（z~1~\*z~3~），正确；
③（z~1~\*z~2~）\*z~3~=z~1~，z~1~\*（z~2~\*z~3~）=z~1~\*（z~2~）=z~1~（）=z~1~z~3~，等式不成立，故错误；
④z~1~\*z~2~=z~1~，z~2~\*z~1~=z~2~，等式不成立，故错误；
综上所述，真命题的个数是2个，
故选：B．
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了复数的运算性质，细心运算即可，属于基础题．
**二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11-13题）**
11．（5分）曲线y=﹣5e^x^+3在点（0，﹣2）处的切线方程为[ 5x+y+2=0． ]{.underline}．
【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可．
【解答】解：y′=﹣5e^x^，
∴y′\|~x=0~=﹣5．
因此所求的切线方程为：y+2=﹣5x，即5x+y+2=0．
故答案为：5x+y+2=0．
【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程，属于基础题．
12．（5分）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】求得从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母、取到字母a的情况，利用古典概型概率公式求解即可．
【解答】解：从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，共有=10种情况，取到字母a，共有=4种情况，
∴所求概率为=．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
13．（5分）等比数列{a~n~}的各项均为正数，且a~1~a~5~=4，则log~2~a~1~+log~2~a~2~+log~2~a~3~+log~2~a~4~+log~2~a~5~=[ 5 ]{.underline}．
【分析】可先由等比数列的性质求出a~3~=2，再根据性质化简log~2~a~1~+log~2~a~2~+log~2~a~3~+log~2~a~4~+log~2~a~5~=5log~2~a~3~，代入即可求出答案．
【解答】解：log~2~a~1~+log~2~a~2~+log~2~a~3~+log~2~a~4~+log~2~a~5~=log~2~a~1~a~2~a~3~a~4~a~5~=log~2~a~3~^5^=5log~2~a~3~．
又等比数列{a~n~}中，a~1~a~5~=4，即a~3~=2．
故5log~2~a~3~=5log~2~2=5．
故选为：5．
【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易．
**（二）（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】**
14．（5分）在极坐标系中，曲线C~1~与C~2~的方程分别为2ρcos^2^θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C~1~与C~2~交点的直角坐标为[ （1，2） ]{.underline}．
【分析】直接由x=ρcosθ，y=ρsinθ化极坐标方程为直角坐标方程，然后联立方程组求得答案．
【解答】解：由2ρcos^2^θ=sinθ，得：2ρ^2^cos^2^θ=ρsinθ，
即y=2x^2^．
由ρcosθ=1，得x=1．
联立，解得：．
∴曲线C~1~与C~2~交点的直角坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．
**【几何证明选讲选做题】**
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=[ 3 ]{.underline}．
【分析】证明△CDF∽△AEF，可求．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EB=2AE，
∴AB∥CD，CD=3AE，
∴△CDF∽△AEF，
∴==3．
故答案为：3．
【点评】本题考查三角形相似的判断，考查学生的计算能力，属于基础题．
**四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）**
16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．
（1）求A的值；
（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．
【分析】（1）通过函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，直接求A的值；
（2）利用函数的解析式，通过f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求出cosθ，利用两角差的正弦函数求f（﹣θ）．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，
∴f（）=Asin（+）=Asin=，
∴．
（2）由（1）可知：函数f（x）=3sin（x+），
∴f（θ）﹣f（﹣θ）=3sin（θ+）﹣3sin（﹣θ+）
=3\[（）﹣（）\]
=3•2sinθcos=3sinθ=，
∴sinθ=，
∴cosθ=，
∴f（﹣θ）=3sin（）=3sin（）=3cosθ=．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的解析式的求法，基本知识的考查．
17．（13分）某车间20名工人年龄数据如下表：
------------ --------------
年龄（岁） 工人数（人）
19 1
28 3
29 3
30 5
31 4
32 3
40 1
合计 20
------------ --------------
（1）求这20名工人年龄的众数与极差；
（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
（3）求这20名工人年龄的方差．
【分析】（1）根据众数和极差的定义，即可得出；
（2）根据画茎叶图的步骤，画图即可；
（3）利用方差的计算公式，代入数据，计算即可．
【解答】解：（1）这20名工人年龄的众数为30，极差为40﹣19=21；
（2）茎叶图如下：
（3）年龄的平均数为：=30．
这20名工人年龄的方差为S^2^=\[（19﹣30）^2^+3×（28﹣30）^2^+3×（29﹣30）^2^+5×（30﹣30）^2^+4×（31﹣30）^2^+3×（32﹣30）^2^+（40﹣30）^2^\]=12.6．
【点评】本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题．
18．（13分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．
（1）证明：CF⊥平面MDF；
（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．
【分析】（1）要证CF⊥平面MDF，只需证CF⊥MD，且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD，得出平面PCD⊥平面ABCD，即证MD⊥平面PCD，得CF⊥MD；
（2）求出△CDE的面积S~△CDE~，对应三棱锥的高MD，计算它的体积V~M﹣CDE~．
【解答】解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，
∴平面PCD⊥平面ABCD；
又平面PCD∩平面ABCD=CD，MD⊂平面ABCD，MD⊥CD，
∴MD⊥平面PCD，CF⊂平面PCD，∴CF⊥MD；
又CF⊥MF，MD、MF⊂平面MDF，MD∩MF=M，
∴CF⊥平面MDF；
（2）∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，
又∵Rt△PCD中，DC=1，PC=2，
∴∠P=30°，∠PCD=60°，
∴∠CDF=30°，CF=CD=；
∵EF∥DC，∴=，即=，
∴DE=，∴PE=，
∴S~△CDE~=CD•DE=；
MD===，
∴V~M﹣CDE~=S~△CDE~•MD=××=．
【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．
19．（14分）设各项均为正数的数列{a~n~}的前n项和为S~n~满足S~n~^2^﹣（n^2^+n﹣3）S~n~﹣3（n^2^+n）=0，n∈N^\*^．
（1）求a~1~的值；
（2）求数列{a~n~}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有++...+＜．
【分析】（1）本题可以用n=1代入题中条件，利用S~1~=a~1~求出a~1~的值；
（2）利用a~n~与S~n~的关系，将条件转化为a~n~的方程，从而求出a~n~；
（3）利用放缩法，将所求的每一个因式进行裂项求和，即可得到本题结论．
【解答】解：（1）令n=1得：，即．
∴（S~1~+3）（S~1~﹣2）=0．
∵S~1~＞0，∴S~1~=2，即a~1~=2．
（2）由得：
．
∵a~n＞0~（n∈N^\*^），
∴S~n~＞0．
∴．
∴当n≥2时，，
又∵a~1~=2=2×1，
∴．
（3）由（2）可知=，
∀n∈N^\*^，=＜=（），
当n=1时，显然有=＜；
当n≥2时，
＜+=﹣•＜
所以，对一切正整数n，有．
【点评】本题考查了数列的通项与前n项和的关系、裂项求和法，还用到了放缩法，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．
20．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x~0~，y~0~）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得．
（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k~1~•k~2~，进而取得x~0~和y~0~的关系式，即P点的轨迹方程．
【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，
∴椭圆的方程为+=1．
（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意，
②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x~0~，y~0~）的切线为y=k（x﹣x~0~）+y~0~，
+=+=1，整理得（9k^2^+4）x^2^+18k（y~0~﹣kx~0~）x+9\[（y~0~﹣kx~0~）^2^﹣4\]=0，
∴△=\[18k（y~0~﹣kx~0~）\]^2^﹣4（9k^2^+4）×9\[（y~0~﹣kx~0~）^2^﹣4\]=0，
整理得（x~0~^2^﹣9）k^2^﹣2x~0~×y~0~×k+（y~0~^2^﹣4）=0，
∴﹣1=k~1~•k~2~==﹣1，
∴x~0~^2^+y~0~^2^=13．
把点（±3，±2）代入亦成立，
∴点P的轨迹方程为：x^2^+y^2^=13．
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题．对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系．
21．（14分）已知函数f（x）=x^3^+x^2^+ax+1（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＜0时，试讨论是否存在x~0~∈（0，）∪（，1），使得f（x~0~）=f（）．
【分析】对第（1）问，先求导，再通过一元二次方程的实根讨论单调性；
对第（2）问，可将f（x~0~）=f（）转化为f（x~0~）﹣f（）=0，即将"函数问题"化为"方程是否有实根问题"处理．
【解答】解：（1）由f（x）得f′（x）=x^2^+2x+a，
令f′（x）=0，即x^2^+2x+a=0，判别式△=4﹣4a，
①当△≤0即a≥1时，f′（x）≥0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数．
②当△＞0即a＜1时，方程f′（x）=0的两根为，即，
当x∈（﹣∞，﹣1﹣）时，f′（x）＞0，则f（x）为增函数；
当时，f′（x）＜0，则f（x）为减函数；
当，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）为增函数．
综合①、②知，a≥1时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），
a＜1时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，和，+∞），
f（x）的单调递减区间为．
（2）∵=
=
=
=
=．
∴若存在∪，使得，即，
则关于x的方程4x^2^+14x+7+12a=0在∪内必有实数解．
∵a＜0，∴△=14^2^﹣16（7+12a）=4（21﹣48a）＞0，
方程4x^2^+14x+7+12a=0的两根为，即，
∵x~0~＞0，∴，
依题意有，且，
即，且，∴49＜21﹣48a＜121，且21﹣48a≠81，
得，且．
∴当∪时，存在唯一的∪，使得成立；
当∪∪{}时，不存在∪，使得成立．
【点评】1．求含参数的函数的单调区间时，导函数的符号往往难以确定，如果受到参数的影响，应对参数进行讨论，讨论的标准要根据导函数解析式的特征而定．如本题中导函数为一元二次函数，就有必要考虑对应方程中的判别式△．
2．对于存在性问题，一般先假设所判断的问题成立，再由假设去推导，若求得符合题意的结果，则存在；若得出矛盾，则不存在．
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**2017年高考衡水猜题卷**
**理科数学**
> **第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1\. 设全集，且，则满足条件的集合的个数是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】 ，所以满足 的集合 有 个，故选D.
2\. 已知是虚数单位，复数的虚部为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】因为 ，所以复数的虚部为 ，故选B.
3\. 某样本中共有个个体，其中四个值分别为，第五个值丢失，但该样本的平均数为，则样本方差为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】设丢失的数据为 ，则这组数据的平均数是 ，解得 ，根据方差计算公式得 ，故选A.
4\. 双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】由题意知，取双曲线的渐近线，焦点，
则，又，则，解得，故选C.
5\. 若不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则该直角三角形的面积是（ ）
A.  B.  C.  D. 或
【答案】D
【解析】试题分析：由题意可知与垂直或与垂直，所以或，
时三角形面积是，时与交点，三角形面积为
考点：线性规划
点评：线性规划题目结合图形分析
6\. 已知，则（ ）\...
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】∵，∴， ,化简得，∴，故选C．
7\. 《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章"均输"中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的值为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】起始阶段有，，第一次循环后，，；第二次循环后，，；第三次循环后，，；接着计算，跳出循环，输出.令，得.选A.
8\. 如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则此抛物线方程为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】
如图分别过点 作准线的垂线，分别交准线于点 ，设，则由已知得： ，由抛物线定义得： ，故 ，在直角三角形 中， ，从而得 ，因此抛物线方程为 ,故选C.
9\. 已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】三棱锥的三视图均为三角形，四个答案均满足；且四个三视图均表示一个高为3，底面为两直角边长分别为 的棱锥， 与 中俯视图正好旋转 ，故应是从相反方向进行观察，而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反，满足实际情况，故 表示同一棱锥，设观察的正方向为标准正方向，以表示从后面观察该棱锥； 与 中俯视图正好旋转 ，故应是从相反方向进行观察，但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同，不满足实际情况，故 中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥，根据中正视图与中侧视相同，侧视图与中正视图相同，可判断是从左边观察该棱锥，故选D.
10\. 在中，，则的值所在区间为（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】A
【解析】设 ， ，中 中， ，化为 ，令 ，则 ， 可得 在 上递增， ， ，故选A.
11\. 已知符号函数那么的大致图象是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】D
【解析】令 ，则 ， ， ， ， ，可排除 ，又 ，，可排除 ，故选D.
12\. 已知函数，对于任意的，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】由任意的 ，且 ，由 ，则函数 单调递增，当在 上是增函数，则 ，解得 ，当 时， ，令 ，解得 ，由对勾函数的单调递增区间为 ，故 ，解得 ，综上可知： 的取值范围为 ，故选B\....
【方法点睛】本题主要考查函数的单调性、分类讨论思想，属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题解答的关键是将不确定的 ，分两种情况讨论，从而确定函数的单调性，进而求解.
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13\. 已知，则的值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】取可得；取可得，应填答案。
点睛：解答本题的思路是两次巧妙运用赋值法，借助简单计算使得问题获解。这是关于二项式定理的常见题型，也是高考重点考查的知识点，赋值思想一定要依据题设进行赋值，体现了特殊与一般之间的关系及运用。
14\. 已知一个公园的形状如图所示，现有种不同的植物要种在此公园的，这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_种．
【答案】
【解析】可分两类：第一类，若A，E相同，D有2种种法，则有；第二类，若A，E不相同，D只有1种种法，则有；由分类计数原理可得所有种法种数为。应填答案。
点睛：解答本题的关键是搞清楚题设中的要求与约束条件，解答时，先运用分类计数原理，分别计算出其种植方法，再进行相加求出其结果，使得问题获解。本题的求解具有一定的难度，容易出现重或漏 的情况。
15\. 已知函数，若存在满足，且，则的最小值为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】 对任意 ，都有 ，要使 取得最小值，尽可能多让 取得最高点，考虑 ， ，按下图取值可满足
条件， 最小值为 ，故答案为 .
【方法点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质及数形结合思想，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了"形"的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
16\. 已知等腰直角的斜边，沿斜边的高线将折起，使二面角为，则四面体的外接球的表面积为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】如图所示，等腰直角图形翻折后得面，故是二面角的平面角，即，故是边长为1的等边三角形，其外接圆半径满足，即，又因为，故四面体的外接球半径满足，则其表面积为，故答案为.
点睛：本题考查四面体的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定四面体的外接球的半径是关键；在图形的翻折中一定注意不变的量和不变的关系，在该题中垂直关系不变，长度大小不变，进而可得的外接圆半径，结合面可得球的半径.
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17\. 已知等差数列的公差为，前项和为，且成等比数列.
（I）求数列的通项公式；
（II）令，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）利用等差数列的前项和公式分别表示出，根据成等比数列可得，即可求得，结合公差，得到通项公式；（2）由于是等差数列，所以考虑对数列进行裂项，然后讨论的奇偶性即可达到求和的目的.
试题解析：（1）\...
解得
（2）
考点：等差数列的通项公式和前项和公式及数列求和.
18\. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知为线段的中点.
（I）求证：平面；
（II）求平面与平面所成锐二面角的余弦角.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：（I）连接 和 交于 ，连接 ，利用中位线定理得出 ，故而 平面 ；(II)求出 ，以 为原点建立坐标系，求出两平面的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的余弦值.
试题解析：（I）连接和交于点，连接，因为四边形为正方形，所以为的中点.
因为为的中点，所以.
因为平面平面，
所以平面.
(II)因为平面平面，
所以.
因为为正方形，所以.
因为平面，
所以平面.
因为平面，所以.
所以以为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
因为平面平面,
所以.
因为，所以.
因为四边形为正方形，\...
所以，
所以.
由四边形为正方形，
得,
所以.
设平面的一个法向量为，又知，
由
令，得，
所以.
设平面的一个法向量为，又知,
由
令，得，
所以.
设平面与平面所成的锐二面角为，
又，
则.
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角的大小，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
19\. 龙虎山花语世界位于龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢.花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖，玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示.该景区自年春建成，试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人.
某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在年月日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日名游客中抽取人进行统计分析，结果如下：
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
年龄 频数 频率 男 女
    
 ① ② ③ ④
    
    
    4
    
    
    
    
合计    
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
（I）完成表一中的空位①\~④，并作答题纸中补全频率分布直方图，并估计年月日当日接待游客中岁以下的游戏的人数.
(II)完成表二，并判断能否有的把握认为在观花游客中"年龄达到岁以上"与"性别"相关；
(表二）
------ -------------------------------------------- -------------------------------------------- ------
岁以上 岁以下 合计
男生
女生
合计
------ -------------------------------------------- -------------------------------------------- ------
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
       
       
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
（参考公式：，其中）
（III）按分层抽样（分岁以上与岁以下两层）抽取被调查的位游客中的人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这人中选取人接受电视台采访，设这人中年龄在岁以上（含岁）的人数为，求的分布列.
【答案】（1）6000；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】试题分析：（I）由频率分布表的性质能完成表（---），从而能完成频率分布直方图，进而求出 岁以下频率，由此以频率作为概率，能估计2017 年7月1日当日接待游客中 岁以下人数；（II）完成表格，求出 ，从而得到没有 的把握认为在观花游客中"年龄达到 以上"与"性别"有关；(III)由分层抽样应从这 人中抽取 以上人数： ， 以下人数的取值可能 ，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列.
试题解析：（I）完成表（一）：\....
完成以下频率分布直方图：
因为年龄在岁以下的频率为，
以频率作为概率，估计年月日当日接待游客中岁以下的人数为.
（II）完成列联表如下：
------ -------------------------------------------- -------------------------------------------- --------------------------------------
岁以上 岁以下 合计
男生   
女生   
合计   
------ -------------------------------------------- -------------------------------------------- --------------------------------------
的观测值，
所以没有的把握认为在观花游客中"年龄达到岁以上"与"性别"相关.
(III)由分层抽样应从这人中抽取到岁以上的人的人数为人，
岁以下的人的人数为人，
故的所有可能的取值为.
，
，
，\...
故的分布列为
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
   
   
-------------------------------------- -------------------------------------- -------------------------------------- --------------------------------------
20\. 给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的"准圆".若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.
(I)求椭圆的方程和其"准圆"的方程；
(II)点是椭圆的"准圆"上的动点，过点作椭圆的切线交"准圆"于点.
(i)当点为"准圆"与轴正半轴的交点时，求直线的方程，并证明；
(ii)求证:线段的长为定值.
【答案】（1）；（2）(i)见解析；(ii)见解析.
【解析】试题分析：（1）根据题目条件可求出的值，进而可得出椭圆的方程和其"准圆"方程；（2）①根据条件先求出点的坐标并设出直线的方程，再联立椭圆的方程，并结合，即可求得方程并进而证明；②根据前面的结论，并注意对直线的斜率进行讨论，证明线段总是准圆的直径，从而证得线段的长为定值.
试题解析：（1），
椭圆方程为，
准圆方程为．
（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，
设过点且与椭圆相切的直线为，
所以由得.
因为直线与椭圆相切，
所以，解得，
所以方程为．
，．
（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，
则：，
当：时，与准圆交于点，\...
此时为（或），显然直线垂直；
同理可证当：时，直线垂直
②当斜率存在时，设点，其中.
设经过点与椭圆相切的直线为，
所以由
得.
由化简整理得，
因为，所以有.
设的斜率分别为，因为与椭圆相切，
所以满足上述方程，
所以，即垂直．
综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直.
所以线段为准圆的直径，，
所以线段的长为定值．
考点：1、椭圆及其方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系.
21\. 已知函数.
(I）若函数在处的切线方程为，求和的值;
(II)讨论方程的解的个数，并说明理由.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】试题分析：(I）求出 ，结合已知得到 ，据此可求出 的值；(II) 和 ，讨论求解，即可得到方程 的解的个数，注意利用导数判断函数的单调性.
试题解析：（I）因为，
又在处的切线方程为，
所以，
解得.
（II）当时，在定义域内恒大于，此时方程无解.
当时，在区间内恒成立，
所以的定义域内为增函数.
因为，
所以方程有唯一解.
当时，\....
当时，，
在区间内为减函数，
当时，，
在区间内为增函数，
所以当时，
取得最小值.
当时，，无方程解；
当时，，方程有唯一解.
当时，，
因为，且，
所以方程在区间内有唯一解，
当时，
设，
所以在区间内为增函数，
又，所以，即，
故.
因为，
所以.
所以方程在区间内有唯一解，
所以方程在区间内有两解，
综上所述，当时，方程无解，
当，或时，方程有唯一解，
当时，方程有两个解.
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22\. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数）.
(I)写出直线的一般方程与曲线的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；
(II)将曲线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到曲线，设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：（I）极坐标方程两边乘以 ，利用转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成 代入下式消去参数 即可，最后利用圆心到直线的距离与半径比较即可判定位置关系；(II)根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入 ，根据三角函数的辅助角公式，求出其范围即可\....
试题解析：（I）直线的一般方程为，
曲线的直角坐标方程为.
因为，
所以直线和曲线相切.
（II）曲线为.
曲线经过伸缩变换
得到曲线的方程为，
则点的参数方程为（为参数），
所以，
所以的取值范围为.
23\. 选修4-5：不等式选讲
设函数.
(I)当时，解不等式；
(II)当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：对于问题（Ⅰ），根据绝对值的概念即可求出不等式的解集；对于问题（Ⅱ），首先求出当时函数在上的最小值，得到一个关于实数的极端不等式，再解这个关于实数的不等式，即可得到实数的取值范围．
试题解析：（I）时原不等式等价于即，
所以解集为
（II）当时，，令，
所以当时，取得最小值,由题意知：，
所以实数的取值范围为.
考点：1、含绝对值不等式的解法；2、极端不等式恒成立问题.
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**《1千米有多长》同步练习**
> **1、填上合适的单位**
>
> 
>
> 每小时行80（ ）
>
> 课桌高80（ ）
>
> 床长2（ ）
>
> **2、填空。**
>
> 1千米＝（ ）米 4000米＝（ ）千米
>
> 15千米＝（ ）米 12厘米＝（ ）毫米
>
> 9米＝（ ）分米 200毫米＝（ ）厘米
>
> 350厘米○3米50厘米
>
> **3、填一填。说说你是怎样想的。**
>
> 4千米=（ ）米 6000米=（ ）千米
>
> 3千米=（ ）米
>
> 7千米=（ ）米
>
> 9000米=（ ）千米
>
> 8000米=（ ）千米
>
> **4、判断题，对的打√，错的打×。**
>
> ①汽车每小时行60米。（ ）
>
> ②1千米又叫1公里。（ ）
>
> ③跑道长400千米。（ ）
>
> **5．计算下面各题．**
26厘米＋72厘米
> 63毫米---28毫米
>
> \[来源:Zxxk.Com\]
>
> 1052千米＋892千米
>
> 305分米＋75分米
>
> 2050米---980米
**参考答案：**
> 1、填上合适的单位
每小时行80（千米 ）
> 课桌高80（厘米 ）
>
> 床长2（米）
>
> 2、填空。
>
> 1千米＝（1000）米 4000米＝（ 4 ）千米
>
> 15千米＝（15000 ）米 12厘米＝（ 120 ）毫米
>
> 9米＝（ 90）分米 200毫米＝（ 20 ）厘米
>
> 350厘米○3米50厘米
>
> **3、填一填。说说你是怎样想的。**
>
> 4千米=（4000）米
>
> 6000米=（ 6）千米
>
> 3千米=（ 3000 ）米
>
> 7千米=（7000）米
>
> 9000米=（ 9 ）千米\[来源:学,科,网Z,X,X,K\]
>
> 8000米=（ 8 ）千米
>
> **4、判断题，对的打√，错的打×。**
>
> ①汽车每小时行60米。（ **×** ）
>
> ②1千米又叫1公里。（**√** ）
>
> ③跑道长400千米。（**×** ）
>
> 5、计算下面各题．
26厘米＋72厘米 =98厘米
> 63毫米---28毫米 =35毫米
>
> 1052千米＋892千米=1944千米
>
> 305分米＋75分米=380分米
>
> 2050米---980米=1070分米\[来源:学\_科\_网\]
\[来源:Z,xx,k.Com\]
\[来源:学。科。网网资源www.wang26.cn专业学习资料平台
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**一年级数学下册同步练习及解析\|北师大版(****秋)**
**第4单元 第二节：动手做（一）**
**一、将下面的图形个数填在（ ）里。**
长方形有（ ）个，
正方形有（ ）个，
> 圆形有（ ）个，
>
> 平行四边形形有（ ）个，
三角形有（ ）个。
二、**它们折出****来是什么样子？连一连。**
  
三、请你找出用右侧哪一个物体可以画出左侧的图形，用笔圈出来。
四、选一选。\[来源:Zxxk.Com\]
[ ]{.underline} 是长方形， [ ]{.underline} 是正方形， [ ]{.underline} 是圆， [ ]{.underline}  [ ]{.underline} 是三角形。
五、解答题
⒈同学们踊跃为希望小学捐书，一班捐了27本，二班捐了20本，三班捐了21本。
⑴一班比二班多捐了多少本书？
⑵二班和三班共捐了多少本书?\[来源:Z\#xx\#k.Com\]\[来源:学科网\]
⑶三个班级一共捐了多少本书？
2、一个洋娃娃37元，小雪有50元买一个布娃娃，还剩多少元？\[来源:学\_科\_网\]
**\[来源:Zxxk.Com\]**
**答案**
**一、**长方形有（ 3 ）个，正方形有（ 3 ）个，圆形有（ 3 ）个，平行四边形形有（ 2 ）个，三角形有（ 4 ）个。
二、**它们折出来是什么样子？连一连。**
   
三、请你找出用右侧哪一个物体可以画出左侧的图形，用笔圈出来。
四、选一选。
[ 7 8]{.underline} 是长方形， [ 5 6]{.underline} 是正方形， [ ]{.underline} [9]{.underline} [ ]{.underline} 是圆， [ 2 10]{.underline} 是三角形。
五、解答题
⒈同学们踊跃为希望小学捐书，一班捐了27本，二班捐了20本，三班捐了21本。
⑴27-20=7本 答：一班比二班多捐了7本书。
⑵20+21=41本 答：二班和三班共捐了41本书。
⑶27+20+21=68本 答：三个班级一共捐了68本书。
2、50-37=13元 答：还剩37元。
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**2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）=（ ）
A．i B． C． D．
2．（5分）已知集合A={（x，y）\|x^2^+y^2^≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（5分）已知向量，满足\|\|=1，=﹣1，则•（2）=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
5．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（ ）
A．4 B． C． D．2
7．（5分）为计算S=1﹣+﹣+...+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ）
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
8．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是"每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和"，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）在长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=BC=1，AA~1~=，则异面直线AD~1~与DB~1~所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在\[﹣a，a\]是减函数，则a的最大值是（ ）
A． B． C． D．π
11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+...+f（50）=（ ）
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
12．（5分）已知F~1~，F~2~是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF~1~F~2~为等腰三角形，∠F~1~F~2~P=120°，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．（5分）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为[ ]{.underline}．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为[ ]{.underline}．
15．（5分）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=[ ]{.underline}．
16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为[ ]{.underline}．
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根要求作答。（一)必考题：共60分。**
17．（12分）记S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，已知a~1~=﹣7，S~3~=﹣15．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）求S~n~，并求S~n~的最小值．
18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，...，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，...，7）建立模型②：=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12分）设抛物线C：y^2^=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，\|AB\|=8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
21．（12分）已知函数f（x）=e^x^﹣ax^2^．
（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；
（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
23．设函数f（x）=5﹣\|x+a\|﹣\|x﹣2\|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．
**2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1．（5分）=（ ）
A．i B． C． D．
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．
【解答】解：==+．
故选：D．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查．
2．（5分）已知集合A={（x，y）\|x^2^+y^2^≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【考点】1A：集合中元素个数的最值．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；4O：定义法；5J：集合．
【分析】分别令x=﹣1，0，1，进行求解即可．
【解答】解：当x=﹣1时，y^2^≤2，得y=﹣1，0，1，
当x=0时，y^2^≤3，得y=﹣1，0，1，
当x=1时，y^2^≤2，得y=﹣1，0，1，
即集合A中元素有9个，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键．
3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．
【解答】解：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），
则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，
当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D．
当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键．
4．（5分）已知向量，满足\|\|=1，=﹣1，则•（2）=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】根据向量的数量积公式计算即可．
【解答】解：向量，满足\|\|=1，=﹣1，则•（2）=2﹣=2+1=3，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题
5．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进行求解即可．
【解答】解：∵双曲线的离心率为e==，
则=====，
即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键．
6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（ ）
A．4 B． C． D．2
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．
【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，
BC=1，AC=5，则AB====4．
故选：A．
【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．
7．（5分）为计算S=1﹣+﹣+...+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ）
A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4
【考点】E7：循环结构；EH：绘制程序框图解决问题．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T，
由此知空白处应填入的条件．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，
该程序运行后输出的是
S=N﹣T=（1﹣）+（﹣）+...+（﹣）；
累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2．
故选：B．
【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题．
8．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是"每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和"，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．
【解答】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，
从中选2个不同的数有=45种，
和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，
则对应的概率P==，
故选：C．
【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键．
9．（5分）在长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=BC=1，AA~1~=，则异面直线AD~1~与DB~1~所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD~1~为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD~1~与DB~1~所成角的余弦值．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD~1~为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在长方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~中，AB=BC=1，
AA~1~=，
∴A（1，0，0），D~1~（0，0，），D（0，0，0），
B~1~（1，1，），
=（﹣1，0，），=（1，1，），
设异面直线AD~1~与DB~1~所成角为θ，
则cosθ===，
∴异面直线AD~1~与DB~1~所成角的余弦值为．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在\[﹣a，a\]是减函数，则a的最大值是（ ）
A． B． C． D．π
【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为\[，\]，结合已知条件即可求出a的最大值．
【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，
由，k∈Z，
得，k∈Z，
取k=0，得f（x）的一个减区间为\[，\]，
由f（x）在\[﹣a，a\]是减函数，
得，∴．
则a的最大值是．
故选：A．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．
11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+...+f（50）=（ ）
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】36：整体思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），
∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，
则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（1）=2，
∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
f（4）=f（0）=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+...+f（50）=12\[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）\]+f（49）+f（50）
=f（1）+f（2）=2+0=2，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．
12．（5分）已知F~1~，F~2~是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF~1~F~2~为等腰三角形，∠F~1~F~2~P=120°，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求得直线AP的方程：根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．
【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F~1~（﹣c，0），F~2~（c，0），
直线AP的方程为：y=（x+a），
由∠F~1~F~2~P=120°，\|PF~2~\|=\|F~1~F~2~\|=2c，则P（2c，c），
代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，
∴题意的离心率e==．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。**
13．（5分）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为[ y=2x ]{.underline}．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y=2ln（x+1），
∴y′=，
当x=0时，y′=2，
∴曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．
故答案为：y=2x．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为[ 9 ]{.underline}．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．
【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，
由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值，
由，解得A（5，4），
目标函数有最大值，为z=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．（5分）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】GP：两角和与差的三角函数．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；48：分析法；56：三角函数的求值．
【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin（α+β）=﹣1，可得结果．
【解答】解：sinα+cosβ=1，
两边平方可得：sin^2^α+2sinαcosβ+cos^2^β=1，①，
cosα+sinβ=0，
两边平方可得：cos^2^α+2cosαsinβ+sin^2^β=0，②，
由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，
∴2sin（α+β）=﹣1．
∴sin（α+β）=．
故答案为：．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．
16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为[ 40]{.underline}[π ]{.underline}．
【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积．
【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，可得sin∠ASB==．
△SAB的面积为5，
可得sin∠ASB=5，即×=5，即SA=4．
SA与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为：=2．
则该圆锥的侧面积：π=40π．
故答案为：40π．
【点评】本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的截面面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
**三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17\~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根要求作答。（一)必考题：共60分。**
17．（12分）记S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，已知a~1~=﹣7，S~3~=﹣15．
（1）求{a~n~}的通项公式；
（2）求S~n~，并求S~n~的最小值．
【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）根据a~1~=﹣7，S~3~=﹣15，可得a~1~=﹣7，3a~1~+3d=﹣15，求出等差数列{a~n~}的公差，然后求出a~n~即可；
（2）由a~1~=﹣7，d=2，a~n~=2n﹣9，得S~n~===n^2^﹣8n=（n﹣4）^2^﹣16，由此可求出S~n~以及S~n~的最小值．
【解答】解：（1）∵等差数列{a~n~}中，a~1~=﹣7，S~3~=﹣15，
∴a~1~=﹣7，3a~1~+3d=﹣15，解得a~1~=﹣7，d=2，
∴a~n~=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；
（2）∵a~1~=﹣7，d=2，a~n~=2n﹣9，
∴S~n~===n^2^﹣8n=（n﹣4）^2^﹣16，
∴当n=4时，前n项的和S~n~取得最小值为﹣16．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于中档题．
18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，...，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，...，7）建立模型②：=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】（1）根据模型①计算t=19时的值，根据模型②计算t=9时的值即可；
（2）从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的幅度比较，
即可得出模型②的预测值更可靠些．
【解答】解：（1）根据模型①：=﹣30.4+13.5t，
计算t=19时，=﹣30.4+13.5×19=226.1；
利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；
根据模型②：=99+17.5t，
计算t=9时，=99+17.5×9=256.5；．
利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；
（2）模型②得到的预测值更可靠；
因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，
而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，
从2010年到2016年间递增的幅度较大些，
所以，利用模型②的预测值更可靠些．
【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．
19．（12分）设抛物线C：y^2^=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，\|AB\|=8．
（1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程；
方法二：根据抛物线的焦点弦公式\|AB\|=，求得直线AB的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l的方程；
（2）根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．
【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y^2^=4x的焦点为F（1，0），
设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x~1~，y~1~），B（x~2~，y~2~），
则，整理得：k^2^x^2^﹣2（k^2^+2）x+k^2^=0，则x~1~+x~2~=，x~1~x~2~=1，
由\|AB\|=x~1~+x~2~+p=+2=8，解得：k^2^=1，则k=1，
∴直线l的方程y=x﹣1；
方法二：抛物线C：y^2^=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式\|AB\|===8，解得：sin^2^θ=，
∴θ=，则直线的斜率k=1，
∴直线l的方程y=x﹣1；
（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣（x﹣3），即y=﹣x+5，
设所求圆的圆心坐标为（x~0~，y~0~），则，
解得：或，
因此，所求圆的方程为（x﹣3）^2^+（y﹣2）^2^=16或（x﹣11）^2^+（y+6）^2^=144．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题．
20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；41：向量法；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明PO⊥AC，PO⊥OB即可；
（2）根据二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接BO，
∵AB=BC=2，O是AC的中点，
∴BO⊥AC，且BO=2，
又PA=PC=PB=AC=4，
∴PO⊥AC，PO=2，
则PB^2^=PO^2^+BO^2^，
则PO⊥OB，
∵OB∩AC=O，
∴PO⊥平面ABC；
（2）建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
A（0，﹣2，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，0，0），
=（﹣2，2，0），
设=λ=（﹣2λ，2λ，0），0＜λ＜1
则=﹣=（﹣2λ，2λ，0）﹣（﹣2，﹣2，0）=（2﹣2λ，2λ+2，0），
则平面PAC的法向量为=（1，0，0），
设平面MPA的法向量为=（x，y，z），
则=（0，﹣2，﹣2），
则•=﹣2y﹣2z=0，•=（2﹣2λ）x+（2λ+2）y=0
令z=1，则y=﹣，x=，
即=（，﹣，1），
∵二面角M﹣PA﹣C为30°，
∴cos30°=\|=，
即=，
解得λ=或λ=3（舍），
则平面MPA的法向量=（2，﹣，1），
=（0，2，﹣2），
PC与平面PAM所成角的正弦值sinθ=\|cos＜，＞\|=\|\|==．
【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角，线面角的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键．
21．（12分）已知函数f（x）=e^x^﹣ax^2^．
（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；
（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明，
（2）方法一、分离参数可得a=在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．结合图象即可求得a．
方法二、：①当a≤0时，f（x）=e^x^﹣ax^2^＞0，f（x）在（0，+∞）没有零点．．
②当a≤0时，设函数h（x）=1﹣ax^2^e^﹣x^．f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔h（x）在（0，+∞）只有一个零点．
利用 h′（x）=x（x﹣2）e^﹣x^，可得h（x））在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，结合函数h（x）图象即可求得a．
【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=e^x^﹣x^2^．
则f′（x）=e^x^﹣2x，
令g（x）=e^x^﹣2x，则g′（x）=e^x^﹣2，
令g′（x）=0，得x=ln2．
当x∈（0，ln2）时，g′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0，
∴g（x）≥g（ln2）=e^ln2^﹣2•ln2=2﹣2ln2＞0，
∴f（x）在\[0，+∞）单调递增，∴f（x）≥f（0）=1，
解：（2）方法一、，f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔方程e^x^﹣ax^2^=0在（0，+∞）只有一个根，
⇔a=在（0，+∞）只有一个根，
即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．
G，
当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，当∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，
∴G（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
当→0时，G（x）→+∞，当→+∞时，G（x）→+∞，
∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=G（2）=．
方法二：①当a≤0时，f（x）=e^x^﹣ax^2^＞0，f（x）在（0，+∞）没有零点．．
②当a＞0时，设函数h（x）=1﹣ax^2^e^﹣x^．f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔h（x）在（0，+∞）只有一个零点．
h′（x）=x（x﹣2）e^﹣x^，当x∈（0，2）时，h′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，∴，（x≥0）．
当h（2）＜0时，即a，由于h（0）=1，当x＞0时，e^x^＞x^2^，可得h（4a）=1﹣==1﹣＞0．h（x）在（0，+∞）有2个零点
当h（2）＞0时，即a，h（x）在（0，+∞）没有零点，
当h（2）=0时，即a=，h（x）在（0，+∞）只有一个零点，
综上，f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=．
【点评】本题考查了利用导数探究函数单调性，以及函数零点问题，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题．
**（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），
转换为直角坐标方程为：．
直线l的参数方程为（t为参数）．
转换为直角坐标方程为：xsinα﹣ycosα+2cosα﹣sinα=0．
（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1
整理得：（4cos^2^α+sin^2^α）t^2^+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，
则：，
由于（1，2）为中点坐标，
①当直线的斜率不存时，x=1．
无解故舍去．
②当直线的斜率存在时，（由于t~1~和t~2~为A、B对应的参数）
所以利用中点坐标公式，
则：8cosα+4sinα=0，
解得：tanα=﹣2，
即：直线l的斜率为﹣2．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，中点坐标的应用．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
23．设函数f（x）=5﹣\|x+a\|﹣\|x﹣2\|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5T：不等式．
【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，
（2）由题意可得\|x+a\|+\|x﹣2\|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=5﹣\|x+1\|﹣\|x﹣2\|=．
当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤﹣1，
当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，
当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，
综上所述不等式f（x）≥0的解集为\[﹣2，3\]，
（2）∵f（x）≤1，
∴5﹣\|x+a\|﹣\|x﹣2\|≤1，
∴\|x+a\|+\|x﹣2\|≥4，
∴\|x+a\|+\|x﹣2\|=\|x+a\|+\|2﹣x\|≥\|x+a+2﹣x\|=\|a+2\|，
∴\|a+2\|≥4，
解得a≤﹣6或a≥2，
故a的取值范围（﹣∞，﹣6\]∪\[2，+∞）．
【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题
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**小学六年级上册数学奥数知识点讲解第10课《棋盘中的数学1》试题附答案**
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**答案**
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六年级奥数上册：第十讲 棋盘中的数学（一）习题解答
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第三单元演练
一、填空题。
1\. 计算30×60时,先算({width="1.5277777777777777e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"} ),再在积的末尾添( )个0,积是( )。
2\. 笔算56×28,先算( ),再算( )。
3\. 2个"十"乘47得( )个"十",也就是( )。
4\. 25×60{width="1.5277777777777777e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"}积的末尾有( )个0,积是( )位数。
5\. ( )5×21,要使这个算式的积是三位数, ( )里最大填( );要使积是四位数, ( )里最小填( )。
6\. 两个乘数都是12,它们的积是( )。8×92积的个位一定是( )。
7\. 估算89×51,可以把89看作( ),把51看作( ),结果大约是( )。\[来源:学科网\]
二、判断题。(正确的画"√ ",错误的画"✕")
1\. 两个乘数的末尾都没有"0",所得的积的末尾一定也没有"0"{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}。 ( )
2\. 25个28的和与28个25的{width="1.875e-2in" height="2.361111111111111e-2in"}和是相等的。 ( )
3\. 50×50的积的末尾只有两个0。 ( )
4\. 两位数乘两位数积一定是三位数。( )
5\. 65×34的{width="2.4305555555555556e-2in" height="2.2222222222222223e-2in"}积的末尾没有0{width="1.6666666666666666e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}。 ( )
6\. 乘法估算的结果总是比准确的结果大。 ( )
三、选择题。(把正确答案的序号填在括号里)
1\. 150×60的积是( )。
A.900 {width="2.361111111111111e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"} B.9000 C.90
2\. 最大的三位数的10倍是( )。
A.99 B.9990 C.999
3\. 一个书包28元,买10个这样的{width="1.5277777777777777e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}书包,300元( )。
A.够用 B.不够用 {width="1.5277777777777777e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}C.不能确定
4\. 52×13的积{width="1.875e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}是( )。
A.四位数 B.五位数 C.三位数
5\. 一个坏了的水龙头每分要白白流掉65克水,1时浪费掉( )克水。
A.650 B.65 C.3900
四、计算题。
1\. 直接写得数。
12×40= 24×30= 33×20=
82-19= 50×20= 120×3=
21×40= 43×70= 40×40=
2\. 用竖式计算。
47×38= 45×24= 43×72=
28×72= 55×44= 18×18=
五、下面的计算对吗?正确的画"√",错误的画"✕",并改正过来。
{width="0.5395833333333333in" height="0.8597222222222223in"}{width="0.5333333333333333in" height="0.85625in"}
\[来源:学§科§网Z§X§X§K\]
六、哪把钥匙能开启智慧之门,请用线连起来。
{width="2.1in" height="1.3631944444444444in"}
七、解决问题。
1\. 张师傅每时加工零件72个,加工了12时。张师傅一共加工零件多少个?
2\. 商店运进8箱电饭锅,每箱5个,每个卖160元。一共可以卖多少元?
3\. 买20箱牛奶要多少元?
{width="1.25625in" height="0.4in"}
4\. 一本故事书共有 413页,小军平均每天看26页,看了14天,还剩多少页没看?
\[来源:Zxxk.Com\]
\[来源:Z\#xx\#k.Com\]
5\. 可乐有34箱,雪碧箱数是可乐箱数的14倍。一共有多少箱饮料?
\[来源:学+科+网Z+X+X+K\]
第三单元演练答案
一、1. 3×6 2 1800 2. 56×8 56×20 3. 94{width="2.361111111111111e-2in" height="2.4305555555555556e-2in"} 940
4\. 2 四 5. 4 5 6. 144 6 7. 90 50 4500
二、1. ✕ 2. √ 3. {width="1.7361111111111112e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}{width="1.6666666666666666e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"}√ 4. ✕ 5. ✕ 6. ✕
三、1. B 2. B 3. A 4. C 5. C
四、1.480 720 660 63 1000 360 840 3010
1600
2.1786 1080 3096 2016 2420 324
五、 (1) {width="0.6131944444444445in" height="0.9027777777777778in"}(✕)
(2)√
六、提示:26×31。
七、1. 72×12=864(个)
2\. 8×5=40(个) 160×40=6400(元)
3\. 20×24=480(瓶) 480×3=1440(元)
4.26×14=364(页) 4{width="2.4305555555555556e-2in" height="1.875e-2in"}13-364=49(页)
5\. 34×14=476(箱) 476+34=510{width="2.0833333333333332e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"}(箱)
| 1 | |
**小学数学（**北师大版**）水平测试卷**
**一年级第一册 期末测试 （命题人： ）**
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ----------
**题号** **一** **二** **三** **四** **五** **六** **总计**
**分数** **26** **16** **8** **10** **12** **28** **100**
**得分**
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ----------
一、我会填：（26分）
1、18＝9＋（ ） （ ）－7=8
2、个位上是0，十位上是2，这个数是（ ）
3、1个十和5个一组成的数是（ ）
4、13里面有（ ）个十和（ ）个一。
5、18减去（ ）与8同样多。
6、与10相邻的两个数是（ ）和（ ）
7、按要求做一做。（5分）
（1）一共有（ ）个水果，从左边数 排在第（ ）位，从右边数
 排第（ ）位。
（2）把 左边的一个涂上颜色，右边的一个圈起来 。
8、
9、按规律填数。
10、看图填一填
二、比一比，画一画。（16分）
1、(6分)
画△比 少2个 [ ]{.underline}
画○比 多4个 [ ]{.underline}
2、长的画√，短的画○（2分） 3、画珠子（2分）
1 2
4、最重的画"√"，最轻的画"○"。 （6分）
三、连线（8分）
四、我会分。（10分）
1、按颜色分： [ ]{.underline} [ ]{.underline}
2、按形状分： [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
五、我会算。 （12分）
1、计算。（8分）
17－8＝ 16－9＝ 13＋6＝ 10－6＝
10－6＋9＝ 9＋7－5＝ 5＋3＋7＝ 14－5－4＝
2、在○里填上"＞"、"＜"或"=".（4分）
10－2○7 7＋6○14 9○3＋5 11＋7○18
六、我能解答。（28分，前4题各5分,第5题8分）
(1)
**？**
**？个** **19个**
（3）花园的草地上有3只，又来了7只，现在一共有几只？
（4）笑笑原来有4朵小红花，语文老师给她奖励了6朵，数学老师又给她奖励了7朵，现在笑笑一共有几朵小红花？
(5)看图提出一个数学问题，并列式解答。（10分）
①问题： [ ]{.underline}
②解答： [ ]{.underline}
参考答案：
一、我会填：
1、19，15；2、20；3、15； 4、1,3； 5、10,；6、9,11；7、5,4,2；涂梨子，圈桃子；
8、上，下，上下；9、2,4,8,12；10、3,1,2,1
二、比一比，画一画。
1、△△△△△△ ○○○○○○○○○○○○
2、第一条画√，第二条画○
3、 十位画一个圈，个位画两个圈。
4、白菜最重画√，茄子最轻画○
三、连线
四、我会分。
1、 ①③⑤⑦⑨ ②④⑥⑧ 2、①⑥⑨ ②⑦⑧ ③④⑤
五、我会算。
1、9,7,19,4
13，11,15,5
2、\>,\<,\>,=
六、我能解答。
（1）4+8=12 （2）19-4=15 （3）3+7=10 （4）4+6+7=17
（5）①现在车上一共有多少人？②3+3+2=8（问题和解答只要合理都行）
| 1 | |
> **《评选吉祥物》同步练习**
>
> 1、气象小组把6月份的天气作了如下记录。
>
> 
>
> （1） 这个月中阴天有（ ）天。
>
> （2） 这个月中晴天比雨天多（ ）天。
>
> （3） 这个月中阴天比雨天多（ ）天。
>
> （4） 你还能提出什么问题?
>
> **2、学校组织过的几次体检?请你根据一年级、四年级和六年级各一个班的情况来回答问题。\[来源:学科网\]**
+------------+-----------+------------+------------------------+-----------+
| | > 5.0以上 | > 4.9～4.7 | > 4.6～4.3 | > 4.2以下 |
+------------+-----------+------------+------------------------+-----------+
| 一年级一班 | > 29 | > 11 | > 5\[来源:学科网ZXXK\] | > 2 |
+------------+-----------+------------+------------------------+-----------+
| 四年级二班 | > 27 | > 12 | > 6 | > 3 |
+------------+-----------+------------+------------------------+-----------+
| 六年级一班 | > 18 | > 20 | > 5 | > 5 |
+------------+-----------+------------+------------------------+-----------+
> （1）一年级5.0以上有（ ）人。
>
> （2）六年级5.0以上有（ ）人。
>
> （3）四年级4.2以下有（ ）人。
>
> （4）六年级（ ）的人数最多。
>
> （5）5.0的视力是正常的，低于5.0的一年级的有（ ）人；六年级的有（ ）人。
>
> （6）从统计表中你还可以得到哪些信息？
>
> 3、下面是本班同学喜欢的电视节目情况记录：
>
> 动画片：12人 电视剧：10人 体育：9人 新闻：8人
>
> 把上面的数据记录下来并回答问题。
+--------+----------+--------+----------+--------+
| > 节目 | > 动画片 | > 体育 | > 电视剧 | > 新闻 |
+--------+----------+--------+----------+--------+
| > 人数 | | | | |
+--------+----------+--------+----------+--------+
> （1）喜欢（ ）电视节目的人数最多。
>
> （2） 共调查了（ ）名同学。
>
> （3）如果是你看电视，你会选什么节目？\[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\]
\[来源:学\_科\_网Z\_X\_X\_K\]
参考答案：
1. （1）10；（2）4；（3）2；问：这个月中晴天有多少天？答：12天。
2. （1）29；（2）18；（3）3；（4）5.0以上；（5）18，30；（6）六年级一班一共有48人。
3.
+--------+----------+--------+----------+--------+
| > 节目 | > 动画片 | > 体育 | > 电视剧 | > 新闻 |
+--------+----------+--------+----------+--------+
| > 人数 | > 12 | > 9 | > 10 | > 8 |
+--------+----------+--------+----------+--------+
（1）动画片；（2）39；（3）动画片。
| 1 | |
**北师大版小学四年级数学上册期中考试试卷一（附答案）**
一、填空：
1．北京故宫是世界上最大的宫殿，面积是[720000]{.underline}㎡，画线的数是（ ）位数，最高位是（ ）位，写成用万作单位是（ ）万
2．两千零八十亿零八百七十万写作（ ），把它改写成以"万"作单位的数是（ ），四舍五入到"亿"位是（ ）。来源：www.bcjy123.com/tiku/
3．比最小的七位数小1的数是（ ）比最大的六位数大1的数是（ ）。
4．千万位的左边一位是（ ）位，右边一位是（ ）位；100个（ ）万是一亿，10个100万是（ ）。
5．过两点可以画（ ）条直线，过一点可以画（ ）条直线。
6．将一张圆形的纸对折，再对折，再对折，得到的角是（ ）度。
7．按要求用7、1、0、3、0这五个数字，写出五位数：
（1）要每个"0"都读的是（ ）；
（2）组成最大的是（ ）；
8．把下面各数从大到小排列：9006万 96000 9007万 9060万
（ ）﹥（ ）﹥（ ）﹥（ ）
9．（a+b）×c= a×c+ b×c是根据（ ）定律。
10．把下面各数用四舍五入的方法精确到万位或亿位。
19 5001≈( )万 19 0999≈( )万
99 5000 0001≈( )亿 99 0999 9999≈( )亿
11．440×25在计算时先算（ ）再算（ ），最后把（ ）
12．当分针从12起走了半圈，走了（ ）°，所成的角是（ ）角。
二、请将正确答案的序号填在括号里。
1．在计算器上用来清除的键是（ ）。
A． **ON** B．**OFF** C．**CE** D．**SET**
2\. 估算203×18下面哪个结果比较合理（ ）。
A．6000 B． 1 C．89999 D．4000
3．下面的数中，只读出两个零的数是（ ）。
A.7500 0090 B.7050 0900 C.6800 0050 D.3000 5005
4\. 下图中共有几个角（ ）。
A．4 B．5 C．6
5．在乘法算式中一个因数扩大10倍，另一个因数扩大10倍，积（ ）。
A．扩大10倍 B．扩大100倍 C．扩大20倍
6．101×60（ ）100×59+1
A．\> B．\< C．=来源：www.bcjy123.com/tiku/
7.在56后面添上六个"0"，这个数读作：（ ）。
A．五十六万 B．五百六十万 C．五千六百万
8．下面各数中，最接近4万的是（ ）。
A．30547 B．38548 C．399547
9．三个数相乘，先把第一个和第三个数相乘，再同第二个数相乘，结果（ ）。
A．变大 B．变小 C．不变
10．4时的时候，时针与分针所成的角是（ ）
A．钝角 B．锐角 C．直角
三、小法宫，巧判断（对的打"√"错的打"×"）
1.计算276×14时，"276×1"表示276×10。 ( )
2.角的边越长，角就会越大。 ( )
3．9□9999≈1000000，□里只能填9。 ( )
4.两条直线相交的交点叫做垂足。 ( )
5.380×50的积的末尾有两个0。 ( )
四、比一比（在○里填上"＞"、"＜"或"＝"）来源：www.bcjy123.com/tiku/
6999万○70000000 508×98○510×96（不计算，巧比较）
4个直角○一个周角 39 7666○39 7676
五、计算
1、直接写得数。
300×50= 76×5×0= 50×19×2=
24×50= 30000+600= 8000÷8=
2、用竖式计算。
553×76= 69×240= 109×29=
3、用所学规律算一算。
125×54×8 （125+15）×8 32×125×6
六、操作题：
1.画出80°、105°的角。
2.过直线外一点A画直线L的平行线和垂线。
A · L
七、生活中的问题我来答。
1、阳光超市新进205捆手套，每捆6副，每副8元，一共用了多少元？
2、老师带领四年级同学去科技园参观，其中老师有6位，学生有125名。带2000元够不够买门票？
**附答案：**
1. 共30分，每空1分。
1、六 十万 72
2、2080 0870 0000 2080 0870万 2080亿
3、999999 1000000
4、亿 百万 100 一千
5、一条 无数
6、45
7、30701 73100
8、9060万 9007万 9006万 96000
9、乘法分配律
10、20 19 100 99
11、400×25 40×25 积加起来
12、180 平
二、共10分，每题1分
C D B C B A C B C A
三、共10分，每题2分
√ × × √ × ×
四、共4分，每空1分
＜ ＜ ＝ ＜
五、共27分
1、共6分，每题1分
15000 0 190 1200 30600 1000
2、共9分，每题3分
42028 16560 3161
3、共12分，每题4分
54000 1120 24000
六、共9分
1、共4分，每题2分（答案略）
2、共5分，画平行线3分，画垂线2分（答案略）
七、共10分，每小题5分
1、9840元
2、够 2000\>1995
| 1 | |
**第Ⅰ卷（共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小****题,每小题5分,共60****分.在每小题给出****的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1.已知全集，，，则集合为（ ）
A． B． C． D．
2.下列命题中正确的是（ ）
A．若为真命题，则为真命题
B．"，"是""的充分必要条件
C．命题"若，则或"的逆否命题为"若或，则"
D．命题，使得，则，使得
3.函数（）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
4.已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．\[来源:Zxxk.Com\]
5.如图，已知正方体的棱长为，动点、、分别在线段，，上．当三棱锥的俯视图如图所示时，三棱锥的正视图面积等于（ ）
\[来源:学科网\]
A． B． C． D．
6.设，满足约束条件，若目标函数（）的最大值为，则的图象向右平移后的表达式为（ ）
A． B． C． D．
7.已知，，，是函数（，）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，，为轴上的点，为图象上的最低点，为该函数图象的一个对称中心，与关于点对称，在轴上的投影为，则，的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8.已知不等式对任意实数，都成立，则常数的最小值为（ ）
A．  B． C． D．
9.如图，正方体的棱线长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．平面
C．三棱锥的体积为定值 D．异面直线，所成的角为定值
10.已知三棱锥，，，两两垂直且长度均为，长为的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（ ）
A．  B．或 C． D．或
11.设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12.设函数满足，，则时（ ）
A．**有极大值，无极小值** B．**有极小值，无极大值**
C．**既有极大值又有极小值** D．既无极大值也无极小值
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在****答题纸上）**
13.已知数列对于任意，，有，若，则 [ ]{.underline} ．
14.利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥，其中底面四边形是边长为的正方形，，且平面，则球体毛坯体积的最小值应为 [ ]{.underline} ．
15.若的内角，满足，则当取最大值时，角大小为 [ ]{.underline} ．
16.定义函数，，若存在常数，对于任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的"均值"为，已知，，则函数在上的"均值"为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）
在中，角，，所对的边为，，，且满足
．
（1）求角的值；
（2）若且，求的取值范围．
18.（本小题满分12分）
已知四棱锥的底面是菱形，，，，与交于点，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19.（本小题满分12分）
已知等差数列的公差为，前项和为，且．
（1）求数列的通项公式与前项和；
（2）将数列的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前三项，记数列的前项和为，若存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围．\[来源:学科网\]
20.（本题小满分12分）\[来源:学科网ZXXK\]
如图，在直角梯形中，，，平面，，．
（1）求证：平面；
（2）在直线上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
21.（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）若在上的最大值为，求实数的值；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点、，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．**
22.（本小题满分10分）
如图，已知圆是的外接圆，，是边上的高，是圆的直径．过点作圆的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23.（本小题满分10分）
已知函数，．
（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
| 1 | |
> **《奥运开幕》同步练习**
>
> 一、在（ ）里填上时间单位。
>
> 1. 一节数学课上了40（ ）。 小红上午在校时间约4（ ）。
>
> 2. 小芳跳绳20下用了15（ ）。课间休息10（ ）。
>
> 3\. 小明吃饭用了20（ ）。 小明做20道口算题用了2（ ）。\[来源:学科网\]
>
> 4. 爸爸每天工作约8（ ）。 王艳跑50米用了10（ ）。
>
> 5. 南京乘火车去上海用了5（ ）。晚间新闻联播时间大约是30（ ）。\[来源:Zxxk.Com\]
>
> 6. 看一场电影用了90（ ）。做一次深呼吸大约7（ ）。
>
> 7. 从教室前面走到后面用了5（ ）。夏天午睡大约1（ ）。
>
> 8. 脉搏跳10次用了8（ ）。跑100米需要13（ ）。
>
> 9. 小红下午在学校的时间是2（ ）。一集电视剧的播放时间是50（ ）。
>
> 10. 小惠每天晚上睡觉9（ ）。小芳早晨起床穿衣服大约用了5（ ）。
>
> 11.运动会上，小明跑60米用了12（ ）。
>
> 二、比较大小
>
> 1时○100分 60分○1时 60秒○1时
>
> 1分○10秒 2时○120分 300分○3时
>
> 5分○500秒 240秒○4分 1时○60分
>
> 1分○100秒 10分○1时 4时○4分
>
> 5分○50秒 4时○300分 200秒○4分
>
> 400分○6时 1时40分○100分
>
> 150秒○2分30秒 150秒○2分30秒
>
> 三、选择题。（把正确答案的字母填在括号里）
>
> 1．分针从一个数字走到下一个数字，经过的时间是（ ）。
>
> A．1分钟 B．5分钟 C．1小时
>
> 2．秒针走一圈经过的时间是（ ）。
>
> A．1秒 B．1分 C．1小时
>
> 3．小红1分钟写5个字，6分钟可以写（ ）个字。\[来源:学科网ZXXK\]
>
> A．6 B．5 C．30
>
> 4．第一节课在8时15分上课，8时50分下课．这节课上了（ ）。
>
> A．半小时 B．35分 C．40分
>
> 5．工人小李和小王各做24个零件，小王用了6小时，小李用了8小时。（ ）
>
> A．做的一样快 B．小王做的快 C．小李做的快
>
> 四、计算\
> 11时50分---7时40分= 7时50分---15分=\
> 10时40分+60分= 12时10分---11时40分=\
> 11时30分---8时30分= 7时15分+45分=\
> 2时50分---2时5分= 1时20分+40分=
>
> 五、解决问题
>
> 1、小兰去上学，7：35从家出发，7：50到校。她从家到学校要走多长时间？
>
>
>
> 2、奶奶今天早上6：30去活动中心锻炼身体，比昨天提前了10分钟。她昨天什么时间去锻炼身体的？
>
>
>
> 3．少先队员去李奶奶家打扫卫生，下午3:30开始，4:10结束，共用了多少时间？
\[来源:Z.xx.k.Com\]
\[来源:学科网ZXXK\]
**参考答案：**
> 一、
>
> 1. （ 分 ） （ 时 ）
>
> 2. （ 秒 ） （ 分 ）
>
> 3\. （ 分 ） （ 分 ）
>
> 4. （ 时 ） （ 秒 ）
>
> 5. （ 时 ） （ 分 ）
>
> 6. （ 分 ） （ 秒 ）
>
> 7. （ 秒 ） （ 时 ）
>
> 8. （ 秒 ） （ 秒 ）
>
> 9. （ 时 ） （ 分 ）
>
> 10. （ 时 ） （ 分 ）
>
> 11\. （ 秒 ）
>
> 二、
>
> 1时〈100分 60分=1时 60秒〈1时
>
> 1分〉10秒 2时=120分 300分〉3时
>
> 5分〈500秒 240秒=4分 1时=60分
>
> 1分〈100秒 10分〈1时 4时〉4分
>
> 5分〈50秒 4时〈300分 200秒〈4分
>
> 400分〉6时 1时40分=100分
>
> 150秒=2分30秒 150秒=2分30秒
>
> 三、
>
> 1． B
>
> 2． B
>
> 3． C
>
> 4．B
>
> 5． B
>
> 四、\
> 11时50分---7时40分= 4时10分 7时50分---15分=7时35分\
> 10时40分+60分= 11时40分 12时10分---11时40分=30分\
> 11时30分---8时30分=3时 7时15分+45分=8时\
> 2时50分---2时5分=45分 1时20分+40分=2时
>
> 五、 1、15分 2、6：20 3．40分
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[2014年北大秋令营试题及解答]{.underline}
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第一题，可以猜到答案也是1（因为AB=AC时答案是1），然后只需证ABD和ACD的内切圆半径相等，然后由于sinC+sinB=2，而ABD和ACD的内角可以很简单的用C、B表示，所以用三角算一算就可以了，另外，A是钝角可以由AB+AC=2R推出，所以是多余的条件。
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第二题，(a\^2+3b\^2+4)\^2\>((a+2)\^2+3b\^2)((a-2)\^2+3b\^2)=(a\^2+3b\^2+4)\^2-16(a)\^2\>(a\^2+3b\^2-4)\^2，然后分类讨论即可。
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第三题，尽管可以利用互相垂直的三个四维向量，但是这样不会给分，所以由于a\_1\^2(b\_1+tc\_1)\^2=(a\_2(b\_2+tc\_2)+a\_3(b\_3+tc\_3)+a\_4(b\_4+tc\_4))\^2\<=(a\_2\^2+a\_3\^2+a\_4\^2)((b\_2+tc\_2)\^2+(b\_3+tc\_3)\^2+(b\_4+tc\_4)\^2)=(1-a\_1\^2)(1-b\_1\^2+t-t\*c\_1\^2-2t\*b\_1\*c\_1)，整理一下，令t=(b\_1\*c\_1)/(1-a\_1\^2-c\_1\^2)即可\
第四题，n为奇数时2整除f(n)，n为偶数时n\^n+1整除f(n)\
第五题，这个题在很多书上有，包括著名的天书，下面是天书的截图
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第六题，考虑大于10\^k的M中的最小正整数x，有10\^k==x，故我们只需证有无穷多个k使得x\>=10\^k\>d\*(k\^d)+sqrt(k\^d)，这显然成立，于是d\>100是多余的条件。
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**四川省甘孜州2020年中考数学试题**
**一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）**
1.气温由-5℃上升了4℃时的气温是（ ）
A. －1℃ B. 1℃ C. －9℃ D. 9℃
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意列出算式，计算即可．
【详解】解：根据题意，得-5+4=-1，\
则气温由-5℃上升了4℃时的气温是-1℃．\
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.如图摆放的下列几何体中，左视图是圆的是（ ）
A.  B.  C.  D. 
【答案】C
【解析】
【分析】
分别找到四个立体图形的左视图即可，左视图是从左面看所得到的平面图形．
【详解】解：A、正方体的左视图是正方形，不符合题意；\
B、圆柱的左视图是矩形，不符合题意；\
C、球的三视图都是圆，符合题意；\
D、圆锥的左视图是等腰三角形，不符合题意；\
故选：C．
【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．
3.月球与地球之间的平均距离约为38.4万公里，38.4万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
【详解】解：38.4万．
故选：．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为，其中，确定与的值是解题的关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
4.函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意，得x+3≠0，\
解得x≠-3．\
故选：C．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：\
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；\
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；\
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5.在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据"关于*x*轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数\'解答即可.
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是，
故选：*A*
【点睛】本题考查了关于*x*轴、*y*轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律：
(1)关于*x*轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于*y*轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
6.分式方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据解分式方程的步骤解答即可．
【详解】解：方程变形得.
方程的两边同乘（x-1）,得3=x-1.
解得x=4.\
经检验，x=4是原方程的解．\
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键．
7.如图，菱形*ABCD*中，对角线*AC*，*BD*相交于点*O*，*E*为*AB*的中点．若菱形*ABCD*的周长为32，则OE的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
利用菱形的对边相等以及对角线互相垂直，进而利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，\
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，\
∴∠AOB=90°，\
又∵AB+BC+CD+AD=32．\
∴AB=8，\
在Rt△AOB中，OE是斜边上的中线，\
∴OE=AB=4．\
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质．注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
8.下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘除法、幂的乘方以及合并同类项法则即可逐一排除．
【详解】解：A、，故A错误；
B、a与2a^2^不是同类项，不能合并，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方以及合并同类项，解题的关键是熟悉基本的运算法则．
9.如图，等腰△中，点*D*，*E*分别在腰*AB*，*AC*上，添加下列条件，不能判定≌的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．
【详解】解： A、若添加，由于*AB*=*AC*，∠*A*是公共角，则可根据SAS判定≌，故本选项不符合题意；
B、若添加，不能判定≌，故本选项符合题意；
C、若添加，由于*AB*=*AC*，∠*A*是公共角，则可根据AAS判定≌，故本选项不符合题意；
D、若添加，∵*AB*=*AC*，∴∠*ABC*=∠*ACB*，∴∠*ABE*=∠*ACD*，由于∠*A*是公共角，则可根据ASA判定≌，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
10.如图，二次函数的图象与轴交于，*B*两点，下列说法错误的是（ ）
A. B. 图象的对称轴为直线
C. 点B的坐标为 D. 当时，*y*随*x*的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可．
【详解】解：由图可知二次函数的图象的开向下，所以a\<0,故A选项正确；
因为二次函数的解析式为，
所以图象的对称轴为直线，故B选项正确；
因为二次函数的对称轴为直线，A,B两点是抛物线与x轴的交点，
所以A,B两点到对称轴的距离相等，
设B点坐标为（b,0）,则有b-(-1)=(-1)-(-3),
解得b=1,
所以B点坐标为（-1,0）.
故C选项正确；
由图形可知当x-1时,y随x的增大而增大，当-1\<x\<0时，y随x的增大而减小，故D选项错误.
故选：D.
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
**二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）**
11.\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义求解．
【详解】解：在数轴上，点﹣5到原点的距离是5，所以，
故答案为：5．
【点睛】本题考查绝对值的概念．
12.如图，在中，过点*C*作，垂足为*E*，若，则的度数为\_\_\_\_．
【答案】50°
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得出∠*B*=∠*EAD*=40°，由角的互余关系得出∠*BCE*=90°-∠*B*即可．
【详解】解：∵四边形*ABCD*是平行四边形，\
∴*AD*∥*BC*，\
∴∠*B*=∠*EAD*=40°，\
∵*CE*⊥*AB*，\
∴∠*BCE*=90°-∠*B*=50°；\
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的内角和；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠*B*的度数是解决问题的关键．
13.某班为了解同学们一周在校参加体育锻炼的时间，随机调查了10名同学，得到如下数据：
------------------ --- --- --- ---
锻炼时闭（小时） 5 6 7 8
人数 1 4 3 2
------------------ --- --- --- ---
则这10名同学一周在校参加体育锻炼时间的平均数是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_小时．
【答案】6.6
【解析】
【分析】
根据加权平均数的定义解答即可．
【详解】解：这10名同学一周在校参加体育锻炼时间的平均数=小时．
故答案为：6.6．
【点睛】本题考查了加权平均数的计算，属于基础题型，熟练掌握计算的方法是解题关键．
14.如图，AB为的直径，弦于点*H*，若，，则*OH*的长度为\_\_．
【答案】3
【解析】
【分析】
连接OC，由垂径定理可求出CH的长度，在Rt△OCH中，根据CH和⊙O的半径，即可由勾股定理求出OH的长．
【详解】连接OC，
Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4；
由勾股定理，得：OH=；\
即线段OH的长为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
**三、解答题：（本大题共6个小题，共54分）**
15.（1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）1；（2）-3＜x≤5．
【解析】
【分析】
（1）原式根据二次根式的性质、特殊角三角函数值以及零指数幂的运算法则分别化简各项，然后再合并；
（2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】（1）计算：
=，
=，
=1；
（2）
解不等式①得，x＞-3，
解不等式②得，x≤5，
所以，不等式组的解集为：-3＜x≤5．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算以及求不等式组的解集，解答此题的关键是熟练掌握运算法则，确定不等式组的解集就熟练掌握口诀"大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）"．
16.化简：．
【答案】
【解析】
分析】
括号内先通分，化为同分母分式后，根据分式的运算法则计算可得．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握异分母分式加减运算法则．
17.热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，求大楼BC的高度．（结果精确到1米，参考数据：）
【答案】这栋楼的高度约为95米．
【解析】
【分析】
利用正切函数分别在Rt△ABD与Rt△ACD中求得BD与CD的长即可．
【详解】由题意可知，，米，
在中，(米)，
在中，(米)，
(米)．
答：这栋楼的高度约为95米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确确定直角三角形，灵活运用相关知识是解此题的关键．
18.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和*B*两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点*B*的坐标．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）将代入一次函数中，求出m，再将点A代入反比例函数即可；
（2）联立一次函数与反比例函数解析式，解方程组即可解答．
【详解】解：（1）将代入一次函数中得：
，
∴，代入反比例函数中得：，
解得：k=4，
∴反比例函数解析式为；
（2）联立一次函数与反比例函数解析式得：
解得：或，
∴．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
19.为了解同学们最喜欢一年四季中的哪个季节，数学社在全校随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了\_\_\_\_\_\_\_\_名同学；扇形统计图中，"春季"所对应的扇形的圆心角的度数为\_\_\_\_\_\_\_\_；
（2）若该学校有1500名同学，请估计该校最喜欢冬季的同学的人数；
（3）现从最喜欢夏季的3名同学A，B，C中，随机选两名同学去参加学校组织的"我爱夏天"演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好选到A，B去参加比赛的概率．
【答案】（1）120；108°；（2）名；（3）．
【解析】
【分析】
（1）由"夏季"的人数除以占的百分比得出调查学生的总数即可；求出"春季"占的比例，乘以即可得到结果；\
（2）用全校学生数×最喜欢冬季的人数所占比例即可；\
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2名学生中恰好有A，B的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）根据题意得：18÷15%=120（名）；
"春季"占的角度为36÷120×360°=108°．\
故答案为：120；108°；
（2）该校最喜欢冬季的同学的人数为：1500（名）；
（3）画树状图得：\
\
∵共有6种等可能的结果，恰好选到A，B的有2种情况，
故恰好选到A，B的概率是：．
【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.如图，*AB*是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：；
（2）若，，求*CD*的长．
【答案】(1)见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连接OC，根据切线性质，判断出AD∥OC，再应用平行线的性质，即可推得．
(2)连接BC，通过证明△ADC△ACB，可求出AD的长，再在Rt△ADC中，通过勾股定理可求出CD的长.
【详解】解：（1）证明：如图，连接OC，\
 ，\
∵CD是⊙O的切线，\
∴OC⊥CD．\
∵AD⊥CD，\
∴AD∥OC，\
∴∠DAC=∠ACO．\
∵OA=OC，\
∴∠CAB=∠ACO，\
∴∠DAC=∠CAB.\
(2)如图，连接BC
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°.
∴∠ADC=∠ACB.
由（1）知∠DAC=∠CAB，
∴△ADC△ACB.
∴
∵，,则可设AD=2x,AB=3x,x\>0,
∴.
解得x=2
∴AD=4.
在Rt△ADC中，由勾股定理，得CD==.
【点睛】此题主要考查了切线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系．
**四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）**
21.在单词（数学）中任意选择-一个字母，选中字母""的概率为\_\_\_\_\_\_．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知总共有11个字母，求出字母的个数，利用概率公式进行求解即可．
【详解】解：共有个字母，其中有个，
所以选中字母""的概率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=.
22.若，则代数式的值为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】5
【解析】
【分析】
把化为的形式，再整体代入求值即可.
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了求代数式的值，运用整体的数学思想是解决问题的关键．
23.三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】17
【解析】
【分析】
先利用因式分解法求解得出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案．
【详解】解：解方程得x~1~=2，x~2~=6，\
当x=2时，2+4=6\<7，不能构成三角形，舍去；\
当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17.\
故答案为：17．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
24.如图，有一张长方形片*ABCD*，，．点*E*为*CD*上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边恰好经过点D，则线段DE的长为\_\_\_\_\_\_\_\_cm．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据折叠的性质得到线段和角相等，然后在Rt△中，由勾股定理求出的长，则可得出的长，再在Rt△利用勾股定理进行计算即可求DE的长.
【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC=10,CD=AB=8,∠B=∠C=90°.
根据折叠的性质,得 =8-DE, ,∠=∠B=90°.
在Rt△中,由勾股定理，得==6.
∴=10-6=4.
在Rt△中,由勾股定理，得.
∴（8-DE）^2^+4^2^=DE^2^.
解得DE=5.
故答案是：5.
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，若点P是第一象限内反比例函数图象上一点，且的面积是的面积的2倍，则点P的横坐标为\_\_\_\_\_\_\_\_．
【答案】2．
【解析】
【分析】
联立方程组求出A，B两点坐标，设，过P作轴，过B 作轴，过A作轴，交BF于F点，交PE于点E，分别求出梯形BFEP、△APE、△ABF、△AOB、△ABP的面积，根据的面积是的面积的2倍列方程求解即可．
【详解】联立方程组，
解得，，，
，
设，过P作轴，过B 作轴，过A作轴，交BF于F点，交PE于点E，如图，
，
，
，
对于y=x+1，当x=0时，y=1；当y=0时，x=-1；
∴，
，整理得，
解得，，，
经检验，是原方程的解，
∵x＞0，
∴x=2．
∴点P的横坐标为：2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
**五、解答题（本大题共3个小题，共30分）**
26.某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量*y*（件）与销售单价*x*（元）之间的关系可以近似看作一次函数，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．
（1）求*k*，*b*的值；
（2）求销售该商品每周的利润*w*（元）与销售单价*x*（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
【答案】（1）k=-1，b=80；（2），最大利润为400元．
【解析】
【分析】
（1）将"当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件"代入一次函数，即可解答；
（2）根据利润=销售量×（销售单价-进价），得到，再根据二次函数的性质得到利润最大为400元即可．
【详解】解：（1）由题意可得，当x=50时，y=30；当x=70时，y=10，
代入中得：
，解得：，
∴k=-1，b=80；
（2）由（1）可知，y=-x+80，
∴，
∵y=-x+80≥0，
∴
∵-1＜0，
∴当x=60时，w有最大值，此时w=400，
即最大利润为400元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并熟悉二次函数的性质．
27.如图，中，，将绕点*C*顺时针旋转得到，点*D*落线段*AB*上，连接*BE*．
（1）求证：*DC*平分；
（2）试判断*BE*与*AB*的位置关系，并说明理由：
（3）若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）BE⊥AB，理由见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质可得AC=CD，∠A=∠CDE，再由等腰三角形的性质得到∠A=∠ADC即可证明∠ADC=∠CDE；
（2）根据旋转的性质得到∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，从而得出∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，再根据∠ACB=90°即可得到∠ABE=90°；
（3）设BD=BE=a，根据勾股定理计算出AB=DE=，表达出AD，再证明△ACD∽△BCE，得到即可．
【详解】解：（1）由旋转可知：AC=CD，∠A=∠CDE，
∴∠A=∠ADC，
∴∠ADC=∠CDE，即DC平分∠ADE；
（2）BE⊥AB，
理由：由旋转可知，∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABC=90°，
即∠ABE=90°，
∴BE⊥AB；
（3）∵∠ABE=90°，BD=BE，
∴设BD=BE=a，则，
又∵AB=DE，
∴AB=，则AD=，
由（2）可知，∠ACD=∠BCE，∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
∴tan∠ABC=．
【点睛】本题考查了旋转的综合应用以及相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，并熟记锐角三角函数的定义．
28.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交*x*轴、*y*轴于*A*，*B*两点，经过A，B两点的抛物线与*x*轴的正半轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若*P*为线段*AB*上一点，，求*AP*的长；
（3）在（2）的条件下，设*M*是*y*轴上一点，试问：抛物线上是否存在点*N*，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点*N*的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点*N*的坐标为(，3) 或(，)
【解析】
【分析】
（1）利用直线与*y*轴的交点求得点B的坐标，然后把点B、C的坐标代入，即可求解；
（2）先求得点A的坐标，证得△PAO△CAB，利用对应边成比例即可求解；
（3）分点N在AB的上方或下方两种情况进行讨论，根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质，利用三角形全等，即可求解．
【详解】（1）令，则，
∴点B的坐标为(0，3)，
抛物线经过点B (0，3)，C (1，0)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）令，则，
解得：，
∴点A的坐标为(，0)，
∴OA=3，OB=3，OC=1，
，
∵，且，
∴△PAO△CAB，
∴，即，
∴；
（3）存在，
过点P作*PD*⊥*x*轴于点*D*，
∵OA=3，OB=3，∠*AOB*=，
∴∠BAO=∠ABO=，
∴△PAD为等腰直角三角形，
∵，
∴PD=AD=2，
∴点P的坐标为(，2)，
当N在AB的上方时，过点N作*NE*⊥*y*轴于点*E*，如图，
∵四边形APMN为平行四边形，
∴NM∥AP，NM=AP=，
∴∠NME=∠ABO=，
∴△NME为等腰直角三角形，
∴Rt△NMERt△APD，
∴NE=AD=2，
当时，，
∴点N的坐标为(，3)，
当N在AB的下方时，过点N作*NF*⊥*y*轴于点*F*，如图，
同理可得：Rt△NMFRt△APD，
∴NF=AD=2，
当时，，
∴点N的坐标为(，)，
综上，点N的坐标为(，3) 或(，) ．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数与一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点．正确作出图形是解题的关键．
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**2020年普通高等学校招生全国统一考试**
**文科综合能力测试**
**历史部分**
**注意事项：**
**1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上。**
**2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选途其他答案标号。写在试卷上无效。**
**3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。**
**一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.据史书记载，角抵（摔跤）"盖杂技乐也，巴俞（渝）戏、鱼龙蔓延（百戏节目）之属也"。秦二世曾在宫中欣赏。汉武帝在长安举行了两次大规模的角抵表演，长安百姓"三百里内皆观"，他也曾用角抵表演欢迎来长安的西域人。据此可知，当时角抵
A. 促进了川剧艺术的发展 B. 拥有广泛的社会影响
C. 推动了丝路文化的交流 D. 源于民间的劳作技能
2.敦煌莫高窟61号洞中的唐代壁画"五台山图"中有一座"大佛光之寺"，梁思成、林徽因按图索骥，在山西五台山地区发现了其实物------佛光寺。这一事例说明此类壁画
A. 创作源于艺术想象 B. 能完整还原历史真实
C. 可与文化遗存互证 D. 价值来自学者的发掘
3.宋太祖开宝六年（973年）省试后，主考官李昉徇私录取"材质最陋"的同乡武济川一事被告发，太祖在讲武殿出题重试，殿试遂成常制。经此事后，宋代科举
A. 否定了世家大族特权 B. 确立了省试考试权威
C 完善了考试录取程序 D. 提高了人才选拔标准
4.明代官营手工业实行工匠制度，生产官府所需物资。明中叶后，官府往往直接向匠户征收银两而不征用其生产的产品，此现象持续增多。这反映了
A. 白银已取代其他货币 B. 雇佣劳动成为主要用工方式
C. 民营手工业发展受挫 D. 官营手工业的地位遭到削弱
5.1894\~1914年，外国在华企业投资总额有所增加，各行业所占比例如图9所示。
图9 外国在华企业投资总额中各行业所占比例
据图9可知，当时
A. 运输业成为列强扩大权益的重要途径 B. 中国的对外贸易已由逆差转向了顺差
C. 国际资本垄断日益趋于和缓 D. 民族企业的市场竞争力提高
6.中国共产党的一份告全党党员书指出："国民党中央驱逐军队中的共产党党员，我们的党不得不秘密起来......这所谓国民政府是什么?他从革命的政权机关变成了资产阶级之反动的执行机关，变成了军阀的工具。"由此，中国共产党
A. 阐明工农武装割据的必要性 B. 确定武装反抗国民党统治的方针
C. 批判"左"倾错误的危害性 D. 动员工农红军进行战略性的转移
7.1937年，陕甘宁边区组织民主普选，参选率达70%，其中延长等4个县当选县参议员中各阶层所占比例如表1所示。
表1 延长等4县县参议员各阶层所占比例 单位：%
------ ------ ------ ------ ------ ---------- ------
工人 贫农 中农 富农 商人 知识分子 地主
4 65 25 1 1 2 2
------ ------ ------ ------ ------ ---------- ------
表1反映出当时边区
A. 新民主主义理论在实践中推广 B. 抗日民主政权的性质根本改变
C. 各阶层参加的联合政府的建立 D. 抗日民族统一战线得到了落实
8.1978年底，中央工作会议上印发了《战后日本、西德、法国经济是怎样迅速发展起来的》以及新加坡、韩国等经济发展情况的材料，主要是为了讨论
A. 增强国营企业活力 B. 积极利用外资和先进技术
C. 建立市场经济体制 D. 调整优先发展重工业战略
9.有学者认为："在政体形式这个关键问题上，只有完全的一致，或者多数派强大到近乎全体一致的程度，即使那些不完全赞同的人也必须尊重这种政体，才能让政治激情不至于造成流血，同时让国家所有权威部门受到人们充分而自如地平和批评。"这一论述可以用于说明
A. 雅典民主政治 B. 僭主政治
C. 罗马共和政体 D. 寡头政治
10.15世纪中叶，西尔维乌斯在《论自由教育》一文中，强调培养身心俱健的人，要求通过体育、军事训练与合理饮食来强健身体，通过文学、哲学和文艺的学习来丰富精神世界，使人拥有信仰、美德、知识和智慧。这一主张
A. 丰富了人文主义的教育思想 B. 重申了启蒙运动的思想内容
C. 强调信仰对教育的决定作用 D. 奠定了宗教改革的理论基础
11.19世纪末，德皇威廉一世去世，威廉二世继任，支持俾斯麦的政党联盟在帝国议会选举中失败，与威廉二世意见相左的俾斯麦辞职。这一系列事件表明德国
A. 议会加强对政府的监督 B. 皇帝个人权力强大
C 对外政策发生根本变化 D. 分权制衡体制成熟
12.1958年，美苏签订"文化、技术和教育领域的交流协议"。两国展开了一系列文化往来，赴美的苏联学者90%为科学家、工程师，而赴苏联的美国学者90%是人文社会科学领域的专家。这表明
A. 美国旨在缓和与苏联紧张关系 B. 经济全球化的进程进一步加快
C. 冷战格局下美苏交流与对抗并存 D. 苏联旨在对美国输出先进科技
**二、非选择题：共52分。第41---42题为必考题，每个试题考生都必须作答。第45---47题为选考题，考生根据要求作答。**
**（一）必考题：共37分。**
13.阅读材料，完成下列要求
材料一 永定河属海河水系，清初"水患频仍"。康照三十七年（1698年），直隶巡抚主持冶河，改行河道，并在两岸筑堤防系统。竣工后，康熙皇帝赐名"永定河"，下旨："永定河工，照黄河岁修、抢修之例办理。"清廷设立永定河道，总理永定河事务，有近2 000名河兵常年修守。改名永定河后的40年内，下游漫溢、决口达20次。清中期以后，在永定河修建17处减水坝，各减水坝下均开挖有减水引河。一段时期内不再洪水泛滥，但河道淤积严重，到清末已成"墙上筑夹墙行水"的形势。
------据（清）《永定河续志》等
材料二 新中国成立后，中央在大江大河治理中把保证人民生命财产安全放在首位。1951年，开始在永定河上修建官厅水库，这是海河流域第一座大型水库。1957年，《海河流域规划》编制完成，其方针任务是：防止华北洪涝灾害，发展灌溉、航运、发电、工业城市给水。1963年11月，毛泽东发出"一定要根治海河"的号召。海河流域各地分别成立"根治海河"指挥部，在工程实施中采取了"集中力量打歼灭战"的方针。"根治海河"前期，每年用在水利建设上的劳动力达百万以上。骨干工程在用工与治理顺序上实现了各省市的团结协作。经不懈治理，海河流域的洪涝等自然灾害得到有效控制，"十年九荒"的历史彻底改变。
------据《海河志》等
（1）根据材料一并结合所学知识，概括清代治理永定河的措施及其效果。
（2）根据材料并结合所学知识，分析新中国成立后治理海河的特点及其意义。
14.阅读材料，完成下列要求。
材料 有学者将欧洲联盟的结构列为三大支柱，如图12所示：
图12 欧洲联盟的神殿式结构
------摘自(法)法布里斯•拉哈《欧洲一体化史（1945---2004）》
根据材料并结合所学知识，从三列支柱中各选取一点，三点之间要有相互联系，展开论述。（要求：明确列出三点，联系符合逻辑，史实准确，论述充分，表达清晰。）
**（二）选考题：共15分。请考生从3道历史题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。**
15.【历史------选修1：历史上重大改革回眸】
材料 熙宁二年(1069年)，宋廷开始精简军队，压缩编制，到元丰八年(1085年)禁、厢军总数减为80万左右，比原先减少30多万。熙宁七年，开始实行"将兵法"，把当地各部分禁军以及有战斗力的厢兵、蕃兵、乡兵等，混合编组为"将"，下设"指挥"。每"将"自2000多人至1万多人不等，通常为5000人左右，设正、副将为长官，选择有作战经验和才能的人担任。诸将长官统领并训练本将士兵，以达到将知兵、兵知将的目的。将兵多数戍守本路，在本路辖区内更戍，但也有一部分将兵到指定的别路更戍。
------摘编自白寿彝总主编《中国通史》
（1）根据材料并结合所学知识，概括王安石实行将兵法的历史背景。
（2）根据材料并结合所学知识，评价王安石将兵法改革
16.【历史------选修3：20世纪的战争与和平】
材料 反战和平运动兴起于19世纪，在美国、英国、法国相继成立了反战组织。第一次世界大战后，反战和平运动进一步发展，20世纪二三十年代掀起高潮。参加反战和平运动的有共产党人在内的政界人士、工人、农民、知识分子等不同社会阶层的人们，如"国际妇女争取和平与自由联盟"的成员遍布数十个国家和地区。1927年，反帝大同盟成立，致力于领导反对帝国主义统治的斗争，支持民族自决和人民独立，爱因斯坦、宋庆龄等被选为名誉主席团成员。1933年，该组织与国际反法西斯同盟联合组成国际反战反法西斯联盟。1936年召开的世界和平大会呼吁反对日、意、德法西斯的侵略，支援中国、埃塞俄比亚、西班牙人民的抗战。
------摘编自熊伟民《和平之声------20世纪反战反核运动》
（1）根据材料，概述反战和平运动在20世纪二三十年代掀起高潮的主要表现。
（2）根据材料并结合所学知识，简析20世纪二三十年代反战和平运动掀起高潮的原因及作用。
17.【历史------选修4：中外历史人物评说】
材料 竺可桢（1890～1974），中国杰出的科学家和教育家。1918年，他怀抱"科学救国"理想从美国回到中国。1920年，他与柳诒徽共同主持南京高等师范学校史地学部，培养了胡焕庸等一批地理学家和气象学家。1927年，筹建中央气象研究所，后出任所长。抗战前夕，中央气象研究所在各省设置40多个气象站和100多个雨量站，出版了中国气象资料，为我国的气象学奠定了基础。他认为"学理之研究重于物质之享受"，于艰难环境中苦心创业。新中国成立后，竺可桢亲自主持和筹建中国科学院地理研究所，领导或指导了我国地理的综合考察、自然区划、历次地理学规划等工作。根据国家需要，他又组织了西北沙漠、西南南水北调地区以及黑龙江等省、区的考察，为国家建设提供了参考数据。
------据《竺可桢全集》等
（1）根据材料，概括竺可桢对中国科学发展的贡献。
（2）根据材料并结合所学知识，简析竺可桢取得成就的原因。
**2020年普通高等学校招生全国统一考试文科综合能力测试**
**地理部分**
**一、选择题：本题共35小题，每小题4分，共140分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
地名常和所在地特定时期的地理环境有关。下图所示区域有1700多个行政村，其中85%以上村名与自然要素或地理方位等有关。该区域处于毛乌素沙地与黄土高原的过渡地带。据此完成下面小题。
1\. 与图示区域中地名"河""梁""柳"相关的自然要素依次是（ ）
A. 水文、地貌、植被 B. 地貌、水文、植被
C. 植被、地貌、水文 D. 水文、植被、地貌
2\. 图示甲、乙两地区地名中"河""沟""湾"等出现比例很高，表明乙（ ）
A. 风俗习惯改变 B. 土地利用结构稳定
C. 人口迁徙频繁 D. 自然环境变化较大
巢湖平原某地人多地少，原来种植双季稻，越冬作物以油菜为主，近年来随着城镇化的发展、机械化的普及和青壮年劳动力外出务工，这里多种植单季稻，收割后多不经翻耕播种收益较低的越冬作物小麦。下图为该地收割水稻后播种了小麦的农田景观，其中浅色的为稻茬。据此完成下面小题。
3\. 在收割水稻后的农田中播种小麦，需在田地中打沟。打沟主要是为了（ ）
A. 灌溉 B. 排水 C. 防虫害 D. 通风
4\. 推测这里不经翻耕播种小麦的主要目的是（ ）
A. 提高产量 B. 减少水土流失 C. 降低生产成本 D. 减少蒸发
5\. 近年来，该地（ ）
A. 种植结构复杂化 B. 复种指数提高 C. 田间管理精细化 D. 种田大户增多
对我国甘肃某绿洲观测发现，在天气稳定的状态下，会季节性出现绿洲地表温度全天低于周边沙漠的现象。下图呈现该绿洲和附近沙漠某时段内地表温度的变化。据此完成下面小题。
6\. 图示观测时段内（ ）
A. 正午绿洲和沙漠长波辐射差值最大 B. 傍晚绿洲降温速率大于沙漠
C. 凌晨绿洲和沙漠降温速率接近 D. 上午绿洲长波辐射强于沙漠
7\. 导致绿洲夜间地表温度仍低于沙漠的主要原因是绿洲（ ）
①白天温度低 ②蒸发(腾)多 ③空气湿度大 ④大气逆辐射强
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
8\. 这种现象最可能发生在（ ）
A 1\~2月 B. 4\~5月 C. 7\~8月 D. 10\~11月
如图所示，乌拉尔山脉绵延于西西伯利亚平原与东欧平原之间。西西伯利亚平原的大部分比东欧平原降水少。乌拉尔山脉两侧自北向南都依次分布着苔原、森林、森林草原和草原等自然带，但在同一自然带内乌拉尔山脉两侧的景观、物种组成等存在差异。据此完成下面小题。
9\. 西西伯利亚平原的大部分比东欧平原降水少，是由于其（ ）
①距水汽源地远 ②受北冰洋沿岸洋流影响小 ③地势南高北低 ④水汽受乌拉尔山脉的阻挡
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
10\. 推断乌拉尔山脉东西两侧的景观、物种组成差异最小的自然带是（ ）
A 苔原带 B. 森林带 C. 森林草原带 D. 草原带
11\. 西西伯利亚平原年降水量南北差异较小，但南部较干，主要原因南部（ ）
A. 沼泽分布少 B. 太阳辐射强 C. 河流向北流 D. 远离北冰洋
**二、综合题**
12.阅读图文材料，完成下列要求。
玉米油是利用玉米胚芽生产的一种谷物油脂，营养丰富，口味清香。玉米油生产流程由毛油提取和毛油精炼等环节构成，胚芽的毛油提取率为40%，由毛油到精炼油的转化率为90%。山东邹平某公司是我国建设最早、目前规模最大的玉米油产品研发和生产企业，其玉米油销售量占国内市场的50%。该公司在山东惠民、辽宁铁岭、内蒙古通辽和鄂尔多斯建有毛油压榨工厂，在公司本部、浙江杭州、广东广州建有精炼油和小包装产品生产基地（下图），将毛油运输至精炼油生产基地多使用集装箱液袋（一次性使用的储存和运输各种非危险液体货物的软体包装容器），使用罐箱或铁桶运输则越来越少。
（1）简述惠民、铁岭、通辽、鄂尔多斯等地吸引该公司建设毛油压榨工厂的优势条件。
（2）分析该公司在杭州、广州建设精炼油和小包装产品生产基地的主要原因。
（3）推测并解释将毛油由铁岭运输到广州精炼油生产基地的合理交通方式，指出使用集装箱液袋运输相对于使用铁桶运输的优势。
13.阅读图文材料，完成下列要求。
研究表明，金沙江流域金矿较多，多呈带状分布并与断裂的空间分布一致。金沙江因河中有大量沙金（河床沉积物中的金）而得名。下图示意金沙江云南段。
（1）从板块运动的角度解释图示区域断裂发育的原因。
（2）简述图示区域河流多沿断裂分布原因。
（3）说明图示区域金矿石出露较多的原因。
（4）说明出露的金矿石转变成金沙江中沙金的地质作用过程。
14.\[地理------选修3：旅游地理\]
奥地利的哈尔斯塔特小镇以湖光山色、错落有致的特色建筑、古老的盐矿遗址等而闻名，被联合国教科文组织列入世界文化遗产名录。每年有数十万游客来到这个仅有千余居民的小镇观光。我国某企业选择国内自然景观相似的地点，按照哈尔斯塔特的原型，建造了一座翻版小镇。建成开放后一度成为当地热门旅游景点。
评价仿建国外著名旅游景点的做法对当地旅游开发的影响。
15.\[地理------选修6：环境保护\]
竹排江是南宁市主要的内河之一，由北向南贯穿市区，其上游河段叫那考河。20世纪90年代开始，沿河养殖业兴起，大量污水和垃圾进入那考河，那考河一度变成"纳污河"。从2015年起，当地政府按照海绵城市建设理念，实施了河道截污、河道生态、沿岸景观工程以及污水厂建设等，由"点源治理"转变为"适度集中、就地处理、就地回用"的流域综合治理。如今那考河沿岸成为水清岸绿的滨江公园。
简述采用"适度集中、就地处理、就地回用"模式治理那考河污染的意义。
**2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）文综政治试题**
**注意事项：**
**1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对答题卡条形码上的姓名、准考证号和科目。**
**2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。**
**3.本试卷共16页。如遇缺页、漏印、自己不清等情况，考试须及时报告监考老师。**
**4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。**
**一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。**
1.一双限量版运动鞋，官网标价千余元，线上倒手几次价格就能翻到几万；有人甚至声称自己靠炒鞋月入十几万......一段时间以来，炒鞋不断升温，引发媒体关注，并纷纷提示风险。炒鞋行为存在风险的原因在于（ ）
①鞋已不具有使用价值，其交易不是商品交换
②鞋的价格远远高于鞋的价值，背离了价值规律
③借助网络交易平台炒鞋，货币难以充当流通媒介
④资本追逐不断推高价格，鞋的价值越来越难以实现
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
2.近年来，中国铁路上海局集团、南昌局集团、成都局集团等发布消息，对所属高铁列车执行票价调整：以公布票价为最高限价，分季节、分时段、分席别、分区段在限价内实行多档次票价，最大折扣幅度5．5折。对高铁车票实行差异化定价，意在（ ）
①增加高铁供给，提高市场占有率
②发挥价值规律作用，让市场供求决定价格
③运用价格机制，提高高铁运营效率
④形成合理比价，正确反映市场供求关系
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
3.2016～2019年某国工业企业的成本和利润率指标变化如图所示。
2016～2019年某国工业企业成本和利润率指标变化
下列政策措施中，有利于保持图中指标变化趋势的是（ ）
①健全知识产权市场，加速科技成果转化
②允许企业将研发费用进行税前抵扣
③鼓励与引导企业承担更多的社会责任
④制定严格的废水、废渣、废气处理标准
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
4.自2013年以来，我国已累计设立18个自由贸易试验区（简称自贸区），区内试行贸易和投资便利化制度，进一步放宽金融和制造业领域的市场准入，完善知识产权保护制度，自贸区成为制度创新的"高地"。设立自贸区的意义在于（ ）
①发挥自贸区在国民经济中的主导作用
②优化营商环境，发展更高层次的开放型经济
③探索完善新时代社会主义市场经济体制的新途径
④全面开放市场，强化竞争机制，培育中国经济新优势
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
5.某市根据中央有关文件精神，推进行政执法权限和力量向基层延伸和下沉，强化乡镇和街道的统一指挥和统筹协调职责，整合原有站所、分局执法力量和资源，组建统一的综合行政执法机构，依法相对集中行使行政处罚权，以乡镇和街道名义开展执法工作。这一改革旨在（ ）
①转变基层政府职能
②强化基层司法机关权威
③完善行政执法体制机制
④提高基层政府执法效能
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
6.为打通精准扶贫"最后一公里"，数百万驻村干部、第一书记日夜奋战在脱贫攻坚主战场，他们和贫困群众想在一起、干在一起，拧成股绳、攒足一股劲，以行动兑现对人民的承诺。党员干部奋战脱贫攻坚主战场（ ）
①体现了中国共产党人为人民谋幸福的初心
②完善了打赢脱贫攻坚战实现共同富裕的行政体制
③旨在推进乡村治理体系完善和治理能力现代化
④是坚持党的执政理念贯彻群众路线的内在要求
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
7.2019年8月7日，包括中国在内46个国家和地区作为首批签约方签署了《联合国关于调解所产生的国际和解协议公约》。该公约旨在解决国际商事调解达成的和解协议的跨境执行问题，允许在国际商业纠纷中执行和解协议的方直接诉诸缔约一方的法院以获得司法救济。该公约的签订（ ）
①是健全国际商事争端解决机制的重要举措
②是对缔约方司法主权的进步限制和约束
③体现了联合国协调国际经济关系的重要作用
④表明多边主义成为各国处理利益冲突的公认原则
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
8.某居民委员会并把家风家训教育有作为道德建设的切入点，组织居民讲家训、晒家风、评家教，把尊老爱动、守望相助、勤俭持家等传统家庭美德融入居民生活、院落文化、社区治理、主题活动，受居民喜爱，取得良好的社会效果。这启示我们新时代公民道德建设应该（ ）
①全面传承和弘扬传统道德规范
②善于监管人们日益多样的文化生活
③广泛开展群众性道德实践活动
④既坚守中华文化立场又立足现实生活
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
9.《中共中央 国务院关于促进中医药传承创新发展的意见》指出："中医药学是中华民族创造的伟大创迹，是中国古代科学的现宝，也是打开中华文明宝库的钥匙，为中华民族繁衍生息作出了巨大贡献，对世界文明进步产生了积极影响。"其中蕴含的文化道理是（ ）
①中华优秀传统文化既是民族的又是世界的
②中华优秀传统文化在发挥积极作用中传承发展
③中华文化发展的实质在于继承中华优秀传统文化
④中华优秀传统文化只有通过交流传播才具有价值义
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
10.习近平指出：黄河流域生态保护和高质量发展，要尊重规律，摒弃征服水、征服自然的冲动思想。"禹之决渎也，因水以为师。"大禹之所以能成功治理水患，原因在于尊重规律。这说明（ ）
①认识规律就能达到改造世界的目的
②掌握和尊重规律才能避免主观盲动
③根据规律特点利用规律才能造福人类
④按规律办事就不能改变其发生作用的条件和形式
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
11.下图是2020年联合国生物多样性大会（COP15）会标，会标的设计理念来源于中国的剪纸艺术和印章文化，反映人与自然和谐共生，与大会主题相呼应，具有鲜明的中国特色，深受好评。这表明（ ）
①优秀艺术作品总是要反映时代要求和实践需要
②主体的知识和审美观对艺术创作有深刻影响
③艺术作品表达的是创作主体的理想与情感，不具有客观内容
④审美标准具有客现性，艺术作品的价值不因时代变化而改变
A ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
12.2020年是恩格斯诞辰200周年。作为马克思主义的创始人之一，恩格斯在谈到马克思主义产生时说："同任何新的学说一样，它必须首先从已有的思想材料出发，虽然它的根子深深扎在经济的事实中。"上述论断蕴含的哲学道理是（ ）
①理论发展具有相对独立性
②理论只能反映当前经济事实人
③理论总是受到客观现实的制约
④来源于现实的理论就具有真理性
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
**二、非选择题：共52分。**
13.阅读材料，完成下列要求。
数据显示，受新冠肺炎疫情的冲击和影响，2020年一季度我国国内生产总值同比下降6.8%，但3月份主要经济指标降幅明显收窄。这表明我国复工复产成效逐步显现，经济复苏步伐正在加快。但是，随着海外疫情的扩散，我国经济发展的内外部环境依然严峻，面临的挑战前所未有。
2020年4月17日，中央政治局召开会议，统筹推进疫情防控和经济社会发展工作。会议强调加大"六稳"工作力度，坚定实施扩大内需战略，维护经济发展和社会稳定大局；明确提出保居民就业、保基本民生、保市场主体、保粮食能源安全、保产业链供应在稳定、保基层运转"六保"任务，并把保居民就业置于"六保"任务之首。
当前保居民就业对稳定经济发展具有重要作用。结合材料并运用经济知识，说明这一作用的传导过程。
14.阅读材料，完成下列要求。
2020年5月召开的十三届全国人大三次会议和全国政协十三届三次会议是我国政治生活中的大事。两会审议、讨论《中华人民共和国民法典》草案，备受国内外关注。
参加会议的全国政协委员在各界别小组讨论民法典草案，委员们认为，民法典草案充分体现了人民至上的理念，贴近百姓生活，涉及方方面面，反映新时代需求，是维护公民各项权利的一部百科全书。
经过人大代表的认真审议和热烈讨论，根据各方面意见，民法典草案最终修改100余处，其中实质性修改40余处。5月28日，民法典在十三届全国人大三次会议表决通过，成为推进全面依法治国、中国法治建设的里程碑。
结合民法典的通过，阐述两会所彰显的我国社会主义民主政治的优势。
15.阅读材料，完成下列要求。
脱贫攻坚是历史给出的时代考题，广大青年成为解答时代考题的生力军。
乡村网红青年小甘搭乘"短视频+电商"的快车，开辟山区农产品销售新渠道，2018年，其团队共推介销售你农副产品400多万公斤，产值超过2300万元，实现了和大山里的乡亲们"一起走上致富路"的理想。
青年教师胡博士，"一门心思帮助村民脱贫"，运用大数据，精准解决农村贫困户就业和培训难题。他与当地的就业部门合作，打造智能就业平台，实现劳动力与岗位智能化匹配，3年推荐就业岗位超12万次；开发培训人员智能化管理体系，有针对性地为贫困户提供订单式岗位培训。
青年学子小锋休学创业，投身高效晶硅太阳能材料的批量制造，致力于光伏扶贫。他使用公司自产太阳能电池板，帮助居民在自家屋顶建光伏电站，将太阳能资源转化为电能，居民从售电款中获得分红，目前已有陕西、河北、广西等地千户居民成功脱贫。
立志"帮老百姓脱贫"的海归青年小静辞掉北京的工作，返回"中国山楂之乡"创业。她组建山楂研发团队，用科技提升山楂的附加值，促进山楂产业转型升级；通过吸纳1400余户贫困户入股、建立扶贫工厂、带动就业等，帮助当地农民增收。
在脱贫攻坚的主战场，一代青年正用青春演绎着一个个精彩的扶贫故事，涓涓细流正汇聚成乡村振兴的时代洪流。
（1）运用创新意识的知识，说明四位青年为什么能够在脱贫攻坚的主战场作出贡献。
（2）运用文化生活知识，说明上述扶贫故事给新时代青年担当使命启示。
（3）就"青年学生如何助力乡村振兴"提出两条思路。
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**小学五年级上册数学奥数知识点讲解第3课《最大公约数和最小公倍数》试题附答案**
答案
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**2020年陕西省中考数学试卷**
**一．选择题（共10小题）**
1．﹣18的相反数是（ ）
A．18 B．﹣18 C． D．﹣
2．若∠*A*＝23°，则∠*A*余角的大小是（ ）
A．57° B．67° C．77° D．157°
3．2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（ ）
A．9.9087×10^5^ B．9.9087×10^4^ C．99.087×10^4^ D．99.087×10^3^
4．如图，是*A*市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（ ）
> 
A．4℃ B．8℃ C．12℃ D．16℃
5．计算：（﹣*x*^2^*y*）^3^＝（ ）
A．﹣2*x*^6^*y*^3^ B．*x*^6^*y*^3^ C．﹣*x*^6^*y*^3^ D．﹣*x*^5^*y*^4^
6．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点*A*，*B*，*C*都在格点上，若*BD*是△*ABC*的高，则*BD*的长为（ ）
> 
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，*O*为坐标原点．若直线*y*＝*x*+3分别与*x*轴、直线*y*＝﹣2*x*交于点*A*、*B*，则△*AOB*的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．如图，在▱*ABCD*中，*AB*＝5，*BC*＝8．*E*是边*BC*的中点，*F*是▱*ABCD*内一点，且∠*BFC*＝90°．连接*AF*并延长，交*CD*于点*G*．若*EF*∥*AB*，则*DG*的长为（ ）
> 
A． B． C．3 D．2
9．如图，△*ABC*内接于⊙*O*，∠*A*＝50°．*E*是边*BC*的中点，连接*OE*并延长，交⊙*O*于点*D*，连接*BD*，则∠*D*的大小为（ ）
> 
A．55° B．65° C．60° D．75°
10．在平面直角坐标系中，将抛物线*y*＝*x*^2^﹣（*m*﹣1）*x*+*m*（*m*＞1）沿*y*轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
**二．填空题（共4小题）**
11．计算：（2+）（2﹣）＝[ ]{.underline}．
12．如图，在正五边形*ABCDE*中，*DM*是边*CD*的延长线，连接*BD*，则∠*BDM*的度数是[ ]{.underline}．
> 
13．在平面直角坐标系中，点*A*（﹣2，1），*B*（3，2），*C*（﹣6，*m*）分别在三个不同的象限．若反比例函数*y*＝（*k*≠0）的图象经过其中两点，则*m*的值为[ ]{.underline}．
14．如图，在菱形*ABCD*中，*AB*＝6，∠*B*＝60°，点*E*在边*AD*上，且*AE*＝2．若直线*l*经过点*E*，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点*F*，则线段*EF*的长为[ ]{.underline}．
> 
**三．解答题（共11小题）**
15．解不等式组：
16．解分式方程：﹣＝1．
17．如图，已知△*ABC*，*AC*＞*AB*，∠*C*＝45°．请用尺规作图法，在*AC*边上求作一点*P*，使∠*PBC*＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
> 
18．如图，在四边形*ABCD*中，*AD*∥*BC*，∠*B*＝∠*C*．*E*是边*BC*上一点，且*DE*＝*DC*．求证：*AD*＝*BE*．
> 
19．王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：
> （1）这20条鱼质量的中位数是[ ]{.underline}，众数是[ ]{.underline}．
>
> （2）求这20条鱼质量的平均数；
>
> （3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？
>
> 
20．如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高*MN*．他俩在小明家的窗台*B*处，测得商业大厦顶部*N*的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在*B*处测得商业大厦底部*M*的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台*C*处测得大厦底部*M*的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知*A*，*B*，*C*三点共线，*CA*⊥*AM*，*NM*⊥*AM*，*AB*＝31*m*，*BC*＝18*m*，试求商业大厦的高*MN*．
> 
21．某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20*cm*时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度*y*（*cm*）与生长时间*x*（天）之间的关系大致如图所示．
> （1）求*y*与*x*之间的函数关系式；
>
> （2）当这种瓜苗长到大约80*cm*时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？
>
> 
22．小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．
> （1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；
>
> （2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．
23．如图，△*ABC*是⊙*O*的内接三角形，∠*BAC*＝75°，∠*ABC*＝45°．连接*AO*并延长，交⊙*O*于点*D*，连接*BD*．过点*C*作⊙*O*的切线，与*BA*的延长线相交于点*E*．
> （1）求证：*AD*∥*EC*；
>
> （2）若*AB*＝12，求线段*EC*的长．
>
> 
24．如图，抛物线*y*＝*x*^2^+*bx*+*c*经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为*A*，*B*，*C*，它的对称轴为直线*l*．
> （1）求该抛物线的表达式；
>
> （2）*P*是该抛物线上的点，过点*P*作*l*的垂线，垂足为*D*，*E*是*l*上的点．要使以*P*、*D*、*E*为顶点的三角形与△*AOC*全等，求满足条件的点*P*，点*E*的坐标．
>
> 
25．问题提出
> （1）如图1，在Rt△*ABC*中，∠*ACB*＝90°，*AC*＞*BC*，∠*ACB*的平分线交*AB*于点*D*．过点*D*分别作*DE*⊥*AC*，*DF*⊥*BC*．垂足分别为*E*，*F*，则图1中与线段*CE*相等的线段是[ ]{.underline}．
>
> 问题探究
>
> （2）如图2，*AB*是半圆*O*的直径，*AB*＝8．*P*是上一点，且＝2，连接*AP*，*BP*．∠*APB*的平分线交*AB*于点*C*，过点*C*分别作*CE*⊥*AP*，*CF*⊥*BP*，垂足分别为*E*，*F*，求线段*CF*的长．
>
> 问题解决
>
> （3）如图3，是某公园内"少儿活动中心"的设计示意图．已知⊙*O*的直径*AB*＝70*m*，点*C*在⊙*O*上，且*CA*＝*CB*．*P*为*AB*上一点，连接*CP*并延长，交⊙*O*于点*D*．连接*AD*，*BD*．过点*P*分别作*PE*⊥*AD*，*PF*⊥*BD*，重足分别为*E*，*F*．按设计要求，四边形*PEDF*内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设*AP*的长为*x*（*m*），阴影部分的面积为*y*（*m*^2^）．
>
> ①求*y*与*x*之间的函数关系式；
>
> ②按照"少儿活动中心"的设计要求，发现当*AP*的长度为30*m*时，整体布局比较合理．试求当*AP*＝30*m*时．室内活动区（四边形*PEDF*）的面积．
>
> 
**2020年陕西省中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一．选择题（共10小题）**
1．﹣18的相反数是（ ）
A．18 B．﹣18 C． D．﹣
> 【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
>
> 【解答】解：﹣18的相反数是：18．
>
> 故选：*A*．
2．若∠*A*＝23°，则∠*A*余角的大小是（ ）
A．57° B．67° C．77° D．157°
> 【分析】根据∠*A*的余角是90°﹣∠*A*，代入求出即可．
>
> 【解答】解：∵∠*A*＝23°，
>
> ∴∠*A*的余角是90°﹣23°＝67°．
>
> 故选：*B*．
3．2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（ ）
A．9.9087×10^5^ B．9.9087×10^4^ C．99.087×10^4^ D．99.087×10^3^
> 【分析】科学记数法的表示形式为*a*×10*^n^*的形式，其中1≤\|*a*\|＜10，*n*为整数．确定*n*的值时，要看把原数变成*a*时，小数点移动了多少位，*n*的绝对值与小数点移动的位数相同．
>
> 【解答】解：990870＝9.9087×10^5^，
>
> 故选：*A*．
4．如图，是*A*市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（ ）
> 
A．4℃ B．8℃ C．12℃ D．16℃
> 【分析】根据*A*市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．
>
> 【解答】解：从折线统计图中可以看出，这一天中最高气温8℃，最低气温是﹣4℃，这一天中最高气温与最低气温的差为12℃，
>
> 故选：*C*．
5．计算：（﹣*x*^2^*y*）^3^＝（ ）
A．﹣2*x*^6^*y*^3^ B．*x*^6^*y*^3^ C．﹣*x*^6^*y*^3^ D．﹣*x*^5^*y*^4^
> 【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．
>
> 【解答】解：（﹣*x*^2^*y*）^3^＝＝．
>
> 故选：*C*．
6．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点*A*，*B*，*C*都在格点上，若*BD*是△*ABC*的高，则*BD*的长为（ ）
> 
A． B． C． D．
> 【分析】根据勾股定理计算*AC*的长，利用面积差可得三角形*ABC*的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
>
> 【解答】解：由勾股定理得：*AC*＝＝，
>
> ∵*S*~△*ABC*~＝3×3﹣＝3.5，
>
> ∴，
>
> ∴，
>
> ∴*BD*＝，
>
> 故选：*D*．
7．在平面直角坐标系中，*O*为坐标原点．若直线*y*＝*x*+3分别与*x*轴、直线*y*＝﹣2*x*交于点*A*、*B*，则△*AOB*的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
> 【分析】根据方程或方程组得到*A*（﹣3，0），*B*（﹣1，2），根据三角形的面积公式即可得到结论．
>
> 【解答】解：在*y*＝*x*+3中，令*y*＝0，得*x*＝﹣3，
>
> 解得，，
>
> ∴*A*（﹣3，0），*B*（﹣1，2），
>
> ∴△*AOB*的面积＝3×2＝3，
>
> 故选：*B*．
8．如图，在▱*ABCD*中，*AB*＝5，*BC*＝8．*E*是边*BC*的中点，*F*是▱*ABCD*内一点，且∠*BFC*＝90°．连接*AF*并延长，交*CD*于点*G*．若*EF*∥*AB*，则*DG*的长为（ ）
> 
A． B． C．3 D．2
> 【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到*EF*的长，再根据梯形中位线定理，即可得到*CG*的长，进而得出*DG*的长．
>
> 【解答】解：∵*E*是边*BC*的中点，且∠*BFC*＝90°，
>
> ∴Rt△*BCF*中，*EF*＝*BC*＝4，
>
> ∵*EF*∥*AB*，*AB*∥*CG*，*E*是边*BC*的中点，
>
> ∴*F*是*AG*的中点，
>
> ∴*EF*是梯形*ABCG*的中位线，
>
> ∴*CG*＝2*EF*﹣*AB*＝3，
>
> 又∵*CD*＝*AB*＝5，
>
> ∴*DG*＝5﹣3＝2，
>
> 故选：*D*．
9．如图，△*ABC*内接于⊙*O*，∠*A*＝50°．*E*是边*BC*的中点，连接*OE*并延长，交⊙*O*于点*D*，连接*BD*，则∠*D*的大小为（ ）
> 
A．55° B．65° C．60° D．75°
> 【分析】连接*CD*，根据圆内接四边形的性质得到∠*CDB*＝180°﹣∠*A*＝130°，根据垂径定理得到*OD*⊥*BC*，求得*BD*＝*CD*，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
>
> 【解答】解：连接*CD*，
>
> ∵∠*A*＝50°，
>
> ∴∠*CDB*＝180°﹣∠*A*＝130°，
>
> ∵*E*是边*BC*的中点，
>
> ∴*OD*⊥*BC*，
>
> ∴*BD*＝*CD*，
>
> ∴∠*ODB*＝∠*ODC*＝*BDC*＝65°，
>
> 故选：*B*．
>
> 
10．在平面直角坐标系中，将抛物线*y*＝*x*^2^﹣（*m*﹣1）*x*+*m*（*m*＞1）沿*y*轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
> 【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合*m*的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
>
> 【解答】解：∵*y*＝*x*^2^﹣（*m*﹣1）*x*+*m*＝（*x*﹣）^2^+*m*﹣，
>
> ∴该抛物线顶点坐标是（，*m*﹣），
>
> ∴将其沿*y*轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（，*m*﹣﹣3），
>
> ∵*m*＞1，
>
> ∴*m*﹣1＞0，
>
> ∴＞0，
>
> ∵*m*﹣﹣3＝＝＝﹣﹣1＜0，
>
> ∴点（，*m*﹣﹣3）在第四象限；
>
> 故选：*D*．
**二．填空题（共4小题）**
11．计算：（2+）（2﹣）＝[ 1 ]{.underline}．
> 【分析】先利用平方差公式展开得到原式＝2^2^﹣（）^2^，再利用二次根式的性质化简，然后进行减法运算．
>
> 【解答】解：原式＝2^2^﹣（）^2^
>
> ＝4﹣3
>
> ＝1．
12．如图，在正五边形*ABCDE*中，*DM*是边*CD*的延长线，连接*BD*，则∠*BDM*的度数是[ 144° ]{.underline}．
> 
>
> 【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．
>
> 【解答】解：因为五边形*ABCDE*是正五边形，
>
> 所以∠*C*＝＝108°，*BC*＝*DC*，
>
> 所以∠*BDC*＝＝36°，
>
> 所以∠*BDM*＝180°﹣36°＝144°，
>
> 故答案为：144°．
13．在平面直角坐标系中，点*A*（﹣2，1），*B*（3，2），*C*（﹣6，*m*）分别在三个不同的象限．若反比例函数*y*＝（*k*≠0）的图象经过其中两点，则*m*的值为[ ﹣1 ]{.underline}．
> 【分析】根据已知条件得到点*A*（﹣2，1）在第三象限，求得点*C*（﹣6，*m*）一定在第三象限，由于反比例函数*y*＝（*k*≠0）的图象经过其中两点，于是得到反比例函数*y*＝（*k*≠0）的图象经过*B*（3，2），*C*（﹣6，*m*），于是得到结论．
>
> 【解答】解：∵点*A*（﹣2，1），*B*（3，2），*C*（﹣6，*m*）分别在三个不同的象限，点*A*（﹣2，1）在第二象限，
>
> ∴点*C*（﹣6，*m*）一定在第三象限，
>
> ∵*B*（3，2）在第一象限，反比例函数*y*＝（*k*≠0）的图象经过其中两点，
>
> ∴反比例函数*y*＝（*k*≠0）的图象经过*B*（3，2），*C*（﹣6，*m*），
>
> ∴3×2＝﹣6*m*，
>
> ∴*m*＝﹣1，
>
> 故答案为：﹣1．
14．如图，在菱形*ABCD*中，*AB*＝6，∠*B*＝60°，点*E*在边*AD*上，且*AE*＝2．若直线*l*经过点*E*，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点*F*，则线段*EF*的长为[ 2]{.underline}[ ]{.underline}．
> 
>
> 【分析】过点*A*和点*E*作*AG*⊥*BC*，*EH*⊥*BC*于点*G*和*H*，可得矩形*AGHE*，再根据菱形*ABCD*中，*AB*＝6，∠*B*＝60°，可得*BG*＝3，*AG*＝3＝*EH*，由题意可得，*FH*＝*FC*﹣*HC*＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得*EF*的长．
>
> 【解答】解：如图，过点*A*和点*E*作*AG*⊥*BC*，*EH*⊥*BC*于点*G*和*H*，
>
> 得矩形*AGHE*，
>
> ∴*GH*＝*AE*＝2，
>
> 
>
> ∵在菱形*ABCD*中，*AB*＝6，∠*B*＝60°，
>
> ∴*BG*＝3，*AG*＝3＝*EH*，
>
> ∴*HC*＝*BC*﹣*BG*﹣*GH*＝6﹣3﹣2＝1，
>
> ∵*EF*平分菱形面积，
>
> ∴*FC*＝*AE*＝2，
>
> ∴*FH*＝*FC*﹣*HC*＝2﹣1＝1，
>
> 在Rt△*EFH*中，根据勾股定理，得
>
> *EF*＝＝＝2．
>
> 故答案为：2．
**三．解答题（共11小题）**
15．解不等式组：
> 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可．
>
> 【解答】解：，
>
> 由①得：*x*＞2，
>
> 由②得：*x*＜3，
>
> 则不等式组的解集为2＜*x*＜3．
16．解分式方程：﹣＝1．
> 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到*x*的值，经检验即可得到分式方程的解．
>
> 【解答】解：方程﹣＝1，
>
> 去分母得：*x*^2^﹣4*x*+4﹣3*x*＝*x*^2^﹣2*x*，
>
> 解得：*x*＝，
>
> 经检验*x*＝是分式方程的解．
17．如图，已知△*ABC*，*AC*＞*AB*，∠*C*＝45°．请用尺规作图法，在*AC*边上求作一点*P*，使∠*PBC*＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
> 
>
> 【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在*AC*边上求作一点*P*，使∠*PBC*＝45°即可．
>
> 【解答】解：如图，点*P*即为所求．
>
> 
18．如图，在四边形*ABCD*中，*AD*∥*BC*，∠*B*＝∠*C*．*E*是边*BC*上一点，且*DE*＝*DC*．求证：*AD*＝*BE*．
> 
>
> 【分析】根据等边对等角的性质求出∠*DEC*＝∠*C*，在由∠*B*＝∠*C*得∠*DEC*＝∠*B*，所以*AB*∥*DE*，得出四边形*ABCD*是平行四边形，进而得出结论．
>
> 【解答】证明：∵*DE*＝*DC*，
>
> ∴∠*DEC*＝∠*C*．
>
> ∵∠*B*＝∠*C*，
>
> ∴∠*B*＝∠*DEC*，
>
> ∴*AB*∥*DE*，
>
> ∵*AD*∥*BC*，
>
> ∴四边形*ABED*是平行四边形．
>
> ∴*AD*＝*BE*．
19．王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：
> （1）这20条鱼质量的中位数是[ 1.45*kg* ]{.underline}，众数是[ 1.5*kg* ]{.underline}．
>
> （2）求这20条鱼质量的平均数；
>
> （3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？
>
> 
>
> 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解可得；
>
> （2）利用加权平均数的定义求解可得；
>
> （3）用单价乘以（2）中所得平均数，再乘以存活的数量，从而得出答案．
>
> 【解答】解：（1）∵这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为1.4、1.5，
>
> ∴这20条鱼质量的中位数是＝1.45（*kg*），众数是1.5*kg*，
>
> 故答案为：1.45*kg*，1.5*kg*．
>
> （2）＝＝1.45（*kg*），
>
> ∴这20条鱼质量的平均数为1.45*kg*；
>
> （3）18×1.45×2000×90%＝46980（元），
>
> 答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入46980元．
20．如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高*MN*．他俩在小明家的窗台*B*处，测得商业大厦顶部*N*的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在*B*处测得商业大厦底部*M*的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台*C*处测得大厦底部*M*的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知*A*，*B*，*C*三点共线，*CA*⊥*AM*，*NM*⊥*AM*，*AB*＝31*m*，*BC*＝18*m*，试求商业大厦的高*MN*．
> 
>
> 【分析】过点*C*作*CE*⊥*MN*于点*E*，过点*B*作*BF*⊥*MN*于点*F*，可得四边形*AMEC*和四边形*AMFB*均为矩形，可以证明△*BFN*≌△*CEM*，得*NF*＝*EM*＝49，进而可得商业大厦的高*MN*．
>
> 【解答】解：如图，过点*C*作*CE*⊥*MN*于点*E*，过点*B*作*BF*⊥*MN*于点*F*，
>
> 
>
> ∴∠*CEF*＝∠*BFE*＝90°，
>
> ∵*CA*⊥*AM*，*NM*⊥*AM*，
>
> ∴四边形*AMEC*和四边形*AMFB*均为矩形，
>
> ∴*CE*＝*BF*，*ME*＝*AC*，
>
> ∠1＝∠2，
>
> ∴△*BFN*≌△*CEM*（*ASA*），
>
> ∴*NF*＝*EM*＝31+18＝49，
>
> 由矩形性质可知：*EF*＝*CB*＝18，
>
> ∴*MN*＝*NF*+*EM*﹣*EF*＝49+49﹣18＝80（*m*）．
>
> 答：商业大厦的高*MN*为80*m*．
21．某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20*cm*时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度*y*（*cm*）与生长时间*x*（天）之间的关系大致如图所示．
> （1）求*y*与*x*之间的函数关系式；
>
> （2）当这种瓜苗长到大约80*cm*时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？
>
> 
>
> 【分析】（1）分段函数，利用待定系数法解答即可；
>
> （2）利用（1）的结论，把*y*＝80代入求出*x*的值即可解答．
>
> 【解答】解：（1）当0≤*x*≤15时，设*y*＝*kx*（*k*≠0），
>
> 则：20＝15*k*，
>
> 解得*k*＝，
>
> ∴*y*＝；
>
> 当15＜*x*≤60时，设*y*＝*k*′*x*+*b*（*k*≠0），
>
> 则：，
>
> 解得，
>
> ∴*y*＝，
>
> ∴；
>
> （2）当*y*＝80时，80＝，解得*x*＝33，
>
> 33﹣15＝18（天），
>
> ∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果．
22．小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．
> （1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；
>
> （2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．
>
> 【分析】（1）由频率定义即可得出答案；
>
> （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的情况，利用概率公式求解即可求得答案．
>
> 【解答】解：（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10次中摸出红球的频率＝＝；
>
> （2）画树状图得：
>
> 
>
> ∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况，
>
> ∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率＝＝．
23．如图，△*ABC*是⊙*O*的内接三角形，∠*BAC*＝75°，∠*ABC*＝45°．连接*AO*并延长，交⊙*O*于点*D*，连接*BD*．过点*C*作⊙*O*的切线，与*BA*的延长线相交于点*E*．
> （1）求证：*AD*∥*EC*；
>
> （2）若*AB*＝12，求线段*EC*的长．
>
> 
>
> 【分析】（1）连接*OC*，由切线的性质可得∠*OCE*＝90°，由圆周角定理可得∠*AOC*＝90°，可得结论；
>
> （2）过点*A*作*AF*⊥*EC*交*EC*于*F*，由锐角三角函数可求*AD*＝8，可证四边形*OAFC*是正方形，可得*CF*＝*AF*＝4，由锐角三角函数可求*EF*＝12，即可求解．
>
> 【解答】证明：（1）连接*OC*，
>
> 
>
> ∵*CE*与⊙*O*相切于点*C*，
>
> ∴∠*OCE*＝90°，
>
> ∵∠*ABC*＝45°，
>
> ∴∠*AOC*＝90°，
>
> ∵∠*AOC*+∠*OCE*＝180°，
>
> ∴∴*AD*∥*EC*
>
> （2）如图，过点*A*作*AF*⊥*EC*交*EC*于*F*，
>
> 
>
> ∵∠*BAC*＝75°，∠*ABC*＝45°，
>
> ∴∠*ACB*＝60°，
>
> ∴∠*D*＝∠*ACB*＝60°，
>
> ∴sin∠*ADB*＝，
>
> ∴*AD*＝＝8，
>
> ∴*OA*＝*OC*＝4，
>
> ∵*AF*⊥*EC*，∠*OCE*＝90°，∠*AOC*＝90°，
>
> ∴四边形*OAFC*是矩形，
>
> 又∵*OA*＝*OC*，
>
> ∴四边形*OAFC*是正方形，
>
> ∴*CF*＝*AF*＝4，
>
> ∵∠*BAD*＝90°﹣∠*D*＝30°，
>
> ∴∠*EAF*＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
>
> ∵tan∠*EAF*＝，
>
> ∴*EF*＝*AF*＝12，
>
> ∴*CE*＝*CF*+*EF*＝12+4．
24．如图，抛物线*y*＝*x*^2^+*bx*+*c*经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为*A*，*B*，*C*，它的对称轴为直线*l*．
> （1）求该抛物线的表达式；
>
> （2）*P*是该抛物线上的点，过点*P*作*l*的垂线，垂足为*D*，*E*是*l*上的点．要使以*P*、*D*、*E*为顶点的三角形与△*AOC*全等，求满足条件的点*P*，点*E*的坐标．
>
> 
>
> 【分析】（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解；
>
> （2）由题意得：*PD*＝*DE*＝3时，以*P*、*D*、*E*为顶点的三角形与△*AOC*全等，分点*P*在抛物线对称轴右侧、点*P*在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可．
>
> 【解答】解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得，解得，
>
> 故抛物线的表达式为：*y*＝*x*^2^+2*x*﹣3；
>
> （2）抛物线的对称轴为*x*＝﹣1，令*y*＝0，则*x*＝﹣3或1，令*x*＝0，则*y*＝﹣3，
>
> 故点*A*、*B*的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点*C*（0，﹣3），
>
> 故*OA*＝*OC*＝3，
>
> ∵∠*PDE*＝∠*AOC*＝90°，
>
> ∴当*PD*＝*DE*＝3时，以*P*、*D*、*E*为顶点的三角形与△*AOC*全等，
>
> 设点*P*（*m*，*n*），当点*P*在抛物线对称轴右侧时，*m*﹣（﹣1）＝3，解得：*m*＝2，
>
> 故*n*＝2^2^+2×2﹣5＝5，故点*P*（2，5），
>
> 故点*E*（﹣1，2）或（﹣1，8）；
>
> 当点*P*在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点*P*（﹣4，5），此时点*E*坐标同上，
>
> 综上，点*P*的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点*E*的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．
25．问题提出
> （1）如图1，在Rt△*ABC*中，∠*ACB*＝90°，*AC*＞*BC*，∠*ACB*的平分线交*AB*于点*D*．过点*D*分别作*DE*⊥*AC*，*DF*⊥*BC*．垂足分别为*E*，*F*，则图1中与线段*CE*相等的线段是[ *CF*、*DE*、*DF* ]{.underline}．
>
> 问题探究
>
> （2）如图2，*AB*是半圆*O*的直径，*AB*＝8．*P*是上一点，且＝2，连接*AP*，*BP*．∠*APB*的平分线交*AB*于点*C*，过点*C*分别作*CE*⊥*AP*，*CF*⊥*BP*，垂足分别为*E*，*F*，求线段*CF*的长．
>
> 问题解决
>
> （3）如图3，是某公园内"少儿活动中心"的设计示意图．已知⊙*O*的直径*AB*＝70*m*，点*C*在⊙*O*上，且*CA*＝*CB*．*P*为*AB*上一点，连接*CP*并延长，交⊙*O*于点*D*．连接*AD*，*BD*．过点*P*分别作*PE*⊥*AD*，*PF*⊥*BD*，重足分别为*E*，*F*．按设计要求，四边形*PEDF*内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设*AP*的长为*x*（*m*），阴影部分的面积为*y*（*m*^2^）．
>
> ①求*y*与*x*之间的函数关系式；
>
> ②按照"少儿活动中心"的设计要求，发现当*AP*的长度为30*m*时，整体布局比较合理．试求当*AP*＝30*m*时．室内活动区（四边形*PEDF*）的面积．
>
> 
>
> 【分析】（1）证明四边形*CEDF*是正方形，即可得出结果；
>
> （2）连接*OP*，由*AB*是半圆*O*的直径，＝2，得出∠*APB*＝90°，∠*AOP*＝60°，则∠*ABP*＝30°，同（1）得四边形*PECF*是正方形，得*PF*＝*CF*，在Rt△*APB*中，*PB*＝*AB*•cos∠*ABP*＝4，在Rt△*CFB*中，*BF*＝＝*CF*，推出*PB*＝*CF*+*BF*，即可得出结果；
>
> （3）①同（1）得四边形*DEPF*是正方形，得出*PE*＝*PF*，∠*APE*+∠*BPF*＝90°，∠*PEA*＝∠*PFB*＝90°，将△*APE*绕点*P*逆时针旋转90°，得到△*A*′*PF*，*PA*′＝*PA*，则*A*′、*F*、*B*三点共线，∠*APE*＝∠*A*′*PF*，证∠*A*′*PB*＝90°，得出*S*~△*PAE*~+*S*~△*PBF*~＝*S*~△*PA*′*B*~＝*PA*′•*PB*＝*x*（70﹣*x*），在Rt△*ACB*中，*AC*＝*BC*＝35，*S*~△*ACB*~＝*AC*^2^＝1225，由*y*＝*S*~△*PA*′*B*~+*S*~△*ACB*~，即可得出结果；
>
> ②当*AP*＝30时，*A*′*P*＝30，*PB*＝40，在Rt△*A*′*PB*中，由勾股定理得*A*′*B*＝＝50，由*S*~△*A*′*PB*~＝*A*′*B*•*PF*＝*PB*•*A*′*P*，求*PF*，即可得出结果．
>
> 【解答】解：（1）∵∠*ACB*＝90°，*DE*⊥*AC*，*DF*⊥*BC*，
>
> ∴四边形*CEDF*是矩形，
>
> ∵*CD*平分∠*ACB*，*DE*⊥*AC*，*DF*⊥*BC*，
>
> ∴*DE*＝*DF*，
>
> ∴四边形*CEDF*是正方形，
>
> ∴*CE*＝*CF*＝*DE*＝*DF*，
>
> 故答案为：*CF*、*DE*、*DF*；
>
> （2）连接*OP*，如图2所示：
>
> ∵*AB*是半圆*O*的直径，＝2，
>
> ∴∠*APB*＝90°，∠*AOP*＝×180°＝60°，
>
> ∴∠*ABP*＝30°，
>
> 同（1）得：四边形*PECF*是正方形，
>
> ∴*PF*＝*CF*，
>
> 在Rt△*APB*中，*PB*＝*AB*•cos∠*ABP*＝8×cos30°＝8×＝4，
>
> 在Rt△*CFB*中，*BF*＝＝＝＝*CF*，
>
> ∵*PB*＝*PF*+*BF*，
>
> ∴*PB*＝*CF*+*BF*，
>
> 即：4＝*CF*+*CF*，
>
> 解得：*CF*＝6﹣2；
>
> （3）①∵*AB*为⊙*O*的直径，
>
> ∴∠*ACB*＝∠*ADB*＝90°，
>
> ∵*CA*＝*CB*，
>
> ∴∠*ADC*＝∠*BDC*，
>
> 同（1）得：四边形*DEPF*是正方形，
>
> ∴*PE*＝*PF*，∠*APE*+∠*BPF*＝90°，∠*PEA*＝∠*PFB*＝90°，
>
> ∴将△*APE*绕点*P*逆时针旋转90°，得到△*A*′*PF*，*PA*′＝*PA*，如图3所示：
>
> 则*A*′、*F*、*B*三点共线，∠*APE*＝∠*A*′*PF*，
>
> ∴∠*A*′*PF*+∠*BPF*＝90°，即∠*A*′*PB*＝90°，
>
> ∴*S*~△*PAE*~+*S*~△*PBF*~＝*S*~△*PA*′*B*~＝*PA*′•*PB*＝*x*（70﹣*x*），
>
> 在Rt△*ACB*中，*AC*＝*BC*＝*AB*＝×70＝35，
>
> ∴*S*~△*ACB*~＝*AC*^2^＝×（35）^2^＝1225，
>
> ∴*y*＝*S*~△*PA*′*B*~+*S*~△*ACB*~＝*x*（70﹣*x*）+1225＝﹣*x*^2^+35*x*+1225；
>
> ②当*AP*＝30时，*A*′*P*＝30，*PB*＝*AB*﹣*AP*＝70﹣30＝40，
>
> 在Rt△*A*′*PB*中，由勾股定理得：*A*′*B*＝＝＝50，
>
> ∵*S*~△*A*′*PB*~＝*A*′*B*•*PF*＝*PB*•*A*′*P*，
>
> ∴×50×*PF*＝×40×30，
>
> 解得：*PF*＝24，
>
> ∴*S*~四边形*PEDF*~＝*PF*^2^＝24^2^＝576（*m*^2^），
>
> ∴当*AP*＝30*m*时．室内活动区（四边形*PEDF*）的面积为576*m*^2^．
>
> 
>
> 
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**2019年吉林省中考数学试卷**
**一、单项选择题（每小题2分，共12分）**
1．（2分）（2019•吉林）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为
A．3 B．2 C．1 D．
2．（2分）（2019•吉林）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为
A． B．
C． D．
3．（2分）（2019•吉林）若为实数，则下列各式的运算结果比小的是
A． B． C． D．
4．（2分）（2019•吉林）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为
A． B． C． D．
5．（2分）（2019•吉林）如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，，则的度数为
A． B． C． D．
6．（2分）（2019•吉林）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，、两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
**二、填空题（每小题3分，共24分）**
7．（3分）（2019•吉林）分解因式：[ ]{.underline}．
8．（3分）（2019•吉林）不等式的解是[ ]{.underline}．
9．（3分）（2019•吉林）计算：[ ]{.underline}．
10．（3分）（2019•吉林）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为[ ]{.underline}（写出一个即可）．
11．（3分）（2019•吉林）如图，为边延长线上一点，过点作．若，，则[ ]{.underline}．
12．（3分）（2019•吉林）如图，在四边形中，，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则四边形的周长为[ ]{.underline}．
13．（3分）（2019•吉林）在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为[ ]{.underline}．
14．（3分）（2019•吉林）如图，在扇形中，．，分别是半径，上的点，以，为邻边的的顶点在上．若，，则阴影部分图形的面积是[ ]{.underline}（结果保留．
**三、解答题（每小题5分，共20分）**
15．（5分）（2019•吉林）先化简，再求值：，其中．
16．（5分）（2019•吉林）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．
17．（5分）（2019•吉林）已知是的反比例函数，并且当时，．
（1）求关于的函数解析式；
（2）当时，求的值．
18．（5分）（2019•吉林）如图，在中，点在边上，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接、．求证：．
**四、解答题（每小题7分，共28分）**
19．（7分）（2019•吉林）图①，图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段，在图②中已画出线段，其中、、、均为格点，按下列要求画图：
（1）在图①中，以为对角线画一个菱形，且，为格点；
（2）在图②中，以为对角线画一个对边不相等的四边形，且，为格点，．
20．（7分）（2019•吉林）问题解决
糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？
反思归纳
现有根竹签，个山楂．若每根竹签串个山楂，还剩余个山楂，则下列等式成立的是[ ]{.underline}（填写序号）．
（1）；（2）；（3）．
21．（7分）（2019•吉林）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座与地面的距离为，花洒的长为，与墙壁的夹角为．求花洒顶端到地面的距离（结果精确到．（参考数据：，，
22．（7分）（2019•吉林）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民"获取信息的最主要途径"．
（1）该机构设计了以下三种调查方案：
方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；
方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；
方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．
其中最具有代表性的一个方案是[ ]{.underline}；
（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：
①这次接受调查的居民人数为[ ]{.underline}人；
②统计图中人数最多的选项为[ ]{.underline}；
③请你估计该地区居民和农村居民将"电脑和手机"作为"获取信息的最主要途径"的总人数．
**五、解答题（每小题8分，共16分）**
23．（8分）（2019•吉林）甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到地，乙车立即以原速原路返回到地．甲、乙两车距地的路程与各自行驶的时间之间的关系如图所示．
（1）[ ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）求乙车距地的路程关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）当甲车到达地时，求乙车距地的路程．
24．（8分）（2019•吉林）性质探究
如图①，在等腰三角形中，，则底边与腰的长度之比为[ ]{.underline}．
理解运用
（1）若顶角为的等腰三角形的周长为，则它的面积为[ ]{.underline}；
（2）如图②，在四边形中，．
①求证：；
②在边，上分别取中点，，连接．若，，直接写出线段的长．
类比拓展
顶角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为[ ]{.underline}（用含的式子表示）．
**六、解答题（每小题10分，共20分）**
25．（10分）（2019•吉林）如图，在矩形中，，，为边上一点，，连接．动点、从点同时出发，点以的速度沿向终点运动；点以的速度沿折线向终点运动．设点运动的时间为，在运动过程中，点，点经过的路线与线段围成的图形面积为．
（1）[ ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）当时，直接写出的值．
26．（10分）（2019•吉林）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当点位于轴下方时，求面积的最大值；
（3）设此抛物线在点与点之间部分（含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为．
①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
②当时，直接写出的面积．
**2019年吉林省中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、单项选择题（每小题2分，共12分）**
1．（2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为
A．3 B．2 C．1 D．
【分析】直接利用数轴得出结果即可．
【解答】解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为，
故选：．
2．（2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示：
故选：．
3．（2分）若为实数，则下列各式的运算结果比小的是
A． B． C． D．
【分析】根据一个数加上一个正数的和大于本身，加上一个负数小于本身，减去一正数小于本身，减去一个负数大于本身，乘以1等于本身，除以1也等于本身，逐一进行比较便可．
【解答】解：．，选项错误；
．，选项正确；
．，选项错误；
．，选项错误；
故选：．
4．（2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为
A． B． C． D．
【分析】根据图形的对称性，用除以3计算即可得解．
【解答】解：，
旋转的角度是的整数倍，
旋转的角度至少是．
故选：．
5．（2分）如图，在中，所对的圆周角，若为上一点，，则的度数为
A． B． C． D．
【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出的度数，进而由角的和差求得结果．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
6．（2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，、两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是
A．两点之间，线段最短
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．
【解答】解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程．
故选：．
**二、填空题（每小题3分，共24分）**
7．（3分）分解因式：[ ]{.underline}．
【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：．
【解答】解：．
故答案为：．
8．（3分）不等式的解是[ ]{.underline}．
【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2再除以3，不等号的方向不变．
【解答】解：，
，
，
原不等式的解集为：．
故答案为．
9．（3分）计算：[ ]{.underline}．
【分析】根据分式乘除法的法则计算即可．
【解答】解：，
故答案为：．
10．（3分）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为[ 5（答案不唯一，只有即可） ]{.underline}（写出一个即可）．
【分析】由于方程有实数根，则其根的判别式△，由此可以得到关于的不等式，解不等式就可以求出的取值范围．
【解答】解：一元二次方程化为，
△，
解上式得．
故答为5（答案不唯一，只有即可）．
11．（3分）如图，为边延长线上一点，过点作．若，，则[ 60 ]{.underline}．
【分析】利用平行线的性质，即可得到，再根据三角形内角和定理，即可得到的度数．
【解答】解：，
，
又，
中，，
故答案为：60．
12．（3分）如图，在四边形中，，．若将沿折叠，点与边的中点恰好重合，则四边形的周长为[ 20 ]{.underline}．
【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到，再根据折叠的性质，即可得到四边形的周长为．
【解答】解：，点是的中点，
，
由折叠可得，，，
四边形的周长为，
故答案为：20．
13．（3分）在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为[ 54 ]{.underline}．
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
【解答】解：设这栋楼的高度为，
在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，
，解得．
故答案为：54．
14．（3分）如图，在扇形中，．，分别是半径，上的点，以，为邻边的的顶点在上．若，，则阴影部分图形的面积是[ ]{.underline}（结果保留．
【分析】连接，根据同样只统计得到是矩形，由矩形的性质得到．根据勾股定理得到，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接，
，四边形是平行四边形，
是矩形，
．
，，
，
阴影部分图形的面积．
故答案为：．
**三、解答题（每小题5分，共20分）**
15．（5分）先化简，再求值：，其中．
【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式，
当时，原式．
16．（5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用画树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率．
【分析】画出树状图，共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种可能，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种可能结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的有1种结果，
则取出的扇子和手绢都是红色的概率为．
17．（5分）已知是的反比例函数，并且当时，．
（1）求关于的函数解析式；
（2）当时，求的值．
【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）直接利用代入求出答案．
【解答】解：（1）是的反例函数，
所以，设，
当时，．
所以，，
所以，；
（2）当时，．
18．（5分）如图，在中，点在边上，以为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接、．求证：．
【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】证明：由题意可得：，
在平行四边形中，，
在和中，，
所以，．
**四、解答题（每小题7分，共28分）**
19．（7分）图①，图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段，在图②中已画出线段，其中、、、均为格点，按下列要求画图：
（1）在图①中，以为对角线画一个菱形，且，为格点；
（2）在图②中，以为对角线画一个对边不相等的四边形，且，为格点，．
【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，菱形即为所求．
（2）如图，四边形即为所求．
20．（7分）问题解决
糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？
反思归纳
现有根竹签，个山楂．若每根竹签串个山楂，还剩余个山楂，则下列等式成立的是[ （2） ]{.underline}（填写序号）．
（1）；（2）；（3）．
【分析】问题解决 设竹签有根，山楂有个，由题意得出方程组：，解方程组即可；
反思归纳 由每根竹签串个山楂，还剩余个山楂，得出即可．
【解答】问题解决
解：设竹签有根，山楂有个，
由题意得：，
解得：，
答：竹签有20根，山楂有104个；
反思归纳
解：每根竹签串个山楂，还剩余个山楂，
则，
故答案为：（2）．
21．（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座与地面的距离为，花洒的长为，与墙壁的夹角为．求花洒顶端到地面的距离（结果精确到．（参考数据：，，
【分析】过作于，于是得到，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过作于，
则，
在中，，，
，
，
，
答：花洒顶端到地面的距离为．
22．（7分）某地区有城区居民和农村居民共80万人．某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民"获取信息的最主要途径"．
（1）该机构设计了以下三种调查方案：
方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；
方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；
方案三：随机抽取部分城区居民和部分农村居民进行调查．
其中最具有代表性的一个方案是[ 方案三 ]{.underline}；
（2）该机构采用了最具有代表性的调查方案进行调查．供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项．每位被调查居民只选择一个选项．现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：
①这次接受调查的居民人数为[ ]{.underline}人；
②统计图中人数最多的选项为[ ]{.underline}；
③请你估计该地区居民和农村居民将"电脑和手机"作为"获取信息的最主要途径"的总人数．
【分析】（1）根据三个方案选出最具有代表性的一个方案即可；
（2）①把电脑、手机、电视、广播、其他，这五个选项的总人数相加即可；
②从统计图中找出人数最多的选项即可；
③用该地区居民和农村居民将"电脑和手机"作为"获取信息的最主要途径"的人数所占的百分比即可得到结论．
【解答】解：（1）最具有代表性的一个方案是方案三，
故答案为：方案三；
（2）①这次接受调查的居民人数为人；
②统计图中人数最多的选项为手机；
③万人，
答：该地区居民和农村居民将"电脑和手机"作为"获取信息的最主要途径"的总人数52.8万人．
故答案为：1000，手机．
**五、解答题（每小题8分，共16分）**
23．（8分）甲、乙两车分别从，两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到地，乙车立即以原速原路返回到地．甲、乙两车距地的路程与各自行驶的时间之间的关系如图所示．
（1）[ 4 ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）求乙车距地的路程关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）当甲车到达地时，求乙车距地的路程．
【分析】（1）观察图象即可解决问题；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）把代入（2）的结论即可．
【解答】解：（1）根据题意可得，；
故答案为：4；120；
（2）设关于的函数解析式为，
因为图象经过，
所以，
解得，
所以关于的函数解析式为，
设关于的函数解析式为，
因为图象经过，两点，
所以，
解得，
所以关于的函数解析式为；
（3）当时，．
所以当甲车到达地时，乙车距地的路程为．
24．（8分）性质探究
如图①，在等腰三角形中，，则底边与腰的长度之比为[ ]{.underline}．
理解运用
（1）若顶角为的等腰三角形的周长为，则它的面积为[ ]{.underline}；
（2）如图②，在四边形中，．
①求证：；
②在边，上分别取中点，，连接．若，，直接写出线段的长．
类比拓展
顶角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为[ ]{.underline}（用含的式子表示）．
【分析】性质探究
作于，则，由等腰三角形的性质得出，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出结果；
理解运用
（1）同上得出则，，由等腰三角形的周长得出，解得：，得出，由三角形面积公式即可得出结果；
（2）①由等腰三角形的性质得出，，得出即可；
②连接，作于，由等腰三角形的性质得出，由①得：，由四边形内角和定理求出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形的性质得出，，得出，证明是的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果；
类比拓展
作于，由等腰三角形的性质得出，，由三角函数得出，得出，即可得出结果．
【解答】性质探究
解：作于，如图①所示：
则，
，，
，，
，，
，
；
故答案为：；
理解运用
（1）解：如图①所示：
同上得：，，
，
，
解得：，
，
的面积；
故答案为：
（2）①证明：，
，，
；
②解：连接，作于，如图②所示：
则，由①得：，
，
，
，
，
，
，
点、分别是、的中点，
是的中位线，
；
类比拓展
解：如图③所示：作于，
，
，，
，
，
，
；
故答案为：．
**六、解答题（每小题10分，共20分）**
25．（10分）如图，在矩形中，，，为边上一点，，连接．动点、从点同时出发，点以的速度沿向终点运动；点以的速度沿折线向终点运动．设点运动的时间为，在运动过程中，点，点经过的路线与线段围成的图形面积为．
（1）[ ]{.underline}，[ ]{.underline}；
（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）当时，直接写出的值．
【分析】（1）由勾股定理可求的长，由等腰三角形的性质可求的度数；
（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；
（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1），，
，
故答案为：，45
（2）当时，如图，过点作，
，，
，
，
（2）当时，如图，过点作，
，
，
当时，如图，点与点重合．
，
（3）当时
，
当时，过点作
四边形是矩形
，，
，
△
方程无解
当时，
，
，
综上所述：或
26．（10分）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当点位于轴下方时，求面积的最大值；
（3）设此抛物线在点与点之间部分（含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为．
①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
②当时，直接写出的面积．
【分析】（1）将点代入即可；
（2）易求，，抛物线顶点为，当位于抛物线顶点时，的面积有最大值；
（3）①当时，；当时，；当时，；
②当时若，此时△，无解；若，则，则，的面积；
【解答】解：（1）将点代入，
得，
；
（2）令，或，
，，
；
抛物线顶点为，
当位于抛物线顶点时，的面积有最大值，
；
（3）①当时，；
当时，；
当时，；
②当时
若，此时△，无解；
若，则，
，
，，
的面积；
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/10 10:09:00；用户：数学；邮箱：85886818-2\@xyh.com；学号：27755521
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**河北省衡水中学2016届高三上学期第七次调研考试**
**理数试题**
**第Ⅰ卷（共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1.已知全集，集合，那么（ ）
A． B． C． D．
2.在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D．7
4.已知函数的最小正周期为，则在区间上的值域为（ ）
A． B．  C． D．
5.执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）
A．2 B． C．-1 D．1
6.在二项式的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理数都互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
7.在中，分别是所对边的边长，若，则的值是（ ）
A． 1 B． C． D．2
8.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位:）,则该几何体的体积为（ ）
A．120 B．80 C．100 D．60
9.在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能
10.平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．  B． C． D．
11.已知双曲线的方程，其左、右焦点分别是，已知点坐标为，双曲线上点，满足，则（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．4
12.定义在上的函数满足，当时，，函数，若，不等式，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.设，则的展开式中常数项是 [ ]{.underline} .
14.以下四个命题中：\[来源:学.科.网Z.X.X.K\]
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；
③某项测量结果服从正太态布，则；
④对于两个分类变量和的随机变量的观测值来说，越小，判断"与有关系"的把握程度越大.
以上命题中其中真命题的个数为 [ ]{.underline} .
15.已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围是 [ ]{.underline} .
16.是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 [ ]{.underline} .
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，向量满足条件.
⑴求数列的通项公式；
⑵设函数，数列满足条件.
①求数列的通项公式；
②设，求数列的前项和.
18（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，是棱的中点.
⑴求证：平面；
⑵求平面与平面所成的二面角的余弦值；
⑶设点是直线上的动点，与平面所成的角为，求的最大值.
19.（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30,女20），给所有同学几何体和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况如下表（单位:人）
-------- -------- ------------------- ------
几何题 代数题 总计
男同学 22 8 30
女同学 8 12 20
总计 30 20\[来源:学科网\] 50
-------- -------- ------------------- ------
⑴能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
⑵经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现甲，乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；
⑶现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的大题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.
附表及公式：
-------------------------------------- ------- ------- ------------------------------------ ------- ------------------------------------------ ------- --------
 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
 2.072 2.706 3.841\[来源:学。科。网Z。X。X。K\] 5.024 6.635 7.879 10.828
-------------------------------------- ------- ------- ------------------------------------ ------- ------------------------------------------ ------- --------
20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
⑴求椭圆的方程；
⑵设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，连接分别交直线于两点，若直线的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
21.（本小题满分12分）已知函数.
⑴求的单调区间；
⑵若，且对任意恒成立，求的最大值；
⑶对于在区间上任意一个常数，是否存在正数，使得成立？请说明理由.
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线为圆的切线，切点为，点在圆上，的角平分线交圆于点垂直交圆于点.
⑴证明：
⑵设圆的半径为1，，延长交于点，求外接圆的半径.
\[来源:学科网ZXXK\]
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线的参数方程为（为参数），直线为曲线分别交于两点.
⑴写出曲线的平面直角坐标方程和直线的普通方程；
⑵若成等比数列，求实数的值.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
⑴解不等式
⑵若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
网
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**2019-2020学年陕西省西安市陕师大附小四年级（上）期末数学试卷**
**一、填空题（共22分）**
1．（2分）2017年国庆黄金周，西安共接待游客11650300人次，横线上的数读作[ ]{.underline}；旅游收入5795000000元人民币，四舍五入到亿位大约是[ ]{.underline}亿元．
2．（2分）黑板的上下两条边互相[ ]{.underline}；相邻的两条边互相[ ]{.underline}．
3．（1分）钟面上[ ]{.underline}时整的时候，时针和分针成平角．
4．（4分）（*a*+*b*）+*c*＝[ ]{.underline}+（[ ]{.underline}+[ ]{.underline}）；（*a*+*b*）×*c*＝[ ]{.underline}×[ ]{.underline}+[ ]{.underline}×[ ]{.underline}．
5．（2分）在算式7□3÷76中，□填[ ]{.underline}时，商一定是一位数；□填[ ]{.underline}时，商一定是两位数．（每□填一个即可）．
6．（1分）小红13分走路936米，速度是[ ]{.underline}．
7．（1分）小明坐在第8组的第5排，位置表示为（8，5）；笑笑在第3组的第6排，表示为[ ]{.underline}．
8．（2分）晓东的身份证号码是610104200807237527，他是[ ]{.underline}年[ ]{.underline}月[ ]{.underline}日出生的．
9．（3分）如果用正负数记录收支情况，爸爸今天的领到3600元记为[ ]{.underline}元，充话费用去100元，记为[ ]{.underline}，读作[ ]{.underline}．
10．（4分）在下面的空格中填入"＜""＝""＞"
> 637058[ ]{.underline}4328500
>
> 160000000[ ]{.underline}16亿
>
> 180÷12[ ]{.underline}180÷15
>
> 150×2[ ]{.underline}15×20
**二、选择题（10分，每题2分）**
11．（2分）一个八位数，它的最高位是（ ）
A．百万位 B．千万位 C．亿位 D．十亿位
12．（2分）六十三亿零二十万五千零一，写作（ ）
A．630205001 B．630020500001
C．6300205001 D．63020501
13．（2分）下面的数，一个0也不读的是（ ）
A．80080000 B．80008000 C．80000800 D．80000080
14．（2分）与4200÷70的商相同的是（ ）
A．42÷7 B．420÷7 C．4200÷700 D．42000÷70
15．（2分）与63×99计算结果相等的是（ ）
A．63×99+1 B．63×100﹣1 C．63×99+63 D．63×100﹣63
**三、判断题（10分，每题2分）**
16．（2分）四舍五入得到的近似数可能比这个数大，可能比这个数小．[ ]{.underline}（判断对错）
17．（2分）经过一点可以画一条直线，经过两点可以画两条直线．[ ]{.underline}（判断对错）
18．（2分）试商时，如果余数比除数大，应把商改大．[ ]{.underline}．（判断对错）
19．（2分）0是正数，不是负数．[ ]{.underline}．（判断对错）
20．（2分）零下9度比零上6度的温度高．[ ]{.underline}（判断对错）
**四、计算（25分）**
21．（5分）直接写得数．
80÷20＝ 25+40＝ 670+140＝ 4800÷600＝ 3500÷70＝
------------ --------- ----------- ------------ -----------
930﹣250＝ 15×60＝ 320÷40＝ 297×4＝ 810÷90＝
22．（8分）列竖式计算
> 396×27＝
>
> 208×34＝
>
> 368÷46＝
>
> 1008÷28＝
23．（12分）简便运算
> 357+136+243
>
> 58×36+64×58
>
> 8×72×125
>
> 420×（945÷15﹣28）
**五、操作题（13分）**
24．（6分）536980和541508"四舍五入"后都是54万．
> （1）在数轴上标出两个数的位置．
>
> （2）这两个数，[ ]{.underline}更接近54万．
25．（4分）画出这条直线的一条平行线，一条垂线．
26．（3分）以这条射线为角的一边，画出125度的角，标出度数．
**六、解决问题（20分）**
27．（5分）6支球队比赛，两两比一场，一共要比多少场？
> （1）请画出示意图．
>
> （2）有顺序的数一数，列式计算看一看．
28．（5分）一辆货车从甲地去乙地，去时每时行48千米，用了18小时到了乙地，回来每时行54千米，需要用时多久才能回来呢？
29．（5分）一张桌子152元，一把椅子48元，学校要买75套桌椅，一共多少钱呢？
30．（5分）创建美丽西安，离不开清洁工人的努力，一名清洁工阿姨一个月清扫了2511千克垃圾，按这样计算，一年可以清扫多少千克的垃圾呢？
**2019-2020学年陕西省西安市陕师大附小四年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、填空题（共22分）**
1．【分析】根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零，即可读出此数；改写成用"亿"作单位的数，就是把千万位数字9四舍五入进1，保留整亿．
> 【解答】解：11650300读作：一千一百六十五万零三百；
>
> 5795000000≈58亿；
>
> 故答案为：一千一百六十五万零三百，58．
>
> 【点评】本题主要考查整数的读、写法、改写和求近似数，注意改写和求近似数时要带计数单位．
2．【分析】因为黑板是一个长方形，所以根据长方形的特征：对边平行且相等，4个角都是直角，可知，长方形相邻的两条边互相垂直，相对的两边互相平行；据此解答．
> 【解答】解：据分析可知：
>
> 黑板的上下两条边互相 平行；相邻的两条边互相 垂直．
>
> 故答案为：平行、垂直．
>
> 【点评】解答此题的主要依据是：长方形的邻边互相垂直，对边互相平行．
3．【分析】钟面一周为360°，共分12大格，每格为360÷12＝30°，6时整，分针与时针相差6个整大格，所以钟面上时针与分针形成的夹角是：30°×6＝180°，由此根据平角的定义即可解答．
> 【解答】解：30°×6＝180°
>
> 180°的角是平角
>
> 6时整，钟面上的分针和时针所夹的角是平角；
>
> 故答案为：6．
>
> 【点评】抓住钟面上每个大格所对的夹角的度数是30度，找出时针与分针的夹角是几个格，即可计算解答．
4．【分析】（1）根据加法结合律填空；
> （2）根据乘法分配律填空．
>
> 【解答】解：（*a*+*b*）+*c*＝*a*+（ *b*+*c*）；
>
> （*a*+*b*）×*c*＝*a*×*c*+*b*×*c*．
>
> 故答案为：*a*，*b*，*c*；*a*，*c*，*b*，*c*．
>
> 【点评】加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．字母表示：*a*+*b*+*c*＝*a*+（*b*+*c*）
>
> 乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把它们与这个数分别相乘再相加，字母表示：*a*×（*b*+*c*）＝*ab*+*ac*．
5．【分析】7□3÷76，被除数的前两位数7□小于除数76，所得的商是一位数；被除数的前两位数7□大于或等于除数76，所得的商是两位数；然后再进一步解答．
> 【解答】解：7□3÷76中，要使商是一位数，7□＜76，□里面可以填0、1、2、3、4、5；
>
> 要使商是两位数，7□≥76，□里面可以填6、7、8、9；
>
> 故答案为：0，6（答案不唯一）．
>
> 【点评】三位数除以两位数，被除数的前两位数小于除数，所得的商是一位数；被除数的前两位数大于或等于除数，所得的商是两位数．
6．【分析】根据路程÷时间＝速度，用小红13分钟走的路程除以用的时间，求出速度是多少，据此计算即可解答．
> 【解答】解：936÷13＝72（米/分）
>
> 答：她的速度是72米/分．
>
> 故答案为：72米/分．
>
> 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握．
7．【分析】由"小明坐在第8组的第5排，位置表示为（8，5）"可知数对中第一个数字表示组，第二个数字表示排，据此即可用数对表示出笑笑坐的位置．
> 【解答】解：小明坐在第8组的第5排，位置表示为（8，5）；笑笑在第3组的第6排，表示为（3，6）．
>
> 故答案为：（3，6）．
>
> 【点评】解答此题的关键是根据已知条件确定数对中每个数字所表示的意义．
8．【分析】身份证的第7～14位表示出生日期，其中第7～10位是出生的年份，11、12位是出生的月份，第13、14位是出生日；据此解答．
> 【解答】解：610104200807237527这个身份证号码的7～14位是20080723，所以晓东是 2008年 7月 23日出生的．
>
> 故答案为：2008，7，23．
>
> 【点评】本题是考查身份证的数字编码问题，身份证上：
>
> 1、前六位是地区代码；
>
> 2、7～14位是出生日期；
>
> 3、15～17位是顺序码，其中第17位奇数分给男性，偶数分给女性；
>
> 4、第18位是校验码．
9．【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：领取钱数记为正，则花费钱数就记为正，由此直接得出结论即可；根据负数的读法，读出即可．
> 【解答】解：如果用正负数记录收支情况，爸爸今天的领到3600元记为+3600元，充话费用去100元，记为﹣100元，读作 负一百元．
>
> 故答案为：+3600，﹣100元，负一百元．
>
> 【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
10．【分析】（1）（2）按照整数比较大小的方法判断即可；
> （3）被除数不变，除数越大，则商越小，据此判断即可；
>
> （4）根据积不变的规律判断即可．
>
> 【解答】解：（1）637058＜4328500
>
> （2）160000000＜16亿
>
> （3）180÷12＞180÷15
>
> （4）150×2＝15×20
>
> 故答案为：＜、＜、＞、＝．
>
> 【点评】此题主要考查了整数比较大小的方法的应用，以及积的变化规律、商的变化规律的应用，要熟练掌握．
**二、选择题（10分，每题2分）**
11．【分析】根据解答即可．
> 【解答】解：一个八位数，它的最高位是千万位；
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】本题是考查整数数位表的认识，熟记数位顺序表是解答此题的关键所在．
12．【分析】根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数．
> 【解答】解：六十三亿零二十万五千零一，写作：63 0020 5001．
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】本题主要考查整数的写法．关键是数位上一个单位没有的，写上0．
13．【分析】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个零；据此读出各数进行选择．
> 【解答】解：*A*、8008 0000读作：八千零八万，读出一个零；
>
> *B*、8000 8000读作：八千万八千，一个零也不读出；
>
> *C*、8000 0800读作：八千万零八百，读出一个零；
>
> *D*、8000 0080读作：八千万零八十，读出一个零；
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】本题主要考查整数的读法，注意零的读法：每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个零．
14．【分析】在除法算式中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变；据此解答即可．
> 【解答】解：根据商不变的性质可知，
>
> 只有420÷7是被除数和除数同时缩小了10倍，商不变，即与原式相同．
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】解答此题应明确：只有被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商才不变．
15．【分析】简算63×99时，先把99分解成（100﹣1），再根据乘法分配律简算，由此求解．
> 【解答】解：63×99
>
> ＝63×（100﹣1）
>
> ＝63×100﹣63×1
>
> ＝63×100﹣63（与选项*D*相同）
>
> ＝6300﹣63
>
> ＝6237
>
> 故选：*D*．
>
> 【点评】乘法分配律是最常用的简便运算的方法，要熟练掌握，灵活运用．
**三、判断题（10分，每题2分）**
16．【分析】根据"四舍"得到的近似数比原数小，"五入"得到的近似数比原数大；进行举例，进而得出结论．
> 【解答】解：如果一个数是4.05，保留一位小数，则近似值是4.1，因为4.1＞4.05，即近似值大于精确值；
>
> 如果一个数是3.24，保留一位小数，则近似值是3.2，因为3.2＜3.24，即近似值小于精确值；
>
> 所以四舍五入得到的近似数可能比这个数大，可能比这个数小，即本题说法正确；
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】根据"四舍"得到的近似数比原数小，"五入"得到的近似数比原数大；进行举例，进而得出结论．
17．【分析】可以自己亲自操作一下，验证说法．
> 【解答】解：如图所示：，
>
> 通过一点能画无数条直线，通过两点可以画一条直线，所以通过一点只能画一条直线，通过两点可以画两条直线的说法错误．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】用画图操作的方法解决本题比较直观易懂．
18．【分析】根据整数除法的运算法则可知，在计算除法算式时，每次除后余下的数必须比除数小，则除法试商时，如果余数比除数大，应把商改大．
> 【解答】解：由于在计算除法算式时，每次除后余下的数必须比除数小，
>
> 则除法试商时，如果余数比除数大，应把商改大．
>
> 所以原题的说法正确．
>
> 故答案为：√．
>
> 【点评】整数的除法法则：从被除数的商位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数； 除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商； 每次除后余下的数必须比除数小．
19．【分析】0是正负数的分界点，所以0既不是正数，也不是负数．
> 【解答】解：0是正负数的分界点，所以0既不是正数，也不是负数；
>
> 所以原题的说法是错误的；
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题考查0既不是正数，也不是负数．
20．【分析】正数＞0＞负数，几个负数比较大小时，绝对值越大的负数越小，据此判断即可．
> 【解答】解：因为零下9度比零上6度的温度低，
>
> 所以题中说法不正确．
>
> 故答案为：×．
>
> 【点评】此题主要考查了正、负数、0的大小比较，要熟练掌握．
**四、计算（25分）**
21．【分析】根据整数加减乘除法的计算方法进行计算．
> 【解答】解：
80÷20＝4 25+40＝65 670+140＝810 4800÷600＝8 3500÷70＝50
--------------- ------------ -------------- ------------- -------------
930﹣250＝680 15×60＝900 320÷40＝8 297×4＝1188 810÷90＝9
> 【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算．
22．【分析】根据整数乘除法的计算方法进行计算．
> 【解答】解：396×27＝10692
>
> 208×34＝7072
>
> 368÷46＝8
>
> 1008÷28＝36
>
> 【点评】考查了整数乘除法的笔算，根据各自的计算方法进行计算．
23．【分析】（1）根据加法交换律简算；
> （2）根据乘法分配律简算；
>
> （3）根据乘法交换律简算；
>
> （4）先算小括号里面的除法，再算小括号里面的减法，最后算括号外的乘法．
>
> 【解答】解：（1）357+136+243
>
> ＝357+243+136
>
> ＝600+136
>
> ＝736
>
> （2）58×36+64×58
>
> ＝58×（36+64）
>
> ＝58×100
>
> ＝5800
>
> （3）8×72×125
>
> ＝8×125×72
>
> ＝1000×72
>
> ＝72000
>
> （4）420×（945÷15﹣28）
>
> ＝420×（63﹣28）
>
> ＝420×35
>
> ＝14700
>
> 【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算．
**五、操作题（13分）**
24．【分析】（1）根据数轴的特点在数轴上标出两个数的位置即可求解．
> （2）比较两个数与54万的差，差值小的更接近54万．
>
> 【解答】解：（1）如图所示：
>
> （2）54万＝540000
>
> 540000﹣536980＝3020
>
> 541508﹣540000＝1508
>
> 3020＞1508
>
> 故这两个数，541508更接近54万．
>
> 故答案为：541508．
>
> 【点评】本题主要考查整数的大小比较，注意与哪个数的差最小就是最接近的．
25．【分析】在这条直线（已知直线）外确定一点*A*．把三角板的一直角边与已知直线重合，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过点*A*时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经过直线外一点的这条直线的垂线．把三角板的一边与已知直线重合，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过点*A*时，沿这边画直线，这条直线就与已知直线平行．
> 【解答】解：画出这条直线的一条平行线（红色直线（，一条垂线（绿色直线）：
>
> 【点评】过已知直线外一点（或直线上一点）作已知直线的垂线、过直线外一点作已知直线的平行线，关键是三角板、三角板与直尺（或另一三角板）的配合使用．
26．【分析】把量角器的中心与这条射线的端点*O*重合，把0刻度线与射线*OA*重合，过量角器上表示125°刻度的点画射线*OB*，则∠*AOB*就是125°的角．
> 【解答】解：
>
> 【点评】用量角器画角的关键是量角器的正确、熟练使用．
**六、解决问题（20分）**
27．【分析】（1）每两个球队都要比赛一场，即进行循环赛制，则每个球队都要和其他5个队各赛一场，所以第1个球队比5场，第二个球队比4场；第3个球队比3场，第4个球队比2场，第5个球队比1场．完成作图即可．
> （2）根据图示，所有球队共参赛：5+4+3+2+1＝15（场）．
>
> 【解答】解：（1）如图：
>
> （2）5+4+3+2+1＝15（场）
>
> 答：一共要比15场．
>
> 【点评】在循环赛中，参赛人数*n*与比赛场数*m*的关系为：*m*＝*n*+（*n*﹣1）+（*n*﹣2）+......+2+1＝*n*×（*n*﹣1）÷2．
28．【分析】根据"路程＝速度×时间"，用去时速度乘时间，求出甲地到乙地路程；再根据"时间＝路程÷速度"，即可求出返回时间．
> 【解答】解：48×18÷54
>
> ＝864÷54
>
> ＝16（小时）
>
> 答：它16小时才能回来．
>
> 【点评】本题主要考查"路程、速度、时间"之间的关系式，注意各自对应的关系．
29．【分析】一张桌子152元，一把椅子48元，那么把152与48相加，求出一套桌椅的钱数，然后再乘75即可．
> 【解答】解：（152+48）×75
>
> ＝200×75
>
> ＝15000（元）
>
> 答：一共15000元钱．
>
> 【点评】考查了整数加法和乘法的意义的灵活运用．
30．【分析】一名清洁工阿姨一个月清扫了2511千克垃圾，按这样计算，一年12个月可以清扫12个2511千克，即2511×12．
> 【解答】解：2511×12＝30132（千克）
>
> 答：一年可以清扫30132千克的垃圾．
>
> 【点评】考查了整数乘法的意义的灵活运用．
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**北师大版小学数学总复习《空间与图形》检测试题二（附答案）**
一、小小探索家。(填空)
1．长方体和正方体都有( )个面，( )条棱，( )个顶点。
2．圆锥的底面是一个( )，侧面展开后是一个( )形。
3．圆柱有( )个面，上、下两个面叫做( )，圆柱的侧面展开后，通常得到一个( )。
4．一个圆柱的底面直径扩大到原来的4倍，高不变，它的侧面积扩大到原来的( )。
5．一个正方体的棱长是4米，它的表面积是( )平方米。
二、小法官，来断案。(对的打"√"，错的打"×")
1．圆柱的底面积和半径成反比。( )
2．圆柱是立体图形。( )
3．如果两个圆柱的侧面积相等，那么它们的底面周长也一定相等。( )
4．把一根圆柱形木料削成一个最大的圆锥，应削去这根木料的。( )
三、我会做。
 来源：www.bcjy123.com/tiku/
1．量出上面各图形底面的直径。
2．求出每个图形的底面周长。
四、生活中的数学。
1．王大爷有块梯形的麦地，上底是9.6米，下底是11.4米，高5米，平均每平方米小麦0.8千克，王大爷要把这块地产的小麦捐给我国西南部干旱灾区。求王大爷捐多少小麦？
2．有一个圆锥形沙堆，底面半径是8分米，高6分米，把沙子铺在长8分米，宽4分米的通道上。沙子厚多少分米？
3．把一根长9厘米的圆柱形钢材，截成两小段圆柱后，表面积比原来增加了100.48平方厘米，这根圆柱形钢材原来的表面积是多少平方厘米？
五、如图所示是一块长方形的铁皮，利用图中的阴影部分，刚好做两个一样大小的圆桶，求每个圆桶的体积。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
**参考答案**
一、1．6 12 8 2．圆 扇 3．3 底面 长方形 4．4倍 5．96
二、1．× 2．√ 3．× 4．√
三、量一量，做一做。
四、1．42千克 2．12.56分米 3．326.56平方厘米
五、12.56分米3
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青云历史中学历史课程全集
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（2）音频版：蜻蜓FM:
初二中国近代史：https://m.qtfm.cn/share/vchannels/277365?platform=wx\_friend
初一中国古代史：https://m.qtfm.cn/share/vchannels/315124?platform=wx\_friend
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第一单元演练
一、填空题。
1.被除数是640,除数是3,商是( )位数,商( )余( )。
2.{width="0.20625in" height="0.20625in"}÷9=8......{width="0.20625in" height="0.20625in"}里,余数最大是( ),这时的被除数是( )。
3.从624中连续减去6,要减( )次等于0。
4.三位数除以一位数,商最多是( )位数,最少是( )位数。
5.400÷8的商的末尾有( )个0。
6.( )除以任何不是0的数都得0。
7.{width="0.20625in" height="0.20625in"}73÷6,要使商是三位数,{width="0.20625in" height="0.20625in"}里最小可以填( )。
8.700÷7的商是( )位数,商末尾有( )个0。
二、{width="2.5694444444444443e-2in" height="1.875e-2in"}判断题。(正确的画"√",错误的画"✕")
1.一个数除以5,如果有余数,余数最大是4。( )
2.0的5倍和0除以9的商相{width="1.7361111111111112e-2in" height="1.875e-2in"}等。 ({width="2.0833333333333332e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"} )
3.被除数末尾有0的三位数除以一位数,商的末尾一定是0。 ( )
4.被除数中间有0的三位数除以一位数,商的中间也一定有0。 ( )
5.在有余数的除法里,被除数等于商乘除数加余数。 ( )
三、选择题。(把正{width="1.3888888888888888e-2in" height="2.4305555555555556e-2in"}确答案的序号填在括号里)
1.在除法中,{width="2.5694444444444443e-2in" height="1.875e-2in"}0不能作( {width="2.4305555555555556e-2in" height="2.5694444444444443e-2in"} )。
A.除数 B.被除数 {width="2.4305555555555556e-2in" height="2.361111111111111e-2in"} C.商
2.( )÷6=31......4
A.182 B.186 C.190
3.如果商是132,除数是7,余数是1,被除数是( )。
A.925 B.924 C.923\[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\]
四、在{width="0.20972222222222223in" height="0.20972222222222223in"}里填上"\>""\<"或"="。
23{width="2.4305555555555556e-2in" height="2.0833333333333332e-2in"}0÷{width="1.3888888888888888e-2in" height="1.7361111111111112e-2in"}5{width="0.20972222222222223in" height="0.20972222222222223in"}45 258÷3{width="0.20972222222222223in" height="0.20972222222222223in"}86
316÷4{width="0.20972222222222223in" height="0.20972222222222223in"}80 524÷2{width="0.20972222222222223in" height="0.20972222222222223in"}260
180÷3{width="0.20972222222222223in" height="0.20972222222222223in"}50 824÷4{width="0.20972222222222223in" height="0.20972222222222223in"}210\[来源:Z.xx.k.Com\]
五、计算题。
1.直接写得数。
48{width="1.875e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"}0÷2= 606÷6= 300÷5=
360÷6= {width="1.5277777777777777e-2in" height="2.4305555555555556e-2in"} 260÷2= {width="1.5277777777777777e-2in" height="1.3888888888888888e-2in"} 180÷6=
88÷4= 96÷3= 120÷3=
2.用竖式计算。(带☆的要验算)
917÷7= 414÷4= {width="2.5694444444444443e-2in" height="1.6666666666666666e-2in"} 541÷9=
618÷3= ☆421÷7= ☆875÷5= \[来源:学\*科\*网Z\*X\*X\*K\]
3.计算下面各题。
305÷5×4 270×2÷9
\[来源:学科网ZXXK\]
567÷7×6 440÷(2×4)
六、给余数是1的涂上红色,余数是3的涂上蓝色。
{width="2.209722222222222in" height="1.1097222222222223in"}
七、解决问题。
1.1千克黄豆可以生3千克豆芽,生69千克豆芽,一共需要多少千克黄豆?
2.一根长564米的电线,被平均剪成了4段,每段长多少米?
3.红星小学把356套课桌椅分给3个班,平均每班分到几套课桌椅?还剩多少套课桌椅?
4.这只啄木鸟6分可以吃多少条虫子?
{width="1.7798611111111111in" height="0.7930555555555555in"}
5.孙鹏上学期期末考试,语文和数学一共得了188分;数学和英语一共得了184分;语文和英语一共得了180分。你知道他三门功课一共考了多少分吗?\[来源:Zxxk.Com\]
八、在{width="0.20625in" height="0.20625in"}内填入合{width="2.2222222222222223e-2in" height="2.361111111111111e-2in"}适的数字。
{width="1.9361111111111111in" height="1.25in"}
第一单元演练答案
一、1.三 213 1 2.8 80 3.104 4.三 两
5.一 6.0 7.6 8.三 两
二、1. √ 2. √ 3.✕ 4.✕ 5. √
三、1.A 2.C 3.A
四、\> = \< \> \> \<
五、1.240 101 60 60 130 30 22 32 40
2.131 103......2 60......1 206 60......1 175{width="1.3888888888888888e-2in" height="1.875e-2in"} 验算略
3.244 60 486 55
六、提示:余数是1的算式有268÷3,476÷5,125÷2;
余数是3的算式有751÷4,199÷7,681÷6。
七、1.69÷3=23(千克)
2.564÷4=141(米)
3.356÷3=118(套)......2(套)
4.208÷8×6=156(条)
5.188+184+180=552(分) 552÷2=276(分)
八、 {width="1.9361111111111111in" height="1.2465277777777777in"}
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**2020-2021学年湖北省襄阳市樊城区数学六年级（上）期末数学试卷**
**一、计算。（共34分）**
1．（10分）直接写出得数。
5 6 4
---------- --- ------ ----- ---
1﹣65%＝ 1 10＝ 3＝
2．（6分）解方程。
----- ------
*x* *xx*
----- ------
3．（18分）脱式计算，怎样简便就怎样算。
20 （）×35 7.33.7
------- --------- --------
（3） 15
**二、填空。（第6小题3分，其余每空1分，共15分）**
4．（2分）在0.87、、8.7%三个数中，最大的是[ ]{.underline}，最小的是[ ]{.underline}．
5．（2分）如图，妹妹和哥哥身高最简整数比是[ ]{.underline}，比值是[ ]{.underline}。
6．（2分）张洋练习射击50次，有5次没射中，张洋的命中率是[ ]{.underline}，它表示[ ]{.underline}。
7．（1分）一瓶洗发液，爸爸60天用完，妈妈30天用完．他们俩人合用这瓶洗发液，可用[ ]{.underline}天．
8．（1分）如图，小圆的周长是6.28*cm*，大圆的周长是[ ]{.underline}*cm*。（计算时取3.14）
9．（3分）如图中涂色部分与整个图形面积之间的关系分别用分数、最简单的整数比、百分数表示是：[ ]{.underline}：[ ]{.underline}＝[ ]{.underline}%。
10．（2分）如图中阴影部分的周长是[ ]{.underline}厘米，面积是[ ]{.underline}平方厘米。（计算时π取3.14）
11．（2分）如图所示，王云天用小棒以下面的方式摆正六边形。那么摆4个正六边形需要[ ]{.underline}根小棒，摆*n*个正六边形要用小棒[ ]{.underline}根。
**三、选择正确答案的字母填入括号里。（每小题2分，共14分）**
12．（2分）下面图形中的圆心角是90°的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2分）要求出图中网格面积是多少，正确的算式是（ ）
A． B． C． D．
14．（2分）下面图形中，对称轴条数最少的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2分）下列算式中，等号左右两边不相等的是（ ）
A．
B．（）＝（）
C．99100﹣1
D．（）
16．（2分）在分析"求吨的是多少？"的过程中，下面的示意图不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2分）甲、乙两城绿化情况分别如图．根据图中情息，以下说法正确的是（ ）
A．甲城绿化覆盖面积比乙城大
B．乙城绿化覆盖面积比甲城大
C．甲城绿化率比乙城高
D．乙城绿化率比甲城高
18．（2分）井盖平面轮廓采用圆形的一个原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口．这是应用了圆特征中（ ）
A．圆心角决定圆的位置
B．半径决定圆的大小
C．同一圆内所有直径都相等
D．圆是曲边图形
**四、观察与操作。（共9分）**
19．（5分）（1）图书馆在艺术中心的[ ]{.underline}偏[ ]{.underline}°方向上，距离
> 是[ ]{.underline}米。
>
> （2）博物馆在艺术中心的西偏北30°方向上，距离600米处。请在图上用△标出博物馆的位置。
20．（4分）在学习了"圆"的知识后，张天敏同学用圆规和直尺设计了一个图案（如图1所示）。
> （1）用圆规和直尺将张天敏同学的设计图案画在图2方格纸上。
>
> （2）张天敏同学设计的图案中，阴影部分的面积是多少平方厘米？
**五、解决问题。（共28分）**
21．（5分）民主小学为了预防新冠病毒感染，用消毒液与水按1：200的比例配制成消毒水，每天对教室进行消杀工作。如果配制402千克消毒水，需要消毒液多少千克？
22．（5分）菜地里种白菜的面积是120*m*^2^，比种西红柿的面积少，种西红柿的面积是多少平方米？
23．（5分）在一个周长是62.8*m*的圆形水池周围修一条宽1*m*的环形小路，这条小路的面积是多少平方米？
24．（5分）数学课上，同学们一起研究"8月初鸡蛋价格比7月初上涨10%"，9月初又比8月初回落了15%，9月初鸡蛋价格和7月初相比，变了吗？"这一问题。
> 我的结论是："9月份鸡蛋价格和7月初相比，价格变了。"
>
> 你同意李强的结论吗？把你的理由写下来。
25．（8分）红叶服装店调查了200名顾客喜爱的服装颜色，调查结果如下表．
颜色 红 白 蓝 黑
------------ --------------------- --------------------- --------------------- ---------------------
人数 40 82 28 50
所占百分率 [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline} [ ]{.underline}
> ①计算出每种颜色所占的百分率，填在上表中．
>
> ②根据每颜色所占的百分率，在图中表示出顾客喜爱各种颜色的情况；
>
> ③如果这家服装店准备采购500件冬装，然后再销售，你认为怎样进货比较合适？把你的思考过程写出来．
**2020-2021学年湖北省襄阳市樊城区数学六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、计算。（共34分）**
1．【分析】根据分数乘除法、百分数减法的计算方法直接进行口算即可。
> 【解答】解：
5 68 44
-------------- ---- ---- --- ----
1﹣65%＝0.35 18 10 3
> 【点评】本题属于基本的计算，在平时注意积累经验，逐步提高运算的速度和准确性。
2．【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时除以求解；
> （2）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以求解；
>
> 【解答】解：（1）*x*
>
> *x*
>
> *x*
>
> （2）*xx*
>
> *x*
>
> *x*
>
> *x*
>
> 【点评】此题考查了学生根据等式的性质解方程的能力，注意等号对齐。
3．【分析】（1）先算除法，再算加法；
> （2）按照乘法分配律计算；
>
> （3）按照乘法分配律计算；
>
> （4）先按照减法的性质计算小括号里面的减法，再算括号外面的除法；
>
> （5）按照从左到右的顺序计算；
>
> （6）按照乘法交换律和结合律计算。
>
> 【解答】解：（1）20
>
> （2）（）×35
>
> 3535
>
> ＝14+15
>
> ＝29
>
> （3）7.33.7
>
> （7.3+3.7）
>
> 11
>
> （4）（3）
>
> \[3﹣（）\]
>
> （3﹣1）
>
> 2
>
> （5）15
>
> ＝9
>
> ＝5
>
> （6）
>
> ＝（）×（）
>
> ＝1
>
> 【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
**二、填空。（第6小题3分，其余每空1分，共15分）**
4．【分析】有几个不同形式的数比较大小，一般情况下，都化为小数进行比较得出答案．
> 【解答】解：0.875、8.7%＝0.087，
>
> 因为0.875＞0.87＞0.087，
>
> 所以最大的是，最小的是8.7%．
>
> 故答案为：，8.7%．
>
> 【点评】解决有关小数、百分数、分数之间的大小比较，一般都把分数、百分数化为小数再进行比较，从而解决问题．
5．【分析】先统一单位，再根据比的意义写出妹妹和哥哥身高的比，然后再化成最简整数比，求出比值即可。
> 【解答】解：1米＝100厘米
>
> 100厘米：160厘米＝5：8
>
> 100厘米÷160厘米
>
> 答：妹妹和哥哥身高最简整数比是5：8，比值是。
>
> 故答案为：5，8；。
>
> 【点评】此题是考查化简比及比值，不同单位的名数比，解题的关键是化成相同单位。
6．【分析】根据公式：命中率100%，它表示每射击100次，有几次命中。
> 【解答】解：50﹣5＝45（次）
>
> 45÷50×100%＝90%
>
> 答：张洋练习射击50次，有5次没射中，张洋的命中率是90%，它表示每射击100次，有90次命中。
>
> 故答案为：90%，每射击100次，有90次命中。
>
> 【点评】掌握命中率的计算方法，是解答此题的关键。
7．【分析】把这批洗发液看作单位"1"，爸爸60天用完，平均每天用这瓶洗发液的；妈妈30天用完．平均每天用这瓶洗发液的，根据合作的时间＝工作量÷工作效率和，据此列式解答．
> 【解答】解：1÷（）
>
> ＝1
>
> ＝1×20
>
> ＝20（天）
>
> 答：可用20天．
>
> 故答案为：20．
>
> 【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时往往把工作总量看作单位"1"，再利用它们的数量关系解答．
8．【分析】根据图示可知，大圆的半径等于小圆的直径，利用圆的周长公式：*C*＝π*d*，先计算小圆的直径，再求大圆的面积即可。
> 【解答】解：6.28÷3.14×2×3.14
>
> ＝6.28×2
>
> ＝12.56（厘米）
>
> 答：大圆的周长是12.56*cm*。
>
> 故答案为：12.56。
>
> 【点评】本题主要考查圆的周长的计算，关键是找对大小圆直径的关系。
9．【分析】先把长方形平均分成了5份，其中的4份就是它的，再根据等底等高的三角形的面积是长方形面积的一半，所以可以看成把这4份平均分成了2份，阴影部分就是它的，也就是阴影部分是整个长方形的的，由此用乘法求出阴影部分占整个图形的几分之几，再把它化成比和百分数。
> 【解答】解：
>
> 2：5
>
> 2÷5＝0.2＝20%
>
> 故答案为：；2，5；20。
>
> 【点评】本题主要考查了分数的意义，分数乘法以及分数与百分数、比的互化，解题的关键是根据图正确得出阴影部分与整个图形的面积关系。
10．【分析】由题目可知，阴影部分的周长是由2个圆心角是90°的扇形弧与2个长方形的宽组成；阴影部分的面积可以拼凑成一个边长1厘米的正方形的面积，由此进行解答即可。
> 【解答】解：3.14×1×2×2+1×2
>
> ＝3.14+2
>
> ＝5.14（厘米）
>
> 1×1＝1（平方厘米）
>
> 答：阴影部分的周长是5.14厘米，面积是1平方厘米。
>
> 故答案为：5.14，1。
>
> 【点评】本题考查了扇形面积公式的应用及正方形面积公式的运用。
11．【分析】根据图示，摆1个六边形需要6根小棒，可以写作：5×1+1；摆2个需要11根小棒，可以写作：5×2+1；摆3个需要16根小棒，可以写成：5×3+1；......由此可以推理得出一般规律解答问题。
> 【解答】解：摆1个六边形需要6根小棒，可以写作：5×1+1＝6
>
> 摆2个需要11根小棒，可以写作：5×2+1＝11
>
> 摆3个需要16根小棒，可以写成：5×3+1＝16
>
> 摆4个正六边形需要小棒21根，可以写成：5×4+1＝21
>
> ......
>
> 摆*n*个六边形需要：（5*n*+1）根小棒。
>
> 答：摆4个正六边形需要21根小棒，摆*n*个正六边形要用小棒（5*n*+1）根。
>
> 故答案为：21；（5*n*+1）。
>
> 【点评】根据题干中已知的图形的排列特点及其数量关系，推理得出一般的结论进行解答，是此类问题的关键。
**三、选择正确答案的字母填入括号里。（每小题2分，共14分）**
12．【分析】根据圆心角的含义：顶点在圆心上，且角的两个端点在圆上的角叫做圆心角．可知*D*项所示不是圆心角．通过测量得知，*A*是锐角，*B*是直角，*C*是钝角，据此解答即可．
> 【解答】解：由分析知，这些图形中圆心角是90°的是*B*．
>
> 故选：*B*．
>
> 【点评】此题考查了圆心角的概念和角的测量．
13．【分析】要求图中网格面积是多少，先看它所在整个大长方形的几分之几中，再看它再所画阴影中所占的比例，相乘即可．
> 【解答】解：阴影部分所占大长方形的面积是：；
>
> 重影部分所占面积是：
>
> ＝（）
>
> ；
>
> 故选：*D*．
>
> 【点评】加大本题的关键是看清图形，认真分析图片中给出的信息．
14．【分析】根据轴对称图形的定义，分别找出题干中的图形的所有对称轴条数，即可进行判断。
> 【解答】解：*A*选项：有2条对称轴。
>
> *B*选项：有1条对称轴。
>
> *C*选项：有无数条对称轴。
>
> *D*选项：有3条对称轴。
>
> 故选：*B*。
>
> 【点评】此题考查了利用轴对称图形的定义确定轴对称图形的对称轴的条数的灵活应用。
15．【分析】根据乘法的运算定律和减法的性质进行判断解答即可。
> 【解答】解：*A*，根据乘法交换律可得：，左右两边相等，本选项不符合题意；
>
> *B*：根据乘法结合律可得：（）＝（），左右两边相等，本选项不符合题意；
>
> *C*：根据乘法分配律可得：99（100﹣1）100，左右两边不相等，本选项符合题意；
>
> *D*：根据减法的性质可得：（），左右两边相等，本选项不符合题意。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】本题主要通过具体的算式考查了学生对运算定律的灵活掌握情况。
16．【分析】分数乘分数表示求一个分数的几分之几是多少，表示求吨的是多少，画图表示这个算式分两步，第一步，将整个图形看作单位"1"，平均分成两份，其中的一份，表示它的；第二步，把看作单位"1"，平均分成3份，其中的2份，即可表示求吨的是多少。
> 【解答】解：根据分析可得：
>
> 在分析"求吨的是多少？"的过程中，示意图不正确的是，没有正确表示出单位"1"的。
>
> 故选：*C*。
>
> 【点评】分数既可以表示具体的数，也可以表示两个量之间的关系，当表示关系时一定要分辨清谁是单位"1"。
17．【分析】都把本城市的面积总数看作单位"1"，求两城市的绿化覆盖面积大小，根据一个数乘百分数的意义，即：甲城市绿化覆盖面积＝甲城面积总数×35%；乙城市绿化覆盖面积＝乙城面积总数×40%；但两城市的面积总数题中没注明是否相等，所以甲城市和乙城市绿化覆盖面积无法比较；但35%＜40%，只能说明乙城市绿化率比甲城市绿化率高；据此解答即可．
> 【解答】解：甲城市绿化覆盖面积＝本城市面积总数×35%；
>
> 乙城市绿化覆盖面积＝本城市面积总数×40%；
>
> 但两城市的面积总数题中没注明是否相等，所以甲城市和乙城市绿化面积无法比较；
>
> 40%＞35%，只能说明乙城市绿化率比甲城市绿化率高；
>
> 故选：*D*。
>
> 【点评】解答此题的关键：应明确表示单位"1"的两个具体数量是否相同．
18．【分析】圆内最长的线段是圆的直径，而且都相等，所以圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，由此解答即可．
> 【解答】解：井盖平面轮廓采用圆形的原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这里利用了同一个圆的直径都相等这一原理．
>
> 故选：*C*．
>
> 【点评】此题考查了圆的认识，明确圆的特征，是解答此题的关键．
**四、观察与操作。（共9分）**
19．【分析】（1）因为图上距离1厘米表示实际距离100米，即可求出两地之间的实际距离，进而依据两地之间的方向关系，即可描述出它们的位置关系；
> （2）根据实际距离和比例尺，计算出博物馆与艺术中心的图上距离，然后根据图上确定方向的方法，结合题目所给信息，确定各地的位置即可。
>
> 【解答】解：（1）100×5＝500（米）
>
> 答：图书馆在艺术中心的东偏北50°方向上，距离是500米。
>
> （2）600÷100＝6（厘米）
>
> 画图如下：
>
> 故答案为：东，北，50°，500。
>
> 【点评】此题主要考查依据方向（角度）和距离判定物体位置的方法以及线段比例尺的意义。
20．【分析】（1）用圆规和直尺作图的方法设计图案即可，先画一条线段。以中点为圆心画一个半圆，然后再以半圆的半径为直径画圆，同时画出它的内接正方形。
> （2）阴影面积＝两个直角三角形面积的和，三角形面积＝底×高÷2，代入数值计算即可。
>
> 【解答】解：（1）画图如下：
>
> （2）8÷2＝4（厘米）
>
> 4÷2﹣2（厘米）
>
> 4×2÷2×2＝8（平方厘米）
>
> 答：阴影部分的面积是8平方厘米。
>
> 【点评】正方形的面积可以看成是两个直角三角形面积的和.。
**五、解决问题。（共28分）**
21．【分析】由"消毒液与水按1：200的比例配制成消毒水"可知消毒液占消毒水总质量的，然后根据分数乘法的意义求出配制402千克消毒水需要的消毒液质量，解决问题。
> 【解答】解：1+200＝201
>
> 4022（千克）
>
> 答：需要用2千克的消毒液。
>
> 【点评】解答此题的关键是找准对应量，根据数量关系，列式解答即可。
22．【分析】首先根据题意，把种西红柿的面积看作单位"1"，白菜的面积比西红柿的面积少，则白菜的的面积是西红柿面积的（1），根据分数除法的意义，用种白菜的面积除以（1），求出种西红柿的面积是多少即可。
> 【解答】解：120÷（1）
>
> ＝120
>
> ＝160（平方米）
>
> 答：西红柿的面积是160平方米。
>
> 【点评】此题主要考查了分数除法的意义的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。
23．【分析】根据圆的周长公式，*C*＝2π*r*，得出*r*＝*C*÷π÷2，再根据圆环的面积的计算方法，即用大圆的面积减去小圆的面积，求出小路的面积．
> 【解答】解：花池的半径：62.8÷3.14÷2
>
> ＝20÷2
>
> ＝10（米）
>
> 小路的面积：
>
> 3.14×（10+1）^2^﹣3.14×10^2^
>
> ＝3.14×121﹣3.14×100
>
> ＝3.14×（121﹣100）
>
> ＝3.14×21
>
> ＝65.94（平方米）
>
> 答：这条小路的面积是65.94平方米．
>
> 【点评】此题主要考查了圆环的面积的计算方法，即用大圆的面积减去小圆的面积，注意1米是小路的宽度，不是圆的半径．
24．【分析】把7月初鸡蛋的价格看作单位"1"，8月初鸡蛋价格比7月初上涨10%，也就是8月初的价格相当于7月初的（1+10%），9月初的价格比8月初回落了15%，也就是9月初的价格相当于7月初的（1+10%）×（1﹣15%），据此求出9月初的价格相当于7月初的百分之几，容积与7月初的价格进行比较即可。
> 【解答】解：1×（1+10%）×（1﹣15%）
>
> ＝1×1.1×0.85
>
> ＝0.935
>
> ＝93.5%
>
> 93.5%＜1，
>
> 所以9月初的价格比7月初低。
>
> 我同意李强的结论，理由是9月初的价格把7月初的价格低。
>
> 【点评】解答此类问题，首先找清单位"1"，进一步理清解答思路，列式的顺序，从而较好的解答问题。
25．【分析】①、②把喜爱四各颜色的总人数看作单位"1"，分别用喜欢红色、白色、蓝色、黑色的人数除以总人数即可分别得到喜欢红色、白色、蓝色、黑色的人数所占的百分率．根据计算结果即可完成①、②．
> ③根据百分数乘法的意义，分别用500件乘喜欢红色、白色、蓝色、黑色的人数所占的百分率，求出红色、白色、蓝色、黑色的件数，按此进货即可．
>
> 【解答】解：40+82+28+50＝200（人）
>
> 40÷200＝20%
>
> 82÷200＝41%
>
> 28÷200＝14%
>
> 50÷200＝25%
>
> ①计算出每种颜色所占的百分率，填在上表中：
颜色 红 白 蓝 黑
------------ ----- ----- ----- -----
人数 40 82 28 50
所占百分率 20% 41% 14% 25%
> ②根据每颜色所占的百分率，在下图中表示出顾客喜爱各种颜色的情况：
>
> （3）根据调查数据，根据百分数乘法的意义分别求出各种颜色的件数比较合适．
>
> 500×20%＝100（件）
>
> 500×41%＝205（件）
>
> 500×14%＝70（件）
>
> 500×25%＝125（件）
>
> 答：进100个红色，205件白色，70件蓝色，125件黑色的比较合适．
>
> 【点评】此题是考查统计表、扇形统计图图的填写；如何从统计表、扇形统计图中获取信息，并根据所获取的信息解决实际问题．
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日期：2021/4/27 11:17:19；用户：13673679904；邮箱：13673679904；学号：19138852
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**北师大版小学五年级下册数学第三单元《分数除法》单元测试2（附答案）**
一、细心填空。(3小题每空0.5分，其余每空1分，共13分)
1．0.2的倒数是( )，的倒数是( )。
2．÷4表示把平均分成4份，相当于求( )的( )。
3．×( )＝( )÷＝( )＋＝－( )＝1
4\. 若A÷B＝，则B÷A＝( )。来源：www.bcjy123.com/tiku/
5．一件衣服打八折后售价80元，这件衣服原价是( )元。
6．一个数的是24，这个数的是( )。
7．汽车行驶6千米用千克汽油，平均行驶1千米用汽油( )千克，平均1千克汽油可使汽车行驶( )千米。
8．在○里填上"＞"、"＜"或"＝"。
○ ○
二、认真辨析。(正确的打"√"，错误的打"×")(5分)
1．得数是1的两个数互为倒数。 ( )
2．真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于1。 ( )
3．一个数除以，商一定大于被除数。 ( )
4．甲数的等于乙数的，(甲、乙都不等于0)，甲数小于乙数。 ( )
5．甲数除以乙数(0除外)等于甲数乘乙数的倒数。 ( )
三、选择正确答案的序号填在括号里。(5分)
1．与12÷相等的式子是( )。
①12÷5×4 ②12÷4×5 ③12×0.4
2．一根绳子剪去6米后，剩余的部分正好是原长的，这根绳子原长( )米。
①1 ②9 ③3
3．下面的算式中，商最小的是( )。
① ② ③
4．一台彩电2000元，先提价，后降价，现在这台彩电的价格比原来( )。
①提高了 ②降低了 ③不变
5．根据，判断在*a*、*b*、*c*中，最大的数是( )。(*a*、*b*、*c*均不为0)
①*a* ②*b* ③*c*
四、算一算。(36分)
1．口算、心算我最棒。(6分) 来源：www.bcjy123.com/tiku/
÷＝
2．仔细计算。(18分)
3．解方程。(12分)
来源：www.bcjy123.com/tiku/
五、下面的题你会列式解答吗？(6分)
1．一个数的是，这个数是多少？
2．与它的倒数的积加上，和是多少？
六、解决问题。(共30分)
1．狮子奔跑时的最高时速可以达到每小时60千米，大约是猎豹的。猎豹奔跑时的最高时速大约是多少？(6分)
2．笑笑骑自行车去她姥姥家，小时行了全程的，她平均每小时行全程的几分之几？照这样的速度，她用几小时可以到姥姥家？(6分)
3．商场促销，商品一律打八折，电视机现价1500元，电脑现价4000元，电视机和电脑原价各多少元？(6分)
4．动物心跳的速度是和体重有关系的，体重越大，心跳越慢，体重越小，心跳越快。你能根据下面的信息算出猫每分钟大约心跳多少次吗？(6分)
老鼠：每分钟心跳约500次。
大象：每分钟心跳次数约是老鼠的，约是猫的。
5．李老师写一本数学课外同步辅导练习，第一天写了13页，第二天写了12页，两天一共写了这本书的，这本数学课外同步辅导练习一共有多少页？(6分)
七、选做题。(A、B两题选做一题，做对A题得5分，做对B题得5分，A、B两题都做对，可得10分)
A．小鸭、小兔和小花猫一起种地，是好朋友，看！它们在一起学得多开心呀！
小鸭：我们种的玉米地相当于小麦地的。
小猫：小麦地有24公顷，玉米地有多少公顷？
小兔：玉米地有15公顷，小麦地有多少公顷？
B．淘气和笑笑一起到文具店买了同样的文具后，两人的钱都有剩余，淘气剩下了所带钱数的，笑笑剩下所带钱数的。他们谁带的钱多呢？
附加题。(5分)
一筐梨，连筐称重42千克，取出梨的后，连筐称重18千克。原来梨重多少千克？筐重多少千克？
**参考答案**
一、1．5 2． 3． 4． 5．100 6．48
7． 10 8．＞ ＜
二、1．× 2．× 3．× 4．× 5．√
三、1. ② 2.② 3.③ 4．② 5．①
四、1． 21 0 2． 46 60
3\.
五、1. 2．
六、1．110千米 2． 3．1875元 5000元 4．240次 5．85页
七、A．15公顷 24公顷 B．笑笑带的钱多。
附加题：(42－18)÷(千克) 42－40＝2(千克)
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**2013年安徽省高考数学试卷（文科）**
**一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
2．（5分）已知A={x\|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则（∁~R~A）∩B=（ ）
A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2} C．{﹣2，0，1} D．{0，1}
3．（5分）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）"（2x﹣1）x=0"是"x=0"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）直线x+2y﹣5+=0被圆x^2^+y^2^﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．4
7．（5分）设S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，S~8~=4a~3~，a~7~=﹣2，则a~9~=（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．﹣2 D．2
8．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间\[a，b\]上可找到n（n≥2）个不同的数x~1~，x~2~，...x~n~，使得==...=，则n的取值范围为（ ）
A．{2，3} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{3，4，5}
9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）已知函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c有两个极值点x~1~，x~2~，若f（x~1~）=x~1~＜x~2~，则关于x的方程3（f（x））^2^+2af（x）+b=0的不同实根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
**二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．**
11．（5分）函数y=ln（1+）+的定义域为[ ]{.underline}．
12．（5分）若非负数变量x、y满足约束条件，则x+y的最大值为[ ]{.underline}．
13．（5分）若非零向量，满足\|\|=3\|\|=\|+2\|，则与夹角的余弦值为[ ]{.underline}．
14．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）．若当0≤x≤1时．f（x）=x（1﹣x），则当﹣1≤x≤0时，f（x）=[ ]{.underline}．
15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC~1~上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是[ ]{.underline}（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形
②当CQ=时，S为等腰梯形
③当CQ=时，S与C~1~D~1~的交点R满足C~1~R=
④当＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ=1时，S的面积为．
**三、解答题**
16．（12分）设函数f（x）=sinx+sin（x+）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）不画图，说明函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到．
17．（12分）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，现从这两个学校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图：
（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为、，估计﹣的值．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°．已知PB=PD=2，PA=．
（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC
（Ⅱ）若E为PA的中点，求三菱锥P﹣BCE的体积．
19．（13分）设数列{a~n~}满足a~1~=2，a~2~+a~4~=8，且对任意n∈N^\*^，函数 f（x）=（a~n~﹣a~n+1~+a~n+2~）x+a~n+1~cosx﹣a~n+2~sinx满足f′（）=0
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）若b~n~=2（a~n~+）求数列{b~n~}的前n项和S~n~．
20．（13分）设函数f（x）=ax﹣（1+a^2^）x^2^，其中a＞0，区间I={x\|f（x）＞0}
（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；
（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．
21．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（，）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q（x~0~，y~0~）（x~0~y~0~≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E．取点A（0，2），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．
**2013年安徽省高考数学试卷（文科）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】利用复数的运算法则把a﹣（a∈R）可以化为（a﹣3）﹣i，再利用纯虚数的定义即可得到a．
【解答】解：∵=（a﹣3）﹣i是纯虚数，
∴a﹣3=0，解得a=3．
故选：D．
【点评】熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键．
2．（5分）已知A={x\|x+1＞0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则（∁~R~A）∩B=（ ）
A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2} C．{﹣2，0，1} D．{0，1}
【分析】先利用一元一次不等式的解法化简集合A，再求其在实数集中的补集，最后求集合B与A的补集的交集即可．
【解答】解：∵A={x\|x+1＞0}={x\|x＞﹣1}，
∴C~U~A={x\|x≤﹣1}，
∴（∁~R~A）∩B={x\|x≤﹣1}∩{﹣2，﹣1，0，1}={﹣2，﹣1}
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合的补集与交集运算，属于集合运算的常规题．
3．（5分）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．
【解答】解：由程序框图知，循环体被执行后S的值依次为：
第1次S=0+，
第2次S=+，
第3次S=++，此时n=8
不满足选择条件n＜8，退出循环，故输出的结果是S=++=．
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．
4．（5分）"（2x﹣1）x=0"是"x=0"的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断．
【解答】解：若（2x﹣1）x=0 则x=0或x=．即（2x﹣1）x=0推不出x=0．
反之，若x=0，则（2x﹣1）x=0，即x=0推出（2x﹣1）x=0
所以"（2x﹣1）x=0"是"x=0"的 必要不充分条件．
故选：B．
【点评】判定条件种类，根据定义转化成相关命题的真假来判定．
一般的，①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
5．（5分）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设"甲或乙被录用"为事件A，则其对立事件表示"甲乙两人都没有被录取"，先求出，再利用P（A）=1﹣P（）即可得出．
【解答】解：设"甲或乙被录用"为事件A，则其对立事件表示"甲乙两人都没有被录取"，则==．
因此P（A）=1﹣P（）=1﹣=．
故选：D．
【点评】熟练掌握互为对立事件的概率之间的关系是解题的关键．
6．（5分）直线x+2y﹣5+=0被圆x^2^+y^2^﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．4
【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求．
【解答】解：由x^2^+y^2^﹣2x﹣4y=0，得（x﹣1）^2^+（y﹣2）^2^=5，
所以圆的圆心坐标是C（1，2），半径r=．
圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d=．
所以直线直线x+2y﹣5+=0被圆x^2^+y^2^﹣2x﹣4y=0截得的弦长为．
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了弦心距、圆的半径及半弦长之间的关系，是基础题．
7．（5分）设S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，S~8~=4a~3~，a~7~=﹣2，则a~9~=（ ）
A．﹣6 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【分析】利用等差数列有前n项和公式和通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第9项．
【解答】解：∵S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，
S~8~=4a~3~，a~7~=﹣2，
∴，
解得a~1~=10，d=﹣2，
∴a~9~=a~1~+8d=10﹣16=﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
8．（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间\[a，b\]上可找到n（n≥2）个不同的数x~1~，x~2~，...x~n~，使得==...=，则n的取值范围为（ ）
A．{2，3} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{3，4，5}
【分析】由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案．
【解答】解：令y=f（x），y=kx，
作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，
故k=（x＞0）可分别有2，3，4个解．
故n的取值范围为2，3，4．
故选：B．
【点评】正确理解斜率的意义、函数交点的意义及数形结合的思想方法是解题的关键．
9．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（ ）
A． B． C． D．
【分析】3sinA=5sinB，由正弦定理可得：3a=5b，可得a=，又b+c=2a，可得c=，不妨取b=3，则a=5，c=7．再利用余弦定理即可得出．
【解答】解：∵3sinA=5sinB，由正弦定理可得：3a=5b，∴a=，
又b+c=2a，可得c=2a﹣b=，
不妨取b=3，则a=5，c=7．
∴cosC===﹣，
∵C∈（0，π），
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．（5分）已知函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c有两个极值点x~1~，x~2~，若f（x~1~）=x~1~＜x~2~，则关于x的方程3（f（x））^2^+2af（x）+b=0的不同实根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c有两个极值点x~1~，x~2~，可得f′（x）=3x^2^+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a^2^﹣12b＞0．而方程3（f（x））^2^+2af（x）+b=0的△~1~=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x~1~或x~2~．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x~1~或f（x）=x~2~解的个数．
【解答】解：∵函数f（x）=x^3^+ax^2^+bx+c有两个极值点x~1~，x~2~，
∴f′（x）=3x^2^+2ax+b=0有两个不相等的实数根，
∴△=4a^2^﹣12b＞0．解得=．
∵x~1~＜x~2~，
∴，．
而方程3（f（x））^2^+2af（x）+b=0的△~1~=△＞0，
∴此方程有两解且f（x）=x~1~或x~2~．
不妨取0＜x~1~＜x~2~，f（x~1~）＞0．
①把y=f（x）向下平移x~1~个单位即可得到y=f（x）﹣x~1~的图象，
∵f（x~1~）=x~1~，可知方程f（x）=x~1~有两解．
②把y=f（x）向下平移x~2~个单位即可得到y=f（x）﹣x~2~的图象，∵f（x~1~）=x~1~，∴f（x~1~）﹣x~2~＜0，可知方程f（x）=x~2~只有一解．
综上①②可知：方程f（x）=x~1~或f（x）=x~2~．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））^2^+2af（x）+b=0的只有3不同实根．
故选：A．
【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值及方程解的个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．
**二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．**
11．（5分）函数y=ln（1+）+的定义域为[ （0，1\] ]{.underline}．
【分析】根据偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0，建立不等式组解之即可求出所求．
【解答】解：由题意得：，即
解得：x∈（0，1\]．
故答案为：（0，1\]．
【点评】本题主要考查了对数函数的定义域，以及偶次根式函数的定义域，属于基础题．
12．（5分）若非负数变量x、y满足约束条件，则x+y的最大值为[ 4 ]{.underline}．
【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．
【解答】解：画出可行域如图阴影部分，
其中，可得A（4，0）
目标函数z=x+y可以变形为y=﹣x+z，
可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，
由图数形结合可得当动直线过点A时，z~最大~=4+0=4
故答案为：4
【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题
13．（5分）若非零向量，满足\|\|=3\|\|=\|+2\|，则与夹角的余弦值为[ ﹣]{.underline}[ ]{.underline}．
【分析】利用条件化简可得 4=﹣4，由此可得\|\|•\|\|=\|\|•\|\|cos＜，＞，从而求得与夹角的余弦值．
【解答】解：由题意可得 =9，且 =+4+4，化简可得 4=﹣4，
∴\|\|•\|\|=﹣\|\|•\|\|cos＜，＞，∴cos＜，＞=﹣=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量夹角公式的应用，属于中档题．
14．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x）．若当0≤x≤1时．f（x）=x（1﹣x），则当﹣1≤x≤0时，f（x）=[ ﹣]{.underline}[x（x+1） ]{.underline}．
【分析】当﹣1≤x≤0时，0≤x+1≤1，由已知表达式可求得f（x+1），根据f（x+1）=2f（x）即可求得f（x）．
【解答】解：当﹣1≤x≤0时，0≤x+1≤1，
由题意f（x）=f（x+1）=（x+1）\[1﹣（x+1）\]=﹣x（x+1），
故答案为：﹣x（x+1）．
【点评】本题考查函数解析式的求解，属基础题，正确理解函数定义是解决问题的关键．
15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A~1~B~1~C~1~D~1~的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC~1~上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是[ ①②③⑤ ]{.underline}（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形
②当CQ=时，S为等腰梯形
③当CQ=时，S与C~1~D~1~的交点R满足C~1~R=
④当＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ=1时，S的面积为．
【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．
【解答】解：如图
当CQ=时，即Q为CC~1~中点，此时可得PQ∥AD~1~，AP=QD~1~==，
故可得截面APQD~1~为等腰梯形，故②正确；
由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD~1~上取点M满足AM∥PQ，
即可得截面为四边形APQM，故①正确；
③当CQ=时，如图，
延长DD~1~至N，使D~1~N=，连接AN交A~1~D~1~于S，连接NQ交C~1~D~1~于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD~1~∽△QRC~1~，可得C~1~R：D~1~R=C~1~Q：D~1~N=1：2，故可得C~1~R=，故正确；
④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；
⑤当CQ=1时，Q与C~1~重合，取A~1~D~1~的中点F，连接AF，可证PC~1~∥AF，且PC~1~=AF，
可知截面为APC~1~F为菱形，故其面积为AC~1~•PF==，故正确．
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．
**三、解答题**
16．（12分）设函数f（x）=sinx+sin（x+）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）不画图，说明函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到．
【分析】（Ⅰ）f（x）解析式第二项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可求出满足题意x的集合；
（Ⅱ）根据变换及平移规律即可得到结果．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx+sinx+cosx=sinx+cosx=sin（x+），
∴当x+=2kπ﹣（k∈Z），即x=2kπ﹣（x∈Z）时，f（x）取得最小值﹣，
此时x的取值集合为{x\|x=2kπ﹣（k∈Z）}；
（Ⅱ）先由y=sinx的图象上的所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，即为y=sinx的图象；
再由y=sinx的图象上的所有点向左平移个单位，得到y=f（x）的图象．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．
17．（12分）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，现从这两个学校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图：
（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为、，估计﹣的值．
【分析】（I）先设甲校高三年级总人数为n，利用甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05得=0.05求出n，又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5，利用对立事件的概率可估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率；
（II）设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为a~1~，a~2~，利用茎叶图中同一行的数据之差可得30（a~1~﹣a~2~ ）=（7﹣5）+55+（2﹣8）+（5﹣0）+（5﹣6）+...+92=15，从而求出a~1~﹣a~2~ 的值，最后利用样本估计总体的思想得出结论即可．
【解答】解：（I）设甲校高三年级总人数为n，则=0.05，∴n=600，
又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5，
∴估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率1﹣=；
（II）设样本中甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为a~1~，a~2~，
由茎叶图可知，
30（a~1~﹣a~2~ ）=（7﹣5）+55+（2﹣8）+（5﹣0）+（5﹣6）+...+92=15，
∴a~1~﹣a~2~==0.5．
∴利用样本估计总体，故估计x~1~﹣x~2~ 的值为0.5．
【点评】此题考查了学生的识图及计算能力，茎叶图，及格率的定义及平均数的定义．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°．已知PB=PD=2，PA=．
（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC
（Ⅱ）若E为PA的中点，求三菱锥P﹣BCE的体积．
【分析】（Ⅰ）连接BD，AC交于O点，分别证明出PO⊥BD，BD⊥AC，根据线面垂直的判定定理证明出BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）先证明出△ABD≌△PBD，求得PO，根据勾股定理证明出AC⊥PO，求得△PAC的面积，最后根据V~P﹣BCE~=V~B﹣PEC~=V~B﹣PAC~求得答案．
【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，AC交于O点，
∵PB=PD，
∴PO⊥BD，
又ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）则AC=2，
∵△ABD和△PBD的三边长均为2，
∴△ABD≌△PBD，
∴AO=PO=，
∴AO^2^+PO^2^=PA^2^，
∴AC⊥PO，
S~△PAC~=•AC•PO=3，
V~P﹣BCE~=V~B﹣PEC~=V~B﹣PAC~=••S~△PAC~•BO=××3×1=．
【点评】本题主要考查了线面垂直的判定问题，三棱锥的体积计算．解题过程中注重了对学生基础定理的考查．
19．（13分）设数列{a~n~}满足a~1~=2，a~2~+a~4~=8，且对任意n∈N^\*^，函数 f（x）=（a~n~﹣a~n+1~+a~n+2~）x+a~n+1~cosx﹣a~n+2~sinx满足f′（）=0
（Ⅰ）求数列{a~n~}的通项公式；
（Ⅱ）若b~n~=2（a~n~+）求数列{b~n~}的前n项和S~n~．
【分析】（I）利用导数的运算法则先求出f′（x），再利用，即可得到数列{a~n~}是等差数列，再利用已知及等差数列的通项公式即可得出a~n~；
（II）利用（I）得出b~n~，利用等差数列和等比数列的前n项和公式即可得出S~n~．
【解答】解：（I）∵f′（x）=a~n~﹣a~n+1~+a~n+2~﹣a~n+1~sinx﹣a~n+2~cosx，．
∴2a~n+1~=a~n~+a~n+2~对任意n∈N^\*^，都成立．
∴数列{a~n~}是等差数列，设公差为d，∵a~1~=2，a~2~+a~4~=8，∴2+d+2+3d=8，解得d=1．
∴a~n~=a~1~+（n﹣1）d=2+n﹣1=n+1．
（II）由（I）可得，=2（n+1）+，
∴S~n~=2\[2+3+...+（n+1）\]+
=
=．
【点评】数列掌握导数的运算法则、等差数列的通项公式、等差数列和等比数列的前n项和公式是解题的关键．
20．（13分）设函数f（x）=ax﹣（1+a^2^）x^2^，其中a＞0，区间I={x\|f（x）＞0}
（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；
（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．
【分析】（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；
（Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a^2^）x^2^=0（a＞0）有两个实根x~1~=0，＞0，
故f（x）＞0的解集为{x\|x~1~＜x＜x~2~}，
因此区间I=（0，），区间长度为；
（Ⅱ）设d（a）=，则d′（a）=，
令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，
故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）单调递减，
因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，
而=＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），
因此当a=1﹣k时，d（a）在区间\[1﹣k，1+k\]上取得最小值，即I长度的最小值为．
【点评】本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．
21．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，且过点P（，）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q（x~0~，y~0~）（x~0~y~0~≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E．取点A（0，2），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．
【分析】（I）根据椭圆的焦距为4，得到c==2，再由点P（）在椭圆C上得到，两式联解即可得到a^2^=8且b^2^=4，从而得到椭圆C的方程；
（II）由题意得E（x~0~，0），设D的坐标为（x~D~，0），可得向量、的坐标，根据AD⊥AE得，从而算出x~D~=﹣，因为点G是点D关于y轴的对称点，得到G（，0）．直线QG的斜率为k~QG~=，结合点Q是椭圆C上的点化简得k~QG~=﹣，从而得到直线QG的方程为：y=﹣（x﹣），将此方程与椭圆C的方程联解可得△=0，从而得到方程组有唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点，由此即得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．
【解答】解：（I）∵椭圆C：+（a＞b＞0）的焦距为4，
∴c=2，可得=2...①
又∵点P（）在椭圆C上
∴...②
联解①②，可得a^2^=8且b^2^=4，椭圆C的方程为；
（II）由题意，得E点坐标为（x~0~，0），
设D（x~D~，0），可得=（x~0~，﹣），=（x~D~，﹣），
∵AD⊥AE，可得
∴x~0~x~D~+（﹣）•（﹣）=0，即x~0~x~D~+8=0，得x~D~=﹣
∵点G是点D关于y轴的对称点，∴点G的坐标为（，0）
因此，直线QG的斜率为k~QG~==
又∵点Q（x~0~，y~0~）在椭圆C上，可得
∴k~QG~==﹣
由此可得直线QG的方程为：y=﹣（x﹣），
代入椭圆C方程，化简得（）x^2^﹣16x~0~x+64﹣16=0
将代入上式，得8x^2^﹣16x~0~x+8=0，
化简得x^2^﹣2x~0~x+=0，所以△=，
从而可得x=x~0~，y=y~0~是方程组的唯一解，即点Q是直线QG与椭圆C的唯一公共点．
综上所述，可得直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．
【点评】本题给出椭圆的焦距和椭圆上的点P的坐标，求椭圆的方程并由此讨论直线QG与椭圆公共点的个数问题．着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．
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